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CONTENIDO

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Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera

Dennis G. Zill Loyola Marymount University Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

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NOVENA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con problemas de valores en la frontera

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University Versión métrica preparada por

ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University TRADUCCIÓN Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas. Instituto Politécnico Nacional. Enrique Antoniano Mateos Universidad Anáhuac México, campus Norte

María Rosa Guadalupe Hernández Mondragón

Ma. Merced Arriaga Gutiérrez Universidad de Guadalajara David Manuel Avila Sereno

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Instituto Universitario del Estado de México

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

William Alfredo Cabrer Alonso

Lucio López Cavazos

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Luisa Ramírez Granados

Ana Lilia Flores Vázquez

María del Socorro Real Guerrero

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad de Guadalajara

Mauricio García Martínez

Ruth Rodríguez Gallegos

Universidad Autónoma del Estado de México

José Alfredo Gasca González

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Instituto Tecnológico de León.

Raquel Ruíz de Eguino Mendoza

Francisco Giles Hurtado

Universidad Panamericana, campus Guadalajara

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Universidad Autónoma de Querétaro

Roberto Serna Herrera

Carlos Eduardo Gómez Sánchez

Universidad Iberoamericana

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Balaam Valle Aguilar

David Gutiérrez Calzada

Enrique Zamora Gallardo

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Anáhuac México, campus Norte

Aurora Diana Guzmán Coria

Riquet Zequeira Fernández

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur


Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera Novena edición Dennis G. Zill Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica:: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Edgar Maldonado Hernández Imagen de portada: NASA/ESA Composición tipográfica: Karen Medina

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301 Col. El Yaqui, C.P. 05320 Cuajimalpa, Ciudad de México Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro: Differential Equations with Boundary-Value Problems Ninth Edition, Metric Edition, Dennis G. Zill Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018 ISBN: 978-1-111-82706-9 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera, novena edición ISBN: 978-607-526-630-5 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17


CONTENIDO

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Contenido

Kevin George/Shutterstock.com

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2

Joggie Botma/Shutterstock.com

Prefacio a esta edición métrica vii

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36

1.1 1.2 1.3

Definiciones y terminología 3 Problemas con valores iniciales 15 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL C APÍTULO 1

2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

34

Curvas solución sin una solución 37 2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37 2.1.2 ED autónomas de primer orden 39 Variables separables 47 Ecuaciones lineales 55 Ecuaciones exactas 64 Soluciones por sustitución 72 Un método numérico 76 REPASO DEL C APÍTULO 2

Fotos593/Shutterstock.com

22

81

3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1 3.2 3.3

84

Modelos lineales 85 Modelos no lineales 96 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL C APÍTULO 3

107

114

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118 Bill Ingalls/NASA

4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 119 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127 Reducción de orden 132 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152 Variación de parámetros 159 Ecuación de Cauchy-Euler 166 v


CONTENIDO

4.8

Funciones de Green 173 4.8.1 Problemas con valores iniciales 173 4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179 4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188

Brian A Jackson/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 4

de orden superior

193

5.1

196

Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 197 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 202 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204 5.1.4 Circuito en serie análogo 207 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213 Modelos no lineales 222 REPASO DEL C APÍTULO 5

Todd Dalton/Shutterstock.com

183

5 Modelado con ecuaciones diferenciales

5.2 5.3

232

6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236 6.1 6.2 6.3 6.4

Repaso de series de potencias 237 Soluciones respecto a puntos ordinarios 243 Soluciones en torno a puntos singulares 252 Funciones especiales 262 REPASO DEL C APÍTULO 6

Raimundas/Shutterstock.com

O

276

7 La transformada de Laplace 278 7.1 7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

Definición de la transformada de Laplace 279 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 286 7.2.2 Transformadas de derivadas 289 Propiedades operacionales I 294 7.3.1 Traslación en el eje s 295 7.3.2 TTraslación en el eje t 298 Propiedades operacionales II 306 7.4.1 Derivadas de una transformada 306 7.4.2 Transformadas de integrales 307 7.4.3 Transformada de una función periódica 313 La función delta de Dirac 318 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322 REPASO DEL C APÍTULO 7

286

327

8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales Pavel L Photo and Video/ Shutterstock.com

vi

de primer orden 8.1 8.2

332

Teoría preliminar: Sistemas lineales 333 Sistemas lineales homogéneos 340 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341 8.2.2 Eigenvalores repetidos 344 8.2.3 Eigenvalores complejos 348


CONTENIDO

8.3

8.4

O

vii

Sistemas lineales no homogéneos 355 8.3.1 Coeficientes indeterminados 355 8.3.2 Variación de parámetros 357 Matriz exponencial 362 REPASO DEL C APÍTULO 8

366

Paul B. Moore/Shutterstock .com

9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

368

Métodos de Euler y análisis de errores 369 Métodos de Runge-Kutta 374 Métodos multipasos 378 Ecuaciones y sistemas de orden superior 381 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL C APÍTULO 9

385

389

jspix/imagebroker/Alamy Stock Photo

10 Sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales 10.1 10.2 10.3 10.4

390

Sistemas autónomos 391 Estabilidad de sistemas lineales 397 Linealización y estabilidad local 405 Sistemas autónomos como modelos matemáticos

Science photo/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 10

11 Series de Fourier 424 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5

Funciones ortogonales 425 Series de Fourier 431 Series de Fourier de cosenos y de senos 436 Problema de Sturm-Liouville 444 Series de Bessel y Legendre 451 11.5.1 Serie de Fourier-Bessel 452 11.5.2 Serie de Fourier-Legendre 455 REPASO DEL C APÍTULO 11

Brian A Jackson/Shutterstock .com

414

422

458

12 Problemas con valores en la frontera en coordenadas rectangulares 12.1 12.2 12.3 12.4 12.5 12.6 12.7 12.8

460

Ecuaciones diferenciales parciales separables 461 EDP clásicas y problemas con valores en la frontera 465 Ecuación de calor 471 Ecuación de onda 473 Ecuación de Laplace 479 Problemas no homogéneos con valores en la frontera 484 Desarrollos en series ortogonales 491 Problemas dimensionales de orden superior 496 REPASO DEL C APÍTULO 12

499


Aceshot1/Shutterstock.com

CONTENIDO

13 Problemas con valores en la frontera en otros sistemas coordenados

502

13.1 Coordenadas polares 503 13.2 Coordenadas polares y cilíndricas 13.3 Coordenadas esféricas 515

508

REPASO DEL C APÍTULO 13

517

14 Transformadas integrales 520 Lehrer/Shutterstock.com

O

14.1 14.2 14.3 14.4

Función de error 521 Transformada de Laplace 522 Integral de Fourier 530 Transformadas de Fourier 536 REPASO DEL C APÍTULO 14

Sdecoret/Shutterstock.com

viii

542

15 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales parciales

544

15.1 Ecuación de Laplace 545 15.2 Ecuación de calor 550 15.3 Ecuación de onda 555 REPASO DEL C APÍTULO 15

559

Apéndices A Funciones definidas por integrales APP-3 B Matrices APP-11 C Transformadas de Laplace APP-29 Respuestas a los problemas seleccionados con numeracion impar RES-1 Índice

I-1


Prefacio a esta edición métrica

(VWDYHUVLyQPpWULFDLQWHUQDFLRQDOGL¿HUHGHODYHUVLyQHVWDGRXQLGHQVHGHEcuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera1RYHQDHGLFLyQHQORVLJXLHQWH /DVXQLGDGHVGHPHGLGDXWLOL]DGDVHQODPD\RUtDGHORVHMHPSORV\HMHUFLFLRV VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV 86&6  WDPELpQOODPDGRGH8QLGDGHVLQJOHVDVR,PSHULDOHV DXQLGDGHVPpWULFDV (VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH WUDEDMHHQODVDSOLFDFLRQHV\HMHUFLFLRVUHODFLRQDGRV

AL ESTUDIANTE /RVDXWRUHVGHORVOLEURVYLYHQFRQODHVSHUDQ]DGHTXHDOJXLHQHQUHDOLGDGORV lea$OFRQWUDULRGHORTXHXVWHGSRGUtDFUHHUFDVLWRGRWH[WRGHPDWHPiWLFDVGHQLYHO XQLYHUVLWDULRHVWiHVFULWRSDUDXVWHG\QRSDUDHOSURIHVRU&LHUWRHVTXHORVWHPDVFX ELHUWRVHQHOWH[WRVHHVFRJLHURQFRQVXOWDQGRDORVSURIHVRUHV\DTXHHOORVWRPDQOD GHFLVLyQDFHUFDGHVLKD\TXHXVDUORVHQVXVFODVHVSHURWRGRORHVFULWRHQpOHVWiGLUL JLGRGLUHFWDPHQWHDXVWHGDOHVWXGLDQWH(QWRQFHVTXHUHPRVLQYLWDUOH²QRHQUHDOL GDGTXHUHPRVSHGLUOH²TXH£OHDHVWHOLEURGHWH[WR3HURQRORKDJDFRPROHHUtDXQD QRYHODQRGHEHOHHUORUiSLGR\QRGHEHVDOWDUVHQDGD3LHQVHHQHVWHOLEURFRPRXQ cuaderno de ejercicios&UHHPRVTXHODVPDWHPiWLFDVVLHPSUHGHEHUtDQVHUHVWXGLD GDVFRQOiSL]\SDSHODODPDQRSRUTXHPX\SUREDEOHPHQWHWHQGUiTXHtrabajar los HMHPSORV\KDFHUORVDQiOLVLV/HD²PiVELHQWUDEDMH²todosORVHMHPSORVGHXQD VHFFLyQDQWHVGHLQWHQWDUFXDOTXLHUDGHORVHMHUFLFLRV/RVHMHPSORVVHKDQGLVHxDGR SDUDPRVWUDUORTXHFRQVLGHUDPRVVRQORVDVSHFWRVPiVLPSRUWDQWHVGHFDGDVHFFLyQ \SRUWDQWRPXHVWUDQORVSURFHGLPLHQWRVQHFHVDULRVSDUDWUDEDMDUODPD\RUtDGHORV SUREOHPDVGHORVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRV6LHPSUHOHVGHFLPRVDQXHVWURVHVWXGLDQWHV TXHFXDQGROHDQXQHMHPSORWDSHQVXVROXFLyQHLQWHQWHQWUDEDMDUSULPHURHQHOOD FRPSDUDUVXUHVSXHVWDFRQODVROXFLyQGDGD\OXHJRUHVROYHUFXDOTXLHUGLIHUHQFLD +HPRVWUDWDGRGHLQFOXLUORVSDVRVPiVLPSRUWDQWHVSDUDFDGDHMHPSORSHURVLDOJR QRHVFODURXVWHGSRGUtDVLHPSUHLQWHQWDUFRPSOHWDUORVGHWDOOHVRSDVRVTXHIDOWDQ\ DTXtHVGRQGHHOSDSHO\HOOiSL]HQWUDQRWUDYH]3XHGHTXHQRVHDIiFLOSHURHVSDUWH GHOSURFHVRGHDSUHQGL]DMH/DDFXPXODFLyQGHKHFKRVVHJXLGRVSRUODOHQWDDVLPLOD FLyQGHODFRPSUHQVLyQVLPSOHPHQWHQRVHSXHGHDOFDQ]DUVLQWUDEDMDUDUGXDPHQWH (VSHFt¿FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estudiante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPRXQVXSOHPHQWR RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV HMHPSORVDGLFLRQDOHV\XQUHSDVRGHODViUHDVGHiOJHEUD\FiOFXORTXHVLHQWRVRQ SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV &RQVLGHUHTXHQRWLHQHTXHDGTXLULUHOSRMSXHGHUHYLVDUODVPDWHPiWLFDVDSURSLD GDVGHVXVYLHMRVOLEURVGHSUHFiOFXORRGHFiOFXOR (QFRQFOXVLyQOHGHVHDPRVEXHQDVXHUWH\p[LWR(VSHUDPRVTXHGLVIUXWHHOOLEUR \HOFXUVRTXHHVWiSRULQLFLDU&XDQGRpUDPRVHVWXGLDQWHVGHODOLFHQFLDWXUDHQPDWH PiWLFDVHVWHFXUVRIXHXQRGHQXHVWURVIDYRULWRVSRUTXHQRVJXVWDQODVPDWHPiWLFDV TXHHVWiQFRQHFWDGDVFRQHOPXQGRItVLFR6LWLHQHDOJ~QFRPHQWDULRRVLHQFXHQWUD DOJ~QHUURUFXDQGROHDRWUDEDMHFRQpVWHRVLQRVTXLHUHKDFHUOOHJDUXQDEXHQDLGHD SDUDPHMRUDUHOOLEURSRUIDYRUSyQJDVHHQFRQWDFWRFRQQRVRWURVDWUDYpVGHQXHVWUR HGLWRUHQ&HQJDJH/HDUQLQJ

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PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

AL PROFESOR (QFDVRGHTXHH[DPLQHHVWHWH[WRSRUSULPHUDYH]Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la fronteraQRYHQDHGLFLyQVHSXHGHXWLOL]DU\DVHDSDUD XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV R SDUD FXEULU XQ FXUVRGHGRVVHPHVWUHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV\SDUFLDOHV3DUDXQ FXUVRVHPHVWUDOVXSRQHPRVTXHORVHVWXGLDQWHVKDQFRPSOHWDGRFRQp[LWRDOPHQRV GRVVHPHVWUHVGHFiOFXOR'DGRTXHXVWHGHVWiOH\HQGRHVWRVLQGXGD\DKDH[DPL QDGRODWDEODGHFRQWHQLGRVSDUDORVWHPDVTXHFXEULUi (QHVWHSUHIDFLRQRHQFRQWUDUi³XQSURJUDPDVXJHULGR´1RSUHWHQGHUHPRVVHU WDQVDELRVFRPRSDUDGHFLUDRWURVSURIHVRUHVORTXHGHEHQHQVHxDUHQVXVFODVHV 6HQWLPRVTXHKD\PXFKRPDWHULDODTXtSDUDHVFRJHU\IRUPDUXQFXUVRDVXJXVWR(O WH[WRWLHQHXQHTXLOLEULRUD]RQDEOHHQWUHORVPpWRGRVDQDOtWLFRVFXDOLWDWLYRV\FXDQ WLWDWLYRVHQHOHVWXGLRGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QFXDQWRDQXHVWUD³¿ORVRItD VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU HVFULWRFRQVLGHUDQGRVLHPSUHODFRPSUHVLyQGHOHVWXGLDQWHORTXHVLJQL¿FDTXHHO PDWHULDOGHEHUtDHVWDUSUHVHQWDGRHQXQDIRUPDGLUHFWDOHJLEOH\~WLOFRQVLGHUDQGRHO QLYHOWHyULFRFRPSDWLEOHFRQODLGHDGHXQ³SULPHUFXUVR´ $ODVSHUVRQDVIDPLOLDUL]DGDVFRQODVHGLFLRQHVDQWHULRUHVQRVJXVWDUtDPHQFLR QDUOHVDOJXQDVGHODVPHMRUDVKHFKDVHQHVWDHGLFLyQ 6HKDQDFWXDOL]DGRPXFKRVFRQMXQWRVGHHMHUFLFLRVDJUHJDQGRQXHYRVSUREOHPDV $OJXQRVGHHVWRVSUREOHPDVLPSOLFDQQXHYRV\TXH\RFRQVLGHURLQWHUHVDQWHVPRGHORV PDWHPiWLFRV ‡ 6HKDQDJUHJDGRFRPHQWDULRV¿JXUDV\HMHPSORVDGLFLRQDOHVDPXFKDVVHFFLRQHV ‡ (QWRGRHOOLEURVHOHKHGDGRXQPD\RUpQIDVLVDORVFRQFHSWRVGHHFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHVOLQHDOHVSRUSDUWHV\DODVVROXFLRQHVTXHLPSOLFDQLQWHJUDOHVQR HOHPHQWDOHV ‡ (O$SpQGLFH$,QWHJUDOHVGH¿QLGDVGHIXQFLRQHVHVQXHYRHQHOOLEUR ‡ 6HKDDJUHJDGRHOSULQFLSLRGHVXSHUSRVLFLyQDODQiOLVLVHQODVHFFLyQ Ecuación de onda ‡ 6HKDUHHVFULWRODVHFFLyQProblemas con valores en la frontera no homogéneos ‡ 6HKDGDGRPD\RUpQIDVLVDODV)XQFLRQHVGH%HVVHOPRGL¿FDGDVHQODVHFFLyQ Coordenadas polares y cilíndricas RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Los Student Resource and Solutions Manual 650HQLGLRPDLQJOpV\VHFRPHU FLDOL]DQSRUVHSDUDGR HODERUDGRVSRU:DUUHQ6:ULJKW\&DURO':ULJKW (O YROXPHQ FRQ ,6%1  DFRPSDxD D Ecuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, novena edición, presentan UHSDVRVGHOPDWHULDOPiVLPSRUWDQWHGHiOJHEUD\FiOFXORWRGDVODVVROXFLRQHV GHOWHUFHUSUREOHPDGHFDGDFRQMXQWRGHHMHUFLFLRV H[FHSWRORVSUREOHPDVGH DQiOLVLV\ODVWDUHDVGHOODERUDWRULRGHFyPSXWR ORVFRPDQGRV\VLQWD[LVPiV importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt FRPR~WLOHVVXJHUHQFLDVGHFyPRHPSH]DUFLHUWRVSUREOHPDV RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés) • Manual de soluciones del profesor (ISM)HODERUDGRSRU:DUUHQ6:ULJKW\ 5REHUWR0DUWLQH]SURSRUFLRQDVROXFLRQHVLQWHJUDOHVGHVDUUROODGDVSRUWRGRVORV SUREOHPDVHQHOWH[WR(VWiGLVSRQLEOHDWUDYpVGHOD3iJLQD:HEGHOSURIHVRUGH HVWHOLEURHQcengage.com


PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

O

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RECONOCIMIENTOS &RPSLODUXQOLEURGHWH[WRGHPDWHPiWLFDVFRPRHVWH\DVHJXUDUVHGHTXHVXVPLOHVGH VtPERORV\FLHQWRVGHHFXDFLRQHVVRQH[DFWDVVRQXQDWDUHDHQRUPHSHUR\DTXHPH OODPDQ³HODXWRU´HVPLWUDEDMR\UHVSRQVDELOLGDG3HURPXFKDVSHUVRQDVDGHPiVGHPt KDQLQYHUWLGRHQRUPHVFDQWLGDGHVGHWLHPSR\HQHUJtDHQHOWUDEDMRKDFLDVXSXEOLFDFLyQ ¿QDO$VtTXHPHJXVWDUtDDSURYHFKDUHVWDRSRUWXQLGDGSDUDH[SUHVDUPLPiVVLQFHUR DJUDGHFLPLHQWRDWRGRHOPXQGRODPD\RUtDGHHOORVGHVFRQRFLGRVSDUDPtHQ&HQJDJH /HDUQLQJ \ HQ 036 1RUWK $PHULFD TXLHQHV SDUWLFLSDURQ HQ OD SXEOLFDFLyQ GH HVWD HGLFLyQ8QDSDODEUDHVSHFLDOGHDJUDGHFLPLHQWRD6SHQFHU$UULWW.DWKU\Q6FKUXPSI -HQQLIHU5LVGHQ9HUQRQ%RHV\-LOO7UDXWSRUVXRULHQWDFLyQHQHOODEHULQWRGHOSURFHVR GHSURGXFFLyQ )LQDOPHQWH FRQIRUPH KDQ SDVDGR ORV DxRV HVWH OLEUR GH WH[WR VH KD PHMRUDGR SRUXQQ~PHURLQFRQWDEOHGHFDPLQRVJUDFLDVDODVVXJHUHQFLDV\ODVFUtWLFDVGHORV UHYLVRUHVDVtTXHHVMXVWRFRQFOXLUFRQXQUHFRQRFLPLHQWRGHQXHVWUDGHXGDFRQODV VLJXLHQWHVSHUVRQDVSRUFRPSDUWLUVXPDHVWUtD\H[SHULHQFLD REVISORES DE EDICIONES ANTERIORES :LOOLDP$WKHUWRQCleveland State University 3KLOLS%DFRQUniversity of Florida %UXFH%D\O\University of Arizona :LOOLDP+%H\HUUniversity of Akron 5*%UDGVKDZClarkson College %HUQDUG%URRNV Rochester Institute of Technology $OOHQ%URZQ Wabash Valley College 'HDQ5%URZQYoungstown State University 'DYLG%XFKWKDOUniversity of Akron 1JX\HQ3&DFUniversity of Iowa 7&KRZCalifornia State University, Sacramento 'RPLQLF3&OHPHQFHNorth Carolina Agricultural and Technical State University 3DVTXDOH&RQGRUniversity of Massachusetts, Lowell 9LQFHQW&RQQROO\Worcester Polytechnic Institute 3KLOLS6&URRNHVanderbilt University %UXFH('DYLVSt. Louis Community College at Florissant Valley 3DXO:'DYLVWorcester Polytechnic Institute 5LFKDUG$'L'LRLa Salle University -DPHV'UDSHUUniversity of Florida -DPHV0(GPRQGVRQSanta Barbara City College -RKQ+(OOLVRQGrove City College 5D\PRQG)DEHFLouisiana State University 'RQQD)DUULRUUniversity of Tulsa 5REHUW()HQQHOOClemson University :()LW]JLEERQUniversity of Houston


xii

O

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

+DUYH\-)OHWFKHUBrigham Young University 3DXO-*RUPOH\Villanova /D\DFKL+DGMLUniversity of Alabama 5XEHQ+D\UDSHW\DQKettering University 7HUU\+HUGPDQVirginia Polytechnic Institute and State University =G]LVODZ-DFNLHZLF]Arizona State University 6.-DLQOhio University $QWKRQ\--RKQSoutheastern Massachusetts University 'DYLG&-RKQVRQUniversity of Kentucky, Lexington +DUU\/-RKQVRQ Virginia Polytechnic Institute and State University .HQQHWK5-RKQVRQNorth Dakota State University -RVHSK.D]LPLUEast Los Angeles College -.HHQHUUniversity of Arizona 6WHYH%.KOLHITennessee Technological University +HOPXW.QDXVWThe University of Texas at El Paso &-.QLFNHUERFNHUSensis Corporation &DUORQ$.UDQW]Kean College of New Jersey 7KRPDV*.XG]PDUniversity of Lowell $OH[DQGUD.XUHSDNorth Carolina A&T State University *(/DWWDUniversity of Virginia &HFHOLD/DXULHUniversity of Alabama 0XODWX/HPPD Savannah State University -DPHV50F.LQQH\California Polytechnic State University -DPHV/0HHNUniversity of Arkansas *DU\+0HLVWHUVUniversity of Nebraska, Lincoln 6WHSKHQ-0HUULOOMarquette University 9LYLHQ0LOOHUMississippi State University *HRUJH0RVV Union University *HUDOG0XHOOHUColumbus State Community College 3KLOLS60XOU\Colgate University 0DUWLQ1DNDVKLPD California State Polytechnic University–Pomona &-1HXJHEDXHUPurdue University 7\UH$1HZWRQWashington State University %ULDQ02¶&RQQRUTennessee Technological University -.2GGVRQUniversity of California, Riverside &DURO62¶'HOOOhio Northern University %UXFH2¶1HLOOMilwaukee School of Engineering $3HUHVVLQLUniversity of Illinois, Urbana, Champaign -3HUU\PDQUniversity of Texas at Arlington -RVHSK+3KLOOLSVSacramento City College -DFHN3ROHZF]DNCalifornia State University Northridge 1DQF\-3R[RQCalifornia State University, Sacramento 5REHUW3UXLWWSan Jose State University .5DJHUMetropolitan State College )%5HLVNortheastern University %ULDQ5RGULJXHVCalifornia State Polytechnic University 7RP5RHSouth Dakota State University .LPPR,5RVHQWKDOUnion College %DUEDUD6KDEHOOCalifornia Polytechnic State University 6HHQLWK6LYDVXQGDUDPEmbry-Riddle Aeronautical University 'RQ(6RDVKHillsborough Community College ):6WDOODUGGeorgia Institute of Technology *UHJRU\6WHLQThe Cooper Union 0%7DPEXUURGeorgia Institute of Technology 3DWULFN:DUGIllinois Central College -LDQSLQJ=KXUniversity of Akron -DQ=LMOVWUDMiddle Tennessee State University -D\=LPPHUPDQTowson University Dennis G. Zill Los Angeles, CA


Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera


1 INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

© Kevin George/Shutterstock.com

1.1  'H¿QLFLRQHV\WHUPLQRORJtD 1.2  3UREOHPDVFRQYDORUHVLQLFLDOHV 1.3  (FXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVFRPRPRGHORVPDWHPiWLFRV REPASO DEL CAPÍTULO 1

L

2

DVSDODEUDVecuaciones\diferencialesFLHUWDPHQWHVXJLHUHQODVROXFLyQGH DOJ~QWLSRGHHFXDFLRQHVTXHFRQWLHQHQGHULYDGDVy, y$OLJXDOTXHHQ XQFXUVRGHiOJHEUD\WULJRQRPHWUtDHQORVTXHVHLQYLHUWHPXFKRWLHPSRHQOD VROXFLyQGHHFXDFLRQHVFRPRx2  5x  4 SDUDODLQFyJQLWDxHQHVWHFXUVRuna GHODVWDUHDVVHUiUHVROYHUHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHOWLSRy  2y  y SDUDXQD IXQFLyQLQFyJQLWDy   (x). &RQIRUPHHOFXUVRVHGHVDUUROOHYHUiTXHKD\PiVHQHOHVWXGLRGHODV HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVTXHVRODPHQWHGRPLQDUORVPpWRGRVLGHDGRVSRU PDWHPiWLFRVGHORV~OWLPRVVLJORVSDUDUHVROYHUODV 3HURYDPRVHQRUGHQ3DUDOHHUHVWXGLDU\SODWLFDUVREUHXQWHPDHVSHFLDOL]DGR HVQHFHVDULRDSUHQGHUODWHUPLQRORJtDGHHVWDGLVFLSOLQD(VDHVODLQWHQFLyQGHODVGRV SULPHUDVVHFFLRQHVGHHVWHFDStWXOR(QOD~OWLPDVHFFLyQH[DPLQDUHPRVEUHYHPHQWH HOYtQFXORHQWUHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV\HOPXQGRUHDO


1.1

1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGรA

3

O

DEFINICIONES Y TERMINOLOGรA INTRODUCCIร“N /DGHULYDGDdydxGHXQDIXQFLyQy   (x HVRWUDIXQFLyQ  (x TXHVHHQFXHQWUDFRQXQDUHJODDSURSLDGD/DIXQFLyQy  e0.1x2HVGHULYDEOHHQHOLQWHUYDOR ,  \XVDQGR 2 ODUHJODGHODFDGHQDVXGHULYDGDHVdydx  0.2xe0.1x 6LVXVWLWXLPRVe0.1x2SRUyHQHOODGRGHUHFKR GHODHFXDFLyQODGHULYDGDVHUi

dy dx

0.2xy

(1)

$KRUD LPDJLQHPRV TXH XQ DPLJR SODQWHy OD HFXDFLyQ   XVWHG QR WLHQH LGHD GH FyPR OD KL]R \VHSUHJXQWDยฟcuรกl es la funciรณn representada con el sรญmbolo y?6HHQIUHQWDHQWRQFHVDXQRGHORV SUREOHPDVEiVLFRVGHHVWHFXUVR ยฟCรณmo resolver una ecuaciรณn como la (1) para la funciรณn desconocida y   (x)? UNA DEFINICIร“N $ODHFXDFLyQ  VHOHGHQRPLQDecuaciรณn diferencial*.$QWHV GHSURVHJXLUFRQVLGHUHPRVXQDGHยฟQLFLyQPiVH[DFWDGHHVWHFRQFHSWR DEFINICIร“N 1.1.1

Ecuaciรณn diferencial

8QDHFXDFLyQTXHFRQWLHQHODVGHULYDGDVGHXQDRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDV RYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV UHVSHFWRDXQDRPiVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVVH OODPDEcuaciรณn Diferencial (ED). 3DUD KDEODU DFHUFD GH HOODV FODVLยฟFDUHPRV D ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV SRU tipo, orden\linealidad. CLASIFICACIร“N POR TIPO 6L XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRQWLHQH VyOR GHULYDGDV RUGLQDULDVGHXQDRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVUHVSHFWRDXQDsolaYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHVHGLFHTXHHVXQDecuaciรณn diferencial ordinaria (EDO)8QDHFXDFLyQTXH LQYROXFUDGHULYDGDVSDUFLDOHVGHXQDRPiVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHVGHGRVRPiVIXQFLRQHVGHVFRQRFLGDVVHOODPDecuaciรณn diferencial parcial (EDP)1XHVWURSULPHUHMHPSOR LOXVWUDYDULDVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHFDGDWLSR

EJEMPLO 1

Tipos de ecuaciones diferenciales

a)/DVHFXDFLRQHV  

8QD('2SXHGHFRQWHQHU PiVGHXQDIXQFLyQGHVFRQRFLGD

dy dx

5y

d 2y dx2

ex,

dy dx

6y

0,

y

โ†“

โ†“

dx dt

dy dt

2x

y

(2)

VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV b)/DVVLJXLHQWHVVRQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHV 2

u x2

2

u y2

2

0,   

u x2

2

u t2

2

u u ,    y     t y

v x

([FHSWRHVWDVHFFLyQGHLQWURGXFFLyQHQEcuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, GpFLPDSULPHUDHGLFLyQVyORVHFRQVLGHUDQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDV(QHVHOLEURODSDODEUD ecuaciรณn\ODDEUHYLDWXUD('VHUHยฟHUHQVyORDODV('2/DVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVSDUFLDOHVR('3VH FRQVLGHUDQHQHOYROXPHQDPSOLDGREcuaciones diferenciales con problemas con valores en la frontera, QRYHQDHGLFLyQ

*

(3)


4

O

CAPรTULO 1

INTRODUCCIร“N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

2EVHUYHTXHHQODWHUFHUDHFXDFLyQKD\GRVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV\GRVYDULDEOHVLQGHSHQGLHQWHVHQOD('3(VWRVLJQLยฟFDTXHu\vGHEHQVHUIXQFLRQHVGHdos o mรกsYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV NOTACIร“N $ORODUJRGHOOLEURODVGHULYDGDVRUGLQDULDVVHHVFULELUiQXVDQGRODnotaciรณn de Leibniz dydx, d 2ydx 2, d 3ydx 3RODnotaciรณn prima y, y, y 8VDQGR HVWD~OWLPDQRWDFLyQODVSULPHUDVGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHQ  VHSXHGHQHVFULELUHQ XQDIRUPDXQSRFRPiVFRPSDFWDFRPRy  5y  ex\y  y  6y (QUHDOLGDGOD QRWDFLyQSULPDVHXVDSDUDGHQRWDUVyORODVSULPHUDVWUHVGHULYDGDVODFXDUWDGHULYDGDVH GHQRWDy(4)HQOXJDUGHy(QJHQHUDOODnpVLPDGHULYDGDGHyVHHVFULEHFRPRd nydx nR \(n)$XQTXHHVPHQRVFRQYHQLHQWHSDUDHVFULELURFRPSRQHUWLSRJUiยฟFDPHQWHODQRWDFLyQ GH/HLEQL]WLHQHXQDYHQWDMDVREUHODQRWDFLyQSULPDPXHVWUDFODUDPHQWHDPEDVYDULDEOHV ODVGHSHQGLHQWHV\ODVLQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORHQODHFXDFLyQ funciรณn incรณgnita o variable dependiente

d 2x โ€“โ€“โ€“2  16x  0 dt variable independiente

VHDSUHFLDGHLQPHGLDWRTXHDKRUDHOVtPERORxUHSUHVHQWDXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWH PLHQWUDVTXHODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHVt7DPELpQVHGHEHFRQVLGHUDUTXHHQLQJHQLH UtD\HQFLHQFLDVItVLFDVODnotaciรณn de puntoGH1HZWRQ QRPEUDGDGHVSHFWLYDPHQWH QRWDFLyQGHยณSXQWLWRยด DOJXQDVYHFHVVHXVDSDUDGHQRWDUGHULYDGDVUHVSHFWRDOWLHP SRt$VtODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOd 2sdt 2  VHUisฬˆ  &RQIUHFXHQFLDODVGHULYDGDVSDUFLDOHVVHGHQRWDQPHGLDQWHXQDnotaciรณn de subรญndiceTXHLQGLFDODVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWHV3RUHMHPSORFRQODQRWDFLyQGHVXEtQGLFHVODVHJXQGDHFXDFLyQHQ   VHUiu xx  u tt  2u t. CLASIFICACIร“N POR ORDEN (O orden de una ecuaciรณn diferencial \D VHD ('2R('3 HVHORUGHQGHODPD\RUGHULYDGDHQODHFXDFLyQ3RUHMHPSOR segundo orden

primer orden

d 2y

( )

dy 3 โ€“โ€“โ€“โ€“2  5 โ€“โ€“โ€“  4y  ex dx dx HVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHVHJXQGRRUGHQ(QHOHMHPSORODSULPHUD\ ODWHUFHUDHFXDFLyQHQ  VRQ('2GHSULPHURUGHQPLHQWUDVTXHHQ  ODVSULPHUDV GRVHFXDFLRQHVVRQ('3GHVHJXQGRRUGHQ$YHFHVODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVGHSULPHURUGHQVHHVFULEHQHQODIRUPDGLIHUHQFLDO M(x, y) dx  N(x, y) dy  0.

EJEMPLO 2

Forma diferencial de una EDO de primer orden

6LVXSRQHPRVTXH\HVODYDULDEOHGHSHQGLHQWHHQOD('2GHSULPHURUGHQHQWRQFHV UHFXHUGHGHFiOFXORTXHODGLIHUHQFLDO dy VHGHยฟQHFRPR dy  ydx. a) $OGLYLGLUSRUHOGLIHUHQFLDO dx sHREWLHQHXQDIRUPDDOWHUQDWLYDGHODHFXDFLyQ (y-x) dx  4xdy  0 GDGDSRU y 2 x 1 4x

dy dy 5 0 o equivalentemente 4x 1 y 5 x. dx dx .


1.1

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

O

5

b) 0XOWLSOLFDQGRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO 6xy

dy 1 x2 1 y2 5 0 dx

SRUdxYHPRVTXHODHFXDFLyQWLHQHXQDIRUPDGLIHUHQFLDODOWHUQDWLYD (x2 1 y2) dx 1 6xy dy 5 0. 6LPEyOLFDPHQWHSRGHPRVH[SUHVDUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPR RUGHQFRQXQDYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUODIRUPDJHQHUDO

F(x, y, y , . . . , y(n))

0,

(4)

GRQGHFHVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHVGHn YDULDEOHVx, y, y, …, y(n)3RUUD]RQHVWDQWRSUiFWLFDVFRPRWHyULFDVGHDKRUDHQDGHODQWHVXSRQGUHPRVTXHHVSRVLEOH UHVROYHUXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDHQODIRUPDGHODHFXDFLyQ  ~QLFDPHQWH SDUDODPD\RUGHULYDGDy(n)HQWpUPLQRVGHODVn YDULDEOHVUHVWDQWHV/DHFXDFLyQ GLIHUHQFLDO d ny f (x, y, y , . . . , y(n 1)), (5) dxn GRQGHfHVXQDIXQFLyQFRQWLQXDFRQYDORUHVUHDOHVVHFRQRFHFRPRODforma normalGH ODHFXDFLyQ  $VtTXHSDUDQXHVWURVSURSyVLWRVXVDUHPRVODVIRUPDVQRUPDOHVFXDQGR VHDDGHFXDGR dy d 2y f (x, y)    y     2 f (x, y, y ) dx dx SDUD UHSUHVHQWDU HQ JHQHUDO ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV GH SULPHU \ VHJXQGRRUGHQ

EJEMPLO 3

Forma normal de una EDO

a) 5HVROYLHQGR SDUD OD GHULYDGD GH dy/dx GH OD IRUPD QRUPDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDOGHSULPHURUGHQ dy dy x 2 y 1 y 5 x es 5 . 4x dx dx 4x b)5HVROYLHQGRSDUDODGHULYDGDyODIRUPDQRUPDOGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHVHJXQGRRUGHQ y0 2 y9 1 6 5 0 es y0 5 y9 2 6y. CLASIFICACIÓN POR LINEALIDAD 6H GLFH TXH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-pVLPRRUGHQ  HVlinealVLFHVOLQHDOHQy, y, . . . , y (n)(VWRVLJQL¿FDTXHXQD('2 GHn-pVLPRRUGHQHVOLQHDOFXDQGRODHFXDFLyQ  HVa n(x)y (n)  a n1(x)y (n1)   a1 (x)y  a 0(x)y  g(x) R

an(x)

dny dx n

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy dx

a0(x)y

g(x).

(6)

'RV FDVRV HVSHFLDOHV LPSRUWDQWHV GH OD HFXDFLyQ   VRQ ODV (' OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ n  \GHVHJXQGRRUGHQ n   a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x)

y

a2 (x)

d 2y dx2

a1(x)

dy dx

a0 (x)y

g(x).

(7)

(QODFRPELQDFLyQGHODVXPDGHOODGRL]TXLHUGRGHODHFXDFLyQ  YHPRVTXHODVGRV SURSLHGDGHVFDUDFWHUtVWLFDVGHXQD('2VRQODVVLJXLHQWHV • /DYDULDEOHGHSHQGLHQWHy\WRGDVVXVGHULYDGDVy, y, . . . , y (n)VRQGHSULPHU JUDGRHVGHFLUODSRWHQFLDGHFDGDWpUPLQRTXHFRQWLHQHyHVLJXDOD • /RV FRH¿FLHQWHV GH a0, a1, . . . , an GH y, y, . . . , y(n) GHSHQGHQ GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWHx.


6

O

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

8QDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDno linealHVVLPSOHPHQWHXQDTXHQRHVOLQHDO/DV IXQFLRQHVQROLQHDOHVGHODYDULDEOHGHSHQGLHQWHRGHVXVGHULYDGDVWDOHVFRPRVHQyRe y’, QRSXHGHQDSDUHFHUHQXQDHFXDFLyQOLQHDO

EJEMPLO 4

EDO lineal y no lineal

a)/DVHFXDFLRQHV (y

x)dx

4x dy

0,   y

y

2y

0,   y

3 3d y x  3 dx

x

dy dx

5y

ex

VRQUHVSHFWLYDPHQWHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVlinealesGHSULPHUVHJXQGR\WHUFHURUGHQ $FDEDPRVGHPRVWUDUHQHOLQFLVR D GHOHMHPSORTXHODSULPHUDHFXDFLyQHVOLQHDOHQOD YDULDEOHyFXDQGRVHHVFULEHHQODIRUPDDOWHUQDWLYDxy  y  x. b)/DVHFXDFLRQHV término no lineal: coeficiente depende de y

término no lineal: función no lineal de y

(1  y)y  2y  e x,

d 2y ––––2  sen y  0, dx

término no lineal: el exponente es diferente de 1

y

d 4y ––––4  y 2  0 dx

VRQHMHPSORVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVno linealesGHSULPHUVHJXQGR\ FXDUWRRUGHQUHVSHFWLYDPHQWH SOLUCIONES &RPR\DVHKDHVWDEOHFLGRHQODSiJXQRGHORVREMHWLYRVGHHVWH FXUVRHVUHVROYHURHQFRQWUDUVROXFLRQHVGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QODVLJXLHQWH GH¿QLFLyQFRQVLGHUDPRVHOFRQFHSWRGHVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULD DEFINICIÓN 1.1.2

Solución de una EDO

&XDOTXLHUIXQFLyQ  SKL GH¿QLGDVREUHXQLQWHUYDORITXHSRVHHDOPHQRV n GHULYDGDV FRQWLQXDV VREUH I ODV FXDOHV DO VHU VXVWLWXLGDV HQ XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULDGHRUGHQnUHGXFHODHFXDFLyQDXQDLGHQWLGDGVHOODPD soluciónGHODHFXDFLyQVREUHHOLQWHUYDOR

(QRWUDVSDODEUDVXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDORUGLQDULDGHnpVLPRRUGHQ  HVXQDIXQFLyQTXHSRVHHDOPHQRVnGHULYDGDVSDUDODVTXH F(x, (x),

(x), . . . ,

(n)

(x))

0   para   toda x en I.

'HFLPRVTXH satisfaceODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOHQI3DUDQXHVWURVSURSyVLWRVVXSRQGUHPRVTXHXQDVROXFLyQ HVXQDIXQFLyQFRQYDORUHVUHDOHV(QQXHVWURDQiOLVLVGHLQWURGXFFLyQYLPRVTXHy  e0.1x 2HVXQDVROXFLyQGHdydx  0.2xyVREUHHOLQWHUYDOR , ). 2FDVLRQDOPHQWHVHUiFRQYHQLHQWHGHQRWDUXQDVROXFLyQFRQHOVtPERORDOWHUQDWLYR\࣠(x). INTERVALO DE DEFINICIÓN 1RSRGHPRVSHQVDUHQODsoluciónGHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULDVLQSHQVDUVLPXOWiQHDPHQWHHQXQintervalo(OLQWHUYDORIHQOD GH¿QLFLyQWDPELpQVHFRQRFHFRQRWURVQRPEUHVFRPRVRQLQWHUYDORGHGH¿QLción, intervalo de existencia, intervalo de validezRdominio de la solución\SXHGH VHUXQLQWHUYDORDELHUWR a, b XQLQWHUYDORFHUUDGR>a, b@XQLQWHUYDORLQ¿QLWR a, ), HWFpWHUD


1.1

EJEMPLO 5

DEFINICIONES Y TERMINOLOGรA

O

7

9HULยฟFDFLyQGHXQDVROXFLyQ

9HULยฟTXHTXHODIXQFLyQLQGLFDGDHVXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGDGDVREUH HOLQWHUYDOR , ). dy 1 4 2y y 0; y xex a) b) y 5 xy1/2; y 5 16 x dx SOLUCIร“N 8QDIRUPDGHYHULยฟFDUTXHODIXQFLyQGDGDHVXQDVROXFLyQFRQVLVWHHQ REVHUYDUXQDYH]TXHVHKDVXVWLWXLGRVLFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUD WRGDxHQHOLQWHUYDOR

a) (Q lado izquierdo:

dy dx

lado derecho:

xy1/2

1 1 3 (4 x 3) x, 16 4 1 4 1/2 x x x 16

1 2 x 4

1 3 x, 4

  YHPRVTXHFDGDODGRGHODHFXDFLyQHVHOPLVPRSDUDWRGRQ~PHURUHDOx2EVHUYH 1 4 TXHy1/2 14 x 2HVSRUGHยฟQLFLyQODUDt]FXDGUDGDQRQHJDWLYDGH 16 x. b) (Q ODV GHULYDGDV y  xe x  e x \ y  xe x  2e x WHQHPRV TXH SDUD WRGR Q~PHUR UHDOx, lado izquierdo: lado derecho:

y 0.

2y

y

(xe x

2e x )

2(xe x

e x)

xe x

0,

(QHOHMHPSORREVHUYHWDPELpQTXHFDGDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHODVROXFLyQ FRQVWDQWHy  0,  x $ODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXHHVLJXDO DFHURVREUHXQLQWHUYDORIVHOHFRQRFHFRPRODsoluciรณn trivial. CURVA SOLUCIร“N /D JUiยฟFD GH XQD VROXFLyQ  GH XQD ('2 VH OODPD curva soluciรณn. 3XHVWR TXH  HV XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HV FRQWLQXD VREUH VX LQWHUYDOR GH GHยฟQLFLyQ I3XHGHKDEHUGLIHUHQFLDHQWUHODJUiยฟFDGHODfunciรณn \ODJUiยฟFDGHOD soluciรณn (VGHFLUHOGRPLQLRGHODIXQFLyQQRQHFHVLWDVHULJXDODOLQWHUYDORGH GHยฟQLFLyQ I RGRPLQLR GHODVROXFLyQ(OHMHPSORPXHVWUDODGLIHUHQFLD

y

1 1

x

EJEMPLO 6

a) funciรณn y  1/x, x

0

y

1 1

x

b) soluciรณn y  1/x, (0, โˆž )

FIGURA 1.1.1 /DIXQFLyQy  1xQR HVODPLVPDTXHODVROXFLyQy  1x.

Funciรณn contra soluciรณn

a) (OGRPLQLRGHy  1xFRQVLGHUDGRVLPSOHPHQWHFRPRXQDfunciรณnHVHOFRQMXQWRGH WRGRVORVQ~PHURVUHDOHVxH[FHSWRHO&XDQGRWUD]DPRVODJUiยฟFDGHy  1xGLEXMDPRVORVSXQWRVHQHOSODQRxyFRUUHVSRQGLHQWHVDXQMXLFLRVRPXHVWUHRGHQ~PHURVWRPDGRVGHOGRPLQLR/DIXQFLyQUDFLRQDOy  1xHVGLVFRQWLQXDHQHQODยฟJXUD D VH PXHVWUDVXJUiยฟFDHQXQDYHFLQGDGGHORULJHQ/DIXQFLyQy  1xQRHVGHULYDEOHHQx  \DTXHHOHMHy FX\DHFXDFLyQHVx  HVXQDDVtQWRWDYHUWLFDOGHODJUiยฟFD b) $KRUDy  1xHVWDPELpQXQDVROXFLyQGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDOGHSULPHU RUGHQxy  y  FRPSUXHEH 3HURFXDQGRGHFLPRVTXHy  1xHVXQDsoluciรณnGH HVWD('VLJQLยฟFDTXHHVXQDIXQFLyQGHยฟQLGDVREUHXQLQWHUYDORIHQHOTXHHVGHULYDEOH \VDWLVIDFHODHFXDFLyQ(QRWUDVSDODEUDVy  1xHVXQDVROXFLyQGHOD('HQcualquier LQWHUYDOR TXH QR FRQWHQJD  WDO FRPR 3, 1), (12, 10), (   R  ). 3RUTXHODVFXUYDVVROXFLyQGHยฟQLGDVSRUy  1xSDUD3 x \12 x VRQ VLPSOHPHQWH WUDPRV R SDUWHV GH ODV FXUYDV VROXFLyQ GHยฟQLGDV SRU y  1x SDUD  x \ x UHVSHFWLYDPHQWHHVWRKDFHTXHWHQJDVHQWLGRWRPDUHOLQWHUYDORIWDQJUDQGHFRPRVHDSRVLEOH$VtWRPDPRVI\DVHDFRPR  R ). /DFXUYDVROXFLyQHQ  HVFRPRVHPXHVWUDHQODยฟJXUD E 


8

O

CAPรTULO 1

INTRODUCCIร“N A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

SOLUCIONES EXPLรCITAS E IMPLรCITAS 'HEH HVWDU IDPLOLDUL]DGR FRQ ORV WpUPLQRVfunciones explรญcitas\funciones implรญcitasGHVXFXUVRGHFiOFXOR$XQD VROXFLyQ HQ OD FXDO OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH VH H[SUHVD VyOR HQ WpUPLQRV GH OD YDULDEOH LQGHSHQGLHQWH \ ODV FRQVWDQWHV VH OH FRQRFH FRPR soluciรณn explรญcita 3DUD QXHVWURVSURSyVLWRVFRQVLGHUHPRVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDFRPRXQDIyUPXODH[SOtFLWDy   (x TXHSRGDPRVPDQHMDUHYDOXDU\GHULYDUPHGLDQWHODVUHJODVXVXDOHV $FDEDPRV GH YHU HQ ORV GRV ~OWLPRV HMHPSORV TXH y  161 x4 , y  xe x \ y  1x VRQ VROXFLRQHV H[SOtFLWDV UHVSHFWLYDPHQWH GHdydx  xy 1/2, y  2y  y  \ xy  y  $GHPiV OD VROXFLyQ WULYLDO y   HV XQD VROXFLyQ H[SOtFLWD GH FDGD XQDGHHVWDVWUHVHFXDFLRQHV&XDQGROOHJXHPRVDOSXQWRGHUHDOPHQWHUHVROYHUODV HFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVRUGLQDULDVYHUHPRVTXHORVPpWRGRVGHVROXFLyQQRVLHPSUH FRQGXFHQGLUHFWDPHQWHDXQDVROXFLyQH[SOtFLWDy   (x (VWRHVSDUWLFXODUPHQWH FLHUWR FXDQGR LQWHQWDPRV UHVROYHU HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ &RQ IUHFXHQFLDWHQHPRVTXHFRQIRUPDUQRVFRQXQDUHODFLyQRH[SUHVLyQG(x, y) TXH GHยฟQHXQDVROXFLyQLPSOtFLWDPHQWH

DEFINICIร“N 1.1.3 Soluciรณn implรญcita de una EDO 6HGLFHTXHXQDUHODFLyQG(x, y) HVXQDsoluciรณn implรญcita GHXQDHFXDFLyQ GLIHUHQFLDORUGLQDULD  VREUHXQLQWHUYDORIVLHPSUHTXHH[LVWDDOPHQRVXQD IXQFLyQTXHVDWLVIDFHODUHODFLyQDVtFRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHI.

(VWiIXHUDGHODOFDQFHGHHVWHFXUVRLQYHVWLJDUEDMRTXpFRQGLFLRQHVODUHODFLyQG(x, y)   GHยฟQH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH  3RU OR TXH VXSRQGUHPRV TXH VL LPSOHPHQWDU IRUPDOPHQWHXQPpWRGRGHVROXFLyQQRVFRQGXFHDXQDUHODFLyQG(x, y) HQWRQFHV H[LVWHDOPHQRVXQDIXQFLyQ TXHVDWLVIDFHWDQWRODUHODFLyQ TXHHVG(x, (x))  0) FRPRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOVREUHHOLQWHUYDORI6LODVROXFLyQLPSOtFLWDG(x, y)  0 HVEDVWDQWHVLPSOHSRGHPRVVHUFDSDFHVGHGHVSHMDUDyHQWpUPLQRVGHx\REWHQHUXQD RPiVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV9HDHQLQFLVRiv)HQORVComentarios.

EJEMPLO 7 Comprobaciรณn de una soluciรณn implรญcita /DUHODFLyQx 2  y 2 HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

dy dx

x y

(8)

VREUHHOLQWHUYDORDELHUWR  'HULYDQGRLPSOtFLWDPHQWHREWHQHPRV

d 2 x dx

d 2 y dx

d 25    o dx

2x

dy 2y dx

(9)

0.

5HVROYLHQGR OD ~OWLPD HFXDFLyQ SDUD dydx VH REWLHQH   $GHPiV UHVROYLHQGR x 2  y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxVHREWLHQH y  225  x2 /DVGRVIXQFLRQHV y  1(x)  125  x2 y y  2(x)  125  x2  VDWLVIDFHQ OD UHODFLyQ TXH HV x 2  12 \x 2  22  \VRQODVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGHยฟQLGDVVREUHHOLQWHUYDOR  /DVFXUYDVVROXFLyQGDGDVHQODVยฟJXUDV E \ F VRQWUDPRVGH ODJUiยฟFDGHODVROXFLyQLPSOtFLWDGHODยฟJXUD D 


1.1

y

y

5

DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

9

y 5

5

5

5

5

O

x

x

x

−5

a) solución implícita x  y  25 2

2

b) solución explícita y1  25  x ,  5 x 5 2

c) solución explícita y2  25  x 2, 5 x 5

FIGURA 1.1.2 8QDVROXFLyQLPSOtFLWD\GRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDVGH  HQHOHMHPSOR 'HELGRDTXHODGLIHUHQFLDHQWUHXQDVROXFLyQH[SOtFLWD\XQDVROXFLyQLPSOtFLWD GHEHUtDVHULQWXLWLYDPHQWHFODUDQRGLVFXWLUHPRVHOWHPDGLFLHQGRVLHPSUH³$TXtHVWi XQDVROXFLyQH[SOtFLWD LPSOtFLWD ´ FAMILIAS DE SOLUCIONES (OHVWXGLRGHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVHVVLPLODUDO GHO FiOFXOR LQWHJUDO &XDQGR REWHQHPRV XQD DQWLGHULYDGD R XQD LQWHJUDO LQGH¿QLGD HQFiOFXORXVDPRVXQDVRODFRQVWDQWHcGHLQWHJUDFLyQ'HPRGRVLPLODUFXDQGRUHVROYHPRV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH SULPHU RUGHQ F(x, y, y)  0, usualmente REWHQHPRVXQDVROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDVRODFRQVWDQWHDUELWUDULDRSDUiPHWURc8QD VROXFLyQTXHFRQWLHQHXQDFRQVWDQWHDUELWUDULDUHSUHVHQWDXQFRQMXQWRG(x, y, c)  0 GH VROXFLRQHV OODPDGR familia de soluciones uniparamétrica &XDQGR UHVROYHPRV XQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOGHRUGHQn, F(x, y, y, . . . , y (n)) EXVFDPRVXQDfamilia de soluciones n-paramétrica G(x, y, c1, c 2, . . . , cn) (VWRVLJQL¿FDTXHXQDVRODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHWHQHUXQLQ¿QLWRGHVROXFLRQHVTXHFRUUHVSRQGHQDXQQ~PHUR HQRUPHGHHOHFFLRQHVGHORVSDUiPHWURV8QDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOTXH HVWiOLEUHGHODHOHFFLyQGHSDUiPHWURVVHOODPDsolución particular. (QXQDIDPLOLD GHVROXFLRQHVFRPRG(x, y, c1, c2, ..., cn)ORVSDUiPHWURVVRQKDVWDFLHUWRSXQWR DUELWUDULRV 3RU HMHPSOR SURFHGLHQGR FRPR HQ   XQD UHODFLyQ x2y2c VDWLVIDFH IRUPDOPHQWHD  SDUDFXDOTXLHUFRQVWDQWHc6LQHPEDUJRGHEHVREUHQWHQGHUVHTXH ODUHODFLyQVyORWLHQHVHQWLGRHQHOVLVWHPDGHORVQ~PHURVUHDOHVDVtVLcQRHV YiOLGRD¿UPDUTXHx2y2HVXQDVROXFLyQLPSOtFLWDGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

y c>0 c=0 x

c<0

EJEMPLO 8 Soluciones particulares a)/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDy  cx  xFRVxHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQ OLQHDOGHSULPHURUGHQ

FIGURA 1.1.3

$OJXQDVVROXFLRQHVGH OD('GHOLQFLVRD GHOHMHPSOR

xy  y  x 2VHQx

y

VREUHHOLQWHUYDOR ,   FRPSUXHEH /D¿JXUDPXHVWUDODVJUi¿FDVGHDOJXQDV GHODVVROXFLRQHVHQHVWDIDPLOLDSDUDGLIHUHQWHVHOHFFLRQHVGHc/DVROXFLyQy  x FRVxODFXUYDD]XOHQOD¿JXUDHVXQDVROXFLyQSDUWLFXODUFRUUHVSRQGLHQWHDc  0. b)/DIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHGRVSDUiPHWURVy  c1e x  c 2xe xHVXQDVROXFLyQH[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHVHJXQGRRUGHQ x

y  2y  y  0

GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR FRPSUXHEH (QOD¿JXUDKHPRVPRVWUDGRVLHWHGHODV ³GREOHPHQWHLQ¿QLWDV´VROXFLRQHVGHODIDPLOLD/DVFXUYDVVROXFLyQHQURMRYHUGH\ FIGURA 1.1.4 $OJXQDVVROXFLRQHVGH D]XOVRQODVJUi¿FDVGHODVVROXFLRQHVSDUWLFXODUHVy  5[H࣠x (c1  0, c 2  5), y  3e x OD('GHOLQFLVRE GHOHMHPSOR (c1  3, c 2  \y  5e x  2xe x (c1  5, c2  UHVSHFWLYDPHQWH


10

O

CAPÍTULO 1

INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

$OJXQDVYHFHVXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOWLHQHXQDVROXFLyQTXHQRHVPLHPEURGHXQDIDPLOLDGHVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQHVGHFLUXQDVROXFLyQTXHQRVHSXHGHREWHQHUXVDQGR XQSDUiPHWURHVSHFt¿FRGHODIDPLOLDGHVROXFLRQHV(VDVROXFLyQH[WUDVHOODPD solución singular3RUHMHPSORYHPRVTXH y  161 x4 \y VRQVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO dydx  xy1/2 VREUH ,   (Q OD VHFFLyQ  GHPRVWUDUHPRV DO UHVROYHUOD UHDOPHQWHTXHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOdydx  xy1/2WLHQHODIDPLOLDGHVROXFLRQHVXQLSDUDPpWULFD y  14 x2  c 2, c &XDQGRc ODVROXFLyQSDUWLFXODUUHVXOWDQWHHV y  161 x4  3HUR REVHUYH TXH OD VROXFLyQ WULYLDO y   HV XQD VROXFLyQ VLQJXODU \D TXH QRHVXQPLHPEURGHODIDPLOLDy  14 x2  c 2 SRUTXHQRKD\PDQHUDGHDVLJQDUOHXQ YDORUDODFRQVWDQWHcSDUDREWHQHUy  0. (QWRGRVORVHMHPSORVDQWHULRUHVKHPRVXVDGRx\ySDUDGHQRWDUODVYDULDEOHV LQGHSHQGLHQWH\GHSHQGLHQWHUHVSHFWLYDPHQWH3HURGHEHUtDDFRVWXPEUDUVHDYHU\WUDEDMDUFRQRWURVVtPERORVTXHGHQRWDQHVWDVYDULDEOHV3RUHMHPSORSRGUtDPRVGHQRWDU ODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHSRUt\ODYDULDEOHGHSHQGLHQWHSRUx.

(

)

(

EJEMPLO 9

)

Usando diferentes símbolos

/DVIXQFLRQHVx  c1 FRVt\x  c2 VHQtGRQGHc1\c2VRQFRQVWDQWHVDUELWUDULDVR SDUiPHWURVVRQDPEDVVROXFLRQHVGHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDOOLQHDO x

16x

0.

3DUDx  c1FRVtODVGRVSULPHUDVGHULYDGDVUHVSHFWRDtVRQx  4c1VHQt\ x  16c1FRVt.6XVWLWX\HQGRHQWRQFHVDx\xVHREWLHQH x

16x

16c1 cos 4t

16(c1 cos 4t)

0.

'HODPLVPDPDQHUDSDUDx  c2VHQtWHQHPRVx  16c 2VHQt\DVt x

16x

16c2 sen 4t

0.

)LQDOPHQWHHVVHQFLOORFRPSUREDUGLUHFWDPHQWHTXHODFRPELQDFLyQOLQHDOGHVROXFLRQHVRODIDPLOLDGHGRVSDUiPHWURVx  c1FRVt  c2VHQtHVWDPELpQXQDVROXFLyQ GHODHFXDFLyQGLIHUHQFLDO

y c 1 x c<1

(OVLJXLHQWHHMHPSORPXHVWUDTXHODVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGH VHUXQDIXQFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV

EJEMPLO 10 a) dos soluciones explicitas

8QDVROXFLyQGH¿QLGDSRUWUDPRV

/DIDPLOLDXQLSDUDPpWULFDGHIXQFLRQHVPRQRPLDOHVFXiUWLFDVy  cx4HVXQDVROXFLyQ H[SOtFLWDGHODHFXDFLyQOLQHDOGHSULPHURUGHQ xy  4y  0

y c 1, x )0 x c<1, x0

HQHOLQWHUYDOR ,   &RPSUXHEH /DVFXUYDVVROXFLyQD]XO\URMDTXHVHPXHVWUDQ HQOD¿JXUD D VRQODVJUi¿FDVGHy = x4\y =  x4\FRUUHVSRQGHQDODVHOHFFLRQHV GHc \c =  UHVSHFWLYDPHQWH /DIXQFLyQGHULYDEOHGH¿QLGDSRUWUDPRV y

b) solución definida en tramos

FIGURA 1.1.5

16(c2 sen 4t)

$OJXQDVVROXFLRQHV GHOD('GHOHMHPSOR

x4, x4,

x x

0 0

HVWDPELpQXQDVROXFLyQSDUWLFXODUGHODHFXDFLyQSHURQRVHSXHGHREWHQHUGHODIDPLOLDy  cx4SRUXQDVRODHOHFFLyQGHcFRPRVHPXHVWUDHQOD¿JXUDE ODVROXFLyQ VHFRQVWUX\HDSDUWLUGHODIDPLOLDHOLJLHQGRc  SDUDx \c SDUDx 0.


1.1 DEFINICIONES Y TERMINOLOGÍA

11

O

SISTEMAS DE ECUACIONES DIFERENCIALES +DVWDHVWHPRPHQWRKHPRVDQDOL]DGR VyOR HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV TXH FRQWLHQHQ XQD IXQFLyQ LQFyJQLWD 3HUR FRQ IUHFXHQFLDHQODWHRUtDDVtFRPRHQPXFKDVDSOLFDFLRQHVGHEHPRVWUDWDUFRQVLVWHPDV GHHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV8Qsistema de ecuaciones diferenciales ordinariasWLHQH GRVRPiVHFXDFLRQHVTXHLPSOLFDQGHULYDGDVGHGRVRPiVIXQFLRQHVLQFyJQLWDVGHXQD VRODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWH3RUHMHPSORVLx\yGHQRWDQDODVYDULDEOHVGHSHQGLHQWHV \t GHQRWDDODYDULDEOHLQGHSHQGLHQWHHQWRQFHVXQVLVWHPDGHGRVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVGHSULPHURUGHQHVWiGDGRSRU

dx dt

f(t, x, y) (10)

dy dt

g(t, x, y).

8QDsoluciónGHXQVLVWHPDWDOFRPRHOGHODHFXDFLyQ  HVXQSDUGHIXQFLRQHVGHULYDEOHVx   1(t), y   2(t GH¿QLGDVVREUHXQLQWHUYDORFRP~QITXHVDWLVIDFHFDGD HFXDFLyQGHOVLVWHPDVREUHHVWHLQWHUYDOR

COMENTARIOS i 3RGUtDQRVHUHYLGHQWHVLXQD('2GHSULPHURUGHQHVFULWDHQVXIRUPDGLIHUHQFLDOM(x, y)dx + N (x, y)dy HVOLQHDORQROLQHDOSRUTXHQRKD\QDGDHQHVWD IRUPDTXHQRVLQGLFDTXHVtPERORGHQRWDDODYDULDEOHGHSHQGLHQWH9pDQVHORV SUREOHPDV\GHORVHMHUFLFLRV ii 9HUHPRVHQORVFDStWXORVVLJXLHQWHVTXHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOSXHGHLPSOLFDUXQDIXQFLyQGDGDSRUXQDLQWHJUDOGH¿QLGD8QDPDQHUDGH GH¿QLUXQDIXQFLyQFGHXQDVRODYDULDEOHxSRUPHGLRGHXQLQWHJUDOGH¿QLGDHV F(x) 5

x

# g(t) dt.

(11)

a

6LHOLQWHJUDQGRgHQ  HVFRQWLQXDVREUHXQLQWHUYDOR>a, b] \D”[”b,HQWRQFHVODIRUPDGHGHULYDGDGHO7HRUHPD)XQGDPHQWDOGHOFiOFXORGLFHTXHFHV GHULYDEOHVREUH a, b \ F9(x) 5

d dx

x

# g(t) dt 5 g(x)

(12)

a

/DLQWHJUDOHQ  DPHQXGRHVno elementalHVGHFLUXQDLQWHJUDOGHXQDIXQFLyQgTXHQRWLHQHXQDIXQFLyQHOHPHQWDOSULPLWLYD/DVIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV VRQODVIXQFLRQHVFRQRFLGDVHVWXGLDGDVHQXQFXUVRGHSUHFiOFXORWtSLFR constante, polinomial, racional, exponencial, logarítmica, trigonométrica, y funciones trigonométricas inversas, DVtFRPRSRWHQFLDVUDFLRQDOHVGHHVWDVIXQFLRQHVFRPELQDFLRQHV¿QLWDVGHHVWDV IXQFLRQHVPHGLDQWHVXPDUHVWDPXOWLSOLFDFLyQGLYLVLyQ\FRPSRVLFLyQGHIXQ2 FLRQHV3RUHMHPSORDXQTXH e2t ,Ï1 1 t3, \ cos t2 VRQIXQFLRQHVHOHPHQWDOHV 2 2t ODVLQWHJUDOHV ee dt, eÏ1 1 t3 dt, \ e cos t2 dt VRQQRHOHPHQWDOHV9pDQVH ORVSUREOHPDVDGHORV(MHUFLFLRV7DPELpQYpDVHHODSpQGLFH$ iii $XQTXHHOFRQFHSWRGHXQDVROXFLyQGHXQDHFXDFLyQGLIHUHQFLDOKDVLGRVXEUD\DGRHQHVWDVHFFLyQKD\TXHVHUFRQVFLHQWHVTXHXQD('QRQHFHVDULDPHQWH WLHQHXQDVROXFLyQ9pDVHHOSUREOHPDHQORVHMHUFLFLRV/DFXHVWLyQGHVL H[LVWHXQDVROXFLyQVHUiWUDWDGDHQODVLJXLHQWHVHFFLyQ iv) $OJXQRVFRPHQWDULRV¿QDOHVUHVSHFWRDODVVROXFLRQHVLPSOtFLWDVGHODVHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHV(QHOHMHPSORSXGLPRVGHVSHMDUIiFLOPHQWHODUHODFLyQ x 2  y 2 SDUDyHQWpUPLQRVGHxSDUDREWHQHUODVGRVVROXFLRQHVH[SOtFLWDV


3 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Š Fotos593/Shutterstock.com

3.1 3.2 3.3

Modelos lineales Modelos no lineales Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL CAPĂ?TULO 3

E

n la secciĂłn 1.3 vimos cĂłmo se podrĂ­a utilizar una ecuaciĂłn diferencial de primer orden como modelo matemĂĄtico en el estudio del crecimiento poblacional, el decaimiento radiactivo, el interĂŠs compuesto continuo, el HQIULDPLHQWRGHFXHUSRVPH]FODVUHDFFLRQHVTXtPLFDVHOGUHQDGRGHOĂ&#x20AC;XLGRGH un tanque, la velocidad de un cuerpo que cae y la corriente en un circuito en serie. Utilizando los mĂŠtodos del capĂ­tulo 2, ahora podemos resolver algunas de las ED lineales (en la secciĂłn 3.1) y ED no lineales (en la secciĂłn 3.2) que aparecen comĂşnmente en las aplicaciones.

84


3.1

3.1

MODELOS LINEALES

O

85

MODELOS LINEALES INTRODUCCIÓN En esta sección resolvemos algunos de los modelos lineales de primer orden que se presentaron en la sección 1.3.

CRECIMIENTO Y DECAIMIENTO

El problema con valores iniciales

dx  kx, dt

x(t0)  x0,

(1)

donde k es una constante de proporcionalidad, sirve como modelo para diferentes fenómenos que tienen que ver con el crecimiento o el decaimiento. En la sección 1.3 vimos que en las aplicaciones biológicas la razón de crecimiento de ciertas poblaciones (bacterias, pequeños animales) en cortos periodos es proporcional a la población presente al tiempo t. Si se conoce la población en algún tiempo inicial arbitrario t0, la solución de la ecuación (1) se puede utilizar para predecir la población en el futuro, es decir, a tiempos t  t0. La constante de proporcionalidad k en la ecuación (1) se determina a partir de la solución del problema con valores iniciales, usando una medida posterior de x al tiempo t1  t0. En física y química la ecuación (1) se ve en la forma de una reacción de primer orden, es decir, una reacción cuya rapidez, o velocidad, dxdt es directamente proporcional a la cantidad x de sustancia que no se ha convertido o remanente al tiempo t. La descomposición, o decaimiento, de U-238 (uranio) por radiactividad en Th-234 (torio) es una reacción de primer orden.

EJEMPLO 1

Crecimiento de bacterias

Inicialmente un cultivo tiene un número P0 de bacterias. En t  1 h se determina que el número de bacterias es 32P0. Si la rapidez de crecimiento es proporcional al número de bacterias P(t) presentes en el tiempo t, determine el tiempo necesario para que se triplique el número de bacterias. SOLUCIÓN Primero se resuelve la ecuación diferencial (1), sustituyendo el símbolo x por P. Con t0  0 la condición inicial es P(0)  P0. Entonces se usa la observación empírica de que P(1)  32P0 para determinar la constante de proporcionalidad k. Observe que la ecuación diferencial dPdt  kP es separable y lineal. Cuando se pone en la forma estándar de una ED lineal de primer orden,

P

P(t) 5 P0 e 0.4055t

dP  kP  0, dt se ve por inspección que el factor integrante es ekt. Al multiplicar ambos lados de la ecuación e integrar, se obtiene, respectivamente, d kt [e P]  0 dt

3P0

y

e ktP  c.

De este modo, P(t)  cekt. En t  0 se tiene que P0  ce0  c, por tanto P(t)  P0ekt. En t  1 se tiene que 32P0  P0ek, o ek  32. De la última ecuación se obtiene k  1n 32  0.4055, por tanto P(t)  P0e0.4055t. Para determinar el tiempo en que se ha triplicado el número de bacterias, resolvemos 3P0  P0e0.4055t para t. Entonces 0.4055t  1n 3, o

P0 t 5 2.71

t

FIGURA 3.1.1 Tiempo en que se triplica la población en el ejemplo 1.

t 9HDOD¿JXUD

ln 3  2.71 h. 0.4055


86

O

CAPĂ?TULO 3

y

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Observe en el ejemplo 1 que el nĂşmero real P0 de bacterias presentes en el tiempo t  0 no tiene que ver con el cĂĄlculo del tiempo que se requiriĂł para que el nĂşmero de bacterias en el cultivo se triplique. El tiempo necesario para que se triplique una poblaciĂłn inicial de, digamos, 100 o 1 000 000 de bacterias es de aproximadamente 2.71 horas.

e kt, k > 0 crecimiento

e kt, k < 0 crecimiento t

FIGURA 3.1.2 Crecimiento (k  0) y decaimiento (k 0).

&RPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD  OD IXQFLyQ H[SRQHQFLDO ekt aumenta conforme crece t para k  0 y disminuye conforme crece t para k 0. AsĂ­ los problemas que describen el crecimiento (ya sea de poblaciones, bacterias o aĂşn de capital) se caracterizan por un valor positivo de k, en tanto que los problemas relacionados con el decaimiento (como en la desintegraciĂłn radiactiva) tienen un valor k negativo. De acuerdo con esto, decimos que k es una constante de crecimiento (k  0) o una constante de decaimiento (k 0). VIDA MEDIA En fĂ­sica la vida media es una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La vida media es simplemente, el tiempo que tarda en desintegrarse o transmutarse en otro elemento la mitad de los ĂĄtomos en una muestra inicial A0. Mientras mayor sea la vida media de una sustancia, mĂĄs estable es la sustancia. Por ejemplo, la vida media del radio altamente radiactivo Ra-226 es de aproximadamente 1 700 aĂąos. En 1 700 aĂąos la mitad de una cantidad dada de Ra-226 se transmuta en radĂłn, Rn-222. El isĂłtopo mĂĄs comĂşn del uranio, U-238, tiene una vida media de 4 500 000 000 aĂąos. En aproximadamente 4.5 miles de millones de aĂąos, la mitad de una cantidad de U-238 se transmuta en plomo 206.

EJEMPLO 2

Vida media del plutonio

Un reactor de crĂ­a convierte uranio 238 relativamente estable en el isĂłtopo plutonio 239. DespuĂŠs de 15 aĂąos, se ha determinado que el 0.043% de la cantidad inicial A0 de plutonio se ha desintegrado. Determine la vida media de ese isĂłtopo, si la razĂłn de desintegraciĂłn es proporcional a la cantidad que queda. SOLUCIĂ&#x201C;N Sea A(t) la cantidad de plutonio que queda al tiempo t. Como en el ejem-

plo 1, la soluciĂłn del problema con valores iniciales dA  kA, dt

A(0)  A0

Š Jack Fields/Science Source

es A(t)  A0ekt. Si se ha desintegrado 0.043% de los ĂĄtomos de A0, queda 99.957%. Para encontrar la constante k, usamos 0.99957A0  A(15), es decir, 0.99957A0  A0e15k. Despejando k se obtiene k  151 ln 0.99957  0.00002867. Por tanto A(t)  A0eĂ­t. Ahora la vida media es el valor del tiempo que le corresponde a A(t)  12 A0. Despejando t se obtiene 12 A0  A0eĂ­t o 12  eĂ­t. De la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene ln 2 t 24 180 aĂąos . 0.00002867

FIGURA 3.1.3 Willard Libby (1908â&#x20AC;&#x201C;1980)

DATADO CON CARBONO Willard Libby ÂżJXUD \XQHTXLSRGHFLHQWtÂżFRVHQ 1950, idearon un mĂŠtodo que utilizaba un isotopo radiactivo de carbono como medio para determinar las edades aproximadas de la materia fosilizada carbonosa. La teorĂ­a del datado con carbono se basa en que el isĂłtopo carbono 14 se produce en la atmĂłsfera por acciĂłn de la radiaciĂłn cĂłsmica sobre el nitrĂłgeno. La razĂłn de la cantidad de C-l4 con el carbono ordinario en la atmĂłsfera parece ser constante y, en consecuencia, la cantidad proporcional del isĂłtopo presente en todos los organismos vivos es igual que la de la atmĂłsfera. Cuando muere un organismo cesa la absorciĂłn del C-l4 ya sea por respiraciĂłn o por alimentaciĂłn. AsĂ­, al comparar la cantidad proporcional de C-14 presente, por ejemplo, en un fĂłsil con la razĂłn constante que hay en la atmĂłsfera, es posible obtener una estimaciĂłn razonable de la edad del fĂłsil. El mĂŠtodo se basa en que se sabe la vida media del C-l4. Libby calculĂł el valor de la vida media de aproximadamente 5 600 aĂąos, y se llamĂł la vida media de Libby.


Š Kenneth Garrett/National Geographic Creative

3.1

FIGURA 3.1.4 Una pĂĄgina del evangelio gnĂłstico de Judas.

La vida media del uranio-238 es aproximadamente 4.47 mil millones aĂąos

O

87

Actualmente el valor aceptado comĂşnmente para la vida media es la vida media de Cambridge que es aproximadamente 5 730 aĂąos. Por este trabajo, Libby obtuvo el Premio Nobel de quĂ­mica en 1960. El mĂŠtodo de Libby se ha utilizado para fechar los muebles de madera en las tumbas egipcias, las envolturas de lino de los rollos del Mar 0XHUWR\ODWHODGHOHQLJPiWLFRVXGDULRGH7RULQR9pDVHODÂżJXUD\HOSUREOHPD en los Ejercicios 3.1.

EJEMPLO 3

Edad de un fĂłsil

Se encuentra que un hueso fosilizado contiene 0.1% de su cantidad original de C-14. Determine la edad del fĂłsil. SOLUCIĂ&#x201C;N Como en el ejemplo 2 el punto de partida es A(t)  A0e kt. Para de-

terminar el valor de la constante de decaimiento k, partimos del hecho de que 1 A(5730) o 12 A 0 A 0e 5730k . Esta ecuaciĂłn implica que 5730k  ln 12  ln 2 A0 2 y obtenemos k  (1n 2) 5730  0.00012097, por tanto A(t)  A0e0.00012097t. Con A(t)  0.001A0 tenemos que 0.001A0  A0e0.00012097t y 0.00012097t  ln(0.001)  ln 1000. AsĂ­ t

El tamaĂąo y la ubicaciĂłn de la muestra causaron importantes GLÂżFXOWDGHVFXDQGRXQHTXLSRGH FLHQWtÂżFRVIXHURQLQYLWDGRVDGDWDU con carbono - 14 la SĂĄbana Santa de TurĂ­n en 1988.

MODELOS LINEALES

ln 1000 0.00012097

57 100 aĂąos

La fecha determinada en el ejemplo 3 estĂĄ en el lĂ­mite de exactitud del mĂŠtodo. Normalmente esta tĂŠcnica se limita a aproximadamente 10 vidas medias del isĂłtopo, que son aproximadamente 60000 aĂąos. Una razĂłn para esta limitante es que el anĂĄlisis quĂ­mico necesario para una determinaciĂłn exacta del C-l4 que queda presenta obstĂĄculos formidables cuando se alcanza el punto de 0.001A0. TambiĂŠn, en este mĂŠtodo se necesita destruir una gran parte de la muestra. Si la mediciĂłn se realiza indirectamente, basĂĄndose en la radiactividad existente en la muestra, es muy difĂ­cil distinguir la radiaciĂłn que procede del fĂłsil de la radiaciĂłn de fondo normal.* Pero recientemente, con los aceleradoUHVGHSDUWtFXODVORVFLHQWtÂżFRVKDQSRGLGRVHSDUDUDO&OGHOHVWDEOH&&XDQGRVH calcula la relaciĂłn exacta de C-l4 a C-12, la exactitud de este mĂŠtodo se puede ampliar de 70 000 a 100 000 aĂąos. Por estas razones y por el hecho de que el datado con C-14 estĂĄ restringido a materiales orgĂĄnicos, este mĂŠtodo es utilizado principalmente por los arqueĂłlogos. Por su parte, los geĂłlogos interesados en preguntas sobre la edad de las rocas o la edad de la tierra utilizan tĂŠcnicas de dataciĂłn radiomĂŠtrica. La dataciĂłn radiomĂŠtrica inventada por el fĂ­sico quĂ­mico Ernest Rutherford (1871-1937) alrededor de 1905, se basa en el decaimiento radiactivo de un isotopo radiactivo que ocurre naturalmente con una vida media muy larga y una comparaciĂłn entre una cantidad medida de esta descomposiciĂłn isotĂłpica y uno de sus productos de decaimiento utilizando las tasas de decaimiento conocidas. Hay otras tĂŠcnicas isotĂłpicas, como la que usa potasio - argĂłn, rubidio-estroncio, o uranio plomo, adecuadas para establecer edades de ciertas clases de rocas varios millones de aĂąos. Ver los problemas 5 y 6 en los ejercicios 3.3 para una breve discusiĂłn del mĂŠtodo de dataciĂłn por potasio-argĂłn. LEY DE NEWTON DEL ENFRIAMIENTO/CALENTAMIENTO En la ecuaciĂłn (3) de la secciĂłn 1.3 vimos que la formulaciĂłn matemĂĄtica de la ley empĂ­rica de Newton del enfriamiento/calentamiento de un objeto, se expresa con la ecuaciĂłn diferencial lineal de primer orden dT  k(T  Tm), dt

(2)

donde k es una constante de proporcionalidad, T(t) es la temperatura del objeto para t  0, y Tm es la temperatura ambiente, es decir, la temperatura del medio que rodea al objeto. En el ejemplo 4 suponemos que Tm es constante.


88

CAPĂ?TULO 3

O

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

T

EJEMPLO 4

200 100

T = 20 15

t

30

Enfriamiento de un pastel

Al sacar un pastel del horno, su temperatura es 150 °C. Tres minutos despuĂŠs su temperatura es de 90 °C. ÂżCuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ al pastel enfriarse hasta la temperatura ambiente de 20 °C? SOLUCIĂ&#x201C;N (QODHFXDFLyQ  LGHQWLÂżFDPRVTm  20. Debemos resolver el problema con valores iniciales

a) t (min)

T(t)

0 5 10 15 20 25 30

150 66.41 36.57 25.92 22.11 20.75 20.27 b)

FIGURA 3.1.5 La temperatura de enfriamiento del pastel del ejemplo 4.

dT  k(T  20), dt

T(0)  150

(3)

y determinar el valor de k tal que T(3)  90. La ecuaciĂłn (3) es tanto lineal como separable. Si separamos las variables dT  k dt, T  70 se obtiene ln|T â&#x20AC;&#x201C; 20|  kt  c1, y asĂ­ T  20  c2ekt. Cuando t  0, T  150, asĂ­ 150  20  c2 da c2  130. Por tanto T  20  130 ekt. Por Ăşltimo, la mediciĂłn de T(3)  90 conduce a e3k  0.538, o k  0.206 . AsĂ­ T (t)

20

130e

0.206t

.

(4)

2EVHUYDPRV TXH OD HFXDFLyQ   QR WLHQH XQD VROXFLyQ ÂżQLWD D T(t)  20 porque lĂ­m tA T(t)  20. No obstante, en forma intuitiva esperamos que el pastel se enfrĂ­e al transcurrir un intervalo razonablemente largo. ÂżQuĂŠ tan largo es â&#x20AC;&#x153;largoâ&#x20AC;?? Por supuesto, no nos debe inquietar el hecho de que el modelo (3) no se apegue mucho a nuestra LQWXLFLyQItVLFD/RVLQFLVRVD \E GHODÂżJXUDPXHVWUDQFODUDPHQWHTXHHOSDVWHO estarĂĄ a temperatura ambiente en aproximadamente media hora. La temperatura ambiente en la ecuaciĂłn (2) no necesariamente es una constante pero podrĂ­a ser una funciĂłn Tm(t) del tiempo t. Vea el problema 18 de los ejercicios 3.1. MEZCLAS $OPH]FODUGRVĂ&#x20AC;XLGRVDYHFHVVXUJHQHFXDFLRQHVGLIHUHQFLDOHVOLQHDOHV de primer orden. Cuando describimos la mezcla de dos salmueras en la secciĂłn 1.3, supusimos que la rapidez con que cambia la cantidad de sal A(t) en el tanque de mezcla es una rapidez neta dA (rapidez de entrada de sal)  (rapidez de salida de sal)  Rentra Rsale . (5) dt En el ejemplo 5 resolveremos la ecuaciĂłn (8) en la pĂĄgina 25 de la secciĂłn 1.3.

EJEMPLO 5

Mezcla de dos soluciones de sal

Recordemos que el tanque grande de la secciĂłn 1.3 contenĂ­a inicialmente 1000 L de una soluciĂłn de salmuera. En el tanque entraba y salĂ­a sal porque se bombeaba una soOXFLyQDXQĂ&#x20AC;XMRGH/PLQVHPH]FODEDFRQODVROXFLyQRULJLQDO\VDOtDGHOWDQTXH FRQXQĂ&#x20AC;XMRGH/PLQ/DFRQFHQWUDFLyQGHODVROXFLyQHQWUDQWHHUDGHNJ/ por consiguiente, la entrada de sal era Rentra  NJ/  (10 L/min) NJPLQ\ salĂ­a del tanque con una rapidez Rsale  (ANJ/  (10 L/min)  ANJPLQ A partir de esos datos y de la ecuaciĂłn (5), obtuvimos la ecuaciĂłn (8) de la secciĂłn 1.3. 3HUPtWDQRVSUHJXQWDUVLKDEtDNJGHVDOGLVXHOWDVHQORV/LQLFLDOHV¢FXiQWD sal habrĂĄ en el tanque despuĂŠs de un periodo largo?


3.1

A

A = 250

t

89

Para encontrar la cantidad de sal A(t) en el tanque al tiempo t, resolvemos el problema con valores iniciales A(0)  25.

AquĂ­ observamos que la condiciĂłn adjunta es la cantidad inicial de sal A(0)  25 en el tanque y no la cantidad inicial de lĂ­quido. Ahora, como el factor integrante de esta ecuaciĂłn diferencial lineal es et/100, podemos escribir la ecuaciĂłn como d t/100 [e A]  2.5e t/100 . dt

a) t (min)

A (kg)

50 100 150 200 300 400

113.53 167.23 199.80 219.55 238.80 245.88 b)

FIGURA 3.1.6 Kg de sal en el tanque del ejemplo 5.

O

SOLUCIĂ&#x201C;N

dA 1  A  2.5, dt 100

500

MODELOS LINEALES

Integrando la Ăşltima ecuaciĂłn y despejando A se obtiene la soluciĂłn general A(t)  250  ce t/100. Cuando t  0, A  25, por lo que c  225. AsĂ­, la cantidad de sal en el tanque en el tiempo t, estĂĄ dada por. A(t)  250  225et/100.

(6)

/DVROXFLyQ  VHXVySDUDFRQVWUXLUODWDEODGHODÂżJXUD E (QODHFXDFLyQ  \HQ ODÂżJXUD D WDPELpQVHSXHGHYHUTXHA(t) A 250 conforme t A . Por supuesto, esto es lo que se esperarĂ­a intuitivamente en este caso; cuando ha pasado un gran tiempo ODFDQWLGDGGHNJGHVDOHQODVROXFLyQGHEHVHU / NJ/  NJ. En el ejemplo 5 supusimos que la rapidez con que entra la soluciĂłn al tanque es la misma que la rapidez con la que sale. Sin embargo, el caso no necesita ser siempre el mismo; la salmuera mezclada se puede sacar con una rapidez rsale que es mayor o menor que la rapidez rentra con la que entra la otra salmuera. El siguiente ejemplo presenta un caso cuando la mezcla se bombea a una rapidez menor que la rapidez con la que se bombea dentro del tanque.

EJEMPLO 6

Vuelta al ejemplo 5

Si la soluciĂłn bien mezclada del ejemplo 5 se bombea hacia afuera con una rapidez, digamos rsale  9 L/min, entonces se acumularĂĄ en el tanque con la rapidez rentra  rsale   /PLQ /PLQ DespuĂŠs de t minutos (1 L/min)  (t min)  t L se acumularĂĄn, por lo que en el tanque habrĂĄ 1000  t litros de salmuera. La concentraFLyQGHOĂ&#x20AC;XMRGHVDOLGDHVHQWRQFHVc(t)  A(1000  t NJ/\ODUDSLGH]FRQTXHVDOH la sal es Rsale  c(t) rsale, o Rout 5

11000A 1 t kg/L2 ? (9 L/min) 5 1000 1 t kg/min. 9A

Por tanto, la ecuaciĂłn (5) se convierte en 9A dA 5 2.5 2 dt 1000 1 t

o

9 dA 1 A 5 2.5. dt 1000 1 t

El factor integrante para la Ăşltima ecuaciĂłn es e e 9 dty(10001t) 5 e9 ln(10001t) 5 e ln(10001t) 5 (1000 1 t)9 9

Y asĂ­ despuĂŠs de multiplicar por el factor, la ecuaciĂłn se reescribe en la forma d f(1000 1 t)9 Ag 5 2.5(1000 1 t)9. dt


90

CAPĂ?TULO 3

O

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Al integrar la Ăşltima ecuaciĂłn se obtiene (1000 + t)9A  0.25(1000  t)10  c. Si aplicamos la condiciĂłn inicial A(0)  25, y despejamos A se obtiene la soluciĂłn A(t)  250  0.25t (2.251014)(1000  t)9&RPRHUDGHHVSHUDUHQODÂżJXUDVHPXHVWUDTXHFRQHO tiempo se acumula la sal en el tanque, es decir, A A  cuando t A .

A 500 400

CIRCUITOS EN SERIE Para un circuito en serie que sĂłlo contiene un resistor y un inductor, la segunda ley de Kirchhoff establece que la suma de la caĂ­da de voltaje a travĂŠs del inductor (L(didt)) mĂĄs la caĂ­da de voltaje a travĂŠs del resistor (iR) es igual al voltaje aplicado (E(t

DOFLUFXLWR9HDODÂżJXUD Por tanto, obtenemos la ecuaciĂłn diferencial lineal que para la corriente i(t),

300 200 100

500

1000

FIGURA 3.1.7 *UiÂżFDGHA(t) del ejemplo 6.

E

L

t

Ri 

1 q  E(t). C

(8)

Pero la corriente i y la carga q estĂĄn relacionadas por i  dqdt, asĂ­, la ecuaciĂłn (8) se convierte en la ecuaciĂłn diferencial lineal

FIGURA 3.1.8 Circuito en serie LR.

R

(7)

donde L y R son constantes conocidas como la inductancia y la resistencia, respectivamente. La corriente i(t) se llama, tambiĂŠn respuesta del sistema. La caĂ­da de voltaje a travĂŠs de un capacitor de capacitancia C es q(t)C, donde q HVODFDUJDGHOFDSDFLWRU3RUWDQWRSDUDHOFLUFXLWRHQVHULHTXHVHPXHVWUDHQODÂżJXUD 3.1.9, la segunda ley de Kirchhoff da

L

R

di  Ri  E(t), dt

R

EJEMPLO 7

dq 1  q  E(t). dt C

(9)

Circuito en serie LR

E

C

FIGURA 3.1.9 Circuito en serie RC.

Una baterĂ­a de 12 volts se conecta a un circuito en serie en el que el inductor es de 12 henry y la resistencia es de 10 ohms. Determine la corriente i, si la corriente inicial es cero. SOLUCIĂ&#x201C;N De la ecuaciĂłn (7) debemos resolver

1 di 2 dt

10i

12,

sujeta a i(0)  0. Primero multiplicamos la ecuaciĂłn diferencial por 2, y vemos que el factor integrante es e20t. Entonces sustituyendo d 20t [e i] dt

24e20t.

Integrando cada lado de la Ăşltima ecuaciĂłn y despejando i se obtiene i(t)  65  ce 20t. 6 6 Ahora i(0)  0 implica que 0  5  c o c   5. . Por tanto la respuesta es 6 6 20t i(t)  5  5 e . De la ecuaciĂłn (4) de la secciĂłn 2.3, podemos escribir una soluciĂłn general de (7): i(t) 

e(R/L)t L

e(R/L)tE(t) dt  ce(R/L)t.

(10)

En particular, cuando E(t)  E0 es una constante, la ecuaciĂłn (l0) se convierte en i(t) 

E0  ce(R/L)t. R

(11)


3.1

MODELOS LINEALES

O

91

Observamos que conforme t A , el segundo tĂŠrmino de la ecuaciĂłn (11) tiende a cero. A ese tĂŠrmino usualmente se le llama tĂŠrmino transitorio; los demĂĄs tĂŠrminos se llaman parte de estado estable de la soluciĂłn. En este caso, E0R tambiĂŠn se llama corriente de estado estable; para valores grandes de tiempo resulta que la corriente estĂĄ determinada tan sĂłlo por la ley de Ohm (E  iR).

COMENTARIOS La soluciĂłn P(t)  P0 e 0.4055t del problema con valores iniciales del ejemplo 1 describe la poblaciĂłn de una colonia de bacterias a cualquier tiempo t 0. Por supuesto, P(t) es una funciĂłn continua que toma todos los nĂşmeros reales del intervalo P0  P . Pero como estamos hablando de una poblaciĂłn, el sentido comĂşn indica que P puede tomar sĂłlo valores positivos. AdemĂĄs, no esperarĂ­amos que la poblaciĂłn crezca continuamente, es decir, cada segundo, cada microsegundo, etc., como lo predice nuestra soluciĂłn; puede haber intervalos de tiempo [t1, t2], en los que no haya crecimiento alguno. QuizĂĄ, entonces, ODJUiÂżFDTXHVHPXHVWUDHQODÂżJXUD D VHDXQDGHVFULSFLyQPiVUHDOGH PTXHODJUiÂżFDGHXQDIXQFLyQH[SRQHQFLDO&RQIUHFXHQFLDXVDUXQDIXQFLyQ continua para describir un fenĂłmeno discreto es mĂĄs conveniente que exacto. 6LQ HPEDUJR SDUD FLHUWRV ÂżQHV QRV SRGHPRV VHQWLU VDWLVIHFKRV VL HO PRGHOR describe con gran exactitud el sistema, considerado macroscĂłpicamente en el WLHPSRFRPRVHPXHVWUDHQODVÂżJXUDV E \ F PiVTXHPLFURVFySLFDPHQWHFRPRVHPXHVWUDHQODÂżJXUD D  P

P

P

P0

P0

P0 t1

t2

a)

1 t

1

t

b)

1

t

c)

FIGURA 3.1.10 El crecimiento poblacional es un proceso discreto.

EJERCICIOS 3.1

Las respuestas a los problemas seleccionados con nĂşmero impar comienzan en la pĂĄgina RES-3.

Crecimiento y decrecimiento 1. Se sabe que la poblaciĂłn de una comunidad crece con una rapidez proporcional al nĂşmero de personas presentes en el tiempo t. Si la poblaciĂłn inicial P0 se duplicĂł en 5 aĂąos, ÂżEn cuĂĄnto tiempo se triplicarĂĄ y cuadruplicarĂĄ? 2. Suponga que se sabe que la poblaciĂłn de la comunidad del problema 1 es de 10 000 despuĂŠs de tres aĂąos. ÂżCuĂĄl era la poblaciĂłn inicial P0? ÂżCuĂĄl serĂĄ la poblaciĂłn en 10 aĂąos? ÂżQuĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ creciendo la poblaciĂłn en t  10?

DespuĂŠs de tres horas se observa que hay 400 bacterias presentes. DespuĂŠs de 10 horas hay 2 000 bacterias presentes. ÂżCuĂĄl era la cantidad inicial de bacterias? 5. El isĂłtopo radiactivo del plomo Pb-209, decae con una rapidez proporcional a la cantidad presente al tiempo t y tiene un vida media de 3.3 horas. Si al principio habĂ­a 1 gramo de este isĂłtopo, ÂżcuĂĄnto tiempo debe transcurrir para que decaiga 90%? 6. Inicialmente habĂ­a 100 miligramos de una sustancia radiactiva. DespuĂŠs de 6 horas la masa disminuyĂł 3%. Si la rapidez de decaimiento, en cualquier momento, es proporcional a la cantidad de la sustancia presente al tiempo t, determine la cantidad que queda despuĂŠs de 24 horas.

3. La poblaciĂłn de un pueblo crece con una rapidez proporcional a la poblaciĂłn en el tiempo t. La poblaciĂłn inicial de 500 aumenta 15% en 10 aĂąos. ÂżCuĂĄl serĂĄ la poblaciĂłn pasados 30 aĂąos? ÂżQuĂŠ tan rĂĄpido estĂĄ creciendo la poblaciĂłn en t  30?

7. Calcule la vida media de la sustancia radiactiva del problema 6.

4. La poblaciĂłn de bacterias en un cultivo crece con una rapidez proporcional a la cantidad de bacterias presentes al tiempo t.

8. a) El problema con valores iniciales dAdt  kA, A(0)  A0 es el modelo de decaimiento de una sustancia radiactiva.


92

O

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Demuestre que, en general, la vida media T de la sustancia es T  (ln 2)k. b) Demuestre que la soluciĂłn del problema con valores iniciales del inciso a) se puede escribir como A(t)  A02t/T. c)

Si una sustancia radiactiva tiene la vida media T dada en el inciso a), ÂżcuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ a una cantidad inicial A0 de sustancia decaer a 18 A0?

10. Cuando el interĂŠs es compuesto continuamente, la cantidad de dinero aumenta con una tasa proporcional a la cantidad presente S al tiempo t, es decir, dSdt  rS, donde r es la tasa de interĂŠs anual. a) &DOFXOHODFDQWLGDGUHXQLGDDOÂżQDOGHDxRVFXDQGRVHGHpositan $5 000 en una cuenta de ahorro que rinde el 5.75% de interĂŠs anual compuesto continuamente. b) ÂżEn cuĂĄntos aĂąos se habrĂĄ duplicado el capital inicial? c) Utilice una calculadora para comparar la cantidad obtenida en el inciso a) con la cantidad S  5 000(1  14(0.0575))5(4) que se reĂşne cuando el interĂŠs se compone trimestralmente. Datado con carbono

Pintura rupestre que muestra un caballo y una vaca, c. 17000 ac (pintura rupestre), Prehistoric / Caves of Lascaux, Dordogne, Francia / Bridgeman ImĂĄgenes

11. Los arqueĂłlogos utilizan piezas de madera quemada o carbĂłn vegetal, encontradas en el lugar para datar pinturas prehistĂłricas de SDUHGHV\WHFKRVGHXQDFDYHUQDHQ/DVFDX[)UDQFLD9HDODÂżJXUD 3.1.11. Utilice la informaciĂłn de la pĂĄgina 87 para precisar la edad aproximada de una pieza de madera quemada, si se determinĂł que 85.5% de su C-l4 encontrado en los ĂĄrboles vivos del mismo tipo se habĂ­a desintegrado.

FIGURA 3.1.11 Pintura en una caverna del problema 11. 12. El sudario de TurĂ­n muestra el negativo de la imagen del cuerpo GHXQKRPEUHTXHSDUHFHTXHIXHFUXFLÂżFDGRPXFKDVSHUVRQDV creen que es el sudario del entierro de JesĂşs de Nazaret. Vea la ÂżJXUD(QHO9DWLFDQRFRQFHGLySHUPLVRSDUDGDWDU FRQFDUERQRHOVXGDULR7UHVODERUDWRULRVFLHQWtÂżFRVLQGHSHQdientes analizaron el paĂąo y concluyeron que el sudario tenĂ­a una antigĂźedad de 660 aĂąos, una antigĂźedad consistente con su apariciĂłn histĂłrica. Usando esta antigĂźedad determine quĂŠ porcentaje de la cantidad original de C-14 quedaba en el paĂąo en 1988.

Š Source: Wikipedia.org

9. Cuando pasa un rayo vertical de luz por un medio transparente, la rapidez con que decrece su intensidad I es proporcional a I(t), donde t representa el espesor, en metros, del medio. En agua limpia de mar, la intensidad a 1 metro deEDMR GH OD VXSHUÂżFLH HV  GH OD LQWHQVLGDG LQLFLDO I0 del rayo incidente. ÂżCuĂĄl es la intensidad del rayo a 5 metros GHEDMRGHODVXSHUÂżFLH"

FIGURA 3.1.12 Imagen del sudario del problema 12. Ley de Newton enfriamiento/calentamiento 13. Un termĂłmetro se cambia de una habitaciĂłn cuya temperatura es de 21 °C al exterior, donde la temperatura del aire es de 12 °C. DespuĂŠs de medio minuto el termĂłmetro indica 10 °C. ÂżCuĂĄl es la lectura del termĂłmetro en t  1 min? ÂżCuĂĄnto tiempo le tomarĂĄ al termĂłmetro alcanzar los 9 °C? 14. Un termĂłmetro se lleva de una habitaciĂłn hasta el ambiente exterior, donde la temperatura del aire es 15° C. DespuĂŠs de 1 minuto, el termĂłmetro indica 13 °C y despuĂŠs de 5 minutos indica 1 °C. ÂżCuĂĄl era la temperatura inicial de la habitaciĂłn? 15. Una pequeĂąa barra de metal, cuya temperatura inicial era de 20 °C, se deja caer en un gran tanque de agua hirviendo. ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ la barra en alcanzar los 90 °C si se sabe que su temperatura aumentĂł 2° en 1 segundo? ÂżCuĂĄnto tiempo tardarĂĄ en alcanzar los 98 °C? 16. Dos grandes tanques A y BGHOPLVPRWDPDxRVHOOHQDQFRQĂ&#x20AC;XLGRVGLIHUHQWHV/RVĂ&#x20AC;XLGRVHQORVWDQTXHVA y B se mantienen a 0 °C y a 100 °C, respectivamente. Una pequeĂąa barra de metal, cuya temperatura inicial es 100 °C, se sumerge dentro del tanque A. DespuĂŠs de 1 minuto la temperatura de la barra es de 90 °C. DespuĂŠs de 2 minutos se saca la barra e inmediatamente se transÂżHUHDORWURWDQTXH'HVSXpVGHPLQXWRHQHOWDQTXHB la temperatura se eleva 10 °C. ÂżCuĂĄnto tiempo, medido desde el comienzo de todo el proceso, le tomarĂĄ a la barra alcanzar los 99.9 °C? 17. Un termĂłmetro que indica 21 °C se coloca en un horno precalentado a una temperatura constante. A travĂŠs de una ventana de vidrio en la puerta del horno, un observador registra que el termĂłmetro lee 43 °C despuĂŠs de 21 minuto y 63 °C despuĂŠs de 1 minuto. ÂżCuĂĄl es la temperatura del horno? 18. Al tiempo t  0 un tubo de ensayo sellado que contiene una sustancia quĂ­mica estĂĄ inmerso en un baĂąo lĂ­quido. La temperatura


3.1

inicial de la sustancia quĂ­mica en el tubo de ensayo es de 27 °C. El baĂąo lĂ­quido tiene una temperatura controlada (medida en grados Celsius) dada por Tm(t)  38 â&#x20AC;&#x201C; 22 e0.1t, t 0, donde t se mide en minutos. a) Suponga que k  0.1 en la ecuaciĂłn (2). Antes de resolver el PVI, describa con palabras cĂłmo espera que sea la temperatura T(t) de la sustancia quĂ­mica a corto plazo, y tambiĂŠn a largo plazo. b) Resuelva el problema con valores iniciales. Use un proJUDPDGHJUDÂżFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiÂżFDGHT(t) en difeUHQWHVLQWHUYDORVGHWLHPSR¢/DVJUiÂżFDVFRQFXHUGDQFRQ sus predicciones del inciso a)? 19. Un cadĂĄver se encontrĂł dentro de un cuarto cerrado en una casa donde la temperatura era constante a 21 °C. Al tiempo del descubrimiento la temperatura del corazĂłn del cadĂĄver se determinĂł de 29 °C. Una hora despuĂŠs una segunda mediciĂłn mostrĂł que la temperatura del corazĂłn era de 27 °C. Suponga que el tiempo de la muerte corresponde a t  0 y que la temperatura del corazĂłn en ese momento era de 37 °C. Determine cuĂĄntas horas pasaron antes de que se encontrarĂĄ el cadĂĄver. [Sugerencia: Sea que t1  0 denote el tiempo en que se encontrĂł el cadĂĄver.] 20. La rapidez con la que un cuerpo se enfrĂ­a tambiĂŠn depende de su iUHDVXSHUÂżFLDOH[SXHVWDS. Si S es una constante, entonces una PRGLÂżFDFLyQGHODHFXDFLyQ  HV

dT  kS(T  Tm), dt donde k 0 y Tm es una constante. Suponga que dos tazas A y B estĂĄn llenas de cafĂŠ al mismo tiempo. Inicialmente la temperatura GHOFDIpHVGHÂ&#x192;&(OiUHDVXSHUÂżFLDOGHOFDIpHQODWD]DB es del GREOHGHOiUHDVXSHUÂżFLDOGHOFDIpHQODWD]DA. DespuĂŠs de 30 min la temperatura del cafĂŠ en la taza A es de 38 °C. Si Tm  21 °C, entonces ÂżcuĂĄl es la temperatura del cafĂŠ de la taza B despuĂŠs de 30 min?

Mezclas 21. Un tanque contiene 200 litros de un lĂ­quido en el que se han disuelto 30 g de sal. Salmuera que tiene 1 g de sal por litro entra al tanque con una rapidez de 4 L/min; la soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Encuentre la cantidad A(t) de gramos de sal que hay en el tanque al tiempo t. 22. Resuelva el problema 21 suponiendo que al tanque entra agua pura. 23. Un gran tanque de 2000 L estĂĄ lleno de agua pura. Le entra salPXHUDTXHWLHQHNJGHVDOSRUJDOyQFRQXQDUDSLGH]GH L/min. La soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con la misma rapidez. Determine la cantidad A(t  GH NLORJUDPRV GH VDO TXH hay en el tanque al tiempo t. 24. En el problema 23, ÂżcuĂĄl es la concentraciĂłn c(t) de sal en el tanque al tiempo t? ÂżY al tiempo t  5 min? ÂżCuĂĄl es la concentraciĂłn en el tanque despuĂŠs de un largo tiempo, es decir, conforme t A ? ÂżPara quĂŠ tiempo la concentraciĂłn de sal en el tanque es igual a la mitad de este valor lĂ­mite? 25. Resuelva el problema 23 suponiendo que la soluciĂłn sale con una razĂłn de 40 L/min. ÂżCuĂĄndo se vacĂ­a el tanque?

MODELOS LINEALES

O

93

26. Determine la cantidad de sal en el tanque al tiempo t en el ejemplo 5 si la concentraciĂłn de sal que entra es variable y estĂĄ dada por centra(t)  0.25  sen(t NJ/6LQWUD]DUODJUiÂżFDLQÂżHUDDTXp curva soluciĂłn del PVI se parecerĂ­a. DespuĂŠs utilice un programa GHJUDÂżFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiÂżFDGHODVROXFLyQHQHOLQWHUYDOR >@5HSLWDSDUDHOLQWHUYDOR>@\FRPSDUHVXJUiÂżFDFRQ ODTXHVHPXHVWUDHQODÂżJXUD D  27. 8QJUDQWDQTXHHVWiSDUFLDOPHQWHOOHQRFRQ/GHĂ&#x20AC;XLGRHQ ORVTXHVHGLVROYLHURQNJGHVDO/DVDOPXHUDWLHQHNJ de sal por litro que entra al tanque a razĂłn de 20 L/min. La soluciĂłn bien mezclada sale del tanque a razĂłn de 15 L/min. Determine la FDQWLGDGGHNJGHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHGHVSXpVGHPLQXWRV 28. En el ejemplo 5, no se dio el tamaĂąo del tanque que tiene la soluciĂłn salina. Suponga, como en el anĂĄlisis siguiente al ejemplo 5, que la rapidez con que entra la soluciĂłn al tanque es de 10 L/min pero que la soluciĂłn bien mezclada sale del tanque con una rapidez de 9 L/min. Esta es la razĂłn por la cual dado que la salmuera se estĂĄ acumulando en el tanque a razĂłn de 1 L/min, cualquier tanque GHWDPDxRÂżQLWRWHUPLQDUiGHUUDPiQGRVH$KRUDVXSRQJDTXHHO tanque estĂĄ destapado y tiene una capacidad de 1300 L. a) ÂżCuĂĄndo se derramarĂĄ el tanque? b) ¢ &XiQWDVNLORJUDPRVGHVDOKDEUiHQHOWDQTXHFXDQGRFRmience a derramarse? c)

Suponga que el tanque se derrama, que la salmuera continĂşa entrando con una rapidez de 10 L/min, que la soluciĂłn estĂĄ bien mezclada y que la soluciĂłn sigue saliendo con una rapidez de 9 L/min. Determine un mĂŠtodo para encontrar la cantidad de NLORJUDPRVGHVDOTXHKD\HQHOWDQTXHDOWLHPSRt  150 min.

d) &DOFXOH OD FDQWLGDG GH NLORJUDPRV GH VDO HQ HO WDQTXH FRQforme t A . ÂżSu respuesta coincide con su intuiciĂłn? e) 8WLOLFHXQSURJUDPDGHJUDÂżFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiÂżFDGH A(t) en el intervalo [0, 500). Circuitos en serie 29. Se aplica una fuerza electromotriz de 30 volts a un circuito en serie LR con 0.1 henrys de inductancia y 50 ohms de resistencia. Determine la corriente i(t), si i(0)  0. Determine la corriente conforme t A . 30. Resuelva la ecuaciĂłn (7) suponiendo que E(t)  E0 sen tt y que i(0)  i0. 31. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 200 ohms y la capacitancia es de l04 farads. Determine la carga q(t) del capacitor, si q(0)  0. Encuentre la corriente i(t). 32. Se aplica una fuerza electromotriz de 200 volts a un circuito en serie RC, en el que la resistencia es de 1000 ohms y la capacitancia es de 5  106 farads. Determine la carga q(t) en el capacitor, si i(0)  0.4. Determine la carga y la corriente en t  0.005 s. Encuentre la carga conforme t A . 33. Se aplica una fuerza electromotriz E(t)

120, 0,

0 t    t

20 s 20 s

a un circuito en serie LR en el que la inductancia es de 20 henrys y la resistencia es de 2 ohms. Determine la corriente i(t), si i(0)  0.


94

O

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

34. Un circuito en serie LR tiene un inductor variable con la inducWDQFLDGHÂżQLGDSRU 1 2 0.1t, 0 # t , 10 L(t) 5 t . 10. 0,

5

Encuentre la corriente i(t) si la resistencia es de 0.2 ohm, el voltaje aplicado es E(t  YROWV\i   7UDFHODJUiÂżFDGH i(t). Modelos lineales adicionales 35. Resistencia del aire En la ecuaciĂłn (14) de la secciĂłn 1.3 vimos que una ecuaciĂłn diferencial que describe la velocidad v de una masa que cae sujeta a una resistencia del aire proporcional a la velocidad instantĂĄnea es

m

que la constante de proporcionalidad es k  0.0025. [Sugerencia: 0RGLÂżTXHOLJHUDPHQWHOD('GHOSUREOHPD@ 38. Paracaidismo Una paracaidista pesa 550 N y su paracaĂ­das y equipo juntos pesan otras 160 N. DespuĂŠs de saltar del aviĂłn desde una altura de 4500 m, la paracaidista espera 15 segundos y abre su paracaĂ­das. Suponga que la constante de proporcionalidad del modelo del problema 35 tiene el valor k  7 durante la caĂ­da libre y k  145 despuĂŠs de que se abriĂł el paracaĂ­das. Suponga que su velocidad inicial al saltar del aviĂłn es igual a cero. ÂżCuĂĄl es la velocidad de la paracaidista y quĂŠ distancia ha recorrido desSXpVGHVHJXQGRVGHTXHVDOWyGHODYLyQ"9HDODÂżJXUD ÂżCĂłmo se compara la velocidad de la paracaidista a los 20 segundos con su velocidad terminal? ÂżCuĂĄnto tarda en llegar al suelo? [Sugerencia: Piense en funciĂłn de dos diferentes PVI.]

dv  mg  kv, dt

donde k  0 es una constante de proporcionalidad. La direcciĂłn positiva se toma hacia abajo. a)

Resuelva la ecuaciĂłn sujeta a la condiciĂłn inicial v(0)  v0.

b)

Utilice la soluciĂłn del inciso a) para determinar la velocidad lĂ­mite o terminal de la masa. Vimos cĂłmo determinar la velocidad terminal sin resolver la ED del problema 40 en los ejercicios 2.1.

c)

Si la distancia s, medida desde el punto en el que se suelta la masa se relaciona con la velocidad v por dsdt  v(t), determine una expresiĂłn explĂ­cita para s(t), si s(0)  0.

36. ÂżQuĂŠ tan alto? (Sin resistencia del aire) Suponga que una pequeĂąa bala de caùón que pesa 75 N se dispara verticalmente hacia DUULEDFRPRVHPXHVWUDHQODÂżJXUDFRQXQDYHORFLGDGLQLcial de v0  90 m/s. La respuesta a la pregunta â&#x20AC;&#x153;ÂżQuĂŠ tanto sube la bala de caùón?â&#x20AC;?, depende de si se considera la resistencia del aire. a)

b)

Suponga que se desprecia la resistencia del aire. Si la dirección es positiva hacia arriba, entonces un modelo para la bala del caùón estå dado por d 2sdt 2  g (ecuación (12) de la sección 1.3). Puesto que dsdt  v(t) la última ecuación diferencial es la misma que la ecuación dvdt  g, donde se toma g  9.8 m/s2. Encuentre la velocidad v(t) de la bala de caùón al tiempo t. Utilice el resultado que se obtuvo en el inciso a) para determinar la altura s(t) de la bala de caùón medida desde el nivel del suelo. Determine la altura måxima que alcanza la bala.

â&#x2C6;&#x2019;mg nivel del suelo

caĂ­da libre

la resistencia del aire es 7 v

la resistencia del aire es 145 v

FIGURA 3.1.14

el paracaĂ­das se abre

t = 20 s

CĂĄlculo del tiempo que tarda en llegar al suelo del problema 38. 39. Movimiento de cohete Supongamos un pequeĂąo cohete de una etapa de total masa m(t) es lanzado verticalmente, la direcciĂłn positiva es hacia arriba, la resistencia del aire es lineal y el cohete consume su combustible a un ritmo constante. En el problema 22 de los ejercicios 1.3 se le pidiĂł utilizar la segunda ley de Newton del movimiento en la forma dada en (17) de ese conjunto de ejercicios para demostrar que un modelo matemĂĄtico para la velocidad v(t) del cohete estĂĄ dada por dv R , k2â?­ v 5 2g 1 1 dt m0 2 â?­t m0 2 â?­t donde k es la constante de proporcionalidad de la resistencia del aire, Č&#x153; es la rapidez constante a la que se consume combustible, R es el empuje del cohete, m (t  m0 - Č&#x153;t, m0 es la masa total del cohete en t \g es la aceleraciĂłn debido a la gravedad. a)

Encuentre la velocidad v(t) del cohete si m0 NJR  2000 N, Č&#x153; NJVg PV2, k NJV\v   

b)

Utilice ds/dt v y el resultado del inciso a) para encontrar la altura s(t) del cohete al tiempo t.

40. Movimiento del cohete, continuaciĂłn En el problema 39 se supuso que la masa inicial del cohete m0\TXHNJHVODPDVD del combustible.

FIGURA 3.1.13 DeterminaciĂłn

a)

de la altura måxima de la bala de caùón del problema 36.

ÂżCuĂĄl es el tiempo de quemado tb, o el tiempo en que se consume el combustible?

b)

ÂżCuĂĄl es la velocidad del cohete durante el quemado?

37. ¿QuÊ tan alto? (Resistencia lineal del aire) Repita el problema 36, pero esta vez suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantånea. Esta es la razón por la que la altura måxima que alcanza la bala del caùón debe ser menor que la del inciso b) del problema 36. Demuestre esto suponiendo

c)

ÂżCuĂĄl es la altura del cohete en el tiempo de quemado?

d)

ÂżEsperarĂ­a que el cohete alcance una altura mayor que la cantidad del inciso b)?

e)

DespuĂŠs del tiempo de quemado ÂżCuĂĄl es el modelo matemĂĄtico para la velocidad del cohete?


3.1

41. EvaporaciĂłn de una gota de lluvia Cuando cae una gota de lluvia, ĂŠsta se evapora mientras conserva su forma esfĂŠrica. Si se hacen suposiciones adicionales de que la rapidez a la que se evaSRUDODJRWDGHOOXYLDHVSURSRUFLRQDODVXiUHDVXSHUÂżFLDO\TXHVH desprecia la resistencia del aire, entonces un modelo para la velocidad v(t) de la gota de lluvia es

dv 3(k/)  v  g. dt (k/)t  r0 AquĂ­ l es la densidad del agua, r0 es el radio de la gota de lluvia en t  0, k 0 es la constante de proporcionalidad y la direcciĂłn hacia abajo se considera positiva. a) Determine v(t) si la gota de lluvia cae a partir del reposo. b) Vuelva a leer el problema 36 de los ejercicios 1.3 y demuestre que el radio de la gota de lluvia en el tiempo t es r(t)  (kl)t  r0. c) Si r0  3 mm y r  2 mm, 10 segundos despuĂŠs de que la gota cae desde una nube, determine el tiempo en el que la gota de lluvia se ha evaporado por completo. 42. FluctuaciĂłn de la poblaciĂłn La ecuaciĂłn diferencial dPdt  (k cos t)P, donde k es una constante positiva, es un modelo matemĂĄtico para una poblaciĂłn P(t TXHH[SHULPHQWDĂ&#x20AC;XFWXDFLRnes anuales. Resuelva la ecuaciĂłn sujeta a P(0)  P0. Utilice un SURJUDPDGHJUDÂżFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiÂżFDGHODVROXFLyQSDUD diferentes elecciones de P0. 43. Modelo poblacional En un modelo del cambio de poblaciĂłn de P(t) de una comunidad, se supone que

dP dB dD   , dt dt dt donde dBdt y dDdt son las tasas de natalidad y mortandad, respectivamente. a)

Determine P(t) si dBdt  k1P y dDdt  k2P.

b)

Analice los casos k1  k2, k1  k2 y k1 k2.

44. Modelo de cosecha constante Un modelo que describe la poblaciĂłn de una pesquerĂ­a en la que se cosecha con una tasa constante estĂĄ dada por

dP  kP  h, dt donde k y h son constantes positivas. a) Resuelva la ED sujeta a P(0)  P0. b) Describa el comportamiento de la poblaciĂłn P(t) conforme pasa el tiempo en los tres casos P0  hk, P0  hk y 0 P0 hk. c) Utilice los resultados del inciso b) para determinar si la poEODFLyQGHSHFHVGHVDSDUHFHUiHQXQWLHPSRÂżQLWRHVGHFLU si existe un tiempo T  0 tal que P(T)  0. Si la poblaciĂłn desaparecerĂĄ, entonces determine en quĂŠ tiempo T. 45. DiseminaciĂłn de un medicamento Un modelo matemĂĄtico para la rapidez con la que se disemina un medicamento en el torrente sanguĂ­neo estĂĄ dado por

dx  r  kx, dt

b)

Ya que la ED es autĂłnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la secciĂłn 2.1 para determinar el valor de x(t) conforme t A .

O

95

Resuelva la ED sujeta a x(0) 'LEXMHODJUiÂżFDGHx(t) y compruebe su predicciĂłn del inciso a). ÂżEn cuĂĄnto tiempo la concentraciĂłn es la mitad del valor lĂ­mite?

46. MemorizaciĂłn Cuando se considera la falta de memoria, la rapidez de memorizaciĂłn de un tema estĂĄ dada por

dA  k1(M  A)  k2 A, dt donde k1  0, k2  0, A(t) es la cantidad memorizada al tiempo t, M es la cantidad total a memorizarse y M  A es la cantidad que falta por memorizar. a) Puesto que la ED es autĂłnoma, utilice el concepto de esquema de fase de la secciĂłn 2.1 para determinar el valor lĂ­mite de A(t) conforme t AÂ&#x2019;,QWHUSUHWHHOUHVXOWDGR b) Resuelva la ED sujeta a A(0) 'LEXMHODJUiÂżFDGHA(t) y compruebe su predicciĂłn del inciso a). 47. Marcapasos de corazĂłn  (Q OD ÂżJXUD  VH PXHVWUD XQ marcapasos de corazĂłn, que consiste en un interruptor, una baterĂ­a, un capacitor y el corazĂłn como un resistor. Cuando el interruptor S estĂĄ en P, el capacitor se carga; cuando S estĂĄ en Q el capacitor se descarga, enviando estĂ­mulos elĂŠctricos al corazĂłn. En el problema 58 de los ejercicios 2.3 vimos que durante este tiempo en que se estĂĄn aplicado estĂ­mulos elĂŠctricos al corazĂłn, el voltaje E a travĂŠs del corazĂłn satisface la ED lineal

dE 1  E. dt RC a)

Suponga que en el intervalo de tiempo de duraciĂłn t1, 0 t t1, el interruptor S estĂĄ en la posiciĂłn P como se muestra HQODÂżJXUD\HOFDSDFLWRUVHHVWiFDUJDQGR&XDQGR el interruptor se mueve a la posiciĂłn Q al tiempo t1 el capacitor se descarga, enviando un impulso al corazĂłn durante el intervalo de tiempo de duraciĂłn t2: t1  t t1  t2. Por lo que el intervalo inicial de carga descarga 0 t t1  t2 el voltaje en el corazĂłn se modela realmente por la ecuaciĂłn GLIHUHQFLDOGHÂżQLGDHQWUDPRV



0, 0  t t1 dE  1 dt  E, t1  t t1  t2. RC Al moverse S entre P y Q, los intervalos de carga y descarga de duraciones t1 y t2 VH UHSLWHQ LQGHÂżQLGDmente. Suponga que t1  4 s, t2  2 s, E0  12 V, E(0)  0, E(4)  12, E(6)  0, E(10)  12, E(12)  0, etc. Determine E(t) para 0  t  24. corazĂłn R Q interruptor P S

donde r y k son constantes positivas. Sea x(t) la funciĂłn que describe la concentraciĂłn de la medicina en el torrente sanguĂ­neo al tiempo t. a)

MODELOS LINEALES

C E0

FIGURA 3.1.15 Modelo de un marcapasos del problema 47.


96

O

b)

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Suponga para ilustrar que R  C  1. Utilice un programa GHJUDÂżFDFLyQSDUDWUD]DUODJUiÂżFDGHODVROXFLyQGHO39, del inciso a) para 0  t  24.

49.

48. Deslizamiento de una caja a) Una caja de masa m se desliza hacia abajo por un plano inclinado que forma un ĂĄngulo e con la KRUL]RQWDOFRPRVHPXHVWUDHQODÂżJXUD'HWHUPLQHXQD ecuaciĂłn diferencial para la velocidad v(t) de la caja al tiempo t para cada uno de los casos siguientes: i)

b)

Deslizamiento de una caja, continuaciĂłn. a) En el problema 48 sea s(t) la distancia medida hacia abajo del plano inclinado desde el punto mĂĄs alto. Utilice dsdt  v(t) y la soluciĂłn de cada uno de los tres casos del inciso b) del problema 48 para determinar el tiempo que le toma a la caja deslizarse completamente hacia abajo del plano inclinado. AquĂ­ puede ser Ăştil un programa para determinar raĂ­ces con un SAC. En el caso en que hay fricciĂłn (+  0) pero no hay resistencia del aire, explique por quĂŠ la caja no se desliza hacia abajo comenzando desde el reposo desde el punto mĂĄs alto arriba del suelo cuando el ĂĄngulo de inclinaciĂłn Č&#x2122; satisface a tan e  +.

No hay fricciĂłn cinĂŠtica y no hay resistencia del aire. Hay fricciĂłn cinĂŠtica y no hay resistencia del aire. Hay fricciĂłn cinĂŠtica y hay resistencia del aire.

c)

En los casos ii) y iii) utilice el hecho de que la fuerza de fricciĂłn que se opone al movimiento es +N, donde + es el FRHÂżFLHQWHGHIULFFLyQFLQpWLFD\N es la componente normal del peso de la caja. En el caso iii) suponga que la resistencia del aire es proporcional a la velocidad instantĂĄnea.

La caja se deslizarĂĄ hacia abajo del plano conforme tan e  + si a ĂŠsta se le proporciona una velocidad inicial v(0)  v0  0. Suponga que 13 4 y Č&#x2122;  23°. Compruebe que tan Č&#x2122; +. ÂżQuĂŠ distancia se deslizarĂĄ hacia abajo del plano si v0  0.3 m/s?

d)

13 4 y e  23° para aproximar Utilice los valores la menor velocidad inicial v0 que puede tener la caja, para que a partir del reposo a 15 m arriba del suelo, se deslice por todo el plano inclinado. DespuÊs encuentre el tiempo que tarda en deslizarse el plano.

ii) iii)

b) En el inciso a), suponga que la caja pesa 440 N, que el ĂĄngulo de inclinaciĂłn del plano es e Â&#x192;TXHHOFRHÂżFLHQWH de fricciĂłn cinĂŠtica es 13 4, y que la fuerza de retardo debida a la resistencia del aire es numĂŠricamente igual a 3.75v. Resuelva la ecuaciĂłn diferencial para cada uno de los tres casos, suponiendo que la caja inicia desde el reposo desde el punto mĂĄs alto a 15 m por encima del suelo.

50.

Todo lo que sube . . . a) Es bien conocido que el modelo que desprecia la resistencia del aire, inciso a) del problema 36, predice que el tiempo ta que tarda la bala de caùón en alcanzar su altura måxima es el mismo tiempo td que tarda la bala de caùón en llegar al suelo. Ademås la magnitud de la velocidad de impacto vi es igual a la velocidad inicial v0 de la bala de caùón. Compruebe ambos resultados.

fricciĂłn movimiento

W = mg

15 m

θ

FIGURA 3.1.16 Caja deslizĂĄndose hacia abajo por plano

b)

DespuĂŠs, utilizando el modelo del problema 37 que considera la resistencia del aire, compare el valor de ta con td y el valor de la magnitud de vi con v0. AquĂ­ puede ser Ăştil un programa para determinar raĂ­ces con un SAC (o una calcuODGRUDJUDÂżFDGRUD 

inclinado del problema 48.

3.2

MODELOS NO LINEALES INTRODUCCIĂ&#x201C;N Terminamos nuestro estudio de ecuaciones diferenciales de primer orden simples con el anĂĄlisis de algunos modelos no lineales. DINĂ MICA POBLACIONAL Si P(t) es el tamaĂąo de una poblaciĂłn al tiempo t, el modelo del crecimiento exponencial comienza suponiendo que dPdt  kP para cierta k  0. En este modelo, la WDVDHVSHFtÂżFDo relativa de crecimiento,GHÂżQLGDSRU dP>dt P

(1)

es una constante k. Es difĂ­cil encontrar casos reales de un crecimiento exponencial durante largos periodos, porque en cierto momento los recursos limitados del ambiente ejercerĂĄn restricciones sobre el crecimiento de la poblaciĂłn. Por lo que para otros modelos, se puede esperar que la tasa (1) decrezca conforme la poblaciĂłn P aumenta de tamaĂąo.


3.2

MODELOS NO LINEALES

O

97

La hipĂłtesis de que la tasa con que crece (o decrece) una poblaciĂłn sĂłlo depende del nĂşmero presente P y no de mecanismos dependientes del tiempo, como los fenĂłmenos estacionales (vea el problema 33, en los ejercicios 1.3), se puede enunciar como: dP>dt  f (P) P

o

dP  Pf (P). dt

(2)

Esta ecuaciĂłn diferencial, que se adopta en muchos modelos de poblaciĂłn de animales, se denomina hipĂłtesis de dependencia de densidad. f(P)

ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA SupĂłngase que un medio es capaz de sostener, como mĂĄximo, una cantidad K determinada de individuos en una poblaciĂłn. La cantidad K se llama capacidad de sustento del ambiente. AsĂ­ para la funciĂłn f en la ecuaciĂłn (2) se tiene que f (K)  0 y simplemente hacemos f (0)  r(QODÂżJXUDYHPRVWUHVIXQFLRnes que satisfacen estas dos condiciones. La hipĂłtesis mĂĄs sencilla es que f (P) es lineal, es decir, f (P)  c1P  c2. Si aplicamos las condiciones f (0)  r y f (K)  0, tenemos que c2  r y c1  rK, respectivamente, y asĂ­ f adopta la forma f (P)  r  (rK)P. Entonces la ecuaciĂłn (2) se convierte en

r

K

P

FIGURA 3.2.1 La suposiciĂłn mĂĄs simple para f (P) es una recta (color azul).





dP r P r P . dt K

(3)

5HGHÂżQLHQGRODVFRQVWDQWHVODHFXDFLyQQROLQHDO  HVLJXDOD dP  P(a  bP). dt

(4)

Alrededor de 1840, P. F. Verhulst (1804-1849), matemĂĄtico y biĂłlogo belga, investigĂł modelos matemĂĄticos para predecir la poblaciĂłn humana en varios paĂ­ses. Una de las ecuaciones que estudiĂł fue la (4), con a  0 y b  0. Esa ecuaciĂłn se llegĂł a conocer como ecuaciĂłn logĂ­stica y su soluciĂłn se denomina funciĂłn logĂ­stica. La JUiÂżFDGHXQDIXQFLyQORJtVWLFDHVODcurva logĂ­stica. La ecuaciĂłn diferencial dPdt  kP QR HV XQ PRGHOR PX\ ÂżHO GH OD SREODFLyQ cuando ĂŠsta es muy grande. Cuando las condiciones son de sobrepoblaciĂłn, se presentan efectos negativos sobre el ambiente como contaminaciĂłn y exceso de demanda de alimentos y combustible, esto puede tener un efecto inhibidor en el crecimiento para la poblaciĂłn. Como veremos a continuaciĂłn, la soluciĂłn de la ecuaciĂłn (4) estĂĄ acotada conforme t A . Si se rescribe (4) como dPdt  aP  bP2, el tĂŠrmino no lineal bP2, b  0 se puede interpretar como un tĂŠrmino de â&#x20AC;&#x153;inhibiciĂłnâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;competenciaâ&#x20AC;?. TambiĂŠn, en la mayorĂ­a de las aplicaciones la constante positiva a es mucho mayor que b. Se ha comprobado que las curvas logĂ­sticas predicen con bastante exactitud el crecimiento de ciertos tipos de bacterias, protozoarios, pulgas de agua (Dafnia) y moscas de la fruta ('URVyÂżOD) en un espacio limitado. SOLUCIĂ&#x201C;N DE LA ECUACIĂ&#x201C;N LOGĂ?STICA Uno de los mĂŠtodos para resolver la ecuaciĂłn (4) es por separaciĂłn de variables. Al descomponer el lado izquierdo de dPP(a  bP)  dt en fracciones parciales e integrar, se obtiene

1>aP  a b>abP dP  dt 1 1 ln P  ln a  bP  t  c a a ln

a P bP  at  ac P  c1eat. a  bP


98

O

CAPĂ?TULO 3

MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

ac1eat ac1 P(t)  .  De la Ăşltima ecuaciĂłn se tiene que at 1  bc1e bc1  eat Si P(0)  P0, P0  ab, encontramos que c1  P0(a  bP0) y asĂ­, sustituyendo y VLPSOLÂżFDQGRODVROXFLyQVHFRQYLHUWHHQ P(t) 

aP0 . bP0  (a  bP0)eat

(5)

GRĂ FICAS DE P(t ) La forma bĂĄsica de la funciĂłn logĂ­stica P(t) se puede obtener sin mucho esfuerzo. Aunque la variable t usualmente representa el tiempo y raras veces se consideran aplicaciones en las que t 0, tiene cierto interĂŠs incluir este intervalo al PRVWUDUODVGLIHUHQWHVJUiÂżFDVGHP. De la ecuaciĂłn (5) vemos que P(t) â&#x2020;&#x2019;

aP0 bP0

a b

cuando

tâ&#x2020;&#x2019;

y

P(t) â&#x2020;&#x2019; 0

cuando

tâ&#x2020;&#x2019;

.

La lĂ­nea punteada P  a2bGHODÂżJXUDFRUUHVSRQGHDODRUGHQDGDGHXQSXQWRGH LQĂ&#x20AC;H[LyQGHODFXUYDORJtVWLFD3DUDGHPRVWUDUHVWRGHULYDPRVODHFXDFLyQ  XVDQGR la regla del producto:





dP dP dP d 2P  P b  (a  bP)  (a  2bP) 2 dt dt dt dt  P(a  bP)(a  2bP)



 2b2P P 

P  2ba .

a b

Recuerde, de cĂĄlculo, que los puntos donde d 2Pdt 2  0 son posibles puntos de inĂ&#x20AC;H[LyQSHURREYLDPHQWHVHSXHGHQH[FOXLUP  0 y P  ab. Por tanto P  a2b es el Ăşnico valor posible para la ordenada en la cual puede cambiar la concavidad de la JUiÂżFD3DUD P a2b se tiene que P  0, y a2b P ab implica que P $VtFXDQGRVHOHHGHL]TXLHUGDDGHUHFKDODJUiÂżFDFDPELDGHFyQFDYDKDFLDDUULEDD cĂłncava hacia abajo, en el punto que corresponde a P  a2b. Cuando el valor inicial satisface a 0 P0 a2bODJUiÂżFDGHP(t) adopta la forma de una S, como se ve en la ÂżJXUD E 3DUDa2b P0 abODJUiÂżFDD~QWLHQHODIRUPDGH6SHURHOSXQWR GHLQĂ&#x20AC;H[LyQRFXUUHHQXQYDORUQHJDWLYRGHtFRPRVHPXHVWUDHQODÂżJXUD F  P P0

P

P

a/b

a/b

a/2b

a/2b

a/b P0

a/2b

P0 t

(a)

t

(b)

t

(c)

FIGURA 3.2.2 Curvas logĂ­sticas para diferentes condiciones iniciales. En la ecuaciĂłn (5) de la secciĂłn 1.3 ya hemos visto a la ecuaciĂłn (4) en la forma dxdt  kx(n  1 â&#x20AC;&#x201C; x), k  0. Esta ecuaciĂłn diferencial presenta un modelo razonable para describir la propagaciĂłn de una epidemia que comienza cuando se introduce una persona infectada en una poblaciĂłn estĂĄtica. La soluciĂłn x(t) representa la cantidad de personas que contraen la enfermedad al tiempo t.


Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera 9e proporciona a los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas abundantes ejemplos, problemas, explicaciones, recuadros, tablas, ejercicios y definiciones para el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo de la materia, aunado al estilo directo y didáctico del autor. Características principales: Los ejemplos se han diseñado para mostrar los aspectos más importantes de cada sección y, por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas. En muchas secciones se han agregado comentarios, figuras y ejemplos adicionales. En todo el libro se le he dado un mayor énfasis a los conceptos de ecuaciones diferenciales lineales por partes y a las soluciones que implican integrales no elementales. El Apéndice A, Funciones definidas por integrales, es nuevo en la presente edición. En la sección 12.4, Ecuación de onda se ha agregado el principio de superposición al análisis. Se ha reescrito la sección 12.6, Problemas no homogéneos con valores en la frontera. Se ha dado mayor énfasis a las Funciones de Bessel modificadas en la sección 13.3, Coordenadas polares y cilíndricas. Esta obra incluye tablas de conversión para consultarlas conforme trabaje en las aplicaciones y ejercicios relacionados. Las unidades de medida utilizadas en la mayoría de los ejemplos y ejercicios se han convertido del sistema de unidades acostumbradas en los Estados Unidos (USCS) (también llamado de Unidades inglesas o Imperiales) a unidades métricas.

ISBN-13: 978-607-526-630-5 ISBN-10: 607-526-630-5

9 786075 266305

9786075266305 Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera. 9a. Ed. Zill.Cengage  

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