CAPÍTULO
LA SERIE DE FOURIER DE UNA FUNCION CONVERGENCIA DE UN SERIE DE FOURIER SERIE DE FO EN COSENOS EN SENOS INTEGRA
3
La integral de Fourier y las transformadas de Fourier
3.1
La integral de Fourier Si f (x) está definida en un intervalo [−L, L], puede representarla, al menos en la “mayoría” de los puntos en este intervalo por una serie de Fourier. Si f es periódica, entonces puede representarla por su serie de Fourier en intervalos a lo largo de toda la recta real. Ahora suponga que f (x) está definida para todo x pero no es periódica. Entonces, no es posible representar a f (x) por una serie de Fourier sobre toda la recta. Sin embargo, sí puede escribir una representación en términos de senos y cosenos usando una integral en lugar de una sumatoria. Para ver cómo se hace esto, suponga que f es absolutamente integrable, lo que significa que ∞ | f (x)| dx converge y que f es suave −∞ a pedazos en todo intervalo [−L, L]. Escriba la serie de Fourier de f en un intervalo arbitrario [−L, L], incluyendo las fórmulas integrales de los coeficientes: L ∞ L nπ x
1 nπ ξ 1 f (ξ ) dξ + f (ξ ) cos dξ cos 2 −L 2L L −L L L n=1 L nπ x nπ ξ 1 f (ξ ) sen . dξ sen + L −L L L
Quiere hacer que L → ∞ para obtener una representación de f (x) sobre toda la recta. Para ver a qué límite tiende esta serie de Fourier, si lo hay, sea ωn =
nπ L
y ωn − ωn−1 =
π = ω. L
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