Cil mate sim solucionario algebra

Soluciรณn a los ejercicios de รกlgebra

ÁLGEBRA

EJERCICIO 6

CAPÍTULO 1

1. A ∪ B = { –3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 4, 6 }

EJERCICIO 1 1. s 2. s 3. 0

4. s 5. 0 6. 0

7. 0 8. s 9. 0

U

10. s 11. s 12. s

EJERCICIO 2 1. R = { x N | x es divisor de 10 } 2. A = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3. B = { 4 } 4. C = { x N | x es divisor de 20 } 5. V = { – 2, – 1, 0, 1, 2 } 6. Q = { e, o, u } 7. T = { 2, 3, 4, 5 } 8. S = { 2, 3, 7 } 9. U = { x N | x es un múltiplo de 4 } 10. M = { 2, 10, 50 }

EJERCICIO 3

2. n B 1 3. n S 4 4. n R 0 5. n Q c 1. n A 8

7. n M 0 8. n L 4 9. n J c 10. n O 12 6. n T 1

5

A

B

–3

4

–2 0 –1 1

3

2 6 7

2. A ∩ B = { 2 }

U A

5

–3 –2 0 –1 1

B

3

4 2 6 7

3. A′ = { 3, 4, 5, 6, 7 }

U

5

A –3 –2 0 –1 1

B

3

4 2 6 7

EJERCICIO 4 1. Iguales 2. Equivalentes y disjuntos 3. Disjuntos 4. Disjuntos 5. Equivalentes 6. Equivalentes y disjuntos 7. Equivalentes y disjuntos 8. Disjuntos 9. Disjuntos 10. Iguales

4. B ′ = { – 3, – 2, – 1, 0, 1, 3, 5, 7 }

U A

5

–3 –2 0 –1 1

B

3

4 2 6 7

5. A – B = { – 3, – 2, – 1, 0, 1 }

EJERCICIO 5 U

1. 8 subconjuntos 2. 32 subconjuntos 3. 16 subconjuntos 4.

[ [ ] , [ A ] , [ B ] , [ Q ] , [ A , B ] , [ A ,Q ] , [ B,Q ] , [ A , B,Q ] ] [ [ ] , [ a ] , [ c ] , [ e ] , [ f ] , [ a, c ] , [ a, e ] , [ a, f ] ,

[ c , e ] , [ c , f ] , [ e , f ] , [ a, c , e ] , [ a , c , f ] , [ a , e , f ] , [ c , e, f ] , [ a, c , e, f ] ] [ [ ] , [ 1 ] , [ 2 ] , [ 3 ] , [ 6 ] , [ 1, 2 ] , [ 1, 3 ] , [ 1, 6 ] , 6. [ 2, 3 ] , [ 2, 6 ] , [ 3, 6 ] , [ 1, 2, 3 ] , [ 1, 2, 6 ] , [ 1, 3, 6 ] , [ 2, 3, 6 ] , [ 1, 2, 3, 6 ] ] 7. [ [ ] , [ 1 ] , [ 3 ] , [ 9 ] , [ 1, 3 ] , [ 1, 9 ] , [ 3, 9 ] , [ 1, 3, 9 ] ] 8. [ [ ] , [ 5 ] , [ 6 ] , [ 7 ] , [ 5, 6 ] , [ 5, 7 ] , [ 6, 7 ] , [ 5, 6, 7 ] ]

5

A –3 –2 –1 0 1

B

3

4

2

6

7

5.

6. B – A = { 4, 6 }

U A –3 –2 –1 0 1 5

1456

B

3

4 2 6

7

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 7

EJERCICIO 8

[

]

[

]

1. A B 0,1, 2, 3, 4, 6, 8,12 2. B C 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,12

[

]

[

]

3. C D 0,1, 2, 3, 4, 5, 6

4. D B 1, 2, 3, 4, 5, 6,12

[

5. A B 2, 4, 6

[

6. A D 4, 6

1.

U

] A′

]

[

7. C E 0,1, 2, 3, 4, 5

[

8. B C 1, 2, 3, 4

]

2.

]

U

[

9. A′ 1, 3, 5, 7, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

[

]

[

]

10. B ′ 0, 5, 7, 8, 9,10,11,13,14,15,16,17,18

11. C ′ 6, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

[

[

[

]

B

(A ∩ B)′

]

14. C – D 0,1, 2

A

]

12. D ′ 0,1, 2, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18 13. A – B 0, 8

A

3.

]

U

[

15. E – B 0, 5, 7, 8, 9

[

16. B – A 1, 3,12

A

]

B

]

[

17. A′ ∩ B 1, 3,12

]

[

18. A ∪ B ′ 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11,13,14,15,16,17,18

[

19. B ′ ∩ E ′ 10,11,13,14,15,16,17,18

[

20. A′ – G 1, 3, 5, 7, 9,10,11,13,15,17

] 4.

]

[

U

]

21. (A ∪ B)′ 5, 7, 9,10,11,13,14,15,16,17,18

[

22. (A ∩ B)′ 0,1, 3, 5, 7, 8, 9,10,11,12,13,14,15,16,17,18

[

[

24. B ∪ (F – G ) 1, 2, 3, 4, 6,12,15,17

]

C A∩B∩C

[

26. (F ∩ G ) ∪ D 3, 4, 5, 6,14,16,18

[

27. E ′ ∩ (A ∪ G ) 12,14,16,18

]

5.

]

[

28. (E ∪ F ) ∩ (A ∪ G ) 0, 2, 4, 6, 8,14,16,18 29. (C ∪ E ) ∩ (F ∪ G )

B

]

]

25. (F – G ) ∩ E ′ 15,17

A

]

23. (A ∪ F ) ∩ C 0, 2, 4

[

A′ ∩ B ′

]

U

]

A

B

[ ] F [

30. (B ∪ D) ∪ (F ∩ G ) 1, 2, 3, 4, 5, 6,12,14,16,18

[

31. (B ∪ D)′ – (E ∪ G )′ = 0, 7, 8, 9,14,16,18

[

]

]

32. (A′ ∩ B ′ ) – (E′ ∩ F ′ ) 5, 7, 9,14,15,16,17,18

C

]

(A ∪B) ∩ C

1457

ÁLGEBRA

11.

6.

U

A

A

U

B

B

C

C B ′ ∩ (A – C )

((A – B) ∪ (B ∩ C ))′ 12.

7.

U

A

A

U

B

B

C

C

(A′ ∪ B ′) – (A′ ∪ C ′)

(A ∪ C ) ∩ (B – C )

EJERCICIO 9

8.

[

1. A B 0,1, 2, 3, 4, 5, 7

U

A

]

B U

A

B

0 3 1 4

2

7 5

C (A – B) ∪ (A ∩ C )

6

9.

[

2. A B 2, 3

U

A

9

8 C

]

B U

A

B

0 3 1 4 C

5 9

6

C

[

10.

3. A′ ∪ B ′ 0,1, 4, 5, 6, 7, 8, 9

U

7

8

(A ∩ B ∩ C )′

A

2

B

U

] A

B

0 3 1 4

2

7 5 9

8

C 6 (A ∩ B) ∪ (B ∩ C )

1458

C

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

[

4. A′ ∩ B ′ 6, 8, 9

]

[

9. (A – B)′ ∪ C ′ 0,1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9

U

A

B

U

A

0 3 1

2

4

3 1

5

4

]

[

A

U

B

]

A

B

0 3 2

4

3

7

1 9

6

[

U

B

2

7

1 4

5 9

8 6

]

A 0

0

4

9 C

11. (A – B )′ ∩ (B – C )′ 2, 5, 6, 8, 9

3

5

6

] A

7

8

C

1

2

4

5

8

U

9 C

10. (A ∩ B )′ ∩ (A′ ∩ B ′ ) 6, 8, 9

1

[

5

6

0

6. (A ∪ B ∪ C )′ 6, 9

7

8

C

U

2

9

6

[

B

0

7

8

5. (A ∪ B ) ∩ C 2, 4, 5

]

B 3 2

7 5 9

8 6

C

C

[ ]

12. (A′ ∪ B ′) – (A′ ∪ C ′ ) 4

[ ]

7. (A′ – B ′) ∩ C 5

U

U

A

A

B

0

0

3

3 1

2

4

7

1 4

6 C

U

B 3 2

U

D

7

P 19

101

5

4

6

41 14

9

8 6

9 C

1.

0

4

5

EJERCICIO 10

]

A

1

7

8

9

8

[

2

5

6

8. (A – B)′ ∩ (B ∩ C )′ 3, 6, 7, 8, 9

B

16

C

49

1459

M

a) 101 personas b) 158 personas c) 100 personas

ÁLGEBRA

EJERCICIO 13

2.

U

N

F 18

7 6

12

28

a) 52 niños b) 73 niños c) 100 niños d ) 32 niños

8

1. a ∧ b 2. a ∧ ∼b 3. ∼a ∨ ∼b 4. b ∨ a 5. ∼a ∧ b 6. ∼(a ∧ b)

1 20

B

EJERCICIO 14 1. ∼a = “España no está en Europa y 6 no es número par”

3.

2. ∼b = “Los perros no ladran o 12 no es múltiplo de 3”

U

S

G 9

5 4

6

10 2

a) 8 personas b) 5 personas c) 10 personas d ) 26 personas e) 34 personas f ) 36 personas

8

3. ∼c = “5 no es número par o es múltiplo de 15” 4. ∼d = “7 es primo y no es divisor de 21” 5. ∼e = “6 es número impar o el tucán es un ave”

EJERCICIO 15 1.

26

B Conversa: “Si 3 no es par, entonces es divisor de 6”

4.

Contrapositiva:

W

U

T 3

12 5

9

11

a) 5 personas b) 15 personas c) 55 personas d ) 31 personas

“Si 3 es par, entonces no es divisor de 6” Inversa: “Si 3 no es divisor de 6, entonces es par”

7 2.

8

Conversa:

V

5

“Si x es divisor de 25, entonces es múltiplo de 5” Contrapositiva:

5.

“Si x no es divisor de 25, entonces no es múltiplo de 5”

U

Ch

F 4

10 6

9

2

a) 50 niños b) 13 niños c) 20 niños d ) 16 niños

Inversa: “Si x no es múltiplo de 5, entonces no es divisor de 25”

3.

3

Conversa:

8 8

V

“Si un triángulo no es un cuadrilátero, entonces es un polígono” Contrapositiva: “Si un triángulo es un cuadrilátero, entonces no es un polígono”

EJERCICIO 12 1. “España está en Europa y Japón está en Asia”

Inversa: “Si un triángulo no es un polígono, entonces es un cuadrilátero”

2. “España está en Europa o Japón está en Asia” 3. “España no está en Europa” 4. “Japón no está en Asia” 5. “Si España está en Europa, entonces Japón está en Asia” 6. “España está en Europa, si y sólo si Japón está en Asia”

4.

Conversa: “Si la Luna es un satélite, entonces Marte no es un planeta”

7. “España no está en Europa y Japón está en Asia”

Contrapositiva:

8. “España está en Europa o Japón no está en Asia”

“Si la Luna no es un satélite, entonces Marte es un planeta”

9. “No es verdad que España está en Europa o Japón está en Asia”

Inversa:

10. “No es verdad que España está en Europa y Japón está en Asia”

“Si Marte es un planeta, entonces la Luna no es un satélite”

1460

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

5.

6.

Conversa:

Números reales

“Si 17 no es múltiplo de 50, entonces es número primo”

Números enteros

Contrapositiva: “Si 17 es múltiplo de 50, entonces no es número primo” Inversa:

Números primos

“Si 17 no es número primo, entonces es múltiplo de 50”

EJERCICIO 16

[

1. 2, 4, 6, 8

]

7. ∼ g = “x ≤ 7”; x N

N ∼ g = “x > 7”; x N

x es par

x 10

N x

[

2. 2, 4

7

] N x es par menor que 12

8. ∼ h = “x no es par y x g 8”; x N

x

5 ∼ h = “x no es par y x q 8”; x N

N

[

3. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9,12,15,18,...

]

x es par

N x es múltiplo de 3

[

4. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

x 8

x 8 9. ∼ i = “x ≥ 4 o x no es par”; x N ∼ i = “x < 4 o x no es par”; x N

]

N N x es primo 11

x

x es par 10

4

x es par

10. ∼ j = “x ≤ 5 o x no es primo”; x N

5.

∼ j = “x > 5 o x no es primo”; x N

Ciudadanos Mexicanos

N

Duran – guenses

x

1461

5

x es primo

ÁLGEBRA

EJERCICIO 17 1. Falso

2. Falso

3. Falso

4. Verdadero

5. Verdadero

6. Verdadero

EJERCICIO 18 1.

3. p v v f f

q v f v f

q f v f v

p

p v v f f

q v v f v

2.

p f f v v

q v f v f

p

q f v f v

q v v f v

4. p v v f f

q v f v f

q f v f v

p

q f v f f

5.

(p

q

p

(p

q)

p

q

v

v

v

f

f

v

f

v

f

v

v

f

v

v

f

f

v

f

f

f

v

v

v

q)

q

q

v

6. p

q

p

(p

q

(p

q)

q)

p

q

p

q

v

v

v

v

v

v

v

v

v

f

f

v

f

v

f

f

v

f

v

f

f

v

f

f

f

f

v

f

f

7.

(p

q

p

q

p

q)

(p

(p

q)

v

f

f

v

f

v

v

v

v

f

f

f

v

f

f

8. p

q

v

v

q

p

q

(p

p

v

v

(q

q)

p)

p

q

v

v

v

q

p

(p

p

q)

(p

(p

q))

v

v

v

v

f

f

v

v

v

f

f

f

v

f

v

v

f

v

f

v

v

f

v

f

f

v

v

v

f

f

v

f

v

p

q

p

q

v

v

f

f

f

v

f

v

p

9. p

(p

q

p

q

q)

( p

(p

q)

v

f

f

v

f

v

f

v

f

v

v

f

f

v

f

v

f

f

v

v

v

f

v

v

10.

q)

11. (p

(p

( q

r)

p

( q

p

q

r

p

q

r

p

q

v

v

v

v

v

v

v

v

v

f

f

f

f

v

v

f

v

v

v

v

v

f

f

f

v

v

v

f

v

v

v

v

v

f

v

f

v

v

v

v

f

f

v

v

v

v

f

f

f

v

f

f

f

v

v

v

v

v

f

v

f

v

f

f

f f

v v

v f

v v

f f

f v

v v

f

f

v

f

v

f

f

f

v

v

v

v

v

f

f

f

f

f

f

f

f

f

v

v

f

v

q

p

p

r

q)

r)

1462

r)

q)

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 22

EJERCICIO 19

[ 1, 2 , 1, 4 , 2, 2 , 2, 4 , 3, 2 , 3, 4 ] A r C [ 1, 3 , 1, 5 , 1, 6 , 2, 3 , 2.

2, 5 , 2, 6 , 3,33 , 3, 5 , 3, 6 ] 3. B r C [ 2, 3 , 2, 5 , 2, 6 , 4, 3 , 4, 5 , 4, 6 ] 4. B r A [ 2,1 , 2, 2 , 2, 3 , 4,1 , 4, 2 , 4, 3 ] 5. C r B [ 3, 2 , 3, 4 , 5, 2 , 5, 4 , 6, 2 , 6, 4 ] A r B r C [ 1, 2, 3 , 1, 2, 5 , 1, 2, 6 , 1, 4, 3 , 1, 4, 5 , 1, 4, 6 1. A r B

2, 2, 3 , 2, 2, 5 , 2, 2, 6 , 2, 4, 3 , 2, 4, 5 , 2, 4, 6 3, 2, 3 , 3, 2, 5 , 3, 2, 6 , 3, 4, 3 , 3, 4, 5 , 3, 4, 6 ] A r B r C [ 1, 2, 3 , 1, 2, 5 , 1, 2, 6 , 1, 4, 3 , 1, 4, 5 , 1, 4, 6 7.

2, 2, 3 , 2, 2, 5 , 2, 2, 6 , 2, 4, 3 , 2, 4, 5 , 2, 4, 6 3, 2, 3 , 3, 2, 5 , 3, 2, 6 , 3, 4, 3 , 3, 4, 5 , 3, 4, 6 ] 8. A B r A C [ 1, 3 , 2, 3 , 3, 3 , 4, 3 ] 9. A B r C [ 1, 3 , 1, 5 , 1, 6 , 3, 3 , 3, 5 , 3, 6 ] 10. A C r A C [ 1, 3 , 2, 3 ] 6.

1. x 3 2. 3a 8 3.

x y

4. 100 x 5. x , x 1 6. 2a, 2a 2, 2a 4 con a Z

7. x y

8. x 2 y 2 9.

1 x 3

10. x y 11. a b 12. 5 x 10 13.

a b 6

3 2x 4 4

15. 2 y 10 y 21 y 1 16. xyz 4 4

2 49

18. A x 2

20. x x 3 x 5 P

19. P 2 3a a 2 4a 8a

EJERCICIO 20 1. 5x

10. 2n

19. a 2 b ab 2

2. 13a 2 b

11 11. a 3b 60 12. 0

20. a 3b 2 c 2a 2 bc 2

3. 10 xy 2

21. 7 x 2 10 y 2 8

21. x 0.15 x 0.85 x 22. 50 2 x 23. x ,80 x 24. 2 x 1, 2 x 3, 2 x 5 con x Z

4. 0

1 13. 0.05b b 20

22. 8m 2 4mn 5n 2

5. 10a 2 b

14. 2ab 3 c

23. 2 x 2a 1 5 x 3a 2

26. x 10

6. 8a

15. 3m x 2

24. 9a m 5 7 x m 2

27. x 3

7. x

16. 3x 3 y

15 25. a 2 3ab 4

8. 8ab

17. b

26.

9. a 2

18. 11m 8n

27.

17 m 1 17 m 2 x

b 6 20

1 x 3y 2

EJERCICIO 21 1. 1 2. 5 3. 3 4. 1 5. 14 7 6.

12 7. 2 8. 6 9. 24

14. 2 x 2 x 2 2 x 4 3 2 x

17. a b

CAPÍTULO 2

2

10.

1 36

11.

49 144

12. 31 13.

65 4

14. 24 15.

105 8

16.

7 3

17. 2 11 18.

12 23 19.

4 20.

9 64

21.

5 12

22.

285 16

23.

1 156

24. 432 25.

33 2

25. A x 3x 3

x 2 28. x , 2 x ,180n 3x 29. 0.30 x 30. 2 x 4 2 1 31. x 3 x 1 10 3 x

32. 2 x 3 x 1 7 EJERCICIO 23

1. Un número aumentado en tres unidades.

2. El doble de un número disminuido en once unidades.

3. El triple del cuadrado de un número.

4. Las cinco sextas partes de un número cualquiera.

5. El recíproco de un número.

6. El cuadrado de la suma de dos cantidades diferentes.

7. La suma de los cubos de dos números.

8. El cociente de un número entre su consecutivo.

9. El quíntuplo de un número equivale a treinta unidades.

10. El triple de un número disminuido en dos unidades equivale a veinticinco.

1463

ÁLGEBRA

11. Las tres cuartas partes de un número aumentado en dos unidades equivalen a dicho número.

12. Una sexta parte de la diferencia de dos cantidades aumentada en tres unidades equivale a la suma de dichos números.

13. El cociente de dos números equivale a un quinto de su diferencia.

14. La diferencia de los cuadrados de dos cantidades.

15. La diferencia del cuadrado de un número con el doble del mismo.

16. El cuadrado de la semisuma de dos cantidades.

17. La raíz cuadrada del cociente de la suma de los números entre la diferencia de ellos.

18. La suma de los cuadrados de dos números enteros consecutivos.

EJERCICIO 24 1. 10 x 5 y z 2. 3m n 2

EJERCICIO 25 1. 3a 2 2a 5 2. x 3 5 x 2 10 x 11 3. 5a 5 4a 4 7a 3 2a 2 9a 1 4. 15 x 4 y 17 x 2 y 3 5 xy 4 5. a 5 b 4a 4 b 2 2a 3b 3 5ab 5 1 6. x a 2 13x a 1 x a 12 x a 1 7. 10a 2m 1 6a 2m 5a m 1 a m 3 8. x 3 9.

3. 3a b

9 2 16 5 x x 4 3 3

2 4 3 4 m n m 3 n 2 m 2 n 3 2mn 4 3 5 3 5 4 14 3 4 1 x x y x 2 y2 y4 2 5 15 3

4. 7 p 2q 7r

10.

5. 5 x 2 10 x 2

11. 3x 7 y 5

6. 2a 3 9a 2 5

12. 2a 2

7. 2 x 4 x 3 2 x 2 x

13. 18 x 3 18 x 2 5 x 1

8. x 2 2 x

14. 2a 4 2a 2 a 5

9. 5 y 3 3 y 2 3 y 1

15. 4 x 7 y 5 6 x 6 y 4 12 x 3 y 2

10. 2 z 3 7 z 2 7 z 1

16. 4m x 1 2m x 2 m x 5 3m x 6 4m x 9

11. 9 x 2 3xy 11 y 2

17. 15a n 10 4a n 9 5a n 2 3a n 1 8a n 5a n 3

12. x 5 x 4 x 3 6 x 2 3x 2

18.

1 7 5 m n p 2 10 6

19.

5 3 5 2 1 5 3 x x y xy 2 y 6 4 2 12

13. 23x 3 y x 2 y 2 10 xy 3 14. 4 x 4 xy 3 4 y 4 15. 4a7 3a 6 6a 4 a 2 7a 16.

1 2 1 x 3xy y 2 6 3

1 13 7 2 17. a 2 ab b 3 12 24 18.

5 3 1 2 1 x x y xy 2 2 y 3 3 3 8

1 5 17 y 19. x 3 x 2 x 3 2 6 20. x 5

21.

13 4 3 5 3 29 5 x y x 3 y 2 x 2 y 3 xy 4 y 5 10 6 4 18

1 4 1 3 1 2 1 1 x x x x 6 4 3 4 4

22. 3a 3 x 2a 2 x a x

20.

17 5 23 4 2 15 3 3 1 2 4 a b a b a b a b 2 4 4 2

EJERCICIO 26 2. 11a 3b 2c

8. 2 x 20 y

3. 23x 3 y

9. 5 x 2 y 18 z

4. 23m 14n

10. 5 x 5 y 8 z

5. 12a 2b

11. 2a

6. 18 x 7 y

12.

1. 15 x 2

2 1 y 1 1 2 y 1 1 3 y x x x 3 12 3

14 17 x y 15 15

7. x 2 y 2 z 2

2. 24 x 8 y 9 z 2 9

3. 14a bc

25.

9 b 10

EJERCICIO 27

23. x 2a x 2a 2 7 1 7 24. b 2 x b x b 8 6 3

7. 19 x 2 4 x 12 y

1. 8x y

4.

8

3 xyz 5 10

5. 50m 8 p 4 6. 3c11 m10 p 2

1464

8. 4a 4 bc 9. m 5 n 2 p 7 8 13 3 a b c 6 12 3 2 4 11. x y z 35 12. 27m7 p 3 10.

SOLUCIÃ&#x201C;N A LOS EJERCICIOS

13. 0.1m 8 np 5

22. 56 x 9 y 8 z 2

7. 9 x 2 3xy 2 y 2

14. 0.048abcxyz

23. 30xyz

8. n 4 3n 2 28

15. 10a m 2 b n 3 c 2

24. 48 x11 y 8

16. 42m 17. 36 x 18. 6 x 19.

8 25. a12 b 5 c 4 3

3x 2 4 x 5

n

1 26. a 9 b 4 c 4 2

3m 5 2n 5

y

5a 2 9a 5

27. 40a 6 x 4 b 3 x 3 c x 2

y

1 5 x 2 2 x 1 x 4 a b c 4

28.

1 4 a 2 7a 1 x y 12

20. 2 x a 1 y

29. 24 x 9a 2 y 6a 1

21. 30a 6 b 3 c

30. 20a 8 x 2 b 6 m 2 x 3 n 5 x 3

9.

1 2 7 x x 4 2 3

10.

10 2 16 3 x xy y 2 9 3 2

11.

4 2 31 3 x xy y 2 15 30 4

12. x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 13. x 3 3x 2 y 3xy 2 y 3 14. m 3 n 3 15. m 3 n 3 16. 15 x 3 22 x 2 y 13xy 2 14 y 3

EJERCICIO 28

17. 27a 3 51a 2 b 40ab 2 28b 3

1. 8a 5 b 14a 4 b 2 5

4

2

18. 4a 4 2a 3 6a 2 11a 4

2. 15m 9m 18m 9m 4

3

2

19. 15 x 5 20 x 4 9 x 3 12 x 2 18 x 24

3. 3x y 7 x y 2 x y 3

2 2

4. 6a b 21a b 24ab 8 4

7 5

3

20. x 4 3x 3 3x 1

6 7

5. 24a b 28a b 16a b

21.

6. 35 x 7 y 4 z 2 15 x 6 y 3 z 20 x 2 y 2 z 2 7. 40m 4 np 3 24m 5 p 4 48m 3 p 3

22. 10 x 3

8. 12a 4 c 5 21a 3bc 4 6ac 5 9. 15m x 7 n 2 x 1 9m x 2 n 2 x 4 6m x 2 n 2 x 1 10. 14 x a 3 12 x a 1 16 x a 18 x a 1 4 x a 2 11. 9a

3 x 2 3 x 1

12. 25 x

b

5m

y

3n 1

21a

3 x 1 3 x 2

10 x

5m 1 3n 2

b

12a

y

2 3 27 2 193 2 7 3 a a b ab b 15 10 18 6

2 x 1 2 x 2

20 x

b

5m 2 3n 3

y

23. x 3

23 2 21 2 1 3 x y xy y 6 20 15

13 2 63 2 1 3 x y xy y 30 40 2

24. m x m x 1 n mn a 1 n a 25. b m 3 b m 26. x 2m 5 2 x 2m 4 3x 2m 3 4 x 2m 2 2 x 2m 1

13. 12a x 5 b y 2 c m 5 12a x 4 b y 3 c 7 8a x b y 1 c 6

27. x 2a 3 4 x 2a 2 x 2a 1 2 x 2a

1 1 2 14. a 3b 2 a 2 b 3 ab 4 3 2 5

28. 6 x 4 31x 3 43x 2 6 x 8

15. x 5 y 8 x 4 y 2 16.

4 3 3 x y 9

8 7 2 14 32 3 6 1 3 a b c a5b 4 c a b c ab c 25 5 25 20

17. 4a 6m 4 b 2m c 4

35 m 6 m 4 a c 2

18. 3x 2m 3 x 2m 2

3 x 2m 1 2

19.

28 m 1 3n 1 16 m 3n 3 a b c a b 3 5

20.

16 3 x 3 3a 4 14 m n m 3 x 2 n 3a 3 m 3 x n 5 15 5

EJERCICIO 29 2

29. 18 x 4 25 x 2 14 x 9 30. 4 x 5 y 6 x 4 y 2 2 x 2 y 4 12 xy 5 31. m 2 2mp n 2 p 2 32. 2m 2 5mn mp 3n 2 np 10 p 2 33. a 2 b 2 2bc c 2 34. x 6 2 x 5 x 4 4 x 3 4 x 2 35. 3x 4 11x 3 20 x 2 7 x 5 36. x 2m 4 2 x 2m 3 x 2m 2 x 2m 37. 2 x 2m 3 7 x 2m 2 7 x 2m 1 x 2m x 2m 1 38. a 6 2a 4 b 2 4a 2 b 4 7ab 5 2b 6 39. m a 2 2m a 8m a 1 3m a 2

1. x 5 x 14

40. 30 x 5a 1 34 x 5a 31x 5a 1 23x 5a 2 3x 5a 3

2. m 2 m 72

41. m 6 2m 5 2m 4 3m 3 2m 2 m 1

2

3. x 5 x 6 4. 3x 2 19 x 28

42.

1 5 1 4 55 3 17 2 55 3 x x x x x 9 4 72 12 48 2

5. 6 x 2 11x 10

43. a 2 x 3 2a 2 x 2 2a 2 x 1 4a 2 x a 2 x 1 a 2 x 2

6. 25 x 2 16 y 2

44. a 2 x 6 a 2 x 5 5a 2 x 4 4a 2 x 3 a 2 x 2 5a 2 x 1 5a 2 x

1465

ÁLGEBRA

EJERCICIO 30

EJERCICIO 32

1. 3a 4 b 5

13. 3a x 2 b x 3 c x 3

2. 6 x 4

10 14. x 5m 5 y 9n 5 z 2m 2 3 15. 1 7 2 16. ac 20

5 3

3. 2a b

2 4

4. 4 p q

1. x 2

28. 4 x 2 6 xy 9 y 2

2. x 1

29. x 4 2 x 2 y 2 4 y 4

3. x 3 y

30. a 3 a 2 a

4. x 3

31. x 4

5. x 6

32. 2 x 2 xy 3 y 2

6. x 6

33. 3x 2 x 2

7. m 4n

34. 3x 2 x 1

8. x 10 y

35. 2 x 2 3x 1

9. n 2 6

36. 2 x 2 3x 5

21. 9n p

10. m 3 4

37. 4a 2 6a 7

1 22. c 3 d 5 x 2

11. x 4 2

38. 6 x 2 3x 4

12. x 6 7

39. 7 x 2 x 4

13. 3x 7

40. 5 x 2 9 x 3

14. 4m 3

41. 4 x 2 3x 1

15. 5a 7

42. 5a 3 3a 2 b 6ab 2 2b 3

16. 2a 3b

43. 4 x 5 6 x 4 7 x 3 8 x 2 3x 2

17. 7m 3

44.

18. 3a 4b

45. 4 x

19. 7m 3n

1 46. 4m n 3

20. 3x 2 y

47.

21. 3m 2 5n 2

48. x a 2 x a 1 x a

22. 3m 2 5

49. a m 1 b y 1

23. 5m 3 6

50. m a 2m a 1 m a 2

24. 5m 2 3m 2

51. m x 2 3m x 1 2m x

25. 3x 2 7 x 6

52. m x 2 2m x 1 m x

26. 2a 7

53. 5m 2 x 2 m 2 x 1 3m 2 x 54. x m 4 x m 3 2 x m 2 x m 1

3 a 4

5. 3a 8 b

17.

6. 5a 6 b 6

18. 4 xy 5

1 7. x 4 y 2 3

19.

7 m 1 n 2 a b 6

2 8. a 2 b 6 3

20.

1 4 5 x y 9

2 9. x 2 z 3 10.

4

1 3 xy z 4

11. 2 x 7a 6 y 3b 3

23. 2a 3b 2 9 24. a 4m 1b 2n 2 8

12. 5a n 6 b 2n 7

EJERCICIO 31 1. x 2 2. 2 x 1 3. 5 x 2 y 4. 2 x 2 x 1 5. x 2 3x 4 5 6. 2 x 4 x 2 3x 2 7. 9m 3 n 4 5m 2 n 4 1 8. 4a 6 b 2 6a 5 b

1 3 a 8

9. 4 x 7 y 5 7 x 5 y 2 1 1 10. a 5 2 11.

1 2 5 1 3 1 2 a b ab b 30 24 6

1 2 12. a7 b 5 2a 5 b 4 a 3b 3 9 9 5 13. x 6 y 4 x 7 y 2 5 x 3 4 2 14.

5 4 4 10 2 2 5 7 x y x y xy 36 9 18

27. x 2 xy y 2

15.

1 8 5 4 6 4 1 3 3 2 2 x y x y x y xy 5 15 20 5

EJERCICIO 33

16. 2 12a x b y c z 16a 2 x b 2 y c 2 z 17.

1 a 3 12 x y 2 x 4 y1 a 6

18. 4a 3m 2 b 3m 3a 2m 7 b 2m 6 2a m 1b m 1 19. 2a 4m 6 b n 10 5a 5m 4 b n 1

4 3m 2 5 2n a b 5

20. 9 x 2a y b z 3 2 x 2a 1 y b 1 z c 2 4 x 2a 2 y b 3 z c 3

5 1 a b 3 2 1 y 5

1 2 a 4 3

1. 6t 2 t 6

7. 4x y

2. x 2 2 x 4 400

8. 6t 4 t 3 7t 2 2

3. 5 x 2 6 xy y 2

9. 40 x 2 36 x 8

4. 15 y 2 14 y 3

10. 9 x 2 1

5. 20 x 2 7 xy 6 y 2

11. 15 x 2 4 x 3

6. 12w 3 8w 2 13w 3

12. 20 x 2 3x 9

1466

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 3 EJERCICIO 34 1. x2 + 16x + 64 2. m2 – 20m + 100 3. a2 – 6a + 9 4. y2 + 2y + 1 5. y2+ 10y + 25 6. p2 – 12p + 36 7. 1 – 2b + b2 8. x2 – 10x + 25 9. 4 + 4n + n2 10. 16 – 8m + m2 11. y2 + 18y + 81 12. x2 – 24x + 144 13. p2 + 30p + 225 14. 4a2 – 4a + 1 25 2 5 1 15. 16 x 6 x 9 16. 9a2x2 – 6ax + 1 17. m2n2 + 16amn + 64a2 18. 49a2 – 42ab + 9b2 19. 4x2 + 12xy + 9y2 20. x2 + 0.4x + 0.04 21. 16x6 + 40x3y + 25y2 22. 81a6 – 18a5b + a4b2 23. 36m2n8 + 36m6n4p + 9m10p2 24. a10 – 2a5b5 + b10 3 9 2 2 25. 1 – xy + xy 2 16 1 2 x – xy3 + 4y6 16 4 1 1

27.

9 x 2 3xy 16 y 2 26.

28. 9x4 + 24x3y7 + 16x2y14 29. 25a2b2 – 30abxy5 + 9x2y10 30. m18 + 24m9y4 + 144y8 31. 9x4 – 54x2y6 + 81y12 32. a2x – 2axby + b2y 33. 9x8a – 10 + 12x4a – 5y2a + 1 + 4y4a + 2 34. m6a + 12 – 8m3a + 6n3b + 16n6b 1 35. 9a2x + 3a4xb4y + a6xb8y 4 16 4m – 2 12 2m – 1 9 36. a – a b + b2 25 5 4 37. 0.36m4x – 0.6m2xn4 + 0.25n8 38. 36x6m – 4 + 60x3m – 2 y 4mz3 + 25y8mz6 39. 0.09x4a – 0.48x2ayb – 1 + 0.64y2b – 2 40.

25 6a 4 36 2 6a x 4 x 3a 2 y1 3a y 25 9

41.

x16 2 y 3x 8 y y 8 x 9 y16 2 x 4

x 8a b 4 x x 4 a y a 1 b 8 x y 2a 2

25 10 16 2 2 2 43. x + 4y + 9z + 4xy + 6xz + 12yz 44. 9x2 + 4y2 – 12xy + 6x – 4y + 1 45. a2 + 36b2 + 25c2 + 12ab – 10ac – 60bc 42.

46. a4 + 10a3 + 33a2 + 40a + 16 47. a4 + 6a3 + 5a2 – 12a + 4 48. x4 – 4x3 + 6x2 – 4x + 1 49. x2 + 2xy + y2 – 4x – 4y + 4 50. 4a2 – 12ab + 9b2 + 4a – 6b + 1 51. 16m2 + 25n2 + p2 + 40mn + 8mp + 10np 52. 9x4 + 4y4 + 1 + 12x2y2 – 6x2 – 4y2 1 1 1 2 53. a2 + b2 + c2 + ac + ab + bc 4 9 3 3 54.

1 2 1 1 1 1 x + y2 + – xy + x– y 36 16 3 12 2

4 9 1 12 4 6 + + + – – xy xz yz x2 y2 z2 56. a2x + b2y + c2z – 2axby + 2axcz – 2bycz 57. a2x + 2 – 4a2x + 1 + 2a2x + 4a2x – 1 + a2x – 2

55.

EJERCICIO 35 1. x2 – 9 2. a2 – 1 3. b2 – 4 4. k2 – 64 5. 25 – y2 6. 81 – a2 7. m2 – n2 8. x2y2 – z2 9. 9x2 – 25y2 10. 16m2 – 81n2 11. 4b2 – 9c2 12. 36x10 – 1 13. 9m6 – 64 14. 25x8y2 – 16z2 15. 81a2b8 – c14 16. 49a8b6 – c 2d 10 9 2 1 17. m – 25 4 18.

49 6 9 x – 36 4

19.

1 2 2 12 x y –z 9

1 100 21. 9a2x – 8– b6x 22. 64y4a – 6 – 16x8a 23. a2 + 2ab + b2 – c2 24. a2 – b2 + 2bc – c2 25. m2 – n2 – 2np – p2 26. x2 + 2xy + y2 – 9 27. 16x2 – 9y2 + 6yz – z2 28. x4 + x2y2 + y4 29. m8 – m4 – 2m3 – m2 30. 4x2 + 20xy + 25y2 – 9z2 31. x2 + 4xy + 4y2 – 1 1 1 1 4 2 – n 32. m2 – m + 4 4 16 9 20. 9x4 –

33.

4 4 37 2 2 4 4 x + xy + y 25 315 49

34.

1 2m + 2 1 2m 1 2m – 1 1 2m – 2 x – x + x – x 9 36 6 4

1467

ÁLGEBRA

35. a2 + 2ab + b2 – c2 – 2cd – d2 36. x2 + 2xz + z2 – y2 + 2y – 1 37. m2 – 10m + 25 – 4n2 + 12np – 9p2 38. x2 – 2xy + y2 – z2 + 8z – 16 39. 4x2 + 12xy + 9y2 – 16z2 + 56z – 49 40. x2 – 2xy + y2 – 9z2 – 30z – 25

19. x 3

EJERCICIO 36 2

8

21. x – 6x – 72 22. x10 + x5 – 2 23. a6 – 7a3 + 10 24. x4m – 2 + 2x2m – 1 – 35 25. a4x6 + 3a2x3b4 + 2b8 26. 9x2m – 9xmyn – 28y2n

7. x2 – 9x + 8

27. x 2

8. a2 – 6a – 27

28.

1 2 1 1 m m 9 30 5

9. x2 – 3x – 10

29.

9 2 11 5 y y 16 32 48

8 3 1 2 1 1 x x x 27 3 8 64

21.

27 3 36 2 16 64 3 x x y xy 2 y 125 25 5 27

22.

1 3 9 2 27 2 27 3 a – a b+ ab – b 8 16 32 64

1 12 1 8 x + x y + x4y2 + y3 27 3 24. 8x6a – 9 – 36x4a – 6y4a + 1 + 54x2a – 3y8a + 2 – 27y12a + 3 23.

EJERCICIO 38 1. x4 + x2 – 2

11. x4 – 41x2 + 400 16 16 8 8 10 1 20 12. x – xy + y 2. m – 65m + 64 81 225 625 4 3 2 8 4 4 8 3. 81x – 162x – 99x + 180x + 100 13. 256x – 32x y + y 4. 625x4 – 1 800x2 + 1 296 14. m4 – m2 – 2m – 1 15. x4 – y4 5. m6 – 12m4 + 48m2 – 64 4 2 6. x – 72x + 1 296 16. m6 – 12m4 + 48m2 – 64 17. x8 – 2x4y4 + y8 7. n8 – 36n4 + 84n2 – 49 8. x16 – 2x8y4 + y8 18. x4 – 10x2 + 9 9. 16m4 – 4m3 – 200m2 – 148m – 48 19. m8 – 11m4 – 80 20. n12 – 48n8 + 768n4 – 4 096 10. 6 561 – 1 296x12

1 1 x 2 9

4

11 15 xy 8 32

10. m2 + 5m – 24

30. x 2 y 2

11. 4x2 – 4x – 24

31.

12. 9m2 + 6m – 24

36 4 1 2 2 1 4 x x y y 25 10 12 2 2 33. a + 2ab + b + 7a + 7b + 12 34. a2 – 4ab + 4b2 + 6a – 12b + 5 35. x2 – 2xy + y2 – 4xz + 4yz – 21z2 36. 4x2 + 4xy + y2 + 2x + y – 2 37. m4 + 2m2n2 + n4 + 4m2 + 4n2 – 45 38. a2– b2 + 3c2 – 4ac – 2bc 39. x2 – 6y2 – 4z2 + xy – 3xz + 11yz 40. a2 + c2 – 25b2 + 2ac

13. 36x2 – 6x – 12 14. 16x2 – 28x + 10 15. 2 – 9x + 9x2 16. 25x2 + 50x + 24 17. 4 – 2x – 42x2 18. 25 – 35x – 18x2 19. x4 – 4x2 – 60 20. m6 – 12m3 + 32

20.

4

1. x – 3x – 40 2. m2 + 3m – 28 3. x2 – 12x + 20 4. x2 – 11x + 30 5. x2 + 10x + 24 6. n2 + n – 12

3 2 3 1 x x 2 4 8

9 2 9 2 y xy x 2 49 70 5

2

32.

EJERCICIO 37 1. x3 – 3x2 + 3x – 1 2. m3 + 18m2 + 108m + 216 3. x3 – 6x2 + 12x – 8 4. a3 + 30a2 + 300a + 1 000 5. n3 – 21n2 + 147n – 343 6. x3 + 9x2 + 27x + 27 7. 1 – 3x + 3x2 – x3 8. 1 000 – 300m + 30m2 – m3 9. 8x3 +12x2 +6x + 1 10. 27a3 – 108a2 +144a – 64 11. 8x3 + 36x2+ 54x + 27 12. 1 – 12m + 48m2 – 64m3 13. 27x3 – 108x2y + 144xy2 – 64y3 14. 125m6 + 150m4n5 + 60m2n10 + 8n15 15. 27x9y3 – 54x6y2z4 + 36x3yz8 – 8z12 16. 64x6 + 96x5y + 48x4y2 + 8x3y3 17. 27m12 – 108m11n + 144m10n2 – 64 m9n3 1 1 18. x 3 x 2 x 3 27

CAPÍTULO 4 EJERCICIO 39 1. a(a + 1) 2. a3b(b – 2) 3. a2(a2 + a – 1) 4. 6x4(3x + 5) 5. 12x2(4 – x – 2x2) 6. 5b2(5 + 7b2 – 9b3) 7. 11a(x – 11ax + 3a2) 8. 3ab(3a4 – 4ab2 + 5b – 6a2b3) 9. 3(3x2 + 2x + 1) 10. 4x2(x2 – 2x + 3) 11. 6x(x – y – 1) 12. 14x2(y2 – 2x + 4x2) 13. 17a(2x2 + 3ay – 4y2)

14. 55m2(n3x + 2n3x2 – 4y3) 15. 5x2(5x5 – 2x3 + 3x – 1) 16. 3a(3a – 4b + 5a2b2 – 8b3) 17. 12m2n(1 + 2mn – 3m2 + 4m3n3) 18. a2b(3 + 6ab – 5a2b2 + 8a3b3 + 4a4b4) 19. 8x2y(2xy – x2 – 3 – 5y2) 20. 50abc(2ab2 – 3bc + b2c2 – 4c) 21. 31a2x(3axy – 2x2y2 – 4) 22. 2x(3x – 1)2(x + 3) 23. 3(x + 1)(2 – x) 24. x(x + 2)(x – 1) 25. 4x2(2x – 5)(2x – 3) 26. (2x – 1)(3 –2x)

EJERCICIO 40 1. (m + n)(m + x) 2. (x2 + 1)(3x – 1) 3. (x + y)(a – b) 4. (y – 3a)(2y2 – 1) 5. (a – 2b)(m – 3n) 6. (a2 – 3b)(4x – 5y) 7. (m2 – 3n)(z2 +p2) 8. (5m + n2)(mn + p2) 9. (3a – 2b)(y4 + 1) 10. (2m + 3n)(x4 + 5)

1468

11. (b – c)(y2 + m2) 12. (x + 3)(x2 – 5) 13. (b – 3m)( 3z – y) 14. (a2 + 1)(a + 1) 15. (1 – 3a2)(2a + 1) 16. (3x – 7)(x2 + 1) 17. (1 – 4a)(b – 1) 18. (3m + 2)(6m2 – 5) 19. (xz + my)(xy – mz) 20. (p2t + m2n)(pt 2 + mn2)

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 41

EJERCICIO 43 1. (x + 2)(x + 1)

¤ 1³ ¤ 1³ ¤ 1³ 16. ¥ x 2 ´ ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 4µ ¦ 2µ ¦ 2µ

1. (x – 1)(x + 1)

¤ 4³ ¤ 4³ 17. ¥ 7 x ´ ¥ 7 x ´ ¦ 5µ ¦ 5µ

2. (x + 7)(x – 7)

6. (x2 + 8)(x2 – 8)

10. (2a2 – 3bc)(2a2 + 3bc)

36. (y + 25)(y – 22)

15. (x – 9)(x + 2)

45. (8 – 3x)(3x + 2)

24. (x + y – 4)(x – y + 2)

16. (x – 10y)(x – 8y)

46. (2x + 9)(1 – 2x)

25. (2x + y + 6)(2x – y – 4)

17. (a – 10b)(a + 5b)

47. (7 – 8x)(8x + 11) 48. (13 – 5x)(5x + 11) 49. x a 9 x a 4

3a

9. (2 – 5x)(5x + 2)

35. (n – 18)(n – 16)

6. (x + 4)(x + 3)

43. (x + 8)(5 – x)

x 3

3y

2a 4

a

3x 2 y

8. (6x – 1)(6x + 1)

34. (m2n2 + 12) (m2n2 – 11)

5. (x + 6)(x + 1)

44. (7 – x)(x + 6)

2b

3y

a

7. 4(5 – 2x)(5 + 2x)

4. (y – 8)(y – 7)

13. (a – 18)(a + 2)

3a

2a 4

5. (a2 + b2)(a – b)(a + b)

33. (x2y2 – 11)(x2y2 + 9)

14. (y + 6)(y – 5)

x 3

4. (4x – 3)(4x + 3)

32. (a – b + 8)(a – b – 3)

3. (n – 4)(n – 3)

x y 19. a 3b a 3b 20. m 5 m 5 21. 1 x 1 x 22. m n m n 23. 4 x 7 y 4 x 7 y

18. x 3a y 2b

3. (9 – x)(x + 9)

4x y

3x 2 y

3a

b

4x y

b

7. (a + 6)(a + 4)

37. (c – 44)(c + 22)

8. (b – 5)(b – 2)

38. (a + 21)(a + 12)

9. (m – 5)(m – 4) 10. (y + 3)(y + 1) 11. (x – 4)(x – 1)

41. (x + 8)(3 – x) 42. (4 – x)(x + 3)

11. (x + 6)(x – 6)

26. (x – 4y – 1)(x + 4y – 1)

12. (4a2b3+c3)(4a2b3–c3)

27. (3x – 1)(9x – 7)

19. (x + 8y)(x – 7y)

¤ 1³ ¤ 1³ 13. ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 2µ ¦ 2µ

28. (3x + 2y)(5x + 6y)

20. (m2 + 4)(m – 1)(m + 1)

¤ 2³ ¤ 2³ 14. ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 9µ ¦ 9µ

29. 4(7x – 9)(13x – 6)

21. (y – 2)(y + 2)(y2 – 2)

¤ 4³ ¤ 4³ 15. ¥ x ´ ¥ x ´ ¦ 7µ ¦ 7µ

30. 3x2(3x – 2)(5x + 6)

3

22. (n + 4)(n – 4)(n – 2)(n + 2) 23. (a– 6)(a + 6)(a – 1)(a + 1)

2

1. (a + 4)

13. (10a – 3b)

2. (m – 5)2

14. (a4 + 6bc)2

2

2

6

28. (3a – b)2

5. (x + 6)2

17. (20a5 + 1)2

29. (b – m)2

9. (2a – 5b)

2

10. (3a + b)2

11. (2a – 3b)2

12. a2(12x2a – 1)2

¤p ³ 20. ¥ 1´ ¦3 µ

31.

¤ y2 ³ 21. ¥ x 2 ´ 2µ ¦ ¤5 1³ 22. ¥ b 2 ´ ¦6 5µ

x 2y

30.

2

ax 2

¤ 3 ³ 32. ¥ a 2 5´ ¥¦ ´µ 2

¤ 1 ³ 33. ¥ x 6 3´ ¥¦ ´µ

2

¤ n2 ³ 23. ¥ 4m 3 ´ 4µ ¦

24. [3a + 3x – 2]2

2

2

¤ 1 ³ 35. ¥ m 3 2´ ¥¦ ´µ 36.

3

2

2

2

m 3

2

¤ 1 ³ 34. ¥ 4 x 4 1´ ¥¦ ´µ 2

a 2

a

a 2

56. (5x + y + 7)(5x + y – 6)

27. 4n

8. (4a + 3b)2

a

26. (5y + 7)(5y + 6)

2

2

4a

26. (5a – b)2

16. (7x3 – 5ay2)2

¤y ³ 19. ¥ z ´ ¦2 µ

3a

54. (x – 7)(x – 3)

15. (9a + 11)

7. (11c – 6)2

3a

55. 2(x – 9)(2x + 1)

4. (x – 3)2

18. (x4 + 9)2

2x

25. (2m – n + 3)

3. (n – 4)

6. (3a – 5)2

2x

24. (x2 – 10)(x2 + 9) 2

2

50. b 9 b 8 51. y 64 y 1 52. x 2 1 x 1 x 1 x 53. 9 x x 5

25. (ab + 4)(ab – 3)

EJERCICIO 42 2

39. (x + 33)(x + 11) 40. (t – 54)(t – 45)

12. (n + 4)(n + 2)

18. (m – 10n)(m + 3n)

3

31. (y2 + 12x)(y2 – 5x)

2. (m – 6)(m – 5)

2

27. (y3 – 7)(y3 + 2)

57. 6a(6a – 5)

28. (m – 7n)(m + 3n)

58. (x + 3y + 11)(2 – x – 3y)

29. (5 – b)(1 + b)

59. 4(4x + 7)(1 – x)

30. (z5 + 5)(z5 – 4)

60. (x + 3y)(4y – x)

EJERCICIO 44 1. (5m – 2)(m + 3)

16. (3y + b)(5y – 2b)

2. (3a + 1)(a – 2)

17. (n – 3m)(6n + 5m)

3. (3y + 2)(2y + 1)

18. (3x + 5)(6 – x)

4. (2x – 1)(x + 2)

19. (4b2 + 5)(3 – 2b2)

5. (4n + 3)(n + 3)

20. (5x – 3y)(6x + 7y)

6. (4x + 1)(5x – 1)

21. (2a4 + 5)(5a4 + 2)

7. (7a + 5)(a – 7)

22. (2a – 15b)(3a + b)

8. (y + 2)(2y + 1)

23. (3x2 – 2)(–2x2 – 3)

9. (4x + 1)(5x + 2)

24. (3x5 – 10)(10x5 + 3)

10. (3m + 2)(5m – 6)

25. (2m – n)(3m – 4n)

11. (2z + 5)(10z – 3)

26. (2ax – 7y)(3ax + 5y)

12. (b + 10)(2b + 9)

27. (3a – 2b)(8a + 7b)

13. (2y2 + 3)(3y2 – 2)

28. (xy + 2)(4xy – 5)

14. (2m2 – 7)(7m2 + 2)

29. (a2b – 3c)(5a2b + 2c)

15. (3ab – 5)(2ab + 5)

30. (m + 10n)(2m – 11n)

1469

2a

ÁLGEBRA

13. (a2 + 5b4)(a4 – 5a2b4 + 25b8) 14. (2x2 + 9)(4x4 – 18x2 + 81) 15. (3m2 + 7n3)(9m4 – 21m2n3 + 49n6)

EJERCICIO 45 ¤ 1³ ¤ 1³ 1. ¥ x ´ ¥ 3x ´ ¦ 2µ ¦ 4µ

1³¤ 2 1 1 2³ ¤ 1 16. ¥ x 9 y 9 ´ ¥ x 9 x 9 y 9 y 9 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

¤ 2³ ¤ 1³ 2. ¥ x ´ ¥ 2 x ´ ¦ 5µ ¦ 3µ

1³¤ 1 1 1 1³ ¤ 1 17. ¥ a 4 2b 4 ´ ¥ a 2 2a 4 b 4 4b 2 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

¤ 3³ ¤ 1³ 3. ¥ 3x ´ ¥ 2 x ´ ¦ 2µ ¦ 4µ ¤ 2³ ¤ 1³ 4. ¥ m ´ ¥ 5m ´ ¦ 3µ ¦ 2µ

3³¤ 1 3 ¤ 1 ³ 18. ¥ x 2 5 y 2 ´ ¥ x 5 x 2 y 2 25 y 3 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

¤ 1³ ¤ 1³ 5. ¥ m ´ ¥ 4m ´ ¦ 3µ ¦ 5µ

19. (x a+1 – y 2a)(x2a+2 + x a+1 y 2a + y 4a) 20. (3y – x)(7x2 + 3xy + 3y2) 21. (x + y)(x2 – 4xy + 7y2) 22. (–2n)(27m2 + 18mn + 4n2) 23. – (a + 2b)(7a2 + 19ab + 13b2)

¤ a 1³ ¤ 3³ 6. ¥ ´ ¥ a ´ ¦ 6 9µ ¦ 4µ ¤ 1 ³ ¤ 2x 1 ³ 7. ¥ x y ´ ¥ y ¦ 2 µ ¦ 3 4 µ´ 8.

1 ¤ 5³ ¤ 5³ x ´ ¥ 3x ´ 25 ¦¥ 3µ ¦ 4µ

9.

¤ 1 4 ³ x 3y ¥ x y´ ¦ 24 3 µ

24.

1³¤ 1 1³ ¤ 1 13. ¥ x 2 3 y 2 ´ ¥ 2 x 2 y 2 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

¤ 1 ³¤ 1 ³ 14. ¥ 2 x 3 5´ ¥ 3x 3 8´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

17.

¥¦

x y 2 5 x y 4

1 8y2

³ ´ ´µ ¥¦

¤ 2 ¥ 4x 3

EJERCICIO 48

¤ 1 ³¤ 1 ³ 15. ¥ x 3 2´ ¥ 3x 3 1´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

¤ 2 ¥ 3x 3

1. (x + 4y)(x2 – 4xy +16y2) 2. (a – 2)(a6 + 2a5 + 4a4 +8a3 + 16a2 + 32a + 64) 3. (3 – 2x)(81 + 54x +36x2 + 24x3 + 16x4) 4. (x + 1)(x6 – x5 + x4 –x3 +x2 – x + 1) 5. (m – n)(m4 + m3n + m2n2 + mn3 + n4) 6. (x – ab)(x6 + x5ab + x4a2b2 + x3a3b3 +x2a4b4 +xa5b5 + a6b6) 7. (1 – a)(1 + a + a2 + a3 + a4) 8. (xy + 5)(x4y4 – 5x3y3 +25x2y2 – 125xy + 625) 9. (x – 1)(x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) 10. (x + 2)(x8 – 2x7 + 4x6 – 8x5 + 16x4 – 32x3 + 64x2 – 128x + 256)

x 5 2 x 3 11. 3 x 2 4 x 1 12. 5 x 4 3 x 7

EJERCICIO 47

10.

16.

1 5 x y 7 x 2 5 xy 19 y 2 216

1 5y2

³ ´ ´µ

2³¤ 2 2³ ¤ 2 18. ¥ 2 x 3 3 y 3 ´ ¥ 4 x 3 5 y 3 ´ ¥¦ ´µ ¥¦ ´µ

EJERCICIO 46 1. (2x – 1)(4x2 + 2x + 1) 2. (x + 3)(x2 – 3x + 9) 3. (2x + y)(4x2 – 2xy + y2) 4. (3a – b)(9a2 + 3ab + b2) 5. (2a + 3b2)(4a2 – 6ab2 + 9b4) 6. (4a – 9)(16a2 + 36a + 81) 7. (8 – 3a3)(64 + 24a3 + 9a6) 8. (x2 – 2y4)(x4 + 2x2y4 + 4y8) 9. (1 – 6m)(1 + 6m + 36m2) 10. (a – 5)(a2 + 5a + 25) 11. (3m + 4n3)(9m2 – 12mn3 + 16n6) 12. (7x – 8y2)(49x2 + 56xy2 + 64y4)

1. (m + 2n + 1)(m – 2n + 1) 2. (y + z – 3)(y – z – 3) 3. (x – y + 5)(x + y – 5) 4. (m2 – n3 – 3)(m2 + n3 + 3) 5. (7m2 – 5m + 3n)(7m2 + 5m – 3n) 6. (m + a – x – 3)(m + a + x + 3) 7. (1 – a – 3n)(1 + a + 3n) 8. (m – n + 1)(m + n + 3) 9. (1 – y + b)(1 + y – b) 10. (5p + m + 1)(5p – m – 1) 11. (m – n + 2)(m + n + 10) 12. (x + y + 4a + 3b5)(x + y – 4a – 3b5) 13. (10 – 3y + m – ap)(10 – 3y – m + ap) 14. (a + 5b + m + 3n)(a + 5b – m – 3n) 15. (2m – 7n – 3a – 5b)(2m – 7n + 3a + 5b)

EJERCICIO 49 1. (x – 2)(x – 1) 2. (x – 5)(x + 4) 3. (m – 5)(m – 2) 4. (x – 8)(x + 6) 5. (a – 10)(a + 4) 6. (n + 9)(n – 6) 7. (3x + 4)(x + 2) 8. (3m + 2)(2m + 1)

1470

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

9. (3a – 4)(a + 1) 10. (3x + 4)(2x – 3) 11. (n2 + n + 1)(n2 – n + 1) 12. (a2 – 2a – 1)(a2 + 2a – 1) 13. (m4 – 2m2n2 + 4n4)(m4 + 2m2n2 + 4n4) 14. (x2 + 5x – 10)(x2 – 5x – 10) 15. (8a2 – 6a + 7)(8a2 + 6a + 7) 16. (a2b2 – ab + 11)(a2b2 + ab + 11) 17. (6m2 – 5mn – 7n2)(6m2 + 5mn – 7n2) 18. (x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) 19. (a2 – ab – 3b2)(a2 + ab – 3b2) 20. (2m4 + 5m2n2 – 7n4)(2m4 – 5m2n2 – 7n4)

14. (x – 3)(x – 2)(x – 1)(x + 1)2 15. (a – 6)(a + 2)(a + 5)(a2 – a + 3) 16. (x – 3)(x – 2)(x + 1)(x + 2)(2x – 1) 17. (x – 3)(x – 2)(x – 1)(x2 + 2x + 4) 18. (x – 2)(x – 1)(x + 3)(2x – 1)(3x + 5) 19. (n – 3)(n + 3)(n – 2)(n + 2)(n – 1)(n + 1) 20. (x – 5)(x – 1)(x + 1 )(2x + 7)(x2 + 1)

EJERCICIO 50

MCD 1. 7x2y3z2 2. 24m2y2 3. 2xy 4. 13abc 5. 15mnx 6. 11xa yb 7. 6a2(x – 1)2 8. 9(a – b)(x + y) 9. 6 10. 19a(1 + b) 11. x + 1 12. m – 1 13. m + n 14. x – y 15. x – 2 16. 3a – 1 17. m – 4 18. a(a – 1) 19. 2b + 1 20. y – 3

1. x(x – 7)(x + 4) 2. 3(a – 2)(a + 1) 3. 3m(m – 1)(m + 1) 4. (y2 + 1)(y – 2)(y + 2) 5. (m – 1)2 (m + 1) 6. a(2x + 1)(3x – 2) 7. x(x2 + 1)(x – 1) 8. 2a(2x + 1)(2x – 1) 9. a(a2 + 2)(a – 1)(a + 1) 10. (2 + m)(2 – m)(4 – 2m + m2)(4 + 2m + m2) 11. (x – 4)(x – 3)(x + 4)(x + 3) 12. (a – b)(a2 – ab + b2)(a + b)2 13. a(a4 + b4)(a2 + b2)(a + b)(a – b) 14. a(x + 1)3 15. (a3 + 2)(a2 + 3a + 9)(a – 3) 16. (a + 1)(a – 1)(a2 – a + 1) 17. 4m2(y – 1)(y2 + y + 1) 18. 3mn(p – 2)(p + 3) 19. (4 + a)(4 – a)(16 + a2) 20. (a – b)(a4 + b4)(a2 + b2)(a + b) 21. 2(2x + 1)(2x – 1)(x2 + 1) 22. 5m(xy + 2)(y – 1)(y + 1) 23. (a + 3)(a – 3)(a2 + 3a + 9)(a2 – 3a + 9) 24. x(x – y)(x + y)(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) 25. (a – 1)2 (a – b)(a + b) 26. 4a(a2 – a + 1)(a2 + a + 1) 27. (m – 1)(m + 2)(m – 2) 28. y(y + 2)(y + 6)(y – 2)(y – 6) 29. m(m2 + 1)(m – 1)(m + 1) 30. –m(3m – y)2

EJERCICIO 51 2

1. (b – 1) (b + 1) 2. (w – 1)(w + 1)(w + 2) 3. (x – 3)(x – 2)(x + 1) 4. (x – 4)(x + 2)(x + 3) 5. (x – 1)(2x – 1)(2x + 3) 6. (m + 2)(m2 + 1) 7. (y + 1)(3y + 2)(2y – 3) 8. (a – 3)(a – 1)(a + 1)(a + 3) 9. (x – 4)(x + 5)(3x + 1) 10. (m + 5)(m + 4)(m2 – 3m + 7) 11. (n – 2)2 (n + 1)2 12. (x – 2)2 (x + 1)(x – 1) 13. (x – 1)2 (x + 2)(x – 3)

CAPÍTULO 5 EJERCICIO 52 mcm 210x2y5z4 1 440m4y5 40x3y3z2 156 a2b2c2 2 100m4nx + 2 132xa + 2 yb + 2 360 a5(x – 1)4 135(a – b)2(x + y)2 360(2x + 1)2(x – 7)(x + 8)2 228 a4(1+ b)3 xy(x + 1) (m – 1)(m + 1)(m2 + m + 1) m2n(m + n) (x – y)2(x + y) 3xy(x – 2)(x + 2)(x + 1) a(3a – 1)2(9a2 + 3a+1) m(m – 4)(m + 3)(m + 2)(m – 5) 12a2(a – 1) (2b + 1)(6b + 1)(b – 3) (y – 3)(y + 2)(y – 1)(2y + 1)(2y +3)

EJERCICIO 53

x 2y x

1.

2a 2b 3ab

11.

2.

2a 2 b a 2b

12.

3.

a 3 2a

13.

4.

2m 2 6m 8 5 3m

14.

5.

6.

m 2n n m

2 x 2

7.

x 2y x y

5x y 3x 4 y x 3y

b m n

m n x 2 2x 4 x 4

21.

y 2 3a 2

22.

3x w z

23.

w 2 y x

24.

p 1 2 p

15.

x 2 xy y 2 x y

25. – 1

16.

y 2 3xy 9 x 2 y 2x

26.

x 1 x 3

17.

x 1 x 2

27.

x 1 x 4 y 2 y 2

8.

x 13 x 6

18.

x y x 2y

28.

9.

n 2 n 1

19.

1 x y

29.

2x 3 y 3x y

20.

a d 2ab

10.

1471

4 y

2 a a 4

30. y y 1

a 3

ÁLGEBRA

EJERCICIO 54 1.

4x 3 4x

3n 1 2n

3.

2

a 6 2. a

5.

19m 9 4.

4n

4 n

x 1 2x

7.

8. 5 15.

EJERCICIO 55 1.

2.

7 20

14.

7x 9 6x

15.

2

9 x 5 12 x 3 2

4.

3x 7 x 8

4 x 2 7 x 18

6.

h

16x

2h

19.

x h 1 x 1 4 xh 2h 2 ³ ¤ 3´ x 2 3

x h µ ¦¥

8x

18.

x h 2 x 2

2

4

3x

23.

x2 1

x 11. x 2 12.

13.

24.

5x 1

25.

x 1 x 1 2

7 x 2 20 x 3

x2 9 x 3

26.

x2 2

8 2 2

7ab x 2.

3 y

6.

3.

y2 8bx

7.

4.

16ax 3b 2

5.

2 3

2 x 2 x 5 x 34

b 4 xy

b b 3

8. 1

b 6

n 4 n 4

20.

x 3 a 1

a2b 4 x4 3 2

2 x 3

x 4 x

13.

1 2x 1

14.

2

4 x y

12.

1 3

3 x2 1

15.

16.

17.

x2

18.

8.

x 1 x 1

19.

x 11 x 2 7x x 2 2 x 35 x 2 8x 1 a 3 5x 1 2 x 2 3x b a b x 2 6x 8 x 2 6x 9

2

9.

11.

x 6x 5 x 2 x 12 x 2 11x 30 3x 2 14 x 8 2x 1 2x 5

20.

21.

22.

n n2 2 a 2 ab a b x2 1 x3 2

EJERCICIO 58

3m m 2 mn n 2

1.

1 x 7

2 x 2 27 xy 5 y 2

x 5y x 2y x y

2.

5a

x 6

10.

7 2

11.

5 2x

12.

x 3 x 5

a 1

a 1 a 1

4.

t 1 t

6.

7.

a2 a 1

3.

rs r 2 s2

9.

m 1 4

2x 1

x 9 x 9

10.

x x 3

7.

5.

5.

3y

6.

EJERCICIO 56 1.

1 3

x 3 x 2 x 4

18 a b

18.

4x 2

4. 6 x 3 2 x 3 1

2

4 22.

2x 5

x 4 x 8 x 3

x 9. x 3

4

x 2 3x 40

4 21. x 4

10.

9x 2

2 xh h 8.

2 ³ 2 ¤ ¥¦ x h 1´µ x 1

2

1 2

2

3

20.

x

2 3

3 5 x2

2

7.

2

1 2

2 x 3 24 x

17.

12 x 2

5.

2

x 2 3x 2 x 2 9 x 18

x

14 x

3x

17.

3.

16.

18 x 2

2.

1 2

2

3.

1.

3

x 1

4x 3 3x 4

¤ x 5³ 19. 2 ¥ ¦ x 3 ´µ

x 6 4x 1

EJERCICIO 57

5 x 2 12 x 3 x 2

16.

9. 1 14.

3y 5 6.

2y

x 6 x 5

13.

2

8.

6x 2 9 2x 2 x 3 x 3 x 10

2x 3 2 x 2 x 3 x 5 2 x 3 2 10. x 2 2 x 1 2 9.

2 x 4 3 x 3 x

6x 2 7x 2

11.

12.

3x 2 5 x

x 1 x 3

x 2 25

EJERCICIO 59 1.

x x 1

3.

y 2y 3

2.

n 1 2n 1

4.

m 3 m 5

1472

2 x 2 x 25

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

5. y 2 y 1

11. ab b 2

b a 6. b a

12. a 2b

7. x

x 2

13.

1

3

2 2 x 3 2

2 x 1 8.

9.

10.

n 3

14.

8. y = 2

15. x

2

5

17. x

10. w = 19

15.

11. x =

1 5

18. x = 0

2

12. x

1 2

19. x

2

4

3x 1 3 3x 1 3

1

16.

1 5x 2 3x3

5x 1 2

13. x

2

1. x = 18

CAPÍTULO 6

2. y = 10

16. x =

3. z = – 1

17. x

13 29. x = 21

1 2

30. z =

1 19

9. x = 8

4 5

3. x

EJERCICIO 60 15. w = – 14

7 3

2 3

20. x

155 8

17. z

1 23

EJERCICIO 62

4 3

2. x

1. x = 3

20 7

3 2

1 9

4 3 16. x = – 1

9. y = 1

x 10 x

x

a 4b a 3b

14. x

3

n 2 4n

y y x

7. y = – 5

10. x 9 4

10 3

18. x

25. x = 1

3 7

26. x = 35

11. x = – 8

19. x

5 4

27. x

8 5

7 11

28. z

4. x = – 6

12. x

27 11

20. x

9 2

13. x

25 13

21. x

14. x

1 3

22. x

14 31

30. x

15. z

6 5

23. x

7 12

31. z

16. x

46 51

24. y = 2

5. x 6. x

5 8

9 11

29. x

28 3

1 9 1 2

4. x = – 2

1 2 18. y = – 2

32. x 3

5. x = 4

19. x = 6

33. x = – 2

6. y = 3

11 20. x = 10

2 34. x 3

8 3

21. y = – 3

35. w 1

1. x = 7, x = –9

8. m = 1

4 4 15. x = , x = 5 11

22. x = 14

36. z

7 20

2. y = – 1, y = 4

4 9. x = , x = 0 7

16. x =

7. x

8. x

4 5

9. w = – 2 10. z

11 7

23. x =

31. x 4

11 23

24. z = 3 9 13

11. x = 5

25. y =

12. x = 2

26. x =

1 3

13. y = – 3

27. z =

23 17

14. z = – 8

28. y =

17 21

2. x

21 11

3. x

9 2

8 5

8. x = 6

32. y = 6

4 ,m=–4 3

37. No tiene solución

3. m =

38. Todos los reales

4. x = 3, x =

39. Todos los reales 40. No tiene solución

23 8

5. x

41 32

6. w

3 7

3 2 2 3

10. x = 7, x = 1

17. x = 4, x =

5 7 11. x = , x = 3 3

18. x =

1 1 ,x= 2 4

5. y = 0, y = 4

12. x = 18, x = – 2

19. x =

2 ,x=2 5

6. m = – 3, m = – 2

1 9 13. x = , x = 5 7

20. x =

59 53 ,x= 8 8

14. x = – 4, x = 5

21. x = – 9, x = 3

13 5

5 3 ,x= 2 2

EJERCICIO 64

4. x

28 3

EJERCICIO 63

7. x =

EJERCICIO 61 1. x = 3

7. x

1. x = a a 1 2. y 2 3. x = b – a b 1 4. y a 1 5. x

1473

mn n m

6. x = m + n 7. x = b – a 8. y = m 9. z = 2m 10. z = 0

ÁLGEBRA

EJERCICIO 65 1. 103,104,105 2. 234 y 217 3. 90,92, 94 4. 13, 15 17 5. 68 y 32 6. 28 y 70 7. 18 y 12 8. 12 y 8 9. 80 10. 12 11. 7 y 3 12. 6 y 5 13. 8 14. 24 y 12 15. 30 y 10 16. 20, 15 y 10 17. 55 y 5

EJERCICIO 68 18. 15 y 8 19. 14 y 6 20. 32 y 24 21. 35 22. 64 23. 15 24. 45 25. 72 26. 38 27. 54 28. 24 29. 97 30. 96 31. 124 32. 264 33. 436

EJERCICIO 66 1. Andrés: 35 años, Carlos: 31 años, Rodolfo: 24 años 2. 24 años 3. Luz: 11 años, María: 14 años, Tania: 17 años 4. Dentro de 6 años 5. Carlos: 30 años, Mauricio: 10 años 6. Bárbara: 8 años, Patricia 16 años 7. 7 años 8. Omar: 16 años, Alejandra: 36 años 9. 8 años 10. 20 años 11. Guillermo: 48 años, Patricia: 36 años 12. Joaquín: 10 años, Julián: 20 años, Camilo: 30 años 13. Antonio: 25 años, Ivan: 15 años 14. 18 años 15. Juan Carlos: 15 años, Daniel 20 años

EJERCICIO 67 1. 48 litros 2. 40 litros 3. 40 gramos 4. 180 litros 5. 10 litros 6. 0.6 litros 7. 6 onzas 8. 10 litros 9. 25 ml al 4%, 50 ml al 1% 10. 50 ml al 5%, 50 ml al 2% 11. 10 litros al 30%, 20 litros al 3% 12. 60 onzas al 30%, 90 onzas al 80% 13. 1 000 litros al 56%, 1 400 litros al 80% 14. 92% y 62%

1. 180 monedas 2. 7 de $500, 5 de $1 000, 4 de $200 3. 20 de $5, 10 de $10 4. 100 de 50¢, 300 de $1 5. 6 monedas 6. 8 de $200, 7 de $100, 6 de $50 7. 12 de $10, 36 de $5, 46 de $2 8. 30 monedas 9. 6 de $5, 12 de $2 10. 60 monedas 11. 8 billetes

EJERCICIO 69 1. $600 2. chamarra: $800 pantalón: $400 blusa: $120 3. $3 600 4. 185 000, 80 000, 167 000 5. $200 6. escritorio: $2 500 computadora: $12 600 7. 10 problemas correctos 8. $5 200 9. $360 10. 20 horas extras 11. 20 kg de $9.30 10 kg de $12 12. 4 de adulto y 2 de niño 13. 8 000 de $60 y 4 000 de $80 14. 4 kg de $100 8 kg de $70 8 kg de $105

EJERCICIO 70 1. 1 hora 12 minutos 2. 2 horas 24 minutos 3. 16 horas 4. 2 horas 40 minutos 5. 1

11 horas 13

6. 3 horas 7. 4 horas 8. 25 9. 7

5 minutos 7

11 horas 12

10. 16 horas 30 minutos

1474

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 7

EJERCICIO 71 1. 36 segundos 2. 25 segundos 3. 10 minutos 4. 12:18 pm 5. 108 metros 6. 16 segundos 7. 1.5 km 8. 14:34 pm 9. 8:37 am 10. 20:36 pm

EJERCICIO 74 1.

Y B

X A

EJERCICIO 72 1. 62° 2. 45° 3. ancho: 12 cm, largo: 36 cm 4. ancho: 24 metros, largo: 58 metros 5. ancho: 4 metros, largo: 36 metros 6. 6, 7 y 10 metros 7. 8 cm 8. 10 y 4 cm 15 9. radio: , largo: 11.25 cm P 10. 6 metros 11. ancho: 9 metros, largo: 18 metros 12. ancho: 6 metros, largo: 23 metros 13. radio: 15 metros 14. ancho: 3 unidades, largo: 8 unidades 15. base: 6 unidades, altura: 4 unidades 64 3P 16. h 8 17. 12 unidades 18. ancho: 60 cm, largo: 160 cm

2.

Y

A

X

B

3.

Y

B

A

EJERCICIO 73 u a n 1

1. n

Pv r t

11. d

2.

P 2W 2

12. r n 1

3. m

y b x

13. P0

4. r =

a s

s

7. b

A P 2A B h

8. x 2

C

P e

kt

15. m

Fr 2 GM

16. i

M 1 C

t

17. m1

y2 y1 mx1

18. x

m

9. h x o r 2 y k

10. F

u a 4.

Y

14. V0 V f 2 2ad

9 5. F C 32 5 6. r

X

2

B 2 C 2 4 A2 r 2 4A

m2 tgA

B

1 m 2 tgA

X

b o b 2 4 a ( y c ) 2a

19. p `

20. t

A

pf f - p

v o 2da v 2 a

C

1475

ÁLGEBRA

5.

4.

Y

Y A

x=

3 2

D B X

X

C

EJERCICIO 75

5.

Y

1. m = 1 2. m = – 12 8 3. m = 9 4. m =

22 27

y = 2x + 5

5 5. m = 14

X

EJERCICIO 76 1.

6.

Y

Y y = 4x

X

X

y=–2

2.

Y 7.

Y

y=

y=

1 x 2

X

X

3.

Y

x=4

8.

Y

X

X y=

1476

1 x 2

5 2

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

9.

4.

Y

Y

b=0

b=3 3 x 4

y=

b=–3

3

X X

b=2 b=–2

10.

5.

Y

y=

1 x 3

b=3

Y

b=0

3

b=–3 X

X

b=1 b=–1

EJERCICIO 77 6.

1.

Y

Y

b=0

m=0

X X

m=–2

m=2

EJERCICIO 78

2. m=–2

Y

b=–3

b=3

m=–1

m=1

m=2

m=–1

m=1

X m=0

4. a) G =

7 t 3.5 3 b) P = 24.5 kg c) t = 10 años 6 meses 1681 19 3. C T 30 3

9 I – 1 800 20 c) R = $4 000 5. a) C = F = – 40o b) U =

2. a) P =

b) C = 160o y F = 320o

CAPÍTULO 8 3. m=–

1 m=– 3

4 3

Y

m=

EJERCICIO 79

4 3

1. 2, 3 , 7, 0 son solución

m=

m=0

1 3

¤ 1 3³ 2. ¥ , ´ es solución ¦ 2 4µ

3. 3, 4 , 3, 12 son solución X

11 I + 1 800 20

1. S = 40t

¤ 1 2³ 4. ¥ , ´ es solución ¦ 5 3µ ¤ 1 3³ 5. ¥ , ´ es solución ¦ 2 10 µ

1477

ÁLGEBRA

EJERCICIO 80

6.

Y

1.

Y

2x + 7y = 0

x+y–3=0 X

X 7.

2.

Y

Y

– 3x + 5y – 10 = 0

x–y+2=0

X

X 8.

Y 3.

8x = 2y – 4

Y

3x – 2y + 6 = 0 X

X

9.

Y

4.

Y

X

4x + 3y – 12 = 0 2 x 3

X

5.

1 y 4 2

10.

Y

Y

3 x 5

1 y 2 10

X X

3x – 4y = 0

1478

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 81

1. 4, 2

6. Conjunto infinito de soluciones (rectas coincidentes)

Y Y

5x + 3y = 2 x–y=6 x+y=2

X X

10x + 6y = 4

2. Conjunto infinito de soluciones (rectas coincidentes)

7. Conjunto vacío (rectas paralelas) Y

Y 6x – 9y = 18

2x + y = 5

6x + 3y = – 9

X X

2x – 3y = 6

3. Conjunto vacío (rectas paralelas)

8. 2, 3

Y

Y

3x – 15y = – 15

2x + 3y = 5

X x – 5y = 10

4. 1, 2

X

5x + 4y = 2

Y

EJERCICIO 82 5x – 3y = – 11 x + 2y = 3

X

5. 0,1

Y 4x + y = 1

3x – 2y = – 2

X

­ª x 3 1. « ¬­ y 1

­ª m 1 7. « ¬­ n 4

ª 1 ­­ x 3 2. « ­ y 1 ­2

­ª x 1 8. « ¬­ y 2

­ª x 2 3. « ­¬ y 5

ª 2 ­­ u 3 9. « ­v 1 ­4

ª­ x 2 4. « ­¬ y 3

10. Conjunto infinito de soluciones

­ª x 2 5. « ¬­ y 4

11. No hay solución

­ª a 3 6. « ¬­ b 2

12. No hay solución

1479

ÁLGEBRA

EJERCICIO 83

EJERCICIO 87

­ª x 4 1. « ¬­ y 2

ª 3 ­­ p 2 5. « ­q 4 ­3

ª­ m 3 2. « ¬­ n 4

ª­ x 8 6. « ¬­ y 2

ª­ r 1 3. « ¬­ t 1

ª­ p 4 7. « ¬­ q 0

ª 1 ­x 4. « 3 ­ y 3 ¬

ª­ x 12 8. « ­¬ y 9

­ª p 1 5. « ¬­ q 1

ª 3 ­­ m 2 2. « ­n 1 ­2

­ª x 4 6. « ¬­ y 0

­ª a 2 3. « ¬­ b 1

­ª a 1 7. « ¬­ b 3

ª­ x 3 4. « ¬­ y 4

ª 2 ­­ m 3 8. « ­n 1 ­5

­ª x 6 9. « ¬­ y 5

­ª a 3 2. « ­¬ b 4

­ª x 1 10. « ­¬ y 2

­ª x 2 18. « ­¬ y 5

­ª m 2 3. « ¬­ n 2

­ª x 4 11. « ¬­ y 1

ª 1 ­­ x 2 19. « ­ y 1 ­4

­ª x 1 4. « ¬­ y 2

­ª p 5 12. « ¬­ q 1

ª 1 ­­ x 10 20. « ­ y 1 5 ¬­

­ª m 3 5. « ¬­ n 5

­ª x 2 13. « ¬­ y 3

­ª x b 21. « ¬­ y a

10. Conjunto infinito de soluciones

ª­ x 3 6. « ¬­ y 2

­ª x 3 14. « ¬­ y 7

2 ­ª x a 22. « 2 ¬­ y b

11. No hay solución

­ª x 5 7. « ­¬ y 4

­ª a 1 15. « ­¬ b 2

­ª x a b 23. « ­¬ y a b

12. No hay solución

ª 2 ­­ x 5 8. « ­ y 1 ­2

ª 1 ­­ m 3 16. « ­n 1 ­2

­ª x a 24. « ­¬ y b

10. No hay solución 11. Conjunto infinito de soluciones 12. No hay solución

EJERCICIO 84 ­ª x 3 1. « ¬­ y 4

ª 5 ­­ u 6 9. « ­v 2 ­3

EJERCICIO 85

EJERCICIO 88

1. 23

9 5.

4

2. 62

6.

3. 0

7. 2ab a 2

4. 39

8. n 2 3mn

7 9.

9

73 30

­ª m 2 2. « ¬­ n 3 ª­ a 2 3. « ¬­ b 5

­ª 180 1. « ¬­ 45

­ª Primera parte=350 12. « ¬­ Segunda parte=200

10.

a b a

­ª 140n 2. « ¬­ 40n

­ª 14 13. « ¬­ 70

11.

x 2 x 5

­ª 80 3. « ¬­ 50

­ª 7 14. « ¬­ 45

ª1 ­­ 4. « 8 ­1 ­¬ 6

­ª Alejandra tiene=$120 15. « ¬­ Beatriz tiene=$50

­ª $80 por adulto 5. « ¬­$50 por niño

16.

6. 5 monedas de $10

­ª 25 gallinas 17. « ¬­ 19 borregos

­ª Lados iguales 19 cm 7. « ¬­ Base 10 cm

­ª Gallinas=$30 18. « ¬­ Borregos=$300

EJERCICIO 86 ­ª x 3 1. « ­¬ y 6

ª 1 ­­ x 3 17. « ­ y 1 ­2

­ª x 1 1. « ¬­ y 2

9. Conjunto infinito de soluciones

­ª a 2 7. « ­¬ b 0 ª 9 ­­ m 5 8. « ­n 1 ­3 9. Conjunto infinito de soluciones

Lancha:10 km/h Corriente:1 km/h

ª­ x 7 4. « ­¬ y 1

10. No hay solución

­ª Agenda $750 8. « ¬­ Traductor $550

­ª Álgebra L.=$120 19. « ¬­ Geometría A.=$90

­ª p 2 5. « ¬­ q 3

11. No hay solución

­ª Hermano=15años 9. « ¬­ Antonio=5años

­ª 12.5 lt de la de 30% 20. « ¬­ 37.5 lt de la de 6%

ª 2 ­­ x 3 6. « ­ y 7 ­2

12. Conjunto infinito de soluciones

­ª 73 10. « ¬­ 65 ­ª Carlos tenía $300 11. « ¬­ Gabriel tenía $200

1480

­ª Veracruz=0.75 kg 21. « ¬­ Chiapas=0.25 kg

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 89 ª x 7 ­ 1. « y 3 ­ z 1 ¬

ª x 8 ­ 7. « y 6 ­ z 4 ¬

ª d 6 ­ 2. « e 2 ­ f 3 ¬

ª a 5 ­ 8. « b 2 ­ c 3 ¬

ª ­ x 3 ­­ 3. « y 3 ­ 1 ­z 3 ¬­

ª m 7 ­ 9. « n 3 ­ r 1 ¬

ª 2 ­x 3 ­ ­ 1 4. « y 5 ­ ­ z 1 ­ ¬

ª x 4 ­ 10. « y 3 ­ z 2 ¬

ª m 3 ­ 5. « n 2 ­ r 1 ¬

ª x 3 ­ 11. « y 4 ­ z 5 ¬

ª 1 ­ a 4 ­ 1 ­ 6. « b 3 ­ ­ 1 c

­ 2 ¬

ª 1 ­ a 3 ­ ­ 1 12. « b 2 ­ ­ c 1 ­ ¬

ª Paleta =$2 ­ 1. « Helado=$4 ­ Dulce=$1 ¬

ª Paresde calcetas=$50 ­ 3. « Pantalón =$550 ­ Playera =$120 0 ¬

ª Camisa =$300 ­ 2. « Pantalón =$500 ­ Playera =$400 ¬

ª Centenas=8 ­ ­ Decenas=6 4. « ­ Unidades=2 ­ Número=862 ¬

2 3 1.

x 1 x 1 7 5 2.

3x 7 2 x 3 1 1 3.

5x 4 5x 4

3 2

4 x x 3

10.

1 5

2x 7 x 2

11.

1 3

3x 2 3x 2

12.

2 1 3

x x 2 x 3

13.

2 1 1

x 2 x 1 x 4

14.

1 2 3

x 3 x 2 x 2

15.

5 4 1

x 2x 1 x 3

16.

2 3 4

x x 1 x 2

17.

1 1 5

2 x 3 3x 2 x

18.

3 1 2

x 1 x 3 x 2

19.

2 6 3

x 1 2x 1 x 2

20.

21.

22.

EJERCICIO 90

EJERCICIO 91

9.

2

2

1 1

x 1 x 1

2

x 1

3

3

x 3 2

1.

x 1 3

x x2 3

2.

x 2 1

x 1 3x 2 1

3.

x 1 1

x 2 x2 1

5.

6.

2 x2 5

1 x2 7

1 2x 3

x 1 x2 x 1 x 1 x2 5

7x x2 3

x 3 x 1 1

x x2 2 x2 3

3 1

x 7 x 4

8.

5 1

x 3 x 2 2x 1

6.

8 6

2x 1 2x 1

9.

7.

1 1

x 3 x 2

10.

8.

3 2

2 x 5 3x 1

11.

2 1

x 2 x 5

5.

1481

x 3 2x 2 7

1 1

x 3 x 3

EJERCICIO 92

4.

2

x 1

7.

4.

3

1 1

x x 1 1

2

5x 1 x2 5

x 2 x 2 5x 3 3x 1 x 2 4x 5

8 x

1 2x 4

2 x 1

2

1 x 3

ÁLGEBRA

12.

13.

14.

x 1

1

x

x2 3

x

3

2

15. x 1

17.

18.

19.

2x 1

1

1 2

x 1

x 2 3x 4 2 x2 1 x4

1

x

2

4.

1 x2 2

5.

1

x 1

2

2

1 x

x

2

2

2

1

6. c

15.

7. 6x2 y5

16.

x7 y2 x10 z 5

1 x2 1

22.

y6

14.

y4

21. (x – 2y)2

a3b 2 c

2

2x

20. x 2 y 2

64 x 3

13.

4z 4

6

y12

12.

x 1

1

1

2

x 2 3x 4

2

c4

a3 b 3

23.

1 y x

24.

y y 1

25.

a2b 4

b 3 a3

y6 x 4 x 4 y6

12

8. 16ab2

2

x2 2

2

3 x2 x 1

9ab 8

17.

2

3x 1

5 x 17

20.

2

1

3. x 4 y 2

5

1

1

x

2

7

11. x 3 y

2. x 4

2

19. 16y20

10. 1

3

2

x

1. x9 y8 z6 y

x2 x 1

2

EJERCICIO 94

1 x2 3

x 1 x 1 2

16.

x2 x 1 x 3

2

y12

9.

1

26. x + y

18. m3 n7

10 14

27.

4x z

x 2 xy y 2 xy

x2 1

14 34 x

16

EJERCICIO 95

4

9 x 1 x 1

9 x2 x 1

1. 27 – 54x + 36x2 – 8x3 2. 1 + 4x + 6x2 +4x3 + x4 3. x3 – 6x2y + 12xy2 – 8y3

CAPÍTULO 9

4. 1

5. x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1

EJERCICIO 93 1. 27x6

13. a8

2. 16x2y2

14.

16 16 a 625

15.

3.

6 9

4. – 216x y 5. – 32a

30

49 4 6. m 16 7.

32a

5

b5 4 4

16.

17.

6. 16 – 32x + 24x2 – 8x3 + x4

3 25. a b2 1 26. b12

9 m6 3a 2 b

27.

7. x10 + 5x8y2 + 10x6y4 + 10x4y6 + 5x2y8 + y10

1 z

17a 4 b

29. 108a

x 18. y

30.

1 10 19. m 243 4

9

12.

4

y

9

12 x 4

31.

x9

9. –15y3

21. – 9

33. a 2 b 2

22. 2

34. 72a13

5

24.

13.

2

32. 1

12. –mn

1 2x x 2 x 3 x 4

81 27 6 6 16

11.

3

23.

9.

28. (x + 2y) 6

n3

11. x

x 5 5x 4 5x 3 5x 2 5x

1 32 16 4 2 2

10. x9 + 15x6y3 + 75x3y6 + 125y9

m5

20. 16x

10. xy

8.

3

8. 16a x 7

3x 3x 2 x 3

2 4 8

1 x2

1 8x 3 1 x4

1

3

4

x5

1

x6

16 x 4

x6

2 3

20 x7

1

…

x10

16 x 5

10

3 3x

1 x8 3

1

3

14. 3x

5 32 x 6 35

9 3x

15 128 x 7

…

…

x8 1

5 3

5

81 3x

8 3

10

11

3

243 3x

1 4

15. x 3

x3 1

1 x4

16.

36 x 2

1482

1 3 x4

8x 3 8 32 80

…

2 5 8 3 9 x 3 81x 3 243x 3 3 7 2x 4

21 11 8x 4

77 15 16 x 4

1155 19

128 x 4

…

…

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 96 1. 127 575x5 35 4 2. x 8 3. – 439 040x3y3 22

4.

14 3

EJERCICIO 99

729 8 x

3

5. – 253 125 000x3 1792 6. x9 1 7. x5 729 8.

5 512 x

1. 2

3

2

EJERCICIO 98

11. x

2

4

13. x 7 y 7

3. y 3 4.

5.

11 b2

14. x 2 y 2

15. x 2 y

6. 5 x

7. 2 x

1 2

16.

2

9. 2 xy

9 a5

1 3

3 4

2 9

13.

3

4

5

2x y 4

y

14. m n

5

15. 3 a 3 b 3

7. 7 y 2 5

7

8. 3 a 3

2

16. 7 m 1 n 2

b8

3

EJERCICIO 100 11. 3m2n3 12. 2x4 13. 2x3y5 14. 2m3n 5 15. y 2n

1. 27 2. 2 3. 3 4. 14 5. 4 9 4 7. 6 8. – 8

17. 2(1 + x) 18. x y

9. – 4

19.

10. 2xy2

20.

16. 5m2 – xn 4y – 3

6.

3x 3x , 2 2 x 2y xy

19.

1 m2

20.

2 13 7 a3m 3 n4

2. 3xy 3 3 y

12. 2 x 2 yz 3 xy 2

3

21.

22.

3. 8mnz 2 m

3 34

13. 6m n

8mn 2

n p

xy

3

3 2

x3 y

2ab

3

2

34 5 4 3

24.

24 5 3 x2

2a 2 cd

4. 3mn 5 m 2

14. a 2 2a

5. xyz 2

x2 y

15. 5a ab 4

25. 3m m 2n

x

4 3 16. mn 3 20mp 2 3

26. 4 x 2 5 y 3

6. 5 xy 5 2

4

2z 3

23.

4 3

3 b7

18.

11. 6mn 2 3m 3 n 2

15d

11 5

7 3 m4 n5

5

1. x x

3

2 4

5

x

3

7. 15a 2 b 2b

17. xy y

3

27. 3ab a 4 2ab

2 3 8. 15 p q q

18.

24 x x

28. m n m n

19.

3x y

29. 3 x 2 y 2

20.

2ab 2 m

9. 6 xy 3xz 4

10. x 2 y

3

4

9 2

7

1 2

1³ ¤ 1 17. ¥ x 2 y 2 ´ ¥¦ ´µ

5 6

8. 3 y

7

EJERCICIO 101

1 y4 8

12. x 6 y 6

2. x 7

2 a5

4

3

12. x

6. x 3 y

CAPÍTULO 10

1.

3 y 11

11. x12 – 12x11 + 66x10 – 220x9 + 495x8 – 792x7 + 924x6 – 792x5 + 495x4 – 220x3 + 66x2 – 12x + 1 32 40 20 5 5 1

12. x 5 x 4 x 3 x 2 8 x 32

y

11. a b

5. 4 2 xy 2

1. 16x4 + 32x3 + 24x2 + 8x + 1 2. 2 187 – 10 206y + 20 412y2 – 22 680y3 + 15 120y4 – 6 048y5 + 1344y6 – 128y7 3. x8 + 8x7 + 28x6 + 56x5 + 70x4 + 56x3 + 28x2 + 8x + 1 4. x6 – 6x5 + 15x4 – 20x3 + 15x2 – 6x + 1 5. 3 125m5 – 6 250m4n + 5 000m3n2 – 2 000m2n3 + 400mn4 – 32n5 6. a8 + 16a7b + 112a6b2 + 448a5b3 + 1120a4b4 + 1792a3b5 + 1792a2b6 + 1024ab7 + 256b8 7. x12 + 30x10y + 375x8y2 + 2 500x6y3 + 9 375x4y4 + 18 750x2y5 + 15 625y6 21 7 1 x 7 7 x 5 21x 3 35 x 35

8.

128 64 32 16 8 x 4 x 3 2 x 5 x 7 9. x3 + 3x2y – 6x2 + 3xy2 – 12xy + 12x + y3 – 6y2 +12y – 8 x10 5 x 7 5 y 7 y10 10.

10 x 4 y 10 xy 4

5 2 y y x2 x5

4

10. m 2 n

3. m 2 4.

35 2 z 4 5

7

2. 54

EJERCICIO 97

5 m2

9.

10. 10bc 5a 3b 3

1483

x

3

2a 3m 2

1

30.

3

2

2 m

x 5

2

y2

2

1

; 3

2 m 2

ÁLGEBRA

EJERCICIO 102 1. 45

EJERCICIO 104 11.

1 3

12. 3

2. 175

4a 4a 2 5b

1. 3 2

16.

2. 5 6

17.

2 3

3

13. 4

3. 128

27 y 7 128 x

4.

25 8

14. 3ax 2

5. 5

32 81

15. 4 x

2

6. x 3

16. 4a 3b 4a 2 b 2 ab 3

3

7. 8 x 5 4

8. m13 n 5

9.

4

9 a b

17.

x 1

18.

19. 3

10. 50a 5 b 6 c 3

4. 27 10

19. 5 25

5. xy 2

20.

3

21. 19 8 3

2 7. x 3 15

22. 95

8. 18a 2 b 2b

23. 2m 3n 2m 4n 2

9. 2 xy 3 3xy

24. x y

4

25. x y

a 4

11. 2a 2

x 2x 4

20. 2a 3 x

12. 8ab 2 6b

27. 1 x

13. 6a a

28. 3 x y

3

14. 8 x x

3

3 3

15. 6a b

29. x y 2b

x y

30. 1

EJERCICIO 105

3

21. 11x 3x 2 4

3. 0

22. 14 x

4. 8 7 5

23. 3ay x

5. 3 3 7 2

11 13 24. ab 2b ab 3b 6 4

5 1 6.

13 10 4 2

17 25. a 2 b c 12

5 6 8

26.

3

2

29. x 2 y 4 y 3x

11. 4 7

30. 2ab 2c 16ac 3b

13. 17 3

32. 10ab

14. 8 5 7 2

33.

4

y 3y

3

4x

1 1 a 5a b 3ab 3 3 xy

39 8mn 2 2

a

14.

3 2 10 x 16 xy 4 2

10. x x 5

15.

9. a

12

6

8. 9m 2 x 2

6

xy

9.

3n 6 4m

2 3 4

3

13.

6

x15

2. xy 2

5a 2 b 3 6a b

3ab 2

3. 3a 3b 2 c

10.

4. 4 y x

11.

5. 3x 2 y 3 y 2

12.

6. 6ab

13.

2

16. 2 10 5 17. 47 5 50 11

36. 6 a 2 37. x x 2

8. 2 x 5 y 5

13 2 xy y

12

x 4 y3 z 2

EJERCICIO 106

1 2a 2 3 5a 35. a 3b ab 9 b 3 3

4 5 5

16

6

11. y y 12.

6

1. n m

19 3 5 34. x y xy 20 12

15. 2 3

7. x 72 x

4

28. xy 2 xy x 2 y 3x

31. 2 x

2. x x

5. 3x 2 y x 3

54 10. xy 3

12. 27 2

6. a 4ab 3

6

9. x

2

6

4. xy 108 x 3 y 2

27. 10 x y 7 x 2 2 y

3

4

1. 18

3.

23 2 4 a b 2ab 24

8. 4 m

19. 9 7a 2

3

20. 8a b

2. 6 3

18. 2 2

x y

26. x 2 y

a 3

x 2 4x 4

EJERCICIO 103

7.

8 2 x 2 x 3

6. xy xy 2

4

1. 5 5

3

18. 6 4 6

10. a

2

x 5 y9

2x am 2

3

x 1

2a x

3. 2 9

3

3

3a 5x

3

2

7.

38. 10 xy x 3 y

1484

2a

5b 4

14.

16.

2 p4 3m 3 n 2 2n 2 p2

17.

3 18 13 y 2x

5z 2 3

18.

5 2 y z 2

2u 3 v 2 5

19.

3zw 2

4a 2 3b

3

2

15.

2

3x 3 2 y4

20.

5n 4m 2

y4 x 4 2

3

n2

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

EJERCICIO 107 1.

1 6

6 4 y

2. 3

3.

9 8a

6. 2 6

7. a

2 y2 3

6

8. a 108ab

9.

a2 32a b

5. 15

12.

a

6

b

4. 8 3

9

10.

4

13.

1 6

14.

CAPÍTULO 11

4x

11. 6

y4

n2 n

x

n2 n

6

EJERCICIO 110

x 1

x 1

1

15.

4

12

3 3

8.

2.

2 5 5

9.

3

13 2 2 3a b b 1 4x

300 6

2

15.

2 4 25a 3b 2 5ab

4. 3 x

11.

1 1 2 3 11

5. 2 x 3xy

2 12. 3 2 7

3

1 4 3 3 8x y xy

13.

7.

35 16a 4 2

14. 3 2

1 4 6 10

3 3 3 2 xy ¤¥ x 2 xy y 2 ³´ µ ¦

18.

x y

3 3 19. ¤¥ 1 x x 2 ³´ µ ¦ 3

3.

4.

4

6

2

5 2 1

13.

5 2 6 14.

x5 1 3

1 4

3 1 3

9.

5

x 2x 2 10.

x 2 y 3x

x 3

x 3

x 3 xy 2 y

4. 11i

8. 3 6i

12.

5 3i 2

16.

4 2 2i 5

1 5 3i 2i 2 2 9. 11 – i 10. 7 11. 0 8.

5. 6 6i

12. 0

6. 0

13. 5 i

7. 4 2i 3 3i

14.

4

23 x 12

xi

EJERCICIO 112 1. – 1 2. – i 3. –3i 4. – 1

6. i 7. – i 8. 3i – 2 9. 4i

11. 3i – 2 12. 0 13. – 1 14. Si n es par: 0 Si n es impar: – i 15. 0

10. 1

2

5x 6 y

x 5 18.

19.

1 3

2. 12 3i

7. – 60

12. 2 4

3. 4 3i

8. 6 3 6

13.

9 i 10

18. i n

4. – 2

9. 4i

14.

6 5

19. 2i

15. 0

20. – i

3 5 i 2 4

1 3

20.

10. 3

a 2 2 ab 4 b 2

1. 2, 3

5. 5, 2

2. – 1 + 5i

6.

1 4

17.

1 6 i 2 7

9. 3 ¤ 2³ 10. ¥ 5, ´ ¦ 11 µ 5 8i 2

3. 0, 7

7. – 2i

11.

¤2 5³ 4. ¥ , ´ ¦3 4µ

¤ 1 ³ 8. ¥ , 0´ ¦ 3 µ

12. 1, 1

1. (10, 1)

4. (5, –6)

¤ 4 1³ 7. ¥ , ´ ¦ 5 2µ

2. (1, 0)

¤ 31 1 ³ 5. ¥ , ´ ¦ 20 3 µ

8.

3. (– 2, –5)

6. 0,1

1

y 2 ¤¥¦ 3 y 2 3 2 y 3 4 ³´µ

16. 0

EJERCICIO 114

3

3

11.

EJERCICIO 115

3

x2 3 x 9

2 5

6.

x 5

17.

18 5

1. – 9

1

16.

2 4x 2

2 1

5i 3 2

5.

x y

2 6x 8.

15.

1

15.

3 x3 7.

1

12.

2 y x 2 y2 6.

7

2

5.

7. 5 2i

3

3

7 2 7

8 x

3. 7i

EJERCICIO 113

3 2.

14. 2 4 7i

2 11.

3i 7

5. i

11.

10

10. 9 2i

20. 9a 2 3ab b 2

EJERCICIO 109 3

6. 2 2i

2. 3 + i 3. – 9i 4. 11i

17. 1 x 1 x

5x 5x 1 5x

6.

1.

2. 6i

1. 9i

16. 3a 2b

6 xy

10.

3.

9. 5 5i

EJERCICIO 111

a b 5

EJERCICIO 108 1.

5. 25i

xy

x x

13. 3 6i

1. 4i

1485

9.

2

2, 5 3,

ÁLGEBRA

7 i 2

10. 7 – i

15. 11

11. 6 12. 0

16. 4 – 10i 17. 1

13. – 1 + 11i

18.

20. 16 – 4i

EJERCICIO 118 Imaginarios

21. 2 + 3i 22. 4 + 5i

z

1 19 i 2 6 19. 4 – 3i

14. 3i

z1

z4

EJERCICIO 116

w1 w3

13 7. i 6

1. –17 + 6i

8. 2

2. 5 + i

2 i 2

14.

5. – 3 + 4i

11.

14 4i 3

17. – 5 + 13i

6. 1 2 6i

12. i

18. – 3 + 4i

19. a bi a bi = a 2 b 2 i 2 = a 2 b 2

2 Im z 2

= Re z

w

z2

EJERCICIO 119 1. 13

16. – 5i

31. 3 + 2i

2. 41

1 17. i 2

32. 2 – 4i

3. 41 4. 3

18. (2, –1) 19. (0, 3)

33. 1 + 8i 34. 2 – 9i

5. 5

20.

6. 85

21. – 2 – 6i

36. 11

3 7.

2

22. (– 1, 1)

37. – 4 + 6i

8. 5

11 23. 2 i 4

38. 7 – 6i

9. 2

¤ 1 1³ 24. ¥ , ´ ¦ 2 3µ

39. 1

n

n 1 i n = 1 i 2 = 1 1 n

= §© Re z1 Re z 2 ¶¸

21. w 2n = 1 i

n

n

2n = §¨© 1 i 2 ¶·¸ = 2i n si n es par,

entonces n = 2k con k ∈Z, sustituyendo: k

2i n = 2i 2k = 4i 2 = 4 k = 1 4 k k 4 k

= 1

n 2

2 2k

= 1

n 2

2, 0 n

= 1

22. w 2n = 1 i

n

2n = §¨© 1 i 2 ¶·¸ = 2i n = 0, 2 n

z5

z3

39 1 i 400 5

15. 32 – 126i 16. 4

20. 1 i

Reales w2

9. 6 + 18i 10. – 2 + 10i

z6

13. – 8 – 6i

3. 6 + 4i 4. 1 – 3i

v

10.

79 3

11.

2 13 3

3 2 i 7 5

35. 4

25 a 30.

No se incluye la solución

40.

5 i 6

41.

17 7i 13

13. 5 – 4i

2 i 5 43. 1

14. – 5

44.

5 12

15. 1 – i

45.

i 4

12. 11

42.

EJERCICIO 117 i 2 1.

5 2.

5 12i 13

1 8i 8.

5 9.

2 3i 2

3. – 3 – i

13 9i 10.

5

1 2 6i 4.

5

2 11i 11.

25

5.

4 2i 2

6. 1 + i 7.

3 i 2

12.

13.

129 107i 10 4 2 4i 3

2 i 3

CAPÍTULO 12 EJERCICIO 120 1. x1 4, x 2 1

6. z1 15, z 2 2

2. x1 9, x 2 3

7. x1 6, x 2 4

3. x1 6, x 2 5

8. x1 20, x 2 12

4. y1 3 i , y2 3 i

9. x1 1 2i , x 2 1 2i

5. w1 5, w2 8

14. – i

1486

10. x1 1, x 2

2 3

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

1 11. x1 , x 2 2 2

3 16. w1 a, w2 5a 7

3 1 12. w1 , w2 2 5

17. x1 5b, x 2 2b

13. x1 3, x 2 14. x1

2 3

5 6 18. x1 , x 2 b b

1 1 1 1 i, x i 2 3 2 2 3

19. y1

1 15. x1 b, x 2 b 4

20. y1

b 2b ,y a 2 a

a 10 a, y2 7 2

EJERCICIO 121 11. x1 =

1. x1 = 3, x2 = 5

1 1 2i , x2 = 2i 2 2

1 3 1 3 i , x2 = i 3 2 3 2 13. w1 = 0, w2 = 5

2. x1 = 3, x2 = – 2

12. x1 =

3. x1 = – 4, x2 = – 2

5 14. z1 = 0, z2 = 2

4. x1 = 5, x2 = – 3 5 5 , x2 = 2 2

15. y1 = 0, y2 =

a 3

5 1 6. x1 = , x2 = 2 3

16. x1 = 0, x2 =

b a

3 7. y1 = , y2 = 1 5

17. x1 = – 5, x2 = 5

8. x1 = 3 – 7 , x2 = 3 + 7

1 1 18. x1 = , x2 = 2 2

9. x1 = – 1 – 6 , x2 = – 1 + 6

b b 19. x1 = i , x2 = i a a

5. x1 =

4 4 20. w1 = , w2 = a a

10. x1 = 2 – i, x2 = 2 + i

EJERCICIO 122 1. Reales y diferentes 2. Complejas 3. Complejas 4. Reales e iguales 5. Reales y diferentes 6. Complejas 7. Reales y diferentes 8. Complejas 9. Reales y diferentes 10. Reales e iguales 11. Complejas 12. Reales e iguales

ª 1 ­­ x1 7 10. « ­x 5 ­¬ 2 2

ª 5 ­­ x1 b 2 16. « ­ x 2b ­¬ 2 3

ªx 2 7 ­ 22. « 1 ¬­ x 2 5 7

ª 2 ­­ x1 5 11. « ­x 1 ­¬ 2 4

ª ab ­x 17. « 1 2 ­ x 2ab ¬ 2

ª 1 ­­ y1 2 23. « ­ y 1 ­¬ 2 15

ª 7 ­z 12. « 1 5 ­ z 2 ¬ 2

ª 1 ­­ x1 a 18. « ­x 3 ­¬ 2 a

ª 2 ­­ x1 3 24. « ­ x 1 ­¬ 2 4

ª 1 ­­ w1 2 13. « ­w 6 ­¬ 2 5

ª 3b ­­ x1 a 19. « ­ x 2b ­¬ 2 a

ª 1 ­­ w1 3 25. « ­w 2 ­¬ 2 5

ª 3 ­­ x1 2 14. « ­x 2 ­¬ 2 7

ª z 2 3 ­ 20. « 1 ¬­ z 2 3

ª x1 5 ­ 15. « 3 ­ x2 2 ¬

ª x 3 3 ­ 21. « 1 ­¬ x 2 5 3

EJERCICIO 124 ­ª x 0 1. « 1 ¬­ x 2 6

ª x1 0 ­ 6. « 5 ­ x2 7 ¬

ª­ x 0 2. « 1 ¬­ x 2 2

ª x1 0 ­ 7. « 1 ­ x2 2 ¬

­ª x 0 3. « 1 ¬­ x 2 5

­ª x 0 8. « 1 ¬­ x 2 4

ª x1 0 ­ 4. « 2 ­ x2 3 ¬

ª­ x 0 9. « 1 ­¬ x 2 8

­ª x 0 5. « 1 ¬­ x 2 1

EJERCICIO 125 ª­ x 2 1. « 1 ¬­ x 2 2

ª a ­­ x1 4 6. « ­x a ­¬ 2 4

ª 2 ­­ x1 3 11. « ­x 2 ­¬ 2 3

­ª x 1 2. « 1 ­¬ x 2 1

ª 6 ­­ z1 5 7. « ­z 6 ­¬ 2 5

­ª x 1 12. « 1 ­¬ x 2 1

ª­ w 10 3. « 1 ¬­ w2 10

ª­ y 6 8. « 1 ¬­ y2 6

ª­ y 4i 13. « 1 ¬­ y2 4i

ª­ x 8 4. « 1 ¬­ x 2 8

ªw 7 ­ 9. « 1 ¬­ w2 7

ª­ w 5i 14. « 1 ¬­ w2 5i

EJERCICIO 123 ª­ x 9 4. « 1 ­¬ x 2 10

ª x1 1 ­ 7. « 2 ­ x2 3 ¬

­ª x 8 2. « 1 ¬­ x 2 3

­ª w 1 5. « 1 ¬­ w2 4

ª y1 4 ­ 8. « 1 ­ y2 2 ¬

­ª y 4 3. « 1 ­¬ y2 5

ª 5 ­y 6. « 1 3 ­ y 2 ¬ 2

ª 2 ­ x 9. « 1 3 ­ x 3 ¬ 2

ª­ x 1 1. « 1 ­¬ x 2 6

­ª x 0 10. « 1 ¬­ x 2 2

ª y 3 ­ 5. « 1 ­¬ y2 3

1487

ª x 3 ­ 10. « 1 ­¬ x 2 3

­ª x i 15. « 1 ¬­ x 2 i

ÁLGEBRA

EJERCICIO 126 1. 27 y 15

­ª Alejandro 8 años 12. « ¬­ Alfredo 4 años

ª­ x x 2 1 7. « 1 ¬­ x1 x 2 12

ª x1 x 2 3 ­ 9. « 14 ­ x1 x 2 9 ¬

2. 30 y 12

13. 7

3. 3, 5 y 7

­ªárboles 15 14. « ¬­filas 13

­ª x1 x 2 7a 10. « 2 ­¬ x1 x 2 12a

4. 12, 14 y 16

15. r = 4 cm

ª 1 ­­ x1 x 2 2 8. « ­x x 1 ­¬ 1 2 2

1 5. y 5 5

­ªlargo=17 cm 16. « ¬­ancho=16 cm

6. 5 y 20

17. 39 años

­ªlargo 200 m 7. « ¬­ base 125 m

19. 7.5 segundos ­ª primera llave=8 h 20. « ¬­segunda llave=24 h

9. 3, 4 y 5 10. 96 m3

21. $20 22. 8, 6 y 10 unidades

­ªaltura 18 m 11. « ­¬ base 54 m

EJERCICIO 127

x1 1, x 2 3

¤ 1 25 ³ 2. V ¥ , ´ ¦ 2 2 µ

x1 7 2, x2 7 2 5. V 1, 4 x1 1 2i , x 2 1 2i 6. V 1, 0 x1 1, x 2 1 7. V 2, 9 x1 2 3i , x 2 2 3i 8. V 5, 0 x1 5, x 2 5 9. V 0, 9 x1 3i , x 2 3i

3. x 2 16 0

8. 20 x 2 19 x 3 0

4. x 5 x 4 0

9. x 2 2bx 3b 2 0

5. x 2 8 x 15 0

10. x 2 7ax 10a 2 0

EJERCICIO 131 1 256 14. x 1

1. x 49

7. x 3

13. x

2. x 8

8. x 7

13 3. x 2 4. x 5

10. x 1

16. x 2, 7

5. x 5

11. x 4

17. x 1,1

6. x 2

12. x 1

18. x 9

9. x 1

15. x 3

¤1 ³ ¤ 1 ³ 8. ¥ , 0´ , ¥ , 0´ ¦3 µ ¦ 3 µ

9. 2, 4 2 , 2, 4 2 , 2, 4 2 , 2, 4 2

10. (7, – 7), ( – 7, 7), 2 7 , 7 , 2 7 , 7 x1 0, x 2 3

11. (4, 2), ( – 4, – 2), (5, 1), ( – 5, – 1)

EJERCICIO 128

12. 5,1 , 5, 1 , 3, 2 3 ,

1. 50 y 50

6. 19 cm y 19 cm

2. – 10 y 10

7. 500 ejemplares

3. 20 y 20

8. 20 pelotas

4. 55 y 55

9. 35 cajas

5. 72 pies

ª­56.5 cm 10. « ¬­43.5 cm

3, 2 3

13. (1, 1),( – 1, – 1), ( – 2, 0), (2, 0) 14. (3, 2), ( – 3, – 2), (4i, i ), ( – 4i, – i ) ¤ 30 2 30 ³ ¤ 30 2 30 ³ 15. ¥ , , ´ ,¥ ´ , 2, 3 , 2, 3 5 5 5 5 µ ¦ µ ¦

16. (3, 6), ( – 3, – 6) ¤ ³ ¤ 2 ³ 2 17. 2,1 , 2, 1 , ¥ , 2´ ,¥ , 2´ ¦ 2 µ ¦ 2 µ

EJERCICIO 129 ª x1 x 2 0 ­ 1. « 9 ­ x1 x 2 4 ª­ x1 x 2 0 2. « ¬­ x1 x 2 25

7. 2 x 2 5 x 2 0

1. (0, 0), (4, 4) 2. (0, 3), (3, 0) 3. (3, – 3), ( – 3, 3) 4. (2, 4), ( – 2, – 4) 5. ( – 3, – 5), (5, 3) 6. (3, 2), ( – 3, – 1) 7. (4, 3), (4, – 3), ( – 4, 3), ( – 4, – 3)

x1 4, x 2 5

4. V 2, 7

¤ 3 9³ 10. V ¥ , ´ ¦ 2 2µ

2. x 7 x 0

EJERCICIO 132

x1 2, x 2 3

¤ 1 81 ³ 3. V ¥ , ¦ 2 4 ´µ

6. x 2 4 x 29 0

2

­ªaltura 10 m 8. « ¬­ base 30 m

1. x 2 9 0 2

18. 5 segundos

­ªlargo 250 m « ¬­ base 100 m

1. V 2, 2

EJERCICIO 130

ª­ x x 2 1 3. « 1 ¬­ x1 x 2 0

ª­ x x 2 5 5. « 1 ¬­ x1 x 2 6

ª 8 ­ x x2 4. « 1 3 ­x x 0 ¬ 1 2

ª­ x x 2 4 6. « 1 ¬­ x1 x 2 3

18. ( – 2, 1), (2, – 1) ¤ 5 17 17 ³ ¤ 5 17 17 ³ 19. 1. 0 1, 0 , ¥ , , ´ ,¥ ´ 17 17 17 17 ¦ µ ¦ µ

20. ( – 1, – 4), (2, – 7), (1, 4), ( – 2, 7)

1488

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 13 EJERCICIO 133

1. 3, c

¤ 18 ³ 21. ¥ ,c ´ ¦ 5 µ

3. c, 4

23. 2, 3

¤ 3 7³ 24. ¥ , ´ ¦ 2 2µ

4. c, 1 ¶¸

26. §© 9, 1

¤ 3 ³ 7. ¥ , c ´ ¦ 2 µ

27. 3, 3

9. c,10 ¶¸ 10. c,5 ¶¸

31. 1000, 100

11. 4, 2 1, c

6. §© 3, 2

13. c, 6 1, 4 ¶¸

5. 3, 0 3, c 6. c, 2 4, c

[ ]

4. c, 4

2. §© 2, c 2

EJERCICIO 137

1. c, 7 ¶¸ §© 7, c

¤ 1 19 ¶ 35. ¥ , · ¦ 2 2 ¸

§ 10 32 ¶ 36. ¨ , · © 3 3 ¸

37. 14, 2

¤1 ³ 11. ¥ , c ´ ¦ 3 µ

2. 7, 7

§1 5¶ 10. ¨ , · ©2 6¸

3. c,1 9, c

12. c, 2 ¶¸ §© 0, c

§ 9 ¶ 4. ¨ , 3 · © 5 ¸

5. c, 3 5, c

¤ 1³ 14. ¥ c, ´ ¦ 2µ

¤ 4 ³ 15. ¥ , 0 ´ 0, 4 ¦ 3 µ

19. c, 6 ¶¸

§ 9 19 ¶ 39. ¨ , · ©2 2 ¸

7. §© 9,10 ¶¸

¤ 1¶ 16. ¥ c, · ¦ 2¸

³ § 19 20. ¨ , c ´ µ © 28

¤ 14 8 ³ 40. ¥ , ¦ 9 3 ´µ

8. c, 4 20, c

3. c, 5 ¶¸ §© 5, c

4. c, 6 6, c § 1¶ 5. ¨ 0, · © 3¸

¤ 1 ³ 9. ¥ , 3 ´ ¦ 2 µ

§ 1 3¶ 10. ¨ , · © 3 2¸

17. c, 0 4, c

2.

1.

Y

Y

y=6

11. c, 4 1, c

6. c, 0 5, c

EJERCICIO 138

8. c, 4 5, c 7. c, 0 4, c

2. §© 4, 4 ¶¸

9. §© 2,18 ¶¸

EJERCICIO 134 1. 3, 3

13. F

6. F

5. c,3

38. §© 2, 4 ¶¸

18. §© 6, c

§3 ³ 12. c, 2 ¨ , 4 ´ ©2 µ

¤ 21 11 ³ 34. ¥ , ´ ¦ 2 2 µ

3. c, 2 1,1

¤ 1 ³ 14. ¥ c, ¦ 23 ´µ

17. §© 21, c

10. c, 2 2, 4 ¶¸

1. §© 2, 1 ¶¸ §© 2, 4 ¶¸

33. §© 16, 8

EJERCICIO 136

¤ 4 ³ 13. ¥ , c ´ ¦ 5 µ

16. 6, c

§2 3¶ 32. ¨ , · ©5 5¸

7. c, 1 ¶¸ 3, c

¤ 8 ¶ 12. ¥ c, · ¦ 53 ¸

15. 2, c

§ 1³ 9. ¨ 9, ´ 4, c 3µ ©

30. §© 4, 1

¤ 5 ³ 11. ¥ , c ´ ¦ 3 µ

¤ 5³ 2. ¥ c, ´ ¦ 2µ

29. 2, 4

8. 1, 3 11, c

4. c, 2 2, c

28. §© 23, 10

8. c, 2

¶ · §© 3, c ¸

¤ 3 ³ 1. ¥ , c ´ ¦ 4 µ

¤ 5³ 3. ¥ 2, ´ ¦ 2µ

25. §© 3, 1 ¶¸

³ § 8 6. ¨ , c ´ µ © 7

¤ 1 14. ¥ c, ¦ 2

EJERCICIO 135

22. c,13 ¶¸

2. c,3

5. c, 7

¤ 2 ³ 13. ¥ ,1 ´ ¦ 3 µ

X

³ §3 12. c, 1 ¶¸ ¨ , c ´ µ 4 ©

1489

y=–5

X

ÁLGEBRA

3.

EJERCICIO 139

8.

Y

Y

1.

x=4

6.

Y

Y

x=3

y = 3x – 10

y=4 X

X

y=2

X

X

2x – 3y = 9

4.

9.

Y

Y 2.

7.

Y

Y

y=3

2x + y = 1 X

X

x=4

2x – y = 3

X

y=–3

X x–y=2

5.

10.

Y

x=4

Y

3.

8.

Y

Y 2 x 2

3x – 2y = 0 y=1 X

X

X

X x – 3y = 0

11.

6.

4.

Y

Y

9.

Y x+y=1

0

x 3

Y

x=y

1c y c 4 X

X

x + 2y = 0

X

X x+y=1

x=–3

7.

5.

12.

10.

Y

Y

Y x=–3 x 2 X

y 3

Y

x+y=3

y=1–x

1

X

X

x–y=1

1490

y=x–4

X

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 14

11.

EJERCICIO 140

13. log17 a 2

2. 16 = x 4

14. log 5 625 4

3. 81 = 3 4

15. log 64 4

1 6 2 36

16. log N

1 3

1 2 16

¤ 4³ 17. log 2 ¥ ´ 2 ¦ 9µ

4

5. 9

3

6. 343 = 7 x

18. log 2 x 3 4

1 2

13.

1 1 log x log y 3 2

14.

3 1 2 1 log a log b log c log d 2 2 3 3

15.

1 log 2 x y 4 log 2 x y 2

19. ln 25 x 2

1 4 81

9. y =

3. y = 3

1 32

10. N = 8

1 5

11. w = 3

5. x = 4

4 12. x = 9

4. b =

6. a = 343

13. b = 2

7. x = 81

n2

6

x 3 y2

30. ln

18. y =

1 4

31. ln

5

m2

24. log 2 3 4 x

2

9. ln x 2 ln y 3 4 ln z

4

2x14 y3 1

25. log b

1 12

3y x

1

10 x 6 35. log

3. x = 9, x =

8. x = 25

1491

2

x 1

x

x 1 3 2

2

9. x = 17, x =7 10. x = 27 5

4. x = 17 5. x = 6, x = –6 6. x = 13 7. x = 40

10. log5 3 + 3 log5 x + 6 log5 (1–2x) – log5 2 – y log5 x – log5(x2 – y2)

10 x

¤ 9m 2 p ³ 36. ln ¥ ´ ¦ 7 xy 3 µ

x yz

1

x 1 3 x 1 2 34. log

x 1 8 x 2 3

2. x = –20

8. log 1 7 2 log 1 x

x 2 3 x 1 2

19. x = –3

1. x = 1

3

x y 3

33. log 2

EJERCICIO 143

7. 3 log x y log x z

e 2 x x y

x 2 5

3 2. log 6 3 2

6. 8 2 ln 3 4 ln x

1

x7

32. log

27. log 2

5. 3 log 3 x 2 log 3 y log 3 z

1

x 8 y3

2

23. log n 4

26. log

7 1 3. log e x 3 3 4. log 5 log x 2 log y

4 m2 1

5ey

2 5

17. x = –6

15. x = 3 16. a =

z4

1. 4 log a 7

2

14. x = 2

EJERCICIO 142

29. log

22. ln 8e 4 x 2. x = 4

28. log 4

m3

21. log 7 8. m = 8

1

20. log

EJERCICIO 141 1. x = 5

21. log x z w

24. log 3 x 2 441 2

2 x 2 7 ln x 1 ln x 1 3 3 5 30

9. 625 = w 4

12. 256 = (2x – 1)8

18.

23. log 5 125 3x

1 log x 3 2 log x z 3

20. log x 2 8 3

11. 243 = (3x)5

1 1 1 log x 3 log y 5 2 log x 6 log y 2 2 2 4

8. x – 1 = 32

22. log 3

17.

19. log 2 256 x

10. 128 = (x – 1)7

16. 2 log x

3

7. 6 a

5 log z 2

12. 2 log x y

1. 8 = 2 3

4.

1 log 4 3 log 4 x 2 log 4 y 2

9 2

11. x = 8, x

22 9

12. x = –1 13. x = 0, x = –35 14. x = 6 15. x = 3 7 16. x = 12, x = 11

ÁLGEBRA

e 1 e 1

17. x = 5

21. x =

18. x = 6

22. x = 4e

19. x = 7

23. x = 4

20. x = 4

24. x =

25. x =

CAPÍTULO 15

ee 3

2 ee 1 26. x = e

EJERCICIO 146 1 1 1 1 , , , 2 3 4 5 2. 9.9, 9.99, 9.999, 9.9999, 9.99999 1. 1,

2 e 1

EJERCICIO 144

2. x =

4.

19. x =

1. x = 4 3 log 2 log 3

5 10 17 26 , , , 4 9 16 25

3. 2,

e 1

1 2

1 2 2 8 , , , ,2 4 5 3 7 3 5 7 3 , , , 2 6 24 40

5. 1,

20. x = 6 , x = 6

6. – 1, 4, – 9, 16, – 25 7. 0, 0, 2, 6, 12

3. x = 0

21. x = 3, x = –1

1 4. x = 2

22. x = 2

5. x = 1.20557

3 23. x = 2

10. 1,

6. x = 2

24. x = –1, x = –2

11. 2, 5, 11, 23, 47

7. x = 3

25. x = – 1

8. x = 2

26. x = 2

9. x = –1

27. x =

10. x = 3 11. x =

12. x = –1.72683 7 3

29. x =

log 2 2 log 2 log 3

2 log 7 log 5 2 log 7 log 5

30. x = 0 31. y = ln 11 – ln 13

7 14. x = 3

32. x = 2, x = 1

15. x = –4

33. x ln 3 2

2 16. x = 5 17. x = 18. x =

4 3 8 5 , , , 3 2 5 3

12.

1 1 1 , 1, , 1, 2 2 2

13.

1 4 7 10 2 , , , , 3 3 3 3 3

14. 27, – 9, 3, – 1,

1 3

15. – 1, – 1, – 2, – 6, – 24 16. – 2, 4, 16, 256, 65 536 1 , 3 24 3 18. 3, 1, – 1, 1, – 1 17. 4, 2, 1,

1

EJERCICIO 147 1. 48 2. 165

8. 21 9. n2

617 140 4. 126 3.

34. x = 0

5 3

35. x ln 1 e

5 2

36. x ln 5

EJERCICIO 145 1. pH = 4.7212 2. pH = 3.2218 3. 1 × 10 –9 4. 4.3010 5. 0.9 segundos 6. 3 500 micrómetros 7. 59.46% 8. 6.4321 años

1 2 3 4 5 , , , , 2 3 4 5 6

9. 1, 2, 3, 4, 5

28. x = 0, x = 2

2 log 2 3 log 5 2 log 5

13. x =

8.

10.

2 11. c = 3

5. 7 1

12. c = 1

6. 18

13. c = 3

7.

n n 1

11 2

14. c = 2,

20 13

EJERCICIO 148 9. 1 38.62 años 10. 18 321 habitantes 11. 3.5 horas 12. 29.15 años 13. T = 64.762°C 14. T = 94.84°C 15. t = 133.9 min

1. Sí es

7. a8 = 23

13. a12 = – 5

19. n = 9

2. No es

7 8. a11 = 2

14. a18 = 454

20. r = –

3. Sí es

9. a15 =

15. a13 = – 27

21. a11 = – 28

103 12

4. No es

10. a10 = 55

5. Sí es

11. a16 =

6. Sí es

12. a7 = 48

1492

27 4

16. a17 =

11 4

1 4

22. a1 = – 15

17. a1 = 7

23. n = 10

18. r = – 2

24. a1 = 7

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

25. a1 =

17 6

27. r =

1 4

29. a7 = 8n – 5

28. a5 =

26. n = 10

15 4

30. a4 =

20n 7 6

EJERCICIO 149 1. S8 = 176 2. S9 = 9 3. S8 = 31

6. S12 = 450 7. S11 = 0 8. S = 40 600

4. S9 = 648

9. S =

n n 1

2 10. S = n(n + 1)

5. S13 = – 78

23. n = 5

27. a4 =

20. a2 = 4

24. n = 8

28. a11= 2 6

14. a1 = – 9 15. a1 = 2, an = 100

21. r =

1 3

25. n = 9

22. r =

3 4

26. a1 =

1 4

EJERCICIO 154 3 1 1. 9, , ,– 1 2 4 9, 3, 1, – 1

EJERCICIO 150

2. 4 096 células 3. 3, 5, 7 4. 6 células

1. 365 lugares 2. 518 ladrillos 3. $1 375 4. 9 rollos 5. 18 filas

5. 30 388 bacterias 6. at = 25 000(1.05) 3t 7. $339 814.7 8. 67 392 bebés 9. 4 cm2

EJERCICIO 155 364 27

11. Sn =

2059 486

12. Sn =

1. S6 =

EJERCICIO 151 1 1 1 1. 27 , 34, 40 , 47, 53 2 2 2

2. S7 =

1 1 1 1 2. 6 , 8, 9 , 11, 12 , 14, 15 2 2 2 2

3. S9 = – 855

r2 1 2n 1 2n

13. n = 8

4. S10 =

989527 2187

14. r =

1 1 1 1 1 1 1 4. 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 2 2 2 2 2 2 2

5. S15 =

32767 8

15. a1 = 27

5. – 2.5, – 2, – 1.5, – 1, – 0.5, 0

6. S18 = 524 286

16. an =

5 4 11 6. , , 6 3 6

7. S12 = 1 092 + 364 3

17. a1 = – 2

7. Promedio = 8.24

8. S10 = 31 – 31 2

18. r =

9. S12 =

1. 8 años 2. 9.8 de calificación 3. Promedio = 9 4. Promedio =

n 21 n n 1

1 2

1 64

3 2

19. n = 7

10. S9 = 511 2 x 2

EJERCICIO 156

a1 an

1. 5 461 triángulos 2. 127 personas 3. 65 761.7 ton.

4. 34 316.76 partos 5. 1.01 % por año, 110.4 millones

2

5. 7 hileras y constan de 80, 76, 72, 68, 64, 60, 56 tejas 6. 8 hileras de 58, 62, 66, 70, 74, 78, 82 y 86 tejas

EJERCICIO 153 1. Sí es

7. a6 = – 81

2. Sí es

8. a9 =

3. No es

9. a5 = – 80

128 2187

5 128

4. No es

10. a7 =

5. No es

11. a10 =

6. Sí es

1 12. a8 = 16

1 2187

13. a12 =

32 243

14. a9 = m24 15. a10 = n14 16. a7 =

n3 n 1

17. a13= 227 x 16 18. a9 = a1r

EJERCICIO 157 6. r =

3 5

9 4

7. r =

1 3

3. S = 9

8. S =

4 cm2 3

1. S = – 4 2. S =

4. S =

27 4

5. S =

23 8

16

1493

a1 r 2n 1

1 2 1 2 3. 1, 1 , 1 , 2, 2 , 2 3 3 3 3

EJERCICIO 152

m4 23

2

11. S = n 12. n = 12 13. n = 10

1

19. a1 = 2

9. S = 2 048 cm2

x 9

ÁLGEBRA

EJERCICIO 158 1. 1, 2, 4, 8, 16

10. 1, 2 , 2, 2 2

4 4 2. 4, , 3 9

11. 3 6

3. – 6, –12, – 24, – 48

12. 4 2

4. 6, 24, 96, 384, 1 536

13. 5 5

5. 6, 6 3 , 18

14. 12

2 8 32 128 6. , , , 3 9 27 81 7. – 64, – 32, – 16, – 8, – 4, – 2

16. 8 2

x 1 3 , x 1 4 , x 1 5

17. 3 3

8.

3

9

3

15. 36 3

27

4 9. a, 2, a

18.

§3 9 3¶ §1 §0 0 0 ¶ 3 5¶ 4. A B ¨ · , A B ¨ · , A A ¨ · ©1 4 8 ¸ ©7 8 6 ¸ ©0 0 0 ¸ § 5 §4 6 2 ¶ 6 16 ¶ 4 A 3B ¨ · , 2A 0B ¨ · 2¸ © 25 30 17 ¸ ©8 12 § 3 ¨ ¨ 5 ¨ 1 5. A B ¨ ¨ 3 ¨ 23 ¨ © 3

§ 23 ¨ §0 0 0 ¶ ¨ 5 ¨ · A A ¨0 0 0 · , 4 A 3B ¨ 1 ¨ ¨0 0 0 · ¨ 26 © ¸ ¨©

2 8

EJERCICIO 159 1. $25 937.4

11. $17 483 ­ª 2.5% trimestral 12. « ¬­ 10% anual 13. 14.86% 14. 7% 15. 11.1 años 16. 9 955 habitantes 17. 3 años 18. $655 446.5 19. 3% 20. $12 244.5

2. $64 390.28 3. $49 783.2 4. $43 346.6 5. $13 324.4 6. $18 824.8 7. $1 292.2 8. $8 723.2 9. $8 682.5 10. $188 542

§ 7 1¶ · ¨ 8· ¨ 5 · ¨ 1 2 10 · , A B ¨ · ¨ 3 ¨ 19 3· 1 · ¨ 2¸ © 3 16 3

1. $55 700.19 2. $3 652.26 3. 25% 4. 8%

5. $156 738.56 6. 20% 7. 10 años de vida útil

CAPÍTULO 16 EJERCICIO 161 1. a = 2, b = – 1 2. x = – 2, y = 4, z = 0

3. q = 2, r = 1, t = 1, 4. x = 7, y = 1, z = – 2

EJERCICIO 162 § 6 2¶ §0 0 ¶ §0 0 ¶ 1. A B ¨ · , A B ¨ · , A A ¨ · © 0 4¸ ©0 0 ¸ ©0 0 ¸ § 3 1 ¶ § 6 2¶ 4 A 3B ¨ · , 2A 0B ¨ · © 0 2¸ © 0 4¸ 2. A B §© 4 7 4 ¶¸ , A B §©8 7 2 ¶¸ , A A §©0 0 0 ¶¸ 4 A 3B §© 26 21 5 ¶¸ , 2 A 0 B §© 4 0 2 ¶¸ § 2 2¶ ¨ · 3. A B ¨ 3 6 · , A B ¨ 3 · 4 © ¸

§ 6 12 ¶ §0 0 ¶ ¨ · ¨ · 6 · , A A ¨0 0 · ¨ 1 ¨ 1 10 · ¨0 0 · © ¸ © ¸

§ 20 43 ¶ ¨ · 4 A 3B ¨ 2 18 · , 2 A 0 B ¨ 5 33· © ¸

§ 4 14 ¶ ¨ · ¨2 0 · ¨ 4 6 · © ¸

8 3

5

1¶ · 8· · 6· · 3· · 2¸

1¶ · 2· 27 16 · · 8 9·

5 2 ·¸ 19

§4 1¶ 10 · ¨ 4· ¨5 2A 0B ¨ 0 6 4 · · ¨ ¨14 2 0 · ·¸ ¨© 5

[ a 7, b 2, c 2, d 5, v 3, w 4 7. [ n 3, w 10, x 3, y 6 8. [ v 4, w 2, x 3, y 7, z 2 6.

EJERCICIO 163 § 5 1. AB §© 2 ¶¸ , BA ¨ © 5

EJERCICIO 160

14 3

7¶ · 7 ¸

2. AB §© 5 5 ¶¸ § 5 4 ¶ ¨ · 3. BA ¨ 5 0· ¨ 6 1 ·¸ © § 7 7 4¶ 4. AB ¨ · © 5 5 8 ¸ § 8 8 ¶ § 4 2 ¶ 5. AB ¨ · , BA ¨ · © 2 4 ¸ © 8 8¸ § 12 7 ¶ §1 3¶ 6. AB ¨ · , BA ¨ · © 5 2 ¸ © 8 13¸ §4 § 1 25 ¶ ¨ 7. AB ¨ · , BA ¨1 © 1 7 ¸ ¨7 ©

2 0¶ §74 98 ¶ · 1 3· , A BC ¨ · © 20 26 ¸ 5 3 ·¸

§ 11 3 ¶ § 1 5¶ §17 3 ¶ ¨ ¨ ¨ · · · 8. AB ¨ 4 2 · , A B 2C ¨ 4 0 · , A BC ¨ 8 2 · ¨ 2 0· ¨ 2 2 · ¨2 · 0 © © © ¸ ¸ ¸

EJERCICIO 164 1. detA = 22 2. detB = 8 3. detC = – 50 4. detD = 43 5. detE = 122

1494

SOLUCIÓN A LOS EJERCICIOS

CAPÍTULO 17

EJERCICIO 165 §1 ¨ 1 ¨ 7 1. A ¨1 ¨ ©7

¶ · 1 §2 ·= ¨ · 14 © 2 · ¸

4¶ · 3 ¸

0¶ 1 § 2 · 1· ¨ 2© 5 2 ·¸

0¶ · 1¸

2 7 3

14

§ 1 2. B 1 ¨¨ 5 ©¨ 2

EJERCICIO 167 1. (x – 1) y (x – 5) 2. (x + 1) y (2x + 3) 3. (x + 2)(3x – 2) y (x – 2) 4. (x + 1) y (x + 3i ) 5. (x + 2i ) y (x – 2i ) 6. (x),(x + 1 – i ) y (x + 2 + 3i ) 7. Residuo –72 9 8. Residuo 2

§2 1¶ 3. C 1 ¨ · ©3 2¸

4. D

1

§ 6 ¨ 7 ¨ ¨ 12 ¨ © 7

2 7 3 7

§ 5 ¨ ¨ 6 ¨ 1 5. E 1 ¨ ¨ 6 ¨ 1 ¨ 2 ©

1 6 1 6 1 2

§ 1 ¨ ¨ 8 ¨ 1 6. F 1 ¨ ¨ 4 ¨ 5 ¨ © 24

3 4 1

2 7

12

§ 5 ¨ ¨ 17 1 ¨ 1 7. G ¨ ¨ 17 ¨ 1 ¨ © 17 § 1 ¨ ¨ 5 ¨ 1 8. H 1 ¨ ¨ 5 ¨ 1 ¨ © 5

¶ · 1§ 6 · ¨ · 7 © 12 · ¸

1¶ · 2· § 5 1 3 ¶ 1 · 1¨ · 3· · ¨ 1 1 2 · 6¨ ·

3 3 3 © ¸ 1· · 2¸

2 17 11

34 3 17

§ 43 ¨ ¨ 6 ¨ 1 ¨ 9. J 1 ¨ 6 ¨ 67 ¨ ¨ 6 ¨ 16 6 ¨ © 3

273 2 10. Residuo 12 11. Residuo 264 12. Residuo –240 13. k = 2 14. k = 3, k = –6 46 15. k = 6, k = 3 9. Residuo

2¶ · 3¸

1 10 3 5 3 5

49 6 1

6 79

6 19

3

1

8 1 4 1

8

3 10 9 5 4 5

¶ · · § 2 1 · 1 ¨ 6 · ¨ 2 · 10 ¨ 2 6 © · · ¸

19 6 1 6 31 6 7 3

167 73

1 3 18. Todos son raíces 19. Todos son raíces 20. Ninguno es raíz 11 21. x = –1, x = 2

17. k = 4, k =

¶ · · § 10 4 6¶ · 1 ¨ · · ¨ 2 11 8 · · 34 ¨ 2 ·

6 8 © ¸ · · ¸

3 17 4

17 4

17

16. k = 4, k =

¶ · · § 3 18 3 ¶ · 1 ¨ ·

6 12 6· · ¨ · 24 ¨ 5 14 3 · © ¸ · · ¸

3 ¶ · 18 · 8 ·¸

1¶ · 6· § 43 1¶ 49 19 1· ¨ · · 1 1 1 1

1 6· ¨ · ¨ 1 · 6 67 79 31 1 · ¨ · · 6· ¨© 32 38 14 2 ¸· 1· · 3¸

EJERCICIO 166 ­ª x 5 1. « ¬­ y 2

­ª a 11 3. « ¬­ b 10

ª x 5 ­ 5. « y 2 ­ z 1 ¬

­ª m 4 2. « ¬­ n 2

ª a 4 ­ 4. « b 3 ­c 2 ¬

ª x 1 ­ 6. « y 1 ­ z 2 ¬

22. x = 2 + i, x =

3 5

1 5 ,x= 2 3 24. x = 2 i, x = –2 i 3 25. x = 4, x = 5 26. f (x) = x3 + 4x2 – 5x 27. f (x) = x3 + 4x2 – 9x – 36 28. f (x) = 3x3 – x2 + 48x – 16 29. f (x) = 8x3 + 2x2 – 43x – 30 30. f (x) = x4 – 5x3 – 13x2 + 133x – 260 31. f (x) = 6x4 – 5x3 + 7x2 – 5x + 1 32. f (x) = 3x3 + 5x2 + 4x – 2 33. f (x) = x3 – x2 – x + 1 34. f (x) = x4 – x3 – x2 – x – 2 35. f (x) = x4 – 6x2 + 8x – 3 36. f (x) = x4 – 4x3 + 16x – 16 37. f (x) = x5 + 2x4 – x – 2 38. x = –1, x = 1, x = 5 39. x = 5, x = 4, x = 3 1 2 40. x = 1 , x = , x = 4 5 3 23. x =

5 , x = – 2 + i, x = –2 – i 2 42. x = 2, x = –3, x = 7, x = 0 43. x = – 4 i, x = 4 i, x = –2, x = 3 2 5 44. x = , x = , x = –1 + i, x = –1 – i 3 2 41. x =

45. x = – i, x = i, x = – 4, x = –3, x =

1495

1 2