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INECUACIONES POLINÓMICAS 1.1.
CONCEPTOS PREVIOS
Dentro del mundo de la resolución de problemas hay ocasiones en que la incógnita o variable que se desea encontrar no tiene tantas restricciones que la hacen ser única, existen casos en que la solución puede ser el conjunto completo de los números positivos por ejemplo, o todos los números mayores que 100 , que por cierto en ambos casos la cantidad de soluciones son infinitas. Observación Infinito: Que no tiene fin en cantidad o en espacio. Matemáticamente se escribe con el símbolo ∞ y representa un valor mayor que cualquier cantidad asignable. Intervalos Los intervalos son subconjuntos de los números reales que sirven para expresar la solución de las inecuaciones, éstos intervalos se representan gráficamente en la recta de los números reales. Un intervalo es un segmento de recta. Clases de intervalos Los intervalos se clasifican en intervalos finitos e intervalos infinitos. A. Intervalos finitos. Estos pueden ser: Intervalo Notación simbólica Notación en conjunto
Cerrado
a, b (a , b ) ]a , b[ [a , b]
Semiabierto
[a, b
Abierto
{x ∈ R / a < x < b} {x ∈ R / a ≤ x ≤ b} {x ∈ R / a ≤ x < b} {x ∈ R / a < x ≤ b}
a , b] A. Intervalos infinitos. Estos pueden ser: Intervalo Notación simbólica Infinito abierto por la derecha − ∞, a Infinito abierto por la izquierda
a ,+∞
Infinito cerrado por la derecha
− ∞, a ]
Infinito cerrado por la izquierda
[a, + ∞
Observación
a, b = { x ∈ R / a < x < b } Si a = b →
a, b = φ
[a, b] = { x ∈ R
/ a≤ x≤b } Si a = b → [ a , b ] = {a} ó {b}
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Notación en conjunto
{x ∈ R / x < a} {x ∈ R / x > a} {x ∈ R / x ≤ a} {x ∈ R / x ≥ a}
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Representación gráfica de los intervalos Intervalo abierto
-∞
a , b = {x ∈ R / a < x < b}
+∞
a
b
Intervalo cerrado [a , b] = {x ∈ R / a ≤ x ≤ b}
-∞
+∞
a
b
[
Intervalo semiabierto por la derecha a , b = {x ∈ R / a ≤ x < b}
-∞
Intervalo semiabierto por la izquierda
-∞
+∞
a
b
a , b] = {x ∈ R / a < x ≤ b}
+∞
a
b
Infinito abierto por la derecha − ∞, a = {x ∈ R / x < a}
a
-∞
+∞
Infinito abierto por la izquierda a , + ∞ = {x ∈ R / x > a}
-∞
+∞
a
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Infinito cerrado por la derecha
− ∞, a ] = {x ∈ R / x ≤ a}
a
-∞
[
= {x ∈ R / x ≥ a}
Infinito cerrado por la izquierda a ,+∞
-∞
+∞
+∞
a
Operaciones con intervalos En las operaciones con intervalos y en el tema de las inecuaciones polinómicas con una variable que trataremos en este material, el conjunto R de números reales será considerado como el universo U , a menos que se especifique otra cosa. Ejemplos: 1. Dado los intervalos A = − 3, 9 y B = − 5, 6 , halla las operaciones indicadas en forma
[
simbólica y gráfica. a) A ∪ B b) A ∩ B
c) A − B
d) B − A
e) A∆B
[
2. Si A = [2,7] , B = − ∞, 5] y C = 4, + ∞ 3. Si M = − 5,9
, N = [0,7 ] y P = 3, + ∞
4. Dado los intervalos A = − 5,7
f) A '
g) B'
hallar : ( A ∩ C)'− B hallar: (M ∩ P )' ∪ N
[
, B = 2, + ∞
indicadas en forma simbólica y gráfica. a) ( A ∩ B) ∪ C b) (A ∩ C) − B c) ( B ∪ C)'∩A
y
C = 9,12] , halla las operaciones
d) B'−( B ∩ C)
Desigualdades Las desigualdades son todas aquellas expresiones algebraicas o numéricas que poseen alguno de los cuatro símbolos de desigualdad: < ( es menor que), > ( es mayor que), ≤ ( es menor o igual que) y ≥ (es mayor o igual que). Ejemplos: 5 > 3 , − 4 ≤ 7 , x + 2 > 7 , 2 x 2 − 7 x ≤ 4 Desigualdad absoluta Una desigualdad es absoluta cuando se satisface para cualquier valor de sus incógnitas o variables. Ejemplos: 1. x 2 ≥ 0 2. ( x + y) 2 ≥ 0 3. z < z + 1 Son desigualdades absolutas, pues para cualquier valor real de sus variables que reemplace, estas desigualdades se seguirán cumpliendo.
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Desigualdad condicionada o inecuación Una desigualdad es condicionada cuando se satisface solo para algunos valores de sus incógnitas o variables. Ejemplos: 1. x + 1 > 0 , sólo se cumple si x > −1 2. 3y ≥ 12 , sólo se cumple si y ≥ 4 3. z + 1 < 6 , sólo cumple si z < 5 Estas son las llamadas inecuaciones Antes de comenzar con las inecuaciones veamos las siguientes reglas o axiomas que nos hablan sobre el orden en los números reales:
A 1 : Axioma de tricotomía Sean a y b ∈ R , entonces entre ellos solo se cumple una y solo una de las siguientes afirmaciones: a < b , a = b y a > b A 2 : Axioma de transitividad Sean a , b y c ∈ R , tales que a < b y b < c entonces siempre a < c A 3 : Axioma de adición Sean a , b y c ∈ R , tales que a < b entonces siempre a + c < b + c A 4 : Axioma de multiplicación Sean a , b y c ∈ R , tales que a < b y c > 0 entonces siempre a.c < b.c Observación Del último axioma se deduce entonces que si a < b y c < 0 entonces a.c > b.c . En otras palabras, multiplicar una desigualdad por un número negativo cambiará la dirección o el sentido de la desigualdad. Inecuaciones Una inecuación es un enunciado de que dos cantidades o expresiones no son iguales. Resolver una inecuación consiste en hallar el conjunto de todos los números reales que satisfacen dicha inecuación. Ejemplos: x + 2 > 7 , x 2 − 3x < 10 Conjunto solución de una inecuación ( C.S. ) Es el conjunto de valores de la variable que verifica la desigualdad. A diferencia de una ecuación, generalmente, una inecuación tiene infinitas soluciones que forman un intervalo o unión de intervalos sobre la recta real. Por ello, el conjunto solución se expresa utilizando intervalos.
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1.2.
INECUACIONES LINEALES
Las inecuaciones de primer grado o lineales son de la forma: ax + b < c , ax + b > c , ax + b ≤ c , ax + b ≥ c donde a , b y c ∈ R , con a ≠ 0 Para resolver inecuaciones de esta forma se busca despejar la variable, aplicando las propiedades estudiadas anteriormente y las leyes matemáticas básicas; como la de los signos, términos semejantes, entre otras. 1.3.
INECUACIONES CUADRÁTICAS
Las inecuaciones de segundo grado o cuadráticas son de la forma: ax 2 + bx + c < 0 , ax 2 + bx + c > 0 , ax 2 + bx + c ≤ 0 , ax 2 + bx + c ≥ 0 donde a , b y c ∈ R , con a ≠ 0 Para resolver inecuaciones de esta forma existen varios métodos: Propiedades( o por factorización), completando cuadrados y por puntos críticos. INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS I. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales
2( 4 x + 2) 4 − ( x − 2) ≤ (4 x + 5) 5 10 x 1 1 3. − > 2x + 2 4 3 1 1 1 5. − ≤ 3x − ≤ 2 4 3 3 5x + 14 9 7. 11 − x < > (2 + x ) 2 3 5 1.
2.
4. 5x − 2 < 10 x + 8 < 2 x − 8 6. − 1 ≤ −3 + 3x < 2
x 6 3x 11 14 − < + > 2x − 2 5 4 5 5 x x x + > 1+ 10. , c>b>a>0 a b c x 3x 5 12. 2 + < , a>b>0 2 a+b a−b a −b
8.
9. 3( x + 4) + 3x > 4 x − 5 + 2( x + 1) 11.
x − 3 5 x 2x + 9 + < + 3 4 2 12
2x 5x +4> + 2x , a > b > 0 3a 6b
II. Problemas: Inecuaciones lineales con una variable Resolver los siguientes problemas 1. Un operador telefónico informa a un cliente de una cabina telefónica que el cargo por establecimiento de llamada , es de S/ 3,00 por los primeros tres minutos y el 15% del cargo por establecimiento de llamada por cada minuto adicional. Cualquier tiempo adicional a un minuto será redondeado al siguiente minuto. Encuentre el tiempo máximo que el cliente puede hablar si cuenta con sólo S/ 8,40. 2. Javier tiene calificaciones en sus primeros tres exámenes de Matemática Básica de 10 , 18 y 14 . Si quiere tener un promedio de al menos 15 , después de su cuarto examen, ¿cuáles deben ser las calificaciones que debe obtener en su cuarto examen? 3. Se compra igual cantidad de lapiceros de dos colores, al venderse la cuarta parte quedan menos de 118 por vender; si se vendiera la sexta parte quedarían más de 129 por vender, ¿cuántos lapiceros se compraron?
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4. Un carpintero hizo un cierto número de mesas, vende 49 y le quedan por vender más de la mitad. Hace después 9 mesas y vende 20 quedándole menos de 41 mesas por vender, ¿cuántas mesas ha hecho sabiendo que inicialmente fabricó un número par de mesas? III. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones cuadráticas 1. 4 x 2 − x − 5 < 0 2. 9 x 2 − 12 x − 4 > 0 2 2 4. x (3x + 2) ≤ ( x + 2) 2 3. 5x − 14 x + 9 < x − 2 x 5. 4 x 2 + 9 x + 9 < 0 7. 3x 2 − 8x + 11 ≥ 4( x − 1)
6. 4 x 2 − 4 x + 7 > 0 8. 10 x − 3 − 3x 2 ≥ 0
9. 3 − 4 x 2 + 4 x > 0
10. 2 x 2 − 6 x + 3 ≥ 0
IV. Problemas: Inecuaciones cuadráticas con una variable Resolver los siguientes problemas 1. El cuadrado de la edad de Viviana menos 3 es mayor que 65 . En cambio el doble de su edad más 3 da un número menor que 23 . ¿Cuántos años tiene Viviana? 2. Las dimensiones de un terreno son de 8 metros de largo por 5 metros de ancho; si se aumenta una misma cantidad a ambas dimensiones, el área aumenta más de 30 m 2 . Calcule el mínimo valor entero de dicha cantidad. 3. Sea la inecuación cuadrática 3x 2 + 5x − 12 < 0 . Hallar el complemento del conjunto solución de la inecuación dada. 4. Un dispositivo electrónico tiene un precio de p = 600 − 5x nuevos soles , si x dispositivos electrónicos pueden venderse al mes en el mercado, ¿cuántos dispositivos electrónicos deberán venderse cada mes con el objeto de obtener ingresos por lo menos de S/ 18 000? V. Resolver 1. Hallar el conjunto en el cual debe estar comprendido el número n para que la raíz de la ecuación:
3 2n − 1 = x x−n
sea menor que 1 .
2. Hallar el menor número real M tal que: 6 + 6 x − x 2 ≤ M , para todo x ∈ R 3. Se definen los conjuntos : A = x ∈ Z 0+ / − 11 ≤ 2 x − 5 < 9 , Z 0+ : Enteros no negativos
{ B = {x ∈ A / x
}
2
}
− 2x ∉ A
Hallar la suma de los elementos de B 4. Hallar el conjunto solución de :
3x m x 2 + − >0 4 2 2m
INECUACIONES POLINÓMICAS Y FRACCIONARIAS I. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones polinómicas 1. x 3 + x 2 − 4 x - 4 < 0 3. 2x 3 + 7 x 2 + 2 x - 3 ≤ 0
2. x 4 − x 3 − 7 x 2 + x + 6 ≥ 0 4. ( x 2 + 2 x - 3) ( 3x - 4 - x 2 ) > 0
5. ( x 3 + x 2 − 9 x - 9 ) ( x - 3 ) < 0
6. ( x 2 − 5)( x 2 + 3x − 2) x ≥ 0
7. 2 x 3 + 3x 2 − 11x − 6 ≥ 0 9. ( x 3 − 5x 2 + 7 x − 3)( 2 − x ) ≥ 0
8. x 5 − 2 x 4 − 15x 3 > 0 10. (3 − x ) 3 ( x 2 − 1) 3 (3x − 5) 7 ( x − 1) < 0
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11. x 4 < x 2 13. x 4 − 4 x 3 − 3x 2 + 14 x − 8 ≥ 0
12. x 6 + 6 x 4 + 9 x 2 + 4 > 0 14. ( x 2 − 5)(2 − x )(3 − x 2 ) ≥ 0
15. ( 4x 2 − 1)(1 − x )( x 2 − 2 x + 5) x < 0 16. Hallar el conjunto solución de: ( x − a )( x − b)( x − c)( x − d ) < 0 , si a < b < c < d Resolver: 17. Si A = x ∈ R / x ≤ − 3 ∨ x > 3 y B = x∈R/2− 3 ≤ x + 2 ≤ 2+ 3 Hallar A ∩ B , A ∪ B , A − B , B − A y A∆B
{
}
{
}
18. Si x es un número real, que valor numérico no puede tomar la expresión. Explique.
f (x ) = a) 5
b) -35
x 2 + 2 x − 11 2( x − 3) c) -10
d) 1
e) 10
II. Hallar el conjunto solución de las siguientes inecuaciones fraccionarias
3x +8 ≥ -2 x -1 3x-2 4 3. ≥ x +1 x-2 2 x +x+2 5. ≤0 x3 − x 2 − 2 x x−2 x > 7. x+4 x−2 x+4 x−2 9. 2 > 2 x + 4x + 4 x − 4 7 6 11. − 2 <5 x −1 x −1 1.
13.
x 2 − 3x + 2 <2 x 2 − 4x + 3
2. 4. 6. 8. 10. 12. 14.
x -1 ≥ x x+3 6 5 > −2 x −1 x-2 5 1 + <2 x + 3 x −1 3x + 1 1 2≥ > x x x x −3 ≤ x2 + 4 x2 + x + 4 ( x − 1) 2 ( x 2 − 1)( x 4 − 1) ≥0 ( x 4 + 1)( x − 2) x 2 + 8x − 12 − x 3 ≥0 7x − x 2 − 6
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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS - Miller, Ch.; Heeren, V. y Hornsby, E. (1999). Matemática: Razonamiento y aplicaciones (8ª ed.). México: Pearson Educación. - Espinoza, E. (2002). Matemática básica. Lima. - Haeussler, E. y Paul, R. (1997). Matemáticas para administración, economía, ciencias sociales y de la vida (8ª ed.). México: Prentice Hall Hispanoamericana. - Lial, M. y Hungerford, T. (2000). Matemáticas para administración y economía (7ª ed.).México: Pearson Educación. - Allendoerfer, C. y Oakley, C. (1990). Matemáticas universitarias (4ª ed.). Bogota: McGraw – Hill. - Allen, A. (1997). Álgebra intermedia (4ª ed.). México: Pearson Educación. - Johnson, L. y Steffensen, A. (2004). Álgebra y trigonometría con aplicaciones (2ª Reimpresión). México: Editorial Trillas. - Gustafson, D.(2003). Álgebra intermedia. México: International Thomson Editores. - Soler, F.; Nuñez, R. y Aranda, M. (2003). Fundamentos de cálculo con aplicaciones a ciencias económicas y administrativas (2ª ed.). Bogota: ECOE ediciones. - Barnett, R. (1984). Álgebra (2ª ed.). México: McGraw – Hill - Zill, D. y Dejar, J. (2000). Álgebra y trigonometría (2ª ed.). Bogota: McGraw – Hill.
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