Page 1

VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

ECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS – APLICACIONES 1.1. ECUACIONES LINEALES CON UNA VARIABLE. APLICACIONES Igualdad Es aquella relación que existe entre dos o mas cantidades y que nos indica que tienen el mismo valor. Clases de igualdades A. Igualdades absolutas o identidades Son aquellas que se verifican para cualquier valor atribuidos a sus variables. También se les denomina identidades. Ejemplos 1. 3x + 1 = 6 x + 1 − 3x 2. ( x + 1)( x − 1) = x 2 − 1 3. ( x + y)( x 2 − xy + y 2 ) = x 3 + y 3 B. Igualdades relativas o ecuaciones Son aquellas ecuaciones, las cuales adquieren el mismo valor, para los mismos valores de sus letras denominadas variables o incógnitas. Algunos valores satisfacen la ecuación otros no la satisfacen. Ejemplo 4 x + 5 = 2 x − 3 Si x = −4 4( −4) + 5 = 2( −4) − 3 ⇒ − 11 = −11 ( cumple ) Luego x = −11 es la solución de la ecuación Ecuación Es una igualdad que contiene una o más variables. Tenemos las siguientes definiciones: - Una ecuación es una igualdad que contiene una o mas cantidades desconocidas, denominadas incógnitas (Allendoerfer, 1990). - Una ecuación es un enunciado que indica que dos cantidades son iguales (Gustafson, 2003). - Una ecuación es una proposición matemática de igualdad (Allen, 1997). - Una ecuación es una proposición que indica que dos expresiones son iguales (Haeussler, 1997). El conjunto de números que satisfacen una ecuación se llama conjunto solución. Los elementos del conjunto solución ( CS ) se llaman soluciones o raíces de la ecuación. Resolver una ecuación significa encontrar todas las soluciones o raíces de la ecuación. A menos que se indique otra cosa, en este libro nos limitaremos a trabajar con soluciones que sean números reales. Por ejemplo x 2 + 4 = 0 no tiene solución real. Clasificación de las ecuaciones De acuerdo a su solución A. Ecuación compatible Son aquellas que tienen por lo menos una solución. Esta a su vez puede ser: a) Ecuación compatible determinada Es aquella ecuación que posee un número finito de soluciones. Ejemplos 1. Si 4 x − 12 = 8 entonces CS = { 5 }

1


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

2. Si x 2 + 3x − 4 = 0 entonces CS = { − 4,1 } b) Ecuación compatible indeterminada Es aquella ecuación que tiene infinitas soluciones. Ejemplos 1. Si 0 x = 0 entonces CS = R 2. Si

x +1 x −1 4x − = 2 entonces CS = R − {− 1,1} x −1 x +1 x −1

B. Ecuación incompatible Denominada también, absurda o inconsistente; es aquella cuyo conjunto solución no tiene elementos. También se dice que su conjunto solución es el vacío. Ejemplos 1. Sea 2 x + 1 = 2( x − 3) + 3 1 = −3 ( falso, absurdo) , luego CS = φ 2. Sea

x 2x − 1 +3= x −1 x −1 x = 1 ( no satisface la igualdad) , luego CS = φ

Ecuaciones equivalentes Las ecuaciones que tienen el mismo conjunto solución se llaman ecuaciones equivalentes. Ejemplo x + 5 = 10 y 2 x + 3 = 13

x =5

x =5

son equivalentes ,el conjunto solución de ambas ecuaciones es CS = {5} Ecuación lineal Una ecuación lineal o de primer grado con una variable, es cualquier ecuación que se puede escribir de la forma: ax + b = 0 , donde a , b ∈ R y a ≠ 0 Una solución o raíz de una ecuación lineal es cualquier número que, sustituido en la ecuación, la convierte en una proposición verdadera. Análisis de la ecuación : ax + b = 0 Es claro que: 1. Si a ≠ 0 y b ≠ 0 La ecuación es compatible determinada. La solución es x = − Ejemplo: Si 2 x + 3 = 0 ⇒ x = −

b a

3  3 , luego el CS = −  2  2

2. Si a ≠ 0 y b = 0 La ecuación es compatible determinada . Tiene una raíz nula. Ejemplo: Si 2 x + 0 = 0 ⇒ x = 0 , luego el CS = {0} 3. Si a = 0 y b = 0 La ecuación es compatible indeterminada. Tiene infinitas soluciones. Ejemplo: Si 0 x + 0 = 0 ⇒ el CS = R

2


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

4. Si a = 0 y b ≠ 0 La ecuación es incompatible, absurda o inconsistente. No tiene solución en los reales. También se dice que su conjunto solución no tiene elementos. Ejemplo: Si 0 x + 3 = 0 ⇒ el CS = φ Propiedades en una ecuación Propiedad 1. Una igualdad se mantiene si se suma o resta una misma cantidad a ambos miembros de la igualdad. Así: Si a = b ⇒ a ± c = b ± c Ejemplo: Resolver: x + 4 = 12 Solución

x + 4 = 12 Aislamos la incógnita x , para lo cual se suma el inverso aditivo de 4.

x + 4 − 4 = 12 − 4 x+0 =8 x =8 Luego, CS = {8}

Propiedad 2. Una igualdad se mantiene si se multiplica ( divide ) por una misma cantidad a ambos miembros de la igualdad. Así: Si a = b ⇒ n.a = n.b , n ∈ R Si a = b

a b = n n

, n ∈ R − {0}

Ejemplos: 1) Resolver: 3x = 15 Solución

3x = 15 Aislamos la incógnita x , para lo cual se divide por 3 ( o se multiplica por

3x 15 = 3 3 x =5 Luego, CS = {5} 2) Resolver − 2 x + 7 = 11 Solución

− 2 x + 7 = 11 Restamos ( − 7 ) en ambos miembros − 2 x + 7 − 7 = 11 − 7 − 2x + 0 = 4 − 2x = 4 Multiplicamos por ( − 1 ) para que la incógnita quede positiva − 2x = 4 ( − 1 ) 2 x = −4 Finalmente se divide por 2 . 2x − 4 = 2 2 x = −2 Luego, CS = {− 2} 3

1 ) 3


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Observación Cada vez que se resuelve una ecuación, se debieran aplicar las propiedades de una igualdad. Pero resulta mas operativo aplicar las siguientes técnicas: - Toda cantidad que está sumando( o restando ) en un miembro pasa al otro miembro de la igualdad restando ( o sumando). - Toda cantidad que está multiplicando( o dividiendo ) en un miembro pasa al otro miembro de la igualdad dividiendo ( o multiplicando). Toda ecuación lineal puede ser: A. Ecuación condicional Tiene una solución real. Hay por lo menos un número en el dominio de la variable que no satisface la ecuación. Ejemplos 1. 4 x + 5 = 2 x − 3 x = −4 , luego CS = {− 4}

3x 2 12  12  , luego CS = −  x=− 7  7

2. 7 + 2 x = 1 −

B. Identidad Generalmente es verdadera para todo número real. Tiene infinitas soluciones. Ejemplos 1. 3x + 1 = 6 x + 1 − 3x

3x + 1 = 3x + 1 0 = 0 (verdadero) Es una identidad La ecuación es verdadera para todo número real , luego CS = R

x 2 −1 2. = x +1 x −1 x2 −1 = x2 −1 0 = 0 (verdadero) Es una identidad La ecuación es verdadera para todo número real, a excepción de x = 1 Puesto que x = 1 no está en el dominio de la variable, el conjunto solución es CS = R − {1} 3.

x +1 x −1 4x − = 2 x −1 x +1 x −1 ( x + 1) 2 − ( x − 1) 2 4x = 2 2 x −1 x −1 4x = 4x 0 = 0 (verdadero)

Es una identidad La ecuación es verdadera para todo número real, a excepción de x = 1 y x = −1 Puesto que x = 1 y x = −1 no está en el dominio de la variable, el conjunto solución es

CS = R − {− 1,1}

C. Ecuación inconsistente No tiene solución real. También se dice que su conjunto solución no tiene elementos. Ejemplos 1. 2(3x + 4) = 9 x + 3 − 3x

4


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

8 = 3 ( falso, absurdo) Es una contradicción

CS = φ x 2x − 1 2. +3= x −1 x −1 x =1

Es una contradicción puesto que x = 1 no satisface la ecuación. No hay número real que satisfaga la ecuación. Luego, CS = { } Ejercicios 01: Ecuaciones lineales con una variable Resolver las siguientes ecuaciones lineales 1. 4( 2 − 3x ) = −[6 x − (8 − 3x )] 2. 2 + 2( x − 5) = −2 x − 3(4 − 2 x ) 3. 4[x − (5x − 2)] = 2( x − 3) − 3x + 1

4. − [4 − (3x − 5) + 2 x ] = −3( x − 2) − 4

5. 6 − {4[x − (3x − 4) − x ] + 4} = 2( x − 3) 6. 14 + 2 x = −2[4( x + 2) − 3( x − 1)]

7. 3{[( x − 2) + 4 x ] − ( x − 3) − 2} = 4 − ( x − 12) 8. 2 + ( 2 y + 7) = −[2 y − (5 y + 2) ]

9. − (3 − x ) = 5 − {6 x − [2 x − (3x − (5x − 8))]} 10. 1 − ( 2 − 5 y) − y = −(9 − 3y) − (4 − 2 y)

3 3x 4 (3x − 4) = − ( x − 1) 10 5 5 x − 3 2x − 1 5 − x − = 4 3 6 1 1 1 1 − + = 2 x 5 4 10 x 5 − x x −1 x − 2 x − 3 = − − 5 2 3 4 5 6 x + 1 11x − 2 1 (6 x + 1) = − (5x − 2) − 6 3 9 4 1 2x + 3 1 1 − 4x (1 − 4 x ) + − ( x − 3) = 3 6 2 4 20 + x 1 x 2 1 5x = (2 − ) − + (10 − ) 4 3 2 3 4 3 2 x + 3 3x − 4 x − 2 + = 3 6 2 x 3 5 ( x − ) − (3x − ) = ( x + 3)( x − 3) − x 2 − 5 4 4 5x 5 1 x − =− − 6 2 2 6 2 + x 11 1 1 + = 9x − 2 − 7 x ( − ) 4 4 x 2

11. 2 − 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21.

5


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

2x 8x 2 + 12 2x + = 2 2x + 3 4x − 9 3 − 2x x2 + 9 x 3 − = 23. 2 x −9 x −3 x +3

22.

Determinar si la ecuación es condicional, una identidad o una contradicción. Hallar el conjunto solución. 41. 2 x − 6 = 4( x − 2) − 2x 42. x + 3 = 3x + 4 − 2 x − 1 43. 3( x − 4) + 9 = −2 x + 5x + 5 44. 7 m − 11 = 3m − 5( m − 4) + 5 45. − 2( 2 y − 3) + 4 = −6 y + 2 y − 11 46. − 11k + 4(k − 3) + 6k = 4k − 12 47. 2 x − 6 = −2 x + 4( x − 2) + 2 48. 2(10 − 3y) + 8 y = 4[6 − (1 + 2 y) ] + 10 y

49. y( y + 2) + 1 = y 2 + 2 y + 1 50. x ( x − 3) = x 2 − 2 x + 1 − (5 + x )

51. Despeja la variable indicada de cada formula. a) V =

1 Bh ; B 3

d) S = a + (n − 1)d ; n

5 (F − 32) ; F 9 9 j) F = C + 32 ; C 5 1 m) h = gt 2 + vt ; g 2 g) C =

b) p = 2 v + 2 w ; w

kmM ; m d2 n (a + p ) h) S = ; p 2 1 1 1 k) = + ; r2 R r1 r2 Ft n) m = ; v2 v1 − v 2 P P q) 1 = 2 ; T2 T1 T2 e) F =

a − pr ; p 1− r Q + QC s) E = H ; QH t) A = P + Pr t ; r QH x−2 4−x v) y = ; x w) y = ; x x+4 x−2 y) xm1 + xm 2 + xm 3 = m1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 ; m1 p) S =

6

c) A =

1 h ( B + b) ; b 2

f) S = a + (n − 1)d ; d i) S = 2π r h + 2π r 2 ; h l)

1 1 1 = + ; f f d1 d 2

o) A = P(1 + rt ) ; t r) R T =

R1 + R 2 ; R1 2

u) at 2 − at 1 + v1 = v 2 ; a

1 3 1 x + xy = (2 x − y) ; y 2 4 3 z) A = 2HW + 2LW + 2LH ; H x)


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Aplicación de las ecuaciones lineales con una variable Uno de los usos más importantes del álgebra es su aplicación a la resolución de problemas en las diferentes áreas del conocimiento. En la mayoría de los casos, para resolver problemas prácticos deben traducirse las relaciones establecidas o proposiciones verbales a símbolos matemáticos. Esto es conocido como MODELACIÓN. Veamos los siguientes problemas. 1. Costo de un producto. El costo para producir un par de zapatos es de S / .58 y depende de la materia prima y de la mano de obra. Si el costo de la materia prima es el triple del costo de la mano de obra, ¿cuál es el costo de la materia prima y de la mano de obra? Solución Sea

x = costo de la mano de obra 3x = costo de la materia prima

Escribiendo la ecuación se tiene :

x + 3 x = 58 Resolviendo obtenemos

x = 14,5

Respuesta : La mano de obra cuesta S/. 14,5 y la materia prima cuesta S/. 43,5 2. Número de billetes. Carlos Gamonal cobró en el Banco de Crédito S / 2 050 depositados en su cuenta. Recibió 25 billetes de diez dólares más que billetes de veinte dólares. ¿Cuántos billetes de cada denominación tiene? Solución Sea

x = número de billetes de veinte dólares x + 25 = número de billetes de diez dólares

Al multiplicar el número de billetes por la denominación se obtiene el valor monetario. El valor de los de a veinte, sumado al valor de los de a diez, debe ser S / 2 050 . Escribiendo la ecuación se tiene :

20 x + 10(x + 25) = 2 050

Resolviendo obtenemos

x = 60

Respuesta : Carlos tiene 60 billetes de $ 20 y 85 billetes de $ 10 . 3. Determinación de un salario por hora. Un trabajador que recibe el doble por cada hora extra que trabaja después de 40 horas, tuvo un salario total semanal de S/. 840 por 48 horas de trabajo. ¿Cuál es el salario regular por hora? Solución Sea

x = el salario regular por hora del obrero 2 x = el salario que recibe por trabajar una hora extra 40 x = dinero que recibe por trabajar 40 horas 8(2 x ) = dinero que recibe por trabajar 8 horas extras 7


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Escribiendo la ecuación se tiene :

40 x + 8(2 x ) = 840 Resolviendo se tiene x = 15 Respuesta: El salario regular por hora del obrero es S / 15

4. Inversión. Silvia Palomino recibe una herencia. Invierte parte de ésta herencia al 9% y $ 2 000 más que ésta cantidad al 10% . El interés total al final de 1 año fue de $ 1150 . ¿Cuánto fue invertido a cada tasa? Solución Sea

x = la cantidad invertida al 9% ( en dólares) x + 2 000 = la cantidad invertida al 10% ( en dólares)

Multiplicamos la cantidad de dinero por la tasa para obtener el interés generado. Como la suma de los intereses es $ 1150 , la ecuación es :

9 10 x + ( x + 2 000 ) = 1150 100 100 Resolviendo se obtiene

x = 5 000

Respuesta : Silvia a invertido $5 000 al 9% y $7 000 al 10% 5. Problema de mezcla. Ruben Azalde es un profesor de Química en la USAT, y necesita mezclar 20 litros de una solución de ácido al 40% con una solución al 70% , para obtener una mezcla que sea 50% de ácido. ¿ Cuántos litros de la solución al 70% debe usar? ( nota : la cantidad de ácido puro en esta solución estará dado por el porcentaje de concentración y el número de litros de la solución ) Solución Sea

x = el número de litros de la solución al 70% que necesita

70 x = litros de ácido puro en x litros de la solución al 70% 100 La cantidad de ácido puro en 20 litros de la solución al 40% es

40 ( 20 ) = 8 = litros de ácido puro en la solución al 40% 100 La nueva solución contendrá ( 20 + x ) litros de la solución al 50% . La cantidad de ácido puro en esta solución es

50 ( 20 + x ) = litros de ácido puro en la solución al 50% 100 Escribiendo la ecuación se tiene :

70 40 50 x + ( 20 ) = ( 20 + x ) 100 100 100 Resolviendo obtenemos

x = 10

Respuesta : El profesor Ruben necesita 10 litros de la solución al 70% .

8


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

6. Utilidad. Una Empresa elabora conservas y el costo variable por unidad es de S / 6 y el costo fijo de S / 80 000 , cada unidad tiene un precio de venta de S / 10 . Determine el número de unidades que deben venderse para obtener una utilidad de S / 60 000 . Solución

x = 6x = 80 000 = 6 x + 80 000 = 10 x =

Sea

el número de unidades que deben ser vendidas el costo variable el costo fijo el costo total el ingreso total Sabemos que : Utilidad = ingreso total - costo total Nuestra ecuación o modelo para este problema es :

60 000 = 10 x - ( 6 x + 80 000 ) x = 35 000

Resolviendo se obtiene

Respuesta : Se deben vender 35 000 unidades para obtener una ganancia de S / 60 000 . Observación Para la solución de algunos problemas es necesario conocer algunos términos que se usan en los negocios como los siguientes: - C nuevos soles colocados a una tasa del r % producen un interés I .

I = C.

r 100

- El ingreso R , obtenido al vender x artículos a p nuevos soles es R = x . p También Ingreso total = ( precio por unidad) ( número de unidades vendidas). - El costo total es igual al costo fijo más el costo variable : C = CF + CV Donde el costo variable depende del número de artículos que se produzcan ( mano de obra, materia prima, etc. ), mientras que los costos fijos permanecen constantes, independientes de las unidades producidas ( renta, seguros, salario básico, etc. ) - Se define la utilidad, como la diferencia entre los ingresos totales recibidos R , y los costos totales causados C .

U = R −C - Punto de equilibrio es un nivel de producción de una empresa donde la utilidad es cero. Esto se da cuando ingreso total = costo total.

U = R −C =0

- Precio de venta = Costo total + utilidad - Precio al menudeo = Precio al mayoreo + utilidad Problemas 01: Ecuaciones lineales con una variable 1. Inversión. Sandra heredó cierta cantidad de dinero de su padre. Depositó parte del dinero en una cuenta de ahorros que paga 2% y $3 000 más que esa cantidad en una cuenta diferente que paga 3% . Su ingreso anual por intereses fue de $740 . ¿Cuánto invirtió a cada tasa? R. $13 000 al 2% y $16 000 al 3% 2. Inversión. Jaime invirtió parte de su dinero al 3% y S / 4 000 menos que esa cantidad al 5% . Las dos inversiones produjeron un total de S / 200 de interés en un año. ¿Cuánto se invirtió a cada tasa? R. S/5 000 al 3% y S/1 000 al 5%

9


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

3. Banca. El Banco de crédito prestó $12 000 , parte a una tasa del 8% anual y el resto al 12% anual. Si el interés recibido totalizó $1 000 , ¿cuánto fue prestado al 8% anual? R. $ 11 000 4. Cálculo de un salario por hora. Un trabajador que recibe tarifa y media por cada hora extra que trabaja después de 40 horas, tuvo un salario total semanal de S / 832 por 48 horas de trabajo. ¿Cuál es el salario regular por hora? R. S/.16 5. Cálculo de un salario por hora. A Carmen se le pagó tarifa y media por cada hora trabajada después de 40 horas y el doble por las horas trabajadas en domingo. Si Carmen recibió un sueldo semanal de S / 570 por trabajar 50 horas, 4 de las cuales fueron en domingo,¿cuál es el salario regular por hora de carmen? R. S/ 10 6. Cálculo de calificaciones. Carlos obtuvo calificaciones en los exámenes parciales de 18, 08, 13 y 15 . Se va ha presentar al último examen. ¿Cuánto necesita obtener para alcanzar un promedio de 14 ? R. 16 7. Cálculo de calificaciones. Daniel obtuvo calificaciones en los exámenes parciales de 10, 15, 16 y 15 . ¿Qué necesita para merecer una calificación promedio de 15 ? R. 19 8. Negocios. Una librería escolar fija los precios de venta aumentando el precio que le paga al editor en un 25% . Si el precio de venta de un libro es de S / 50 , ¿cuánto pago la librería por el libro? R. La librería pagó S/ 40 9. Negocios. Nelly vende naranjas a S / 8 el kilogramo, y las mandarinas las vende a S / 10 el kilogramo. ¿Cuántos kilogramos de cada artículo debe mezclar para obtener una mezcla de 30 kilogramos que cueste S / 9 el kilogramo? R. 15 kg. 10. Precios. El costo de un producto al menudeo es de $3,40 . Si se desea obtener una ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe venderse el producto? R. $4,25 11. Precio. Carmen es trabajadora directa de UNIQUE. La colonia SOLO lo adquiere a un costo de S / 80 . Si desea obtener una ganancia del 20% sobre el precio de venta, ¿a qué precio debe vender la colonia? R. S/ 100 12. Ventas. La directiva de una compañía quiere saber cuántas unidades de su producto necesita vender para obtener una utilidad de $500 000 . Está disponible la siguiente información: precio de venta por unidad, $20 ; costo variable por unidad, $15 ; costo fijo total, $300 000 . A partir de estos datos determine las unidades que deben ser vendidas. R. 16 000 unidades 13. Ventas. En un almacén de calzado hay 500 pares de zapatos de dos marcas diferentes, cuyos precios son de S / 120 y S / 150 . La venta de los 500 pares produjo ingresos de S / 64 500 . ¿Cuántos pares de zapatos de cada marca se vendieron? R. Zapatos vendidos a S/ 120 son 350 pares y los vendidos a S/150 son 150 pares. 14. Costo total. Una fabrica de camisas paga S / 70 000 de arriendo por el local donde confecciona y vende sus camisas. El costo del material es la mitad de la mano de obra. ¿Cuánto paga por mano de obra y cuánto por material para que los costos totales sean de S / 250 000 ? R. mano de obra S/120 000 y materia prima S/60 000. 15. Costo de un artículo. Un fabricante produce semanalmente 150 artículos que vende al doble del costo menos S / 50 . ¿Cuánto es el costo de producir cada artículo, si sus utilidades son de S / 18 000 . R. S/170 es el costo de producir un artículo. 16. Punto de equilibrio. Un empresa elabora panetones y los vende cada uno a S / 20 . El costo de elaboración para cada panteón es S / 15 . Los costos fijos mensuales son de S / 4 000 . ¿Cuántos panteones deben venderse para llegar al punto de equilibrio (esto es, que el ingreso total sea igual al costo total)? R. 800 19. Precio de oferta. El precio de una camisa reducido en un 25% es de S / 60 . Encuentre el precio normal de la camisa. R. S/. 80

10


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

17. Precio de oferta. SISCOM es una Tienda de computadoras y redujo el precio de una computadora en un 15% . ¿Cuál es el precio original de la computadora si el precio de oferta es de S / 1 275 . R. S/1500 18. Problema de herencia. La señora Carla debía repartirse con el hijo que debía nacer, una herencia de S / 35 000 que le dejó su marido al morir. Si nacía un niño ella recibiría la mitad de la parte del hijo. Si nacía una niña, la madre recibiría el doble que la hija. La Afortunada madre, en el parto tuvo mellizos; un niño y una niña.¿Cuánto le tocó de herencia a Carla? R. S/ 10 000 1.2. ECUACIONES CUADRÁTICAS CON UNA VARIABLE. APLICACIONES Estas ecuaciones tienen la forma general :

a x2 + b x + c = 0 ,

a ≠ 0 , a , b , c∈R

Una raíz de la ecuación a x 2 + b x + c = 0 , conjunto solución de la ecuación.

( a ≠ 0 ) es un elemento cualquiera del

Métodos de solución A. Por factorización Sea la ecuación : a x2 + b x + c Supongamos que su factorización sea:

= 0 , donde a ≠ 0 , a , b , c ∈ R

( px + r ) ( qx + s ) = 0 Donde:

( px) ( qx) = ax 2 r .s = c ( px ) (s) + ( qx ) (r) = bx Luego: px + r = 0 ∨ qx + s = 0 r s ∨ x=− x=− p q  r s Conjunto solución: CS = − , −  q  p Ejemplos: 1. Resolver :

x 2 − 2x − 3 = 0

factorizando

x − 2x − 3 = 0 x −3 x 1 ( x − 3)( x + 1) = 0

Solución 2

Luego, el conjunto solución: 2. Resolver :

↔ x −3 = 0 ∨ ↔ x =3 ∨ CS = {− 1 , 3}

2x 2 + 7 x − 4 = 0 Solución

2x + 7 x − 4 = 0 2

11

x +1 = 0 x = −1


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

factorizando

2x −1 x 4 (2 x − 1)( x + 4) = 0

Luego, el conjunto solución:

2x − 1 = 0 ∨ 1 ↔ x= ∨ 2 1  CS = − 4 ,  2 

x+4=0

x = −4

B. Por fórmula general

a x 2 + b x + c = 0 , donde a ≠ 0 , a , b , c ∈ R

Sea la ecuación :

La fórmula general que permite obtener las raíces de la ecuación es:

x=

− b ± b 2 − 4ac 2a

A la expresión ∆ = b 2 − 4 a c se le denomina El DISCRIMINANTE Analizando el discriminante se tiene : a) Si ∆ > 0 , entonces la ecuación tendrá 2 raíces reales y diferentes. b) Si ∆ = 0 , entonces la ecuación tendrá 2 raíces reales e iguales. c) Si ∆ < 0 , entonces la ecuación tendrá 2 raíces complejas y conjugadas. Ejemplos: 1. Resolver : x 2 − 6 x + 4 = 0 Solución

x 2 − 6x + 4 = 0 Donde a = 1 , b = −6 y c = 4 Reemplazando en la fórmula general se tiene

x=

− (−6) ± (−6) 2 − 4(1)(4) 6 ± 20 = 2(1) 2

Efectuando las operaciones indicadas obtenemos las raíces de la ecuación

6 ±2 5 2 Las raíces son: x 1 = 3 + 5 y x =

Luego, el conjunto solución es: 2. Resolver :

x2 = 3 − 5

{

CS = 3 − 5 ,3 + 5

4 x 2 − 12 x + 9 Solución

4 x 2 − 12 x + 9

12

}


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Donde a = 4 , b = −12 y c = 9 Reemplazando en la fórmula general se tiene

x=

− (−12) ± (−12) 2 − 4(4)(9) 2( 4)

Efectuando las operaciones indicadas obtenemos las raíces de la ecuación

x=

12 ± 144 − 144 12 ± 0 = 8 8

Las raíces son : x1 = x 2 = x =

3 2

Luego, el conjunto solución es:

3 CS =   2

. Existe una sola raíz ( raíz doble )

3. Resolver : 3 x 2 + 2x + 2 = 0 Solución

3 x 2 + 2x + 2 = 0 Donde a = 3 , b = 2 y c = 2 Reemplazando en la fórmula general se tiene

x=

− 2 ± (−2) 2 − 4(3)(2) 2(3)

Efectuando las operaciones indicadas obtenemos las raíces de la ecuación

x=

− 2 ± 4 − 4(3)(2) − 2 ± − 20 − 2 ± 2 − 5 = = 6 6 6

Las raíces son: x 1 =

−1+ 5 i 3

y x2 =

−1− 5 i 3

La ecuación no tiene solución en el conjunto de los números reales, pues tiene 2 raíces complejas. Luego, el conjunto solución es: CS = { } C. Completando cuadrados Sea la ecuación : a x2 + b x + c Dividiendo la ecuación por a se tiene

= 0 ,

a ≠ 0 , a , b , c∈R

b c x + = 0 a a Agregamos la mitad del coeficiente de x elevado al cuadrado, y restamos lo mismo x2 +

b b x 2 + x + ( )2 a 2424 a3 144

− (

b 2 c ) + =0 2a a

Trinomio cuadrado perfecto

13


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Los tres primeros términos siempre representan un trinomio cuadrado perfecto

(x +

b 2 b c ) = ( )2 − 2a 2a a

Efectuando las operaciones necesarias para hallar las raíces de la ecuación se tiene

b 2 b2 c ) = 2 − 2a a 4a b 2 b 2 − 4ac (x + ) = 2a 4a 2 b b 2 − 4ac (x + ) = ± 2a 4a 2 (x +

x+

b b 2 − 4ac =± 2a 2a

b b 2 − 4ac ± 2a 2a 2 − b ± b − 4ac x= 2a

x=−

Esta última expresión es la fórmula general, que mencionamos en el método anterior, lo que significa que la fórmula general se origina al completar cuadrados en una ecuación cuadrática con una variable. Luego, las raíces de la ecuación son :

x1 =

− b + b 2 − 4ac 2a

x2 =

y

− b − b 2 − 4ac 2a

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación cuadrática

Sea la ecuación : a x2 + b x + c Donde a ≠ 0 y a , b , c ∈ R Dividiendo la ecuación por a se tiene

x2 +

b c x + a a

= 0 ………………………….. ( α )

= 0

.................................... ( β )

Si x 1 y x 2 son raíces ( iguales o diferentes ) de las ecuaciones equivalentes ( α y β ) mencionadas , se cumplen las siguientes relaciones o propiedades : R1)

Suma : S = x 1 + x 2 = −

b a

R 2 ) Producto : P = x 1 . x 2 =

c a

R 3 ) Diferencia : D = x 1 − x 2 =

b 2 − 4ac a 14


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Donde: x 1 =

− b + b 2 − 4ac 2a

y

x2 =

− b − b 2 − 4ac 2a

Observamos que la suma de las raíces es igual al coeficiente de x con signo diferente y el producto de las raíces es igual al término constante de la ecuación ( β ) . Luego la ecuación x 2 − Sx + P = 0 es de mucha utilidad para formar ecuaciones cuadráticas, conociendo sus raíces. Ejemplos: 1. Hallar la ecuación cuadrática cuyas raíces son: 3 + 2 Solución Hallamos x 1 + x 2 = 3 + 2 + 3 − 2 = 6

y 3− 2

x 1 .x 2 = (3 + 2 )(3 − 2 ) = 7 Luego la ecuación buscada es: x 2 − 6 x + 7 = 0 2. Si r y s son raíces de la ecuación x 2 − bx + c = 0 hallar : a) r 2 + s 2 b) r 3 + s 3 Solución a) r 2 + s 2 = ( r + s) 2 − 2rs = b 2 − 2c b) r 3 + s 3 = ( r + s ) 3 − 3rs(r + s) = b 3 − 3c( b) = b(b 2 − 3c) 3. Hallar el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación 2kx 2 − (12k + 1) x + 12 = 0 , sea 7 . Solución La ecuación 2kx 2 − (12k + 1) x + 12 = 0 la escribimos como:

(12k + 1) 12 + =0 2k 2k Si x 1 y x 2 son raíces de la ecuación se cumple 12k + 1 =7 x1 + x 2 = 2k 12k + 1 1 Resolviendo = 7 se obtiene k = 2k 2 x2 −

3. Hallar el valor de k para que el producto de la raíces de la ecuación (k − 2) x 2 − 5x + 2k = 0 , sea 6 . Solución La ecuación (k − 2) x 2 − 5x + 2k = 0 , la escribimos como

5 2k )x + =0 k−2 k−2 Si x 1 y x 2 son raíces de la ecuación se cumple 2k x 1 .x 2 = =6 k−2 x2 − (

15


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Resolviendo

2k = 6 obtenemos k = 3 k−2

Ejercicios 02: Ecuaciones cuadráticas con una variable 1. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones a) x 2 + 2 x − 3 = 0 f) 1 − 2 x − 4 x 2 = 0 b) x 2 − 4 x + 3 = 0 c) 2 x 2 + 3x − 2 = 0 d) 6 x 2 − 5x − 4 = 0 e)

1 2 x − 12 = 0 3

3 x −3 + =2 x−4 x 2 6 h) − =5 x − 1 2x + 1 x 6 i) = −1 3 x 2 3 j) 2 + − 2 = 0 x x g)

2. Hallar el conjunto solución de las siguientes ecuaciones 2

3 12  a)  x −  − 4 x + = 12 x x  6 6 b) ( x + 1 + )( x − 1 + ) = 24 x x

e) x 6 + 7 x 3 − 8 = 0 f) x 8 − 17 x 4 + 16 = 0 2

c) x + x = 7 x + x + 2 − 12 2

d) 2( x +

2

1 2 1 ) − 7( x + ) + 5 = 0 x x

14x  2x  g)  = 30  −  x −1 x −1 2 x 6− x 5 h) + = 2 6− x 2 x

Relación entre raíces y coeficientes de una ecuación de segundo grado 3. En la ecuación 4kx 2 − ( 20k + 3) x + 15 = 0 ,hallar el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación sea 8 , k ≠ 0 . 4. En la ecuación ( 2 + k ) x 2 + (2k − 3) x + 6 = 0 ,hallar el valor de k para que la suma de las raíces de la ecuación sea 5 , k ≠ 0 . R. k = −1 2 5. Dada la ecuación ( k − 1) x − 5x + 2k = 0 ,hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación sea 4 . 6. Dada la ecuación (5 + k ) x 2 + 7 x + k − 1 = 0 ,hallar el valor de k para que el producto de las raíces de la ecuación sea − 2 . R. k = −3

Aplicación de las ecuaciones cuadráticas Algunos problemas nos conducen a resolver ecuaciones cuadráticas. A continuación veamos algunos de ellos. 1. Ancho de una vereda. Un terreno rectangular es de 4 x 8 metros es usado como jardín. Se decide poner una vereda de ancho uniforme en toda la orilla interior de modo que 12m 2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda?

16


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

Solución

x = el ancho de la vereda 8 − 2 x = el largo del jardín para flores 4 − 2 x = el ancho del jardín para flores

Sea

Escribiendo la ecuación y resolviendo se tiene:

(8 − 2x )(4 − 2 x ) = 12 x 2 − 6x + 5 = 0 ( x − 5)( x − 1) = 0 x = 5 ∨ x =1 Respuesta: El ancho de la vereda debe ser de 1 m. 2. Ampliación de una foto. Un fotógrafo profesional tiene una foto de 5 x 7 centímetros. Desea ampliar la foto la misma cantidad cada lado, de modo que la foto resultante tenga un área de 80 cm 2 .¿En cuanto tiene que aumentar la longitud de cada lado? Solución

x = aumento de la longitud de cada lado de la foto 5 + 2 x = ancho de la foto ampliada 7 + 2 x = largo de la foto ampliada

Sea

Escribiendo la ecuación y resolviendo se tiene:

(5 + 2 x )(7 + 2x ) = 80 4 x 2 + 24 x − 45 = 0 (2 x − 3)(2 x + 15) = 0 3 15 x= ∨ x=− 2 2 Respuesta: Tiene que aumentar 1,5 m. a cada lado.

Problemas 02: Ecuaciones cuadráticas con una variable 01. Construcción de una caja. Una caja sin tapa será construida de una hoja de metal cuadrada, a la cual se le quitará de cada esquina un cuadrado de 1 centímetro por lado, y se doblará hacia arriba los lados. Si la caja tendrá capacidad para 4 centímetros cúbicos, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja metálica? R. 4 cm. de lado 02. Construcción de una caja. Una caja sin tapa será construida de una hoja de metal rectangular cuya longitud es el doble que su anchura, a la cual se le quitará de cada esquina un cuadrado de 1 centímetro por lado, y se doblará hacia arriba los lados. Si la caja tendrá capacidad para 4 centímetros cúbicos, ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja metálica? R. 6x3m. 3. Dimensiones de una alfombra. Carlos quiere comprar una alfombra para un cuarto que mide 12m. por 15m. Quiere tener una franja uniforme de piso alrededor de la alfombra. Sólo puede comprar 108m 2 de alfombra. ¿Qué dimensiones debe tener la alfombra? R. 12x9m. 4. Problema de cálculo. De cada esquina de una hoja metálica cuadrada, se corta un cuadrado de 9cm. por lado. Se doblan los lados para construir una caja sin tapa. Si la caja debe contener 144cm 3 , ¿cuáles deben ser las dimensiones de la hoja metálica?

17


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

R. 22 cm. de lado 5. Problema de cálculo. Una pieza de alambre de 8m. de longitud será cortada en dos partes y cada parte se doblará para formar un cuadrado. ¿En dónde debe cortarse el alambre si la suma de las áreas de los cuadrados debe ser de 2m 2 ? R. a 4m. 6. Distribución de dinero. Hay que repartir S / 60 000 entre cierto número de amigos presentes en una reunión, de manera exacta entre ellos. Alguien nota que si hubieran dos amigos menos, a cada uno le tocaría S / 2 500 . ¿Cuántos son los amigos presentes y cuánto le toca a cada uno? R. 8 amigos, le toca a cada uno S/ 7 500 7. Ancho de un pasillo. La piscina de un centro deportivo tiene 15 metros de ancho por 20 metros de largo. Los miembros del club desean agregar un pasillo de ancho uniforme alrededor de la piscina. Tienen suficiente material para 74 metros cuadrados. ¿Que tan ancho puede ser este pasillo? R. 1m. 8. Ampliación de una foto. Jhon Williams es un fotógrafo profesional y tiene una foto de 6 por 8 pulgadas. Desea ampliar la foto la misma cantidad cada lado, de modo que la foto resultante tenga un área de 120 pulgadas cuadradas. ¿En cuanto tiene que aumentar la longitud de cada lado? R. 2 pulgadas 9. Ancho de una vereda. Un terreno rectangular de 4 x 8 m. es usado como jardín. Se decide poner una vereda de ancho uniforme en toda la orilla interior de modo que 12 m 2 del terreno se dejen para flores. ¿Cuál debe ser el ancho de la vereda? R. 1m. 10. Páginas de un libro. Un libro se abre al azar por cualquier sitio. El producto (la multiplicación) de los números de las páginas observadas es 3 192. ¿En qué número de páginas se abrió el libro? R. 56 y 57

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE DOS Y TRES VARIABLES Resolver 1.

3x + 4 y = 2 2x − 5y = 3

2.

x+y+z =3 3. 2 x − 3y + 4z = 1

x + 2y − z = 3 4.

3x + 2 y + 5z = 8

5.

5 x −3 y = 3 25x − 9 y = 81

7.

x + z + w = 18 y + z + w = 20

3 y + 4z = 5 2 x − y + 3z = 9

3

6.

x + y + z = 15 x + y + w = 16

5 x + 3y + y =1 3 5x − 3y 1 +x = 4 5

x + y + 2 − 2x − 3y − 7 = −3

2 3 x + y + 2 + 3 2 x − 3y − 7 = 14 5xy = 12( x + y)

8.

5zy = 18( y + z ) 13xz = 36( x + z)

18


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 2 VARIABLES PROBLEMA 01.- Una Tienda anuncia la venta de dos tipos de teléfonos inalámbricos, uno que cuesta S/. 150 y el otro que cuesta S/. 200. Si las ventas de 50 teléfonos totalizaron S/. 9 000 , ¿cuántos teléfonos de cada tipo se vendieron? PROBLEMA 02.- Roberto compró 5 camisas del mismo valor y 4 pares de calcetines del mismo valor por S/. 332 . Más tarde, regresó a la misma tienda y compró ( a los mismos precios) 2 camisas y 6 pares de calcetines por S/. 168 . ¿Cuál fue el precio de cada prenda? PROBLEMA 03.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones :

4 1 17 + = x -1 y+2 4 3 2 5 − = x -1 y+2 2 PROBLEMA 04.- Un boleto del cine para un adulto cuesta S/. 7 y para un niño cuesta S/. 5. Para un espectáculo se venden un total de 120 boletos. Si se recaudaron S/. 680 en total para un espectáculo, ¿cuántos adultos y cuántos niños asistieron al espectáculo? SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES DE 3 VARIABLES PROBLEMA 01.- El miércoles, un negociante de aparatos electrodomésticos vendió 3 televisores, 4 refrigeradores y 2 lavadoras por un total de S/. 7 400. El jueves, vendió 2 televisores, 5 refrigeradores y 1 lavadora por un total de S/. 7 500. El viernes, vendió 4 televisores y 2 refrigeradores por S/. 4 000.. Si no hubo cambios de precios para televisores, refrigeradores y lavadoras en esos días, cuál era el precio de cada aparato electrodoméstico? PROBLEMA 02.- La suma de tres números es 4. El primero, más dos veces el segundo, más el tercero, es 1. Tres veces el primero, más el segundo, menos el tercero, es -2 .¿Cuáles son estos tres números? PROBLEMA 03.- Resolver el siguiente sistema de ecuaciones :

1 2 1 - =2 x y z 2 1 1 + =7 x y z 3 2 1 + + =2 x y z PROBLEMA 04.- Un artista hace tres tipos de estatuas de cerámica, con un costo mensual de $ 650 por 180 estatuas. Los costos de fabricación de los tres tipos son $ 5, $ 4 y $ 3, respectivamente. Si vende sus estatuas a $ 20, $ 12 y $ 9, respectivamente, ¿cuántas de cada tipo debe fabricar para obtener $ 2 100 de ingresos mensuales? PROBLEMA 05.- Un fabricante de ropa produce sacos, camisas y pantalones. En la tabla siguiente vemos el tiempo necesario para cortar, coser y empacar cada prenda. ¿Cuántas prendas de cada una debe producir para llenar todas las horas disponibles de trabajo? Sacos Camisas Pantalones Tiempo disponible Corte 20 minutos 15 minutos 10 minutos 115 horas Costura 60 minutos 30 minutos 24 minutos 280 horas Empaque 5 minutos 12 minutos 6 minutos 65 horas

19


VII PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA INDUSTRIAL VI PROGRAMA DE PROFESIONALIZACIÓN INGENIERÍA DE SISTEMAS Y COMPUTACIÓN

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Miller, Ch.; Heeren, V. y Hornsby, E. (1999). Matemática: Razonamiento y aplicaciones (8ª ed.). México: Pearson Educación. - Haeussler, E. y Paul, R. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida (8ª ed.). México: Prentice Hall Hispanoamericana. - Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía (7ª ed.).México: Pearson Educación. - Allendoerfer, C. y Oakley, C. (1990). Matemáticas universitarias (4ª ed.). Bogota: McGraw – Hill. - Sullivan, M. (1997). Precálculo (4ª ed.). México: Pearson Educación. - Allen, A. (1997). Álgebra intermedia (4ª ed.). México: Pearson Educación. - Budnick, F. (1992). Matemáticas aplicadas para administración, economía y ciencias sociales (3ª ed.). México: McGraw – Hill. - Johnson, L. y Steffensen, A. (2004). Álgebra y trigonometría con aplicaciones (2ª Reimpresión). México: Editorial Trillas. - Gustafson, D.(2003). Álgebra intermedia. México: International Thomson Editores. - Soler, F.; Nuñez, R. y Aranda, M. (2003). Fundamentos de cálculo con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas (2ª ed.). Bogota: ECOE ediciones. - Barnett, R. (1984). Álgebra (2ª ed.). México: McGraw – Hill - Zill, D. y Dejar, J. (2000). Álgebra y trigonometría (2ª ed.). Bogota: McGraw – Hill.

20


ECUACIONES LINEALES Y CUADRATICAS  

Apuntes de ecuaciones lineales y cuadráticas.

Advertisement
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you