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Radice quadrata di 2 - Wikipedia - [ Translate this page ] risultato dell’operazione di estrazione della radice quadrata dal numero 2, ovvero il numero che moltiplicato per se stesso da esito 2. ... Storia - Algoritmi computazionali - Prove dell’irrazionalità - Proprietà it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata_di_2 - Cached - Similar Radice quadrata - Wikipedia - [ Translate this page ] Jump to Proprietà‎: Si supponga che x e a siano reali e che x^2 = a \, , e che si voglia ottenere la x\; . Un errore comune consiste nell’estrarre la radice ... Sviluppo della nozione - Proprietà - Generalizzazioni it.wikipedia.org/wiki/Radice_quadrata - Cached - Similar Show more results from it.wikipedia.org Dimostrazione dell’irrazionalità di radice 2 - [ Translate this page ] La radice quadrata di 2 è un numero irrazionale


â&#x2C6;&#x161;2 RE: design is dead Federico De Giuli <f.degiuli@progettocluster. com>A:100x100x100@yahoo.com


√2 La mia risposta è la radice di due perchè è il primo e il più antico numero irrazionale. La scoperta che è impossibile calcolare con un numero razionale finito la diagonale di un quadrato di lato 1 ha messo in crisi i sapienti dell’antichità ed ha aperto un problema che ancora oggi è di difficile soluzione. Non che geometria e matematica non abbiano imparato a tenere conto di discontinuità e limiti, del calcolo infinitesimale come della relatività, ma in certe domande, come la vostra, si cela sempre la tentazione che partendo da una origine semplice si possa sviluppare un sistema coerente ed universale. Non esistono sistemi di pensiero pacificati ma è solo nella dinamicità della storia che è possibile trovare un equilibrio il quale per essere vitale e duraturo deve essere creativo e quindi sempre diverso da sè. Federico De Giuli


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Radice quadrata di 2 From Wikipedia, the free encyclopedia

In matematica, la radice quadrata di due (√2) anche conosciuta come costante di Pitagora - è un numero reale irrazionale risultato dell’operazione di estrazione della radice quadrata dal numero 2, ovvero il numero che moltiplicato per se stesso da esito 2. Il suo valore approssimato alla cinquantesima cifra decimale è: 1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 (sequenza A002193 dell’OEIS). A tale numero la storia assegna la scoperta dell’irrazionalità e in termini geometrici, è la lunghezza dell’ipotenusa di un triangolo rettangolo di cateti pari ad uno.


Storia I babilonesi diedero la prima approssimazione di √2, tramite

Un’altra approssimazione di questo numero è quella data da un antico testo matematico indiano, il Sulbasutras, che cita: « Aumenta la lunghezza [del lato] della sua terza parte, poi aggiugi la sua dodicesima parte, infine sottrai un trentaquattresimo della sua dodicesima parte » Ovvero

Questa antica approssimazione indiana è la settima nella serie di sempre più accurate approssimazioni basate sui numeri di Pell, che possono essere ricavate dalla frazione continua di √2. Algoritmi computazionali Esiste una gran quantità di algoritmi atti a calcolare le cifre di √2, tuttavia il più usato dai calcolatori è ancora il vecchio metodo babilonese di calcolo delle radici: si scelga un qualunque valore


iniziale F 0 ; poi, utilizzandolo come primo valore, iterare la seguente funzione ricorsiva:

Maggiore è il numero di iterazioni, migliore sarà la precisione del risultato. Nel febbraio 2006 utilizzando questo metodo sono state calcolate 200,000,000,000 cifre in 13 giorni e 14 ore. Tra le costanti matematiche irrazionali non periodiche, solo π è stata calcolata con maggior precisione. Prove dell’irrazionalità Dimostrazione per assurdo Supponiamo che √2 sia razionale, ovvero sia possibile esprimerlo sotto forma , ulteriormente irriducibile. Quindi

dalla quale

che possiamo scrivere anche

ovviamente 2n^2\, è pari, allora anche m^2\, sarà


pari. Ma se m^2\, è pari, allora anche m\, sarà pari, infatti il quadrato di un numero pari è sempre pari, mentre il quadrato di un numero dispari è sempre dispari. Ma se m\, è pari allora è possibile scriverlo nella forma m=2k\,. Sostituendo sopra abbiamo quindi: 2n^2=(2k)^2\, sviluppando il quadrato e semplificando diventa n^2=2k^2\, come abbiamo stabilito prima, 2k\, è senz’altro un numero pari. Ma allora anche n\, è pari. Abbiamo allora stabilito che sono pari. Il che è assurdo; infatti inizialmente abbiamo supposto (\sqrt{2}= {m \over n})\, irriducibile, ma non è possibile che una frazione irriducibile abbia sia il denominatore che il numeratore pari. Dobbiamo quindi concludere che supporre che il numero √2 si possa esprimere con una frazione è assurdo, quindi √2 non è esprimibile sotto forma di frazione, allora √2 è irrazionale. Dimostrazione con il teorema fondamentale


dell’aritmetica Un dimostrazione alternativa si basa sul teorema fondamentale dell’aritmetica. Innanzitutto si ipotizza che √2 sia razionale. Da qui consegue che (vedere dimostrazione precedente) a2 = 2b2

Ma, dal teorema fondamentale dell’aritmetica, a e b hanno una fattorizzazione diversa, tale che a = 2^x m \, e b = 2^y n , con x e y interi positivi e m e n interi positivi pari. Da qui otteniamo che

e

b^,

Sostituendo nella prima formula:

dalla quale, operando a destra:


Ciò comporta che una fattorizzazione di 2 con potenza pari (2x è certamente pari) è uguale ad una fattorizzazione di 2 con potenza dispari (2y+1). Questo contraddice il teorema fondamentale dell’algebra, e quindi, per assurdo, è dimostrato che √2 è irrazionale. Dimostrazione analitica - Lemma 1: sia tali che per ogni e

allora α è irrazionale. Prova: supponiamo Per n sufficientemente grande avremo

quindi


ma essendo aqn − bpn un intero ciò è assurdo, da cui α è irrazionale. - √2 è irrazionale. Prova: poniamo p1 = q1 = 1 e

per ogni Dimostramo per induzione che vale

per ogni n \in \ma. La tesi vale per n = 1, infatti

e se vale per n allora vale per n = n + 1 poiché


Infine applicando il lemma 1 segue l’irrazionalità di √2. Proprietà La metà di √2, uguale circa a 0.70710 67811 è un numero comune in geometria e trigonometria, poiché le coordinate del versore che forma un angolo di 45º con gli assi di un piano cartesiano ortogonale sono

Questo numero è comune inoltre poiché

Un’altra proprietà è che:

Inoltre \sqr

√2 può infine essere espressa utilizzando l’unità immaginaria utilizzando unicamente radici:


Rappresentazioni tramite serie e prodotti Lâ&#x20AC;&#x2122;identitĂ 

insieme alle rappresentazioni tramite prodotti infiniti delle funzioni seno e coseno consentono di ricavare formule quali

oppure

o


Il numero può anche essere espresso tramite la Serie di Taylor di funzioni trigonometriche. Ad esempio, la serie per cos(π/4) da

Rappresentazione tramite frazione continua La rappresentazione di √2, tramite frazione continua è


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radice quadrata di due  

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