PROPORCIONALIDAD

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PROPORCIONALIDAD RAZÓN O RELACIÓN DE DOS CANTIDADES La razón es un objeto matemático que utilizamos para comparar dos cantidades cualesquiera para poder establecer una característica que las relaciones, en particular ambas cantidades las podemos comparar principalmente de dos formas; a través de su diferencia (razón aritmética), y a través de su cociente (razón geométrica) También podemos decir, la razón es la comparación de dos cantidades mediante una operación matemática.

Puede ser: 1. Razón aritmética.- Cuando se compara por sustracción. Nos indica en cuanto es mayor la primera cantidad que la segunda.

r es valor de la razón aritmética de a y b  Así: a − b = r  a es el antecedente b es el consecuente  Ejemplo 1: Juan tiene 45 años de edad y María tiene 15 años; comparando las edades - La edad de Juan excede a la edad de María en 30 años.

Porque 45-15 =30 Ejemplo 2: Un padre decide repartir S / 20 000 a sus dos hijos, pero al fin del mes uno de ellos se portó mal, por lo cual lo va a castigar dándole S / 6 000 menos que a su hermano. ¿Cuánto le corresponde a cada uno?

2. Razón Geométrica.- Cuando se compara por división. Nos indica cuantas veces la primera cantidad contiene a la segunda.

r es valor de la razón geométrica de a y b a  = r  a es el antecedente Así: b b es el consecuente  Ejemplo 1: Juan tiene 45 años de edad y María tiene 15 años; comparando las edades - La edad de Juan es tres veces la edad de María.

Porque

45 =3 15

Ejemplo 2: Al siguiente mes, el mismo padre de uno de los ejemplos anteriores tiene el mismo problema, uno de sus hijos se ha portado mal, por lo que quiere darle menos dinero que a su hermano, pero esta vez quiere que por cada S / 3 del hermano que se portó bien, el otro reciba solo S / 2 , es decir quiere repartir el dinero a razón de 3 es a 2 . Si dispone nuevamente de S / 20 000 , ¿cuánto dinero le corresponderá a cada uno?

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Razones geométricas iguales o equivalentes Se llama así al conjunto de razones geométricas que tiene el mismo valor de la razón.

a1 a 2 a 3 a = = = ... = n = k b1 b 2 b 3 bn Antecedentes: a 1 , a 2 , a 3 ,..., a n Consecuentes: b1 , b 2 , b 3 ,..., b n Constante de proporcionalidad: k Propiedades: i)

a a1 a a =k ; 2 =k ; 3 =k ; …; n =k b1 b2 b3 bn

De donde: a 1 = kb1 ; a 2 = kb 2 ; a 3 = kb 3 ; …

a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n =k b1 + b 2 + b 3 + ... + b n a . a . a .....a n iii) 1 2 3 = kn b1 . b 2 . b 3 .....b n n : número de razones

ii)

PROPORCIONES Es la igualdad de dos razones equivalentes. Pueden ser: 1. Proporción aritmética. i) Discreta.- Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada uno es la cuarta diferencial de los otros tres.

Ejemplo: 15 – 8= 11 – 4

a y d términos extremos a−b = c−d   b y c términos medios ii) Continua.- Cuando los términos medios o extremos son iguales.

Ejemplo: 15 – 9= 9 – 3

 b es la media diferencial de de a y c  a−b = b−c  a+c , a y c se denominan terceras diferenciales  b = 2 2. Proporción Geométrica. i) Discreta.- Cuando los cuatro términos son diferentes. Cada término es la cuarta proporcional de los otros tres.

15 12 = 5 4 a c a y d términos extremos =  b d  b y c términos medios

Ejemplo:

ii) Continua.- Cuando los términos medios o extremos son iguales.

Ejemplo:

20 10 = 10 5

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a b  a y c terceras proporcionales =  b c  b media proporcional Propiedades

a c k = = b d 1 a c i) = ⇒ a.d = b.c b d a ± b c ± d k ±1 ii) = = b d 1 a + b c + d k +1 iii) = = a − b c − d k −1 Dada:

Problemas 1. Dentro de cuantos años la relación entre las edades de dos personas será igual a 7/6, si sus edades actualmente son 40 y 30 años.

R. 30 2. En una elección un proyecto fue aprobado por una votación de 5 a 3, según ello diga qué parte de los votantes estaban a favor?

R. 5/8 del total.

3. Una vendedora de frutas lleva en su canasta 90 frutas, entre naranjas y manzanas, si la razón del numero de naranjas y manzanas es igual a 4/6. hallar el número de manzanas.

R. 54 manzanas.

4. El jornal de un obrero es proporcional al cuadrado de su edad. Si ahora tiene 18 años, al cabo de cuántos años cuadruplicará su jornal.

R. 18 5. A una fiesta asisten 140 personas entre hombres y mujeres. Por cada 3 mujeres hay 4 hombres. Si se retiran 20 parejas, ¿cuál es la razón entre el número de mujeres y el número de hombres que se quedan en la fiesta?

R. 2/3 6. En un salón de clases el numero de hombres es al total como 9 es a 14. Si después del recreo se retira 1/5 de las mujeres y 1/3 de los hombres, ¿cuál es la nueva relación entre el número de hombres y de mujeres en ese orden?

R. 3/2 7. En una fábrica embotelladora se tienen 3 máquinas A, B y C, por cada 7 botellas que produce la máquina “A”, la máquina “B” produce 5 y por cada 3 botellas que produce la máquina “B, la máquina “C” produce 2. En un día la máquina “A” produjo 4 400 botellas más que “C”. ¿Cuántas botellas produjo la máquina “B” ese día?

R. 6 000

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MAGNITUDES PROPORCIONALES Dos magnitudes son proporcionales, si al variar el valor correspondiente a una de ellas, entonces el valor correspondiente a la otra magnitud variará en la misma proporción, ya sea en razón directa o inversa.

MAGNITUD Es todo aquello que tenga la propiedad de ser medido, es susceptible a cambios de aumento o disminución.

Cantidad Se denomina cantidad al estado particular de una magnitud, llamada también valor instantáneo de una magnitud. Las cantidades pueden ser: Discretas (sirven para enumerar o contar, son números enteros) o continuas ( para representar como el peso de una persona, el tiempo, etc.)

Ejemplos: Magnitud Cantidad Longitud 7,5 m.

Temperatura 27 ºC Peso 72 kg.

Obra 12 sillas 1. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES - Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando la división de sus valores correspondientes siempre es un valor constante ( diferente de cero).

- Dos magnitudes serán directamente proporcionales (D.P.), cuando al aumentar o disminuir el valor de una de ellas, entonces el valor correspondiente a la otra magnitud también aumentará o disminuirá respectivamente en la misma proporción.

Ejemplo: Si 1 kilogramo de un determinado producto cuesta S/ 3 , entonces 2 kg. tendrán un doble costo.

Costo(S/.)

3 6 9 1,5 Peso (kg.)

1 2 3 0,5 “ Si las dos aumentan o disminuyen es D.P.” De la tabla se tiene:

3 6 9 1,5 = = = =3 1 2 3 0,5

Se deduce: Si A (DP) B ⇒

A = k. ( k : constante de proporcionalidad) B

2. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES - Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto de sus valores correspondientes siempre es un valor constante.

- Dos magnitudes son inversamente proporcionales (I.P.), cuando al aumentar el valor de una de ellas, entonces el valor correspondiente a la otra magnitud disminuye en la misma proporción. Y cuando al disminuir el valor de una de ellas, entonces el valor correspondiente a la otra magnitud aumenta en la misma proporción Ejemplo: Supongamos un móvil que se desplaza a una velocidad constante, recorre 480 km en 8 horas Velocidad(Km/h.) 60 120 240 Tiempo(h) 8 4 2 “ Si una aumenta la otra disminuye”

30 16

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De la tabla se tiene: 60 x8 = 120 x 4 = 2 x 240 = 16 x 30 = 480 Se deduce: Si A (I.P) B ⇒ A.B = k. ( k : constante de proporcionalidad) Propiedades 1. A (IP) B ⇔ A (DP)

A.B = k

1 B

A =k 1 B

2. A (DP) B ⇔ A (IP) B

A. =k B

A.

1 =k B

A (DP) B   3. A ( DP) C  ⇒ A ( DP) BCD , A (DP) D 

A =k BCD

A (DP) B B (IP) C  A .D.F 4. =k  ⇒ C (DP) D  B.C D (IP) F  5. Si A (DP) B ⇒ A n (DP) B n Si A (IP) B ⇒ A n (IP) B n Problemas I. PROPORCIÓN DIRECTA 1. Si 5 pantalones cuestan S / 300 , ¿cuánto costarán 8 pantalones?

2. Si un vehículo se mantiene con velocidad constante de 60 m / s , ¿cuántos metros recorrerá en un minuto?

3. Una persona a cierta hora del día da una sombra de 3 m , si un árbol de 4 m de altura da una sombra de 6 m , ¿cuánto mide la persona?

4. Si los niños y las niñas de un curso están a razón de 3 a 4 respectivamente, cuántas niñas hay si el curso es de 35 personas?

II. PROPORCIONALIDAD INVERSA 1. Si 2 personas realizan un trabajo en 5 horas, ¿cuánto tiempo demoran 5 persona?

2. Si un vehículo a una velocidad de 70 Km / h se demora 3 horas en llegar de Trujillo a Chiclayo, ¿a qué velocidad debe desplazarse para demorarse 2 horas entre ambas ciudades?

3. Si 5 personas comen 100 desayunos en 35 minutos, ¿cuánto demorarán 7 personas en comer la misma cantidad?

4. Un artesano hace 10 tazas de cerámica por hora, ¿cuánto se demorarán 3 artesanos en hacer la misma cantidad de tasas?

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OTROS EJEMPLOS 1. Sea A (DP) B y A (DP) pasa con A ?

2. A (DP) B 2 e I.P. a C = 36 .

C , si cuando B disminuye en 40% y C aumenta en 21% ¿qué R. A disminuye en 34% de su valor

C , cuando A = 4 , B = 8 y C = 16 . Hallar A cuando B = 12 y R. 6

3. Se sabe que una magnitud A es inversamente proporcional a B 2 . Hallar el valor de A , R. 100 sabiendo que si disminuye en 36 unidades el valor de B aumenta 25%.

4. En una taza de té se introdujeron 16 gramos de azúcar y luego de 3 minutos se han disuelto 4 gramos. ¿Cuánto quedará luego de 3 minutos más si la cantidad de azúcar no disuelta es I.P al cuadrado del tiempo en minutos?

R. 3 5. Sabiendo que A es I.P a B y B es I.P a C . Hallar A cuando C = 3 ; si cuando A = 12 , C=3 R. 2 6. El precio de un ladrillo es proporcional a su peso e I.P. a su volumen; un ladrillo de densidad 1,5 g / cm 3 cuesta S/ 3 . ¿Cuánto costará un ladrillo de 400 cm 3 que pesa 1,6 kg. R. 8 7 El jornal diario de un obrero varía proporcionalmente al cuadrado del número de horas trabajadas, si su sueldo mensual asciende a S/ 1200, ¿cuánto deja de percibir al mes si durante 10 días trabajó sólo los 3/5 del número de horas normales? ( Nota: 1 mes= 30 días) R. S/256 8. La duración de un viaje por ferrocarril es D.P a la distancia e I.P. a la velocidad. A su vez la velocidad es I.P. al número de vagones del tren. Si un tren de 20 vagones recorre 30 km. En ½ hora, ¿cuántos kilómetros puede recorrer un tren de 10 vagones e 10 minutos?

R. 20 km.

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REGLA DE TRES Y TANTO PORCIENTO( PORCENTAJE) REGLA DE TRES Es un método aritmético, que consiste en calcular un valor desconocido de una magnitud, mediante la comparación de magnitudes proporcionales.

La regla de tres puede ser:

 simple directa Simple  Re gla de tres  simple inversa. Compuesta  Regla de tres simple Se genera cuando se comparan dos magnitudes. Una regla de tres simple puede ser directa o inversa, dependiendo de cómo se relacionen las magnitudes en comparación.

1. Regla de tres simple directa Sean M y N dos magnitudes directamente proporcionales, con sus respectivos valores.

Magnitudes: M (DP) N Kg. (DP) nuevos soles

a → b  b⋅c  .x= c → x  a Ejemplo: Si 5 kg. de manzana cuestan 15 nuevos soles, ¿cuánto costarán 10 kg.?

Kg. de manzana (DP) precio

5 15 = 10 x

5 → 15 10 → x (10)(15) → x= = 30 5

2. Regla de tres simple inversa Sean M y N dos magnitudes inversamente proporcionales, con sus respectivos valores.

Magnitudes: M (IP) N Velocidad (IP) tiempo

m → n  m⋅n  .x= p → x  p Ejemplo: Si un móvil para ir de la Ciudad A a la ciudad B a una velocidad constante de 60km / h se tarda 8 horas, ¿qué tiempo lo hará si viaja a una velocidad constante de 120km / h ?

Velocidad (IP) tiempo

120 8 = 60 x

60 → 8 120 → x (60)(8) → x= =4 120

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Observación - Magnitudes directamente proporcionales (DP): Si las dos aumentan o las dos disminuyen.

- Magnitudes inversamente proporcionales (IP): Si una aumenta y la otra disminuye y viceversa.

- Obreros (DP) obra - Obreros (IP) horas/diarias - h/d (DP) obra - h/d (IP) dias - Obreros (IP) días

Resolver 1. Si 36 obreros cavan 60m. de zanja diaria, ¿cuál será el avance diario, cuando se ausenten 9 obreros?

R. 45 m.

2. Un móvil recorre 500 m. en 10 minutos con velocidad constante. ¿Qué tiempo empleará en recorrer los siguientes 200m. manteniendo su velocidad?

R. 4 min 3. Se hacen disolver 120 gr. de azúcar en 5 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua deberán añadirse a esta mezcla para que un litro de agua de la nueva mezcla no tenga sino 8 g. de azúcar?

R. 10 litros 4. Jaime demora 8 horas en construir un cubo compacto de 5 dm. de arista, después de 108 horas de trabajo, ¿qué parte de un cubo de 15 dm. habrá construido?

R. La mitad de la obra 5. Un obrero recibe S/ 50 por cada día que trabaja y S/ 20 por cada día que no trabaja. Si luego de 23 días recibe S/ 910. ¿Cuántos días trabajó?

R. 15 días 6. Las máquinas M y N tienen la misma cuota de producción semanal operando 30 horas y 35 horas respectivamente. Si M se malogra luego de trabajar 18 horas debiendo hacer N el resto del trabajo, ¿cuántas horas adicionales debe trabajar N ?

R. 14 horas 7. Se sabe que 360 ovejas tienen alimentos para 60 días. Se desea que dichos alimentos duren 12 días más sin cortar la ración diaria. ¿Cuántas ovejas habrá que vender?

R. 60 ovejas 8. Una cuadrilla de 12 obreros pueden llenar un techo en 4 horas. ¿Qué tiempo tardarán 15 obreros en llenar el mismo techo?

R. 3,2 horas 9. " n" máquinas hacen una obra en 30 días ; ( n + 4) máquinas hacen la misma obra en 20 días; en cuánto tiempo harán ( n + 2) máquinas dicha obra?

R. 24 días 10. Un regimiento debe tardar 8 días con marcha regular para llegar a su destino, pero en el momento de salir recibió la orden de que se hiciese el recorrido en 3 días menos, lo que obligó aumentar la marcha diaria en 30 km. ¿De cuántos kilómetros fue el recorrido?

R. 400 km.

11. En 28 días 12 obreros hacen una obra; si aumentan 8 su rendimiento en un 50%. ¿Qué tiempo emplearán en hacer la misma obra?

R. 21 días 12. Una fuente que da 120 litros cada 6 minutos llena un tanque de agua en 4 horas 30 minutos. ¿Cuánto tardará en llenar el tanque conjuntamente con otra fuente que da 20 litros cada 75 segundo?

R. 2horas y 30 minutos

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TANTO PORCIENTO( PORCENTAJE) En la vida cotidiana siempre nos encontramos con expresiones como “ Liquidatodo, hasta un 70% de descuento”, “Con un interés del 0,01% ” etc.

Cuando hablamos de porcentaje, no nos referimos a otra cosa que a una razón, pero una muy especial, es una razón cuyo consecuente es 100 , es decir

x% =

x , por lo tanto el 100

tratamiento que se haga con un porcentaje es el mismo que con una razón.

Cuando queremos buscar el tanto por ciento de una cantidad solo debemos formar la proporción geométrica y directa entre la cantidad y la incógnita versus el porcentaje

Regla del tanto por ciento Se denomina tanto por ciento al número de partes que se toman en cuenta de una cierta unidad o cantidad que se ha dividido en 100 partes iguales.

Ejemplo:

1 100 1 20 partes ⇔ 20 ⋅ 100 1 40 partes ⇔ 40 ⋅ 100 1 75 partes ⇔ 75 ⋅ 100

50 partes ⇔ 50 ⋅

1 2 1 ⇔ 20% ⇔ 5 2 ⇔ 40% ⇔ 5 3 ⇔ 75% ⇔ 4 ⇔ 50% ⇔

1 a ) = a% ⇒ = a% 100 100

En general: a (

Porcentaje Es la aplicación del tanto por ciento respecto a cantidades o números

40 (200) = 80 100 35 * 35%(80) → (80) = 28 100 175 * 175%(120) → (120) = 210 100 * 40%( 200) →

Observación Todo número o cantidad representa el 100% de sí mismo. Así: 100% = A

Operaciones con porcentajes 1. 20% N + 40% N = 60% 2. N + 15% = 100% N + 15% = 115% N 3. 70% N − 40% N = 30% 4. N − 24% N = 100% N − 24% N = 76%

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5. 3( 40% N ) = 120% N 6. 8(75% N ) = 600% N = 6 N 7. 25(12% N) = 25%(12 N ) 8. a (b% N) =

ab N 100

Observación Las palabras: DE, DEL, DE LOS, nos indican que debemos multiplicar.

Ejemplo: * El 25% del 30% del 40% de 20 000 es:

25 30 40 ⋅ ⋅ ⋅ 20 000 = 600 100 100 100 Casos que se presentan al resolver problemas de tanto por ciento Primer caso: P% de N = R Se conocen: P% y N Se desconoce: R Ejemplos: 1. Hallar el 70% de 800 Solución 70% de 800 = R

70 ⋅ 800 = R 100 R = 560 2. Hallar el 0.05% de 400 3. Hallar el

3 % de 30 5

4. Hallar el 0,2% del 0,5% de 240000 Segundo caso: P% de N = R Se conocen: P% y R Se desconoce: N Ejemplos: 1. ¿ 25% de que número es 60?

Solución 25% de N = 60

25 ⋅ N = 60 100 N = 240 2. ¿ 36% de qué número es 144?

3. ¿ 0,04% de qué número es 24?

4. ¿ 0,45% de qué número es 9?

Tercer caso: P % de N = R Se conocen: N y R Se desconoce: P% Ejemplos: 1. ¿Qué porcentaje de 120 es 48?

Solución

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P% de 120=48 P ⋅ 120 = 48 100 P = 40 ( Este resultado significa 40%, el signo de % se sobre entiende) P = 40% 2. ¿Qué porcentaje de 320 es 128?

3. ¿Qué porcentaje de 0,025 es 0,005?

4. Calcular que % es 40 de 160?

Descuentos sucesivos 1. Dos descuentos sucesivos del 20% y 10%, equivale a uno del: Solución Se trabaja con lo que queda: Queda = 80% ⋅ 90% C

80 ⋅ (90%C) = 72%C 100 Dcto. Único = 100%C − 72%C = 28% =

2. Determinar el descuento único equivalente a tres descuentos sucesivos de 20%; 25% y 30%.

Solución Queda = 70% ⋅ 75% ⋅ 80% ⋅ C

70 75 ⋅ ⋅ 80% C = 42% 100 100 Dcto. único = 100%C − 42%C = 58%C =

Aumentos sucesivos 1. Dos aumentos sucesivos del 20% y del 30% equivalen a uno del: Solución

120 ⋅ (130%C) = 156%C 100 Aumento único = 156%C − 100%C = 56%C Queda =

2. Tres aumentos sucesivos del: 10%, 50% y 20% equivalen a uno del: Solución Queda = 120% ⋅ 150% ⋅ 110% C

120 150 ⋅ ⋅ 110%C = 198%C 100 100 Aumento único = 198%C − 100%C = 98%C =

Aplicaciones comerciales 1. Pv = Pc + ganancia 4. Gbruta = Gneta + gastos

2. Pv = Pc − pérdida 3. Pv = Plista − descuento 5. Pv = Pfijado − descuento

Observación - Generalmente las ganancias ( o pérdidas) se representan como un tanto por ciento del precio de costo.

- Generalmente las rebajas ( o aumentos) se representan como un tanto por ciento del precio fijado.

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Resolver 1. Un abrigo cuesta originalmente $60 . Si tiene un descuento de un 40% y luego al pagar con tarjeta de crédito, le descuentan un %20 adicional.¿Qué valor debe cancelar una persona que lo compra con tarjeta de crédito?

2.Se ha realizado un ingreso de S/ 1000 en una cuenta de ahorro de un banco. La cuenta ofrece dos opciones: obtener un interés anual del 4% u obtener de forma inmediata una prima (cantidad de dinero por única vez) de S/ 10 y un interés anual del 3%. ¿Cuál será mejor opción al cabo de un año? ¿Y al cabo de dos años?

3. Si al vender uno de mis libros en S/ 28 ganó S/ 8 ¿cuál es el tanto por ciento de ganancia?

R. 40% 4. Una casa comercial vende un televisor en $ 120 perdiendo en la venta $ 5. ¿Qué tanto por ciento perdió?

R. 4% 5. Una señora lleva 1 000 naranjas al mercado y encuentra que el 10% estaba malogrado y sólo pudo vender el 70% de los buenos ¿cuántos quedaron sin vender?

R. 370 naranjas 6. En una reunión hay 200 personas, de las cuales 70% son mujeres, ¿cuántas parejas deben llegar a la reunión para que el número de hombres sea el 60% de las mujeres?

R. 60 7. Jaime observa que su salario ha sido descontado en un 20% ¿cuál debe ser el porcentaje de aumento para que reciba su salario inicial?

R. 25% 8. Carmen gasta el 20% de lo que tiene, luego el 30% de lo que le queda y por último el 40% del nuevo resto, quedándose con tan solo 42 000 nuevos soles, ¿cuánto tenía al inicio?

R. S/ 125 000 9. Se vendió un televisor ganando el 20% sobre el precio de venta. ¿qué porcentaje se gana sobre el precio de compra?

R. 25% 10. Javier pagó dos facturas: por la primera pagó S/ 67 500, luego de que le hicieran el 25% de descuento, por la segunda pagó S/ 44 000 en la cual le recargaron el 10% ¿cuánto ahorró o pagó de recargo en total?

R. Ahorró S/ 18 500 11. Se venden 2 artículos en S/ 600 c/u. En uno se gana el 20% de su costo y en el otro se pierde el 20% de su costo ¿se ganó o perdió y cuanto?

R. Pierde S/ 50 2. Se ha comprado una docena de libros al precio de catálogo, que es S/ 26. Se ha obtenido una rebaja del 15% y además un libro de regalo. Hallar a como sale el ejemplar y cual será la ganancia vendiéndolos a precio de catálogo.

R. Ganancia S/72,80