HOGENT - bachelor vastgoed afstudeerrichting landmeten - meetmethodes 2 deel 1

Departement Omgeving

vastgoed - landmeten

Meetmethodes 02 DEEL I T heorie 2de jaar professionele bachelor in het vastgoed landmeten Academiejaar 2021-2022

Verantwoordelijke uitgever Reinout Janssens

Ik heb nog nooit een dier vervuld gezien van zelfbeklag.

Een vogel zal verkleumd van een tak vallen, zonder zich ook maar een moment te hebben beklaagd.

Film: G.I. Jane

Vrij vertaald: niet zagen, niet klagen … gewoon hard werken!

Departement Omgeving

vastgoed - landmeten

Meetmethodes 02 DEEL I T heorie 2de jaar professionele bachelor in het vastgoed landmeten Academiejaar 2021-2022

Verantwoordelijke uitgever Reinout Janssens

meetmethodes 02

Studiefiche Een up-to-date versie van deze studiefiche is steeds te vinden op https://ects.hogent.be.

Ingenieur Reinout Janssens

4/123

meetmethodes 02

Inhoudsopgave 1

Foutentheorie en waarschijnlijkheden ...................................................................... 7 1.1 Het begrip waarschijnlijkheid ............................................................................. 7 1.1.1 Definitie..................................................................................................... 7 1.1.2 Combinatieleer .......................................................................................... 7 1.1.3 Relatieve frequentie ................................................................................... 9 1.2 De foutenkromme ........................................................................................... 11 1.2.1 Waarnemingsfouten................................................................................. 11 1.2.2 Frequentiekromme................................................................................... 12 1.2.3 Centrummaten......................................................................................... 13 1.2.4 Spreidingsmaten...................................................................................... 16 1.2.5 Normale verdeling ................................................................................... 17 1.3 Standaardafwijking: praktische voorbeelden en berekeningen ......................... 20 1.4 Het rekenkundig gemiddelde x : praktische voorbeelden en berekeningen ...... 23

1.5 Invloed van de grootte van n op de nauwkeurigheid ........................................ 24 1.6 Oefeningen..................................................................................................... 25 1.7 Samengestelde werking van systematische en toevallige fouten...................... 26 1.8 Systematische fout bij oppervlakte bepaling .................................................... 27 2 De opmeting.......................................................................................................... 29 2.1 Begrippen....................................................................................................... 29 2.1.1 Grondslag................................................................................................ 29 2.1.2 Detailmeting: ........................................................................................... 29 2.1.3 Kaartnoorden versus geografisch noorden versus magnetische noorden .. 30 2.1.4 Convergentie der meridianen ................................................................... 30 2.1.5 Kaarthoek................................................................................................ 30 2.2 Algemene berekeningen ................................................................................. 31 2.2.1 Bepalen van kaarthoek en afstand ........................................................... 31 2.2.2 Bepalen van tweede stel coördinaten ....................................................... 32 2.3 Methoden van puntsbepaling .......................................................................... 33 2.3.1 Driehoeksmeting of triangulatie ................................................................ 33 2.3.2 Voerstraalmethode of poolcoördinaten ..................................................... 40 2.3.3 Voorwaartse insnijding of dubbele poolcoördinaten .................................. 44 2.3.4 Achterwaartse insnijding .......................................................................... 52 2.3.5 Bijzondere insnijdingen: ........................................................................... 67 2.3.6 Veelhoeksmeting of polygonatie............................................................... 69 2.3.7 Bilateratie:de basis voor de vrije opstelling ............................................... 70 2.4 De moderne landmeter: wat meet hij? Hoe meet hij? … .................................. 72 3 Afstandsmeting ..................................................................................................... 73 3.1 Inleiding.......................................................................................................... 73 3.2 De rechtstreekse afstandsmeting .................................................................... 74 3.2.1 Het reduceren tot de horizontale afstand .................................................. 75 3.2.2 De methode van “vrij doorhangende meetband” ....................................... 76

Ingenieur Reinout Janssens

5/123

meetmethodes 02

3.2.3 3.2.4

De systematische fouten bij de rechtstreekse afstandsmeting................... 78 De toevallige fouten bij de rechtstreekse afstandsmeting met de meetband 82 3.3 Onrechtstreekse optische afstandsmeting ....................................................... 83 3.3.1 De dradenafstandsmeting ........................................................................ 83 3.3.2 De horizontale basisbaak ......................................................................... 92 3.3.3 Bepaling van de afstanden door verticale hoekmeting .............................. 98 3.4 Onrechtstreekse elektromagnetische afstandmeting ........................................ 99 3.4.1 Situering.................................................................................................. 99 3.4.2 Soorten systemen van elektromagnetische afstandsmeting .................... 101 3.4.3 Vergelijking met de optische methoden van afstandsmeting ................... 101 3.4.4 Elekro- optische systemen met generatie van pulsen en met directe tijdsmeting........................................................................................................... 102 3.4.5 Elektro- optische en microgolf- systemen met faseverschilmeting ........... 104 3.4.6 Foutenbronnen ...................................................................................... 113 3.4.7 Berekening van de uiteindelijke planimetrische afstand (normale landmeetkundige metingen)................................................................................. 116 3.4.8 Varia: de reflector .................................................................................. 117 3.4.9 Reflectorloze afstandsmeting ................................................................. 118

Ingenieur Reinout Janssens

6/123

meetmethodes 02

1 Foutentheorie en waarschijnlijkheden Slechts een gedeelte van deze leerstof wordt onder dit hoofdstuk behandeld. De foutentheorie vind je ook verwerven terug in andere hoofdstukken.

1.1 Het begrip waarschijnlijkheid 1.1.1 Definitie Men definieert de waarschijnlijkheid of de probabiliteit van een verschijnsel als de verhouding van het aantal gunstige gevallen tot het aantal mogelijke gevallen, wanneer deze laatste alle evenveel kans hebben om voor te komen. Voorbeeld: bij een dobbelsteen zijn er 6 mogelijke gevallen. De kans om een vijf te gooien is 1/6.

De formules van de combinatieleer laten dikwijls toe met de gegeven definitie en zonder verdere stellingen te gebruiken, de waarschijnlijkheid te berekenen van een verschijnsel.

Het komt er op neer de mogelijke en de gunstige gevallen te tellen.

1.1.2 Combinatieleer

1.1.2.1 Gewone permutaties Definitie: men noemt permutaties van n elementen de verschillende groepen die men krijgt als men die n elementen in alle mogelijke volgorden naast elkaar plaatst.

Voorbeeld: elementen a,b. Permutaties ab, ba elementen a,b,c. Permutaties abc, acb, bca, bac, cab, cba.

Algemeen:

Pn = n.pn-1 = n (n-1)(n-2)…3.2.1 = n!

1.1.2.2 Herhalingspermutaties Definitie: men noemt herhalingspermutaties van n elementen de verschillende groepen die men krijgt door de n elementen in alle mogelijke volgorden naar elkaar te plaatsen, en waarbij elk element meerdere malen mag voorkomen.

Voorbeeld: m elementen a,b,c,…

Aantal maal dat de opeenvolgende elementen mogen voorkomen: A, α maal; b, β maal, c, γ maal,…

Pm 

m!  !  ! !

Ingenieur Reinout Janssens

7/123

meetmethodes 02

1.1.2.3 Variaties Definitie: variaties van m elementen zijn de groepen van n e lementen die men kan vormen met die m elementen, waarbij de groepen verschillen door - de elementen waaruit ze zijn samengesteld - de volgorde waarin de elementen voorkomen Voorbeeld: elementen a, b, c; groepen van 2 elementen.

Variaties: ab,ac,bc,ba,ca,cb Algemeen:

Vmn 

m! (m  n )!

 (m  n  1).Vmn 1 =m(m-1)(m-2)...(m-n+1) Voorbeeld: hoeveel getallen van 4 verschillende cijfers kan men vormen met de cijfers 1 tot 0

V94  9.8.7.6 

9!  3024 5!

1.1.2.4 Herhalingsvariaties Definitie: variaties van m elementen zijn de groepen van n element en die men kan vormen met de m elementen, en waarin elk element n maal mag voorkomen. De groepen verschillen door - de elementen waaruit ze zijn samengesteld - de volgorde waarin de elementen voorkomen Voorbeeld:

elementen a, b, c; groepen van 2 elementen Herhalingsvariaties: ab, ac, bc, ba, ca, cb, aa, bb, cc

Algemeen: v mn  mn  m.v mn 1 Voorbeeld: hoeveel verschillende getallen van 5 cijfers zijn er?

5 4 v10  v10  90000

Ingenieur Reinout Janssens

8/123

meetmethodes 02

1.1.2.5 Combinaties Definities: combinaties van m elementen zijn de groepen van n elementen die men kan vormen met die m elementen, waarbij de groepen enkel verschillen door de samenstelling.

Voorbeeld: elementen a, b, c ; groepen van 2 elementen Combinaties ab, bc, ac

Vmn m!

Algemeen: C   Pn n !(m  n )! n m

Voorbeeld 1: hoeveel producten van 5 verschillende factoren kan men vormen met de cijfers van 1 tot 9?

C95  126

1.1.2.6 Herhalingscombinaties Definitie: herhalingscombinaties van m elementen zijn de groepen van n elementen die men kan vormen met de m elementen, en waarin elk element tot n maal toe mag voorkomen, en de groepen verschillen enkel door de samenstelling.

Voorbeeld:

elementen a, b, c; groepen van 2 elementen herhalingscombinaties: ab, bc, ac, aa, bb, cc

Algemeen: Cmn  Cmn n 1 

m(m  1)(m  2)...(m  n  1) n!

Voorbeeld: hoeveel producten van 3 factoren kan men vormen met de cijfers 1 tot 9?

C93 

9 *10 *11  165 2.3

1.1.3 Relatieve frequentie

1.1.3.1 Toevallige veranderlijke De meeste verschijnselen zijn beïnvloed door zo talrijke factoren, dat het niet mogelijk is deze factoren volledig in aanmerking te nemen ten einde het verloop van de verschijnselen precies te voorspellen. Een welbepaalde waarneming is daardoor niet exact reproduceerbaar, maar herhaling ervan leidt tot een ietwat verschillende uitkomst.

De waarnemingen vertonen z.g. “toevallige” variaties. Iedereen waarnemingsgrootheid waarvan de waarde op een dergelijke wijze varieert noemt men een toevallige veranderlijke.

Voorbeeld: een hoekmeting hangt af van de opstelling, belstand, richtnauwkeurigheid, afleesnauwkeurigheid,…

Ingenieur Reinout Janssens

9/123

meetmethodes 02

1.1.3.2 absolute en relatieve frequentie Nemen we een reeks van n waarnemingen. We kunnen dan nagaan hoeveel waarnemingen uit de reeks een zekere eigenschap A hebben, nl. n A. Dan is n A de absolute frequentie van A, terwijl f(A)= n A/n de relatieve frequentie is van A in die reeks van n waarnemingen.

Bij iedere reeks van n waarnemingen die men beschouwt zal men een verschillende waarde krijgen voor de absolute frequentie alsook voor de relatieve frequentie. De beide grootheden n A en f(A) zijn voorbeelden van toevallige veranderlijken.

Verschillende reeksen van telkens n waarnemingen leveren waarden op voor de relatieve frequentie f (A) die we voorstellen door f 1, f2,….

Deze waarden van de relatieve frequentie zullen weinig van elkaar verschillen als n voldoende groot is. Als we ze uitzetten op een as, dan zijn deze waarden gegroepeerd rond een ‘ophopingspunt’. De spreiding rond deze waarde zal kleiner zijn voor grotere n waarden.

Niettegenstaande het feit dat de enkelvoudige waarneming van een grootheid n iet reproduceerbaar is, tonen dergelijke proeven dat een voldoend grote reeks waarnemingen een kenmerkende eigenschap vertoont die wel reproduceerbaar is, die m.a.w. constant blijft. Deze constante, waarvoor de relatieve frequenties als experimentele waarden te beschouwen zijn, is de waarschijnlijkheid of probabiliteit van het verschijnsel A, symbool P(A).

Voorbeeld: een klassiek voorbeeld betreft het aantal afgekeurde voorwerpen bij een industriële productie.

De tabel geeft het aantal verworpen producten bij 10 reeksen van 25, 10 reeksen van 250 en 10 reeksen van 2500 voorwerpen, alsook de corresponderende percentages of relatieve frequenties van afkeuring. Men ziet duidelijk het effect van het vermeerderen van het aantal waarnemingen, nl. de grotere stabiliteit van de relatieve frequentie.

n=25 1 4 0 0 1 1 2 0 1 1

4% 16 0 0 4 4 8 0 4 4

Ingenieur Reinout Janssens

n=250 12 7,80% 14 5,6 17 6,6 11 4,4 22 8,8 9 3,6 15 6 14 5,6 21 8,4 8 3,2

n=2500 157 6,28% 152 6,08 157 6,28 136 5,44 152 6,08 135 5,4 143 5,72 160 6,4 149 5,96 153 6,12

10/123

meetmethodes 02

1.2 De foutenkromme 1.2.1 Waarnemingsfouten A. Een meetbare grootheid kunnen we trachten te bepalen door een schatting te maken; dit houdt natuurlijk onnauwkeurigheid in. Willen we een betere waardebepaling bekomen, dan moeten we een meting doen, met gebruik van meetinstrumenten. Doch zelfs de meest geperfectioneerde instrumenten laten slechts toe een benaderende waarde van die grootheid te bepalen.

Voor elk instrument bestaat er een onderste grens, een drempelwaarde, benede n dewelke zijn meetvermogen ophoudt te bestaan. Bijvoorbeeld, een theodoliet laat toe hoeken te meten bijvoorbeeld tot op 1 gon, een thermometer laat toe temperaturen te meten tot op 0,5°C. Wanneer men met eenzelfde meetinstrument meerdere metingen verricht van eenzelfde grootheid, zullen de meetuitslagen onderling verschillen. Men kent dus de ware of werkelijke waarde van die grootheid niet. Aan de hand van de meetuitslagen en van waarschijnlijkheidsoverwegingen zal men een aangenomen waarde bepalen die d e ware waarde zo dicht mogelijk benadert. De aangenomen waarde, en ook de meetuitslagen, zullen afwijken van de ware waarde. Deze afwijkingen noemt men waarnemingsfouten.

B. Oorzaken en aard van de waarnemingsfouten Fouten worden in de meetuitslagen gebracht door: - de onvolmaaktheid van de meetinstrumenten. Dit kunnen zijn, gebreken in de constructie, de regeling en de opstelling. Dit zijn instrumentele fouten.

- de tekortkomingen van de waarnemer; zoals gebrek aan concentratie, beperktheid van de zintuigen,…

-uitwendige omstandigheden tijdens de meting: temperatuur, belichting, luchttrillingen,…

Naar hun aard kunnen de fouten ingedeeld worden in: -grove fouten: deze zijn te wijten aan vergissingen van de waarnemer, zoals bijvoorbeeld het verkeerd aflezen, de lengte van een meetband te veel of te weinig rekenen bij afstandsmeting, plus en min verwarren,…

-systematische fouten: dit zijn fouten die altijd hetzelfde teken bewaren in een reeks metingen. Ze kunnen voortkomen van :  de meetinstrumenten, zoals, een meetband die te kort of te lang is.  de waarnemer, zoals het steeds te groot of te klein schatten van een aflezing. Dit zijn persoonlijke fouten.  de omstandigheden; bij het richten op een ver afgelegen toren zal onbewust gemikt worden op de scheiding zon- schaduw in plaats van op de as van de toren.

-toevallige fouten: deze fouten verschillen van de ene meting tot de andere in grootte en teken. Ze zijn het resultaat van een onbepaald groot aantal onbekende oorzaken en voldoen aan de volgende wetmatigheden:

Ingenieur Reinout Janssens

11/123

meetmethodes 02   

de toevallige fout kan een bepaalde, redelijk kleine grenswaarde niet overschrijden. de kans voor het optreden van een kleinere fout is groter dan de kans voor het optreden van een grotere fout. de kans voor het optreden van een fout met een bepaalde grootte en positief teken is gelijk aan de kans voor het optreden van een fout van gelijke grootte met negatief teken.

In de volgende hoofdstukken van de foutenleer worden enkel meetuitslagen behandeld die vrij zijn van systematische fouten en grove fouten, en die enkel nog toevallige fouten bevatten. Systematische fouten zullen geweerd worden door de nodige correctie te berekenen, of zullen geëlimineerd worden door meerdere metingen.

1.2.2 Frequentiekromme Stel dat men een afstand van 100m uitzet volgens een richting AB met een meetband van 30m. Als men deze meting een aantal keren uitvoert zullen de eindpunten niet samenvallen, maar verspreid liggen over een lengte van een aantal cm. Berekent men vervolgens het gemiddeld punt van al de eindpunten en de afstanden van elk eindpunt tot dit gemiddeld punt.

Deze afwijkingen x kan men indelen in groepen, bijvoorbeeld

0  x  1cm, 1cm  x<2cm, ...

-1cm  x<0cm, -2cm  x<-1cm,...

Stellen we dit voor in een diagram waarbij we als abscis de x- waarden uitzetten en in ordinaat het aantal afwijkingen dat elk groepje telt. Zo bekomen we het verdelingsdiagram of frequentiediagram (figuur 1)

fig. 1 Indien men een tweede reeks van metingen zou uitvoeren, een derde reeks, enz. dan zal men bemerken dat al de frequentiediagrammen onderling verschillen, maar ze zullen alleen een maximum geen rond d y- as en kleinere y –waarden naarmate x groter is.

Men zou dan ook het gemiddeld frequentiediagram kunnen opstellen van de eerste en tweede reeks waarnemingen, dan van de eerste drie, de eerste vier, … Men zal dan bemerken dat het gemiddeld frequentiediagram regelmatiger van vorm wordt, met een Ingenieur Reinout Janssens

12/123

meetmethodes 02

maximum bij abscis nul, en symmetrisch t.o.v. de y- as. Men kan ook de intervallen op de x- as kleiner maken zodanig dat het frequentiediagram een groter aantal zijden k rijgt.

Uiteindelijk zal de veelhoek overgaan in een vloeiende kromme: de verdelingskromme of frequentiekromme (fig. 2).

fig. 2 Opmerkingen: 1. De ordinaat Y x van de frequentiekromme geeft voor de abscis x het aantal afwijkingen n x van de waarde x.

Y x .dx geeft het aantal afwijkingen waarvan de waarde begrepen ligt tussen x en b

x  dx  y x dx geeft dan het aantal afwijkingen waarvan de waarde ligt tussen a en b. a







y x dx geeft dus het totaal aantal waarnemingen N.

Deze uitdrukkingen worden grafisch voorgesteld door de oppervlakten tussen de kromme en de x- as.

2. Bij de grote N en n x zal de weergave van de kromme moeilijkheden opleveren omdat de ordinaten te groot worden. Voor elk getal N zal een aparte frequentiekr omme getekend moeten worden. Men zal daarom niet de absolute frequenties n x voorstellen maar wel de percentages

100nx n , ofwel de relatieve frequenties x .

N N

3. Bij weergave van de relatieve frequenties noemt men de verdelingskromme de foutenkromme van Gauss, of waarschijnlijkheidskromme, omdat bij zeer grote N de relatieve frequentie van x gelijk te stellen is met de kans voor het voorkomen van x bij één enkele waarneming.

De oppervlakte tussen de foutenkromme en de x- as wordt = 1.

1.2.3 Centrummaten = een getal waar rond de waarnemingen zich situeren

Ingenieur Reinout Janssens

13/123

meetmethodes 02

2,6 4,8 5,9 6,4 7,5 9,6

2,8 5 6,2 6,6 8,1 9,7

3,3 5,3 6,2 6,6 8,4 10,3

3,6 5,4 6,3 6,8 8,6 10,4

3,8 5,6 6,3 6,8 8,7 10,8

3,9 5,7 6,3 6,9 8,8 10,9

4,1 5,9 6,3 7,1 9,2 11,4

4,4 5,9 6,4 7,3 9,4 11,8

Centrummaten / spreidingsmaten modus: mediaan: eerste kwartiel: derde kartiel: 

Modus getal met grootste absolute frequentie In dit voorbeeld ………………………………………………



mediaan waarneming sorteren van klein naargroot en de middelste nemen Opgepast met een even aantal waarnemingen!!!

In dit voorbeeld ………………………………………………



Eerste kwartiel mediaan van getallen ≤ de mediaan 25% van de waarnemingen<eerst kwartiel In dit voorbeeld ………………………………………………



Derde kwartiel mediaan van getallen ≥ de mediaan 25% van de waarnemingen >derde kwartiel



Gemiddelde gemiddelde van de populatie μ = gemiddelde van alle metingen????

Gemiddelde van de steekproef x

BOXPLOT

Ingenieur Reinout Janssens

14/123

meetmethodes 02

Opgepast met outliers.

Outliers zijn waarden die mogelijk zijn maar zijn wel abnormaal en worden niet in een boxplot opgenomen. Bv. De grootte van volwassen mannen  2.45m is mogelijk maar wel abnormaal, we spreken dan van een outlier.

Ingenieur Reinout Janssens

15/123

meetmethodes 02

1.2.4 Spreidingsmaten =liggen de waarnemingen dicht bij elkaar of net ver van elkaar 

Spreidingsbreedte = grootste – kleinste In dit voorbeeld ………………………………………………



Kwartielafstand = Q3-Q1 In dit voorbeeld ………………………………………………



Variantie = gemiddelde kwadratische afwijking



1 n  ( xi  x ) ² n  1 i 1

n-1 = het aantal vrijheidgraden van de variantie Waarom delen door n-1 en niet door n?

Bv 6 getallen waarvan het gemiddelde gelijk is aan 8. Je kent 5 van de 6 get allen: 2, 5, 6, 8 en 15.



Standaardafwijking = standaarddeviatie = vierkantswortel uit de variatie Hoe groter de standaardafwijking hoe groter de afwijking tot het gemiddelde Standaardafwijking populatie σ Standaardafwijking steekproef s

Ingenieur Reinout Janssens

16/123

meetmethodes 02

1.2.5 Normale verdeling Een bioloog heeft zorgvuldig de lengte van 200 snoeken gemeten. De resultaten vind je in onderstaande tabel.

Absolute frequentie

Ingenieur Reinout Janssens

relatieve frequentie

17/123

meetmethodes 02

HISTOGRAM

dichtheidskromme = waarschijnlijkheidskromme = verdelingskromme

Een dichtheidskromme heeft als eigenschap:  alles boven de x-as  opp tussen kromme en x-as = 1 Het functievoorschrift van deze dichtheidskromme is van de vorm:

f ( x) 

1

 2

e

1 x  ( )² 2 

=normaalverdeling

Het getal of de wiskundige constante e het is gedefinieerd als e  lim(1  n 

1n ) n

Het wordt ook de constante van Neper genoemd, naar de uitvinder van de logaritme, de Schotse wiskundige John Napier. Het getal e werd door de Zwitserse wiskundige Leonhard Euler het exponentiële getal genoemd, vandaar vermoedelijk de naam. Een benadering is: e is bij benadering gelijk aan 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174 Uiteraard is hier in deze opgave σ = s en μ = x Normale verdelingen zijn zeer vaak voorkomend. Bijvoorbeeld:  lengte van mensen  gewicht van mensen  IQ  MEETFOUTEN …..

Is bv geen normaalverdeling: inkomen

Ingenieur Reinout Janssens

18/123

meetmethodes 02

1.2.5.1 De 68/95/99,7 regel bij normaalverdeling

Uiteraard is meestal σ = s en μ = x

1.2.5.2 Interpretatie

1

2

3

Normaal verdeling 1, 2 en 3 hebben het zelfde gemiddelde (=0). Maar s1<s2<s3 dus 1 is nauwkeuriger dan 2 en 2 is nauwkeuriger dan 3.

Ingenieur Reinout Janssens

19/123

meetmethodes 02

1.3 Standaardafwijking: praktische voorbeelden en berekeningen 2

Basisformule:

sF 2=

2

 F  F   F    s1 ²    s 2 ²  ...    x1   x2   xn

2

  s n ² 

Resultaat: som of verschil van 2 meetresultaten Een hoek AOB werd een aantal maal gemeten met eenzelfde nauwkeurigheid. De standaardafwijking op puntering naar een punt bedraagt 6’’. Wat is de standaardafwijking op de aangenomen waarde van de hoek

Ingenieur Reinout Janssens

20/123

meetmethodes 02

Van een vierkant perceel werd elke zijde gemeten met dezelfde nauwkeurigheid. De standaardafwijking op de aangenomen lengte z=20.25 m van de zijden is +/ - 4 cm. Wat is de standaardafwijking op de aangenomen oppervlakte.

Ingenieur Reinout Janssens

21/123

meetmethodes 02

Van een driehoek werden een basis en de hoogte een aantal maal gemeten. De resultaten van deze van deze meting gaven: B=52,44 m +/- 3,0 cm H=28,78 m+/-2,5 cm Wat is de oppervlakte van de driehoek en de standaardafwijking op het oppervlak?

Ingenieur Reinout Janssens

22/123

meetmethodes 02

1.4 Het rekenkundig gemiddelde x : praktische voorbeelden en berekeningen Wanneer een meting in dezelfde omstandigheden en met dezelfde nauwkeurig heid herhaald wordt dan ziet men in dat het meest waarschijnlijke waarde van de gemeten grootheid het rekenkundig gemiddelde is van de waarnemingen x1, x2, …, xn.

x

x1  x2  ...  xn n

x is een functie van n waarnemingen met dezelfde standaardafwijking. Volgens de formule van de voortplanting van de standaardafwijking:

s =

s

s : standaardafwijking van het rekenkundig gemiddelde

n Bewijs:

Ingenieur Reinout Janssens

23/123

meetmethodes 02

Oefening: Bij de meting van een hoek bedraagt de standaardafwijking bij een enkele meting 20’’.

Men wenst echter de hoek met een nauwkeurigheid van 5’’ te bepalen. Hoe dikwijls moet die hoek gemeten worden?

1.5 Invloed van de grootte van n op de nauwkeurigheid s

n

1

2

3

4

5

6

8

10

20

50

100

1

0,71

0,58

0,5

0,45

0,41

0,35

0,32

0,22

0,14

0,1

De eerste 5 a 10 herhalingen van een meting leiden tot een snelle afname van s , dus tot een hogere nauwkeurigheid.

Daarna heeft de verdere herhaling slechts geringe invloed en wordt het bov endien oneconomisch.

Praktisch zal men een meting maximaal 5 maal, uitzonderlijk 10 maal herhalen.

Ingenieur Reinout Janssens

24/123

meetmethodes 02

1.6 Oefeningen Een horizontale hoekmeting gaf volgende resultaten.

25°14’14’’ 25°14’16’’ 25°14’17’’ 25°14’13’’ 25°14’12’’ 25°14’18’’ Bepaal x , s, s

Ingenieur Reinout Janssens

25/123

meetmethodes 02

1.7 Samengestelde werking van systematische en toevallige fouten Zij

A de systematische fout B de toevallige fout n het aantal metingen

De totale systematische fout bedraagt A.n De totale toevallig fout bedraagt B. n De standaardafwijking die volgt uit het samengaan van de systematische en toevallige fouten bedraagt s= A².n²  B².n Oefening: Een afstand wordt gemeten met een meetband van 50 m en men meet als afstand 456,65 m.

Door ijking werd een lengte van de meetband gevonden van 50,02 m met een standaard ijkafwijking van +/- 1,0 mm.

De standaardafwijking van de meetband bedraagt +/- 2,5 cm per 50 m.

Deze laatste afwijking volgt uit het opeenvolgend aanleggen van de meetband.

Hoeveel bedraagt de standaardafwijking op de meetuitslag?

Ingenieur Reinout Janssens

26/123

meetmethodes 02

1.8 Systematische fout bij oppervlakte bepaling De oppervlakte van meetkundige figuren zoals rechthoeken, driehoeken, ruiten,…kan algemeen geschreven worden als 0=k.a.b waarin a en b afmetingen van de figuur zijn, en k een vermenigvuldigingsconstante.

De afstanden a en b worden gemeten met een meetinstrument welke een systematische fout eo per lengte- eenheid heeft. De eenheden van e o zijn bijvoorbeeld cm/hm.

De daaruit voortvloeiende systematische fout op de afstand a bedraagt e a = eo.a, en deze afstand b bedraagt eb = eo.b De systematische fout op de oppervlakte 0 wordt berekend uit:

e0 =k(a  ea )(b  eb )  kab  k( a.eb  b.ea  ea .eb ) Het product e a . e b kan verwaarloosd worden ten opzichte van de twee andere termen.

Met ea  e0 .a en eb  e0 .b wordt e0

e0  k.e0 (a.b  a.b) In de meeste gevallen worden de afstanden a en b met hetzelfde instrument gemeten, zodat de twee termen tussen haakjes in vorige uitdrukkingen beide n ofwel een positief teken ofwel beiden een negatief teken hebben.

De systematische fout op de oppervlakte bedraagt dan

e0  2.k.e0 .a.b

Ingenieur Reinout Janssens

27/123

meetmethodes 02

Oefening: Een rechthoek van 630 m bij 270 m wordt gemeten met een meetband van 30 m die 4 mm te kort is.

1. De systematische fouten op de twee afmetingen 2. De systematische fout op de oppervlakte 3. De juiste oppervlakte van de rechthoek 4. De foutief gemeten oppervlakte 5. Vul aan: Met een meetband die te kort is, worden afstanden gemeten die …………..…..zijn.

Met een te korte meetband worden afstanden uitgezet die ……………..……….zijn.

Ingenieur Reinout Janssens

28/123

meetmethodes 02

2 De opmeting 2.1 Begrippen De opmeting bestaat steeds uit twee fasen: de meetkundige grondslag en detailmeting.

2.1.1 Grondslag

2.1.1.1 Definitie Stelsel van vaste punten in het terrein waarvan de ligging nauwkeurig in coördinaten is bepaald. Dit gebeurt d.m.v. puntsbepaling (zie later). Een dergelijk systeem vormt de basis voor topografische karteringen.

Dit kan zowel lokaal als niet lokaal worden uitgevoerd. Er is een steeds toenemende tendens om de voorkeur te bieden aan niet-lokaal.

Engels: geodetic control network Frans: canevas geodésique Duits: geodätische Grundlage (www.encyclo.nl/lokaal/10770)

2.1.1.2 Hoe maken (methodes van puntsbepaling)?  Driehoeksmeting of triangulatie  Voorwaartse insnijding  Achterwaartse insnijding  Gemengde insnijdingen  Veelhoeksmeting of polygonatie  GNSS Vanaf terrein groter dan 50km*50km zal men de effecten van de bolvorm van de aarde niet meer kunnen verwaarlozen.

2.1.2 Detailmeting: Opmeting van huizen, wegen, rivieren, grenzen, enz., die nodig is om een kaart van een gebied te maken. Puntsbepaling gaat hier aan vooraf. De puntsbepaling verschaft als het ware. een raamwerk waaraan de details ‘opgehangen’ worden, een zogenaamde “meetkundige grondslag”. Methoden van detailmeting zijn de dag van vandaag bijna oneindig: poolcoördinatenmethode, 3D laserscanning, loodlijnen of orthogonale methode, fotogrammetrie, detailmeting met totaalstation,… (www.infrawiki.nl)

Ingenieur Reinout Janssens

29/123

meetmethodes 02

2.1.3 Kaartnoorden versus geografisch noorden versus magnetische noorden

2.1.4 Convergentie der meridianen Cdm = kaartnoorden – geografische noorden

2.1.5 Kaarthoek De hoek tussen het kaartnoorden en de rechte AB en dit gemeten in wijzerzin.

Dit wordt gesymboliseerd door gAB of gBA . gAB : de kaarthoek in A gemeten naar B gBA : de kaarthoek in B gemeten naar A Y

B gAB

gBA

A

X

Uit bovenstaande volgt:

gAB  .....  gBA

Ingenieur Reinout Janssens

30/123

meetmethodes 02

2.2 Algemene berekeningen 2.2.1 Bepalen van kaarthoek en afstand Y

B gAB

gBA lAB

A

X

Gegeven:

2 punten: A (x A ,y A ) B (xB ,yB )

Gevraagd: Kaarthoek verbindingslijn Afstand AB

Oplossing:

Ingenieur Reinout Janssens

31/123

meetmethodes 02

2.2.2 Bepalen van tweede stel coördinaten Gegeven: 1 punt: A (x A ,y A ) Kaarthoek verbindingslijn Afstand AB Gevraagd: Coördinaten van B (xB ,yB ) Oplossing:

Ingenieur Reinout Janssens

32/123

meetmethodes 02

2.3 Methoden van puntsbepaling 2.3.1 Driehoeksmeting of triangulatie “Topografie van de groote opmetingen en algemeene plans” – E. Daubresse

2.3.1.1 Methode Triangulatie is de opmeting van een terrein door aaneenschakeling van driehoeken.

Onder de op te meten punten kiest men er een aantal als hoekpunten van driehoeken uit en men bepaalt hun ligging bij middel van een reeks opmetingen. Deze verrichtingen noemt mende triangulatie.

Stap 1: Verkenning De punten worden gekozen op het terrein gedurende de verkenning en moeten aan volgende eisen voldoen: 1. De op te meten punten moeten de hoekpunten zijn van een reeks driehoeken die zoveel mogelijk gelijkzijdig moeten zijn.

2. Eén van de zijden moeten in gunstig terrein gelegen zijn om de lengte er van nauwkeurig te kunnen meten.

3. Onderlinge zichtbaarheid is vereist.

Stap 2:hoekpunten In de hoekpunten van de driehoeken worden de signalen geplaatst die gekozen worden op basis van de aard van het terrein. Men zal palen in hout of metselwerk, bakens bliksemafleiders, kertorens, enz., gebruiken.

Afhankelijk van de grootte van de triangulatie kan een dergelijke materialisering soms spectaculair genoemd te worden. Zo zie je op onderstaande figuren een aantal materialiseringen voor de driehoeksmeting van de eerste en tweede orde in België. De hiervoor ontworpen torens bereikten soms ons hoogte van 35 m.

Ingenieur Reinout Janssens

33/123

meetmethodes 02

lengte van de zijden De lengte van de zijden hangt af van de uitgestrektheid van het te meten terrein. Voor de triangulatie van een land gebruikt men driehoeken waarvan de zijden 30 tot 40km lengte hebben. Dit bepaalt de ligging van de eerste punten, en krijgen de benaming punten van de eerste orde. In dit net wordt een tweede triangulatie met zijden van 10 tot 20 km bijgewerkt en men bekomt punten van de tweede orde, enz. De opmeting van een stad wordt gedaan met zijden van 4 tot 6 km en de meeste kadastrale oogmetingen met zijden van ongeveer 1km.

Stap 3: verrichtingen Is de verkenning gedaan dan verzekert men zich in ieder punt van de wederzijdse zichtbaarheid van de andere omliggende hoekpunten en gaat men v ervolgens tot de eigenlijk opmeting over.

De punten A, B, C, …,H zijn op te meten. De rechten die twee hoekpunten verbinden duiden de viseringen aan. Veronderstellen wij dat tussen A en B het terrein gunstig is om de horizontale afstand tussen de twee punten te meten. Deze twee punten, A en B, vormen de triangulatiebasis.

Stel dat we nu punt C wensen te meten. Men stelt dan de theodoliet of goniometer in elk hoekpunt van de driehoek op en men meet de horizontale hoeken 1, 2, 3 g evormd door de aanliggende zijden. Driehoek ABC is bepaald en punt C mag beschouwd worden als opgemeten.

Wil men deze situatie uittekenen dan tekent men de rechte AB (bv in AutoCad). Met de gemeten hoeken 1 en 2 tekent men de twee andere rechten waarvan he t snijpunt punt C bepaalt.

Hieruit blijkt dat het niet nodig is all drie de hoeken van een driehoek te kennen. Bij kennis van twee van de drie hoeken is de derde bepaalt als supplement van de som van de andere twee. In werkelijkheid worden toch alle hoeken opgemeten.

Als punt C bepaalt is, bepaal je de ligging van punt D door het meten van hoeken. De lengte van de zijde BC is gekend door voorgaande verrichtingen. Je stelt de theodoliet op

Ingenieur Reinout Janssens

34/123

meetmethodes 02 in de drie hoekpunten van de “nieuwe” driehoek om de drie hoeken 4, 5 en 6 te meten. Zo kan je punt D ook uittekenen.

Dit gaat zo verder tot de gehele triangulatie ten einde is.

2.3.1.2 Varia Het voordeel van een triangulatiewerk bestaat in het feit dat men slechts één enkele zijde meet (dit is vooral van belang in tijden dat afstandsmeting zeer tijdsrovend en minder nauwkeurig was). Hieruit volgt dat men de vrije keuze heeft over deze zijde, en men die dus bij voorkeur in gunstig terrein kan kiezen. Dit komt de nauwkeurigheid van het werk alleen maar ten goede. Deze gekozen zijde noemt men de triangulatiebasis.

Liggen de driehoeken zoals in bovenstaande figuur dan spreekt men van een triangulatienet.

Liggen de driehoeken zoals in onderstaande figuur dan spreekt men van een triangulatieketen.

Trilateratie: enkel meten van afstanden

2.3.1.3 Vereffening triangulatienet van de eerste orde van België (info afkomstig van NGI) In 1950 werd een eerste vereffening (in blokken) van het triangulatienet uitgevoerd. De oriëntatie en lokalisatie van het net werd verzekerd door astronomische waarnemingen, voor de schaalbepaling werd gebruik gemaakt van "invarbasisontwikkelingen". Vrij snel bleek dat het net, hoewel voldoende nauwkeurig voor een middenschalige (1:25000; 1:50000) kaartproductie, onvoldoende nauwkeurig was voor andere toepassingen Tussen 1955 en 1969 werden supplementaire waarnemingen (supplementaire astronomische punten, afstandsmetingen) uitgevoerd. Voor de schaalbepaling van het net werd gebruik gemaakt van het Belgisch gedeelte (Kemmelberg - Baraque Michel) van de nauwkeurigheidsveelhoek MALVERN - GRASS. De globale vereffening volgens de methode van de "kleinste kwadraten" werd in 1972 uitgevoerd (Belgian Datum 1972).

Voor alle praktische toepassingen is en blijft tot nu toe de "Belgian Datum 1972" zowel op nationaal als op internationaal vlak het enige officiële referentiesysteem. Het bestaat uit ongeveer 12.000 gematerialiseerde punten (palen en verheven punten) bepaald door

Ingenieur Reinout Janssens

35/123

meetmethodes 02

tienduizenden waarnemingen. Dat er, ondanks alle voorzorgsmaatregelen, fouten begaan zijn hoeft geen betoog. Dit referentiesysteem heeft echter de laatste 30 jaar zijn deugdelijkheid bewezen. Dat het, dankzij de moderne GPS-technieken, vatbaar is voor verbeteringen is evident.

De toekomst ligt ongetwijfeld in een netwerk van permanente GPS-stations waarvan de coördinaten bepaald zijn in het officiële referentiesysteem (nationaal of Europees?).

Figuur: Triangulatie van de eerste orde

Ingenieur Reinout Janssens

36/123

meetmethodes 02

2.3.1.4 Berekeningen Theorie Onderstaande berekeningen houden geen rekening met de bolvorm van de aarde en zijn dus onvolledig te noemen voor oppervlaktes groter dan 50km*50km.

Gemeten per driehoek: minimaal 2 hoeken en minimaal 1 zijde C gamma b

A

alfa

a

beta

B

c

omschreven cirkel

Sinusregel:

a b c    2R sin  sin  sin  R = straal van de omschreven cirkel Bereken de coördinaten van C als je weet dat op onderstaande figuur de lengte van AC gekend is, de hoek alfa en A valt samen met de oorsprong van het assenstelsel.

Y

C(x,y) gamma b

A (0,0)

alfa

a

beta c

Ingenieur Reinout Janssens

B

X

37/123

meetmethodes 02

Bereken de coördinaten van C als je weet dat op onderstaande figuur de lengte van AC gekend is, de hoek alfa en de coördinaten van A (y1 = y2).

Y C(x,y) gamma b

A (x1,y2)

alfa

a

beta c

B (x2,y2)

X

Ingenieur Reinout Janssens

38/123

meetmethodes 02

Toepassing: Gegeven:

C(x,y) gamma b

A (0,0)

60°

a

55° c

B (20,0)

Gevraagd: Bepaal de coördinaten van C Controleer de uitkomst door de lengte van AC te bepalen door gebruik te maken van de coördinaten van A en C

Ingenieur Reinout Janssens

39/123

meetmethodes 02

2.3.2 Voerstraalmethode of poolcoördinaten “Topografie van de groote opmetingen en algemeene plans” – E. Daubresse

2.3.2.1 Definitie 2.3.2.2 Methode Om de punten ABCD… met voerstraalmethode op te nemen, stelt men de theodoliet op in om het even welk punt P, van waaruit men de andere terreinpunten kan waarnemen. Het zal hier dan ook vaak gaan over open terrein, bv het opmeten van kruispunten.

Men meet de hoeken 1, 2, 3, enz., en de horizontale afstanden PA, PB, enz.

O C

B

2 3

1 P A

D

Voor de kartering tekent men rechten van uit eenzelfde punt P die tussen elkaar hoeken vormen gelijk aan de op het terrein gemeten hoeken. Op deze rechten tekent men de gemeten afstanden.

Het kan gebeuren dat met een bepaalde oriëntatie eist, dan zal men de hoeken moeten meten vanaf de gewenste oriëntatie. In dat geval zal men dus de hoeken OPC, OPD,enz. meten.

Punt P: pool van het systeem De rechten PA, PB, … zijn de voerstralen van de punten A,B,…

Controle De controle van de hoeken en de afstanden is gemakkelijk maar langdradig. Men meet de afstanden AB, BC, enz. van de opgenomen punten twee aan twee. Alle driehoeken APB, BPC,… kunnen berekend worden (drie zijden en een hoek zijn gekend).

Dus op basis van 3 gemeten waarden berekent men een vierde waarde die op zijn beurt vergeleken wordt met de op het terrein gemeten waarde.

Ingenieur Reinout Janssens

40/123

meetmethodes 02

2.3.2.3 Nauwkeurigheid Fout in puntsbepaling De fout in de ligging van een punt bepaald door de voerstraalmethode is functie van de fout in de lengte van de voerstraal en de hoekfout in de oriënteringshoek. Een fout + -eA op de lengte PA=L verschuift het punt in de richting van de straal tussen A’’ en A’.

C

O A1 B

z

A'

A

A"

D E

A2

P Een fout in de gemeten hoek z van +-ez verschuift het punt in de dwarse richting met een waarde tussen A1 en A2. Zolang de meetfouten de middelbare fouten (standaard afwijking) niet overtreffen mag men de vierhoek BCDE beschouwen als de meetkundige plaats van de mogelijke ligging van A. Gelet op de verwijdering van de pool P tov A, mag men BCDE gelijk stellen met een rechthoek.

Zoals bij iedere opmetingsmethode is het uiteraard de bedoeling dat elk onderdeel van de meting met een zelfde nauwkeurigheid geschied. De invloed van de lengtefout op de ligging van punt A dient ongeveer dezelfde te zijn als de invloed ten gevolge van de hoekfout. Dit kan men vertalen als: eA  ezL , hierdoor wordt BCDE een vierkant.

Intermezzo: eA=e0. L met e0 = de totale middelbare fout per lengte-eenheid De kans dat de afwijking op de hoekmeting maximaal is en te gelijkertijd de fout op de afstand ook maximaal is, is heel erg klein. Men kan dan ook bewijzen dat de omtrek BCDE niet meer de meetkundige plaats is van de punten van gelijke waarschijnlijkheid, maar dat de ingeschreven kromme wel aan deze voorwaarde voldoet. Met andere woorden kan men aantonen dat, ten gevolge van de hoek- en afstandsfouten gemaakt tijdens het meten , de meetkundige plaats van de posities van het opgemeten punt beperkt is tot een kromme welke men omheen dit punt kan tekenen. Het gaat hem hier meestal over een ellips, de foutenellips genoemd. Is echter aan de voorwaarde eA  ezL voldaan dan herleidt deze ellips zich tot een cirkel met straal e A. Men zegt dat ea de fout in de puntsbepaling is.

Ingenieur Reinout Janssens

41/123

meetmethodes 02

Uit eA=e0. L volgt dat de fout in de ligging van een punt dicht bij de pool P, kleiner is dan de fout van een meer verwijderd punt en dat op gelijke afstanden van de pool de fouten in de ligging ongeveer gelijk zijn.

Totale fout in een afgeleide afstand Stel: Twee punten A en B door de voerstraalmethode van uit het punt P gemeten.

LA= lengte van PA LB= lengte van PB L1= lengte van AB eA= fout in de ligging van A eB= fout in de ligging van B

A LA L1 P LB

B

Uit voorgaande paragrafen weet men dat: eA=e0. L A en eB=eb. L B = e0. L B eb=e0 als men aanneemt dat de totale middelbare fout van de lengteëenheid dezelfde is voor zowel de afstand PA als PB. De mogelijke fout op de afstand AB is gelijk aan:

E  eA ²  eB ²  e0 L A  LB (1) Deze fout dient kleiner te zijn dan de foutenlimiet voor de lengte AB. Is e de totale middelbare fout (=standaard afwijking) van de lengteeenheid die overeenstemt met wat vereist is voor de opmeting, dan heeft men als foutenlimiet voor lengte AB:

T  2,5e L1 (2) Uit (1) en (2) volgt:

e0 LA  LB  2,5e L1 Het is logisch dat men een werkmethode kiest zo dat de onvermijdbare middelbare fout e 0 ongeveer gelijk is aan de middelbare fout e vereist door de meting.

Ingenieur Reinout Janssens

42/123

meetmethodes 02

Om aan deze voorwaarde te voldoen, moet men er op letten door met de voerstraalmethode punten te meten die voldoen aan:

L A  LB  2,5 L1 Of benaderend:

L1 

L A  LB (3) 6

In woorden betekent dit dat de afstand tussen de punten minstens groter moet zijn dan het zesde van de som van de afstanden van elk punt tot de pool. Van als de pun ten A en B dichter bij gelegen zijn, kan de netrekkelijke invloed van de fout e a op de afgeleide afstand de foutenlimiet overschrijden en er zouden dus onaanvaardbare vervormingen in de opmeting ontstaan.

Opmerking betreffende de nabij gelegen punten Zijn de punten even ver verwijderd van de pool dan is L A=LB en wordt formule (3):

L1 

LA 3

Hieruit vloeit voort dat twee naburige punten niet door de voerstraalmethode mogen bepaald worden. Men beschouwt 2 punten als naburig als L1 

LA .

3

Deze redenering wordt duidelijker met een cijfervoorbeeld: Veronderstellen we PA=100m en AB=1m. In het eerste geval is de middelbare fout ongeveer 4 cm per 100m, de mogelijke fout op de afstand AB is 0,04 2 of ongeveer 6cm. We hebben hier dus te maken met een fout van 6cm op 1m. Zelfs zonder verdere berekeningen is het duidelijk dat 6cm fout op 1m onaanvaardbaar is.

In dit geval is het dus logischer, als de punten bereikbaar zijn, de ligging van A door de voerstraalmethode te bepalen van uit P en de ligging van B door bv projectie op de zijde PA.

Ingenieur Reinout Janssens

43/123

meetmethodes 02

2.3.3 Voorwaartse insnijding of dubbele poolcoördinaten

2.3.3.1 Definitie Voorwaartse (in)snijding is het door hoekmeting vanuit minstens twee in coördinaten bekende punten het berekenen van de coördinaten van een afgelegen punt, zonder in dat punt metingen te verrichten.

De naam is afkomstig van “voor het front”.

2.3.3.2 Meetmethode C

B

M

A

N

D

Beschouw een zeker aantal punten A, B, C en D op te meten door voorwaartse insnijdingen. Men kiest een basislijn of meetlijn MN op een relatief korte afstand van de te meten punten. MN wordt zo gekozen dat men voldoet aan volgende voorwaarden: 1. Uit elk eindpunt van de basis moet men op het zelfde moment al de andere punten kunnen zien 2. In de lijnrichting tussen de uiterste punten mag zich geen hindernis bevinden, deze lijnrichting dient voldoende vrij te zijn opdat de afstand tussen M en N te bepalen/meten valt.

Eens de basis is uitgezet, dan stationeert men met de theodoliet (ook gebruikt bij totaalstation zonder reflectorloze functie of wanneer om welke reden dan ook het reflectorloos meten niet werkt) in M en N en men meet de horizontale hoeken die met iedere lijnrichting overeenstemmen. Indien een hoge nauwkeurigheid gewenst is herhaalt men deze metingen 2 of 4 keer. In M meet men de serie A, B, C, N, D en in N zal men A, M, B, C, D waarnemen.

Is de afstand MN gemeten, dan is de ligging van ieder punt bepaald door een driehoek waarvan men twee hoeken en een zijde kent; punt A bv is bepaald in de driehoek AMN, waarvan men de hoeken NMA en MNA kent en de zijde MN. De punten M en N zijn de

Ingenieur Reinout Janssens

44/123

meetmethodes 02

polen van de opmeting; de hoeken en de afstand MN zijn de dubbele poolcoördinaten van de punten.

Grafisch Wenst men deze meting in kaart te brengen (dus niet noodzakelijk te berekenen zoal s in volgende paragrafen) dan tekent men een lijn MN, en men tekent vervolgens op deze basis de twee hoeken die met elk opgemeten punt overeenstemmen.

M

N

A n m

Voor punt A bv tekent men de hoeken NMA en MNA in respectievelijk M en N. Zo verkrijgt men de rechten m en n. Het snijpunt van deze rechten geeft de positie weer van A. Dit doet men dan ook voor de andere punten.

Ingenieur Reinout Janssens

45/123

meetmethodes 02

2.3.3.3 Controle 



Indien de afstand te bepalen valt tussen twee gemeten punten kan dit de basis zijn van een interne controle. Bv het meten op terrein van de afstand BC en deze vergelijken met de berekende of getekende afstand Men kan de meting ook verifiëren door een tweede basis bv NP te gebruiken en de zelfde punten in te meten.

In theorie zouden deze drie rechten in een zelfde punt dienen te snijden. Uiteraard zal dit in praktijk nooit voorvallen al is het maar omwille van de beperkingen van het toestel. Er ontstaat een (hopelijk) kleine driehoek die we de foutendriehoek noemt.

M

N

p

n

A m P

2.3.3.4 Nauwkeurigheid Fout in de ligging van het punt Redenering loopt parallel met deze van de voerstaalmethode De meetkundige plaats van de mogelijke liggingen van A is bij een eerste benadering de veelhoek BCDE (zie voerstraalmethode).Gelet op de afstand tussen de punten M en N verschilt deze figuur weinig van een parallellogram waarvan de lengte van deze zijden zijn:

CD  2e0 MA  2ez MA en BC  2e0 NA  2ez NA

Ingenieur Reinout Janssens

46/123

meetmethodes 02

n m

C

A

B

D E

M

N

Daar e0 en ez zeer klein zijn, zal deze parallellogram op werkelijke grootte kunnen construeren. Na punt A vanaf MN te hebben getekend, zoals steeds hoger werd gezegd, berekent men C n

m

A1 A3

B

A D

m'

n"

A4 A2

F m"

n'

CD  2e0 MA en BC  2e0 NA Men tekent op deze rechte n, aan beide zijden van A:

AA1  AA 2 

CD  e0 MA 2

En op m:

AA 3  AA 4 

BC  e0 NA 2

Men trekt vervolgens m’ en m” evenwijdig met m.

Vervolgens teken je n’ en n” evenwijdig met n.

De snijpunten van deze rechten zullen BCDF geven.

Ingenieur Reinout Janssens

47/123

meetmethodes 02

Zoals in de voerstraalmethode, kan men de parallellogram BCDF beschouwen als de meetkundige plaats van liggingen van A. Niet alle liggingen van A zijn even waarschijnlijk en men kan dan ook aantonen dat een, in de figuur BCDF ingeschreven, ellips beter aan vorige voorwaarde voldoet. Dit is de fouten ellips en zij stelt de middelbare fout van de liggingen van punt A voor.

Opmerkingen: 1. Voor iedere intersectie heeft men een eigen fouten ellips; beschikt men over een zeker aantal overtallige maten (zoals bijvoorbeeld stationspunt P), dan is er een mogelijkheid om telkens 1 of meer foutenellipsen te construeren.

2. Twee naburige punten mogen niet door de methode opgenomen worden (zie voerstraalmethode)

2.3.3.5 Theoretische berekening Y

delta y

delta x

A

gAB

P(xp,yp) gamma

gAP alfa beta B

ya

xa

X

 gekende punten  en  gemeten hoeken P onbekend punt Te bepalen: coördinaten van onbekende punt P

Oplossing:

Ingenieur Reinout Janssens

48/123

meetmethodes 02

 xp  x a  x   yp  y a  y

singAP 



y x en cosgAP  lAP lAP

 xp  xa  singAP .lAP   yp  ya  cosgAP .lAP

Nog niet gekend: gAP en lAP

gAP  gAB   en gAB  Bgtan

xb  x a yb  y a

In driehoek ABP sinusregel:

lAP l  AB sin  sin  

lAP 

lAB .sin  sin 



lAP 

lAB .sin  sin(200    )

Nog niet gekend: lAB

lAB  (xb  xa )²  (yb  ya )² Praktische formule Deze methode valt ook te schrijven in 1 formule. Dit maakt het bv makkelijk om op terrein met een ZRM de nodige berekeningen snel te maken.

𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 + (𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 ) 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 𝑦𝑏 − 𝑦𝑎 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼 − (𝑥𝑏 − 𝑥𝑎 ) 𝑦𝑝 = 𝑦𝑎 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛽 + 𝑐𝑜𝑡𝑔𝛼

𝑥𝑝 = 𝑥𝑎 +

Bewijs bovenstaande aan de hand van volgende tekening:

Ingenieur Reinout Janssens

49/123

meetmethodes 02

A

gAB alfa

gAP B beta

P(xp,yp)

Ingenieur Reinout Janssens

50/123

meetmethodes 02

Ingenieur Reinout Janssens

51/123

meetmethodes 02

2.3.4 Achterwaartse insnijding “Topografie van de groote opmetingen en algemeene plans” – E. Daubresse “Topografie” – G. Kips

2.3.4.1 Definitie Achterwaartse (in)snijding is het bepalen van de coördinaten van het punt van de waarneming, door enkel hoekmetingen te verrichten naar ten minste drie andere in coördinaten bekende punten.

De hoeken worden doorgaans gemeten met een theodoliet.

De 'achterwaartse snijding' is ook bekend als 'het probleem van Snellius', omdat Willebrord Snel (Snellius) hier als eerste een oplossing voor vond.(Landmet en en waterpassen, J.A. Muller & A. Scheffer, Stam, 4e druk juni 1966 )

Plaquette aan het huis van Snellius in Leiden

Ingenieur Reinout Janssens

52/123

meetmethodes 02

2.3.4.2 Meetmethode: Deze methode wordt meestal toegepast voor punten die zich op grote afstand van elkaar bevinden (van 1 tot 6 kilometer ongeveer).

Men gaat vanuit een punt A (=het ongekende punt) drie punten N,M en P viseren en men meet dmv een theodoliet de hoeken a en b. In deze methode is het van cruciaal belang dat de positie van punten N,M en P gekend is.

Alle mogelijke posities van A waarvoor geldt dat de hoek MAN = a liggen op een cirkel door A, M en N. Dit is met andere woorden de meetkundige plaats voor A met hoek a.

N

M

a

P

b

A onbekende punt

Alle mogelijke posities van A waarvoor geldt dat de hoek NAP = a liggen op een cirkel door N,A en P. Dit is met andere woorden de meetkundige plaats voor A met hoek b.

Deze twee cirkels hebben 2 snijpunten: één door N en 1 door A. Dit snijpunt is dus de gezochte positie van A. Praktisch Op basis van de praktische manier van opmeten zijn er 2 methodes te onderscheiden: 1. Alle hoeken worden afzonderlijk gemeten.(AF TE RADEN METHODE)

B

A

a4

a1 a3

a2

C

D     

Viseer A en zet rand op nul Viseer B en lees a 1 af Zet rand opnieuw op nul Viseer C en lees a 2 af …

Ingenieur Reinout Janssens

53/123

meetmethodes 02 in

In theorie geldt dan

a

i

 400gon (n=het aantal gemeten hoeken)

i 1

In praktijk geldt echter: i n

a i1

i

 400gon  f waarbij f de sluitfout is

Als we er van uit gaan dat alle hoeken met hetzelfde toestel werden gemeten, dan is ook rich (op 1 puntering) voor alle hoeken hetzelfde.

Dan volgt hieruit dat: f  n. 2.rich waarbij f 1/3 is van de aanvaardbare sluitfout.

M.a.w indien f< 3 n. 2.rich dan kan men overgaan tot vereffening.

2. Rondmeting(AAN TE RADEN METHODE)

A

a4 a3 a2 a1

C

D     

Viseer Viseer Viseer Viseer Viseer

B

A en zet rand op nul B en lees a1 af C en lees a 2 af D en lees a 3 af opnieuw A en lees a 4 af

In theorie zou wanneer je helemaal rond gemeten hebt de afgelezen waarde 400 gon of 0 gon moeten bedragen.

Als we er van uit gaan dat alle hoeken met hetzelfde toestel werden gemeten, dan is ook rich voor alle hoeken hetzelfde.

Ingenieur Reinout Janssens

54/123

meetmethodes 02

In praktijk geldt echter zitten we met een sluitfout f.

Nu geldt dat: f  2.rich Als f< 3f kan men overgaan tot vereffening.

2.3.4.3 Bepalen van de positie van het snelliuspunt A Er zijn vier methodes om op basis van de uitgevoerde metingen de positie van A te bepalen: 1 grafische (klassieke oplossing) en drie berekende oplossingen (methode van Collins, Methode van Cassini en Constructuie met trigometrische berekeneningen).

We behandelen enkel de Klassieke oplossing en de methode van Collins.

Klassieke oplossing Construeer de positie van het onbekende punt P. Volg hiervoor onderstaande stappen: 1. Tov AB de hoek alfa uitzetten in A 2. Loodlijn in A op lijn uit punt 1 3. Middelloodlijn van AB 4. Snijpunt van loodlijn en middelloodlijn is het centrum van de eerste cirkel met als straal (snijpunt tot A) 5. Tov BC de hoek beta uitzetten in C 6. Loodlijn in C op lijn uit punt 5 7. Middelloodlijn van BC 8. Snijpunt van loodlijn en middelloodlijn is het centrum van de eerste cirkel met als straal (snijpunt tot C) 9. Het snijpunt snijpunt van deze beide cirkels is de positie van P

Ingenieur Reinout Janssens

55/123

meetmethodes 02

Volgende gegevens zijn voor handen:  P ligt beneden de polylijn ABC  De hoek APB = 35° = alfa  De hoek BPC = 57° = beta

Methode van Collins

Ingenieur Reinout Janssens

56/123

meetmethodes 02

Gegeven: A(xA, yA) B(xB,yB) C(xC,yC) Gemeten hoeken: α,β Gevraagd: coördinaten van het onbekende punt P

Overzichtstekening Bepalen van de coördinaten van hulppunt H (formule):

Ingenieur Reinout Janssens

57/123

meetmethodes 02

lAH?

Ingenieur Reinout Janssens

58/123

meetmethodes 02

gAH?

Bepalen van de coördinaten van P (formule):

Ingenieur Reinout Janssens

59/123

meetmethodes 02

Ingenieur Reinout Janssens

60/123

meetmethodes 02

lAP?

Ingenieur Reinout Janssens

61/123

meetmethodes 02

gAP?

Ingenieur Reinout Janssens

62/123

meetmethodes 02

2.3.4.4 Controle Men controleert de ligging van een, door achterwaartse insnijding bepaald, punt door gebruik te maken van een richting naar een vierde gekend punt.

Zo wordt dus het onbekende punt A bepaald door middel van drie cirkels die elkaar theoretisch in 1 punt moeten snijden. In praktijk, zal dit uiteraard niet het geval zijn en ontstaat er een foutendriehoek.

C2

C1

C3

2.3.4.5 Nauwkeurigheid De vraag die men hier kan stellen is: “Wat is de meetkundige plaats van een punt A, bepaald door achterwaartse insnijding als in de hoeken a en b een onnauwkeurigheid voorkomt ter waard van +-ez.

t1 N

M

A"

2

1

A1

ez

O1 O

A'

B

t1

t

s1 t

s

t2 A

A t2

Veronderstel dat men uit punt A de twee punten M en N viseert; door deze drie punten trekt men een cirkelomtrek die met de koorde MN een segment bepaalt dat een hoek a bevat.

Ingenieur Reinout Janssens

63/123

meetmethodes 02

Normaliter is de straal van deze cirkelomtrek zeer groot en in de nabijheid van het punt A kan men, over een tamelijk grote lengte, de cirkelboog door zijn raaklijn t vervangen. De hierdoor gecreëerde fout is zeer klein. Men mag dan ook deze raaklijn t beschouwen als de meetkundige plaats van de mogelijke liggingen van A. Deze vormt met de zijde MA een hoek gelijk aan hoek N1, en met de zijde NA een hoek gelijk aan M2.

Veronderstelt men dat de waargenomen hoek a een fout heeft ter waarde van +-ez en onderzoekt men wat er gebeurt met het segment dat die hoek bevat. Dan moet men op MN het segment tekenen dat hoek (a+e z) bevat; het middelpunt O komt dan in O 1, het segment s komt dan in s1. De meetkundige plaats van de liggingen van het punt dat met deze hoek overeenkomt mag vergeleken worden met de raaklijn t 1 die, gelet op de afstand van de punten M en N, mag beschouwd worden als evenwijdig me t de raaklijn t.

Met de hoek (a-ez) stemt een raaklijn t2 overeen.

1. Invloedsstrook Men merkt dus op dat de meetkundige plaats van de liggingen van punt A, bepaald door de methode van de achterwaartse insnijding, in de nabijheid ligt van het punt: begrensd door de raaklijnen t 1 en t2. Men zegt dat deze raaklijnen een invloedsstrook bepalen overeenstemmend met de opgemeten hoek. De richting van deze strook is bepaald door de eigenschap met de zijden MA en NA hoeken te vormen, respectievelijk gelijk aan N1 en M2. Dit klopt ook voor elk segment dat de hoek bevat.

t1 C t

A1 B

t2 A D

t4

E

t3

t’

Hieruit volgt dat, volgend uit de onzekerheid in het meten van de hoeken, het reële punt A niet bepaald is door het snijpunt van twee segmenten die de hoek bevatten.

Men kan zich voorstellen dat het punt A in een parallellogram BCDE komt te liggen , gevormd door de aan de raaklijnen van deze segmenten evenwijdige rechten.

Een foutenellips kan in dit parallellogram geconstrueerd worden. Het is de meetkundige plaats van de middelbare fout van de liggingen van punt A.

2. Breedte van de strook

Ingenieur Reinout Janssens

64/123

meetmethodes 02

t1 N

M

A"

2

1

A1

ez

O1 O

A'

B

t1

t

s1 t

s

t2 A

A t2

Hier onder berekenen we de grootte van de verplaatsing AA 1 van de raaklijn die overeenkomt met een afwijking van ez in de hoekmeting.

De raaklijn t1 snijdt de zijden MA en NA in A’ en A”. De driehoeken AMN en AA’A” zijn gelijkvormig (drie gelijke hoeken).

Hieruit volgt dat:

MN A, A,, = MA AA,,

(1)

Maar in de driehoek AA’A” heeft men: AA1.A’A” = AA”.A’B Dus:

A, A,, A,B = AA,, AA1 Met formule (1):

AA1 =

A,B.MA (2) MN

In driehoek A’NB is:

Ingenieur Reinout Janssens

65/123

meetmethodes 02

A'B BN Û A ' B = tan ez .BN tan ez =

Bij benadering geldt ( ez in radialen)

A ' B = ez .AN (3) Men bekomt dan uiteindelijk (2) in (3):

AA1 =

MA.NA .ez MN

3. Bepaling van de sensibiliteit en de denkbeeldige afstand van het segment 

Vervangt men e z door sin1” dan noemt men de verhouding

MA.NA .sin1" (3) de sensibiliteit van het segment.

MN Nadert het punt A de geviseerde punten M en N, dan wordt de formule (3) kleiner evenals AA1 in formule (2). Hetzelfde gebeurt als de afstand MN groter wordt. 

Bij vergelijking tussen formule (2) en de formule gegeven bij voorwaartse insnijding:

CD = Lez 2 Men merkt hierbij op dat

MA.NA gelijkwaardig is met de lengte L. Deze factor MN

kenmerkt een afstand welke we fictieve of denkbeeldige afstand van het segment voor de koorde MN zullen noemen. Men besluit hieruit dat het segment dat de hoek bevat mag vergeleken worden met een voorwaartse insijding van uit het punt gelegen op de raaklijn van het segment en op een afstand van het punt A, gelijk aan

MA.NA .

MN

Ingenieur Reinout Janssens

66/123

meetmethodes 02

2.3.5 Bijzondere insnijdingen: Deze insnijdingen kan zijn geen zuivere voorwaartse insnijdingen, ook geen zuivere achterwaartse insnijdingen. Het gaat hem hier over een mengvorm, beide basisinsnijdingen vind je hier in terug.

2.3.5.1 Gemengde insnijding P is het te bepalen punt A, B, C en C’ zijn gekende punten of richtingen

C

P

C' A B Werkwijze: 1.

Halve achterwaartse insnijding 2.

Halve voorwaartse insnijding

Probleem: Geen eenduidige bepaling, er ontstaan twee snijpunten

Ingenieur Reinout Janssens

67/123

meetmethodes 02

2.3.5.2 Zijwaartse insnijding P is het te bepalen punt A is een gekend punt, al dan niet toegankelijk B is een gekend punt, wel toegankelijk P

A B

1.

Halve achterwaartse insnijding 2.

Halve voorwaartse insnijding

Ingenieur Reinout Janssens

68/123

meetmethodes 02

2.3.6 Veelhoeksmeting of polygonatie

2.3.6.1 Definitie Veelhoeksmeting is de naam van een methode ter bepaling van de ligging van een aantal punten in het terrein ten behoeve van detailmeting. Men denkt die punten verbonden door rechte lijnen, die een veelhoek vormen, en kan aan deze zijden de in de nabijheid gelegen bijzonderheden van het terrein door detailmeting vastleggen.

Men gebruikt hierbij een totaal station en geen theodoliet. Dit dus in tegenstelling tot vorige methoden waar men eigenlijk beide toestellen kan hanteren.

2.3.6.2 Soorten polygonatie 1. Open veelhoek 2. Volledig aangesloten veelhoek 3. Gesloten veelhoek De verschillende soorten polygonatie worden uitsluitend behandeld tijdens de hoorcolleges.

2.3.6.3 methode Dit onderdeel wordt behandeld binnen het DOLOD vereffeningsleer.

2.3.6.4 Uitbreiding: nauwkeurigheden Dit onderdeel wordt behandeld binnen het DOLOD vereffeningsleer.

2.3.6.5 De vereffening: al doende leert men Dit onderdeel wordt behandeld binnen het DOLOD vereffeniongsleer.

Ingenieur Reinout Janssens

69/123

meetmethodes 02

2.3.7 Bilateratie:de basis voor de vrije opstelling Wanneer men bij een meting (vooral bij polygonatie) twee meetnagels achterlaat, dan is dat niet zomaar. Deze twee nagels zijn tijdens de meting mee opgenomen en bijgevolg zijn de (al dan niet plaatselijke) coördinaten van deze twee nagels gekend.

Wanneer je cliënt achteraf een bijmeting wenst of bv uitzetten van eigendomspalen, kan je gewoon door opmeting van deze twee nagels opnieuw in het zelfde assenstelsel meten en werken als de oorspronkelijke basismeting.

Daarenboven zorgt dit er tevens voor dat je niet hoeft opnieuw te beginnen als je tijdens het meten tegen het toestel botst (waardoor de gekende coördinaat van je opstelpunt verdwijnt). Het opnieuw inmeten van de twee nagels zorgt dat je reeds gemeten delen niet verloren zijn.

De wiskundige/fysische denkwijze die hier cruciaal is, noemt men de bilateratie.

Bij “methode” in dit hoofdstuk staat: “Indien je de luxe hebt een tweede polygonatieset met driepikkel te hebben, plaats je deze op jouw gewenste derde positie. Je meet dit onmiddellijk in. Dit geeft als voordeel dat bij eventueel uit het lood gaan van de tweede opstelling (waar je nu staat met je toestel), je kort weer kan inmeten op de twee polygonatiesets en verder gaan zonder opnieuw te moeten starten vanaf de nagels”. Ook hier is de wiskundige/fysische denkwijze, de bilateratie.

Bilateratie is een afgeleide van de achterwaartse insijding waarbij men van uit het ongekende punt meet naar het gekende punt. Nu weliswaar naar slechts 2 gekende punten. Men meet 1 hoek en twee afstanden.

Leid de werkwijze af voor het bepalen van de coördinaten van het ongekende punt P op basis van de in de tekening terug te vinden gegevens. Alle onderlijnde elementen zijn gekend of opgemeten. Duid aan wat gekend is en wat werd opgemeten m.b.t. de bilateratie.

Ingenieur Reinout Janssens

70/123

meetmethodes 02

P(xP,yP) a lAP

lBP

A (xA,yA) B (xB,yB)

Ingenieur Reinout Janssens

71/123

meetmethodes 02

2.4 De moderne landmeter: wat meet hij? Hoe meet hij? …

Dit item wordt uitsluitend behandeld tijdens de hoorcolleges aan de hand van een klasleergesprek (ook examenleerstof).

De verschillende onderwerpen: 1. Ereloon 2. Atlas der waterwegen 3. Atlas de buurtwegen 4. Kadaster 5. Beroepsaansprakelijkheidsverzekering 6. Beëdiging 7. Opbouw kadastrale gegevens 8. Facturatievoorwaarden 9. Verklikpunt 10. Waarde van grenspalen tov het PV 11. Scherven onder grenspalen 12. Rooilijn 13. Hoe meet je afsluitingen op?

14. Primitief perceel 15. …

Ingenieur Reinout Janssens

72/123

meetmethodes 02

3 Afstandsmeting Bronnen:

Afstandsmeting: Prof Dr. Ir. A. De Wulf “Topografie van de groote opmetingen en algemeene plans” – E. Daubresse Topografie: Dhr. Kips G. Afstandsmeting Dhr. Holvoet Bart Fundamentals of physics David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker

3.1 Inleiding Afstandmetingen worden traditioneel ingedeeld volgens de gebruikte methode, waarvan hieronder een opsomming van de meest gebruikte: - De rechtstreekse afstandmeting: De afstand wordt bepaald door gebruik te maken van een materiële referentielengte, die eventueel een aantal maal achtereen wordt geplaatst.

Dit impliceert dat het gebied tussen de punten vrij toegankelijk moet zijn.

- Onrechtstreekse optische afstandsmeting: waarbij een optisch contact wordt gerealiseerd tussen beide punten. De afstand tussen beide punten dient niet te worden doorlopen met een materiële referentieafstand. Wel zal het bij grotere afstanden (> 75 tot 200m) wenselijk zijn gebruik te maken van tussenpunten. Optische systemen zijn passief, ze gebruiken het aanwezige licht voor het uitvoeren van de meting.

-Onrechtstreekse elektromagnetische afstandmeting: waarbij een opto- elektronisch contact wordt gerealiseerd tussen beide punten. De afstand tusse n beide punten dient hier evenmin te worden doorlopen met een materiële referentie - afstand. Wel kan het in uitzonderlijke gevallen bij zeer grote afstanden (> 1 tot 10 km) nodig zijn gebruik te maken van tussenpunten. Al de elektronische systemen zijn actief, m.a.w. ze sturen zelf een gemoduleerde golf uit die teruggekaatst wordt door het eindpunt en terug ontvangen wordt door het beginpunt.

-Door berekening: waarbij de afstand berekend wordt uit de coördinaten van beide eindpunten in een bepaald coördinatensysteem.

Ingenieur Reinout Janssens

73/123

meetmethodes 02

3.2 De rechtstreekse afstandsmeting De geijkte referentielengte die gebruikt wordt bij de rechtstreekse afstandmeting kan verschillende vormen aannemen: meetkettingen, meetlatten, meetbanden en invardraag.

De meest gebruikte topografische toepassing is de meetband. Een topografische meetband is doorgaans 5 tot 15 mm breed en een paar tienden mm dik.

De lengte bedraagt doorgaans 10 ,20 of 50m. Bij het gebruik van de meetband dient bijzondere aandacht gegeven te worden aan de plaats van het exact e nulpunt dat vaak niet duidelijk en ondubbelzinnig is aangegeven.

In het domein van de industriële metrologie en voor ijking van meetbanden worden referentieafstanden in invardraad gebruikt (verkrijgbaar in willekeurige lengten). Invar is een legering van 36% nikkel en 64% staal die als eigenschap een verwaarloosbare thermische uitzettingscoëfficiënt bezit (< 1ppm/K). Deze speciale toepassingen worden niet in detail behandeld.

Ingenieur Reinout Janssens

74/123

meetmethodes 02

3.2.1 Het reduceren tot de horizontale afstand Het is duidelijk dat de landmeter geïnteresseerd is in de horizontale afstand tussen twee punten. Wanneer het terrein perfect horizontaal is, stelt dit uiteraard niet het minste probleem: de meetband wordt op het terrein gelegd, opgespannen en afgelezen. Deze situatie is in de praktijk echter uitzonderlijk. Vaak is het terrein niet horizontaal en zelfs niet vlak en mag de meetband niet op de grond steunen om grote fouten te vermijden.

Hieronder bespreken we twee methoden beschikbaar voor het meten op niet horizontale ondergrond: - de ‘stap- methode’: deze methode veronderstelt het gebruik van een korte meetband ( max. 10m). De meetband wordt steeds horizontaal strak gespannen met de ijktrekkracht.

Het ene uiteinde wordt tegen de grond gehouden ter plaatse van het vorige merkteken.

Aan het andere uiteinde wordt een schietlood gehouden en wordt het voetpunt ervan op het terrein gemarkeerd. De horizontaliteit kan voor minder nauwkeurige metingen op zicht worden gecontroleerd. Voor meer nauwkeurige metingen wordt een buisniveau gebruikt of een geijkte rechte hoek tussen schietlood en meetband. Deze procedure wordt herhaald tot het eindpunt bereikt is, waarbij de afstand van de laatste slag op de meetband wordt afgelezen.

- de reductiemethode: deze methode veronderstelt dat het terrein weliswaar hellend maar toch vlak is, zodanig dat de meetband op het terrein kan worden gelegd en opgespannen.

De helling van het terrein en dus van de meetband wordt bepaald door gebruik te maken van een draagbare eclimeter of hellingsmeter.

Ingenieur Reinout Janssens

75/123

meetmethodes 02

De berekening gebeurt als volgt:

A

alfa

S

B

L

cos  

L  L  Scos  S

3.2.2 De methode van “vrij doorhangende meetband” Bij deze methode (Eng. ‘free hanging tape method’) is er geen rechtstreekse beperking op de lengte van de meetband. Deze wordt tussen twee punten gespannen , in principe met de ijktrekkracht. Deze punten bevinden zich boven het terrein en niet noodzakelijk op dezelfde hoogte. Afhankelijk van de lengte van de meetband en van de trekkracht die wordt uitgeoefend, zal de meetband doorhangen, waardoor een te grote afstand wordt gemeten.

De fout door doorhangen kan evenwel worden begroot indien een aantal parameters worden bepaald. We onderscheiden 2 gevallen: 1.De 2 punten bezitten een onderlinge hoogteverschil h. De koorde doorheen beide punten maakt een hoek  met de horizontale

Ingenieur Reinout Janssens

76/123

meetmethodes 02

A

S

alfa

h

B

L

l De trekkracht waarmee de meetband wordt opgespannen wordt gemeten met een dynamometer. We onderscheiden opnieuw 2 gevallen:  Het hoogteverschil, het gewicht en de trekkracht worden gemeten.

De aan te brengen correctie is dan

r

lp² (l²  2h²) 24P²

Met : p het gewicht van de meetband (N per meter) P de gemeten trekkracht (N) l de lengte van de meetband (m) h het hoogteverschil tussen beide punten



De helling van de koorde, het gewicht en de trekkracht worden gemeten(de helling bvb. met een zakeclimeter) De aan te brengen correctie is dan:

²

r

l3p² cos ² 24P²

Met p het gewicht van de meetband (N per meter) P de gemeten trekkracht (N)

Ingenieur Reinout Janssens

77/123

meetmethodes 02

l de lengte van de meetband (m) α de helling van de koorde die de punten verbindt 2. Beide punten bevinden zich op dezelfde hoogte en de maximale doorhanging van de meetband kan worden bepaald Dan is de aan te brengen correctie benaderend

r

8d² 3l

Met:

d de maximale doorhanging (m) l de lengte van de meetband (m)

3.2.3 De systematische fouten bij de rechtstreekse afstandsmeting Wegens hun cumulatief karakter, moeten vooral de systematische fouten beperkt worden gehouden. We onderscheiden:

3.2.3.1 De ijkfout Een meetband wordt vervaardigd voor gebruik op een bepaalde temperatuur en voor een bepaalde trekkracht. Bij de fabricage treden echter afwijkingen op, waardoor elke individuele meetband afwijkingen vertoont ten opzichte van de erop aangebrachte graduering. De fabrikant garandeert enkel dat deze afwijkingen binnen bepaalde grenzen ligt, afhankelijk van de klasse van de meetband.

Duurdere meetbanden kunnen geleverd worden met een ijkingcertificaat, waarin de afwijking op de totale lengte op zeer nauwkeurige wijze is opgemeten en vermeld staat op het ijkingcertificaat. Met behulp van deze correctiewaarden kan de aflezing worden verbeterd. Zelfs indien een meetband met ijkingcertificaat wordt geleverd, dan nog dient de ijking regelmatig te worden herhaald, omdat door gebruik nie uwe afwijkingen ontstaan.

Onafhankelijk van een levering met of zonder certificaat, kan elke gebruiker zijn meetband laten ijken in een uitgerust laboratorium. Normaal wordt enkel de totale lengte gecontroleerd en wordt de afwijking beschouwd als een gemiddelde lineaire afwijking, d.w.z. als een schaalfout. Uitzonderlijk kan ook gevraagd worden de niet - lineaire afwijkingen te begroten door de afwijking op regelmatige tussenafstanden van de meetband te begroten.

Zij f de ijkfout op de totale lengte van de band, dan is de correctie aan te brengen op de globale afstandsmeting:

c

L.f l

Ingenieur Reinout Janssens

78/123

meetmethodes 02

Met: L f l

de totale gemeten lengte (m) de ijkfout (m) de lengte van de meetband (m)

3.2.3.2 De fout door thermische uitzetting Afhankelijk van het materiaal waaruit de meetband is vervaardigd, zal de meetband min of meer uitzetten en dient de lengte te worden gecorrigeerd indien de temperatuur van de meetband afwijkt van de nominale of ijktemperatuur. Voor klassieke stalen meetbanden bedraagt de uitzettingscoefficient alfa ca. 12 ppm/K (ppm= parts per million = 10 -6). De temperatuur van de meetband is niet steeds gemakkelijk te bepalen. Vaak bezit de meetband aanvankelijk nog de stockagetemperatuur. Geleidelijk neemt hij echter de temperatuur van de bodem aan, of van de omgevende lucht indien hij weinig of niet in contact komt met de bodem. Een thermometer of temperatuursonde wordt daarom best op regelmatige tijdstippen tegen de meetband gehouden.

De aan te brengen correctie op de totale afstand is

c(t)  L..(t  t 0 ) Met: L



de totale gemeten lengte (m) de uitzettingscoefficient (1/K) (= 12.10

t to

de meettemperatuur (K) de nominale of ijktemperatuur (K)

-6

/K voor staal)

3.2.3.3 Fout te wijten aan de elasticiteit van de meetband Afhankelijk van het materiaal waaruit de meetband is vervaardigd, zal de meetband min of meer uitrekken en dient de lengte te worden gecorrigeerd indien de uitgeoefende trekkracht verschillend is van de nominale of ijktrekkracht. Oor klassieke stalen meetbanden bedraagt de elasticiteitsmodulus 210.000N/mm². De trekkracht kan worden bepaald door gebruik te maken van een dynamometer, die aan het handvat van de meetband wordt bevestigd.

De aan te brengen correctie op de totale afstand is

c(t)  

Met:

L.(K  K 0 ) E.

L E



de totale gemeten lengte (m) de elasticiteitsmodulus (N/mm²) de oppervlakte van de doorsnede van de meetband mm²)

Ingenieur Reinout Janssens

79/123

meetmethodes 02

K K0

de uitgeoefende trekkracht (N) de nominale of ijktrekkracht (N)

3.2.3.4 Horizontale alignementsfout

B'

alfa

S

B

A

L

De afstand, die groter is dan de lengte van de meetband, wordt gemeten in verschillende slagen. Al deze slagen dienen in grondplan precies gealigneerd te zijn volgens de koorde tussen de eindpunten, zoniet ontstaat een alignementsfout en wordt steeds een te grote afstand gemeten.

Stel dat het alignement niet correct is en de meetband op een bepaalde plaats volgens AB’ loopt i.p.v. de juiste richting AB te volgen. De afstand BB’ bedraagt h. De koorde AB’ vormt een hoek alfa met AB. Dan is de uit te voeren correctie op de afstand AB’ gelijk aan

cB ' A (h)  

h² 2S

Hieruit volgt de relatieve alignementfout

Deze relatieve alignementsfout dient best kleiner te blijven dan 1/5000 ( de maximale nauwkeurigheid van deze methode), m.a.w.

Ingenieur Reinout Janssens

80/123

meetmethodes 02

h 0,5( )² <1/5000 S waaruit

h S  1/ 50  h  S 50 Hieruit volgt dat de alignementsfout kleiner moet blijven dan 1/50 van de lengte van de meetband om een relatieve meetfout kleiner dan 1/5000 te houden.

Er kan worden aangetoond dat, bij een aaneengeschakelde meting, de alignementsfout gemiddeld kleiner moet blijven dan 1/50 om een relatieve meetfout kleiner dan 1/5000 te houden.

Het alignement dient desnoods met behulp van een topografische kijker te worden gecontroleerd. In heuvelachtige gebieden is dit niet steeds eenvoudig en dienen speciale uitzetmethoden te worden gebruikt om het alignement nauwkeurig te kunnen uitzetten.

3.2.3.5 Verticale alignementsfout Afhankelijk van de gebruikte methode (stapmethode, reductiemethode of vrije doorhanging), dient de meetband horizontaal, hellend of doorhangend te worden gehouden. Indien deze voorwaarde bij de respectievelijke methodes niet vervuld is, ontstaat een verticale alignementsfout. Toch zijn verticale alignementsfouten met de hulp van een paar eenvoudige hulpmiddelen doorgaans eenvoudiger te voorkomen of minimaal te houden.

Bij de stapmethode kan een buisniveau gebruikt worden om de horizontaliteit nauwkeurig te realiseren en de verticale alignementsfout te beperken.

Bij de reductiemethode kan de helling nauwkeurig worden bepaald met een eclimeter of via de meting van het hoogteverschil h met behulp van schietlood en buisniveau of van waterpastoestel met baak om de verticale alignementsfout te beperken.

Bij de methode van de vrije doorhanging treedt er principieel geen verticale alignementsfout op aangezien de doorbuiging bij deze methode verrekend wordt in de vermelde formules.

Ingenieur Reinout Janssens

81/123

meetmethodes 02

3.2.4 De toevallige fouten bij de rechtstreekse afstandsmeting met de meetband  Toevallige fouten bij de aansluiting bij de opeenvolgende verplaatsingen van de meetband.  Toevallige afwijking bij het afloden (stapmethode). Toevallige afwijking bij het bepalen van de helling (reductiemethode).  Toevallige fout bij het bepalen van de doorbuiging (vrij doorhangende meetba nd).  Toevallige variaties van de trekkracht waarmee de meetband aangespannen wordt (te vermijden door het gebruik van dynamometers).  Toevallige horizontale en verticale alignementsfouten.  Toevallige kromming of krulling van de meetband.

Ingenieur Reinout Janssens

82/123

meetmethodes 02

3.3 Onrechtstreekse optische afstandsmeting Ook onder deze categorie bestaan er een groot aantal toepassingen. Wij beperken ons tot twee types: de dradenafstandsmeting en meting mbv de horizontale basisbaak.

3.3.1 De dradenafstandsmeting Een synoniem van dradenafstandsmeting is stadimetrische afstandsmeter. De Vlaamse naam “dradenafstandsmeting” vertelt ons meer over de meetmethode dan zijn synoniem.

Heel wat landmeetkundige kijkers hebben naast de traditionele kruisdraden ook nog twee bijkomende horizontale strepen, de zogenaamde afstandsdraden of stadimetrische draden.

afstandsdraden of stadimetrische draden (bron: wikipedia) In topometrie 1 zagen jullie reeds het waterpastoestel. Jullie weten dan ook dat bij de waterpassing er ter hoogte van twee kleine horizontale streepjes nog 2 extra waarden op de E-baak worden afgelezen. Deze zorgen ervoor dat je minder fouten kan maken daar het gemiddelde van deze twee aflezingen steeds hetzelfde moet zijn van de aflezing ter hoogte van de horizontale kruisdraad.

Ook gebruiken jullie in de waterpasstaat de afstand tussen de verschillende o pstellingen om de vereffening door te voeren. Deze afstand wordt afgeleid uit de zelfde twee aflezingen ter hoogte van deze horizontale streepjes of draden. Vandaar het woord dradenafstandsmeter.

Deze stadimetrische draden vind je niet enkel terug bij de waterpastoestellen maar ook bij sommige theodolieten en totaalstations.

Ingenieur Reinout Janssens

83/123

meetmethodes 02

3.3.1.1 De opbouw 1.

De klassieke kijker Bestaat uit 3 delen: a. Oculairbuis b. Dradenbuis c. Objectiefbuis Allen bewegen zij los van elkaar.

Teken de opbouw van deze kijker:

Ingenieur Reinout Janssens

84/123

meetmethodes 02

Teken schematisch het verloop van de karakteristieke straling:

De karakteristieke straling snijdt in de kruisdraden waardoor bijgevolg het beeld op de kruisdraden wordt scherpgesteld.

De klassiek kijker heeft vaak problemen met parallax.

Wat is parallax?

Zo’n hoekverandering, of trigonometrische parallax, kan iedereen dagelijks waarnemen als hij op armlengte afstand een vinger voor de ogen houdt. Wanneer men eerst met het rechteroog en daarna met het linkeroog naar de vinger kijkt, ziet men die ten op zichte van de achtergrond verspringen. Dit verspringhoekje is de parallax.

Bron: Lunar Parallax Demonstration

Ingenieur Reinout Janssens

85/123

meetmethodes 02

2.

De moderne kijker Bestaat uit 2 delen die los van elkaar bewegen.

Teken de opbouw van deze kijker:

Daar de objectieflens en de kruisdraden niet los van elkaar kunnen bewegen, hebben we een bijkomende beweegbare instellens nodig die er voorzorgt dat het beeld scherp op de kruisdraden valt. Een extra lens zorgt uiteraard ook voor een extra breking.

Ingenieur Reinout Janssens

86/123

meetmethodes 02

3.3.1.2 Fysische achtergrond en afleiding formule (waterpastoestel) Vul de tekening aan en leidt volgende formule voor de horizontale afstand af: D  Cst1.b  Cst 2 (beide constanten zijn toestelafhankelijk. b E-baak afl 1

afl2

D f1 f2 afst 1

afst 1

Ingenieur Reinout Janssens

a

87/123

meetmethodes 02

Nadelen  Nauwkeurigheid De afstandsdriehoeken worden steeds spitser naarmate de afstand D toeneemt.

Wat is hoogste afleesnauwkeurigheid bij een E-baak? Leg uit.

Wat is bijgevolg de kleinste b-waarde die je kan aflezen?

Bereken op basis van bovenstaande b-waarde wat de maximale nauwkeurigheid bedraagt van een dergelijke opstelling.

Ingenieur Reinout Janssens

88/123

meetmethodes 02

 Men kan geen hellend of geaccidenteerd terrein opmeten. Wat is volgens jou de oplossing?

Ingenieur Reinout Janssens

89/123

meetmethodes 02

3.3.1.3 Meten op geaccidenteerd en/of hellend terrein Reductie door berekening Door gebruik te maken van een theodoliet of totaal station met afstandsdraden kan bij hellend en/of geaccidenteerd terrein ook een afstandsmeting worden gedaan. Immers beide toestellen hebben de mogelijkheid om hoeken te meten.

De beperkte nauwkeurigheid van een dergelijke afstandsmeting blijft een nadeel. Men zal er dus rekening dienen mee te houden dat de vereiste grafische nauwkeurigheid lager dient te liggen dan de meetnauwkeurigheid. Dit kan bv het geval zijn wanneer de kaartschaal dermate klein is dat een zeer hoge meetnauwkeurigheid zinloos blijkt.

Theoretische oefening: Geg: Cst1 = 100 Cst 2 = 0 Onderstaande figuur Bewijs:

de schuine afstand l  100bcos  de horizontale afstand D  100bcos² de hoogte h  100bcos  sin 

b'

h

b'

b

b

BIJ BENADERING

D

Ingenieur Reinout Janssens

90/123

meetmethodes 02

Zelfreducerende afstandsmeters Sommige theodolieten zijn in staat automatisch de schuine afstand te reduceren naar de horizontale gewenste afstand.

Dit principe is gebaseerd op het koppelen van de afstand tussen de afstandsdraden met de helling van de kijker.

Ingenieur Reinout Janssens

91/123

meetmethodes 02

3.3.2 De horizontale basisbaak Het gebruik van een horizontale basisbaak is een veel nauwkeurigere manier om afstanden (niet elektronisch) te bepalen. Het gaat hem hier over een horizontaal opgestelde baak waar de lengte nauwkeurig van gekend is. Aan beide uiteinden van deze baak bevindt zich een richtmerk, om zodoende goed te kunnen viseren.

Bij het bepalen van de afstand tussen twee punten, bestaat de methode erin om een theodoliet te centreren op het eerste punt en de horizontale basisbaak (synoniem: paralactische baak) boven het tweede punt te plaatsen (eveneens centreren). De baak is voorzien van een vizeerkijker zodat men de opstelling zo kan uitvoeren dat de hoek tussen de baak en de verbindingslijn tussen de twee punten 100 gon of 90° bedraagt. Een controle op de horizontaliteit van de baak gebeurt best dmv de horizontale kruisdraden van de theodoliet.

Na het opstellen dient de hoek bepaald te worden tussen de twee richtmerken. Deze hoek samen met de gekende lengte van de baak geven via een korte berekening de horizontale afstand tussen de twee punten.

Ingenieur Reinout Janssens

92/123

meetmethodes 02

D

B

alfa

3.3.2.1 Berekening bovenaanzicht

paralactiche baak

D

B  cot an( ) 2 2

De nauwkeurigheid van deze meting hangt in het bijzonder af van de nauwkeurigheid van B. Is dan ook van het grootste belang dat deze horizontale basisbaak zo nauwkeurig mogelijk gekend is en dat deze gekende afstand zo constant mogelijk blijft ongeacht de temperatuursschommelingen. Sommige horizontale basisbaken slagen erin om tot op enkele honderdsten van een mm stabiel te blijven en dit zelfs bij vrij grote temperatuursveranderingen.

3.3.2.2 Principe aan de hand van een rekenvoorbeeld (G. Kips) Onderstaande tekening geeft weer hoe deze baak is opgebouwd.

Stel dat de basislengte 2m bedraagt.

De baak bestaat uit een buis waarop aan de uiteinden door middel van veren 2 richtmerken bevestigd zijn. Deze worden op een afstand gehouden door een invardraad die onder spanning staat door de werking van de veren.

Ingenieur Reinout Janssens

93/123

meetmethodes 02

Stel dat er een temperatuurstoename is van 10°C waardoor de draad 0,024 mm verlengt.

De stalen houder zal onder invloed van deze temperatuursstijging echter 10 keer meer uitzetten zodat de veren samengedrukt worden en de spanning op de draad toeneemt.

Hierdoor wordt de draad nog eens extra 0,004 mm uitgerekt zodat de totale verlenging 0,028 mm bedraagt…

Er zit echter nog meer technologie achter dit vernuftige meettoestel. De twee bronzen signaalhouders aan de uiteinden van de buis vertonen ook ieder een uitzetting van 0,009 mm maar in de tegengestelde richting zodat het netto resultaat zal zijn dat de afstand tussen de merktekens slechts met 0,01 mm toeneemt. Relatief gezien betekent dit een fout van 1/ 200000 op de volledige lengte van de baak. Indien er geen fouten zouden gebeuren op de richtingsmeting is dit meteen de haalbare relatieve nauwkeurigheid op een afstandsmeting bij 10° temperatuursschommeling.

Uiteraard is dit niet het enige dat kan zorgen voor een fout op de meting. Realistisch is het te stellen dat een nauwkeurigheid van een paar cm op een afstand van 100m moet haalbaar zijn, mits een goede theodoliet wordt gebruikt en alles volgens de regels der kunst wordt uitgevoerd.

3.3.2.3 Intremezzo invar Invar is een nikkel-ijzerlegering met een extreem lage uitzettingscoëfficiënt, bestaande uit ongeveer 36% nikkel, 64% ijzer en eventueel kleine hoeveelheden van andere elementen.

Invar werd in 1896 ontdekt door de Zwitserse natuurkundige Charles-Édouard Guillaume, die mede hiervoor een Nobelprijs ontving in 1920. Hij gaf de naam invar, afgeleid van invariable, aan de legering met 35,6% nikkel, 0,1% mangaan, 0,4% koolstof en voor de rest ijzer. Na uitgloeien en koelen in lucht heeft deze legering een uitzettingscoëfficiënt (α) van slechts 1,2 · 10-6 K-1 bij kamertemperatuur. Sindsdien wordt de naam invar ook wel gebruikt voor andere legeringen met een vergelijkbare samenstelling.

Ter illustratie, een stalen spoorstaaf van 20 meter lengte zet bij een temperatuurstijging van 20°C ruim 5 millimeter uit.

Spoorweg in Asbury Park, New Jersey, kromgetrokken ten gevolge van thermsiche expansie op een zeer warme julidag.

Hierdoor zijn voegen tussen de rails noodzakelijk. Als deze spoorrail van invar zou zijn gemaakt, zou dat maar een halve millimeter zijn geweest. Invar is hier evenwel te duur voor.

Ingenieur Reinout Janssens

94/123

meetmethodes 02

3.3.2.4 Opmerkingen 1. Gedwongen centrering is noodzakelijk wanneer een nauwkeurig resultaat gewenst is.

2. Zelfreducerende methode 3. Nauwkeurigheid afhankelijk van gebruikte theodoliet en de nauwkeurigheid van de horizontale basisbaak 4. Voldoende herhalen van de meting 5. Een grotere afstand wordt beter gemeten als een som van verschille nde kleine afstanden. Dit wordt aangetoond aan de hand van een voorbeeld. Wel met die verstande dat er eigenlijk ook fouten gemaakt worden bij het verplaatsen en terug inmeten van je toestel/baak (onderstaande berekening houdt hier geen rekening mee). Teveel verplaatsen zorgt ook voor een niet te onderschatten fout.

Stel: o Fout bij het meten van een afstand van 120 m bedraagt 4,2 cm o Fout bij het meten van een afstand van 20 m bedraagt 1,8 mm Gevraagd: Hoe meet ik het best de afstand van 120 m: in één keer o f in 6 keer?

Bereken.

Oplossing:

HINT: s  A²n²  B²n Je merkt hier dat het opsplitsen van de afstand een positieve invloed heeft op de nauwkeurigheid van de meting (hoger vermelde opmerking in acht houdend).

Ingenieur Reinout Janssens

95/123

meetmethodes 02

te scherp

theodoliet

paralactische baak

Daar komt nog eens bij dat het te dicht plaatsen van de theodoliet bij de baak zorgt dat er niet-verwaarloosbare viseerfouten ontstaan doordat de hoeken tussen richtmerk en theodoliet te scherp worden.

3.3.2.5 Varianten Bij deze varianten maakt men nog steeds gebruik van een gekende/te kennen basis waar naartoe men hoeken meet met een theodoliet, maar de basisbaak als dusdanig verdwijnt.

1. Zonder spiegels

B

meting 1:

meting 2:

A

Basis

Ingenieur Reinout Janssens

A'

96/123

meetmethodes 02

2. Met spiegels

B

A A' beta 50 gon vaste spiegel

beweegbare spiegel

DUS:

  ............    ............    ............

Ingenieur Reinout Janssens

97/123

meetmethodes 02

3.3.3 Bepaling van de afstanden door verticale hoekmeting Inleiding Landmeetkunde (J.E. Alberda, J.B. Ebbinge) Bladzijde 316, paragraaf 18.4

Ingenieur Reinout Janssens

98/123

meetmethodes 02

3.4 Onrechtstreekse elektromagnetische afstandmeting Bronnen:

Afstandsmeting: Prof Dr. Ir. A. De Wulf Topografie: Dhr. Kips G. Afstandsmeting Dhr. Holvoet Bart Fundamentals of physics David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker

3.4.1 Situering De eerste elektromagnetische afstandsmeter werd rond 1950 gebouwd door de Zweedse natuurkundige Erik Bergstrand. Zijn GEODIMETER (acroniem voor Geodetic Distance Meter) was het resultaat van zijn pogingen om de lichtsnelheid nauwkeuriger te bepalen.

Het toestel werkte met zichtbaar licht tot max. 40 km bij nacht.

Het controle paneel en optische hardware van een geodimeter model AGA 4D (Photos courtesy of Charlie Glover) In 1957 vervaardigde T.L. Wadley zijn TELLUROMETER, die met onzichtbare microgolven werkte en tot afstanden van max. 80 km zowel bij dag als nacht.

Tellurometer (Photo courtesy P S Hopper)

Ingenieur Reinout Janssens

99/123

meetmethodes 02

In 1969 kwam de grootschalige doorbraak van de elektromagnetische afstandsmeter met de WILD DI10, die met infrarood laserlicht tot max. 1 km kon meten met een nauwkeurigheid van ca. 1 cm en dit binnen de minuut. Dit toestel bestond uit 2 delen: een opzetstuk voor montage op een optische theodoliet en een zware elektronica/batterij eenheid die naast het toestel werd opgesteld. Het meetprincipe was gebaseerd op het meten van faseverschillen tussen een (continu) uitgestuurde en een gereflecteerde elektromagnetische golf.

EDM (Wild DI 10)

EDM (Wild DI 10)

Tot op vandaag is dit nog altijd veruit het meest gebruikte systeem, alhoewel hieronder ook andere meetsystemen worden beschreven. De afgelopen decennia werden voornamelijk op volgende vijf punten nog verbeteringen aangebracht aan de elektromagnetische afstandsmeting gesteund op fasemetingen:     

Kleiner gewicht en volume  volledige integratie binnen het totaalstation Kleiner energieverbruik (> 1000 metingen met 1 batterijblok) Kortere meettijd (1-3 seconden) Hogere nauwkeurigheid (1-3 mm+ 1-3 mm/km) Reflectorloos meten is mogelijk (sinds ca. 1995)

Voorbeelden van concrete realisaties  Afzonderlijke afstandsmeter voor gebruik in de hand of op statief  Afzonderlijke afstandsmeter voor gebruik op statief  Afstandsmeter op optische theodoliet  Afstandsmeter op elektronische theodoliet  Afstandsmeter geïntegreerd in totaalstation

Ingenieur Reinout Janssens

100/123

meetmethodes 02

Trimble S5 Total Station

disto (Leica)

3.4.2 Soorten systemen van elektromagnetische afstandsmeting Verschillende soorten indeling zijn mogelijk, doch hieronder houden we volgende onderverdeling aan: 1. Elektro- optische systemen met generatie van pulsen en directe tijdsmeting 2a. Elektro- optische systemen met continue golven en met faseverschilmeting 2b. Microgolf- systemen met continue golven en met faseverschilmeting Systeem 2a wordt heden ten dage in de praktijk veruit het meest gebruikt. Systeem 1 en 2b worden in de topografie enkel uitzonderlijk aangewend en zijn in het bijzonder geschikt voor het meten van lange tot zeer lange afstanden (tot ca. 15 respectievelijk 50km) of, bij systeem 1, ook voor het meten van afstanden tot bewegende voorwerpen (bijvoorbeeld voor snelheidscontrole van voertuigen).

De hierboven vermelde systemen mogen niet verward worden met de systemen van ultrasone afstandsmeting waarbij akoestische pulsen worden gebruikt. Akoestische golven zijn drukgolven. Deze drukgolven worden, in tegenstelling met electro magnetische golven, gekenmerkt door verplaatsing van massa.

Steeds dient ook voor ogen te worden gehouden dat deze toestellen schuine afstanden meten, m.a.w. voor het bekomen van een horizontale afstand dient steeds de helling waaronder de afstand wordt gemeten te worden bepaald (bvb. met behulp van een theodoliet of totaalstation).

3.4.3 Vergelijking met de optische methoden van afstandsmeting In vergelijking met de diverse optische methoden bezitten de elektromagnetische methoden van afstandsmeting volgende voordelen:

Ingenieur Reinout Janssens

101/123

meetmethodes 02     

Veel grotere gebruiksvriendelijkheid Veel groter maximaal bereik Veel betere nauwkeurigheid Kortere meettijd Automatische - Reductie tot de horizontale - Registratie in het geheugen - Correctie voor de aardkromming

Als nadelen kunnen worden vermeld:  Gevoeligheid van de elektronica aan: - Extreme temperatuur - Vochtigheid - Elektromagnetische Stralingsvelden (systeem 2b)  Noodzaak van batterijen (omslachtig en duur onderhoud)  Kortere afschrijfperiode (vnl. door software)  Meting doorheen glas is twijfelachtig  In zekere mate ondoorzichtige gegevensverwerking (“Black Box”)

3.4.4 Elekro- optische systemen met generatie van pulsen en met directe tijdsmeting

3.4.4.1 Werkingsprincipe Een korte lichtpuls wordt, vaak in het infrarood gebied, uitgestuurd, gereflecteerd en terug ontvangen door het toestel (Eng.: Time Pulse method).

De duur van het over- en weer lopen van de puls wordt uiterst nauwkeurig opgemeten. Na vermenging met de voortplantingssnelheid van het licht in de atmosfeer, levert dit de dubbele afstand

puls zender ontvanger L

L

t.c t.c 0  2 2.n0

Met:

Ingenieur Reinout Janssens

102/123

meetmethodes 02

t c

de looptijd van de lichtpuls tussen uitzenden en ontvangen de lichtsnelheid in de atmosfeer = c0/n0 de lichtsnelheid in het vacüum (299.792.458 m/s)

c0 n0

de brekingsindex van de atmosfeer (+/- 1,0003)

3.4.4.2 Kenmerken van deze methode 

Bijzonder aan deze methode is dat ze de oudste methode van zgn. “reflectorloos” (prismaloos) meten is: door de hoge energie-inhoud van de zeer korte puls, is de hoeveelheid energie gereflecteerd door een hindernis (een muur, raam, boom) op kortere afstand (tot 100-200m) voldoende om de meting te kunnen uitvoeren.



Bij gebruik van een prismareflector kunnen om dezelfde reden ook heel grote afstanden (tot 10-15km) worden opgemeten.



Gezien een enkele meting zeer snel gebeurt (15km=0,1 msec), kunnen ook afstanden tot bewegende voorwerpen worden gemeten en zelfs de snelheden( in de richting van de vizierlijn) van deze voorwerpen.



In praktijk zal het toestel, voor het meten van relatief statische voorwerpen, vaak een hele reeks afstandsmetingen uitvoeren (bvb. 1000 metingen van dezelfde afstand in 1s.) en de gemiddelde afstand berekenen. Hierdoor kan de nauwkeurigheid van de afstandsmeting worden opgevoerd tot maximaal ca. 5mm + 1 ppm. Deze methode blijft hiermee echter minder nauwkeurig dan het meten via faseerschillen (cfr. Infra).



De toestellen zijn duurder dan de toestellen die met fasemeting werken door de hoge snelheidseisen die aan de elektronische tijdsmeting worden gesteld. Hierbij dient steeds voor ogen gehouden dat een onnauwkeurigheid van 10 picoseconde (10-12sec.) overeenstemt met een uiteindelijke afstandsfout van ca. 1 cm, wat ongeveer overeenstemt met de nauwkeurigheid van deze apparaten.

Ingenieur Reinout Janssens

103/123

meetmethodes 02

3.4.5 Elektro- optische en microgolf- systemen met faseverschilmeting

3.4.5.1 Werkingsprincipe

ontvanger

reflector

zender

Een continue en gemoduleerde golf wordt door het meettoestel uitgestuurd, gereflecteerd en terug ontvangen. Het faseverschil tussen de uitgestuurde en de gereflecteerde golf levert de dubbele afstand tussen meettoestel en het ingemeten punt.

Ingenieur Reinout Janssens

104/123

meetmethodes 02

De reflectie bij elektro- optische systemen gebeuren door:  Een meervoudig prisma  Een enkelvoudig prisma  Een omnidirectioneel prisma  Een mini- prisma  Een reflecterend puntmerkteken  Een niet- reflecterend puntmerkteken  Een willekeurige wand, dak, boom, paal,…

Ingenieur Reinout Janssens

105/123

meetmethodes 02

Bij microgolfsystemen gebeurt de reflectie steeds door een zender/ontvangst toestel. De methode kent een aantal varianten afhankelijk van de golflengte van de gebruikte draaggolf en van de soort modulatie (amplitude- of frequentiemodulatie).

Amplitude modulatie

Ingenieur Reinout Janssens

Frequentiemodulatie

106/123

meetmethodes 02

Het elektro- magnetisch spectrum is continu vanaf het zichtbaar licht met frequenties van de orde 10 14 Hz overeenstemmende met golflengten van de orde van 500 nanometer tot de lange radiogolven met frequenties van 10 4 HZ.

De courante instrumenten maken echter slechts gebruik van een beperkt aantal golflengten en kunnen ingedeeld worden in 3 klassen in functie van d e golflengte van hun draaggolf: A. Laag- frequente systemen met golflengten van 100 tot 1000m (frequenties: 10 5106 Hz).

B. Microgolf- systemen met golflengten van de orde van 1 cm (frequenties: 10 10 Hz) C. Systemen met zichtbaar en infra- rood licht, de zgn. elektro- optische systemen met golflengten van de orde van 500- 1000 nanometer (frequenties: 10 14 HZ.).

Algemeen kan gesteld worden dat hoe lager de frequentie, hoe groter het bereik en hoe groter de penetratiekracht in de atmosfeer, doch ook hoe omvangrijker de zend - en ontvangstapparatuur en hoe minder nauwkeurig.

Dit heeft voor gevolg dat toestellen bestemd voor lucht- en zeevaart, waar het bereik belangrijker is dan de nauwkeurigheid, meestal met lage frequenties werken (klasse a of b) terwijl toestellen voor terrestrische topografie bijna steeds met hoge frequenties werken (klasse b of c). Hieronder worden daarom enkel deze laatste klassen besproken.

Ingenieur Reinout Janssens

107/123

meetmethodes 02

In het domein van de landmeetkunde wordt de hoogfrequente draaggolf gemoduleerd tot een laagfrequente meetgolf met een golflengte van enkele meter en de faseverschillen, berekend met deze laatste, worden gebruikt voor de eigenlijke afstandsmeting. Een relatief faseverschil kan bepaald worden tot op ca. 1/1000 van de golflengte.

Beschouwen we een zender die en continue en gemoduleerde golf uitstuurt, met constante frequentie en golflengte. Indien de ontvanger zich vlak tegen de zender bevindt zijn het uitgezonden en het ontvangen signaal volkomen in fase. Wordt de ontvanger op een afstand, kleiner dan de golflengte, van de zender geplaatst, dan hinkt de ontvangen golf een fase achterop t.o.v. de uitgestuurde golf, wegens de tijd die het signaal nodig heeft om zich van de zender naar de ontvanger te verplaatsen. Er bestaat bijgevolg een faseverschil tussen beide signalen dat rechtstreeks evenredig is met de afstand tussen zender en ontvanger. Dit is een relatief faseverschil.

Indien de ontvanger op een afstand exact gelijk aan de golflengte van de zender wordt opgesteld, dan zijn de uitgezonden en de ontvangen golf terug perfect in fase. Deze toestand doet zich voor telkens de afstand tussen de zender en ontvanger een geheel aantal golflengten bedraagt. Er bestaat geen rechtstreekse manier om dit geheel aantal golflengten te bepalen, aangezien alle uitgestuurde signaalgolven identiek zijn. Enk el het relatief faseverschil is bekend. Dit houdt in dat de afstand bij een enkelvoudige meting van het faseverschil wordt bepaald op een geheel aantal keren de golflengte na.

D  n. 

 .  a 2

Met: D: :

de afstand zender-ontvanger de golflengte (= voortplantingssnelheid van de golven gedeeld door de

n:

frequentie) geheel getal

 : 2

a:

het relatieve faseverschil tussen de uitgezonden en ontvangen signaal (een reëel getal tussen 0 en 1) optelconstante (meestal zorgt constructeur ervoor dat a=0)

Doorgaans wordt het signaal uitgezonden en ontvangen door hetzelfde meettoestel.

Daartoe wordt, bij gebruikmaking van elektro- optische golven, al dan niet een prismareflector opgesteld op het punt tot hetwelk de afstand moet worden bepaald. Het signaal reflecteert hierop en komt terug naar het meettoestel dat het signaal terug ontvangt. De afstand zender- ontvanger stemt aldus overeen met tweemaal de afstand meettoestel- prismareflector (die we L zullen noemen).

Ingenieur Reinout Janssens

108/123

meetmethodes 02 Bij microgolf toestellen gebeurt de “reflectie” op elektronische wijze. In plaats van een prisma- reflector wordt een elektronisch zend- en ontvangsttoestel gebruikt dat de ontvangen golf onmiddellijk terug verstuurt naar het oorspronkelijk meett oestel. Dit toestel ontvangt de gereflecteerde golf en bepaalt het relatief faseverschil. Ook hier wordt dus in feite tweemaal de afstand L gemeten.

De onbepaaldheid inzake het geheel aantal golflengten wordt als volgt opgelost. De theoretisch meest eenvoudig oplossing bestaat er in vooraf een meting te verrichten met een golflengte, die bijvoorbeeld 1000 maal groter is dan de golflengte van de eerste meting, zodat het geheel aantal golflengten hier zeker nul bedraagt. Dit levert een ruwe maat voor de afstand. De voorwaarde is hierbij dat deze ruwe schatting voldoende moet zijn het geheel aantal golflengten van de fijne meting eruit af te leiden.

Gegeven:

2 uitgestuurde golven 1ste golf: f=15MHz  =20m

 =0,271 2

2de golf: f= 150kHz  =2000m

 =0,533 2

Gevraagd: Hoe groot is de gemeten lengte (uitgedrukt in m en met cmnauwkeurigheid)?

Ingenieur Reinout Janssens

109/123

meetmethodes 02

In praktijk worden echter vaak twee golflengten gebruikt die zeer dicht bij mekaar liggen.

Gegeven:

2 uitgestuurde golven 1ste golf:  =20m

 =0,623 2

2de golf:  =19,9m

 =0,963 2

Gevraagd: Hoe groot is de gemeten lengte (uitgedrukt in m en met cmnauwkeurigheid)?

Ingenieur Reinout Janssens

110/123

meetmethodes 02

3.4.5.2 Kenmerken van deze methode 

Bij elektro- optische toestellen is het voor afstanden groter dan 100-200m steeds noodzakelijk een prismareflector te gebruiken om de golf ter ug te kaatsen. Door de lage energie- inhoud per tijdseenheid van de continue golf, is de hoeveelheid energie gereflecteerd door een hindernis (een muur, raam, boom) immers te klein om een meting te kunnen uitvoeren. Voor microgolftoestellen is uiteraard st eeds een zend/ontvangst unit nodig om het signaal elektronisch te reflecteren.



De maximale afstand bij elektro- optische toestellen bedraagt in ideale omstandigheden 1 tot 3 km bij gebruik van een standaard enkelvoudig prisma. (diameter ca. 8-10cm).

Bij gebruik van samengestelde prisma’s wordt het bereik vergroot evenredig met de vierkantswortel van het aantal prisma’s. Het gebruik van 9 prisma’s in plaats van 1 betekent bijvoorbeeld een verdriedubbeling van de maximale afstand. Bij gebruik van mini- prisma’s (diameter ca. 2-3 cm) bedraagt het maximaal bereik 100-300m. Bij gebruik van zelfklevende reflecterende merktekens (van 2 tot 6 cm diameter) daalt het maximaal bereik tot 30-100m.

Bij reflectie op een wand is de maximale afstand van de orde van 100 tot 200 m, doch is afhankelijk van de textuur, kleur, positie van het reflecterend vlak. Lichte kleuren en vlakke texturen loodrecht op de vizierlijn veroorzaken een betere weerkaatsing dan donkere en ruwe vlakken die niet loodrecht staan op de vizierlijn. In sommige gevallen wordt de meting dan onmogelijk.



Bij gebruik van reflecterende merktekens is er tevens een minimale afstand van ca.5- 20m. Oorzaak is de micro- honinggraatvormige celstructuur van deze merktekens in combinatie met de nauwe openingshoek van de laserstraal. Deze dient op voldoende honingraatvormige cellen in te vallen om een voldoende krachtige reflectie te kunnen krijgen.



Het gebruik van zichtbaar licht als draaggolf komt weinig voor omdat hierdoor het bereik overdag sterk beperkt is, wegens de vermenging van het signaal met het gewone zonlicht. Ook nevel en mist vormen een heel sterke beperking van het bereik. Bij gebruik van een infrarood laserdiode zijn deze beperkingen veel minder extreem, doch er dient eveneens rekening te worden gehouden met een beperking van het bereik indien extreem fel zonlicht weerkaatst op warme oppervlakken (zoals bijvoorbeeld rotsen) in de omgeving van de prismareflector of indien er lichte nevel of mist aanwezig is, zoals gebruikelijk in onze streken. He t bereik kan door elk van deze factoren, die gelukkig normaal niet samen voorkomen, terug lopen tot ongeveer de helft van het normale bereik. Het naderen van de limiet uit

Ingenieur Reinout Janssens

111/123

meetmethodes 02

zich in de praktijk door een exponentiële toename van de meettijd in functie van de meetafstand of van de verslechterende klimatologische omstandigheden. 

De meettijd van hedendaagse toestellen bedraagt 1 tot 5 seconden oor maximaal nauwkeurige metingen. Vaak bezitten de toestellen een “tracking” - methode waarbij verscheidene metingen per seconde mogelijk zijn, zij het met wat kleinere nauwkeurigheid.

Ingenieur Reinout Janssens

112/123

meetmethodes 02

3.4.6 Foutenbronnen 1. Typische waarden voor de fouten van hedendaagse elektro- optische toestellen, te wijten aan de elektronische kenmerken van het toestel, zijn van het type Afstandsfout = dL =

a²  (bL)²

Met waarden van a gelegen tussen 1 en 3 mm en waarden van b gelegen tussen 1 en 3 ppm (parts per million of mm/km).

Bij pulsmetingen is de foutterm a te wijten aan de beperkte nauwkeurigheid waarmee het tijdsinterval kan worden gemeten gezien de gebruikte puls een zeker breedte bezit. De foutterm b daarentegen is te wijten aan de afwijking van de frequentie van de kwartsoscillator, die een schaalfout op de tijdsmeting en dus op de gemeten afstand veroorzaakt.

Bij fasemetingen is de foutterm a te wijten aan de beperkte nauwkeurigheid waarmee het faseverschil kan worden gemeten. De foutterm b is te wijten aan de afwijking van de frequentie van de kwartsoscillator, die een fout veroorzaakt op de golflengte en daardoor op de gemeten afstand.

Aangezien beide fouttermen in hoge mate onafhankelijk van mekaar zijn, is het correct om de vierkantswortel van de soms der kwadraten van de beide fouttermen te nemen. Toch wordt bovenstaande formule vaak vereenvoudig tot dL = a+bL Dit is een veilige benadering want steeds ongunstiger dan de correcte formule.

De fouten voor microgolftoestellen zijn analoog, maar de foutfactoren a en b zijn doorgaans aanzienlijk groter met typische waarden a=10mm en b= 10pp. Hun bereik loopt echter op tot maximaal 50- 100 km.

2. De brekingsindex van de atmosfeer is ster temperatuur- en drukafhankelijk.

De brekingsindex beïnvloedt rechtstreeks de voortplantingssnelheid van het licht in de atmosfeer en dus ook de tijdsmeting bij de pulsmethode en het gemet en aantal golflengten faseverschil bij de methode met continue golven (toon dit laatste aan). De tijdsmeting respectievelijk het faseverschil zijn, zoals hoger uitgelegd, rechtstreeks gekoppeld aan de berekende afstand.

Voor metingen op afstanden groter dan 100m, dient steeds rekening te worden gehouden met de temperatuur en druk van de atmosfeer ter plaatse van de meting, zeker indien deze sterk afwijken van de waarden waarvoor de afstandsmeter geijkt werd. Sommige totaalstations, voorzien van een elektro nische temperatuur- en druksensor, corrigeren automatisch de gemeten afstand. Bij de meeste toestellen dient de gebruiker echter zelf de temperatuur en luchtdruk in te

Ingenieur Reinout Janssens

113/123

meetmethodes 02

tikken vooraleer het toestel deze correctie berekend. Ook kunnen de afstanden steeds achteraf worden gecorrigeerd, waarbij de correctie numeriek (cfr. Infra) dan wel ia diagrammen wordt bepaald.

Zonder correctie voor temperatuur en druk, is er een bijkomende foutterm c.L waarbij c waarden kan aannemen tot 50 ppm in onze streken.

3. Met een elektronische afstandsmeter worden steeds een “schuine” of “gehelde” afstand L gemeten. Om te kunnen komen tot de horizontale of gereduceerde afstand dient de zenithale hoek te worden bepaald waaronder de afstand wordt gemeten. De herleiding tot de horizontale afstand gebeurt in een totaalstation meestal automatisch, door formule

Lgereduceerd  dL.sin  met  de zenitale hoek Aangezien “schuine” afstanden worden gemeten die moeten worden herleid naar de horizontale, heeft een foutieve meting van de helling waaronder de afstand wordt gemeten een rechtstreekse invloed op de gereduceerde afstand.: Uit de afleiding van bovenstaande formule volgt

Lgereduceerd  dL.sin   L.cos .d Uit deze formule blijkt dat de eerste term minimaal is indien de fout dL op de gemeten afstand minimaal is. Deze fout werd hierboven behandeld. Uit bovenstaande formule blijkt ook dat de fout op de meting van de zenitale hoek de gereduceerde afstand beïnvloedt, evenredig met de grootte van de afstand L en met cos  . Deze fout kan bijgevolg minimaal gehouden worden door:  zo horizonaal mogelijk te meten (  =  /2)  de fout d  op de zenithale hoek  zo klein mogelijk te houden 4. Voor grotere afstanden (>5km) rekening dient te worden gehouden met de invloed van de refractie. Het licht volgt immers op een gekromde baan. Wederkerige metingen zijn aan te bevelen om de refractiecoëfficiënt te kunn en berekenen.

5. Voor grotere afstanden (> 5km) dient eveneens het effect van de aardkromming in rekening te worden gebracht. Dit is evenredig met de derde macht van de gemeten afstand en wordt hierdoor niet meer verwaarloosbaar op grotere afstanden.

6. De niet- evenwijdigheid van de vizierlijn en de laserstraal kan tot fouten leiden.

Vooral bij niet coaxiale afstandsmeters kan deze fout belangrijk worden door de beperkte mechanische nauwkeurigheid van het bevestigen van de afstandsmeter op het totaalstation.

Ingenieur Reinout Janssens

114/123

meetmethodes 02

Bij coaxiale toestellen bestaat dit probleem minder op voorwaarde dat het coaxiaal zijn van de laserstraal van het toestel door de fabrikant goed is afgeregeld.

7. Bij reflectorloos metende afstandsmeters is niet steeds exact gekend op welk punt of welke hindernis de lichtpuls reflecteert. Hindernissen zoals bewegende takken kunnen voor een foutieve meting zorgen die niet altijd onmiddellijk wordt gedetecteerd. In sommige gevallen zoals een punt op de rand van een inspringende gevel kan het onduidelijk zijn op welk vlak de laserstraal reflecteert.

Bij sommige toestellen wordt een zichtbare laserstraal meegestuurd waardoor de operator kan richten zonder doorheen de oculairlens te kijken. Dit is handig en minimaliseert fouten bij zeer excentrische, lage of hoge opstellingen van het toestel.

8. Zelfs al zijn de vizierlijn en de laserstraal evenwijdig, dan bestaat bij niet - coaxiale toestellen bij hellende vizierlijn nog een fout te wijten aan het afstandsverschil tussen vizierlijn en laserstraal.

Ingenieur Reinout Janssens

115/123

meetmethodes 02

3.4.7 Berekening van de uiteindelijke planimetrische afstand (normale landmeetkundige metingen) Aangezien afstandsmetingen vaak een onderdeel vormen van triangulatienetwerken of van een polygonale, is vaak de afstand gewenst tussen twee punten van een triangulatienetwerk of van een polygonale.

De meest gebruikelijke werkwijze bestaat er in het totaalstation op te stellen ergens tussen beide punten in en de reflector afwisselend in elk van de eindpunten op te stellen. Naast beide afstanden wordt ook de hoek tussen beide e indpunten gemeten en de cosinus regel leert dan de gezochte afstand. Vaak is het voordelig oor foutcompensatie om in de buurt na de middelloodlijn op te stellen.

Indien op de koorde tussen de eindpunten wordt opgesteld, vervalt het meten van de hoek tussen beide punten (deze bedraagt dan 200 gon) en is de gezochte afstand de som van beide gemeten deelafstanden. Nadeel is dat dit niet gemakkelijk nauwkeurig te verwezenlijken is en het feit dat de prismaconstante bij deze opstelling nauwkeurig gekend moet zijn.

Een derde mogelijkheid is dat de opstelling boen één van de eindpunten, waardoor nog slechts één afstand moet worden gemeten. Dit is in de praktijk nog moeilijker nauwkeurig te realiseren.

Er kan worden aangetoond dat bepalen van het optimale opste lpunt afhankelijk is van de hoekmeetnaukeurigheid , van de te meten afstand en van de parameterwaarden a en b in de afstandsfoutformule. Dit is geenszins een triviaal probleem.

Beschikt men over een basislijn waarvan de afstand met een zeer hoge nauwkeurigheid en betrouwbaarheid gekend is dan de nauwkeurigheid waarmee de huidige , te corrigeren, afstandsmetingen zijn verricht, dan verdient het aanbeveling deze basislijn zelf te meten en een schaalfactor te bepalen uit de verhouding van de gekende tot de gemeten lengte van deze basislijn. Die schaalfactor kan dan worden gebruikt voor de correctie van alle gemeten en gereduceerde afstanden.

Samenvattend, dienen volgende correcties minimaal te worden toegepast: 1. Herleiding tot de gereduceerde of horizontale afstand 2. Correctie voor temperatuur en luchtdruk (enkel voor afstanden > 100m) 3. Schaalfactor volgend uit de vergelijking met een zeer nauwkeurig referentie afstand (enkel indien deze met grote nauwkeurigheid gekend is).

Ingenieur Reinout Janssens

116/123

meetmethodes 02

3.4.8 Varia: de reflector Synoniem = prisma Bij de meeste metingen staat de reflector niet loodrecht. op invallende straal, toch is een perfecte reflectie nodig. Deze scheefstand mag immers niet tot gevolg hebben dat een foute afstandswaarde bekomen wordt. De oplossing bestaat erin gebruik te maken van drie loodrecht op elkaar staande spiegels te gebruiken, die samen aldus het zo gehete tripelprisma vormt. Het principe bestaat er in dat de invallende lichtstraak alle 3 deze spiegels ontmoet, waardoor de afstand die de lichtstraal doorloopt binne n het prisma steeds constant is onafhankelijk van de invalshoek.

De invalshoeken mogen dan ook vrij ruim variëren zonder noemenswaardige fouten te genereren.

Goed viseren blijft opportuun, daar men er zich moet van bewust zijn dat bij een totaalstation afstand en hoeken los van elkaar worden gemeten. De lichtstraal geeft geen hoekmeting, enkel een afstandmeting. Het is bijgevolg de stand van de kijker (volledig in correlatie met het viseren) die de hoekwaarden bepalen. Om dit viseren makkelijk mogelijk te maken is een viseerplaat geen overbodige luxe.

Reflecterende stickers is een zinvol alternatief indien de reflectoren voor lange tijd op hun plaats dienen te blijven. De belangrijkste nadelen zijn: 1. enkel bruikbaar voor korte afstanden 2. kleine variaties mogelijk bij de invalshoek in vergelijking met een tripleprisma

Ingenieur Reinout Janssens

117/123

meetmethodes 02

3.4.9 Reflectorloze afstandsmeting De meeste van deze afstandmeters werken met pulslaser en dus geen continu uitgezonden lasersignaal.

Het gaat hem hier over een zeer hoge frequentiegolf (bv 15 MHZ), die dus qua energieinhoud veel hoger scoort dan een meting met reflector.

Het principe bestaat erin dat het oppervlak pulsen in allerlei richtingen weerkaatsen.

Indien er voldoende wordt terug gekaatst tot bij het meetinstrument dan is een meting mogelijk. In tegenstelling tot het meten met een reflector wordt hier het tijdsverschil bepaald tussen het vertrek en de aankomst van de puls.

Door een beperkte nauwkeurigheid van de tijdsmeting is de nauwkeurigheid van één dergelijke meting dan ook beperkt. Nauwkeurigheid wordt gehaald uit herhaalde metingen (automatisch).

3.4.9.1 Verschillen met vorig meetprincipe (fasemeting):    

Meer energie nodig, vandaar pulsmeting Bereik kleiner (30 a 100m) Nauwkeurigheid lager door het ingemeten object (vorm en aard) Tijdsmeting(nu nauwkeurigheid in de orde van 100 ps = 100.10 -12s))

3.4.9.2 Eigenschap van een pulslaserstraal Een pulslaser waaiert uit.

3.4.9.3 Aard van het oppervlak van het in te meten object  Slechte oppervlakken: o Absorberend oppervlak o Reflecterend oppervlak o Transmissie=doorlatend  Goede oppervlakken: o Diffusie = verstooien

Ingenieur Reinout Janssens

118/123

meetmethodes 02

3.4.9.4 Positie van het in te meten object (gerelateerd met “Eigenschap van een pulslaserstraal”) Niet alleen de aard van het object is van belang. Ook de positie van de afstandmeter tov het in t meten object is van cruciaal belang.

Indien een puls niet loodrecht invalt op een object, dan worden meerdere afstanden gemeten voor hetzelfde ingemeten object. Het toestel neemt een gemiddelde van de afstanden. In de meerderheid van de metingen is dit een goede werkwijze . Onderstaand voorbeeld geeft dit weer.

Bij onder andere het meten van een hoek van een gebouw geeft dit een totaal verkeerde afstand (denk hier zelf eens over na aan de hand van onderstaande tekening) . Dergelijke problemen kunnen met een minimum aan logica omzeild worden.

Ingenieur Reinout Janssens

119/123

meetmethodes 02

De indirecte meetmethode is een oplossing voor een dergelijk probleem.

Onderstaande figuren tonen hoe er mbv een indirecte meetmethode een hoe van een gebouw kan worden ingemeten.  Het principe bestaat erin dat men twee keer twee punten meet. Hierdoor ontstaan twee rechten (een rechte door 1 en 2 + een rechte door 3 en 4) die 1 snijpunt hebben. Dit snijpunt is het gevraagde hoekpunt.



Een punt net naast de hoek wordt gemeten, hiervan kan men de correcte afstand bepalen door een het gemiddelde te bepalen van meerdere metingen. Nadien draait men bij om zo ook een correcte hoekmeting te realiseren.

Ingenieur Reinout Janssens

120/123

meetmethodes 02 

Door middel van excentriciteiten

Ingenieur Reinout Janssens

121/123