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Matemรกticas II CรLCULO INTEGRAL

RON LARSON BRUCE EDWARDS


Matemáticas II CÁLCULO INTEGRAL

Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College Bruce Edwards University of Florida Traducción Javier León Cárdenas Profesor de Ciencias Básicas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional Revisión técnica Dra. Ana Elizabeth García Hernández Profesor visitante UAM-Azcapotzalco Australia

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur


Matemáticas II Cálculo integral Ron Larson/Bruce Edwards Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Editora de Adquisiciones para Latinoamérica Claudia C. Garay Castro Gerente de Manufactura para Latinoamérica Antonio Mateos Martínez Gerente Editorial de Contenidos en Español Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura Rafael Pérez González Editores Cinthia Chávez Ceballos Juan Pablo Rodríguez Diseño de portada Luis Á. Arroyo Hernández

© D.R. 2017 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo, amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Calculus, 10th Edition Ron Larson/Bruce Edwards Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2014 ISBN: 978-1-285-05709-5

Imagen de portada Shutterstock

Datos para catalogación bibliográfica: Larson, Ron/Bruce Edwards Matemáticas II, Cálculo integral ISBN 978-607-526-004-4

Composición tipográfica Ediciones OVA

Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 19 18 17 16


Contenido 1

Integración 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

2

3

3.5 3.6 3.7 3.8

129

Área de una región entre dos curvas 130 Volumen: método de los discos 140 Volumen: método de las capas 151 Longitud de arco y superficies de revolución 160 Trabajo 171 Momentos, centros de masa y centroides 180 Presión y fuerza de un fluido 191 Integrales impropias 197 Ejercicios de repaso 208 Solución de problemas 210

Series infinitas 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

75

Reglas básicas de integración 76 Integración por partes 83 Integrales trigonométricas 92 Sustitución trigonométrica 101 Fracciones parciales 110 Integración por tablas y otras técnicas de integración 119 Ejercicios de repaso 125 Solución de problemas 127

Aplicaciones de la integral 3.1 3.2 3.3 3.4

4

Antiderivadas e integración indefinida 2 Área 12 Sumas de Riemann e integrales definidas 24 Teorema fundamental del cálculo 35 Integración por sustitución 50 Integración numérica 63 Ejercicios de repaso 70 Solución de problemas 73

Técnica de integración 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

1

213

Sucesiones 214 Series y convergencia 225 Criterio de la integral y series p 235 Comparación de series 242 Series alternantes 249 El criterio del cociente y de la raíz 257 Polinomios de Taylor y aproximaciones 266 Series de potencias 277

iii


iv

Contenido

4.9 4.10

Representación de funciones por series de potencias 287 Series de Taylor y Maclaurin 294 Ejercicios de repaso 306 Solución de problemas 309

Apéndices Apéndice A Apéndice B Apéndice C

Apéndice D Apéndice E Apéndice F

Demostración de teoremas seleccionados A-2 Tablas de integración A-3 Repaso de precálculo (en línea) C.1 Números reales y recta numérica C.2 El plano cartesiano C.3 Repaso de funciones trigonométricas Rotación y la ecuación general de segundo grado (en línea) Números complejos (en línea) Negocios y aplicaciones económicas (en línea)

*Disponible en el sitio especifico del libro www.cengagebrain.com


Prefacio Bienvenido a la primera edición de Matemáticas II, Cálculo integral. Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión revisada de nuestro libro de texto. Como con las otras ediciones, hemos incorporado muchas de las útiles sugerencias de usted, nuestro usuario. En esta edición se han introducido algunas características nuevas y revisado otras. Encontrará lo que espera, un libro de texto pedagógico, matemáticamente preciso y entendible. Estamos contentos y emocionados de ofrecerle algo totalmente nuevo en esta edición, un sitio web, en LarsonCalculus.com. Este sitio ofrece muchos recursos que le ayudarán en su estudio del cálculo. Todos estos recursos están a sólo un clic de distancia. Nuestro objetivo en todas las ediciones de este libro de texto es proporcionarle las herramientas necesarias para dominar el cálculo. Esperamos que encuentre útiles los cambios de esta edición, junto con LarsonCalculus.com, para lograrlo. En cada conjunto de ejercicios, asegúrese de anotar la referencia a CalcChat.com. En este sitio gratuito puede bajar una solución paso a paso de cualquier ejercicio impar. Además, puede hablar con un tutor, de forma gratuita, dentro del horario publicado en el sitio. Al paso de los años, miles de estudiantes han visitado el sitio para obtener ayuda. Utilizamos toda esta información como ayuda para guiarlo en cada revisión de los ejercicios y soluciones.

Lo nuevo en esta edición NUEVO LarsonCalculus.com Este sitio web ofrece varias herramientas y recursos para complementar su aprendizaje. El acceso a estas herramientas es gratuito. Videos de explicaciones de conceptos o demostraciones del libro, ejemplos para explorar, vista de gráficas tridimensionales, descarga de artículos de revistas de matemáticas y mucho más. NUEVA Apertura de capítulo En cada apertura de capítulo se resaltan aplicaciones reales utilizadas en los ejemplos y ejercicios. NUEVOS Ejemplos interactivos Los ejemplos del libro están acompañados de ejemplos interactivos en LarsonCalculus.com. Estos ejemplos interactivos usan el reproductor CDF de Wolfram y permiten explorar el cálculo manejando las funciones o gráficas y observando los resultados. NUEVOS Videos de demostraciones Vea videos del coautor Bruce Edwards, donde explica las demostraciones de los teoremas de Cálculo, décima edición, en LarsonCalculus.com. v


vi

Prefacio

NUEVO ¿Cómo lo ve? La característica ¿Cómo lo ve? en cada sección presenta un problema de la vida real que podrá resolver mediante inspección visual utilizando los conceptos aprendidos en la lección. Este ejercicio es excelente para el análisis en clase o la preparación de un examen.

¿CÓMO LO VE? vectorial r(t) para 0 ≤ t ≤ 2p y su derivada r′(t) para diferentes valores de t. y

Comentario Revisado

4

Estos consejos y sugerencias refuerzan o amplían conceptos, le ayudan a aprender cómo estudiar matemáticas, le advierten acerca de errores comunes, lo dirigen en casos especiales o le muestran los pasos alternativos o adicionales en la solución de un ejemplo.

π t=5 6

−5

Revisados Los conjuntos de ejercicios han sido amplia y cuidadosamente examinados para asegurarnos que son rigurosos e importantes y que incluyen todos los temas que nuestros usuarios han sugerido. Se han reorganizado los ejercicios y titulado para que pueda ver mejor las conexiones entre los ejemplos y ejercicios. Los ejercicios de varios pasos son ejercicios de la vida real que refuerzan habilidades para resolver problemas y dominar los conceptos, dando a los estudiantes la oportunidad de aplicarlos en situaciones de la vida real. 134

Capítulo 3 ti

41. r t

sen t i

42. r t

2 sen t i

1 t j 2

2 cos t j

1 cos t 2

3 k 2

2 sen t k

64. lím 3ti

cos t j

tq

(b) u t

2 cos t i

(c) u t

2 cos

(d) u t

1 2t i

(e) u t

1i ti

1 2

tj

tk

2 cos t k 1 2t k

6 sen t j

(a) u t

ti

1 k t cos t k tq0 t ln t 1 ti j k 66. lím 2 tq1 t 1 t 1 sen t j e tk 67. lím e t i tq0 t 1 t j k 68. lím e t i t t2 1

(b) u t

t2i

tj

(c) u t

ti

t 2j

(d) u t

ti

t 2j ti

1 3 2t k 1 3 2t 1 3 8t k

4k

t 2j

1 2

69. r t

Representar una gráfica mediante una función vectorial En los ejercicios e ercicios 45 a 52, represente la curva plana por meej dio de una función vectorial. (Hay muchas respuestas correctas.) 45. y

x

46. 2x 2

5

x

2

48. y

4 9. x 2

y2

25

50. x

x2 16

y2 4

1

52.

5 1.

2

x2 9

3y 2

5

0

x2

4 2

y2 16

y2

4

Superficies x2

54. z

2

55. x 2 56. 4x 2

x

y

2

y ,,  z

y2

4 x2

4,  z 4,

4y 2

0

z2

z2

16,  x 16,

57. x 2

y2

z2

4,  x 4,

58. x 2

y2

z2

10,  x 10,

59. x 2

z2

4,  y 2 4,

60. x 2

y2

z2

x

t

x

2 cos t

ti

x

2 sen t

z

t

x

1

sen t

x

2

sen t

4

x

t primer octante

16, xy 16,

4

x

t primer octante

2 y

4

ti

t

71. r t

ti

72. r t

2e t i

73. r t

1j

arcsen t j

t

e tj

1k

ln t

1 k

e t, t 2, tan t

74. r t

8,

t,

3

t

DESARROLLO DE CONCEPTOS Escribir una transformación En los ejercicios 75 a 78, considere la función vectorial

75. Una traslación vertical tres unidades hacia arriba. 76. Una traslación vertical dos unidades hacia abajo. 77. Una traslación horizontal dos unidades en dirección del negativo. eje x ne gativo. 78. Una traslación horizontal cinco unidades en dirección del eje y positivo.

61. Dibujar una curva Demuestre que la función vectorial t + 2t cos tj t + 2t sen tk se encuentra en el cono 4x 4 2= r(t) = ti y2 + z2. Dibuje la curva.

Dé un ejemplo de una función vectorial que esté det = 2. 80. Comparar funciones

(a) r t

3 cos t

(b) r t

4i

(c) r t

3 cos t

(d) r t

1i

3 cos t 1i

3 cos 2t

5 sen t 1j

2j

4k

5 sen t

2k

5 sen t 1i

5 sen 2t

2j

4k 2j

4k

Aplicaciones Se han elegido con cuidado ejercicios de aplicación y ejemplos que se incluyen para dirigir el tema: “¿Cuándo usaré esto?”. Estas aplicaciones son tomadas de diversas fuentes, tales como acontecimientos actuales, datos del mundo, tendencias de la industria y, además, están relacionadas con una amplia gama de intereses, entendiendo dónde se está utilizando (o se puede utilizar) el cálculo para fomentar una comprensión más completa del material.

Desarrollo de conceptos

79. Continuidad de una función vectorial Escriba la

z2

z

1 j t

f esDé una función vectorial s(t) que sea la transformación

Parámetro

y 2,,  x

El apéndice A (Demostración de teoremas seleccionados) ahora se presenta en formato de video (en inglés) en LarsonCalculus.com. Las demostraciones también se presentan en forma de texto (en inglés y con costo adicional) en CengageBrain.com.

Características confiables

r(t) = t2i + (t – 3)j + tk. 1

Representar una gráfica mediante una función vectorial En los ejercicios 53 a 60, dibuje la curva en el espacio presente la curva por una función vectorial utilizando el parámetro dado.

53. z

j

1

3t j

70. r t t 3k

4 7. y

1

Continuidad de una función vectorial En los ejercicios 69 a 74, determine el (los) intervalo(s) en que la función vectorial es continua.

1 3 2t k

2 j

−4

tq

1 3 2t k

t2

(e) u t

2t k

2 sen

2 sen t j

t 2j

ti

1 2t k

2 sen t j

2 sen t j

6 cos t i

44. r t

1 2 tk

2 sen tj t

sen t k

2

t2

tq2

65. lím t 2 i

2 cos t

x

3

mine si cada componente es positiva o negativa. (b) ¿Es suave la curva en el intervalo [0, 2p]? Explique su razonamiento.

Determinar un límite En los ejercicios 63 a 68, evalúe el límite (si existe). 63. lím t i

2 cos t i

2

Cambios en el contenido

vectorial r(t). Para cada u(t), haga una conjetura sobre la transt). Use un sistema alge-

(a) u t

1

π 4

(a)

r(t) = e–t cos ti t + e–t sen tj t + e–tk se encuentra en el cono z2 = x2 + y2. Dibuje la curva.

Piénselo En los ejercicios 43 y 44, use un sistema algebraico

43. r t

t=

−2

62. Dibujar una curva Demuestre que la función vectorial

1 2 t k 2

3 cos t 2

−2 −1 −1

π t=5 4

Funciones vectoriales

3 2 t j 2

2 1

Conjuntos de ejercicios

40. r t

3

Los ejercicios escritos al final de cada sección están diseñados para poner a prueba su comprensión de los conceptos básicos en cada sección, motivándole a verbalizar y escribir las respuestas, y fomentando las habilidades de comunicación técnica que le serán invaluables en sus futuras carreras.


Prefacio

vii

Teoremas Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo. Los teoremas se enuncian claramente y están separados del resto del libro mediante recuadros de referencia visual rápida. Las demostraciones importantes a menudo se ubican enseguida del teorema y se pueden encontrar en LarsonCalculus.com.

Definiciones

Definición de diferencial total Si z = f(x, y), y ∆x y ∆y son los incrementos en x y en y, entonces las las diferenciales de las variables independientes x y y son dx

x y dy

Exploraciones

y

Las exploraciones proporcionan retos únicos para estudiar conceptos que aún no se han cubierto formalmente en el libro. Le permiten aprender mediante el descubrimiento e introducir temas relacionados con los que está estudiando en ese momento. El explorar temas de esta manera le invita a pensar de manera más amplia.

y la diferencial total de la variable dependiente z es dz

z dx x

z dy y

Como con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente usando terminología precisa, formal y están separadas del texto mediante recuadros para una referencia visual rápida.

fx x, y dx

fy x, y dy.

Notas históricas y biografías Las notas históricas le proporcionan información acerca de los fundamentos de cálculo. Las biografías presentan a las personas que crearon y contribuyeron al cálculo.

Tecnología A través del libro, los recuadros de tecnología le enseñan a usar tecnología para resolver problemas y explorar conceptos del cálculo. Estas sugerencias también indican algunos obstáculos del uso de la tecnología.

Proyectos de trabajo Los proyectos de trabajo se presentan en algunas secciones y le invitan a explorar aplicaciones relacionadas con los temas que está estudiando. Proporcionan una forma interesante y atractiva para que usted y otros estudiantes trabajen e investiguen ideas de forma conjunta.

Desafíos del examen Putnam Las preguntas del examen Putnam se presentan en algunas secciones. Estas preguntas de examen Putnam lo desafían y le amplían los límites de su comprensión sobre el cálculo.

PROYECTO DE TRABAJO Arco de St. Louis El arco de entrada a San Luis, Missouri, fue diseñado utilizando la función coseno hiperbólico. La ecuación utilizada para la construcción del arco fue y

693.8597 299.2239

68.7672 cosh 0.0100333x, x

299.2239

donde x y y se miden en pies. Las secciones transversales del arco son triángulos equiláteros, y (x, y) traza la ruta de los centros de masa de los triángulos de la sección transversal. Para cada valor de x, el área del triángulo de la sección transversal es A

125.1406 cosh 0.0100333x.

(Fuente: Owner ′s Manual for the Gateway Arch, Saint Louis, MO, por William Thayer.) (a) ¿A qué altura sobre el suelo está el centro del triángulo más alto? (A nivel del suelo, y = 0.) (b) ¿Cuál es la altura del arco? (Sugerencia: Para un triángulo 3c 2, equilátero, A donde c es la mitad de la base del triángulo, y el centro de masa del triángulo está situado a dos tercios de la altura del triángulo.) (c) ¿Qué tan ancho es el arco al nivel del suelo?


Recursos adicionales Recursos para el estudiante (Disponibles sólo en inglés y con un costo adicional) • Manual de soluciones del estudiante para Cálculo de una variable (Capítulos P–10 de Cálculo): ISBN 1-285-08571-X Manual de soluciones del estudiante para Cálculo de varias variables (Capítulos 11–16 de Cálculo): ISBN 1-285-08575-2 Estos manuales contienen soluciones para todos los ejercicios impares. www.webassign.net Tarjeta de acceso impresa: ISBN 0-538-73807-3 Código de acceso en línea: ISBN 1-285-18421-1 WebAssign mejorado está diseñado para que pueda hacer su tarea en línea. Este sistema probado y confiable utiliza pedagogía, y con el contenido de este libro permite ayudarle a aprender cálculo más eficazmente. La tarea que se califica en forma automática le permite concentrarse en su aprendizaje y obtener asistencia interactiva en su estudio fuera de clase. WebAssign mejorado para Cálculo, 10e, contiene el YouBook Cengage, un eBook interactivo que contiene ¡clips de video, características de resaltado y toma de notas y mucho más!

CourseMate es una herramienta de estudio perfecto para introducir conceptos a la vida con herramientas de aprendizaje interactivo, estudio y preparación de exámenes que apoyan al libro de texto impreso. CourseMate incluye: ¡un eBook interactivo, videos, cuestionarios, tarjetas ilustradas y mucho más! • CengageBrain.com Para tener acceso a los materiales adicionales incluidos en el CourseMate, visite www.cengagebrain.com. En la página de inicio de CengageBrain.com, busque el ISBN de su título (en la contraportada del libro) utilizando el cuadro de búsqueda en la parte superior de la página. Éste le llevará a la página del producto, donde podrá encontrar estos recursos.

Recursos para el profesor (Disponibles sólo en inglés) www.webassign.net Exclusivo de Cengage Learning, WebAssign mejorado ofrece un extenso programa en línea para Cálculo, 10e, para fomentar la práctica, que es importante para dominar los conceptos. La pedagogía meticulosamente diseñada y los ejercicios en nuestros libros probados serán aún más efectivos en WebAssign mejorado, complementado con apoyo de un tutorial multimedia y retroalimentación inmediata en cuanto los estudiantes completan sus tareas. Las características esenciales son: • Miles de problemas de tarea que concuerdan con los ejercicios de fin de sección de su libro de texto. • Oportunidades para que los estudiantes revisen habilidades de prerrequisitos y el contenido tanto al inicio del curso como al principio de cada sección. • Lea estas páginas del eBook, Vea los videos, Tutoriales para dominar y Platique acerca de los vínculos. • Un YouBook Cengage adaptable para resaltar, tomar notas y buscar notas, además de vínculos a recursos multimedia. • Planes de estudio personales (basados en cuestionarios de diagnóstico) que identifican los temas de capítulo que los estudiantes podrán necesitar para tener el dominio. viii


Recursos adicionales

ix

• Un evaluador de respuestas de WebAssign que reconoce y acepta respuestas matemáticas equivalentes y también califica las tareas. • Una característica de Presentación de mi trabajo que les da la opción a los estudiantes de ver videos de soluciones detalladas. • ¡Clases, videos y mucho más! • YouBook Cengage adaptable Su Youbook ¡es un eBook interactivo y adaptable! Un libro que contiene todo el contenido de Cálculo, 10e. Las características de edición de textos del YouBook le permiten modificar la narrativa del libro de texto cuando sea necesario. Con YouBook rápidamente puede volver a ordenar los capítulos y secciones completas u ocultar cualquier contenido que usted no enseñe para crear un eBook que se ajuste perfectamente con su plan de estudios. Se puede adaptar el libro de texto agregando videos creados por el profesor o vínculos a videos de YouTube. Otras ventajas de los medios incluyen: videoclips, resaltado y toma de notas y mucho más! YouBook está disponible en WebAssign mejorado. • Soluciones completas del Manual para cálculo de una sola variable, tomo 1 (Capítulos P–6 de Cálculo): ISBN 1-285-08576-0 Soluciones completas del Manual para cálculo de una sola variable, tomo 2 (Capítulos 7–10 de Cálculo): ISBN 1-285-08577-9 Soluciones completas del Manual para cálculo de varias variables (Capítulos 11–16 de Cálculo): ISBN 1-285-08580-9 Los Manuales de soluciones completas contienen soluciones para todos los ejercicios en el libro. • Constructor de soluciones (www.cengage.com/solutionbuilder) Esta base de datos en línea para el profesor ofrece soluciones completas para todos los ejercicios en el libro, lo que le permite crear soluciones personalizadas e impresiones de las soluciones (en formato PDF) que coinciden exactamente con los problemas que se asignan en clase. • PowerLecture (ISBN 1-285-08583-3) Este DVD completo para el profesor incluye recursos como una versión electrónica de la Guía de recursos del profesor completa, clases preconstruidas de PowerPoint®, todas las imágenes del libro en formatos jpeg y PowerPoint y el software algorítmico de exámenes computarizados ExamView®. • ExamView exámenes computarizados Crea, entrega y adapta los exámenes en formato impreso y en línea con ExamView®, un software tutorial y de evaluación fácil de usar. ExamView para Cálculo, 10e, contiene cientos de algoritmos de preguntas de opción múltiple y de respuesta corta. ExamView® está disponible en el DVD PowerLecture. • Guía de recursos para el profesor (ISBN 1-285-09074-8) Este poderoso manual contiene varios recursos importantes del libro de texto por capítulo y sección, incluyendo resúmenes del capítulo y estrategias de enseñanza. Una versión electrónica de la Guía de recursos del profesor está disponible en el DVD de PowerLecture.

• CourseMate es una herramienta de estudio ideal para estudiantes y no requiere que lo configure. CourseMate incorpora conceptos del curso a la vida con aprendizaje interactivo, estudio y herramientas de preparación de examen que apoyan el libro impreso. CourseMate para Cálculo, 10e, incluye: ¡un eBook interactivo, videos, cuestionarios, tarjetas ilustradas y más! Para los profesores, CourseMate incluye un seguidor de participaciones, una herramienta, primera en su tipo, que supervisa la participación de los estudiantes. • CengageBrain.com Para acceder a más materiales, incluyendo al CourseMate, por favor visite http://login.cengage.com. En la página de inicio CengageBrain.com, busque el ISBN de su título (en la contraportada del libro) utilizando el cuadro de búsqueda en la parte superior de la página. Éste le llevará a la página del producto, donde podrá encontrar estos recursos.


Agradecimientos Queremos dar las gracias a muchas personas que nos han ayudado en las diferentes etapas de Cálculo en los últimos 39 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables.

Revisores de la décima edición Denis Bell, University of Northern Florida; Abraham Biggs, Broward Community College; Jesse Blosser, Eastern Mennonite School; Mark Brittenham, University of Nebraska; Mingxiang Chen, North Carolina A & T State University; Marcia Kleinz, Atlantic Cape Community College; Maxine Lifshitz, Friends Academy; Bill Meisel, Florida State College en Jacksonville; Martha Nega, Georgia Perimeter College; Laura Ritter, Southern Polytechnic State University; Chia-Lin Wu, Richard Stockton College of New Jersey

Revisores de las ediciones anteriores Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P. S. Crooke, Vanderbilt University; Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts en Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas en Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College. Muchas gracias a Robert Hostetler, The Behrend College, The Pennsylvania State University, y David Heyd, The Behrend College, The Pennsylvania State University, por sus importantes contribuciones a las ediciones anteriores de este libro. También nos gustaría dar las gracias al personal de Larson Texts, Inc., que nos ayudó a preparar el manuscrito, a presentar las imágenes, componer y corregir las páginas y suplementos. A nivel personal, estamos muy agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota de agradecimiento especial para R. Scott O’Neil. Si tiene sugerencias para mejorar este libro, por favor no dude en escribirnos. Con los años hemos recibido muchos comentarios útiles de los profesores y estudiantes, y los valoramos mucho. Ron Larson Bruce Edwards

x


Your Course. A su manera Opciones del libro de texto de Cálculo El curso tradicional de cálculo está disponible en diversas presentaciones del libro de texto para considerar las diferentes maneras de enseñanza de los profesores, y que

los estudiantes toman, en sus clases. El libro se puede adaptar para satisfacer sus necesidades individuales y está disponible en CengageBrain.com.

xi


1

Integración 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6

Antiderivadas e integración indefinida Área Sumas de Riemann e integrales definidas Teorema fundamental del cálculo Integración por sustitución Integración numérica

Electricidad (Ejercicio 84, p. 61)

Topografía (Ejercicio 39, p. 69)

Velocidad del sonido (Ejemplo 5, p. 40)

Varios productos químicos fluyendo en un tanque (Ejemplo 9, p. 44) Gran Cañón (Ejercicio 58, p. 10) De izquierda a derecha, Molodec/Shutterstock.com; Henryk Sadura/Shutterstock.com; Christian Lagerek/Shutterstock.com; Josemaria Toscano/Shutterstock.com; Lukich/Shutterstock.com.

1


2

Capítulo 1

1.1

Integración

Antiderivadas e integración indefinida Escribir la solución general de una ecuación diferencial y usar la notación de integral indefinida para antiderivadas. Utilizar las reglas de la integración básicas para encontrar antiderivadas. Encontrar una solución particular de una ecuación diferencial.

Antiderivadas Exploración Determinación de antiderivadas Para cada derivada describa la función original F. a. F x b. F x c. F x d. F x e. F x f. F x

2x x x2 1 x2 1 x3 cos x

¿Qué estrategia usó para determinar F?

Para encontrar una función F cuya derivada es f(x) = 3x2, podría usar lo que sabe de derivadas, para concluir que F(x) = x2 ya que

d 3 x dx

3x 2.

La función F es una antiderivada de f. Definición de una antiderivada Se dice que una función F es una antiderivada de f, en un intervalo I, si F ′(x) = f(x) para todo x en I.

Note que F se llama una antiderivada de f, en vez de la antiderivada de f. Para entender por qué, observe que F1 x

x 3, F2 x

x3

5

F3 x

y

x3

97

son todas antiderivadas de f(x) = 3x . De hecho, para cualquier constante C, la función dada por F(x) = x3 + C es una antiderivada de f. 2

TEOREMA 1.1 Representación de antiderivadas Si F es una antiderivada de f en un intervalo I, entonces G es una antiderivada de f en el intervalo I si y sólo si G es de la forma G(x) = F(x) + C, para todo x en I, donde C es una constante. Demostración La demostración del teorema 1.1 en un sentido es directa. Esto es, si G(x) = F(x) + C, F ′(x) = f (x) y C es constante, entonces G x

d Fx dx

C

F x

0

f x.

Para demostrar este teorema en otro sentido, suponga que G es una antiderivada de f. Defina una función H tal que Hx

G(x

Fx.

Para cualesquiera dos puntos a y b (a < b) en el intervalo, H es continua sobre [a, b] y derivable dentro de (a, b). Por el teorema del valor medio, H c

Hb b

Ha a

para algún c en (a, b). Sin embargo, H ′(c) = 0, por consiguiente H(a) = H(b). Dado que a y b son puntos arbitrarios en el intervalo, usted sabe que H es una función constante C. Así, G(x) – F(x) = C y por esto G(x) = F(x) + C. Consulte LarsonCalculus.com para ver el video de Bruce Edwards de esta demostración.


1.1

Antiderivadas e integración indefinida

3

Si utiliza el teorema 1.1, puede representar la familia completa de antiderivadas de una función agregando una constante a una antiderivada conocida. Por ejemplo, sabiendo que Dx x2

2x

puede representar la familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x por G(x) = x2 + C.

Familia de todas las antiderivadas de f(x) = 2x

donde C es constante. La constante C recibe el nombre de constante de integración. La familia de funciones representadas por G es la antiderivada general de f, y G(x) = x2 + C es la solución general de la ecuación diferencial. G ′(x) = 2x

Una ecuación diferencial en x y y es una ecuación que incluye a x, y y a las derivadas de y. Por ejemplo, y ′ = 3x y y ′ = x2 + 1 son ejemplos de ecuaciones diferenciales.

y

2

C=2

EJEMPLO 1

C=0

Solución de una ecuación diferencial

Determine la solución general de la ecuación diferencial y ′ = 2.

1

C = −1 x

−2

Ecuación diferencial

1

Solución Para empezar, determine una función cuya derivada es 2. Una función con esta característica es

2

−1

y = 2x.

2x es una antiderivada de 2.

Ahora bien, utilice el teorema 1.1 para concluir que la solución general de la ecuación diferencial es Funciones de la forma y = 2x + C. Figura 1.1

y = 2x + C.

Solución general

En la figura 1.1 se muestran las gráficas de varias funciones de la forma y = 2x + C. Cuando resuelva una ecuación diferencial de la forma dy dx

f x

es conveniente escribirla en la forma diferencial equivalente dy = f(x) dx. La operación para determinar todas las soluciones de esta ecuación se denomina antiderivación (o integración indefinida) y se denota mediante un signo integral ∫. La solución se denota mediante Constante de integración

Variable de integración

y

COMENTARIO En este texto, la notación f x dx = F(x) + C significa que F es una antiderivada de f en un intervalo.

f x dx Integrando

Fx

C.

Antiderivada de f(x)

La expresión f x dx se lee como la antiderivada de f respecto a x. De tal manera, la diferencial de dx sirve para identificar a x como la variable de integración. El término integral indefinida es sinónimo de antiderivada.


4

Capítulo 1

Integración

Reglas básicas de integración La naturaleza inversa de la integración y la derivación puede comprobarse sustituyendo F ′(x) por f(x) en la definición de integración indefinida para obtener

F x dx

Además, si f x dx d dx

f x dx

Fx

C.

Fx

La integración es la “inversa” de la derivación.

C, entonces

f x.

La derivación es la “inversa” de la integración.

Estas dos ecuaciones le permiten obtener directamente fórmulas de integración a partir de fórmulas de derivación, como se muestra en el siguiente resumen.

Reglas básicas de integración Fórmula de derivación d C dx d kx dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx d dx

kf x

0

0 dx

C

k

k dx

kx

kf x

f x ±g x xn sen x cos x

Fórmula de integración

nx n

kf x dx f x ±g x

1

cos x dx

sen x

k f x dx

f x ± g x dx x n dx

cos x

C

xn 1 n 1

C, n

sen x

sen x dx

sec2 x

sec2 x dx

sec x

sec x tan x

sec x tan x dx

cot x

csc2 x

csc2 x dx

csc x cot x

csc x cot x dx

1

g x dx Regla de la potencia

C

cos x

tan x

d csc x dx

f x dx ±

C

tan x

C

sec x cot x

C C

csc x

C

Observe que la regla de la potencia para la integración tiene la restricción n ≠ –1. La evaluación de 1 dx x


1.1

Describir antiderivadas

EJEMPLO 2

COMENTARIO

En el ejemplo 2, advierta que el patrón general de integración es similar al de la derivación.

3x dx

3 x dx

Regla del múltiplo constante

3 x1 dx

Reescriba x como x1.

Integral original 3

x2 2

Regla de potencia (n = 1)

C

3 2 x 2

Reescriba

C

Simplifique.

Las antiderivadas de 3x son la forma 32x2 Integre

5

Antiderivadas e integración indefinida

C, donde C es cualquier constante.

Cuando se evalúan integrales indefinidas, una aplicación estricta de las reglas básicas de integración tiende a producir complicadas constantes de integración. En el caso del ejemplo 2, la solución se podría haber escrito

Simplifique 3x dx

3 x dx

3

x2 2

3 2 x 2

C

3C.

Sin embargo, como C representa cualquier constante, es problemático e innecesario escribir 3C como la constante de integración. Por tanto, 32 x2 3C se escribe en la forma más simple, 32x2 C.

TECNOLOGÍA Algunos programas de software, como Maple y Mathematica, son capaces de efectuar simbólicamente la integración. Si tiene acceso a estas herramientas de integración simbólica, utilícelas para calcular las integrales indefinidas del ejemplo 3.

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 3

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Integral original a.

Reescriba

1 dx x3

x

x dx

c.

2 sen x dx

a.

dx

2

x

2

cos x

3x 4

5x 2

C

2

Integre.

x dx

2 dx

x2 2

C1

2x

x2 2

2x

C

C2

Integre.

C

C1

C2

x dx

3

x5 5

3 5 x 5

5 5 3 x 3

x3 3

x2 2 1 2 x 2

C C

C C

2 cos x

Se entiende que el integrando es uno.

La segunda línea en la solución suele omitirse. c.

2 3 x 3

C

Integrar funciones polinomiales

C

2 dx

1 2x2

C

x3 2 3 2

sen x dx

Simplifique

2

2

1 dx x

b.

x

dx

x1 2 dx

b.

EJEMPLO 4

COMENTARIO Las reglas de integración básicas le permiten integrar cualquier función polinomial.

3

Integre

C


6

Capítulo 1

Integración

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 5

COMENTARIO

Antes de comenzar la serie de ejercicios, asegúrese de realizar uno de los pasos más importantes en la integración que es reescribir el integrando en una forma que se ajuste a una de las reglas básicas de integración.

x

x

1 dx x

1 x

x1

x

2

dx

Reescriba como dos fracciones.

dx

Reescriba con exponentes fraccionarios.

1 2

x

x3 2 x1 2 C 3 2 1 2 2 32 2x 1 2 C x 3 2 xx 3 C 3

Integre.

Simplifique.

Cuando integre cocientes, no debe integrar numerador y denominador por separado. Esto es incorrecto tanto en la integración como en la derivación. Al respecto, observe el ejemplo 5, cerciórese de entender que x

1 dx x

2 3

x x

3

C

no es lo mismo que x

1 2 2x 2 3x

1 dx x dx

x x

C1 . C2

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 6 sen x dx cos2 x

1 cos x

sen x dx cos x

Reescriba como un producto.

sec x tan x dx sec x

Integral original

2

b. c. d.

x

dx

t2

3 x2

3

2 x

dx

x x

Integre.

Reescriba

1 2 dt

x3

C

Reescribir antes de integrar

EJEMPLO 7

a.

Reescriba utilizando identidades trigonométricas.

1 2

dx

t4

2t 2

x

3x

x4 3

4 dx

Integre

2

2

t5 5

2

dx

x2 2

3

x7 3 7 3

4x1

C

1 2

1 dt

4x 1 3 dx

Simplifique

x1 2 t3 3 x

t 1

1 4

C

x4 3 4 3

C C

2

C

1 5 t 5

2 3 t 3

t

1 2 x 2

3 x

C

3 7 x 7

3

3x 4

C

3

C

Al hacer los ejercicios, tenga en cuenta que puede comprobar su respuesta a un problema de antiderivación, derivando. Por ejemplo, en el ejemplo 7(a), puede comprobar que 4x1 2 C es la antiderivada correcta derivando la respuesta para obtener Dx 4x1

2

C

4

1 x 2

1 2

2 x

.

Utilice la derivación para comprobar la antiderivada.


1.1

Antiderivadas e integración indefinida

7

Condiciones iniciales y soluciones particulares

y

(2, 4)

4

C=4 3

f x dx tiene muchas soluciones (cada una difiere de las Ha visto que la ecuación y otras en una constante). Eso significa que las gráficas de cualesquiera dos antiderivadas de f son traslaciones verticales una de otra. Por ejemplo, la figura 1.2 muestra las gráficas de varias de las antiderivadas de la forma

C=3

y

2

3x2

x3

1 dx

x

C

Solución general

C=2

para diversos valores enteros de C. Cada una de estas antiderivadas es una solución de la ecuación diferencial

1

C=1 x

−2

1

2

C=0 −1

3x2

1.

En muchas aplicaciones de la integración, se le da suficiente información para determinar una solución particular. Para hacer esto, sólo necesita conocer el valor de y = F(x) para un valor de x. Esta información recibe el nombre de condición inicial. Por ejemplo, en la figura 1.2, sólo una de las curvas pasa por el punto (2, 4). Para encontrar esta curva, utilice la solución general

C = −1 −2

C = −2 −3

C = −3 −4

dy dx

Fx C = −4

x3

x

C

y la condición inicial

F(x) = x 3 − x + C

F2

La solución particular que satisface la condición inicial F(2) = 4 es F(x) = x3 – x – 2. Figura 1.2

4.

Condición inicial

Utilizando la condición inicial en la solución general, puede determinar que F2

8

2

C

x3

x

2.

Solución particular

Determinar una solución particular

EJEMPLO 8

C=4

Encuentre la solución general de 1 F x , x > 0 x2

C=3

y determine la solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 0.

y

2

4

lo que implica que C = –2 . Por tanto obtiene Fx

3

Solución general

Solución

Para encontrar la solución general, integre para obtener

C=2 1

(1, 0) 1

1 dx x2

Fx

C=1

x

2

x

C=0

−1

x

C = −1

−2

C = −2

−3

F(x) = − 1 + C x

C = −3

La solución particular que satisface la condición inicial F(1) = 0 es Fx 1 x 1, x > 0. Figura 1.3

Fx

2 dx

F x dx

Reescriba como una potencia.

1

1 1 x

C C,

Integre.

x > 0.

Solución general

Utilizando la condición inicial F(1) = 0, resuelva para C de la manera siguiente. 1 C 1 F1 C 0 1 Por tanto, la solución particular, como se muestra en la figura 1.3, es 1 Fx 1, x > 0. Solución particular x


8

Capítulo 1

Integración

Hasta ahora, en esta sección ha utilizado x como variable de integración. En las aplicaciones, a menudo es conveniente utilizar una variable distinta. Así, en el siguiente ejemplo, la variable de integración es el tiempo t. EJEMPLO 9

Solucionar un problema de movimiento vertical

Una pelota se lanza hacia arriba con una velocidad inicial de 64 pies por segundo a partir de una altura inicial de 80 pies. a. Encuentre la función posición que expresa la altura s en una función del tiempo t. b. ¿Cuándo llegará la pelota al suelo? Solución a. Considere que t = 0 representa el tiempo inicial. Las dos condiciones iniciales indicadas pueden escribirse de la siguiente manera. s0 s 0

Altura (en pies)

s 150 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10

s(t) = −16t 2 + 64t + 80

80 64

La altura inicial es 80 pies. La velocidad inicial es de 64 pies por segundo.

Utilizando –32 pies/s2 como la aceleración de la gravedad, puede escribir

t=2 t=3 t=1

s t

32

s t

s t dt

32dt

32t

C1.

64 Empleando la velocidad inicial obtiene s 0 que C1 = 64. Después, integrando s′(t), obtiene

t=4 t=0

st

s t dt

32t

64 dt

16t 2

32 0 64t

C1, lo cual implica

C2.

Al utilizar la altura inicial, encuentra que s0 t=5 t 1

2

3

4

5

Tiempo (en segundos)

Altura de una pelota en el tiempo t. Figura 1.4

80

16 0 2

64 0

C2

lo que implica que C2 = 80. De ese modo, la función posición es st

16t 2

64t

80.

Vea la figura 1.4.

b. Utilizando la función posición que encontró en el inciso (a), es posible determinar el tiempo en que la pelota golpea el suelo al resolver la ecuación s(t) = 0. 16t2 16 t

64t 1 t

80 5 t

0 0 1, 5

Como t debe ser positivo, puede concluir que la pelota golpea el suelo 5 segundos después de haber sido lanzada. En el ejemplo 9, observe que la función posición tiene la forma 1 2 gt v0t s0 st 2 donde g = –32, v0 es la velocidad inicial y s0 es la altura inicial. El ejemplo 9 muestra cómo utilizar el cálculo para analizar problemas de movimiento vertical en los que la aceleración es determinada por una fuerza de gravedad. Puede utilizar una estrategia similar para analizar otros problemas de movimiento rectilíneo (vertical u horizontal) en los que la aceleración (o desaceleración) es el resultado de alguna otra fuerza, como verá en los ejercicios 61-68.


1.1

1.1

Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con numeración impar.

Ejercicios

Integrar y derivar En los ejercicios 1 y 2, compruebe la expresión demostrando que la derivada del lado derecho es igual al integrando del lado izquierdo. 6 dx x4

1.

C

1 dx 2x 2

8x3

2.

2 x3

2x 4

1 2x

C

Resolver una ecuación diferencial En los ejercicios 3 a 6, encuentre la solución general de la ecuación diferencial y compruebe el resultado mediante derivación. 3. 5.

dy dt

9t2

dy dx

x3

4. 2

6.

dy dt

5

dy dx

2x

7. 8. 9. 10.

3

Reescribir

Simplificar

1

dx x x 1 dx 3x 2

Encontrar una integral indefinida En los ejercicios 11 a 32, encuentre la integral indefinida y compruebe el resultado mediante derivación.

13.

x5

15.

x3

17.

3

19. 21.

7 dx 1 dx 2

2x

1 dx

x2 dx

1 dx x5 x

12.

13

x dx

14.

8x3

9x2

16.

x

1 dx 2 x

x3

1 dx

18. 20.

6 dx x

23.

x

25.

5 cos x

22.

4

4 dx

3 dx x7 x4

3x2 x4

2

x

−2 −1

2

4

3 2 dt

4 sen x dx

26.

t2

cos t dt

1

2

−2

35. f x

6x, f 0

36. g x

4x2, g

37. h t

8t3

5, h 1

38. f s

10s

12s3,

39. f x

2, f 2

5, f 2

10

40. f x

x 2, f 0

8, f 0

4

3 2,

8 1

3 4 f 3

2

41. f x

x

f 4

2, f 0

0

42. f x

sen x, f 0

1, f 0

6

Campos direccionales En los ejercicios 43 y 44 se dan una ecuación diferencial, un punto y un campo direccional. Un campo de pendientes (o campo de direcciones) está compuesto por segmentos de recta con pendientes dadas por la ecuación diferencial. Estos segmentos de recta proporcionan una perspectiva visual de las pendientes de las soluciones de la ecuación diferencial. (a) Dibuje dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendientes, una de las cuales pasa por el punto indicado. (Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com.) (b) Utilice la integración para determinar la solución particular de la ecuación diferencial y use una herramienta de graficación para representar la solución. Compare el resultado con los dibujos del inciso (a). dy dx

x2

1,

44.

1, 3

y

4t2

1

Encontrar una solución particular En los ejercicios 35 a 42, encuentre la solución particular que satisface la ecuación diferencial y las condiciones iniciales.

dx

24.

y

34.

6

43.

5

2 dx

1 3x

y

33.

−4 −2 −2

Integrar

csc2 x dx

4x

32.

Dibujar una gráfica En los ejercicios 33 y 34 se presenta la gráfica de la derivada de una función. Dibuje las gráficas de dos funciones que tengan la derivada señalada. (Hay más de una respuesta correcta.) Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com.

3

1 dx 4x2

x

1 dy

x

x dx

11.

tan2 y

31.

2

Reescribir antes de integrar En los ejercicios 7 a 10, complete la tabla para encontrar la integral indefinida. Integral original

9

Antiderivadas e integración indefinida

dy dx

1 , x > 0, 1, 3 x2

y 4 3 2 1

3

x

x

27. 29.

1

csc t cot t dt 2

sec

sen

d

28. 30.

2

sec

2

sec y tan y

d sec y dy

−3

3

−3

−1 −2 −3 −4

7


10

Capítulo 1

Integración

Campos direccionales En los ejercicios 45 y 46, (a) utilice una herramienta de graficación para representar un campo direccional para la ecuación diferencial, (b) utilice la integración y el punto indicado para determinar la solución particular de ecuación diferencial y (c) trace la gráfica de la solución y el campo direccional.

45.

dy dx

2x,

2,

46.

2

dy dx

2 x, 4, 12

DESARROLLO DE CONCEPTOS 47. Antiderivadas e integrales indefinidas ¿Cuál es la diferencia, si existe, entre encontrar la antiderivada de f(x) y evaluar la integral f x dx? 48. Comparar funciones Considere f(x) = tan2 x y g(x) = sec2 x. ¿Qué nota acerca de las derivadas de f (x) y g(x)? ¿Qué puede concluir acerca de la relación entre f (x) y g(x)? 49. Dibujar una gráfica Las gráficas de f y f ′ pasan a través del origen. Use la gráfica de f ″ mostrada en la figura para bosquejar la gráfica de f y f ′. Para imprimir una copia ampliada de la gráfica, visite MathGraphs.com y

f″

2

4

−2

¿CÓMO LO VE? Use la gráfica de f ′ que se muestra en la figura para responder lo siguiente. y 5 4 3 2

dP dt

k t.

El tamaño inicial de la población es igual a 500. Después de un día la población ha crecido hasta 600. Calcule el tamaño de la población después de 7 días. Movimiento vertical En los ejercicios 53 a 55, utilice a(t) = –32 pies por segundo por segundo igual a la aceleración debida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.) 53. Una pelota se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 6 pies con una velocidad inicial de 60 pies por segundo ¿Qué altura alcanzará la pelota?

(a) ¿En cuántos segundos llegará la bolsa al suelo? (b) ¿A qué velocidad hará contacto con el suelo?

−4

50.

52. Crecimiento poblacional La tasa de crecimiento dP/dt de una población de bacterias es proporcional a la raíz cuadrada de t, donde P es el tamaño de la población y t es el tiempo en días 0 t 10 . Esto es,

55. Un globo aerostático, que asciende verticalmente con una velocidad de 16 pies por segundo, deja caer una bolsa de arena en el instante en el que está a 64 pies sobre el suelo.

x

−2

−4

(a) Determine la altura después de t años. (b) ¿Qué altura tienen los arbustos cuando se venden?

54. ¿Con qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde el nivel del suelo) para alcanzar la parte superior del monumento a Washington (aproximadamente 550 pies)?

4 2

51. Crecimiento de árboles Un vivero de plantas verdes suele vender cierto arbusto después de 6 años de crecimiento y cuidado. La velocidad de crecimiento durante esos 6 años es, aproximadamente, dh/dt = 1.5t + 5, donde t es el tiempo en años y h es la altura en centímetros. Las plantas de semillero miden 12 centímetros de altura cuando se plantan (t = 0).

f′

Movimiento vertical En los ejercicios 56 a 58, utilice a(t) = –9.8 metros por segundo por segundo igual a la aceleración debida a la gravedad. (Ignore la resistencia del aire.) 56. Una pelota de béisbol es lanzada hacia arriba desde una altura de 2 metros con una velocidad inicial de 10 metros por segundo. Determine su altura máxima. 57. ¿A qué velocidad inicial debe lanzarse un objeto hacia arriba (desde una altura de 2 metros) para que alcance una altura máxima de 200 metros?

x

−2

1 2 3

5

7 8

58. Gran Cañón (a) (b) (c) (d) (e)

Aproxime la pendiente de f en x = 4. Explique. ¿Es posible que f(2) = −1? Explique. ¿Es f(5) – f(4)> 0? Explique. Aproxime el valor de x donde f es máxima. Explique. Aproxime cualquier intervalo en el que la gráfica de f es cóncava hacia arriba y cualquier intervalo abierto en el cual es cóncava hacia abajo. Aproxime la coordenada x a cualquier punto de inflexión.

Josemaria Toscano/Shutterstock.com

El Gran Cañón tiene una profundidad de 1800 metros en su punto más profundo. Se deja caer una roca desde el borde sobre ese punto. Escriba la altura de la roca como una función del tiempo t en segundos. ¿Cuánto tardará la roca en llegar al suelo del cañón?


3

Aplicaciones de la integral 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8

Área de una región entre dos curvas Volumen: Método de los discos Volumen: Método de las capas Longitud de arco y superficies de revolución Trabajo Momentos, centros de masa y centroides Presión y fuerza de un fluido Integrales impropias

Poner un módulo espacial en órbita (Ejemplo 3, p. 175)

Energía de las mareas (Sección de proyectos, p. 180)

Saturno (Sección de proyectos, p. 160)

Torre de agua (Ejercicio 66, p. 150) Diseño de edificaciones (Ejercicio 79, p. 139) De izquierda a derecha, AFP Creative/Getty Images; Andrew J. Martínez/Photo Researchers, Inc; Paul Brennan/Shutterstock.com; jl661227/Shutterstock.com; NASA

129


130

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral

3.1 Área de una región entre dos curvas Encontrar el área de una región entre dos curvas utilizando la integración. Encontrar el área de una región entre las curvas de intersección utilizando la integración. Describir la integración como un proceso de acumulación.

Área de una región entre dos curvas Con algunas modificaciones, se puede extender la aplicación de las integrales definidas del área de una región bajo una curva al área de una región entre dos curvas. Consideremos dos funciones f y g que son continuas en el intervalo [a, b]. Además, las gráficas de f y g se encuentran por encima del eje x, y la gráfica de g se encuentra por debajo de la gráfica de f como se muestra en la figura 3.1. Puede interpretar geométricamente el área de la región entre las gráficas como el área de la región bajo la gráfica de g restada del área de la región bajo la gráfica de f como se muestra en la figura 3.2.

y

g Región entre dos curvas

y

y

y

f

x=a

x=b

g

g

g

f

f

f

x

Figura 3.1

a

x

b

a

Área de la región entre f yg

b

x

a

Área de la región bajo f

b

Área de la región bajo g

b

f x

g x dx

b

f x dx

a

x

b

g x dx

a

a

Figura 3.2

Para verificar la razonabilidad del resultado que se muestra en la figura 3.2, se puede dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos, cada uno de ancho ∆x. Entonces, como se muestra en la figura 3.3, el dibujo de un rectángulo representativo de ancho ∆x y alto f(xi) − g(xi), donde xi se encuentra en el i-ésimo subintervalo. El área de este rectángulo representativo es

COMENTARIO

Recuerde de la sección 1.3 que ∆ es la norma de la partición. En una partición normal, los enunciados ∆ q ∞ y n q ∞ son equivalentes.

Ai alto ancho f xi g xi x. Mediante la suma de las áreas de los n rectángulos y tomando el límite cuando → 0 n → , se obtiene f xi

lím

n→

i

g xi

Rectángulo representativo Alto: f (xi) − g(xi) y Ancho: Δx g Δx

f (xi)

f g(xi) a

xi

b

x

Figura 3.3

x.

1

Debido a que f y g son continuas en [a, b], f − g también es continua en [a, b] y existe el límite. Por lo que el área de la región es n

Área

lím

n→

f xi i

g xi

1

b

f x a

g x dx.

x


3.1

Área de una región entre dos curvas

131

Área de una región entre dos curvas Si f y g son continuas en [a, b] y g(x) # f(x) para toda x en [a, b], entonces el área de la región acotada por las gráficas de f y g y las rectas verticales x = a y x = b es b

f x

A

g x dx.

a

En la figura 3.1, las gráficas de f y g se muestran por encima del eje x. Sin embargo, g x se puede utilizar mientras f y g esto no es necesario. El mismo integrando f x f x para toda x en el intervalo [a, b]. Esto se resume gráficasean continuas y g x mente en la figura 3.4. Observe en la figura 3.4 que la altura de un rectángulo represeng x) independientemente de la posición relativa del eje x. tativo es f x y

y

a

(x, f(x)) f f(x) − g(x)

b (x, g(x))

x

f

g a

b (x, f(x))

x

f(x) − g(x)

g

(x, g(x))

Figura 3.4

Los rectángulos representativos se utilizan a lo largo de este capítulo en diversas aplicaciones de la integral. Un rectángulo vertical (de ancho ∆x) implica la integración respecto a x, mientras que un rectángulo horizontal (de ancho ∆y) implica la integración respecto a y.

Encontrar el área de una región entre dos curvas

EJEMPLO 1

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de y = x2 + 2, y = −x, x = 0 y x = 1. Solución Sea g(x) = −x y f (x) = x2 + 2. Entonces g(x) # f (x) para toda x en [0, 1] como se muestra en la figura 3.5. Por lo que el área del rectángulo representativo es y

A

f x x2

f(x) = x 2 + 2

3

(x, f(x))

gx

x x

2

x

y el área de la región es b

A 1

x

−1

1 −1

f x

g x dx

a 1

2

3

(x, g(x)) g(x) = − x

Región acotada por la gráfica de f, la gráfica g, x 0 y x 1. Figura 3.5

x2

2

x dx

0

x3 3 1 1 3 2 17 . 6

x2 2

1

2x 0

2


132

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral

Área de la región de la intersección entre las curvas En el ejemplo 1, las gráficas de f(x) = x2 + 2 y g(x) = −x no se intersecan y los valores de a y b están dados en forma explícita. Un problema muy común implica el área de una región acotada por dos gráficas que se intersecan, donde se deben calcular los valores de a y b.

Región entre dos gráficas que se intersecan

EJEMPLO 2

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de f (x) = 2 − x2 y g(x) = x Solución En la figura 3.6, observe que las gráficas de f y g tienen dos puntos de intersección. Para encontrar las coordenadas x de estos puntos, iguale f(x) y g(x) y despeje a x.

y

g(x) = x

(x, f(x))

2 x

x2

1

x

2 x

−1

f(x) = 2 −

Iguale f(x) y g(x).

0

Escriba en forma general.

0

Factorice.

x

2o1

Resuelva para x

Por lo tanto, a = −2 y b = 1. Como g(x) # f(x) para toda x en el intervalo [−2, 1], el rectángulo representativo tiene una superficie de

1 −1

x

2 1

x

−2

x2

x2

A f x gx y el área de la región es

(x, g(x)) −2

x

2

x2

x

x

1

A

x2

2

x dx

2

Región acotada por la gráfica de f y la gráfica de g. Figura 3.6

x3 3

x2 2

1

2x 2

9 . 2

Región entre dos gráficas que se intersecan

EJEMPLO 3

Las curvas de seno y coseno se cruzan un número infinito de veces, delimitando regiones de áreas iguales, como se muestra en la figura 3.7. Encuentre el área de una de estas regiones. Solución Sea g(x) = cos x y f(x) = sen x. Entonces g(x) # f(x) para toda x en el intervalo correspondiente a la región sombreada en la figura 3.7. Para encontrar los dos puntos de intersección en este intervalo, iguale f (x) y g(x) y resuelva para x.

y

g(x) = cos x 1

(x, f(x))

π 2

−1

π

3π 2

x

sen x sen x cos x tan x

(x, g(x))

x

f(x) = sen x

Una de las regiones delimitadas por las gráficas de las funciones seno y coseno. Figura 3.7

cos x

Iguale f(x) y g(x).

1

Divida cada lado entre cos x.

1

Identidad trigonométrica

4

o

5 , 0 4

x

2

Resuelva para x.

Por lo tanto, a = p 4 y b = 5p 4. Ya que sen x ≥ cos x para toda x en el intervalo [p 4, 5p 4], el área de la región es 5

4

A

sen x

cos x dx

4 5

cos x

4

sen x 4

2 2.


3.1

Área de una región entre dos curvas

133

Para encontrar el área de la región entre dos curvas que se intersecan en más de dos puntos, en primer lugar determine todos los puntos de intersección. Después, compruebe que la curva está por encima de la otra en cada intervalo determinado por estos puntos, como se muestra en el ejemplo 4.

Curvas que se intersecan en más de dos puntos

EJEMPLO 4

Consulte LarsonCalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Encuentre el área de la región entre las gráficas de 3x 3

f x f(x) ≤ g(x)

g(x) ≤ f(x)

6

3x 3

4

3x x

(2, 0)

x2

3x 3 12x 2 x 2 x

1

−6

(−2, −8) −8

2x.

2x

Iguale f(x) y g(x).

0

Escriba la forma general.

0

Factorice.

2, 0, 2

Despeje x.

0

g(x) = − x 2 + 2x

A

2

f x

g x dx

gx

3x 3

f x , y en 0, 2 ,

f x dx

0 2

2 0

f(x) = 3x 3 − x 2 − 10x

En 2, 0 , g x gx. f x Figura 3.8

x2

gx

Así, las dos gráficas se intersecan cuando x = −2, 0 y 2. En la figura 3.8, observe que g(x) # f(x) en el intervalo [−2, 0]. Sin embargo, las dos gráficas cambian en el origen, y f(x) # g(x) en el intervalo [0, 2]. Por lo tanto, necesita dos integrales, una para el intervalo [−2, 0] y otra para el intervalo [0, 2].

−4

− 10

x2

10x

x

−1

10x y

Solución Comience igualando f(x) y g(x) y despeje a x. Esto produce los valores en todos los puntos de intersección de las dos gráficas.

y

(0, 0)

x2

3x 3

12x dx

12x dx

0

2

3x 4 4 12 24

0

6x 2 2

24

3x 4 4 12 24

2

6x 2 0

COMENTARIO En el ejemplo 4, observe que obtiene un resultado incorrecto cuando integra de −2 a 2. Dicha integración produce 2

2

f x

3x 3

g x dx

2

12x dx

2

0. Cuando la gráfica de una función de y es una frontera de una región, a menudo es conveniente utilizar rectángulos representativos horizontales y encontrar el área mediante la integración respecto a y. En general, para determinar el área entre dos curvas, se puede utilizar x2

A

curva superior

curva inferior

dx

Rectángulos verticales

x1

en la variable x

o y2

A

curva derecha

curva izquierda

dy

Rectángulos horizontales

y1

en la variable y

donde (x1, y1) y (x2, y2) son puntos adyacentes de intersección de las dos curvas implicadas o puntos en las líneas frontera especificadas.


134

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral

Rectángulos representativos horizontales

EJEMPLO 5

Encuentre el área de la región acotada por las gráficas de x = 3 − y2 y x = y + 1. Solución

Considere

g(y) = 3 − y2

f (y) = y + 1

y

Estas dos curvas se intersecan cuando y = −2 y y = 1, como se muestra en la figura 3.9. Como f (y) # g(y) en este intervalo, tiene A

gy

f y

y

y2

y

y2

3

y

1

y.

Por tanto, el área es 1

A

3

1 dy

2 1

y2

y

2 dy

2 1 y3 y2 2y 3 2 2 1 1 8 2 3 2 3

2

4

9 . 2 f(y) = y + 1

y

(2, 1)

(2, 1)

1

y=x−1

y

y=

1

x −1

1

2

x

−1

Δy

1

−1

Δx

−1

g(y) = 3 −

−2

3− x

y2 −2

(− 1, −2)

Δx

y=−

(−1, −2)

Rectángulos horizontales (integración respecto a y). Figura 3.9

3− x

Rectángulos verticales (integración respecto a x). Figura 3.10

En el ejemplo 5, observe que mediante la integración respecto a y, necesita sólo una integral. Para integrar respecto a x, necesitaría dos integrales porque los límites superiores cambian en x = 2, como se muestra en la figura 3.10. 2

A

3

x

1

3

x dx

3

1 2

2 2 9 2

3

3

x 1 2 x

x

2

1

3

x

1 2

dx

2

1 2

3

x

x3 3 2

2 3

2

3

x 2

2 3

x3 3 2 1 2

2 2

2 1

1

16 3

3

20

2

2

2 3

dx

x dx


3.1

135

Área de una región entre dos curvas

La integración como un proceso de acumulación En esta sección, la fórmula de integración para el área entre dos curvas se desarrolló mediante el uso de un rectángulo como elemento representativo. Para cada nueva aplicación en las secciones restantes de este capítulo, un elemento representativo apropiado será construido usando las fórmulas de precálculo que ya conoce. Entonces, cada fórmula de integración será obtenida sumando o acumulando estos elementos representativos. Fórmula de precálculo conocida

Elemento representativo

Nueva fórmula de integración

Por ejemplo, en esta sección se desarrolló la fórmula del área como sigue. b

A

alto ancho

A

f x

gx

x

A

f x

g x dx

a

Integrar como un proceso de acumulación

EJEMPLO 6

Encuentre el área de la región acotada por la gráfica de y = 4 − x2 y el eje x. Describa la integración como un proceso de acumulación. Solución

El área de la región es 2

A

x 2 dx.

4 2

Se puede pensar en la integración como una acumulación de las áreas de los rectángulos formados cuando el rectángulo representativo se desliza de x = −2 a x = 2, como se muestra en la figura 3.11.

y

y

y

5

5

5

3

3

3

2

2

2

1

1

1

x −3 −2 −1 −1

1

2

x − 3 −2 − 1 −1

3

2

1

2

1

x 2 dx

4

A

0

2

x 2 dx

4

A 2

y 5

3

3

2

2

1

1 x

−3 −2 −1 −1

1

2

x − 3 −2 − 1 −1

3

1

1

2

2

4

A 2

Figura 3.11

5 3

y

5

x 2 dx

9

4

A 2

x 2 dx

x − 3 −2 − 1 −1

3

3

32 3

1

2

0

A

4 2

x 2 dx

3

16 3


136

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral Consulte CalcChat.com para un tutorial de ayuda y soluciones trabajadas de los ejercicios con umeración impar.

3.1 Ejercicios

Escribir una integral definida En los ejercicios 1 a 6, encuentre la integral definida que da a la zona de la región. x2

1. y1 y2

6x

2. y1

x2

2x

y2

2x

5

0 y

1

13. f x

y

y2 2

−2

4

x

y1

−4 2

y1

−8

x2

3. y1

4x x2

y2

x

−4

3

2x

−2

4. y1

x2

y2

x3

3

y

(b) 2 2

2

4

y

x

gx

(b) 6

(c)

2

1

(c) 10

1 2 x,

(a) 1

6

gx

1,

2

14. f x

8

−6

x

(a) y2

8

Piénselo En los ejercicios 13 y 14, determine qué valores aproximan mejor el área de la región acotada por las gráficas de f y g. (Haga su selección con base en un trazo de la región y no mediante la realización de los cálculos.)

(d) 4

2

x

3

(d) 3

(e) 8 (e) 4

Comparar métodos En los ejercicios 15 y 16, encuentre el área de la región mediante la integración de (a) respecto a x, y (b) respecto a y. (c) Compare los resultados. ¿Qué método es más sencillo? En general, ¿este método será siempre más sencillo que el otro? ¿Por qué si o por qué no? 15. x

4

y2

x

y

2

16. y

x2

y

6

x y

y

y1

y2

4

1

3

6

10

4

8 6

y1 1

x

x

1

−1

2

y2

1

5

4

6. y1

x

0

x

y2 y

1

−1

x

y2

17. y 18. y

x

x

1

1

2

−1

Encontrar una región En los ejercicios 7 a 12, el integrando de la integral definida es una diferencia de dos funciones. Dibuje la gráfica de cada función y sombree la región cuya área está representada por la integral. 4

x

2 1

11.

x dx 2

1

x3

x

3 2

y

x dx 3 y2 dy

1

8.

2

x2

x2 dx

1

2 y 0

y dy

x2

1, y x3

sec2 x

cos x dx

2,

x

3, x

x

2x, g x

20. y

x2

3x

1,

y

21. y

x, y

2

x,

y

22. y

4 , x3

2

gx

1 2x

x

1,

gx

x

25. f y

y , gy

y

26. f y

y2

27. f y

y2

y, gy

y 16

29. f x

10 , x x

4

30. g x

4 2

x

y2

, y

3 1 y

0, y

, gy

0, y

4

2

1, g y

28. f y

1

1

1, x

3,

2

x

0

x

24. f x

1

2

x

3

1,

x

0,

23. f (x)

0, x

x

x

y

4

10.

2, y

2

x

19. f x

2 4

12.

x −6 −4 −2 −2

4

6

Encontrar el área de una región En los ejercicios 17 a 30, dibuje la región acotada por las gráficas de las ecuaciones y encuentre el área de la región.

1

1

−1

9.

4

6

3

y1

y1

y2

0 3

4

−4

y

1

7.

−6 −4 −2

−6

3 x3

5. y1

x

y2

0, y

2, y 4, x

1, y

10 0

3

2


3.1 Encontrar el área de una región En los ejercicios 31 a 36, (a) utilice una herramienta de graficación para trazar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, (b) encuentre el área de la región de forma analítica, y (c) use las capacidades de integración de la herramienta de graficación para verificar sus resultados. 3, gx

1

x

cos x, g x

2

3

38. f x

sen x, g x

cos 2x,

39. f x

2 sen x, g x

40. f x

sec

41. f x

xe

2

tan x,

3

x x tan , g x 4 4

2 x

x x x 4x

sen 2x, y

0, 0

44. f x

2 sen x

cos 2x, y

0, 0 < x

45. f x

1 1x e , y x2

0, 1

x

46. g x

4 ln x , y x

0, x

5

2

x

x e x, y

48. y

0, x

49. y

x2,

y

4 cos x

50. y

2,

y

3

x

3 , 4, 6 , 6, 1 2,

6

58. 0, 0 , 1, 2 , 3,

2 , 1,

3

59. Integración numérica Calcule la superficie del green del campo de golf usando (a) la regla del trapecio y (b) la regla de Simpson. 4,

x

x

4,

2 3

0

x

6 pies

60. Integración numérica Calcule la superficie del derrame de petróleo usando (a) la regla del trapecio y (b) la regla de Simpson.

3 11 mi

4 mi

Utilizar una recta tangente En los ejercicios 61 a 64, configure y calcule la integral definida que da el área de la región acotada por la gráfica de la función y la recta tangente a la gráfica en el punto dado. x 3,

61. f x 0, x

(c) F 4

57. 0, 2 , 4, 2 , 0,

Encontrar el área de una región En los ejercicios 47 a 50, (a) utilice una herramienta de graficación para trazar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, (b) explique por qué es difícil encontrar a mano el área de la región, y (c) utilice las capacidades de integración de la herramienta de graficación para aproximar el área a cuatro decimales. 4

55. 2,

1

2 sen x

, y

(b) F 0

1

43. f x

47. y

1

56. 0, 0 , 6, 0 , 4, 3

Encontrar el área de una región En los ejercicios 43 a 46, (a) utilice una herramienta de graficación para trazar la región acotada por las gráficas de las ecuaciones, (b) encuentre el área de la región, y (c) use las capacidades de integración de la herramienta de graficación para verificar sus resultados.

x3

(a) F

1 2

Calcular el área de una figura En los ejercicios 55 a 58, utilice la integración para encontrar el área de la figura que tiene los vértices dados.

14 pies

2x, g x

42. f x

cos x, 0

0, 0

(c) F

3

0, x

62. y 1

26 pies

0, 0

3 x 2

(b) F 0

1

37. f x

, y

1

4e x 2 dx

54. F y

Encontrar el área de una región En los ejercicios 37 a 42, dibuje la región acotada por las gráficas de las funciones y encuentre el área de la región.

x2

(a) F

y

1 2 x 2

, y

d

2

25 pies

1

cos

23 pies

x2

53. F

(c) F 6

13.5 mi

6x

36. f x

9x

gx

,

x2

1

gx

(b) F 4

20 pies

35. f x

4

x3

(a) F 0

15 mi

1

gx

2 dt

15 pies

9x 2,

x2

(c) F 6

14.2 mi

34. f x

x4

0

(b) F 2

12 pies

4x 2,

1 2 t 2

52. F x

2x 2

(a) F 0

1 dt

14 mi

33. f x

x4

x2

12 pies

3x

2x 2, y

1 t 2

0 x

14.2 mi

x x4

x

51. F x

14 pies

32. y

137

Integrar como un proceso de acumulación En los ejercicios 51 a 54, hallar la función de acumulación F. Después evalúe cada valor de la variable independiente y muestre gráficamente el área determinada por cada valor de F.

13.5 mi

31. f x

x2

Área de una región entre dos curvas

x3

1

63. f x 64. y

1, 1 2x,

x2 2 1

4x2

1 ,

1, 1 ,

1, 1 ,1 2

1 2


138

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral

DESARROLLO DE CONCEPTOS 65. Área entre curvas Las gráficas de y = 1 – x y y = x4 – 2x2 + 1 se intersecan en tres puntos. Sin embargo, el área entre las curvas se puede encontrar con una sola integral. Explique por qué esto es así, y escriba una integral para esta área. 2

66. Usar simetría El área de la región acotada por las gráficas de y = x3 y y = x no se puede encontrar con la 1 integral simple 1 x3 x dx. Explique por qué esto es así. Utilice la simetría para escribir una sola integral que sí represente el área. 67. Interpretar integrales Dos automóviles con velocidades v1 y v2 (en metros por segundo) se prueban en una carretera recta. Considere lo siguiente. 5

10

v1 t

v2 t dt

10

v1 t

0 30

v2 t dt

30

0

v1 t

v2 t dt

5

20

(a) Escriba una interpretación verbal de cada integral. (b) ¿Es posible determinar la distancia entre los dos vehículos cuando t = 5 segundos? ¿Por qué sí o por qué no? (c) Suponga que los dos automóviles comienzan en el mismo momento y lugar. ¿Qué automóvil está por delante cuando t = 10 segundos? ¿A qué distancia está el vehículo? (d) Suponga que el vehículo 1 tiene velocidad v1 y está por delante del vehículo 2 por 13 metros cuando t = 20 segundos. ¿A qué distancia por delante o por detrás está el automóvil 1 cuando t = 30 segundos?

¿CÓMO LO VE? Una legislatura estatal está debatiendo dos propuestas para la eliminación de los déficits presupuestarios anuales después de 10 años. La tasa de disminución de los déficits para cada propuesta se muestra en la figura. Déficit (en miles de millones de dólares )

68.

D

Propuesta 2

60 50

Propuesta 1

0

y

4,

x

72. y2

0

4

x,

x

0

Límites e integrales En los ejercicios 73 y 74, evalúe el límite y trace la gráfica de la región cuya área está representada por el límite. n

73. lím

→0 i

xi

x2i

x, donde xi

4

x2i

x, donde xi

i y x n

1 n

74. lím

→0 i

1 n 4i y x n

2

1

4 n

Ingresos En los ejercicios 75 y 76, se dan dos modelos R1 y R2 para los ingresos (en miles de millones de dólares) para una gran corporación. Ambos modelos son estimaciones de los ingresos desde 2015 hasta el 2020, con t = 15 correspondiente a 2015. ¿Qué modelo proyecta el mayor ingreso? ¿Qué modelo proyecta más ingresos totales en el periodo de seis años? 75. R1

7.21

0.58t

R2

7.21

0.45t

76. R1

7.21

0.26t

R2

7.21

0.1t

0.02t 2 0.01t 2

77. Curva de Lorenz Los economistas utilizan curvas de Lorenz para ilustrar la distribución del ingreso en un país. Una curva de Lorenz, y = f(x), representa la distribución del ingreso real en el país. En este modelo, x representa porcentajes de familias en el país y y representa los porcentajes de los ingresos totales. El modelo y = x representa a un país en el que cada familia tiene el mismo ingreso. El área entre estos dos modelos, donde 0 # x # 100, indica “la desigualdad de ingresos” de un país. La tabla muestra los porcentajes de ingresos y para los porcentajes seleccionados de familias x en un país. x

10

20

30

40

50

y

3.35

6.07

9.17

13.39

19.45

x

60

70

80

90

y

28.03

39.77

55.28

75.12

20

(b) Represente gráficamente los datos y grafique el modelo. (c) Represente gráficamente el modelo y = x. ¿Cómo se compara este modelo con el modelo del inciso (a)?

10

t 2

4

8 10

6

Dividir una región En los ejercicios 69 y 70, encuentre b tal que la recta y = b divida la región acotada por las gráficas de las dos ecuaciones en dos regiones de igual área. x 2, y

x,

(a) Utilice una herramienta de graficación para encontrar un modelo cuadrático para la curva de Lorenz.

(a) ¿Qué representa el área entre las dos curvas? (b) Desde el punto de vista de minimizar el déficit estatal acumulado, ¿cuál es la mejor propuesta? Explique.

9

71. y

30

40

Año

69. y

Dividir una región En los ejercicios 71 y 72, encuentre a tal que la recta x = a divida la región acotada por las gráficas de las ecuaciones en dos regiones de igual área.

70. y

9

x, y

0

(d) Utilice las capacidades de integración de una herramienta de graficación para aproximar la “desigualdad de los ingresos”. 78. Utilidad El director financiero de una empresa informa que las ganancias para el año fiscal pasado fueron $15.9 millones. El funcionario predice que las utilidades para los próximos 5 años crecerán a una tasa anual continua en algún lugar entre 312% y 5%. Calcule la diferencia acumulada en la utilidad total durante los 5 años en función del rango previsto de las tasas de crecimiento.


3.1

Ă rea de una regiĂłn entre dos curvas

82. Ă rea Sea a . 0 y b . 0. Demuestre que el ĂĄrea de la elipse x2 y2 1 es pab (vea la figura). a2 b2

79. DiseĂąo de ediďŹ caciones Las secciones de concreto para un nuevo edificio tienen las dimensiones (en metros) y la forma que se muestra en la figura.

y

y

x2 y2 + =1 a2 b2

2

(â&#x2C6;&#x2019; 5.5, 0)

â&#x2C6;&#x2019;4

y=1 3

â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;2

b

2m

1

â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;5

139

a x

â&#x2C6;&#x2019;1

1

2

3

4

y=1 5â&#x2C6;&#x2019;x

5+x

5

x

6

(5.5, 0)

3

(a) Encuentre el ĂĄrea de la cara de la secciĂłn superpuesta en el sistema de coordenadas rectangulares. (b) Encuentre el volumen de concreto en una de las secciones multiplicando el ĂĄrea en el inciso (a) por 2 metros. (c) Un metro cĂşbico de concreto pesa 5000 libras. Encuentre el peso de la secciĂłn. 80. DiseĂąo mecĂĄnico La superficie de una pieza de la mĂĄquina es la regiĂłn entre las grĂĄficas de y1 =  x y y2 = 0.08x2 + k (vea la figura).

ÂżVerdadero o falso? En los ejercicios 83 a 86, determine si el enunciado es verdadero o falso. Si es falso, explique por quĂŠ o dĂŠ un ejemplo que demuestre que es falso. 83. Si el ĂĄrea de la regiĂłn acotada por las grĂĄficas de f y g es 1, entonces el ĂĄrea de la regiĂłn acotada por las grĂĄficas de h(x) = f(x) + C y k(x) = g(x) + C tambiĂŠn es 1. 84. Si b

f x

g x dx

A

a

entonces b

gx

f x dx

A.

a

85. Si las grĂĄficas de f y g se intersecan a medio camino entre x = a y x = b, entonces b

f x

g x dx

0.

a

86. La recta

y

y

1

3

0.5 x

divide la regiĂłn bajo la curva f x

y2

x1

x

en [0, 1] en dos regiones de ĂĄrea igual.

y1 x

DESAFĂ?OS DEL EXAMEN PUTNAM (a) Determine k donde la parĂĄbola es tangente a la grĂĄfica de y1. (b) Encuentre el ĂĄrea de la superficie de la pieza de la mĂĄquina. 81. Ă rea Calcule el ĂĄrea entre la grĂĄfica de y = sen x y el segmento de recta que une los puntos (0, 0) y 7 , 1 , como se 6 2 muestra en la figura.

87. La lĂ­nea horizontal corta a la curva y = 2x â&#x20AC;&#x201C; 3x 3 en el primer cuadrante como se muestra en la figura. Encuentre c de manera que las ĂĄreas de las dos regiones sombreadas sean iguales. y

y = 2x â&#x2C6;&#x2019; 3x 3 y=c

y 1 1 2

x

(0, 0) x

Ď&#x20AC; 6

)

7Ď&#x20AC; 1 ,â&#x2C6;&#x2019; 6 2

)

4Ď&#x20AC; 3

Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. Š The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. jl661227/Shutterstock.com


140

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral

3.2 Volumen: método de los discos Encontrar el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de los discos. Encontrar el volumen de un sólido de revolución utilizando el método de la arandela. Encontrar el volumen de un sólido con secciones transversales conocidas.

Método de los discos Ya ha aprendido que el área es sólo una de las muchas aplicaciones de la integral definida. Otra aplicación importante es encontrar el volumen de un sólido tridimensional. En esta sección se estudiará un tipo particular de sólido de tres dimensiones, uno cuyas secciones transversales son similares. Los sólidos de revolución son de uso común en la ingeniería y la fabricación. Algunos ejemplos son ejes, embudos, píldoras, botellas y pistones, como se muestra en la figura 3.12.

Sólidos de revolución. Figura 3.12

Cuando se gira una región plana alrededor de una recta, el sólido resultante es un sólido de revolución, y la recta recibe el nombre de eje de revolución. El sólido más sencillo es un cilindro circular recto o disco, que está formado por un rectángulo que gira alrededor de un eje adyacente a un lado del rectángulo, como se muestra en la figura 3.13. El volumen de un disco de este tipo es

w

Rectángulo R

Volumen del disco = (área del disco)(ancho del disco) = pR2w

Eje de revolución w Disco R

donde R es el radio del disco y w es el ancho. Para ver cómo usar el volumen de un disco para encontrar el volumen de un sólido general de revolución, considere un sólido de revolución formado al girar la región plana en la figura 3.14 alrededor del eje indicado. Para determinar el volumen de este sólido, considere un rectángulo representativo en la región plana. Cuando este rectángulo se hace girar alrededor del eje de revolución, se genera un disco representativo cuyo volumen es ∆V = pR2∆x.

Volumen de un disco: R2 w.

Figura 3.13

Aproximando el volumen del sólido por n de estos discos de ancho ∆x y radio R(xi) se obtiene n

Volumen del sólido

R xi

2

x

R xi

2

x.

1 n

i

i

1


3.2 Rectángulo representativo

141

Volumen: método de los discos Disco representativo

Eje de revolución

Región plana R x=a

x=b

Δx

Sólido de revolución

Aproximación por n discos

Δx Método de los discos.

Figura 3.14

→0 n→

Esta aproximación parece mejorar a medida que definir el volumen del sólido como

b

n

Volumen del sólido

lím

→0

R xi i

. Por lo que se puede

2

x

2

Rx

dx.

a

1

Esquemáticamente, el método de disco se parece a esto. Elemento representativo

Fórmula de precálculo conocida

Nueva fórmula de integración Sólido de revolución

Volumen del disco V R2w

V

R xi

2

b

x

V

Rx

2

dx

a

Una fórmula similar se puede deducir cuando el eje de revolución es vertical.

MÉTODO DE LOS DISCOS Para encontrar el volumen de un sólido de revolución con el método de los discos, utilice una de las siguientes fórmulas. (Vea la figura 3.15.) Eje horizontal de revolución

Eje vertical de revolución

b

Volumen

d

V

Rx

2

dx

Volumen

V

R y

a

V = π ∫a [R(x)]2 dx b

COMENTARIO

En la figura 3.15, observe que puede determinar la variable de integración mediante la colocación de un rectángulo representativo en la región plana “perpendicular” al eje de revolución. Cuando el ancho del rectángulo es ∆x se integra respecto a x, y cuando el ancho del rectángulo es ∆y se integra respecto a y.

c

Δx

V=π

d

R(x)

∫c [R(y)]2 d

Δy

a

b

c R(y)

Eje horizontal de revolución. Figura 3.15

Eje vertical de revolución.

dy

2 dy


142

Capítulo 3

Aplicaciones de la integral

La aplicación más sencilla del método de los discos implica una región plana acotada por la gráfica de f y el eje x. Cuando el eje de revolución es el eje x, el radio R(x) es simplemente f(x).

Usar el método de los discos

EJEMPLO 1

Encuentre el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de

y

f(x) =

sen x

f x

1

sen x

y el eje x (0 # x # U) en el eje x. R(x) π 2

x

π

Δx

Rx

Región plana

−1

Solución Del rectángulo representativo en la gráfica superior en la figura 3.16, se puede ver que el radio de este sólido es f x sen x.

Por lo tanto, el volumen del sólido de revolución es y

b

Eje de revolución

V

1

Rx

2

dx

Aplique el método de los discos.

a 2

sen x dx

x

Sustituya

sen x para R x .

0

π

−1

sen x dx

Simplifique

cos x

Integre.

0

Figura 3.16

0

1 2 .

1

Usar una recta que no es un eje coordenado

EJEMPLO 2

Encuentre el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de f x

y

f(x) = 2 − x 2 Región plana 2

y g(x) = 1 respecto a la recta y = 1, como se muestra en la figura 3.17.

g(x) = 1 R(x)

Eje de revolución

Δx

Solución Al igualar f(x) y g(x) puede determinar que los dos gráficos se intersecan cuando x = ± 1. Para encontrar el radio, reste g(x) de f(x). Rx

f(x)

g(x) x

−1

1

f x gx 2 x2 1 2 1 x

Para encontrar el volumen, integre entre −1 y 1.

y

Sólido de revolución

x2

2

b

V

Rx

2

dx

Aplique el método de los discos.

a 1

2

1

x 2 2 dx

1

2x 2

Sustituya 1

1 1

x 4 dx

Simplifique.

1

x

−1

Figura 3.17

x

1

16 15

2x 3 3

x5 5

1

Integre. 1

x2 para R x .


3.2

Volumen: método de los discos

143

Método de la arandela

w

El método de los discos se puede extender para cubrir sólidos de revolución con agujeros mediante la sustitución del disco representativo con una arandela representativa. La arandela está formada por un rectángulo que gira alrededor de un eje, como se muestra en la figura 3.18. Si r y R son los radios interior y exterior de la arandela y w es el ancho de la arandela, entonces el volumen es

R r Eje de revolución

R2

Volumen de la arandela

r 2 w.

w Disco R

Para ver cómo se puede utilizar este concepto para encontrar el volumen de un sólido de revolución, considere una región delimitada por un radio exterior R(x) y un radio interior r(x) como se muestra en la figura 3.19. Si la región se hace girar alrededor de su eje de revolución, entonces el volumen del sólido resultante es

r b

V

Rx

2

rx

2

dx.

Método de la arandela

a

Observe que la integral que implica el radio interior representa el volumen del agujero y se resta de la integral que implica el radio exterior.

Sólido de revolución

Sólido de revolución agujerado

Figura 3.18 r(x)

R(x) a

b Región plana

Figura 3.19 y

y=

x

Δx

Encuentre el volumen del sólido formado al girar la región acotada por la gráfica de y=

R=

x2

y

x x

Región plana

x y

x2

y

en el eje x, como se muestra en la figura 3.20.

r = x2

(0, 0)

Usar el método de la arandela

EJEMPLO 3

(1, 1)

1

1

y

Solución guientes.

En la figura 3.20, puede ver que los radios exterior e interior son los si-

Rx rx

1

x

Radio exterior

x2

Radio interior

Integrando entre 0 y 1 obtiene b

V x

2

Rx

r x

2

dx

Aplique el método de la arandela.

a 1

x

1

2

x2

2

dx

Sustituya

x para R x y x2 para r x .

0 1

x

x 4 dx

Simplifique.

0

−1

Sólido de revolución

Sólido de revolución. Figura 3.20

x2 2 3 . 10

x5 5

1

Integre. 0


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