using_var_to_assess_risk by Dmitry Medvedev

Оценка рисков инвестиционного проекта методом VaR

3 основные ошибки в практической оценке риска в корпорациях РФ «VBM не актуален в условиях кризиса, большее значение приобретает управление рисками и устойчивостью» Управление рисками – это часть VBM. Существует проблема наращения ценности (максимизация NPV) и проблема удержания ценности (минимизация VaR). В разные периоды приоритеты меняются («пробойная» или «защитная» стратегии)  «Управление рисками проекта ничем не отличается от текущего управления рисками деятельности предприятия» Риски проектов относятся к моменту принятия решений и носят стратегический характер. Они относятся к качеству принимаемых решений и сделанных выводов. Риски деятельности относятся к периоду, на который оцениваются и хеджируются риски. И в одном, и в другом случаях применимы VaR, CFaR, ESF, но использоваться они должны по-разному  «Чем детальнее классификация рисков, тем эффективнее управление рисками (и выше финансирование на эти цели)» Излишне подробная классификация затрудняет анализ. Желание получить более существенное финансирование мотивирует менеджеров на генерирование более катастрофичных сценариев, неучет корреляции между рисками и т.п. Оценки становятся непрозрачными и смещенными 

Целесообразность использования концепции VaR в управлении инвестиционным портфелем и в текущем управлении рисками 



 

Оценить риск отдельного актива, что должно влиять на решение об открытии позиции (какую величину капитала ставим под удар?) Оценить влияние риска отдельного актива на риск инвестиционного портфеля банка, инвестиционного института, индивидуального инвестора Нормировать подверженность риску, формировать резервы в зависимости от VaR портфеля Бюджетировать и управлять стратегическими рисками инвестиционного портфеля

Определение VaR 

5% худших случаев



VaR – это максимальная потеря

ценности, которую может понести инвестор в течение определенного времени с вероятностью 1-α VaR – это минимальная потеря ценности, которую может прогнозировать инвестор в течение α% самых худших единичных интервалов времени (например, дней).

Существует 3 подхода к оценке VaR: А). Аналитическая VaR Б). Историческая VaR В). VaR, полученная путем моделирования по методу Монте-Карло VaR при 95% дов. вер.

VaR, оцененная по историческим данным и методом Монте-Карло Историческая VaR За основу берется исторический ряд данных о потерях ценности по периодам времени. VaR равна минимальной потере ценности за α% самых худших случаев (наблюдений) Преимущества:  Нет необходимости в гипотезе о нормальном распределении  Объективность (независимость от допущений менеджеров Недостатки:  Гипотеза о том, что историческая выборка представительна, и прошлые результаты повторятся в будущем

VaR, оцененная по методу Монте-Карло Вводятся случайные и дискретные параметры модели. Для случайных параметров задается распределение и корреляция. Путем нелинейной трансформации на выходе получают распределение для результирующего показателя – дохода. По полученному распределению оценивается VaR Преимущества:  Нет необходимости в гипотезе о нормальном распределении  Возможность моделировать сложные взаимосвязи между показателями и рисками Недостатки:  Сложность модели и исходные допущения

Аналитическая VaR 



Аналитический подход использует параметрическую статистику. Исследователь рассчитывает среднюю доходность портфеля E(R), ее стандартное отклонение σ(R) и, предполагая нормальное распределение, находит VaR: В процентах к ценности портфеля

VaR% = −[ E ( R ) + Z × σ ( R )]



В денежных единицах

VaR% = −[ E ( R ) + Z × σ ( R )] × V p



Иногда ожидаемая доходность (или ожидаемый эффект) принимается = нулю (если хочется оценить VaR не по отношению к текущей, а по отношению к ожидаемой ценности портфеля):

VaR% = −[ Z × σ ( R )] × V p Доверительная вероятность, %

Параметр Z

-1,28

-1,65

-2,03

-2,33

 

Преимущества: простота применения, достаточная надежность результатов расчетов Недостатки: нормальное распределение, результаты оценок показывают, что реальные гистограммы часто имеют «жирные хвосты», что приводит к недооценке вероятности экстремальных случаев

Расчет стандартных отклонений EX ANTE по сценариям

СПОСОБ ВЫРАЖЕНИЯ  

В процентах за период (стандартное отклонение доходности) В денежном выражении за период (стандартное отклонение дохода)



σ (V ) = σ ( R ) ×V p = 20% × 500 = 100

Для компаний, по которым можно разработать сценарии развития событий и определить доходности и соответствующие вероятности по каждому j-му сценарию, может быть применен расчет ex ante

σ=

∑p

( r j −E ( r )) 2

МЕТОД ОЦЕНКИ 

EX POST 

σ= 

ln( S opt / S pess )

Для компаний, имеющих представительную рыночную котировку, стандартное отклонение доходности рассчитывается по стандартной формуле (ex post):

∑( R

При наличии оптимистической и пессимистической оценки бизнеса, можно воспользоваться формулой:

σ=

− E ( R )) 2

n −1

Для компаний, типичных для отрасли, иногда можно применить среднеотраслевые данные о σ (с поправкой на страновой коэффициент, если берутся данные по США)

ПО ПРОГНОЗУ временных рядов  

Методом простого или экспоненциальновзвешенного скользящего среднего Методом ARCH и GARCH

Иллюстрация: расчет аналитической VaR инвестиционного портфеля Ценность портфеля Vp

500

Ожидаемая доходность E®

15%

Ст. отклонение σ®

20%

Доверительная вероятность Р

99%

VaR% = −[ E ( R ) + Z × σ ( R)] = −[15% − 2,33 × 20%] = 31,53% VaR = −[ E ( R) + Z × σ ( R)] × V p = 31,53% × 500 = 157,63 VaR0;% = −[ Z × σ ( R )] = −[−2,33 × 20%] = 46,53%

VaR0 = −[ Z × σ ( R )] × V p = 46,53% × 500 = 232,63

Годовая доходность переводится в другой интервал времени путем умножения на Т, стандартное отклонение – путем умножения на корень квадратный из Т, где Т – нужный интервал времени, выраженный в годах. Таким образом, VaR за квартал будет равна (Т=0,25):

VaR = −[ E ( R) × T + Z × σ ( R) × T ] × 500 = −[15% × 0,25 − 2,33 × 20% × 0,5] × 500 = 97,57

Внимание! Показатели по портфелю из двух активов  

Ожидаемая доходность (в %) E ( R p ) = W1 × E ( R1 ) + W2 × E ( R2 ) Ожидаемое стандартное отклонение доходности (в %) σ 2 ( R p ) = W12 × σ 2 ( R1 ) + W22 × σ 2 ( R2 ) + 2W1W2σ ( R1 )σ ( R2 ) ρ1, 2

Но! 

Ожидаемый доход (в денежных единицах)

E (V p ) = E (V1 ) + E (V2 )



Ожидаемое стандартное отклонение дохода (в денежных единицах) σ 2 (V p ) = σ 2 (V1 ) + σ 2 (V2 ) + 2σ (V1 )σ (V2 ) ρ1, 2

(то есть в случае дохода в формулах нет удельных весов Wj !)

Иллюстрация: расчет аналитической VaR по портфелю из двух видов активов Акции Ценность V Ст. отклонение σ® Ожидаемая доходность E®

Портфель

Облигации

75000

25000

18%

21%

13%

Коэффициент корреляции ρ

0,5

Доверительная вероятность Р

95%

Решение: W

0,75

E(Rp)

10,00%

σ(Rp)

16,75%

VaRp%

17,56%

VaRp 

0,25

17557

Пояснения: для VAR портфеля используются те же формулы, что и для VaR отдельных видов активов, только ожидаемая доходность и ожидаемый риск портфеля находится по известным формулам:

E ( R p ) = E ( R A ) × W A + E ( RO ) × WO

σ 2 ( R p ) = W A2 × σ 2 ( R A ) + WO2 × σ 2 ( RO ) + 2W AWOσ ( R A )σ ( RO ) ρ A,O

Управление и бюджетирование рисков Управление рисками  Идентификация приемлемого уровня риска  Оценка текущего уровня риска  Приведение в соответствие текущего и приемлемого уровней риска  Мониторинг процесса, постоянное поддержание текущего уровня риска в соответствии с приемлемым  Изменение, адаптация политики к новым условиям, новой информации Бюджетирование рисков  Директивно определяется приемлемый уровень риска для инвестиционного портфеля  Отбираются кандидаты на включение в портфель  Портфель формируется так, чтобы не превысить установленный уровень риска

Иллюстрация: бюджетирование рисков портфеля Ценность Vр исходного портфеля

500000

Ожидаемая доходность E®

Риск исходного портфеля σ(Rp)=

10%

VaRp Возможные добавления

116317 Актив А

Ценность V

Актив В 500000

500000

Ожидаемая доходность E®

Ст. отклонение σ®

12%

Коэффициент корреляции ρ

0,7

Предельное значение VaR

200

P=99%

Решение Портфель с добавлением Удельный вес с новом портфеле

Актива А

Актива В 50,00%

50,00%

8,76%

7,81%

Индивидуальный VaR компонента

104686

139581

VaRp c добавлением компонента

203805

181694

Ст. отклонение σ(Rp)

Добавили более рискованный актив (с большим индивидуальным VaR), а получили меньший риск по портфелю в целом

Маржинальная (компонентная) VaR 

Маржинальная (компонентная) VaR - это прирост VaR портфеля при добавлении в него нового актива (позиции) в определенной доле

MVaR1 = 203805 – 116317 = 87488 (при индивидуальной VaR = 104486) MVaR2 = 181594 – 116317 = 65277 (при индивидуальной VaR = 139581)



Приращенная VaR (incremental VaR) отличается тем, что для ее определения пытаются оценить, в какой степени добавление актива (позиции) повлияло на VaR исходного портфеля

Определение expected shortfall (ESF), или условной (conditional) VaR (CVaR) 

5% худших



случаев

 

VaR при 95% дов. вер.



Целесообразность введения: в реальности возможны стрессовые сценарии, при которых потери могут существенно превысить VaR ESF, или СVaR – это средняя потеря ценности, которую может прогнозировать инвестор в течение α% самых худших единичных интервалов времени (например, дней). Аналитический метод, нормальное распределение, E(R)=0: ESF в процентах за период 0,5 × Z 2 ESF% = − ×σ α × 2π в денежном выражении

ESF = ESF% ×V p ESF при 95% дов. вер.

Определение cost of VaR (стоимость VaR) Cost of VaR – это процентное отношение реальных потерь ценности портфеля, произошедшее в результате реализации рискового события, к VaR Cost of VaR = -ΔV/VaR Стоимость VaR устанавливается:  По историческим данным (путем исследования того, как прирост VaR предприятия отражается на величине убытков от реализации рисковых событий)  Методом ex ante ( математическое ожидание убытка от реализации рисковых событий в отношении к VaR)  Экспертным путем Зачем надо знать стоимость VaR (cost of VaR)  Зная стоимость VaR можно более точно оценить, что произойдет в результате сделки по изменению структуры портфеля (какие убытки реально понесет компания от возрастания VaR или доходы от снижения VaR)  На основе этого показателя можно оценить предельную величину затрат на финансирование мероприятий по избежанию рисков Ориентировочно: Cost of VaR = 5% - 20% в зависимости от вида риска, предприятия, условий работы

Целесообразность использования концепции VaR в оценке инвестиционных проектов 

  

Оценить риск отдельного проекта, что должно влиять на решение, уровень утверждения, мероприятия по защите от рисков (какую величину капитала ставим под удар, принимая данный проект?) Оценить влияние отдельного проекта на риск портфеля проектов (компании в целом) Нормировать подверженность риску (планировать предельные нормы показателей риска) Бюджетировать и управлять стратегическими рисками компании в процессе принятия инвестиционных решений

Определение VaR проекта 

Вероятность Р

 5% худших проектов

VaR проекта – это максимальная потеря ценности, которую может понести компания с вероятностью 100-α% при принятии данного инвестиционного проекта VaR – это минимальная потеря ценности, которую может получить компания, если данный проект станет одним из α% самых худших ее проектов

Существует 3 подхода к оценке VaR:

E(NPV) VaR (95%)

NPV

А). Аналитическая VaR Б). Историческая VaR В). VaR, полученная путем моделирования по методу Монте-Карло

Аналитическая VaR для проекта 

Аналитический подход использует параметрическую статистику. Исследователь рассчитывает ожидаемую чистую приведенную ценность проекта E(NPV): E ( NPV ) = ∑p j × NPV j



Ее абсолютное стандартное отклонение σ(NPV)

σ ( NPV ) = 

∑p

× ( NPV j − E ( NPV )) 2

и, предполагая нормальное распределение, находит VaR:

VaR = −[ E ( NPV ) + Z ×σ( NPV )] 

Иногда ожидаемая доходность (или ожидаемый эффект) принимается = нулю (если мы полагаем, что Е(NPV) проекта уже отразилась в ценности бизнеса):

VaR% =−[ Z ×σ( NPV )]

Доверительная вероятность, %

Параметр Z

-1,28

-1,65

-2,03

-2,33

 

Иллюстрация: Расчет VaR и уточнение NPV проекта с учетом «ценности под риском» Сценарии

NPV

NPV-E(NPV)

(NPV-E(NPV))^2

Оптимистический

0,1

47806

34822

1212543827

Умеренно-оптимистический

0,2

24047

11063

122381119

Нейтральный

0,4

12229

-755

570629

Умеренно-пессимистический

0,2

370

-12614

159123087

Пессимистический

0,1

-15712

-28696

823483373

E(NPV)= Доверительная вероятность

24536

Cost of VaR

15,7%

Expected shortfall

σ=

99%

VaR= Уточненная оценка E(NPV)

12984

9133 42986

(для принятия решения)

16129

Иллюстрация: Расчет VaR для портфеля проектов (бизнеса в целом) Сценарии

V-E(V)

(V-E(V))^2

Оптимистический

0,1

450000

50000

2500000000

Умеренно-оптимистический

0,2

425000

25000

625000000

Нейтральный

0,4

400000

Умеренно-пессимистический

0,2

375000

-25000

625000000

Пессимистический

0,1

350000

-50000

2500000000

E(V)=

400000

Доверительная вероятность VaR=

99% 63710

Макс. cost of VaR

15,7 %

Expected shortfall

72990

σ=

27386

Иллюстрация: влияние риска проекта на риск предприятия Предприятие Ценность V

Портфель

Проект NPV= 12984

400000

Ст. отклонение σ®

27386

16129

VaR

63710

24536

Коэффициент корреляции ρ Доверительная вероятность Р

0,5 99%

Решение: σ(Rp)

38103

VaR предприятия с проектом

75656

Изменение VaR предприятия

11947



Пояснение: для VAR портфеля используются те же формулы, что и для VaR проекта, только ожидаемый риск портфеля находится по формуле (индекс b – бизнес, индекс p – проект):

σ 2 (V p +b ) = σ 2 (Vb ) +σ 2 ( NPV p ) + 2σ(V B )σ( NPV p ) ρb , p

Выбор проекта по критерию минимизации VaR. Бюджетирование рисков проекта Ценность V предприятия

400000

Риск предприятия без проектов σ(Rp)=

27386

VaR предприятия без проектов

63710

Возможные добавления проектов

Проект А

Проект В

Дополнительная ценность NPV=

12984

15000

Стандартное отклонение σ®

16129

22000

Коэффициент корреляции ρ

0,5

60000

Р= 99%

Предельное значение VaR Решение Портфель с добавлением

Проекта А

Проекта В

Ст. отклонение σp по портфелю

38103

35128

Индивидуальный VaR компонента

24536

36180

Добавили более рискованный проект (с большей индивидуальной VaR), VaRp c добавлением компонента 75656 66721 а получили меньший риск по портфелю в целом

Маржинальная (компонентная) VaR 

Маржинальная (компонентная) VaR - это прирост VaR портфеля проектов компании при добавлении в него нового инвестиционного проекта

MVaR1 = 75656 – 63710 = 11946 (при индивидуальной VaR = 24536) MVaR2 = 66721 – 63710 = 3011(при индивидуальной VaR = 36180)



Приращенная VaR (incremental VaR) отличается тем, что для ее определения пытаются оценить, в какой степени добавление проекта повлияло на VaR исходного портфеля Внимание: излишняя ориентация на MVaR (IVaR) может привести к неоправданной диверсификации путем осуществления проектов, не вполне соответствующих стратегическому фокусу компании!

Определение денежного потока под риском (CFaR) проекта или бизнеса  Вероятность Р  5% худших исходов

CFaR проекта – это максимальная

потеря денежного потока, которую может понести компания за определенный период с вероятностью 100-α% CFaR – это минимальная потеря денежного потока, которую может получить компания, в α% самых худших (неблагоприятных) вероятных исходов

Существует 3 подхода к оценке VaR: А). Аналитический CFaR Б). Исторический CFaR В). CFaR, полученный путем моделирования по методу Монте-Карло E(CF) CFaR (95%)

Аналитический CFaR 

Аналитический подход использует параметрическую статистику. Исследователь рассчитывает ожидаемый денежный поток по проекту или бизнесу E(CF): E (CF ) = ∑p j ×CF j



Его абсолютное стандартное отклонение σ(CF)

σ (CF ) = 

∑p

×(CF j − E (CF )) 2

и, предполагая нормальное распределение, находит CFaR:

СFaR = −[ Z ×σ(CF )] Доверительная вероятность, %

Параметр Z

-1,28

-1,65

-2,03

-2,33

 

Иллюстрация: расчет аналитической CFaR компании, подразделения, проекта Прогнозируемый денежный поток

500

Стандартное отклонение σ®

200

Доверительная вероятность Р

99%

СFaR = −[ Z × σ (CF )] = −[−2,33 × 200] = 465,3 С вероятностью 99% денежный поток в анализируемом интервале времени не будет меньше

CF min = E (CF ) − [ Z × σ (CF )] = 500 − 465,3 = 34,7 Годовой CFaR переводится в другой интервал времени путем умножения на корень квадратный из Т, где Т – нужный интервал времени, выраженный в годах. Таким образом, CFaR за квартал будет равен (Т=0,25):

CFaR = −[ Z × σ ( R) × T ] = −[− 2,33 × 200 × 1 / 2] = 233

Иллюстрация: Расчет CFaR проекта, компании, бизнес-единицы или бизнес-подразделения по сценариям Сценарии

СF

CF-E(CF)

(CF-E(CF))^2

P*(CF-E(CF))

Оптимистический

0,1

1500

1000

1000000

100

Умеренно-оптимистический

0,2

1000

500

250000

100

Нейтральный

0,4

500

Умеренно-пессимистический

0,2

-500

250000

-100

Пессимистический

0,1

-500

-1000

1000000

-100

E(CF)=500 Доверительная вероятность

99%

CFaR=

1274

Макс. cost of CFaR Expected shortfall по CFaR

15,7% 1460

σ=548

Иллюстрация: Расчет CFaR при комбинировании видов деятельности, рисков и бизнесов

Предприятие

Проект

Денежные потоки

500

200

Ст. отклонение σ®

548

800

1274

1861

СFaR Коэффициент корреляции ρ Доверительная вероятность Р

0,5 99%

Решение: σ(Rp)

1174

CFaR объединенного потока

2731

Изменение СFaR исходного потока

1457

Использование VaR и CFaR VaR:  Банки и финансовые институты могут нарастить денежные потоки, но только при условии наращения капитала под управлением – при текущем управлении для них лучше VaR  Инвестиционные институты нацелены на зарабатывание капитала для своих инвесторов– при текущем управлении для них лучше VaR  Промышленные корпорации ставят своей целью максимизацию благосостояния долевых участников – для них лучше использовать VaR при оценке долгосрочных стратегических решений CFaR:  Нефинансовые фирмы и фирмы с ограниченной возможностью привлечения финансирования на рынке капитала покрывают свои потребности в развитии за счет внутренних денежных потоков – для текущего управления для них лучше CFaR

Объединение оценок NPV и VaR для принятия инвестиционных решений NPV

Эффективный Нерискованный «Овчарка»

Эффективный Рискованный «Бультерьер»

Неэффективный Нерискованный «Болонка»

Неэффективный Рискованный «Дворняга»

Линия толерантности

M VaR