EFFICIËNT TANDEN POETSEN

PYTHAGORAS

IN PYTHAGORAS KUN JE DE DAGELIJKSE BESLOMMERINGEN VAN DE FAMILIE VAN DER TORUS VOLGEN. DE FAMILIE VAN DER TORUS IS EEN HEEL NORMALE, GEMIDDELDE FAMILIE. VOOR ZOVER EEN FAMILIE VAN WISKUNDIGEN NORMAAL KAN ZIJN. ZE KOMEN ALLERLEI ALLEDAAGSE PROBLEMEN TEGEN. KOM JE ZELF UIT EEN WISKUNDIG GEZIN OF BEN JE EEN (MOGELIJK TOEKOMSTIGE) WISKUNDIGE, DAN KUN JE JE ERVARINGEN, VRAGEN EN IDEEËN DELEN MET DE FAMILIE VAN DER TORUS VIA EMAIL NAAR FAM.V.D.TORUS@PYTH.EU.

DOOR IRIS EN TOM VERHOEFF

PI

MICRO MILLI PHI

Micro staat te treuzelen in de badkamer. Draait een rondje, doet een dansje, leest alle etiketten van de flessen die al duizend keer gelezen zijn. Micro wil geen tanden poetsen. Niet dat tanden poetsen vreselijk is, maar het is zo onhandig. Het lukt Micro nooit om het efficiënt te doen, zonder een tand dubbel te poetsen of de tandenborstel rare sprongen te laten maken. Micro zou zo graag net als Milli en Phi en Pi tanden willen poetsen. In een vloeiende beweging met de tandenborstel, zonder rare sprongen en dubbele plekjes, maar toch alles poetsen.

‘Micro, schiet eens op!’ dringt Phi aan van buiten de badkamer. Het is bedtijd. ‘Ja, ja’, mompelt Micro, een arm naar de tandenborstel bewegend en eentje naar de tandpasta. De elektrische tandenborstel gaat aan met een klein klikje en begint dan te zoemen. Micro probeert het zo hard, maar het lukt niet. De tandenborstel komt op een doodlopende plek terecht en er is maar een optie mogelijk: het perfecte pad verpesten. De tandenborstel kan opgetild worden of tanden dubbel poetsen. Dat maakt nu niet meer uit. Verdrietig, borstelt Micro verder. Zelfs het liedje aan het einde van de twee minuten vrolijkt Micro niet op.

Met een lang gezicht komt Micro de badkamer uit.

‘Wat is er aan de hand?’ vraagt Phi bezorgd.

‘Ik wil ook zo netjes kunnen poetsen als jullie! In een keer.’ Micro stormt voorbij en gaat boos in bed zitten.

‘Oooh!’ Phi snapt eindelijk wat er elke avond aan de hand is de afgelopen weken bij het naar bed gaan. ‘Vind je het fijn als ik je help om het te leren?’

‘Nee’, zegt Micro meteen. Maar een paar seconden later komt er toch een verlegen, ‘Ja’.

‘Weet je nog hoeveel vlakken een snijtand of hoektand heeft?’ vraagt Phi, om Micro een beetje te helpen. ‘Een voor- en een achterkant’, antwoordt Micro.

‘Inderdaad. En een kies?’ ‘Die heeft ook nog een kauwvlak. Dus drie’, zegt Micro, iets meer opgebeurd nu er vragen komen die Micro wel kan beantwoorden. ‘Dat klopt. Kan je ook bedenken hoe je kan wisselen tussen boven en onder zonder de tandenborstel van je tanden af te laten komen?’ Phi maakt de vragen langzaam iets lastiger.

‘Ja’, Micro heeft dit al heel veel geoefend om het hele trucje te leren. ‘Als ik mijn tanden op elkaar zet!’

‘Heel goed! Je bent er al heel dichtbij. Denk er vanavond en morgenochtend maar even goed over na’, stelt Phi voor. ‘En als je het dan nog niet snapt, dan kunnen we het samen uittekenen.’

HINT De volgende dag heeft Micro toch nog wat hulp nodig.

‘Pak jij een papier en potlood?’ instrueert Phi en samen gaan ze aan tafel zitten om te kijken of ze er met een tekening uit kunnen komen.

Micro pakt het potlood vast en Phi vertelt wat er getekend moet worden.

‘We gaan een graaf tekenen’, begint Phi. Gelukkig weet Micro al wat een graaf is, want in dit wiskundige gezin gebruiken ze die wel vaker. ‘Alle vlakken zijn knopen en je mag ze met elkaar verbinden als je van dat vlak naar het andere vlak kan gaan met je tandenborstel zonder ‘m op te tillen.’

IJverig begint Micro te tekenen. Het helpt enorm, want als de tekening af is, denken ze samen nog even goed na en snapt Micro het!

Opeens is het een stuk makkelijker voor Pi en Phi om Micro ‘s avonds in bed te krijgen. Micro wil niets liever dan tanden poetsen en het nieuwe trucje testen.

OPLOSSING Micro wilde graag leren poetsen zoals Phi en Pi dat zo handig doen met hun elektrische tandenborstel. Maar Phi gaf het recept niet zo maar prijs. Het werd een ontdekkingsreis. Eerst eens een plaatje tekenen van het bovengebit met alle vlakken van tanden en kiezen die gepoetst moeten worden (het ondergebit is hetzelfde). Elk vlak is met een vette punt weergegeven in het bovenste diagram. Een lijntje tussen twee punten betekent dat je met de borstel zonder optillen van dat ene vlak naar het andere kan doorpoetsen. Dit is een gebit met verstandskiezen. Als je die niet hebt moet je het diagram aan beide uiteinden inkorten. Je ziet dat de kiezen ook een kauwvlak hebben naast het voor- en achtervlak. En op de uiteinden zijn er zijvlakken, die je natuurlijk ook moet poetsen.

De kunst is om in dat diagram een pad langs de lijntjes te vinden dat precies één keer langs elk punt (vlak) komt. Dit wordt wel een Hamiltonpad genoemd. Hamilton was een Iers wiskundige uit de 19e eeuw die zich met zulke problemen bezig hield. In het tweede diagram zie je hoe je alle vlakken precies één keer kan poetsen. Er zijn nog wel andere perfecte oplossingen, maar er moet ergens gezigzagd worden. Snap je waarom? Het derde diagram toont een oplossing met het minste aantal zigzags. Met wat meer zigzags lukt het zelfs om terug te komen waar je was begonnen (vierde diagram). Dat is een zogenaamde Hamiltoncykel. Als je zelf ook een mooie oplossing hebt gevonden dan wil de familie Van der Torus die graag horen. Voor het ondergebit werkt hetzelfde diagram (eventueel gespiegeld). Aan de uiteindes zijn de paden langs het boven- en ondergebit aan elkaar te maken door via een voorvlak over te stappen.

Pi vindt dat zigzaggen toch niet zo handig en volgt het onderste diagram, waarbij de achterkant van de tanden dubbel worden gepoetst (wat niet eens zo'n slecht idee is omdat daar, zeker bij het ondergebit, makkelijker tandsteen ontstaat). Heb je gezien dat Pi ook smokkelt door van een kauwvlak van een kies naar het achtervlak van een hoektand te springen en omgekeerd (de twee rode lijntjes)?

OEFENING 5

Vier van de vijf onderstaande vierhoeken hebben dezelfde oppervlakte. Welke vierhoek heeft een afwijkende oppervlakte?

A vierhoek A

B vierhoek B

C vierhoek C

D vierhoek D

E vierhoek E

3 4 5 6 Het is onmogelijk om het getal 2 als som van verschillende stambreuken te schrijven.

OEFENING 6

Stambreuken zijn breuken waarvan de teller 1 is en de noemer een natuurlijk getal verschillend van nul. Mats wil het getal 2 kunnen schrijven als som van een aantal verschillende stambreuken. Hoeveel stambreuken heeft hij daarvoor minstens nodig?

A B C D E In elk bolletje van de figuur hieronder moet het getal 1, 2, 3, 4 of 5 geplaatst worden zodat in elke rij, in elke kolom en in elke ketting van vijf verbonden bolletjes vijf verschillende getallen staan. Welk getal komt op de plaats van het vraagteken?

OEFENING 7

A 1

B 2

C 3

D 4

E 5