EM2_G7_M1_Teach_23SPAA_911598_Updated 07.23

Una historia de razones

Razones y proporcionalidad

ENSEÑAR ▸ Razones y relaciones proporcionales

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 2, Portada

¿Qué tiene que ver este objeto con las matemáticas?

El antiguo juego egipcio Perros y chacales, que es parecido al juego moderno TOBOGANES Y ESCALERAS, es un juego de azar en el que se hacen rodar “tabas”, o huesitos, (como si fueran dados) para avanzar por el tablero. Cuando se describe el azar en matemáticas, se le da el nombre de probabilidad y se mide con razones para mostrar cuán probable o improbable es un resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que los perros derroten a los chacales?

En la portada

Game of Hounds and Jackals, ca. 1814–1805 BCE

Egyptian

Ebony, ivory

The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA

Game of Hounds and Jackals. Egyptian; Thebes, Lower Asasif, Birabi. Middle Kingdom, reign of Amenemhat IV, ca. 1814–1805 BCE. Ebony, ivory. Board: H. 6.3 cm (2 1/2 in); W. 15.2 cm (6 in). Purchase, Edward S. Harkness Gift, 1926 (26.7.1287a-k). The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA. Photo credit: Image copyright © The Metropolitan Museum of Art. Image source: Art Resource, NY

Edición para estudiantes: Grado 7, Módulo 1, Título

Una historia de razones

Razones y proporcionalidad ▸ 7

ENSEÑAR

Módulo

1

2

Razones y relaciones proporcionales

Operaciones con números racionales

3 Module

4 Module

Expresiones, ecuaciones y desigualdades

6

Geometría

Porcentaje y sus aplicaciones

Probabilidad y poblaciones

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1 Contenido general del Módulo

Antes de este módulo

Módulo 1 de 6.o grado

La clase aplica el conocimiento de las comparaciones multiplicativas para comprender las relaciones de razones. La clase representa los dos valores en una razón como un cociente, conocido como el valor de la razón y, luego, usa ese valor para determinar las razones y tasas unitarias de las relaciones de razones. A lo largo del trabajo en 6.o grado, la clase aplica el razonamiento sobre razones para trabajar con porcentajes, ecuaciones, gráficas, geometría y estadísticas. En el módulo 1 de 7.o grado, se promueve el trabajo de 6.o grado presentando los términos relaciones proporcionales y factor de escala.

Contenido general

Razones y relaciones proporcionales

Tema A

Comprender las relaciones proporcionales

Sus estudiantes aplican el razonamiento sobre razones para reconocer que los conjuntos de razones equivalentes representan relaciones proporcionales. Identifican relaciones proporcionales en tablas, gráficas, ecuaciones y descripciones escritas.

Tema B

Trabajar con relaciones proporcionales

Sus estudiantes establecen conexiones entre las diferentes representaciones de las relaciones proporcionales del tema A para compararlas en este tema. Al explorar patrones, entienden que las tasas constantes indican relaciones proporcionales. También escriben ecuaciones para representar situaciones de tasas constantes y relaciones de razón parte-total.

Tema C

Dibujos a escala y relaciones proporcionales

Sus estudiantes aprenden que la constante de proporcionalidad tiene otro nombre, factor de escala, cuando se aplica a dibujos a escala. Interpretan el factor de escala como la constante que genera una ampliación de una figura cuando es mayor que 1 y una reducción cuando está entre 0 y 1.

Realizan dibujos a escala usando el factor de escala y, luego, comparan el área de una figura con el área de su dibujo a escala.

Después de este módulo

Módulos 3 a 5 de 7.o grado

La clase aplica su conocimiento sobre el razonamiento proporcional a lo largo de 7.o grado. La clase aplica el razonamiento proporcional al trabajar con ecuaciones en el módulo 3, al construir figuras geométricas en el módulo 4 y al trabajar con porcentajes en el módulo 5.

8.o grado

El razonamiento proporcional y la experiencia con los dibujos a escala apoyan el trabajo que la clase hará en 8.o grado cuando se presente la pendiente, la tasa de cambio, la semejanza y la dilatación.

Tarde de domingo en la isla de La Grande Jatte, de Georges Seurat, 1884

Contenido Razones y relaciones proporcionales ¿Por

Identificar relaciones proporcionales en descripciones escritas

• Determinar si una descripción escrita representa una relación proporcional

Tema B

• Comparar diferentes relaciones en distintas situaciones usando el razonamiento sobre razones y tasas

Explorar tablas de relaciones proporcionales

• Identificar relaciones proporcionales representadas en tablas calculando la tasa unitaria constante Lección 3

Identificar relaciones proporcionales en tablas

• Analizar tablas para identificar relaciones proporcionales

• Determinar la tasa unitaria asociada a una razón de fracciones mediante la evaluación de una fracción compleja

Lección 4

Explorar gráficas de relaciones proporcionales

• Identificar relaciones proporcionales representadas como gráficas

• Interpretar y entender el punto (0, 0) en contexto

Lección 5

Analizar gráficas de relaciones proporcionales

• Analizar gráficas o conjuntos de razones para determinar si representan relaciones proporcionales

• Identificar el punto que representa mejor la constante de proporcionalidad k en una gráfica y explicar el significado de ese punto en contexto

Práctica veloz: Parada de manos

• Representar una situación usando una relación proporcional para resolver un problema Lección

• Relacionar la información de tablas, gráficas, ecuaciones y situaciones para mostrar una relación proporcional

• Identificar la constante de proporcionalidad en diferentes representaciones de una relación proporcional

• Explicar cómo usar el punto (1, r) para hallar la tasa unitaria de una relación proporcional

• Relacionar la tasa unitaria con la inclinación de la recta que representa la relación proporcional usando el triángulo unitario con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, r)

Lección 10

Aplicar el razonamiento proporcional

• Representar relaciones proporcionales como ecuaciones

• Resolver problemas aplicando el razonamiento proporcional

Lección 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182

Tasas constantes

• Representar problemas de tasas como relaciones proporcionales con ecuaciones

• Resolver problemas de tasas

Lección 12 . .

Problemas de razones de varios pasos, parte 1

• Resolver problemas de razones de varios pasos usando el razonamiento proporcional

Lección 13

Problemas de razones de varios pasos, parte 2

• Resolver problemas de razones de varios pasos usando el razonamiento proporcional

Tema C

Dibujos a escala y relaciones proporcionales

Lección 14

Bicicletas extremas

• Comparar objetos de diferentes tamaños usando el razonamiento proporcional

Lección 15

Dibujos a escala

• Determinar la correspondencia de uno a uno entre los puntos de figuras relacionadas

• Reconocer que las longitudes correspondientes en los dibujos a escala están en una relación proporcional con una constante de proporcionalidad llamada factor de escala

Lección 16

Usar un factor de escala

• Determinar si un factor de escala da lugar a una ampliación o una reducción

• Crear un dibujo a escala usando la relación proporcional existente entre distancias correspondientes

Lección 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Hallar distancias reales a partir de un dibujo a escala

• Hallar las medidas de una figura dados un factor de escala y el dibujo a escala o la figura original

Lección 18 . . . . . . . . . . . . .

Relacionar las áreas de dibujos a escala

290

• Describir el área de un dibujo a escala con factor de escala r como r2 multiplicado por el área de la figura original

Lección 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

310

Escala y factor de escala

• Describir la diferencia entre una escala y un factor de escala

• Hallar medidas desconocidas en dibujos a escala mediante el uso apropiado de escalas y factores de escala

Lección 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Crear varios dibujos a escala

330

• Crear un dibujo a escala de otro dibujo a escala usando un nuevo factor de escala

• Escribir una ecuación para la relación proporcional que conecta dibujos a escala que tienen factores de escala diferentes, y usar esa ecuación para hallar distancias desconocidas Recursos Estándares

¿Por qué?

Razones y relaciones proporcionales

Esperaba ver trabajo con porcentajes en este módulo. ¿Dónde se aborda?

En este currículo, el razonamiento proporcional no se aplica a los problemas de porcentajes sino hasta el módulo 5, luego de que se haya completado el trabajo con ecuaciones. Los estándares de matemáticas de 7.o grado hacen énfasis en la razón y en el razonamiento proporcional. Como sus estudiantes aplicarán el razonamiento proporcional a lo largo de sus carreras es esencial que tengan buenos conocimientos básicos. En el módulo 1, el enfoque está en la comprensión conceptual de las relaciones proporcionales. Se presenta la ecuación y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad, como una representación de una relación proporcional, mientras que el trabajo con ecuaciones se amplía en el módulo 3.

Observo que la clase no establece una proporción en este módulo. ¿Es esto intencional?

El método tradicional de establecer una proporción dificulta la comprensión de por qué funciona el procedimiento y, muchas veces, da lugar a un mal uso de este, lo que genera errores comunes de cálculo. La conexión entre los valores en la relación proporcional y el orden en que se colocan las cantidades en la proporción tradicional no suele aclararse a la clase.

1. En este módulo, la clase amplía su trabajo con las tasas unitarias y las ecuaciones de 6.o grado para representar relaciones proporcionales con la ecuación y = kx. Esta representación permite determinar la constante de proporcionalidad y comparar relaciones proporcionales de forma eficiente.

2. Después de mucha práctica con la ecuación y = kx para representar relaciones proporcionales en los módulos 1 y 3, se presenta la proporción tradicional en el módulo 3. En el módulo 5, sus estudiantes consideran la eficiencia de la proporción tradicional al trabajar con problemas de porcentaje. Comprenden la conexión entre un modelo visual y la ecuación de la relación, y relacionan la colocación de los valores en esa relación con la colocación de los valores en la proporción tradicional.

¿Por qué aparece el factor de escala en este módulo si es un estándar de geometría?

1. Los dibujos a escala se presentan en este módulo debido a su conexión con las relaciones proporcionales. De esta manera, la clase puede ver que el factor de escala r en los dibujos a escala es igual a la constante de proporcionalidad k en las relaciones proporcionales.

2. La comprensión de los dibujos a escala es fundamental para entender las dilataciones, la semejanza y, finalmente, la pendiente en 8.o grado. En este módulo, se prepara a la clase para trabajar en 8.o grado al reforzar que todas las distancias en un dibujo a escala deben estar en una relación proporcional con las distancias correspondientes en la figura original.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Criterios de logro académico: Contenido general

Criterios de logro académico: Contenido general

Razones y relaciones proporcionales

Los Criterios de logro académico (CLA) son descripciones alineadas con los estándares que detallan lo que cada estudiante debe saber y poder hacer. Los criterios se escribieron usando secciones de distintos estándares para formar una descripción clara y precisa del trabajo que se abarca en cada módulo.

Cada módulo tiene su propio conjunto de criterios y el número de criterios varía según el módulo. En conjunto, los grupos de criterios por módulo/ nivel describen lo que cada estudiante debe haber aprendido al terminar el año escolar.

Los criterios y sus indicadores de competencias ayudan a las maestras y los maestros a interpretar el trabajo de cada estudiante a través de:

• observaciones informales en el salón de clases;

• datos acumulados en evaluaciones formativas de otras lecciones;

• Boletos de salida;

• Pruebas cortas de los temas y

• Evaluaciones de los módulos.

Este módulo contiene los ocho CLA que se indican.

7.Mód1.CLA1 Calculan tasas unitarias asociadas con razones de fracciones dadas dentro de un contexto.

7.RP.A.1

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales.

7.RP.A.2.a

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales.

7.RP.A.2.b

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones.

7.RP.A.2.c

7.Mód1.CLA5 Interpretan el significado de cualquier punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, incluidos los puntos (0, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria.

7.RP.A.2.d

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes).

7.RP.A.3

7.Mód1.CLA7 Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente.

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas.

7.G.A.1

7.G.A.1

La primera página de cada lección identifica los Criterios de logro académico (CLA) alineados con esa lección. Cada criterio puede tener hasta tres indicadores, cada uno de estos alineado con una categoría de competencia (es decir, Parcialmente competente, Competente, Altamente competente). Cada criterio tiene un indicador para describir el rendimiento Competente, pero solo algunos criterios tienen un indicador para Parcialmente competente o Altamente competente.

Un ejemplo de uno de estos criterios, incluyendo sus indicadores de competencias, se muestra a continuación como referencia. El grupo completo de criterios de este módulo con los indicadores de competencias puede encontrarse en el recurso Criterios de logro académico: Indicadores de competencias.

Código del CLA: Grado.Mód#.CLA#

EUREKA MATH2

Los Criterios de logro académico contienen las siguientes partes:

• Código del CLA: El código indica el grado y el número del módulo y, luego, presenta los criterios sin un orden específico. Por ejemplo, el primer criterio para el módulo 1 de 7.o grado se codifica como

7.Mód1.CLA1.

• Texto del CLA: El texto se ha escrito a partir de los estándares y describe de manera concisa lo que se evaluará.

• Indicadores del CLA: Los indicadores describen las expectativas precisas del criterio para la categoría de competencia dada.

• Estándar relacionado: Identifica el estándar o las partes del estándar de los Estándares Estatales Comunes que el criterio aborda.

Texto del CLA

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.2.c Representan las relaciones de proporcionalidad mediante ecuaciones. Por ejemplo, si el costo total t es proporcional a la cantidad n de cosas compradas al precio constante p, la relación entre el costo total y la cantidad de cosas puede expresarse como t = pn

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Identifican qué ecuación representa una relación proporcional dada en contexto.

Marcus encuentra una alcancía vieja y vacía. Coloca $0.75 dentro de la alcancía cada semana. ¿Qué ecuación representa la cantidad de dinero d en dólares que habrá en la alcancía de Marcus después de s semanas?

A. s = 0.75 ⋅ d

B. d = 0.75 s

C. s = d + 0.75

D. d = 0.75 + s

Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones.

Un servicio de transmisión en directo alquila películas digitales por $3.99 cada una. Escribe una ecuación que represente el costo total c de alquilar d películas por el servicio de transmisión en directo.

Estándar relacionado

Indicadores del CLA

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema A

Tema A Comprender las relaciones proporcionales

En el tema A, se presentan las relaciones proporcionales. Sus estudiantes analizan la proporcionalidad en cuatro tipos de representaciones: tablas, gráficas, ecuaciones y descripciones escritas. Desarrollan su razonamiento sobre razones y tasas de 6.o grado en una progresión coherente dentro del tema.

Sus estudiantes amplían su comprensión sobre las tasas usando el razonamiento multiplicativo o aditivo conocido para determinar valores desconocidos en tablas. Aprenden a identificar una relación proporcional calculando tasas unitarias de pares de razones en tablas y observando posteriormente que la tasa unitaria es constante. La complejidad aumenta de 6.o a 7.o grado, cuando sus estudiantes calculan la tasa unitaria a partir de una razón de fracciones. Aplican su comprensión de la tasa unitaria en tablas de relaciones proporcionales para escribir ecuaciones que representen esas relaciones.

Sus estudiantes usan el conocimiento que adquirieron en 6.o grado sobre representar gráficamente conjuntos de razones y pares ordenados para representar gráficamente relaciones proporcionales. Comparan gráficas de relaciones proporcionales con gráficas que no muestran relaciones proporcionales. Al hacerlo, identifican una característica única de las relaciones proporcionales representadas en una gráfica: los puntos parecen estar ubicados en una recta que atraviesa el origen, (0, 0). A medida que sus estudiantes adquieren fluidez para reconocer la proporcionalidad en las gráficas, se enfocan en dos puntos clave, (0, 0) y (1, k), donde k es la constante de proporcionalidad. Explican el significado de estos puntos en un contexto determinado y comienzan a identificar la constante de proporcionalidad como la tasa unitaria constante r.

Sus estudiantes resumen su comprensión de la proporcionalidad creando descripciones escritas de relaciones proporcionales presentadas en tablas, gráficas y ecuaciones. Al finalizar el tema, determinan la proporcionalidad e identifican la constante de proporcionalidad a partir de descripciones escritas.

Sus estudiantes aplican lo que aprendieron sobre las relaciones proporcionales en el tema A en distintas situaciones durante el resto del módulo. En el tema B, identifican la constante de proporcionalidad en una representación a fin de crear otra con la misma relación proporcional. Además, identifican el triángulo unitario en las gráficas de relaciones proporcionales para comparar su inclinación. En el tema C, examinan distancias correspondientes con el objetivo de determinar si unas figuras son proporcionales e identifican el factor de escala como la constante de proporcionalidad.

Agua (galones)

Tiempo (minutos)

Progresión de las lecciones

Lección 1 Un experimento con razones y tasas

Lección 2 Explorar tablas de relaciones proporcionales

Lección 3 Identificar relaciones proporcionales en tablas

Lección 4 Explorar gráficas de relaciones proporcionales

Lección 5 Analizar gráficas de relaciones proporcionales

Lección 6 Identificar relaciones proporcionales en descripciones escritas

Un experimento con razones y tasas

Comparar diferentes relaciones en distintas situaciones usando el razonamiento sobre razones y tasas

Vistazo a la lección

BOLETO DE SALIDA 1

1. Dylan dobla 5 aviones de papel en 2.5 minutos. ¿Crees que puede doblar 10 aviones de papel en 5 minutos? Explica tu razonamiento.

Creo que Dylan puede doblar aproximadamente 10 aviones de papel en 5 minutos, pero la cantidad total podría variar. Es posible que la tasa a la que dobla aviones de papel no se mantenga constante a lo largo de los 5 minutos.

2. La clase construye máquinas que doblan aviones de papel para una competencia de ciencias. La máquina A dobla 60 aviones de papel en 0.5 minutos. La máquina B dobla 400 aviones de papel en 4 minutos. Cada máquina dobla los aviones de papel a una tasa constante.

a. ¿Cuántos aviones de papel dobla la máquina A en 5 minutos? Justifica tu solución.

60 05 120 =

La máquina A dobla 120 aviones de papel por minuto.

1205600 ⋅=

La máquina A dobla 600 aviones de papel en 5 minutos.

b. ¿Qué máquina dobla aviones de papel a una tasa mayor, la A o la B? Explica cómo lo sabes.

400 4 100 =

La máquina B dobla aviones de papel a una tasa de 100 por minuto.

En la parte (a), descubrí que la máquina A dobla aviones de papel a una tasa de 120 por minuto.

• ¿Qué conexiones podemos hacer entre las relaciones de tasa constante y nuestro conocimiento sobre razones? Edición

Por lo tanto, la máquina A dobla aviones de papel a una tasa mayor.

En esta lección digital, sus estudiantes experimentan y predicen las tasas a las que pueden clasificar monedas manualmente. Eligen estrategias para completar una tabla de valores relacionada con el desempeño de unas máquinas clasificadoras de monedas. Las estrategias que se espera que usen son el razonamiento multiplicativo y aditivo. Sus estudiantes exploran métodos para comparar las tasas a las que las máquinas clasifican monedas. Reconocen valores correspondientes de cantidades, amplían tablas para mostrar el número de monedas que se clasifican en un segundo y hallan la tasa unitaria. También comentan cómo saben si una máquina clasificadora de monedas está funcionando bien, o no, determinando si los valores en una tabla tienen una tasa constante.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Preguntas clave

• ¿Cómo podemos determinar si una relación entre dos cantidades tiene una tasa constante?

• ¿Qué estrategias podemos usar para comparar situaciones que tienen tasas constantes?

MATH

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA1 Calculan tasas unitarias asociadas con razones de fracciones dadas dentro de un contexto. (7.RP.A.1)

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min D

Aprender 30 min D

• Máquinas clasificadoras de monedas

• Hallar la tasa unitaria

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• computadora o dispositivo*

• proyector*

• libro Enseñar*

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

• marcador de borrado en seco*

• borrador*

• lápiz*

• pizarra blanca individual*

• libro Aprender*

Preparación de la lección

• No se necesita.

*Estos materiales solo se mencionan en la lección 1. Prepare estos materiales para cada una de las lecciones de este módulo.

Fluidez

Dividir números decimales

La clase divide números decimales como preparación para hallar la tasa unitaria.

Nota para la enseñanza

Las actividades de fluidez son sets breves de problemas de práctica secuenciada que sus estudiantes resuelven durante los primeros 3 a 5 minutos de clase. Administre una actividad de fluidez como una actividad para iniciar la clase o conviértala en una actividad guiada de Intercambio con la pizarra blanca o de Respuesta a coro. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Presentar

La clase participa en una actividad de clasificar monedas para desarrollar una comprensión de la tasa.

Sus estudiantes usan la plataforma digital a fin de completar dos actividades en donde estiman y comprueban cuántas monedas pueden clasificar en 10 y en 30 segundos. Usan esta experiencia para preguntarse si su tasa de clasificación será mayor, menor o se mantendrá igual al clasificar monedas por 10 minutos. Esto constituye una base para repasar la palabra tasa y sostener una conversación sobre las tasas constantes.

Considere formar grupos de manera estratégica y flexible a lo largo del módulo.

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en matemáticas.

• Forme parejas de estudiantes que tengan distintos niveles de competencia en el idioma.

• Forme grupos pequeños de cuatro uniendo dos parejas de estudiantes.

De ser posible, intente formar las parejas con estudiantes que tengan la misma lengua materna.

¿Pueden las personas clasificar monedas a una tasa constante?

Es difícil que las personas puedan clasificar monedas a una tasa constante. Por ejemplo, una persona se puede cansar después de un tiempo y clasificarlas a una tasa menor.

¿Cuáles son los beneficios de trabajar con tasas constantes?

Cuando las tasas son constantes, hacer predicciones es más sencillo.

Aprender

Máquinas clasificadoras de monedas

La clase desarrolla una comprensión de las tasas constantes.

Sus estudiantes exploran tasas constantes en un contexto de máquinas clasificadoras de monedas que trabajan a tasas constantes distintas.

Máquina A: Clasifica 20 monedas cada 4 segundos

Máquina B: Clasifica 33 monedas cada 6 segundos

Máquina C: Clasifica 36 monedas cada 8 segundos

Máquina D: Clasifica 9 monedas cada 1.5 segundos

DUA: Participación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Participación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Temas interesantes y atractivos: la simulación inicial da a sus estudiantes un punto de partida a la lección y sirve como motivación para preguntarse acerca de distintas tasas y razones.

• Retroalimentación formativa inmediata: sus estudiantes determinan valores desconocidos en tablas y averiguan inmediatamente si son correctos.

Iniciar la máquina

Pennies Nickels Dimes Quarters

Máquina A

Número de segundos

Número de monedas clasificadas

A partir del uso del razonamiento multiplicativo y aditivo, sus estudiantes completan una tabla de razones para cada máquina. Usan los valores en la tabla a fin de determinar y comparar el número de monedas que cada máquina clasifica en 10 segundos, un valor que no está representado en las tablas. Luego, comparan sus estrategias.

¿Qué maneras hay de determinar qué máquina clasificó más monedas en 10 segundos?

Puedo multiplicar para hallar el número de monedas que cada máquina clasificó en 10 segundos. Por ejemplo, a partir de la tabla, sé que la máquina A clasifica 10 monedas en 2 segundos, así que clasificará 50 monedas en 10 segundos.

Esta experiencia sirve de base para comprender la tasa unitaria más adelante en la lección.

Hallar la tasa unitaria

La clase repasa el significado de tasa unitaria y usa la tasa unitaria para determinar la información desconocida.

Sus estudiantes determinan cuántas monedas puede clasificar cada máquina en 1 segundo y, luego, formalizan que el número que puede clasificar en 1 segundo es la tasa unitaria.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando busca patrones mientras calcula repetidamente los valores desconocidos del número de monedas clasificadas, el tiempo y la tasa unitaria.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Qué patrones observaron mientras hallaban y usaban la tasa unitaria?

• ¿Funcionará siempre este patrón?

• ¿Cómo les puede ayudar este patrón a completar la tabla de forma más eficiente?

¿Cómo se puede hallar el número de monedas clasificadas cuando el tiempo es solo 1 segundo?

Máquina C

Número de segundos

Número de monedas clasificadas

Máquina D

Número de segundos

Número de monedas clasificadas

Sus estudiantes exploran la importancia del orden al momento de calcular la tasa unitaria. Después de ver que una máquina tarda 4 segundos en clasificar 10 monedas, comentan que la tasa es de 2.5 monedas por segundo, en lugar de 0.4 monedas por segundo. Siguiendo este orden, la tasa unitaria es 2.5, y no 0.4.

Por último, sus estudiantes usan tasas unitarias a fin de determinar si las máquinas clasificadoras de monedas de un nuevo conjunto funcionan o no a una tasa constante.

¿Tienen una tasa unitaria aquellas relaciones que no tienen una tasa constante?

Expliquen su razonamiento.

Una tasa que no es constante no tiene una tasa unitaria.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Comparar diferentes relaciones en distintas situaciones usando el razonamiento sobre razones y tasas

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas:

¿Cómo podemos determinar si una máquina clasificadora de monedas funciona a una tasa constante?

Una máquina clasifica monedas a una tasa constante si se puede calcular la misma tasa unitaria para cada par de valores de la tabla.

¿Qué estrategias usamos para comparar situaciones que tienen tasas constantes?

Hicimos una tabla de razones equivalentes para cada situación y, luego, comparamos los valores en las razones A : B cuando ambas tablas tenían el mismo valor de A o B. Otra estrategia posible es comparar las tasas unitarias. Hallamos la tasa unitaria ampliando la tabla a fin de incluir una fila con un 1 en la columna A. También hallamos la tasa unitaria dividiendo los valores de B entre los valores correspondientes de A.

¿Qué conexiones podemos hacer entre las relaciones de tasa constante y nuestro conocimiento sobre razones?

Hallamos razones equivalentes en las tablas que tienen tasas constantes. También pudimos calcular la tasa unitaria a partir de razones y usarla para comparar las relaciones y hallar valores desconocidos.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

El diálogo que se muestra proporciona sugerencias de preguntas y ejemplos de respuesta. Para maximizar la participación de cada estudiante, guíe conversaciones usando herramientas y estrategias que incentiven el intercambio entre estudiantes. Por ejemplo, use con flexibilidad la Herramienta para la conversación y las rutinas Reunirse y conversar en parejas, Pensar-Trabajar en parejasCompartir y la rutina Siempre, a veces, nunca.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

©

Nombre Fecha

Un experimento con razones y tasas

En esta lección:

• organizamos monedas para determinar la relación entre el tiempo transcurrido y el número de monedas organizadas;

• comparamos las tasas constantes con las tasas que no lo son;

• comparamos las tasas de diferentes máquinas reconociendo valores correspondientes de cantidades;

• calculamos tasas unitarias y las usamos para hallar otros valores.

Ejemplo

El precio de las bananas se calcula con una tasa constante. a. Completa la siguiente tabla.

Número de libras de bananas

Otra manera de hallar la tasa unitaria es ampliar la tabla a fin de tener una fila para 1 libra de bananas. El precio de 1 libra de bananas es la tasa unitaria.

Como esta relación tiene una tasa constante, se pueden usar el razonamiento multiplicativo o aditivo y la tasa unitaria para completar la tabla.

b. ¿Cómo puedes determinar el precio de 1 libra de bananas usando la tabla de la parte (a)?

Puedes usar cualquier fila para determinar la tasa unitaria que relaciona 1 libra de bananas con un precio.

Se puede usar cualquier fila de valores para hallar la tasa unitaria porque la relación tiene una tasa constante.

045 075 = 0.6

La tasa unitaria es 0.6. El precio de 1 libra de bananas es $0.60.

c. ¿Cuál es el costo de 5 libras de bananas? Explica cómo lo sabes.

Dado que el precio de las bananas se calcula a una tasa constante, la tasa unitaria se multiplica por el número de libras de bananas.

El costo de 5 libras de bananas es $3.00

18 3 = 0.6 5(0.6)3 = 21 3 = 0.7

18 3 = 0.6

36 6 = 0.6

24 4 = 0.6

d. Dylan compró 3 libras de peras por $2.10. El precio de cada libra de peras también se calcula a una tasa constante. ¿Qué cuesta menos por libra, las bananas o las peras?

El precio por libra de las peras es $0.70.

El precio por libra de las bananas es menos porque $0.60 es menor que $0.70

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

7

1

1. La máquina A y la máquina B clasifican papel a una tasa constante. La máquina A clasifica 150 trozos de papel cada 6 segundos. La máquina B clasifica 90 trozos de papel cada 4.5 segundos. ¿Qué máquina clasifica papel más rápido?

La máquina A clasifica 25 trozos de papel por segundo. La máquina B clasifica 20 trozos de papel por segundo.

Por lo tanto, la máquina A clasifica papel más rápido.

2. La máquina C clasifica papel a una tasa constante. Si clasifica 143 trozos de papel cada 6.5 segundos, ¿cuántos clasifica en 10 segundos?

La máquina C clasifica 220 trozos de papel en 10 segundos.

3. En un mercado de productos agrícolas, el precio de los duraznos se calcula a una tasa constante.

a. Completa la siguiente tabla.

b. ¿Cómo puedes determinar el precio de una libra de duraznos usando la tabla de la parte (a)?

¿Cuál es el precio por libra de los duraznos?

La tabla se podría ampliar a fin de incluir el precio de una libra de duraznos. El precio por libra es $2.20

© Great Minds PBC

c. ¿Cuál es el costo de 10 libras de duraznos? Explica cómo lo sabes.

Dado que el precio de los duraznos se calcula a una tasa constante, la tasa unitaria se puede multiplicar por el número de libras de duraznos.

El costo de 10 libras de duraznos es $22.00 porque 10 2.2 = 22

d. Dylan compra 3.25 libras de manzanas por $9.75. El precio de cada libra de manzanas también se calcula a una tasa constante. ¿Qué cuesta menos por libra, las manzanas o los duraznos?

El precio por libra de las manzanas es $3.00. El precio por libra de los duraznos es menos porque $2.20 es menor que $3.00.

Recuerda

En los problemas 4 a 7, multiplica.

4. 41 7

8. Si 4 personas se reparten 9 tazas de palomitas de maíz en partes iguales, ¿cuántas tazas obtiene cada una?

Cada persona obtiene 21 4 tazas de palomitas de maíz.

9. Un puesto de frutas vende 3 naranjas por cada 5 manzanas. Completa la tabla.

Número de manzanas vendidas Número de naranjas vendidas 5

14 PRÁCTICA

Explorar tablas de relaciones proporcionales

Identificar relaciones proporcionales representadas en tablas calculando la tasa unitaria constante

Vistazo a la lección

BOLETO DE SALIDA 2

1. La tabla muestra el costo en dólares de los diferentes números de margaritas compradas.

¿Es el costo proporcional al número de margaritas compradas? Explica cómo lo sabes. El costo no es proporcional al número de margaritas compradas. Dividir cada costo entre el número correspondiente de margaritas compradas no da como resultado un precio constante por margarita. Pagar $6 por 3 margaritas da un precio de $2 por margarita. Pagar $15 por 12 margaritas da un precio de $1.25 por margarita.

2. La tabla muestra el costo en dólares de diferentes números de rosas compradas.

¿Es el costo proporcional al número de rosas compradas? Explica cómo lo sabes.

El costo es proporcional al número de rosas compradas. Dividir cada costo entre el número correspondiente de rosas compradas da como resultado un precio constante de $2.50 por rosa.

En esta lección, la clase comienza observando patrones entre pares de cantidades presentadas en tablas. Sus estudiantes categorizan tablas que son conjuntos de razones equivalentes y aprenden que los pares de valores en esas tablas están en una relación proporcional. A través del trabajo en parejas y la conversación, comprenden que las relaciones proporcionales también tienen una tasa unitaria constante. Aplican estos nuevos conocimientos a fin de determinar pares de valores en relaciones y escribir ecuaciones que las representen. En esta lección, se presenta el término relación proporcional y la frase es proporcional a.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos identificar si las cantidades de una tabla forman una relación proporcional?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA1 Calculan tasas unitarias asociadas con razones de fracciones dadas dentro de un contexto. (7.RP.A.1)

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 25 min

• Las tablas de Pedro

• ¡Prueba estas tablas!

• Ampliar tablas

• Escribir ecuaciones a partir de tablas

Concluir 15 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• Clasificación de tarjetas: Tablas con contexto (1 set por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• Prepare un set de Clasificación de tarjetas: Tablas con contexto para cada pareja de estudiantes.

Fluidez

Dividir fracciones

La clase divide fracciones como preparación para hallar la tasa unitaria. Instrucciones: Divide.

Presentar

Sus estudiantes clasifican tablas en grupos basándose en características en común.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar la actividad de clasificar tarjetas.

Distribuya un set de tarjetas a cada pareja. Pídales que repasen las tablas en las tarjetas, que identifiquen las semejanzas y diferencias entre ellas y que, luego, las clasifiquen en dos grupos. Dígales que deben prepararse para describir lo que cada grupo tiene en común.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan para observar cómo clasifican las tarjetas y escuchar las conversaciones de las parejas. En este momento, respete cualquier método que sus estudiantes elijan para clasificar las tablas. Esto podría incluir métodos de clasificación basados en atributos no matemáticos. Sin embargo, identifique las parejas de estudiantes que hayan agrupado las tablas usando la tasa unitaria o razones equivalentes.

Invite a las parejas seleccionadas a compartir sus grupos de tablas y su razonamiento con toda la clase. Luego, haga una transición hacia la próxima actividad con el siguiente planteamiento:

En la lección de hoy, examinaremos las características específicas de las tablas de valores que nos dan información sobre la relación representada por los datos en la tabla.

Aprender

Las tablas de Pedro

La clase identifica las características de las relaciones proporcionales en las tablas.

Presente el problema Las tablas de Pedro.

Considere pedir a sus estudiantes que trabajen en parejas o grupos pequeños a fin de analizar cuatro tablas. Anime a sus estudiantes a usar otras representaciones, como diagramas de cinta y rectas numéricas dobles, según sea necesario, para identificar patrones aditivos y multiplicativos en las tablas.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan e identifique quiénes reconocen que cada una de estas tablas tiene un set de razones equivalentes o una tasa unitaria constante.

1. Pedro agrupa estas cuatro tablas. a.

¿Qué tienen estas cuatro tablas en común?

En cada una, todas las razones de los pares de valores son equivalentes.

Después de algunos minutos, seleccione a un grupo de estudiantes para que compartan sus respuestas al problema 1(a) en Las tablas de Pedro. Las respuestas de ejemplo incluyen los siguientes enunciados:

• En cada tabla, todos los pares de valores están en razones equivalentes.

• Se ve como una tabla de razones. El valor de la razón es el mismo para todos los pares.

• La tasa unitaria de cada par de números es constante.

• En las tablas, todas las cantidades de la primera columna se pueden multiplicar por el mismo factor para hallar la cantidad correspondiente en la segunda columna.

Pida a un par de estudiantes que compartan con la clase sus estrategias para identificar y crear razones equivalentes. Luego, presente el término relación proporcional.

Cada par de cantidades en Las tablas de Pedro está en una relación proporcional. Las medidas de dos cantidades están en una relación proporcional si hay una tasa unitaria constante entre los pares de valores correspondientes.

Podemos usar la frase es proporcional a al describir la relación entre las cantidades. En la primera tabla, el número de tazas de azúcar es proporcional al número de tazas de harina.

Anime a sus estudiantes a practicar el uso del término nuevo relación proporcional, así como de la frase es proporcional a durante el resto de la lección y del tema.

¿Cómo pueden usar la frase es proporcional a para describir las otras tres relaciones proporcionales?

El volumen de una muestra en centímetros cúbicos es proporcional a la masa de la muestra en gramos. La altura del prisma en pulgadas es proporcional al volumen del prisma en pulgadas cúbicas. El tiempo en minutos es proporcional al volumen del agua en galones.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir acerca de la parte (b) del problema Las tablas de Pedro y que, luego, anoten sus definiciones.

b. Describe una relación proporcional con tus palabras.

Cuando las razones de los pares de cantidades son equivalentes, las cantidades están en una relación proporcional.

DUA: Representación

Para activar los conocimientos previos sobre las razones equivalentes, considere representar estrategias para identificar y crear razones equivales de 6.o grado, como el diagrama de cinta y la recta numérica doble.

Los diagramas de cinta sirven para representar situaciones en las que hay dos cantidades con una misma unidad, como el número de tazas de azúcar y el número de tazas de harina. Demuestre a sus estudiantes que la razón del número de tazas de azúcar al número de tazas de harina para cada par de valores es 1 : 4 cualquiera sea el tamaño de la unidad.

Número de tazas de azúcar

Número de tazas de harina

Las rectas numéricas dobles se usan para representar situaciones en las que hay dos cantidades con unidades diferentes, como el volumen y la masa de una muestra.

1510 Volumen (centímetros cúbicos)

Masa (gramos)

2.713.527

Crear modelos pictóricos ayuda a sus estudiantes a comprender y visualizar las relaciones entre dos cantidades representadas en una tabla. Anime a sus estudiantes a usar estas estrategias a lo largo de esta lección según sea necesario.

Seleccione a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan sus definiciones en voz alta. Si no mencionan que las relaciones proporcionales tienen pares de cantidades que están en razones equivalentes, hágales la siguiente pregunta para que consideren esta idea:

Mirando las tablas, ¿cómo describirían una relación proporcional con sus palabras?

Cuando los pares de cantidades están en razones equivalentes también están en una relación proporcional.

La clase usa sus descripciones de una relación proporcional para completar el siguiente problema, ¡Prueba estas tablas!

¡Prueba estas tablas!

La clase determina si las relaciones representadas en una tabla son proporcionales.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar el problema ¡Prueba estas tablas!

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y preste atención a las parejas que identifiquen razones equivalentes o una tasa unitaria constante entre los pares de valores en una tabla.

2. Dadas las siguientes tablas, determina si cada relación es proporcional.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En la sección Concluir, sus estudiantes usan un organizador gráfico para comenzar a formalizar el vocabulario y las frases. Consultarán este organizador gráfico a lo largo del tema a medida que descubran nuevas características de las relaciones proporcionales.

Las tablas 1 y 4 representan relaciones proporcionales. Las tablas 2 y 3 no representan relaciones proporcionales.

Cuando la mayoría haya terminado, vuelva a reunir a la clase para conversar sobre las siguientes preguntas. Resalte el razonamiento de sus estudiantes que identifique una tasa unitaria constante para cada par de valores en la tabla.

¿Qué tablas identificaron que representaban relaciones proporcionales? ¿Por qué?

¿Qué tabla fue la más difícil de clasificar en cuanto a si estaba o no en una relación proporcional? ¿Por qué? ¿Por qué las otras tablas fueron más fáciles de clasificar?

Ampliar tablas

La clase genera pares de valores que pertenezcan a una relación proporcional.

Presente el problema Ampliar tablas e invite a sus estudiantes a trabajar en parejas y compartir y usar la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir a fin de conversar sobre sus métodos para generar pares de valores.

Recorra el salón de clases y preste atención a quienes usen la tasa unitaria como método para hallar valores adicionales.

Nota para la enseñanza

Considere realizar una breve evaluación formativa después de que sus estudiantes hayan completado el problema ¡Prueba estas tablas! Muestre las primeras dos tablas, una a la vez, y pida a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba cuando la tabla represente una relación proporcional, hacia abajo cuando represente una relación no proporcional y hacia el costado cuando no sepan con certeza. Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir su razonamiento.

Si la mayor parte de la clase se equivoca o no sabe con certeza si la relación es proporcional o no, repase las características de una relación proporcional en Las tablas de Pedro y represente cómo determinar si los pares de valores en una tabla están en razones equivalentes. Considere hacer un repaso adicional de las razones, las tablas de razones y las estrategias de razón equivalente de 6.o grado según sea necesario.

3. Genera dos pares de valores adicionales que pertenezcan a cada relación proporcional.

Ejemplo:

Pida a un grupo pequeño de estudiantes que compartan los pares de valores que agregaron a las tablas y que expliquen su razonamiento. Considere mostrar cada tabla y añadir pares de valores a medida que sus estudiantes comparten los suyos.

Describan el método que usaron para hallar estos valores adicionales en la relación proporcional.

Multipliqué ambos valores en la razón 1 : 24 por el mismo número para obtener una razón equivalente.

Creé un diagrama de cinta con 4 unidades e hice que cada unidad fuera 24 horas.

Multipliqué el número de días por la tasa unitaria, 24.

Diferenciación: Apoyo

Apoye a sus estudiantes a medida que descontextualizan la relación multiplicativa entre las dos cantidades haciendo lo siguiente:

• crear diagramas de cintas;

• crear diagramas de recta numérica doble y

• agregar notas a las tablas (como se muestra).

Anime a sus estudiantes a contextualizar la relación entre dos variables al escribir ecuaciones. Por ejemplo:

• El número de vasos de jugo de limón j es 1 4 del número de vasos de limonada l.

• El número de horas h es 24 veces el número de días d.

Considere hacer las siguientes preguntas para expandir el razonamiento de sus estudiantes:

• ¿Se les ocurre cualquier otro valor que se pueda agregar a la tabla? ¿Cómo pueden asegurarse?

• ¿Qué suposiciones están haciendo cuando amplían la tabla?

• ¿Cuál sería un ejemplo de un par de valores que no pertenece a ninguna de estas tablas? ¿Cómo lo saben?

Si la tasa unitaria aún no se ha mencionado, haga las siguientes preguntas para hacer que sus estudiantes se enfoquen en las características de las relaciones proporcionales:

¿Qué observan acerca de las tasas unitarias en cada una de estas relaciones?

La tasa unitaria, 1 4 , es la misma para cada uno de los pares de valores en la tabla de la limonada. Hay 1 4 de vaso de jugo de limón por cada 1 vaso de limonada, así que la tasa unitaria de la relación es 1 4   .

Cada día tiene 24 horas, así que la tasa unitaria de la relación es 24.

¿Cómo pueden usar la tasa unitaria para hallar valores adicionales en la relación?

Cuando sabemos la tasa unitaria, podemos multiplicar la primera cantidad por la tasa unitaria para hallar la segunda cantidad.

Cuando y es proporcional a x, podemos predecir cualquier valor de y usando la tasa unitaria que identificamos en la tabla. Por ejemplo, en el problema 3, multiplicamos el número de días por 24 para hallar el número de horas.

Escribir ecuaciones a partir de tablas

La clase escribe ecuaciones a fin de representar una relación proporcional.

Presente el problema Escribir ecuaciones a partir de tablas. Use el enunciado y la pregunta que siguen para guiar el razonamiento de sus estudiantes acerca de cómo usar la tasa unitaria a fin de escribir una ecuación para representar cada situación:

¿Cómo podemos escribir ecuaciones para representar las relaciones proporcionales en las dos tablas del problema anterior?

Podemos usar la tasa unitaria para relacionar el valor de y con el valor de x.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes escriben ecuaciones. Pida a quienes terminen primero que analicen la relación entre la tasa unitaria y las variables que se usaron en cada tabla.

4. Usa la tabla 1 para escribir una ecuación que muestre cómo el número de horas h se relaciona con el número de días d.

hd = 24

5. Usa la tabla 4 para escribir una ecuación que muestre cómo el número de vasos de jugo de limón j se relaciona con el número de vasos de limonada l.

jl = 1 4

Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus respuestas y su razonamiento para cada problema.

Puede haber estudiantes que escriban una ecuación relacionada, como l = 4j, para la segunda tabla. Promueva el razonamiento flexible aceptando l = 4j y jl = 1 4 como ecuaciones aceptables.

Concluir

Reflexión final 10 min

Objetivo: Identificar relaciones proporcionales representadas en tablas calculando la tasa unitaria constante

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta:

¿Cómo se relaciona nuestro nuevo aprendizaje con la actividad digital en la lección 1?

Invite a un grupo pequeño de estudiantes a compartir sus respuestas. Resalte aquellas respuestas en las que se reconozcan ejemplos de relaciones proporcionales y no proporcionales en la actividad de clasificación de monedas.

Use el planteamiento que sigue para guiar una conversación acerca de identificar relaciones proporcionales en tablas:

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando identifica y usa la tasa unitaria constante para escribir una ecuación a fin de representar una relación proporcional en los problemas 4 y 5.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué representa la ecuación en esta situación?

• ¿Qué significa la variable en esta situación?

En el último problema, determinamos que el número de vasos de jugo de limón era proporcional al número de vasos de limonada. ¿Cómo podemos identificar si las cantidades de una tabla forman una relación proporcional?

Observamos para ver si todos los pares de valores están en razones equivalentes.

Calculamos la tasa unitaria de cada par de cantidades para ver si es constante.

Presente el Organizador gráfico de relaciones proporcionales y pida a sus estudiantes que anoten sus ideas acerca del término relación proporcional que aparece en él. Forme parejas de estudiantes para que escriban definiciones con sus palabras y comiencen con las secciones Proporcional y No proporcional usando las tablas de la lección de hoy. Recuerde a sus estudiantes que deben dejar un espacio en el organizador gráfico, ya que seguirán expandiendo su definición en lecciones posteriores.

Como preparación para la próxima lección, presente la siguiente pregunta y permita que sus estudiantes conversen al respecto:

¿En qué se diferencia hallar la tasa unitaria de la razón de dos valores fraccionarios de hallar la tasa unitaria de la razón de dos valores no fraccionarios?

Considere compartir el siguiente ejemplo: Si con 1 6 de vaso de jugo de limón se puede hacer 1 2 vaso de limonada, ¿cuál es la tasa unitaria asociada a este número de vasos de jugo de limón por vaso de limonada? ¿Cómo hallaron la tasa unitaria?

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

7

RESUMEN 2

Nombre Fecha

Explorar tablas de relaciones proporcionales

En esta lección:

• identificamos que los pares de valores con razones equivalentes representan relaciones proporcionales;

• reconocimos que las relaciones proporcionales tienen tasas unitarias constantes;

• determinamos pares de valores en relaciones proporcionales;

• escribimos ecuaciones para representar relaciones proporcionales.

Ejemplo

La tabla muestra el número de libras de fertilizante que se usó para cubrir jardines de diferentes tamaños.

Fertilizante, f (libras) Área del terreno, a (pies cuadrados)

5 5,000

2 2,000

6.5 6,500

3.5 3,500

Esta fila me dice que 3.5 libras de fertilizante cubren 3,500 pies cuadrados de jardín.

a. ¿Hay una relación proporcional entre el área de jardín cubierta y el número de libras de fertilizante que se usó para cubrirla?

Sí.

Halla la tasa unitaria de cada fila para determinar si existe una relación proporcional.

5000 5 1000,; = 2000 2 ,1000,; = 6500 65 1000,; = 3500 35 1000 , =

El área del jardín es proporcional a la cantidad de fertilizante.

b. Cuando la tasa está expresada en pies cuadrados de área de jardín por libra de fertilizante, ¿cuál es la tasa unitaria? Explica qué representa la tasa unitaria.

La tasa unitaria es 1,000. Esto significa que, por cada 1,000 pies cuadrados de área de jardín, se usa 1 libra de fertilizante.

c. Tienes 8 libras de fertilizante. ¿Es suficiente para cubrir un jardín de 7,500 pies cuadrados? ¿Por qué?

7500100075 ,,÷=

El fertilizante que tenemos es suficiente. Solo necesitamos 7.5 libras de fertilizante para cubrir el jardín y tenemos 8

Otra manera de resolver este problema es ampliar la tabla a fin de determinar cuál es el área que se puede cubrir con 8 libras de fertilizante.

©

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

• Las tablas pueden estar espaciadas de manera uniforme o de manera no uniforme, pero cada tabla debe tener una relación multiplicativa entre las cantidades.

• Una relación proporcional es una relación que tiene una tasa unitaria constante.

• Las gráficas pueden ser continuas o no continuas.

• El número de horas que Stefanie trabaja es proporcional a la cantidad de dinero que gana.

• Los puntos parecen estar en una recta que atraviesa el origen.

• Las ecuaciones deben ser de la forma y = kx

• Las situaciones podrían expresar la constante de proporcionalidad, y debe haber una relación multiplicativa. Una caja con 16 pastelillos para el desayuno cuesta $3.68 . Una caja con 48 de los mismos pastelillos para el desayuno cuesta $9.98

• La constante de proporcionalidad k es la tasa unitaria constante.

• La constante de proporcionalidad se puede determinar a partir del punto (1, k ) en una gráfica.

El supermercado vende fresas a $1.99 por libra. y = 4.5

EUREKA MATH2 7 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 2 ▸ Organizador gráfico de relaciones proporcionales 19

Proporcional No proporcional ©

Para los problemas 1 a 4, determina si y es proporcional a x en cada tabla. Explica tu razonamiento. 1. x y

En esta tabla, y es proporcional a x. El valor de las razones de y a x es 1 8 en todas las filas. 2. x y

En esta tabla, y no es proporcional a x. El valor de las razones de y a x no es igual en todas las filas. 3. x 0 1 8 1 4 1 y 0 6 12 48

En esta tabla, y es proporcional a x. Cada valor de x se multiplica por la constante 48 para hallar el valor de y

© Great Minds PBC

En esta tabla, y es proporcional a x. Cada valor de x se multiplica por la constante 25 para hallar el valor de y

5. Las tablas muestran los costos totales de varias cantidades de yogur helado en dos tiendas diferentes. Determina si el costo total es proporcional al número de onzas de yogur helado en cada tienda. Explica tu razonamiento.

a. Yogur helado de Frosty

Yogur helado, y (onzas) Costo total, d (dólares) 2 2.50

b. La casa del yogur helado

7.50 Yogur helado, y (onzas) Costo total, d (dólares)

El costo total es proporcional al número de onzas de yogur helado. Cada onza cuesta $1.25

El costo total no es proporcional al número de onzas de yogur helado. No hay un precio constante por onza.

6. La tabla muestra el número de galones de pintura que se usó para pintar paredes con diferentes áreas.

Pintura, g (galones)

Área de pared, a (pies cuadrados)

10 3,500

6 2,100

a. ¿Hay una relación proporcional entre el área de la pared y la cantidad de pintura en galones? Sí.

b. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada a la tasa de pies cuadrados del área de la pared por galón de pintura? Explica qué representa esta tasa unitaria.

La tasa unitaria es 350 Por cada 350 pies cuadrados de área de pared, se usa 1 galón de pintura.

c. Tienes 5 galones de pintura para pintar el comedor, que tiene un área de 1,820 pies cuadrados. ¿Tienes suficiente pintura? ¿Por qué? No, no tengo suficiente pintura. Necesito 5.2 galones para pintar un área de 1,820 pies cuadrados.

7. A Shawn y a sus amigas les encanta patinar sobre hielo. La semana pasada, Shawn fue a la pista de hielo y pagó $15 para patinar 2 horas. Hoy, su amiga Sara patinó 3 horas en la misma pista y pagó un total de $22.50

a. Imagina que la relación entre el costo total y el número de horas de patinaje es una relación proporcional y completa la tabla añadiendo dos pares de valores adicionales. Explica qué significado tienen estos valores en función de una tasa constante.

Número de horas de patinaje

Costo total (dólares)

2 15.00

3 22.50

4 30.00

5 37.50

Si el costo total es proporcional al número de horas de patinaje, entonces la pista de hielo cobra una tasa constante de $7.50 por hora.

b. Imagina que la relación entre el costo total y el número de horas de patinaje no es una relación proporcional y completa la tabla añadiendo dos pares de valores adicionales. Explica qué significado podrían tener estos valores en función de una tasa constante.

Ejemplo:

Número de horas de patinaje

Costo total (dólares)

2 15.00

3 22.50

4 28.00

5 32.50

Si el costo total no es proporcional al número de horas de patinaje, entonces no hay un precio constante por hora. Tal vez el precio por hora sea más bajo mientras más horas se patina.

Recuerda

En los problemas 8 a 11, multiplica.

12. Lily camina 60 pies en 10 segundos. Nora camina 25 pies en 5 segundos. ¿Quién camina a una tasa mayor? Explica cómo lo sabes.

Lily camina a una tasa de 6 pies por segundo. Nora camina a una tasa de 5 pies por segundo. Por lo tanto, Lily camina a una tasa mayor.

13. Cuando viaja a Israel, Dylan cambia 40 dólares estadounidenses por 120 séqueles israelíes. ¿Cuál es la tasa de cambio entre los dólares estadounidenses y los séqueles israelíes?

Elige todas las opciones que correspondan.

A. 3 dólares por séquel

B. 3 séqueles por dólar

C. 1 3 de séquel por dólar

D. 1 3 de dólar por séquel

©

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo

Identificar relaciones proporcionales en tablas

Analizar tablas para identificar relaciones proporcionales

Determinar la tasa unitaria asociada a una razón de fracciones mediante la evaluación de una fracción compleja

Vistazo a la lección

BOLETO DE SALIDA 3

Nombre Fecha

1. El agua fluye hacia una piscina desde una manguera a una tasa constante. La tabla muestra la profundidad del agua en distintos momentos.

¿Cuál es la profundidad del agua a los 3 5 de hora? 3

La tasa a la que la piscina se llena es 15 4 de pie por hora.

3

En 3 5 de hora, la profundidad del agua será 21 4 pies.

b. Explica por qué la relación que se muestra en la tabla es proporcional. La relación que se muestra en la tabla es proporcional porque cada par de valores representa una tasa constante de 15 4 de pie por hora.

c. Escribe una ecuación para mostrar cómo la profundidad del agua p, expresada en pies, se relaciona con el tiempo t expresado en horas.

p dt = 15 4

La clase examina pares de valores que ahora incluyen fracciones al trabajar con relaciones proporcionales y no proporcionales. Sus estudiantes reconocen que las fracciones complejas pueden escribirse como expresiones de división. En parejas, trabajan para calcular tasas unitarias que incluyen fracciones y números decimales. Usan las tasas unitarias que calcularon para escribir ecuaciones, que aplican a fin de determinar valores que no están incluidos en las tablas.

Preguntas clave

• ¿Determinar la tasa unitaria de cantidades fraccionarias es similar a determinar la tasa unitaria de cantidades formadas por números enteros? ¿Por qué sí o por qué no?

• ¿Cómo podemos predecir valores en una relación proporcional?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA1 Calculan tasas unitarias asociadas con razones de fracciones dadas dentro de un contexto. (7.RP.A.1)

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• ¿Es proporcional o no?

• El trabajo de verano de Nora

• Almendras para Eve

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Dividir fracciones

La clase divide fracciones como preparación para evaluar fracciones complejas.

Nota para la enseñanza

En lugar de administrar la actividad de Fluidez de esta lección, considere usar la Práctica veloz de Dividir fracciones. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

Presentar

La clase explora razones compuestas de valores fraccionarios.

Pida a la clase que lea la introducción al problema 1 y que examine los números en la tabla. Luego, haga las siguientes preguntas:

¿En qué se parece esta situación a las que trabajamos anteriormente? ¿En qué se diferencia?

Sus estudiantes deberían observar que los valores dentro de cada razón son fraccionarios. Esto es un aumento de la complejidad, ya que sus estudiantes solo han trabajado con razones de números enteros o razones que contienen un número entero y una fracción.

Antes de pedir a sus estudiantes que completen el problema, pídales que repasen brevemente y compartan los métodos que usaron antes (diagramas de cinta, rectas numéricas dobles y extender un patrón) para resolver problemas similares.

Pídales que completen el problema en parejas.

1. Noor hace caminatas diarias. La distancia que recorre en millas es proporcional a la cantidad de horas que camina. La tabla muestra cuánto le toma a Noor recorrer distintas distancias caminando.

Usa un método de tu elección para determinar el número de millas que camina Noor por hora.

Noor camina 3 millas por hora.

Cuando la mayoría haya terminado de trabajar en este problema, guíe una conversación de toda la clase acerca del uso de la tasa unitaria para resolverlo.

¿Halló alguien la tasa unitaria de estas razones equivalentes para determinar cuántas millas camina Noor por hora?

Si sus estudiantes responden que sí, pídales que compartan con la clase cómo hallaron la tasa unitaria. Si nadie pudo calcular la tasa unitaria o solo un grupo pequeño de estudiantes lo hizo, pregúnteles cómo calcularla en una situación en donde los valores son números enteros. Luego, pida a sus estudiantes que apliquen este razonamiento a fin de calcular la tasa unitaria en esta situación.

Veamos con más profundidad cómo hallar una tasa unitaria puede ayudarnos a resolver problemas de razones.

Aprender

¿Es proporcional o no?

La clase identifica relaciones proporcionales analizando los valores dados en tablas.

Pida a sus estudiantes que observen el problema ¿Es proporcional o no? Considere pedirles que trabajen en parejas a fin de identificar cuáles son las tablas que representan relaciones proporcionales. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan. Si necesitan ayuda para escribir una descripción usando el lenguaje de las razones, considere proporcionarles un ejemplo, como “1 maestra por clase de 30 estudiantes”.

2. Para cada tabla que represente una relación proporcional, usa el lenguaje de las razones para escribir una descripción. En cuanto al resto de las tablas, explica por qué cada una de ellas no representa una relación proporcional. a.

Esta tabla representa una relación proporcional porque los pares de valores reflejan una tasa unitaria constante de 10.5. Por cada 1 hora de trabajo, el dinero ganado es $10.50.

c.

Esta tabla no representa una relación proporcional porque los pares de valores no reflejan una tasa unitaria constante.

Esta tabla representa una relación proporcional porque los pares de valores reflejan una tasa unitaria constante de 23 4 . Por cada 1 barra de pan, hay 23 4 tazas de harina.

e.

Esta tabla representa una relación proporcional porque los pares de valores reflejan una tasa unitaria constante de 3. Por cada 1 hora, la distancia recorrida es 3 millas.

Esta tabla no representa una relación proporcional porque los pares de valores no reflejan una tasa unitaria constante.

Esta tabla representa una relación proporcional porque los pares de valores reflejan una tasa unitaria constante de 20. Por cada 1 hora de trabajo, el dinero ganado es $20

Después de que la mayoría de los grupos hayan terminado, guíe una conversación sobre sus respuestas a partir de las siguientes preguntas:

¿Cuáles son las tablas que representan relaciones proporcionales? ¿Cómo lo saben?

Las tablas de las partes (a), (c), (d) y (f) representan relaciones proporcionales porque cada una de ellas tiene pares de valores que reflejan una tasa unitaria constante.

Invite a algunas parejas de estudiantes a compartir las descripciones que escribieron para las relaciones proporcionales que identificaron. Con toda la clase, confirme que la descripción compartida coincide con la relación proporcional que debe describir.

Reúnanse y conversen en parejas sobre las suposiciones que hicimos al clasificar la relación en la tabla de la parte (d) como proporcional.

Supusimos que la persona no dejó de caminar y que tampoco redujo ni aumentó su paso. La persona no se detuvo en un cruce peatonal ni trotó para alcanzar a alguien más.

En este tipo de situaciones, suponemos que la tasa es constante para poder representarlas con una relación proporcional.

Nota para la enseñanza

En este tema y en el siguiente, cada tanto hay referencias a suposiciones destinadas a representar una situación como una relación proporcional. Si es razonable representar una situación con una relación proporcional, entonces suponemos que la relación es proporcional.

A menudo pensamos en las situaciones como proporcionales para poder hacer predicciones sobre ellas, como cuando viajamos y queremos saber cuánto más tardaremos en llegar a nuestro destino. Es probable que haya hecho esto en la vida real sin siquiera darse cuenta de ello. ¿Alguna vez intentó predecir cuánto tiempo más le llevaría leer un libro a partir del tiempo que lleva leyéndolo? De ser así, lo que ha hecho es tomar una relación no proporcional y pensarla como proporcional para hacer una predicción razonable.

Considere comentar estos ejemplos con sus estudiantes como ayuda para que puedan entender la diferencia entre una relación proporcional y una que suponemos como proporcional.

El trabajo de verano de Nora

La clase escribe una ecuación a fin de representar una relación proporcional y, luego, la usa para determinar otros valores de la misma relación.

Pida a la clase que trabaje en parejas para completar el problema El trabajo de verano de Nora. Anime a sus estudiantes a comentar con sus parejas una manera de abordar el problema antes de resolverlo. Según sea necesario, ayude a sus estudiantes a resolver el problema haciéndoles las siguientes preguntas o unas similares:

• Para escribir una ecuación, primero debemos determinar la tasa unitaria de las razones en la tabla. ¿Cómo podemos reescribir una razón de la tabla como una división para determinar cuánto gana Nora por hora?

• Dado que sabemos que esta situación es una relación proporcional, ¿qué nos dice esto sobre la tasa unitaria de todos los pares de valores?

• ¿Cómo podemos usar la tasa unitaria para escribir una ecuación que represente la cantidad de dinero que gana Nora por hora?

Anime a sus estudiantes a que observen la lógica de la repetición de multiplicar el número de horas por 11.5 a fin de hallar la cantidad de dinero ganado. Al hacerlo, puede que sea más fácil para sus estudiantes ver la ecuación escrita como 11.5h = d antes de escribirla como d = 11.5h.

• ¿Cómo podemos usar la ecuación que escribieron para determinar cuántas horas trabaja Nora si gana $51.75?

3. Nora tiene un trabajo de verano de media jornada. La cantidad de dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. La tabla muestra la cantidad de dinero que gana de acuerdo al número de horas que trabaja.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante descubre métodos generales y atajos (MP8) cuando observa cálculos repetidos en los que el número de horas se multiplica por la tasa unitaria constante.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Hay algo que se repita cuando multiplicamos el número de horas que trabaja Nora por la tasa unitaria constante? ¿Cómo puede ayudarles esto a escribir la ecuación que represente esta situación?

• ¿Siempre se repetirá la tasa unitaria constante?

Nota para la enseñanza

Si sus estudiantes no observan con facilidad las operaciones que se repiten en la tabla, anime a la clase a implementar estrategias que ayuden a verlas. Considere pedir a la clase que agregue una nota entre las columnas de cada entrada que muestre la multiplicación por la tasa unitaria constante, 11.5.

a. Escribe una ecuación que muestre cuánto gana Nora en su trabajo. Sea h el número de horas que trabaja. Sea d la cantidad de dólares que gana.

La tasa unitaria es 11.5.

dh = 115 .

b. Usa la ecuación de la parte (a) para determinar cuánto gana Nora por trabajar 31 2 horas.

dh = = = 115 11535 4025 . .(.) .

Nora gana $40.25 por trabajar 31 2 horas.

Almendras para Eve

La clase usa el razonamiento proporcional a fin de generar ecuaciones y hallar valores desconocidos en una relación.

Reproduzca la parte 1 del video que muestra a una persona comprando almendras al por mayor en una tienda.

Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de la siguiente pregunta:

¿Creen que Eve tiene suficiente dinero para comprar las almendras? ¿Por qué?

Reproduzca la parte 2 del video que muestra a la persona determinando si tiene suficiente dinero para comprar las almendras.

¿Confirmó el video su razonamiento? ¿Hay algo de su razonamiento que haya cambiado?

Mi razonamiento fue confirmado. La persona tiene $18.00 en su bolsillo y compró 1.75 libras de almendras. Como las almendras cuestan $9.99 por libra, 1.75 libras de almendras costarán aproximadamente $17.48, porque 1.75 ⋅ 9.99 = 17.4825.

Pida a la clase que trabaje en el problema 4 de forma independiente, pero anime a sus estudiantes a que comprueben sus soluciones en parejas para comparar su razonamiento. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan a fin de identificar distintas estrategias para hallar la solución que puedan resaltar en la conversación que sigue.

Nota para la enseñanza

Según la estructura tributaria local, sus estudiantes pueden preguntarse si hay dinero suficiente para comprar las almendras después de haber aplicado los impuestos.

Guíe una conversación de toda la clase para determinar su comprensión del impuesto sobre las ventas y haga estimaciones en función del impuesto sobre las ventas local a fin de determinar si hay dinero suficiente para comprar las almendras.

Se hace énfasis en los porcentajes en el módulo 5, así que no se esperan cálculos precisos en este momento.

4. El costo de las almendras es proporcional a su peso. Eve paga $2.50 por 1 2 libra de almendras.

a. Determina el costo de los diferentes pesos de almendras incluidos en la tabla.

Peso de las almendras (libras)

Costo de las almendras (dólares)

1 5

8.75

b. Escribe una ecuación que represente el costo de los diferentes pesos de almendras. Sea a el peso de las almendras en libras. Sea c el costo de las almendras en dólares.

ca = 5

c. Usa la ecuación de la parte (b) para determinar el costo de 21 4 libras de almendras.

ca =

El precio de 21 4 libras de almendras es $11.25.

Invite a quienes hayan encontrado estrategias para hallar la solución a compartirlas con el resto de la clase. Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Cómo podemos determinar los valores desconocidos de la tabla?

La tasa unitaria se halla dividiendo el costo de las almendras en dólares entre el peso de las almendras en libras. Una vez que se sabe la tasa unitaria, se puede multiplicar por cualquier peso de almendras para determinar su costo.

¿Cómo usamos la tasa unitaria para escribir una ecuación que represente el costo por libra de las almendras?

El peso de las almendras se multiplica por la tasa unitaria para hallar el costo de las almendras. Por lo tanto, la ecuación es c = 5a.

¿Cómo podemos usar la ecuación que escribimos para hallar el costo de 2 1 4 libras de almendras?

Ahora que tenemos la ecuación, podemos sustituir a por 21 4 y resolver c =⋅51 4 2 .

¿Cuánto paga Eve por 2 1 4 libras de almendras?

Eve paga $11.25 por 21 4 libras de almendras.

DUA: Acción y expresión

Luego de la conversación, anime a sus estudiantes a evaluar la manera en que aplicaron las estrategias mientras trabajan en el problema. Pídales que reflexionen sobre las partes (a), (b) y (c). Muestre un ejemplo típico (creado por la clase o por usted) del problema Almendras para Eve para que sus estudiantes compararen sus estrategias para hallar la solución. Pídales que se planteen las siguientes preguntas a fin de identificar dónde experimentaron el éxito y dónde desafíos:

• ¿Pude determinar el valor desconocido?

• ¿Pude hallar la tasa unitaria?

• ¿Pude escribir la ecuación y resolverla?

Esto apoya la función ejecutiva y anima a sus estudiantes a observar su progreso.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Analizar tablas para identificar relaciones proporcionales

Determinar la tasa unitaria asociada a una razón de fracciones mediante la evaluación de una fracción compleja

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación sobre las relaciones proporcionales:

¿Determinar la tasa unitaria de cantidades fraccionarias es similar a determinar la tasa unitaria de cantidades formadas por números enteros? ¿Por qué sí o por qué no?

Determinar la tasa unitaria de cantidades fraccionarias es exactamente igual a determinar la tasa unitaria de cantidades formadas por números enteros. La única diferencia es que los valores son fracciones.

¿Cómo podemos predecir valores en una relación proporcional?

En cualquier relación proporcional, si sé la tasa unitaria, puedo multiplicarla por la variable independiente para determinar el valor de la variable dependiente.

¿Por qué es difícil predecir valores cuando la relación no es proporcional?

Si no hay una tasa unitaria constante, no sé qué debo multiplicar por la variable independiente para hallar el valor de la variable dependiente.

Dé tiempo a sus estudiantes para agregar comentarios o corregir su Organizador gráfico de relaciones proporcionales.

¿Qué información nueva agregaron a su organizador gráfico sobre el término relación proporcional?

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

RESUMEN 3

Identificar relaciones proporcionales en tablas

En esta lección:

• identificamos relaciones como proporcionales o no proporcionales;

• calculamos tasas unitarias que incluyen fracciones y números decimales;

• reconocimos que las fracciones complejas pueden escribirse y evaluarse como expresiones de división;

• usamos tasas unitarias para escribir ecuaciones, las cuales usamos a fin de determinar valores que no estaban incluidos en las tablas.

Ejemplo

Ava pinta piedras pequeñas. Imagina que trabaja a una tasa constante y pinta 4 piedras cada 3 4 de hora de trabajo.

Para escribir una ecuación, empieza por determinar la tasa unitaria. En este caso, debes dividir 4 entre 3 4

a. Escribe una ecuación que represente el número de piedras que Ava pinta en una cantidad de tiempo dada. Sea p el número de piedras y h el número de horas de trabajo.

p rh = 51 3

b. ¿Cuántas piedras pinta Ava en 11 4 horas? p

Organiza las razones en una tabla como ayuda para confirmar el número de piedras que pinta Ava en 11 4 horas.

Número de horas

Número de piedras pintadas

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. Lily lleva la cuenta de cuánta nieve cae midiéndola cada 15 minutos durante un periodo de 45 minutos. La tabla muestra sus anotaciones.

Tiempo (horas)

Profundidad de la nieve (pies)

a. Según las anotaciones de Lily, ¿es la profundidad de la nieve proporcional al tiempo? Explica cómo lo sabes.

La profundidad de la nieve no es proporcional al tiempo porque no hay una tasa unitaria constante.

b. ¿Qué valor de la tabla se puede cambiar de manera que todas las razones tengan una tasa unitaria constante? ¿A qué se debería cambiar tal valor?

Puedo cambiar el segundo valor en la última fila de 5 6 a 1 2 . Así, la razón de los valores en la última fila tendría una tasa unitaria de 2 3 , es decir, igual a la tasa unitaria de la razón del resto de los valores.

También puedo cambiar el primer valor en la última fila de 3 4 a 11 4 . Así, la razón de los valores en la última fila tendría una tasa unitaria de 2 3 , es decir, igual a la tasa unitaria de la razón del resto de los valores.

2. La tabla muestra la cantidad de harina que necesita Dylan para hornear distintas cantidades de pastelitos.

Número de pastelitos (docenas) Harina (tazas)

a. ¿Es la cantidad de harina proporcional al número de pastelitos? Explica cómo lo sabes. De acuerdo a la tabla, la cantidad de harina es proporcional al número de pastelitos, ya que hay una tasa constante de 11 2 tazas de harina por cada docena de pastelitos.

b. ¿Qué cantidad de harina necesita Dylan para hornear 50 pastelitos, es decir, 41 6 docenas de pastelitos?

Dylan necesita 61 4 tazas de harina para hornear 50 pastelitos.

3. La tabla muestra la cantidad de dinero que Eve gana de acuerdo a las diferentes cantidades de horas que trabaja

Tiempo que trabaja Eve (horas) Dinero que gana Eve (dólares)

Recuerda

En los problemas 5 a 8, multiplica. 5.

a. Halla la tasa unitaria. Explica qué significado tiene en este problema. La tasa unitaria es 10.5, lo que quiere decir que Eve gana $10.50 por hora.

b. Usa la tasa unitaria para escribir una ecuación que represente la cantidad de dinero que Eve gana por hora. Sea h el número de horas que Eve trabaja y d la cantidad de dinero que gana en dólares.

dh = 105 .

4. Maya hace pulseras trenzadas. Imagina que trabaja a una tasa constante y hace 5 pulseras cada 2 3 de hora que trabaja.

a. Escribe una ecuación que represente el número de pulseras por hora que hace Maya. Sea p el número de pulseras y h el número de horas que trabaja.

p bh = 71 2

b. ¿Cuántas pulseras trenzadas hace Maya en 11 2 horas?

Maya hace 111 4 pulseras trenzadas en 11 2 horas.

9. Shawn lee 570 palabras en 3 minutos. Sara lee 630 palabras en 3.5 minutos. ¿Quién lee a una tasa mayor? Explica cómo lo sabes.

Shawn lee a una tasa de 190 palabras por minuto. Sara lee a una tasa de 180 palabras por minuto. Shawn lee a una tasa mayor porque lee 10 palabras más por minuto que Sara.

10. Jonás nada 50 metros en 30 segundos y continúa nadando a una tasa constante. ¿Cuántos segundos le toma nadar 200 metros? Usa un diagrama de recta numérica doble para mostrar tu trabajo.

A Jonás le toma 120 segundos nadar 200 metros.

Número de metros

Número de segundos

44 PRÁCTICA

50 150 200 0 60 100

0 30 90 120

©

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema A, Lección 4

Explorar gráficas de relaciones proporcionales

Identificar relaciones proporcionales representadas como gráficas

Interpretar y entender el punto (0, 0) en contexto

Vistazo a la lección

BOLETO DE SALIDA 4

Nombre Fecha

Pedro gana dinero adicional haciendo trabajos de jardinería en su vecindario. Para mostrar el número de horas que trabaja y el dinero que gana, decide crear una gráfica. 068 24

Tiempo (horas)

a. Según la gráfica, ¿parece la cantidad de dinero que gana Pedro ser proporcional al número de horas que trabaja? Explica cómo lo sabes.

Sí. La cantidad de dinero que Pedro gana parece ser proporcional al número de horas que trabaja. La gráfica parece ser lineal, y si una recta conectara los puntos, podría atravesar el origen.

b. Pedro agrega el punto (0, 0) a su gráfica. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

El punto (0, 0) representa que Pedro trabaja 0 horas y gana $0 dólares.

c. ¿Cuánto dinero gana si trabaja solamente 1 hora? Explica cómo lo sabes. Pedro gana $40 por 5 horas de trabajo.

40 5 8 =

Esto equivale a una tasa de $8 por hora. Pedro gana $8 por 1 hora de trabajo.

En esta lección, sus estudiantes conectan relaciones proporcionales representadas en tablas con sus representaciones gráficas. Clasifican tablas en dos categorías, proporcionales y no proporcionales, y emparejan cada tabla con su gráfica. Generalizan las características clave de las representaciones gráficas de las relaciones proporcionales: que los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen. En esta lección, se presenta el término constante de proporcionalidad.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos determinar si una gráfica representa una relación proporcional?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA5 Interpretan el significado de cualquier punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, incluidos los puntos (0, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria. (7.RP.A.2.d)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Emparejar gráficas

• Analizar (0, 0)

• Otro vistazo al problema del flujo de agua

• Tomar una postura

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• afiche de Siempre es verdadero

• afiche de A veces es verdadero

• afiche de Nunca es verdadero

• cinta adhesiva

Estudiantes

• tarjetas de Clasificar tablas (1 juego por grupo de estudiantes)

• tarjetas de Emparejar gráficas (1 juego por grupo de estudiantes)

Preparación de la lección

• Haga copias y recorte 1 juego de tarjetas de Clasificar tablas para cada grupo de estudiantes.

• Haga copias y recorte 1 juego de tarjetas de Emparejar gráficas para cada grupo de estudiantes.

• Cree afiches con los rótulos Siempre es verdadero, A veces es verdadero y Nunca es verdadero, y colóquelos en diferentes lugares del salón de clases.

Fluidez

Marcar puntos en una gráfica

La clase marca puntos en una gráfica como preparación para identificar relaciones proporcionales representadas en gráficas.

Instrucciones: Marca y rotula cada punto en el plano de coordenadas. A(0, 8)

B(5, 0)

C(4, 7)

D 221 ,2 ()

E 96 1 2, ()

F(3, 7.25)

F(3,7.25)

C(4,7)

D 2,2 () 1 2

G(7.75,4)

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Cuadrante I.

B(5,0)

246810013579

DUA: Acción y expresión

Brinde acceso a herramientas digitales para crear gráficas o papel cuadriculado adaptado a fin de ofrecer alternativas a los métodos de respuesta física que exigen destrezas de motricidad fina precisas.

G(7.75, 4)

Presentar

Sus estudiantes clasifican las tablas examinando sus características.

Divida a sus estudiantes en grupos de tres o cuatro. Distribuya un set de tarjetas de Clasificar tablas a cada grupo. Pida a sus estudiantes que trabajen en equipo para clasificar las tablas en dos categorías: proporcionales y no proporcionales. Una vez que los grupos hayan terminado de clasificar las tablas, anime a sus estudiantes a registrar todo lo que observen sobre las tablas en cada categoría.

1. Clasifica las tablas en dos categorías: proporcionales y no proporcionales.

Lo que observo:

• Todas las relaciones proporcionales tienen una tasa unitaria constante.

• Todas las relaciones proporcionales tienen una estructura multiplicativa.

• Las relaciones que no son proporcionales pueden llegar a incluir el par ordenado (0, 0).

Cuando la mayoría de los grupos haya terminado, vuelva a reunir a la clase e invite a sus estudiantes a compartir lo que observaron sobre las tablas en cada categoría.

Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase: ¿Cómo hizo su grupo para determinar cuáles tablas representan relaciones proporcionales y cuáles no?

Cuando divido todos los pares de valores en la tabla y obtengo el mismo número, sé que la relación es proporcional. En cambio, cuando los divido y obtengo números diferentes, la relación no es proporcional.

En las últimas dos lecciones, identificaron las características clave de una relación proporcional representada en una tabla. ¿Cómo piensan que se ven las gráficas de las relaciones proporcionales?

Dé tiempo a sus estudiantes para que respondan.

Ahora, examinaremos las gráficas de las relaciones proporcionales.

Las agrupaciones que se muestran en la tabla dan la solución a la actividad de la sección Presentar y al primer segmento de la sección Aprender.

Nota para la enseñanza

Las gráficas se usan para representar valores en contexto en 6.o grado. Según la comprensión de la clase, puede haber estudiantes que se beneficien de una conversación sobre cuándo son continuas las gráficas y cuándo se marcan puntos sueltos antes de seguir adelante.

Considere recordar a sus estudiantes que, cuando se marcan puntos sueltos, esto significa que solo esos valores tienen un significado en el contexto. Si la gráfica es una recta continua, todos los puntos de la recta tienen un significado en el contexto.

Diferenciación: Apoyo

Para tener éxito en esta lección, sus estudiantes necesitan saber cómo hallar la tasa unitaria constante de una relación proporcional.

Use el trabajo de la clase en los Boletos de salida de las lecciones 2 y 3 para evaluar la comprensión de sus estudiantes. Si alguien necesita apoyo adicional, considere analizar una tabla. Pídale que agregue una fila o una columna a la tabla. Calcule la tasa unitaria para cada par ordenado en la tabla y escríbala en la fila o columna agregada. Compare los valores para ver si son constantes.

Aprender

Emparejar gráficas

La clase examina gráficas de relaciones proporcionales y generaliza sobre sus características.

Distribuya un set de tarjetas de Emparejar gráficas a cada grupo.

Diga a sus estudiantes que emparejen cada tarjeta de gráfica con una de las tablas que clasificaron como proporcional o no proporcional. Cada gráfica se empareja con una única tabla.

Recorra el salón de clases mientras los grupos trabajan y anime a sus estudiantes a registrar todo lo que observen sobre las gráficas de relaciones proporcionales. Identifique estudiantes que reconozcan que las gráficas de relaciones proporcionales comienzan en el origen (0, 0) y están ubicadas en una recta.

2. Empareja cada gráfica con su respectiva tabla. Examina las gráficas de las relaciones proporcionales. ¿Qué características tienen en común?

Lo que observo:

• Las gráficas de las relaciones proporcionales son líneas o puntos que están ubicados en una misma recta.

• Las gráficas de las relaciones proporcionales atraviesan el origen.

Cuando la mayoría de los grupos haya terminado, vuelva a reunir a la clase y guíe una conversación de toda la clase haciendo las siguientes preguntas:

¿Qué estrategias usó su grupo para emparejar las gráficas con las tablas?

Representamos gráficamente los valores de la tabla y, luego, hallamos la tarjeta de gráfica correspondiente.

Identificamos algunos puntos en cada gráfica y, luego, buscamos qué tabla tenía los mismos pares de números.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando mira ejemplos de gráficas y observa características clave de las gráficas que representan relaciones proporcionales.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Qué patrones observaron cuando miraron las gráficas de relaciones proporcionales?

• ¿Qué tienen en común las gráficas de las relaciones proporcionales?

¿Qué características tienen en común las gráficas de las relaciones proporcionales?

Pida a varios grupos que compartan las características que identificaron. Anime a quienes hayan observado que las gráficas de relaciones proporcionales comienzan en el origen, (0, 0) y están ubicadas en una recta a compartir esto con toda la clase. Dé tiempo a sus estudiantes para que registren lo que sus pares observaron en el problema 2 según sea necesario. Si no hay estudiantes que hayan identificado las propiedades de las gráficas de relaciones proporcionales, use las siguientes preguntas como guía para que puedan alcanzar esta comprensión:

¿Cómo describirían las gráficas que representan relaciones proporcionales?

La gráfica puede ser una recta o unos puntos que parecen estar ubicados en una recta.

¿Siempre deben aparecer las gráficas de relaciones proporcionales como una recta o también pueden aparecer como puntos que parecen estar ubicados en una recta? ¿Pueden ambos tipos de gráficas representar relaciones proporcionales?

Ambos tipos de gráficas pueden representar relaciones proporcionales. Para representar una relación proporcional, los valores de x y de y marcados en la gráfica deben reflejar una tasa unitaria constante.

¿Representan todas las gráficas que son rectas una relación proporcional?

No. La gráfica de la relación entre el número de horas y el costo de alquilar una bicicleta formaba una recta. Sin embargo, la tabla mostraba que esa no era una relación proporcional porque los pares de valores no reflejaban una tasa unitaria constante.

¿Qué diferencia a la gráfica sobre el alquiler de bicicletas de las que identificamos como proporcionales?

Todas las gráficas de relaciones proporcionales incluyen el punto (0, 0), mientras que esta gráfica no lo incluye.

¿Creen que una gráfica puede incluir el punto (0, 0) aunque no represente una relación proporcional?

Sí. La gráfica que representa la relación entre la longitud del lado de un cuadrado y su área incluye el punto (0, 0), pero esta no es una relación proporcional porque la gráfica no es una recta.

Nota para la enseñanza

Si la clase no observa semejanzas en las gráficas, anime a sus estudiantes a que observen los valores específicos de x y de y de cada punto. Pídales que respondan las siguientes preguntas:

• ¿Hay algún punto que se pueda encontrar en todas las gráficas de relaciones proporcionales?

• ¿Cómo cambian los valores de x y de y de cada gráfica en relación con el otro?

Si sus estudiantes consolidan una comprensión de que las gráficas de relaciones proporcionales son rectas que incluyen el origen, amplíe su razonamiento pidiéndoles que consideren valores desconocidos para la situación. Use las siguientes preguntas para guiar el razonamiento de sus estudiantes:

• ¿Hay algún par ordenado que crean que se puede ajustar a esta relación?

• ¿Hay algún par ordenado que sepan que no se puede ajustar a esta relación?

DUA: Representación

Considere hacer una pausa después de haber identificado las características de las gráficas de relaciones proporcionales. Pida a sus estudiantes que piensen en rectas que incluyan y que no incluyan el punto (0, 0) y que las visualicen. Esto apoya la comprensión de las características clave de las gráficas de relaciones proporcionales.

¿Cuáles son las características de la gráfica de una relación proporcional?

La gráfica de una relación proporcional es una recta, o unos puntos que parecen estar ubicados en una misma recta, que incluye el punto (0, 0).

Analizar (0, 0)

La clase explica el significado del punto (0, 0) en contexto.

Dé tiempo a los grupos para completar el problema Analizar (0, 0).

3. Repasa cada relación que tu grupo haya identificado como proporcional. ¿Qué representa el punto (0, 0) en cada contexto?

que el costo de hacer 0 copias es 0 dólares que para hacer 0 tazas de arroz se necesitan 0 tazas de agua

que comprar 0 libras de habichuelas verdes cuesta 0 dólares

Cuando terminen, invite a sus estudiantes a compartir sus respuestas con la clase.

La recta de la gráfica de una relación proporcional siempre incluye el punto (0, 0). Si no fuera así, la relación no tendría una tasa unitaria constante.

Otro vistazo al problema del flujo de agua

Sus estudiantes comprueban que la gráfica de un contexto que saben que es proporcional se ajusta a la descripción de la gráfica de una relación proporcional.

Pida a sus estudiantes que trabajen en grupos por unos minutos para resolver los problemas 4 y 5. Recorra el salón de clases e identifique a alguien que represente correctamente los datos de la tabla con una gráfica para mostrarla durante la siguiente conversación.

En la lección 2, identificaste una relación proporcional entre el número de minutos que un grifo permanece abierto y el número de galones de agua que fluyen de él.

Diferenciación: Desafío

Si hay grupos que terminan antes, pídales que vuelvan a otros ejemplos de relaciones que sean proporcionales o no proporcionales de las lecciones 2 y 3. Pida a sus estudiantes que representen gráficamente las relaciones representadas en las tablas y que reflexionen sobre cuán completa es su descripción de una gráfica proporcional.

4. Representa gráficamente la relación proporcional usando los datos en la tabla.

5. ¿Se ajusta la gráfica a nuestra descripción de una relación proporcional? Explica por qué sí o por qué no.

Sí, esta gráfica se ajusta a nuestra descripción de una relación proporcional porque los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen (0, 0).

Vuelva a reunir a la clase y pida a alguien que muestre una gráfica a la clase. Luego, haga las siguientes preguntas:

¿Se ajusta esta gráfica a nuestra descripción de la gráfica de una relación proporcional?

Sí. Los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen, (0, 0).

¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

El punto (0, 0) representa que si no pasó nada de tiempo, no salió nada de agua del grifo.

En las lecciones 2 y 3, verificamos que la relación era proporcional comprobando si la tabla tenía una tasa unitaria constante. ¿Cuál es la tasa unitaria constante en esta situación?

¿Dónde podemos ver esta tasa unitaria constante en la representación gráfica?

Como la tasa constante es 1.5 galones por minuto, la tasa unitaria constante es 1.5. En la gráfica, esto se puede ver en el punto (1, 1.5).

La tasa unitaria constante, que vimos en la tabla y en la gráfica, se conoce como la constante de proporcionalidad. En esta situación, la constante de proporcionalidad es 1.5.

Considerando el contexto del agua que sale del grifo, ¿podemos trazar una recta a través de estos puntos?

Sí. Tiene sentido conectar estos puntos porque el agua continúa saliendo del grifo a esta tasa a medida que pasa el tiempo.

Trace una recta a través de los puntos en la gráfica que se muestra y pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus gráficas.

¿Se extenderá esta recta más allá del primer cuadrante?

No. No tiene sentido marcar valores negativos para el tiempo o el volumen en esta situación.

Nota para la enseñanza

La clase desarrolla una comprensión del término constante de proporcionalidad en las próximas lecciones. Esta es una descripción informal que puede servir de guía para su aprendizaje.

Tomar una postura

Sus estudiantes resumen el aprendizaje del día considerando lo que saben que es verdadero sobre las gráficas de relaciones proporcionales.

Presente la rutina Tomar una postura. Dirija la atención de sus estudiantes a los afiches colgados en el salón de clases: Siempre es verdadero, A veces es verdadero y Nunca es verdadero.

Presente el enunciado “las rectas trazadas representan relaciones proporcionales”. Luego, invite a sus estudiantes a ponerse de pie junto al afiche que mejor describa su razonamiento.

Cuando cada estudiante esté cerca de un afiche, dé 1 minuto para que los grupos conversen acerca de las razones por las que eligieron ese afiche.

Después de un minuto, pida a cada grupo que comparta con la clase las razones que motivaron su elección. Invite a quienes cambien de parecer durante la conversación a que se unan a otro grupo.

Asegúrese de que toda la clase comprenda que el enunciado a veces es verdadero. Si una recta pasa por el origen, representa una relación proporcional; de lo contrario, la recta no representa una relación proporcional.

Pida a sus estudiantes que vuelvan a sus asientos y respondan el problema 6.

6. ¿Es el enunciado “las rectas trazadas representan relaciones proporcionales” verdadero siempre, a veces o nunca?

A veces es verdadero, porque las rectas que no atraviesan el origen no representan relaciones proporcionales.

Nota para la enseñanza

Si bien la conversación debería concluir con el reconocimiento de que las rectas trazadas a veces representan relaciones proporcionales, asegúrese de admitir el razonamiento correcto de otras justificaciones.

Por ejemplo, puede haber estudiantes que justifiquen ponerse de pie junto a Siempre es verdadero porque las relaciones proporcionales siempre se representan como rectas. Esta justificación significa que han malinterpretado el enunciado, pero demuestran una comprensión correcta de las características de la gráfica de una relación proporcional.

De manera similar, es posible que haya estudiantes que justifiquen ponerse de pie junto a Nunca es verdadero porque las relaciones proporcionales incluyen solamente valores no negativos. Esto significa que la representación gráfica es una recta que comienza en el origen. Esta justificación también indica una comprensión completa del contenido.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Identificar relaciones proporcionales representadas como gráficas

Interpretar y entender el punto (0, 0) en contexto

Guíe una conversación sobre las gráficas de las relaciones proporcionales.

¿Cómo podemos saber si una gráfica representa una relación proporcional?

Una gráfica que representa una relación proporcional es una recta o unos puntos ubicados en una recta.

Una gráfica que representa una relación proporcional comienza en el origen.

Pida a sus estudiantes que agreguen comentarios o revisen lo que pusieron en su Organizador gráfico de relaciones proporcionales.

¿Qué información nueva agregaron a su organizador gráfico sobre el término relación proporcional? ¿Qué cosas cambiaron de lo que ya estaba allí?

Se espera que sus estudiantes agreguen información sobre el término constante de proporcionalidad y las características de las gráficas que representan relaciones proporcionales.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

A medida que se avanza en el módulo, la clase continúa desarrollando su comprensión del término constante de proporcionalidad. Mientras sus estudiantes agregan comentarios a sus Organizadores gráficos de relaciones proporcionales, pídales que rotulen la tasa unitaria constante en una relación proporcional como la constante de proporcionalidad. Diga a sus estudiantes que desarrollarán esta comprensión a lo largo del módulo.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

7

RESUMEN 4

Explorar gráficas de relaciones proporcionales

En esta lección:

• representamos gráficamente las relaciones proporcionales;

• identificamos las gráficas de las relaciones proporcionales como rectas que pasan por el origen, el punto (0, 0).

Ejemplos

Vocabulario

2. Considera la siguiente gráfica sobre una receta de limonada.

1. ¿Qué gráficas representan una relación proporcional? Explica cómo lo sabes.

x y

0245678139

La gráfica representa una relación proporcional.

La gráfica forma una recta que pasa por el origen, (0, 0)

x y

0245678139

La gráfica no representa una relación proporcional.

La gráfica forma una recta, pero esta no pasa por el origen, (0, 0)

7

x y

0245678139

La gráfica no representa una relación proporcional.

La gráfica pasa por el origen, (0, 0), pero no forma una recta.

La constante de proporcionalidad es la tasa unitaria constante en una relación proporcional entre dos cantidades. ©

2 4 6 8 Jugo de limón (vasos)

0681 240

Agua (vasos) x y

Este punto es (10, 5) y representa que por cada 10 vasos de agua hay 5 vasos de jugo de limón

a. ¿Parece la gráfica representar una relación proporcional entre el número de vasos de agua y el número de vasos de jugo de limón que se usan en la receta de limonada? Explica cómo lo sabes

La gráfica parece representar una relación proporcional. Los puntos parecen estar ubicados en una recta que pasa por el origen, (0, 0)

Jugo de limón (vasos)

Traza una línea para confirmar que los puntos parecen estar ubicados en una recta que pasa por el origen.

8 6 4 2 x y

0246810

Agua (vasos)

©

©

b. Crea una tabla de valores basándote en la gráfica.

Agua (vasos) Jugo de limón (vasos) 2

c. Usa los valores de la tabla para justificar que la relación entre el número de vasos de agua y el número de vasos de jugo de limón es una relación proporcional.

El punto (10, 5) está representado en la tabla porque la gráfica muestra que, por cada 10 vasos de agua, hay 5 vasos de jugo de limón.

La tabla muestra que hay una tasa unitaria constante o una constante de proporcionalidad asociada a la relación entre el número de vasos de agua y el número de vasos de jugo de limón. La constante de proporcionalidad es 0.5

Para confirmar que la relación es proporcional, compara las tasas unitarias de cada par ordenado para ver si comparten el mismo número.

1 2 2 4 3 6 5 10 05 == ==

Como la tasa unitaria es 0.5, la constante de proporcionalidad también es 0.5

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

4. Considera la tabla dada.

En los problemas 1 a 3, determina si cada gráfica representa una relación proporcional. Explica cómo lo sabes.

1. 02461357

7 6 4 5 2 3 1 x y

La gráfica no representa una relación proporcional. La recta no pasa por el origen.

3.

7 6 4 5 2 3 1 x y

02461357

La gráfica representa una relación proporcional. La recta pasa por el origen.

© Great Minds PBC

2.

02461357

La gráfica no representa una relación proporcional. La gráfica es una línea curva, no una recta.

a. Representa gráficamente la relación.

246810111213013579 6

b. ¿Es proporcional la relación entre y y x? Justifica tu razonamiento con la tabla y la gráfica. La relación entre y y x es proporcional. Los pares de valores de la tabla reflejan una tasa unitaria constante de 1 3 . Los puntos en la gráfica parecen estar ubicados en una recta que pasa por el origen.

c. Describe una situación proporcional que pueda representarse con la tabla y la gráfica dadas.

Sea x el número de tareas a completar y y el número de horas dedicadas a jugar videojuegos. Por cada 3 tareas que completes, puedes jugar videojuegos por 1 hora. ©

5. La gráfica muestra la cantidad de barras de chocolate que se vendieron y el dinero recibido. 04

Número de barras de chocolate vendidas

a. ¿Parece la gráfica representar una relación proporcional entre la cantidad de dinero recibido y el número de barras de chocolate vendidas? Explica cómo lo sabes.

La gráfica parece representar una relación proporcional porque los puntos parecen estar ubicados en una línea recta que pasa por el origen.

b. Crea una tabla de valores basándote en la gráfica.

Número de barras de chocolate vendidas, x Dinero recibido, y (dólares) 2

7 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 4

c. Usa los valores de la tabla para justificar que la relación entre la cantidad de dinero recibido y el número de barras de chocolate vendidas es una relación proporcional.

La tabla muestra que hay una tasa unitaria constante o una constante de proporcionalidad asociada a la relación entre la cantidad de dinero recibido y el número de barras de chocolate vendidas. La constante de proporcionalidad es 1.5

d. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

El punto (0, 0) significa que, si se venden 0 barras de chocolate, la cantidad de dinero que se recibe es 0 dólares.

6. Logan y Shawn registraron cuánto dinero ganaron trabajando en un restaurante local en un turno de 5 horas. Usa las tablas que se muestran para las partes (a) y (b).

Dinero que ganó Logan

58 PRÁCTICA

Shawn

7

a. Representa con una gráfica ambos conjuntos de datos en un mismo plano de coordenadas. Elige una escala adecuada y rotula tus ejes.

GananciasdeLogan GananciasdeShawn

Dinero ganado (dólares) Horas trabajadas

b. Describe las semejanzas y diferencias entre las ganancias de Logan y Shawn. Usa las gráficas para respaldar tu razonamiento.

Las dos gráficas muestran un aumento en el dinero que se gana al trabajar más horas. Muestran que las ganancias de Shawn crecieron a una tasa constante, mientras que las de Logan no.

© Great Minds PBC

Recuerda

En los problemas 7 a 10, multiplica.

11. La tabla muestra el costo en dólares de diferentes cantidades de pelotas de beisbol. ¿Representan los valores correspondientes de la tabla una relación proporcional entre el costo y el número de pelotas de beisbol? Explica cómo lo sabes.

Los valores correspondientes en la tabla no representan una relación proporcional entre el costo y el número de pelotas de beisbol. Dividir cada costo entre el número correspondiente de pelotas de beisbol no da como resultado una tasa unitaria constante.

12. Liam usa 3 tazas de leche para hornear 4 tandas de muffins. ¿Cuántas tazas de leche necesita para hornear solo 1 tanda de muffins?

Liam necesita 3 4 de taza de leche para hornear 1 tanda de muffins.

60 PRÁCTICA

©

de alquilar una

para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema A, Lección 4

5

Analizar gráficas de relaciones proporcionales

Analizar gráficas o conjuntos de razones para determinar si representan relaciones proporcionales

Identificar el punto que representa mejor la constante de proporcionalidad k en una gráfica y explicar el significado de ese punto en contexto

Vistazo a la lección

¿Qué gráficas de las que se muestran parecen representar una relación proporcional? Elige todas las opciones que correspondan.

Explica por qué las gráficas que elegiste representan relaciones proporcionales.

Cada una de las gráficas que elegí tiene una línea recta que pasa por el origen. Nombre Fecha

En esta lección colaborativa, sus estudiantes trabajan en grupos a fin de representar relaciones como tablas, gráficas y conjuntos de razones. Cada grupo determina si una relación es proporcional buscando características clave en las diferentes representaciones. Crean afiches y, luego, realizan un paseo por la galería, lo cual brinda oportunidades de reconocer características en común de las relaciones proporcionales representadas de distintas maneras. Por medio de una conversación de toda la clase, sus estudiantes se dan cuenta de que el punto (1, k) en la gráfica de una relación proporcional indica claramente la constante de proporcionalidad k. Esta lección formaliza la definición del término relación proporcional.

Preguntas clave

• ¿Cómo podemos distinguir una relación proporcional de una relación que no es proporcional mirando sus gráficas?

• ¿Cómo pueden determinar la constante de proporcionalidad a partir de la gráfica de una relación proporcional?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA5 Interpretan el significado de cualquier punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, incluidos los puntos (0, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria. (7.RP.A.2.d)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Tarea cuadrangular

• Paseo por la galería

• Conversación

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• Tarjeta de tarea cuadrangular (1 por grupo de estudiantes)

• papel de afiche (1 por grupo de estudiantes)

• papel cuadriculado (1 por grupo de estudiantes)

• marcadores (al menos 1 por grupo de estudiantes)

• cinta adhesiva

Preparación de la lección

• Haga copias, recorte y distribuya 1 Tarjeta de tarea cuadrangular para cada grupo de estudiantes.

Fluidez

Dividir números decimales

La clase divide decimales como preparación para hallar la constante de proporcionalidad.

Instrucciones: Divide.

Presentar

5 DUA: Representación

La clase repasa las características de las gráficas que representan relaciones proporcionales.

Muestre la gráfica del número de ingredientes versus el costo total. 012345

Pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas acerca de si la gráfica que se muestra representa una relación proporcional o una relación no proporcional y por qué. Considere pedir a sus estudiantes que muestren los pulgares hacia arriba para indicar una relación proporcional o los pulgares hacia abajo para indicar una relación no proporcional. Después de revisar las respuestas de sus estudiantes, revele que la gráfica muestra una relación no proporcional.

Repita la rutina de reunirse y conversar en parejas y las señales con la mano para la gráfica del tiempo de viaje versus la distancia desde casa y la gráfica de cucharas versus tazas.

Proporcione una descripción verbal de cada gráfica o pida a sus estudiantes que describan a sus pares la información clave sobre las gráficas mientras se reúnen y conversan en parejas. Este método presenta la información de varias maneras y brinda distintas opciones para la comprensión.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

En esta lección, sus estudiantes trabajan con distintas unidades de medida. Los símbolos de las unidades de medidas del sistema inglés se enseñaron en 5.o grado. Recuérdeles que el símbolo “in” significa “pulgadas” y que, por ser un símbolo, es invariable. Para brindar más apoyo, considere colgar un afiche para que puedan consultarlo durante la clase:

1 in ⇒ 1 pulgada

2 in ⇒ 2 pulgadas

Si sus estudiantes sienten curiosidad, explique que “in” proviene del inglés “inch”, que significa “pulgada”

Después de revisar las respuestas de sus estudiantes, revele que ambas gráficas representan relaciones proporcionales.

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación breve:

La gráfica de la relación entre el volumen en cucharadas y el volumen en tazas no incluye el punto (0, 0). ¿Cómo sabemos que es una relación proporcional?

Los puntos parecen ubicarse en una recta que, si se extendiera, atravesaría el origen, (0, 0).

Tiene sentido que cada 0 cucharadas, haya 0 tazas.

¿Qué ideas es importante que recuerden al identificar si una gráfica representa una relación proporcional?

La gráfica de una relación proporcional siempre será una recta, o unos puntos ubicados en una recta, que se extiende a través del origen.

Se puede crear una tabla de valores a partir de la gráfica y ver si cada uno de los pares de valores presenta la misma tasa unitaria o está en razones equivalentes.

Explique que la clase pondrá en práctica su comprensión de las relaciones proporcionales a medida que trabajan para completar la Tarea cuadrangular.

En la tarea de la lección de hoy, harán conexiones entre la gráfica de una relación proporcional, como las que acabamos de comentar, y otras representaciones de esa relación.

Aprender Tarea cuadrangular

La clase crea varias representaciones de una relación y determina si es proporcional o no.

Presente la Tarea cuadrangular. Lea en voz alta las instrucciones y dé tiempo a sus estudiantes para hacer todas las preguntas que tengan acerca de la actividad.

Divida a sus estudiantes en grupos de tres o cuatro. Distribuya una de las Tarjetas de tarea cuadrangular a cada grupo. Dé a los grupos alrededor de 10 minutos para conversar sobre la relación que se muestra en la tarjeta. Pida a sus estudiantes que completen la Página de tarea cuadrangular durante esta conversación en grupo.

Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y preste atención a ejemplos de razonamiento proporcional y de comprensión de las relaciones entre las cantidades. Anime a los grupos a usar el lenguaje de las razones de manera precisa en sus descripciones y a definir las variables que usan en sus ecuaciones.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan práctica adicional para determinar si una gráfica o tabla representa una relación proporcional, considere limitar esta actividad a las tarjetas de la tarea para los grupos 1 a 5 y duplicar los grupos según sea necesario.

Considere usar primero una de las tarjetas como ejemplo y mostrar a sus estudiantes cómo crear una tabla de valores y determinar su proporcionalidad. Luego, la clase puede completar los otros ejercicios en grupos.

Diferenciación: Desafío

Puede aumentar la dificultad de esta tarea pidiendo a sus estudiantes que consideren por qué las gráficas están representadas como puntos sueltos (discreto) o como una recta o curva (continuo).

En los grupos 1 a 5, pida a sus estudiantes que expliquen por qué la gráfica está representada como puntos sueltos o por qué está representada como una recta.

En los grupos 6 a 10, pida a sus estudiantes que creen sus gráficas usando puntos sueltos o una recta o curva conectadas, a partir de la descripción dada.

Después de aproximadamente 10 minutos, o una vez que la mayoría haya terminado con la Página de tarea cuadrangular, distribuya a cada grupo papel de afiche, marcadores, cinta adhesiva y un trozo de papel cuadriculado. Dé a sus estudiantes 5 minutos para crear un afiche grupal que represente los cuatro cuadrantes de su Página de tarea cuadrangular. Cuando la mayoría de los grupos haya terminado su afiche, pídales que lo exhiban en el salón de clases.

Si tu grupo tiene una tarjeta de tarea con una gráfica, completa los siguientes pasos:

• representa con una gráfica la relación en el recuadro Gráfica;

• escribe una descripción de la situación del mundo real que está representada en la gráfica;

• crea una tabla de valores basándote en la gráfica;

• determina si la gráfica representa una relación proporcional y explica cómo lo sabes;

• si la relación es proporcional, define las dos variables en la relación y escribe una ecuación a fin de describirla.

Si tu grupo tiene una tarjeta de tarea con un conjunto de razones, completa los siguientes pasos:

• enumera las razones y agrega una descripción en el recuadro Descripción;

• representa con una gráfica los puntos que representen el conjunto de razones en el recuadro Gráfica;

• crea una tabla de valores basándote en la gráfica;

• determina si la gráfica representa una relación proporcional y explica cómo lo sabes;

• si la relación es proporcional, define las dos variables en la relación y escribe una ecuación a fin de describirla.

DUA: Representación

La Tarea cuadrangular da a sus estudiantes varias representaciones de relaciones proporcionales (gráficas, tablas, descripciones y ecuaciones), y los afiches para estudiantes ilustran ejemplos correctos y ejemplos erróneos de proporcionalidad que refuerzan las características clave de las relaciones proporcionales.

Nota para la enseñanza

Ayude a sus estudiantes a crear gráficas usando escalas adecuadas para los ejes verticales y horizontales. Haga énfasis en que sus gráficas deben mostrar todos los puntos que se encuentran en sus tarjetas y en que no es necesario que las escalas de cada eje sean iguales. Considere usar las siguientes preguntas para guiar el razonamiento de sus estudiantes:

• ¿Cuál es el valor de x más grande que marcarán? ¿Cuál es el más pequeño?

• ¿Cuál es el valor de y más grande que marcarán? ¿Cuál es el más pequeño?

• ¿Con qué unidad pueden hacer un conteo salteado en cada eje para mostrar tanto los valores más grandes como los más pequeños?

Paseo por la galería

La clase observa características de gráficas, tablas, descripciones y ecuaciones que representan relaciones proporcionales.

Presente el problema Paseo por la galería.

Indique a cada grupo que rote hacia el afiche del grupo más cercano. Dé a la clase no más de 1 minuto para revisar el afiche y registrar sus observaciones de los planteamientos del problema Paseo por la galería. Continúe con la rotación hasta que todos los grupos hayan revisado todos los afiches.

Enumera las relaciones proporcionales del paseo por la galería. Identifica y explica el significado de la constante de proporcionalidad en cada contexto.

• Costo total de visitar un museo:

La constante de proporcionalidad es 7.5, lo que quiere decir que el costo del boleto de cada estudiante es $7.50.

• Valor del dólar estadounidense versus el euro:

La constante de proporcionalidad es 0.9, lo que representa el número de euros que puedes conseguir por 1 dólar estadounidense.

Enumera y describe las relaciones del paseo por la galería que no son proporcionales.

• Un aumento en el número de células de la bacteria E. coli

• La relación entre el área y el perímetro de un cuadrado

• El costo adicional de los megabytes de datos usados después de los primeros 500 megabytes

Conversación

La clase comenta las características de las gráficas de relaciones proporcionales y descubre que la constante de proporcionalidad siempre se puede determinar a partir del punto (1, k) en la gráfica de una relación proporcional.

Pida a un par de estudiantes que compartan sus listas de relaciones proporcionales y no proporcionales de los afiches.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Durante el paseo por la galería, considere pedir a quienes estén aprendiendo el idioma que usen la sección Puedo decirlo otra vez de la Herramienta para la conversación a fin de hallar otras formas de expresar las descripciones del significado de la constante de proporcionalidad en el contexto de cada afiche.

Promoción

de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando entiende gráficas, ecuaciones, razones y tasas que representan contextos del mundo real, como un cambio de moneda o un precio constante por unidad.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué significado tiene el punto en la gráfica en esta situación?

• ¿Qué significado tiene esta razón (o tasa unitaria) en esta situación?

• ¿Qué les dice este contexto sobre la relación entre estas dos cantidades?

Cuando sus estudiantes hayan compartido sus respuestas, dirija la atención de la clase a los dos afiches que representan relaciones proporcionales. Pida a la clase que use la rutina PensarTrabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas. Después de cada pregunta, seleccione a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan sus ideas con la clase. Mientras sus estudiantes responden, señale dónde se encuentra expresada la constante de proporcionalidad en cada una de las gráficas que se muestran subrayando o encerrando en un círculo el punto (1, k).

¿Qué observan sobre dónde se determina la constante de proporcionalidad en ambas gráficas?

La constante de proporcionalidad es el valor de y en el punto donde x es 1. En la gráfica de la visita al museo, la constante de proporcionalidad se determina a partir del punto (1, 7.5). En la gráfica de dólares y euros, la constante de proporcionalidad se determina a partir del punto (1, 0.9).

Para representar la constante de proporcionalidad, usamos la variable k. ¿Siempre se puede determinar la constante de proporcionalidad a partir del punto (1, k) en la gráfica de una relación proporcional? ¿Cómo lo saben?

Sí. La constante de proporcionalidad es la tasa unitaria de la relación, o la cantidad de y por cada x. Por eso, esta siempre será el valor de y en el punto en el que x es 1.

¿Qué representación les resultó más útil al momento de escribir la ecuación y por qué?

La gráfica fue más útil. Hallé el punto (1, k) y lo usé para escribir la ecuación y = kx.

La tabla fue más útil. Hallé la tasa unitaria k dividendo cada valor de y entre el valor de x correspondiente. Luego, escribí la ecuación en la forma y = kx.

¿Qué características tienen en común las relaciones proporcionales? ¿Qué características tienen en común las relaciones no proporcionales?

En todas las relaciones proporcionales, los conjuntos de razones de la relación son equivalentes, y también son equivalentes a las razones de los pares de valores en la tabla. La constante de proporcionalidad se determina a partir del punto (1, k) en todas las gráficas de relaciones proporcionales. En toda ecuación de una relación proporcional, la constante de proporcionalidad se multiplica por el valor de x.

En las relaciones que no son proporcionales, puede haber un patrón, como la duplicación o puntos que están ubicados en una recta. Sin embargo, en las gráficas de estas relaciones, los valores en el patrón no crean una recta que pasa por el origen.

A lo largo de este tema, los conocimientos de la clase sobre las relaciones proporcionales se han desarrollado mucho. Ahora que sus estudiantes comprenden mejor las relaciones proporcionales, formalizaremos su definición.

En la lección 2, nuestra descripción de las relaciones proporcionales fue: “Las medidas de dos cantidades están en una relación proporcional si hay una tasa unitaria constante entre los pares de valores correspondientes”. ¿Cómo llamamos la tasa unitaria constante ahora? La tasa unitaria constante es la constante de proporcionalidad.

¿Cómo podemos usar la constante de proporcionalidad para escribir una ecuación? Para escribir la ecuación de una relación proporcional, necesitamos saber la constante de proporcionalidad. La forma de la ecuación de una relación proporcional es y = kx, donde k representa la constante de proporcionalidad.

Ahora, podemos definir formalmente las relaciones proporcionales como “Las medidas de dos cantidades están en una relación proporcional si hay una tasa unitaria constante, conocida como la constante de proporcionalidad k, entre pares de valores correspondientes, lo que significa que la relación se describe mediante una ecuación de la forma y = kx”.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Analizar gráficas o conjuntos de razones para determinar si representan relaciones proporcionales

Identificar el punto que representa mejor la constante de proporcionalidad k en una gráfica y explicar el significado de ese punto en contexto

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la Tarea cuadrangular. Haga énfasis en las respuestas que muestren las conexiones que sus estudiantes hicieron entre las diferentes representaciones de una relación proporcional.

En la Tarea cuadrangular, ¿cómo trabajaron con gráficas, tablas, razones y ecuaciones como ayuda para identificar si una relación era proporcional?

La gráfica me ayudó a identificar una relación proporcional porque pude ver con facilidad si los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen. La tabla me ayudó a confirmar si una relación era proporcional porque pude poner a prueba si cada par de valores tenía una tasa unitaria constante. Cuando la tasa unitaria de una relación es constante, puedo usarla para escribir la ecuación de la relación en la forma y = kx.

¿Cómo podemos distinguir una relación proporcional de una relación que no es proporcional mirando sus gráficas?

La gráfica de una relación proporcional siempre mostrará una recta que se extiende y pasa por el origen o unos puntos ubicados en una recta que se extiende y pasa por el origen. La gráfica de una relación que no es proporcional puede mostrar una curva o puntos ubicados en una recta que no pasa por el origen.

¿Cómo pueden determinar la constante de proporcionalidad a partir de la gráfica de una relación proporcional?

La constante de proporcionalidad es el valor de y del punto (1, k).

Si es necesario, pida a sus estudiantes que agreguen comentarios o hagan correcciones en sus organizadores gráficos.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Analizar gráficas de relaciones proporcionales

En esta lección:

• representamos relaciones con tablas, gráficas y conjuntos de razones;

• determinamos si una relación es proporcional examinando las diferentes formas de representarla;

• calculamos la constante de proporcionalidad y la usamos para escribir ecuaciones a fin de representar una relación proporcional;

• identificamos que la constante de proporcionalidad k se puede determinar a partir del punto (1, k) en la gráfica de una relación proporcional.

Ejemplo

La tabla muestra el ancho y la altura de distintos afiches.

RESUMEN 5

Las medidas de dos cantidades están en una relación proporcional si hay una tasa unitaria constante, conocida como la constante de proporcionalidad k, entre pares de valores correspondientes, lo que significa que la relación se describe mediante una ecuación de la forma y = kx

a. Representa con una gráfica los pares de valores en la tabla.

Tamaño de los afiches

Altura (pulgadas)

Un punto diferente representa los pares de valores de cada fila en la tabla.

(10, 15)

(15, 22.5)

(20, 30)

(30, 45)

a

510152025 30 0

Ancho (pulgadas)

b. Explica cómo puedes determinar que la altura de cada afiche es proporcional a su ancho.

Puedo determinar que la relación entre la altura y el ancho es proporcional porque los puntos parecen estar en una recta que pasa por el origen. En la tabla, puedo ver que hay una constante de proporcionalidad, 1.5

Para determinar que los valores en la tabla tienen una constante de proporcionalidad de 1.5 cada valor de la altura debe dividirse entre el valor correspondiente del ancho. Cada cociente es 1.5

c. Explica cómo puedes hallar la constante de proporcionalidad tanto en la gráfica como en la tabla. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación? En la tabla, puedo hallar la constante de proporcionalidad calculando la tasa unitaria, 1.5 Puedo hallar la constante de proporcionalidad en la gráfica identificando el valor de y en el punto (1, 1.5).

La constante de proporcionalidad muestra que, cuando el ancho es 1 pulgada, la altura es 1.5 pulgadas.

d. Escribe una ecuación que describa la relación entre la altura de cada afiche y su ancho. hw = 15 . a

Usa la ecuación y = kx para representar una relación proporcional con una constante de proporcionalidad k En esta situación, k es 1.5, y se usan las variables a y h en lugar de x y y

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

Teacher Edition: Grade 7, Module 1, Topic A, Lesson 5

Grupo 1

Descripción

La gráfica muestra el costo total de visitar un museo a partir del número de estudiantes que lo visitan. Cuesta $7.50 por cada estudiante que visita el museo.

Gráfica

Grupo 2

Descripción

Al principio, hay 1 célula de la bacteria E. coli

Cada 20 minutos, el número de células se duplica. Después de 20 minutos, hay 2 células; después de 40 minutos, hay 4 células; después de 60 minutos, hay 8 células, etc. Gráfica

¿Proporcional o no proporcional?

El número de estudiantes es proporcional al costo total de visitar el museo. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen. En la tabla, podemos ver que todas las razones tienen la misma tasa unitaria, 7.5

Ecuación

y = 7.5x, donde x es el número de estudiantes que visitan el museo y y es el costo total en dólares.

Tiempo (minutos)

¿Proporcional o no proporcional?

El tiempo no es proporcional al número de células en la muestra de E. coli. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una curva. No hay una tasa unitaria constante en la tabla.

Ecuación

No podemos escribir una ecuación para esta relación.

Grupo 3

Descripción

La gráfica muestra la relación entre el valor de los dólares estadounidenses y el valor de los euros. Cada 1 dólar estadounidense vale 0.9 euros, así que 50 dólares estadounidenses valen 45 euros, 100 dólares estadounidenses valen 90 euros, etc.

Grupo 4

Descripción

La gráfica muestra la relación entre el área de un cuadrado y su perímetro. Un cuadrado con un área de 1 in2 tiene un perímetro de 4 in, un cuadrado con un área de 4 in2 tiene un perímetro de 8 in, etc.

Tabla de valores

Número de dólares estadounidenses Número de euros

0

9

90

¿Proporcional o no proporcional?

El número de dólares estadounidenses es proporcional al número de euros. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen. En la tabla, podemos ver que todas las razones del número de euros al número de dólares estadounidenses tienen la misma tasa unitaria, 0.9. Por cada 0.9 euros, hay 1 dólar estadounidense.

Ecuación

y = 0.9x, donde x es el número de dólares estadounidenses y y es el número de euros.

Tabla de valores

Área del cuadrado (pulgadas cuadradas)

Perímetro del cuadrado (pulgadas)

25 20

Área del cuadrado (pulgadas cuadradas)

¿Proporcional o no proporcional?

El área de un cuadrado no es proporcional a su perímetro. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una curva, no en una recta. En la tabla, no hay una tasa unitaria constante.

Ecuación

No podemos escribir una ecuación para esta relación.

Descripción

La gráfica muestra la relación entre el número de megabytes de datos usados y el costo adicional, como en el caso de un plan para teléfonos inteligentes.

El servicio comienza ofreciendo 500 megabytes con un costo adicional de $0 y, luego, el costo aumenta $5 por cada 250 megabytes de datos adicionales que se usen.

Grupo 5

Gráfica

Grupo 6

Descripción

La clase se va de excursión a un museo local. Las siguientes razones relacionan el número de estudiantes que visitan el museo con el costo total en dólares de los boletos. de 6 a 45

: 75

Datos usados (megabytes)

¿Proporcional o no proporcional?

El costo adicional no es proporcional a la cantidad de datos usados. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una recta que no pasa por el origen. En la tabla, no hay un precio constante por megabyte

Ecuación

No podemos escribir una ecuación para esta relación.

Número de estudiantes

¿Proporcional o no proporcional?

El número de estudiantes es proporcional al costo total de la visita al museo. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen. En la tabla, podemos ver que todas las razones comparten la misma tasa unitaria, 7.5.

Ecuación:

y = 7.5x, donde x es el número de estudiantes que visitan el museo y y es el costo total en dólares.

Descripción

Un científico estudia el crecimiento de una muestra de células de la bacteria E. coli Registra las siguientes razones del tiempo que transcurre en minutos al número de células en la muestra.

Grupo 7

¿Proporcional o no proporcional?

El tiempo no es proporcional al número de células en la muestra de E. coli La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una curva. En la tabla, no hay una tasa unitaria constante.

Ecuación

No podemos escribir una ecuación para esta relación.

Grupo 8

Descripción

Cuando un grupo de turistas llega a un país en Europa, a menudo pasan por un banco para cambiar dólares estadounidenses por euros, la moneda de los países europeos. Las siguientes razones muestran el número de dólares estadounidenses entregados en relación con el número de euros recibidos en varios cambios.

20 : 18

100 90 de 75 a 67.50

50 : 45 de 15 a 13.50 de 60 a 54

Tabla de valores

Número de dólares estadounidenses Número de euros

20 18

100 90

75 67.50

50 45

15 13.50

60 54

Gráfica

100 x y Número de euros

80

40 60

20

082040600100

Número de dólares estadounidenses

¿Proporcional o no proporcional?

El número de dólares estadounidenses es proporcional al número de euros. La gráfica muestra que los puntos están ubicados en una recta que pasa por el origen. En la tabla, podemos ver que todas las razones tienen una misma tasa unitaria, 0.9. Hay un 1 dólar estadounidense por cada 0.9 euros.

Ecuación

y = 0.9x, donde x es el número de dólares estadounidenses y y es el número de euros.

Grupo 9

Descripción

Las siguientes razones muestran el área de diferentes cuadrados en relación con su perímetro.

1 : 4

4 : 8 de 9 a 12

16 : 16 de 25 a 20

0 : 0

Tabla de valores

Área del cuadrado (pulgadas cuadradas)

Perímetro del cuadrado (pulgadas)

0 0

Perímetro del cuadrado (pulgadas)

Gráfica

16

25 20

Área del cuadrado (pulgadas cuadradas)

¿Proporcional o no proporcional?

El área de un cuadrado no es proporcional a su perímetro. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una curva, no una recta. En la tabla, no hay una tasa unitaria constante.

Ecuación

No podemos escribir una ecuación para esta relación.

Descripción

Las siguientes razones muestran cómo el número de megabytes de datos que se usan en un teléfono inteligente cada mes se relaciona con el costo adicional del plan de datos del teléfono inteligente para ese mes. de 500 a 0 1,000 : 10

Grupo 10

¿Proporcional o no proporcional?

El costo adicional no es proporcional a la cantidad de datos usados. La gráfica de la relación muestra que los puntos están ubicados en una recta que no pasa por el origen. En la tabla, no hay un precio constante por megabyte Ecuación

No podemos escribir una ecuación para esta relación.

©

En los problemas 1 a 6, determina si cada gráfica representa una relación proporcional. Explica tu razonamiento. Si la gráfica representa una relación proporcional, expresa la constante de proporcionalidad y lo que representa en la situación.

de libros en la pila

La gráfica representa una relación proporcional. Los puntos parecen estar en una recta que pasa por el origen. La constante de proporcionalidad es 1.25, lo que representa la altura en pulgadas de cada libro.

La gráfica no representa una relación proporcional. La recta no pasa por el origen.

La gráfica representa una relación proporcional. Los puntos parecen estar en una recta que pasa por el origen. La constante de proporcionalidad es 1.6, lo que representa el número de kilómetros por milla.

La gráfica no representa una relación proporcional. Los puntos parecen estar en una recta, pero esta no pasa por el origen.

EUREKA MATH2 7 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 5

5.

Número de equipos restantes

Número de rondas del torneo

La gráfica no representa una relación proporcional. Los puntos parecen estar en una curva.

La gráfica representa una relación proporcional. La recta pasa por el origen. La constante de proporcionalidad es 2.25, lo que representa el costo en dólares de cada libra de fresas.

7 ▸ M1 ▸ TA ▸ Lección 5

EUREKA MATH2

7. La tabla muestra el ancho y la altura de diferentes logotipos diseñados para una escuela local.

Ancho, a (pulgadas) Altura, h (pulgadas) 11 2 2

a. Representa con una gráfica los pares de valores en la tabla.

Ancho y altura del logotipo

73 PRÁCTICA

© Great Minds PBC

74 PRÁCTICA

Altura (pulgadas)

Ancho (pulgadas)

© Great Minds PBC

7

b. Explica cómo puedes determinar que el ancho del logotipo en pulgadas es proporcional a su altura en pulgadas.

Puedo determinar que la relación entre el ancho y la altura es una relación proporcional porque los puntos parecen estar en una recta que pasa por el origen. En la tabla, puedo ver que hay una constante de proporcionalidad de 4 3 o 11 3

c. Explica cómo puedes hallar la constante de proporcionalidad tanto en la gráfica como en la tabla. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación?

En esta tabla, puedo hallar la constante de proporcionalidad calculando la tasa unitaria, 11 3 , la cual se multiplica por cada ancho para hallar la altura correspondiente. En la gráfica, la constante de proporcionalidad se puede hallar determinando el valor de y en el punto de la recta donde el valor de x es 1 111 ,3 (). El valor de y representa la altura de 11 3 pulgadas cuando el ancho es igual a 1 pulgada.

d. Escribe la ecuación para describir la relación entre el ancho a del logotipo en pulgadas y su altura h en pulgadas.

hw = 4 3 a Recuerda

En los problemas 8 a 11, convierte las fracciones a números mixtos y los números mixtos a fracciones.

12. Un grifo gotea agua en una cubeta vacía. La tabla muestra la relación proporcional entre la cantidad de tiempo transcurrido y la profundidad del agua.

a. Completa la tabla.

Tiempo (horas)

Profundidad del agua (centímetros)

0 0 3 1 2

12 2

18 3

b. Explica por qué la relación que se muestra en la tabla es proporcional.

La relación en la tabla es proporcional porque cada par de valores correspondientes representa una tasa constante de 1 6 de centímetro por hora.

c. Sea p la profundidad del agua en centímetros. Sea t el tiempo que pasa medido en horas. Escribe una ecuación para mostrar cómo la profundidad del agua p se relaciona con el tiempo t

p dt = 1 6

76 PRÁCTICA

©

13. En un supermercado local, hay 15 manzanas en cada bolsa grande de manzanas.

a. Escribe una expresión para representar el número de manzanas en una cantidad b de bolsas.

15b

b. ¿Cuántas manzanas hay en 9 bolsas? Hay 135 manzanas en 9 bolsas.

Grupo 6

La clase se va de excursión a un museo local. Las siguientes razones relacionan el número de estudiantes que visitan el museo con el costo total en dólares de los boletos. de 6 a 45 10 : 75 de 12 a 90 16 : 120 de 2 a 15 14 : 105

Grupo 8

Cuando un grupo de turistas llega a un país en Europa, a menudo pasan por un banco para cambiar dólares estadounidenses por euros, la moneda de los países europeos. Las siguientes razones muestran el número de dólares estadounidenses entregados en relación con el número de euros recibidos en varios cambios. 20 : 18 100 : 90 de 75 a 67.50 50 : 45 de 15 a 13.50 de 60 a 54

Grupo 5

Grupo 7

Un científico estudia el crecimiento de una muestra de células de la bacteria E. coli .

Registra las siguientes razones del tiempo que transcurre en minutos al número de células en la muestra. 0 : 1 de 20 a 2 40 : 4 de 60 a 8 80 : 16 de 100 a 32

Grupo 10

Las siguientes razones muestran cómo el número de megabytes de datos que se usan en un teléfono inteligente cada mes se relaciona con el costo adicional del plan de datos del teléfono inteligente para ese mes. de 500 a 0 1,000 : 10 de 1,500 a 20 750 : 5 de 1,250 a 15

Grupo 9

Las siguientes razones muestran el área de diferentes cuadrados en relación con su perímetro. 1 : 4 4 : 8 de 9 a 12 16 : 16 de 25 a 20 0 : 0

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema A, Lección 6

Identificar relaciones proporcionales en descripciones escritas

Determinar si una descripción escrita representa una relación proporcional

Vistazo a la lección

Considera las dos situaciones.

Situación 1:

La entrada a una feria cuesta $8.00 y cada boleto a las atracciones cuesta $0.60

Situación 2:

En una tienda de yogur helado, se pesa un plato de yogur helado con ingredientes, el cual se cobra a un precio de $0.85 por onza.

¿Qué situación representa una relación proporcional? Explica cómo lo sabes.

La feria cuesta $8.00 por subirse a 0 atracciones debido al costo de la entrada, así que la situación 1 no representa una relación proporcional.

La situación 2 representa una relación proporcional. El costo del yogur helado es proporcional a su peso porque hay un precio constante de $0.85 por onza.

Después de que se lea en voz alta la descripción escrita de una relación, se hace una encuesta para ver si la clase considera que la relación es proporcional. Este proceso se repite con descripciones adicionales. Luego, los grupos de estudiantes analizan el lenguaje de las descripciones escritas para predecir si las relaciones son proporcionales. La clase interpreta tablas o gráficas de las descripciones escritas para verificar sus predicciones. Mediante conversaciones de toda la clase, sus estudiantes reconocen el lenguaje que es útil para identificar cuándo una relación es proporcional.

Pregunta clave

• Dada una descripción escrita, ¿cómo podemos determinar si representa una relación proporcional?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Jonás y Lily

• Proporcional o no proporcional

• Crea tus propias situaciones

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• hoja extraíble de Gráficas y tablas (1 por pareja de estudiantes)

• tarjeta para notas

Preparación de la lección

• Considere tener papel cuadriculado a mano de manera que sus estudiantes lo puedan usar al crear una tabla o gráfica.

• Haga copias y distribuya 1 hoja extraíble de Gráficas y tablas a cada pareja de estudiantes.

Fluidez

Dividir fracciones complejas

La clase divide fracciones complejas como preparación para hallar constantes de proporcionalidad. Instrucciones:

Nota para la enseñanza

Si hay suficiente tiempo, pida a sus estudiantes que conversen sobre cómo se relacionan los problemas 1 y 2.

Presentar

La clase crea representaciones de relaciones.

Presente el problema 1 y designe qué tipo de relación crearán sus estudiantes: proporcional o no proporcional. Permita que cada estudiante decida si creará una tabla, una gráfica o una ecuación para representar su tipo de relación. Pida a sus estudiantes que creen sus representaciones de manera individual.

1. Crea una tabla, una gráfica o una ecuación a fin de representar el tipo de relación que te fue asignada.

Relación proporcional:

Ejemplo (tabla):

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo para identificar las diferentes características de las relaciones proporcionales, ayúdeles a avanzar pidiéndoles que comparen las tablas o gráficas en su Organizador gráfico de relaciones proporcionales.

Ejemplo (ecuación):

Sea x el número de horas trabajadas.

Sea y la cantidad de dinero ganado en dólares.

yx = 1025 .

Relación no proporcional:

Ejemplo (gráfica):

Número de botellas de agua

Pida a sus estudiantes que vuelvan a reunirse con todo el grupo. Pida a un par de estudiantes que compartan sus representaciones y por qué eligieron ese tipo de representación en particular con la clase.

Luego, haga la siguiente pregunta a la clase:

¿Qué cosas pueden decir sobre las relaciones proporcionales?

Las relaciones proporcionales tienen una constante de proporcionalidad que relaciona una cantidad con otra.

La gráfica de una relación proporcional es una recta, o tiene puntos que parecen estar ubicados en una recta, que pasa por el origen (0, 0).

En lecciones anteriores, usamos tablas, gráficas y ecuaciones para identificar relaciones proporcionales. Ahora, identificaremos relaciones proporcionales a partir de descripciones escritas.

Nota para la enseñanza

Considere desarrollar al menos una representación de cada tipo por adelantado, ya que estas pueden servir de ejemplo a quienes necesiten ayuda para empezar. También se pueden usar, por ejemplo, si no hay estudiantes que hayan elegido representar su situación con una gráfica.

Aprender

Jonás y Lily

La clase determina si una descripción escrita representa una relación proporcional.

Presente el problema 2 y pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar las partes (a) y (b).

2. Jonás tiene 10 años y Lily 8.

a. ¿Qué edad tendrá Lily cuando Jonás tenga 20 años?

1082 −=

Ya que Jonás tiene 2 años más que Lily, Lily tendrá 18 cuando Jonás tenga 20.

b. ¿Es esta una relación proporcional? Explica por qué.

No. Para que sea una relación proporcional, Jonás tendría que haber tenido 0 años cuando Lily tenía 0 años.

Una vez que sus estudiantes hayan terminado, pídales que compartan su razonamiento para la parte (b) usando las preguntas que siguen. Todavía no confirme ninguna respuesta. El propósito es que sus estudiantes compartan sus pensamientos y escuchen las ideas de sus pares.

¿Quién considera que esta es una relación proporcional? ¿Por qué?

¿Quién considera que esta no es una relación proporcional? ¿Por qué?

Pida a sus estudiantes que completen la parte (c).

c. Crea una tabla o gráfica para justificar tu solución.

Ejemplo:

Edad de Jonás (años)

Edad de Lily (años)

Edad de Jonás (años)

Edad de Lily (años)

Vuelva a reunir a la clase para conversar sobre las siguientes preguntas:

¿Crear una tabla o gráfica les sirvió de ayuda para identificar el tipo de relación?

Sí. Cuando creé una tabla para representar la relación, no pude ampliarla y tener un cero en los valores de las edades de Jonás y Lily en la misma fila.

Cuando marqué los puntos, parecían estar ubicados en una recta, pero esa recta no atravesaba el punto (0, 0).

¿Qué patrones observan en esta relación?

Las edades de Jonás y Lily están en una relación de suma porque Jonás tiene 2 años más que Lily.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta:

En vez de crear una tabla o una gráfica para cada descripción escrita, podemos examinar el lenguaje que se usa como ayuda para determinar si lo que se describe es una relación proporcional. ¿Qué pistas nos ayudan a determinar la proporcionalidad en una descripción escrita?

Debe haber una constante de proporcionalidad que relacione los valores en la descripción escrita. Además, el par de valores (0, 0) debe tener sentido en la situación.

Proporcional o no proporcional

La clase determina si ciertas situaciones son proporcionales o no basándose en descripciones escritas.

Presente los problemas 3 a 10. Lea cada situación con toda la clase y haga una encuesta rápida para ver si sus estudiantes piensan que la situación es una relación proporcional.

Divida a sus estudiantes en grupos de tres o cuatro. Asigne a cada grupo tres situaciones y pídales que determinen si cada situación es una relación proporcional. Aconseje a sus estudiantes que hallen la constante de proporcionalidad para toda relación que sea proporcional.

A medida que vayan terminando, dé a cada grupo una hoja extraíble de Gráficas y tablas. Dígales que usen la hoja extraíble para verificar o corregir sus respuestas a los problemas 3 a 10. Si tienen tiempo de sobra, pida a sus estudiantes que comiencen a trabajar en los otros problemas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma cuantitativa y abstracta (MP2) cuando identifica y crea situaciones proporcionales y no proporcionales.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación?

• ¿Qué situaciones del mundo real pueden representarse con una relación proporcional?

En los problemas 3 a 10, determina si la situación es proporcional. Explica cómo lo sabes. Halla la constante de proporcionalidad para toda relación que sea proporcional.

3. El supermercado vende manzanas a $1.25 por libra.

Esta es una relación proporcional.

Cada libra de manzanas cuesta $1.25.

La constante de proporcionalidad es 1.25.

4. Un autoservicio de lavado de autos cobra $2.00 más un cargo extra de $0.25 por minuto por lavar tu auto.

Esta no es una relación proporcional.

Hay una tarifa de $2.00 además de la tarifa que cobran por minuto.

5. Abdul camina 1 4 de milla cada 1 12 de hora.

Esta es una relación proporcional.

Cada 1 12 de hora se recorre la misma distancia.

Nota para la enseñanza

Como en estas situaciones no se han definido razones específicas, es posible que sus estudiantes hallen los recíprocos de las constantes de proporcionalidad. Estas respuestas también deberían marcarse como correctas.

La constante de proporcionalidad es 3.

6. Ava usa 3 4 de una bolsa de fertilizante por cada 1 5 de su jardín.

Esta es una relación proporcional.

Se usa la misma cantidad de fertilizante por cada 1 5 de su jardín.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo para determinar el tipo de relación cuando leen la situación, sugiera crear una tabla o gráfica. Esto les permitirá ver la estructura conocida de las relaciones proporcionales y no proporcionales.

La constante de proporcionalidad es 33 4 .

7. Un paquete de 96 pañales cuesta $24.27. Un paquete de 72 pañales cuesta $19.44.

Esta no es una relación proporcional.

Las tasas unitarias asociadas al costo por pañal no son las mismas.

8. Una estación de gasolina vende gasolina a $2.79 por galón.

Esta es una relación proporcional.

Cada galón cuesta $2.79.

La constante de proporcionalidad es 2.79.

9. Noor quiere hacer una tanda de mezcla de frutos secos. Una tanda, es decir, 41 2 tazas de mezcla de frutos secos, contiene 1 4 de taza de pasas.

Esta es una relación proporcional.

Cada tanda de mezcla de frutos secos contiene 1 4 de taza de pasas.

10. So-hee tiene un invernadero y quiere comprar semillas de zanahoria. Con $59.95 le alcanza para 1 libra de semillas. Con $26.95 le alcanza para 1 4 de libra de semillas.

Esta no es una relación proporcional.

5995

1 .5995 . =

1 4 .. . ÷= ⋅ =

269526954

1078

Las tasas unitarias asociadas al precio por libra de las semillas no son las mismas. Vuelva a reunir a la clase y use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Qué situaciones pudieron predecir con precisión? ¿Por qué decidieron predecir estos tipos de relaciones?

¿Qué situación les resultó más difícil?

Aborde todas las situaciones que sus estudiantes no hayan mencionado antes de hacer la siguiente pregunta:

¿Qué fue lo que observaron en una situación que hizo que pensaran que se trataba de una relación proporcional?

En el problema 3, se especifica un precio por cada libra de manzanas.

En el problema 5, se especifica que Abdul camina la misma distancia cada 1 12 de hora.

En el problema 6, se especifica que se usa la misma cantidad de fertilizante por cada 1 5 de jardín de Ava.

En el problema 8, se especifica que la estación de gasolina vende cada galón de gasolina por $2.79.

En el problema 9, se especifica que para cada tanda de mezcla de frutos secos, se necesita 1 4 de taza de pasas.

Crea tus propias situaciones

La clase escribe descripciones de situaciones que se pueden y que no se pueden representar con relaciones proporcionales.

En esta actividad, cada estudiante necesitará una tarjeta para notas. Pida a sus estudiantes que, en uno de los lados de la tarjeta para notas, escriban una situación breve que describa una relación proporcional similar a las de los problemas 3 a 10. En el otro lado, pídales que escriban una descripción breve de una relación no proporcional.

Una vez que sus estudiantes hayan terminado, pídales que formen parejas para intercambiar las tarjetas. Cada estudiante debe determinar cuál de las dos situaciones en la tarjeta para notas es la relación proporcional. Anime a sus estudiantes a crear tablas o gráficas según sea necesario.

Una vez que sus estudiantes hayan tomado una decisión, pídales que comprueben su trabajo con su pareja para averiguar si están en lo correcto.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Determinar si una descripción escrita representa una relación proporcional

Use las preguntas que siguen para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a volver a expresar o desarrollar las respuestas de sus pares usando el vocabulario que se presentó en este tema. Sin embargo, todavía es aceptable que sus estudiantes se refieran a la tasa unitaria constante en lugar de a la constante de proporcionalidad.

Dada una descripción escrita, ¿cómo podemos determinar si representa una relación proporcional?

Podemos buscar una tasa, el lenguaje de las razones o una constante de proporcionalidad entre los valores. Si la relación es proporcional, el par de valores (0, 0) tendrá sentido en la situación. Si todavía tienen dudas, las tablas y gráficas pueden servir como ayuda para determinar si la relación es proporcional.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere formar parejas de estudiantes que estén aprendiendo el idioma para que escriban las tarjetas. Según sus necesidades, considere brindar dos situaciones, sin valores, como punto de partida para sus estudiantes.

DUA: Acción y expresión

Después del intercambio, anime a sus estudiantes a evaluar cómo aplicaron las estrategias mientras trabajaban en las situaciones. Pida a la clase que reflexione sobre las características de las relaciones proporcionales. Pídales que se planteen las siguientes preguntas sobre su situación de relación proporcional y que identifiquen dónde experimentaron el éxito y dónde desafíos:

• ¿Incluí las cantidades que tienen una relación multiplicativa en mi situación de relación proporcional?

• ¿Elegí una situación que admita el par de valores (0, 0) en mi situación de relación proporcional?

Esto apoya la función ejecutiva y anima a sus estudiantes a observar su progreso.

Considere ofrecer otras alternativas a responder por escrito. Por ejemplo, sus estudiantes pueden usar una grabadora o un programa de procesamiento de texto para describir la situación.

Si es necesario, pida a sus estudiantes que agreguen comentarios o hagan correcciones en sus Organizadores gráficos de relaciones proporcionales.

¿Cuáles son las ideas importantes sobre las relaciones proporcionales en su organizador gráfico?

Una relación proporcional es una relación multiplicativa entre dos cantidades.

Una tabla de valores muestra una relación proporcional cuando hay una constante de proporcionalidad que relaciona los pares de cantidades.

Una gráfica representa una relación proporcional cuando los puntos parecen estar ubicados en una línea recta que pasa por el origen.

Una ecuación representa una relación proporcional cuando se puede escribir en la forma y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad.

Una descripción escrita representa una relación proporcional si hay una relación multiplicativa evidente entre las dos cantidades.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Considere pedir a un grupo pequeño de estudiantes que compartan sus organizadores gráficos. Pídales que comenten lo que han aprendido sobre las relaciones proporcionales hasta ahora.

En el tema B, se continúa con el aprendizaje sobre relaciones proporcionales, así que la clase continuará agregando comentarios y haciendo correcciones en sus organizadores gráficos.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Identificar relaciones proporcionales en descripciones escritas

En esta lección:

• determinamos si una relación era proporcional a partir de su descripción escrita;

• usamos tablas y gráficas para justificar que las relaciones eran proporcionales.

Ejemplos

1. Determina si la siguiente es una relación proporcional. De ser así, define las variables y escribe una ecuación. De no ser así, explica por qué no.

Liam gana $12 por cada hora que trabaja de niñero.

Sea t la cantidad total de dólares que gana. Sea h el número de horas que trabaja de niñero.

th = 12

Esta es una relación proporcional porque Liam gana la misma cantidad de dinero por cada hora que trabaja de niñero.

2. Determina si la siguiente es una relación proporcional. De ser así, explica cómo lo sabes. De no ser así, cambia uno de los valores para que sea una relación proporcional.

La semana pasada, Henry compró 3 libras de manzanas por $3.75 en el supermercado. Esta semana, volvió al supermercado y compró 5 libras de manzanas por $6.50

375 3 125 =

65 5 13 =

Halla la tasa unitaria de cada par de valores a fin de determinar si el costo es proporcional al número de libras de manzanas.

Esta no es una relación proporcional porque el precio por libra no se mantiene constante. Podemos convertirla en una relación proporcional cambiando $3.75 por $3.90. También podemos cambiar $6.50 por $6.25 para que sea una relación proporcional.

Se pueden usar dos opciones para la tasa unitaria: 1.25 o 1.3

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

©

1. Una compañía de teléfonos celulares cobra una tarifa fija de $40.00 al mes y un cargo adicional de $20.00 al mes por cada teléfono en el plan.

a. ¿Es proporcional la relación entre el costo mensual total y el número de teléfonos en el plan? Explica tu razonamiento.

No. Sería una relación proporcional si la tarifa fija de $40.00 no formara parte del costo mensual. Debido a la tarifa de $40.00, no hay una constante de proporcionalidad entre el costo mensual total y el número de teléfonos en el plan.

b. Crea una tabla o gráfica para justificar tu razonamiento.

No hay una constante de proporcionalidad entre el costo mensual total y el número de teléfonos en el plan; entonces, esta no es una relación proporcional.

En los problemas 2 y 3, identifica si la relación es proporcional. De ser así, define las variables y escribe una ecuación. De no ser así, cambia un valor para que sea una relación proporcional.

2. Cada día en la guardería de perros cuesta $25

La relación es proporcional.

Sea c el costo total en dólares.

Sea d el número de días.

cd = 25

3. El martes, Ethan compró 7 flores por $6.75. El viernes, Ethan volvió a la florería y compró 14 flores por $12.00

La relación no es proporcional. Podemos hacer una relación proporcional cambiando $12.00 por $13.50. También podemos hacerlo cambiando $6.75 por $6.00

4. Logan quiere hacer un tono específico de pintura morada. Le dijeron que, para obtener el tono morado que desea, debe mezclar 1 2 galón de pintura roja con 3 4 de galón de pintura azul. Si usa un galón de pintura roja, ¿qué cantidad de pintura azul necesita para hacer la mezcla? Usa la tabla para justificar tu respuesta.

Pintura roja (galones)

Pintura azul (galones)

Logan necesita 11 2 galones de pintura azul.

5. Pedro quiere preparar 31 2 tandas de barras de granola. Su papá dice que necesita 51 4 tazas de avena. ¿Qué cantidad de avena necesita Pedro para preparar una sola tanda?

Para preparar una sola tanda de barras de granola, Pedro necesita 11 2 tazas de avena.

Recuerda

En los problemas 6 a 8, multiplica.

6. 11 1 2 1 4

90 PRÁCTICA

7

9. Yu Yan gana dinero adicional trabajando los fines de semana. Para ver el número de horas que trabaja y la cantidad de dinero que gana cada fin de semana, decide crear una gráfica. 0

a. Según la gráfica, ¿parece el dinero que gana Yu Yan ser proporcional al número de horas que trabaja? Explica cómo lo sabes.

Sí, la cantidad de dinero que gana Yu Yan parece ser proporcional al número de horas que trabaja. Los puntos parecen estar ubicados en una recta que pasa por el origen.

b. El siguiente fin de semana, Yu Yan agrega el punto (0, 0) a la gráfica. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

El punto (0, 0) señala que Yu Yan trabajó 0 horas y ganó $0 ese fin de semana.

c. ¿Cuánto dinero gana Yu Yan si trabaja solamente 1 hora? Explica.

10. Un puesto de frutas vende 5 manzanas por cada 3 naranjas. Usa la tabla para representar gráficamente la relación entre el número de manzanas vendidas x y el número de naranjas vendidas y. Marca los puntos, pon un título a la gráfica y rotula los ejes.

Número de manzanas vendidas, x Número de naranjas vendidas, y 5 3 10 6 15

Frutas vendidas en el puesto

Número de manzanas vendidas

Yu Yan gana $55 cada 5 horas de trabajo, lo que significa que gana $11 por 1 hora de trabajo. ©

91 PRÁCTICA

92 PRÁCTICA

©

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B

Tema B

Trabajar con relaciones proporcionales

El énfasis del tema A está en identificar relaciones proporcionales en tablas, gráficas, ecuaciones y descripciones escritas. En el tema B, sus estudiantes aplican lo aprendido en el tema A mediante el análisis, la comparación y la resolución de problemas que incluyen relaciones proporcionales. Hacen una transición de identificar la constante de proporcionalidad a usarla para hallar valores desconocidos en la relación. Se encuentran con problemas conocidos de 6.o grado, como los de tasas y de razón parte-total, y descubren relaciones proporcionales entre las cantidades en esos problemas.

En este tema, sus estudiantes comienzan explorando las relaciones proporcionales mediante una actividad abierta que motiva el aprendizaje del tema. Comienzan con la conversión entre las diferentes representaciones de una relación proporcional y resaltan la constante de proporcionalidad en cada representación. Esto prepara a la clase para comparar relaciones proporcionales en lecciones posteriores. En una actividad digital, sus estudiantes comparan la inclinación de las rectas que representan relaciones proporcionales. Esto les permite hacer la conexión entre gráficas de relaciones proporcionales y la relación aditiva entre cantidades en tablas. Una nueva herramienta, el triángulo unitario, les permite ver estos patrones de suma en la gráfica de la relación y comprender por qué el punto (1, r) representa la tasa unitaria.

En este tema, sus estudiantes reconocen las tasas constantes cotidianas como relaciones proporcionales. Calculan tasas a partir de contextos del mundo real, escriben ecuaciones en la forma y = kx y usan sus ecuaciones para hallar valores desconocidos. Usan las estrategias de representación Lee-Representa-Resuelve-Resume para resolver un problema sobre la historia de las matemáticas que aparece en el recurso Las matemáticas en el pasado. Descubren el método de la posición falsa, mediante el cual relacionan el razonamiento proporcional con las estrategias de resolución de problemas como preparación para resolver problemas de razones de varios pasos. Hacia el final del tema, retoman situaciones de razón parte-total de 6.o grado, como recetas y mezclas. Usan ecuaciones, diagramas de cinta y otros modelos para representar las relaciones proporcionales entre las cantidades parciales y el total. En una tarea abierta de cierre, crean sus propias razones parte-total.

En el tema C, sus estudiantes escriben ecuaciones para hallar longitudes de lado desconocidas en dibujos a escala. En el módulo 5 de 7.o grado, se vuelven a plantear problemas de razones de varios pasos, pero se incluyen porcentajes. Sus estudiantes expanden los conocimientos sobre la inclinación y el triángulo unitario cuando aprenden sobre pendientes en 8.o grado.

Progresión de las lecciones

Lección 7 Práctica veloz: Parada de manos

Lección 8 Relacionar representaciones de relaciones proporcionales

Lección 9 Comparar relaciones proporcionales

Lección 10 Aplicar el razonamiento proporcional

Lección 11 Tasas constantes

Lección 12 Problemas de razones de varios pasos, parte 1

Lección 13 Problemas de razones de varios pasos, parte 2

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 7

Práctica veloz: Parada de manos

Representar una situación usando una relación proporcional para resolver un problema

Vistazo a la lección

Esta lección es una exploración de representación abierta. La clase mira un video de una persona que camina con las manos y crea una lista de preguntas sobre el video. Sus estudiantes trabajan en grupos y aplican el razonamiento proporcional para determinar cuánto tarda la persona en cruzar la meta. Los grupos de estudiantes presentan su estrategia para hallar la solución a la clase. Esta lección está diseñada como evaluación formativa de varias prácticas de las matemáticas. La parte 2 del video es una extensión opcional para desafiar a sus estudiantes.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos usar el razonamiento proporcional para representar situaciones y resolver problemas?

Criterio de logro académico

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes). (7.RP.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Explorar

• Carrera de parada de manos (opcional)

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• No se necesita.

Expresar la división

La clase evalúa diferentes representaciones de la división.

Presentar

5 Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

La clase genera preguntas sobre un video.

Reproduzca la parte 1 del video.

¿Qué preguntas tienen?

No responda las preguntas. En su lugar, aproveche la oportunidad para incentivar la curiosidad de sus estudiantes.

Registre cada pregunta, una a la vez, y muéstrelas a toda la clase. Luego, pregunte quién más tiene la misma pregunta. Registre el número de estudiantes que tienen la misma pregunta y coloque junto a cada pregunta marcas de verificación, signos más u otra marca de conteo.

Si nadie pregunta cuánto tiempo se tarda en llegar a la meta, proponga esa pregunta y averigüe el número de estudiantes que la consideran una pregunta interesante.

No podremos explorar todas estas preguntas el día de hoy. Veamos primero cuánto se tarda en llegar a la meta.

Pida a sus estudiantes que registren la pregunta de enfoque.

Pregunta de enfoque:

¿Cuánto tardará en llegar a la meta?

Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando reúne y analiza datos para determinar cuánto tardó la persona en llegar a la meta.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:

• ¿Qué cálculos matemáticos pueden escribir o dibujar para representar la situación de caminar con las manos?

• ¿Qué suposiciones pueden hacer para estimar el tiempo que se tarda en llegar a la meta?

• ¿Qué desearían saber que les serviría como ayuda para hallar la respuesta?

DUA: Participación

El video de la carrera de parada de manos proporciona un contexto interesante para que la clase aplique el razonamiento proporcional. Después de ver el video, la clase genera preguntas sobre el contexto de forma espontánea.

Aprender

Explorar

La clase estima el tiempo que tarda la persona en cruzar la meta.

Haga las siguientes preguntas y, luego, pida a diferentes estudiantes que compartan su razonamiento:

¿Cuánto creen que tarda la persona en cruzar la meta? ¿Cuál sería una suposición no razonable? ¿Cuál sería demasiado alta o demasiado baja?

Si hay estudiantes que no se ponen de acuerdo sobre si una suposición no es razonable, pídales que expliquen su razonamiento.

Divida la clase en grupos de cuatro. Dé tiempo a los grupos para compartir ideas acerca de la información que necesitan para responder la pregunta. Recorra el salón de clases mientras los grupos conversan para observar su progreso. Se espera que sus estudiantes generen una lista similar a la siguiente:

• Necesitamos saber cuánto falta para llegar a la meta.

• Necesitamos saber a qué velocidad se mueve la persona.

• Necesitamos saber si la persona se mueve a una velocidad constante.

Invite a los grupos a compartir sus listas con la clase. Ahora que sus estudiantes han identificado la información necesaria para responder la pregunta de enfoque, pídales que elaboren un plan usando el siguiente planteamiento:

Trabajen con su grupo en la elaboración de un plan para recopilar la información necesaria. Observe el progreso de sus estudiantes mientras trabajan en grupos para explorar la pregunta de enfoque. Según sea necesario, ayude a que los grupos avancen mediante alguna de las siguientes preguntas, o todas:

• ¿Podemos hallar marcadores específicos en el video que nos ayuden a determinar cuánto tiempo se tarda en recorrer una distancia específica?

• ¿Podemos estimar la longitud de la carrera?

• ¿Qué suposiciones estamos haciendo?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando crea un plan para determinar cuánto tarda la persona en llegar a la meta.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué tipo de estrategia sería útil para reunir la información necesaria?

• ¿Por qué decidieron recopilar los datos de la forma en que lo hicieron? ¿Funcionó bien?

• ¿Cómo pueden estimar la solución? ¿Les parece razonable su estimación?

Reproduzca la parte 1 del video las veces que sea necesario para que la clase reúna los datos usando sus planes. Si es posible, proporcione acceso a herramientas como internet para facilitar los planes de sus estudiantes.

Pida a sus estudiantes que vuelvan a sus grupos para responder la pregunta de enfoque. Diga a los grupos que deben prepararse para compartir con la clase sus estrategias para hallar la solución.

Cuando hayan terminado, invite a los grupos a mostrar sus estrategias para hallar la solución o a comentarlas con la clase. Después de que todos los grupos hayan compartido sus estrategias, hágales las siguientes preguntas para que participen de una conversación:

• ¿Son razonables las respuestas que hallamos?

• ¿Qué suposiciones hicimos? ¿De qué manera esas suposiciones afectaron su solución?

• ¿Qué información investigaron? ¿Cómo usaron esa información?

• ¿En qué se parecen nuestras estrategias para hallar la solución? ¿En qué se diferencian?

Si hay suficiente tiempo, continúe con el segmento opcional Carrera de parada de manos. Sin embargo, si solo quedan unos minutos de clase, reproduzca las partes 2 y 3 para mostrar a la clase cuánto tardó la persona en cruzar la meta. Pida a sus estudiantes que comenten en grupos las siguientes preguntas:

• ¿Estuvo cerca nuestra predicción?

• ¿Hicimos alguna suposición que no era verdadera?

• Si tuviéramos un problema parecido, ¿lo resolveríamos de otra manera?

Carrera de parada de manos (opcional)

La clase determina quién gana la carrera de parada de manos.

Si hay suficiente tiempo, reproduzca la parte 2 del video y siga un proceso similar al que usó con la parte 1.

Registre las preguntas que generaron sus estudiantes después de mirar el video. Registre el número de estudiantes que tienen la misma pregunta y coloque junto a ellas marcas de verificación, signos más u otra marca de conteo.

Si nadie pregunta quién gana la carrera, proponga esa pregunta y averigüe el número de estudiantes que la consideran una pregunta interesante.

Diferenciación: Desafío

Considere la posibilidad de reproducir la parte 2 del video para los grupos de estudiantes que terminen antes. Pida a sus estudiantes que vayan a Carrera de parada de manos mientras otros grupos terminan.

Concentrémonos en averiguar quién ganó la carrera.

Pida a sus estudiantes que registren la pregunta de enfoque.

Pregunta de enfoque:

¿Quién gana la carrera?

Dé tiempo a los grupos para compartir ideas acerca de la información que necesitan para responder la pregunta. Recorra el salón de clases mientras los grupos conversan para observar su progreso. Se espera que la clase genere la siguiente lista:

• Necesitamos saber a qué velocidad se mueve cada participante.

• Necesitamos saber si las personas se mueven a una velocidad constante.

• Necesitamos decidir cómo representar a la persona que se cae constantemente.

Invite a los grupos a compartir sus listas con la clase.

Ahora que sus estudiantes han identificado la información necesaria para responder la pregunta de enfoque, pídales que elaboren un plan usando el siguiente planteamiento:

Trabajen con su grupo en la elaboración de un plan para recopilar la información necesaria.

Según sea necesario, ayude a que los grupos avancen mediante alguna de las siguientes preguntas, o todas. Anime a sus estudiantes a hacer suposiciones razonables. Sin ellas, no pueden avanzar para saber quién ganó la carrera. Es de esperar que los grupos hagan suposiciones diferentes.

• ¿Cómo pueden representar el tiempo que tarda la participante que se cayó en volver a empezar?

• ¿Qué suposiciones hará su grupo?

Reproduzca la parte 2 del video las veces que sea necesario. Indique a los grupos que deben prepararse para compartir sus estrategias para hallar la solución con la clase.

Una vez que hayan finalizado, invite a los grupos a mostrar sus estrategias para hallar la solución o a comentarlas con el resto de la clase. Después de que todos los grupos hayan compartido sus estrategias, hágales las siguientes preguntas para que participen de una conversación:

• ¿Son razonables las respuestas que hallamos?

• ¿Qué suposiciones hicimos? ¿De qué manera esas suposiciones afectaron su solución?

• ¿Qué información investigaron? ¿Cómo usaron esa información?

• ¿En qué se parecen nuestras estrategias para hallar la solución? ¿En qué se diferencian?

Reproduzca la parte 3 del video para ver quién ganó la carrera. Haga la siguiente pregunta:

¿Les sorprendió el resultado?

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Representar una situación usando una relación proporcional para resolver un problema

Use la pregunta que sigue para ayudar a sus estudiantes a reconocer dónde usaron el razonamiento proporcional para responder la pregunta de enfoque del segmento Explorar. Anime a sus estudiantes a complementar las respuestas de sus pares.

¿Cómo usaron en su grupo lo que sabían sobre relaciones proporcionales para averiguar cuánto tardó la persona en cruzar la meta?

Seleccione una de las siguientes preguntas para hacer una reflexión final de la lección:

• ¿Qué suposiciones hizo su grupo y cómo afectaron sus resultados?

• ¿Se enfrentó su grupo a algún obstáculo? ¿Cómo lo superaron?

• ¿Qué haría su grupo de forma diferente?

• ¿Qué fue más útil?

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

En el Boleto de salida, sus estudiantes reflexionan sobre la lección. Considere guiar la reflexión con una pregunta que no se haya planteado durante la reflexión final.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. Cuando representas situaciones usando una relación proporcional, ¿qué suposiciones haces?

Supones que existe una tasa constante.

2. ¿En qué se diferencia la situación representada en clase de una relación proporcional? Una verdadera relación proporcional, como la relación entre la cantidad de azúcar y harina necesaria para hacer varias tandas de la misma receta, no requiere suposiciones.

3. ¿Qué otras preguntas querías explorar en la clase? ¿Qué información necesitaríamos para resolverlas? Si pudiéramos hacer suposiciones, ¿cuáles serían? Predice las respuestas a tus preguntas.

7. Kabir ganaba dinero por cada milla que recorría en una caminata. En la gráfica se muestra la relación entre el número de millas que Kabir caminó y la cantidad de dinero que ganó en dólares. 10

© Great Minds PBC

a. Según la gráfica, ¿es la cantidad de dinero que ganó en dólares proporcional al número de millas que caminó? Explica cómo lo sabes.

Sí. La cantidad de dinero que ganó Kabir parece ser proporcional al número de millas que caminó. Los puntos en la gráfica parecen estar ubicados en una recta que atraviesa el origen.

b. Kabir agrega el punto (0, 0) a la gráfica. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

El punto (0, 0) indica que Kabir caminó 0 millas y ganó $0

c. ¿Cuánto dinero gana Kabir si camina solo una milla? Explica cómo lo sabes.

Kabir ganó $50 por caminar 10 millas.

50 10 = 5

Es una tasa de $5 por milla, lo que significa que Kabir gana $5 por caminar 1 milla.

8. Logan entrena para el equipo de atletismo. Corre 500 metros 4 veces por día.

a. A esta tasa, ¿cuántos metros correrá Logan en una semana?

14,000 metros

b. Logan sigue entrenando a la misma tasa todos los días hasta que alcanza un total de 70 kilómetros. ¿Cuántos días entrena?

35 días

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 8

Relacionar representaciones de relaciones proporcionales

Relacionar la información de tablas, gráficas, ecuaciones y situaciones para mostrar una relación proporcional

Identificar la constante de proporcionalidad en diferentes representaciones de una relación proporcional

Vistazo a la lección

El número de minutos que Logan pasa en la ducha es proporcional al número de galones de agua que usa.

a. Completa la tabla para representar esta relación.

Representa gráficamente esta relación.

c. Escribe una ecuación que represente el número de galones de agua a que usa Logan cuando se ducha por t minutos. a = 2.5t

En esta lección, se refuerzan las conexiones entre tablas, gráficas, ecuaciones y situaciones de relaciones proporcionales. En parejas, sus estudiantes descubren que pueden relacionar la información de la representación de una relación proporcional con otra. Observan y comentan la importancia de identificar la constante de proporcionalidad y de usarla para representar la relación de una forma diferente.

Preguntas clave

• ¿Qué representación parece menos complicada para determinar la constante de proporcionalidad? ¿Es siempre así?

• ¿Por qué es conveniente poder identificar la constante de proporcionalidad?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• ¿Dónde está la constante de proporcionalidad?

• Dos cajas

• Otras representaciones

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• resaltador fluorescente

• 2 cajas vacías

Estudiantes

• resaltador fluorescente

• tarjetas de Caja A (1 tarjeta por pareja de estudiantes)

• tarjetas de Caja B (1 tarjeta por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• Rotule una caja Caja A y la otra, Caja B.

• Prepare 1 tarjeta de la caja A por pareja de estudiantes.

• Prepare 1 tarjeta de la caja B por pareja de estudiantes.

Nota para la enseñanza

Para ayudar a cada pareja de estudiantes a elegir una tarjeta de la caja B que no coincida con la representación de la tarjeta de la caja A, considere la posibilidad de preparar más tarjetas de la caja B que el número de parejas.

Fluidez

Escribir ecuaciones

La clase escribe ecuaciones a partir de tablas como preparación para identificar la constante de proporcionalidad.

Instrucciones: Escribe una ecuación que represente la relación que se muestra en la tabla.

Presentar

La clase usa datos de una tabla para crear una situación y, luego, identificar la constante de proporcionalidad, escribir una ecuación y representar gráficamente la relación.

Presente el problema 1 a la clase.

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que elaboren una situación que se relacione con los valores de la tabla. Invite a la clase a agregar un título a la tabla y a escribir una situación para la parte (a).

Dé a las parejas 2 minutos para comparar con otros grupos las situaciones que elaboraron.

En la parte (b), pida a las parejas que identifiquen la constante de proporcionalidad y describan lo que significa en su situación.

Invite a sus estudiantes a compartir sus ideas con la clase y a explicar las relaciones de proporcionalidad que crearon.

En las partes (c) y (d), dé a las parejas alrededor de 4 minutos para definir sus variables, escribir una ecuación, rotular sus ejes y representar gráficamente la relación.

Recorra el salón de clases para identificar ejemplos de trabajo de ecuaciones y gráficas para compartir con la clase.

1. Considera la tabla que se muestra.

a. Escribe una situación que muestre esta relación.

Un supermercado vende peras a $3.50 por libra.

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué significa esto en la situación descrita en la parte (a)?

La constante de proporcionalidad es 3.5.

Cada libra de peras cuesta $3.50.

c. Escribe una ecuación que represente la situación de la parte (a). Define las variables.

Sea x el número de libras de peras que se compraron.

Sea y el costo total en dólares.

yx = 35 .

d. Representa gráficamente esta relación. Rotula los ejes.

Pida a quienes haya identificado que compartan sus ecuaciones y gráficas con la clase. Considere guiar una conversación sobre las semejanzas y diferencias entre los ejemplos compartidos.

Ahora que sus estudiantes se familiarizaron con las cuatro representaciones de una relación proporcional, haga una transición al siguiente segmento en el que resaltan la ubicación de la constante de proporcionalidad en cada representación.

Hoy, identificaremos la constante de proporcionalidad en cada representación.

Aprender

25

¿Dónde está la constante de proporcionalidad?

La clase identifica la constante de proporcionalidad en diferentes representaciones.

Presente el problema 2 y pida a la clase que trabaje en parejas para identificar y resaltar la constante de proporcionalidad en la tabla, la situación, la ecuación y la gráfica.

2. Examina de nuevo el trabajo del problema 1. En la parte (b), calculaste la constante de proporcionalidad. Resalta la constante de proporcionalidad en la tabla, en la situación, en la ecuación y en la gráfica.

Nota para la enseñanza

Como se ha comentado en el tema A, la constante de proporcionalidad y la tasa unitaria hacen referencia al mismo valor. Estos dos términos pueden usarse de manera intercambiable.

Puede haber estudiantes que resalten el valor de y de 3.5 en la tabla. Esto es correcto. También necesitan saber cómo calcular la constante de proporcionalidad si el par ordenado (1, k) no se muestra.

Un supermercado vende peras a $3.50 por libra.

yx = 35 .

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Cómo hallan la constante de proporcionalidad en una tabla? ¿Y en una situación? ¿Y en una ecuación? ¿Y en una gráfica?

Invite a diferentes estudiantes a responder y, luego, centre la conversación en las estrategias para hallar la constante de proporcionalidad en una tabla. La clase puede identificar las siguientes estrategias:

• Dividir el valor de y entre el valor de x

• Usar el valor de y que corresponde al valor de x de 1

• Cuando el valor de x de 1 no es evidente, se amplía la tabla para incorporar ese valor y, luego, se determina el valor de y correspondiente

Es importante que la clase comprenda que hallar la constante de proporcionalidad dentro de un tipo de representación puede variar en dificultad y, por eso, sus estudiantes deben saber identificarla a partir de todas las representaciones. Establezca este razonamiento a través de una situación de una pareja en la que la constante de proporcionalidad sea evidente sin necesidad de cálculo.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para crear una situación en la que sea necesario hacer un cálculo para determinar la constante de proporcionalidad. Luego, pídales que compartan sus nuevas situaciones.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando identifica la constante de proporcionalidad en tablas, gráficas, ecuaciones y situaciones.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre tablas de razones para determinar la constante de proporcionalidad?

• ¿Qué relación hay entre tablas y ecuaciones?

Dos cajas

La clase representa una relación proporcional dada de otra forma.

Reparta cajas rotuladas Caja A y Caja B a cada pareja de estudiantes. Cada tarjeta de la caja A contiene una representación de una relación proporcional en forma de tabla, ecuación, gráfica o situación. Cada tarjeta de la caja B contiene la palabra Ecuación, una tabla vacía, la palabra Situación o una gráfica en blanco. Pida a cada pareja que saque una tarjeta de la caja A y otra de la caja B.

Tarjetas de la caja A Tarjetas de la caja B 7

Pida a sus estudiantes que usen la relación proporcional obtenida de su tarjeta de la caja A para crear el tipo de representación que eligieron de la caja B. La representación que hagan debe ser diferente de la de la caja A. Por ejemplo, si una pareja de estudiantes elige una tarjeta de la caja A que representa una relación proporcional como una ecuación y, luego, elige una tarjeta de ecuación de la caja B, pídales que vuelvan a elegir otra tarjeta de la caja B para obtener una nueva representación.

Cuando las parejas hayan completado la tarea, pídales que compartan su trabajo con otra pareja.

Invite a sus estudiantes a compartir con la clase sus procesos para hacer nuevas representaciones.

Use las preguntas que siguen para reflexionar sobre la actividad:

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes experimentan dificultades para crear la representación que eligieron de la caja B, pídales que elijan y creen una representación diferente. Otra representación podría ser el paso previo a la creación de la que eligieron.

Por ejemplo, puede haber estudiantes que prefieran crear una tabla antes de crear una gráfica.

¿Pasó su grupo directamente de una representación a otra, o siguió varios pasos?

Mi grupo pasó directamente de una ecuación a una tabla. Sin embargo, otro grupo pasó de una situación a una tabla y, luego, a una gráfica.

¿Es más fácil crear una nueva representación a partir de algunas representaciones originales que de otras?

Crear una representación a partir de una ecuación es más fácil que crear una ecuación a partir de una tabla o una gráfica. Cuando se presenta una ecuación, se muestra la constante de proporcionalidad y no es necesario realizar ningún cálculo.

Otras representaciones

La clase crea representaciones de relaciones proporcionales y resalta la constante de proporcionalidad en cada una de ellas.

Pida a sus estudiantes que trabajen de manera individual en el problema 3 y que lo comenten en parejas una vez que hayan finalizado.

3. Henry compra 0.6 libras de almendras por $5.25. El costo de las almendras es proporcional al peso de las almendras.

a. Completa la tabla para esta relación. Ingresa los valores de las libras de almendras l y, luego, determina los valores correspondientes del costo total c en dólares. Calcula y resalta la constante de proporcionalidad.

Diferenciación: Desafío

Para desafiar a sus estudiantes, pídales que creen una versión diferente de su representación o una representación adicional.

Por ejemplo, si crean una tabla después de elegir esa tarjeta de la caja B, pueden crear una tabla usando valores diferentes pero manteniendo la misma constante de proporcionalidad, o pueden representar la situación

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de esta relación? ¿Qué significa esto en esta situación?

La constante de proporcionalidad es 8.75

Cada libra de almendras cuesta $8.75.

c. Escribe una ecuación para esta relación. Resalta la constante de proporcionalidad.

cl = 87.5

d. Representa gráficamente esta relación y rotula los ejes. Resalta la constante de proporcionalidad.

Libras de almendras Costo total (dólares)

Vuelva a reunir a la clase para comentar los conceptos erróneos que hayan surgido durante las conversaciones en parejas.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Relacionar la información de tablas, gráficas, ecuaciones y situaciones para mostrar una relación proporcional

Identificar la constante de proporcionalidad en diferentes representaciones de una relación proporcional

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la constante de proporcionalidad en diferentes representaciones de una relación proporcional:

¿Qué representación parece menos complicada para determinar la constante de proporcionalidad? ¿Es siempre así?

Observo la constante de proporcionalidad más fácilmente cuando la relación se escribe como una ecuación. A veces, puedo identificar fácilmente la constante de proporcionalidad en una tabla cuando el valor de x es 1 o en una gráfica cuando el punto (1, k) es visible. La constante de proporcionalidad se proporciona a veces en las situaciones, pero a menudo tengo que calcularla.

¿Por qué es conveniente poder identificar la constante de proporcionalidad?

Nos aporta más información sobre la estructura multiplicativa entre el valor de x y el valor de y de la relación. También nos permite relacionar una representación con otra.

Pida a sus estudiantes que resalten la constante de proporcionalidad en las relaciones proporcionales de sus Organizadores gráficos de relaciones proporcionales.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Relacionar representaciones de relaciones proporcionales

En esta lección:

• relacionamos una representación de una relación proporcional con otras representaciones;

• determinamos la constante de proporcionalidad y la usamos para representar una relación proporcional de forma diferente.

Ejemplo

Usa la información de la gráfica para completar las siguientes tareas.

a. Completa la tabla.

Como la gráfica es una recta que atraviesa el origen, se trata de una relación proporcional. Esto ayuda a determinar el valor de y cuando el valor de x es 1 La recta atraviesa (2, 90); entonces, la recta también atravesará (1, 45)

c. Determina la constante de proporcionalidad.

b. Escribe una situación que muestre esta relación. Noor ahorra $45 cada mes.

© Great Minds PBC

Muchas situaciones podrían mostrar esta relación. En cada situación correcta, se usará la siguiente forma: 45 de una unidad por cada 1 de otra unidad.

d. Escribe una ecuación que relacione x y y y = 45x

Para las relaciones proporcionales, la ecuación se escribe de la siguiente forma: y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad. ©

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. Shawn gana $15 por cada jardín en el que corta el césped. ¿Es una relación proporcional? De ser así, determina la constante de proporcionalidad.

Sí. Es una relación proporcional porque Shawn gana la misma cantidad por cada jardín. La constante de proporcionalidad es 15

2. Dada la tabla, determina si la cantidad de dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. De ser así, calcula la constante de proporcionalidad y explica qué significa en esta situación.

La cantidad de dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. La constante de proporcionalidad es 6.5. Por cada hora que trabaja, esta persona gana $6.50 ©

b. Escribe una ecuación que relacione x y y yx = 60

c. Determina la constante de proporcionalidad.

60

d. Escribe una situación que describa esta relación.

En su viaje por carretera, Sara condujo 60 millas por hora.

4. Una relación proporcional tiene una constante de proporcionalidad de 3.25

a. Escribe una situación con una constante de proporcionalidad de 3.25.

Un supermercado vende nectarinas a $3.25 por libra.

b. Escribe una ecuación que represente la situación de la parte (a). Define las variables.

Sea c el costo total en dólares.

Sea l el número de libras de nectarinas.

cp = 325l

© Great Minds PBC

115 PRÁCTICA

c. Completa la tabla usando los valores de tu situación.

Nectarinas (libras) Costo total (dólares)

0 0

2 6.5

d. Representa gráficamente la información de la parte (c). Traza la recta que contenga los datos.

116 PRÁCTICA

0412356789

Nectarinas (libras)

©

5. ¿Qué representaciones tienen una constante de proporcionalidad de 5? Elige todas las opciones que correspondan. A.

7

01234

D. En 1 minuto, Rohan puede doblar 5 camisas. E.

F.

10 5 x y

0123456789

G. y = 5x

H. Una sola tanda de enchiladas requiere 5 libras de pollo.

Recuerda

En los problemas 6 a 9, suma o resta. Escribe tu respuesta en la misma forma que el problema.

6. Un tercio más un tercio Dos tercios

8. Cuatro novenos menos dos novenos

Dos novenos

117

118 PRÁCTICA

7. 1 quinto más 2 quintos 3 quintos

9. 7 décimos menos 4 décimos 3 décimos ©

10. ¿Cuáles de las gráficas parecen representar relaciones proporcionales? Elige todas las opciones que correspondan. A.

11. Una bolsa de manzanas de 3 libras cuesta $3.75 Una bolsa de manzanas de 5 libras cuesta $6.50. Cuando la tasa se expresa en dólares por libra, ¿cuál es la tasa unitaria asociada a cada bolsa de manzanas?

La tasa unitaria asociada a la bolsa de manzanas de 3 libras es 1.25 La tasa unitaria asociada a la bolsa de manzanas de 5 libras es 1.3 ©

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 8

Sea c el número de camisetas dobladas.

Eve preparó la mitad de una tanda de pudín, así que usó 2 12 tazas de leche.

Sea t el número de tandas de la mezcla de refrigerios.

Sea p el número de tazas de pretzels . pt = 1 34

Comparar relaciones proporcionales

Explicar cómo usar el punto (1, r) para hallar la tasa unitaria de una relación proporcional

Relacionar la tasa unitaria con la inclinación de la recta que representa la relación proporcional usando el triángulo unitario con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, r)

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 9

Se muestran las gráficas de varias relaciones proporcionales. Cada recta muestra la distancia en millas que se movió un objeto en función del número de horas que estuvo en movimiento. 0246810 6

Tiempo que estuvo en movimiento (horas) Distancia que se movió (millas)

a. En la gráfica, identifica cada relación que tenga una tasa unitaria mayor que 1. Usa las características de las rectas para justificar tu respuesta. Las relaciones representadas por las rectas ℓ y m tienen tasas unitarias mayores que 1 La relación representada por la recta n tiene una tasa unitaria de 1, y las rectas ℓ y m están más inclinadas que la recta n

b. ¿Qué punto de la recta ℓ tiene una coordenada y equivalente a la tasa unitaria? ¿Qué significa la tasa unitaria en esta situación?

El punto (1, 5) tiene una coordenada y equivalente a la tasa unitaria de la relación representada por la recta ℓ. La tasa unitaria significa que el objeto asociado a la recta ℓ se movió 5 millas por cada hora que estuvo en movimiento.

Vistazo a la lección

En esta lección digital, sus estudiantes exploran la conexión entre la tasa unitaria y la inclinación de la recta que representa la relación proporcional. Eligen valores y crean gráficas de situaciones del mundo real para observar que una relación proporcional con una tasa unitaria mayor está representada por una recta más inclinada. Crean y analizan triángulos unitarios y usan el punto (1, r) para comparar relaciones proporcionales. En esta lección, se presenta el término triángulo unitario.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Preguntas clave

• ¿Cómo se relaciona la inclinación de una recta con el triángulo unitario de una relación proporcional?

• ¿Cómo podemos comparar dos relaciones proporcionales?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA5 Interpretan el significado de cualquier punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, incluidos los puntos (0, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria. (7.RP.A.2.d)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min D

Aprender 25 min D

• Los hábitos alimentarios de los pandas

• Crear y usar el triángulo unitario

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Marcar puntos

La clase marca puntos para formar rectas como preparación para relacionar la tasa unitaria con la inclinación de la recta.

Instrucciones: Marca y rotula cada par de puntos. Luego, traza una recta que conecte los puntos y que pase por (0, 0). 1.

Nota para la enseñanza

Sus estudiantes pueden usar la hoja extraíble de Cuadrante I.

3. E(4, 1) y F 6,11

4. G(3, 5) y H(6, 10)

5. I(3, 2) y J(9, 6)

Presentar

La clase compara relaciones que se muestran como gráficas.

Sus estudiantes comparan y clasifican gráficas. Identifican que la gráfica de una relación proporcional es una recta que atraviesa el origen. Las actividades de esta lección están diseñadas para consolidar la comprensión de las gráficas de relaciones proporcionales y establecer una base para la inclinación de las gráficas, que será clave para entender la pendiente en 8.o grado.

Aprender

Los hábitos alimentarios de los pandas

Grupo B Grupo A

La clase explora la inclinación de las rectas de las relaciones proporcionales.

En el contexto de los pandas que comen bambú, sus estudiantes usan gráficas para representar e investigar la relación proporcional entre las libras de bambú que comieron los pandas y el tiempo que tardan distintos pandas en comer el bambú. Experimentan con las gráficas y comparan sus trabajos. Observan que una constante de proporcionalidad mayor significa una recta más inclinada y que una constante de proporcionalidad menor significa una recta menos inclinada.

Este trabajo sienta las bases para el trabajo con triángulos unitarios. 10

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando aplica su comprensión del triángulo unitario para comparar relaciones proporcionales.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo se relacionan el triángulo unitario y la gráfica?

• ¿Cómo pueden usar lo que saben sobre los triángulos unitarios como ayuda para comparar relaciones proporcionales?

Crear y usar el triángulo unitario

La clase explora maneras de profundizar en el razonamiento proporcional con el uso del triángulo unitario.

Sus estudiantes continúan explorando el contexto de los pandas que comen bambú para desarrollar el concepto del triángulo unitario. Crean el triángulo unitario y lo usan para construir la gráfica día a día. Establecen conexiones entre la gráfica, el triángulo unitario y la relación aditiva entre el valor de x consecutivo y el valor de y consecutivo en la tabla de razones. Esta actividad también da a la clase la oportunidad de repasar la tasa y usarla en un nuevo contexto.

¿Qué es lo importante del punto (1, r)?

El punto (1, r) me permite ver fácilmente la constante de proporcionalidad, r. El punto (1, r) es un punto del triángulo unitario.

Libras de bambú que comieron

Número de días

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Explicar cómo usar el punto (1, r) para hallar la tasa unitaria de una relación proporcional

Relacionar la tasa unitaria con la inclinación de la recta que representa la relación proporcional usando el triángulo unitario con vértices (0, 0), (1, 0) y (1, r)

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a volver a expresar o desarrollar las respuestas de sus pares. 1234567

DUA: Representación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Representación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Información presentada en varios formatos y modos de representación: se ilustran múltiples representaciones de relaciones proporcionales, lo que ayuda a que el triángulo unitario cobre sentido.

• Relaciones destacadas: el texto en color resalta la relación entre el triángulo unitario y los valores de una tabla.

¿Cómo se relaciona la inclinación de una recta con el triángulo unitario de una relación proporcional?

La inclinación de la recta depende del punto (1, r) del triángulo unitario. A medida que r aumenta, la recta se inclina más.

¿Cómo podemos comparar dos relaciones proporcionales?

Existen muchas estrategias diferentes para comparar relaciones proporcionales. Si se representan en el mismo plano de coordenadas, podemos comparar la inclinación de las rectas. Si se representan en tablas, podemos hallar la tasa unitaria o comparar los valores correspondientes de una misma cantidad.

Pida a sus estudiantes que dibujen triángulos unitarios en las gráficas de relaciones proporcionales en sus Organizadores gráficos de relaciones proporcionales.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

2. La gráfica y la tabla representan la misma relación proporcional.

a. Traza el triángulo unitario en la gráfica.

Comparar relaciones proporcionales

En esta lección:

• comparamos la inclinación de las rectas;

• determinamos la tasa unitaria r desde el punto (1, r);

• relacionamos la tasa unitaria con la inclinación de la recta;

• creamos y analizamos el triángulo unitario.

Ejemplos

Vocabulario

El triángulo unitario es el triángulo con vértices en (0, 0) (1, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria.

1. Escribe una ecuación que, representada gráficamente, produzca una recta menos inclinada que la recta de la gráfica de yx = 4 3 . Explica tu razonamiento.

yx = 3 2

Para que la gráfica de esta recta sea más inclinada, la constante de proporcionalidad debería ser mayor que 4 3 .

Cuanto mayor sea la tasa unitaria, más inclinada será la recta.

3 2 4 3 >

La gráfica de la recta yx = 3 2 sería más inclinada que la gráfica de la recta yx = 4 3

b. Muestra en la tabla las propiedades aditivas del triángulo unitario.

Cuando el cambio en los valores de x es 1 en una relación proporcional, el cambio en los valores de y es la longitud del lado vertical del triángulo unitario.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

PR ÁCTICA 9

1. La relación A tiene una constante de proporcionalidad de 43 4 . La relación B tiene una constante de proporcionalidad de 3. Cuando se representa gráficamente, ¿qué relación está representada por una recta más inclinada? Explica tu razonamiento.

La relación A está representada por una recta más inclinada porque, por cada distancia horizontal de 1, subes 43 4 , que es más que 3

2. Escribe una ecuación que, representada gráficamente, produzca una recta menos inclinada que la recta de la gráfica de y = 7x. Explica tu razonamiento.

yx = 3

Para que esta recta sea menos inclinada, la constante de proporcionalidad debe ser menor que 7

3.

recta a muestra cuántas monedas clasifica la máquina A por segundo. La recta b muestra cuántas monedas clasifica la máquina B por segundo. 04

a. ¿Cómo sabes que estas rectas representan relaciones proporcionales?

Cada recta atraviesa el origen.

b. Escribe una ecuación que relacione el número de segundos t con el número de monedas clasificadas c por la máquina A.

ct = 25 ©

c. Escribe una ecuación que relacione el número de segundos t con el número de monedas clasificadas c por la máquina B. ct = 2

d. ¿Qué máquina clasifica las monedas más rápido? ¿Cómo lo sabes?

La máquina A clasifica 2.5 monedas por segundo porque la constante de proporcionalidad es 2.5

La máquina B clasifica 2 monedas por segundo porque la constante de proporcionalidad es 2

La máquina A clasifica las monedas más rápido que la máquina B porque 2.5 es mayor que 2 ©

4. La paga de Abdul es proporcional al número de horas que trabaja. La paga de Eve es proporcional al número de horas que trabaja.

Tiempo de trabajo de Abdul (horas) Paga de Abdul (dólares)

3 26.25

7 61.25

9 78.75

Tiempo de trabajo de Eve (horas) Paga de Eve (dólares)

2 19

6 57

13.5 128.25

a. Escribe una ecuación que relacione la paga de Abdul p en dólares con el número de horas que trabaja t pt = 875

b. Escribe una ecuación que relacione la paga de Eve p en dólares con el número de horas que trabaja t pt = 95

c. ¿Quién gana más dinero por hora? ¿Cómo lo sabes?

Abdul gana $8.75 por cada hora que trabaja porque la constante de proporcionalidad es 8.75

Eve gana $9.50 por cada hora que trabaja porque la constante de proporcionalidad es 9.5

Eve gana más dinero por hora porque 9.5 es mayor que 8.75

130 PRÁCTICA

5. La gráfica y la tabla representan la misma relación proporcional.

a. Traza el triángulo unitario en la gráfica.

b. Muestra en la tabla las propiedades aditivas del triángulo unitario.

10. Determina si cada situación representa una relación proporcional o no proporcional. Explica cómo lo sabes.

Situación 1:

El costo de las zanahorias es $1.29 por libra.

Situación 2:

En el juego de boliche, el alquiler de los zapatos de boliche cuesta $3.00 y cada partida de juego cuesta $4.00.

Situación 3:

Kabir trabaja en una heladería y gana $9.50 por hora.

La situación 2 no representa una relación proporcional porque existe un costo inicial por el alquiler de los zapatos de boliche.

Las situaciones 1 y 3 representan relaciones proporcionales porque cada una tiene una tasa unitaria constante y ningún costo adicional.

11. Usa el diagrama para emparejar cada descripción con su razón.

de la razón Razón

132

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 10

Aplicar el razonamiento proporcional

Representar relaciones proporcionales como ecuaciones

Resolver problemas aplicando el razonamiento proporcional

Vistazo a la lección

Una distancia de 33 centímetros es aproximadamente equivalente a 13 pulgadas. Nombre

Jonás sabe que 1 pulgada es equivalente a 2.54 centímetros. Sea x el número de pulgadas en una distancia medida. Sea y el número de centímetros en la misma distancia medida.

a. Escribe una ecuación que Jonás podría usar para convertir pulgadas a centímetros.

yx = 2.54

En esta lección, se presentan varios problemas de relaciones proporcionales del mundo real y la clase trabaja en forma conjunta para resolverlos. Mediante la conversación y el trabajo en parejas, sus estudiantes identifican la constante de proporcionalidad y explican su significado en contexto. Escriben ecuaciones usando la constante de proporcionalidad y, luego, usan las ecuaciones para hallar valores desconocidos.

Preguntas clave

• ¿Prefieren escribir una ecuación a partir de una tabla, una gráfica o una situación? ¿Por qué?

b. Usa la ecuación que creaste en la parte (a) para convertir 11 pulgadas a centímetros.

yx = = = 2.54

2.5411

27.94 ()

Una distancia de 11 pulgadas es equivalente a 27.94 centímetros.

c. Usa la ecuación que creaste en la parte (a) para convertir 33 centímetros a pulgadas. Redondea a la pulgada más cercana.

332.54

• Cuando sustituimos una variable por un número en una ecuación de dos variables, ¿cómo determinamos qué variable debemos sustituir?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes). (7.RP.A.3)

332.542.542.54

12.99

yx x x x = = ÷= ÷ ≈ 2.54

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Camión de tacos

• De dólares a libras esterlinas

• Reciclaje

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• tarjetas de Clasificación de tarjetas: Contextos proporcionales (1 set por estudiante)

Preparación de la lección

• Prepare 1 set de tarjetas de Clasificación de tarjetas: Contextos proporcionales por estudiante.

Fluidez

Resolver ecuaciones de un paso

La clase resuelve ecuaciones de un paso como preparación para hallar valores desconocidos en situaciones representadas por relaciones proporcionales.

Instrucciones: Resuelve las ecuaciones.

Presentar

La clase identifica relaciones proporcionales dadas en diversas representaciones. Pida a sus estudiantes que trabajen de forma independiente en la actividad de Clasificación de tarjetas: Contextos proporcionales. Indíqueles que agrupen las tarjetas que tengan representaciones de la misma relación proporcional. Se incluyen dos tarjetas como distractores. Estas tarjetas representan relaciones proporcionales, pero no coinciden con las representaciones de ninguna otra tarjeta. Cuando sus estudiantes hayan terminado, pídales que comparen las soluciones con sus pares.

Nota para la enseñanza

En lugar de administrar la actividad de Fluidez de esta lección, considere usar la Práctica veloz: Ecuaciones de un paso con multiplicación. Puede encontrar instrucciones para administrar estas actividades en el recurso de la sección Fluidez.

DUA: Participación

La actividad Clasificación de tarjetas: Contextos proporcionales tiene representaciones que presentan distintos grados de dificultad para determinar la constante de proporcionalidad. Ofrecer esta variedad garantiza que la clase se enfrente a retos adecuados según los niveles, lo que contribuye a mantener el esfuerzo y la perseverancia.

Recorra el salón de clases y preste atención a las diferentes estrategias para hallar la solución y a los conceptos erróneos para abordarlos durante una conversación de toda la clase.

Guíe una conversación de toda la clase e invite a un pequeño grupo de estudiantes a compartir sus estrategias para identificar relaciones equivalentes. Luego, comente los conceptos erróneos que dieron lugar a errores al agrupar las relaciones.

Ahora que sus estudiantes han visto relaciones proporcionales representadas por situaciones, gráficas, tablas y ecuaciones, puede hacer una transición al siguiente segmento donde verán qué más pueden aprender de una ecuación de una relación proporcional.

Todas estas representaciones de las relaciones proporcionales ayudan a comprender el contexto. Hoy, usaremos ecuaciones como ayuda para responder preguntas sobre relaciones proporcionales.

Camión de tacos

La clase escribe una ecuación a partir de una tabla para hallar valores desconocidos.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema Camión de tacos. Pídales que completen el problema 1 en parejas.

Puede ser útil consultar la hoja de respuestas antes de implementar esta actividad.

1. La tabla muestra cuánto tiempo trabajó Lily y cuánto ganó durante sus últimos tres turnos en el Camión de tacos. Tiempo trabajado (horas)

Diferenciación: Apoyo

Identificar y definir las dos cantidades que son proporcionales es un punto de partida para escribir ecuaciones. Pida a sus estudiantes que verbalicen la relación si tienen dificultades para escribir la ecuación.

Por ejemplo, “Tomen el número de horas trabajadas y multiplíquenlo por 8.2. Así obtendrán las ganancias”. Sus estudiantes pueden reescribir las descripciones escritas como ecuaciones en sus hojas.

a. ¿Es el dinero que gana Lily proporcional al número de horas que trabaja? Explica tu razonamiento.

Sí. El dinero que gana Lily es proporcional al número de horas que trabaja. Gana $8.20 por cada hora que trabaja.

b. Escribe una ecuación que relacione el dinero que gana Lily g en dólares con el número de horas que trabaja h.

gh = 8.2

c. Lily gana $45.10. ¿Cuántas horas trabaja para ganar esa cantidad?

Lily trabaja 5.5 horas para ganar $45.10.

d. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo unitario para esta relación? Explica tu razonamiento.

(0, 0), (1, 0), (1, 8.2)

La primera coordenada es siempre el origen, (0, 0). A partir de ahí, te desplazas una unidad hacia la derecha; entonces, la siguiente coordenada es (1, 0). Desde este punto, subes de acuerdo con la tasa unitaria que es 8.2; entonces, la coordenada es (1, 8.2).

e. Escribe una ecuación que produzca una gráfica más inclinada que la gráfica de la ecuación que hallaste en la parte (b). Usa las mismas variables que en la parte (b). ¿Cómo se relaciona tu nueva ecuación con la situación?

eh = 9

Lily ganaría $9.00 por hora.

Vuelva a reunir a la clase y use las siguientes preguntas para conversar sobre el problema 1: ¿Qué estrategias han usado para determinar si se trata o no de una relación proporcional?

Dividimos los ingresos entre el número correspondiente de horas trabajadas. Cuando obtenemos siempre el mismo valor, sabemos que es una relación proporcional.

Dividimos una cantidad de ingresos entre el número correspondiente de horas trabajadas. Luego, multiplicamos el cociente por cada uno de los demás valores de horas trabajadas. Cuando obtenemos el importe de ganancias correspondiente a cada uno de los otros valores, sabemos que se trata de una relación proporcional.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante razona de forma abstracta y cuantitativa (MP2) cuando descontextualiza una relación proporcional para escribir y usar una ecuación y, luego, hallar los valores desconocidos. Luego, contextualiza la solución para dar sentido al valor.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP2:

• ¿Qué les dice esta tabla sobre la ecuación?

• ¿Tienen sentido sus respuestas en este contexto?

DUA: Representación

Mientras sus estudiantes describen sus estrategias, ilustre su razonamiento en el pizarrón. En cada estrategia, resalte y haga énfasis en la estructura de la tabla.

Nota para la enseñanza

Promueva una conversación sobre cómo un bono, un aumento u otra variación en el pago pueden determinar si la relación es siempre una relación proporcional.

¿Cómo determinaron las coordenadas de los vértices del triángulo unitario?

Sé que el primer punto del triángulo unitario está siempre en (0, 0). A partir de ahí, me desplazo una unidad a la derecha; entonces, la siguiente coordenada es (1, 0). La siguiente coordenada está determinada por la tasa unitaria r. Está ubicada en (1, r). En esta relación, la tasa unitaria es 8.2; entonces, la coordenada es (1, 8.2).

¿Está bien que haya estudiantes que tengan respuestas diferentes en la parte (e)?

Sí. El único requisito es que la constante de proporcionalidad sea mayor que 8.2. Cuanto mayor sea la constante de proporcionalidad de una relación, más inclinada será la recta de su gráfica.

De dólares a libras esterlinas

La clase escribe una ecuación a partir de una gráfica para hallar valores desconocidos.

Presente el problema y lea las instrucciones a sus estudiantes. Dé a la clase un minuto para repasar el problema y la gráfica de manera individual.

Vuelva a reunir a la clase para comentar el contexto de este problema. Consulte la Nota para la enseñanza si desea información adicional sobre las libras esterlinas. Considere mostrar la fotografía de las libras esterlinas. Guíe una conversación de toda la clase sobre las experiencias de sus estudiantes con otras monedas.

¿Han oído hablar de alguien que necesite cambiar moneda?

¿Qué otros tipos de moneda conocen?

Peso mexicano

Euro

Yen japonés

Franco suizo

Pida a sus estudiantes que trabajen en grupos de tres para completar el problema 2. Recorra el salón de clases para brindar apoyo según sea necesario.

Nota para la enseñanza

Brinde apoyo a sus estudiantes para que determinen las coordenadas de los vértices del triángulo unitario y ayúdeles a avanzar haciendo referencia a lo aprendido en la lección 9.

Nota para la enseñanza

En los Estados Unidos, usamos dólares estadounidenses para pagar por lo que compramos porque es nuestra moneda. Otros países tienen sus propias monedas. Si viajan fuera de los Estados Unidos, quizás deban cambiar algunos dólares estadounidenses por una moneda diferente.

En el Reino Unido, que incluye Inglaterra, Escocia, Gales e Irlanda del Norte, se usa la libra esterlina como moneda. De acuerdo con Global Exchange, la libra esterlina es la moneda más antigua.

2. Cuatro personas planean viajar al Reino Unido. Quieren cambiar parte de sus dólares estadounidenses por libras esterlinas. En la gráfica se muestran sus cambios de moneda.

Libras esterlinas

040120200280360440520600 40 120 200 280 360 440 d (200,152) (375,285) (450,342) (600,456) l

Dólares estadounidenses

a. ¿Qué significa el punto (375, 285) en esta situación?

Significa que 375 dólares estadounidenses equivalen a 285 libras esterlinas.

b. ¿Es el valor de la libra esterlina proporcional al valor del dólar estadounidense? Explica tu razonamiento.

Sí. Las libras esterlinas son proporcionales a los dólares estadounidenses porque los puntos parecen estar ubicados en una recta que atraviesa el origen.

c. Escribe una ecuación que describa el número de libras esterlinas l que alguien recibe cuando cambia un número cualquiera de dólares estadounidenses d.

152 200 = 0.76

La constante de proporcionalidad es 0.76.

ld = 0.76

d. Estás planeando viajar al Reino Unido y quieres 380 libras esterlinas para pagar la comida y el transporte durante tu viaje. ¿Cuántos dólares necesitas cambiar? Muestra el trabajo para justificar tu respuesta.

3800.76

3800.760.760.76

ld d d d = = ÷= ÷ = 0.76

500

Necesito cambiar 500 dólares estadounidenses para tener 380 libras esterlinas. e. Alguien cambia 300 dólares estadounidenses. ¿Cuántas libras esterlinas recibe a cambio?

ld = = = 076

076300 228 . .()

Recibe 228 libras esterlinas a cambio de 300 dólares estadounidenses.

Pida a sus estudiantes que vuelvan a reunirse con todo el grupo. Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Qué parte del problema 2 fue la más difícil para tu grupo? ¿Por qué?

La parte (c) me ha parecido la más difícil porque, al principio, no sabía cómo dividir para pasar de dólares a libras.

Luego, observé que, en los cuatro intercambios, el número de dólares era mayor que el de libras.

Esto me indicó que tendría que multiplicar el número de dólares por un número menor que 1.

Diferenciación: Desafío

Desafíe a sus estudiantes a escribir una ecuación que describa el número de dólares estadounidenses que reciben al cambiar libras esterlinas.

dl = 25 19

Acepte todas las variaciones equivalentes de esta ecuación.

Reciclaje

La clase escribe una ecuación a partir de una situación para hallar valores desconocidos.

Guíe la transición de sus estudiantes al problema Reciclaje. Considere pedirles que trabajen en parejas para completar el problema 3. Recorra el salón de clases en busca de distintas estrategias para hallar la solución a la parte (d).

3. Una compañía de reciclaje paga $0.35 por libra de latas de aluminio vacías. Esta es una relación proporcional.

a. ¿Cuáles son las dos cantidades proporcionales? Define variables para cada cantidad y escribe una ecuación que represente la relación.

El pago por las latas p en dólares y las libras de latas de aluminio vacías l son proporcionales.

pl = 0.35

b. Tienes 9.4 libras de latas de aluminio vacías para reciclar. ¿Cuánto dinero recibirás?

Recibiré $3.29.

c. Tienes un recibo por $5.81 de la compañía de reciclaje. ¿Cuántas libras de latas de aluminio vacías reciclaste? pl

Reciclé 16.6 libras de latas de aluminio vacías.

d. La lata de aluminio vacía promedio pesa alrededor de 15 gramos. Hay aproximadamente 453.6 gramos en una libra. ¿Cuántas latas de aluminio vacías debes reciclar para ganar $7.00?

Diferenciación: Apoyo

70.35

70.350.350.35 20

pl l l l = = ÷= ÷ = 0.35

Necesito 20 libras de latas de aluminio vacías para ganar $7.00.

4536 15 . = 30.24

Aproximadamente 30.24 latas de aluminio vacías pesan un total de 1 libra.

()20()30.24604.8 =

Necesito aproximadamente 605 latas de aluminio vacías.

Confirme las respuestas de las partes (a) a (c). Luego, invite a las parejas a compartir su estrategia para hallar la solución a la parte (d).

Los ejemplos de respuesta para la parte (d) incluyen los siguientes:

Nuestro grupo determinó cuántas latas de aluminio vacías hay en una libra antes de determinar cuántas libras necesitaríamos para ganar $7.00.

Averiguamos cuántas libras de latas de aluminio vacías se necesitan para ganar $7.00. Luego, hallamos cuántas latas de aluminio vacías había en 1 libra y multiplicamos.

Pida a la clase que exprese su opinión ante el número de latas necesarias.

¿Les sorprendió el número de latas de aluminio vacías?

Esperaba un número más pequeño de latas de aluminio vacías. Llevaría bastante tiempo reunir 605 latas de aluminio vacías.

Si sus estudiantes necesitan orientación en la parte (d), pídales que piensen en la respuesta esperada. Haga preguntas como estas:

• ¿Qué unidad buscamos, el número de latas o una cantidad en dólares?

• ¿Cuál es un número razonable de latas? ¿Y qué número de latas no es razonable?

• ¿Qué información es más útil? ¿Cómo hallaron esa información?

• ¿Qué información pueden hallar usando $7.00? ¿Cómo se relaciona eso con la respuesta final?

Diferenciación: Desafío

Pida a sus estudiantes que calculen cuántas bebidas en latas de aluminio se consumen en la escuela a diario. Haga preguntas como estas:

• Si se instalan contenedores de reciclaje, ¿aproximadamente cuánto dinero podrían ganar reciclando esas latas cada semana? ¿Y cada año?

• ¿Es razonable estimar que todas las personas reciclarán sus latas? ¿Cómo pueden representarlo?

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Representar relaciones proporcionales como ecuaciones

Resolver problemas aplicando el razonamiento proporcional

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas:

Cuando escribieron la ecuación en el problema 3, ¿en qué se diferenció de escribir las ecuaciones en los problemas 1 y 2?

En el problema 3, la constante de proporcionalidad se daba en la situación. En el problema 1, dividí los ingresos entre el número de horas correspondiente para hallar la constante de proporcionalidad k. En el problema 2, dividí un valor en libras esterlinas entre el valor correspondiente en dólares estadounidenses para hallar la constante de proporcionalidad. Usé la constante de proporcionalidad a fin de escribir la ecuación para la relación en la forma y = kx.

¿Prefieren escribir una ecuación a partir de una tabla, una gráfica o una situación? ¿Por qué?

Depende de cómo se presenten los valores en la representación. Cuando la constante de proporcionalidad k es visible en la representación, es sencillo escribir la ecuación. Si tienes una tabla o una gráfica, debes identificar el par ordenado (1, k) para determinar la constante de proporcionalidad. Una situación suele incluir la constante de proporcionalidad; sin embargo, a veces es necesario hacer un cálculo.

Cuando sustituimos una variable por un número en una ecuación de dos variables, ¿cómo determinamos qué variable debemos sustituir?

Necesitamos ver cómo se definen las variables. Sustituimos la variable que tenga las mismas unidades que el valor dado por ese valor. La otra variable tiene las mismas unidades que el valor desconocido que intentamos hallar.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección.

Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

7

b. Escribe una ecuación que relacione el dinero que gana Nora g en dólares con el número de horas que trabaja h gh = 14

Aplicar el razonamiento proporcional

En esta lección:

• identificamos relaciones proporcionales equivalentes a partir de diferentes representaciones;

• determinamos la constante de proporcionalidad y explicamos su significado en la situación;

• escribimos ecuaciones para hallar valores desconocidos.

Ejemplos

Usa la siguiente tabla para responder las partes (a) a (d). Tiempo que trabaja Nora (horas)

a. ¿Es el dinero que gana Nora proporcional al número de horas que trabaja? Explica tu razonamiento.

Hay que dividir cada par de valores para ver si existe una tasa unitaria constante.

Sí. El dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. Gana $14 por cada hora que trabaja.

© Great Minds PBC

142

c. Nora gana $98. ¿Cuántas horas trabaja? Trabaja 7 horas para ganar $98 gh h h h = = ÷= ÷ = 14 9814 98141414

7

Nora ganará $217 si trabaja 15.5 horas la próxima semana. Como se trata de una relación proporcional, la ecuación debe escribirse en la forma y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad.

$98 representa el dinero que gana Nora; entonces, se debe sustituir g por ese valor.

d. Imagina que Nora trabajará 15.5 horas la próxima semana. ¿Cuánto ganará?

gh = = = 14 14(15.5)

217

15.5 representa el número de horas que trabaja Nora; entonces, se debe sustituir h por ese valor.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1

(horas)

(dólares)

Sea x el número de horas trabajadas. Sea y la ganancia en dólares.

yx = 9.25

Sea x el número de horas trabajadas.

Sea y la ganancia en dólares. yx = 11

Relación 2

(horas)

(dólares)

Relación 3

So-hee tiene un trabajo de media jornada en el que le pagan $7.50 por hora. Sea x el número de horas trabajadas. Sea y la ganancia en dólares.

1. Usa la siguiente tabla para responder las partes (a) a (d).

Tiempo que trabaja Shawn (horas) Ganancia (dólares)

a. ¿Es el dinero que gana Shawn proporcional al número de horas que trabaja? Explica tu razonamiento.

Sí. El dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. Gana $12.50 por cada hora que trabaja.

b. Escribe una ecuación que relacione el dinero que gana Shawn g en dólares con el número de horas t que trabaja.

gt = 125

c. Shawn gana $62.50. ¿Cuántas horas trabaja?

Shawn trabaja 5 horas.

d. Imagina que Shawn trabajará 17 horas la próxima semana. ¿Cuánto ganará?

Shawn ganará $212.50 ©

2. Yu Yan puede recorrer un promedio de 23 millas por cada galón de gasolina que consume su auto.

a. Escribe una ecuación que relacione el número de millas recorridas m con el número de galones de gasolina que usa g mg = 23

b. Yu Yan planea recorrer 391 millas. ¿Cuántos galones de gasolina necesita?

Necesita 17 galones de gasolina para recorrer 391 millas.

c. Yu Yan tiene 12 galones de gasolina en su auto. ¿Qué distancia puede recorrer?

Puede recorrer 276 millas cuando tiene 12 galones de gasolina.

3. En la gráfica se muestran las conversiones entre el número de pintas y el número de onzas líquidas.

a. ¿Son proporcionales el número de pintas y el número de onzas líquidas?

Sí. Los puntos parecen estar ubicados en una recta que atraviesa el origen.

b. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas líquidas o con el número de pintas p op = 16

c. La receta lleva 11 pintas de agua. ¿Cuántas onzas líquidas hay en 11 pintas de agua?

Hay 176 onzas líquidas en 11 pintas de agua.

d. Un cubo de hielo promedio contiene 1 onza líquida de agua. Shawn coloca 64 cubos de hielo en una jarra vacía. Cuando se derritan los cubos de hielo, ¿aproximadamente cuántas pintas de agua habrá en la jarra?

Cuando se derritan los cubos, habrá aproximadamente 4 pintas de agua en la jarra.

©

Recuerda

En los problemas 4 a 7, suma.

8. ¿Cuáles de las siguientes situaciones representan relaciones proporcionales? Elige todas las opciones que correspondan.

9. Alguien de 7.o grado hace saltos de tijera a una tasa constante. Si hace 40 saltos de tijera en un minuto, ¿cuántos hace en 15 segundos?

Hace 10 saltos de tijera en 15 segundos.

G. El precio de cada banana es $0.25

H. Jonás tiene $15 en una cuenta de ahorros. Agrega $3 a la cuenta cada semana.

145 PRÁCTICA

146 PRÁCTICA

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 10

50454035300 252015105 x

y T iempo trabajado (horas )

Ganancia (dólares)

Sea x el número de horas trabajadas. Sea y la ganancia en dólares. yx = 75 .

Sea x el número de horas trabajadas. Sea y la ganancia en dólares.

yx = 11

So-hee tiene un trabajo de media jornada en el que le pagan $7.50 por hora.

y Tiempo trabajado (horas)

50454035300 252015105

Ganancia (dólares)

Tiempo trabajado (horas)

Ethan ganó $6.25 por trabajar 30 minutos. Sea x el número de horas trabajadas. Sea y la ganancia en dólares.

yx = 92 5

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 11

LECCIÓN 11

Tasas constantes

Representar problemas de tasas como relaciones proporcionales con ecuaciones

Resolver problemas de tasas

Nombre Fecha

Nora y Shawn recaudan dinero para organizaciones benéficas en una maratón en bicicleta.

a. Nora recauda una cantidad constante de dinero por cada milla que recorre. Recorre 14 millas y recauda un total de $235.90 ¿Cuánto dinero recauda Nora por cada milla que recorre?

23590141685 ÷=

Nora recauda $16.85 por cada milla que recorre.

b. Shawn recauda $13.25 por cada milla que recorre. Shawn recauda un total de $251.75 ¿Cuántas millas recorre Shawn en bicicleta?

25175132519 ÷=

Shawn recorre 19 millas.

Vistazo a la lección

En esta lección, la clase comienza usando la rutina de resolución de problemas Lee-Representa-Resuelve-Resume para representar y resolver un problema histórico que involucra razonamiento proporcional. Luego, sus estudiantes colaboran en parejas para ilustrar y representar problemas de tasas con rectas numéricas dobles y ecuaciones. Identifican las tasas conocidas como relaciones proporcionales.

Preguntas clave

• ¿Qué es una tasa y cómo usamos las tasas para resolver problemas?

• ¿Qué patrones observamos en las ecuaciones que representan tasas?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes). (7.RP.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• El problema de velocidad de Shawn

• Patrones en ecuaciones que representan tasas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• Repase el recurso Las matemáticas en el pasado como apoyo para enseñar la sección Presentar.

Fluidez

Dividir números racionales

La clase divide números racionales como preparación para resolver problemas de tasas.

Evalúa.

Presentar

10

La clase usa la representación y la posición falsa como estrategias para resolver un problema sobre la historia de las matemáticas.

Presente el problema planteado en el recurso Las matemáticas en el pasado y recuerde a sus estudiantes la rutina de resolución de problemas Lee-Representa-Resuelve-Resume que aprendieron en 6.o grado.

Hoy, trabajaremos en la adquisición de hábitos productivos para la resolución de problemas.

Lean el problema en silencio mientras yo leo en voz alta.

La suma de una cantidad y su cuarto da 15. ¿Cuál es la cantidad?

Las matemáticas en el pasado

La suma de una cantidad y su cuarto da 15. ¿Cuál es la cantidad?

Este problema fue planteado por primera vez hace más de 3,600 años por un escriba egipcio llamado Ahmes. Observen el uso del término cantidad en este problema. Cuando hablamos de cantidad, nos referimos a la medida de algo, como 4 manzanas o 6 horas. En este problema, la cantidad se refiere solo a un número, como 4 o 6, sin una unidad como manzana u hora.

Sus estudiantes participan en la parte de lectura de la rutina Resolución de problemas, y se reúnen y conversan en parejas sobre estas dos preguntas:

• ¿Qué me pide hallar el problema?

• ¿Qué sé?

Anime a sus estudiantes a leer el problema las veces que sea necesario para que comprendan la pregunta. Considere pedirles que compartan lo que entendieron con la clase antes de usar el siguiente planteamiento:

Ahora que hemos leído y comprendido el problema, otro hábito productivo es hallar una manera de representar la relación sobre la que leímos. Podemos representarla mediante un diagrama de cinta, una ecuación, una gráfica, una tabla o cualquier otro modelo.

Representar la relación nos ayuda a pasar de la simple lectura del problema a su resolución y a resumir nuestros descubrimientos.

Nota para la enseñanza

La sección Presentar incluye referencias a dos recursos importantes: el recurso Las matemáticas en el pasado del módulo 1 y la rutina de resolución de problemas Lee-Representa-Resuelve-Resume.

La representación en Una historia de razones incluye la rutina Lee-Representa-ResuelveResume. Se trata de una rutina de resolución de problemas de nivel intermedio que conecta el método Lee-Dibuja-Escribe (LDE) de Una historia de unidades® con el ciclo de representación matemática formal usado en Una historia de funciones® .

Las matemáticas en el pasado

El recurso Las matemáticas en el pasado incluye más información sobre el problema de Ahmes y el método de la posición falsa.

El método de la posición falsa de Ahmes es una de las varias herramientas que sus estudiantes pueden elegir para resolver problemas en esta lección o en lecciones posteriores. Si hay tiempo suficiente, considere pedir a sus estudiantes que usen el método de la posición falsa para representar y resolver el segundo problema que aparece en el recurso Las matemáticas en el pasado:

• La suma de una cantidad, su tercio y su cuarto da 76. ¿Cuál es la cantidad?

Permita que sus estudiantes trabajen en parejas para representar y resolver el problema seleccionando un modelo y probando soluciones. Mientras trabajan, recorra el salón de clases y escuche cómo reaccionan y actúan cuando se dan cuenta de que una solución es incorrecta. Además, busque estudiantes que usen un diagrama de cinta como modelo para la cantidad desconocida y su cuarto. Cuando la mayoría haya terminado, seleccione a algunas parejas para que compartan sus modelos y soluciones con la clase. Anime a sus estudiantes a compartir el proceso de resolución del problema, en especial el enfoque que adoptaron cuando no obtuvieron la respuesta correcta. Pídales que compartan la manera en que corrigieron su modelo para acercarse a la respuesta correcta hasta, finalmente, hallarla.

Muestre la imagen del papiro.

Presente a la clase un resumen breve de la historia de este problema. A continuación, se incluye un ejemplo de explicación. Consulte el recurso Las matemáticas en el pasado para obtener información adicional.

El problema que acabamos de resolver fue descubierto en este papiro, escrito por un escriba egipcio llamado Ahmes. Las personas que se desempeñaban como escribas eran personas instruidas que, a diferencia de la mayor parte de la población egipcia de esa época, podían leer, escribir y resolver problemas matemáticos.

La primera suposición de Ahmes fue 4. ¿Por qué creen que empezó con el número 4?

Quizás comenzó con el 4 porque 4 es un número entero fácil para trabajar. Es divisible entre 4, así que es fácil de hallar su cuarto y, además, es un número entero.

Guíe una conversación breve sobre el método de la posición falsa.

La manera en la que Ahmes resolvió el problema se llama el método de la posición falsa. La parte falsa es la primera suposición con un simple número entero, que casi siempre es errónea.

La parte de la posición es la cantidad desconocida del problema.

¿Cómo creen que Ahmes usó su respuesta falsa, 4, para obtener la respuesta correcta?

Ahmes sabía que su respuesta falsa, 4, daba lugar a una suma de tan solo 5; entonces, probablemente hizo otra suposición usando un número más grande que 4.

Podría haberse dado cuenta de que usando 4 obtenía una suma de 5, que es 1 3 de lo que buscaba. Si se dio cuenta de eso, probablemente multiplicó su suposición por 3 para obtener una suma que también fuese tres veces esa cantidad.

Ahmes necesitaba mantener la cantidad y su cuarto en proporción. Multiplicó su suposición por 3, lo que le dio la cantidad de 12 y su cuarto, 3, que es proporcional a su suposición de 4 y su cuarto, 1. Hoy en día, este método se conoce como razonamiento proporcional.

¿En qué se parece la posición falsa al método que usaron para resolver el problema? También empezamos con una respuesta incorrecta y, luego, usamos nuestro diagrama para acercarnos a la respuesta correcta.

En las próximas lecciones, resolveremos una serie de problemas de varios pasos que incluyen tasas y razones. Tengan en cuenta el método de la posición falsa de Ahmes, así como los hábitos productivos para la resolución de problemas, mientras trabajan para hallar soluciones razonables y precisas.

Aprender

25

El problema de velocidad de Shawn

La clase usa una recta numérica doble para representar un problema de velocidad y determinar una relación proporcional.

Presente El problema de velocidad de Shawn. Lea el problema en voz alta y, luego, muestre cómo usar una recta numérica doble para que sus estudiantes vuelvan a familiarizarse con esa herramienta. Demuestre cómo rotular las marcas de graduación Número de horas y Número de millas y, luego, pida a sus estudiantes que hagan lo mismo en sus rectas numéricas dobles. Considere rotar la recta numérica doble de manera que quede con orientación vertical y los rótulos queden en la parte superior. Luego, pregúnteles si observaron lo mucho que se parece a una tabla de razones.

Una vez que hayan rotulado la recta numérica doble, pídales que trabajen en parejas para completar el problema 2.

DUA: Representación

Para activar los conocimientos previos sobre las rectas numéricas dobles, considere brindar un ejemplo antes de que sus estudiantes completen El problema de velocidad de Shawn.

Muestre un ejemplo de una recta numérica doble y demuestre cómo determinar pares de valores multiplicando un par dado por una constante. Muestre cómo dividir un intervalo en la recta numérica doble y hallar valores intermedios, por ejemplo, cómo hallar el punto medio entre 8 horas (560 millas) y 9 horas (630 millas) manejando en El problema de velocidad de Shawn.

Si sus estudiantes necesitan un breve repaso sobre cómo representar problemas con una recta numérica doble, muéstreles una recta numérica completa y pregúnteles qué observan y qué tipo de problemas podrían resolver con el diagrama.

0120180240360480600

02346810

1. Shawn y su familia están haciendo un viaje por carretera. Viajan a una velocidad promedio de 70 millas por hora en la autopista. Usa una recta numérica doble para mostrar cuántas millas maneja la familia de Shawn durante intervalos de tiempo que van de 0 a 10 horas.

2. En las partes (a) a (c), usa la recta numérica doble para determinar la distancia que recorre la familia de Shawn durante las cantidades de tiempo dadas.

a. La familia de Shawn maneja por 8.5 horas.

595 millas

b. La familia de Shawn maneja por 30 minutos.

35 millas

c. La familia de Shawn maneja por t horas.

70t millas

Cuando hayan terminado el problema 2, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase:

¿Cómo hallaron el número de millas que recorre la familia de Shawn en 8.5 horas?

Coloqué una marca de graduación en el punto medio entre 8 y 9 horas. Luego, hallé el número de millas en el punto medio entre 560 y 630 millas, que es 595 millas.

Multipliqué 8.5 por 70.

¿Cómo averiguaron la distancia que recorre la familia de Shawn en 30 minutos?

Coloqué una marca de graduación en el punto medio entre 0 horas y 1 hora porque 30 minutos es 1 2 hora. Luego, descubrí que la marca de graduación estaba en el punto medio entre 0 y 70 millas, que es 35 millas.

Nota para la enseñanza

Un error común al buscar la distancia que recorre la familia de Shawn en 30 minutos es multiplicar 30 por la velocidad, 70, lo que da 2,100. Para abordar este concepto erróneo, pregunte si comprenden el contexto.

• Si la familia de Shawn recorre 70 millas en 1 hora, ¿tiene sentido que recorran 2,100 millas en 30 minutos?

• Si la familia de Shawn recorre 70 millas en 1 hora, ¿cuál es una estimación razonable para la distancia que pueden recorrer en 30 minutos?

Use el concepto erróneo señalado anteriormente para profundizar en la comprensión de la clase sobre la importancia de reconocer las unidades al calcular valores mediante el uso de tasas.

Muestre la cuadrícula de coordenadas de la figura 11.1.

Use las siguientes preguntas para desarrollar la gráfica de El problema de velocidad de Shawn con la clase:

¿Cómo debería ser la gráfica de la relación?

Debe ser una línea recta que atraviese el origen.

¿Qué puntos usamos para trazar el triángulo unitario en la gráfica? ¿Qué representa el triángulo?

Usamos los puntos (0, 0), (1, 0) y (1, 70) para trazar el triángulo unitario. El triángulo representa el aumento del tiempo de 0 horas a 1 hora y el aumento de la distancia recorrida de 0 millas a 70 millas.

Muestre cómo representar gráficamente la relación entre la distancia y el tiempo en la cuadrícula de la figura 11.1 o muestre la figura 11.2, que tiene el gráfico completo. En la figura 11.2, señale el triángulo unitario de la gráfica que incluye los puntos (0, 0) y (1, 70). Muestre la figura 11.3 y explique cómo se puede repetir el triángulo para hallar nuevos puntos en la gráfica de la relación.

Figura 11.1

Pida a sus estudiantes que completen los problemas 3 y 4 en parejas.

3. Escribe una ecuación que relacione la cantidad de tiempo t en horas que maneja la familia de Shawn con la distancia total d que recorre en millas.

dt = 70

4. Identifica la constante de proporcionalidad y explica qué representa en la situación.

La constante de proporcionalidad es 70. Representa la velocidad a la que maneja la familia de Shawn en millas por hora.

Confirme las respuestas de los problemas 3 y 4. Luego, use los planteamientos y las preguntas que siguen para explicar que la proporcionalidad se puede aplicar en muchos contextos que no son proporcionales, como manejar, para dar lugar a predicciones razonables:

¿Es razonable suponer que la familia de Shawn maneja a 70 millas por hora durante 10 horas seguidas? ¿Cómo pueden influir las predicciones de Shawn sobre la distancia que recorrerá su familia?

No, esa suposición no es razonable. Puede que la velocidad no sea constante todo el tiempo, que vayan más despacio cuando se encuentren en medio del tráfico o circulando por ciudades. Además, es probable que Shawn y su familia tengan que parar para cargar gasolina o comer durante las 10 horas, lo que hace que su suposición sobre la cantidad de millas sea demasiado grande.

¿Creen que todos los problemas relacionados con la velocidad implican relaciones proporcionales? ¿Por qué?

No creo que todos los problemas relacionados con la velocidad sean relaciones proporcionales. No parece realista hacer algo al mismo ritmo todo el tiempo. Por ejemplo, cuando corro, a veces tengo que reducir la velocidad o apurarme al final de la carrera. Cuando voy en auto, hay que detenerse ante los semáforos, las señales de tránsito y el tráfico. En otras ocasiones, podemos ir muy rápido.

A menudo pensamos en las situaciones como proporcionales para poder hacer predicciones sobre ellas, como cuando viajamos y queremos saber cuánto más tardaremos en llegar a nuestro destino. Puede que lo hayan hecho en la vida real sin darse cuenta. ¿Han intentado alguna vez predecir cuánto más tardarán en leer un libro según el tiempo que les ha llevado hasta ese momento? De ser así, lo que han hecho es tomar una situación que no es proporcional y pensarla como proporcional para hacer una predicción razonable.

Patrones en ecuaciones que representan tasas

La clase explora el lenguaje de las tasas y los contextos, observa la estructura de las ecuaciones con tasas y usa las ecuaciones para hallar valores desconocidos.

Para resaltar la parte de patrones de Patrones en ecuaciones que representan tasas, considere asignar primero solo la parte (a) de cada problema y, luego, anime a la clase a participar en una conversación sobre tasas. A continuación, asigne la parte (b) y guíe una conversación centrada en el uso de la tasa unitaria para escribir una ecuación. Por último, asigne la parte (c) y comente cómo usar la ecuación para responder una pregunta específica sobre cada situación.

Diferenciación: Apoyo

Sus estudiantes pueden necesitar práctica adicional para calcular tasas, escribir ecuaciones y usar ecuaciones para resolver problemas. Considere usar problemas similares a los problemas de tasas con los que trabajaron en Patrones en ecuaciones que representan tasas. Más abajo se presentan dos ejemplos de problemas. Si es necesario, puede proporcionar soportes para estos problemas pidiendo a sus estudiantes que primero calculen la tasa unitaria, luego, escriban la ecuación y, por último, hallen el valor desconocido.

• Pueden llenar una cubeta de 5 galones con una manguera de jardín en 50 segundos. A esa tasa, ¿cuánto tarda esa manguera en llenar una piscina con capacidad para 6,138 galones?

• Pueden contar 25 latidos del corazón en 20 segundos. Predigan cuántos latidos contarían en una hora.

Use las siguientes preguntas después de que sus estudiantes hayan completado la parte (a) de los problemas 5 a 7:

¿Qué otras situaciones pueden tener tasas?

El costo de la fruta por libra en el supermercado

La velocidad promedio a la que puedo correr una milla en la clase de Educación física

¿Qué observan acerca del valor numérico de la tasa?

Es la tasa unitaria y la constante de proporcionalidad de la relación.

¿Qué información proporcionan las tasas?

Nos dicen cuántas unidades de una cantidad hay por cada una de otra cantidad.

Use las siguientes preguntas después de que sus estudiantes hayan completado la parte (b) de los problemas 5 a 7 para asegurarse de que hayan formalizado cómo usar la tasa unitaria para escribir una ecuación:

¿Qué observan acerca de la forma en que se usa la tasa unitaria para escribir la ecuación?

Todas las ecuaciones están escritas en la forma y = kx, donde k representa la tasa unitaria.

¿Cómo se escribe la ecuación cuando la tasa unitaria no está indicada o no es obvia?

Si no se indica la tasa unitaria, divido el valor de y entre el valor de x para calcular la tasa unitaria y, luego, escribo la ecuación.

Use las siguientes preguntas después de que sus estudiantes hayan completado la parte (c) de los problemas 5 a 7:

¿Estas situaciones representan relaciones proporcionales? ¿Cómo lo saben?

Sí. Representan relaciones proporcionales porque todas tienen una tasa unitaria constante. Cada ecuación está escrita en la forma y = kx, donde k representa la tasa unitaria de la situación y también es la constante de proporcionalidad.

¿En qué piensan o a qué prestan atención cuando hallan un valor desconocido en una ecuación que representa una tasa?

Presto atención a lo que significan las variables para poder sustituir la variable correcta en la ecuación por el número que me dan.

Pienso si mi respuesta tiene sentido. Si obtengo algo que me parece incorrecto o poco razonable, vuelvo a comprobar mi trabajo.

Nota para la enseñanza

En la lección 2 del tema A del módulo 1, la clase aprendió cómo estructurar la ecuación de una relación proporcional.

En la parte (a) de Patrones en ecuaciones que representan tasas, quienes definan la tasa unitaria como 18 deben escribir la ecuación así: d = 18v. Quienes definan la tasa unitaria como 1 18 deben escribir la ecuación así: vd = 1 18 . Sin embargo, en este contexto, una tasa de millas por galón es más común y útil.

Guíe a sus estudiantes para que piensen qué tasa unitaria tiene más sentido en un contexto dado y, luego, usen esa tasa unitaria para escribir sus ecuaciones. Deben empezar a observar y describir patrones entre las unidades de tasa y la estructura de las variables en la ecuación. Sin embargo, evite decirles que las unidades se anulan entre la tasa y la variable independiente, ya que es un tema de la escuela secundaria.

5. Una manguera llena con agua un recipiente de 15 galones en 1.5 minutos.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria y qué significa en esta situación?

15 15 . = 10

La tasa unitaria es 10. Esto significa que, en cada minuto, la manguera libera

10 galones de agua.

b. Escribe una ecuación que represente esta situación. Define las variables de tu ecuación.

Sea v el volumen de agua liberada en galones y sea t el tiempo en minutos.

vt = 10

c. ¿Cuánto tarda la misma manguera en llenar una piscina de 2,000 galones?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando resuelve problemas de tasas de varios pasos hallando puntos de partida, observando su propio progreso y cuestionándose si los valores que calcula tienen sentido.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Cuáles son algunas estrategias que pueden probar para comenzar a resolver el problema?

• ¿Cómo pueden simplificar el problema?

• ¿Tiene sentido su respuesta?

Tarda 200 minutos en llenar una piscina de 2,000 galones.

6. Cuentas 20 latidos del corazón en 15 segundos.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria y qué significa en esta situación?

20

15 1 3 = 1

La tasa unitaria es 11 3 . Esto significa que, en cada segundo, el corazón late 11 3 veces.

b. Escribe una ecuación que represente esta situación. Define las variables de tu ecuación.

Sea l el número de latidos del corazón y sea t el tiempo en segundos.

lt = 11 3

c. A esta tasa, ¿cuántas veces late el corazón en un minuto?

Late 80 veces en un minuto.

7. Pagas $1.80 por 12 lápices.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria y qué significa en esta situación?

18 12 . = 0.15

La tasa unitaria es 0.15. Esto significa que, por cada lápiz, pago $0.15.

b. Escribe una ecuación que represente esta situación. Define las variables de tu ecuación.

Sea c el costo total en dólares y sea l el número de lápices comprados.

cl = 0.15

c. ¿Cuántos lápices puedes comprar con $12?

120.15

120.150.150.15

cl l l l = = ÷= ÷ = 0.15

80

Puedo comprar 80 lápices con $12.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Representar problemas de tasas como relaciones proporcionales con ecuaciones

Resolver problemas de tasas

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a expresar las estrategias que usaron para escribir tasas y ecuaciones que describen situaciones dadas.

¿Qué es una tasa y cómo usamos las tasas para resolver problemas? Una tasa es la forma en que describimos una relación de razones, como cuántas millas se recorrieron y cuántas horas se tardó. Si sabemos la tasa, podemos usarla para escribir una ecuación como y = kx. Para responder una pregunta sobre la situación, necesitamos la tasa y otro valor, ya sea el valor de x o el valor de y. Luego, podemos resolver la ecuación.

¿Qué patrones observan entre las tasas y las ecuaciones que las representan? Den un ejemplo.

La variable de la ecuación es siempre una de las dos unidades de la tasa. Por ejemplo, si la tasa es 10 galones por minuto; entonces, el valor desconocido que debo hallar será galones o minutos.

El coeficiente de la ecuación es la tasa unitaria. Por ejemplo, la tasa unitaria en El problema de velocidad de Shawn es 70, que representa la velocidad en millas por hora. La ecuación que representa esta ecuación es d = 70t.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Tasas constantes

En esta lección:

• representamos problemas de tasas con rectas numéricas dobles, gráficas y ecuaciones;

• observamos que las situaciones con tasas constantes representan relaciones proporcionales;

• calculamos tasas unitarias conocidas, como la velocidad, el rendimiento del combustible y el ritmo cardíaco, y las usamos para hallar valores desconocidos;

• observamos patrones en la forma en que se usan las tasas para escribir ecuaciones.

Ejemplo

Un minitriatlón local es una carrera que consta de tres partes: 0.25 millas de natación, 6.2 millas de carrera en bicicleta y 1.5 millas de carrera a pie.

a. Eve completa la parte de natación del minitriatlón en 10 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por minuto?

025 10 = 0.025

Eve nada a una velocidad promedio de 0.025 millas por minuto.

La velocidad promedio es una tasa. Para hallar la tasa, divide la distancia que nada Eve, 0.25 millas, entre el tiempo que tarda en nadar, 10 minutos.

b. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por hora?

1hora60minutos = 10 60 1 6 = Dado que hay 60 minutos en 1 hora, 10 minutos equivalen a 1 6 de una hora.

025 1 6 = 1.5

Eve nada a una velocidad promedio de 1.5 millas por hora.

Presta atención a las unidades de la tasa. Para hallar las millas por hora, convierte el tiempo en minutos a una fracción de una hora. 10 minutos es 1 6 de una hora porque hay 60 minutos en una hora.

c. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Eve en millas, d, con el número de minutos que nada, m

dm = 0.025

Escribe ecuaciones en la forma d = rt, donde d representa la distancia, r representa la tasa y t representa el tiempo. En este caso, usamos m para representar la cantidad de tiempo en minutos.

d. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Eve en millas, d, con el número de horas que nada, h

dh = 1.5

e. Parte de la prueba de natación incluye nadar toda la longitud de un muelle de 0.1 millas de largo. ¿Cuántos minutos tarda Eve en llegar al final del muelle?

0.10.025

Sustituye d por 0.1 porque esa es la distancia en millas que nada Eve.

dm m m m = = ÷= ÷ = 0.025

0.10.0250.0250.025 4

Tarda 4 minutos en llegar al final del muelle.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. Yu Yan compite en un triatlón de corta distancia. La carrera consta de tres partes: 0.5 millas de natación, 12.4 millas de carrera en bicicleta y 3.1 millas de carrera a pie.

a. Yu Yan completa la parte de natación del triatlón en 25 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por minuto?

Yu Yan nada a una velocidad promedio de 0.02 millas por minuto.

b. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por hora?

Yu Yan nada a una velocidad promedio de 1.2 millas por hora.

c. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Yu Yan en millas, d, con el número de minutos que nada, m

dm = 0.02

d. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Yu Yan en millas, d, con el número de horas que nada, h

dh = 1.2

e. Parte de la prueba de natación incluye nadar toda la longitud de un muelle de 0.2 millas de largo. Yu Yan nada a su velocidad promedio. ¿Cuántos minutos tarda en llegar al final del muelle?

Tarda 10 minutos en llegar al final del muelle.

f. Yu Yan completa la parte de carrera en bicicleta en 48 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio en bicicleta en millas por hora?

Yu Yan anda en bicicleta a una velocidad promedio de 15.5 millas por hora.

g. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que recorre Yu Yan, d con el tiempo que anda en bicicleta en horas, h

dh = 15.5

© Great Minds PBC

h. Un grupo de personas espera a Yu Yan para animarla en un lugar que está a 6.2 millas de la partida de la pista de carreras de bicicletas. Usando la ecuación de la parte (g), ¿durante cuántos minutos anda Yu Yan en bicicleta para llegar al lugar en que está el grupo de personas?

Como hay 60 minutos en una hora, Yu Yan tarda 24 minutos en llegar allí.

i. Yu Yan finaliza todo el triatlón de corta distancia en 1 hora y 38 minutos. Usa la información anterior para calcular el ritmo promedio de Yu Yan en minutos por milla para la parte de carrera a pie del triatlón. Redondea tu respuesta al décimo más cercano. El ritmo de Yu Yan es aproximadamente 8.1 minutos por milla.

2. Una cortadora de césped consume 0.75 galones de gasolina en 50 minutos de uso.

a. ¿Cuántos galones de gasolina consume la cortadora de césped en una hora de uso?

La cortadora de césped consume 0.9 galones de gasolina por hora de uso.

b. Escribe una ecuación que relacione el número de galones de gasolina g que consume la cortadora de césped con el tiempo de uso h en horas.

gh = 0.9

c. Liam estima que su cortadora de césped tiene alrededor de 1.25 galones en el tanque de gasolina. ¿Cuánto tiempo puede cortar el césped antes de que se vacíe el tanque de gasolina? Redondea tu respuesta al décimo de hora más cercano.

Liam puede cortar el césped por aproximadamente 1.4 horas antes de que se vacíe el tanque de gasolina.

Recuerda

En los problemas 3 a 6, suma o resta. 3.

7. Se muestran las gráficas de varias relaciones proporcionales. Cada recta muestra la distancia en millas que se mueve un objeto en función del número de horas que está en movimiento. 0456789 123

a. Usa la gráfica e identifica cada relación que tenga una tasa unitaria menor que 1. Comenta la inclinación de las rectas en tu respuesta.

La relación representada por la recta 𝓀 parece tener una tasa unitaria de 1. Las relaciones representadas por las rectas 𝓁 y 𝓂 tienen tasas unitarias menores que 1 porque son menos empinadas que la recta 𝓀

b. Identifica el punto de la gráfica que mejor demuestre la tasa unitaria de la relación representada por la recta 𝒿. ¿Qué representa la tasa unitaria en este contexto?

El punto (1, 4) demuestra mejor la tasa unitaria de la relación representada por la recta 𝒿 La tasa unitaria es la distancia que se ha movido el objeto en una unidad de tiempo que, en este caso, es una hora.

8. Considera el siguiente rectángulo.

312pulgadas

1pulg3adas 4

a. Halla el área del rectángulo.

El área del rectángulo es 61 8 pulgadas cuadradas.

b. Halla el perímetro del rectángulo.

El perímetro del rectángulo es 101 2 pulgadas.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 12

Problemas de razones de varios pasos, parte 1

Resolver problemas de razones de varios pasos usando el razonamiento proporcional

Vistazo a la lección

mezcla pintura amarilla y pintura azul en función del volumen para formar pintura verde.

a. Completa la tabla de manera que cada fila represente la misma razón de volumen de pintura amarilla a pintura azul.

amarilla, am (onzas líquidas) Pintura azul, az (onzas líquidas)

v (onzas líquidas)

b. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el volumen de pintura verde en onzas líquidas y el volumen de pintura amarilla en onzas líquidas.

vam = 13 9

c. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el volumen de pintura verde en onzas líquidas y el volumen de pintura azul en onzas líquidas.

vaz = 13 4

En esta lección, sus estudiantes escriben razones para relacionar distintas cantidades en una situación en la que dos partes forman un total. Descubren diferentes relaciones proporcionales dentro de la situación, conectando sus conocimientos de razón parte-total como A : A + B, B : B + A y A : B de 6.o grado. La clase usa esta comprensión para escribir ecuaciones que describan relaciones proporcionales y resolver problemas de razones de varios pasos. Este aprendizaje sienta las bases para la tarea de la lección 13, en la que sus estudiantes trabajan con relaciones de razones con más de dos partes que forman un total.

Pregunta clave

• ¿Qué relaciones proporcionales existen en una situación en la que hay una razón constante entre dos partes que forman un total?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes). (7.RP.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Proporciones cómicas

• La limonada especial de Lily

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Resolver ecuaciones de un paso

La clase resuelve ecuaciones de un paso como preparación para resolver problemas de razones de varios pasos.

Instrucciones: Resuelve cada ecuación.

Nota para la enseñanza

Si hay suficiente tiempo, pida a sus estudiantes que conversen acerca de las semejanzas y diferencias entre los problemas 1 y 2 o los problemas 5 y 6.

Presentar

La clase propone posibles problemas para un contexto parte-total.

Muestre a la clase la imagen de los vasos y la jarra.

Forme parejas de estudiantes y use la rutina Construcción colaborativa para que las parejas escriban posibles problemas matemáticos que se relacionen con la situación.

Dé a las parejas 3 minutos para comparar los problemas que construyen con otros grupos.

Invite a las parejas a compartir con la clase los problemas que crearon y a explicar la relación con la situación.

Ejemplo de respuestas:

Si se usa 1 taza de agua para hacer 16 onzas de limonada de fresa, ¿cuántas tazas de agua se necesitan para hacer 32 onzas de limonada de fresa?

La razón de la cantidad de agua a la cantidad de jugo de limón en una receta es 2 : 1. Si se usan 2 pintas de jugo, ¿cuánta agua se necesita?

Recuerde a la clase el concepto de razón parte-parte y razón parte-total usando el siguiente planteamiento:

Podemos escribir razones que comparen una parte con otra parte, como la cantidad de agua con la cantidad de jugo de limón en una receta, o razones que comparen una parte con un total, como la cantidad de jugo de limón con la cantidad total de limonada de fresa. Hoy, estudiaremos los dos tipos de razones y exploraremos las relaciones proporcionales entre las partes y el total.

DUA: Representación

Describa el diagrama a la clase para presentar la información de diversas maneras, y así ofrecer alternativas para la comprensión.

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan más estructura, represente el problema usando la siguiente pregunta: Un vaso de 8 onzas de limonada de fresa se prepara con 4 onzas de agua, 2 onzas de jarabe de fresa y 2 onzas de jugo de limón. ¿Cuántas onzas de cada ingrediente necesitarás para preparar una jarra de 24 onzas de limonada de fresa?

Aprender

Proporciones cómicas

La clase usa el razonamiento sobre razones para resolver un problema de varios pasos.

Presente el problema Proporciones cómicas. Lea el problema en voz alta mientras sus estudiantes siguen la lectura. Antes de que resuelvan el problema, use los planteamientos y las preguntas que siguen para guiar una conversación y asegurarse de que comprenden el problema.

¿Qué significa “Maya quiere que la razón de la longitud de la cabeza… a la longitud del cuerpo… sea constante en cada viñeta”? ¿Por qué creen que esto es importante para una artista de tiras cómicas?

Significa que los tamaños de la cabeza y el cuerpo del superhéroe parecerán proporcionales en cada viñeta. Por ejemplo, si en una escena se dibuja el superhéroe lejos, tanto la cabeza como el cuerpo serán pequeños.

Observen los valores de la tabla. Aproximadamente, ¿cuántas veces la longitud de la cabeza del superhéroe es la longitud del cuerpo? ¿Cómo pueden estimar eso?

La longitud del cuerpo del superhéroe es aproximadamente 9 veces la longitud de la cabeza. En la fila inferior, observo que la cabeza mide 21 4 centímetros y el cuerpo mide 18 centímetros. Si redondeamos 21 4 a 2, significa que la longitud del cuerpo es aproximadamente 9 veces la longitud de la cabeza, porque 2 ⋅ 9 = 18.

Pida a la clase que complete en parejas o grupos la tabla y las partes (a) a (d) de Proporciones cómicas.

1. Maya crea una tira cómica acerca de un superhéroe. El superhéroe está dibujado en diferentes tamaños y poses en distintas viñetas de la tira cómica. Sin embargo, Maya quiere que la razón de la longitud de la cabeza (desde la barbilla hasta la parte superior del pelo) a la longitud del cuerpo (desde los dedos de los pies hasta la parte inferior de la cabeza) sea constante en cada viñeta.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Como apoyo para que sus estudiantes comprendan este problema, pídales que lean o escuchen el texto varias veces. Por ejemplo, primero podría leer el problema en voz alta a la clase, luego, podría pedir a sus estudiantes que, en parejas, se alternen para leer las oraciones y, por último, podría pedirles que resuman el problema con sus palabras.

DUA: Representación

Antes de resolver el problema, active los conocimientos previos sobre las tablas de tres columnas y las razones parte-total haciendo algunas preguntas que faciliten la comprensión:

• ¿En qué se diferencia esta tabla de las tablas con las que hemos trabajado en este módulo?

• ¿Qué representa cada columna?

• ¿Cómo hallamos el valor de la tercera columna?

a. Completa la tabla. Determina el valor de la razón de la fila inferior y aplícalo a las otras dos filas para hallar las longitudes desconocidas.

Longitud de la cabeza, ca (centímetros)

Longitud del cuerpo, cu (centímetros) Longitud total, t (centímetros)

b. ¿Cuál es el valor de la razón de la longitud de la cabeza del superhéroe a la longitud del cuerpo, y qué significa?

El valor de la razón es 1 8 . La longitud de la cabeza del superhéroe es 1 8 de la longitud del cuerpo.

c. ¿Cuál es el valor de la razón de la longitud del cuerpo del superhéroe a la longitud total?

d. ¿Cuál es el valor de la razón de la longitud de la cabeza del superhéroe a la longitud total?

Repase las soluciones y guíe una conversación sobre los valores de la razón, y ayude a sus estudiantes a comprender las diferentes relaciones proporcionales de la situación.

¿Cómo usaron los distintos valores de la razón para hallar los valores desconocidos en la tabla?

Una vez que supe que la longitud de la cabeza del superhéroe era 1 8 de la longitud del cuerpo, pude multiplicar la longitud del cuerpo por 1 8 para hallar la longitud del cuerpo en esa viñeta. También podría multiplicar cualquier longitud de cabeza por 8 1 u 8, para hallar la longitud del cuerpo.

¿Es equivalente el valor de la razón de la longitud de la cabeza a la longitud del cuerpo en todas las viñetas? ¿Qué otros conjuntos de razones equivalentes observan en esta situación?

Sí. El valor de la razón de la longitud de la cabeza a la longitud del cuerpo es siempre 1 8       . El valor de la razón de la longitud del cuerpo a la longitud total es siempre 8 9       . El valor de la razón de la longitud de la cabeza a la longitud total es siempre 1 9       .

¿Qué relaciones proporcionales diferentes existen en esta situación?

La longitud del cuerpo del superhéroe y la longitud de la cabeza son proporcionales entre sí. Cada longitud es también proporcional a la longitud total.

Después de esta conversación, pida a la clase que use sus valores de la razón para completar la parte (e) del problema.

e. Escribe ecuaciones para al menos tres relaciones proporcionales diferentes usando los valores de las razones que has identificado en esta situación. Usa las variables que se muestran en la tabla.

Ejemplo: cacu = 1 8 cut = 8 9 cat = 1 9

Seleccione a un grupo pequeño de estudiantes para que compartan las ecuaciones.

DUA: Acción y expresión

Considere repasar la división de números mixtos y fracciones antes de empezar el problema Proporciones cómicas. Asigne a cada paso rótulos breves, como “Expresar como una fracción mayor que 1” y “Reescribir como una multiplicación por el recíproco”.

Mantenga el ejemplo de problema a la vista para que la clase pueda consultarlo mientras trabaja.

La limonada especial de Lily

La clase escribe y usa ecuaciones para describir relaciones proporcionales entre razón parte-parte y razón parte-total.

Presente el problema La limonada especial de Lily. Invite a la clase a trabajar en parejas o en grupos para completar el problema.

Mientras sus estudiantes trabajan, recorra el salón de clases y busque estudiantes que identifiquen y usen las diferentes relaciones proporcionales:

• El número de tazas de té helado es 8 3 multiplicado por el número de tazas de limonada.

• El número de tazas de limonada es 3 8 multiplicado por el número de tazas de té helado.

• La cantidad total de bebida es 11 8 multiplicado por el número de tazas de té helado.

• La cantidad total de bebida es 11 3 multiplicado por el número de tazas de limonada.

2. Lily prepara una bebida mezclando limonada y té helado. Usa 11 2 tazas de limonada por cada 4 tazas de té helado.

a. Completa la tabla.

Limonada, l (tazas)

Té helado, t (tazas)

Cantidad total de bebida, b (tazas)

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza estructuras (MP7) cuando identifica y usa las diferentes relaciones proporcionales dentro de una situación que incluye partes y totales.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo se relacionan las partes y el total? ¿Cómo podría eso ayudar a hallar el valor desconocido?

• ¿En qué se parece este problema a otros de relaciones proporcionales que hayan resuelto antes?

b. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número total de tazas de la bebida y el número de tazas de limonada.

bl = 11 3

c. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número total de tazas de la bebida y el número de tazas de té helado.

bt = 11 8

Cuando la mayoría de los grupos hayan completado el problema, pida a un grupo pequeño de estudiantes que identifiquen y expliquen las relaciones que usaron para hallar los valores desconocidos de la tabla. Guíe una conversación sobre las relaciones proporcionales en la receta de la limonada.

¿Cómo hallaron la constante de proporcionalidad para la relación del número total de tazas de bebida y el número de tazas de limonada? ¿Cuál es y qué representa esa constante de proporcionalidad?

Dividí la cantidad total de bebida, 51 2 tazas, entre la cantidad de limonada, 11 2 tazas. La constante de proporcionalidad de la relación es 11 3 . Se obtienen 11 3 de taza, o 32 3 tazas, de bebida en total por cada 1 taza de limonada.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Resolver problemas de razones de varios pasos usando el razonamiento proporcional

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de los problemas de razones de varios pasos. Anime a sus estudiantes a establecer conexiones entre la resolución de diferentes tipos de problemas, como los problemas de razón parte-total y los problemas de tasas. Ayude a que la clase observe que esos problemas se resuelven identificando una relación proporcional dentro del problema y usando la constante de proporcionalidad para escribir una ecuación.

¿Qué relaciones proporcionales diferentes existen en una situación en la que hay una razón constante entre dos partes que forman un total? Expliquen las relaciones proporcionales que hallaron en el problema La limonada especial de Lily.

Cada parte está en relación proporcional con el total. Cada parte es también proporcional a la otra. Por ejemplo, en La limonada especial de Lily, la cantidad de limonada es proporcional a la cantidad total de la bebida, y también es proporcional a la cantidad de té helado.

¿En qué se parecen los problemas de razones de esta lección y los problemas de tasas que resolvimos en la lección 11?

En la lección 11, hallamos tasas como la velocidad en millas por hora o el flujo en galones por minuto. En el problema Proporciones cómicas, hallamos la longitud de la cabeza del superhéroe por cada 1 centímetro de la longitud del cuerpo y, en La Limonada especial de Lily, hallamos la cantidad de limonada por cada 1 taza de la bebida total. En las dos lecciones, tuvimos que hallar una tasa unitaria para escribir la ecuación y hallar los valores desconocidos.

Ambos tipos de problemas pueden resolverse con tablas y ecuaciones.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Problemas de razones de varios pasos, parte 1

En esta lección:

• escribimos razones y creamos tablas para representar situaciones en las que se combinan dos partes para formar un total;

• observamos que las situaciones parte-total se pueden describir mediante relaciones proporcionales;

• identificamos el valor de la razón de cada parte al total y de cada parte a la otra parte;

• usamos el valor de la razón para hallar el valor de las partes desconocidas y los totales.

Ejemplo

La tabla muestra las cantidades de azúcar y harina que se necesitan para hacer tandas de diferentes tamaños de una receta de galletas.

a. Completa la tabla.

Usa la relación multiplicativa entre las filas para hallar valores desconocidos. La cantidad de azúcar de la segunda tanda, 11 2 tazas, es el doble de la cantidad de azúcar de la primera tanda, 3 4 de taza.

Azúcar, a (tazas)

Cantidad total de azúcar y harina, t (tazas) 3

Harina, h (tazas)

Suma las tazas de azúcar

y las de harina para hallar la cantidad total. ©

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre el número de tazas de harina y el número de tazas de azúcar? ¿Qué representa la constante de proporcionalidad? 11

La constante de proporcionalidad es el valor de la razón entre los dos ingredientes de la receta. Para hallar el valor de la fracción compleja, reescríbela usando fracciones mayores que 1 y divide.

La constante de proporcionalidad es 5 3 . Hay 5 3 , o 12 3 , tazas de harina por cada 1 taza de azúcar.

c. Escribe una ecuación que relacione el número de tazas de harina con el número de tazas de azúcar. ha = 5 3

Como la cantidad de harina es proporcional a la cantidad de azúcar, la ecuación es y = kx La constante de proporcionalidad, k representa el número de tazas de harina por 1 taza de azúcar. ©

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. La tabla muestra las cantidades de cacahuates y pasas que se usan para hacer un tipo específico de mezcla de refrigerios.

a. Completa la tabla. Pasas, p (tazas)

c (tazas)

b. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número de tazas de cacahuates y el número de tazas de pasas.

cp = 3 2

c. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre la cantidad total de mezcla de refrigerios y el número de tazas de cacahuates.

tc = 5 3 ©

2. La tabla muestra las cantidades de leche y harina que se necesitan para hacer una mezcla para galletas. Esos son los dos únicos ingredientes de la mezcla.

a. Completa la tabla.

Leche, l (tazas) Harina, h (tazas) Mezcla total, t (tazas) 1.5

b. Describe dos cantidades en esta situación que estén en una relación proporcional.

Ejemplo:

La cantidad de leche es proporcional a la cantidad de harina.

c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en la relación descrita en la parte (b) y qué representa?

Hay 5 2 , o 21 2 tazas de harina por cada 1 taza de leche; entonces, la constante de proporcionalidad es 5 2 .

d. Escribe una ecuación que relacione las dos cantidades.

hl = 5 2

©

©

En los problemas 3 a 6, suma o resta.

7. Sara sabe que 1 milla es aproximadamente equivalente a 1.61 kilómetros. Sea x el número de millas entre dos ciudades. Sea y el número de kilómetros en la misma distancia.

a. Escribe una ecuación que Sara podría usar para convertir las medidas en millas a kilómetros.

yx = 161

b. Usa la ecuación para convertir 15 millas a una medida equivalente en kilómetros.

Una distancia de 15 millas es aproximadamente equivalente a 24.15 kilómetros.

8. ¿Cuáles de las siguientes figuras tienen un área de 20 centímetros cuadrados? Elige todas las opciones que correspondan.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 13

Problemas de razones de varios pasos, parte 2

Resolver problemas de razones de varios pasos usando el razonamiento proporcional

Vistazo a la lección

Una aleación es una mezcla. La tabla muestra el peso del cobre, el estaño y el zinc que se combinan para crear una aleación de bronce que se usa en la fabricación de monedas.

a. Completa la tabla.

Cobre, c (kilogramos)

Estaño, e (kilogramos)

Zinc, z (kilogramos)

de bronce, a (kilogramos)

b. Escribe una ecuación que relacione el peso del cobre en kilogramos con el peso del zinc en kilogramos.

cz = 95

c. Escribe una ecuación que relacione el peso de la aleación de bronce en kilogramos con el peso del estaño en kilogramos.

ae = 25

En esta lección colaborativa, la clase explora una relación de razón parte-total que incluye más de dos partes. Sus estudiantes observan que la relación de cada parte con el total es proporcional, al igual que la relación entre las partes. Trabajan en grupos para elegir una representación que sirva como modelo de una relación y resolver problemas de razones de varios pasos. Por medio de la conversación y la reflexión, establecen conexiones entre los problemas de razones y tasas como aplicaciones diferentes de las relaciones proporcionales.

Preguntas clave

• ¿Qué conexión hay entre razones, tasas y relaciones proporcionales?

• ¿Cómo podemos usar relaciones proporcionales para resolver problemas?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones. (7.RP.A.2.c)

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes). (7.RP.A.3)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 25 min

• La pizza irracional

Concluir 15 min

Materiales

Maestro o maestra

• página de Escribir ecuaciones para relaciones proporcionales

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• Prepare la página de Escribir ecuaciones para relaciones proporcionales para la sección Presentar.

Fluidez

Áreas de cuadrados y rectángulos

La clase halla las áreas de cuadrados y rectángulos como anticipación para trabajar con problemas de dibujos a escala en el tema C.

Instrucciones: Halla el área del rectángulo y el cuadrado con las longitudes de los lados dadas.

1. Un rectángulo con una longitud de 5 pulgadas y un ancho de 2 pulgadas

10 pulgadas cuadradas

Nota para la enseñanza

Puede haber estudiantes que se beneficien de una representación visual de rectángulos y cuadrados.

2. Un rectángulo con una longitud de 8 pulgadas y un ancho de 9 pulgadas 72 pulgadas cuadradas

3. Un rectángulo con una longitud de

Presentar

La clase escribe ecuaciones para describir relaciones proporcionales dadas en tablas.

Guíe un Intercambio con la pizarra blanca. Muestre las tablas de la página de Escribir ecuaciones para relaciones proporcionales, una a la vez. Cada vez que se muestre una tabla, pida a sus estudiantes que escriban una ecuación en sus pizarras blancas que describa la relación. Cuando casi toda la clase haya escrito una ecuación, haga una señal para que sus estudiantes muestren sus pizarras. Brinde retroalimentación inmediata sobre sus respuestas.

Si hay suficiente tiempo, guíe una conversación sobre las estrategias de sus estudiantes y sobre qué par de valores de cada tabla fue más útil para hallar la constante de proporcionalidad, en especial en el caso de las tablas que no tienen un punto (1, r).

En la tarea de hoy, usaremos el razonamiento proporcional para resolver problemas de razones relacionados con los ingredientes de una pizza. Puede ser útil crear tablas, como las que acabamos de estudiar, para identificar la constante de proporcionalidad.

Aprender

La pizza irracional

La clase identifica y usa relaciones proporcionales en situaciones de razones de varias partes.

Divida a sus estudiantes en grupos de cuatro. Presente el problema La pizza irracional. Dé a sus estudiantes 4 minutos para crear recetas de pizza de acuerdo con las instrucciones. Luego, permita que los grupos trabajen en los cuatro problemas de la tarea.

Recorra el salón de clases y observe las conversaciones de los grupos. Preste atención a los grupos que comenten las tasas unitarias o la constante de proporcionalidad y a los grupos que usen ecuaciones u otros diagramas para hallar las cantidades de ingredientes necesarios cuando cambia el número total de tazas de ingredientes. Preste atención a cómo describen sus estudiantes las relaciones multiplicativas de los ingredientes de la pizza, como “ 1 4 de taza de queso por cada 5 tazas totales de ingredientes”.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando elige entre tablas, ecuaciones, razones y otros modelos como diagramas de cinta para visualizar cómo son las escalas de las cantidades de ingredientes de la pizza en cada parte de este problema.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué tipo de diagrama o estrategia sería útil para determinar las cantidades de ingredientes de la pizza?

• ¿Cómo pueden estimar la cantidad de ingredientes de la pizza en cada parte del problema? ¿Les parecen razonables sus estimaciones?

Un restaurante llamado La pizza irracional ofrece los ingredientes para pizza que se muestran en la lista.

a. Crea una receta para una pizza pequeña con la lista de ingredientes. Tu receta debe:

• sumar exactamente 5 tazas de ingredientes;

• incluir al menos 3 ingredientes diferentes;

• incluir cantidades fraccionarias de al menos 2 ingredientes;

• incluir alguna cantidad de queso.

Ejemplo:

1 taza de queso

21

2 tazas de pollo

1 2 taza de aceitunas

1 taza de hongos

b. Una pizza grande lleva un total de 8 tazas de ingredientes. Calcula la cantidad de cada ingrediente que necesitas para preparar una pizza grande si las razones de los ingredientes son las mismas que en la receta que creaste para la pizza pequeña.

Ejemplo:

13 5 tazas de queso

4 tazas de pollo

4 5 de taza de aceitunas

13 5 tazas de hongos

Ingredientes para pizza

Alcachofas

Pimientos verdes

Pimientos rojos

Hongos

Cebollas

Aceitunas

Piña

Espinaca

Albahaca

Pollo

Anchoas

Queso

c. Una pizza mediana lleva un total de 61 2 tazas de ingredientes. Calcula qué cantidad de cada ingrediente necesitarás para preparar una pizza mediana si las razones de los ingredientes son las mismas que en la receta que creaste para la pizza pequeña.

Ejemplo:

13 10 tazas de queso

31 4 tazas de pollo

13 20 de taza de aceitunas

13 10 tazas de hongos

d. Alguien quiere pedir una pizza preparada con la receta que creaste para la pizza pequeña, pero pide 41 2 tazas de queso. Determina las cantidades de todos los demás ingredientes que tendrá la pizza si las razones de los ingredientes son las mismas que en tu receta. ¿Cuál será la cantidad total de ingredientes?

Ejemplo:

41 2 tazas de queso

111 4 tazas de pollo

21 4 tazas de aceitunas

41 2 tazas de hongos

221 2 tazas de ingredientes en total

e. Se te acaba el queso y solo te queda 1 2 taza para una pizza. Determina las cantidades de todos los demás ingredientes que tendrá la pizza si mantienes iguales las razones de los ingredientes. ¿Cuál será la cantidad total de ingredientes?

Ejemplo:

1 2 taza de queso

11 4 tazas de pollo

1 4 de taza de aceitunas

1 2 taza de hongos

21 2 tazas de ingredientes en total

Cuando la mayoría de los grupos haya completado los cuatro problemas, guíe una conversación sobre las diferentes relaciones proporcionales que sus estudiantes identificaron y usaron para resolver el problema haciendo las siguientes preguntas:

¿Cómo calcularon las cantidades de ingredientes necesarias para hacer 8 tazas totales de ingredientes en la parte (b) y 6 1 2 tazas totales de ingredientes en la parte (c)?

Hallamos la tasa unitaria del número de tazas de cada ingrediente por número de tazas totales de ingredientes. Luego, multiplicamos por el nuevo número de tazas totales. Por ejemplo, en la parte (b), multiplicamos la cantidad de cada ingrediente por 8 5 , porque 8 es 8 5 de 5.

¿Cómo sabían que las razones de las cantidades de ingredientes de su receta seguían siendo las mismas en cada una de estas situaciones?

La razón de cada cantidad de ingredientes al total en la receta original era equivalente a la razón de la nueva receta de tamaño grande o mediano.

¿Qué relaciones proporcionales diferentes identificaron en esta situación? ¿Cómo lo saben?

La cantidad de cualquier ingrediente es proporcional a la cantidad total de ingredientes. La cantidad de cualquier ingrediente es proporcional a la cantidad de cualquier otro ingrediente.

Nuestra receta original tenía 21 2 tazas de queso de un total de 5 tazas de ingredientes. Sabemos que la cantidad de queso es proporcional a la cantidad total de ingredientes porque, en cada tamaño de pizza, la razón de la cantidad de queso a la cantidad total de ingredientes era 1 : 2.

Pida a sus estudiantes que escriban ecuaciones para describir la relación proporcional entre la cantidad de cada ingrediente de su receta y la cantidad total de ingredientes. Se incluye un ejemplo de receta y las ecuaciones relacionadas como referencia.

Receta original:

1 taza de queso

21 2 tazas de pollo

1 2 taza de aceitunas

1 taza de hongos

DUA: Acción y expresión

Proporcione a la clase un ejemplo de una receta completa como modelo. Pida a sus estudiantes que hagan una marca de verificación en cada paso a medida que vayan cumpliendo con los requisitos de la receta de la parte (a).

Diferenciación: Desafío

Plantee a sus estudiantes situaciones adicionales y las preguntas que siguen para que piensen acerca de otras posibles razones dentro de este contexto:

• Una pizza pequeña se corta en 6 porciones, una pizza mediana se corta en 8 porciones y una pizza grande se corta en 10 porciones. ¿En qué tamaño de pizza hay más ingredientes por porción? ¿Cómo lo saben?

• La pizzería cobra $8.00 por una pizza pequeña, $12.00 por una pizza mediana y $16.00 por una pizza grande. ¿En qué tamaño de pizza se obtiene la mayor cantidad de ingredientes por dólar?

¿Cómo lo saben?

Ecuaciones:

i = 5q, donde i es el número total de tazas de ingredientes y q es el número de tazas de queso i = 2p, donde i es el número total de tazas de ingredientes y p es el número de tazas de pollo

i = 10a, donde i es el número total de tazas de ingredientes y a es el número de tazas de aceitunas i = 5h, donde i es el número total de tazas de ingredientes y h es el número de tazas de hongos

Seleccione a algunos grupos para que compartan su receta original de pizza y las ecuaciones de las relaciones proporcionales de su receta. Si es posible, resalte los trabajos de sus estudiantes en los que la constante de proporcionalidad de la relación no sea un número entero.

Concluir Reflexión final 10 min

Objetivo: Resolver problemas de razones de varios pasos usando el razonamiento proporcional

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a establecer conexiones entre los problemas de razón parte-total, las tasas y las relaciones proporcionales.

¿En qué se parecen la tarea de hoy y lo que hicimos en la lección 12? ¿En qué se diferencian?

Tanto los problemas de la lección 12 como los de la lección de hoy incluían diferentes partes que se combinaban para formar un todo. Los problemas de la lección 12 solo tenían dos partes, como la limonada y el té helado. La receta de pizza de hoy tenía más de dos partes, dado que teníamos que usar al menos tres ingredientes.

En cada situación de parte-total, existían relaciones proporcionales entre cada una de las partes y el total, y entre cada una de las partes y las demás partes.

Nota para la enseñanza

En función de las fracciones que la clase haya elegido para su receta original, puede haber estudiantes que obtengan medidas poco realistas de los ingredientes en sus respuestas a las distintas partes del problema. Si es necesario, permita que vuelvan atrás y cambien su receta original para incluir números más adecuados en sus medidas.

Pida a sus estudiantes que piensen en las conexiones con el mundo real usando las siguientes preguntas para conversar:

• ¿Es razonable ver una medida como 13 20 de taza de aceitunas en una receta? ¿Qué tipo de medidas son razonables?

• ¿Cómo podría una persona que hace pizza en la vida real estimar una cantidad como 13 20 de taza de aceitunas?

Nota para la enseñanza

Dado que esta lección concluye el aprendizaje del tema B, se amplía el tiempo para conversar en la sección Reflexión final. Para incentivar la reflexión adicional de sus estudiantes sobre todo lo que han aprendido acerca de las relaciones proporcionales, considere pedirles que hagan una de las siguientes actividades:

• Escriban una breve reflexión sobre las características de las relaciones proporcionales, incluidas aquellas con razones y tasas.

• Hagan un organizador gráfico o visual sobre las relaciones de razones y de tasas y comparen ejemplos proporcionales y no proporcionales.

¿Qué conexión hay entre razones, tasas y relaciones proporcionales? Den algunos ejemplos. En una relación proporcional, como la relación entre distancias medidas en pulgadas y distancias medidas en pies, siempre hay una tasa constante entre las dos cantidades.

Hay algunas relaciones de razones que no son relaciones proporcionales. Por ejemplo, si la razón del número de paredes al número de ventanas en un salón de clases es 4 : 5, esto no significa que haya una relación entre el número de paredes y el número de ventanas en todas partes ni en todos los salones de clase.

Algunos tasas no son relaciones proporcionales. Por ejemplo, la tasa a la que camino hacia la escuela no es constante si me detengo en un cruce peatonal o si corro una cuadra. A veces puedo representar esas relaciones con una relación proporcional.

¿Cómo podemos usar lo que sabemos sobre las relaciones proporcionales para resolver problemas?

Puedes buscar la tasa unitaria o el valor de la razón de una cantidad a la otra. Luego, puedes usar la tasa unitaria para escribir una ecuación a fin de hallar cualquier par de valores en la relación.

Puedes usar la constante de proporcionalidad o la tasa unitaria para escribir una ecuación que describa la relación y, luego, usar la ecuación para hallar el valor desconocido de x o de y hallando el valor de esa variable.

Boleto de salida

5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Problemas de razones de varios pasos, parte 2

En esta lección:

• exploramos las relaciones de razón parte-total que incluyen más de dos partes;

• observamos que la relación de cada parte con el total es proporcional, al igual que la relación entre las partes;

• elegimos un modelo para representar una relación proporcional y resolvimos problemas de razones de varios pasos.

Ejemplo

La receta de una tanda de ponche de frutas lleva los siguientes ingredientes: 12 onzas de jugo de arándanos rojos, 6 onzas de jugo de naranja y 8 onzas de agua carbonatada.

a. Completa la siguiente tabla para representar una tanda regular, una tanda doble y la mitad de una tanda del ponche.

Para completar la segunda fila, duplica todas las cantidades de la receta.

Para completar la tercera fila, divide todas las cantidades por la mitad.

Jugo de arándanos rojos, ar (onzas)

Jugo de naranja, n (onzas) Agua carbonatada, ag (onzas)

Cantidad total de ponche, t (onzas)

Usa la información de las instrucciones para completar la primera fila. La cantidad total de ponche es la suma de todos los ingredientes.

b. Escribe ecuaciones que relacionen cada uno de los siguientes elementos: Onzas de jugo de arándanos rojos ar con onzas de jugo de naranja n:

arn = 2

La cantidad de jugo de arándanos rojos es el doble de la de jugo de naranja.

Onzas de agua carbonatada ag con onzas de jugo de arándanos rojos ar:

agar = 2 3

Total de onzas de ponche t con onzas de agua carbonatada ag:

tag = 13 4

Para hallar la constante de proporcionalidad, toma una cantidad de agua carbonatada y divídela entre la cantidad correspondiente de jugo de arándanos rojos.

16 24 2 3 =

Para hallar la constante de proporcionalidad, toma una cantidad de ponche y divídela entre la cantidad correspondiente de agua carbonatada.

26 8 13 4 =

c. Tienes una lata de 16 onzas de jugo de arándanos rojos. Si usas todos los demás ingredientes en las mismas razones que en una tanda regular, ¿cuántas onzas de ponche puedes preparar en total?

El valor de la razón del total de onzas de ponche a las onzas de jugo de arándanos rojos es 13 6 ; entonces, tar = 13 6

tar = = = 13 6 13 6 2 3 () 16

34

Puedes preparar un total de 342 3 onzas de ponche.

16 representa el número de onzas de jugo de arándanos rojos; entonces, se sustituye ar por 16 en la ecuación.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

PR ÁCTICA 13

1. La receta de una tanda de ponche de frutas lleva los siguientes ingredientes: 12 onzas de limonada congelada, 12 onzas de jugo de naranja congelado, 48 onzas de jugo de piña y 34 onzas de agua carbonatada.

a. Completa la tabla para representar una tanda regular, una tanda doble y la mitad de una tanda del ponche de frutas.

Limonada congelada, l (onzas)

Jugo de naranja congelado, j (onzas)

Jugo de piña, p (onzas)

Agua carbonatada, a (onzas)

Cantidad total de ponche de frutas, t (onzas)

b. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas de jugo de piña p con el número de onzas de limonada congelada l pl = 4

c. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas de agua carbonatada a con el número de onzas del jugo de piña p

ap = 17 24

d. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas del ponche de frutas t con el número de onzas del agua carbonatada a

ta = 53 17

e. Tienes una lata de 16 onzas de jugo de piña. Si usas todos los demás ingredientes en las mismas razones que en una tanda regular, ¿cuántas onzas de ponche de frutas puedes preparar en total?

Puedes preparar un total de 35 onzas de ponche de frutas.

© Great Minds PBC

2. Una receta de lasaña lleva pasta de trigo, queso y salsa de tomate en las razones indicadas en la tabla.

a. Completa la tabla.

Pasta de trigo, p (tazas)

4

8

6

Queso, q (tazas)

Salsa de tomate, t (tazas)

Cantidad total de lasaña, l (tazas)

b. Escribe una ecuación que relacione el total de tazas de lasaña con las tazas de pasta de trigo.

lp = 13 8

c. Imagina que usas 31 2 tazas de queso para hacer esta receta y usas cantidades proporcionales de los demás ingredientes. ¿Cabrá la lasaña en una fuente con capacidad para 12 tazas?

Sí. Con 31 2 tazas de queso, la receta permite preparar un total de 113 8 tazas de lasaña; entonces, cabrá en una fuente con capacidad para 12 tazas.

Recuerda

En los problemas 3 a 6, suma o resta.

3. 3 4

12 +

4 9 2 3 +

7. Liam vende boletos para el musical de otoño. El precio de un boleto para el sábado por la noche es diferente del precio de un boleto para el domingo por la noche.

a. Liam vende 20 boletos para el sábado por la noche por un total de $305 ¿Cuál es el precio de cada boleto para el sábado por la noche?

El precio de cada boleto para el sábado por la noche es $15.25

b. El precio de cada boleto para el domingo por la noche es $14.75. ¿Cuántos boletos para el domingo por la noche vende Liam por un total de $309.75?

Liam vende 21 boletos para el domingo por la noche.

8. Elige todos los enunciados verdaderos sobre los lados del rectángulo.

ms x h

A. El lado m es paralelo al lado s

B. El lado x es paralelo al lado h

C. El lado s es paralelo al lado x

D. El lado s es perpendicular al lado h

E. El lado h es perpendicular al lado x

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema B, Lección 13

226 This page may be reproduced for classroom use only. Escribir ecuaciones para relaciones proporcionales

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema C

Tema C

Dibujos a escala y relaciones proporcionales

En los temas A y B, sus estudiantes desarrollan la comprensión de qué define una relación proporcional y cómo representar relaciones proporcionales con tablas, gráficas, ecuaciones y descripciones escritas. En el tema C, usan esta comprensión para explorar una nueva aplicación de las relaciones proporcionales: los dibujos a escala.

En este tema, sus estudiantes comienzan explorando los dibujos a escala mediante una actividad abierta que motiva su aprendizaje. En la siguiente lección digital, exploran de manera informal los dibujos a escala. Observan que cuando se colocan las distancias correspondientes en una tabla, existe una tasa unitaria constante entre las distancias de la figura original y las del dibujo a escala. Aprenden que, en el contexto de los dibujos a escala, llamamos a la constante de proporcionalidad factor de escala. La correspondencia se presenta de manera informal a medida que sus estudiantes analizan un concepto erróneo común para establecer la importancia de comparar las distancias correspondientes correctas.

Una vez que han comprendido que las distancias correspondientes en la figura original y en el dibujo a escala forman una relación proporcional, sus estudiantes aplican lo aprendido en los temas A y B escribiendo ecuaciones y hallando distancias desconocidas para crear dibujos a escala. En las siguientes lecciones, sus estudiantes buscan otras relaciones entre una figura original y su dibujo a escala. Examinan varios ejemplos y descubren que, si una figura original y un dibujo a escala están relacionados por un factor de escala dado, sus áreas están relacionadas por el cuadrado de ese factor de escala. Sus estudiantes usan esta información para determinar áreas desconocidas, factores de escala y factores que relacionan áreas.

Sus estudiantes exploran contextos en los que un dibujo a escala puede ser mucho más grande o mucho más pequeño que el original. Determinan que, en estos casos, una escala puede ser más adecuada que un factor de escala para representar la relación entre las distancias de las figuras. En la última lección, sus estudiantes crean dibujos a escala a partir de figuras que ya son dibujos a escala y buscan patrones entre la figura original y los dos dibujos a escala.

Tarde de domingo en la isla de La Grande Jatte, de Georges Seurat, 1884

La comprensión de los dibujos a escala es la base para comprender las transformaciones de semejanza en 8.o grado. En este tema es importante destacar que todas las distancias correspondientes en los dibujos a escala, incluso las distancias que no están trazadas, están en una relación proporcional.

Cocina/ Comedor

Saladeestar

Dormitorio1

Dormitorio2

3in

Cuar LaPasillotodebaño vadero

ClósetClóset

6in

Progresión de las lecciones

Lección 14 Bicicletas extremas

Lección 15 Dibujos a escala

Lección 16 Usar un factor de escala

Lección 17 Hallar distancias reales a partir de un dibujo a escala

Lección 18 Relacionar las áreas de dibujos a escala

Lección 19 Escala y factor de escala

Lección 20 Crear varios dibujos a escala

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema C, Lección 14

LECCIÓN 14

Bicicletas extremas

Comparar objetos de diferentes tamaños usando el razonamiento proporcional

14

Vistazo a la lección

Esta lección es una exploración de representación abierta. La clase mira un video que muestra a alguien paseando en una bicicleta muy pequeña y en otra muy grande y, luego, crea una lista de la clase con preguntas acerca del video. Sus estudiantes trabajan en grupos y aplican el razonamiento proporcional para comparar el tamaño de las bicicletas. Los grupos de estudiantes presentan a la clase sus estrategias para hallar la solución. Esta lección está diseñada como evaluación formativa de varias prácticas de las matemáticas.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos usar el razonamiento proporcional para representar situaciones y resolver problemas?

Criterio de logro académico

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.a)

Agenda

Fluidez

Presentar 10 min

Aprender 25 min

• Estimaciones poco realistas

• Comparar bicicletas de distintos tamaños

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• En esta lección, sus estudiantes generan e investigan una pregunta. Durante este proceso, pueden determinar que necesitan herramientas específicas. Considere tener a disposición recursos comunes para la resolución de problemas en el salón de clases.

Nota para la enseñanza

Animar a sus estudiantes a identificar y seleccionar sus propias herramientas les ayuda a demostrar el estándar MP5. Invite a sus estudiantes a pedir materiales o herramientas que puedan usar como ayuda para responder una pregunta en vez de proporcionarles un banco de herramientas para que elijan.

División cuotitiva

La clase interpreta la forma cuotitiva de la división.

Presentar

La clase genera preguntas sobre el video.

Reproduzca la parte 1 del video.

¿Qué se preguntan acerca de esta parte del video?

No responda las preguntas. En su lugar, aproveche la oportunidad para incentivar la curiosidad de sus estudiantes.

Reproduzca la parte 2 del video.

¿Qué se preguntan acerca de esta parte del video?

No responda las preguntas. En su lugar, aproveche la oportunidad para incentivar la curiosidad de sus estudiantes.

Hemos visto un video de una bicicleta muy pequeña y otra muy grande. ¿Qué preguntas tienen acerca de estas dos bicicletas?

Registre las preguntas, una a la vez, y muéstrelas a sus estudiantes. Luego, pregunte a la clase quién más considera interesante esa pregunta. Registre el número de estudiantes que muestran interés por la pregunta colocando junto a ella marcas de verificación, signos de suma u otra marca de conteo.

Si no hay estudiantes que pregunten cómo se relacionan los tamaños de las bicicletas, proponga esa pregunta y averigüe el número de estudiantes que la consideran una pregunta interesante.

El objetivo de esta actividad es que la clase explore una pregunta de su elección. Pida a sus estudiantes que repasen las preguntas que han documentado.

¿Cuál de estas preguntas creen que les gustaría explorar más a fondo? ¿Qué hemos aprendido hasta ahora que pueda ayudarnos?

Guíe a la clase hacia una pregunta que relacione los tamaños de las bicicletas. Las siguientes preguntas son algunos ejemplos:

• ¿Cuánto más grande es la bicicleta de mayor tamaño que la pequeña?

• ¿Cuánto más pequeña es la bicicleta de menor tamaño que la más grande?

• ¿Cómo se relacionan los tamaños de estas bicicletas con el tamaño de una bicicleta normal?

Nota para la enseñanza

Se espera que sus estudiantes generen preguntas dignas de estudio que no puedan explorarse durante el periodo de tiempo que dura esta clase o bien no puedan explorarse adecuadamente con la información y los conocimientos previos que tienen. Considere anotar algunas de estas preguntas y reservarlas para explorarlas en otro momento.

Trabaje con toda la clase para perfeccionar la pregunta de enfoque y asegurarse de que esté clara. Haga preguntas que guíen a la clase en el proceso de edición de la pregunta:

• ¿Entiende toda la clase lo que se pregunta?

• ¿Necesitamos especificar algo?

• ¿Podría alguien que llega tarde a clase comprender claramente nuestra pregunta? Cuando hayan editado y perfeccionado la pregunta de enfoque, pida a sus estudiantes que la documenten.

Hoy, exploraremos la pregunta que hemos generado. Mientras trabajan con su grupo, consideren qué información o herramientas podrían servir de ayuda para responder esta pregunta.

Aprender

Estimaciones poco realistas

La clase hace estimaciones relacionadas con la pregunta de enfoque que generaron en la sección Presentar.

Guíe una conversación sobre las estimaciones poco realistas relacionadas con la pregunta de enfoque elegida.

Comencemos haciendo algunas estimaciones acerca de nuestra pregunta de enfoque; empecemos con estimaciones que sepamos que no son razonables. ¿Qué estimación sería demasiado pequeña?

El doble de tamaño sería demasiado pequeño. Es evidente que la bicicleta más grande es más del doble de grande que la más pequeña.

¿Qué estimación sería demasiado grande?

Un millón. La bicicleta más grande no es un millón de veces más grande que la bicicleta más pequeña.

Si sus estudiantes no están de acuerdo con que una estimación no es razonable, pídales que expliquen su razonamiento.

DUA: Participación

El video de las bicicletas proporciona un contexto interesante para que la clase aplique el razonamiento proporcional. Después de mirar el video, la clase genera preguntas sobre el contexto de forma espontánea.

Nota para la enseñanza

La pregunta que aparece en el ejemplo de respuesta es una opción de pregunta de enfoque. Sin embargo, permita que sus estudiantes exploren otras preguntas de enfoque si lo desean. Cuando en el resto de la lección se ofrecen ejemplos de respuestas, se hace referencia a esta pregunta de enfoque. Si la clase elige una pregunta de enfoque diferente, espere respuestas diferentes.

Nota para la enseñanza

Es probable que sus estudiantes quieran estimar la longitud de las bicicletas para responder la pregunta. Pause el video en momentos estratégicos para que hagan estimaciones. Como ayuda para que hagan las estimaciones, anime a sus estudiantes a comparar el tamaño de la bicicleta con el tamaño de otros objetos que sean más fáciles de estimar.

• ¿Con qué objeto podríamos comparar la bicicleta para estimar su tamaño?

Comparar bicicletas de distintos tamaños

Sus estudiantes usan el razonamiento proporcional para investigar la pregunta de enfoque que generaron.

Divida a la clase en grupos de cuatro. Dé tiempo a los grupos para compartir ideas acerca de la información que necesitan para responder la pregunta. Recorra el salón de clases mientras los grupos conversan para evaluar su progreso. Se espera que sus estudiantes generen una lista similar a la siguiente:

• Necesitamos saber algunas medidas de la bicicleta más pequeña.

• Necesitamos saber algunas medidas de la bicicleta más grande.

Invite a los grupos a compartir sus listas con la clase. Ahora que han identificado la información necesaria para responder la pregunta de enfoque, pídales que elaboren un plan usando el siguiente planteamiento:

Trabajen con su grupo en la elaboración de un plan para recopilar la información necesaria y explorar nuestra pregunta de enfoque.

Supervise el progreso de sus estudiantes mientras trabajan en sus grupos para explorar la pregunta de enfoque. Según sea necesario, ayude a que los grupos avancen mediante alguna de las siguientes preguntas, o todas:

• ¿Cómo se puede estimar una longitud de la bicicleta?

• ¿Cómo vamos a estimar la longitud de la rueda?

• ¿Pueden compararla con una longitud conocida o con una longitud que puedan estimar?

Reproduzca el video nuevamente, deteniéndose en los momentos clave si es necesario, de manera que sus estudiantes puedan recopilar la información mediante su plan. Si es posible, proporcione acceso a herramientas como internet o instrumentos de medición para facilitar los planes de sus estudiantes.

Pida a sus estudiantes que vuelvan a sus grupos para responder la pregunta de enfoque. Diga a los grupos que deben prepararse para compartir sus estrategias para hallar la solución con la clase.

Cuando hayan terminado, invite a los grupos a mostrar sus estrategias para hallar la solución o a comentarlas con la clase. Después de que todos los grupos hayan compartido con la clase, hágales las siguientes preguntas para que participen de una conversación:

• ¿Qué estimaciones hicieron al intentar responder esta pregunta? ¿Cómo hicieron esas estimaciones?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante utiliza las herramientas apropiadas estratégicamente (MP5) cuando crea un plan para determinar cuánto más grande que la bicicleta pequeña es la bicicleta grande.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP5:

• ¿Qué tipo de estrategia sería útil para reunir la información necesaria?

• ¿Por qué decidieron reunir los datos de esa manera? ¿Funcionó bien?

• ¿Cómo pueden estimar la solución? ¿Les parece razonable su estimación?

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante da sentido a los problemas y persevera en su resolución (MP1) cuando trabaja para hallar puntos de partida, observar su propio progreso y preguntarse si los valores tienen sentido cuando usa el razonamiento proporcional para comparar el tamaño de las dos bicicletas.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP1:

• ¿Qué información u operaciones necesitan para responder su pregunta?

• ¿Cuál es su plan para estimar las diferentes longitudes de las bicicletas?

• ¿Tiene sentido su respuesta?

• ¿Son razonables las respuestas que hallamos?

• ¿Qué suposiciones hicimos? ¿De qué manera esas suposiciones afectaron su solución?

• ¿Qué información investigaron? ¿Cómo usaron esa información? ¿En qué se parecen nuestras estrategias para hallar la solución? ¿En qué se diferencian?

Concluir Reflexión final 5 min

Objetivo: Comparar objetos de diferentes tamaños usando el razonamiento proporcional

Use la siguiente pregunta para ayudar a sus estudiantes a reconocer dónde usaron el razonamiento proporcional para responder la pregunta de enfoque que habían determinado. Anime a sus estudiantes a complementar las respuestas de sus pares.

¿Cómo usó su grupo lo que sabe sobre relaciones proporcionales para hallar la respuesta?

Seleccione una de las siguientes preguntas para la reflexión final de la lección:

• ¿Qué suposiciones hizo su grupo y cómo afectaron los resultados?

• ¿Se enfrentó su grupo a algún obstáculo? ¿Cómo lo superó?

• ¿Qué haría su grupo de forma diferente?

• ¿Qué fue lo más útil?

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

En la sección Boleto de salida, se pide a la clase que reflexione sobre esta lección. Considere guiar la reflexión con una pregunta que no se haya planteado durante la reflexión final.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

8. La tabla muestra una relación proporcional.

1. Cuando usaron una relación proporcional para representar la situación de las bicicletas, ¿qué suposiciones hicieron?

Supusimos que cada parte de la bicicleta se hacía más grande o más pequeña al multiplicar las distancias correspondientes por el mismo número.

2. ¿En qué se diferenciaba la situación de la bicicleta representada en clase de una relación proporcional?

Las bicicletas no tenían exactamente el mismo diseño, así que no todas las distancias correspondientes estaban en una relación proporcional.

3. Si tuvieran más tiempo para examinar otra pregunta relacionada con el video de las bicicletas, ¿qué pregunta considerarían? ¿Cuál sería su plan para determinar la respuesta?

Las respuestas de sus estudiantes variarán.

Recuerda

En los problemas 4 a 7, suma o resta.

Completa la oración. Elige todas las opciones que correspondan.

La tabla representa una relación proporcional porque

A. cada razón B : A es equivalente.

B. hay una tasa unitaria constante.

C. la diferencia entre los valores de A es constante.

D. la diferencia entre los valores de B es constante.

9. Ethan lee alrededor de 180 palabras por minuto. Si un libro contiene cerca de 72,000 palabras, ¿aproximadamente cuántos minutos tardaría Ethan en leer todo el libro?

Ethan tardaría aproximadamente 400 minutos en leer todo el libro.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema C, Lección 15

LECCIÓN 15

Dibujos a escala

Determinar la correspondencia de uno a uno entre los puntos de figuras relacionadas

Reconocer que las longitudes correspondientes en los dibujos a escala están en una relación proporcional con una constante de proporcionalidad llamada factor de escala

15

Vistazo a la lección

En esta lección digital, sus estudiantes exploran ejemplos de figuras a escala y hacen observaciones acerca de sus características principales. Mientras interactúan con esta actividad virtual, observan dibujos a escala que son ampliaciones o reducciones. Mediante el uso de figuras y tablas que se muestran de forma digital, determinan que las longitudes correspondientes en los dibujos a escala están en una relación proporcional y aprenden que la constante de proporcionalidad se denomina factor de escala. En esta lección, se presentan los términos dibujo a escala y factor de escala.

Use la plataforma digital para preparar y enseñar esta lección. Sus estudiantes también explorarán el contenido de la lección y las actividades a través de la plataforma digital.

Preguntas clave

• ¿Cómo determinamos los puntos correspondientes de una figura original y un dibujo a escala?

• ¿Cómo podemos determinar si una figura es un dibujo a escala de otra figura?

• ¿Cómo podemos hallar el factor de escala entre un dibujo a escala y una figura original?

Criterio de logro académico

7.Mód1.CLA7 Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente. (7.G.A.1)

¿Parece ser la figura 2 un dibujo a escala de la figura 1? Explica por qué.

Figura 1

Figura 2

No. La figura 2 no parece ser un dibujo a escala de la figura 1. La figura 2 parece estar más estirada de manera horizontal que vertical, así que las distancias no son proporcionales a las de la figura 1.

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min D

Aprender 30 min D

• Explorar dibujos a escala: Una ampliación

• Explorar dibujos a escala: Una reducción

• Aplicar la comprensión del factor de escala y de los dibujos a escala

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• computadoras o dispositivos (1 por pareja de estudiantes)

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Hallar la constante de proporcionalidad

Sus estudiantes hallan la constante de proporcionalidad como preparación para identificar los factores de escala entre las longitudes de los lados correspondientes.

Instrucciones: Halla la constante de proporcionalidad.

Presentar

La clase razona sobre las propiedades de un dibujo a escala.

En este segmento de la lección, se presentan una figura original y un dibujo a escala de esa figura. Sus estudiantes observan dos figuras que se ven parecidas, se preguntan acerca de ellas y razonan acerca de las implicaciones de reducir una figura. A continuación, se les presenta una ampliación y una reducción, y se les pide que razonen sobre cómo saben cuál se ha aplicado en el ejemplo.

Hasta ahora, hemos observado que una ampliación parece hacer la figura más grande y creemos que una reducción hará la figura más pequeña. Hoy, exploraremos las características de las figuras a escala.

Aprender

Explorar dibujos a escala: Una ampliación

Sus estudiantes miden segmentos en una figura original y relacionan sus longitudes con las de los segmentos correspondientes en un dibujo a escala ampliado.

En esta parte de la lección, sus estudiantes comienzan colocando segmentos en la figura original. Luego, se les presentan los segmentos correspondientes en un dibujo a escala ampliado. Como parte de la exploración, responden la siguiente pregunta:

¿Qué observan acerca de la relación entre las longitudes de los segmentos correspondientes?

Observo que para obtener la longitud de cada segmento nuevo, puedo multiplicar la longitud del segmento original por el mismo número.

Sus estudiantes descubren que existe una constante de proporcionalidad entre las longitudes correspondientes de una figura original y su dibujo a escala. Aprenden que esta constante de proporcionalidad se denomina factor de escala. Usan el factor de escala para determinar si una figura es un dibujo a escala de una figura original.

Nota para la enseñanza

En esta lección, se usan los términos ampliación y reducción de manera informal para indicar cuándo un dibujo a escala es proporcionalmente más grande o más pequeño que la figura original. En este tema, se formaliza que un dibujo a escala es una ampliación si el factor de escala es mayor que 1 y una reducción si el factor de escala es mayor que 0 pero menor que 1.

Tarde de domingo en la isla de La Grande Jatte, de Georges Seurat, 1884

Explorar dibujos a escala: Una reducción

Sus estudiantes miden segmentos en una figura original y relacionan sus longitudes con las de los segmentos correspondientes en un dibujo a escala reducido.

Para la reducción, sus estudiantes siguen un proceso similar al de la ampliación. Posicionan segmentos en la figura original y se les presenta una tabla de valores para las longitudes de los segmentos correspondientes en la figura original y en el dibujo a escala. Como parte de la exploración, sus estudiantes vuelven a plantearse la siguiente pregunta:

¿Qué observan acerca de la relación entre las longitudes de los segmentos correspondientes?

Puedo multiplicar la longitud del segmento original por el mismo número cada vez para obtener la longitud del nuevo segmento. Existe una constante de proporcionalidad entre las longitudes correspondientes en la figura original y su dibujo a escala. La constante de proporcionalidad aquí es menor que 1 pero mayor que 0.

Aplicar la comprensión del factor de escala y de los dibujos a escala

Sus estudiantes aplican lo que aprendieron sobre el factor de escala y los dibujos a escala a un nuevo conjunto de figuras.

Para examinar varios conjuntos de figuras y determinar cuáles son dibujos a escala de una figura original, la clase evalúa visualmente la proporcionalidad. A su vez, distingue los dibujos a escala de los que han sido estirados o comprimidos en un solo sentido.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Para brindar apoyo con los términos dirección y sentido, guíe una conversación de toda la clase para asegurarse de que sus estudiantes comprenden la diferencia. Si es necesario, clarifique que la dirección se refiere a la trayectoria en una recta hacia ambos lados, mientras que el sentido implica la trayectoria hacia uno solo de los lados. Por ejemplo, podríamos decir que la recta numérica que representa las temperaturas es la dirección, y que esta tiene dos sentidos: temperaturas positivas hacia la derecha y temperaturas negativas hacia la izquierda.

Expliquen cómo saben qué figuras son dibujos a escala de la figura original.

Los dibujos a escala se parecen a la figura original, pero son más pequeños o más grandes.

Estos no se parecen a la figura original estirada en un solo sentido.

Sus estudiantes examinan un par de triángulos y consideran una afirmación inicial acerca de que los triángulos no son dibujos a escala porque las razones de las longitudes de sus lados no son equivalentes. Para refutar la afirmación e identificar los triángulos como dibujos a escala, aplican el concepto de correspondencia.

¿Qué opinan? ¿Son dibujos a escala? Expliquen su razonamiento.

Sí, son dibujos a escala. Las razones de las longitudes de los lados correspondientes son todas equivalentes. Es importante fijarse en los lados correspondientes y no en cualquier par de lados.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Determinar la correspondencia de uno a uno entre los puntos de figuras relacionadas

Reconocer que las longitudes correspondientes en los dibujos a escala están en una relación proporcional con una constante de proporcionalidad llamada factor de escala

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de la correspondencia y los dibujos a escala:

¿Cómo determinan los puntos correspondientes de una figura original y un dibujo a escala? Los puntos correspondientes están en la misma posición en la figura original y en el dibujo a escala.

¿Cómo pueden determinar si una figura es un dibujo a escala de otra figura?

Una figura es un dibujo a escala de otra figura cuando las longitudes correspondientes están en una relación proporcional.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y utiliza estructuras (MP7) cuando reconoce que las medidas correspondientes en la figura original y en el dibujo a escala forman una relación proporcional y usa la relación para comprender los dibujos a escala.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP7:

• ¿Cómo se relacionan las relaciones proporcionales y los dibujos a escala? ¿Cómo puede ayudarles eso a crear dibujos a escala?

• ¿Cómo puede ayudarles lo que saben sobre las relaciones proporcionales a hallar longitudes desconocidas en un dibujo a escala?

DUA: Representación

Las actividades digitales están alineadas con el principio de Representación de DUA, dado que incluyen lo siguiente:

• Información presentada en varios formatos y modos de representación: los segmentos animados ayudan a sus estudiantes a visualizar la correlación entre la figura original y el dibujo a escala.

• Relaciones destacadas: el color se usa para ayudar a la clase a identificar los segmentos correspondientes.

¿Cómo pueden hallar el factor de escala entre un dibujo a escala y una figura original?

El factor de escala se determina de la misma manera que la constante de proporcionalidad.

Dividimos una longitud del dibujo a escala entre la longitud correspondiente de la figura original.

Boleto de salida

5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

b. ¿Qué medida de la figura C se corresponde con la medida de 10 pulgadas de la figura D?

20 pulgadas

Dibujos a escala

En esta lección:

• determinamos la correspondencia de uno a uno entre los puntos de figuras relacionadas;

• identificamos si un dibujo a escala es una ampliación o una reducción;

• aprendimos que la constante de proporcionalidad que relaciona las longitudes correspondientes en los dibujos a escala se denomina factor de escala

Ejemplo

La figura D es un dibujo a escala de la figura C.

Figura C 30pulgadas

a. ¿Es la figura D una ampliación o una reducción de la figura C?

Vocabulario

Un dibujo a escala es una copia de una figura en la que todas las distancias son proporcionales a las distancias correspondientes de la figura original.

En un dibujo a escala, la constante de proporcionalidad se denomina factor de escala

20 pulg ada s Figura D 10 pulg ada s 15pulgadas

La figura D es una reducción de la figura C.

¿Son los lados correspondientes del dibujo a escala más cortos o más largos que los lados de la figura original? Si los lados del dibujo a escala son más largos, este se considera una ampliación. Si los lados del dibujo a escala son más cortos, este se considera una reducción. ©

c. Determina el factor de escala que relaciona la figura D con la figura C.

1 2

Si sirve de ayuda, considera organizar los lados correspondientes en una tabla. Luego, divide una medida del dibujo a escala entre la medida correspondiente de la figura original para hallar el factor de escala. En este ejemplo, el cociente es 1 2

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

d.

1. En cada par de figuras, indica si la segunda figura representa un dibujo a escala de la primera figura. Explica tu respuesta.

a.

c.

b.

La segunda figura no es un dibujo a escala de la primera porque no representa un estiramiento proporcional de la primera figura.

La segunda figura es un dibujo a escala de la primera porque representa una compresión proporcional de la primera figura.

Estas figuras no representan una figura original y su dibujo a escala porque la longitud y el ancho no se amplían con el mismo factor de escala.

e. 1 2.5

615

Estas figuras sí representan una figura original y su dibujo a escala porque la longitud y el ancho del rectángulo se ampliaron con el mismo factor de escala de 2.5.

La segunda figura no es un dibujo a escala de la primera porque no representa un estiramiento proporcional de la primera figura.

© Great Minds PBC

©

©

2. ¿Es la figura B una ampliación o una reducción de la figura A?

© Great Minds PBC EUREKA

3. En los siguientes retratos familiares, la figura N es un dibujo a escala de la figura M.

11in

5.5in

Figura AFigura B

La figura B es una reducción de la figura A.

7in

14in

Figura N Figura M

a. ¿Es la figura N una ampliación o una reducción de la figura M?

La figura N es una ampliación de la figura M.

b. ¿Qué medida de la figura M se corresponde con la medida de 11 pulgadas de la figura N?

5.5 pulgadas

c. Determina el factor de escala que relaciona el dibujo a escala, figura N, con la figura M.

2

201 PRÁCTICA

© Great Minds PBC

202 PRÁCTICA

4. En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC

6. ¿Es el △XYZ un dibujo a escala del △RST? Explica cómo lo sabes.

a. ¿Es el △DEF una ampliación o una reducción del △ABC?

El dibujo a escala, el △DEF, es una reducción del △ABC

b. ¿Cuál es la longitud del lado del △DEF que se corresponde con el lado AB en el △ABC? 3

c. Determina el factor de escala que relaciona el △DEF con el △ABC

1 4

5. El rectángulo EFGH es un dibujo a escala del rectángulo ABCD Determina el factor de escala e indica si se trata de una ampliación o de una reducción.

4

1 21 2 1 4

6 AB DC EF HG

El factor de escala es 2 3 El rectángulo EFGH es una reducción del rectángulo ABCD.

© Great Minds PBC

203 PRÁCTICA

Sí. Hay un factor de escala de 11 2

204 PRÁCTICA

©

Recuerda

En los problemas 7 a 10, suma. 7.

11. Maya mezcla cemento, arena y piedra para ayudar a su madre a construir un patio de concreto.

a. Completa la tabla para mostrar la relación proporcional entre los números de pies cúbicos de cemento, arena, piedra y la mezcla de Maya.

Cemento (pies cúbicos)

Arena (pies cúbicos)

Piedra (pies cúbicos)

Mezcla de Maya (pies cúbicos)

b. Escribe una ecuación que represente la relación proporcional entre el volumen de arena a y el volumen de la mezcla de Maya m am = 1 3

© Great Minds PBC

205 PRÁCTICA

12. ¿Cuáles de las siguientes expresiones tienen productos mayores que el segundo factor?

Elige todas las opciones que correspondan. A.

206 PRÁCTICA

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema C, Lección 16

LECCIÓN 16

Usar un factor de escala

Determinar si un factor de escala da lugar a una ampliación o una reducción

Crear un dibujo a escala usando la relación proporcional existente entre distancias correspondientes

Lily mira el dibujo a escala que se muestra. Observa que la figura original mide aproximadamente la mitad del ancho y la mitad de la altura del dibujo a escala. Por esta razón, dice que el factor de escala es aproximadamente 1 2

¿Estás o no estás de acuerdo con Lily? Explica tu respuesta.

No estoy de acuerdo con Lily. El factor de escala usado para crear el dibujo a escala debe ser mayor que 1 porque el dibujo a escala es una ampliación de la figura original. El factor de escala elegido por Lily es menor que 1, lo que daría lugar a una reducción de la figura original. Como el dibujo a escala tiene aproximadamente el doble de ancho y el doble de altura que la figura original, el factor de escala usado para crear la figura a escala es aproximadamente 2

Vistazo a la lección

Trabajando con toda la clase, sus estudiantes predicen si los factores de escala dados dan lugar a ampliaciones o reducciones. Mediante una enseñanza guiada, usan los factores de escala para crear dibujos a escala y verificar sus predicciones. A su vez, conversan para determinar que un factor de escala mayor que 1 da lugar a una ampliación y que un factor de escala mayor que 0 y menor que 1 da lugar a una reducción.

Preguntas clave

• ¿Podemos determinar si un dibujo a escala es una ampliación o una reducción usando únicamente el factor de escala? ¿Por qué sí o por qué no?

• ¿Cómo se usa un factor de escala para crear un dibujo a escala?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA7 Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente. (7.G.A.1)

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas. (7.G.A.1)

EUREKA MATH2 7 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 16

Figura original Dibujo a escala

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• ¡A dibujar!

• Representar longitudes en tablas

• El razonamiento de Henry

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Hallar valores desconocidos

Sus estudiantes hallan valores desconocidos como preparación para hallar medidas desconocidas de dibujos a escala.

Instrucciones: Dada la ecuación, completa los valores desconocidos en cada tabla.

Presentar

Sus estudiantes observan qué factores de escala dan lugar a ampliaciones y qué factores de escala dan lugar a reducciones.

Presente el problema 1. Dé a sus estudiantes 2 minutos para identificar el factor de escala. Anime a la clase a pensar en los dibujos a escala que observaron en la lección 15.

En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC.

Nota para la enseñanza

Cuando un dibujo a escala se relaciona con una figura original mediante un factor de escala de 1 2 , los lados del dibujo a escala miden 1 2 de la longitud de los de la figura original. En este caso, podemos afirmar que el dibujo a escala es una reducción de la figura original. Puede haber estudiantes que digan que el dibujo a escala mide 1 2 del tamaño de la figura original. Este concepto erróneo común puede corregirse recordando a sus estudiantes que, hasta ahora, solo hemos estudiado las relaciones entre longitudes de los lados y distancias. En la lección 18, la clase explora cómo el área de un dibujo a escala se relaciona con el área de la figura original.

Las medidas de las longitudes de los lados correspondientes del △ABC y del △DEF se muestran en la tabla.

Use la pregunta que sigue para guiar una conversación de toda la clase:

¿Cuál sería la diferencia si aplicáramos un factor de escala de 2 al dibujo original?

Figura original (unidades)

Dé tiempo a sus estudiantes para que consideren en qué difieren los factores de escala de 1 2 y 2 y cómo influyen en los dibujos a escala que crearon. No es esencial que saquen conclusiones precisas en este momento de la lección. La conversación formal de las observaciones tiene lugar en la sección Concluir.

Después de algunos minutos de conversación, facilite la transición de sus estudiantes al siguiente segmento describiendo cómo aplicarán estos nuevos conocimientos.

Hoy, crearemos dibujos a escala. Mientras lo hacemos, prestemos atención al modo en que el factor de escala afecta el tamaño del dibujo a escala.

Aprender

¡A dibujar!

Sus estudiantes crean un dibujo a escala a partir de una figura original y de un factor de escala.

Presente el problema 2. Guíe a sus estudiantes en la creación de un dibujo a escala mediante las siguientes preguntas:

Si usan un factor de escala de 2 3 para crear un dibujo a escala de la figura geométrica que se muestra, ¿será el dibujo a escala una ampliación o una reducción de la figura original?

Permita que sus estudiantes reflexionen y compartan sus predicciones informales con la clase, pero no confirme ninguna predicción en este momento. Esta pregunta se vuelve a considerar una vez que hayan completado la tabla y el dibujo a escala.

Usemos la tabla para registrar las longitudes de los lados de la figura. Miren la figura.

¿Qué longitudes podemos registrar?

Podemos contar para registrar la base y la altura de cada triángulo, pero no podemos hallar las longitudes de los lados inclinados sin usar una regla.

DUA: Representación

Pida a sus estudiantes que marquen los lados según el código de colores usado para las medidas escritas en la tabla. Esto les ayudará a determinar qué medidas corresponden cuando estén creando el dibujo a escala.

¿Cómo podemos aplicar un factor de escala de 2 3 a la figura original para crear un dibujo a escala?

Podemos multiplicar cada una de las medidas de la figura original por un factor de escala de 2 3 para determinar las medidas correspondientes del dibujo a escala.

Pida a sus estudiantes que completen la tabla y que, luego, creen el dibujo a escala junto a la figura original.

2. Crea un dibujo a escala de la figura geométrica usando un factor de escala de 2 3 .

Cuando sus estudiantes hayan terminado el problema 2, pídales que vuelvan a ver las predicciones que hicieron al principio del problema. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder las siguientes preguntas:

Ahora que han creado el dibujo a escala usando un factor de escala de 2 3 , piensen en su predicción. ¿Era correcta? ¿Por qué creen que es así?

Dé a sus estudiantes 1 minuto de tiempo para pensar.

Reúnanse y compartan sus ideas en parejas.

Dé a sus estudiantes 2 minutos para que compartan sus ideas en parejas. Luego, invite a 2 o 3 estudiantes a compartir su trabajo con el resto de la clase.

Representar longitudes en tablas

Sus estudiantes determinan las longitudes de los lados de un dibujo a escala cuando se les da una figura original, las longitudes de sus lados y un factor de escala.

Lea el problema 3 en voz alta a sus estudiantes y pídales que predigan si el dibujo a escala será una ampliación o una reducción de la figura original.

Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas para completar la tabla y comprobar si su predicción es correcta. Si hay suficiente tiempo, considere pedir a sus estudiantes que hagan el dibujo a escala.

Nota para la enseñanza

En 5.o grado, la clase interpreta la multiplicación como si fuese un dibujo a escala (cambia el tamaño). Lo hacen al explicar por qué multiplicar por una fracción mayor que 1 da como resultado un producto mayor que el número dado y por qué multiplicar por una fracción menor que 1 da como resultado un producto menor que el número dado (5.NF.B.5b). Al facilitar conversaciones acerca del factor de escala, considere usar las siguientes preguntas para hacer conexiones con este conocimiento previo de 5.o grado:

• ¿Se hace más grande o más pequeño un número cuando se multiplica por un número mayor que 1?

• ¿Se hace más grande o más pequeño un número cuando se multiplica por una fracción entre 0 y 1?

3. Debe realizarse un dibujo a escala del triángulo que se muestra usando un factor de escala de 1.5.

Determina las medidas correspondientes del dibujo a escala y regístralas en la tabla. Todas las medidas se muestran en centímetros.

Figura original (centímetros)

Dibujo a escala (centímetros)

Cuando la mayoría haya terminado, pídales que revisen las predicciones que hicieron al principio del problema. Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta:

Ahora que han calculado las medidas para el dibujo a escala, piensen en su predicción. ¿Era correcta? ¿Por qué creen que es así?

Dé a sus estudiantes 1 minuto de tiempo para pensar.

Reúnanse y compartan sus ideas en parejas.

Permita a sus estudiantes que compartan sus ideas con el resto de la clase. Luego, invite a 2 o 3 estudiantes a compartir su trabajo con el resto de la clase. Confirme el razonamiento de sus estudiantes que explica que el dibujo a escala es una ampliación porque cada longitud del lado es 1.5 veces la longitud del lado correspondiente de la figura original.

Use la pregunta y el planteamiento que siguen para guiar una conversación de toda la clase acerca del factor de escala y su efecto en el dibujo a escala:

¿Cuál es el factor de escala más pequeño que se les ocurre que produce una ampliación? Reúnanse y conversen en parejas.

Mientras sus estudiantes hablan con sus parejas, recorra el salón de clases y escuche sus pensamientos y razonamientos. Identifique a quienes compartan que cualquier factor de escala mayor que 1 produce una ampliación.

Invite a quienes haya identificado a compartir sus pensamientos y su razonamiento con la clase. Luego, use la pregunta y el planteamiento que siguen para continuar la conversación: Un factor de escala mayor que 1 da lugar a una ampliación. Un factor de escala de 1.00001 da lugar a una ampliación porque es mayor que 1. ¿Qué creen que ocurre cuando se aplica a una figura un factor de escala de exactamente 1? Reúnanse y conversen en parejas.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

A medida que se desarrolla la conversación de toda la clase, considere proporcionar a sus estudiantes esquemas de oración y vocabulario clave como apoyo para su conversación. Por ejemplo, coloque el vocabulario clave dibujo a escala, factor de escala, ampliación y reducción en el pizarrón junto a un esquema de oración como “El dibujo a escala es una _____ porque _____”.

Como antes, recorra el salón de clases mientras sus estudiantes comparten ideas con sus parejas. Identifique a quienes piensen que un factor de escala de 1 no cambia la figura original porque todas las longitudes siguen siendo las mismas.

Pida a quienes haya identificado que compartan su razonamiento con el resto de la clase. Luego, use el siguiente planteamiento para continuar la conversación: Un factor de escala de 1 significa que las longitudes en el dibujo a escala son las mismas que las longitudes correspondientes en la figura original. Las longitudes son exactamente las mismas porque las longitudes de la figura original se multiplican por 1, el factor de escala, y multiplicar por 1 no cambia nada. Ahora, piensen en qué factores de escala podrían dar lugar a una reducción. Reúnanse y conversen en parejas.

Permita que sus estudiantes conversen con sus parejas. Es posible que necesiten apoyo para identificar los parámetros de los factores de escala que dan lugar a reducciones. Mientras recorre el salón de clases, preste atención a quienes piensan que un factor de escala menor que 1, pero mayor que 0, da lugar a una reducción.

Pídales que compartan su razonamiento con la clase.

Si es necesario, use el planteamiento y la pregunta que siguen para ayudar a la clase a comprender que los factores de escala mayores que 0 y menores que 1 dan lugar a dibujos a escala que son reducciones:

El factor de escala que es menor que 1 da lugar a un dibujo a escala que es una reducción de la figura original. Sabemos que un factor de escala de exactamente 1 no cambia la figura original. ¿Qué pasaría si el factor de escala fuera 0?

Si una longitud de la figura original se multiplica por 0, la longitud correspondiente del dibujo a escala sería 0, lo que no tiene sentido.

Un factor de escala 0 se multiplicaría por una longitud de la figura original. Dado que al multiplicar por 0 siempre se obtiene un producto 0, todas las longitudes del dibujo a escala serían 0. ¿Se imaginan una figura con longitud 0? Yo tampoco, así que sabemos que cualquier factor de escala cuyo valor sea menor que 1 pero mayor que 0 da lugar a una reducción.

El razonamiento de Henry

La clase analiza una forma diferente de crear un dibujo a escala que no requiere el uso del factor de escala.

Presente el problema El razonamiento de Henry. Dé a sus estudiantes un momento para considerar la respuesta de Henry y decidir si es correcta. Luego, pida a sus estudiantes que se reúnan y conversen en parejas sobre el razonamiento de Henry. Recorra el salón de clases para prestar atención a quienes observan la relación de la longitud del lado horizontal con la longitud del lado vertical de cada figura.

4. La maestra de Henry le dice que la figura B es un dibujo a escala de la figura A. Le pregunta qué factor de escala relaciona la figura B con la figura A. Él responde que el factor de escala es 2. ¿Está Henry en lo correcto? Explica.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante construye argumentos viables y ofrece valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras (MP3) cuando decide si piensa que el razonamiento de Henry es correcto y lo comenta con sus pares.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Cuándo creen que funciona la estrategia de Henry?

• ¿Cuándo no funcionaría esta estrategia?

Henry no está en lo correcto. El factor de escala no es 2; es 1.5. Henry podría haber hallado el valor de la razón de la longitud al ancho de cada figura. Podría haber observado que la longitud es 2 veces el ancho.

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación de toda la clase:

Henry dice que el factor de escala es 2. ¿Qué opinan?

El factor de escala no puede ser 2 porque la longitud de 4 en la figura original multiplicada por 2 daría 8 como longitud en el dibujo a escala.

¿Por qué podría pensar Henry que el factor de escala es 2?

Henry podría haber hallado el valor de la razón de la longitud al ancho dentro de cada figura. Podría haber observado que la longitud es 2 veces el ancho.

¿Podemos usar la estrategia de Henry para crear otros dibujos a escala de la figura original? De ser así, ¿cuáles pueden ser algunas medidas de las longitudes y los anchos de otros dibujos a escala?

Sí. Otras medidas pueden ser un ancho de 1 2 pulgada y una longitud de 1 pulgada, un ancho de 4 pulgadas y una longitud de 8 pulgadas, o un ancho de 5 pulgadas y una longitud de 10 pulgadas. Explique a sus estudiantes que Henry ha señalado una razón entre las longitudes de los lados de una figura. Esta razón puede ser útil para crear dibujos a escala, pero no es el factor de escala.

Diferenciación: Desafío

Considere mostrar una tabla completa de la actividad ¡A dibujar! Figura original (unidades) Dibujo

6

Pida a sus estudiantes que observen pares de razones entre una figura original y su dibujo a escala de un problema realizado previamente para confirmar que las razones son equivalentes y que pueden usarse para crear otros dibujos a escala.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Determinar si un factor de escala da lugar a una ampliación o una reducción

Crear un dibujo a escala usando la relación proporcional existente entre distancias correspondientes

Use las siguientes preguntas para que sus estudiantes conversen acerca del uso del factor de escala:

¿Podemos determinar si un dibujo a escala es una ampliación o una reducción usando únicamente el factor de escala? ¿Por qué?

Sí. Un factor de escala mayor que 1 crea una ampliación y un factor de escala menor que 1 pero mayor que 0 crea una reducción. Un factor de escala de exactamente 1 crea una figura idéntica.

¿Cómo se usa un factor de escala para crear un dibujo a escala?

Cada longitud de la figura original se multiplica por el factor de escala para determinar las longitudes correspondientes en el dibujo a escala. Luego, esas longitudes se usan para crear un dibujo a escala.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

RESUMEN 16

Usar un factor de escala

En esta lección:

• determinamos qué factor de escala da lugar a ampliaciones;

• determinamos qué factor de escala da lugar a reducciones;

• determinamos qué factor de escala da lugar a figuras idénticas;

• usamos un factor de escala para crear dibujos a escala.

Ejemplo

Crea un dibujo a escala de la figura que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 3

Para hallar las longitudes de los lados del dibujo a escala, multiplica la longitud de cada lado de la figura original por el factor de escala de 3

Si sirve de ayuda, considera la posibilidad de organizar las longitudes de los lados en una tabla.

Figura original Dibujo a escala

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

PR ÁCTICA 16

1. La figura B es un dibujo a escala de la figura A. Estima el factor de escala que relaciona la figura B con la figura A. Explica tu estimación.

3. Da un ejemplo de un factor de escala que dé lugar a una ampliación. Explica por qué elegiste ese factor de escala.

Un factor de escala de 3 da lugar a una ampliación porque es mayor que 1

4. Da un ejemplo de un factor de escala que dé lugar a una reducción. Explica por qué elegiste ese factor de escala.

Un factor de escala de 1 2 da lugar a una reducción porque es menor que 1 pero mayor que 0

5. Da un ejemplo de un factor de escala que dé lugar a un dibujo a escala idéntico. Explica por qué elegiste ese factor de escala.

Un factor de escala de 1 es el único factor de escala que da lugar a un dibujo a escala idéntico a su figura original.

6. Crea un dibujo a escala de la figura que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 13 4

Figura AFigura B

El factor de escala es aproximadamente 11 4 . La figura B es más grande que la figura A, pero no parece ser el doble de grande. Solo parece ser un poco más grande, así que un número un poco mayor que 1 es una estimación adecuada.

2. La figura B es un dibujo a escala de la figura A. Estima el factor de escala que relaciona la figura B con la figura A. Explica tu estimación.

Figura AFigura B

El factor de escala es aproximadamente 1 2 . La figura B es más pequeña que la figura A y parece tener aproximadamente la mitad de la altura y el ancho de la figura A.

© Great Minds PBC

7. Crea un dibujo a escala de la figura que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 1 2 ©

8. Crea un dibujo a escala del velero que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 2

Recuerda

En los problemas 9 a 12, suma. 9.

13. La tabla muestra una relación proporcional entre el número de tazas de agua y el número de huevos en una receta de pastel amarillo.

Escribe una ecuación que represente la relación entre el número de huevos h y el número de tazas de agua a que se usan en la receta del pastel.

h = 4a

14. ¿Cuál de las siguientes opciones se representa mejor con un número negativo? Elige todas las opciones que correspondan.

A. una temperatura por debajo de 0 °C

B. un depósito en una cuenta bancaria

C. monedas de oro enterradas a 50 pies bajo el nivel del mar

D. la altura de una montaña

E. una temperatura de 0 °F ©

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema C, Lección 17

LECCIÓN 17

Hallar distancias reales a partir de un dibujo a escala

Hallar las medidas de una figura dados un factor de escala y el dibujo a escala o la figura original

Vistazo a la lección

BOLETO DE SALIDA 17

Nombre Fecha

Ethan pinta dos tablas de surf en la pared de un edificio. Pinta una tabla de surf pequeña como el dibujo a escala de una tabla de surf grande, usando un factor de escala de 1 16 La tabla de surf pequeña tiene una longitud de 61 8 pulgadas.

¿Cuál es la longitud de la tabla de surf grande?

61661616 962 98 1 8 1 8 = =+ = +

La longitud de la tabla de surf grande es 98 pulgadas, u 8 pies y 2 pulgadas. ©

En parejas, sus estudiantes calculan un factor de escala cuando se les da una tabla de valores. Luego, usan el factor de escala para expresar la relación entre las longitudes de los lados de una figura original y las longitudes de los lados de un dibujo a escala en forma de ecuación. De forma independiente, sus estudiantes hallan las medidas de las longitudes de lado desconocidas tanto de la figura original como del dibujo a escala. Con su guía, observan que el factor de escala que relaciona un dibujo a escala con su figura original es el recíproco del factor de escala que relaciona la figura original con su dibujo a escala.

Pregunta clave

• Si sabemos que una figura es un dibujo a escala de otra figura, ¿cómo podemos determinar la longitud desconocida de un lado de una de las figuras?

Criterio de logro académico

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas. (7.G.A.1)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Las medidas desconocidas de Shawn

• Más longitudes de lado desconocidas

• Figura original: Medidas desconocidas

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• ninguno

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

Resolver ecuaciones

La clase resuelve ecuaciones como preparación para hallar longitudes desconocidas en dibujos a escala.

Instrucciones: Resuelve cada ecuación para hallar la variable desconocida.

Presentar

La clase identifica un dibujo a escala como una ampliación o una reducción y predice cuál es el factor de escala antes de calcularlo.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 1. Pídales que trabajen de forma independiente.

Considere usar sus respuestas para evaluar de manera informal la comprensión de los dibujos a escala y los factores de escala.

1. En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC.

a. ¿Es el △DEF una ampliación o una reducción del △ABC? Explica cómo lo sabes. En las figuras que se muestran, el △DEF es una ampliación del △ ABC porque las longitudes de los lados del △DEF son más largas; entonces, es más grande.

b. Determina el factor de escala y úsalo para calcular la longitud del lado DE

El factor de escala es 21 3 .

La longitud del lado DE es 94 5 unidades.

Cuando la mayoría haya terminado, confirme sus respuestas. Invite a sus estudiantes a responder la siguiente pregunta y, luego, pase al siguiente segmento:

¿Cómo usaron el factor de escala que calcularon en la parte (b) para determinar la longitud del lado DE ?

Multipliqué la longitud del lado AB correspondiente por el factor de escala para obtener la longitud del lado DE .

Ahora que tenemos algo de experiencia con los dibujos a escala y los factores de escala que los relacionan, apliquemos esa comprensión para escribir ecuaciones que nos permitan hallar longitudes de lado desconocidas de figuras originales o de sus dibujos a escala.

Aprender

Las medidas desconocidas de Shawn

La clase usa las medidas dadas para determinar el factor de escala y, luego, escribe y resuelve una ecuación para hallar las medidas desconocidas del dibujo a escala.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 2. Dé tiempo para un esfuerzo productivo mientras sus estudiantes trabajan en parejas para completar la parte (a). Recorra el salón de clases y preste atención a quienes calculan el factor de escala y lo usan para escribir la ecuación.

a. Escribe una ecuación que relacione las longitudes de los lados del dibujo a escala con las longitudes de los lados de la figura original. Sea y la longitud de un lado del dibujo a escala y sea x la longitud del lado correspondiente de la figura original.

2. Shawn creó un pentágono y un dibujo a escala del pentágono.

Cuando la mayoría haya terminado o cuando el esfuerzo ya no sea productivo, use las siguientes preguntas para guiar una conversación:

¿Qué información necesitan para escribir la ecuación? ¿Cómo obtuvieron esa información?

Antes de escribir la ecuación, es necesario averiguar el factor de escala. Hallé el factor de escala al dividir la longitud de un lado del dibujo a escala entre la longitud del lado correspondiente en la figura original.

Considere guiar a sus estudiantes en una conversación acerca de la eficiencia que obtienen al seleccionar cuidadosamente qué par de lados correspondientes usarán para calcular el factor de escala. En este caso, las bases horizontales correspondientes presentan el cálculo más sencillo necesario en comparación con las otras longitudes de lado correspondientes.

¿Cómo usaron el factor de escala para escribir la ecuación de la parte (a)?

Como y representa la longitud de un lado del dibujo a escala, es la variable dependiente, y x es la variable independiente. La ecuación se escribe como yx = 1 4 .

¿En qué se parece escribir una ecuación para relacionar longitudes en un dibujo a escala con longitudes en una figura original a escribir una ecuación para una relación proporcional?

Es casi exactamente el mismo proceso, excepto que cuando escribo una ecuación para una relación proporcional, necesito saber la constante de proporcionalidad. Para los dibujos a escala, necesito saber el factor de escala.

Dado que un dibujo a escala de una figura original es una representación geométrica de una relación proporcional, escribir la ecuación es exactamente lo mismo, excepto por lo que llamamos la constante de proporcionalidad. En los dibujos a escala, nos referimos a la constante como factor de escala.

Pida a sus estudiantes que sigan trabajando con sus parejas para completar la parte (b). Recorra el salón de clases y confirme las respuestas o corrija los errores de cálculo.

DUA: Representación

Al comentar este problema con sus estudiantes, considere escribir comentarios en la tabla para mostrar que cada longitud de lado de la figura original se multiplica por el factor de escala para determinar la longitud del lado correspondiente del dibujo a escala. Anime a sus estudiantes a demostrarlo en su trabajo. Esto puede ayudarles cuando usen el factor de escala para escribir ecuaciones.

b. Completa la tabla usando la ecuación de la parte (a).

Nota para la enseñanza

Una vez que sus estudiantes se familiaricen con la identificación de las longitudes de los lados correspondientes, pueden considerar innecesario usar una tabla para organizar la información. Si lo considera apropiado, puede pedirles que omitan este paso.

Más longitudes de lado desconocidas

La clase determina el factor de escala, escribe una ecuación y usa la ecuación para hallar las medidas desconocidas de una figura original y su dibujo a escala.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema Más longitudes de lado desconocidas. Deles un momento para que miren rápidamente todo el problema y, luego, haga tantas de las siguientes preguntas como sea necesario antes de permitirles que trabajen de forma independiente o en parejas:

• ¿Qué observan acerca de los pentágonos?

• ¿Qué longitudes de los lados tienen medidas desconocidas?

• ¿Qué lado del dibujo a escala se corresponde con el lado HI ?

• ¿Qué lado del pentágono FGHIJ se corresponde con el lado DE de la figura original?

• ¿Qué necesitamos saber antes de poder escribir una ecuación para relacionar la figura original con el dibujo a escala?

• ¿Qué hicimos en el último problema antes de escribir una ecuación?

• ¿Cómo usamos la ecuación para determinar la medida de una longitud del lado desconocida?

3. El pentágono FGHIJ es un dibujo a escala del pentágono ABCDE.

a. Usa la tabla para registrar las longitudes de los lados correspondientes.

(unidades)

b. Escribe una ecuación que relacione las longitudes de los lados del dibujo a escala con las longitudes de los lados de la figura original. Define las variables.

DUA: Representación

¿Pueden sus estudiantes determinar correspondencias entre figuras así como determinar razones de longitudes de lados dentro de figuras? De no ser así, considere demostrar cómo usar resaltadores fluorescentes o marcadores de colores diferentes y usar un código de colores para los lados destacados. Para apoyar la comprensión, haga preguntas como las siguientes:

• ¿Cuántas veces más largo es el lado PQ que el lado UP ?

• ¿Qué relación matemática existe entre el lado UT y el lado UP ?

Enfocarse en las relaciones que existen entre las figuras, así como dentro de las figuras, permite que sus estudiantes hagan conexiones con los usos de estas relaciones para determinar la longitud de los lados.

Sea y la longitud de un lado del dibujo a escala.

Sea x la longitud del lado correspondiente de la figura original.

yx = 3 2

c. Determina la longitud del lado HI .

La longitud del lado HI es 101 2 unidades.

d. Determina la longitud del lado DE .

La longitud del lado DE es 6 unidades.

Cuando la mayoría haya terminado, vuelva a reunir a la clase para confirmar sus respuestas. Use las preguntas y los planteamientos que siguen para guiar una conversación de toda la clase que se enfoque en la parte (d):

¿Cuál fue la diferencia entre la forma en que usaron la ecuación en la parte (d) y la forma en que usaron la ecuación en la parte (c)?

En la parte (c), resolví la ecuación para hallar el valor de y. En la parte (d), resolví la ecuación para hallar el valor de x.

En la parte (d), sabíamos la medida de la longitud del lado del dibujo a escala y necesitábamos resolver la ecuación para hallar el valor de x, que representa la longitud del lado desconocida de la figura original. Repasen el trabajo que hicieron para resolver la ecuación y hallar el valor de x. ¿Qué paso adicional fue necesario para determinar la longitud del lado desconocida? Tuve que multiplicar ambos lados de la ecuación por 2 3 para calcular la longitud del lado desconocida.

¿Cómo se relaciona 2 3 con el factor de escala que usaron en la ecuación?

2 3 es el recíproco del factor de escala 3 2 .

En la mayor parte del trabajo que hemos hecho hasta ahora con dibujos a escala, hemos tomado la longitud de un lado de una figura original y la hemos multiplicado por el factor de escala para hallar la longitud del lado desconocida de un dibujo a escala, como hicimos en la parte (c).

Ahora, tenemos una estrategia para hallar una longitud desconocida en una figura original: tomar la longitud en un dibujo a escala y multiplicarla por el recíproco del factor de escala para hallar la longitud correspondiente en la figura original.

Figura original: Medidas desconocidas

Sus estudiantes determinan las medidas desconocidas de una figura original cuando se dan todas las medidas de un dibujo a escala y una longitud del lado correspondiente conocida de la figura original.

Pida a sus estudiantes que vayan al problema 4. Este problema presenta a sus estudiantes un dibujo a escala de una figura original; sin embargo, la figura original no tiene medidas dadas. Use el planteamiento y la pregunta que siguen para guiar una conversación acerca de este problema:

Miren los polígonos del problema 4. ¿Qué observan?

Permita que compartan lo que hayan observado. Probablemente observarán que el dibujo a escala es una reducción de la figura original y que la figura original no tiene medidas dadas.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Sus estudiantes trabajan con recíprocos en 6.o grado cuando dividen fracciones. Para activar estos conocimientos previos, pueden necesitar apoyo. De ser así, considere brindar ejemplos como los siguientes:

• El recíproco de 5 es 1 5 .

• El recíproco de 3 2 es 2 3 .

Puede proporcionar a la clase el esquema de oración: “El recíproco de es ”. Ofrezca más ejemplos y permita que trabajen en parejas para completar adecuadamente los esquemas de oración.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante pone atención a la precisión (MP6) cuando determina qué lados se corresponden entre figuras y cuando compara las razones de las longitudes de los lados dentro de una figura.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP6:

• ¿En qué detalles es importante pensar cuando se determinan los lados correspondientes?

• ¿Es correcto decir que el lado derecho de la figura original se corresponde con el lado derecho del dibujo a escala? ¿Qué podemos agregar o cambiar para tener más precisión?

Dado que el dibujo a escala es una reducción de la figura original, ¿qué sabemos del factor de escala aunque no tengamos ninguna medida del original?

Como es una reducción, sabemos que el factor de escala es mayor que cero, pero menor que uno.

En el problema El razonamiento de Henry de la última lección, Henry usó una razón de la figura para hallar una longitud del lado desconocida. Henry observó que la longitud era el doble del ancho para una figura rectangular dada. ¿Podríamos aplicar la estrategia de Henry a este problema? Reúnanse y conversen en parejas.

Recorra el salón de clases prestando atención a quienes se den cuenta de que la estrategia de Henry solo puede aplicarse si sabemos al menos la longitud de un lado de la figura original. Después de que sus estudiantes hayan tenido la oportunidad de considerar la estrategia de Henry, pase al siguiente planteamiento:

Escuché a algunas parejas decir que la estrategia de Henry podría funcionar, pero que aún necesitamos al menos una medida de la figura original.

La medida del lado FA es 6 3 8 unidades. Rotulen el lado FA 6 3 8 . Usen la estrategia de Henry, u otra estrategia de su elección, para determinar la longitud del lado AB.

Pida a sus estudiantes que trabajen en el problema 4 usando esta nueva información. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan e identifique cualquier estrategia para hallar la solución que sea única.

4. El polígono PQRSTU es un dibujo a escala del polígono ABCDEF. Determina la longitud del lado AB .

Nota para la enseñanza

Con intención, no se proporciona suficiente información para completar este problema. Se espera que sus estudiantes se den cuenta de que hay información que falta y la pidan.

DUA: Acción y expresión

Mientras sus estudiantes trabajan, considere animar a la clase a comparar y comentar acerca de sus enfoques, en especial cuando observe que se usan métodos diferentes. Considere seleccionar un trabajo de la clase para proyectarlo y guiar conversaciones breves para apoyar a sus estudiantes mientras practican.

Como la longitud del lado PQ es 2 veces la longitud del lado UP , la longitud del lado AB es 2 veces la longitud del lado FA.

La longitud del lado AB es 123 4 unidades.

Puede haber estudiantes que determinen y usen el recíproco del factor de escala de 2 3 para hallar la longitud desconocida del lado correspondiente. También puede haber estudiantes que usen la estrategia de Henry para hallar la razón entre el lado UP y el lado PQ . Como la longitud del lado PQ es 2 veces la longitud del lado UP , sus estudiantes pueden multiplicar la longitud del lado FA por 2 para determinar la longitud desconocida del lado AB .

Cuando la mayoría haya hallado la longitud del lado AB , invite a sus estudiantes a compartir con la clase la estrategia seleccionada y su trabajo.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Hallar las medidas de una figura dados un factor de escala y el dibujo a escala o la figura original

Use las siguientes preguntas para guiar una conversación acerca de cómo hallar longitudes de lado desconocidas en los dibujos a escala:

Si saben que una figura es un dibujo a escala de otra, ¿cómo pueden determinar una longitud de lado desconocida de una de las figuras?

Para hallar una longitud de lado desconocida, primero debes determinar el factor de escala. Luego, puedes usar el factor de escala para escribir una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Por último, usas la ecuación para hallar las longitudes de lado desconocidas de la figura original o del dibujo a escala.

¿Cuál es la diferencia entre hallar una longitud desconocida en un dibujo a escala y hallar una longitud desconocida en una figura original cuando se usa una ecuación?

Al hallar una longitud desconocida en un dibujo a escala, la longitud correspondiente en el original se multiplica por el factor de escala. Al hallar una longitud desconocida en una figura original, la longitud correspondiente en el dibujo a escala se multiplica por el recíproco del factor de escala.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

Nombre Fecha

Hallar distancias reales a partir de un dibujo a escala

En esta lección:

• usamos factores de escala para desarrollar ecuaciones que relacionen dibujos a escala con sus figuras originales;

• determinamos longitudes de lado desconocidas de dibujos a escala;

• determinamos longitudes de lado desconocidas de figuras originales;

• observamos que el factor de escala que relaciona un dibujo a escala con su figura original es el recíproco del factor de escala que relaciona su figura original con el dibujo a escala.

Ejemplo

La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. 1 3 4 6 4.5 3 Figura 2 Figura 1

a. Determina el factor de escala.

El factor de escala es 1.5

45 3 15 =

b. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Sea s la longitud de un lado del dibujo a escala y r la longitud del lado correspondiente de la figura original.

s = 1.5r

© Great Minds PBC

Se puede usar cualquier par de longitudes de lado correspondientes para determinar el factor de escala. En este ejemplo, se usan 4.5 y 3, pero también se podrían usar 6 y 4 porque 6 4 15 =

Al desarrollar la ecuación, recuerda que el factor de escala se multiplica por la longitud del lado r en la figura original. El producto es la longitud s del lado correspondiente del dibujo a escala.

c. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida del dibujo a escala que se corresponde con la longitud de uno de los lados de la figura original de 1 unidad.

sr = = = 15 151 15 .()

La longitud del lado desconocida del dibujo a escala es 1.5 unidades.

d. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida de la figura original que se corresponde con la longitud del lado del dibujo a escala de 3 unidades.

sr r r r = = ÷= ÷ = 15 315 3151515 2

La longitud del lado desconocida de la figura original es 2 unidades.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

2. En el siguiente par de imágenes, el △JKL es un dibujo a escala del △ABC

1. Usa el diagrama para responder las partes (a) a (c).

FiguraDibujoaescalaB originalDibujoa escalaA

a. ¿Es el dibujo a escala A una ampliación o una reducción de la figura original?

El dibujo a escala A es una reducción de la figura original.

b. ¿Cuál es el factor de escala que relaciona el dibujo a escala A con la figura original?

1 2

c. ¿Es el dibujo a escala B una ampliación o una reducción de la figura original? El dibujo a escala B es una ampliación de la figura original.

d. ¿Cuál es el factor de escala que relaciona el dibujo a escala B con la figura original?

2

e. Escribe una ecuación que relacione las longitudes del dibujo a escala B con las longitudes del dibujo a escala A. Sea b una longitud del dibujo a escala B y a la longitud correspondiente del dibujo a escala A.

b = 4a

© Great Minds PBC

a. Determina el factor de escala.

3

b. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Sea f una longitud de la figura original y sea d la longitud correspondiente del dibujo a escala.

d = 3f

c. Usa la ecuación para hallar la longitud del JL .

La longitud del JL es 9 unidades.

3. En el siguiente par de figuras, la figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1.

4. Liam crea este dibujo a escala de un afiche que se exhibe en su escuela. Usa un factor de escala de 1 3

a. Determina el factor de escala.

0.25

b. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Sea a una longitud de la figura original y sea b la longitud correspondiente del dibujo a escala.

b = 0.25a

c. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida en el dibujo a escala que se corresponde con la longitud del lado de 5 unidades en la figura original.

1.25 unidades

d. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida en la figura original que se corresponde con la longitud del lado de 0.25 en el dibujo a escala.

1 unidad

a. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala de Liam con el afiche original. Sea a una longitud del afiche original y sea b la longitud correspondiente del dibujo a escala de Liam.

ba = 1 3

b. En la cuadrícula, cada unidad representa 1 centímetro. Usa el dibujo a escala de la cuadrícula y la ecuación de la parte (a) para hallar las longitudes correspondientes h, t y w del afiche original.

La longitud correspondiente de h en el afiche original es 18 cm

La longitud correspondiente de t en el afiche original es 24 cm

238 PRÁCTICA

La longitud correspondiente de w en el afiche original es 712cmcm. ©

En los problemas 5 a 8, suma.

9. Relaciona cada gráfica con su ecuación correspondiente. En cada recuadro, escribe una de las ecuaciones de las opciones de respuesta. Gráfica Ecuación 012345678910

10. Marca cada número y su opuesto en la recta numérica proporcionada.

©

Edición para la enseñanza: 7.° grado, Módulo 1, Tema C, Lección 18

LECCIÓN 18

Relacionar las áreas de dibujos a escala

Describir el área de un dibujo a escala con factor de escala r como r2 multiplicado por el área de la figura original

18

Los dibujos a escala A y B se hicieron a partir del mismo dibujo original. Aquí se muestra el dibujo a escala A. Por cada 1 pulgada en el dibujo a escala A, el dibujo a escala B (no mostrado) muestra una longitud de 12 pulgadas.

Dibujo a escala A in in 1in Cocina Comedor in 11 2 11 2 3 4

a. ¿Qué factor de escala relaciona el dibujo a escala B con el dibujo a escala A? 12

b. Describe cómo se usa el factor de escala para determinar el área de la cocina en el dibujo a escala B.

Como cada distancia en el dibujo a escala B es 12 veces su distancia correspondiente en el dibujo a escala A, el factor de escala es 12 El área del dibujo a escala B está relacionada con el área del dibujo a escala A por el cuadrado del factor de escala. Esto significa que el área de la cocina en el dibujo a escala B es 122, o 144, multiplicado por el área de la cocina en el dibujo a escala A.

c. ¿Cuál es el área de la cocina en el dibujo a escala B?

3 4 3 4 1 ⋅=

El área de la cocina en el dibujo a escala A es 3 4 de pulgada cuadrada.

3 4 144108⋅=

El área de la cocina en el dibujo a escala B es 108 pulgadas cuadradas.

©

Vistazo a la lección

Sus estudiantes descubren la relación entre el área de un dibujo a escala y de una figura original a través de una experiencia estructurada pero centrada en cada estudiante. En una tarea

exploratoria, sus estudiantes observan que, cuando se aplica un factor de escala r a un cuadrado, el área de ese cuadrado experimenta un escalado con r 2 como factor de escala. Luego, hacen la prueba y confirman que esta relación es válida para otras figuras, como rectángulos y triángulos.

Preguntas clave

• ¿Existe una relación entre el área de la figura y el área del dibujo a escala? Expliquen.

• Si sabemos el área de la figura original y el factor de escala, ¿cómo podemos hallar el área del dibujo a escala?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA3 Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales. (7.RP.A.2.b)

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas. (7.G.A.1)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Dibujar cuadrados a escala

• Dibujar un rectángulo a escala

• Regresar al problema de los triángulos

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• No se necesita.

Fluidez

El área de los polígonos

La clase halla áreas de polígonos como preparación para comparar áreas de dibujos a escala.

Instrucciones: Halla el área de los polígonos con las longitudes de los lados dadas.

1. Un rectángulo con una longitud de 8 cm y un ancho de 10 cm

2. Un triángulo rectángulo con una base de 8 cm y una altura de 10 cm

3. Un cuadrado con una longitud del lado de 7 cm

4. Un triángulo rectángulo con una base de 7 cm y una altura de 7 cm

80 cm cuad.

Nota para la enseñanza

Puede haber estudiantes que se beneficien de una representación visual del rectángulo, los triángulos y el cuadrado.

40 cm cuad.

49 cm cuad.

5. Un triángulo rectángulo con una base de 10 cm y una altura de 9 cm 45 cm cuad.

6. Un triángulo rectángulo con una base de 1.2 cm y una altura de 5 cm 3 cm cuad.

Presentar

La clase construye un dibujo a escala y se pregunta cómo se relacionan las áreas de los dibujos a escala con las áreas de sus figuras originales.

Dé a sus estudiantes 2 minutos para completar el problema 1 de manera individual.

1. Crea un dibujo a escala del triángulo usando un factor de escala de 3.

Diferenciación: Apoyo

Sus estudiantes deben ser capaces de crear con fluidez dibujos a escala con un factor de escala dado en papel cuadriculado. Si necesitan más práctica, considere repasar la destreza antes de continuar con la lección. Use los dibujos a escala de la exploración

Dibujar cuadrados a escala para enseñar a sus estudiantes a hacer un dibujo a escala con un factor de escala dado.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir para responder la siguiente pregunta:

¿Cuántos de los triángulos originales creen que cabrían en el dibujo a escala más grande?

Después de que dos o tres estudiantes hayan compartido sus respuestas, presente el aprendizaje del día pidiendo a sus estudiantes que consideren la siguiente pregunta:

¿Creen que el área de los dibujos a escala está relacionada con el área de las figuras originales de forma predecible? De ser así, ¿cómo?

Permita que sus estudiantes hagan predicciones; sin embargo, no espere aún una respuesta precisa a esta pregunta.

Hoy, exploraremos cómo se relaciona el área de los dibujos a escala con el área de las figuras originales.

Nota para la enseñanza

Puede haber estudiantes que interpreten que el factor de escala, r, indica que el área del dibujo a escala es r multiplicado por el área de la figura original. Esto es un concepto erróneo común que puede resolverse recordando a sus estudiantes que el factor de escala solo relaciona las distancias correspondientes. Considere ofrecer un ejemplo de la vida real, como el siguiente:

• Cuando la longitud de este lápiz se multiplica por un factor de escala de 4, tiene la misma longitud que el escritorio. ¿Significa eso que el escritorio es 4 veces más grande que el lápiz?

Aprender

Dibujar cuadrados a escala

La clase hace observaciones acerca de cómo se relacionan las áreas de los dibujos a escala.

Presente el segmento Dibujar cuadrados a escala. Pida a sus estudiantes que trabajen en parejas y completen los problemas 2 a 7. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan.

Haga las siguientes preguntas a sus estudiantes mientras trabajan para resaltar su razonamiento:

• ¿Observan algún patrón en los valores de la tabla?

• Para cada par de figuras, ¿cuántos cuadrados de la figura original caben en el dibujo a escala?

En los problemas 2 a 7, usa los factores de escala proporcionados para crear un dibujo a escala de cada figura original. Luego, calcula el área de la figura original y del dibujo a escala.

Problema Figura original Factor de escala

Dibujo a escala

Área de la figura original

Área del dibujo a escala

Una vez que la mayoría de las parejas hayan completado los problemas 2 a 7, presente el problema 8 mientras brinda apoyo para el término conjetura.

En el problema 8, se nos pide que hagamos una conjetura. Las expertas y los expertos en matemáticas hacen suposiciones fundamentadas, llamadas conjeturas, basadas en observaciones. Luego, intentan probar que sus conjeturas son verdaderas o falsas. Usaremos las observaciones que hicimos en los problemas 2 a 7 para escribir una conjetura acerca de la relación entre el área de una figura original y el área de su dibujo a escala.

8. Escribe una conjetura, o una suposición fundamentada, que describa la relación entre el área de una figura original y el área de un dibujo a escala.

Considere pedir a las parejas que compartan con la clase sus respuestas al problema 8, pero no valide ninguna conjetura todavía.

Pida a sus estudiantes que vayan a los problemas 9 a 12. Dígales que esta es su oportunidad para probar que su conjetura es verdadera o para perfeccionarla si no lo es. Considere imprimir las respuestas a los problemas 9 a 12 y dejar una copia en un lugar que sea de fácil acceso para sus estudiantes. Pida a las parejas que completen los problemas y, luego, comprueben sus respuestas usando la hoja de respuestas. Si sus respuestas son correctas, pídales que continúen con el problema 13.

Si es necesario, haga a las parejas las siguientes preguntas para ayudarles a perfeccionar sus conjeturas:

• ¿Funciona su conjetura en algunos problemas pero no en todos? De ser así, ¿en cuáles funciona?

• ¿En qué se parecen los casos en los que funcionó su conjetura? ¿En qué se diferencian los casos en los que su conjetura no funcionó?

Nota para la enseñanza

Después de la exploración original, sus estudiantes pueden desarrollar el concepto erróneo de que el área del dibujo a escala es el cuadrado del factor de escala. Sin embargo, esto solo funcionaba cuando el área del cuadrado original era 1. Si observa que han respondido los problemas 9 y 10 de manera correcta, y los problemas 11 y 12 de manera incorrecta, este concepto erróneo puede ser la causa del error. Para ayudar a sus estudiantes a identificar su error, haga preguntas como las siguientes:

• ¿En qué se diferencian las figuras originales de los dos últimos problemas?

• ¿Creen que el área de la figura original afecta el área del dibujo a escala?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Considere pedir a sus estudiantes que usen sus Herramientas para la conversación para desarrollar sus conjeturas. Pueden usar la sección Puedo compartir mi razonamiento de la herramienta cuando comunican sus ideas.

En los problemas 9 a 12, usa la conjetura que escribiste en el problema 8 para hallar el área de los siguientes dibujos a escala sin crearlos.

Problema Figura original Factor de escala

Nota para la enseñanza

Si sus estudiantes necesitan apoyo para expresar de manera clara la relación entre el área de los dibujos a escala y el área de las figuras originales, considere pedirles que revisen el trabajo en parejas. Pídales que escriban su conjetura, que la intercambien con alguien más de la clase y que esta persona considere si la conjetura es clara sin necesidad de más explicaciones. Si la conjetura no es clara, pídale que haga preguntas y ofrezca retroalimentación sobre cómo hacerla más clara.

13. ¿Crees que tu conjetura será verdadera para figuras a escala que no sean cuadrados? Explica tu razonamiento.

Dibujar un rectángulo a escala

La clase explora si su conjetura también es verdadera con los rectángulos. Presente Dibujar un rectángulo a escala. Pida a sus estudiantes que completen el problema 14 en parejas.

14. Considera el rectángulo.

a. ¿Cuál es el área del rectángulo?

Abh = = = (2)(3)

El área del rectángulo es 6 unidades cuadradas.

b. Supón que la conjetura que generaste para los cuadrados también funciona para los rectángulos. ¿Cuál debe ser el área de un dibujo a escala si se crea usando un factor de escala de 1 2 ?

Nota para la enseñanza

La clase aprende a evaluar

() como

en el módulo 1 de 8.o grado. En 7.o grado, la clase usa lo que sabe sobre notación exponencial de 6.o grado para interpretar

El área del dibujo a escala debe ser 1.5 unidades cuadradas.

c. Crea un dibujo a escala usando un factor de escala de 1 2 . Halla el área del dibujo a escala.

¿Confirma el área que hallaste que tu conjetura funciona para los rectángulos?

El área del dibujo a escala es 1.5 unidades cuadradas. Esto confirma que si el factor de escala es r, el área del dibujo a escala es r 2 multiplicado por el área de la figura original.

Regresar al problema de los triángulos

La clase verifica si su conjetura también es verdadera con los triángulos.

Presente el segmento de Regresar al problema de los triángulos. Pida a la clase que complete el problema 15 en parejas.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante reconoce y expresa regularidad en la lógica de la repetición (MP8) cuando observa que el área de una región en un dibujo a escala siempre está relacionada con el área de la región correspondiente en la figura original por un factor de escala elevado al cuadrado.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP8:

• ¿Qué patrones observaron al comparar las áreas de las regiones correspondientes en el dibujo a escala y en la figura original?

• ¿Funcionará siempre este patrón?

15. Considera los triángulos del problema 1.

a. ¿Se relacionan de la misma manera el área de los triángulos a escala y el área de los cuadrados y rectángulos a escala? Explica.

Como el factor de escala es 3, el área del dibujo a escala debe ser 32, o 9, multiplicado por el área de la figura original.

Abh = = = 1 2 1 2 4 (4)(2)

Abh = = = 1 2 1 2 36 (12)(6)

El área del dibujo a escala es 32, o 9, multiplicado por el área de la figura original, ya que 4 ⋅ 9 = 36. El área del triángulo a escala se relaciona con el área del triángulo original de la misma manera que en el caso de los cuadrados y los rectángulos.

b. Supón que estos dos triángulos tienen un área de 5 unidades cuadradas y 80 unidades cuadradas. Determina el factor de escala que ampliaría el triángulo más pequeño al triángulo más grande.

80 5 16 =

El factor que relaciona las áreas de las figuras es 16. El factor de escala 4 relaciona las longitudes de los lados porque 42 = 16.

Cuando la mayoría haya terminado el problema 15, pida a sus estudiantes que resuman lo que descubrieron acerca de la relación entre el área de una figura original y el área de su dibujo a escala. Si es necesario, resuma el aprendizaje en el siguiente enunciado:

En esta exploración, hallaron una relación entre el área de una figura original y el área de un dibujo a escala. Hallaron que multiplicando el área de la figura original por el factor de escala al cuadrado, obtienen el área del dibujo a escala. Verificaron que esta propiedad funciona para cuadrados, rectángulos y triángulos.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivo: Describir el área de un dibujo a escala con factor de escala r como r2 multiplicado por el área de la figura original

Use las preguntas que siguen para iniciar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a volver a expresar o desarrollar las respuestas de sus pares.

Pida a sus estudiantes que consulten el problema 2.

En el problema 2, ¿por qué creen que el factor 4 relaciona las áreas en lugar del factor de escala 2?

El factor de escala de 2 cambia la medida de cada longitud para que sea 2 veces más larga. Para hallar el área, se multiplican dos longitudes, así que el factor 2 ⋅ 2, es decir, 22, debería relacionar las áreas.

¿Existe una relación entre el área de la figura y el área del dibujo a escala? Expliquen. Sí. Las áreas son proporcionales, pero están relacionadas por una constante de proporcionalidad distinta del factor de escala que relaciona las longitudes de sus lados. El área de un dibujo a escala creado con un factor de escala de r es r 2 veces el área de la figura original.

Si saben el área de la figura original y el factor de escala, ¿cómo pueden hallar el área del dibujo a escala?

Puedo elevar al cuadrado el factor de escala para determinar la constante de proporcionalidad que relacionará las áreas. Luego, puedo multiplicar el área de la figura original por esa constante de proporcionalidad para hallar el área del dibujo a escala.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

7

Relacionar las áreas de dibujos a escala

En esta lección:

• observamos patrones en áreas de dibujos a escala de figuras que incluyen cuadrados, rectángulos y triángulos;

• determinamos que el área de un dibujo a escala creado con un factor de escala r es r2 multiplicado por el área de la figura original;

• usamos áreas de dibujos a escala para determinar el factor de escala.

Ejemplos

1. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 9 unidades cuadradas y el factor de escala es 8. ¿Cuál es el área de la figura 2? Explica cómo lo sabes.

Figura 2 Figura 1

Cuando un factor de escala r relaciona las longitudes de los lados, el factor que relaciona las áreas es r2 Nombre Fecha

Como el factor de escala es 8, el factor que relaciona las áreas de las figuras es 82 o 64 El área de la figura 2 es 576 unidades cuadradas porque 9 ⋅ 64 = 576

Eleva el factor de escala al cuadrado para determinar el factor que relaciona las áreas. Luego, multiplica el área de la figura original por este factor para hallar el área del dibujo a escala.

© Great Minds PBC

2. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. La figura 1 tiene un área de 16 unidades cuadradas. La figura 2 tiene un área de 256 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala relaciona la figura 2 con la figura 1? Explica cómo lo sabes.

Determina el factor que relaciona sus áreas.

Figura 1

256 16 16 =

Figura 2

Dado que la figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1, halla el valor de la razón para hallar el factor que relaciona las áreas:

2 1 áreadelafigura

áreadelafigura

El factor que relaciona las áreas de las figuras es 16. El factor de escala 4 relaciona las longitudes de los lados porque 42= 16

Para hallar el factor de escala, determina qué valor multiplicado por sí mismo es igual a 16

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

PR ÁCTICA 18

1. En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC. Todas las longitudes que se muestran se expresan en centímetros. 21

a. Determina el factor de escala para confirmar que el △DEF es un dibujo a escala del △ ABC.

1 2

b. Calcula las áreas del △ ABC y el △DEF.

El área del △ ABC es 84 centímetros cuadrados.

El área del △DEF es 21 centímetros cuadrados.

c. ¿Qué factor debes aplicar al área del △ABC para hallar el área del △DEF? ¿Cómo se relacionan el área del △DEF y el área del △ABC? ¿Cómo se compara esta relación con el factor de escala?

El factor que relaciona las áreas de los triángulos es 1 4 , lo que significa que el área del △DEF es 1 4 del área del △ ABC

El valor de 1 4 es equivalente al factor de escala al cuadrado: 1 2 2()

© Great Minds PBC

2. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. La figura 1 tiene un área de 6 unidades cuadradas y la figura 2, de 294 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala relaciona la figura 2 con la figura 1? Explica cómo lo sabes. Figura 1 Figura 2

El factor que relaciona las áreas de las figuras es 49 El factor de escala 7 relaciona las longitudes de los lados porque 72 = 49 ©

EUREKA MATH2 7 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 18

7

3. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 15 unidades cuadradas, y el factor de escala es 5. ¿Cuál es el área de la figura 2? Explica cómo lo sabes.

Figura 2

Figura 1

Como el factor de escala es 5, el factor que relaciona las áreas de las figuras es 52, o 25. El área de la figura 2 es 375 unidades cuadradas porque 15 25 = 375

4. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. La figura 1 tiene un área de 8 unidades cuadradas y la figura 2, de 200 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala relaciona la figura 2 con la figura 1? Explica cómo lo sabes.

Figura 2

Figura 1

El factor que relaciona las áreas de las figuras es 25. El factor de escala 5 relaciona las longitudes de los lados porque 52 = 25

5. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 20 unidades cuadradas y el factor de escala que relaciona la figura 2 con la figura 1 es 3. ¿Cuál es el área de la figura 2? Explica cómo lo sabes.

Figura 1

Figura 2

257 PRÁCTICA

© Great Minds PBC

Como el factor de escala es 3, el factor que relaciona las áreas de las figuras es 32, o 9 El área de la figura 2 es 180 unidades cuadradas porque 20 9 = 180

258 PRÁCTICA

© Great Minds PBC

©

6. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 80 unidades cuadradas y el factor de escala que relaciona la figura 2 con la figura 1 es 1 2 . ¿Cuál es el área de la figura 2?

Explica cómo lo sabes. Figura 1 Figura 2

7

10. Ava mira el dibujo a escala que se muestra. Observa que el dibujo a escala tiene aproximadamente la mitad del ancho y la mitad de la altura de la figura original. Por esta razón, dice que el factor de escala es aproximadamente 1 2

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con el razonamiento de Ava? Explica tu respuesta.

Figura original

Como el factor de escala es 1 2 2() , el factor que relaciona las áreas de las figuras es 1 2 2() , o 1 4

El área de la figura 2 es 20 unidades cuadradas porque 8020 1 4 ⋅=

Recuerda

En los problemas 7 a 9, suma.

7. 11

Dibujo a escala

Estoy de acuerdo con Ava. El factor de escala debe ser menor que 1 porque el dibujo a escala es una reducción de la figura original. Como el dibujo a escala tiene aproximadamente la mitad del ancho y la mitad de la altura de la figura original, el factor de escala es aproximadamente 1 2

11. Evalúa 2x2 + 2x − 16 cuando x = 3

8

260 PRÁCTICA

©

©

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Tema C, Lección 19

LECCIÓN 19

Escala y factor de escala

Describir la diferencia entre una escala y un factor de escala

Hallar medidas desconocidas en dibujos a escala mediante el uso apropiado de escalas y factores de escala

En un mapa de un parque estatal, 1 pulgada representa 2,000 pies. El Pico Thomas y el Pico Simmons están a 81 4 pulgadas de distancia en el mapa. ¿Cuál es la distancia real en millas entre el Pico Thomas y el Pico Simmons? (1 milla = 5,280 pies)

8200016500 1 4,, =

La distancia real entre el Pico Thomas y el Pico Simmons es 16,500 pies.

16,500 ÷ 5,280 = 3.125

La distancia real entre el Pico Thomas y el Pico Simmons es 3.125 millas.

Vistazo a la lección

En esta lección, sus estudiantes aplican su comprensión del factor de escala para generar una escala adecuada que represente una situación. Interpretan el significado de una escala dada en contexto. En una tarea para representar, diseñan un anuncio en una valla publicitaria que incluye un plano de planta ampliado y reflexionan acerca de la idoneidad de la escala elegida. En esta lección, se presenta el término escala.

Preguntas clave

• ¿Qué es una escala y para qué sirve?

• ¿Cuándo convendría usar una escala en lugar de un factor de escala?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA7 Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente. (7.G.A.1)

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas. (7.G.A.1)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• ¿Qué escala?

• Crear una escala apropiada

• Identificar la escala

• Crear una valla publicitaria

Concluir 10 min

Materiales

Maestro o maestra

• ninguno

Estudiantes

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• Considere tener papel cuadriculado a disposición para que la clase lo use en el problema Crear una valla publicitaria.

Fluidez

Convertir unidades de medida

La clase convierte unidades de medida (longitud) como preparación para usar escalas y factores de escala de forma adecuada.

Instrucciones: Convierte las unidades de medida.

Apoyo para la comprensión del lenguaje

Sus estudiantes aprendieron los símbolos de las unidades de medidas del sistema inglés en 5.o grado. Recuérdeles que el símbolo “ft” significa “pies” y que, por ser un símbolo, es invariable. Para brindar más apoyo, considere colgar un afiche para que puedan consultarlo durante la clase:

1 ft ⇒ 1 pie

2 ft ⇒ 2 pies

Si sus estudiantes sienten curiosidad, explique que “ft” proviene del inglés “feet”, que significa “pies”

Presentar

La clase observa un mapa a escala y explora su relación con las distancias reales que representa.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 1 en parejas.

1. Considera el mapa.

a. Describe con tus palabras lo que muestra el mapa.

El mapa muestra una ciudad con diferentes lugares marcados.

b. ¿Qué está más cerca de la casa: el restaurante o la cafetería? ¿Cómo lo sabes?

La cafetería está más cerca de la casa porque aparece más cerca en el mapa.

c. ¿Puedes determinar la distancia de la casa a la cafetería a partir de la información que se ofrece en el mapa?

No. Necesitaría saber una distancia en el mapa para determinar las distancias reales entre cualquiera de estos lugares.

Nota para la enseñanza

Según cuánto sepan sus estudiantes sobre los mapas, considere guiar una conversación de toda la clase acerca de las características del mapa.

• ¿Qué creen que significan los símbolos de este mapa?

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Esta es solo la primera de varias conversaciones acerca de la escala en esta lección.

¿Cómo saben qué ubicaciones están más cerca o más lejos de la casa real que otras?

Si las ubicaciones aparecen más cerca en el mapa, creo que también están más cerca en la distancia real.

¿Qué información nos ayudaría a determinar las distancias reales entre las ubicaciones que aparecen en el mapa?

Sería útil saber el tamaño de la ciudad real en comparación con el tamaño del mapa.

Haga una transición hacia la próxima actividad con el siguiente planteamiento:

Un mapa es un ejemplo de un dibujo a escala. Para determinar las distancias reales entre estas ubicaciones, necesitamos saber qué factor de escala relaciona las distancias en el mapa con las distancias reales. Hoy, consideraremos qué tipo de factor de escala es adecuado para este tipo de situaciones.

Aprender

¿Qué escala?

La clase considera los diversos significados de la palabra escala.

Pida a sus estudiantes que usen la rutina Pensar-Trabajar en parejas-Compartir con el problema 2.

2. Considera las siguientes figuras, que representan la palabra escala. ¿Cuál se relaciona mejor con el trabajo del módulo? ¿Por qué? ¿Qué muestra la figura?

Representación de la escala

Movimiento de los libros durante un terremoto

Representación de la escala

Representación de la escala

D.

Representación de la escala

Representación de la escala

ALEMANIA BÉLGICA

E.

FRANCIA

OCÉANO ATLÁNTICO

1cm

ESPAÑA

ITALIA SUIZA

1centímetrorepresenta100millas

Invite a la clase a compartir sus respuestas al problema 1. Luego, use las siguientes preguntas para hacer énfasis en el uso matemático de la palabra escala:

¿Qué figura muestra cómo usamos la palabra escala en las matemáticas?

Creo que la figura de la opción de respuesta E muestra cómo usamos la palabra escala porque muestra cómo se relacionan las distancias en un dibujo a escala con las distancias reales.

¿Qué creen que significa el término escala en este contexto?

La escala es probablemente como un factor de escala. Muestra la relación entre las distancias en el mapa y las distancias reales.

Crear una escala apropiada

La clase analiza un contexto en el que una escala dada no es adecuada para representar una situación y, a continuación, genera una escala más adecuada.

Complete el problema 3 con toda la clase. Pida a sus estudiantes que registren su trabajo.

Haga una pausa después de la parte (b) y haga preguntas que susciten la idea de que las pulgadas no son una forma de medida típica para una distancia tan grande. Anime a sus estudiantes a sugerir otra forma de medida que pueda facilitar la conceptualización de la distancia real.

¿Cuánto miden aproximadamente 158,400 pulgadas? ¿Por qué es difícil pensar en ello? Cuando pienso en pulgadas, pienso en una regla, que solo tiene 12 pulgadas. Es difícil pensar en un número tan grande.

¿Por qué parece poco razonable usar esta unidad de medida? ¿Qué unidad de medida sería más razonable para representar distancias como esta?

Apoyo para la comprensión del lenguaje

El término escala tiene varios significados. Preste mucha atención a cómo sus estudiantes interpretan y usan el término. El problema 2 brinda varios ejemplos. Considere pedir a sus estudiantes que resalten el lugar en que aparece la escala en la figura, así como en los problemas a lo largo de la lección.

Complete las partes (c) y (d) con toda la clase. Luego, use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase sobre una escala:

¿Qué es una escala?

Una escala indica cómo se relacionan las distancias en un dibujo a escala con las distancias en la configuración original.

¿Cuándo tiene más sentido usar una escala que un factor de escala?

Una escala permite elegir unidades más adecuadas para comparar dos distancias. Cuando se usa un factor de escala, las unidades deben ser las mismas. Entonces, si las distancias correspondientes producen un factor de escala que es muy grande o muy pequeño, tiene sentido usar una escala.

3. En este mapa, el factor de escala es 63,360.

a. ¿Cuál es la distancia real en pulgadas que se corresponde con una distancia de 1 pulgada en el mapa?

63,360 pulgadas

b. ¿Cuál es la distancia real en pulgadas que se corresponde con una distancia de 2.5 pulgadas en el mapa?

158,400 pulgadas

c. ¿Qué unidad de medida podría ser más adecuada que las pulgadas para representar las distancias reales? Usa esta unidad de medida para determinar una escala. Los pies o las millas serían una unidad de medida más adecuada.

12 pulgadas = 1 pie

63360

12 ,5280 , =

La escala podría ser: 1 pulgada representa 5,280 pies.

5,280 pies = 1 milla

5280

5280 ,1 , =

La escala podría ser: 1 pulgada representa 1 milla.

d. La distancia entre el hospital y el estacionamiento en el mapa de la ciudad es 3 pulgadas. Usa tu escala para hallar la distancia real.

Basándose en la escala que indica que 1 pulgada representa 5,280 pies, la distancia real del hospital al estacionamiento es 15,840 pies porque 3(5,280) = 15,840

Basándose en la escala que indica que 1 pulgada representa 1 milla, la distancia real del hospital al estacionamiento es 3 millas porque 3(1) = 3.

Identificar la escala

La clase explica qué significa una escala en contexto.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 4 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y preste atención a cómo usan la recta numérica doble para hallar la distancia real que se corresponde con 1 pulgada en el mapa.

4. Considera la escala del mapa de Hawái. Explica qué significa la escala en su contexto. Tu respuesta debe incluir lo que representa 1 pulgada en el mapa en términos de distancia real.

Nota para la enseñanza

Es importante dar a sus estudiantes el tiempo suficiente para que completen el problema 5. Si hay poco tiempo, considere pedirles que completen primero el problema 5 y, luego, el problema 4. Otra opción es asignar el problema 4 como tarea.

La escala significa que 1 pulgada en el mapa corresponde a 160 millas de distancia real.

Crear una valla publicitaria

La clase usa la escala y el factor de escala para resolver un problema.

Pida a sus estudiantes que completen el problema 5 en parejas. Recorra el salón de clases mientras sus estudiantes trabajan y preste atención a las justificaciones que dan para su elección de escala. Anime a la clase a que se implique en el problema representándolo con el método Lee-RepresentaResuelve-Resume.

5. Una constructora anuncia un nuevo desarrollo de viviendas. Quiere ampliar este plano de planta para que quepa en una valla publicitaria. La valla publicitaria mide 18 pies de alto y 48 pies de largo. Usa tus conocimientos sobre la escala y el factor de escala para dar instrucciones sobre cómo ampliar el plano de planta. Tu respuesta final debe tener en cuenta características de diseño como el área total del plano de planta ampliado y el espacio necesario para incluir otra información en la valla publicitaria.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante representa a través de las matemáticas (MP4) cuando crea escalas para usarlas en sus vallas publicitarias y cuando reflexiona sobre la idoneidad de las escalas elegidas.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP4:

• ¿Qué ideas clave del problema Crear una valla publicitaria deben asegurarse de usar en su modelo?

• ¿Qué les gustaría saber para crear esta valla publicitaria?

Cuar LaPasillotodebaño vadero ClósetClóset Cocina/ Comedor Saladeestar

6in

Dormitorio1

• ¿Cómo podrían mejorar el diseño de su valla publicitaria para representar mejor el plano de planta ampliado?

Dormitorio2

3in

Invite a la clase a compartir sus respuestas al problema 5. Considere usar alguna de las siguientes preguntas para guiar la conversación:

• ¿Han usado una escala o un factor de escala para crear el dibujo a escala de la valla publicitaria?

• ¿Qué escala eligieron para el dibujo de la valla publicitaria? ¿Es una escala adecuada?

• ¿Qué otra información podría querer incluir el promotor en la valla? ¿Hay espacio suficiente para incluir esa información?

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo para empezar con este problema, considere hacerles preguntas mientras trabajan:

• ¿Qué unidades se usan en este problema?

• ¿Tiene más sentido usar una escala o un factor de escala?

Tenga papel cuadriculado a disposición y sugiera a sus estudiantes que dibujen la valla publicitaria, incluido el plano ampliado, para determinar si la escala elegida es adecuada.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Describir la diferencia entre una escala y un factor de escala

Hallar medidas desconocidas en dibujos a escala mediante el uso apropiado de escalas y factores de escala

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación acerca de la escala y el factor de escala:

¿Qué es una escala y para qué sirve?

Una escala es una razón que compara una distancia en un dibujo a escala con la distancia real.

Una escala es útil cuando el factor de escala es muy grande o muy pequeño. En este caso, una escala brinda la flexibilidad de usar unidades de medida más adecuadas para ambos contextos.

¿En qué se diferencia el uso de una escala para hallar longitudes de lado desconocidas del uso de un factor de escala?

Cuando usas una escala, tienes que prestar mucha atención a las cantidades. A veces es necesario usar un factor de conversión que relacione las cantidades dadas con una unidad de medida diferente.

¿Cuándo convendría usar una escala en lugar de un factor de escala?

Convendría usar una escala cuando se relacionan dos distancias de tamaños muy diferentes, como la distancia en un mapa y la distancia real.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

©

Escala y factor de escala

En esta lección:

• creamos una escala más adecuada para representar un dibujo a escala;

• interpretamos el significado de una escala en su contexto;

• usamos una escala para hallar medidas desconocidas;

• desarrollamos una escala para completar una actividad para representar.

Ejemplos

1 metro = 100 centímetros

1. Considera la escala dada.

1 pie = 12 pulgadas

Vocabulario

La escala muestra la relación entre las distancias en un dibujo a escala y las distancias en la configuración original. Una escala también permite usar distintas unidades de medida.

1 milla = 5,280 pies

Esta escala es como una recta numérica doble.

Distancia en el mapa (pulgadas)

Distancia real (millas)

En los problemas 2 y 3, determina el factor de escala que se corresponde con la escala.

2. 1 pie representa 20 millas.

20(5,280) = 105,600

El factor de escala es 105,600.

Este factor de escala significa que 1 pie en la escala representa 105,600 pies reales.

3. 1 centímetro representa 8 metros.

8(100) = 800

El factor de escala es 800

Para hallar el factor de escala, compara los valores con la misma unidad de medida.

Para determinar el número de pies que hay en 20 millas, multiplica el número de millas, 20 por el número de pies que hay en 1 milla, 5,280

1 4 1 2

016 0 8

a. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 1 pulgada en el mapa?

La distancia real es 32 millas.

Esto significa que 1 4 de pulgada en el mapa representa 8 millas de distancia real.

También es correcto usar 1 2 pulgada y 16 millas de la escala.

884

32 1 4 ÷= =

b. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 5 4 pulgadas en el mapa?

5 4 .3240 =

La distancia real es 40 millas.

16162

32 1 2 ÷= =

Dado que 1 pulgada representa 32 millas, se puede usar esta escala para hallar otras distancias desconocidas.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

12 pulgadas = 1 pie 5,280 pies = 1 milla 30.48 centímetros = 1 pie 100 centímetros = 1 metro

1. En este mapa, el factor de escala es 126,720

a. ¿Cuál es la distancia real en pulgadas que se corresponde con una distancia de 1 pulgada en el mapa?

126,720 pulgadas

b. ¿Qué unidad de medida podría ser más adecuada que las pulgadas para representar las distancias reales? Usa esta unidad de medida para determinar una escala.

Los pies o las millas serían una unidad de medida más adecuada.

La escala podría ser: 1 pulgada representa 10,560 pies.

La escala podría ser: 1 pulgada representa 2 millas.

© Great Minds PBC

c. En el mapa, la distancia entre el hospital y la estación de gasolina es 4 pulgadas. Usa la escala que determinaste en la parte (b) para hallar la distancia real.

Basándose en la escala que indica que 1 pulgada representa 10,560 pies, la distancia real del hospital a la estación de gasolina es 42,240 pies porque 4(10,560) = 42,240

Basándose en la escala que indica que 1 pulgada representa 2 millas, la distancia real del hospital a la estación de gasolina es 8 millas porque 4(2) = 8

2. Un constructor quiere reducir este dibujo del plano de planta para que quepa en un folleto con otros diseños. El constructor crea una escala en la que 1 pulgada en el dibujo del plano de planta original representa 0.5 pulgadas en el plano reducido.

Cocina/ Comedor Saladeestar

Dormitorio1

3in

Dormitorio2

vadero

Cuar LaPasillotodebaño

ClósetClóset

6in

a. ¿Cuáles son las longitudes en el dibujo del plano de planta reducido?

Las longitudes son 1.5 pulgadas y 3 pulgadas.

b. ¿Qué factor de escala reduce el dibujo del plano de planta original al dibujo del plano de planta reducido?

El factor de escala es 0.5

©

3. Considera la escala del mapa de Italia. 0

a. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 1 centímetro en el mapa?

60 kilómetros

b. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 1.5 centímetros en el mapa?

90 kilómetros

7 ▸ M1 ▸ TC ▸ Lección 19 EUREKA MATH2

En los problemas 4 a 6, determina el factor de escala que se corresponde con la escala.

4. 1 pulgada representa 10 pies.

El factor de escala es 120

5. 1 milímetro representa 4 metros.

El factor de escala es 4,000

6. 1 pie representa 10 millas.

El factor de escala es 52,800.

Recuerda

En los problemas 7 a 9, suma.

7. 21 3 4 5 8 + 43 8 8. 11 3 5 1 2 +

276 PRÁCTICA

10. ¿Parece ser la figura B un dibujo a escala de la figura A? Explica tu razonamiento.

Figura A Figura B

No. La figura B no parece ser un dibujo a escala de la figura A. Parece que se ha aplicado un factor de escala al ancho de la figura A, pero la altura parece ser la misma, por lo que las distancias de la figura B no son proporcionales a las de la figura A.

11. Evalúa 2(3x + 5) + 4x + 5 cuando x = 3 45 ©

Crear varios dibujos a escala

Crear un dibujo a escala de otro dibujo a escala usando un nuevo factor de escala

Escribir una ecuación para la relación proporcional que conecta dibujos a escala que tienen factores de escala diferentes, y usar esa ecuación para hallar distancias desconocidas

Vistazo a la lección

La figura 2 es una ampliación de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1.2. La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 0.4

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

Sí. La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 1, ya que ambas son proporcionales a la figura 2.

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3?

1.2 · 0.4 = 0.48

El factor de escala que reduce la figura 1 a la figura 3 es 0.48

c. Escribe una ecuación que represente la relación entre las longitudes de los lados de la figura 3 y la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3, y x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

y = 0.48x

En esta lección, sus estudiantes exploran las características de un dibujo a escala de una figura que ya es un dibujo a escala. Concluyen que, si se hace un dibujo a escala a partir de un dibujo a escala, el factor de escala que hace que el segundo dibujo a escala se corresponda con la figura original es el producto de los factores de escala. Sus estudiantes aplican su comprensión del factor de escala para escribir y resolver ecuaciones que relacionan las longitudes de los lados de una figura original con las longitudes de los lados de un segundo dibujo a escala.

Pregunta clave

• ¿Cómo podemos hallar el factor de escala que relaciona una figura original con un segundo dibujo a escala?

Criterios de logro académico

7.Mód1.CLA7 Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente. (7.G.A.1)

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas. (7.G.A.1)

Agenda

Fluidez

Presentar 5 min

Aprender 30 min

• Dibujar a escala dibujos a escala

• Relacionar dibujos a escala

Concluir 10 min

Materiales

Maestra o maestro

• ninguno

Estudiantes

• herramienta de borde recto

Preparación de la lección

• Considere tener papel cuadriculado a disposición para quienes cometan errores o necesiten espacio adicional.

Fluidez

Hallar el factor de escala

Sus estudiantes hallan el factor de escala usando las longitudes de los lados como preparación para usar factores de escala y hallar distancias desconocidas.

Instrucciones: Usa las figuras que se muestran para determinar el factor de escala.

Presentar

La clase estudia cuatro pares de figuras y considera qué par no pertenece a los demás basándose en características clave.

Figura original

Figura original

Figura original

Figura original

Muestre la imagen de cuatro pares de figuras. Presente la rutina ¿Cuál no pertenece al grupo?

Presente los cuatro pares de figuras e invite a sus estudiantes a estudiarlas.

Dé a la clase 1 minuto para hallar una categoría a la cual pertenezcan tres de los pares, pero el cuarto par no pertenezca.

Destaque las respuestas que hagan énfasis en el razonamiento acerca de los factores de escala usados.

El conjunto A es el único que muestra una ampliación.

El conjunto B es el único que muestra que las figuras tienen el mismo tamaño.

El conjunto C es el único que no muestra un dibujo a escala.

El conjunto D es el único que muestra una reducción.

Haga preguntas que inviten a sus estudiantes a usar lenguaje preciso, hacer conexiones y formular sus propias preguntas.

Ejemplos de preguntas:

• ¿Parecen estas imágenes mostrar figuras que son dibujos a escala?

• ¿Podemos hallar los factores de escala que relacionan estas figuras? De no ser así, ¿cómo podemos estimar los factores de escala en cada una de ellas?

• ¿Por qué la segunda figura del conjunto B se considera un dibujo a escala, aunque no haya cambiado de tamaño?

Los conjuntos A, B y D muestran una relación entre las longitudes correspondientes de una figura original y un dibujo a escala. Hoy, exploraremos qué sucede cuando se crea un segundo dibujo a escala a partir de un dibujo a escala de una figura original.

Aprender

Dibujar a escala dibujos a escala

La clase hace un dibujo a escala de un dibujo a escala y lo compara con la figura original.

Use la rutina Cabezas numeradas para que la clase realice el problema 1. Organice a sus estudiantes en grupos de cuatro y asigne a cada estudiante un número, del 1 al 4. Asigne una parte, de la (a) a la (e), a cada grupo y pídales que sigan las instrucciones para crear dos dibujos a escala a partir de esa figura original. Asigne la misma parte a varios grupos, si es necesario.

Nota para la enseñanza

La palabra relacionar se usa a lo largo del tema para identificar el factor de escala empleado a fin de crear el dibujo a escala a partir de la figura original. En esta lección, se hace referencia a más de un dibujo a escala. Con el objetivo de limitar la ambigüedad, se usa la palabra corresponder para aclarar cuál es la figura original y cuál es el dibujo a escala.

Promoción de los estándares para la práctica de las matemáticas

Cada estudiante hace conjeturas cuando predice que el factor de escala que hará que la figura 3 se corresponda con la figura 1 puede hallarse multiplicando los dos factores de escala. Cada estudiante construye argumentos viables (MP3) más adelante cuando usa el conocimiento de los dibujos a escala para justificar por qué su conjetura es verdadera.

Haga las siguientes preguntas para promover el estándar MP3:

• ¿Pueden hallar una situación en la que su conjetura no funcione?

• ¿Por qué su estrategia para hallar el factor de escala combinado funciona? Convenzan a su pareja de trabajo.

Observe a los grupos mientras trabajan y averigüe su razonamiento con preguntas como las siguientes:

• ¿Cuál creen que es la forma más eficaz de crear un dibujo a escala?

• ¿Cómo creen que se relaciona el segundo dibujo a escala con la figura original?

• ¿Creen que es posible predecir con exactitud el factor de escala que relaciona la figura original con el segundo dibujo a escala?

1. Usa el primer factor de escala para construir un dibujo a escala de la figura 1 y rotúlalo figura 2. Luego, usa el segundo factor de escala para construir un dibujo a escala de la figura 2 y rotúlalo figura 3.

a. Primer factor de escala: 1 3 ; segundo factor de escala: 4

DUA: Acción y expresión

Considere preparar copias comentadas de dibujos a escala completos para todas las partes del problema 1. Después de que los grupos terminen el problema, pueden comparar sus dibujos a escala con los ejemplos comentados e identificar las áreas de éxito y las áreas en las que deben mejorar.

b. Primer factor de escala: 1 2 ; segundo factor de escala: 2

Figura

e. Primer factor de escala: 4; segundo factor de escala: 1 3

A medida que los grupos terminen los dibujos a escala asignados, pídales que completen los problemas 2 y 3. En parte del problema 3, se pide a sus estudiantes que vuelvan al problema 1 y completen todas las partes de la (a) a la (e) para confirmar si su predicción era correcta.

No es importante que todos los grupos terminen todos los problemas. Diga a sus estudiantes que cualquiera podría responder por el grupo, por lo que cada estudiante debe prepararse para presentar su método para predecir el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1.

2. En el problema asignado, compara la figura original (figura 1) con el segundo dibujo a escala (figura 3). ¿Parece el segundo dibujo a escala un dibujo a escala de la figura original? Justifica tu razonamiento. De ser así, ¿qué factor de escala relaciona las dos figuras?

Diferenciación: Apoyo

Si sus estudiantes necesitan apoyo para reconocer que el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1 se halla multiplicando los factores de escala, desafíe a la clase a analizar detenidamente la longitud de un solo lado. Pida a sus estudiantes que rastreen esa longitud a través del primer y el segundo dibujo a escala y que registren sus cálculos. Por ejemplo, en el problema 1(a):

La longitud del lado de la figura 1 es 3 unidades.

La longitud del lado de la figura 2 es 1 unidad porque 3 ⋅ 1 3 = 1.

La longitud del lado de la figura 3 es 4 unidades porque 1 4 = 4

Entonces, el cálculo de la figura 1 a la figura 3 es el siguiente:

Sí. La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 1. Todas las distancias correspondientes de la figura 1 son proporcionales a las de la figura 3. El factor de escala de 4 3 amplía la figura 1 hasta la figura 3.

3. Con tu grupo, predigan el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1 en cada una de las partes restantes del problema 1. Luego, usen los factores de escala asignados para completar cada dibujo a escala y comprobar la exactitud de su predicción. Prepárense para compartir cómo hicieron las predicciones sobre el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1.

Diferenciación: Desafío

Desafíe a los grupos de estudiantes a predecir si un segundo dibujo será igual si completan sus dibujos a escala en orden inverso. Pídales que vuelvan a la figura original asignada a su grupo y completen de nuevo los dibujos a escala para que verifiquen sus predicciones, esta vez usando los factores de escala en orden inverso.

Sus estudiantes deben determinar que cuando los dibujos a escala se completan en orden inverso, el dibujo a escala final sigue teniendo el mismo aspecto.

Una vez que todos los grupos hayan tenido la oportunidad de hacer una predicción y confirmarla con al menos una parte adicional del problema 1, vuelva a reunir a la clase. Luego, diga un número del 1 al 4 para identificar a la persona que responderá por el grupo, y use el planteamiento que sigue:

Presenta por tu grupo y describe el método que usaron para predecir el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1.

Predijimos que el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1 es el producto de los dos factores de escala dados. Verificamos que nuestra predicción era correcta poniéndola a prueba con otras partes del problema 1. Usamos el factor de escala que pensábamos que sería el correcto para crear un dibujo a escala y, luego, lo comprobamos creando el dibujo a escala para la figura 2 y, luego, para la figura 3. Nuestros dibujos a escala finales eran iguales, así que supimos que nuestra predicción era correcta.

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Considere decir un número para identificar a la persona que responderá por el grupo durante el resto de la conversación.

En el problema 1 descubrimos que se puede crear un dibujo a escala de un dibujo a escala aplicando el producto de ambos factores de escala a la figura original. ¿Con qué figuras sabemos que funciona este método?

El problema 1 tiene triángulos, cuadrados y rectángulos, así que sabemos que funciona con esas figuras.

Dediquen 10 segundos a pensar en silencio si este método funciona con todas las figuras.

Después de los 10 segundos, invite a sus estudiantes a compartir sus pensamientos y a validar las respuestas respaldadas por el razonamiento. Por ahora, sus estudiantes solo pueden tener la certeza de que este método funciona para las figuras observadas en el problema 1 y para cualquier otra figura que esté compuesta de triángulos, rectángulos o cuadrados.

¿Por qué funciona el método de multiplicar los factores de escala para determinar el nuevo factor de escala?

Pida a sus estudiantes que conversen con su grupo durante 1 minuto.

Las longitudes del primer dibujo a escala se obtienen multiplicando las longitudes de la figura original por el factor de escala. Las longitudes del segundo dibujo a escala se obtienen multiplicando las longitudes del primer dibujo a escala por el nuevo factor de escala. Así que podemos pasar directamente de las longitudes de la figura original a las longitudes del segundo dibujo a escala multiplicando las longitudes originales por ambos factores de escala.

Si pensamos en esto con una figura sencilla, como un cuadrado con una longitud de lado de 1 unidad, podemos entender por qué funciona el método de tomar el producto de los factores de escala. Si aplicamos un factor de escala de 2 a una longitud de lado de 1 unidad,

obtenemos una longitud de lado de 2 unidades. Entonces, podemos tomar la longitud de 2 unidades y aplicarle un factor de escala de 3 para obtener 6 unidades. Para pasar de 1 unidad de longitud a 6 unidades de longitud, multiplicamos la longitud original por 6, que resulta ser igual al producto de los factores de escala 2 y 3.

Relacionar dibujos a escala

La clase determina el factor de escala combinado sin usar las longitudes de los lados.

Pida a la clase que complete el problema 4 en grupos.

4. La figura 2 es una reducción de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 3 4 .

La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 1 2 .

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

Sí. La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 1, ya que ambas son proporcionales a la figura 2.

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3? 3

El factor de escala que reduce la figura 1 a la figura 3 es 3

8 .

Diferenciación: Desafío

Desafíe a los grupos de estudiantes a usar la ecuación desarrollada en el problema 4(d) para hallar la longitud de un lado de la figura 1, dada la longitud de un lado de la figura 3. Pregunte:

• Si la longitud de un lado de la figura 3 es 6 unidades, ¿cuál es la longitud del lado correspondiente en la figura 1?

yx

La longitud de ese lado en la figura 1 es 16 unidades.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

c. Escribe una ecuación que represente la relación entre las longitudes de los lados de la figura 3 y la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3, y x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

yx = 3 8

d. Las figuras que se muestran son pentágonos regulares, lo que significa que cada pentágono tiene cinco lados de la misma longitud. Si la longitud de un lado de la figura 1 es 40 unidades, ¿cuál es la longitud del lado correspondiente de la figura 3?

yx = = = 3

8 3

8 40 15 ()

La longitud del lado correspondiente de la figura 3 es 15 unidades.

Concluir

Reflexión final 5 min

Objetivos: Crear un dibujo a escala de otro dibujo a escala usando un nuevo factor de escala

Escribir una ecuación para la relación proporcional que conecta dibujos a escala que tienen factores de escala diferentes, y usar esa ecuación para hallar distancias desconocidas

Use las preguntas que siguen para guiar una conversación de toda la clase. Anime a sus estudiantes a reformular las respuestas de sus pares.

¿Cómo podemos hallar el factor de escala que relaciona una figura original con un segundo dibujo a escala?

Podemos multiplicar los factores de escala. Esto nos da el factor de escala que da lugar al segundo dibujo a escala a partir de la figura original.

¿Cómo pueden predecir si el segundo dibujo a escala será una ampliación o una reducción del original?

Una vez hallado el factor de escala, si es mayor que 1, se trata de una ampliación. Si el factor de escala es mayor que 0 pero menor que 1, se trata de una reducción.

¿Creen que su método funcionaría también con 3 dibujos a escala? ¿O con 4? ¿Por qué?

Sí. Creo que funcionaría con cualquier número de dibujos a escala. Para hallar las nuevas longitudes, multiplicas las originales por el factor de escala y podrías hacer esta multiplicación muchas veces para hacer muchos dibujos a escala.

Boleto de salida 5 min

Proporcione hasta 5 minutos para que cada estudiante complete el Boleto de salida. Es posible recopilar datos formativos incluso si hay estudiantes que no completan todos los problemas.

Nota para la enseñanza

Asigne los problemas de la sección Práctica para que sus estudiantes los completen fuera del horario de clase o los usen durante la clase si sobra tiempo después de la lección. Pídales que consulten la sección Resumen si necesitan ayuda.

Resumen

RESUMEN 20

Crear varios dibujos a escala

En esta lección:

• creamos un dibujo a escala de una figura que ya era un dibujo a escala;

• determinamos que el factor de escala que relaciona la figura original con el segundo dibujo a escala se puede hallar al multiplicar los factores de escala;

• escribimos ecuaciones para representar la relación entre las longitudes de los lados de un segundo dibujo a escala con las longitudes de los lados de la figura original;

• usamos ecuaciones para hallar longitudes de lado desconocidas.

Ejemplo

La figura 2 es una reducción de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1 2 . La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 1 3 Figura 1

Figura 2

Figura 3

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

Sí. La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 1, ya que ambas son proporcionales a la figura 2.

© Great Minds PBC

290

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3?

1 2 1 3 1 6 ⋅=

El factor de escala que reduce la figura 1 a la figura 3 es 1 6

c. ¿Qué factor de escala amplía la figura 3 hasta la figura 1?

1 6 1 6 =

El factor de escala que amplía la figura 3 hasta la figura 1 es 6.

d. Escribe una ecuación que pueda usarse para hallar cualquier longitud de la figura 3, dada una longitud correspondiente de la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3, y x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

yx = 1 6

Para hallar el factor de escala combinado que lleva la figura original al segundo dibujo a escala, se deben multiplicar los dos factores de escala.

El factor de escala que amplía la figura 3 hasta la figura 1 es el recíproco del factor de escala que reduce la figura 1 a la figura 3.

Dado que los dibujos a escala son ejemplos de relaciones proporcionales, escribe ecuaciones de la misma forma, y = kx, donde el factor de escala es la constante de proporcionalidad k

e. Supón que la longitud de un lado de la figura 1 es 9 unidades. ¿Cuál es la longitud del lado correspondiente de la figura 3?

yx = = = = 1 6 1 6 9 6 3 2 9 ()

Para hallar la longitud del lado de la figura 3, evalúa la ecuación cuando x = 9

La longitud del lado correspondiente de la figura 3 es 3 2 unidades.

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

1. El cuadrilátero EFGH es un dibujo a escala de una figura original. El factor de escala entre la figura original y el dibujo a escala es 2 3

c. ¿Cuál es el factor de escala entre la figura original, el cuadrilátero ABCD y el cuadrilátero WXYZ?

Como el factor de escala del cuadrilátero ABCD al cuadrilátero EFGH es 2 3 y el factor de escala del cuadrilátero EFGH al cuadrilátero WXYZ es 1 2 , el factor de escala del cuadrilátero ABCD al cuadrilátero WXYZ debe ser 1 3 porque 2 3 1 2 1 3 ⋅= .

2. La figura 2 es una reducción de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1 4

La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 1 5

Figura 3

Figura 2

Figura 1

(Nota: Las respuestas y el trabajo de la clase para las partes (a) a (c) se muestran en morado en la gráfica).

a. Crea un dibujo a escala del cuadrilátero EFGH usando un factor de escala de 1 2 . Rotula este dibujo cuadrilátero WXYZ

b. Traza la figura original. Rotula el cuadrilátero resultante ABCD.

© Great Minds PBC

292

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

Sí. La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 1, ya que ambas son proporcionales a la figura 2.

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3? 1

c. ¿Qué factor de escala amplía la figura 3 hasta la figura 1?

7

d. Escribe una ecuación que podría usarse para hallar cualquier longitud de lado de la figura 3, dada una longitud de lado correspondiente de la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3 y sea x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

yx = 1 20

e. Si la longitud de un lado de la figura 1 es 8 unidades, ¿cuál es la longitud del lado correspondiente de la figura 3?

La longitud del lado correspondiente de la figura 3 es 2 5 unidades.

3. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1.7

La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 0.6

4. Considera la figura 1.

a. ¿Qué factor de escala se usa para relacionar las longitudes de los lados de la figura 1 con las longitudes de los lados de la figura 3?

1.02

b. ¿Es la figura 3 una ampliación o una reducción de la figura 1?

Es una ampliación.

© Great Minds PBC

1.5

(Nota: Las respuestas de la clase para las partes (a) y (b) se muestran en morado en la gráfica).

a. Crea un dibujo a escala de la figura 1 usando un factor de escala de 1.5 Rotúlalo figura 2.

b. Crea un dibujo a escala de la figura 1 usando un factor de escala de 0.5 Rotúlalo figura 3.

c. ¿Qué factor de escala reduce la figura 2 a la figura 3?

1 3

d. Halla el área de la figura 2.

4.5 unidades cuadradas

e. Usa el factor de escala que generaste en la parte (c) para hallar el área de la figura 3.

294 PRÁCTICA

0.5 unidades cuadradas ©

Recuerda

En los problemas 5 a 8, resta. 5. 31 2

9. Dylan usa una escala en la que 1 pulgada representa 65 pies para hacer un modelo de rascacielos.

¿Cuál es la altura del rascacielos real si la altura del modelo es 171 2 pulgadas?

La altura del rascacielos real es 11371 ,2 pies.

10. Estima la suma. Luego, usa el algoritmo estándar para hallar la suma. 8.39 + 6.4 + 5.74

Una estimación es 20. La suma es 20.53

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Estándares

Estándares

Estándares de contenido del módulo

Analizan las relaciones de proporción y las utilizan con el fin de resolver problemas matemáticos y del mundo real.

7.RP.A.1 Calculan razones unitarias relacionadas con proporciones de fracciones, incluyendo relaciones de longitud, áreas y otras cantidades medidas en unidades similares o diferentes. Por ejemplo, si una persona camina 1 2 milla en 1 4 de hora, calculan la tasa de unidad como la fracción compleja de 1 2 ÷ 1 4 millas por hora, que equivale a 2 millas por hora.

7.RP.A.2 Reconocen y representan relaciones de proporcionalidad entre cantidades.

a. Deciden si dos cantidades se encuentran en una relación proporcional, por ejemplo, al evaluar relaciones equivalentes en una tabla o al trazar una gráfica en un plano de coordenadas y al observar si la gráfica es una línea recta desde su origen.

b. Identifican la constante de proporcionalidad (razón unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones de proporcionalidad.

c. Representan las relaciones de proporcionalidad mediante ecuaciones. Por ejemplo, si el costo total t es proporcional a la cantidad n de cosas compradas al precio constante p, la relación entre el costo total y la cantidad de cosas puede expresarse como t = pn.

d. Explican lo que un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional significa en términos de la situación, prestando atención especial a los puntos (0, 0) y (1, r) en donde r es la razón unitaria.

7.RP.A.3 Utilizan relaciones de proporcionalidad para solucionar problemas de pasos múltiples sobre razones y porcentaje. Ejemplos: interés simple, impuestos, márgenes de ganancias o rebajas, propinas y comisiones, honorarios, aumentos y disminuciones en los porcentajes, porcentaje de errores.

Dibujan, construyen y describen figuras geométricas y describen las relaciones entre las mismas.

7.G.A.1 Resuelven problemas relacionados con dibujos a escala de figuras geométricas, incluyendo longitudes y áreas reales calculadas a partir de un dibujo a escala y reproducen un dibujo a escala en una escala diferente.

Estándares para la práctica de las matemáticas

MP1 Dan sentido a los problemas y perseveran en su resolución.

MP2 Razonan de forma abstracta y cuantitativa.

MP3 Construyen argumentos viables y ofrecen valoraciones sobre el razonamiento de otros y otras.

MP4 Representan a través de las matemáticas.

MP5 Utilizan las herramientas apropiadas estratégicamente.

MP6 Ponen atención a la precisión.

MP7 Reconocen y utilizan estructuras.

MP8 Reconocen y expresan regularidad en la lógica de la repetición.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Criterios de logro académico: Indicadores de competencias

Criterios de logro académico: Indicadores de competencias

7.Mód1.CLA1 Calculan tasas unitarias asociadas con razones de fracciones dadas dentro de un contexto.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.1 Calculan razones unitarias relacionadas con proporciones de fracciones, incluyendo relaciones de longitud, áreas y otras cantidades medidas en unidades similares o diferentes. Por ejemplo, si una persona camina   1 2 milla en    1 4 de hora, calculan la tasa de unidad como la fracción compleja de 1 2 ÷ 1 4 millas por hora, que equivale a 2 millas por hora.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Calculan tasas unitarias asociadas con razones de fracciones dadas dentro de un contexto.

Peyton camina 1 2 milla cada 1 4 de hora. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de millas por hora?

7.Mód1.CLA2 Reconocen relaciones proporcionales.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.2.a Deciden si dos cantidades se encuentran en una relación proporcional, por ejemplo, al evaluar relaciones equivalentes en una tabla o al trazar una gráfica en un plano de coordenadas y al observar si la gráfica es una línea recta desde su origen.

Parcialmente competente

Competente

Reconocen relaciones proporcionales.

¿Cuáles de las siguientes representan relaciones proporcionales? Selecciona todas las opciones que correspondan.

Altamente competente

Justifican por qué dos cantidades son o no proporcionales.

La tabla muestra la cantidad de sodio y azúcar en diferentes tamaños de un conocido refresco.

Jaylen cree que las cantidades en las tablas son proporcionales. Henry cree que no lo son.

¿Quién está en lo correcto? Justifica tu respuesta.

7.Mód1.CLA3

Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.2.b

Identifican la constante de proporcionalidad (razón unitaria) en tablas, gráficas, ecuaciones, diagramas y descripciones verbales de relaciones de proporcionalidad.

Parcialmente competente

Competente

Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales.

Identifica la constante de proporcionalidad en cada relación proporcional que se muestra.

Constante de proporcionalidad

Altamente competente

Identifican la constante de proporcionalidad en relaciones proporcionales donde se requiere el cálculo.

En la relación proporcional que se muestra, ¿cuál es la tasa unitaria?

7.Mód1.CLA4 Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.2.c Representan las relaciones de proporcionalidad mediante ecuaciones. Por ejemplo, si el costo total t es proporcional a la cantidad n de cosas compradas al precio constante p, la relación entre el costo total y la cantidad de cosas puede expresarse como t = pn.

Parcialmente competente

Identifican qué ecuación representa una relación proporcional dada en contexto.

Marcus encuentra una alcancía vieja y vacía. Coloca $0.75 dentro de la alcancía cada semana. ¿Qué ecuación representa la cantidad de dinero d en dólares que habrá en la alcancía de Marcus después de s semanas?

A. s = 0.75 d

B. d = 0.75 ⋅ s

C. s = d + 0.75

D. d = 0.75 + s

Competente

Representan relaciones proporcionales dadas en contextos con ecuaciones.

Un servicio de transmisión en directo alquila películas digitales por $3.99 cada una. Escribe una ecuación que represente el costo total c de alquilar d películas por el servicio de transmisión en directo.

Altamente competente

7.Mód1.CLA5 Interpretan el significado de cualquier punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, incluidos los puntos (0, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.2.d Explican lo que un punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional significa en términos de la situación, prestando atención especial a los puntos (0, 0) y (1, r) en donde r es la razón unitaria.

Parcialmente competente Competente

Interpretan el significado de cualquier punto (x, y) en la gráfica de una relación proporcional en términos de la situación, incluidos los puntos (0, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria.

Considera la gráfica que se muestra que relaciona el tiempo en horas con la nieve en pulgadas.

(pulgadas)

¿Qué significan los puntos (0, 0), (1, 1.5) y (8, 20) en esta situación? ¿Qué es significativo respecto de los puntos de coordenadas cuando el valor de x es 1?

Altamente competente

7.Mód1.CLA6 Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes).

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.RP.A.3 Utilizan relaciones de proporcionalidad para solucionar problemas de pasos múltiples sobre razones y porcentaje. Ejemplos: interés simple, impuestos, márgenes de ganancias o rebajas, propinas y comisiones, honorarios, aumentos y disminuciones en los porcentajes, porcentaje de errores.

Parcialmente competente

Resuelven problemas de razones de varios pasos con soportes usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes).

Cristina le da a su perra 11 3 tazas de alimento para perros 3 veces todos los días de una bolsa de 50 libras.

Parte A

¿Cuántas tazas en total de alimento para perros le da Cristina a su perra por día?

Parte B

Cada libra contiene aproximadamente 4 tazas de alimento para perros. ¿Cuántas tazas de alimento para perros hay en la bolsa de 50 libras?

Parte C

¿Cuántos días durará la bolsa de 50 libras de alimento para perros si se mantiene esta tasa de alimentación?

Competente

Resuelven problemas de razones de varios pasos usando relaciones proporcionales (no expresadas como porcentajes).

Cristina le da a su perra   11 3           tazas de alimento para perros 3 veces todos los días. La bolsa de 50 libras de alimento para perros que ella compra contiene aproximadamente 200 tazas de alimento. ¿Cuántos días podrá Cristina alimentar a su perra con esa bolsa y cuántas veces podrá alimentarla?

Altamente competente

7.Mód1.CLA7 Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.G.A.1 Resuelven problemas relacionados con dibujos a escala de figuras geométricas, incluyendo longitudes y áreas reales calculadas a partir de un dibujo a escala y reproducen un dibujo a escala en una escala diferente.

Parcialmente competente Competente

Identifican un dibujo a escala mediante una inspección visual.

¿Qué imagen parece ser un dibujo a escala de la imagen que se muestra?

Reproducen un dibujo a escala en una escala diferente.

El dibujo que se muestra es un dibujo a escala realizado usando un factor de escala de 3 4 . Crea un nuevo dibujo a escala de manera que el factor de escala de la figura original respecto del nuevo dibujo a escala sea 11 2 .

Altamente competente

7.Mód1.CLA8 Resuelven problemas que incluyen dibujos a escala de figuras geométricas.

CCSSEE DE MATEMÁTICAS RELACIONADO

7.G.A.1 Resuelven problemas relacionados con dibujos a escala de figuras geométricas, incluyendo longitudes y áreas reales calculadas a partir de un dibujo a escala y reproducen un dibujo a escala en una escala diferente.

Parcialmente competente Competente Altamente competente

Calculan el factor de escala que relaciona un dibujo a escala con un dibujo original o una figura original.

La figura B es un dibujo a escala de la figura A. ¿Cuál es el factor de escala de la figura A respecto de la figura B?

Figura AFigura B

Resuelven problemas que incluyen medidas de longitud y de área desconocidas en dibujos a escala de figuras geométricas usando unidades semejantes o diferentes.

Un dibujo a escala se realiza con un factor de escala de 1 3 . Una distancia en el dibujo a escala se muestra como 4.5 centímetros. ¿Cuál es la distancia correspondiente en el dibujo original?

Un rectángulo tiene un área de 72 pulgadas cuadradas. Un dibujo a escala del rectángulo se realiza con un factor de escala de 2 3 . ¿Cuál es el área del dibujo a escala en pies cuadrados?

1in 1

31in 2 3

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Vocabulario

Vocabulario

Los siguientes términos y símbolos son sumamente importantes para el trabajo en el módulo 1 de 7.o grado. Este recurso agrupa el vocabulario en las siguientes categorías: Nuevo, Conocido y Verbos académicos. Las lecciones del módulo incorporan el vocabulario con la expectativa de que la clase emplee el vocabulario durante las discusiones y en sus escritos.

Los elementos en la categoría Nuevo son palabras específicas de la disciplina que se presentan a la clase en este módulo. Estos elementos incluyen la definición, la descripción o una ilustración como aparece en la lección. En ocasiones, este recurso incluye también explicaciones en cursiva para las maestras y los maestros destinadas a ampliar la terminología usada con la clase.

Los elementos de la categoría Conocido son palabras específicas de la disciplina que se han presentado en módulos o en grados anteriores.

Los elementos de la categoría Verbos académicos son términos de gran utilidad que pueden usarse en otras disciplinas. Los términos provienen de una lista de verbos académicos que se presentan estratégicamente en el currículo para este grado.

Nuevo

constante de proporcionalidad

Tasa unitaria constante en una relación proporcional entre dos cantidades (Lección 4)

dibujo a escala

Copia de una figura en el plano en la que todas las distancias son proporcionales a las distancias correspondientes de la figura original (Lección 15)

escala

Razón que compara las distancias en un dibujo a escala con las distancias en la configuración original (Lección 19)

factor de escala

Constante de proporcionalidad en un dibujo a escala (Lección 15)

relación proporcional

Las medidas de dos cantidades están en una relación proporcional si hay una tasa unitaria constante, conocida como la constante de proporcionalidad k, entre pares de valores correspondientes, lo que significa que la relación se describe mediante una ecuación de la forma y = kx. (Lección 5)

triángulo unitario

Triángulo con vértices en (0, 0), (1, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria (Lección 9)

Conocido

razón

relación de razones

tasa

tasa unitaria

Verbos académicos

En el módulo 1 no se presenta ningún verbo académico de la lista de 7.o grado.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Las matemáticas en el pasado

Las matemáticas en el pasado

Posición falsa: ¿Suposición incorrecta pero respuesta correcta?

¿Cómo puede una suposición incorrecta dar lugar a la respuesta correcta? ¿No queremos siempre hacer afirmaciones correctas en matemáticas? ¿Por qué diríamos algo falso?

Pruebe dar a la clase el siguiente problema. Proviene de la traducción al inglés de un antiguo papiro egipcio (rollo de papel de junco) escrito alrededor del año 1650 a. e. c., es decir, hace más de 3,600 años.

La suma de una cantidad y su cuarto da 15. ¿Cuál es la cantidad?1

Algún tipo de aclaración ayudará a que cada estudiante comprenda lo que plantea la pregunta. Una cantidad significa el número que estamos buscando y su cuarto significa un cuarto de ese número. Para reafirmar la comprensión, puede parafrasear el problema para la clase como Un número más un cuarto de ese número es igual a 15. ¿Cuál es el número?

Anime a sus estudiantes a que brinden posibles respuestas. Por ejemplo, imagine que alguien supone que la cantidad es 6. Entonces, su cuarto es 11 2 , y la cantidad y su cuarto sumados son 71 2 . Como el objetivo es llegar a 15, 71 2 no es lo suficientemente grande y la cantidad original debe ser mayor que 6.

Alguien más puede suponer que la cantidad es 9. Entonces, su cuarto es 21 4 , y la cantidad y su cuarto sumados son 11 1 4 , que no es lo suficientemente grande.

Es probable que la clase llegue rápidamente a la respuesta correcta (la cantidad es 12). Problema resuelto. Pero, ¿hay una forma más eficiente de resolverlo? 1

Veamos cómo lo resolvió Ahmes, el escriba egipcio que escribió el problema. Las personas que se desempeñaban como escribas eran personas instruidas que, a diferencia de la mayor parte de la población egipcia de esa época, podían leer, escribir y resolver problemas matemáticos. Ahmes hizo una suposición, como hicimos ustedes y yo. Pero tenía en mente un objetivo diferente cuando la hizo. Además, tenía un truco inteligente para convertir la suposición en la respuesta correcta de forma inmediata. Esto es lo que hizo Ahmes.

Ahmes supuso que era 4. 2 Sabía con seguridad que 4 no era lo suficientemente grande para ser la respuesta correcta, pero no estaba buscando el tamaño. Hizo una suposición que produjo solo números enteros. Si la cantidad es 4, entonces su cuarto es 1. No hay fracciones complicadas como las que obtuvimos cuando supusimos 6 o 9.

La suposición de Ahmes significa que la cantidad más su cuarto es 5. Es mucho más baja que 15. Pero Ahmes observó que si triplicaba el 5, llegaría a 15. Entonces, multiplicó su suposición por 3 y obtuvo 12, que es la respuesta correcta.

La clase apreciará analizar este problema con diagramas de cinta. Este es el problema original.

15

unasucuarto cantidad

2 Traducido de: Mathematical Association of America, 68.

La suposición de Ahmes de 4 produciría este diagrama de cinta.

Ahmes vio que necesitaba 3 veces esa cantidad para formar 15.

Así que Ahmes supuso 3 veces esa cantidad, que es 12.

La manera en la que Ahmes resolvió el problema se conoce como el método de la posición falsa. La parte falsa es la suposición, que por lo general es incorrecta. La posición es la cantidad en el problema. En términos modernos, la variable por la cual se sustituye la suposición. La civilización egipcia no usaba el término posición falsa. El método egipcio recibió ese nombre (en latín, regula falsi) unos siglos después.

Ahmes fue una de las tantas personas que se desempeñaban como escribas en Egipto que usaban la posición falsa. Otras culturas también la usaron, en especial la civilización babilónica, que vivió más o menos en la misma época que la civilización del antiguo Egipto. Una versión más general del método egipcio, llamada doble posición falsa, fue inventada en China alrededor del año 200 a. e. c. Desde China, los métodos de la posición falsa y de la doble posición falsa se expandieron a la India, a Persia y, con el tiempo, a Europa.

Puede señalar a la clase que Ahmes aplicó un factor de escala a su suposición. Enseñamos razones, proporciones y factores de escala en Eureka Math2. Sin embargo, para el pueblo egipcio usar factores de escala era algo natural y no tenían la necesidad de explicarlo.

Puede dar a la clase otro problema de posición falsa. Recuerde que la suposición debe producir números enteros.

La suma de una cantidad, su tercio y su cuarto da 76. ¿Cuál es la cantidad? 76 susucuarto terci unao cantidad

La suposición más pequeña que produce números enteros es 12, el mínimo común múltiplo de 3 y 4.

Como muestra el diagrama de cinta, 12 más 4 (su tercio) más 3 (su cuarto) forma 19. Se necesitan 4 de estos grupos para formar 76.

Aplicar el factor de escala a la suposición 4 veces da como resultado 48, la cantidad correcta. 76 481612

Suponer cualquier múltiplo de 12 producirá números enteros y dará lugar a la respuesta correcta. Pero el factor de escala no siempre será un número entero. Pida a la clase que pruebe con 36 para ver qué sucede. Deberían descubrir que la cantidad, su tercio, y su cuarto suman 57, y que el factor de escala requerido es 1 1 3  .

La clase podría preguntarse si el método de la posición falsa funciona para cualquier problema. ¿Siempre podemos suponer y, luego, aplicar el factor de escala hasta llegar a la respuesta correcta? Pida a la clase que pruebe la posición falsa en este problema inventado (no aparece en el papiro de Ahmes).

Una cantidad multiplicada por sí misma, sumada a 4 veces la cantidad original, da como resultado 60. ¿Cuál es la cantidad?

Imagine que la clase supone que la cantidad es 2. La clase obtiene (2 · 2) + 4(2) = 12, lo que significa que deben aplicar el factor de escala 5 veces. Aplicar el factor de escala a la suposición da como resultado 10. ¿Es esa la cantidad correcta? ¡Uy! No funciona porque (10 · 10) + 4(10) = 140, que es muy grande.

Sus estudiantes se podrán preguntar por qué la posición falsa no funcionó. Podrán suponer que la culpa está en “una cantidad multiplicada por sí misma”. Si lo desea, puede llevar el debate hacia la idea de una ecuación lineal ax = b, que es el tipo de ecuación que resuelve la posición falsa.

En un principio, planteamos la pregunta “¿Por qué diríamos algo falso?”. Las personas que estudiaban las matemáticas en el siglo XVI tenían miedo de que enseñar un método llamado posición falsa sonara como si estuvieran enseñando malos hábitos a la juventud. Un escritor aclaró la situación de esta forma (se ha modernizado la manera de escribir): La regla de la falsedad no lleva ese nombre porque enseña engaño o falsedad, sino porque, mediante números simulados, enseña a hallar el número verdadero que se pide.3

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Recurso de materiales

Materiales

Se necesitan los siguientes materiales para implementar el módulo 1. Las cantidades sugeridas se basan en una clase de 24 estudiantes y una maestra o un maestro.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Fluidez

Fluidez

Las actividades de fluidez permiten que sus estudiantes desarrollen y practiquen la automaticidad con las destrezas fundamentales, de modo que puedan dedicar su capacidad cognitiva a resolver problemas más desafiantes. Las destrezas se incorporan a las actividades de fluidez solo después de haber sido presentadas conceptualmente dentro del módulo.

Cada lección de Una historia de razones comienza con un segmento de Fluidez, diseñado para que sus estudiantes se preparen para la lección del día. Este segmento diario proporciona problemas de práctica secuenciados que sus estudiantes pueden resolver de manera independiente, por lo general, durante los primeros minutos de clase. Sus estudiantes pueden usar sus pizarras blancas individuales para completar la actividad, o bien puede darles una versión impresa que se encuentra disponible en línea. Cada rutina de fluidez está diseñada para que pueda completarse en entre 3 y 5 minutos y no forma parte de los 45 minutos destinados a la lección. Adminístrela como una actividad para iniciar la clase o conviértala en una actividad guiada de Intercambio con la pizarra blanca o de Respuesta a coro.

Actividad para iniciar la clase

En esta rutina, sus estudiantes cuentan con determinado tiempo para trabajar de manera independiente y determinar las respuestas a un grupo de problemas.

1. Muestre todos los problemas a la vez.

2. Anime a sus estudiantes a trabajar de manera independiente y a su propio ritmo.

3. Lea o muestre las respuestas.

Intercambio con la pizarra blanca

En esta rutina, sus estudiantes adquieren fluidez mediante la práctica repetida y la retroalimentación inmediata. Un Intercambio con la pizarra blanca maximiza la participación, ya que cada estudiante debe registrar soluciones o estrategias para una secuencia de problemas. Gracias a estos registros escritos, usted puede llevar a cabo diferenciaciones: según las respuestas que observe, puede ajustar la secuencia de problemas al instante de acuerdo a las necesidades de la clase. Para esta rutina, cada estudiante necesita una pizarra blanca individual y un marcador para pizarra con borrador.

1. Muestre un problema de la secuencia.

2. Dé tiempo a sus estudiantes para que trabajen. Espere hasta que casi toda la clase haya terminado.

3. Dé una señal para que sus estudiantes muestren las pizarras blancas. Ofrezca retroalimentación inmediata y específica a cada estudiante. Si necesitan corregir su trabajo, regrese brevemente para validarlo una vez que sus estudiantes lo hayan corregido.

4. Continúe con el siguiente problema de la secuencia y repita el proceso.

Respuesta a coro

En esta rutina, sus estudiantes participan de forma activa para familiarizarse con las destrezas aprendidas previamente, lo que refuerza el conocimiento fundamental necesario para ampliar y aplicar los conceptos de matemáticas. La respuesta a coro permite que toda la clase participe, a la vez que disminuye el riesgo para quienes puedan dar una respuesta incorrecta.

1. Establezca una señal para que sus estudiantes respondan al unísono.

2. Muestre un problema. Pida a sus estudiantes que levanten la mano cuando sepan la respuesta.

3. Cuando casi todas las manos estén levantadas, dé la señal para que respondan.

4. Muestre la respuesta y continúe con el siguiente problema.

Conteo salteado

En esta rutina, sus estudiantes participan de forma activa en la memorización de secuencias de conteo, lo que refuerza el conocimiento fundamental necesario para ampliar y aplicar los conceptos de matemáticas.

1. Establezca una señal para contar hacia arriba y contar hacia abajo, y otra señal para dejar de contar.

2. Diga a sus estudiantes qué unidad van a usar para contar. Establezca el número inicial y final para el conteo.

3. Dé comienzo al conteo salteado brindando las señales. Mientras sus estudiantes cuentan, tenga cuidado de no hacer gestos con la boca que indiquen la respuesta.

Prácticas veloces

Las Prácticas veloces son actividades que desarrollan la fluidez con las matemáticas mediante una variedad de operaciones y destrezas. Uno de los objetivos principales de cada Práctica veloz es que sus estudiantes puedan apreciar su propio progreso en un lapso muy breve de tiempo. La rutina Práctica veloz es una experiencia divertida, de ritmo rápido y llena de adrenalina que genera energía y entusiasmo de forma intencional. Esta estimulante rutina motiva a sus estudiantes para que hagan su mejor esfuerzo y les da tiempo para celebrar sus logros.

Cada Práctica veloz incluye dos partes, A y B, que contienen problemas muy relacionados. Sus estudiantes completan la Práctica veloz A, seguida de dos rutinas de conteo salteado (una de ritmo rápido y otra de ritmo lento) que incluyen estiramientos u otros movimientos físicos. Luego, sus estudiantes completan la Práctica veloz B con el objetivo de mejorar la puntuación que obtuvieron en la Práctica veloz A. Se calcula la puntuación de cada parte, pero no se asigna una calificación.

Las Prácticas veloces se pueden administrar en cualquier momento después de que el contenido de la Práctica veloz se haya desarrollado conceptualmente y se haya practicado. La misma Práctica veloz se puede repetir más de una vez a lo largo del año o de los niveles de grado. Con la práctica, la rutina se completa en aproximadamente 10 minutos.

Instrucciones

1. Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y los ejemplos de problema. Presente la tarea animando a sus estudiantes a completar tantos problemas como puedan y a que hagan su mejor esfuerzo.

2. Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz A, pero no espere que sus estudiantes la terminen en ese tiempo. Cuando se acabe el tiempo, pídales que hagan una línea debajo del último problema que hayan completado.

3. Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica. Pida a sus estudiantes que digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta, o que encierren en un círculo su respuesta si es incorrecta.

4. Pida a sus estudiantes que cuenten las respuestas correctas y que registren ese número en la parte superior de la hoja. Ese número es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

5. Celebre el esfuerzo de sus estudiantes y el éxito logrado en la Práctica veloz A.

6. Para generar mayor éxito con la Práctica veloz B, dé tiempo adicional para que sus estudiantes completen más problemas de la Práctica veloz A o haga preguntas para comentar y analizar los patrones de la Práctica veloz A.

7. Guíe a sus estudiantes para que completen las rutinas de conteo salteado de ritmo rápido y lento. Incluya un estiramiento u otro movimiento físico durante el conteo.

8. Pida a sus estudiantes que tengan en mente el objetivo personal que establecieron en la Práctica veloz A.

9. Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B.

10. Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz B. Cuando se acabe el tiempo, pida a sus estudiantes que hagan una línea debajo del último problema que hayan completado.

11. Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica. Pida a sus estudiantes que digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta, o que encierren en un círculo su respuesta si es incorrecta.

12. Pida a sus estudiantes que cuenten las respuestas correctas y que registren ese número en la parte superior de la hoja.

13. Pida a sus estudiantes que hallen la diferencia entre el número de respuestas correctas de la Práctica veloz A y de la Práctica veloz B para calcular cuánto mejoraron. Dígales que registren el número en la parte superior de la hoja.

14. Celebre el progreso que hayan logrado de la Práctica veloz A a la Práctica veloz B.

Ejemplo de diálogo

Pida a sus estudiantes que lean las instrucciones y que completen los ejemplos de problema. Presente la tarea:

• Quizás no terminen, y eso está bien. Completen tantos problemas como puedan; hagan su mejor esfuerzo.

• En sus marcas, prepárense, ¡a pensar!

Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz A.

• ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

• Voy a leer las respuestas rápidamente. A medida que las lea, digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta. Si se equivocaron, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz A de forma rápida y enérgica.

• Cuenten el número de respuestas correctas que obtuvieron y registren ese número en la parte superior de la hoja. Ese es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Celebre el esfuerzo y el éxito de sus estudiantes.

Dé 2 minutos para que sus estudiantes completen más problemas o haga preguntas para que comenten y analicen los patrones en la Práctica veloz A.

Guíe a sus estudiantes para que completen las rutinas de conteo salteado de ritmo rápido y lento. Incluya un estiramiento u otro movimiento físico durante el conteo.

• Señalen el número de respuestas correctas que obtuvieron en la Práctica veloz A. Recuerden que este es su objetivo personal para la Práctica veloz B.

Pida a sus estudiantes que vayan a la Práctica veloz B.

• En sus marcas, prepárense, ¡a mejorar!

Dé 1 minuto para completar la Práctica veloz B.

• ¡Alto! Hagan una línea debajo del último problema que completaron.

• Voy a leer las respuestas rápidamente. A medida que las lea, digan “¡Sí!” si pusieron la respuesta correcta. Si se equivocaron, encierren en un círculo la respuesta.

Lea las respuestas de la Práctica veloz B de forma rápida y enérgica.

• Cuenten el número de respuestas correctas que obtuvieron y registren ese número en la parte superior de la hoja.

• Calculen cuánto mejoraron y regístrenlo en la parte superior de la hoja.

Celebre el progreso de sus estudiantes.

En esta tabla encontrará una guía de implementación para las Prácticas veloces que se recomiendan en este módulo.

Práctica veloz Pautas de administración Preguntas para conversar Rutinas de conteo salteado

Fracciones equivalentes

Dividir fracciones

La clase identifica fracciones equivalentes como preparación para reconocer razones equivalentes en el módulo 1.

Administrar antes de la lección 5 del módulo 1.

La clase divide fracciones como preparación para resolver problemas de razones de varios pasos.

Administrar antes de la lección 11 del módulo 1 o en lugar de la actividad de Fluidez de la lección 3 del módulo 1.

Razones equivalentes

Máximo común divisor

La clase escribe razones equivalentes como preparación para crear rectas numéricas dobles en el módulo 1.

Administrar antes de la lección 10 del módulo 1.

¿En qué se parecen o en qué se diferencian la estrategia que usaron en los problemas 1 a 4 y la que usaron en los problemas 5 a 7?

¿Cómo se relacionan los problemas 11 y 17?

¿Cómo se relacionan los problemas 1 y 9?

¿Qué observan acerca de las respuestas a los problemas 14 y 15?

¿Cómo se comparan los problemas 1 a 10 con los problemas 11 a 18?

¿En qué se parecen o en qué se diferencian la estrategia que usaron en los problemas 1 a 4 y la que usaron en los problemas 5 a 8?

¿Cómo se relacionan los problemas 14 y 15?

¿Qué problema, 31 o 32, les pareció más fácil? ¿Por qué?

Ritmo rápido: Contar de decena en decena desde el 0 hasta el 120.

Ritmo lento: Contar de seis en seis desde el 0 hasta el 72.

Ritmo rápido: Contar de un quinto en un quinto desde 0 quintos hasta 20 quintos.

Ritmo lento: Contar de un quinto en un quinto desde 16 quintos hasta 0 quintos.

Ritmo rápido: Contar de un tercio en un tercio desde 0 tercios hasta 12 tercios.

Ritmo lento: Contar de un tercio en un tercio desde 0 tercios hasta 12 tercios usando números mixtos.

Ecuaciones de un paso con multiplicación

La clase identifica el máximo común divisor como preparación para escribir razones equivalentes en el módulo 1.

Administrar antes de la lección 5 del módulo 1.

La clase resuelve ecuaciones de un paso con multiplicación como preparación para resolver problemas de razones del mundo real.

Administrar antes de la lección 9 del módulo 1 o en lugar de la actividad de Fluidez de la lección 9 del módulo 1.

¿Qué problema, 3 u 11, les pareció más fácil? ¿Por qué?

¿Cómo se relacionan los problemas 14 a 16?

¿Cómo se comparan los problemas 1 a 5 con los problemas 6 a 9?

¿Cómo pueden usar el problema 19 como ayuda para resolver el problema 20?

¿Qué problema, 22 o 23, les pareció más fácil? ¿Por qué?

Ritmo rápido: Contar de un cuarto en un cuarto desde 0 cuartos hasta 12 cuartos.

Ritmo lento: Contar de un cuarto en un cuarto desde 12 cuartos hasta 0 cuartos.

Ritmo rápido: Contar de ocho en ocho desde el 0 hasta el 88.

Ritmo lento: Contar de ocho en ocho desde el 88 hasta el 0.

Ecuaciones de un paso con multiplicación

Ecuaciones de un paso con multiplicación

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Ejemplos de soluciones

Ejemplos de soluciones

Espere ver diferentes estrategias para hallar la solución. Acepte respuestas precisas, explicaciones razonables y respuestas equivalentes en todo el trabajo de la clase.

7 ▸ M1 ▸ Práctica mixta 1 EUREKA MATH2

En los problemas 1 a 3, determina la tasa unitaria correspondiente a la situación.

1. Un auto recorre 105 millas en 3 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de millas por hora? 35

2. Maya compra 6 limas por $1.50. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de dólares por lima?

0.25

4. Liam hace pintura verde al mezclar 3 galones de pintura amarilla con 2 galones de pintura azul. Le gusta el tono de pintura verde que hace y quiere hacer más usando la misma razón. Completa la tabla para mostrar la relación entre el número de galones de pintura amarilla y el número de galones de pintura azul.

Pintura amarilla (galones) 3 6 1 3 2

Pintura azul (galones) 2 4 2 3 1

5. Ethan recorre 150 millas en 3 horas. Si continúa manejando a una tasa constante, ¿cuántas horas le tomará a Ethan recorrer 600 millas?

Ethan tardará 12 horas en recorrer 600 millas.

6. La maestra Kondo prepara bolsitas de materiales escolares para sus estudiantes. Tiene 36 lápices y 48 borradores, y quiere colocarlos todos en las bolsitas.

a. ¿Cuál es el mayor número de bolsitas que la maestra Kondo puede preparar si quiere que cada bolsita contenga el mismo número de lápices y el mismo número de borradores?

La maestra Kondo puede preparar 12 bolsitas.

3. Pedro recibe 10 mensajes de texto en 21 2 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de mensajes de texto por hora?

298

b. ¿Cuántos lápices y borradores habrá en cada bolsita?

Habrá 3 lápices y 4 borradores en cada bolsita.

7. Considera la ecuación dada. 4 5 3 1010

a. Completa los recuadros para hacer una oración numérica verdadera.

b. Halla la suma de 4 5 y 3 10 . Elige todas las opciones que correspondan.

En los problemas 10 a 12, escribe la expresión de división dada como una expresión equivalente con un número entero como divisor. 10. 575.186 ÷ 5.8

4. En la figura, se muestran las medidas de un piso rectangular.

a. Halla el área del piso.

El área del piso es 126 m2

1. Evalúa (2.1)3

A. 4.41

B. 6.3

C. 8.001

D. 9.261

2. ¿Qué expresiones representan el doble del producto de 3 y g? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2 + 3 + g

B. (3g) 2

C. 2(3 + g)

D. 2 + 3g

E. 2(3g)

©

3. Evalúa 4x3 + 6 − 16 cuando x = 2

b. Halla el perímetro del piso.

El perímetro del piso es 54 m

5. Halla el área del triángulo.

El área del triángulo es 30 cm2. 6m 21m 6cm 10cm ©

6. Dos vértices de un rectángulo se ubican en (−2, −9) y (3, −9). El área del rectángulo es 100 unidades cuadradas. Indica un conjunto de posibles coordenadas para los otros dos vértices. Usa el plano de coordenadas según sea necesario.

Un conjunto de posibles coordenadas para los otros dos vértices es (−2, 11) y (3, 11). Otro conjunto de coordenadas es (−2, −29) y (3, −29)

7. Usa la figura que se muestra para completar las partes (a) a (f).

a. Indica una recta.

Ejemplo: CE

c. Indica un segmento de recta.

Ejemplo: YN

e. Indica un ángulo obtuso.

Ejemplo: ∠ ENY

b. Indica una semirrecta.

Ejemplo: YC

d. Indica un ángulo agudo.

Ejemplo: ∠ CEN

f. Indica un par de segmentos de recta paralelos.

Ejemplo: CY y EN

En los problemas 8 a 10, determina si la distribución de datos es aproximadamente simétrica o si está sesgada. Describe la forma de la distribución de datos. 8. Sesgada hacia la derecha

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Obras citadas

Obras citadas

Mathematical Association of America, et al. 1927. The Rhind Mathematical Papyrus, British Museum 10057 and 10058: photographic facsimile, hieroglyphic transcription, transliteration, literal translation, free translation, mathematical commentary, and bibliography. Oberlin, OH: Mathematical Association of America.

National Governors Association Center for Best Practices, Council of Chief State School Officers (NGA Center, CCSSO).

Common Core State Standards English/Spanish Language version. Estándares Estatales Comunes de Matemáticas.

Translated by San Diego County Office of Education. San Diego, CA: San Diego County Office of Education.

Smith, David Eugene. 1958. History of Mathematics Volume II. New York: Dover Publications.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Créditos

Créditos

Great Minds® has made every effort to obtain permission for the reprinting of all copyrighted material. If any owner of copyrighted material is not acknowledged herein, please contact Great Minds for proper acknowledgment in all future editions and reprints of this module.

Common Core State Standards for Mathematics Spanish Version

© Copyright 2010 National Governors Association Center for Best Practices and Council of Chief State School Officers. All rights reserved.

For a complete list of credits, visit http://eurmath.link /media-credits.

Cover, Game of Hounds and Jackals. Egyptian; Thebes, Lower Asasif, Birabi. Middle Kingdom, reign of Amenemhat IV, ca. 1814–1805 BCE. Ebony, ivory. Board: h. 6.3 cm (2 1/2 in); w. 15.2 cm (6 in). Purchase, Edward S. Harkness Gift, 1926

(26.7.1287a-k). The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, U.S.A. Image copyright © The Metropolitan Museum of Art. Image source: Art Resource, NY. Gift of Lord Carnarvon, 2012 (2012.508); pages 3, 228, 241, Georges Seurat, A Sunday on La Grande Jatte—1884, 1884–1886, Helen Birch Bartlett Memorial Collection, Art Institute of Chicago. Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY; pages 15, 16, United States coin images from the United States Mint; page 170, Ubermensch Matt/Shutterstock.com; page 186, Rhind Mathematical Papyrus: detail (recto, left part of the first section) Thebes, End of the Second Intermediate Period (c.1550 BC). Courtesy British Museum Department of Ancient Egypt and Sudan. Photo credit: The Picture Art Collection/Alamy Stock Photo; page 309, Vladimirkarp /Shutterstock.com; page 329, ThanasStudio/Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

Edición para la enseñanza: 7.o grado, Módulo 1, Agradecimientos

Agradecimientos

Tiah Alphonso, Christopher Barbee, Erik Brandon, Joseph Phillip Brennan, Beth Brown, Leah Childers, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Dane Ehlert, Scott Farrar, Kelli Ferko, Levi Fletcher, Anita Geevarghese, David Gertler, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Julie Grove, Marvin E. Harrell, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, David Kantor Choukalas, Emily Koesters, Liz Krisher, Connie Laughlin, Alonso Llerena, Sarah Maile, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Melissa Mink, Richard Monke, Dave Morris, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Ben Orlin, Darion Pack, Brian Petras, April Picard, Lora Podgorny, Ben Polovick, Amy Rome, Bonnie Sanders, Aly Schooley, Andrew Senkowski, Erika Silva, Jessica Sims, Ashley Spencer, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, Heidi Strate, James Tanton, Cody Waters, Valerie Weage

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan, Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Antonia López, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero,

Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh,

Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

Exponencialmente mejor

Conocimientos2 Siguiendo con la tradición de ayudar a los maestros y las maestras con todo lo que necesiten para que sus estudiantes desarrollen un conocimiento profundo y coherente de las matemáticas, Eureka Math2 ofrece colecciones de videos y recomendaciones hechas a medida de los y las profesionales con más y con menos experiencia.

Digital2 A través de una experiencia digital perfectamente integrada, Eureka Math2 incluye cientos de imágenes inteligentes, videos cautivadores y actividades digitales interactivas que encienden la chispa de la conversación y el asombro en su salón de clases.

Accesible2 Siempre con nuestros lectores y lectoras en mente, Eureka Math2 se ha diseñado cuidadosamente para que quienes tengan dificultades con la lectura puedan acceder a las lecciones, los problemas verbales, ¡y más!

Sonrisas2 Con Eureka Math2, usted y sus estudiantes se enamorarán de las matemáticas, o recordarán qué fue lo que les hizo enamorarse de ellas.

ISBN 979-8-89191-159-8

¿Qué tiene que ver este objeto con las matemáticas?

El antiguo juego egipcio Perros y chacales, que es parecido al juego moderno TOBOGANES Y ESCALERAS, es un juego de azar en el que se hacen rodar “tabas”, o huesitos, (como si fueran dados) para avanzar por el tablero. Cuando se describe el azar en matemáticas, se le da el nombre de probabilidad y se mide con razones para mostrar cuán probable o improbable es un resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que los perros derroten a los chacales?

En la portada

Game of Hounds and Jackals, ca. 1814–1805 BCE

Egyptian

Ebony, ivory

The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA

Game of Hounds and Jackals. Egyptian; Thebes, Lower Asasif, Birabi. Middle Kingdom, reign of Amenemhat IV, ca. 1814–1805 BCE. Ebony, ivory. Board: H. 6.3 cm (2½ in); W. 15.2 cm (6 in). Purchase, Edward S. Harkness Gift, 1926 (26.7.1287a-k). The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA. Photo credit: Image copyright

© The Metropolitan Museum of Art. Image source: Art Resource, NY

9 798891 911598

Módulo 1

Razones y relaciones proporcionales

Módulo 2

Operaciones con números racionales

Módulo 3

Expresiones, ecuaciones y desigualdades

Módulo 4

Geometría

Módulo 5

Porcentaje y sus aplicaciones

Módulo 6

Probabilidad y poblaciones