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S T E WA R T

JAMES STEWART

Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas es una obra líder en el mercado que tiene

sus competencias. Por lo anterior, en esta octava edición el énfasis se orienta hacia la implementación de lo que el autor denomina la regla de tres, es decir, que “Los temas deben presentarse geométrica, numérica y algebraicamente”. Es así que la visualización, al igual que la experimentación numérica y gráfica, han transformado la manera en que se desarrolla y enseña en la actualidad el razonamiento conceptual.

C ÁLCULO

profesional la importancia de la materia y la forma en que puede desarrollar e incrementar

DE U NA VA R I A B L E

ción sino también por su sorprendente belleza. Con ello, su autor busca transmitir al futuro

TRASCENDENTES TEMPRANAS

como objetivo ayudar al estudiante a descubrir y comprender el cálculo, no sólo en su aplica-

CÁ LCULO DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS

Octava edición ISBN-13: 978-607-526-550-6 ISBN-10: 607-526-550-3

Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com

portada_Stewart_calculo_una_variable.indd 1

Octava edición

9 786075 265506

25/05/17 12:54


S T E WA R T

Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas es una obra líder en el mercado que tiene

sus competencias. Por lo anterior, en esta octava edición el énfasis se orienta hacia la implementación de lo que el autor denomina la regla de tres, es decir, que “Los temas deben presentarse geométrica, numérica y algebraicamente”. Es así que la visualización, al igual que la experimentación numérica y gráfica, han transformado la manera en que se desarrolla y enseña en la actualidad el razonamiento conceptual.

C ÁLCULO

profesional la importancia de la materia y la forma en que puede desarrollar e incrementar

DE U NA VA R I A B L E

ción sino también por su sorprendente belleza. Con ello, su autor busca transmitir al futuro

TRASCENDENTES TEMPRANAS

como objetivo ayudar al estudiante a descubrir y comprender el cálculo, no sólo en su aplica-

Octava edición ISBN-13: 978-607-526-550-6 ISBN-10: 607-526-550-3

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9 786075 265506

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CÁLCULO

DE UNA VARIABLE TRASCENDENTES TEMPRANAS OCTAVA EDICIÓN JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

Traducción Ana Elizabeth García Hernández Enrique C. Mercado González

Revisión técnica Ileana Borja Tecuatl Departamento de Matemática Educativa, CINVESTAV-IPN

Hiram Cárdenas Gordillo

Luz Citlaly Estrada López

Facultad de Ingeniería, Universidad La Salle, México

Centro Universitario de Ciencias Exactas e Ingeniería, Universidad de Guadalajara, México

Pedro Vásquez Urbano Universidad de Puerto Rico - Mayaguez

Gilgamesh Luis Raya Universidad Politécnica de Pachuca, México

José Ignacio Cuevas González Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas

Armando Silva Castillo

Antonieta Martínez Velasco

Universidad Politécnica

Universidad Panamericana, campus Ciudad de México

de Pachuca, México

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur


Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas, octava edición. James Stewart Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón

© D.R. 2018 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301. Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa. C.P. 05320. Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

Imagen de portada: © David Carrick | Dreamstime.com

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo, amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Composición tipográfica: Humberto Núñez Ramos Angélica Toledo Tirado Alejandro Hernández Hernández

Traducido del libro Single Variable Calculus: Early Transcendentals, Eighth Edition, International Metric Version. James Stewart. Publicado en inglés por Cengage Learning ©2016. ISBN: 978-1-305-27238-5

Editor Senior Hardside: Pablo Miguel Guerrero Rosas Editora de desarrollo: Abril Vega Orozco Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada: Karla Paola Benítez García

Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James. Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas, octava edición. ISBN: 978-607-526-550-6 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 19 18 17


PREFACIO xi AL ESTUDIANTE xxii CALCULADORAS, COMPUTADORAS Y OTROS DISPOSITIVOS DE GRAFICACIÓN xxiv PRUEBAS DE DIAGNÓSTICO xxvi

Un adelanto del cálculo

1

1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

© Pictura Collectus/Alamy

Cuatro maneras de representar una función 10 Modelos matemáticos: un catálogo de funciones esenciales 23 Funciones nuevas a partir de funciones previas 36 Funciones exponenciales 45 Funciones inversas y logarítmicas 55 Repaso 68 Principios para la resolución de problemas 71

© Jody Ann / Shutterstock.com

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Problemas de la tangente y la velocidad 78 El límite de una función 83 Cálculo de límites usando las leyes de los límites 95 Definición precisa de límite 104 Continuidad 114 Límites al infinito; asíntotas horizontales 126 Derivadas y razones de cambio 140 Proyecto de redacción · Primeros métodos para encontrar tangentes 152 2.8 La derivada como una función 152 Repaso 165 Problemas adicionales 169

v


vi

Contenido

3 3.1

© Mechanik / Shutterstock.com

Derivadas de funciones polinomiales y exponenciales 172 Proyecto de aplicación · Construcción de una mejor Montaña Rusa 182 3.2 Reglas del producto y el cociente 183 3.3 Derivadas de funciones trigonométricas 190 3.4 La regla de la cadena 197 Proyecto de aplicación · ¿Dónde debería un piloto iniciar el descenso? 208 3.5 Derivación implícita 208 Proyecto de laboratorio · Familia de curvas implícitas 217 3.6 Derivadas de funciones logarítmicas 218 3.7 Razones de cambio en las ciencias naturales y sociales 224 3.8 Crecimiento y decaimiento exponenciales 237 Proyecto de aplicación · Controlar la pérdida de glóbulos rojos durante una cirugía 244 3.9 Razones relacionadas 245 3.10 Aproximaciones lineales y diferenciales 251 Proyecto de laboratorio · Polinomios de Taylor 258 3.11 Funciones hiperbólicas 259 Repaso 266 Problemas adicionales 270

4

© Tatiana Makotra / Shutterstock.com

4.1

Valores máximos y mínimos 276 Proyecto de aplicación · El cálculo de los arcoíris 285 4.2 Teorema del valor medio 287 4.3 Cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica 293 4.4 Formas indeterminadas y regla de L’Hôpital 304 Proyecto de redacción · Los orígenes de la regla de L’Hôpital 314 4.5 Resumen para el trazo de curvas 315 4.6 Trazo de gráficas con cálculo y calculadoras 323 4.7 Problemas de optimización 330 Proyecto de aplicación · La forma de una lata 343 Proyecto de aplicación · Aviones y pájaros: minimización de la energía 344 4.8 El método de Newton 345 4.9 Antiderivadas 350 Repaso 358 Problemas adicionales 363


Contenido

5 5.1 5.2

© JRC, Inc. / Alamy

Áreas y distancias 366 La integral definida 378 Proyecto de descubrimiento · Funciones de áreas 391 5.3 El teorema fundamental del cálculo 392 5.4 Integrales indefinidas y el teorema del cambio neto 402 Proyecto de redacción · Newton, Leibniz y la invención del cálculo 411 5.5 Regla de sustitución 412 Repaso 421 Problemas adicionales 425

6 6.1

© Richard Paul Kane / Shutterstock.com

Áreas entre curvas 428 Proyecto de aplicación · El índice de Gini 436 6.2 Volúmenes 438 6.3 Volúmenes mediante cascarones cilíndricos 449 6.4 Trabajo 455 6.5 Valor promedio de una función 461 Proyecto de aplicación · El cálculo y el béisbol 464 Proyecto de aplicación · Dónde sentarse en el cine 465 Repaso 466 Problemas adicionales 468

7

© USDA

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5 7.6

Integración por partes 472 Integrales trigonométricas 479 Sustitución trigonométrica 486 Integración de funciones racionales por fracciones parciales 493 Estrategias para la integración 503 Integración utilizando tablas y sistemas algebraicos computacionales 508 Proyecto de descubrimiento · Patrones en integrales 513 7.7 Integración aproximada 514 7.8 Integrales impropias 527 Repaso 537 Problemas adicionales 540

vii


viii

Contenido

8 8.1

© planet5D LLC / Shutterstock.com

Longitud de arco 544 Proyecto de descubrimiento · Concurso de longitudes de arco 550 8.2 Área de una superficie de revolución 551 Proyecto de descubrimiento · Rotación sobre una pendiente 557 8.3 Aplicaciones a la física y a la ingeniería 558 Proyecto de descubrimiento · Tazas de café complementarias 568 8.4 Aplicaciones a la economía y la biología 569 8.5 Probabilidad 573 Repaso 581 Problemas adicionales 583

9 9.1 9.2 9.3

© Dennis Donohue / Shutterstock.com

Modelado con ecuaciones diferenciales 586 Campos direccionales y método de Euler 591 Ecuaciones separables 599 Proyecto de aplicación · ¿Qué tan rápido se vacía un tanque? 608 Proyecto de aplicación · ¿Qué es más rápido, subir o bajar? 609 9.4 Modelos para el crecimiento poblacional 610 9.5 Ecuaciones lineales 620 9.6 Sistemas presa-depredador 627 Repaso 634 Problemas adicionales 637

10 © Stocktrek / Stockbyte / Getty Images

10.1

10.2 10.3 10.4

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas 640 Proyecto de laboratorio · Circunferencias que corren alrededor de circunferencias 648 Cálculo con curvas paramétricas 649 Proyecto de laboratorio · Curvas de Bézier 657 Coordenadas polares 658 Proyecto de laboratorio · Familias de curvas polares 668 Áreas y longitudes en coordenadas polares 669


Contenido

10.5 10.6

Secciones cónicas 674 Secciones cónicas en coordenadas polares 682 Repaso 689 Problemas adicionales 692

11

© STScI / NASA / ESA / Galaxy / Galaxy Picture Library / Alamy

11.1

Sucesiones 694 Proyecto de laboratorio · Sucesiones logísticas 707 11.2 Series 707 11.3 La prueba de la integral y estimaciones de sumas 719 11.4 Pruebas por comparación 727 11.5 Series alternantes 732 11.6 Convergencia absoluta y las pruebas de la razón y la raíz 737 11.7 Estrategia para probar series 744 11.8 Series de potencias 746 11.9 Representación de funciones como series de potencias 752 11.10 Series de Taylor y de Maclaurin 759 Proyecto de laboratorio · Un límite escurridizo 773 Proyecto de redacción · Cómo descubrió Newton las series binomiales 773 11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 774 Proyecto de aplicación · Radiación de las estrellas 783 Repaso 784 Problemas adicionales 78

A B C D E F G H I

Números, desigualdades y valores absolutos A2 Rectas y geometría usando coordenadas A10 Gráficas de ecuaciones de segundo grado A16 Trigonometría A24 Notación sigma A34 Demostración de teoremas A39 El logaritmo definido como una integral A48 Números complejos A55 Respuestas a los ejercicios con número impar A63

ix


xxiv

© Dan Clegg © Dan Clegg

© Dan Clegg

Usted también puede emplear software de computación como Graphing Calculator de Pacific Tech (www.pacifict.com) para ejecutar muchas de esas funciones, lo mismo que aplicaciones para teléfonos y tabletas como Quick Graph (Colombiamug) o Math-Studio (Pomegranate Apps). Funcionalidad similar está disponible usando una interfaz web en WolframAlpha.com.

Los adelantos en tecnología siguen ofreciendo una variedad de herramientas cada vez más amplia para hacer matemáticas. Las calculadoras de bolsillo se han vuelto más potentes, lo mismo que los programas de software y los recursos en internet. Además, muchas aplicaciones matemáticas han sido lanzadas para teléfonos inteligentes y tabletas como la iPad. Algunos ejercicios de este texto están marcados con un icono de graficación , que indica que el uso de alguna tecnología es requerido. A menudo esto significa que se desea que un dispositivo de graficación se use para dibujar la gráfica de una función o ecuación. Usted podría necesitar también tecnología para determinar los ceros de una gráfica o los puntos de intersección de dos gráficas. En algunos casos se usará un dispositivo de cálculo para resolver una ecuación o evaluar numéricamente una integral definida. Muchas calculadoras científicas y graficadoras llevan integradas estas características, como la Texas Instruments TI-84 o TI-Nspire CX. Calculadoras similares son fabricadas por Hewlett Packard, Casio y Sharp.


se reserva a problemas en los que son requeridos los El icono recursos completos de un sistema algebraico computacional (sac). Un sac es capaz de hacer matemáticas (como resolver ecuaciones, calcular derivadas o integrales) simbólicamente más que solo numéricamente. Ejemplos de sistemas algebraicos computacionales firmemente establecidos son los paquetes de software de computación Maple y Mathematica. El sitio web de WolframAlpha usa el motor de Mathematica para proporcionar funcionalidad sac vía la web. Muchas calculadoras graficadoras de bolsillo tienen capacidades del sac, como la TI-89 y TI-Nspire CX CAS de Texas Instruments. Algunas aplicaciones para tabletas y teléfonos inteligentes brindan estas capacidades, como el ya mencionado MathStudio.

© Dan Clegg

© Dan Clegg

© Dan Clegg

En general, cuando se usa el término “calculadora” en este libro, se refiere al uso de cualquiera de los recursos que se han mencionado.

xxv


2

Límites y derivadas

La velocidad máxima sostenible S del salmón depende de la temperatura T del agua. En el ejercicio 58 de la sección 2.7 se le pide que analice cómo varía S cuando cambia T, calculando la derivada de S respecto de T. © Jody Ann / Shutterstock.com

EN UN ADELANTO DEL CÁLCULO (página 1) se vio cómo la idea de límite sustenta las distintas ramas del cálculo. Por tanto, es apropiado comenzar nuestro estudio investigando sus límites y sus propiedades. El tipo especial de límite que se usa para encontrar rectas tangentes y velocidades da lugar a la idea central del cálculo diferencial, la derivada.

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78

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

En esta sección se verá cómo surgen los límites cuando se trata de encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto. t

El problema de la tangente

(a) P C

t

l

(b)

FIGURA 1

La palabra tangente se deriva de la voz latina tangens, que significa “tocar”. Así, una tangente a una curva es una recta que toca la curva. En otras palabras, una recta tangente debe tener la misma dirección que la curva en el punto de contacto, pero, ¿cómo puede hacer precisa esta idea? Para una circunferencia se puede simplemente seguir la idea de Euclides y decir que la tangente es una recta que interseca la circunferencia una y solo una vez, como se muestra en la figura 1(a). Para curvas más complicadas esta definición es inadecuada. La figura 1(b) muestra dos rectas l y t que pasan por un punto P en una curva C. La recta l cruza C solo una vez, pero ciertamente no es la idea que se tiene de lo que es una tangente. La recta t, por otro lado, se parece más a una tangente, pero interseca a C dos veces. Para ser más específicos, intente resolver el problema de encontrar una recta tangente t a la parábola y 5 x2 en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 1 Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábola y 5 x2 en el punto P(1, 1). y

Q { x, ≈} y=≈

t

P (1, 1) x

0

SOLUCIÓN Puede encontrar la ecuación de la recta tangente t tan pronto conozca su pendiente m. La dificultad es que solo se conoce un punto P sobre t, y para calcular la pendiente se necesitan dos puntos. Sin embargo, se observa que puede calcular una aproximación a m eligiendo un punto cercano Q(x, x2) sobre la parábola (como en la figura 2) y calculando la pendiente mPQ de la recta secante PQ. [Una recta secante, de la palabra latina secans, que significa cortar, es una recta que interseca (corta) una curva más de una vez.] Elija x ? 1 de manera que Q ? P. Entonces

FIGURA 2

mPQ −

x2 2 1 x21

Por ejemplo, para el punto Q(1.5, 2.25), se tiene mPQ − x

mPQ

2 1.5 1.1 1.01 1.001

3 2.5 2.1 2.01 2.001

x

mPQ

0 0.5 0.9 0.99 0.999

1 1.5 1.9 1.99 1.999

2.25 2 1 1.25 − − 2.5 1.5 2 1 0.5

Las tablas en el margen muestran los valores de mPQ para varios valores de x cercanos a 1. Cuanto más cerca está Q de P, la x es más cercana a 1 y, de las tablas, mPQ está más cerca de 2. Esto sugiere que la pendiente de la recta tangente t debe ser m 5 2. Se dice que la pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes, y esto se expresa simbólicamente escribiendo lím mPQ − m

Q :P

y

x:1

x2 2 1 −2 x21

Suponiendo que la pendiente de la recta tangente finalmente es 2, se utiliza la ecuación de la recta en la forma punto-pendiente [y 2 y1 5 m(x 2 x1), véase el apéndice B) para escribir la ecuación de la recta tangente en (1, 1) como y 2 1 − 2sx 2 1d

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lím

o

y − 2x 2 1

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SECCIÓN 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad

La figura 3 muestra el proceso de límite que se presenta en este ejemplo. Cuando Q se aproxima a P a lo largo de la parábola, las rectas secantes correspondientes giran alrededor de P y se aproximan a la recta tangente t.

y

y

y

Q t

t

t Q

Q P

P

0

P

0

x

0

x

x

Q se aproxima a P por la derecha y

y

y

t

Q

t

P

t

P

P

Q 0

0

x

FIGURA 3

TEC En Visual 2.1 puede ver cómo funciona el proceso en la figura 3 para otras funciones.

t

Q

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

100.00 81.87 67.03 54.88 44.93 36.76

Q 0

x

x

Q se aproxima a P por la izquierda

n

Muchas de las funciones que se producen en la ciencia no están descritas por ecuaciones explícitas, sino que están definidas por datos experimentales. El ejemplo siguiente muestra cómo calcular la pendiente de la recta tangente a la gráfica de este tipo de funciones.

EJEMPLO 2 La unidad de destello (flash) de una cámara funciona mediante el almacenamiento de carga en un condensador y su liberación repentina cuando el flash se activa. Los datos de la tabla describen la carga Q restante en el condensador (medida en microcoulombs) en el tiempo t (medido en segundos después de que el flash se dispara). Utilice los datos para dibujar la gráfica de esta función y calcule la pendiente de la recta tangente en el punto donde t 5 0.04. [Nota: la pendiente de la recta tangente representa la corriente eléctrica (medida en microamperes) que fluye desde el condensador a la lámpara del flash.] SOLUCIÓN En la figura 4 se grafican los datos dados y se usan para trazar una curva que se aproxima a la gráfica de la función. Q (microcoulombs) 100 90 80 70 60 50

FIGURA 4

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0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t (segundos)

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CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Dados los puntos P(0.04, 67.03) y R(0.00, 100.00) en la gráfica, se encuentra con que la pendiente de la recta secante PR es mPR −

R

mPR

(0.00, 100.00) (0.02, 81.87) (0.06, 54.88) (0.08, 44.93) (0.10, 36.76)

2824.25 2742.00 2607.50 2552.50 2504.50

100.00 2 67.03 − 2824.25 0.00 2 0.04

La tabla de la izquierda muestra los resultados de cálculos similares para las pendientes de otras rectas secantes. De esta tabla se esperaría que la pendiente de la recta tangente en t 5 0.04 se encuentre en algún valor entre 2742 y 2607.5. De hecho, el promedio de las pendientes de las dos rectas secantes más próximas es 1 2 s2742

2 607.5d − 2674.75

Así, por este método, se estima la pendiente de la recta tangente como 2675. Otro método consiste en elaborar una aproximación a la tangente en P y medir los lados del triángulo ABC, como en la figura 5.

Q (microcoulombs) 100 90 80

A P

70 60 50

FIGURA 5

0

B

C

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t (segundos)

Esto da una estimación de la pendiente de la recta tangente como El significado físico de la respuesta en el ejemplo 2 es que la corriente eléctrica que circula desde el condensador a la bombilla de flash después de 0.04 segundos es de aproximadamente 2670 microamperes.

2

| AB | < 2 80.4 2 53.6 − 2670 0.06 2 0.02 | BC |

n

El problema de la velocidad Si usted mira el velocímetro de un automóvil mientras viaja en el tráfico de la ciudad, se ve que la aguja no se queda quieta por mucho tiempo; es decir, la velocidad del automóvil no es constante. Suponga al ver el velocímetro, que el auto tiene una velocidad determinada en cada instante, pero ¿cómo se define la velocidad “instantánea”? Investigue el ejemplo de la caída de una pelota.

EJEMPLO 3 Suponga que una pelota se deja caer desde la plataforma superior de observación de la Torre CN en Toronto, a 450 m sobre el suelo. Encuentre la velocidad de la pelota después de 5 segundos. SOLUCIÓN Por medio de experimentos llevados a cabo hace cuatro siglos, Galileo descubrió que la distancia que recorre cualquier cuerpo en caída libre es proporcional al cuadrado del tiempo que ha estado cayendo. (Este modelo de caída libre no considera

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SECCIÓN 2.1 Problemas de la tangente y la velocidad

81

la resistencia del aire.) Si la distancia de caída después de t segundos se denota por s(t) y se mide en metros, entonces la ley de Galileo se expresa por la ecuación sstd − 4.9t 2 La dificultad para encontrar la velocidad después de 5 s es que se trata de un solo instante de tiempo (t 5 5), por lo que no se cuenta con un intervalo de tiempo. Sin embargo, se puede aproximar la cantidad deseada mediante el cálculo de la velocidad promedio en el breve intervalo de tiempo de una décima de segundo, desde t 5 5 hasta t 5 5.1: cambio en la posición tiempo transcurrido

Steve Allen / Stockbyte / Getty Images

velocidad promedio − −

ss5.1d 2 ss5d 0.1

4.9s5.1d2 2 4.9s5d2 − 49.49 mys 0.1

La tabla siguiente muestra los resultados de cálculos similares de la velocidad promedio durante períodos cada vez más pequeños.

La Torre CN en Toronto fue el edificio autoestable más alto en el mundo durante 32 años.

Intervalo de tiempo

Velocidad promedio (m/s)

5<t<6

53.9

5 < t < 5.1

49.49

5 < t < 5.05

49.245

5 < t < 5.01 5 < t < 5.001

49.049 49.0049

s

s=4.9t@ Q pendiente de la recta secante 5 velocidad promedio

P

a

0

a+h

t

s

s=4.9t@

Parece que, a medida que se acorta el período, la velocidad promedio es cada vez más cercana a 49 m/s. La velocidad instantánea cuando t 5 5 se define como el valor límite de estas velocidades promedio, durante períodos cada vez más cortos que comienzan en t 5 5. Así, la velocidad (instantánea) después de 5 segundos es √ 5 49 m/s

Usted puede sentir que los cálculos utilizados en la solución de este problema son muy similares a los utilizados anteriormente en esta sección para encontrar tangentes. De hecho, hay una estrecha conexión entre el problema de obtener la tangente y aquel de encontrar la velocidad. Si se dibuja la gráfica de la función de la distancia recorrida por la pelota (como en la figura 6) y se consideran los puntos P(a, 4.9a2) y Q(a 1 h, 4.9(a 1 h)2) sobre la gráfica, entonces la pendiente de la recta secante PQ es mPQ −

4.9sa 1 hd2 2 4.9a 2 sa 1 hd 2 a

pendiente de la recta tangente 5 velocidad instantánea que es la misma que la velocidad promedio en el intervalo de tiempo [a, a 1 h]. Por

P

0

n

a

FIGURA 6

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t

tanto, la velocidad en el instante t 5 a (el límite de las velocidades promedio cuando h tiende a 0) debe ser igual a la pendiente de la recta tangente en P (el límite de las pendientes de las rectas secantes). Los ejemplos 1 y 3 muestran que, para resolver los problemas de la tangente y la velocidad, debe ser capaz de calcular límites. Después de estudiar los métodos para calcular límites en las cinco secciones siguientes, se regresará a estos problemas de encontrar tangentes y velocidades en la sección 2.7.

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82

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJERCICIOS 1. Un tanque contiene 1000 litros de agua que se drenan por la parte inferior del tanque en media hora. Los valores de la tabla muestran el volumen V de agua que queda en el tanque (en litros) después de t minutos. t smind V sLd

5

10

15

20

25

30

694

444

250

111

28

0

(a) Si P es el punto (15, 250) sobre la gráfica de V, encuentre las pendientes de las rectas secantes PQ cuando Q es el punto sobre la gráfica con t 5 5, 10, 20, 25 y 30. (b) Calcule la pendiente de la recta tangente en P por medio del promedio de las pendientes de dos rectas secantes. (c) Utilice una gráfica de la función para calcular la pendiente de la recta tangente en P. (Esta pendiente representa la rapidez a la que fluye el agua del tanque después de 15 minutos.) 2. Un monitor se utiliza para medir la frecuencia cardiaca de un paciente después de una cirugía. El aparato compila el número de latidos del corazón después de t minutos y se registran en una tabla. Cuando los datos de la tabla se representan gráficamente, la pendiente de la recta tangente representa la frecuencia cardiaca en latidos por minuto. t smind

36

38

40

42

44

Latidos

2530

2661

2806

2948

3080

El monitor estima este valor calculando la pendiente de una recta secante. Utilice los datos para calcular el ritmo cardíaco del paciente después de 42 minutos, utilizando la recta secante entre los puntos con los valores dados de t. (a) t − 36 y t − 42 (b) t − 38 y t − 42 (c) t − 40 y t − 42 (d) t − 42 y t − 44 ¿Cuáles son sus conclusiones? 3. El punto P(2, 21) se encuentra en la curva y 5 1/(1 2 x). (a) Si Q es el punto (x, 1/(1 2 x)), utilice la calculadora para determinar la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de seis decimales) para los valores de x siguientes: (i) 1.5 (ii) 1.9 (iii) 1.99 (iv) 1.999 (v) 2.5 (vi) 2.1 (vii) 2.01 (viii) 2.001 (b) Utilice los resultados del inciso (a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(2, 21). (c) Utilizando la pendiente del inciso (b), obtenga la ecuación de la recta tangente a la curva en P(2, 21). 4. El punto P(0.5, 0) se encuentra sobre la curva y 5 cos px. (a) Si Q es el punto (x, cos px), utilice la calculadora para encontrar la pendiente de la secante PQ (redondeada a seis decimales) para los valores de x siguientes: (i) 0 (ii) 0.4 (iii) 0.49 (iv) 0.499 (v) 1 (vi) 0.6 (vii) 0.51 (viii) 0.501

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(b) Utilice los resultados del inciso (a), para intuir el valor de la pendiente de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). (c) Utilice la pendiente del inciso (b), para determinar la ecuación de la recta tangente a la curva en P(0.5, 0). (d) Trace la curva, dos de las rectas secantes y la recta tangente. 5. Si se lanza una pelota al aire con una velocidad de 10 m/s, su altura en metros después de t segundos está dada por y 5 10t 2 4.9t2. (a) Encuentre la velocidad promedio para el período que comienza cuando t 5 1.5 y permanece (i) 0.5 segundos (ii) 0.1 segundos (iii) 0.05 segundos (iv) 0.01 segundos (b) Calcule la velocidad instantánea cuando t 5 1.5. 6. Si una piedra se lanza hacia arriba en el planeta Marte a una velocidad de 10 m/s, su altura en metros t segundos después está dada por y 5 10t 2 1.86t2 (a) Encuentre la velocidad promedio en los intervalos de tiempo dados: (i) [1, 2] (ii) [1, 1.5] (iii) [1, 1.1] (iv) [1, 1.01] (v) [1, 1.001] (b) Calcule la velocidad instantánea cuando t 5 1. 7. La tabla muestra la posición de un ciclista después de que acelera a partir del reposo. t (segundos)

0

1

2

3

4

5

s (metros)

0

1.4

5.1

10.7

17.7

25.8

(a) Encuentre la velocidad promedio para cada período: (i) f1, 3g (ii) f2, 3g (iii) f3, 5g (iv) f3, 4g (b) Utilice la gráfica de s en función de t para calcular la velocidad instantánea cuando t 5 3. 8. El desplazamiento (en centímetros) de una partícula que se mueve hacia adelante y hacia atrás a lo largo de una línea recta está dado por la ecuación de movimiento s 5 2 sen pt 1 3 cos pt, donde t se mide en segundos. (a) Encuentre la velocidad promedio durante cada período: (i) [1, 2] (ii) [1, 1.1] (iii) [1, 1.01] (iv) [1, 1.001] (b) Calcule la velocidad instantánea de la partícula cuando t 5 1. 9. El punto P(1, 0) se encuentra sobre la curva y 5 sen(10p/x). (a) Si Q es el punto (x, sen(10p/x)), encuentre la pendiente de la recta secante PQ (con una precisión de cuatro decimales) para x 5 2, 1.5, 1.4, 1.3, 1.2, 1.1, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8 y 0.9. ¿Las pendientes parecen estar acercándose a un límite? (b) Utilice la gráfica de la curva para explicar por qué las ; pendientes de las rectas secantes en el inciso (a) no están cercanas a la pendiente de la recta tangente en P. (c) Eligiendo rectas secantes apropiadas, calcule la pendiente de la recta tangente en P.

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83

SECCIÓN 2.2 El límite de una función

En la sección anterior se vio cómo surgen los límites cuando se quiere encontrar la recta tangente a una curva o la velocidad de un objeto; ahora dirija la atención a los límites en general y los métodos numéricos y gráficos para calcularlos. Investigue el comportamiento de la función f definida por f(x) 5 x2 2 x 1 2 para valores de x cercanos a 2. La tabla siguiente muestra los valores de f(x) para valores de x cercanos a 2, pero no iguales a 2. y

ƒ se aproxima a 4.

0

y=≈-x+2 4

2

f sxd

x

2.000000 2.750000 3.440000 3.710000 3.852500 3.970100 3.985025 3.997001

3.0 2.5 2.2 2.1 2.05 2.01 2.005 2.001

f sxd 8.000000 5.750000 4.640000 4.310000 4.152500 4.030100 4.015025 4.003001

x

Cuando x se aproxima a 2

FIGURA 1

x 1.0 1.5 1.8 1.9 1.95 1.99 1.995 1.999

De la tabla y la gráfica de f (una parábola) que se muestra en la figura 1, se ve que cuando x se aproxima a 2 (por ambos lados de 2), f(x) se aproxima a 4. De hecho, parece que se puede hacer que los valores de f(x) estén tan cerca de 4 como se quiera, tomando x suficientemente cerca de 2. Esto se expresa al decir que “el límite de la función f(x) 5 x2 2 x 2 2 cuando x tiende a 2 es igual a 4”. La notación para esto es lím sx 2 2 x 1 2d − 4

x :2

En general, se usa la siguiente notación. 1 Definición intuitiva de un límite Suponga que f(x) está definida cuando x está cerca del número a. (Esto significa que f está definida en algún intervalo abierto que contiene a a, excepto posiblemente en a misma.) Entonces se escribe lím f sxd − L

x:a

y se dice que

“el límite de f(x), cuando x tiende a a, es igual a L”

si se puede hacer que los valores de f(x) estén arbitrariamente cercanos a L (tan cercanos a L como se quiera), tomando valores de x suficientemente cerca de a (por ambos lados de a), pero no iguales a a. En términos generales, esto quiere decir que los valores de f(x) se aproximan a L cuando x tiende a a. En otras palabras, los valores de f(x) tienden a estar más y más cerca del número L cuando x se acerca cada vez más al número a (de ambos lados de a), pero x  a. (En la sección 2.4 se dará una definición más precisa.) Una notación alternativa para lím f sxd − L

x:a

es

f sxd : L

cuando

x:a

que suele leerse “f(x) tiende a L cuando x tiende a a”.

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84

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

Observe la frase “pero x  a” en la definición de límite. Esto significa que, al encontrar el límite de f(x) cuando x se aproxima a a, no se considera x 5 a. De hecho, f(x) podría no estar definida cuando x 5 a. Lo único que importa es cómo se define f cerca de a. La figura 2 muestra las gráficas de tres funciones. Observe que en el inciso (c), f(a) no está definida y, en el inciso (b), f(a)  L. Sin embargo, en cada caso, independientemente de lo que sucede en a, es cierto que lím f(x) 5 L. x=a

y

y

y

L

L

L

0

a

0

x

a

(a)

0

x

(b)

x

a

(c)

FIGURA 2 lím f(x) 5 L en los tres casos x=a

EJEMPLO 1 Infiera el valor de lím

x :1

x,1

f sxd

0.5 0.9 0.99 0.999 0.9999

0.666667 0.526316 0.502513 0.500250 0.500025

x.1

f sxd

1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001

0.400000 0.476190 0.497512 0.499750 0.499975

1

0.5

x21 . x2 2 1

SOLUCIÓN Observe que la función f(x) 5 (x 2 1)/(x2 2 1) no está definida cuando

x 5 1, pero eso no importa, porque la definición de lím x : a f sxd dice que se consideran los valores de x que están cerca de a, pero que no son iguales a a. Las tablas de la izquierda dan valores de f(x) (con una precisión de seis decimales) para valores de x que tienden a 1 (pero no iguales a 1). Con base en los valores en las tablas, haga la suposición de que lím

x:1

x21 − 0.5 x2 2 1

n

El ejemplo 1 se ilustra en la gráfica de f, en la figura 3. Ahora se va a cambiar un poco f, dándole el valor de 2 cuando x 5 1 y llamando g a la función obtenida: gsxd −

H

x21 x2 2 1

si x ± 1

2

si x − 1

Esta nueva función g conserva el mismo límite cuando x tiende a 1 (véase la figura 4). y

y

2

y=

x-1 ≈-1

y=©

0.5

0

FIGURA 3

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0.5

1

x

0

1

x

FIGURA 4

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SECCIÓN 2.2 El límite de una función

st 2 1 9 2 3 . t:0 t2 SOLUCIÓN La tabla presenta los valores de la función para varios valores de t cercanos a 0.

EJEMPLO 2 Calcule el valor de lím

st 2 1 9 2 3 t2

t 61.0

0.162277 . . .

60.5

0.165525 . . .

60.1

0.166620 . . .

60.05 60.01

0.166655 . . . 0.166666 . . .

A medida que t se acerca a 0, los valores de la función parecen acercarse a 0.1666666..., por lo que suponga que lím

t:0

t

st 2 1 9 2 3 t2

60.001 60.0001 60.00001 60.000001

0.166667 0.166670 0.167000 0.000000

www.stewartcalculus.com Para una mayor explicación de por qué las calculadoras, a veces, dan valores falsos, haga clic en Lies My Calculator and Computer Told Me. En particular, véase la sección llamada The Perils of Subtraction.

1 st 2 1 9 2 3 − t2 6

n

En el ejemplo 2, ¿qué habría sucedido si se hubiera tomado valores aún más pequeños de t? La tabla en el margen muestra los resultados de una calculadora; sin duda, ¡algo extraño parece estar sucediendo! Si trata de obtener estos cálculos en su propia calculadora podría obtener valores diferentes, pero al final obtendrá el valor 0 si hace t suficientemente pequeña. ¿Significa esto que la respuesta es realmente 0, en lugar de 16? No, el valor del límite es 16, como se demuestra en la siguiente sección. El problema es que la calculadora dio valores falsos porque st2 1 9 está muy cerca de 3 cuando t es pequeña. (De hecho, cuando t es suficientemente pequeña, una calculadora da el valor de 3.000... para tantos dígitos como la calculadora sea capaz de aceptar.) Algo similar sucede cuando se trata de graficar la función f std −

st 2 1 9 2 3 t2

del ejemplo 2, en una calculadora graficadora o computadora. Los incisos (a) y (b) de la figura 5 muestran gráficas bastante precisas de f, y cuando se utiliza el modo trace (si está disponible) se puede calcular fácilmente que el límite es cercano a 16. Pero si se acerca demasiado, como en los incisos (c) y (d), entonces obtiene gráficas incorrectas, de nuevo debido a problemas con la sustracción.

0.2

0.2

0.1

0.1

sad 25 < t < 5

sbd 20.1 < t < 0.1

scd 21026 < t < 1026

sdd 21027 < t < 1027

FIGURA 5

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86

CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

EJEMPLO 3 Obtenga el valor de lím

x:0

x

sen x x

61.0 60.5 60.4 60.3 60.2 60.1 60.05 60.01 60.005 60.001

0.84147098 0.95885108 0.97354586 0.98506736 0.99334665 0.99833417 0.99958339 0.99998333 0.99999583 0.99999983

sen x . x

SOLUCIÓN La función f(x) 5 (sen x)/x no está definida cuando x 5 0. Usando una calculadora (y recordando que, si x  , sen x significa el seno del ángulo x medido en radianes) puede elaborar una tabla de valores con una precisión de hasta ocho decimales. De la tabla a la izquierda y la gráfica en la figura 6 suponga que

lím

x:0

sen x −1 x

De hecho, esta conjetura es correcta como se demostrará en el capítulo 3, utilizando un argumento geométrico. y 1

y=

0

1

sen x x

FIGURA 6 _1

x

n

EJEMPLO 4 Investigue lím sen x:0

Sistemas algebraicos computacionales Los sistemas algebraicos computacionales (sac) tienen instrucciones que calculan límites. Para evitar los tipos de trampas como las de los ejemplos 2, 4 y 5, no calculan límites a partir de la experimentación numérica. En su lugar, utilizan técnicas más sofisticadas, como el cálculo de series infinitas. Si usted tiene acceso a un sac, utilice las instrucciones de límites para calcular los límites de los ejemplos de esta sección y para revisar sus respuestas en los ejercicios de este capítulo.

x

.

SOLUCIÓN Una vez más la función f(x) 5 sen(p/x) no está definida en 0. Evaluando la función para algunos valores pequeños de x, obtenga

f s1d − sen

f ( 12 ) − sen 2 − 0

−0

f ( 13) − sen 3 − 0

f ( 14) − sen 4 − 0

f s0.1d − sen 10 − 0

f s0.01d − sen 100 − 0

Del mismo modo, f(0.001) 5 f(0.0001) 5 0. Con base en esta información se puede estar tentado a suponer lím sen

x:0

x

−0

pero esta vez la suposición es errónea. Observe que, aunque f(1/n) 5 sen np 5 0 para cualquier entero n, también es cierto que f(x) 5 1 para muchos valores de x (tal como 2/5 o 2/101). Esto se puede ver en la gráfica de f que se muestra en la figura 7. y

y=sen(π/x)

1

_1 1

FIGURA 7

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x

_1

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SECCIÓN 2.2 El límite de una función

Las líneas punteadas, cerca del eje y indican que los valores del sen(p/x) oscilan infinitamente entre 1 y 21 cuando x tiende a 0. (Véase el ejercicio 51.) Ya que los valores de f(x) no se acercan a un número fijo cuando x tiende a 0, lím sen

x:0

x

cos 5x x3 1 10 000

1 0.5 0.1 0.05 0.01

1.000028 0.124920 0.001088 0.000222 0.000101

x

x3 1

0.005 0.001

S

EJEMPLO 5 Encuentre el lím x 3 1 x:0

x

no existe

n

D

cos 5x . 10 000

SOLUCIÓN Como antes, se elabora una tabla de valores. De la primera tabla en el margen parece que

lím

x:0

S

cos 5x 10 000

x3 1

D

−0

Pero si se persevera con valores más pequeños de x, la segunda tabla sugiere que

cos 5x 10 000

lím

x:0

0.00010009 0.00010000

S

x3 1

cos 5x 10 000

D

− 0.000100 −

1 10 000

Más adelante verá que límx : 0 cos 5x 51; entonces se deducirá que el límite es 0.0001.

n

Los ejemplos 4 y 5 ilustran algunos de los riesgos al intentar conjeturar el valor de un límite. Es fácil caer en el valor incorrecto si se utilizan valores inadecuados de x, pero es difícil saber cuándo dejar de calcular valores. Y, como muestra la discusión después del ejemplo 2, a veces las calculadoras y las computadoras dan valores incorrectos. En la sección siguiente, sin embargo, se van a desarrollar métodos infalibles para el cálculo de límites.

Límites laterales EJEMPLO 6 La función de Heaviside H se define por Hstd −

y 1

0

FIGURA 8 La función de Heaviside

t

H

0 si t , 0 1 si t > 0

[Esta función lleva el nombre del ingeniero eléctrico Oliver Heaviside (1850-1925) y se utiliza para describir una corriente eléctrica en un circuito en el tiempo t 5 0.] Su gráfica se muestra en la figura 8. Cuando t se aproxima a 0 por la izquierda, H(t) se aproxima a 0. Conforme t se aproxima a 0 por la derecha, H(t) se aproxima a 1. No hay un único número al que se aproxime H(t) n cuando t se aproxima a 0. Por tanto, límt : 0 H(t) no existe. Ha observado en el ejemplo 6 que H(t) tiende a 0 cuando t se aproxima a 0 por la izquierda y H(t) tiende a 1 a medida que t se aproxima a 0 por la derecha. Esta situación se indica simbólicamente al escribir lím Hstd − 0

t : 02

y

lím Hstd − 1

t : 01

El símbolo t : 02 indica que se consideran solo los valores de t que son menores de 0. De igual modo, t : 01 indica que se consideran solo los valores de t que son mayores de 0.

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CAPÍTULO 2

Límites y derivadas

2 Definición de límites unilaterales Cuando se escribe lím f sxd − L

x :a2

se expresa que el límite por la izquierda de f(x) cuando x se aproxima a a [o el límite de f(x) cuando x tiende a a por la izquierda] es igual a L si se puede hacer que los valores de f(x) se acerquen arbitrariamente a L, tanto como se quiera, tomando x suficientemente cercanos a a, pero menores que a. Observe que la definición 2 difiere de la definición 1 solo en el hecho de que se pide que x sea necesariamente menor que a. Del mismo modo, si se requiere que x sea mayor que a, se obtiene que “el límite por la derecha de f(x) cuando x tiende a a es igual a L” y se escribe lím f sxd − L

x : a1

Así, la notación x : a1 significa que se consideran solo x mayores que a. Estas definiciones se ilustran en la figura 9. y

y

L

ƒ 0

FIGURA 9

x

0

x

a

ƒ

L a

x

x

(b) lím ƒ=L

(a) lím ƒ=L

x a+

x a_

Al comparar la definición 1 con las de los límites laterales, vea que se satisface lo siguiente. 3

si y solo si

lím f sxd − L

x : a2

y

lím f sxd − L

x : a1

EJEMPLO 7 La gráfica de una función g se muestra en la figura 10. Utilícela para establecer los valores (si existen) de los siguientes:

y 4 3

(a) lím2 tsxd

(b) lím1 tsxd

(c) lím tsxd

(d) lím2 tsxd

(e) lím1 tsxd

(f) lím tsxd

x:2

y=©

x:5

1 0

lím f sxd − L

x:a

1

FIGURA 10

2

3

4

5

x

x:2

x:5

x:2

x:5

SOLUCIÓN En la gráfica vea que los valores de g(x) tienden a 3 conforme x tiende a 2 por la izquierda, pero se acercan a 1 a medida que x tiende a 2 por la derecha. Por tanto,

(a) lím2 tsxd − 3 x:2

y

(b) lím1 tsxd − 1 x:2

(c) Dado que los límites por la izquierda y por la derecha son diferentes, se llega a la conclusión de que límx : 2 g(x) no existe. La gráfica también muestra que (d) lím2 tsxd − 2 x:5

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y

(e) lím1 tsxd − 2 x:5

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4

Cuando observa el mundo que lo rodea, la luz que entra al ojo cerca del centro de la pupila se percibe más brillante que la luz que entra más cerca de los bordes de la pupila. Este fenómeno, conocido como el efecto Stiles-Crawford, se explora conforme el radio de la pupila cambia en el ejercicio 80 de la página 313.

Aplicaciones de la derivada

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YA SE HAN INVESTIGADO ALGUNAS de las aplicaciones de la derivada, pero ahora que se conocen las reglas de derivación se está en mejor posición para continuar con mayor profundidad con las aplicaciones de la derivada. Aquí se aprenderá cómo las derivadas afectan la forma de una gráfica de una función y, en particular, cómo ayudan a localizar valores máximos y mínimos de funciones. Muchos problemas prácticos requieren minimizar un costo o maximizar un área, o encontrar el mejor resultado posible para una situación. En particular, se podrá investigar la forma óptima de una lata y explicar la ubicación de los arcoíris en el cielo.

275

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276

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

Algunas de las aplicaciones más importantes del cálculo diferencial son los problemas de optimización, en los cuales se requiere encontrar la manera óptima (la mejor) para hacer algo. Algunos ejemplos de los problemas que se resolverán en este capítulo son:

• •

¿Cuál debe ser la forma de una lata que minimice los costos de fabricación? ¿Cuál es la aceleración máxima de un transbordador espacial? (Esta es una pregunta importante para los astronautas que tienen que soportar los efectos de la aceleración.) ¿Cuál es el radio de una tráquea contraída que expele aire del modo más rápido al toser? ¿Qué ángulo deben formar los vasos sanguíneos al ramificarse, de modo que se minimice la energía consumida por el corazón al bombear la sangre?

• •

Estos problemas pueden reducirse a encontrar los valores máximo o mínimo de una función. Para empezar, primero se explicará exactamente lo que son estos valores. En la figura 1 se muestra la gráfica de una función f en la que el punto más alto es (3, 5). En otras palabras, el valor más grande de f es f(3) 5 5. Por otro lado, el valor más pequeño es f(6) 5 2. Se dice que f(3) 5 5 es el máximo absoluto de f y f(6) 5 2 es el mínimo absoluto. En general, se usa la definición siguiente:

y 4

2

0

4

2

x

6

1 Definición Sea c un número en el dominio D de una función f. Entonces f(c) es el • valor máximo absoluto de f sobre D si f(c) > f(x) para toda x en D.

FIGURA 1

y

f(d) f(a) a

0

b

c

d

x

e

FIGURA 2

Mínimo absoluto f(a), máximo absoluto f(d), mínimos locales f(c), f(e), máximos locales f(b), f(d)

4

mínimo local

máximo local

• •

mínimo local y absoluto

2

I

J

K

0

4

8

12

FIGURA 3

Stewart_ch04_275-286.indd 276

Un máximo o mínimo absoluto se le llama a veces máximo o mínimo global. Los valores máximo y mínimo de f se llaman valores extremos de f. La figura 2 muestra la gráfica de una función f con máximo absoluto en d y mínimo absoluto en a. Observe que (d, f(d)) es el punto más alto sobre la gráfica y (a, f(a)) es el punto más bajo. En la figura 2, si se consideran solo valores de x cercanos a b [por ejemplo, si se restringe la atención al intervalo (a, c)], entonces f(b) es el más grande de estos valores de f(x) y se llama valor máximo local de f. Por otro lado, f(c) se llama valor mínimo local de f porque f(c) < f(x) para x cercana a c [en el intervalo (b, d), por ejemplo]. La función f también tiene un mínimo local en e. En general, se tiene la definición siguiente. 2 Definición El número f(c) es un

y

6

valor mínimo absoluto de f sobre D si f(c) < f(x) para toda x en D.

x

valor máximo local de f si f(c) > f(x) cuando x está cerca de c. valor mínimo local de f si f(c) < f(x) cuando x está cerca de c.

En la definición 2 (y en otros lugares), si se dice que algo se cumple cerca de c, significa que se cumple en algún intervalo abierto que contiene a c. Por ejemplo, en la figura 3 se ve que f(4) 5 5 es un mínimo local porque es el menor valor de f en el intervalo I. No es el mínimo absoluto porque f(x) tiene valores menores cuando x está cerca de 12 (en el intervalo K, por ejemplo). De hecho, f(12) 5 3 es un mínimo local y el mínimo absoluto. De modo similar, f(8) 5 7 es un máximo local, pero no el máximo absoluto porque f toma valores más grandes cerca de 1.

03/05/17 11:37 a.m.


SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

277

EJEMPLO 1 La función f(x) 5 cos x toma su valor máximo (local y absoluto) igual a 1, infinitas veces, ya que cos 2np 5 1 para cualquier entero n y 2 1 < cos x < 1 para toda x. (Véase la figura 4.) Del mismo modo, cos(2n 1 1)p 5 2 1 es su valor mínimo, donde n es cualquier entero.

y

Máximo local y absoluto

0

π

FIGURA 4

Mínimo local y absoluto

y 5 cos x

y

y=≈

0

x

FIGURA 5 Valor mínimo 5 0. No hay máximo

x

n

EJEMPLO 2 Si f(x) 5 x2, entonces f(x) > f(0) porque x2 > 0 para toda x. Por tanto, f(0) 5 0 es el valor mínimo absoluto (y local) de f. Esto corresponde al hecho de que el origen es el punto más bajo sobre la parábola y 5 x2. (Véase la figura 5.) Sin embargo, no existe el punto más alto sobre la parábola, por lo que esta función no tiene valor máximo. n EJEMPLO 3 En la gráfica de la función f(x) 5 x3, que se muestra en la figura 6, se ve

que no tiene valor máximo absoluto ni valor mínimo absoluto. De hecho, tampoco tiene valores extremos locales. n

y

EJEMPLO 4 La gráfica de la función

y=˛

f sxd − 3x 4 2 16x 3 1 18x 2 0

21 < x < 4

x

FIGURA 6 No tiene mínimo, ni máximo

se muestra en la figura 7. Se puede observar que f(1) 5 5 es un máximo local, en tanto que el máximo absoluto es f(21) 5 37. (Este máximo absoluto no es un máximo local porque se presenta en un punto final.) También, f(0) 5 0 es un mínimo local y f(3) 5 227 es un mínimo tanto local como absoluto. Observe que f no tiene máximo local ni absoluto en x 5 4.

y (_1, 37)

y=3x$-16˛+18≈

(1, 5) x _1

1

2

3

4

5

(3, _27)

FIGURA 7

n

Se ha visto que algunas funciones tienen valores extremos, mientras que otras no. En el teorema siguiente se dan las condiciones con que se garantiza que una función tenga valores extremos.

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278

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

3 Teorema del valor extremo Si f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máximo absoluto f(c) y un valor mínimo absoluto f(d) en algunos números c y d en [a, b]. En la figura 8 se ilustra el teorema del valor extremo. Observe que un valor extremo se puede tomar más de una vez. Aun cuando el teorema del valor extremo es muy fácil de aceptar a nivel intuitivo, su demostración es difícil, por lo que se omite. y

0

y

y

a

c

d b

x

0

a

c

d=b

x

0

a c¡

d

c™ b

x

FIGURA 8 Las funciones continuas en un intervalo cerrado siempre alcanzan valores extremos.

En las figuras 9 y 10 se muestra que una función no necesita tener valores extremos si no se satisface cualesquiera de las dos hipótesis (continuidad o intervalo cerrado) del teorema del valor extremo. y

y

3

1

1 x

0

y {c, f(c)}

{d, f (d )} 0

c

FIGURA 11

Stewart_ch04_275-286.indd 278

d

x

x

0

2

2

FIGURA 9

FIGURA 10

Esta función tiene un valor mínimo f(2)=0, pero no tiene valor máximo.

Esta función continua g no tiene máximo ni mínimo.

La función f, cuya gráfica se muestra en la figura 9, está definida sobre el intervalo cerrado [0, 2], pero no tiene valor máximo. (Observe que el rango de f es [0, 3). La función toma valores arbitrariamente cercanos a 3, pero nunca alcanza el valor 3.) Esto no contradice el teorema del valor extremo porque f no es continua. [Sin embargo, una función discontinua pudiera tener valores máximo y mínimo. Véase el ejercicio 13(b).] La función g que se muestra en la figura 10 es continua sobre el intervalo abierto (0, 2), pero no tiene valor máximo ni mínimo. [El rango de g es (1, `). La función toma valores arbitrariamente grandes.] Esto no contradice el teorema del valor extremo porque el intervalo (0, 2) no es cerrado. El teorema del valor extremo indica que una función continua sobre un intervalo cerrado tiene un valor máximo y uno mínimo, pero no dice cómo encontrarlos. Observe en la figura 8 que los valores máximo y mínimo absolutos que están entre a y b están en los valores máximo y mínimo, por lo que se debe empezar por buscar los valores extremos locales. La figura 11 muestra la gráfica de una función f con un máximo local en c y un mínimo local en d. Parece que en los puntos máximo y mínimo la recta tangente es horizontal y, por tanto, tiene pendiente 0. Se sabe que la derivada es la pendiente de la recta tangente, de modo que parece que f9(c) 5 0 y f9(d) 5 0. En el teorema siguiente se dice que esto siempre se cumple para las funciones derivables.

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SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

279

4 Teorema de Fermat Si f tiene un máximo o un mínimo local en c, y si f9(c) existe, entonces f9(c) 5 0. Fermat Se llama teorema de Fermat en honor de Pierre Fermat (1601-1665), un abogado francés que tomó las matemáticas como un pasatiempo. A pesar de su condición de aficionado, Fermat fue uno de los dos inventores de la geometría analítica (Descartes fue el otro). Sus métodos para encontrar rectas tangentes a las curvas y valores máximos y mínimos (antes de la invención del límite y de las derivadas) lo hicieron un precursor de Newton en la creación del cálculo diferencial.

DEMOSTRACIÓN Para tratar un caso concreto, suponga que f tiene un máximo local en c. Entonces, de acuerdo con la definición 2, f(c) > f(x) si x está suficientemente cerca de c. Esto implica que, si h está lo suficiente cerca de 0, con h positiva o negativa, entonces

f scd > f sc 1 hd y, por tanto, f sc 1 hd 2 f scd < 0

5

Se pueden dividir ambos lados de la desigualdad entre un número positivo. Así, si h . 0 y h es suficientemente pequeña, se tiene f sc 1 hd 2 f scd <0 h Tomando el límite por la derecha de ambos lados de la desigualdad (utilizando el teorema 2.3.2), se obtiene lím

h: 01

f sc 1 hd 2 f scd < lím1 0 − 0 h :0 h

Pero, dado que f9(c) existe, se tiene f 9scd − lím

h:0

f sc 1 hd 2 f scd f sc 1 hd 2 f scd − lím1 h :0 h h

y con esto se demuestra que f9(c) < 0. Si h , 0, entonces la dirección de la desigualdad (5) se invierte cuando se divide entre h: f sc 1 hd 2 f scd >0 h

h,0

Así que tomando el límite por la izquierda, se tiene f 9scd − lím

h:0

f sc 1 hd 2 f scd f sc 1 hd 2 f scd − lím2 >0 h : 0 h h

Ya se ha mostrado que f9(c) > 0 y también que f9(c) < 0. Puesto que ambas desigualdades deben ser verdaderas, la única posibilidad es que f9(c) 5 0. Ya se ha demostrado el teorema de Fermat para el caso de un máximo local. El caso de un mínimo local se puede demostrar de modo similar, o bien, puede usar el ejercicio 78 para deducirlo del caso que ya ha demostrado (véase el ejercicio 79). n Los ejemplos siguientes advierten contra la interpretación excesiva del teorema de Fermat: No se puede esperar localizar valores extremos haciendo simplemente f9(x) 5 0 y resolviendo para x.

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280

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

EJEMPLO 5 Si f(x) 5 x3, entonces f9(x) 5 3x2, de modo que f9(0) 5 0. Pero f

y

no tiene máximo o mínimo en 0, como se puede ver en la gráfica de la figura 12. (U observe que x3 . 0 para x . 0, pero x3 , 0 para x , 0). El hecho de que f9(0) 5 0 solo significa que la curva y 5 x3 tiene una recta tangente horizontal en (0, 0). En lugar de tener un máximo o un mínimo en (0, 0), la curva cruza allí con su recta tangente horizontal. n

y=˛

0

x

EJEMPLO 6 La función f(x) 5 u x u muestra un valor mínimo (local y absoluto) en x 5 0, pero ese valor no se puede determinar haciendo f9(x) 5 0 porque, como ya se demostró en el ejemplo 2.8.5, f9(0) no existe (véase la figura 13). n

FIGURA 12

Si f(x) 5 x3, entonces f9(0) 5 0, pero f no tiene máximo ni mínimo.

PRECAUCIÓN Los ejemplos 5 y 6 muestran que debe ser cuidadoso al aplicar el teorema de Fermat. El ejemplo 5 demuestra que aun cuando f9(c) 5 0, no necesariamente hay un máximo o un mínimo en c. (En otras palabras, el inverso del teorema de Fermat es en general falso.) Además, podría haber un valor extremo aun cuando f9(c) no exista, (como en el ejemplo 6). El teorema de Fermat sugiere en realidad que, por lo menos, se deben empezar a buscar los valores extremos de f en los números c, donde f9(c) 5 0 o donde f9(c) no existe. Estos números reciben un nombre especial.

y

y=| x| 0

x

FIGURA 13

Si f(x) 5 u x u, entonces f(0) 5 0 es un valor mínimo, pero f9(0) no existe.

6 Definición Un número crítico de una función f es un número c en el dominio de f tal que f9(c) 5 0 o f9(c) no existe.

EJEMPLO 7 Encuentre los números críticos de f(x) 5 x3@5(4 2 x). En la figura 14 hay una gráfica de la función f del ejemplo 7, que apoya nuestra respuesta, porque hay una recta tangente horizontal cuando x 5 1.5 [donde f9(x)5 0] y una recta tangente vertical cuando x 5 0 [donde f9(x) no está definida].

SOLUCIÓN La regla del producto da

f 9sxd − x 3y5s21d 1 s4 2 xd(53 x22y5) − 2x 3y5 1

3s4 2 xd 5x 2 y5

25x 1 3s4 2 xd 12 2 8x − 2y5 5x 5x 2y5

3.5

[Se obtienen los mismos valores escribiendo primero f(x) 5 4x3@5 2 x8@5.] Por tanto, f9(x) 5 0 si 12 2 8x 5 0; es decir x − 32 y f9(x) no existe cuando x 5 0. Por tanto, los números críticos son 32 y 0. n _0.5

5

_2

En términos de números críticos, el teorema de Fermat se puede replantear como sigue (compare la definición 6 con el teorema 4):

FIGURA 14

7 Si f tiene un máximo o un mínimo local en c, entonces c es un número crítico de f. Para encontrar un máximo o un mínimo absoluto de una función continua sobre un intervalo cerrado, observe que es un extremo local [en cuyo caso, según (7), se presenta un número crítico] o se presenta en uno de los puntos extremos del intervalo, como se vio en los ejemplos de la figura 8. Por lo que el procedimiento de tres pasos siempre funciona.

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281

SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

Método del intervalo cerrado Para encontrar los valores máximo y mínimo absolutos de una función continua f sobre un intervalo cerrado [a, b]: 1. Encuentre los valores de f en los números críticos de f en (a, b). 2. Encuentre los valores de f en los puntos extremos del intervalo. 3. El más grande de los valores de los pasos 1 y 2 es el valor máximo absoluto; el más pequeño, el valor mínimo absoluto.

EJEMPLO 8 Encuentre los valores absolutos máximo y mínimo de la función 212 < x < 4

f sxd − x 3 2 3x 2 1 1

f

g

SOLUCIÓN Dado que f es continua sobre 2 21 , 4 , se puede utilizar el método del

intervalo cerrado:

f sxd − x 3 2 3x 2 1 1 f 9sxd − 3x 2 2 6x − 3xsx 2 2d Puesto que f9(x) existe para toda x, los únicos valores críticos de f ocurren cuando f9(x) 5 0; esto es, en x 5 0 o x 5 2. Observe que cada uno de estos números críticos está en el intervalo s212 , 4d. Los valores de f en estos números críticos son

y

f s0d − 1

y=˛-3≈+1 20

f s2d − 23

(4, 17)

Los valores de f en los puntos extremos del intervalo son

15

f s212 d − 18

10

f s4d − 17

5 1 _1 0 _5

2 x 3

4

(2, _3)

FIGURA 15

Comparando estos cuatro números, se ve que el valor máximo absoluto es f(4) 5 17 y el valor mínimo absoluto es f(2) 5 23. Observe que, en este ejemplo, el máximo absoluto ocurre en un extremo del intervalo, mientras que el mínimo absoluto ocurre en un número crítico. La gráfica de f se traza en la figura 15. n

Si tiene una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficos, es posible estimar los valores máximos y mínimos muy fácilmente. Pero, como se muestra en el ejemplo siguiente, es necesario el cálculo para encontrar los valores exactos.

EJEMPLO 9 (a) Utilice un dispositivo graficador para estimar los valores mínimo y máximo absolutos de la función f(x) 5 x 2 2 sen x, para 0 < x < 2p. (b) Utilice el cálculo para encontrar los valores máximo y mínimo exactos.

8

SOLUCIÓN

0 _1

FIGURA 16

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(a) La figura 16 muestra la gráfica de f en el rectángulo de vista de [0, 2p] por [21, 8]. Moviendo el cursor cerca del punto máximo, se ve que las coordenadas y no cambian mucho en las proximidades del máximo. El valor máximo absoluto es aproximadamente 6.97 y ocurre cuando x < 5.2. Del mismo modo, moviendo el cursor cerca al punto mínimo, se ve que el valor mínimo absoluto es alrededor de 20.68 y se presenta cuando x < 1.0. Es posible obtener estimaciones más precisas al hacer acercamientos

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282

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

hacia los puntos máximos y mínimos (o al utilizar una característica incorporada de máximos y mínimos), pero en vez de esto, se usará el cálculo. (b) La función f(x) 5 x 2 2 sen x es continua en [0, 2p]. Ya que f9(x) 5 1 2 2 cos x, se tiene que f9(x) 5 0 cuando cos x − 12 y esto ocurre cuando x 5 p@3 o 5p@3. Los valores de f en estos números críticos son f s y3d − y

f s5 y3d −

3

2 2 sen

3

3

2 s3 < 20.684853

5 5 5 2 2 sen − 1 s3 < 6.968039 3 3 3

Los valores de f en los puntos finales son f(0) 5 0

y

f(2p) 5 2p < 6.28

Comparando estos cuatro números y utilizando el método del intervalo cerrado, se ve que el valor mínimo absoluto es f(p@3) 5 p@3 2 !3 y el máximo valor absoluto es f(5p@3) 5 5p@3 1 !3. Los valores del inciso (a) sirven para verificar el resultado. n

EJEMPLO 10 El telescopio espacial Hubble fue puesto en operación el 24 de abril de 1990, por el transbordador espacial Discovery. Un modelo para la velocidad del transbordador durante esta misión, desde el lanzamiento en t 5 0 hasta que los cohetes auxiliares de combustible sólido se desprenden en t 5 126 s, está dado por vstd − 0.0003968t 3 2 0.02752t 2 1 7.196t 2 0.9397

© NASA

(en metros por segundo). Con este modelo, estime los valores máximo y mínimo absolutos de la aceleración del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares. SOLUCIÓN Se pide encontrar los valores extremos, no de la función velocidad dada, sino de la función aceleración. Por lo que primero se tiene que derivar para encontrar la aceleración:

astd − v9std −

d s0.0003968t 3 2 0.02752t 2 1 7.196t 2 0.9397d dt

− 0.0011904t 2 2 0.05504t 1 7.196 Ahora se aplica el método del intervalo cerrado a la función continua a en el intervalo 0 < t < 126. Su derivada es a9std − 0.0023808t 2 0.05504 El único número crítico ocurre cuando a9(t) 5 0: t1 −

0.05504 < 23.12 0.0023808

Evaluando a(t) en el número crítico y en los puntos extremos del intervalo, se tiene as0d − 7.196

ast1 d < 6.56

as126d < 19.16

Por lo que la aceleración máxima es aproximadamente 19.16 m@s2 y la aceleración mínima es aproximadamente 6.56 m@s2.

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n

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283

SECCIÓN 4.1 Valores máximos y mínimos

1. Explique la diferencia entre un mínimo absoluto y un mínimo local. 2. Suponga que f es una función continua definida sobre un intervalo cerrado [a, b]. (a) ¿Qué teorema garantiza la existencia de un valor máximo absoluto y un valor mínimo absoluto de f? (b) ¿Qué pasos daría para encontrar los valores máximo y mínimo? 3–4 Para cada uno de los números a, b, c, d, r y s, indique si la función cuya gráfica se muestra, tiene un máximo o mínimo absolutos, un máximo o mínimo locales, o ni un máximo ni un mínimo. 3.

4.

y

(c) Trace la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y no es continua en 2. 12. (a) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que tiene un máximo absoluto, pero no máximo local. (b) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que tiene un máximo local, pero no máximo absoluto. 13. (a) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que tiene un máximo absoluto, pero no mínimo absoluto. (b) Trace la gráfica de una función sobre [21, 2] que es discontinua, pero que no tiene máximo absoluto ni mínimo absoluto. 14. (a) Trace la gráfica de una función que tiene dos máximos locales, un mínimo local y no tiene mínimo absoluto. (b) Trace la gráfica de una función que tiene tres mínimos locales, dos máximos locales y siete números críticos.

y

15–28 Trace a mano la gráfica de f y utilícela para encontrar los valores máximos y mínimos, absolutos y locales de f. (Utilice las gráficas y transformaciones de las secciones 1.2 y 1.3.)

0 a b

c d

r

s x

0

a

b

c d

r

s x

5–6 Utilice la gráfica para establecer los valores máximos y mínimos absolutos y locales de la función. 5.

y

6.

y

y=©

y=ƒ 1

1 0

1

x

0

1

x

15. f sxd − 12 s3x 2 1d, 16. f sxd − 2 2

1 3 x,

x<3

x > 22

17. f sxd − 1yx,

x>1

18. f sxd − 1yx,

1,x,3

19. f sxd − sen x,

0 < x , y2

20. f sxd − sen x,

0 , x < y2

21. f sxd − sen x,

2 y2 < x < y2

22. f std − cos t,

23 y2 < t < 3 y2

23. f sxd − ln x,

0,x<2

| |

24. f sxd − x

25. f sxd − 1 2 sx 7–10 Trace la gráfica de una función f que es continua sobre [1, 5] y tiene las propiedades dadas.

26. f sxd − e x

7. Máximo absoluto en 5, mínimo absoluto en 2, máximo local en 3, mínimos locales en 2 y 4

27. f sxd −

8. Máximo absoluto en 4, mínimo absoluto en 5, máximo local en 2, mínimo local en 3

28. f sxd −

9. Mínimo absoluto en 3, máximo absoluto en 4, máximo local en 2 10. Máximo absoluto en 2, mínimo absoluto en 5, 4 es un número crítico pero no hay máximo o mínimo local. 11. (a) Trace la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y es derivable en 2. (b) Trace la gráfica de una función que tiene un máximo local en 2 y es continua, pero no derivable, en 2.

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H H

x2 si 21 < x < 0 2 2 3x si 0 , x < 1 2x 1 1 si 0 < x , 1 4 2 2x si 1 < x < 3

29–44 Determine los números críticos de la función. 29. f sxd − 5x 2 1 4x

30. f sxd − x 3 1 x 2 2 x

31. f sxd − 2x 3 2 3x 2 2 36x

32. f sxd − 2x 3 1 x 2 1 2x

33. tstd − t 4 1 t 3 1 t 2 1 1

34. tstd − 3t 2 4

y21 35. tsyd − 2 y 2y11

p21 36. hs pd − 2 p 14

|

|

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284

CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

37. hstd − t 3y4 2 2 t 1y4

3 38. tsxd − s 4 2 x2

67. f sxd − x sx 2 x 2

39. Fsxd − x 4y5sx 2 4d 2

40. ts d − 4 2 tan

68. f sxd − x 2 2 cos x, 22 < x < 0

41. f s d − 2 cos 1 sen 2

42. hstd − 3t 2 arcsen t

43. f sxd − x 2e 23x

44. f s xd − x 22 ln x

; 45–46 Se da una fórmula para la derivada de una función f. ¿Cuántos números críticos tiene f? 45. f 9sxd − 5e20.1 | x | sen x 2 1

46. f 9sxd −

100 cos 2 x 21 10 1 x 2

47–62 Determine los valores máximo absoluto y mínimo absoluto de f en el intervalo dado. 47. f sxd − 3x 2 12x 1 5,

f0, 3g

2

48. f sxd − x 3 2 3x 1 1,

f0, 3g

49. f sxd − 2x 3 2 3x 2 2 12x 1 1, 50. f sxd − x 3 2 6x 2 1 5,

f22, 3g

52. f std − st 2 2 4d 3,

f22, 3g

f22, 3g

1 53. f sxd − x 1 , f0.2, 4g x x , f0, 3g 54. f sxd − 2 x 2x11 3 t, 55. f std − t 2 s

56. f std −

f0, 2g

57. f std − 2 cos t 1 sen 2t, 58. f std − t 1 cot sty2d, 59. f sxd − x22 ln x , 60. f sxd − xe xy2,

f0, y2g

f y4, 7 y4g

f 12 , 4g

f23, 1g

61. f sxd − lnsx 2 1 x 1 1d, f21, 1g 62. f sxd − x 2 2 tan21 x,

f0, 4g

63. Si a y b son números positivos, encuentre el valor máximo de f(x) 5 xa(1 — x)b, 0 < x < 1. ; 64. Utilice una gráfica para calcular los números críticos de f(x) 5 u 1 1 5x 2 x3 u redondeados a un decimal. ; 65–68 (a) Utilice una gráfica para estimar los valores máximo y mínimo redondeados a dos decimales. (b) Por medio del cálculo encuentre los valores máximo y mínimo. 65. f sxd − x 5 2 x 3 1 2, 21 < x < 1 66. f sxd − e x 1 e 22x, 0 < x < 1

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modela la bac promedio, medido en mg@mL, de un grupo de ocho sujetos masculinos después de t horas del consumo rápido de 15 mL de etanol (correspondiente a una bebida alcohólica). ¿Cuál es la bac promedio máxima durante las primeras 3 horas? ¿Cuándo ocurre? Fuente: Adaptado de P. Wilkinson et al., “Pharmacokinetics of Ethanol after Oral Administration in the Fasting State”, Journal of Pharmacokinetics and Biopharmaceutics 5 (1977): 207–224.

70. Después de que se toma una tableta de antibiótico, la concentración del antibiótico en el torrente sanguíneo se modela por la función donde el tiempo t se mide en horas y C se mide en mg@mL. ¿Cuál es la concentración máxima de antibiótico durante las primeras 12 horas? 71. Entre 0 °C y 30 °C, el volumen V (en centímetros cúbicos) de 1 kg de agua a una temperatura T está dado aproximadamente por la fórmula V − 999.87 2 0.06426T 1 0.0085043T 2 2 0.0000679T 3 Encuentre la temperatura a la cual el agua tiene su densidad máxima.

f21, 4g

st , 1 1 t2

Cstd − 1.35te22.802t

Cstd − 8se20.4t 2 e20.6t d

f23, 5g

51. f sxd − 3x 4 2 4x 3 2 12x 2 1 1,

69. Después de consumir una bebida alcohólica, la concentración de alcohol en sangre (bac, por sus siglas en inglés) surge conforme se absorbe el alcohol, seguido por un descenso gradual conforme se metaboliza el alcohol. La función

72. Un objeto con masa m se arrastra a lo largo de un plano horizontal por una fuerza que actúa a través de una cuerda atada al objeto. Si la cuerda forma un ángulo u con el plano, entonces la magnitud de la fuerza es F−

mt sen 1 cos

donde m es una constante positiva llamado el coeficiente de fricción y donde 0 < u < p@2. Demuestre que F es minimizada cuando tan u 5 m. 73. Un modelo para el precio promedio en Estados Unidos de una libra de azúcar blanca desde 1993 a 2003 está dado por la función Sstd − 20.00003237t 5 1 0.0009037t 4 2 0.008956t 3 1 0.03629t 2 2 0.04458t 1 0.4074 donde t se mide en años desde agosto de 1993. Estime los años cuando el azúcar era más barata y más cara durante el período 1993-2003. ; 74. El 7 de mayo de 1992 el transbordador espacial Endeavour fue lanzado en la misión STS-49, cuya finalidad fue instalar un nuevo motor de impulso en el perigeo de un satélite Intelsat de comunicaciones. En la tabla siguiente se dan los datos de la velocidad del transbordador entre el despegue y el desprendimiento de los cohetes auxiliares de combustible sólido. (a) Utilice un dispositivo graficador o una computadora para encontrar el polinomio cúbico que modele de la mejor

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PROYECTO DE APLICACIÓN

manera la velocidad del transbordador para el intervalo de tiempo t [ [0, 125]. Luego, dibuje esta función polinomial. (b) Encuentre un modelo para la aceleración del transbordador y utilícelo para estimar los valores máximo y mínimo de la aceleración durante los primeros 125 segundos. Suceso

Tiempo (s) Velocidad (m@s)

Lanzamiento Inicio de maniobra de giro Fin de maniobra de giro Acelerador al 89% Acelerador al 67% Acelerador al 104% Presión dinámica máxima Separación de los cohetes auxiliares de combustible sólido

0 10 15 20 32 59 62

0 56.4 97.2 136.2 226.2 403.9 440.4

donde k es una constante y r0 es el radio normal de la tráquea. La restricción sobre r se debe al hecho de que la pared de la tráquea se pone rígida bajo la presión y se impide una contracción mayor que 12 r0 (de lo contrario, la persona se sofocaría). (a) Determine el valor de r en el intervalo 21 r0 , r0 en el cual √ tiene un máximo absoluto. ¿Cómo se compara esto con la evidencia experimental? (b) ¿Cuál es el valor máximo absoluto de √ sobre el intervalo? (c) Trace la gráfica de √ sobre el intervalo [0, r0].

f

g

76. Demuestre que 5 es un número crítico de la función g(x) 5 2 1 (x 2 5) 3 pero g no tiene un valor extremo local en 5. 77. Demuestre que la función

125

1265.2

75. Cuando un objeto extraño alojado en la tráquea fuerza a una persona a toser, el diafragma empuja hacia arriba y causa un aumento en la presión de los pulmones. Esto viene acompañado por una contracción de la tráquea, con lo que se produce un canal más angosto por el que debe fluir el aire expelido. Para que escape una cantidad dada de aire en un tiempo fijo, este debe moverse con mayor rapidez por el canal más angosto que por el más ancho. Entre mayor sea la velocidad de la corriente de aire, mayor es la fuerza aplicada sobre el objeto extraño. Los rayos X muestran que el radio del tubo circular de la tráquea se contrae hasta alrededor de dos tercios de su radio normal durante un espasmo de tos. De acuerdo con un modelo matemático de la tos, la velocidad √ de la corriente de aire se relaciona con el radio r de la tráquea mediante la ecuación vsrd − ksr0 2 rdr 2

285

El cálculo de los arcoíris

1 2 r0

f sxd − x 101 1 x 51 1 x 1 1 no tiene ni máximo local ni mínimo local. 78. Si f tiene un valor mínimo local en c, demuestre que la función g(x) 5 2f(x) tiene un valor mínimo local en c. 79. Demuestre el teorema de Fermat para el caso en que f tiene un mínimo local en c. 80. Una función cúbica es una función polinomial de tercer grado; esto es, tiene la forma f(x) 5 ax3 1 bx2 1 cx 1 d, donde a  0. (a) Demuestre que una función cúbica puede tener dos, uno o no tener números críticos. Proporcione ejemplos y trazos para ilustrar las tres posibilidades. (b) ¿Cuántos valores extremos locales puede tener una función cúbica?

< r < r0

PROYECTO DE APLICACIÓN EL CÁLCULO DE LOS ARCOÍRIS Los arcoíris se forman cuando las gotas de lluvia dispersan la luz solar. Han fascinado a la humanidad desde los tiempos más remotos y han inspirado intentos de explicación científica desde la época de Aristóteles. En este proyecto se siguen las ideas de Descartes y de Newton para explicar la forma, la ubicación y los colores de los arcoíris. å A del Sol

B

D(å )

O

å al observador

C

Formación del arcoíris primario

1. En la figura se muestra un rayo de luz solar que atraviesa una gota esférica de lluvia en A. Algo de la luz se refleja, pero la recta AB muestra la trayectoria de la parte que entra a la gota. Observe que la luz se refracta hacia la recta normal AO y, de hecho, la ley de Snell dice que sen a 5 k sen b, donde a es el ángulo de incidencia, b es el ángulo de refracción y k < 43 es el índice de refracción para el agua. En B algo de la luz pasa por la gota y se refracta hacia el aire, pero la recta BC muestra la parte que se refleja. (El ángulo de incidencia es igual al de reflexión.) Cuando el rayo llega a C, parte de él se refleja; pero, por el momento, hay más interés en la parte que sale de la gota de lluvia en C. (Observe que se refracta alejándose de la recta normal.) El ángulo de desviación D(a) es la magnitud de la rotación en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj que ha descrito el rayo durante este proceso de tres etapas. Por tanto, Dsd − s 2 d 1 s 2 2d 1 s 2 d −  1 2 2 4 Demuestre que el valor mínimo de la desviación es D(a) < 138° y ocurre cuando a < 59.4°.

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CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

El significado de la desviación mínima es que cuando a < 59.4° se tiene D9(a) < 0, por lo que ∆D@∆a < 0. Esto significa que muchos rayos con a < 59.4° resultan desviados en más o menos la misma cantidad. La concentración de los rayos que vienen de las cercanías de la desviación mínima crea el brillo del arcoíris primario. En la figura de la izquierda se muestra que el ángulo de elevación desde el observador hacia arriba hasta el punto más alto del arcoíris es 180° 2 138° 5 42°. (A este ángulo se le llama ángulo de arcoíris).

rayos del Sol

138° rayos del Sol 42°

2. En el problema 1 se explica la ubicación del arcoíris primario, pero ¿cómo explica los colores? La luz solar comprende una gama de longitudes de onda, desde el rojo hasta el naranja, amarillo, verde, azul, índigo y violeta. Como Newton descubrió en sus experimentos con un prisma en 1666, el índice de refracción es diferente para cada color. (El efecto se llama dispersión.) Para la luz roja, el índice de refracción es k < 1.3318, en tanto que para la luz violeta es k < 1.3435. Al repetir el cálculo del problema 1 para estos valores de k, se demuestra que el ángulo del arcoíris es alrededor de 42.3° para el arco rojo y de 40.6° para el arco violeta. Por lo que el arcoíris consta en realidad de siete arcos separados que corresponden a los siete colores.

observador

C D

∫ ∫ ∫

å al observador

∫ del Sol

∫ ∫ å

A

Formación del arcoíris secundario

B

3. Quizás haya visto un arcoíris secundario más tenue, arriba del arco primario. Se produce por la parte de un rayo que entra en una gota de lluvia y se refracta en A, se refleja dos veces (en B y C) y se refracta al salir de la gota en D (véase la figura que se encuentra a la izquierda). En esta ocasión, el ángulo de desviación D(a) es la magnitud total de rotación en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj que describe el rayo en este proceso de cuatro etapas. Demuestre que Dsd − 2 2 6 1 2 y D(a) tiene un valor mínimo cuando cos  −

Î

k2 2 1 8

Tomando k − 43, demuestre que la desviación mínima es aproximadamente 129° y que el ángulo de arcoíris para el arcoíris secundario es aproximadamente de 51°, como se muestra en la figura a la izquierda. 4. Demuestre que los colores del arcoíris secundario aparecen en orden invertido al del primario.

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42° 51°

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SECCIÓN 4.2 Teorema del valor medio

Se verá que muchos de los resultados de este capítulo dependen de un hecho central llamado teorema del valor medio. Pero para llegar a este teorema, se verá primero el resultado siguiente. Teorema de Rolle Sea f una función que satisface las tres hipótesis siguientes: 1. f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b]. 2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b). 3. f(a) 5 f(b). Entonces hay un número c en (a, b) tal que f9(c) 5 0.

Rolle El teorema de Rolle fue publicado en 1691 por el matemático francés Michel Rolle (1652-1719), en un libro titulado Méthode pour resoudre les Egalitez. Fue un crítico de los métodos de su tiempo y calificó al cálculo como una “colección de falacias ingeniosas”. Más tarde, sin embargo, se convenció de la esencial exactitud de los métodos del cálculo.

y

0

Antes de dar la demostración, se verán las gráficas de algunas funciones típicas que satisfacen las tres hipótesis. La figura 1 muestra las gráficas de cuatro de estas funciones. En cada caso parece que hay al menos un punto (c, f(c)) en la gráfica donde la recta tangente es horizontal y, por tanto, f9(c) 5 0. Por lo que, el teorema de Rolle es razonable. y

x a

c™ b

0

y

x a

(a)

FIGURA 1 SP Considere casos

c

b

0

(b)

y

x a

(c)

c™

b

0

x a

c

b

(d)

DEMOSTRACIÓN Hay tres casos:

CASO I f(x) 5 k, una constante Entonces f9(x) 5 0, por lo que el número c puede tomar cualquier número en (a, b). CASO II f (x) . f (a) para algún x en (a, b) [como en la figura 1(b) o (c)] Por el teorema del valor extremo (que se puede aplicar por la hipótesis 1), f tiene un valor máximo en algún lugar de [a, b]. Ya que f(a) 5 f(b), debe alcanzar este valor máximo en un número c en el intervalo abierto (a, b). Entonces f tiene un máximo local en c y, por la hipótesis 2, f es derivable en c. Por tanto, f9(c) 5 0 por el teorema de Fermat. CASO III f (x) , f (a) para algún x en (a, b) [como en la figura l (c) o (d)] Por el teorema del valor extremo, f tiene un valor mínimo en [a, b] y, como f(a) 5 f(b), alcanza este valor mínimo en un número c en (a, b). Otra vez, f9(c) 5 0 por el teorema de Fermat. n

EJEMPLO 1 Se aplicará el teorema de Rolle a la función posición s 5 f(t) de un objeto en movimiento. Si el objeto está en el mismo lugar en dos instantes diferentes t 5 a y t 5 b, entonces f(a) 5 f(b). El teorema de Rolle dice que hay algún instante de tiempo t 5 c entre a y b donde f9(c) 5 0; es decir, la velocidad es 0. (En particular, se puede ver que esto es cierto cuando se lanza una bola directamente hacia arriba.) n EJEMPLO 2 Demuestre que la ecuación x3 1 x 2 1 5 0 tiene exactamente una raíz real. SOLUCIÓN Primero se utilizará el teorema del valor intermedio (2.5.10) para demostrar que existe una raíz. Sea f(x) 5 x3 1 x 2 1. Entonces f(0) 5 21 , 0 y f(1) 5 1 . 0.

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CAPÍTULO 4

Aplicaciones de la derivada

La figura 2 muestra la gráfica de la función f(x) 5 x3 1 x 2 1 analizada en el ejemplo 2. El teorema de Rolle muestra que no importa cuánto se amplíe el rectángulo de vista, nunca se podrá encontrar una segunda intersección con el eje x.

Ya que f es una función polinomial es continua, por lo que el teorema del valor intermedio establece que existe un número c entre 0 y 1 tal que f(c) 5 0. De lo que se deduce que la ecuación dada tiene una raíz. Para demostrar que la ecuación no tiene otras raíces reales, se utiliza el teorema de Rolle y se argumenta por contradicción. Suponga que se tienen dos raíces a y b. Entonces f(a) 5 0 5 f(b) y, como f es una función polinomial, es derivable en (a, b) y continua en [a, b]. Por tanto, por el teorema de Rolle, existe un número c entre a y b tal que f9(c) 5 0. Pero f9(x) 5 3x2 1 1 > 1

3

para toda x

(ya que x2 > 0), por lo que f9(x) nunca puede ser 0. Esto conduce a una contradicción, por tanto, la ecuación no puede tener dos raíces reales. n _2

2

_3

FIGURA 2

El teorema del valor medio es un ejemplo de lo que se llama un teorema de existencia. Como el teorema del valor intermedio, el teorema del valor extremo y el teorema de Rolle, este garantiza que existe un número con cierta propiedad, pero no indica cómo encontrar el número.

El principal uso del teorema de Rolle es demostrar el siguiente teorema importante, establecido por primera vez por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange. Teorema del valor medio Si f es una función que satisface las hipótesis siguientes: 1. f es continua sobre el intervalo cerrado [a, b]. 2. f es derivable sobre el intervalo abierto (a, b). Entonces existe un número c en (a, b) tal que 1

f 9scd −

o en forma equivalente 2

f sbd 2 f sad b2a

f sbd 2 f sad − f 9scdsb 2 ad

Antes de demostrar este teorema, se puede ver su interpretación geométrica. Las figuras 3 y 4 muestran los puntos A(a, f(a)) y B(b, f(b)) en las gráficas de dos funciones derivables. La pendiente de la recta secante AB es 3

mAB −

f sbd 2 f sad b2a

que es la misma expresión que en el lado derecho de la ecuación 1. Dado que f9(c) es la pendiente de la recta tangente en el punto (c, f(c)), el teorema del valor medio, en la forma dada por la ecuación 1, indica que hay al menos un punto P(c, f(c)) en la gráfica donde la pendiente de la recta tangente es la misma que la pendiente de la recta secante AB. En otras palabras, hay un punto P donde la recta tangente es paralela a la recta secante AB. (Imagine una recta paralela a AB, moviéndose desde lejos manteniéndose paralela hasta que toque la gráfica por primera vez.) y

y

P { c, f(c)}

B

P™

A

A{ a, f(a)} B { b, f(b)} 0

a

FIGURA 3

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c

b

x

0

a

c™

b

x

FIGURA 4

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