Vyučování matematice orientované na budování schémat

Milan Hejný

Vyučování matematice

orientované na budování schémat: aritmetika

1. stupně

Výzkumný záměr

Učitelská profese v měnících se požadavcích na vzdělávání

Univerzita Karlova v Praze

Pedagogická fakulta 2014

Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika 1. stupně

Milan Hejný Výzkumný záměr MSM 002 162 0862 Učitelská profese v měnících se požadavcích na vzdělání

Recenzenti:

doc. RNDr. Katarína Bachratá, Ph.D.

doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D.

Výzkumný záměr MSM 002 162 0862

Učitelská profese v měnících se požadavcích na vzdělání

ISBN 978-80-7290-776-2

Knihu věnuji svému otci, Vítovi Hejnému.

© Milan Hejný

Předmluva

Publikace pojednává o procesech, které se odehrávají v hlavě dítěte a žáka prvního stupně, když vstupuje do světa čísel a buduje si aritmetické představy. Přirozeně se v knize mluví i o sociálním prostředí, ve kterém žák do matematiky vstupuje, tedy o rodině a škole, o rodičích, prarodičích, ale zejména o učitelích.

Mnohaleté životní zkušenosti, které jsem získal jako dítě, žák, student i učitel, mne přesvědčily, že ke kvalitnímu matematickému poznání se žák dopracuje samostatným řešením vhodných úloh a následnou diskusí se spolužáky. Toto přesvědčení je výchozí platformou našich úvah, které jsou zaměřené na aritmetiku a organicky doplněné myšlenkami kombinatoriky a logiky. Geometrie se objeví jen sporadicky. Této oblasti byla věnována monografie D. Jirotkové (2010), která je psána ve stejném didaktickém přesvědčení jako tato kniha.

V knize je použito mnoho myšlenek a příběhů, které se zrodily ve výzkumném týmu v Bratislavě v sedmdesátých a osmdesátých letech. Ještě více je těch, které vznikly v posledních 20 letech ve výzkumném týmu v Praze. Jsou společně se svými autory uvedeny v textu. Všem těmto kolegům za jejich vklad děkuji.

Děkuji recenzentkám, doc. Kataríne Barchraté a doc. Nadě Vondrové, které mnoha cennými radami a připomínkami výrazně přispěly ke kvalitě textu. Ideovým východiskem této knihy je kinetická psychologie Víta Hejného (2012). RNDr. Hynek Bachratý, který je skvělým znalcem této teorie, pomohl odstranit z původního textu nejasnosti a nepřesnosti. Za tuto pomoc mu děkuji. Moje veliké poděkování náleží kolegyni doc. Darině Jirotkové nejen za permanentní připomínkování rodícího se textu, pomoc při tvorbě obrázků, ale i za masivní pomoc s finálním zpracováním celé publikace. Veronice Matějové děkuji za grafickou úpravu textu.

Nakonec musím poděkovat manželce Evě Hejné, která byla stálou a pevnou oporou jak pro moje tělo, tak i pro někdy přetíženou mysl.

Praha, březen 2014

Autor

Úvod

V době druhé světové války a krátce po ní, Vít Hejný (1904–1977), profesor na obchodní akademii, začal hledat příčiny nízké efektivity vyučování matematice a možné cesty zlepšení. Zjistil, že příčina tkví ve způsobu vyučování, kde žák je pouze konzumentem matematických poznatků prezentovaných učitelem a zapsaných v učebnici. Zjistil, že výrazně efektivnější je vyučování založené na autonomním řešení úloh žáky. Zjistil, že s tímto edukačním stylem nutno začínat co nejdříve, protože starší žáci, kteří jsou naučeni na konzumní způsob učení vyžadující od žáka jen reprodukci a imitaci, jen zřídka vítají vyučování, jež od nich vyžaduje tvořivost. Nabyl přesvědčení, že ke skutečnému poznání matematiky žák dospěje pouze vlastním úsilím, řešením vhodně volených úloh.

Autor této publikace, syn Víta Hejného, byl první žák, jenž byl touto metodou, kterou dnes řadíme ke konstruktivistickým metodám, veden. Pamatuji se, že úlohy, které mi táta dával, mne velice bavily, ale školní matematika mne nebavila vůbec. Známky z matematiky jsem měl spíše horší než lepší, ale táta mi tvrdil, že jsem v matematice dobrý. Na ta slova došlo, když v šestém ročníku přišly zlomky, záporná čísla a geometrické konstrukce. Věci, které se mi zdály samozřejmé, dělaly mým spolužákům potíže. Nakonec jsem se stal nejlepším matikářem třídy a dokonce i školy. Vyhrál jsem krajské kolo matematické olympiády a rozhodl jsem se matematiku studovat.

Moje vlastní zkušenost mne zcela přesvědčila o účinnosti edukačního stylu táty, a tak když můj syn po matematických neúspěších ve 4. ročníku měl jít na střední školu, rozhodl jsem se tuto třídu učit. Bylo to v Bratislavě v roce 1975, kdy společně s V. Repášem, Ľ. Hrdinou, J. Vantuchem a několika dalšími kolegy jsme začali metodiku vyučování matematice koncipovanou mým otcem dále rozpracovávat. V letech 1975–1979 jsem učil jednu třídu od 5. do 8. ročníku. Výsledky svých zkušeností jsme zpracovávali 10 let a publikovali v publikaci Hejný a kol. (1990). Mezitím jsem v letech 1984–1989 vyučoval další třídu, tentokráte od . do začátku 8. ročníku. Něžná revoluce mi však nedovolila dovést žáky do konce 8. ročníku a musel jsem jít dělat úředníka na MŠMT.

Po rozpadu republiky jsem v práci pokračoval na Pedagogické fakultě v Praze společně s Darinou Jirotkovou a Janou Slezákovou-Kratochvílovou. V roce 2004 nás oslovilo nakladatelství Fraus s nabídkou napsat učebnice matematiky pro 1. stupeň ZŠ. Naše trojice výzvu přijala, i když na začátku jsem velice pochyboval, že se najdou učitelé, kterým by se tato učebnice zamlouvala. Od začátku jsme upozorňovali, že učebnice vyžadují od pedagoga zcela nový edukační styl. Měli jsme veliké štěstí, když se objevila učitelka, která plně pochopila, jak nutno učebnici používat. Jitka Michnová skvělým způsobem učebnici pilotovala a přesvědčila nás, že naše práce není zbytečná. Sama se později stala spoluautorkou a členkou týmu. Po třech letech se k nám přidala i Eva Bomerová. Úspěchy, kterých obě učitelky dosáhly, nás utvrzují v přesvědčení, že učebnice lze úspěšně zavést do praxe tehdy, když učitel je s novým edukačním stylem ztotožněn. Za nejcennější výsledek práce kolegyň Michnové a Bomerové nepovažujeme silně nadprůměrné znalosti matematiky jejich žáků, ale to, že matematiku mají rádi nejen „jedničkáři“, ale skoro všichni žáci. V současnosti novým edukačním stylem úspěšně pracují nejen desítky učitelů, ale i celé školy, jako Cyrilometodějská ZŠ v Brně nebo ZŠ v Huslenkách.

Cílem této publikace je popsat didaktickou i edukační teorii, která je východiskem našich učebnic. V textu je citujeme kódem typu M2//16, což značí učebnici pro 2. ročník, . díl, strana 16.

První kapitola knihy popisuje hlavní didaktický nástroj našeho přístupu – didaktické matematické prostředí. V druhé kapitole je osvětlen poznávací proces žáka a ve třetí kapitole pak edukační metoda VOBS, tj. vyučování orientované na budování schémat. Konečně poslední kapitola je věnována didaktickému zpracování aritmetiky prvního stupně s příležitostnými výhledy na předškolní věk a na 2. stupeň.

1 Didaktická matematická prostředí

Termín Didaktické matematické prostředí je modifikací termínu Substantial learning environment, který byl do odborné literatury zaveden Erichem Wittmannem v roce 2001. Didaktická matematická prostředí jsou známá již mnoho let, ale až Wittmann vymezil tento pojem přesněji, požadavkem, aby úlohy uhnízděné v tomto prostředí umožňovaly žákům odhalovat důležité matematické pojmy a zákonitosti. Například šachy nebo úlohy Sudoku určitě přispívají k rozvoji logického myšlení, ale řešitele nevedou k žádné hluboké matematické myšlence.

Didaktickému vyjasnění termínu hluboká matematická myšlenka věnoval značnou pozornost Zbigniew Semadeni (2002, 2004). Odvolávaje se na René Thoma (1974) a Richarda Skempa (1982) zavádí Semadeni kromě hluboké myšlenky i její vnější formy a formální modely

Vnější formou jistého pojmu nebo jiného matematického objektu je každý reprezentant tohoto objektu, ať již vizuální, akustický, nebo taktilní (Semadeni 2002, s. 44).

Formálním modelem pojmu nebo jiného matematického objektu je přesný popis tohoto objektu v axiomatizované teorii (Semadeni 2002, s. 45).

Trojí pohled na matematické objekty dává teoretický základ pro analýzu vyskytujícího se nedorozumění mezi žákem a učitelem. Ve vědomí učitele je vnější forma matematického objektu úzce propojena na příslušnou hlubokou myšlenku, a proto se učitel někdy domnívá, že je tomu tak i ve vědomí žáka. Žák třeba odříká „mínus před závorkou mění všechna znaménka v závorce“, ale tomuto návodu nerozumí a při jeho aplikaci dělá chyby. Semadeniho analýza, bohatě ilustrovaná příklady, nabízí nástroje na zkoumání popsaného jevu.

Didaktická matematická prostředí, která budeme v dalším popisovat, jsou vnější formy mnoha hlubokých matematických myšlenek. K oddělení těchto vnějších forem od myšlenek dochází pouze tam, kde se učitel ve snaze urychlit rozvoj žáků uchýlí k dávání návodů, jak ve kterém prostředí řešit různé úlohy. Pokud se učitel této chyby vyvaruje, jsou naše didaktická matematická prostředí spolehlivým nositelem hlubokých matematických myšlenek žáků. To je doloženo mnoha příběhy vypravovanými učiteli a někdy i žáky.

Z Wittmannových úvah plyne, že kromě zmíněného základního požadavku očekává, že didaktické matematické prostředí má i další vlastnosti.

Didaktickým matematickým prostředím rozumíme takový soubor vzájemně propojených pojmů, vztahů, procesů a situací, který dovoluje tvořit úlohy:

• umožňující žákům odhalovat hluboké matematické myšlenky

• obdařené silným motivačním potenciálem

• přiměřené žákům jak 1., tak i 2. stupně

• s nastavitelnou obtížností

Cílem této kapitoly je seznámit čtenáře s 10 aritmetickými prostředími, která budou v dalším textu použita: Krokování, Schody, Autobus, Děda Lesoň, Rodina, Součtové trojúhelníky, Násobilkové čtverce, Sousedé, Algebrogramy, Šipkové grafy. U každého prostředí zmíníme didaktické nástrahy, které zaskočily některé námi sledované učitele.

Geometrická prostředí zde neuvádíme. Čtenář je najde v monografii Jirotková (2010). U případného použití těchto prostředí v této knize (například prostředí Dřívka v 2.4.., 2.5.1 a 2.6.) není třeba zvláštního vysvětlení.

1.1 Sémantická prostředí Krokování a Schody

Dvě klíčová prostředí aritmetiky 1. stupně budují hluboké porozumění přirozenému číslu, otevírají pojem záporného čísla, propojují procesuální a konceptuální vnímání čísla, dávají žákům zkušenosti s pomíjivými čísly, tj. těmi, která jako například tři údery hodin zazní a pominou. Taková čísla se objevují u dynamických úloh, tj. úloh, v nichž důležitou roli hraje čas. Takové jsou například úlohy o věku, úlohy o plnění bazénu dvěma přítoky, o potkávání se chodce a cyklisty apod.

Didaktická důležitost těchto prostředí – prostředí Krokování a prostředí Schody – nás vede k tomu, abychom je popsali výrazně podrobněji než prostředí další. Navíc se na tomto materiálu pokusíme ukázat, jak naše prostředí vznikala a jak byla rozvíjena a dotvářena. Nakonec rozvedeme i etapovitý způsob zavádění prostředí Krokování do výuky.

1.1.1 Prostředí Tajná chodba

Prostředí Tajná chodba bylo první sémantické prostředí, které jsem použil při experimentálním vyučování v 5. ročníku. Didaktickým záměrem prostředí je otevřít žákům záporná čísla.

Příběh 1.1

Třídě vyprávím dobrodružný příběh, jak Honza, hrdina příběhu, prochází tajnou chodbou, která někdy po schodech stoupá, jindy klesá. Hrdina ví, že až se dostane na úroveň, která leží 12 schodů pod úrovní vchodu, musí hledat tajné dveře. Žáci evidují pohyb hrdiny a upozorní učitele, když se hrdina dostane na úroveň tajných dveří. První putování Honzy jsme kreslili na čtverečkované tabuli.

Další putování Honzy si zaznamenával každý žák sám. Podle diktátu učitele si žáci na čtverečkovaném papíru zaznamenávali cestu Honzy. Po jisté době se začaly objevovat efektivnější zápisy. Z nich zmíníme pět, které ukazují, jak se žákům podařilo dospět k zápisu pomocí záporných čísel.

1. Každé schodiště je nahrazeno úsečkou svírající s vodorovnou přímkou úhel asi 45°; k úsečce je připsán počet schodů.

2. Záznam se zhustí, úsečky svírají s vodorovnou přímkou úhel asi 75°.

. K záznamu přibude číslování úrovní (něco jako vodorovná notová osnova).

4. Zápis je linearizován, pomocí šipek je označen směr, např. ↑ 4↓ 2↑ ↓.

5. Šipky jsou změněny na znaménka: + – 4 + 2 – .

Komentář

Tajná chodba směřuje k ekonomizaci zápisu. Někteří žáci poměrně záhy začnou hledat úspornější zápis. Jiným to trvá déle a někteří převezmou způsob šikovného zápisu od spolužáků.

Nicméně k zápisu pomocí kladných a záporných čísel se žáci dopracují až po delší době. Učitel, který úsporný zápis žákům prozradí, urychlí sice jejich poznání, ale znehodnotí jeho kvalitu. Bude to poznání, které mohou žáci převzít jako formální poznatek. I ti, kteří pochopí, jak se k takovému zápisu došlo, budou ochuzeni o vlastní objev, a tím i o nárůst schopnosti objevovat efektivnější zápisy.

Didaktická působivost prostředí Tajná chodba je dána jeho názorností, přitažlivostí kontextu a možnostmi modifikace. Když situaci projektujeme do svislé polohy, vytvoříme tím prostředí Výtah. Když ji projektujeme do vodorovné polohy, vytvoříme prostředí Krokování a Schody. Je to tedy generický model pro pohyby ve směru vertikálním i horizontálním.

Prostředí Výtah do naší výuky vstoupilo jen krátce. Jakmile se objevila další didaktická překážka – mínus před závorkou – ukázalo se vhodnější prostředí Panáček

1.1.2 Prostředí Panáček

U Tajné chodby se začínalo s operátory (o kolik schodů vystoupím/sestoupím); adresy (jaké je jméno schodu, na kterém stojím) vstoupily do prostředí až později. Zde bude číselná osa dána hned na začátku. Po této ose chodí panáček P, který pohybem sčítá i odčítá. Přitom pracujeme s čísly dvou typů. Jsou to

• adresy – čísla zobrazená na číselné ose a

• operátory – čísla určující počet kroků, které panáček P udělá.

Například zápis 2 +  = 5 panáček odkrokoval takto: postavil se na schod 2, udělal  kroky dopředu a skončil na schodu 5.

Podobně zápis 1 –  + 4 – 1 = 1 panáček odkrokoval takto: postavil se na schod 1, udělal  kroky dozadu (pozpátku1), pak 4 kroky dopředu a 1 krok dozadu. Skončil na schodu 1.

Hlavním nástrojem prostředí Panáček se stal povel „čelem vzad“, který odpovídal znaménku mínus před závorkou. Například zápis  + 1 – (4 – 5) – 1 = 4 panáček odkrokoval takto: postavil se na schod , udělal 1 krok vpřed; pak udělal čelem vzad; udělal 4 kroky vpřed (octnul se na schodu 0) a 5 kroků vzad (octnul se na schodu 5), udělal opět čelem vzad, neboť zde závorka končí, a nakonec 1 krok dozadu. Skončil na schodu 4.

Hra se realizuje jako divadlo. Číselná osa je nakreslená na podlaze a vždy jeden žák po ní chodí. Začínáme s jednoduchými nápisy a postupně je prodlužujeme. Kritickým momentem je okamžik, kdy poprvé panáček vstoupí do záporných čísel a my tuto část osy musíme dokreslit. Druhý kritický okamžik nastane, když zavedeme povel „čelem vzad“. Bylo by výborné, kdyby jej objevili žáci sami, ale nás v našem experimentálním vyučování nenapadlo se o to pokusit. Možná někdo najde způsob, jak žáky k objevu přivést. My zatím takový způsob neznáme. Po měsíci byli žáci schopni pomocí panáčka řešit i složité úlohy jako 2 – ( – (4 – 5) – 6).

Prostředí Tajná chodba bylo úspěšně použito ve vyučování již v sedmdesátých letech minulého století v Bratislavě. O 8 let později bylo rozpracováno i prostředí Panáček, které bylo publikováno až v roce 1990 v článku Hejný, Nôta (1990).

1 Tyto kroky nazvali žáci „račí kroky“ a později „korky“ – slovo „krok“ je čteno pozpátku.

1.1.3 Prostředí Krokování a prostředí Schody

V souvislosti s tvorbou učebnic matematiky jsme prostředí Panáček rozdělili do dvou prostředí. V prostředí Krokování se žáci pohybují na krokovacím pásu, což je řada na zemi ležících značek. Mezi každými dvěma značkami je vzdálenost žákova kroku. Všechny značky jsou stejné, pouze jedna, výchozí, je odlišena, nejčastěji barvou. Žáci se pohybují po krokovacím pásu podle povelů a učí se zde sčítat i odčítat. Číslo je reprezentováno počtem kroků a je to tedy operátor změny (viz 4.4). Zápis pohybu je dělán pomocí šipek vpravo (dopředu) a vlevo (dozadu).

V prostředí Schody se žáci pohybují na očíslovaném krokovacím pásu, tedy na číselné ose. To, že jsou schody v rovině, nedělá žákům potíže. Jejich fantazie jim bez potíží dovolí používat i slova jako nahoru a dolů. Číslo je zde buď adresa schodu, nebo operátor změny – počet kroků. Do zápisu pohybu pomocí šipek jsou vložena čísla – adresy schodů. Pokyn „postav se na schod 2 a udělej tři kroky dopředu“ je zapsán takto: |2|→→→| |. Obě uvedená prostředí jsou bohatě využívána v našich učebnicích a v odborném tisku jsme o nich publikovali přes deset statí. Zde podrobněji rozvedeme implementaci prostředí Krokování.

1.1.4 Didaktická implementace prostředí Krokování2

Proces implementace je rozložený do 1 etap, z nichž první tři je možné realizovat již v mateřské škole. Dalších šest je sémanticky ukotveno a odehrají se v 1. ročníku. Jednotlivé etapy nelze chápat jako časově oddělené úseky. Již proto ne, že ve třídě jsou jak matematicky značně vyspělí žáci, tak i žáci, kteří ještě matematikou osloveni nebyli. Někteří žáci se rychle dostanou až do etapy osmé, jiní budou potřebovat více času na zvládnutí toho, co vyžadují první tři etapy. Etapy tedy pouze ukazují, v jakém pořadí se budou jednotlivé myšlenky žákům prezentovat.

1. Vynoření krokování. V odstavci 4.2.2 je vysvětlena potřeba budování synchronu kinestetické a akustické činnosti dítěte. V našem případě specielně jde o pohyby realizované krokováním. Ty jsou provázeny písničkou nebo říkankou s cílem tvorby synchronu. Žáci, kteří nemají ještě synchronizovánu chůzi s říkankou, budou mít s krokováním potíže.

2. Vstup matematiky. Kroky, které dítě dříve uskutečňovalo v doprovodu s říkankou nebo písničkou, jsou teď provázeny slovy: „Jedna, dvě, tři, …“, které říká dítě, resp. učitel.

3. Funkce kolektivu. Jedno dítě krokuje a celá třída počítá jeho kroky říkankou: „Jedna, dvě, tři, ….“. Přitom každý žák do rytmu tleská. Učitel diagnostikuje žáky, u nichž ještě synchron kinestetiky a akustiky není pevný. Kolektiv třídy přispívá k motivaci činností i k rychlosti tvorby synchronu u těch žáků, kteří zde mají problémy.

4. Krokování podle povelů. Do krokování vstoupí povely. Učitel velí například: „Lenko, pět kroků dopředu, začni, teď!“ Dívka pochoduje a třída počítá do rytmu „jeden, dva, tři, čtyři, pět“. Totéž pak pokračuje se dvěma nebo více žáky, kteří stojí vedle sebe a kráčí společně. Slovo „začni“ má velký význam při organizaci krokování, zejména když krokuje více žáků. Je návěštím, které pomáhá upřesnit zahájení činnosti. Zde se záhy objeví dva problémy. První se týká nedostatečného synchronu mezi kroky a slovy u některých žáků, druhý se týká různé délky kroků jednotlivých dětí. Odstraňování prvního problému vyžaduje čas. Odstranění druhého problému je popsáno v následující etapě.

2 Systematický výzkum prostředí krokování, který náš tým realizoval od r. 2005, kompletovala a publikovala J. Slezáková v (2007).

5. Normování kroků. Učitel na podlahu položí řadu značek tak, že mezi dvěma sousedními značkami je vzdálenost jednoho kroku. Dodejme, že někteří učitelé mají ve třídě značky na podlaze pevně nakreslené, jiní si vyrobili asi 15 cm široký a 6-7 m dlouhý látkový běhoun, na němž jsou značky vyznačeny. Vzdálenost značek musí být dostatečně malá na to, aby byli žáci schopni podle nich krokovat i pozpátku (viz etapa 7). Zavedením značek problém různé délky kroků nekončí, protože žáci zejména ze začátku značky nerespektují.

6. Rozšíření typů povelu. Všechny dosud používané povely byly jednodílné, protože obsahovaly jen jedno číslo. Učitel zavede povely dvojdílné, které obsahují dvě čísla, např. „Tři kroky, pak dva kroky, začni, teď!“ Žák udělá tři kroky, zastaví se, pak udělá dva kroky. Třída počítá: „Jeden, dva, tři, (pauza) jeden, dva.“ Postupně pak učitel zavádí podobně povely trojdílné, případně vícedílné. Například: „Čtyři kroky, pak dva kroky, pak jeden krok, začni, teď!“ Když již povelová technika nebude žákům dělat potíže a oni sami budou schopni dávat povely, můžeme z povelu slovo „pak“ vypouštět a nahradit je kratší pauzou.

7. Krokování dozadu. Krokování rozšíříme o kroky pozpátku (račí kroky, neboli korky). Nejprve dáme povely jednodílné, například: „Dva kroky dozadu, začni, teď!“ Figurant udělá podle značek dva kroky dozadu. Později povely dvojdílné a vícedílné, například: „Tři kroky dopředu, pak dva kroky dozadu a jeden krok dopředu, začni, teď!“ „Dva kroky dozadu, jeden dopředu, tři dozadu, pak čtyři kroky dopředu, začni, teď!“ Povely nejsou zcela přesně popsány. U každého čísla musíme určit směr, to je slovo „dopředu/dozadu“, ale slova „kroky“ a „pak“ lze vypouštět a nahradit je příslušnou intonací.

8. Jazyk šipek. Nárůst délky povelů způsobuje některým žákům potíže se zapamatováním si povelu. Učitel poradí žákům, aby si povel nějak zapsali. Pokusy žáků najít vhodný způsob zápisu učitel nechá zveřejnit a po jisté době sám navrhne svůj šipkový záznam. Ten se skládá ze šipek, které reprezentují kroky, z dělítek, která reprezentují slovo „pak“, nebo pauzu, po které následuje další díl povelu a směr šipek, který reprezentuje slovo „dopředu/dozadu“. Celý povel je zapsán v boxu. Například povel: „Dva kroky dozadu, čtyři kroky dopředu, pak tři dozadu a jeden dozadu, začni, teď!“ bude zapsán: ←←│→→→→│←←←│← . Učitel může takový zápis beze slov uvést na tabuli a určený žák příslušný povel přečte, figurant provede. Po jisté době používání se tento zápis ve vědomí žáků interiorizuje.

9. Triáda modelovaná krokováním. Učitel v roli režiséra inscenuje představení se dvěma herci, žáky Adamem a Borisem. Ve výchozí pozici stojí žáci na krokovacím pásu vedle sebe. Učitel velí: „Adame, dva kroky dopředu, pak tři kroky dopředu, začni, teď!“ Adam povel realizuje. Poté učitel velí: „Borisi, pět kroků dopředu, začni, teď!“ Boris povel uskuteční a oba hoši stojí opět vedle sebe. Toto představení je krokový model vztahu 2 +  = 5. Jestliže teď učitel jedno ze tří čísel utají, vznikne úloha: (a) 2 +  = ?, nebo (b) 2 + ? = 5, nebo (c) ? +  = 5. Učitel ji prezentuje takto:

(a) Učitel dá Adamovi stejný povel jako nahoře a Adam jej realizuje. Pak se učitel zeptá třídy: „Jaký jednodílný povel dáme Borisovi, aby opět stál vedle Adama?“

(b) Učitel velí: „Borisi, pět kroků dopředu, začni, teď!“ Boris povel uskuteční. Učitel řekne: „Chci dát Adamovi dvojdílný povel, aby opět stál vedle Borise. Povel bude: Adame, dva kroky dopředu, pak …“ (gestikulací vyzve žáky k dokončení povelu). Žáci: „… tři kroky dopředu, začni, teď!“ Adam povel realizuje, stojí vedle Borise a tím prověřil správnost řešení úlohy.

(c) Krokování s Borisem jako výše. Pak učitel řekne: „Chci dát Adamovi dvojdílný povel tak, aby opět stál vedle Borise. První díl povelu musíte dopovědět vy, já vám řeknu druhý díl, který bude: „… (gestikulace)… tři kroky dopředu, začni, teď.“ Žáci řeknou celý povel:

„Adame, dva kroky dopředu, pak tři kroky dopředu, začni, teď.“ Adam povel realizuje, stojí vedle Borise a tím prověřil správnost řešení úlohy. Žáci si zatleskají, že to vyšlo.

Je zřejmé, že nejsnadnější je úloha (a) – je to úloha na sčítání, náročnější je úloha (b) – je to úloha na dopočítávání, a nejnáročnější je úloha (c) – má již rovnicový charakter. Úlohy tohoto typu budeme nazývat krokové rovnice.

1.2 Desémantizace prostředí Krokování a Schody

Někteří žáci již v prvním ročníku umí řešit úlohy typu (a) až (c) bez krokování, pouze v představě. Ve vědomí těchto žáků se tím začíná proces desémantizace prostředí Krokování. Tomu jsou věnovány poslední tři etapy popisu implementace.

10. Krokové rovnice. Úlohy, které žáci řešili v předchozí etapě, byly formulovány pouze v jazyce slov a řešeny v jazyce kroků. Každé číslo bylo propojeno na počet kroků a základní podmínka byla dána požadavkem: „Boris má opět stát vedle Adama.“ Nyní lze formulovat úlohu beze slov. Přepisem do jazyka šipek měníme slova „dvě, tři, …“ na příslušné soubory šipek, slovo „pak“, nebo pauzu, která jej nahrazuje, měníme na svislou čáru, jak bylo již používáno v předchozích etapách, a navíc máme konvenci pro vyjádření, že Adam a Boris po odkrokování budou stát vedle sebe. Jména jsou zapsána s dvojtečkou, za níž následuje box, který reprezentuje celý povel. V části boxu je též umístěn otazník, který vyjadřuje dříve říkané: „Doplňte.“ Povely Adama a Borise jsou od sebe odděleny čárkou. Tato konvence může být realizována i tak, že povely jsou zapsány pod sebou.

Situace životní zkušenosti je transformována na situaci formalizovanou, ale stále ještě sémantizovanou, neboť jsou zde herci Adam a Boris.

(a) Adam: →→│→→→ , Boris: ?

(b) Adam: →→│ ? , Boris: →→→→→

(c) Adam: ? │→→→ , Boris: →→→→→

Tab. 1.1

V této etapě záznam uchovává všechny prvky základní vrstvy, ale dochází k postupnému osamostatňování znakových povelů. V další etapě dochází k postupnému útlumu sémantizace.

11. Desémantizace. Přechod od sémantického vnímání úloh typu (c) k jejich znakovému vnímání probíhá jak na úrovni zápisu, tak na úrovni řešitelského procesu.

Na úrovni zápisu dochází k odstraňování prvků, které nesou sémantické ukotvení úlohy, a zavádění prvků, které napomáhají formalizovanému vnímání úlohy. Proces lze rozložit do první a druhé formalizace. Při první formalizaci podstatná změna spočívá v nahrazení konvence znaménkem rovnosti, což způsobuje srozumitelnost úlohy pro matematicky orientovaného člověka. Slova Adam a Boris jsou nahrazena písmeny A a B. Druhá formalizace spočívá v abstrahování od sémantických poukazů. Přehledně je proces popsán v tabulce 1.2.

Výchozí situace Po 1. formalizaci Po 2. formalizaci

Adam: →→│→→→

Boris: ?

Adam: →→│ ?

Boris: →→→→→

Adam: ? │→→→

Boris: →→→→→

Tab. 1.2

Na úrovni řešitelského procesu je původní pohyb figuranta nejprve nahrazen simulací. Místo krokování figuranta žák pohybuje figurkou z Člověče, nezlob se!, nebo jenom prstem. Později i tento pohyb je vystřídán imaginací a přechodem ke strukturálnímu vnímání celé situace. Šipka pak ztrácí svůj původní význam a může být nahrazena třeba tečkou. Podstatný zůstává jen počet šipek, které v jednotlivých dílech úlohy vystupují. Žák, který se dostane na tuto abstraktní úroveň, zapisuje krokovou rovnici již pomocí číslic. Proces formalizace probíhá individuálně, u některého žáka k tomu dochází až na konci . ročníku, ale výjimeční jedinci jsou toho schopni již v 1. ročníku.

12. Rovnice v prostředí Krokování. Úlohy zavedené ve druhé formalizaci nazveme šipkové rovnice. Na tuto úroveň schématu krokování žák dospěje ve 2. ročníku, kde kromě rovnic uvedených v tab. 1.2 bude řešit i náročnější rovnice, např.

13. Soustavy rovnic v prostředí Krokování. Poslední etapa v prostředí Krokování se omezuje na matematicky komentovaný soubor úloh, které ilustrují bohaté didaktické možnosti. Uvedeme pouze rovnice s absolutní hodnotou formulované v jazyce šipek.

1. Řešte rovnici 3: ←←│? = ? │→ .

Vysvětlení: Číslo  uvedené na začátku říká, že do prázdných oken zápisu rovnice, které jsou zde označeny otazníky, je nutné vložit  šipky tak, aby vztah byl pravdivý; do žádného okna nelze dát šipky obou směrů. Jak to uděláte, aby rovnost platila?

Konvenční zápis rovnice: –2 + x = y + 1, │x│+│y│= .

2. Řešte rovnici 3: →→→│? = ? .

Konvenční zápis rovnice:  + x = y, │x│+│y│= .

. Řešte rovnici 5: →→→│?│→→ =

Konvenční zápis rovnice:  + x + 2 = –2

4. Řešte soustavu rovnic 6:

Vysvětlení: Máte k dispozici 6

označena otazníkem. Do žádného okna nelze dát šipky obou směrů. Jak to uděláte, aby obě rovnosti platily?

Konvenční zápis soustavy rovnic: 6 + x = 5 + y = 1 + z, │x│+│y│+│z│= 6.

Didaktické nástrahy prostředí

Ve dvou případech jsme evidovali neúspěšnou snahu učitele urychlit proces desémantizace.

V obou případech žáci sami uchránili učitele od této didaktické chyby. Proces neurychlili, zůstávali nadále u šipkového zápisu a krokování.

V několika případech jsme evidovali vypuštění celého prostředí. Podle názoru učitele je to časově příliš náročné procvičování jednoduchých úloh na sčítání a odčítání. Během doby, co žáci vyřeší jednu úlohu na krokování, je možné vyřešit deset i více podobných i náročnějších úloh zadaných formou „sloupečků“. Učitel nepochopil didaktický potenciál prostředí krokování a jeho žáci nebyli připraveni na záporná čísla, mínus před závorkou a řešení úloh o věku. Obšírně pojednané prostředí krokování s výhledem na prostředí Schody bylo jediné z prostředí, kterému jsme věnovali zvýšenou pozornost. Další prostředí již prezentujeme jen krátce.

1.3 Další tři sémantická prostředí

Představíme je v abecedním pořadí: Autobus, Děda Lesoň a Rodina.

1.3.1 Autobus

Před 40 lety mělo s jízdou autobusem osobní zkušenost více než 90 % našich žáků. I když dnes této zkušenosti ubývá, zatím jsme se nikde nesetkali s tím, že by bylo potřebné jízdu nějakým dopravním prostředkem dětem blíže vysvětlovat. Prostředí je zavedeno v 1. ročníku.

Hra simuluje cestování autobusem nebo tramvají na pravidelné lince, jež spojuje několik zastávek. Autobus je lepenková krabice a cestující jsou například plastové lahve. Zastávky jsou jistá místa ve třídě, jako stolek učitele, umyvadlo, mapa, tabule, skříň, klavír, … Autobus jede z výchozí zastávky na konečnou a na každé zastávce může někdo vystoupit a někdo nastoupit.

Vystupování a nastupování na každé zastávce zajišťuje výpravčí. Když výpravčí z krabice vybere láhev, zvedne ji nad hlavu a řekne: „Jeden cestující vystoupil.“ U druhé, případně další lahve, řekne: „Další cestující vystoupil.“ Pak z připravených lahví vybere jednu, zvedne ji nad hlavu, řekne „jeden cestující nastoupil“ a lahev pustí do krabice. Může pokračovat s dalšími lahvemi jako s nastupujícími. Poté řidič s autobusem odjede na další zastávku. Žáci vidí, jak cestující nastupují i vystupují, ale do autobusu (krabice) nevidí. Úkolem žáků je zapamatovat si celý proces jízdy, případně jej nějak zaznamenat. Po představení klade učitel otázky týkající se právě předvedené jízdy. Například:

Kolik cestujících dojelo na konečnou?

Kolik cestujících nastoupilo na zastávce U rybníka?

Na které zastávce vystoupilo z autobusu nejvíce cestujících?

Žáci postupně vylepšují způsob zápisu jízdy, až se začnou objevovat tabulky. Oficiální tabulka, kterou najdou později žáci v učebnici, vypadá například takto:

Nastoupili /// /// //// /

Tab. 1.3

Jeli /// //// /////// ////

Tab. 1.3

Z tabulky vidíme, že na zastávce B vystoupili 2 cestující, na zastávce D ubyli tři cestující a nejvíce cestujících jelo v autobuse v úseku od C do D.

Didaktický potenciál

Vytvořit potřebu žáka zaznamenat proces. Poznání, že když k uchování procesu nestačí paměť, je nutno hledat, jak jí pomoci. Tabulka není žákům nabídnuta, sami si vytváří různé způsoby záznamu procesu.

Z tabulky vidíme, že na zastávce B vystoupili 2 cestující, na zastávce D ubyli t i cestující a nejvíce cestujících bylo v autobuse v úseku od C do D.

Didaktický potenciál

Vytvo it pot ebu žáka zaznamenat proces. Poznání, že když k uchování procesu nesta í pam , je nutno hledat, jak jí pomoci. Tabulka není žák m nabídnuta, sami si vytvá í r zné zp soby záznamu procesu.

Dovést žáky k objevu tabulky jako účinného jazyka záznamu procesu. Záznamy žáků, které směřují k tabulce, se dostávají do popředí, až konečně žáci tabulku objeví.

Dovést žáky k objevu tabulky jako ú inného jazyka záznamu procesu. Záznamy žák , které sm ují k tabulce, se dostávají do pop edí, až kone n žáci tabulku objeví.

Obohatit žáka o specifické zkušenosti s číslem. V procesu se vyskytuje číslo jako utajený stav (počet cestujících v autobusu) i jako pomíjivý operátor změny (u vystupování a nastupování).

Obohatit zkušenosti žáka o specifické zkušenosti s íslem. V procesu se vyskytuje íslo jako utajený stav (po et cestujících v autobusu) i jako pomíjivý operátor zm ny (u vystupování a nastupování).

Připravit žáka na pochopení trojčlenky. Žák se na prvním stupni setkává pouze se situacemi, v nichž má ze dvou daných čísel najít číslo třetí. Sčítání, odčítání, násobení a dělení mají tento charakter. U trojčlenky v šestém nebo sedmém ročníku se žák poprvé setká se situací, ve které jsou provázána vzájemně čtyři čísla. Tato skutečnost je možnou příčinou potíží, které žáci s trojčlenkou mají. Na tuto situaci připravujeme žáka pomocí úloh z prostředí Autobus; jedná se o úlohy, v nichž jsou provázána čtyři čísla. Jsou to 4 čísla spojená s kteroukoli z průběžných zastávek: počet cestujících, kteří sem přijeli (P), počet těch, co ze zastávky odjeli (O), počet těch, co na této zastávce vystoupili (V), a počet těch, co nastoupili (N). Na diskutované zastávce v autobusu ubylo V – N cestujících; když je toto číslo záporné, pak na zastávce cestujících přibylo; „ubylo –5“ je totéž, co „přibylo 5“. Toto číslo lze vypočítat i jako rozdíl P – O. Tedy daná čtyři čísla jsou vázána vztahem V – N = P – O. Když kterákoli tři z těchto čísel jsou dána, čtvrté se dá zjistit.

P ipravit žáka na pochopení troj lenky. Žák se na prvním stupni setkává pouze se situacemi, v nichž má ze dvou daných ísel najít íslo t etí. S ítání, od ítání, násobení a d lení mají tento charakter. U troj lenky v šestém nebo sedmém ro níku se žák poprvé setká se situací, ve které jsou provázána vzájemn ty i ísla. Tato skute nost je možnou p í inou potíží, které žáci s troj lenkou mají. Na tuto situaci p ipravujeme žáka pomocí úloh z prost edí Autobus; jedná se o úlohy, v nichž jsou provázána ty i ísla. Jsou to 4 ísla spojená s kteroukoli z pr b žných zastávek: po et cestujících, kte í sem p ijeli (P), po et t ch, co ze zastávky odjeli (O), po et t ch, co na této zastávce vystoupili (V) a po et t ch, co nastoupili (N). Na diskutované zastávce z autobusu ubylo V – N cestujících; když je toto íslo záporné, pak na zastávce cestujících p ibylo; „ubylo -5“ je totéž, co „p ibylo 5“. Toto íslo lze vypo ítat i jako rozdíl P – O. Tedy daná ty i ísla jsou vázána vztahem V – N = P – O. Když kterákoli t i z t chto ísel jsou dána, tvrté se dá zjistit.

Didaktickou nástrahou prostředí je, že někdy u žáků dochází k myšlenkovému skoku. Ten spočívá v příliš rychlém přechodu od individuálních záznamů jízdy autobusu k tabulkovému záznamu z učebnice.

Didaktickou nástrahou prost edí

je, že n kdy u žák dochází k myšlenkovému skoku. Ten spo ívá v p íliš rychlém p echodu od individuálních záznam jízdy autobusu k tabulkovému záznamu z u ebnice.

1.3.2 D da Leso

1.3.2 Děda Lesoň

Prost edí je zavedeno na za átku 2. ro níku. U itel je uvede motiva ním p íb hem o d dovi Leso ovi, ochránci zví átek. Postupn je zavedeno 8 druh zví at. Každé zví e je reprezentováno obrázkem, ikonou, znakem (písmeno), hodnotou.

Prostředí je zavedeno na začátku 2. ročníku. Učitel je uvede motivačním příběhem o dědovi Lesoňovi, ochránci zvířátek. Postupně je zavedeno 8 druhů zvířat. Každé zvíře je reprezentováno obrázkem, ikonou, znakem (písmeno), hodnotou.

M = Myš = 1, K = Ko ka = 2, H = Husa = 3, P = Pes = 4,

G = Koza = 5, B = Beran = 6, C = Kráva = 10, O = O (k ) = 20. íselnou hodnotu zví at nezavádíme, žáci ji po jisté dob objeví sami. Hodnotu zavádíme vztahy, které jsou v ikonické podob na obrázku 1.1. Ve znakovém

Obr. 1.1

M = Myš = 1, K = Kočka = 2, H = Husa = , P = Pes = 4, G = Koza = 5, B = Beran = 6, C = Kráva = 10, O = Oř (kůň) = 20.

Číselnou hodnotu zvířat nezavádíme, žáci ji po jisté době objeví sami. Hodnotu zavádíme pomocí vztahů, které jsou v ikonické podobě na obrázku 1.1. Ve znakovém jazyce je obrázek

1.1 přepsán do sedmi rovností:

K = MM, H = KM, P = HM, G = PM, B = GM, C = GG, O = CC.

jazyce je obrázek 1.1 p epsán do sedmi rovností:

K = MM, H = KM, P = HM, G = PM, B = GM, C = GG, O = CC.

Ikonky vytvo ili žáci 2. ro níku výtvarné t ídy na ZŠ Jind išská v Praze. Obr. 1.1

Ikonky vytvořili žáci 2. ročníku výtvarné třídy na ZŠ Jindřišská v Praze. Výtvarně do učebnice zvířátka pojednala Dana Raunerová. V učebnici jsou zvířata vyvedena v barvě. Na obrázku 1.2 je prvních pět zvířat.

Výtvarn do u ebnice zví átka pojednala Dana Raunerová. V u ebnici jsou zví ata vyvedena v barv . Na obrázku 1.2 je prvních p t zví at

Obr. 1.2

Obr. 1.2

Didaktický potenciál

Didaktický potenciál

Žák v jediné situaci vidí číslo jako počet i číslo jako veličinu. Žák získává zkušenosti, že termín „velikost družstva“ je nutné upřesnit a že je třeba mluvit buď o počtu členů družstva, nebo o síle družstva. Žák poznává například, že družstvo KKK a družstvo HH mají různý počet členů, ale stejnou sílu, nebo dokonce, že jednoprvkové družstvo G je silnější než tříprvkové družstvo MMM. Dodejme, že podobný jev žák objevuje, když zjistí, že termín „velikost trojúhelníka“ je vágní. Existují například dva trojúhelníky, z nichž jeden má větší obvod a druhý zase větší obsah.

Žák v jediné situaci vidí íslo jako po et i íslo jako veli inu. Žák získává zkušenosti, že termín „velikost družstva“ je nutné up esnit a že je t eba mluvit bu o po tu len družstva nebo o síle družstva. Žák poznává nap íklad, že družstvo KKK a družstvo HH mají r zný po et len , ale stejnou sílu, nebo dokonce, že jednoprvkové družstvo G je siln jší než t íprvkové družstvo MMM. Dodejme, že podobný jev žák objevuje, když zjistí, že termín „velikost trojúhelníka“ je vágní. Existují nap íklad dva trojúhelníky, z nichž jeden má v tší obvod a druhý zase v tší obsah.

Žák eší modelové rovnicové situace. O masopustu se utkala dv stejn silná družstva KK a MX. Zde X je zví átko schováno za maskou a žák má zjistit, že to je husa. Situace modeluje rovnici 2 + 2 = 1 + x. Nebo rovnice 3x + 1 = 5 + 5 je modelována situací MXXX = GG. Zde znak rovnosti zna í, že družstva jsou stejn silná. Nebo soustava rovnic x + y = 5, x = 1 + y je modelována dvojicí utkání XY = G, X = YM, kde za ob ma maskami X je stejné zví átko a za ob ma maskami Y také.

Žák řeší modelové rovnicové situace. O masopustu se utkala dvě stejně silná družstva KK a MX. Zde X je zvířátko schováno za maskou a žák má zjistit, že to je husa. Situace modeluje rovnici 2 + 2 = 1 + x. Nebo rovnice x + 1 = 5 + 5 je modelována situací MXXX = GG. Zde znak rovnosti značí, že družstva jsou stejně silná. Nebo soustava rovnic x + y = 5, x = 1 + y je modelována dvojicí utkání XY = G, X = YM, kde za oběma maskami X je stejné zvířátko a za oběma maskami Y také.

Žák odhaluje pravidla na ekvivalentní úpravu rovnic a soustav rovnic. Rovnici KK = MX eší žák ve t ech krocích:

1. Vym ní K za MM a dostane rovnici KMM = MX (použití substituce).

Žák odhaluje pravidla na ekvivalentní úpravu rovnic a soustav rovnic. Rovnici KK = MX řeší žák ve třech krocích:

2. Z obou stran odstraní X a dostane KM = X (stejná zm na obou stran rovnice).

1. Vymění K za MM a dostane rovnici KMM = MX (použití substituce).

3. Vym ní KM za H a má ešení X = H.

2. Z obou stran odstraní M a dostane KM = X (stejná změna obou stran rovnice).

Složit jší postup použije žák p i ešení soustavy rovnic XY = G, X = YM:

. Vymění KM za H a má řešení X = H.

1. Z druhé rovnice dosadí do první a získá YMY = G.

2. Vym ní G za MP a dostane YYM = MP.

Složitější postup použije žák při řešení soustavy rovnic XY = G, X = YM:

1. Z druhé rovnice dosadí do první a získá YMY = G.

3. Z obou stran rovnice odstraní M a dostane YY = P.

2. Vymění G za MP a dostane YYM = MP.

4. Vym ní P za KK a dostane YY = KK.

. Z obou stran rovnice odstraní M a dostane YY = P.

5. Odtud má ešení Y = K.

4. Vymění P za KK a dostane YY = KK.

6. Po jeho dosazení do druhé rovnice má X = KM = H.

Didaktické nástrahy prost edí

Ve více p ípadech jsme zaznamenali úsilí u itel , ale ješt ast ji rodi , urychlit práci v prost edí p episem zví átek na ísla: M = 1, K = 2, H = 3,… Pr vodním jevem této

5. Odtud má řešení Y = K.

6. Po jeho dosazení do druhé rovnice má X = KM = H.

Didaktické nástrahy prostředí

Ve více případech jsme zaznamenali úsilí učitelů, ale ještě častěji rodičů, urychlit práci v prostředí přepisem zvířátek na čísla: M = 1, K = 2, H = , … Průvodním jevem této transformace je snížení manipulativní činnosti s ikonkami. Tím se ztrácí sémantické rozlišení počtu a veličiny. Například znak KK představuje počet 2 a veličinu 4. V zápise 2 + 2 = 4 dítě vidí vztah čísel, nikoliv odlišnost počtu a veličiny. Podobně sémantická identita KKK = HH je po převodu do čísel identitou strukturální  · 2 = 2 · . Dalším důsledkem tohoto nežádoucího přepisu je ochuzení životní zkušenosti dítěte s mentální operací substituce a s ekvivalentními úpravami rovnic. Pokud ale s tímto objevem přijde žák, převezmou jej ti spolužáci, u nichž je vztah počtu a veličiny již dobře upevněn a kteří jsou schopni kdykoliv zpětně pod strukturálním vztahem vidět vztah ikon.

transformace je snížení manipulativní innosti s ikonkami. Tím se ztrácí sémantické rozlišení po tu a veli iny. Nap íklad znak KK p edstavuje po et 2 a veli inu 4. V zápise 2 + 2 = 4 dít vidí vztah ísel, nikoliv odlišnost po tu a veli iny. Podobn sémantická identita KKK = HH je po p evodu do ísel identitou strukturální 3 · 2 = 2 · 3.3 Dalším d sledkem tohoto nežádoucího p episu je ochuzení životní zkušenosti dít te s mentální operací substituce a s ekvivalentními úpravami rovnic. Pokud ale s tímto objevem p ijde žák, p evezmou jej ti spolužáci, u nichž je vztah po tu a veli iny již dob e upevn n a jsou schopni kdykoliv zp tn pod strukturálním vztahem vid t vztah ikon.

1.3.3 Rodina

1.3.3 Rodina

S prostředím rodiny má každé dítě osobní zkušenosti. Bohužel někdy bolavé. To vyžaduje od učitele jednak znalost rodinného zázemí každého žáka, jednak citlivý přístup tam, kde hrozí nebezpečí, že se některá úloha, nebo analýza situace dotkne některého žáka. Proto máme v učebnici fiktivní rodokmen rodin Klosových a Malých, ke kterým ve . ročníku přibude rodina Brody. Na obrázku 1. je fragment rodokmenu z dílny ilustrátora Lukáše Urbánka.

Obr. 1.3

S prost edím rodiny má každé dít osobní zkušenosti. Bohužel n kdy bolavé. To vyžaduje od u itele jednak znalost rodinného zázemí každého žáka, jednak citlivý p ístup tam, kde hrozí nebezpe í, že se n která úloha, nebo analýza situace dotkne n kterého žáka. Proto máme v u ebnici fiktivní rodokmen rodin Klosových a Malých, ke kterým ve 3. ro níku p ibude rodina Brody. Na obrázku 1.3 je fragment rodokmenu z dílny ilustrátora Lukáše Urbánka.

Úlohy z tohoto prost edí jsou dvou typ : po etní, které se týkají v ku osob v rodokmenu, p ípadn událostí v rodin (narození, svatba) a vztah . Práv úlohy o vztazích jsou zde ty zásadní. Slovo „matka“ je chápáno jako relace mezi dv ma osobami. Ozna íme ji ma a výrok

AmaB teme „A je matkou osoby B“. Podobn m žeme relaci otec ozna it ot, relaci dít ozna it dí, relaci sestra ozna it se atd. To umož uje p irozeným zp sobem skládat relace. Nap íklad když je AmaB a sou asn BotC, pak A je otcova matka osoby C, což zapíšeme AmaootC.

Úlohy z tohoto prostředí jsou dvou typů: početní, které se týkají věku osob v rodokmenu, případně událostí v rodině (narození, svatba), a vztahů. Právě úlohy o vztazích jsou zde ty zásadní. Slovo „matka“ je chápáno jako relace mezi dvěma osobami. Označíme ji ma a výrok AmaB čteme „A je matkou osoby B“. Podobně můžeme relaci otec označit ot, relaci dítě označit dí, relaci sestra označit se atd. To umožňuje přirozeným způsobem skládat relace. Například když je AmaB a současně BotC, pak A je otcova matka osoby C, což zapíšeme AmaotC.

Tato symbolika se v u ebnicích pro 1. stupe nevyskytuje. Zde je vše popsáno slovy. Up esn né jsou termíny švagr, švagrová, synovec a nete . V tšina úloh se týká rozhodování o pravdivosti výrok typu: „Vnu ka mojí babi ky je moje sestra.“

Didaktický potenciál

Tato symbolika se v učebnicích pro 1. stupeň nevyskytuje. Zde je vše popsáno slovy. Upřesněné jsou termíny švagr, švagrová, synovec a neteř. Většina úloh se týká rozhodování o pravdivosti výroků typu: „Vnučka mojí babičky je moje sestra.“

Znalosti a zkušenosti, které žák p i práci s prost edím Rodina získává, mají propedeutický charakter. P ipravují jazyk množin, relací a zobrazení.

 Podobný posun mezi sémantickým a strukturálním vnímáním operace je pro aditivní situaci uveden v 4.4.1.

� Podobný posun mezi sémantickým a strukturálním vnímáním operace je pro aditivní situaci uveden v 4.4.1.

Obr. 1.3

Didaktický potenciál

Znalosti a zkušenosti, které žák při práci s prostředím Rodina získává, mají propedeutický charakter. Připravují jazyk množin, relací a zobrazení.

Žák se učí tvořit rodokmen a pracovat s tímto nástrojem. Všechny výše uvedené relace lze v rodokmenu vizualizovat a upřesňovat. Například žák zjistí, že otcův otec je dědeček, ale není pravda, že dědeček = otcův otec, neboť dědeček = otec rodiče.

K popisu rodokmenu je vhodný jazyk množin. V tomto prostředí přirozené a účinné uplatnění nacházejí základní pojmy jako sjednocení, průnik, rozdíl nebo komplement. Ale i pojmy náročnější jako relace, inverzní relace, skládání relací nebo kartézský součin. Tak k relaci rodič inverzní relace je dítě, ale k relaci otec není inverzní relace syn, jak žáci často předpokládají.

Když zjistí, že inverzní relace k relaci syn je rodič muže, jsou překvapeni.

O prostředí Rodina se píše též v 4.6.2.

U tohoto prostředí jsme žádné didaktické nástrahy nezaznamenali. Někteří učitelé toto učivo přeskakují. To nemá žádné negativní dopady na 1. stupni. Dále pak budou žáci ochuzeni o zkušenosti se skládáním relací.

1.4 Pět strukturálních prostředí

Opět je uvádíme v abecedním pořadí: Algebrogramy, Násobilkové čtverce, Součtové trojúhelníky, Sousedé, Šipkové grafy.

1.4.1 Algebrogramy

Asi myšlenkově nejnáročnější prostředí, s nímž se žák na 1. stupni setká. Když ve vztahu 6 + 6 = 42 zašifrujeme číslice  a 6 písmeny A a B, dostaneme zápis AB + B = 42. Takový zápis nazýváme algebrogram. Přitom za stejnými písmeny se skrývá stejná číslice, za různými písmeny různé číslice. U dvojmístných kódovaných čísel jako jsou AB, nesmí být první číslice nula. Stejně u vícemístných kódovaných čísel první číslice není nula. Vyřešit algebrogram znamená najít číslice, které se za písmeny skrývají. Přesněji najít všechna možná řešení. Některé algebrogramy mohou mít více řešení. Tak náš algebrogram AB + B = 42 má kromě výše uvedeného i řešení: 41 + 1 = 42.

Didaktický potenciál

Vést žáky k mnohému počítání, které žák nepociťuje jako nudu. Algebrogramy lze řešit metodou pokus-omyl, protože každé písmeno může nabývat nejvýše 10 hodnot: 0, …, 9. Například u algebrogramů DD = D D + D D + D a EE = E E + E E – E žák již po pěti šesti pokusech obyčejně objeví řešení D = 5, E = 6. Udělá u toho 10 násobení a 10 sčítání. U složitějších algebrogramů jako HH ⋅ HH = FFGG je to hledání náročnější.

Dát žákům vhled do desítkové soustavy. U zmíněného algebrogramu AB + B = 42 žáci rychle najdou řešení AB = 41, ale jsou překvapeni řešením AB = 6. Po nabytí zkušeností ale podobné úlohy řeší již bez problémů.

Rozvíjet kombinatorické myšlení žáků. Některé úlohy mají početnější soubor řešení. Například

algebrogram JJ = (K + L) J má až 64 řešení, které lze ale přehledně zapsat: J nabývá postupně

hodnot 1, 2, …, 9. Pak je K + L = 11 a tento vztah má 8 řešení KL = 29, 8, …, 92. Celkem je to 9 ⋅ 8 = 72 řešení. Jenže podmínka K ≠ J ≠ L osm z nich vyloučí.

Rozvíjet argumentační myšlení žáků. Například dokázat neřešitelnost algebrogramu M + M +  = = (N + N) ⋅ P lze stěží probráním všech možností. Zde musí žák objevit jisté zákonitosti. Objeví například, že číslo M + M +  je liché a číslo (N + N) P sudé.

O algebrogramech se píše též v .5.7. U tohoto prostředí jsme žádné didaktické nástrahy nezaznamenali. Někteří učitelé toto učivo přeskakují. To zpomaluje rozvoj schématu číslo v desítkové soustavě.

1.4.2 Násobilkové čtverce

Na obrázku 1.4 je násobilkový čtverec. Má 4 rohová čísla (7, 2, , 6) a čtyři středová čísla (14, 12, 18, 21). Každé středové číslo je součinem svých krajních rohových čísel. Poslední, deváté číslo, které do obrázku nepíšeme, ale někteří žáci jej v kroužku zapisují do středu čtverce, je součet S čtyř čísel středových. Na obrázku 1.4 je to 65. Když jsou dána čtyři rohová čísla, snadno se dopočítají čísla středová i S. Zajímavé úlohy vznikají, když jsou dána jen některá rohová čísla a jsou doplněna čísly středovými nebo číslem S.

Obr. 1.4

Didaktický potenciál

Vést žáky k mnohému počítání, které žák nepociťuje jako nudu. Víme, že horní středové číslo je 75, levé středové je 147 a jedno ze zbylých dvou středových čísel je 92. Máme najít všechna scházející čísla. Úloha má jediné řešení, ale než jej žák najde, musí udělat mnoho výpočtů. Horní levé rohové číslo je . Dolní pravé rohové číslo je 8.

Vést žáky k odhalení dvou závislostí, které se v prostředí objevují. Jsou to rovnosti:

H · D = L · P a S = (HP + DL) · (HL + DP), kde H, D, L, P označují středová čísla: horní, dolní, levé, pravé a HP, HL označují rohová čísla horní pravé a horní levé; analogicky DP a DL pro dolní. Odhalení druhé z uvedených rovností je hluboký objev distributivity.

Seznámit žáky s metodou uvolňování parametru. Jedná se o objevování generického modelu cíleně vytvořenou sérií gradovaných úloh, které vedou k objevu izolovaných modelů. Metodu osvětlíme na objevování výše uvedeného vztahu pro výpočet čísla S. K hlavnímu objevu dovedeme žáka pomocí série dílčích objevů.

Nejprve žák řeší sérii úloh, v nichž tři rohová čísla jsou 1 a čtvrté – pravé dolní – nabývá postupně hodnot 1, 2, , … Žák zjistí, že číslo S nabývá hodnot 4, 6, 8, … Z těchto poznatků žák vyvodí vztah: je-li pravé dolní číslo n, pak S = 2 (n + 1).

Obě horní rohová čísla zůstanou rovná 1 a levé dolní změníme na 2. Opět necháme pravé dolní probíhat hodnoty 1, 2, , … Žák zjistí, že číslo S nabývá hodnot 6, 9, 12... Z těchto poznatků žák vyvodí vztah: je-li pravé dolní číslo n, pak S =  (n + 1).

Obě horní rohová čísla zůstanou rovná 1 a levé dolní změníme na . Opět necháme pravé dolní probíhat hodnoty 1, 2, , … Teď číslo S nabývá hodnot 8, 12, 16, … Z těchto poznatků žák vyvodí vztah: je-li pravé dolní číslo n, pak S = 4 (n + 1).

Z dílčích výsledků S = 2 ⋅ (n + 1), S =  ⋅ (n + 1) a S = 4 ⋅ (n + 1) předchozích tří sérií žák odhalí obecnější zákon: Jsou-li horní rohová čísla rovná 1 a dolní rohová m a n, pak je S = (m + 1) ⋅ (n + 1).

Další série úloh ponechá pouze horní pravé rohové číslo rovné 1 a horní levé změní na 2. V této chvíli již žák tuší, že pro tuto situaci je S = (m + 1) ⋅ (n + 2). Hypotézu prověří na několika případech, a když se tato ukáže jako pravdivá, je velice pravděpodobné, že hned žák vysloví obecné tvrzení o součtu S. K tomuto poznání jsou na prvním stupni schopni dojít pouze jedinci.

I tito potřebují k objevu nejméně dva roky.

O násobilkových čtvercích se píše v 2.6.11.

Didaktické nástrahy prostředí

Jakmile učitel nebo rodič prozradí žákům vztah H · D = L · P, nebo dokonce náročnější vztah

S = (HP + DL) · (HL + DP), ztrácí toto prostředí zcela svůj objevitelský potenciál a stává se víceméně prostředím s rutinními úlohami. Naštěstí jsme zatím tento nežádoucí jev nikde nezaznamenali.

1.4.3 Součtové trojúhelníky

a b c d e f Obr. 1.5a Obr. 1.5b

a b c d e f g h i j

Toto prostředí je známé již dávno a nacházíme je i v jiných učebnicích. Nemusíme je popisovat. Na obrázku 1.5a je trojúhelník třetího řádu, který má v horní řádce  čísla. Na obrázku 1.5b je trojúhelník čtvrtého řádu, který má v horní řádce 4 čísla.

Didaktický potenciál

Vést žáky k mnohému počítání, které žák nepociťuje jako nudu. K mnohému počítání vedou

úlohy, ve kterých jsou různými podmínkami dány celé soubory potenciálních řešení, jež je zapotřebí kontrolovat. Například zjistit, kolik existuje trojúhelníků řádu 4, pro něž je f = 7, dolní číslo je dělitelné  a součet všech 10 čísel trojúhelníka je menší než 80.

Vést žáky k odhalení závislostí, které se v prostředí objevují. Najít trojúhelník řádu , pro který je a + e + 1 = c + d. Po neúspěšných pokusech žák odhalí závislost a + e = c + d. Najít trik, jak ze znalosti čísel a, c, f najít číslo b. U trojúhelníku řádu 4 hlavní závislost je dána vztahem j = a + d + 3f.

Dávat žákům konceptuální porozumění operaci sčítání a odčítání. Budovat v jejich vědomí aditivní triády. Myšlenka je rozvinuta v příběhu .5.

Modelovat rovnice i soustavy rovnic. V řešení takových úloh jsou někdy žáci 4. ročníku výrazně úspěšnější než žáci 7. ročníku. Čtvrťáci řeší metodou pokus-omyl a po nevelkém počtu pokusů řešení najdou. Žáci 7. ročníku se snaží používat rovnice a v úpravách se ztratí. Příklad náročné úlohy: Řešte trojúhelník řádu , když víte, že b + f = 20, a + e = 10, c = .

Rozvíjet zkušenosti se zápornými čísly. První chápání záporného čísla získává žák v prostředí Krokování, kde znakem pro záporné číslo je soubor šipek orientovaných vlevo. Později v prostředí Schody se objeví i záporná čísla psaná pomocí číslic. Zde v trojúhelnících začíná žák pracovat se zápornými čísly bez podpory sémantického kotvení. Tak v trojúhelníku řádu , pro který je a = 4, c = 5, f = 7, vychází b = –1.

Rozvíjet zkušenosti se zlomky. Je to stejné jako se zápornými čísly. I zlomky, které byly v představě žáka podepřené sémantickými zkušenostmi, se zde této podpory zbavují a začínají existovat jako běžná čísla. V trojúhelníku řádu , pro který je a = 2, c = , f = 6, vychází b = 1/2. V trojúhelníku řádu 4 lze tvořit úlohy, u nichž v zadání vystupují pouze přirozená čísla a ve výsledcích se objevují třetiny. U trojúhelníků řádu 5 lze dojít nejen k polovinám a třetinám, ale i čtvrtinám a šestinám. U trojúhelníku řádu 6 se objeví desetiny, a proto tyto úlohy jsou vhodné k práci s desetinnými čísly.

O součtových trojúhelnících se píše v 2.6.11 a .2.4.

Didaktické nástrahy prostředí

spočívají podobně jako u předešlých prostředí v prozrazení některých zákonitostí, které v trojúhelnících platí. Několik takových prozrazení ze strany rodiče jsme zaznamenali, ale s radostí jsme konstatovali, že většina žáků nabízenou instrukci nepoužila.

Stejné zkušenosti máme i u posledních dvou prostředí.

1.4.4 Sousedé

Prostředí je obšírně pojednáno v .2.6 až .2.10 a není třeba je zde zavádět. Tam, zejména v .2.9, je zevrubně diskutován i didaktický potenciál prostředí, proto zde uvádíme pouze stručný sumář hlavních položek.

Didaktický potenciál

1. Dávat žákům konceptuální porozumění operaci sčítání; budovat v jejich vědomí aditivní triády.

2. Dávat žákům příležitost k objevům.

 Vést žáky k získávání zkušeností s procesuálním i konceptuálním jevem periodicity.

4. Rozvíjet zkušenosti žáků s jevy kombinatoriky.

5. Rozvíjet zkušenosti žáků s jevy optimalizace.

1.4.5 Šipkové grafy

Obr. 1.6

Prostředí je velice blízké známějšímu prostředí Hadi. Jedná se o grafické ztvárnění rovnic typu 2 x = x + 60 + 6 (viz obr. 2.7 v odstavci 2.6.11), nebo trochu složitějších rovnic typu 2 x + 4 = (x – 1) . Tato rovnice je vizualizovaná šipkovým grafem na obrázku 1.6. Obsahuje dva multiplikativní operátory: severní ⋅ 2 a jižní ⋅ , a dva aditivní operátory: západní – 1 a východní + 4. Řešitel do levého horního rohu za x dosazuje postupně různá čísla a pokaždé vypočítá číslo v pravém dolním rohu oběma způsoby: severo-východním 2 x + 4 a západo-jižním (x – 1) . U čísla x = 7 je výsledek obou cest stejný – je to 18. Tím je rovnice vyřešena.

Didaktický potenciál

1. Vést žáky k mnohému počítání, které nepociťují jako nudu. Opakující se didaktický záměr je přítomen ve všech prostředích, kde žák k řešení kalkulativní úlohy používá metodu pokusomyl. Jen zřídka se stane, že žák trefí řešení napoprvé. Většinou dělá pokusů více. Na druhé straně vzniká u žáka potřeba zefektivnit hledání, a tak si po jisté době plné mnoha výpočtů začne hledat účinné strategie.

2. Vést žáky k objevu řešitelské strategie „přehled výsledků“. Žák, který úlohu z obr. 1.6 řeší metodou systematické evidence výsledků pokus-omyl, si vytvoří tabulku, která mu ulehčí počítání.

Žák si všimne, že v řádce S-V čísla narůstají po 2 a v řádce Z-J po . Vypočte tedy pouze první tři sloupce a dále tabulku doplní na základě odhaleného procesuálního generického modelu (viz odstavec 2.5).

. Vést žáky k objevu linearity výrazů ax + b. Za nejdůležitější vlastnost linearity z didaktického hlediska považujeme tvrzení: Když jsou známy dvě hodnoty lineárního výrazu, tak jsou známy hodnoty všechny. (*) Žák, který objeví procesuální generický model popsaný výše, ještě neví, že platí tvrzení (*), které je konceptuálním generickým modelem. Z něj totiž žák pak vyvodí efektivní strategii řešení lineární rovnice.

4. Vést žáky k objevu řešení linearní rovnice „strategií diference“. Metoda spočívá na aplikaci tvrzení (*). Zjistíme rozdíl d výsledků cest S-V a Z-J, tedy číslo d = (S-V) – (Z-J). Když to uděláme pro x = 0 a x = 1, najdeme d = 7 a d = 6. Naším přáním je najít x, pro které je d = 0. Z výchozí situace x = 0, d = 7 se do kýžené situace dostaneme po 7 korcích. Pak bude x = 7. Vše názorně eviduje tabulka.

5. Ukázat žákům vizualizaci jistých algebraických úprav. Když na obrázku 1.6 číslo 2 změníme na  a číslo +4 na -, dostaneme rovnici, pro kterou každé x je řešením. Tedy dostaneme identitu (x – 1)  = x  – . Když žáci zjistí, že takového podivné „rovnice“ jsou vlastně identity, dostanou úlohu: Jak máme v šipkovém grafu na obrázku 1.7 volit čísla a, b, aby každé x bylo řešením grafu?

x a

+b +2

Obr. 1.7

Pomocí těchto úloh žáci odhalí identitu (x + c) ⋅ d = x ⋅ d + c ⋅ d.

2 Teorie generického modelu

Dvě hlavní a léta přetrvávající bolesti vyučování matematice jsou: špatný vztah žáků k matematice a nízké porozumění žáků matematickým pojmům, vztahům, procesům a situacím. Celosvětová iniciativa ze sedmdesátých let minulého století, která byla zaměřena na odstranění druhé z uvedených bolestí, silně změnila obsah vyučování matematice na prvním stupni. Do škol byly zavedeny množiny. Prvotní velký úspěch iniciativy měl zřejmě původ v tvořivém přístupu učitelů. Ti se sami museli nové věci učit. Matematiku nepředkládali žákům jako hotovou věc, ale společně ji se žáky objevovali. Když ale učitelé množiny zvládli, ve vyučování ubývalo diskusí a učitelé začali svoji práci ekonomizovat. Začali žákům předkládat vzorové postupy a žádali od nich, aby si návody osvojili. Žáci ztratili dřívější intelektuální autonomii, a proto se jejich nadšení pro matematiku postupně začalo vytrácet. Od množin se postupně upouštělo. Vyučování se vrátilo do tradičních kolejí. Tento scénář se odehrál v mnoha zemích světa.

Poučení, které jsme z množinové zkušenosti získali, ukazuje na

• klíčovou roli učitele – je-li tvořivý on, tvořiví jsou i jeho žáci

• neschůdnost cesty odstraňovat přetrvávající bolesti změnou obsahu výuky

• nutnost zaměřit se na práci učitele a na poznávací procesy žáků.

Tato kapitola je věnována právě poznávacím procesům žáků, procesům, které probíhají v hlavách žáků, když se učí matematice.

Ve vstupním odstavci 2.1 diskutujeme dvě kognitivní potence, které prostupují většinu teorií zabývajících se poznáváním matematiky – proces a koncept. Odstavce 2.2 až 2.6 jsou věnovány popisu teorie generického modelu.

Teorie generických modelů je vytvořena jako aplikace kinetické psychologie Víta Hejného, která uchopuje matematické myšlení člověka pomocí pojmu matematický orgán. Tomuto pojmu je věnován poslední odstavec 2.7.

2.1 Proces a koncept

Již předsókratovská filosofie formulovala polaritu neměnnosti a změny. Je podstatou vesmíru proměna, nebo stálost? Temný filosof Hérakleitos z Efesu (?544–?48) výrokem πάντα ῥεῖ (panta rhei – vše se mění) – zdůrazňuje permanentní proměnlivost světa. Říká, že nelze dvakrát vstoupit do stejné řeky. Jeho současník Parmenides z Eley (?540–?470) rozlišuje „učení pravdy“, podle něhož existuje jediné neměnné, nedělitelné a věčné bytí, a „učení názoru“ domnívající se, že existuje mnohost a změna. Hérakleitos představuje procesuální a Parmenides konceptuální vnímání světa.

Objevný pohled Charlese Darwina na živou přírodu zpochybnil přesvědčení, že vše, co je dnes, bylo tak již u stvoření Světa. Darwin ukázal, že vše, co je dnes na Zemi, je produktem dlouhého vývoje, produktem procesu, který podléhá permanentní změně. Darwin popsal princip, který tuto změnu řídí, a nazval jej přirozený výběr.

Metaforicky lze matematické poznání žáka vnímat jako stále se měnící mentální strukturu, která prochází mnoha změnami. K tomu, abychom mohli tento proces účinně usměrňovat, potřebujeme znát to, co uvedené změny řídí. Potřebujeme vědět, jaké procesy vedou k jakým konceptům a jak tyto koncepty iniciují nové procesy.

2.1.1 Koncept jako produkt procesu

Adjektivum procesuální označuje dynamické obsahy vědomí, tedy ty, v nichž rozhodující roli hraje plynutí času. Slovo konceptuální označuje statické, nadčasové obsahy, či stavy našeho vědomí.

Když se dítě naučí říkanku „jeden, dva, tři, …“, zvládne proces, který mu umožní zjistit počet prvků malé množiny, tedy koncept. Tento jednoduchý fakt stojí u zrodu mnoha studií věnovaných didaktice matematiky. Podle našich vědomostí první, kdo do didaktiky matematiky přenesl filosofickou tezi o vztahu změny a stálosti, byl maďarský didaktik Zoltán Dienes (1960). Ukázal, že mnoho pojmů matematiky se vyvinulo z činností. Mentální pohyb

činnost → objekt, neboli proces → koncept (*) byl, zejména od poloviny sedmdesátých let minulého století, zkoumán jak z hlediska základního výzkumu (kognitivní typy, poznávací mechanizmy, pojmotvorný proces, pojmové mapy, …), tak z hlediska aplikací (tvorba kurikula, tvorba učebnic, edukační postupy, …). Nosné jevy této problematiky byly u různých autorů nazývány různě a často byl i jejich význam mírně posunut. Například R. B. Davis (1975) mluví o dualitě proces – produkt, J. Anderson (198) mluví o poznání procedurálním a deklarativním, J. Kaput (1982) o entifikaci, A. Sfard (1989) o reifikaci, E. Graye a D. Talla (1994) o proceptu, E. Dubinsky (1991) o encapsulaci, B. Wollring (1999) rozpracovává tezi (*) v oblasti geometrie do didaktického nástroje atd.

Všechny tyto a mnohé další studie popisují nebo ilustrují mechanizmus, kterým se z opakovaných procesů vytváří ve vědomí nový koncept. Příkladový materiál je bohatý, obsahuje poznatky od předškolního věku přes didakticky náročné koncepty, jako jsou zlomek nebo záporné číslo, až po základy infinitezimálního počtu.

Odhalování, popis a analýza posunů (*) probíhajících při učení se matematice je první metodologický princip většiny současných výzkumů zaměřených na zkoumání procesu poznávání matematiky. Druhý princip, inspirovaný J. Piagetem, spočívá v etapizaci procesu. Poznávací proces je rozkládán do etap a zkoumány jsou zejména mechanizmy přechodu z nižší etapy na etapu vyšší.

Z přístupů, které osvětlují řešitelské, pojmotvorné i argumentační jevy s použitím zmíněné polarity, zde uvedeme dva:

• Teorii reifikace A. Sfard, která ukazuje, jak se z operacionalistického (procesuálního) poznání tvoří poznání strukturální (koncept).

• Teorii proceptu E. Graye a D. Talla, která k posunu (*) přidává sémiotický objekt – znak jako prvek stmelující procesuální a konceptuální vnímání aritmetického jevu. Termín procept, který je centrem teorie, je vytvořen jako amalgám slov process a concept.

2.1.2 Koncept jako výzva k procesu

Čtyřletá Nelinka již zná říkanku „jedna, dva, tři, čtyři“. Požádáme ji, aby řekla, kolik je židlí kolem stolu. Dívka běží kolem stolu, každé židle se dotkne a říká říkanku. Opakujeme otázku a dítě opakuje počítání. Ani poprvé, ani podruhé neřekne, že židle jsou čtyři, protože si myslí, že na otázku „kolik?“ má spustit říkanku. Neví, že říkanka je pouze nástroj zjištění počtu, že poslední slovo říkanky je to hlavní, co hledáme, totiž počet prvků počítané množiny. Východiskem myšlenkového pohybu dítěte byl koncept (objekt) – množina židlí kolem stolu. Následný proces (činnost) bylo počítání. Zde tedy jde o mentální pohyb objekt → činnost neboli v současné terminologii koncept → proces, (**) který je opačný k pohybu (*) zkoumanému v předcházející kapitole.

Kdyby dítě proces počítání ukončilo odpovědí „židle jsou čtyři“, představovalo by slovo „čtyři“ nový koncept. Je to nově uchopený původní koncept souboru židlí. Nové je to, že víme, že židle jsou čtyři. Tím se mentální pohyby (**) a (*) spojily do řetězce objekt → činnost → objekt neboli koncept → proces → koncept (***)

Vstupní koncept řetězce je jiný než koncept výstupní. Výstupní koncept je bohatší o poznání, které přinesl předchozí proces. Převážná většina matematických úloh, a to nejen na základní škole, vede žáka k myšlenkovému pohybu znázorněnému v (***). Uveďme čtyři příklady.

1. Nápis 5 +  – 1 = ? je vstupní koncept. Výpočet je proces. Výsledek 7 je výstupní koncept.

2. Rovnice  = 4x – 5 je vstupní koncept. Proces řešení vyústí k zjištění, že x = 2, a tato rovnost je výstupní koncept.

. D(16,15), tj. největší společný dělitel čísel 16 a 15 je vstupní koncept. Euklidův algoritmus, kterým číslo hledáme, je proces. Výsledek 17 je výstupní koncept.

4. Nápis

∀n∈N: 2 + 4 + 6 +… + 2n = n (n + 1) je vstupní koncept. Důkaz tohoto tvrzení je proces. Výstupní koncept je pak původní koncept plus poznání jeho důkazu.

Mentální pohyb (***) má v řešitelských procesech žáků dominantní postavení, protože většina úloh, které žáci řeší, začíná konceptem, který žáka vyzývá: „Řeš mne!“

Z didaktického hlediska klíčová je ale část (*) tohoto procesu. Je klíčová pro pochopení toho, jak se ve vědomí žáka tvoří nové pojmy, jak žák objevuje nové vztahy i jak žák organizuje svoje matematické poznání do účinného nástroje na řešení různých matematicky uchopitelných problémů. Proto se náš zájem obrátí k mentálním pohybům (*). Blíže se podíváme na dvě z mnoha teorií zabývajících se pohybem (*). Nakonec uděláme výlet do geometrie, abychom na odlišnosti algebraicko-aritmetického myšlení a geometrického myšlení hlouběji pochopili pojem mentálního konceptu.

2.1.3 Teorie reifikace Anny Sfard

nabízí vysvětlení pojmotvorného procesu. Snaží se osvětlit, jak lidský mozek od objektu abstraktně nižšího dospívá k objektu abstraktně vyššímu.

Teorie je zevrubně popsána ve studii Sfard (1991). Autorka zkoumá několik důležitých školních matematických pojmů, jako jsou funkce, souměrnost, kružnice a číslo (přirozené, celé, racionální, iracionální, reálné i komplexní). Každý z těchto pojmů zkoumá jak v kontextu procesuálním (ona používá termín „operational“), tak i konceptuálním (ona používá termín „structural“). Hledá zákonitost, která vede lidský mozek na cestě od poznání procesuálního ke konceptuálnímu.

Analýzou pojmu číslo dochází Sfard k hlavnímu výsledku svého bádání, k mechanizmu pojmotvorného procesu, jehož kostrou je posloupnost

procesy na objektech → interiorizace → kondenzace → reifikace → nový objekt. Použité termíny stručně osvětlíme na tvorbě mentálního konceptu „dvě a jedna jsou tři“. Ruce dítěte ke dvojici kuliček přidají kuličku další, aby vznikl soubor tří kuliček. Manipulativní proces je interiorizací vložen do žákova vědomí. Opakováním tohoto procesu nejen pomocí kuliček, ale i jiných objektů, jako jsou jablíčka, panenky, prsty, nebo i kroky, dochází ve vědomí

dítěte ke kondenzaci – proces, na který ruce nebo nohy potřebují několik vteřin, proběhne ve vědomí okamžitě.

Proces (když k •• přidám •, dostanu •••), tj. proces, který (•• a • → •••) se nakonec ve vědomí žáka mění aktem reifikace na koncept (••|•).

Slovo „reifikace“ je anglický novotvar a autorka jej osvětluje ve Sfard (1991, s. 14):

„… historie čísel je zde prezentována jako dlouhý řetězec přechodů od procesuálního ke konceptuálnímu pojetí: znovu a znovu procesy prováděné na již přijatých abstraktních objektech byly převedeny do kompaktních celků, čili reifikovány (z latinského slova res -věc), aby se staly novým prvkem samonosné statické konstrukce. Naše domněnka je, že tento model může být zobecněn na mnoho dalších matematických myšlenek.“4

Do češtiny bychom mohli slovo „reification“ přeložit jako „zvěcnění“. Považujeme ale za vhodnější nezavádět toto slovo do naší odborné literatury a akceptovat anglické slovo i v češtině jako termín didaktiky matematiky.

Práce Sfard obsahuje důležité upozornění. Jestliže Zoltán Dienes v posunu proces → koncept viděl organický soulad obou složek, Sfard upozorňuje na případy, kdy tomu tak není.

„… mezi operacionální a strukturální koncepcí existuje hluboký ontologický předěl … je velmi důležité zdůraznit, že operacionální a strukturální pojetí stejného matematického pojmu se vzájemně nevylučuje. Ačkoli zdánlivě neslučitelné, …, jsou ve skutečnosti komplementární. Termín komplementarita je zde použit ve skoro stejném smyslu jako ve fyzice, kde prvky na subatomární úrovni nutno nahlížet jako částice i jako vlny, aby bylo možné popsat a vysvětlit pozorované jevy“, Sfard (1991, s. 4).5

Zcela souhlasíme s autorkou, že pro mnoho žáků je mezi dvěma komplementárními pohledy na týž pojem nepřekonatelná propast, která působí často jako kognitivní překážka pro úplné porozumění daného pojmu žákem. Jeden příklad bude rozveden v příběhu 2.1, jiný v příběhu 2.2. Uveďme další příklady:

• rozdíl jako vzdálenost dvou čísel na číselné ose a rozdíl jako proces odčítání menšího čísla od většího,

• rovnice jako vztah dvou výrazů a rovnice jako výzva k úpravám,

• racionální číslo 5/21 (vyvolává představu části kruhu) a zápis 5 : 21 (výzva k akci),

• absolutní hodnota čísla jako příkaz „dej kladné znaménko“ a absolutní hodnota čísla jako jeho vzdálenost na číselné ose od bodu 0,

• funkce jako množina uspořádaných dvojic a funkce jako předpis, … atd.

2.1.4 Teorie proceptu Davida Talla a Edieho Graye

podává hlubokou analýzu procesu tvorby základního stavebního kamene aritmetiky, kterým je malé přirozené číslo. Klíčový termín teorie, procept, je vytvořen jako amalgám slov PROcess a conCEPT. Termín osvětlují autoři slovy:

4 ... the history of numbers has been presented here as a long chain of transitions from operational to structural conceptions: again and again processes performed on already accepted abstract objects have been converted into compact wholes, or reified (from the Latin word res – a thing) to become a new kind of self-contained static constructs. Our conjecture is that this model can be generalized to fit many other mathematical ideas.

5 …there is a deep ontological gap between operational and structural conceptions. … it is very important to emphasize that operational and structural conceptions of the same mathematical notion are not mutually exclusive. Although ostensibly incompatible,…, they are in fact complementary. The term „complementarity“ is used here in much the same sense as in physics, where entities at subatomic level must be regarded both as particles and as waves to enable full description and explanation of the observed phenomena.

„V této stati uvažujeme o dualitě mezi procesem a konceptem v matematice, zvláště o té, v níž se stejný znakový systém používá i jako proces (jakým je sčítání dvou čísel  + 2) i jako produkt tohoto procesu (součet  + 2). Dvojznačnost zápisu umožňuje myslícímu člověku pružně v myšlenkách přecházet od procesu, jímž nějakou úlohu řeší, ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu. Znak, který přirozeně reprezentuje amalgám dvojznačnosti proces/ koncept, nazýváme „procept“… Toto vymezení rozšíříme takto: procept se skládá ze souboru elementárních proceptů, které mají stejný objekt“ Tall & Gray (1994, s. 121). 6

Zásadní důležitost pro naše zkoumání mají slova „… od procesu… ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu“. Tedy k tomu, aby měl žák vytvořen procept spojů typu a  b = c, nestačí, aby uměl bezchybně a rychle počítat. Musí umět s těmito spoji zacházet jako s prvky schémat.

Poslední věta citace ukazuje, že procept je pojem s vrstvenou organizací. Stavebním kamenem organizace je elementární procept a soubor elementárních proceptů (se stejným objektem) tvoří procept vyššího řádu. Dodejme, že i když Tall a Gray mluví pouze o dvou vrstvách – elementární a obecné, organizace většiny proceptů je složitější.

Ilustrujeme to na poznatku „sčítání je komutativní“. Nejprve si dítě všimne, že když k řadě tří předmětů přidám další předmět na začátek nebo na konec, nebo někam mezi předměty, nová řada bude mít pokaždé stejný počet prvků – čtyři. Později žák zjistí, že součet 2 + 5 je týž jako součet 5 + 2, a stejně i pro další součty jednomístných čísel. Později to rozšíří i na dvojmístná čísla a nakonec na všechna čísla. Tedy v důsledku mnoha desítek procesů si žák vytvořil koncept komutativnosti sčítání. K tomu, aby se tento koncept stal proceptem, je třeba, aby se stal prvkem aspoň jednoho schématu. To, zda žák má komutativnost jako prvek schématu, zjistíme pomocí úloh daného schématu, úloh, ve kterých lze k řešení komutativnost dobře využít. Tři takové úlohy uvedeme.

• Úloha „8 + 7 + 2 +  = ?“ náleží do schématu „delší součty“. Lze ji úsporně řešit použitím komutativnosti, jako (8 + 2) + (7 + ) = 10 + 10 = 20.

• Úloha „2 + 4 + 6 + + 100 – 1 –  – 5 – – 99 = ?“ náleží schématu „dlouhé výrazy“. Lze ji řešit použitím komutativnosti, (2 – 1) + (4 – )+ … + (100 – 99) = 50.

• Úloha „Dokažte, že součet dvou dvojmístných čísel AB + BA je dělitelný číslem 11“ náleží schématu Algebrogramy. Důkaz AB + BA = AA + BB = 11 ⋅ (A + B) používá sofistikovanější modifikaci komutativnosti.

Dodejme, že poznatek komutativnost součtů je ilustrován i v příběhu 2.9.

2.1.5 Reifikace, procept a amalgám

Podívejme se, jak obě výše popsané teorie analyzující posunu proces → koncept navzájem souvisejí.

Teorie reifikace zdůrazňuje klíčový krok vytvoření konceptu jako výsledek série opakujících se procesů. Tall a Gray již předpokládají, že koncept byl vytvořen, tedy že k reifikaci již došlo.

6 In this paper we consider the duality between process and concept in mathematics, in particular, using the same symbolism to represent both a process (such as addition of two numbers  + 2) and the product of that process (the sum  + 2). The ambiguity of notation allows the successful thinker the flexibility in thought to move between the process to carry out a mathematical task and the concept to be mentally manipulated as part of the wider mental schema. Symbolism that inherently represents the amalgam of process/concept ambiguity we call a „procept“. (p. 116) …we extend the definition as follows: A procept consists of a collection of elementary procepts that have the same object.

V termínu procept zdůrazňují dvě jiné myšlenky. První se týká amalgamace procesu s konceptem. Výsledkem amalgamace je mentální objekt, který již neoddělitelně obsahuje proces i koncept a je součástí aspoň jednoho většího schématu. Druhá myšlenka se týká znaku, který vytvořený objekt reprezentuje.

Podle našeho názoru v posunu proces → koncept jsou klíčové dvě myšlenky:

• reifikace, požadující poznání, že koncept je produktem procesu, a

• amalgamace, požadující, aby amalgám proces+koncept byl součástí schématu.

Přitom reifikace je nutný předpoklad amalgamace, a proto horní dvojici myšlenek budeme dále označovat termínem amalgamace. Termín amalgám tedy zavádíme na označení mentálního objektu, který umožňuje flexibilní propojení konceptu s procesem a je součástí aspoň jednoho schématu. Tedy procept = amalgám + znak.

Výše jsme reifikaci ilustrovali jako mentální pohyb, který z procesu (•• a • → •••) vytvoří koncept (••|•).

Teď můžeme doplnit, že z reifikovaného konceptu (••|•) se amalgám stává v důsledku schopnosti

1) kdykoli navzájem zaměnit představu (••|•), která uchovává proces vzniku konceptu (•••), s tímto konceptem;

2) ukotvit tuto představu v některém sémantickém schématu, například modelovat reifikovaný koncept (••|•) manipulací s třemi panenkami nebo krokováním.

Zkušenosti ukazují, že překážkou vzniku amalgámu často bývá absence reifikace.

Typickým příkladem poznatku, který se neopírá o amalgám, je ten, kde koncept byl do vědomí žáka vložen bez předchozích procesů, bez reifikace. Žák, který ví, že obvod čtverce o straně a se vypočítá vzorcem 4a, ale neví proč to tak je, nemá koncept „obvod čtverce“ vybudován. Jeho znalost je formální (viz odstavec 2.5.).

Termín amalgám nepředpokládá existenci znaku, a proto je použitelný i tam, kde znak buď neexistuje, nebo kde ještě není zaveden. Příkladem mohou být koncepty „číslo dělitelné sedmi“, „prvočíslo“, „zaokrouhlování na desítky“.

Tall a Gray uvádí, že procept se skládá ze souboru elementárních proceptů. Tím do myšlenky proceptu vkládají hierarchii. Podobná hierarchie existuje i u konceptu a amalgámu. Nepovažujeme za účelné zavádět zde termín elementární koncept nebo elementární amalgám. Vhodnější je použít termíny pod-koncept a pod-amalgám, protože slovem „elementární“ bychom naznačovali, že tento koncept nebo amalgám již dále rozložit nelze, což by bylo v mnoha případech velice diskutabilní.

I když je tato monografie věnována aritmetice, odbočíme na chvíli ke geometrii, abychom ukázali na jednu z klíčových didaktických odlišností aritmetiky a geometrie a lépe prozkoumali vazbu mezi procesem, konceptem a jejich amalgámem. Základní myšlenky pro naše geometrické úvahy vychází z analýz P. Vopěnky, které zde aspoň stručně nastíníme.

Systematické didaktické zpracování této problematiky najde čtenář v monografii Jirotková (2010).

2.1.6 Geometrický koncept: pohled Petra Vopěnky

Žákům v prvním ročníku dáme hromadu stejně dlouhých dřívek a žádáme je, aby si každý z nich na lavici vytvořil čtverec. Žák, který slovo čtverec zná ze života, dokáže tento tvar vymodelovat ze 4 dřívek. Představa čtverce uložená v paměti vede ruce žáka a ten konstruuje model čtverce jako reálný objekt. Dochází k mentálnímu pohybu (***).

Žák, který zatím představu čtverce nemá, kopíruje počínání spolužáků a v důsledku toho si tuto představu vytvoří. U tohoto žáka vstupní koncept nepřichází z představy, ale z percepce –žák vidí čtverec spolužáka. Výstupní koncept i u tohoto žáka se již ukládá do paměti a slovo „čtverec“ se zde asociuje jak s procesem konstrukce, tak s konceptem produktu této konstrukce. Podobný mentální pohyb se v oblasti geometrie objevuje často a inspiraci k jeho pochopení najdeme v hluboké analýze fylogeneze tvorby geometrických pojmů u P. Vopěnky (1989).

Základní stavební kameny geometrie podle Vopěnky jsou jednoduché geometrické objekty, tj. ty, které se již z ničeho neskládají (body, úsečky, kružnice, koule). Z těchto se tvoří objekty složitější. Jenže ne každá složenina je objektem. Například dvě neprotínající se úsečky bychom se asi zdráhali považovat za objekt jediný. Naproti tomu

„… na čtyři úsečky tvořící obvod čtverce je někdy užitečné pohlížet jako na jediný geometrický objekt. Je to užitečné proto, že jsme odhalili cosi, co je drží pohromadě, co z nich činí samostatného jedince. Na něco, co je z jednoduchých geometrických objektů složeno, je užitečné pohlížet jako na samostatný geometrický objekt tehdy, když k tomu máme důvod; pokud nalezneme něco, co by mohlo svědčit pro jeho osobnost…

Jakmile nějaké složenině přiznáme osobnost, jakmile ji učiníme objektem, přestává být pouhou složeninou. Člověk také není jen složeninou hlavy, rukou, nohou a podobně. Objekt může být různě rozkládán, jeho osobnost však rozložena být nemůže, ta může být toliko zničena, tu můžeme objektu pouze odebrat“ (Vopěnka 1989, s. 24).

V souladu s touto analýzou zavedeme do didaktiky geometrie Vopěnkův termín „geometrická osobnost“: geometrický objekt je pro daného žáka osobností, když si jej žák dovede vyvolat v představě (vynořit z prázdnoty) bez opory modelů nebo obrázků.

Tedy výše uvedená úloha „sestav z dřívek čtverec“ je diagnostická. Pro žáka, který ji nevyřeší, není čtverec ještě osobností. Žák nemá ještě pojem čtverce uložen ve svém vědomí. U takového diagnostikování je nutno pečlivě rozlišovat mezi pojmem a termínem. Jeden žák ze čtvrtého ročníku nevěděl, co je to nekonvexní čtyřúhelník. Zeptal jsem se jej, zda umí nakreslit čtyřúhelník ABCD, jehož úhlopříčky AC a BD se neprotínají. Hoch ihned nakreslil nekonvexní čtyřúhelník, který byl správným řešením. Dodal, že to je „vykousnutý trojúhelník“. Pro tohoto hocha nekonvexní čtyřúhelník byl osobností, ale on ji znal pod termínem vykousnutý trojúhelník.

Analýza Vopěnky přináší didaktice matematiky více inspirací, ale zde zmíníme pouze jedinou. Týká se množinového pojetí geometrie, ve kterém se například na úsečku hledí jako na množinu všech bodů úsečky. Vopěnka ukazuje, že toto není pohled starých geometrů. Upřesňuje způsobem pro nás zvláště důležitým, že „ … od geometrického objektu požadujeme, aby byl celý vynořitelný z prázdnoty. Celou přímku se nám však vynořit nepodaří; vždy vynoříme pouze nějakou úsečku na ní ležící. Proto ani my nebudeme přímky a vůbec neomezené, to je do nekonečna ubíhající objekty zatím za geometrické objekty považovat“ (Vopěnka 1989, s. 25).

2.1.7 Amalgám v geometrii

Intuitivně ve vědomí uložené geometrické objekty žák hlouběji poznává pomocí různých aktivit. Kouli nebo válec může kutálet, z krychlí může stavět věže nebo jiné stavby, čtvercový ubrousek může překládat podél úhlopříčky, představu čtverce může převést do obrázku, který nakreslí nebo vymodeluje apod. Právě poslední typ aktivity – konstruování objektu – má z hlediska budování geometrických představ žáka klíčový význam.

Následující dva příběhy ukazují, že v geometrii vazba mezi procesem a konceptem zdaleka není tak jednoznačná jako v aritmetice. Ukážeme případy, kdy v poznávacím procesu ještě nedošlo k amalgamaci, protože jen jedna z položek proces, koncept byla dobře rozvinuta a druhá byla upozaděna. V příběhu 2.1 dominuje proces, v příběhu 2.2 koncept.

Příběh 2.1

Ve čtvrté třídě žáci řešili úlohu:

Úloha 2.1

Kolik úseček je určeno čtyřmi body.

Ne všichni žáci odpověděli, že šest. Někteří žáci odpověděli, že úseček je 12, protože pojmy „úsečka KL“ a „úsečka LK“ považovali za odlišné. Tito žáci pod pojmem „úsečka“ chápali „proces tvorby úsečky“. Ten je u obou úseček jiný. Představa těchto žáků o pojmu „úsečka“ není chybná, ale je jiná než naše. Pojem, který tito žáci nazývali „úsečka“ , matematici znají jako „vázaný vektor“.

U těchto žáků nedošlo ještě k druhému posunu v mentálním pohybu (**). Pro ně úsečka jako spojnice dvou bodů je proces a nikoli jeho produkt. Ve vědomí těchto žáků ještě nedošlo k amalgamaci procesu a konceptu.

Příběh 2.2

Ve výzkumu geometrického chování budoucích učitelů matematiky použila I. Malechová (1996) následující úlohu, kterou navrhnul M. Kočandrle.

Úloha 2.2

V rovině jsou dány čtyři body P, Q, X, Y. Najděte otočení R se středem P a otočení R´ se středem Q tak, aby bylo (R´˚ R)(X) = Y

Někteří řešitelé přistoupili k úloze konceptuálně: otočení vnímali jako dvojici bodů vzor – obraz. Nakreslili vstupní body P, Q, X a Y a k nim odhadem načrtli neznámý bod Z tak, aby bylo Z = R (X) a R´(Z) = Y. Vznikl obrázek, jemuž dominovaly dva rovnoramenné trojúhelníky XPZ a ZQY. Těmto řešitelům trvalo řešení déle a někteří dokonce řešení nenašli.

Jiní řešitelé uchopili otočení procesuálně, jako pohyb. Do vstupního obrázku nevkládali bod Z, ale dvě kružnice. Kružnice k byla trajektorie bodu X při otáčení kolem středu P a kružnice k´ byla trajektorie bodu Y při otáčení kolem středu Q. Tito řešitelé téměř okamžitě označili jako řešení průsečíky obou kružnic. Navíc z obrázku ihned viděli podmínky řešitelnosti i počet řešení.

Podrobněji je problematika proceptu v geometrii zkoumána v Hejného článku (Hejný 2000). Zde jsme myšlenku podívat se na procesuálně popsanou situaci konceptuálně, nebo na konceptuálně popsanou situaci procesuálně, nazvali proceptuální transfer.

V současnosti, na základě nedávno uskutečněných analýz, navrhujeme pro tuto mentální operaci výstižnější termín amalgamační transfer

2.2 Teorie generického modelu

Základy teorie poznávacího procesu, kterou používáme v naší koncepci vyučování matematice, vytvořil Vít Hejný v letech 1942 až 1977. Impulzem při tvorbě teorie byla

• otázka, proč tak značný počet žáků matematice nerozumí a snaží se místo přemýšlení učivo zvládnout pamětí,

• snaha nalézt cesty, jak daný stav zlepšit, jak u žáků budovat dobré představy pojmů, porozumění vztahům a znalosti procesů.

V roce 1972 píše V. Hejný text „Psychológia pre pedagóga v teréne“ (V. Hejný 2012, 211-29) a zde na začátku polemizuje s názorem velice častým, týkajícím se nemožnosti naučit matematice

žáky bez buněk na matematiku. Píše:

„Skvalitniť možnosti edukácie znamená pochopiť dianie v dieťati ako motivované, vyznať sa v duševnom živote chovanca, pochopiť jeho duševné vlastnosti a schopnosti ako zákonité, zrodené a narastené pod vplyvom životných podmienok a nie ako nepodmienené a nemotivované, ako náhodné samorasty a predpokladať, že edukácia je závislá na samoraste žiaka a vôbec nie na tom, či naše usmerňovacie edukačné zásahy boli nasmerované šťastne alebo nie dosť šťastne, alebo konečne nešťastne čo do nepoznanej vývinovej zákonitosti chovanca“ (V. Hejný 2012, s. 222).

V. Hejný je přesvědčen, že znalost zákonitostí, které řídí poznávací proces v matematice, pomůže učiteli výrazně zvýšit efektivitu vyučování matematice. Ač sám středoškolský učitel, byl přesvědčen, že zkoumání musí zaměřit na děti ve věku 5-7 let.

2.2.1 Paměť versus porozumění

V. Hejný jistil, že když se dítě v první třídě naučí číslice, má často snahu pamětí zvládnout spoje typu 2 + 5 = 7 nebo 6 – 2 = 4. Zejména když je od něj žádáno, aby výsledek řeklo rychle. Když ale čísla značí pouze pomocí teček nebo čárek, jeho schopnost rozumět vztahům mezi čísly narůstá. Takové výpočty ale žádají svůj čas.

Tedy první dvě příčiny mechanického učení se matematice, které V. Hejný odhalil, jsou:

(1) předčasné „vyzbrojení“ dítěte silnými nástroji a (2) časová tíseň, ve které má dítě řešit úlohy.

Jedním z pokusů, kterými první tezi V. Hejný prověřoval, byla úloha předložená 7–9letým žákům:

Úloha 2.

Kolika způsoby lze číslo 10 napsat jako součet dvou čísel.

Žák, který byl veden, aby pracoval pomocí teček a čárek, napsal | | | | | | | | | | a zjišťoval, jak je možné tuto skupinu dělit na dvě části. Skoro vždy správně odpověděl. Žáci vedeni tradičně pracovali podstatně déle a někteří ani úlohu nezvládli.

Základní myšlenku o nebezpečí předčasné symboliky V. Hejný popsal krátce po druhé světové válce, kdy formuloval třetí a čtvrtou tezi svého zkoumání:

() nízká motivace žáka – ten je k učení se matematiky nucen, nebaví jej to,

(4) nezkušenost žáka s konkrétními jevy, příliš rychle dostává hotovou znalost.

Později V. Hejný odlišil terminologicky konkrétní poznatek (nazval jej separovaný model příštího poznatku) od poznatku obecného (nazval jej univerzální model příštího poznatku). Poznávací proces popsal ve třech etapách: motivace → separované modely → univerzální model(y)

V sedmdesátých letech minulého století byla etapizace poznávacího procesu dále rozpracována. Byla publikována v práci Hejný; Hejný (1978). V. Hejný se zveřejnění článku nedožil, ale výzkum, kterému on dal základy, pokračuje dodnes. Nejprve v bratislavské výzkumné skupině a od roku 1991 na katedře matematiky a didaktiky matematiky Pedagogické fakulty Univerzity Karlovy v Praze.

2.2.2 Pět etap poznávacího procesu

Původní myšlenka byla během posledních 5 let výrazně rozšířena, prohloubena a mnohonásobně aplikována ve výuce na všech stupních škol, včetně škol vysokých. Byla jedním ze dvou hlavních vodítek při tvorbě našich učebnic pro 1. až 5. ročník (Hejný a kol. 2007–2011).

V důsledku překladu teorie do angličtiny došlo k terminologickým úpravám. Na návrh Adriana Simpsona byl termín univerzální model přeložen jako generic model a následně i český termín byl změněn na generický model. Na návrh Grahama H. Littlera byl termín separovaný model přeložen jako isolated model a následně změněn i český termín na izolovaný model.

Kostrou současné podoby teorie generického modelu je rozklad poznávacího procesu do pěti etap, jak je uvedeno v následující tabulce:

motivace → izolované modely 1→ generický model procesuální → konceptuální 2→ abstraktní poznatek → krystalizace

Tab. 2.1

Kognitivní posuny označené šipkami 1 a 2 nazýváme zdvihy. Zdvih 1 je zobecněním, zdvih 2 je abstrakcí. U abstrakce zpravidla dochází ke změně jazyka, k čemu v případě zobecnění nedochází. V odstavci 2.6.12 bude tabulka mírně upravena.

Klíčový pojem procesu, generický model, dal celé teorii jméno. Je to, stručně řečeno, poznání toho, co všechny dřívější jednotlivé zkušenosti, izolované modely, spojuje. Je to konkrétní jev, který je chápán jako obecný. Generický model je běžný nástroj dětského myšlení. Například, když mi na otázku „Jak vypočítám obsah čtverce?“ dítě odpoví „Když je jeho strana například pět, tak obsah je dvacet pět“, tak používá generický model. Typickým generickým modelem v oblasti jazyka jsou například vzory žena, růže, píseň, kost.

Dříve než o jednotlivých etapách pojednáme podrobněji, uvedeme ilustraci.

2.2.3 Ilustrace

Pojmy uvedené v tabulce 2.1 ilustrujeme na modelovém příběhu,7 ve kterém smyšlená třída (čtvrtý ročník) v průběhu několika vyučovacích hodin řeší kombinatorickou úlohu.

Úloha 2.4

a) Zjistěte počet cest z pole v do každého z polí a, b, c, d tabulky 2.2. Jít můžete jen doprava, nebo nahoru.

b) Řešte totéž pro pole A, B, C, D.

c) Pokuste se zjistit i počet cest z pole v do polí tabulky rozšířené směrem nahoru (tj. do polí, která by byla označena e, f, g, … a též E, F, G, …).

d D

c C

b B v a A

Tab. 2.2

Příběh 2.

Třída řeší úlohu 2.4. Začínají částí a). Lehce zjistí, že z pole v do pole a vede jediná cesta →; z pole v do pole b vedou dvě cesty: →↑ a ↑→. Po chvíli se na tabuli objeví i tři cesty do pole c: →

↑↑ a ↑→↑ a ↑↑→. To již někteří žáci předpovídají, že do pole d povedou cesty čtyři. Předpověď se vyplní. Na tabuli se objeví cesty: →↑↑↑ a ↑→↑↑ a ↑↑→↑ a ↑↑↑→.

Každý z uvedených čtyř výpočtů je izolovaný model příštího obecnějšího poznání. Již více žáků hlásá, že výsledky 1, 2, , 4 narůstají po jedné a že dále to bude 5, 6, 7 atd. Tím je nalezen procesuální generický model počtu cest do polí s malým písmenem. Učitelka upozorní žáky na část c) naší úlohy a ptá se, kolik cest vede do pole, které leží o 15 polí nad polem a. Učitelka upřesní, že b je první pole nad a, že c leží o dvě pole nad a atd. Více žáků hlásá správnou odpověď „šestnáct cest“. To je konceptuální generický model poznání počtu cest do polí prvního sloupce. Tím je plně vyřešena úloha pro všechna pole prvního sloupce (s malými písmeny) a vyučovací hodina končí. Později, až žáci zvládnou jazyk algebry, zformulují objev jako abstraktní poznatek: „Počet cest do pole, které leží o n polí nad polem a, je (n + 1).“

Příští hodinu řeší žáci část b) úlohy 2.4. Podobně jako v první části i zde žáci zjistí, že z pole v do pole A vede jediná cesta, do pole B vedou tři cesty, do pole C šest cest a do pole D deset cest. Hledání posledního výsledku je hodně náročné a vyžádá si mnoho času. Posloupnost čísel, kterou žáci získají z prvních čtyř izolovaných modelů, má tvar 1, , 6, 10. Co s tím? Ta čísla neukazují, jak by posloupnost měla pokračovat. Žáci se pustí do hledání všech cest z v do E. Doufají, že další číslo podivné posloupnosti pomůže odhalit její tajemství. Jsou ale žáci, kteří věří, že tajemství odhalí již teď. Jednomu se to skutečně podaří. Objev oznámí třídě výkřikem „plus pět“. Na požádání učitelky na tabuli nakreslí tabulku 2., ze které je vidět, že

7 Modelový příběh je uměle vytvořený příběh poskládaný z epizod příběhů, které se skutečně odehrály. Cílem této prezentace je na malém prostoru ilustrovat bohatý soubor didakticky důležitých jevů.

posloupnost 1, , 6, 10 je tvořena tak, že k předchozímu číslu se přičítá postupně číslo 2, , 4, … Tedy  = 1 + 2, 6 =  + , 10 = 6 + 4, a proto následující člen posloupnosti je 10 + 5 = 15. Tolik má být cest do pole E. Třída hypotézu prověřuje, objevitel píše další členy posloupnosti: 15, 21, 28, 6 a konstatuje, že to rychle narůstá. Po 10 minutách již několik žáků třídy hypotézu potvrzuje. Třída je přesvědčena o její pravdivosti, o tom, že pro další pole F, G, H, … není nutno cesty kreslit, že výsledky umíme zjistit pomocí odhaleného pravidla. Jedná se o procesuální generický model. Konceptuální generický model zatím neznáme, neboť nevíme, jak rychle najít třeba stý člen naši posloupnosti. Hodina končí. V závěru učitel položí otázku, jak najít padesátý, nebo stý člen naši posloupnosti.

1  6 10 15

+2 + +4 +5

Tab. 2.3

Na následující hodině dvojice kamarádů přinese dílčí výsledek. Ukázali, že stý člen naší posloupnosti se najde jako součet 1 + 2 +  + … + 99 + 100. Kdybychom uměli nějak rychle tento součet najít, byli bychom hotovi. Jenže to neumíme. Problém se odloží do „ledničky“, tj. pověsí se na nástěnku mezi podobné, zatím nevyřešené problémy.

Uplynou dva týdny a žáci řeší úlohu o počtu zápasů ve fotbalovém turnaji, kde hraje 9 mužstev. Žáci odhalí dvě cesty k výsledku. První spočívá v nalezení součtu 8 + 7 + 6 + 5 + 4 +  + 2 + 1, druhá v zjištění, že v tabulce turnaje je 9 9 = 81 polí. Z tabulky musíme škrtnout diagonálu (žádné mužstvo nehraje samo se sebou) a ze zbylých polí vzít jen polovinu, protože každá dvojice mužstev je tam dvakrát. Tedy výsledek je (9 9 – 9) : 2 = 6. V hlavě jednoho žáka se oba způsoby propojily a hoch oznámil, že úlohu z nástěnky umí vyřešit. Řekl: „Těch cest je 1 + 2 +  + + 99 + 100, tedy tolik, jako zápasů v turnaji 101 mužstev, a to je, jak jsme teď zjistili, (101 101 – 101) : 2.“ Tím byl konceptuální generický model nalezen.

Když později žáci poznání zapíší v jazyce algebry, najdou abstraktní poznatek: na n-tém místě posloupnosti je číslo n ⋅ (n + 1)/2.

Ilustrace prezentovala nalezení dvou generických modelů procesuálních a dvou konceptuálních a v závěrečné fázi i krystalizaci – propojení tří myšlenek: počtu cest v úloze 2.4, počtu zápasů fotbalového turnaje a rychlé nalezení součtu 1 + 2 +  + … + n

Cílem příběhu bylo dát čtenáři pomocí ilustrace základní orientaci v terminologii zavedené v tabulce 2.1. V dalším zevrubně diskutujeme jednotlivé prvky této tabulky.

2.3 Motivace

Motivace dává poznávacímu procesu energii i orientaci, a proto hraje klíčovou roli pro kvalitu celého procesu. Žák, který má vnitřní potřebu poznávat, poznává intenzivněji, hlouběji a komplexněji než ten, který je k poznávání nucen. Pak nemluvíme o motivaci, ale o stimulaci. Rozdíl vychází z latinských slov: moveô = hýbati, pohybovati, stimulô = ostnem bodati, píchati.

Dítě je zvídavé, má silnou potřebu poznávání věcí, které je obklopují. Ptá se na vše, co se octne v jeho percepčním poli. Někdy se ani neptá, ale ihned koná – jak mne upozornila na základě vlastní zkušenosti Katka Bachratá. Dítě potřebuje získávat nové a nové zkušenosti, často i za cenu bolesti; například rozbitá kolena, když se učí jezdit na kole. Motivace k poznání, ať již dotazováním nebo přímo konáním, je dítěti vrozena.

Touha po školním poznávání pramení z předchozích radostných AHA-okamžiků, které žák již dříve zažil, a rozporu mezi existujícím stavem „nevím“ a intencí „potřebuji znát“. Někdy i z jiných potřeb a rozporů, jak uvádíme v odstavci 2..2.

2.3.1 Motivace v prostředí rodiny

Touha získávat nové zkušenosti je příznačná pro duchem mladé lidi. Dítě, které sleduje zajímavou činnost někoho jiného, má potřebu zkusit si stejnou činnost samostatně. Dítě je stále puzeno vnitřní motivací. Schází-li toto puzení, je příčinou pravděpodobně zlá životospráva. Žel, potřeba dítěte nabývat zkušeností se často nesetká s porozuměním.

Příběh 2.4 se skládá ze dvou epizod.

Epizoda A. Máma myje nádobí a čtyřletá dcerka chce utírat. Máma se bojí, že dcerka něco rozbije, že ji to zdrží od práce, a tak dcerku odbude, že ještě je malá, že na to má čas.

Epizoda B. Táta se sedmiletým synem sledují v televizi fotbalový zápas. Syn žádá tátu, aby si šli na dvůr zakopat. Táta je zabrán do zápasu a odmítá. Hoch bere míč a jde na dvůr sám. Otec se domnívá, že syna zápas nezajímá.

Komentář

Epizoda A. Máma na nabízenou pomoc hledí účelově, neuvědomuje si, že to, o co zde jde, je naplnit potřebu dívky získávat nové zručnosti a zkušenosti. Hlavním výsledkem činnosti není utřené nádobí, ale to, co se dívka naučí. Matka navíc nechává nevyužitu příležitost k budování sociálních pracovních vazeb s dcerkou. To je chyba ještě závažnější. Dospělí si často neuvědomují, že výsledkem práce dítěte není produkt, ale činnost sama, znalosti a zkušenosti, které dítě nabude, a průvodní sociální vazby.

Epizoda B. Syna zápas zajímá, ale jeho potřeba nabývat vlastní zkušenosti převládá nad potřebou prožívat zápas. Kdyby jej to nezajímalo, nežádal by otce, aby si šli zahrát.

Příběh 2.5

Asi čtyřletá dívka na dětském hřišti chce přejít kladinu. Nedaří se jí to. Když spadne potřetí, s brekem běží za babičkou, která sedí na lavičce. Babička ji bolístku pofouká a kladinu jí zakáže. Po chvíli skočí na kladinu starší děvčátko. Rozpaží a kladinu přejde. Naše dívenka, navzdory zákazu, to běží zkusit. Rozpaží a pomalinku jde. Jde jí to a křičí „babi, babi, podívej, už to umím“. Babička neví, zda má dívenku pochválit, jak je šikovná, nebo pokárat, že nedodržela zákaz.

Komentář

Pěkná ilustrace kognitivní osmózy.8 Mladší neznalá dívenka přebírá znalost od dívky starší, znalé. Jednání dívenky je jasné: motivace k činnosti byla silnější než hrozba dalšího pádu i případného babiččina pokárání. Zajímavé je počínání babičky. Když viděla, že dívka spadla z kladiny poprvé, mohla jí přijít podat pomocnou ruku. Neučinila tak a dívka ji o to nežádala. Případná babiččina pomoc by asi urychlila dívčinu dovednost chodit po kladině. Na druhé straně v tom, co se stalo, došlo k posílení dívčina pohybového i sociálního sebevědomí, neboť náročný problém zvládla sama.

8 Nové poznání často přebírají žáci od spolužáků. Tento jev nazýváme kognitivní osmózou. Uvítáme návrh šťastnějšího termínu. V příběhu 2.5 k neverbálnímu převzetí poznání dochází na hříšti.

Tři uvedené příběhy ukazují, že dítě není v mnoha případech třeba motivovat. Stačí vycházet vstříc jeho poznávacím potřebám. Poslední příběh klade otázku o míře pomoci, kterou máme my dospělí nabízet dětem při jejich získávání nových zkušeností, dovedností a poznání. Je to otázka zásadní a náročná. Částečnou odpověď na ni dává skutečnost, že kvalita poznání je závislá na zkušenosti. Odtud plyne, že tlumení snahy dítěte o nabývání zkušeností znamená zpomalování jeho rozvoje. Úsměvným příkladem takového tlumení je věta, kterou z balkónu paní Nováková prosí sousedku, aby dohlédla na její dva kluky: „Julko, prosím tě, jdi se podívat, co ti kluci dělají, a řekni jim, že se to nesmí.“

Méně úsměvným, ba tragickým příkladem takového útlumu je věta, kterou učitelka matce zdůvodnila, proč její dcera, navzdory skvělým dceřiným výsledkům v matematické soutěži Cvrček, má na vysvědčení z matematiky dvojku. Učitelka řekla: „Já vím, že to Martina umí, ale pokud bude paličatá a vše si bude řešit podle sebe a ne tak, jak se to má, tak jedničku mít nemůže.“ Učitelka svoje stanovisko hájila tím, že Martina svými výmysly plete slabší žáky a ti se to pak nemohou naučit.

2.3.2 Nástroje školní motivace

V běžné výuce matematiky jde často spíše o stimulaci žáka než o motivaci. Impulzem k učení bývá snaha žáka získat dobrou známku, nebo strach ze známky špatné. Někdy i snaha zalíbit se učiteli, někdy třeba i ušlechtilá snaha udělat lepší známkou radost nemocné mamince. Žáci motivovaní potřebou objevovat matematiku jsou spíše výjimkou než pravidlem.

Učitelé se snaží žáky motivovat a mají radost z jejich případného zájmu. O přilákání pozornosti žáka k matematice se někdy učitel snaží vkládáním soutěže do hodin matematiky. Pro některé žáky je to činnost přitažlivá, pro jiné frustrující. Negativem soutěže bývá časový limit, který pomalé žáky diskvalifikuje. Navíc matematické poznání nelze hodnotit rychlostí, ale hloubkou a komplexitou myšlenek.

Další nástroj motivace žáků spočívá ve vložení matematické úlohy do atraktivního kontextu. Meziplanetární lety, záhady pyramid, podivuhodné jevy přírody, šifrování tajných zpráv, fraktály apod. Tento způsob motivace bývá účinný, ale je jen krátkodobý a žádá od učitele vynalézavost.

Zkušenosti ukazují, že nejúčinnější motivace přichází z žákova pocitu úspěchu, z jeho radosti, kterou mu přináší pocit dobře vyřešené přiměřeně náročné úlohy. Zřídlo této radosti je dvojí: vnitřní pocit intelektuálního růstu a sociální uznání, pochvala, odměna. Ze zkušenosti víme, že žáci, u nichž převažuje vnitřní motivace, lépe řídí svůj vlastní matematický růst než ti, u nichž převažuje vnější motivace. Zjednodušeně řečeno, ti první hledají úlohy, jejichž řešení jim přinese rychlejší rozvoj matematického orgánu (viz 2.7), ti druzí hledají úlohy, jejichž vyřešení jim přinese větší sociální úspěch.

Zmínili jsme, že úlohy, které žákům předkládáme, vedou k motivaci pouze tenkrát, když jsou přiměřené. Tím rozumíme, že úloha je tak lehká, že ji žák vyřeší, a zároveň tak náročná, aby z jejího zdolání měl žák radost.

Ve třídě má učitel jak žáky matematicky velice zdatné, tak i žáky slabší. Úloha, která je pro jednoho přiměřená, je pro jiného příliš náročná a pro dalšího příliš jednoduchá. Proto učitel, který k motivaci používá metodu přiměřených úloh, permanentně řeší náročný didaktický problém individualizace výuky. Právě zde mu může být vhodná učebnice rozhodujícím pomocníkem.

2.3.3 Individualizace výuky příběh Adéla

Následující příběh ilustruje práci učitelky, která úspěšně výuku individualizuje.

Příběh 2.6

Ve druhém ročníku řešili žáci cvičení 4 z M2/1/14.9

Ve druhém ro níku ešili žáci cvi ení 4 z M2/1/14.13

Obr. 2.1

Obr. 2.1

U itelka nechává na žácích, zda budou pracovat samostatn nebo ve skupinkách. Anna s Alenkou (slabší v matematice) rozd lily na lavici 9 fazolí na hromádky 4 a 5, jak íká první „vidli ka“ na obrázku. Pak Alenka ukázala na druhý obrázek a nechala na lavici jen 5 fazolí.

Anna je rozd lila na 2 a 3. Alenka p esunula jednu fazoli, takže te to bylo 1 a 4. Anna ekla: „Tady musí být o jednu víc.“ Alenka se zeptala paní u itelky: „Tam to musí být o jednu víc?“ Po kladné odpov di p esunula Alenka tu fazoli zp t a ob dívky si do u ebnice zapsaly ešení: íslo 5 rozd lily na 2 a 3 a šly na t etí obrázek.

Učitelka nechává na žácích, zda budou pracovat samostatně nebo ve skupinkách. Anna s Alenkou (slabší v matematice) rozdělily na lavici 9 fazolí na hromádky 4 a 5, jak říká první „vidlička“ na obrázku. Pak Alenka ukázala na druhý obrázek a nechala na lavici jen 5 fazolí. Anna je rozdělila na 2 a . Alenka přesunula jednu fazoli, takže teď to bylo 1 a 4. Anna řekla: „Tady musí být o jednu víc.“ Alenka se zeptala paní učitelky: „Tam to musí být o jednu víc?“ Po kladné odpovědi přesunula Alenka tu fazoli zpět a obě dívky si do učebnice zapsaly řešení: číslo 5 rozdělily na 2 a  a šly na třetí obrázek.

Arnošt vy ešil rozklad ísla 5, pak ísla 11 a nahlas ekl: „To se vezme skoro p lka.“ Adam vy ešil pouze poslední úlohu. íslo 13 rozložil na 6 a 5 a za al tvo it vlastní úlohy. Arnoštovi ekl, a rozd lí 101 a k paní u itelce ekl: „Umím rozd lit i tisíc jedna (pauza), vlastn každé íslo.“

Arnošt vyřešil rozklad čísla 5, pak čísla 11 a nahlas řekl: „To se vezme skoro půlka.“ Adam vyřešil pouze poslední úlohu. Číslo 1 rozložil na 6 a 7 a začal tvořit vlastní úlohy. Arnoštovi řekl, ať rozdělí 101 a k paní učitelce řekl: „Umím rozdělit i tisíc jedna (pauza), vlastně každé číslo.“

Adéla se Adama zeptala, jak rozložil íslo 6. Adam cht l ihned reagovat, ale pak zastavil. Byl zasko en. Po chvilce se zeptal u itelky, zda se to v bec dá. Ta odv tila: „Já nevím.“ Adéla m la p ed sebou 6 fazolí, chvíli s nimi manipulovala a pak ekla, že to nejde. Arnošt navrhnul, a jednu fazoli rozkrojí. Adéla se zeptala u itelky, zda mohou fazoli p lit. U itelka pozvala Adélu k tabuli, a ekne t íd , jak to chce d lit. P ib hli oba, Adéla i Arnošt, a ukázali svoji myšlenku: jednu fazoli rozp lit; na jednu hromadu dát dv a p l fazole a na druhou t i a p l fazole. U itelka pochválila nápad a zeptala se t ídy, zda to berou. N kolik žák eklo, že ne, dva že ano, ale v tšina se nevyjád ila. U itelka uzav ela: „To si musíme promyslet.“

Adéla se Adama zeptala, jak rozložil číslo 6. Adam chtěl ihned reagovat, ale pak zastavil. Byl zaskočen. Po chvilce se zeptal učitelky, zda se to vůbec dá. Ta odvětila: „Já nevím.“ Adéla měla před sebou 6 fazolí, chvíli s nimi manipulovala a pak řekla, že to nejde. Arnošt navrhnul, ať jednu fazoli rozkrojí. Adéla se zeptala učitelky, zda mohou fazoli půlit. Učitelka pozvala Adélu k tabuli, ať řekne třídě, jak to chce dělit. Přiběhli oba, Adéla i Arnošt, a ukázali svoji myšlenku: jednu fazoli rozpůlit; na jednu hromadu dát dvě a půl fazole a na druhou tři a půl fazole. Učitelka pochválila nápad a zeptala se třídy, zda to berou. Několik žáků řeklo, že ne, dva že ano, ale většina se nevyjádřila. Učitelka uzavřela: „To si musíme promyslet.“

Alenka s Annou ešily v tuto dobu teprve tvrtou úlohu, rozklad ísla 11, ale už jim to docela šlo. Alenka výsledek zapisovala a Anna již ešila další úlohu. Než Alenka dopsala, Anna ukázala na íslo 7 a ekla: „Hele, je to t i a ty i.“

Komentá

Alenka s Annou řešily v tuto dobu teprve čtvrtou úlohu, rozklad čísla 11, ale už jim to docela šlo. Alenka výsledek zapisovala a Anna již řešila další úlohu. Než Alenka dopsala, Anna ukázala na číslo 7 a řekla: „Hele, je to tři a čtyři.“

P íb h ilustruje dynamiku práce t ídy. Anna s Alenkou manipulativn eší úlohu za úlohou a postupn získávají vhled do této situace. Stává se, že n kdy po získání vhledu do situace za ne žáky práce bavit do té míry, že od u itele žádají další úlohy. Adam, Adéla a Arnošt eší náro nou úlohu rozkladu šestky. U itelka ne ekla, že zde nelze pracovat se zlomky. Otázku správnosti Arnoštova ešení nechala otev enou. Ukázalo se, že to bylo dobré rozhodnutí, protože nejasnost této úlohy z stala ve v domí n kterých žák jako p etrvávající výzva.

Komentář

Příběh ilustruje dynamiku práce třídy. Anna s Alenkou manipulativně řeší úlohu za úlohou a postupně získávají vhled do této situace. Stává se, že někdy po získání vhledu do situace začne žáky práce bavit do té míry, že od učitele žádají další úlohy. Adam, Adéla a Arnošt řeší náročnou úlohu rozkladu šestky. Učitelka neřekla, že zde nelze pracovat se zlomky. Otázku správnosti Arnoštova řešení nechala otevřenou. Ukázalo se, že to bylo dobré rozhodnutí, protože nejasnost této úlohy zůstala ve vědomí některých žáků jako přetrvávající výzva.

2.3.4 Pokra ování p íb hu Adéla

Po dvou dnech Adéla ukázala u itelce návod na obecné ešení rozkladu ísla na dv po sob následující ísla. ekla, že jí trochu pomohl bratr. U itelka prosila Adélu, aby pravidlo ukázala t íd . Adéla si na tabuli nakreslila obdélník a z n j dol vidli ku. ekla: „Vezmu t eba t ináct (do obdélníku zapsala 13), p idám jednu, mám trnáct (zapsala vedle 14) a vezmu

9 Učebnice matematiky Hejný a kol., 2. ročník, 1. díl, strana 14.

U ebnice matematiky Hejný a kol., 2. ro ník, 1. díl, strana 14.

2.3.4 Pokračování příběhu Adéla

Po dvou dnech Adéla ukázala učitelce návod na obecné řešení rozkladu čísla na dvě po sobě následující čísla. Řekla, že jí trochu pomohl bratr. Učitelka prosila Adélu, aby pravidlo ukázala třídě. Adéla si na tabuli nakreslila obdélník a z něj dolů vidličku. Řekla: „Vezmu třeba třináct (do obdélníku zapsala 1), přidám jednu, mám čtrnáct (zapsala vedle 14) a vezmu půlku. To je sedm. To je větší číslo (napsala 7 k pravé nožičce vidličky). Pak od těch třinácti odečtu jednu, mám dvanáct a rozpůlím. Dostanu šest. To je to menší číslo (napsala 6 k levé nožičce vidličky).“

Třída pravidlo pochopila. Alenka s Annou prověřily první větu Adélčina tvrzení a to jim stačilo. Když znám větší číslo, znám i menší. Adéla pak řekla, že tedy „rozdělení šestky na dvě a půl a tři a půl je správné“. Adam se opět ptal, zda se tady čísla mohou půlit. Učitelka odpověděla, že když si myslí, že nemohou, tak toto řešení neuzná.

Nejasnost zůstala otevřená asi měsíc až do doby, kdy žáci objevili tvrzení „součet dvou po sobě jdoucích čísel je vždy číslo liché“. Adam namítal, že podle toho je i šestka číslo liché, neboť (2 a půl) + ( a půl) = 6. Teď již učitelka musela žákům říct, že když řekneme, že dvě čísla následují ihned po sobě, pak mluvíme jen o celých číslech, žádné poloviny sem plést nemůžeme. Adam vítězně řekl, že on to tvrdil od začátku.

Komentář

Z epizody Alenky a Anny vidíme, že i slabý žák může pochopit spolužákem objevený generický model, jestliže si sám již vyřešil dostatečný počet izolovaných modelů. Z epizody o rozkladu čísla 6 vidíme, že zůstane-li některá otázka otevřená, může to mít motivační účinek. Adam, který odmítal použít poloviny k řešení úlohy o po sobě následujících číslech, původně u třídy se svým názorem neuspěl. Nosil to v sobě jako neúspěch a snad i křivdu. Myšlenka se v něm mobilizovala, jakmile se učitelka k problému vyjádřila. Adam se nakonec cítil vítězem. Cílem individualizace výuky je umožnit každému žákovi, aby postupoval vlastním tempem. Není rozhodující, že toho slabý žák udělá málo. Důležité je, že i on pracuje, že je aktivní. Nečeká, až to někdo vyřeší, aby to opsal. Výsledkem práce slabého žáka, který opsal do sešitu správné řešení, není to, co je v sešitě, ale to, co je v jeho vědomí. Tam je toho málo, nejspíše nic. Žák se navíc utvrzuje v přesvědčení o vlastní matematické nemohoucnosti a čeká jej úděl „intelektuálního příživníka“, abychom použili termín A. M. Maťuškina. Výsledkem práce slabého žáka, který se samostatně snaží dobrat aspoň dílčího úspěchu, je nová osobní zkušenost a přesvědčení, že i sám dokáže něco najít, zjistit, vypočítat. Do jaké míry zažije slabý žák radost z vlastního výkonu, závisí na přiměřenosti úloh, které mu k řešení nabídne učitel. Pomalejší žáci udělají pouze část toho, co udělá průměr, a ti dva-tři nejlepší toho udělají podstatně více. Někteří z nich řeší náročnější úlohu, kterou dostanou od učitele, nebo sami tvoří podobné úlohy, jiní pomáhají slabším kamarádům. Tyto svoje asistenty učitel poučí, že jejich pomoc bude účinná, jestliže svého „žáka“ neučí, ale aktivizují, tedy povedou tak, aby sám úlohy řešil. Zkušenosti ukazují, že tito dobrovolní asistenti kopírují počínání svého učitele. Když učitel nechává žákům prostor pro jejich vlastní tvořivost, dělají to pak i jeho asistenti.

2.3.5 Proč dospělí nerozumí motivaci dětí

Rodič často nerozumí motivaci dítěte, protože podsouvá dítěti vlastní zkušenosti. On dokáže čekat na možnost vstoupit do akce. Dítě to nedokáže. V příbězích 2.4A a 2.4B jsme viděli, jak rodič nerozumí tomu, co jeho dítě chce. Neuvědomuje si, že

1) cílem aktivity dítěte není produkt činnosti, ale činnost sama,

2) naléhavost potřeby poznávat je akutní a může rychle odeznít,

) motivační spektrum dítěte je široké.

O prvním bodu jsme mluvili v komentáři k příběhu 2.4. Druhý bod zdůrazňuje rychlou proměnlivost potřeb dítěte. Dítě chce např. papír a nůžky a dožaduje se toho ihned, teď. Právě teď je připraveno získávat nové manipulativní zkušenosti. Tato intenzivní potřeba za nějakou chvíli odezní. Dospělý dokáže na realizaci svého motivačního impulzu čekat. Dítě by bylo dlouhým čekáním frustrováno, a proto, když nedosáhne toho, oč usilovalo, přesouvá svůj zájem jinam.

Třetí bod upozorňuje, že motivační spektrum dítěte je široké a těkavé. Motivace dospělého člověka je stálá a silně selektivní. Dítě se zajímá o pejska, pak o mapu, pak o šachy atd. Zájmy dospělého člověka jsou soustředěné do několika málo oblastí.

Uvedená různost motivace dítěte a dospělého způsobuje, že dospělý často nerozumí dítěti. Těkavost zájmů dítěte považuje za nežádoucí, protože „nesystematická, chaotická práce k ničemu nevede“. Naléhavost potřeby poznávat ihned a po svém vnímá jako tvrdohlavost, nebo dokonce drzost. Netýká se to pouze rodičů, ale i některých učitelů. Na konci odstavce 2..1 je uveden případ, kdy matematicky schopná dívka nemohla získat na vysvědčení jedničku, protože nesplňovala požadavky učitelky nevytvářet vlastní postupy a omezit se pouze na reprodukci a imitaci postupů učitele.

Podnětné prostředí, které umožňuje dítěti seberealizaci a které je k němu vstřícné, zvídavost dítěte umocňuje. Žel, současná škola většinou v oblasti matematiky není podnětným prostředím a zvídavost dítěte spíše tlumí, než rozvíjí.

2.4 Izolovaný model

Již bylo řečeno, že izolovaný model je konkrétní případ příští znalosti. V příběhu 2. žáci nejprve našli čtyři izolované modely týkající se počtu cest z pole v do každého z polí a, b, c, d. Potom našli čtyři izolované modely týkající se počtu cest z pole v do každého z polí A, B, C, D V příběhu 2.6 každý z rozkladů lichého čísla (i ten první, vyřešený) byl izolovaný model toho, co formulovala Adéla jako návod na řešení všech těchto úloh. V tomto příběhu se objevil i problematický izolovaný model. Rozklad čísla 6. Ukázalo se, že řešení otázky, zda je tento izolovaný model korektní nebo nekorektní, není věcí matematických úvah, ale konvence. Podle ní idiom „čísla, která následují ihned po sobě“ předpokládá, že pracujeme v oboru přirozených (případně celých) čísel.

Poslední případ ukazuje, že etapa izolovaných modelů nemusí být pouze sbíráním konkrétních zkušeností, ale může být i pronikáním do podstaty problému, vyjasňováním, které případy do námi zkoumaného problému vlastně náleží a které nenáleží. To se týká ve zvýšené míře izolovaných modelů některých pojmů. Tak někteří žáci považují zlomek 2/4 za sudé číslo, číslo 2,5 za dvoumístné, čtverec s úhlopříčkami v horizontálním a vertikálním směru za kosočtverec (na koso položený čtverec). Na druhé straně někteří žáci odmítají za pojem prohlásit izolovaný model, který tímto pojmem skutečně je. Pro ně například číslo 2,0 ani číslo 6/ není přirozené, číslo a (1–2) není kladné, nula není číslo sudé,10 obdélník o rozměrech  mm × 10 cm není obdélník, ale stuha, že polovina podélně rozkrojeného rohlíku není polovinou (viz Příběh 4.11) apod.

10 Sudý se ve slovenštině řekne párny. Jedna slovenská čtvrťačka tvrdila, že nula nemůže být sudá, neboť „keď nič nemáte, nemáte čo párovať“. Stejnou zkušenost uvádí i Z. Semadeni (2005, s.162).

Tedy etapa izolovaných modelů není pouze sběr konkrétních případů, ale i vyjasňovaní terminologie, která je ve zkoumaném případě přítomna. Je to dlouhá etapa. Čím je zkoumaný problém složitější, tím je tato etapa delší. Někdy se rozpadne na dva nebo více oddělených tahů, jako u příběhu 2.. Analýzou několika stovek poznávacích procesů jsme zjistili, že etapu je možné rozdělit na čtyři podetapy, přičemž ne v každém poznávacím procesu se každá z těchto etap objeví.

Podetapy izolovaných modelů:

1) Ve vědomí se usadí první konkrétní zkušenost – zárodek příštího poznání.

2) Postupný příchod dalších izolovaných modelů, které zatím nejsou propojeny. Mohou se objevit i modely zdánlivé a být zamítnuty modely překvapivé.

) Některé modely začnou na sebe poukazovat a shlukovat se do skupin a oddělovat od jiných. Vzniká tušení, že tyto modely jsou v jistém smyslu „stejné“.

4) Zjištění podstaty oné „stejnosti“ vede k vytvoření komunity modelů.

Experimentátorovi se jen zřídka podaří všechny čtyři etapy evidovat (natož učiteli). U některých poznávacích procesů celá etapa izolovaných modelů trvá pouze zlomek sekundy, u jiných to trvá i měsíce. Případy, kdy žák rychle najde generický model, nás zde nezajímají, neboť nejsou didaktickým problémem. Tím jsou případy, kdy se poznávací proces na některé podetapě zadrhne. Nejčastěji poznávání ustrne na druhé podetapě.

2.4.1 První a druhá podetapa izolovaných modelů

Běžně se stává, že jistý jev si uvědomíme, až když jej potkáme podruhé nebo potřetí. To se týká i první podetapy izolovaných modelů. Následující dva příběhy ukazují situaci, kdy dítě vidí izolovaný model, ale neuvědomí si to.

Příběh 2.7

Matka si se šestiletou dcerou hrávala hru Schody. Jejich schodiště mělo 9 schodů. První dva a poslední schod nebyly nijak označeny a zbylé byly označeny tečkami tak, jak na hrací kostce – od 1 do 6. Dívenka pokaždé začínala na neoznačeném schodu 0 a končila na některém z označených schodů. Přitom občas během chůze vstoupila i na některý z neoznačených schodů -1 a 7. Například u produkce, kterou pomocí čísel zapíšeme 2 –  + 5 +  – 2, vstoupí jak na pole -1, tak i na pole 7. Matka mi vypravovala, že tato skutečnost dívce nikdy nevadila. Ale najednou u jedné produkce, ve které se dívka opět octla na schodu -1, zastavila, hru přerušila a domáhala se označení tohoto schodu. Matku překvapilo, že podobnou situaci již dívka zažila mnohokrát a až teď si najednou uvědomila, že tento schod nemá jméno.

Komentář

Příčinou opožděné reakce dívky je skutečnost, že u předchozích her byla pozornost dívky soustředěna na matčiny příkazy a jejich plnění. Až když se tato její činnost částečně automatizovala, uvolnila se dívce energie na vnímání dalších jevů, které produkci provázejí. Pak si začala všímat i absenci označení schodu -1. Podobná situace se vyskytuje dosti často, a tak dítě, které již zdánlivě mělo zkušenost s jistým jevem, neuvědomilo si jej, a tedy ještě nevstoupilo do první podetapy příslušného izolovaného modelu. Snaha dospělého upozornit dítě na jev, který si zatím samo neuvědomilo, bývá někdy kontraproduktivní – příslušný izolovaný model se ve vědomí žáka nevytvoří spontánně, ale je sem importován zvenčí. Navíc, jestliže si dospělý při

upozorňování na daný jev uzurpuje pozornost dítěte, která byla v té chvíli zaměřena jinam, může svým počínáním vytěsnit jiný jev, ke kterému v té chvíli dítě přicházelo samo spontánně. Podle našich zkušeností toto nebezpečí nehrozí v případě, že zdrojem upozornění není dospělý, ale dítě. Tato importace není nátlaková ani autoritativní a dítě ji může akceptovat i odmítnout. Následující příběh ilustruje druhou podetapu.

Příběh 2.8

Ptám se vnučky (4 roky a 5 měsíců), kolik je tři a jedna. Ona se dívá na mísu jablek a ptá se: „Tři jablka a jedno jablko?“ Říkám: „Ne, tři lentilky a jedna lentilka,“ a přisouvám k dívce talíř s lentilkami. Ona úlohu manipulativně vyřeší. Pak se ptám, jak by to tedy bylo s těmi jablky. Ona opět řeší úlohu manipulativně. Nevšímá si, že v obou případech vyšel stejný výsledek. Čtyři lentilky jsou pro ni něco jiného než čtyři jablka.

Komentář

Oba izolované modely budoucího poznatku  + 1 = 4 spojuje jen říkanka „jeden, dva, tři, čtyři“ a manipulativní způsob řešení. Stejnost výsledků dívka zatím neuzřela. Její poznání rovnosti * + 1* = 4* je teď pouze ve druhé podetapě izolovaného modelu. Dívka si bude muset vytvořit ještě více izolovaných modelů rovnosti * + 1* = 4*, než se jí zde podaří dosáhnout třetí podetapy. Je ale možné, že k tomu dojde u jiného spoje. Jakmile k tomu dojde u jediného spoje, dívka uvidí, že to platí pro všechny spoje.

Poznámka

Hvězdička označuje sémantické ukotvení čísla. V našem příběhu znak * čteme „tři lentilky“ nebo „tři jablka“. Přesně vzato, hvězdičku bychom měli psát i za znakem +. Pak bychom znak +* četli jako sémantický úkon „dát dohromady“. Navíc číslice, které zde používáme, jsou jen znaky pro slova, která dítě používá.

2.4.2 Spontánní přechod do třetí a čtvrté podetapy

Třetí podetapa je klíčová. První dvě podetapy nevyžadují objevitelský krok. Žák standardním postupem a pílí získává sérii výsledků. K objevu dochází u třetí podetapy. Otázka, jak žáky dovést do třetí podetapy, je závažná, a proto se zaměříme na mechanizmus, který ke třetí podetapě vede.

V příběhu 2.6 jsme viděli, jak poznávací proces sice dosáhl do třetí podetapy, ale pak byl přerušen a přesměrován na řešení jiné úlohy. Objev třetí podetapy jsme tam zaznamenali v Adamově informaci, že umí rozdělit každé číslo, a asi i v Arnoštově výroku „to se vezme skoro půlka“. Oba ale byli pak zaujati rozkladem čísla 6, takže svoje objevy nenabídli k diskusi třídě. Formulovala je o den později Adéla, která našla dokonce generický model řešení úlohy z obrázku 2.1. Adam, Arnošt i Adéla došli do třetí podetapy spontánně. Stejně tam došla i dívka v následujícím příběhu.

Příběh 2.9 (Autor: Z. Sýpalová, osobní sdělení; upraveno)

Blanka, šestiletá dcera mé sousedky, je velice bystré dítě. Ráda se učí, ale ještě nechodí do školy, protože je narozena v září. Ráda počítá. Když jsem jí dala sečíst čtyři čísla, řekla mi: „To je pro děti ze školičky, já chci nějakej těžšejší, teto!“ Napsala jsem jí tedy součet sedmi čísel. Asi za 10 minut přišla s výsledkem. Byl správný. Dala jsem jí tedy znovu stejná čísla v jiném pořadí.

Opět přišla se správným výsledkem asi po 8 minutách, ale se slovy: „To je divný, vyšlo to stejně!“ Čísla jsem jí tedy opět proházela a zadala „novou“ úlohu. Tentokrát přišla asi po 5 minutách, úplně nadšená a volala, že jsem kouzelník, že to vyšlo zase stejně. Po čtvrtém prohození čísel přišla za dvě minuty a povídá: „Teto, ty si ze mě děláš nějakou legraci. Ty čísla jsou přece pořád stejný, jsem to měla vypočítaný hned!“

Komentář

V příběhu jsou dva didakticky zajímavé jevy. Prvním je žádost Blanky, aby jí teta dala náročnou úlohu. Ukazuje to na autonomii metakognice dívky. Nechce úlohu lehkou, protože jejím řešením se toho moc nenaučí. Má potřebu učit se, a proto žádá úlohu náročnou. Teta jí dala úlohu přiměřenou, protože dívka chce úlohu další. Nápad tety proházet sčítance se ukázal jako velice zdařilý. Dovedl dívku k hlubokému objevu.

Druhým zajímavým jevem je proces objevu. Po dlouhé druhé podetapě izolovaných modelů přichází krátká třetí i čtvrtá podetapa. První výpočet Blanky byl jejím prvním izolovaným modelem. Druhý výpočet byl druhým izolovaným modelem. Zde dívka eviduje stejnost výsledků obou izolovaných modelů, a to je již náznak třetí podetapy izolovaných modelů. U řešení třetí úlohy dívka spontánně odhalí, proč jsou všechny tři výsledky stejné, a tím zúplní třetí podetapu izolovaných modelů a dojde do čtvrté.

Autor sám byl jednou v podobné situaci jako teta z příběhu 2.9. Jeho partnerem byl sedmiletý hoch, který to, že součet 7 + 2 + 9 +  je stejný jako součet 9 + 7 +  + 2, odhalil velice rychle. Dostal tedy úlohu najít součet 9 + 8 +  + 2. To, že k dříve zjištěnému součtu 21 stačí přičíst 1, hoch neodhalil. Výsledek 22 získal nezávisle na předchozím výsledku.

2.4.3 Asistovaný přechod do třetí a čtvrté podetapy

Když žáci sami nedojdou do třetí podetapy, může jim učitel pomoci nikoli radou, ale vhodnou úlohou. Uvádí to následující příběh, který bude mít ještě pokračování.

Příběh 2.10a

Cyril sám doma řeší cvičení 4 z učebnice M2/1/44 – viz obr. 2.2. Hoch ví, jak to řešit, protože podobnou úlohu, která je na straně 7, řešili žáci ve škole. Tam zjistili, že k vytvoření tří (čtyř, pěti) oken potřebují 7 (9, 11) dřívek. Teď si tato čísla opět najde a zapíše je do tabulky. Uvidí, že narůstají po dvou. Doplní tedy pod číslo 6 ještě číslo 1 a pro jistotu výsledek zkontroluje stavbou. S radostí konstatuje, že jeho předpoklad platí, a doplní celou tabulku. Běží se pochlubit tátovi. Ten se trochu pochybovačně ptá, zda to Cyril opravdu kontroloval. Otec: „Tady v tabulce máš, že osm oken uděláš ze sedmnácti dřívek. Udělej to.“ Cyril: (pomocí sirek vytvoří 8 oken a pak sirky po jedné počítá) „Sedmnáct, vyšlo to.“ Otec: „Tak, ano, máš to dobře. (pauza) A kolik dřívek potřebuješ na padesát oken?“ Hoch vidí, že to je mnoho psaní. Bere učebnici a odchází počítat. Jak to dopadlo, dozvíme se v příběhu 2.10b v odstavci 2.5.1.

Komentář

Příběh popisuje poznávací proces, jehož první a částečně i druhá podetapa proběhla již dříve ve škole. Tam si Cyril nevšiml žádné souvislosti mezi zjištěnými čísly 7, 9 a 11. Po zapsání čísel do tabulky souvislost čísel uviděl a zjištěním „narůstají po dvou“ dospěl nejen do třetí, ale hned i do čtvrté podetapy, která v tomto případě splývá s odhalením procesuálního generického modelu.

Proč si Cyril nevšimnul závislosti trojice čísel 7, 9, 11 již dříve a proč to objevil teď? Odpověď je nasnadě. Prve byl zcela zaujat manipulativní konstrukční činností a nic dalšího jej nezajímalo. Teď je ale činnost žáka rozdělena do dvou úrovní: konstrukční a evidenční. Tabulka vede žáka k tomu, aby dílčí výsledky organizoval. To přirozeně způsobí, že původně jediná vnímaná činnost –konstrukce – je rozšířena o druhou vnímanou činnost, kterou je organizace výsledků.

Poznaný jednoduchý mechanizmus asistovaného odhalení třetí podetapy nám radí: žákovi, který nedovede postoupit do třetí podetapy etapy izolovaných modelů, navrhneme, aby dílčí výsledky získané ve druhé podetapě přehledně organizoval. Nejčastěji je nástrojem organizace tabulka. Může to být i graf nebo jiný způsob vizualizace.

Etapa izolovaných modelů trvá někdy týdny, někdy měsíce a u náročných myšlenek i roky. Tak je například budován pojem zlomek, jehož první izolovaný model (polovina, rozpůlit) se objevuje již v předškolním věku, ale představa zlomku 11/15 jako generického modelu se utváří až na druhém stupni ZŠ. Podobně dlouho se buduje pojem mnohoúhelník, lineární funkce, diofantická rovnice, nebo kombinatorické číslo. Každý z těchto pojmů je budován po etapách procesem. Například z izolovaných modelů procesu půlení a konceptů polovina jablka, polovina koláče apod. si dítě vytvoří generický model pojmu polovina. Podobně si vytvoří generický model pojmů čtvrtina, třetina, šestina. Pak se tyto generické modely propojí a stanou se izolovanými modely při tvorbě generického modelu pojmu kmenový zlomek (s malým jmenovatelem). V procesu tohoto postupného rozšiřování se série již vybudovaných generických modelů mění na sérii izolovaných modelů a umožní vytvoření generického modelu na vyšší úrovni této kaskády. Když se kterýkoli z uvedených pojmů zavede bez náležité propedeutické přípravy zaměřené na tvorbu bohaté zásoby izolovaných modelů, bude poznání žáka formální. Více o tom v kapitole 2.7.

2.5 Generický model

vzniká procesem zobecnění (generalizací) z komunity izolovaných modelů, přesněji ze čtvrté podetapy izolovaných modelů, se kterou v mnoha případech splývá. Proces je často nesen AHA-efektem, náhlým uzřením společné podstaty série izolovaných modelů.

Generický model je jádrem skutečného poznání. Když chceme zjistit, do jaké míry žák ovládá nějaký pojem, vztah, operaci, proces nebo situaci, zjišťujeme soubor jeho generických modelů příslušného poznatku. Například kvalitu znalosti operace sčítání u daného žáka hodnotíme podle toho, kolik z generických modelů uvedených v tabulce 4.5 ovládá pasivně (tj. vyřeší slovní úlohu uvedeného typu) a kolik dokonce aktivně (tj. je schopen vytvořit slovní úlohu daného typu). Přitom testování má v obou případech dvě úrovně: nižší, bez antisignálu11, a vyšší, s antisignálem. Podobně kvalitu znalosti zlomků nebo záporných čísel u daného žáka hodnotíme podle toho, kolik z generických modelů zlomku (počet, tyč, čokoláda, ciferník) nebo záporných čísel (teploměr, výtah, krokování) ovládá aktivně a kolik pasivně.

11 Slovo, které v slovní úloze napovídá jakou operaci nutno k řešení použít, nazýváme signálem. V případě, že takové slovo řešitele zavádí, nazveme jej antisignálem.

Staří Egypťané a Babyloňané neznali způsob, jak formulovat obecné zákonitosti. Všechno jejich matematické poznání je uloženo v generických modelech. Když například starověcí autoři učebnic matematiky chtěli vysvětlit, jak se násobí číslem 17, tak uvedli konkrétní příklad a za ním dopsali „tak dělej, když násobíš sedmnácti“. Tento výpočet byl generickým modelem pro násobení číslem 17 a izolovaným modelem pro násobení vůbec.

2.5.1 Od procesuálního generického modelu ke konceptuálnímu

Vraťme se k příběhu 2.10a, ve kterém Cyril odhalil procesuální generický model příslušné tabulky. V první řádce tabulky byla posloupnost 1, 2, ,…, ve druhém pak posloupnost , 5, 7,… lichých čísel. Tento generický model dává pouze částečné řešení problému. Říká, jak můžeme rozšířit tabulku z obr. 2.2, ale nedává rychlý výpočet pro větší číslo. Když je počet oken větší, například 50 (tuto úlohu dal Cyrilovi jeho otec), je k řešení třeba hodně únavného psaní. Když by byl počet oken výrazně větší, například 5 000, pak by asi hoch na řešení vypisováním všech čísel rezignoval. Cyril dostal ale jen 50 oken, a tak se do toho pustil.

Příběh 2.10b

Cyril si udělal dlouhou tabulku. Nejprve vyplnil první řádek čísly od 15 do 50 (čísla do 14 měl v předchozí tabulce). Pak začal vyplňovat druhý řádek – jen lichá čísla.

Tab. 2.4

Když byl u čísla 61 (viz tab. 2.4), přestal psát. Již dříve si všiml, že pod čísly 9 a 19 jsou čísla 19 a 9. Teď si všiml, že pod čísly 10, 20 a 0 jsou čísla 21, 41 a 61. Uhodl, že pod číslem 40 bude 81 a pod číslem 50 bude 101. Běžel objev ukázat otci. Ten hocha pochválil a zeptal se, co bude pod číslem 57. Cyril napsal tabulku pro čísla 50, 51 až 57 a pod ně čísla 101, 10 až 115. Podíval se na otce. Ten se zeptal, co bude pod číslem 100. Cyril napsal 100 a pod to ihned 201. Otec se zeptal, co bude pod číslem 11. Cyril napsal 110, 111, 112 a 11. Pod ně 221, 22 a 225. Otec dělal, že mu výpočet není jasný. Hoch vysvětlil: „Tady to (v čísle 110 zakryl číslici 0) vezmu dvakrát a dopíši jedničku (ukázal na 22 a číslici 1).“ Otec velice hocha pochválil a odolal pokušení, prozradit synovi, že jeho pravidlo platí pro všechna čísla, nejen pro desítky.

Cyril později společně se dvěma dalšími spolužáky toto pravidlo odhalil a zapsal jej velice stručně: dřívka = 2 okna + 1.

Komentář

V řešitelském procesu Cyrila došlo ke třem AHA-efektům. Poprvé, když hoch objevil, že dřívek přibývá po dvou. To byl objev procesuálního generického modelu. Pak, když objevil, jak to je s čísly, která končí nulou, a potřetí, když objevil obecné pravidlo.

Každý z těchto objevů vedl ke generickému modelu, ale kvalita těchto generických modelů byla různá. První generický model dal návod, jak proces pokračuje dále. Proto generické modely tohoto typu nazýváme procesuální. Druhý generický model ukázal vztah mezi počtem dřívek

a počtem oken, dal „vzoreček“ pro čísla končící nulou. Tento generický model můžeme nazvat částečně konceptuální. Pro čísla, která nekončí nulou, bylo nutné použít i generický model procesuální. Teprve třetí generický model, který hoch objevil, je plně konceptuální. Důležitý je způsob, jak Cyril poznatek zapsal stručnou rovnicí.

2.5.2 Od izolovaných modelů přímo ke konceptuálnímu generickému modelu

Existují konceptuální generické modely, kterým nepředchází žádný procesuální generický model. Viděli jsme to v příběhu 2.6. Návod Adély, jak z horního čísla „vidličky“ najít obě dolní čísla, je konceptuální generický model.

Jiný příklad jsme poznali v příběhu 2.9. Blanka dospěla do čtvrté podetapy poznáním, že výsledky součtů jsou stejné proto, že čísla v součtech jsou pouze proházená. V tomto okamžiku již ale dívka objevuje konceptuální generický model, kterým je poznání „sčítání je operace komutativní“. Blanka sama by tento poznatek formulovala asi slovy „když to jakkoli proházím, výsledek bude pokaždé stejný“. Je velice pravděpodobné, že Blanka tento poznatek neomezuje jen na daný výpočet, ale na všechny součty. Bylo by snadné prověřit to další podobnou úlohou. Z ilustrací vidíme, že o procesuální generický model se jedná tam, kde již v zadání úlohy je jistá posloupnost, a úkolem řešitele je nejprve zjistit, podle jakého pravidla je posloupnost vytvořena – to je procesuální generický model. Dalším krokem je hledání návodu na určení libovolného člena posloupnosti bez vypisování případů předcházejících – to je konceptuální generický model. Úloha, u které žádná posloupnost čísel neexistuje, nemůže vést k procesuálnímu generickému modelu.

V poznávacím procesu hraje generický model dvojí roli. Směrem

• dolů sjednocuje komunitu izolovaných modelů a je prototypem každého jedince této komunity, a to nejen těch izolovaných modelů, z nichž byl vyvozen, ale všech dalších zatím neevidovaných,

• nahoru je východiskem k vytvoření generického modelu vyšší úrovně, nebo abstraktního poznání.

Objev generického modelu přináší někdy i záludnost: rozšíření do oblasti, kde již ztrácí platnost. To byl například generický model, který v příběhu 2.6 Adéla formulovala slovy: „Vezmu třeba třináct (do obdélníku zapsala 1), přidám jedna, mám čtrnáct (zapsala vedle) a vezmu půlku. To je sedm. To je větší číslo (píše 7 k pravé nožičce vidličky). Pak od těch třinácti odečtu jedna, mám dvanáct a rozpůlím. Dostanu šest. To je to menší číslo.“ (Píše 6 k levé nožičce vidličky.)

Uvedené pravidlo platí pouze pro čísla lichá. Třídou bylo přijato i pro čísla sudá, a to navzdory správným pochybnostem Adama. Ty dostaly průchod až po měsíci, když učitelka vysvětlila, že řeknu-li „dvě po sobě následující čísla“, automaticky tím říkám, že se jedná o čísla celá.

Optimistické, ale nekorektní rozšíření pravidla vyvozeného pro přirozená čísla i na celá čísla nacházíme v mnoha žákovských postupech u nerovností a nerovnic. Ale často ani učitelé si nejsou vědomi, že takové rozšíření dělají. Zejména, když rozšířené tvrzení platí. Například mnozí učitelé si myslí, že vzorec S = a ⋅ b pro obsah obdélníku byl dokázán pro všechny obdélníky. Ve skutečnosti ale byl dokázán pouze pro obdélníky, kde a i b jsou čísla racionální. Používáme jej ale pro všechna kladná reálná čísla. Nebo například když tvrdíme, že obsah rovnostranného trojúhelníku o straně a je S = a2 ⋅ (√)/4 . Naštěstí vzorec platí i v těchto případech, tedy k chybám nedochází.

S optimistickými a nekorektními tvrzeními, která vyvodili z izolovaných modelů a mají tedy sílu generického modelu, přicházejí zejména tvořiví žáci. Jeden velmi schopný žák pátého ročníku objevil, že „když číslo končí číslicí 8, pak buď předchozí, nebo po něm následující je prvočíslo; (7, 9), (17, 19), (27, 29), (7, 9), (47, 49), (57, 59), (67, 69), (77, 79) atd.“

Po mé výzvě, aby to prověřil do čísla 200, tento žák odhalil, že ani jedno z čísel 117 a 119 není prvočíslo a ani jedno z čísel 187 a 189 není prvočíslo. Ihned ale přišel s vylepšením svého tvrzení. Řekl, že výjimku mohou tvořit dvojice, kde to větší číslo je násobkem čísla 7. Je totiž

119 = 7 17 a 189 = 7 27. Sám ale rychle objevil, že ani toto vylepšení neplatí. Protipříkladem je dvojice (207, 209). Žádal mne, abych mu napsal pravidlo, jak lze prvočísla hledat. Řekl jsem mu, že zatím takové pravidlo žádný neobjevil, ale že například Euler zjistil, že výraz: n2 + n + 41 dává prvočísla pro mnoho čísel n.

Kvalitu matematických znalostí žáka určuje přítomnost / absence příslušných generických modelů. Na zkoumání tohoto didaktického jevu zaměříme poslední dva odstavce kapitoly 2.5.

2.5.3 Ne každý poznatek je znalost

Mnoho poznatků se do naší paměti dostalo zvenčí jako informace. To, že Londýn je hlavní město Anglie, že číslice dvě se píše 2, nebo že tvar se nazývá obdélník, si nemohu vymyslet. To mi musí někdo sdělit, nebo si to musím někde přečíst. Když se dozvím, že Londýnem protéká Temže, je to opět jen informace. Jestliže ale ze dvou informací o Londýně usoudím, že Temže je řeka Anglie, pak to již není informace, ale znalost vyvozená z informací, které samy se v důsledku tohoto zjištění stávají poznatky.

V uvedeném textu jsme použili slova poznatek, informace a znalost. V dalším budeme tato slova používat jako termíny v následujícím významu:

Poznatek je každý prvek nebo klastr prvků12 dlouhodobé paměti člověka.

Informace je poznatek, který do paměti vstoupil zvenčí a oporu v již existujících izolovaných modelech a generických modelech si teprve musí hledat; mnohdy ale k tomuto hledání ani nedochází.

Znalost je poznatek, který si člověk zkonstruoval sám vlastní intelektuální činností pomocí existujících izolovaných a generických modelů.

Formální poznatek (mechanical knowledge) je informace, která mohla být znalostí.

V příběhu .19 je popsáno, jak slabá žačka Lenka řešila úlohu +  = 4 pomocí tabulky, kterou vytvořila paní učitelka. V druhé řádce tabulky bylo uvedeno

Nevím plus + 2 = 7 řeš takto = 7 – 2.

Lenka nejprve pomocí slov „to je nevím, plus“ našla příslušný řádek, prstem zůstala na jeho konci a řekla: „Druhé číslo mínus první, tedy čtyři mínus tři (napsala 4 –  = 1), zapíši 1 (do podbarveného pole dopsala 1).“

Dívka ukázala znalost používání tabulky, nikoli ale znalost toho, proč je +  = 4 totéž, co 4 –  = . Matematický poznatek dívky je formální.

Podobně formální jsou často poznatky žáků typu „mínus krát mínus dává plus“, „když je před závorkou mínus, znaménka v závorce se mění“, „zlomek zlomkem násobíme tak, že vynásobíme čitatele i jmenovatele“, „když číslo převádíme na druhou stranu rovnice, měníme znaménko“, „když přistoupili, tak přičítáme“ apod.

12 Klastr prvků = shluk prvků, které mohou být různě propojeny.

Běžně se podobnými výroky učitelé snaží pomoci slabým žákům. Otázka zní, zda taková pomoc je didakticky vhodná, nebo ne. Jestliže ji prohlásíme za nevhodnou, pak je žádoucí uvést důvody a ukázat, jak má učitel postupovat jinak. Například tabulka, kterou používá výše zmiňovaná Lenka, je nevhodná, protože jak je v příběhu .19 uvedeno, dívka nebyla schopna vyřešit trochu náročnější úlohu 1 + + 2 = 4. Tedy poznatek, který tabulka dívce dává, je použitelný na velice omezený typ úloh a nedává dívce znalost pracovat s podobnými vztahy (s proto-rovnicemi) šířeji.

Jak tedy měla učitelka Lenky postupovat, když její snahu pomoci dívce tabulkou shledáme jako nevhodnou? To je zásadní otázka při řešení problému formálních poznatků. Odpověď na ni v duchu naší teorie generických modelů zní: snížit laťku náročnosti a důsledně vést žáka přes izolované modely ke generickým modelům. Tento proces nazveme zživotňování formálních poznatků.

Zživotňování formálního poznatku je proces propojování formálního poznatku s jinými poznatky, zejména s izolovanými, a generické modely.

2.5.4 Diagnóza formalizmu – indikátory izolovanosti

V běžném vyučování není těžké formální poznatky odhalit, protože se objeví ať již ve výpovědích žáků, nebo v tom, co napíší. K tomu je ale třeba, aby si učitel byl vědom závažnosti projevů formálních poznatků. Zde má naše současná škola značné rezervy na všech stupních škol, včetně vysokých. M. Rendl v této souvislosti upozorňuje na nebezpečí nízké citlivosti učitele na formální znalosti žáka: „Existuje jistě také nebezpečí záměny mechanického osvojení za úspěšné naučení, při němž pak učitel nevyvíjí další úsilí o porozumění“. (Rendl; Vondrová 201).

Když experimentátor diagnostikuje kvalitu matematických poznatků žáka nebo celé třídy, potřebuje jev formalizmu uchopit pomocí indikátorů. Jako nejdůležitější se jeví indikátory izolovanosti. Říkají, že míra formálnosti poznatku je určena mírou propojenosti poznatku na další oblasti vědomí člověka. Jedná se o oblast životních zkušeností a oblast jiných matematických poznatků. Oba indikátory uvádíme i s ilustracemi.

1. Formální poznatek není propojen na životní zkušenosti.

• Žák řešil úlohu 2 – (-1) = . Když dal správnou odpověď, zeptal jsem se jej, proč tu jedničku přičítal. Třeťák odpověděl, že když udělá čelem vzad a jeden krok pozpátku, je to jako by udělal jeden krok vpřed. Jeho znalost byla opřena o zkušenost s chůzí na krokovacím pásu. Čtvrťák odpověděl: Protože mínus a mínus dává plus. Na další otázku, proč je to tak, odpověděl, že se to tak učili. Zde žádné propojení na životní zkušenost nebylo.

• Dvěma dívkám z pátého ročníku jsme dali úkol: Jak druhákovi, který již zná zlomky ½ a ¼ , vysvětlíš, že ½ < ¼ ? První dívka řekla: Naučím jej, že když je 2 < 4, tak je ¼ < ½. (pauza) A že to platí pokaždé. Druhá dívka chvíli nechápavě hleděla a pak řekla, že když ty zlomky zná, musí přece vědět, že ¼ < ½; pak dodala: nechám mu krájet koláč.

2. Formální poznatek není propojen na jiné poznatky.

• Na 10 minut mi učitelka zapůjčila k experimentu svoji druhou třídu. Žákům jsem řekl, že jistý Mirek řešil úlohu 20 + 0 = takto: protože 2 +  = 5, je 20 + 0 = 50. Pak jsem se třídy zeptal, zda se to tak může řešit. Žáci řekli, že oni to taky tak řeší. Na moji otázku, proč to tak je, dva řekli, že to tak pokaždé vychází a ostatní se přidali. Žádný hlubší důvod neuvedli. Po hodině, když jsem již seděl v kabinetě, přišel jeden žák a řekl: dvě jablka a tři jablka je

pět jablek; stejně dvě desítky a tři desítky je pět desítek. Hoch ukázal, že vztahu 2 +  = 5 ↔ 20 + 0 = 50 rozumí hlouběji než jeho spolužáci.

Poslední ilustrace ukazuje, že propojení mezi poznatky může být na operacionalistické úrovni (jak se to dá dělat), nebo na vyšší úrovni kauzální (proč to lze dělat). Vedle dvou základních indikátorů bylo v našich experimentech používáno zejména pět dalších indikátorů.

. Když žák formální poznatek zapomene, neumí se k němu dobrat bez vnější pomoci.

• Žáci v 5. ročníku měli v testu úlohu 4,5 10 = . Objevily se i výsledky 4,5. V rozhovoru po testu uvedli, že si již nepamatovali, zda se desetinná čárka u násobení 10 posouvá k oknu nebo ke dveřím.

• Hedvika (4. roč.) měla najít šířku obdélníka s obsahem 1,2 dm2 a délkou 24 cm. Dívka napsala 24/12 = 2 cm. V rozhovoru řekla, že znala vzorec S = a ⋅ b, ale zapomněla, zda a = S : b, nebo a = b : S. Pak si řekla, že 24 : 12 je pěkné číslo, ale 12 : 24 je desetinné číslo. Zvolila tedy vzorec a = b : S.

4. Formální poznatek není aplikovatelný v nestandardních situacích.

• Ve čtvrtém ročníku žáci řešili úlohu: „Z čísel 27, 8, 44, 5, 61 vyber dvě tak, aby jejich součin byl 1 41.“ Žáci mohli používat kalkulačky, ale museli zapsat, která čísla násobí. Asi třetina rychle odhalila, že sudá čísla nepřicházejí v úvahu. Pouze dva žáci našli řešení 27 ⋅ 5 na základě toho, že číslo 1 41 končí číslicí 1. Tím žáci prokázali, že jejich znalost násobilky není formální.

5. Formální poznatek není schopen dalšího rozvoje.

• Na začátku hodiny ve čtvrtém ročníku napsala učitelka na tabuli dvě úlohy: 14 – 11 = a 1 – 15 =. Vyvolala Terezku. Dívka přistoupila k první úloze a odříkala: „Když je první číslo větší, tak výsledek je kladný.“ Do výsledku napsala +. Přesunula se k druhé úloze a odříkala: „Když je první číslo menší, tak výsledek je záporný.“ Do výsledku pak zapsala -2. Byla učitelkou pochválena. Po hodině jsem se Terezky zeptal, jak to pravidlo zní v případě, že obě čísla jsou stejná. Dívka řekla, že to ještě neprobírali. Požádal jsem ji, ať si dá nějaký příklad. Dívka napsala 5 – 5 = a po odmlce překvapeně řekla: „Vždyť to je nula.“ Pochválil jsem dívku a zeptal se jí, zda to je plus nula, nebo mínus nula. Dívka mlčela, nevěděla. Nakonec řekla: „Zeptám se.“

• Ve čtvrtém ročníku žákyně Rena ukázala třídě trik na násobení číslem 11. Napsala si 25 11 a řekla: „Roztáhneš dva a pět a do mezery dáš součet dva plus pět. Tedy dvacet pět krát jedenáct rovná se dvě stě sedmdesát pět.“ Tadeáš zjistil, že pro 67 ⋅ 11 to dá chybný výsledek 6 17. Učitel se zeptal Reny, proč zde její trik selhal. Nevěděla, byla překvapena. Uršula to hned vysvětlila: „Když je ten součet například třináct, nebo nebo, nebo tak, pak do mezery napíšeme jen tu trojku, nebo pětku a tu jedničku přidáme k první číslici.“ Uršula tím demonstrovala, že její znalost sčítání vícemístných čísel je kvalitní a není formální.

6. Chybný formální poznatek žák není schopen samostatně opravit. Žák někdy ani není schopen poznat, že jeho poznatek je chybný.

• Druhák řešil úlohu: „Prohrál jsem dvě kuličky, zůstalo mi pět kuliček. Kolik kuliček jsem měl původně?“ Žák napsal: 5 – 2 = , měl jsem tři kuličky. Experimentátor se zeptal žáka, zda umí udělat kontrolu. Žák odpověděl, že když prohrál, tak se odčítá, a dál nevěděl.

7. Poučka uchovaná ve vědomí žáka bez porozumění kontextu je formálním poznáním.

• Když v 5. ročníku učitelka řekla, že zlomek 0/0 je nesmysl, ozvala se jedna žačka a řekla, že 0/0 = 1 a ukázala, že v učebnici v rámečku je napsáno: „Jestliže se čitatel zlomku rovná jeho jmenovateli, je zlomek roven 1.“ (Alter pro 5. ročník ZŠ, díl třetí, z roku 1997, s. 15). Rozhodnost, s níž dívka vystoupila, znejistila i učitelku. Dívka prokázala dobré porozumění matematickému výroku.

Poslední zamyšlení, které věnujeme problematice diagnostiky formalizmu, se týká diagnostického procesu.

2.5.5 Diagnostikování formalizmu

Slovo diagnostika pochází z řečtiny. Skládá se ze slov δια (dia) = skrze a γνώσις, (gnósis) = poznání. Dělat diagnózu formalizmu znamená odhalovat, které pojmy, vztahy, procesy a argumenty má daný žák zatíženy formalizmem, hledat příčiny tohoto nedostatku a navrhnout reedukační postupy. Výsledkem diagnostiky může být i zjištění, že daný žák má nadprůměrné porozumění jisté myšlence. V takovém případě místo reedukace musí učitel uvažovat o individuálním přístupu s cílem žákovo porozumění ještě umocnit.

Učitel může přítomnost formalizmu diagnostikovat i v běžném vyučování. Zde však nemá čas se na tento jev soustředit. Může tak ale udělat, když opravuje písemná řešení svých žáků, nejlépe u slovní úlohy. Zde se může zamýšlet nad tím, co probíhalo v hlavě žáka, když řešení úlohy psal. V našich analýzách písemného projevu žáka jsme se orientovali na šest diagnostických parametrů, které uvedeme. U každého parametru pak rozvádíme několik položek, jejichž přítomnost jsme v žákově řešení sledovali:

1. Přijetí úlohy žákem – vstřícnost k úloze; odmítnutí z důvodu neporozumění úloze; odmítnutí z jiných důvodů („otravné úlohy neřeším“)

2. Uchopení úlohy – s (částečným) porozuměním; posouvá znění úlohy; mění znění úlohy1

 Práce s chybou, jestliže se tato v řešení objevila – odhalil a opravil; odhalil a snažil se opravit (uspěl/neuspěl/uspěl částečně); odhalil a změnil strategii řešení; odhalil a na opravu rezignoval; neodhalil, ale zjistil, že řešení je chybné, a změnil strategii řešení; neodhalil, ale zjistil, že řešení je chybné, a na opravu rezignoval; chybu neodhalil

4. Řešitelská strategie (u dobře volených slovních úloh je to nejbohatší diagnostický parametr) – rutinní (bez porozumění, s porozuměním, tvořivě); nerutinní; signál; vhled (žák píše přímo řešení úlohy); modelování/dramatizace; odhad opírající se o smysluplná data; pokus – omyl (náhodný/částečně organizovaný/organizovaný); rozklad na dílčí úlohy; od

1 Taková změna může být důsledkem nedorozumění. J. Slezáková, E. Swoboda (2008) rozpracovávají jev nedorozumění v komunikaci učitel – žák a ukazují, že tento jev nelze zaměnit za formální poznání žáka.

konce; simplifikace,14 procesualizace konceptu; přenos do jiného kontextu (izomorfizmus resp. analogie, resp. metafora

5. Argumentace

– potřeba osvětlit nebo zdůvodnit myšlenku

6. Jazyky

– standardní (běžně v dané třídě používány u úloh daného typu);

– nestandardní (ptáme se na původ jazyků);

– specifické (šipky, tabulky, grafy, obrázky, slova, čísla,…);

jiné (hybridní, písmena).

V závěru úvah o diagnostice nutno upozornit, že výrok „poznatek X žáka Y je formální“ je validní jen tehdy, když je jasně popsán proces diagnostiky. Nestačí říct, že k diagnostice byl použit ten nebo onen indikátor, neboť dva různé testy vztahující se k témuž indikátoru mohou vest k různým diagnostickým závěrům. Uvidíme to u příběhu 2.11, ve kterém bude jistý poznatek testován dvěma různými úlohami vázanými na propojenost znalosti na příbuzné poznatky (indikátor 2). Jeden test povede k závěru „poznatek je formální“, druhý k závěru „poznatek je neformální“.

2.6 Abstraktní poznatek a krystalizace

Generický model popisuje jistý poznatek (pojem, návod, vztah, postup či situaci) pomocí konkrétních čísel nebo tvarů, na které nahlížíme jako na obecná čísla nebo tvary. Když zavedeme písmeno jako obecné číslo, dokážeme obecnost uchopit přímo. V tom případě mluvíme o abstraktním poznatku. Když se poznatek dostal do paměti jako informace, je to poznatek formální. Jestliže byl vytvořen abstrakčním zdvihem z generického modelu, je to abstraktní znalost. Ta je ve většině případů provázena změnou jazyka. Je to změna zásadní a pro žáky velice náročná. Měřeno metrem historie, k této změně dochází až na úsvitu novověku. Vysoce sofistikovaná řecká matematika jazyk písmen neznala.

Jazyk písmen je zaveden naplno až na druhém stupni ZŠ. Některé prvky jazyka, jako použití písmene x jako neznámé v rovnicích, nebo použití písmen ve vzorci S = a b pro obsah obdélníku, se objevují již na prvním stupni. Již zde se tvoří vztah žáka k jazyku písmen. Většina žáků si osvojí pouze manipulativní dovednosti a standardní použití písmen v nacvičených situacích.

Jen málo žáků si uvědomí obrovskou sílu tohoto jazyka a bude schopno tímto jazykem „mluvit s matematikou“, řešit pomocí tohoto jazyka složité úlohy. Příčinu vidíme ve snaze nás, učitelů, dávat žákům tento silný nástroj poznávání matematiky příliš brzo, bez toho, aby žáci cítili potřebu tohoto jazyka. Přitom naše edukační strategie zdůrazňuje nácviky úprav algebraických výrazů a zanedbává to podstatné – schopnost jazyka rozumně uchopovat nejrůznější situace. Níže uvedené příběhy 2.11 až 2.1 dokumentují tato tvrzení. Hlubokou analýzu fylogeneze vztahu matematického myšlení a jazyka uskutečnil L. Kvasz (2008).15 Poznatky, k nimž Kvasz dospěl, jsou inspirativní i pro didaktiku matematiky. Zejména

14 Žák má zjistit, které z čísel x = 222 , y = 2222 4 je větší. Výrazy zjednoduší (simplifikuje) a zjistí, že 2  > 22 4. Z toho usoudí, že x > y.

15 Tato monografie získala v roce 2010 prestižní ocenění Prémio Internacional Fernando Gil para a Filosofia da Ciencia za rok 2010 za přínos v oblasti filozofie vědy.

jeho zkoumání jazyka písmen lze dobře transformovat do oblasti didaktiky matematiky. Kvasz uvádí pět atributů jazyka, které nazývá síly (powers) jazyka. Problematika je živá, protože v Kvaszově publikaci (2012) je pětice sil rozšířena o další tři síly.

Výklad Kvaszova pojetí by odvedl naše úvahy jiným směrem, proto od něj upustíme. Zaměříme se na oblast didaktiky matematiky. Jazyk písmen jako nesmírně silný nástroj porozumění matematice rozkládáme na šest položek, které budeme ve shodě s Kvaszem nazývat silami. První čtyři se objevují již na prvním stupni, poslední dvě na stupni druhém. Uvádíme je proto, že již na prvním stupni děláme propedeutiku i pro tyto síly. Síly, které jsou potence jazyka, budeme tam, kde nehrozí nedorozumění, chápat i jako mentální potence. Tak místo přesnějšího vyjádření „žákova schopnost uchopovací síly“ budeme psát „uchopovací síla žáka“.

2.6.1 Čtyři základní síly jazyka písmen

Na prvním stupni se žák setkává s jazykem písmen ve dvou kontextech:

1) ve vzorcích – vztazích typu o = 2 ⋅ (a + b) a S = a ⋅ b pro obvod a obsah obdélníka,

2) v rovnicích, zejména u slovních úloh řešených pomocí rovnic.

Jestliže je u vzorce pro obvod a obsah obdélníka nakreslen a popsán obrázek obdélníka tak, že z něho je vidět, co písmena a, b znamenají, pak písmena jsou v roli stručných jmen. Stejné to je i v případě, že zde obrázek schází, ale je uložen v dlouhodobé paměti žáka. Plná jména pro písmena a, b by zněla délka a šířka. Písmena, která jsou vložena přímo do obrázku, nebo do zadání úlohy, nazveme kódy. Řekneme, že písmena k řešení úlohy přispívají kódovací sílou. Je to mentálně nejméně náročná síla jazyka písmen, protože je předem dána, úlohou žáka je pouze písmena evidovat a případně dosazovat za ně čísla.

Úloha, ve které jsou dány velikosti stran a, b a úlohou žáka je najít obvod o a obsah S obdélníka, je lehká. Stačí dosadit do vzorce. Náročnější situace vznikne, když známe obvod obdélníka o = 20 cm, délku strany a = 7 cm, a máme zjistit délku strany b. Dosazení do vzorce dá vztah 20 = 2 (7 + b), ze kterého číslo b nevidíme ihned. Hodnotu b můžeme najít metodou pokus-omyl, ale můžeme postupovat sofistikovaněji, úpravou rovnice: 20 = 2 (7 + b) → 10 = = 7 + b → 10 – 7 = b → b = . Schopnost jazyka písmen upravovat výrazy nebo vztahy nazveme transformační sílou jazyka.

V kontextu vzorců jsme evidovali dvě síly jazyka písmen. Sílu

• kódovací – žák úlohu řeší pomocí písmen, začíná u kódů,

• transformační – umožní získané vztahy upravit do požadovaného tvaru.

V kontextu slovních úloh řešených pomocí rovnic je situace náročnější. Zde žák nemá žádné písmeno, musí jej sám zavést a propojit na text úlohy. Některé neznámé číslo označí písmenem, nejčastěji písmenem x. Tím získává možnost s tímto číslem pracovat.

Roli písmene v procesu řešení slovní úlohy ilustrujeme na známé úloze:

Úloha 2.5

Cihla váží 1 kg a půl cihly. Kolik váží cihla?

Neznámý objekt, hmotnost cihly, uchopíme označením x. V textu úlohy se objevuje i další zatím neurčený objekt – hmotnost půlcihly. Nový objekt vyjádříme pomocí písmene x. Hmotnost půlcihly je x/2. Vazbu tří objektů popsaných textem vyjádříme pomocí rovnice x = 1 + x/2. Rov-

nici transformujeme tak, abychom na levé straně měli pouze x a na pravé pouze číslo. Po dvou transformačních krocích dostaneme x = 2. Tedy cihla váží 2 kg.

V procesu řešení jsme evidovali tři síly jazyka písmen. Sílu

• uchopovací – je začátkem, a tedy základem použití jazyka písmen, • vyjadřovací – umožňuje jazykem písmen popsat všechny neznámé objekty i vztahy, • transformační – umožní získané vztahy upravit do tvaru, z něhož zjistíme číslo x.

Čtyři popsané síly jazyka písmen – kódovací, uchopovací, vyjadřovací a transformační – poznává žák již na prvním stupni, proto je nazýváme základní.

Úloha obsahující kódy navádí žáka na použití jazyka písmen. Navrhuje mu použít k řešení úlohy jazyk písmen i to, která neznámá čísla zvolit za výchozí. Ne vždy je ale pro žáka tento návod prospěšný. V příběhu 2.11 poznáme negativní vliv kódování, v příběhu 2.12 silně pozitivní vliv.

2.6.2 Síla kódovací

Úvahy otevírají dva příběhy. Oba se odehrály v sedmdesátých letech minulého století, první ve dvou třídách pátého a druhý ve dvou třídách sedmého ročníku.

Příběh 2.11

Žákům pátého ročníku byla dána úloha 2.6. Ve třídě A s 25 žáky byla úloha provázena obrázkem 2.. Ve třídě B s 22 žáky byl u úlohy stejný obrázek, ale bez písmen. Na obou obrázcích byl pravý čtverec vybarven modře a levý obdélník žlutě. Žáci byli upozorněni, že rozměry na obrázku jsou chybně, tedy měřením nelze nic zjistit.

Obr. 2.3

Úloha 2.6

Obdélník je rozdělen na čtverec a obdélník (obr. 2.). Celý velký obdélník má obsah S = 44 cm2. Malý obdélník má obvod o = 22 cm. Určete obsah čtverce.

Ve třídě A tři žáci úlohu neřešili, jeden připsal do obrázku k pravému písmenu a číslo 4 a k písmenu b číslo 7 a do čtverce napsal 16 cm2. Ostatní žáci k řešení použili písmena. Pět žáků správně vyjádřilo podmínky zadání vztahy a ⋅ (a + b) = 44 a 2 ⋅ (a + b) = 22. Tři žáci dopočítali správný výsledek. Z těch osmnácti, kteří s písmeny zápasili neúspěšně, nakonec 4 k řešení došli metodou pokus-omyl.

Ve třídě B úlohu vzdali 4 žáci. 17 žáků použilo metodu pokus-omyl, z nich 15 úspěšně (zjistili, že a = 4 cm, b = 7 cm). Odpověď, že obsah čtverce je 16 cm2, napsalo ale jen 6 žáků. Jediný žák uchopoval obrázek pomocí písmen. Použil písmeno x místo a a písmeno y místo a + b. Sestavil pouze rovnici 44 = x ⋅ y. Z ní vyvodil x = 4, y = 11 a uzavřel podtrženým zápisem S = x2 = 16.

Komentář

Příběh ukazuje, že žákům v pátém ročníku je metoda pokus-omyl bližší než použití písmen. Navíc – v naší úloze čísla 22 a 44 napovídají, že řešením by mohla být čísla 11, 4 a 2. Na druhé straně písmena navádějí žáky na používání vzorců, které mohou vést žáka do slepé uličky. Ukázalo se, že zde ztroskotala většina žáků, kteří si písmeny nechali vnutit řešitelskou strategii. Kódovací síla písmen se paradoxně stala kódovací slabostí. Třída B, které písmena nebyla vnucována, si počínala úspěšněji.

Příběh 2.12

Žákům sedmého ročníku byla dána úloha 2.7. Ve třídě A byla úloha provázena obrázkem 2.4. Ve třídě B byl u úlohy stejný obrázek, ale bez malých písmen označujících délky úseček.

Úloha 2.7

Kolem kružnice je opsán čtyřúhelník ABCD. Leoš tvrdí, že |AB| + |CD| = = |AD| + |BC|. Tvrdí, že to platí nejen v tomto čtyřúhelníku, ale ve všech, které jsou opsány kolem kružnice. Má Leoš pravdu?

Ve třídě A více než polovina žáků úlohu vyřešila. Ve třídě B ji nevyřešil žádný. Několik žáků narýsovalo obrázek a měřením zjišťovali, zda uvedená rovnost platí. Pouze jediný žák uchopil úlohu pomocí klíčového prvku – tečné vzdálenosti vrcholu od kružnice. Žádného jiného to nenapadlo. Správné uchopení úlohy se zde ukázalo jako zcela rozhodující o tom, zda žák úlohu zvládne nebo ne.

Komentář

Obr. 2.4

To, že v obrázku je osm písmen, se ukazuje jako rozhodující pomoc. Tyto kódy orientují pozornost žáka na objekty, které jsou pro řešení úlohy zásadní. Bez těchto kódů žák nedokáže klíčové objekty uvidět a úlohu uchopit. Objekty, které jsou popsány obrázkem i textem, jsou kružnice, čtyři vrcholy a čtyři strany. Kódy napovídají, že každou stranu nutno rozložit na dvě úsečky, a pak je již řešení vidět ihned. Situace, ve kterých kódy významným způsobem napovídají řešiteli, se objevují v geometrii, ale v aritmetice nám není znám žádný podobný případ.

Poslední dva příběhy ilustrují rozdíl mezi silou uchopovací a kódovací. Uchopování vychází od žáka, kódování je žákovi nabídnuto, někdy dokonce vnuceno. První příběh ukazuje, že kódování nemusí být silou, dokonce může být slabostí. Druhý příběh ukazuje, že kódování může být rozhodující pomocí pro vyřešení úlohy. Tam, kde kódování schází, musí je řešitel objevit a tím úlohu uchopit. Uchopování podepřené silou vyjadřovací se stává rozhodujícím pro úspěšnost řešení slovní úlohy pomocí jazyka písmen.

2.6.3 Síla uchopovací a vyjadřovací

Uchopovací síla sama o sobě k smysluplnému řešení slovní úlohy pomocí jazyka písmen nestačí. Nezbytná je i síla vyjadřovací. Žák, který v úloze 2.5 hmotnost cihly označí x, může tímto způsobem úlohu vyřešit pouze tenkrát, když pomocí x umí vyjádřit jak hmotnost půlcihly, tak i vztah daný úlohou. Jinak řečeno, když je schopen sestavit rovnici x = 1 + x/2.

Transformační síla již tak důležitá není. Jestliže totiž žák uchopí úlohu 2.5 uvedenou rovnicí, pak její řešení může již získat metodou pokus-omyl. Ale uchopovací síla bez síly vyjadřovací nepomůže řešiteli úlohu vyřešit. Proto se teď zaměříme na sílu vyjadřovací. Použijeme k tomu příběhy 2.10b a 2.5.

Příběh 2.10b uvádí, jak Cyril dospěl k zápisu dřívka = 2 ⋅ okna + 1. Tím již překročil úroveň generického modelu a ocitnul se na prahu abstraktního poznatku. Stačí sem místo slova dřívka psát písmeno d a místo slova okna psát písmeno o. Vztah d = 2 o + 1 již vyjádří zkoumanou zákonitost jazykem algebry. V tomto případě síla vyjadřovací předběhla sílu uchopovací, protože Cyril nejprve odhalil vztah a až dodatečně by jej uchopil písmeny.

Druhý případ vychází z příběhu 2.6. Zde Adéla vysvětlovala svůj postup a u toho kreslila obrázek 2.5a. Řekla: „Vezmu třeba třináct (do obdélníku zapsala 1), přidám jedna, mám čtrnáct (zapsala vedle) a vezmu půlku. To je sedm. To je větší číslo (píše 7 k pravé nožičce vidličky).

Pak od těch třináct odečtu jedna, mám dvanáct a rozpůlím. Dostanu šest. To je to menší číslo (píše 6 k levé nožičce vidličky).“

Ve výkladu Adély je důležité slovo „třeba“. Říká, že to, co teď udělá s číslem 1, lze udělat s libovolným číslem. Kdyby Adéla znala jazyk algebry, řekne: „Když je horní číslo n, pak pravé dolní je (n + 1)/2 a levé dolní je (n – 1)/2.“ Situaci případně zakreslí obrázkem 2.5b. V takovém případě by již její objev nebyl jen na úrovni generického modelu, ale na úrovni abstraktního poznatku.

Třetí případ se vztahuje k pokračování příběhy Adély. Týká se upozornění učitelky, že obě čísla, na která dané číslo rozkládáme, musí být celá. Odtud plyne, že k obrázku 2.5b nutno dodat podmínku „číslo n je liché“. Podmínku zapsanou slovy lze též formalizovat, zapsat ji pomocí jazyka algebry.

Nejprve formalizujeme pojem „celé číslo“: znakem Z označíme množinu všech celých čísel a výrok „n je celé číslo“ zapíšeme relací n ∈ Z. Pak formalizujeme i pojmy „sudý“ a „lichý“: číslo m je sudé, právě když jej lze psát ve tvaru m = 2n, kde n ∈ Z; číslo m je liché, právě když je lze psát ve tvaru m = 2n + 1, kde n ∈ Z

Při tomto označení nabude obrázek 2.5b tvar 2.5c.

Po osvětlení síly vyjadřovací se musíme pustit do zkoumání síly uchopovací. Má klíčovou roli. Rozhoduje o tom, zda žák k řešení úlohy použije nebo nepoužije jazyk písmen. Proto této síle věnujeme 6 následujících odstavců.

2.6.4

Síla uchopovací – příběh Danka, část první

Hlavní otázka, kterou se pokusíme řešit, zní: Jak rozvíjet uchopovací sílu žáků?

Žák, který nedokáže uchopit úlohu pomocí písmen, použije alternativní postup: metodu pokusomyl, metodu obrázku nebo dramatizace, metodu vhledu, metodu řešení od konce apod. Někteří učitelé považují taková řešení za méně vhodná, někdy dokonce za nelegální. Jsou přesvědčeni, že řešení slovních úloh pomocí jazyka písmen je nejlepší, neboť je univerzální. Když se tomu žák naučí, nemá žádné problémy. Jenže počet žáků, kteří to zvládnou na dobré úrovni, je podle našich zkušeností poměrně malý. O tom je následující třídílný příběh.

Příběh 2.1

Hlavním postavou příběhu je Danka, která společně s několika dalšími žáky přistoupila do naší páté třídy poté, co z ní po čtvrtém ročníku odešlo několik žáků na jazykové školy. Žáci, kteří k nám přibyli, byli v předchozích letech učeni instruktivně. Dance se tento způsob práce líbil. Byla ve třídě z matematiky nejlepší. V září jsem v nově utvořené heterogenní páté třídě dal dvojicím žáků řešit úlohu 2.5. Noví žáci utvořili čtyři dvojice a všichni pracovali s písmenem x. Třem dvojicím se nepovedlo sestavit žádnou smysluplnou rovnici. Jen dvojici, ve které byla Danka, se podařilo sestavit správnou rovnici x = 1 + x/2. Tu pak upravili na tvar 2x = 1 + x a našli chybné řešení x = 1. Danka napsala „cihla váží 1 kg“. Kontrolu neudělala.

Ostatní dvojice byly vytvořeny z žáků, které jsem ve třetím a čtvrtém ročníku učil sám. Z nich jen dvojice Dan a Dita použila k řešení písmeno x a vyřešila úlohu rychle a správně. Ti hned dostali ode mne další úlohu: v úloze 2.5 místo poloviny cihly dejte třetinu, nebo čtvrtinu cihly.

Všechny další dvojice použili k řešení obrázek, nebo simulovanou dramatizaci, a až na jednu dvojici byli úspěšní. Hoši, kteří svoje řešení předvedli třídě, nakreslili kuchyňské váhy. Na jejich pravou misku nakreslili cihlu, na levou půlcihlu a závaží 1 kg. Pak celou cihlu jako že rozbili na poloviny a z každé misky vah půlcihlu odebrali. Na tabuli byl obrázek 2.6.

Já to komentoval slovy: „Víme, že rovnováha se nezmění, když z obou misek dáme pryč stejný objekt.“ Komentář byl nevhodný, protože vstupoval hochům do jejich výkladu. Oni pak uzavřeli slovy: „Půlcihla váží 1 kg, tedy celá cihla váží 2 kg.“ Viděl jsem, jak Danka kontroluje svoje řešení a opravuje chybu. Obr. 2.6

Zeptal jsem se, zda s tím třída souhlasí. Derek, hoch, který do naší třídy přibyl, řekl: „Takhle bych to taky uměl.“ Danka namítala, že to řešení je nematematické, protože tam není x. Řekl jsem, že každý způsob, který vede k dobrému výsledku, je dobrý, že naopak čím více cest k výsledku najdeme, tím lépe do problému vidíme.

Dita přiběhla k tabuli, aby Dance ukázala, že to x tam vlastně je, jen není napsáno. Řekla: „Tady ta cihla je x“ (ukázala na celou cihlu na pravé straně obrázku vah a připsala sem x). Pak do každé ze tří půlcihel do obrázku dopsala x/2 a zeptala se Danky, zda to je jasné. Danka váhavě řekla: „Asi jo, ale je to nějaké divné,“ a jakoby sama pro sebe dodala: „Tedy na jedničku to není.“ Bylo jasné, že Danka vysvětlení Dity nepřijímá a má pochybnosti o mém výroku.

Derek naopak silně ožil. Po mé výzvě, aby řekl, co má na srdci, se hnal k tabuli, aby Ditino vysvětlení uzavřel tím, že do obrázku vepsal rovnice 1 + x/2 = x a 1 = x/2. K Dance řekl: „To je jasné,“ a pak tam ještě chvíli stál a radostí poskakoval. Nakonec mezi obě napsané rovnice vtěsnal rovnici 1 + x/2 = x/2 + x/2.

Všichni noví žáci se během tří měsíců přeorientovali na můj, dnes bych ho popsal konstruktivní edukační styl. Derek se jako první dostal mezi nejlepší žáky a, jak mi řekla jeho maminka, matematika jej začala velice bavit. Už nebyl slabší dvojkař, byl zářící jedničkář uznávaný třídou. Danka si jedničku udržela. Dobře se spekulativnímu způsobu řešení úloh přizpůsobila tam, kde neměla žádný vzor ze čtvrtého ročníku. Byly to například kombinatorické úlohy a geometrie. Slovní úlohy ale stále chtěla řešit pomocí x.

2.6.5 Analýza první části příběhu Danka

V důsledku instruktivního edukačního stylu učitelky nabyla Danka ve čtvrtém ročníku přesvědčení, že každá matematická úloha, i když připouští více postupů řešení, má jen jeden postup, který „je na jedničku“. Dívka opakovaně sledovala, jak učitelka při řešení slovních úloh důsledně dodržuje čtyřkrokový postup: číslo, které mám najít, označím písmenem x; pečlivě čtu text a sestavím rovnici; rovnici vyřeším, přičemž si opakuji věty jako „obě strany rovnice vynásobím dvěma“ nebo „k oběma stranám rovnice přičtu x“; když najdu x, napíši odpověď.

Dívka se postup naučila a ve čtvrtém ročníku, kde řešení slovních úloh učitelka nacvičovala na lehkých úlohách, byla nejlepší v celé třídě. Spolužáci s písmenem x měli potíže a občas zkoušeli alternativní způsoby řešení, která učitelka nazývala „pokoutní“. Učitelka opakovala, že když budou dostatečně pilní, tak se to naučí. Povzbuzovala je slovy: „Pak již budete umět vyřešit každou slovní úlohu.“ Danku dávala třídě za příklad.

V nové situaci byla Danka zaskočena. Odmítla Ditinu snahu ukázat, že oba postupy jsou paralelní, pouze popsané v jiném jazyce. Pro Danku bylo nepřijatelné dát řešení pomocí písmen na stejnou úroveň s jakýmkoli jiným řešením. Vysvětlování Dity asi vnímala jako snahu ospravedlnit spolužákův obrázkový, tedy podle ní nekorektní způsob řešení úlohy. Mátlo ji, že učitel nejenže proti tomu nezakročil, ale naopak to podpořil. A nelíbilo se jí ani to, co řekl Derek. Danka tvrdošíjně za plnohodnotné považovala pouze to řešení, které je učila jejich dřívější učitelka. Zřejmě toto přesvědčení podporovala i Dančina maminka. Podobný odmítavý postoj měla Danka i k dalším alternativním postupům. Zejména se to týkalo písemného násobení vícemístných čísel. Naše indické násobení, které si její bývalí spolužáci rychle osvojili, považovala za plýtvání místem. Jednou řekla: „To je jako koňský potah na dálnici,“ – asi maminčina metafora.

Naopak pro Dereka bylo Ditino vysvětlení otevřením dveří do jazyka písmen. Můj souhlas s legitimitou řešení přispěl k útlumu přesvědčení, ke kterému byl veden ve čtvrtém ročníku – že totiž pouze řešení pomocí x je korektní. Hoch měl z toho radost. Dokonce si vzpomněl na úlohu, kterou ve čtvrtém ročníku řešil „pokoutně“, a ukázal, jak byl jeho postup paralelní k řešení pomocí x. Tenkrát jej vůbec nenapadlo hledat mezi svým řešením a tím, co bylo na tabuli, nějakou souvislost. Teď to dodatečně odhalil. U každé slovní úlohy se hoch zajímal o alternativní řešení a u každého hledal jeho propojení na jazyk písmen. Díky této aktivitě se propracoval v šestém ročníku na třídou uznávaného experta pro práci s písmeny.

Tolik o žácích. Podívejme se na přesvědčení učitelky, že jediný účinný způsob řešení slovních úloh je použití písmen a že cesta, jak to žáky naučit, je nácvik. Mnoho učitelů věří v tento předsudek a jako příčinu neschopnosti poměrně velkého počtu žáků naučit se zacházet

s písmenem x uvádí buď nedostatečnou píli, nebo absenci „buněk na matematiku“. Většina učitelů, které jsem se snažil přesvědčit, že příčinou neúspěchu je nevhodná edukační strategie, považovala moje názory za divné, a to i navzdory tomu, že při návštěvě mé třídy (v sedmém ročníku) viděli, že skoro všichni žáci s písmenem x zacházejí bez problémů.

Z uvedeného plyne, že jádro problému při práci žáků s písmeny tkví v edukační strategii. Nácvik vzorového řešení typových úloh u mnoha žáků k úspěchu nevede, a často vede k přesvědčení, že jediná přípustná cesta, jak řešit slovní úlohy, vede přes jazyk písmen. Toto přesvědčení je pak překážkou, která nedovoluje žákům řešit slovní úlohy s porozuměním. Účinnou edukační strategii, odzkoušenou v praxi, uvedeme na konci odstavce 2.6.9.

2.6.6 Druhá část příběhu Danka hledáme úlohu, kterou nelze řešit bez x

Na začátku 6. ročníku již třída opět tvořila jednolitý celek. Začínali jsme kombinatoriku a Danka zde úspěšně používala metodu pokus-omyl. Nežádala si vzorečky. Ale postupy, které se naučila do čtvrtého ročníku, stále považovala za nejlepší. Podporována mámou se nemohla srovnat se ztrátou dřívějšího postavení nejlepší matematičky třídy. Občas se snažila nepředpisová řešení znevažovat. Tvrdila, že jen metoda pomocí x je univerzální. Všechny jiné způsoby jsou jen nahodilé. Stále hledala úlohu, kterou by nebylo možné vyřešit jinak, jen pomocí písmen. Ale spolužáci to pokaždé vyřešili i alternativně.

Příběh 2.14

Danka přinesla krasopisně vyřešenou úlohu, kterou našla ve starší sbírce úloh, a žádala mne, abychom ji ve třídě vyřešili. Byl to další pokus dívky ukázat, že tato úloha se nedá řešit obrázkem ani nijak jinak, že jen ti, co umí řešit rovnice pomocí písmen, tuto úlohu vyřeší.

Úloha 2.8

Myslím si číslo. Když od jeho poloviny odečtu jeho sedminu, dostanu 90. Jaké číslo si myslím?

Písemné řešení Danky:

Myšlené číslo x Jeho polovina x/2

Jeho sedmina x/7

Od jeho poloviny odečteme jeho sedminu, dostaneme 90, x/2 – x/7 = 90. Upravíme na 5x/14 = 90. Výpočet x = 90 14 : 5 = 1 260 : 5 = 252.

Odpověď: myšlené číslo je 252. (Pak následovala ještě kontrola.)

Pochválil jsem Danku za pěkné řešení a řekl, že ona předběhla to, co děláme, protože již odčítá zlomky nekmenové. Danka namítala, že více žáků to již stejně umí. Tak jsem na Dančinu hru přistoupil a dovolil jsem jí, aby úlohu zadala třídě.

Žáci se pustili do řešení. Po chvíli někdo zavolal, že to číslo je čtrnáct krát něco. Dva nebo tři hlasy to potvrdily, jako že je to jasné. Pak se objevila první řešení – vesměs podobná jako bylo Dančino. Danka chtěla hned každé řešení vidět a spokojeně konstatovala, že je to opět pomocí toho x. Pochvalně to řešiteli komentovala: „Jó, x je dvě stě padesát dva, máš to dobře.“ Dalibor řekl, že jemu x vyšlo 18. Danka řekla: „Máš to blbě.“ On jí ukázal řešení, ve kterém za

x označil čtrnáctinu myšleného čísla. Zjistil, že jeho polovina je 7x a sedmina 2x.Tedy 5x = 90, tj. x = 18. Tedy myšlené číslo je 14x = 252.

Dance se to nelíbilo. Tvrdila, že za x je nutno označit neznámé myšlené číslo, ale žádný argument pro to uvést nedokázala. Mezičasem již více žáků úlohu vyřešilo metodou pokus-omyl. Dominik dostal možnost svoje řešení předvést u tabule. Třídě ukázal tabulku 2.5 a řekl, že mu pomohlo, že to číslo může být jen násobek 14. Zkusil 140. Když to nevyšlo, udělal si tabulku, do které postupně vkládal čísla 280, 210, 28 a 252. Poslední číslo vyšlo.

Bylo to poprvé, co Danka smutně konstatovala, že se asi všechno dá řešit metodou pokusomyl. Útěchou jí byla učitelova poznámka, že někdy řešení metodou pokus-omyl může být hodně dlouhé a otravné.

Snad ještě více než Dominikovo řešení Danku nemile překvapilo řešení Dalibora, se kterým se ještě nějaký čas nedokázala smířit.

2.6.7 Analýza druhé části příběhu Danka

Danka svým odmítavým postojem ke všemu, co bylo v matematice jiné než to, co se učili do čtvrtého ročníku, vyvolávala někdy mírné sociální pnutí. Měla problém si najít kamarádku, dosti často se hádala s Derekem, občas s Ditou. Stála o moji pochvalu. Byla roztrpčená, když některou náročnější úlohu vyřešilo několik žáků různými způsoby dříve než ona. Nesnažila se pochopit tato řešení. Pak ale došlo ke šťastnému obratu.

Třída jednou týdně měla výuku v učebně, kde byl klavír. Danka něco zahrála a dětem se to líbilo. Hrála velice pěkně. Pokaždé, když měli vyučování v této učebně, Danka sedla ke klavíru a spolužáci si poroučeli Beethovenovu skladbu „Pro Elišku“, nebo jinou klasiku, kterou Danka uměla. Uznání, které jí muzika přinesla, bylo pro dívku kompenzací za ztrátu vůdčí pozice v matematice. Již nebyla v opozici a našla si kamarády. Dokonce sama občas pochválila nápady spolužáků. Někdy dokonce prosila Ditu nebo i Dereka, aby jí vysvětlili něco, čemu nerozuměla.

Indické násobení Danka odmítala. Hbitě a spolehlivě násobila pomocí tradičního algoritmu, a tak nepotřebovala kreslit tabulky. Nicméně již indické násobení plně tolerovala. Pak jsem dal třídě úlohu zjistit, zda kalkulačku, která má na displeji jen 12 míst, lze využít při násobení dvou osmimístných čísel. Když žáci úlohu vyřešili pomocí indického násobení, začala mít Danka o tento algoritmus zájem.

Popsaný přechod Danky od zarputilého zastánce instruktivního přístupu k matematice k přístupu tolerantnímu trval jeden a půl roku. Je to doklad toho, jak souhra tří faktorů –instruktivního učitele, sociálního úspěchu získaného v rámci instruktivního vyučování

a systematické „podpory“ ze strany rodiče – zřejmě zpomalila rozvoj matematického orgánu žáka. Nakonec totiž Danka byla úspěšnější v oblastech, kde nebyla zatížena předsudky, které do ní vložil instruktivní edukační styl. V kombinatorice i geometrických konstrukcích byla lepší než v řešení slovních úloh. Energie, kterou musela Danka vynaložit na vyrovnání tenze způsobené změnou edukační strategie učitele, mohla být vynaložena na rozvoj matematického myšlení. Na druhé straně ale zkušenost, kterou Danka při překonávání tenze získala, přesahuje oblast matematiky a může dívce pomoci v životě při řešení tenzí způsobených střetem dvou protichůdných přesvědčení.

Dalibor za neznámou x volil čtrnáctinu myšleného čísla. Volba nebyla náhodná. Hoch již dříve zjistil, že když situaci se zlomky uchopí tak, že začne u nejmenšího čísla, bude vše další v celých číslech. Skutečně jeho řešení je pouze v celých číslech. Stejně tak postupovali i staroegyptští písaři.

Tabulka 2.5 ukazuje pět izolovaných modelů procesu hledání výsledku. Generickým modelem je zde znalost procedury: zvolím násobek čísla 14, najdu jeho polovinu, pak sedminu; najdu rozdíl obou a porovnám s číslem 90. Danka později s Dominikem o tabulce rozmlouvala a napadlo ji připsat k tabulce další sloupec: zvolené číslo zapsala 14n (nepoužila x, ale písmeno n, protože to jsme používali při dělitelnosti), jeho polovinu zapsala 7n a jeho sedminu 2n. Rozdíl pak 5n. Nakonec napsala 5n = 90 a s radostí řekla, že to není pokus- omyl, že je to řešení rovnicí.

Dominik řekl, že je to jako řešení Daliborovo. Překvapivě Danku to nezarmoutilo, ale potěšilo. Přišla mi ukázat, jak sama odhalila Daliborovo řešení a že je to lepší, protože u něj není třeba odčítat zlomky.

Povídání o Dance nekončíme. Má ještě jedno pokračování.

2.6.8 Třetí část příběhu Danka – úloha, kterou nelze řešit pomocí x O posledním zlomu Dančina původního přesvědčení vypravuje poslední díl naší trilogie.

Příběh 2.15

V druhém pololetí šestého ročníku přinesla žačka Darina úlohu, kterou našla v nedělní příloze Pravdy (noviny), a jejich rodina ji nevyřešila. Chtěla, abychom ji vyřešili ve škole. Moc se mi to nehodilo, dělali jsme mnohostěny a měl jsem připraveno několik pěkných úloh. Ale povolil jsem Darině úlohu třídě přečíst.

Úloha 2.9

Prodavačka měla v koši živé slepice. Postupně přišly tři kupující. První koupila ze slepic v koši polovinu a půl živé slepice. Druhá z těch slepic, které v koši zůstaly, koupila polovinu a půl živé slepice. Stejně i třetí kupující. Po jejím odchodu zůstala prodavačce v koši jediná slepice. Kolik slepic bylo v koši na začátku?

Hned někteří namítali, co je to za blbost ta živá půlslepice. Darina řekla, že to není blbost. Kdyby paní měla v koši 5 slepic a kupující z nich vzala polovinu a půl slepice, bylo by to 2 a půl a ještě půl slepice, tedy tři slepice. To vůbec není blbost. Třída si chvíli hrála s touto situací, která se několika žákům velice zalíbila. Ale bylo jasné, že dnes se do úlohy nepustíme. Musíme nejprve tu živou půlslepici vstřebat. Podle zvyku jsme úlohu dali na nástěnku.

Po třech dnech mi Derek s Danem řekli, že mají řešení: slepic bylo 15. Prosil jsem je, aby to zatím nezveřejňovali. Přiznali, že jim Derekův strýc poradil, aby to řešili od konce. Již následující

den většina žáků věděla, že prodavačka měla na začátku 15 slepic. Tak jsme úlohu odehráli pomocí 15 krychlí, které představovaly slepice: První kupující koupila 7 a půl plus půl, tedy 8 slepic. V koši zbylo 7 slepic. Druhá zákaznice koupila tři a půl plus půl, tedy 4 slepice. V koši zůstaly  slepice. Třetí zákaznice koupila jeden a půl plus půl, tedy 2 slepice. V koši skutečně zbyla jediná slepice.

Mnoha žákům se to velice líbilo a sami si proces na lavici opakovali ve dvojicích, nebo jednotlivě. Byli přesvědčeni, že Derek s Danem to vyřešili metodou pokus-omyl.

Danka, která již neodmítala metodou pokus-omyl, stále viděla v řešení pomocí x ten pro sebe nejlepší postup. I zde se o to pokusila, ale neuspěla. Přišla mi ukázat, jak se trápí se sestavením rovnice, a prosila mne o pomoc. Byl jsem na pochybách, kolik toho mám dívce pomoci, když úpravy výrazů, které bylo třeba udělat, byly zatím pro dívku příliš náročné. Její zápal a touha najít řešení úlohy rovnicí oslabily moje přesvědčení, že žákům nesmím nic prozradit. S úpravami výrazů jsem jí výrazně pomáhal. Viděl jsem, že jednotlivé úpravy chápe. Po několika dlouhých rozhovorech se Danka konečně dopracovala k řešení, které bylo na čtyřech listech a kterého si velice považovala. Krasopisně si je přepsala na jeden list papíru. Zde stálo:

Prodavačka měla na začátku x živých slepic. Číslo x je liché.

První kupující koupila x/2 + ½ = (x + 1)/2 slepic.

V koši zůstalo x – (x + 1)/2 = (x – 1)/2 slepic. To je číslo liché.

Druhá kupující koupila ½·(x – 1)/2 + ½ = (x + 1)/4 slepic.

V koši zůstalo (x – 1)/2 – (x + 1)/4 = (x – )/4 slepic. To je číslo liché.

Třetí kupující koupila ½·(x – )/4 + ½ = (x + 1)/8 slepic.

V koši zůstalo (x – )/4 – (x + 1)/8 = (x – 7)/8 slepic. To je 1 slepice.

Rovnice (x – 7)/8 = 1. Násobím 8. Mám x – 7 = 8. Přenesu 7. Mám x = 15.

Odpověď: Na začátku měla prodavačka v koši 15 živých slepic.

Danka nakonec konstatovala, že tuto úlohu vlastně nelze řešit pomocí x. Že pokus-omyl je rychlejší, ale že výborný je nápad, řešit ji od konce. Ukázal jí to Derek. Po nějaké době ji tento nápad přivedl k úspěšnému kompromisu. Úlohu rozložila na sérii tří menších úloh a každou řešila pomocí x. Každá z úloh byla o jediné kupující, ale počet slepic, které prodavačce po odchodu kupujících zbyly, byl postupně 1,  a 7.

Společně jsme pak trojici Dančiných úloh slepili do jediné gradované úlohy:

Úloha 2.10

Prodavačka měla v koši živé slepice. Kupující z nich koupila polovinu a půl živé slepice. Po odchodu kupující zůstalo prodavačce v koši n slepic. Kolik slepic bylo v koši na začátku, když víte, že a) n = 1, b) n = 2, c) n = , d) n = 5, e) n = 7, c) n = 15?

Danka měla z této úlohy ohromnou radost. Sama vyvodila, že v koši bylo právě 2n + 1 slepic, a žádala mne, abych jí vymyslel podobnou „maxiúlohu“. Díky radosti z úspěchu dřívější předsudek dívky padl. Záhy se objevily první pokusy dívky použít u slovních úloh alternativní metody řešení. Ale stejnou radost měla i v případě, že úlohu vyřešila pomocí jazyka písmen.

2.6.9

Analýza příběhu Danka řešení otázky, jak

rozvíjet sílu uchopovací

V úvodu odstavce 2.6.4 jsme položili otázku: Jak rozvíjet uchopovací sílu žáků? Teď jsme připraveni otázku odpovědět. Pomůže nám k tomu analýza změn postojů Dereka a Danky k řešení

slovních úloh pomocí x. Jedná se o skoro dvouleté období začínající vstupem těchto žáků do naší třídy a trasované příběhy 2.1, 2.14 a 2.15.

Danka, Derek i jejich spolužáci ze 4. ročníku přicházejí do naší třídy s přesvědčením, že slovní úlohy nutno řešit pomocí x. Pro Danku je to přesvědčení radostné, neboť je spojeno se sociálním úspěchem dívky. Pro Dereka to přesvědčení radostné není. Nejen proto, že žádný sociální úspěch mu nepřináší, ale především proto, že hoch nelibě nese to, že věcem nerozumí a má používat jen učitelem dané postupy; být jen pasivním realizátorem instrukcí učitele.

V příběhu 2.1 se Danka i Derek poprvé setkávají s jiným názorem učitele na řešení slovních úloh: každý způsob řešení úlohy je vítán, žádný není upřednostněn. Pro Dereka to znamená uvolnění tenze, kterou do jeho vědomí vložila povinnost plnit instrukce. Uvolnění, spojené s komunikací s novými spolužáky, kteří spontánně řeší úlohy „selským rozumem“, velice rychle vedlo k zásadnímu přesvědčení hocha o tom, jak řešit (nejen) slovní úlohy. Pro Danku naopak nový názor učitele tenzi vyvolává, protože bortí její dosavadní přesvědčení. Danka se tomu staví na odpor, protože je přesvědčena, že jedině řešení úloh pomocí x má univerzální platnost. Všechny jiné postupy jsou pouze dílčí – použitelné jen na některé úlohy.

Příběh 2.14 ukazuje, že snaha Danky prosadit svoje přesvědčení nedošla naplnění. Její úlohu 2.8, která měla být řešitelná pouze pomocí x, někteří žáci vyřešili metodou pokus-omyl. To asi definitivně změnilo Dančino přesvědčení o výlučnosti jediné řešitelské strategie. Přiznala, že asi všechny slovní úlohy je možné řešit i metodou pokus-omyl. Navíc řešení Dalibora zpochybnil i samotný čtyřkrokový řešitelský postup, který Danka důsledně dodržovala. Viděla řešení, ve kterém je sice x použito, ale není jím označeno hledané neznámé číslo.

Příběh 2.15 popisuje závěrečnou etapu změny Dančina přesvědčení. Přispěly k tomu i zkušenosti, které dívka získala u úloh z oblasti kombinatoriky, rovinné a prostorové geometrie i dělitelnosti. Zde žádné řešení neodmítala a někdy dokonce alternativní řešení vítala. Došlo k tomu u odhalení kritéria dělitelnosti trojmístného čísla číslem 4. Třída odhalila tradiční kritérium a na odhalení se podílela i Danka. Pak Dita přinesla alternativní kritérium16 a Dance se líbilo více než to tradiční.

Derek žádným dlouhým přerodem neprocházel. Možnost alternativního řešení ihned uvítal a dokonce díky Ditině propojení obou řešení úlohy o váze cihly pochopil, jak lze řešení obrázkem naformulovat pomocí písmen.

Z uvedeného vyplývá, že k rozvoji uchopovací síly písmen nejvíce přispívá to, když žák vidí řešení pomocí x a souběžně s ním i jiná řešení.

Tolik o čtyřech základních silách jazyka písmen.

Na druhém stupni k těmto silám přibudou další dvě: síla argumentační a síla objevitelská.

Zárodky těchto sil se objevují již na prvním stupni, zejména u vyspělejších žáků. Proto je třeba se i na tyto síly podívat blíže.

2.6.10 Argumentační síla jazyka písmen

Již ve třetím ročníku se často stane, že žáci objeví jistou obecnou zákonitost a formulují ji pomocí generického modelu. O pravdivosti svého tvrzení jsou přesvědčeni. Pak se ale stane, že navzdory hlubokému přesvědčení žáci zjistí, že jejich tvrzení neplatí. Taková cenná zkušenost zvyšuje opatrnost žáků před unáhlenými soudy a zakládá potřebu dokazovat i zdánlivě jasná tvrzení. Veliké překvapení žáků jsem zažil ve čtvrtém ročníku, když se zjistilo, že čtyřmi

16 Třídou odhalené kritérium: 4|ABC ⇔ 4|BC. Ditou odhalené kritérium 4|ABC ⇔ ((B je sudé a C∈{0,4,8}) nebo (B je liché a C∈{2,6}).

svými vrcholy není čtyřúhelník dán jednoznačně. Leží-li totiž bod D uvnitř trojúhelníku ABC, pak ABCD, ABDC a ADBC jsou různé čtyřúhelníky.

Argumentační sílu jazyka písmen budeme ilustrovat na důkazu následujícího tvrzení.

Tvrzení

Součet tří po sobě jdoucích přirozených čísel je dělitelný číslem .

V příběhu .1 „dokázala“ žačka druhého ročníku uvedené tvrzení na úrovni generického modelu. Na úrovni abstraktních úvah bude důkaz tohoto tvrzení probíhat ve čtyřech krocích pomocí jazyka písmen.

1. První ze tří uvažovaných čísel označíme n.

2. Pak číslo následující po čísle n je n + 1 a číslo následující po něm je n + 2.

. Hledaný součet S tedy je n + (n + 1) + (n + 2) = n + .

4. Již ze zápisu S = n +  vidíme, že S je dělitelné číslem . Když chceme být důslední, upravíme tento vztah na vztah S =  ⋅ (n + 1), ze kterého ihned plyne, že S :  = n + 1. Tím je tvrzení dokázáno.

Krok 1 ukazuje uchopovací sílu jazyka písmen. Dá jméno n prvnímu z trojice uvažovaných čísel.

Krok 2 ukazuje vyjadřovací sílu. Další objekty zkoumané situace umíme vyjádřit pomocí písmene n.

Krok  ukazuje vyjadřovací sílu, protože vztah „S je součet tří zúčastněných čísel“ vyjádří pomocí písmen. V zápětí ale dojde k transformaci, protože prostý součet těchto tří jmen je výraz, z něhož o dělitelnosti třemi neumíme nic říct.

Krok 4 další a finální transformací představuje důkaz uvedeného tvrzení. Zápis S :  = n + 1 je závěrem důkazu a reprezentuje argumentační sílu jazyka.

V kroku 2 jsme jako samozřejmost předpokládali, že číslo následující po přirozeném čísle n je číslo n + 1 a číslo následující po něm je n + 2. Tato tvrzení jsou tak evidentní, že ani na střední škole není didakticky rozumné tyto termíny přesně definovat – žáci by nevěděli, proč se těmto zřejmým věcem věnuje tolik pozornosti. Jiná je ale situace, když vezmeme pojmy trochu náročnější. Například pojmy sudé nebo liché číslo, nebo číslo, které při dělení číslem  dá zbytek 1. Tyto pojmy již v jazyce písmen upřesňovat potřebujeme, protože jinak se nám nepodaří dokázat, že součet dvou po sobě jdoucích přirozených čísel je číslo liché. O tom jsme mluvili na konci odstavce 2.6. a v obrázku 2.5c.

Nejfrekventovanější použití jazyka písmen k argumentaci nacházíme v tematickém celku dělitelnost. Sem patří například následující tvrzení:

Tvrzení 1. Součet dvou sudých čísel je číslo sudé.

Tvrzení 2. Součin dvou lichých čísel je číslo liché.

Tvrzení . Součet tří po sobě jdoucích čísel je dělitelný třemi.

Tvrzení 4. Součin čtyř po sobě jdoucích čísel je dělitelný 24.

Tvrzení 5. Součet dvoumístných čísel AB + BA je dělitelný číslem 11.

Tvrzení 6. Šestimístné číslo ABCABC je dělitelné číslem 1.

Tvrzení 7. Šestimístné číslo ABCCBA je dělitelné číslem 11.

Tvrzení 8. Při dělení se zbytkem je a :  = n (1), b :  = m (2) ⇒ (a + b) :  = n + m + 1.

Tvrzení 9. Jsou-li p, q nesoudělná a p|n i q|n, pak (p ⋅ q)|n.

Tvrzení 10. Zbytek při dělení n2 :  nemůže být číslo 1.

Tvrzení 8. P i d lení se zbytkem je a : 3 = n (1), b : 3 = m (2) (

Tvrzení 9. Jsou-li p, q nesoud lná a p|n i q|n, pak (p q)|n

Všechna tato tvrzení se dají dokázat v jazyce písmen pomocí síly transformační. Takové dokazování patří na druhý stupeň. Výjimečně schopný žák pátého ročníku dokáže vytvořit důkaz tvrzení

1 nebo 2, ale neznáme případ, že by žák měl potřebu takové důkazy hledat. Ve většině případů

totiž je tvrzení tak evidentní, že jeho důkaz se žákovi jeví jako zbytečnost. Důkaz náročného tvrzení, jako je například iracionalita čísla √2, leží již za obzorem žáka prvního stupně.

Všechna tato tvrzení se dají dokázat v jazyce písmen pomocí síly transforma ní. Takové dokazování pat í na druhý stupe . Výjime n schopný žák pátého ro níku dokáže vytvo d kaz tvrzení 1 nebo 2, ale neznáme p ípad, že by žák m l pot ebu takové d kazy hledat. Ve v tšin p ípad totiž je tvrzení tak evidentní, že jeho d kaz se žákovi jeví jako zbyte nost. D kaz náro ného tvrzení, jako je nap íklad iracionalita ísla , leží již za obzorem žáka prvního stupn

2.6.11 Objevitelská síla jazyka písmen

2.6.11 Objevitelská síla jazyka písmen

Hlavním objevitelským nástrojem žáka na prvním stupni je hledání generického modelu pomocí modelů izolovaných. V mnoha případech lze objevování výrazně urychlit pomocí jazyka písmen.

Hlavním objevitelským nástrojem žáka na prvním stupni je hledání generického modelu pomocí model izolovaných. V mnoha p ípadech lze objevování výrazn urychlit pomocí jazyka písmen.

Ve cvičení M4/45/8 je oznámena existence návodu na řešení trojúhelníkového šipkového grafu s násobením číslem 2. Úlohou žáka je tento návod odhalit.

Ve cvi ení M4/45/8 je oznámena existence návodu na ešení trojúhelníkového šipkového grafu s násobením íslem 2. Úlohou žáka je tento návod odhalit.

Obr. 2.7

Žáci Milošův trik hledají tabulací mnoha konkrétních případů. Je to hledání generického modelu pomocí série izolovaných modelů. Žák, který již umí používat jazyk algebry, nahradí v obrázku

2.7 číslo 60 písmenem a, číslo 6 písmenem b a do vstupního levého pole napíše písmeno x Pak do pravého horního pole napíše x + a a do dolního pole napíše x + a + b. Protože v dolním poli je i číslo 2 x, platí 2 x = x + a + b. Odtud x = a + b. Milošův návod (trik) zní: „Ve vstupním poli je součet čísel nad horní a pravou šipkou.“

Jazyk písmen pomohl objevit zákonitost přímo, bez izolovaných modelů a bez generického modelu. Z důkazu navíc vidíme, že návod bude platit, i když některé z čísel a, b, nebo obě budou záporná, nebo dokonce zlomek. Jestliže učitel v dobré víře uspíší výuku tím, že popsaný objev žákům ukáže, dosáhne toho, že tento typ šipkového diagramu žáci budou umět řešit, ale nebudou vědět, proč to funguje. Je dost pravděpodobné, že nebudou schopni řešit úlohy složitější, protože si nevybudovali příslušný generický model.

Vyvozený vztah x = a + b je jednoduchý. Žák, který jej dokáže vyvodit, zvládne i případy, kdy místo násobení dvěma bude v grafu násobení třemi nebo sedmi. Zjistí, že v těchto případech je x = (a + b)/2, nebo x = (a + b)/6. Když místo těchto konkrétních čísel

žák použije písmeno p a do grafu místo ⋅2 vloží ⋅p, najde výsledek x

= (a + b)/(p – 1). Samozřejmě každý z uvedených posunů (tj. objevů) si žádá čas, který se neměří na dny, ale na měsíce.

Druhý příklad objevitelské síly jazyka písmen dávají násobilkové

čtverce. Základní úloha tohoto prostředí zní: Jsou známa čtyři rohová

čísla a, b, c, d. Najdi čtyři středová čísla a b, b c, c d a a d i jejich součet S (viz obr. 2.8).

Náročnější jsou úlohy, u nichž jsou známa středová čísla a hledají se čísla rohová. Tyto úlohy mívají často více řešení. Velice náročná je úloha 2.11.

Úloha 2.11

Napiš násobilkový čtverec, pro který je S = 100 a součet rohových čísel je 25.

Jazyk algebry nám pomůže odhalit klíčový vztah tohoto prostředí: S = (a + c) (b + d). Když označíme a + c = x a b + d = y, dostáváme soustavu rovnic x + y = 25, x y = 100. Řešení soustavy najdeme metodou pokus–omyl: x = 20, y = 5, nebo x = 5, y = 20.

Třetí příklad objevitelské síly jazyka písmen je vzat z prostředí součtových trojúhelníků. Vychází z náročné kombinatorické úlohy 2.12.

Úloha 2.12a

V součtovém trojúhelníku na obrázku 2.9 je součet tří čísel první řádky roven 10 a dolní číslo (12) je dělitelné číslem 4. Kolik takových trojúhelníků se součtem čísel první řádky 10 a dolním číslem dělitelným čtyřmi existuje?

5 2 

7 5 12 Obr. 2.9

Náročnost úlohy spočívá v tom, že existuje 66 různých vyplnění první řádky, a řešení prověřením všech možností by znamenalo výpočet 66 trojúhelníků. Byla by to práce dlouhá a neradostná a náročná na evidenci, aby se na žádnou možnost nezapomnělo a abychom žádnou neopakovali.

Použijeme-li jazyk písmen, řešení úlohy výrazně zjednodušíme. Situaci uchopíme tak, že do první řádky vložme tři písmena a │ b │ c . Pomocí těchto písmen pak vyjádříme druhý řádek a+b │ b+c a nakonec i dolní číslo a + 2b + c, které transformujeme na tvar b + 10. Tím je původní úloha převedena na úlohu výrazně jednodušší:

Úloha 2.12b

Kolik existuje uspořádaných trojic (a, b, c) takových, že a + b + c = 10 a zároveň 4|(b + 2)?

Z podmínky 4|(b + 2) plyne, že b = 2, nebo b = 6. Tedy hledaných trojúhelníků je tolik, kolik je různých součtů a + c = 8 (pro b = 2) plus počet součtů a + c = 4 (pro b = 6). Tato čísla již lehce dopočítáme: 9 a 5. Tedy existuje 9 + 5 = 14 trojúhelníků.

Podobné úlohy, které lze uchopením pomocí písmen dobře řešit, nabízejí i další naše didaktická prostředí. Diagnosticky velice zajímavé se v této souvislosti ukázalo prostředí Sousedé, kterému v .2.6 až .2.10 věnujeme značnou pozornost. Bude ilustrována síla jazyka písmen a ukázáno, že jen velice málo učitelů, kteří běžně používají jazyk písmen k řešení rovnic, umí jej použít v nestandardní situaci. Když jim ale poradíme, aby k řešení úlohy použili jazyk písmen, zvládnou úlohu úspěšně. Samotné je však nenapadne, že to tak lze řešit. Příčinu vidíme v tom, že s jazykem písmen se seznámili na základní škole pouze ve dvou kontextech: v rovnicích a v tematickém

celku „úprava algebraických výrazů“. A i když později jazyk písmen na vysoké škole hojně používali, k rozšiřování zkušeností s uchopovací silou jazyka písmen v jiných prostředích základní školy již nedocházelo. Je pak pochopitelné, že tito učitelé nemohou vést žáky ke schopnosti používat jazyk písmen i v nestandardních situacích. Kdyby se povedlo daný stav změnit a vést žáky k tomu, aby dokázali použít jazyk písmen v různých životních situacích, pak by významně vzrostla účinnost matematického vzdělávání žáků. Otázka zní: Jak toho docílit?

Dlužno dodat, že existují i úlohy, u kterých se objevitelská síla jazyka algebry neprojeví.

Příklad objevu generického modelu, u něhož jazyk písmen nelze účinně použít, uvádí příběh

2.10a. Zde Cyril pomocí vyplněné tabulky z obrázku 2.2 (tedy zpřehledněním série izolovaných modelů) objevil procesuální generický model „čísla narůstají po dvou“. V následném příběhu

2.10b pomocí tabulky 2.4 hoch nejprve objevil dílčí konceptuální generický model „pod číslem s nulou na konci je jeho dvojnásobek plus jedna“. Pak spolu s kamarády zjistili, že pravidlo platí pro všechna čísla, a zapsali jej dřívka = 2 okna + 1.

Případný pozdější zápis uvedeného vztahu v jazyce písmen d = 2 ⋅ o + 1 již využívá vyjadřovací sílu jazyka a pomocí síly transformační otevírá možnost řešit úlohy typu „Kolik oken lze vytvořit z tisíce dřívek?“.

Ukončili jsme úvahy o nejvyšší úrovni poznatků, o úrovni abstraktní. Závěrečný odstavec je věnován krystalizaci.

2.6.12 Krystalizace

V tabulce 2.1 je krystalizace uvedena jako poslední, pátá etapa poznávacího procesu. Toto umístění krystalizace je nepřesné. Již jsme uvedli, že ke krystalizaci nového poznatku dochází již od okamžiku objevení se prvního generického modelu, někdy ji dokonce najdeme i u izolovaného modelu. Grafický záznam poznávacího procesu uvedený v tabulce 2.1 by tak asi bylo vhodné upravit na tvar tabulky 2.6.

motivace → izolované modely 1→

Tab. 2.6

generický model procesuální → konceptuální 2→ abstraktní poznatek

krystalizace

V odstavci 2.2.2 jsme ponechali tabulku 2.1 proto, že všechny naše dosavadní práce tuto tabulku používaly. Teď poprvé tabulku upravujeme a budoucnost ukáže, zda to byla úprava rozumná.

Krystalizace probíhá permanentně a jejím hlavním cílem je vytvořit dostatečně hustou síť vazeb mezi jednotlivými poznatky.

Krystalizace je proces uhnízdění nového poznatku ve vědomí žáka, nejednou ve dvou nebo i více oblastech. Tento proces začíná již po objevení se generického modelu. Když například žák, který má již jistý vhled do zlomků, začne pracovat s desetinnými čísly, zjistí, že 0,5 = ½ a 0,25 = ¼. Tím se oblast desetinných čísel propojí na oblast zlomků, a to zatím na úrovni izolovaných modelů. Když pak žák objeví, že desetinné číslo, které se rovná zlomku /8, získáme vydělením  : 8 = 0,125, nachází generický model převodu zlomků na desetinná čísla. To je první generický model propojující zlomky na desetinná čísla.

Když žák zjistí, že zlomek 1/ dá podivuhodné číslo 0,…, které se vlastně nedá přesně zapsat, objeví se u tohoto generického modelu nejasnost. Ještě horší to je s číslem 1/7 = 0,1428571…., u kterého se opakuje šestice číslic. Tak se v důsledku krystalizace objevují periodická desetinná čísla jako nový typ čísel, jejichž tradiční zápis by žádal nekonečně mnoho číslic. Proto je třeba vytvořit nový zápis, u kterého stačí zapsat konečný počet číslic. Pruhem nad periodou označíme skupinu číslic, které se opakují. Tímto novým znakem rozšiřujeme naše schopnosti zápisu čísla a otevřeme další problém: Jak číslo zapsané zlomkem souvisí s číslem, které je zapsané periodickým desetinným číslem? Již víme, že každý zlomek se dá psát jako desetinné periodické číslo. Platí to i obráceně? Dá se každé periodické desetinné číslo zapsat jako zlomek? Nahlédnout do tohoto problému jsou žáci prvního stupně schopni pouze výjimečně. Ti zvládnou periodická čísla s jednomístnou periodou. U vícemístných period udělají příslušný objev žáci až na druhém stupni.

Uvedená ilustrace ukazuje, jak se proces krystalizace prolíná s objevem nových otázek a hledáním nových souvislostí, tedy s procesem objevování. Je zajímavé, že proces krystalizace probíhá u matematicky dobře orientovaných žáků permanentně, tedy i v době, když se žák matematikou zdánlivě nezabývá. Svědčí o tom zjištění učitelů, že někteří žáci po prázdninách rozumí i tomu, čemu před prázdninami nerozuměli. Takové svědectví shodně podaly učitelky Jitka Michnová i Eva Bomerová.

Poslední odstavec druhé kapitoly představuje její završení a je věnován duševnímu orgánu, který je odpovědný za matematické chování jedince.

2.7 Matematický orgán

Pojem duševní orgán zavedl V. Hejný jako důležitý nástroj jím vytvořené kinetické psychologie. V době totality mohl V. Hejný publikovat pouze velice omezeně a jeho pokusy najít pochopení pro konstrukt „duševní orgán“ u uznávaných psychologů nebyly úspěšné. Skupina jeho žáků a žáků jeho žáků 5 let po jeho smrti a více než 80 let po jeho prvních objevech vydala publikaci Archiv Víta Hejného I (Hejný 2012), kde třetí kapitola pojednává o kinetické psychologii. Z ní dále citujeme.

2.7.1 Konstrukt „duševní orgán“

První záznamy o duševním (mentálním) orgánu nacházíme v poznámkových notesech V. Hejného krátce po druhé světové válce. Později, v práci Psychlógia pre pedagóga v teréne, tento pojem osvětluje slovy:

„V biológii a somatológii hovoríme o orgánoch, poznávame ich kinetický zmysel a sledujeme ho až k centrálnym orgánom nervovej sústavy. V psychológii nehovoríme o orgánoch a centrum duševnej zmyslotvornej činnosti vidíme v osobnosti. Kinetické poznanie žiada vedeckejší prístup a konkrétnejší pohľad na osobnost ako vrcholný orgán životnej stratégie. Osobnosť, ktorá se pohybuje v rôznych okruhoch životného prostredia, musí špecifikovať duševný život podľa okruhov a formovať špeciálne duševné orgány. Tak prisúdime lekárovi orgán, ktorý organizuje jeho lekárske skúsenosti a poznatky, stvárňuje jeho stratégiu liečenia. Podobne hovoríme o komunikačnom orgáne. Je to orgán, ktorý motivuje vnímané informácie a stvárňuje ich zmyslotvorným prežívaním na skúsenosť a poznatok. Každý duševný orgán musí byť zmyslotvorný a činorodo dynamický. Zdroj činorodosti je v citových koreňoch

vedomia, teda v sebadôvere, vo viere v zmyslotvornú účinnosť, v existenčnú nezbytnosť orgánu. Čím činotvornejší orgán, tým činorodejšie vedomie a naopak. Kinetika orgánu je zmyslotvorná, je typická pre každý organický pohyb, ktorý je podmienený a podmieňujúci súčasne. Hovoríme o činorodo-činotvornom ustrojení orgánu a jeho zživotňovacom pohybe.“ (V. Hejný 2012, s. 227)

Asi o 25 let později jsme společně s otcem napsali skriptum Pracovné materiály školiaceho pracoviska TMM.17 Zde se uvádí (text mírně upraven):

„Ľudské telo sa prejavuje somatickým pohybom, ktorý je mnohotvárny a uskutočňujú ho jednotlivé somatické orgány či súbory orgánov. Každý orgán sa prejavuje svojou funkciou: tá je buď vykonávaná dobre – vtedy hovoríme o zdravom, čiže fyziologickom orgáne, alebo chybne – vtedy hovoríme o chorom, čiže patologickom orgáne. Proces odhaľovania patologických javov a ich príčin voláme diagnostikou, proces odstraňovania patologických deformít voláme liečením či terapiou.

Analogicky k somatike, aj psychika sa prejavuje duševným pohybom, ktorý je mnohotvárny a ktorý zaisťujú jednotlivé duševné orgány, či ich súbory. Duševný orgán, ktorý si svoju funkciu vykonáva dobre, nazveme zdravým či psychofyziologickým, v opačnom prípade hovoríme o chorom či psychopatologickom duševnom orgáne. Odhaľovanie psychopatologických javov a ich príčin voláme psychodiagnostikou, odstraňovanie týchto deformít voláme psychoterapiou. [...]

Potreba termínu duševný orgán je vyvolaná požiadavkami pedagogickej praxe. Jeden zo základných nedostatkov súčasnej pedagogickej praxe je bežne používaný statický pohľad na žiaka. Žiaka etiketujeme nálepkou (nadaný, drzý, lenivý, poctivý, hádavý apod.) a znemožníme si tak dynamický prístup k nemu. [...] Pojem duševného orgánu nám pomôže urýchliť odstránenie statického prístupu. Pomocou tohto pojmu myšlienku „žiačka Elena je hádavá“ môžeme vyjadriť slovami: „Komunikačný orgán žiačky Eleny je chorý.“

Prvá formulácia v učiteľovi navodí klímu „Však počkaj, však ja ti dám hádanie!“ Druhá formulácia vo mne, učiteľovi, vyvolá potrebu zistiť príčinu hádavosti a nájsť spôsob liečby komunikačného orgánu. “ (V. Hejný 2012, s. 42)

Duševní orgán jako nástroj zkoumání jednání člověka orientuje naši pozornost na tu část psychiky člověka, která danou činnost plánovala a řídila. Poznání získané tímto zkoumáním umožňuje, v případě žáka, přesněji porozumět příčinám jeho konání a účinněji napomáhat jeho zdravému rozvoji.

2.7.2 Matematický duševní orgán dítěte

Sledujeme-li matematické konání dítěte, ptáme se po popudu, který činnost vyvolal, po citové odezvě dítěte na tento popud a potřebě, která z citové odezvy vzešla. Dále se snažíme vytvořit si představu o té části matematického orgánu dítěte, která dané konání řídila; a konečně se ptáme, jak uvedená činnost ovlivnila matematický orgán dítěte a jakou citovou odezvu do paměti uložila.

17 V sedmdesátých letech byly na Slovensku organizovány Tábory mladých matematikov (TMM) pro žáky druhého stupně ZŠ. Po revoluci v trochu jiné formě tato práce s mládeží pokračuje. Hlavní středisko je na univerzitě v Žilině a vůdčí osobnosti iniciativy jsou manželé Katarína a Hynek Bachratí.

Příběh 2.16a

Čtyřletý Gabriel již umí počítat do pěti a počítá svoje autíčka. Má jich osm. Počítá a po jednom klade do řady „jeden, dva, tři, čtyři, pět, sedm, tři, tři“. Počítání opakuje ještě dvakrát, ale poslední tři číslovky řekne pokaždé jinak. U třetího opakovaní se u čísla pět zarazí. Přenese všechna autíčka do kuchyně a žádá mámu, aby počítala s ním. Počítají „jeden, dva, tři, čtyři, pět,“ pak už jen máma „šest, sedm, osm“. Hoch si teď počítá sám a když se máma přidá, řekne jí, ať nepočítá. Hoch napočítá do šesti. Dvakrát. Pak šest autíček odnese k sobě do pokoje a počítá je opět v jiném pořadí. O dvě autíčka v kuchyni nemá zájem.

Komentář

K počítání autíček vedl Gabriela vnitřní popud. Hoch si uvědomil, že vlastně neví, jaké slovo jde po šestce. To vyvolalo v jeho mysli citové napětí mezi existujícím stavem „nevím“ a stavem kýženým „chtěl bych vědět“. Ihned organizuje činnost k odstranění tohoto napětí, které vyžaduje znát další slovo říkanky. Z matčina povídání si do paměti ukládá pouze slovo šest. Zapamatoval by si asi i další dvě slova, ale jeho potřeba byla poznat jedno další slovo. Naučil se napočítat do šesti, a to vedlo k tomu, že o zbylá dvě autíčka přestal mít zájem.

Příběh 2.16b

O tři roky později sedí Gabriel v první třídě na hodině matematiky a počítá sloupečky. Úlohy jsou pro něj velice jednoduché. Vše pouze do 12 a on již umí počítat do 100. Hochovu žádost o náročnější úlohy učitelka již dříve odmítla s tím, že musí nejprve dobře zvládnout toto počítání. I teď si učitelka všimla, že se Gabriel tváří otráveně, i když již neškemrá o náročnější úlohy. Učitelka jde kolem hocha a všimne si, že ve výpočtech má chybu: 5 – 1 = 6. „Podívej, Gabrieli, cos tady napsal,“ ukazuje učitelka na chybný výpočet a pokračuje: „Vidíš, že nemůžeš počítat velká čísla, když ještě u malých děláš chyby.“ Hoch v chybném zápisu mění znaménko – na +, ale to učitelka rázně zamítne a káže mu vše vymazat a pořádně přepsat.

Komentář

K počítání sloupečků vede hocha vnější příkaz, nikoli vnitřní potřeba. Cítí, že tato činnost je zabíjení času, protože vůbec nepřispívá k rozvoji jeho matematického orgánu. Hoch má potřebu čas využít účelněji. To mu není přáno, a tak citová odezva na popud je nelibá. Do paměti Gabriela se tato zkušenost promítá jako vynucená nuda. Učitelka si žel neuvědomuje negativní vliv své edukační strategie na formování matematického orgánu hocha.

Není to pouze didaktická neznalost učitelky, která se zde na jejím jednání projevuje. Podobně, jako učitelka z příběhu 2.17, i tato učitelka je pod neustálou hrozbou vlastní chyby. Ví, že výskyt vlastní chyby se zvýší, když se pustí do nepřipravených aktivit. Proto každou aktivitu žáků tlumí nebo dokonce penalizuje. Způsob, kterým učitelka Gabriela upozorňuje na chybu, má osten výčitky, a hoch, který dříve viděl, jak učitelka laskavě upozorňuje slabé žáky na jejich chyby, si uvědomuje, že je zde trestán za to, že projevil aktivitu. Naučí se se neprojevovat.

Příběh ilustruje, že důležitější než výsledek matematického jednání je činnost sama a její vliv na rozvoj matematického duševního orgánu dítěte.

Práci matematického orgánu zkoumal V. Hejný na několika dětech asi ve věku od 5 do 8 let a první studie, o jejíž existenci máme záznamy, byla komentovaná série obrázků (jakýsi komiks) poukazující na negativní vliv předčasného zavádění číslic a nutnosti uchopovat první představy čísla pomocí souboru různě aranžovaných teček. Žel tato práce se nedochovala. V mé paměti zůstalo pouze několik fragmentů oněch obrázků a zejména silně otcovou rukou napsaný

nadpis: „Nejprve si dítě vytvoří dobrou představu čísla, až pak mu dáme číslice.“

První dochovaná studie, na které jsem se již podílel i já, se týká porovnání učení se čtení a psaní s učením se počtům. Studie pochází asi z roku 1974 a je uvedena ve V. Hejný (2012, s. 49–52). Hlavní myšlenkou studie je poukázat na zásadní rozdíl mezi učením se číst a psát založeném na asociaci a učením se počtům založeném na kauzalitě.

2.7.3 Učení se čtení a psaní je založeno na asociaci

Nejprve uvedeme dvě fiktivní epizody z první třídy paní učitelky Hany.

Příběh 2.17

Hodina čtení. Hana napíše na tabuli písmena M a A. Žádá Helenku, aby písmena přečetla. Ona správně přečte m, a. Pak učitelka napíše MA a žádá Hynka, aby to přečetl. On řekne „me“. Hana ukáže na písmeno A na tabuli a hocha opraví: „To je ma, Hynku, ma, ma. Opakuj.“ Hoch opakuje ma, ma. Hana jej pochválí.

Hodina počtů. Hana napíše na tabuli úlohu 2 +  = a žádá Helenu, aby úlohu přečetla. Ta správně přečte: „Kolik je dvě a tři?“ Dívka hned i odpoví „šest“. Hana s intonací tázavého nesouhlasu opakuje „šest?!“ a pokračuje: „Podívej, dvě (na jedné ruce ukáže 2 prsty) a tři (na druhé ) je spolu (ruce dává k sobě) pět, pět. Dvě a tři je pět. Heleno, opakuj.“ Dívka opakuje a je pochválena.

Komentář

Na první pohled stejné epizody zcela odlišně působí na intelektuální rozvoj žáka. Počínání učitelky v prvním případě je správné, ve druhém vadné. Ve snaze pochopit obě situace lépe, nakreslíme si model pro první epizodu a pokusíme se osvětlit mentální mechanizmus, kterým se výuka čtení a psaní řídí. V následujícím odstavci uděláme totéž pro počítání.

Model pro zkoumání procesu učení se čtení a psaní

Deset bloků uspořádaných do dvou linek se skládá ze čtyř vnějších bloků v prvním a pátém sloupci, čtyř fyziologických bloků (oko, ucho, ruka, hlasivky) a dvou ústředních bloků, které jsou pro nás nejdůležitější.

vstup žákovo vědomí výstup

Tabule → oko → ú. vizuálních představ → ruka → sešit

↓a ↑b

Hlas → ucho → ú. akustických představ → hlasivky → hlas ž.

Obr. 2.10

Když se dítě učí mluvit, buduje to, co nazveme ústředí akustických představ (ÚAP). Hlas matky přichází uchem do tohoto ústředí, zde se zvuky propojují na příslušné životní situace a dítě se snaží slova opakovat. Učí se mluvit.

Podobně později, když se dítě snaží kopírovat různé čáry a tvary, které vidí někde nakreslené, rozvíjí své ústředí vizuálních představ (ÚVP). Když se dítě učí psát písmena nebo číslice, učí se nejprve kopírovat znaky předkreslené v sešitě, později je obkresluje z tabule. Tvar, který je na

tabuli, musí vložit do vizuální paměti a pak jej reprodukovat v sešitě. Uvedené dva reprodukční postupy jsou znázorněny na horním modelu. Na jeho spodní lince je popsán postup akustický, na jeho horní lince postup vizuální.

Znalost čtení je ale více než schopnost reprodukovat to, co bylo percipováno. Je to schopnost převést vizuální znak na znak akustický. Písmeno M napsané na tabuli vstupuje okem do ÚVP a odtud kanálem a do ÚAP. Tedy kanál a vyhledává k dané představě vizuální představu akustickou.

Znalost psaní pak probíhá obráceně a používá kanál b, který k představě akustické přiřazuje představu vizuální. V obou případech se jedná o asociaci dvou představ.

Víme, že znalost čtení je víc než práce kanálu a na množině písmen. Přečíst MA je víc než přečíst M a pak A. Zvuk „ma“ je pro žáka víc než složení zvuků M a A. Je to nová asociace mezi znakem MA a zvukem „ma“. Tedy kanál a pracuje na daleko větší množině, než je množina asi 0 písmen. Odhadujeme, že počet asociací, které ovládá kanál a žáka, který umí číst, je hodně přes 1000.

Podobně je to s kanálem b. Znalost psaní není jen přiřazování hlásek písmenům, ale je to též rozklad slova na hlásky. Nebudeme se již touto problematikou zabývat, pouze využijeme dosud nabytého vhledu do obou procesů k tomu, abychom řekli, že počínání učitelky Hany v první epizodě bylo správné. Učitelka přesně identifikovala příčinu chyby – špatná asociace na kanálu a – a chybu odstranila „přemazáním“ špatného spoje spojem dobrým.

2.7.4 Učení se počtům je založeno na odhalování kauzálních vazeb

Teď se podívejme, co se děje u řešení úlohy 2 +  = . Dítě vidí znaky 2 a  a dále znak +, který říká, co se má s těmi čísly udělat. Podstata propojení 2 +  → 5 nemá asociační charakter. Propojení je výsledkem vztahově abstraktní činnosti žáka, která probíhá v té části psychiky, kterou jsme na horním modelu nepotřebovali, a proto jsme ji nezobrazili. Teď tedy model doplníme o další blok, o ústředí vztahově abstraktní činnosti (VAČ), kde se úkon sčítání uskuteční.

Model pro zkoumání procesu učení se počtům Jedná se doplnění modelu z obrázku 2.10 o blok VAČ a o čtyři nové vnitřní kanály. Tedy oblast „žákovo vědomí“ je zde výrazně rozšířena.

vstup žákovo vědomí výstup

Tabule → oko → ú. vizuálních představ → ruka → sešit a b

↓c ↑d VAČ ↓e ↑f

Hlas → ucho → ú. akustických představ → hlasivky → hlas ž.

Obr. 2.11

Proces řešení úlohy 2 +  = ? popíšeme pomocí modelu z obrázku 2.11.

(1) Vizuální linkou se zadání dostane do ÚVP a odtud kanálem c do VAČ. Znaky 2 a  jsou zobrazeny na množství oo a ooo a znak + na příkaz „dej dohromady a spočítej“.

(2) Tato operace se uskuteční v bloku VAČ. Výsledkem je množství ooooo .

() Tomu je kanálem d přiřazen znak 5.

(4) Ruka žáka napíše číslo 5. Jestliže žák odpověď formuluje slovy, je množství ooooo kanálem e přiřazen zvuk „pět“ a ten z ÚAP jde na výstup.

Nakonec to zásadní: edukační zásah Hany, když na chybnou odpověď Heleny reagovala metodou „přemazávání“. Dívka se dozví, že její odpověď je chybná a že správná odpověď je „pět“. Dívka ovšem nezná lokalitu chyby. Neví, proč k ní došlo. Chyba mohla vzniknout na třech místech. V práci

• kanálu c (např. asociací 2 → ooo , nebo asociací  → oooo ),

• kanálu e (asociací ooooo → šest)

• bloku VAČ při operaci dávání dohromady oo a ooo → oooooo .

Je zřejmé, že nejzávažnější z hlediska rozvoje matematického orgánu dívky je poslední lokalita chyby. Tím, že učitelka neurčila lokalitu chyby a pouze „přemazávala“ špatnou odpověď odpovědí správnou, neumožnila Heleně pochopit příčinu selhání a navíc ji usměrňovala k strategii učení se matematiky na principu asociace, tedy paměti. V důsledku takového postupu učitelky pak Helena nerozvíjí svůj blok VAČ, který je součástí matematického orgánu, a začne se sčítací spoje učit pamětí. Stejně jako z M a A je vytvořen zvuk ma, je ze zvuků dvě a tři vytvořen zvuk pět. Později bude Helena identifikována jako „žák bez buněk na matematiku“.

3 Vyučování orientované na budování mentálních schémat

„Teorie zůstane pouhou teorií, pokud nepřikročíme k činu.“

Jan Ámos Komenský

Druhá kapitola byla zaměřena na poznávací proces žáka. Zajímalo nás, jak se ve vědomí žáka rodí a rozvíjí poznatek a co určuje jeho kvalitu. Zejména nás zajímala nemoc formalizmu, kterou trpí značná část matematických poznatků žáků. Popsali jsme příčiny vzniku této nemoci, i možné diagnostické indikátory, jimiž nemoc odhalíme. Popsali jsme i některé reedukační postupy. Ukázali jsme, že kvalitní poznatek vzniká jako produkt autonomní intelektuální činnosti žáka.

Třetí kapitola má dvě části. V první části zkoumáme matematické poznání žáka jako celek. Zkoumáme procesy, jimiž se z jednotlivých generických modelů tvoří větší celky – mentální matematická schémata. Zkoumáme, jak se schémata rozvíjejí a vzájemně propojují. Odhalujeme nejčastější nedostatek aritmetických schémat – absenci konceptů. Nakonec zkoumáme postupný přerod schémat, která jsou nositeli intuitivního matematického poznání na protostruktury a struktury, které jsou nositeli axiomatického poznání. Je to posun, který odpovídá přechodu žáka z prvního na druhý stupeň.

Druhá část kapitoly je zaměřena na vyučovací proces a hlavním subjektem je zde učitel, přesněji edukační metoda. Popisujeme transmisivní a instruktivní edukační styl a ukazujeme, jak tyto styly, první méně a druhý více, přispívají ke vzniku nákazy formalizmu matematických poznatků žáků. Popisujeme edukační styl, který usiluje o maximálně autonomní poznávací proces žáka. Tento styl je zaměřený na budování matematických schémat žáků a pojmenovali jsme ho Vyučování orientované na budování schémat. Dlouhý název budeme zkracovat VOBS. Cíle, které tato metoda sleduje, poeticky a výstižně popisují slova arabského spisovatele:

„Učitel, který se prochází mezi svými žáky ve stínu chrámu, nedává ani tak ze své moudrosti jako spíše ze své víry a láskyplnosti. Je-li opravdu moudrý, nevyzývá vás, abyste vstoupili do příbytku jeho moudrosti, ale spíše vás vede k prahu vašeho vlastního myšlení.“

Chalíl Džibrán (1990, s. 50)

V odstavci .1 ukážeme některé interpretace termínu schéma a upřesníme naše chápání tohoto pojmu, ve kterém se neomezujeme jen na oblast matematiky. Východiskem odstavce .2 je příběh z běžného života, ve kterém sledujeme pravděpodobná mentální schémata aktérů. Z nich vyvozujeme šest tezí charakterizujících funkci schématu v myšlení a konání člověka. Tyto obecné teze jsou pak aplikovány na matematická mentální schémata podílející se na řešitelských procesech.

Přechodem žáka z prvního stupně na druhý dochází v jeho mentálním rozvoji ke změnám – ve zvýšené míře se u žáka projeví potřeba abstrakce a globálnější organizace znalostí. Mentální schémata, která byla opřena zejména o generické modely, se obohacují o abstraktní poznatky a posouvají se ke strukturám. Schémata procházejí strukturací. Přechod od schématu ke struktuře, od intuitivních znalostí ke znalostem opřeným o přesné definice, tvrzení a důkazy začíná již na prvním stupni, a proto je zkoumán v odstavci ..

Závěrečný odstavec první části kapitoly  věnujeme zásadní otázce: Jaká edukační strategie potenciálně vede žáky k výše popsanému účinnému budování mentálních matematických schémat?

3.1 Schéma

Pojem schéma je ve vědeckém jazyce široce používán. Jednotlivé disciplíny pak specifikují vlastní chápání tohoto pojmu. V didaktice matematiky nejvýrazněji termín schéma používá APOS teorie. Pro nás je zajímavé i použití termínu schéma v teorii proceptu. Uvedeme obě interpretace a porovnáme je s naším pojetím. Dříve však upozorníme na ambivalentnost mnoha termínů, které v didaktice matematiky používáme, a upřesníme jazyk, abychom se vyvarovali nedorozumění plynoucího z toho, že pod pojmem schéma bude mít čtenář na mysli schéma nakreslené někde na papíře, a my ho budeme chápat jako obsah žákova vědomí. Podrobnější rozklad tématu je ve studii Hejný (2007), ze které zde čerpáme.

3.1.1 Schéma interní a externí

Když napsanou větu čtou dva různí lidé, nemusí být obrazy, které se v důsledku toho vytvoří ve vědomí těchto lidí, stejné. Na tuto skutečnost upozornil a hluboce ji analyzoval Bertrand Bolzano ve Vědosloví (1981, s. 6-67). Karl Popper, inspirován Bolzanem, zavedl ideu tří světů. Ve vlastním životopise Věčné hledání (1995, s. 17) mluví o třech světech:

1. fyzikální svět, svět věcí (sklenice, nástroje, lidé, stoly);

2. duševní svět, svět zážitků, myšlenek, pocitů a představ;

. svět kultury, svět produktů lidského ducha.

Obecně lze říct, že to, co náleží do prvního Bolzano–Popperova světa, nezáleží na vědomí člověka. Toto tvrzení má ale jednu výjimku. Jestliže zkoumáme duševní svět člověka, pak na tento objekt zkoumání nahlížíme jako na prvek prvního Bolzano – Popperova světa. To je i náš případ, když analyzujeme myšlenkové procesy žáků při učení se matematiky. Nebezpečí komunikačních šumů vyplývajících z dvojího chápání pojmů jako „myšlenka“ nebo „schéma“ budeme čelit zavedením adjektiv externí a interní.

Slovo schéma se většinou používá na označení objektů náležících do třetího Popperova světa. Pro nás bude schéma spíše součástí vědomí konkrétního člověka, které náleží do druhého Popperova světa.

Když o schématu mluvíme jako o objektu třetího Popperova světa, použijeme adjektivum externí. Použijeme-li termín schéma bez adjektiva, rozumíme tím schéma interní. Když chceme zdůraznit, že mluvíme o schématu jako o objektu druhého Poppreova světa, použijeme adjektivum interní. Podobně budeme adjektiva externí a interní vztahovat k dalším jevům, jako jsou pojem, proces, situace, vztah, argument, izolovaný nebo generický model nebo struktura.

Učitel, zejména začínající, často upadá do omylu, že to, co z tabule žáci přepisují do svých sešitů a co náleží do světa třetího, je i v jejich vědomí, tedy ve světě druhém. K omylu přispívá i diskuse třídy, kterou táhne několik nejlepších žáků a učitel ji vnímá jako obecné poznání většiny žáků. Jenže znalost třídy je vždy vyšší než znalost kteréhokoli žáka. Proto pro potřeby didaktiky matematiky přidáme ke třem Popperovým světům ještě jeden svět, svět třídy. Rozumíme tím

soubor druhých světů všech žáků třídy propojený permanentní interakcí žáků. Kdybychom chtěli tento svět zařadit mezi tři Popperovy světy, ležel by mezi světem 2 a světem  Teorie generického modelu vysvětluje, jak jsou ve vědomí jedince budovány generické modely pojmů, vztahů, procesů a situací. Neukazuje, jak tyto představy navzájem souvisejí, jak vytvářejí složitější schémata a jak jsou tato schémata propojena do sítě znalostí a zkušeností žáka. Do této oblasti zaměříme naši pozornost. Pokusíme se porozumět vzniku a tvorbě mentálních schémat, zejména pak schémat matematických. V didaktice matematiky nejvýrazněji termín schéma používá APOS teorie. Pro nás je zajímavé i použití termínu schéma v teorii proceptu. Nejprve představíme tato dvě pojetí a pak uvedeme naše chápání pojmu schéma.

3.1.2 Pojem schéma v teorii proceptu

V teorii proceptu je schéma chápáno jako soubor různě propojených proceptů a elementárních proceptů. Připomeňme citaci z článku (Gray & Tall 1994), uvedenou v odstavci 2.1.4: „...umožňuje myslícímu člověku pružně v myšlenkách přecházet od procesu, jímž nějakou úlohu řeší, ke konceptu, s nímž pracuje jako s částí širšího schématu.“ Podle této interpretace je schéma mentální prostor, ve kterém dochází k vzájemnému propojování, prolínání a organizování procesů, proceptů i konceptů. Řečené ilustrujeme příběhem.

Příběh .1

Alois, žák prvního ročníku, řešil sloupeček pěti úloh. První dva výsledky napsal hoch ihned, bez zaváhání (1 +  = 4,  +  = 6). U třetí úlohy, 2 + 7 = , se zastavil a začal ji řešit pomocí prstů. Na lavici položil levou ruku s pěti prsty mírně roztaženými a k ní přiložil palec s ukazovákem pravé ruky. Chvíli na to hleděl, pak ze zbylých tří prstů pravé ruky dotykem nosu „přidal“ dva. Ještě jednou to opakoval a pak zapsal výsledek 9.

Komentář

Co probíhalo v hlavě žáka? První dvě úlohy řešil Alois pomocí automatizovaného spoje. Zda během psaní byla v jeho vědomí přítomna i nějaká představa, nedovedeme říct. Při pohledu na třetí úlohu hoch konstatoval, že výsledek zpaměti nezná. Následný řešitelský proces hocha probíhá v jeho schématu „sčítání do 10“. Podrobná analýza řešitelského procesu Aloise odhalí sérii jevů, které si člověk při běžném sledování hochova počínání neuvědomí. Analýza blíže osvětlí obsah pojmu schéma.

Již z procesu uchopování úlohy vyplývá, že prvky Aloisova schématu „sčítání do 10“ jsou koncepty dvě, sedm a devět a proces sčítání. Přitom koncept „sedm“ je generický model propojený se znakem 7 a zřejmě opřený o izolované modely „sedm kuliček“, „sedm trpaslíků“ apod. Z řešitelského procesu pak vidíme, že součástí hochova schématu „sčítání do 10“ je soubor zkušeností a znalostí, které řídí a realizují celý řešitelský proces. Znalosti, které popsaný proces řídí, jsou tři: první dvě jsou procesuální, třetí je konceptuální:

• Vytvoř skupinu sedmi, k ní přidej skupinu dvou, a to vše pak spočítej po jedné říkankou.

• Když výpočet zopakuješ, snížíš nebezpečí chyby.

• Sčítání je komutativní.

Realizace procesu pak využívá další znalosti a zkušenosti:

• prsty jsou účinný nástroj k počítání (do deseti)

• postup připočítávání je rychlejší než postup dávání dohromady18

• výhodné je připočítávat k většímu číslu menší

• 7 prstů je ruka a dva prsty

Podobně jako řešitelský proces Aloise lze analyzovat další řešitelské procesy žáků. Ukazuje se, že dosti často s věkem žáků přibývá v jejich schématech procesů a automatizovaných spojů a rozvoj konceptů stagnuje. Absence konceptů se později ostře projeví u záporných

čísel a zlomků, kde značný počet žáků nemá představu zlomků jako /5 a ve svém schématu „zlomky“ má skoro výlučně pravidla o tom, jak se zlomky krátí a rozšiřují, jak se porovnávají, jak se sčítají a odčítají apod. Pravidla na manipulaci se zlomky umožní žákovi řešit rutinní úlohy, ale s řešením nestandardních úloh si žák vůbec neporadí. Příčinou nežádoucího stavu je zdůrazňování role procesů, přičemž snaha vést žáky k porozumění schématům přes koncepty je upozaděna.

3.1.3 Pojem schéma v teorii APOS

Zkratka APOS ukazuje na čtyři etapy poznávacího procesu: Akce, Proces, Objekt, Schéma. Teorie APOS, jak uvádějí její autoři, vznikla v návaznosti na Piagetovu teorii reflektivní abstrakce, která propojuje mechanizmus abstrakčního zdvihu (projekce toho, co bylo vytvořeno na nižší úrovni, na úroveň vyšší) a reflexe, která rekonstruuje a reorganizuje to, co bylo projektováno. V teorii generického modelu probíhá přechod z nižší úrovně na vyšší ve dvou mentálních procesech. První je zobecněním, vede od izolovaných modelů k tvorbě generických modelů a nezvyšuje hladinu abstrakce. Druhý je abstrakcí a vede od generických modelů k abstraktnímu poznání.

APOS teorie se ukázala být

„…velice užitečná při pokusech pochopit proces učení se studenta u analýzy, abstraktní algebry, statistiky, diskrétní matematiky a dalších oblastí vysokoškolské matematiky“19 (Dubinsky & McDonald 1999).

Tedy teorie APOS se vztahuje v prvé řadě k vysokoškolské matematice. Nicméně některé myšlenky teorie APOS jsou podnětné i pro matematiku na 1. stupni ZŠ. Z mnoha studií, které byly teorii APOS věnovány, uvádíme ještě článek Czarnocha a kol. (1999), z něhož citujeme myšlenku, která odpovídá i našemu chápání termínu schéma:

„… matematická znalost odpovídá na snahu člověka řešit danou problémovou situaci konstrukcí mentální akce, procesu, objektu a schématu, aby vedla k porozumění situaci a řešení problému“.20 (Czarnocha a kol. 1999)

18 Metoda připočítávání má dva kroky: konstrukci čísla 7 a přidání čísel osm a devět. Metoda dávání dohromady má čtyři kroky: konstrukci čísla 7, konstrukci čísla 2, daní dohromady obou reprezentantů čísel 7 a 2 a nalezení výsledku říkankou „jeden, dva, ... devět“.

19 Has been very useful in attempting to understand students‘ learning of a broad range of topics in calculus, abstract algebra, statistics, discrete mathematics, and other areas of undergraduate athematics.

20 That mathematical knowledge consists in an individual‘s tendency to deal with perceived mathematical problem situations by constructing mental actions, processes, and objects and organizing them in schemas to make sense of the situations and solve the problems.

Ještě bohatěji rozvíjí termín schéma Dubinsky ve výše citovaném článku při vymezování klíčových termínů teorie APOS.

„Akce je transformace objektů vnímaných člověkem jako svou podstatou vnější, které požadují, ať již přímo nebo pomocí paměti instrukce, které krok za krokem ukazují, jak uskutečnit operaci.

Reflektovaným opakováním akce si člověk vytvoří vnitřní mentální konstrukci zvanou proces, pomocí níž člověk může danou akci realizovat ve svém vědomí bez vnější opory. Člověk může akci realizovat ve vědomí, aniž by ji reálně dělal, a tedy může o ní uvažovat v obráceném pořadí a v propojení na jiné procesy.

Objekt je konstruován z procesu, když již člověk vnímá proces v celistvosti a je schopen na něm uskutečňovat transformace.

Schéma jistého matematického konceptu je soubor akcí, procesů, objektů a jiných schémat vázaných jistým obecným principem, aby ve vědomí člověka vytvořily rámec, který umožňuje člověku řešit problém vztahující se k danému konceptu“.21 (Dubinsky & McDonald 1999)

To, co nás při podrobnějším zkoumání uvedených vymezení zarazí, je nespojitost pohybu APOS. První tři položky na sebe pěkně navazují: z akce vzniká proces a z opakovaných procesů objekt. Schéma ale není popsáno jako pokračování objektu. Je to soubor všeho, co bylo uvedeno, je to zastřešení všech akcí, procesů, objektů i dílčích schémat, je to prostor (framework), do něhož se ukládají znalosti a zkušenosti vázané jistým principem. Nespojitost, kterou zde nacházíme a kterou nejprve můžeme pociťovat jako jev rušivý, se stane přirozenou, když si uvědomíme, že část APO leží o jednu nebo i více mentálních úrovní pod částí S.

V uvedeném textu jsou termíny objekt a transformace použity ne zcela jednoznačně. Ve vymezení termínu akce jsou oba tyto termíny chápány jako jevy externí, ve vymezení termínu objekt jako jevy interní. Z kontextu je ale jasné, kde jsou jak chápány.

Níže ukážeme, že APOS pohled na poznávací pohyb je blízký našemu pohledu, i když náš popis používá jiné terminologie.

Abychom srovnání vnímání termínu schéma v APOS terminologii a v našich úvahách lépe připravili, pokusme se termíny APOS teorie projektovat do poznávacího procesu žáka prvního stupně. Uděláme to tak, že se pokusíme v terminologii APOS popsat Aloisovo řešení úlohy 2 + 7 = ? z příběhu .1 v odstavci .1.2. Termíny z APOS teorie, na které chceme upozornit, píšeme v dalším textu kurzívou.

Alois je úlohou vyzván, aby udělal operaci sčítání. Hoch vezme své prsty jako objekty a dělá na nich transformaci. Tato manipulativní činnost včetně pohybů hlavy je akcí. Akce je reflektována vědomím, a když se bude opakovat, vytvoří se ve vědomí proces, který umožní hochovi realizovat ve vědomí akci sčítání 2 + 7 bez opory prstů nebo jiných vnějších objektů. V důsledku toho si hoch konstruuje objekt, tj. představu 2 + 7 = 9 jako jeden celek. Navíc hoch dokáže pouze v představě

21 An action is a transformation of objects perceived by the individual as essentially external and as requiring, either explicitly or from memory, step-by-step instructions on how to perform the operation. When an action is repeated and the individual reflects upon it, he or she can make an internal mental construction called a process which the individual can think of as performing the same kind of action, but no longer with the need of external stimuli. An individual can think of performing a process without actually doing it, and therefore can think about reversing it and composing it with other processes. An object is constructed from a process when the individual becomes aware of the process as a totality and realizes that transformations can act on it.

A schema for a certain mathematical concept is an individual’s collection of actions, processes, objects, and other schemas which are linked by some general principles to form a framework in the individual’s mind that may be brought to bear upon a problem situation involving that concept.

na objektu 2 + 7 = 9 dělat transformace, například vyvodit z něj řešení úlohy 7 + 2 = ? nebo úlohy  + 7 = ? apod.

Objekt, který si Alois zkonstruoval, neleží ve vědomí hocha izolovaně. Je uhnízděn společně s dalšími objekty součtů malých čísel v mentálním prostoru, který můžeme nazvat schéma sčítání malých čísel. V sousedství tohoto schématu leží schéma odčítání malých čísel a obě tato schémata leží ve schématu aditivních operací s malými čísly. Obě dílčí schémata mají společné podschéma, které můžeme nazvat malá čísla a kam například náleží říkanka jedna, dvě, tři, … jako mentální proces. Dítě, které umí říkanku i pozpátku, má ji již uloženu na vyšší úrovni. Může pak mluvit o říkance jako o objektu.

3.1.4 Pojem schéma v naší interpretaci

Z mnoha autorů popisujících pojem schéma z hlediska kognitivní psychologie našim potřebám dobře vyhovuje vymezení R. J. Gerriga (1991):

„Teoretici vytvořili termín schéma k označení paměťové struktury, která zahrnuje klastry informací relevantní k porozumění. [...] Základní vhled do teorií schématu spočívá ve skutečnosti, že v paměti nemáme jenom izolovaná fakta. Informace jsou shlukovány do smysluplných funkčních jednotek“.22 (Gerrig 1991, s. 244–245)

Anglické slovo „cluster“ nemá v českém jazyce přiměřený ekvivalent. Označuje shluk, seskupení, chumel, hlouček, trs nebo hrozen. V anglické odborné literatuře je slovo cluster užíváno často a v některých oborech (např. biochemii) je převzato do češtiny jako klastr. Proto si dovolíme převzít slovo klastr do české terminologie didaktiky matematiky. Tímto termínem budeme označovat soubor zatím nediferencovaných, ale jistým principem společně uhnízděných zkušeností a izolovaných modelů (informací), jež náleží jednomu schématu, nebo proto-schématu (viz dále .1.6). Například slova červený, modrý, bílý, ... vnímá dítě jako informace klastru barev, byť zatím nedokáže jednotlivé barvy poznat. Podobně dítě vnímá slova třetí, pátý, osmý, jako slova klastru mnohosti, i když zatím nezná jejich přesný význam.

Jádrem schémat jsou generické modely, nejčastěji koncepty a vazby mezi nimi. Prvky schémat, ve kterých jsou uloženy procesy, například schéma kuchařských receptů, se nazývají skriptem.

„Skript je paměťová struktura, která specifikuje seznam akcí, které lidé uskutečňují ve stereotypických situacích.“2 (Gerrig 1991, s. 245)

Gerrig vymezuje schéma v širokém kontextu životních zkušeností člověka. Naše vymezení je užší, protože se vztahuje pouze ke schématům matematickým. To nám umožňuje položit na termín matematické schéma tři specifické požadavky.

1) Za zrod matematického schématu považujeme objevení se prvního generického modelu, který do schématu náleží. Dříve než se generické modely objeví, jsou zde izolované modely, z nichž se generické modely zrodí. Izolované modely vystupují jako informace shlukující se do klastrů, které tvoří půdu pro vznik a rozvoj schématu, ale schéma ještě netvoří. Mentální prostor, do kterého se tyto izolované modely ukládají, nazveme proto-schéma.

2) Na schéma hledíme jako na prostor obsahující dynamickou organizaci konceptů, akcí, procesů, proceptů, vztahů, situací a dílčích schémat. Schéma je s dalšími schématy propojeno

22 Theorists have coined the term schemata to refer to the memory structure that incorporate clusters of information relevant to comprehension.[...] A primary insight to schema theories is that we do not just have isolated facts in memory. Information is gathered together in meaningful functional units.

2 A script is a memory structure that specifies a list of actions that peaople carry out in sterotypical situations.

různorodými vztahy. Slovo organizace zdůrazňuje, že se nejedná jen o množinu prvků, ale zejména o třídění, hierarchizaci, kauzální i jiné vazby mezi prvky. Adjektivum dynamická poukazuje na krátkodobou i dlouhodobou proměnnost jak souboru prvků, tak i celé jejich organizace. Má-li žák vyřešit náročnější úlohu vyžadující delší řešitelský čas, začnou se v jeho mysli mobilizovat poznatky a zkušenosti, o nichž se žák domnívá, že mohou přispět k řešení. Soubor mobilizovaných mentálních prvků vykazuje většinou značnou flexibilitu, a proto mu můžeme dát pojmenování flexi-schéma. Některá rozsáhlejší schémata vznikají propojením menších schémat. Na označení procesu propojování (prolínání) a jeho výsledek použijeme někdy termíny amalgamace a amalgám převzaté z teorie proceptu. Například schéma pojmu racionální číslo vzniká jako amalgám schémat pojmů přirozené číslo, zlomek a záporné číslo.

) Pro dynamizmus schématu jsou rozhodující okamžiky objevení se vnitřního rozporu, které nejčastěji přicházejí s novým izolovaným modelem. Například když žák prvního ročníku zjistí, že polovina je číslo, nebo když žák čtvrtého ročníku objeví, že čtyřúhelník může být i nekonvexní, nebo že existuje trojúhelník, jehož obvod je neomezeně veliký a obsah neomezeně malý. V praxi pak k objevení se vnitřního sporu dochází nejčastěji ve třídě v důsledku různosti názorů žáků.

3.1.5 Porovnání pojmu schéma v APOS teorii a v našem pojetí

Jak již bylo uvedeno, APOS teorie je směřována na vysokoškoláky. Naší cílovou skupinou jsou žáci prvního stupně ZŠ. Proto naše zkoumání poznávacího procesu je zaměřeno spíše na intuitivní otevírání světa matematiky, zatímco APOS teorie předpokládá budování strukturálních znalostí matematiky. U nás pojmy číslo, operace, transformace, … postupně budujeme, APOS teorie předpokládá, že tyto pojmy jsou již definovány. Jazyk, ve kterém matematiku popisujeme, je na úrovni generických modelů, u APOS teorie na úrovni abstraktních poznatků.

Přes uvedené rozdíly odpovídá základní poznávací pohyb APOS teorie akce → proces → objekt (*) i našim představám, byť naše terminologie je jiná. Shoda byla ilustrována na příběhu „Alois“ v .1.2. Samozřejmě náš akcent na abstrakční zdvih zobecnění je pouze částečně shodný s přechodem od procesu k objektu z (*).

Podívejme se na pojem schéma v APOS teorii a v našem chápání.

V APOS teorii se do schématu zahrnují již první akce a procesy, tedy většinou to, co my klademe do izolovaných modelů. My zrod schématu vážeme na objevení se prvního generického modelu. APOS teorie předpokládá, že studenti, s nimiž pracuje, již všechny důležité generické modely vytvořeny mají.

Dubinsky úroveň matematického schématu a matematické kognitivní struktury neodděluje. Pro naše chápání procesu poznávání je toto oddělení důležité. Jak ukážeme později, schéma se mění na matematickou strukturu postupně, jak narůstá porozumění kauzálních vazeb jednotlivých prvků schématu.

Dubinsky rozvádí další vlastnosti schématu, jež my popisujeme jinou terminologií. Zejména je to trojice Piagetových vývojových mechanizmů intra, inter a trans, která je v teorii generického modelu popsána pomocí tvorby izolovaných modelů, procesu vzájemného propojování těchto modelů (třetí podetapa) a zrodu modelu generického.

APOS teorie nezdůrazňuje, že schéma je dynamický mentální objekt. Pro nás je tato vlastnost schématu důležitá, protože poukazuje na jevy, které jsou z hlediska rozvoje schématu klíčové:

změny, k nimž ve schématu dochází. Změny schémat jsou obyčejně nárazové. V době, kdy se žák daným objektem zabývá, mění se jeho schéma objektu uloženého v jeho vědomí rychle, zejména u mladších žáků. Důležité je upozornit, že i v době, kdy se žák daným objektem přímo nezabývá, může se příslušné schéma měnit v důsledku jeho provázanosti na jiná, měnící se schémata. Typickým příkladem je přítomnost zlomků nebo záporných čísel v různých schématech. Když se například v prostředí Součtových trojúhelníků připustí práce se zápornými čísly, začnou někteří žáci uvažovat o záporných číslech i v prostředí Pavučin, případně v prostředí Sousedů. Schopnost žáků přenášet jev odhalený v jednom schématu do schémat jiných je dobrý diagnostický indikátor kvalitního matematického poznávání.

3.1.6 Proto-schéma

Řekli jsme, že termínem proto-schéma nazveme mentální prostor, do něhož se ukládají izolované modely, z nichž v budoucnu vznikne genericky model, čímž se toto proto-schéma stane schématem. Následující příběhy ilustrují tuto situaci nejprve v kontextu všedního dne, poté v kontextu matematiky.

Příběh .2

Manželé Boris a Bára Bláhovi mají 9letého Bořivoje a 5letou Beátu. V domě s nimi bydlí i Borisova mladší sestra Běla, kterou Bára oslovuje „švagrová“. Jednou přišla k Bláhovým na návštěvu starší Borisova sestra Berta. Když ji Bára oslovila „švagrová“, malá Beáta protestovala, že švagrová je teta Běla a ne Berta. Bořivoj sestře vysvětlil, proč i Berta je mámina švagrová. Beátě se to ale nelíbilo.

Komentář

Slovo „švagrová“ vnímala Beáta na úrovni informace, ale Bořivoj na úrovni funkčního poznatku v rámci schématu Rodina. Když Beáta pozná více vztahů typu „švagr“, „švagrová“, bude i pro ni tento termín funkčním poznatkem. Jinak řečeno, slovo „švagrová“ vnímala Beáta jako jméno pro individuum. Bratr ji ukázal, že to není jméno individua, ale izolovaný model pojmu „švagrová“. Právě tento posun vyvolal v mysli Beáty nelibost, která zde provází rozvoj proto-schématu Rodina. Informace, že i teta Berta je mámina švagrová, je nový izolovaný model pojmu „švagrová“. Paradoxně tyto izolované modely na sebe nepoukazují, jsou v protikladu z hlediska pocitu libosti a nelibosti. Bude to chvíli trvat, než nelibost poklesne a než se objeví další izolovaný model daného pojmu. Pak již bude vytvoření příslušného generického modelu rychlé. Podobný posun pozorujeme i u dalších rodinných termínů. Pro 18měsíční dítě slovo matka představuje konkrétní osobu, maminku dítěte. Podobně slovo táta. Schéma Rodina u tohoto dítěte ještě neexistuje. Zde lze mluvit o proto-schématu. Pro tříleté dítě slovo matka již představuje vztah. Tříleté dítě již ví, že i jiné děti mají mámu. Změnou izolovaného modelu matka = moje maminka na generický model „každé dítě má matku“, se u tříletého dítěte část proto-schématu Rodina začíná měnit na schéma Rodina. To ale neznamená, že již zde nejsou izolované modely, které nedozrály do generických modelů. Příkladem je absence generického modelu pojmu „švagrová“ u Beáty.

Příběh .

Šestiletému Cyrilovi dal jeho děda úkol vytvořit ze sirek čtverec. Hoch to udělal pomocí čtyř sirek. Byl pochválen a vyzván, aby vytvořil čtverec z osmi sirek. Hoch vytvořil čtverce dva.

Děda ale chtěl jen jeden čtverec. Hoch jej vytvořil tak, že každou stranu udělal z dvojice sirek. Ani tento „tlustý“ čtverec se dědovi nelíbil. Sestra bratrovi poradila: „Udělej to takto velké.“

A prstem na stůl nakreslila čtverec, jehož strana měla délku dvou sirek. Cyril chvíli nechápal, pak ale zvolal: „Jo,“ a požadovaný čtverec vytvořil.

Komentář

Slovo „čtverec“ vnímal Cyril nejprve jen omezeně, pokud jde o velikost. Až sestřina pomoc mu pomohla poznat, že ze sirek lze vytvořit i větší čtverec, a určitě by již uměl utvořit i čtverec ze dvanácti sirek. Před-pojem „čtverec“, který náleží do hochova proto-schématu Rovinné tvary, byl obohacen o další izolované modely a tím se posunul směrem k pojmu „čtverec“, který již bude prvkem schématu.

V obou příbězích je naznačen jeden obecný kognitivní posun: od jedinečného k obecnému. V obou případech k posunu došlo uvnitř jistého, dítěti známého pojmového prostředí. U Beáty to bylo prostředí rodinných vztahů, v nichž již zřejmě slova matka, otec, syn, dcera, bratr, sestra, ... znala jako pojmy obecné, ale pojem švagrová zatím jen jako pojem jedinečný. Kdyby chtěl Beátě někdo vysvětlit, že švagrová je sestra manželského partnera, pak by tomu určitě Beáta nerozuměla. Osvětlení na konkrétním případu jí ale toto obecné poznání otevřelo. Podobně zbytečné by pro Cyrila bylo vysvětlení, že čtvercem rozumíme každý čtyřúhelník, jehož všechny strany jsou navzájem shodné a každé dvě sousední jsou kolmé. Úloha, kterou mu děda dal, a sestřina rada pomohly chlapci rozšířit jeho před-pojem „čtverec“.

Příběhy poukazují na klíčový jev poznávacího procesu. Ukazují, že poznávací proces bude úspěšný tenkrát, jestliže se odehrává uvnitř žákovi známého kontextu. V našich experimentech jsme vyzkoušeli několik desítek prostředí pro zavádění různých pojmů, vztahů, procesů nebo situací. Jako didakticky efektivní se pak v experimentálním vyučování ukázala zejména ta prostředí, která umožňovala osvětlování celé palety pojmů, vztahů a procesů. Navíc, jestliže některé prostředí umožňovalo osvětlování jevů aritmetických, geometrických i kombinatorických, stalo se pro žáky výrazným pomocníkem při chápání jednoty světa matematiky.

3.2 Schéma jako mentální nástroj

V běžném životě i v matematice jsou mentální schémata hlavním nástrojem rozhodování. Poznání o povaze i působení schémat získaná z literatury i vlastní pedagogické zkušenosti prezentujeme formou série tezí, které ilustrujeme pomocí příběhů. Mnohé zákonitosti vztahující se ke schématům každodenního života se vztahují i ke schématům matematickým.

3.2.1 Schéma jako nástroj orientace v životě ilustrace

Následující modelový příběh popisuje situaci, kterou dobře známe z vlastní zkušenosti.

Příběh .4

Osoby: matka Dana, otec Denis a syn Dušan. Dana sepisuje manželovi seznam věcí, které je nutno koupit. V představě jídla vaří a příslušné ingredience zapisuje do seznamu. Píše „okurka“ a k tomu dopíše „ne ve skle“, protože minule manžel místo okurky na salát koupil sklenici nakládaných okurek. Tenkrát se pohádali, protože když Dana seznam psala, řekla manželovi, že k obědu bude okurkový salát, ale on si na to při nakupování nevzpomněl a slovo „okurka“ si vyložil jako nakládané okurky ve skle. Zítra na žádost syna Dana opět po dlouhé době uvaří

murtu. Dívá se do receptu po babičce, jaké ingredience bude potřebovat. Je tam i tymián. Podívá se do skříně, zjistí, že jej nemá, a připíše do seznamu. Manžel si prohlíží reklamu s nabídkou o „hlídači oken“. Vloni jim vykradli chalupu, a tak Denis zvažuje koupi hlídačů na každé okno chalupy. V představě projde kolem chalupy a napočítá 7 oken. Dana řekne: „Varná konvice odchází, musíme koupit novou, bílou.“ Denis: „Vezmu od firmy Hogo. Švagr říkal, že má menší spotřebu. Nevím ale, zda budou mít i bílou.“ Dana: „Vezmi tu nejsvětlejší, co tam bude.“

Najednou se přiřítí syn a ptá se mámy, kde je fotbalový míč. Máma vyčítavě řekne: „Tam, kde má být. V koženém vaku v modré skříni; sám sis jej tam včera uložil. Už si to jednou konečně zapamatuj.“

Komentář

Denis se nikdy neučil, kolik je na jejich chalupě oken. Jak to, že ví něco, co se neučil? Ví to, protože v prostředí chalupy často pobývá a v jeho představě se tak vytvořilo schéma chalupy jako koncept. Ve schématu je uložena nejen informace o počtu oken, ale velký počet dalších informací. Stejně ve vědomí každého z nás jsou různá schémata obydlí, pracoviště, města, spolupracovníků, rodiny, dopravní sítě, denního tisku atd., v nichž jsou uložena obrovská kvanta informací. Informací, které jsme se nikdy neučili a které se ve vědomí vytvořily v důsledku frekventovaného styku s daným prostředím.

Dana si představuje, co bude vařit. Schéma vaření mnoha jídel se ve vědomí Dany vytvořilo v důsledku různorodých a mnohonásobně opakovaných kuchařských aktivit. Na recept jídla, které dlouho nevařila, musí kouknout do kuchařky. Schéma vaření, které má procesní charakter, je úzce propojeno s konceptuálním schématem lednice a spíže. Když v duchu jídla vaří, hned si i ujasňuje, zda příslušnou ingredienci má, nebo zda je nutno ji přikoupit. Dana ví, kde ve spíži má být tymián, ale neví, zda tam aktuálně je.

Schéma bytu, ve kterém manželé bydlí, má každý člen domácnosti uloženo ve svém vědomí. Tyto představy se liší. Manželka neví, co všechno je v „kumbálu“ malé místnosti, kde má Denis malý ponk a opravárenská náčiní. On, na rozdíl od Dany, se jen povrchně orientuje ve spíži. Vzájemná komunikace pomáhá každému z manželů využívat informace schématu partnera. Rozhodnutí, která se týkají obou partnerů (nákup varné konvice), vznikají v komunikaci obou a každý zde přispívá svým schématem (manžel spotřebou, manželka barvou).

K zajímavému dialogu dochází mezi synem a matkou. Jak to, že míč, který je potřebnější pro chlapce než pro matku, se v matčině aktuálním schématu bytu nachází a ve schématu syna nenachází, navzdory tomu, že míč uklízel syn, ne matka? Vysvětlení je nasnadě: Dušan si míč uklízel na pokyn matky. Ona byla orgán řídící, syn pouze exekutivní. Ona byla intelektuálně aktivní, syn pasivní. Chlapec si při úklidu málo uvědomoval, co jeho ruce dělají, a ani si dobře neuložil do paměti, že míč se na toto místo ukládá pokaždé.

3.2.2 Základní teze o schématu

V příběhu .4 jsme viděli, jak schémata prostupují lidským myšlením i konáním a podílejí se na volbě cílů, rozhodování, hodnocení i konání člověka. Uvedeme šest důležitých myšlenek o schématu, myšlenek, které se vztahují nejen na situace všedního dne, ale zasahují i do procesu učení se matematice. Každou myšlenku ilustrujeme pomocí příběhu .4.

T1. Schémata pomáhají člověku orientovat se v životě.

Denis využije schéma chalupy uložené ve vědomí k zjištění počtu oken na chalupě. Rozho-

duje se pro koupi varné konvice značky Hogo na základě schématu elektrospotřebičů, které má v hlavě.

T2. Schémata se utváří většinou spontánně jako důsledek potřeb člověka. Kde potřeba schází, schéma se nevytvoří.

Dušan zatím nemá vytvořeno schéma úložiště svých hraček. Jeho činnost „hledám míč“ nepřispívá k potřebě toto schéma vytvořit, protože když některou hračku hledá, zeptá se matky. Kdyby matka žádala syna, aby si sám řekl, kde bude která hračka uložena, a pak v případě nepořádku syna pouze upozornila, že nemá věci uklizeny, začalo by se kýžené schéma ve vědomí hocha postupně vytvářet. Hoch by pak sám doplácel na svůj nepořádek a potřeba vyvarovat se zbytečného hledání by jej vedla k dodržování pořádku. Matčin apel, aby si hoch konečně pamatoval, kde ten míč má, se míjí účinkem.

T3. Schémata téhož výseku reality uložená ve vědomí různých lidí se liší. To může být příčinou nedorozumění.

Slovo „okurka“ v seznamu věcí na nákup si Dana vysvětlovala jako okurku na salát a domnívala se, že když to při psaní seznamu manželovi řekla, že ten to pochopí. On ale informaci neuložil do paměti, nebo prostě u nákupu si na ni nevzpomněl a koupil nakládané okurky. Na základě této zkušenosti již Dana tentokráte do seznamu zapíše ke slovu „okurka“ upřesnění.

T4. Lidé, kteří společně řeší nějaký problém, mohou ve vzájemné interakci dospět k lepšímu řešení, než by došel každý sám. Navíc člověk, který má vědomost o schématech jiných lidí, může jejich znalosti a rady využívat.

Volba varné konvice je propojením názorů obou manželů. Denis přispívá technickým a Dana estetickým požadavkem, každý vychází ze svého schématu, do kterého konvice náleží. U Denise je to schéma elektrospotřebičů, u Dany schéma všeho, co se v kuchyni nachází.

T5. Prvky, které vstoupily do schématu s nízkým zvědoměním a nízkou frekvencí, zanikají rychle. Prvky, které vstoupily s vysokým zvědoměním a vysokou frekvencí, přetrvávají dlouho. Dana si musí recept na murtu přečíst, protože již dlouho tento pokrm nepřipravovala. U jídel, která připravuje často, nemusí nic číst, všechny ingredience jsou aktuálně přítomny v jejím schématu vaření. Denis ihned reagoval na reklamu o hlídači oken, protože v jeho schématu chalupy přetrvával silný zážitek s vykradením chalupy.

T6. Prvky schématu, které člověk používá zřídka, je nutno mít v dostupné externí paměti, aby byly v případě potřeby k dispozici. Externí paměť24 uvolňuje kognitivní energii na realizaci náročnějších úkonů.

Pro Danu je externí pamětí recept po babičce, pro Dušana je externí pamětí Dana.

Uvedli jsme šest tezí o schématech obecně. Obrátíme pozornost k matematice. I zde, stejně jako v životě, jsou schémata nositelem porozumění.

24 Nové poznání často přebírají žáci od spolužáků. Tento jev nazýváme kognitivní osmózou. Uvítáme návrh šťastnějšího termínu. V příběhu 2.5 k neverbálnímu převzetí poznání dochází na hříšti.

3.2.3 Projekce tezí do procesu učení se matematice

Teze T1. Schémata pomáhají člověku orientovat se v životě.

Zeptejme se, jak přispívá vyučování matematice k schopnosti dospělého člověka orientovat se v životě. U lidí, kteří ve svém zaměstnání matematiku používají (inženýři, ekonomové, učitelé matematiky, statistici aj.), jsou školní znalosti matematiky součástí profesní práce. Pro ty, kteří matematiku ve své profesi nepotřebují, je většina konkrétních školních znalostí zbytečná. Člověk je nepoužívá a postupně je zapomíná. Nejsou ale zbytečné schopnosti, které při studium matematiky člověk získal, nebo mohl získat: schopnost přehledně uchopit složitější situaci, přesně porozumět textu smlouvy, efektivně naplánovat přestavbu bytu, správně se rozhodnout u nákupu auta, orientovat se v cizím městě atd. atd. Nácviky řešení standardních úloh přispívají k rozvoji výše uvedených schopností člověka jen málo. Málo přispívají k tvorbě nových představ, objevování nových souvislostí, k novým organizacím souboru dat nebo jevů. K tomu naopak vede budování mentálních schémat, které je závislé na autonomní intelektuální aktivitě člověka.

Teze T2. Schémata se utvářejí většinou spontánně v důsledku potřeb člověka. Kde potřeba schází, schéma se nevytvoří.

Zlomky se může žák učit tak, že poslouchá učitele, čte učebnici a snaží se zapamatovat si, že zlomek se skládá z čitatele, jmenovatele a zlomkové čáry, že zlomek lze rozšířit tak, že čitatele i jmenovatele vynásobíme stejným číslem, že zlomky se sčítají pomocí křížového pravidla atd. Pak na sérii standardních úloh si tyto poznatky utvrzuje. Existuje ale i jiná cesta poznávání zlomků. Je vytvořeno matematické prostředí propojené na životní zkušenosti žáka, a v tomto prostředí je formulována série úloh. Žák řeší úlohy a svá řešení diskutuje se spolužáky. Tím si postupně ve svém vědomí buduje soubor poznatků, které tvoří jeho schéma „zlomek“. Radost, kterou mu pocit úspěšné intelektuální práce přináší, vyvolává v jeho vědomí potřebu tuto radost zažívat opakovaně. Matematická mentální schémata si žák vytváří řešením úloh. Potřeba dělat matematiku vychází ze zážitku radosti z vyřešení úlohy, viz odstavec 2..2.

Teze T3. Schémata téhož výseku reality se ve vědomí různých lidí liší. To může být příčinou nedorozumění.

Schémata žáků i jejich jazyk jsou si zpravidla vzájemně bližší než schémata žáka a učitele. Nedorozumění, která v důsledku různosti schémat učitele a žáka vznikají, bývají učitelem často vnímána jako neznalost žáka. Sám jsem se této chyby v začátcích mého vyučování na základní škole dopustil, když jsem poslal od tabule dívku, která tam něco pletla „páté přes deváté“. Otec, který na hodině byl, mi po hodině poradil, ať se v podobné situaci obrátím na třídu s prosbou, aby mi někdo vysvětlil to, co ta dívenka říká. Byl jsem velice překvapen, když již při první takové situaci se našlo více žáků, kteří tomu, co spolužák říkal, nějak rozuměli a uměli mi to vysvětlit. Od té doby vím, že matematická nedorozumění mezi učitelem a žákem nejlépe odstraní žák, který dokáže uhodnout, co má jeho spolužák v představě. Nešťastné je takové řešení vzniklého nedorozumění, kdy je žákovo řešení učitelem prohlášeno za chybné, protože není v souladu s řešením učitele. Pokud se učitel nesnaží pochopit příčinu nedorozumění, tedy nesnaží se odhalit na základě jakého schématu žák dospěl k danému výsledku, je učitelova korekce žákem vnímána pouze mocensky. Žák neví, kde je v jeho úvahách chyba, a pravděpodobně se této chyby dopustí i napříště.

Příčinou nedorozumění bývá i různý kontext, do kterého diskutující daný pojem nebo situaci vloží. Tak výškou trojúhelníka jeden rozumí číslo, když má na mysli vzorec pro obsah

trojúhelníka, a druhý přímku, když mluví o ortocentru tupoúhlého trojúhelníka. Učitel, který si tato komunikační úskalí uvědomuje, má větší šanci nedopustit se v interakci se žákem chybného hodnocení žákovy aktivity.

Teze T4. Lidé, kteří společně řeší nějaký problém, mohou ve vzájemné interakci dospět k lepšímu řešení, než by došel každý sám. Navíc, člověk, který má vědomost o schématech jiných lidí, může jejich znalosti a rady využívat.

První z uvedených myšlenek systematicky využívá metoda VOBS. Tím, že vede žáky k vzájemným diskusím, učitel urychluje poznávací proces třídy. A to nejen žáků přímo do diskuse zapojených, ale všech, kteří diskusi sledují. Navíc tím, že si žáci mezi sebou vyměňují názory na zkoumaný problém, učí se na danou situaci hledět z více stran a jejich mentální schémata se vzájemně obohacují.

Druhá myšlenka teze 4 se objevuje jak v interakci žák–žák, tak v interakci učitel–žák. Díky mnoha diskusím žáci o sobě navzájem vědí, kdo čemu a jak rozumí. Žák, který něčemu nerozumí, ví, za kterým spolužákem jít žádat radu. Žák, který něco objevil, jde za spolužákem, který též něco objevil, aby svoje objevy porovnali. Učitel, který má přehled o matematických schématech svých žáků, může efektivně individualizovat výuku a organizovat třídní diskusi.

Teze T5. Prvky, které vstoupily do schématu s nízkým zvědoměním a nízkou frekvencí, zanikají rychle. Prvky, které vstoupily s vysokým zvědoměním a vysokou frekvencí, přetrvávají dlouho.

Pokud učitel implementuje úlohu ve výuce tak, že podstatnou část řešitelského procesu –strategii – obstará sám a žák se soustřeďuje na nepodstatnou část procesu (na realizaci početních úkonů apod.), pak strategie řešení úlohy vstupuje do žákova schématu s nízkým zvědoměním, nebo vůbec. Žák neobohacuje své matematické schéma.

Pokud jde o matematické znalosti, každý učitel chce, aby znalosti jeho žáků byly trvalé a spolehlivé. Výuka, která se řídí latinským repetito est mater studiorum, zdůrazňuje nácvik a procvičování. Pokud se jedná o základní početní operace, spoléhá na frekvenci aktivit. Věří, že každodenní počítání „sloupečků“ přinese kýžené ovoce – žáci budou umět spolehlivě a hbitě počítat. Naše zkušenosti ukazují efektivnější cestu k nácviku. Žák řeší zajímavou úlohu metodu pokus-omyl. Jeho řešení vyžaduje spoustu výpočtů. Ty nejsou cílem jeho úsilí, ale prostředkem k dosažení jiného, hlubšího cíle. Takovou situaci podrobně popisuje Vondrová (201).

Teze T6. Prvky schématu, které si člověk nepamatuje, je nutno mít v dostupné externí paměti, aby byly v případě potřeby k dispozici. Externí paměť uvolňuje kognitivní energii na realizaci náročnějších úkonů. Používání externí paměti je součástí intelektuální strategie člověka.

Na prvním stupni takovou externí dostupnou pamětí je dočasně například tabulka násobilky. Když ji má žák nalepenu na lavici, může ji stále používat a postupně si na ní může některá čísla zaslepit, protože je již zná. Nakonec se tabulku naučí zpaměti, protože mu to umožní efektivnější a rychlejší práci v matematice.

Uvedené projekce tezí měly obecný charakter. V dalším se zaměříme na rozsáhlé schéma aritmetiky a různá jeho dílčí schémata. Ukážeme, že pokud jsou tato schémata budována na chatrném základu procesů, je jejich hlavním nedostatkem absence konceptů.

3.2.4 Aritmetická schémata žáků často trpí nedostatkem konceptů

Podle našich zkušeností aritmetika, tak jak se učí od první třídy ZŠ až po maturitu, příliš zdůrazňuje procesy řešení a zanedbává rozvoj konceptuálních přístupů k problémům. V důsledku toho pak žák není schopen vidět problém jako celek a jeho řešitelská strategie spočívá v hledání té části problému, ke které má ve své paměti kalkulativní procedury. Týká se to jak žáků prvního stupně, tak i vysokoškoláků.

Posluchači naší fakulty, budoucí učitelé matematiky, měli řešit rovnici x2 –  = √(x2 – ). Jediný ze 14 posluchačů použil substituci y = x2 –  a rychle našel všechna čtyři řešení x1,2 = ±2, x,4 = ±√. Ostatní rovnici umocnili, někteří se v úpravách zamotali, některé od dalšího počítání odradila čtvrtá mocnina, jeden zapomněl na ± a jen 2 našli čtyři řešení. Proč tito posluchači neviděli lehkou cestu? Zřejmě proto, že myšlenka substituce je nenapadla. Nenapadla je proto, že jejich zkušenosti s řešením aritmetických úloh jsou vesměs procesuální a substituce vyžaduje konceptuální pohled na rovnici. Pomocí terminologie rozpracované v odstavci 2.6 můžeme říct, že v znalostech jazyka písmen u těchto studentů převládá síla transformační a nerozvinuta zůstává síla uchopovací.

Uvedený příklad se týkal vysokoškoláků. Teď stejný jev, neschopnost žáka vidět danou situaci jako koncept, popíšeme na úrovni prvního stupně ZŠ.

Příběh .5

Ve druhém ročníku ZŠ řešila Eva následující úlohu:

Obr. 3.1

Úloha .1

Vyřeš součtový trojúhelník na obr. .1.

Jako v podobných jiných případech i zde dívka použila metodu pokus-omyl. Do vybarvených polí postupně vložila dvojice čísel (,4), (2,5), (5,2) a (6,1). Poslední pokus byl úspěšný. Eva se chvíli dívala na všechny čtyři trojúhelníky, které vypočítala, a všimla si, že ve všech je v poli, které je zde označeno hvězdičkou, číslo 7. Běžela objev ukázat učitelce. Ta řekla: „No jistě, vždyť to tady máš napsané!“ a ukázala na poslední řádek zadání.

Když mi učitelka Erika příběh vypravovala, dodala: „Jak jsem ta slova vypustila z úst, hned jsem toho litovala. Měla jsem Evu nechat vyložit svůj objev třídě. Někdo ze třídy by to určitě řekl a pro holku by to bylo přijatelnější než oprava od učitelky. Ale stejně nechápu, proč to Eva považovala za objev, když je to tak zřejmé. Ale to se mi teď stává často, že žák objeví Ameriku.“

Erika učí již 15 let, ale pouze něco málo přes rok se snaží učit konstruktivně – nechávat žákům co největší prostor. Nový přístup k žákům vyvolává novou a pro Eriku často nečekanou odezvu

třídy. Jednou takovou překvapivou odezvou je, že žáci za objev považují to, co ona nahlíží jako samozřejmost.

Komentář

Sebekritika učitelky je užitečná. Zvyšuje naději, že tuto pedagogickou neobratnost již nebude opakovat. Ke zvýšení kvality edukačního stylu Eriky přispívá i její konstatování, že obtížnost matematických vztahů nesmí hodnotit podle sebe, ale podle žáků. Podívejme se dále na Evu. Proč ihned neviděla, že číslo 7 lze vložit do příslušného pole? Odpověď je stejná jako ve vstupní úvaze o substituci. Eva se na úlohu dívá procesuálně. V její mysli je otázka „Jak to budu hledat?“ Odpověď na ni je standardní: „Budu to řešit metodou pokus-omyl. “ Kdyby se na celou situaci podívala jako na koncept, viděla by asi, že součet čísel vybarvených polí je zde dvakrát. Přitom jednou je dán. Stačí tedy dané číslo 7 přesunout do trojúhelníku. Jenže Eva se na trojúhelník jako na koncept nepodívala. Když díky sérii izolovaných modelů závislost objevila, zvýšila se její schopnost v budoucnu se na úlohu podívat jako na koncept a nezačínat hned s metodou pokus-omyl. Příběh ilustruje i to, že skladování neúspěšných pokusů může vést k důležitým objevům.

Příběh klade otázku: Je možné rozvíjet u žáků konceptuální vnímání aritmetiky? Jestliže ano, jak? Ve snaze najít odpovědi na obě položené otázky jsme uskutečnili řadu experimentů. Experimenty ukázaly, že základem konceptuálního vnímání aritmetiky je schopnost vidět výpočet a + b = c nejen jako proces, ale i jako koncept, jako trojici (a, b, c), kterou nazýváme aditivní triádou.

3.2.5 Aditivní triáda – výchozí schéma aritmetiky

Aritmetický svět se dítěti otevírá přes operace sčítání a odčítání, tedy přes vztahy a + b = c a a – b = c, které jsou v první etapě artikulovány slovně, ne číslicemi. Úlohu „Kolik je dvě a tři?“ řeší žák třeba pomocí prstů. Zjistí, že je to pět. Vše to je pouze proces. Když u hry Člověče, nezlob se padne 2 a  a dítě hned řekne „pět“, tak již automatizovaný spoj 2 +  = 5 je pro dítě částečně konceptem. Později, když se naučí používat číslice, bude pro něj nápis 2 +  = 5 konceptem a triáda (2, , 5) bude prvkem jeho schématu, který lze nazvat Součet.

Termínem externí aditivní triáda rozumíme trojici čísel (a, b, c), z nichž jedno je součtem dalších dvou. Mentální projekci tohoto objektu do vědomí člověka pak nazveme interní aditivní triáda. Přitom nespecifikujeme, které z čísel je součtem zbylých dvou, a nespecifikujeme ani příslušný číselný obor. Ten je určen věkem žáků, jejichž myšlenkové procesy analyzujeme.

Pojem externí aditivní triády zavedli Pavol Černek a Vladimír Repáš pod názvem „rodinka“ v učebnici Repáš a kol. (1997). Podle nich trojice (a, b, c) je

• „sčítacia rodinka“, když jedno z čísel a, b, c je součtem zbylých dvou;

• „odčítacia rodinka“, když jedno z čísel a, b, c je rozdílem zbylých dvou.

Didaktický záměr zavedení těchto dvou pojmů je zřejmý. Nejdříve žáci rozlišují mezi sčítací a odčítací rodinkou. Po jisté době ale pochopí, že oba termíny označují stejný objekt. K tomu je dovedou například dvojice úloh typu „Doplň scházející číslo do sčítací/odčítací rodinky (, 5, _); hledej všechna řešení“. Ta řešení jsou stejná: 2, 8. Tak žáci pochopí úzkou vazbu mezi operací sčítání a operací odčítání. Pak již není nutno psát adjektiva „sčítací“ nebo „odčítací“,

stačí mluvit pouze o rodince. I když jsou operace sčítání a odčítání odlišné (sčítání je pro žáky snadnější), tak koncept triády je pro schémata Sčítání a Odčítání společný. Na překrytí obou schémat se tvoří zastřešující schéma Aditivních vazeb a operací. K jeho budování přispívá prostředí Krokování, ve kterém jsou krok vpřed a krok vzad činnosti velice blízké.

Koncept aditivní triády jsme zkoumali na konci minulého století; jako nástroj didaktického výzkumu byl použit J. Slezákovou (Kratochvílová 1999a, 1999b).

Interní aditivní triáda je nástroj, jehož pomocí lze účinně rozvíjet schopnost žáka vnímat aritmetické situace konceptuálně. Vzniká otázka, jak toho lze v praxi docílit. Zřejmě pomocí úloh, ve kterých nestačí sčítat a odčítat, kde je třeba pracovat s celou triádou jako s myšlenkovou jednotkou. Takové úlohy lze vytvořit ve většině našich prostředí. V učebnicích se myšlenka triády objevuje již na začátku prvního ročníku – ještě dříve, než jsou zavedeny číslice.

Na straně 18 učebnice M1/1 je 6 úloh, které připravují prostředí sčítacích trojúhelníků. První úloha je vyřešena. Vidíme ji na obrázku

.2, kde jsou přítomna všechna tři čísla externí triády (2, , 5). Když

teď na obrázku .2 zakryjeme:

horní levý čtverec, vznikne úloha 5 –  = ; Obr. 3.2 horní pravý čtverec, vznikne úloha 5 – 2 = ; dolní čtverec, vznikne úloha 2 +  = .

Trik se zakrýváním jednotlivých čtverců pomáhá žákovi vnímat triádu (2, , 5) jako koncept. V jediné situaci znázorněné na obrázku .2 jsou tedy virtuálně přítomny tři úlohy.

Aditivní triádu jako koncept mohou žáci pomocí vhodných úloh odhalovat v prostředí Hadů, Pavučin, Autobusu, Tabulky 100, Střelby na cíl i Sčítacích trojúhelníků. To jsme viděli v příběhu .5 z odstavce .2.4. Ve všech těchto prostředích je myšlenka aditivní triády obsažena již v úloze. Nepřichází z vnitřní potřeby žáka. Existují ale dvě prostředí, ve kterých úloha sama na aditivní triádu nepoukazuje a řešitel ji použije, aby úlohu vyřešil. Právě tato prostředí přispívají nejvíce k budování aditivní triády jako konceptu.

Prvním takovým prostředím je Děda Lesoň. Na straně 18 v učebnici M2/ ve cvičení  je 5 úloh. První z nich zní:

Úloha .2

Které zvířátko má přijít slabšímu družstvu na pomoc?

Obr. 3.3

Řešení jedné dívky: Situaci si namodelovala pomocí ikon na kostičkách. Pak místo berana B na levé straně dala psa P a kočku K, neboť B = PK. Z obou stran odebrala P. Chvíli na situaci hleděla, pak na pravou stranu přidala myš M a do učebnice na pravou stranu dokreslila ikonu myši. Dostala rovnost B = MPM.

První řešitelský krok byla substituce B → PK. Druhý krok bylo odebrání P z obou stran rovnosti a třetí krok bylo přidání M na pravou stranu. Substituce je triáda (B, P, K), která byla vytvořena z potřeby rozložit B na P a ještě něco. Přidání M na pravou stranu je triáda (K, M, M). Tedy v průběhu řešení má žák potřebu pracovat s triádami a to posiluje jeho chápání součtu jako konceptu.

Žák, který již tyto úlohy řeší převodem na čísla (na počet myší), použije pouze triádu číselnou. Zjistí, že B = 6, PM = 4 + 1 = 5, a vyvodí, že na pravou stranu nutno přidat 1, tedy myš. Úlohu s čísly neřeší triádou, ale dopočítáním „pět plus kolik je šest?“ Tedy u těchto úloh potřeba použít triády zaniká odhalením převodu zvířátek na čísla. To je jeden z důvodů, proč není vhodné, aby učitel jakkoli žáky naváděl na objev číselného zápisu úloh z prostředí Dědy Lesoně.

Druhým prostředím, u kterého dochází k potřebě řešitele použít aditivní triádu, je prostředí Sousedé. Ukázalo se, že prostředí má i značný diagnostický potenciál, což nás vedlo k hlubšímu zkoumání řešitelských procesů úloh z tohoto prostředí. Experimenty, které byly realizovány, popisujeme a analyzujeme v odstavcích .2.6 až .2.8. V .2.9. sumarizujeme poznání, které nám výzkum přinesl. Ukazujeme, jak bylo nové poznání aplikováno při tvorbě učebnic. Závěrečný odstavec této série .2.10 je příběh ilustrující implementace učebnic dobrou učitelkou.

3.2.6 Experimenty s prostředím Sousedé bez použití jazyka písmen

Ve všech experimentech bylo nutno řešitele nejprve s prostředím Sousedé seznámit. K tomu jsme použili několik úloh podobných úloze z obrázku .4a. Až pak byla dána testovací úloha z obrázku .4b, případně z obrázku .4c.

Úloha .

Do každého ze čtyř prázdných polí obdélníka na obrázku .4a dopište jedno číslo tak, aby součet čísel každé trojice sousedních čísel byl 9. Stejnou úlohu řešte pro obdélník na obrázku .4b, kde doplňujete  prázdná pole, i pro obdélník na obrázku .4c, kde doplňujete 5 prázdných polí.

3.4a

Příběh .6

3.4b

Dva žáci druhého ročníku, Felix a Filip, kteří patří v matematice k nejlepším žákům třídy, individuálně řešili několik úloh podobných té na obrázku .4a. Potíže měli s pochopením idiomu „každá trojice sousedních čísel“. Když idiom pochopili, vyřešili úlohu z obrázku .4a a několik dalších, podobných, bez problémů. Ty nastaly až u úlohy z obrázku .4b. Navzdory našemu očekávání, že hoši záhy objeví neřešitelnost úlohy, oba žáci soustředěně hledali řešení dosti dlouho. Nakonec se rozhodli, že to vyřeší doma. Po týdnu jsme se opět setkali s Felixem (Filip byl nemocen) a on nám sdělil, že jeho maminka řekla, že ta úloha „je blbost“. Přesto se opět pustil do hledání řešení. Nakonec zklamaně řekl, že to řešit neumí.

Přenesli jsme tedy úlohy do manipulativního kontextu. Na levou stranu lavice jsme dali lístek s číslem 2 a na pravou lístek s číslem . Felix dostal do ruky dva prázdné lístky. Požádali jsme hocha, aby na každý lístek napsal jedno číslo a to tak, aby součet těchto dvou čísel s číslem na levé straně lavice byl 9 a součet těchto dvou čísel s číslem na pravé straně lavice byl též 9. Po několika neúspěšných pokusech Felix řekl, že to neumí.

Jak vysvětlíme Felixovo překvapivé chování? Jak to, že navzdory různým pokusům hoch neodhalil neřešitelnost úlohy z obrázku .4b? Odpověď nám dá analýza jeho řešitelského procesu v odstavci .2.8.

Úlohy z prostředí Sousedé byly předloženy i starším žákům, středoškolákům, posluchačům pedagogické fakulty, budoucím učitelům 1. stupně ZŠ i kolegům učitelům.

Příběh .7

Na obrázku .5 vidíme řešení posluchačky Gity. Silně značené číslice 8, 2, 6 byly předtištěny jako zadání, zbytek dopsala Gita. I u podobných nácvikových úloh Gita k řešení vždy použila metodu pokus-omyl. Teď začala u čísla 6. Řekla si, že číslo v posledním poli nemůže být větší než 2, neboť součet všech tří sousedních je jen 8. Vyzkoušela postupně všechny tři možnosti: 0, 1 a 2.

Až poslední číslo vedlo k úspěchu. Řešení pak dívka přepsala na další lístek. Zeptali jsme se Gity, zda očekávala, že čísla se budou pravidelně opakovat 6, 2, 0, 6, 2, 0, 6, 2. Odpověděla, že to se u těchto úloh musí opakovat. Zeptali jsme se, zda se to nedalo využít u řešení? Gita po chvíli zaváhání řekla „No ano, dalo“. Ukázala na pole s tlustou šestkou, pak na pole, v němž jsou tři šestky, a pak i na levé krajní pole, a řekla: „Tady jsou šestky“. Po chvíli dodala: „Ale takhle jsem si jista.“

Obr. 3.5

Příběh .8

V lednu 2007 jsme měli nové výsledky výzkumu prostředí Sousedé. Výsledky jsme prezentovali v únoru na konferenci, která se uskutečnila v Praze za účasti více než 100 učitelů převážně z druhého stupně ZŠ. V úvodu prezentace jsme dali účastníkům úlohu .4. Očekávali jsme, že žádný z účastníků nepoužije jev periodicity, protože je velice málo pravděpodobné, že se některý účastník již s prostředím Sousedé setkal. Očekávali jsme ale, že se objeví několik řešení používajících jazyk algebry. K tomu však nedošlo.

Úloha .4

Do obrázku .6 s 25 okny doplňte do každého prázdného okna jedno číslo tak, aby součet každých tří čísel v obdélníku ×1 položeném horizontálně nebo vertikálně byl 6.

Obr. 3.6

Již po dvou minutách se ozvali první řešitelé. Všichni úlohu řešili metodou pokus-omyl, stejně jako Gita v příběhu .7. Žádný řešitel nepoužil ani periodicitu, ani jazyk písmen. Jedna kolegyně ke svému řešení připsala: „Nejprve pravý sloupec. Pod  jsem dala 1, nevyšlo. Pak jsem dala 2 a vyšlo. Pak prostřední řádek, první sloupec a dolní řádek jsem viděla, že je to jako

u pravého sloupce.“ Popis strategie je jasný. Je to metoda pokus-omyl s hledáním optimální volby pokusů.

3.2.7 Experimenty s prostředím Sousedé, v nichž byl použit jazyk písmen

V 2007 byla i mezinárodní konference CERME na Kypru. I zde jsme v experimentech pokračovali.

Příběh .9

Úlohu .4 jsme předložili 15 účastníkům pracovní skupiny WG. I zde všichni účastníci dílny, až na jednoho, použili strategii pokus-omyl. Ten výjimečný řešitel okamžitě viděl, že účelné bude použít jazyk písmen. Byl to kolega z Rumunska a učil matematiku na univerzitě. Poslední řádek v jeho řešení měl tvar: 1│x │5-x│1│2 . Vedle bylo připsáno 8 – x = 6, x = 2. Řešení se účastníkům dílny líbilo. Pak jsme jim ukázali řešení založené na konceptuálním uchopení podmínky „součet čísel každého obdélníku ×1 je stejný“. Z této podmínky plyne, že krajní čísla každého obdélníku 4×1 jsou stejná. Proto je v poli vlevo od čísla 2 číslo 1 a v poli nad číslem 2 je číslo . Zbytek se dopočítá snadno. Toto druhé řešení se zalíbilo pouze třem účastníkům. Většině se řešení pomocí písmene x jevilo přesvědčivější. Všichni, kteří se vyslovili k příčinám svého „selhání“, potvrdili, že je vůbec nenapadlo použít písmena, nebo zkoumat prostředí jako koncept.

Příběh .10

Obohaceni o zkušenost z Kypru předložili jsme úlohu .4 v modifikované formě žákovi sedmého ročníku Havlovi. Do pole nalevo od 2 jsme napsali písmeno X a do pole nad číslo 2 jsme napsali písmeno Y. Úkolem hocha bylo nejprve zjistit čísla X, Y a pak doplnit všechna prázdná pole tabulky. Havel, počítačový maniak, se rozhodl, že na to udělá program, a to nejen pro tabulku 5×5, ale pro libovolně velkou tabulku. Již během tvorby programu hoch zjistil, že posloupnost, která jde od čísla 2 doleva, i ta, co jde od čísla 2 nahoru, je periodická. Výsledkem byl zklamán, protože periodicita zkazila možnost dokázat, že v těchto úlohách počítač porazí i seberychlejšího počtáře (kterým hoch není). Na druhé straně zjistil, že X = 1 a Y = , a úlohu .4 vyřešil. Myšlenka udělat náročnou úlohu, kterou počítač vyřeší rychle a člověk ne, dovedla hocha k úlohám na čtverci 100×100. Strategii ještě několik dnů vylepšoval a nakonec dal tento univerzální návod platný pro tabulku o rozměrech n×m:

1) vyznačím si kdekoli v tabulce parketu o rozměrech ×;

2) do ní pomocí periodicity přestěhuji všechna známá čísla;

) všech 9 čísel parkety vypočítám;

4) parketu přestěhuji na všechna místa tabulky.

Havel nám návod ilustroval na úloze z obrázku .7a; součet tří sousedních čísel je 6. Vyznačenou parketu umístil do levého horního rohu.

Obr. .7a – zadání; dána jsou čísla 2, 0, 1 a 4.

Obr. .7b – vyznačení parkety; čísla 0, 1 a 4, ležící mimo parketu, jsou přestěhována do parkety.

Obr. .7c – pět scházejících čísel vyznačené parkety je dopočítáno.

Obr. .7d – nalezená parketa je kopírována do tří dalších pozic.

Havel poměrně rychle odhalil, v čem spočívá podstata řešení úlohy. Domnívali jsme se, že pro hocha silnou pomůckou bylo zavedení dvou písmen. Byli jsme přesvědčení, že právě tato pomůcka způsobila, že hoch neřešil úlohu metodou pokus-omyl, ale zkoumáním vztahů, které lze uchopit pomocí písmen. Asi po měsíci se ukázalo, že tento náš předpoklad je pravděpodobně chybný. Hoch dostal úlohu o počtu čtverečků jistého útvaru na čtverečkovaném papíru, kde žádné písmeno uvedeno nebylo. Hoch ihned na to použil počítač a zavedl si dokonce tři písmena. Pak nechal počítač experimentovat. Sám pouze vyhodnocoval to, co mu počítač nabízel. Odhalil tak vztahy, které pomohly program zjednodušit, a nová série experimentů udělaných na počítači jej pak dovedla k výsledku.

3.2.8 Analýzy příběhů

Analýza příběhu .6

Felix používal stále stejnou řešitelskou strategii. Podíval se na jedno z daných čísel, například na číslo 2, a k němu dohledal dvě čísla tak, aby součet všech tří byl 9. Na jeden lísteček napsal například 4, pak dopočítal, že na druhý lísteček musí napsat . Oba lístečky přenesl na druhý konec lavice a zde opět spočítal všechna tři čísla 4 +  + . Výsledek 10 ukázal, že se pokus nezdařil. Hoch čísla 4 a  škrtnul a hledal jiná. S metodou pokus-omyl měl mnoho zkušeností a věděl, že je nutno zkoušet opakovaně tak dlouho, dokud to neklapne. Právě to, že hledal dvojici čísel, mu napovídalo, aby hledal dále. Kdyby jej napadlo napsat na jediný lístek hned součet obou čísel, asi by neřešitelnost uviděl. K tomu nedošlo, neboť Felix nemá ještě vybudovánu potřebu vnímat číselnou situaci jako koncept. K obdobné situaci při řešení úlohy z obrázku .4c došla posluchačka Františka, která po mnoha neúspěšných pokusech odevzdaně řekla: „Ať to počítám jak počítám, ono to nevychází.“ Její přítelkyně, která úlohu vyřešila rychle, jí poradila: „Nepočítej, koukej.“ Byla to dobrá rada, která vedla aspoň k částečnému úspěchu. Františka po chvíli řekla: „Když to počítám zepředu, je tady (ukázala na středové prázdné pole) dvojka. Když zezadu, je tam trojka.“ Dále se nedostala, a tak jí řešení prozradila její přítelkyně.

Analýza příběhu .7

Nejistota, která brání Gitě použít jev periodicity na řešení úlohy, není nic neobvyklého. Taková nejistota je přítomna ve vědomí mnoha lidí. Například já, když mám zjistit, kolik dnů trvala služební cesta, kterou jsem nastoupil 12. . a ukončil 19. ., najdu rozdíl 19 – 12 = 7, přičtu jedničku a dostanu výsledek 8, ale pro jistotu si to prověřím pomocí prstů. Domníval jsem se, že použitý „vzorec“ je v mém vědomí zatížen nejistotou, protože někdy v mládí mi byl vložen do vědomí zvenčí. Oba recenzenti ale upozornili, že to dělají stejně a že příčina tkví v něčem jiném. H. Bachratý upozorňuje, že odčítání 19 – 12 jde proti toku času, a to též může přispět k znejistění „vzorce“ .

Příčinu nejistoty Gity ale poodhalit umíme, protože podobné chování jsme evidovali i v některých dalších experimentech. U jednoho z nich nám řešitelka vysvětlila, proč neviděla, že periodicitu lze využít na rychlé řešení. Řekla: „Ta čísla se tak vlní a člověka nenapadne podívat se jen na ty šestky.“ Toto sdělení vysvětluje příčinu nejistoty i u Gity. Spočívá v neschopnosti uvidět uvnitř konceptu 6│2│0│6│

_ . Toto poznání nás vede k zavedení nového didaktického jevu.

Koncept, který člověk vnímá jako jednolitý celek a nevidí v něm žádnou vnitřní organizaci, žádné význačné prvky, nebo klastry prvků, označíme slovem uzavřený. Koncept, u něhož člověk již odhalil jeho různé prvky a vztahy mezi těmito prvky, nebo dokonce nové pod-koncepty, nazveme rozvinutý. Uvědomujeme si, že ostře zavedené termíny uzavřený vs. otevřený jsou pomocné nástroje analýz. Přesnější je mluvit o míře rozvinutosti daného konceptu. V našem případě koncept periodicity měla Gita málo rozvinutý (spíše uzavřený), neboť v něm neviděla podkoncept rytmicky se opakujících šestek.

Analýza příběhů .8 a .9

Z obou příběhů vyplývá otázka: Proč se mezi tolika učiteli a odborníky na didaktiku matematiky našel jen jeden, který k řešení úlohy .4 použil jazyk písmen? Zřejmě proto, že v schématech Algebra u těchto lidí dominuje síla transformační na úkor síly uchopovací. Protože se jedná o hromadný jev, příčinu je nutno hledat v takovém vyučování, u něhož je mnoho času a energie věnováno nácviku úprav výrazů pomocí identit typu (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 na úkor např. úloh,

v nichž se má projevit uchopovací a vyjadřovací síla písmen. Takovým přístupem k vyučování algebry pravděpodobně prošli i tito učitelé a ve své každodenní práci tento edukační přístup k algebře opakují. Síla uchopovací je v jejich schématech nepřiměřeně zúžena jen na uchopování slovních úloh. Úloha .4 do této kategorie úloh nepatří. Proto je nenapadlo k řešení úlohy použít písmen.

Domníváme se, že změna popsaného stavu leží na ramenou fakult připravujících budoucí učitele. Spočívá ve změně edukační strategie výuky algebry.

Analýza příběhu .10

Způsob, kterým jsme Havlovi úlohu zadali, obsahoval písmena X a Y, která mají sílu uchopovací. Hoch toto označení přijal, tím úlohu uchopil a svěřil počítači vyjádření dalších čísel tabulky. Kdybychom si uvědomili, že hoch to určitě bude řešit na počítači, tak bychom tuto nápovědu nedávali. Písmena by si tam sám vložil.

Řešitelský proces hocha byl: naprogramoval podmínku o součtu každých tří sousedních čísel (zde použil koncept triády) a počítač mu ukázal tabulku, kterou vylepšoval. Zjistil, že X = 1, Y = 0, a byl hotov. Hochovo pěkné řešení ukazuje, že na tabulky, které mu nabízel počítač, hleděl jako na koncepty – hledal závislosti. Bylo by zajímavé prozkoumat, do jaké míry práce s počítačem podporuje u žáka konceptuální vnímání jazyka písmen.

3.2.9 Poznatky získané z experimentů a jejich aplikace

Nejprve uvedeme šest zjištění získaných z experimentů, jejichž fragment je popsán výše, a pak ukážeme, jak byly využity při tvorbě učebnic. Omezujeme se zde na první stupeň, takže například zjištění, že u žáka s vysokou znalostí počítačů (experiment .4) může rozvinutí konceptu přicházet z programování, zde neuvádíme.

1. Již při zavádění prostředí Sousedé dochází k didakticky náročné situaci: otevřít žákům porozumění idiomu „každá tři sousední čísla“.

2. Jev periodicity se do vědomí žáka dostává jako důsledek vyřešených dlouhých řádek, tedy v důsledku procesů. Nejprve je uchopen jako uzavřený koncept.

 Idea triády je náročná jak pro žáky, tak i pro učitele. Je třeba rozvíjet její chápání nejen v prostředí Sousedé, ale i v dalších prostředích.

4. V prostředí Sousedé je idea triády rozvíjena dvěma způsoby: – poznáním, že každé číslo je možno „stěhovat“ vždy přeskokem dvou prázdných polí, – poznáním, že v úloze například │..│..│ s podmínkou n = 8, existuje 6 (= 8 –  + 1) možností doplnění dvou scházejících čísel.

5. Jakmile si žák uvědomí, že dlouhý řádek se rozpadá na tři pod-koncepty a každý je tvořen stejnými čísly, mění se koncept periodicity z uzavřeného na rozvinutý a stává se nástrojem na řešení úloh. Úlohy z prostředí Sousedé se pro tohoto žáka stávají úlohami čistě explicitními.25

6. Jazyk písmen, jehož propedeutika je součástí naší koncepce vyučování matematice, může podporovat nejen koncept triády, ale konceptuální vnímání aritmetiky vůbec.

25 Úlohu, kterou daný žák řeší metodou pokus-omyl, protože nezná přímý způsob řešení, nazveme úlohou pro daného žáka implicitní. Úloha, u které žák zná jasný postup jak ji řešit, nazveme pro daného žáka úlohou explicitní. Například pro žáka, který úlohy typu + a = b řeší metodou pokus omyl, je objev transformace + a = b → = b – a zdvihem, který tento typ úloh pro daného žáka mění z kategorie implicitních na explicitní. Žák již nemusí zkoušet, jaké číslo do výpočtu napsat, ale prostě od pravého čísla odečte číslo levé a má výsledek.

Ukážeme, jak byly uvedené poznatky použity při tvorbě učebnic. Přitom budeme popisovat i to, jak úlohy implementovat ve třídě a jak mohou žáci reagovat.

Prostředí Sousedé je zavedeno v prvním ročníku (M1/2/25) a porozumění idiomu „součet každých tří sousedních polí“ je věnováno 11 úloh (s. 2, 6, 41). Jev periodicity se poprvé objeví na straně 8 v úloze, jejíž řešení je na obrázku .8 (tlustě vytištěná čísla 1 a 5 a vše další doplní žák).

Obr. 3.8

Někteří žáci si periodicity pravděpodobně všimnou a poslední čísla řádky již nebudou počítat, ale budou je dopisovat na základě periodicity.

Po této vstupní seznamovací etapě přicházejí úlohy, které vedou žáky k dalším objevům.

Na obrázku .9a (viz M1/2/41) je úloha „rám“, jejíž řešení má dvě fáze. V první, kalkulativní, žáci doplní dolní řádek: │4│1│ , pak pravý sloupec, do něhož dopíší postupně tři trojky, a poté horní řádek ││2│ . Prázdná zůstávají jen dvě prostřední čísla v levém sloupci. Známe pouze krajní čísla – horní a dolní – obě jsou . Doplnění připouští šest různých řešení: 5 + 0, 4 + 1,  + 2, 2 + , 1 + 4, 0 + 5. Žáci řešení postupně nacházejí a zapisují je na tabuli. Opět se setkávají se situací, která je podle našeho názoru ve výuce důležitá: existence několika různých řešení jedné úlohy. Kalkulativní úloha doplnění levého sloupce tak přechází do úlohy kombinatorické, pokud se učitel zeptá třídy, zda jsou na tabuli již všechna možná řešení. Stane se, že některý žák řekne, že „to vlastně dělíme pětku na dvě čísla“. Tím došlo k přeformulování úlohy kalkulativní na úlohu kombinatorickou. Tato v jazyce triád zní: kolika způsoby lze doplnit triádu (5, _ , _) pomocí celých nezáporných čísel nepřesahujících číslo 5?

Úlohy na obrázku .9b a .9c (viz M1/2/57) reprezentují typ nazvaný „dlouhý řádek“. Úloha na obrázku .9b je explicitní, protože řešitel hned píše další čísla: 2, 4, 0, 2, 4, ... Didaktický záměr těchto úloh je zdůraznit žákovi jeho zkušenost s myšlenkou periodicity s nadějí, že ji některý žák využije k řešení úlohy na obrázku .9c. To se zatím v žádné první třídě, kterou jsme sledovali, nestalo. Všichni žáci řešili úlohu na obrázku metodou pokus-omyl, tj. pro všechny byla tato úloha úlohou implicitní, tj. úlohou, u které řešitel nemůže hned s jistotou doplnit žádné číslo. Žák použije metodou pokus-omyl.

n = 8 n = 6

3.9c

Nakonec někdo najde začátek řádky 1, 4, 1, 1, 4 a zbytek pak již jde zpravidla hladce. Hledání ale většině žáků trvá docela dlouho, takže v jejich vědomí vzniká potřeba najít trik, jak tyto

úlohy řešit rychle. Tato potřeba zatím nevede žáka k hledání triku, ale zvyšuje citlivost na jeho přítomnost. Jestliže jej někdo objeví, žák ihned začne mít o trik zájem.

3.2.10 Objevy v prostředí Sousedé – příběh

Příběh .11

Sledujeme třídu, která se v prvním ročníku seznámila s prostředím Sousedé. Všichni žáci již rozumí idiomu „každá tři sousední čísla“ a objevili již i periodicitu u dlouhých řádek. Na úlohy, u nichž jsou v dlouhé řádce dána dvě od sebe vzdálená čísla, zatím žádný trik nevymysleli. Jsme už ve druhém ročníku. Žáci řeší dlouhé řádky metodou pokus-omyl. Je to zdlouhavé.

S prvním nápadem na urychlení přišel Ivan. Objevil trik na rychlé řešení implicitních úloh typu dlouhý řádek. Svůj objev ukázal třídě na úloze z obrázku .9d, kde součet tří sousedních čísel je 6. 2 

Obr. 3.9d

Ivan řekl: „Ta trojka je daleko, ale já vím i to třetí číslo. To je když dvě plus tři dopočítám do šesti. Je to jedna. Tak vedle té dvojky bude buď tato trojka, nebo ta jednička.“ Dopsal vedle čísla 2 číslo , řádek dopočítal, ale nevyšlo to. Vše smazal a dopsal vedle čísla 2 číslo 1. Teď to již vyšlo. Ivan musel trik ukázat ještě na dalších dvou úlohách, ale stejně ne všichni žáci Ivanův objev pochopili. Všichni se jej ale naučili používat. Ivan učitelce řekl, že na objev jej navedl bratr, který mu řekl, že když v dlouhé řádce vidí dvě čísla, tak ví i to třetí číslo, i když ta dvě daná jsou daleko od sebe. Dlouhý řádek již tedy nebyl úlohou implicitní, ale ještě stále nebyl čistě explicitní. Bylo nutno uvažovat dvě možnosti. Když první vyšla, bylo hotovo. Když nevyšla, musela se použít druhá. Více toho žáci v druhém ročníku neobjevili. Ve třetím ročníku se prostředí Sousedé objevilo po dlouhé odmlce až před Vánoci. Na obrázku .10 je cvičení 1 z M, strana 5.

Z:\denisakokoskova On My Mac\Documents\Grafika\Pedagogická fakulta\Sémantická matematická prost edí\podklady\Hejný\3.VOBS32.doc Verze pro korekturu 21

Ivan ekl: „Ta trojka je daleko, ale já vím i to t etí íslo. To je když dv plus t i dopo ítám do šesti. Je to jedna. Tak vedle té dvojky bude bu tato trojka, nebo ta jedni ka.“ Dopsal vedle ísla 2 íslo 3, ádek dopo ítal, ale nevyšlo to. Vše smazal a dopsal vedle ísla 2 íslo 1. Te to již vyšlo. Ivan musel trik ukázat ješt na dalších dvou úlohách, ale stejn ne všichni žáci Ivan v objev pochopili. Všichni se jej ale nau ili používat. Ivan u itelce ekl, že na objev jej navedl bratr, který mu ekl, že když v dlouhém ádku vidí dv ísla, tak ví i to t etí íslo, i když ta dv daná jsou daleko od sebe. Dlouhý ádek již tedy nebyl úlohou implicitní, ale ješt stále nebyl ist explicitní. Bylo nutno

Obr. 3.10

Obr. 3.10

uvažovat dv možnosti. Když první vyšla, bylo hotovo. Když nevyšla, musela se použít druhá. Více toho žáci v druhém ro níku neobjevili.

První úloha, kterou se žáci opět vpravili do prostředí Sousedé, je explicitní a žáci ji vyřešili rychle. Ilona zde připomněla jev periodicity. U druhé úlohy si několik žáků vzpomnělo na Ivanův trik. Zjistili, že třetí číslo triády bude 0, a řešení našli rychle. Igor Ivanův trik vylepšil.

Ve t etím ro níku se prost edí Sousedé objevilo po dlouhé odmlce až p ed Vánoci. Na obrázku 3.10 je cvi ení 1 z F3, strana 35.

První úloha, kterou se žáci op t vpravili do prost edí Sousedé, je explicitní a žáci ji vy ešili rychle. Ilona zde p ipomn la jev periodicity. U druhé úlohy si n kolik žák vzpomn lo na Ivan v trik. Zjistili, že t etí íslo triády bude 0 a ešení našli rychle. Igor Ivan v trik vylepšil. ekl: „Nemusím tu nulu hledat, sta í trojka; dám ji nejprve p ed ty ku a pak za ty ku. Vím, že ta trojka je u ty ky. Nejprve jsem ji napsal p ed ty ku, to nevyšlo, pak za ty ku – to vyšlo“. N kdo ekl, že se to nedá, kdyby byla ta ty ka byla na kraji. Ani Igor v trik ale nezm nil úlohu na ist explicitní. I on musel testovat dv možnosti.

Irena si u t etí úlohy všimla, že ve t etím poli je íslo 2 stejn jako v úloze první. ekla si, že všechny dvojky budou zde stejn jako v úloze první. Dopsala je a pak ji napadlo p epsat ísla 4

z první úlohy na ísla 1 do t etí úlohy. Ud lala to a m la ešení. Naléhav se hlásila, a když dostala

Řekl: „Nemusím tu nulu hledat, stačí trojka; dám ji nejprve před čtyřku a pak za čtyřku. Vím, že ta trojka je u čtyřky. Nejprve jsem ji napsal před čtyřku, to nevyšlo, pak za čtyřku – to vyšlo.“

Někdo řekl, že se to nedá, kdyby ta čtyřka byla na kraji. Ani Igorův trik ale nezměnil úlohu na čistě explicitní. I on musel testovat dvě možnosti.

Irena si u třetí úlohy všimla, že ve třetím poli je číslo 2 stejně jako v úloze první. Řekla si, že všechny dvojky budou zde stejně jako v úloze první. Dopsala je a pak ji napadlo přepsat čísla 4 z první úlohy na čísla 1 do třetí úlohy. Udělala to a měla řešení. Naléhavě se hlásila, a když dostala slovo, řekla:

„Je to jako v té první úloze. Dopíši nejprve dvojky jako nahoře,“ a dopsala dvojky do stejných oken. Na tabuli se objevil obrázek .11 (prostřední řádek původního obrázku z učebnice je zde vymazán). Pokračovala: „Teď tu čtyřku (ukázala na poslední číslo horní řádky) musím změnit na jedničku. Všude.“ Dopsala pod čísla 4 čísla 1 ve všech šesti případech. Třída v údivu zírala, Ivona řekla, že je to jako z magické koule: „Tady to náhodou vychází, ale jinde to tak nebude.“ Učitelka se ke sporu nevyjádřila. Otázka zůstala otevřená. Platí trik Ireny všude, nebo jen v tomto případě?

Obr. 3.11

Do Velikonoc již několik žáků prověřilo, že trik Ireny platí vždy, ale již musíme mít jeden dlouhý řádek s daným číslem n vyřešen. V průběhu testování se objevilo tvrzení, že když je v prvním poli dvojka, tak dvojka bude i ve čtvrtém i v sedmém poli atd. Irenin trik tedy proměnil úlohy implicitní na čistě explicitní. Žáci věděli, jak se to řeší, ale nevěděli proč. To trápilo pouze dva hochy a jeden z nich příčinu odhalil.

S řešením přišel Igor. Napsal 2││1│_ a řekl: „Když je to například takto. Tu není důležité to tři a to jedna. Jen to, že spolu dají čtyři. A tady to (ukázal trojici levých polí) je šest a tady to (ukázal trojici pravých polí) je taky šest, musí být taky (ukázal prázdné poslední pole) dvě (a dopsal tam 2).“ Viděl, že mu spolužáci nerozumí. Smazal čísla  a 1 a do tohoto prostoru napsal číslo 4. Objevil se obrázek 2│4│_ a hoch pokračoval: „Tedy toto dohromady (ukázal na čísla 2 a 4) je šest, i toto dohromady (ukázal na číslo 4 a prázdné pole vpravo od 4) musí být taky šest.“ Ingrid vykřikla: „No jo!“ Pak postupně i někteří další žáci pochopili Igorův pěkný důkaz.

Komentář

Příběh názorně ilustruje, jak dlouho může třídě trvat, než se dobere matematického objevu. V prvním ročníku se žáci s prostředím seznámili a evidovali jev periodicity u dlouhé řádky jako uzavřený koncept i jako proces „vlnění“. Ve druhém ročníku vznikla potřeba najít trik na řešení úloh, jako je ta na obr. .9d. První objev udělal Igor a svůj trik i argumentačně podepřel. Zásadní objev se odehrál až ve třetím ročníku. Nejprve Igor modifikoval Ivanův objev a pak Irena porovnáním dvou dlouhých řad udělala objev tím, že uzavřený koncept periodicity otevřela: všimla si nejprve jen všech dvojek, pak jen všech čtyřek horní řádky. Ivona správně poukázala, že to, co Irena objevila, nemusí platit obecně. Když ale série testů prověřila, že Irenin trik platí

obecně, byla úloha najít explicitní řešení „dlouhých řádek“ vyřešena. Žákům třetího ročníku stačí, když vidí, že nějaký trik funguje, a otázku, proč je tomu tak, si nekladou. Jestliže si ji Igor položil, projevil tím vysoký stupeň abstraktního myšlení. Nalezením důkazu svoji úroveň ještě zdůraznil. Klíčem k nalezení příčiny, proč trik funguje, bylo nahrazení dvojice  | 1 součtem 4, tedy substituce pomocí aditivní triády.

Přechod od objevu Ireny, která řekla, jak se to má udělat, k objevu Igora, který ukázal, proč to funguje, odpovídá, měřeno historií, přechodu od matematiky Egypta a Mezopotámie, matematiky návodů, k matematice starověkého Řecka, matematice argumentace, schémat a struktur. V historii trval tento přechod velice krátce, snad jedno století. U většiny žáků se potřeba zdůvodňovat jevy objevuje kolem věku 12 let, není-li např. tlumena edukačním stylem učitele.

3.3 Struktura

Podobně jako termín schéma je i termín struktura ve vědecké literatuře používán v různých interpretacích. Pro nás bude, hrubě řečeno, schéma nositelem intuitivního porozumění matematice a struktura nositelem porozumění axiomatického. Axiomatické porozumění se zbavuje sémantického propojení a tím dává myšlenkám prostor pro konstrukty, které nejsou smysly vnímatelné, jako například pojem čtyřrozměrného prostoru. Daň za tuto volnost je ztráta smyslové verifikace tvrzení. To, že dvě dvourozměrné roviny se ve čtyřrozměrném prostoru mohou protínat v jediném bodě, nenahlédneme zrakem, protože do čtyřrozměrného prostoru nevidíme. To, že když jsou v rovině dány přímky p, q obě rovnoběžné s přímkou r, že pak nutně jsou p, q rovnoběžné, zrakem nahlédneme. Jenže toto není strukturální poznání, neboť tvrzení nebylo dokázáno. Axiomatická stavba matematiky začíná zavedením několika málo primitivních pojmů, o nichž vyslovíme několik axiomů, tvrzení, která přijmeme za pravdivá. Vše další je již pouze věcí logiky. Nové pojmy jsou zaváděny definicemi, nová tvrzení jsou dokazována.

Žák na prvním stupni nemá potřebu přesně formulovat a případně i dokazovat různá tvrzení. Jeho hlavní potřebou je najít výsledek úlohy. Jakmile ale žák začne zkoumat, proč to nebo ono pravidlo platí a začne hledat argumenty, posouvá se jeho schéma ke struktuře. U žáka začíná proces strukturace, který obyčejně trvá léta a v jednotlivých oblastech matematiky je různě rozvinutý. Konečně v historii tomu bylo stejně. Syntetická geometrie byla strukturována v roce 00 před n. l. Euklidem, aritmetika přirozených čísel až v druhé polovině 19. století G. Peanem.

3.3.1 Indikátory nástupu procesu strukturace – příběhy

Žák 1. stupně ZŠ nemá strukturován žádný objekt matematiky. Může ale mít u některých pojmů, vztahů, procesů a situací vytvořeno kvalitní schéma se zárodky strukturace. Náběh na strukturaci schémat se projevuje aktivitou žáka, ve které se objevují některé z následujících indikátorů:

• Zvídavost, časté kladení otázky „proč“ něco tak je.

• Hledání argumentace, někdy provázené hledáním vhodného jazyka. Zvláště důležitá je argumentace, ve které se pracuje s kvantifikátory.

• Objevování objektů nebo procesů, které leží v překrytí dvou schémat tak, že z každého bere část svých prvků.

• Objevování metafor, nebo dokonce izomorfizmů.

• Objevování složitějších generických modelů.

• Hledání protipříkladů.

• Potřeba a schopnost formulovat takové vztahy mezi pojmy schématu, které umožňují definování některých pojmů jinými.

• Potřeba a schopnost pracovat s kvantifikátory, s implikací a s negací.

• Porovnání „vzdálených“ objektů A a B vytvořením objektu C, který je „blízký“ ke každému z objektů A a B. Snaha o uchopení jevu nekonečna.

Uvedený soubor indikátorů samozřejmě nemůže být úplný. Proces strukturace ilustrujeme čtveřicí příběhů.

Příběh .12

Nejmladší nám známé dítě, u kterého bylo možné sledovat snahu o uchopení nekonečna, byl sedmiletý hoch, který byl fascinován posloupností 1, 2, , ... tak, že v průběhu dvou dnů a v několika etapách prolistoval nejtlustší knihu tátovy knihovny, která měla 1 192 stran, a každé z čísel vyslovil. Pokaždé, když práci přerušil, nechal knihu otevřenu a všechny upozorňoval, že ji nesmějí zavřít. Když došel až na konec knihy, začal psát na lístečky čísla dalších případných stran 1 19, 1 194, ... U čísla 1 201 skončil a ptal se po větší knize, po takové, „kterou nelze celou prolistovat“. Sám tuto myšlenku ale záhy zavrhnul a řekl: „Taková neexistuje.“

Mac\Documents\Grafika\Pedagogická fakulta\Sémantická matematická

Verze pro korekturu

Mac\Documents\Grafika\Pedagogická fakulta\Sémantická matematická Verze

Příběh .1 Pomocí série izolovaných modelů jedna dívka v druhém ročníku zjistila, že „součet tří po sobě jdoucích čísel je vždy možné spravedlivě rozdělit mezi tři lidi“. Tento poznatek dokonce zdůvodnila. Situaci vymodelovala pomocí krychlové stavby s plánem n – 1│n│n+1 .26 Nejprve volila n = , pak n = 5, ale v obou případech bylo jasné, že mluví o generickém modelu. Dívka vysvětlila: „Jako schody; tento je rovný, ten o kostičku menší; ale když tady tu kostičku (bere nejvyšší krychli a klade ji na nejnižší věž) dáme takhle, je to stejné, pět, pět, pět. Každý má stejně.“ Přenesením jediné krychle změnila dívka „schodiště“ na kvádr. Bylo jí jasné, že tuto operaci může udělat u každého podobného schodiště.

24

ížové prvního je druhého je v tší žák byla, že ale byla

ešení se ešení je na

by n kdo

ížové prvního je druhého je v tší byla, že byla se na kdo

Obr. 3.12a

Obr. 3.12a

má v tší obvod

týdnech, když

ížových

tší obvod týdnech, když ížových

Obr. 3.12a

Obr. 3.12b

Obr. 3.12b

Obr. 3.12b

na úlohu z obrázku 3.12a. P esunul pravý trojúhelník a vytvo il myšlenka je v u ebnici F5 na stran 92.

úlohu z obrázku 3.12a. P esunul pravý trojúhelník a vytvo il je v u ebnici F5 na stran 92.

26 Stavba typu „schodiště“ se skládá ze tří „věží“. Levá je tvořena n-1 kostkami, středí n kostkami a pravá n+1 kostkami.

odhalil vztah mezi aditivní strukturou sudých, resp. lichých ísel resp. záporných ísel. Byl svým objevem dlouho zaujat, ale Nakonec našel tabulku jako jazyk, který myšlenku dob e

odhalil vztah mezi aditivní strukturou sudých, resp. lichých ísel kladných, resp. záporných ísel. Byl svým objevem dlouho zaujat, ale Nakonec našel tabulku jako jazyk, který myšlenku dob e

l + l = s s + l = l l + s = l

l + l = s s + l = l l + s = l

Příběh .14

V pátém ročníku hledali žáci dva mřížové trojúhelníky, pro které platí: obvod prvního je větší než obvod druhého a obsah druhého je větší než obsah prvního. První reakce žáků byla, že takové trojúhelníky neexistují. Pak ale byla nalezena jedna taková dvojice a řešení se nakonec našlo mnoho. Jedno z řešení je na obrázku .12a. Zeptal jsem se, zda by někdo uměl dokázat, že levý trojúhelník má větší obvod než pravý bez měření. Až po dvou týdnech, když třída řešila úlohu o přesouvání mřížových trojúhelníků, si jeden žák vzpomněl na úlohu z obrázku .12a. Přesunul pravý trojúhelník a vytvořil obrázek .12b. Tato krásná myšlenka je v učebnici M5 na straně 92.

Příběh .15

Výjimečně nadaný žák 5. ročníku odhalil vztah mezi aditivní strukturou sudých, resp. lichých čísel a multiplikativní strukturou kladných, resp. záporných čísel. Byl svým objevem dlouho zaujat, ale neuměl jej vyložit spolužákům. Nakonec našel tabulku jako jazyk, který myšlenku dobře prezentuje:

plus s + s = s l + l = s s + l = l l + s = l

krát ⊕ ⋅ ⊕ = ⊕ ⋅ = ⊕ ⊕ ⋅ = ⋅ ⊕ =

Tab. 3.1

Zde: s = sudé číslo, l = liché číslo, ⊕ je kladné číslo, je záporné číslo. Několik spolužáků tabulku pochopilo a některým se velice líbila. Druhý sloupec tabulky chápal hoch jako přesný důkaz tvrzení o součinu dvou záporných čísel. Řekl: „Protože součet dvou lichých čísel je číslo sudé, je nutně součin dvou záporných čísel číslo kladné.“ Žádný ze spolužáků v tabulce neviděl důkaz daného tvrzení. Hochovi nerozuměli. Zřejmě proto, že neměli potřebu ani tvrzení dokazovat, ani problém sami hlouběji promýšlet.

3.3.2 Komentáře k příběhům

Schéma, u něhož se již objeví některé z indikátorů strukturace, nazveme proto-struktura. Tímto termínem označujeme dlouhé stadium přerodu schématu na strukturu. Příběhy z předchozího odstavce, které na zrod proto-struktury poukazují, prozkoumáme podrobněji.

Komentář k příběhu .12

Hoch má zkušenost s konečnými množinami. Ví, že počet prvků množiny se zjistí pomocí říkanky. Ve všech předchozích případech, které hoch zažil, říkanka končila. Snaží se ke konci dojít i teď. Zjišťuje beznadějnost svého počínání. Zjišťuje, že neexistuje kniha, ve které jsou všechna čísla. Úsilí dobrat se konce posunulo hocha k pre-konceptu „množina přirozených čísel“ . Jedná se o hluboký posun, který v matematické terminologii lze formulovat slovy: hoch již má ordinální porozumění nekonečnu a začíná je posouvat k porozumění kardinálnímu. V didaktické terminologii pak slovy: hoch má procesuální porozumění nekonečnu a začíná je posouvat k porozumění konceptuálnímu. Poprvé se hoch setkává s protikladem konečného a nekonečného. Když o mnoho let později hoch zjistí, že sudých čísel je stejně jako všech přirozených, bude opět překonávat sevření konečnou zkušeností. To lze pouze vstupem do světa abstraktních struktur.

Komentář k příběhu .1 Dívka již intuitivně pracuje s velkým kvantifikátorem, který ve své výpovědi uvádí slovem „vždy“. Místo jazyka písmen, který zatím nezná, používá jazyk kostek. Stejně postupovali pythagorejci, když k důkazům s velkým kvantifikátorem používali oblázků (pséfos). Je zajímavé, že i když dívka mluví o dělení čísel mezi tři lidi, nedělí mezi ně ani peníze, ani jablka, ale krychle, přesněji věže z krychlí. Zřejmě již dříve, když dívka stavěla různé stavby, evidovala, že u schodiště narůstají věže po jedné. Toto geometrické schéma se teď ve vědomí dívky vynořilo u řešení aritmetické úlohy a umožnilo jí objevit velice názorný důkaz toho, co později, když bude dívce otevřen jazyk algebry, napíše jako vztah (n – 1) + n + (n + 1) = n, který lze označit za strukturální. Viz též text před odstavcem 2.6.1.

Komentář k příběhu .14

Žákův objev leží na překrytí dvou schémat. Výchozím schématem, ve kterém došlo k překvapení, je měření délek a obvodů útvarů na čtverečkovaném papíře. Druhým schématem, které zdánlivě s prvním nemá nic společného, je přesouvání mřížových útvarů jako vstup do pojmu izometrie. Podstata žákova objevu spočívá v uzření možné souvislosti obou schémat. V překrytí schémat vznikla myšlenka přesunout pravý trojúhelník do polohy ACD a umožnit tak porovnání obvodů obou původních trojúhelníků bez měření.

Komentář k příběhu .15 Hochův objev je hluboký a náročný. K přesnému popisu musíme použít grupu ( Z2, +), kde

Z2 = {0,1} a sčítání je popsáno rovnostmi 0 + 0 = 1 + 1 = 0 a 0 + 1 = 1 + 0 = 1.

Hoch objevil vztah dvou izolovaných modelů grupy ( Z2, +), vztah, který lze považovat za generický model této grupy. Z matematického hlediska můžeme tabulku .1 interpretovat pomocí dvojice pologrupových homomorfizmů

• f: (N, +) → (Z2, +), kde f přiřadí sudá čísla na nulu a lichá na jedničku,

• g: (Z – {0}, ⋅) → Z2, kde g přiřadí kladná čísla na nulu a záporná na jedničku.

3.3.3 Od schématu k protostruktuře

K šesti tezím z odstavce .2. doplníme další.

Teze T7. Upřesňování intuitivně poznaného schématu, tedy tvorba proto-struktury, přispívá k rozvoji intelektuálních potencí žáka ve více směrech. Jsou to zejména:

(a) potřeba

• upřesňovat pojmy,

• argumentačně podporovat odhalené vztahy,

• hledat vhodný jazyk na popis procesů a situací,

• kriticky přijímat informace,

• odhalovat vztahy mezi schématy a tvořit tím obecnější schémata,

• hledat návody jak měnit implicitní úlohu na úlohu explicitní a

(b) schopnost uvedené potřeby naplnit.

Východiskem rozkladu teze T7 bude opět příběh.

Příběh .16

V rámci experimentů zaměřených na zkoumání procesu matematizace reálné situace proběhl v roce 1969 rozhovor otce (autor v roli experimentátora) s osmiletou dcerou Janou. Předmětem matematizace bylo schéma Rodina.

Otec 1: Takže, kdybys měla přesně vysvětlit slovo matka, jak. . .

Jana 1: Jako že moje. . . naše máma, nebo máma Ingrid a tak? Každé dítě má mámu.

O 2: A já nemám mámu? Jenom děti mají mámu?

Jana 2: (Pauza) Vlastně jo, babičku. Tedy babička Izabela je tvoje máma. (Pauza.) Každý má mámu, když se narodil. To by se jinak nenarodil.

O : To jo, to . . . ale já bych chtěl, abys řekla, . . . abys přesně vysvětlila slovo máma.

Jana : No to je. . . no máma je máma, jak to mám říct?

O 4: Tak já ti dám příklad. Například bratr. Bratr je muž, který má stejné rodiče jako já.

Jana 4: (pauza asi 20 vteřin) Aha, no jo, a sestra je děvče, co má stejné rodiče jako já.

O 5: Výborně. Tak jak je to s tou matkou?

Jana 5: Matka je… je žena… co má holku… nebo kluka. Jo, žena, která má děti. (T, T5, T6)

O 6: Výborně. A co…

Jana 6: A otec je muž, co už má děti. (Pauza) Vlastně jedno dítě. To stačí.

O 7: Už to dobře chápeš. Tak co je manžel?

Jana 7: To je táta té dcery… nebo syna. (Vidí, že otec má námitky a chce položit otázku, tak sama rychle pokračuje.) No oni ještě nemusí mít děti, ale až je budou mít ... jo, manžel je otec matčiných dětí, i těch které se ještě nenarodili, ale narodí se.

O 8: A co, když to budou manželé bezdětní?

Jana 8: (Pauza 15 vteřin) Já nevím. (Janu to přestalo bavit a odešla si hrát.)

O dva dny později, po konzultaci s mámou, Jana přinesla náš oddací list a řekla, že manželé jsou ti, co mají oddací list.

Janě je slovo matka zcela jasné v rámci schématu Rodina. Nechápe, co od ní otec chce. Až když otec uvede příklad vymezení pojmu bratr, Jana pochopí, co se po ní chce, a dá dobré vymezení pojmu. To znamená, že dívka slovu máma dobře rozuměla, ale nevěděla, v jakém kontextu má svoji znalost formulovat. Otcův příklad byl tedy pro dívku nejen izolovaný model pro rodinnou relaci, ale hned i generickým modelem, protože byl prototypem kontextu, v němž je nutno uvažovat. Janino vymezení pojmu matka náleží do protostruktury Rodina. Do struktury ještě nenáleží, protože ještě není popsáno formalizovaným jazykem. K tomu dojde, když Jana začne používat jazyk rodokmenů s přesně vymezenými pojmy a dobře definovaným systémem znaků (viz příběh .18).

Pojem manžel nelze definovat pomocí jiných rodinných vztahů. Poslední otcova otázka byla nevhodnou didaktickou chybou a byla potrestána demotivací Jany.

3.3.4 Proto-struktura jako prostor k propojování schémat

V tezi T7 je uvedeno, že „tvorba proto-struktury, přispívá k rozvoji potřeby a schopnosti odhalovat vztahy mezi schématy a tvořit tím obecnější schémata“. Tuto potenci ilustruje následující příběh.

Příběh .17

Druhák Kamil si špatně opsal z tabule domácí úkol. Na tabuli bylo 12 –  + 4 = __. On si do sešitu napsal 2 –  + 4 = ___. Chtěl úlohu řešit, ale hned se zarazil. „Od dvou nemohu odečíst tři,“ řekl starší sestře. Ta odpověděla: „Na prstech nemůžeš, ale na schodech můžeš.“ A ukázala bratrovi prostředí Krokování. Postavila se na schody a začala po nich chodit podle zápisu. K tomu mluvila: „Nejprve jdu dva schody nahoru, raz, dva, pak tři schody dolů, raz, dva, tři a nakonec čtyři schody nahoru, raz, dva, tři, čtyři. Stojím o tři schody výše než na začátku. Tři je výsledek.“ Kamilovi se tento trik zalíbil a sám si dvakrát celé představení zopakoval. Sestra s ním ještě několik podobných úloh vyřešila a nakonec mu ukázala i jazyk šipek, pomocí kterého lze řešení zapsat:

Kamil nakonec řekl: „No jo, přidat dva prsty je jako udělat dva kroky nahoru a odebrat dva prsty jako udělat dva kroky dolů.“ Pak dodal: „Ale na schodech to jde vždy a s prsty ne.“

V době, kdy Kamil začal řešit uvedenou úlohu, obsahovalo jeho schéma Aritmetika, které pokrývá sčítání, odčítání, porovnávání a číselnou řadu, tři generické modely:

• prsty – nejfrekventovanější Kamilův nástroj počítání,

• počítadlo – pro práci s čísly nad 20 a s čísly 10, 20, 0, ... 100,

• číselnou osu – má ji v rozsahu 0 až 0 nalepenu na lavici; používal ji zejména při řešení úloh typu „17 a kolik je 21?“

Vesměs jsou to generické modely konceptuální. Číslo je reprezentováno buď počtem objektů, nebo adresou na číselné ose. Generický model Krokování, který Kamilovi ukázala sestra, je silně procesuální, neboť čísla jsou reprezentována pohybem vlastního těla. Tři kroky jsou intenzivnější proces než tři pohyby prstu po číselné ose. Navíc, a to je rozhodující, krokování proniklo pod nulu, kde zatím žádný koncept nebyl. Uvnitř hochova schématu Aritmetika vzniklo významné procesuální schéma Krokování. Poslední Kamilova slova ukazují, že zatím zde nedošlo k vytvoření proceptu, protože konceptu zatím schází záporná čísla. Objevila se ale potřeba tento nedostatek odstranit.

Později Kamil zjistil, že vlastně číselná osa, kterou má na lavici, též umožňuje „jít pod nulu“. Dopsal si k původní číselné ose čísla -1, -2, - a -4. Když pak byla tato osa již hodně poničená, vyrobila mu sestra novou osu, která šla od -10 do + 0.

V archivu příběhů evidujeme několik podobných situací, kdy žák prvního nebo druhého ročníku nedopatřením řeší úlohu, ve které je třeba od menšího čísla odečíst větší. Další bude uveden jako příběh 4.12. Ten vedl k objevu prostředí Schody.

Kvalitu určitého schématu žáka určuje bohatost a pestrost jeho podschémat případně generických modelů. Úlohy, které jsou pro žáky nesnadné, ukazují na nedostatečně vybudované spektrum podschémat a generických modelů. Příkladem jsou slovní úlohy s operátorem změny (například úlohy o věku), které jsou diskutovány v kapitole 4. Tam jsou naznačeny cesty, jak je možné scházející generické modely dobudovat.

3.3.5 Od proto-struktury ke struktuře

Teze T7 popisuje potence podílející se na posunu od schématu k proto-struktuře, následující teze popisuje potence podílející se na posunu od proto-struktury ke struktuře.

Teze T8. Tvorba struktury přispívá k rozvoji intelektuálních potencí žáka ve více směrech. Jsou to zejména:

(a) potřeba

• abstrakce a s tím spojená práce s velkým kvantifikátorem

• ujasnění si rozdílu mezi pojmy primitivními a definovanými

• kategorizace pojmů z hlediska jejich významu i z hlediska stupně abstrakce

• ujasnění si rozdílu mezi axiomy a tvrzeními vyžadujícími důkazy

• nalezení souladu (konzistence) mezi jednotlivými částmi struktury

• hledání propojení na struktury příbuzné, zejména odhalování izomorfizmů

(b) schopnost uvedené potřeby naplnit.

Východiskem rozkladu teze T8 bude opět příběh.

Příběh .18

Pokračování příběhu .16. Uběhlo 7 let, psal se rok 1976 a ve školské matematice vládly množiny. Jana byla ve druhém ročníku čtyřletého gymnázia. Ve škole dostali jako ročníkovou práci popsat v jazyce množin něco z běžného života, například školu. Jana si vzala část rodokmenu rodu Habsburků a vytvořila množinový popis schématu Rodina.

Zavedla označení:

A je množina všech lidí rodokmenu, B je podmnožina všech mužů rodokmenu a C podmnožina všech žen. Manželství zavedla jako relaci D ⊂ B × C atd. Práce ji velice bavila. Když výsledek prvního snažení ukazovala otci, zjistila, že pojmy „dcera“ a „syn“ definovala nekonzistentně. Syna zavedla jako dvojici (chlapec, jeho rodič), ale dceru jako zobrazení, které každé ženě přiřadí oba její rodiče. Svůj výklad přerušila a šla definici dcery předělat. Podobná situace se opakovala ještě několikrát. Jana během prezentace otci objevila i v této verzi nedostatky. Objev nedostatku byl pokaždé provázen zklamáním, ale vytvoření nového řešení dívku pokaždé povzbudilo a nové řešení se jí jevilo jako významně vylepšené. Hodně energie věnovala nejen přepisování již hotových vymezení z jazyka relací do jazyka zobrazení a obráceně, ale i ztvárněním výsledků v barevných grafických schématech.

Otec do úvah Jany vstupoval pouze ojediněle otázkou. Celý poznávací proces realizovala dívka sama. Otec ale mohl dobře sledovat, jak dívka jednotlivé pojmy upřesňuje, jak nachází více vymezení pro stejný pojem, jak zvažuje účinnost a logickou čistotu jednotlivých definic, jak získává vhled do vztahu mezi relací a zobrazením, jak zjišťuje, že k vytvoření celé struktury jí stačí slova matka, otec a manželé, jak ze svých úvah vylučuje jevy jako rozvod, adoptované dítě apod., jak přes více omylů začíná chápat abstraktní pojem skládání zobrazení a skládání relací.

Příběh ukazuje, že když žák (nebo skupina žáků) řeší v průběhu několika dnů nebo dokonce týdnů rozsáhlejší matematický problém, je tato činnost pro žáky účinný způsob učení se matematice a pro učitele dobrý diagnostický nástroj. V uvedeném příběhu šlo o budování schématu Rodina pomocí jazyka množin. Podobných problémů je možné vytvořit dostatečný počet a to již od úrovně žáků čtvrtého ročníku ZŠ.

3.4 Edukační styl

Existuje více přístupů ke klasifikaci edukačního stylu učitele. Škoda a Doulík (2011) v odstavci

2.4 uvádějí 4 různé přístupy a popisují 11 vyučovacích stylů. Náš přístup vychází z interakce

učitel – žák. Edukační styly klasifikujeme podle míry intelektuální autonomie, kterou učitel dává žákovi podle toho, jak výrazně se na odhalování matematických poznatků podílejí žáci. Když je učivo žákům předkládáno, mluvíme o transmisivním edukačním stylu. Když se žáci na objevování matematiky výrazněji podílejí, mluvíme o edukačním stylu konstruktivistickém. Jsou to polaritní styly, které v realitě těžko budou existovat v čisté podobě.

3.4.1 Dva přístupy k zavedení kritéria dělitelnosti devíti

V uplynulých letech jsme uskutečnili mnoho besed s učiteli prvního i druhého stupně o edukačním stylu učitele. Cílem našeho šetření byl pokus o klasifikaci edukačních stylů učitelů směřující k problematice změn edukačního stylu. Hlavní výsledky výzkumu bohatě ilustrované případovými studiemi jsou uvedeny v publikacích (Hejný 2012; Jirotková 2012a, 2012b). Nejednou debata sklouzla do polemiky mezi zastánci transmisivního stylu a zastánci konstruktivistického stylu. Jednu takovou besedu zde uvedeme.

Dvě učitelky, Karolína a Kateřina, diskutují o svých zkušenostech se zaváděním kritérií dělitelnosti v 5. ročníku. Delší rozhovor, do něhož sporadicky vstupovaly i dvě další kolegyně, je zde zestručněn a zúžen na kritérium dělitelnosti číslem 9.

Karolína, stoupenkyně konstruktivistického přístupu, vylíčila svůj postup i pomocí mnoha ilustrací. Její stanovisko lze formulovat asi takto: „Již ve . ročníku, když se žáci naučí dělit, dostanou desítky úloh typu: Jak volit číslici X, aby číslo a) 4X2, b) 4X3, c) 4X4, d) 4X5 bylo dělitelné devíti? Úlohy jsou zadávány v sériích, aby žáci mohli odhalit jistou zákonitost, která již naznačuje objevení kritéria dělitelnosti devíti. V uvedené sérii tato zákonitost zní: X = 5 – poslední číslice. Pak ve 4. ročníku řeší úlohy typu: Najdi trojmístné číslo XYZ dělitelné devíti tak, že a) X+Y+Z = 8, b) X+Y+Z = 9. Žáci zjistí, že úloha a) nemá řešení, ale úloha b) jich má spousty. Již zde někteří žáci vysloví pravidlo o dělitelnosti číslem 9, zatím pouze pro trojmístná čísla. V 5. ročníku již polovina třídy uvedené pravidlo pro trojmístná čísla buď objeví, nebo převezme od spolužáků. Zde se zaměříme i na čísla čtyřmístná a pětimístná. Pomocí masivního použití kalkulaček žáci najdou kritérium dělitelnosti devíti pro tato čísla. Nakonec žáci vysloví obecné tvrzení a prověří je pomocí kalkulačky až pro 10místná čísla. V té minulé třídě byl hoch, který dokonce objevil důkaz tvrzení pro trojmístná čísla.“

Kateřina, stoupenkyně transmisivního přístupu, oponovala: „Tvůj postup je zajímavý, ale je to na dlouhé lokty. Nejprve pro trojmístná, pak pro čtyřmístná, pak pětimístná – to vyžaduje obrovské množství času. Navíc pochybuji, že slabší žáci rozumí tomu, o co zde vlastně jde. Nemají čas to pravidlo dostatečně procvičit. Jistě, pro ty dva až tři nejlepší žáky je to podnětné, ale většina žáků, aspoň v mé třídě, by požadovala jasné pravidlo, které si pak bez problému osvojí. Mimochodem mluvíš o desítkách úloh. To máš k tomu nějakou sbírku?“

Na požádání nám Karolína ukázala desítky úloh, které pro své žáky ve třetím a čtvrtém ročníku tvořila. U některých úloh měla poznamenány i chybné hypotézy, které někdo vyslovil a které pak třída (někdy až po dvou týdnech) vyvrátila. Ukázala nám i zápisy nejslabších žáků, které svědčily o samostatnosti práce těchto dětí, o tom, že děti samy našly sérii izolovaných modelů hledaného poznatku.

Diskuse se pak chvíli točila kolem slabých žáků. Kateřina si posteskla: „Nejen ti slabí, většina z nich skoro všechno zapomene, když to denně neprocvičím.“ Tím vlastně přiznala, že ani masivní procvičení učiva, které považuje za hlavní nástroj upevňování znalostí, nepřináší trvalé vědomosti.

V dalších odstavcích zkoumáme transmisivní edukační styl i jeho agresivní variantu, kterou nazýváme instruktivní edukační styl. Transmisivní styl toleruje žákovské postupy, které neodpovídají tomu, co učitel sám předvedl. Instruktivní styl takové postupy striktně odmítá.

3.4.2 Transmisivní edukační styl

Nové učivo začíná učitel výkladem. Nejdříve ukáže žákům obecný poznatek i jeho aplikaci na řešení standardních úloh. Pak se snaží, aby si žáci nácvikem poznatek osvojili. Někdy dává žákům různé rady, případně i mnemotechnické pomůcky s cílem usnadnit žákům zapamatování. K takovým radám patří například rada orientovat se při řešení slovní úlohy na signální slovo. V příběhu .20 v odstavci .4. učitelka ukazuje, že k výpočtu použijeme operaci odčítání, protože „Když vystoupili, tak budeme odčítat“ (vstup U9). Příklad mnemotechnické pomůcky je uveden níže v příběhu .19, v odstavci .4.2.

Učitel nezakazuje žákům používat jiné postupy, tvořivost žáků chválí, ovšem objeviteli zpravidla nedává prostor, aby svůj postup ukázal třídě. Důvodem může být obava, že by dva různé postupy slabší žáky dezorientovaly. Učitel ale nenamítá, když některý žák netradiční postup převezme od spolužáka. K tomu ovšem dochází zřídka.

Příběh .19

V první třídě jsem sledoval, jak žáci řeší doplňovací úlohy typů a) 5 + = 8, b) + 2 = 7, c) 9 – = 6, d) – 4 = . Některým žáků to docela jde, jiní s tím zápasí. Úloha typu a) jde nejlépe, zde žáci dopočítávají. Úloha typu d) jde nejhůře. Učitelka, ve snaze slabým žákům pomoci, již dříve pověsila na zeď pomůcku:

Plus nevím 5 + = 8

= 8 – 5

Nevím plus + 2 = 7 = 7 – 2

řeš takto

Minus nevím 9 – = 6 = 9 – 6

Nevím mínus – 4 =  =  + 4

Tab. 3.2

Po hodině mne žačka Lenka, která tabulku výborně používala, zasvětila do práce s tabulkou. V sešitě měla na lístku i vlastní tabulku, kterou jí udělala maminka. Svůj postup mi vysvětlila na úloze +  = 4. Řekla: „To je nevím, plus.“ U slova „nevím“ ukázala na podbarvené pole a u slova „plus“ na znak +. Ukázala na druhý řádek tabulky .2, prstem zůstala na jeho konci a řekla: „Druhé číslo mínus první, tedy čtyři mínus tři (píše 4 –  = 1), zapíši 1 (do podbarveného pole dopsala 1).“ Vítězně na mne hleděla. Řekl jsem, že to vysvětlila náramně, že mi je to zcela jasné. Loudila na mně, ať jí já dám úlohu. Zeptal jsem se, zda může být i náročnější. Řekla, že ano (v domnění, že půjde o větší čísla). Já jí ale dal úlohu: 1 + + 2 = 4. Chvíli na to hleděla a řekla: „To jsme ještě nebrali.“ Náš rozhovor poslouchal Láďa. Řekl: „Je to jedna.“ Zeptal jsem se hocha, jak to ví. Řekl: „To je jasný, jedna a jedna a dvě jsou čtyři.“ Ptal jsem se dále: „A uměl bys i toto?“ a napsal jsem úlohu: 8 – – 1 = 6 – 2. Láďa použil číselnou osu, kterou měl nalepenu na lavici. Levý ukazovák dal na číslo 7, pravý na číslo 4. Chvíli na to hleděl a pak řekl „tři“. Po hodině mi vyučující řekla, že Láďa je mimořádně bystrý a vše si řeší po svém, většinou rychle a správně. Řekla, že některé jeho triky převezmou i další žáci.

Komentář

Tabulka .2, kterou se učitelka snaží pomoci slabším žákům, plní svůj výkonnostní cíl: žáci tyto úlohy umí řešit pomocí tabulky. Tabulka nedává žákovi vhled do aritmetických vztahů, které jsou zde řešeny. Neumožní žákovi řešení upravit na modifikovaný vztah (charakteristická vlastnost formálního poznatku číslo 5). Co hůře, žák získává metakognitivní přesvědčení, že úlohy, v nichž se hledá neznámé číslo, se řeší návodem, a bude chtít návody i pro úlohy složitější, jako je například úloha: 1 + + 2 = 4.

Na druhé straně dívka je očividně nadšená tím, že se naučila používat tabulku. Teď se již těchto úloh nebojí. Nadšení dívky má ale i druhou vážnější příčinu. Zvládla proceduru, která má šest kroků: 1) idiomem identifikuje úlohu, 2) najde identifikovaný typ v levém sloupci tabulky .2, ) přejde v dané řádce na pravý sloupec, 4) idiomem v něm identifikuje operaci, 5) tu pak realizuje v dané úloze, 6) výsledek zapíše do podbarveného pole. Tedy to, co se dívka naučila, je aplikovat vícekrokovou proceduru. Vhled do aritmetiky ale nezískala. Ten naopak má Láďa, který v prostředí číselné osy nejen tyto, ale i náročnější úlohy řeší spolehlivě a tabulku nepotřebuje.

Na základě mnoha rozhovorů s učiteli víme, že transmisivní edukační styl volí učitelé, kteří jsou přesvědčeni, že objevit matematické vztahy, postupy a zákonitosti dokáže jen jedinec obdařený buňkami na matematiku. Učitelé poukazují na to, že takový postup je časově náročný a slabším žákům bude stejně nutné učivo vysvětlit, protože to, co žáci objeví, je většinou nepřesné a neúplné a zmatečně formulované. Jedna učitelka s desetiletou praxí, která mi s hrdostí ukazovala, jak její žák Slávek objevil pravidlo na sčítání dvou kmenových zlomků, dodala: „Spolužákům nic vysvětlit neumí; snad ještě dva si od něj nechají něco vysvětlovat, ale ostatní říkají, že je spíše poplete, protože všechno si dělá po svém.“

3.4.3 Instruktivní edukační styl – příběh

Instruktivní edukační styl se shoduje se stylem transmisivním, pokud jde o výklad učiva. Liší se od něj v tom, že připouští jen ty postupy, které žákům předvádí učitel. Je to styl velice blízký k monarchistickému stylu R. J. Sternberga (1988), který Škoda a Doulík (2011, s. 71) charakterizují slovy:

„Monarchistický učitel vnímá a připouští pouze jedinou cestu vedoucí k vytčenému cíli. Bývá netolerantní a poměrně rigidní. Má tendenci zjednodušovat problémy, vidí pouze schématicky, nezajímá se o jejich příčiny a konotace.“

Zákaz používat nestandardní postupy má na žáka značný vliv nejen v kognitivní, ale i osobnostní oblasti. Tvořivý žák, který prožívá radost ze svého objevu, nejen že učitelem není pochválen, ale naopak je kárán, protože vymýšlí něco, co on, učitel, neukazoval. Taková zkušenost orientuje hodnotový systém žáka: tvořivost je nežádoucí, chvályhodná je nápodoba. S tímto tragickým jevem se setkáváme nejen na prvním stupni. Proto považujeme za potřebné věnovat instruktivnímu edukačnímu stylu značnou pozornost.

Následující příběh je převzatý z publikace Hejný, Kuřina (2001, s. 24).

Příběh .20 Matěj (2. třída) je skvělý počtář. Bez problémů pracuje i s čtyřmístnými čísly. Potíže má se čtením a zejména s psaním. Učitelka Matěje učí pouze několik měsíců. Často hocha napomíná, aby odpovídal celou větou. Příběh otevírá úloha:

Úloha .5

V tramvaji jelo 1 lidí. Na zastávce 4 osoby vystoupily a 1 osob přistoupilo. Kolik lidí jelo dále?

U 1: (Přečte úlohu z tabule a obrátí se ke třídě) Tak kdopak nám to půjde vyřešit?

Matěj 1: (Hlásí se jako první a je vyvolán. Ihned odpoví) Čtyřicet. (Matěj vidí, že paní učitelka není spokojena a tak dříve, než ona cokoli řekne, on odpoví celou větou.) Dále pojede čtyřicet osob.

U 2: (Vyčítavě) Copak takhle se řeší písemná slovní úloha? Bez znázornění, bez zápisu? Bez výpočtu? Bez písemné odpovědi? Pojď Matěji k tabuli.

M 2: (Stále ještě z místa) Vlastně přistoupilo devět, tak…

U : (Dává hochovi gestem pokyn, aby šel k tabuli) Pojď k tabuli a pořádně to zapiš.

M : (Stojí u tabule, dívá se na text napsané úlohy) Jelo třicet jedna lidí. (Napíše 1.) Pak nastoupilo třináct a vystoupili čtyři. (Pod číslo 1 píše hoch 1 – 4 = ) …

U 4: (Přeruší Matěje) Počkej, počkej, co to tam šmudlíš? My ti vůbec nerozumíme. Píšeš něco a my nevíme co. Mirko, ty mu rozumíš? (Aniž by vyčkala na reakci Mirky, pokračuje)

Vidíš, žádný ti nerozumí. Tak to smaž a vyřešíme úlohu pořádně. Napiš: jelo osob …

M 4: (Píše pomalu a nepěkně: jelo osob …. 1.)

U 5: Teď pod to napiš „vystoupilo“ a napiš, kolik jich vystoupilo.

M 5: (Píše vystoplo ….4. Je gestem učitelky upozorněn na chybu. Napsané smaže a píše slovo znovu, přičemž polohlasem říká) Vy-s-t-o-u-p-i-l-o čtyři.

U 6: Vidíš, že ti to jde. A teď pod to napiš: nastoupilo …

Mirka 1: (Naléhavě se hlásí a když je vyvolána, řekne) Přistoupilo.

U 7: (Nechápavě) Co přistoupilo? (Teď jí dojde, že ji Mirka opravuje v souladu se zadáním úlohy) Aha, ano, nastoupilo, nebo přistoupilo obojí je dobře. To je totéž. (K Matějovi)

Ale tak jo, napiš přistoupilo, ale hlavně napiš, kolik to bylo.

M 6: (Píše a polohlasem si říká) P-ř-i-s-t-o-u-p-i-l-o třináct.

U 8: Výborně. Zadání úlohy je zapsáno a my můžeme začít řešit. Kolik kroků, bude mít naše řešení? Podívejte děti (učitelka na tabuli ukazuje), nejprve čtyři vystoupili, to bude první krok, a pak jich třináct přistoupilo, to bude druhý krok. Tedy kolik kroků bude mít naše řešení?

M 7: Dva. Naše řešení bude mít dva kroky.

U 9: Výborně, dva kroky. Tak vypočti první krok. Bylo jich ve voze třicet jedna a čtyři vystoupili. Když vystoupili (předponu „vy“ v obou případech zdůraznila), tak budeme ty čtyři co? Matěji?

M 8: Odčítat. Budeme je odečítat.

U 10: Výborně, odečítat. Tak to Matěji odečti. (Učitelka se obrátí k tabuli a vidí, že Matěj již napsal 1 – 4 = 27.) Matěji nesmíš předbíhat. Pak nevíme, co se děje. No dobře, tak to zapiš. Zapiš, že teď je ve voze dvacet sedm lidí.

M 9: (Píše teď je …27 a dívá se na učitelku, zda je to dobře.)

U 11: Dobře. Teď, když ti čtyři vystoupili, zůstalo ve voze dvacet sedm osob. Jsme již hotovi, Mirku?

Mirek 1: Ještě nejsme hotovi.

U 12: Co musíme udělat teď? Mirku? (Protože hoch nereaguje okamžitě, učitelka pokračuje sama) Musíme udělat druhý krok výpočtu.

Mirek 2: Musíme udělat druhý krok výpočtu.

U 1: Výborně. (Vidí, že Matěj si hraje s magnetkou. Zaútočí) Co tedy Matěji uděláš?

M 10: (Není otázkou učitelky vůbec zaskočen) Přičtu těch třináct k dvaceti sedmi.

U 14: (Vyčítavě) Aspoň když jsi u tabule, tak si nehraj. (Mírněji.) Ano, přičteš, ale proč musíme přičítat (předponu „při“ zdůrazní)? Mirku?

Mirek : Abychom to vypočetli.

U 15: To jistě, ale přičítat (důraz na „při“) musíme proto (dramatická pauza), protože ti lidé do vozu přistoupili (důraz na „při“). Tak to Matěji vypočti a zapiš.

M 11: (Píše 27 + 1 = 40) Mám napsat odpověď? (Po souhlasu učitelky napíše: Dále jelo 40 osob.)

U 16: Vidíš Matěji, že to jde. Teď si to všichni zapíšeme do školních sešitů.

Příběh komentujeme z hlediska matematiky, interakce učitelka – Matěj, interakce učitelka – třída a posléze se zamýšlíme nad pedagogickým přesvědčením učitelky.

3.4.4

Komentář k matematické hladině příběhu

Úlohu lze řešit nejméně třemi způsoby:

a) Standardní způsob řešení sleduje děj úlohy: cestujících bylo 1 (vstupní stav); vystoupili 4 (první operátor změny), zůstalo jich 27 (mezistav) , přistoupilo 1 cestujících (druhý operátor změny), takže teď je jich v autobusu 40 (výstupní stav).

b) Rychlejší způsob řešení pracuje hned s operátory. Jestliže 4 vystoupili a 1 nastoupilo, tak v autobusu přibylo 1 – 4 = 9 cestujících (celkový operátor změny). Těch 9 přičteme ke vstupnímu stavu 1. Dostane výstupní stav 40.

c) Pomocí matematického modelování, u kterého nerozlišujeme mezi stavy 1, 27, 1 a operátory změny –4, +1. Zde je příběh zapsán: 1 – 4 + 1 a nalezen výsledek 40.

Učitelka připouští pouze způsob a). Ve vstupech U4, U5 a U6 vede Matěje k zápisu úlohy. V U8 popíše plán řešení. V U9 a U10 správně zdůrazňuje potřebu uvědomit si, jaké operace nutno použít. Volí však pochybnou argumentaci signálu. Místo toho, aby vycházela ze sémantiky situace (když lidé vystoupili, ve voze jich ubylo, když pak přistoupili, ve voze lidí přibylo), upozorňuje pouze na předpony „vy“ a „při“. Domnívá se, že tím usnadňuje orientaci slabším žákům. Ve skutečnosti je však vede do slepé uličky, neboť pamatovat si, že „když je tam „vy“, tak odčítáme, když je tam „při“, tak přičítáme“, je ošidné. Někdy to totiž není pravda, jak ukazuje následující úloha.

Úloha .6

Do tramvaje přistoupilo 5 lidí, takže teď jich tam je 21. Kolik lidí jelo v tramvaji předtím?

Řešení založené na signálních slovech „vystoupilo“ a „přistoupilo“, nebo na asociacích vy ↔ odčítat při ↔ přičítat, je ošidné.

V úloze .6 je slovo „přistoupilo“, ale příslušná operace není sčítání, nýbrž odčítání. Zde působí předpona „při“ jako antisignál.

3.4.5

Komentář k interakci učitelka – žák Matěj

Matěj ihned vidí řešení úlohy a správně odpoví. Ze vstupu M 2 soudíme, že hoch úlohu vyřešil způsobem b), prací s operátory. U předchozí paní učitelky pokaždé za pěkný nápad dostal

pochvalu. Zde tomu ale tak není. Učitelka odpověď hocha nepřijímá a eviduje pouze to, že hoch nepostupuje tak, jak to má připravené, jak to žáky učí a jak to od nich vyžaduje. Pokus hocha vysvětlit svůj postup (M2), učitelka ruší v zárodku (U). Ani písemný pokus Matěje (M) není úspěšný. Učitelka jeho počínání znevažuje slovem „šmudlíš“.

Učitelka přikáže Matějovi smazat vše, co napsal (U4). Akt mazání nápisů věcně správných, ale učitelkou neautorizovaných, je vítězstvím moci nad pravdou. Učitelka slovy „vyřešíme úlohu pořádně“ říká, že Matějův přístup je nepořádný, a proto odebere chlapci právo jakkoli ovlivňovat řešitelský proces. Tvořivost postaví na pranýř a stereotyp (zřejmě opětovně) prohlásí za jedině správný přístup žáka k řešení úloh. Implicitně ukazuje, že nikoli matematické myšlení, ale způsob imitace učitelkou dříve předváděných postupů je to, co se má žák naučit, nebo lépe – osvojit si. Sama se ujme řízení řešitelského procesu. Ona rozhoduje, co se bude dít, ona zdůvodňuje, proč a jak se to bude dít, ona hodnotí, zda to, co se událo, je dobře, nebo špatně. Matějovi přenechává pouze roli písaře.

Celý proces řešení od vstupu U8 až do závěrečného U16 je řízen učitelkou. Žákům není ponechán žádný prostor.

Matěj u tabule zřejmě trpí. Je v roli intelektuálního nádeníka, je ponižován a otráven. Jeho snaha byla devalvována. Učitelka však jeho postoj diagnostikuje jako nezájem a chce hocha přistihnout, že nedává pozor. Věří, že jej otázkou U1 zaskočí. Nepovede se jí to. Hoch odpoví správně (M10). Stejně jej učitelka pokárá (U14). Učitelka od žáků, stejně jako totalitní režimy od svých občanů, vyžaduje, aby předepsané rituály plnili s radostí a přičinlivostí. Ti, co tak činí, jsou odměněni. Ti, co se tomu vzpírají, jsou trestáni.

Zkušenost, kterou Matěj získal, jej pravděpodobně přiměje, že tvořivé nápady této učitelce ukazovat nebude. To může vést až k negativnímu vztahu hocha ke školní matematice a k útlumu rozvoje jeho tvořivosti, přinejmenším v matematice. Hoch ale zažil i učitelku, která jeho tvořivost podporovala. Má naději, že jestliže se v jeho okolí najde člověk (rodič, prarodič, strýc,...), který jeho tvořivost bude podporovat, nemusí ten útlum tvořivosti být až tak drastický. Známe případy, kdy nebyl žádný. Na druhé straně Matěj získává důležitou zkušenost, že lidé jsou různí i podle toho, zda tvůrčí činy vítají s vstřícností, nebo je s nelibostí odmítají.

3.4.6 Komentář k interakci učitelka – třída

Učitelka kritizuje hochovu práci ve jménu celé třídy (U4). Mirce prakticky vnutí odmítavé stanovisko k Matějovu postupu. Ovšem žáci zřejmě vědí, že to, co paní učitelka řekla, nemusí být pravda, ale nátlakové klima žádnému z nich nedovolí na tuto demagogii upozornit. Ve vědomí žáků se tak posiluje zkušenost, že demagogie je legitimní prostředek při komunikaci mocných se slabými, a rozumné chování slabého je poslouchat silného, byť to, co silný hlásá, není v souladu s vlastním názorem.

Matějovo tvořivé, objevné a produktivní myšlení nenašlo u učitelky pochopení. Naopak, bylo pranýřováno. Učitelka žádá standardní postup založený na imitaci a reprodukci. Tím orientuje třídu spíše k povrchovému stylu učení se, založeném jen na paměti. (Mareš, 1998, s. 71)

Ve snaze probrat toho co nejvíce, nedává učitelka žákům čas na promýšlení odpovědi. Když žák neodpoví dostatečně rychle, pokračuje učitelka sama (U12). Vytváří tím permanentní tlak na rychlost reakce. Případné myšlení žáka se dostává do časové tísně a žák ví, že musí odpovědět na základě asociace. Instruktivní učitel vyžaduje rychlé odpovědi i při nácviku aditivních i multiplikativních spojů, a tím zcela vyřadí žákův orgán vztahově-abstraktní činnosti VAČ (viz 2.7.4, obr. 2.11) z akce. Nežádoucím důsledkem této výuky bývá, že většina žáků umí počítat

jako když bičem mrská, ale jejich aritmetické znalosti jsou silně zasaženy nákazou formalizmu. Navíc nerozvinutý orgán VAČ nedává žákovi příliš šancí v budoucnu tuto situaci změnit.

Zajímavý moment nastane, když Mirka opraví učitelku. Ta řekla „nastoupilo“ (U6), ale dívka upozorňuje, že v textu úlohy je „přistoupilo“ (Mirka 1). Dívka asi očekává pochvalu za to, že je tak pozorná. Učitelka však v opravě cítí osten výčitky. Chybu si nepřizná, Mirku nepochválí a nepoděkuje jí za opravu. S jistými rozpaky korekci akceptuje. Zřejmě proto, že si uvědomila, že předpona „při“ je pro ni důležitá. Význam opravy a vlastní chybu bagatelizuje slovy: „Nastoupilo nebo přistoupilo, obojí je dobře. To je totéž.“ (U7) Odpoutává pozornost žáků od své chyby přenesením důrazu jinam: „ ... ale hlavně napiš, kolik to bylo.“

Jednání učitelky formuje didaktický kontrakt mezi ní a třídou a tento kontrakt formuje postoje žáků k matematice a ke kritickému myšlení. Termín didaktický kontrakt zavedl Guy Brousseau (1997) na označení pravidel a strategií hry, která se odehrává mezi učitelem a třídou v oblasti znalostí a učení se.27 Didaktický kontrakt ilustrovaný v příběhu je dán autoritativní učitelkou, která třídě vnucuje svoje přesvědčení.

3.4.7 Komentář k přesvědčení učitelky

Nyní se pokusíme zaspekulovat o edukačním stylu učitelky (byť na základě malého fragmentu).

Učitelka je zřejmě přesvědčena, že

• cílem vyučování matematice na 1. stupni je naučit žáky spolehlivě a rychle řešit standardní úlohy, především sčítat, odčítat, násobit a dělit;

• její úlohou je co nejnázorněji předvést žákům řešitelské postupy každého typu úloh; postupy pokud možno rozložit na etapy, aby si je žáci lépe vštípili;

• uvedeného cíle lze dosáhnout systematickým frontálním nácvikem;

• výkon žáka je důsledkem především jeho píle, s níž procedury nacvičuje;

• několik málo žáků „s buňkami na matematiku“ má tendenci hledat alternativní postupy řešení; tito žáci pak ty slabé pletou, proto je nutné alternativní postupy upozadit;

• jakýkoli chybný výsledek musí ihned opravit, aby v hlavách žáků nevznikaly nežádoucí asociace.

Učitelka za správné a chvályhodné považuje jednání žáka, které plně odpovídá tomu, co ona žákům ukazuje a co očekává (U6, U8, U9, U11, U1 a U16). Za nežádoucí a pokárání hodné považuje autonomní jednání žáka, které není v souladu s rituály, které ona od žáků požaduje (U2, U4, U10, U1+U14).

V interakci učitel – žák vystupuje učitel autoritativně. On řídí celý výukový proces. Výuka se odehrává ve třech komunikačních modech:

• učitel vysvětluje a žáci si jeho výklad vštěpují do paměti;

• učitel se ptá, žák odpovídá, když je pomalý, odpoví za něj učitel;

• žák se ptá, učitel vysvětluje (obyčejně opakuje to, co již řekl dříve).

Komunikace žák – žák je zřejmě nežádoucí, je považována za vyrušování.

Pro učitelku je rozhodující to, co je napsáno na tabuli, nikoli to, co je v hlavách žáků. Vychází z předpokladu, že když je to dobře na tabuli, bude to dobře i v hlavách dětí, jestliže si to žáci dobře vštípí.

27 The rules and strategies of the game between the teacher and the student-milieu system , which are specific of the knowledge taught, is called the ‘didactic contract’. (Brousseau 1997, p. 41)

V předchozích odstavcích jsme popsali transmisivní a instruktivní edukační styl a ukázali na negativní dopad tohoto učitelova přístupu k žákům. V dalším se zaměříme na konstruktivistický edukační styl.

3.5 Konstruktivistický edukační styl

E. B. Castle (1961) ve druhé a třetí kapitole popisuje a hodnotí edukační systém starověké Sparty a starověkých Athén. Ukazuje, že výchova mladé generace byla určena hodnotovým systémem společnosti. Jestliže ve Spartě byla hodnota síly a vojenství nadřazena hodnotě poznání a umění, pak její „školství“ muselo realizovat instruktivní edukační styl. Jestliže naopak starověké Athény hodnotu poznání a umění kladli nad hodnotu síly, pak svoji mládež vedli, jak bychom dnes řekli, v konstruktivistickém duchu.

V prvním odstavci vyjasníme cíle vyučování matematice, které jsou založeny na hodnotovém systému dvoutisíciletého vývoje Evropy.

3.5.1 Cíle vyučování matematice

Hans Freudenthal, snad nejvýznamnější iniciátor změn ve vyučování matematice druhé poloviny minulého století, opakovaně zdůrazňoval, že matematika je lidská aktivita (Mathematics is a human activity). Podrobněji myšlenku rozvedl v následujícím textu.

„Matematika ... to je řešení problémů a vyhledávání problémů, ale též organizování získaného materiálu. Může to být materiál vzatý z reality a organizovaný matematickými vztahy, jestliže je třeba řešit problémy reality. Může to též být materiál matematický, nové nebo starší výsledky, vaše nebo někoho jiného, co je třeba organizovat novým způsobem, aby byl lépe pochopen v širším kontextu ...“28 (Freudenthal 1971, s. 41-414)

Citát, ke kterému se budeme vracet, odpovídá i našemu přesvědčení. Jsme přesvědčeni, že hlavním vzdělávacím cílem vyučování matematice je rozvoj matematického duševního orgánu každého žáka. (*)

V obecné rovině učitelé s tímto cílem souhlasí, ale když diskutujeme konkrétní aktivity ve třídě, ukáže se, že učitelé 1. stupně za hlavní cíl své práce v oblasti matematiky považují

naučit žáky hbitě a spolehlivě sčítat, odčítat, násobit a dělit, a to jak mentálně, tak písemně (**)

Tento názor má oporu jak v tradici, kterou akceptuje i značná část rodičovské veřejnosti, tak i ve skutečnosti, že úroveň hbitého a spolehlivého počítání se dobře prověřuje.

Výzva k posunu edukační strategie přichází i od pedagogů a týká se nejen oblasti znalostí, ale i osobnosti žáka. Tak Z. Helus mluví o edukaci obratu jako výchozím principu osobnostně rozvíjející výuky, „díky níž se žák učí celou svou osobností a tímto učením také celou svou osobnost rozvíjí“. (Helus, 212, s. 27)

28 Mathematics … is an activity of solving problems, of looking for problems, but it is also an activity of organizing a subject matter. This can be a matter from reality which has to be organized according to mathematical patterns if problems from reality have to be solved. It can also be a mathematical matter, new or old results, of your own or others, which have to be organized according to new ideas, to be better understood, in a broader context,...

V posledních několika letech došlo k událostem, které zpochybnily přesvědčení o cíli (**). Mezinárodní šetření TIMSS a PISA ukázala na rapidní pokles úrovně matematických znalostí našich žáků. Co je horší, šetření ukázala, že vztah našich žáků k matematice je negativní a má klesající tendenci. Když byl v roce 2012 udělán pokus dát u maturity z matematiky úlohy vyžadující tvořivé myšlení, výsledek byl dramatický a důsledky byly ostře diskutovány celou společností. Žáci, navyklí řešit pouze standardní úlohy, se právem cítili zaskočeni. Ale ani mezinárodní srovnávací testy, ani to, co se odehrálo kolem maturit v roce 2012, není společensky tak závažné jako skutečnost, že studenti nemají zájem o technické obory. Vážnou příčinou nezájmu je malé porozumění matematice u většiny absolventů středních škol.

Jiná je situace ve výuce jazyků. Ke změně zde došlo hned po sametové revoluci. Rodiče uviděli, že jednička z angličtiny je jejich dítěti k ničemu, když se ono tímto jazykem nedomluví. Učitelé rychle pochopili, že nácvik slovíček a gramatických pravidel není tak účinný jako bohatá komunikace, a sami začali styl výuky měnit. Sami na sobě začali více pracovat. Využili možnosti pobýt v zemi, kde se příslušným jazykem mluví, našli ve své práci větší zalíbení. Výsledky se dostavily během krátkých 20 let. Jestliže v roce 1992 na přednášku anglického kolegy na fakultě přišlo pět studentů, dnes více než polovina studentů s angličtinou problémy nemá.

V matematice zatím nedošlo k tak prudké změně názorů učitelské a rodičovské veřejnosti. Mnoho rodičů je stále přesvědčeno o významu cíle (**). Neuvědomují si, že žák, který umí dělat jen to, co levná kalkulačka, bude v budoucnu těžce hledat uplatnění. Lze očekávat, že situace na trhu práce si postupně vynutí změnu edukační strategie i v matematice.

Vraťme se k přesvědčení (*), ke kterému se hlásíme. Z kapitoly 2 víme, že matematický orgán nelze rozvíjet zvenčí, že jeho rozvoj závisí pouze na intelektuální aktivitě jedince. To nás vede k otázce, jaká edukační strategie takový rozvoj umožní a navodí. Jinak řečeno, potřebujeme zjistit, jaká je role učitele v konstruktivistickém edukačním stylu.

Vzhledem k tomu, že během posledních 20 let bylo o konstruktivizmu napsáno mnoho článků i knih, má dnes toto slovo v didaktice matematiky několik různých interpretací upřesňovaných pomocí adjektiv. Abychom edukační styl, který jsme rozpracovali a vyzkoušeli na desítkách tříd, uchránili od nedorozumění, dáváme mu jméno, ve kterém slovo konstruktivizmus není použito – Vyučování orientované na budování schémat (VOBS), anglicky schema-oriented education (SOE).

Metoda VOBS stojí na dvou pilířích: na učiteli a na učivu uchopeném do sítí úloh vložených do didaktických prostředí. Při hledání ilustrace konstruktivistického edukačního stylu jsme měli na výběr desítky příběhů, především od Jitky Michnové a Evy Bomerové. Volba padla nakonec na ojedinělý příběh. Ojedinělý tím, že pod vedením jedné učitelky stejnou úlohu řeší žáci třetího i šestého ročníku.

3.5.2 Konstruktivistický edukační styl – příběh

Příběh .21 (Autor: E. Bomerová)

Se třeťáky se nyní zabýváme dělením se zbytkem. V úterý 11. 6. 201 první vyučovací hodinu po úvodním opakování řešili úlohu z učebnice (M/96/).

Úloha .7

Vyřeš.

25 : 2 = ( ) 25 : 4 = ( ) 25 : 6 = ( ) 25 : 8 = ( )

Ve všech úlohách je dělenec stejný. Zbytek při dělení je též stejný. Najdi podobnou čtveřici úloh se stejným dělencem: : 2 = __(1) :  = (1) : 4 = __(1) : 6 = (1)

Do všech čtyř orámovaných polí vlož stejné číslo (menší než 15) a úlohy vyřeš. Čísla v šedých polích budou různá, avšak zbytek při dělení bude stále týž (číslo 1).

První čtyři výpočty byly na tabuli udělány velice rychle. Druhou část úlohy, hledání čísla v orámovaném poli, řešili žáci metodou pokus-omyl individuálně. Kdo nalezl řešení, zahlásil, že je hotov, já se podívala, a pokud bylo řešení správné, potichu jsem žáka vyzvala, aby zkusil najít ještě jiné číslo. První správné řešení se objevilo zhruba po pěti minutách. Po deseti minutách již hledané číslo 1 našla většina žáků. Po celou dobu všichni pracovali. Další číslo nenalezl nikdo. Následovala diskuse, ve které někdy najednou říkalo více žáků stejnou věc. Na konverzaci se podílelo kolem osmi žáků, ostatní vždy přikyvovali nebo kroutili hlavou.

ve žlutých polích budou r zná, avšak zbytek p i d lení bude stále týž ( íslo 1).

U1: Jak jste třináctku našli?

Ž1: Zkoušeli jsme, co vyjde...

První ty i výpo ty byly na tabuli ud lány velice rychle. Druhou ást úlohy, hledání ísla v orámovaném poli, ešili žáci metodou pokus-omyl individuáln . Kdo nalezl ešení, zahlásil, že je hotov, já se podívala, a pokud bylo ešení správné, potichu jsem žáka vyzvala, aby zkusil najít ješt jiné íslo. První správné ešení se objevilo zhruba po p ti minutách. Po deseti minutách již hledané íslo 13 našla v tšina žák . Po celou dobu všichni pracovali. Další íslo nenalezl nikdo. Následovala diskuse, ve které n kdy najednou íkalo více žák stejnou v c. Na konverzaci se podílelo kolem osmi žák , ostatní vždy p ikyvovali nebo kroutili hlavou.

U2: A které číslo jste vyzkoušeli jako první?

U1: Jak jste t ináctku našli?

Ž2: Patnáct – to nevyšlo hned pro trojku. Ta je v násobilce.

Ž1: Zkoušeli jsme, co vyjde ...

Ž: Nemusíme zkoušet sudá, ty jdou vydělit dvěma a nic nezbyde.

U2: A které íslo jste vyzkoušeli jako první?

Ž4: Taky do šestky nemusíme, protože když jich je míň, nemůžu to rozdělit šesti dětem.

Ž2: Patnáct – to nevyšlo hned pro trojku. Ta je v násobilce.

Ž5: Takže zbývají sedm, devět, jedenáct, třináct a patnáct.

Ž3: Nemusíme zkoušet sudá, ty jdou vyd lit dv ma a nic nezbyde.

Ž6: Patnáctka nejde!

Ž4: Taky do šestky nemusíme, protože když jich je mí , nem žu to rozd lit šesti d tem.

Ž7: Devět taky ne – vadí trojka.

Ž5: Takže zbývají sedm, dev t, jedenáct, t ináct a patnáct.

Ž8: A sedm děleno čtyřma zbyde .

Ž6: Patnáctka nejde!

Ž9: Takže třináct.

Ž7: Dev t taky ne - vadí trojka.

Ž8: A sedm d leno ty ma zbyde 3.

U2: Co jedenáct?

Ž9: Takže t ináct.

Ž10: U jedenácti zbyde pět.

U2: Co jedenáct?

Ž10: U jedenácti zbyde p t .

U: Kdy?

Ž11: Když dělím šesti.

U3: Kdy?

Ž11: Když d lím šesti.

Zvoní, hodina končí, žáci se stěhují do jiné třídy, někteří ještě o úloze diskutují. Do učebny přichází šestá třída. Na tabuli zůstalo nesmazané zadání úlohy .7.

Zvoní, hodina kon í, žáci se st hují do jiné t ídy, n kte í ješt o úloze diskutují. Do u ebny p ichází šestá t ída. Na tabuli z stalo nesmazané zadání úlohy 4.7.

Obr. 4.13

V šestém ro níku prohlubujeme d litelnost. Jako rozcvi ku jsem dala za úkol vy ešit úlohu, která z stala na tabuli. íslo t ináct našla v tšina z nich prakticky okamžit . Další úloha se nabízela – hledat další ísla. V danou chvíli mne napadlo, že jsem tuto úlohu mohla dát všem t e ák m. ekla jsem to nahlas, p i emž jsem to nem la v bec promyšlené. Byla jsem zv davá, kam až se toto téma dostane.

U4: Pot ebuju, aby t e áci našli v tší íslo, dejme tomu od patnácti do t iceti.

Ž12 (dva hned vyhrkli a polovina t ídy p ikyvovala): No to je p eci ta p tadvacítka!

V šestém ročníku prohlubujeme dělitelnost. Jako rozcvičku jsem dala za úkol vyřešit úlohu, která zůstala na tabuli. Číslo třináct našla většina z nich prakticky okamžitě. Další úloha se nabízela – hledat další čísla. V danou chvíli mne napadlo, že jsem tuto úlohu mohla dát všem třeťákům. Řekla jsem to nahlas, přičemž jsem to neměla vůbec promyšlené. Byla jsem zvědavá, kam až se toto téma dostane.

U5: Aha ... Tu ne. Tu tam máme.

Ž13 (po chvíli ticha): Do t iceti to nejde.

Ž14: Ani t icet jedna; ty ka.

Ž15: Musíte dát víc. T eba do padesáti.

Dva žáci píší, ostatní up en hledí na tabuli. Zpam ti prov ují další ísla.

Ž16 (po chvíli n kolik žák navrhuje): T icet sedm. Tak dejte od t iceti do ty iceti.

Obr. 3.13

Ž29: (počítají) Jo.

U13: Takže

Ž27: By to bylo t ináct plus devatenáct krát dvanáct.

U14: Takže jaké íslo to je?

Ž28 (v tšina násobí písemn , n kte í indicky): jedna.

U15: (píši, co žáci diktují; obr. 4.16) Máme to jedna?

U16: A jaké je x-té číslo, mohla bych je zapsat takhle? (Tento idiom užíváme místo několikáté číslo.)

Ž0: (souhlasně mumlají) No.

U17: Určitě?

Ž29 (po ítají): Jo.

U16: A jaké je x-té íslo, mohla bych je zapsat n kolikáté íslo.)

Ž30 (souhlasn mumlají): No.

Z:\denisakokoskova On My Mac\Documents\Grafika\Pedagogická fakulta\Sémantická matematická prost edí\podklady\Hejný\3.VOBS32.doc Verze pro korekturu

Ž1: Jo, dvanáctku přidám o jedno míňkrát.

U18: Takže jaké bude sté číslo?

Ž29 (po ítají): Jo.

U17: Ur it ?

Ž31: Jo, dvanáctku p idám o jedno mí krát.

U18: Takže jaké

U16: A jaké je x-té íslo, bych mohla zapsat takhle? (Tento idiom užíváme místo n kolikáté íslo)

Ž30 (souhlasn mumlají): No.

U17: Ur it ?

Ž31: Jo, dvanáctku p idám o jedno mí krát.

Všichni počítají a někteří to mají o mnoho dříve než jiní. Zase jim vystřelí ruce nahoru. Brzdím je a čekáme. Každý, kdo je hotov, mi potichu ukáže prstem v sešitě výsledek – až na výjimky správný.

U18: Takže jaké bude sté íslo?

Všichni po ítají Zase jim vyst kdo je hotov, až na výjimky

U19: Jak jsi po

Ž32: Devadesát

U19: Jak jsi počítal?

Všichni po ítají a n kte í mají o mnoho d íve než jiní. Zase jim vyst elí ruce nahoru. Brzdím je a ekáme. Každý, kdo je hotov, mi potichu ukáže prstem v sešit výsledek - až na výjimky správný.

Ž2: Devadesát devět krát dvanáct plus třináct. Obr. 3.17

U19: Jak jsi po ítal?

Ž32: Devadesát dev t krát dvanáct plus t ináct.

Ž33: Ale m žeme rovnou násobit stovkou, pak odebereme dvanáct, je to rychleji. Jako p i ty dvacítce. Taky nemusíme násobit devatenácti.

Ž33: Ale m žeme rovnou násobit stovkou, pak odebereme dvacítce. Taky nemusíme násobit devatenácti.

Ž34: Ale nemusíme ani odebírat dvanáct. Když

Ž: Ale můžeme rovnou násobit stovkou, pak odebereme dvanáct, je to rychleji. Jako při ty dvacítce. Taky nemusíme násobit devatenácti.

Ž4: Ale nemusíme ani odebírat dvanáct. Když pak přidáváme třináct, tak je to, jako když přidáme jednu.

Ž34: Ale nemusíme ani odebírat dvanáct. Když pak p idáváme t ináct, tak je to, jako když p idáme jednu.

Ž5: Takže hned dvanáct krát sto plus jedna je tisíc dvě stě jedna.

U20: Nějak takhle? (Opisuji z jednoho sešitu obr. .17.)

Ž35: Takže hned dvanáct krát sto plus jedna je tisíc dv st jedna. Obr. 4.17

Ž6: Jo.

U20: N jak takhle? (Opisuji z jednoho sešitu obr. 4. 17)

Ž36: Jo.

U21: Kontrolní. Padesáté číslo!

U21: Kontrolní. Padesáté íslo!

Ž7: (Všichni hned zapisují 601.)

Ž37: (Všichni hned zapisují 601). Obr. 4.18.

Obr. 4.19

Obr. 3.18

Hledím na tabuli (obr. 4.19) a již te mi vrtá hlavou, že z stala otev ená otázka, pro "to jde" po dvanácti. Zazn lo, že se p t lichých vynechá. Zítra tuto otázku znovu otev u.

U22: Hledaná ísla se zvyšovala o dvanáct. Pro zrovna o dvanáct? Bylo by to v první úloze také tak? (Když úlohu vy eší, p idám navíc d lení devíti. Už se t ším!)

Hledím na tabuli (obr. .18) a již teď mi vrtá hlavou, že zůstala otevřená otázka, proč „to jde“ po dvanácti. Zaznělo, že se pět lichých vynechá. Zítra tuto otázku znovu otevřu.

Byl již konec školního roku a do výuky zasáhla ada akcí. Na naši úlohu se do prázdnin nedostalo.

P íb h m l ale pokra ování.

U22: Hledaná čísla se zvyšovala o dvanáct. Proč zrovna o dvanáct? Bylo by to v první úloze také tak? (Když úlohu vyřeší, přidám navíc dělení devíti. Už se těším!)

P íb h 3.22. (Autor: E. Bomerová, pokra ování p íb hu 3.21).

Žáci, kte í v p íb hu 3.21 byli v šestém ro níku jsou již v ro níku sedmém. Dne 30.10.2013 ešíme následující dv úlohy z pilotních materiál :

Úloha 3.8.

Pro d lení se zbytkem platí 13:2 = 6(1), 13:3 = 4(1), 13:4 = 3(1). Ve všech p ípadech je zbytek 1.

a) Najd te jiné íslo, které dá zbytek 1 když jej d lím kterýmkoli z ísel 2, 3, 4.

Byl již konec školního roku a do výuky zasáhla řada akcí. Na naši úlohu se do prázdnin nedostalo. Příběh měl ale pokračování.

Příběh .22 (Autor: E. Bomerová, pokračování příběhu .21.)

Žáci, kteří v příběhu .21 byli v šestém ročníku, jsou již v ročníku sedmém. Dne 0. 10. 201 řešíme následující dvě úlohy z pilotních materiálů:

Úloha .8

Pro dělení se zbytkem platí 1 : 2 = 6 (1), 1 :  = 4 (1), 1 : 4 =  (1). Ve všech případech je zbytek 1.

a) Najděte jiné číslo, které dá zbytek 1, když jej dělím kterýmkoli z čísel 2, , 4.

b) Najděte tři taková čísla.

Úloha .9

a) Najděte číslo, které dá zbytek 2, když jej dělím kterýmkoli z čísel , 4, 5, 6.

b) Najděte další takové číslo.

Žáci čtou první z úloh a ihned se začnou po sobě otáčet.

Ž1: (asi osm se vzájemně doplňuje) Tu jsme už dělali. Jo. To je přeci ta pro třeťáky. To bylo o 12. Další bylo 25. Pak 7. A tak dál.

U1: A proč je to o 12?

Odeta: (znuděně) Nejmenší společný násobek čísel 6 a 4.

Zaskočilo mě to, tak rychlou a jasnou odpověď jsem nečekala.

U2: (ke třídě) Rozumíte Odetě?

Všichni až na dva souhlasně přikyvují.

U: (Odetě naznačuji gestem, ať mlčí.) A proč tam nemá trojku?

Ž2: (více) Ta je v šestce.

U4: Dobrá, tak teď každý sám úlohu dvě. Nikdo neprozrazuje!

Žáci počítají, tu a tam se přesto ozývají komentáře. Já se zatím věnuji dvěma, kteří evidentně nezachytili to, co se ve třídě odehrálo. Úlohu dvě vyřešili nakonec všichni.

3.5.3 Komentář k příběhům

Dlouhý příběh dobře ilustruje edukační strategii učitele, který používá metodu VOBS. Příběh začíná úlohou, kterou žáci řeší individuálně. Ti, kteří jsou hotovi, ihned dostávají od učitelky úlohu další. Všichni pracují, každý svým tempem. Když je již většina žáků hotova, následuje diskuse, jejímž cílem je výměna zkušeností. Většina toho, co zazní, byla objevena mnoha žáky a slabší žáci, pro které je některá z myšlenek nová, pomocí vlastních výpočtů si uvědomují, že to tak doopravdy je. V uvedené diskusi zaznělo 11 žákovských vstupů a jen tři vstupy učitelky – vesměs to byly otázky.

Příchodem šesťáků se situace mění. Učitelka je stále ještě myslí u úlohy .7 a je zvědavá, zda

šesťáci úlohu vyřeší a zda se jim povede najít i další čísla – tedy to, co třeťáci nestihli. Poměrně rychle třída nachází číslo 7 a úspěšně je prověřuje. Učitelka chce toto neplánované extempore ukončit, ale objev Nathana ji zaskočí. Hoch našel procesuální generický model zkoumané zákonitosti: hledaná čísla tvoří aritmetickou posloupnost s diferencí 12.

Nečekaný objev nutí učitelku rozhodnout, zda nechá Nathana, aby svoji myšlenku ukázal třídě, nebo zda tuto debatu ukončí a vrátí se k připravenému scénáři hodiny. Rozhodnutí musí být okamžité a zkušená učitelka volí první možnost proto, že ví, že objev najde ve třídě odezvu. Svědčí o tom reakce Ž20. Tato skupinka se stává pro zbytek třídy málo srozumitelná, proto učitelka žádá osvětlení (U8) a sama na tabuli píše, co žák diktuje (obr. .14). Další žák ukazuje na číslo 49.

Opět je učitelka na rozcestí. Bude se orientovat na většinu třídy a nechá prověřovat číslo 49, nebo se zaměří na objevitelskou skupinku a vyzve ji k hledání generického modelu konceptuálního? Učitelka ví, že žáci, kteří se nebudou podílet na hlubší analýze Nathanova objevu, nezůstanou bez práce – mohou prověřovat číslo 49. Navíc sama je zvědavá na obecné řešení úlohy .8, proto volí druhou variantu. Žáci, zejména ti nejlepší, vnímají i zvídavost učitelky, a i to formuje jejich vztah k matematice, jako oblasti nabízející silné intelektuální zážitky.

Učitelka se ptá na dvacáté číslo posloupnosti (U9) a tímto standardním postupem vyvolá u žáků potřebu hledat generické modely konceptuální. Jde ještě dále a navrhne žákům použít jazyk algebry (U10). Ve svém komentáři tuto pomoc vnímá jako „malinko naťuknout“.

Rada použít silnější jazyk je rada zásadní, to není žádné „naťuknout“. Jenže žáci radu neberou. Dále počítají s konkrétními čísly a počítají úspěšně. Řečeno terminologií Vygotského (1970): jazyk algebry, tak jak jej nabízí učitelka, zatím není v zóně nejbližšího vývoje těchto žáků. Díky diskusi (vstupy Ž26 až Ž1) se chytají i další žáci a výsledek 241 nacházejí i ti, kteří některé myšlenky řešení převzali od spolužáků. To ukazuje, že rozhodnutí učitelky dát prostor objevu Nathana bylo správné.

Učitelka (U16) opět vtahuje do hry algebru, tentokráte ale pomocí písmene x, které žáci používají jako idiom, k označení „několikátého čísla“. Sama zapíše 1 + 12 (x – 1) a někteří žáci to nejen pochopí, ale i sami převezmou do svých úvah. Učitelka prověřuje, zda to žáci chápou, žádá, aby našli sté číslo (U18). Žáci nacházejí 1 201 a navíc odhalují, že celý výpočet lze zjednodušit. Jeden žák to dokonce udělá pomocí algebry a učitelka z jeho sešitu opíše vyvození finálního vzorce 12x + 1 (obr. .17).

Objevitelský proces je ukončen. Po několika izolovaných modelech objevili žáci generické modely procesuální, pak se dopracovali i ke generickému modelu konceptuálnímu a postrkováni učitelkou objevili i algebraicky zapsaný finální poznatek. V tomto okamžiku již věděli (žáci i učitelka), jak se to počítá, ale nevěděli, proč je to tak. Hektický závěr školního roku nedovolil tuto otázku vyřešit.

V příběhu .22 se k problematice žáci vrací po bezmála 5 měsících. Několik žáků si na úlohu i na její řešení vzpomene. Tato skutečnost neodpovídá běžné praxi, co se učili v předchozím školním roce, přes prázdniny zapomněli. Zde opakování tohoto tématu není potřebné. Žákům, kteří se na řešení úlohy .7 výrazně podíleli, zůstal tento kognitivní zážitek v paměti uchován. Co více, došlo ke krystalizaci poznání, které bylo výsledkem zážitku. Přinejmenším k tomu došlo u Odety, která ihned vidí odpověď na otázku U1. Ale k podobné krystalizaci došlo u všech, kteří myšlenku Odety ihned chytili. Je to celá třída, až na dva žáky. I ti pak po konzultaci s učitelkou myšlenku Odety pochopí.

Rozsáhlý příběh s pokračováním dobře ilustruje edukační styl VOBS. Pokusme se hlavní prvky tohoto stylu sumarizovat.

3.5.4 Role učitele

Učitel je rozhodující aktér edukačního procesu. Jeho edukační styl je určen jeho osobností, jeho pedagogickým a didaktickým přesvědčením. To v případě edukačního stylu VOBS je zaměřeno na optimální rozvoj nejen matematického orgánu žáka, ale i na rozvoj žákovy osobnosti. Edukační styl VOBS lze charakterizovat souborem zásad:

1) Učitel vytváří optimální pracovní klima: žádný žák není frustrován, žádný se nenudí. Autonomní práci žáků posiluje tím, že spoluprožívá s žákem radost z jeho úspěchu. Žáka, kterému hrozí rezignace, povzbuzuje poukazem na jeho dřívější úspěch.

2) Učitel ponechává žákům prostor pro jejich úvahy. Nepodsouvá jim svoje postupy, ani když se mu ty žákovské jeví těžkopádné. Pomocné otázky dává, až když jsou žáci v koncích. Nevstupuje žákovi do jeho myšlenkového pochodu. Na přímý matematický dotaz žáka reaguje slovy typu „To je zajímavá otázka,“ a obrací se ke třídě, aby hledala odpověď.

) Učitel vede žáky k vzájemným diskusím, ať již ve dvojicích, malých skupinkách, nebo v rámci celé třídy. Při moderování diskuse nezavrhuje chybné myšlenky a zapojuje do ní i slabší žáky, aby žáci mohli proniknout k podstatě zkoumané problematiky i odhalováním příčin chybných představ. V případě, že se ve třídě vyhrotí dva odlišné názory, nepřikloní se k žádnému, ale ponechá, aby si každý žák zvolil to, co považuje za správné. Například, když žáci objeví dva různé algoritmy písemného odčítání, ponechá každému žákovi volbu, který algoritmus bude používat. Tím, že připouští, ba podporuje různost názorů, dává žákům nejen hlubší pohled do matematiky, ale i porozumění pro jiné myšlenkové pochody a názory obecně. V tomto bodě matematika přispívá ke kritickému myšlení a kultivuje demokratické chování žáků.

4) Učitel dává žákům přiměřené úlohy: každý žák řeší úlohu, která odpovídá jeho schopnostem, a tak může zažít radost z úspěchu. Frontálně zadávané úlohy, které neumožňují diferenciaci, jsou pro slabé žáky často frustrující a pro výborné žáky nudné. Naopak vhodné jsou úlohy, které připouštějí jak rychlé, tak i pomalé řešitelské postupy (viz úloha .1, str. 94).

5) Vlastním přístupem k matematice vede žáky k potřebě rozumět matematice, tedy k potřebě experimentovat, hledat a odhalovat zákonitosti, komunikovat se spolužáky, formulovat vlastní myšlenky a interpretovat myšlenky spolužáků a hledat argumenty. Tím, že vysoce hodnotí tvůrčí práci žáků a nijak zvláště nehodnotí rychlost, reprodukci ani imitaci, orientuje žáky k účinnému rozvíjení vlastního matematického orgánu.

6) S chybou žáka pracuje učitel promyšleně. Tím rozumíme, že vede žáka k tomu, aby sám vlastní chybu odhalil a aby odhalil i příčiny chyby. Tento poslední bod vyžaduje zvláštní úvahu.

Učitel, který coby žák byl odchován tradiční metodikou a později i v tomto duchu začal učit, musí překonávat mnohé stereotypy, když chce aspoň v jisté míře naplnit výše uvedené zásady. Kolegyně Jarka Kloboučková svoji tříletou zkušenost s vyučováním podle metody VOBS formulovala slovy:

„Ono to není tak jednoduché, jak si mnozí myslí. Mohu na sobě doložit (i pomocí videozáznamu), že i mně, člověku hodně poučenému, který věří, že to skutečně funguje, trvalo dost dlouho, než jsem většinu zásad začala dodržovat podvědomě – vědomě se o to snažím od začátku,

ale dostat to do podvědomí není úplně jednoduché, a ještě dnes vidím mnohé chyby, které si přímo v hodině vůbec neuvědomuji, ale JSOU TAM. A co teprve ti, kteří se s tím seznámí na jednom, dvou seminářích, mají to sakra složité. Že to funguje, si musí každý učitel uvědomit sám, k tomu mu nepomůže žádné školení, ale jen a jen výsledky jeho dětí. A i ty se dostaví až po relativně dlouhém čase, mnozí začnou pochybovat a pak se odkloní.“

Na druhé straně existují učitelé, kteří v krátké době byli schopni změnit svoje vyučování. Přestali žákům učivo vysvětlovat a vedli je k samostatnému odhalování matematiky. Všichni tito učitelé shodně tvrdí, že jim ke změně velice pomohli žáci, jejich nadšení a překvapivá, někdy až neuvěřitelná schopnost objevovat matematiku. Uvedené zjištění vede k otázce, zda je možné učitele přirozeně nakloněné k použití metody VOBS nějak identifikovat. R. Zemanová se pokusila tuto otázku zkoumat na posluchačích ostravské pedagogické fakulty a D. Jirotková na studentech kombinovaného studia pražské pedagogické fakulty. Výsledky výzkumu pak společně publikovaly v článku (Jirotková, Zemanová 201).

Příběhy .21 a .22 z odstavce .5.2 ilustrovaly prvních pět zásad. Zásada poslední, která se týká chyby, v příbězích ilustrována nebyla. Jedná se o zásadu klíčovou, proto ji ilustrujeme dalším příběhem.

3.5.5 Práce s chybou – příběh

Následující příběh je napsán podle videozáznamu, který v únoru 2012 pořídila ve . ročníku ZŠ v Neratovicích studentka A. Sukniak. Jedná se o prvních 9 minut hodiny matematiky. Bylo přítomno 7 hochů a 14 dívek. Vyučující Jitka Michnová učí tyto žáky od září 2011, tedy něco přes pět měsíců.

Příběh .2

Na začátku hodiny v rámci rozcvičky učitelka zadala následující úlohu.

Úloha .10

Maminka koupila 5 lízátek po třech korunách a čokoládu za 12 Kč. Kolik ji stál nákup?

Záhy žáci zvedali nad hlavy stírací tabulky s řešeními. Učitelka tabulky sledovala a po jedné minutě na tabuli přepsala bez náznaku jejich hodnocení tři výsledky z tabulek: 21, 22, 27. Požádala Prisku, aby vysvětlila svůj výsledek 21. Dívka mluvila pomalu, ale učitelka ji nechala čas, nebyla nervózní. Dívka zjistila, že chybně počítala  5 = 9 a opravila výsledek na 27. Pak učitelka, aniž by potvrdila souhlasné hlasy třídy s výsledkem 27, požádala Prokopa, aby vysvětlil svůj výsledek 22. Hoch řekl, že to má špatně, a opravil výsledek. Od zadání úlohy uběhly  minuty.

Učitelka vyzvala žáky, aby na tabuli napsali svůj postup. Na tabuli se objevily tři zápisy: první 5 ⋅  + 12 = 27, druhý 5 ⋅  = 15, 15 + 12 = 27, třetí, Prokopův, 5 + 5 + 5 = 15 + 12 = 27. K prvním dvěma zápisům byly pouze souhlasné komentáře: „Jo, já to mám taky tak.“, „Lépe je to zapsat pod sebe.“

Na adresu Prokopova zápisu se ozvalo několik kritických hlasů.

Učitelka 1: (oslovuje Perlu) Co se ti na tom nelíbí?

Perla: Pět plus pět, plus pět je patnáct plus dvanáct; to není pravda.

U2: Prokope, rozumíš, co ti Perla říká?

Prokop 1: Nerozumím.

U: (obrací se k hlásící se dívce) Pavlo?

Pavla 1: (mluví pomalu, zřetelně) Pět plus pět plus pět je patnáct. Až sem je to pravda. Když ale přidáš dvanáct, už to pravda není.

Prokop 2: (okamžitě a rozhodně) Nerozumím.

U4: Kdo to Prokopovi vysvětlí?

Hlásila se čtyři děvčata a učitelka vyvolá jednu, která v podstatě opakuje to, co řekla Pavla, ale Prokop i zde prohlásí, že nerozumí. Nakonec učitelka vyvolala Petulu.

Petula 1: Vlastně on měl jeden příklad. On to měl v jednom příkladě, jenže když to dá do dvou příkladů, tak to už není ten jeden příklad a neplatí vlastně, že dvanáct plus patnáct se rovná patnáct.

Prokop : Tak tomu už vůbec nerozumím.

Petula 2: (jde k tabuli a posunkem zve i Prokopa; v Prokopově zápise na tabuli rukou zakryje číslo 27; pak pozpátku čte to, co Prokop napsal) Dvanáct plus patnáct je pět plus pět plus pět. (pauza) Je to pravda?

Prokop 4: (zřejmě překvapen, chvíli váhá) Ne.

Petula : Tak proč jsi to napsal?

Prokop 5: (Hoch se zasmál a bez komentáře si šel sednout.)

Uplynulo 9 minut. Konec příběhu.

3.5.6 Komentáře k příběhu

1) Evidujeme čtyři chyby. První chyby se dopustila Priska, další tři udělal Prokop. Učitelka Prisce nenaznačila, že udělala chybu. Pouze ji žádala o vysvětlení a ponechala pomalé dívce čas. Dlouhá minuta, ve které Priska hledá vysvětlení, se může jevit jako ztráta času pro ostatní žáky. Není tomu tak. Spolužáci se nenudí, protože se snaží zjistit, proč Priska udělala chybu. Tento metakognitivní postoj v žácích vypěstovala učitelka, která systematicky vede žáky k odhalování příčin chyb. To zlepšuje schopnost komunikace žáků, protože žáci se učí lépe porozumět tomu, co spolužák říká.

2) Druhé chyby se dopustil Prokop výsledkem 22. V době, když Priska vysvětlovala svůj postup, hoch svoji chybu odhalil a na vyzvání učitelky opravil, aniž by osvětlil příčinu chyby. Učitelka jej k tomu nevyzvala.

) I třetí a čtvrté chyby se dopustil Prokop. Jsou v zápisu 5 + 5 + 5 = 15 + 12 = 27. Třetí chyba spočívala v tom, že cena pěti lízátek po  Kč měla být zapsána  +  +  +  +  a ne 5 + 5 + 5. Tuto chybu neobjevil žádný žák a ani učitelka na chybu neupozornila. Snad na konci hodiny mohla zmínit, že v zápisu Prokopa byla ještě jedna chyba, kterou žádný neodhalil.

4) Nejpoučnější v příběhu je diskuse, kterou vyvolal Prokopův zápis. Myšlenkově je zápis v pořádku, protože hoch jej chápe jako dva výpočtové kroky: 5 + 5 + 5 = 15 a 15 + 12 = 27. Hoch si neuvědomuje, že zápis je nekorektní. Mimochodem s podobným nekorektním zápisem se setkáváme často i na druhém stupni.

5) Na chybu v zápisu upozornilo hned několik žáků, bez jakékoli výzvy učitelky. Prokop v zápisu chybu neviděl. Perla ani Pavla hocha o jeho chybě nepřesvědčily. Učitelka přes tyto neúspěchy nechává prostor žákům. Úspěšná byla až Petula. Ta nejdříve trochu kostrbatě vysvětlila

příčinu Prokopova omylu: Prokop si myslí, že uvedené dva výpočtové kroky může napsat do jedné řádky. Pak brilantním způsobem přečte Prokopův zápis tak, že hoch svoji chybu pochopí.

6) Z četných komentářů třídy k zápisům na tabuli bylo patrné, že žáci sledovali práci spolužáků podstatně výrazněji, než je to ve . ročníku běžné. Diskuse mezi žáky svědčila o tom, že jejich vztah k matematice je tvořivý a vůbec ne konzumní. Skvělou ukázkou jen šestiměsíčního působení učitelky v této třídě byla přesná Petulina analýza chyby Prokopa a efektivní didaktické zvládnutí celé situace. Nejprve Petula ne příliš srozumitelně spíše sobě a učitelce formulovala, proč Prokop nechápe, že má v zápisu chybu. Pak v krátkém a účinném dialogu s Prokopem demonstrovala přesnou argumentaci. Podstata Prokopova přesvědčení o tom, že jeho postup je správný, spočívá v procesuálním uchopení výpočtu. Argument, že to musí napsat konceptuálně, nechápal. Byl si vědom toho, že konceptuální zápis je dobře, ale nevěděl, co na jeho zápisu, který přesně kopíruje sled myšlenek, je špatně. Petula tím, že Prokopův zápis četla pozpátku, proces konceptualizovala a Prokop chybu pochopil. Metodologický trik Petuly, číst zápis pozpátku, si určitě zapamatovalo více žáků. Určitě Perla i Pavla, protože ony s vysvětlováním neuspěly a Petula uspěla. Teď se dívky naučily, jak v podobných situacích spolužáka přesvědčit.

Poučný příběh ukázal, jak žáci sami chybu spolužáka nejen odhalí, ale i didakticky rozanalyzují. Práci učitele s chybou žáka prozkoumáme podrobněji.

3.5.7 Práce s chybou – edukační technologie

V tradičním vyučování je na chybu nahlíženo jako na jev nežádoucí. Učitel má strach, aby se sám chyby nedopustil. Cítí odpovědnost i za případnou chybu žáka (ať již v sešitě, nebo na tabuli), proto na chybu žáka rychle upozorňuje a chybu opravuje. Rodičovská komunita, která též chybu považuje za jev nežádoucí, zvyšuje učitelův strach z potenciální chyby. V rozhovorech učitelů častěji slyšíme o chybách, než o tom, jak je odstraňovat.

Kdyby se dítěti, které se učí chodit, zakázalo padat, nikdy se chodit nenaučí. Chyba u jakékoli lidské činnosti je přirozený jev, zejména když se člověk tuto činnost teprve učí. Jestliže si člověk uvědomí, že se chyby dopustil, a jestliže navíc zjistí, proč k tomu došlo, zvýší se jeho schopnost dělat příště danou činnost lépe. V intelektuální oblasti je poznání příčin chyby účinný způsob pronikání k podstatě zkoumaného jevu. To se netýká pouze žáků ve škole, ale i věhlasných matematiků. I oni se dopouštěli chyb a pokaždé bylo odhalení chyby poučením.

Učitel, který ví, jak pracovat s chybou žáka, může každou situaci, kde se chyba objeví, didakticky využít. Učitelova znalost má dvě složky: diagnostickou a edukační. U diagnostické složky jde o to zjistit, do jaké míry si je žák přítomnosti chyby vědom. Uvedeme pětistupňovou škálu uvědomování si přítomnosti chyby žákem:

a) žák o přítomnosti chyby neví,

b) přítomnost chyby tuší, ale není si tím jist,

c) ví, že má někde chybu, ale nezná její lokalitu,

d) ví, že je zde chyba, a tuší její lokalitu,

e) ví, kde je chyba.

U edukační složky jde o vhodnou reakci učitele na chybu žáka. Ve většině případů je tato reakce jednoduchá: učitel požádá žáka, aby svoji myšlenku ukázal třídě. Třída pak již reedukační proces uskuteční – viděli jsme to v příběhu .1. Tam, kde učitel nemůže využít pomoc třídy,

10

musí nejprve diagnostikovat úroveň uvědomování si chyby žákem a pak vhodnou otázkou nebo doplňující úlohou vést žáka k další úrovni. O takových situacích vypráví následující příběh.

Příběh .24 Matematický kroužek. Sedm žáků třetího ročníku a dva žáci čtvrtého ročníku řeší algebrogramy. Učitel na barevných kartičkách připravil úlohy čtyř úrovní náročnosti.

o Nejlehčí úlohy na zelených kartičkách. Například AA + A = 24, nebo B + B + B = 21.

o Náročnější úlohy na modrých. Například AB + B = 6, CC – B – B – B = 45.

o Náročné úlohy na žlutých. Například AB – BA = CC, A . BB = CC.

o Úlohy „pro experty“ na červených kartičkách. Například ABC – ACB = AA.

Nejprve každý žák individuálně řeší úlohy podle vlastní volby. Po 10 minutách pak každý žák předvede jedno svoje řešení všem. Nesmělá Raisa, která často žádá učitelku o vyjádření k vyřešené úloze, řešila algebrogram AB + B = 6. Když ukazuje učitelce řešení  +  = 6, uvědomí si, že má A = B, což je nepřípustné. Nejistě řekne: „To asi nemá řešení.“ Učitelka dá dívce úlohy CD + D = 0 a EF + F = 2. Raisa v lavici úlohy řeší, po chvíli radostí zvedne ruce, něco chvatně zapíše a běží k učitelce ukázat řešení původního algebrogramu 28 + 8 = 6.

Při předvádění výsledků Rolf ukazuje, že algebrogram A ⋅ BB = CC má spoustu řešení.

Rolf 1: Tak například A = 2, B = , C = 6, nebo A = 4, B = 2, C = 8, nebo vše, kdy A B = C.

Radek 1: I pro A = 5, B = 6, C = 0? I to je řešení?

Rolf 2: Ano.

Radek 2: Napiš to.

Rolf : (napíše 5 ⋅ 66 =  00. Chvíli jsou všichni ticho. Rolf vzal kalkulačku, zjistil na ní, že výsledek je 0, a jednu nulu z tabule smazal. Překvapeně) No jo.

Radek : To C je číslice, nemůže být dvoumístná.

Komentář

Raisa se dopustila dvou chyb. První chybu odhalila sama, když učitelce ukazovala řešení. Příčinou chyby bylo nedodržení pravidla o algebrogramech. Druhá chyba byla závažnější. Dívka neviděla řešení s přechodem přes desítku. Učitelka dala dívce úlohu, která jí pomohla její chybu uvidět a opravit. Dívka našla řešení 25 + 5 = 0, pak 26 + 6 = 2 a už viděla i řešení původní úlohy. Počínání učitelky tedy bylo úspěšné.

Rolf se dopustil chyby, které se žáci dopouštějí často u různých úloh: nerespektují některou z podmínek, které jsou na situaci kladeny. V okamžiku, kdy své řešení předváděl, nebyl si vědom přítomnosti chyby. Radek postupoval správně. Nepoukázal na chybu, ale dal Rolfovi úlohu, která mu chybu ukázala. Když Rolf uviděl nápis 5 66 =  00, začal tušit, že tam má chybu, a kalkulačkou se o tom přesvědčil. Netušil, kde je příčina. Radek mu ji ukázal. Kdyby Radek požádal Rolfa, ať dosadí hodnoty A = 0, B = 40, byl by asi Rolf lokalitu své chyby odhalil sám.

3.5.8 Narušení konvence není matematická chyba

Každý učitel 1. stupně se setkal s tím, že některý žák píše číslice zrcadlově. Takový zápis je chybný, ale chyba není matematická – je to chyba v grafice, chyba v konvenci. Žák nerespektuje konvenci. Podobně to, zda prohlásíme nulu za přirozené číslo, je věcí konvence, nikoli matematiky. Termín „přirozené číslo“ si matematici definují sami. Pro některé je vhodné řadit nulu mezi

přirozená čísla, pro jiné je vhodné ji tam neřadit. Jestliže nulu mezi přirozená čísla zařadíme, pak již to, že je to číslo sudé, není věcí konvence, ale matematického vymezení termínu „sudý“. Spory o to, zda rovnostranný trojúhelník patří, nebo nepatří mezi trojúhelníky rovnoramenné, nebo zda číslo 10 patří do první, nebo druhé desítky, jsou spory o konvenci, resp. o tom, jak tyto pojmy správně definovat. V učebnici jsou nakonec tyto otázky nějak rozhodnuty, ale tato řešení se netýkají matematiky. Týkají se konvence.

Citlivost na odlišení výpovědí o konvenci od výpovědí o matematice je diagnostický nástroj, který testuje míru formálnosti znalostí probanda. Pro člověka, který má matematická tvrzení uložena v paměti jako izolovaná fakta, je skoro nemožné poznat, která z těchto tvrzení jsou konvence a která matematické pravdy. Proto je otázka, zda dané tvrzení je konvence nebo matematická pravda, i dobrou otázkou diagnostickou. To jsme využili v jednom písemném testu, který psali posluchači, budoucí učitelé prvního stupně, v rámci semináře z didaktiky matematiky.

Příběh .25

Nejprve jsem posluchačům na příkladech vysvětlil rozdíl mezi konvencí a matematickým tvrzením. Když jsem měl dojem, že rozdíl chápou, požádal jsem je o napsání minitestu:

U každého výroku zakroužkujte správnou odpověď.

Výrok „nula je přirozené číslo“ je výrokem KONVENCE MATEMATIKY

Výrok „nula je sudé číslo“ je výrokem

KONVENCE MATEMATIKY

Pouze jediné řešení bylo správné v obou případech. Pavla, která je dala, byla v daném kroužku v matematice výrazně nejlepší. Pak pomáhala kolegyním pochopit různé nejasnosti, které se v testu projevily. Diskuse byla bohatá.

Jedna dívka, která u prvního výroku zakroužkovala slovo MATEMATIKY, mi přišla ukázat, že v mých přednáškách, které si vytiskla, je napsáno „Čísla přirozená jsou 0, 1, 2, , ... Tedy nulu počítáme mezi přirozená čísla.“ Dívka byla přesvědčena, že když tato věta je v přednáškách z matematiky, tak daný výrok musí být matematický. Nakonec tuto dívku přesvědčila Petula, když jí řekla, že čísla 1, 2, , ... (a ne zrcadlové obrazy těchto znaků) jsou v každé matematické knížce, a přesto to jsou znaky pouze konvenční, nikoli matematické.

Několik posluchaček u druhého výroku škrtlo obě možnosti a tyto dívky tvrdily, že nula není sudá, protože se nedá rozdělit na dvě stejné části, protože se vůbec dělit nedá. Paradoxně právě tyto dívky měly o pojmu „sudý“ celkem dobrou neformální představu. Jejich problém byl v chápání nuly jako takové. Tyto dívky nakonec přesvědčila Regina stručným vyprávěním: „Zemřel otec a v závěti odkázal každému ze dvou synů polovinu úspor v bance. Zjistilo se, že v bance má nula korun. Bylo možné závěť vykonat? Kolik dostal každý ze synů?“ Navzdory této jasné ilustraci jedna z dívek stále tvrdila, že zápis 0 : 2 je nepřípustný.

3.5.9 Narušení standardního postupu není matematická chyba

V lékařství je znám termín lege artis. Tím se rozumí takový postup lékaře, který je v souladu se současným poznáním medicíny. Je zřejmé, že kdyby všichni lékaři důsledně dodržovali lege artis, medicína by stagnovala, neboť žádný nový postup nemůže být lege artis.

Podobně je to i s matematikou. Žák, který je nucen používat pouze předepsané standardní postupy, nemá možnost tvůrčího přístupu, který jediný umožní žákovi hluboce porozumět učivu. Tedy učitel, který vyžaduje pouze standardní postupy, brzdí a někdy zcela zastaví matematický rozvoj žáka.

Známe smutný příběh matematicky zdatné dívky, kterou její nová učitelka na pololetním vysvědčení hodnotila známkou 2 a řekla: „Pokud si to budeš dělat po svém a nenaučíš se to pořádně, jak to děláme všichni, jedničku mít nemůžeš.“

Pokud učitel vyžaduje od žáka pouze reprodukci a imitaci svých postupů, často za chybu považuje vše, co není v souladu s tím, jak to učí žáky on. Zhoubný vliv, který má na rozvoj matematického orgánu žáka tento přístup, jsme již diskutovali v odstavci .4.6. Velice smutný příběh ilustrující popsanou situaci nám vypravovala jedna matka, jejíž syn nebyl přijat do primy jazykového gymnázia, protože neuspěl v matematice. O tom je následující příběh.

Příběh .26

Žáci, hlásící se do primy jistého jazykového osmiletého gymnázia, psali test z češtiny a matematiky. V matematickém testu byla úloha:

Úloha .11

Záhon má rozměry 5 m × 2 m. Zahradník obešel záhon a každý jeho krok měl délku 70 cm. Kolik kroků zahradník udělal?

Jeden žák narýsoval plánek záhonu a do něj tečkami nakreslil kroky zahradníka, zřejmě k tomu použil měřítko. Tečky byly zakresleny těsně u hranice záhonu, ale tak, že zahradník překračoval rohy záhonu. Nakonec to chlapci vyšlo na necelých 20 kroků. Tuto odpověď žák napsal. Jeho řešení bylo ohodnoceno 1 bodem za obrázek záhonu. Když se šla matka hocha stěžovat k ředitelce, tato zavolala vyučující matematiky Samantu a ta matce vyložila, že „žák musí vědět, že řeší školskou úlohu o obvodu obdélníka a pokud nenapíše vzorec o = 2 ⋅ (a + b), tak prostě tuto základní znalost nemá“. To, že reálná situace neodpovídá uvedenému výpočtu, odmítla vyučující brát v potaz.

Případů, kdy učitel trestá žáka za to, že nepostupoval standardně, máme v našich archivech desítky. Mnoho z nich se týká slovních úloh vyřešených žákem pomocí vhledu. Takové řešení je učitelem zamítnuto, protože předepsaný postup řešení musí obsahovat zápis, šipkový záznam závislostí uvedených v úloze, sestavení výpočtu, výpočet a odpověď. Ilustrace takového jednání učitele je popsána v příběhu .20 v odstavci .4..

Viděli jsme, jak byl žák v prvním ročníku kárán, když na svém počítadle začal oddělovat kuličky na třetím drátu počítadla a ne na prvním.

Viděli jsme, jak žák ve čtvrtém ročníku dostal vynadáno, když místo výsledku 25 napsal 52. Učitelka zápis 52 četla jako 52 a domnívala se, že hoch spletl pořadí písmen, a tak jej vyzvala, aby se na to pořádně podíval ještě jednou. Hoch si uvědomil, co si učitelka myslí, a velice sebevědomě řekl: „Mám to dobře. Výsledek je pět na druhou.“ Učitelce chvíli trvalo, než pochopila, co hoch říká. Rozhněval ji především způsob chlapcova jednání a pak i to, že chce zapůsobit něčím, co se ještě neprobíralo. Ostře řekla: „Napiš těch dvacet pět normálně. Běž si sednout, jsi drzý a chceš vypadat chytře.“

Viděli jsme, jak žák v šestém ročníku dostal pětku, protože při zápisu zlomku napsal nejprve čitatele a až pak zlomkovou čáru – tu měl podle vyučující psát jako první.

Podobnými smutnými příběhy bychom mohli pokračovat. Vrátíme se ale ještě k příběhu

.26, ke glorifikaci vzorce v edukačním pojetí učitelky Samanty. Vzorec je plnohodnotným poznáním pouze v případě, že žák zná jeho podstatu. V opačném případě je to pouze protéza znalosti. Učitel, který považuje vzorce za jádro matematického poznání, je obyčejně v matematice málo tvořivý. Jednou jsme měli možnost na skupině 22 gymnaziálních učitelů udělat sondu o vztahu mezi učitelovou orientací na vzorce a jeho schopností řešit nestandardní úlohy. Nejprve každý učitel stručně písemně vyjádřil názor na důležitost vzorců ve výuce matematiky a pak každý řešil dvě kombinatorické úlohy. Jedna z úloh byla standardní, druhá nestandardní. Nestandardní úloha zněla:

Úloha .12

Ve snaze urychlit přepravu tramvajové linky číslo 4 rozhodl se dopravní podnik zrušit tři z 20 zastávek této linky. Podmínky na zrušení byly: nelze zrušit ani jednu konečnou a nelze zrušit dvě sousední zastávky. Kolik možností pro zrušení tří zastávek má dopravní podnik?

Učitelé, kteří vzorcům přikládali veliký význam, u této úlohy neuspěli. Nevěděli, který vzorec použít. Někteří to zkoušeli s metodou vypojení a zapojení, ale neuměli to uchopit. Učitelé, kteří neměli ke vzorcům takovou úctu, začali situaci analyzovat, kreslit a někteří se dobrali k výsledku, dva dokonce k správnému výsledku: 560 možností. Tito dva se o vzorcích vyjádřili jako o něčem, čemu je třeba rozumět. Jeden z těchto učitelů přímo napsal: „Používat vzorec neznamená rozumět mu“. K přesvědčení, že znát matematiku znamená znát postupy a vzorce, dochází většina učitelů již na základní škole. Vysokoškolské studium toto jejich přesvědčení utvrdí. I když učitel vidí, že některý jeho kolega matematice doopravdy rozumí, přikládá to „buňkám na matematiku“, které příroda kolegovi nadělila a jemu ne. Zjistili jsme ale, že u mnoha studentů, budoucích učitelů prvního stupně, je možné předsudek o buňkách na matematiku korigovat. Stačí snížit matematickou náročnost učiva na tu úroveň, na které jsou posluchači schopni samostatně matematiku objevovat. Důležité je dávat posluchačům přiměřené úlohy a podporovat jejich vzájemné diskuse. Nejlépe přímo úlohy z učebnic pro první stupeň. Naše zkušenosti ukazují, že někdy polovina, ale někdy skoro všichni posluchači daného kroužku najdou v objevování zalíbení a nezřídka je tento jejich přerod provázen radostnými emocemi. Ukončili jsme úvahy o metodě VOBS a pozornost zaměříme na aritmetiku.

4 ČÍSLO

Kapitoly 4.1 až 4.5 pojednávají o představách dětí a žáků o čísle. Kapitoly 4.6 až 4.12 sledují práci dítěte a žáka s číslem. Svět čísel začíná dítě poznávat již v předškolním věku. Jsou to malá přirozená čísla, která se později ve škole rozšíří na čísla větší až veliká. Přibudou zlomky, desetinná čísla a čísla záporná. Nakonec se objeví i čísla iracionální, jako jsou odmocniny nebo π. V prvním ročníku ZŠ má většina žáků v osvětlené části světa čísel pouze čísla malá (řekněme do 20), čísla větší má již v přítmí a čísla iracionální v hluboké temnotě. Postupně s věkem se dítěti osvětlená část světa čísel rozšiřuje, část toho, co bylo včera v přítmí, je již osvětleno, část toho, co bylo ve tmě, je již v přítmí. V tomto procesu je právě ono přítmí pro didaktiku velice důležité, protože zde leží Vygotského (1970) zóna nejbližšího vývoje.

Cílem kapitoly je získat poznání o procesu postupného rozšiřování oblasti osvětlené i oblasti ležící v přítmí u dítěte a žáka ve věku od 5 do 12 let. V několika případech půjdeme i za hranice tohoto věkového rozsahu.

4.1 Prvky mentálního schématu Číslo

Mentální schéma Číslo je nejrozsáhlejší matematické mentální schéma žáka základní školy. Obsahuje mnoho různě provázaných podschémat a mnoho generických modelů procesuálních i konceptuálních. Poznávání zrodu a rozvoje tohoto schématu patří k nejzávažnějším oblastem didaktiky matematiky.

V tomto odstavci uděláme stručný přehled matematické terminologie topik, které budeme v dalším zkoumat z hlediska didaktického. Čtenář může tento odstavec přeskočit a v případě potřeby se k některé jeho části později vrátit.

4.1.1 Číselné obory

Uvedeme symboliku, kterou používáme, i hlavní sémantický generický model příslušného typu čísla.

N = {0, 1, 2, , …} přirozená čísla; model: soubor předmětů

Z = {…, -, -2, -1, 0, 1, 2, , …} celá čísla; model: soubor kroků, adresa, teploměr, dluh

Q = {p/q; p ∈ Z, q ∈ N, q ≠ 0} racionální

čísla, která žák zná jako zlomky model: produkt procesu spravedlivého dělení desetinná čísla v rozsahu setin model: ceny v obchodě desetinná čísla v rozsahu tisícin model: časy sportovců desetinná čísla obecně modelů je více, například z oblasti financí desetinná čísla periodická přicházejí ze strukturální potřeby vyjádřit zlomek desetinným číslem; tato potřeba je bezprostředním důsledkem používání kalkulátorů

R reálná čísla model (grafický): číselná osa

Kromě čísel racionálních jsou to i čísla iracionální, tj. ta, které nelze zapsat zlomkem; například √2 (model: úhlopříčka jednotkového čtverce) nebo Ludolfovo číslo π (model: délka jednotkové půlkružnice).

Dále příležitostně užíváme značení

Z + celá čísla kladná, tj. N bez nuly

Q+ racionální čísla kladná

R + reálná čísla kladná

Přirozená čísla zapisujeme pomocí číslic, a to v desítkové soustavě. Později použijeme i soustavu dvojkovou, čtyřkovou i dvanáctkovou. K označení malých čísel používáme i soubory čárek, šipek, nebo teček (nebo prstů). Zmíníme i zápis čísla pomocí římských čísel. V prostředí Dědy Lesoně pracujeme s ikonami zvířátek jako veličinami, které lze převádět na čísla pomocí jednotky F (myš). U desetinných čísel periodických se žák poprvé vážně setkává s jevem nekonečna. Příkladem je zdánlivý paradox: 1 =  · 1/ =  · 0,... = 0,9999... Procenta používáme pouze v rozsahu čísel racionálních, a to jen ve vybraných sémantických kontextech. Sémanticky neukotvené strukturální vztahy, jako například 1/(1%) = 100, do našich úvah vstupují pouze tam, kde se snažíme čtenáři vysvětlit, jak chápeme rozdíl mezi sémantickým a strukturálním vnímáním číselné situace.

4.1.2 Binární relace

mluví o vztahu dvou čísel. Žák pozná šest binárních relací. První se týká rovnosti, další čtyři jsou si velice blízké a týkají se uspořádání. Poslední se týká dělitelnosti. Rovnost se zavádí v N, Z, Q, i v R. Zavádí se i v modulární aritmetice. Na 1. stupni zejména v ciferníkové aritmetice, tj. v okruhu (Z12, +, ·). Zde je 11 +  = 2 a 4 – 7 = 9.

Z didaktického hlediska jsou důležité všechny tři vlastnosti rovnosti:

Reflexivita, tj. vztah A = A pro každé A; zde je problém v tom, že stejné číslo je možné zapsat různými způsoby; například  = 6/2 nebo 2 = 2,0 nebo 1 = 0,99999…

Tranzitivita, tj. implikace A = B a B = C ⇒ A = C, kterou žáci někdy nevidí.

Symetrie, která je narušena při operaci dělení se zbytkem; zde vztah 1 : 4 =  (1) nelze přepsat do tvaru  (1) = 1 : 4 (viz 4.11.1)

Uspořádání se zavádí jak v N tak v Z, Q nebo R. Čtyři znaky, které používáme <, >, ≤, ≥ , jsou tak úzce propojeny, že když žák získá vhled do jednoho z těchto znaků, lehce získá vhled i do dalších tří. Představa uspořádání vychází z komparativu, z druhého stupně přídavných jmen. Týká se jak jevů nekvantifikovaných – jako sladší, moudřejší, hezčí, tak jevů kvantifikovaných – jako vyšší, těžší, starší, bohatší. Základní představa uspořádání vzniká při porovnávání počtů: Mirek má více autíček než Luděk. Asi nejpoužívanější model žáků pro porozumění těmto znakům je založen na číselné ose orientované zleva doprava, ojediněle i zdola nahoru (jako u tlačítek ve výtahu, nebo teploměru na zdi).

Z didaktického hlediska za nejdůležitější poznání, které je propojeno na uspořádání, považujeme tranzitivitu, tj. implikaci A < B a B < C ⇒ A < C, která platí i pro nekvantifikované situace:

A je menší než B a B je menší než C ⇒ A je menší než C.

V číselných situacích někdy mluvíme o největším/nejmenším čísle dané množiny čísel a též o čísle, které leží mezi dvěma čísly.

V oborech N i Z zavádíme relace „x je hned před y“ a „y je hned za x“; tím rozumíme, že pro celá čísla x, y platí y = x + 1.

Dělitelnost v N resp. Z, nikoli v Q, nikoli v R značíme svislou čárkou |. Tedy 2|8 znamená, že číslo 2 dělí číslo 8 a 11|12 znamená, že číslo 11 dělí číslo 12… Výrok „číslo  nedělí číslo 5“

označujeme   5.

Všechny výše uvedené relace jsou relace aritmetické, které se vztahují k číslům. S relacemi ne-aritmetickými se žák setkává v prostředí Rodina. Zde zavádíme binární relace jako „matka“, „otec“, „syn“, „dcera“, „bratr“, „babička“, „manžel“ atd. Slovo „matka“ neoznačuje konkrétního člověka. Označuje relaci jako „Zina je matkou Zory“.

4.1.3 Operace

Podle počtu čísel, která do operace vstupují (podle arity operace), mluvíme o operacích unárních, binárních, ternárních a obecně n-árních.

Unární operace je zobrazení, které přiřadí jednomu číslu číslo další (ne nutně jiné). Kromě běžných unárních operací jako přičítání jedničky: x → x + 1, odčítání dvojky: x → x – 2, zdvojování: x → 2x, půlení: x → x/2 apod. žák poznává jednu sérii specifických unárních operací.

Zaokrouhlování je unární operací. Jedná se o sérii operací. Nejprve v N zaokrouhlujeme čísla na desítky, na stovky, na tisíce, …, později v Q nebo dokonce v R zaokrouhlujeme čísla na celá čísla, na desetiny, na setiny, … Myšlenkově blízká k zaokrouhlování je unární operace, která se zavádí až na druhém stupni, ale kterou pro úplnost zde uvedeme. Je to

celá část čísla. Zobrazení x → [x] přiřadí reálnému číslu x největší celé číslo nepřevyšující x; tedy x – 1 < [x] ≤ x.

Reálné číslo x zaokrouhlené na celé číslo je [x + ½], jestliže zaokrouhlujeme nahoru, tj. číslo 0,5 zaokrouhlujeme na 1. S tímto zobrazením úzce souvisí zobrazení zlomková část čísla, dané předpisem x → {x} = x – [x].

Dále jsou zde dvě involutorní zobrazení, tj. zobrazení, která dvakrát aplikována vrátí číslo zpět k původnímu. Jsou to zobrazení:

x → -x k danému číslu x je přiřazeno opačné číslo -x (např. 5 → -5, -2 → 2, 0 → 0); toto zobrazení není definováno na N, je definováno na Z, Q i R.

x → 1/x k danému číslu x je přiřazeno převrácené číslo 1/x (např. 7 → 1/7, 2/ → /2); k nule neexistuje číslo převrácené; zobrazení je definováno na Q+, R+, Q – {0} i na R – {0}. Toto zobrazení hraje klíčovou roli při zavádění zlomků. První etapa zavádění zlomků pracuje pouze s kmenovými zlomky, tj. se zlomky 1/n, kde n ∈ N – {0} Zobrazení

x → |x| přiřadí každému číslu jeho absolutní hodnotu, např. - → |-| =  i  → || = ,

x → x2 přiřadí každému číslu jeho druhou mocninu; základní model této operace je hledání obsahu čtverce, když známe délku jeho strany. Inverzní operace, která k obsahu čtverce hledá délku jeho strany, je zobrazení

x → √x, které přiřadí každému nezápornému číslu jeho druhou odmocninu,

x → x přiřadí každému číslu jeho třetí mocninu; základní model této operace je hledání objemu krychle, když známe délku její hrany. Inverzní operace, která k objemu krychle hledá délku její hrany je zobrazení

x → √x, které přiřadí každému nezápornému číslu jeho třetí odmocninu.

Binární operace přiřadí dvěma číslům číslo třetí. Žák prvního stupně ZŠ pozná čtyři binární operace, které nazýváme základní: sčítání v N, Z, Q+, R+, Q i v R přiřadí dvojici čísel (a,b) číslo a + b, odčítání v Z, Q i v R přiřadí dvojici čísel (a,b) číslo a – b, násobení v N, Z, Q+, R+, Q i v R přiřadí dvojici čísel (a,b) číslo a b, dělení nenulovým číslem v Q+, R+, Q i R přiřadí dvojici čísel (a,b) číslo a : b; b ≠ 0.

Dále žák pozná i binární operaci rozdíl dvou čísel v N, Z, Q+, R+, Q i v R: (a, b) → |a – b|; to je vždy číslo nezáporné! aritmetický průměr dvou čísel v Q+, R+, Q i R: (a, b) → (a + b) / 2

Dělení se zbytkem není operací. Je to binární zobrazení, které přiřadí dvojici přirozených čísel (dělenec, dělitel) dvojici přirozených čísel (podíl, zbytek). Blíže viz 4.11.

N-ární operace přiřadí n-tici čísel číslo jediné. Na prvním stupni se objeví zřídka, nejčastěji, když si žáci počítají, jaká známka jim vychází na vysvědčení. Jedná se o operace zavedené v Q+, R+, Q i R. Jsou to aritmetický průměr tří čísel (a, b, c) → (a + b + c)/, aritmetický průměr čtyř čísel (a, b, c, d) → (a + b + c + d)/4, atd.

4.2 Vstupní etapa tvorby mentálního protoschématu Číslo

Mentální proto-schéma Číslo se ve vědomí dítěte začíná tvořit již v útlém dětství. Jedná se o složitý a dynamický proces plný překvapivých zlomů, který u různých dětí probíhá různě a ve kterém lze sledovat mnoho zajímavých jevů. Navíc zde dochází k zdánlivě retardačním pohybům: dítě, které již v lednu chápalo slovo sedm, v únoru toto slovo nechápe.

Z uvedených důvodů je těžké dát do úvah o vstupní etapě mentálního protoschématu Číslo přehlednou, stručnou a jasnou organizaci. Komplexní analýzu matematického rozvoje dítěte předškolního věku bohatě ilustrovanou příběhy a obsahující poučení pro rodiče i učitele najde čtenář v knížkách E. Gruszczyk-Kolczynské (1997, 2000, 2012).

Naše úvahy budou epizodické. Nejprve uvažujeme o tom, jak dítě zvládá číslovky. Pak zkoumáme proces učení se říkanky jeden, dva, tři, …

4.2.1 Partikulární svět číslovek

V každodenní zkušenosti několikaměsíčního dítěte se objevuji slova, u nichž si dítě záhy vytvoří jasnou představu (máma, papat, hajat, dudlík, …) i slova, u nichž si představu buduje postupně (kůň, vědro, číst, …). Zvláštní skupinu tvoří slova, u nichž sice dítě žádnou představu nemá, ale ví, že tato slova patří k sobě, zná i situace, v nichž je dospělí používají. Dítě ještě nezná význam slov „devět“, „osm“, „pátý“, ale již ví, že tato slova patří k sobě. Podobně ví, že k sobě patří slova „žlutý“, „červený“, „modrý“. Ví, že tato slova označují barvu, ale neví, která je modrá. Takovou skupinu slov nazveme partikulární verbální svět. Takových světů si dítě do tří let spontánně vytvoří více: Svět barev, Svět jmen, Svět příbuzných i Svět číslovek.

Z partikulárního světa čísel se brzy začnou vyčleňovat číslovky „ jeden“, „dva“ případně i „tři“ i jejich modifikace „první“, „druhý“, „třetí“. O tom vypravuje následující příběh.

Příběh 4.1

Příběh obsahuje pět epizod. První tři pochází od polské autorky A. Urbańské (1996), která po pět let evidovala proces otevírání Světa čísel u své dcerky. Z bohatého materiálu vybíráme tři fragmenty. Čtvrtou epizodu mám ze soukromé korespondence a poslední, pátou, z vlastní zkušenosti s vnukem. Nejprve tedy tři epizody A. Urbańské.

První. Ve věku (1;)29 dívka odlišuje singulár „panenka” a plurál „panenky”; když matka obula panence botičku, dívka podala druhou a řekla “druhý”.

Druhá. Ve věku (1;5) počítala balónky „raz, pět, raz, pět,…”0

Třetí. Ve věku (1;7) na otázku „Kolik je hodin?“, kterou babička adresovala mámě, dívka řekla „pět“; samozřejmě to nebyla pravda.

Čtvrtá epizoda je od N. Vondrové. Moje dcerka (1;) měla dva dudlíky. Jeden v pusince a druhý v levé ruce. Nastavila prázdnou dlaň pravé ruky a žádala slovem „či“ (tři) o třetí dudlík. Když slovo „či“ použila v jiné souvislosti, ukázalo se, že spíše než o „tři“ dívenka žádá „plné ruce“.

Pátá. Počítal jsem diskety a vnuk (2;6) si hrál s kostkami. Najednou se k mému počítání přidal slovy „pět, dva, tli, osm.“ Přitom synchronně mlátil rukou do kostky.

Komentář

První epizoda uvádí dva momenty, které vypovídají o tom, že dítě již v 15 měsících života může mít jistou představu mnohosti. To, že dívka rozlišuje singulár a plurál, jednoznačně svědčí o tom, že chápe rozdíl mezi jedna a více. Použití slovy druhý (drugi) již ale nelze s jistotou prohlásit za představu mnohosti dvou. V polštině, stejně jako v češtině, toto slovo označuje též „jiný“. Podobně je to se slovem „či“ u dívenky ze čtvrté epizody. Zde ovšem lze soudit, že toto slovo je spojeno s představou mnohosti, i když se nejedná o představu spojenou s číslem, ale s pocitem dostatku, tedy o představu kvalitativní.

Druhá, třetí a pátá epizoda ukazují, že dítě si tvoří partikulární svět čísel, který zatím není provázán na představu množství. Tento svět je propojen na komunikaci s dospělými a v případě páté epizody i na rytmus.

Z uvedeného plyne, že půdu, na které vznikne protoschéma Číslo, tvoří dvě zpočátku odděleně stojící oblasti. Základní vrstva slov (epizody 2,  a 5), která spěje k vytvoření partikulárního verbálního světa čísel, a nad ní ležící vrstva představ. Epizody 1 a 4 ilustrují, jak dítě číslovkám přiřazuje představy. Ukazují, že budování představy není jednorázový akt, že je to proces. O jeho urychlení se snaží rodiče nebo prarodiče.

4.2.2 Vstup dospělého do budování proto-schématu Číslo:

říkanka

Dítě má potřebu komunikovat s dospělými a dospělí přirozeně v této komunikaci orientují pozornost dítěte na jevy, o nichž se domnívají, že jsou pro dítě užitečné a podnětné. K těm jistě patří i znalost říkanky jeden, dva, tři, …, která je nástrojem k poznávání počtu. Když má dítě o učení se říkanky zájem, je tato výuka užitečná. Když ji dospělý dítěti vnucuje, má jeho počínání negativní dopad na vztah dítěte k počtům.

Říkanka k určení počtu sama o sobě nestačí. Je třeba, aby dítě umělo slova říkanky, která náleží do vrstvy slov, přiřadit objektům počítaného souboru a s tím dávat slovům představy. Ani tato znalost ale nestačí k určení mnohosti počítaného souboru. Dítě musí vědět, že počet určuje poslední slovo říkanky. O přiřazování „číslovka ↔ objekt“ a významu poslední číslovky říkanky vypráví dvě epizody následujícího příběhu.

29 Tedy 1 rok a  měsíce.

0 Dětskou polštinu překládáme do spisovné češtiny, nepokoušíme se o překlad do dětského jazyka

Příběh 4.2

Epizoda první. Dívka (;1) si hraje se třemi panenkami. Máma se jí ptá, kolik má panenek. Dcera je postupně odpočítá „jedna, dva, tli“. U každého čísla se rukou dotkne jedné panenky. Máma otázku opakuje a dívka opakuje počítání. Máma konverzaci ukončí větou „Výborně, máš tři panenky.“

Epizoda druhá. Vnučka (2;6) se chlubí babičce, jak ji děda naučil počítat. Říká „jedna, dva, tli, čili, pět“ a u toho vystírá prstíky. Procesy nejsou synchronní.1 Slova předbíhají pohyby. Babička dívenku pochválí, posadí si ji na klín a počítá s ní tak, že synchronizuje slova a prstíky. Dívenka pak sama počítání opakuje, ale slova opět předbíhají pohyby.

Komentář

První epizoda popisuje to stadium učení se říkanky, ve kterém je dítě ještě plně zaměřeno na proces. Otázce „Kolik?“ dívka rozumí na úrovni partikulárního verbálního světa čísel. Dívka již ví, že slova říkanky nutno propojit na souběžné pohyby ruky, ale necítí potřebu propojit toto počítání s představou množství. Možná v jiné situaci, například při dělení bonbónů tuto potřebu má, ale tam k žádosti o více bonbónů nepoužije říkanku, ale přímý vhled. Mámina závěrečná věta je moudrá, i když nelze říct, do jaké míry jí dívka rozumí.

Druhá epizoda odhaluje závažnější jev: synchronizaci rytmu slov a rytmu pohybů. Bez této znalosti nelze říkanku používat k určování počtu. Navíc absence synchronizace slov a pohybů má širší dopad, než jen na určování počtu říkankou. Rytmus hraje v životě člověka důležitou roli již od narození. Výstižně o tom píše E. Gruszczyk-Kolczyńska (1997, s. 1):

„Narodilo se dítě: křičí, je mu zima, každý dech ho bolí, bílé světlo řeže, je v porodním šoku. Stačí jej přivinout k tlukoucímu srdci člověka, ne nevyhnutně matky, a ono se ihned uklidní. V chaosu nových stimulů rozeznalo známý mu rytmus. Pocítilo něco, co znamená pokoj a bezpečí. Tak tomu bude v celém životě. Člověk se bojí chaosu a rozháranosti, uniká od něj. Jestliže se něco opakuje a ukládá do rytmu, přestává působit nepokoj. Může být člověkem pochopeno a předvídáno… jako první schopnost člověka rozvíjí se jeho způsobilost uvědomovat si to, co se opakuje.“

Rytmus a zejména synchronizace zvuku a pohybu napomáhá rozvoji aritmetického myšlení. K synchronizaci zvuku a pohybu mohou rodiče přispívat od nejútlejšího mládí. Když matka s dítětem v náručí jde po schodech a v rytmu chůze deklamuje říkanku, nebo když si s ním hraje „paci, paci, pacičky,“ přispívá tím k budování světa aritmetiky dítěte. Děti, které tyto hry nezažily, mohou mít pomalejší rozvoj aritmetického myšlení. Když učitel u žáka zjistí absenci uvedeného synchronu, poradí rodičům dobudovat synchronizaci nejlépe rytmickou chůzí po schodech doprovázenou slovy. Synchronizace číselné říkanky „jeden, dva, tři…“ s příslušnými pohyby je základní nástroj zjišťování počtu souboru objektů.

Říkanka je nejvydatnější zdroj budování představ o číslovkách. Není to ovšem zdroj jediný. Podívejme se i na další cesty, jimiž se čísla dostávají do vědomí dítěte.

1 συνχρων (synchrón) = současný, časově souběžný; základem řeckého slova je χρωνος = čas, bůh času; předpona συνodpovídá naší předponě s-. Například συναγωγα (synagóga) = místo, kde se lidé s-chází k motlitbě; (αγω = jdu). Další příklady: synergie, synkreze.

4.2.3 Vnímání čísla

Dospělý člověk má vztahy mezi čísly, jejich reprezentanty a jejich záznamem v oblasti desítkové soustavy plně automatizovány. To mu znesnadňuje porozumět potížím, s nimiž se při budování protoschématu Číslo dítě potýká. Stačí ale, aby si dospělý zkusil pracovat s číslem vně již automatizované oblasti, a ihned problémům, které má dítě, porozumí lépe, například když se pokusí vydělit MLI : XIX pomocí římských čísel.

Číslo pět může být reprezentováno obrázkem pětihlavého draka v pohádkové knížce, nebo pěti auty na parkovišti, nebo pěti údery bicích hodin, nebo pěti tečkami na hrací kostce, nebo slovem pět, nebo znakem 5, potažmo V.

Každá z těchto reprezentací čísla pět má svoje specifika. Vnímání čísla dítětem závisí na nosiči, skrze nějž se číslo dítěti nabízí. Může-li dítě číslo vnímat smysly (zejména zrakem, sluchem, hmatem a pohybem), nosič nazveme smyslový. Nosič, který číslo popisuje slovy, nazveme verbální. Nosič, který číslo popisuje znakem, nazveme znakový.

Smyslový nosič čísla charakterizují tři parametry. První udává míru stability vs. pomíjivosti, druhý je dán souborem smyslů, které se na percepci čísla podílejí, třetí eviduje míru (ne)přímosti smyslové percepce.

Nejstabilnější jsou permanentně dostupné neměnné nosiče, jako dvě okna v pokoji, nebo obrázek pětihlavého draka v knížce. Méně stabilní jsou časově omezené soubory objektů, jako čtyři auta na parkovišti, nebo čtyři prsty, kterými si dítě uchovává číslo 4. Nejméně stabilní jsou pomíjiví nositelé čísla, jako jsou tlesknutí, údery hodin nebo kroky.

Z hlediska způsobu uchopování a uchovávání čísla je rozhodující percepční dostupnost nosiče. Dva míče na obrázku jsou dostupné nejen zrakem, ale i hmatem – dítě se každého míče dotkne prstem. Tři holubi na střeše jsou dostupní jen zrakem a dítě si někdy tuto taktilně nedostupnou trojici modeluje na prstech, aby se zesílila percepční evidence čísla. Když má dítě pouze hmatem zjistit počet kuliček v sáčku, není si příliš jisté svým výsledkem. Pozná se to podle jeho radosti, s níž vítá později zrakovou evidenci tohoto souboru kuliček. Náročné je uchopování počtu souboru, který je uložen pouze ve vědomí dítěte. Takový případ uvidíme v příběhu 4.5.

Například obrázek pětihlavého draka v pohádkové knížce je nosič stabilní, protože dítě se k němu může kdykoli vrátit, i když knihu odloží. Pro dítě, které se na obrázek dívá, je to nosič přímý, vnímaný zrakem, případně i hmatem. Když dítě knihu odloží, stane se tento nosič nepřímým, protože dítě jej nevidí, ale má obrázek uložen v paměti.

Pět aut na parkovišti je nosič omezeně stabilní, protože kdykoli může některé auto odjet, nebo naopak nové přijet. Je to nosič vnímatelný přímo, a to pouze zrakem. Pět úderů hodin, které dítě teď právě slyšelo a počítalo, je nosič pomíjivý a přímý, vnímaný pouze sluchem. Po doznění zvuku se tento nosič stane nepřímým, protože již jej nelze vnímat smysly. Když dítě každý úder eviduje čárkou na papíře, podílí se na vnímání zvuků i pohyb ruky, tedy číslo je vnímáno nejen sluchem, ale i pohybem. Po odeznění zvuků se pětice čárek na papíře stává novým nosičem počtu úderů. Je to stabilní záznam pomíjivého procesu úderů hodin.

Zajímavá situace nastane, když dítě měří šíři místnosti a napočítá pět kroků. Co je zde nosičem čísla pět? Je to stabilní šíře místnosti, nebo pomíjivé krokování dítěte, provázené říkankou jedna, dvě, …, pět? V tomto případě má číslo pět nosiče dva. První je stabilní, druhý pomíjivý. Šíře místnosti je nosič pouze částečně přímý, protože kdykoli jej dítě chce evidovat, pokaždé musí krokovat. V šíři místnosti se číslo pět neukazuje přímo. Oba nosiče jsou vnímány pomocí kroků (pohybem) a slovy říkanky. Když po odkrokování dítě naměřený počet kroků eviduje pomocí pěti čárek, bude to stabilní záznam šíře místnosti.

Verbální nosič charakterizují parametry dva: míra jeho konkrétnosti vs. abstraktnosti a míra jeho jasnosti. Přitom jasnost závisí jednak na velikosti čísla, které je zvažováno, a na představách o tomto čísle uložených v paměti dítěte. Nosič čísla tři ve slovech „tři přání“, která zazní v pohádce o rybářovi a rybce, je abstraktní. Nosič čísla tři ve slovech „tři vlasy děda Vševěda“ je konkrétní. Číslo 12 v pohádce o dvanácti měsíčcích je pro dítě, které zná pouze čísla do 6, číslem nejasným. Nejasná jsou i čísla, která již z paměti dítěte (částečně) odešla. Například kolik dítě snědlo k obědu brambor. Zvláštní skupinu verbálních nosičů tvoří čísla kódovaná. Ve výpovědi „ jako prstů na jedné ruce“ je číslo 5 zakódováno a k jeho uchopení je nutné vědět nebo zjistit, kolik těch prstů na jedné ruce je. Podobně ve výpovědi „jako čísel na hrací kostce“ (tj. „jako stěn na krychli“) je zakódováno číslo 6. Kódovaní používáme, když chceme vyjádřit veliké číslo. Například „jako hvězd na nebi“ nebo „jako kapek v moři“.

Znakový nosič je charakterizovaný jediným parametrem, kterým je míra porozumění znaku.

Když dítě vidí napsané číslo nebo písmeno, ptá se, jak se to čte. Když se to dozví, uloží si do vědomí tuto informaci jako asociaci slovo ↔ znak. Jestliže dříve již toto slovo bylo propojeno na představu počtu nebo na adresu, na tuto asociaci se u prvního setkání slova se znakem nenaváže. K tomu dojde až po mnohonásobném opakování asociace.

Příběh 4.

Tatínek se čtyřletou dcerkou čekají na tramvaj. Přijíždí trojka a za ní čtrnáctka. Dívenka volá „čtrnáctka, čtrnáctka, už nám jede“. Táta ukazuje na první tramvaj a ptá se dívky, jaké je to číslo. Dívka odpoví, že neví.

Komentář

Dívenka umí pojmenovat znak 14, který má propojen se zkušeností: je to jméno tramvaje, kterou jezdíme domů. Nic jiného o tomto znaku a čísle dívka neví. Neví, že tento znak opisuje i jistý počet (například počet rukou všech sedmi trpaslíků). Je to tedy izolovaný poznatek asociace „čtrnáct ↔ 14“, který bude později rozšiřován o další asociace typu „sedmnáct ↔ 17“ a možná v budoucnu pomůže pochopit ono „náct“ ve slově čtrnáct. Dodejme, že podobné izolované asociace znaku a slova najdeme u většiny předškoláků.

Číslice není první znakový nosič čísla, s nímž se dítě setkává. Prvním znakovým nosičem je skupina čárek nebo teček. V 2.7.4 bylo uvedeno, proč právě tento nosič je pro počáteční stadium budování proto-schématu Číslo důležitý. V prostředí Krokování je stabilním nosičem čísla soubor šipek, v prostředí dědy Lesoně jsou nositeli čísla ikonky zvířat. Pestrost znakových evidencí umožňuje dítěti dobře pochopit zásadní rozdíl mezi číslem a jeho pojmenováním.

4.2.4 Potřeba dítěte evidovat počet nebo pořadí

Rozvoj proto-schématu a schématu Číslo je podmíněn potřebou dítěte evidovat číslo, zájmem dítěte o čísla. Především číslo jako počet, ale někdy i jako pořadí, adresa, nebo znak. Potřeba dítěte evidovat číslo se často objevuje již před druhým rokem dítěte a intenzita této potřeby je u většiny dětí kolísavá. Chvíli je silná, pak zase skoro mizí. Máme záznamy o dětech, u kterých je tato potřeba od čtvrtého roku permanentní. Někdy velice intenzivní, jindy průměrná, ale nikdy nemizí. Na druhé straně neznáme dítě, u kterého by se v předškolním věku potřeba vnímat číslo vůbec neobjevila.

Život permanentně přináší dítěti mnohé podněty. Dítě si z nich v každé chvíli vybírá některé. Někdy intenzivní zájem o čísla přinese dítěti během krátké chvíle cenné zkušenosti poznávání světa čísel.

Příběh 4.4 Sedíme v divadle. Manželka na sedadle 9, pětiletý syn na sedadle 8, dcerka na sedadle 7 a já na sedadle 6. Syn ještě nezná číslice, ale v aritmetice do 10 se již dobře orientuje. Hoch je v divadle poprvé, vše je pro něj nové, stále se na něco ptá. Pak jej zaujmou mosazné číslice na našich sedadlech. Dívá se na číslo svého sedadla a ptá se sestry, co to je. Ta řekne, že osm a dodá, že ona má sedm (ukazuje na číslici svého sedadla). Hoch prstem jezdí po číslici 8 a opakuje „osm“. Pak stejně jezdí po číslici 7 a opakuje „sedm“. Najednou se obrátí k mámě a říká „ukaž mi devět“. Prohlíží si devítku, jezdí po ní prstem. Ukážu mu moji šestku a ptám se „a jaké je toto číslo?“ Hoch počítá pozpátku „devět, osm, sedm“, pokaždé na číslo ukáže a uzavře „šest, ty máš šest“ a tlačí se ke mně, aby prstíkem psal po mé šestce.

Komentář V předchozích zkušenostech hocha vystupují čísla především jako nositelé mnohosti (počtu). Teď vidí čísla jako jména sedadel, ale ihned pozná, že to nejsou jen jména, že to jsou adresy. Navíc okrasný tvar číslic svádí hocha k tomu, aby si všímal i grafiky číslic. Z polohy čísel 7 a 8 hoch správně pochopil, že máma sedí na čísle 9 a já na čísle 6. Pro něj tato čísla byla více než jména sedadel, protože tvořila číselnou řadu. Do jaké míry si hoch v této situaci uvědomil i to, že každé z těchto čísel je též počtem, nedovedeme určit. Určitě ale tato zkušenost posunula hocha blíže k vnímání čísla na úrovni proceptu.

V archivu příběhů máme desítky případů, kdy dítě překvapí rodiče informací o počtu nějakých objektů, nebo dějů: na louce si hrálo 5 psů, do autobusu přistoupilo 7 lidí, v polévce byla čtyři písmena L (těstoviny ve tvaru písmen), v čekárně u lékaře čekalo 5 mužů,  ženy a  maminky, kočka devětkrát lízla kotě. Taková informace se dospělému jeví jako nezajímavá, ale dítě ji v tuto chvíli vnímá jako důležitou. Zájem rodiče o tuto informaci posiluje potřebu dítěte vnímat počet.

Chceme-li zjistit, jak intenzivní je momentální potřeba dítěte poznávat svět čísel, vystavíme dítě dvěma různým podnětům, z nichž jeden poukazuje na čísla. Uvedená diagnostická situace je ilustrována následujícím příběhem.

Příběh 4.5

Třem pětiletým dětem vyprávím pohádku, jak chrabrý princ bojuje s pětihlavým drakem. Záměrně udělám ve vypravování numerickou chybu: „Podruhé princ zaútočil a useknul drakovi druhou hlavu. Dvě hlavy již bezvládně ležely na zemi a princ viděl, že drakovi zbývají už jen dvě hlavy.“ Oba hoši byli dějem zcela pohlceni, ale holčička mne opravila „drak má ještě tři hlavy“ a ukázala tři prsty. Později mi řekla, že si ty hlavy od začátku počítala na prstech.

Komentář

Příběh ukazuje, jak číslo, verbálně prezentované v zajímavém kontextu, lze použít jako diagnostický nástroj pro hodnocení momentální vnímavosti dítěte na svět čísel. V příběhu ukázala dívka vyšší vnímavost než oba hoši. Není vyloučeno, že kdyby nešlo o boj prince s drakem, ale například o svatební šaty princezny, ukázala by se vnímavost na čísla vyšší u hochů než u dívky. Je též možné, že kdyby vyprávění proběhlo za týden, byl by to některý

z hochů, který by mne na chybu upozornil. Z toho, že dnes to byla dívenka, nelze vyvodit, že její vnímavost na přítomnost čísla je obecně vyšší než u hochů. Zaměřenost dítěte na vnímání počtu (jako konečně většina zaměřeností) je kurzorická – dnes je pro dítě důležitá, ale zítra již důležitou nebude.

4.2.5 Schopnost dítěte používat čísla

V první etapě poznávání číslovek se dítě učí slovům, někdy i znakům a situacím, ve kterých dospělí číslovky používají. Ve druhé etapě již tyto znalosti používá k řešení problémů.

První etapu ilustrují epizody z příběhů 4.1 až 4.. Příběhy 4.4 a 4.5 ilustrují již etapu druhou.

V příběhu 4.5 dívka použije znalost čísel ke korekci chybného vypravování. V příběhu 4.4 hoch smysluplně využívá řadu adres, aby správně určil adresu sedadla matky (9) i adresu sedadla otce (6). Navíc se učí tvar číslic.

Druhá etapa vyžaduje, aby dítě umělo říkankou určit počet malého souboru objektů a mělo představu počtu aspoň do 4. Tedy dítě již ví, že poslední slovo číselné říkanky je počet počítaných objektů. Říkanka, která dříve byla jen jedním z nástrojů komunikace, se stává nástrojem určování počtu. Říkanka je proces, poslední slovo je koncept. Myšlence počtu dítě rozumí, až když oddělí koncept od procesu, přesněji, když konceptualizuje proces.

Konceptualizace procesu není jednorázový akt. Probíhá opakovaně i poté, co dítě již bezpečně dokáže určit počet říkankou. Častěji než ve škole dochází k upevňování vazby procesu a konceptu v životních situacích. Ilustruje to následující příběh.

Příběh 4.6

Dědeček jde s vnučkou Aničkou do obchodu. Dívka loudí na dědečkovi nanuka. Dědeček souhlasí: „Dobře, ale koupíme pro každé dítě jeden nanuk, i pro Aleše a Anežku.“ Posledně jmenované děti jsou teď na návštěvě u Aničky. Dívenka počítá na prstech: „Já, Alice, Adam, Aleš, Anežka, pět; koupíme pět nanuků.“ Ukazuje dědovi pět prstů ruky. Děda souhlasí. V obchodě z mrazícího pultu Anička vybírá do košíku nanuky a opakuje jména v jiném pořadí: „Já, Alice, Anežka, Aleš, Adam.“ Nanuky v nákupním košíku opět přepočítá. Tentokrát ale říkankou „Jeden, dva, tři, čtyři, pět.“ Obrátí se na dědu a povídá: „Už mám pět nanuků.“

Komentář

Číslo 5 se v popsaném příběhu objeví ve vědomí Aničky pětkrát:

(1) Dívka pomocí dlouhodobé paměti mobilizuje ve svém vědomí pětiprvkový soubor dětí; soubor je částečně strukturován: já – sourozenci – kamarádi.

(2) Tím, že Anička jména říká, organizuje soubor pěti jmen do procesu; tím, že povídání provází procesem vystírání prstů, vkládá do procesu evidence strukturu.

() Pět prstů ruky ihned eviduje slovem „pět“; to se jako koncept ukládá do krátkodobé paměti.

(4) V obchodě zjištěný koncept „pět“ nepoužije, ale opět v paměti mobilizuje všech pět dětí a v pozměněném pořadí (nejdříve dívky, pak hoši) ukládá nanuky do košíku.

(5) Nakonec použije dříve zjištěný koncept „pět“ na kontrolu, zda je úloha dobře vyřešena.

Příběh dobře ilustruje vícenásobnou provázanost procesu a konceptu při řešení úlohy ze života. Tím, že myšlenkové procesy probíhají ve službách životní potřeby, bytostně náleží do představ

sémantických a přispívají k amalgamaci procesu a konceptu. Anička, díky nabyté nanukové zkušenosti, zesílila porozumění amalgámu čísla pět. Když toto porozumění obohatí o počítání pozpátku (viz dále příběh 4.7), bude připravena vytvořit kvalitní procept čísla pět ihned po získání informace, že slovo pět se zapisuje znakem 5.

Poslední příběh odstavec 4.2.5 pochází od učitelky z mateřské školy a ukazuje potřebu dětí předškolního věku budovat amalgámy počítáním pozpátku.

Příběh 4.7 (autorka V. Tejkalová; upraveno)

Jednou mne napadla hra na trpaslíky z pohádky O Sněhurce, kterou děti mají rády. Naším úkolem bylo vydat se na cestu kutat drahokamy do jeskyně vzdálené za desatero horami. Všechny děti se přichystaly a vyšly z domečku (to byla nula). Začali jsme počítat kroky: „Jedna … dva … tři …“ Když jsme ušli tři kroky, jedna dívka se nešťastně ozvala: „Já jsem si zapomněla vzít čepičku!“ Zeptala jsem se dětí, co navrhují. Očekávala jsem, že jí někdo čepičku půjčí. Ale nestalo se tak. Dívka sama rezolutně navrhla: „Musíme se vrátit!“ Hned jsem se zeptala dětí: „Můžeme se vrátit? A kudy?“ Dívka pohotově odpověděla: „ Vždycky se můžeme vrátit! Vrátíme se stejnou cestou,“ a začala se hned sama vracet – dělala kroky pozpátku a odpočítávala: „Tři … dva … jedna … domeček“ a ostatní děti se k ní hned připojily a napodobily ji. Hra se jim zalíbila. Ten den jsme se museli vrátit ještě pro kladívko a pak pro lucerničku. V dalších dnech už děti ani jinou hru hrát nechtěly. Zapomínaly všechno možné, včetně kalhotek a jedné boty a hodně jsme se u toho nasmáli.

Komentář

Dívka, která si zapomněla vzít čepičku, narušila zamýšlenou hru. Tento zdánlivě negativní jev se nakonec ukázal jako vítaná modifikace původní hry. Spontánní žádost dětí opakovat říkanku pozpátku svědčí o potřebě budovat amalgám malých čísel. Tuto potřebu pociťovaly asi všechny děti, když tak přičinlivě zapomínaly svoje věci. Je zřejmé, že počítání pozpátku, zesílené pohyby vlastního těla, přispívá k hlubšímu porozumění číselné řady, k tvorbě amalgámů i k procesu odčítání. Počítání pozpátku je inspirací i pro řešitelskou strategii „od konce“, o které píšeme v 2.6.8 a 2.6.9. V příběhu .2 bylo ukázáno, jak Petula, žákyně třetího ročníku, strategii „pozpátku“ skvěle využila k přesvědčení spolužáka Prokopa, že jeho zápis 5 + 5 + 5 = = 15 + 12 = 27 je nekorektní.

Příběh je poučný i z hlediska edukačního stylu učitelky. Ta měla připravenu hru a její scénář byl zapomnětlivou dívkou narušen. Lze očekávat, že narušení přijme učitelka negativně. Nestalo se tak. Příběh ukazuje, že změna, ke které ve scénáři došlo, byla pro žáky prospěšná. Učitelka příběhem prokázala vysokou úroveň edukačního citu.

4.3 První třída

Vstup žáka do školy je výraznou změnou v životě dítěte. Během prvního roku školní docházky se výrazně formují žákovy názory jak v oblasti sociální, tak v oblasti kognitivní. Práce učitele je pro toto formování rozhodující. Proto je první třídě věnována celá kapitola, ve které zkoumáme, jak různé působení učitele ovlivňuje zmíněné formování.

Nástupem dítěte do mateřské školy nebo školy začíná posun vytvořeného již proto-schématu Číslo na schéma. Čísla se stávají generickými modely počtu i adresy, tvoří se první amalgámy (2.5.1), zárodky pozdějších proceptů. Nejdůležitější změna v oblasti kognitivní a meta-kognitivní,

názory jak v oblasti sociální, tak v oblasti kognitivní. Práce u itele rozhodující. Proto je první t íd v nována celá kapitola, ve které sobení u itele ovliv uje zmín né formování.

ské školy, nebo školy za íná posun vytvo eného již proto-schématu stávají generickými modely po tu i adresy, tvo í se první amalgámy jších procept . Nejd ležit jší zm na v oblasti kognitivní a metaz rodinného prost edí do t ídy dít ti p ináší, je možnost poznávat možnost diskuse. Týká se to zejména d tí, které nemají v kov blízkého komunikace a interakce dít – dít nový fenomén života.

kterou dítěti přechod z rodinného prostředí do třídy přináší, je možnost poznávat názory spolužáků, možnost diskuse. Týká se to zejména dětí, které nemají věkově blízkého sourozence a pro které je komunikace a interakce dítě – dítě nový fenomén života.

Učitel, který iniciuje a podporuje diskusi mezi žáky, přispívá k vydatnému obohacování žákovských představ nejen o číslech a číselných vztazích. Příkladem takové podpory je reakce učitelky z příběhu 4.7 na situaci, kdy dívenka oznámila, že si zapomněla čepičku. Učitelka situaci neřeší, ale ptá se dětí, co se má dělat.

podporuje diskusi mezi žáky, p ispívá k vydatnému obohacování o íslech a íselných vztazích. P íkladem takové podpory je reakce situaci, kdy dívenka oznámila, že si zapomn la epi ku. U itelka tí, co se má d lat.

Edyta Gruszczyk-Kolczynská ukazuje, že když dítě nemá dětského partnera, může dospělý pomocí maňáska partnera simulovat. Zde je potřebná schopnost empatie dospělého do světa dítěte, protože komunikace bude úspěšná do té míry, jak bude blízká světu dítěte.

Někteří žáci přicházející do první třídy umí počítat do dvaceti nebo i dále, znají číslice a mají rozvinuté kauzální myšlení. Jiní ale s bídou znají čísla do pěti a jejich intelekt je na nízké úrovni. Učitel stojí před náročnou úlohou, dát těm nejslabším možnost dobře vstoupit do světa čísel, ale současně nezpomalovat rozvoj těch, kteří jsou hodně napřed. V příběhu 4.8 se pokusíme naznačit, jaké má zde učitel možnosti.

Gruszczyk-Kolczynská ukazuje, že když dít nemá d tského partnera, m že dosp lý simulovat. Zde je pot ebná schopnost empatie dosp lého do sv ta komunikace bude úsp šná do té míry, jakou bude blízká sv tu dít te. do první t ídy umí po ítat do dvaceti, nebo i více, znají íslice a mají myšlení. Jiní ale s bídou znají ísla do p ti a jejich intelekt je na nízké náro nou úlohou, dát t m nejslabším možnost dob e vstoupit do sv ta nezpomalovat rozvoj t ch, kte í jsou hodn nap ed. V p íb hu 4.8 se má zde

Edyta Gruszczyk-Kolczynská ukazuje, že když dít nemá d tského partnera, m že dosp lý pomocí ma áska partnera simulovat. Zde je pot ebná schopnost empatie dosp lého do sv ta dít te, protože komunikace bude úsp šná do té míry, jak bude blízká sv tu dít te.

4.3.1 Číslo jako počet objektů

Cvičení M1/1/8 obsahuje 20 obrázků. Prvních pět z nich vidíme na obrázku 4.1. Učitelka řekne „Na prvním obrázku (ukáže na obrázek) je jeden kohoutek. Proto je pod obrázkem jedna čárka. A co je na druhém obrázku?“

N kte í žáci p icházející do první t ídy umí po ítat do dvaceti, nebo i více, znají íslice a mají rozvinuté kauzální myšlení. Jiní ale s bídou znají ísla do p ti a jejich intelekt je na nízké úrovni. U itel stojí p ed náro nou úlohou, dát t m nejslabším možnost dob e vstoupit do sv ta nap ed. V p íb hu 4.8 se pokusíme nazna

4.3.1

Cvi vidíme na obrázku 4.2. U itelka ekne „Na prvním obrázku (ukáže na obrázek) je jeden kohoutek. Proto je pod obrázkem jedna árka. A co je na druhém obrázku?“

Obr. 4.1

D ti volají, že dva motýlci.

objekt obsahuje 20 nich U itelka (ukáže na obrázek) je jeden kohoutek. Obr. 4.2 jedna árka. A co je na druhém obrázku?“ motýlci.

Děti volají, že dva motýlci.

U itelka: „Ano, jsou tam dva motýlci. Kolik pod n ud láme árek?“

dva motýlci. Kolik pod n ud láme árek?“ dv a pak se již aktivn jší žáci sami chopí slova a eknou, že pod t i dva ko árky dv árky a pod medvídka dáme jednu árku.

Učitelka: „Ano, jsou tam dva motýlci. Kolik pod ně uděláme čárek?“

D ti správn eknou, že dv a pak se již aktivn jší žáci sami chopí slova a eknou, že pod t i mí e dáme t i árky, pod dva ko árky dv árky a pod medvídka dáme jednu árku.

Děti správně řeknou, že dvě, a pak se již aktivnější žáci sami chopí slova a řeknou, že pod tři míče dáme tři čárky, pod dva kočárky dvě čárky a pod medvídka dáme jednu čárku.

Obr. 4.3

Obr. 4.2

P íb h 4.8

Příběh 4.8

Na druhé hodině matematiky v 1. ročníku žáci řešili uvedené cvičení. Po chvíli došlo k sporu mezi dvěma hochy. Spor se týkal čtrnácté úlohy tohoto cvičení, kterou vidíme na obrázku 4.2. Žák Blažej zde napsal 4 čárky. Jeho soused Boris namítal, že jsou tam jen dvě koloběžky.

Na druhé hodin matematiky v 1. ro níku žáci ešili uvedené cvi ení. Po chvíli došlo k sporu mezi dv ma hochy. Spor se týkal trnácté úlohy tohoto cvi ení, kterou vidíme na obrázku 4.3. Žák Blažej zde napsal 4 árky. Jeho soused Boris namítal, že jsou tam jen dv kolob žky. Blažej se bránil, že jsou tam 4 kole ka. Boris se zeptal u itelky, co je správn . Blažej ekl: „Ale jsou tam ty i kole ka.“ U itelka ukázala t íd obrázek, o který se hoši p ou, a ptala se t ídy, co si myslí. T ída souhlasila s Borisem, jen dva hoši ekli, že to jsou i ty i kole ka. Po chvíli Bára p inesla u itelce svoje ešení. M la pod obrázkem zapsáno | | , tedy 2 árky, jako že 2 kolob žky, a 4 kroužky, jako že 4 kole ka. U itelka Bá ino ešení ukázala t íd a pochválila dívku, že dob e vy ešila spor hoch . U itelka ekla: „Boris ud lal dv árky, protože na obrázku jsou dv kolob žky. Blažej ud lal ty i árky, protože na obrázku jsou ty i kole ka. Hoši cht li, abych ekla, které ešení je lepší. Bára je chyt e rozsoudila: zapsala

Blažej se bránil, že jsou tam 4 kolečka. Boris se zeptal učitelky, co je správně. Blažej řekl: „Ale jsou tam čtyři kolečka.“ Učitelka ukázala třídě obrázek, o který se hoši přou, a ptala se třídy, co si myslí. Třída souhlasila s Borisem, jen dva hoši řekli, že to jsou i čtyři kolečka. Po chvíli Bára přinesla učitelce svoje řešení. Měla pod obrázkem zapsáno | | οοοο, tedy 2 čárky, jako 2 koloběžky, a 4 kroužky, jako 4 kolečka. Učitelka Bářino řešení ukázala třídě a pochválila dívku, že dobře vyřešila spor hochů. Učitelka řekla: „Boris udělal dvě čárky, protože na obrázku jsou dvě koloběžky. Blažej udělal čtyři čárky, protože na obrázku jsou čtyři kolečka. Hoši chtěli, abych řekla, které řešení je lepší. Bára je chytře rozsoudila: zapsala dvě čárky a čtyři kolečka. Ukázala, že obojí je dobře.“

Komentář

Učitelka nežádá od žáků autorské řešení. Ví, že cílem řešení není výsledek, ale řešitelský proces sám. Úlohu vnímá jako výzvu k tvůrčí činnosti žáků a za správné považuje každé řešení, které je zdůvodněno. Učitelka přenechala spor hochů třídě. Tím do budoucna

• povzbudila potřebu žáků hledat alternativní tvořivá a zdůvodněná řešení úloh,

• ukázala, že žáci nemohou spoléhat na rozhodnutí a rady učitelky,

• dala jim právo i povinnost rozhodovat o tom, co je dobře a co špatně a tím v nich

• začala budovat pocit odpovědnosti za výsledky svého rozhodnutí.

• Tím, že Báru pochválila, ukázala žákům na sociální rozměr budoucích diskusí. Pochvalou řešení, jež oslabilo ostří antagonistických názorů,

za ala budovat pocit odpov dnosti za výsledky svého rozhodnutí.

• poukázala na mravní hodnotu hledání kompromisních řešení.

Tím, že Báru pochválila, ukázala žák m na sociální rozm r budoucích diskusí. Pochvalou ešení, jež oslabilo ost í antagonistických názor , poukázala na mravní hodnotu hledání kompromisních ešení.

Soubory objektů na každém z 20 obrázků cvičení M1/1/8 jsou homogenní. Podívejme se, jak děti vnímají soubory heterogenní.

Soubory objekt na každém z 20 obrázk cvi ení M1/1,8 jsou homogenní. Podívejme se, jak d ti vnímají soubory heterogenní.

4.3.2 Heterogenní soubor – krystalizace názorů

4.3.2 Heterogenní soubor – krystalizace názor

N kte í didaktici považují za nevhodné pracovat v prvním ro níku s heterogenními soubory. Poprvé jsem tento jev evidoval u svého šestiletého syna, který mi na otázku, kolik lidí žije v chaloupce u trpaslík , odpov d l „sedm trpaslík a jedna Sn hurka“. Moji odpov „osm lidí“ odmítal. P ipustil ji až asi po m síci, když sám zjistil, že dv holky a t i kluci je p t d tí, že pes, ko ka, a dv kozy jsou ty i zví ata, že ty i židle a st l je p t kus nábytku apod.

Někteří didaktici považují za nevhodné pracovat v prvním ročníku s heterogenními soubory. Poprvé jsem tento jev evidoval u svého šestiletého syna, který mi na otázku, kolik lidí žije v chaloupce u trpaslíků, odpověděl „sedm trpaslíků a jedna Sněhurka“. Moji odpověď „osm lidí“ odmítal. Připustil ji až asi po měsíci, když sám zjistil, že dvě holky a tři kluci je pět dětí, že pes, kočka, a dvě kozy jsou čtyři zvířata, že čtyři židle a stůl je pět kusů nábytku apod.

Obr. 4.4

Obr. 4.3

Zkušenosti z našeho experimentálního vyu ování ukazují, že žáci sami vy eší záludnost práce s heterogenním souborem, jestliže to u itel ponechá jejich diskusím. Následující p íb h ukazuje reakci t ídy na evidenci po tu heterogenního souboru objekt

Zkušenosti z našeho experimentálního vyučování ukazují, že žáci sami vyřeší záludnost práce s heterogenním souborem, jestliže to učitel ponechá jejich diskusím. Následující příběh ukazuje reakci třídy na evidenci počtu heterogenního souboru objektů.

P íb h 4.9

Příběh 4.9

Na obrázku 4. vidíme třetí úlohu ze cvičení M1/1/9. Cecílie místo čárek nakreslila jednu čepici

Na obrázku 4.4 vidíme t etí úlohu ze cvi ení M1/1/9. Cecílie místo árek nakreslila jednu epici a jedny brýle. U itelka toto ešení ukázala t íd . Cyprián, který m l dv árky, spojil jednu árku s epicí a druhou p ekreslil na brýle. Cyril namítal „To ale musím se íst, jako že dv “, a ukázal svoje ešení, kde ob árky byly vedle sebe. Cecílie ekla, že jsou to jedny brýle a jedna epice. Cyril naléhal, že jsou to ale dv árky. U itelka se ptala t ídy, jak to tedy je? N kolik žák souhlasilo s Cyrilem, n kolik s Cecílií, n kte í váhali. R zn byly ešeny i následující úlohy tohoto cvi ení. Pak ale u obrázku klobouk + 2 brýle Ctibor hlasn vyk ikl „t i, to jsou t i v ci“. Poslední slovo zd raznil. U itelka se ptala, zda má Ctibor pravdu. N kte í žáci za ali ze svých ešení mazat áry, které spojovaly nakreslené objekty s árkami pod obrázkem. Ne všichni to ale p ijali. Cecílie se naléhav ptala u itelky, jak to tedy má

a jedny brýle. Učitelka toto řešení ukázala třídě. Cyprián, který měl dvě čárky, spojil jednu čárku s čepicí a druhou překreslil na brýle. Cyril namítal: „To ale musím sečíst, jako že dvě“, a ukázal svoje řešení, kde obě čárky byly vedle sebe. Cecílie řekla, že jsou to jedny brýle a jedna čepice. Cyril naléhal, že jsou to ale dvě čárky. Učitelka se ptala třídy, jak to tedy je? Několik žáků souhlasilo s Cyrilem, několik s Cecílií, někteří váhali. Různě byly řešeny i následující úlohy tohoto cvičení. Pak ale u obrázku klobouk + 2 brýle Ctibor vykřikl „tři, to jsou tři věci“. Poslední slovo zdůraznil. Učitelka se ptala, zda má Ctibor pravdu. Někteří žáci začali ze svých řešení mazat čáry, které spojovaly nakreslené objekty s čárkami pod obrázkem. Ne všichni to ale přijali. Cecílie se naléhavě ptala učitelky, jak to tedy má udělat. Učitelka řekla, že si to každý může udělat podle sebe. Cecílii se to nelíbilo, ale i ona čáry z řešení vymazala. Problém vyvstal opět, když na straně 12 bylo třeba sčítat dva zajíce a jednu lišku. Jedna dívenka se bála, že po sečtení liška zajíce sežere. Učitelka řekla, že když tam nakreslí jen tři čárky, tak čárka čárku nesežere. To se dětem líbilo.

Komentář

V některých učebnicích didaktiky matematiky se uvádí, že není vhodné dávat dětem zjišťovat počet prvků heterogenní skupiny. Nedomníváme se, že je to rozumné. Přece dítě se s heterogenními skupinami setkává denně. Například: ve třídě je nás 9 děvčat a 10 hochů, tedy 19 žáků. Zde je důležité, zda dítě spontánně pozná slovo, které pokrývá všechny prvky souboru. Z toho hlediska je obrázek 4. v učebnici M1/1 zařazen příliš brzy. Tomuto obrázku měly předcházet obrázky s homogennějšími soubory prvků: hoši + dívky = žáci, nebo vrabci + sýkorky = ptáci apod.

Ctibor objevem slova „věci“, které pokrývalo brýle i klobouk, urychlil přijetí názoru, že zde jde pouze o počet, nikoli o věci samé. Ne všichni žáci to přijali ihned, ale nakonec každý k tomuto názoru dospěl. V jiné třídě nabídla žákům řešení učitelka, když se zeptala:„Kolik věcí je nakreslených na dalším obrázku?“ I toto řešení se nám jeví didakticky vhodné. Poznámka učitelky na konci příběhu je hluboká. Ukazuje, že uchopením počtu pomocí čárek zaniká sémantická podstata počítaných objektů a zůstává zde pouze počet.

Ctibor objevem slova „v ci“, které pokrývalo brýle i klobouk, urychlil p ijetí názoru, že zde jde pouze o po et, nikoli o v ci samé. Ne všichni žáci to p ijali ihned, ale nakonec každý k tomuto názoru dosp l. V jiné t íd nabídla žák m ešení u itelka, když se zeptala:„Kolik v cí je nakreslených na dalším obrázku?“ I toto ešení se nám jeví didakticky vhodné. Poznámka u itelky na konci p íb hu je hluboká. Ukazuje, že uchopením po tu pomocí árek zaniká sémantická podstata po ítaných objekt a z stává zde pouze po et.

4.3.3 Velká čísla – prostor pro špičkové žáky

4.3.3 Velká ísla – prostor pro špi kové žáky

Obr. 4.5

Obr. 4.4

Vra me se ke cvi ení M1/1;8 o kterém jsme psali v kapitole 4.3.1. Ve cvi ení je i obrázek 4.5, na kterém jsou t i v trníky. K n mu se vztahuje následující p íb h.

Vraťme se ke cvičení M1/1/8, o kterém jsme psali v odstavci 4..1. Ve cvičení je i obrázek 4.4, na kterém jsou tři větrníky. K němu se vztahuje následující příběh.

P íb h 4.10

en k p ib hl k u itelce, aby jí ukázal svoje ešení. ekl „t ch je dvanáct, t ch, t ch ... “ (ukazoval na lístky v trníku, protože je neum l pojmenovat). U itelka mu pomohla slovem

Příběh 4.10 Čeněk přiběhl k učitelce, aby jí ukázal svoje řešení. Řekl „těch je dvanáct, těch, těch ... “ (ukazoval na lístky větrníku, protože je neuměl pojmenovat). Učitelka mu pomohla slovem „lístků“ a řekla, ať to zkontrolují spolu s Čestmírem, zda je to pravda. Čeňkovo řešení neukázala

„lístk “ a ekla, a to zkontrolují spolu s estmírem, zda je to pravda. e kovo ešení neukázala t íd . O estmírovi v d la, že zná v tší ísla, protože p ede dv ma dny napo ítal dvacet d tí na obrázku na dvojstran 6 a 7 u ebnice M1/1. en k s estmírem pak spolu zjistili další zajímavosti, nap íklad že ve t etí úloze jsou nejen 3 mí e, ale i 6 bílých „m sí k “ a celkem je zde 12 „m sí k “ (viz obr. 4.2). Po et 12 již estmír zapisoval íslicemi, en k dvanácti te kami. Hoch m u itelka ekla: „My zatím po ítáme jen do p ti, ale vy m žete po ítat i víc.“

Komentá . Individualizace, kterou u itelka zahájila uvoln ním prostoru pro dva hochy, bude na ni klást zvýšené nároky. Na druhé stran ale dvojice hoch potáhne další žáky a budou-li mít dostatek p im en náro ných úloh, budou pracovat a nebudou vyrušovat. U itelka podle

našeho názoru správn rozhodla, že není rozumné ukázat myšlenku e ka celé t íd , protože

třídě. O Čestmírovi věděla, že zná větší čísla, protože přede dvěma dny napočítal dvacet dětí na obrázku na dvojstraně 6 a 7 učebnice M1/1. Čeněk s Čestmírem pak spolu zjistili další zajímavosti, například že ve třetí úloze jsou nejen  míče, ale i 6 bílých „měsíčků“ a celkem je zde 12 „měsíčků“ (viz obr. 4.1). Počet 12 již Čestmír zapisoval číslicemi, Čeněk dvanácti tečkami. Hochům učitelka řekla: „My zatím počítáme jen do pěti, ale vy můžete počítat i víc.“

Komentář

Individualizace, kterou učitelka zahájila uvolněním prostoru pro dva hochy, bude na ni klást zvýšené nároky. Na druhé straně ale dvojice hochů potáhne další žáky a budou-li mít dostatek přiměřeně náročných úloh, budou pracovat a nebudou vyrušovat. Učitelka podle našeho názoru správně rozhodla, že není rozumné ukázat myšlenku Čeňka celé třídě, protože by to mohlo slabší žáky demotivovat.

Žáci, kteří již v první třídě umí počítat hodně přes desítku, vítají, když se naskytne možnost taková čísla uvádět. Některé děti jsou velkými čísly fascinovány. Více ale v oblasti verbální, než objektové. Již v předškolním věku se zejména hoši trumfují v tom, kdo řekne větší číslo. Slyšíme čísla jako tisíc milión miliónů; nebo habalión, který podle svého šestiletého autora je tak velký, že již nic většího se vymyslet nedá. U některých žáků se později objeví zájem o posloupnost 1, 2, , 4, ..., kterou jsou schopni odříkat nebo zapisovat do několika stovek. Jsou fascinováni možností pokračovat dál a dál. Jeden šestiletý hoch psal do sešitu čísla od jedné, a když se po třech dnech dopracoval k číslu 998, utíkal za babičkou, aby byla přítomna okamžiku, když bude psát 1000. Tento hoch, stejně jako i další děti, u nichž jsme pozorovali zájem o nárůst přirozených čísel, projevoval zájem o matematiku i na druhém a třetím stupni.

Otázky týkající se velmi velkých souborů začínají žáky zajímat později. Otázka, zda je více zrnek písku na Sahaře nebo kapek vody ve Středozemním moři, oslovila žáky až v pátém ročníku. Byli tři, co začali hledat způsob, jak takové porovnání uskutečnit.

Zkušenosti ukazují, že protiváhou k velkým číslům jsou úlohy, které nevyžadují velká čísla, ale přinášejí zajímavé výzvy směřující k řešení situací (jako cvičení „Přejdi po mostech“ z M1/1/20) nebo otevírající nová matematická prostředí (jako Krokování na M1/1/22). Když se žák s těmito úlohami a prostředími seznámí, často dochází k útlumu jeho zájmu o veliká čísla.

4.3.4 Propedeutika zlomku

V tradičních osnovách matematiky základní školy se žáci se zlomkem seznamují až ve čtvrtém nebo pátém ročníku. Víme, že tyto pojmy dělají žákům potíže i na střední škole a výzkumy ukazují, že jednou z vážných příčin tohoto stavu je chatrná propedeutika tohoto hlubokého pojmu matematiky. Více o tom bude uvedeno v kapitole 4.10. Zde se zaměříme jen na ilustraci propedeutiky.

Žák přicházející do školy má již zkušenosti s pojmy polovina a rozpůlit. Někdy je představa dítěte nepřesná – rozpůlit chápe jako rozdělit na dvě části. Ale dítě ví, co je spravedlivé dělení jablka, koláče, nebo souboru lentilek na dvě části. Ví, že slovo „spravedlivé“ říká, že části musí být stejné. Pomocí spravedlivého dělení celku na dvě, tři, čtyři nebo šest částí si žák v průběhu prvního ročníku vytvoří dobrou představu zlomků polovina*, třetina*, čtvrtina* a šestina*2. Všechny tyto zkušenosti žák získává hlavně manipulací a dramatizací: krájením, stříháním,

2 Připomínáme, že znak * za číslem říká, že číslo je sémanticky kotveno. Tedy třetina* znamená třetinu koláče, nebo třetinu tyče apod.

rozdělováním. Zcela přirozeně se při těchto činnostech ve vědomí žáka vytvářejí i vztahy typu polovina + polovina = celek, čtvrtina + čtvrtina = polovina, polovina > třetina, celek – polovina = polovina apod. Případná snaha dospělého ukázat dítěti zápis zlomku je kontraproduktivní, protože náročný pojmotvorný proces budování představy zlomku zatíží náročným znakovým systémem. Jestliže u budování představ přirozených čísel je třeba zavádění číslic oddálit, u zlomků to platí ve zvýšené míře. Podle našich zkušeností je zapotřebí se zlomky pracovat dva roky, a to pouze pomocí slov, obrázků a manipulací.

Hlavním úkolem učitele při otevírání světa zlomků v první třídě je dobré sémantické ukotvení pojmů polovina, třetina, čtvrtina a šestina. K rozvoji sémantických představ pojmu polovina přispívá například diskuse o tom, jak „rozpůlit“ obvod nebo obsah čtverce (obdélníku, kruhu) nebo objem krychle, nebo jak najít něco neživého, co se půlit nedá. V jedné takové debatě žáci našli objekty: zeměkoule, gól v kopané a mýdlovou bublinu. Nezřídka se setkáme i s deformovanou představou poloviny. Takový případ uvádí následující ilustrace.

Příběh 4.11 (Autor: M. Sasková)

K snídani můj syn snědl jeden celý rohlík a dcera rohlík podélně rozkrojený. Tvrdila, že ona snědla dva. Syn jí vysvětloval, že snědla dvě půlky, což je jeden rohlík. Ona argumentovala, že toto nejsou dvě půlky, protože jsou stejně dlouhé, jako celý rohlík; půlky by to byly tehdy, pokud by byl rohlík rozkrojen napříč.

Komentář

Rohlík rozpůlený příčně je pro dívku izolovaný model slova „polovina“ , ale rohlík rozkrojený podélně není. Pěkný příklad zamítnutí správného modelu pojmu polovina.

4.3.5 Propedeutika záporného čísla

Záporné číslo, jako „to je před nulou“, se u žáků v prvním ročníku objeví v prostředí Krokování a Schody. Dva žáci stojí vedle sebe u krokovacího pásu. První udělá dva kroky vpřed a pak tři kroky vzad. Co má udělat druhý žák, aby opět stál vedle prvního? Jeden krok vzad. To je procesuálně uchopené číslo -1. V prostředí Schody, kde má každý schod svoje jméno, je nutno pojmenovat i schody pod nulou. Ve skoro všech třídách, kde jsme sledovali žáky, jak si poradí s pojmenováním záporných schodů, se našel žák, který zmínil tlačítko -1 na výtahu (sklep) a žák, který ukázal na záporné hodnoty na teploměru. V jedné třídě na vesnici, kde žáci nemají zkušenosti s výtahem, pouze jeden žák věděl, že schody pod nulou jsou označeny -1, -2, - atd. Tuto znalost měl od maminky. V jiné škole na schod -1 položil žák list s číslicí 1 vzhůru nohama. Následující příběh vypráví, jak bylo prostředí Schody objeveno.

Příběh 4.12

Derek a Dalimil, žáci 2. ročníku, společně řešili domácí úlohu 5 – 7 + 4 = . Úloha vznikla špatným opsání zadání z tabule. Na tabuli bylo napsáno 50 – 7 + 4 = . Dalimil ve škole nebyl a Derek to chybně opsal.

Derek řekl, že úloha se řešit nedá, protože „z pěti sedm nevezmu“. Dalimil navrhnul: „k pěti přidám čtyři, mám devět a odeberu sedm; dvě je výsledek.“ Dalimilova matka mínila, že učitelka dala tuto nekorektní úlohu omylem. Otec tvrdil, že syn dal dobrý výpočet a že výsledek je kladný, tedy je to v pořádku. Otec našel i příběh, který by existenci výpočtu opravňoval:

„Hrál jsem kuličky; nejprve jsem jich vyhrál pět, pak sedm prohrál a nakonec ještě čtyři vyhrál. Celkově jsem vyhrál dvě kuličky.“ Dětem tento otcův výklad nebyl úplně jasný. Chtěli vědět, kolik kuliček měl otec před hrou. Nakonec mi Dalimilův otec, můj přítel, zavolal a telefonem mne požádal o názor. Navrhnul jsem přenést příběh s kuličkami na schodiště a z některého schodu, který označíme jako výchozí vystoupat 5 kroků nahoru, pak 7 kroků sestoupit dolů a nakonec 4 schody vystoupat nahoru. Tento způsob řešení úlohy oba hoši přijali a měli z toho radost. Sami pak s radostí řešili na schodech další úlohy, které jim dával táta.

Komentář

Příběh se odehrál v roce 1975 a stal se zárodkem pro tvorbu prostředí Tajná chodba, z něhož později vznikla prostředí Krokování a Schody. Teď k příběhu. Dalimil uchopil nápis 5 – 7 + 4 v kontextu aritmetické struktury, mimo sémantiku. Aniž by čísla interpretoval, použil komutativní zákon, který již dříve objevil jako znalost v akci (při sčítání a odčítání mohu čísla jakkoli prohazovat). Derek uchopil daný nápis sémanticky a při jeho čtení narazil na epistemologickou překážku: z 5 nelze odebrat 7. Otec našel sémantický model procesu řešení, který lze znázornit schématem:

Vstupní stav +5 Stav po první změně

Obr. 4.5

-7 Stav po druhé změně +4 Výstupní stav

V něm jsou všechna čísla operátory změny a kromě nich se objevují čtyři utajená čísla. Model byl dětem málo srozumitelný, protože v něm scházelo výchozí číslo. Návrh využít k řešení prostředí schodů uvedený nedostatek odstranil, protože místo výchozího čísla zde byl schod, ze kterého se krokování začalo.

4.3.6 Izomorfizmus

Jednou z nejdůležitějších schopností matematického orgánu je nacházet ve zdánlivě odlišných situacích společné jádro, tedy vidět to, co je v daných situacích stejné, vidět, že jsou v jistém smyslu izomorfní. Tak tři prsty a dva prsty je pět prstů a též tři panenky a dvě panenky je pět panenek. Dítě, které uvidí, že v obou případech se jedná o stejnou početní situaci, tedy dítě, které uvidí, že situace jsou z hlediska počtů stejné, proniká do zákonitosti  + 2 = 5. Podobně žák, který pochopí, že rovnost 0 + 20 = 50 platí, protože  + 2 = 5, udělá důležitý krok k poznávání desítkové soustavy. Někteří žáci již v prvním ročníku jsou schopni tento izomorfizmus zcela spontánně používat. O tom vypravuje

Příběh 4.1 (Autor: L. Kremlíková)

V červnu 201 v první třídě jsme házeli šiškami na cíl. Každý žák hodil 5 šišek. Večerní rekapitulace uplynulého dne otevřela debatu. V jídelně sedělo 24 dětí u šesti stolů.

U1: Uměli byste spočítat, kolik šišek jste nasbírali u jednoho stolu?

Ž1: Čtyřikrát pět, (pauza) dvacet.

U2: Tomu nerozumím. (Ke třídě) Berete to? Můžete mi to vysvětlit?

Ž2: Pět a pět je deset, a pět je (pauza) patnáct. Patnáct a pět je (pauza) dvacet.

U: Uměli byste spočítat, kolik šišek jste nasbírali všichni dohromady?

Ž: (většina počítá) Dvacet, čtyřicet, šedesát, … Než stihli dopočítat, Eliška řekla sto dvacet.

U4: Jak jsi na to přišla?

Eliška1: Dva, čtyři, šest, osm, deset, dvanáct a nula k tomu, to je sto dvacet.

Komentář

Vstup Elišky je brilantní ilustrace izomorfizmu mezi jednotkami a desítkami. Neomezuje se pouze na jednomístná čísla, ale výsledkem 12 překračuje tuto hranici.

Když jsem příběh četl, byl jsem nadšen výpočtem Elišky, ale zapochyboval jsem, zda tak vysokou úroveň počítání má více než 1-2 žáci. O svých pochybnostech jsem autorku informoval a prosil o osvětlení.

Zde je příslušná část z odpovědi Lenky Kremlíkové:

„…chápu, že se to může zdát neuvěřitelné na uvažování prvňáka, byť na konci 1. třídy, ale skutečnost taková byla, navíc ji mohou potvrdit ještě 4 další dospělí účastníci, kteří byli stejně tak velmi překvapeni jako já. Pokud se týká ostatních dětí, tak do diskuse se zapojilo asi osm dětí (dívek i chlapců) s tím, že se vzájemně utvrzovali, kdo má pravdu. Přesvědčovali se, sčítali po dvaceti až do sto dvaceti. Nakonec přijali, že i řešení dva, čtyři, šest až dvanáct a nula k tomu je také sto dvacet. U jednotlivých stolů se hodně diskutovalo. Zda pochopili a rozuměli všichni, co jim aktéři vykládali, nemohu říct jednoznačně, ale podle toho, jak jsem vnímala reakce na výsledky bouřlivé diskuse, odhaduji, že se jednalo asi o polovinu žáků.“

Když jsem si pak vzpomněl na výsledky, které dosáhli dřívější žáci této učitelky a opět shlédnul videozáznam její hodiny z roku 2011, uvěřil jsem, že příběh je hodnověrný. Příběh dokumentuje účinnost edukačního stylu VOBS, který kolegyně Kremlíková uplatňuje.

V příběhu 4.12 (viz 4..5) byl můj návrh založen na využití procesu popsaného obrázkem 4.5. Došlo zde k následujícím záměnám:

neznámý vstupní stav změnil na dobře evidovatelný výchozí schod výhru kuliček změnil na kroky nahoru prohru kuliček změnil na kroky dolů

Popsaný izomorfizmus převedl hochům málo srozumitelný model z prostředí kuliček do pro ně jasného modelu prostředí schodů. Z ilustrace vyvodíme dva závěry:

• Čím více různých modelů stejného matematického jevu učitel zná, tím účinněji může individualizovat výuku.

• Žáci sami ve vzájemných diskusích vytvářejí různé izomorfní modely zkoumaného jevu a toto výrazně přispívá k rozvoji matematického myšlení všech žáků.

4.3.7 Tři základní kategorie sémantického ukotvení čísla

Číslo je nejdůležitější matematický jev, se kterým se setkává žák od prvního ročníku. Číslo je půdou, na které se budují další jevy jako operace, relace i rovnice. Z předchozího víme, že kvalita představ žáka o čísle závisí na spektru modelů, které žák zná. Čím bohatší je toto spektrum, tím hlubší jsou aritmetické znalosti žáka. Jedná se především o modely sémantické, které jsou propojeny na životní zkušenosti žáka, později i o modely strukturální, ve kterých již číslo vystupuje jako autonomní jedinec.

Přitom různé číselné oblasti jsou vázány na různé modely. Tak malá přirozená čísla lze modelovat pomocí prstů, kuliček, nebo autíček. Ale malá záporná čísla tak modelovat nelze. Zde použijeme modely z prostředí Krokování a Schody. V těchto modelech ale nelze snadno zavádět zlomky. K jejich vstupu do světa čísel jsou potřebné modely založené na rozdělování, dělení, krájení koláče, tyče nebo čokolády. Modely pro čísla iracionální najdeme v geometrii a modely pro velká přirozená čísla najdeme například v počtu písmen některé knihy, počtu návštěvníků sportovního utkání, počtu kapek v litru vody atp.

Naším nejbližším cílem je mapovat a třídit sémantické modely čísla. Čtenář se může o to pokusit samostatně. Například tak, že si nejprve z některých učebnic vypíše několik desítek slovních úloh. Z úloh pak vybere fragmenty textu tak, že každý fragment obsahuje jedno ukotvené číslo. Nakonec se pokusí tyto fragmenty nějak uspořádat a vytvořit sémantickou typologii ukotvených čísel.

Popsaným postupem jsme zjistili, že existují tři základní kategorie, které jsme nazvali kvantita, identifikátor a symbol. Na číslo jako kvantitu se podíváme v odstavci 4.4. Identifikátoru věnujeme odstavec 4.5. Třetí kategorií, symbolem, se nebudeme zabývat. Zmíníme, že v historii matematiky tato kategorie sehrála významnou roli. Poprvé u pythagorejců, kteří se snažili vysvětlit řád světa pomocí čísel: sudá čísla jsou ženská, lichá jsou mužská, číslo 5 je manželství, číslo 4 spravedlnost atp. Ve středověku bylo věnováno mnoho energie kabale, astrologii, magickým čtvercům a dalším snahám uchopit pomocí čísel transcendentní jevy a nadpřirozené síly. Konečně, když se seznámíte se slavným objevem Kurta Gödela z roku 191 o nemožnosti vytvořit úplný axiomatický systém například aritmetiky, určitě pocítíte blízkost myšlenek kabaly.

Dodnes magické číselné jevy přitahují pozornost lidí, ale je otázkou, zda je rozumné využívat magii čísel jako motivační nástroj pro výuku matematiky.

4.4 Číslo jako kvantita

Sedm základních typů čísla jako kvantity je uvedeno v tabulce 4.1.

KVANTITA

Stav (S) Počet (Pč)

ILUSTRACE

Operátor

Aditivní

Multiplikativní

Frekvence (F)

Tab. 4.1

OTÁZKA

Mám  sestry. Čtyři světové strany. Rok má 12 měsíců. Ali Baba a 40 loupežníků. Kolik?

Veličina (V) Kniha stojí 20 Kč. Objem akvária je 70 litrů. Na pólu naměřili -64°C. Auto jelo stovkou. 5 kg masa.

Změny (OZa)

Vyhrál jsem  kuličky. Míč byl zlevněn o 20 Kč. Z nádrže odteklo 80 hl vody. Dluh vzrostl o 5%. O kolik? Kolik?

Porovnání (OPa) Skočil o  cm dále. Lenka je o 7 kg lehčí než Mirek. Věkový rozdíl Dany a Jany je 5 let.

Změny (OZm)

Porovnání (OPm)

Kriminalita se zdvojnásobila. Vody trojnásobně ubylo. Třetina žáků onemocněla.

Anglie má 5násobek rozlohy SR. Po vysušení byla hmotnost hub pouze sedmina původní váhy.

Kolikanásobne?

Dopoledne metro jede každé 4 minuty. Každý desátý los vyhrává. Každý sedmý den je neděle. Jak často? Jak hustě?

Hranice mezi jednotlivými typy jsou rozostřené. Například výrok „Míč byl zlevněn o dvacet Kč“ lze vnímat nejen jako aditivní operátor změny ceny, ale i jako aditivní porovnání dřívější a současné ceny míče.

Poznámka. Adjektivum aditivní je z latinského adicio = přidávat; označuje operace sčítání i odčítání, protože odčítání je přidávání čísla záporného.

Adjektivum multiplikativní je z latinského multipliceo = rozmnožovat, zvětšovat; označuje operace násobení i dělení, protože dělit třeba číslem 7 je totéž jako násobit číslem 1/7.

4.4.1 Stav – od počtu k veličině

Počtem nazýváme kvantitu, kterou měříme na kusy. Někdy je zboží baleno do větších celků, které mají jména. Například 20 lahví piva tvoří jednu přepravku. V takovém případě tři přepravky obsahují 60 lahví. Přepravka je tedy vyšší jednotka pro počet lahví. Podobně týden je vyšší jednotka pro počet dnů. V minulosti byly termíny tucet a kopa běžně používány jako vyšší jednotky počítání kusů.

Veličinou nebo mírou nazýváme to, co měříme pomocí jisté jednotky (metr, litr, gram, hodina, Kč, hektar, 1°, km/hod, …). Jestliže u počtu stačí uvést číslo, u veličiny nutno uvádět i jednotku. Dosti častá chyba žáků při práci s veličinami spočívá v opomenutí uvést jednotku, která byla použita.

Počet, kterému byly věnovány kapitoly 4.2.1 až 4.2., je první porozumění číslu, kterého se dítě zmocňuje. K veličině, nejčastěji v prostředí peněz, se většina dětí dopracuje kolem pátého, šestého roku života. O tom je následující příběh.

Příběh 4.14 (Autor: K. Hošková)

U pokladny jsem platila 20 Kč. Prodavačce jsem dala dvě stovky a dvě mince – korunovou a dvoukorunovou. Řekla jsem: „A tady jsou tři koruny.“ Můj tři a půlletý syn, který seděl v nákupním košíku, sledoval naši rozmluvu. Nahlas zvolal „ukaž“ a chtěl vidět drobné, které podávám prodavačce. Ukázala jsem mu na dlani ty dvě mince. On protestoval „jsou dvě“. Změnila jsem tedy dvoukorunu za dvě korunové mince a ukázala na dlani  korunové mince. Hoch je přepočítal a byl spokojen. Doma jsem se snažila synovi vysvětlit, co je dvoukoruna. Nevím, jestli to pochopil. Asi ne, protože zájem o můj výklad nejevil.

Komentář

Hoch má potřebu poznávat čísla. Zatím vnímá pouze počet. O finanční veličině asi nemá žádnou představu. Matčin pokus vysvětlit doma synovi hodnotu peněz byl neúspěšný, protože v této chvíli syn neměl potřebu takového poznání. Nadějnější by bylo použít dramatizace a zahrát si se synem na obchod. Kdyby o tuto hru měl zájem, byl by jeden z nich prodejce a druhý kupující. Nejprve by se platilo jen korunovými mincemi a pak by se matka pokusila zavést i dvoukorunovou minci. Ale za nejrozumnější jednání matky považujeme nic neurychlovat a vyčkat, až sám hoch bude mít o hodnotu peněz zájem. Jednou k tomu dojde, ale je málo pravděpodobné, že se mamince povede tento okamžik evidovat.

Prostředí dědy Lesoně bylo vytvořeno pro snadnou tvorbu úloh, ve kterých žák současně pracuje s číslem jako počtem i s číslem jako veličinou. Následující úloha ilustruje tuto skutečnost.

Úloha 4.1

V červeném družstvu jsou kráva a kočka. V modrém družstvu, které je stejně silné jako červené, jsou tři zvířátka. Která to jsou? Hledej více řešení.

Úloha má sedm řešení: CMM, GGK, BGM, BPK, BHH, GPH, PPP (viz str. 22). Síla červeného družstva je veličina. Po přepočtení na jednotky je to 12 myší. Trojice zvířátek modrého družstva je počet.

Podobnou úlohu lze formulovat v prostředí mincí.

Úloha 4.2

Koupil jsem sešit za 12 Kč a platil jsem třemi mincemi. Kterými? Hledej více řešení.

Úloha má dvě řešení: 10 Kč + 1 Kč + 1 Kč a 5 Kč + 5 Kč + 2 Kč. Cena sešitu je veličina, trojice mincí je počet.

Obě úlohy lze modelovat ve strukturálním tvaru, bez jakéhokoli poukazu na sémantiku.

Úloha 4.

Zjisti, kolika různými způsoby lze napsat číslo 12 jako součet tří čísel, když můžeme používat pouze čísla a) 1, 2, , 4, 5, 6 a 10; b) 1, 5 a 10; c) , 4 a 6.

Úloha 4.a) je izomorfní s úlohou 4.1. i s úlohou 4.2. Žák, který ve druhém ročníku úspěšně řeší úlohy 4.1 i 4.2, bude ve čtvrtém ročníku připraven vyřešit i strukturální úlohu 4. včetně případu c), který nemá přímou oporu v možné sémantizaci. To je jeden z univerzálních didaktických principů koncepce VOBS: k obecnému strukturálnímu poznání dovést žáka pomocí několika sémantických prostředí, ve kterých je dané poznání odhaleno pomocí sémantických představ žáka. Když jsme tezi experimentálně prověřovali na třech žácích čtvrtého ročníku, zjistili jsme, že náš předpoklad o výše uvedených izomorfizmech nemusí být splněn. Všichni tři žáci nejprve rychle a správně vyřešili úlohy 4.1 i 4.2. Po dvou týdnech pak dostali úlohu 4.b). Očekávali jsme rychlé řešení, snad i s poukazem, že se jedná o úlohu 4.2, řešenu před dvěma týdny. Naše očekávání naplnila jediná dívka. Další dva žáci, dívka a hoch, našli kromě řešení 10 + 1 + 1 a 5 + 5 + 2 i další čtyři řešení 1 + 10 + 1, 1 + 1 + 10, 5 + 2 + 5 a 2 + 5 + 5. Pro zmíněné dva žáky úloha 4.2, kterou řešili dříve, měla právě dvě řešení, úloha 4.b) jich měla šest. Veličinu 10 Kč + + 1 Kč + 1 Kč a veličinu 1 Kč + 10 Kč + 1 Kč považovali za totožné, výrazy 10 + 1 + 1 a 1 + 10 + 1 za různé. Samozřejmě stačilo pak po vyřešení úlohy 4.b) žákům povědět, že dvě řešení, z nichž jedno lze z druhého získat přestavěním čísel, považujeme za stejná. Pak již všichni tři vyřešili rychle a správně také úlohy 4.a) i 4.c).

Experiment potvrdil v tomto případě účinnost didaktického principu „od sémantických prostředí ke strukturálnímu poznání“. Navíc nás upozornil na možné odlišné vnímání komutativity v kontextu sémantickém a kontextu strukturálním. Zvýšenou náročnost komutativity vidíme v sémantickém prostředí Schody. Zde například sémantickou rovnost │→→ = 2│→→→ mnozí žáci prvního ročníku kontrolují krokováním, byť příslušnou strukturální identitu  + 2 = 2 +  již chápou správně. Jen někteří vidí přímo z nápisu i sémantickou rovnost.

 Připomeňme podobnou vazbu mezi sémantickým a strukturálním chápáním operace násobení v odstavci 1..2.

4.4.2 Veličina – změna jednotky

Veličiny, s nimiž má žák osobní zkušenosti, nejsou didakticky záludné. Žák ve třetím ročníku ví, že decimetr je 10 centimetrů i že půlhodina je 0 minut. Úlohy, v nichž žáci mají problémy s veličinami, se týkají tří jevů. Jsou to:

• předložky deka, deci, centi, hekto, mili, kilo nacvičované pomocí převodových tabulek,

• převody veličin mimo desítkový systém a

• jednotky tvořené ze základních jednotek pomocí násobení nebo dělení.

Podívejme se na tyto jevy jednotlivě.

K nácviku převodů jednotek jsou žákům předkládány úlohy typu:

Úloha 4.4

Délku 72 dm +  m + 710 mm + 9 cm zapiš v a) milimetrech, b) centimetrech, c) decimetrech, d) metrech.

Učitelé i autoři učebnic ve snaze ulehčit žákům práci vytvářejí různé pomůcky. Například řetězec změn m → dm → cm → mm, doplněný instrukcí „pokaždé vynásobím deseti“, a pod tím řetězec změn mm → cm → dm → m, doplněný instrukcí „pokaždé vydělím deseti“. Nebo tabulku typu

hekto deka - deci centi mili

1000 100 10 0,1 0,01 0,001

Tab. 4.2

Úspěšnost takové pomoci je problematická. Pomůže žákům vyřešit úlohy o převodech, ale nedá žákům vhled do těchto výrazů. Navíc žáci naučené vazby rychle zapomínají. Proč?

Odpověď je nasnadě. Úloha 4.4 leží mimo žákovy zkušenosti, protože délku 11 m nikdy neviděl a vidět nebude v tak podivuhodně vytvořeném součtu. Nepropojenost úlohy na životní zkušenosti žáka by nevadila, kdyby tyto úlohy žáky přitahovaly. Jenže tak tomu není. Rozhodně většina žáků tyto úlohy ráda nemá. Na druhé straně dospělý člověk by měl mít o těchto převodech dobrou představu. Jak tedy didaktický problém řešit?

V našem experimentálním vyučování jsme předpony zaváděli postupně ve čtvrtém a pátém ročníku; nejprve ty, s nimiž mají žáci zkušenosti: centi a kilo; pak deci, hekto atd. Stále jsme se snažili vázat učivo na životní zkušenosti žáka. Místo nácviku převodů jednotek jsme dávali žákům úlohy, v nichž byly uvedené předložky vkládány do časových údajů, kde se běžně nepoužívají. Ilustrací takové situace je následující úloha.

Úloha 4.5 (M4/68)

Žiješ již déle než 4 kilodny? Kdy toto výročí oslavíš?

1. Řešení úlohy spočívá v převodu 4000 dnů na roky a měsíce. Několika žákům se tyto jednotky zalíbily tak, že sami přičinlivě vytvářeli podobné další úlohy a používali v nich i jednotky jako mikro, piko nebo giga. Tito žáci byli záhy velcí experti na všechny podobné předpony. Další úlohy tohoto typu najdeme v M4/90.

2. Přeměny jednotek se objevují i při měně peněz, například když měníme koruny na eura, dolary nebo libry. Pro některé žáky jsou zajímavé převody anglických palců, stop, yardů a mílí na naše jednotky. Anglické míry se sporadicky vyskytují ještě i dnes. Například kluky zajímá, že šířka fotbalové brány je 8 yardů a značka pokutového kopu je od středu brány vzdálena 12 yardů. Tyto údaje jsou využity v M5/7

. Náročné jsou veličiny, které měříme jednotkou složenou ze dvou jiných jednotek. Například: auto jelo rychlostí 60 km/hod, nebo voda protéká rychlostí 2 hl/min, nebo naše škola dostala od sponzora rekreaci v rozsahu 100 žákodní. To značí, že škola může poslat na rekreaci 10 žáků, každého na 10 dní, nebo 10 žáků každého na 7 dní a ještě 5 žáků, každého na 6 dní, nebo 20 žáků, každého na 5 dní apod.

K aplikovatelnosti matematiky přispívá, když se ve výuce objevují i slova jako tucet, kopa, veletucet a kuchyňské jednotky jako „kapka“, „lžička“, „polévková lžíce“ i „hrnek“.

4.4.3 Velká čísla – prostor pro experiment

Žáci, kteří se zajímají o astronomii, jadernou fyziku nebo hardware počítačů, bývají osloveni velkými čísly a snaží se budovat si představy i o desetimístných číslech. V následujícím příběhu popisujeme zkušenost z experimentálního vyučování matematiky v pátém ročníku.

Příběh 4.15

Dobrovolníkům jsem dal za úlohu zjistit, kolik kapek se vejde do jednoho litru vody. Tři žáci se do toho pustili s vervou. Všichni tři kapali nejprve do malé nádobky, nebo do náprstku (Františka). Větší objemovou jednotku pak použili na zjištění, kolik kapek se vejde do sklenice a nakonec zjistili počet kapek v litru. Výsledky žáků byly různé. Filip svá měření dělal dvakrát a výsledky pak průměroval. Třída správně požadovala, ať to předvedou, nebo aspoň popíší, jak ty kapky tvořili. Felix použil kapátko, kterým si babička kape do oka. Františka i Filip použili to, co jsem žákům poradil: vložili do hrdla lahve s vodou zalomenou sirku a pomocí tohoto nástroje kapali. Františka vložila zalomenou sirku tak, že kapka se tvořila na hlavičce sirky, u Filipa se tvořila na opačném konci sirky. Tím bylo vysvětleno, proč jsou výsledky měření různé. Felix tvrdil, že velikost kapky závisí i od teploty vody, že mu to řekla máma. Tuto informaci nikdo ale neprověřoval. Debata o tom, zda jedna kapka může být jednotkou objemu, přerostla do debaty o délkových mírách středověku, kdy se měřilo na dlaně, lokty a sáhy. Prý to byla jednotka značně nepřesná, protože jeden sáh bylo rozpětí panovníka, a to se změnou vladaře mohlo měnit.

Nakonec se třída dohodla, že pro nás jednotkou objemu bude jedna kapka tvořená kapátkem. Žáci tvrdili, že zde to musí být vymyšleno dosti přesně. Ukázalo se, že je to pravda. Několik žáků pak kapátkem zjišťovalo, kolik kapek vytvoří jeden litr vody. Jejich výsledky se již lišily jen málo. Za standard třída nakonec přijala výsledek, který byl průměrem asi deseti naměřených hodnot po zaokrouhlení na desítky. To vše proběhlo ve třech dnech.

Zájem o velká čísla u některých žáků přetrval. Nezůstali u litru. Zjišťovali, kolik kapek se vejde do vany a kolik do bazénu a nakonec se pokoušeli zjistit i počet kapek v Balatonu i Černém a Středozemním moři. Obrovská čísla, která napsali, pak hledali i v knížkách, encyklopediích a astronomických atlasech. Někteří z těch, co se do práce zapojili, brzy dobře pracovali s čísly psanými ve tvaru x · 10n. Někteří si ale libovali v psaní dlouhých, až stomístných čísel, psaných na balicím (nebo toaletním) papíru.

Neúspěšný byl můj pokus obrátit pozornost žáků i na čísla velice malá. Ptal jsem se, jak bychom pomocí kuchyňských vah zjistili hmotnost jednoho zrnka soli. Tato otázka nenašla ve třídě žádnou odezvu. O dva roky později, když byli tito žáci v sedmém ročníku, úlohu vyřešili bez problémů: zvážili 10 dkg a zjistili, kolik je v tom zrnek soli.

Komentář

Úloha, jejímž cílem bylo podpořit u žáků představy o velkých číslech, se ukázala jako průřezová. Obohatila žáky zkušenostmi z historie, fyziky i statistiky. Zaměřila jejich zájem k velkým číslům, jako např. je počet zrnek písku v jednom kilogramu, počet písmen v některé knize, počet úhozů srdce během sedmdesátiletého života apod.

4.4.4 Operátor

V tabulce 4. jsou uvedeny čtyři typy operátoru. Lze je organizovat do dvourozměrné tabulky:

operátor aditivní multiplikativní

porovnání Ivo je o  cm vyšší než Jana. Je o 5°C více než bylo ráno.

změny Zhubnul o 5 kg. Od rána se teplota zvýšila o 5°C.

Mám dvojnásobnou hmotnost hmotnosti syna. Pražská rozhledna má pětinu výšky Eiffelovky.

Chomout umožnil až pětinásobné zvýšení tažné síly koně. Tlak v kotli klesl na polovinu.

Operátor popisuje vztah dvou stavů. Když se jedná o stavy dvou různých objektů, mluvíme o porovnání; když se jedná o dva stavy jednoho objektu v různých časech, mluvíme o změně.

Aditivní operátor má charakter stavu, protože mluví o počtu nebo veličině. Multiplikativní operátor má charakter čísla. Multiplikativní operátor nazýváme též skalár.

Uvedené odlišení závisí na způsobu uchopení dané situace. Situaci popsanou operátorem změny, kterou prošel objekt X od okamžiku T1 do okamžiku T2 , můžeme vyjádřit operátorem porovnání. Uděláme to tak, že porovnáme stav X v okamžiku T1 se stavem X v okamžiku T2. Tak konstatování „od rána se teplota zvýšila o pět stupňů Celsia“, které číslo pět prezentuje jako operátor změny, můžeme formulovat větou „Teď je o pět stupňů Celsia tepleji než ráno“, nebo větou „Je zde o pět stupňů Celsia vyšší teplota, než tomu bylo ráno“. Obě věty číslo pět prezentují jako operátor porovnání.

Opačně to neplatí. Operátor porovnání na operátor změny lze změnit jen někdy. Například informaci „skříň je o padesát čtyři cm vyšší než almara“, která číslo 54 uvádí jako operátor porovnání, neumíme formulovat pomocí operátoru změny.

Operátor porovnání lze v mnoha případech uchopit statickým obrázkem. Operátor změny uchopíme buď šipkou na obrázku, nebo pohybem v dramatizaci. V příběhu 4.24 je obrázek (obr. 4.11), který ilustruje oba uvedené způsoby uchopení operátoru.

Z jazykového hlediska je pro aditivní operátor příznačná předložka „o“ a pro multiplikativní operátor slovo „násobný“, nebo zlomek, případně procenta. Operátor změny bývá spojen se slovesem. Operátor porovnání bývá formulován pomocí příslovce (více, déle, ...) nebo pomocí adjektiva, přesněji komparativu (vyšší, tepleji, ...).

Tab. 4.3

4.4.5 Příčiny náročnosti operátoru

Proč je práce s operátorem náročnější než práce se stavem nebo adresou? Číslo jako stav nebo adresa je soběstačné. Informace „Jan Werich se narodil v roce 1905.“ nebo „Krychle má šest stěn.“, jsou jasné. Řeknu-li ale, že Ema je o 2 cm vyšší než Karla, pak číslo 2 je zde propojeno na dvě další čísla, na výšku Emy i výšku Karly. Tato dvě další čísla jsou tedy v operátoru porovnání virtuálně přítomna. Žák může mít pocit, že vazbě o 2 cm vyšší nelze rozumět, pokud aspoň jedno z virtuálně přítomných čísel nezná. Stejně i operátor změny, například počet cestujících, kteří z autobusu vystoupili, poukazuje na dvě další čísla: na stav před změnou a stav po změně. Čísla virtuálně přítomná jsou mrtvé parametry dané situace, ale žák je může vnímat jako parametry živé, potřebné k řešení úlohy. To mu znesnadňuje vhled do situace. Ilustruje to následující příběh.

Příběh 4.16

Pětiletý Gustav si začal střádat do prasátka. Už měl něco nastřádáno a babička mu přidala  Kč. Děda mu řekl: „Já ti teď přidám ještě dvě koruny; řekni, kolik jsme ti s babičkou přidali.“ Hoch chvíli uvažoval a pak řekl: „Já nevím, kolik jsem tam měl.“ Děda řekl: „Myslím, že jsi tam měl již čtyři koruny.“ Gustav na prstech počítal 4 +  + 2 a řekl: „Mám tam devět korun.“ Děda řekl: „To ano, ale já bych chtěl vědět, kolik jsme ti my dva, babička a já, přidali.“ Děda viděl, že hoch nechápe. Proto natrhal papírky, jako že koruny, oddělil 4 papírky a řekl: „To jsou ty čtyři koruny, které již v prasátku byly.“ Hoch k nim přidal tři a řekl „babička“, pak přidal dva, řekl „ty“ a opět vše spočítal a řekl „devět“. Děda upřesnil otázku: „Které peníze jsme ti přidali my s bábou?“ Vnuk vyčlenil tři babiččiny a dva dědovy papírky a řekl: „Tyto.“ Děda: „A těch je kolik?“ Hoch je spočítal a řekl „pět“.

Komentář

Příběh ukazuje, jak je pro dítě, které již dobře počítá stavy, náročné pracovat s operátory změny.

I když vnuk nakonec kýženou pětku našel, bylo v jeho řešení více dědečkova úsilí než hochova objevování. Dědeček měl hochovi dát nejprve několik podobných úloh s operátory porovnání, neboť ty jsou snazší. Až později mu dát úlohu z příběhu. Mohl též říct hochovi, že na začátku byly v prasátku 2 Kč. Když by hoch dospěl k výsledku 5 Kč, dal by mu děda další úlohu: na začátku byly v prasátku  Kč. Tak by mohl pokračovat dále, až by hoch sám objevil, že na vstupním čísle zde nezáleží. Spíše by ale Gustav debatu s dědou přesměroval na jiné téma.

Operátor porovnání je statický a dá se často uchopit obrázkem. Má tedy charakter konceptu. Například situaci „Ema je o dva centimetry vyšší než Karla“ nakreslím docela snadno. Naproti tomu dynamickou a pomíjivou situaci, jako je ta popsaná v příběhu 4.15, již tak snadno nakreslit nelze. Operátor změny má charakter procesu. Vyšší náročnost operátoru změny proti operátoru porovnání bude ilustrována v příběhu 4.24.

Problematika operátorů změny je zkoumána mnoha didaktiky a všichni poukazují na náročnost situace, ve které se vyskytují dva takové operátory. Například francouzský didaktik

G. Vergnaud (2009) píše: Nejjednodušší situace na sčítání a odčítání zvládají již některé čtyřleté děti, ale jsou situace, které vyžadují pouze jediné sčítání a přesto u nich většina třináctiletých a čtrnáctiletých žáků

neuspěje: „Robert hrál kuličky. Hrál dvě hry. Pamatuje se, že ve druhé prohrál 7 kuliček, ale

nepamatuje si, jak to bylo v první hře. Když nakonec spočítal svoje kuličky, zjistil, že celkem vyhrál 5 kuliček. Jak dopadla první hra?“4

Kořeny potíží s operátory změny se zakládají na prvním stupni, dokonce již v 1. ročníku. Podrobněji to rozebereme v 4.7.2 a 4.7..

4.4.6 Frekvence (četnost)

V učebnicích matematiky pro první stupeň se úlohy o frekvenci téměř nevyskytují. Ovšem jev frekvence je závažný, neboť je propojen na tři další hluboké matematické myšlenky, které je žádoucí zakládat již na prvním stupni. Jsou to rytmus, periodicita a statistika. Přitom rytmus a periodicita jsou přítomny v situacích organizovaných, statistika v situacích spíše chaotických.

Rytmus byl na úrovni dítěte předškolního a raně školního věku zevrubně diskutován v 4.2.2. Zde se podíváme na tento jev u žáků druhého a vyšších ročníků. Úlohy, jimiž jsou tito žáci vedeni k získávání hlubších zkušeností, se týkají jak rytmu grafického, tak i akustického a kinestetického a propojování všech tří prezentací rytmu.

Způsob, kterým zde didaktika VOBS vede žáky k získávání nových zkušeností a objevování poznatků, ilustrujeme na úloze, kterou žáci řeší ke konci druhého ročníku.

Úloha 4.6 (M2//24)

Doplň chybějící čísla i barvy.

Obr. 4.6

Na obrázku 4.6 je řada 20 polí. V jedenácti polích jsou černé číslice a do 9 prázdných dopíše číslice žák. Navíc 9 polí (zde barvených šedivou) je v učebnici obarvených barvami m = modrá, č = červená, z = zelená. Písmena jsou zde napsána pod poli.

Žák doplní oba rytmy – číselný s periodou 4 a barevný s periodou . Doplňování rytmicky se opakujících čísel nebo barev je proces a vyřešená úloha, tj. dobře vyplněný obrázek 4.6, je koncept obsahující dva rytmy, dvě periodicity. Z analýzy příběhu .7 víme, že periodický koncept, který žák vytvoří, je žákem vnímán nejprve jako uzavřený celek. Jako finální produkt jeho úsilí.

K hlubšímu porozumění tohoto konceptu vede učitel žáky výzvou číst obrázek zleva doprava tak, že se čtou jen některé prvky obrázku a jiné se přehlížejí. Tím dojde ke změně vnímání obrázku žáky: uzavřený koncept se začne otevírat a mění se na koncept rozvinutý.

Ve třídě to probíhá například takto. Na stolku učitele je metronom, který rytmicky měří čas. Třída čte obrázek 4.6 souběžně s údery metronomu; co úder, to slovo. Nejprve čte třída jen čísla. V další produkci čte jen barvy. Po dvou jednoduchých produkcích přijdou složitější. Například:

4 The simplest addition and subtraction situations can be dealt with by some 4-year-olds, and yet some situations requiring just one addition are still failed by the majority of 1 - or 14-year-olds: ‘Robert played two games of marbles; he remembers that he lost 7 marbles in the second game, but he does not remember what happened in the first game; by counting his marbles in the end, he finds that altogether, he won 5 marbles; what happened in the first game?’

(a) Čte se každé liché číslo, a místo sudého se řekne „bum“. Třída deklamuje: jedna, bum, tři, bum, jedna, bum,…

(b) Čte se barva, když je to číslo liché, a mlčí se, když je to číslo sudé. Třída deklamuje: zelená, --, modrá, -- , červená, -- zelená,…

(c) Čte se barva, když je to modrá, a číslo, když je barva zelená nebo červená. Třída deklamuje: jedna, modrá, tři, čtyři, modrá, dvě, tři, modrá, …

(d) Tleskne se, když je číslo 2, dupne se, když je barva zelená. Na čísla 1, , 4 a na barvy modrá, červená je ticho. Třída rámusí: dup, tlesk, --, dup, --, tlesk, dup, --, --, dup&tlesk, --, --, dup, tlesk,…

Je nepřeberné množství modifikací uvedené hry a rozsáhlá škála jejich náročnosti. Od jednoduché hry (a) přes náročnou hru (d) až ke hrám velice složitým.

Periodicita přítomná v obrázku 4.6 je rozvíjena každou produkcí výše uvedenou. Metronom na stolku učitele je nositelem základního rytmu a produkce žáků do něj vkládají další rytmy, z nichž je každý periodický. Hlubší poznání periodicity pak přinese žákům řešení úloh zkoumajících odehranou produkci. Jedná se o otázky typu:

Po kolika úderech metronomu se deklamace začne opakovat?

U kterých úderů zazní slovo tři?

Kolikrát zaznělo současně dupnutí i tlesknutí?

Kolikrát při úderu metronomu bylo ticho?

Kdy následují po sobě dva údery metronomu, u nichž je ticho?

Řešení těchto a podobných otázek obohacuje žákovo poznávání periodicity a zároveň je propedeutikou pro oblast dělitelnosti. Připravuje například i porozumění pojmům největší společný dělitel a nejmenší společný násobek.

Periodicita se objevuje i v prostředí Řady, které se lámou (cvičení 5 z M/50), i v prostředí Sousedé, jak je zevrubně analyzováno v odstavcích .2.6 až .2.10. Ve všech těchto činnostech je přítomen i jev frekvence (četnosti), který pomáhá budovat proto-schéma.

Statistika. Výrazněji než popsané případy rytmické frekvence přispívají ke statistickému myšlení žáků frekvence, které se neukládají do rytmu. O takových zdánlivě chaotických frekvencích vypovídají výroky, jako např. „Každý pátý los vyhrává“, nebo „V roce dva tisíce jedenáct žilo v Čechách dvakrát více Josefů než Věr“, nebo „Písmeno ,k´ má v českém textu asi třikrát větší četnost než písmeno , ř´“. Chaotičnost spočívá v tom, že na rozdíl od rytmické frekvence, kde o každém prvku umím rozhodnout, zda do zvoleného výběru náleží nebo nenáleží, zde to neumím. O žádném konkrétním losu nedokážu říct, zda bude vítězný, ale když si koupím 100 losů, mohu předpokládat, že asi 20 z nich bude vítězných. Když vypíši z třídních knih z roku 2011 všechna křestní jména a konstatuji, že dívčích jmen je skoro stejně jako jmen hochů, pak mohu předpokládat, že Věr zde bude třikrát méně než Josefů.

Statistické údaje jsou hojně užívány v reklamách a zde se namnoze využívají k úskokům, jejichž cílem je prezentovat nabízený produkt v lepším světle, než jaká je skutečnost. Jednou z úloh rozvoje kritického myšlení žáků, ke kterému přispívá i matematika, je upozorňovat na tyto zavádějící reklamy. Příkladem je plakát, který se na podzim roku 201  objevil na mnoha místech Prahy. Jistá realitní kancelář na něm láká potenciální zákazníky následujícím textem

Každé 2 hodiny prodáme, nebo pronajmeme 1 nemovitost. Člověk si řekne, že když tolik lidí této kanceláři věří, je to firma spolehlivá. Text jasně formuluje frekvenci prodeje a důvěřivý občan si řekne, že do týdne je to 12 · 7 = 84 bytů nebo

domů. Skutečnost může být ale výrazně nižší. Jestliže reklama počítá pouze se 40hodinovým pracovním týdnem, pak těch bytů nebo domů je jen 20, ani ne čtvrtina toho, k čemu se dobere důvěřivý občan.

Když učitel podobný nejasný až zavádějící reklamní údaj žákům ukáže, začnou žáci sami hledat další příklady podobné reklamy. I když se tyto reklamy nemusí týkat frekvence, určitě kritická analýza reklam pomáhá rozvíjet nejen kauzální myšlení žáků, ale přispívá i k jejich občanskému zrání.

Žáci mohou dělat statistická šetření ve své třídě, nebo ve svých rodinách, nebo v městské dopravě, a zjišťovat, který zpěvák je nejpopulárnější, jaká jídla se nejčastěji vaří v jejich rodinách, jak se během odpoledne mění hustota provozu na dané křižovatce…

V učebnici M4/52 je uveden krátký text o Nobelově ceně a žáci jej pak statisticky zkoumají z různých stran.

Ve cvičení M4/52/1 třídí slova podle počtu písmen. Zde zjistí, že nejvíce je jednopísmenových (těch je 14), pak 4písmenových a 6písmenových (těch je po 11), pak 5písmenových a 8písmenových (těch je po 9). To je trochu překvapivé, protože člověk by čekal, že i zde, podobně jako v mnoha jiných případech, bude statistika zachovávat „jednohrbou“ Gaussovu křivku. Žáci, které toto překvapení osloví, sáhnou po jiných textech, aby zjistili, zda to, že pětipísmenových je méně než čtyřpísmenových i šestipísmenových, platí i ve větších souborech.

Ve cvičení M4/55/1 žáci zjišťují frekvenci samohlásek a ve cvičení M4/79/11 šetření rozšíří na všechna písmena. Pak možná výsledky svých šetření o frekvenci písmen v českých textech porovnají s daty, která najdou na webu.

Ve cvičení M5/51/25 žák zjišťuje frekvenci každé z deseti číslic v souboru čísel 1, 2, 4, …, 2n pro n = 25, 0 a 5. I když se zkoumaný soubor jeví jako organizovaný (vždyť přichází z aritmetiky), skutečnost je jiná. Zjištěné statistické údaje pak žák využívá k předpovědím typu „nejfrekventovanější je číslice dvě“. Tato předpověď se jeví pravdivá až do čísla n = 1, pak pro n = 2,  a 4 stejnou frekvenci, jako číslice 2, má i číslice 4. Nakonec pro n = 5 se nejfrekventovanější stane číslice 4. Žák, který tyto výpočty a předpovědi zažije, získává cennou zkušenost o ošidnosti příliš ukvapených statistických závěrů.

Známe žáka, počítačového nadšence, který již v pátém ročníku udělal grafický záznam ubývání prvočísel. Zjišťoval, kolik prvočísel je v první dvacítce, kolik ve druhé, kolik ve třetí,… Dospěl k posloupnosti 8, 4, 5, 5, , 5, 4, , 4, 5, na jejímž základě předpověděl, že v každé dvacítce jsou přibližně 4 prvočísla. Když jsem vyjádřil pochybnosti o tomto výsledku, pustil se hoch do výzkumu a zpracoval prvočísla do 4000. Zjistil, že těchto asi ubývá.

4.5 Číslo jako identifikátor

Výpověď „Milan sedí na tribuně na sedadle tři sta osmnáct a jeho bratr, brankář Eda, má dres s číslem dvanáct“ obsahuje dvě čísla, dva identifikátory. Jejich sémantické ukotvení má odlišný charakter. Čísla sedadel na tribuně tvoří strukturu. Jestliže Milan sedí na sedadle 18, pak divák, který sedí vedle Milana, sedí na sedadle 17 nebo 19. Čísla dresů strukturu netvoří. Z informace „Eda má dres s číslem dvanáct“ neumíme říct nic o hráči s číslem 1. Nevíme, zda je to stoper nebo útočník. Nevíme ani to, zda hráč s číslem 1 je na hřišti, nevíme ani, zda vůbec toto „nešťastné“ číslo není z dresů vyřazeno. Čísla dresů netvoří strukturu, a proto jsou z hlediska vyučování matematiky nezajímavá. Přehled identifikátorů popisuje tabulka 4.4.

IDENTIFIKÁTOR ILUSTRACE OTÁZKA

času místa pořadí

Lineární (AL) Giordano Bruno byl upálen roku 1600. Bydlíme na pokoji číslo 514.

Třetí Beethovenova symfonie je Eroica

Adresa (A)

Cyklická (AC) Anna má svátek dne 26. 7. Ručička hodin se zastavila na čísle 2

Na .Sněžku nás vyvezla kabinka číslo 4.

Jméno Tramvaj číslo . Telefonní číslo sekretářky je 2 154

Tab. 4.4

Kdy?

Kde?

Z tabulky vidíme, že identifikátor je buď adresa nebo jméno. Adresy tvoří strukturu, jména ji netvoří. Matematicky zajímavé jsou jen adresy. Ty jsou buď lineární, pokud směřují stále dopředu, nebo cyklické, pokud se opakují. Z hlediska identifikovaného objektu můžem adresy dělit na ty, které určují čas, nebo místo, nebo pořadí.

Tabulka 4.1, která uvádí přehledně sémantické kotvení čísla jako kvantity, a tabulka 4.4, která přehledně popisuje čísla jako identifikátory, pokrývají skoro všechna sémantická kotvení čísla, s nimiž se setkáváme na prvním stupni. Existuje přinejmenším jedno sémantické kotvení, které do žádné z tabulek nenáleží. Je uvedeno ve výroku: „Po obou stranách silnice byly stromy.“ Slovo „obou“ nepatří do žádného z uvedených typů tabulky, i když po jednoduché změně formulace daného výroku již číslo 2 bude patřit do stavu.

4.5.1 Jméno versus adresa

Číslo jako adresa přitahuje pozornost dítěte již v předškolním věku. Zaznamenali jsme to v příběhu 4.4, kde pětiletý hoch zkoumá adresy sedadel v divadle.

Číslo jako jméno není z hlediska matematiky zajímavé, protože o něm nelze dát žákům rozumnou úlohu. Tu ale je možné vytvořit, jestliže se soubor čísel jeví na první pohled jako soubor jmen, ale nakonec se z toho vyklube soubor adres.

Úloha 4.7

Telefonní seznam podniku má devět položek abecedně seřazených: ekonomické oddělení 12, garáže 02, osobní oddělení 22, personální oddělení 0, podatelna 20, ředitel 1, sekretářka 04, ústředna 21, vrátnice 11. Budova, ve které podnik sídlí, má tři podlaží. Ve východním křídle budovy jsou garáže (na 1. podlaží), personální oddělení (2) a sekretářka (). V západním křídle budovy jsou podatelna (1), ústředna (2) a osobní oddělení (). Uprostřed jsou vrátnice (1), ekonomické oddělení (2) a ředitel ().

Pan Filuta, který zná rozmístění místností po budově, zná všechna telefonní čísla. Nemusí si je pamatovat, protože odhalil pravidlo, jak jsou čísla přiřazená místnostem. Najdi to pravidlo.

Osobní 22 Ředitel 1 Sekretářka 04

západ

Ústředna 21 Ekonomické 12

Tab. 4.5

Personální 0

Podatelna 20 Vrátnice 11 Garáž 02

východ

Řešení

Nejrozumnější je celou situaci vizualizovat tabulkou 4.5.

Z tabulky vidíme, že telefonní číslo XY je přiřazeno místnosti ve východním křídle, je-li X = 0, ve střední části, je-li X = 1 a v západním křídle je-li X = 2. Dále si všimneme, že součet X + Y je pro první podlaží 2, pro druhé  a pro třetí 4. Jestliže tedy k podlaží místnosti, ve které je telefon s číslem XY, připočítáme 1 a odečteme číslo X, dostaneme Y.

Další zajímavá oblast úloh věnovaných adresování uvažuje o situacích, kde se v souboru adres objeví chyba. Jednu takovou popisuje následující příběh.

Příběh 4.17

Vracím se do svého hotelového pokoje číslo 511. Na chodbě je tma. Nouzové světlo mi dovolí přečíst jen číslo krajního pokoje: 501. Hmatám podél zdi a počítám dveře dalších pokojů: 502, 50, 504, …, 510, 511. Jsem u mého pokoje. Jenže klíč do zámku nejde vsunout. Znejistím a škrtnu sirkou, abych zjistil, že stojím u dveří 510. Jak je to možné? Počítal jsem chybně?

Komentář

Řešení záhady je prosté. V řadě dveří, které jsem počítal, jsou i dveře, které nemají číslo. Je na nich napsáno Úklid, nebo WC. Tím, že jsem jim číslo přiřadil, posunul jsem skutečné adresování dveří.

Tento banální příběh měl v mé páté třídě silnou odezvu. Žáci našli mnohé případy narušení adresování domů v ulicích, ale i nedostatky rafinovanější. Například zjistili, že ve třídě je žáků 27, ale v třídní knize je seznam 28 žáků. Na základě jejich podnětu pak paní třídní učitelka vymazala ze seznamu jméno dívky, která se odstěhovala.

Zajímavé narušení adresování je datování našeho kalendáře. V něm schází rok 0 i nulté století. Po roce -1 hned následuje rok +1. Velký římský básník Publius Ovidius Naso (-4 až +17) žil nikoli 17 + 4 = 60 let, ale o rok méně.

Příběh 4.18 Žáky čtvrtého ročníku jsem diagnostikoval z hlediska jejich porozumění rozdílu mezi adresou a jménem. Použil jsem k tomu následující povídání.

V Motole se ptá pan Vesničan pana Pražáka, jak se dostane na Výtoň. Pan Pražák ochotně radí: Pojedete čtyřkou až na Palackého náměstí a tam přesednete na trojku a pojedete proti proudu Vltavy. Pan Vesničan říká pro sebe: Čtyřkou a pak trojkou? Proč tak? To já pojedu raději rovnou sedmičkou. Pan Vesničan si počkal na sedmičku a ta jej dovezla na Výtoň.

Dovyprávěl jsem. Dvě dívky a jeden hoch se rozesmáli. Bylo jim jasné, že navzdory své vážné tváři dělám legraci. Někteří se nechali mým obličejem přelstít a ostře protestovali, že se to tak nedá sčítat. Několik žáků nechápavě poslouchalo, co spolužáci povídají. Pouze postupně jim spolužáci vysvětlili, v čem je vtip. Přesnou analýzu udělala jedna dívka, která řekla: „Jestli to je tak, pak je to veliká náhoda. Kdybychom ta čísla změnili, například vyměnili linky  a 7, tak už by vám to nefungovalo.“

Komentář

Sofistikovaný humor je dobrý nástroj diagnostiky. Žáci, kteří nechápavě hleděli na smějící se nebo protestující spolužáky, neměli do této chvíle jasno v odlišení adresy a jména. Příběh jim pomohl uvedený rozdíl pochopit.

Pěkný geometrický nesmysl vkládá J. Hašek do úst Švejkovi, který poučuje vojáky, že „uvnitř naší zeměkoule je ještě jedna další, mnohem větší”.

4.5.2 Lineární adresování, číselná osa a stupnice

Standardním teoretickým modelem lineárního adresování je číselná osa. Na ní má každé místo přesně určenu souřadnici a každé (reálné) číslo je souřadnicí jednoho místa. Pro mnoho žáků je číselná osa hlavní generický model množiny reálných čísel. V reálném světě nacházíme modely číselné osy ve formě lineární stupnice. Ta, na rozdíl od číselné osy

• je vázána na svět věcí, tj. je sémanticky ukotvena,

• je z obou stran omezena a

• má jistou rozlišovací schopnost.

Lékařský teploměr měří teplotu v rozmezí od 4,1° C do 42° C s rozlišovací schopností 0,1° C. Řídící panel výtahu má 9 tlačítek s čísly od -1 do 7 a o rozlišovací schopnosti zde nemá smysl mluvit. Kalendář je stupnice času, pro každý rok jiná. Dny v něm mají více adres: dnes je „. 6. 2012”, tj. „162. den roku 2012”, tj. „neděle 22. týdne roku 2012”. Žádné z těchto čísel neoznačuje časový bod, ale časový interval 24 hodin. Podobně adresa „21. století” označuje 100 let trvající interval od 0 hodin, dne 1. 1. 2001 až do 24 hodin dne 1.12. 2100.

Při používání číselné osy dochází někdy k nedorozumění, protože jedno číslo může mít až čtyři různé interpretace. Například číslem  rozumím

Obr. 4.7

1) bod, jehož souřadnice je ,

2) délku úsečky od bodu 0 k bodu ,

) dílek osy od bodu 2 k bodu ,

4) dílek osy od bodu  do bodu 4.

Každá z těchto interpretací má oporu i v jistém sémantickém kontextu.

1) Když teploměr ukazuje ° C, pak číslo  vnímáme jako bod na stupnici.

2) Když ve skoku dalekém skočím  m, vnímám číslo  jako délku úsečky mezi čárou odrazu a místem dopadu.

) Když řeknu, že bydlím ve třetím podlaží, pak na stupnici z obr. 4.9, postavené svisle (viz obr. 4.10), vidím, že můj byt se nachází mezi dílkem 2 a dílkem 

4) Když řeknu, že bydlím ve třetím patře, pak na stupnici z obr. 4.9 postavené svisle se můj byt nachází mezi dílkem  a dílkem 4.

O tom více v následujícím odstavci.

4.5.3 Věžák jako stupnice

Specifickou stupnicí je věžák, na němž počítáme patra nebo podlaží. Má svislou polohu, kterou má i teploměr na zdi. Věžák ale navíc nabízí bohatý didaktický soubor jevů. Ilustruje to nejen následující příběh, ale i příběh 4.24 z odstavce 4.7..



2

1

Třetí podlaží

Druhé patro

Druhé podlaží

První patro

První podlaží

Přízemí 0

Obr. 4.8

Příběh 4.19

Žáci ve 2. ročníku řešili úlohu „Postav z krychlí pětipatrovou věž“. Igor udělal věž z 5 krychlí a Ivana ze 6. Igor upozorní Ivanu, že tam má jednu krychli navíc. Ona odpoví, že Igorovi naopak schází přízemí.

Komentář

Pro žáka druhého ročníku je skutečnost, že pětipatrová věž má 6 krychlí, matoucí. Tomuto nedorozumění se můžeme vyhnout, když budeme místo slova „patro“ používat slovo „podlaží“. Když bydlím v přízemí, bydlím na prvním podlaží. Věž, která má 5 podlaží, je sestavena z 5 krychlí. Při této terminologii má podlaha prvního podlaží úroveň 0 a strop prvního podlaží má úroveň 1. To je zároveň úroveň podlahy druhého podlaží atd. (viz obr. 4.8.) Úsek mezi body 4 a 5 na číselné ose je pak pátým intervalem. Změnou pater na podlaží jsme odstranili nesrovnalost, která je popsána v příběhu. Problémy ale nekončí. Nové záludnosti se objeví, když zaměříme pozornost na výtah a sklep.

Čísla na řídicí desce výtahu jsou určena podle pater, nikoli podle podlaží. Přízemí je označeno 0, a první patro (tedy druhé podlaží) číslem 1. Sklep, kterému na výtahu odpovídá číslo -1, je skutečně mínus první patro a tedy by to mělo být nulté podlaží. Takovému označení ale by v běžném životě žádný nerozuměl. Spíše bychom přijali označení mínus první podlaží. Tím by se v záporných číslech odstranila disharmonie mezi patrem a podlažím, ale zároveň by zaniklo nulté podlaží. To by prostě neexistovalo. Podobně je to v uvedeném výše historickém datování, kde neexistuje rok nula.

Na základě našich zkušeností je rozumné od prvního ročníku používat terminologii podlaží, protože jednak to řeší problémy s počtem krychlí v pětipodlažní věži, jednak s terminologií pater se žák setkává v životě. Když k tomu uzraje ve třídě vhodná chvíle, snad ve čtvrtém ročníku začne učitel se žáky konflikt slov patro – podlaží diskutovat a žáci se tak postupně propracují k dobrému porozumění této zamotané historie. U těch žáků, kteří k uvedenému poznání nedojdou, doporučujeme i nadále pracovat pouze s termínem podlaží.

4.5.4 Prostředí Krokování a Schody

Zkušenosti s číselnou osou získává žák zejména v prostředích Krokování a Schody. Scénou pro prostředí Krokování je krokovací pás s vyznačeným jedním polem jako začátkem. Scénou pro Schody je buď reálné schodiště s očíslovanými schody, nebo krokovací pás, na kterém je každé pole očíslováno. Scéna jako celek i jednotlivé adresy na ní jsou koncepty. Produkce, které na této scéně probíhají, jsou procesy. Následující dva příběhy se vztahují k tomuto prostředí.

Příběh 4.20

V první třídě stojí na krokovacím pásu Jana a tři kroky před ní Jirka. Učitelka se ptá: „Jak jsou Jana a Jirka od sebe vzdáleni? Žák Jonáš řekne: „Dvě značky.“ Učitelka chtěla slyšet odpověď „tři kroky“. Proto říká: „Já se neptám, kolik je mezi nimi značek, ale jak jsou vzdáleni od sebe.“

Po chvíli ticha Jitka nesměle řekne: „Tři kroky.“

Komentář

Na nevhodnou otázku učitelky odpověděl Jonáš v podstatě správně. Kdyby otázka učitelky zněla „Kolik kroků má udělat Jana, aby stála vedle Jirky?“, dostalo by se jí asi hned správné odpovědi. Vzdálenost mezi adresami vnímají žáci jako koncept. Překonání této vzdálenosti je věcí procesu. Tedy opět zde dochází k procesualizaci konceptu.

Příběh 4.21

Na procházce se ptám pětiletého vnuka Kamila, za kolik let bude starší než jeho sedmiletý bratr Karel. Kamil neví. Nakreslím hůlkou na zemi číselnou osu a čárkami označím na ní čísla 1, 2, …, 9. Jeviště je připraveno. Kamil umí počítat do 10, číslice nepoužívá.

Karla postavím k číslu 7 a řeknu: „Tobě je sedm, tak tě postavíme na číslo sedm.“ Kamil, který pozorně sleduje moje počínání, se již staví k číslu pět a s radostí konstatuje, že jeho rozhodnutí schvaluji. Pokračuji: „Karlovi je sedm, Kamilovi je pět. Teď jakože uplyne jeden rok a vy oba dva zestárnete o jeden rok, jo? Uděláte jeden krok vpřed.“ Karel udělá jeden krok i Kamil udělá jeden krok. „Uvidíme, jak to bude tedy v příštím roce.“ Na můj povel oba hoši udělají jeden krok kupředu. Kamil ihned křičí: „Nikdy. On bude pořád o dva roky napřed.“

Komentář. Kamil dosud vnímal svůj věk jako počet/veličinu, neboť již od tří let na otázku „kolik ti je?“ ukazuje věk na prstech. Jednotkou věku je jeden rok, což je veličina, ale reprezentován je prstem, což je počet. Teď poprvé hoch vidí interpretaci věku pomocí časové osy. Věk je zde adresa místa. Proces plynutí času, pro Kamila dříve těžko uchopitelný, se mění na pohyb po číselné ose a ten hoch chápe ihned. Skutečnosti „uplynul jeden rok“ odpovídá „udělej krok dopředu“.

Číselná osa hraje v rozvoji matematického myšlení žáka důležitou roli. Otevírá (pro některé žáky hlavní) cestu k záporným číslům i k náročnému pojmu absolutní hodnoty. Tím, že leží na překrytí aritmetických a geometrických schémat, je tlumočníkem mezi aritmetikou a geometrií. Je vstupní branou do analytické geometrie, se kterou se žák později seznámí.

4.5.5 Cyklické adresování, ciferník a úhel

Standardním modelem cyklického adresování je kružnice. Od babylónských dob je dělena na 60 stejných dílů, stupňů. Toto číslo bylo zvoleno velice vhodně, protože má spostu dělitelů a je blízké počtu dní v roce. Stupeň je dělen na 60 minut a minuta na 60 vteřin. 1°= 60’, 1’ = 60”.

Žákův nástroj na měření úhlů je úhloměr. Tato stupnice měří velikosti úhlů od 0 ° do 180 ° s rozlišovací schopností 1 °. Žákům nejznámější cyklická stupnice je ciferník hodin. Je dělen na 12 dílů, hodin. Hodina se dělí na 60 minut, minuta na 60 sekund. 1 hod = 60 min, 1 min = 60 sec. Hrubá rozlišovací schopnost ciferníku je 0 °, tj úhel, který urazí malá ručička za 1 hodinu. Jemnější rozlišovací schopnost ciferníku je 6 °, tj úhel, který urazí velká ručička za 1 minutu. Na ciferníku je slovo „minuta” přítomno ve dvou kontextech. To někdy vede k nedorozumění.

Příběh 4.22

Ve 4. ročníku žákyně Lenka útočí na učitelku: „Tady v učebnici je napsáno, že jeden stupeň je 60 minut (dívka ukazuje nápis 1°= 60‘). Jenže za 15 minut (ukazuje na hodinách) urazí velká ručička 90 stupňů. Tedy 6 stupňů za minutu (dívka píše 6 °= 1 min). Tak jak to vlastně je?“

Komentář

Příčinou domnělé matematické nesrovnalosti je to, že slovo „minuta“ používáme jednak k měření času, jednak jako jednotku k měření velikostí úhlů. Lenka oba tyto kontexty propojila pohybem velké ručičky na hodinách. Velká ručička urazí za jednu časovou minutu úhel 6 °, tedy. 6 60 úhlových minut, tj. 60 ’. Malá ručička se pohybuje 12krát pomaleji než velká. Malá ručička urazí tedy za jednu časovou minutu úhel 0 ’, tj. půl stupně.

Nepovažujeme za vhodné na prvním stupni zavádět minutu jako šedesátinu stupně. O minutě doporučujeme mluvit pouze v časovém kontextu. Jedině se žákem, který sám projeví zájem o minutu jako úhlovou míru je potřebné tento pojem diskutovat. Za důležité ale považujeme pracovat s ciferníkem hodin jako prostředím, na kterém se prolíná měření času a měření úhlu. K tomu vedou úlohy o času, který uplyne, když velká, resp. malá ručička urazí úhel 90 °, nebo 12 ° apod. Více úloh lze najít v učebnici M5/72 až 75.

Mezi cyklickou a lineární stupnicí jsou tři základní rozdíly.

Cyklická stupnice měří neomezeně. Ciferník hodin zobrazuje všechny hodiny minulé i budoucí. Lineární stupnice (například krejčovský metr) je omezena.

Cyklické adresování je nejednoznačné. Témuž číslu stupnice odpovídá nekonečně mnoho úhlů, nebo časových okamžiků. (Dílku 40 ° odpovídají i úhly 400 °, -20 °, ...). Lineární adresování je jednoznačné.

Cyklická stupnice má absolutní jednotku. Například 1°= 1/60 kružnice. Lineární stupnice ji nemá.

Cyklické adresování má úzké propojení na jev periodicity a tzv. modulární aritmetiku.

Když pásek z obrázku 4.6 vystřihneme a namotáme na váleček tak, že všechny jedničky padnou na sebe, tak padnou na sebe i všechny dvojky i trojky. Toto namotání dobře ilustruje podstatu vztahu mezi periodicitou a cyklickým adresováním a propedeuticky připravuje náročné zobrazení x → eix reálných čísel na jednotkovou kružnici v komplexní rovině.

Když podobným způsobem „namotáme“ číselnou osu na kružnici tak, že čísla 0, 4, 8, ... padnou na sebe, pak na sebe padnou i čísla 1, 5, 9, ... i čísla 2, 6, 10, ... i čísla , 7, 11, ... Kdybychom namotávali číselnou osu na kružnici tak, že na sebe padnou čísla 0, 12, 24, 6 atd., dostaneme ciferník běžných hodin. Zde platí, že 11 + 5 = 4, 4 5 = 8 apod. Těmto počtům matematici říkají modulární aritmetika. Srozumitelnější pro žáky je název ciferníková aritmetika. S ní se ještě setkáme při dělení se zbytkem v 4.11.2.

V prvních pěti odstavcích jsme zkoumali sémantické představy žáků o čísle. V dalším se zaměříme na to, jak žák s čísly pracuje.

4.6 Práce s číslem

Na prvním stupni se žák učí sčítat, odčítat, násobit, dělit, porovnávat, zaokrouhlovat, pracovat s absolutní hodnotou, s rovností i nerovností. Získává mnoho zkušeností s propojováním uvedených matematických myšlenek, ale zejména se učí řešit různé úlohy a tvořit řešitelské strategie.

Když mluvíme o práci s čísly, musíme vědět, v jakém číselném oboru pracujeme. Například rovnost -2 + 5 =  je smysluplná a platí v oboru celých čísel, ale v oboru přirozených čísel je nesmyslná, neboť tam neexistuje -2. Podobně rovnost 6/ = 2 je smysluplná a platí v oboru racionálních čísel (zlomků), ale v oboru přirozených čísel je nesmyslná, neboť tam neexistuje 6/ (žák neví co to je). Ovšem rovnost 6 :  = 2 je v oboru přirozených čísel smysluplná a pravdivá. Podobně i rovnost 7 :  = 2 (1), kterou chápeme jako jiný zápis rovnosti 7 =  2 + 1.

Tradičně bývá na prvním stupni kladen zvýšený důraz na nácvik operací. Mnoho učitelů je přesvědčeno, že jejich úkolem je dosáhnout toho, aby žák pátého ročníku bezpečně a rychle zpaměti sčítal i odčítal do 100, znal násobilku i dělilku a s většími čísly zacházel pomocí spolehlivě nacvičených písemných algoritmů sčítání, odčítání, násobení a dělení se zbytkem. Uvedená edukační strategie zdůrazňuje význam paměti v učení se matematiky. Podle našeho názoru smyslem vyučování matematice je rozvoj intelektuálních schopností žáka, nikoli nácvik. Společně s drtivou většinou mezinárodní komunity didaktiků matematiky jsme přesvědčeni, že k matematickému růstu žáka i k rozvoji jeho osobnosti podstatně více přispěje edukační strategie zaměřená na porozumění operacím a relacím na porozumění situací, v nichž se tyto operace a relace vyskytují.

4.6.1 Porozumění operaci

Mluvíme o operacích sčítání, odčítání, násobení a dělení. Porozumění operaci znamená, že žák

a) rozumí smyslu operace, tj.

• spolehlivě vyřeší základní slovní úlohu5,

• pomocí dramatizace, manipulace, nebo obrázku spolehlivě uchopí úlohu s antisignálem (viz kapitola 2.5),

• vytvoří dobrou slovní úlohu, jejíž matematický model je dán;

b) umí operaci uskutečnit (s menšími čísly mentálně, z hlavy, s většími písemně; počínaje druhým ročníkem umí používat kalkulátor); operace s menšími čísly postupně automatizuje;

c) rozumí písemnému algoritmu operace, tj. ví, proč „to funguje“; zejména se jedná o přechod přes desítku.

Nejdůležitější je porozumění smyslu operace. Nejméně důležité je porozumění algoritmu. Následující příběh ukazuje smutný případ, kdy si této skutečnosti vyučující vůbec není vědoma.

Příběh 4.2 V prvním ročníku přečetla učitelka žákům úlohu z učebnice M1/2/24:

5 Je to úloha, ve které jsou dána právě dvě čísla a ta je třeba

sčítat, nebo odčítat, nebo násobit, nebo dělit.

Úloha 4.8

Bydleli jsme v nejvyšším podlaží. Přestěhovali jsme se o 1 podlaží níže. Teď bydlíme ve  podlaží.

Kolik podlaží má náš dům?

Hned jak učitelka dočetla, zeptala se jedna dívka „Paní učitelko, je to plus nebo na mínus?“

Učitelka odvětila „Na plus“. Dívka okamžitě zvedla ruku. Byla vyvolána a řekla: „Je to čtyři.“

Učitelka ji pochválila a řekla: „Ano náš dům má čtyři podlaží.“ Zapište si to do učebnic.

Komentář

Cílem úlohy je vést žáky k modelování situace. Pro učitelku cílem vyučování matematice je nácvik spojů a proto dívce a tím celé třídě úlohu vyřeší. Dívka neví, proč se má sčítat, ale tuto operaci udělá okamžitě a pochvala, které se jí od učitelky dostane, ji i její spolužáky vede k přesvědčení, že nikoli myšlení, ale hbitá reprodukce spojů je to, o co zde běží. Učitelka znemožnila většině žáků naučit se něco řešením úlohy. Ti, kteří se o to pokusí, budou nakonec káráni, protože třída bude řešit již další úlohu a oni budou stále modelovat úlohu 4.8. Je pochopitelné, že naše učebnice nemohou při tomto instruktivním vyučování plnit úlohu rozvíjení matematického orgánu žáka.

Nejméně důležité pro žáka prvního stupně je rozumět písemnému algoritmu operace. Jestliže mu žáci porozumí až později, třeba až na druhém stupni, není zde podstatné. Někteří mu neporozumí nikdy, ale ani to není závažné.

4.6.2 Porozumění relaci

Mluvíme o relaci rovnosti, uspořádání a relaci dělitelnosti. Porozumění relaci znamená, že žák

a) dovede o dvou číslech rozhodnout, zda jsou, nebo nejsou v dané relaci; např. rozhodnout, zda

platí: 6, = 6,0; 2/2 = /; -5 < -6; 6/ < 2; 4|16; |21078 apod.

b) rozumí smyslu relace, ví například, že když je A = B a B = C, pak platí též A = C, nebo když

A < B a B < C, pak též A < C, nebo když A|B a B|C pak též A|C;

c) dovede rozhodnout o pravdivosti výroku, který pracuje se dvěma výroky (např. zda z výroků

A < B a C < B lze něco nového vyvodit o číslech A, B a C, případně o číslech A + C a B.

Relace z prostředí Rodina tvoří bohatou strukturu nabízející různorodé úlohy. Tyto relace je možné skládat, podobně jako zobrazení. Výrok „A je otcem matky B” obsahuje virtuálně kromě muže A a osoby B i ženu X, která je dcerou muže A a matkou osoby B. Tedy relace „otec matky” je složení relací „otec” a „matka”. Tématika prostředí Rodina je rozvedena v příbězích .16 a .18.

Podívejme se blíže na každou ze základních početních operací. Operaci sčítání věnujeme největší pozornost, neboť je didakticky nejzávažnější. Chybné představy, nebo absence zkušeností u této operace mají negativní dopad na všechny další operace i relace a na celou oblast aritmetiky.

4.7 Sčítání

Je první operace, se kterou se dítě, většinou již hluboko v předškolním věku, setkává a kterou v nejjednodušších případech dobře ovládá.

4.7.1 Žák rozumí smyslu operace

Porozumění sčítání diagnostikujeme trojicí indikátorů.

a) Žák spolehlivě vyřeší slovní úlohu na sčítání každého z jedenácti základních sémantických typů. Jsou uvedeny v tabulce 4.6. Pro žáka 1. ročníku se jedná o typy 01 až 05, pro žáka  ročníku jsou to i typy 06 a 07, pro žáka 5. ročníku všechny typy.

b) Žák pomocí dramatizace, manipulace, nebo obrázku spolehlivě uchopí úlohu s antisignálem, ve které navzdory slovu napovídajícímu odčítání se výsledek najde sčítáním.

c) Žák umí vytvořit slovní úlohu, jejíž matematický model je 5 + 2 = ? (žák 1. ročníku jeden typ, žák 5. ročníku každý z typů 01až 05.

Tabulka 4.6 uvádí 11 základních typů sémantických situací operace A + B = C:

OP OZ OP OZ OP OP OZ OZ OP

C S S S A A OZ OP OZ OZ OP OP

1. ročník . ročník 5. ročník

Tab. 4.6

Každý z 11 základních typů tabulky lze dále dělit na podtypy a ty pak na jemnější podtypy. Například typ 01, tedy situaci S + S = S, dělíme dále na 4 podtypy uvedené v tabulce 4.7. Ani toto dělení však není konečné. U počtu lze pracovat s objekty manipulativně dostupnými (židle, panenky, autíčka aj.), dostupnými pouze zrakem (ptáci, okna věžáku), pomíjivými (údery zvonu, kroky), abstraktními (tři přání) atd. Podobně i veličiny lze dále jemněji klasifikovat na takové, s nimiž má žák bohatší zkušenosti (decimetr, kilometr), nebo zkušenosti skrovnější (gram, hektolitr).

Výstupní soubor je homogenní heterogenní

prsty +  prsty = 5 prstů

Tab. 4.7

Možnosti jemnějšího dělení, které jsme naznačili pro typ 01, se nabízí u všech typů tabulky. V dalším se zaměříme na čtyři nejnáročnější případy.

4.7.2 Typy 06 a 07

Posledních 6 typů tabulky 4.6 obsahuje pouze operátory. Stav ani adresa se zde nevyskytují. Není zde nic, z čeho by bylo možné začínat, jako z pevného bodu. Potíže, které absence pevného bodu dítěti způsobuje, jsme viděli v příběhu 4.15. Navíc u operátorů změny mohou být i záporné

hodnoty, což je další prvek obtížnosti. Didaktické zkoumání úloh typu ± O ± O = ±O začneme analýzou následující úlohy, která může být součástí prostředí Autobus. .

Úloha 4.9 (typ 06)

Z autobusu na zastávce vystoupilo 8 lidí a pak do něj 10 lidí nastoupilo. Jak se změnil počet cestujících v autobuse?

Obr. 4.9

V grafu schází u písmen O indexy. U levého O index 1, u pravého O index 2 u dolního O index . Situaci popisuje graf na obrázku 4.9.

Úloha uvádí pouze operátory:

O1 = 8, počet lidí kteří vystoupili, O2 = 10, počet lidí kteří nastoupili, a ptá se na operátor

O = celková změna počtu cestujících v autobuse na této zastávce. Operátory O1 i O2 jsou operátory změny. Na operátor O lze nahlížet jako na operátor změny i jako na operátor porovnání.

V situaci jsou virtuálně přítomny i tři stavy:

začáteční stav S z = počet cestujících při příjezdu na zastávku, mezistav S m = počet lidí v autobuse po vystupování a před nastupováním a konečný stav Sk = je počet lidí v autobusu při jeho odjezdu ze zastávky.

Již v komentáři k příběhu 4.16 bylo řečeno, že když dítě neumí pracovat bez vstupního stavu, můžeme mu vstupní stav dát a pak toto číslo variovat. Stejný postup radíme učiteli i zde.

Žák se dožaduje čísla Sz. Učitel mu vyhoví. Například řekne, že Sz = 12. Žák nejdříve najde S m = 4, Sk = 14 a nakonec i O = 2. Učitel žáka pochválí a počátečný stav změní; například Sz = 16. Žák najde Sm = 8, Sk = 18 i O = 2. Učitel opět změní Sz a žák opět najde O = 2. Nakonec (někdy již u druhé úlohy, jindy až u páté) žák objeví, že pokaždé to bude O = 2.

Žák již zná metodu, jak tyto úlohy řešit: zvolí několik různých začátečních stavů (izolovaných modelů), a když u všech bude O stejné číslo, pak hledaný operátor mám (model generický). Žák tedy ví jak, ale často neví, proč to funguje. K tomu se dobere, když podobných úloh vyřeší touto strategií více. Účinná cesta k pochopení metody je dramatizace, případně simulovaná dramatizace.

Dodejme, že v obrázku 4.9 jsme záměrně nespecifikovali, zda O1, O2 a O jsou operátory změny nebo porovnání. To nám umožní použít tento obrázek na všechny typy úloh od 06 až po 11. Snazší pro žáky jsou úlohy, ve kterých se pracuje s operátory porovnání. Ty totiž nejsou pomíjivé a je možné uchopit je pomocí obrázků.

Dodejme, že v obrázku 4.11 jsme zám rn nespecifikovali, zda O1, O2 a O3 jsou operátory zm ny nebo porovnání. To nám umožní použít tento obrázek na všechny typy úloh

po 11.

Úloha 4.10 (typ 07)

Boris je o 8 cm nižší než Adam a Cyril je o 10 cm vyšší než Boris. Porovnej výšku Adama a Cyrila.

Snazší pro žáky jsou úlohy, ve kterých se pracuje s operátory porovnání. Ty totiž nejsou pomíjivé a je možné uchopit je pomocí obrázk .

Úloha 4.10 (typ 07)

U této úlohy stačí situaci nakreslit (obr. 4.10) a je jasné, že Cyril je o 10 – 8 = 2 centimetry vyšší než Adam.

Boris je o 8 cm nižší jako Adam a Cyril je o 10 cm vyšší než Boris. Porovnej výšku Adama a Cyrila.

U této úlohy sta í situaci nakreslit a je jasné, že Cyril je o 10 – 8 = 2 centimetry vyšší než Adam.

Žák, který si všimne, že úlohy 4.9 a 4.10 jsou ve své podstatě stejné, začíná objevovat další účinnou strategii na řešení úloh typu 06: vytvořit k dané úloze analogickou úlohu typu 07 a tu nakreslit. Realizace tohoto záměru je náročná, protože je třeba transformovat procesuální situaci na analogickou situaci konceptuální. Žák, který toto zvládá, má vynikající

4.7.3 Typy 08 až 11

A B C

vhled do operátorových situací. Obr. 4.10

Žák, který si všimne, že úlohy 4.9 a 4.10 jsou ve své podstat stejné, za íná objevovat další ú innou strategii na ešení úloh typu 06: vytvo it k dané úloze analogickou úlohu typu 07 a tu nakreslit. Realizace tohoto zám ru je náro né, protože je t eba transformovat procesuální situaci na analogickou situaci konceptuální. Žák, který toto zvládá, má vynikající vhled do operátorových situací.

Obr. 4.12

Když se v operátorové úloze vyskytují jak operátor porovnání, tak i operátor změny, obyčejně to dále zvyšuje náročnost úlohy. Následující série úloh ilustruje každý z typů, o které se teď zajímáme.

4.7.3 Typy 08 až 11

Když se v operátorové úloze vyskytují jak operátor porovnání, tak i operátor zm ny, oby ejn to dále zvyšuje náro nost úlohy. Následující série úloh ilustruje každý typ , o které se te zajímáme.

Úloha 4.11 (typ 08)

Úloha 4.11 (typ 08)

Adam a Boris bydleli na stejném podlaží v paneláku. Letos se oba stěhovali. Adam o  podlaží nahoru. Boris teď bydlí 2 podlaží nad Adamem. O kolik podlaží nahoru se stěhoval Boris?

Úloha 4.12 (typ 09)

Adam a Boris bydleli na stejném podlaží v paneláku. Letos se oba st hovali. Adam o podlaží nahoru. Boris te bydlí 2 podlaží nad Adamem. O kolik podlaží nahoru se st hoval Boris?

Úloha 4.12 (typ 09)

Adam a Boris se letos stěhovali a po přestěhování bydlí na stejném podlaží v paneláku. Loni bydlel Boris 2 podlaží nad Adamem. Boris se stěhoval o  podlaží nahoru. O kolik podlaží nahoru se stěhoval Adam?

Adam a Boris se letos st hovali a po p est hování bydlí na stejném podlaží v paneláku. Loni bydlel Boris 2 podlaží nad Adamem. Boris se st hoval o 3 podlaží nahoru. O kolik podlaží nahoru se st hoval Adam?

Úloha 4.1 (typ 10)

Úloha 4.13 (typ 10)

V lednu byl Ivo o  cm vyšší než stůl. Od ledna do června Ivo vyrostl o 5 cm. O kolik cm je v červnu Ivo vyšší než stůl?

V lednu byl Ivo o 3 cm vyšší než st l. Od ledna do ervna Ivo vyrostl o 5 cm. O kolik cm v ervnu Ivo vyšší než st l?

Úloha 4.14 (typ 11)

Úloha 4.14 (typ 11)

Od ledna do června Ivo vyrostl o  cm. V červnu byl Ivo o 2 cm nižší než stůl. O kolik cm byl Ivo v lednu nižší než stůl?

Typy 08 a 09 se liší pouze pořadím vstupu operátorů do textu zadání. Podobně i typy 10 a 11. Někdy změna pořadí operátorů v úloze nečiní žákům potíže, ale někdy to má značný vliv na náročnost úlohy.

Řešitelskému procesu operátorových úloh je v odborné literatuře věnováno mnoho titulů. My se omezíme na typy 08 a 10. Každý z nich ilustrujeme řešitelským procesem žáka druhého ročníku.

Příběh 4.24

Žáci řeší v rámci experimentu dvě operátorové úlohy. Dívka úlohu 4.1  a hoch úlohu 4.11. Hochova úloha se ukázala jako výrazně náročnější. Oba žáci patří k nejlepším matikářům třídy.

kdy zm na po adí operátor v úloze ne iní žák m potíže, ale n kdy to má zna ný vplyv na nost úlohy.

ešitelskému procesu operátorových úloh je v odborné literatu e v nováno mnoho titul . My omezíme na typy 08 a 10. Každý z nich ilustrujeme ešitelským procesem žáka druhého níku.

h 4.24

Úlohy řešili v kabinetě, kde byla s nimi pouze učitelka. Hned na začátku žákům řekla, že se jedná o experiment a že jim po zadání úlohy již nic nemůže říct.

Dívka řešila úlohu 4.1. Úlohu si opakovaně četla, napsala

eší v rámci experimentu dv operátorové úlohy. Dívka úlohu a hoch úlohu 4.11. Hochova úl oha se ukázala jako výrazn n jší. Oba žáci pat í k nejlepším matiká m t ídy. Úlohy ešili v kabinet , kde byla s nimi pouze u itelka. Hned na za átku m ekla, že se jedná o experiment a že jim po zadání úlohy již nem že íct.

 + 5. Napsané škrtla a po chvíli napsala  + 5 = 8. Bylo vidět, že si odpovědí není jista. Chvíli hleděla do okna a pak situaci nakreslila. Nejdříve stůl, pak Ivana. Naznačila, že Ivo je o  cm vyšší než stůl. Opět si přečetla úlohu a oblou šipkou nakreslila, jak Ivo vyrostl o 5 cm. Jednotku „cm“ opomněla napsat (místo dívčina původního obrázku, který nemáme, je zde obrázek výtvarníka – obr. 4.11). Chvíli na obrázek hleděla a napsala odpověď: „Je viší o 8 cm.“

Obr. 4.13

Obr. 4.11 Učitelka se dívala na řešení, dívce poděkovala a poslala ji do třídy.

Komentář

Dívka ešila úlohu 4.13. Úlohu si opakovan etla, napsala 3 + 5. Napsané škrtla a po chvíli napsala 3 + 5 = 8. Bylo vid t, že si odpov dí není jista. Chvíli la do okna a pak situaci nakreslila. Nejd íve st l, pak Ivana. Nazna ila, že Ivo je o 3 cm vyšší než st l. Op t si p e etla úlohu a oblou šipkou nakreslila, jak Ivo vyrostl o 5 cm. Jednotku „cm“ opomn la napsat (viz obr. 4.13). Chvíli na obrázek hled la a napsala odpov : viší o 8 cm.“

Úloha 4.1 obsahuje dva operátory, ale není náročná. Dívka ji vyřešila vhledem, ale pro jistotu řešení nakreslila, aby si byla jistá. První operátor, operátor porovnání, dívka ihned uchopila pomocí obrázku a údaje  cm. Druhý operátor, operátor změny, naznačila šipkou a číslem. Pak již vše bylo jasné.

itelka se dívala na ešení, dívce pod kovala a poslala ji do t ídy.

Komentá . Úloha 4.13 obsahuje dva operátory, ale není náro ná. Dívka ji vy ešila vhledem, pro jistotu ešení nakreslila, aby si byla jistá. První operátor, operátor porovnání dívka ihned uchopila pomocí obrázku a údaje 3 cm. Druhý operátor, operátor zm ny nazna ila šipkou a íslem. Pak již vše bylo jasné.

h 4.25

Příběh 4.25

Hoch řešil náročnější úlohu 4.11. Ihned po přečtení úlohy si začal kreslit obrázek. Nakreslil věžák a jeho podlaží očísloval. Opět text četl a zeptal se učitelky, zda si může sám zvolit podlaží, na kterém oba bydlí. Učitelka řekla, že mu nemůže nic říct. Hoch ke 2. podlaží připsal písmena A a B a minutu nic nedělal. Pak čísla podlaží vymazal a nakreslil šipku od písmene A nahoru k podlaží původně pátému. Pak škrtnul B a připsal je k podlaží původně čtvrtému. Díval se na to a byl evidentně nespokojen. Vše škrtnul a kreslil nový obrázek: věžák, u jednoho podlaží písmeno A a o dvě podlaží výše písmeno B. Text četl asi třikrát, podíval se na původní, již škrtnutý obrázek, zvolal: „No jo!“ Vrátil se k tomuto obrázku. Levý ukazovák dal na písmeno A, pravý na písmeno B (původní adresy obou). Polohlasem si četl „Adam o tři podlaží výše“ a levým prstem šel po nakreslené šipce o  podlaží nahoru. Ke konci šipky připsal další písmeno A. Druhým prstem skočil o dvě podlaží nad právě napsané A a napsal tu B. Úsečkou vyznačil interval mezi novým A a novým B. Zasmál se, řekl „to je fikaný“, napsal „B o 5 pater nahoru“ a radostně ukázal obrázek učitelce. Ta řekla: „Byla to náročná úloha, ale tobě se to podařilo vyřešit. Díky, běž do třídy.“

Hoch ešil náro n jší úlohu 4.11. Ined po p e tení úlohy si za al kreslit obrázek. Nakreslil žák a jeho podlaží o ísloval. Op t text etl a zeptal se u itelky, zda si m že sám zvolit podlaží, na kterém oba bydlí. U itelka ekla, že mu nem že nic íct. Hoch ke 2. podlaží ipsal písmena A a B a minutu nic ned lal. Pak ísla podlaží vymazal a nakreslil šipku od písmene A nahoru k podlaží p vodn pátému. Pak škrtnul B a p ipsal jej k podlaží p vodn tvrtému. Díval se na to a byl evidentn nespokojen. Vše škrtnul a kreslil nový obrázek: žák, u jednoho podlaží písmeno A a o dv podlaží výše písmeno B. Text etl asi t ikrát, podíval se na p vodní, již škrtnutý obrázek, zvolal: „No jo!“ Vrátil se k tomuto obrázku. Levý ukazovák dal na písmeno A, pravý na písmeno B (p vodní adresy obou). Polohlasem si etl „Adam o t i podlaží výše“ a levým prstem šel po nakreslené šipce o 3 podlaží nahoru. Ke konci šipky p ipsal další písmeno A. Druhým prstem sko il o dv podlaží nad práv napsané napsal tu B. Úse kou vyzna il interval mezi novým A a novým B. Zasmál se, ek „to je fikaný“, napsal „B o 5 pater nahoru“ a radostn ukázal obrázek u itelce. Ta ekla: „Byla to ná úloha, ale tob se to poda ilo vy ešit. Díky, b ž do t ídy.“

Komentář

Úloha 4.11 obsahuje dva operátory změny a jeden operátor porovnání. Hoch ji řešil na třikrát. Nejprve si ujasnil, že nezáleží na tom, z jakého podlaží vycházíme. Správně šipkou naznačil operátor změny O1 – Adam se přestěhoval o  podlaží nahoru. Dále chybně uchopil operátor porovnání O2 – Boris teď bydlí 2 podlaží nad Adamem. Příčinou chyby je to, že na obrázku bylo pouze jedno písmeno A a poloha Adama po přestěhování písmenem A zaznačena není. Tím, že si hoch napsal pouze jedno A, nebyl schopen správně interpretovat operátor O2. Teprve po zvolání „No jo!“ mu došlo, že chyba je v tom, že nemění polohu A. Rozhodl se do konceptuálního obrázku vnést proces. Levým ukazovákem pohyb Adama, pravým pohyb Borise. Výchozí polohy písmen A, B doplnil polohami finálními. Tím, že operátor porovnání O2 znázornil úsečkou, ukázal, že mu je situace zcela jasná. Hoch sám byl svým řešením tak potěšen, že považoval za nutné pochlubit se učitelce.

Komentá Úloha 4.11 obsahuje dva operátory zm ny a jedem operátor porovnání. Hoch ji na t ikrát. Nejprve si ujasnil, že nezáleží na tom, z jakého podlaží vycházíme. Správn šipkou nazna il operátor zm ny O1 – Adam se p est hoval o 3 podlaží nahoru. Dále chybn uchopil operátor porovnání O2 – Boris te bydlí 2 podlaží nad Adamem. P í inou chyby je to, na obrázku bylo pouze jedno písmeno A a poloha Adama po p est hování písmenem A zazna ena není. Tím, že si hoch napsal pouze jedno A, nebyl schopen správn interpretovat

4.7.4 Žák umí sčítat

V prvním ročníku žáci sčítají do 20, ale mnozí do 100 a někteří i do 1000. První součty nachází žák manipulací, později některé spoje automatizuje. Ty nazveme majákové.

Žáci ke sčítání používají nejčastěji prsty nebo počitadlo. Možnost použít prsty dává žákovi jistotu a napomáhá rozvíjet jeho vhled do součtových spojů. Konečně i my dospělí nezřídka použijeme prsty. Prsty například použiji, když chci vědět, kolik dní jsem byl mimo Prahu, když jsem odjel ráno 14. . a vrátil se večer 22. . Použiji prsty, i když vím, že to mohu zjistit výpočtem 22 – 17 + 1 = 6. Prsty jsou jistější a vyžadují méně energie.

Prsty a počitadlo jsou nejčastější, ne však jediné nástroje nácviku sčítání. Dalšími nástroji jsou peníze, číselná osa, krokování atp. Jeden náš žák ( . ročník), který byl diagnostikován jako mentálně nezralý, správně a poměrně rychle počítal úlohy o penězích. Vně tohoto kontextu byl bezradný. Jiný bystrý hoch s deformovanou ručičkou nemohl používat prsty, ale pomocí číselné osy, kterou mu moudrá učitelka nalepila na lavici, počítal velice rychle i spolehlivě. Kolegyně, která učí mentálně postižené žáky, konstatovala: „Mám dva žáky, kteří poprvé správně sečetli 2 +  až na krokovacím pásu.“

Někteří žáci velice rychle zvládnou paměťové spoje do 10, nebo i do 20. Jiným to trvá déle. Učitel, který je přesvědčen, že jeho úlohou je rozvíjet matematické myšlení žáků a že rychlost a spolehlivost sčítání není kritériem myšlení, bude respektovat tři didaktické zásady

1) Nespěchat. Podstatná je správnost výsledku, nikoli rychlost nebo použité pomůcky. Učitel trpělivě čeká, až se u žáka spoje automatizují.

2) Umožnit žákovi jeho vlastní početní postupy. Zejména mu povolit všechny pomůcky, které při práci potřebuje.

) Předkládat žákovi poutavé úlohy vyžadující mnohé sčítání. Takové úlohy nabízí prostředí Pavučiny, Hadi, Součtové trojúhelníky i Barevné trojice. Výpočty jsou motivovány poutavou úlohou, k jejímuž řešení musí žák hodně počítat. Počítá s vervou, protože chce vyřešit poutavou úlohu. Je to stejné, jako když je na tělocviku žák otráven běháním po dráze, ale za mičudou běhá s vervou, neboť chce dát gól.

První zásada nevyžaduje komentář. Třetí zásadu budeme diskutovat v 4.7.5. Druhou zásadu ilustruje následující příběh, ve kterém uvádíme tři různé postupy řešení úlohy 6 + 7 = ? dvěma dívkami z prvního ročníku a šestiletou předškolačkou Marcelou.

Příběh 4.26

Marta, která často hrávala hru Člověče nezlob se, chvíli na nápis 6 + 7 = hleděla, pak řekla: „deset a dvě, θ a tři, θ třináct.“ (Znak θ představuje pauzu 2 až 5 sekund.)

Monika po chvilce zaváhání řekla „patnáct“. Když viděla, že učitelka neplesá, ihned se opravila a řekla „třináct“. Svůj omyl vysvětlila slovy: „Jo, to se má odčítat.“

Marcela vystrčila palec levé ruky, pak palec a ukazovák pravé ruky, opakovaně zrakem běhala z nápisu 6 + 7 = na ruce. Dala je k sobě a řekla třináct. O den později Marcela počítala úlohu 7 + 6 = ? rozkladem 7 + 6 = 7 + ( + ) = (7 + ) +  = 10 +  = 1. Poznali jsme to podle pohybu její levé ruky, na které vystřela  prsty. To ty tři, které zbyly, když z 6 odebrala , aby doplnila 7 do 10.

Komentář

Tři dívky a čtyři různé postupy. Marta z Člověče nezlob se věděla, že 6 + 6 = 12, tedy 10 + 2. Správně využila tento majákový spoj, přidala 1, aby číslo 6 zvýšila na 7. Monika použila majákový spoj 7 + 7 = 14, řekla si, že 6 se od 7 liší o 1 a proto i výsledek se od 14 liší o 1. Správná

úvaha. Chybovala v tom, že místo odčítání 14 – 1 = 1 přičítala 14 + 1 = 15. To, že se okamžitě opravila, ukazuje, že dívka váhala, zda tu jedničku přičítat nebo odčítat. Když její pokus přičítat neuspěl, ihned změnila na správné odčítat. Marcela mentálně rozložila obě čísla: 6 = 5 + 1, 7 = 5 + 2; obě pětky jí daly 10 a na prstech viděla . O den později dívka řešila úlohu 7 + 6 = ? rozkladem šestky.

Žáci používají různé výpočtové postupy a vzájemně si ukazují, jak to kdo počítal. Učitel, který tyto diskuse podporuje, urychluje rozvoj porozumění sčítání všech žáků. Snaží-li se učitel vést žáky k používání jednotného algoritmu, zpomaluje rozvoj většiny žáků. To se děje zejména u nácviku přechodu přes desítku.

4.7.5 Nácvik spojů

Mnozí učitelé i rodiče jsou přesvědčeni, že

• hbitost a spolehlivost sčítání do 20 je hlavním cílem výuky matematiky v prvním ročníku;

• nejúčinnější cesta, jak toho cíle dosáhnout, je masivní nácvik součtových spojů;

• používáním prstů, počitadla a jiných pomůcek proces učení se brzdí;

• bez dokonalého zvládnutí paměťového sčítání do 10 (později do 20) nemůže žák pochopit náročnější myšlenky, jako je např. násobení.

Výzkumy mnoha badatelů i naše vlastní výzkumy oponují tomuto přesvědčení a to zejména ze čtyř důvodů

1) Poslední z výše uvedených bodů je předsudek. Existuje mnoho žáků, kteří byli na prvním stupni hodnoceni jako slabí, protože jim hbité počítání nešlo, nicméně na druhém nebo dokonce až na třetím stupni patřili k nejlepším.

2) Důraz na rychlost a spolehlivost počítání frustruje pomalejší žáky. K nim patří slabší žáci, ale i někteří hloubaví, kteří cítí potřebu výsledek najít a ne jej pouze odříkat. Frustraci nezpůsobují úlohy, ale tlak učitele nebo rodiče, tedy časová tíseň a obava z neúspěchu. Když učitel vidí, že většina žáků již součtové spoje umí zpaměti, začíná spoje „promrskávat“ a naléhat na pomalejší žáky, aby řekli výsledek rychle a bez prstů. Mylně se domnívá, že tím urychlí proces učení se. Ve skutečnosti zákaz používat prsty žáka frustruje a brzdí jeho vývoj. Viz příběh „Gustav“ z Hejný, Kuřina (2009, s.114).

) Pro žáky, kteří již sčítají rychle, může být neustálé opakování nudné. Mezi těmito žáky jsou tací, kteří soutěže na rychlost i paměťové učení se počtům vítají. Jejich radost pramení z pocitu narůstající dokonalosti schopnosti sčítat. Nicméně po dosažení jisté úrovně k dalšímu narůstání nedochází a tedy radost z růstu odumírá. Jestliže tento žák i nadále vítá hbité počítání, pak příčinou této potřeby není kognitivní rozvoj žáka, ale sociální úspěch. Žák, kterého sociální úspěch neuspokojuje a který má i nadále potřebu intelektuálního růstu, pociťuje stereotypní opakování známých věcí jako únavné, nudné a ztrátu času. Ať tak či onak, rozvoj matematického myšlení žáka další nácvik sčítání utlumuje a brzdí.

4) Masivní nácviky spojů se promítají do metakognitivní oblasti žákova vědomí zdůrazňováním významu paměti a podhodnocením významu myšlení. V budoucnu bude žák od učitele vyžadovat pravidla a vzorce, které se naučí a které bude aplikovat na standardní úlohy. Žáci, kteří si uchovají potřebu porozumět matematice a potravu pro tuto potřebu hledají v různých kvizech a hlavolamech, začnou často na druhém stupni vynikat. Zde se totiž objeví zlomky, záporná čísla, kombinatorika, geometrické konstrukce aj., tedy oblasti příliš

rozsáhlé na to, aby byly zvládnuty pamětí. Žáci, kteří si zvykli učit se matematiku pamětí, začínají upadat.

Naše kritika tradičních nácviků neznevažuje potřebu automatizace součtových spojů. Jsme přesvědčeni, že tato automatizace je potřebná, ale nemusí jí být dosaženo již na konci prvního ročníku. Edukační strategie, kterou na nácvik součtových spojů doporučujeme, spočívá v úlohách, které jsou pro žáka poutavé, ale vyžadují mnohé počítání.

4.7.6 Písemné sčítání

Sčítat větší čísla v paměti již žáci nesvedou. Učitel jim ukáže, jak to udělat písemně. Kritickým místem návodu je přechod přes desítku. Spočívá v rozkladu druhého sčítance a v doplnění prvního sčítance na celou desítku. V případě že druhý sčítanec je větší, lze rozkládat první sčítanec. Algoritmus použila Marcela z příběhu 4.26 při sčítání 7 + 6. Proces přechodu přes desítku se skládá ze tří myšlenkových kroků. Ilustrujeme je na součtu  + 8 = ?

najdu, co mám dopočítat k prvnímu sčítanci, k číslu , abych dostal 10; je to 7 druhý sčítanec, číslo 8, rozložím na součet 7 + n; zjistím, že n = 1 napíši výsledek 1n; tedy 11.

Popsaný postup je spolehlivá strategie, v některých případech ta nejvhodnější. Například u součtu 99 + 2. Didakticky problematické je ale její důsledné prosazování. Dříve než ukážeme proč je to problematické, podíváme se na příběh. Pochází z diplomové práce Lucie Panovské z roku 2012. Autorka učila žáky druhého ročníku. Všichni žáci jsou ze socio-kulturně znevýhodněného prostředí. Velice zajímavé epizody, které ve své práci popisuje, stěží lze tak hojně najít v běžných třídách.

Příběh 4.27

Na straně  ve své diplomové práci L. Panovská uvádí tři postupy slabších žáků při řešení úlohy  + 8 = ?

První žák úlohu neřešil, protože nevěděl, které číslo má rozdělit; jiný žák ze stejného důvodu neřešil ani úlohu  + 5.

Druhý žák udělal první krok algoritmu, dopočítal, že do 10 schází 7 a napsal  + 8 = 7.

Třetí žák udělal i druhý krok algoritmu, zjistí, že z čísla 8 zůstane 1 a napíše  + 8 = 71.

Proč se žáci dopouštějí tak závažných až nepochopitelných omylů? Autorka v analýze těchto postupů správně ukazuje, že žáci u tohoto algoritmu musí kromě čísel  a 8 pracovat i s čísly 10, 7 a 1. Ty se objeví ve výsledku. Autorka konstatuje, že manipulativní činnost (knoflíky, prsty,...) je u těchto žáků výrazně úspěšnější než přechod přes desítku.

V roce 2005 jsme udělali sondu: požádali jsme 14 posluchačů, aby mentálně sčítali 27 + 46. Pak jsme se ptali, jak při sčítání postupovali. Většina našla napřed součet 20 + 40 = 60, pak součet 7 + 6 = 1 a nakonec sečetli oba dílčí výsledky 60 + 1 = 7. Někteří k číslu 46 přičetli 20 a pak k 66 ještě 7. I tito ale 6 + 7 = 1 měli jako majákový spoj. Přechod přes desítku nepoužil žádný. Sondu opakujeme každým rokem a výsledek je stejný. I toto pozorování zpochybňuje u úloh s přechodem přes desítku didaktickou účinnost metody rozkladu druhého (nebo menšího) sčítance.

4.7.7 Žák rozumí algoritmu (písemného) sčítání

Žák, který si sám vytvoří nějaký fungující algoritmus, určitě svému algoritmu rozumí. Žák, který si převzatý algoritmus nácvikem osvojí, často nedovede vysvětlit, proč algoritmus pracuje tak, jak pracuje. Někteří žáci mu nerozumí ani na druhém stupni. To samo o sobě nelze považovat za vážný nedostatek. Těmto žákům však často schází nejen vhled do algoritmu písemného sčítání, ale i vhled do desítkové soustavy a to je již vážný nedostatek. Jde především o plné pochopení toho, že deset jedniček se mění na jednu desítku, deset desítek na jednu stovku, atd.

Testovali jsme různá prostředí, o nichž jsme se domnívali, že mohou být vhodná k budování porozumění pro desítkovou soustavu v oblasti písemného sčítání. Čtyři z těchto prostředí se ukázala jako úspěšná, aspoň pro některé žáky. Jedná se následující prostředí:

Římská čísla. Při sčítání VI + VII = XIII žák mění V+V na X. Při sčítání VIII + VII = XIIIII = XV žák nejprve mění V+V na X, pak IIIII na V. Při sčítání VIII + IX = VII + X = XVII žák nejprve vzájemně vyruší dvě jedničky a zbytek lehce sčítá. Sčítání IX + IC žák nejprve upraví na odčítání CX – II, pak odečte X – II = VIII a nakonec napíše výsledek CVIII.

Ve všech uvedených úlohách musí žák pracovat s čísly a měnit je vzájemně tak, aby dospěl k výsledku.

Peníze. Označme korunovou minci 1 a desetikorunovou minci 10. Součet 27 + 6 hledá žák tak, že čísla vymodeluje:

27 → 10, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 a 6 → 10, 10, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1.

Oba obnosy dá dohromady, dostane

10, 10, 10, 10, 10, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, tedy pět 10 a třináct 1.

Teď přichází klíčový okamžik postupu: směna deseti 1 za jednu 10.

Výsledek: 10, 10, 10, 10, 10, 10, 1, 1, 1 = 6.

Když žák řeší tyto úlohy manipulativně pomocí žetonů, lze vytvořit i žeton 5 na 5korunovou minci. Pak je toto prostředí propojeno na římská čísla.

Neposedové. Když z výpočtu 5 + 21 = 56 odložíme číslice 1, 2 a  bokem a necháme po nich pouze prázdná místa, dostaneme nápis 5 + = 56. Úlohou žáka je bokem odložené číslice (neposedy) vrátit zpět do výpočtu.

Úloha 4.15

Vrať neposedy, uvedené v závorce, zpět do rovností. Hledej více možností. V úlohách c) a d) jedno číslo uteklo.

a) + = (1, 1, 2, 9); b) + = = (1, , 4, 5, 6).

c) + = (8, 8, 9, ?); d) + = = (6, 6, 7, 7, ?).

Komentář k řešení. a) Úloha má dvě řešení: 2 + 9 = 11 a 9 + 2 = 11. d) Úloha má více než 5 řešení. Jedno je například 0 + 67 = 67 a jiné je 7 + 69 = 76.

Algebrogramy (viz 1..1) Když žák řeší algebrogram AB + 6 = BA, vidí, že B > A a navíc B +  = = A + 10. Poslední rovnice má dvě řešení: A = 1, B = 8 a A = 2, B = 9. Dosazením zjistíme, že obě řešení vyhovují i původnímu vztahu: 18 + 6 = 81 a 29 + 6 = 92.

4.8 Odčítání

Odčítání je náročnější než sčítání, a to jak z hlediska sémantických představ, tak z hlediska kalkulací. Nejnáročnější je důsledek operace odčítání: rozšíření přirozených čísel na čísla celá. Odčítání je tedy operace pojmotvorná, protože vede k vytvoření nového pojmu, pojmu záporné číslo. Tomu je věnován odstavec 4.9.

4.8.1 Žák rozumí smyslu odčítání

Skoro vše, co bylo řečeno v 4.7 o sčítání, platí po případné úpravě i o odčítání. Tak například

tři diagnostické indikátory uvedené u sčítání, zůstávají i pro odčítání:

a) Žák spolehlivě vyřeší slovní úlohu na odčítání každého z 11 typů uvedených v tabulce 4.6.

b) Žák pomocí dramatizace, manipulace, nebo obrázku spolehlivě uchopí úlohu s antisignálem.

c) Žák umí vytvořit slovní úlohu, jejíž matematický model je 5 – 2 = _.

U odčítání přibudou k uvedeným třem diagnostickým indikátorům další čtyři. Týkají se zejména sémantických nástrah, které operace odčítání přináší.

d) Žák v prostředí Krokování chápe, že 2 –  = -1, tj. dva kroky dopředu a pak tři dozadu, značí jeden krok dozadu. Stejně chápe, že -2 –  = -5. Od 4. ročníku rozumí tomu, proč mínus před závorkou mění znaménka všech čísel v závorce.

e) Žák v prostředí Schody umí vysvětlit vztahy  – 2 = 1, 2 –  = -1. Od 4. ročníku ví, že přičítat číslo -4 je totéž co odečíst číslo 4, že odčítat číslo -4 je totéž co přičítat číslo 4. Tedy ví, že –(-1) = 1 a že výrok „teplota poklesla o - ° C“ velice nešikovně říká, že se oteplilo o  ° C.

f) Ve druhém ročníku žák ví, že úlohy 4 + = 9 i + 4 = 9 i 9 – = 4 lze řešit odčítáním = 9 – 4 a úlohu – 4 = 5 lze řešit sčítáním = 5 + 4.

g) Ve třetím ročníku žák ví, že situaci „bydlel jsem na 5. podlaží a přestěhoval jsem se o 2 podlaží dolů“ mohu zapsat A + OZ, kde A = 5 je adresa a operátor změny OZ = -2 je záporný, nebo A – OZ, kde A = 5 je adresa a operátor změny je OZ = 2 je kladný.

Podívejme se, jak se uvedené myšlenky projeví v některých úlohách. Z úlohy 4.9, která je typu OZ1 + OP = OZ2, OZ1 > 0, OP > 0, OZ2 > 0, lze vytvořit celkem 4 různé úlohy na odčítání, podle toho, které ze vstupních čísel OZ1 a OP je kladné a které záporné a jaké je číslo OZ2. Uvedeme případ, pro který je OZ1 < 0, OP > 0, OZ2 < 0.

Úloha 4.16 (typ 08 resp. 09) Adam a Boris bydleli na stejném podlaží v paneláku. Letos se oba stěhovali. Adam o  podlaží dolů. Boris teď bydlí 2 podlaží nad Adamem. O kolik podlaží a kterým směrem se stěhoval Boris?

Nakonec dodáme, že termín „odčítání“, který je v oboru přirozených čísel jasný, ztrácí tuto jasnost po rozšíření oboru na čísla celá. Operaci -2 –  = ? prohlásí někteří žáci za odčítání, protože od čísla -2 se odčítá číslo . Jiní žáci mluví o sčítání, protože se zde sčítají dvě záporná čísla. Když si tuto skutečnost uvědomila jedna dívka ze čtvrtého ročníku, radostně zvolala: „Odčítání od mínusu je vlastně sčítání“. Třída tomuto sdělení rozuměla. L. Euler (1897, s. 24) v této souvislosti vysvětluje: „Zbavit někoho dluhu znamená dát mu dar.“

4.8.2 Příčiny náročnosti odčítání

Odčítání je pro žáky náročnější než sčítání. Jednou z příčin je skutečnost, že sčítání nacvičujeme především na úlohách typu S + S = S, tedy pomocí operace „dát dohromady“. Operace k ní inverzní je „rozdělit“. Ta ale neodpovídá odčítání. Tedy úlohy typu 01 (viz tab. 4.6) nepřipravují žáka na odčítání, připravují jej na situace, kdy je dané číslo třeba rozdělit na součet dvou čísel, například na úlohu: „Napiš číslo pět jako součet dvou čísel. Najdi všechny možnosti.“

Přípravou na odčítání jsou úlohy typu 02 až 05 (viz tab. 4.6), tedy úlohy s jedním operátorem.

U úloh typu 02 a 04 operátor změny lehce mění znaménko: vyhrát → prohrát, získat → ztratit, nastoupit → vystoupit, přidat → ubrat atd. Zde ilustrace není nutno uvádět. Pro některé žáky dobrou pomůckou na sčítání a odčítání je číselná osa nalepená na lavici. Na ní lze simulovat pohyby z prostředí Schody.

U úloh typu 0 a 05 operátor porovnání mění znaménko podle směru porovnání. Výrok „V naší třídě je o 1 žáka více než v třídě sousední.“ (S1 + OP = S2) říká totéž, co výrok „V sousední třídě je o 1 žáka méně než v naší.“ (S2 – OP = S1). Porovnání čísel pomocí číselné osy diskutujeme v následujícím odstavci.

Z uvedeného vyplývá didaktické doporučení: Budou-li žáci již od prvního ročníku řešit úlohy typu 02 až 05 (viz tab. 4.6), budou lépe připraveni na sémantické pochopení operace odčítání. Vhodná prostředí k této přípravě jsou Krokování, Schody i Autobus.

Odčítání typu 01, tedy odčítání S1 – S2 = S, vychází ze situace doplnění známé části do známého celku. Ilustrace:

Úloha 4.17

Na pískovišti je 9 dětí, z toho 6 kluků. Kolik je tam holčiček?

Zde S1 = 9 je počet všech dětí na pískovišti, S2 = 6 je počet kluků a S =  je počet holčiček.

K řešení těchto úloh na komplement (doplněk) používají žáci tři různé strategie.

Oddělení části. Od 9* žák oddělí 6* a zjistí, že doplněk je *. Dopočítání. K číslu 6 žák dopočítá „sedm, osm, devět“ a každé slovo eviduje vystřením jednoho prstu. Prsty pak spočítá.

Odčítání. Žák již ví, že úlohy na komplement se řeší odčítáním, a napíše tedy 9 – 6 = .

Úlohy na porovnání, tj. úlohy typu 0, S1 – S2 = OP, v nichž je neznámý operátor porovnání, řeší žáci nejčastěji odčítáním. Ilustrace:

Úloha 4.18

Na pískovišti je 9 dívek a 6 kluků. Koho je víc? O kolik?

Zde S1 = 9 je počet dívek na pískovišti, S2 = 6 je počet hochů. Tedy S1 > S2 a OP =  je rozdíl. Propojením posledních dvou úloh vzniká náročná situace vyžadující dvojí odčítání.

Úloha 4.19

Na pískovišti je 9 dětí, z toho 6 kluků a zbytek jsou holky. Koho je víc? Holek nebo kluků? O kolik?

Matematicky zdatní žáci třetího ročníku jsou schopni tuto úlohu vyřešit během několika vteřin vhledem pomocí dvou mentálních kroků. Nejprve v mysli soubor 9 dětí rozloží na 6 kluků a  holky a pak z této představy zjistí odpověď.

4.8.3 Rozdíl čísel

Slovo rozdíl bývá zdrojem nedorozumění. Někdy žák chápe rozdíl čísel p a q jako číslo p – q. Pak rozdíl čísel 2 a 5 je záporné číslo -. Tato interpretace odporuje konvenci, podle které rozdíl je číslo nezáporné. Tedy rozdíl čísel p a q je číslo |p – q|. To znamená, že úlohy obsahující slovo rozdíl přinášejí do vědomí žáka první zkušenosti s náročným pojmem absolutní hodnoty.

Úloha 4.20

Věkový rozdíl mezi Evou a Ivou je 5 let. Evě je 11. Kolik je Ivě?

Úloha má dvě řešení, stejně jako rovnice |11 – x| = 5 má řešení x = 6 i x = 16. Žáci, kteří rozdíl čísel p a q chápou jako vzdálenost příslušných dílků na číselné ose, budují si vztah mezi geometrií a aritmetikou. Pomáhá jim to porozumět skutečnosti, že rozdíl čísel - a 12 není 9, ale 15. Například při řešení úloh typu „Ráno byly - °C a v poledne je již 12 °C. Jaký je to rozdíl teplot?“

první druhý třetí čtvrtý pátý šestý sedmý osmý

Obr. 4.12

V odstavci 4.5.2 jsme uvedli čtyři různé interpretace čísla na číselné ose. Potíže, které různé interpretace čísla žákům přinášejí, se projevují i při práci s odčítáním a rozdílem na číselné ose. Příčinou je nerozlišování mezi čísly a intervaly. Na obrázku 4.12 vidíme číselnou osu s vyznačenými čísly (dílky) 0, 1, …, 7 a popsanými intervaly první, druhý, …, osmý. Chyby při hledání rozdílu se žák dopouští, když si všímá pouze čísel nebo pouze intervalů. Když si všímá pouze čísel, vidí, že mezi čísly 2 a 5 jsou jen dvě čísla ( a 4), a tak řekne, že rozdíl je 2. Když si všímá pouze intervalů, vidí, že mezi druhým a pátým intervalem jsou jen dva intervaly (třetí a čtvrtý) a řekne, že rozdíl je 2. Žák, který rozumí pojmu rozdíl na číselné ose, ví, že 5 – 2 = , neboť mezi čísly (dílky) 2 a 5 jsou tři intervaly – třetí, čtvrtý a pátý. Hluboké porozumění této situaci má žák, který ví navíc i to, že mezi druhým a pátým intervalem jsou tři čísla (dílky) 2,  a 4.

Situaci lze přirovnat k laťovému plotu, ve kterém se pravidelně střídají laťky a mezery. Vzdálenost latěk A a B není určena počtem latěk ležících mezi A a B, ale počtem mezer. Viz Hejný, Kuřina (2009, s. 5-41).

O náročnosti pojmu rozdíl vypráví i následující příběh.

Příběh 4.28

V roce 2012 byli posluchači pedagogické fakulty asi měsíc před psaním testu z předmětu Didaktika matematiky III upozorněni, že v testu bude náročná úloha na pojem rozdíl. V testu pak měli posoudit žákovo řešení následující úlohy:

Úloha 4.21

Když k rozdílu myšleného čísla a čísla -1 přičtu 5, dostanu 9. Jaké číslo jsem si myslil? Hledej všechna řešení.

Řešení žáka (5. ročník). Myslil jsem si číslo . Rozdíl čísel  a -1 je 4. Když k tomu přičtu 5, dostanu 9.

Pouze jeden ze 1 posluchačů zjistil, že daná úloha má i druhé řešení, záporné číslo -5. Zmíněná posluchačka jako jediná napsala správnou rovnici |x + 1| = 4 a z ní řešení našla. Absolutní hodnota se objevila ještě v 6 dalších textech, ale její použití bylo formální.

4.8.4 Žák umí odčítat mentálně i písemně

Didaktické myšlenky uvedené o sčítání v odstavci 4.7 lze přenést i na odčítání. U odčítání je ale bohatší soubor postupů, které mohou žáci používat. Tři takové postupy uvedeme. Posouvání čísel. Postup je založen na skutečnosti, že rozdíl a – b se nezmění, když k oběma číslům přičteme, nebo od obou čísel odečteme stejné přirozené číslo. Tak najít rozdíl 19 – 15 je totéž, jako najít rozdíl 9 – 5; najít rozdíl 29 – 16 je totéž, jako najít rozdíl 0 – 17; najít rozdíl 102 – 5 je totéž, jako najít rozdíl 100 – 51. Tento postup používají zejména ti žáci, kteří rozdíl vnímají jako délku úsečky na číselné ose. Když úsečku s koncovými body 5 a 102 o dvě čísla posunu dolů, dostanu stejně dlouhou úsečku s koncovými body 51 a 100.

Zajímavou variaci uvedeného postupu vytvořil jeden žák třetího ročníku pro písemné odčítání trojmístných a čtyřmístných čísel. Obě čísla posunul tak, aby v žádném řádu nebyla číslice menšence větší, než číslice menšitele. Někdy stačila

třikrát:

Hochovi to šlo dopřepisovat přímo v zápisu původním. K jeho postupu se žádný spolužák nepřiklonil. Ve čtvrtém ročníku i tento hoch používal již algoritmus standardní.

Podobný, i když efektivnější postup je používán na některých školách v Anglii. Je založen na rozkladu menšence na „pěkné“ číslo a zbytek. Operaci písemného odčítání předchází nácvik dopočítávání do čísla končícího nulami, tedy úlohy typu 00 – 208, nebo 1000 – 69, nebo 2000 – 1492 apod. Pak je této dovednosti využito k odčítání. Postup ilustrujeme na příkladech.

Když máme najít 47 – 182, tak menšence 47 rozložíme na součet 200 + 27; pak od pěkného čísla 200 odečteme menšitele 182 a k dílčímu výsledku 18 přičteme 27. Dostaneme výsledek

291. Další ilustraci uvedeného postupu již stručně:

644 – 208 = (44 + 00) – 208 = 44 + (00 – 208) = 44 + 92 = 46

7506 – 69 = (6506 + 1000) – 69 = 6506 + (1000 – 69) = 6506 + 07 = 681

5 067 – 1 492 = 5067 – 1492 = (067 + 2000) – 1492 = 067 + (2000 – 1492) = 067 + 508 = 575.

4.8.5 Aditivní struktura

Základní aritmetické operace sčítání a odčítání spolu úzce souvisejí. V jazyce vyšší matematiky mluvíme o komutativní aditivní grupě (Z,+), jejíž neutrální prvek označujeme 0 a prvek opačný k prvku a označujeme –a. Žák prvního stupně se na případné budoucí pochopení této struktury připravuje budováním aditivního mentálního schématu. Jeho podstatou jsou generické modely, o nichž jsme psali již v indikátorech e) a f) odstavci 4.8.1:

odečíst 7 je totéž, co přičíst -7, a odečíst -4 je totéž, jako přičíst 4 a - (-6) = + 6 vztah, který žáci evidují idiomem „dva mínusy jsou plus“.

Úlohy 4 + = 9 i + 4 = 9 i 9 – = 4 lze řešit odčítáním = 9 – 4 a úlohu – 4 = 5 lze řešit sčítáním = 5 + 4.

I v našem didaktickém slovníku slovem aditivní rozumíme jak sčítání, tak odčítání.

Tab. 4.8b

Příběh 4.29 Nina si od první třídy libovala v tvorbě tabulek. Tabulek na sčítání, jako tab. 4.8a si udělala snad deset. Některé jen pro prvních pět-šest čísel, ale tu největší pro čísla od 1 do 20. Tabulky na odčítání se jí nelíbily, protože nebyly čtvercové. Ve druhé třídě ji napadlo vytvořit na odčítání tabulku, která je čtvercová – od dvojmístných čísel se odčítají čísla jednomístná (viz tab. 4.8b). Při tvorbě jedné z těchto odčítacích tabulek objevila, že na odčítací tabulce se dá sčítat a na sčítací odčítat. Byla tímto objevem nadšena.

Komentář

Příběh Niny ukazuje, že zdánlivě samozřejmý vztah sčítání a odčítání není pro žáka druhého ročníku vůbec samozřejmý. Způsob, kterým došla Nina k objevu, ukazuje, že zde hrála roli polarita procesu a konceptu. Sčítání i odčítání jsou procesy, ale sčítací nebo odčítací tabulka jsou koncepty. Dívka si všimla, že vztah mezi čísly 4, 6 a 10 je zachycen v obou tabulkách; tento okamžik AHA-efektu byl základem Ninina objevu aditivního schématu.

Zajímavé didaktické řešení propojení sčítání a odčítání, které nacházíme v učebnicích autorů P. Černeka a V. Repáše, jsme uvedli v .2.5.

V našich úvahách o odčítání se objevovala i čísla záporná. Na tento didakticky náročný objekt zaměříme pozornost v následující kapitole.

Tab. 4.8a

4.9 Záporné číslo

Závažným didaktickým úkolem posledních dvou ročníků prvního stupně je dosáhnout toho, aby záporné číslo neleželo v představách žáků v přítmí, aby se stalo právoplatnou součástí pojmu číslo, aby žákům „zevšednělo“. Tento cíl asi nelze dosáhnout, ale lze dosáhnout toho, že když se nad jistou číselnou situací žák hlouběji zamyslí, uvědomí si, že nutno uvažovat i čísla záporná.

Učitel, který sám ví, že když se mluví o číslech celých je nutno uvažovat i čísla záporná, je schopen ke stejnému poznání vést i žáky. O tom, jak se při výchově budoucích učitelů snažíme dát jim uvedenou schopnost, je následující příběh.

4.9.1 Příběh

Na semináři, který je věnován celým číslům, předkládám budoucím učitelům elementaristům úlohy, jejichž cílem je vést je k potřebě brát na vědomí i existenci čísel záporných. Tři z úloh k tomu účelu používaných vstoupí do našeho příběhu.

Úloha 4.22 (autor T. Hecht)

Najděte 4 po sobě jdoucí celá čísla, jejichž součin je 24.

Úloha 4.2

Je pravda, že mám-li dvě různá čísla a větší vydělím menším, dostanu něco jiného, než když menší vydělím větším?

Úloha 4.24

Zjistěte, které z následujících tvrzení platí pro všechna celá čísla x, y.

(1) 1 – x < 1 + x,

(2) (√2+ x)2 ≥ 2,

() x < y ⇒ 1/x > 1/y.

Pokaždé dosud posluchači vyřešili úlohy 4.22 a 4.2 neúplně nebo chybně a u nerovnice (1) z úlohy 4.24 je poprvé napadlo uvažovat i čísla záporná. Pak se vrátili a opravovali svá chybná řešení. Stejně to bylo i v následujícím příběhu.

Příběh 4.0

Seminář v roce 2009 začal tak, jak i jiné roky. První řešení úlohy 4.22 našli posluchači rychle: 1 · 2 ·  · 4 = 24. Byli přesvědčeni, že druhé řešení nemůže existovat. Se stejnou jistotou tvrdili, že výrok v úloze 4.2 je pravdivý. Až u nerovnice (1) z úlohy 4.24 Ofélie objevila, že když je x = –1, tak nerovnost neplatí. Toto překvapení upozornilo posluchače, že musí uvažovat i čísla záporná. Zatímco většina posluchačů pomocí konkrétních čísel prověřovala, že 1 – x < 1 + x platí pro všechna kladná x, nikoli ale pro nulu a x záporná, tak Ofélie již našla i druhé řešení úlohy 4.22. Na tabuli napsala: (–1) · (–2) · (–) · (–4) = 24. To byla další překvapení, o němž některá z dívek řekla, že je to „podpásovka“, ale naopak jiným se to líbilo. Nerovnice (2) z úlohy 4.24 bývá pro posluchače oříškem, protože vyžaduje zacházení s odmocninou i mocninou. V tomto kroužku byla Odeta, která umí dobře upravovat algebraické výrazy. Dívka na tabuli napsala (√2 + x)2 = 2 + 2 · √2 · x + a aniž by výpočet ukončila, řekla, že nerovnost platí, protože „když ke dvojce něco přičtu, dostanu víc než dvě“. Někdo chtěl, aby výpočet dokončila, a když Odeta dopisovala x2 , ozvala se námitka.

Ofélie1: Ale když to v té závorce bude nula …?

Olívie1: (Po asi pěti vteřinách …) No jo, když to x je mínus odmocnina ze dvou, tak vlevo je nula a vpravo dvě a to je víc.

Odeta1: No jo, sakra, … I když x je mínus jedna.

Ofélie2: Mohu vzít za x i jiné záporné číslo, například mínus dvě; (po chviličce) vlastně jakékoli záporné číslo a nerovnost nebude dobře.

Všichni souhlasí. Mlčím a tvářím se nevěřícně.

Ofélie: Vlastně ne. Když to bude veliké mínus, tak to nevyjde. Například pro mínus sto je levá strana veliká a tak to platí.

Nerovnost jsme nedořešili, protože Olina chtěla ukázat řešení nerovnosti (). Tvrdila, že platí pro všechna čísla. Na tabuli napsala 2 <  ⇒ 1/2 > 1/ a řekla: „To je pravda.“ Pak napsala – < –2 ⇒ –1/ > –1/2 a pomocí číselné osy ukázala, že i to je pravda. Ne všichni tomu rozuměli. Olina byla na svůj výkon hrdá. Pochválil jsem ji a zeptal jsem se, zda tomu ostatní rozumí a zda je to pravda. Nikdo neprotestoval.

Nevěděl jsem, jak je dovést k poznání, že se mýlí, a tak jsem se uchýlil do historie. Vyprávěl jsem, jak těžce si záporná čísla získávala legitimitu. Řekl jsem jim, že když francouzský matematik A. Arnauld (1612 – 1694) zjistil, že přesto, že – 1 < + 1, je podíl „menší : větší“, tj. podíl (-1) : (+1) stejný jako podíl „větší“ : menší“, tj.(+1) : (-1). V obou případech je výsledek -1. Ofélie hned řekla, že je to vlastně úloha 4.2, ale že je to neuvěřitelné. Dívky si začaly mezi sebou Arnouldův „paradox“ vysvětlovat, odhalily, že to platí, i když zde místo číslice 1 dáme číslici 2 nebo . Olina zjistila, že její důkaz implikace () je neúplný, protože zapomněla uvážit případ, kdy x je záporné a y kladné.

4.9.2 Pohled do historie.

Záporná čísla byla matematiky přijata velice pozdě. Řekové, kteří v oblasti geometrie dospěli až na úroveň axiomatické výstavby vědecké disciplíny, neznali záporná čísla. René Descartes (1596–1650) jako první dává záporným číslům interpretaci – jsou to souřadnice bodů na ose x, vlevo od počátku. Sám ale tato čísla nazývá klamná a snaží se pracovat v prvním kvadrantu, aby všechny souřadnice zkoumaných bodů byly kladné. Až v roce 1770 zavádí švýcarský matematik Leonhard Euler (1707–178) do algebry záporná čísla jako plnohodnotné veličiny. Přesto ještě více než půl století jsou záporná čísla mnoha matematiky přejímána s podezíráním. Tak například v roce 181 skotský matematik Augustus De Morgan (1806–1871) píše, že imaginární výraz √–a a záporný výraz –b se shodují v tom, že objeví-li se ve výsledcích úloh, svědčí o jisté absurditě a protiřečení. Z hlediska skutečného významu jsou oba výrazy stejně nereálné, protože 0 – a je stejně nepochopitelné jako √–a. Tato a další historická svědectví o lopotné cestě člověka k pojmu záporné číslo lze najít například v páté a sedmé kapitole knihy Kline (1980).

Z hlediska historie jsou zlomky výrazně jednodušší než čísla záporná. Kmenové zlomky známe již 4000 let, ale záporná čísla ještě před 400 roky legalizována nebyla. Tento důležitý historický fakt zasahuje i do tematického celku záporná čísla na škole.

4.9.3 Příčiny náročnosti záporných čísel

V obšírné stati ruské didaktičky M. D. Koškinové (1987), která je založená na rozsáhlém experimentování, jsou uvedeny 4 příčiny náročnosti záporných čísel. Ty zde stručně uvedeme i s komentářem aktualizujícím názory Koškinové na naši současnost.

1) Řídký výskyt záporných čísel v reálném světě. Je sice pravda, že záporné číslo se objeví na teploměru, na řídící desce výtahu, při počítání zisků a ztrát v oblasti financí, nebo při práci s letopočty – například v informaci „Aristoteles se narodil v roce -84“. Tato sémantická podpora záporného čísla je však v porovnání se sémantickou podporou čísla kladného hubená. A jak upozorňuje Semadeni (2014, odstavec 12.2), záporné číslo nikdy nemůže být kardinální. Navíc i v uvedených situacích je záporné číslo často nahrazováno kladným v opozitní kvalitě, která je vyjádřena slovně. Například v informacích „garáže jsou v druhém podzemí“, „je pět pod nulou“, „Aristoteles se narodil v roce 84 před Kr.“ se záporné číslo neobjevilo.

I oblast, která je zdánlivě nejpříznivěji otevřená používání záporných čísel – finance – není v reálném životě se zápornými čísly spjata. Neřekneme „mám mínus sto korun“, ale „mám sto korun dluhu“, nebo „schází mi sto korun“. Informaci „dlužíš mi mínus sto korun“ by asi jen cvičený matematik pochopil jako „dlužím ti sto korun“.

Základní model přirozeného čísla – počet předmětů – nemá v oblasti záporných čísel ekvivalent. Záporné číslo jako počet nebo veličinu nemůže žák vnímat smysly.

2) Náhlý vpád záporných čísel do výuky. Bez náležité propedeutické přípravy vstupuje do výuky mnoho pojmů. U náročných pojmů, jako je zlomek, procento, poměr, nebo geometrická transformace, je absence dostatečně dlouhé propedeutické fáze didakticky velice závažná. Samozřejmě se to vztahuje ve zvýšené míře i na záporná čísla. Zde je ovšem otázka, jak tento pojem, v životě tak málo frekventovaný, žákům předkládat. To bude vážné téma dalších úvah.

) Způsob výuky záporných čísel, zaměřený na nácvik pravidel. Nepočetné sémantické modely záporných čísel se brzo oddělí od strukturálních pravidel a tato pak převezmou hlavní slovo v představě záporného čísla. Navíc někdy jsou podávána v těžce stravitelné formě. Například v učebnici Urbanové (1985) je na straně 116 v graficky zvýrazněné formě

uvedeno:

a) Mají-li dvě čísla stejná znaménka, sečteme je jako přirozená čísla. Znaménko součtu je shodné se znaménkem sčítanců.

b) Mají-li dvě čísla různá znaménka, odečteme je jako přirozená čísla, tj. od většího přirozeného čísla odečteme menší. Znaménko součtu je shodné se znaménkem čísla, které je na číselné ose dále od nuly.

S radostí konstatujeme, že v současných učebnicích jsme podobnou verbální ekvilibristiku neobjevili. Nedostatkem některých současných učebnic je nárazovost práce. Záporná čísla jsou v některém tematickém celku až přebujelá, ale vzápětí se z učebnice vytrácí.

4) Faktická nepotřebnost záporných čísel. K čemu je potřebujeme? Pokud jde o teploměr, výtah, nebo vrstevnici mořského dna, jistě můžeme znaménko mínus použít, ale to není důvod k tomu, abychom věnovali výuce záporných čísel tolik pozornosti, aby učitelé stále žákům opakovali, že „mínus krát mínus dává plus“, nebo „násobím-li nerovnost záporným číslem, znaménko se mění“. Konečně celá skvělá řecká matematika se bez záporných čísel obešla, a až do poloviny 18. století je matematici nepotřebovali. Jestliže tedy budeme ve škole záporná čísla zavádět, musíme vědět, co nás k tomu opravňuje. To je další námět ke zkoumání. Zřejmě nejzávažnější. Kdybychom totiž dospěli k názoru, že záporná čísla jsou nepotřebná, asi bychom je z osnov vypustili.

Tolik tedy studie Koškinové, která byla mým hlavním teoretickým pramenem přípravy strategie výuky záporných čísel, když jsem se na začátku osmdesátých let připravoval na vyučování matematice v jedné třídě, kterou jsem pak učil od třetího do osmého ročníku v letech 1984–1989.

Hlavní teze tehdejší přípravy lze shrnout do tří bodů:

1) již od třetího ročníku trpělivě budovat různé sémantické modely záporných čísel,

2) vést žáky k opakovanému objevování záporných čísel, a to jak rozšiřováním aritmetické struktury přirozených čísel, tak i v oblasti sémantické,

) soustavně využívat rozdílné názory jednotlivých žáků k vyvolání a vedení třídní diskuse; její klima musí být laděno tak, aby k aktivitě povzbuzovalo zejména slabší žáky.

Pokud jde o bod 1), připravil jsem motivačně účinné prostředí Tajná chodba, které se později (když byli žáci již v šestém ročníku) změnilo na prostředí Panáček. Na jeho základě byla pak o 15 let později vytvořena dvojice prostředí Krokování a Schody.

Naše současná edukační koncepce záporných čísel je založena na stejných třech tezích, pouze první teze je zesílena: sémantický model záporných čísel v prostředí Krokování začínáme již v prvním ročníku.

4.9.4 Sémantické modely záporných čísel

se vztahují k adrese, veličině a operátoru změny. Dále je zde specifická kategorie opozitních modelů. Adresa je údaj místa, nebo času, vyjádřený záporným číslem. Sémantické ukotvení adres mají reálné stupnice (teploměr, výtah), strukturálním modelem je číselná osa. V prostředí Schody adresy -1, -2, - apod. mají sémantické kotvení, ale současně poukazují na číselnou osu. Ta je vnímána ve dvou polohách: svislé a vodorovné. Později dojde k poznání izomorfizmu obou těchto modelů. Způsob objevu svislé číselné osy jsme viděli u Tajné chodby.

Veličina je uspořádaná trojice (číslo, jednotka, objekt). I když záporné veličiny existují, vstupují do světa žáka na prvním stupni ZŠ zřídka. Výjimku tvoří kapitál měřený v korunách nebo jiné měně a teplota měřená ve stupních Celsia. V představě žáka je teplota vnímána ne jako veličina, ale jako adresa na stupnici teploměru. Přesněji: žák ještě nediferencuje mezi teplotou a její evidencí na teploměru, asi tak, jako většina z nás nerozlišuje mezi váhou a hmotností. Tedy na prvním stupni jedině finanční model zaujme některé žáky tak, že se pro ně stane generickým. Další záporná veličina vstoupí do vědomí žáka až později, například při pojmu orientovaný úhel. Připomeňme, že lze mluvit i o orientovaném obsahu a orientovaném objemu a tyto veličiny též mohou být záporné. Takové objekty se objevují v integrálním počtu.

Operátor změny měří změnu adresy nebo mnohosti, nebo operátora. Podobně jako výše, i zde záporné číslo použijeme, jen když je změn více. Například změny výšky při putování tajnou chodbou. Pokud opisujeme jedinou změnu, záporné číslo nepoužijeme. Přesto naše některé žáky, zejména ve čtvrtém a pátém ročníku, takové podivné opisy operátorů silně motivovaly. Představy, které přitom vznikaly, nazveme: Opozitní modely. Jedná se o modely, v nichž vystupují prvky dvou číselně opozitních kvalit: majetek – dluh, vpravo – vlevo, nahoru – dolu, vpřed – vzad apod. Výrok „Pepík dal dva vlastní góly“ byl změněn na „Pepík dal mínus dva góly“. Vůči tomu jeden hoch namítal: „Kdyby dal Pepa i dva normální góly, dal by pak dva mínus dva, tedy nula gólů, což je lež, neboť on dal čtyři góly.“ Jiný hoch mínil, že „z hlediska výsledku dal Pepa skutečně nula gólů“. Zajímavé byly i úvahy o domněle opozitních modelech jako noc – den, sudý – lichý, chytrý – hloupý. Do této linie patřil výrok  hoši +  dívky = 0, který jedna dívka interpretovala takto: „Když se vezmou, žádný nebude svobodný, hoši budou ženatí, dívky budou vdány.“

Debaty o opozitních modelech bývaly dlouhé a plné emocí. Pomáhaly účastníkům prodiferencovávat představy pojmu „záporné číslo“.

4.9.5 Strukturální modely záporných čísel

Jestliže u sémantických modelů šlo o budování představy pojmu záporné číslo, teď půjde o budování struktury celých čísel s akcentem na čísla záporná.

V příběhu 4.12 jsme viděli, jak Dalimil k výpočtu 5 – 7 + 4 = 2 použil komutativní zákon 5 – 7 + 4 = 5 + 4 – 7, tedy nástroj struktury. Nevíme, jak by odpověděl na otázku, kolik je 5 – 7. Možná by souhlasil s Derekem, že to se udělat nedá, ale možná by řekl, že to je číslo -2. Tak na podobnou otázku reagovalo v našich nedávných sondách více žáků třetího a několik žáků druhého ročníku. V porovnání s dobou před 0 lety, současní žáci nespojují záporné číslo s mystériem, protože jej znají z kalkulačky. Děti, které si s kalkulačkou rády hrají, si mínus i některé jeho aritmetické vlastnosti rychle osvojí. Je jasné, že zde se nejedná o plnohodnotné porozumění záporným číslům, dokonce ani ne o porozumění strukturální, ale přinejmenším o generický model situace: když od menšího čísla odčítám větší, dostanu číslo záporné. Děti mluví o záporném čísle jako o čísle „s tím mínusem“.

Hlubší strukturální porozumění záporným číslům poskytnou žákům situace, v nichž se záporná čísla objeví v jistém aritmetickém kontextu. Představíme je pomocí tří úloh z prostředí sčítacích trojúhelníků.

Úloha 4.25

Ve sčítacím -trojúhelníku je A = 5, C = 4 a F = 7. Najděte číslo B.

Úloha 4.26

Najděte sčítací -trojúhelník, ve kterém součet všech šesti čísel je roven nule. Najděte více takových trojúhelníků.

Úloha 4.27

Ve sčítacím -trojúhelníku je A = C, F = 2 a součet všech šesti čísel je roven nule. Najděte všechny takové trojúhelníky.

Podobné úlohy lze vytvořit v prostředí pavučin, sousedů, barevných trojic i násobilkových čtverců.

4.10 Násobení

Tematický celek Násobení přirozených čísel patří ke sloupům výuky matematiky ve třetím a čtvrtém ročníku. Tradičně bývá nejvíce pozornosti, energie i času věnováno nácviku malé násobilky a pak algoritmu násobení vícemístných čísel. Pro mnohé žáky je tato činnost demotivující, protože je samoúčelná a nedává žákům žádný prostor vlastní tvořivosti. Navíc víme, že nepřispívá k rozvoji matematického orgánu žáka.

Z. Semadeni kritizuje přístup založený na asociaci a kalkulacích. Uvádí starší učebnici, ve které byl nácvik malé násobilky podpořen úlohami typu

6 ⋅ 8 = ( + ) · 8 =  · 8 +  · 8 = 24 + 24 = 48, které k porozumění násobení nepřispívají. „Má to stejné didaktické nedostatky, jako jsme viděli u sčítání. Jedná se o symbolické úpravy odpovídající algebraickému myšlení, bez ohledu na to, že se zde písmena nevyskytují“ (Semadeni 2014, odstavec 18.2).

Znalost násobilky není podstatou matematiky. Podstatou je vhled do operace, který žák prokáže zejména tím, že v dané sémantické situaci pozná, že se jedná o násobení. Tvrzení,

že žák, který neumí násobilku zpaměti, nemůže řešit náročnější úlohy, je předsudek, který deformuje realitu.

Důležité je, zda žák rozumí smyslu násobení. Tři diagnostické indikátory uvedené u sčítání a odčítání zůstávají v platnosti i pro násobení:

a) Žák spolehlivě vyřeší slovní úlohu na násobení.

b) Žák spolehlivě uchopí úlohu s antisignálem.

c) Žák umí vytvořit slovní úlohu, jejíž matematický model je 5 7 = ___.

U aditivních operací jsme přehled 11 základních sémantických typů udělali pomocí tabulky 4.6. Multiplikativní operace, násobení a dělení, vyžadují jiný způsob přehledu sémantických typů. Sémantické situace násobení A ⋅ B rozdělíme do tří kategorií. Do první dáme ty případy, v nichž

A je skalár a B* je číslo ukotvené sémanticky, tedy objekt. Do druhé kategorie dáme případy A* B*, kde obě čísla jsou objekty. Do třetí dáme případy A B, kde obě čísla jsou skaláry.

4.10.1 Žák rozumí násobení A ⋅ B* (skalár ⋅ objekt)

Máme-li zjistit, kolik dnů mají tři týdny, pak objekt „týden“ převedeme na 7 dní a toto číslo vynásobíme skalárem . V popsané ilustraci je A =  a B* = týden = 7 dní. Tři týdny mají  7 = 21 dnů.

Stůl má 4 nohy, a tedy dva stoly mají 2 ⋅ 4 = 8 noh. Zde B* = stůl = 4 nohy, A = 2 je skalár. Zde ovšem rozdíl mezi skalárem a objektem může být smazán přiloženým obrázkem dvou stolů. Zde jak dva stoly, tak čtyři nohy každého stolu jsou objekty.

Mám-li čtyři pětikoruny, mám 4 5 Kč = 20 Kč. Zde B* = pětikoruna a A = 4 je počet pětikorun.

Běžně se žák setkává se situací, ve které je objekt B* veličinou. Zde pak důležitou roli hrají jednotky.

Ve výpočtu „půlhodina = ½ hodina = ½ 60 min = 0 min“

je B* = hodina = 60 minut a A = ½.

Ve výpočtu „0, m = 0, ⋅ (10 dm) =  dm“ je B* = metr = 10 dm a A = 0,.

Ve výpočtu „15 % z 200 kg masa = 0 kg masa“ je B* = 200 kg masa a A = 15 %.

Příklady ukazují, že násobení A B* je sémanticky běžný případ součinu. V příkladu s dvěma stoly jsme viděli, že jak A, tak B může být dítětem vnímáno jako objekt. O tom vypravuje příběh, ve kterém žáci v 1. třídě řeší úlohu:

Úloha 4.28

Kolik kol mají dvě auta?

Příběh 4.1

Pavlína si nakreslila dvě auta a ke každému dokreslila 4 kola. Pak kola spočítala a výsledek, 8 kol, ukázala učitelce. Ta ji požádala, ať obrázek nakreslí na tabuli. Spolužáci s řešením Pavlíny souhlasili. Ve třídě je žák Patrik, který již od svých tří let projevoval zájem o čísla a je výrazně

matematicky vyspělejší než jeho spolužáci. Učitelka mu dává náročnější úlohy. Navrhla hochovi, ať úlohu řeší pro , nebo dokonce pro 4 auta. Patrik nic nekreslil, počítal 4 + 4 + 4 = 12 a pak 4 + 4 + 4 + 4 = 16 a běžel to ukázat učitelce.

Komentář

V dané úloze Pavlína vnímá A* = dvě (auta) a B* = čtyři (kola) jako objekty. Na obrázku Pavlíny jsou obě čísla nakreslena. Nakresleno je všech 8 kol. Každé kolo je zde individualita. Ve výpočtu Patrika je B* = auto = 4 kola a A = počet aut = 4 je skalár. Kola tří aut hoch chápe jako 4 + 4 + 4. Počet kol je pak součet napsaných čtyřek.

K posunu vnímání součinu od úrovně Pavlíny k úrovni Patrika dochází u žáků v prvním ročníku spontánně, protože jsou k tomu připraveni životními zkušenostmi. Pomocí symboliky * lze posun značit symbolicky A* · B* → A B*. Skalár A vzniknul desémantizací čísla A*. Někteří žáci již v prvním ročníku jsou schopni desémantizovat i číslo B*. Viděli jsme to v příběhu 4.1, kdy Eliška našla součin 120 evidentně bez sémantického kotvení.

Typologii součinů A B* dostaneme, když se zeptáme, jak lze třídit skaláry A a jak ukotvená čísla B*. Pro skalár A máme pět možností: číslo přirozené, zlomek, číslo desetinné, procento a číslo záporné. Jenže skalár A jen výjimečně může být číslo záporné, a proto jej do naší klasifikace nezahrneme, pojednáme o tom níže.

Pro objekt B* máme čtyři možnosti: počet, veličinu, operátora a frekvenci (hustota).

Objekt B* může být operátorem, ale protože i skalár je operátor, dochází zde ke specifické situaci, která je navíc tak didakticky závažná, že jí věnujeme zvláštní odstavec a do následujícího přehledu případ, že B* je operátor, nezahrneme.

Všech 12 typů, ke kterým jsme se dopracovali, je sumárně uloženo v tabulce 4.9.

Číslo B* je počet veličina frekvence, hustota

přirozené 2 auta mají 2*· 4 = 8 kol

zlomek Vrcholu dosáhla jen pětina z 15 horolezců

Máma má dvojnásobek váhy své 2 kilové dcery.

ČR zajímá něco více než 1/50 rozlohy EU

V dopravní špičce jezdí vlaky třikrát častěji než mimo špičku

Hustota zalidnění Plzeňského kraje jsou 2/ hustoty zalidnění Pardubického kraje

číslo A je

desetinné 0,52 obyvatel Prahy jsou ženy

procento 600 korunový svetr jsem koupil za 85% jeho ceny

Rozloha ČR je něco přes 0,02 rozlohy EU

Z celkové rozlohy EU zaujímá ČR něco přes 2 % .

Hodinu po zápase klesla tepová frekvence tenisty na 0,4 frekvence v průběhu zápasu

Váhový pokles novorozence během prvních 5 dnů je až 15%.

Tab. 4.9

Rozdíl mezi zlomkem, desetinným číslem a procentem není z matematického hlediska podstatný. Například 1/50 = 0,02 = 2%. Tři výroky o rozloze ČR, uvedené ve sloupci „veličina“, říkají totéž. Pro žáka se mohou jevit jako různě náročné, a to podle kvality jeho vhledu do uvedených tří jazyků čísel.

Zvláštní didaktickou pozornost si zasluhuje situace, která se často vyskytuje v prostředí financí: změna ceny zboží vyjádřena procenty. Oba případy, nárůst i pokles, ilustrujeme na generických modelech. Řekněme, že svetr původně stál 25 Kč. Pak, když cena svetru vzrostla o 16 %, je nová cena (1 + 0,16) · 25 Kč = 77 Kč; když cena svetru klesla o 16 %, je nová cena (1 – 0,16) · 25 Kč = 27 Kč.

4.10.2 Žák rozumí násobení A* ⋅ B* (objekt ⋅ objekt)

Příklad součinu A* B* jsme viděli v příběhu 4.0. Pro Olinu objektem A* byla 2 auta a objektem B* čtyři kola. Dalších 5 typů součinu A* ⋅ B* uvádíme v následujícím seznamu. Obsah obdélníka (kusy). Obdélníkový dvorek je vydlážděn čtvercovými kachlíky. Na délku je kachlíků 16, na šířku 7. V dláždění je 16 × 7 = 112 kachlíků. Všechna tři čísla (16, 7 i 112) mají stejné sémantické ukotvení: jsou to počty kusů. Jiné sémantické kotvení stejného případu zamění kontext dláždění a kachlíků za kontext dělení čokolády. Rozdíl je v tom, že u dláždění je dán obdélník a jeden kachlík a proces dláždění znamená vytvoření mříže do obdélníka. U kontextu čokolády je již obdélník mříží rozdělen. O tom vypráví následující příběh.

Příběh 4.2 (Převzato od Grahama H. Littlera.)

Graham dal třetí třídě jako úlohu zjistit, kolikrát lze obdélníkovou houbu otlačit na tabuli tak, aby se otisky nepřekrývaly a pokryly celou tabuli. Jedna dívka namočila houbu, začala u horního levého okraje tabule a dělala mokré stopy jednu vedle druhé. Když došla na konec tabule, řekla 14, a pokračovala na další řádce. Tu přiběhla jiná dívka, vzala si houbu a šla s otisky po levém kraji tabule shůry dolů. Zjistila, že zde je otisků 8 a půl. Pak řekla, že stačí vynásobit čísla 14 a 8,5 a máme výsledek. Pomocí kalkulačky zjistila, že je to 114 otisků. První dívka však ještě nějakou dobu pokračovala dále a když došla do poloviny čtvrté řádky, řekla: „A jo,“ a přestala dělat otisky. Po hodině přišli žáci za Grahamem s otázkou, proč stačilo vynásobit ta dvě čísla. On žáky odkázal na autorku nápadu.

Komentář

Příběh popisuje důležitý posun ve vnímání násobení i pozdějšího vzorce pro obsah obdélníka. První dívka a oba žáci, kteří po hodině za Grahamem přišli, musí ještě udělat více konkrétních výpočtů, u nichž jednotlivé kachlíky nebo kostičky čokolády spočítají po jedné a později po celých řádcích. Až když sami vzorec pro obsah obdélníka objeví, bude příslušný generický model obsahu obdélníka jejich dobrou znalostí. Tito žáci jsou připraveni na pochopení obecnějšího typu pojmu obsah.

Obsah obdélníka (veličina). Obdélníkový trávník má rozměry 12 m a 15 m. Jeho obsah je (12 × 15) m2 = 180 m2. Čísla 12 i 15 mají stejné sémantické ukotvení; jsou to veličiny stejného typu – délky měřené v m. Jejich součin je též veličina, ale jiného typu – je to obsah měřený v m2.

svetřík č čm čz čž b bm bz bž

Tab. 4.10

Kombinatorické násobení (koncept). Panenka má dvě sukýnky (červenou a bílou) a tři svetříky (modrý, zelený a žlutý). Panenku lze obléknout 2 ×  = 6 různými způsoby: čm, čz, čž, bm, bz, bž. Čísla 2,  a 6 mají stejné sémantické ukotvení – počet možností.

Všech 6 možností lze uchopit tabulkou 4.10, která tuto kombinatorickou situaci představuje jako koncept.

Obr. 4.13

Kombinatorické násobení (proces). Jiná kombinatorická situace je znázorněna na obrázku 4.1. Týká se počtu cest z osady A do osady C přes osadu B. Víme, že z osady A do osady B vedou dvě cesty a z B do C tři cesty. Kolik různých možností máme pro cestu z A do C?

Je to 2 ×  = 6 cest. Sémantické ukotvení čísel 2,  a 6 je stejné – je to počet cest (možností).

Žáci, kteří tuto úlohu řeší ve třetím ročníku poprvé, používají nejčastěji barvy na odlišení jednotlivých cest. Ve většině případů je tato řešitelská strategie neúspěšná, protože řešitel ztratí přehled, a i když dospěje k číslu 6, není si jist, zda na některou cestu nezapomněl. Úspěšnější bývá strategie nakreslení všech šesti cest do šesti oddělených obrázků.

Složeniny. Tímto termínem označujeme součiny, ve kterých A* má jiné sémantické ukotvení než B*. Když jsou to veličiny, jsou vyjádřeny v různých jednotkách. Například objem hranolu s výškou 6 cm a obsahem podstavy 15 cm2 je 90 cm. Všechna tři čísla – 6, 15 i 90 – jsou veličiny, ale každá je jiného typu. Jednotkou prvního čísla je cm, jednotkou druhého je cm2 a jednotkou třetího je cm. To co mají tyto jednotky společné, je jejich společný původ v délce měřené v cm. Náročnější příklad: 200litrový sud se přítokem o rychlosti 25 litrů za minutu naplní za 8 minut, protože 8 min ⋅ 25 l/min = 200 l. Objem je měřen jednotkou „litr“, čas je měřen jednotkou „minuta“ a rychlost přítoku je měřena podílem objem/čas, tedy jednotkou „litr/minuta“. Do typu složenin náleží i úlohy, v nichž se používají jednotky jako „člověkoden“. Příkladem takové úlohy, jež je určená žákům . ročníku, je následující úloha.

Úloha 4.29

Za vítězství v okresním přeboru čtyřčlenných žákovských družstev v šachu získalo naše družstvo odměnu 12 člověkodní v rekreačním zařízení Petrklíč. Jak se máme o výhru podělit, když dva

z nás tam chtějí jet každý jen na dva dny?

4.10.3 Žák rozumí násobení A ⋅ B (skalár ⋅ skalár)

Nejnáročnější typ sémanticky kotveného součinu, který dělá potíže i středoškolákům. Důležitý je kontext, ve kterém toto násobení zasahuje do problematiky finanční gramotnosti.

Příběh 4.

Žákům sedmého ročníku, kteří již dobře zvládali situace popsané v posledních dvou řádcích odstavce 4.10.1, byla předložena následující úloha.

Úloha 4.0

V únoru byla cena svetru zvýšena o 25 % a nová cena byla v dubnu snížena o 20 %. Kdy byl svetr levnější – v lednu před zvýšením, nebo v květnu po snížení ceny. Proč?

Žáci se ptali, jaká byla původní, nebo konečná cena svetru. Učitel ale řekl, že na tuto otázku nemůže dát odpověď. To čtyři žáky odradilo od práce. Tři žáci odpověděli, že nejdražší byl svetr v březnu. Dva žáci napsali: „Levnější byl v lednu, neboť 25 % je víc než 20 %“. Další dva k tomu připsali „levnější o 5 %“. Deset žáků řešilo úlohu tak, že si cenu svetru zvolili. Z nich polovina udělala numerickou chybu a odpovědi zbylých pěti byly typu „když svetr stál v lednu 400 Kč, tak březnu stál 500 Kč a v květnu opět 400 Kč“. Ani jeden z těchto žáků nezmínil nic o tom, do jaké míry je odpověď závislá na volbě ceny svetru v lednu.

Při opravě testu se učitel snažil vysvětlit žákům, že cena svetru v květnu je stejná, jako byla v lednu. Řekl: „Cenu svetru v lednu označme c. Pak jeho cena v březnu je, jak již dobře víme, 1,25 c. Tato cena klesne o 20 %, tedy v květnu je cena 0,8 (1,25 c). Protože násobení je asociativní, je 0,8 (1,25 c) = (0,8 1,25) c = c. Ale 0,8 1,25 = 1, tedy cena svetru je v květnu stejná, jako byla v lednu.“ Sám byl tímto výkladem velice spokojen a byl přesvědčen, že toto žáci musí pochopit. Rozhovory s několika žáky po hodině jsme zjistili, že pouze dva z nich aspoň částečně pochopili učitelovu argumentaci.

Komentář

Příběh ilustruje, jak náročná je pro žáky práce se skaláry (operátory), kdy schází opora ve stavech. Ukazuje i příčinu, proč učitelé s matematickou argumentací nemohou uspět. Vše co učitel předváděl, bylo pro většinu žáků pouze žonglování s čísly a vzorečky a postrádalo představu. Výrazně účinnější by byla edukační strategie založená na práci žáků. Stačilo požádat žáky, aby každý zjistil cenu svetru v březnu i květnu a každému dát jinou vstupní cenu svetru v lednu. Všechny výsledky by byly stejné: cena svetru byla v květnu stejná jako v lednu. Tento generický model by pak více žáků dovedl k poznání příčin, proč tomu tak je.

4.10.4 Násobení více čísel. Propedeutika mocniny

U sčítání lze lehce vytvořit úlohy, ve kterých je třeba sčítat více čísel. Například: Kolik stran přečetla za týden Jana, když v jednotlivých dnech přečetla 7, 5, 11, 9, , 6 a 5 stran? Jestliže chceme dát sémantický smysl součinu více než tří čísel, nastanou potíže. Podobnou situaci pro násobení většího počtu čísel není lehké vytvořit. Jedná se často o příběhy umělé. Například: V jednom království je 7 kopců, na každém je 11 stromů, na každém stromu je 1 větví a na každé větvi sedí 6 vrabců. Kolik je všech těchto vrabců? Podívejme se na sémantické situace méně pohádkové, v nichž se objevuje součin tří a více čísel.

Objem kvádru (kusy). Ze stejných krychlí vytvoříme kvádr o šířce  krychle, délce 4 krychle a výšce 5 krychlí. Počet krychlí potřebných na stavbu kvádru najdeme jako součin  × 4 × 5 = 60.

Objem kvádru (veličina). Objem krabice mléka zjistíme vynásobením rozměrů krabice: 94 mm × 65 mm × 164 mm = 1 002 040 mm. Poslední dva případy poukázaly, že objem je součinem tří délek. Součinu čtyř délek již podobný geometrický význam dát neumíme, protože jsme omezeni dimenzním prostorem. Přesto ale existují geometrické situace, ve kterých se součin čtyř délek vyskytuje. Ten ale nemá oporu v geometrické představě. Ilustruje to

S S4

Obr. 4.14

Úloha 4.1

Obdélník ABCD je úsečkami EF a GH rozdělen na čtyři pravoúhelníky. Jejich obsahy označme

S1 až S4 tak, jak je to na obrázku 4.14.

Když je E střed úsečky AB, nebo když je G střed úsečky AD, pak platí: S1 ⋅ S4 = S2 ⋅ S. Najděte všechny polohy bodů E a G, pro které daná rovnost platí.

Řešení. Průsečík úseček EF a GH označme K. Pak S1 = |KG| |KF| a S4 = |KH| |KE|. Tedy S1 S4 = = |KG| ⋅ |KF| ⋅ |KH| ⋅ |KE|. Stejně ukážeme, že S2 . S = |KF| ⋅ |KH| ⋅ |KE| ⋅ |KG|. Protože operace násobení je komutativní, jsou obě čísla stejná. Tedy rovnost S1 S4 = S2 S platí pro libovolnou volbu polohy bodů E a G.

Kombinatorické násobení. Na rozdíl od geometrie, kde je počet součinitelů omezen dimenzí prostoru, ve kterém žijeme, jsou kombinatorické situace k zvyšování počtu součinitelů podstatně vstřícnější. Když dáme panence (viz tab. 4.10) 4 sukýnky,  svetříky a 2 botičky, bude počet možností oblečení panenky 4  2. Když přidáme ještě troje ponožky, bude toto číslo součinem čtyř čísel 4  2 . Podobně můžeme součin v podstatě libovolného počtu čísel modelovat hledáním počtu cest z bodu A do bodu Z, přes body B, C, D, ..., když počet cest z A do B je 2, počet cest z B do C je 4, počet cest z C do D je , ...

Finanční kontext. V úloze 4.1 svetr nejprve podraží o 25 %, pak je zlevněn o 20 %. Když do situace vložíme další dvě cenové úpravy a navíc i původní cenu svetru, tak výpočet finální ceny svetru získáme součinem 5 čísel. Úlohami tohoto typu je žák připravován na pochopení důležitého finančního jevu – úrokování. V klasickém vzorci pro výpočet zisku Z z jistiny I při p% úrokové sazbě po dobu n let, tj. ve vzorci Z = I ⋅ (1 + p/100)n – I, hraje důležitou roli mocnina. I tu je potřebné připravovat již na prvním stupni.

S druhou mocninou se setká žák již ve . ročníku. Obsah čtverce o straně n dřívek je n n kachlíků. Ve čtvrtém ročníku žák počítá počet zrn na posledním poli šachovnice, když na prvním poli je 1 zrnko, na druhém 2, na třetím 4 a na každém dalším dvojnásobek předešlého počtu.

Žák tak počítá mocniny čísla 2, ale termín „mocnina“ ještě nemusí zaznít. K tomu dojde až v 5. ročníku, když již má žák více zkušeností s opakovaným násobením stejného čísla. Tím číslem je i zlomek ½, v procesu postupného půlení čtverce například na menší a menší rovnoramenné pravoúhlé trojúhelníky.

Stejně jako porozumění číslu nezávisí na znalosti číslice , ale na představě ooo, i porozumění mocniny nezávisí na znaku an, ale na zkušenosti žáka s opakovaným násobením stejného kladného čísla. Asi nejdůležitější průvodní jev, který zde žák eviduje, je rychlost, s níž mocnina čísla většího než 1 roste a menšího než jedna ubývá.

4.10.5 Žák umí násobit mentálně

To, co bylo řečeno v 4.7.4 o nácviku sčítacích spojů, platí pro nácvik násobilky; dokonce ve zvýšené míře:

1) Přesvědčení mnoha učitelů i rodičů, že žák, který neovládá dobře násobilku, nemůže řešit náročnější úlohy a nemůže se učit násobit písemně, je předsudek.

2) Žáci, kteří se násobilku neumí naučit, jsou frustrováni.

) Žáci, kteří násobilku znají, se nudí a jsou otráveni zabíjením času.

4) Všichni jsou orientováni k představě, že matematiku si nutno pamatovat.

První z uvedených bodů pojednáme zevrubněji. Daný předsudek pochází z přesvědčení, že matematika je pevná stavba, u které jednotlivá patra na sebe pevně navazují a další patro nelze budovat, když předchozí patro není pevně vybudováno. K tomu, aby dítě umělo počítat do 20, musí nejprve počítat do 10. Ve své podstatě je uvedená metafora správná, ale její slabinou je to, že nerozlišuje matematické myšlení a kalkulativní zdatnost žáka. Metafora beze zbytku platí pro matematické myšlení. Žák, kterému není jasná myšlenka násobení, nemůže porozumět mocnině. Metafora se ale netýká kalkulativní zdatnosti žáka. Máme evidenci o matematicky velice bystrých žácích čtvrtého ročníku, kteří u některých spojů malé násobilky používali tabulku, protože si třeba neuměli zapamatovat, že 7 8 = 56. Po jisté době se tito žáci násobilku naučili. Nikoliv cíleným nácvikem, ale řešením různých zajímavých úloh, při nichž se u násobení opírali o tabulku nebo kalkulátor. Na druhé straně máme výpovědi mnoha žáků, kteří byli v matematice na prvním stupni jedničkáři, ale na druhém stupni klesli až na čtyřku. Příčinou je skutečnost, že u zlomků, procent a záporných čísel paměťové kalkulativní dovednosti stačí jen na řešení úzkého kruhu standardních úloh, ale nestačí na úlohy myšlenkově náročnější. Charakteristická pro tuto skupinu žáků je výpověď jedné dívky po neúspěšném testu v osmém ročníku: „Já ty vzorce znám, ale často to pletu. V první úloze jsem místo vzorce na kombinace vzala vzorec na variace a u třetí úlohy jsem popletla vzorce č = p ⋅ c/1006. Počítala jsem c = p ⋅ č/100“. Ptal jsem se dívky, zda jí nepřišlo divné, že celek jí vyšel menší než část. Odpověděla: „To já takhle neberu, protože bych se tím jen popletla.“

Zkušenosti ze sledování práce mnoha učitelů ukazují, že úspěšná edukační strategie, která žákům pomáhá budovat matematické myšlení, se opírá o 4 didaktické zásady uvedené již v odstavci 4.7.4 v souvislosti se sčítáním:

1) Nespěchat.

2) Umožnit žákovi jeho vlastní početní postupy.

) Žákovi poradit, aby si udělal tabulku násobilky.

6 Dívka má označeno c = celek, č = část, p = procento.

4) Žáka vést k mnohému smysluplnému počítání, a to nejen v oblasti sémantické (slovní úlohy), ale i v oblasti struktury. Zde navíc dochází k životně důležitému propojování kalkulace na sémantické kotvení operace násobení.

4.10.6 Písemné násobení

V sedmdesátých letech minulého století jsme hledali způsoby, jak pomoci žákům snížit počet chyb v písemném násobení. Prozkoumali jsme několik desítek chybných písemných násobení žáků a vytvořili rozklad procesu písemného násobení na elementární kroky. Výsledek práce ilustrujeme na bezchybném násobení 7 × 54, které vidíme na tabulce 4.11.

Uvedeme prvních 14 elementárních myšlenkových kroků tohoto procesu:

1) Zaměříme pozornost na poslední číslice  a 4

2) Víme, že tato čísla je nutno vynásobit

) Z dlouhodobé paměti vybereme spoj  × 4 =12

4) Číslo 12 rozložíme na 1 a 2

5) Číslo 1 uložíme do krátkodobé paměti

6) Číslici 2 zapíšeme na příslušné místo (pod 4)

7) Zaměříme pozornost na číslice 7 a 4

8) Víme, že tato čísla je nutno vynásobit

9) Z dlouhodobé paměti vybereme spoj 7 × 4 =28

10) K tomuto výsledku nutno přičíst to, co je v krátkodobé paměti

11) Z krátkodobé paměti vybereme 1

12) a toto číslo přičteme k 28

1) Najdeme 28 + 1 = 29

14) Číslice 2 a 9 napíšeme na příslušná místa. Atd, atd.

Tab. 4.11

Popsané kroky můžeme rozložit nejméně do čtyř různých mentálních oblastí. Jsou to:

Strategie řízení procesu (S). Sem patří kroky 01, 02, 06, 07, 08, 10, 12 a 14.

Dlouhodobá paměť (DP), kde jsou uloženy spoje násobilky i spoje součtů. Sem patří kroky 0 a 09.

Krátkodobá paměť (KP), kam ukládáme a z níž vybíráme čísla v průběhu výpočtu. Sem patří kroky 05 a 11.

Operace nižší úrovně (ONÚ), jako jsou sčítání, odčítání a rozklad čísla. Sem patří kroky 04 a 1.

Rozklad procesu řešení nám pomůže lépe rozumět chybám žáků. Pomůže nám chybu lokalizovat a klasifikovat. To znamená

• ukázat na místo výpočtu, ve kterém k chybě došlo, a

• říct, zda zde došlo k selhání v oblasti S, nebo DP, nebo KP, nebo ONÚ.

Jeden z experimentů, který jsme v té době uskutečnili na několika bratislavských školách, byl zaměřen na zjišťování setrvačnosti jednotlivých typů chyb. Spolupracující učitelé ve svých třídách psali v pěti dnech – od pondělka do pátku – krátké testy. Na začátku hodiny učitelka žáky

upozornila na nejfrekventovanější chybu v minulém testu a vyzvala je, aby se teď uvedeného typu chyby vyvarovali. Žáci se chyby daného typu vyvarovali, ale míra úhrnné chybovosti se nezměnila – chyby se objevily v jiných oblastech. Toto zjištění nás vedlo k poznání, že naučit se algoritmus písemného násobení pro žáka znamená naučit se účinně propojit všechny 4 mentální oblasti, které se na tomto procesu podílejí.

Z uvedeného poznání jsme vyvodili dva závěry. Žák, který se učí algoritmus písemného násobení, rozvíjí schopnost koordinace čtyř kognitivních funkcí. Podobně tuto schopnost, byť na nižší úrovni, rozvíjí i nácvik písemného sčítání a odčítání. Schopnost koordinace různých psychických funkcí hraje v životě člověka důležitou roli, a proto nácvik písemného násobení, který rozvoj této schopnosti podporuje, není pro žáka zbytečným plýtváním času. Dodejme, že když se dítě učí chodit, nebo později skákat, jezdit na kole, bruslit, … musí se předně naučit harmonizovat pohyby nohou, rukou i držení celého těla. Příkladů harmonizace lze najít mnoho jak v oblasti mentální, tak v oblasti somatické.

Druhý závěr výzkumu nás vedl k hledání takového algoritmu násobení, který by aspoň na přechodnou dobu ulehčil práci žáka. Našli jsme ho v historii. Je to násobení, které objevili Indové. Násobení zde ilustrujeme na 4 výpočtech: 26 6, 26 7, 16 8 a 25 7.

U toho postupu je strategie řízení procesu jednoduchá: mentální oblasti S a KP jsou minimalizovány a žák rychleji postupuje v oblasti DP.

4.11 Dělení

Tematický celek Dělení je výjimečný. Leží na překrytí pěti dalších tematických celků:

1) dělení jako operace inverzní k násobení a dělení se zbytkem,

2) dělení a zlomky,

) dělení a desetinná čísla,

4) dělení a procenta,

5) dělitelnost, zejména kritéria dělitelnosti,

Na rozdíl od předchozích tří základních operací není proces dělení sémanticky jednoznačný. Mám-li 7 jablek rozdělit mezi dva podílníky, nabízí se dvě možnosti: každý podílník dostane  jablka a jedno jablko zbude, nebo i toto jablko rozpůlím a každý podílník dostane tři a půl jablka. V prvním případě mluvíme o dělení se zbytkem a píšeme 7 : 2 = (1), v druhém případě o dělení a píšeme 7 : 2 = ,5, nebo 7 : 2 = 7/2.

Podobně jako odčítání je i dělení pojmotvorná operace. Odčítání zavedené v oboru přirozených čísel vede k tvorbě čísel celých. Dělení, zavedené v oboru přirozených čísel, vede k tvorbě čísel racionálních. Ta zapisujeme buď čísly desetinnými, nebo zlomky. Podívejme se nejprve na dělení se zbytkem.

Tab. 4.12

4.11.1 Dělení se zbytkem – porozumění operaci

Tři diagnostické indikátory uvedené u sčítání, odčítání i násobení zůstávají v platnosti i pro dělení se zbytkem a navíc přibude ještě indikátor čtvrtý:

1) Žák spolehlivě vyřeší slovní úlohu na dělení se zbytkem.

2) Žák spolehlivě uchopí úlohu s antisignálem.

) Žák umí vytvořit slovní úlohu, jejíž matematický model je 25 : 7 =  (4).

4) Žák rozumí objektu (4).

Existují tři, potažmo čtyři základní strategie, jimiž se slovní úlohy na dělení se zbytkem řeší: rozdělování, přidělování, nebo postupné odčítání a formování do obdélníku. Přitom kontext

úlohy někdy sám žáka navádí na tu nebo onu strategii. Uvedeme příklad tří takových úloh.

Úloha 4.2

Rozděl 19 žáků do tří stejně početných skupin. Kolik žáků bude ve skupině, kolik žáků zůstane nezařazeno?

Úloha 4.

Výrobce má spoustu karosérií autíček, ale jenom 2 kol na tato autíčka. Kolik autíček může z těchto kol vyrobit a kolik koleček mu zůstane?

Úloha 4.4

Na dvoře se 29 cvičenců se postavilo do čtyřstupu. Kolik těch čtyřstupů bylo? Kolik cvičenců zůstalo nezařazených?

A. Rozdělování (též dělení na části) je strategie vhodná na řešení úlohy 4.26. Dobře se realizuje pomocí třeba knoflíků. Žák si připraví 19 knoflíků a ty pak postupně rozděluje do tří přihrádek. Po jisté době žák svoji práci urychlí. Z hromady knoflíku bere po jednom, střídavě je dává do první, druhé a třetí přihrádky a knoflíky počítá. Když již do každé přihrádky dal 6 knoflíků, dopočítal se k číslu 18. Tedy 1 knoflík zbude. Žák zapíše 19 :  = 6 (1).

B. Přidělování (též dělení po částech) je strategie vhodná na řešení úlohy 4.27. Žák si nakreslí 2 čárek a ty pak po čtyřech dává do „brambor“. Těch brambor bude 5 a  čárky zůstanou. Žák výsledek své manipulace zapíše 2 : 4 = 5 (). Vyspělejší modifikace této strategie je založena na postupu zvaném

C. Opakované odčítání. Postup je stejný jako u přidělování, pouze manipulaci zde nahradí výpočet. Žák píše 2 – 4 – 4 – 4 – 4 – 4=  a během psaní říká dílčí výsledky: devatenáct, patnáct, jedenáct, sedm, tři. Zjistí, že čtyřek napsal 5 a zapíše 2 : 4 = 5 (). Ještě rychlejší je zápis 2, 19, 15, 11, 7,  u kterého žák dílčí výsledky přímo píše. Ze zápisu nutno vyvodit (a to je někdy náročnější), že čtyřku žák odčítal pětkrát.

D. Formování do obdélníku je strategie vhodná na řešení úlohy 4.28. Úlohu si můžeme skutečně zahrát, ale stačí nakreslit si formaci cvičenců na (čtverečkovaný) papír.

Když můžeme třeba s menším počtem cvičenců formování do d-stupů zahrát, ukáží se dva zajímavé jevy.

Nejprve postavíme 12 žáků do tří čtyřstupů. Z toho vidíme, že 12 : 4 = . Když žáci udělají vlevo v bok, budou to čtyři trojstupy, tedy vztah 12 :  = 4. Trochu složitější situace vznikne, když

přidáme dalšího žáka. Situace bude znázorňovat vztah 1 : 4 =  (1) i vztah 1 :  = 4 (1). Situace se podstatně změní, když přidáme další dva žáky. Dělení 15 : 4 =  () je reprezentováno třemi čtyřstupy a posledním neúplným stupem se třemi žáky. Když teď všichni udělají vlevo v bok, vznikne zdánlivě situace typu 15 :  = 4 (). To je ale omyl. Tři žáci, kteří dříve tvořili neúplný čtyřstup, tvoří teď úplný trojstup a po přemístění vytvoří skupina situaci pro dělení 15 :  = 5 (0). Tato zkušenost pomáhá žákům vyvarovat se dosti běžné chyby, že zbytek jim vychází větší, než je dělitel – např. 2 : 4 = 4 (7).

Slovo „spravedlivě“, které zde používáme, někdy ve třídě vyvolá diskusi. Žák, který ji zahájí, uvede příklad, kdy spravedlnost matematická není spravedlností sociální. Například když dva bratři, tříletý a osmiletý, dostanou stejně velkou porci k obědu, pak to není spravedlivé. Nebo když mají zdravý a hendikepovaný člověk závodit za stejných podmínek. Když se taková výzva ve třídě objeví, má učitel možnost věnovat část hodiny problematice etiky a občanské výchovy, nebo zavést dohovor, že v našich úlohách si budou všichni podílníci rovni. Jestliže se podobná výzva objeví opakovaně, doporučujeme učiteli, aby část hodiny matematiky věnoval problému, který je přinejmenším pro jednoho žáka ve třídě naléhavý a pro ostatní žáky poučný. Mezilidské vztahy hrají v životě člověka nepoměrně závažnější roli než matematika.

U dělení se zbytkem někdy žáci doporučují, aby se zbytek rozdělil krájením. K tomu nedojde, když objekty, které rozdělujeme, jsou nedělitelné. Například živí tvorové, nebo bubliny, nebo góly, které padly v zápase.

Po probrání prvních tří indikátorů porozumění dělení se zbytkem, se podíváme na indikátor poslední.

4.11.2 Porozumění zápisu 4(1)

Dělení se zbytkem je unikátní operace. U všech dalších operacích (sčítání, odčítání, násobení i dělení v rámci desetinných čísel) je vždy výsledkem jediné číslo. U dělení se zbytkem jsou výsledkem čísla dvě. To vede k potřebě dát žákům zkušenosti, které jim umožní lepší pochopení nové operace. Následující úlohy jsou k tomuto cíli zaměřeny.

Úloha 4.5

Do dělení se zbytkem doplň dvě scházející čísla. Hledej všechna řešení. Řeš pro a) 7 : = (2); b) :  = 4 ( ); c) : = 7 (2).

Úloha 4.6

Mahulena objevila zajímavou věc u dělení se zbytkem. Nejprve ukázala dva páry výpočtů. První pár: 25 : 6 = 4 (1) a 25 : 4 = 6 (1); druhý pár: 48 : 9 = 5 (), 48 : 5 = 9 (). Pak řekla, že to takhle platí pokaždé. V každém dělení se zbytkem mohu navzájem zaměnit dělitele a podíl a zachovat dělence a zbytek. Má Mahulena pravdu?

Úloha 4.5 (c) připravuje žáky na překvapivé zjištění, že zápis 7 (2) není číslo, ale množina výrazů typu 2 : , 0 : 4, 7 : 5, … O tomto klíčovém jevu dělení se zbytkem je následující příběh.

Úloha 4.6 se vrací k myšlence o formování cvičenců do obdélníku. Vztah 15 : 4 =  () byl reprezentován třemi čtyřstupy a posledním neúplným stupem se třemi žáky. Když teď všichni udělají vlevo v bok, vznikne situace 15 :  = 4 (), kterou ale nutno změnit na 15 :  = 5 (0). To dává negativní odpověď na objev Mahuleny.

Příběh 4.4

V roce 2010 jsem na přednášce v rámci kurzu didaktiky matematiky pro posluchače 1. stupně

ZŠ ukázal posluchačům „důkaz“ nepravdivého tvrzení 4,1 = 4,2. Píši na tabuli:

Protože 4,2 = 21 : 5 = 4 (1) i 4,1 = 41 : 10 = 4 (1), platí i 4,2 = 21 : 5 = 4 (1) = 41 : 10 = 4,1. (*)

V posluchárně bylo asi minutu ticho. Pak se ozvala Pavla. Řekla, že zápis 4,2 = 4 (1) nelze psát. Ptal jsem se proč? Ukázal jsem na řetězec 4,2 = 21 : 5 = 4 (1) a zeptal jsem se, která ze dvou rovností je chybná. Pavla neodpověděla. Ozvala se ale Pamela s tím, že v jednom i druhém zápisu čísla 4 (1) je ta jednička jiná. U prvního zápisu je to pětina, u druhého je to desetina. Pak k oběma zápisům na tabuli připsala ještě další rovnost. Na tabuli byly teď nápisy

4,2 = 21 : 5 = 4 (1) = 4 + 1/5 i 4,1 = 41 : 10 = 4 (1) = 4 + 1/10. Z posluchárny se ozvalo více podpůrných hlasů, v nichž bylo cítit uvolnění a radost z toho, že se ten nesmysl odhalil. Jenže já paličatě trval na svém. Zeptal jsem se: „Tedy podle vás, Pamelo, toto číslo (a ukázal jsem na první znak 4 (1)) je jiné, než toto číslo (a ukázal jsem na druhý znak 4 (1))?“ Sandra chviličku váhala a řekla: „Už je to tak, jak říkáte.“ Já pokračoval: „Tedy číslo 4(1) je takový chameleon, který může být to i ono. Tak to myslíte?“ Do debaty se vložila Patricie. Řekla: „Nemůže. Když se podívám, čím jsem to dělila, tak vím, co ta jednička znamená. Když jsem dělila pěti je to pětina, když deseti, je to desetina.“

Pochválil jsem všechny tři dívky a řekl: „Záměrně jsem vám lhal, když jsem znak 4 (1) nazýval číslem. Znak 4 (1) není číslo, ale nekonečná třída čísel 9 : 2, 1 : , 17 : 4, 21 : 5, 25 : 6, 29 : 7, …, 101 : 25, 105 : 26 atd.“ Pak jsem ukázal, že v zápisu 21 : 5 = 4 (1) je nekorektně použito znaménko rovnosti. Měl by zde být správně znak ∈, který značí „patří do třídy“. Správně bychom tedy měli psát 21 : 5 ∈ 4 (1) a číst „číslo 21 : 5 patří do třídy 4 (1)“. Tradicí se ale ustálilo psaní rovnítka a pro žáky (i učitele) na 1. stupni byl zápis pomocí znaku ∈ příliš složitý. Situace, ve které se znaménkem rovnosti pracujeme nekorektně, je didakticky náročná. Vyžaduje promyšlenou edukační strategii. Rozdělím ji do dvou etap.

V první etapě, když se žáci s dělením se zbytkem seznamují, k problémům nedojde. Píšeme 9 : 2 = 4 (1), 1 :  = 4 (1) i 17 : 4 = 4 (1) a žádného žáka nenapadne hledat zde problém. První problém může vzniknout, když úlohu obrátíme. Nebudeme k dělení 21 : 5 hledat podíl 4 a zbytek 1, ale budeme hledat dělení, které dá podíl 4 a zbytek 1. Žáci najdou více vztahů

4 (1) = 9 : 2, 4 (1) = 1 : , 4 (1) = 17 : 4 (**) a vznikne otázka, čemu se vlastně to číslo 4 (1) rovná.

Tím se otevírá druhá etapa. Začíná zjištěním, že 4 (1) není jedno číslo, ale celá třída čísel, nebo spíše výrazů 9 : 2, 1 : , 17 : 4, 21 : 5 atd. S něčím podobným jsme se zatím nesetkali. Víme již proč (*) neplatí, ale zatím nevíme jak vysvětlit sérii vztahů (**), které si odporují. Učitel navrhne následující řešení:

„Protože 4 (1) není číslo, ale celá třída čísel, nemůže zápis 9 : 2 = 4 (1) chápat jako rovnost. V tomto výjimečném případě znaménko rovnosti neříká, že to, co je na straně levé, je totéž, co na straně pravé. Zápis 9 : 2 = 4 (1) říká, že to, co je před rovnítkem, patří do třídy čísel za rovnítkem. Když se takto domluvíme, pak nikdy nesmíme strany rovnosti prohodit. Zápisy (**) budou od této chvíle nelegální.“ Žákům, kteří již znají něco z logiky, může učitel říct, že v tomto výjimečném případě též nelze použít implikaci A = C a B = C ⇒ A = B. Ta zde neplatí.

Vztah m : n = p(q) je jen jiný zápis rovnosti m = n ⋅ p + q s podmínkou n > q. Tedy: jsou-li p > 1, q přirozená čísla, pak p (q) = {(n p + q) : n; n ∈N, n > q}.

Je-li m : n = p (q) a zároveň p > q, pak platí i m : p = n (q). Tedy dělitel a podíl jsou vzájemně zaměnitelní. To umožňuje dělení se zbytkem propojit na ciferníkovou aritmetiku, zmíněnou v 4.5.5.

K vizualizaci výrazu 4(1) nakreslíme růžici čtyř světových stran a čísla 0, 1, 2, , … píšeme postupně cyklicky k směrům sever, východ, jih, západ, sever,… Získáme obrázek, ve kterém u směru sever budou všechna čísla dělitelná 4, u směru východ všechna čísla, která při dělení číslem 4 dají zbytek 1 atd. Směr východ se tak stává vizualizací výrazu 4 (1) v ciferníkové aritmetice. Sem padnou všechna přirozená čísla, která při dělení číslem 4 dají zbytek 1, tj. čísla 1, 5, 9, 1, ... Ta zapisujeme znakem 1 mod 4. V jazyce modulární aritmetiky vztah 9 : 2 = 4 (1), tj. 9 : 4 = 2 (1) zapíšeme 9 ≡ 1 mod 4 a čteme „9 je kongruentní 1 modulo 4“. Stejně platí 1 ≡ 1 mod 4, 17 ≡ 1 mod 4 atd. Znakem „1 mod 4“ rozumíme třídu všech čísel, která při dělení číslem 4 dají zbytek 1.

Tolik o dělení se zbytkem. Podívejme se na proces dělení.

4.11.3 Žák umí dělit mentálně

i písemně

To, co bylo řečeno v 4.10.5 o nácviku násobilky, platí i pro nácvik „dělilky“. Stejně zde platí i didaktické zásady tam uvedené:

1) Nespěchat.

2) Umožnit žákovi jeho vlastní styl práce.

) Žákovi poradit, aby si udělal tabulku násobilky/dělilky.

4) Žáka vést k mnohému smysluplnému počítání a to nejen v oblasti sémantické (slovní úlohy), ale i v oblasti struktury.

Ve 4.10.6 jsme viděli, jak se na písemném násobení podílí čtyři mentální oblasti: strategie, dlouhodobá paměť, krátkodobá paměť a operace nižší úrovně. U písemného dělení k těmto čtyřem oblastem přibude ještě jedna další: odhadování.

Když mám se zbytkem dělit 62 : 17, ptám se, kolikrát se číslo 17 nachází v čísle 62. Tento odhad dělá mnoha žákům zásadní problémy. V experimentálním vyučování před 0 roky (v té době byly kalkulačky vzácností) jsme použili následující postup: V pondělí jsme žákům 5. ročníku řekli, že tento týden budeme dělit čísly 17, 18 a 19. Každý z následujících 4 dnů jsme pak začínali hodinu úlohou typu 62 : 17, nebo 671 : 18 apod. Žáci si mohli připravit tabulky násobků čísel 17, 18 a 19 a tyto používat při řešení úlohy. Tabulka měla například tento tvar:

Tab. 4.13

Při dělení 671 : 18 žák vyhledal v řádce „18“ číslo nejbližší menší k 67 (to je 54) a odečetl to od 67. Měl teď dělení 11 : 18. Opět našel nejbližší menší k 11 (to je 126) a odečetl to od 11. Měl výsledek 7 (5).

Důležitější než schopnost žáka rychle a spolehlivě písemně dělit, je jeho porozumění desetinným číslům a schopnost šikovně používat k operaci dělení kalkulačku. O porozumění desetinným číslům uvažujeme v 4.11.4. Pokud jde o šikovné používání kalkulačky, jedná se zejména o dvě dovednosti, které jsou uvedeny v následujících úlohách.

Úloha 4.7

Jak lze pomocí běžné kalkulačky najít zbytek při dělení 62 : 17?

Úloha 4.8

Jak lze pomocí kalkulačky, která zobrazí nejvýše šestnáctimístné číslo, najít periodu dělení 62 : 19?

4.11.4 Porozumění desetinným číslům

Žák přichází ve svém každodenním životě do styku s desetinnými čísly nejčastěji ve čtyřech sémantických kontextech. Nazveme je peníze, stupnice, čas, průměr. Tyto zkušenosti představují východisko pro budování mentálního schématu desetinné číslo.

Peníze. Kdysi byly i halíře a gumu na mazání bylo možné koupit za 0,6 Kčs. V současnosti zboží v obchodech má ceny v desetihaléřích a cena nakoupeného zboží se počítá v těchto jednotkách. Součet se pak zaokrouhlí a nejmenší obnos při placení je 1 Kč. Zde lze do práce s desetinnými čísly dobře vložit téma zaokrouhlování. Na Slovensku a v mnoha dalších zemích se platí eurem a doufejme, že i my budeme používat čísla jako 1,6 €. Více desetinných míst lze vidět na tabuli výměnných kurzů ve směnárnách. Žáci pochopí, že to je nutné uvádět proto, aby při směně veliké částky nedocházelo k disproporcím. Podobně o tom čteme v novinách ve správách typu „na benefičním koncertu bylo vybráno 1,51 miliónu korun“.

Stupnice znají žáci v několika modifikacích. Předně je to měřením délek pomocí pravítka na centimetry. Například 5,6 cm. (Krejčovský metr je užíván víc při měření na celé centimetry.)

Dále měření objemu na litry. Například 0,7 l. Zde připomeňme, že některé kuchyňské odměrky mají cejchování jak ve zlomcích, tak v desetinných číslech – skvělý model provázání zlomků a desetinných čísel. Dále vážení na kilogramy, kde se žák setkává i s třetím desetinným číslem –s gramy. Konečně odčítání teploty na teploměru. Tato stupnice obsahuje rovněž záporná čísla a je proto dobrým modelem i pro ideu záporných desetinných čísel.

V souvislosti s modelem „stupnice“ se hodně času a úsilí na hodinách matematiky věnuje nácviku převodu jednotek. Zmínili jsme to již v 4.4.2. Mnozí žáci jednotky pletou i v osmém ročníku. V experimentálním vyučování jsme předpony „kilo“, …, „mili“ pěstovali v prostředí časových údajů. Například jsme zjišťovali zda CENTIDEN (= setina dne) je víc než KILOSEKUNDA (= 1000 sekund). Žákům se tato hra velice líbila a začali i mezi sebou užívat slova jako „dekaminutovka“ pro desetiminutovku. Slovo „milión“ rozložili na „mili-ón“ a odtud vyvodili, že ÓN = 109, neboť tisícina ÓN-u je 106. Podobně ze slova „miliarda“ vyvodili vztah ARDA = 1012. Rébusem byl Mirkův výrok, že „ustanovení o tom, že každý čtvrtý rok bude přestupný dal Ptolemaios III před týónem sekund“. Jeho spolužáci záhadné slovo dešifrovali:

TÝÓN = 7 000 000 000. Častice TÝ = 7 byla vyvozena ze vztahu „týden = 7 dní7“. Vymýšlení podobných rébusů, jimiž děti pobavili i své blízké, se ukázalo jako výborný nástroj nabývání porozumění a osvojování si všech dekadických předpon.

7 Protože je týón sekund = 2219 ⋅ 68… let a protože Mirkův výrok byl řečen v roce 1988, měla se ona událost odehrát v roce 1988–2220 = -22. Ve skutečnosti se odehrála o 6 let dříve. Stejně je to skvělý objev žáka.

Čas. V běhu, cyklistice, lyžováni i v automobilových závodech se výkon závodníka měří časem, který se počítá na desetiny, setiny i tisíciny sekund. Sport je pro mnohé žáky atraktivní, a úlohy vložené do těchto kontextů bývají pro žáky přitažlivé.

Průměr znají žáci nejlépe z průměrování známek. Již žáci třetí třídy si pomocí kalkulačky umí vypočítat, jaká známka jim vychází na vysvědčení, nebo jaká bude jejich průměrná známka ze všech předmětů. Dodejme, že někteří žáci vítají soutěže, v nichž se výsledky počítají složitým způsobem. Tuto skutečnost jsme při vyučování často didakticky využívali. Průměr nemá žádnou materiální oporu a je proto nejsofistikovanější ze všech uvedených modelů. Výrok „v pololetí jsem měl průměr 2,09 a na konci roku 1,91“ pracuje s čísly pomyslnými. Takovéto výroky nabízí úlohy, které jsou pro špičkové žáky silně motivační. Ilustrací je následující úloha.

Úloha 4.9

Leona řekla, že její průměr známek z matematiky, zaokrouhlený na dvě desetinná místa, je 1,91. Matylda si chvíli hrála s kalkulačkou a řekla, že ten průměr počítala z 11 známek. Jak to Matylda mohla určit? Byl výpočet Matyldy správný?

Žák prvního stupně se v životě nesetká se sémanticky ukotvenými desetinnými čísly, která by měla za desetinnou čárkou více než  číslice. Setká se s nimi pouze jako s výsledky dělení, například 17 : 16 = 1,0625, nebo dokonce 22:9 = 2,44444...

Příběh 4.5

Pátý ročník. Ria se od bratra dověděla, že prý 0,99999999… = 1. Teď se ptá učitelky, zda je to pravda. Většina žáků říká, že je to blbost. Ria ale dává argument svého bratra: kdyby bylo 0,99999…. < 1, pak bychom museli umět napsat číslo 1 – 0,9999999… Umí někdo to číslo napsat?

Námět, že jsou to samé nuly, jen na konci je 1, rozproudil debatu, co to znamená to „na konci“.

Tím se ve třídě začalo zkoumání jevu nekonečna.

Tři žáky tato záhada přitahuje. V nejbližším měsíci uvedou několik zajímavých myšlenek.

Remígius: „Ta čísla jsou sice různá, ale jejich rozdíl neuvidíme ani pod nejlepším drobnohledem.“

Ria (opět od bratra): „Když toto (napsala 0,99999… = 1) vynásobím deseti, budu mít (píše) 9,999999… = 10 a když to odečtu bude 9,9999999… – 0,9999999… = 9. Ale to je též 10 – 1.“ Tak to platí.

Rolf: „Na číselné ose úsečka od 0 do 1 má délku 1. To je délka úsečky, do které patří i koncový bod 1. Když teď ten koncový bod dám pryč, bude ta nová úsečka mít délku 0,99999…

Komentář

Myšlenkově velice náročná situace, protože se v ní objevuje nekonečno. Matematik umí dokázat, že zde platí rovnost. Důkaz: označme x = 0,99999… Pak 10x = 9,99999…. Obě rovnosti odečtěme a dostaneme 9x = 9. Odtud x = 1. Takový důkaz asi ukázal Rie její bratr, ale ona to pak trochu popletla. Ani kdyby důkaz řekla dobře, nesetřelo by to z čísla 0,99999…. mystérium nekonečna. Žák, který takový důkaz vidí, může říct stejně, jako kdysi Georg Cantor: „Vidím, ale nevěřím.“

Didaktická hodnota problému 0,99999…. < 1 spočívá v jeho motivační síle. Žák, který je problémem osloven, bude citlivý na další výskyty myšlenky nekonečna, se kterými se setká: příběh Achilla, který honí želvu, poloha nejmenšího kladného čísla na číselné ose („hned nad nulou“), hledání obsahu kruhu přes obsahy vepsaných n-úhelníků…

Myšlenka a proces dělení přináší kromě dělení se zbytkem a dělení v oboru desetinných čísel i pojem zlomku. Této didakticky klíčové oblasti věnujeme odstavec 4.12. Odstavec 4.11 zakončíme shrnujícím pohledem na všechny čtyři základní operace.

4.11.5 Multiplikativní struktura a aditivní struktura

Máme zkušenost, že již v pátém ročníku jsou někteří žáci osloveni strukturálním pohledem na porovnání operací sčítání a násobení. Uvedeme myšlenky, které jsme v této oblasti žákům předkládali. Zde je formulujeme formou výkladu, v realitě jsme je předkládali pomocí různých úloh a v diskusích. Začínáme v oboru přirozených čísel (včetně nuly) porovnáním tří společných vlastností sčítání a odčítání.

operace sčítání násobení

je komutativní 14 + 7 = 7 + 14

14 · 7 = 7 · 14

je asociativní ( +28) + 17 =  + (28 + 17): ( · 28) · 17 =  · (28 · 17)

má neutrální prvek Přičteme-li k libovolnému číslu m číslo 0, číslo m se nezmění

Tab. 4.14

Vynásobíme-li libovolné číslo m číslem 1, číslo m se nezmění

Z komutativity obou operací plyne, že v součtu/součinu i většího počtu čísel mohu čísla libovolně přeuspořádat.

Z asociativity obou operací plyne, že závorky můžeme vypustit a psát jednoduše  + 28 + 17, resp.  ⋅ 28 ⋅ 17.

V souvislosti se sčítáním zavádíme i operaci odčítání a v souvislosti s násobením i operaci dělení. Zavedení této operace si vyžádá rozšíření číselného oboru, ve kterém pracujeme. Odčítání vede na rozšíření N → Z, dělení vede na rozšíření N → Q. Říkáme, že odčítání je inverzní nebo opačnou operací ke sčítání, a dělení je inverzní nebo opačnou operací k násobení. Upřesněme, co vlastně pod slovem „inverzní“ nebo „opačný“ máme na mysli. Podívejme se na tyto dva hady:

Když k číslu 12 nejprve přičtu 5 a pak 5 odečtu, dostanu opět číslo 12; k operaci „přidej 5“ je inverzní operace „uber 5“ protože eliminuje vliv přidání.

Tab. 4.15

Když číslo 7 vynásobím  a pak  vydělím, dostanu opět číslo 7; k operaci „vynásob “ je inverzní operace „vyděl “ protože eliminuje vliv násobení.

Termínem inverzní operace k operaci O, nazýváme operaci O*, která eliminuje vliv operace O. Vztah inverze je symetrický: jestliže je operace O* inverzní k O, je operace O inverzní k O*. Operace O a O* se navzájem eliminují, jsou navzájem inverzní. Například operace „dvojnásobení“ a „půlení“ jsou navzájem inverzní.

Involuce je operace, která je inverzní sama k sobě. Příkladem involuce je násobení číslem -1. Pro každé číslo platí: když jej dvakrát po sobě vynásobím číslem -1, najdu číslo původní. Příkladem geometrické involuce je středová i osová souměrnost. Když zvolím bod X a dvakrát na něj aplikuji stejnou souměrnost, dostanu se zpět do bodu X.

Inverze má svá didaktická úskalí. Upozorníme na ně zde a v následujícím bodu. Jsou operace „přidej 5“ a „uber 5“ navzájem inverzní? Ve druhém ročníku ne tak docela. Ve výpočtu (12 + 5) – 5 = 12 je vyměnit lze, neboť (12 – 5) + 5 = 12, ale ve výpočtu (2 + 5) – 5 = 2 je vyměnit nelze. Nemůžeme tvrdit, že (2 – 5) + 5 = 2, neboť výraz 2 – 5 dává záporné číslo, které žáci neznají. Pro tyto žáky odčítání ještě není operací, protože ne každá dvě přirozená čísla umí odčítat. Až po zavedení záporných čísel se odčítání stává operací. Pak již jsou operace „přidej 5“ a „uber 5“ navzájem inverzní. Ještě složitější to je u dvojice operací „vynásob “ a „vyděl “. Zde operace dělení je inverzní k operaci násobení, ale zaměnit jejich pořadí můžeme, až když již žáci znají zlomky. Až tam můžeme tvrdit, že (7 : ) ·  = (7 · ) : .

V běžném životě jsou vratné operace spíše výjimkou než pravidlem. Ani v matematice nemůžeme tvrdit, že ke každé operaci existuje operace inverzní. Například k operaci „vynásob číslem 0“ neexistuje operace inverzní. Když jakékoli číslo, například 19, vynásobím nulou, dostanu nulu a zpět k 19 se již žádným dělením nedostanu. Pro žáky, kteří již znají zlomky, jsou operace „vynásob číslem m“ a „vyděl číslem m“ navzájem inverzní pro všechna reálná čísla m s výjimkou 0.

Upozorněme ještě, že někdy se operace „umocnit na druhou“ a „udělat druhou odmocninu“ vnímají též jako vzájemně inverzní operace. Tato představa je správná, omezíme-li se na čísla nezáporná. Záporná čísla zde způsobí zmatek. Například (-4)2 = 16, ale √16 = 4. Do výpočtu jsme vstoupili s číslem -4 a vystoupili z něj s číslem +4. Tedy zde odmocnění není inverzní k umocnění.

4.12 Zlomky

Tematický celek, který je ve všech zemích řazen k didakticky nejnáročnějším oblastem vyučování matematice. Hlavní příčinu neúspěchu výuky zlomků vidíme v tom, že je zanedbáno budování představy zlomku (zlomek jako koncept) a energie i čas se plýtvá na nácviky algoritmů a pravidel, které nakonec většina žáků stejně zapomene. Přitom značný počet žáků ZŠ má o zlomcích jako je polovina, nebo dvě třeti, dobrou představu, jež je opřena o životní zkušenosti.

4.12.1 Životní vs. školní znalosti o zlomcích - příběh

Ve vědomí převážné většiny žáků jsou zlomky uloženy ve dvou zcela oddělených částech. V první části jsou zlomky, které jsou důsledkem životních zkušeností žáka. Ve druhé části pak zlomky opřené o různá pravidla a návody předkládané žákům ve škole. Současnou situaci ilustruje následující příběh, který se sice odehrál v sedmém ročníku, ale původ toho, o čem příběh vypráví, byl založen mnohem dříve – již někde ve druhém ročníku – zanedbáním rozvoje před-pojmu zlomek.

Příběh 4.6

Sven (7. ročník) je vyvolán k tabuli, aby dokázal, že 1/5 > 1/6.

Sven 1 (napíše na tabuli uvedenou nerovnost): „Protože šest je více než pět (píše 6 > 5) a protože znaménko nerovnosti se při přetočení zlomků …“

Učitelka 1 (skočí chlapci do řeči, aby opravila jeho terminologii): „Při převrácení.“

Sven 2 (se opraví) :„…se při převrácení zlomků převrací, (pauza) je pětina více než šestina.“

O přestávce jsem se Svenem rozmlouval a zeptal jsem se jej, zda by uměl vysvětlit, případně i nakreslit, co to je ½ a co jsou 2/? Hoch oba zlomky dobře znázornil pomocí kruhového modelu. Následoval tento rozhovor:

Experimentátor 1: „Co je víc – nula celá dvacet pět setin, nebo jedna třetina?“

Sven  (asi dvě vteřiny váhal): „Těch nula celá dvacet pět.“

Experimentátor 2: „A uměl bys mi to vysvětlit proč?“

Sven 4: „Těch nula celá dvacet pět, to je jako čtvrtina (pauza) dvacet pět korun je čtvrtina stovky. No a čtvrtina je víc než třetina.“

Komentář

Epizoda ilustruje základní bolest žáků při práci se zlomky: žáci umí se zlomky zacházet podle naučených pravidel, ale pravidlům a vlastně ani zlomkům nerozumí. Jestliže do jejich úvah o zlomcích vstupují i nějaké představy, pak se týkají pouze zlomků s pěkným jmenovatelem, jako je 2, 4, , případně 5, 10. Sven, a stejně mnoho dalších žáků, umí odříkat pravidlo a asi umí zacházet se zlomky podle nacvičených procedur, ale zlomkům nerozumí. Jejich poznání zlomků je formální. Tito žáci neumí

a) použít jazyk zlomků při modelování reálných situací – například: určit hmotnost cihly, když víme, že cihla váží 1 kg plus půl cihly; nebo určit celek, když 2/7 z něj je 100 Kč;

b) ze známých pravidel vyvodit pravidla další – například z pravidla pro součet zlomků vyvodit pravidlo pro rozdíl zlomků, nebo pravidlo pro součet zlomku a přirozeného čísla;

c) rekonstruovat ta pravidla, která zapomněli – například když se pravidlo pro úpravu složeného zlomku měsíc nepoužije, mnozí žáci si na něj nedovedou vzpomenout; vědí, že čtyři čísla se dají do dvou párů a vynásobí, ale nedovedou si vzpomenout, co se s čím páruje;

d) pravidla argumentačně zdůvodnit – například ukázat, proč z nerovnosti přirozených čísel m > n plyne nerovnost 1/m < 1/n.

Vraťme se k příběhu a položme si otázku, proč Sven chybuje při porovnání čtvrtiny a třetiny, když předtím dobře porovnal pětinu a šestinu a navíc prokázal, že má dobrou představu o zlomcích ½ a 2/ ? Zřejmě proto, že zlomky jsou v hochově vědomí uloženy ve dvou různých kontextech. Dobrou představu o zlomcích ½ a 2/ má uloženu v kontextu životních zkušeností a správné porovnání pětiny a šestiny řeší pravidlem, které je uložené v kontextu školních pouček. Toto pravidlo nemá ale oporu v životní zkušenosti a tak, když v kontextu životní zkušenosti porovnává 1/ a ¼, použije (častou) chybnou představu, že čtvrtina je víc, neboť 4 > 

Příčinou Svenova omylu je tedy schizofrenické chápání zlomku. Školní chápání, které je uchováno pamatováním si mnoha pravidel, bude později zapomenuto. Životní chápání, kterým se dobře orientuje v jednoduchých situacích, bude u složitějších situací scházet. Zde pak je velice pravděpodobné, že žák bude chybovat, nebo rezignuje na řešení.

Svenův omyl není náhodný. Ukazuje, že hochova strategie učení se zlomkům ve škole je orientována k paměťovému učení se pravidlům a jejich nácviku. Izolované modely zlomků a příslušné představy ustrnou na těch několika případech, které zná ze života. Na rozdíl od operací sčítání a odčítání přirozených čísel, se kterými člověk nabývá mnohé zkušenosti v běžném životě, leží zlomky vně potřeb běžného dne, a proto zde k žádnému dodatečnému porozumění nedojde. Proto zlomky zůstávají pro mnoho lidí oblastí matematické magie po celý život.

Poznání, ke kterému nás dovedla analýza Svenova příběhu, ukazuje i na reedukační možnosti. Na prvním stupni je třeba vybudovat ve vědomí žáků dobrou představu aspoň některých zlomků, a to pomocí různých modelů v různých didaktických prostředích. Pro poučení

a inspiraci sáhneme do historie, protože pro porozumění ontogeneze může být velice užitečná znalost fylogeneze.

4.12.2 Poučení převzaté z historie

Podíváme se, jak se zlomky zacházeli ve starém Egyptě. Ústřední problém, který egyptští písaři řešili pomocí zlomků, zní:

Spravedlivě rozděl m chlebů mezi n lidí.

Tímto idiomem řekli to, co my dnes zapíšeme zlomkem m/n. Přitom hledali pouze taková řešení, kde každý podílník dostal jistý počet navzájem různých kusů a každý kus je n-tina chleba. Dodejme, že Egypťané neznali zlomky jako /5 nebo 2/7, ale pouze tzv. kmenové zlomky, tj. zlomky ½, 1/, ¼, obecně 1/n, kde n je přirozené číslo. Když chtěli vyjádřit zlomek třeba 5/8, museli jej napsat jako součet různých kmenových zlomků, tj. ½ + 1/8. Více než 1000 let pracovali egyptští písaři pouze s kmenovými zlomky. To je nutilo hledat způsoby, jak v praxi řešit situace, ve kterých se objeví i zlomky nekmenové. Generickým modelem všech těchto situací bylo výše zmíněné dělení m chlebů mezi n lidí.

Náš a egyptský postup řešení úlohy o dělení chlebů porovnáme na následující úloze.

Úloha 4.40

Spravedlivě rozděl 2 chleby mezi  lidi.

Řešení naše. Každý chleba rozdělíme na třetiny. Dostaneme 6 kusů, každý je třetina chleba. Každý podílník dostane dva takové stejné kusy.

Řešení egyptské předpokládá, že oba chleby se rozpůlí. Každý podílník dostane jeden kus a poslední, čtvrtý kus se rozdělí na tři stejné díly. To jsou šestiny chleba. I ty se rozdělí mezi podílníky. Každý podílník tedy dostane dva kusy: první je polovina chleba, druhý šestina chleba. V dnešní symbolice můžeme řešení zapsat rovností 2/ = ½ + 1/6. Podobně i další úlohy.

Úloha 4.41

Spravedlivě rozděl  chleby mezi 4 lidi. [Vede na řešení ¾ = ½ + ¼.]

Úloha 4.42

Spravedlivě rozděl  chleby mezi 5 lidi. [Vede na řešení /5 = ½ + 1/10]

Úloha 4.4

Spravedlivě rozděl 4 chleby mezi 5 lidi. [Vede na řešení 4/5 = ½ + ¼ + 1/20].

Úloha 4.44

Spravedlivě rozděl 5 chlebů mezi 21 lidí. [Vede na řešení a) 5/21 = 1/6 + 1/14; b) 5/21 = 1/7 + 1/14 + 1/42].

Nejprve žáci řešili úlohy postupným odebíráním největšího možného kmenového zlomku. Tak u úlohy 4.4 z daného zlomku 4/5 odeberou 1/2 a získají /10. Největší kmenový zlomek nepřevyšující tuto hodnotu je 1/4. Po odebrání tohoto zlomku zůstane 1/20. Tím je úloha vyřešena. U některých úloh tato metoda selhala, protože žáci se dostali do velkých čísel a ztratili víru, že najdou výsledek. Takovou byla například úloha 4.44. Největší kmenový zlomek menší než

5/21 je 1/5. Jeho odebráním od 5/21 dostaneme zlomek 4/105. Největší kmenový zlomek menší

než 4/105 je 1/27. Jeho odebráním od 4/105 dostaneme zlomek 1/945 a tím máme výsledek. K němu se žádný žák ani v šestém ročníku nedopracoval. Nicméně výsledek výše uvedený objevila dvojice žáků již v pátém ročníku.

Po získání jistých zkušeností začali nejvyspělejší žáci hledat urychlující postupy. Zjistili, že některé úlohy mají více řešení. Asi nejzdařilejší žákovský postup, jehož klíčovým krokem je rozšíření daného zlomku dvojkou, je ilustrován na řešení úlohy 4.44. V současné symbolice můžeme tento postup zapsat pomocí série úprav: 4/5 = 8/10 = (5 + 2 + 1)/10 = 1/2 + 1/5 + 1/10.

Stejný postup byl použit i u úlohy 4.45: 5/21 = 10/42 = (6 +  + 1)/42 = 1/7 + 1/14 + 1/42

Kromě prostředí spravedlivého dělení chlebů nám historický exkurz ukázal dvě myšlenky:

• výuku zlomků začínat aspoň dvouletým budováním představy kmenového zlomku

• s výukou začínat již v prvním ročníku.

4.12.3 Příčinou neúspěchu výuky zlomků

je absence představy kmenových zlomků

Učitelé, s nimiž jsme o náročnosti představy zlomku diskutovali, tvrdili, že představa zlomku sama o sobě nedělá dětem potíže. Ty nastanou, až se se zlomky začne pracovat. Takový pohled je ale rozporuplný. Mít představu o jistém pojmu neznamená umět tento pojem popsat v jediném kontextu, ale umět s ním zacházet v různých kontextech.

Žáci znají dvoukrokový algoritmus, jehož výsledkem je jedna konkrétní reprezentace zlomku:

celek → dělení celku na 8 stejných částí → osmina → vyznačení 7 částí → 7/8 (*)

To ovšem není ještě kvalitní představa zlomku 7/8. Sven z příběhu 4.6 zná tento postup, ale přesto tvrdí, že čtvrtina je víc než třetina. To znamená, že při řešení jednoduché úlohy hoch nepoužil představy těchto zlomků. Nástroj, který neumím použít, když je to třeba, jako kdybych neměl. Dítě, které ví, že sníh je bílý, ale na naší vlajce nedovede ukázat, která je bílá barva, nemá pojem „bílý“ vytvořen. Proto tvrdíme, že Sven nemá vybudovánu představu ani tak jednoduchých zlomků, jako jsou čtvrtina a třetina.

Podívejme se na posloupnost (*) jako na poznávací mechanizmus. V posloupnosti jsou

tři koncepty: celek, osmina, sedm osmin, a dva procesy: dělení celku na 8 stejných částí a vyznačení 7 částí.

Koncept „celek“ je vstupní a žáci mu dobře rozumí, pokud se jedná o prostý celek jako dort, tyč, čokoláda, chléb, sáček bonbonů,… Jakmile ale je celkem něco, co není jasná jednotka, tak se pojem „celek“ stává náročným. V takovém případě mluvíme o složitém celku. Například otázka „kolik je třetina z poloviny? “ je náročná tím, že třetina se nebere z prostého celku, ale ze složitého celku, kterým je polovina (nějakého prostého celku). V egyptských úlohách se pracuje se složitým celkem, kterým je jistý počet chlebů. Při druhém a třetím krájení pak celkem může být několik „kusů“, které jsou n-tiny chleba.

Proces „dělení celku na 8 stejných částí“ je činnost, která se mění podle toho, jaký objekt je dělen. Dělení na 8 částí lze uskutečnit jedinou operací – půlením; tu zopakujeme třikrát. Dělení na , 5, nebo 6 částí je náročnější. Proces dělení musí žák uskutečnit mnohonásobně, aby si tuto činnost rukou interiorizoval, tj. aby ji byl schopen uskutečnit pouze v představě.

Koncept „osmina“ je výsledek předchozího procesu dělení a je tedy s ním nerozlučně spjat. Přitom osmina čtverce rozděleného úhlopříčkami a středními příčkami má podobný tvar jako osmina kruhu, který je rozdělen na 8 shodných výseků (tak se krájí dort). Jiná je ale osmina úsečky a jiná je osmina skupiny objektů.

Proces „vyznačení 7 částí“ je činnost, kterou žák již dobře zná, protože už od první třídy řešil úlohy „vyber z této množiny předmětů 7 kusů“. Přesto i v tomto kroku žáci 5. a 6. ročníku chybují. Příčina nespočívá v neznalosti této činnosti, ale ve snížené pozornosti žáka. Předchozí krok – dělení celku na osminy (nebo jiné části) – do té míry vyčerpalo jeho energii, že žák teď udělá „hloupou chybu“. Podobné chyby se dopouští žák třetího ročníku, když v diktátu napíše slovo myš bez háčku nad s. Silné soustředění se na volbu „i – y“ po písmenu m jej nakolik vyčerpalo, že zapomněl na háček.

Koncept a znak „7/8“ je výsledkem celého procesu.

Analýza procesu (*) doplněná historickou skutečností nás již v sedmdesátých letech dovedla k přesvědčení, že ve výuce zlomků je nutno nejprve dobře vybudovat představy zlomků kmenových, a to co možno v nejrůznějších sémantických kontextech. Naše experimentální vyučování před 40 lety i současné zkušenosti mnoha dalších učitelů tuto tezi potvrdili.

Závěr úvah o budování představy zlomku věnujeme sémantickým modelům zlomků, zejména pak zlomků kmenových.

4.12.4 Sémantické modely zlomků

Zlomek jako stav je reprezentován nejčastěji ve čtyřech prostředích. Jsou to: počet, kruh, úsečka, obdélník. Základní struktura úloh, pomocí nichž budujeme žákovské představy kmenových zlomků, pracuje pouze s jedním kmenovým zlomkem. Úloha obsahuje 5 údajů: celek C, kmenový zlomek K, jeho doplněk D, hodnotu kmenového zlomku Hk a hodnotu doplňku Hd. Například v úloze:

Úloha 4.45

Třetina žáků naší třídy jsou dívky; hochů je 14. Kolik žáků je v naší třídě?

je C = 21, K = 1/, D = 2/, Hk = 7, Hd = 14. Data K a Hd jsou dána, zbylá tři data hledá řešitel.

Když dva z uvedených pěti údajů známe, umíme zbylé tři údaje dopočítat. Výjimku tvoří závislé údaje K a D splňující rovnost K + D = 1. Jenže když pracujeme pouze s kmenovými zlomky, nepřichází zadání údaje D do úvahy.

Počet. Celek je tvořen souborem stejných, pokud možno nedělitelných objektů (lidí, kuliček, lentilek,…). Je rozdělen na několik stejně početných hromádek. Jsou-li hromádky tři, je každá z nich třetinou celku. Zde pojem zlomku úzce prolíná s operací dělení se zbytkem.

Úloha 4.46

Z peněz, které jsme měli, nám zbývá 120 Kč. Jakou část jsme již utratili, jestliže jsme původně měli a) 240 Kč, b) 180 Kč, c) 160 Kč, d) 150 Kč, e) 144 Kč, f) 140 Kč?

Dány jsou C a Hd. Žák najde Hk = C – Hd, poté najde n = C : Hk a má výsledek K = 1/n.

Kruh bývá znázorněn jako dort (koláč, pizza). Již žáci v první třídě umí dělit kruh na poloviny a čtvrtiny, někteří dokonce i na třetiny pomocí výsostného znaku ČR resp. značky Mercedes. Později se naučí dělit kruh i na šestiny. Zlomky s jmenovatelem 2, , 6 a 8 se na tomto modelu dobře znázorňují.

Sofistikovanější reprezentací modelu „kruh“ je ciferník. Ten je rozdělen na 60 minut; to dovoluje znázornit na tomto modelu zlomky s jmenovatelem 2, , 4, 5, 6, 10, 12, 15, 0 a 60.

Úloha 4.47

Na tréninku jsme byli přesně jednu hodinu. Rozcvička trvala pětinu hodiny a zbytek času jsme hráli fotbal. Jak dlouho jsme hráli fotbal?

Dány jsou C = 1 kruh = 60 min, K = 1/5. Žák najde Hk = 12 min, Hd = 48 min.

Úsečka bývá znázorněna jako tyč (hůl, deska). Když v tomto modelu chci nakreslit řekněme 1/5, nakreslím nejprve tu 1/5 a tuto úsečku pak pětinásobně prodloužím.

Sofistikovanější reprezentací modelu „úsečka“ je číselná osa.

Úloha 4.48

Třetina tyče je natřena na modro, zbytek na zeleno. Jak dlouhá je modrá část a jak dlouhá je celá tyč, když zelená část je dlouhá a) 20 cm, b) 0 cm, c) 40 cm, d) 50 cm, e) 42 cm, f) 56.

Dány jsou K a Hd. Žák najde Hk = Hd : 2 a pak C = Hd + Hk, nebo C =  Hk.

Náročnější jsou úlohy, ve kterých pracujeme se dvěma kmenovými zlomky. V některých případech i tyto lze řešit pomocí počtu, kruhu, nebo úsečky. Uvedeme dvě úlohy tohoto typu:

Úloha 4.49

Myslím si číslo. Jeho polovina je o 2 větší než jeho čtvrtina. Jaké číslo si myslím?

Řešení žáka třetího ročníku: „Dort rozkrojím na 4 kusy; polovina jsou dva kusy, čtvrtina jeden; tedy ta čtvrtina do poloviny je dva; ty jsou tam čtyři; tedy myslíš si číslo 8.“ Stejně bylo k této úvaze možné vzít jako model tyč.

Úloha 4.50

Třetina tyče je natřena na modro, polovina na zeleno. Nenatřeno zůstalo 20 cm. Jak dlouhá je tyč?

Řešení žáka čtvrtého ročníku: „Musím si tu tyč rozdělit na 6 částí. Tři jsou zelené, dvě modré a poslední je těch 20 cm. Tedy každá část je 20 cm. Celá tyč je 120 cm.“

Když byla čísla zvětšena, nastaly problémy. Následující úlohu žáci ve třetím ročníku vyřešili metodou pokus-omyl po více než měsíci hledání.

Úloha 4.51

Třetina tyče je natřena na modro, osmina na zeleno. Nenatřeno zůstalo 9 cm. Jak dlouhá je tyč?

Stejnou úlohu pak tito žáci v pátém ročníku řešili bez problémů, pomocí prostředí čokoláda.

Čtverečkovaný obdélník bývá znázorněn čokoládou. Toto sémantické prostředí je vhodné na řešení situací, v nichž pracujeme se dvěma kmenovými zlomky, neboť čokoláda má řádky a sloupce, což umožňuje znázornit na tomto modelu dva různé kmenové zlomky. Typ úloh je odlišný od typu úlohy 4.40. Například, když chci porovnat 1/2 a 1/, zvolím čokoládu se třemi sloupci a dvěma řádky.

Čokoládu lze použít i v případě, že zlomek se týká třeba tyče. Tak úlohu 4.51 řešili žáci pomocí obdélníka o rozměrech 8 × . Ten má 24 „kostiček“. Modrých je celý řádek, tedy 8 kostiček, zelené jsou tři kostičky a nenabarvených je tedy 24 – 8 –  = 1 kostiček. Ty představují 9 cm. Tedy jedna kostička představuje  cm, a proto tyč je dlouhá 24  = 72 cm.

Ve všech uvedených úlohách se mluví pouze o kmenových zlomcích, ale žáci pracují i se zlomky nekmenovými, které dokonce někteří žáci již pojmenovávají. Tak u poslední úlohy těch 9 cm je 1/24 tyče. Když pak ve čtvrtém nebo pátém ročníku zavedeme i nekmenové zlomky, není to pro žáky nic nového, protože s těmito objekty mají již mnohé zkušenosti a teď se pouze dozvídají, jak se jim říká a jak se zapisují.

Nakonec nutno zmínit, že ve všech uvedených úlohách zlomek vystupuje jako skalár, ale ve vědomí žáka vyvolává i představu počtu nebo veličiny. Řeknu-li že třetina ze 60 Kč je 20 Kč, pak těch 20 Kč je současně i část celku i veličina. Právě tato dvojí sémantizace zlomků představuje pro mnohé žáky veliký problém. Ukážeme si to na známé úloze

Úloha 4.52

Cihla váží 1 kg a půl cihly. Kolik váží cihla?

Značná část sedmáků, kterým byla tato úloha v testu předložena, sestavila rovnici x = 1 + ½. V tomto zápisu je ½ v roli veličiny, ale v textu úlohy je v roli skaláru.

4.12.5 Závěr

Didaktickým pohledem na zlomky končíme naše úvahy o aritmetice na prvním stupni ZŠ. Základem zkoumání zde byla teorie generických modelů, která byla rozvedena v kapitole druhé, a edukační styl VOBS, kterému byla věnována kapitola třetí.

V našem uvažování jsme se několikrát dotkli i geometrie a ještě častěji kombinatoriky. Pokud jde o geometrii, její didaktika je zevrubně zpracována v monografii Jirotkové (2010). Další oblasti, zejména kombinatorika, práce s daty, pravděpodobnost a statistika ještě čekají na zpracování.

Monografie Hejný a kol. (1990), která je věnována didaktice matematiky zejména střední školy, má již svůj věk. Didaktika střední školy čeká na nové zpracování. Lze doufat, že mladý autorský kolektiv se v budoucnu tohoto úkolu ujme.

Použitá literatura

ANDERSON, J. R. (1976) Language, memory, and thought. Hillsdale, N J: Lawrence Erlbaum Associates.

BOLZANO, B. (1981) Vědosloví. Praha : Academia.

BROUSSEAU, G. (1997) Theory of Didactical Situations in mathematics. Didactique des Mathematiques, 1970–1990. New York : Kluwer Academic Publishers.

CASTLE, E. B. (1961) Ancient Education and Today. Middlesex : Pinguin Books.

CZARNOCHA, B.; DUBINSKY, E.; PRABHU, V.; VIDAKOVIC, D. (1999) One theoretical perspective in undergraduate mathematics education research. In Zaslawski, O. (Ed.) Proceedings of PME 23, I, 95-110, Haifa : Israel Institute of Technology.

ČERNEK, P.; REPÁŠ, V. (1995) Matematika pre 2. ročník ZŠ. Pracovný zošit 1. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana.

DAVIS, R. B. (1975) Cognitive processes involved in solving simple algebraic equations. Journal of Children’s Mathematical Bahaviour 1(), 7–5.

DIENES, Z. P. (1960) Building up mathematics. London : Hutchinson.

DUBINSKY, E. (1991) Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In Tall, D. (Ed.) Advanced Mathematical Thinking 95–12. New York : Kluwer Academic Publishers.

D UBINSKY , E.; M C D ONALD , M. (1999) APOS: A Constructivist Theory of Learning in Undergraduate Mathematics Education Research. In Holton, D. (Ed.) The teaching and Learning of Mathematics at University Level: An ICMI Study 275–282. Dordrecht : Kluwer Academic publishers.

DŽIBRÁN, Ch. (1990) Prorok. Praha : Vyšehrad.

FREUDENTHAL, H. (1971) Geometry between the Devil and the Deep Sea. Educational Studies in Mathematics,  (/4), 41–45.

GERRIG, R. J. (1991) Text comprehension. In Steinbring, R, J.; Smith, E. E. (Eds.) The Psycholgy of Human Thought 244–245. Cambridge : Cambridge University Press.

GRAY, E.; Tall, D. (1994) Duality, ambiguity and flexibility: A proceptual víew of simple arithmetic. Journal for Research in Mathematics Education, 25(2), 116–141.

GRUSZCZYK-KOLCZYńSKA, E.; ZIELIńSKA, E. (1997) Dziecieca Matematyka, Jak nauczyć dzieci sztuki konstruowania gier? Warszawa : Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne.

GRUSZCZYK-KOLCZYńSKA, E.; Zielińska, E. (2000) Dziecieca Matematyka, Metodyka i scenariusze zajec z sześciolatkami w predszkolu, w szkole i w placówkach integracyjnych. Warszawa : Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne.

G RUSZCZYK-K OLCZYń SKA, E. (2012) O dzieciach uzdolnionych matematycznie. Warszawa : Nowa Era.

HEJNÝ, M. (2000) Budování geometrických proceptů. In Ausbergerová, M.; Novotná, J. (Eds.) 7. setkání učitelů matematiky všech stupňů škol 11–17, Mariánské Lázně : JČMF.

HEJNÝ, M. a kol. (1990) Teória vyučovania matematiky. Bratislava : SPN.

HEJNÝ, M. (1999a) Procept. In Zborník bratislavského seminára z teórie vyučovnia matematiky 40–61. Bratislava : KZaDM.

HEJNÝ, M. (2007) Budování matematických schémat. In Hošpesová, A.; Stehlíková, N.; Tichá, M. (Eds.) Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice 81–122. České Budějovice : Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích.

HEJNÝ, M.; KUŘINA, F. (2009) Dítě, škola, matematika. Konstruktivistické přístupy k vyučování. Praha : Portál.

HEJNÝ, M.; JIROTKOVÁ, D.; SLEZÁKOVÁ, J. (2007) Matematika pro 1. ročník základní školy, I., II. díl. Plzeň : Fraus.

HEJNÝ, M.; JIROTKOVÁ, D.; SLEZÁKOVÁ, J. (2008) Matematika pro 2. ročník základní školy, I.-III. díl. Plzeň : Fraus.

H EJNÝ, M.; JIROTKOVÁ, D.; SLEZÁKOVÁ, J.; MICHNOVÁ, J. (2009) Matematika pro 3. ročník základní školy. Plzeň : Fraus.

H EJNÝ, M.; JIROTKOVÁ, D.; BOMEROVÁ, E. (2010) Matematika pro 4. ročník základní školy, Plzeň : Fraus.

H EJNÝ, M.; JIROTKOVÁ, D.; BOMEROVÁ, E.; MICHNOVÁ, J. (2011) Matematika pro 4. ročník základní školy, Plzeň : Fraus.

HEJNÝ, M.; NôTA, S. (1990) Metodika záporných čísel na ZŠ. Matematické obzory, 5, 90, 4–54.

HEJNÝ, M. (2012) Pedagogické schopnosti učitele v matematice – příběh. In Kohnová, J. a kol. (Eds.) Profesní rozvoj učitelů 245–252. Praha : UK v Praze, PedF.

HEJNÝ, M.; MICHALCOVÁ, A. (2001a) Skúmanie matematického riešiteľského postupu. Bratislava : Metodické centrum.

HEJNÝ, V. (2012) Archív Víta Hejného. In Bachratý H. a kol. (Eds.) Žilina : EDIS – vydavateľstvo Žilinskej univerzity.

H EJNÝ, V.; H EJNÝ, M. (1978) Prečo je matematika taká ťažká? Pokroky Matematiky, Fyziky a Astronomie 2, (XXIII) 78, 85-9.

HELUS, Z.; BRAVENÁ, N.; FRANCLOVÁ, M. (2012) Perspektivy učitelství. Praha : UK v Praze, PedF.

JIROTKOVÁ, D. (2010) Cesty ke zkvalitňování výuky geometrie. Praha : UK v Praze, PedF.

JIROTKOVÁ, D. (2012a) Didaktické schopnosti učitele v matematice. In Kohnová, J. a kol. (Eds.) Profesní rozvoj učitelů a cíle školního vzdělávání 25–260 Praha : UK v Praze, PedF.

JIROTKOVÁ, D. (2012b) Tool for diagnosing the teacher’s educational style in mathematics: development, description and illustration. Orbis Scholae, No. 2 (6), 69–8.

JIROTKOVÁ, D., ZEMANOVÁ, R. (201) Student-teachers´ empathy for pupils´ thinking process when solving problems. In Novotná, J.; Moraová, H. (Eds.) SEMT´13: Tasks and Tools in Elementary Mathematics (155-162). Praha : UK v Praze, PedF.

JUSTOVÁ, J. (1997) Matematika pro 5. ročník základních škol. Višeň : Alter.

KAPUT, J. (1982) Differential effects on the symbol system of arithmetic and geometry on the interpretation of algebraic symbols. New York : Annual Meeting of the American Educational Research Association.

KLINE, M. (1980) The Loss of Certainty. Oxford : Oxford Univerzity Press.

KOŠKINA, M.D. (1987) Celye i drobnye čisla. In Bloch, A. J.; Gusev, V. A.; Dorfeev G. V. et al. (Eds.). Metodika prepadavanija matematiki v srednej škole 5–29. Moskva : Prosveščenie.

KRATOCHVíLOVÁ, J. (1999a) Prestructural thinking processes involved in solving mathematical tasks. In Hejný, M.; Novotná, J. (Eds.) Proceedings of SEMT´99 67–71. Prague : Charles University, Faculty of Education.

KRATOCHVíLOVÁ, J. (1999b) The structure of triads and pilot experiments. Psychology of mathematical education journal 12, P. Ernest (Ed.), http://www.ex.ac.uk/~PErnest/pome12/.

K VASZ, L. (2008) Patterns of Change. Linguistic Innovations in the Development of Classical Matematics. Basel : Birkhauser.

KVASZ, L. (2012). Jazyk a zmena. Ako sme menili jazyk matematiky a ako jazyk matematiky zmenil nás. Praha : Filosofia.

MALECHOVÁ, I. (1998) Analýza studentských řešení úloh o transformacích. Kandidátská disertační práce. Praha : Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta.

MAREŠ, J. (1998) Styly učení žáků a studentů. Praha : Portál.

MAťUŠKIN, A. M. (197) Problémové situácie v myslení a vo vyučovaní. Bratislava : SPN.

PIAGET, J. (2001) Studies in Reflecting Abstraction. Hove, UK : Psychology Press.

POPPER, K. R. (1995) Věčné hledání. Praha : Vesmír.

REPÁŠ, V.; ČERNEK, P.; PYTLOVÁ, Z. (1997) Matematika pre 5. ročník základných škôl: Prirodzené čísla. Bratislava : Orbis Pictus Istropolitana.

R ENDL, M.; PÁCHOVÁ, A. (201) Procesy učení v diskurzu učitelů matematiky na 2. stupni základní školy. In Rendl, M.; Vondrová, N. a kol. (Eds.) Kritická místa matematik na základní škole očima učitelů (127-182). Praha : UK v Praze, PedF.

S EMADENI, Z. (2014) Matematyka w edukacji początkowej – podejście konstruktywistyczne Kielce : Wydawnictwo Pedagogiczne ZNP.

SEMADENI, Z. (2002) Trojaka natura matematiky: idee glebokie, formy powierzchniowe, modele formalne. Dydaktyka matematyki, 24, 41-92.

SEMADENI Z. (2007) Zjawisko zastepowania obiektów matematycznych przez inne obiekty o tej samej nazwie. Didactica Matematicae, 0, 7-45.

SFARD, A. (1989) Transition from operational to structural conception: The notion of function revisited. In Vergnoud, G.; Rogalski, J.;. Artigue, M. (Eds.) Proceedings of the PME 13, Paris, France, 151-158.

SFARD, A. (1991) On the dual nature of mathematical conception. Reflection on processes and object as different sides of the same coins. Educational Studies in Mathematics, 22, 1-6.

SLEZÁKOVÁ, J. (2007) Prostředí Krokování. In Hošpesová, A.; Stehlíková, N.; Tichá, M. (Eds.), Cesty zdokonalování kultury vyučování matematice (12-142), České Budějovice : Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích.

SLEZÁKOVÁ, J.; SWOBODA, E. (2008) Ewolucja znaczenia slowa w matematyce jako problem dydaktyczny. In Didactica Mathematicae, 1, 5-27.

STERNBERGA, R. J. (1988) Mental self-government: A theory of intelectual styles and their development. Human Development, 1, 197-224.

ŠKODA, J.; DOULíK, P. (2011) Psychodidaktika, Praha: Grada.

THOM, R. (1974) Matematyka „nowoczesna“ : pomylka pedagogiczna i filozoficzna? Wiadomosci Matematyczne 18, 11–129.

URBAńSKA, A. (1996) O aktywności matematycznej dziecka przedszkolnego - na przykladyie ksztaltowania pojencia liczby. Problemy studiów Nauczycielskich, Kraków : Wydawnictwo Naukowe WSP, 6.

URBANOVÁ J.; BLAŠKA, R.; MELICHAR, J.; ŠMELHAUS, J. (1980) Matematika 5, I. díl, Praha : SPN.

VERGNAUD, G. (2009) The Theory of Conceptual Fields, Human Development, 52, 8–94.

VONDROVÁ, N. (201) Matematika: Štafle aneb učíme žáky řešit úlohy. In Janík a kol. (Eds.) Kvalita (ve) vzdělávání: obsahově zaměřený přístup ke zkoumání a zlepšování výuky (276-28). Brno : Masarykova univerzita.

VOPěNKA, P. (1989) Rozpravy s geometrií. Praha : Panoráma.

VYGOTSKIJ, L. S. (1970) Myšlení a řeč. Praha : Státní pedagogické nakladatelství.

WITTMANN, E. (2001) Developing mathematics education in a systemic process. Educational Studies in Mathematics Education. 48, 1–20.

WOLLRING, B. (1999) Mathematikdidaktik zwischen Diagnostik und Design. In Selter, Ch.; Walter, G.(Eds.), Mathematikdidaktik als Design Science. Festschift für Erich Wittmann (270–276), Leipzig : Ernst Klett Grundschulverlag.

Věcný rejstřík

abstraktnost 142 adresa

cyklická 16

lineární 16, 165, 168

AHA-efekt 52, 18

akce 4, 46, 84–87, 118, 124

algebrogram 24–25, 5, 11, 178

algoritmus

Euklidův 

písemného násobení 196

písemný 169

amalgám 2, 4–6, 8, 87, 145–146

amalgamace 6, 8, 87, 145

analýza

písemného projevu 57

posunů 2

antisignál 51, 117, 145, 169, 171, 179, 189, 198

argumentace 58, 70, 106, 117, 10, 19

aritmetika

ciferníková 16, 168, 200

modulární 16, 168, 201

asociace 76, 78–79, 117–119, 142, 168, 188

autonomie

intelektuální 1, 81, 92, 11

axiom 106, 112

ciferník 51, 167–168, 200, 210

cit

edukační 145

činnost

autonomní 81, 92, 106, 119, 127

evidenční 51

intelektuální 81, 92, 121

konstrukční 51

manipulativní 2, 51, 85, 117

organizace výsledků 51

tvůrčí 118, 127, 147

číselná osa 15–16, 4, 111, 114–115, 15–16, 165–168, 175, 180–182, 185–187, 20, 210

číslice 19, 24, 27, 9, 49, 52, 54, 56, 7, 76–77, 96, 98, 11, 11, 16, 142–144, 146, 149, 150, 160, 162, 167, 178, 182, 185, 194, 196, 20

číslo/čísla

celá  46–47, 5, 62, 66, 10, 15–17, 179, 184

desetinná 27, 56, 7–74, 15–16, 190, 197, 199, 201–20

dvojmístná 24, 5, 18

iracionální , 15, 15

jako adresa 16

jako frekvence 15, 160–162, 190

jako identifikátor 162

jako jméno 16

jako kvantita 15

jako operátor 157

jako počet 142, 146–147, 186

jako pořadí 142

jako veličina 22, 16, 187

jednomístná 5, 152, 18

kladná 108–109, 16, 184, 195, 20

kombinatorická 51

lichá 25, 52–5, 46–47, 62, 68–70, 108–109, 15, 160

Ludolfovo 15

malá 4, 86, 15–16, 145, 15, 157

opačná 17

periodická 7–74, 99, 15–16

pomíjivá 14

převrácená 17

přirozená 14, 27, –4, 47, 5, 69–70, 87, 106, 108, 11–12, 15–16, 18, 149–150, 15, 169, 179, 182, 186–190, 197, 200–207

racionální –4, 5, 87, 16, 169, 197

reálná , 5, 15–17, 165, 168, 205

římská 16, 141, 178

sudá 25, 47, 5, 56, 62, 69, 70, 108, 122, 12, 15, 160

ukotvená 15, 162, 190

velká 76, 149, 157, 168, 207

záporná 11, 14–15, 20–21, 27, 2, 51, 71, 84, 87–88, 10, 108, 150, 154, 166–157, 179, 181–188, 190, 202, 205

číslovka 75, 18–140, 144

čtverec

jednotkový 15

čtvrtina 27, 51, 6, 149–150, 161, 206, 208–210

čtyřúhelník

nekonvexní 7, 87

definice 81, 106, 112

dělenec 122, 18, 199

dělení

se zbytkem 70, 121, 124, 16, 18, 168–169, 197–201, 20, 209

spravedlivé 107, 15, 149, 199, 207

dělitel

největší společný , 161

dělitelnost 67, 69, 70, 11, 122, 16, 161, 170, 197

délka jednotkové půlkružnice 15

desémantizace 18, 20 diagnóza

formalizmu 55

diagonála 42

diskuse 82, 9, 11, 122, 126–127, 129, 10, 12, 14, 146, 150, 152, 176, 187, dovednost

kalkulativní 195

manipulativní 58 dramatizace

simulovaná 6, 172

dualita 2, 5

dvojice

čísel 94, 101, 17–18

dynamika 45

empatie 146

energie

kognitivní 91, 9

enkapsulace 2

entifikace 2

etapa

poznávacího procesu 40, 7, 84 etapizace

procesu 2, 40

evidence

percepční 141

zraková 141

experiment 55–56, 89, 95, 97, 99–102, 155, 157, 17–174, 196

experimentátor 48, 55–56, 110, 206

fenomén 146

flexi-schéma 87

forma

vnější 1

formalizmus 55, 57, 81, 119

frustrace 176 funkce

kognitivní 197

lineární 51

fylogeneze 7, 58, 207 geometrie

analytická 167

graf 1, 24, 28–29, 51, 58, 71, 172 grupa 109, 182 hierarchizace 87 hodnota

absolutní 4, 17, 167, 169, 181–182

mravní 147

homomorfizmus 109 hrana

krychle 17

hypotéza 26, 42, 11

chyba 1, 20, 4, 5, 56–57, 60, 6, 75, 77–79, 8, 92–9, 100, 110, 127–128, 129–12, 164, 174, 19, 196

identita 2, 29, 101, 155

ikona 16, 142

imitace 11, 47, 118, 127, 1, implikace 107, 16, 185, 200 impulz

k učení 44

motivační 47

indikátor

diagnostický 81, 179, 189, 197

hledání argumentace 106

izolovanosti 55

izomorfizmů 106

objevování metafor 106

strukturace 106

zvídavosti 106

individualizace

výuky 44, 46

informace 49, 54, 58, 74, 86, 88, 90–91, 109, 142–14, 145, 157-158, 162, 186 interakce

žáků, 8, 9, 112, 117–119, 146

interiorizace 

interval 165–166, 174, 181

involuce 204

izomorfizmus 58, 106, 112, 151–152, 155, 187

jazyk

algebry 41, 62, 71, 7, 98, 109, 126

hybridní 58

množin , 4, 112

nestandardní 58

písmen 58–60, 61–62, 64, 68–7, 94, 97, 99, 101–102

relací 112

rodokmenů 110

slov 18

specifický 58

standardní 58

šipek 17–18, 111

záznamu procesu 21

znakový 21

zobrazení 112

jev

argumentační 2

číselný 15

externí 82

formalizmu 55

kombinatoriky 28, 89

kvantifikovaný 16

magický 15

nekonečna 107, 20

nekvantifikovaný 16

optimalizace 28

periodicity 28, 98, 101–104, 160, 168

pojmotvorný 2

průvodní 2, 195

rušivý 85

řešitelský 2

kalkulátor 15, 169, 195

klastr 54, 86, 101

klima 118, 127, 187

kód 11, 59–61

komplement 24, 4, 180

komunikace 57, 90, 118–119, 121, 129, 19, 144, 146

komunita modelů 10

komutativita 5, 155, 204

komutativní

zákon 188

koncepce

operacionální 4

strukturální 4

koncept

mentální 

rozvinutý 101

uzavřený 101–102, 105, 160

vstupní , 7

výstupní , 7

konceptualizace

procesu 144

kondenzace –4

konkrétnost 142

konstrukce

mentální 85

konstrukt 74, 106

kontext

aritmetický 151

atraktivní 44

manipulativní 97

sémantický 151, 155

strukturální 155

kontrakt

didaktický 119

konvence 18, 47, 11–12, 181

kotvení

sémantické 18, 27, 187, 190–192, 195, 20

kritérium

dělitelnost 69, 11, 197

krok

objevitelský 49

krokování

dozadu 17

kružnice , 7–8, 61, 167–168

krystalizace 40, 42, 58, 7–74, 126, 147

křivda, 46

křivka

Gaussova 162

kvalita 15, 42, 44, 51–52, 54–55, 81, 95, 111, 152, 186–187, 190

kvantifikátor

velký 107, 109

kvantita 15–154, 16

linearita 29

logika 106, 200

manipulace 149–50, 169, 171, 175, 179, 198

mapa

pojmová 2

mechanizmus

asistovaného odhalení 51

mentální 77

poznávací 208

přechodu 2

metafora 58, 64, 106

meta-kognice 50 metoda

dramatizace 62, 149, 154, 169, 171–172, 179

edukační 81

konstruktivistická 11

obrázku 62

rozkladu, 175–177, 182, 196

řešení od konce 62

uvolňování parametru 26

vhledu 62

míra

pomíjivosti 141

porozumění 142

stability 141

mnohoúhelník 51 množina

malá, 2

mocnina

druhá 17, 194

třetí 17

model

cyklického adresování 167

částečně konceptuální 5

čísla 15, 15, 165, 186–188

formální 1

generický, 26, 28-9, 1, 9–42, 46, 49, 51–55, 58, 67, 69, 71, 7, 81–84, 86–88, 109–111, 126,

15, 145, 165, 172, 18, 187–188, 191, 19, 207

konceptuální 40, 5, 7, 111, 126, 15

procesuální 28–29, 40, 52–5, 7

sémantický 15, 151–152, 187

grafický 15

izolovaný 26, 40–42, 46–55, 67, 71, 7, 82–8, 84, 86–89, 95, 107, 109–110, 11, 126, 172

krokový 17

matematický 169, 171, 179, 189, 198

operace 17

pro velká přirozená čísla 15

separovaný 40

strukturální 152, 188

zlomků 202, 206, 209–210

univerzální 40

modelování 57, 117, 170, 206 modus

komunikační 119 motivace

vnitřní 4

myšlení

abstraktní 106

algebraicko-aritmetické 

aritmetické 140

geometrické 

kauzální 146

kombinatorické 24

kritické 119, 161

logické 1

objevné 118

produktivní 118

tvořivé 121

myšlenka

hluboká matematická 1, 160

chybná 127

násobení

indické 64, 66

písemné 64, 196–197

násobilka 56, 9, 164, 188, 195–196, 201

nástraha

didaktická 1, 20–22, 24–27

nástroj

analýzy 101

didaktického výzkumu 96

didaktický 12, 2

komunikace 144

mentální 89

motivační 44, 15

nácviku 175

organizace 51

orientace 89

počítání 8

rozhodování 89

určování počtu 144

zjištění 2

zkoumání 1, 75

nedorozumění 1, 57, 59, 82, 91–92

negace 107

největší společný dělitel 161

nerovnost 46, 64, 169, 184–186, 205

neúspěch 129, 154, 176, 205, 208

normování

kroků 17

nosič

časově omezený 141

čísla 141–142

permanentně dostupný 141

přímo vnímatelný 141–142

přímý 141

smyslový 141

stabilní 141

verbální 141–142

znakový 142

nositel

mnohosti 14

porozumění 91, 106

nuda 24–25, 27–28, 76

objekt

geometrický 7–8

mentální 6, 87

objem

krychle 150

objev

matematický 105

oblast

kognitivní 176

meta-kognitivní 115, 129, 176

sociální 145

obor

číselný 95, 15, 204

obraz 8, 82, 12

obsah

čtverce 40, 60, 194

odmocnina

druhá 17, 205

třetí 17

okruh 74, 16

operace

aritmetický průměr 18

binární 17–18

celá část čísla 12

dělení 16, 154, 189, 197, 201, 204–205, 209

inverzní 17, 204–205

n-ární 17–18

násobení 154–155, 189, 194–195, 204–205

odčítání 27, 95–96, 179–180, 182, 197, 204

odčítání dvojky 17

pojmotvorná 179, 197

přičítání jedničky 17

půlení 17, 204, 208

rozdíl dvou čísel 18

sčítání 27–28, 5–54, 95–96, 85, 154, 182, 204

ternární 17

unární 17

zdvojování 17

zlomková část čísla 17

operátor

aditivní 28, 15–154, 158

multiplikativní 28, 15, 158

porovnání 15, 158–159, 172–174

změny 16, 21, 151, 15–154, 158–160, 171–172, 174, 179–180, 187

orgán

duševní 74–76, 120

komunikační 74–75

matematický 1, 44, 66, 74–76, 79, 120–121, 127, 151, 170, 188

organizace

znalostí 81

osa

číselná 15–16, 4, 111, 114–115, 15–16, 165–168, 175, 180–182, 185–187, 20, 210

osmóza

kognitivní 8, 91

otočení 8

paměť

dlouhodobá 54, 59, 144, 196, 201

externí 91

krátkodobá 144, 196, 201

parametr

diagnostický 57

percepce

čísla 141

smyslová 141

perioda 7–74, 160, 202

periodicita 28, 98–99, 101–105

pocit

intelektuálního růstu 44, 176

úspěchu 44

počet

infinitezimální 2

podetapa 48–51, 5, 87

podíl 185, 192, 199, 200

podkoncept 6, 101

podmnožina 112

podschéma 111, 15

pohyb

mentální 2–, 6–7

myšlenkový 

poznávací 85, 87

pojem

matematický 1

primitivní 106

pojetí

konceptuální 4

množinové 7

polovina 27, 2, 42, 46–47, 51, 61, 6, 65, 67–68, 87, 106, 11, 120–122, 12, 14, 149–150, 152, 158, 186, 191, 19, 205, 207–210

pokus-omyl 24, 27–28, 59–61, 65–69, 70, 9 , 102, 122, 210

pomíjivost 141

porozumění

axiomatické 106

intuitivní 106

matematice 57, 59, 106, 121

posloupnost

aritmetická 57, 126

postup

edukační 2, 57

reedukační 57, 81

vzorový 1

posun

druhý 8

kognitivní 40, 89

potence

intelektuální 109, 112

potenciál

motivační 1

povel 15–18, 167

poznání

deklarativní 2

konceptuální 41

matematické 1, –4, 52, 81

o počtu 41 procedurální 2

procesuální 

poznatek

abstraktní 40–42, 58, 61–2, 7, 87

formální 15, 55–56, 58

izolovaný 142

kvalitní 81

obecný 40, 54

pravidlo 22, 42, 44–46, 51–54, 56, 7, 84, 92, 106, 11, 115, 11, 16, 175, 205–206

prekoncept 108 princip

didaktický 155

univerzální 155

procedura

kalkulativní 94

procenta 16, 158, 186, 190–191

procept

čísla 145

elementární 5

spojů 5

vyššího řádu 5

proces

diagnostický 57

evidence 144

formalizace 18

konstrukce 4, 7

objevu 50

odčítání 4, 145

písemného násobení 196

pojmotvorný 2–, 150

poznávací 12, 1–2, 8–9, 40, 4, 48–49, 51, 5, 7, 81, 89, 9, 112

řešitelský 8–84, 9, 97, 102, 118, 147, 17

strukturace 106–107

uhnízdění 7

zobecnění 51, 84 procesualizace

konceptu 58, 167

propedeutika

záporného čísla 150

zlomku 149

prostor

čtyřrozměrný 106

mentální 8, 86, 88

prostředí

Algebrogramy 1, 24, 5, 178

Autobus 1, 20–21, 96, 172, 180

Barevné trojice 175

Děda Lesoň 1, 20–21, 96–97, 16

didaktické matematické 12–1

Dřívka 1

Hadi 28, 96, 175

Krokování 1–19, 27, 111, 142, 150–151, 15, 167, 179–180, 187

Násobilkové čtverce 1, 24–25

Panáček 15–16, 187

Pavučiny 88, 96, 175

podnětné 47

pojmové 89

Rodina 1, 20, 2–24, 88, 110, 112, 17, 170

řady, které se lámou 161

sémantické 155, 210

Schody 1–16, 18, 20, 27, 48, 111, 150, 155, 167, 179–180, 187

Součtové trojúhelníky 1, 24, 26, 88, 175

Sousedé 1, 24, 27, 88, 97–99, 102–14,

161

Šipkové grafy 1, 24, 28–29

Tajná chodba 14–15, 151, 187

protéza

znalosti 14

protipříklad 107

protoschéma

číslo 18–19, 141–142

mentální 18

protostruktura 81, 108–110

prototyp 5, 110

provočíslo 54

průměr

aritmetický 18

průnik 24

průsečík 8

prvek

neutrální 182, 204

opačný 182

schématu 5

představa

akustická 77–78

dětí 149

množství 19–140

o čísle 15, 142, 146, 152, 168

o číslovkách 140

sémantická 145, 150, 155, 168

vizuální 77–78

žáků 152, 155, 168, 184

překážka

didaktická 15

kognitivní 4

přesvědčení

didaktické 127

metakognitivní 115

pedagogické 117

učitele 64

přímka 14, 7, 9, 106

příživník

intelektuální 46

radost 27, 4, 46, 50, 6–64, 67–68, 72, 92, 115, 118, 127, 11, 141, 1510, 167, 176, 179, 186, 200

reifikace 2–6

relace

aritmetické 115, 17

binární 17

dělitelnost 16, 170

inverzní 24

ne-aritmetická 17

reflexe 84

reflexivita 16

rovnost 16

uspořádání 16, 170

reprezentant 1, 84, 141

reprodukce 11, 47, 118, 127, 1, 170

rodinka

odčítacia 95

sčítacia 95

rovina

komplexní 168

rovnice

diofantická 51

krokové 18

lineární 29

šipkové 19

rozdělování 150, 15, 198

rozklad

čísla 4–7, 49, 175–177, 182, 196

rytmus

akustický 160

barevný 160

číselný 160

grafický 160

kinestetický 160

s periodou 160

řešení

alternativní 64, 69, 147

autonomní 11

kompromisní 147

říkanka, 16, 2, 49, 76, 8–84, 86, 108, 18–401, 144–145

sémantika 117, 151, 155

schéma

aditivní 86

aritmetické 81, 9–95

externí 82

interní 8

krokování 19

matematické 81–8, 86–87, 89, 9

mentální 81–8, 89, 92–9, 18

pojmu číslo 18

pojmu přirozené číslo 87

pojmu racionální číslo 87

pojmu sčítání malých čísel 86

pojmu záporné číslo 179, 185, 188

pojmu zlomek 205

rodina 88, 110

sčítání 86

sčítání do 10 176

schopnost

komunikace 129

objevovat 15

síla jazyka

argumentační 69, 70

kódovací 59–60

objevitelská 69, 71–7

transformační 59–61, 70, 7, 94

uchopovací 59–62, 69, 70, 72, 94, 101–102

vyjadřovací 60–62, 7, 102

základní 69

simulace 19

situace

analogická 17

číselná 184

formalizovaná 18

konceptuální 17

nestandardní 56, 72

problémová 84

procesuální 17

rovnicová 22

sémantizovaná 18

sjednocení 24

skalár 158, 189–190, 192–19, 211

skládání

relací 24, 112

zobrazení 112

skript 86

sociální rozměr 147 soubor

heterogenní 147–148, 171

homogenní 147–148, 171

objektů 140, 144, 209 součin

kartézský 24

souměrnost , 204 soustava

čtyřková 16

desítková 24, 16, 141, 151, 156

dvanáctková 16

dvojková 16

rovnic 19, 20, 22, 27

soutěž 44, 176, 20 spektrum

motivační 47 spoj

automatizovaný 8, 95

májákový 175–177

multiplikativní 118

paměťový 175

součtový 175-177

spojnice 8

spor

vnitřní 87

stabilita 141

statistika 84, 158, 160–162, 211

stav

mezi- 117

vstupní 117, 151–152, 172

výstupní 117

stavba

axiomatická 15, 185

matematiky 195

stereotyp 118, 127

stimul 140

stimulace 42, 44

strategie

diference 29

dramatizace 57

edukační 58, 64, 66, 76, 82, 102, 120–121, 125, 169, 17, 19, 195

intelektuální 9

modelování 57

od konce 62, 67–68, 145

procesualizace konceptu 58

simplifikace 58

řešení 29, 57, 9

řešitelská 28, 57, 61, 69, 94, 101, 192

struktura

aditivní 108, 182, 204

aritmetická 187, 151

celých čísel 188

matematická 87

stupnice

cyklická 167–168

lineární 165, 168

styl

edukační 11,

11

instruktivní 64, 66, 81

konstruktivistický 120–121

povrchový 118

transmisivní 81, 11–114

svět

abstraktních struktur 108

aritmetiky 95, 140

barev 18

čísel 15, 18–140, 14, 146, 150, 15

číslovek 18

druhý Bolzano-Popperův 82

duševní 82

fyzikální 82

jmen 18

kultury 82, 89

matematiky 87

partikulární 140

produktů lidského ducha 82

první Bolzano-Popperův 82

představ 82

příbuzných 18

třetí Bolzano-Popperův 82

třídy 82

věcí 82, 165

zážitků 82

svět pocitů 82

symbolika 2, 9, 15, 190

symetrie 16

synchronizace/synchron

kinestetické a akustické činnosti 16

kinestetiky a akustiky 16

rytmu pohybů 140

rytmu slov 140

rytmu zvuku a pohybu 140

systém

axiomatický 15

teorie

APOS 82–85, 87

generického modelu 1, 9, 40, 8

Piagetova 84

poznávacího procesu 9

proceptu 2, 4, 82–8, 87

reifikace 2–, 5

terminologie 108, 126, 15, 166, 205

teze

o schématu 90

trajektorie 8

transfer

amalgamační 9

proceptuální 8

transformace 2, 70, 85–87, 102, 186, 214

tranzitivita 16

triáda

aditivní 95–96

externí 96

interní 96

trojčlenka 21

trojúhelník

rovnoramenný 8, 12, 194

vykousnutý 7

třetina 27, 51, 56, 6, 15, 149, 150, 207–11

třídění 87

tvorba

kurikula 2

učebnic 16, 2, 97

tvořivost 11, 46, 114–115, 118, 188

tvrzení 26, 29, , 46, 5–54, 58, 69, 70, 81–82, 105–106, 108, 112–11, 12, 155, 184, 188, 199 typ

kognitivní 2

povelu 17

spojů 5, 9

výroku 2

účinnost

didaktického principu 155

úhel

orientovaný 187

uchopování/uchopení

počtu 141

úlohy 57, 61, 8

ukotvení

sémantické 152, 162, 187, 191–192

úloha

aritmetická 94

diagnostická 7

explicitní 102–

implicitní 10

kalkulativní 28, 10

kombinatorická 41, 6, 72, 10, 14

nestandardní 115, 14

operátorová 17

přiměřená 127, 14, 149

slovní 51, 57, 59, 61, 6–64, 68, 111, 114, 116,

1, 15, 169, 171, 179, 189, 195, 198, 201

standardní 92, 114, 119, 121, 14, 176, 195

úprava

rovnice 22–, 27, 4, 59, 6, 65

výrazu 29, 58, 67, 72, 101

úsečka 14, 7–8, 61, 165, 174, 182, 194, 209

úspěch

sociální 44, 68, 176

uspořádání 16, 170

ústředí

akustických představ 77

vizuálních představ 77

vztahově abstrakční činnosti 78

vazba

aditivní 96

kauzální 87

vědomí 1, 17–18, 27–28, 2–4, 6–8, 4, 45–46, 48–49, 55, 57, 68, 101–10, 109, 118, 18, 140–141, 14–144, 150, 176, 181, 184, 187, 205–206, 211

veličina 22–2, 16, 15–158, 167, 171, 185–187, 189–191, 211

vhled 24, 45, 57, 62, 7, 78, 86, 112, 115, 1, 16, 140, 156, 159, 17, 175, 178, 180, 188, 190

vizulizace 29, 51 vlastnost

relace 16, 204

vnímání

čísla 14, 141, 14 situace 19, 16

strukturální 19

VOBS – vyučování orientované na budování schémat, 12, 81, 9, 121, 124–125, 127–128, 14, 152, 155, 160, 211

vrstva

představ 19

slov 19

výběr

přirozený 1

výraz 29, 1, 4–5, 54, 58–59, 67, 68, 70, 72, 101, 155–156, 185–186, 189, 199, 200, 205 vyučování, experimentální 14–15, 89, 147, 156, 201–202, 209

vzorec 6, 5, 56, 59, 65, 92, 101, 1–14, 126, 176

vztah

aritmetický 201

sémanticky ukotvený 16, 165

strukturální 16

změny a stálosti 2

zaokrouhlování 17, 169, 202

zápis 14–20, 2–24, 4–5, 61, 70, 7–74, 76, 97, 111, 11, 116–117, 128–1, 16, 145, 148, 150, 169, 180, 198–200, 211

zásada 127, 175, 195, 201

závěr

diagnostický 58

závislost 25, 27, 51, 95, 102, 1

záznam

šipkový 17, 1

zbytek 70, 98–99, 10, 121–122, 124–126, 16, 18, 178, 180, 182, 195, 197–202, 210

zdvih

abstrakční 58

zkušenost

manipulativní 47

osobní 20, 2, 155

vlastní 11, 42–4, 46, 89, 18

životní 18, 2, 55, 92, 152, 156

zlomek/zlomky

kmenové 115, 17, 185, 207–211

změna

edukační strategie 58

znalost

intuitivní 81

strukturální 87

zobecnění 40, 51, 84, 87

zobrazení

binární 18

involutorní 17

zóna nejbližšího vývoje 15

zvídavost 47, 106, 126

zživotňování

formálního poznatku 55

Jmenný rejstřík

Anderson, Kevin Jackman (1962) 2

Arnauld, Antoine (1612–1694) 185

Bachratá, Katarína 9, 42, 75

Bachratý, Hynek 9, 75, 101

Bomerová, Eva 11, 74, 121–124

Brousseau, Guy 119

Cantor, George (1845–1948) 20

Castle, E. B. 120

Czarnocha, Bronislav 84

Černek, Pavol 95, 18

Davis, Reginald Ben (1907–1998) 2

De Morgan, Augustus (1806–1871) 185

Descartes, René (1596–1650) 185

Dienes, Zoltán Pál (*1916) 2, 4

Doulík, Pavel 112

Dubinsky, Ed 2, 84–85, 87

Džibrán, Chalíl (188–191) 81

Euler, Leonard (1707–178) 54, 179, 185

Freudental, Hans (1905–1990) 120

Gerrig, Richard J. 86

Gödel, Kurt (1906–1978) 15

Gray, Eddie 2, 4–6, 8

Gruszyk-Kolczyńska, Edyta 18, 140, 146

Hašek, Jaroslav 165

Hejný, Vít (1904–1977) 9, 11, 15, 9, 40, 74–76

Hecht, Tomáš 184

Helus, Zdeněk 120

Hrdina, Ľudovít 11

Jirotková, Darina 9, 6, 11, 211

Kaput, James (1942–2005) 2

Kline, Morris (1908–1992) 185

Kloboučková, Jaroslava 127

Kočandrle, Milan (*197) 8

Koškinová, M. D. (*1987) 185–186

Kremlíková, Lenka 151

Kuřina, František 115, 176, 181

Kvasz, Ladislav 58–59

Littler, Graham Haward 40, 191

Malechová, Iva 8

Mareš, Jiří 118

Matuškin, A., M. 46

McDonald, Mike 84–85

Michnová, Jitka 11, 74, 128

Panovská, Lucie 177

Peano, Giuseppe (1858–192) 106

Piaget, Jean (1896–1980) 2, 84, 87

Popper, Karl Raimund (1902–1994) 82–8

Rendl, Miroslav 55

Repáš, Vladimír 11, 95, 18

Sasková, Marcela 150

Semadeni, Zbigniew 1, 186

Sfard, Anna 2–4

Simpson, Adrian 40

Skemp, Richard 1

Slezáková, Jana 96

Sternberg, R., J. 115

Sukniak, Anna 128

Škoda, Jiří 112

Tall, David Orme (1941) 2, 5–6, 8

Tejkalová, Vítězslava 145

Thom, René 1

Urbanová, Jarmila 186

Urbańská, Aleksandra 18

Vantuch, Juraj 11

Vergnaud, Gérard (*19) 159

Vondrová, Naďa 9, 55, 9, 19

Vopěnka, Petr 6–7

Vygotsky, Lev Semionovič (1896–194) 126, 15

Wllring, Bob 2

Zemanová, Renata 128

Vyučování matematice orientované na budování schémat: aritmetika 1. stupně

Milan Hejný

Malba na obálce: doc. ak. mal. Ivan Špirk

Recenzenti:

doc. RNDr. Katarína Bachratá, Ph.D.

doc. RNDr. Naďa Vondrová, Ph.D.

Výzkumný záměr

Učitelská profese v měnících se požadavcích na vzdělání

Vydala Univerzita Karlova v Praze — Pedagogická fakulta

Rok vydání: 2014

Počet stran: 20

Formát: B5

Náklad: 200 ks

1. vydání

Vytiskla tiskárna Nakladatelství Karolinum

ISBN 978-80-7290-776-2