9786075266312 Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. 11a. Ed. Zill. Cengage

11E

CONTENIDO

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

Dennis G. Zill Loyola Marymount University Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Profesor Emérito, Alexandria University, Egipto

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

O

i

DECIMOPRIMERA EDICIÓN

ECUACIONES DIFERENCIALES con aplicaciones de modelado

DENNIS G. ZILL Loyola Marymount University Versión métrica preparada por

ALY EL-IRAKI Profesor Emérito, Alexandria University TRADUCCIÓN Ana Elizabeth García Hernández Profesor invitado UAM-Azcapotzalco

REVISIÓN TÉCNICA Ernesto Filio López Unidad Profesional Interdisciplinaria en Ingeniería y Tecnologías Avanzadas.

Instituto Politécnico Nacional.

José Luis Avilés Urbiola

María del Carmen Perusquía Ortiz

Instituto Tecnológico de Querétaro

Instituto Tecnológico de Querétaro

Francisco Javier Avilés Urbiola

Minerva Robles Agudo

Instituto Tecnológico de Querétaro

Universidad Tecnológica de Querétaro

Adela Becerra Chávez

Olivo Rojas Hernández

Universidad Politécnica de Querétaro

Instituto Tecnológico de Toluca

Christopher Gutiérrez Luna

Raquel Ruiz de Eguino Mendoza

Universidad Autónoma del Estado de México

Karem Hernández Hernández

Universidad Panamericana, campus Guadalajara

Universidad Politécnica de Pachuca

Enrique Zamora Gallardo

Miguel Ángel Loredo Robledo

Universidad Anáhuac México, campus Norte

Universidad Politécnica del Valle de Toluca

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado Decimoprimera edición Dennis G. Zill Versión métrica preparada por Aly El-Iraki Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica:: Jesús Mares Chacón Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Edgar Maldonado Hernández Imagen de portada: ISS Expedition 22 Crew, Shuttle Endeavor STS-130 Crew, NASA Composición tipográfica: Karen Medina

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México - Toluca 5420, Oficina 2301 Col. El Yaqui, C.P. 05320 Cuajimalpa, Ciudad de México Cengage Learning™ es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Traducido del libro: A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, Eleventh Edition, International Metric Edition, Dennis G. Zill Publicado en inglés por Cengage Learning ©2018 ISBN: 978-1-337-55664-4 Datos para catalogación bibliográfica: Zill, Dennis G. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, decimoprimera edición ISBN: 978-607-526-631-2 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17

CONTENIDO

O

v

Contenido

Kevin George/Shutterstock.com

1 Introducción a las ecuaciones diferenciales 2

Joggie Botma/Shutterstock.com

Prefacio a esta edición métrica vii

2 Ecuaciones diferenciales de primer orden 36

1.1 1.2 1.3

Definiciones y terminología 3 Problemas con valores iniciales 15 Ecuaciones diferenciales como modelos matemáticos REPASO DEL C APÍTULO 1

2.1

2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Curvas solución sin una solución 37 2.1.1 2.1.1 Campos direccionales 37 2.1.2 ED autónomas de primer orden 39 Variables separables 47 Ecuaciones lineales 55 Ecuaciones exactas 64 Soluciones por sustitución 72 Un método numérico 76 REPASO DEL C APÍTULO 2

Fotos593/Shutterstock.com

22

34

81

3 Modelado con ecuaciones diferenciales de primer orden 3.1 3.2 3.3

84

Modelos lineales 85 Modelos no lineales 96 Modelado con sistemas de ED de primer orden REPASO DEL C APÍTULO 3

107

114

4 Ecuaciones diferenciales de orden superior 118 Bill Ingalls/NASA

4.1

4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7

Teoría preliminar: Ecuaciones lineales 119 4.1.1 Problemas con valores iniciales y con valores en la frontera 119 4.1.2 Ecuaciones homogéneas 121 4.1.3 Ecuaciones no homogéneas 127 Reducción de orden 132 Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes 135 Coeficientes indeterminados: Método de superposición 142 Coeficientes indeterminados: Método del anulador 152 Variación de parámetros 159 Ecuación de Cauchy-Euler 166 v

CONTENIDO

4.8

Funciones de Green 173 4.8.1 Problemas con valores iniciales 173 4.8.2 Problemas con valores en la frontera 179 4.9 Solución de sistemas de ED lineales por eliminación 183 4.10 Ecuaciones diferenciales no lineales 188

Brian A Jackson/Shutterstock .com

REPASO DEL C APÍTULO 4

de orden superior 5.1

196

Modelos lineales: Problemas con valores iniciales 197 5.1.1 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre no amortiguado 197 5.1.2 Sistemas resorte/masa: Movimiento libre amortiguado 202 5.1.3 Sistemas resorte/masa: Movimiento forzado 204 5.1.4 Circuito en serie análogo 207 Modelos lineales: Problemas con valores en la frontera 213 Modelos no lineales 222 REPASO DEL C APÍTULO 5

Todd Dalton/Shutterstock.com

193

5 Modelado con ecuaciones diferenciales

5.2 5.3

232

6 Soluciones en series de ecuaciones lineales 236 6.1 6.2 6.3 6.4

Repaso de series de potencias 237 Soluciones respecto a puntos ordinarios 243 Soluciones en torno a puntos singulares 252 Funciones especiales 262 REPASO DEL C APÍTULO 6

Raimundas/Shutterstock.com

O

276

7 La transformada de Laplace 278 7.1 7.2

7.3

7.4

7.5 7.6

Definición de la transformada de Laplace 279 Transformadas inversas y transformadas de derivadas 7.2.1 Transformadas inversas 286 7.2.2 Transformadas de derivadas 289 Propiedades operacionales I 294 7.3.1 Traslación en el eje s 295 7.3.2 TTraslación en el eje t 298 Propiedades operacionales II 306 7.4.1 Derivadas de una transformada 306 7.4.2 Transformadas de integrales 307 7.4.3 Transformada de una función periódica 313 La función delta de Dirac 318 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales 322 REPASO DEL C APÍTULO 7

Pavel L Photo and Video/ Shutterstock.com

vi

286

327

8 Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 8.1 8.2

332

Teoría preliminar: Sistemas lineales 333 Sistemas lineales homogéneos 340 8.2.1 Eigenvalores reales distintos 341 8.2.2 Eigenvalores repetidos 344 8.2.3 Eigenvalores complejos 348

CONTENIDO

8.3

8.4

vii

Sistemas lineales no homogéneos 355 8.3.1 Coeficientes indeterminados 355 8.3.2 Variación de parámetros 357 Matriz exponencial 362 REPASO DEL C APÍTULO 8

Paul B. Moore/Shutterstock .com

O

366

9 Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales ordinarias 368 9.1 9.2 9.3 9.4 9.5

Métodos de Euler y análisis de errores 369 Métodos de Runge-Kutta 374 Métodos multipasos 378 Ecuaciones y sistemas de orden superior 381 Problemas con valores en la frontera de segundo orden REPASO DEL C APÍTULO 9

389

Apéndices A Funciones definidas por integrales APP-3 B Matrices APP-11 C Transformadas de Laplace APP-29 Respuestas a los problemas seleccionados con numeracion impar RES-1 Índice

I-1

385

Prefacio a esta edición métrica

(VWD YHUVLyQ PpWULFD LQWHUQDFLRQDO GL¿ HUH GH OD YHUVLyQ HVWDGRXQLGHQVH GH Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 'HFLPRSULPHUD HGLFLyQ HQ OR VLJXLHQWH /DV XQLGDGHV GH PHGLGD XWLOL]DGDV HQ OD PD\RUtD GH ORV HMHPSORV \ HMHUFLFLRV VH KDQ FRQYHUWLGR GHO VLVWHPD GH XQLGDGHV DFRVWXPEUDGDV HQ ORV (VWDGRV 8QLGRV 86&6 WDPELpQ OODPDGR GH 8QLGDGHV LQJOHVDV R ,PSHULDOHV D XQLGDGHV PpWULFDV (VWD YHUVLyQ PpWULFD LQFOX\H WDEODV GH FRQYHUVLyQ SDUD FRQVXOWDUODV FRQIRUPH WUDEDMH HQ ODV DSOLFDFLRQHV \ HMHUFLFLRV UHODFLRQDGRV

AL ESTUDIANTE /RV DXWRUHV GH ORV OLEURV YLYHQ FRQ OD HVSHUDQ]D GH TXH DOJXLHQ HQ UHDOLGDG ORV lea $O FRQWUDULR GH OR TXH XVWHG SRGUtD FUHHU FDVL WRGR WH[WR GH PDWHPiWLFDV GH QLYHO XQLYHUVLWDULR HVWi HVFULWR SDUD XVWHG \ QR SDUD HO SURIHVRU &LHUWR HV TXH ORV WHPDV FX ELHUWRV HQ HO WH[WR VH HVFRJLHURQ FRQVXOWDQGR D ORV SURIHVRUHV \D TXH HOORV WRPDQ OD GHFLVLyQ DFHUFD GH VL KD\ TXH XVDUORV HQ VXV FODVHV SHUR WRGR OR HVFULWR HQ pO HVWi GLUL JLGR GLUHFWDPHQWH D XVWHG DO HVWXGLDQWH (QWRQFHV TXHUHPRV LQYLWDUOH ²QR HQ UHDOL GDG TXHUHPRV SHGLUOH² TXH £OHD HVWH OLEUR GH WH[WR 3HUR QR OR KDJD FRPR OHHUtD XQD QRYHOD QR GHEH OHHUOR UiSLGR \ QR GHEH VDOWDUVH QDGD 3LHQVH HQ HVWH OLEUR FRPR XQ cuaderno de ejercicios &UHHPRV TXH ODV PDWHPiWLFDV VLHPSUH GHEHUtDQ VHU HVWXGLD GDV FRQ OiSL] \ SDSHO D OD PDQR SRUTXH PX\ SUREDEOHPHQWH WHQGUi TXH trabajar los HMHPSORV \ KDFHU ORV DQiOLVLV /HD ²PiV ELHQ WUDEDMH² todos ORV HMHPSORV GH XQD VHFFLyQ DQWHV GH LQWHQWDU FXDOTXLHUD GH ORV HMHUFLFLRV /RV HMHPSORV VH KDQ GLVHxDGR SDUD PRVWUDU OR TXH FRQVLGHUDPRV VRQ ORV DVSHFWRV PiV LPSRUWDQWHV GH FDGD VHFFLyQ \ SRU WDQWR PXHVWUDQ ORV SURFHGLPLHQWRV QHFHVDULRV SDUD WUDEDMDU OD PD\RUtD GH ORV SUREOHPDV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV 6LHPSUH OHV GHFLPRV D QXHVWURV HVWXGLDQWHV TXH FXDQGR OHDQ XQ HMHPSOR WDSHQ VX VROXFLyQ H LQWHQWHQ WUDEDMDU SULPHUR HQ HOOD FRPSDUDU VX UHVSXHVWD FRQ OD VROXFLyQ GDGD \ OXHJR UHVROYHU FXDOTXLHU GLIHUHQFLD +HPRV WUDWDGR GH LQFOXLU ORV SDVRV PiV LPSRUWDQWHV SDUD FDGD HMHPSOR SHUR VL DOJR QR HV FODUR XVWHG SRGUtD VLHPSUH LQWHQWDU FRPSOHWDU ORV GHWDOOHV R SDVRV TXH IDOWDQ \ DTXt HV GRQGH HO SDSHO \ HO OiSL] HQWUDQ RWUD YH] 3XHGH TXH QR VHD IiFLO SHUR HV SDUWH GHO SURFHVR GH DSUHQGL]DMH /D DFXPXODFLyQ GH KHFKRV VHJXLGRV SRU OD OHQWD DVLPLOD FLyQ GH OD FRPSUHQVLyQ VLPSOHPHQWH QR VH SXHGH DOFDQ]DU VLQ WUDEDMDU DUGXDPHQWH (VSHFt¿ FDPHQWH SDUD XVWHG HVWi GLVSRQLEOH XQ Manual de recursos del estudiante, (SRM en idioma inglés y se comercializa por separado FRPR XQ VXSOHPHQWR RSFLRQDO $GHPiV GH TXH FRQWLHQH VROXFLRQHV GH SUREOHPDV VHOHFFLRQDGRV GH ORV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV HO 650 WLHQH VXJHUHQFLDV SDUD OD VROXFLyQ GH SUREOHPDV HMHPSORV DGLFLRQDOHV \ XQ UHSDVR GH ODV iUHDV GH iOJHEUD \ FiOFXOR TXH VLHQWR VRQ SDUWLFXODUPHQWH LPSRUWDQWHV SDUD HO HVWXGLR H[LWRVR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV &RQVLGHUH TXH QR WLHQH TXH DGTXLULU HO SRM SXHGH UHYLVDU ODV PDWHPiWLFDV DSURSLD GDV GH VXV YLHMRV OLEURV GH SUHFiOFXOR R GH FiOFXOR (Q FRQFOXVLyQ OH GHVHDPRV EXHQD VXHUWH \ p[LWR (VSHUDPRV TXH GLVIUXWH HO OLEUR \ HO FXUVR TXH HVWi SRU LQLFLDU &XDQGR pUDPRV HVWXGLDQWHV GH OD OLFHQFLDWXUD HQ PDWH PiWLFDV HVWH FXUVR IXH XQR GH QXHVWURV IDYRULWRV SRUTXH QRV JXVWDQ ODV PDWHPiWLFDV TXH HVWiQ FRQHFWDGDV FRQ HO PXQGR ItVLFR 6L WLHQH DOJ~Q FRPHQWDULR R VL HQFXHQWUD DOJ~Q HUURU FXDQGR OHD R WUDEDMH FRQ pVWH R VL QRV TXLHUH KDFHU OOHJDU XQD EXHQD LGHD SDUD PHMRUDU HO OLEUR SRU IDYRU SyQJDVH HQ FRQWDFWR FRQ QRVRWURV D WUDYpV GH QXHVWUR HGLWRU HQ &HQJDJH /HDUQLQJ

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x

O

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

AL PROFESOR (Q FDVR GH TXH H[DPLQH HVWH WH[WR SRU SULPHUD YH] Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado GHFLPRSULPHUD HGLFLyQ VH SXHGH XWLOL]DU SDUD XQ FXUVR GH XQ VHPHVWUH GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV (VWD YHUVLyQ WHUPLQD HQ HO FDStWXOR \ HVWi GLVHxDGD SDUD XQ VHPHVWUH R XQ FXUVR FRUWR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQ FLDOHV RUGLQDULDV 3DUD XQ FXUVR VHPHVWUDO VXSRQHPRV TXH ORV HVWXGLDQWHV KDQ FRP SOHWDGR FRQ p[LWR DO PHQRV GRV VHPHVWUHV GH FiOFXOR 'DGR TXH XVWHG HVWi OH\HQGR HVWR VLQ GXGD \D KD H[DPLQDGR OD WDEOD GH FRQWHQLGRV SDUD ORV WHPDV TXH FXEULUi (Q HVWH SUHIDFLR QR HQFRQWUDUi ³XQ SURJUDPD VXJHULGR´ 1R SUHWHQGHUHPRV VHU WDQ VDELRV FRPR SDUD GHFLU D RWURV SURIHVRUHV OR TXH GHEHQ HQVHxDU HQ VXV FODVHV 6HQWLPRV TXH KD\ PXFKR PDWHULDO DTXt SDUD HVFRJHU \ IRUPDU XQ FXUVR D VX JXVWR (O WH[WR WLHQH XQ HTXLOLEULR UD]RQDEOH HQWUH ORV PpWRGRV DQDOtWLFRV FXDOLWDWLYRV \ FXDQ WLWDWLYRV HQ HO HVWXGLR GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV (Q FXDQWR D QXHVWUD ³¿ORVRItD VXE\DFHQWH´ pVWD HV TXH XQ OLEUR SDUD HVWXGLDQWHV GH QLYHO VXSHULRU GHEHUtD HVWDU HVFULWR FRQVLGHUDQGR VLHPSUH OD FRPSUHVLyQ GHO HVWXGLDQWH OR TXH VLJQL¿FD TXH HO PDWHULDO GHEHUtD HVWDU SUHVHQWDGR HQ XQD IRUPD GLUHFWD OHJLEOH \ ~WLO FRQVLGHUDQGR HO QLYHO WHyULFR FRPSDWLEOH FRQ OD LGHD GH XQ ³SULPHU FXUVR´ $ ODV SHUVRQDV IDPLOLDUL]DGDV FRQ ODV HGLFLRQHV DQWHULRUHV QRV JXVWDUtD PHQFLR QDUOHV DOJXQDV GH ODV PHMRUDV KHFKDV HQ HVWD HGLFLyQ 6H KDQ DFWXDOL]DGR PXFKRV FRQMXQWRV GH HMHUFLFLRV DJUHJDQGR QXHYRV SUREOHPDV $OJXQRV GH HVWRV SUREOHPDV LPSOLFDQ QXHYRV \ TXH \R FRQVLGHUR LQWHUHVDQWHV PRGHORV PDWHPiWLFRV ‡ 6H KDQ DJUHJDGR FRPHQWDULRV ¿JXUDV \ HMHPSORV DGLFLRQDOHV D PXFKDV VHFFLRQHV ‡ (Q WRGR HO OLEUR VH OH KH GDGR XQ PD\RU pQIDVLV D ORV FRQFHSWRV GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV SRU SDUWHV \ D ODV VROXFLRQHV TXH LPSOLFDQ LQWHJUDOHV QR HOHPHQWDOHV ‡ (O $SpQGLFH $ ,QWHJUDOHV GH¿QLGDV GH IXQFLRQHV HV QXHYR HQ HO OLEUR RECURSOS PARA LOS ESTUDIANTES • Los Student Resource and Solutions Manual 650 HQ LGLRPD LQJOpV \ VH FRPHUFLDOL]DQ SRU VHSDUDGR HODERUDGRV SRU :DUUHQ 6 :ULJKW \ &DURO ' :ULJKW (O YROXPHQ FRQ ,6%1 DFRPSDxD D Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado, decimoprimera edición, presenta UHSDVRV GHO PDWHULDO PiV LPSRUWDQWH GH iOJHEUD \ FiOFXOR WRGDV ODV VROXFLRQHV GHO WHUFHU SUREOHPD GH FDGD FRQMXQWR GH HMHUFLFLRV H[FHSWR ORV SUREOHPDV GH DQiOLVLV \ ODV WDUHDV GHO ODERUDWRULR GH FyPSXWR ORV FRPDQGRV \ VLQWD[LV PiV importantes de Mathematica \ Maple OLVWDV GH FRQFHSWRV LPSRUWDQWHV DVt FRPR ~WLOHV VXJHUHQFLDV GH FyPR HPSH]DU FLHUWRV SUREOHPDV RECURSOS PARA EL PROFESOR (en idioma inglés) • Manual de soluciones del profesor (ISM) HODERUDGR SRU :DUUHQ 6 :ULJKW \ 5REHUWR 0DUWLQH] SURSRUFLRQD VROXFLRQHV LQWHJUDOHV GHVDUUROODGDV SRU WRGRV ORV SUREOHPDV HQ HO WH[WR (VWi GLVSRQLEOH D WUDYpV GH OD 3iJLQD :HE GHO SURIHVRU GH HVWH OLEUR HQ cengage.com • Cengage Learning Testing Powered by Cognero HV XQ VLVWHPD HQ OtQHD ÀH[LEOH TXH OH SHUPLWH DO DXWRU HGLWDU \ PDQHMDU HO FRQWHQLGR GHO EDQFR GH UHDFWLYRV FUHDU P~OWLSOHV YHUVLRQHV GH H[DPHQ HQ XQ LQVWDQWH \ RIUHFHU H[iPHQHV SDUD VX VLVWHPD GH JHVWLyQ GHO DSUHQGL]DMH /06 GH VX DXOD R GRQGH TXLHUD (VWR HVWi GLVSRQLEOH HQ OtQHD HQ www.cengage.com/login • WebAssign HV HO VLVWHPD GH WDUHDV PiV DPSOLDPHQWH XWLOL]DGR HQ OtQHD HQ HGXFDFLyQ VXSHULRU 'LVSRQLEOH SDUD HVWD YHUVLyQ PpWULFD :HE$VVLJQ OH SHUPLWH

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

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xii

O

PREFACIO A ESTA EDICIÓN MÉTRICA

'DYLG & -RKQVRQ University of Kentucky, Lexington +DUU\ / -RKQVRQ Virginia Polytechnic Institute and State University .HQQHWK 5 -RKQVRQ North Dakota State University -RVHSK .D]LPLU East Los Angeles College - .HHQHU University of Arizona 6WHYH % .KOLHI Tennessee Technological University +HOPXW .QDXVW The University of Texas at El Paso & - .QLFNHUERFNHU Sensis Corporation &DUORQ $ .UDQW] Kean College of New Jersey 7KRPDV * .XG]PD University of Lowell $OH[DQGUD .XUHSD North Carolina A&T State University * ( /DWWD University of Virginia &HFHOLD /DXULH University of Alabama 0XODWX /HPPD Savannah State University -DPHV 5 0F.LQQH\ California Polytechnic State University -DPHV / 0HHN University of Arkansas *DU\ + 0HLVWHUV University of Nebraska, Lincoln 6WHSKHQ - 0HUULOO Marquette University 9LYLHQ 0LOOHU Mississippi State University *HRUJH 0RVV Union University *HUDOG 0XHOOHU Columbus State Community College 3KLOLS 6 0XOU\ Colgate University 0DUWLQ 1DNDVKLPD California State Polytechnic University–Pomona & - 1HXJHEDXHU Purdue University 7\UH $ 1HZWRQ Washington State University %ULDQ 0 2¶&RQQRU Tennessee Technological University - . 2GGVRQ University of California, Riverside &DURO 6 2¶'HOO Ohio Northern University %UXFH 2¶1HLOO Milwaukee School of Engineering $ 3HUHVVLQL University of Illinois, Urbana, Champaign - 3HUU\PDQ University of Texas at Arlington -RVHSK + 3KLOOLSV Sacramento City College -DFHN 3ROHZF]DN California State University Northridge 1DQF\ - 3R[RQ California State University, Sacramento 5REHUW 3UXLWW San Jose State University . 5DJHU Metropolitan State College ) % 5HLV Northeastern University %ULDQ 5RGULJXHV California State Polytechnic University 7RP 5RH South Dakota State University .LPPR , 5RVHQWKDO Union College %DUEDUD 6KDEHOO California Polytechnic State University 6HHQLWK 6LYDVXQGDUDP Embry-Riddle Aeronautical University 'RQ ( 6RDVK Hillsborough Community College ) : 6WDOODUG Georgia Institute of Technology *UHJRU\ 6WHLQ The Cooper Union 0 % 7DPEXUUR Georgia Institute of Technology 3DWULFN :DUG Illinois Central College -LDQSLQJ =KX University of Akron -DQ =LMOVWUD Middle Tennessee State University -D\ =LPPHUPDQ Towson University Dennis G. Zill Los Angeles, CA

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado

2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

© Joggie Botma/Shutterstock.com

2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Curvas solución sin una solución Variables separables Ecuaciones lineales Ecuaciones exactas Soluciones por sustitución Un método numérico REPASO DEL CAPÍTULO 2

L 36

a historia de las matemáticas tiene muchos relatos de personas que han dedicado gran parte de sus vidas a la solución de ecuaciones: al principio de ecuaciones algebraicas y, después, de ecuaciones diferenciales. En las secciones 2.2 a 2.5 estudiaremos algunos de los métodos analíticos más importantes para resolver ED de primer orden. Sin embargo, antes de que empecemos a resolverlas, debemos considerar dos hechos: Es posible que una ecuación diferencial no tenga soluciones y una ecuación diferencial puede tener una solución que no se pueda determinar con los métodos analíticos. En las secciones 2.1 y 2.6 no se soluciona ninguna ED pero se muestra cómo obtener información acerca de sus soluciones directamente de la ecuación misma.

2.1

2.1

CURVAS SOLUCIĂ“N SIN UNA SOLUCIĂ“N

O

37

CURVAS SOLUCIĂ“N SIN UNA SOLUCIĂ“N INTRODUCCIĂ“N Imaginemos por un momento que nos enfrentamos con una ecuaciĂłn diferencial de primer orden dy dx f (x, y), y que ademĂĄs no podemos encontrar ni inventar un mĂŠtodo para resolverla analĂ­ticamente. Esto no es tan malo como se podrĂ­a pensar, ya que la ecuaciĂłn diferencial en sĂ­ misma a veces puede “decirnosâ€? concretamente cĂłmo se “comportanâ€? sus soluciones.

Iniciaremos nuestro estudio de las ecuaciones diferenciales de primer orden con dos formas cualitativas de analizar una ED. Estas dos formas nos permiten determinar, de una manera aproximada, cĂłmo es una curva soluciĂłn sin resolver realmente la ecuaciĂłn.

2.1.1

CAMPOS DIRECCIONALES

ALGUNAS PREGUNTAS FUNDAMENTALES En la secciĂłn 1.2 vimos que si f (x, y) y f y satisfacen ciertas condiciones de continuidad, se pueden responder preguntas cualitativas acerca de la existencia y unicidad de las soluciones. En esta secciĂłn veremos otras preguntas cualitativas acerca de las propiedades de las soluciones: ÂżCĂłmo se comporta una soluciĂłn cerca de un punto dado? ÂżCĂłmo se comporta una soluciĂłn cuando x A ? Con frecuencia se pueden responder cuando la funciĂłn f depende sĂłlo de la variable y. Sin embargo, comenzaremos con un simple concepto de cĂĄlculo: La derivada dy dx de una funciĂłn derivable y y(x) da las pendientes de las UHFWDV WDQJHQWHV HQ SXQWRV GH VX JUiÂżFD PENDIENTE Debido a que una soluciĂłn y y(x) de una ecuaciĂłn diferencial de primer orden dy (1) f (x, y) dx

y pendiente = 1.2 (2, 3)

x

a) elemento lineal en un punto. y

curva soluciĂłn

(2, 3) tangente

x

b) el elemento lineal es tangente a la curva soluciĂłn que pasa por el punto.

FIGURA 2.1.1 El elemento lineal es tangente a la curva soluciĂłn en (2, 3).

HV QHFHVDULDPHQWH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HQ VX LQWHUYDOR GH GHÂżQLFLyQ I, debe tambiĂŠn ser continua en I. Por tanto, la curva soluciĂłn correspondiente en I no tiene cortes y debe tener una recta tangente en cada punto (x, y(x)). La funciĂłn f en la forma normal (1) se llama funciĂłn pendiente o funciĂłn tasa. La pendiente de la recta tangente en (x, y(x)) en una curva soluciĂłn es el valor de la primera derivada dy dx en este punto y sabemos de la ecuaciĂłn (1) que es el valor de la funciĂłn pendiente f (x, y(x)). Ahora supongamos que (x, y) representa cualquier punto de una regiĂłn del plano xy en la que estĂĄ GHÂżQLGD OD IXQFLyQ f. El valor f (x, y) que la funciĂłn f le asigna al punto representa la pendiente de una recta o, como veremos, un segmento de recta llamado elemento lineal. Por ejemplo, considere la ecuaciĂłn dy dx 0.2xy, donde f (x, y) 0.2xy.

En donde consideramos al punto (2, 3), la pendiente de un elemento lineal es f (2, 3) 0.2(2) (3) /D ÂżJXUD D PXHVWUD XQ VHJPHQWR GH UHFWD FRQ SHQGLHQWH TXH SDVD SRU &RPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD E VL XQD FXUYD soluciĂłn tambiĂŠn pasa por el punto (2, 3), lo hace de tal forma que el segmento de recta es tangente a la curva; en otras palabras, el elemento lineal es una recta tangente miniatura en ese punto.

CAMPO DIRECCIONAL Si evaluamos sistemĂĄticamente a f en una cuadrĂ­cula rectangular de puntos en el plano xy y se dibuja un elemento lineal en cada punto (x, y) de la cuadrĂ­cula con pendiente f (x, y), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuaciĂłn diferencial dy dx f (x, y). Visualmente, la direcciĂłn del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas soluciĂłn de la ecuaciĂłn diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la soluciĂłn, por ejemplo, regiones en el plano, en los que una soluciĂłn presenta un comportamiento poco comĂşn. Una

38

CAPĂ?TULO 2

O

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

VROD FXUYD VROXFLyQ TXH SDVD SRU XQ FDPSR GLUHFFLRQDO GHEH VHJXLU HO SDWUyQ GH ÀXMR del campo: el elemento lineal es tangente a la curva cuando intercepta un punto de la FXDGUtFXOD /D ¿JXUD PXHVWUD XQ FDPSR GLUHFFLRQDO JHQHUDGR SRU FRPSXWDGRUD de la ecuación diferencial dy dx sen(x y) sobre una región del plano xy. Observe FyPR ODV WUHV FXUYDV VROXFLyQ TXH VH PXHVWUDQ D FRORU VLJXHQ HO ÀXMR GHO FDPSR

EJEMPLO 1 Campo direccional

FIGURA 2.1.2 Las curvas solución VLJXHQ HO ÀXMR GH XQ FDPSR GLUHFFLRQDO y 4 2 x _2 _4 _4

_2

2

4

a) Campo direccional para dy/dx 0.2xy. y 4

c>0

2 c=0 x c<0 _2

El campo direccional para la ecuaciĂłn diferencial dy dx 0.2xy TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D VH REWXYR XVDQGR XQ SDTXHWH FRPSXWDFLRQDO HQ HO TXH VH GHÂżQLy XQD PDOOD 5 (mh, nh) con m y n enteros, haciendo â&#x20AC;&#x201C; 5 m 5, 5 n 5, y h 1. Observe en la ÂżJXUD D TXH HQ FXDOTXLHU SXQWR GHO HMH GH ODV x (y 0) y del eje y (x 0), las pendientes son f (x, 0) 0 y f (0, y) 0, respectivamente, por lo que los elementos lineales son KRUL]RQWDOHV $GHPiV REVHUYH TXH HQ HO SULPHU FXDGUDQWH SDUD XQ YDORU ÂżMR GH x los valores de f (x, y) 0.2xy aumentan conforme crece y, anĂĄlogamente, para una y los valores de f (x, y) 0.2xy aumentan conforme crece x (VWR VLJQLÂżFD TXH FRQIRUPH x y y crecen, los elementos lineales serĂĄn casi verticales y tendrĂĄn pendiente positiva ( f (x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). En el segundo cuadrante, f (x, y) aumenta conforme crecen x y y, por lo que nuevamente los elementos lineales serĂĄn casi verticales pero esta vez tendrĂĄn pendiente negativa ( f (x, y) 0.2xy 0 para x 0, y 0). Leyendo de izquierda a derecha, imaginemos una curva soluciĂłn que inicia en un punto del segundo cuadrante, se mueve abruptamente hacia abajo, se hace plana conforme pasa por el eje y, y despuĂŠs, conforme entra al primer cuadrante, se mueve abruptamente hacia arriba; en otras palabras, su forma serĂ­a cĂłncava hacia arriba y similar a herradura. A partir de esto se podrĂ­a inferir que y A conforme x A . Ahora en los cuadrantes tercero y cuarto, puesto que f (x, y) 0.2xy 0 y f (x, y) 0.2xy 0, respectivamente, la situaciĂłn se invierte: Una curva soluciĂłn crece y despuĂŠs decrece conforme nos movamos de izquierda a derecha. Vimos 2 en la ecuaciĂłn (1) de la secciĂłn 1.1 que y e0.1x es una soluciĂłn explĂ­cita de dy dx 0.2xy; usted deberĂ­a comprobar que una familia uniparamĂŠtrica de soluciones de la misma ecua2 ciĂłn estĂĄ dada por: y ce0.1x &RQ REMHWR GH FRPSDUDU FRQ OD ÂżJXUD D HQ OD ÂżJXUD 2.1.3(b) se muestran algunos miembros representativos de esta familia.

EJEMPLO 2 Campo direccional Utilice un campo direccional para dibujar una curva soluciĂłn aproximada para el problema con valores iniciales dy dx sen y, y(0) 32.

_4 _4

_2

2

4

b) Algunas curvas soluciĂłn 2 en la familia y ce 0.1x .

FIGURA 2.1.3 Campo direccional y curvas soluciĂłn.

SOLUCIĂ&#x201C;N Antes de proceder, recuerde que a partir de la continuidad de f (x, y) sen y y f y cos y el teorema 1.2.1 garantiza la existencia de una curva soluciĂłn Ăşnica que pase por un punto dado (x0, y0) en el plano. Ahora, preparamos de nuevo nuestro paquete computacional para una regiĂłn rectangular 5 \ HVSHFLÂżFDPRV SXQWRV GHELGRV D OD condiciĂłn inicial) en la regiĂłn con separaciĂłn vertical y horizontal de 12 unidad, es decir, en puntos (mh, nh), h 12 , m y n enteros como 10 m 10, 10 n 10. El resultado VH SUHVHQWD HQ OD ÂżJXUD 3XHVWR TXH HO ODGR GHUHFKR GH dy dx sen y es 0 en y 0, y en y Ę&#x152;, los elementos lineales son horizontales en todos los puntos cuyas segundas coordenadas son y 0 o y Ę&#x152;. Entonces tiene sentido que una curva soluciĂłn que pasa por el punto inicial (0, 32) WHQJD OD IRUPD TXH VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD

CRECIMIENTO/DECRECIMIENTO La interpretaciĂłn de la derivada dy dx como una funciĂłn que da la pendiente desempeĂąa el papel principal en la construcciĂłn de un campo direccional. A continuaciĂłn, se usarĂĄ otra propiedad contundente de la primera derivada, es decir, si dy dx 0 (o dy dx 0) para toda x en un intervalo I, entonces una funciĂłn derivable y y(x) es creciente (o decreciente) sobre I.

2.1

y

2

x _2 _4 _2

O

39

COMENTARIOS

4

_4

CURVAS SOLUCIĂ&#x201C;N SIN UNA SOLUCIĂ&#x201C;N

2

4

Dibujar a mano un campo direccional es sencillo pero toma tiempo; por eso es probable que esta tarea se realice sĂłlo una o dos veces en la vida, generalmente HV PiV HÂżFLHQWH UHDOL]DUOD HPSOHDQGR XQ SDTXHWH FRPSXWDFLRQDO $QWHV GH ODV calculadoras, de las computadoras personales y de los programas se utilizaba el mĂŠtodo de las isoclinas para facilitar el dibujo, a mano, de un campo direccional. Para la ED dy dx f (x, y), cualquier miembro de la familia de curvas f (x, y) c, con c una constante, se llama una isoclina. Se dibujan elementos lineales que pasen por los puntos en una isoclina dada, digamos f (x, y) c1 todos con la misma pendiente c1. En el problema 15 de los ejercicios 2.1 tiene dos oportunidades para dibujar un campo direccional a mano.

FIGURA 2.1.4 Campo direccional del ejemplo 2 de la pĂĄg. 38.

2.1.2 ED AUTĂ&#x201C;NOMAS DE PRIMER ORDEN ED AUTĂ&#x201C;NOMAS DE PRIMER ORDEN En la secciĂłn 1.1 dividimos las ecuaciones diferenciales ordinarias en dos tipos: lineales y no lineales. Ahora consideraremos EUHYHPHQWH RWUD FODVH GH FODVLÂżFDFLyQ GH ODV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV RUGLQDULDV XQD FODVLÂżFDFLyQ TXH HV GH SDUWLFXODU LPSRUWDQFLD HQ OD LQYHVWLJDFLyQ FXDOLWDWLYD GH ODV ecuaciones diferenciales. Una ecuaciĂłn diferencial ordinaria en la que la variable independiente no aparece explĂ­citamente se llama autĂłnoma. Si el sĂ­mbolo x denota a la variable independiente, entonces se puede escribir una ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma de primer orden como f (y, y ) 0 o en la forma normal como dy (2) f (y). dx Supondremos que la funciĂłn f en la ecuaciĂłn (2) y su derivada f son funciones continuas de y sobre algĂşn intervalo I. Las ecuaciones de primer orden f ( y) p

dy 5 1 1 y2 dx

f (x, y) p

y

dy 5 0.2xy dx

son respectivamente autĂłnoma y no autĂłnoma.

Muchas ecuaciones diferenciales que se encuentran en aplicaciones o ecuaciones que modelan leyes fĂ­sicas que no cambian en el tiempo son autĂłnomas. Como ya hemos visto en la secciĂłn 1.3, en un contexto aplicado, se usan comĂşnmente otros sĂ­mbolos diferentes de y y de x para representar las variables dependientes e independientes. Por ejemplo, si t representa el tiempo entonces al examinar dA kA, dt

dx kx(n 1 x), dt

dT k(T Tm), dt

dA 1 6 A, dt 100

donde k, n y Tm son constantes, se encuentra que cada ecuaciĂłn es independiente del tiempo. Realmente, todas las ecuaciones diferenciales de primer orden introducidas en la secciĂłn 1.3 son independientes del tiempo y por lo tanto, son autĂłnomas.

PUNTOS CRĂ?TICOS Las raĂ­ces de la funciĂłn f en la ecuaciĂłn (2) son de especial importancia. Decimos que un nĂşmero real c es un punto crĂ­tico de la ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma (2) si es una raĂ­z de f, es decir, f (c) 0. Un punto crĂ­tico tambiĂŠn se llama punto de equilibrio o punto estacionario. Ahora observe que si sustituimos la funciĂłn constante y(x) c en la ecuaciĂłn (2), entonces ambos lados de la ecuaciĂłn VRQ LJXDOHV D FHUR (VWR VLJQLÂżFD TXH Si c es un punto crĂ­tico de la ecuaciĂłn (2), entonces y(x) c es una soluciĂłn FRQVWDQWH GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO DXWyQRPD

40

O

CAPĂ?TULO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Una soluciĂłn constante y(x) c se llama soluciĂłn de equilibrio; las soluciones de equilibrio son las Ăşnicas soluciones constantes de la ecuaciĂłn (2). &RPR \D OR KHPRV PHQFLRQDGR SRGHPRV LGHQWLÂżFDU FXDQGR XQD VROXFLyQ QR constante y y(x) de la ecuaciĂłn (2) estĂĄ creciendo o decreciendo determinando el signo algebraico de la derivada dy dx; en el caso de la ecuaciĂłn (2) hacemos esto idenWLÂżFDQGR ORV LQWHUYDORV GHO HMH y sobre los que la funciĂłn f (y) es positiva o negativa.

EJEMPLO 3 Una ED autĂłnoma La ecuaciĂłn diferencial eje P

donde a y b son constantes positivas, tiene la forma normal dP dt f (P), la de la ecuaciĂłn (2) con t y P jugando los papeles de x y y respectivamente y por tanto es autĂłnoma. De f (P) P(a â&#x20AC;&#x201C; bP) 0 vemos que 0 y a b son puntos crĂ­ticos de la ecuaciĂłn, asĂ­ que las soluciones de equilibrio son P(t) 0 y P(t) a b. Poniendo los SXQWRV FUtWLFRV HQ XQD UHFWD YHUWLFDO GLYLGLPRV HVWD UHFWD HQ WUHV LQWHUYDORV GHÂżQLGRV por P 0, 0 P a b, a b P /DV Ă&#x20AC;HFKDV HQ OD UHFWD TXH VH SUHVHQWD HQ OD ÂżJXUD LQGLFDQ HO VLJQR DOJHEUDLFR GH f (P) P(a â&#x20AC;&#x201C; bP) en estos intervalos y si una soluciĂłn constante P(t) estĂĄ creciendo o decreciendo sobre un intervalo. La tabla VLJXLHQWH H[SOLFD OD ÂżJXUD

a b 0

FIGURA 2.1.5 Diagrama fase de una ED en el ejemplo 3.

Intervalo ( , 0) (0, a b) (a b, )

(x0, y0)

I

x a) regiĂłn R.

y(x) = c2

y(x) = c1

Signo de f (P ) menos mĂĄs menos

P (t ) decreciente creciente decreciente

Flecha apunta hacia abajo apunta hacia arriba apunta hacia abajo

/D ÂżJXUD HV XQ diagrama fase unidimensional, o simplemente diagrama fase, de la ecuaciĂłn diferencial dP dt P(a bP). La recta vertical se llama recta de fase.

y

R

dP P(a bP), dt

y

R3 (x0, y0)

R2

R1

x

b) subregiones R1, R2, y R3 de R.

FIGURA 2.1.6 Las rectas y(x) c1 y y(x) c2 dividen a R en tres subregiones horizontales.

CURVAS SOLUCIĂ&#x201C;N Sin resolver una ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma, normalmente podemos decir mucho respecto a su curva soluciĂłn. Puesto que la funciĂłn f en la ecuaciĂłn (2) es independiente de la variable x, podemos suponer que f HVWi GHÂżQLGD SDUD x o para 0 x . TambiĂŠn, ya que f y su derivada f son funciones continuas de y sobre algĂşn intervalo I del eje y, los resultados principales del teorema 1.2.1 valen en alguna franja o regiĂłn R en el plano xy correspondiente a I, y asĂ­ pasa por algĂşn punto (x0, y0) en R por el que pasa una curva soluciĂłn de la ecuaciĂłn (2).

9HD OD ÂżJXUD D 3DUD UHDOL]DU QXHVWUR DQiOLVLV VXSRQJDPRV TXH OD HFXDFLyQ WLHQH exactamente dos puntos crĂ­ticos c1 y c2 y que c1 c2 /DV JUiÂżFDV GH ODV VROXFLRQHV y(x) c1 y y(x) c2 son rectas horizontales y estas rectas dividen la regiĂłn R en tres subregiones R1, R2 y R3 FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD E $TXt VH SUHVHQWDQ VLQ FRPSUREDFLyQ algunas de las conclusiones que podemos extraer de una soluciĂłn no constante y(x) de la ecuaciĂłn (2): â&#x20AC;˘ Si (x0, y0) es una subregiĂłn Ri , i 1, 2, 3, y y(x HV XQD VROXFLyQ FX\D JUiÂżFD pasa a travĂŠs de este punto, por lo que y(x) permanece en la subregiĂłn Ri para toda x &RPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD E OD VROXFLyQ y(x) en R2 estĂĄ acotada por debajo con c1 y por arriba con c2, es decir, c1 y(x) c2 para toda x.

La curva soluciĂłn estĂĄ dentro de R2 para toda x SRUTXH OD JUiÂżFD GH XQD VROXFLyQ QR FRQVWDQWH GH OD HFXDFLyQ QR SXHGH FUX]DU OD JUiÂżFD GH FXDOTXLHU VROXFLyQ de equilibrio y(x) c1 o y(x) c2. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. â&#x20AC;˘ Por continuidad de f se tiene que f (y) 0 o f (y) 0 para toda x en una subregiĂłn Ri , i 1, 2, 3. En otras palabras, f (y) no puede cambiar de signo en una subregiĂłn. Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1.

2.1

CURVAS SOLUCIĂ&#x201C;N SIN UNA SOLUCIĂ&#x201C;N

O

41

â&#x20AC;˘ Puesto que dy dx f (y(x)) es ya sea positiva o negativa en una subregiĂłn Ri , i 1, 2, 3, una soluciĂłn y(x) es estrictamente monĂłtona, es decir, y(x) estĂĄ creciendo o decreciendo en la subregiĂłn Ri. Por tanto y(x) no puede oscilar, ni puede tener un extremo relativo (mĂĄximo o mĂ­nimo). Vea el problema 33 de los ejercicios 2.1. â&#x20AC;˘ Si y(x) estĂĄ acotada por arriba con un punto crĂ­tico c1 (como en la subregiĂłn R1 donde y(x) c1 para toda x HQWRQFHV OD JUiÂżFD GH y(x) debe tender a la JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y(x) c1 conforme x A o x A . Si y(x) estĂĄ acotada, es decir, acotada por arriba y por debajo por dos puntos crĂ­ticos consecutivos (como en la subregiĂłn R2 donde c1 y(x) c2 para toda x HQWRQFHV OD JUiÂżFD GH y(x GHEH WHQGHU D ODV JUiÂżFDV GH ODV VROXFLRQHV de equilibrio y(x) c1 y y(x) c2, conforme x A en una y x A en la otra. Si y(x) estĂĄ acotada por debajo por un punto crĂ­tico (como en la subregiĂłn R3 donde c2 y(x) para toda x HQWRQFHV OD JUiÂżFD GH y(x) debe WHQGHU D OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y(x) c2 conforme ya sea x A o x A 9HD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV Considerando estos hechos, analicemos la ecuaciĂłn diferencial del ejemplo 3.

EJEMPLO 4

P

P

R3

decreciente P 0 a b creciente

P0

R2

0

t decreciente P0

recta de fase

R1

Plano tP

FIGURA 2.1.7 Diagrama fase y curvas VROXFLyQ GHO HMHPSOR

Vuelta al ejemplo 3

Los tres intervalos determinados sobre el eje P o recta de fase con los puntos crĂ­ticos P 0 y P a b ahora corresponden en el plano tP D WUHV VXEUHJLRQHV GHÂżQLGDV SRU R1: P 0, R 2: 0 P a b, y R 3: a b P , donde t (O HVTXHPD GH IDVH GH OD ÂżJXUD QRV GLFH TXH P(t) estĂĄ decreciendo en R1, creciendo en R2 y decreciendo en R3. Si P(0) P0 es un valor inicial, entonces en R1, R2 y R3 tenemos, respectivamente, que: i) Para P0 0, P(t) estĂĄ acotada por arriba. Puesto que P(t) estĂĄ decreciendo sin lĂ­mite conforme aumenta t, y asĂ­ P(t) A 0 conforme t A . Lo que VLJQLÂżFD TXH HQ HO HMH t QHJDWLYR OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR P(t) 0, es una asĂ­ntota horizontal para una curva soluciĂłn. ii) Para 0 P0 a b, P(t) estĂĄ acotada. Puesto que P(t) estĂĄ creciendo, P(t) A a b conforme t A y P(t) A 0 conforme t A /DV JUiÂżFDV GH ODV dos soluciones de equilibrio, P(t) 0 y P(t) a b, son rectas horizontales que son asĂ­ntotas horizontales para cualquier curva soluciĂłn que comienza en esta subregiĂłn. iii) Para P0 a b, P(t) estĂĄ acotada por debajo. Puesto que P(t) estĂĄ decreciendo, P(t) A a b conforme t A /D JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ GH equilibrio P(t) a b es una asĂ­ntota horizontal para una curva soluciĂłn.

(Q OD ÂżJXUD OD UHFWD GH IDVH HV HO HMH P en el plano tP. Por claridad la recta de fase RULJLQDO GH OD ÂżJXUD VH KD UHSURGXFLGR D OD L]TXLHUGD GHO SODQR HQ HO FXDO VH KDQ VRPbreado las regiones R1, R2 y R3 (Q OD ÂżJXUD VH PXHVWUDQ ODV JUiÂżFDV GH ODV VROXFLRQHV GH equilibrio P(t) a b y P(t) 0 (el eje t FRQ ODV UHFWDV SXQWHDGDV D]XOHV ODV JUiÂżFDV VyOLGDV UHSUHVHQWDQ ODV JUiÂżFDV WtSLFDV GH P(t) mostrando los tres casos que acabamos de analizar.

En una subregiĂłn como R1 HQ HO HMHPSOR GRQGH P(t) estĂĄ decreciendo y no estĂĄ acotada por debajo, no se debe tener necesariamente que P(t) A . No interprete que HVWH ~OWLPR HQXQFLDGR VLJQLÂżFD TXH P(t) A conforme t A ; podrĂ­amos tener que P(t) A conforme t A T, donde T HV XQ Q~PHUR ÂżQLWR TXH GHSHQGH GH OD FRQdiciĂłn inicial P(t0) P0. Considerando tĂŠrminos dinĂĄmicos, P(t) â&#x20AC;&#x153;explotaâ&#x20AC;? en un tiempo ÂżQLWR FRQVLGHUDQGR OD JUiÂżFD P(t) podrĂ­a tener una asĂ­ntota vertical en t T 0. Para la subregiĂłn R3 vale una observaciĂłn similar.

La ecuaciĂłn diferencial dy dx sen y en el ejemplo 2 es autĂłnoma y tiene un nĂşPHUR LQÂżQLWR GH SXQWRV FUtWLFRV \D TXH VHQ y 0 en y QĘ&#x152;, con n entero. AdemĂĄs, sabemos que debido a que la soluciĂłn y(x) pasa por (0, 32) estĂĄ acotada por arriba y por debajo por dos puntos crĂ­ticos consecutivos ( Ę&#x152; y(x) 0) y decrece (sen y 0 para

42

O

CAPĂ?TULO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Ę&#x152; y OD JUiÂżFD GH y(x GHEH WHQGHU D ODV JUiÂżFDV GH ODV VROXFLRQHV GH HTXLOLEULR como asĂ­ntotas horizontales: y(x) A Ę&#x152; conforme x A y y(x) A 0 conforme x A .

EJEMPLO 5

Curvas soluciĂłn de una ED autĂłnoma

La ecuaciĂłn autĂłnoma dy dx (y 1)2 tiene un solo punto crĂ­tico 1. Del esquema GH IDVH GH OD ÂżJXUD D FRQFOXLPRV TXH XQD VROXFLyQ y(x) es una funciĂłn creciente HQ ODV VXEUHJLRQHV GHÂżQLGDV SRU y 1 y 1 y , donde x . Para una condiciĂłn inicial y(0) y0 1, una soluciĂłn y(x) estĂĄ creciendo y estĂĄ acotada por arriba por 1 y asĂ­ y(x) A 1 conforme x A ; para y(0) y0 1, una soluciĂłn y(x) estĂĄ creciendo y estĂĄ acotada.

Ahora y(x) 1 1 (x c) es una familia uniparamĂŠtrica de soluciones de la HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO YHD HO SUREOHPD GH ORV HMHUFLFLRV 8QD FRQGLFLyQ LQLcial dada determina un valor para c. Para las condiciones iniciales, y(0) 1 1 y y(0) 2 1, encontramos, respectivamente, que y(x) 1 < 1/(x 12), y(x) 1 < 1 (x < &RPR VH PXHVWUD HQ ODV ÂżJXUDV E \ F OD JUiÂżFD GH FDGD

y

y

y x =1

creciente

(0, 2) y=1

1

y =1 x

x

(0, â&#x2C6;&#x2019;1)

creciente x= â&#x2C6;&#x2019;

a) recta de fase

1 2

b) plano xy y(0) 1

c) plano xy y(0) 1

FIGURA 2.1.8 Comportamiento de las soluciones cerca de y 1 en el ejemplo 5.

una de estas funciones racionales tienen una asĂ­ntota vertical. Pero recuerde que las soluciones de los problemas con valores iniciales dy dy ( y 1) 2, y(0) 1 y (y 1) 2, y(0) 2 dx dx HVWiQ GHÂżQLGDV VREUH LQWHUYDORV HVSHFLDOHV /DV GRV VROXFLRQHV VRQ UHVSHFWLYDPHQWH 1 1 x 1. , x y y(x) 1 , 21 y(x) 1 1 x 1 x 2

c

y0

y0

c

c

c

y0

a)

y0

b)

c)

d)

FIGURA 2.1.9 El punto crĂ­tico c es un atractor en a) y un repulsor en b) y semiestable en c) y d).

/DV FXUYDV VROXFLyQ VRQ ODV SDUWHV GH ODV JUiÂżFDV GH ODV ÂżJXUDV E \ F

que se muestran en azul. Como lo indica el diagrama fase, para la curva soluciĂłn de la ÂżJXUD E y(x) A 1 conforme x A SDUD OD FXUYD VROXFLyQ GH OD ÂżJXUD F

y(x) A conforme x A 1 por la izquierda.

ATRACTORES Y REPULSORES Suponga que y(x) es una soluciĂłn no constante de la ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma dada en (1) y que c es un punto crĂ­tico de la ED. BĂĄsicamente hay tres tipos de comportamiento que y(x) puede presentar cerca de c. En OD ÂżJXUD KHPRV SXHVWR D c en las cuatro rectas verticales. Cuando ambas puntas GH Ă&#x20AC;HFKD HQ FXDOTXLHU ODGR GHO SXQWR c, apuntan hacia c FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD D WRGDV ODV VROXFLRQHV y(x) de la ecuaciĂłn (1) que comienzan en el punto inicial

2.1

CURVAS SOLUCIĂ&#x201C;N SIN UNA SOLUCIĂ&#x201C;N

O

43

(x0, y0 VXÂżFLHQWHPHQWH FHUFD GH c presentan comportamiento asintĂłtico lĂ­mxA y(x) c.

Por esta razĂłn se dice que el punto crĂ­tico c es asintĂłticamente estable. Utilizando una analogĂ­a fĂ­sica, una soluciĂłn que comienza en c se parece a una partĂ­cula cargada que, con el tiempo, se transforma en una partĂ­cula de carga contraria y asĂ­ c tambiĂŠn se conoce como un atractor &XDQGR DPEDV SXQWDV GH Ă&#x20AC;HFKD D ORV ODGRV GH OD Ă&#x20AC;HFKD GHO SXQWR c apuntan alejĂĄndose de c FRPR VH PXHVWUD HQ OD ÂżJXUD E WRGDV ODV VROXFLRQHV y(x) de la ecuaciĂłn (1) que comienzan en un punto inicial (x0, y0) se alejan de c conforme crece x. En este caso se dice que el punto crĂ­tico c es inestable. Un punto crĂ­tico inestable se conoce como un repulsor SRU UD]RQHV REYLDV (Q ODV ÂżJXUDV F \ G VH PXHVWUD el punto crĂ­tico c que no es ni un atractor ni un repulsor. Pero puesto que c presenta caraclas pendientes de los varĂ­an las pendientes terĂ­sticas tanto de atractor como de repulsor, es decir, una soluciĂłn que comienza desde de los elementos sobre elementos lineales un punto inicial (x0, y0 TXH HVWi VXÂżFLHQWHPHQWH FHUFD GH c es atraĂ­da hacia c por un lado una recta vertical. sobre una recta y repelida por el otro, este punto crĂ­tico se conoce como semiestable. En el ejemplo 3 el horizontal son punto crĂ­tico a b es asintĂłticamente estable (un atractor) y el punto crĂ­tico 0 es inestable todas iguales. y (un repulsor). El punto crĂ­tico 1 del ejemplo 5 es semiestable.

y x

FIGURA 2.1.10 Campo direccional para una ED autĂłnoma.

y

y=3

y=0

FIGURA 2.1.11 Curvas soluciĂłn trasladadas de una ED autĂłnoma.

x

ED AUTĂ&#x201C;NOMAS Y CAMPOS DIRECCIONALES Si una ecuaciĂłn diferencial de primer orden es autĂłnoma, entonces en la forma normal vemos en el miembro derecho dy dx f (y) que las pendientes de los elementos lineales que pasan por los puntos en la cuadrĂ­cula rectangular que se usa para construir un campo direccional para la ED, sĂłlo dependen de la coordenada y de los puntos. Expresado de otra manera, los elementos lineales que pasan por puntos de cualquier recta horizontal deben tener todos la misma pendiente; por supuesto, pendientes de elementos lineales a lo largo de cualquier recta vertical, variarĂĄn. Estos hechos se muestran examinando la banda horizontal dorada y la banda vertical D]XO GH OD ÂżJXUD /D ÂżJXUD SUHVHQWD XQ FDPSR GLUHFFLRQDO SDUD OD HFXDFLyQ DXWyQRPD dy dx 2(y Âą /RV HOHPHQWRV OLQHDOHV URMRV HQ OD ÂżJXUD WLHQHQ SHQGLHQWH FHUR SRUTXH VH HQFXHQWUDQ D OR ODUJR GH OD JUiÂżFD GH OD VROXFLyQ GH HTXLOLEULR y 1.

PROPIEDAD DE TRASLACIĂ&#x201C;N RecordarĂĄ del curso de matemĂĄticas de precĂĄlculo TXH OD JUiÂżFD GH XQD IXQFLyQ y f (x â&#x20AC;&#x201C; k) donde k HV XQD FRQVWDQWH HV OD JUiÂżFD GH XQD funciĂłn y f (x) rĂ­gidamente trasladada o desplazada horizontalmente a lo largo del eje x por una cantidad k ; la traslaciĂłn es hacia la derecha si k 0 y hacia la izquierda si k 0. Resulta que bajo las condiciones establecidas para (2), las curvas soluciĂłn estĂĄn relacionadas con las curvas de una ED autĂłnoma de primer orden por el concepto de traslaciĂłn. Para ver esto, consideremos la ecuaciĂłn diferencial dy dx y(3â&#x20AC;&#x201C; y) que es un FDVR HVSHFLDO GH OD HFXDFLyQ DXWyQRPD FRQVLGHUDGD HQ ORV HMHPSORV \ 3XHVWR TXH y 0 y y VRQ VROXFLRQHV GH HTXLOLEULR GH OD (' VXV JUiÂżFDV GLYLGHQ HO SODQR xy en tres subregiones R1, R2 y R3: R1 : y 0

R2 : 0 y 3

y

R3 : 3 y

(Q OD ÂżJXUD KHPRV VREUHSXHVWR XQ FDPSR GLUHFFLRQDO GH ODV FXUYDV GH VHLV VROXFLRQHV GH OD (' /D ÂżJXUD PXHVWUD WRGDV ODV FXUYDV VROXFLyQ GHO PLVPR FRORU HV GHFLU ODV curvas soluciĂłn se encuentran dentro de una subregiĂłn particular Ri, todas lucen iguales.

Esto no es una coincidencia, ya que es una consecuencia natural del hecho de que los elementos lineales que pasan a travĂŠs de cualquier recta horizontal son paralelos. Por lo que la siguiente propiedad de traslaciĂłn de una ED autĂłnoma debe tener sentido: Si y(x) es una soluciĂłn de una ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma dy/dx f (y), entonces y1(x) y(x k) N XQD FRQVWDQWH WDPELpQ HV XQD VROXFLyQ Por tanto, si y(x) es una soluciĂłn del problema con valores iniciales dy dx f(y), y(0) y0, luego y1(x) y(x x0) es una soluciĂłn del PVI dy dx f(y), y(x0) y0. Por ejemplo, es fĂĄcil de comprobar que y(x) ex, x , es una soluciĂłn del PVI, dy dx y, y(0) 1 y asĂ­ una soluciĂłn y1(x) de, digamos, dy dx y, y(5) 1 es y(x) ex trasladado 5 unidades a la derecha: y1(x) y(x 5) ex 5, x .

44

O

CAPร TULO 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

EJERCICIOS 2.1 2.1.1

Las respuestas a los problemas seleccionados con nรบmero impar comienzan en la pรกgina RES-1

CAMPOS DIRECCIONALES

1.

y

4

(Q ORV SUREOHPDV UHSURGX]FD HO FDPSR GLUHFFLRQDO GDGR JHnerado por computadora. Despuรฉs dibuje, a mano, una curva soluciรณn aproximada que pase por cada uno de los puntos indicados.

Utilice lรกpices de colores diferentes para cada curva soluciรณn.

2 x

dy x2 y2 dx a) y( 2) 1 c) y(0) 2

_2

b) y(3) 0 d) y(0) 0

_4 _4

y

3

_2

4

2

FIGURA 2.1.14 Campo direccional del problema 3.

2 1

4. x

_1

dy (sen x) cos y dx a) y(0) 1 c) y(3) 3

_2

y

_3 _3 _2 _1

1

2

4

3

FIGURA 2.1.12 Campo direccional del problema 1.

2.

2 x

dy 2 e 0.01x y dx a) y( 6) 0 c) y(0)

_2

b) y(0) 1 d) y(8)

_4 _4

y

4 x _4 _8 _8

_4

2

4

4

8

En los problemas 5-12 use un paquete computacional para obtener un campo direccional para la ecuaciรณn diferencial dada.

Dibuje a mano una curva soluciรณn aproximada que pase por los puntos dados.

5. y x 6. y x y a) y(0) 0 a) y( 2) 2 b) y(0) 3 b) y(1) 3 dy x dx a) y(1) 1 b) y(0)

7. y

FIGURA 2.1.13 Campo direccional del problema 2. dy 1 xy dx a) y(0) 0 c) y(2) 2

_2

FIGURA 2.1.15 &DPSR GLUHFFLRQDO GHO SUREOHPD

8

3.

b) y(1) 0 d) y(0) 52

9. b) y( 1) 0 d) y(0)

dy 0.2x 2 y dx a) y(0) 12 b) y(2) 1

8.

10.

dy 1

dx y a) y(0) 1 b) y( 2) 1 dy xey dx a) y(0) 2 b) y(1) 2.5

2.1

11. y y cos a) y(2) 2

x 2

dy y 1 dx x a) y 12 2

12.

b) y( 1) 0

b)

( ) y (32) 0

(Q ORV SUREOHPDV \ OD ÂżJXUD GDGD UHSUHVHQWD OD JUiÂżFD de f (y) y de f (x), respectivamente. Dibuje a mano un campo direccional sobre una malla adecuada para dy dx f (y) (problema 13) y despuĂŠs para dy dx f (x SUREOHPD

13. f

1 1

y

FIGURA 2.1.16 *UiÂżFD GHO SUREOHPD 14. f

1 1

x

FIGURA 2.1.17 *UiÂżFD GHO SUREOHPD 15. En los incisos a) y b) dibuje isoclinas f (x, y) c (vea los Comentarios GH OD SiJLQD SDUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO dada usando los valores de c indicados. Construya un campo direccional sobre una cuadrĂ­cula dibujando con cuidado elementos lineales con la pendiente adecuada en los puntos elegidos de cada isoclina. En cada caso, utilice esta direcciĂłn para dibujar una curva soluciĂłn aproximada para el PVI que consiste de la ED y de la condiciĂłn inicial y (0) 1. a) dy dx x y; c un entero que satisface 5 c 5 b) dy dx x 2 y 2; c 14, c 1, c 94, c 4 Problemas para analizar 16. a) Considere el campo direccional de la ecuaciĂłn diferencial dy dx x(y Âą 2 â&#x20AC;&#x201C; 2, pero no use tecnologĂ­a para obtenerlo. Describa las pendientes de los elementos lineales en las rectas x 0, y 3, y \ y 5. b) Considere el PVI dy dx x \ Âą 2 â&#x20AC;&#x201C; 2, y(0) y0, donde y0 $QDOLFH EDViQGRVH HQ OD LQIRUPDFLyQ GHO LQFLVR a), ÂżsĂ­ puede una soluciĂłn y(x) A conforme x A ?

CURVAS SOLUCIĂ&#x201C;N SIN UNA SOLUCIĂ&#x201C;N

O

45

17. Para la ED de primer orden dy dx f (x, y) una curva en HO SODQR GHÂżQLGR SRU f (x, y) 0 se llama ceroclina de la ecuaciĂłn, ya que un elemento lineal en un punto de la curva tiene pendiente cero. Use un paquete computacional para obtener un campo direccional en una cuadrĂ­cula rectangular de puntos dy dx x2 2y y despuĂŠs superSRQJD OD JUiÂżFD GH OD FHURFOLQD y 12 x 2 sobre el campo direccional. Analice el comportamiento de las curvas soOXFLyQ HQ UHJLRQHV GHO SODQR GHÂżQLGDV SRU y 12 x 2 y por y 12 x 2. Dibuje algunas curvas soluciĂłn aproximadas.

Trate de generalizar sus observaciones.

18. a) , GHQWLÂżTXH ODV FHURFOLQDV YHD HO SUREOHPD HQ ORV SUREOHPDV \ &RQ XQ OiSL] GH FRORU FLUFXOH WRGRV ORV HOHPHQWRV OLQHDOHV GH ODV ÂżJXUDV \ TXH XVWHG FUHD TXH SXHGHQ VHU XQ HOHmento lineal en un punto de la ceroclina. b) ÂżQuĂŠ son las ceroclinas de una ED autĂłnoma de primer orden?

2.1.2

ED DE PRIMER ORDEN AUTĂ&#x201C;NOMAS

19. Considere la ecuaciĂłn diferencial de primer orden dy dx y â&#x20AC;&#x201C; y3 y la condiciĂłn inicial y(0) y0 $ PDQR GLEXMH OD JUiÂżFD de una soluciĂłn tĂ­pica y(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y 0 1 b) 0 y 0 1 c) 1 y 0 0 d) y 0 1 20. Considere la ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma de primer orden dy dx y2 â&#x20AC;&#x201C; y y la condiciĂłn inicial y(0) y0. A PDQR GLEXMH OD JUiÂżFD GH XQD VROXFLyQ WtSLFD y(x) cuando y0 tiene los valores dados. a) y 0 1 b) 0 y 0 1 c) 1 y 0 0 d) y 0 1 En los problemas 21-28 determine los puntos crĂ­ticos y el diagrama fase de la ecuaciĂłn diferencial autĂłnoma de primer RUGHQ GDGD &ODVLÂżTXH FDGD SXQWR FUtWLFR FRPR DVLQWyWLFDPHQWH estable, inestable, o semiestable. Dibuje, a mano, curvas soluciĂłn tĂ­picas en las regiones del plano xy determinadas por las JUiÂżFDV GH ODV VROXFLRQHV GH HTXLOLEULR dy 21.

22. dy y 2 y 3 y 2 3y dx dx dy 23.

24. dy 10 3y y 2 ( y 2)4 dx dx 25.

dy y 2(4 y 2) dx

26. dy y(2 y)(4 y) dx

27.

dy y ln( y 2) dx

y 28. dy ye 9y dx ey

(Q ORV SUREOHPDV \ FRQVLGHUH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO autĂłnoma dy dx f (y GRQGH VH SUHVHQWD OD JUiÂżFD GH f.

8WLOLFH OD JUiÂżFD SDUD XELFDU ORV SXQWRV FUtWLFRV GH FDGD XQD GH las ecuaciones diferenciales. Dibuje un diagrama fase de cada ecuaciĂłn diferencial. Dibuje a mano curvas soluciĂłn tĂ­picas en las subregiones del plano xy GHWHUPLQDGDV SRU ODV JUiÂżFDV GH ODV soluciones de equilibrio.

4 ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

© Bill Ingalls/NASA

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 4.10

Teoría preliminar: Ecuaciones lineales Reducción de orden (FXDFLRQHV OLQHDOHV KRPRJpQHDV FRQ FRH¿ FLHQWHV FRQVWDQWHV &RH¿ FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV 0pWRGR GH VXSHUSRVLFLyQ &RH¿ FLHQWHV LQGHWHUPLQDGRV 0pWRGR GHO DQXODGRU 9DULDFLyQ GH SDUiPHWURV Ecuación de Cauchy-Euler Funciones de Green 6ROXFLyQ GH VLVWHPDV GH (' OLQHDOHV SRU HOLPLQDFLyQ Ecuaciones diferenciales no lineales REPASO DEL CAPÍTULO 4

A

hora abordaremos la solución de ecuaciones diferenciales de segundo RUGHQ R VXSHULRU (Q ODV SULPHUDV VLHWH VHFFLRQHV GH HVWH FDStWXOR VH DQDOL]DQ OD WHRUtD IXQGDPHQWDO \ FLHUWDV FODVHV GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV (O FDStWXOR FRQFOX\H FRQ XQ EUHYH DQiOLVLV GH HFXDFLRQHV QR OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU

118

4.1

4.1

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

O

119

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES INTRODUCCIร N (Q HO FDStWXOR YLPRV TXH VH SXHGHQ UHVROYHU DOJXQDV HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH SULPHU RUGHQ VL VH UHFRQRFHQ FRPR VHSDUDEOHV H[DFWDV R TXH WLHQHQ FRHยฟFLHQWHV KRPRJpQHRV $XQTXH ODV VROXFLRQHV GH HVWDV HFXDFLRQHV HVWXYLHUDQ HQ OD IRUPD GH XQD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD HVWD IDPLOLD FRQ XQD H[FHSFLyQ QR UHSUHVHQWD OD soluciรณn general de la ecuaciรณn diferencial. Recuerde TXH XQD soluciรณn general HV XQD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GHยฟQLGD VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR I TXH FRQWLHQH todas ODV VROXFLRQHV GH OD (' TXH HVWiQ GHยฟQLGDV VREUH I. 6yOR HQ HO FDVR GH ODV (' lineales de priPHU RUGHQ VH SXHGHQ REWHQHU VROXFLRQHV JHQHUDOHV FRQVLGHUDQGR FLHUWDV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV &RPR HO REMHWLYR SULQFLSDO GH HVWH FDStWXOR HV HQFRQWUDU VROXFLRQHV JHQHUDOHV GH (' OLQHDOHV GH RUGHQ VXSHULRU SULPHUR QHFHVLWDPRV H[DPLQDU XQ SRFR GH WHRUtD GH HFXDFLRQHV OLQHDOHV

9XHOYD D OHHU YL GH ORV &RPHQWDULRV GH OD secciรณn 1.1 y la pรกgina GH OD VHFFLyQ

4.1.1

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA

PROBLEMA CON VALORES INICIALES (Q OD VHFFLyQ VH GHยฟQLy XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV SDUD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH n-รฉsimo orden. Para una ecuaciรณn diferencial lineal, un problema con valores iniciales de n-รฉsimo orden es Resuelva: an(x) Sujeta a:

d ny dx n

y(x0)

y0,

an 1(x) y (x0)

d n 1y dx n 1

a1(x)

y1 , . . . ,

dy dx

(n 1)

y

(x0)

a0(x)y

g(x) (1)

yn 1.

5HFXHUGH TXH SDUD XQ SUREOHPD FRPR pVWH VH EXVFD XQD IXQFLyQ GHยฟQLGD VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR I TXH FRQWLHQH D x0 TXH VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO \ ODV n condiciones LQLFLDOHV TXH VH HVSHFLยฟFDQ HQ x0: y(x0) y0, y (x0) y1, . . . , y(n 1)(x0) yn 1. Ya hemos YLVWR TXH HQ HO FDVR GH XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH VHJXQGR RUGHQ XQD FXUYD VROXFLyQ GHEH SDVDU SRU HO SXQWR x0, y0 \ WHQHU SHQGLHQWH y1 HQ HVWH SXQWR EXISTENCIA Y UNICIDAD (Q OD VHFFLyQ VH H[SUHVy XQ WHRUHPD TXH GDED ODV FRQGLFLRQHV FRQ ODV TXH VH JDUDQWL]DED OD H[LVWHQFLD \ XQLFLGDG GH XQD VROXFLyQ GH XQ SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GH SULPHU RUGHQ (O WHRUHPD TXH VLJXH WLHQH FRQGLFLRQHV VXยฟFLHQWHV SDUD OD H[LVWHQFLD \ XQLFLGDG GH XQD VROXFLyQ ~QLFD GHO SUREOHPD HQ

TEOREMA 4.1.1 Existencia de una soluciรณn รบnica Sean an(x), an 1(x), . . . , a1(x), a0(x) y g(x FRQWLQXDV VREUH XQ LQWHUYDOR I, y sea an(x) SDUD WRGD x HQ HVWH LQWHUYDOR 6L x x0 HV FXDOTXLHU SXQWR HQ HVWH LQWHUYDOR HQWRQFHV XQD VROXFLyQ y(x GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV

H[LVWH VREUH HO LQWHUYDOR \ HV ~QLFD

EJEMPLO 1

Soluciรณn รบnica de un PVI

(O SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 3y

5y

y

7y

0, y(1)

0,

y (1)

0, y (1)

0

WLHQH OD VROXFLyQ WULYLDO y 0 'HELGR D TXH OD HFXDFLyQ GH WHUFHU RUGHQ HV OLQHDO FRQ FRHยฟFLHQWHV FRQVWDQWHV VH FXPSOHQ ODV FRQGLFLRQHV GHO WHRUHPD 3RU WDQWR y 0 es la รบnica VROXFLyQ VREUH FXDOTXLHU LQWHUYDOR TXH FRQWLHQH D x 1.

120

O

CAPร TULO 4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

EJEMPLO 2

Soluciรณn รบnica de un PVI

6H GHEH FRPSUREDU TXH OD IXQFLyQ y e x e x x es una soluciรณn del problema FRQ YDORUHV LQLFLDOHV y 4y 12x, y(0) 4, y (0) 1. $KRUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV OLQHDO ORV FRHยฟFLHQWHV DVt FRPR g(x) x, son FRQWLQXRV \ a (x) 1 VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR I TXH FRQWHQJD D x 0. Concluimos GHO WHRUHPD TXH OD IXQFLyQ GDGD HV OD ~QLFD VROXFLyQ VREUH I. /RV UHTXLVLWRV HQ HO WHRUHPD GH TXH ai(x), i n VHDQ FRQWLQXDV \ an(x) SDUD WRGD x en I VRQ LPSRUWDQWHV (Q SDUWLFXODU VL an(x) SDUD DOJ~Q x en HO LQWHUYDOR HQWRQFHV OD VROXFLyQ GH XQ SUREOHPD OLQHDO FRQ YDORUHV LQLFLDOHV SRGUtD QR VHU ~QLFD R QL VLTXLHUD H[LVWLU 3RU HMHPSOR VH GHEH FRPSUREDU TXH OD IXQFLyQ y cx x HV XQD VROXFLyQ GH SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV x2 y

2xy

2y

6, y(0)

3,

y (0)

1

VREUH HO LQWHUYDOR , SDUD DOJXQD HOHFFLyQ GHO SDUiPHWUR c (Q RWUDV SDODEUDV QR KD\ VROXFLyQ ~QLFD GHO SUREOHPD $XQTXH VH VDWLVIDFH OD PD\RUtD GH ODV FRQGLFLRQHV GHO WHRUHPD ODV GLยฟFXOWDGHV REYLDV VRQ TXH a (x) x es cero en x \ TXH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV WDPELpQ VH LPSRQHQ HQ x 0. y

soluciones de la ED

PROBLEMA CON VALORES EN LA FRONTERA 2WUR WLSR GH SUREOHPD FRQVLVWH HQ UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH RUGHQ GRV R PD\RU HQ HO TXH OD YDULDEOH GHSHQGLHQWH y R VXV GHULYDGDV VH HVSHFLยฟFDQ HQ diferentes puntos 8Q SUREOHPD WDO FRPR

(b, y1) (a, y0) I

x

FIGURA 4.1.1 &XUYDV VROXFLyQ GH XQ 39) TXH SDVDQ SRU GRV SXQWRV

Resuelva:

a2(x)

Sujeto a:

y(a)

d 2y dx2

a1(x)

y0 ,

dy dx

y(b)

a0(x)y

g(x)

y1

se conoce como un problema con valores en la frontera (PVF) /RV YDORUHV SUHVFULWRV y(a) y0 y y(b) y1 se denominan condiciones en la frontera. Una soluciรณn del proEOHPD DQWHULRU HV XQD IXQFLyQ TXH VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR I, TXH FRQWLHQH D a y b FX\D JUiยฟFD SDVD SRU ORV SXQWRV a, y0) y (b, y1 9HD OD ยฟJXUD 3DUD XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GH VHJXQGR RUGHQ RWURV SDUHV GH FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD SRGUtDQ VHU y (a) y0 , y(b) y1 y(a)

y0 ,

y (b)

y1

y (a)

y0 ,

y (b)

y1,

donde y0 y y1 GHQRWDQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV (VWRV WUHV SDUHV GH FRQGLFLRQHV VRQ VyOR FDVRV HVSHFLDOHV GH ODV FRQGLFLRQHV JHQHUDOHV HQ OD IURQWHUD 1 y(a)

1y

(a)

1

2 y(b)

2y

(b)

2.

(Q HO VLJXLHQWH HMHPSOR VH PXHVWUD TXH DXQ FXDQGR VH FXPSOHQ ODV FRQGLFLRQHV GHO WHRUHPD XQ SUREOHPD GH YDORUHV HQ OD IURQWHUD SXHGH WHQHU YDULDV VROXFLRQHV FRPR VH VXJLHUH HQ OD ยฟJXUD XQD VROXFLyQ ~QLFD R QR WHQHU VROXFLyQ

EJEMPLO 3

Un PVF puede tener muchas, una o ninguna soluciรณn

(Q HO HMHPSOR GH OD VHFFLyQ YLPRV TXH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV de la ecuaciรณn diferencial x 16x 0 es x

c1 cos 4t

c2 sen 4t.

4.1

x

c2 = 1 1 c2 = 2 c2 =

1 c2 = 0

1 4

t 1

(0, 0) c2 = −

1 2

TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

O

121

a) 6 XSRQJD TXH DKRUD GHVHDPRV GHWHUPLQDU OD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ TXH VDWLVIDFH PiV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD x(0) 0, x(ʌ 2EVHUYH TXH OD SULPHUD condición 0 c1 cos 0 c VHQ LPSOLFD TXH c1 SRU WDQWR x c VHQ t. Pero cuando t ʌ c VHQ ʌ VH VDWLVIDFH SDUD FXDOTXLHU HOHFFLyQ GH c \D TXH VHQ ʌ 3RU WDQWR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD

(π /2, 0)

x

16x

0,

x(0)

0, x

0

2

FIGURA 4.1.2

&XUYDV VROXFLyQ SDUD HO 39) GHO LQFLVR D GHO HMHPSOR

WLHQH XQ LQ¿QLWR GH VROXFLRQHV (Q OD ¿JXUD VH PXHVWUDQ ODV JUi¿FDV GH DOJXQRV GH ORV PLHPEURV GH OD IDPLOLD XQLSDUDPpWULFD x c VHQ t TXH SDVD SRU ORV GRV SXQWRV \ ʌ

b) 6L HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD HQ VH FDPELD D x

16x

0,

x(0)

0,

x

0,

8

HQWRQFHV x(0) D~Q UHTXLHUH TXH c1 HQ OD VROXFLyQ 3HUR DSOLFDQGR x(ʌ 8) 0 a x c VHQ t UHTXLHUH TXH c sen (ʌ c 3RU WDQWR x 0 HV XQD VROXFLyQ GH HVWH QXHYR SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD 'H KHFKR VH SXHGH GHPRVWUDU TXH x 0 es la única VROXFLyQ GH

c) 3RU ~OWLPR VL VH FDPELD HO SUREOHPD D

x

16x

0,

x(0)

0, x

1,

2

(5)

VH HQFXHQWUD GH QXHYR GH x(0) TXH c1 0, pero al aplicar x(ʌ 1 a x c VHQ t FRQGXFH D OD FRQWUDGLFFLyQ c VHQ ʌ c 0 3RU WDQWR HO SUREOHPD FRQ YDORUHV HQ OD IURQWHUD QR WLHQH VROXFLyQ.

4.1.2

ECUACIONES HOMOGÉNEAS

Una ecuación diferencial lineal de n-ésimo orden de la forma an(x)

dny dx n

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy dx

a0(x)y

0

(6)

g(x),

(7)

VH GLFH TXH HV homogénea PLHQWUDV TXH XQD HFXDFLyQ an(x)

3RU IDYRU UHFXHUGH HVWDV GRV VXSRVLFLRQHV

dny dx n

an 1(x)

d n 1y dx n 1

a1(x)

dy dx

a0(x)y

con g(x QR LGpQWLFDPHQWH LJXDO D FHUR HV no homogénea. Por ejemplo, y y 5y 0 es una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden, PLHQWUDV TXH x y 6y 10y ex HV XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH WHUFHU RUGHQ no homogénea. La palabra homogénea HQ HVWH FRQWH[WR QR VH UH¿HUH D ORV FRH¿FLHQWHV TXH VRQ IXQFLRQHV KRPRJpQHDV FRPR HQ OD VHFFLyQ 'HVSXpV YHUHPRV TXH SDUD UHVROYHU XQD HFXDFLyQ OLQHDO QR KRPRJpQHD SULPHUR VH GHEH SRGHU UHVROYHU OD ecuación homogénea asociada (6).

3DUD HYLWDU OD UHSHWLFLyQ LQQHFHVDULD HQ OR TXH UHVWD GH HVWH OLEUR VH KDUiQ FRPR DOJR QDWXUDO ODV VLJXLHQWHV VXSRVLFLRQHV LPSRUWDQWHV FXDQGR VH HVWDEOH]FDQ GH¿QLFLRQHV \ WHRUHPDV DFHUFD GH ODV HFXDFLRQHV OLQHDOHV VREUH DOJ~Q LQWHUYDOR FRP~Q I, • ODV IXQFLRQHV FRH¿FLHQWHV ai(x), i n y g(x VRQ FRQWLQXDV • a n(x) SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR OPERADORES DIFERENCIALES (Q FiOFXOR OD GHULYDFLyQ VH GHQRWD FRQ IUHFXHQFLD FRQ OD OHWUD D PD\~VFXOD HV GHFLU dy dx Dy. El símbolo D se conoce como operador diferencial SRUTXH FRQYLHUWH XQD IXQFLyQ GHULYDEOH HQ RWUD IXQFLyQ 3RU

122

O

CAPร TULO 4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ejemplo, D FRV x) VHQ x y D(5x 6x ) 15x x /DV GHULYDGDV GH RUGHQ VXSHULRU VH H[SUHVDQ HQ WpUPLQRV GH D GH PDQHUD QDWXUDO d 2y dx2

d dy dx dx

D(Dy)

D2y

y, en general

dny dxn

Dn y,

donde y UHSUHVHQWD XQD IXQFLyQ VXยฟFLHQWHPHQWH GHULYDEOH /DV H[SUHVLRQHV SROLQRPLDOHV HQ ODV TXH LQWHUYLHQH D, como D D D \ x D 6x D xD 9, VRQ WDPELpQ RSHUDGRUHV GLIHUHQFLDOHV (Q JHQHUDO VH GHยฟQH XQ operador diferencial de n-รฉsimo orden u operador polinomial como L an(x)D n an 1(x)D n 1

a1(x)D a 0(x).

(8)

&RPR XQD FRQVHFXHQFLD GH GRV SURSLHGDGHV EiVLFDV GH OD GHULYDGD D(cf(x)) cDf(x), c HV XQD FRQVWDQWH \ D{f(x) g(x)} Df(x) Dg(x), el operador diferencial L WLHQH una propiedad de linealidad; es decir, L operando sobre una combinaciรณn lineal de dos IXQFLRQHV GHULYDEOHV HV OR PLVPR TXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH L operando en cada una GH ODV IXQFLRQHV 6LPEyOLFDPHQWH HVWR VH H[SUHVD FRPR L{ฤฎI (x) ศ J(x)} ฤฎ/( f (x)) ศ /(g(x)),

(9)

donde ฤฎ y ศ VRQ FRQVWDQWHV &RPR UHVXOWDGR GH VH GLFH TXH HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO de n-รฉsimo orden es un operador lineal.

ECUACIONES DIFERENCIALES &XDOTXLHU HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO SXHGH H[SUHVDUVH HQ WpUPLQRV GH OD QRWDFLyQ D. Por ejemplo, la ecuaciรณn diferencial y 5y 6y 5x VH SXHGH HVFULELU FRPR D y 5Dy 6y 5x ยฑ R D 5D 6) y 5x Usando la ecuaciรณn (8), se pueden escribir las ecuaciones diferenciales lineales de npQHVLPR RUGHQ \ HQ IRUPD FRPSDFWD UHVSHFWLYDPHQWH FRPR L(y)

0

y

L(y)

g(x),

PRINCIPIO DE SUPERPOSICIร N (Q HO VLJXLHQWH WHRUHPD VH YH TXH OD VXPD R superposiciรณn de dos o mรกs soluciones de una ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ TEOREMA 4.1.2 Principio de superposiciรณn, ecuaciones homogรฉneas Sean y1, y , . . . , yk soluciones de la ecuaciรณn homogรฉnea de n-รฉsimo orden (6) VREUH XQ LQWHUYDOR I (QWRQFHV OD FRPELQDFLyQ OLQHDO ck yk(x), y c1 y1(x) c2 y2(x) donde las ci , i k VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV WDPELpQ HV XQD VROXFLyQ VREUH HO LQWHUYDOR DEMOSTRACIร N 6H GHPXHVWUD HO FDVR k 6HD L HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO TXH VH GHยฟQLy HQ \ VHDQ y1(x) y y (x) soluciones de la ecuaciรณn homogรฉnea L(y) 0.

6L VH GHยฟQH y c เฏ y1(x) c เฏ เฏ y (x HQWRQFHV SRU OD OLQHDOLGDG GH L VH WLHQH TXH

L( y)

L{c1 y1(x)

c2 y2(x)}

c1 L(y1)

c2 L(y2)

c1 0

c2 0

0.

COROLARIOS DEL TEOREMA 4.1.2 A) 8Q P~OWLSOR FRQVWDQWH y c เฏ y1(x) de una soluciรณn y1(x) de una ecuaciรณn GLIHUHQFLDO OLQHDO KRPRJpQHD HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ B) 8QD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO KRPRJpQHD WLHQH VLHPSUH OD VROXFLyQ WULYLDO y 0.

4.1

EJEMPLO 4

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

O

123

Superposiciรณn โ ED homogรฉnea

Las funciones y1 x y y x ln x son soluciones de la ecuaciรณn lineal homogรฉnea x y xy y VREUH HO LQWHUYDOR ). Por el principio de superposiciรณn, la combinaciรณn lineal y c1x2 c2 x2 ln x HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ VREUH HO LQWHUYDOR La funciรณn y e7x es una soluciรณn de y 9y y 'HELGR D TXH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO HV OLQHDO \ KRPRJpQHD HO P~OWLSOR FRQVWDQWH y ce7x HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ 3DUD YDULRV YDORUHV GH c VH YH TXH y 9e7x, y 0, y 15e7x VRQ WRGDV VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ DEPENDENCIA LINEAL E INDEPENDENCIA LINEAL /RV VLJXLHQWHV GRV FRQFHSWRV VRQ EiVLFRV SDUD HO HVWXGLR GH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV DEFINICIร N 4.1.1 Dependencia e independencia lineal 6H GLFH TXH XQ FRQMXQWR GH IXQFLRQHV f1(x), f (x), . . . , fn(x) es linealmente dependiente sobre XQ LQWHUYDOR I VL H[LVWHQ FRQVWDQWHV c1, c , . . . , cn QR WRGDV FHUR WDOHV TXH c1 f1(x)

c2 f2(x)

cn fn(x)

0

SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR 6L HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV QR HV OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH VREUH HO LQWHUYDOR VH GLFH TXH HV linealmente independiente.

(Q RWUDV SDODEUDV XQ FRQMXQWR GH IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH XQ LQWHUYDOR I VL ODV ~QLFDV FRQVWDQWHV SDUD ODV TXH

y f1 = x x

a) y f2 = |x| x

b) FIGURA 4.1.3 (O FRQMXQWR TXH FRQVLVWH en f1 y f HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH HQ ( , ).

c1 f1(x)

c2 f2(x)

cn fn(x)

0

SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR VRQ c1 c . . . cn 0.

(V IiFLO HQWHQGHU HVWDV GHยฟQLFLRQHV SDUD XQ FRQMXQWR TXH FRQVLVWH HQ GRV IXQFLRQHV f1(x) y f (x 6L HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH VREUH XQ LQWHUYDOR HQWRQFHV H[LVWHQ FRQVWDQWHV c1 y c TXH QR VRQ DPEDV FHUR GH PDQHUD WDO TXH SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR c1 f1(x) c f (x) 3RU WDQWR VL VXSRQHPRV TXH c1 0, se deduce TXH f1(x) ( c c1) f (x); es decir, si un conjunto de dos funciones es linealmente dependiente, entonces una funciรณn es simplemente un mรบltiplo constante del otro. $ OD LQYHUVD si f1(x) c เฏ เฏ f (x SDUD DOJXQD FRQVWDQWH c HQWRQFHV 1) f1(x) c f (x) SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR $Vt HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH SRUTXH DO PHQRV XQD GH ODV FRQVWDQWHV HQ SDUWLFXODU c1 QR HV FHUR 6H FRQFOX\H TXH un conjunto de dos funciones f1(x) y f (x) es linealmente independiente cuando ninguna funciรณn es un mรบltiplo constante de la otra VREUH HO LQWHUYDOR 3RU HMHPSOR HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV f1(x) VHQ x, f (x) sen x cos x HV OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH VREUH , SRUTXH f1(x) HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH f (x). Recuerde de la fรณrmula del seno del doble de un รกngulo TXH VHQ x VHQ x cos x 3RU RWUR ODGR HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV f1(x) x, f (x) x es OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH , $O H[DPLQDU OD ยฟJXUD GHEH FRQYHQFHUVH GH TXH QLQJXQD IXQFLyQ HV XQ P~OWLSOR FRQVWDQWH GH OD RWUD VREUH HO LQWHUYDOR 'HO DQiOLVLV DQWHULRU VH WLHQH TXH HO FRFLHQWH f (x) f1(x QR HV XQD FRQVWDQWH HQ XQ LQWHUYDOR HQ HO TXH HO FRQMXQWR f1(x), f (x HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH (VWR VH XVDUi HQ OD VLJXLHQWH VHFFLyQ

EJEMPLO 5

Conjunto de funciones linealmente dependiente

(O FRQMXQWR GH IXQFLRQHV f1(x) cos x, f (x) sen x, f (x) sec x, f (x) WDQ x es OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH VREUH HO LQWHUYDOR ส ส SRUTXH c1 cos2x

c2 sen2x

c3 sec2x

c4 tan2x

0

124

O

CAPร TULO 4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

donde c1 c 1, c 1, c $TXt VH XVD FRV x sen x 1 y 1 WDQ x sec x.

8Q FRQMXQWR GH Q IXQFLRQHV f1(x), f (x), . . . , fn(x HV OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH VREUH XQ LQWHUYDOR VL DO PHQRV XQD IXQFLyQ VH SXHGH H[SUHVDU FRPR XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH ODV RWUDV IXQFLRQHV f3(x) 5 c1 f1(x) 1 c2 f2(x) 3DUD WRGD x en I 8Q FRQMXQWR GH n IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH I si QLQJXQD IXQFLyQ HV XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH RWUDV IXQFLRQHV

EJEMPLO 6

Conjunto de funciones linealmente dependientes

(O FRQMXQWR GH IXQFLRQHV f1(x) 1x 5, f2(x) 1x 5x, f (x) x 1, f (x) x HV OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH VREUH HO LQWHUYDOR SRUTXH f puede escribirse como una combinaciรณn lineal de fl, f y f 2EVHUYH TXH f2(x)

1 f1(x)

5 f3(x)

0 f4(x)

SDUD WRGD x HQ HO LQWHUYDOR ).

SOLUCIONES DE ECUACIONES DIFERENCIALES (VWDPRV LQWHUHVDGRV SULQFLSDOPHQWH HQ IXQFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV R FRQ PiV SUHFLVLyQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO $XQTXH VH SRGUtD DSHODU VLHPSUH HQ IRUPD GLUHFWD D OD GHยฟQLFLyQ UHVXOWD TXH OD FXHVWLyQ GH VL HO FRQMXQWR GH n soluciones yl, y , . . . , yn de una ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VH SXHGH HVWDEOHFHU HQ XQD IRUPD XQ SRFR PHFiQLFD XVDQGR XQ GHWHUPLQDQWH DEFINICIร N 4.1.2

Wronskiano

6XSRQJD TXH FDGD XQD GH ODV IXQFLRQHV f1(x), f (x), . . . , fn(x WLHQH DO PHQRV n GHULYDGDV (O GHWHUPLQDQWH

W( f1, f2, . . . , fn )

f1 f1 f1(n

fn fn

f2 f2 1)

f2(n

1)

fn(n

, 1)

GRQGH ODV SULPDV GHQRWDQ GHULYDGDV VH GHQRPLQD HO Wronskiano de las funciones.

(O GHWHUPLQDQWH :URQVNLDQR VH QRPEUD DVt HQ KRQRU GHO PDWHPiWLFR \ ยฟORVRIR polaco -yVHI 0DULD +RsQp :URQVNL ยฑ

TEOREMA 4.1.3 Criterio para soluciones linealmente independientes Sean yl, y , . . . , yn n soluciones de la ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ VREUH XQ LQWHUYDOR I (O FRQMXQWR GH VROXFLRQHV HV linealmente independiente en I si y sรณlo si W(yl, y , . . . , yn) SDUD WRGD x en el LQWHUYDOR

4.1

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

O

125

6H WLHQH GHO WHRUHPD TXH FXDQGR yl, y , . . . , yn son n soluciones de

VREUH XQ LQWHUYDOR I HO :URQVNLDQR W(yl, y , . . . , yn) es igual a cero o nunca es FHUR VREUH HO LQWHUYDOR 3RU WDQWR VL SRGHPRV GHPRVWUDU TXH W(y1, y , โ ฆ, yn) ! 0 para algรบn x0 en I HQWRQces las soluciones y1, y , โ ฆ, yn VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV VREUH I. Por ejemplo, las funciones y1(x) 5

cos(2 ln x) sen(2 ln x) , y2(x) 5 x3 x3

y las soluciones de la ecuaciรณn diferencial x2 y0 1 7xy9 1 13y 5 0

VREUH HO LQWHUYDOR 2EVHUYH TXH ODV IXQFLRQHV FRHยฟFLHQWHV a (x) = x , a1(x) = 7x, y a0(x VRQ FRQWLQXDV VREUH \ TXH a (x) ! SDUD FDGD YDORU GH x en el inWHUYDOR (O :URQVNLDQR HV cos(2 ln x) sen(2 ln x) 3 x x3 .

W(y1(x), y2(x))5 2 2 2 22x sen(2 ln x)23x cos(2 ln x) 2x cos(2 ln x) 23x2 sen(2 ln x) x6 x6

*

*

(Q OXJDU GH GHVDUUROODU HVWH GHWHUPLQDQWH LQPDQHMDEOH HOHJLPRV x HQ HO LQWHUYDOR (0, \ VH HQFXHQWUD W(y1(1), y2(1)) 5

* 231 02 * 5 2.

(O KHFKR TXH W(y1(1), y (1)) ! HV VXยฟFLHQWH SDUD FRQFOXLU TXH y1(x) y y (x) son OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV VREUH ). $O FRQMXQWR GH n VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO homogรฉnea de orden n se le da un nombre especial.

DEFINICIร N 4.1.3

Conjunto fundamental de soluciones

&XDOTXLHU FRQMXQWR yl, y , . . . , yn de n VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV de la ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea de n-รฉsimo orden (6) sobre un LQWHUYDOR I es un conjunto fundamental de soluciones VREUH HO LQWHUYDOR /D FXHVWLyQ EiVLFD GH VL H[LVWH XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH VROXFLRQHV SDUD XQD HFXDFLyQ OLQHDO VH FRQWHVWD HQ HO VLJXLHQWH WHRUHPD TEOREMA 4.1.4 Existencia de un conjunto fundamental ([LVWH XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH VROXFLRQHV SDUD OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLneal homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ VREUH XQ LQWHUYDOR I. 6LPLODU DO KHFKR GH TXH FXDOTXLHU YHFWRU HQ WUHV GLPHQVLRQHV VH SXHGH H[SUHVDU FRPR XQD FRPELQDFLyQ OLQHDO GH ORV YHFWRUHV linealmente independientes i, j, k FXDOTXLHU VRluciรณn de una ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ VREUH XQ LQWHUYDOR I se expresa como una combinaciรณn lineal de n VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV VREUH I (Q RWUDV SDODEUDV n VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV yl, y , . . . , yn VRQ ORV EORTXHV EiVLFRV SDUD OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ

126

O

CAPร TULO 4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

TEOREMA 4.1.5 Soluciรณn general: ecuaciones homogรฉneas Sea yl, y , . . . , yn XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHrencial lineal homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ VREUH XQ LQWHUYDOR I (QWRQFHV la soluciรณn general GH OD HFXDFLyQ VREUH HO LQWHUYDOR HV y

c1 y1(x)

c2 y2(x)

cn yn(x),

donde ci , i n VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV (O WHRUHPD HVWDEOHFH TXH VL Y(x HV DOJXQD VROXFLyQ GH VREUH HO LQWHUYDOR HQWRQFHV VLHPSUH VH SXHGHQ HQFRQWUDU FRQVWDQWHV Cl, C , . . . , Cn WDOHV TXH Y(x)

C1 y1(x)

C2 y2(x)

Cn yn(x).

'HPRVWUDUHPRV HO FDVR FXDQGR n Sea Y una soluciรณn y yl y y VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV de a y al y a0 y VREUH XQ LQWHUYDOR I 6XSRQJD TXH x t HV XQ SXQWR HQ I para el cual W(yl(t), y (t)) 6XSRQJD WDPELpQ TXH Y(t) kl y Y (t) k . Si examinamos las ecuaciones DEMOSTRACIร N

C1 y1(t)

C2 y2(t)

k1

C1 y 1(t)

C2 y 2(t)

k2,

VH WLHQH TXH SRGHPRV GHWHUPLQDU Cl y C GH PDQHUD ~QLFD D FRQGLFLyQ GH TXH HO GHWHUPLQDQWH GH ORV FRHยฟFLHQWHV VDWLVIDJD y1(t) y2(t) y1 (t) y2 (t)

0.

3HUR HVWH GHWHUPLQDQWH HV VLPSOHPHQWH HO :URQVNLDQR HYDOXDGR HQ x t y por suposiciรณn, W 6L VH GHยฟQH G(x) Cl yl(x) C y (x VH REVHUYD TXH G(x VDWLVIDFH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO SXHVWR TXH HV XQD VXSHUSRVLFLyQ GH GRV VROXFLRQHV FRQRFLGDV G(x VDWLVIDFH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV G(t)

C1 y1(t)

C2 y2(t)

k1

y

G (t)

C1 y 1 (t)

C2 y 2(t)

k2;

y Y(x VDWLVIDFH OD misma ecuaciรณn lineal y las mismas FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV 'HELGR D TXH OD VROXFLyQ GH HVWH SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV OLQHDO HV ~QLFD WHRUHPD

VH WLHQH Y(x) G(x) o Y(x) CO เฏ yl(x) C เฏ y (x).

EJEMPLO 7

Soluciรณn general de una ED homogรฉnea

Las funciones yl e x y y e x son las dos soluciones de la ecuaciรณn lineal homogรฉnea y โ 9y VREUH HO LQWHUYDOR , 3RU LQVSHFFLyQ ODV VROXFLRQHV VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV VREUH HO HMH x (VWH KHFKR VH FRUURERUD DO REVHUYDU TXH HO :URQVNLDQR W(e3x, e

3x

)

e3x 3e3x

e 3e

3x 3x

6

0

SDUD WRGD x 6H FRQFOX\H TXH yl y y IRUPDQ XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH VROXFLRQHV \ SRU WDQWR y c1e x c e x HV OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ VREUH HO LQWHUYDOR

4.1

EJEMPLO 8

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

O

127

Una soluciรณn obtenida de una soluciรณn general

La funciรณn y VHQK x 5e x es una soluciรณn de la ecuaciรณn diferencial del ejemSOR &RPSUXHEH HVWR $SOLFDQGR HO WHRUHPD GHEH VHU SRVLEOH REWHQHU HVWD VROXFLyQ D SDUWLU GH OD VROXFLyQ JHQHUDO y c1e x c e x 2EVHUYH TXH VL VH HOLJH c1 y c HQWRQFHV y e x 7e x puede rescribirse como 2e 3x

y

2e

3x

5e

3x

4

e 3x

e

3x

5e

2

3x

.

(VWD ~OWLPD H[SUHVLyQ VH UHFRQRFH FRPR y VHQK x 5e x.

EJEMPLO 9

Soluciรณn general de una ED homogรฉnea

Las funciones y1 ex, y e x y y e x VDWLVIDFHQ OD HFXDFLyQ GH WHUFHU RUGHQ y 6y 11y 6y 3XHVWR TXH W(ex, e2x, e3x )

ex p ex ex

e2x e3x 2e2x 3e3x p 4e2x 9e3x

2e6x

0

SDUD WRGR YDORU UHDO GH x, las funciones y1, y y y IRUPDQ XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH soluciones sobre ( , 6H FRQFOX\H TXH y c1e x c e x c e x es la soluciรณn geQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VREUH HO LQWHUYDOR

4.1.3

ECUACIONES NO HOMOGร NEAS

&XDOTXLHU IXQFLyQ yp OLEUH GH SDUiPHWURV DUELWUDULRV TXH VDWLVIDFH VH GLFH TXH HV XQD soluciรณn particular GH OD HFXDFLyQ 3RU HMHPSOR HV XQD WDUHD GLUHFWD GHPRVWUDU TXH OD IXQFLyQ FRQVWDQWH yp HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ QR KRPRJpQHD y 9y Ahora si yl, y , . . . , yk VRQ VROXFLRQHV GH VREUH XQ LQWHUYDOR I y yp HV FXDOTXLHU VROXFLyQ SDUWLFXODU GH VREUH I HQWRQFHV OD FRPELQDFLyQ OLQHDO c1 y1 (x)

y

c2 y2(x)

ck yk(x)

yp (x)

(10)

HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ QR KRPRJpQHD 6L SLHQVD DO UHVSHFWR HVWR WLHQH VHQWLGR SRUTXH OD FRPELQDFLyQ OLQHDO cl yl(x) c y (x) . . . ck yk(x VH WUDQVIRUPD HQ 0 por el operador L anDn an 1D n 1 . . . a1D a0 PLHQWUDV TXH yp VH FRQYLHUWH en g(x). Si se usa k n VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD HFXDFLyQ GH n-รฉsimo RUGHQ HQWRQFHV OD H[SUHVLyQ HQ VH FRQYLHUWH HQ OD VROXFLyQ JHQHUDO GH

TEOREMA 4.1.6 Soluciรณn general: ecuaciones no homogรฉneas Sea yp FXDOTXLHU VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO QR KRPRgรฉnea de n pVLPR RUGHQ VREUH XQ LQWHUYDOR I, y sea yl, y , . . . , yn XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO KRPRJpQHD DVRFLDGD

sobre I (QWRQFHV OD soluciรณn general GH OD HFXDFLyQ VREUH HO LQWHUYDOR HV y

c1 y1(x)

c2 y2(x)

cn yn(x)

yp (x),

donde las ci , i n VRQ FRQVWDQWHV DUELWUDULDV DEMOSTRACIร N Sea L HO RSHUDGRU GLIHUHQFLDO GHยฟQLGR HQ \ VHDQ Y(x) y

yp(x VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH OD HFXDFLyQ QR KRPRJpQHD L(y) g(x 6L VH GHยฟQH u(x) Y(x) โ yp(x HQWRQFHV SRU OD OLQHDOLGDG GH L VH WLHQH L(u) L{Y(x) yp(x)} L(Y(x)) L(yp(x)) g(x) g(x) 0.

128

O

CAPร TULO 4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

(VWR GHPXHVWUD TXH u(x) es una soluciรณn de la ecuaciรณn homogรฉnea L(y) 0. Asรญ SRU HO WHRUHPD u(x) cl yl(x) c y (x) . . . cnyn(x), y asรญ Y(x)

yp(x)

c1 y1(x)

c2 y2(x)

cn yn(x)

Y(x)

c1 y1(x)

c2 y2(x)

cn yn(x)

o

yp(x).

FUNCIร N COMPLEMENTARIA 9HPRV HQ HO WHRUHPD TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO QR KRPRJpQHD HVWi FRPSXHVWD SRU OD VXPD GH GRV IXQFLRQHV y

c1 y1(x)

c2 y2(x)

cn yn(x)

yp(x)

yc(x)

yp(x).

La combinaciรณn lineal yc(x) cl yl(x) c y (x) . . . cn yn(x TXH HV OD VROXFLyQ general de (6), se llama funciรณn complementaria SDUD OD HFXDFLyQ (Q RWUDV SDODEUDV SDUD UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO QR KRPRJpQHD SULPHUR VH UHVXHOYH OD HFXDFLyQ KRPRJpQHD DVRFLDGD \ OXHJR VH HQFXHQWUD XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ QR KRPRJpQHD (QWRQFHV OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ QR KRPRJpQHD HV y funciรณn complementaria cualquier soluciรณn particular yc yp.

EJEMPLO 10

Soluciรณn general de una ED no homogรฉnea 11 12

3RU VXVWLWXFLyQ VH GHPXHVWUD FRQ IDFLOLGDG TXH OD IXQFLyQ yp VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ QR KRPRJpQHD 6y

y

11y

6y

3x.

1 2x

es una (11)

3DUD HVFULELU OD VROXFLyQ JHQHUDO GH WDPELpQ VH GHEH SRGHU UHVROYHU OD HFXDFLyQ homogรฉnea asociada y 6y 11y 6y 0.

3HUR HQ HO HMHPSOR YLPRV TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH HVWD ~OWLPD HFXDFLyQ sobre HO LQWHUYDOR ( , ) fue yc clex c e x c e x 3RU WDQWR OD VROXFLyQ JHQHUDO GH sobre HO LQWHUYDOR HV y

yc

c1ex

yp

c2e2x

c3e3x

11 12

1 x.

2

OTRO PRINCIPIO DE SUPERPOSICIร N (O ~OWLPR WHRUHPD GH HVWH DQiOLVLV VH XVDUi HQ OD VHFFLyQ FXDQGR VH FRQVLGHUH XQ PpWRGR SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH HFXDFLRQHV QR KRPRJpQHDV TEOREMA 4.1.7

Principio de superposiciรณn: ecuaciones no homogรฉneas

Sean yp1, yp , . . . , ypk k VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO no homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ VREUH XQ LQWHUYDOR I TXH FRUUHVSRQGH D VX YH] D k IXQFLRQHV GLIHUHQWHV g1, g , . . . , gk (V GHFLU VH VXSRQH TXH ypi GHQRWD XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO FRUUHVSRQGLHQWH an(x)y(n)

an 1(x)y(n

1)

a1(x)y

a0(x)y

gi (x),

donde i k (QWRQFHV yp

yp1(x)

yp2(x)

ypk(x)

HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH an(x)y(n) an 1(x)y(n g1(x) g2(x)

1)

a1(x)y gk(x).

a0(x)y

4.1

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

O

129

DEMOSTRACIร N 6H GHPXHVWUD HO FDVR k 6HD L el operador diferencial de-

ยฟQLGR HQ \ VHDQ yp1(x) y yp (x VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH ODV HFXDFLRQHV QR KRmogรฉneas L(y) g1(x) y L(y) g (x UHVSHFWLYDPHQWH 6L GHยฟQLPRV yp yp1(x) yp (x TXHUHPRV GHPRVWUDU TXH yp HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH L(y) g1(x) g (x).

1XHYDPHQWH VH GHGXFH HO UHVXOWDGR SRU OD OLQHDOLGDG GHO RSHUDGRU L: L(yp)

L{yp1(x)

EJEMPLO 11

yp2(x)}

L( yp1(x))

L( yp2(x))

g1(x)

g2(x).

Superposiciรณn: ED no homogรฉnea

8VWHG GHEH FRPSUREDU TXH yp1

4x2

HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y

3y

4y

16x2

yp2

e2x

HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y

3y

4y

2e2x,

yp3

xex

HV XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y

3y

4y

2xex

24x

8,

ex.

6H WLHQH GH GHO WHRUHPD TXH OD VXSHUSRVLFLyQ GH yp1, yp , y yp , y

yp1

yp2

yp3

4x2

e2x

xex,

es una soluciรณn de y 3y 4y 16x2 24x 8 2e2x 2xex ex. g1(x)

g2(x)

g3(x)

NOTA Si las ypi VRQ VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH SDUD i k HQWRQFHV la combinaciรณn lineal yp c1 yp1 c2 yp2 ck ypk, donde las ci VRQ FRQVWDQWHV HV WDPELpQ XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH FXDQGR HO miembro del lado derecho de la ecuaciรณn es la combinaciรณn lineal c1g1(x)

c2 g2(x)

ck gk (x).

$QWHV GH TXH HPSHFHPRV D UHVROYHU UHDOPHQWH HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV OLQHDOHV KRPRJpQHDV \ QR KRPRJpQHDV VH QHFHVLWD XQ SRFR PiV GH OD WHRUtD TXH VH SUHVHQWD HQ OD VLJXLHQWH VHFFLyQ

COMENTARIOS (VWH FRPHQWDULR HV XQD FRQWLQXDFLyQ GHO EUHYH DQiOLVLV GH VLVWHPDV GLQiPLFRV TXH VH SUHVHQWy DO ยฟQDO GH OD VHFFLyQ 8Q VLVWHPD GLQiPLFR FX\D UHJOD R PRGHOR PDWHPiWLFR HV XQD HFXDFLyQ GLferencial lineal de n-รฉsimo orden an(t)y(n)

an 1(t)y(n

1)

a1(t)y

a0(t)y

g(t)

VH GLFH TXH HV XQ sistema lineal de n-รฉsimo orden. Las n funciones dependienWHV GHO WLHPSR y(t), y (t), . . . , y(n 1)(t) son las variables de estado GHO VLVWHPD 5HFXHUGH TXH VXV YDORUHV HQ HO WLHPSR t dan el estado del sistema. La funciรณn g WLHQH YDULRV QRPEUHV funciรณn de entrada, o forzamiento. Una soluciรณn y(t) de la ecuaciรณn diferencial se llama salida o respuesta del sistema. Bajo las condiciones HVWDEOHFLGDV HQ HO WHRUHPD OD VDOLGD R UHVSXHVWD y(t VH GHWHUPLQD GH PDQHUD ~QLFD SRU OD HQWUDGD \ HO HVWDGR GHO VLVWHPD SUHVFULWRV HQ HO WLHPSR t0; es decir, por las condiciones iniciales y(t0), y (t0), . . . , y(n 1)( t0).

Continรบa

130

O

CAPร TULO 4

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

3DUD TXH XQ VLVWHPD GLQiPLFR VHD XQ VLVWHPD OLQHDO HV QHFHVDULR TXH VH FXPSOD HQ HO VLVWHPD HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD HV GHFLU OD UHVSXHVWD GHO VLVWHPD D XQD VXSHUSRVLFLyQ GH HQWUDGDV HV XQD VXSHUSRVLFLyQ GH VDOLGDV <D VH DQDOL]DURQ DOJXQRV GH ORV VLVWHPDV OLQHDOHV VLPSOHV HQ OD VHFFLyQ HFXDFLRQHV OLQHDOHV GH SULPHU RUGHQ HQ OD VHFFLyQ O VH H[DPLQDQ VLVWHPDV OLQHDOHV HQ ORV TXH ORV PRGHORV PDWHPiWLFRV VRQ HFXDFLRQHV GLIHUHQFLDOHV GH VHJXQGR RUGHQ

EJERCICIOS 4.1 4.1.1

Las respuestas a los problemas seleccionados con nรบmero impar comienzan en la pรกgina RES-4.

PROBLEMAS CON VALORES INICIALES Y CON VALORES EN LA FRONTERA

(Q ORV SUREOHPDV OD IDPLOLD GH IXQFLRQHV TXH VH SURSRUciona es la soluciรณn general de la ecuaciรณn diferencial en el LQWHUYDOR TXH VH LQGLFD (QFXHQWUH XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD TXH VHD XQD VROXFLyQ GHO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV 1. y c1e x c e x, ( , ); y y 0, y(0) 0, y (0) 1 2. y c1e x c e x, ( , ); y y y 0, y(0) 1,

y (0)

3. y c1x c x ln x, (0, ); x y xy y 0, y(1) y (1) 1 4. y c1 c cos x c sen x, ( , ); y y 0, y(ส ) 0, y (ส ) y (ส ) 1 5. 'DGR TXH y c1 c x HV XQD IDPLOLD GH GRV SDUiPHWURV de soluciones de xy y VREUH HO LQWHUYDOR , ), GHPXHVWUH TXH QR VH SXHGHQ HQFRQWUDU ODV FRQVWDQWHV c1 y c WDOHV TXH XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD VDWLVIDFH ODV FRQGLFLRQHV iniciales y(0) 0, y (0) ([SOLTXH SRU TXp HVWR QR YLROD HO WHRUHPD 6. (QFXHQWUH GRV PLHPEURV GH OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GHO SUREOHPD TXH VDWLVIDJDQ ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV y(0) 0, y (0) 0.

7. Como x(t) c1 cos ศฆW c sen ศฆW es la soluciรณn general de x ศฆ x VREUH HO LQWHUYDOR , GHPXHVWUH TXH XQD VROXFLyQ TXH VDWLVIDFH ODV FRQGLFLRQHV LQLFLDOHV x(0) x0, x (0) x1 HVWi GDGD SRU x(t)

x0 cos vt

x1 sen vt. v

8. Use la soluciรณn general de x ศฆ x TXH VH GD HQ HO SUREOHPD SDUD GHPRVWUDU TXH XQD VROXFLyQ TXH VDWLVIDFH las condiciones iniciales x(t0) x0, x (t0) x1 es la soluFLyQ GDGD HQ HO SUREOHPD FDPELDGD SRU XQD FDQWLGDG t0: x(t)

x0 cos v (t

t0 )

x1 sen v(t v

t0 ).

(Q ORV SUREOHPDV \ HQFXHQWUH XQ LQWHUYDOR FHQWUDGR HQ x SDUD HO FXDO HO SUREOHPD FRQ YDORUHV LQLFLDOHV GDGR WLHQH XQD VROXFLyQ ~QLFD 9. (x y y x, 10. y WDQ x)y e x,

y(0) 0, y(0) 1,

y (0) 1 y (0) 0

11. a) 8WLOLFH OD IDPLOLD GHO SUREOHPD SDUD HQFRQWUDU XQD soluciรณn de y y TXH VDWLVIDJD ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD y(0) 0, y(l) 1. b) /D (' GHO LQFLVR D WLHQH OD VROXFLyQ JHQHUDO DOWHUQDWLYD y c cosh x c senh x sobre ( , 8VH HVWD IDPLOLD SDUD HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ TXH VDWLVIDJD ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD GHO LQFLVR D

c) ' HPXHVWUH TXH ODV VROXFLRQHV GH ORV LQFLVRV D \ E

VRQ HTXLYDOHQWHV 12. 8VH OD IDPLOLD GHO SUREOHPD SDUD HQFRQWUDU XQD VROXFLyQ de xy โ y TXH VDWLVIDJD ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD y(0) 1, y (1) 6.

(Q ORV SUREOHPDV \ OD IDPLOLD GH GRV SDUiPHWURV GDGD HV XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO TXH VH LQGLFD VREUH HO LQWHUYDOR , 'HWHUPLQH VL VH SXHGH HQFRQWUDU XQ PLHPEUR GH OD IDPLOLD TXH VDWLVIDJD ODV FRQGLFLRQHV HQ OD IURQWHUD 13. y c1e x cos x c e x sen x; y y y 0 a) y(0) 1, y (ส ) 0 b) y(0) 1, y(ส ) 1 c) y(0) 1,

y

2

1

d) y(0) 0,

y(ส ) 0.

14. y c1x c x x y 5xy 8y a) y( 1) 0, y(1) b) y(0) 1, y(1) c) y(0) y(1) 0

d) y(1) y 15

4.1.2 ECUACIONES HOMOGร NEAS (Q ORV SUREOHPDV GHWHUPLQH VL HO FRQMXQWR GH IXQFLRQHV HV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH HO LQWHUYDOR , ).

15. f1(x) x,

f (x) x ,

f (x) x x

16. f1(x) 0,

f (x) x,

f (x) e x

4.1

17. f1(x) 5,

f (x) cos x,

18. f1(x) FRV x, 19. f1(x) x,

f (x) sen x

f (x) 1,

f (x) x

20. f1(x) x,

f (x) x

21. f1(x) 1 x,

f (x) x,

22. f1(x) e x,

f (x) e x,

f (x) senh x

23. y y y 0; e x, e x, ( , ) 25. y y 5y 0; e x FRV x, e x VHQ x, ( , ) 26. y y y 0; e x , xe x , ( , ) x , x , (0, )

cos(ln x), sen(ln x), (0, )

29. x y 6x y xy y 0; x, x , x ln x, (0, ) 30. y y 0;

1, x, cos x, sen x, ( , )

4.1.3 ECUACIONES NO HOMOGร NEAS (Q ORV SUREOHPDV FRPSUXHEH TXH GDGD OD IDPLOLD GH VROXFLRQHV GH GRV SDUiPHWURV VH WUDWD GH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO QR KRPRJpQHD VREUH HO LQWHUYDOR LQGLFDGR 31. y 7y 10y e x; y c1e x c e 5x 6e x, ( , ) 32. y y sec x; y c1 cos x c sen x x sen x (cos x) ln(cos x), ( ส ส

33. y y y e x x y c1e x c xe x x e x x , ) 34. x y 5xy y x x; y

1/2

c1x

c2 x

1 2 15 x

1

1 6 x,

(0, )

35. a) &RPSUXHEH TXH yp1 e x y yp x x son, respecWLYDPHQWH VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV GH

y

y

6y

5y

y

6y

5y

9e2x 5x2

3x

16.

b) 8VH HO LQFLVR D SDUD HQFRQWUDU VROXFLRQHV SDUWLFXODUHV de

y

y

6y

5y

y

6y

5y

5x2 10x 2

3x

16 6x

Problemas para analizar 37. Sea n $QDOLFH FyPR SXHGHQ XWLOL]DUVH ODV REVHUYDFLRQHV Dnxn l 0 y Dnxn n SDUD HQFRQWUDU VRluciones generales de las ecuaciones diferenciales dadas. a) y 0 d) y

24. y y FRVK x VHQK x, ( , )

28. x y xy y 0;

131

d) 'HWHUPLQH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y 8x 5.

f (x) x

(Q ORV SUREOHPDV FRPSUXHEH TXH ODV IXQFLRQHV GDGDV IRUPDQ XQ FRQMXQWR IXQGDPHQWDO GH VROXFLRQHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VREUH HO LQWHUYDOR TXH VH LQGLFD )RUPH OD VR luciรณn general.

27. x y 6xy y 0;

O

b) 3RU LQVSHFFLyQ HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y x. c) (QFXHQWUH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y x 10.

f (x) cos x

f (x) x 1,

TEORร A PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES

9e2x 32

e2x.

36. a) 3RU LQVSHFFLyQ HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ SDUWLFXODU GH y y 10.

b) y 0 e) y 6

c) y 0 f) y

38. 6XSRQJD TXH y1 ex y y e x son dos soluciones de una HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO KRPRJpQHD ([SOLTXH SRU TXp y cosh x y y senh x VRQ WDPELpQ VROXFLRQHV GH OD ecuaciรณn.

39. a) &RPSUXHEH TXH y1 x y y x son soluciones liQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO x y xy 6y VREUH HO LQWHUYDOR , ). b) Para las funciones y1 y y GHO LQFLVR D GHPXHVWUH TXH W(y1, y ) SDUD WRGR Q~PHUR UHDO x ยข(VWH UH VXOWDGR YLROD HO WHRUHPD " ([SOLTXH c) & RPSUXHEH TXH Y1 x y Y x VRQ WDPELpQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GHO LQFLVR D HQ HO LQWHUYDOR , ). d) -XQWR D ODV IXQFLRQHV y1, y , Y1, Y , de los incisos D \ F HQFXHQWUH XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIH UHQFLDO TXH VDWLVIDJD y(0) 0, y (0) 0. e) 3 RU HO SULQFLSLR GH VXSHUSRVLFLyQ WHRUHPD ambas combinaciones lineales y c1y1 c y y Y c1Y1 c Y son soluciones de la ecuaciรณn diferencial. Analice si una, ambas o ninguna de las combinaciones lineales es una soluciรณn general de la HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO VREUH HO LQWHUYDOR , ).

40. ยข(O FRQMXQWR GH IXQFLRQHV f1(x) ex , f (x) ex es liQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH R LQGHSHQGLHQWH VREUH , " ([SOLTXH 41. 6XSRQJD TXH yl, y , . . . , yk son k VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV VREUH , ) de una ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea de n pVLPR RUGHQ FRQ FRHยฟFLHQWHV FRQVWDQWHV 3RU HO WHRUHPD VH WLHQH TXH yk 1 0 es WDPELpQ XQD VROXFLyQ GH OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO ยข(V HO FRQMXQWR GH VROXFLRQHV yl, y , . . . , yk, yk 1 OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH R LQGHSHQGLHQWH VREUH , " ([SOLTXH 42. 6XSRQJD TXH yl, y , . . . , yk son k VROXFLRQHV QR WULYLDOHV GH una ecuaciรณn diferencial lineal homogรฉnea de n-รฉsimo orden FRQ FRHยฟFLHQWHV FRQVWDQWHV \ TXH k n ยข(V HO FRQMXQWR de soluciones yl, y , . . . , yk OLQHDOPHQWH GHSHQGLHQWH R OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH , " ([SOLTXH

132

O

CAPร TULO 4

4.2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

REDUCCIร N DE ORDEN INTRODUCCIร N (Q OD VHFFLyQ DQWHULRU YLPRV TXH OD VROXFLyQ JHQHUDO GH XQD HFXDFLyQ GLIHUHQcial lineal homogรฉnea de segundo orden a1(x)y a0 (x)y 0 a2(x)y (1) es una combinaciรณn lineal y c1 y1 c เฏ y , donde y1 y y VRQ VROXFLRQHV TXH FRQVWLWX\HQ XQ FRQMXQWR OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH FLHUWR LQWHUYDOR I $O LQLFLR GH OD VLJXLHQWH VHFFLyQ VH DQDOL]D XQ PpWRGR SDUD GHWHUPLQDU HVWDV VROXFLRQHV FXDQGR ORV FRHยฟFLHQWHV GH OD (' HQ VRQ FRQVWDQWHV (VWH PpWRGR TXH HV XQ HMHUFLFLR GLUHFWR HQ DOJHEUD IDOOD HQ DOJXQRV FDVRV \ VyOR SURGXFH XQD VROXciรณn simple y1 GH OD (' (Q HVWRV FDVRV VH SXHGH FRQVWUXLU XQD VHJXQGD VROXFLyQ y de una ecuaciรณn KRPRJpQHD DXQ FXDQGR ORV FRHยฟFLHQWHV HQ VRQ YDULDEOHV VLHPSUH TXH VH FRQR]FD XQD VROXFLyQ QR WULYLDO y1 GH OD (' /D LGHD EiVLFD TXH VH GHVFULEH HQ HVWD VHFFLyQ HV TXH OD ecuaciรณn (1) se puede reducir a una ED lineal de primer orden por medio de una sustituciรณn HQ OD TXH LQWHUYLHQH la soluciรณn conocida y1. Una segunda soluciรณn y GH HV HYLGHQWH GHVSXpV GH UHVROYHU OD (' GH primer orden.

REDUCCIร N DE ORDEN 6XSRQJD TXH y1 GHQRWD XQD VROXFLyQ QR WULYLDO GH \ TXH y1 VH GHยฟQH VREUH XQ LQWHUYDOR I. Se busca una segunda soluciรณn y WDO TXH y1 y y VHDQ XQ FRQMXQWR OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWH VREUH I 5HFXHUGH GH OD VHFFLyQ TXH si y1 y y VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV HQWRQFHV VX FRFLHQWH y y1 QR HV FRQVWDQWH sobre I, es decir, y (x) y1(x) u(x) o y2 (x) u(x)y1(x). La funciรณn u(x VH GHWHUPLQD DO VXVWLWXLU y (x) u(x) y1(x) HQ OD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO GDGD (VWH PpWRGR VH OODPD reducciรณn de orden SRUTXH GHEHPRV UHVROYHU XQD HFXDFLyQ GLIHUHQFLDO OLQHDO GH SULPHU RUGHQ SDUD HQFRQWUDU D u.

EJEMPLO 1

Una segunda soluciรณn por reducciรณn de orden

'DGR TXH y1 ex es una soluciรณn de y y HQ HO LQWHUYDOR , ), use reducciรณn GH RUGHQ SDUD GHWHUPLQDU XQD VHJXQGD VROXFLyQ y .

SOLUCIร N Si y u(x)y1(x) u(x)ex HQWRQFHV DSOLFDQGR OD UHJOD GHO SURGXFWR VH

REWLHQH

y SRU OR WDQWR

uex y

exu , y y

ex (u

uex

2ex u

2u )

ex u ,

0.

3XHVWR TXH ex OD ~OWLPD HFXDFLyQ UHTXLHUH TXH u u 6L VH KDFH OD VXVWLWXFLyQ w u HVWD HFXDFLyQ OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ HQ u VH FRQYLHUWH HQ w w TXH es una ecuaciรณn lineal de primer orden en w 6L VH XVD HO IDFWRU LQWHJUDQWH e x, se puede d 2x escribir [e w] 0 'HVSXpV GH LQWHJUDU VH REWLHQH w c1e x o u cle x. Al dx 1 2x LQWHJUDU GH QXHYR VH REWLHQH u c2. Asรญ 2 c1 e y

u(x)ex

c1 e 2

x

c2 e x

+DFLHQGR c 0 y c1 VH REWLHQH OD VHJXQGD VROXFLyQ GHVHDGD y e x 3XHVWR TXH W(ex, e x) SDUD WRGD x ODV VROXFLRQHV VRQ OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV HQ , ).

3XHVWR TXH VH KD GHPRVWUDGR TXH y1 ex y y e x VRQ VROXFLRQHV OLQHDOPHQWH LQGHSHQGLHQWHV GH XQD HFXDFLyQ OLQHDO GH VHJXQGR RUGHQ OD H[SUHVLyQ HQ HV HQ UHDOLGDG la soluciรณn general de y y 0 sobre ( , ).

Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado 11e proporciona a los estudiantes de ingeniería, ciencias y matemáticas abundantes ejemplos, problemas, explicaciones, recuadros, tablas, ejercicios y definiciones para el estudio analítico, cualitativo y cuantitativo de la materia, aunado al estilo directo y didáctico del autor.

Características principales: Los ejemplos se han diseñado para mostrar aspectos más importantes de cada sección y, por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas.

En muchas secciones se han agregado comentarios, figuras y ejemplos adicionales.

En todo el libro se ha dado un mayor énfasis a los conceptos de ecuaciones diferenciales lineales por partes y a las soluciones que implican integrales no elementales.

El Apéndice A, Funciones definidas por integrales, es nuevo en la presente edición.

Esta obra incluye tablas de conversión para consultarlas conforme trabaje en las aplicaciones y ejercicios relacionados.

Las unidades de medida utilizadas en la mayoría de los ejemplos y ejercicios se han convertido del sistema de unidades acostumbradas en los Estados Unidos (USCS) (también llamado de Unidades inglesas o Imperiales) a unidades métricas.

ISBN-13: 978-607-526-631-2 ISBN-10: 607-526-631-3

9 786075 266312