VBTL 1 - Leerwerkboek - Meetkunde en Metend rekenen - inkijk methode - proefexemplaar

LEERWERKBOEK

Meetkunde

Björn Carreyn

Filip Geeurickx

Roger Van Nieuwenhuyze

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL ?

Dit boek bevat zes hoofdstukken vol meetkunde. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting.

Bij de inhoudstafel van elk hoofdstuk kun je ook een QR-code vinden. Via die codes kun je extra filmpjes met uitleg bekijken.

Achteraan in dit boek vind je een DIY-poster met de wiskundige symbolen uit dit boek.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 2 *

Na de samenvatting vind je een reeks oefeningen

Bij oefeningen die extra uitdagend zijn, zie je een sterretje naast het nummer.

Bij sommige oefeningen moet je verder denken dan de net geziene leerstof. Je maakt dan gebruik van heuristieken. Deze oefeningen herken je aan de wiskunderugzak

ICT is een ideaal hulpmiddel.

Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Vaardigheden

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet. Ook in het portfolioschriftje kun je vaardigheden inoefenen.

Wat moet je kennen en kunnen ?

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Herhalingsoefeningen

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen

Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

Wiskunde is veel meer dan alleen maar optellen en vermenigvuldigen. Ook meetkunde en ruimtemeetkunde moeten tot je wiskundige bagage behoren.

We vullen onze wiskunderugzak en trekken bijvoorbeeld naar Zwitserland, waar deze Bernina Express een cirkelvormige baan moet afleggen voordat hij in de Alpen verdwijnt om er nadien in Italië weer uit te rijden.

Hou je potlood, gom, passer en geodriehoek in de aanslag voor een realistische portie meetkunde

Meetkunde

1

De wereld van 3D naar 2D

1.1 Ruimtefiguren en vlakke figuren herkennen  9

1.2 Begrippen in de vlakke meetkunde  33 Extra’s  44

4

Ruimtefiguren

4.1 Aanzichten en perspectieven van ruimtefiguren  161 4.2 Opbouw van ruimtefiguren  176

2

Eigenschappen van rechten en hoeken

2.1 Rechten  53

2.2 Hoeken  69

3

Vlakke figuren

3.1 Vlakke figuren rondom ons herkennen

3.2 Driehoeken

3.3 Vierhoeken

3.4 Cirkels

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

5.1 Omtrek van vlakke figuren  197

5.2 Oppervlakte van vlakke figuren

6

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

6.1 Oppervlakte van ruimtefiguren  237

Volume van ruimtefiguren

De wereld van 3D naar 2D 1

Een oude keizer in China liet per ongeluk een vierkante tegel op de grond vallen. Toen hij probeerde om de zeven stukken weer in elkaar te passen, ontdekte hij dat hij veel meer mooie figuren kon maken dan enkel de vierkante tegel. De tangram, een Chinese legpuzzel, was geboren.

Hiernaast zie je de zeven standaardstukken (mooie vlakke figuren) waarmee je heel wat nieuwe figuren kunt vormen. Van vissen tot vogels, van huizen tot helikopters : alles is mogelijk.

De wereld van 3D naar 2D

1.1 Ruimtefiguren en vlakke figuren herkennen

1 Ruimtefiguren herkennen  9

2 Kubus, balk, prisma en cilinder  11

3 Vlakke figuren herkennen  13

4 Aanzichten  16

5 Schaal  17

6 Schaalproblemen oplossen  18

7 Samenvatting  20

8 Oefeningen  21

1.2 Begrippen in de vlakke meetkunde

1 Punt, vlak en rechte  33

2 Halfrechte en lijnstuk  34

3 Meten van lijnstukken  35

4 Midden van een lijnstuk  36

5 Samenvatting  37

6 Oefeningen

Bekijk de instructievideo’s

1.1 Ruimtefiguren en vlakke figuren

herkennen

1 Ruimtefiguren herkennen

Overal ter wereld vind je allerhande ruimtefiguren (of ruimtelichamen) terug. In oude en moderne gebouwen, kunstwerken … overal zie je ruimtelichamen waar je een speciale naam op kunt kleven.

Pont du Gard in Frankrijk

Herken je hier bepaalde patronen die terugkeren ? Weet je waarvoor dit bouwwerk werd gebruikt ?

Taj-Mahal in India

Sinds 2007 officieel een ‘wereldwonder’. Dit gigantische 17e-eeuwse bouwwerk werd gebouwd als grafmonument en zit vol marmer en symmetrie.

Planetarium Sir Thomas in Brisbane, Australië

Binnenin worden de sterren geprojecteerd op een halve bol. Die rust dan weer op een grote cilinder.

Het koninklijk paleis in Brussel

Vaak komt er ook symmetrie voor in een gebouw. Beeld je in dat we in het midden een verticale rechte zouden tekenen. Links en rechts van die lijn zie je dan hetzelfde.

Kubushuizen in Nederland

In Rotterdam treffen we deze zeer unieke kubushuizen. Ze werden in 1982 gebouwd en het lijkt alsof ze op een van hun hoekpunten rusten.

De Sphere in Las Vegas

Eind 2023 opende dit bolvormig entertainmentgebouw : The Sphere. Het is 112 m hoog en wordt bedekt door 54 000 m2 led-schermen.

Kakslauttanen in Finland

’s Ochtends wakker worden in een iglohotel met boven jou het noorderlicht ? Of in de zomermaanden de middernachtzon ? Dan moet je naar Saariselkä in Finland.

Futuroscope

Dit is een van de vele knappe bouwwerken in het Franse pretpark Futuroscope.

Buiten ziet het eruit als een groot ijskristal, binnen zie je o.a. IMAX-films.

Egyptische piramides

Meer dan 4000 jaar oud en gebouwd als graftombe voor de farao.

Sommige ruimtefiguren hebben een regelmatige vorm. Andere ruimtefiguren (zoals een kei of het ijskristal van Futuroscope) hebben een willekeurige vorm.

Ze hebben dit gemeen : allemaal nemen ze ruimte in en worden ze begrensd door grensvlakken. Deze grensvlakken zijn vlakke of gebogen oppervlakken.

Niet alle ruimtelichamen hebben een bovenvlak en een grondvlak. Zo hebben een kegel en een piramide geen bovenvlak en heeft een bol geen van beide. Die ruimtefiguren bestuderen we in het tweede jaar.

ruimtefiguren

Een kubus, een balk, een recht prisma, een cilinder, een kegel, een piramide en een bol zijn ruimtefiguren.

2 Kubus, balk, prisma en cilinder

a De kubus

hoekpunt

ribbe zijvlak

Een kubus wordt begrensd door 6 grensvlakken of zijvlakken. Dat zijn even grote vierkanten. De vlakken snijden elkaar in de ribben. We tellen 12 ribben. In een hoekpunt van de kubus komen telkens 3 ribben samen. We tellen 8 hoekpunten.

De kubus heeft één grondvlak en één bovenvlak. De vier opstaande zijvlakken vormen samen de mantel.

Opmerking :

Onzichtbare ribben worden in streepjeslijnen getekend.

b De balk

zijvlak

ribbe

hoekpunt

Een balk wordt begrensd door 6 grensvlakken. Elk grensvlak is een rechthoek. We tellen 12 ribben en 8 hoekpunten. Er zijn 3 maal 4 even lange ribben.

Opmerking :

Een balk heeft één grondvlak en één bovenvlak, die steeds even groot zijn.

c Het rechte prisma

hoekpunt

ribbe zijvlak

Een recht prisma is een lichaam dat wordt begrensd door twee evenwijdige en even grote veelhoeken (driehoek, vierhoek, vijfhoek …) als grond- en bovenvlak. De opstaande zijvlakken zijn rechthoeken, die samen de mantel vormen. Er zijn zoveel opstaande zijvlakken als er zijden aan de veelhoek van het grond- of bovenvlak zijn.

De opstaande ribben zijn allemaal evenwijdig en even lang.

Opmerkingen : –

De opstaande ribben staan loodrecht op grondvlak en bovenvlak.

– Een kubus en een balk zijn speciale gevallen van prisma’s.

Een cilinder is een lichaam dat begrensd wordt door twee even grote cirkelschijven en een gebogen zijvlak. De cirkelschijven worden grond- en bovenvlak genoemd. Het gebogen zijvlak is de mantel

Kubus, prisma en cilinder

De woorden ‘kubus’, ‘prisma’ en ‘cilinder’ komen uit Griekenland. Zo is ‘cubos’ een soort dobbelsteen met zes vlakken. ‘Cilinder’ betekende eigenlijk ‘rol’ en prisma betekent letterlijk ‘het afgezaagde”.

G B

d De cilinder

B G

3 Vlakke figuren herkennen

Voorbeeld 1 : door te kijken naar ruimtefiguren Bespreek welke figuren het mannetje ziet.

RUIMTEFIGUUR MANNETJE DAT

ERVOOR STAAT

KUBUS

BALK

PRISMA

CILINDER

PIRAMIDE

KEGEL

BOL

MANNETJE DAT

ER LINKS VAN STAAT

MANNETJE DAT

ERBOVEN HANGT

Voorbeeld 2 : in bouwplaten

Een kubus, een balk, een prisma en een cilinder zijn allemaal ruimtefiguren die we kunnen ontwikkelen.

We hebben dan als het ware een bouwplaat die (met wat knip- en plakwerk) de originele ruimtefiguur oplevert.

Dankzij die ontwikkeling kunnen we gemakkelijk zien wat de grensvlakken zijn van de ruimtefiguur.

Zo zijn alle zijvlakken bij een kubus vierkanten. Een vierkant heeft vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

De zijvlakken bij een balk zijn rechthoeken, die per twee even groot zijn. Een rechthoek heeft vier rechte hoeken.

De zijvlakken bij een recht prisma zijn rechthoeken, die niet noodzakelijk even groot zijn.

Het grond- en bovenvlak van een cilinder zijn cirkels. Bij een cirkel liggen alle punten even ver van het middelpunt.

Voorbeeld 3 : in patronen Vlakke figuren kom je overal tegen. – de tegels in de badkamer ; – de stenen op de speelplaats ; – figuren op het behangpapier; – de ruitjes op het hemd van de leraar of de jurk van de juf ; – het zebrapad ; – de lijnen op het sportveld.

De speelplaats kan gewoon een aaneenschakeling zijn van vierkante tegels. We noemen dat een vlakvulling met vierkanten. De zijgevel van je huis is misschien een vlakvulling van rechthoeken ?

Vlakke figuren zijn delen van het vlak. Je vindt ze in allerlei vormen terug.

vlakke figuren

Een vierkant, een rechthoek, een driehoek, een ruit, een parallellogram, een trapezium en een cirkel zijn voorbeelden van vlakke figuren

4 Aanzichten

Maak kennis met Max, onze bordercollie, die even blijft stilstaan zodat de tekenaar drie aanzichten kan weergeven.

Max in vooraanzicht

Max in linkerzijaanzicht

Max in bovenaanzicht

Max heeft ook een eigen hondenhok. Ook daar lukt het om de drie aanzichten weer te geven.

hondenhok in vooraanzicht hondenhok in linkerzijaanzicht hondenhok in bovenaanzicht

bovenaanzicht

Niet alleen honden en hun hokjes kunnen we vanuit verschillende posities bekijken. Het lukt ook met ruimtefiguren, zoals deze blokkencombinatie.

linkerzijaanzicht

rechterzijaanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht linkerzijaanzicht rechterzijaanzicht vooraanzicht

5 Schaal

Schepen, auto’s en monumenten zoals de Eiffeltoren zijn in werkelijkheid heel groot. In de modelbouw wordt het allemaal op schaal nagemaakt. Dat gebeurt heel precies en de afmetingen worden steeds met eenzelfde factor verkleind.

Voor de Eiffeltoren hiernaast is de schaal 1 75

Voor heel wat speelgoedautootjes is de schaal 1 : 64.

We noemen dit allebei een breukschaal

In een atlas, op een wegenkaart of bij een luchtfoto vind je ook een schaal terug. Die noemen we een lijnschaal.

0 500 km

0 100 km

Soms is het nodig de werkelijkheid te vergroten. Een watervlo is in het echt een heel klein diertje. Als we het willen bekijken, leggen we de vlo het best onder een microscoop. Op het oculair vinden we de breukschaal terug.

de watervlo in het echt de watervlo uitvergroot

De gebruikte schaal is hier 24 : 1. We hebben te maken met een vergroting van de werkelijkheid.

6 Schaalproblemen oplossen

Voorbeeld 1 : de druivenfietsroute

De druivenroute is een fietsroute in Vlaams-Brabant. Hieronder zie je een stukje van de kaart met onderaan een lijnschaal. Op de kaart is de afstand tussen knooppunt 60 en knooppunt 57 (een knooppunt is aangeduid met een cirkel) in vogelvlucht precies 5 cm. Wat is de werkelijke afstand in vogelvlucht ?

Oplossing:

– Maak een schatting.

– Zet de lijnschaal eerst om naar een breukschaal.

– Maak een tabel.

– Noteer bovenaan de gegevens van de tekening, onderaan de gegevens in werkelijkheid.

Bereken met hoeveel 5 cm op de tekening in werkelijkheid overeenkomt.

Om te schatten kun je je duim tegen de lijnschaal leggen. Je duim komt ongeveer overeen met 1000 m. Schat nu hoeveel keer je duim in de gevraagde afstand past.

Uit de lijnschaal leer je dat 1 cm overeenkomt met 500 m. Als we dezelfde eenheden hanteren, komt 1 cm overeen met 50 000 cm. De schaal is dus 1 : 50 000.

Antwoord : In werkelijkheid bedraagt de afstand in vogelvlucht 250 000 cm of 2,5 km.

KASTEEL ROCKENBORCH

Voorbeeld 2 : Gloster Gladiator

Oplossing :

Maak een tabel.

– Noteer bovenaan de gegevens van het model, onderaan de gegevens in werkelijkheid.

Vul de gegevens in.

Laura’s vader is fan van modelbouw en stak al heel wat vliegtuigjes in elkaar. Op een rommelmarkt tikt hij een ongeopende doos van de Gloster Gladiator op de kop, een Engelse dubbeldekker. De schaal die op de doos vermeld staat, is 1 : 72. Als zijn vliegtuigje helemaal af is (zie foto hiernaast), meet hij de totale lengte : 11,6 cm. Om de lengte van het echte vliegtuig te kennen, kun je werken met een tabel.

– Bereken met hoeveel 11,6 cm op het model in werkelijkheid overeenkomt.

Antwoord :

In werkelijkheid is de Gloster Gladiator 835,2 cm of 8,352 m lang.

Voorbeeld 3 : de Lærdalstunnel

De langste autotunnel van de wereld bevindt zich in Noorwegen en is bijna 25 km lang. Om de 6 km krijg je door de extra verlichte uitbouw de indruk dat je door een ijsberg rijdt.

Op het kaartje vind je de tunnel terug, hij is aangegeven met een oranje lijn.

Op welke schaal is de kaart weergegeven?

Oplossing :

– Maak een tabel.

– Noteer bovenaan de gegevens van de tekening, onderaan de gegevens in werkelijkheid.

Vul de gegevens in.

– Bereken met hoeveel 1 cm op de tekening in werkelijkheid overeenkomt.

AANTAL CM OP TEKENING 5 1

AANTAL CM IN WERKELIJKHEID 2 500 000 500 000 : 5 : 5

Antwoord : De kaart is getekend op schaal 1 : 500 000.

AANTAL

7 Samenvatting

• Je kunt vlakke figuren herkennen in de zijvlakken van een ruimtefiguur.

• Je kunt van een kubus (of een figuur die opgebouwd is door enkele kubusjes) en een balk aanzichten herkennen en aanzichten tekenen.

• Je herkent de volgende ruimtefiguren : kubus balk recht prisma cilinder

• Je herkent de volgende vlakke figuren : vierkant rechthoek driehoek ruit parallellogram trapezium cirkel

• Je kunt vlakke figuren en ruimtefiguren herkennen in voorbeelden uit je eigen leefomgeving, wetenschappen, techniek en kunst.

• Je kunt voorbeelden geven van vlakke figuren en ruimtefiguren uit je eigen leefomgeving, wetenschappen, techniek en kunst.

• Je kunt de schaal bij een gegeven figuur aflezen en op een figuur gemeten lengtes omzetten naar ware grootte. Je kunt gegevens in ware grootte omrekenen naar een voorstelling op schaal.

• Je kent de verschillende notatievormen van een schaal en kunt de ene in de andere omzetten.

1 : 100 000

8 Oefeningen

Welke meetkundige lichamen herken je in de volgende voorwerpen ?

4

Noteer de namen van twee voorwerpen uit het dagelijkse leven die de vorm hebben van

a een kubus

b een balk

c een cilinder

d een prisma

Vul het gepaste getal in.

a Een kubus heeft in totaal ribben en hoekpunten.

Het heeft opstaande ribben.

Het heeft grensvlakken. De mantel bestaat uit grensvlakken.

b Een balk heeft in totaal ribben en hoekpunten.

Het heeft opstaande ribben.

Het heeft grensvlakken. De mantel bestaat uit grensvlakken.

c Een prisma met een vijfhoek als grondvlak heeft opstaande ribben.

Het heeft grensvlakken. De mantel bestaat uit grensvlakken.

d Een prisma met een zeshoek als grondvlak heeft in totaal ribben.

Waar of vals ?

Omcirkel het juiste antwoord.

a Alle ribben van een balk zijn even lang.

b Alle ribben van een kubus zijn even lang.

c De ribben van een balk kunnen even lang zijn.

d De lengte van de mantel van een cilinder is de omtrek

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS van het grond- of bovenvlak.

a Zijn de volgende ontwikkelingen de ontwikkelingen van een kubus ? Indien niet, verklaar de fout. 1 2 3 4

b Zijn de volgende ontwikkelingen de ontwikkelingen van een balk ? Indien niet, verklaar de fout.

Aïcha neemt een familiefoto. Welke foto zal op het scherm van haar toestel te zien zijn ?

Thomas maakte een peperkoekenhuis, beplakt met snoep. Noteer telkens welk aanzicht werd afgebeeld.

Noteer de juiste naam van het aanzicht.

Onderstaande lichamen zijn getekend in perspectief. Kleur het vooraanzicht BLAUW, het linkerzijaanzicht ROOD en het bovenaanzicht GEEL. a b c

Zet een kruisje als het aanzicht zichtbaar is op de voorstelling.

VOORSTELLING

Kleur de even lange ribben van volgende lichamen in eenzelfde kleur. a b c

Noteer de juiste naam van elk lichaam en kleur het bovenvlak geel en het ondervlak paars.

a b c d e

Bij welk(e) aanzicht(en) zien we het rode blokje ? Plaats telkens een kruis in de tabel.

figuur 4

figuur 5

figuur 6

figuur 7

figuur 1

figuur 2

figuur 3

Kleur het gevraagde vlak in de tekeningen.

a Kleur het voorvlak blauw. c Kleur het achtervlak paars.

b Kleur het rechterzijvlak groen. d Kleur het linkerzijvlak rood.

In de volgende tekeningen zijn al vier zichtbare ribben gegeven. Teken de andere ribben in volle lijn als ze zichtbaar zijn en in streepjeslijn als ze onzichtbaar zijn.

a c e

b d f

De ruimtefiguur hiernaast heeft twee groen ingekleurde vlakken. Hieronder zie je vier aanzichten van de ruimtefiguur.

Kleur dezelfde vlakken groen als ze bij het aanzicht zichtbaar zijn.

a b c d

Ruimtefiguren en regelmaat.

Schets steeds de volgende ruimtefiguur en vul nadien de tabel aan.

a Een leuk kristal.

figuur 1 figuur 2

figuur 3

figuur 1 figuur 2

figuur 3

figuur 1 figuur 2

figuur 3

figuur 1 figuur 2

b Blikjes stapelen.

figuur 1 figuur 2

figuur 3

figuur 1 figuur 2

figuur 1 figuur 2

c Bollen stapelen.

figuur 1 figuur 2

figuur 3

figuur 3

figuur 3

figuur 3

Bepaal bij iedere getekende lijnschaal de bijbehorende breukschaal. a 0 km

b 0 m 50 m 100 m

Vul de tabellen aan.

a België op één A4.

Gebruikte schaal 1 : 1 000 000

b Plattegrond van een woning. Gebruikte schaal 1 : 50

c Microscoop.

Gebruikte schaal is afhankelijk van het gebruikte oculair.

Vul de tabel aan.

Teken in deze rechthoek ABCD een nieuwe rechthoek :

a op schaal 1 : 2

b op schaal 1 : 4

c Vul de tabel aan. LENGTE l

OPGAVE

SCHAAL 1 : 2

SCHAAL 1 : 4

d Noteer.

Bij schaal 1 : 2 zal de oppervlakte

Bij schaal 1 : 4 zal de oppervlakte

Bij schaal 1 : x zal de oppervlakte

Vraagstukken i.v.m. schaal.

a Een auto rijdt gemiddeld 100 km per uur. Om 20 cm op kaart af te leggen, reed de wagen twee uur. Op welke schaal is de kaart getekend ?

b Deze houten bouwset nodigt je uit om een sportwagen uit 1910 te bouwen op schaal 1 : 16. Na het nodige knutselwerk blijkt de lengte van de wagen 22,8 cm te zijn. Hoe lang was de werkelijke racewagen waarop dit model is gebaseerd ?

c Nadat hij deze spin gebouwd heeft, meet Lucas als lengte 28 cm.

De werkelijke lengte van de spin is slechts 4 cm.

Op welke schaal is deze spin nagebouwd ?

d Een vlinder (met lengte 3,5 cm) werd op een foto uitvergroot en heeft zo als lengte 14 cm. Op welke schaal werd de vlinder uitvergroot ?

Kleur het vakje in van START. Kleur vervolgens het vak in met de juiste oplossing en maak dan de opdracht in het vak waar deze oplossing naar leidt. Kleur ook dit vak weer in, alsook de oplossing. Vind op die manier de weg naar de finish (en achterhaal wat er bijzonder is aan de niet ingekleurde vakjes).

Je gemeente wordt weergegeven op kaart A (schaal 1 : 20 000) en kaart B (schaal 1 : 40 000). Welke kaart is de grootste?

Je hebt een postkaart (met lengte 12 cm) vergroot naar een posterformaat van 72 cm op 48 cm. Wat is de breedte van de oorspronkelijke postkaart?

Jack maakt een modelwagen die 12 cm lang is. Op de doos stond als schaal 1 : 40. Wat is de lengte van de echte wagen?

Op het plan van je huis is de lengte van het dak 28 cm.

In werkelijkheid is die lengte 14 m.

Welke schaal wordt gebruikt?

Een mier met lengte 5 mm wordt onder een microscoop gelegd waardoor de lengte 2 cm wordt.

Wat is de gebruikte schaal?

Volgens welke schaal is een A2-blad een schaalmodel van een A4-blad?

Een kubus wordt vergroot weergegeven op schaal 3 : 1. Hoeveel keer kan de eerste kubus in de vergroting?

Figuur A wordt weergegeven op schaal 2 : 1. Zo bekom je figuur B. Daarna wordt figuur B vergroot op schaal 4 : 1 zodat je figuur C bekomt. Als je van figuur A onmiddellijk naar figuur C wil, welke schaal gebruik je dan?

Wat is de gebruikte schaal?

Dit fietsje van 3,6 cm lang is in werkelijkheid 1,8 m lang. Wat is de gebruikte schaal?

De LEGO-versie van de Notre-Dame in Parijs is 33 cm hoog.

De gebruikte schaal is 1 : 291.

Wat is de echte hoogte van de Notre-Dame?

Willy stapelt een aantal identieke kubussen recht boven elkaar op een vlakke vloer en verkrijgt het bouwwerk uit de figuur. Bepaal het kleinste aantal kubussen dat volstaat om dit bouwwerk te realiseren.

(A) 17 (B) 18 (C) 19 (D) 20 (E) 21

JWO 2025 eerste ronde, probleem 19 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Rubi vouwt de figuur hiernaast tot een kubus. Ze telt de getallen van overstaande vlakken juist op. Welke 3 sommen krijgt Rubi ?

(A) 4, 6, 11 (B) 4, 5, 12 (C) 5, 6, 10 (D) 5, 7, 9 (E) 5, 8, 8

WALLABIE 2015 probleem 9 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Schilder Cas verft de 6 vlakken van een kubus zwart, grijs of wit. Van zijn baas mogen tegenover elkaar liggende vlakken niet dezelfde kleur hebben. Als hij de kubus uitvouwt, kan hij 1 bouwplaat niet krijgen.

Welke bouwplaat is dat ?

(A) (B) (C) (D) (E)

WIZSMART 2018 probleem 14 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

Johan heeft een groot aantal gelijke kubussen.

Hij maakt een bouwwerk door op elk zijvlak van een kubus een andere kubus te plakken.

Hij wil zijn bouwwerk uitbreiden, door op elk zijvlak van zijn bouwwerk een andere kubus te plakken. Hoeveel extra kubussen heeft hij daarvoor nodig ?

(A) 10 (B) 12 (C) 14 (D) 16 (E) 18

WALLABIE 2024 probleem 14 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

1.2 Begrippen in de vlakke meetkunde

1 Punt, vlak en rechte

Meetkunde kun je perfect vergelijken met een spelletje dammen, stratego of schaken. Er zijn verschillende begrippen die meespelen (speelstukken), er moeten afspraken gemaakt worden (spelregels) en er is het vlak waarin alles gebeurt (het spelbord).

STRATEGO SCHAKEN MEETKUNDE spelbord schaakbord het vlak maarschalk, kapitein, spion … pion, loper, toren punt, lijnstuk, rechte

een verkenner mag meer dan één vakje vooruit of opzij

een toren mag zich alleen horizontaal of verticaal verplaatsen door twee verschillende punten kun je precies één rechte tekenen

De vlakke meetkunde speelt zich af in het vlak p (lees : pi).

Het vlak p (het vlak van het bord, van je blad of van je werktafel) is een oneindige verzameling van punten. Het is onbegrensd en beperkt zich niet tot datgene wat je bijvoorbeeld van het bord kunt zien. Het loopt oneindig door naar boven, onder, links en rechts.

In de ruimte kun je werken met meerdere vlakken.

Een punt stellen we voor door een stip en benoemen we met een hoofdletter.

Een rechte is een verzameling van punten. Een rechte is onbegrensd.

We duiden een rechte aan met een kleine letter of met twee punten die op die rechte liggen.

Voorbeeld : rechte AB of rechte BA of rechte a

het punt A ligt op de rechte a het punt C ligt niet op de rechte a de rechte a is een deelverzameling van het vlak p

Onderzoeksopdrachten :

– Teken een punt A.

Hoeveel rechten kun je tekenen door dit punt ?

– Formuleer je besluit in een zin.

– Teken twee verschillende punten A en B.

Hoeveel rechten kun je tekenen die door A en B gaan ?

– Formuleer je besluit in een zin.

eigenschappen

Door een punt A gaan oneindig veel rechten.

Door twee verschillende punten A en B gaat juist één rechte.

collineaire punten

Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.

Voorbeeld :

A, B en D zijn collineair.

A, B en C zijn niet collineair.

2 Halfrechte en lijnstuk

Als we een schaar zetten in een rechte, dan hebben we plots twee halfrechten. Een halfrechte is langs één kant begrensd. Een lijnstuk is langs twee kanten begrensd. Bij het lijnstuk [ AB] noemen we A en B de grenspunten van het lijnstuk.

De rechte waar de halfrechte of het lijnstuk op ligt, noemen we de drager Zo is a de drager van [ AB] en ook de drager van [ AC]

Notatie : rechte a of AB

halfrechte [ AB

halfrechte [ AC

lijnstuk [ AB]

Collineair

Het woord collineair is afgeleid van het Latijnse ‘collineare’. Dat betekent ‘in rechte lijn sturen’. Het voorzetsel ‘co’ (of col/con/com/cor) duidt erop dat wat volgt gemeenschappelijk is. Denk maar aan collega, collage, collectie, compagnie … Het woord ‘lineair’ vinden we ook terug in liniaal (ligne is Frans voor lijn), wat synoniem is voor je meetlat.

3 Meten van lijnstukken

Doordat een lijnstuk begrensd is, kunnen we dat lijnstuk meten.

Meten is eigenlijk bepalen hoe dikwijls een eenheid in een gegeven grootheid gaat.

GROOTHEID

lengte

temperatuur oppervlakte

Meten is in het dagelijkse leven een belangrijke activiteit. Als we willen behangen, moeten we meten hoe hoog en hoe breed de muren zijn.

Als we een nieuw pak willen kopen, neemt de verkoopster de maten.

Daarvoor gebruikt ze een lintmeter.

Als we een nieuwe eetkamer willen kopen, moeten we eerst de woonkamer goed opmeten om te weten hoe lang, hoe hoog en hoe breed de meubels mogen zijn. Hiervoor gebruiken we een plooimeter of een rolmeter.

In de meetkunde (= de kunde van het meten) gebruiken we een meetlat.

Nauwkeurig meten is belangrijk.

Ook de keuze van de meeteenheid is belangrijk.

In Europa wordt meestal gemeten in meter (m).

Van deze eenheid zijn volgende eenheden afgeleid :

De decameter (dam) en hectometer (hm) worden in het dagelijkse leven niet veel meer gebruikt. We zullen eerder spreken van 10 m en van 100 m.

Herkomst van de meter

De ‘meter’ werd gedefinieerd ten tijde van Napoleon. Hij liet een metalen staaf aanmaken, zei dat dit vanaf nu één meter was en liet zo’n metalen staaf brengen naar alle steden van zijn rijk. Hij liet ook de meter in 10 verdelen en daarna nog eens in 10. Hij had een naam voor tien meter en tien keer tien meter. Nu nog kun je de eerste ‘meter’ gaan bezichtigen in een museum in Parijs, onder glas. Want Napoleon was één ding vergeten : metaal zet uit met de warmte, en daardoor was de meter iets langer in de zomer

In landen waar Napoleon niets te zeggen had, zoals Engeland, Amerika en Australië, werden andere lengtematen gebruikt. Daar werd en wordt gerekend in o.a. mijlen, duimen en voeten. Een mijl komt overeen met ongeveer 1,85 kilometer, een voet is ongeveer 30,47 cm lang en een duim 2,54 cm.

De lengte van dit lijnstuk [ AB] is 4 cm.

De afstand tussen A en B is 4 cm.

Notatie :

| AB | = 4 cm

Hierbij noemen we

• | AB | de lengte van het lijnstuk [ AB]

• 4 is het maatgetal

• cm is de eenheid

Om aan te duiden dat lijnstukken even lang zijn, gebruiken we eenzelfde merkteken :

| XY | = | CD |

| VW | = | AB |

In een cirkel zijn alle stralen even lang.

| MA | = | MB | = r

Opmerking :

Om lijnstukken te tekenen met eenzelfde lengte, zal de nauwkeurigheid bepaald worden door je meetinstrument. Gebruik je een geodriehoek, dan werk je tot op 1 millimeter nauwkeurig.

– Meet de lengte van het gegeven lijnstuk. – Teken daarna een lijnstuk met eenzelfde lengte.

4 Midden van een lijnstuk

Onderzoek :

Is M het midden van het lijnstuk ? Verklaar waarom (niet).

Voorbeeld : Tegenvoorbeeld 1 : Tegenvoorbeeld 2 :

midden van een lijnstuk in woorden :

M is het midden van het lijnstuk [ AB] als en slechts als M op het lijnstuk [ AB] ligt en het lijnstuk in twee even lange stukken verdeelt.

in symbolen : M = mi [ AB] ⟺ M ∈ [ AB] en | AM | = | BM |

5 Samenvatting

• Je weet dat de meetkunde is opgebouwd uit een aantal basisbegrippen zoals vlak, punt en rechte. Het vlak is een oneindige verzameling van punten.

Door twee verschillende punten gaat precies één rechte.

Door één punt gaan oneindig veel rechten.

twee hoofdletters of één kleine letter

lengte van een lijnstuk

• Je kunt bij afstanden een geschikte eenheid kiezen.

• Je weet dat elk lijnstuk precies één midden heeft. M is het midden van het lijnstuk [AB] als en slechts als M op het lijnstuk [ AB] ligt en het lijnstuk in twee even lange stukken verdeelt. in symbolen : M = mi [ AB] ⟺ M ∈ [ AB] en | AM | = | BM |

• Je weet wat collineaire punten zijn.

Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.

• Je kunt een lijnstuk tekenen dat even lang is als een gegeven lijnstuk tot op 1 mm nauwkeurig.

6 Oefeningen

Gebruik van symbolen.

Wat stelt elk van deze notaties voor ?

Kies uit rechte, lijnstuk, halfrechte, punt, vlak, lengte van het lijnstuk.

a [ AB] e p

b [ AB f | BA |

c | AB | g AB

d a h A

Maak met de gegeven punten (in de gevraagde kleur) een voorstelling van :

a [ AB] in blauw

b [ CD in blauw

c [ ED in groen

d AC in groen

Enkele tekenopdrachten.

a Teken een lijnstuk [ AB] van 6 cm lang. Teken daarna [ KL] zodat | KL | = | AB |

b Teken een lijnstuk [ CD] van 8,5 cm lang. Teken daarna [ MN] zodat | MN | = | CD |

Onderzoek op de tekening of onderstaande gelijkheden juist zijn.

a Is [ AB] = [ BA]?

b Is [ AC = [ AB ?

c Is [ BA = [ BC ?

d Is [ CB = [ AC ?

Gegeven : De punten A, B en C zijn collineair.

| AB | = 2 cm en | AC | = 8 cm

Gevraagd : Hoe groot is | BC | ?

Geef alle oplossingen en maak telkens een duidelijke tekening.

Gegeven : De punten A, B en C zijn niet collineair.

| AB | = 2 cm en | AC | = 8 cm

Gevraagd : Wat kan je besluiten over | BC | ?

Vul in met ∈, ∉, ⊂ of =

a Q a

b Q p a S R Q P

c a p g R [ SQ k P a

d P QP h R [ QS l RS a

e RS p i S [ RQ] m [ QS [ QR

f Q [ PR j SQ RS n PS p

Meet volgende lijnstukken tot op 1 mm nauwkeurig.

a [ AB] e [ BS]

b [ BC] f [ SE] c [ BE] g [ AS]

Meet de lengte van onderstaande schroef en spijkers tot op 1 mm nauwkeurig. a b c

In welke eenheid zou jij de volgende afstanden of lengtes uitdrukken ? Zet een kruisje in de juiste kolom.

cm dm m dam hm km

a De afgelegde afstand in de Tour de France.

b Je eigen lichaamslengte.

c De afstand van bij mij thuis tot in Parijs.

d De hoogte van een literfles water.

e De dikte van een muntstuk van twee euro.

f De lengte van een voetbalveld.

g De lengte van een bordlat.

h De hoogte van een deur.

i De afstand van de aarde tot de maan.

Ziehier een bovenaanzicht van een museum van de prehistorie. In elke hoek hangt er een beveiligingscamera.

Welk beeld komt van welke camera ?

Moeder plaatst op haar keukentafel een pak melk (balkvormig), een leeg glas (cilindervormig) en een bol kaas.

Anouk kijkt gehurkt naar de ronde tafel.

a Waar moet Anouk gaan staan om niets van de kaas te zien ?

b Waar moet Anouk gaan staan om niets meer van het glas te zien ?

c Waar moet Anouk gaan staan om niets meer van de melk te zien ?

d Waar moet Anouk gaan staan om het glas mooi tussen de melk en de kaas te zien ?

Een stuntman beklimt een appartementsgebouw. Vijf personen observeren die stuntman en nemen een foto van het gebouw. Eén persoon, Bert, bevindt zich in een luchtballon die het gebouw overvliegt. Tine staat op het kruispunt dat vanuit dit standpunt niet zichtbaar is. Wie nam welke foto ?

De Zweedse kunstenaar Reutersvärd was de eerste die het tekende, maar de figuur wordt vernoemd naar de Britse wiskundige Roger Penrose die het samen met zijn vader publiceerde : de (onmogelijke) Penrose-driehoek.

a Neem een donkere markeerstift en ga over deze lijnstukken. Ze zijn steeds per vier onderling evenwijdig.

[ AB] [ JK] [ CL] [ DE] [ AF] [ EG] [ HL] [ CD] [ BC] [ AJ] [ GI] [ EF]

b Breng wat kleur aan in de drie zichtbare zijvlakken van je 3D-figuur.

Annelies Bert

WISKUNDE & AARDRIJKSKUNDE

Een maansverduistering doet zich voor wanneer de maan in de schaduwkegel van de aarde komt. Zon, aarde en maan bevinden zich dan ongeveer op één lijn. We spreken van een volledige maansverduistering als de maan zich in de kernschaduw van de aarde bevindt. Er valt dan geen enkel zonlicht meer op de maan.

Duid op de tekening aan vanop welke plaats op aarde je die volledige maansverduistering kunt waarnemen.

zon aarde maan

zon aarde maan

Een zonsverduistering komt veel minder vaak voor, maar is wel sensationeel : het wordt op dat plekje van de aarde donker, iets kouder en de vogels worden stil omdat ze denken dat het nacht is … De eerstvolgende volledige zonsverduistering in ons land vindt plaats in 2090. Een gedeeltelijke zonsverduistering komt vaker voor. Wel opletten voor het nog zichtbare deel van de zon. Gebruik zeker een eclipsbrilletje.

zon aarde maan

Duid op de tekening aan op welke plaats op aarde je een volledige zonsverduistering waarneemt.

zon

aarde maan

Vaardigheden | Schetsen en tekenen

Schetsen

Vaak is het niet nodig om met een geodriehoek en een lat een tekening te maken. Om bepaalde eigenschappen te achterhalen, heb je soms al voldoende met een schets. Schetsen kan ook nuttig zijn om een eerste idee te vormen of een vlugge redenering op te bouwen. We spreken van een schets als we met de vrije hand een tekening maken.

Bij een schets kun je ook afmetingen, merktekens of waarden noteren. Dat kan handig zijn om bepaalde problemen op te lossen.

Tekenen

Om te tekenen, gebruik je een geodriehoek. Dat is een zeer handig latje met heel wat extra’s zoals een dubbele gradenboog, evenwijdige lijnen en een meetlat.

Ook een gradenboog en een meetlat kunnen bruikbaar zijn.

Zo gebruik je een geodriehoek om evenwijdige rechten te tekenen :

Opgave : teken door A een rechte die evenwijdig is met a Stap 1 :

Vaardigheden | Titel van de vaardigheden

Zo gebruik je een geodriehoek om loodlijnen te tekenen :

Opgave : teken door A een loodlijn op a .

Construeren

We spreken van construeren als we constructies uitvoeren met passer en liniaal.

Bij construeren mag je de maatverdeling van je geodriehoek of liniaal niet gebruiken.

Op bladzijde 153 zie je hiervan een eerste voorbeeld.

Oefeningen

Schets volgende figuren.

a parallellogram d rechthoek g cirkel b balk e kubus h cilinder c trapezium f vierkant i rechthoekige driehoek

Schets volgende ruimtefiguren.

a Schets een kubus waarbij het ondervlak en c Schets een cilinder waarbij het ondervlak het linkerzijvlak zichtbaar zijn en arceer die vlakken. zichtbaar is en arceer dat vlak.

b Schets een balk waarbij het bovenvlak en d Schets een balk waarbij het linkerzijvlak en het rechterzijvlak zichtbaar zijn en arceer die vlakken. het bovenvlak zichtbaar zijn en arceer die vlakken.

Teken in een parallellogram ABCD het lijnstuk [ AC].

Teken daarna in de punten B en D de loodlijnen op [ AC]

De wereld van 3D naar 2D 1

moet ik leren

dit

❒ Ik herken volgende ruimtefiguren : kubus, balk, recht prisma, cilinder, kegel, piramide en bol.

❒ Ik weet wat bedoeld wordt met grond- en bovenvlak, grensvlakken en mantel.

❒ Ik herken volgende vlakke figuren : vierkant, rechthoek, driehoek, ruit, parallellogram, trapezium en cirkel.

❒ Ik kan aanzichten herkennen en tekenen.

❒ Ik kan de schaal bij een gegeven figuur aflezen.

❒ Ik kan problemen i.v.m. schaal oplossen.

❒ Ik weet dat het vlak (voorgesteld door een Griekse letter zoals p) is opgebouwd uit oneindig veel punten.

❒ Ik weet dat door één punt oneindig veel rechten gaan.

❒ Ik weet dat door twee verschillende punten juist één rechte gaat.

❒ Ik weet wat collineaire punten zijn.

❒ Ik weet hoe een rechte, punt, vlak, halfrechte en lijnstuk worden voorgesteld.

❒ Ik kan de lengte van een lijnstuk bepalen en weet hoe dit genoteerd wordt.

❒ Ik ken de definitie van het midden van een lijnstuk in woorden.

❒ Ik ken de definitie van het midden van een lijnstuk in symbolen.

❒ Ik ken het verschil tussen schetsen en tekenen.

❒ Ik kan met een geodriehoek een evenwijdige aan een gegeven rechte tekenen.

❒ Ik kan met een geodriehoek een loodlijn op een gegeven rechte tekenen.

33

34

34

34

34

36

36

36

44

44

45

1

De wereld van 3D naar 2D

Van welke ruimtefiguren zijn de volgende ontwikkelingen ?

Bij welke aanzichten zie je het gekleurde blokje ?

FIGUUR

Punt, vlak, rechte, lijnstuk, halfrechte, lengte van het lijnstuk

3 /3

Noteer onder elke symbolische voorstelling het correcte woord.

[ AB ] [ AB | BA | a p AB

Vul in met = of ≠

4 / 2

a AB BA c [ AB [ BA

b [ AB] [ BA] d | AB | | BA |

5 / 5

Het parallellogram ABCD.

a Meet volgende lijnstukken tot op 1 mm nauwkeurig.

b Vul de tekening aan en teken DC, [ CA en [ BD.

c Teken alle punten die op 3 cm liggen van C.

6 / 3

Hieronder is een rechthoekig bloemperk getekend op schaal 1 : 100. Vul aan.

a De werkelijke omtrek van dit bloemperk is

b Hoeveel boordstenen van 0,5 m lengte heb je nodig om dit perk af te bakenen?

c De werkelijke oppervlakte van dit bloemperk is

Vul de tabel aan.

7 / 4

1 : 30 000

1 : 100 000 40 km

25 : 1 5 cm

150 : 1

cm

8 / 4

In een autogarage kun je een schaalmodel van het nieuwste model van een auto zien. Het model is gemaakt op schaal 1 : 50. In de reclamefolder vind je deze informatie. Bepaal de afmetingen van het schaalmodel van deze auto.

AFMETINGEN EN GEWICHT

Aantal deuren 5

Aantal zitplaatsen 5

Lengte (mm) 4330

Breedte (mm) 1760

Hoogte (mm) 1475

Gewicht (kg) 1310

9 / 4

a Teken drie punten A, B en C die niet collineair zijn zodat geldt :

• | AB | = 8 cm en | BC | = 4 cm.

• Het punt K is het midden van [ AB].

• Het punt L is het midden van [ BC].

b Bepaal de onderlinge ligging van AC en KL.

Hoodstuktitel 0 Eigenschappen van rechten en hoeken 2

Als een watervogel moet landen of opstijgen, dan zal die gebruikmaken van heel veel meetkunde.

Onder welke hoek zal hij op het water moeten landen ? Welke lijn zal hij moeten volgen ? En uiteraard spelen de wind en de andere weersomstandigheden ook een rol.

Als je dan net als deze Amerikaanse zeearend een bewegende prooi te pakken wil krijgen, dan worden je vluchtgegevens nog een pak ingewikkelder.

Eigenschappen van rechten en hoeken

2.1 Rechten

1 Onderlinge ligging van vlakken en rechten in de ruimte  53

2 Rechten voorgesteld op een veelvlak  54

3 Onderlinge ligging van rechten in het vlak  55

4 Loodrechte stand  56

5 Op zoek naar eigenschappen i.v.m. rechten  57

6 Middelloodlijn van een lijnstuk  59

7 Afstand punt – rechte  60

8 Samenvatting  61

9 Oefeningen  62

2.2 Hoeken

1 Begrippen  69

2 Hoeken meten  70

3 Hoeken tekenen  71

4 Bijzondere hoeken

5 Bissectrice van een hoek

6 Samenvatting

7 Oefeningen

Vaardigheden

Bekijk de instructievideo’s

2.1

Rechten

1 Onderlinge ligging van vlakken en rechten in de ruimte

Als we tekenen, werken we in het vlak : ons tekenblad, het bord

In de ruimte kun je werken met meerdere vlakken.

Je kunt het plafond, de zijmuren en de vloer van een kamer als vlakken beschouwen.

Als twee vlakken elkaar snijden, dan krijg je een rechte.

We bekijken de vlakken van een kubus. – De oranje ingekleurde vlakken zijn evenwijdig.

– Het blauw ingekleurde vlak snijdt elk oranje vlak.

– Het blauwe en het lichtoranje vlak snijden elkaar volgens de rechte GH.

In de ruimtemeetkunde wordt een vlak vaak voorgesteld door een parallellogram en benoemd met een Griekse letter zoals , b, g en natuurlijk ook p

evenwijdige en snijdende vlakken

Evenwijdige vlakken zijn vlakken die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben of vlakken die samenvallen.

Notatie :  ⫽ b

Snijdende vlakken hebben oneindig veel punten gemeenschappelijk die de snijlijn vormen van die twee vlakken.

Notatie :  ⫽⧵ b

De rechten c en d zijn evenwijdig. Ook als twee rechten samenvallen, noemen we ze evenwijdig!

De rechten a en b snijden elkaar in A.

De rechten b en c snijden elkaar in A.

De rechten a en c snijden elkaar in A.

De rechten a en d snijden elkaar niet en zijn ook niet evenwijdig.

We noemen a en d kruisende rechten.

De rechten a en d liggen niet in eenzelfde vlak.

Rechten in de ruimte kunnen evenwijdig, snijdend of kruisend zijn.

EVENWIJDIGE RECHTEN

SNIJDENDE RECHTEN

KRUISENDE RECHTEN

Evenwijdige rechten zijn rechten die in hetzelfde vlak liggen en elkaar niet snijden, of zijn rechten die samenvallen.

Snijdende rechten zijn rechten die in hetzelfde vlak liggen en één punt gemeenschappelijk hebben.

Kruisende rechten zijn rechten die niet in hetzelfde vlak liggen. (Ze snijden elkaar dus niet en zijn ook niet evenwijdig).

2 Rechten voorgesteld op een veelvlak

Rechten in de ruimte bestuderen wordt gemakkelijker als we ze voorstellen op een veelvlak.

voorgesteld op een kubus

voorgesteld op een balk

voorgesteld op een prisma

a en b zijn evenwijdige rechten. b en c zijn snijdende rechten. a en c zijn geen snijdende en geen evenwijdige rechten en zijn dus kruisend.

a en b zijn evenwijdig. c en d zijn evenwijdig. a en d zijn snijdend.

a en b zijn evenwijdig. a en c zijn snijdend. a en d zijn kruisend.

Eigenschappen van rechten en hoeken

3 Onderlinge ligging van rechten in het vlak

Deze spin heeft dit onderwerp alvast onder de knie. Haar web zit vol met evenwijdige en snijdende rechten.

De linker- en rechterkant van de weg lopen mooi evenwijdig. De evenwijdige elektriciteitsdraden rusten op een metalen constructie. Herken je ook hier evenwijdigheid?

Rechten die in hetzelfde vlak liggen, kunnen dus snijdend of evenwijdig zijn. Ook als ze samenvallen, noemen we ze evenwijdig.

EVENWIJDIGE RECHTEN :

a en b zijn samenvallend

evenwijdige en snijdende rechten

a en b hebben geen enkel punt gemeenschappelijk

SNIJDENDE RECHTEN :

a en b zijn snijdend

a snijdt b het gemeenschappelijke punt S noemen we het snijpunt van de rechten a en b

Evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben of zijn rechten die samenvallen.

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

Evenwijdig of parallel

Het woord ‘evenwijdig’ spreekt voor zich : twee rechten zijn evenwijdig als ze overal ‘even wijd’ of even ver van elkaar liggen. Verderop zul je zien dat de afstand tussen twee evenwijdigen inderdaad overal gelijk is. Een synoniem voor evenwijdig is parallel. Van dit woord is dan weer ‘parallellogram’ afgeleid : een vierhoek met twee paar evenwijdige of parallelle zijden.

4 Loodrechte stand

De ribben [ EH] en [ EF] vormen samen een rechte hoek. Elke ribbe heeft een drager. Een drager is de rechte waar het lijnstuk op ligt. De dragers staan loodrecht op elkaar.

Notatie : EF ⊥ EH

Teken op een blad een rechte met daarop een punt A. Plooi je blad zo dat de plooilijn door het punt A gaat en de twee halfrechten van a samenvallen.

Noem de plooilijn b . Je merkt dat b loodrecht staat op de rechte a

We noteren dit als volgt : b ⊥ a

Als twee rechten elkaar loodrecht snijden, dan duiden we dit op de tekening aan door bij het punt waar de rechten elkaar loodrecht snijden een teken te plaatsen.

Deze autosnelwegen kruisen elkaar.

Ze hebben geen enkel punt gemeenschappelijk. Bovendien kruisen ze elkaar loodrecht.

We kunnen deze situatie voorstellen op een ruimtefiguur.

Je merkt dat EH en CD elkaar loodrecht kruisen.

Loodrecht

Als je een draad of touw verzwaart met een loden gewicht, dan verkrijg je een schietlood, een instrument dat o.a. bouwvakkers gebruiken om na te gaan of een muur verticaal staat. Het woord ‘loodrecht’ is waarschijnlijk daarvan afgeleid : zo recht als het schietlood aangeeft. De verticale stand van het schietlood staat immers loodrecht op de horizontale grond.

5 Op zoek naar eigenschappen i.v.m. rechten

We willen onze wiskunderugzak verder vullen en gaan op zoek naar eigenschappen in verband met rechten. Teken telkens het gevraagde en formuleer je bevindingen in een duidelijke zin.

Onderzoek 1 :

–

Teken een rechte a en een punt B dat niet op a ligt.

Teken alle rechten die evenwijdig zijn aan a en door het punt B gaan.

– Formuleer jouw vaststelling.

Onderzoek 4 :

– Teken een rechte a die evenwijdig is met b

– Teken een rechte c die a snijdt.

– Wat stel je vast in verband met de ligging van c en b ? Formuleer in de vorm “als … dan …”.

Onderzoek 2 :

– Teken een rechte a en een punt B zodat B ∉ a

Teken alle rechten die loodrecht staan op a en door het punt B gaan.

– Formuleer jouw vaststelling.

Onderzoek 3 :

– Teken een rechte a die evenwijdig is met c

Teken een rechte b die evenwijdig is met c .

– Wat stel je vast in verband met de ligging van a en b ? Formuleer je zin in de vorm “als … dan …”.

Onderzoek 5 :

– Teken een rechte a die loodrecht staat op c

– Teken een rechte b die loodrecht staat op c .

– Wat stel je vast in verband met de ligging van a en b ? Formuleer in de vorm “als … dan …”.

Onderzoek 6 :

– Teken een rechte a die loodrecht staat op b –

Teken een rechte c die evenwijdig is met b .

– Wat stel je vast in verband met de ligging van a en c ? Formuleer in de vorm van “als … dan …”.

GEGEVENS TEKENING

CONCLUSIE EIGENSCHAP

rechte a punt B B a Door B kun je één evenwijdige tekenen met a

rechte a punt B B a

a ⫽ c

b ⫽ c

Door B kun je één loodlijn tekenen op a .

Door elk punt van het vlak kun je precies één rechte tekenen die evenwijdig is met een gegeven rechte.

Door elk punt van het vlak kun je precies één rechte tekenen die loodrecht staat op een gegeven rechte.

Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte, dan zijn die twee rechten onderling ook evenwijdig.

Als een rechte een van twee evenwijdigen snijdt, dan snijdt ze ook de andere.

a ⊥ c

b ⊥ c

a ⊥ b

b ⫽ c b c a a ⊥ c

De euclidische meetkunde

Als twee rechten loodrecht op eenzelfde derde rechte staan, dan zijn die rechten onderling evenwijdig.

Als een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere.

Door een punt gaat precies één rechte die evenwijdig is met een gegeven rechte. Tot die vaststelling kwam ook Euclides (ca. 300 voor Christus) in het oude Griekenland. Merkwaardig was dat deze vaststelling niet bewezen kon worden. Het was dus geen eigenschap of stelling! Men moest de uitspraak voor waar aannemen en noemde daarom de uitspraak het ‘postulaat’ (Latijn) of het ‘axioma’ (Grieks) van Euclides. Dit axioma is in feite de basis van de vlakke meetkunde (die ook wel euclidische meetkunde wordt genoemd). Eeuwenlang zochten wiskundigen een manier om dit axioma toch te bewijzen, maar ze kwamen tot de vaststelling dat dit onmogelijk is. Nog later (begin 19e eeuw) onderzochten wiskundigen (o.a. Gauss, Lobatsjevski en Bolyai) wat er zou gebeuren als ze dit axioma vervangen door een ander. Ze stelden vast dat er op die manier andere meetkundige systemen ontstonden. Die werden niet-euclidische meetkunden genoemd (bv. de bolmeetkunde). Ook de vierde eigenschap van hierboven is één van de axioma’s uit de boekenreeks ‘Elementen van Euclides’. Analyseer jij ook volgende drie axioma’s?

1 Een rechte lijn kan tot in het oneindige worden verlengd.

2 Met elk middelpunt en elke straal kan een cirkel getrokken worden.

3 Alle rechte hoeken zijn gelijk.

Eigenschappen van rechten en hoeken

6 Middelloodlijn van een lijnstuk

Teken op een blad een lijnstuk [ AB].

Plooi het blad zodat het punt A op het punt B komt liggen.

Noem de plooilijn m . Je merkt dat m loodrecht staat op de drager van het lijnstuk [ AB].

We noteren dit als volgt : m ⊥ AB.

– Teken een lijnstuk [ AB]

– Teken M, het midden van het lijnstuk [ AB]

– Teken een rechte m door het punt M loodrecht op AB.

middelloodlijn

De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van dit lijnstuk gaat en loodrecht staat op dat lijnstuk.

Elk punt dat op de middelloodlijn van een lijnstuk ligt, heeft een zeer bijzondere eigenschap : het ligt even ver van de grenspunten van het lijnstuk. | AM | = | MB | | AP | = | PB |

Taak :

Kies nog twee andere punten op m en noem die X en Y.

Controleer of

7 Afstand punt – rechte

Heb je jezelf ooit deze vragen gesteld :

Wat is de kortste weg naar de overkant?

Hoe ver ligt Brugge verwijderd van de kust?

West-Vlaanderen Brugge

In beide situaties wordt de afstand van een punt tot een rechte bepaald door de kortste weg te kiezen. Ook in de wiskunde wordt gekozen voor de kortste afstand.

Voorbeeld :

Gegeven : de rechte a punt A dat niet op a ligt

Gevraagd : de afstand van A tot a

Oplossing : Teken door A de loodlijn k op a

Bepaal het snijpunt S van k met a .

Meet de afstand van A tot S.

Dat is de afstand van A tot a

De afstand van punt A tot de rechte a wordt genoteerd als d( A, a )

Het snijpunt S noemen we het voetpunt van de loodlijn uit A op a .

afstand punt – rechte

De afstand van een punt tot een rechte is de afstand tussen dat punt en het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op de rechte.

Opmerking :

De afstand tussen twee evenwijdigen is de afstand van één punt van de ene rechte tot de andere rechte.

d ( a , b ) = d ( A, b ) = | AB |

8 Samenvatting

• Je kunt in het vlak en in de ruimte evenwijdige, snijdende en loodrechte lijnstukken herkennen.

• Je kunt in een ruimtefiguur evenwijdige en snijdende lijnstukken en rechten herkennen.

• Je kunt in een ruimtefiguur lijnstukken herkennen die een rechte hoek vormen.

• Je kunt in het vlak evenwijdige, snijdende en loodrechte rechten herkennen en je kunt de symbolen ⫽ en ⊥ correct gebruiken.

Snijdende rechten zijn rechten die juist één punt gemeenschappelijk hebben.

Evenwijdige rechten zijn rechten die geen enkel punt gemeenschappelijk hebben of rechten die samenvallen.

• Je kunt op een ruimtefiguur kruisende rechten herkennen.

Kruisende rechten zijn rechten die niet in hetzelfde vlak liggen (ze snijden elkaar dus niet en zijn ook niet evenwijdig).

• Je kent de onderstaande eigenschappen in verband met rechten in het vlak.

1 Door elk punt van het vlak kun je precies één rechte tekenen die evenwijdig is met een gegeven rechte.

2 Door elk punt van het vlak kun je precies één rechte tekenen die loodrecht staat op een gegeven rechte.

3 Als twee rechten evenwijdig zijn met eenzelfde derde rechte, dan zijn die twee rechten onderling evenwijdig.

4 Als een rechte een van twee evenwijdigen snijdt, dan snijdt ze ook de andere.

5 Als twee rechten loodrecht staan op eenzelfde derde rechte, dan zijn die rechten onderling evenwijdig.

6 Als een rechte loodrecht staat op een van twee evenwijdige rechten, dan staat ze ook loodrecht op de andere.

• Je kunt de middelloodlijn van een lijnstuk herkennen en tekenen met een geodriehoek.

De middelloodlijn van een lijnstuk is de rechte die door het midden van dat lijnstuk gaat en loodrecht staat op de drager van dat lijnstuk.

• Je kunt een definitie geven van de afstand van een punt tot een rechte.

De afstand van een punt tot een rechte is de afstand tussen dat punt en het voetpunt van de loodlijn uit dat punt op de rechte.

9 Oefeningen

Kleur op de onderstaande foto wat gevraagd is.

a Kleur twee vlakken die elkaar snijden groen.

b Kleur twee vlakken die evenwijdig zijn rood.

c Kleur twee vlakken die loodrecht op elkaar staan blauw.

Kleur op de foto hieronder twee evenwijdige vlakken rood en een vlak dat beide vlakken snijdt in het groen.

Teken en benoem ook twee evenwijdige rechten a en b en twee snijdende rechten c en d

Verplaatsen we ons even naar dit stukje werelderfgoed : een scheepslift nabij La Louvière. Vul aan met evenwijdig of snijdend.

a a en b zijn

b a en c zijn

c b en d zijn 1 2 3

Eigenschappen van rechten en hoeken

Teken op beide foto’s twee evenwijdige rechten a en b (groen) en twee loodrechte snijdende rechten c en d (zwart).

b

Gegeven is deze meetkundige figuur. Vul in met het meest passende symbool. Kies uit ⫽ , ⫽⧵ of ⊥

Zijn de groen aangeduide lijnstukken evenwijdig of snijdend?

Zullen de twee getekende rechten elkaar snijden?

In volgende kubussen zijn telkens twee rechten getekend. Ga na of ze snijdend, loodrecht, evenwijdig of (loodrecht) kruisend zijn.

a d g j

b e h k c f i l

Zijn de volgende uitspraken waar of vals? Illustreer met een (tegen)voorbeeld.

a Als a en b kruisend zijn en b en c zijn kruisend, dan zijn a en c ook steeds kruisend.

b Als a en b evenwijdig zijn en b en c zijn evenwijdig, dan zijn a en c ook steeds evenwijdig.

WAAR VALS

WAAR VALS

Gegeven : De punten A, B en C.

De rechten b en c

Gevraagd :

a Teken door A de rechte a evenwijdig met c .

b Teken door B de rechte d evenwijdig met b .

c Teken door C de rechte f evenwijdig met c .

d Teken door C de rechte g evenwijdig met b .

Teken de middelloodlijn van volgende lijnstukken.

Gegeven : De punten A, B, G, K en W.

De rechte g

Gevraagd : a Teken door W een loodlijn a op g

b Teken door B de rechte b evenwijdig met g .

c Teken c als je weet dat c ⫽ BG en K ∈ c .

d Teken d als je weet dat d ⊥ BG en G ∈ d .

Eigenschappen van rechten en hoeken

Teken in volgende balk twee rechten a en b over de snijlijnen van de zijvlakken, zodat a en b kruisend zijn.

Beantwoord de onderstaande vragen en formuleer telkens de toegepaste eigenschap.

a Berry en Geert zijn parketleggers. Berry start in de kamer rechts en legt zijn parket volgens een bepaalde lijn (a ). Hij werkt verder in de gang loodrecht op lijn a .

Ondertussen is Geert in de tweede kamer gestart met het leggen van parket. Hij volgt lijn c , mooi evenwijdig aan lijn a . Als hij de kamer uit is, hoe zal zijn parket dan liggen ten opzichte van het parket in de gang ?

b Twee behangers vergelijken of hun rollen behang even recht hangen met een schietlood dat in het midden van de kamer hangt. Als we de rollen van beide behangers met elkaar vergelijken, wat kun je dan besluiten ?

c Formuleer de eigenschappen die je bij a en b geïllustreerd ziet.

Eigenschappen van rechten en hoeken

Maak een duidelijke tekening en vul nadien het passende symbool in. a a ⊥ b en c ⊥ b ⟹ a c c a ⫽ b en c ⊥ a ⟹ b c

Patronen en regelmaat kom je ook tegen bij snijdende en loodrechte rechten. Vul telkens de tabel aan en bepaal het aantal snijpunten voor de tiende figuur.

Bepaal de afstand van het punt A tot de rechten a en b . Werk tot op 1 mm nauwkeurig.

Om de afstand tussen de evenwijdigen x en y te meten, gebruik je een geodriehoek. Zorg ervoor dat die een rechte hoek vormt met x . Meet op drie verschillende plaatsen de afstand tussen x en y

Gegeven is een punt A. Bepaal een rechte a zodat de afstand van A tot a precies 3 cm is. Hoeveel oplossingen zijn er ?

2.2

Hoeken

1 Begrippen

Je staat er niet bij stil, maar hoeken kom je (bijna) overal tegen. De brandweerman moet weten onder welke hoek hij de ladder zal uitschuiven om aan de achtste verdieping te raken. Ook jij, in het verkeer, maakt gebruik van een ‘kijkhoek’ om alle auto’s en vrachtwagens te kunnen zien. Kijk goed naar de tekening. Kun jij als fietser met deze kijkhoek al het naderend verkeer zien ?

Kijk ook maar eens naar het gezichtsvermogen van een paard en je zult zien dat de gezichtshoek van een paard groter is dan die van een mens.

De lijnen die je zo trekt, noemden we kijklijnen. Je kunt die ook toepassen bij bv. het raam uit je kamer. Hoe dichter je naar het raam toe gaat, hoe meer je kunt zien van wat er op straat gebeurt.

Wanneer een schrijnwerker twee planken mooi tegen elkaar wil bevestigen, dan zaagt hij de planken eerst op verstek.

Hij zal beide driehoekige deeltjes wegzagen onder een hoek van 45°.

Om deze klus te klaren gebruikt de schrijnwerker een verstekzaag. Die is zo ingesteld dat juist een hoek van 45° wordt weggezaagd.

Een hoek wordt bepaald door twee halfrechten die hetzelfde grenspunt hebben. We noemen die halfrechten de benen van de hoek.

A is het hoekpunt

Notatie :

C A B of A (als er geen verwarring mogelijk is) of .

2 Hoeken meten

Meten doe je overal.

De lengte van een lijnstuk is 6 cm.

De inhoud van een pak melk is 1 liter.

Je leerkracht weegt 62 kg.

Ook hoeken kun je meten.

Een hoek meten is de hoek vergelijken met een andere hoek, die we als eenheid gebruiken.

Zoals je al weet, meten wij een hoek in graden. Men is tot deze eenheid gekomen door een cirkel te verdelen in 360 gelijke stukken. Als we nu vanuit het middelpunt van de cirkel twee stralen tekenen naar twee opeenvolgende streepjes, dan ligt tussen die twee stralen de hoek die wij als eenheid nemen : de graad. We gebruiken als symbool °.

Opmerking :

Als we een cirkel in vier gelijke delen verdelen, dan krijgen we twee rechten die loodrecht op elkaar staan.

De hoek(en) die deze rechten vormen, is telkens 90°, aangezien 360° : 4 = 90°.

loodrechte stand

In woorden :

Twee rechten staan loodrecht op elkaar als en slechts als ze een hoek van 90° vormen.

In symbolen :

AB ⊥ AC ⟺ C A B = 90°

Voorbeeld 1 : een hoek meten met de gradenboog

Stappenplan

1 Plaats de geodriehoek zo dat het midden van de nullijn samenvalt met het hoekpunt van de te meten hoek.

2 Plaats de nullijn zo dat ze samenvalt met een van de benen van de hoek, bijvoorbeeld [AB.

3 We beginnen te tellen aan het been waar de nullijn mee samenvalt (0°).

4 Lees het getal af dat staat bij het andere been van de hoek. Indien nodig zul je dit been moeten verlengen.

5 We zeggen : de grootte van de hoek C A B is 45 graden.

We noteren : C A B = A = 45°

Opmerking :

Een hoek van 360° betekent dus in feite een volle cirkel rondgaan. Zo mag je bij de grootte van een hoek steeds een veelvoud van 360° bijtellen of aftrekken. Als je een volledige cirkelrondgang erbij doet, kom je immers opnieuw bij hetzelfde punt van de cirkel uit.

Voorbeeld : 820° = 460° ( 820° – 360° = 460°) = 100° ( 820° – 2 360° = 820° – 720° = 100°)

Eigenschappen van rechten en hoeken

Voorbeeld 2 : een hoek nauwkeurig meten

Soms is een verdere onderverdeling van de graad noodzakelijk. Om een plaats op aarde te bepalen met een gps-toestel zul je ook minuten en seconden aflezen.

1 graad = 60 minuten in symbolen : 1° = 60′

1 minuut = 60 seconden in symbolen : 1′ = 60″

Opmerkingen :

We moeten hoeken steeds in hun onvereenvoudigbare vorm schrijven :

81°76′83″ = 81° 77′ 23″ ( 60″ = 1′) = 82° 17′ 23″ ( 60′ = 1°)

Er wordt ook gebruikgemaakt van decimale getallen als maatgetal.

Zo heeft 40,5° dezelfde betekenis als 40°30′

3 Hoeken tekenen

Voorbeeld 1 : een hoek BAC == 105°

1 Kies een punt A, dat het hoekpunt wordt.

2 Plaats het midden van de nullijn in A en teken [AB.

3 Begin daar waar je [AB tekende te tellen op je geodriehoek tot je aan 55° bent. Plaats daar het punt C.

4 Teken nu het andere been [AC en plaats een boogje.

Er bestaat ook een tweede manier om een hoek te tekenen :

Voorbeeld 2 : een hoek BAC == 105° als de halfrechte [AB al gegeven is

1 Leg het midden van de nullijn op het hoekpunt en laat de nullijn samenvallen met [AB.

2 Draai nu de geodriehoek tot 105° bij dat been staat. Let op dat het midden van de nullijn op het hoekpunt blijft.

3 Teken nu het andere been en plaats er het punt C op. Teken een boogje.

4 Bijzondere hoeken

Een nulhoek is een hoek van 0°.

NULHOEK

SCHERPE HOEK

RECHTE HOEK

Bij een nulhoek vallen beide benen samen.

Een scherpe hoek is een hoek die groter is dan 0° en die kleiner is dan 90°.

= 0°

< A < 90°

STOMPE HOEK

GESTREKTE HOEK

Een rechte hoek is een hoek van 90°.

= 90°

VOLLE HOEK

Merk op :

Een stompe hoek is een

hoek die groter is dan 90°, maar kleiner is dan 180°.

Een gestrekte hoek is een hoek van 180°. Bij een gestrekte hoek liggen beide benen in elkaars verlengde.

Een volle hoek is een hoek van 360°.

< A < 180°

= 180°

= 360°

Een inspringende hoek is een hoek die tussen 180° en 360° groot is. Dit begrip wordt minder vaak gebruikt.

Waarom 360° ?

Vreemd genoeg is niet de ‘graad’ de officiële SI-eenheid voor de hoekmeting, maar wel de ‘radiaal’. Hiermee maak je binnen enkele jaren kennis. Wij meten en rekenen in graden, minuten en seconden. Enerzijds waren er meer dan 3000 jaar geleden de Babyloniërs die ervan uitgingen dat de aarde na 360 dagen (= 1 jaar) één keer rond de zon ging. Dat kwam neer op 1° per dag.

Anderzijds is 360 een mooi getal : het heeft 24 verschillende delers! Merk op dat 1° = 60′ en 1′ = 60″

We werken dus even in het zestigdelig stelsel, maar als we kleiner gaan dan 1 seconde, is het weer tiendelig.

5 Bissectrice van een hoek

Onderzoek :

– Teken een hoek met hoekpunt A.

– Plooi het blad zodat het ene been van de hoek samenvalt met het andere been van de hoek.

– Noem de plooilijn b Je merkt dat b de hoek A in twee even grote hoeken verdeelt.

Als A 1 = A 2, dan noemen we b de bissectrice of de deellijn van de hoek A

bissectrice

De bissectrice (of deellijn) van een hoek is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.

Elke hoek heeft juist één bissectrice.

We kunnen de bissectrice van een hoek tekenen met de geodriehoek.

Je meet de gegeven hoek (bv. 42°) met de geodriehoek en je plaatst een streepje bij de helft van die hoek.

Merk op dat we niet altijd nauwkeurig kunnen werken. Bij een hoek van 73° is de helft 36° 30’ en dat is moeilijk te tekenen.

Bissectrice

Het woord bissectrice is afkomstig van de Latijnse woorden bis (tweemaal) en sectrix of secara (wat snijdster of snijden betekent). Als we de halfrechten die een hoek bepalen, verlengen tot een rechte, dan verkrijg je in totaal vier hoeken met twee bissectrices, die loodrecht op elkaar staan. De oorspronkelijke bissectrice noemen we dan de binnenbissectrice of binnendeellijn. Enig idee wat de naam zal zijn voor de andere?

6 Samenvatting

• Je weet dat een hoek gevormd wordt door twee halfrechten met dezelfde oorsprong.

[ AB en [ AC : de benen van de hoek

A : het hoekpunt

A of C A B : de hoek

• Je kunt volgende hoeken herkennen en tekenen. NULHOEK

SCHERPE HOEK

RECHTE HOEK

HOEK

GESTREKTE HOEK

• Je kunt met een geodriehoek een hoek meten tot op 1 graad nauwkeurig.

• Je kunt met een geodriehoek een hoek tekenen die even groot is als een gegeven hoek.

• Je kunt met een geodriehoek de bissectrice (of deellijn) van een hoek herkennen en tekenen.

De bissectrice van een hoek is de rechte die de hoek in twee even grote hoeken verdeelt.

Eigenschappen van rechten en hoeken

7 Oefeningen

Vanuit het ruimtevaartstation wordt de Marsmobiel bestuurd door het ingeven van hoeken. Na elke meter wordt opnieuw een hoek ingegeven. Meet de aangeduide hoeken die de Marsmobiel op zijn weg tegenkomt.

Bepaal de grootte van elke hoek en schrijf ernaast of de hoek scherp, recht of stomp is. Maak eerst een schatting.

HOEK SCHATTING GROOTTE NAAM

Ook bij fietsen zijn hoeken van groot belang.

Bekijken we deze fiets. De hoek tussen de bovenbuis en de opstaande buis kan van fiets tot fiets verschillen.

Voor een sportfiets bedraagt deze hoek ongeveer 73°.

Voor een gewone fiets 65°.

Hoeveel bedraagt de hoek voor deze mountainbike ?

WISKUNDE & AARDRIJKSKUNDE

Schippers, scouts en zeelui maken nogal eens gebruik van een kompas. De kompasnaald wijst altijd het noorden aan. Alle andere richtingen maken dus een hoek met het noorden. Zo maakt ‘oost’ een hoek van 90°. Zoek nu het aantal graden dat hoort bij …

RICHTING HOEK

a zuid

b west

c noordoost

d noordnoordoost

e westnoordwest

f zuidwest

g zuidzuidwest

Eigenschappen van rechten en hoeken

Teken telkens de gevraagde hoek. Bij de eerste twee opgaven is al één been getekend.

a = 48°

c = 75°, = 150° en = 310°

b = 110°

d = 180°, = 32° en = 195°

Een paard heeft oogkleppen om zijn gezichtsveld te beperken. Hierdoor heeft hij maar een kijkhoek van 45°.

Arceer het gedeelte dat het paard niet kan zien.

Teken de bissectrice van volgende hoeken.

Bepaal de grootte van elke aangeduide hoek zonder te meten.

Eigenschappen van rechten en hoeken

WISKUNDE & TECHNOLOGIE

De luchthaven van Zaventem beschikt over drie start- en landingsbanen (in een z-vorm), waar vliegtuigen in beide richtingen kunnen landen of opstijgen. De banen hebben nummers, die overeenkomen met de hoek die gevormd wordt door het noorden en de vliegrichting, gedeeld door tien. De bovenste baan (25-07) gaat dus van 250° naar 70°. De L en R naast het getal komt overeen met linkerbaan of rechterbaan, wanneer je kijkt vanuit de vliegrichting.

a De meeste vliegtuigen naderen Zaventem vanuit het oosten omdat de wind overwegend vanuit het zuidwesten waait. Welke koers zal de piloot aanhouden bij het landen ?

b Bereken zonder te meten de hoeken die evenwijdige banen maken met de 01-19-baan.

c Neem een van de drie banen en bereken het verschil tussen beide getallen. Wat merk je ?

d Waarom staat er bij de derde baan geen L en R bij de getallen ?

© Brussels Airport Company – foto Tom D’Haenens

Bepaal de grootte van elke hoek zonder te meten.

a Gegeven :

A B = 42°

C D = 24°

AO ⊥ OC

Gevraagd :

Bepaal 1, 2, 3 en 4

Eigenschappen van rechten en hoeken

b Gegeven :

A B = 58°

a is bissectrice van A B

b is bissectrice van B C

a ⊥ b

Gevraagd :

Bepaal 1, 2, 3 en 4

Ook de grote en kleine wijzer van een klok bepalen hoeken.

a Welke hoek bepalen de wijzers van een klok om 5.00 uur ?

b Welke hoek bepalen de wijzers van een klok om 11.00 uur ?

c Welke hoek bepalen de wijzers van een klok om 6.00 uur ?

d Welke hoek bepalen de wijzers van een klok om 19.30 uur ?

e Hoeveel graden legt de kleine wijzer af op één dag ?

f Hoeveel graden legt de grote wijzer af op één dag ?

g Hoeveel keer per dag wordt er door de grote en de kleine wijzer een hoek gevormd van 150° ?

Twee tekenopdrachten.

a Teken de hoek die even groot is als b Verdeel de hoek in vier even grote hoeken. als je weet dat AC de bissectrice is van

De rechten x en y snijden elkaar in het punt S.

a Teken de loodlijn a in S op x .

b Teken de loodlijn b in S op y .

c Meet de hoek 1 en meet de hoek tussen de twee loodlijnen. Welk verband is er tussen die twee hoeken ?

Gegeven zijn een A S B en het punt P.

a Teken door P de loodlijn a op [ SA.

b Teken door P de loodlijn b op [ SB.

c Meet de hoek tussen de twee loodlijnen en A B.

d Welk verband bestaat er tussen die hoek en ?

a Teken een hoek A B = 35°.

b Teken in O de loodlijn op OA en de loodlijn op OB.

c Hoe groot zijn alle hoeken in O ?

Eigenschappen van rechten en hoeken

Carina heeft een pizza gebakken. Ze snijdt die in 10 gelijke stukken. Ze eet 1 stuk op en verdeelt daarna de overgebleven stukken gelijkmatig. Hoe groot is de hoek tussen 2 stukken ?

WALLABIE 2024 probleem 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Pizzaproblemen.

Deze pizza gaan we met een pizzames in stukken verdelen. Stel dat de stukken even groot moeten zijn. Ze zullen elkaar raken in het midden (in de olijf). Daar bekom je dus middelpuntshoeken.

a Bij welk aantal stukken zal de hoek van ieder stuk scherp zijn ?

b Bij welk aantal stukken zal de hoek van ieder stuk recht zijn ?

c Bij welk aantal stukken zal de hoek van ieder stuk stomp zijn ?

Stel dat de stukken niet even groot moeten zijn. De stukken hoeven elkaar dus niet te raken in het midden. Bovendien zullen we proberen om zo veel mogelijk stukken te bekomen. Als je één keer snijdt, heb je dus twee stukken. Als je twee keer snijdt, heb je maximaal vier stukken.

d Hoeveel stukken kun je maximaal bekomen als je drie keer snijdt met het pizzames ?

e Hoeveel stukken kun je maximaal bekomen als je vier keer snijdt met het pizzames ?

f Hoeveel stukken kun je maximaal bekomen als je twaalf keer snijdt met het pizzames ?

g Druk in een formule het maximale aantal stukken (s ) uit in functie van het aantal snijdingen.

Een pizza moet een kwartier in de oven. De tijdsaanduiding in de oven is stuk. Je beschikt over twee zandlopers : één van 7 minuten en één van 11 minuten. Hoe kun je ervoor zorgen dat de pizza precies 15 minuten in de oven zit ?

Vaardigheden | Schatten

Een ruwe schatting

De sequoia is een mammoetboom die voor de ijstijden overal ter wereld terug te vinden was. Nu kun je in California nog vele exemplaren bekijken in het Sequoia & Kings Canyon National Park. De bomen nemen een groot volume in en zijn ook heel hoog. Om de hoogte te bepalen, kun je in de boom klimmen en onderweg steeds een stukje koord neerlaten. Handiger is om de hoogte te schatten. Dat kan door een ruwe schatting of door een iets meer gedetailleerde schatting.

Neem de lengte van bijvoorbeeld je vader die bij de boom staat. Hij is bijna twee meter groot. Schat hoeveel keer hij in de hoogte van deze boom past. Al vlug blijkt dat je vader wel heel dikwijls in de hoogte van de boom past. Na vijf keer tellen (je bent aan 10 m) kun je deze 10 m als eenheid gebruiken. Als je een foto van de boom hebt (met je vader ernaast) gaat het makkelijker.

Een gedetailleerde schatting

Hier komen een rechthoekige driehoek en bijvoorbeeld een stok met lengte 1 m aan te pas. Plant de stok zo dat je vanuit kikkerperspectief de top van de stok en de boom op 1 lijn ziet. Schat de afstand van je oog tot de stok (afstand van oog tot stok = a ). Wandel nu met stappen van ongeveer 1 meter naar de boom (aantal stappen = s ). Je krijgt de hoogte door s te delen door a

Een verklaring voor deze berekening krijg je in het derde jaar bij gelijkvormige figuren.

Oefeningen

Schat telkens de gevraagde lengte of afstand.

a De omtrek van de sequoia.

b De hoogte van deze geiser.

c De lengte van de tyrannosaurus rex.

Schat de hoogte van dit flatgebouw.

a Doe een ruwe schatting. Maak gebruik van het feit dat een verdieping ongeveer 3 m hoog is. 50 m 4 m 2,6 m ?

b Doe een gedetailleerde schatting. De zuil is 2,6 m hoog. Jij staat op 4 m van de zuil en op 50 meter van het flatgebouw.

AFSTAND ( in m ) 4 50

HOOGTE ( in m ) 2,6

Eigenschappen van rechten en hoeken 2

dit moet ik leren

❒ Ik herken in het vlak en in de ruimte evenwijdige, snijdende en loodrechte vlakken.

❒ Ik weet dat evenwijdige rechten geen enkel punt gemeenschappelijk hebben of samenvallen.

❒

❒

❒

Ik weet dat snijdende rechten één punt gemeenschappelijk hebben.

Ik weet dat kruisende rechten niet in hetzelfde vlak liggen, elkaar niet snijden en ook niet evenwijdig zijn.

Ik weet dat door elk punt van het vlak één evenwijdige getekend kan worden aan een gegeven rechte.

❒ Ik weet dat door elk punt van het vlak één loodlijn getekend kan worden op een gegeven rechte.

❒ Ik kan de middelloodlijn tekenen van een lijnstuk.

❒

Ik ken de definitie van de middelloodlijn van een lijnstuk.

❒ Ik ken de definitie van de afstand van een punt tot een rechte.

❒ Ik kan de afstand bepalen tussen twee evenwijdige rechten.

❒ Ik ken de betekenis van een hoek, een hoekpunt en benen en weet hoe een hoek voorgesteld wordt.

❒ Ik kan een hoek meten tot op 1° nauwkeurig.

❒ Ik kan een hoek tekenen.

❒

Ik ken de betekenis van een nulhoek, scherpe hoek, rechte hoek, stompe hoek, gestrekte hoek en volle hoek.

❒ Ik kan een bissectrice tekenen van een hoek.

❒ Ik ken de definitie van de bissectrice van een hoek.

❒ Ik kan een ruwe en een gedetailleerde schatting maken van een gevraagde lengte of afstand.

pagina ik ken het ! oké voor examen

53

54

54

54

58

58

59

59

60 

60

69

70

71

72

73

73

85

Eigenschappen van rechten en hoeken 2

Zijn de aangeduide rechten loodrecht, evenwijdig, snijdend of kruisend ? a b c d

Voer volgende constructies uit.

a Teken door A de evenwijdige m aan a en de evenwijdige n aan b

b Teken door B de loodlijn p op a en de loodlijn q op b .

De rechten a , b en c liggen in het vlak p. Vul het passende symbool in. Maak eventueel een schets.

a a ⫽ b en b ⫽ c ⟹ a c

b a ⊥ b en b ⫽ c ⟹ a c

c a ⊥ b en b ⊥ c ⟹ a c

Naam

Eigenschappen van rechten en hoeken

Teken telkens het tweede been van de hoek als de grootte gegeven is.

a = 120° b = 85°

b Bepaal het snijpunt S van de bissectrices van en 4 / 2 5 / 1 6

In het midden van een taart ligt één kers .

De taart wordt in 9 even grote stukken verdeeld. Hoe groot zijn de hoeken (in het midden bij de kers) die op die manier ontstaan ?

Gegeven is een vlieger ABCD.

a Meet de hoeken van de vlieger en bepaal hun som.

Hoe groot is de aangeduide hoek ? Niet meten, wel redeneren.

b

/ 2 8 / 2

Tekenopdracht.

30′

30′

a Teken een hoek = 110°.

b Teken de bissectrice d van .

c Neem op d een punt P.

d Teken door P de loodlijnen op beide benen van

9 / 1

Een jonge kangoeroe sneed een pizza in zes gelijke stukken. Nadat hij één stuk had opgegeten, verschoof hij de overgebleven stukken zodat de tussenhoeken gelijk waren. Hoe groot is elk van de tussenhoeken ?

(A) 5° (B) 8° (C) 9° (D) 10° (E) 12°

WIZEXPERT 2024 probleem 3 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

Hoodstuktitel 0 Vlakke figuren 3

Moray is een archeologische site in Peru, zoals ook het meer bekende Machu Picchu er een is. Maar enkel in Moray vind je deze perfect cirkelvormige ‘amfitheaters’. Wetenschappers menen dat de Inca’s op deze plekken volop experimenteerden om hun landbouw beter te maken : er zat een slim irrigatiesysteem in verwerkt en de temperatuur tussen de bovenste en de onderste cirkel kon wel 15 graden verschillen.

In dit hoofdstuk kijken we niet enkel naar cirkels, maar nemen we ook de drie­ en vierhoeken onder de loep. Tijd dus om de vlakke figuren te bestuderen !

Vlakke figuren

3.1 Vlakke figuren rondom ons herkennen

3.2 Driehoeken

1 Begrippen  95

2 Merkwaardige lijnen in een driehoek  96

3 Som van de hoeken van een driehoek  98

4 Classificatie van de driehoeken  99

5 Driehoeken grafisch voorstellen  104

6 Samenvatting  109

7 Oefeningen  110

3.3 Vierhoeken

1 Begrippen  123

2 Som van de hoeken van een vierhoek  123

3 Classificatie van de vierhoeken  124

4 Het trapezium  125

5 Het parallellogram  126

6 De rechthoek  128

7 De ruit  129

8 Het vierkant  130

9 Vierhoeken grafisch voorstellen  131

10 Samenvatting  132

11 Oefeningen  133

3.4 Cirkels

1 Begrippen  141

2 Straal, diameter en middellijn  142 3 Samenvatting  143 4 Oefeningen  144

Extra’s

Vaardigheden : Regelmatige veelhoeken construeren  153

Wat moet je kennen en kunnen ?  155

Herhalingsoefeningen  156

Bekijk de instructievideo’s

3.1

Vlakke figuren rondom ons herkennen

Vlakke figuren zijn deelverzamelingen van het vlak. Je vindt ze in allerlei vormen : er zijn regelmatige veelhoeken, onregelmatige figuren, cirkels, krommen, Op deze en volgende bladzijde herken je heel wat vlakke figuren. Welke horen bij elkaar en waarom ?

3.2

Driehoeken

1 Begrippen

Sommige vormen zijn van nature uit steviger dan andere. In de architectuur is het algemeen bekend dat vierkante vormen vrij zwakke figuren zijn. Constructies worden veel steviger door het gebruik van driehoeken. Zo bestaat het geraamte van deze hijskraan uit heel veel driehoeken.

Een driehoek is veel steviger van structuur. Je kunt een vierkant steviger maken door er een of twee dwarsbalken in te plaatsen.

driehoek

Een driehoek is een vlakke figuur die wordt gevormd door drie zijden en drie hoeken.

Merk op :

De drie punten die de driehoek vormen, liggen niet op eenzelfde rechte.

We spreken van driehoek ABC en we noteren DABC.

Terminologie :

HOEKPUNTEN A, B, C

HOEKEN , ,

ZIJDEN [ AB], [ BC], [ AC]

DRAGERS VAN DE ZIJDEN AB, BC, AC

OVERSTAANDE HOEK VAN EEN ZIJDE is de overstaande hoek van zijde [ BC]

AANLIGGENDE HOEKEN VAN EEN ZIJDE en zijn de aanliggende hoeken van zijde [ BC]

INGESLOTEN HOEK VAN 2 ZIJDEN is de ingesloten hoek van zijden [ AB] en [ AC]

2 Merkwaardige lijnen in een driehoek

a Middelloodlijn

De middelloodlijn m op de zijde [ BC] van driehoek ABC is de rechte die door het midden van [ BC] gaat en loodrecht op BC staat.

middelloodlijn

Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die door het midden gaat van een zijde en loodrecht staat op de drager van die zijde.

In elke driehoek kun je drie middelloodlijnen tekenen.

Onderzoek :

– Teken in een willekeurige driehoek de drie middelloodlijnen.

Wat merk je op ?

b Bissectrice

De bissectrice b van van driehoek ABC is de rechte die in twee even grote delen verdeelt.

bissectrice

Een bissectrice van een driehoek is de rechte die door een hoekpunt gaat en de bijbehorende hoek in twee even grote hoeken verdeelt.

In elke driehoek kun je drie bissectrices tekenen.

Onderzoek : – Teken in een willekeurige driehoek de drie bissectrices. – Wat merk je op ?

Zwaartelijn

Waarom spreken we op p. 97 van ‘zwaarte’-lijn ?

Door die rechte wordt de driehoek in twee ‘gelijke’ (d.w.z. even zware) delen verdeeld. Neem de proef op de som : als je een driehoek ondersteunt op zijn zwaartelijn (bv. met een lat), dan blijft de driehoek in evenwicht : de massa of de ‘zwaarte’ is gelijk verdeeld langs beide kanten van de lijn.

c Hoogtelijn

De hoogtelijn h van driehoek ABC vanuit A is de loodlijn uit A op de drager van de overstaande zijde [ BC]

hoogtelijn

Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande zijde.

In elke driehoek kun je drie hoogtelijnen tekenen.

Onderzoek : – Teken in een willekeurige driehoek de drie hoogtelijnen.

Wat merk je op ?

Opmerkingen :

Het lijnstuk [ AH] wordt de hoogte van de driehoek genoemd.

Ook de lengte van het lijnstuk [ AH] noemen we de hoogte van de driehoek.

Als [ AH] als de hoogte wordt genomen, dan noemen we [ BC] de basis van de driehoek.

Als de hoogte vanuit B wordt genomen, dan is [ AC] de basis.

Als de hoogte vanuit C wordt genomen, dan is [ AB] de basis.

d Zwaartelijn

De zwaartelijn z van driehoek ABC vanuit A is de rechte door A en door het midden van de overstaande zijde [ BC]. A

zwaartelijn

Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.

In elke driehoek kun je drie zwaartelijnen tekenen.

Onderzoek :

– Teken in een willekeurige driehoek de drie zwaartelijnen.

Wat merk je op ?

Opmerkingen :

Soms bedoelen we met de zwaartelijn uit A het lijnstuk [ AM].

3 Som van de hoeken van een driehoek

Meet in de driehoeken van de vorige bladzijde de grootte van , en . Bepaal ook telkens de som van de drie hoeken. Wat merk je ? Je kunt dit ook op andere manieren onderzoeken :

Door te knippen :

Teken een willekeurige driehoek ABC op

Door te plooien :

Teken een willekeurige driehoek ABC en knip die uit. een blad papier. Plooi dan volgens onderstaande werkwijze.

Knip de hoeken , en af met een schaar en plak ze tegen elkaar.

eigenschap

De som van de hoeken van een driehoek is steeds 180°.

4 Classificatie van de driehoeken

Onderzoek :

– Hieronder zie je een aantal driehoeken. Welke horen volgens jou bij elkaar ?

– Op basis van welke kenmerken heb jij de driehoeken gegroepeerd ?

– Probeer voor elke groep een omschrijving te geven die deze groep driehoeken typeert.

– Vergelijk jouw groepering met de groepering van andere leerlingen uit de klas.

a Driehoeken ingedeeld volgens de zijden

gelijkbenige driehoek

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan minstens twee zijden even lang zijn.

Terminologie : A

TOPHOEK

BASISHOEKEN en

BASIS [ BC]

BENEN [ AB] en [ AC]

Opdracht :

Meet de basishoeken. Wat merk je op ?

Besluit : eigenschap

In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.

Opmerking :

Deze eigenschap geldt ook omgekeerd :

Als in een driehoek twee hoeken even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.

gelijkzijdige driehoek

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden even lang zijn..

Opmerking :

Elke gelijkzijdige driehoek is gelijkbenig.

Opdracht :

Meet de hoeken van de driehoek. Wat merk je op ?

Besluit : eigenschap

In een gelijkzijdige driehoek zijn de drie hoeken even groot, namelijk 60°.

Opmerking :

Ook deze eigenschap geldt omgekeerd :

Als in een driehoek de drie hoeken even groot zijn, dan is de driehoek gelijkzijdig.

ongelijkbenige driehoek

Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek die niet gelijkbenig is, d.w.z. de drie zijden hebben een verschillende lengte.

In schemavorm :

Je kunt bepalen welke soort driehoek er getekend is op basis van de lengte van de zijde. Beantwoord de vragen in deze flowchart en je krijgt de juiste benaming van de driehoek.

beschouw een driehoek

heeft de driehoek twee zijden die even lang zijn? zijn alle zijden even lang? de driehoek is ongelijkbenig de driehoek is gelijkbenig de driehoek is gelijkzijdig

b Driehoeken ingedeeld volgens de hoeken

scherphoekige driehoek

Een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn.

Merk op :

Je hoeft de hoeken van de driehoek niet echt te meten. Het is voldoende de hoeken te vergelijken met een rechte hoek (van je geodriehoek bijvoorbeeld) om uit te maken of ze scherp zijn.

stomphoekige driehoek

Een stomphoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek stomp is.

Merk op :

Een driehoek kan nooit meer dan één stompe hoek hebben, anders wordt de som van de hoeken groter dan 180°.

rechthoekige driehoek

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek recht is.

[ AB] en [ BC] noemen we de rechthoekszijden. [ AC] is de schuine zijde of hypotenusa

Merk op :

Als een rechte hoek is, dan zijn de twee andere hoeken scherpe hoeken. De som van die twee hoeken is 90°.

Hypotenusa

Hypotenusa komt uit het Grieks (ὑποτείνουσα) en betekent letterlijk ‘zich uitstrekkend onder’.

We kunnen de verzameling van de driehoeken ook als volgt opsplitsen :

St Sc Re

Ook op basis van de hoeken kan een flowchart je helpen om tot de juiste benaming te komen van de driehoek.

de driehoek is stomphoekig

is er een rechte hoek bij?

beschouw een driehoek

heeft de driehoek drie scherpe hoeken?

de driehoek is rechthoekig

de driehoek is scherphoekig ja

5 Driehoeken grafisch voorstellen

Onze wiskunderugzak is nu weer wat meer gevuld. Aan de hand van de definities en eigenschappen van de verschillende driehoeken is het nu ook gemakkelijker om een goede schets te maken van bepaalde driehoeken.

a Schetsen

ONGELIJKBENIGE DRIEHOEK GELIJKBENIGE DRIEHOEK GELIJKZIJDIGE DRIEHOEK

b Tekenen van driehoeken met behulp van een geodriehoek

Voorbeeld 1 :

Teken een rechthoekige driehoek.

Oplossing :

Teken een willekeurig lijnstuk [BC].

Gebruik je geodriehoek om in B een loodlijn op [BC] te tekenen. Neem op de loodlijn een punt A en teken de driehoek ABC.

Voorbeeld 2 :

Teken een stomphoekige driehoek.

Oplossing :

Teken een willekeurig lijnstuk [BC].

Gebruik je geodriehoek om in B een stompe hoek te tekenen. Leg daarom het nulpunt van je geodriehoek in B en zet een streepje bij 120° of een andere stompe hoek. Zo krijg je het punt A. Teken de driehoek ABC.

Voorbeeld 3 :

Teken een driehoek waarvan één zijde 5 cm is en de aanliggende hoeken 35° en 50° zijn.

Oplossing :

Teken een lijnstuk [ BC] dat 5 cm lang is. Gebruik je geodriehoek om in B een hoek te tekenen van 35°.

Teken daarna in C een hoek van 50°. Het snijpunt van de twee halfrechten is het derde hoekpunt A.

Voorbeeld 4 :

Teken een driehoek met zijden van 3 cm en 5 cm en waarbij de ingesloten hoek 45° is.

Oplossing :

Teken een lijnstuk [ BC] waarvan de lengte 5 cm is. Gebruik je geodriehoek om in B een hoek te tekenen van 45°.

Zorg ervoor dat het nieuwe lijnstuk precies 3 cm lang is.

Werk je driehoek af.

Voorbeeld 5 :

Teken een gelijkbenige driehoek met benen van 5 cm.

Oplossing :

Teken een lijnstuk [ BC] Neem je passer en neem als passeropening 5 cm. Plaats het passerpunt in B en teken met je passer een boogje.

Plaats het passerpunt in C en teken met je passer een boogje. Het snijpunt van de twee boogjes is het derde hoekpunt A.

c Driehoeken tekenen met GeoGebra

Voorbeeld 1 :

Teken een gelijkzijdige driehoek met zijden van 3,5.

Stappenplan :

• Klik op het icoontje voor rechte en kies voor Lijnstuk met lengte. Klik nadien in het tekenvenster en vul in het scherm dat zich opent 3.5 in.

• Klik op het icoontje voor cirkel en kies voor Cirkel : middelpunt & straal. Klik op A en vul in het scherm dat zich opent 3.5 in.

Druk nadien op OK.

• Klik nadien op B en vul in het scherm dat zich opent 3.5 in.

Druk op OK.

• Klik op het icoontje voor punt, kies voor Snijpunten en klik op de twee getekende cirkels.

• Verberg de twee getekende cirkels alsook het punt D (klik met de rechtermuisknop op deze objecten en vink steeds Object tonen uit).

Teken nu de driehoek met Veelhoek. Je hebt een gelijkzijdige driehoek getekend.

• Om de driehoek te benoemen kun je eventueel nog de naam van C wijzigen in A (klik met de rechtermuisknop op C, kies voor Naam wijzigen en wijzig de naam in A) en de naam van A wijzigen in C.

• Wil je ook op het scherm laten zien dat elke zijde 3,5 lang is ? Klik hiervoor op een lijnstuk met de rechtermuisknop.

Ga naar instellingen. Zorg dat Label tonen is aangevinkt.

Kies in het keuzemenu naast Label tonen voor Waarde Herhaal dit voor elk lijnstuk.

Voorbeeld 2 :

Teken een driehoek ABC met | AC | = 6, | AB | = 5 en | BC | = 3.

Stappenplan :

• Teken een lijnstuk [ AC] waarvan de lengte 6 is (gebruik Lijnstuk met lengte). Wijzig (eventueel) de naam van de punten zodat je lijnstuk wel degelijk de naam [ AC] heeft!

• Teken een cirkel met middelpunt A en met straal 5 (gebruik Cirkel : middelpunt & straal).

• Teken een cirkel met middelpunt C en met straal 3 (gebruik Cirkel : middelpunt & straal).

• Duid de snijpunten van de twee getekende cirkels aan.

• Verberg de cirkels en één van de getekende snijpunten.

• Teken de driehoek die aan alle voorwaarden voldoet.

Voorbeeld 3 :

Teken een driehoek ABC waarbij AM de zwaartelijn is op [ BC] en m de middelloodlijn is van [ AC]

Het probleem begrijpen :

Hoe los je het best zo’n probleem op ?

Begin met de opgave goed te ontrafelen (net zoals bij een vraagstuk).

Dit noemen we de ‘analyse’ van het probleem. Hieronder vind je een voorbeeld hoe zo’n analyse kan verlopen :

Analyse :

We lezen in de opgave dat AM een zwaartelijn moet zijn van de driehoek en m een middelloodlijn van [ AC]. We schetsen een willekeurige driehoek ABC met daarin een zwaartelijn [ AM] en een middelloodlijn m

Aan de hand van deze kladtekening ontdekken we dat :

1 [ BM] en [ CM] even lang zijn ;

2 AC ⊥ m ;

3 [ AS] en [ CS] even lang zijn.

Met welke van die drie vaststellingen kun je nu aan de slag ?

Stappenplan :

• Omdat m de middelloodlijn van [ AC] is, kunnen we C vinden. We tekenen vanuit A de loodlijn op m en noemen het snijpunt S (gebruik Loodlijn en Snijpunten).

• Omdat m de middelloodlijn is van [ AC], is | AS | = | SC |. Om C te vinden tekenen we een cirkel met middelpunt S die door A gaat (kies voor Cirkel met middelpunt door punt). Het snijpunt van deze cirkel met g is C (gebruik Snijpunten).

• We kunnen nu ook B vinden. We tekenen CM en zorgen ervoor dat | CM | = | MB | We tekenen hiervoor een cirkel met middelpunt M die door C gaat en het snijpunt van deze cirkel met CM is B (gebruik Rechte en nadien Cirkel met middelpunt door punt en dan Snijpunten).

6

Samenvatting

• Je weet dat een driehoek een vlakke figuur is die wordt gevormd door drie zijden en drie hoeken.

• Je kunt de juiste notatie gebruiken in verband met hoekpunt, zijde, lengte van zijden en hoeken van een driehoek.

: hoek

A : hoekpunt [ AB]: zijde

: de overstaande hoek van zijde [ BC] en : de aanliggende hoeken van de zijde [ AB]

: de ingesloten hoek van de zijden [ AB] en [ AC] h : de hoogte van de driehoek [ AB]: de basis van de driehoek

• Je kunt volgende begrippen bij een gelijkbenige driehoek correct gebruiken : [ AB]: basis [ BC] en [ AC]: benen en : basishoeken

: tophoek

• Je kent de definities van een hoogtelijn, bissectrice (of deellijn), zwaartelijn en middelloodlijn in een driehoek.

Een hoogtelijn van een driehoek is de loodlijn uit een hoekpunt op de drager van de overstaande zijde.

Een bissectrice (of deellijn) van een driehoek is de rechte die door een hoekpunt gaat en de bijbehorende hoek in twee even grote delen verdeelt.

Een zwaartelijn van een driehoek is de rechte door een hoekpunt en door het midden van de overstaande zijde.

Een middelloodlijn van een driehoek is de rechte die door het midden gaat van een zijde en loodrecht staat op de drager van die zijde.

• Je kunt eigenschappen in verband met de merkwaardige lijnen in een driehoek verwoorden.

De drie middelloodlijnen in een driehoek snijden elkaar in één punt.

De drie bissectrices in een driehoek snijden elkaar in één punt.

De drie hoogtelijnen in een driehoek snijden elkaar in één punt.

De drie zwaartelijnen in een driehoek snijden elkaar in één punt.

• Je kunt de verschillende driehoeken herkennen, schetsen en definiëren.

Een gelijkbenige driehoek is een driehoek waarvan minstens twee zijden even lang zijn.

Een gelijkzijdige driehoek is een driehoek waarvan de drie zijden even lang zijn.

Een ongelijkbenige driehoek is een driehoek die niet gelijkbenig is, d.w.z. de drie zijden hebben een verschillende lengte.

Een scherphoekige driehoek is een driehoek waarvan alle hoeken scherp zijn.

Een stomphoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek stomp is.

Een rechthoekige driehoek is een driehoek waarvan één hoek recht is.

• Je kent de volgende eigenschappen in verband met hoeken in een driehoek.

De som van de hoeken van een driehoek is steeds 180°.

In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot.

In een gelijkzijdige driehoek zijn de drie hoeken even groot, namelijk 60°.

• Je kunt een driehoek tekenen die aan gegeven voorwaarden voldoet.

7 Oefeningen

Vul de meest passende benaming in.

Kies uit : hoekpunt, zijde, drager van een zijde, ingesloten hoek, aanliggende hoeken, overstaande hoek.

a [ XY] is een

b is de tussen de [ XY] en [ YZ]

c YZ is de

d en zijn de van de [ XZ].

e is de van de [ XY]

Driehoek ABC is gelijkbenig. Hoe noem je …

a [ AC]?

b [ AB]?

c ?

d en ? A C B

Teken met je geodriehoek in driehoek ABC :

a de hoogtelijn uit A en de zwaartelijn uit B. b de middelloodlijn van [AC] en de bissectrice van

Wat is de naam van volgende bijzondere lijnen ?

A C M B c T S R d

AM is de d is de uit A in DABC. van in DRST.

b G I m H d M P S N

m is de PS is de van [ HI] in DGHI. uit P in DMNP.

Teken met je geodriehoek in DABC :

a de zwaartelijn z door A.

b de hoogtelijn h door B.

c de middelloodlijn m op de zijde [ AC].

d de bissectrice b van

Teken de rechten a , b , c en d als :

a a de hoogtelijn is uit A

b b de middelloodlijn is op [ AB]

c c de zwaartelijn is uit B.

d d de bissectrice is van

Vul in met zwaartelijn, hoogtelijn, middelloodlijn of bissectrice.

a

XM is een

YN is een

XP is een X M N Z Y O P

OP is een

b OS is een

c

SP is een M S O P Q R N

RN is een

MQ is een

CD is een

GB is een

GC is een

EF is een

Duid met een kruisje aan welke kenmerken de volgende merkwaardige lijnen in een driehoek hebben.

DOOR EEN HOEKPUNT

ZWAARTELIJN

HOOGTELIJN

MIDDELLOODLIJN

BISSECTRICE

Welke reeks hoeken kan van eenzelfde driehoek zijn ?

a Een rechte hoek, een stompe hoek en een scherpe hoek.

b Een rechte hoek, een stompe hoek en een stompe hoek.

c Een rechte hoek, een rechte hoek en een scherpe hoek.

d Een rechte hoek, een scherpe hoek en een scherpe hoek.

LOODRECHT OP EEN ZIJDE

DOOR HET MIDDEN VAN EEN ZIJDE

Als je de verzameling driehoeken van blz. 101 samenbrengt met die van blz. 103, dan bekom je onderstaande verzameling driehoeken. Teken in elk gebied een gepaste driehoek bij het zwarte puntje.

D : driehoeken

Re : rechthoekige driehoeken

Sc : scherphoekige driehoeken

St : stomphoekige driehoeken

Gb : gelijkbenige driehoeken

Gz : gelijkzijdige driehoeken

Welke driehoeken zitten in volgende verzamelingen ? Omschrijf de driehoeken in woorden.

Waar of niet waar ?

a Er bestaat een stomphoekige driehoek die rechthoekig is.

b Er bestaan gelijkbenige, rechthoekige driehoeken.

c Als een driehoek gelijkzijdig is, dan is die driehoek gelijkbenig.

d Als een driehoek gelijkbenig is, dan is die driehoek gelijkzijdig.

e Een rechthoekige driehoek kan niet gelijkzijdig zijn.

Bereken de gevraagde hoeken.

a In D ABC is = 58° en = 67°. Bereken .

d In D ABC is dubbel zo groot als . Bereken als je weet dat = 26°.

b In D DEF is = 130° en = 25°. Bereken

e D DEF is rechthoekig in . Bereken als je weet dat = 42°.

c D XYZ is gelijkbenig. De tophoek = 84°. Bereken

f D DEF is = 27° en = 4 Bereken .

g Bij een gelijkbenige driehoek is de tophoek 100°. Hoe groot is elke basishoek ?

j Hoe groot zijn de basishoeken in een rechthoekige, gelijkbenige driehoek ?

h Van een gelijkbenige stomphoekige driehoek is één scherpe hoek 22°. Hoe groot is de stompe hoek ?

k In een driehoek is de ene hoek dubbel zo groot als de kleinste hoek. De andere hoek is het drievoud van de kleinste hoek. Bepaal de grootte van elke hoek van de driehoek.

i In een rechthoekige driehoek is een scherpe hoek viermaal zo groot als de andere scherpe hoek. Hoe groot is de kleinste hoek in deze driehoek ?

l In D PQR is + = 58° en – = 26°. Bepaal de grootte van , en

Bekijk aandachtig de figuur en bepaal 1 als je weet dat | AB | = | DB | en | AC | = | BC |. Geef ook een verklaring.

Bepaal zonder te meten. a De hoeken 1, 1, 2 en b De hoeken 1, 2 en als je weet dat 1 =

In een assenstelsel zijn de punten A en B getekend zodat co( A) = ( 1, –1) en co( B) = ( 3, 3)

Bepaal co( C) zodat :

a DABC gelijkbenig is en b DABC gelijkbenig is en c DABC rechthoekig is in C. scherphoekig. stomphoekig.

Controleer nadien je antwoorden met GeoGebra.

Teken deze driehoeken met behulp van ICT.

a Teken een driehoek ABC met | AB | = 9, = 36° en | AC | = 4.

b Teken een gelijkbenige driehoek DEF met tophoek = 50° en | EF | = 3.

c Teken een gelijkzijdige driehoek met omtrek 18.

d Teken een driehoek XYZ met | XY | = 6, = 45° en = 35°.

De gelijkbenige driehoek als waterpas

De Egyptenaren gebruikten geen waterpas om na te kijken of iets volkomen horizontaal was. In plaats daarvan gebruikten ze een houten instrument in de vorm van de letter A. Aan de top van dit instrument was een touwtje bevestigd met daaraan een gewichtje. Door ervoor te zorgen dat het touw met het gewichtje (dat steeds verticaal hing) door het midden van het verbindingsstuk ging, had men zekerheid dat dit latje horizontaal stond. Ze maakten hier gebruik van de eigenschap dat in een gelijkbenige driehoek (de letter A) de zwaartelijn (verticaal touwtje door het midden van het latje) ook de hoogtelijn was. Het touwtje stond dus loodrecht op de drager van de overstaande zijde : het onderste latje was dus mooi waterpas.

Teken onderstaande driehoeken op papier of met ICT.

a DABC met | AB | = 5 cm, | BC | = 4 cm en = 40°.

b DDEF waarvan een zijde 4 cm lang is, een andere zijde 5,5 cm lang is en de ingesloten hoek 100° is.

c DGHI met | GH | = 5,5 cm, = 30° en = 75°.

d DMNP met | MN | = 5 cm, | NP | = 4,5 cm en | MP | = 3 cm.

e DJKL waarvan een zijde 5 cm lang is en de aanliggende hoeken aan die zijde 45° en 60° meten.

f Een gelijkbenige driehoek RST met tophoek = 50° en | ST | = 4 cm.

g Een gelijkbenige driehoek UVW met een hoek van 120° en de overstaande zijde die 7 cm lang is.

h Een rechthoekige driehoek XYZ met = 90°, = 55° en | XZ | = 6 cm.

i Een gelijkbenige driehoek met een basis van 5 cm en een basishoek van 35°.

j Een gelijkbenige driehoek waarbij de basis 4 cm is en een been 8 cm lang is.

k Een gelijkzijdige driehoek waarvan de omtrek 2,1 dm is.

Bij deze drie tekenopdrachten maak je vooraf een analyse. Teken op papier of met ICT.

a Teken de driehoek ABC als je weet dat m de middelloodlijn is op [ AC] en n de middelloodlijn op [ AB]

b Teken de rechthoekige driehoek ABC als je weet dat [ AM] de zwaartelijn is vanuit A, een rechte hoek is en de rechte m de middelloodlijn is op de zijde [ BC].

c Teken driehoek ABC als gegeven is dat de rechte c de bissectrice is van en de rechte b de bissectrice is van .

WISKUNDE & ARTISTIEKE VORMING

a Teken een grote gelijkzijdige driehoek. Pas op elke zijde van de driehoek een lijnstukje van dezelfde lengte af. Hoe kleiner dit lijnstukje is, hoe mooier de tekening zal worden. Verbind de punten : je verkrijgt opnieuw een gelijkzijdige driehoek. Herhaal bovenstaande werkwijze met de nieuwe driehoek. Als je dit verschillende keren na elkaar toepast, krijg je een mooie figuur. Kleur je ze creatief in ? Geef ook een titel aan je kunstwerk.

b Er zijn nog heel wat andere manieren om op een creatieve manier met driehoeken mooie figuren te tekenen. Hier krijg je nog een voorbeeld : teken een gelijkzijdige driehoek. Neem van elke zijde het midden en verbind die punten : je krijgt opnieuw een gelijkzijdige driehoek (en zelfs meer dan één). Herhaal deze werkwijze tot …

Bart tekent twee driehoeken : een scherphoekige en een stomphoekige. Hij meet de zes hoeken en schrijft er vier op : 120°, 80°, 55° en 10°. Hoe groot is de kleinste hoek van de scherphoekige driehoek ?

(A) 5° (B) 10° (C) 45° (D) 55° (E) onmogelijk te bepalen

WALLABIE 2009 probleem 12 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Op de zijde [BC] van een gelijkzijdige driehoek Δ ABC liggen de punten D, E, F en G zodanig dat de lijnstukken [ AD], [ AE], [ AF] en [ AG] de hoek BAC in gelijke hoeken verdelen. Hoe groot is de hoek ADC ?

? (A) 70° (B) 72° (C) 75° (D) 78° (E) 80°

JWO 2024 eerste ronde, probleem 20 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Vier snoepjes hebben aardbeismaak. Zes snoepjes hebben ananassmaak. Tien snoepjes hebben kersensmaak. Hoeveel snoepjes moet je uit de zak halen om er zeker van te zijn dat er minstens twee van elke smaak uit de zak zijn gehaald ?

In onze school doen 30 jongens en 20 meisjes mee aan de Kangoeroewedstrijd. Van de jongens wint 10% een prijs en van de meisjes is dat 20%. Hoeveel procent van alle deelnemers uit onze school wint een prijs ?

3.3

Vierhoeken

1 Begrippen

vierhoek

Een vierhoek is een vlakke figuur die wordt gevormd door vier zijden en vier hoeken.

D We spreken van vierhoek ABCD.

Terminologie :

HOEKPUNTEN

A, B, C, D

HOEKEN , , ,

ZIJDEN

[ AB], [ BC], [ CD], [ DA]

DRAGERS VAN DE ZIJDEN OF ZIJLIJNEN AB, BC, CD, DA DIAGONALEN [ AC] en [ BD]

OVERSTAANDE HOEKEN en en

OVERSTAANDE ZIJDEN

[ AB] en [ CD] [ AD] en [ BC]

2 Som van de hoeken van een vierhoek

Meet de hoeken van vierhoek ABCD. Maak de som.

A + B + C + D =

Teken in de vierhoek ABCD de diagonaal [AC].

De diagonaal verdeelt de vierhoek in twee driehoeken : D ABC en D ACD.

In elk van die driehoeken is de som 180°.

Dus zal de som van de vierhoeken 360° zijn.

eigenschap

De som van de hoeken van een vierhoek is steeds 360°.

3 Classificatie van de vierhoeken

Allemaal vierhoeken

In het basisonderwijs maakte je al kennis met verschillende soorten vierhoeken. In de volgende paragrafen zullen we alles op een rijtje zetten en nog hier en daar de leerstof verfijnen. Hieronder vind je een aantal vierhoeken. We zullen deze groep vierhoeken uitdunnen door telkens de voorwaarde voor de figuur strenger te definiëren.

Ze zullen allemaal een plaats krijgen in dit schema :

4 Het trapezium

Zoek op de vorige bladzijde alle vierhoeken die minstens één paar evenwijdige zijden hebben. Die vierhoeken noemen we trapeziums (of trapezia).

trapezium

Een trapezium is een vierhoek met ten minste één paar evenwijdige zijden.

Terminologie :

EVENWIJDIGE ZIJDEN

OPSTAANDE ZIJDEN

DIAGONALEN

HOOGTE

Bijzondere gevallen : gelijkbenig trapezium

Een gelijkbenig trapezium is een trapezium waarvan de opstaande zijden even lang en niet evenwijdig zijn.

[ AB] en [ DC] (ook ‘kleine basis’ en ‘grote basis’ genoemd)

[ AD] en [ BC]

[ AC] en [ BD]

[ AH] of | AH |

rechthoekig trapezium

Een rechthoekig trapezium is een trapezium met precies twee rechte hoeken.

Bij het gelijkbenig trapezium ABCD noemen we de opstaande zijden ook de benen van het trapezium. en noemen we de basishoeken.

Onderzoek : –

Teken een gelijkbenig trapezium en bepaal de middens van de grote en kleine basis. – Verbind de middens en noem die rechte m . Knip de figuur uit en plooi de figuur in m

Wat kun je besluiten over de hoeken ?

eigenschap

In een gelijkbenig trapezium zijn de basishoeken even groot.

5 Het parallellogram

Zoek op blz. 124 alle vierhoeken die twee paar evenwijdige zijden hebben.

Dergelijke vierhoeken noemen we parallellogrammen.

parallellogram

Een parallellogram is een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden.

Terminologie :

EVENWIJDIGE ZIJDEN

[ AB] en [ DC] [ AD] en [ BC] worden ook de schuine zijden genoemd.

OVERSTAANDE HOEKEN en en

DIAGONALEN

[ AC] en [ BD]

HOOGTE h

De hoogte is de afstand tussen twee evenwijdige zijden.

Onderzoek 1 : –

Teken een parallellogram ABCD.

– Meet de lengte van de overstaande zijden. – Meet de grootte van de overstaande hoeken.

Probeer je vaststellingen te verwoorden.

Onderzoek 2 :

–

Teken een parallellogram ABCD.

– Teken de diagonalen [ AC] en [ BD] – Noem het snijpunt van de diagonalen M. – Meet | AM | en | MC |. Meet ook | BM | en | MD | –

Probeer je vaststellingen te verwoorden.

Na onderzoek van onze parallellogrammen komen we tot volgende eigenschappen :

eigenschappen

In een parallellogram zijn de overstaande zijden even lang en de overstaande hoeken even groot.

In een parallellogram delen de diagonalen elkaar middendoor.

Opmerkingen :

De omgekeerde eigenschappen gelden ook : –

Als in een vierhoek de overstaande zijden even lang zijn, dan is die vierhoek een parallellogram. –

Als in een vierhoek de overstaande hoeken even groot zijn, dan is die vierhoek een parallellogram. –

Als in een vierhoek de diagonalen elkaar middendoor delen, dan is die vierhoek een parallellogram.

Trapezium en parallellogram

Dit woord komt van het Griekse woord ‘trapezion’ (τραπέζιον), dat oorspronkelijk ‘onderzetter met vier poten’ (of eigenlijk ‘tafeltje’) betekende.

Een zweefrek voor de acrobaten in een circus is een ‘trapeze’. Ook daar kun je een kenmerk van een trapezium ontdekken. De stang van het zweefrek blijft namelijk steeds evenwijdig met de grond.

In het woord ‘parallellogram’ (steeds met 2 keer een dubbele ‘l’) vind je het woord ‘parallel’ terug. Parallel (afkomstig uit het Grieks – παράλληλος) betekent immers evenwijdig of gelijklopend.

6 De rechthoek

Zoek op blz. 124 alle vierhoeken met vier rechte hoeken. Dergelijke vierhoeken noemen we rechthoeken.

rechthoek

Een rechthoek is een vierhoek met vier rechte hoeken.

Terminologie :

ZIJDEN

LENGTE

BREEDTE

DIAGONALEN

[ AB], [ BC], [ CD], [ DA]

[ AB] of [ CD] maar ook | AB | of | CD |

[ AD] of [ BC] maar ook | AD | of | BC |

[ AC] en [ BD]

Ook van een rechthoek kunnen we eigenschappen vinden door zijden en diagonalen te meten.

Omdat elke rechthoek ook een parallellogram is, gelden alle eigenschappen van een parallellogram ook voor een rechthoek.

Onderzoek :

– Teken een rechthoek ABCD.

Teken de diagonalen [ AC] en [ BD]. – Wat kun je besluiten over de diagonalen?

eigenschappen

In een rechthoek zijn de diagonalen even lang en delen ze elkaar middendoor.

Opmerking :

De omgekeerde eigenschap geldt ook :

Als in een vierhoek de diagonalen even lang zijn en elkaar middendoor delen, dan is die vierhoek een rechthoek.

7 De ruit

Zoek op blz. 124 alle vierhoeken met vier even lange zijden.

Dergelijke vierhoeken noemen we ruiten.

ruit

Een ruit is een vierhoek met vier even lange zijden.

Terminologie :

ZIJDEN

DIAGONALEN

[ AB], [ BC], [ CD], [ DA]

[ AC] en [ BD]

[ AC] wordt ook de kleine diagonaal genoemd.

[ BD] wordt ook de grote diagonaal genoemd.

Ook van een ruit kunnen we eigenschappen vinden door hoeken en diagonalen te meten. Omdat elke ruit een parallellogram is, gelden alle eigenschappen van een parallellogram ook voor een ruit.

Onderzoek : –

Teken een ruit ABCD.

– Teken de diagonalen [ AC] en [ BD]

Wat kun je besluiten over de diagonalen?

eigenschap

In een ruit staan de diagonalen loodrecht op elkaar en delen ze elkaar middendoor.

Opmerking :

Ook hier geldt de omgekeerde eigenschap :

Als in een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar middendoor delen, dan is die vierhoek een ruit.

8 Het vierkant

Zoek op blz. 124 alle vierhoeken die zowel een rechthoek zijn als een ruit. Dergelijke vierhoeken noemen we vierkanten.

vierkant

Een vierkant is een vierhoek met vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

Terminologie :

C

ZIJDEN [ AB], [ BC], [ CD], [ DA]

DIAGONALEN [ AC] en [ BD]

Omdat een vierkant zowel een rechthoek als een ruit is, gelden alle eigenschappen van de rechthoeken en van de ruiten (en dus ook van de parallellogrammen) ook voor een vierkant.

eigenschap

In een vierkant staan de diagonalen loodrecht op elkaar, delen ze elkaar middendoor en zijn ze even lang.

Opmerking :

Ook hier geldt de omgekeerde eigenschap :

Als bij een vierhoek de diagonalen loodrecht op elkaar staan, elkaar middendoor delen en even lang zijn, dan is die vierhoek een vierkant.

9 Vierhoeken grafisch voorstellen

Nu we een mooi overzicht hebben van de definities en eigenschappen van de verschillende vierhoeken, kunnen we gemakkelijker een goede schets maken.

a Schetsen

b Tekenen van vierhoeken die aan bepaalde voorwaarden voldoen

Voorbeeld 1 :

Teken een rechthoek met lengte 5 cm en breedte 2 cm.

Oplossing :

Teken een lijnstuk [ BC] dat 5 cm lang is. Omdat in een rechthoek elke hoek 90° is, plaats je je geodriehoek in B en teken je (loodrecht) een lijnstuk dat 2 cm lang is. Doe hetzelfde in C en maak je rechthoek ABCD af.

Voorbeeld 2 :

Teken een ruit met zijden van 3 cm en een grote diagonaal die 5 cm lang is.

Oplossing :

Teken een lijnstuk [ AC] dat 5 cm lang is. Dat wordt de grote diagonaal. Bepaal het midden van [ AC] en teken daar de loodlijn op. Op de loodlijn liggen ergens de punten B en D. Om precies te weten waar B en D liggen, plaats je je passerpunt in A en teken je (met als passeropening 3 cm) een boogje. Doe hetzelfde vanuit C en maak je ruit ABCD af.

10

Samenvatting

• Je weet dat een vierhoek een vlakke figuur is die gevormd is door vier zijden en vier hoeken.

• Je weet dat de som van de hoeken van een vierhoek 360° is.

• Je kent de betekenis van de begrippen hoekpunt, hoek, zijde, diagonaal, overstaande hoeken, overstaande zijden, hoogte, basis, lengte en breedte.

: hoek

[ BC]: zijde

[ AC]: diagonaal en : overstaande hoeken

[ AB] en [ CD]: overstaande zijden

• Je kent de definities en eigenschappen van de verschillende vierhoeken.

DEFINITIE

een vierhoek met minstens één paar evenwijdige zijden

een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden

een vierhoek met vier rechte hoeken

een vierhoek met vier even lange zijden

een vierhoek met vier even lange zijden en vier even grote hoeken

EIGENSCHAPPEN de overstaande zijden zijn evenwijdig de overstaande zijden zijn evenwijdig de overstaande zijden zijn evenwijdig de overstaande zijden zijn evenwijdig de overstaande zijden zijn even lang de overstaande zijden zijn even lang de overstaande zijden zijn even lang de overstaande zijden zijn even lang de overstaande hoeken zijn even groot de overstaande hoeken zijn even groot de overstaande hoeken zijn even groot de overstaande hoeken zijn even groot

de diagonalen delen elkaar middendoor de diagonalen delen elkaar middendoor de diagonalen delen elkaar middendoor de diagonalen delen elkaar middendoor de diagonalen zijn even lang de diagonalen zijn even lang de diagonalen staan loodrecht op elkaar de diagonalen staan loodrecht op elkaar

11

Oefeningen

Vul de meest passende benaming in. Kies uit : hoekpunt, zijde, drager van een zijde, overstaande hoeken, overstaande zijden, ingesloten hoek, basis, hoogte en diagonaal.

a [ CD] is een

[ CD] is ook de

b en zijn

c [ FG] en [ HI] zijn

d [ BD] is een

e [ AE] is de f is de van de [ GH] en [ FG].

g GH is de van de [ GH]

Waar of vals ? Indien vals, verklaar.

a Alle parallellogrammen zijn trapeziums.

b Sommige rechthoeken zijn ruiten.

c Alle ruiten zijn vierkanten.

d Er bestaan ruiten met vier even grote hoeken.

e Elke rechthoek is ook een trapezium.

f Elke vierhoek met twee even lange overstaande zijden is een parallellogram.

g Elke vierhoek met twee even lange en evenwijdige overstaande zijden is een parallellogram.

h Elk parallellogram met twee even lange diagonalen is een rechthoek.

i Elke vierhoek met twee even lange diagonalen is een rechthoek.

j Elke vierhoek waarvan de diagonalen elkaar middendoor delen, is een parallellogram.

k Elke vierhoek met twee even lange diagonalen die elkaar middendoor delen, is een rechthoek.

l Elke ruit met even lange diagonalen is een vierkant.

m Elk parallellogram met één rechte hoek is een rechthoek.

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

Alle vierhoeken hebben een plaats in dit schema :

V : vierhoeken

VIERHOEKEN MET LOODRECHT OP ELKAAR STAANDE DIAGONALEN 3 4

P : parallellogrammen

T : trapeziums Ru : ruiten

Re : rechthoeken

Vk : vierkanten

Welke vierhoeken zitten in volgende verzamelingen ? Omschrijf in woorden.

OPGAVE ANTWOORD

a Ru \ Re

b P ∩ Vk

c Ru ∪ P

d Vk ∩ Ru

e Re ∩ Ru

f Vk ∪ Re

Teken in elk gebied een correcte vierhoek.

VIERHOEKEN

MET EVEN LANGE DIAGONALEN

VIERHOEKEN MET DIAGONALEN

DIE ELKAAR MIDDENDOOR DELEN

Welke figuur zie je als je …

a bij een willekeurige vierhoek de middens van c de middens van de opeenvolgende zijden van een de aanliggende zijden verbindt ? rechthoek met elkaar verbindt ?

b in een parallellogram de bissectrices tekent en d de middens van de zijden van een ruit met hun onderlinge snijpunten verbindt ? elkaar verbindt ?

Controleer je antwoorden met ICT.

Bepaal de coördinaat van het vierde hoekpunt D zodat ABCD een … a rechthoek is : b parallellogram is : c ruit is :

Controleer je antwoorden met ICT.

Teken onderstaande vierhoeken op papier of met ICT.

a Een vierkant met zijde 4 cm.

b Een trapezium met precies twee rechte hoeken.

c Een trapezium met een grote basis van 12 cm, een kleine basis van 8 cm en een hoogte van 6 cm.

d Een rechthoek waarvan de lengte 5 cm is en de breedte 3 cm.

e Een ruit met zijden van 4 cm en met een hoek van 35°.

f Een parallellogram met zijden van 4 cm en 2,5 cm en een ingesloten hoek van 40°.

g Een parallellogram EFGH met E = 70° en h = 3,5 cm.

Teken volgende vlakke figuren op papier of met ICT.

a Een rechthoek die geen vierkant is en waarvan de diagonalen 5 cm zijn.

b Een vierkant waarvan de diagonalen 4 cm zijn.

c Een vierhoek met diagonalen die even lang zijn, elkaar middendoor delen, maar niet loodrecht op elkaar staan.

d Een vierhoek ABCD met | AB | = | BC | = 3 cm en | CD | = | DA | = 2 cm.

e Een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan, niet even lang zijn en elkaar middendoor delen.

f Een vierhoek met loodrecht op elkaar staande diagonalen die even lang zijn en elkaar middendoor delen.

g Een ruit IJKL met | IK | = 7 cm en | JL | = 5 cm.

De som van de hoeken van een driehoek is steeds 180°. Bij een vierhoek is dat 360°.

a Zoek de som van de hoeken van een vijfhoek door te tekenen en te redeneren.

b Wat is de som van de hoeken van een zeshoek ?

c Wat is de som van de hoeken van een tienhoek ?

d Wat is de som van de hoeken van een n ­hoek ?

Patronen en vierhoeken. Teken telkens de volgende figuur en geef het aantal gevraagde vierhoekjes die zitten in de vierde, de tiende en de n ­de figuur. a FIGUUR NR. 1 2 3 4

FIGUUR

TOTAAL AANTAL KLEINE RECHTHOEKJES

Aantal kleine rechthoekjes in figuur 10 :

Aantal kleine rechthoekjes in figuur n :

AANTAL ORANJE VIERKANTJES

Aantal oranje vierkantjes in figuur 10 :

Aantal oranje vierkantjes in figuur n :

Coördinatenpuzzel.

Vooraf weet je dit :

Elke coördinaat wordt bepaald door eerst op de horizontale as te kijken en dan op de verticale as.

Je weet alles van vlakke figuren.

–

Hoe werkt het ? –

Los elke opdracht op.

– Zoek de oplossing in het rooster.

– Noteer de coördinaat.

1 Dit trapezium heeft één paar even lange zijden.

Voorbeeld : – Welk hemellichaam zorgt voor warmte en licht ?

– Antwoord : de zon.

– Zoek de zon in het rooster.

– Noteer in het vak onder de opgave : ‘VEREN’

Resultaat?

– Je bekomt een zin. Dat is de vraag die je uiteindelijk moet beantwoorden.

– Probeer een zo juist mogelijk antwoord te noteren.

2 In deze vlakke figuur valt de bissectrice van de tophoek samen met de zwaartelijn uit de top en de middelloodlijn op de basis.

3 De diagonalen van deze figuur zijn niet even lang. Ze delen elkaar wel middendoor, maar staan niet loodrecht op elkaar.

4 Deze figuur is de verzameling van oneindig veel punten die even ver liggen van één bepaald punt.

5 Tel alle hoeken van een willekeurige zevenhoek op. Hoeveel graden zal je altijd bekomen ?

6 De middelloodlijn op de basis verdeelt de figuur in twee identieke driehoeken. Ter info : deze rechte noemen we een symmetrieas.

7 Deze vlakke figuur is de ontvouwing van een piramide met een vierkant als grondvlak.

8 Elk zijvlak van een kubus is er eentje.

De vraag :

Het antwoord op die vraag :

Onderzoeksopdrachten.

a Teken een parallellogram en meet twee opeenvolgende hoeken. Doe dit opnieuw in een ander parallellogram. Wat kun je besluiten ?

b Teken in een parallellogram de vier middelloodlijnen. Wat kun je besluiten ?

Gegeven is een rooster met twaalf punten (zie figuur). Hoeveel vierkanten kunnen we vormen met vier van die roosterpunten als hoekpunten ?

(A) 5 (B) 7 (C) 9 (D) 11 (E) 13

JWO 2002 eerste ronde, probleem 13 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Welke van de volgende figuren zijn een tegenvoorbeeld voor de uitspraak “Een vierhoek met twee paar evenwijdige zijden is een rechthoek” ? vierkant ruit rechthoek trapezium parallellogram

2

(A) Figuur 3 (B) Figuur 4 (C) Figuren 1 en 3 (D) Figuren 2 en 5 (E) Figuren 2, 4 en 5

JWO 2025 eerste ronde, probleem 16 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

3.4

Cirkels

1 Begrippen

De bijna perfecte cirkel op de foto hiernaast vind je voor de kust van Belize. Dit was eeuwen geleden een grot, waarvan het ‘dak’ na verloop van tijd is ingestort door een stijgende waterspiegel. De cirkel heeft een diameter van 300 meter en een diepte van 124 meter. Het vormen van cirkels komt ook in ons dagelijks leven veelvuldig voor. Een muntstuk, een reddingsboei, het binnenwerk van horloges en de wielen van je fiets zijn enkele praktische voorbeelden. Als een straatartiest op de Gentse Feesten een nummertje opvoert, gaan de mensen spontaan in cirkelvorm staan. En liefhebbers van graancirkels hebben ook een sterke voorkeur voor deze vlakke figuur.

cirkel

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt, het middelpunt

De afstand van een punt van de cirkel tot het middelpunt noemen we de straal van de cirkel. symbool : r r = | MA | = | MB |

Notatie :

c( M, r ): cirkel met middelpunt M en straal r

2 Straal, diameter en middellijn

Het begrip straal heeft een dubbele betekenis.

Het is zowel het lijnstuk als de lengte ervan.

[ MA] is een straal van de cirkel.

| MA | noemen we ook de straal.

a is een middellijn van de cirkel.

Als je een lijnstuk tekent dat twee punten van de cirkel verbindt, dan noem je dat een koorde

[ BC] is een koorde van de cirkel.

Ook het begrip diameter heeft een dubbele betekenis.

Het is zowel het lijnstuk als de lengte ervan. Het lijnstuk is een koorde die door het middelpunt van de cirkel gaat.

De lengte is het dubbele van de straal.

[ XY] is een diameter van de cirkel.

| XY | noemen we ook de diameter.

Een rechte die door het midden van een cirkel gaat, noemen we een middellijn

straal

Een straal van een cirkel is (de lengte van) een lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt op de cirkel.

koorde en diameter

Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt.

Een diameter van een cirkel is een koorde die door het middelpunt gaat.

middellijn

Een middellijn van een cirkel is een rechte die door het middelpunt gaat.

Opmerking :

Een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van de cirkel noemen we een middelpuntshoek

 is een middelpuntshoek.

Voorbeeld : Hoe komen leerlingen naar school ? Met de fiets

Met de wagen

het openbaar vervoer

3 Samenvatting

• Je kunt de volgende begrippen herkennen en zelf tekenen :

M : middelpunt

[ MC]: straal

| MC | : straal

[ KL]: koorde

[ XY]: diameter

a : middellijn  : middelpuntshoek

• Je kent de definitie van een cirkel.

Een cirkel is de verzameling van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt, het middelpunt.

• Je kent de definities van een straal, een koorde, de diameter en een middellijn van een cirkel.

Een straal van een cirkel is (de lengte van) een lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt op de cirkel.

Een koorde van een cirkel is een lijnstuk dat twee punten van de cirkel verbindt.

Een diameter van een cirkel is een koorde die door het middelpunt gaat.

Een middellijn van een cirkel is een rechte die door het middelpunt gaat.

• Je weet wat een middelpuntshoek is van een cirkel.

Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek met als hoekpunt het middelpunt van de cirkel.

Cirkel en straal

Het woord ‘cirkel’ komt via het Frans (cercle) uit het Latijn (circulus). Het betekent kring of rondgang.

Het symbool ‘r’ dat wordt gebruikt om de straal aan te geven, is de eerste letter van het woord ‘radius’ (een ander woord voor ‘straal’).

Het woord ‘diameter’ kent zijn herkomst bij het Griekse diametros (διάμετρος). ‘Dia’ (δια) betekent ‘doorheen’ en ‘métron’ (μέτρον) betekent ‘maat’, waarbij onze maat natuurlijk de meter is. De Grieken gebruikten dit woord ook om een diagonaal aan te duiden.

4 Oefeningen

Vul in met het passende begrip.

a [ OX] is een

b [ KL] is een

maar ook een

c KL is een

d  is een

e O is het

Teken een cirkel met straal 3 cm. Teken hierin een …

a straal in het blauw.

b middellijn in het zwart.

c diameter in het rood.

Teken een cirkel c( M, 4 cm)

a Teken hierin een middelpuntshoek van 90° in het rood.

b De benen van de hoek snijden de cirkel in A en B. Duid A en B aan.

c Kies een willekeurig punt C op de cirkel. Teken de hoek A B.

d Hoe groot is A B ?

Teken een lijnstuk [ AB] van 5 cm.

Teken nu een cirkel c die [ AB] als diameter heeft.

Teken een hoek A B van 75°.

Teken een cirkel c met straal 3 cm waarvan A B een middelpuntshoek is.

a Teken een cirkel waarvan a een middellijn is.

b Hoeveel oplossingen zijn er mogelijk ? a

a Teken een cirkel met straal 2 cm waarvan a een middellijn is. a

b Hoeveel oplossingen zijn er mogelijk ?

Wat is het grootste aantal stukken waarin je een cirkelschijf kunt verdelen als je door de cirkel … a twee rechten tekent ? b drie rechten tekent ? c vier rechten tekent ?

Gegeven is een cirkel met middelpunt O. Door welk punt X gaat het tweede been van een middelpuntshoek AOX als …

a AOX = 90° ?

b AOX = 30° ?

c AOX = 45° ?

d AOX = 105° ?

e AOX = 180° ?

Teken een cirkel met middelpunt M waarvan a een middellijn is.

a Hoeveel oplossingen zijn er ?

b Hoe kun je ervoor zorgen dat er maar één cirkel getekend kan worden ? a

Teken twee verschillende punten A en B.

Hoeveel cirkels kun je tekenen die zowel door A als door B gaan ?

Hoeveel cirkels kun je tekenen die door de drie punten A, B en C gaan ?

Teken een cirkel die door A en door B gaat en waarbij het middelpunt op de rechte r ligt.

a Wanneer heb je in dergelijke opgave geen oplossing ?

b Wanneer heb je in dergelijke opgave oneindig veel oplossingen ?

Teken de volgende cirkels met behulp van ICT.

a Teken een cirkel met r = 4.

b Teken een cirkel waarbij A en B op de cirkel liggen en | AB | = 5.

c Teken in een cirkel een middelpuntshoek van 120°.

d Teken drie niet­collineaire punten A, B, C. Teken een cirkel door A en B en C.

WISKUNDE & ARTISTIEKE VORMING

– Teken een cirkel met een diameter van 18 cm. Verdeel de diameter in 6 even lange lijnstukken.

Noem de grenspunten van die lijnstukken A, B, C, D, E, F en G. De punten A en G liggen op de cirkel.

– Zet je passerpunt in B en teken een cirkel met straal 3 cm. Doe hetzelfde in de punten D en F.

– Zet je passerpunt in C en teken een cirkel met straal 6 cm. Doe hetzelfde in het punt E.

Kleur de verschillende gebieden leuk in.

Een aantal ringen wordt geschakeld tot een ketting als in de figuur. De totale lengte van de ketting is 1,7 meter. Uit hoeveel ringen bestaat de ketting ?

(A) 17 (B) 21 (C) 30 (D) 42 (E) 85

Europese Kangoeroewedstrijd 2004 probleem 13 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

In een rechthoek van 7 bij 11 zijn twee cirkels getekend. Beide cirkels raken drie zijden van de rechthoek. Wat is de afstand tussen de middelpunten van de cirkels ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

WIZBRAIN 2018 probleem 8 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

De spiraal op de volgende bladzijde lijkt sterk op de spiraal van Fibonacci, een Italiaanse wiskundige die leefde in de twaalfde eeuw. Stel dat de twee kleinste vierkantjes elk zijden met als lengte 1 hebben. Dat is meteen ook de straal van het getekende stukje cirkel in de kleine figuur.

1 1 1 1 2 1

a Maak de figuur nog twee keer met een kwart van een cirkelschijf groter. Kleur het resultaat in.

b Stel dat de eerste straal (van de eerste kwartcirkel) 1 is. Noteer dan de opeenvolgende stralen van de steeds groter wordende kwartcirkels. Je herkent een regelmaat. Vul nu de tabel aan.

FIGUUR NR. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 STRAAL

c Die rij noemen we de rij van Fibonacci. Je komt die in de natuur heel vaak tegen. Zoek hierover meer info.

Leonardo Van Pisa (ca. 1170 – ca. 1250)

De rij die je verkrijgt onderaan vorige bladzijde noemen we de rij van Fibonacci. Fibonacci was de bijnaam van de Italiaanse wiskundige Leonardo Van Pisa.

Toepassingen van deze rij vind je terug in de natuur en de architectuur. Hoe planten konijnen zich voort ? Hoe zijn de kamers van een nautilusschelp opgebouwd ? Hoe ontwikkelt een bijenpopulatie zich ? Maar ook de opbouw van pianotoetsen en die van het Griekse Parthenon bevatten (een deeltje van) de rij van Fibonacci.

Jari heeft een vierkant stuk papier met een omtrek van 40 cm in twee stukken (rechthoeken) gesneden.

Een van de rechthoeken heeft een omtrek van 32 cm. Wat is de omtrek van de andere rechthoek?

Via hoeveel verschillende wegen kan de rode bal in een vak met ‘10’ terechtkomen ?

Vaardigheden | Regelmatige veelhoeken construeren

Bij het construeren maak je gebruik van passer en liniaal. Je zal de maatverdeling van je geodriehoek of liniaal niet gebruiken. Om een gelijkzijdige veelhoek te construeren pas je dit stappenplan toe.

Hoe construeer je een regelmatige vijfhoek?

STAP 1 Teken een cirkel met middelpunt O en straal r Teken het horizontale en verticale lijnstuk dat het midden als snijpunt heeft. Het horizontale lijnstuk heeft A en B als grenspunten op de cirkel, het verticale lijnstuk heeft C en D als grenspunten op de cirkel.

STAP 2 Teken met B als middelpunt een nieuwe cirkel met dezelfde straal r of | OB |

STAP 3 Verbind de twee snijpunten van beide cirkels. Zo bekom je M, het midden van [ OB] Plaats je passer in M en pas de afstand | MC | af.

STAP 4 Deze afstand pas je 5 keer af op de cirkel : Je plaatst je passerpunt in C en kan langs beide zijden een boogje tekenen op de cirkel. De snijpunten met de cirkel zijn twee nieuwe hoekpunten van je vijfhoek. Plaats ook hier telkens je passer en teken een boogje zodat je alle vijf de hoekpunten hebt aangeduid.

STAP 5 Verbind nu de vijf opeenvolgende punten.

Oefeningen

Construeer in een cirkel met straal 5 cm en middeelpunt O een regelmatige vijfhoek.

Construeer een regelmatige zeshoek aan de hand van dit eenvoudig stappenplan.

STAP 1 Teken met je passer een cirkel met middelpunt O en straal 4 cm. Teken de straal [ OA].

Behoud je passeropening.

STAP 2 Plaats de passer met passerpunt in A. Neem als passeropening dezelfde 4 cm. Zet aan beide kanten op de cirkel een boogje.

Je hebt al drie hoekpunten van je zeshoek.

Behoud je passeropening.

STAP 3 Plaats telkens je passer met passerpunt op het nieuwe hoekpunt. Teken een boogje zodat je een nieuw snijpunt bekomt. Blijf dit herhalen tot je zes punten hebt.

STAP 4 Verbind de zes opeenvolgende punten.

Vlakke figuren 3

moet ik leren

dit

❒ Ik weet wat een driehoek is en kan zijden en hoeken benoemen.

❒ Ik ken de betekenis van volgende begrippen bij een driehoek : hoek, hoekpunt, zijde, overstaande hoek, aanliggende hoeken, ingesloten hoek, hoogte en basis.

pagina ik ken het ! oké voor examen

95

95

❒ Ik ken de definities van een hoogtelijn, bissectrice, zwaartelijn en middelloodlijn in een driehoek. 96

❒ Ik kan de hoogtelijnen, bissectrices, zwaartelijnen en middelloodlijnen in een driehoek tekenen. 96

❒ Ik weet dat de som van de hoeken in een driehoek steeds 180° is.

❒ Ik kan de driehoeken indelen volgens de zijden.

❒

Ik ken de betekenis van volgende begrippen bij een gelijkbenige driehoek : tophoek, benen, basis en basishoeken.

❒ Ik kan de driehoeken indelen volgens de hoeken.

❒ Ik kan driehoeken grafisch weergeven die aan een aantal voorwaarden voldoen.

❒ Ik weet wat een vierhoek is en kan zijden en hoeken benoemen.

98

100

102

104

123

❒ Ik ken de betekenis van volgende begrippen bij een vierhoek : hoek, zijde, diagonaal, overstaande hoeken en overstaande zijden. 123

❒ Ik weet dat de som van de hoeken in een vierhoek steeds 360° is.

❒ Ik ken de definities van een trapezium, parallellogram, rechthoek, ruit en vierkant.

123

125

❒ Ik ken de definities van een gelijkbenig trapezium en een rechthoekig trapezium. 125

❒ Ik kan de eigenschappen van de verschillende soorten vierhoeken verwoorden.

125

❒ Ik kan een vierhoek grafisch weergeven die aan een aantal voorwaarden voldoet. 131

❒ Ik ken de definitie van een cirkel. 141

❒ Ik ken de definities van volgende begrippen : straal, diameter en middellijn.

142

❒ Ik weet wat een middelpuntshoek is. 142

❒ Ik kan een regelmatige vijfhoek construeren.

❒ Ik kan een regelmatige zeshoek construeren.

153

154

Vlakke figuren

Teken een gelijkbenige driehoek ABC en een rechthoekige driehoek XYZ. Breng de nodige merktekens aan.

1 / 2 2 / 3

Woordenschat bij driehoeken. In DABC is …

a AM een

b CP een

c BN een

3 / 3

Teken in de driehoek hiernaast :

a de middelloodlijn van [ BC]

b de hoogtelijn uit A.

c de zwaartelijn uit B.

Naam

4 / 4

Teken volgende gevraagde vlakke figuren.

a Teken een gelijkbenige driehoek waarvan c Teken een rechthoekig trapezium waarvan de basis 4 cm meet en de tophoek 70° is. de grote basis 6 cm meet en de kleine basis 4 cm.

b Teken een rechthoekige driehoek waarvan d Teken een vierhoek met even lange diagonalen de rechthoekszijden 5 cm en 3 cm meten. van 6 cm die niet loodrecht staan op elkaar, maar elkaar wel middendoor delen.

Bereken in D ABC als je weet dat :

5 / 2

a = 73° en = 55°

b = 80° en =

Waar of vals ?

a Alle gelijkzijdige driehoeken zijn scherphoekig.

b Er bestaat een driehoek waarvan een hoek 179° meet.

c Een driehoek kan twee stompe hoeken hebben.

d Een rechthoekige driehoek kan niet gelijkbenig zijn.

e Er bestaan ruiten met even lange diagonalen.

f Er bestaan trapezia met precies twee even lange zijden.

De cirkel.

a Teken een cirkel waarvan de diameter 6 cm meet. Duid de diameter aan in blauw.

b Teken in rood een straal van de cirkel.

c Hoe lang is de straal in de cirkel ?

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

Onderzoeksopdracht.

Teken een cirkel die door A en B gaat en waarvan het middelpunt op a ligt.

Hoeveel kleine vierkantjes heeft …

a figuur 8 ?

b figuur n ?

Hoodstuktitel 0 Ruimtefiguren 4

De Duitse wiskundige David Hilbert (1862 – 1943) was net als Einstein op het spoor van de relativiteitstheorie, maar hij gunde Einstein alle eer en werkte later zelfs nog met hem samen.

Hij was een van de invloedrijkste wiskundigen van de twintigste eeuw en gaf onder andere ‘23 problemen voor de twintigste eeuw’ op.

Maar zijn naam kleeft ook aan een curve, die netjes past in een kubus : de hilbertkubus, die hiernaast als kunstvoorwerp werd nagebouwd.

Wij zijn op zoek naar eenvoudigere manieren om kubussen en andere ruimtefiguren voor te stellen.

Ruimtefiguren

4.1 Aanzichten en perspectieven van ruimtefiguren

1 De wereld rondom jou op papier zetten  161

2 Cavalièreperspectief  162

3 Europese projectie  163

4 Aanzichten tekenen  164

5 Maten van ruimtefiguren  165

6 Samenvatting  166

7 Oefeningen  167

4.2 Opbouw van ruimtefiguren

1 Ontwikkeling van een kubus  176

2 Ontwikkeling van een balk  177

3 Ontwikkeling van een cilinder  178

4 Samenvatting  178

5 Oefeningen  179

Extra’s

Vaardigheden : Wiskundetaal  190

Wat moet je kennen en kunnen ?  191

Herhalingsoefeningen  192

Bekijk de instructievideo’s

4.1 Aanzichten en perspectieven van ruimtefiguren

1 De wereld rondom jou op papier zetten

We leven in de ruimte. Als we gegevens van die ruimte op papier willen zetten, gaan we in het vlak werken. We proberen de ruimtelijke voorstelling van dit huis weer te geven door het maken van een schets of tekening waarbij we de werkelijkheid zo goed mogelijk proberen voor te stellen. Je kunt ook via technieken of afspraken werken om gegevens op papier te zetten.

a Natuurlijk perspectief

Een getrouwe weergave van de werkelijkheid.

Je maakt gebruik van de horizon (of de ooglijn).

De lijnen komen samen in twee vluchtpunten op de horizon.

b Isometrisch perspectief

Eén verticale wordt vooraan getekend.

De vluchtlijnen vormen een hoek van 30° met de horizontale.

De vorm komt overeen met het werkelijke perspectief.

c Cavalièreperspectief

Vorm en grootte worden bewaard. De schuine lijnen maken een hoek van 45° met de horizontale.

De schuine lijnen worden gehalveerd.

d (Europese) projectie

Je krijgt van het huis verschillende aanzichten zoals een vooraanzicht, een linker(zij)aanzicht en een bovenaanzicht.

Wordt vaak door architecten toegepast.

In wat volgt gaan we dieper in op de laatste twee voorstellingen : het cavalièreperspectief en de (Europese) projectie.

2 Cavalièreperspectief

Bij het cavalièreperspectief worden de vorm en de grootte van het voorvlak behouden. De schuine lijnen maken een hoek van 45° met de horizontale. De lengte van de horizontale en verticale lijnen worden op werkelijke grootte getekend. Van de schuine lijnen wordt de lengte gehalveerd.

Hoe teken je een kubus in cavalièreperspectief?

• Teken het vlak waar je recht op kijkt op ware grootte, bijvoorbeeld : een vierkant van 2 cm op 2 cm.

• De andere zijvlakken teken je onder een hoek van 45° met de horizontale lijnen.

• Alle lijnstukken worden met hun werkelijke lengte getekend, behalve de schuine lijnen. De lengte van deze lijnstukken wordt gehalveerd.

• Lijnstukken die in werkelijkheid even lang zijn, worden op de figuur ook zo weergegeven.

• De onzichtbare ribben worden in stippellijn getekend.

Bij deze voorstelling van de kubus is uiteraard het voorvlak zichtbaar. Ook het bovenvlak is zichtbaar. Bij de kubus links is het linkerzijvlak zichtbaar. Bij de kubus rechts is het rechterzijvlak zichtbaar.

Taak : Schets nu zelf een kubus in cavalièreperspectief waarbij het voorvlak, ondervlak en linkerzijvlak zichtbaar zijn.

3 Europese projectie

De Europese projectie wordt ook projectie in vooraanzicht, linkerzijaanzicht en bovenaanzicht genoemd. We projecteren het lichaam op drie vlakken die loodrecht op elkaar staan : het voorvlak VV, het zijvlak ZV en het horizontale vlak HV. We krijgen zo drie projecties : – vooraanzicht VA – linkerzijaanzicht LA – bovenaanzicht BA

Plooien we nu de drie vlakken zo dat ze samen in één en hetzelfde vlak komen, dan hebben we de drie aanzichten van het lichaam naast elkaar.

4 Aanzichten tekenen

WISKUNDE & TECHNIEK

We leerden al eenvoudige ruimtefiguren herkennen op voorstellingen in het vlak. We kunnen, als we de afspraken volgen, van de ene voorstelling naar de andere overstappen.

CAVALIÈREPERSPECTIEF

VOORBEELD 1

VOORBEELD 2

VOORBEELD

5 Maten van ruimtefiguren

kubus balk

zijde = 3,2 cm

lengte l = 4,8 cm

breedte b = 4,8 cm

hoogte h = 2,4 cm

recht prisma cilinder

hoogte h = 6,0 cm

hoogte h = 6,9 cm

straal r = 2,0 cm

6 Samenvatting

• Je kunt de maten aflezen van een ruimtefiguur, weergegeven in cavalièreperspectief.

• Je kunt 2D-voorstellingen van 3D-objecten herkennen.

• Je kunt een 2D-voorstelling tekenen van een 3D-object.

cavalièreperspectief

– Schuine lijnen maken een hoek van 45° met de horizontale.

– Alle maten zijn werkelijke lengtes, behalve de schuine zijden, die worden gehalveerd.

Europese projectie

– Weergave van vooraanzicht, linkerzijaanzicht en bovenaanzicht in één vlak.

7 Oefeningen

Hieronder zie je enkele aanzichten getekend van ruimtefiguren. Van welke ruimtefiguur werden de aanzichten getekend ? Kies uit kubus, balk, piramide, bol, kegel en cilinder.

Hieronder zie je twee aanzichten van een ruimtefiguur. Weet je met zekerheid over welke ruimtefiguur het gaat ? Verklaar.

Gegeven : zie tekening links

Gevraagd : Omcirkel bij elke tekening rechts VA, BA, LA of RA naargelang het gaat om het vooraanzicht, bovenaanzicht, linker- of rechterzijaanzicht.

Teken van elk van de volgende lichamen het VA, LA en BA.

Deze ruimtelichamen zijn getekend in cavalièreperspectief. Schrijf de gevraagde maten op.

a Bepaal l , b en h . c Bepaal z . e Bepaal l , b en h .

b Bepaal h . d Bepaal r en h .

a Schrijf onder elke tekening de naam van het aanzicht.

b Teken de lijn in rode kleur, zoals gegeven in het perspectief, op de juiste plaats bij de aanzichten.

Teken van elk van de volgende lichamen het VA, LA en BA.

Teken de volgende lichamen.

a Een kubus met ribbe 4 cm waarvan het bovenvlak en rechterzijvlak zichtbaar zijn.

b Een balk waarvan de lengte en breedte van het grondvlak 6 cm en 4 cm zijn en de opstaande ribbe 4 cm. Het grondvlak en het rechterzijvlak zijn zichtbaar.

c Een kubus met ribbe 3 cm waarbij grondvlak en linkerzijvlak zichtbaar zijn.

d Een balk met een lengte van 7 cm, een breedte van 3 cm en een opstaande ribbe van 2 cm.

Duid op de perspectieftekening het lijnstuk aan dat is weergegeven op de aanzichten. Vul het ontbrekende aanzicht aan.

Schets het cavalièreperspectief en teken het rechterzijaanzicht.

a Teken het bovenaanzicht van dit kubussenbouwsel.

b Welke aanzichten zijn anders als je de twee rode kubusjes wegneemt ?

In volgende perspectieftekeningen zijn identieke kubussen getekend. Tel het aantal dat telkens in de voorstelling aanwezig is. Ga ervan uit dat elke kubus met minstens één vlak aan een andere kleeft. Bij welke opgave(n) zijn er meerdere oplossingen?

Deze Mayatempel werd mooi symmetrisch opgebouwd met kubusjes. Je krijgt ook het bovenaanzicht, waar soms het aantal gestapelde kubusjes op die plaats is weergegeven.

a Vul het bovenaanzicht verder aan met getallen.

b Teken het vooraanzicht en het linkerzijaanzicht.

c Teken het rechterzijaanzicht en het achteraanzicht.

De tekening toont bouwblokken en het bijbehorende bouwplan waarop 2 vlekken zijn. Wat is de som van de getallen onder de vlekken ?

4.2 Opbouw van ruimtefiguren

Een ruimtefiguur neemt een plaats in de ruimte in en is begrensd door oppervlakken. Hoe bouwen we nu zo’n figuur in de ruimte op ? Zoals de stukken van dit huizencomplex in Londen in elkaar passen, zo zullen we de oppervlakken van de lichamen aan elkaar bouwen. Bij een kubus zijn dat zes vierkanten.

Maar het kan ook handiger.

Je gaat dan omgekeerd te werk en snijdt de figuur open. Je krijgt dan een soort bouwplaat. We spreken van de ontwikkeling van een ruimtefiguur of ook de opbouw of ontvouwing. Op een ontwikkeling zijn de werkelijke afmetingen foutloos af te lezen.

1 Ontwikkeling van een kubus

De ontwikkeling van een kubus bestaat uit zes even grote vierkanten.

Merk op dat er ook andere ontwikkelingen mogelijk zijn voor een kubus.

2 Ontwikkeling van een balk

De ontwikkeling van een balk bestaat uit drie rechthoeken die je elk twee keer terugvindt.

Merk op dat er ook andere ontwikkelingen mogelijk zijn voor een balk.

Op Polpo vind je handige bouwplaten om deze ruimtefiguren na te bouwen.

3 Ontwikkeling van een cilinder

De ontwikkeling van een cilinder bestaat uit een rechthoek (de mantel van de cilinder) en twee even grote cirkels.

Merk op : – de mantel is een rechthoek met als lengte de omtrek van de cirkel ; – de breedte van de mantel is de hoogte van de cilinder.

Ook van andere meetkundige lichamen kun je de ontwikkeling bestuderen. In de eerste oefening op de volgende bladzijde herken je ook de ontwikkelingen van een kegel, piramide en prisma.

4 Samenvatting

• Je kunt de ontwikkeling van een kubus, balk en cilinder grafisch herkennen.

• Je kunt de ontwikkeling van een kubus, balk en cilinder tekenen.

5 Oefeningen

1 2 3 4 5 6 7 8 1

Hieronder vind je de ontwikkeling van verschillende ruimtefiguren. Verbind de ontwikkeling met de juiste figuur. Geef ook de naam van de ruimtefiguur.

ONTWIKKELING

FIGUUR

Zijn volgende ontwikkelingen van een kubus juist ?

Zijn volgende ontwikkelingen van een balk juist ?

Welke van de volgende figuren zijn ontwikkelingen van een cilinder ?

De bovenste helft van een kubus is groen gekleurd.

Vervolledig de ontwikkeling door de nodige vlakdelen groen te kleuren.

Teken een ontwikkeling van deze ruimtefiguren. Het grondvlak werd al getekend.

Is elk van de volgende tekeningen de ontwikkeling van een kubus ? Als het paarse vakje onderaan ligt, welk vakje ligt dan bovenaan ?

Links zie je de ontwikkeling van een kubus met als grondoppervlak DCHI. Breng de punten over in de perspectieftekening.

Je ziet hieronder hetzelfde doosje driemaal getekend. Teken de ontwikkeling en plaats er de passende symbolen op.

Op een cadeauverpakking is een namaaklint geschilderd.

Teken op een ontwikkeling van deze balk de juiste afdruk van dit lint.

Om een uit karton gesneden kubus te kunnen dichtplakken, maakt men aan de rand van het zijvlak een extra lipje. Teken bij volgende ontwikkelingen een minimum aantal lipjes om alle vlakken mooi dicht te kleven.

Eén lipje is al getekend.

Problemen met dobbelstenen.

a Welke ontwikkelingen kunnen juist zijn voor een dobbelsteen ? De som van de waarden die tegenover elkaar liggen, moet altijd 7 zijn.

b Hoeveel ogen staan er op de lege zijvlakken van deze dobbelstenen ?

c Bij volgende dobbelsteen heeft de maker een foutje gemaakt. De som van de tegenoverliggende vlakken is niet altijd hetzelfde. Ga na, met behulp van de ontwikkeling, wat er is foutgelopen. Je krijgt twee voorstellingen van de dobbelsteen.

Een holle kubus heeft twee gaten, zoals in de figuur hiernaast is getekend. Welke van de volgende ontwikkelingen is van deze kubus ?

WIZBRAIN 2006 probleem 6 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

Een van de zijvlakken van een kubus wordt opengeknipt langs de gestippelde diagonalen. Welke van de volgende ontwikkelingen kunnen niet van een kubus zijn ? 1 2 3 4 5

(A) 1 en 3 (B) 1 en 5 (C) 2 en 4 (D) 3 en 4 (E) 3 en 5

WIZBRAIN 2008 probleem 11 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

Welke van de volgende figuren is de ontwikkeling van een kubus waarvan drie zijvlakken die een hoekpunt gemeen hebben, werden gearceerd ?

JWO 2008 tweede ronde, probleem 14 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Niels vouwt een stuk karton op de stippellijnen om een open doos te maken. Hij zet de doos met de opening naar boven. Dan kijkt hij in de doos.

Welke letter staat op de bodem ?

(A) A (B) B (C) C (D) D (E) E

KOALA 2016 probleem 12 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

(A) (B) (C) (D) (E)

(A) (B) (C) (D) (E)

Een diagonaalvlak wordt gedefinieerd als een vlak dat gaat door twee evenwijdige ribben van de figuur en geen zijvlak is van de figuur.

a In een kubus kun je zes diagonaalvlakken terugvinden. Er werd al één diagonaalvlak getekend. Teken de vijf andere.

b Teken in deze balk een diagonaalvlak dat verticaal staat op het grondvlak. Kleur dit diagonaalvlak geel.

c Je verdeelde het grondvlak in twee driehoeken. Teken een van deze driehoeken op ware grootte. Gebruik de langste zijde om het geel gekleurde diagonaalvlak op ware grootte te tekenen.

d Bepaal de oppervlakte van dit diagonaalvlak.

a Teken een balk met lengte 12 m, breedte 10 m en hoogte 8 m. Zoek hiervoor eerst een passende schaal.

MIJN GEKOZEN SCHAAL

b Teken een diagonaalvlak en teken dat vlak op schaal.

c Past een metalen plaat van 7,5 m op 15 m in deze balk ?

Wat is het grootste getal dat je kunt vormen als je precies twee lucifers verplaatst ?

Maak met behulp van 6 lucifers 4 even grote driehoeken.

Platonische lichamen

Een platonisch lichaam is een regelmatig veelvlak. Het wordt zo genoemd naar de ontdekker : Plato. De bekende wiskundige Pythagoras wist al vijf eeuwen voor Christus van het bestaan van drie van de vijf regelmatige veelvlakken. Plato bracht de vijf lichamen in verband met de bouwstenen van deze wereld : vuur, lucht, water, aarde en hemelmaterie. Ze voldoen aan verschillende kenmerken :

alle zijvlakken zijn even grote regelmatige veelhoeken; – in elk hoekpunt komen evenveel vlakken samen;

je kunt ze in een bol stoppen, dan is de afstand van elk hoekpunt tot het centrum van de bol steeds dezelfde.

Vaardigheden | Wiskundetaal

Vul het woordraadsel in en kraak de code. Je vindt de naam van een beroemde wiskundige.

HORIZONTAAL

2 rechte die een hoek in twee even grote hoeken verdeelt

8 vlak dat door twee ribben van een ruimtefiguur gaat, maar geen zijvlak is van die figuur

10 AB is de … van [ AB]

11 ruimtefiguur waarvan de ontwikkeling een figuur is die opgebouwd is uit zes rechthoeken

12 lijnstuk dat twee overstaande hoekpunten in een vierhoek verbindt

13 verzameling van punten die op eenzelfde afstand liggen van een bepaald punt

14 vierhoek met vier even lange zijden die geen vierkant is

VERTICAAL

1 grootte (in °) van elke hoek in een gelijkzijdige driehoek

3 vierhoek met even lange diagonalen die elkaar middendoor delen

4 loodlijn uit een hoekpunt van een driehoek op de drager van de overstaande zijde

5 zo lang is de helft van de diameter van een cirkel

6 punten die op eenzelfde rechte liggen, zijn …

7 vlakke figuur met vier hoeken en vier zijden

9 ruimtefiguur met zes vierkanten als grensvlakken

Ruimtefiguren 4

moet ik leren

dit

❒ Ik ken de principes van het natuurlijk perspectief, isometrisch perspectief, cavalièreperspectief en Europese projectie.

❒ Ik kan een kubus en een balk tekenen in cavalièreperspectief.

❒ Ik ken de betekenis van Europese projectie of projectie op drie vlakken.

❒ Ik kan aanzichten van ruimtefiguren herkennen en tekenen.

❒ Ik kan maten aflezen van ruimtefiguren die zijn weergegeven in cavalièreperspectief.

❒ Ik kan een ontwikkeling van een kubus herkennen en tekenen.

❒ Ik kan een ontwikkeling van een balk herkennen en tekenen.

❒ Ik kan een ontwikkeling van een cilinder herkennen en tekenen.

pagina ik ken het ! oké voor examen

161

162

163

164

165

176

177

178

Ruimtefiguren

Teken van het volgende lichaam het vooraanzicht, het linkerzijaanzicht en het bovenaanzicht. VA

Teken van het volgende lichaam het vooraanzicht, het linkerzijaanzicht en het bovenaanzicht.

VA

Deze ruimtefiguren zijn in cavalièreperspectief getekend. Schrijf de gevraagde maten op.

Het bovenaanzicht van een kubushuisje is hieronder getekend. Ook het aantal gestapelde kubusjes is op die plaats aangegeven. Teken het vooraanzicht en het bijbehorende linker zijaanzicht.

Teken het VA, LA en BA van een balk waarvan de lengte gelijk is aan 4 cm, de breedte gelijk is aan 3 cm en de hoogte gelijk is aan 2 cm.

5 / 1

Welke van volgende figuren is geen ontvouwing van een kubus ?

VWO 2015 tweede ronde, probleem 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 4 / 2

6 / 1

7 / 3

Een balk heeft een lengte van 6 m, een breedte van 4 m en een hoogte van 5 m.

Teken de balk op schaal in cavalièreperspectief.

Berekening schaal :

8 / 2

Teken een ontwikkeling van deze kubus. Het grondvlak G werd al getekend.

Pentomino’s zijn blokjes die bestaan uit 5 kubusjes. Hieronder zie je een bouwwerk met pentomino’s.

9 / 2

a Uit hoeveel pentomino’s bestaat dit bouwwerk ?

b Schets de pentomino waarvan je maar één geel kubusvlak ziet.

Hoodstuktitel

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 5

Hier komt het introductie tekstje. Witregels worden manueel ingegeven.

In het volgende hoofdstuk bestuderen we de omtrek en oppervlakte van vlakke figuren.

Hiernaast zie je enkele driehoeken, vierkanten en rechthoeken. Ze zien er in beide tekeningen net hetzelfde uit en toch lijkt het alsof er één vierkante centimeter verdwenen is.

Probeer jij te ontdekken waar de vierkante centimeter zich bevindt ?

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

5.1 Omtrek van vlakke figuren

1 Lengtematen  197

2 Omtrek  198

3 Omtrekformules  199

4 Samenvatting  200

5 Oefeningen  201

5.2 Oppervlakte van vlakke figuren

1 Oppervlaktematen  207

2 Oppervlakte  208

3 Oppervlakteformules  209

4 Samengestelde figuren  212

5 Samenvatting  213

6 Oefeningen  214

Extra’s

Vaardigheden : Symbolen in de wiskunde  229

Wat moet je kennen en kunnen ?  231

Herhalingsoefeningen  232

Bekijk de instructievideo’s

5.1

Omtrek van vlakke figuren

1 Lengtematen

De hoogte van een boom wordt uitgedrukt in meter. De afstand Brussel-Oostende wordt uitgedrukt in kilometer. De lengte van een pasgeboren baby wordt uitgedrukt in centimeter.

Als eenheid gebruiken we in Europa (meestal) meter. Van die eenheid zijn de volgende lengtematen afgeleid : kilometer, decimeter, centimeter, millimeter

De decameter (dam) en hectometer (hm) worden in het dagelijkse leven bijna niet meer gebruikt.

We zullen eerder spreken van 10 m en 100 m.

1 dam = 10 m

1 hm = 100 m

Wellicht heb je in de basisschool met een tabel gewerkt om van de ene eenheid naar een andere over te gaan.

Voorbeeld :

150 m = 1500 dm = 0,15 km

Om behoorlijk te kunnen schatten moet je een ‘meetgevoel’ opbouwen. We zullen het al even trainen. Met welke eenheid komen de volgende metingen ongeveer overeen ?

– De lengte van een voetbalveld.

– De dikte van dit boek.

– De diagonaal van je tv-toestel.

– De lengte van een lijnbus.

– De hoogte van een boom. – De hoogte van een Pritt plakstift.

– De hoogte van het Atomium.

De dikte van een potloodpunt.

2 Omtrek

Voorbeeld 1 : de kinderboerderij

De kinderboerderij sluit even de deuren zodat ze alle afsluitingen kunnen vernieuwen. Hoeveel meter draad zullen ze hiervoor nodig hebben ?

Om dit probleem op te lossen, maken we gebruik van het begrip omtrek. We zullen de lengte van alle zijden optellen.

5 + 7 + 5 + 8,5 + 5 + 4 + 7 + 4 + 5 + 8,5 = 59

Antwoord :

De kinderboerderij heeft 59 meter draad nodig.

Voorbeeld 2 : het grootste eiland in België

Op vijf kilometer van Namen vind je het grootste eiland van België : île de Dave. Timo besluit om met een klein bootje rond dit unieke natuurgebied te varen. Schat hoeveel km hij gevaren zal hebben.

We combineren onze kennis van – schaal ; – omtrek ; – schatten.

Bespreek hoe je dit het best aanpakt. Welke schatting is de meest juiste ?

a minder dan 4 km

b tussen 4,1 en 7 km

c tussen 7,1 en 10 km

d tussen 10,1 en 13 km

e meer dan 13 km

3 Omtrekformules

Als symbool voor omtrek gebruiken we p (van periferie).

Bij sommige driehoeken en vierhoeken kunnen we de omtrek met een formule weergeven.

FIGUUR

b s l b z z z

b s l b z z z

b s l b z z z

b s l b z z z

BENAMING

FORMULE

driehoek p = som van de zijden

gelijkzijdige driehoek

b s l b z z z ruit

parallellogram

b s l b z z z vierkant

b s l b z z z

rechthoek

p = som van de zijden

= z + z + z = 3 z

p = som van de zijden

= b + s + b + s

= 2 ( b + s )

p = som van de zijden

= l + b + l + b

= 2 ( l + b )

p = som van de zijden

= z + z + z + z

= 4 · z

p = som van de zijden

= z + z + z + z

= 4 z

trapezium p = som van de zijden

Aangezien een cirkel geen zijden heeft, kun je ook geen som van de zijden maken. Je kunt wel proefondervindelijk de omtrek van een cirkel zoeken (zie oefeningen). De omtrek van een cirkel is gelijk aan de diameter (of het dubbele van de straal) vermenigvuldigd met het getal p ( = 3,1415926…).

Als je geen ICT kunt gebruiken, neem je p ≈ 3,14. Het symbool ≈ betekent : is afgerond.

r cirkel

p = 2 p r = p · d

4 Samenvatting

• Je kent de omtrekformules en kunt ze toepassen in vraagstukken.

DRIEHOEK p = som van de zijden

GELIJKZIJDIGE

DRIEHOEK

PARALLELLOGRAM

TRAPEZIUM p = som van de zijden

Deca, deci enzovoort

De voorvoegsels deci, centi en milli komen alle uit het Latijn en staan respectievelijk voor tien (decem), honderd (centrum) en duizend (mille). De voorvoegsels deca, hecto en kilo komen uit het Grieks en betekenen hetzelfde : tien (deka – δέκα), honderd (hekaton – έκατόν) en duizend (chilioi – χίλιοι).

Er bestaan ook nog andere voorvoegsels om grotere en kleinere afgeleide eenheden aan te duiden : mega : 10 6 van het Griekse ‘megas’ (μέγας), wat ‘groot’ betekent ; giga : 10 9 van het Griekse ‘gigas’ (γίγας), wat ‘reus’ betekent ; tera : 10 12 van het Griekse ‘te(t)ras’ (τέτρας), wat ‘monster’ betekent ; micro : 1/10 6 van het Griekse ‘micros’ (μικρός), wat ‘klein’ betekent ; nano : 1/10 9 van het Latijnse ‘nanus’, wat ‘dwerg’ betekent.

5 Oefeningen

Kies voor elke opgave de juiste referentiemaat.

a De hoogte van een deur.

b De dikte van een stift.

c De lengte van een boterham.

d De afstand die je op een halfuur te voet aflegt.

e De doorsnede van een spruitje.

f De lengte van een TGV-trein met 10 wagons.

g De remafstand bij nat wegdek als je 130 km/h rijdt.

h De lengte van een nieuw potlood.

i De dikte van een stuk van twee euro.

j De breedte van dit blad.

Herleid.

a 3

b

Herleid.

a Bart fietste 7 km van school naar huis. Hoeveel meter heeft hij afgelegd ?

b De leerkracht vraagt om met ICT een rechthoek te tekenen van 2 dm op 8 cm. Je moet echter de waarden ingeven in millimeter. Welke waarden zul je ingeven ?

c De polsstok die Silke gebruikte, heeft een hoogte van 432 cm. Hoeveel meter is dat ?

d Op een verkeersbord langs de autosnelweg staat ‘Mechelen 1500 m’. Hoeveel kilometer ben je dan verwijderd van de afrit ?

e De lengte van de Ferrari Enzo is 4700 millimeter. Met hoeveel meter komt dat overeen ?

f De lengte van een grote speculaas is 0,8 meter. Je mag er elke dag 1 dm van opeten.

Hoeveel dagen kun je van deze speculaas genieten ?

g De langste taart ter wereld was 325 meter lang en werd in stukken van 1 dm verdeeld.

Hoeveel stukken taart waren dat ?

Vul onderstaande tabel aan.

TEKENING GEGEVENS

a

b b s l b z z z b c d a r z = 12,4 mm

c b s l b z z z b c d a

d b s l b z z z b c d a

b s l b z z z b c d a r z = 12 cm

r l = 100 m b = 50 m

f b s l b z z z b c d a

r b = 8 cm s = 3,5 cm

e b s l b z z z b c d a r z = 7,5 cm

r r = 4 cm

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Een landbouwer plaatst rond zijn weide een afsluiting met drie lagen prikkeldraad.

a Bereken de nodige hoeveelheid prikkeldraad.

b Hoeveel zal de prikkeldraad kosten als je weet dat 100 m draad 20 euro kost?

a ABCD is een rechthoek waarbij :

co(A) = ( –5, 4) co(B) = ( 3, 4) co(C) = ( –1, 4)

Bereken de omtrek van deze rechthoek.

b Het punt M( 2, 3) is het middelpunt van een cirkel waar het punt P( –3, 3) op ligt.

Bereken de omtrek van deze cirkel op 0,1 nauwkeurig.

c Het punt A met coördinaat ( 1, 5) is een hoekpunt van een vierkant ABCD waarbij de omtrek gelijk is aan 20. Geef twee mogelijke coördinaten voor punt B.

Vul onderstaande tabel aan.

a parallellogram

= 5 cm

= 3,5 cm

b cirkel

= 4 cm

c rechthoek

= 25 cm

= 1 dm

d ruit

= 50 cm

e rechthoek

f parallellogram

g cirkel

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Het Koning Boudewijnstadion in Brussel heeft ook een atletiekpiste, waarvan de gegevens op de tekening worden weergegeven.

a Bereken de omtrek van de binnenpiste. b Bereken de omtrek van de buitenpiste.

Jaarlijks trekken ongeveer 3 000 000 toeristen naar La Cité in de Franse stad Carcassonne, een stukje UNESCO werelderfgoed. De stad heeft een dubbele muur als omwalling, waartussen je een leuke wandeling kunt maken.

a Hoe lang (in meter) is de wandeling ? Maak een schatting.

b Hoelang duurt de wandeling als je wandelt met een snelheid van 5 km/h ?

Welke weg is de langste ? Verklaar.

Weg 1 :

Weg 2 : weg 2 weg 1

Gegeven : P is de verzameling van paarse punten, G is de verzameling van groene punten

Gevraagd : Bepaal de omtrek van de figuur bepaald door P ⧵ G. a

De twee rechthoeken hebben evenwijdige zijden. Hoeveel verschillen de omtrekken van deze twee rechthoeken ?

(A) 12 m (B) 16 m (C) 20 m (D) 21 m (E) 24 m

WALLABIE 2017 probleem 7 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Een ster bestaat uit een vierkant en 4 gelijkzijdige driehoeken. De zijde van het vierkant is 3 dm. Wat is de omtrek van de ster ?

(A) 18 dm (B) 20 dm (C) 22 dm (D) 24 dm (E) 26 dm

WALLABIE 2018 probleem 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In een rechthoek zijn 3 halve cirkels getekend. Wat is de omtrek van de rechthoek ? (A) 82 cm (B) 92 cm (C) 96 cm (D) 108 cm (E) 120 cm

WALLABIE 2024 probleem 21 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

5.2 Oppervlakte van vlakke figuren

1 Oppervlaktematen

De oppervlakte van de speelplaats wordt uitgedrukt in m2. De oppervlakte van België wordt uitgedrukt in km2.

De oppervlakte van een blad papier wordt uitgedrukt in dm2

Om een oppervlakte te berekenen, moet je telkens een product maken van twee lengtematen (bijvoorbeeld zijde maal zijde). De oppervlakte-eenheid is dan ook de meter maal meter (m m) of vierkante meter (m2).

Net als bij lengtematen werken we ook hier met afgeleide eenheden.

De ‘vierkante decameter’ en ‘vierkante hectometer’ worden in het dagelijkse leven niet gebruikt. Wel zullen grondoppervlakten dikwijls uitgedrukt worden in are en/of centiare.

• 1 centiare (1 ca) komt overeen met 1 m2 (= oppervlakte van een vierkant met zijde 1 m).

• 1 are (1 a) komt overeen met 100 m2 (= oppervlakte van een vierkant met zijde 10 m).

• 1 hectare (1 ha) komt overeen met 10 000 m2 (= oppervlakte van een vierkant met zijde 100 m).

Ook hier kan een tabel je helpen om over te gaan van de ene naar de andere oppervlaktemaat.

Voorbeeld :

3,2 m2 = 32 000 cm2 5 km2 = 5 000 000 m2

Om behoorlijk te schatten, moet je een ‘oppervlaktegevoel’ opbouwen. We zullen het al even trainen. Met welke eenheid komen volgende metingen ongeveer overeen ?

– De oppervlakte van het dorpscentrum. – De oppervlakte van een punaise.

– De oppervlakte van een vingernagel.

– De oppervlakte van je handpalm.

– De oppervlakte van één vakje op een millimeterblad.

– De oppervlakte van een kleine boomgaard.

– De oppervlakte van twee voetbalpleinen.

De oppervlakte van de speelplaats.

2 Oppervlakte

Voorbeeld 1 : modder of geen modder

Voor een popfestival besluit de organisator om de vipzone in de weide te voorzien van vierkante houten platen (met zijde 1 m). Die zorgen ervoor dat de eigenaars van de duurste tickets niet in de modder zullen zitten. Hoeveel platen heeft hij nodig ?

Om dit probleem op te lossen, maken we gebruik van het begrip oppervlakte. Hoeveel platen liggen er in de breedte ? Hoeveel platen liggen er in de lengte ?

De oppervlakte wordt dan : 26 m 12 m = 312 m2

Antwoord :

De organisator heeft voor de vipzone 312 platen nodig.

Voorbeeld 2 : Schiermonnikoog

Na de zeilvakantie in de Ardennen besluit Timo om te gaan wandelen op een van de Waddeneilanden. Helemaal in het noorden van Nederland valt zijn oog op Schiermonnikoog !

Wat is de oppervlakte van dat eiland ?

We combineren hier onze kennis van : – oppervlakte ; – schaal ; – schatten.

Bespreek hoe je dit probleem het best aanpakt. Wat is jouw bevinding ?

a 20 km2

b 40 km2

c 60 km2

d meer dan 60 km2

1,85 km

3 Oppervlakteformules

Als symbool voor oppervlakte gebruiken we A (van het Engelse ‘area’).

a Rechthoek

Als je volgende rechthoek (met lengte 5 cm en breedte 3 cm) zou onderverdelen in vierkanten van één vierkante centimeter, hoeveel heb je er dan nodig ?

l = 5 cm

1 cm2

b Vierkant

b = 3 cm l b

Aangezien een vierkant een bijzondere rechthoek is, blijft de formule dezelfde :

A vierkant = zijde · zijde

c Parallellogram

We proberen van dit parallellogram een rechthoek te maken. Door te knippen :

Besluit : A parallellogram = basis · hoogte

Besluit :

A parallellogram = 2 1 2 basis hoogte

Je kunt er 5 · 3 cm2 of 15 cm2 opleggen.

A rechthoek = lengte · breedte

Oppervlakte rechthoek

A rechthoek = l · b 1 cm2

l = 5 cm b l b

Oppervlakte vierkant

A vierkant = z · z z z

Oppervlakte parallellogram

A parallellogram = b · h b h

d Driehoek

Van elke driehoek kun je een parallellogram maken door verdubbeling van de driehoek :

A parallellogram = basis · hoogte

A driehoek = 1 2 A parallellogram = 1 2 b h

e Ruit

Oppervlakte driehoek

A driehoek = b · h 2 b h

Om een oppervlakteformule voor een ruit op te stellen, gaan we gebruikmaken van de diagonalen.

We kunnen van een ruit een rechthoek maken door de ruit te verdubbelen : d d D d d D d d D

A rechthoek = D · d

A ruit = 1 2 A rechthoek = D d 2

Oppervlakte ruit A ruit = D d 2 d D

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

f Trapezium

We maken van een trapezium een parallellogram door te verdubbelen : b B h b b B B h

A parallellogram =( B + b ) h

A trapezium = 1 2 A parallellogram = ( B + b ) · h 2

g Cirkel

Oppervlakte trapezium A = ( B + b ) · h 2 b B h

We verdelen de cirkelschijf in hele smalle taartpuntjes. Die stukjes proberen we in een rechthoekige vorm te krijgen.

2 p r 2 = p r

Die rechthoek heeft als – breedte de straal van de oorspronkelijke cirkel b = r – lengte (bij benadering) de helft van de omtrek van de cirkel l = 2π r 2 = π r

2 p r 2 = p r

De oppervlakte wordt dus :

Besluit : A cirkel = π r 2

Oppervlakte cirkel A = pr 2 r

4 Samengestelde figuren

Je zult de formules ook kunnen gebruiken om de oppervlakte van samengestelde figuren te berekenen. Een samengestelde figuur bestaat uit verschillende vlakke figuren. Hiervoor verdeel je de figuur in een aantal vlakke figuren waarvan je voldoende gegevens hebt. Je maakt de som van de oppervlaktes (voorbeeld 1) of je maakt het verschil van oppervlaktes (voorbeeld 2).

Voorbeeld 1 : sproei-installatie

Een sproei-installatie spuit water over een afstand van 5 m. De sproeikraan draait steeds rond. De kraan is bevestigd op een rail en rijdt altijd 12 m heen en terug om een zo groot mogelijk oppervlak te besproeien. Welke oppervlakte kan deze sproeikraan besproeien ?

Het probleem begrijpen :

Een tekening maakt ons duidelijk dat onze samengestelde figuur uit een cirkel en een rechthoek bestaat.

Oplossing : 12 m 5 m

A figuur = A cirkel + A rechthoek

= π · r 2 + l · b

ditwordt : π 25m2 + 12m 10m

Antwoord :

De sproei-installatie kan ongeveer 198,54 m2 besproeien.

≈ 78,54m2 + 120m2

A figuur ≈ 198,54m2

Voorbeeld 2 : de voorgevel schilderen

Een handige doe-het-zelver wil de voorgevel van zijn huis verven. Wat is de totale te beschilderen oppervlakte ?

Het probleem begrijpen :

De te beschilderen voorgevel is de samenstelling van een rechthoek en een driehoek, zonder het raam en de deur. We zullen die laatste oppervlaktes dus in mindering moeten brengen.

Oplossing :

A tebeschilderen = A driehoek + A rechthoek A deur A raam

= b · h 2 + l b l b D · d 2

ditwordt: 6m · 3m 2 + 6m 4m 1m 2,3m 2m · 1m 2

= 9m2 + 24m2 2,3m2 1m2

= 29,7m2

Antwoord :

De te beschilderen oppervlakte bedraagt 29,7 m2

5 Samenvatting

• Je kent de oppervlakteformules en kunt ze toepassen in vraagstukken.

RECHTHOEK

• Je kunt gegevens omzetten van de ene oppervlakte-eenheid naar de andere.

• Je kent volgende oppervlakte-eenheden :

1 ha = 10 000 m2

1 a = 100 m2

1 ca = 1 m2

• Je kunt een strategie ontwikkelen om de oppervlakte van een samengestelde (of onregelmatige) figuur te berekenen.

Pi (p) of 3,141592653589793238462643383279…

p is de Griekse letter P. De Grieken gebruikten de letter om de ‘periferie’, ‘perimeter’ of omtrek van een standaardcirkel (d.i. een cirkel met als diameter 1) aan te geven. Het was pas in 1748 dat Leonhard Euler p als een getal gebruikte. Nu kunnen we p beschouwen als de verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn diameter, het is een irrationaal getal. Dat betekent dat dit getal niet als een breuk geschreven kan worden en dat er na de komma geen gedeelte is dat steeds terugkeert.

De waarde van p is in de loop van de geschiedenis steeds dichter benaderd : in het Oude Testament wordt p gelijkgesteld aan 3, de Babyloniërs spraken van 3 1 8 , in Egypte had Ahmes het over 16 9 2 en Archimedes kende de breuk 22 7

6

Oefeningen

Kies voor elke opgave de juiste referentiemaat.

a De oppervlakte van een foto.

b De oppervlakte van een vingerafdruk.

c De oppervlakte van een postkaartje.

d De oppervlakte van twee vakjes op millimeterpapier.

e De oppervlakte van een postzegel.

f De oppervlakte van een stadskern.

g De oppervlakte van een deur.

h De oppervlakte van een stuk van 5 cent.

i De oppervlakte van een vliegdekschip.

j De oppervlakte van een tennisveld (enkelspel).

Herleid.

Herleid.

a Arne moet een vierkant met zijde 1 m verdelen in deeltjes van 1 dm2. In hoeveel stukken zal dat lukken ?

b Op de affiche bij de notaris staat een eigendom afgedrukt van 3,5 ha. Hoeveel m2 is dat ?

c Op een millimeterblad heb je 1800 mm2 grijs ingekleurd. Je besluit nu om elke cm2 een andere kleur te geven. Hoeveel kleurtjes heb je nodig ?

d Een terras heeft een oppervlakte van 26 m2 Hoeveel vierkante tegels van 1 dm2 passen hierin ?

e Op de ‘wall of fame’ (3 m2 groot) in onze school willen we vierkante foto’s met schoolactiviteiten hangen. De fotootjes zijn 1 dm2 groot. Hoeveel foto’s kunnen er opgehangen worden ?

Vul onderstaande tabel aan.

TEKENING GEGEVENS

a z b h D d b h b l B b h r z = 5 cm

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

OPPERVLAKTE

b z b h D d b h b l B b h r l = 24 cm b = 5 cm

c z b h D d b h b l B b h r D = 1 dm d = 0,4 dm

d z b h D d b h b l B b h r

e z b h D d b h b l B b h r b = 10 cm h = 3 cm

b = 20 cm h = 1 dm

g z b h D d b h b l B b h r r = 10 cm

b = 46 mm

h = 20 mm

f z b h D d b h b l B b h r B = 70 mm

Noteer de oppervlakte van volgende vlakke figuren in de figuur.

Om de indruk te wekken dat er heel veel verse groenten in zijn winkel liggen, besluit de manager van de supermarkt de bovenste helft van de muur te betegelen met spiegeltegels. Elke tegel heeft als lengte 30 cm en als breedte 20 cm. Hoeveel tegels heeft hij nodig ?

9,9 m

m

Een dak bestaande uit twee rechthoeken van 8 m lang en 5 m breed wordt geïsoleerd. Bereken hoeveel m2 isolatiemateriaal je nodig hebt.

1,8

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Vul onderstaande tabel aan.

a rechthoek

= 4 cm

b driehoek

= 6 cm

= 2,5 cm

c cirkel

d trapezium

In een vierkant met zijde 2 m is een cirkel getekend met straal 40 cm.

a Bereken de oppervlakte b Bereken de oppervlakte c Bereken de oppervlakte van het vierkant. van de cirkel. van het deel van het vierkant dat buiten de cirkel ligt.

In de rechthoekige tuin van de buren, van 16 m op 12 m, loopt een tuinpad van 80 cm breed.

a Hoe groot is het gedeelte dat met gazon bezaaid kan worden ?

b Als de buurman het tuinpad wil afbakenen met betonnen platen van 80 cm lengte, hoeveel platen heeft hij dan nodig ?

c Kun je berekenen hoeveel m2 platen hij gebruikt heeft ? Verklaar.

Rond een vijver is een weg aangelegd. De buitenomtrek van de weg is 47,12 m. Bereken de oppervlakte van de vijver. 2 m

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

De fabrikant van popcornzakken wil weten bij welk ontwerp hij het minst karton zal nodig hebben. De eerste versie is een piramidevormige puntzak. De tweede versie lijkt op een omgekeerd dak van een huis en de derde versie is een cilinder zonder bovenvlak. Bereken voor elke versie de oppervlakte. Alle eenheden zijn uitgedrukt in cm. Bij elk ontwerp moet 10% extra karton gerekend worden als kleefstrook. Welk ontwerp is het voordeligst ?

Een stuk landbouwgrond wordt gevormd door twee percelen. Het eerste perceel is een vierkant met een omtrek van 400 m. Het tweede perceel is driehoekig. De grond wordt verkocht tegen 10 euro per m2. Het volledige stuk grond kost 170 000 euro.

a Bereken de totale oppervlakte van de grond.

b Bereken de oppervlakte van de driehoek.

c Bepaal de lengte van [ DC].

Bereken de oppervlakte van het ingekleurde deel.

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

17

b Zijn er meerdere oplossingen ? 16

In een tuin is een zwembad aangelegd in de vorm van een vierkant. Op elke hoek van het vierkant staat een stevige boom. De eigenaar wil zijn zwembad vergroten, maar : de vorm van het zwembad moet vierkant blijven, de oppervlakte moet het dubbele zijn van het oorspronkelijke vierkant en de bomen moeten blijven staan. Hoe zal hij dat doen ?

De lengte van het lijnstuk [ AC] is 6 cm. Dit lijnstuk is de grote diagonaal van de ruit ABCD. Teken ABCD als je weet dat de oppervlakte van de ruit 12 cm2 is.

De grote basis van een trapezium ABCD is 5 cm lang en de kleine basis is 3 cm lang.

a Teken het trapezium als je weet dat de oppervlakte 16 cm2 is.

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Teken zes verschillende vlakke figuren (driehoek, parallellogram, rechthoek, vierkant, trapezium en cirkel) die allemaal als oppervlakte 16 cm2 hebben.

Bereken de werkelijke oppervlakte van deze vlakke figuren.

ABCD is een vierkant en het punt P ligt op [AD].

a Verantwoord waarom DPBS en DSCD dezelfde oppervlakte hebben.

b Onderzoek dit met GeoGebra.

c Blijft dat gelden als ABCD een rechthoek is ?

d Blijft dat gelden als ABCD een parallellogram is ?

22 * 23

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

Het grote vierkant heeft als oppervlakte 25 cm2. Bepaal de oppervlakte van het groen gekleurde vierkant.

Gegeven : P is de verzameling van paarse punten, G is de verzameling van groene punten

Gevraagd : Wat is de oppervlakte van de vlakke figuur bepaald door …

P

P

WISKUNDE & GESCHIEDENIS

Formule van Pick : A veelhoek = No 2 + Ni 1

Hierbij is N o het aantal punten op de omtrek N i het aantal punten in de figuur

Als we alle punten op 1 cm van elkaar plaatsen wordt de oppervlakte uitgedrukt in cm2. Bepaal van volgende figuren de oppervlakte door de formule van Pick toe te passen. Controleer op de klassieke manier je antwoord. 3 1 2 4

Georg Alexander Pick

Georg Alexander Pick werd in 1859 geboren in Wenen en stierf in het concentratiekamp van Theresienstadt in 1942. Hij liet Albert Einstein kennismaken met het werk van enkele wiskundecollega’s dat hem hielp om zijn wereldberoemde relativiteitstheorie te formuleren. De formule van Pick is een originele manier om de oppervlakte te berekenen van willekeurige veelhoeken die getekend zijn op een soort spijkerbord.

Een regelmatige achthoek heeft zijde 1 cm. Wat is de gekleurde oppervlakte ?

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

WALLABIE 2018 probleem 13 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Khadija tekent 14 identieke groene rechthoeken. Lena gomt een driehoek weg met basis 10 cm en hoogte 6 cm. Wat is de oppervlakte van het groene gebied ?

WALLABIE 2019 probleem 17 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Aan een ruit worden 2 rechthoekige driehoeken toegevoegd. Met hoeveel procent neemt de oppervlakte toe ?

WALLABIE 2024 probleem 3 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

De afbeelding hiernaast toont een vierkant mozaïek. De 4 gelijke cirkels raken elkaar en het vierkant. Wat is de verhouding tussen de oppervlakte van het donkergroene en het lichtgroene gebied ?

WIZPROF 2024 probleem 4 © Stichting Wiskunde Kangoeroe

Ardal zet een hekwerk van 40 meter rondom een rechthoekig veld. Zowel de lengte als de breedte van het veld zijn priemgetallen. Wat is de maximale oppervlakte van het veld in m2 ?

De pijl in de figuur bestaat uit zeven lijnstukken. Van vijf lijnstukken is de lengte gegeven, de andere twee lijnstukken zijn even lang. In de figuur staan ook vijf rechte hoeken aangeduid. Wat is de oppervlakte van de pijl ?

(A) 51 (B) 57 (C) 67 (D) 72 (E) 81

JWO 2025 eerste ronde, probleem 11 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

De cirkel in de figuur heeft middelpunt M en straal r . Wat is de oppervlakte van het gekleurde deel ?

JWO 2025 eerste ronde, probleem 7 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

In de figuur hieronder zijn alle hoeken recht en hebben alle zijden lengte 1 of 2. Wat is de oppervlakte van die figuur ?

(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 14 (E) 16

JWO 2025 eerste ronde, probleem 1 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Neem drie verschillende getallen, te kiezen uit deze vijf getallen. Tel ze op. Hoeveel verschillende sommen kun je zo verkrijgen ?

Gegeven : PQRS is een rechthoek A A = A B

Gevraagd : A C

Bereken de lengte x als je weet dat ABCD een rechthoek is.

Vaardigheden | Symbolen in de wiskunde

Dit schooljaar heb je al heel wat wiskundige symbolen geleerd. We lijsten er enkele op. Verbind ze met de correcte leeswijze.

<

◯ is een deelverzameling van :

◯ is een element van

◯ is een deler van ∈

⊂

◯ waarvoor geldt

◯ is kleiner dan >

⟂ ◯

% ◯

⫽ ◯

≈

⩽

⟹

∅ = {}

⟺ ◯

∞

is groter dan

… is evenwijdig met …

procent

… staat loodrecht op …

is kleiner dan of gelijk aan

◯ is ongeveer gelijk aan

◯ als … dan …

natuurlijke getallen

3,14159265…

◯ oneindig

p ◯ ◯ … als en slechts als … N ◯

Z ◯

Q

Q

x

|

lege verzameling

gehele getallen

◯ rationale getallen zonder nul

rationale getallen

vierkantswortel

absolute waarde

omgekeerde ∪

∃

∃

∀

⧵

∩

unie

doorsnede

verschil

voor alle

◯ er bestaat precies één

er bestaan

Tijd voor …

Onderaan deze pagina kan je jouw persoonlijke bingokaart vinden.

Noteer in het rooster van deze kaart op elk van de 24 lege velden een wiskundig symbool dat voorkomt op de vorige pagina.

– Je doet dit volledig willekeurig.

– Je vermeldt geen enkel symbool twee keer.

– Je zal dus vijf symbolen van de vorige pagina niet in het rooster kunnen zetten.

Hoe verloopt de wiskundesymbolen-bingo ?

– Je leerkracht omschrijft een symbool. Heb jij het omschreven symbool op je bingokaart ?

Kleur dan dat vakje volledig in fluo in.

– Het middelste vakje krijg je alvast cadeau.

Ronde 1 : een lijn

Heb je als eerste een lijn van vijf vakjes (horizontaal, verticaal of schuin) ? Dan roep je BINGO !

Als iemand bingo heeft, dan gaan we rustig verder voor het kruis.

Ronde 2 : een kruis

Heb je als eerste een kruis (een plusteken of een klassiek maalteken) ? Dan roep je BINGO !

Zodra iemand deze bingo heeft, gaan we rustig verder voor de volle kaart.

Ronde 3 : de volle kaart

Heb je als eerste een volle kaart ? Dan roep je BINGO !

Mijn bingokaart :

B I N G O

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 5

dit moet ik leren pagina ik ken het ! oké voor examen

❒ Ik ken de lengtematen en kan ze onderling omzetten.

❒ Ik kan de omtrek van een vlakke figuur berekenen.

❒ Ik ken de omtrekformules en kan ze toepassen in vraagstukken.

❒ Ik ken de oppervlaktematen en kan ze onderling omzetten.

❒ Ik weet dat 1 ha = 10 000 m2, 1 a = 100 m2 en 1 ca = 1 m2

❒ Ik kan de oppervlakte van een vlakke figuur berekenen.

❒ Ik ken de oppervlakteformules en kan ze toepassen in vraagstukken.

❒ Ik kan de oppervlakte van samengestelde figuren berekenen.

197

198

199

207

207

208

209

212

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

1 / 3

Herleid.

a 18 cm = mm d 170 mm = dm g 0,02 m = mm

b 2,1 m = cm e 4900 m = km h 0,3 km = m

c 4,9 dm = m f 55 dm = m i 491 mm = cm

Gegeven : P is de verzameling van paarse punten, G is de verzameling van groene punten

2 / 3

Gevraagd : Wat is de …

a omtrek van de figuur bepaald door P ∩ Q ?

b oppervlakte van de figuur bepaald door P ∩ Q ?

c oppervlakte van de figuur bepaald door P ∪ Q ?

Vul de onderstaande tabel aan

a PARALLELLOGRAM b = 4 cm h = 2,6 cm schuine zijde = 3 cm

3 / 4 4 / 4

= p =

b RECHTHOEK A = 48 m2 b = 4 m l = p =

Vul de onderstaande tabel aan.

a TRAPEZIUM b = 12 cm B = 3 dm h = 5 cm

= b CIRKEL r = 19 cm

5 / 3

a 19 a = m2 d 18 270 m2 = ha g 15 dm2 = mm2

b 48 m2 = dm2 e 12 990 mm2 = cm2 h 0,78 m2 = cm2

c 6730 cm2 = m2 f 0,0381 m2 = cm2 i 760 dm2 = m2

Herleid.

Bereken de oppervlakte van het gearceerde deel.

Bereken de omtrek en de oppervlakte van deze figuren. a b

/ 4

/ 1

Rubi knipt 4 cirkelsectoren uit een regelmatige achthoek.

De omtrek van elke cirkelsector is 9 cm.

Hoe groot is de omtrek van de oranje figuur die overblijft ?

Hoodstuktitel 0 Oppervlakte en volume van ruimtefiguren 6

In Japan kun je deze kubusvormige watermeloenen kopen. Ze worden er gekweekt in een soort van dozen en moeten vijfmaal per dag gedraaid worden. Da’s ook de reden waarom ze zoveel kosten (zo’n 90 euro).

Lekker zijn ze helaas niet, want daarvoor worden ze te vroeg geoogst. Hun voordelen ? Ze zien er superorigineel uit en zijn natuurlijk handig om te stockeren.

Bepaal het volume van een kubusvormige meloen met zijde 30 cm. Wil je de meloenen netjes inpakken in een kartonnen doos ? Hoeveel cm² karton heb je dan minstens nodig voor één meloen ?

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

6.1 Oppervlakte van ruimtefiguren

1 De kubus  237

2 De balk  238

3 Oppervlakte van samengestelde ruimtefiguren  239

4 Samenvatting  241

5 Oefeningen  242

6.2 Volume van ruimtefiguren

1 Inhouds­ en volumematen  247

2 Volume  248

3 Volume van een kubus, een balk en een cilinder  249

4 Volume van samengestelde ruimtefiguren  250

5 Samenvatting  251

6 Oefeningen  252

Extra’s

Syntheseoefening  260

Wat moet je kennen en kunnen ?  262

Herhalingsoefeningen  263

Bekijk de instructievideo’s

6.1 Oppervlakte van ruimtefiguren

1 De kubus

Het oranje gekleurde deel van de kubus wordt de mantel genoemd. Het grond- en bovenvlak zijn blauw ingekleurd.

MANTELOPPERVLAKTE VAN DE KUBUS 4 32 cm2 = 36 cm2 vier maal oppervlakte zijvlak of 4z 2

TOTALE OPPERVLAKTE VAN DE KUBUS 6 32 cm2 = 54 cm2 zes maal oppervlakte zijvlak of 6z 2

Opmerkingen : – manteloppervlakte kubus = omtrek grondvlak hoogte = 4z z = 4z 2 – totale oppervlakte kubus = manteloppervlakte + oppervlakte grondvlak + oppervlakte bovenvlak = manteloppervlakte + tweemaal oppervlakte grondvlak

Te onthouden :

MANTELOPPERVLAKTE KUBUS 4 maal oppervlakte zijvlak Am = 4 z 2 = 4z 2

TOTALE OPPERVLAKTE KUBUS 6 maal oppervlakte zijvlak At = 6 z 2 = 6z 2

2 De balk

Het oranje gekleurde deel van de balk is de mantel. Het grond- en bovenvlak zijn blauw ingekleurd.

MANTEL­

OPPERVLAKTE

VAN DE BALK

TOTALE OPPERVLAKTE

VAN DE BALK

Te onthouden : WOORDFORMULE

MANTELOPPERVLAKTE BALK omtrek grondvlak maal hoogte Am =

TOTALE OPPERVLAKTE BALK omtrek grondvlak maal hoogte plus tweemaal oppervlakte grondvlak At = 2 · ( l · h + b · h + l · b )

3 Oppervlakte van samengestelde ruimtefiguren

Je zal deze formules ook kunnen gebruiken om de oppervlakte van samengestelde figuren te berekenen. Bestudeer eerst grondig het vraagstuk, want het is best mogelijk dat sommige vlakken niet meer bijgeteld moeten worden.

Voorbeeld 1 : het kippenhok

Om de kippen een warm nestje te geven, besluit je tante om naast het (balkvormige) tuinhuis een kleiner (kubusvormig) gedeelte te bouwen. Alles wordt gebouwd op een betonnen vloer. Hoeveel m2 hout zal zij in totaal nodig hebben ?

Het probleem begrijpen :

De ruimtefiguur bestaat uit een balk en een kubus. Maar voor beide zullen we het grondvlak niet meerekenen. Bij de kubus verdwijnt ook één zijvlak, aangezien het tegen het tuinhuis wordt gebouwd.

Oplossing :

A balk = 2 (l h + b h + l b ) l b

wordt: 2 (4m 2,2m + 3m 2,2m + 4m 3m) 4m 3m

= 2 27,4m2 4 3m2

= 54,8m2 12m2

= 42,8m2

A kubus = 6 z 2 2 z 2 = 4 z 2

wordt: 4 · 1m2 = 4m2

A totaal = A balk + A kubus

wordt: 42,8m2 + 4m2

= 46,8m2

Antwoord :

Je tante zal in totaal 46,8 m2 hout nodig hebben.

Voorbeeld 2 : de serre

Uit hoeveel m2 glas is deze serre opgebouwd ? 2,5 m 1,5 m

m

m

m

m

Het probleem begrijpen : De ruimtefiguur bestaat uit een prisma en een balk. Van de balk berekenen we enkel de manteloppervlakte. Bij het prisma maken we de som van de oppervlaktes van twee (even grote) rechthoeken en twee (even grote) driehoeken.

Oplossing :

A balk = 2 · l · h + 2 · b · h

wordt: 2 5m 2m + 2 2,5m 2m

= 20m2 + 10m2 = 30m2

A prisma = 2 A rechthoek + 2 A driehoek

wordt: 2 (5m 1,5m)+ 2 2,5m · 0,8m 2

= 15m2 + 2m2 = 17m2

A totaal = 30m2 + 17m2 = 47m2

Antwoord : De serre is opgebouwd uit 47 m2 glas.

4 Samenvatting

• Je kent de formules voor de manteloppervlakte en de totale oppervlakte van een kubus en een balk, en je kunt ze toepassen in vraagstukken.

KUBUS z h b l r h

WOORDFORMULE

MANTELOPPERVLAKTE vier maal oppervlakte zijvlak

TOTALE OPPERVLAKTE zes maal oppervlakte zijvlak A t = 6z 2

BALK z h b l r h

MANTELOPPERVLAKTE

TOTALE OPPERVLAKTE

omtrek grondvlak maal hoogte A m = 2 ( l + b ) h

omtrek grondvlak maal hoogte plus twee maal oppervlakte grondvlak

• Je kunt een strategie ontwikkelen om de oppervlakte te berekenen van een samengestelde figuur.

5 Oefeningen

Vul onderstaande tabel aan door telkens de gevraagde oppervlakte te berekenen.

FIGUUR

a

b

c

GEGEVEN EN GEVRAAGD OPLOSSING

Formule : Am = 6 · z 2

Gegeven : z = 9 cm

Gevraagd : totale oppervlakte

Formule : Am = 2 · ( l · h + b · h )

Gegeven : l = 2 cm; b = 1 cm; h = 4 cm

Gevraagd : manteloppervlakte

Formule : Am = 2 · ( l · h + b · h )

Gegeven : l = 58 cm; b = 23 cm; h = 29 cm

Gevraagd : manteloppervlakte

Formule : At = 6 · z 2

d

e

Gegeven : z = 10 cm

Gevraagd : totale oppervlakte

Formule : At = 2 · ( l · h + b · h + l · b )

Gegeven : l = 30 cm; b = 30 cm; h = 4 cm

Gevraagd : totale oppervlakte

Deze kubusvormige verlichting is opgebouwd uit doorschijnend plastic. De onderzijde is open. Elke zijde meet 15 cm. Hoeveel m2 plastic is er nodig om 1000 van deze kubussen te vervaardigen ?

Een bedrijf levert houten panelen (hoogte 1,5 m) die dienen als bekisting voor een zwembad. Hoeveel m2 van deze panelen heb je nodig als je een zwembad zal bouwen van 8 m op 5 m ?

Deze speciale puzzel van Rubik bevat magnetische stickers. Elk stickertje is een vierkant van 2 cm op 2 cm. Deze vierkantjes worden gesneden uit grote stroken magneetfolie. Hoeveel cm2 magneetfolie is er nodig voor één kubus ?

Een aantal kubusjes zijn aan elkaar vastgeplakt zoals in dit kubusbouwsel. Welke oppervlakte kan Pablo beschilderen als je weet dat de ribbe van een kleine kubus 3 cm meet ?

Dit tuinhuis heeft als hoogte 2,6 m. Het driehoekig voorvlak vormt een gelijkbenige driehoek met basis 5,2 m en benen van 3,7 m. De lengte van het grondvlak is 5 m. Hoeveel m2 hout is in dit tuinhuis verwerkt als je weet dat ook het grondvlak van hout is ?

Extra grote Tobleronepakketten met een lengte van 80 cm worden door deze dame ingepakt. Enkel de mantel van de chocoladerepen wordt extra verstevigd met karton. Hoeveel cm2 karton is er nodig per reep als je weet dat elke zijde van het grondvlak 16 cm meet ?

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

Ook van een cilinder kun je de manteloppervlakte en de totale oppervlakte berekenen.

Het oranje deel van de cilinder wordt de mantel genoemd, het grond- en bovenvlak zijn blauw ingekleurd.

MANTELOPPERVLAKTE CILINDER omtrek grondvlak maal hoogte A m = 2pr h

TOTALE OPPERVLAKTE CILINDER

a Vul de tabel aan.

omtrek grondvlak maal hoogte plus twee maal oppervlakte grondvlak A t = 2pr h + 2pr 2

Formule : A = 2pr · h

Gegeven : r = 5 cm en h = 4 cm

Gevraagd : manteloppervlakte b

Formule : A = 2pr · h + 2pr 2

Gegeven : r = 2,6 cm en h = 15,2 cm

Gevraagd : totale oppervlakte

b Een cilindervormige reclamezuil is 2,6 m hoog en heeft als straal 70 cm. Hoeveel m2 kan beplakt worden ? De bovenkant wordt niet beplakt.

Onze sportleraar maakt deze houten constructie die als podium zal dienen. Hoeveel m2 hout is er nodig als je weet dat ook onderaan een houten plaat wordt bevestigd ?

Bereken de totale oppervlakte aan hout die de fabrikant minstens nodig heeft om 100 van deze vogelkastjes te bouwen. De afmetingen zijn in cm.

Wat is de oppervlakte van dit lichaam dat is opgebouwd uit twaalf kubussen met ribbe van lengte 1 ?

(A) 12 (B) 48 (C) 60 (D) 64 (E) 72

JWO 2005 tweede ronde, probleem 4 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

We versnijden een kubus in 8 balken door drie keer te snijden. Wat is de verhouding van de totale oppervlakte van deze balken tot de oppervlakte van de oorspronkelijke kubus ?

(A) 1 : 1 (B) 8 : 3 (C) 3 : 2 (D) 2 : 1 (E) 4 : 1

WALLABIE 2009 probleem 21 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

6.2 Volume van ruimtefiguren

1 Inhouds- en volumematen

Het volume van een ruimtelijke figuur vind je door na te gaan hoe vaak een gekozen inhoudsmaat in de figuur past. Als eenheid gebruiken we 1 m3. Dat lees je als één kubieke meter. Je kunt dit het best voorstellen als een kubus met ribben van 1 meter.

1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3 1 dm3 = 1000 cm3 = 1 000 000 mm3 1 cm3 = 1000 mm3

1 dm3

1 dm3

In 1 dm3 gaan 1000 cm3 Een tabel kan handig zijn bij omzettingen.

Voorbeeld : 23,4 dm3 = 23400 cm3 = 0,0234 m3

Alhoewel inhoudsberekeningen op hetzelfde neerkomen als volumeberekeningen (we spreken meestal van inhoud bij vloeistoffen), gebruiken we voor inhoud toch vaak andere eenheden. De basiseenheid van inhoud is liter en dat komt overeen met 1 dm3. Om inhoudsmaten naar volumematen om te rekenen, zet je het gegeven eerst om in liter en verander je de eenheid in dm3

Voorbeeld : 23 dl = 2,3 l = 2,3 dm3 = 2300 cm3 1 hl 10 l 1

2 Volume

Om behoorlijk te kunnen schatten moet je een ‘inhoudsgevoel’ opbouwen. We zullen dat al even trainen. Met welke eenheid komen de volgende metingen overeen ?

– Een half gevuld bad.

Een dessertlepeltje hoestsiroop.

Een brik melk.

– De inhoud van 1 cm3

Drie blikjes limonade.

– Een klein inktbuisje.

–

Een grote emmer.

Een fles hoestsiroop.

Voorbeeld 1 : olympisch zwembad

Voorbeeld 2 : een vat wijn

1 l

100 l

10 l 1 cl 1 ml

1 dl

Een zwembad is pas een olympisch zwembad als het een lengte heeft van 50 m, een breedte van 25 m en een diepte van (minstens) 2 m. Hoeveel liter water zit er in zo’n zwembad als het volledig gevuld is ?

De inhoud wordt dan : 50 m · 25 m · 2 m = 2500 m3

= 2 500 000 dm3

= 2 500 000 l

Wijn wordt dikwijls bij de wijnbouwer en bij de groothandel opgeslagen in wijnvaten. Die lijken wel op cilinders, maar ze zijn eerder bolvormig. Het rechtopstaande vat heeft een hoogte van bijna 1 meter. Wat is de inhoud van zo’n wijnvat ?

We combineren hier onze kennis van – inhoud ; – ruimtefiguren ; – schatten.

Bespreek hoe je dit probleem het best aanpakt. Wat is jouw bevinding ?

a 3 liter

b 30 liter

c 300 liter

d 3000 liter

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

3 Volume van een kubus, een balk en een cilinder

Als symbool gebruiken we V . Voor ruimtefiguren met gelijke grond- en bovenvlakken (zoals kubus, balk, cilinder, en recht prisma) kun je het volume berekenen door het grondvlak A g te vermenigvuldigen met de hoogte.

FORMULE VOORBEELD

KUBUS

V = oppervlakte grondvlak × hoogte of

V = A g · h

= ( z · z ) · z = z 3

V = 3 · 3 · 3 cm3 = 27 cm3

BALK

V = A g · h

= ( l · b ) · h

= l · b · h

l = 3 b = 5 h = 2 V = oppervlakte grondvlak × hoogte of

CILINDER h = 3 r = 2

V = oppervlakte grondvlak × hoogte of

V = A g · h

= ( p · r 2) · h

= p · r 2 · h

V = 3 · 5 · 2 cm3 = 30 cm3

V = p · 2 2 · 3 cm3

≈ 37,7 cm3

4 Volume van samengestelde ruimtefiguren

Je kunt de formules ook gebruiken om het volume te berekenen van samengestelde figuren

Voorbeeld :

Als de dame dobbert over de kortste zijde van het zwembad, legt ze 4,00 m af. Als de dame dobbert over de langste horizontale afstand, legt ze 8,20 m af. Hoeveel liter water bevat het zwembad als het bad 1,50 m diep is en tot de rand gevuld is?

Het probleem begrijpen

We kunnen het zwembad beschouwen als de som van een balk en een cilinder.

We maken een duidelijke technische tekening, waarbij het belangrijk is de juiste afmetingen te achterhalen.

Oplossing :

V balk = l b h wordt : V balk = 4,20 m 4,00 m 1,50 m

= 25,200 m3

V cilinder = p r 2 h wordt : V cilinder = p ( 2,00 m)2 1,50 m

= 6p m3

≈ 18,850 m3

V totaal = 25,200 m3 + 18,850 m3

= 44,850 m3

= 44 850 dm3

= 44 850 l

Antwoord :

In dit zwembad kan ongeveer 44 850 liter water.

5 Samenvatting

• Je kent de formules voor het volume van een kubus, een balk en een cilinder en kunt ze toepassen.

KUBUS z h b l r V = z 3

BALK z h b l r h V = l · b · h

CILINDER z h b l r h V = p · r 2 · h

• Je kunt een strategie ontwikkelen om het volume van een samengestelde figuur te berekenen.

Liter Het woord ‘liter’ komt waarschijnlijk van het Griekse ‘litra’ (λίτρα). Dat was de benaming van een gewicht in het oude Griekenland. Bij de motoren van wagens gebruiken we ook cm3 om de cilinderinhoud aan te geven. Vaak gebruiken we hier foutief de afkorting cc (van cubic of kubieke centimeters) of ccm.

Wat is het verschil tussen volume en inhoud ? Onder volume verstaan we de ruimte die het lichaam inneemt, onder inhoud verstaan we de grootte van de holte die opgevuld kan worden.

6 Oefeningen

Kies voor elke opgave de juiste referentiemaat.

a Een vol bad.

b Twee kleine flesjes Actimel.

c Een flesje chocolademelk.

d Een grote plastic fles frisdrank.

e Een doos vanille-ijs.

f Een soeplepel honing.

g Een spuitje bij de dokter.

h Een glas water.

i Een regenwatertank.

Herleid.

a 5 dm3 = cm3 f 24,2 l = cl

b 900 mm3 = cm3 g 15,3 l = dm3

c 2,35 m3 = cm3 h 1500 cm3 = l

d 0,33 l = cl i 15 dm3 = dl

e 5700 ml = l j 1000 cm3 = l

Herleid.

a Een karaf wijn bevat 180 cl wijn. Hoeveel glazen van 18 cl kunnen hiermee gevuld worden ?

b Een grote kubusvormige doos heeft als volume 1 m3. Hierin worden kleine kubusvormige doosjes van 1 dm3 geplaatst. Hoeveel van die doosjes passen in de grote kubus ?

c Op de maatbeker staan zowel de inhouds- als volumematen. Als de maatbeker gevuld is met 1,5 liter, hoeveel cm3 wordt dan aangeduid?

d Uit een doos vanille-ijs (van 2,5 liter) worden bolletjes ijs geschept met een inhoud van 2,5 cl. Hoeveel bolletjes krijg je zo uit de doos ?

Vul onderstaande tabel aan.

z z = 4 cm b h b l l = 6 cm b = 2 cm h = 1 cm

c h r r = 1 cm h = 6 cm d l b h l = 4 cm b = 2 cm h = 3 cm

e h r r = 3 cm h = 3 cm

f l b h l = 8 cm b = 4 cm h = 1 cm

In totaal liggen in de groothandel twaalf stapels hout opgeslagen. Hoeveel m3 hout ligt er dan ?

a Bereken het volume in m3.

b Hoeveel liter brandstof bevat de tank als deze voor 75% gevuld is ?

c Bereken de waarde van de stookolie als de prijs 0,62 euro per liter is.

d Hoeveel extra winst verkrijgt de eigenaar als de prijs met 2 cent per liter stijgt ?

Een opslagtank voor stookolie heeft de vorm van een cilinder met een diameter van 20 m en een hoogte van 12 m.

Hieronder zie je twee keer de ontwikkeling van een balk. Bereken telkens het volume van de balk. a b

In een houtzagerij zagen de werknemers uit vier bomen een zo groot mogelijke balk. Hoeveel m3 hout krijgen ze zo in het totaal ?

In de zomervakantie plaatst Roberto voor de kinderen een opblaasbaar zwembadje in de tuin. Roberto vult dit voor 3 4 met water. Hoeveel liter water moet Roberto in het zwembadje laten lopen ?

Een recht stuk autosnelweg is 3 km lang en bestaat uit drie stroken en een pechstrook van elk 5 m breed.

a Bereken de hoeveelheid beton in m3 die nodig is om het wegdek te maken als de betonlaag 20 cm dik is.

b Om het beton naar de werf te vervoeren staan vrachtwagens ter beschikking. Hoeveel m3 beton kan één vrachtwagen vervoeren ?

0,8 m 5 m

c Hoeveel met beton gevulde vrachtwagens zijn er nodig om de strook van 3 km aan te leggen ?

Een vloeistoftank heeft de vorm van een balk : 2,5 m lang, 1,2 m breed en 1,5 m hoog.

a Bereken het volume van deze tank in m3

en volume van ruimtefiguren

Dit aquarium (met hoogte 55 cm) heeft als grondvlak een kwart van een cirkel met een straal van 1 m. Als je weet dat stenen en planten goed zijn voor 1 30 van het volume, hoeveel water kan er dan in dit aquarium ?

b Hoeveel liter vloeistof bevat de tank als hij halfvol is ?

c Hoeveel liter kun je bijvullen als je in het peilglas vaststelt dat er vanaf het bovenvlak 50 cm verbruikt is ?

Een doorzichtige balk in plexiglas (zie tekening) bevat een gekleurde vloeistof en is in deze opstelling gevuld tot op een hoogte van 65 cm.

Deze plexiglas balk wordt nu gedraaid zodat het grootste zijvlak het grondvlak wordt. Wat is nu de hoogte van de gekleurde vloeistof ?

Gegeven zijn twee verzamelingen.

Noteer in de tabel telkens één element dat behoort tot de gegeven verzameling.

A = { x | x is een ruimtefiguur met V ⩾ 1 dm3}

B = { x | x is een kubus}

A = { x | x is een balk}

B = { x | x is een ruimtefiguur met V = 64 dm3}

Bepaal het volume in dm3 en de inhoud in liter van dit aquarium met als hoogte 130 cm.

A ∩ B

A ⧵ B

B ⧵ A

Een stalen bak zonder deksel met wand- en bodemdikte 5 cm en waarvan de afmetingen op de figuur zijn aangeduid, wordt volledig gevuld met water. Hoeveel liter kan er in deze bak ?

(A) 105 (B) 122,5 (C) 140 (D) 168 (E) 191

JWO 2012 tweede ronde, probleem 29 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

en

De tekening toont een uitgevouwen balk.

Wat is het volume van deze balk ?

cm 8 cm

cm

(A) 43 cm3 (B) 70 cm3 (C) 80 cm3 (D) 100 cm3 (E) 1456 cm3

WALLABIE 2018 probleem 17 © Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Gegeven zijn een glas rode wijn en een glas witte wijn. In elk glas zit evenveel wijn. Met een lepeltje wordt een zekere hoeveelheid rode wijn bij de witte wijn geschept. Na goed roeren wordt van het mengsel een gelijke hoeveelheid teruggeschept. Zit er nu meer rode wijn in het glas met witte wijn dan witte wijn in het glas met rode wijn ?

Vaardigheden | Syntheseoefening

Een wiskundige feestdag ?

Denk je dat die niet bestaat ? Toch wel. Hij wordt vooral gevierd in Amerika op een welbepaalde dag in maart. Nog enkele tips ? Het is ook de titel van een spannende film, de naam van een bekend parfum en het speelt een grote rol in zowel getallenleer als meetkunde.

Los elke opgave op en kleur het volledige vlak in waarvan je de coördinaat vindt naast de correcte oplossing.

1 Als a ⫽ b en b ⊥ c , dan is :

2 a en b zijn … rechten a b

3 Een geodriehoek is een voorbeeld van een driehoek die voldoet aan volgende eisen :

4 De te beschilderen oppervlakte is …

5 Welke ontwikkelingen zijn GEEN correcte ontwikkelingen van een balk ?

kruisende E6 evenwijdige E10 snijdende E14

gelijkzijdig en rechthoekig F13 scherphoekig en gelijkbenig R13 rechthoekig en gelijkbenig J13

6 0,02 km + 5 m + 20 dm =

7 In welke cilinder kan het meeste water ?

8 De lengte van één treinstel is ongeveer :

9 De inhoud van dit aquarium is 100 dm3 De hoogte is : ?

10 Bepaal zonder te meten de grootte van de ingekleurde hoek. D d

11 In welke tekening zijn de gekleurde rechten kruisende rechten ?

12 De omtrek van het vierkant, de rechthoek en de gelijkzijdige driehoek is dezelfde. Wat is de breedte van de rechthoek ?

13 Hoeveel melkverpakkingen van 1 liter kun je in één grote winkelkar plaatsen ? ongeveer 30 O11 ongeveer 300 O1 ongeveer

14 De uitspraak ‘een gelijkbenige driehoek kan niet stomphoekig zijn’ is : waar D10 vals A2

15 Hoe groot is de stompe hoek in deze ruit ?

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

moet ik leren

dit

❒ Ik ken de formules voor de manteloppervlakte en totale oppervlakte van een kubus en kan ze toepassen.

❒ Ik ken de formules voor de manteloppervlakte en totale oppervlakte van een balk en kan ze toepassen.

❒ Ik kan de oppervlakte van een samengestelde figuur berekenen.

❒ Ik ken de inhouds- en volumematen en kan ze onderling omzetten.

❒ Ik ken de formules voor het volume van een kubus, balk en cilinder en kan ze toepassen.

❒ Ik kan het volume berekenen van een samengestelde figuur.

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren

1 / 2

Anouck verpakt een kubusvormig cadeautje waarvan de oppervlakte van het grondvlak 32 cm2 is. Hoeveel inpakpapier heeft ze minstens nodig om dit cadeautje in te pakken ?

2 / 2

De oppervlakte van een zijvlak van een kubus is 121 cm2. Bereken het volume van deze kubus.

3 / 3

Vul aan.

a Een tank bevat 7,23 m3 water. Dat komt overeen met liter.

b Het volume vergroot keer als we van 1 cm3 naar 1 m3 gaan.

c De inhoud van een kopje koffie is ongeveer 200 cm3 of cl.

Uit een thermoskan van 1,6 liter kun je kopjes schenken.

d Een zwembad bevat 53,2 m3 water of liter water.

e 8380 dm3 + 2809 cm3 = m3

f 1,4 dm3 – 912 cm3 = cl

Naam

Totaal

Orde / Stiptheid

Een ribbe van een kubusvormige houten kist meet aan de buitenkant 62 cm. De kist is gemaakt van houten latten met een dikte van 1,5 cm. Bereken het volume dat in de kist kan worden gestopt.

4 / 2

Vul onderstaande tabel aan.

5 / 3

Fleur knipt uit een vierkant met zijde 16 cm drie kleinere vierkanten zoals op de tekening aangegeven.

6 / 2

Wat is de omtrek van de resterende figuur?

Bereken het volume van de onderstaande samengestelde figuur. 2,5 dm

7 / 2

Wiskundige woordenschat : vul de correcte begrippen in en er verschijnt verticaal een aantrekkelijk woord.

8 / 4

1 V is het symbool voor

2 ruimtefiguur opgebouwd uit zes rechthoeken

3 ruimtefiguur met zes vierkanten als zijvlakken

4 symbool voor oppervlakte

5 vul aan : de … van deze fles is 1 liter.

6 totale oppervlakte MIN oppervlakte boven- en grondvlak = oppervlakte

7 ruimtefiguur die je herkent in een blikje frisdrank

8 inhoud gelijk aan 1 dm3

Trefwoordenregister

A

aanliggende hoeken van een zijde 95 aanzichten 16 afstand 18, 36, 197 afstand tussen twee evenwijdigen 60 afstand van een punt tot een rechte 60 are 207

B balk 10, 165, 177, 238 basishoeken 100, 125 benen 69 bissectrice 73, 96 bol 10 bovenaanzicht 16, 163 breukschaal 17

C cavalièreperspectief 161 centiare 207 cilinder 10, 165, 249 cirkel 15, 141 collineaire punten 34

D deellijn 73 diagonaal 123 diagonaalvlak 187 diameter 142, 199 drager 34, 56, 95, 123 drager van een zijde 96 driehoek 15, 95

E eenheid 35, 70, 197, 207, 247 Euclides 58 Europese projectie 161 evenwijdige rechten 54 evenwijdige vlakken 53

F Fibonacci 150 flowchart 101 formule van Pick 226

G gelijkbenig trapezium 125 gelijkbenige driehoek 100 gelijkzijdige driehoek 100 gestrekte hoek 72 graad 70 grenspunten 34, 69 grensvlak 10 grondvlak 11, 237, 249 grootheid 35

H halfrechte 34, 69 hectare 207 Hilbert 159 hoek 69 hoekpunt 11, 69, 95 hoogtelijn 97 hypotenusa 102

Iingesloten hoek van twee zijden 95 inhoud 247 inhoudsmaten 247 inspringende hoek 72 isometrisch perspectief 161

K kegel 10 koorde 142 kruisend 54 kruisende rechten 54 kubieke meter 247 kubus 10, 165, 176, 237

L lengte 36 lengtematen 197 lijnstuk 34 linkerzijaanzicht 163 loodrecht 56, 70

M mantel 11, 178, 237 manteloppervlakte 237 meeteenheid 35 meten 35, 70 meter 35, 197 middellijn 142 middelloodlijn 59, 96 middelpunt 70, 141 middelpuntshoek 142 midden van een lijnstuk 36, 59 minuten 71

N natuurlijk perspectief 161 nulhoek 72

O omtrek 198 ongelijkbenige driehoek 101 ontwikkeling 14, 176 oppervlakte ruimtefiguren 237 oppervlakte vlakke figuren 207 oppervlaktematen 207 opstaande zijden 125 overstaande hoek van een zijde 95, 123

P parallellogram 15, 126, 199, 209 pi 33, 199 Pick 226 piramide 10 platonische lichamen 189 prisma 10 projectie 161 punt 33

R recht prisma 10, 165 rechte 33 rechte hoek 72, 102 rechthoek 15, 128 rechthoekig trapezium 125

rechthoekige driehoek 102 rechthoekszijden 102 ribben 11, 162 rij van Fibonacci 150 ruimtefiguren 9 ruimtelichamen 9 ruit 15, 129

S samengestelde figuren 212, 239, 250 schaal 17 schatten 85 scherpe hoek 72 scherphoekige driehoek 102 schetsen 44 schuine zijde 102 seconden 71 snijdende rechten 54 snijdende vlakken 53 stompe hoek 72 stomphoekige driehoek 102 straal 141

T tekenen 44 trapezium 15, 125, 199, 211

V vierhoek 123 vierkant 15, 130, 199, 209 vlak 33 vlakke figuren 15 vlakvulling 15 voetpunt 60 volle hoek 72 volume 247 volumematen 247 vooraanzicht 16, 163

Z zijvlak 11, 237 zwaartelijn 97

Een poster vol symbolen?

• Haal de volgende twee bladen uit je leerwerkboek.

• Knip langs de stippellijnen.

• Kleef de twee bladen aan elkaar volgens de instructies op de stippellijnen.

• De symbolen staan op volgorde zoals ze ook in je boek voorkomen.

p vlak

Soms ook aangeduid met andere Griekse letters:  b g

[AB]

lijnstuk

Deelverzameling van een rechte, begrensd langs twee kanten.

⊥

a

rechte Een verzameling met oneindig veel punten.

AB

rechte

Door twee verschillende punten kan je precies één rechte tekenen.

[AB

halfrechte

|AB| lengte Lengte van het lijnstuk [AB] Voorbeeld: | AB| 3 cm evenwijdig Voorbeelden a ⫽ b (evenwijdige rechten)  ⫽ b (evenwijdige vlakken) niet evenwijdig In het vlak (2D)betekent dit snijdend één punt gemeenschappelijk.

Rechte die aan één kant begrensd is (daar waar het blokhaakje staat).

loodrecht

Bepalen een hoek van 90°.

co

coördinaat Elk punt in het vlak heeft een coördinaat die bestaat uit twee coördinaatgetallen.

p

omtrek

Afgeleid van het Griekse peri (rondom).

• Je poster is klaar om opgehangen te worden! Ook in je leerwerkboek Getallenleer vind je een poster!

D

driehoek Vlakke figuur die drie hoekpunten en drie zijden heeft.

A oppervlakte Bij ruimtefiguren is A de manteloppervlakte en A de totale oppervlakte. Voorbeeld: Avierkant = zijde maal zijde

A

c(M, r) cirkel Verzameling van oneindig veel punten die op een bepaalde afstand r (de straal) liggen van een punt M.

° ′ ʺ graden minuten seconden Gebruikte eenheden bij hoeken. 1° 60′ 1 60 A hoek Bepaald door twee halfrechten met hetzelfde grenspunt. Dit is het hoekpunt. r

straal De (lengte van) een lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt op de cirkel. Afgeleid van het Latijnse radius d afstand Voorbeeld d(A a )is de afstand van punt A tot de rechte a

ca vlaktematen 1 centiare (ca) 1 m2 1 are(a) 100 m2 1 hectare (ha) 10 000 m2 (ongeveer anderhalf voetbalveld)

V volume Ruimte die een ruimtefiguur inneemt, meestal uitgedrukt in cm3, dm of m3 1 dm3 komt overeen met de inhoudsmaat 1 liter.

Apunt

WISKUNDE Symbolen Meetkunde

Voorbeeld : A ∈ p

AB halfrechte

[

AB rechte

paRechte die aan één kant begrensd is (daar waar het blokhaakje staat).

Door twee verschillende punten kan je precies één rechte tekenen.

rechte Een verzameling met oneindig veel punten.

vlak

Soms ook aangeduid met andere Griekse letters :  , b , g .

niet evenwijdig

In het vlak ( 2D ) betekent dit snijdend : één punt gemeenschappelijk.

evenwijdig

Voorbeelden : a ⫽ b (evenwijdige rechten)  ⫽ b (evenwijdige vlakken)

AB | lengte

|

AB ] lijnstuk

[

Lengte van het lijnstuk [ AB ] .

Voorbeeld : | AB | = 3 cm

Kleef hier deel 2 van de symbolenposter

Deelverzameling van een rechte, begrensd aan twee kanten.

Dit is deel 2 van de symbolenposter °

graden minuten seconden Gebruikte eenheden bij hoeken. 1° = 60 ′ 1 ′ = 60 ʺ

rstraal

De (lengte van) een lijnstuk bepaald door het middelpunt en een punt op de cirkel. Afgeleid van het Latijnse radius .

Vvolume

Ruimte die een ruimtefiguur inneemt, meestal uitgedrukt in cm 3 , dm 3 of m 3 . 1 dm 3 komt overeen met de inhoudsmaat 1 liter.

AAhoek

Bepaald door twee halfrechten met hetzelfde grenspunt (het hoekpunt).

(M, r ) cirkel

cVerzameling van oneindig veel punten die op een bepaalde afstand r (de straal) liggen van een punt M.

ca vlaktematen 1 centiare (ca) = 1 m 2 1 are(a) = 100 m 2 1 hectare (ha) = 10 000 m 2 (ongeveer anderhalf voetbalveld)

d afstand

Voorbeeld : d ( A , a ) is de afstand van punt A tot de rechte a . ⊥ loodrecht

Bepalen een hoek van 90°.

D driehoek

Vlakke figuur die drie hoekpunten en drie zijden heeft.

Aoppervlakte Bij ruimtefiguren is A m de manteloppervlakte en A t de totale oppervlakte.

Voorbeeld : A vierkant = zijde maal zijde

cocoördinaat

Elk punt in het vlak heeft een coördinaat die bestaat uit twee coördinaatgetallen.

pomtrek

Afgeleid van het Griekse peri (rondom).