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3 ECUACIÓN DE SCHRÖDINGER
Ahora se puede resolver esta ecuación para encontrar que 2
d 2ψ ( x ) ⎛ w⎞ ⎜ ⎟ ψ ( x ) , 2 ⎝⎠ dx
(3.4)
donde la dependencia funcional de la función de onda de x se muestra de manera explícita. Realizando que \ 2U y ( longitud de onda), se puede escribir
ω 2π 2π
(3.5)
d 2ψ ( x ) 4π 2
ψ (x ) dx 2
2
(3.6)
y
Esta ecuación independiente del tiempo gobierna la dependencia espacial de la onda estacionaria. Ejemplo 3.1 Verifique que la ecuación 3.6 es consistente con los resultados encontrados en la sección 2.3.1 para las ondas estacionarias de una cuerda. De acuerdo con el capítulo 2, el desplazamiento máximo de la onda ^(x) es ⎛ nπx ⎞ ψ ( x ) A sen ⎜ . ⎝ L ⎟⎠
(3.7)
¿Está expresión es realmente una solución de la ecuación 3.6? Para mostrar que la función 3.7 es una solución de la ecuación de onda se sustituye en la ecuación 3.6 y se verifica que la igualdad se mantiene. Para proceder se diferencia ^(x) dos veces respecto a x 2
2
d2 ⎛ nπ ⎞ ⎛ nπx ⎞ ⎛ nπ ⎞ sen ⎜ ⎜ ⎟ ψ ( x ) . ⎟ ⎟ 2 ψ ( x ) A ⎜ ⎝ L⎠ ⎝ L ⎠ ⎝ L⎠ dx
(3.8)
Ahora, se sustituye para la segunda derivada de la función de onda en la ecuación 3.6 y se obtiene 2
4π ⎛ nπ ⎞
⎜ ⎟ ψ ( x ) 2 ψ ( x ). ⎝ L⎠
2
(3.9)
Por inspección, se observa que la igualdad en 3.9 se mantiene si 2L n 2 o . L
n
(3.10)
Este resultado es la condición de resonancia ya explicada en el capítulo 2. Además, se puede observar que la ecuación 3.7 describe una onda estacionaria que tiene sus ceros en ambos extremos. De manera más formal, se dice que la ecuación 3.7 cumple las condiciones limitantes
^ (0) 0 y ^ ( L ) 0 .
(3.11)
Para n 1 (la frecuencia más baja) la cuerda vibratoria tiene un antinodo en medio en x L/2 que corresponde a la longitud de onda más larga, la cual es el doble la longitud de la cuerda. Para n 1 la cuerda vibratoria tiene n 1 nodos espaciados de manera equitativa.