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ECUACIONES DIFERENCIALES 1.1.
INTRODUCCIÓN
El descubrimiento independiente del cálculo por Newton y Leibnitz, en el siglo XVIII, sentó las bases para el desarrollo de las matemáticas, ciencias y la ingeniería. Uno de tales avances corresponde a la rama que las matemáticas denominan ecuaciones diferenciales. Muchos problemas de matemáticas aplicadas, usan ecuaciones diferenciales ordinarias (Ordinary Differential Equation). En el caso más simple, una función diferencial y = y( x ) donde
x es una variable real, con derivada y' ( x ) satisface una ecuación de la forma : y' = f ( x , y) Existe un problema de valor inicial o IVP ( Inicial Value Problem) en la solución de y' = f ( x , y) para los valores ( x 0 , y 0 ) que satisfacen la condición inicial de la forma:
y( x 0 ) = y 0 para un infinito números de funciones diferentes y, que son solución de y' = f ( x , y) Los ingenieros y científicos, frecuentemente hacen uso de las ecuaciones diferenciales para modelar los efectos del cambio, movimiento y crecimiento. Por ejemplo, ecuaciones diferenciales que predicen la dinámica poblacional, propagación de una innovación tecnológica, el movimiento de recursos en un mercado financiero, entre otros. 1.2.
DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Y CONCEPTOS FUNDAMENTALES
Una ecuación diferencial (E.D) es aquella que relaciona la variable independiente x , la variable dependiente y = y( x ) a la cual llamamos función incógnita y al menos una de sus derivadas;
y' , y' ' ,..., y ( n ) , es decir es una ecuación de la forma: F( x , y, y' , y' ' ,..., y ( n ) ) = 0 o lo que es equivalente a:
F( x , y,
dy d 2 y dn y , 2 ,..., n ) = 0 dx dx dx
Si la función incógnita y = y( x ) depende de una sola variable independiente x , la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial ordinaria La forma general de una ecuación de primer orden es:
F( x , y, y' ) = 0
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Otra definición Una ecuación diferencial es una ecuación que contiene derivadas de una función desconocida de una o más variables. Por ejemplo: 1. En la E.D. y'−2 x = 0 , la incógnita es la función y = f ( x ) ó y = y( x ) 2. En la E.D.
ds 4s , la incógnita es la función s = f ( p) ó s = s( p) = dp p − 3
3. En la E.D.
∂z ∂z − = z , la incógnita es la función z = f ( x , y) ó z = z( x , y) ∂x ∂y
Clasificación de las ecuaciones diferenciales Las ecuaciones diferenciales se clasifican en : ecuaciones diferenciales ordinarias y en ecuaciones diferenciales parciales Las ecuaciones diferenciales ordinarias son aquellas que contienen como incógnita funciones con una sola variable independiente Ejemplos: 1.
dy = 5x + 3 la incógnita es y = f ( x ) dx
2.
dy + 2 y = y 2 e − x la incógnita es y = f ( x ) dx 2
3. e y
4.
d2y dy + 2 = 1 la incógnita es y = f ( x ) 2 dx dx
ds − 4s = la incógnita es la función s = f ( p) dp p − 5
Las ecuaciones diferenciales parciales son aquellas que contienen como incógnita una función con dos o mas variables independientes. Ejemplos: 1.
∂z ∂z − = z , la incógnita es la función z = f ( x , y) ∂x ∂y
∂ 2u ∂ 2u 2. + = xy , la incógnita es la función u = g ( x , y) ∂x 2 ∂y 2 3.
∂2y ∂2y − 4 = 0 , la incógnita es la función y = h ( t , x ) ∂t 2 ∂x 2 2
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Orden y grado de una ecuación diferencial El orden de una ecuación diferencial diferencial ( ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. El grado de una ecuación diferencial ( que puede escribirse como un polinomio en la variable desconocida y sus derivadas) es la potencia a la cual está elevada su derivada de mayor orden. Ejemplos: 1.
dy = 5x + 3 dx Ecuación diferencial de orden 1 y 1er grado
2.
dy + 2y = y 2 e −x dx E.D. de orden 1 y 1er grado
3. 5
d3y d2y ( senx ) + + 5xy = 0 dx 3 dx 2
E.D. de orden 3 y 1er grado
d2y dy = 1+ después de racionalizar obtenemos 4. 2 dx dt
2
d2y dy 2 = 1 + dx dt
E.D. de orden 2 y 2do grado 3
5
2
d2y dy 3 dy 5. 2 + 3y + y = 5x dx dx dx E.D. de orden 2 y 3er grado
∂ 2u ∂ 2u 6. + = xy ∂x 2 ∂y 2 E. D. orden 2 y 1er grado 7.
∂2y ∂2y − 4 =0 ∂t 2 ∂x 2 E.D. orden 2 y 1er grado
Solución de una ecuación diferencial Una solución de una ecuación diferencial en la función y desconocida y la variable independiente x en el intervalo I es una función y( x ) ó y = f ( x ) que satisface la ecuación diferencial de manera idéntica para todo x en I .
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Las soluciones de una ecuación diferencial pueden ser: una solución general, solución particular y solución singular. La SOLUCIÓN GENERAL de una ecuación diferencial ordinaria de orden " n" , es una solución que contiene constantes de integración. También decimos que la solución general es una “familia de curvas”. Es decir serán familia de rectas o familias de curvas. La SOLUCIÓN PARTICULAR de una ecuación diferencial ordinaria de orden " n" , es una solución que se obtiene de la solución general dándole valores específicos a las constantes. La SOLUCIÓN SINGULAR es una solución que no está incluida en la solución general; es decir, no se puede obtener a partir de ella asignando valores convenientes a las constantes arbitrarias. Simbólicamente decimos: La relación y = g ( x ) es solución de la ecuación diferencial
F( x , y, y' , y' ' ,..., y ( n ) ) = 0 cuando F( x , g ( x ), g ' ( x ), g ' ' ( x ),..., g ( n ) ( x )) ≡ 0 Idénticamente decimos que la relación z = f ( x , y) es solución de la ecuación diferencial en derivadas parciales de la forma:
F( x , y, z, z x , z y , z xy ,...) = 0 Si F( x , y, f ( x , y), f x ( x , y), f y ( x , y), f xy ( x , y),...) ≡ 0
Teorema de existencia y unicidad Supongamos que las funciones f ( x , y) y
∂ f ( x , y) son continuas en un rectángulo cerrado ∂y
R del plano XY y que ( x 0 , y 0 ) es un punto interior de R . Entonces, el problema de valor inicial ( PVI)
y' = f ( x , y) , y( x 0 ) = y 0 tiene una solución y( x ) en un intervalo x de I que contiene a x 0 ( existencia), pero no más de una solución en R en cualquier intervalo de x que contenga a x 0 ( unicidad)
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1.3.
ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Y PRIMER GRADO
Una ecuación diferencial de primer orden y primer grado es de la forma:
F( x , y, y' ) = 0 También se escribe como:
dy = f ( x , y) ó y' = f ( x , y) dx
…… forma normal o estándar (1)
También como:
M ( x , y)dx + N ( x , y)dy = 0
Donde
…….. forma diferencial
(2)
dy N ( x , y) =− = f ( x , y) dx M ( x , y)
Clasificación de las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado Se clasifican en: 1. Ecuaciones diferenciales de variable separable Se escribe como: M ( x )dx + N ( y)dy = 0
M es función sólo de x y N es función sólo de y Se resuelve integrando cada término
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k 2. Ecuaciones diferenciales homogéneas
y x
x y
Cuando de puede escribir de la forma y' = f ( ) ó y' = f ( ) Se resuelve haciendo la sustitución y = ux , con esta sustitución se convierte en ecuación diferencial de variable separable M ( x )dx + N ( y)dy = 0 3. Ecuaciones diferenciales exactas Son aquellas donde se verifica que:
∂M ( x , y) ∂N ( x , y) = ∂y ∂x
4. Ecuaciones lineales Se pueden escribir de la forma: y'+ p( x ) y = q ( x ) 5. Ecuaciones de Bernoulli Es de la forma: y'+ yp( x ) = y n q ( x ) , n ≠ 0 , n ≠ 1 , n ∈ R Cuando n = 1 ó n = 0 una ecuación de Bernoulli se reduce a una ecuación lineal.
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Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable La ecuación M ( x , y)dx + N ( x , y)dy = 0
ò F( x , y, y' ) = 0
Es una ecuación diferencial ordinaria de variable separable si se puede representar en cualquiera de las formas siguientes:
M ( x )dx + N ( y)dy = 0 También como:
y' =
f (x) g ( y)
,
y' =
g ( y) f (x)
,
y' = f ( x )g ( y) ó g ( y)dy = f ( x )dx
Si se tiene: M ( x )dx + N ( y)dy = 0 La solución general se obtiene por integración directa, así:
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
, donde k : constante de integración
Ejemplos: Halar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales 1.
dy =4 dx
Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
dy =4 dx dy = 4dx dy − 4dx = 0 dy + (−4)dx = 0 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
∫ dy − ∫ 4dx = k ∫ dy − 4∫ dx = k y − 4x = k y = 4 x + k : Solución general ( en forma explícita) Familia de rectas paralelas
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Recta L1 cuando k = −1 , ( y = 4 x − 1) Recta L 2 cuando k = 0 , ( y = 4 x ) Recta L 3 cuando k = 1 , ( y = 4 x + 1) Recta L 4 cuando k = 2
, ( y = 4 x + 2)
etc.
2. y' = −2 x Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
y ' = −2 x dy = −2 x dx dy = −2 xdx dy + 2xdx = 0 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
∫ dy + ∫ 2xdx = k ∫ dy + 2∫ xdx = k y+2
x2 =k 2 7
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y + x2 = k y = −x 2 + k
: Solución general ( en forma explícita) Familia de parábolas
Si k = 0
→
y = −x 2
Si k = 1
→
y = −x 2 + 1
Si k = 2
→
y = −x 2 + 2
3. y'−
x =0 y
Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
y'−
x =0 y
dy x = dx y ydy = xdx ydy − xdx = 0 ydy + (− x )dx = 0 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
∫ ydy + ∫ − xdx = k 8
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∫ ydy − ∫ xdx = k y2 x 2 − =k 2 2
: Solución general ( en forma implícita) Familia de hipérbolas
Pasamos a la forma explícita
y2 x 2 = +k 2 2 y 2 = x 2 + 2k y2 = x 2 + c , y = ± x2 + c
c = 2k : Solución general en forma explícita
y 2 − x 2 = c , c ∈ R − {0} : Solución general en forma explícita ( otra forma) c =1
→
y2 − x2 = 1
c=2
→
y2 − x 2 = 2
c=4
→
y2 − x 2 = 4
c = −1
→
x 2 − y2 = 1
c = −2
→
x2 − y2 = 2
4. ( y + 2)dx + ( x − 2)dy = 0 Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
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( y + 2)dx + ( x − 2)dy = 0 ( y + 2)dx ( x − 2)dy + =0 ( x − 2)( y + 2) ( x − 2)( y + 2) dx dy + =0 ( x − 2) ( y + 2) Paso 2. Integrar directamente
dx
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
dy
∫ ( x − 2) + ∫ ( y + 2) = k ln x − 2 + ln y + 2 = ln k ln ( x − 2)( y + 2) = ln k Aplicando antilogaritmo
( x − 2)( y + 2) = k : Solución general ( en forma implícita) Familia de hipérbolas equiláteras con centro en ( 2,−2)
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Problemas de valor inicial ( PVI) 1.Resolver y' = x , y(0) = −1 Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
y' = x dy =x dx dy − xdx = 0 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
∫ dy − ∫ xdx = k y−
x2 =k 2
y=
x2 + k : Solución general (Familia de parábolas) 2
Utilizamos la condición inicial y(0) = −1 , es decir y = −1 , x = 0 que nos sirve para hallar la constante k .
y(0) = −1 −1 =
( 0) 2 +k 2
→
k = −1
Luego una solución particular es:
x2 y= −1 2
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2.Resolver
dy = −2 , y(1) = 0 dx
Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
dy = −2 dx dy = −2dx dy + 2dx = 0 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
∫ dy + 2∫ dx = k y + 2x = k y = −2 x + k Utilizamos la condición inicial y(1) = 0
0 = −2(1) + k
→
k=2
Luego una solución particular es:
y = −2 x + 2
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3.Resolver
dy = xe y , y(0) = 1 dx
Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
dy = xe y dx dy = xe y dx dy − xe y dx = 0 dy xe y dx − =0 ey ey Paso 2. Integrar directamente
∫e
−y
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
dy − ∫ xdx = k
Integrando tenemos
− e −y −
e
−y
x2 =k 2
x2 + = −k 2
e −y +
x2 = c , c = −k 2
e −y = c −
x2 2
Aplicamos logaritmo natural a ambos miembros para despejar y
ln e
−y
x2 = ln(c − ) 2
− y = ln(c −
x2 ) 2
y = − ln(c −
x2 ) 2
Utilizamos la condición inicial y(0) = 1
( 0) 2 1 = − ln(c − ) 2
→
c=
1 e
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Luego una solución particular es:
1 x2 y = − ln( − ) e 2
x 2
4. Resolver y' = sen ( ) , y(0) = 0 Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
x y' = sen ( ) 2 dy x = sen ( ) dx 2 x dy − sen ( )dx = 0 2 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
x
∫ dy − ∫ sen( 2 )dx = k x y − 2 cos( ) = k 2 x y = 2 cos( ) + k : Solución general 2 Utilizamos la condición inicial y(0) = 0
0 0 = 2 cos( ) + k 2
→
0 = 2(1)) + k
→
k = −2
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Luego una solución particular es:
x y = 2 cos( ) − 2 2
5. Resolver
dy x =− , y ( 4) = − 3 dx y
Solución Paso 1. Escribir la ecuación en la forma M ( x )dx + N ( y)dy = 0
dy x =− dx y ydy + xdx = 0 Paso 2. Integrar directamente
∫ M(x )dx + ∫ N( y)dy = k
∫ ydy + ∫ xdx = k y2 x 2 + =k 2 2 x 2 + y 2 = c 2 , c 2 = 2k x 2 + y2 = c2 Esta solución general ( solución implícita) representa una familia de circunferencias con centro en el orígen. Utilizando la condición inicial: y( 4) = −3 Cuando x = 4 , y = 3 de modo que
16 + 9 = c 2 → c = 5
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Así el problema de valor inicial determina una circunferencia x 2 + y 2 = 25 de radio 5 Debido a su simplicidad , despejamos la solución implícita para obtener la solución explícita que satisfaga la condición inicial. Esta solución es y = − 25 − x 2 , − 5 < x < 5 Una curva solución es la gráfica de una función diferenciable. En este caso, la curva solución es la semicircunferencia inferior que contiene al punto ( 4,−3) .
Aplicaciones 1.Calculo del crecimiento poblacional. La población de una región crece con una tasa proporcional a la población en cualquier momento. La población es de 3 860 habitantes y aumenta en un 78% en 5 años. ¿cuál será la población en 30 años? Solución DATOS
p 0 = 3 860
,
t=0
p = 6 870.8 , t = 5
→ población inicial → población a los 5 años
ECUACIÓN
dp = kp dt
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dp − kpdt = 0 dp − kdt = 0 p
∫
dp − k ∫ dt = c p
ln p − kt = c ln p = c + kt p = e c + kt = e c . e kt p = c1e kt
, donde e c = c1
p( t ) = c1e kt Condición inicial , p(0) = p 0
p 0 = c1e k ( 0 )
→
es decir p = p 0 y t = 0
p 0 = c1
Luego p( t ) = p 0 e kt Hallamos la constante de crecimiento " k"
p( t ) = p 0 e kt = 3 860 e kt 6 870.8 = 3 860 e k (5) e k ( 5) =
6 870.8 3860
e k ( 5) = 1,78 ln(e k (5) ) = ln(1,78) 5k = ln(1,78) k = ln
(1,78) = 0,1153 5
Estimamos la población a los 30 años
p( t ) = p 0 e kt p(30) = 3 860 e ( 0,1153)(30 ) p(30) = 122 690.77 A los 30 años habrá aproximadamente 122 690.77 habitantes.
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1.Incremento de dinero. El dinero depositado en cierto banco se incrementa de tal manera que en cualquier instante la razón de cambio del saldo es igual al 7% del saldo en ese instante. Hallar la función de saldo en cualquier tiempo. Solución DATOS
s( t ) : saldo en el instante t ds dt
: razón de cambio del saldo respecto al tiempo
ECUACIÓN
ds = 0,07s dt ds − 0,07sdt = 0 ds − 0,07dt = 0 s
∫
ds − 0,07 ∫ dt = k s
ln s − 0,07 t = k s = e 0,07 t + k s( t ) = c1e 0, 07 t , donde c1 = e k s( t ) = c1e 0, 07 t , c1 > 0 Función de saldo Ejercicios 01: Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separable 1. Resolver: 4dx + dy = 0 2. Resolver:
1 1 dx − dy = 0 x y
3. Resolver:
1 dx + dy = 0 x
4. Resolver:
dy = − xy dx
5. Resolver: y' = 2 cos x 6. Resolver: ( x 2 + 1)dx + ( y 2 + y)dy = 0 7. Resolver: y' = ( x + 3) 2
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8. Resolver: ( 2 x + 3)dx + ( 2 x + 1) ye y dy = 0 9. Resolver:
dy ( x − 1) = dx x ( x 2 − 4)
10. Resolver: senx dx + dy = 0 , 11. Resolver:
dy = −( x 2 + 1) y , dx 2
y ( 0) = 1 y(−1) = 1
12. Resolver: xe x dx − ( y 5 − 1)dy = 0
,
y ( 0) = 0
13. Problema. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta a una razón proporcional a la cantidad de personas que tiene en cualquier momento. Si la población se duplicó en 5 años , ¿en cuanto tiempo se triplicará ? 14. Problema. La tasa de incremento del costo total y , a medida que crece el número de unidades fabricadas x , es proporcional a la suma de las unidades fabricadas más una constante, e inversamente proporcional al costo total. Hallar la función de costos si
y = y 0 cuando x = 0 . Respuestas 1. y = k − 4 x
2. y = kx −
x2 2
k 3. y = ln x
4. y = ke
5. y = 2senx + k
6. y = 2 x 3 + 6 x + 2 y 3 + 3y 2 = k
7. y =
( x + 1) 2 +k 3
9. y = ln
11. y = e
x 1 / 4 ( x − 2) 1 / 8 +k ( x + 2) 3 / 8 1 − ( x 3 +3 x + 4 ) 3
13. t ≈ 7,92 años
8. x + ln 2 x + 1 + ye y − e y = k 10. y = cos x + 1
12.
1 x2 1 6 1 e − y +y= 2 6 2
14. y =
kx 2 + 2akx + y 02
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Ecuaciones diferenciales homogéneas Una ecuación diferencial de la forma:
F( x , y, y' ) = 0 es homogénea si se puede escribir de la forma:
y y' = f ( ) x
ó
x y' = f ( ) y
Ejemplos: 1. Sea y' =
y+x y−x
, verificar si es ecuación diferencial homogénea
Solución
y y x ( + 1) +1 y+x x x y' = = = y y y−x x ( − 1) −1 x x y y' = f ( ) es ecuación diferencial homogénea x 2. xdy − ( y + x )dx = 0 Solución
xdy − ( y + x )dx = 0 xdy = ( y + x )dx x
dy = y+x dx
y x ( + 1) dy y + x y y' = = = x = +1 dx x x x y y' = f ( ) es ecuación diferencial homogénea x
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ALGORITMO DE SOLUCIÓN PARA ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS Sea la ecuación diferencial de la forma: F( x , y, y' ) = 0 Paso1. Despejar y'
y y' = f ( ) x
, formar un cociente siempre
Paso2. Sustitución de variable
z=
y x
→
y = zx
y' = z + xz' Paso3. Integración de la ecuación transformada
y y' = f ( ) x z + xz' = f (z) E.D. de variable separable: M (z)dz + N ( x )dx = 0 , x variable independiente xz' = f (z) − z x
dz = f ( z) − z dx
dz dx = f (z) − z x ahora integramos por ambos lados
dz
∫ f (z) − z = ∫
dx x
dz
∫ f (z) − z = ln x + ln c dz
∫ f (z) − z = ln(x.c) ln(x.c) = ∫
dz f (z) − z
dz
c.x = e
∫ f ( z ) −z dz
1 ∫ x = e f (z)−z c
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Paso4. Calculo de la solución y( x )
y → x y = z.x
z=
y = zx
dz
1 ∫ x = z e f ( z )− z c hacemos la restitución z =
y x
y obtenemos la solución general o curva solución
y = f ( x , c) Ejemplos 1. Hallar la solución general de la Ecuación diferencial homogénea xdy − ( y + x )dx = 0 Paso1. Despejar y'
xdy − ( y + x )dx = 0 xdy = ( y + x )dx x
dy = y+x dx
y' =
y+x x
y+x y' = = x
y x ( + 1) y x = + 1 , si es homogénea x x
Paso2. Sustitución de variable
z=
y x
→
y = zx
y' = z + xz' y' =
y +1 x
reemplazamos el valor de z =
y x
y' = z + 1 xz'+ z = z + 1 xz' = z + 1 − z 22
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xz' = 1 x
dz =1 dx
dz =
dx x
Paso3. Integración de la ecuación transformada
∫ dz = ∫
dx x
z = ln x + ln c
z = ln x.c Paso4. Calculo de la solución y( x ) En este paso restituimos z =
y x
z = ln x.c y = ln x.c x
y = x ln x.c
solución general
2. Hallar la solución general de la ecuación diferencial homogénea y' =
y+x y−x
Solución Paso1. Despejar y'
y y x ( + 1) +1 y+x x x y' = = = y y y−x x ( − 1) −1 x x
, si es homogénea
Paso2. Sustitución de variable
z=
y x
→
y = zx
y' = z + xz' y +1 x y' = y −1 x
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reemplazamos el valor de z =
z +1 z −1
y' =
xz'+ z =
z +1 z −1
xz' =
z +1 −z z −1
xz' =
− z 2 + 2z + 1 z −1
x
y x
dz − z 2 + 2z + 1 = dx z −1
(z − 1)dz dx = 2 − z + 2z + 1 x Paso3. Integración de la ecuación transformada
(z − 1)dz dx =∫ 2 x + 2z + 1
∫−z −∫
(z − 1)dz dx =∫ 2 x z − 2z − 1
u = z 2 − 2z − 1 → −
du = 2(z − 1)dz
1 du = ln( x.c) 2∫ u
1 − ln(z 2 − 2z − 1) = ln( x.c) 2 ln(z 2 − 2z − 1) −1 / 2 = ln( x.c) (z 2 − 2z − 1) −1 / 2 = x.c Paso4. Calculo de la solución y( x ) En este paso restituimos z =
y x
(z 2 − 2z − 1) −1 / 2 = x.c
1 z − 2z − 1 2
= x.c
24
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1 2
= x.c
y y − 2 −1 2 x x x y 2 − 2 xy − x 2
= x.c
y 2 − 2 xy − x 2 =
1 c
1 = k1 c
,
y 2 − 2 xy − x 2 = k 1 y 2 − 2 xy − x 2 = k 12 x 2 + 2 xy − y 2 = − k 12 , − k 12 = k x 2 + 2 xy − y 2 = k 2
Solución general ( en forma implícita)
Ejercicios 02: Ecuaciones diferenciales homogéneas Determine si las ecuaciones diferenciales dadas son homogéneas y, si lo son hallar la solución general. 1. Resolver: y' =
y−x x
2. Resolver: y' =
2y + x x
3. Resolver: xydy − ( x 2 + 2 y 2 )dx = 0 4. Resolver: xydy − ( 2 x + y 2 )dx = 0 5. Resolver: y' =
x 2 + y2 2 xy
6. Resolver: y' =
2 xy y − x2
7. Resolver: y' =
y
8. Resolver: y' =
2
x + xy y2 xy + 3 xy 2
9. Resolver: ( y − x 2 + y 2 )dx − xdy = 0
y x
y x
,
y( 3 ) = 1
10. Resolver: ( x − 3ysen )dx + (3xsen )dy = 0
,
y(1) =
π 4 25
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Respuestas 1. y = x ln
k x
2. y = kx 2 − x
3. y 2 = kx 4 − x 2
4. No es homogénea
5. y 2 = x 2 − kx
6. 3yx 2 − y 3 = k
7. − 2
x + ln y = c y
9. x 2 = 9 − 6 y
8. No es homogénea
10. 3 cos
y 3 2 − ln x = x 2
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