VBTL 1 - Leerwerkboek - Meetkunde en Metend rekenen - inkijk methode

LEERWERKBOEK

Meetkunde i Metend rekenen

Björn Carreyn

Filip Geeurickx

Roger Van Nieuwenhuyze

CARTOONS

Dave Vanroye

Hoe gebruik je VBTL?

Dit boek bevat zes hoofdstukken vol meetkunde en metend rekenen. Elk hoofdstuk is opgebouwd uit verschillende paragrafen met aan het einde een handige samenvatting. Leerstof in verband met verdiepende doelen herken je aan het fijne groene streepje.

Definities vind je op een rode achtergrond. Eigenschappen vind je op een groene achtergrond. Methodes, rekenregels en formules vind je op een zachtblauwe achtergrond.

horizontale en verticale lijnen worden op werkelijke grootte getekend. Van de schuine lijnen wordt de lengte gehalveerd. Teken het vlak waar je recht op kijkt op ware grootte, bijvoorbeeld: een vierkant van 2 cm op cm.

Wiskunde is een eeuwenoude wetenschap. De geschiedenis van de wiskunde en de herkomst van bepaalde begrippen worden zachtpaars afgedrukt. Wiskunde kent veel links met andere vakken We tonen zo’n link in een paarsgekleurd kadertje.

1 * 2

De nummers van de oefeningen hebben een kleur: geel (basis) of groen (verdieping). Een sterretje duidt op een extra uitdaging. De wiskunderugzak staat bij oefeningen waarbij je verder moet denken dan de net geziene leerstof.

Als ICT een ideaal hulpmiddel is, zie je dit icoontje. Bij dit boek hoort een webpagina van GeoGebra, gevuld met heel wat digitale oefeningen en applets. Die vind je terug via www.polpo.be.

Vaardigheden

Na elk hoofdstuk wordt een wiskundige vaardigheid in de kijker gezet. Ook in het portfolioschriftje kun je vaardigheden inoefenen.

Wat moet je kennen en kunnen?

Na de vaardigheden zie je een handig overzicht van wat je moet kennen en kunnen na het geziene hoofdstuk. In de eerste kolom vind je de verwijzing naar de taxonomie van Bloom: Onthouden, Begrijpen, Toepassen, Analyseren, Evalueren of Creëren. Kleur de eerste kolom smileys als je de leerstof herhaalde voor een grote toets. Kleur de laatste kolom als je de leerstof beheerst voor je examen.

Herhalingsoefeningen

Wanneer je wiskunde studeert, maak je uiteraard heel wat oefeningen opnieuw en maak je oefeningen die je in de klas niet maakte. Elk hoofdstuk sluit af met drie pagina’s herhalingsoefeningen

Een ideale test voor jezelf om te zien of je de leerstof beheerst.

Wiskunde is veel meer dan alleen maar optellen en vermenigvuldigen. Ook meetkunde en ruimtemeetkunde moeten tot je wiskundige bagage behoren.

We vullen onze wiskunderugzak en trekken bijvoorbeeld naar Zwitserland, waar deze Bernina Express een cirkelvormige baan moet afleggen voordat hij in de Alpen verdwijnt om er nadien in Italië weer uit te rijden.

Hou je potlood, gom, passer en geodriehoek in de aanslag voor een realistische portie meetkunde

Meetkunde I Metend rekenen

De wereld van 3D naar 2D 1

Een oude keizer in China liet per ongeluk een vierkante tegel op de grond vallen. Toen hij probeerde om de zeven stukken weer in elkaar te passen, ontdekte hij dat hij veel meer mooie figuren kon maken dan enkel de vierkante tegel. De tangram, een Chinese legpuzzel, was geboren.

Hiernaast zie je de zeven standaardstukken (mooie vlakke figuren) waarmee je heel wat nieuwe figuren kunt vormen. Van vissen tot vogels, van huizen tot helikopters: alles is mogelijk.

De wereld van 3D naar 2D

1.1 Ruimtefiguren en vlakke figuren

1.2 Begrippen in de vlakke meetkunde

1.1 Ruimtefiguren en vlakke figuren herkennen

1Ruimtefiguren herkennen

Overal ter wereld vind je allerhande ruimtefiguren (of ruimtelichamen) terug. In oude en moderne gebouwen, kunstwerken…, overal zie je ruimtelichamen waar je een speciale naam op kunt kleven.

Planetarium Sir Thomas in Brisbane, Australië Binnenin worden de sterren geprojecteerd op een halve bol. Die rust dan weer op een grote cilinder.

Pont du Gard in Frankrijk

Herken je hier bepaalde patronen die terugkeren? Weet je waarvoor dit bouwwerk werd gebruikt ?

Het koninklijk paleis in Brussel

Vaak komt er ook symmetrie voor in een gebouw. Beeld je in dat we in het midden een verticale rechte zouden tekenen. Links en rechts van die lijn zie je dan hetzelfde.

Taj-Mahal in India

Sinds 2007 officieel een ‘wereldwonder’. Dit gigantische 17e-eeuwse bouwwerk werd gebouwd als grafmonument en zit vol marmer en symmetrie.

Kubushuizen in Nederland

In Rotterdam treffen we deze zeer unieke kubushuizen. Ze werden in 1982 gebouwd en het lijkt alsof ze op een van hun hoekpunten rusten.

De Biosphere in Montreal

Om deze perfecte bol te zien, moet je naar Canada vliegen. Binnenin vind je er een leerrijk natuurmuseum.

Futuroscope

Dit is een van de vele knappe bouwwerken in het Franse pretpark Futuroscope. Buiten ziet het eruit als een groot ijskristal, binnen zie je o.a. IMAX-films.

Kakslauttanen in Finland

’s Ochtends wakker worden in een iglohotel met boven jou het noorderlicht? Of in de zomermaanden de middernachtzon? Dan moet je naar Saariselkä in Finland.

Egyptische piramides

Meer dan 4000 jaar oud en gebouwd als graftombe voor de farao.

Sommige ruimtefiguren hebben een regelmatige vorm. Andere ruimtefiguren (zoals een kei of het ijskristal van Futuroscope) hebben een willekeurige vorm.

Ze hebben dit gemeen: allemaal nemen ze ruimte in en worden ze begrensd door grensvlakken. Deze grensvlakken zijn vlakke of gebogen oppervlakken.

Niet alle ruimtelichamen hebben een bovenvlak en een grondvlak. Zo hebben een kegel en een piramide geen bovenvlak en een bol heeft geen van beide. Die ruimtefiguren bestuderen we in het tweede jaar.

ruimtefiguren

Een kubus, een balk, een recht prisma, een cilinder, een kegel, een piramide en een bol zijn ruimtefiguren.

2Kubus, balk, prisma en cilinder

De kubus

Een kubus wordt begrensd door 6 grensvlakken. Dat zijn even grote vierkanten. De vlakken snijden elkaar in de ribben. We tellen 12 ribben. In een hoekpunt van de kubus komen telkens 3 ribben samen. We tellen 8 hoekpunten.

De kubus heeft één grondvlak en één bovenvlak. De vier opstaande zijvlakken vormen samen de mantel.

Opmerking :

Onzichtbare ribben worden in streepjeslijnen getekend.

De balk

Een balk wordt begrensd door 6 grensvlakken. Elk grensvlak is een rechthoek. We tellen 12 ribben en 8 hoekpunten. Er zijn 3 maal 4 even lange ribben. hoekpunt

Opmerking :

ribbe zijvlak

Een balk heeft één grondvlak en één bovenvlak, die steeds even groot zijn.

Het rechte prisma hoekpunt

Een recht prisma is een lichaam dat wordt begrensd door twee evenwijdige en even grote veelhoeken (driehoek, vierhoek, vijfhoek …) als grond- en bovenvlak. De opstaande zijvlakken zijn rechthoeken, die samen de mantel vormen. Er zijn zoveel opstaande zijvlakken als er zijden aan de veelhoek van het grond- of bovenvlak zijn. De opstaande ribben zijn allemaal evenwijdig en even lang.

B

Opmerkingen :

G

– De opstaande ribben staan loodrecht op grondvlak en bovenvlak.

– Een kubus en een balk zijn speciale gevallen van prisma’s.

De cilinder

Een cilinder is een lichaam dat begrensd wordt door twee even grote cirkelschijven en een gebogen zijvlak. De cirkelschijven worden grond- en bovenvlak genoemd. Het gebogen zijvlak is de mantel B G

Kubus, balk, prisma en cilinder

De woorden ‘kubus’, ‘prisma’ en ‘cilinder’ komen uit Griekenland. Zo is ‘cubos’ een soort dobbelsteen met zes vlakken. ‘Cilinder’ betekende eigenlijk ‘rol’ en prisma betekent letterlijk ‘het afgezaagde”.

3Vlakke figuren herkennen

Voorbeeld 1 : door te kijken naar ruimtefiguren

Bespreek welke figuren het mannetje ziet.

RUIMTEFIGUURMANNETJE DAT ERVOOR STAAT

DAT ER LINKS VAN STAAT

CILINDER

PIRAMIDE

Voorbeeld 2 : in bouwplaten

Een kubus, een balk, een prisma en een cilinder zijn allemaal ruimtefiguren die we kunnen ontwikkelen. We hebben dan als het ware een bouwplaat die (met wat knip- en plakwerk) de originele ruimtefiguur oplevert.

Dankzij die ontwikkeling kunnen we gemakkelijk zien wat de grensvlakken zijn van de ruimtefiguur. Zo zijn alle zijvlakken bij een kubus vierkanten. Een vierkant heeft vier even lange zijden en vier rechte hoeken.

De zijvlakken bij een balk zijn rechthoeken, die per twee even groot zijn. Een rechthoek heeft vier rechte hoeken.

De zijvlakken bij een recht prisma zijn rechthoeken, die niet noodzakelijk even groot zijn.

Het grond- en bovenvlak van een cilinder zijn cirkels. Bij een cirkel liggen alle punten even ver van het middelpunt.

Voorbeeld 3 : in patronen

Vlakke figuren kom je overal tegen.

– de tegels in de badkamer ; – de stenen op de speelplaats ;

figuren op het behangpapier;

de ruitjes op het hemd van de leraar of de jurk van de juf ;

– het zebrapad ; – de lijnen op het sportveld.

De speelplaats kan gewoon een aaneenschakeling zijn van vierkante tegels. We noemen dat een vlakvulling met vierkanten. De zijgevel van je huis is misschien een vlakvulling van rechthoeken ?

Vlakke figuren zijn delen van het vlak. Je vindt ze in allerlei vormen terug.

vlakke figuren

Een vierkant, een rechthoek, een driehoek, een ruit, een parallellogram, een trapezium en een cirkel zijn voorbeelden van vlakke figuren

4Aanzichten

Maak kennis met Max, onze bordercollie, die even blijft stilstaan zodat de tekenaar drie aanzichten kan weergeven.

Max in vooraanzicht Max in linkerzijaanzicht Max in bovenaanzicht

Max heeft ook een eigen hondenhok. Ook daar lukt het om de drie aanzichten weer te geven.

hondenhok in vooraanzichthondenhok in linkerzijaanzichthondenhok in bovenaanzicht

bovenaanzicht

Niet alleen honden en hun hokjes kunnen we vanuit verschillende posities bekijken. Het lukt ook met ruimtefiguren, zoals deze blokkencombinatie.

linkerzijaanzicht rechterzijaanzicht

vooraanzicht

vooraanzicht

bovenaanzicht linkerzijaanzicht rechterzijaanzicht

5De wereld rondom jou op papier zetten

Als je om je heen kijkt, ontdek je allerlei vormen en figuren in de meest uiteenlopende situaties : kubussen, balken, maar ook vierkanten en rechthoeken.

Wij leven in de ruimte, maar als we gegevens uit die ruimte op papier willen zetten om met elkaar te communiceren, gaan we in het vlak werken.

We proberen de ruimtelijke voorstelling weer te geven. Je kunt van het huis op de foto een schets maken, waarbij je, zo goed als je kunt, de werkelijkheid probeert weer te geven. Maar je kunt ook via enkele eenvoudige technieken en afspraken werken, om de gegevens op papier te zetten.

anatuurlijk perspectief

Een getrouwe weergave van de werkelijkheid. Je maakt gebruik van de horizon of de ooglijn, dat is een lijn op ooghoogte. De lijnen komen samen in twee of meerdere vluchtpunten op de horizon.

bcavalièreperspectief

De vorm en de grootte van het voorvlak worden bewaard.

De andere vlakken worden gevormd met vluchtlijnen die een hoek van 45° maken met de horizontale.

De horizontale en verticale lijnen worden op werkelijke grootte getekend. Van de andere lijnen wordt de lengte gehalveerd.

In hoofdstuk 4 leer je om figuren in dit perspectief te tekenen.

cisometrisch perspectief

Eén verticale wordt vooraan getekend.

De vluchtlijnen van de vlakken vormen een hoek van 30° met de horizontale. Elk lijnstuk wordt op werkelijke grootte getekend.

De vorm komt meer overeen met het werkelijke perspectief en wordt dus veel toegepast.

In de lessen techniek zul je het isometrisch perspectief vaak gebruiken.

dprojectie op drie vlakken

We projecteren het huis op drie vlakken (de drie dimensies) en we krijgen :

LZA : linkerzijaanzicht

– VAZ : vooraanzicht

– BAZ : bovenaanzicht

Op die manier brengen we ruimtefiguren in beeld inéén vlak, een toepassing die door architecten wordt toegepast. In andere vakken zoals techniek, en later technisch tekenen, ga je op deze leerstof verder in.

Met bepaalde softwarepakketten zoals GeoGebra kun je dit alles mooi weergeven :

vooraanzicht : linkerzijaanzicht : rechterzijaanzicht : bovenaanzicht :

6Schaal

Schepen, auto’s en monumenten zoals de Eiffeltoren zijn in werkelijkheid heel groot. In de modelbouw wordt het allemaal op schaal nagemaakt. Dat gebeurt heel precies en de afmetingen worden steeds met eenzelfde factor verkleind.

Voor de Eiffeltoren hiernaast is de schaal 1 75

Voor heel wat speelgoedautootjes is de schaal 1 : 64. We noemen dit allebei een breukschaal

In een atlas, op een wegenkaart of bij een luchtfoto vind je ook een schaal terug. Die noemen we een lijnschaal.

Soms is het nodig de werkelijkheid te vergroten. Een watervlo is in het echt een heel klein diertje. Als we het willen bekijken, leggen we het het best onder een microscoop. Op het oculair vinden we de breukschaal terug.

de watervlo in het echt

de watervlo uitvergroot

De gebruikte schaal is hier 24 : 1. We hebben te maken met een vergroting van de werkelijkheid.

7Schaalproblemen oplossen

Voorbeeld 1 : de druivenfietsroute

De druivenroute is een fietsroute in Vlaams-Brabant. Hieronder zie je een stukje van de kaart met onderaan eenlijnschaal. Op de kaart is de afstand tussen knooppunt 60 en knooppunt 57 (een knooppunt is aangeduid met een cirkel) in vogelvlucht precies 5 cm. Wat is de werkelijke afstand in vogelvlucht ?

Oplossing:

– Maak een schatting.

– Zet de lijnschaal eerst om naar een breukschaal.

Maak een tabel.

– Noteer bovenaan de gegevens van de tekening, onderaan de gegevens in werkelijkheid.

Bereken met hoeveel 5 cm op de tekening in werkelijkheid overeenkomt.

Om te schatten kun je je duim tegen de lijnschaal leggen. Je duim komt ongeveer overeen met 1000 m. Schat nu hoeveel keer je duim in de gevraagde afstand past.

Uit de lijnschaal leer je dat 1 cm overeenkomt met 500 m. Als we dezelfde eenheden hanteren, komt 1 cm overeen met 50000 cm. De schaal is dus 1 : 50000.

Antwoord : In werkelijkheid bedraagt de afstand in vogelvlucht 250000 cm of 2,5 km.

KASTEEL ROCKENBORCH Foto Toerisme Vlaams-Brabant

Voorbeeld 2 : Gloster Gladiator

Laura’s vader is fan van modelbouw en stak al heel wat vliegtuigjes in elkaar. Op een rommelmarkt tikt hij een ongeopende doos van de Gloster Gladiator op de kop, een Engelse dubbeldekker. De schaal die op de doos vermeld staat, is 1 : 72. Als zijn vliegtuigje helemaal af is (zie foto hiernaast), meet hij de totale lengte: 11,6 cm. Om de lengte van het echte vliegtuig te kennen, kun je werken met een tabel.

. 11,6

Oplossing :

Maak een tabel.

– Noteer bovenaan de gegevens van de tekening, onderaan de gegevens in werkelijkheid.

Vul de gegevens in.

– Bereken met hoeveel 11,6 cm op de tekening in werkelijkheid overeenkomt.

Antwoord :

In werkelijkheid is de Gloster Gladiator 835,2 cm of 8,352 m lang.

Voorbeeld 3 : de Lærdalstunnel

11,6

11,6

De langste autotunnel van de wereld bevindt zich in Noorwegen en is bijna 25 km lang. Om de 6 km krijg je door de extra verlichte uitbouw de indruk dat je door een ijsberg rijdt.

Op het kaartje vind je de tunnel terug, hij is aangegeven met een oranje lijn.

Op welke schaal is de kaart weergegeven?

Oplossing :

Maak een tabel.

– Noteer bovenaan de gegevens van de tekening, onderaan de gegevens in werkelijkheid.

Vul de gegevens in.

– Bereken met hoeveel 1 cm op de tekening in werkelijkheid overeenkomt.

Antwoord : De kaart is getekend op schaal 1 : 500000.

AANTAL CM OP SCHAAL 1

AANTAL CM IN WERKELIJKHEID 72835,2

AANTAL CM OP TEKENING

AANTAL CM IN WERKELIJKHEID 2 500000500000

8Samenvatting

• Je kunt vlakke figuren herkennen in de zijvlakken van een ruimtefiguur.

• Je kunt van een kubus (of een figuur die opgebouwd is door enkele kubusjes) en een balk aanzichten herkennen en aanzichten tekenen.

• Je herkent de volgende ruimtefiguren : kubus balk recht prismacilinder

kegel piramide bol

• Je herkent de volgende vlakke figuren : vierkantrechthoekdriehoekruitparallellogramtrapeziumcirkel

• Je kunt vlakke figuren en ruimtefiguren herkennen in voorbeelden uit je eigen leefomgeving, wetenschappen, techniek en kunst.

• Je kunt voorbeelden geven van vlakke figuren en ruimtefiguren uit je eigen leefomgeving, wetenschappen, techniek en kunst.

• Je kunt de schaal bij een gegeven figuur aflezen en op een figuur gemeten lengtes omzetten naar ware grootte. Je kunt gegevens in ware grootte omrekenen naar een voorstelling op schaal.

• Je kent de verschillende notatievormen van een schaal en kunt de ene in de andere omzetten.

9Oefeningen

Welke meetkundige lichamen herken je in de volgende voorwerpen ?

Noteer de namen van twee voorwerpen uit het dagelijkse leven die de vorm hebben van

a een kubus c een cilinder

b een balk d een prisma

Vul het gepaste getal in.

a Een kubus heeft in totaal ribben en hoekpunten.

Hij heeft opstaande ribben.

Hij heeft grensvlakken. De mantel bestaat uit grensvlakken.

b Een balk heeft in totaal ribben en hoekpunten.

Hij heeft opstaande ribben.

Hij heeft grensvlakken. De mantel bestaat uit grensvlakken.

c Een prisma met een vijfhoek als grondvlak heeft opstaande ribben.

Het heeft grensvlakken. De mantel bestaat uit grensvlakken.

d Een prisma met een zeshoek als grondvlak heeft in totaal ribben.

Waar of vals ?

Omcirkel het juiste antwoord.

a Alle ribben van een balk zijn even lang.

b Alle ribben van een kubus zijn even lang.

c De ribben van een balk kunnen even lang zijn.

d De lengte van de mantel van een cilinder is de omtrek

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS

WAAR VALS van het grond- of bovenvlak.

a Zijn de volgende ontwikkelingen de ontwikkelingen van een kubus? Indien niet, verklaar de fout.

b Zijn de volgende ontwikkelingen de ontwikkelingen van een balk? Indien niet, verklaar de fout.

Aïcha neemt een familiefoto. Welke foto zal op het scherm van haar toestel te zien zijn ?

Thomas maakte in de klas een peperkoekenhuis dat beplakt werd met snoep. Noteer telkens welk aanzicht werd afgebeeld.

Noteer de juiste naam van het aanzicht.

Onderstaande lichamen zijn getekend in cavalièreperspectief. Kleur het vooraanzicht BLAUW, het linkerzijaanzicht ROOD en het bovenaanzicht GEEL.

Zet een kruisje als het aanzicht zichtbaar is op de voorstelling.

Kleur de even lange ribben van volgende lichamen in eenzelfde kleur.

Noteer de juiste naam van elk lichaam en kleur het bovenvlak geel en het ondervlak paars.

a b c d e

Bij welk(e) aanzicht(en) zien we het rode blokje? Plaats telkens een kruis in de tabel.

figuur 4

figuur 5

figuur 6

figuur 7

VA figuur 1

figuur 2

figuur 3

FIGUUR VA LA BA

Kleur het gevraagde vlak in de tekeningen.

a Kleur het voorvlak blauw.

c Kleur het achtervlak paars.

b Kleur het rechterzijvlak groen.

d Kleur het linkerzijvlak rood.

In de volgende tekeningen zijn al vier zichtbare ribben gegeven. Teken de andere ribben in volle lijn als ze zichtbaar zijn en in streepjeslijn als ze onzichtbaar zijn.

a c e

b d f

De ruimtefiguur hiernaast heeft twee groen ingekleurde vlakken. Hieronder zie je vier aanzichten van de ruimtefiguur. Kleur dezelfde vlakken groen als ze bij het aanzicht zichtbaar zijn.

a b c d

Ruimtefiguren en regelmaat. Schets steeds de volgende ruimtefiguur en vul nadien de tabel aan.

Een leuk kristal.

a

figuur 1 figuur 2 figuur 3 FIGUUR

b Blikjes stapelen. figuur 1 figuur 2 figuur 3 FIGUUR

c Bollen stapelen. figuur 1 figuur 2 figuur 3

Bepaal bij iedere getekende lijnschaal de bijbehorende breukschaal.

a 0 km 50 km c 0 m 1000 m

b 0 m50 m100 m d 0 km 3 km

Bereken de gevraagde afstanden en controleer je antwoorden via internet, een gps of een routeplanner.

Blankenberge

Oostende

Brugge

Veurne

Diksmuide

Turnhout

Eeklo

Antwerpen

Roeselare

Ieper

Tielt

E 403

Kortrijk

Mouscron (Moeskroen)

Sint-Niklaas

Gent

WestVlaanderen OostVlaanderen

Oudenaarde

E429

Dendermonde

Aalst

Halle

Tournai (Doornik) Ath (Aat) Soignies (Zinnik)

E 19

Mons (Bergen)

Schaal 1 :1 750000

BRUGGE - LEUVEN

BLANKENBERGE - BASTOGNE

EEKLO - MAASEIK

LEUVEN - BERGEN

Mechelen

Vilvoorde

Leuven

Brussel (Bruxelles) Hoofdstad

VlaamsBrabant

Maaseik

Limburg

Hasselt

Tongeren

E 313

Waals-Brabant

Antwerpen Henegouwen

Waremme (Borgworm)

Liège (Luik)

Nivelles (Nijvel)

E 42

Wavre (Waver) Charleroi Thuin

Namur (Namen)

Namen

Dinant

Philippeville

Luik

E 40 E42

Huy (Hoei) Verviers

E 25 E 411

Marche-enFamenne

Luxemburg

Neufchâteau

Bastogne (Bastenaken)

Virton

Arlon (Aarlen)

Vul de tabel aan.

Teken in deze rechthoek ABCD een nieuwe rechthoek :

a op schaal 1 :2

b op schaal 1 :4

c Vul de tabel aan.

SCHAAL 1 :2

SCHAAL 1 :4

d Noteer

Bij schaal 1 : 2 zal de oppervlakte

Bij schaal 1 : 4 zal de oppervlakte

Bij schaal 1 : x zal de oppervlakte

Vraagstukken i.v.m. schaal.

a Een auto rijdt gemiddeld 100 km per uur. Om 20 cm op kaart af te leggen, reed de wagen twee uur. Op welke schaal is de kaart getekend ?

b Je ouders kennen zeker nog de Concorde, een supersonisch passagiersvliegtuig dat een snelheid van wel 1900 km/h kon halen. Er werden slechts 20 exemplaren gemaakt en een ticketje heen en terug naar New York kostte meer dan 10000 euro. Drie jaar na een zware crash in 2003 maakte de Concorde zijn laatste vlucht. Je kon dit vliegtuig ook nabouwen met MECCANO, dan heeft het een lengte van 62cm. Als je weet dat de gebruikte schaal 1 : 100 is, wat was dan de reële lengte van het vliegtuig?

c Nadat hij deze spin gebouwd heeft, meet Lucas als lengte 28cm. De werkelijke lengte van de spin is slechts 4cm. Op welke schaal is deze spin nagebouwd ?

d Een vlinder (met lengte 3,5 cm) werd op een foto uitvergroot en heeft zo als lengte 14cm. Op welke schaal werd de vlinder uitvergroot ?

In onze stad zijn er twee plaatstelijke radiostations gevestigd. Het radiostation ‘Basis’ (gevestigd in punt B) heeft een zendbereik van 9 km. Het radiostation ‘Limiet’ is precies 6 km verwijderd van B in zuidelijke richting en heeft een bereik van 5 km.

a Teken de situatie op schaal 1 : 100000.

b Teken de gebieden waar de twee zenders te ontvangen zijn. Kleur het zendgebied van ‘Basis’ geel en het zendgebied van ‘Limiet’ blauw.

Waar wonen de mensen die naar de twee stations kunnen luisteren? Arceer het gebied.

Een grote kubus met een ribbe van 4 cm bestaat uit 64 kubusjes van 1 cm3. In de opstaande zijvlakken worden de middelste twee stroken geschilderd en op het grond- en bovenvlak worden twee keer twee stroken geschilderd zoals op de figuur. Hoeveel van de 64 kubusjes krijgen geen verf ?

JWO 2009 eerste ronde, vraag 26© Junior Wiskunde Olympiade vzw

Willy stapelt een aantal identieke kubussen recht boven elkaar op een vlakke vloer en verkrijgt het bouwwerk uit de figuur. Bepaal het kleinste aantal kubussen dat volstaat om dit bouwwerk te realiseren.

JWO 2014 eerste ronde, vraag 6© Junior Wiskunde Olympiade vzw

Rubi vouwt de figuur hiernaast tot een kubus. Ze telt de getallen van overstaande vlakken juist op. Welke 3sommen krijgt Rubi ?

WALLABIE 2015 probleem 9© Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw

Schilder Cas verft de 6 vlakken van een kubus zwart, grijs of wit. Van zijn baas mogen tegenover elkaar liggende vlakken niet dezelfde kleur hebben. Als hij de kubus uitvouwt, kan hij 1 bouwplaat niet krijgen. Welke bouwplaat is dat ?

14©

(A)16(B)20(C)24(D)32(E)40

(A)17(B)18(C)19(D)20(E)21

(A)4, 6, 11(B)4, 5, 12(C)5, 6, 10(D)5, 7, 9 (E)5, 8, 8

WIZSMART 2018 probleem

Stichting Wiskunde Kangoeroe

1.2 Begrippen in de vlakke meetkunde

1Punt, vlak en rechte

Meetkunde kun je perfect vergelijken met een spelletje dammen, stratego of schaken. Er zijn verschillende begrippen die meespelen (speelstukken), er moeten afspraken gemaakt worden (spelregels) en er is het vlak waarin alles gebeurt (het spelbord).

STRATEGO SCHAKEN MEETKUNDE spelbord schaakbord het vlak maarschalk, kapitein, spion pion, loper, toren punt, lijnstuk, rechte

een verkenner mag meer dan één vakje vooruit of opzij

een toren mag zich alleen horizontaal of verticaal verplaatsen

door twee verschillende punten kun je precies één rechte tekenen

De vlakke meetkunde speelt zich af in het vlak p (lees: pi).

Het vlak p (het vlak van het bord, van je blad of van je werktafel) is een oneindige verzameling van punten. Het is onbegrensd en beperkt zich niet tot datgene wat je bijvoorbeeld van het bord kunt zien. Het loopt oneindig door naar boven, onder, links en rechts.

In de ruimte kun je werken met meerdere vlakken.

Een punt stellen we voor door een stip en benoemen we met een hoofdletter.

Een rechte is een verzameling van punten. Een rechte is onbegrensd. We duiden een rechte aan met een kleine letter of met twee punten die op die rechte liggen.

Voorbeeld : rechte AB of rechte BA of rechte a

het punt A ligt op de rechte a het punt C ligt niet op de rechte a de rechte a is een deelverzameling van het vlak p

Onderzoeksopdrachten :

– Teken een punt A.

– Hoeveel rechten kun je tekenen door dit punt ?

Formuleer je besluit in een zin.

eigenschappen

Door een punt A gaan oneindig veel rechten.

– Teken twee verschillende punten A en B.

– Hoeveel rechten kun je tekenen die door A en B gaan ?

Formuleer je besluit in een zin.

Door twee verschillende punten A en B gaat juist één rechte.

collineaire punten

Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.

Voorbeeld :

A, B en D zijn collineair.

A, B en C zijn niet collineair.

2Halfrechte en lijnstuk

Als we een schaar zetten in een rechte, dan hebben we plots twee halfrechten. Een halfrechte is langs één kant begrensd. Een lijnstuk is langs twee kanten begrensd. Bij het lijnstuk [ AB] noemen we A en B de grenspunten van het lijnstuk.

De rechte waar de halfrechte of het lijnstuk op ligt, noemen we de drager. Zo is a de drager van [ AB] en ook de drager van [ AC]

Notatie :

rechte a of AB

halfrechte [ AB

halfrechte [ AC

lijnstuk [ AB]

Collineair

Het woord collineair is afgeleid van het Latijnse ‘collineare’. Dat betekent in rechte lijn sturen. Het voorzetsel co (of col/con/com/cor) duidt erop dat wat volgt gemeenschappelijk is. Denk maar aan collega, collage, collectie, compagnie … Het woord lineair vinden we ook terug in liniaal (ligne is Frans voor lijn), wat synoniem is voor je meetlat.

3Meten van lijnstukken

Doordat een lijnstuk begrensd is, kunnen we dat lijnstuk meten. Meten is eigenlijk bepalen hoe dikwijls een eenheid in een gegeven grootheid gaat.

Meten is in het dagelijkse leven een belangrijke activiteit. Als we willen behangen, moeten we meten hoe hoog en hoe breed de muren zijn.

Als we een nieuw pak willen kopen, neemt de verkoopster de maten. Daarvoor gebruikt ze een lintmeter.

Als we een nieuwe eetkamer willen kopen, moeten we eerst de woonkamer goed opmeten om te weten hoe lang, hoe hoog en hoe breed de meubels mogen zijn. Hiervoor gebruiken we een plooimeter of een rolmeter.

In de meetkunde (= de kunde van het meten) gebruiken we een meetlat. Nauwkeurig meten is belangrijk.

Ook de keuze van de meeteenheid is belangrijk.

In Europa wordt meestal gemeten in meter (m). Van deze eenheid zijn volgende eenheden afgeleid :

De decameter (dam) en hectometer (hm) worden in het dagelijkse leven niet veel meer gebruikt. We zullen eerder spreken van 10 m en van 100 m.

Herkomst van de meter

De ‘meter’ werd gedefinieerd ten tijde van Napoleon. Hij liet een metalen staaf aanmaken, zei dat dit vanaf nu één meter was en liet zo’n metalen staaf brengen naar alle steden van zijn rijk. Hij liet ook de meter in 10 verdelen en daarna nog eens in 10. Hij had een naam voor tien meter en tien keer tien meter. Nu nog kun je de eerste ‘meter’ gaan bezichtigen in een museum in Parijs, onder glas. Want Napoleon was één ding vergeten: metaal zet uit met de warmte, en daardoor was de meter iets langer in de zomer…

In landen waar Napoleon niets te zeggen had, zoals Engeland, Amerika en Australië, werden andere lengtematen gebruikt. Daar werd en wordt gerekend in o.a. mijlen, duimen en voeten. Een mijl komt overeen met ongeveer 1,85 kilometer, een voet is ongeveer 30,47 cm lang en een duim 2,54 cm.

De lengte van dit lijnstuk [ AB] is 4 cm.

De afstand tussen A en B is 4 cm.

Notatie :

| AB | = 4 cm

Hierbij noemen we

• | AB | de lengte van het lijnstuk [ AB]

• 4 is het maatgetal

• cm is de eenheid

Om aan te duiden dat lijnstukken even lang zijn, gebruiken we eenzelfde merkteken :

| XY | = | CD |

| VW | = | AB |

In een cirkel zijn alle stralen even lang. | MA | = | MB | = r

Opmerking :

Om lijnstukken te tekenen met eenzelfde lengte, zal de nauwkeurigheid bepaald worden door je meetinstrument. Gebruik je geodriehoek, dan werk je tot op 1 millimeter nauwkeurig.

– Meet de lengte van het gegeven lijnstuk.

– Teken daarna een lijnstuk met eenzelfde lengte.

4Midden van een lijnstuk

Onderzoek :

Is M het midden van het lijnstuk ? Verklaar waarom (niet).

Voorbeeld : Tegenvoorbeeld 1 : Tegenvoorbeeld 2 :

midden van een lijnstuk in woorden:

M is het midden van het lijnstuk [ AB] als en slechts als M op het lijnstuk [ AB] ligt en het lijnstuk in twee even lange stukken verdeelt.

in symbolen:

M = mi [ AB] ⟺ M ∈ [ AB] en | AM | = | BM |

5Samenvatting

• Je weet dat de meetkunde is opgebouwd uit een aantal basisbegrippen zoals vlak, punt en rechte. Het vlak is een oneindige verzameling van punten. Door twee verschillende punten gaat precies één rechte. Door één punt gaan oneindig veel rechten.

• Je kunt bij afstanden een geschikte eenheid kiezen.

• Je weet dat elk lijnstuk precies één midden heeft.

M is het midden van het lijnstuk [AB] als en slechts als M op het lijnstuk [ AB] ligt en het lijnstuk in twee even lange stukken verdeelt.

in symbolen :

M = mi [ AB] ⟺ M ∈ [ AB] en | AM | = | BM |

• Je weet wat collineaire punten zijn. Collineaire punten zijn punten die op eenzelfde rechte liggen.

• Je kunt een lijnstuk tekenen dat even lang is als een gegeven lijnstuk tot op 1 mm nauwkeurig.

6Oefeningen

Gebruik van symbolen.

Wat stelt elk van deze notaties voor ?

Kies uit rechte, lijnstuk, halfrechte, punt, vlak, lengte van het lijnstuk. A B a

a [ AB] e p

b [ AB f | BA |

c | AB | g AB

d a hA

Maak met de gegeven punten (in de gevraagde kleur) een voorstelling van :

a [ AB] in blauw

b [ CDin blauw

c [ EDin groen

d AC in groen

B A C

E D

Enkele tekenopdrachten.

a Teken een lijnstuk [ AB] van 6 cm lang. Teken daarna [ KL] zodat | KL | = | AB |

b Teken een lijnstuk [ CD] van 8,5 cm lang. Teken daarna [ MN] zodat | MN | = | CD |

Onderzoek op de tekening of onderstaande gelijkheden juist zijn.

a Is [ AB] = [ BA]?

b Is [ AC = [ AB ?

c Is [ BA = [ BC ?

d Is [ CB = [ AC ?

Gegeven : De punten A, B en C zijn collineair. | AB | = 2 cm en | AC | = 8 cm

Gevraagd : Hoe groot is | BC |?

Geef alle oplossingen en maak telkens een duidelijke tekening.

Meet volgende lijnstukken tot op 1 mm nauwkeurig.

a [ AB] e [ BS]

b [ BC] f [ SE]

c [ BE] g [ AS]

d [ AD] h [ SD] B

Meet de lengte van onderstaande schroef en spijkers tot op 1 mm nauwkeurig. a b c

In welke eenheid zou jij de volgende afstanden of lengtes uitdrukken ?

a De afstand die wordt afgelegd in de Tour de France.

f De lengte van een voetbalveld.

b Je eigen lichaamslengte.

g De lengte van een bordlat.

c De afstand van bij mij thuis tot in Parijs.

h De lengte van een rok.

d De hoogte van een literfles cola.

i De hoogte van een deur.

e De dikte van een muntstuk van twee euro.

j De afstand van de aarde tot de maan.

Lore zit aan tafel in de woonkamer en kijkt door het raam.

a Teken twee kijklijnen: dat zijn halfrechten die starten bij Lore en aanduiden wat Lore ziet in de tuin.

b Kan zij de eenden zien op de vijver ?

c Omcirkel de eenden in de tuin die onzichtbaar zijn voor haar.

Ziehier een bovenaanzicht van een museum van de prehistorie. In elke hoek hangt er een beveiligingscamera. Welk beeld komt van welke camera ?

a c

b d

Moeder plaatst op haar keukentafel een pak melk (balkvormig), een leeg glas (cilindervormig) en een bol kaas. Anouk kijkt gehurkt naar de ronde tafel.

a Waar moet Anouk gaan staan om niets van de kaas te zien ?

b Waar moet Anouk gaan staan om niets meer van het glas te zien ?

c Waar moet Anouk gaan staan om niets meer van de melk te zien ?

d Waar moet Anouk gaan staan om het glas mooi tussen de melk en de kaas te zien ?

Een stuntman beklimt een appartementsgebouw. Vijf personen observeren die stuntman en nemen een foto van het gebouw. Eén persoon, Bert, bevindt zich in een luchtballon die het gebouw overvliegt. Tine staat op het kruispunt dat vanuit dit standpunt niet zichtbaar is. Wie nam welke foto ?

Zon en schaduw bepalen in hoofdzaak de inrichting van elke tuin. Het is immers belangrijk te weten welke planten in de schaduw groeien en welke planten vooral volle zon nodig hebben. Ook mensen zoeken schaduw op en gebruiken hiervoor parasols. De zonnestralen vallen schuin in op de aarde, volgens rechte lijnen. Hoe schuin ze invallen, hangt af van de stand van de zon. Duid de plaats op het gras aan waar er schaduw gevormd wordt.

Robert Achmed

WISKUNDE & AARDRIJKSKUNDE

Een maansverduistering doet zich voor wanneer de maan in de schaduwkegel van de aarde komt. Zon, aarde en maan bevinden zich dan ongeveer op één lijn. We spreken van een volledige maansverduistering als de maan zich in de kernschaduw van de aarde bevindt. Er valt dan geen enkel zonlicht meer op de maan.

Duid op de tekening aan vanop welke plaats op aarde je die volledige maansverduistering kunt waarnemen.

zon aardemaan

Een zonsverduistering komt veel minder vaak voor, maar is wel sensationeel: het wordt op dat plekje van de aarde donker, iets kouder en de vogels worden stil omdat ze denken dat het nacht is … De eerstvolgende gedeeltelijke zonsverduistering vindt bij ons plaats op 25 maart 2025. Wel opletten voor het nog zichtbare deel van de zon. Gebruik dus een eclipsbrilletje !

zon aardemaan

Voor een volledige zonsverduistering is het wachten geblazen tot in 2150.

zon aarde maan

Duid op de tekening aan op welke plaats op aarde je een volledige zonsverduistering waarneemt.

zon aarde maan

Vaardigheden | Schetsen en tekenen

Schetsen

Vaak is het niet nodig om met een geodriehoek en een lat een tekening te maken. Om bepaalde eigenschappen te achterhalen, heb je soms al voldoende met een schets. Schetsen kan ook nuttig zijn om een eerste idee te vormen of een vlugge redenering op te bouwen. We spreken van een schets als we met de vrije hand een tekening maken.

Bij een schets kun je ook afmetingen, merktekens of waarden noteren. Dat kan handig zijn om bepaalde problemen op te lossen.

Tekenen

Om te tekenen, gebruik je een geodriehoek. Dat is een zeer handig latje met heel wat extra’s zoals een dubbele gradenboog, evenwijdige lijnen en een meetlat. Ook een gradenboog en een meetlat kunnen bruikbaar zijn.

Zo gebruik je een geodriehoek om evenwijdige rechten te tekenen :

Opgave : teken door A een rechte die evenwijdig is met a . Stap 1 :

Zo

gebruik je een geodriehoek om loodlijnen te tekenen :

Opgave : teken door A een loodlijn op a . Stap

Construeren

We spreken van construeren als we constructies uitvoeren met passer en liniaal. Bij construeren mag je de maatverdeling van je geodriehoek of liniaal niet gebruiken. Vanaf het tweede jaar gaan we veelvuldig constructies uitvoeren met passer en liniaal.

Oefeningen

Schets volgende figuren.

a parallellogram d rechthoek g cirkel

b balk e kubus h cilinder

c trapezium f vierkant i rechthoekige driehoek

Schets volgende ruimtefiguren.

a Schets een kubus waarbij het ondervlak en het linkerzijvlak zichtbaar zijn en arceer die vlakken.

b Schets een balk waarbij het bovenvlak en het rechterzijvlak zichtbaar zijn en arceer die vlakken.

c Schets een cilinder waarbij het ondervlak zichtbaar is en arceer dat vlak.

Teken in een parallellogram ABCD het lijnstuk [ AC]

Teken daarna in de punten B en D de loodlijnen op [ AC].

De wereld van 3D naar 2D 1

Bloom dit moet ik leren

A ❒ Ik herken volgende ruimtefiguren: kubus, balk, prisma, cilinder, kegel, piramide en bol.

A ❒ Ik weet wat bedoeld wordt met grond- en bovenvlak, grensvlakken en mantel.

A ❒ Ik herken volgende vlakke figuren: vierkant, rechthoek, driehoek, ruit, parallellogram, trapezium en cirkel.

A ❒ Ik kan aanzichten herkennen en tekenen.

A ❒ Ik ken de principes van natuurlijk perspectief, cavalièreperspectief, isometrisch perspectief en Europese projectie.

A ❒ Ik kan de schaal bij een gegeven figuur aflezen.

T ❒ Ik kan problemen i.v.m. schaal oplossen.

B ❒ Ik weet dat het vlak (voorgesteld door een Griekse letter zoals p) is opgebouwd uit oneindig veel punten.

 

De wereld van 3D naar 2D 1

Van welke ruimtefiguren zijn de volgende ontwikkelingen ?

Bij welke aanzichten zie je het gekleurde blokje ?

Punt, vlak, rechte, lijnstuk, halfrechte, lengte van het lijnstuk Noteer onder elke symbolische voorstelling het correcte woord.

[ AB ] [ AB | BA | a p AB

Vul in met = of ≠ .

a AB BA c [ AB [ BA

b [ AB] [ BA] d | AB | | BA |

Het parallellogram ABCD.

a Meet volgende lijnstukken tot op 1 mm nauwkeurig.

/ 5

b Vul de tekening aan en teken DC, [ CA en [ BD.

c Teken alle punten die op 3 cm liggen van C.

Hieronder is een rechthoekig bloemperk getekend op schaal 1 : 100. Vul aan.

/ 3

a De werkelijke omtrek van dit bloemenperk is

b Hoeveel boordstenen van 0,5 m lengte heb je nodig om dit perk af te bakenen?

c De werkelijke oppervlakte van dit bloemenperk is

In een autogarage kun je een schaalmodel van het nieuwste model van een auto zien. Het model is gemaakt op schaal 1 : 50. In de reclamefolder vind je deze informatie. Bepaal de afmetingen van het schaalmodel van deze auto.

/ 4

9 / 4

a Teken drie punten A, B en C die niet collineair zijn zodat geldt :

• | AB | = 8 cm en | BC | = 4 cm.

• Het punt K is het midden van [ AB]

• Het punt L is het midden van [ BC].

b Bepaal de onderlinge ligging van AC en KL.

Eigenschappen van rechten en hoeken 2

Als een watervogel moet landen of opstijgen, dan zal die gebruikmaken van heel veel meetkunde.

Onder welke hoek zal hij op het water moeten landen? Welke lijn zal hij moeten volgen? En uiteraard spelen de wind en de andere weersomstandigheden ook een rol.

Als je dan net als deze Amerikaanse zeearend een bewegende prooi te pakken wil krijgen, dan worden je vluchtgegevens nog een pak ingewikkelder.

Eigenschappen van rechten en hoeken

Vlakke figuren 3

Moray is een archeologische site in Peru, zoals ook het meer bekende Machu Picchu er een is. Maar enkel in Moray vind je deze perfect cirkelvormige ‘amfitheaters’. Wetenschappers menen dat de Inca’s op deze plekken volop experimenteerden om hun landbouw beter te maken: er zat een slim irrigatiesysteem in verwerkt en de temperatuur tussen de bovenste en de onderste cirkel kon wel 15 graden verschillen.

In dit hoofdstuk kijken we niet enkel naar cirkels, maar nemen we ook de drie- en vierhoeken onder de loep. Tijd dus om de vlakke figuren te bestuderen!

Vlakke figuren

3.1

Ruimtefiguren 4

De Duitse wiskundige David Hilbert (1862–1943) was net als Einstein op het spoor van de relativiteitstheorie, maar hij gunde Einstein alle eer en werkte later zelfs nog met hem samen.

Hij was een van de invloedrijkste wiskundigen van de twintigste eeuw en gaf onder andere ‘23 problemen voor de twintigste eeuw’ op.

Maar zijn naam kleeft ook aan een curve, die netjes past in een kubus: de hilbertkubus, die hiernaast als kunstvoorwerp werd nagebouwd.

Wij zijn op zoek naar eenvoudigere manieren om kubussen en andere ruimtefiguren voor te stellen.

Ruimtefiguren

4.1 Voorstelling van ruimtefiguren in een

4.2 Opbouw van ruimtefiguren

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren 5

In het volgende hoofdstuk bestuderen we de omtrek en oppervlakte van vlakke figuren.

Hiernaast zie je enkele driehoeken, vierkanten en rechthoeken. Ze zien er in beide tekeningen net hetzelfde uit en toch lijkt het alsof er één vierkante centimeter verdwenen is.

Probeer jij te ontdekken waar de vierkante centimeter zich bevindt?

Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren

5.1

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren 6

In Japan kun je deze kubusvormige watermeloenen kopen. Ze worden er gekweekt in een soort van dozen en moeten vijfmaal per dag gedraaid worden. Da’s ook de reden waarom ze zoveel kosten (zo’n 90 euro).

Lekker zijn ze helaas niet, want daarvoor worden ze te vroeg geoogst. Hun voordelen? Ze zien er superorigineel uit en zijn natuurlijk handig om te stockeren.

Bepaal het volume van een kubusvormige meloen met zijde 30 cm. Wil je de meloenen netjes inpakken in een kartonnen doos? Hoeveel cm² karton heb je dan minstens nodig voor één meloen?

Oppervlakte en volume van ruimtefiguren