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PREALG RICHARD N. AUFMANN

EN EL INTERIOR: Un enfoque de aprendizaje de Preálgebra Probado por los estudiantes, Aprobado por los docentes Un nuevo método de aprendizaje desarrollado pensando en ti.

JOANNE S. LOCKWOOD

EDICIÓN DEL ESTUDIANTE * ADEMÁS *

Acceso en línea a autoevaluaciones interactivas, animaciones y más.


Probado por los estudiantes Aprobado por los docentes, http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg

En el sitio web de PREALG encontrarás herramientas que crean un ambiente de aprendizaje emocionante, las cuales incluyen:

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conceptos matemáticos. Con estos tutoriales en video, tendrás acceso a las explicaciones conceptuales y orientación a través de instrucciones paso a paso sobre problemas matemáticos.

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EARTH

GEOL

PHYSICS


PREALG RICHARD N. AUFMANN

JOANNE S. LOCKWOOD


PREALG Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director editorial, de producción y de plataformas digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Gerente de procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona Gerente de manufactura para Latinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel Gerente editorial de contenidos en español Pilar Hernández Santamarina

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Editores Javier Reyes Gloria Luz Olguín Sarmiento

Traducido del libro PREALG 2010-2011 Edition Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2011 ISBN 13: 978-0-538-73555-1

Imagen de la portada © John Lund/Getty Images; Jon Feingersh/Getty Images

Datos para catalogación bibliográfica: Aufmann, Richard N. y Joanne S. Lockwood PREALG.

Composición tipográfica Baktun 13 Comunicación Gerardo Larios García

ISBN 13: 978-607-481-892-5

Coordinador de manufactura Rafael Pérez González

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12

Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com


Contenido Capítulo 1

Los números naturales 2 1.1

Introducción a los números naturales 3 A Relaciones de orden entre números naturales 3 B Valor posicional 5 C Redondeo 7 D Gráficas estadísticas 9

1.2

Suma y resta de números naturales 13 A Sumar números naturales 13 B Restar números naturales 19 C Calcular el perímetro de una figura 22

1.3

Multiplicación y división de números naturales 26 A Multiplicar números naturales 26 B Exponentes 30 C Dividir números naturales 33 D Factores y factorización con números primos 36 E Calcular el perímetro y área de un cuadrilátero 39

1.4

Solución de ecuaciones con números naturales 42 A Resolver ecuaciones 42 B Convertir un enunciado en una ecuación 44

1.5

El orden o jerarquía de las operaciones 46

iii


Contenido Capítulo 2

Los números enteros 50 2.1

Introducción a los números enteros 51 A Los números enteros y la recta numérica 51 B Opuestos 54 C Valor absoluto 56 D Números enteros negativos 57

2.2

Suma y resta de números enteros 59 A Sumar números enteros 59 B Restar números enteros 63

2.3

Multiplicación y división de números enteros 68 A Multiplicar números enteros 68 B Dividir números enteros 71

2.4

Solución de ecuaciones con números enteros 74 A Resolver ecuaciones 74 B Convertir un enunciado en una ecuación 76

2.5

El orden o jerarquía de las operaciones 79

iv


Contenido Capítulo 3

Fracciones 82 3.1

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor 83 A Mínimo común múltiplo (MCM) 83 B Máximo común divisor (MCD) 85

3.2

Introducción a las fracciones 87 A Fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos 87 B Fracciones equivalentes 90 C Relaciones de orden entre dos fracciones 92

3.3

Multiplicación y división de fracciones 94 A Multiplicar fracciones 94 B Dividir fracciones 98 C Calcular el área de un triángulo 101

3.4

Suma y resta de fracciones 102 A Sumar fracciones 102 B Restar fracciones 107

3.5

Solución de ecuaciones con fracciones 111 A Resolver ecuaciones 111 B Aplicaciones 114

3.6

Exponentes, fracciones complejas y el orden de las operaciones 115 A Exponentes 115 B Fracciones complejas 117 C El orden de las operaciones 119

v


Contenido Capítulo 4

Decimales y números reales 122 4.1

Introducción a los decimales 123 A Valor posicional 123 B Relaciones de orden entre decimales 126 C Redondeo 128

4.2

Suma y resta de decimales 130

4.3

Multiplicación y división de decimales 135 A Multiplicar decimales 135 B Dividir decimales 139 C Fracciones y decimales 143

4.4

Solución de ecuaciones con decimales 146

4.5

Expresiones radicales 148 A Raíz cuadrada de cuadrados perfectos 148 B Raíz cuadrada de números naturales 151

4.6

Números reales 154 A Números reales y la recta numérica real 154 B Desigualdades con una variable 158 C Convertir expresiones verbales en símbolos matemáticos 161

vi


Contenido Capítulo 5

Expresiones algebraicas 162 5.1

Propiedades de los números reales 163 A Aplicación de las propiedades de los números reales 163 B Propiedad distributiva 168

5.2

Expresiones algebraicas en su forma más simple 170 A Suma de términos semejantes 170 B Expresiones algebraicas generales 173

5.3

Suma y resta de polinomios 175 A Suma de polinomios 175 B Resta de polinomios 177

5.4

Multiplicación de monomios 179 A Multiplicación de monomios 179 B Potencias de monomios 181

5.5

Multiplicación de polinomios 184 A Multiplicación de un polinomio por un monomio 184 B Multiplicación de dos binomios 185

5.6

División de monomios 187 A División de monomios 187 B Notación científica 190

5.7

Expresiones verbales y expresiones algebraicas 192 A Traducción de expresiones verbales en expresiones algebraicas 192 B Traducción y simplificación de expresiones verbales 195

vii


Contenido Capítulo 6

Ecuaciones de primer grado 198 6.1

Ecuaciones de la forma x + a = b y ax = b 199 A Ecuaciones de la forma x  a  b 199 B Ecuaciones de la forma ax  b 203

6.2

Ecuaciones de la forma ax + b = c 206 A Ecuaciones de la forma ax  b  c 206 B Uso de fórmulas conocidas 208

6.3

Ecuaciones generales de primer grado 209 A Ecuaciones de la forma ax  b  cx  d 209 B Ecuaciones con paréntesis 211 C Principio de la palanca de Arquímedes 213

6.4

Traducción de expresiones en ecuaciones 215

6.5

El sistema de coordenadas rectangulares 218 A El sistema de coordenadas rectangulares 218 B Diagramas de dispersión 222

6.6

Gráficas de rectas 224 A Solución de ecuaciones lineales con dos variables 224 B Ecuaciones de la forma y  mx  b 227

viii


Contenido Capítulo 7

Medida y proporción 232 7.1

El Sistema Métrico Decimal 233

7.2

Razones y tasas 237

7.3

El Sistema Inglés de Unidades 240 A El sistema de unidades acostumbrado en Estados Unidos 240 B Conversión entre el Sistema Inglés y el Sistema Métrico Decimal 244

7.4

Proporción 246

7.5

Variación directa e inversa 251 A Variación directa 251 B Variación inversa 253

ix


Contenido Capítulo 8

Porcentajes 256 8.1

Porcentajes 257 A Porcentajes como decimales o fracciones 257 B Fracciones y decimales como porcentajes 259

8.2

La ecuación básica de porcentaje 261 A La ecuación básica de porcentaje 261 B Problemas de porcentajes utilizando proporciones 265

8.3

Incremento y decremento porcentual 267 A Incremento porcentual 267 B Decremento porcentual 269

8.4

Margen de utilidad y descuento 270 A Margen de utilidad 270 B Descuento 273

8.5

Interés simple 275

x


Contenido Capítulo 9

Geometría 278 9.1

Introducción a la geometría 279 A Problemas relacionados con líneas y ángulos 279 B Problemas relacionados con ángulos formados por la intersección de dos rectas 285 C Problemas relacionados con los ángulos de un triángulo 289

9.2

Figuras geométricas planas 291 A Perímetro de una figura geométrica plana 291 B Área de una figura geométrica plana 297

9.3

Triángulos 303 A El teorema de Pitágoras 303 B Triángulos semejantes 306 C Triángulos congruentes 310

9.4

Sólidos 312 A Volumen de un sólido 312 B Área superficial de un sólido 316

xi


Contenido Capítulo 10

Probabilidad y estadística 322 10.1 Organización de datos 323 A Distribuciones de frecuencias 323 B Histogramas 326 C Polígonos de frecuencias 328 10.2 Medidas estadísticas 330 A La media, la mediana y la moda de una distribución 330 B Diagramas de caja y brazos 334 C Desviación estándar de una distribución 337 10.3 Introducción a la probabilidad 339 A Probabilidad de eventos simples 339 B Las posibilidades a favor o en contra de un evento 344

Índice analítico 349

xii


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capítulo 1

Los números naturales 1.1 Introducción a los números naturales A B C D

Relaciones de orden entre números naturales Valor posicional Redondeo Gráficas estadísticas

1.2 Suma y resta de números naturales A B C

Sumar números naturales Restar números naturales Calcular el perímetro de una figura

1.3 Multiplicación y división de números naturales A B C D E

Multiplicar números naturales Exponentes Dividir números naturales Factores y factorización con números primos Calcular el perímetro y el área de un cuadrilátero

1.4 Solución de ecuaciones con números naturales A B

Resolver ecuaciones Convertir un enunciado en una ecuación

1.5 El orden o jerarquía de las operaciones

Examen

de preparación

Resuelve este examen rápido que te servirá como ejercicio de preparación para lo que aprenderás en este capítulo. 1. Menciona la cantidad de ◆ que aparecen a continuación. ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ ◆ 2. Escribe los números del 1 al 10. 1 ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ ___ 10

3. Relaciona el número con su forma escrita. a. 4

A. cinco

b. 2

B. uno

c. 5

C. cero

d. 1

D. cuatro

e. 3

E. dos

f. 0

F. tres

4. ¿Cuántas banderas estadounidenses contienen el color verde?

¿Necesitas ayuda? Para obtener recursos de estudio en línea, como ejercicios de repaso, visita el sitio web de PREALG en http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg

2

© Isabelle Zacher-Finet/iStockphoto.com

5. Escribe en palabras, no con dígitos, el número de estados de Estados Unidos de América.


1.1 OBJETIVO

Introducción a los números naturales

A Relaciones de orden entre números naturales Los números naturales son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . .

© Tomasz Zachariasz/iStockphoto.com

Los tres puntos significan que la lista continúa indefinidamente y que no hay un número natural que sea el mayor de todos. Los números naturales también se llaman números cardinales.

En algunos contextos, en vez de cero, se dice nada o nulo. La palabra love, para decir cero en el marcador de un partido de tenis, viene del francés l’oeuf, que significa “el huevo”.

Aunque existe cierto debate en cuanto a la inclusión del 0 dentro de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro. Así, los números naturales son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, . . . incluido el cero. Así como las distancias se asocian con las marcas que n aparecen en el borde de una regla, los números naturales pueden relacionarse con puntos en una recta. Esta recta se llama recta numérica y se ilustra a continuación. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

La punta de flecha a la derecha indica que la recta numérica continúa hacia la derecha.

3


Para representar gráficamente un número natural, se coloca un punto grande sobre la recta numérica directamente encima del número. A continuación se ilustra en la recta numérica el 6. 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

En la recta numérica los números son mayores a medida que nos movemos de izquierda a derecha y, a la inversa, los números son menores a medida que nos desplazamos de derecha a izquierda. Por tanto, la recta numérica se utiliza para visualizar la relación de orden entre dos números naturales. Un número que aparece a la derecha de otro número determinado es mayor que ese número. El símbolo > significa es mayor que. 8 está a la derecha de 3. 8 es mayor que 3. 83

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10 11 12 13 14

5 está a la izquierda de 12. 5 es menor que 12. 5  12

NotA Un símbolo de desigualdad, o , apunta hacia el número menor. El símbolo se abre hacia el número mayor.

DEJEMPLO 1

En la recta numérica, ¿qué número está 3 unidades a la derecha de 4?

Solución

0

1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

9

10 11 12 13 14

Una desigualdad expresa el orden relativo de dos expresiones matemáticas. 8  3 y 5  12 son desigualdades.

DINTÉNTALO 1

En la recta numérica, ¿qué número está 4 unidades a la izquierda de 11?

 1

8

Tu solución

3

0

7

6

7

8

















   

9 10 11 12

7 está 3 unidades a la derecha de 4.

DEJEMPLO 2

4

Escribe entre los dos números el símbolo correcto,  o . a. 38  23

b. 0  54

Solución a. 38  23

b. 0  54

Capítulo 1: Los números naturales

DINTÉNTALO 2

Escribe entre los dos números el símbolo correcto,  o . a. 47  19

Tu solución

b. 26  0

© Michael Svoboda/iStockphoto.com / © iStockphoto.com

Un número que aparece a la izquierda de otro número determinado es menor que ese número. El símbolo < significa es menor que.


DPRÁCTICA Relaciones de orden entre números naturales 1. Llena el espacio en blanco con  o : en la recta numérica, 2 está a la izquierda de 8, por tanto, 2 8. Localiza en la recta numérica el número. 2. 10 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

Indica qué número está en la recta numérica 3. 4 unidades a la izquierda de 9.

4. 3 unidades a la derecha de 2.

Escribe entre los dos números el símbolo correcto, , o .. 5. 27

6. 0

39

52

7. 61

8. 4,610

0

4,061

Escribe los números dados ordenándolos del menor al mayor. 9. 21, 14, 32, 16, 11

© Trudy Karl/iStockphoto.com

© iStockphoto.com

B Valor posicional

E el número 64,273, la posición En ddel dígito 6 determina que su valor p posicional es el de las decenas de millar.

Ce des mil n nt de lón D ena m ec s i e d lló U nas e m n ni i da de lla Ce des mil r nt de lar D ena m ec s ill ar e U nas ni da de s

Para representar los números, los romanos utilizaban M para indicar 1,000, D para 500, C para 100, L para 50, X para 10, V para 5 y I para 1. Por ejemplo, MMDCCCLXXVI representaba el número 2,876. Los romanos representaban así cualquier número, hasta el más grande que necesitaran en su vida cotidiana, excepto el cero.

Cuando un número natural se escribe con los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, se dice que está en forma entera o forma normal. La posición de cada dígito en el número determina el valor posicional de ese dígito. El siguiente diagrama muestra una gráfica de valores posicionales p que indica los primeros doce valores posicionales. La cifra 64,273 está en f forma entera y se ha escrito en la gráfica. Ce nt e De nas ce de n m U as d illa ni da e m r de d Ce es d illar mill nt e m de m ón e D na illa illó ec s rd n e d U nas e m e mi ni da de illó llón

OBJETIVO

10. 377, 370, 307, 3,700, 3,077

6

4

2

7

3

C Cuando un número se escribe en forma entera, cada grupo de dígitos se separa por una c coma y se llama periodo. El número 5,316,709,842 tiene cuatro periodos. Los nombres de llos periodos se muestran en magenta en la gráfica anterior de valores posicionales. P Para escribir un número en palabras, se empieza a partir de la izquierda. Se menciona el nnúmero en cada periodo y luego se escribe el nombre del periodo en lugar de la coma. 5,316,709,842 se lee “cinco mil trescientos dieciséis millones setecientos nueve mil ochocientos cuarenta y dos”. Sección 1.1: Introducción a los números naturales

5


Para escribir con dígitos un número natural, escribe el número que se menciona en cada periodo y sustituye el nombre de cada periodo por una coma. Seis millones cincuenta y un mil ochocientos setenta y cuatro se escribe 6,051,874. El cero se utiliza como indicador de posición de las centenas de millar. El número natural 37,286 se puede escribir con notación desarrollada como 30,000  7,000  200  80  6

Ce des mil n nt de lón D ena m ec s i e d lló U nas e m n ni da de illa Ce des mil r nt de lar D ena m ec s ill ar e U nas ni da de s

Ce nt e De nas ce de n m U as d illa ni da e m r de d Ce es d illar mill nt e m de m ón e D na illa illó ec s rd n e d U nas e m e mi ni l i d da e lló lón

Para determinar la notación desarrollada de un número, se puede utilizar la gráfica de valores posicionales.

3

3 Decenas de millar

30,000



7 Unidades de millar





7,000



7

2

2 Centenas

8

6

8 Decenas

 

200



6 Unidades



80

6

Ce des mil n nt de lón D ena m ec s i e d lló U nas e m n ni da de illa Ce des mil r nt de lar D ena m ec s ill ar e U nas ni da de s

Ce nt e De nas ce de n m U as d illa ni da e m r de d Ce es d illar mill nt e m de m ón e D na illa illó ec s rd n e d U nas e m e mi ni l i d da e lló lón

Escribe con notación desarrollada el número 510,409.

5

5 Centenas de millar

500,000



1 Decena de millar



10,000



0 Unidades de millar





0



1

0

4

0

4 Centenas

400

9

 

0 Decenas

0

 

9 Unidades

9

5 500,000 1 10,000 1 400 1 9

DEJEMPLO 3

Escribe con números cuatrocientos seis mil nueve.

Solución 406,009

DEJEMPLO 4

Escribe con notación desarrollada 32,598.

Solución 30,000 1 2,000 1 500 1 90 1 8

6

Capítulo 1: Los números naturales

DINTÉNTALO 3

Escribe con números novecientos veinte mil ocho.

Tu solución

con notación desarrollada DINTÉNTALO 4 Escribe 76,245. Tu solución


DPRÁCTICA

Escribe con palabras el número. 11. 508

12. 4,790

13. 48,297

14. 246,053

Escribe con notación desarrollada el número. 15. cuatrocientos noventa y seis

16. quinientos dos mil ciento cuarenta

17. cinco millones doce mil novecientos siete

18. ocho millones cinco mil diez

Escribe con notación desarrollada el número. 19. 7,245

OBJETIVO

20. 402,708

C Redondeo Cuando la distancia al sol se da como 93,000,000 millas, el número representa una aproximación a la verdadera distancia. Se llama redondeo a asignar un valor aproximado en lugar de un número exacto. El número se redondea a un determinado valor posicional. 48 está más cerca de 50 que de 40. 48 redondeado a la decena más cercana es 50.

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

4,872 redondeado a la decena más cercana es 4,870.

4,870

4,872

4,874

4,876

4,878

4,880

4,872 redondeado a la centena más cercana es 4,900.

4,800

4,820

4,840

4,860

4,880

4,900

Para redondear un número a un valor posicional dado sin usar la recta numérica, se toma en cuenta el primer dígito a la derecha del valor posicional dado. Redondea 12,743 a la centena más cercana.

NotA

© iStockphoto.com

Si el dígito a la derecha del valor posicional dado es menor que 5, sustituye por ceros ese y todos los dígitos a la derecha de éste.

Si el dígito a la derecha del valor posicional dado es mayor que o igual a 5, suma 1 al dígito que se encuentra en el valor posicional dado y sustituye por ceros todos los demás dígitos a la derecha.

Valor posicional dado 12,743 4,5 12,743 redondeado a la centena más cercana es 12,700. Redondea 46,738 al millar más cercano. Valor posicional dado 46,738 7.5 46,738 redondeado al millar más cercano es 47,000. Sección 1.1: Introducción a los números naturales

7


Redondea 29,873 al millar más cercano Valor posicional dado 29,873 8 . 5 Para redondear, se suma 1 al 9 ( 9 1 1 5 10 ) . Lleva el 1 al lugar de las decenas de millar ( 2 1 1 5 3 ) . 29,873 redondeado al millar más cercano es 30,000.

DEJEMPLO 5

Redondea 435,278 a la decena de millar más cercana.

DINTÉNTALO 5

Solución

Redondea 529,374 a la decena de millar más cercana.

Tu solución Valor posicional dado 435,278 555 435,278 redondeado a la decena de millar más cercana es 440,000.

DPRÁCTICA

Redondea el número al valor posicional dado. 21. 7,108; decenas

22. 4,962; centenas

23. 28,551; centenas

24. 5,326; unidades de millar

25. 389,702; unidades de millar

26. 352,876; decenas de millar

Aviación La velocidad de crucero de un Boeing 747 es de 589 mph. ¿Cuál es

© David Raboin/iStockphoto.com

la velocidad de crucero de un Boeing 747 redondeada a la decena de millas por hora más cercana?

8

Capítulo 1: Los números naturales


OBJETIVO

D Gráficas estadísticas Las gráficas son imágenes que proporcionan una representación de datos. La ventaja de las gráficas es que muestran la información de manera muy fácil de leer. Un pictograma utiliza símbolos para representar información. El símbolo elegido tiene relación, por lo general, con los datos que representa. La figura 1.1 representa la fortuna de los mayores multimillonarios de Estados Unidos. Cada símbolo representa diez mil millones de dólares.

Figura 1.1 Fortuna de los mayores multimillonarios de Estados Unidos

Fortuna (en decenas de millar de millón de dólares) Bill Gates

© iStockphoto.com / © Felix Möckel/iStockphoto.com

Warren Buffett Larry Ellison Jim Walton S. Robson Walton Fuente: www.Forbes.com

Figura 1.2 Gasto anual promedio de una familia

estadounidense  Atención médica $2,069

Entretenimiento $2,069

Ropa $2,483

Vivienda $12,827

Seguro y pensiones $3,724 Otros $4,551 Comida $5,793

Transporte $7,034

En el pictograma de la figura 1.1, vemos que Bill Gates y Warren Buffett tienen la mayor fortuna. La fortuna de Warren Buffett es 30,000 millones de dólares mayor que la de Larry Ellison. Una familia típica en Estados Unidos obtiene un ingreso promedio en dólares, después de impuestos, de $40,550. La gráfica circular de la figura 1.2 representa cómo se gasta este ingreso anual. El círculo completo representa la cantidad total, $40,550. Cada sector del círculo representa la cantidad gastada en un rubro específico. En la gráfica circular observamos que la cantidad mayor se gasta en vivienda. Además, la cantidad que se gasta en comida ($5,793) es menor que la cantidad que se gasta en transporte ($7,034).

Fuente: American Demographics

Sección 1.1: Introducción a los números naturales

9


capítulo 2

Los números enteros 2.1 Introducción a los números enteros A B C D

Los números enteros y la recta numérica Opuestos Valor absoluto Números enteros negativos

Examen

de preparación

Resuelve este examen rápido para ver si recuerdas el material del capítulo anterior, el cual necesitas conocer para seguir adelante. En los ejercicios 3 a 6 suma, resta, multiplica o divide.

2.2 Suma y resta de números enteros A B

Sumar números enteros Restar números enteros

2.3 Multiplicación y división de números enteros A B

Multiplicar números enteros Dividir números enteros

2.4 Solución de ecuaciones con números enteros A B

Resolver ecuaciones Convertir un enunciado en una ecuación

2.5 El orden o jerarquía de las operaciones

1. Coloca entre los dos números el símbolo correcto,  o . 54 45 2. ¿Qué distancia hay de 4 a 8 en la recta numérica? 3. 7,654 1 8,193 4. 6,097 2 2,318 5. 472 3 56 6. 144 4 24 7. Resuelve: 22 5 y 1 9

¿Necesitas ayuda? Para obtener recursos de estudio en línea, como ejercicios de repaso, visita el sitio web de PREALG en http://latinoamerica.cengage.com/4ltr/prealg

50

9. ¿Qué precio debe tener un monopatín que le cuesta a la tienda $129 y se quiere tener un margen de utilidad de $42? Utiliza la fórmula P 5 C 1 M, donde P es el precio del producto que paga el consumidor, C el costo que paga la tienda por el producto y M el margen de utilidad. 10. Simplifica: 1 8 2 6 2 2 1 12 4 4 # 32

© Simon Smith/iStockphoto.com

8. Resuelve: 12b 5 60


2.1 OBJETIVO

Introducción a los números enteros

A Los números enteros y la recta numérica En el capítulo 1 hablamos sólo del cero y los números mayores que cero. En este capítulo se introducen los números menores que cero. Las frases como “7 grados bajo cero”, “$50 en deuda” y “20 metros bajo el nivel del mar” se refieren a números menores que cero. Los números mayores que cero se llaman números positivos. Los números menores que cero se llaman números negativos.

números Positivos y negativos Un número n es positivo si n . 0. Un número n es negativo si n , 0.

51


Para indicar un número positivo, se puede colocar antes del número un signo más (). Por ejemplo, podemos escribir 4 en lugar de 4. Sin embargo, por lo general, el signo más se omite y se sobrentiende que el número es positivo. Para indicar un número negativo, se coloca antes del número un signo menos o negativo () . El número 1 se lee “menos uno”, 2 se lee “menos dos”, etcétera. La recta numérica se extiende a la izquierda del cero para indicar números negativos. 7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

Los números enteros son . . . 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . Los número enteros a la derecha del cero son los enteros positivos. Los número enteros a la izquierda de cero son enteros negativos. El cero es un número entero, pero no es positivo ni negativo. El punto correspondiente a 0 en la recta numérica se llama origen. En la recta numérica, los números se hacen mayores a medida que avanzamos de izquierda a derecha. Por el contrario, los números se hacen menores a medida que avanzamos de derecha a izquierda. Por tanto, se puede utilizar la recta numérica para visualizar la relación de orden entre dos número enteros.

2 está a la derecha de 3 en la recta numérica. 2 es mayor que 3. 2 . 23 4 está a la izquierda de 1 en la recta numérica. 4 es menor que 1. 24 , 1

4 3 2 1

0

1

2

3

4

   











Inversiones

En el mercado de valores, el cambio neto en el precio de una acción se escribe como un número positivo o negativo. Si el precio aumenta, el cambio neto es positivo. Si el precio disminuye, el cambio neto es negativo. Si el cambio neto de la acción A es 2 y el cambio neto de la acción B es 1, ¿qué acción registró el menor cambio neto?

relaciones de orden a . b si a está a la derecha de b en la recta numérica. a , b si a está a la izquierda de b en la recta numérica.

52

Capítulo 2: Los números enteros

© Adam Kazmierski/iStockphoto.com / © iStockphoto.com

Un número que aparece a la derecha de un número dado es mayor que () dicho número. Un número que aparece a la izquierda de un número dado es menor que () dicho número.


DEJEMPLO 1

En la recta numérica, ¿qué número está 5 unidades a la derecha de 2? 5 unidades

Solución 24 23 22 21

0

1

DINTÉNTALO 1

En la recta numérica, ¿qué número está 4 unidades a la izquierda de 1?

Tu solución 2

3

4

3 está 5 unidades a la derecha de 2.

DEJEMPLO 2

Si G es 2 e I es 4, ¿qué números son B y D? A

B

C

D

E

F

G

H

I

4 3 2 1

0

1

2

3

4

Solución

DINTÉNTALO 2

Si G es 1 y H es 2, ¿qué números son A y C? A

B

C

D

E

F

G

H

I

Tu solución B es 3 y D es 1.

DEJEMPLO 3

Coloca entre los dos números el símbolo correcto,  o . a. 3  1

b. 1  2

Solución a. 3 está a la izquierda de 1 en la recta numérica. 23 , 21 b. 1 está a la derecha de 2 en la recta numérica. 1 . 22

DEJEMPLO 4

DINTÉNTALO 3

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

a. 2  5 b. 4  3 Tu solución

DINTÉNTALO 4

5, 2, 3, 0, 6 Solución 6, 2, 0, 3, 5

Coloca entre los dos números el símbolo correcto,  o .

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor. 7, 4, 1, 0, 8

Tu solución

Sección 2.1: Introducción a los números enteros

53


DPRÁCTICA

Localiza en la recta numérica el número. 1. 6 26 25 24 23 22 21 0 1

2 3

4 5

2. x, para x 5 24 26 25 24 23 22 21 0 1

6

2 3

4 5

6

En la recta numérica, qué número está: 3. 3 unidades a la derecha de 2.

4. 4 unidades a la izquierda de 3.

5. 2 unidades a la izquierda de 1.

Coloca entre los dos números el símbolo correcto,  o . 6. 21

34

7. 27

39

8. 51

20

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor. 9. 3, 27, 0, 22

OBJETIVO

10. 210, 4, 12, 25, 27

B Opuestos

Nota sobre el uso de calculadoras La tecla  de la calculadora se utiliza para encontrar el opuesto de un número. La tecla  se utiliza para realizar la operación de resta.

L distancia de 0 a 3 en la recta numérica es de La 3 unidades. La distancia de 0 a 3 en la recta nnumérica es de 3 unidades. 3 y 3 están a la misma distancia de 0 en la recta numérica, sólo que 3 está a la derecha de 0 y 3 está a la izquierda de 0.

3 3 2 1

3 0

1

2

3

D números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en lados Dos opuestos de cero se llaman opuestos. 3 es el opuesto de 3 y 3 es el opuesto de 3. Para cualquier número n, el opuesto de n es n y el opuesto de n es n. P A Ahora podemos definir los números enteros como los números naturales y sus opuestos. Un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”. 2 ( 3 ) 5 23 El opuesto de 3 positivo es 3 negativo. 2 ( 23 ) 5 3 El opuesto de 3 negativo es 3 positivo. Por tanto, 2 ( a ) 5 2a y 2 ( 2a ) 5 a. Observa que con la introducción de los enteros negativos y los opuestos, los símbolos  y  se pueden leer de diferentes maneras.

54

Capítulo 2: Los números enteros


612

“seis más dos”

 se lee “más”

2

“dos positivo”

 se lee ”positivo”

622 22

“seis menos dos”

 se lee ”menos”

“menos dos”

 se lee ”menos”

2 ( 26 )

“el opuesto de seis negativo”

 se lee primero como “el opuesto de” y luego “negativo”

Cuando los símbolos  y  indican las operaciones de suma y resta, se insertan espacios antes y después del símbolo. Cuando los símbolos  y  indican el signo de un número (positivo o negativo), no hay ningún espacio entre el símbolo y el número.

DEJEMPLO 5

Encuentra el número opuesto. a. 8 b. 15

Solución a. 8

DEJEMPLO 6

c. a

b. 15

c. a

Escribe con palabras la expresión. a. 7 2 ( 29 )

b. 24 1 10

Solución a. siete menos, menos nueve b. menos cuatro más diez

DEJEMPLO 7

Simplifica. a. 2 ( 227 )

b. 2 ( 2c )

Solución a. 2 ( 227 ) 5 27 b. 2 ( 2c ) 5 c

DINTÉNTALO 5

Encuentra el número opuesto. a. 24

b. 13 c. b

Tu solución

DINTÉNTALO 6

Escribe con palabras la expresión. a. 23 2 12 b. 8 1 ( 25 )

Tu solución

DINTÉNTALO 7

Simplifica. a. 2 ( 259 )

b. 2 ( y )

Tu solución

DPRÁCTICA Encuentra el opuesto del número. 11. 31

13. w

12. c

Escribe con palabras la expresión. 14. 5 1 ( 210 )

15. 6 2 ( 27 )

16. 9 2 12

17. 213 2 8

Simplifica. 18. 2 ( 27 )

19. 2 ( 46 )

20. 2 ( 2m )

Sección 2.1: Introducción a los números enteros

55


OBJETIVO

C Valor absoluto El valor absoluto de un número es la distancia de cero al número en la recta numérica. La distancia nunca es un número negativo. Por tanto, el valor absoluto de un número es un número positivo o cero. El símbolo de valor absoluto es “ 0 0 .” La distancia de 0 a 3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 0 3 0 5 3 (el valor absoluto de 3 es 3). La distancia de 0 a 3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 0 23 0 5 3 (el valor absoluto de 3 es 3).

3 4 3 2 1

0

1

2

3

4

0

1

2

3

4

3 4 3 2 1

Debido a que la distancia de 0 a 3 y la distancia de 0 a 3 son iguales 0 3 0 5 0 23 0 5 3.

valor absoluto El valor absoluto de un número positivo es positivo. 0 5 0 5 5 El valor absoluto de un número negativo es positivo. 0 25 0 5 5 El valor absoluto de cero es cero. 0 0 0 5 0

Evalúa 2 0 7 0 . El signo negativo está antes del símbolo de valor absoluto. Recuerda que un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”. Por tanto, 2 0 7 0 se puede leer como “el opuesto del valor absoluto de 7”.

Nota En el ejemplo anterior es importante notar que el signo negativo aparece antes del símbolo de valor absoluto. Esto significa que –⏐7⏐ = –7, pero ⏐–7⏐ = 7.

DEJEMPLO 8

Evalúa a. 0 227 0 y b. 2 0 214 0 .

Solución a. 0 227 0 5 27 b. 2 0 214 0 5 214

56

Capítulo 2: Los números enteros

DINTÉNTALO 8 Tu solución

Evalúa a. 0 0 0 y b. 2 0 35 0 .

© Nicholas Belton/iStockphoto.com

2 0 7 0 5 27


DEJEMPLO 9 Solución

DEJEMPLO 10

Evalúa 0 2x 0 para x 5 24.

DINTÉNTALO 9

0 2x 0 5 0 2 ( 24 ) 0 5 0 4 0 5 4

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

Tu solución

DINTÉNTALO 10

0 27 0 , 25, 0 0 0 , 2 ( 24 ) , 2 0 23 0 Solución

Evalúa 0 2y 0 para y 5 2.

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor. 0 6 0 , 0 22 0 , 2 ( 21 ) , 24, 2 0 28 0

0 27 0 5 7, 0 0 0 5 0, 2 ( 24 ) 5 4, 2 0 23 0 5 23 25, 2 0 23 0 , 0 0 0 , 2 ( 24 ) , 0 27 0

Tu solución

DPRÁCTICA Encuentra el valor absoluto del número. 21. 4

22. 9

Evalúa. 23. 0 223 0

24. 2 0 33 0

Coloca entre los dos números el símbolo correcto, ,, 5 o .. 25. 0 212 0

080

26. 0 214 0

0 14 0

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor. 27. 0 28 0 , 2 ( 23 ) , 0 2 0 , 2 0 25 0

28. 2 0 6 0 , 2 ( 4 ) , 0 27 0 , 2 ( 29 )

29. Encuentra los valores de a para los que 0 a 0 5 7.

30. Dado que x es un número entero, encuentra todos los valores de x para los que 0 x 0 , 5.

OBJETIVO

D Números enteros negativos Los datos que se representan por números negativos en una gráfica de barras se muestran debajo del eje horizontal. Por ejemplo, la figura 2.1 en la página siguiente muestra las temperaturas más bajas registradas, en grados Fahrenheit, en algunos estados de Estados Unidos. La temperatura más baja registrada en Hawai es de 12 ºF, que es un número positivo, por lo que la barra que representa esa temperatura está por encima del eje horizontal. Las barras que corresponden a los demás estados aparecen por debajo del eje horizontal y, por tanto, representan números negativos. Sección 2.1: Introducción a los números enteros

57


En la gráfica podemos ver que el estado que tiene la temperatura más baja registrada es Nueva York, con una temperatura de 52 F.

Fl or id a 2 2

ai aw H

220 230

45

52 2

260

2

250

40

240

DEJEMPLO 11

DINTÉNTALOLO 11

Estrategia Para determinar la temperatura más fría, compara ara los onde a la números 18 y 15. El número menor corresponde temperatura más fría.

Tu estrategia

Solución 218 , 215

Tu solución

¿Qué temperatura es más fría, 18 F o 15 F?

© David Wasserman/Brand X Pictures/Jupiterimages / © iStockphoto.com

or k 12

ue va Y

0 210

2

Grados Fahrenheit

A

10

N

riz on a

20

Ca lif or ni a

Figura 2.1 Temperaturas más bajas registradas

¿Qué está más cerca del despegue, 9 segundos y contando o 7 segundos y contando?

La temperatura más baja es 18 F.

DPRÁCTICA

32. Negocios Algunas empresas registran la utilidad con un número positivo y la pérdida con un o pasado, la pérdida que obtuvo una empresa número negativo. Durante el tercer trimestre del año tre del año pasado, la pérdida experimentada se registró como 26,800. Durante el cuarto trimestre ue mayor la pérdida? por la empresa fue de 24,900. ¿En qué trimestre fue

58

Capítulo 2: Los números enteros

© iStockphoto.com

31. Negocios Algunas empresas registran la utilidad idad con un número positivo y la pérdida con un número negativo. Durante el primer trimestre de este año, la pérdida que obtuvo una empresa se mestre de este año, la pérdida experimentada por la registró como 12,575. Durante el segundo trimestre empresa fue de 11,350. ¿En qué trimestre fue mayor la pérdida?


2.2 OBJETIVO

Suma y resta de números enteros

A Sumar números enteros Un número entero no sólo puede representarse en la recta numérica, sino que es posible representarlo con una flecha en cualquier parte a lo largo de una recta numérica. Un número positivo se representa con una flecha apuntando a la derecha. Un número negativo se representa con una flecha apuntando a la izquierda. El valor absoluto del número se representa por la longitud de la flecha. Los números enteros 5 y 4 se muestran en la recta numérica de la figura siguiente: +5

–9

–8

–7

–6

4

–5

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

La suma de dos números enteros se puede mostrar en la recta numérica. Para sumar dos números enteros, encuentra el punto en la recta numérica que corresponde al primer sumando. En ese punto dibuja una flecha que represente el segundo sumando. La suma es el número que se encuentra directamente debajo de la punta de la flecha. +2

41256

7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

1

2

3

4

5

6

7

4

5

6

7

2

24 1 ( 22 ) 5 26

7 6 5 4 3 2 1 0 +2

24 1 2 5 22

7 6 5 4 3 2 1 0

2

4 1 ( 22 ) 5 2

7 6 5 4 3 2 1 0

1

2

3

Las sumas que se presentan arriba se categorizan por los signos de los sumandos. Los sumandos tienen el mismo signo. 412 24 1 ( 22 )

4 positivo más 2 positivo 4 negativo más 2 negativo

Los sumandos tienen signos diferentes. 24 1 2 4 1 ( 22 )

4 negativo más 2 positivo 4 positivo más 2 negativo

La regla para sumar dos números enteros depende de si los signos de los sumandos son iguales o diferentes. Sección 2.2: Suma y resta de números enteros

59


regla para sumar dos números enteros Para sumar dos números enteros con el mismo signo, suma los valores absolutos de los números. Luego escribe el signo de los sumandos. Para sumar dos números enteros con signos diferentes, encuentra los valores absolutos de los números. Resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. Luego escribe el signo del sumando que tenga el mayor valor absoluto.

Suma: ( 24 ) 1 ( 29 ) Los signos de los sumandos son iguales. Suma los valores absolutos de los números. 0 24 0 5 4, 0 29 0 5 9, 4 1 9 5 13 Escribe el signo de los sumandos. (Los dos sumandos son negativos. La suma es negativa.)

Nota sobre el uso de calcualdoras Para sumar 214 1 ( 247 ) en la calculadora, ingresa lo siguiente:

Suma: 214 1 ( 247 ) S Los signos son iguales. Suma los valores absolutos de los números Escribe el signo de los sumandos.

14   47   14

47

( 24 ) 1 ( 29 ) 5 213

214 1 ( 247 ) 5 261

Suma: 6 1 ( 213 ) S Los signos de los sumandos son diferentes. Encuentra los valores absolutos de los números. 0 6 0 5 6, 0 213 0 5 13 Resta el valor absoluto menor del valor absoluto mayor. 13 2 6 5 7 Escribe el signo del número con el valor absoluto mayor. 0 213 0 . 0 6 0 . Escribe el signo negativo.

6 1 ( 213 ) 5 27

Suma: 162 1 ( 2247 ) Los signos son diferentes. Encuentra la diferencia entre los valores absolutos de los números. 247 2 162 5 85 Escribe el signo del número con el valor absoluto mayor.

162 1 ( 2247 ) 5 285

Suma: 28 1 8 Los signos son diferentes. Encuentra la diferencia entre los valores absolutos de los números. 82850

60

Capítulo 2: Los números enteros

28 1 8 5 0


La suma de un número y su inverso aditivo es siempre cero.

L Las propiedades de la suma que se presentaron en el capítulo 1 son válidas para los nnúmeros enteros y para los números naturales. Estas propiedades se repiten en seguida, jjunto a la propiedad del inverso aditivo.

Propiedad del neutro aditivo a105a o 01a5a

Propiedad conmutativa de la suma

Propiedad asociativa de la suma

a1b5b1a

(a 1 b) 1 c 5 a 1 (b 1 c)

Suma: ( 24 ) 1 ( 26 ) 1 ( 28 ) 1 9 Suma los primeros dos números. Suma la suma al tercer número. Continúa hasta que hayas sumado todos los números.

En el ejemplo de la derecha, comprueba que la suma es igual si los números se suman en orden diferente.

Figura 2.2 Cambio en el precio de las acciones

Vi e

Ju

M

e

ie

ar M

Lu

n

de Byplex Corporation 0

ST 01

T/R

88

4

1

Propiedad del inverso aditivo a 1 ( 2a ) 5 0 o 2a 1 a 5 0

( 24 ) 1 ( 26 ) 1 ( 28 ) 1 9 5 ( 210 ) 1 ( 28 ) 1 9 5 ( 218 ) 1 9 5 29

El precio de las acciones de Byplex Corporation disminuyó cada día que hubo operaciones en la bolsa en la primera semana de junio de 2009. Utiliza la figura 2.2 para encontrar el cambio en el precio de las acciones de Byplex durante esa semana. Suma los cinco cambios del precio. 22 1 ( 23 ) 1 ( 21 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 5 ( 25 ) 1 ( 21 ) 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 5 26 1 ( 22 ) 1 ( 21 ) 5 28 1 ( 21 ) 5 29 El cambio en el precio fue de 9.

2

3

23

V

K OC

2

2

V

2

22

2

2

1

21

2

Cambio en el precio (en dólares)

© Giorgio Fochesato/iStockphoto.com / © Amanda Rohde/iStockphoto.com

propiedad del inverso aditivo

Con las propiedades conmutativas, el orden en que aparecen los números cambia. Con las propiedades asociativas, el orden en que aparecen los números no cambia.

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© Nicholas Belton/iStockphoto.com / © Jussi Santaniemi/iStockphoto.com

Observa que en este último ejemplo sumamos un número y su opuesto (8 y 8), y la suma es 0. El opuesto de un número se llama inverso aditivo. El opuesto o inverso aditivo de 8 es 8, y el opuesto o inverso aditivo de 8 es 8.

24

Esto significa que el precio de las acciones disminuyó $9 por acción.

Sección 2.2: Suma y resta de números enteros

61


Evalúa 2x 1 y para x 5 215 y y 5 25. Sustituye x por 15 y y por 5. Simplifica 2 ( 215 ) . Suma.

2x 1 y 2 ( 215 ) 1 ( 25 ) 5 15 1 ( 25 ) 5 10

¿Es 7 la solución de la ecuación x 1 4 5 23?

x 1 4 5 23 27 1 4

Sustituye x por 7 y luego simplifica.

23

23 5 23

Los resultados son iguales.

7 es la solución de la ecuación.

DEJEMPLO 12

Suma: 297 1 ( 245 )

Solución 297 1 ( 245 ) 5 2142

DEJEMPLO 13

Suma: 81 1 ( 279 )

Solución 81 1 ( 279 ) 5 2

DEJEMPLO 14 Solución

DEJEMPLO 15

Suma: 42 1 ( 212 ) 1 ( 230 ) 42 1 ( 212 ) 1 ( 230 ) 5 30 1 ( 230 ) 50 ¿Cuánto es 162 más 98?

Solución 2162 1 98 5 264

DEJEMPLO 16

Evalúa 2x 1 y para x 5 211 y y 5 22.

Solución 2x 1 y 2 ( 211 ) 1 ( 22 ) 5 11 1 ( 22 ) 59

DINTÉNTALO 12 Tu solución

DINTÉNTALO 13 DINTÉNTALO 14 DINTÉNTALO 15

Realiza la suma de 154 y 37.

Tu solución

DINTÉNTALO 16

Evalúa 2x 1 y para x 5 23 y y 5 210.

Tu solución

Estrategia Para calcular la temperatura, suma el aumento (8) a la temperatura anterior (5).

Tu estrategia

Solución 25 1 8 5 3 La temperatura es 3 C.

Tu solución

Capítulo 2: Los números enteros

Suma: 236 1 17 1 ( 221 )

Tu solución

DINTÉNTALO 17

62

Suma: 47 1 ( 253 )

Tu solución

DEJEMPLO 17

Calcula la temperatura después de un aumento de 8 °C desde 5 C.

Suma: 238 1 ( 262 )

Calcula la temperatura después de un aumento de 10 °C desde 3 C.


DPRÁCTICA Suma. 33. 26 1 ( 29 )

34. 214 1 ( 23 ) 1 7 1 ( 26 )

35. Realiza la suma de 5, 16 y 13.

36. Escribe el total de 2a y b.

Evalúa la expresión para los valores dados de las variables. 37. 2a 1 b, para a 5 28 y b 5 23

38. a 1 b 1 c, para a 5 24, b 5 6 y c 5 29

Resuelve. 39. ¿Es 6 la solución de la ecuación 6 5 12 1 n?

40. ¿Es 8 la solución de la ecuación 27 1 m 5 215?

41. Calcula la temperatura después de un aumento de 9 °C desde 6 °C.

OBJETIVO

B Restar números enteros Antes de explicar las reglas de la resta de dos números enteros, examina la conversión en palabras de las expresiones que representan la diferencia de dos números enteros. 923

9 positivo menos 3 positivo

29 2 3

9 negativo menos 3 positivo

9 2 ( 23 )

9 positivo menos 3 negativo

29 2 ( 23 )

9 negativo menos 3 negativo

Observa que el signo 2 se utiliza de dos maneras diferentes. Una es como signo negativo, como en 29 (9 negativo). La segunda es para indicar la operación de resta, como en 9 2 3 (9 menos 3). Examina las siguientes cuatro expresiones y decide si el segundo número de cada expresión es un número positivo o un número negativo. 1. 2. 3. 4.

( 210 ) 2 8 ( 210 ) 2 ( 28 ) 10 2 ( 28 ) 10 2 8

En las expresiones 1 y 4, el segundo número es 8 positivo. En las expresiones 2 y 3, el segundo número es 8 negativo.

Sección 2.2: Suma y resta de números enteros

63


Los opuestos se utiliza para reescribir problemas de resta como problemas de suma relacionados. A continuación, observa que la resta de un número natural es lo mismo que la suma del número opuesto. Resta 824



725



922



Suma del opuesto 8 1 ( 24 ) 7 1 ( 25 ) 9 1 ( 22 )

4 2 7

primer número



opuesto o del segund ro e núm

8



(15)   7



8



15  23



8



(15)  23



8



15  7



segundo número



8



15



8



8



8



(15) 15 (15)

primer número

regla para la resta de dos números enteros Para restar dos números enteros, suma el opuesto del segundo al primer entero.

Resta: ( 215 ) 2 75 Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 75 es 75. Suma.

( 215 ) 2 75 5 ( 215 ) 1 ( 275 ) 5 290

Resta: 6 2 ( 220 ) Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 20 es 20. Suma.

64

Capítulo 2: Los números enteros

6 2 ( 220 ) 5 6 1 20 5 26

© Marie-france Bélanger/iStockphoto.com

La resta de números enteros se puede escribir como la suma del número opuesto. Para restar dos número enteros, reescribe la expresión de resta como el primer número más el opuesto del segundo número. A continuación se presentan varios ejemplos:


© Bulent Ince/iStockphoto.com / © iStockphoto.com

Resta: 11 2 42

NotA

Reescribe la operación de resta como la suma del primer número y el opuesto del segundo número. El opuesto de 42 es 42. Suma.

42  11  31 11  42  31

11 2 42 5 11 1 ( 242 ) 5 231

Por la propiedad conmutativa de la suma, el orden en que se suman dos números no afecta la suma; a 1 b 5 b 1 a. Sin embargo, en este último ejemplo observa que el orden en que se restan dos números sí afecta la diferencia.

La operación de resta no es conmutativa.

Cuando la resta ocurre varias veces en una expresión, reescribe cada resta como la suma del opuesto y luego suma.

Resta: 213 2 5 2 ( 28 )

Nota sobre el uso de calculadoras

Reescribe cada resta como la suma del opuesto.

Para restar 13  5  (8) con la calculadora, teclea lo siguiente:

Suma.

213 2 5 2 ( 28 ) 5 213 1 ( 25 ) 1 8 5 218 1 8 5 210

13   5  8   13

Simplifica: 214 1 6 2 ( 27 )

8

Este problema contiene operaciones tanto de suma como de resta. Reescribe la resta como la suma del opuesto. Suma.

214 1 6 2 ( 27 ) 5 214 1 6 1 7 5 28 1 7 5 21

Evalúa a 2 b para a 5 22 y b 5 29.

a2b 22 2 ( 29 ) 5 22 1 9 57

Sustituye a por 2 y b por 9. Reescribe la resta como la suma del opuesto. Suma.

¿Es 4 la solución de la ecuación 3 2 a 5 11 1 a? 3 2 a 5 11 1 a 3 2 ( 24 ) 11 1 ( 24 ) 314 7 757 Sí, 24 es la solución de la ecuación.

Sustituye a por 4 y luego simplifica. Los resultados son iguales.

DEJEMPLO 18

Resta: 212 2 ( 217 )

Solución 212 2 ( 217 ) 5 212 1 17 55

DINTÉNTALO 18

Resta: 235 2 ( 234 )

Tu solución

Sección 2.2: Suma y resta de números enteros

65


1SPCBEPQPSMPTFTUVEJBOUFT "QSPCBEPQPSMPTEPDFOUFT IUUQMBUJOPBNFSJDBDFOHBHFDPNMUSQSFBMH

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