9 minute read
VOUWEN EN BOUWEN
ARS ET MATHESIS
MET VIERVLAK OF TETRAËDER WORDT DOORGAANS STILZWIJGEND HET OVERBEKENDE REGELMATIGE VIERVLAK BEDOELD WAARBIJ DE VIER ZIJVLAKKEN GELIJKZIJDIGE DRIEHOEKEN ZIJN. MINSTENS ZO UNIEK IS EEN VIERVLAK DAT DOOR DE BRITSE WISKUNDIGE JOHN HORTON CONWAY (1937 – 2020) OBTETRAHEDRILLE IS GENOEMD, EEN SAMENTREKKING VAN DE ENGELSE WOORDEN OBLATE EN TETRAHEDRILLE.
KLAAS LAKEMAN, ARS ET MATHESIS
EEN OTHD VOUWEN Maak in een vel A4 of A5 eerst vouwlijnen langs de rode streepjeslijnen en daarna langs de groene streepjeslijnen (figuur 1). Vouw de lijnstukken AH en HD om de groene streepjeslijnen HE en HG tegen elkaar aan zodat ze samenvallen. Plak ze bij ontbreken van plakstroken met tape aan elkaar vast. Laat evenzo door vouwen om de groene streepjeslijnen EF en GF de lijnstukken BF en FC samenvallen en plak ze ook met tape aan elkaar vast. Vouw vervolgens om EG de punten A, B, C en D naar elkaar toe zodat ze in een punt samenkomen. Plak dat zo goed mogelijk met tape aan elkaar. De lijnstukken AE en BE komen dan tegen elkaar aan en vallen samen. Hetzelfde geldt voor de lijnstukken DG en CG. Het resultaat is een obtetrahedrille, af te korten tot OTHD.
MET PLAKRANDEN Om een wat mooier model zonder tape te krijgen kan het ook met plakranden. Neem dan nog een tweede vel A4 of deel het doormidden tot twee vellen A5. Maak in beide vellen de aangegeven vouwen. Knip van het tweede vel de randen af, zodat er een ruit overblijft die over de flappen van het eerste vel geplakt kan worden (figuur 2).
A-REEKS PAPIERFORMATEN Er bestaan verschillende reeksen van papierformaten. De bekendste is de A-reeks. Een vel A4 uit die serie is in het dagelijks leven het gangbaarste formaat. De A-reeks bestaat uit een serie gelijkvormige rechthoekige vellen die opeenvolgend steeds een tweemaal zo kleine oppervlakte hebben. Bovendien is de verhouding tussen de lange en de korte zijde in die opeenvolgende rechthoekige vellen steeds hetzelfde. Wanneer een vel in oppervlakte wordt gehalveerd door het in de breedte in twee gelijke stukken te snijden, ontstaan twee even grote rechthoekige vellen waarvan de zijden dezelfde verhouding hebben als die van het oorspronkelijke rechthoekige vel. Uitgaande van de gegeven omschrijving kan die verhouding worden berekend. Neem bijvoorbeeld een rechthoekig vel met lengte L en breedte B. Snij dat in de breedte in twee gelijke delen, dan hebben die delen een lengte B en een breedte L/2. In de oorspronkelijke rechthoek is de verhouding van de zijden L/B en in de twee delen is die B/(L/2). En die verhoudingen moeten gelijk zijn, dus ofwel
Daaruit is de verhouding tussen L en B te berekenen als of
. De serie begint met een A0-vel dat bij afspraak een oppervlakte van 1 m2 heeft. Daarmee kunnen dan met de gegeven lengte-breedte verhouding de afmetingen van het A0-vel en alle andere vellen worden berekend (figuur 3). Bij A0 zijn de maten L= 1189 mm en B = 841 mm, enzovoort.
VERHOUDINGEN De vier zijvlakken van een OTHD zijn congruente gelijkbenige driehoeken. Uitgaande van de lengte-breedte verhouding in de A-reeks papierformaten kunnen de verhoudingen van de zijden van die gelijkbenige driehoeken en dus van de ribben
Figuur 1 Figuur 2
Figuur 3 Figuur 4
of randen van een OTHD worden berekend. De basis verhoudt zich tot de beide gelijkbenige zijden als . Uit de verhouding van de zijden zijn vervolgens de tophoek en de beide basishoeken te berekenen. De tophoek is 70,53° en de beide basishoeken zijn 54,74°.
OTHD IN KUBUS Normaal gesproken wordt een OTHD verkregen door uit te gaan van een kubus en die bijvoorbeeld op te delen in acht kleinere kubusjes. Vier van die op elkaar gestapelde kleinere kubusjes zoals geel aangegeven in figuur 4, sluiten dan een OTHD in. Neem voor de ribben van de grote kubus 2, dan worden de ribben van de acht kleine kubusjes 1. Eenvoudig is dan na te gaan dat de zijden van de rode OTHD in figuur 4 zich verhouden als . En daarmee kunnen ook weer de hoeken van de zijvlakken van de rode OTHD worden berekend. Figuur 4 toont ook dat een OTHD vier zijden met lengte heeft en twee met lengte 2. Die laatste twee kruisen elkaar onderling loodrecht. Het zal duidelijk zijn dat het vouwen van een velletje papier uit de A-formaat reeks tot een OTHD een constatering achteraf is, zoals William Gibb in 1990 liet zien.
SCHUIVEN De hoeken tussen de zijvlakken van een OTHD zijn met behulp van figuur 4 te bepalen. Eenvoudig blijkt al door goed kijken dat de hoek tussen de zijvlakken aan weerszijden van de langste zijde 90° is. Dat wordt nog eens bevestigd door de figuren 5 en 6. Figuur 5 zal geen toelichting behoeven. En in figuur 6 zijn twee OTHD’s zo tegen elkaar aangeschoven dat zonder meer duidelijk is dat de hoek tussen genoemde vlakken 90° is. De hoeken tussen de vlakken aan weerszijden van de andere randen zijn lastiger te berekenen. Maar gebruikmakend van die hoeken, kunnen drie OTHD´s zo tegen elkaar worden geschoven dat duidelijk wordt dat die hoeken 60° zijn (figuur 7).
Uit de figuren 6 en 7 blijkt dat OTHD´s handig tegen elkaar geschoven kunnen worden. Zo levert figuur 6 een piramide met als grondvlak
Figuur 5 Figuur 6 Figuur 7
een ruit met zijden waarin de loodrecht op elkaar staande diagonalen zich verhouden als of beter .
STAPELEN In figuur 4 is met acht eenheidskubussen een grotere gemaakt. Daarin zijn alle afmetingen tweemaal zo groot. Evenzo kan met acht OTHD´s een grotere OTHD worden gemaakt waarin ook alle afmetingen tweemaal zo groot zijn (figuur 8). In figuur 8B is de grote groene OTHD gemaakt met vellen papier van het formaat A5 en de acht kleinere met A7 velletjes. Merk nog op dat de afmetingen van de piramide in figuur 8B tweemaal zo groot zijn als die van figuur 6.
NOG EEN PIRAMIDE Maak in een vel A4 of A5 de in figuur 9A aangegeven vouwlijnen. Daarin worden de drie doorgetrokken groene lijnen dal-vouwen en de gestippelde lijnen berg-vouwen (figuur 9B). Plak de driehoeken aan weerszijden van de doorgetrokken groene lijnen tegen elkaar en het resultaat is een piramide met een vierkant grondvlak (figuur 9C). De opstaande vier zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken met dezelfde verhoudingen als de zijvlakken van een OTHD. Ga na dat deze piramide bestaat uit vier halve OTHD’s. Dat wordt helemaal duidelijk als in figuur 10 de driehoeken aan weerszijden van de korte horizontale groene lijnen tegen elkaar worden geplakt en de punten A naar elkaar toe worden gevouwen om de lange verticale groene lijn die nu berglijn is en dus gestippeld. Op die manier ontstaan twee tegen elkaar geschoven hele OTHD’s zoals in figuur 6, dus vier halve.
Figuur 8 Figuur 9
Figuur 10 Figuur 11 Figuur 12
NOG EEN MANIER Snij uit liefst eenzijdig gekleurd passe-partout karton vier rechthoeken met zijden die zich verhouden als (figuur 11, links). Pas op elk van die rechthoeken de aangegeven driehoek af. Snij tot halfweg de zijden van die driehoek inkepingen, iets breder dan de dikte van het karton. Schuif de vier rechthoeken middels die inkepingen rekening houdend met de kleur in elkaar (figuur 11, rechts). De vier rechthoeken sluiten dan een OTHD in die net als in figuur 4 op één hoekpunt staat. De acht uitstekende hoekpunten van de rechthoeken spannen de vier kubusjes op waarin de OTHD is in te sluiten. Vergelijk figuur 12 met figuur 4. Overigens is op deze manier naast een OTHD ook het regelmatig viervlak en elk ander gewenst viervlak te maken.
BOUWEN Uit de figuren 6, 7 en 8 blijkt al dat OTHD’s gemakkelijk in- en tegen elkaar aan te schuiven zijn. In de grote kubus van figuur 4 passen nog drie rechtopstaande OTHD’s. Samen met de al aanwezige rode hebben ze dan de rechtopstaande grote rand gemeenschappelijk en twee aan twee hebben ze een gemeenschappelijk zijvlak. Die vier OTHD’s vormen een achtvlak waarvan de zijvlakken congruent zijn aan die van een OTHD. Dit is ook aan te tonen door de holle piramide van figuur 9C als een soort schaaltje te gebruiken om er vier OTHD’s in te zetten (figuur 13). Twee piramides van figuur 9C met de grondvlakken tegen elkaar geplakt levert hetzelfde achtvlak. Zes van de piramides uit figuur 9C kunnen steeds met een zijvlak tegen elkaar worden geplakt. Dat levert een kubus (figuur 14). In die kubus zitten dus precies 6X4 = 24 halve OTHD’s, dus eigenlijk 12 hele. Met die constatering is het volume van een OTHD gemakkelijk te bepalen: namelijk een twaalfde deel van dat van de kubus. Anders gezegd: het volume van een OTHD is (a3)/12 met a de lengte van een van de twee lange randen van de OTHD, die ook de ribben van de kubus vormen.
RUITENTWAALFVLAK Op elk van de zes zijvlakken van de kubus van figuur 14 kan weer een piramide van figuur 9C worden gezet. Dat zijn dan 24 hele OTHD’s samengepakt tot een ruitentwaalfvlak (figuur 15). Uit figuur 16 blijkt dat de zijvlakken van dat ruitentwaalfvlak worden gevormd door het ruitvormige grondvlak van de piramide uit figuur 6. De zijden en de twee diagonalen van zo’n ruit verhouden zich als Zo wordt onder andere ook duidelijk dat het volume van een ruitentwaalfvlak tweemaal dat van de ingesloten kubus is. De twaalf ribben van deze kubus zijn de twaalf korte diagonalen van de twaalf zijvlakken van het ruitentwaalfvlak. Kortom, het volume van een ruitentwaalfvlak is 2r3 met r de lengte van de korte diagonaal van een ruitvormig zijvlak.
TOTAAL OBJECT In zijn Cube-Rhombic Dodecahedron heeft de Nederlandse kunstenaar Rinus Roelofs de vlakken van een ruitentwaalfvlak met die van de ingesloten kubus tot één totaal object weten te verenigen (figuur 17). Ook hier wordt weer duidelijk hoe door piramides of daken op een kubus te plaatsen een ruitentwaalfvlak zoals in figuur 15 ontstaat.
Figuur 13 Figuur 14 Figuur 15 Figuur 16
UNIEK Door kubussen op elkaar te stapelen kan de ruimte volledig worden opgevuld. Zonder kieren of gaten tussen de kubussen. Ze kunnen volledig op elkaar aansluiten. Door een kubus opgedeeld te denken zoals in figuur 14, zal duidelijk worden dat OTHD’s ook zo op elkaar kunnen worden gestapeld dat de ruimte volledig wordt opgevuld. Zonder kieren of gaten tussen de verschillende OTHD’s. Met een blokkendoos vol met OTHD’s zijn dus allerlei objecten te maken. De figuren 6, 7, 8 en 13 zijn daar enige eenvoudige voorbeelden van. Daarvan afgeleid zal het duidelijk zijn dat met het achtvlak uit figuur 13 en het ruitentwaalfvlak hetzelfde kan: door stapelen kunnen ze de ruimte volledig opvullen. Anders gezegd ze zijn ruimtevullend. Die ruimtevullende eigenschap maakt de OTHD tot een uniek viervlak. Het is namelijk het enige viervlak waarmee dat kan! Zelfs met het overbekende regelmatige viervlak kan het niet.
