EM2_G6_M2_Learn_23SPAA_911390_Updated 07.23

Una historia de razones Razones y tasas

APRENDER ▸ Operaciones con fracciones y números de varios dígitos

Libro para estudiantes

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El tema de esta pintura impresionista de perspectiva aérea es una intersección en París durante un día gris y lluvioso. En esta escena, Gustave Caillebotte crea una sensación de profundidad al usar la perspectiva y la proporción de diversas formas, por ejemplo, ubicando figuras grandes en primer plano y figuras más pequeñas a lo lejos. Imagina que hay un plano de coordenadas en el edificio del fondo. ¿Cómo podrías determinar la distancia desde el frente del edificio hasta el fondo usando el plano de coordenadas?

En la portada

Paris Street; Rainy Day, 1877

Gustave Caillebotte, French, 1848–1894

Oil on canvas

The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA

Gustave Caillebotte (1848–1894). Paris Street; Rainy Day, 1877. Oil on canvas, 212.2 x 276.2 cm (83 1/2 x 108 3/4 in). Charles H. and Mary F. S. Worcester Collection (1964.336). The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA. Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY

Razones y tasas ▸ 6

APRENDER

Módulo 1

Razones, tasas y porcentajes

Módulo

2

Módulo 3

Operaciones con fracciones y números de varios dígitos

Números racionales

Expresiones y ecuaciones de un paso

Área, área de la superficie y volumen

Estadística

Contenido

Operaciones con fracciones y números de varios dígitos

Tema

y divisibilidad Lección

Aplicaciones de la división con fracciones Lección

Operaciones con fracciones en una situación del mundo real

Tema D 163

Suma, resta y multiplicación de números decimales

Lección 22

Dividir un número decimal entre otro número decimal mayor que 1

Lección 23

Dividir un número decimal entre otro número decimal menor que 1

Vivir en Marte Recursos

Recursos de la sección Fluidez

Práctica veloz: Sumar números decimales

Práctica veloz: Encerrar en un

Pastelitos sin desperdicio

Aquí tienes. Prepara algunos pastelitos para repartir entre los invitados.

¡Claro! ¿Cuántas personas son?

¿¡Cuántos preparaste!?

¡58,140, por supuesto! ¡Así se pueden dividir de manera uniforme en 17, 18, 19 o 20!

No lo sé exactamente. Entre 17 y 20.

MÁS TARDE...

¡No te preocupes! Prepararé suficientes para que cada persona reciba partes iguales.

¿Por qué no preparaste solo 20 pastelitos y, en el peor de los casos, quedarían algunas sobras?

¿Sobras? ¡Pero qué desperdicio!

Si invitas a entre 17 y 20 personas a una fiesta, tienes dos opciones. Por supuesto que simplemente puedes hacer 20 pastelitos. Así, habrá un pastelito para cada persona y, dependiendo de cuántas personas vayan, te sobrarán entre 0 y 3 pastelitos. O, si sigues otro razonamiento, puedes elegir el número menor que sea múltiplo de 17, 18, 19 y 20, que es nada menos que 58,140.

Por lo tanto, si hay 17 personas, habrá 3,420 pastelitos para cada una.

Si hay 18 personas, habrá 3,230 pastelitos para cada persona.

Si hay 19 personas, habrá 3,060 pastelitos para cada persona.

Y si hay 20 personas, habrá 2,907 pastelitos para cada persona.

En ninguno de estos casos habrá sobras, simplemente habrá muchos pastelitos para todas las personas.

Nombre

Factores y múltiplos

Cubrir con fichas cuadradas

Cubrir con fichas rectangulares

BOLETO DE SALIDA 1

1. ¿Cuál es la longitud del lado, en pies, de la ficha cuadrada más grande que puede cubrir un rectángulo de 6 pies por 9 pies de forma completa?

6ft

9ft

2. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, del cuadrado más pequeño que se puede crear con fichas rectangulares de 6 pulgadas por 9 pulgadas?

6in

9in

Factores y múltiplos

En esta lección:

• hallamos factores comunes de dos números;

• hallamos múltiplos comunes de dos números.

Ejemplos

1. Las dimensiones de una habitación rectangular son 18 pies por 12 pies.

18ft

12ft

Dos números enteros que se multiplican para formar un número dado se denominan par de factores de ese número. Un número es un factor del número dado si es un número entero en un par de factores.

Por ejemplo, 5 y 2 son factores de 10 porque 5 × 2 = 10.

Un múltiplo de un número dado es el producto cuando el número dado se multiplica por otro número. Por ejemplo, 30 es múltiplo de 10 porque 10 × 3 = 30.

Al responder preguntas como las de las partes (a) y (b), considera dibujar los cuadrados en el rectángulo.

a. ¿Cuál es la longitud del lado, en pies, de la ficha cuadrada más grande que puede cubrir la habitación de forma completa?

18ft

12ft

La longitud del lado de la ficha cuadrada más grande que puede cubrir la habitación de forma completa es 6 pies porque 6 es el factor más grande que es común a ambas dimensiones de la habitación, 18 pies y 12 pies.

La longitud del lado de la ficha cuadrada más grande que puede cubrir la habitación de forma completa es 6 pies.

b. ¿Cuál es la longitud del lado, en pies, de otra ficha cuadrada que puede cubrir la habitación de forma completa?

La longitud del lado de otra ficha cuadrada que puede cubrir la habitación de forma completa es 3 pies.

2. Una ficha rectangular mide 15 pulgadas por 6 pulgadas.

Otros factores comunes de 18 y 12 son 1, 2 y 3. Esto significa que, en este caso, las longitudes de los lados de las fichas cuadradas que pueden cubrir esta habitación de forma completa pueden ser 1 pie, 2 pies o 3 pies.

a. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, del cuadrado más pequeño que se puede crear con fichas rectangulares de este tamaño? Traza un diagrama para respaldar tu respuesta.

15in

30in

15in

6in6in6in6in6in

30in

Todas las posibles longitudes de los lados de un cuadrado que se puede crear deben ser múltiplos de 15 y de 6 porque el cuadrado se forma con fichas de 15 pulgadas por 6 pulgadas. La longitud del lado del cuadrado más pequeño que se puede crear con fichas de este tamaño es 30 pulgadas porque 30 es el número más pequeño que es múltiplo común de 15 y 6

La longitud del lado del cuadrado más pequeño que se puede crear es 30 pulgadas.

b. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, de otro cuadrado que se puede crear con fichas rectangulares de este tamaño?

Ejemplo: La longitud del lado de otro cuadrado que se puede crear es 60 pulgadas.

Otra posible longitud del lado de un cuadrado que se puede crear es 60 pulgadas porque 60 es múltiplo tanto de 15 como de 6. Para hacer este cuadrado, se necesitan 4 filas de 10 fichas.

1. Un rectángulo mide 12 pulgadas por 20 pulgadas. ¿De qué tamaño deben ser los cuadrados para cubrir el rectángulo de forma completa? Elige todas las opciones que correspondan.

12in

20in

A. 12 pulgadas por 12 pulgadas

B. 6 pulgadas por 6 pulgadas

C. 5 pulgadas por 5 pulgadas

D. 4 pulgadas por 4 pulgadas

E. 2 pulgadas por 2 pulgadas

En los problemas 2 a 5, enumera todos los factores del número.

2.

En los problemas 6 a 8, enumera todos los factores comunes de los números dados.

6. 12 y 30

7. 12 y 25

8. 24 y 45

En los problemas 9 a 12, enumera seis múltiplos del número. 9.

En los problemas 13 a 15, enumera dos múltiplos comunes de los números dados.

13. 8 y 12

14. 6 y 12

15. 12 y 10

16. Un pasillo mide 3 pies por 9 pies.

9ft

3ft

a. ¿Cuál es la longitud del lado, en pies, de la ficha cuadrada más grande que puede cubrir el pasillo de forma completa?

b. ¿Cuál es la longitud del lado, en pies, de otra ficha cuadrada que puede cubrir el pasillo de forma completa?

17. Un rectángulo mide 14 centímetros por 25 centímetros. Sara dice que el cuadrado más grande que puede cubrir el rectángulo de forma completa mide 1 centímetro por 1 centímetro. ¿Estás de acuerdo con Sara? Explica tu razonamiento.

18. ¿De qué medida es el cuadrado que puedes crear con rectángulos que miden 12 pulgadas por 6 pulgadas? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 12 pulgadas por 12 pulgadas

B. 24 pulgadas por 24 pulgadas

C. 36 pulgadas por 36 pulgadas

D. 6 pulgadas por 6 pulgadas

E. 2 pulgadas por 2 pulgadas

19. Para hacer una obra de arte, Ryan usa fichas rectangulares que miden 2 pulgadas por 7 pulgadas cada una. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, del cuadrado más pequeño que Ryan puede crear con estas fichas rectangulares?

20. Un rectángulo mide 10 metros por 6 metros.

a. ¿Cuál es la longitud del lado, en metros, del cuadrado más pequeño que se puede crear con rectángulos de este tamaño?

b. ¿Cuál es la longitud del lado, en metros, de otro cuadrado que se puede crear con rectángulos de este tamaño?

c. Toby dice que no se puede determinar cuál es el cuadrado más grande que se puede crear con rectángulos de este tamaño. ¿Estás de acuerdo con Toby? Explica.

Recuerda

En los problemas 21 a 24, multiplica.

25. Una ballena azul pesa aproximadamente 200 toneladas. Solo se alimenta de pequeñas criaturas marinas llamadas kril. La ballena azul come todos los días el 2 % de su peso corporal. ¿Cuántas toneladas de kril come la ballena azul cada día? Explica tu razonamiento.

26. Empareja las expresiones con la potencia correcta de 10

Divisibilidad

1. Haz una conjetura sobre la regla de cada diagrama. Los números dentro del círculo siguen la regla. Los números fuera del círculo no siguen la regla.

Divisibilidad entre 3

2. Agrupa los bloques para determinar si 432 es divisible entre 3. Dibuja y rotula tu trabajo para explicar tu razonamiento.

Divisibilidad entre 6

3. Haz una conjetura sobre la regla de cada diagrama. Los números dentro del círculo siguen la regla. Los números fuera del círculo no siguen la regla.

Divisibilidad entre otros números

4. Determina si el número 272 es divisible entre los siguientes números. Explica tu razonamiento.

d. 6

e. 8

f. 9

5. El Anciano ha estado contando desde el inicio de los tiempos. Recientemente, ha alcanzado el número 1,000,000,000,000,010.

¿Cuál es el siguiente número que contará el Anciano que es

a. divisible entre 2?

b. divisible entre 5?

c. divisible entre 3?

d. divisible entre 6?

6. Determina si los enunciados son verdaderos o falsos. Si son verdaderos, justifica tu razonamiento. Si son falsos, da un contraejemplo.

a. Si un número es divisible entre 9, entonces es divisible entre 3.

b. Si un número es divisible entre 3, entonces es divisible entre 9.

¿Entre cuáles de los siguientes números es divisible el número 96? Elige todas las opciones que correspondan. Explica tu razonamiento para todas las opciones de respuesta.

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

E. 9

Divisibilidad

En esta lección:

• determinamos si un número es divisible entre otro número sin usar la división;

• hicimos conjeturas según patrones y evidencias, y buscamos contraejemplos para demostrar que las conjeturas son falsas.

Ejemplos

1. ¿352 es divisible entre 3? Explica cómo lo sabes.

Ejemplo: No. La suma de los dígitos de 352 es 10 porque 3 + 5 + 2 = 10. Como 10 no es divisible entre 3, 352 tampoco es divisible entre 3.

2. ¿192 es divisible entre 6? Explica cómo lo sabes.

Ejemplo: Sí. La suma de los dígitos de 192 es 12 porque 1 + 9 + 2 = 12. Como 12 es divisible entre 3, 192 también es divisible entre 3. Como 192 es par, es divisible entre 2. Como 192 es divisible entre 2 y entre 3, es divisible entre 6.

3. ¿418 es divisible entre 4? Explica cómo lo sabes.

Ejemplo: No. Sé que 400 es divisible entre 4. Si cuento salteado de 4 en 4 desde 400, llego a 404, 408, 412, 416 y 420. Como 418 está entre 416 y 420, no es divisible entre 4.

Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y entre 3. Si un número no es divisible entre 2 y entre 3, entonces no es divisible entre 6

El conteo salteado se puede usar para comprobar la divisibilidad de cualquier número. Piensa en un número que sea múltiplo de un número dado. En este caso, el múltiplo de 4 que está cerca de 418 es 400. Desde 400, cuenta salteado de 4 en 4 para comprobar si 418 también es divisible entre 4

4. ¿Cuáles de los siguientes números son divisibles entre 3 y entre 5? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 30

B. 25

C. 215

D. 105

E. 545

F. 510

Los números 30, 105 y 510 son todos divisibles entre 3 y entre 5. Para confirmarlo, suma los dígitos del número. Si la suma es divisible entre 3, entonces el número es divisible entre 3. Si el número termina en 0 o en 5, entonces es divisible entre 5.

5. Scott dice que si un número es divisible entre 3 y entre 6, entonces es divisible entre 9. ¿Estás o no estás de acuerdo con la conjetura de Scott? Si estás de acuerdo, explica tu razonamiento. Si no estás de acuerdo, da un contraejemplo.

Ejemplo: No estoy de acuerdo con la conjetura de Scott. Un contraejemplo es el número 24, que es divisible entre 3 y entre 6 pero no entre 9.

Un contraejemplo muestra que un enunciado es falso. El número 24 es un contraejemplo del enunciado de Scott porque 24 es divisible entre 3 y entre 6 pero no es divisible entre 9.

1. Ryan dice que si un número es divisible tanto entre 2 como entre 5, entonces también es divisible entre 10. ¿Estás de acuerdo con Ryan? Explica.

2. ¿5,652 es divisible entre 3? ¿Por qué?

3. ¿5,652 es divisible entre 6? ¿Por qué?

4. ¿Entre cuáles de los siguientes números es divisible el número 132? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2

B. 3

5. ¿Entre cuáles de los siguientes números es divisible el número 132,850? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

E. 6

F. 10

6. Considera el número 2,353.

a. Halla el siguiente número que sea divisible entre 2.

b. Halla el siguiente número que sea divisible entre 3

c. Halla el siguiente número que sea divisible entre 6.

En los problemas 7 a 11, determina si el número es divisible entre 2, si es divisible entre 3, si es divisible tanto entre 2 como entre 3 o si no es divisible ni entre 2 ni entre 3.

7. 186

8. 243

9. 340

10. 451

11. 588

En los problemas 12 a 15, determina si el número es múltiplo de 4, múltiplo de 6 o múltiplo tanto de 4 como de 6.

12. 168

13. 200

14. 300

15. 450

16. Escribe un número de 3 dígitos mayor que 700 que sea divisible tanto entre 2 como entre 3. Explica cómo sabes que este número es divisible tanto entre 2 como entre 3

17. ¿El número 714 es divisible entre 7? Explica tu razonamiento.

18. Sasha dice que si un número es divisible tanto entre 2 como entre 4, entonces es divisible entre 8. ¿Estás o no estás de acuerdo con la conjetura de Sasha? Si estás de acuerdo, explica tu razonamiento. Si no estás de acuerdo, da un contraejemplo.

19. Ryan dice que si un número es divisible entre 12, entonces es divisible tanto entre 2 como entre 3. ¿Estás o no estás de acuerdo con la conjetura de Ryan? Si estás de acuerdo, explica tu razonamiento. Si no estás de acuerdo, da un contraejemplo.

Recuerda

En los problemas 20 a 23, multiplica.

24. Riley ahorró $60 para comprar un monopatín. Esta cantidad es el 30 % de lo que necesita ahorrar. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que necesita ahorrar Riley para comprar un monopatín nuevo?

En los problemas 25 a 27, describe el cambio en el valor posicional en la ecuación que se muestra.

25. 0.25 × 10 = 2.5

26. 0.25 × 100 = 25

27. 0.25 × 1,000 = 250

El máximo común divisor

Factores comunes

1. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que puede cubrir un rectángulo de 20 unidades por 24 unidades?

24unidades

2. ¿Cuál es el máximo común divisor de 36 y 48?

20unidades

3. ¿Cuál es el máximo común divisor de 36 y 55?

4. Riley tiene 28 bolígrafos y 14 libretas. Usa todos los bolígrafos y las libretas para hacer bolsitas de regalo iguales para las maestras y los maestros.

a. ¿Cuál es el mayor número de bolsitas de regalo iguales que puede hacer Riley?

b. ¿Cuántos bolígrafos hay en cada bolsita? ¿Cuántas libretas?

Factorización prima y el máximo común divisor

5. Completa la tabla para el número 36 Producto de par de factores Factorización prima

6. Completa la tabla para el número 48.

Producto de par de factores Factorización prima

48 = ×

48 = ×

48 = ×

48 = ×

48 =

48 =

48 =

48 =

7. ¿Cuál es el máximo común divisor de 26 y 39?

8. ¿Cuál es el máximo común divisor de 13 y 14?

9. Un grupo de 18 estudiantes de sexto grado y 24 estudiantes de quinto grado participan en un juego de preguntas y respuestas. Se dividen en equipos.

a. La razón entre el número de estudiantes de sexto grado y el número de estudiantes de quinto grado debe ser igual en cada equipo. ¿Cuál es el mayor número de equipos que pueden participar en el juego de preguntas y respuestas?

b. ¿Cuál es el número de estudiantes de sexto grado que hay en cada equipo?

¿Y de quinto grado?

1. ¿Cuál es la factorización prima de 24?

2. ¿Cuál es la factorización prima de 60?

4. ¿Cuál es el máximo común divisor de 24 y 35? Explica. Nombre

3. ¿Cuál es el máximo común divisor de 24 y 60? Explica.

RESUMEN 3

El máximo común divisor

En esta lección:

• hallamos el máximo común divisor de dos números enteros;

• escribimos números como productos de sus números primos como factores.

Ejemplos

1. Enumera los pares de factores de cada número y halla el máximo común divisor de 45 y 75.

Vocabulario

El máximo común divisor de dos números enteros que no sean ambos cero es el número entero mayor diferente de cero que es un factor de ambos números. El máximo común divisor suele abreviarse como MCD.

La factorización prima de un número es el número escrito como un producto de números primos como factores.

El máximo común divisor de 45 y 75 es 15.

Después de enumerar todos los pares de factores de ambos números, identifica los factores que aparecen en ambas listas. El factor mayor que aparece en ambas listas es el máximo común divisor. El número 15 es el máximo común divisor de 45 y 75

2. Escribe la factorización prima de cada número y halla el máximo común divisor de 48 y 60.

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

60 = 2 × 2 × 3 × 5

El máximo común divisor de 48 y 60 es 12.

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3

60 = 2 × 2 × 3 × 5

Como 2, 2 y 3 son los factores primos comunes a ambas listas, multiplícalos para hallar el máximo común divisor, 12

Usa la factorización prima para hallar el máximo común divisor de dos números. Por ejemplo:

48 = 4 × 12

48 = 2 × 2 × 3 × 4

48 = 2 × 2 × 3 × 2 × 2

Elige cualquier par de factores para el número dado.

Escribe cada factor compuesto como una multiplicación de uno de sus pares de factores.

Continúa hasta que solo queden factores primos.

3. Escribe la factorización prima de cada número y halla el máximo común divisor de 27 y 32.

27 = 3 × 3 × 3

32 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2

El máximo común divisor de 27 y 32 es 1.

No hay números primos que sean factores comunes de 27 y 32. Entonces, 1 es el máximo común divisor porque es el único factor común.

4. En una clase de Matemáticas, hay 24 estudiantes. En una clase de Ciencias Sociales, hay 30 estudiantes. Las clases se juntaron y, luego, se dividieron en grupos para hacer una actividad.

a. La razón entre el número de estudiantes de Matemáticas y el número de estudiantes de Ciencias Sociales debe ser igual en cada grupo. ¿Cuál es el mayor número de grupos que se puede formar?

24 = 2 × 2 × 2 × 3

30 = 2 × 3 × 5

2 × 3 = 6

El mayor número de grupos que se puede formar es 6.

Halla el máximo común divisor de 24 y 30 para determinar el mayor número de grupos que se puede formar con estudiantes de ambas clases.

b. ¿Cuál es el número de estudiantes de Matemáticas que hay en cada grupo? ¿Cuál es el número de estudiantes de Ciencias Sociales?

En cada grupo, hay 4 estudiantes de Matemáticas y 5 estudiantes de Ciencias Sociales.

En cada grupo, hay 4 estudiantes de Matemáticas, porque 24 ÷ 6 = 4. En cada grupo, hay 5 estudiantes de Ciencias Sociales, porque 30 ÷ 6 = 5. En cada grupo, hay un total de 9 estudiantes.

1. Considera los números 45 y 30

a. Completa las tablas para mostrar los pares de factores de 45 y 30. Factor Factor Factor Factor

b. Enumera todos los factores comunes de 45 y 30.

c. ¿Cuál es el máximo común divisor de 45 y 30?

d. Halla la factorización prima de 45.

e. Halla la factorización prima de 30

f. Explica cómo usar las factorizaciones primas para hallar el máximo común divisor de 45 y 30. 45 30

En los problemas 2 a 6, halla el máximo común divisor del par de números.

2. 35 y 75

3. 12 y 48

4. 28 y 55

5. 45 y 75

6. 56 y 84

7. Toby ata cintas a los regalos. Tiene una cinta roja que mide 44 pulgadas de largo. Tiene una cinta azul que mide 33 pulgadas de largo. Quiere cortar ambas cintas en trozos que sean todos iguales en longitud y lo más largos posible. ¿De qué longitud debería cortar Toby cada trozo de cinta?

8. Un grupo de 20 estudiantes de séptimo grado y 24 estudiantes de sexto grado participan en un torneo de kickball. Se dividen en equipos.

a. La razón entre el número de estudiantes de séptimo grado y el número de estudiantes de sexto grado debe ser igual en cada equipo. ¿Cuál es el mayor número de equipos que se puede formar?

b. ¿Cuál es el número de estudiantes de séptimo grado que hay en cada equipo? ¿Y de sexto grado?

9. La administradora de un hotel tiene 63 chocolates y 42 mentas. Usa todos los chocolates y las mentas con el fin de hacer bolsitas de bienvenida iguales para quienes se hospeden en el hotel.

a. ¿Cuál es el mayor número de bolsitas de bienvenida iguales que puede hacer la administradora?

b. ¿Cuántos chocolates tiene cada bolsita de bienvenida? ¿Cuántas mentas?

10. Escribe dos números que sean mayores que 5 y tengan un máximo común divisor de 5

Recuerda

En los problemas 11 a 14, multiplica.

15. Kelly tiene $80. Usa un cupón de 40 % de descuento para comprar una chaqueta que cuesta $75 Después de usar el cupón para comprar la chaqueta, ¿cuánto dinero le queda a Kelly?

16. Halla el cociente. Traza un modelo para respaldar tu respuesta.

9,225 ÷ 5

El mínimo común múltiplo

Registra la información recopilada del video.

1. Notas del video:

2. Preguntas de matemáticas del video:

Múltiplos comunes

3. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 3 y 5?

4. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 4 y 8?

5. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más pequeño que puedes crear con fichas rectangulares que miden 6 unidades por 10 unidades cada una?

Factorización prima y el mínimo común múltiplo

6. Considera los números 11 y 12.

a. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 11 y 12?

b. Escribe las factorizaciones primas de 11 y 12

7. Lanza los dos dados de 6 caras dos veces. Si obtienes la misma suma la segunda vez, vuelve a lanzar los dados hasta obtener una suma diferente.

a. Enumera las dos sumas.

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de los dos números que aparecen en la parte (a)?

Diagramas de Venn

8. El diagrama de Venn muestra los factores primos en las factorizaciones primas de 8 y 12.

Factores primos de 8 Factores primos de 12

a. Escribe las factorizaciones primas de 8 y 12.

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 8 y 12?

c. ¿Cuál es el máximo común divisor de 8 y 12?

9. Cada paquete de perritos calientes trae 10 perritos calientes. Cada paquete de panes trae 8 panes.

a. Una persona quiere comprar un número igual de perritos calientes y de panes. ¿Cuál es el menor número de paquetes de perritos calientes y el menor número de paquetes de panes que debe comprar? ¿Cuántos perritos calientes y cuántos panes tendrá? Explica.

b. El personal del comedor necesita comprar un número igual de perritos calientes y de panes para alimentar a 60 estudiantes. ¿Es posible comprar paquetes de perritos calientes y paquetes de panes para obtener exactamente 60 perritos calientes y 60 panes? Explica.

c. Cada paquete de perritos calientes cuesta $3.50. Cada paquete de panes cuesta $2.00 El personal del comedor gasta $48.00 cuando compra un número igual de perritos calientes y de panes. ¿Cuántos paquetes de perritos calientes y cuántos paquetes de panes compran?

Nombre Fecha

1. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 3 y 7?

2. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 8 y 12?

3. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y 10?

El mínimo común múltiplo

En esta lección:

• hallamos el mínimo común múltiplo de dos números enteros.

Ejemplos

1. Enumera los múltiplos y halla el mínimo común múltiplo de 3 y 12

múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12

múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48…

El mínimo común múltiplo de 3 y 12 es 12.

2. Usa la factorización prima para hallar el mínimo común múltiplo de 12 y 9.

12 = 2 × 2 × 3

9 = 3 × 3

36 = 2 × 2 × 3 × 3

Factores primos de 12

2

Factores primos de 9

3

3

2

El mínimo común múltiplo de 12 y 9 es 36

Vocabulario

El mínimo común múltiplo de dos números enteros es el número entero más pequeño que es mayor que cero y que es un múltiplo de ambos números.

El mínimo común múltiplo suele abreviarse como mcm.

Enumera múltiplos de cada número, comenzando con los propios números. El múltiplo más pequeño de ambas listas es el mínimo común múltiplo.

La factorización prima de 36 incluye todos los factores primos de 12 y 9 36=2×2×3×3 Factores primos de 12

Factores primos de 9

El producto de todos los factores primos en el diagrama de Venn es el mínimo común múltiplo. El producto de los números en la intersección de los círculos es el máximo común divisor.

3. Toby anda en bicicleta cada 2 días. Sale a trotar cada 3 días. Si Toby anda en bicicleta y trota el 1 de enero, ¿cuál es la siguiente fecha en que andará en bicicleta y trotará en el mismo día?

Muestra tu trabajo.

múltiplos de 2: 2, 4, 6

múltiplos de 3: 3, 6…

La siguiente fecha en que Toby andará en bicicleta y trotará es el 7 de enero.

Halla el mínimo común múltiplo de 2 y 3 para determinar cuántos días después Toby vuelve a andar en bicicleta y a trotar en el mismo día. El mínimo común múltiplo de 2 y 3 es 6, y 6 días después del 1 de enero es el 7 de enero.

1. Considera los números 2 y 3

a. Escribe los siguientes 10 múltiplos de 2.

2, 4, , , , , , , , , ,

b. Escribe los siguientes 10 múltiplos de 3.

3, 6, , , , , , , , , ,

c. Enumera cinco múltiplos comunes de 2 y 3.

d. Explica por qué el número 84 es un múltiplo común de 2 y 3.

e. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 2 y 3?

2. Considera los números 12 y 10.

a. Escribe la factorización prima de 12.

b. Escribe la factorización prima de 10.

c. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 12 y 10?

En los problemas 3 a 5, halla el mínimo común múltiplo de los números dados.

3. 2 y 8

4. 6 y 4

5. 5 y 7

6. Considera los números 9 y 12.

a. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 9 y 12?

b. ¿Cuál es el máximo común divisor de 9 y 12?

c. ¿Cuál es el producto de 9 y 12?

d. Divide el producto de 9 y 12 entre el máximo común divisor de 9 y 12. ¿Qué observas?

e. Divide el producto de 9 y 12 entre el mínimo común múltiplo de 9 y 12. ¿Qué observas?

f. Multiplica el mínimo común múltiplo de 9 y 12 por el máximo común divisor de 9 y 12. ¿Qué observas?

7. Tanto Riley como Tyler fueron al gimnasio el 1 de junio. Durante el mes de junio, Riley va al gimnasio cada 2 días y Tyler va cada 3 días. Si es necesario, usa el calendario para responder las partes (a) y (b).

a. ¿Cuál es la siguiente fecha en que ambos van al gimnasio el mismo día?

b. Durante el mes de junio, ¿cuántos días fueron al gimnasio el mismo día?

8. Un semáforo se pone en verde cada 3 minutos. Otro semáforo se pone en verde cada 4 minutos. Si ambos semáforos se ponen en verde a las 8:00 a. m., ¿cuál es la siguiente hora en que ambos se pondrán en verde?

9. Ryan compra platos y vasos para una fiesta. Hay 12 platos en un paquete y 10 vasos en un paquete.

a. Ryan quiere tener igual número de platos y vasos. ¿Cuál es el menor número de paquetes de platos y el menor número de paquetes de vasos que debe comprar Ryan?

b. Si cada paquete de platos cuesta $2.40, ¿cuál es el costo de cada plato?

c. Si cada paquete de vasos cuesta $1.50, ¿cuál es el costo de cada vaso?

d. Ryan compra el menor número de paquetes para obtener un número igual de platos y vasos. ¿Cuál es la cantidad total que gasta Ryan?

10. Escribe dos números que tengan un máximo común divisor de 2 y un mínimo común múltiplo de 30.

Recuerda

En los problemas 11 a 14, multiplica.

15. Un periódico encuesta a 325 personas. El periódico dice que el 76 % de las personas encuestadas usa redes sociales. ¿Cuál es el número de personas encuestadas que usa redes sociales?

16. El real es la moneda oficial de Brasil. En su viaje a Brasil, Lacy cambió sus 40 dólares estadounidenses por 120 reales brasileños. ¿Cuál es la tasa de cambio entre los dólares estadounidenses y los reales brasileños? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 3 dólares por real

B. 3 reales por dólar

C. 1 3 de real por dólar

D. 1 3 de dólar por real

El algoritmo de Euclides (opcional)

1. Considera los números 60 y 100.

a. ¿Cuál es el máximo común divisor de 60 y 100?

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 60 y 100?

Otro acertijo matemático con cuadrados

2. Considera el rectángulo que mide 100 unidades por 60 unidades. Retira el cuadrado más grande. Luego, retira el cuadrado más grande posible del rectángulo que queda. Continúa retirando el cuadrado más grande posible de cada rectángulo que va quedando hasta que solo quede un cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado que queda?

60unidades

100unidades

3. Considera el rectángulo.

240unidades

180unidades

a. Retira el cuadrado más grande. Continúa retirando el cuadrado más grande posible de cada rectángulo que va quedando hasta que solo quede un cuadrado. Completa la tabla para mostrar el tamaño de los cuadrados retirados, el tamaño de los rectángulos que fueron quedando y el tamaño del cuadrado final que queda.

Tamaño del rectángulo que queda

240 por 180

Tamaño del cuadrado retirado

b. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado que queda? ¿Cuál es el máximo común divisor de 240 y 180?

El algoritmo de Euclides

4. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 396 y 540. Escribe los pares de números y sus diferencias en cada paso restante del algoritmo para completar la tabla.

Par de números Diferencia

540 y 396

396 y 144

540 − 396 = 144

Conexión común

5. Halla el mínimo común múltiplo de 180 y 240. Usa el diagrama de Venn y el máximo común divisor de 180 y 240 del problema 3.

Factores de 180 Factores de 240

6. Considera los números 544 y 238.

a. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 544 y 238.

b. Halla el mínimo común múltiplo de 544 y 238. Usa el máximo común divisor de 544 y 238.

BOLETO DE SALIDA 5

Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 48 y 128. Traza un diagrama o haz una tabla para respaldar tu respuesta.

El algoritmo de Euclides

En esta lección:

• usamos el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números grandes;

• usamos el máximo común divisor para hallar el mínimo común múltiplo de dos números grandes.

Ejemplos

1. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 186 y 66.

a. Completa la tabla. ¿Cuál es el máximo común divisor de 186 y 66?

Par de números Diferencia

Pasos del algoritmo de Euclides

1. Ordena los dos números de mayor a menor.

2. Para hallar su diferencia, resta el número menor del número mayor.

3. Quédate con el menor de los dos números. Descarta el mayor de los dos números.

4. Usa el menor de los dos números y la diferencia para formar un nuevo par de números.

5. Repite hasta que los dos números sean el mismo.

y

y

El máximo común divisor de 186 y 66 es 6.

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 186 y 66?

186 × 66 = 12,276

12,276 ÷ 6 = 2,046

El mínimo común múltiplo de 186 y 66 es 2,046.

Factores primos de 186

Factores primos de 66

Una forma de hallar el mínimo común múltiplo de dos números es primero hallar el producto de dos números. Luego, dividir entre el máximo común divisor. El resultado es el mínimo común múltiplo.

2

11 3 31

Considera organizar los factores primos de 186 y 66 en un diagrama de Venn. Multiplica todos los factores primos para hallar el mínimo común múltiplo de 186 y 66

31 × 2 × 3 × 11 = 2,046

1. Considera el rectángulo de 120 unidades por 80 unidades.

a. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que se puede retirar del rectángulo?

b. ¿Cuál es el tamaño del rectángulo que queda?

c. Continúa retirando el cuadrado más grande posible de cada rectángulo que va quedando hasta que solo quede un cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado que queda?

d. ¿Cuál es el máximo común divisor de 120 y 80?

s

2. Considera el rectángulo con dimensiones de 108 unidades por 168 unidades.

a. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado más grande que se puede retirar del rectángulo?

b. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo que queda?

c. Continúa retirando el cuadrado más grande posible de cada rectángulo que va quedando hasta que solo quede un cuadrado. ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado que queda?

s

d. ¿Cuál es el máximo común divisor de 108 y 168?

3. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 136 y 96. Completa la tabla. Par de números

y

4. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 264 y 360. Completa la tabla.

Par de números

360 y 264

5. Considera los números 90 y 12.

a. ¿Cuál es el máximo común divisor de 90 y 12?

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 90 y 12?

6. Considera los números 144 y 252.

a. ¿Cuál es el máximo común divisor de 144 y 252?

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 144 y 252?

7. Considera los números 495 y 345.

a. ¿Cuál es el máximo común divisor de 495 y 345?

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de 495 y 345?

8. Halla dos números que tengan un máximo común divisor de 20 y un mínimo común múltiplo de 2,400.

9. Jada hace una pizza rectangular que mide 21 pulgadas por 36 pulgadas. Quiere cortar la pizza completa en cuadrados del mismo tamaño y que no sobre pizza.

a. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, de los cuadrados más grandes en que puede cortar la pizza Jada?

b. ¿Cuántos trozos de este tamaño puede cortar Jada?

10. Leo está haciendo una colcha. Tiene un trozo de tela que mide 48 pulgadas por 168 pulgadas. Quiere cortar la tela completa en cuadrados del mismo tamaño y que no sobre tela.

a. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, de los cuadrados más grandes en que puede cortar la tela Leo?

b. ¿Cuántos trozos de este tamaño puede cortar Leo? Recuerda

En los problemas 11 a 14, escribe las fracciones como números mixtos y escribe los números mixtos como fracciones.

15. ¿Cuál es la longitud del lado, en pulgadas, del cuadrado más pequeño que se puede crear con rectángulos que miden 4 pulgadas por 6 pulgadas cada uno?

16. Completa la tabla de razones.

¿Cuántas porciones por persona?

Bien, tengo 3 pizzas.

Ahora, si quiero que cada persona reciba 1/4 de pizza, entonces, ¿cuántas personas...

Corrección: tienes 2 pizzas.

Te traje para que me ayudaras con el problema de fracciones, ¡no para que te lo comas todo!

¡Oye! ¡Cuanto más coma, más fácil será la cuenta!

¡Nadie pierde!

¿Por qué tantos problemas de fracciones tratan sobre alimentos?

¡Quizás porque mucho de lo que comemos incluye fracciones!

Los seres humanos son criaturas que comparten, y siempre hemos compartido los alimentos. Cada cultura tiene sus propias costumbres y tradiciones en relación con la comida. El único universal es que todas las culturas reconocen la importancia de tener una buena alimentación.

Aunque, por otro lado, a veces nos apetece tomar un poco más de la fracción asignada. Además, lo que dice el personaje es verdad. Debemos razonar un poco para determinar cuántas personas se pueden alimentar con 3 pizzas, si cada persona recibe 1 4 de pizza. Pero si te comes toda la pizza, está claro a cuántas personas más puedes dar de comer: ¡a ninguna!

Nombre Fecha

Dividir un número entero entre una fracción

Verter agua

Diagramas de cinta

Traza el diagrama de cinta que usaste para evaluar 4 ÷ 2 3 . Luego, responde las preguntas.

1. ¿Cuántos grupos de 1 3 hay en 4?

2. ¿Cuántos grupos de 2 3 hay en 4?

Traza el diagrama de cinta que usaste para evaluar 5 ÷ 3 4 . Luego, responde las preguntas.

3. ¿Cuántos grupos de 1 4 hay en 5?

4. ¿Cuántos grupos de 3 4 hay en 5?

Traza el diagrama de cinta que usaste para responder los siguientes problemas del mundo real.

5. El maestro Evans compra 6 sándwiches para una fiesta de la clase. Cada estudiante come exactamente 3 5 de sándwich. La clase come todos los sándwiches. ¿Qué número de estudiantes comen sándwiches?

6. La Sra. Song quiere preparar limonada con 8 libras de limones. Necesita 3 4 de libra de limones para preparar 1 litro de limonada. ¿Cuántos litros de limonada puede preparar la Sra. Song?

7. La Sra. Baker compra 6 libras de arándanos. Quiere colocarlos en bolsas. En cada bolsa caben 1 1 3 libras de arándanos. ¿Cuántas bolsas puede llenar la Sra. Baker con arándanos?

BOLETO DE SALIDA 6

Un grupo de personas comparte 4 sándwiches. Cada persona recibe 2 5 de sándwich.

¿Cuántas personas comparten los sándwiches? Muestra cómo lo sabes.

Dividir un número entero entre una fracción

En esta lección:

• dividimos un número entero entre una fracción con un diagrama de cinta;

• dividimos un número entero entre una fracción unitaria;

• razonamos acerca del cociente de un número entero y una fracción no unitaria.

Ejemplos

1. Considera 4 ÷ 3 5

Piensa en 4 ÷ 3 5 como una pregunta.

¿Cuántos grupos de 3 5 hay en 4?

Traza un diagrama de cinta con 4 unidades. Divide cada unidad en quintos. Luego, cuenta el número de grupos de 3 5 que hay en 4 unidades.

a. Traza un diagrama de cinta para representar 4 ÷ 3 5 .

Hay 6 grupos de 3 5 en 4 unidades completas, más 2 3 adicionales de un grupo. El cociente es 6 2 3 .

b. Usa cualquier método para evaluar 4 ÷ 3 5 . Muestra cómo lo sabes.

Como 4 ÷ 1 5 = 20, sé que 4 ÷ 3 5 es 20 ÷ 3, o 6 2 3

2. Una caja de cereales contiene 13 onzas de cereales. Una porción de cereales es 1 1 4 onzas. ¿Cuántas porciones contiene la caja de cereales? Muestra cómo lo sabes.

La caja de cereales contiene 10 2 5 porciones.

Como 13 ÷ 1 4 = 52, sé que 13 ÷ 5 4 es

52 ÷ 5, o 10 2 5 .

El número mixto 10 2 5 es equivalente a la fracción 52 5

Hay 52 grupos de 1 4 en 13. Dado que 5 4 es 5 veces 1 4 , el número de grupos de 5 4 que hay en 13 es igual a 1 5 del número de grupos de 1 4 que hay en 13. Entonces, el número de grupos de 5 4 que hay en 13 es 52 5

Al dividir, escribe los números mixtos como fracciones mayores que 1 1 1 4 = 4 4 + 1 4 = 5 4

1. Considera 3 ÷ 3 4

a. Traza un diagrama de cinta que represente 3 ÷ 3 4 .

b. Usa el diagrama de cinta de la parte (a) para evaluar 3 ÷ 3 4

2. Considera 5 ÷ 2 3 .

a. Traza un diagrama de cinta que represente 5 ÷ 2 3 .

b. Usa el diagrama de cinta de la parte (a) para evaluar 5 ÷ 2 3

3. Considera 6 ÷ 3 5 .

a. ¿Cuánto es 6 ÷ 1 5 ?

b. Usa tu respuesta de la parte (a) para evaluar 6 ÷ 3 5 . Muestra cómo lo sabes.

En los problemas 4 a 7, divide.

8. El techo de una oficina escolar mide 9 pies de alto. Cada caja de archivo mide 3 4 de pie de alto. ¿Cuántas de estas cajas se pueden apilar en la oficina escolar como máximo? Muestra cómo lo sabes.

9. La empleada de una tienda de comestibles corta 11 libras de queso en porciones. Cada porción pesa 2 3 de libra. ¿Cuántas porciones de queso corta la empleada? Muestra cómo lo sabes.

Recuerda

En los problemas 10 a 12, multiplica.

13. Determina el máximo común divisor de 36 y 56. Muestra cómo lo sabes.

14. Resuelve usando el algoritmo estándar. 24,165 − 9,059

Nombre Fecha

Dividir una fracción entre un número entero

Dividir una fracción entre un número entero

1. Kayla llena un vaso con agua. Vierte el agua en una jarra con capacidad para 1 5 de galón. Si 4 vasos de agua llenan la jarra, ¿cuántos galones de agua caben en el vaso de Kayla?

Preparar lasaña

2. Kelly usa 3 1 2 tazas de albahaca fresca para preparar 4 bandejas de lasaña.

a. Usa la misma cantidad de albahaca en cada bandeja de lasaña. ¿Cuántas tazas de albahaca usa Kelly en cada bandeja de lasaña? Muestra cómo lo sabes.

b. Comprueba tu solución a la parte (a).

3. Seis personas reparten 2 3 de una bandeja de lasaña en partes iguales. ¿Qué fracción de la bandeja de lasaña recibe cada persona? Muestra cómo lo sabes.

Escribir un problema

4. Escribe un problema que se pueda representar con 4 1 3 ÷ 5.

Nombre Fecha

Jada tiene 3 4 de litro de mezcla para hacer burbujas. Vierte la misma cantidad de la mezcla en 5 botellas. ¿Qué cantidad de mezcla para hacer burbujas, en litros, hay en cada botella? Muestra cómo lo sabes.

Dividir una fracción entre un número entero

En esta lección:

• dividimos una fracción entre un número entero;

• dividimos un número mixto entre un número entero.

Ejemplos

1. Kelly tiene 3 _ 4 de libra de granola. Divide la granola entre 4 personas, de manera que cada una reciba la misma cantidad.

a. Escribe una expresión de división que represente esta situación.

3 4 ÷ 4

b. Traza un diagrama de cinta para representar la expresión de división de la parte (a).

3 4

c. ¿Cuántas libras de granola recibe cada persona?

3 4 ÷ 4 = 3 16

Cada persona recibe 3 16 de libra de granola.

Comienza con un diagrama de cinta que represente 3 4 . Divide el diagrama de cinta de manera horizontal en 4 partes iguales para representar 3 4 ÷ 4

Al dividir entre 4, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar por 1 4

La sección más oscura del diagrama de cinta muestra

3 4 ÷ 4 , o 3 4 × 1 4 ©

Para comprobar la respuesta, usa la ecuación de factor desconocido relacionada. Dado que 3 16 × 4 = 3 4 , el cociente 3 16 es correcto.

2. Una maestra de Ciencias tiene una bolsa con 7

libras de gravilla. Quiere colocar la misma cantidad de gravilla en 4 peceras. ¿Cuántas libras de gravilla puede colocar la maestra en cada pecera? Muestra tu trabajo.

Al dividir, escribe los números mixtos como fracciones mayores que 1

La maestra puede colocar 1 7 _ 8 libras de gravilla en cada pecera.

Al dividir 15 2 entre 4, se obtiene el mismo resultado que al multiplicar 15 2 por 1 4

1. Considera 3 8 ÷ 4

a. Traza un diagrama de cinta para representar 3 8 .

b. Usa el diagrama de cinta de la parte (a) para evaluar 3 8 ÷ 4.

2. ¿Qué preguntas pueden responderse al evaluar 2 3 ÷ 5? Elige todas las opciones que correspondan.

A. ¿Cuánto es 2 3 de 5?

B. ¿ 2 3 es 5 veces qué número?

C. ¿Cuántos grupos de 5 hay en 2 3 ?

D. ¿Cuántos grupos de 2 3 hay en 5?

E. ¿Cuánto es 2 3 × 1 5 ?

3. Considera 5 6 ÷ 2.

a. Escribe 5 6 ÷ 2 como una ecuación de factor desconocido.

b. Evalúa 5 6 ÷ 2.

c. Comprueba tu respuesta de la parte (b).

En los problemas 4 y 5, divide.

6. Indica una expresión de división que sea mayor que 2 3 ÷ 5. Explica tu razonamiento.

7. Indica una expresión de división que sea menor que 3 _ 4 ÷ 7. Explica tu razonamiento.

8. Mara vierte 5 8 de cuarto de galón de mezcla en 10 moldes para pastelitos. Vierte la misma cantidad en cada molde. ¿Qué cantidad de mezcla, en cuartos de galón, vierte Mara en cada molde para pastelitos?

9. Leo tiene una cuerda de 4 5 de metro de largo. Corta la cuerda en 3 trozos de la misma longitud. ¿Cuál es la longitud, en metros, de cada trozo de cuerda?

10. Si 7 cargas de piedra pesan 2 3 de tonelada, ¿cuál es el peso, en toneladas, de 1 carga de piedra?

11. Considera 2 5 ÷ 4

a. ¿Cuál es el cociente?

b. Escribe un problema verbal que pueda representarse con 2 5 ÷ 4

Recuerda

En los problemas 12 a 15, suma o resta. Escribe tu respuesta en la misma forma que el problema.

12. Un tercio más un tercio

13. 1 quinto más 3 quintos

14. Cinco novenos menos dos novenos

15. 8 décimos menos 4 décimos

16.

17.

12.

10.

18. Multiplica.

3,529 × 46

Halla el mínimo común múltiplo de 10 y

Halla el mínimo común múltiplo de 6 y

Dividir fracciones formando denominadores comunes

1. Tres estudiantes usan alambre para hacer pulseras. ¿Cuántas pulseras puede hacer cada estudiante? Muestra cómo lo sabes.

a. Eddie necesita 11 12 de pie de alambre para cada pulsera que hace. Tiene un trozo de alambre de 33 12 de pie de largo. ¿Cuántas pulseras puede hacer Eddie?

b. Noah necesita 2 3 de pie de alambre para cada pulsera que hace. Tiene un trozo de alambre de 5 1 3 pies de largo. ¿Cuántas pulseras puede hacer Noah?

c. Julie necesita 1 1 4 pies de alambre para cada pulsera que hace. Tiene un trozo de alambre de 7 1 2 pies de largo. ¿Cuántas pulseras puede hacer Julie?

Dividir fracciones con una unidad común

2. Calcula los cocientes.

a. 8 ÷ 2

b. 8 unidades ÷ 2 unidades

c. 8 decenas ÷ 2 decenas

d. 8 millares ÷ 2 millares

e. 8 décimos ÷ 2 = décimos

f. 8 tercios ÷ 2 tercios

3. Considera 8 9 ÷ 2 9 .

a. Traza un diagrama de cinta para representar 8 9 ÷ 2 9

b. ¿Cuánto es 8 9 ÷ 2 9 ?

4. Considera 8 9 ÷ 3 9 .

a. Traza un diagrama de cinta para representar 8 9 ÷ 3 9 .

b. ¿Cuánto es 8 9 ÷ 3 9 ?

5. Yuna dice que 5 8 ÷ 3 8 es menor que 1. ¿Está en lo correcto? Explica.

En los problemas 6 a 8, divide. Comprueba cada solución.

÷

Formar denominadores comunes para dividir fracciones

9. Considera 3 5 ÷ 2 3

a. ¿El cociente es mayor que 1 o menor que 1? Explica.

b. ¿Cómo podemos reescribir 3 5 ÷ 2 3 para que las fracciones tengan un denominador común?

c. Traza un diagrama de cinta para representar 3 5 ÷ 2 3 .

d. Evalúa 3 5 ÷ 2 3

e. Escribe una ecuación de multiplicación relacionada para mostrar que la respuesta a la parte (d) es correcta.

Usar rectas numéricas para dividir fracciones

11. Escribe una ecuación de división que se pueda representar con el diagrama que se muestra.

12. Considera 3 4 ÷ 5 12

a. Usa una recta numérica y un diagrama de cinta para representar 3 4 ÷ 5 12 .

b. Usa la recta numérica para evaluar 3 4 ÷ 5 12 .

Dividir fracciones formando denominadores comunes

En esta lección:

• usamos el lenguaje de unidades de valor posicional y diagramas para comprender cómo dividir fracciones con denominadores comunes;

• usamos denominadores comunes para dividir una fracción entre otra fracción;

• usamos denominadores comunes para dividir un número mixto entre una fracción.

Ejemplos

1. Kayla y Lacy escriben una expresión que es equivalente a 15 quintos ÷ 3 quintos. Kayla escribe 15 décimos ÷ 3 décimos. Lacy escribe 1,500 300 . ¿Quién está en lo correcto? Explica.

Tanto Kayla como Lacy están en lo correcto.

Las expresiones 15 quintos ÷ 3 quintos, 15 décimos ÷ 3 décimos y 1,500 300 equivalen a 5

En cada expresión, 15 de una unidad se divide entre 3 de la misma unidad.

2. Considera el diagrama.

Observa que 1 3 es equivalente a 4 12 .

La fracción 1,500 300 se puede pensar como 15 centenas ÷ 3 centenas. Dado que 15 y 3 tienen unidades semejantes, el cociente es 5

5 de las 12 unidades están sombreadas. Las unidades sombreadas representan el dividendo. Cuatro de las unidades sombreadas están rotuladas 1 3    , que representa el divisor. ©

a. Escribe una expresión de división que pueda representarse con el diagrama.

Ejemplo: 5 12 ÷ 1 3

b. Usa el diagrama para evaluar la expresión de división de la parte (a).

Al dividir, escribe los números mixtos como fracciones mayores que 1.

=

Cada grupo de 1 3 está representado con 4 unidades en el diagrama de cinta porque 1

es equivalente a 4 12      . Hay 1 grupo completo de

en

, y hay 1 unidad restante. Esa unidad restante es

de un grupo de

Forma denominadores comunes.

=

=

Luego, divide los numeradores. Si el dividendo y el divisor tienen denominadores comunes, el cociente de las fracciones es el cociente de sus numeradores.

1. ¿En qué se parecen las siguientes expresiones? ¿En qué se diferencian? Explica.

6 decenas ÷ 4 decenas 6 5 ÷ 4 5

2. Mara y Adesh escriben una expresión que es equivalente a 12 décimos ÷ 4 décimos.

Mara escribe 12 tercios ÷ 4 tercios. Adesh escribe 1,200 ____ 400 . ¿Quién está en lo correcto? Explica.

En los problemas 3 y 4, divide.

5. Considera el diagrama.

a. Escribe una expresión de división que pueda representarse con el diagrama.

b. Usa el diagrama para evaluar la expresión de división de la parte (a).

6. ¿Qué expresión tiene el mismo valor que

11. Elige un problema de los problemas 7 a 10 y comprueba tu solución.

Recuerda

En los problemas 12 a 15, suma o resta.

16. Un libro tiene 5 8 de pulgada de espesor. ¿Cuántas copias del libro caben en un estante que tiene 20 pulgadas de largo?

17. ¿Cuál es mayor, el 5 % de 90 o el 90 % de 5? Explica.

Dividir fracciones con fluidez

¿Cuánto de azúcar?

La receta lleva 7 1/3 cucharadas de azúcar, pero solo tengo una cuchara medidora de 3/4 de cucharada. ¿Cuántas veces debería usarla?

Mmm...

Mmm...

Mmm...

Pero... la receta...

Solo vierte toda la bolsa. El azúcar nunca está de más.

Cuando horneamos algo, debemos ser precisos.

Cocinar en la estufa nos permite cometer algunos errores. Puedes agregar pocos condimentos, olvidarte de la cebolla, o verter aceite de más… y todo saldrá bien (quizás solo sabrá diferente de la última vez).

Pero cocinar en el horno es distinto. Mejor que sepas la fórmula a la perfección. Si te olvidas un ingrediente, tu pastel puede quedar quebradizo como un ladrillo, gomoso como un perrito caliente o espeso como el lodo; o, en el peor de los casos, todo eso a la vez.

Por eso, los pasteleros se saben las fracciones. La diferencia entre 2 3 y 3 4 puede ser la diferencia entre la perfección y el fracaso.

Dividir fracciones usando diagramas de cinta

Dividir una fracción entre una fracción unitaria

1. Para cada expresión de división:

• escribe la expresión de división como una ecuación de factor desconocido;

• escribe la interpretación de la ecuación de factor desconocido;

• traza un diagrama de cinta para representar la ecuación de factor desconocido;

• determina el valor de una unidad en el diagrama de cinta;

• calcula el cociente. Expresión de división Ecuación de factor desconocido

Diagrama de cinta Valor de una unidad Cociente

Expresión de división

Ecuación de factor desconocido

Interpretación de la ecuación de factor desconocido

Diagrama de cinta Valor de una unidad

Cociente

2. Determina el número desconocido que hace que cada oración numérica sea verdadera.

a. 3 4 ÷ 1 2 = 3 4 ×

b. 4 7 ÷ 1 5 = 4 7 ×

c. 2 5 ÷ 1 3 = 2 5 ×

Dividir una fracción entre una fracción no unitaria

3. Completa la tabla.

Expresión de división

Ecuación de factor desconocido

Interpretación de la ecuación de factor desconocido

Diagrama de cinta Valor de una unidad Cociente

Expresión de división

Ecuación de factor desconocido

Interpretación de la ecuación de factor desconocido

Diagrama de cinta Valor de una unidad

Cociente

Situaciones de división

En los problemas 4 a 6, responde la pregunta y traza un diagrama para justificar tu razonamiento.

4. Leo vierte 1 4 de galón de limonada en una jarra. La limonada llena 1 8 de la jarra. ¿Cuántos galones de limonada debe verter Leo para llenar toda la jarra?

5. Un grifo llena una cubeta a una tasa de 1 5 de galón por minuto. ¿Cuántos minutos se tarda en llenar una cubeta en la que caben 7 8 de galón? Escribe tu respuesta como un número mixto.

6. Ryan recoge arándanos y congela 3 4 de ellos. Congela 2 1 2 libras de arándanos. ¿Cuántas libras de arándanos recogió Ryan? Escribe tu respuesta como un número mixto.

Considera 2 3 ÷ 4 5

a. Escribe 2 3 ÷ 4 5 como una ecuación de factor desconocido.

b. Traza un diagrama de cinta que represente la ecuación de factor desconocido de la parte (a).

c. ¿Cuál es el valor de una unidad en el diagrama de cinta de la parte (b)?

d. ¿Cuánto es 2 3 ÷ 4 5 ?

Dividir fracciones usando diagramas de cinta

En esta lección:

• relacionamos la división de una fracción entre otra fracción con una ecuación de factor desconocido;

• usamos un diagrama de cinta para dividir una fracción entre otra fracción.

Ejemplos

1. Considera 2 3 ÷ 3 5

a. Escribe 2 3 ÷ 3 5 como una ecuación de factor desconocido.

3 _ 5 ×

b. Traza un diagrama de cinta que represente la ecuación de factor desconocido de la parte (a). ?

2. Leo vierte 3 4 de litro de un líquido en un recipiente. El líquido llena 1 4 del recipiente. ¿Cuántos litros de líquido debe verter Leo para llenar todo el recipiente? Traza un diagrama de cinta para justificar tu solución.

El diagrama de cinta representa el recipiente, y 3 4 de litro llenan 1 4 del recipiente.

Leo debe verter 3 litros de líquido para llenar todo el recipiente.

Dado que cada unidad representa 3 4 de litro, todo el diagrama de cinta representa 3 litros. 3

•

como la pregunta “¿Cuántos grupos de 1 2 hay en 4 5 ?”.

• Sasha piensa en 4 5 ÷ 1 2 como la pregunta “¿ 4 5 es 1 2 de qué número?”.

¿Quién está en lo correcto?

A. Solo Julie está en lo correcto.

B. Solo Sasha está en lo correcto.

C. Tanto Julie como Sasha están en lo correcto.

D. Ni Julie ni Sasha están en lo correcto.

En los problemas 2 a 4, considera el diagrama de cinta. Escribe una expresión de división y la ecuación de factor desconocido relacionada. Luego, calcula el cociente. Diagrama de cinta Expresión de división

En los problemas 5 a 10, divide. Muestra tu trabajo.

11. Un maestro de educación física divide 3 4 de un campo en secciones para juegos. Cada sección es 1 8 de todo el campo. ¿Cuántas secciones forma el maestro? Muestra tu trabajo.

12. Se necesitan 5 6 de galón de agua para llenar 1 3 de una cubeta. ¿Cuántos galones de agua llenarán toda la cubeta? Traza un diagrama de cinta para justificar tu solución.

Recuerda

En los problemas 13 a 16, escribe la fracción como un número mixto o escribe el número mixto como una fracción.

17. Eddie comparte 4 pasteles con amigas. Cada amiga recibe exactamente 2 5 de pastel.

¿Con cuántas amigas comparte Eddie los pasteles? Muestra tu trabajo.

18. ¿Cuál de los siguientes enunciados es verdadero?

A. El valor de 6 en 620 es 100 veces el valor de 6 en 62.

B. El valor de 6 en 62 es 10 veces el valor de 6 en 6.2.

C. El valor de 6 en 6.2 es 1 100 del valor de 6 en 0.62

D. El valor de 6 en 0.62 es 1 10 del valor de 6 en 0.062.

Dividir fracciones usando la estrategia de invertir y multiplicar

La estrategia de invertir y multiplicar

1. Considera 2 3 ÷ 3 4 .

a. Usa un diagrama de cinta para calcular el cociente.

b. Usa la estrategia de invertir y multiplicar para calcular el cociente.

2. Considera 5 ÷ 6 7 . ¿Qué oraciones numéricas son verdaderas? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 5 ÷ 6 7 = 5 × 6 ÷ 7

B. 5 ÷ 6 7 = 5 × 7 ÷ 6

C. 5 ÷ 6 7 = 5 × 7 × 1 6

D. 5 ÷ 6 7 = 5 × 6 7

E. 5 ÷ 6 7 = 5 × 7 6

Análisis de errores en la división con fracciones

3. Riley le explica a un amigo que 5 6 ÷ 3 4 = 15 24 , porque 5 6 × 3 = 15 6 y 15 6 × 1 4 = 15 24 . Explica cualquier error que haya cometido Riley.

4. Leo dice que 2 5 ÷ 7 9 = 35 18 , porque 2 5 ÷ 7 9 = 5 2 × 7 9 . Explica cualquier error que haya cometido Leo.

En los problemas 1 a 3, divide. Muestra tu trabajo.

Dividir fracciones usando la estrategia de invertir y multiplicar

En esta lección:

• usamos la estrategia de invertir y multiplicar para dividir una fracción entre otra fracción.

En los problemas 1 a 3, divide. Muestra tu trabajo.

Vocabulario

Un recíproco es el número que se obtiene al invertir una fracción. El recíproco de 3 4 es 4 3 . El recíproco de 5

es

Para dividir una fracción entre otra fracción, multiplica el dividendo por el recíproco del divisor. Escribe 10 como la

Escribe un divisor con número mixto como una fracción mayor que 1 antes de determinar su recíproco.

1. Considera 3 5 ÷ 2 3

a. Traza un diagrama de cinta de 3 5 ÷ 2 3 . Úsalo para calcular el cociente.

b. Usa la estrategia de invertir y multiplicar para confirmar tu solución a la parte (a).

En los problemas 2 a 4, determina el número desconocido que hace que la oración numérica sea verdadera.

5. Considera 2 3 ÷ 4 7 . ¿Qué oraciones numéricas son verdaderas? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 2 3 ÷ 4 7 = 2 3 × 7 ÷ 4

B. 2 3 ÷ 4 7 = 2 3 × 4 ÷ 7

C. 2 _ 3 ÷ 4 _ 7 = 2 _ 3 × 7 _ 4

D. 2 _ 3 ÷ 4 _ 7 = 2 _ 3 × 4 _ 7

En los problemas 6 a 11, divide.

12. Elige uno de los problemas 6 a 11. Explica qué estrategia usaste en ese problema y por qué.

Recuerda En

el recíproco.

22. Empareja cada expresión con el producto correcto.

Aplicaciones de la división con fracciones

1. El tablero de la mesa de Ryan mide 4 1 2 pies por 1 1 4 pies. Ryan quiere cubrir el tablero con copias de la pieza de cerámica coloreada sin cortar ninguna pieza. ¿Puede cubrir el tablero? De ser así, ¿cuántas piezas de cerámica necesita? De no ser así, ¿por qué?

Interpretar situaciones de multiplicación y de división

2. Empareja cada situación con la expresión que representa. Justifica tu razonamiento.

a. Si 2 3 de cuarto de galón de agua llenan 3 4 de un recipiente, ¿cuántos recipientes llenará 1 cuarto de galón de agua?

b. Si 2 3 de cuarto de galón de agua llenan 3 4 de un recipiente, ¿cuántos cuartos de galón de agua hay en 1 recipiente?

c. Si Jada saca 2 3 de 3 4 de cuarto de galón de agua de un recipiente, ¿cuánta agua saca Jada?

Resuelve y busca: División con fracciones

3. Kayla tiene 8 tazas de avena. La receta para preparar una tanda de panecillos lleva 1 2 3 tazas de avena. ¿Cuántas tandas de panecillos puede preparar Kayla?

4. El agua circula por un grifo de cocina a una tasa de 7 8 de galón por minuto. A esa tasa, ¿cuántos minutos se tarda en llenar una jarra que contiene 2 1 4 galones?

5. Una persona planea correr 7 1 2 millas. Solo corre 2 1 4 millas. ¿Qué fracción de la distancia planeada corre?

6. Cuando se colocan 6 1 2 piezas de cerámica extremo con extremo, la longitud total de las piezas es 4 pies y 4 pulgadas. ¿Cuál es la longitud de cada pieza de cerámica en pies?

7. Una porción de yogur es 3 4 de taza. Tyler come 1 taza de yogur. ¿Cuántas porciones de yogur come Tyler?

8. Lacy mide 3 1 2 pies de alto. Su hermano Leo mide 5 1 4 pies de alto. ¿Cuántas veces tan alto como Lacy es Leo?

9. Las tijeras naranjas miden 8 1 4 pulgadas de largo. La longitud de las tijeras rosas es 2 3 de la longitud de las tijeras naranjas. ¿Cuánto miden de largo las tijeras rosas en pulgadas?

Tijeras rosas

Tijeras naranjas

10. Escribe un problema verbal que pueda resolverse con la expresión 4 1 4 ÷ 2 3 .

Lisa tiene una cuerda que mide 2

4 yardas de largo. Blake tiene una cuerda que mide 5

yardas de largo. ¿Cuántas veces tan larga como la cuerda de Lisa es la cuerda de Blake?

Aplicaciones de la división con fracciones

En esta lección:

• dividimos fracciones y números mixtos para resolver problemas del mundo real.

Ejemplos

1. Noah vierte 8 galones de agua en un tanque. El agua llena 2

5 del tanque.

a. ¿Cuántos galones debe verter Noah para llenar todo el tanque?

Este diagrama de cinta representa la pregunta “¿8 es 2 5 de qué número?”.

Invierte el divisor, 2 5  , y multiplica por el dividendo, 8 1

Noah debe verter 20 galones de agua para llenar todo el tanque.

b. Cuando el tanque está lleno, ¿cuántas botellas de 1 4 de galón pueden llenarse con el agua del tanque?

20 ÷ 1 4 = 20 × 4 = 80

Se pueden llenar ochenta botellas de 1 4 de galón con el agua del tanque.

Piensa en esta situación como la pregunta

“¿Cuántos grupos de 1 4 hay en 20?”.

2. Adesh coloca piezas de cerámica cuadradas extremo con extremo a lo largo del borde de una mesa que mide 24 3 4 pulgadas de largo. Cada pieza de cerámica mide 5 8 de pulgada de largo.

a. ¿Cuántas piezas de cerámica puede colocar Adesh a lo largo del borde de la mesa?

24 3 4 ÷ 5 8 = 99 4 ÷ 5 8 = 198 8 ÷ 5 8 = 198 5 = 39 3 5

Adesh puede colocar 39 piezas de cerámica a lo largo del borde de la mesa. Considera usar denominadores comunes para resolver este problema de división.

99

4 × 2 2 = 198 8 Luego, divide los numeradores.

b. Adesh dice: “Redondeé mi solución hacia arriba, a 40. Puedo colocar 40 piezas de cerámica a lo largo del borde de la mesa”. ¿Está en lo correcto Adesh? Explica. No, Adesh no está en lo correcto. Solo hay espacio suficiente para 39 3 5 , o 39, piezas de cerámica a lo largo del borde de la mesa.

Al redondear, considera la situación. El cociente 39 3 5 está más cerca de 40 que de 39. Sin embargo, en este caso, no cabría otra pieza de cerámica completa. Entonces, la respuesta debe ser 39

1. Riley vierte 12 galones de agua en un tanque. El agua llena 3 4 del tanque.

a. ¿Cuántos galones caben en todo el tanque?

b. Riley llena todo el tanque con agua. Llena botellas de 1 2 galón con el agua del tanque. ¿Cuántas de estas botellas puede llenar Riley?

2. Scott completa 1 6 de los niveles de un videojuego en 3 1 2 meses. ¿Qué expresión puede usarse para determinar el número de meses que tardará Scott en completar todos los niveles a esta tasa?

3. Para preparar una tanda de panqueques, se necesitan 1 1 4 tazas de mezcla para panqueques. Una caja contiene 9 tazas de mezcla para panqueques. ¿Cuántas tandas de panqueques se pueden preparar con una caja de mezcla para panqueques?

4. Sara come 2 1 2 porciones de cereales. Come 1 2 3 tazas de cereales. ¿Cuántas tazas de cereales hay en una porción?

5. Eddie apila cajas en el estacionamiento. Cada caja mide 1 3 4 pies de alto. La distancia desde el piso del estacionamiento hasta el techo es 8 1 2 pies.

a. ¿Cuál es el mayor número de cajas que Eddie puede apilar en el estacionamiento?

b. Explica cómo decidiste de qué manera redondear tu respuesta en la parte (a).

6. En la práctica de carrera a campo traviesa, Yuna corre 2 1 4 millas. Ryan corre 5 1 2 millas.

¿Cuántas veces la distancia de Ryan corre Yuna?

7. Escribe un problema verbal que pueda resolverse con la expresión 3 4 ÷ 1 3 .

8. Tyler cultiva un tomate que pesa 3 4 de libra. Lisa cultiva un tomate que pesa 1 1 5 libras.

¿Qué fracción del peso del tomate de Lisa es el peso del tomate de Tyler?

Recuerda

En los problemas 9 a 12, suma o resta.

13. Sasha usa 3 5 de los duraznos para hacer una ensalada de frutas. Si usa 3 4 de libra de duraznos, ¿cuántas libras de duraznos tiene Sasha al principio?

14. Empareja cada producto con la expresión correcta.

Nombre Fecha

Operaciones con fracciones en una situación del mundo real

Construir un carrito de carrera

1. Muestra los cálculos que usaste para hallar los cambios en el peso del carrito de carrera.

Cambios en el peso del carrito de carrera

Peso del bloque de madera dado

Cálculos

Bloque de madera luego de cortarlo

Cambios en el peso del carrito de carrera Cálculos

Después de agregar las ruedas y los ejes

Después de pintarlo

Cambios en el peso del carrito de carrera Cálculos

Después de colocar las calcomanías

Después de agregarle carga

2. ¿Cuál es la velocidad de tu carrito en pies por segundo?

Leo tiene 2 3 de taza de harina. Esta cantidad es 4 5 de la cantidad de harina que necesita para preparar 1 tanda de panecillos.

¿Cuántas tazas de harina necesita Leo para preparar 2 tandas de panecillos?

Operaciones con fracciones en una situación del mundo real

En esta lección:

• sumamos, restamos, multiplicamos y dividimos fracciones y números mixtos para resolver problemas del mundo real.

Ejemplos

1. El libro de Matemáticas de Kelly pesa 3 1 2 libras. El libro de Historia de Riley pesa 2 1 4 libras. Halla el número que hace que cada enunciado sea verdadero.

a. Juntos, los libros de Kelly y Riley pesan libras.

Suma para hallar el peso combinado de los libros de Kelly y Riley.

b. El libro de Kelly pesa libras más que el libro de Riley.

Resta para hallar cuántas libras más pesado es el libro de Kelly que el de Riley.

c. El libro de Kelly pesa veces la cantidad de libras que pesa el libro de Riley.

Primero, piensa en una ecuación de factor desconocido. ¿Cuántas veces el peso del libro de Riley es el peso del libro de Kelly? Luego, evalúa la expresión de división relacionada.

2. Noah tiene una jarra de 1 3 4 litros de limonada. Vierte la misma cantidad de limonada en 4 vasos. Luego, todavía queda 1 3 de litro de limonada en la jarra. ¿Cuántos litros de limonada hay en cada vaso?

Primero, resta 1 3 de 1 3 4 para determinar cuántos litros de limonada vierte Noah en los 4 vasos. Luego, divide la diferencia entre 4 para determinar cuántos litros de limonada hay en cada vaso.

1. Dos clases de escuela intermedia trabajan en equipo para pintar un mural en la escuela. Empareja cada situación con la expresión que podría usarse para responder la pregunta.

La clase del maestro Pérez pinta 1 5 del mural completo, lo que es 2 3 de la sección que deben pintar. ¿Qué porción del mural completo le corresponde a la clase del maestro Pérez?

La clase de la maestra Chan debe pintar 1 5 del mural. La clase pinta 2 3 de su sección. ¿Qué porción del mural completo pinta la clase de la maestra Chan?

La clase de la maestra Chan usa 2 3 de un galón de pintura blanca. La clase del maestro Pérez usa 1 5 del galón de pintura blanca. ¿Cuánta más pintura usa la clase de la maestra Chan que la clase del maestro Pérez?

La clase de la maestra Chan usa 2 3 de un galón de pintura blanca. La clase del maestro Pérez usa 1 5 del galón de pintura blanca. ¿Qué porción del galón de pintura blanca usan las dos clases en total?

2. La mochila de Leo pesa 12 3 _ 4 libras. La mochila de Sara pesa 8 1 _ 2 libras. Completa cada enunciado.

a. En total, las mochilas de Leo y Sara pesan libras.

b. La mochila de Leo pesa libras más que la mochila de Sara.

c. La mochila de Leo pesa veces la cantidad de libras que pesa la mochila de Sara.

3. Mara gasta 2 3 de su dinero en un videojuego. Gasta la mitad del dinero restante en el almuerzo. Si el almuerzo cuesta $10, ¿cuánto dinero tenía Mara al principio?

4. El Sr. Pérez recibe dinero por su cumpleaños. Gasta 1 5 del dinero en zapatos nuevos. Dona el resto del dinero a 3 organizaciones benéficas diferentes. Dona la misma cantidad de dinero a cada organización benéfica.

a. ¿Qué fracción de su dinero dona el Sr. Pérez a cada organización benéfica?

b. Si el Sr. Pérez da $60 a cada organización benéfica, ¿cuánto dinero recibió por su cumpleaños?

5. Leo usa tres bolsas de harina para preparar galletas. La cantidad de harina en cada bolsa es la siguiente:

• 2 3 de taza de harina

• 1 1 2 tazas de harina

• 1 1 3 tazas de harina

Para cada tanda de galletas, se necesitan 1 3 4 tazas de harina. ¿Cuántas tandas de galletas puede preparar Leo?

6. Tyler tiene una jarra de 1 3 4 litros de limonada. Vierte la misma cantidad de limonada en 3 vasos. Luego, todavía queda 1 3 de litro de limonada en la jarra. ¿Cuántos litros de limonada hay en cada vaso?

Recuerda

En los problemas 7 a 10, suma o resta.

13. Kayla tiene 3 cintas rojas. Cada cinta mide 1 2 5 metros de largo. ¿Cuál es la longitud total de todas las cintas de Kayla en metros?

Suma, resta y multiplicación de números decimales

¿La zanahoria más grande del mundo?

¿En serio? Me parece demasiado.

¡Una manzana y una zanahoria, por favor!

Serían... $0.70 de la manzana... más $0.09 de la zanahoria... saco los decimales... 7 más 9 es 16... vuelvo a poner los decimales... así que serían $16 en total.

Bueno, hago la cuenta de nuevo...

¡Discúlpeme! ¡Cometí un gran error!

¡Ya me parecía!

¡Qué alivio!

El total correcto es $1,600.

Tú sí que debes ser una zanahoria de primera.

Al hacer cálculos, podemos sentir la tentación de “ignorar” el punto decimal. ¡Pero ten cuidado! Ignorar el punto decimal es como ignorar la diferencia entre 7 y 70 o entre 16 y 1,600.

El “valor posicional” es fundamental en nuestro sistema de números. Esto significa que: el valor depende de una posición. Para saber cuál es el valor de cada dígito, debes observar dónde está escrito. Escribir un 7 justo después del punto decimal y escribir un 7 justo antes del punto decimal significan dos cosas distintas.

El punto decimal es un punto de referencia que ayuda a determinar esos valores.

Suma y resta de números decimales

El acertijo matemático del punto decimal

1. Elige dos o tres números decimales menores que 1,000. Los números decimales pueden extenderse hasta la posición de los milésimos. Asegúrate de que los números decimales tengan al menos un número que no sea 0 a la derecha del punto decimal.

a. Enumera los números decimales elegidos.

b. Usa el algoritmo estándar para calcular la suma de los números decimales de la parte (a).

El valor posicional en la suma y la resta

3. Considera la lista de números. ¿Qué número es la suma de otros dos números de la lista? 1

4. Una lanzadora de beisbol arroja una pelota. La pelota alcanza la base de bateo en aproximadamente 0.458 segundos. Una lanzadora de softbol arroja una pelota. La pelota alcanza la base de bateo en aproximadamente 0.419 segundos. ¿Cuántos segundos menos tarda la pelota de softbol en llegar a la base de bateo en comparación con la pelota de beisbol?

En los problemas 5 y 6, escribe los dígitos desconocidos para que la suma o la diferencia sea correcta.

5. + 5.3475 10.0000

6. 2.4 1.031

Suma y resta de números decimales

En esta lección:

• sumamos números decimales usando el algoritmo estándar;

• restamos números decimales usando el algoritmo estándar.

Ejemplos

1. Considera 3.458 + 32.63.

a. Estima la suma. Muestra cómo estimaste.

3 + 33 = 36

b. Halla la suma. 36.088

2. Halla la diferencia.

86 − 15.47 70.53

3. Las camisetas cuestan $8.99 cada una. Un paquete de calcetines cuesta $5.50. Toby compra 2 camisetas y 1 paquete de calcetines. Paga con $40.00. ¿Cuánto cambio debería recibir Toby?

8.99 + 8.99 + 5.50 = 23.48

40 − 23.48 = 16.52

Toby debería recibir $16.52 de cambio.

Redondea a los números enteros más cercanos para estimar la suma.

Cuando sumes números decimales, asegúrate de sumar las unidades semejantes.

Compara la suma con la estimación para determinar si la suma es razonable.

Cuando restes números decimales, asegúrate de restar las unidades semejantes.

Resta el costo total de los productos de los $40.00 que paga Toby para hallar cuánto cambio debe recibir. ©

1. Estima la suma. Muestra cómo estimaste.

15.236 + 24.901

2. Estima la diferencia. Muestra cómo estimaste.

91.887 − 61.4

3. Coloca un punto decimal en cada sumando para que la oración numérica sea verdadera.

154 + 31 + 8 = 5.44

En los problemas 4 a 7, determina si la oración numérica es verdadera o falsa. Si es falsa, calcula la respuesta correcta.

4. 2,300 + 40 = 2,700

5. 2.3 + 0.04 = 2.34

6. 15.003 − 0.03 = 15

7. 15,003 − 30 = 14,973

En los problemas 8 a 11, calcula la suma o la diferencia.

12. Un restaurante vende tacos a $0.99 cada uno y bebidas a $1.19 cada una. Kelly pide 2 tacos y 1 bebida. Paga con un billete de $5.00. ¿Cuánto cambio debería recibir Kelly? Muestra tu trabajo.

13. El precio del yogur helado se basa en el peso del yogur. La tabla muestra los precios para distintos pesos de yogur. Peso de yogur (en onzas) Precio (en dólares)

El yogur de Riley pesa 8.641 onzas. El yogur de Sasha pesa 5.77 onzas. Para pagar un precio menor, ¿Riley y Sasha deberían pagar sus yogures en conjunto o por separado? Justifica tu respuesta.

14. Escribe los dígitos desconocidos para que la suma sea correcta.

15. Escribe los dígitos desconocidos para que la diferencia sea correcta.

Recuerda

En los problemas 16 a 19, suma o resta.

20. Lisa corre 3 1 2 millas. Noah corre 5 1 2 millas. ¿Cuántas veces la distancia de Lisa corre Noah?

21. ¿Cuál de las siguientes situaciones puede representarse por 1 4 ÷ 3? Elige todas las opciones que correspondan.

A. La cantidad de jarabe en cada plato si 1 4 de taza de jarabe se divide entre 3 platos de panqueques

B. La cantidad que nada Yuna si nada 1 4 de milla 3 veces

C. El tiempo transcurrido mirando 1 4 de una película de 3 horas

D. La cantidad de avena que se necesita para una receta si 1 4 de libra es 3 veces la cantidad que Eddie necesita.

Patrones en la multiplicación de números decimales

Modelo de área

Patrones en el valor posicional

¿Cuál es mayor?

1. ¿Qué expresiones son equivalentes a 0.15? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 5 × 3 10

B. 5 × 0.03

C. 5 10 × 3 10

D. 0.05 × 3

E. 0.05 × 0.03

2. Completa los espacios con el factor correcto para que las ecuaciones sean verdaderas. Usa la ecuación dada. 24 × 314 = 7,536

a. 240 × = 7,536

b. 2.4 × = 7,536

Patrones en la multiplicación de números decimales

En esta lección:

• reconocimos patrones en los factores al multiplicar números enteros y números decimales.

Ejemplos

1. Completa los espacios con el factor correcto para que las ecuaciones sean verdaderas.

a. 0.036 × 100 = 3.6

b. 0.36 × 10 = 3.6

c. 3.6 × 1 = 3.6

d. 36 × 0.1 = 3.6

e. 360 × 0.01 = 3.6

Observa cómo cambia el valor posicional de cada dígito en los factores cuando se multiplica por potencias de 10. Cada ecuación da como resultado el mismo producto.

2. Completa los espacios con el factor correcto para que las ecuaciones sean verdaderas. Usa la ecuación dada.

4.3 × 6.04 = 25.972

a. 0.43 × 60.4 = 25.972

b. 0.43 × 6.04 = 2.5972

c. 43 × 0.604 = 25.972

d. 4.3 × 0.604 = 2.5972

Cuando un factor se divide entre una potencia de 10 y el otro factor se multiplica por la misma potencia de 10, el producto permanece igual.

Cuando un factor se divide entre una potencia de 10 y el otro factor permanece igual, el producto se divide entre la misma potencia de 10.

3. ¿Qué expresiones son equivalentes a 0.48? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 8 × 6 10

B. 8 × 0.06

C. 8 10 × 6 10

D. 0.08 × 0.06

E. 0.08 × 6

8 grupos de 6 centésimos equivalen a 48 centésimos.

8 décimos multiplicados por 6 décimos equivalen a 48 centésimos.

6 grupos de 8 centésimos equivalen a 48 centésimos.

4. ¿Qué expresiones son equivalentes a 0.4 × 0.8? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 4 × 0.01 × 8 × 0.01

B. 4 × 0.1 × 8 × 0.1

C. 4 × 1 1,000 × 8 × 1 100

D. 4 × 0.001 × 8 × 0.1

E. 4 × 10 × 8 × 0.001

F. 4 × 8 × 1 10 × 1 10

G. 4 10 × 8 10

4 10 es equivalente a 0.4 y 8 10 es equivalente a 0.8. Por lo tanto, esta expresión es equivalente a 0.4 × 0.8

4 × 0.1 = 0.4 y 8 × 0.1 = 0.8

Por lo tanto, esta expresión es equivalente a 0.4 × 0.8

(4 × 10) × (8 × 0.001) = 40 × 0.008. Multiplicar el factor 40 por 0.01 y el factor 0.008 por 100 no cambia el producto. Por lo tanto, esta expresión es equivalente a 0.4 × 0.8

La expresión es equivalente a (4 × 1 10 ) × (8 × 1 10 ).

4 × 1 10 = 4 10 y 8 × 1 10 = 8 10

Por lo tanto, esta expresión es equivalente a 0.4 × 0.8

1. Ordena las expresiones de menor a mayor.

A. 5 × 0.22

B. 5 × 0.201

C. 5 × 0.21

D. 5 × 0.2

2. Ordena las expresiones de menor a mayor.

A. 18 × 303 1,000

B. 18 × 3 10

C. 18 × 39 100

D. 18 × 37 100

3. Ordena las expresiones de menor a mayor.

A. 350 × 0.03

B. 35 × 3.1

C. 3.5 × 0.32

D. 0.35 × 0.33

4. Completa los espacios para que las ecuaciones sean verdaderas. Usa cada número de la columna Factor solo una vez.

5. Completa los espacios con el factor correcto para que las ecuaciones sean verdaderas.

a.

b.

6. Completa los espacios con el factor correcto para que las ecuaciones sean verdaderas. Usa la ecuación dada.

× 5.02 = 18.574

a.

b.

c. × 0.502 = 18.574

d. × 0.502 = 1.8574

7. Empareja cada expresión de la columna A con una expresión de la columna B que tenga el mismo valor.

8. ¿Qué expresiones son equivalentes a 0.24? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 8 × 3 10

B. 8 × 0.03

C. 8 10 × 3 10

D. 0.08 × 0.03

E. 0.08 × 3

9. ¿Qué expresiones son equivalentes a 0.7 × 0.3? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 7 × 0.01 × 3 × 0.01

B. 7 × 0.1 × 3 × 0.1

C. 7 × 1 1,000 × 3 × 1 100

D. 7 × 0.001 × 3 × 0.1

E. 7 × 10 × 3 × 0.001

F. 7 × 3 × 1 __ 10 × 1 __ 10

G. 7 10 × 3 10

10. Lacy dice que 54 × 2.37 es menor que 54 porque 54 se multiplica por un número decimal. ¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con Lacy? Explica.

11. Scott dice que 5.4 × 0.237 es menor que 5.4. Eddie dice que 5.4 × 0.237 es mayor que 5.4. ¿Estás de acuerdo con Scott o con Eddie? ¿Por qué?

12. Completa los espacios con el producto correcto para que las ecuaciones sean verdaderas. Usa la ecuación dada.

21 × 13 = 273

a. 21 × 1.3 =

b. 210 × 13 =

c. 21 × 1,300 =

d. 2.1 × 1.3 =

e. 2.1 × 0.13 =

f. 0.21 × 0.13 = Recuerda

En los problemas 13 a 16, suma o resta.

17. Ryan corre 3 4 de milla. La distancia es 2 3 de su objetivo diario. ¿Cuál es el total del objetivo de Ryan en millas durante 3 días?

18. ¿Qué situaciones se pueden representar por 6 ÷ 1 _ 2 ? Elige todas las opciones que correspondan.

A. El número de horas que un avión estuvo en el aire si voló 1 _ 2 de su vuelo de 6 horas

B. El número de hamburguesas de 1 2 libra que se pueden hacer con 6 libras de carne

C. El número de trozos de chocolate si 6 barras de chocolate se dividen por la mitad

D. El peso de la mochila de Kelly si tiene 6 carpetas que pesan 1 2 libra cada una

E. El número total de huevos que Blake necesita para hacer una tortilla si 6 huevos es 1 2 del número total de huevos que necesita

F. La cantidad de mezcla de frutos secos en cada bolsita si Ryan reparte 1 _ 2 libra de mezcla en partes iguales entre 6 bolsitas

Multiplicación con números decimales

1. Determina la información que necesitas y las operaciones que puedes usar para responder cada pregunta.

a. ¿Cuál es el número total de pennies que se usaron para hacer la obra de arte?

b. ¿Cuál es la longitud de la obra de arte en pulgadas? ¿Cuál es el ancho de la obra de arte en pulgadas?

c. ¿Cuál es el valor total en dólares de los pennies que se usaron para hacer la obra de arte?

d. ¿Cuál es el peso total en gramos de los pennies que se usaron para hacer la obra de arte?

e. Si todos los pennies que se usaron para la obra de arte estuvieran apilados, ¿cuál sería la altura de la pila?

Multiplicar números decimales

En los problemas 2 y 3, multiplica. Justifica tu razonamiento para la ubicación del punto decimal en el producto.

2. 17.125 × 6

3. 11.5 × 23.5

En los problemas 4 a 7, suma los productos de las partes (a) a (c) para calcular la suma.

Aplicaciones de la multiplicación con números decimales

8. El ancho de un salón de clases rectangular es 29.25 pies. La longitud del salón de clases es 31.5 pies.

a. ¿Cuál es el área del salón de clases en pies cuadrados?

b. Una compañía cobra $0.40 por pie cuadrado para encerar un piso. ¿Cuál es el costo para encerar el piso del salón de clases?

9. La Sra. Song quiere beber 2.2 litros de agua por día. Para la hora del almuerzo, ha bebido el 85 % de su cantidad diaria de agua.

a. ¿Cuál es la cantidad total de agua en litros que ha bebido la Sra. Song para la hora del almuerzo?

b. ¿Cuántos litros más de agua necesita beber la Sra. Song para alcanzar su cantidad de agua diaria?

Multiplicación con números decimales

En esta lección:

• multiplicamos números decimales usando el algoritmo estándar.

Ejemplos

1. Coloca un punto decimal en el producto para que la ecuación sea verdadera.

18.6 × 3.07 = 57102

57.102

2. Multiplica.

162.868

21.43 × 7.6

Usa la estimación para determinar dónde colocar el punto decimal en el producto. Una forma de estimar es redondear los factores a 20 y 3, porque estos números son simples para multiplicar mentalmente. El punto decimal debería colocarse a la derecha de 57 porque 20 × 3 = 60 y 57 está cerca de 60.

Cuando el algoritmo estándar se usa para multiplicar números decimales, el número de dígitos a la derecha del punto decimal en el producto es igual a la suma del número de dígitos a la derecha del punto decimal en cada factor. Observa que 21.43 tiene dos dígitos a la derecha del punto decimal, mientras que 7.6 tiene uno. Por lo tanto, el producto debería tener tres dígitos a la derecha del punto decimal.

3. Blake gana $1,025.75 todos los meses en su trabajo. Gana un adicional de $13.50 cada vez que corta el césped de un jardín. El mes pasado, Blake cortó el césped de 4 jardines.

a. ¿Cuánto dinero ganó Blake el mes pasado cortando el césped de los jardines?

13.50 × 4 = 54

Blake ganó $54 el mes pasado cortando el césped de los jardines.

b. ¿Cuál es la cantidad total de dinero que ganó Blake el mes pasado?

1,025.75 + 54 = 1,079.75

Blake ganó un total de $1,079.75 el mes pasado.

Al sumar números decimales, asegúrate de alinear los sumandos de manera que sean unidades semejantes las que sumas.

No es necesario incluir ceros al final de un número decimal cuando se usa el algoritmo estándar. La expresión

13.50 × 4 es equivalente a 13.5 × 4. Los productos 54.00, 54.0 y 54 son todos equivalentes.

4. Lacy quiere comprar una bicicleta que cuesta $65.50. Lacy ahorró el 70 % de la cantidad que necesita para comprar la bicicleta. ¿Cuánto dinero ahorró Lacy?

65.5 × 0.7 = 45.85

Lacy ahorró $45.85.

Recuerda que el 70 %

es 70 100 , o 0.7. Multiplica 0.7 por 65.5 para determinar el 70 % de $65.50

En los problemas 1 a 4, estima el producto.

En los problemas 5 a 8, coloca un punto decimal en cada producto para que las ecuaciones sean verdaderas.

En

problemas 9 a 14, multiplica.

13. 2.405 × 0.9

14. 14.98 × 6.7

15. ¿Qué expresión tiene un producto mayor: 8.2 × 4.19 u 8.28 × 4.09? Explica cómo lo sabes.

16. Una carrera tiene 6.21 millas de largo. Adesh corre a un ritmo constante de 1 milla cada 9.5 minutos. A ese ritmo, ¿puede Adesh correr la carrera en menos de 1 hora? Justifica tu respuesta.

17. La entrenadora de un gimnasio gana $2,456.75 todos los meses. Gana un adicional de $4.75 cada vez que vende una membresía del gimnasio. El mes pasado, vendió 32 membresías.

¿Cuál es la cantidad total de dinero que ganó la entrenadora el mes pasado?

18. Kayla quiere comprar un juego de arte que cuesta $58.50. Kayla ahorró el 80 % de la cantidad que necesita para comprar el juego de arte. ¿Cuánto dinero ahorró Kayla?

Recuerda

En los problemas 19 a 22, calcula la suma o la diferencia.

25. Considera el diagrama.

a. Usa el diagrama para emparejar cada descripción con su razón.

b. Usa el diagrama para escribir una razón diferente a las de la parte (a). Usa el lenguaje de las razones para describir la razón que escribiste.

Aplicaciones de las operaciones con números decimales

Hábitat 67 es un edificio de apartamentos ubicado en Montreal, Quebec, en Canadá. En 1967, el arquitecto Moshe Safdie diseñó este edificio único que, hasta el día de hoy, se mantiene como monumento histórico. La visión de Safdie era reinventar el edificio de apartamentos mediante la creación de hogares accesibles en la ciudad que tuvieran atributos propios de los hogares fuera de la ciudad. Su lema era “Jardines para todos”.1 Hábitat 67 está formado por 354 bloques de hormigón agrupados. Su diseño geométrico brinda a quienes residen en los apartamentos jardines en la azotea, aire fresco, privacidad y luz natural. Cada apartamento tiene acceso a por lo menos un jardín en la azotea, muchos de ellos construidos en el techo de un apartamento vecino.

Construir un hábitat

Pautas para el hábitat

Usa 20 cubos para construir un modelo de tu propio hábitat. Debes usar los 20 cubos.

• Cada cubo representa un hogar de tu hábitat. El hábitat entero debe ser una pieza.

• Tu hábitat debe tener al menos 3 plantas. La primera planta debe tener de 2 a 8 cubos. La cara inferior de cada cubo de la primera planta debe estar de forma horizontal.

• Las caras de los costados visibles de los cubos representan las paredes con ventanas. Las caras superiores visibles de los cubos representan los jardines en la azotea.

• Debes construir tu modelo inspirándote en Hábitat 67. Cada cubo debe tener por lo menos 2 caras de los costados visibles para que el apartamento tenga más ventanas y entre luz natural. Cada cubo debe tener una cara superior visible o estar conectado a un cubo con una cara superior visible para que cada apartamento tenga acceso a un jardín en la azotea.

1 Andrew

© Great Minds PBC

McIntosh y Jennifer Carter, “Habitat 67”, The Canadian Encyclopedia.

Costo

• El costo por planta es $5,467.16.

• Hay 1 jardín en la azotea por cada cara superior visible. El costo por jardín en la azotea es $5,648.40.

• Hay 2 ventanas por cada cara de los costados visibles. El costo por ventana es $546.42.

• Una unidad de tierra es un cuadrado o un cuadrado cerrado visible desde la vista superior del edificio. Considera la vista superior del hábitat A y la vista superior del hábitat B.

Hábitat AHábitat B

El hábitat A tiene 10 unidades de tierra porque hay 10 cuadrados visibles desde la vista superior del edificio. El hábitat B tiene 12 unidades de tierra porque hay 10 cuadrados y 2 cuadrados cerrados visibles desde la vista superior del edificio. El costo por unidad de tierra es $4,260.90.

• El impuesto sobre bienes inmuebles es el 3 % del costo total de las unidades de tierra. La cantidad de impuesto se suma al costo total del hábitat.

Ingresos

• Un apartamento representado por un cubo con 4 caras de los costados visibles y una cara superior visible se vende por $16,249.99.

• Un apartamento representado por un cubo con 4 caras de los costados visibles y sin una cara superior visible se vende por $14,889.99.

• Un apartamento representado por un cubo con 3 caras de los costados visibles y una cara superior visible se vende por $11,249.99.

• Un apartamento representado por un cubo con 3 caras de los costados visibles y sin una cara superior visible se vende por $9,889.99.

• Un apartamento representado por un cubo con 2 caras de los costados visibles y una cara superior visible se vende por $7,249.99.

• Un apartamento representado por un cubo con 2 caras de los costados visibles y sin una cara superior visible se vende por $5,889.99.

1. Ingresa el número de plantas de tu hábitat, el número de jardines en la azotea, el número de ventanas y el número de unidades de tierra. Usa las tasas dadas para calcular el costo total de cada tipo de elemento.

Tipo de elemento

Plantas

Jardines en la azotea

Ventanas

Unidades de tierra

Número de elementos Costo por elemento Costo total

$5,467.16 por planta

$5,648.40 por jardín en la azotea

$546.42 por ventana

$4,260.90 por unidad de tierra

2. Calcula el impuesto sobre bienes inmuebles de tu hábitat.

3. Calcula el costo total de tu hábitat.

4. Ingresa el número de cada tipo de cubo de tu hábitat. Usa las tasas dadas para calcular el ingreso total por cada tipo de cubo.

Tipo de cubo Número de cubos Precio de venta por cubo Ingresos

4 caras de los costados visibles, 1 cara superior visible

4 caras de los costados visibles, 0 cara superior visible

3 caras de los costados visibles, 1 cara superior visible

3 caras de los costados visibles, 0 cara superior visible

2 caras de los costados visibles, 1 cara superior visible

2 caras de los costados visibles, 0 cara superior visible

5. Calcula el ingreso total de tu hábitat.

$16,249.99

$14,889.99

$11,249.99

$9,889.99

$7,249.99

$5,889.99

6. Si tu costo total del problema 3 es menor que tu ingreso total del problema 5, completa la parte (a). En caso contrario, completa la parte (b).

a. Resta tu costo total de tu ingreso total. Completa el espacio con la diferencia.

Mi hábitat da como resultado una ganancia de .

b. Resta tu ingreso total de tu costo total. Completa el espacio con la diferencia.

Mi hábitat da como resultado una pérdida de .

En la lección de hoy, ¿cómo calculaste el costo total, el ingreso total y la ganancia o pérdida de tu hábitat? Explica cómo las características de tu diseño dieron como resultado una ganancia o una pérdida para tu hábitat.

Aplicaciones de las operaciones con números decimales

En esta lección:

• usamos operaciones con números decimales para calcular el costo, los ingresos y las ganancias o las pérdidas.

Ejemplos

Yuna compra materiales para hacer pulseras y venderlas en una feria de artesanías.

a. Yuna compra 4 cajas de cuentas de colores que cuestan $13.49 cada una. Compra 4 cajas de cuentas de cristal que cuestan $12.00 cada una. Compra 1 paquete de elásticos a $2.50

¿Cuál es el costo total de Yuna por la compra de estos materiales?

4 × 13.49 = 53.96

3 × 12.00 = 36

53.96 + 36 + 2.50 = 92.46

El costo total de Yuna por la compra de todos estos materiales es $92.46.

La cantidad total que Yuna gasta en materiales para hacer pulseras es el costo total.

b. En la mañana de la feria de artesanías, Yuna vende 12 pulseras a $4.50 cada una. Luego, vende 18 pulseras a $3.75 cada una. ¿Cuál es el ingreso total de Yuna?

12 × 4.50 = 54

18 × 3.75 = 67.5

54 + 67.5 = 121.5

El ingreso total de Yuna es $121.50.

La cantidad total que Yuna gana por la venta de pulseras es el ingreso total.

c. ¿La venta de pulseras dio como resultado una ganancia o una pérdida para Yuna? Determina la ganancia o la pérdida.

121.5 − 92.46 = 29.04

La venta de pulseras dio como resultado una ganancia de $29.04 para Yuna.

Yuna obtuvo una ganancia porque el ingreso total es mayor que el costo total. La ganancia se calcula restando el costo total del ingreso total.

1. Describe las diferentes operaciones matemáticas que usaste en la lección de hoy para diseñar tu hábitat y determinar tu ganancia o pérdida.

En los problemas 2 a 7, calcula.

2. 0.53 + 21

3. 137.28 × 4 4.

8. Lisa abre un puesto de limonada.

a. Para comenzar con el puesto de limonada, Lisa necesita comprar vasos, limones y azúcar.

Compra 4 paquetes de vasos que cuestan $2.89 cada uno. Compra 12 limones que cuestan $0.39 cada uno y 1 bolsa de azúcar que cuesta $1.25. ¿Cuál es el costo total de Lisa para abrir el puesto de limonada?

b. El primer día de venta, Lisa vende 22 vasos de limonada a $1.00 cada uno. El segundo día, Lisa vende 18 vasos de limonada a $0.75 cada uno. ¿Cuál es el ingreso total de Lisa?

c. Después de vender limonada durante esos dos días, ¿obtuvo Lisa una ganancia o una pérdida? Determina la ganancia o la pérdida.

9. Noah hace 20 collares para perros para vender en una feria de artesanías. Le cuesta $29.80 comprar todos los materiales que necesita para los collares. Noah vende 11 collares para perros a $2.25 cada uno. ¿Obtuvo Noah una ganancia o una pérdida en la feria de artesanías?

Determina la ganancia o la pérdida.

Recuerda

En los problemas 10 a 13, suma las fracciones. Escribe la respuesta como un número mixto.

14. ¿Qué expresiones son equivalentes a 0.18? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 6 × 3 10

B. 6 × 0.03

C. 6 10 × 3 10

D. 0.06 × 3

E. 0.06 × 0.03

15. Cada recta numérica está dividida en partes iguales. Escribe una fracción en cada recuadro para rotular las marcas de graduación.

Dividir un costo

Bien, números grandes... ¿pero qué significan?

COSTO POR AÑO (antes de dividir)

Parques nacionales

Bibliotecas públicas

Ejército

$3 billones

$12 billones

$700 billones

Salud (después de dividir)

$3,500 billones

¡Vaya! ¡El ejército y la salud sí que son caros!

COSTO POR AÑO

Parques nacionales

Bibliotecas públicas

Ejército

Salud

$9 por persona

$36 por persona

$2,121 por persona

$10,600 por persona

¿Qué tabla es más fácil de comprender?

Al pensar en un país tan grande como los Estados Unidos, puede ser difícil entender los números. ¿Cuánto es exactamente 12 billones? ¿Y 700 billones? En los Estados Unidos, un billón es un 1 seguido de 9 ceros, pero en Hispanoamérica la cifra es incluso mayor: ¡un billón es un 1 seguido de 12 ceros! ¡Eso es mucho dinero!

Pero si divides estos números gigantescos entre la población de los Estados Unidos (aproximadamente 330 millones de personas), los números se vuelven más identificables. Así, se obtienen cifras per cápita, o por persona. En cierto modo, en los Estados Unidos se invierten $9 por persona en los parques nacionales (ya sea que esa persona en particular vaya a 20 parques al año o a ninguno).

¿Qué observas acerca de estos números y qué te preguntas?

Cocientes parciales

División de arriba abajo

1. Divide.

946 ÷ 8

Método de los cocientes parciales

2. Divide.

885 ÷ 7

3. Divide.

885 ÷ 15

4. Considera 3,184 ÷ 24.

a. Estima el cociente. Justifica tu estimación.

b. Divide.

Considera 453 ÷ 32

a. Estima el cociente. Justifica tu estimación.

b. Divide.

Cocientes parciales

En esta lección:

• estimamos cocientes;

• escribimos cocientes como números mixtos;

• dividimos números enteros de varios dígitos usando el método de los cocientes parciales.

Ejemplos

1. Considera 475 ÷ 6.

a. Estima el cociente.

80

b. Traza un diagrama o usa el método de los cocientes parciales para hallar el cociente.

Para estimar el cociente, redondea el dividendo y el divisor a números que se puedan dividir mentalmente.

480 ÷ 6 = 80

Distribuimos 75 en cada uno de los 6

Restamos 450 de 475 y hallamos que quedan 25

Distribuimos 4 en cada uno de los 6 grupos, y 6 × 4 = 24.

Restamos 24 de 25 y hallamos que queda 1.

Dado que el residuo es menor que el divisor, se puede escribir como la fracción 1 6 , donde el residuo es el numerador y el divisor es el denominador.

2. Considera 3,565 ÷ 65.

a. Estima el cociente.

50

b. Traza un diagrama o usa el método de los cocientes parciales para hallar el cociente. –260 –3,250

54 55 65

50454

Estimar el cociente puede ayudar a confirmar si la respuesta después de dividir es razonable.

3,500 ÷ 70 = 50

50 es el mayor múltiplo de 10 que se puede distribuir en cada uno de los grupos de 65 porque

50 × 65 = 3,250 y 60 × 65 = 3,900

4 es el mayor número entero que se puede distribuir en cada uno de los 65 grupos porque 4 × 65 = 260 y 5 × 65 = 325.

Los dos cocientes parciales, 50 y 4, se suman para obtener 54. Dado que el residuo de 55 es menor que el divisor, se puede escribir como la fracción 55 65

1. Considera 590 ÷ 6

a. Estima el cociente.

b. Traza un diagrama o usa el método de los cocientes parciales para hallar el cociente.

2. Considera 254 ÷ 21.

a. Estima el cociente.

b. Traza un diagrama o usa los cocientes parciales para hallar el cociente.

3. Considera 4,812 ÷ 75.

a. Estima el cociente.

b. Traza un diagrama o usa los cocientes parciales para hallar el cociente.

En los problemas 4 a 11, divide.

17. La factorización prima de un número es 2 × 2 × 5. La factorización prima de otro número es 2 × 3 × 5

a. ¿Cuál es el máximo común divisor de estos dos números?

b. ¿Cuál es el mínimo común múltiplo de estos dos números?

c. ¿Cuáles son los dos números?

El algoritmo estándar para la división

El algoritmo estándar para la división

En los problemas 1 a 5, divide. Según sea necesario, expresa los cocientes como números mixtos.

1. 6,194 ÷ 19

2. 802 ÷ 32

3.

4.

143

5.

4,809 ÷ 4

3,432 ÷

55,233 ÷ 51

El algoritmo de Euclides

6. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 840 y 660.

Divide usando el algoritmo estándar para la división. Expresa el cociente como un número mixto.

8,247 ÷ 16

El algoritmo estándar para la división

En esta lección:

• dividimos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo estándar;

• usamos el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de dos números.

Ejemplos

En los problemas 1 y 2, divide usando el algoritmo estándar para la división. Según sea necesario, expresa los cocientes como números mixtos.

1.

2. 800 ÷ 38 –38 –76 38800 40 2 21 1 21 2

Una estrategia que ayuda al dividir entre un número como 18 es crear una tabla que muestre los múltiplos de 18

Múltiplos de 18

1 × 18 = 18

2 × 18 = 36

3 × 18 = 54

4 × 18 = 72

Comienza mirando la posición de las centenas en el dividendo. No hay ningún múltiplo del divisor, 18, que esté cerca de 7, pero que no sea mayor que 7. Reagrupa 7 centenas y combina con 5 decenas para obtener 75 decenas. Dado que 4 × 18 = 72, que está cerca de 75, pero no es mayor que 75, registra un 4 en la posición de las decenas del cociente.

Resta 72 decenas de 75 decenas para obtener 3 decenas. Reagrupa las 3 decenas con las 6 unidades para obtener 36 unidades. Luego, divide 36 entre 18. Dado que 2 × 18 = 36, no sobra nada, es decir, no hay residuo.

Dado que el residuo es menor que el divisor, escríbelo como la fracción 2 38 , donde el residuo es el numerador y el divisor es el denominador.

3. Usa el algoritmo de Euclides para hallar el máximo común divisor de 480 y 396. Dividendo Divisor

Algoritmo estándar para la división

El máximo común divisor de 480 y 396 es 12

1. Escribe el número más grande en la columna Dividendo y el número más pequeño en la columna Divisor.

2. Divide y registra el cociente y el residuo.

3. El divisor anterior es el nuevo dividendo.

4. El residuo es el nuevo divisor.

5. Repite el proceso hasta obtener un residuo de 0 El último divisor usado es el máximo común divisor.

Podemos usar la división en lugar de la resta repetida en el algoritmo de Euclides, un método para hallar el máximo común divisor de dos números.

En los problemas 1 a 10, divide. Según sea necesario, expresa los cocientes como números mixtos.

÷ 61

11. Elige dos problemas de los problemas 1 a 10. Luego, usa la estimación para mostrar que tu cociente es razonable.

12. Noah comete un error cuando divide 1,004 entre 20.

a. ¿De qué número debe estar cerca el cociente? Usa la estimación.

b. Describe el error de Noah.

c. ¿Cuánto es 1,004 ÷ 20?

Recuerda

En los problemas 13 a 16, suma.

En los problemas 17 a 19, ¿el cociente es mayor que 17.2 o menor que 17.2? Explica tu razonamiento.

20. ¿Qué par de fracciones y números decimales son equivalentes? Elige todas las opciones que correspondan. A.

Expresar cocientes como números decimales

Cocientes como números decimales

1. Divide. Expresa el cociente como un número decimal. ̶56

2. Divide. Expresa el cociente como un número decimal.

2,046 ÷ 16

3. Divide. Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

7 ÷ 9

4. Divide. Redondea tu respuesta al centésimo más cercano.

626 ÷ 117

Resolución de problemas de división

5. Riley divide 11,586 entre 24, como se muestra. Llega a la conclusión de que el cociente es 482.18

a. ¿Por qué el cociente que halló Riley, 482.18, es incorrecto?

b. Halla el cociente correcto expresado como un número decimal.

6. Durante su carrera en las Grandes Ligas de Beisbol, Hank Aaron jugó para los Milwaukee Braves y los Atlanta Braves.

• El primer año en que Hank Aaron jugó para los Milwaukee Braves fue 1954. Ese año, bateó 131 hits en 468 turnos al bate.

• El primer año en que Hank Aaron jugó para los Atlanta Braves fue 1966. Ese año, bateó 168 hits en 603 turnos al bate.

El promedio de bateo de un jugador se calcula dividiendo el número de hits entre el número de turnos al bate. Los promedios de bateo se expresan en milésimos. ¿En qué año Hank Aaron tuvo el promedio más alto de bateo? Divide hasta tres posiciones después del punto decimal.

Divide. Expresa el cociente como un número decimal.

8,274 ÷ 16

Expresar cocientes como números decimales

En esta lección:

• dividimos números enteros de varios dígitos usando el algoritmo estándar;

• expresamos cocientes como números decimales.

Ejemplos

En los problemas 1 a 3, divide.

Registra un punto decimal y un 0 en la posición de los décimos. El residuo ahora es 30 décimos.

Luego, calcula 30 ÷ 6.

Registra un 0 en la posición de los centésimos si todavía hay un residuo. Continúa con estos pasos hasta que el residuo sea 0 o hasta que haya suficientes dígitos después del punto decimal para redondear a un valor posicional dado.

Cuando el dividendo sea menor que el divisor, las unidades se deben reagrupar como décimos. Comienza registrando un punto decimal y un 0 en la posición de los décimos. Luego, calcula 360 ÷ 80.

1. Coloca un punto decimal en el cociente donde creas que corresponda. Justifica tu respuesta.

6,450 ÷ 16 = 403125

En los problemas 2 a 11, divide. Cuando sea necesario, redondea tu respuesta al décimo más cercano.

12. Sasha divide 1,449 entre 18 y obtiene un cociente de 8.5.

a. ¿Es razonable la respuesta de Sasha? ¿Por qué?

b. Considera el trabajo de Sasha. Describe el error de Sasha. – 144

13. Un ejemplo del promedio de bateo de un jugador de beisbol es 0.279. El promedio de bateo de un jugador se calcula dividiendo el número de hits entre el número de turnos al bate. Los promedios más altos de bateo son los mejores promedios de bateo.

a. Elige un jugador con un promedio de bateo que sea mejor que el del ejemplo, 0.279. Explica.

b. Elige un jugador con un promedio de bateo que sea peor que el del ejemplo, 0.279. Explica.

Recuerda

En los problemas 14 a 16, suma.

17. Considera 453 ÷ 32.

a. Estima el cociente. Explica cómo hiciste la estimación.

b. Calcula el cociente. Expresa el residuo como una fracción. Muestra tu trabajo.

18. Blake y Leo asisten a la misma escuela intermedia. Blake vive a 5 4 de milla de la escuela. Leo vive a 1 3 5 millas de la escuela. ¿En cuál de las siguientes opciones se comparan correctamente las dos distancias?

A. 5 4 de milla < 1 3 5 millas

B. 5 4 de milla > 1 3 5 millas

C. 5 4 de milla = 1 3 5 millas

D. 1 3 5 millas < 5 4 de milla

Problemas de división del mundo real

1. Escribe un problema verbal para esta ecuación.

40 ÷ 10 = 4

El acertijo de los $179.00

Los problemas 2 a 4 se pueden representar con 179 ÷ 18. Considera si esto significa que todos los problemas tienen la misma respuesta.

179 ÷ 18 ≈ 9.944

2. Tienes $179.00 para comprar libros. Cada libro cuesta $18.00. ¿Cuál es el mayor número de libros que puedes comprar?

3. Quieres ganar $179.00. Puedes ganar $179.00 si vendes libros a $18.00 cada uno. ¿Cuántos libros debes vender para ganar $179.00?

4. Tienes $179.00. Divides los $179.00 en partes iguales entre 18 personas. ¿Cuánto dinero obtiene cada persona?

Lo desconocido

5. Kayla prepara 175 onzas de limonada para una venta de limonada. Quiere llenar cada vaso con 8 onzas de limonada. ¿Cuál es el mayor número de vasos de 8 onzas que puede llenar Kayla?

6. En un día, un hotel alquila 56 habitaciones y gana $6,678. El costo del alquiler es el mismo para todas las habitaciones. ¿Cuál es el costo por habitación?

7. Una familia hace un viaje por carretera. Conducen 475 millas por día. ¿En qué día la familia habrá conducido 1,615 millas?

8. Una escuela compra 228 computadoras portátiles nuevas. Este número es 6 veces la cantidad de computadoras portátiles que la escuela compró el año pasado. ¿Cuántas computadoras portátiles compró la escuela el año pasado?

9. La longitud de un tablero de madera es 3 pies. El tablero se divide en 8 trozos iguales de madera. ¿Cuál es la longitud, en pies, de cada trozo de madera?

10. Toby tiene 493 nickels con los que quiere armar rollos. Cada rollo lleva 40 nickels. ¿Cuál es el número más grande de rollos de nickels que puede armar Toby?

Narrar historias

11. Escribe el problema que creó tu grupo. Escribe la solución del problema.

12. Escribe el problema que creó el otro grupo. Escribe la solución del problema.

Un estadio de futbol tiene 4,608 asientos. Cada sección del estadio tiene 144 asientos. ¿Cuántas secciones de asientos hay en el estadio? Explica.

Problemas de división del mundo real

En esta lección:

• resolvimos problemas de división del mundo real;

• creamos problemas de división del mundo real.

Ejemplos

1. Una florería tiene 284 margaritas para armar 15 ramos. El encargado de la florería pone el mismo número de margaritas en cada ramo. ¿Cuántas margaritas pone en cada ramo?

Presta atención al redondear en determinadas situaciones. No hay suficientes margaritas para que cada ramo tenga

19 porque 19 × 15 = 285. Entonces, hay que redondear

18.9 hacia abajo, a 18

El encargado de la florería pone 18 margaritas en cada ramo.

2. El centro de estudiantes establece el objetivo de recaudar $400 con la venta de latas de palomitas de maíz. Vende cada lata de palomitas de maíz a $7

a. ¿Cuántas latas de palomitas de maíz debe vender el centro de estudiantes para alcanzar el objetivo?

El centro de estudiantes no puede vender una parte de una lata de palomitas de maíz. Vender 57 latas no será suficiente para alcanzar el objetivo de $400, porque 57 × 7 = 399. Por lo tanto, el centro de estudiantes debe vender 58 latas de palomitas de maíz.

El centro de estudiantes debe vender 58 latas de palomitas de maíz para alcanzar el objetivo.

b. Leo dice que el centro de estudiantes debe vender 57 latas de palomitas de maíz. Dice: “El cociente es aproximadamente 57.1. Redondeé hacia abajo, a 57, porque 57.1 está más cerca de 57 que de 58”. ¿Estás de acuerdo con Leo? Explica. No estoy de acuerdo con Leo. Si el centro de estudiantes vende 57 latas de palomitas de maíz, no alcanza el objetivo de $400. En este caso, tenemos que redondear hacia arriba, a 58 latas de palomitas de maíz, porque el centro de estudiantes no puede vender 0.1 de una lata de palomitas de maíz.

1. En una clase de educación física hay 50 estudiantes. El maestro quiere organizar equipos de 8 estudiantes para un juego.

a. ¿Pueden dividirse 50 estudiantes en equipos de 8 estudiantes? Explica.

b. Sugiere el número de estudiantes que puede haber en cada equipo. Todos los equipos deben tener el mismo número de estudiantes. Explica tu respuesta.

2. Hay 368 estudiantes que van a ir de excursión. Un autobús escolar puede transportar a 64 estudiantes. ¿Cuántos autobuses se necesitan para transportar a 368 estudiantes? Explica.

3. Una senderista tiene 93 onzas de granola. Quiere armar bolsitas de 6 onzas de granola. ¿Cuál es el mayor número de bolsitas de 6 onzas que puede armar? Explica.

4. Un club escolar recauda $1,230 en una actividad para recaudar fondos. El club quiere usar todo el dinero para comprar mochilas y donarlas a sus estudiantes. Una mochila cuesta $12. ¿Cuál es el mayor número de mochilas que puede comprar el club? Explica.

5. La maestra Baker prepara estaciones de ciencias para sus estudiantes. Para cada estación se necesitan exactamente 250 mililitros de vinagre. ¿Cuál es el mayor número de estaciones que puede preparar la maestra Baker con 1,890 mililitros de vinagre? Explica.

6. La maestra Song tiene 300 tarjetas para repartir entre sus 32 estudiantes. Quiere entregar el mismo número de tarjetas a cada estudiante. ¿Cuál es el mayor número de tarjetas que puede entregar a cada estudiante? Explica.

7. Yuna tiene 3 paquetes de chicle. En cada paquete hay 5 barras de chicle. Yuna quiere darles todos los chicles a 4 amigos y repartirlos en partes iguales entre los 4 amigos. ¿Cuántas barras de chicle recibirá cada amigo? Explica.

8. El objetivo de Ryan es recaudar $250 por la venta de velas. Vende cada vela a $13.

a. ¿Cuántas velas debe vender Ryan para alcanzar su objetivo?

b. Julie dice que Ryan debe vender 19 velas. Dice: “El cociente es aproximadamente 19.23. Redondeé hacia abajo, a 19, porque 19.23 está más cerca de 19 que de 20”. ¿Estás de acuerdo con Julie? Explica.

Recuerda

En los problemas 9 a 11, suma.

12. Estima el cociente. Luego, calcula el cociente usando el algoritmo estándar. Expresa el cociente como un número mixto.

7,226 ÷ 23

13. Usa <, > o = para hacer que cada oración numérica sea verdadera.

a. 0.756 0.736

b. 0.110 0.11

c. 0.0883 0.83

d. 1.03 1.035

División con números decimales

Caracoles de vacaciones

Oye, es un día precioso. ¿Quieres ir a la playa?

¡Qué gran plan! ¡Cuenta conmigo!

Dime, ¿a cuánto queda la playa?

A unas 70 millas.

¿A qué velocidad vamos?

A unas 0.03 mi/h.

Así que tardaríamos...

Unas 2,300 horas.

¿Al menos es una playa realmente bella?

¡Lo sabremos en 3 meses!

70 dividido entre 0.03 es aproximadamente 2,300. Esto, por sí solo, es apenas una operación matemática.

Pero, si incluyes algunas unidades y dices que “70 millas” dividido entre “0.03 millas por hora” da como resultado “aproximadamente 2,300 horas”, obtienes de repente un dato sobre animales. Específicamente, ¿por qué los caracoles casi nunca van de vacaciones a la playa? Aunque una persona en auto puede hacer el viaje en un día, ¡un caracol apenas puede completar el viaje de ida y vuelta en medio año!

Dividir un número decimal entre un número entero

1. Completa los espacios con cinco dígitos diferentes para hacer una oración numérica verdadera.

Razonar sobre la división con números decimales

2. ¿Es 168.3 ÷ 3 igual a 561, 56.1, 5.61 o 0.561? Explica.

3. Usa las operaciones de división para completar los espacios y hacer que cada oración numérica sea verdadera.

a. 144 ÷ 12 =

b. 14.4 ÷ 12 =

c. 1.44 ÷ 12 =

d. 1.44 ÷ 120 =

e. 14.4 ÷ 1,200 =

4. Sin dividir, escribe tres expresiones de división que sean equivalentes a 42.68 ÷ 9.

5. Tyler determina que 82.4 ÷ 8 es igual a 10.3 porque 80 ÷ 8 = 10 y 2.4 ÷ 8 = 0.3 y 10 + 0.3 = 10.3. ¿Es correcto el razonamiento de Tyler? Explica.

Usar el algoritmo estándar con un número decimal como dividendo

En los problemas 6 a 9, estima el cociente. Luego, usa el algoritmo estándar para dividir.

6. 61.65 ÷ 5

Estimación:

7. 316.2 ÷ 12

Estimación:

8. 15.17 ÷ 37

Estimación:

9. 0.294 ÷ 14

Estimación:

Dividir un número decimal entre un número entero

En esta lección:

• estimamos cocientes usando el razonamiento del valor posicional;

• dividimos un número decimal entre un número entero de varios dígitos usando el algoritmo estándar para la división.

Ejemplos

En los problemas 1 y 2, estima el cociente. Luego, usa el algoritmo estándar para dividir.

1. 582.61 ÷ 41

Estimación: 15

14.21

Para estimar el cociente, primero redondea 582.61 a 600 y 41 a 40

60 decenas ÷ 4 decenas = 15

Por

Observa que el punto decimal del dividendo y del cociente se alinean, ya que el dividendo y el cociente se alinean según el valor posicional.

Estimar un cociente antes de dividir puede ayudar a confirmar si la respuesta es razonable.

3. Las libretas cuestan $4 cada una. ¿Cuál es el mayor número de libretas que Tyler puede comprar con $50.50?

Divide 50.5 entre 4 para determinar el mayor número de libretas de $4 que Tyler puede comprar con $50.50

El cociente es 12.625. Tyler tiene dinero suficiente para comprar 12 libretas. No tiene dinero suficiente para comprar 13 libretas porque 13 × 4 = 52

÷

Tyler puede comprar 12 libretas.

1. Usa la estimación para evaluar 8,627.5 ÷ 35

A. 2,465

B. 246.5

C. 24.65

D. 2.465

2. Sin dividir, usa potencias de 10 para escribir tres expresiones de división que sean equivalentes a 35.78 ÷ 6.

3. ¿Qué expresiones son equivalentes a 486 ÷ 30? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 486 ÷ 10 ÷ 3

B. 4,860 ÷ 3,000

C. 48.6 ÷ 3

D. 4.86 ÷ 0.03

E. 0.0486 ÷ 0.003

En los problemas 4 a 7, calcula el cociente.

8. Toby compra camisas nuevas. Las camisas cuestan $8 cada una. ¿Cuál es el mayor número de camisas que Toby puede comprar con $107.60?

9. Adesh tiene 4.65 libras de fruta seca. Coloca la fruta seca en 5 bolsitas. Coloca una cantidad igual de fruta seca en cada bolsita. ¿Cuántas libras de fruta seca coloca Adesh en cada bolsita?

Recuerda

En los problemas 10 a 13, resta.

14. Divide. Expresa el cociente como un número decimal. Si es necesario, redondea al milésimo más cercano.

7,235 ÷ 14

15. Usa <, > o = para hacer que cada oración numérica sea verdadera.

Dividir un número decimal entre otro número decimal mayor que 1

Números decimales como divisores

En los problemas 1 a 3, escribe la expresión de división como la división de dos números enteros. Luego, divide.

1. 6 ÷ 1.2

2. 4.5 ÷ 1.5

3. 5.25 ÷ 2.5

Dividir números decimales con el algoritmo estándar

En los problemas 4 a 7, escribe la expresión de división con números decimales como una expresión equivalente con un número entero como divisor. Luego, estima el cociente y usa el algoritmo estándar para dividir.

4. 39.2 ÷ 4.9

Expresión de división equivalente:

Estimación:

5. 34.84 ÷ 6.7

Expresión de división equivalente:

Estimación:

6. 11.61 ÷ 8.6

Expresión de división equivalente:

Estimación:

7. 0.3808 ÷ 1.12

Expresión de división equivalente:

Estimación:

Análisis de errores en la división con números decimales

8. Para calcular 3.69 ÷ 1.2, Lacy escribe la expresión de división como 369 ÷ 12. Explica el error de Lacy.

9. Para calcular 45.8 ÷ 4.16, Leo escribe su división de la siguiente manera. Explica el error de Leo.

416 4 5.8

Divide usando el algoritmo estándar.

Dividir un número decimal entre otro número decimal mayor que 1 En esta lección:

• dividimos un número decimal entre otro número decimal mayor que 1 usando el algoritmo estándar.

Ejemplos

1. Jada dice que puede hallar 64.28 ÷ 2.5 si calcula 642.8 ÷ 25

¿Está Jada en lo correcto? Explica.

Sí. Jada multiplica tanto el dividendo como el divisor de 64.28 ÷ 2.5 por 10 para crear la expresión de división equivalente 642.8 ÷ 25.

Multiplicar el dividendo y el divisor por el mismo valor no cambia el cociente.

En los problemas 2 a 4, escribe la expresión de división con números decimales como una expresión equivalente con un número entero como divisor. Luego, usa el algoritmo estándar para dividir.

2. 149.1 ÷ 3.55

Expresión equivalente: 14,910 ÷ 355

Multiplica tanto el dividendo como el divisor por 100 para crear una expresión de división equivalente con un número entero como divisor. La expresión 14,910 ÷ 355 es equivalente a 149.1 ÷ 3.55.

Expresión equivalente:

Multiplica el dividendo y el divisor por la misma potencia de 10 para crear una expresión de división equivalente con un número entero como divisor. Observa que no es necesario que el dividendo sea un número entero.

El residuo no es 0 al restar 390 de 468. Para continuar dividiendo, coloca un punto decimal a la derecha del 8 en la posición de las unidades en el dividendo de manera que se pueda escribir un 0 en la posición de las decenas.

1. ¿Qué expresiones son equivalentes a 634.7 ÷ 1.23? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 6,347 ÷ 12.3

B. 63,470 ÷ 123

C. 634.7 ÷ 12.3

D. 634.7 ÷ 123

E. 63.47 ÷ 12.3

F. 63.47 ÷ 123

2. Jada dice que puede hallar 38.4 ÷ 1.6 si calcula 384 ÷ 16. ¿Está Jada en lo correcto? Explica.

En los problemas 3 a 10, calcula el cociente.

Recuerda

En los problemas 12 a 15, resta.

16. Un criador de gallinas recoge huevos y los coloca en envases de cartón. Recoge 384 huevos y coloca 12 huevos en cada envase. ¿Cuántos envases de cartón llena el criador?

17. El maestro Pérez organiza una fiesta con pizzas para su clase. Quiere saber cuántas pizzas debería pedir para 30 estudiantes. Hay 8 porciones por pizza. ¿Cuál es el menor número de pizzas que puede pedir para que cada estudiante reciba 3 porciones?

A. 8 pizzas

B. 10 pizzas

C. 11 pizzas

D. 12 pizzas

Dividir un número decimal entre otro número decimal menor que 1

División con números decimales usando el algoritmo estándar

En los problemas 1 a 3, escribe la expresión de división con números decimales como una expresión equivalente con un número entero como divisor. Luego, estima el cociente y usa el algoritmo estándar para dividir. Si es necesario, redondea las respuestas al centésimo más cercano.

1. 1.472 ÷ 0.32

Expresión de división equivalente:

Estimación:

2. 4.714 ÷ 0.021

Expresión de división equivalente:

Estimación:

3. 0.128 ÷ 0.15

Expresión de división equivalente:

Estimación:

Estaciones de división con números decimales

Instrucciones: Trabaja en pareja para completar tantas estaciones como puedan en el tiempo asignado. Después de completar una estación, comprueben su solución con su maestra o maestro antes de pasar a una nueva estación. Pueden completar las estaciones en cualquier orden. Justifiquen sus soluciones.

Estación 1

Estación 2

Estación 3

Estación 4

Dividir un número decimal entre otro número decimal menor que 1 En esta lección:

• dividimos un número decimal entre otro número decimal menor que 1 usando el algoritmo estándar;

• resolvimos problemas del mundo real dividiendo un número decimal entre otro número decimal.

Ejemplos

1. ¿Qué expresiones de división son equivalentes a 5.2 ÷ 0.045? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 52 ÷ 0.45

B. 252 ÷ 0.45

C. 520 ÷ 4.5

D. 0.52 ÷ 0.045

E. 5,200 ÷ 45

2. Divide.

Multiplica tanto el dividendo como el divisor por 10 para crear esta expresión equivalente.

Multiplica tanto el dividendo como el divisor por 100 para crear esta expresión equivalente.

Multiplica tanto el dividendo como el divisor por 1,000 para crear esta expresión equivalente.

Multiplica tanto el dividendo como el divisor por 100 para crear una expresión equivalente que no tenga un punto decimal en el divisor.

3. Divide. Si es necesario, redondea al centésimo más cercano.

Para redondear al centésimo más cercano, primero calcula el cociente a la posición de los centésimos.

0.251 ≈ 0.25

El punto decimal del cociente se alinea con el punto decimal del dividendo, ya que el cociente y el dividendo se alinean según el valor posicional.

4. Una carretera mide 12.8 millas de largo. Hay una farola a 0.8 millas del inicio de la carretera.

Hay una farola cada 0.8 millas a partir de allí. ¿Cuántas farolas hay a lo largo de la carretera?

Divide 12.8 entre 0.8 para determinar el número de farolas a lo largo de la carretera de 12.8 millas.

Hay 16 farolas a lo largo de la carretera.

1. ¿Cuánto es 0.21 ÷ 0.07 ? Explica.

2. ¿Qué expresiones de división son equivalentes a 2.3 ÷ 0.056? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 23 ÷ 0.56

B. 2.3 ÷ 0.56

C. 230 ÷ 5.6

D. 0.23 ÷ 0.056

E. 2,300 ÷ 56

En los problemas 3 a 10, divide.

11. Un club de atletismo dispone estaciones de hidratación cada 0.8 millas en una carrera de 6.2 millas. ¿Cuántas estaciones de hidratación dispone el club?

12. Una farmacéutica tiene 18.5 gramos de una determinada medicación. La farmacéutica llena cápsulas con la medicación. Cada cápsula debe contener 0.735 gramos de la medicación. ¿Cuántas cápsulas puede llenar la farmacéutica?

Recuerda

En los problemas 13 a 16, resta.

17. Divide usando el algoritmo estándar. Expresa el cociente como un número decimal. Si es necesario, redondea al centésimo más cercano.

15.535 ÷ 12

18. ¿Qué valores son mayores que 409.806? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 409.186

B. 409.81

C. 490.806

D. 409.086

E. 409.805

Vivir en Marte

La vida en Marte

Registra tus notas y cálculos para cada sección. Si es necesario, redondea las respuestas al centésimo más cercano.

1. Mensaje de radio

2. Oxígeno

3. Agua

4. Alimento

5. Total

6. Costo

Nombre Fecha

La Estación Espacial Internacional (ISS, por sus siglas en inglés) orbita la Tierra a una velocidad de aproximadamente 4.76 millas por segundo. Supón que orbita a una velocidad constante.

¿Aproximadamente cuántos minutos tarda la ISS en recorrer 1,000 millas? Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

Vivir en Marte

En esta lección:

• resolvimos problemas del mundo real usando operaciones con números decimales.

Ejemplos

1. Marte tiene menos gravedad que la Tierra. Entonces, la altura del salto de una persona en la Tierra es alrededor de 0.38 veces la altura que tendría el salto de la persona en Marte.

La altura del salto de Ryan en la Tierra es 13.5 pulgadas. ¿Cuál sería la altura del salto de Ryan en Marte? Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

La altura del salto de una persona en la Tierra es alrededor de 0.38 veces la altura del salto en Marte. Por lo tanto, 13.5 = 0.38 × ?. Para hallar el factor desconocido, divide 13.5 entre 0.38.

La altura del salto de Ryan en Marte sería alrededor de 35.5 pulgadas.

2. Un astronauta respira alrededor de 613.2 kilogramos de oxígeno en 2 años.

a. ¿Cuál es la cantidad total de oxígeno que necesitan 3 astronautas para sobrevivir en una estación espacial durante 2 años?

Multiplica la cantidad de oxígeno que 1 astronauta respira en 2 años por 3 para hallar la cantidad total de oxígeno que necesitan 3 astronautas.

Se necesitan aproximadamente 1,839.6 kilogramos de oxígeno para que 3 astronautas sobrevivan en una estación espacial durante 2 años.

b. ¿Qué cantidad de oxígeno se necesita por día para que 1 astronauta sobreviva en la estación espacial durante 2 años?

365 × 2 = 730

Multiplica el número de días en 1 año por 2 para hallar el número de días en 2 años. –

Divide la cantidad de oxígeno necesaria para 2 años entre el número de días en 2 años para determinar la cantidad de oxígeno que 1 astronauta necesita por día.

Se necesitan alrededor de 0.84 kilogramos de oxígeno por día para que 1 astronauta sobreviva en una estación espacial durante 2 años.

c. Un sistema de reciclaje de aire en la estación espacial produce solo aproximadamente 2 kilogramos de oxígeno por día. El resto del oxígeno que se necesita se provee a la estación espacial. ¿Qué cantidad de oxígeno debe proveerse a la estación espacial para que 3 astronautas sobrevivan durante 2 años?

2 × 365 × 2 = 1,460

713

1, 83 9.6

– 1, 46 0.0

37 9.6

El sistema de reciclaje de aire produce un total de 1,460 kilogramos de oxígeno en 2 años.

Deben proveerse aproximadamente 379.6 kilogramos de oxígeno a la estación espacial para que 3 astronautas sobrevivan durante 2 años.

1. Durante el despegue, un cohete tiene una masa de 2.3 millones de kilogramos. Después de haber usado suficiente combustible para alcanzar una altura de 61 kilómetros, su masa es 0.131 millones de kilogramos. ¿Cuánto combustible usa el cohete para alcanzar la altura de 61 kilómetros?

2. El número de días que tarda la Tierra en orbitar el Sol es aproximadamente 0.531 veces el número de días que tarda Marte en orbitar el Sol. La Tierra tarda 365 días en orbitar el Sol. ¿Cuántos días tarda Marte? Redondea tu respuesta al día más cercano.

3. La fuerza de gravedad en Marte es alrededor del 38 % de la fuerza de gravedad en la Tierra. Por lo tanto, el peso de un objeto en Marte es aproximadamente el 38 % del peso del objeto en la Tierra. Una bolsa de manzanas pesa 3 libras en la Tierra. ¿Cuántas libras pesará aproximadamente la bolsa de manzanas en Marte?

4. La distancia del Sol a la Tierra es 92.96 millones de millas. La luz viaja a aproximadamente 11 millones de millas por minuto. ¿Aproximadamente cuántos minutos tarda la luz en llegar del Sol a la Tierra? Redondea tu respuesta al centésimo más cercano.

5. La distancia más cercana de la Tierra a la Luna es alrededor de 225 mil millas. La distancia más cercana de la Tierra a Marte es alrededor de 34 millones de millas. ¿Aproximadamente cuántas veces la distancia más cercana de la Tierra a la Luna es la distancia más cercana de la Tierra a Marte? Redondea tu respuesta al décimo más cercano.

Recuerda

En los problemas 6 a 9, suma o resta.

10. Divide usando el algoritmo estándar. Redondea tu respuesta al milésimo más cercano.

11. Usa >, < o = para hacer que cada oración numérica sea verdadera.

a. 1.238 1.5

b. 6.736 6 × 1 + 7 × 0.1

c. 7 unidades + 8 décimos + 9 centésimos 7.890

Práctica mixta 1

1. El área del rectángulo que se muestra es 91 yardas cuadradas. ?

7 yd

a. ¿Cuál es la longitud del rectángulo?

b. ¿Cuál es el perímetro del rectángulo?

2. La tabla muestra el número de tazas de harina en ocho recetas diferentes de pan.

Receta de pan

Número de tazas de harina

a. Usa los datos de la tabla y la recta numérica que se muestra para crear un diagrama de puntos. Marca una × en el diagrama de puntos para el número de tazas de harina de cada receta.

b. ¿Cuántas recetas necesitan 1 1 2 tazas de harina?

c. ¿Cuántas recetas necesitan menos de 1 1 2 tazas de harina?

3. Una figura se forma apilando cubos de 1 pulgada en tres capas, como se muestra. ¿Cuál es el volumen de la figura en pulgadas cúbicas?

4. 10 de los 25 cubos de una torre son amarillos. Eddie dice: “La razón del número de cubos amarillos al número total de cubos es 10 : 25”. Sara dice: “La razón del número de cubos amarillos al número total de cubos es 25 : 10”. ¿Qué estudiante está en lo correcto? Explica tu razonamiento.

5. En la tienda Food Mart, el precio de una bolsita de 3 libras de papas es $3.75. En la tienda Save More, el precio de una bolsita de 5 libras de papas es $6.50. ¿Qué tienda cobra menos por libra de papas?

6. Blake recoge manzanas y las coloca en cestos. Blake trabaja a una tasa constante y llena 12 cestos con manzanas cada 8 horas.

a. ¿Cuántos cestos llena Blake con manzanas en 30 horas?

b. En cada cesto, caben 1,000 libras de manzanas. ¿Cuántas horas tarda Blake en llenar cestos con 15,000 libras de manzanas?

7. En una escuela, 180 estudiantes comen sándwiches en el almuerzo. Este número es el 45 % del número total de estudiantes de la escuela. ¿Cuál es el número total de estudiantes de la escuela?

A. 81

B. 99

C. 327

D. 400

En los problemas 8 a 10, escribe una expresión numérica para representar el enunciado.

8. Resta 1 2 de 3 4 . Luego, multiplica por 3.

9. Suma 8 y 6. Luego, divide entre 2.

10. Resta 8 del producto de 7 y 4.

Práctica

mixta 2

1. Completa la tabla.

© Great Minds

Nombre Fecha

Nombre en palabras Dibujo Punto D

Segmento de recta OE

2. Indica el punto que representa cada par ordenado.

3. Determina si cada enunciado es verdadero o falso.

a. El valor de 9 en el número decimal 2.19 es

del valor de 9 en 49.45

b. El valor de 9 en el número decimal 3.95 es

del valor de 9 en 96.31. c. El valor de 9 en el número decimal 9.82 es

veces el valor de 9 en 8.193

4. ¿Qué expresiones tienen un valor de 105 ? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 10 × 5

B. 10 + 5

C. 10,000

D. 100,000

E. 10 × 10 × 10 × 10 × 10

F. 10 + 10 + 10 + 10 + 10

5. Redondeado al décimo más cercano, ¿cuál de los siguientes números se convierte en 12.4? Elige todas las opciones que correspondan.

A. 12.45

B. 12.35

C. 12.445

D. 12.349

E. 12.371

6. Usa >, < o = para comparar los números.

a. 1.8 1.08

b. 3.6 3.60

c. 0.48 0.5

7. Kelly quiere preparar ponche de frutas en un recipiente de 5 galones. La receta de ponche

lleva 1 2 3 galones de jugo de piña, 1 3 4 galones de jugo de arándanos rojos y 2 galones de jugo de naranja. ¿Puede caber en el recipiente de 5 galones de Kelly la cantidad total del ponche de frutas? Explica.

8. Escribe una fracción en la línea para que el enunciado sea verdadero.

5 7 × 3 4 < 5 7 ×

ANúmero de respuestas correctas:

Práctica veloz

Encierra en un círculo cada número que sea un factor del número dado.

ANúmero de respuestas correctas:

Encierra en un círculo cada número que sea un factor del número dado.

BNúmero de respuestas correctas:

Progreso:

Encierra en un círculo cada número que sea un factor del número dado.

Práctica veloz

Encierra en un círculo cada número que sea un múltiplo del número dado.

ANúmero de respuestas correctas:

Encierra en un círculo cada número que sea un múltiplo del número dado.

BNúmero de respuestas correctas:

ANúmero de respuestas correctas:

Práctica veloz

Práctica veloz

ANúmero de respuestas correctas:

Práctica veloz

ANúmero de respuestas correctas:

BNúmero de respuestas correctas:

Créditos

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Cover, Gustave Caillebotte (1848–1894), Paris Street; Rainy Day, 1877. Oil on canvas, 212.2 x 276.2 cm (83 1/2 x 108 3/4 in.). Charles H. and Mary F. S. Worcester Collection. (1964.336). The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY; All other images are the property of Great Minds.

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Agradecimientos

Agnes P. Bannigan, Erik Brandon, Joseph T. Brennan, Beth Brown, Amanda H. Carter, Mary Christensen-Cooper, David Choukalas, Cheri DeBusk, Jill Diniz, Mary Drayer, Dane Ehlert, Scott Farrar, Kelli Ferko, Levi Fletcher, Krysta Gibbs, Winnie Gilbert, Julie Grove, Marvin E. Harrell, Stefanie Hassan, Robert Hollister, Rachel Hylton, Travis Jones, Raena King, Emily Koesters, Liz Krisher, Robin Kubasiak, Connie Laughlin, Alonso Llerena, Gabrielle Mathiesen, Maureen McNamara Jones, Bruce Myers, Marya Myers, Kati O’Neill, Ben Orlin, Darion Pack, Brian Petras, DesLey V. Plaisance, Lora Podgorny, Janae Pritchett, Bonnie Sanders, Deborah Schluben, Andrew Senkowski, Erika Silva, Ashley Spencer, Hester Sofranko, Danielle Stantoznik, Tara Stewart, Heidi Strate, James Tanton, Carla Van Winkle, Jessica Vialva, Caroline Yang

Ana Alvarez, Lynne Askin-Roush, Stephanie Bandrowsky, Mariel Bard, Rebeca Barroso, Brianna Bemel, Rebecca Blaho, Charles Blake, Carolyn Buck, Lisa Buckley, Shanice Burton, Adam Cardais, Cindy Carlone, Gina Castillo, Ming Chan, Tatyana Chapin, Christina Cooper, Kim Cotter, Gary Crespo, Lisa Crowe, David Cummings, Brandon Dawley, Cherry dela Victoria, Timothy Delaney, Delsena Draper, Erin DuRant, Sandy Engelman, Tamara Estrada, Ubaldo Feliciano-Hernández, Soudea Forbes, Liz Gabbard, Diana Ghazzawi, Lisa Giddens-White, Laurie Gonsoulin, Adam Green, Sagal Hassan, Kristen Hayes, Tim Heppner, Marcela Hernandez, Sary Hernandez, Abbi Hoerst, Elizabeth Jacobsen, Ashley Kelley, Sonia Khaleel, Lisa King, Sarah Kopec, Drew Krepp, Jenny Loomis, Antonia López, Stephanie Maldonado, Christina Martire, Siena Mazero, Thomas McNeely, Cindy Medici, Ivonne Mercado, Sandra Mercado, Brian Methe, Sara Miller, Mary-Lise Nazaire, Corinne Newbegin, Tara O’Hare, Max Oosterbaan, Tamara Otto, Christine Palmtag, Laura Parker, Toy Parrish, Katie Prince, Neha Priya, Jeff Robinson, Nate Robinson, Gilbert Rodriguez, Todd Rogers, Karen Rollhauser, Neela Roy, Gina Schenck, Aaron Shields, Madhu Singh, Leigh Sterten, Mary Sudul, Lisa Sweeney, Tracy Vigliotti, Bruce Vogel, Charmaine Whitman, Glenda Wisenburn-Burke, Samantha Wofford, Howard Yaffe, Dani Zamora

Herramienta para la conversación

Compartir tu razonamiento

Estar de acuerdo o en desacuerdo

Preguntar sobre el razonamiento

Sé que...

Lo hice de esta forma porque...

La respuesta es porque...

En mi dibujo, se ve...

Estoy de acuerdo porque...

Eso es verdadero porque...

No estoy de acuerdo porque...

Eso no es verdadero porque...

¿Estás de acuerdo o en desacuerdo con ? ¿Por qué?

¿Por qué has...?

¿Puedes explicar...?

¿Qué podemos hacer primero?

¿Cómo se relacionan y ?

Decirlo otra vez

Te escuché decir que... dijo que...

Otra manera de decir lo mismo es...

¿Qué significa eso?

Herramienta para el razonamiento

Cuando resuelvo un problema o hago una tarea, me pregunto...

Antes ¿He hecho algo parecido a esto antes?

¿Qué estrategia voy a usar?

¿Necesito alguna herramienta?

Durante ¿Está funcionando mi estrategia?

¿Debería intentarlo de otra manera?

¿Tiene sentido esto?

Después

¿Qué funcionó bien?

¿Qué haría de otra manera la próxima vez?

Al final de cada clase, me pregunto...

¿Qué aprendí?

¿Sobre qué tengo dudas?

LAS MATEMÁTICAS ESTÁN EN TODAS PARTES

¿Quieres comparar qué tan rápido corren tú y tus amigos y amigas?

¿Quieres estimar cuántas abejas hay en un panal?

¿Quieres calcular tu promedio de bateo?

Las matemáticas están detrás de muchas cosas maravillosas, de muchos acertijos y de muchos planes de la vida.

Desde tiempos remotos y hasta nuestros días, hemos usado las matemáticas para construir pirámides, para navegar los mares, para construir rascacielos, ¡y hasta para enviar naves espaciales a Marte!

Con tu curiosidad para comprender el mundo como combustible, las matemáticas te impulsarán en cualquier camino que elijas.

¿Todo listo para arrancar?

ISBN 979-8-89191-139-0

9 798891 911390

Módulo 1

Razones, tasas y porcentajes

Módulo 2

Operaciones con fracciones y números de varios dígitos

Módulo 3

Números racionales

Módulo 4

Expresiones y ecuaciones de un paso

Módulo 5

Área, área de la superficie y volumen

Módulo 6

Estadística

¿Qué tiene que ver esta pintura con las matemáticas?

El tema de esta pintura impresionista de perspectiva aérea es una intersección en París durante un día gris y lluvioso. En esta escena, Gustave Caillebotte crea una sensación de profundidad al usar la perspectiva y la proporción de diversas formas, por ejemplo, ubicando figuras grandes en primer plano y figuras más pequeñas a lo lejos. Imagina que hay un plano de coordenadas en el edificio del fondo. ¿Cómo podrías determinar la distancia desde el frente del edificio hasta el fondo usando el plano de coordenadas?

En la portada

Paris Street; Rainy Day, 1877

Gustave Caillebotte, French, 1848–1894

Oil on canvas

The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA

Gustave Caillebotte (1848–1894). Paris Street; Rainy Day, 1877. Oil on canvas, 212.2 x 276.2 cm (83½ x 108¾ in). Charles H. and Mary F. S. Worcester Collection (1964.336). The Art Institute of Chicago, Chicago, IL, USA. Photo Credit: The Art Institute of Chicago/Art Resource, NY