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7

Una historia de razones

Razones y proporcionalidad

APRENDER ▸ Razones y relaciones proporcionales

Libro para estudiantes

¿Qué tiene que ver este objeto con las matemáticas?

El antiguo juego egipcio Perros y chacales, que es parecido al juego moderno TOBOGANES Y ESCALERAS, es un juego de azar en el que se hacen rodar “tabas”, o huesitos, (como si fueran dados) para avanzar por el tablero. Cuando se describe el azar en matemáticas, se le da el nombre de probabilidad y se mide con razones para mostrar cuán probable o improbable es un resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que los perros derroten a los chacales?

En la portada

Game of Hounds and Jackals, ca. 1814–1805 BCE

Egyptian

Ebony, ivory

The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA

Game of Hounds and Jackals. Egyptian; Thebes, Lower Asasif, Birabi. Middle Kingdom, reign of Amenemhat IV, ca. 1814–1805 BCE. Ebony, ivory. Board: H. 6.3 cm (2 1/2 in); W. 15.2 cm (6 in).

Purchase, Edward S. Harkness Gift, 1926 (26.7.1287a-k). The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA. Photo Credit: Image copyright © The Metropolitan Museum of Art. Image source: Art Resource, NY

Una historia de razones

Razones y proporcionalidad ▸ 7

APRENDER

Módulo

Módulo

1

2

Razones y relaciones proporcionales

Operaciones con números racionales

Expresiones, ecuaciones y desigualdades

Geometría

Porcentaje y sus aplicaciones

Probabilidad y poblaciones

Contenido

Razones y relaciones proporcionales

Tema

Comprender las relaciones proporcionales

Lección

A Comprender las relaciones proporcionales

En un mundo sin razones

Señor director, ¿ha tomado una decisión? ¿Cuántas maestras deben ir a cada excursión?

Tres.

¿En serio? ¿No prefiere que dependa del número de estudiantes?

MÁS TARDE...

¡Nos superan en número!

¿Por qué debo estar aquí? ¡Lo siento! ¡Son las reglas!

MIENTRAS TANTO...

¡Corre! ¡Pide ayuda!

Todas las escuelas tienen reglas sobre el número de maestros o maestras que se necesitan en una excursión. Si estuvieras a cargo de una escuela, ¿qué regla elegirías? (Consejo: ¡no elijas un número invariable!).

Un experimento con razones y tasas

Notas y reflexiones

1. Dylan dobla 5 aviones de papel en 2.5 minutos. ¿Crees que puede doblar 10 aviones de papel en 5 minutos? Explica tu razonamiento.

2. La clase construye máquinas que doblan aviones de papel para una competencia de ciencias. La máquina A dobla 60 aviones de papel en 0.5 minutos. La máquina B dobla 400 aviones de papel en 4 minutos. Cada máquina dobla los aviones de papel a una tasa constante.

a. ¿Cuántos aviones de papel dobla la máquina A en 5 minutos? Justifica tu solución.

b. ¿Qué máquina dobla aviones de papel a una tasa mayor, la A o la B? Explica cómo lo sabes.

Un experimento con razones y tasas

En esta lección:

• organizamos monedas para determinar la relación entre el tiempo transcurrido y el número de monedas organizadas;

• comparamos las tasas constantes con las tasas que no lo son;

• comparamos las tasas de diferentes máquinas reconociendo valores correspondientes de cantidades;

• calculamos tasas unitarias y las usamos para hallar otros valores.

Ejemplo

El precio de las bananas se calcula con una tasa constante.

a. Completa la siguiente tabla.

Otra manera de hallar la tasa unitaria es ampliar la tabla a fin de tener una fila para 1 libra de bananas. El precio de 1 libra de bananas es la tasa unitaria.

Como esta relación tiene una tasa constante, se pueden usar el razonamiento multiplicativo o aditivo y la tasa unitaria para completar la tabla.

b. ¿Cómo puedes determinar el precio de 1 libra de bananas usando la tabla de la parte (a)?

Puedes usar cualquier fila para determinar la tasa unitaria que relaciona 1 libra de bananas con un precio.

Se puede usar cualquier fila de valores para hallar la tasa unitaria porque la relación tiene una tasa constante.

La tasa unitaria es 0.6. El precio de 1 libra de bananas es $0.60.

c. ¿Cuál es el costo de 5 libras de bananas? Explica cómo lo sabes.

Dado que el precio de las bananas se calcula a una tasa constante, la tasa unitaria se multiplica por el número de libras de bananas.

El costo de 5 libras de bananas es $3.00.

d. Dylan compró 3 libras de peras por $2.10. El precio de cada libra de peras también se calcula a una tasa constante. ¿Qué cuesta menos por libra, las bananas o las peras?

El precio por libra de las peras es $0.70.

El precio por libra de las bananas es menos porque $0.60 es menor que $0.70.

1. La máquina A y la máquina B clasifican papel a una tasa constante. La máquina A clasifica 150 trozos de papel cada 6 segundos. La máquina B clasifica 90 trozos de papel cada 4.5 segundos. ¿Qué máquina clasifica papel más rápido?

2. La máquina C clasifica papel a una tasa constante. Si clasifica 143 trozos de papel cada 6.5 segundos, ¿cuántos clasifica en 10 segundos?

3. En un mercado de productos agrícolas, el precio de los duraznos se calcula a una tasa constante.

a. Completa la siguiente tabla.

b. ¿Cómo puedes determinar el precio de una libra de duraznos usando la tabla de la parte (a)?

¿Cuál es el precio por libra de los duraznos?

c. ¿Cuál es el costo de 10 libras de duraznos? Explica cómo lo sabes.

d. Dylan compra 3.25 libras de manzanas por $9.75. El precio de cada libra de manzanas también se calcula a una tasa constante. ¿Qué cuesta menos por libra, las manzanas o los duraznos?

Recuerda

En los problemas 4 a 7, multiplica.

8. Si 4 personas se reparten 9 tazas de palomitas de maíz en partes iguales, ¿cuántas tazas obtiene cada una?

9. Un puesto de frutas vende 3 naranjas por cada 5 manzanas. Completa la tabla.

Número de manzanas vendidas

Número de naranjas vendidas

Explorar tablas de relaciones proporcionales

Las tablas de Pedro

1. Pedro agrupa estas cuatro tablas.

a. ¿Qué tienen estas cuatro tablas en común?

b. Describe una relación proporcional con tus palabras.

¡Prueba estas tablas!

2. Dadas las siguientes tablas, determina si cada relación es proporcional.

Tabla

Ampliar tablas

3. Genera dos pares de valores adicionales que pertenezcan a cada relación proporcional. Número de días, d Número de

Escribir ecuaciones a partir de tablas

4. Usa la tabla 1 para escribir una ecuación que muestre cómo el número de horas h se relaciona con el número de días d.

5. Usa la tabla 4 para escribir una ecuación que muestre cómo el número de vasos de jugo de limón j se relaciona con el número de vasos de limonada l.

BOLETO DE SALIDA 2

1. La tabla muestra el costo en dólares de los diferentes números de margaritas compradas.

¿Es el costo proporcional al número de margaritas compradas? Explica cómo lo sabes.

2. La tabla muestra el costo en dólares de diferentes números de rosas compradas.

¿Es el costo proporcional al número de rosas compradas? Explica cómo lo sabes.

Explorar tablas de relaciones proporcionales

En esta lección:

• identificamos que los pares de valores con razones equivalentes representan relaciones proporcionales;

• reconocimos que las relaciones proporcionales tienen tasas unitarias constantes;

• determinamos pares de valores en relaciones proporcionales;

• escribimos ecuaciones para representar relaciones proporcionales.

Ejemplo

La tabla muestra el número de libras de fertilizante que se usó para cubrir jardines de diferentes tamaños.

Fertilizante, f (libras)

Esta fila me dice que 3.5 libras de fertilizante cubren 3,500 pies cuadrados de jardín.

Área del terreno, a (pies cuadrados)

a. ¿Hay una relación proporcional entre el área de jardín cubierta y el número de libras de fertilizante que se usó para cubrirla?

Sí.

Halla la tasa unitaria de cada fila para determinar si existe una relación proporcional.

El área del jardín es proporcional a la cantidad de fertilizante.

b. Cuando la tasa está expresada en pies cuadrados de área de jardín por libra de fertilizante, ¿cuál es la tasa unitaria? Explica qué representa la tasa unitaria.

La tasa unitaria es 1,000. Esto significa que, por cada 1,000 pies cuadrados de área de jardín, se usa 1 libra de fertilizante.

c. Tienes 8 libras de fertilizante. ¿Es suficiente para cubrir un jardín de 7,500 pies cuadrados?

¿Por qué?

7500100075 ,,. ÷=

El fertilizante que tenemos es suficiente. Solo necesitamos 7.5 libras de fertilizante para cubrir el jardín y tenemos 8.

Otra manera de resolver este problema es ampliar la tabla a fin de determinar cuál es el área que se puede cubrir con 8 libras de fertilizante.

Para los problemas 1 a 4, determina si y es proporcional a x en cada tabla. Explica tu razonamiento.

5. Las tablas muestran los costos totales de varias cantidades de yogur helado en dos tiendas diferentes. Determina si el costo total es proporcional al número de onzas de yogur helado en cada tienda. Explica tu razonamiento.

a. Yogur helado de Frosty b. La casa del yogur helado

6. La tabla muestra el número de galones de pintura que se usó para pintar paredes con diferentes áreas.

a. ¿Hay una relación proporcional entre el área de la pared y la cantidad de pintura en galones?

b. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada a la tasa de pies cuadrados del área de la pared por galón de pintura? Explica qué representa esta tasa unitaria.

c. Tienes 5 galones de pintura para pintar el comedor, que tiene un área de 1,820 pies cuadrados. ¿Tienes suficiente pintura? ¿Por qué?

7. A Shawn y a sus amigas les encanta patinar sobre hielo. La semana pasada, Shawn fue a la pista de hielo y pagó $15 para patinar 2 horas. Hoy, su amiga Sara patinó 3 horas en la misma pista y pagó un total de $22.50

a. Imagina que la relación entre el costo total y el número de horas de patinaje es una relación proporcional y completa la tabla añadiendo dos pares de valores adicionales. Explica qué significado tienen estos valores en función de una tasa constante.

b. Imagina que la relación entre el costo total y el número de horas de patinaje no es una relación proporcional y completa la tabla añadiendo dos pares de valores adicionales. Explica qué significado podrían tener estos valores en función de una tasa constante.

Recuerda

En los problemas 8 a 11, multiplica.

12. Lily camina 60 pies en 10 segundos. Nora camina 25 pies en 5 segundos. ¿Quién camina a una tasa mayor? Explica cómo lo sabes.

13. Cuando viaja a Israel, Dylan cambia 40 dólares estadounidenses por 120 séqueles israelíes. ¿Cuál es la tasa de cambio entre los dólares estadounidenses y los séqueles israelíes? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 3 dólares por séquel

B. 3 séqueles por dólar

C. 1 3 de séquel por dólar

D. 1 3 de dólar por séquel

Identificar relaciones proporcionales en tablas

1. Noor hace caminatas diarias. La distancia que recorre en millas es proporcional a la cantidad de horas que camina. La tabla muestra cuánto le toma a Noor recorrer distintas distancias caminando.

Usa un método de tu elección para determinar el número de millas que camina Noor por hora.

Tiempo que camina (horas)

¿Es proporcional o no?

2. Para cada tabla que represente una relación proporcional, usa el lenguaje de las razones para escribir una descripción. En cuanto al resto de las tablas, explica por qué cada una de ellas no representa una relación proporcional.

e. Número de maestras o maestros

Número de estudiantes

f. Tiempo trabajado (horas)

Dinero ganado (dólares)

El trabajo de verano de Nora

3. Nora tiene un trabajo de verano de media jornada. La cantidad de dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. La tabla muestra la cantidad de dinero que gana de acuerdo al número de horas que trabaja.

a. Escribe una ecuación que muestre cuánto gana Nora en su trabajo. Sea h el número de horas que trabaja. Sea d la cantidad de dólares que gana.

b. Usa la ecuación de la parte (a) para determinar cuánto gana Nora por trabajar 31 2 horas.

Almendras para Eve

4. El costo de las almendras es proporcional a su peso. Eve paga $2.50 por 1 2 libra de almendras.

a. Determina el costo de los diferentes pesos de almendras incluidos en la tabla.

Peso de las almendras (libras)

Costo de las almendras (dólares)

b. Escribe una ecuación que represente el costo de los diferentes pesos de almendras. Sea a el peso de las almendras en libras. Sea c el costo de las almendras en dólares.

c. Usa la ecuación de la parte (b) para determinar el costo de 21 4 libras de almendras.

1. El agua fluye hacia una piscina desde una manguera a una tasa constante. La tabla muestra la profundidad del agua en distintos momentos.

a. ¿Cuál es la profundidad del agua a los 3 5 de hora?

b. Explica por qué la relación que se muestra en la tabla es proporcional.

c. Escribe una ecuación para mostrar cómo la profundidad del agua p, expresada en pies, se relaciona con el tiempo t, expresado en horas.

Identificar relaciones proporcionales en tablas

En esta lección:

• identificamos relaciones como proporcionales o no proporcionales;

• calculamos tasas unitarias que incluyen fracciones y números decimales;

• reconocimos que las fracciones complejas pueden escribirse y evaluarse como expresiones de división;

• usamos tasas unitarias para escribir ecuaciones, las cuales usamos a fin de determinar valores que no estaban incluidos en las tablas.

Ejemplo

Ava pinta piedras pequeñas. Imagina que trabaja a una tasa constante y pinta 4 piedras cada 3 4 de hora de trabajo.

Para escribir una ecuación, empieza por determinar la tasa unitaria. En este caso, debes dividir 4 entre 3 4

a. Escribe una ecuación que represente el número de piedras que Ava pinta en una cantidad de tiempo dada. Sea p el número de piedras y h el número de horas de trabajo.

p rh = 51 3

b. ¿Cuántas piedras pinta Ava en 11 4 horas?

Organiza las razones en una tabla como ayuda para confirmar el número de piedras que pinta Ava en 11 4 horas.

1. Lily lleva la cuenta de cuánta nieve cae midiéndola cada 15 minutos durante un periodo de 45 minutos. La tabla muestra sus anotaciones.

a. Según las anotaciones de Lily, ¿es la profundidad de la nieve proporcional al tiempo? Explica cómo lo sabes.

b. ¿Qué valor de la tabla se puede cambiar de manera que todas las razones tengan una tasa unitaria constante? ¿A qué se debería cambiar tal valor?

2. La tabla muestra la cantidad de harina que necesita Dylan para hornear distintas cantidades de pastelitos.

a. ¿Es la cantidad de harina proporcional al número de pastelitos? Explica cómo lo sabes.

b. ¿Qué cantidad de harina necesita Dylan para hornear 50 pastelitos, es decir, 41 6 docenas de pastelitos?

3. La tabla muestra la cantidad de dinero que Eve gana de acuerdo a las diferentes cantidades de horas que trabaja

a. Halla la tasa unitaria. Explica qué significado tiene en este problema.

b. Usa la tasa unitaria para escribir una ecuación que represente la cantidad de dinero que Eve gana por hora. Sea h el número de horas que Eve trabaja y d la cantidad de dinero que gana en dólares.

4. Maya hace pulseras trenzadas. Imagina que trabaja a una tasa constante y hace 5 pulseras cada 2 3 de hora que trabaja.

a. Escribe una ecuación que represente el número de pulseras por hora que hace Maya. Sea p el número de pulseras y h el número de horas que trabaja.

b. ¿Cuántas pulseras trenzadas hace Maya en 11 2 horas?

Recuerda

En los problemas 5 a 8, multiplica.

9. Shawn lee 570 palabras en 3 minutos. Sara lee 630 palabras en 3.5 minutos. ¿Quién lee a una tasa mayor? Explica cómo lo sabes.

10. Jonás nada 50 metros en 30 segundos y continúa nadando a una tasa constante. ¿Cuántos segundos le toma nadar 200 metros? Usa un diagrama de recta numérica doble para mostrar tu trabajo.

Explorar gráficas de relaciones proporcionales

1. Clasifica las tablas en dos categorías: proporcionales y no proporcionales.

Lo que observo:

Emparejar gráficas

2. Empareja cada gráfica con su respectiva tabla. Examina las gráficas de las relaciones proporcionales. ¿Qué características tienen en común?

Lo que observo:

Analizar (0, 0)

3. Repasa cada relación que tu grupo haya identificado como proporcional. ¿Qué representa el punto (0, 0) en cada contexto?

Otro vistazo al problema del flujo de agua

En la lección 2, identificaste una relación proporcional entre el número de minutos que un grifo permanece abierto y el número de galones de agua que fluyen de él.

4. Representa gráficamente la relación proporcional usando los datos en la tabla.

5. ¿Se ajusta la gráfica a nuestra descripción de una relación proporcional? Explica por qué sí o por qué no.

Tomar una postura

6. ¿Es el enunciado “las rectas trazadas representan relaciones proporcionales” verdadero siempre, a veces o nunca?

Nombre

Fecha

Pedro gana dinero adicional haciendo trabajos de jardinería en su vecindario. Para mostrar el número de horas que trabaja y el dinero que gana, decide crear una gráfica.

Tiempo (horas)

a. Según la gráfica, ¿parece la cantidad de dinero que gana Pedro ser proporcional al número de horas que trabaja? Explica cómo lo sabes.

b. Pedro agrega el punto (0, 0) a su gráfica. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

c. ¿Cuánto dinero gana si trabaja solamente 1 hora? Explica cómo lo sabes.

Explorar gráficas de relaciones proporcionales

En esta lección:

• representamos gráficamente las relaciones proporcionales;

• identificamos las gráficas de las relaciones proporcionales como rectas que pasan por el origen, el punto (0, 0).

Ejemplos

Vocabulario

La constante de proporcionalidad es la tasa unitaria constante en una relación proporcional entre dos cantidades.

1. ¿Qué gráficas representan una relación proporcional? Explica cómo lo sabes.

0245678139

La gráfica representa una relación proporcional.

La gráfica forma una recta que pasa por el origen, (0, 0).

0245678139

La gráfica no representa una relación proporcional.

La gráfica forma una recta, pero esta no pasa por el origen, (0, 0).

0245678139

La gráfica no representa una relación proporcional. La gráfica pasa por el origen, (0, 0), pero no forma una recta.

2. Considera la siguiente gráfica sobre una receta de limonada.

Este punto es (10, 5) y representa que por cada 10 vasos de agua hay 5 vasos de jugo de limón.

a. ¿Parece la gráfica representar una relación proporcional entre el número de vasos de agua y el número de vasos de jugo de limón que se usan en la receta de limonada? Explica cómo lo sabes.

La gráfica parece representar una relación proporcional. Los puntos parecen estar ubicados en una recta que pasa por el origen, (0, 0).

Traza una línea para confirmar que los puntos parecen estar ubicados en una recta que pasa por el origen

b. Crea una tabla de valores basándote en la gráfica.

c. Usa los valores de la tabla para justificar que la relación entre el número de vasos de agua y el número de vasos de jugo de limón es una relación proporcional.

El punto (10, 5) está representado en la tabla porque la gráfica muestra que, por cada 10 vasos de agua, hay 5 vasos de jugo de limón.

La tabla muestra que hay una tasa unitaria constante o una constante de proporcionalidad asociada a la relación entre el número de vasos de agua y el número de vasos de jugo de limón. La constante de proporcionalidad es 0.5

Para confirmar que la relación es proporcional, compara las tasas unitarias de cada par ordenado para ver si comparten el mismo número. 1

Como la tasa unitaria es 0.5, la constante de proporcionalidad también es 0.5.

En los problemas 1 a 3, determina si cada gráfica representa una relación proporcional. Explica cómo lo sabes.

a. Representa gráficamente la relación.

b. ¿Es proporcional la relación entre y y x? Justifica tu razonamiento con la tabla y la gráfica.

c. Describe una situación proporcional que pueda representarse con la tabla y la gráfica dadas.

4. Considera la tabla dada.

5. La gráfica muestra la cantidad de barras de chocolate que se vendieron y el dinero recibido.

Dinero recibido (dólares)

04 23 15678

Número de barras de chocolate vendidas

a. ¿Parece la gráfica representar una relación proporcional entre la cantidad de dinero recibido y el número de barras de chocolate vendidas? Explica cómo lo sabes.

b. Crea una tabla de valores basándote en la gráfica.

Número de barras de chocolate vendidas, x

Dinero recibido, y (dólares)

c. Usa los valores de la tabla para justificar que la relación entre la cantidad de dinero recibido y el número de barras de chocolate vendidas es una relación proporcional.

d. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

6. Logan y Shawn registraron cuánto dinero ganaron trabajando en un restaurante local en un turno de 5 horas. Usa las tablas que se muestran para las partes (a) y (b).

Dinero que ganó Logan

a. Representa con una gráfica ambos conjuntos de datos en un mismo plano de coordenadas. Elige una escala adecuada y rotula tus ejes.

b. Describe las semejanzas y diferencias entre las ganancias de Logan y Shawn. Usa las gráficas para respaldar tu razonamiento.

Recuerda

En los problemas 7 a 10, multiplica.

11. La tabla muestra el costo en dólares de diferentes cantidades de pelotas de beisbol. ¿Representan los valores correspondientes de la tabla una relación proporcional entre el costo y el número de pelotas de beisbol? Explica cómo lo sabes.

12. Liam usa 3 tazas de leche para hornear 4 tandas de muffins. ¿Cuántas tazas de leche necesita para hornear solo 1 tanda de muffins?

Analizar gráficas de relaciones proporcionales

Tarea cuadrangular

Si tu grupo tiene una tarjeta de tarea con una gráfica, completa los siguientes pasos:

• representa con una gráfica la relación en el recuadro Gráfica;

• escribe una descripción de la situación del mundo real que está representada en la gráfica;

• crea una tabla de valores basándote en la gráfica;

• determina si la gráfica representa una relación proporcional y explica cómo lo sabes;

• si la relación es proporcional, define las dos variables en la relación y escribe una ecuación a fin de describirla.

Si tu grupo tiene una tarjeta de tarea con un conjunto de razones, completa los siguientes pasos:

• enumera las razones y agrega una descripción en el recuadro Descripción;

• representa con una gráfica los puntos que representen el conjunto de razones en el recuadro Gráfica;

• crea una tabla de valores basándote en la gráfica;

• determina si la gráfica representa una relación proporcional y explica cómo lo sabes;

• si la relación es proporcional, define las dos variables en la relación y escribe una ecuación a fin de describirla.

Paseo por la galería

Enumera las relaciones proporcionales del paseo por la galería. Identifica y explica el significado de la constante de proporcionalidad en cada contexto.

Enumera y describe las relaciones del paseo por la galería que no son proporcionales.

Tabla de valores

¿Proporcional o no proporcional?

¿Qué gráficas de las que se muestran parecen representar una relación proporcional? Elige todas las opciones que correspondan.

Explica por qué las gráficas que elegiste representan relaciones proporcionales.

Analizar gráficas de relaciones proporcionales

En esta lección:

• representamos relaciones con tablas, gráficas y conjuntos de razones;

• determinamos si una relación es proporcional examinando las diferentes formas de representarla;

• calculamos la constante de proporcionalidad y la usamos para escribir ecuaciones a fin de representar una relación proporcional;

• identificamos que la constante de proporcionalidad k se puede determinar a partir del punto (1, k) en la gráfica de una relación proporcional.

Ejemplo

La tabla muestra el ancho y la altura de distintos afiches.

Las medidas de dos cantidades están en una relación proporcional si hay una tasa unitaria constante, conocida como la constante de proporcionalidad k, entre pares de valores correspondientes, lo que significa que la relación se describe mediante una ecuación de la forma y = kx

a. Representa con una gráfica los pares de valores en la tabla.

Tamaño de los afiches

Altura (pulgadas)

Un punto diferente representa los pares de valores de cada fila en la tabla.

(10, 15)

(15, 22.5)

(20, 30)

(30, 45)

510152025 30 0

Ancho (pulgadas)

b. Explica cómo puedes determinar que la altura de cada afiche es proporcional a su ancho.

Puedo determinar que la relación entre la altura y el ancho es proporcional porque los puntos parecen estar en una recta que pasa por el origen. En la tabla, puedo ver que hay una constante de proporcionalidad, 1.5.

Para determinar que los valores en la tabla tienen una constante de proporcionalidad de 1.5, cada valor de la altura debe dividirse entre el valor correspondiente del ancho. Cada cociente es 1.5

c. Explica cómo puedes hallar la constante de proporcionalidad tanto en la gráfica como en la tabla. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación?

En la tabla, puedo hallar la constante de proporcionalidad calculando la tasa unitaria, 1.5.

Puedo hallar la constante de proporcionalidad en la gráfica identificando el valor de y en el punto (1, 1.5).

La constante de proporcionalidad muestra que, cuando el ancho es 1 pulgada, la altura es 1.5 pulgadas.

d. Escribe una ecuación que describa la relación entre la altura de cada afiche y su ancho. hw = 15 . a

Usa la ecuación y = kx para representar una relación proporcional con una constante de proporcionalidad k. En esta situación, k es 1.5, y se usan las variables a y h en lugar de x y y

En los problemas 1 a 6, determina si cada gráfica representa una relación proporcional. Explica tu razonamiento. Si la gráfica representa una relación proporcional, expresa la constante de proporcionalidad y lo que representa en la situación.

Balance

de la cuenta (dólares)

Costo total (dólares)

7. La tabla muestra el ancho y la altura de diferentes logotipos diseñados para una escuela local.

a. Representa con una gráfica los pares de valores en la tabla.

b. Explica cómo puedes determinar que el ancho del logotipo en pulgadas es proporcional a su altura en pulgadas.

c. Explica cómo puedes hallar la constante de proporcionalidad tanto en la gráfica como en la tabla. ¿Qué representa la constante de proporcionalidad en esta situación?

d. Escribe la ecuación para describir la relación entre el ancho a del logotipo en pulgadas y su altura h en pulgadas.

Recuerda

En los problemas 8 a 11, convierte las fracciones a números mixtos y los números mixtos a fracciones.

12. Un grifo gotea agua en una cubeta vacía. La tabla muestra la relación proporcional entre la cantidad de tiempo transcurrido y la profundidad del agua.

a. Completa la tabla.

b. Explica por qué la relación que se muestra en la tabla es proporcional.

c. Sea p la profundidad del agua en centímetros. Sea t el tiempo que pasa medido en horas. Escribe una ecuación para mostrar cómo la profundidad del agua p se relaciona con el tiempo t

13. En un supermercado local, hay 15 manzanas en cada bolsa grande de manzanas.

a. Escribe una expresión para representar el número de manzanas en una cantidad b de bolsas.

b. ¿Cuántas manzanas hay en 9 bolsas?

Identificar relaciones proporcionales en descripciones escritas

1. Crea una tabla, una gráfica o una ecuación a fin de representar el tipo de relación que te fue asignada.

Jonás y Lily

2. Jonás tiene 10 años y Lily 8.

a. ¿Qué edad tendrá Lily cuando Jonás tenga 20 años?

b. ¿Es esta una relación proporcional? Explica por qué.

c. Crea una tabla o gráfica para justificar tu solución.

Proporcional o no proporcional

En los problemas 3 a 10, determina si la situación es proporcional. Explica cómo lo sabes. Halla la constante de proporcionalidad para toda relación que sea proporcional.

3. El supermercado vende manzanas a $1.25 por libra.

4. Un autoservicio de lavado de autos cobra $2.00 más un cargo extra de $0.25 por minuto por lavar tu auto.

5. Abdul camina 1 4 de milla cada 1 12 de hora.

6. Ava usa 3 4 de una bolsa de fertilizante por cada 1 5 de su jardín.

7. Un paquete de 96 pañales cuesta $24.27. Un paquete de 72 pañales cuesta $19.44

8. Una estación de gasolina vende gasolina a $2.79 por galón.

9. Noor quiere hacer una tanda de mezcla de frutos secos. Una tanda, es decir, 41 2 tazas de mezcla de frutos secos, contiene 1 4 de taza de pasas.

10. So-hee tiene un invernadero y quiere comprar semillas de zanahoria. Con $59.95 le alcanza para 1 libra de semillas. Con $26.95 le alcanza para 1 4 de libra de semillas.

Nombre Fecha

Considera las dos situaciones.

Situación 1:

La entrada a una feria cuesta $8.00 y cada boleto a las atracciones cuesta $0.60.

Situación 2:

En una tienda de yogur helado, se pesa un plato de yogur helado con ingredientes, el cual se cobra a un precio de $0.85 por onza.

¿Qué situación representa una relación proporcional? Explica cómo lo sabes.

Identificar relaciones proporcionales en descripciones escritas

En esta lección:

• determinamos si una relación era proporcional a partir de su descripción escrita;

• usamos tablas y gráficas para justificar que las relaciones eran proporcionales.

Ejemplos

1. Determina si la siguiente es una relación proporcional. De ser así, define las variables y escribe una ecuación. De no ser así, explica por qué no.

Liam gana $12 por cada hora que trabaja de niñero.

Sea t la cantidad total de dólares que gana.

Sea h el número de horas que trabaja de niñero.

th = 12

Esta es una relación proporcional porque Liam gana la misma cantidad de dinero por cada hora que trabaja de niñero.

2. Determina si la siguiente es una relación proporcional. De ser así, explica cómo lo sabes. De no ser así, cambia uno de los valores para que sea una relación proporcional.

La semana pasada, Henry compró 3 libras de manzanas por $3.75 en el supermercado. Esta semana, volvió al supermercado y compró 5 libras de manzanas por $6.50

375 3

12.5 =

65 5

13 =

Halla la tasa unitaria de cada par de valores a fin de determinar si el costo es proporcional al número de libras de manzanas.

Esta no es una relación proporcional porque el precio por libra no se mantiene constante. Podemos convertirla en una relación proporcional cambiando $3.75 por $3.90. También podemos cambiar $6.50 por $6.25 para que sea una relación proporcional.

Se pueden usar dos opciones para la tasa unitaria: 1.25 o 1.3.

3. En Watertown, Wisconsin, la nieve cae a una tasa constante. En 63 4 horas, cayeron 41 2 pulgadas de nieve. ¿Cuántas pulgadas de nieve cayeron en 1 hora?

Cayeron 2 3 de pulgada de nieve en 1 hora.

1. Una compañía de teléfonos celulares cobra una tarifa fija de $40.00 al mes y un cargo adicional de $20.00 al mes por cada teléfono en el plan.

a. ¿Es proporcional la relación entre el costo mensual total y el número de teléfonos en el plan? Explica tu razonamiento.

b. Crea una tabla o gráfica para justificar tu razonamiento.

En los problemas 2 y 3, identifica si la relación es proporcional. De ser así, define las variables y escribe una ecuación. De no ser así, cambia un valor para que sea una relación proporcional.

2. Cada día en la guardería de perros cuesta $25.

3. El martes, Ethan compró 7 flores por $6.75. El viernes, Ethan volvió a la florería y compró 14 flores por $12.00

4. Logan quiere hacer un tono específico de pintura morada. Le dijeron que, para obtener el tono morado que desea, debe mezclar 1 2 galón de pintura roja con 3 4 de galón de pintura azul. Si usa un galón de pintura roja, ¿qué cantidad de pintura azul necesita para hacer la mezcla? Usa la tabla para justificar tu respuesta.

Pintura roja (galones)

Pintura azul (galones)

5. Pedro quiere preparar 31 2 tandas de barras de granola. Su papá dice que necesita 51 4 tazas de avena. ¿Qué cantidad de avena necesita Pedro para preparar una sola tanda?

Recuerda

En los problemas 6 a 8, multiplica.

9. Yu Yan gana dinero adicional trabajando los fines de semana. Para ver el número de horas que trabaja y la cantidad de dinero que gana cada fin de semana, decide crear una gráfica.

a. Según la gráfica, ¿parece el dinero que gana Yu Yan ser proporcional al número de horas que trabaja? Explica cómo lo sabes.

b. El siguiente fin de semana, Yu Yan agrega el punto (0, 0) a la gráfica. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

c. ¿Cuánto dinero gana Yu Yan si trabaja solamente 1 hora? Explica.

10. Un puesto de frutas vende 5 manzanas por cada 3 naranjas. Usa la tabla para representar gráficamente la relación entre el número de manzanas vendidas x y el número de naranjas vendidas y. Marca los puntos, pon un título a la gráfica y rotula los ejes.

Número de manzanas vendidas, x

Número de naranjas vendidas, y

Uñas gloriosas

¡Increíble! ¡Deben haber tardado una *eternidad* en crecer!

¡Qué va! Dos décadas, como máximo.

Lo siento, pero eres un mamífero bastante aburrido. No tienes garras. No tienes cuernos. De hecho, solo tienes una característica realmente emocionante: una parte del cuerpo que despega pegatinas, rasca comezones, se ve bonita cuando está pintada y crece a una tasa de 3 milímetros por mes.

Tus uñas.

Esta tasa de 3 milímetros por mes establece una conexión improbable, una relación proporcional, entre dos cuestiones muy diferentes. En primer lugar, el paso del tiempo; en segundo lugar, la longitud de esas garras con forma de cuerno que crecen en las puntas de los dedos.

El tiempo y las uñas. Las uñas y el tiempo. 3

Las uñas más largas registradas hasta el momento medían unos 2 pies de largo. ¿Cuánto tiempo tardaron en crecer? De acuerdo con nuestra tasa, fueron unos 200 meses, es decir, casi 17 años.

Pero vayamos más lejos. ¿Qué pasaría si nos pasáramos toda la vida humana (80 años, más o menos) dejándonos crecer las uñas? De acuerdo con nuestra tasa, medirían aproximadamente 2.9 metros de largo o más de 9 pies. Es casi la altura de un aro de basquetbol.

¿Qué pasaría si un ser inmortal quisiera que sus uñas se extendieran desde Las Vegas hasta Chicago (alrededor de 1,500 millas)? Bueno, de acuerdo con nuestra tasa, eso tomaría alrededor de 67 millones de años. Así que, si hubieras empezado cuando los dinosaurios se extinguieron, estarías terminando.

Práctica veloz: Parada de manos

Explorar

Pregunta de enfoque:

Carrera de parada de manos

Pregunta de enfoque:

Nombre Fecha

BOLETO DE SALIDA 7

Reflexiona sobre la lección.

1. Cuando representas situaciones usando una relación proporcional, ¿qué suposiciones haces?

2. ¿En qué se diferencia la situación representada en clase de una relación proporcional?

3. ¿Qué otras preguntas querías explorar en la clase? ¿Qué información necesitaríamos para resolverlas? Si pudiéramos hacer suposiciones, ¿cuáles serían? Predice las respuestas a tus preguntas.

Recuerda

En los problemas 4 a 6, multiplica.

7. Kabir ganaba dinero por cada milla que recorría en una caminata. En la gráfica se muestra la relación entre el número de millas que Kabir caminó y la cantidad de dinero que ganó en dólares.

a. Según la gráfica, ¿es la cantidad de dinero que ganó en dólares proporcional al número de millas que caminó? Explica cómo lo sabes.

b. Kabir agrega el punto (0, 0) a la gráfica. ¿Qué representa el punto (0, 0) en este contexto?

c. ¿Cuánto dinero gana Kabir si camina solo una milla? Explica cómo lo sabes.

8. Logan entrena para el equipo de atletismo. Corre 500 metros 4 veces por día.

a. A esta tasa, ¿cuántos metros correrá Logan en una semana?

b. Logan sigue entrenando a la misma tasa todos los días hasta que alcanza un total de 70 kilómetros. ¿Cuántos días entrena?

Relacionar representaciones de relaciones proporcionales

1. Considera la tabla que se muestra.

a. Escribe una situación que muestre esta relación.

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad? ¿Qué significa esto en la situación descrita en la parte (a)?

c. Escribe una ecuación que represente la situación de la parte (a). Define las variables.

d. Representa gráficamente esta relación. Rotula los ejes.

¿Dónde está la constante de proporcionalidad?

2. Examina de nuevo el trabajo del problema 1. En la parte (b), calculaste la constante de proporcionalidad. Resalta la constante de proporcionalidad en la tabla, en la situación, en la ecuación y en la gráfica.

Otras representaciones

3. Henry compra 0.6 libras de almendras por $5.25. El costo de las almendras es proporcional al peso de las almendras.

a. Completa la tabla para esta relación. Ingresa los valores de las libras de almendras l y, luego, determina los valores correspondientes del costo total c en dólares. Calcula y resalta la constante de proporcionalidad.

Libras de almendras, l

Costo total, c (dólares)

0.6 5.25

c l

525 06

Constante de proporcionalidad

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad de esta relación? ¿Qué significa esto en esta situación?

c. Escribe una ecuación para esta relación. Resalta la constante de proporcionalidad.

d. Representa gráficamente esta relación y rotula los ejes. Resalta la constante de proporcionalidad.

El número de minutos que Logan pasa en la ducha es proporcional al número de galones de agua que usa.

a. Completa la tabla para representar esta relación.

Tiempo que pasa en la ducha, t (minutos) Agua que usa, a (galones)

b. Representa gráficamente esta relación.

Agua que usa (galones)

02468

Tiempo que pasa en la ducha (minutos)

c. Escribe una ecuación que represente el número de galones de agua a que usa Logan cuando se ducha por t minutos.

Relacionar representaciones de relaciones proporcionales

En esta lección:

• relacionamos una representación de una relación proporcional con otras representaciones;

• determinamos la constante de proporcionalidad y la usamos para representar una relación proporcional de forma diferente.

Ejemplo

Usa la información de la gráfica para completar las siguientes tareas.

a. Completa la tabla.

y

Como la gráfica es una recta que atraviesa el origen, se trata de una relación proporcional. Esto ayuda a determinar el valor de y cuando el valor de x es 1. La recta atraviesa (2, 90); entonces, la recta también atravesará (1, 45)

b. Escribe una situación que muestre esta relación.

Noor ahorra $45 cada mes.

Muchas situaciones podrían mostrar esta relación. En cada situación correcta, se usará la siguiente forma: 45 de una unidad por cada 1 de otra unidad.

c. Determina la constante de proporcionalidad. 45

d. Escribe una ecuación que relacione x y y. y = 45x

Para las relaciones proporcionales, la ecuación se escribe de la siguiente forma: y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad.

1. Shawn gana $15 por cada jardín en el que corta el césped. ¿Es una relación proporcional? De ser así, determina la constante de proporcionalidad.

2. Dada la tabla, determina si la cantidad de dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. De ser así, calcula la constante de proporcionalidad y explica qué significa en esta situación.

3. Usa la gráfica para responder las partes (a) a (d).

a. Completa la tabla.

b. Escribe una ecuación que relacione x y y.

c. Determina la constante de proporcionalidad.

d. Escribe una situación que describa esta relación.

4. Una relación proporcional tiene una constante de proporcionalidad de 3.25.

a. Escribe una situación con una constante de proporcionalidad de 3.25.

b. Escribe una ecuación que represente la situación de la parte (a). Define las variables.

c. Completa la tabla usando los valores de tu situación.

d. Representa gráficamente la información de la parte (c). Traza la recta que contenga los datos.

5. ¿Qué representaciones tienen una constante de proporcionalidad de 5? Elige todas las opciones que correspondan.

Recuerda

En los problemas 6 a 9, suma o resta. Escribe tu respuesta en la misma forma que el problema.

10. ¿Cuáles de las gráficas parecen representar relaciones proporcionales? Elige todas las opciones que correspondan.

11. Una bolsa de manzanas de 3 libras cuesta $3.75. Una bolsa de manzanas de 5 libras cuesta $6.50. Cuando la tasa se expresa en dólares por libra, ¿cuál es la tasa unitaria asociada a cada bolsa de manzanas?

Se muestran las gráficas de varias relaciones proporcionales. Cada recta muestra la distancia en millas que se movió un objeto en función del número de horas que estuvo en movimiento. 0246810

Distancia que se movió (millas)

a. En la gráfica, identifica cada relación que tenga una tasa unitaria mayor que 1. Usa las características de las rectas para justificar tu respuesta.

b. ¿Qué punto de la recta ℓ tiene una coordenada y equivalente a la tasa unitaria? ¿Qué significa la tasa unitaria en esta situación?

Comparar relaciones proporcionales

En esta lección:

• comparamos la inclinación de las rectas;

• determinamos la tasa unitaria r desde el punto (1, r);

• relacionamos la tasa unitaria con la inclinación de la recta;

• creamos y analizamos el triángulo unitario.

Ejemplos

Vocabulario

El triángulo unitario es el triángulo con vértices en (0, 0), (1, 0) y (1, r), donde r es la tasa unitaria.

1. Escribe una ecuación que, representada gráficamente, produzca una recta menos inclinada que la recta de la gráfica de yx = 4 3 . Explica tu razonamiento. yx = 3 2

Cuanto mayor sea la tasa unitaria, más inclinada será la recta.

Para que la gráfica de esta recta sea más inclinada, la constante de proporcionalidad debería ser mayor que 4 3

3 2 4 3 >

La gráfica de la recta yx = 3 2 sería más inclinada que la gráfica de la recta yx = 4 3

2. La gráfica y la tabla representan la misma relación proporcional.

a. Traza el triángulo unitario en la gráfica.

b. Muestra en la tabla las propiedades aditivas del triángulo unitario.

Cuando el cambio en los valores de x es 1 en una relación proporcional, el cambio en los valores de y es la longitud del lado vertical del triángulo unitario.

1. La relación A tiene una constante de proporcionalidad de 43 4 . La relación B tiene una constante de proporcionalidad de 3. Cuando se representa gráficamente, ¿qué relación está representada por una recta más inclinada? Explica tu razonamiento.

2. Escribe una ecuación que, representada gráficamente, produzca una recta menos inclinada que la recta de la gráfica de y = 7x. Explica tu razonamiento.

3. La recta a muestra cuántas monedas clasifica la máquina A por segundo. La recta b muestra cuántas monedas clasifica la máquina B por segundo.

a. ¿Cómo sabes que estas rectas representan relaciones proporcionales?

b. Escribe una ecuación que relacione el número de segundos t con el número de monedas clasificadas c por la máquina A.

c. Escribe una ecuación que relacione el número de segundos t con el número de monedas clasificadas c por la máquina B.

d. ¿Qué máquina clasifica las monedas más rápido? ¿Cómo lo sabes?

4. La paga de Abdul es proporcional al número de horas que trabaja. La paga de Eve es proporcional al número de horas que trabaja.

a. Escribe una ecuación que relacione la paga de Abdul p en dólares con el número de horas que trabaja t.

b. Escribe una ecuación que relacione la paga de Eve p en dólares con el número de horas que trabaja t.

c. ¿Quién gana más dinero por hora? ¿Cómo lo sabes?

5. La gráfica y la tabla representan la misma relación proporcional.

a. Traza el triángulo unitario en la gráfica.

Recuerda

En los problemas 6 a 9, suma o resta.

10. Determina si cada situación representa una relación proporcional o no proporcional. Explica cómo lo sabes.

Situación 1:

El costo de las zanahorias es $1.29 por libra.

Situación 2:

En el juego de boliche, el alquiler de los zapatos de boliche cuesta $3.00 y cada partida de juego cuesta $4.00.

Situación 3:

Kabir trabaja en una heladería y gana $9.50 por hora.

11. Usa el diagrama para emparejar cada descripción con su razón.

Descripción de la razón

La razón del número de estrellas al número de triángulos

La razón del número de círculos al número de estrellas

La razón del número de cuadrados al número total de figuras

La razón del número de triángulos al número de círculos

La razón del número total de figuras al número de círculos

Razón

1 : 10

3 : 2

4 : 3

10 : 4

2 : 4

Aplicar el razonamiento proporcional

Camión de tacos

1. La tabla muestra cuánto tiempo trabajó Lily y cuánto ganó durante sus últimos tres turnos en el Camión de tacos.

a. ¿Es el dinero que gana Lily proporcional al número de horas que trabaja? Explica tu razonamiento.

b. Escribe una ecuación que relacione el dinero que gana Lily g en dólares con el número de horas que trabaja h

c. Lily gana $45.10. ¿Cuántas horas trabaja para ganar esa cantidad?

d. ¿Cuáles son las coordenadas de los vértices del triángulo unitario para esta relación? Explica tu razonamiento.

e. Escribe una ecuación que produzca una gráfica más inclinada que la gráfica de la ecuación que hallaste en la parte (b). Usa las mismas variables que en la parte (b). ¿Cómo se relaciona tu nueva ecuación con la situación?

De dólares a libras esterlinas

2. Cuatro personas planean viajar al Reino Unido. Quieren cambiar parte de sus dólares estadounidenses por libras esterlinas. En la gráfica se muestran sus cambios de moneda.

a. ¿Qué significa el punto (375, 285) en esta situación?

b. ¿Es el valor de la libra esterlina proporcional al valor del dólar estadounidense? Explica tu razonamiento.

040120200280360440520600

Dólares estadounidenses

c. Escribe una ecuación que describa el número de libras esterlinas l que alguien recibe cuando cambia un número cualquiera de dólares estadounidenses d.

d. Estás planeando viajar al Reino Unido y quieres 380 libras esterlinas para pagar la comida y el transporte durante tu viaje. ¿Cuántos dólares necesitas cambiar? Muestra el trabajo para justificar tu respuesta.

e. Alguien cambia 300 dólares estadounidenses. ¿Cuántas libras esterlinas recibe a cambio?

Reciclaje

3. Una compañía de reciclaje paga $0.35 por libra de latas de aluminio vacías. Esta es una relación proporcional.

a. ¿Cuáles son las dos cantidades proporcionales? Define variables para cada cantidad y escribe una ecuación que represente la relación.

b. Tienes 9.4 libras de latas de aluminio vacías para reciclar. ¿Cuánto dinero recibirás?

c. Tienes un recibo por $5.81 de la compañía de reciclaje. ¿Cuántas libras de latas de aluminio vacías reciclaste?

d. La lata de aluminio vacía promedio pesa alrededor de 15 gramos. Hay aproximadamente 453.6 gramos en una libra. ¿Cuántas latas de aluminio vacías debes reciclar para ganar $7.00?

Nombre Fecha

Jonás sabe que 1 pulgada es equivalente a 2.54 centímetros. Sea x el número de pulgadas en una distancia medida. Sea y el número de centímetros en la misma distancia medida.

a. Escribe una ecuación que Jonás podría usar para convertir pulgadas a centímetros.

b. Usa la ecuación que creaste en la parte (a) para convertir 11 pulgadas a centímetros.

c. Usa la ecuación que creaste en la parte (a) para convertir 33 centímetros a pulgadas. Redondea a la pulgada más cercana.

Aplicar el razonamiento proporcional

En esta lección:

• identificamos relaciones proporcionales equivalentes a partir de diferentes representaciones;

• determinamos la constante de proporcionalidad y explicamos su significado en la situación;

• escribimos ecuaciones para hallar valores desconocidos.

Ejemplos

Usa la siguiente tabla para responder las partes (a) a (d).

¿Es el dinero que gana Nora proporcional al número de horas que trabaja? Explica tu

Hay que dividir cada par de valores para ver si existe una tasa unitaria constante.

. Sí. El dinero que gana es proporcional al número de horas que trabaja. Gana $14 por cada hora que trabaja.

b. Escribe una ecuación que relacione el dinero que gana Nora g en dólares con el número de horas que trabaja h

gh = 14

Como se trata de una relación proporcional, la ecuación debe escribirse en la forma y = kx, donde k es la constante de proporcionalidad.

c. Nora gana $98. ¿Cuántas horas trabaja?

gh h h h = = ÷= ÷ = 14 9814

98141414 7

Trabaja 7 horas para ganar $98.

$98 representa el dinero que gana Nora; entonces, se debe sustituir g por ese valor.

d. Imagina que Nora trabajará 15.5 horas la próxima semana. ¿Cuánto ganará?

gh = = = 14 14(15.5) 217

Nora ganará $217 si trabaja 15.5 horas la próxima semana.

15.5 representa el número de horas que trabaja Nora; entonces, se debe sustituir h por ese valor.

1. Usa la siguiente tabla para responder las partes (a) a (d). Tiempo que trabaja Shawn

a. ¿Es el dinero que gana Shawn proporcional al número de horas que trabaja? Explica tu razonamiento.

b. Escribe una ecuación que relacione el dinero que gana Shawn g en dólares con el número de horas t que trabaja.

c. Shawn gana $62.50. ¿Cuántas horas trabaja?

d. Imagina que Shawn trabajará 17 horas la próxima semana. ¿Cuánto ganará?

2. Yu Yan puede recorrer un promedio de 23 millas por cada galón de gasolina que consume su auto.

a. Escribe una ecuación que relacione el número de millas recorridas m con el número de galones de gasolina que usa g.

b. Yu Yan planea recorrer 391 millas. ¿Cuántos galones de gasolina necesita?

c. Yu Yan tiene 12 galones de gasolina en su auto. ¿Qué distancia puede recorrer?

3. En la gráfica se muestran las conversiones entre el número de pintas y el número de onzas líquidas.

a. ¿Son proporcionales el número de pintas y el número de onzas líquidas?

b. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas líquidas o con el número de pintas p

c. La receta lleva 11 pintas de agua. ¿Cuántas onzas líquidas hay en 11 pintas de agua?

d. Un cubo de hielo promedio contiene 1 onza líquida de agua. Shawn coloca 64 cubos de hielo en una jarra vacía. Cuando se derritan los cubos de hielo, ¿aproximadamente cuántas pintas de agua habrá en la jarra?

Recuerda

En los problemas 4 a 7, suma.

8. ¿Cuáles de las siguientes situaciones representan relaciones proporcionales? Elige todas las opciones que correspondan.

G. El precio de cada banana es $0.25

H. Jonás tiene $15 en una cuenta de ahorros. Agrega $3 a la cuenta cada semana.

9. Alguien de 7.o grado hace saltos de tijera a una tasa constante. Si hace 40 saltos de tijera en un minuto, ¿cuántos hace en 15 segundos?

Nombre Fecha

Tasas constantes

Las matemáticas en el pasado

La suma de una cantidad y su cuarto da 15. ¿Cuál es la cantidad?

El problema de velocidad de Shawn

1. Shawn y su familia están haciendo un viaje por carretera. Viajan a una velocidad promedio de 70 millas por hora en la autopista. Usa una recta numérica doble para mostrar cuántas millas maneja la familia de Shawn durante intervalos de tiempo que van de 0 a 10 horas.

Número de millas

Número de horas

2. En las partes (a) a (c), usa la recta numérica doble para determinar la distancia que recorre la familia de Shawn durante las cantidades de tiempo dadas.

a. La familia de Shawn maneja por 8.5 horas.

b. La familia de Shawn maneja por 30 minutos.

c. La familia de Shawn maneja por t horas.

3. Escribe una ecuación que relacione la cantidad de tiempo t en horas que maneja la familia de Shawn con la distancia total d que recorre en millas.

4. Identifica la constante de proporcionalidad y explica qué representa en la situación.

Patrones en ecuaciones que representan tasas

5. Una manguera llena con agua un recipiente de 15 galones en 1.5 minutos.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria y qué significa en esta situación?

b. Escribe una ecuación que represente esta situación. Define las variables de tu ecuación.

c. ¿Cuánto tarda la misma manguera en llenar una piscina de 2,000 galones?

6. Cuentas 20 latidos del corazón en 15 segundos.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria y qué significa en esta situación?

b. Escribe una ecuación que represente esta situación. Define las variables de tu ecuación.

c. A esta tasa, ¿cuántas veces late el corazón en un minuto?

7. Pagas $1.80 por 12 lápices.

a. ¿Cuál es la tasa unitaria y qué significa en esta situación?

b. Escribe una ecuación que represente esta situación. Define las variables de tu ecuación.

c. ¿Cuántos lápices puedes comprar con $12?

La representación en Una historia de razones

Lee

Lee el problema completo. Pregúntate:

• ¿Qué me pide hallar el problema?

Luego, vuelve a leer una parte a la vez. Mientras relees, pregúntate:

• ¿Qué sé?

Representa la situación usando herramientas como tablas, gráficas, diagramas y ecuaciones.

Representa

Representa el problema usando el modelo que hayas elegido. Pregúntate:

• ¿Qué rótulos uso en la tabla, la gráfica o el diagrama?

• ¿Cómo defino las variables?

• ¿Están claros en el modelo lo conocido y lo desconocido?

Agrega lo que falte a tu modelo o corrígelo según sea necesario.

Resuelve

Resuelve el problema para determinar si tu resultado responde la pregunta. Pregúntate:

• ¿Tiene sentido mi respuesta?

• ¿Responde mi resultado a la pregunta?

Si la respuesta es negativa, corrige el modelo o crea uno nuevo. Luego, vuelve a hacerte estas preguntas usando el nuevo resultado.

Resume

Resume tu resultado y prepárate para justificar tu razonamiento.

Nombre Fecha

Nora y Shawn recaudan dinero para organizaciones benéficas en una maratón en bicicleta.

a. Nora recauda una cantidad constante de dinero por cada milla que recorre. Recorre 14 millas y recauda un total de $235.90. ¿Cuánto dinero recauda Nora por cada milla que recorre?

b. Shawn recauda $13.25 por cada milla que recorre. Shawn recauda un total de $251.75. ¿Cuántas millas recorre Shawn en bicicleta?

Tasas constantes

En esta lección:

• representamos problemas de tasas con rectas numéricas dobles, gráficas y ecuaciones;

• observamos que las situaciones con tasas constantes representan relaciones proporcionales;

• calculamos tasas unitarias conocidas, como la velocidad, el rendimiento del combustible y el ritmo cardíaco, y las usamos para hallar valores desconocidos;

• observamos patrones en la forma en que se usan las tasas para escribir ecuaciones.

Ejemplo

Un minitriatlón local es una carrera que consta de tres partes: 0.25 millas de natación, 6.2 millas de carrera en bicicleta y 1.5 millas de carrera a pie.

a. Eve completa la parte de natación del minitriatlón en 10 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por minuto?

025

10 = 0.025

Eve nada a una velocidad promedio de 0.025 millas por minuto.

La velocidad promedio es una tasa. Para hallar la tasa, divide la distancia que nada Eve, 0.25 millas, entre el tiempo que tarda en nadar, 10 minutos.

b. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por hora?

1hora60minutos =

10

60 1 6 =

Dado que hay 60 minutos en 1 hora, 10 minutos equivalen a 1 6 de una hora.

025

1 6 . = 1.5

Eve nada a una velocidad promedio de 1.5 millas por hora.

Presta atención a las unidades de la tasa. Para hallar las millas por hora, convierte el tiempo en minutos a una fracción de una hora. 10 minutos es 1 6 de una hora porque hay 60 minutos en una hora.

c. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Eve en millas, d, con el número de minutos que nada, m

dm = 0.025

Escribe ecuaciones en la forma d = rt, donde d representa la distancia, r representa la tasa y t representa el tiempo. En este caso, usamos m para representar la cantidad de tiempo en minutos.

d. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Eve en millas, d, con el número de horas que nada, h.

dh = 1.5

e. Parte de la prueba de natación incluye nadar toda la longitud de un muelle de 0.1 millas de largo. ¿Cuántos minutos tarda Eve en llegar al final del muelle?

Sustituye d por 0.1 porque esa es la distancia en millas que nada Eve.

Tarda 4 minutos en llegar al final del muelle.

1. Yu Yan compite en un triatlón de corta distancia. La carrera consta de tres partes: 0.5 millas de natación, 12.4 millas de carrera en bicicleta y 3.1 millas de carrera a pie.

a. Yu Yan completa la parte de natación del triatlón en 25 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por minuto?

b. ¿Cuál es su velocidad promedio de nado en millas por hora?

c. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Yu Yan en millas, d, con el número de minutos que nada, m

d. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que nada Yu Yan en millas, d, con el número de horas que nada, h.

e. Parte de la prueba de natación incluye nadar toda la longitud de un muelle de 0.2 millas de largo. Yu Yan nada a su velocidad promedio. ¿Cuántos minutos tarda en llegar al final del muelle?

f. Yu Yan completa la parte de carrera en bicicleta en 48 minutos. ¿Cuál es su velocidad promedio en bicicleta en millas por hora?

g. Escribe una ecuación que relacione la distancia total que recorre Yu Yan, d, con el tiempo que anda en bicicleta en horas, h.

h. Un grupo de personas espera a Yu Yan para animarla en un lugar que está a 6.2 millas de la partida de la pista de carreras de bicicletas. Usando la ecuación de la parte (g), ¿durante cuántos minutos anda Yu Yan en bicicleta para llegar al lugar en que está el grupo de personas?

i. Yu Yan finaliza todo el triatlón de corta distancia en 1 hora y 38 minutos. Usa la información anterior para calcular el ritmo promedio de Yu Yan en minutos por milla para la parte de carrera a pie del triatlón. Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

2. Una cortadora de césped consume 0.75 galones de gasolina en 50 minutos de uso.

a. ¿Cuántos galones de gasolina consume la cortadora de césped en una hora de uso?

b. Escribe una ecuación que relacione el número de galones de gasolina g que consume la cortadora de césped con el tiempo de uso h en horas.

c. Liam estima que su cortadora de césped tiene alrededor de 1.25 galones en el tanque de gasolina. ¿Cuánto tiempo puede cortar el césped antes de que se vacíe el tanque de gasolina? Redondea tu respuesta al décimo de hora más cercano.

Recuerda

En los problemas 3 a 6, suma o resta.

7. Se muestran las gráficas de varias relaciones proporcionales. Cada recta muestra la distancia en millas que se mueve un objeto en función del número de horas que está en movimiento.

a. Usa la gráfica e identifica cada relación que tenga una tasa unitaria menor que 1. Comenta la inclinación de las rectas en tu respuesta.

b. Identifica el punto de la gráfica que mejor demuestre la tasa unitaria de la relación representada por la recta ��. ¿Qué representa la tasa unitaria en este contexto?

312pulgadas

8. Considera el siguiente rectángulo. 1pulg3adas 4

a. Halla el área del rectángulo.

b. Halla el perímetro del rectángulo.

Problemas de razones de varios pasos, parte 1

Proporciones cómicas

1. Maya crea una tira cómica acerca de un superhéroe. El superhéroe está dibujado en diferentes tamaños y poses en distintas viñetas de la tira cómica. Sin embargo, Maya quiere que la razón de la longitud de la cabeza (desde la barbilla hasta la parte superior del pelo) a la longitud del cuerpo (desde los dedos de los pies hasta la parte inferior de la cabeza) sea constante en cada viñeta.

a. Completa la tabla. Determina el valor de la razón de la fila inferior y aplícalo a las otras dos filas para hallar las longitudes desconocidas.

Longitud de la cabeza, ca (centímetros)

Longitud del cuerpo, cu (centímetros)

Longitud total, t (centímetros)

b. ¿Cuál es el valor de la razón de la longitud de la cabeza del superhéroe a la longitud del cuerpo, y qué significa?

c. ¿Cuál es el valor de la razón de la longitud del cuerpo del superhéroe a la longitud total?

d. ¿Cuál es el valor de la razón de la longitud de la cabeza del superhéroe a la longitud total?

e. Escribe ecuaciones para al menos tres relaciones proporcionales diferentes usando los valores de las razones que has identificado en esta situación. Usa las variables que se muestran en la tabla.

La limonada especial de Lily

2. Lily prepara una bebida mezclando limonada y té helado. Usa 11 2 tazas de limonada por cada 4 tazas de té helado.

a. Completa la tabla. Limonada, l (tazas)

helado, t (tazas)

b

b. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número total de tazas de la bebida y el número de tazas de limonada.

c. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número total de tazas de la bebida y el número de tazas de té helado.

Nombre Fecha

So-hee mezcla pintura amarilla y pintura azul en función del volumen para formar pintura verde.

a. Completa la tabla de manera que cada fila represente la misma razón de volumen de pintura amarilla a pintura azul.

Pintura amarilla, am (onzas líquidas)

Pintura azul, az (onzas líquidas)

Pintura verde, v (onzas líquidas)

b. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el volumen de pintura verde en onzas líquidas y el volumen de pintura amarilla en onzas líquidas.

c. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el volumen de pintura verde en onzas líquidas y el volumen de pintura azul en onzas líquidas.

Problemas de razones de varios pasos, parte 1

En esta lección:

• escribimos razones y creamos tablas para representar situaciones en las que se combinan dos partes para formar un total;

• observamos que las situaciones parte-total se pueden describir mediante relaciones proporcionales;

• identificamos el valor de la razón de cada parte al total y de cada parte a la otra parte;

• usamos el valor de la razón para hallar el valor de las partes desconocidas y los totales.

Ejemplo

La tabla muestra las cantidades de azúcar y harina que se necesitan para hacer tandas de diferentes tamaños de una receta de galletas.

a. Completa la tabla.

Usa la relación multiplicativa entre las filas para hallar valores desconocidos. La cantidad de azúcar de la segunda tanda, 11 2 tazas, es el doble de la cantidad de azúcar de la primera tanda, 3 4 de taza.

Azúcar, a (tazas)

Harina, h (tazas)

Cantidad total de azúcar y harina, t (tazas)

Suma las tazas de azúcar y las de harina para hallar la cantidad total.

b. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad entre el número de tazas de harina y el número de tazas de azúcar? ¿Qué representa la constante de proporcionalidad?

La constante de proporcionalidad es el valor de la razón entre los dos ingredientes de la receta. Para hallar el valor de la fracción compleja, reescríbela usando fracciones mayores que 1 y divide.

c. Escribe una ecuación que relacione el número de tazas de harina con el número de tazas de azúcar.

Como la cantidad de harina es proporcional a la cantidad de azúcar, la ecuación es y = kx. La constante de proporcionalidad, k, representa el número de tazas de harina por 1 taza de azúcar.

1. La tabla muestra las cantidades de cacahuates y pasas que se usan para hacer un tipo específico de mezcla de refrigerios.

a. Completa la tabla. Pasas, p (tazas)

c (tazas)

b. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre el número de tazas de cacahuates y el número de tazas de pasas.

t

c. Escribe una ecuación que describa la relación proporcional entre la cantidad total de mezcla de refrigerios y el número de tazas de cacahuates.

2. La tabla muestra las cantidades de leche y harina que se necesitan para hacer una mezcla para galletas. Esos son los dos únicos ingredientes de la mezcla.

a. Completa la tabla.

b. Describe dos cantidades en esta situación que estén en una relación proporcional.

c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en la relación descrita en la parte (b) y qué representa?

d. Escribe una ecuación que relacione las dos cantidades.

Recuerda

En los problemas 3 a 6, suma o resta.

7. Sara sabe que 1 milla es aproximadamente equivalente a 1.61 kilómetros. Sea x el número de millas entre dos ciudades. Sea y el número de kilómetros en la misma distancia.

a. Escribe una ecuación que Sara podría usar para convertir las medidas en millas a kilómetros.

b. Usa la ecuación para convertir 15 millas a una medida equivalente en kilómetros.

8. ¿Cuáles de las siguientes figuras tienen un área de 20 centímetros cuadrados? Elige todas las opciones que correspondan.

Problemas de razones de varios pasos, parte 2

La pizza irracional

Un restaurante llamado La pizza irracional ofrece los ingredientes para pizza que se muestran en la lista.

a. Crea una receta para una pizza pequeña con la lista de ingredientes.

Tu receta debe:

• sumar exactamente 5 tazas de ingredientes;

• incluir al menos 3 ingredientes diferentes;

• incluir cantidades fraccionarias de al menos 2 ingredientes;

• incluir alguna cantidad de queso.

b. Una pizza grande lleva un total de 8 tazas de ingredientes. Calcula la cantidad de cada ingrediente que necesitas para preparar una pizza grande si las razones de los ingredientes son las mismas que en la receta que creaste para la pizza pequeña.

Ingredientes para pizza

Alcachofas

Pimientos verdes

Pimientos rojos

Hongos

Cebollas

Aceitunas

Piña

Espinaca

Albahaca

Pollo

Anchoas

Queso

c. Una pizza mediana lleva un total de 61 2 tazas de ingredientes. Calcula qué cantidad de cada ingrediente necesitarás para preparar una pizza mediana si las razones de los ingredientes son las mismas que en la receta que creaste para la pizza pequeña.

d. Alguien quiere pedir una pizza preparada con la receta que creaste para la pizza pequeña, pero pide 41 2 tazas de queso. Determina las cantidades de todos los demás ingredientes que tendrá la pizza si las razones de los ingredientes son las mismas que en tu receta. ¿Cuál será la cantidad total de ingredientes?

e. Se te acaba el queso y solo te queda 1 2 taza para una pizza. Determina las cantidades de todos los demás ingredientes que tendrá la pizza si mantienes iguales las razones de los ingredientes. ¿Cuál será la cantidad total de ingredientes?

Nombre

Una aleación es una mezcla. La tabla muestra el peso del cobre, el estaño y el zinc que se combinan para crear una aleación de bronce que se usa en la fabricación de monedas.

a. Completa la tabla.

Cobre, c (kilogramos) Estaño, e (kilogramos) Zinc, z (kilogramos)

b. Escribe una ecuación que relacione el peso del cobre en kilogramos con el peso del zinc en kilogramos.

c. Escribe una ecuación que relacione el peso de la aleación de bronce en kilogramos con el peso del estaño en kilogramos.

Problemas de razones de varios pasos, parte 2

En esta lección:

• exploramos las relaciones de razón parte-total que incluyen más de dos partes;

• observamos que la relación de cada parte con el total es proporcional, al igual que la relación entre las partes;

• elegimos un modelo para representar una relación proporcional y resolvimos problemas de razones de varios pasos.

Ejemplo

La receta de una tanda de ponche de frutas lleva los siguientes ingredientes: 12 onzas de jugo de arándanos rojos, 6 onzas de jugo de naranja y 8 onzas de agua carbonatada.

a. Completa la siguiente tabla para representar una tanda regular, una tanda doble y la mitad de una tanda del ponche.

Para completar la segunda fila, duplica todas las cantidades de la receta.

Para completar la tercera fila, divide todas las cantidades por la mitad.

Jugo de arándanos rojos, ar (onzas) Jugo de naranja, n (onzas) Agua carbonatada, ag (onzas)

Usa la información de las instrucciones para completar la primera fila. La cantidad total de ponche es la suma de todos los ingredientes.

b. Escribe ecuaciones que relacionen cada uno de los siguientes elementos:

Onzas de jugo de arándanos rojos ar con onzas de jugo de naranja n:

arn = 2 ©

La cantidad de jugo de arándanos rojos es el doble de la de jugo de naranja.

Onzas de agua carbonatada ag con onzas de jugo de arándanos rojos ar:

agar = 2 3

Total de onzas de ponche t con onzas de agua carbonatada ag:

tag = 13 4

Para hallar la constante de proporcionalidad, toma una cantidad de agua carbonatada y divídela entre la cantidad correspondiente de jugo de arándanos rojos.

16

24 2 3 =

Para hallar la constante de proporcionalidad, toma una cantidad de ponche y divídela entre la cantidad correspondiente de agua carbonatada.

c. Tienes una lata de 16 onzas de jugo de arándanos rojos. Si usas todos los demás ingredientes en las mismas razones que en una tanda regular, ¿cuántas onzas de ponche puedes preparar en total?

El valor de la razón del total de onzas de ponche a las onzas de jugo de arándanos rojos es 13 6 ; entonces, tar = 13 6 .

16 representa el número de onzas de jugo de arándanos rojos; entonces, se sustituye ar por 16 en la ecuación.

Puedes preparar un total de 342 3 onzas de ponche.

1. La receta de una tanda de ponche de frutas lleva los siguientes ingredientes: 12 onzas de limonada congelada, 12 onzas de jugo de naranja congelado, 48 onzas de jugo de piña y 34 onzas de agua carbonatada.

a. Completa la tabla para representar una tanda regular, una tanda doble y la mitad de una tanda del ponche de frutas.

Limonada congelada, l (onzas)

Jugo de naranja congelado, j (onzas)

Jugo de piña, p (onzas)

Agua carbonatada, a (onzas)

Cantidad total de ponche de frutas, t (onzas)

b. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas de jugo de piña p con el número de onzas de limonada congelada l

c. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas de agua carbonatada a con el número de onzas del jugo de piña p.

d. Escribe una ecuación que relacione el número de onzas del ponche de frutas t con el número de onzas del agua carbonatada a.

e. Tienes una lata de 16 onzas de jugo de piña. Si usas todos los demás ingredientes en las mismas razones que en una tanda regular, ¿cuántas onzas de ponche de frutas puedes preparar en total?

2. Una receta de lasaña lleva pasta de trigo, queso y salsa de tomate en las razones indicadas en la tabla.

a. Completa la tabla.

Pasta de trigo, p (tazas)

Queso, q (tazas)

Salsa de tomate, t (tazas)

b. Escribe una ecuación que relacione el total de tazas de lasaña con las tazas de pasta de trigo.

c. Imagina que usas 31 2 tazas de queso para hacer esta receta y usas cantidades proporcionales de los demás ingredientes. ¿Cabrá la lasaña en una fuente con capacidad para 12 tazas?

Recuerda

En los problemas 3 a 6, suma o resta.

7. Liam vende boletos para el musical de otoño. El precio de un boleto para el sábado por la noche es diferente del precio de un boleto para el domingo por la noche.

a. Liam vende 20 boletos para el sábado por la noche por un total de $305. ¿Cuál es el precio de cada boleto para el sábado por la noche?

b. El precio de cada boleto para el domingo por la noche es $14.75. ¿Cuántos boletos para el domingo por la noche vende Liam por un total de $309.75?

8. Elige todos los enunciados verdaderos sobre los lados del rectángulo.

A. El lado m es paralelo al lado s.

B. El lado x es paralelo al lado h.

C. El lado s es paralelo al lado x.

D. El lado s es perpendicular al lado h.

E. El lado h es perpendicular al lado x.

Eartha, el globo terráqueo más grande del mundo

¡Vaya! ¿No te hace sentir pequeña e insignificante?

¿Bromeas? Me hace sentir como una gigante del tamaño de California.

Situado en la ciudad de Yarmouth, Maine, el globo terráqueo giratorio más grande del mundo se llama Eartha y mide 41 pies de diámetro. Esto significa que 1 pulgada en el globo equivale aproximadamente a 16 millas en la Tierra. Visitar Eartha puede hacerte sentir muy pequeño.

O, si lo prefieres, muy grande.

¿Tienes una piedrita en el zapato? Es del tamaño del asteroide que mató a los dinosaurios.

Pon el meñique en algún lugar del globo. Acabas de dejar una huella más grande que Manhattan.

Si pensabas que Godzilla y King Kong eran grandes, piénsalo otra vez: son más pequeños que una de las células de la piel.

Uy, ¿se te cayó un pelo de la cabeza sobre Eartha? Para quienes viven ahí, ese pelo mide 200 pies de ancho y serpentea como un río a lo largo de decenas o cientos de millas.

¿Quieres derramar una lágrima de felicidad? Hazlo, pero mira bien dónde caerá. Aquí, cada lágrima es un Gran Lago Salado, como el de Utah, equivalente a tres días de precipitaciones promedio en la nación de la India.

Continúa. ¿Qué tamaño tienen las huellas de los pies y las manos? ¿Hay algún lago del tamaño correcto para ser una bebida refrescante? ¿Hay algún océano lo suficientemente grande para ser tu bañera? ¿Qué tan difícil (o fácil) sería escalar el Everest? El mundo está a tus pies. Literalmente.

Bicicletas extremas

Pregunta de enfoque:

Reflexiona sobre la lección.

1. Cuando usaron una relación proporcional para representar la situación de las bicicletas, ¿qué suposiciones hicieron?

2. ¿En qué se diferenciaba la situación de la bicicleta representada en clase de una relación proporcional?

3. Si tuvieran más tiempo para examinar otra pregunta relacionada con el video de las bicicletas, ¿qué pregunta considerarían? ¿Cuál sería su plan para determinar la respuesta?

Recuerda

En los problemas 4 a 7, suma o resta.

8. La tabla muestra una relación proporcional.

Completa la oración. Elige todas las opciones que correspondan.

La tabla representa una relación proporcional porque

A. cada razón B : A es equivalente.

B. hay una tasa unitaria constante.

C. la diferencia entre los valores de A es constante.

D. la diferencia entre los valores de B es constante.

9. Ethan lee alrededor de 180 palabras por minuto. Si un libro contiene cerca de 72,000 palabras, ¿aproximadamente cuántos minutos tardaría Ethan en leer todo el libro?

Dibujos a escala

Explorar dibujos a escala: Una ampliación

Explorar dibujos a escala: Una reducción

Aplicar la comprensión del factor de escala y de los dibujos a escala

¿Parece ser la figura 2 un dibujo a escala de la figura 1? Explica por qué.

Figura 1

Figura 2

Dibujos a escala

En esta lección:

• determinamos la correspondencia de uno a uno entre los puntos de figuras relacionadas;

• identificamos si un dibujo a escala es una ampliación o una reducción;

• aprendimos que la constante de proporcionalidad que relaciona las longitudes correspondientes en los dibujos a escala se denomina factor de escala.

Ejemplo

La figura D es un dibujo a escala de la figura C.

Figura C 30pulgadas

a. ¿Es la figura D una ampliación o una reducción de la figura C?

20 pulg ada s

Vocabulario

Un dibujo a escala es una copia de una figura en la que todas las distancias son proporcionales a las distancias correspondientes de la figura original.

En un dibujo a escala, la constante de proporcionalidad se denomina factor de escala

Figura D

10 pulg ada s 15pulgadas

La figura D es una reducción de la figura C.

¿Son los lados correspondientes del dibujo a escala más cortos o más largos que los lados de la figura original? Si los lados del dibujo a escala son más largos, este se considera una ampliación. Si los lados del dibujo a escala son más cortos, este se considera una reducción.

b. ¿Qué medida de la figura C se corresponde con la medida de 10 pulgadas de la figura D?

20 pulgadas

c. Determina el factor de escala que relaciona la figura D con la figura C.

Si sirve de ayuda, considera organizar los lados correspondientes en una tabla. Luego, divide una medida del dibujo a escala entre la medida correspondiente de la figura original para hallar el factor de escala. En este ejemplo, el cociente es 1 2 .

1. En cada par de figuras, indica si la segunda figura representa un dibujo a escala de la primera figura. Explica tu respuesta. a.

2. ¿Es la figura B una ampliación o una reducción de la figura A?

Figura AFigura B

3. En los siguientes retratos familiares, la figura N es un dibujo a escala de la figura M.

11in

7in 5.5in

Figura M

14in

Figura N

a. ¿Es la figura N una ampliación o una reducción de la figura M?

b. ¿Qué medida de la figura M se corresponde con la medida de 11 pulgadas de la figura N?

c. Determina el factor de escala que relaciona el dibujo a escala, figura N, con la figura M.

4. En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC.

a. ¿Es el △DEF una ampliación o una reducción del △ABC?

b. ¿Cuál es la longitud del lado del △DEF que se corresponde con el lado AB en el △ABC?

c. Determina el factor de escala que relaciona el △DEF con el △ABC.

5. El rectángulo EFGH es un dibujo a escala del rectángulo ABCD. Determina el factor de escala e indica si se trata de una ampliación o de una reducción.

6. ¿Es el △XYZ un dibujo a escala del △RST? Explica cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 7 a 10, suma.

11. Maya mezcla cemento, arena y piedra para ayudar a su madre a construir un patio de concreto.

a. Completa la tabla para mostrar la relación proporcional entre los números de pies cúbicos de cemento, arena, piedra y la mezcla de Maya.

Cemento (pies cúbicos)

Arena (pies cúbicos)

Piedra (pies cúbicos)

Mezcla de Maya (pies cúbicos)

b. Escribe una ecuación que represente la relación proporcional entre el volumen de arena a y el volumen de la mezcla de Maya m.

12. ¿Cuáles de las siguientes expresiones tienen productos mayores que el segundo factor? Elige todas las opciones que correspondan.

Usar un factor de escala

En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC.

Las medidas de las longitudes de los lados correspondientes del △ABC y del △DEF se muestran en la tabla.

1. Determina el factor de escala que relaciona el △DEF con el △ABC.

¡A dibujar!

2. Crea un dibujo a escala de la figura geométrica usando un factor de escala de 2 3

Figura original (unidades)

Dibujo a escala (unidades)

Representar longitudes en tablas

3. Debe realizarse un dibujo a escala del triángulo que se muestra usando un factor de escala de 1.5. Determina las medidas correspondientes del dibujo a escala y regístralas en la tabla.

Todas las medidas se muestran en centímetros.

Figura original (centímetros)

Dibujo a escala (centímetros)

El razonamiento de Henry

4. La maestra de Henry le dice que la figura B es un dibujo a escala de la figura A. Le pregunta qué factor de escala relaciona la figura B con la figura A. Él responde que el factor de escala es 2. ¿Está Henry en lo correcto? Explica.

Figura original (pulgadas)

Dibujo a escala (pulgadas)

Lily mira el dibujo a escala que se muestra. Observa que la figura original mide aproximadamente la mitad del ancho y la mitad de la altura del dibujo a escala. Por esta razón, dice que el factor de escala es aproximadamente 1 2 .

¿Estás o no estás de acuerdo con Lily? Explica tu respuesta.

Figura original

Dibujo a escala

Usar un factor de escala

En esta lección:

• determinamos qué factor de escala da lugar a ampliaciones;

• determinamos qué factor de escala da lugar a reducciones;

• determinamos qué factor de escala da lugar a figuras idénticas;

• usamos un factor de escala para crear dibujos a escala.

Ejemplo

Crea un dibujo a escala de la figura que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 3.

Para hallar las longitudes de los lados del dibujo a escala, multiplica la longitud de cada lado de la figura original por el factor de escala de 3

Si sirve de ayuda, considera la posibilidad de organizar las longitudes de los lados en una tabla.

Figura original Dibujo a escala 1

1. La figura B es un dibujo a escala de la figura A. Estima el factor de escala que relaciona la figura B con la figura A. Explica tu estimación.

2. La figura B es un dibujo a escala de la figura A. Estima el factor de escala que relaciona la figura B con la figura A. Explica tu estimación.

Figura AFigura B

Figura AFigura B

3. Da un ejemplo de un factor de escala que dé lugar a una ampliación. Explica por qué elegiste ese factor de escala.

4. Da un ejemplo de un factor de escala que dé lugar a una reducción. Explica por qué elegiste ese factor de escala.

5. Da un ejemplo de un factor de escala que dé lugar a un dibujo a escala idéntico. Explica por qué elegiste ese factor de escala.

6. Crea un dibujo a escala de la figura que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 13 4 .

7. Crea un dibujo a escala de la figura que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 1 2 .

8. Crea un dibujo a escala del velero que se muestra en la cuadrícula. Usa un factor de escala de 2.

Recuerda

En los problemas 9 a 12, suma.

13. La tabla muestra una relación proporcional entre el número de tazas de agua y el número de huevos en una receta de pastel amarillo.

Escribe una ecuación que represente la relación entre el número de huevos h y el número de tazas de agua a que se usan en la receta del pastel.

14. ¿Cuál de las siguientes opciones se representa mejor con un número negativo? Elige todas las opciones que correspondan.

A. una temperatura por debajo de 0 °C

B. un depósito en una cuenta bancaria

C. monedas de oro enterradas a 50 pies bajo el nivel del mar

D. la altura de una montaña

E. una temperatura de 0 °F

Hallar distancias reales a partir de un dibujo a escala

1. En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC.

a. ¿Es el △DEF una ampliación o una reducción del △ABC? Explica cómo lo sabes.

b. Determina el factor de escala y úsalo para calcular la longitud del lado DE .

Las medidas desconocidas de Shawn

2. Shawn creó un pentágono y un dibujo a escala del pentágono.

a. Escribe una ecuación que relacione las longitudes de los lados del dibujo a escala con las longitudes de los lados de la figura original. Sea y la longitud de un lado del dibujo a escala y sea x la longitud del lado correspondiente de la figura original.

b. Completa la tabla usando la ecuación de la parte (a).

Figura

Más longitudes de lado desconocidas

3. El pentágono FGHIJ es un dibujo a escala del pentágono ABCDE.

a. Usa la tabla para registrar las longitudes de los lados correspondientes.

Figura original (unidades)

Dibujo a escala (unidades)

b. Escribe una ecuación que relacione las longitudes de los lados del dibujo a escala con las longitudes de los lados de la figura original. Define las variables.

c. Determina la longitud del lado HI

d. Determina la longitud del lado DE .

Figura original: Medidas desconocidas

4. El polígono PQRSTU es un dibujo a escala del polígono ABCDEF. Determina la longitud del lado AB.

Ethan pinta dos tablas de surf en la pared de un edificio. Pinta una tabla de surf pequeña como el dibujo a escala de una tabla de surf grande, usando un factor de escala de 1 16 . La tabla de surf pequeña tiene una longitud de 61 8 pulgadas.

¿Cuál es la longitud de la tabla de surf grande?

Hallar distancias reales a partir de un dibujo a escala

En esta lección:

• usamos factores de escala para desarrollar ecuaciones que relacionen dibujos a escala con sus figuras originales;

• determinamos longitudes de lado desconocidas de dibujos a escala;

• determinamos longitudes de lado desconocidas de figuras originales;

• observamos que el factor de escala que relaciona un dibujo a escala con su figura original es el recíproco del factor de escala que relaciona su figura original con el dibujo a escala.

Ejemplo

La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1.

a. Determina el factor de escala.

El factor de escala es 1.5.

b. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Sea s la longitud de un lado del dibujo a escala y r la longitud del lado correspondiente de la figura original.

s = 1.5r

Se puede usar cualquier par de longitudes de lado correspondientes para determinar el factor de escala. En este ejemplo, se usan 4.5 y 3, pero también se podrían usar 6 y 4 porque 6 4 15 = .

Al desarrollar la ecuación, recuerda que el factor de escala se multiplica por la longitud del lado r en la figura original. El producto es la longitud s del lado correspondiente del dibujo a escala.

c. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida del dibujo a escala que se corresponde con la longitud de uno de los lados de la figura original de 1 unidad.

sr = = = 15

151 15 .()

La longitud del lado desconocida del dibujo a escala es 1.5 unidades.

d. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida de la figura original que se corresponde con la longitud del lado del dibujo a escala de 3 unidades.

La longitud del lado desconocida de la figura original es 2 unidades.

1. Usa el diagrama para responder las partes (a) a (c).

a. ¿Es el dibujo a escala A una ampliación o una reducción de la figura original?

b. ¿Cuál es el factor de escala que relaciona el dibujo a escala A con la figura original?

c. ¿Es el dibujo a escala B una ampliación o una reducción de la figura original?

d. ¿Cuál es el factor de escala que relaciona el dibujo a escala B con la figura original?

e. Escribe una ecuación que relacione las longitudes del dibujo a escala B con las longitudes del dibujo a escala A. Sea b una longitud del dibujo a escala B y a la longitud correspondiente del dibujo a escala A.

FiguraDibujoaescalaB originalDibujoa escalaA

2. En el siguiente par de imágenes, el △JKL es un dibujo a escala del △ABC.

a. Determina el factor de escala.

b. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Sea f una longitud de la figura original y sea d la longitud correspondiente del dibujo a escala.

c. Usa la ecuación para hallar la longitud del JL .

3. En el siguiente par de figuras, la figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1.

a. Determina el factor de escala.

b. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala con la figura original. Sea a una longitud de la figura original y sea b la longitud correspondiente del dibujo a escala.

c. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida en el dibujo a escala que se corresponde con la longitud del lado de 5 unidades en la figura original.

d. Usa la ecuación para hallar la longitud del lado desconocida en la figura original que se corresponde con la longitud del lado de 0.25 en el dibujo a escala.

4. Liam crea este dibujo a escala de un afiche que se exhibe en su escuela. Usa un factor de escala de 1 3 .

a. Escribe una ecuación que relacione el dibujo a escala de Liam con el afiche original. Sea a una longitud del afiche original y sea b la longitud correspondiente del dibujo a escala de Liam.

b. En la cuadrícula, cada unidad representa 1 centímetro. Usa el dibujo a escala de la cuadrícula y la ecuación de la parte (a) para hallar las longitudes correspondientes h, t y w del afiche original.

Recuerda

En los problemas 5 a 8, suma.

9. Relaciona cada gráfica con su ecuación correspondiente. En cada recuadro, escribe una de las ecuaciones de las opciones de respuesta.

10. Marca cada número y su opuesto en la recta numérica proporcionada.

Relacionar las áreas de dibujos a escala

1. Crea un dibujo a escala del triángulo usando un factor de escala de 3.

Dibujar cuadrados a escala

En los problemas 2 a 7, usa los factores de escala proporcionados para crear un dibujo a escala de cada figura original. Luego, calcula el área de la figura original y del dibujo a escala.

Problema Figura original Factor de escala Dibujo a escala

Área de la figura original Área del dibujo a escala

Problema Figura original

Factor de escala Dibujo a escala

Área de la figura original Área del dibujo a escala

8. Escribe una conjetura, o una suposición fundamentada, que describa la relación entre el área de una figura original y el área de un dibujo a escala.

En los problemas 9 a 12, usa la conjetura que escribiste en el problema 8 para hallar el área de los siguientes dibujos a escala sin crearlos.

Problema Figura original

Factor de escala

Área de la figura original Área del dibujo a escala

Problema Figura original Factor de escala Área de la figura original Área del dibujo a escala

13. ¿Crees que tu conjetura será verdadera para figuras a escala que no sean cuadrados? Explica tu razonamiento.

Dibujar

un rectángulo a escala

14. Considera el rectángulo. 3 2

a. ¿Cuál es el área del rectángulo?

b. Supón que la conjetura que generaste para los cuadrados también funciona para los rectángulos. ¿Cuál debe ser el área de un dibujo a escala si se crea usando un factor de escala de 1 2 ?

c. Crea un dibujo a escala usando un factor de escala de 1 2 . Halla el área del dibujo a escala. ¿Confirma el área que hallaste que tu conjetura funciona para los rectángulos?

Regresar al problema de los triángulos

15. Considera los triángulos del problema 1.

a. ¿Se relacionan de la misma manera el área de los triángulos a escala y el área de los cuadrados y rectángulos a escala? Explica.

b. Supón que estos dos triángulos tienen un área de 5 unidades cuadradas y 80 unidades cuadradas. Determina el factor de escala que ampliaría el triángulo más pequeño al triángulo más grande.

Los dibujos a escala A y B se hicieron a partir del mismo dibujo original. Aquí se muestra el dibujo a escala A. Por cada 1 pulgada en el dibujo a escala A, el dibujo a escala B (no mostrado) muestra una longitud de 12 pulgadas.

a. ¿Qué factor de escala relaciona el dibujo a escala B con el dibujo a escala A?

b. Describe cómo se usa el factor de escala para determinar el área de la cocina en el dibujo a escala B.

c. ¿Cuál es el área de la cocina en el dibujo a escala B?

Nombre

Relacionar las áreas de dibujos a escala

En esta lección:

Fecha

• observamos patrones en áreas de dibujos a escala de figuras que incluyen cuadrados, rectángulos y triángulos;

• determinamos que el área de un dibujo a escala creado con un factor de escala r es r2 multiplicado por el área de la figura original;

• usamos áreas de dibujos a escala para determinar el factor de escala.

Ejemplos

1. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 9 unidades cuadradas y el factor de escala es 8. ¿Cuál es el área de la figura 2? Explica cómo lo sabes.

Figura 1

Cuando un factor de escala r relaciona las longitudes de los lados, el factor que relaciona las áreas es r2

Figura 2

Como el factor de escala es 8, el factor que relaciona las áreas de las figuras es 82, o 64. El área de la figura 2 es 576 unidades cuadradas porque 9 ⋅ 64 = 576.

Eleva el factor de escala al cuadrado para determinar el factor que relaciona las áreas. Luego, multiplica el área de la figura original por este factor para hallar el área del dibujo a escala.

2. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. La figura 1 tiene un área de 16 unidades cuadradas. La figura 2 tiene un área de 256 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala relaciona la figura 2 con la figura 1? Explica cómo lo sabes.

Determina el factor que relaciona sus áreas.

2

1

Dado que la figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1, halla el valor de la razón para hallar el factor que relaciona las áreas: 2 1 áreadelafigura

áreadelafigura

El factor que relaciona las áreas de las figuras es 16. El factor de escala 4 relaciona las longitudes de los lados porque 42= 16

Para hallar el factor de escala, determina qué valor multiplicado por sí mismo es igual a 16.

Figura

Figura

1. En las figuras que se muestran, el △DEF es un dibujo a escala del △ABC. Todas las longitudes que se muestran se expresan en centímetros.

a. Determina el factor de escala para confirmar que el △DEF es un dibujo a escala del △ ABC.

b. Calcula las áreas del △ ABC y el △DEF.

c. ¿Qué factor debes aplicar al área del △ABC para hallar el área del △DEF? ¿Cómo se relacionan el área del △DEF y el área del △ABC? ¿Cómo se compara esta relación con el factor de escala?

2. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. La figura 1 tiene un área de 6 unidades cuadradas y la figura 2, de 294 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala relaciona la figura 2 con la figura 1? Explica cómo lo sabes.

Figura 1

Figura 2

3. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 15 unidades cuadradas, y el factor de escala es 5. ¿Cuál es el área de la figura 2? Explica cómo lo sabes.

2

1

Figura

Figura

4. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. La figura 1 tiene un área de 8 unidades cuadradas y la figura 2, de 200 unidades cuadradas. ¿Qué factor de escala relaciona la figura 2 con la figura 1? Explica cómo lo sabes.

5. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 20 unidades cuadradas y el factor de escala que relaciona la figura 2 con la figura 1 es 3. ¿Cuál es el área de la figura 2? Explica cómo lo sabes.

Figura 1

Figura 2

Figura 1

Figura 2

6. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1. El área de la figura 1 es 80 unidades cuadradas y el factor de escala que relaciona la figura 2 con la figura 1 es 1 2 . ¿Cuál es el área de la figura 2?

Explica cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 7 a 9, suma.

Figura 1

Figura 2

10. Ava mira el dibujo a escala que se muestra. Observa que el dibujo a escala tiene aproximadamente la mitad del ancho y la mitad de la altura de la figura original. Por esta razón, dice que el factor de escala es aproximadamente 1 2

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con el razonamiento de Ava? Explica tu respuesta.

Figura original

11. Evalúa 2x2 + 2x − 16 cuando x = 3

Dibujo a escala

Escala y factor de escala

1. Considera el mapa.

a. Describe con tus palabras lo que muestra el mapa.

b. ¿Qué está más cerca de la casa: el restaurante o la cafetería? ¿Cómo lo sabes?

c. ¿Puedes determinar la distancia de la casa a la cafetería a partir de la información que se ofrece en el mapa?

¿Qué escala?

2. Considera las siguientes figuras, que representan la palabra escala. ¿Cuál se relaciona mejor con el trabajo del módulo? ¿Por qué? ¿Qué muestra la figura? Representación

Representación de la escala

E.

Representación de la escala

REINOUNIDO

OCÉANO ATLÁNTICO

ALEMANIA BÉLGICA

FRANCIA PARÍS

ESPAÑA

ITALIA SUIZA

1centímetrorepresenta100millas

Crear una escala apropiada

3. En este mapa, el factor de escala es 63,360.

a. ¿Cuál es la distancia real en pulgadas que se corresponde con una distancia de 1 pulgada en el mapa?

b. ¿Cuál es la distancia real en pulgadas que se corresponde con una distancia de 2.5 pulgadas en el mapa?

c. ¿Qué unidad de medida podría ser más adecuada que las pulgadas para representar las distancias reales? Usa esta unidad de medida para determinar una escala.

d. La distancia entre el hospital y el estacionamiento en el mapa de la ciudad es 3 pulgadas. Usa tu escala para hallar la distancia real.

Identificar la escala

4. Considera la escala del mapa de Hawái. Explica qué significa la escala en su contexto. Tu respuesta debe incluir lo que representa 1 pulgada en el mapa en términos de distancia real.

Crear una valla publicitaria

5. Una constructora anuncia un nuevo desarrollo de viviendas. Quiere ampliar este plano de planta para que quepa en una valla publicitaria. La valla publicitaria mide 18 pies de alto y 48 pies de largo. Usa tus conocimientos sobre la escala y el factor de escala para dar instrucciones sobre cómo ampliar el plano de planta. Tu respuesta final debe tener en cuenta características de diseño como el área total del plano de planta ampliado y el espacio necesario para incluir otra información en la valla publicitaria.

Cocina/ Comedor

Saladeestar

Cuar LaPasillotodebaño vadero

ClósetClóset

6in

Dormitorio1

Dormitorio2

3in

En un mapa de un parque estatal, 1 pulgada representa 2,000 pies. El Pico Thomas y el Pico Simmons están a 81 4 pulgadas de distancia en el mapa. ¿Cuál es la distancia real en millas entre el Pico Thomas y el Pico Simmons? (1 milla = 5,280 pies)

Escala y factor de escala

En esta lección:

• creamos una escala más adecuada para representar un dibujo a escala;

• interpretamos el significado de una escala en su contexto;

• usamos una escala para hallar medidas desconocidas;

• desarrollamos una escala para completar una actividad para representar.

Ejemplos

1. Considera la escala dada.

a. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 1 pulgada en el mapa? 884 32

La distancia real es 32 millas.

b. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 5 4 pulgadas en el mapa? 5

real es 40 millas.

Vocabulario

La escala muestra la relación entre las distancias en un dibujo a escala y las distancias en la configuración original. Una escala también permite usar distintas unidades de medida.

Esta escala es como una recta numérica doble. Esto significa que 1 4 de pulgada en el mapa representa 8 millas de distancia real.

También es correcto usar 1 2 pulgada y 16 millas de la escala.

16162

÷=

Dado que 1 pulgada representa 32 millas, se puede usar esta escala para hallar otras distancias desconocidas.

En los problemas 2 y 3, determina el factor de escala que se corresponde con la escala.

2. 1 pie representa 20 millas.

20(5,280) = 105,600

El factor de escala es 105,600.

Este factor de escala significa que 1 pie en la escala representa 105,600 pies reales.

3. 1 centímetro representa 8 metros.

8(100) = 800

El factor de escala es 800.

Para hallar el factor de escala, compara los valores con la misma unidad de medida.

Para determinar el número de pies que hay en 20 millas, multiplica el número de millas, 20, por el número de pies que hay en 1 milla, 5,280

12 pulgadas = 1 pie 5,280 pies = 1 milla 30.48 centímetros = 1 pie 100 centímetros = 1 metro

1. En este mapa, el factor de escala es 126,720.

a. ¿Cuál es la distancia real en pulgadas que se corresponde con una distancia de 1 pulgada en el mapa?

b. ¿Qué unidad de medida podría ser más adecuada que las pulgadas para representar las distancias reales? Usa esta unidad de medida para determinar una escala.

c. En el mapa, la distancia entre el hospital y la estación de gasolina es 4 pulgadas. Usa la escala que determinaste en la parte (b) para hallar la distancia real.

Cocina/ Comedor Saladeestar

2. Un constructor quiere reducir este dibujo del plano de planta para que quepa en un folleto con otros diseños. El constructor crea una escala en la que 1 pulgada en el dibujo del plano de planta original representa 0.5 pulgadas en el plano reducido. 3in 6in

Dormitorio1

Dormitorio2 Cuar LaPasillotodebaño vadero

ClósetClóset

a. ¿Cuáles son las longitudes en el dibujo del plano de planta reducido?

b. ¿Qué factor de escala reduce el dibujo del plano de planta original al dibujo del plano de planta reducido?

a. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 1 centímetro en el mapa?

b. ¿Cuál es la distancia real que se corresponde con una distancia de 1.5 centímetros en el mapa?

3. Considera la escala del mapa de Italia.

En los problemas 4 a 6, determina el factor de escala que se corresponde con la escala.

4. 1 pulgada representa 10 pies.

5. 1 milímetro representa 4 metros.

6. 1 pie representa 10 millas.

Recuerda

En los problemas 7 a 9, suma.

10. ¿Parece ser la figura B un dibujo a escala de la figura A? Explica tu razonamiento.

Figura A

11. Evalúa 2(3x + 5) + 4x + 5 cuando x = 3.

Figura B

Crear varios dibujos a escala

Dibujar a escala dibujos a escala

1. Usa el primer factor de escala para construir un dibujo a escala de la figura 1 y rotúlalo figura 2. Luego, usa el segundo factor de escala para construir un dibujo a escala de la figura 2 y rotúlalo figura 3.

a. Primer factor de escala: 1 3 ; segundo factor de escala: 4

Figura

Figura 1

2. En el problema asignado, compara la figura original (figura 1) con el segundo dibujo a escala (figura 3). ¿Parece el segundo dibujo a escala un dibujo a escala de la figura original? Justifica tu razonamiento. De ser así, ¿qué factor de escala relaciona las dos figuras?

3. Con tu grupo, predigan el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1 en cada una de las partes restantes del problema 1. Luego, usen los factores de escala asignados para completar cada dibujo a escala y comprobar la exactitud de su predicción. Prepárense para compartir cómo hicieron las predicciones sobre el factor de escala que hace que la figura 3 se corresponda con la figura 1.

Relacionar dibujos a escala

4. La figura 2 es una reducción de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 3 4 .

La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 1 2

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3?

c. Escribe una ecuación que represente la relación entre las longitudes de los lados de la figura 3 y la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3, y x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

Figura 1

Figura 2

Figura 3

d. Las figuras que se muestran son pentágonos regulares, lo que significa que cada pentágono tiene cinco lados de la misma longitud. Si la longitud de un lado de la figura 1 es 40 unidades, ¿cuál es la longitud del lado correspondiente de la figura 3?

La figura 2 es una ampliación de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1.2. La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 0.4.

2

1

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3?

3

c. Escribe una ecuación que represente la relación entre las longitudes de los lados de la figura 3 y la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3, y x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

Figura

Figura

Figura

Crear varios dibujos a escala

En esta lección:

• creamos un dibujo a escala de una figura que ya era un dibujo a escala;

• determinamos que el factor de escala que relaciona la figura original con el segundo dibujo a escala se puede hallar al multiplicar los factores de escala;

• escribimos ecuaciones para representar la relación entre las longitudes de los lados de un segundo dibujo a escala con las longitudes de los lados de la figura original;

• usamos ecuaciones para hallar longitudes de lado desconocidas.

Ejemplo

La figura 2 es una reducción de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1 2 . La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 1 3

3

1

2

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

Sí. La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 1, ya que ambas son proporcionales a la figura 2.

Figura

Figura

Figura

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3?

⋅=

El factor de escala que reduce la figura 1 a la figura 3 es 1 6 .

c. ¿Qué factor de escala amplía la figura 3 hasta la figura 1?

=

El factor de escala que amplía la figura 3 hasta la figura 1 es 6.

d. Escribe una ecuación que pueda usarse para hallar cualquier longitud de la figura 3, dada una longitud correspondiente de la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3, y x la longitud del lado correspondiente de la figura 1. yx = 1 6

Para hallar el factor de escala combinado que lleva la figura original al segundo dibujo a escala, se deben multiplicar los dos factores de escala.

El factor de escala que amplía la figura 3 hasta la figura 1 es el recíproco del factor de escala que reduce la figura 1 a la figura 3. Dado que los dibujos a escala son ejemplos de relaciones proporcionales, escribe ecuaciones de la misma forma, y = kx, donde el factor de escala es la constante de proporcionalidad k.

e. Supón que la longitud de un lado de la figura 1 es 9 unidades. ¿Cuál es la longitud del lado correspondiente de la figura 3?

Para hallar la longitud del lado de la figura 3, evalúa la ecuación cuando x = 9.

La longitud del lado correspondiente de la figura 3 es 3 2 unidades.

1. El cuadrilátero EFGH es un dibujo a escala de una figura original. El factor de escala entre la figura original y el dibujo a escala es 2 3 .

a. Crea un dibujo a escala del cuadrilátero EFGH usando un factor de escala de 1 2 . Rotula este dibujo cuadrilátero WXYZ.

b. Traza la figura original. Rotula el cuadrilátero resultante ABCD

c. ¿Cuál es el factor de escala entre la figura original, el cuadrilátero ABCD y el cuadrilátero WXYZ?

2. La figura 2 es una reducción de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1 4 .

La figura 3 es una reducción de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 1 5

a. ¿Es la figura 3 un dibujo a escala de la figura 1?

b. ¿Qué factor de escala reduce la figura 1 a la figura 3?

c. ¿Qué factor de escala amplía la figura 3 hasta la figura 1?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

d. Escribe una ecuación que podría usarse para hallar cualquier longitud de lado de la figura 3, dada una longitud de lado correspondiente de la figura 1. Sea y la longitud de un lado de la figura 3 y sea x la longitud del lado correspondiente de la figura 1.

e. Si la longitud de un lado de la figura 1 es 8 unidades, ¿cuál es la longitud del lado correspondiente de la figura 3?

3. La figura 2 es un dibujo a escala de la figura 1 y se creó usando un factor de escala de 1.7

La figura 3 es un dibujo a escala de la figura 2 y se creó usando un factor de escala de 0.6

a. ¿Qué factor de escala se usa para relacionar las longitudes de los lados de la figura 1 con las longitudes de los lados de la figura 3?

b. ¿Es la figura 3 una ampliación o una reducción de la figura 1?

Figura 1

Figura 2

Figura 3

4. Considera la figura 1.

Figura 1

a. Crea un dibujo a escala de la figura 1 usando un factor de escala de 1.5. Rotúlalo figura 2.

b. Crea un dibujo a escala de la figura 1 usando un factor de escala de 0.5. Rotúlalo figura 3.

c. ¿Qué factor de escala reduce la figura 2 a la figura 3?

d. Halla el área de la figura 2.

e. Usa el factor de escala que generaste en la parte (c) para hallar el área de la figura 3.

Recuerda

En los problemas 5 a 8, resta.

9. Dylan usa una escala en la que 1 pulgada representa 65 pies para hacer un modelo de rascacielos.

¿Cuál es la altura del rascacielos real si la altura del modelo es 171 2 pulgadas?

10. Estima la suma. Luego, usa el algoritmo estándar para hallar la suma.

8.39 + 6.4 + 5.74

En los problemas 1 a 3, determina la tasa unitaria correspondiente a la situación.

1. Un auto recorre 105 millas en 3 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de millas por hora?

2. Maya compra 6 limas por $1.50. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de dólares por lima?

3. Pedro recibe 10 mensajes de texto en 21 2 horas. ¿Cuál es la tasa unitaria asociada con la tasa de mensajes de texto por hora?

4. Liam hace pintura verde al mezclar 3 galones de pintura amarilla con 2 galones de pintura azul. Le gusta el tono de pintura verde que hace y quiere hacer más usando la misma razón. Completa la tabla para mostrar la relación entre el número de galones de pintura amarilla y el número de galones de pintura azul.

5. Ethan recorre 150 millas en 3 horas. Si continúa manejando a una tasa constante, ¿cuántas horas le tomará a Ethan recorrer 600 millas?

6. La maestra Kondo prepara bolsitas de materiales escolares para sus estudiantes. Tiene 36 lápices y 48 borradores, y quiere colocarlos todos en las bolsitas.

a. ¿Cuál es el mayor número de bolsitas que la maestra Kondo puede preparar si quiere que cada bolsita contenga el mismo número de lápices y el mismo número de borradores?

b. ¿Cuántos lápices y borradores habrá en cada bolsita?

7. Considera la ecuación dada. 4

a. Completa los recuadros para hacer una oración numérica verdadera.

b. Halla la suma de 4 5 y 3 10 . Elige todas las opciones que correspondan.

9. Usa el algoritmo estándar para hallar la suma. 4.073 + 8.607 + 2.46

En los problemas 10 a 12, escribe la expresión de división dada como una expresión equivalente con un número entero como divisor.

Ordena los valores de menor a mayor.

1. Evalúa (2.1)3

A. 4.41

B. 6.3

C. 8.001

D. 9.261

2. ¿Qué expresiones representan el doble del producto de 3 y g? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2 + 3 + g

B. (3g) ⋅ 2

C. 2(3 + g)

D. 2 + 3g

E. 2(3g)

3. Evalúa 4x3 + 6 − 16 cuando x = 2

4. En la figura, se muestran las medidas de un piso rectangular.

a. Halla el área del piso.

b. Halla el perímetro del piso.

5. Halla el área del triángulo.

6. Dos vértices de un rectángulo se ubican en (−2, −9) y (3, −9). El área del rectángulo es 100 unidades cuadradas. Indica un conjunto de posibles coordenadas para los otros dos vértices. Usa el plano de coordenadas según sea necesario.

7. Usa la figura que se muestra para completar las partes (a) a (f).

a. Indica una recta.

c. Indica un segmento de recta.

e. Indica un ángulo obtuso.

b. Indica una semirrecta.

d. Indica un ángulo agudo.

f. Indica un par de segmentos de recta paralelos.

En los problemas 8 a 10, determina si la distribución de datos es aproximadamente simétrica o si está sesgada. Describe la forma de la distribución de datos.

0369121518

Edad de los pacientes

Frecuencia

Edad (años)

Número de puntos

Práctica veloz

Encierra en un círculo la fracción equivalente.

BNúmero de respuestas correctas:

Práctica veloz

Completa los espacios en blanco para crear razones equivalentes. 1.

ANúmero de respuestas correctas:

Completa los espacios en blanco para crear razones equivalentes.

BNúmero de respuestas correctas:

Progreso:

Completa los espacios en blanco para crear razones equivalentes.

Práctica veloz

Halla el máximo común divisor (MCD).

1. El MCD de 2 y 8

2. El MCD de 6 y 15

Práctica veloz

Halla el valor de p en cada ecuación.

1. 2p = 8

Créditos

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Cover, Game of Hounds and Jackals. Egyptian; Thebes, Lower Asasif, Birabi. Middle Kingdom, reign of Amenemhat IV, ca. 1814–1805 BCE. Ebony, ivory. Board: h. 6.3 cm (2 1/2 in); w. 15.2 cm (6 in).

Purchase, Edward S. Harkness Gift, 1926 (26.7.1287a-k). The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, U.S.A. Image copyright © The Metropolitan Museum of Art. Image source: Art Resource, NY.; page 260, Vladimirkarp/Shutterstock.com; page 277, ThanasStudio/Shutterstock.com; All other images are the property of Great Minds.

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© Great Minds PBC

Agradecimientos

Tiah Alphonso, Christopher Barbee, Erik Brandon, Joseph Phillip Brennan, Beth Brown, Leah Childers, Mary Christensen-Cooper, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Dane Ehlert, Scott Farrar, Kelli Ferko, Levi Fletcher, Anita Geevarghese, David Gertler, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Julie Grove, Marvin E. Harrell, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, David Kantor Choukalas, Emily Koesters, Liz Krisher, Connie Laughlin, Alonso Llerena, Sarah Maile, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Melissa Mink, Richard Monke, Dave Morris, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Ben Orlin, Darion Pack, Brian Petras, April Picard, Lora Podgorny, Ben Polovick, Amy Rome, Bonnie Sanders, Aly Schooley, Andrew Senkowski, Erika Silva, Jessica Sims, Ashley Spencer, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, Heidi Strate, James Tanton, Cody Waters, Valerie Weage

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan, Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Antonia López, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero, Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh, Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

Herramienta para la conversación

Compartir tu razonamiento

Estar de acuerdo o en desacuerdo

Preguntar sobre el razonamiento

Sé que...

Lo hice de esta forma porque...

La respuesta es porque...

En mi dibujo, se ve...

Estoy de acuerdo porque...

Eso es verdadero porque...

No estoy de acuerdo porque...

Eso no es verdadero porque...

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con ? ¿Por qué?

¿Por qué has...?

¿Puedes explicar...?

¿Qué podemos hacer primero?

¿Cómo se relacionan y ?

Decirlo otra vez

Te escuché decir que... dijo que...

Otra manera de decir lo mismo es...

¿Qué significa eso?

Herramienta para el razonamiento

Cuando resuelvo un problema o hago una tarea, me pregunto...

Antes ¿He hecho algo parecido a esto antes?

¿Qué estrategia voy a usar?

¿Necesito alguna herramienta?

Durante ¿Está funcionando mi estrategia?

¿Debería intentarlo de otra manera?

¿Tiene sentido esto?

Después

¿Qué funcionó bien?

¿Qué haría de otra manera la próxima vez?

Al final de cada clase, me pregunto...

¿Qué aprendí?

¿Sobre qué tengo dudas?

9

LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODAS PARTES

¿Quieres comparar qué tan rápido corren tú y tus amigos y amigas?

¿Quieres estimar cuántas abejas hay en un panal?

¿Quieres calcular tu promedio de bateo?

Las matemáticas están detrás de muchas cosas maravillosas, de muchos acertijos y de muchos planes de la vida.

Desde tiempos remotos y hasta nuestros días, hemos usado las matemáticas para construir pirámides, para navegar los mares, para construir rascacielos, ¡y hasta para enviar naves espaciales a Marte!

Con tu curiosidad para comprender el mundo como combustible, las matemáticas te impulsarán en cualquier camino que elijas.

¿Todo listo para arrancar?

Módulo 1

Razones y relaciones proporcionales

Módulo 2

Operaciones con números racionales

Módulo 3

Expresiones, ecuaciones y desigualdades

Módulo 4

Geometría

Módulo 5

Porcentaje y sus aplicaciones

Módulo 6

Probabilidad y poblaciones

¿Qué tiene que ver este objeto con las matemáticas?

El antiguo juego egipcio Perros y chacales, que es parecido al juego moderno TOBOGANES Y ESCALERAS, es un juego de azar en el que se hacen rodar “tabas”, o huesitos, (como si fueran dados) para avanzar por el tablero. Cuando se describe el azar en matemáticas, se le da el nombre de probabilidad y se mide con razones para mostrar cuán probable o improbable es un resultado. ¿Cuál es la probabilidad de que los perros derroten a los chacales?

En la portada

Game of Hounds and Jackals, ca. 1814–1805 BCE

Egyptian

Ebony, ivory

The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA

Game of Hounds and Jackals. Egyptian; Thebes, Lower Asasif, Birabi. Middle Kingdom, reign of Amenemhat IV, ca. 1814–1805 BCE. Ebony, ivory. Board: H. 6.3 cm (2½ in); W. 15.2 cm (6 in). Purchase, Edward S. Harkness Gift, 1926 (26.7.1287a-k). The Metropolitan Museum of Art, New York, NY, USA.

Photo credit: Image copyright © The Metropolitan Museum of Art. Image source: Art Resource, NY