Mate 9

Richard N. Aufmann Palomar College

Geralyn M. Koeberlein

Mahomet-Seymour High School

Joanne S. Lockwood

Nashua Community College

Robert Johnson Monroe Community College

Daniel C. Alexander Parkland College

Patricia Kuby Monroe Community College

Adaptación

Carlos Julio Daza Higirio Gimnasio Colombo Británico

Revisión pedagógica

Andrea Constanza Perdomo Pedraza Colegio Santa Francisca Romana

Men - 2024

alineado a los derechos básicos de aprendizaje

Diseño de Pruebas Saber

Francy Katerine Gómez Hernández Colegio Anglo Americano

Revisión técnica

Mónica Aired Maldonado Pulido

Gimnasio El Hontanar

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Mate 9, primera edición

Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood, Daniel C. Alexander, Geralyn M. Koeberlein, Robert Johnson, Patricia Kuby.

Directora Higher Education

Latinoamérica: Lucía Romo Alanís

© D.R. 2024 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc.

Av. Andrés Molina Enríquez 354, Primer piso, Oficina “A”, Colonia Ampliación Sinatel, Delegación Iztapalapa, Ciudad de México, C.P. 09479.

Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón

Editora: Abril Vega Orozco

Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González

Diseño de portada: Flaviano Fregoso Rojas

Imagen de portada: © Pendiente

Diseño de interiores y composición tipográfica: By Color Soluciones Gráficas

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Esta es una adaptación de los libros: Álgebra Elemental, 8a. Ed.

ISBN: 978-607-481-908-3

Traducido del libro Beginning Algebra, Eighth Edition Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2013

ISBN: 978-1-111-57870-1

ISBN-13: 9786074818949

Geometría, 5a. edición. Alexander Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein.

ISBN: 978-607-481-889-5

Traducido del libro Elementary Geometry for College Students, Fifth Edition. Daniel C. Alexander and Geralyn M. Koeberlein. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2011

ISBN: 978-14390-4790-3

Estadística elemental, 11a. Edición revisada. Robert Johnson y Patricia Kuby.

ISBN: 978-607-522-835-8

Traducido del libro Elementary Statistics, 11e. Robert Johnson and Patricia Kuby. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012

ISBN: 978-0-538-73350-2

Datos para catalogación bibliográfica:

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood, Daniel C. Alexander, Geralyn M. Koeberlein, Robert Johnson, Patricia Kuby

Mate 8, primera edición

ISBN: 978-607-

Visite nuestro sitio web en: http://latam.cengage.com

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Para la realización de la nueva edición de la serie MATE editada por Cengage, hemos seleccionado un conjunto de temas acordes con los lineamientos curriculares y estándares del Ministerio de Educación Nacional de Colombia (men). MATE es el resultado de la experiencia obtenida a nivel mundial, especialmente en América Latina, con las series de autores de reconocida trayectoria tales como Alan S. Tussy, Diane R. Koenig, Richard N. Aufman y Joanne S. Lockwood (Álgebra), Daniel C. Alexander y Geralyn M. Koeberlein (Geometría), Earl W. Swokowski y Jeffery A. Cole (Trigonometría), Ron Larson y Bruce H. Edwards (Cálculo); y Robert Johnson y Patricia Kuby (Estadística), además de las aportaciones de un equipo de profesores y expertos académicos.

Duis aute irure dolor in reprehenderit in voluptate velit esse cillum dolore eu fugiat nulla pariatur. Excepteur sint occaecat cupidatat non proident, sunt in culpa qui officia deserunt mollit anim id est laborum.

Nuestro objetivo es ofrecer una herramienta importante para la labor docente, que permita a los estudiantes fortalecer su comprensión, ampliar sus conocimientos y, finalmente, adentrarse en el dominio de las matemáticas. Es importante señalar que todos los temas de la serie llevan una secuencia acorde con los marcos de referencia para la evaluación del Ministerio de Educación Nacional (men) y el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (Icfes).

ropuesta curricular P

ISBN-13:

Desde una perspectiva curricular todos los temas que se abordan responden a las siguientes preguntas: ¿qué aprender? (temas específicos), ¿para qué aprender? (objetivos definidos a partir de problemas y retos en un contexto real), ¿cuándo aprender? (secuenciación acertada de los temas con base en la edad y el grado escolar de los estudiantes), ¿cómo aprender? (propuesta didáctica mediante ejemplos de problemas con sus soluciones y una selección adecuada de problemas para resolver), ¿con qué aprender? Y ¿cómo evaluar lo aprendido? (problemas propuestos, Prueba Saber y ejercicios de repaso). Lo que permite a los estudiantes abordar, estudiar y aprender los temas de manera práctica, sencilla y eficaz.

reto del CAPÍTULO

Inscripciones escolares El número N (en millones) de estudiantes inscritos en escuelas de Estados Unidos de 1995 a 2006 se muestra en la siguiente tabla.

LO QUE DEBE SABER Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Números reales

Números irracionales Números racionales

Enteros Fracciones noenteras (positivas ynegativas)

A. Use una calculadora graficadora para crear una gráfica de dispersión de los datos. Con  5 represente el año correspondiente a 1995.

B. Use el comando regression de una calculadora graficadora para hallar un modelo cuártico para los datos.

C. Grafique el modelo y la gráfica de dispersión en la misma pantalla. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos?

D. De acuerdo con el modelo, ¿durante cuáles años excederá de 74 millones el número de estudiantes inscritos en escuelas?

E. ¿Es válido el modelo para predicciones a largo plazo de inscripción de estudiantes en escuelas? Explique.

objetivos

Modelar situaciones en contextos reales haciendo uso de las funciones.

Enteros negativos Enteros positivos Números naturales Cero

Dado el diagrama anterior, escriba el símbolo de desigualdad apropiado (, o . entre el par de números reales.

A.B. C.D. 3,02,4 1 4 1 3 1 5 1 2

Describa el subconjunto de números reales representado por cada desigualdad.

A. B. x 22 x < 3

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

•AUFMANN •LOCKWOOD •ALEXANDER •KOEBERLEIN

structura de la serie E

En esta nueva edición de MATE 9, encontrará un amplio desarrollo de las matemáticas partiendo del planteamiento y solución de situaciones en contexto, enfocadas en datos reales y situaciones atractivas para los estudiantes.

La obra cuenta son:

RETO DEl capíTulO

Mediante un ejemplo se introducen los conceptos que se trabajarán a lo largo del capítulo con la finalidad de motivar la investigación y el desarrollo de contenidos para resolver el reto.

OBJETIVOS

Se proponen metas que se deben alcanzar mediante el desarrollo de conceptos para lo cual se aporta un esbozo general de aspectos específicos que los estudiantes deben tener en cuenta para aprender y aplicar cada idea o concepto que se presenta.

cONTENIDO

El índice presenta en detalle los temas generales que se abordan en el texto, con lo cual es posible organizar y planear el trabajo para alcanzar el aprendizaje propuesto.

lO QuE DEBE SaBER

A partir de un grupo de preguntas se busca que, de manera autónoma, los estudiantes midan sus conocimientos previos y algunos requisitos para el desarrollo conceptual de cada capítulo.

RETo

DEL capíTulO

Un inversionista tiene un total de $18.000 depositados en tres cuentas distintas que ganan un interés anual de 9%, 7% y 5%. El monto depositado en la cuenta del 9% es el doble que el monto depositado en la cuenta...

objetivos

1.1 Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución

1.2 Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales...

contenido

Sección 1.1 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 2

Sección 1.2 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 8

Sección 1.3 Solución de sistemas de ecuaciones...

LO QUe DEBE SaBER

¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el Examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

1. Simplifique: 10 a 3 5 x 1 1 2 y b

2. Evalúe 3x 1 2y z para x 5 1, y 5 4 y z 5 2.

3. Dada 3x 2z 5 4 , encuentre el valor de x cuando z 5 2.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

4. Resuelva: 3x 1 4 1 2x 52 525

5. Resuelva: 0,45x 1 0,06 1 x 1 4.0002 5 630

6. Grafique: y 5 1 2 x 4

DESaRROllO cONcEpTual

Se basa en los aspectos más relevantes y útiles de las temáticas propias de cada grado. Estos aspectos se muestran a partir de situaciones en contexto, demostraciones formales de propiedades y definiciones claras, haciendo énfasis en el rigor de las matemáticas y el buen uso del lenguaje y el pensamiento lógico acorde a cada edad. Además, se destacan los conceptos de mayor relevancia para que los estudiantes intuyan su importancia.

paSOS paRa REEScRIBIR uNa MaTRIZ auMENTaDa 2 3 3 EN la FORM a EScalONaDa pOR FIlaS

El orden en que los elementos de la matriz aumentada siguiente se cambian es:

Paso 1: Cambie a11 a un 1.

Paso 2: Cambie a21 a un 0.

Paso 3: Cambie a22 a un 1.

EJEMplOS RESuElTOS

Se ejemplifica la solución de problemas con sus respectivos procedimientos. En cada ejemplo se muestra el componente algorítmico, así como la aplicación de conceptos que llevan a la solución del problema dentro de contextos reales cuyo nivel de complejidad incrementa de forma gradual.

puNTO DE INTERÉS

Se proporcionan hechos o datos relevantes para enfatizar aspectos importantes o información extra en torno al tema particular que se está abordando. En algunos casos se hace referencia a personas o acontecimientos históricos que han sido fundamentales en el desarrollo de las matemáticas.

p UNTo de interÉs

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

La regla de Cramer recibe su nombre en honor a Gabriel Cramer, quien la utilizó en un libro que publicó en 1750. Sin embargo, el matemático japonés Seki Kown había publicado ya esta regla en 1683. Esa publicación ocurrió siete años antes de que Cramer naciera.

REVISIÓN DE cONcEpTOS

En esta sección se presenta una amplia selección de ejercicios donde el estudiante podrá reafirmar su dominio de los conceptos y el manejo algorítmico de los temas de cada capítulo mediante su aplicación en contextos reales.

32 Capítulo 1 Sistemas de ecuaciones y desigualdades EJERCICIOS 1.4 REVISIÓN DE CONCEPTOS

1. La velocidad de un avión con viento en calma es 500 mph. Si el avión vuela en un viento que sopla a 50 millas por hora, ¿cuál es la velocidad del avión respecto al suelo?

2. Un contratista compró 50 yardas de alfombra de nylon con un costo de x dólares la yarda y 100 yardas de alfombra de lana por y dólares la yarda. Exprese el costo total de las dos compras en términos de x y y Resolver problemas en contextos reales usando sistemas de dos o tres ecuaciones lineales

3. Un barco viaja durante 3 horas por un río (con la corriente), luego da la vuelta y tarda 5 horas en regresar (contra la corriente). Sea b la velocidad del bote en aguas en calma, en millas por hora, y sea c la velocidad de la corriente, en millas por hora. Complete la tabla siguiente.

Velocidad Tiempo Distancia

Con la corriente ? ? 5 ?

Contra la corriente ? ? 5 ?

4. Al volar con el viento, un pequeño avión voló 320 millas en 2 horas. Contra el viento, el avión sólo pudo volar 280 millas en la misma cantidad de tiempo. Calcule la velocidad del avión con viento en calma y la velocidad del viento.

5. Un yate que navega con la corriente recorrió 48 millas en 3 horas. Contra la corriente, tardó 4 horas en recorrer la misma distancia. Calcule la velocidad del yate en aguas en calma y la velocidad de la corriente.

6. Volando con el viento, un piloto recorrió 450 millas entre dos ciudades en 2,5 horas. El viaje de regreso contra el viento le tomó 3 horas. Calcule la velocidad del avión con viento en calma y la velocidad del viento.

7. Una lancha de motor que viaja con la corriente recorre 88 kilómetros en 4 horas. Contra la corriente, la lancha podría recorrer sólo 64 km en la misma cantidad de tiempo. Calcule la velocidad de la lancha en aguas en calma y la velocidad de la corriente.

Problemas de aplicación

EJERcIcIOS DE REpaSO

Esta sección al concluir cada capítulo reúne un conjunto de ejercicios sobre los temas tratados a fin de comprobar el dominio y la apropiación de conceptos.

8. Un constructor compra 200 pies2 de láminas de madera (para pisos) y 300 pies2 de alfombra de pared a pared para un proyecto. Para otro proyecto compra 350 pies2 de láminas de madera (para pisos) y 100 pies2 de alfombra de pared a pared. Sea h el costo por pie cuadrado de láminas de madera (para pisos) y w el costo por pie cuadrado de alfombra de pared a pared. Complete las tablas siguientes al reemplazar los signos de interrogación.

Primer proyecto Cantidad Costo unitario Valor

Láminas de madera ? ? ?

Alfombra de pared a pared ? ? 5 ?

Segundo proyecto Cantidad Costo unitario 5 Valor

Láminas de madera ? ? 5 ?

Alfombra de pared a pared ? ? ?

14.

17.

18. Resuelva por el

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Sección 1.5 Solución de sistemas de desigualdades lineales 37

pRuEBa SaBER

Esta prueba evalúa las competencias de los estudiantes para enfrentar situaciones que pueden resolverse con el uso de herramientas matemáticas. Tanto las competencias definidas de la prueba como los conocimientos matemáticos que el estudiante requiere para resolver las situaciones planteadas se basan en las definiciones de los estándares básicos de competencias en Matemáticas del Ministerio de Educación Nacional. De esta manera, se integran competencias y contenidos en distintas situaciones o contextos, en los cuales las herramientas matemáticas cobran sentido y son un importante recurso para la comprensión de situaciones, la transformación de información, la justificación de afirmaciones y la solución de problemas.

En el mismo apartado de las pruebas Saber, en la parte inferior, notará que se incluye un código QR, al escanearlo podrá visualizar preguntas complementarias de manera digital.

Como apoyo adicional, a los profesores que adopten la obra se les proporcionarán las Respuestas de las Pruebas Saber. Consulte términos y condiciones con su representante Cengage.

que tiene 6 caras (cuadrados congruentes) Octaedro regular, que tiene 8 caras (triángulos equiláteros congruentes) Dodecaedro regular, que tiene 12 caras (pentágonos regulares congruentes) Icosaedro regular, que tiene 20 caras (triángulos equiláteros congruentes)

GlOSaRIO Y BIBlIOGRaFía

Potencia perfecta. Una expresión algebraica es una potencia perfecta si los exponentes de los factores son igualmente divisibles entre el índice del radical.

regla de Cramer. Es un teorema de álgebra que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes recibe su nombre en honor a Gabriel Cramer, quien la utilizó en un libro que publicó en 1750.

S

Secante. Es una recta que interseca un círculo en exactamente dos puntos.

Al final del libro se incluyen un glosario y una bibliografía a fin de enriquecer el aprendizaje.

Prisma oblicuo. Es un prisma en el cual las aristas laterales paralelas son oblicuas a las aristas de las bases en sus puntos de intersección.

Prisma regular. Es un prisma recto cuyas bases son polígonos regulares.

Prisma recto. Es un prisma en el cual las aristas laterales son perpendiculares a las aristas de la base en sus puntos de intersección.

Probabilidad de un evento. La frecuencia relativa con la que puede esperarse la ocurrencia de dicho evento.

Segmento de un círculo. Es una región acotada por una cuerda y su arco menor (o mayor).

Serie aritmética. Es la suma indicada de los términos de una sucesión aritmética.

Sistema de desigualdades. Son dos o más desigualdades consideradas en conjunto.

GLOSARIO

Sucesión aritmética. Es un tipo especial de sucesión, en la cual la diferencia entre dos términos sucesivos cualesquiera es la misma constante.

Sucesión geométrica. Es un tipo especial de sucesión, en la cual las diferencias entre dos términos sucesivos tienen la misma razón.

r

Ángulo central de un círculo. Es un ángulo cuyo vértice es el centro del círculo y cuyos lados son radios del círculo.

Ángulo inscrito de un círculo. Es un ángulo que tiene su vértice en un punto en el círculo y sus lados son cuerdas del círculo.

rango. Diferencia en valor entre los datos con valor más alto y los datos con valor más bajo. rango intercuartílico. La diferencia entre el primero y el tercer cuartil. Es el rango de 50% medio de los datos.

C

Círculo. Es el conjunto de todos los puntos en un plano equidistante de un punto fijo llamado centro.

BiBliografía

Cofactor. La referencia al menor de un elemento de un determinante se conoce como el cofactor de ese elemento.

Álgebra Intermedia, 8a edición.

Joanne S. Lockwood, Richard N. Aufmann, © 2013

ser representada por un polinomio de segundo grado o polinomio cuadrático.

T

Estadística inferencial. Se refiere a la técnica de interpretar los valores que resultan a partir de las técnicas descriptivas, tomar decisiones y extraer conclusiones acerca de la población.

Tangente. Es una recta que interseca un círculo en exactamente un punto; el punto de intersección es el punto de contacto o punto de tangencia.

F

Función radical. Es aquella que contiene un exponente fraccionario o una variable dentro del radical.

H

Geometría, 5a. edición.

Alexander Daniel C. y Geralyn M. Koeberlein.

Conjunto de números complejos. Es un conjunto que contiene los números reales y suma de reales con números imaginarios.

Hipotenusa y Catetos. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 90°. El lado opuesto a ese ángulo se denomina hipotenusa, los otros dos lados se llaman catetos.

ISBN: 978-607-481-889-5

ISBN-13: 978-607-481-894-9

Traducido del libro: Intermediate Algebra 8th edition, Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood. Publicado en Inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2013

M

Matriz. Es un arreglo rectangular de números. Cada número se llama elemento de la matriz.

Traducido del libro: Elementary Geometry for College Students, Fifth Edition. Daniel C. Alexander and Geralyn M. Koeberlein.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Conjunto solución de un sistema de desigualdades. Es la intersección de los conjuntos solución de las desigualdades individuales.

ISBN 978-111-157-949-4

Estadística elemental, 11a. Edición revisada.

Cuartil medio. Valor numérico a la mitad entre el primer cuartil y el tercer cuartil.

Robert Johnson y Patricia Kuby.

ISBN: 978-607-522-835-8

Cuartiles. Valores de la variable que dividen los datos clasificados en cuartos; cada conjunto de datos tiene tres cuartiles.

Cubo. Es un prisma cuadrangular recto cuyas aristas son congruentes.

D

Traducido del libro: Elementary Statistics, 11e. Robert Johnson and Patricia Kuby. Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2012

ISBN: 978-053-873-350-2

Desviación de la media. Es la diferencia entre el valor de x y la media.

Diagrama de cajas y bigotes. Representación gráfica del resumen de 5 números. Los cinco valores numéricos (más pequeño, primer cuartil, mediana, tercer cuartil y más grande) se ubican en una escala, vertical u horizontal.

Matriz cuadrada. Es aquella que tiene el mismo número de filas y columnas.

Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning ©2011

ISBN: 978-14390-4790-3

Método de eliminación gausiana. Es el proceso para resolver un sistema de ecuaciones al utilizar las operaciones elementales por filas.

O

Datos para catalogación

Operaciones elementales por fila. Se utilizan para resolver un sistema de ecuaciones. Un sistema de ecuaciones se puede resolver al escribir el sistema en forma de matriz y luego realizar las operaciones de la matriz parecidas a aquellas que se realizaron en las ecuaciones del sistema. Estas operaciones se llaman elementales por fila.

P

Percentiles. Valores de la variable que dividen un conjunto de datos en 100 subconjuntos iguales; cada conjunto de datos tiene 99 percentiles.

La Prueba Saber cumple con los estándares de competencias emitidos por el Ministerio de Educación Nacional, los cuales se clasifican de la siguiente forma:

r Razonamiento y argumentación s Planteamiento y Solución de problemas M Modelación, comunicación y representación

prueba saber

Lo invitamos a conocer y utilizar Mate 9 un texto que le dará a los estudiantes la confianza necesaria para aplicar las Matemáticas a través de un libro de texto pedagógico y accesible.

Agradecemos el apoyo y colaboración en la revisión de esta obra a los profesores:

Edgar Solano Solano Complejo Educativo CIT Costa Rica

Flor Herrera Guatemala

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

capítulo 1

números reales y funciones 1

capítulo 2

Función lineal 41

capítulo 3

sistemas de ecuaciones y desigualdades lineales 67

capítulo 4

exponentes, racionales y números complejos 101

capítulo 5

ecuaciones cuadráticas y desigualdades 128

capítulo 6

Funciones exponencial y logarítmica 151

capítulo 7

geometría y medición 183

capítulo 8

estadística y probabilidad 253

glosario 285

bibliografía 286

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Números reales y funciones 1

reto del CAPÍTULO

Inscripciones escolares El número N (en millones) de estudiantes inscritos en escuelas de Estados Unidos de 1995 a 2006 se muestra en la siguiente tabla.

A. Use  una calculadora graficadora para crear una gráfica  de dispersión de los datos. Con t 5 5 represente el año correspondiente a 1995.

B. Use el comando regression de una calculadora graficadora para hallar un modelo cuártico para los datos.

C. Grafique el modelo y  la gráfica de dispersión en la misma pantalla. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos?

D. De acuerdo con el modelo, ¿durante cuáles años excederá de 74 millones el número de estudiantes inscritos en escuelas?

E. ¿Es válido el modelo para predicciones a largo plazo de inscripción de estudiantes en escuelas? Explique.

objetivos

1. Identificar la estructura de los números reales.

2. Definir una función y hallar sus elementos.

3. Realizar operaciones y transformaciones usando funciones.

4. Modelar situaciones en contextos reales haciendo uso de las funciones.

LO QUE DEBE SABER

Resuelva el siguiente examen de preparación para averiguar si está listo para aprender material nuevo.

Dado el diagrama anterior, escriba el símbolo de desigualdad apropiado (, o .) entre el par de números reales.

Describa el subconjunto de números reales representado por cada desigualdad.

índice

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Sección 1.1 Funciones  2

Sección 1.2 Análisis de gráficas de funciones  14

Fuente: U.S. Census Bureau.

sección 1.1

objetivo 1

Funciones

introducción a las funciones Numerosos fenómenos que ocurren todos los días comprenden dos cantidades que están relacionadas entre sí por alguna regla de correspondencia. El término matemático para esa regla de correspondencia es relación. En matemáticas es frecuente que las relaciones se representen con ecuaciones y fórmulas matemáticas. Por ejemplo, el interés simple I ganado por $1.000 en un año está relacionado con la tasa de interés anual r mediante la fórmula I 5 1.000r. La fórmula I 5 1.000r representa una clase especial de relación que compara cada elemento de un conjunto con exactamente un elemento de un conjunto diferente. Esa relación se denomina función.

DEfiniCión DE fUnCión

Una función f de un conjunto A a un conjunto B es una relación que asigna a cada elemento del conjunto A exactamente un elemento y del conjunto B. El conjunto A es el dominio (o conjunto de entradas) de la función f, y el conjunto B contiene el rango (o conjunto de salidas).

Para ayudar a entender esta definición, vea la función que relaciona la hora del día con la temperatura en la figura 1.1.

Esta función puede estar representada por los siguientes pares ordenados, en los que la primera coordenada (valor x) es la entrada y la segunda (valor y) es la salida.

CARACTERÍSTiCAS DE UnA fUnCión DEL COnjUnTO A AL B

1. Cada elemento de A debe relacionarse con un elemento de B

2. Algunos elementos de B pueden no relacionarse con algún elemento de A

3. Dos o más elementos de A pueden relacionarse con el mismo elemento de B

4. Un elemento de A (el dominio) no puede relacionarse con dos elementos diferentes de B.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

CUATRO mODOS PARA REPRESEnTAR UnA fUnCión

1. Verbalmente por medio de una oración que describe la forma en que la variable de entrada está relacionada con la variable de salida.

2. Numéricamente mediante una tabla o lista de pares ordenados que relacione los valores de entrada con los valores de salida.

Figura 1.1

4. Algebraicamente mediante una ecuación con dos variables.

Para determinar si una relación es o no una función se debe establecer si cada valor de entrada está relacionado con exactamente un valor de salida. Si cualquier valor de entrada está relacionado con dos o más valores de salida, la relación no es una función.

Prueba de funciones

ejemplo 1

Determine si la relación representa y como función de x.

A. El valor de entrada x es el número de diputados de un estado, y el valor de salida y es el número de senadores.

ejemplo 2

n ota históricA

© Bettmann/Corbis

B. C.

entrada, x salida, y

Figura 1.2

solución

A. Esta expresión verbal describe a y como función de x. Cualquiera que sea el valor de x, el valor de y siempre es 2. Esas funciones se denominan funciones constantes.

B. Esta tabla no describe a y como función de x. El valor de entrada 2 está relacionado con dos valores diferentes de y.

C. La gráfica de la figura 1.2 describe a y como función de x. Cada valor de entrada está relacionado con exactamente un valor de salida.

Prueba de funciones representadas algebraicamente

¿Cuál de las ecuaciones representa a y como función de x?

A. B. x y 21 x 2 y 1

solución

A. Despejando y tendremos

Despejar y y 1 x 2 x 2 y 1

Escribirlaecuaciónoriginal.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

A cada valor de x corresponde exactamente un valor de y. Entonces, y es una función de x.

B. Despejando y tendremos

Despejar y y ± 1 x y 2 1 x x y 2 1

Escribirlaecuaciónoriginal.

Sumar x acadalado.

Se considera que el suizo Leonhard Euler (1707-1783) ha sido el matemático más prolífico y productivo de la historia. Una de sus más grandes aportaciones en matemáticas fue su uso de símbolos, o notación. La notación de función y 5 f ( x) fue introducida por Euler.

objetivo 2

notación de funciones

Cuando se usa una ecuación para representar una función es conveniente asignar un nombre a la función para que pueda consultarse fácilmente. Por ejemplo, sabemos que la ecuación y 1 x 2 describe a y como función de x. Suponga que a esta función se le asigna el nombre de “f ”. Entonces se puede usar la siguiente notación de función.

El símbolo f x se lee como el valor de f en x, o simplemente f de x. El símbolo f x corresponde al valor y para una x determinada. Por tanto, se puede escribir y f x . Recordemos que f es el nombre de la función, en tanto que f x es el valor de la función en x. Por ejemplo, la función dada por

tiene valores de función denotados por f 2 f 0, f 1, , etcétera. Para hallar estos valores se sustituyen los valores de entrada especificados en la ecuación dada.

Evaluar una función

Sea g x x 24x 1. Encuentre cada uno de los valores de la función.

A. B. C. g x 2 g t g 2 solución

A. Lasustitucióndecon 2endalosiguiente:

El signo ± indica que a un valor determinado de x corresponden dos valores de y En consecuencia, y no es una función de x A. Lasustitucióndecon 2endalosiguiente:

B. Lasustitucióndecondalosiguiente:

C.

Una función definida por dos o más ecuaciones en un dominio especificado recibe el nombre de función definida por tramos

objetivo 3

ejemplo 5

Comoesmenorque0,useparaobtener

f x x 21

f x x 21

x 1 Comoesmenorque0,useparaobtener

x 1 Comoesmenorque0,useparaobtener

f x x 21

0, f 11212.

0, f 11212.

1

Parauseparaobtener

Parauseparaobtener

0, f 11212.

1

1

Parauseparaobtener

Parauseparaobtener f 1110. f x x 1 x 1, f 0011.

Parauseparaobtener f 1110. f x x 1 x 1, f 0011.

Parauseparaobtener f 1110. f x x 1 x 1, f 0011.

el dominio de una función

Es posible describir explícitamente el dominio de una función o puede estar implicado por la expresión que se use para definir la función. El dominio implicado es el conjunto de todos los números reales para los cuales la expresión está definida. Por ejemplo, la función dada por

tiene un dominio implicado formado por todos los valores reales de x que no sean x ± 2. Estos dos valores están excluidos del dominio porque la división entre cero no está definida. Otro tipo común de dominio implicado es el que se usa para evitar raíces pares de números negativos. Por ejemplo, la función dada por

Eldominioexcluye valoresde x queresulten enraícesparesdenúmerosnegativos.

está definida sólo para x 0. Por tanto, su dominio implicado es el intervalo 0, . En general, el dominio de una función excluye valores que causarían división entre cero o que resultarían en la raíz par de un número negativo, es decir, un número complejo.

Hallar el dominio de una función

Encuentre el dominio de cada función.

solución

A. El dominio de f está formado por todas las primeras coordenadas del conjunto de pares ordenados.

Dominio3,1,0,2,4

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

B. Excluyendo valores de x que den cero en el denominador, el dominio de g es el conjunto de todos los números reales x excepto x 5

C. Como esta función representa el volumen de una esfera, los valores del radio r deben ser positivos. Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales r tales que r > 0.

D. Esta función está definida sólo para valores de x para los cuales

43x 0.

Al resolver esta desigualdad, se puede concluir que x 4 3 . Entonces, el dominio es el intervalo , 4 3 .

Eldominio excluyevalores de x queresulten en divisiónentrecero.

Capítulo 1 Números reales y funciones

Aplicaciones

Dimensiones de un contenedor

Una persona trabaja en el departamento de ventas de una empresa embotelladora de bebidas y está experimentando con una nueva lata para té helado, que es ligeramente más angosta y alta que la estándar. Para la lata experimental, la razón entre la altura y el radio es 4, como se ve en la figura 1.3.

A. Escriba el volumen de la lata como función del radio r.

h

B. Escriba el volumen de la lata como función de la altura h solución

ejemplo 7

Figura

1.4

V r r 2h r 24r 4 r 3

A. Escribir V comofunciónde r.

B. Escribir V comofunciónde h. V h h 4 2 h h3 16

FIGURA 1.49

Trayectoria de una pelota de béisbol

solución AlgebrAicA

MATERIALMUESTRA

donde x y f x se miden en pies. ¿La pelota rebasará una cerca de 10 pies situada a 300 pies desde el plato de home? Escribirlaecuaciónoriginal.

Cuando x 300, puede hallar la altura de la bola como sigue:

15 f 300 0,0032 300 2 300 3 f x 0,0032x2

Simplificar.

1.50 0 0 100 400 2xh h24h h h 2x h 4 h 2x h 4, h 0

solución gráficA

Use una calculadora graficadora para graficar la función y 0,0032x2 x 3. Use la función de valor o las funciones zoom y trace de la calculadora para calcular que y 15 cuando x 300 , como se ve en la figura 1.4. Por tanto, la pelota rebasará la cerca de 10 pies.

Será más fácil para usted calcular el cociente de diferencias si primero encuentra f x h y luego sustituye la expresión resultante en el cociente de diferencias, como sigue:

f x 0,0032x 2 x 3

FIGURA

ejemplo 6

RESUmEn DE LA TER minOLOgÍA DE fUnCiOnES

Función: Una función es una relación entre dos variables tal que a cada valor de la variable independiente corresponde exactamente un valor de la variable dependiente. Notación de función: y f x f es el nombre de la función. y es la variable dependiente x es la variable independiente. f x es el valor de la función en x

Dominio: El dominio de una función es el conjunto de todos los valores (entradas) de la variable independiente para los que la función está definida. Si x está en el dominio de f, se dice que f está definida en x. Si x no está en el dominio de f, se dice que f no está definida en x.

Rango : El rango de una función es el conjunto de todos los valores (salidas) que toma la variable dependiente (es decir, el conjunto de todos los valores de la función).

Dominio implicado: Si f está definida por medio de una expresión algebraica y el dominio no está especificado, el dominio implicado está formado por todos los números reales para los que la expresión está definida.

ejercicios 1.1 REVISIÓN DE COnCEPTOS

En los ejercicios 1-6, llene los espacios en blanco.

1. Una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto de entradas, o , exactamente un elemento y en un conjunto de salidas, o , se denomina

2. Las funciones se representan comúnmente en cuatro formas diferentes, .

3. Para una ecuación que representa a y como función de x, el conjunto de todos los valores tomados por la variable x es el dominio, y el conjunto de todos los valores tomados por la variable y es el rango.

4. La función dada por f x 2x 1, x24, x < 0 x 0 es un ejemplo de una función

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

5. Si no se da el dominio de la función f , entonces el conjunto de valores de la variable independiente para el que la expresión está definida se denomina

6. En cálculo, una de las definiciones básicas es la de un , dado por f x h f x h , h 0

En los Ejercicios 37-52, evalúe la función en cada valor especificado de la variable independiente y simplifique.

Capítulo 1 Números reales y funciones

En los ejercicios 59-66, encuentre todos los valores reales de x tales que

En los ejercicios 67-70, encuentre el(los) valor(es) de

En los ejercicios 71-82, encuentre el dominio de la función.

En los ejercicios 83-86, suponga que el dominio de f es el conjunto A 5 { 2, 1, 0, 1, 2}. Determine el conjunto de pares ordenados que representa la función f

x 32 f x x 2

f x x 1 f x x 2 f

87. Geometría Escriba el área A de un cuadrado como función de su perímetro P

88. Geometría Escriba el área A de un círculo como función de su circunferencia C

Ejercicio 89

89. Volumen máximo Se ha de construir una caja abierta de volumen máximo a partir de una pieza cuadrada de material de 24 centímetros por lado, cortando cuadrados iguales de las esquinas y volteando hacia arriba los lados (vea la figura).

A. La tabla muestra los volúmenes V (en centímetros cúbicos) de la caja para varias alturas x (en centímetros). Use la tabla para calcular el volumen máximo.

B. Determine los puntos (x, V) de la tabla del inciso A. ¿La relación definida por los pares ordenados representa a V como función de x?

C. Si V es una función de x, escriba la función y determine el dominio.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

90. Utilidad máxima El costo por unidad en la producción de un reproductor de archivos MP3 es $60. El fabricante cobra $90 por unidad por pedidos de 100 o menos. Para estimular pedidos grandes, el fabricante reduce el cargo $0.15 por cada reproductor MP3 que pase de 100 (por ejemplo, habría un cargo de $87 por reproductor de un pedido de 120).

A. La tabla muestra la utilidad P (en dólares) para varios números de unidades pedidas, x Use la tabla para calcular la utilidad máxima.

B. Grafique los puntos (x, P) de la tabla del inciso

A. ¿La relación definida por los pares ordenados representa a P como función de x?

C. Si P es una función de x, escriba la función y determine su dominio.

Ejercicio 94

Ejercicio 91

91. Geometría Un triángulo rectángulo está formado por los ejes x y y y una recta que pasa por el punto (2, 1) (vea la figura). Escriba el área A del triángulo como función de x y determine el dominio de la función.

92. Geometría Un rectángulo está limitado por el eje x y la semicircunferencia y 36 x 2 (vea la figura). Escriba el área A del rectángulo como función de x y determine gráficamente el dominio de la función.

Ejercicio 92

93. Trayectoria de una pelota La altura y (en pies) de una pelota de béisbol lanzada por un niño es

92

donde x es la distancia horizontal (en pies) desde donde la pelota es lanzada. ¿La pelota volará sobre la cabeza de otro niño que está a 30 pies de distancia y que trata de atraparla? (Suponga que el niño que trata de atrapar la pelota tiene su guante a una altura de 5 pies.)

94. Medicamentos Los números d (en millones) de recetas surtidas por farmacias independientes en Estados Unidos, de los años 2000 a 2007 (vea la figura), se pueden calcular con el modelo

Fuente: National Association of Chain Drug Stores.

Ejercicio 96

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

donde t representa el año, con t 0 correspondiente al año 2000. Use este modelo para hallar el número de recetas surtidas por farmacias independientes en cada año de 2000 a 2007.

95. Precio medio de venta Los precios p medios de venta (en miles de dólares) de una casa unifamiliar existente en Estados Unidos, de 1998 a 2007 (vea la figura), se puede calcular con el modelo

Ejercicio 95

donde t representa el año, con t 8 correspondiente a 1998. Use este modelo para hallar el precio medio de venta de una casa unifamiliar existente en cada año, de 1998 a 2007.

Fuente: National Association of Realtors.

96. Reglamentos postales Un paquete rectangular, que debe enviar el Servicio Postal de Estados Unidos, puede tener una longitud máxima y cincha (perímetro de una sección transversal) de 108 pulgadas (vea la figura).

A. Escriba el volumen V del paquete como función de x. ¿Cuál es el dominio de la función?

B. Use calculadora graficadora para graficar su función. Asegúrese de usar un ajuste de ventana apropiado.

C. ¿Qué dimensiones darán el máximo volumen del paquete? Explique su respuesta.

Capítulo 1 Números reales y funciones

97. Costos, ingresos y utilidad Una empresa elabora un producto cuyo costo variable es de $12,30 por unidad, y los costos fijos son $98.000. El producto se vende en $17,98. Sea x el número de unidades producidas y vendidas.

A. El costo total para una empresa es la suma del costo variable y los costos fijos. Escriba el costo total C como función del número de unidades producidas.

B. Escriba el ingreso R como función del número de unidades vendidas.

C. Escriba la utilidad P como función del número de unidades vendidas. (Nota: (Nota: ) P R C .)

98. Costo promedio El inventor de un nuevo juego piensa que el costo variable de fabricarlo es de $0,95 por unidad, y los costos fijos son $6.000. Él vende cada juego en $1,69. Sea x el número de juegos vendidos.

A. El costo total para una empresa es la suma del costo variable y los costos fijos. Escriba el costo total C como función del número de juegos vendidos.

B. Escriba el costo promedio por unidad C C x como función de x

99. Transportación Para grupos de 80 personas o más, una empresa de autobuses de alquiler determina la tarifa por persona según la fórmula

n Tarifa80 80.05 n 80, donde la tarifa se expresa en dólares y n es el número de personas.

A. Escriba el ingreso R para la empresa de transporte como función de n

B. Use la función del inciso A para completar la tabla. ¿Qué se puede concluir?

n

(n)

100. Física La fuerza F (en toneladas) del agua contra la cara de una represa está calculada con la función F y 149,7610 y 52, donde y es la profundidad del agua (en pies).

A. Complete la tabla. ¿Qué se puede concluir a partir de ella?

f (y)

B. Use la tabla para calcular la profundidad a la que la fuerza contra la represa es de 1.000.000 de toneladas.

C. Encuentre algebraicamente la profundidad a la cual la fuerza contra la represa es de 1.000.000 de toneladas.

101. Altura de un globo Un globo que lleva un transmisor asciende verticalmente desde un punto a 3.000 pies de la estación receptora.

A. Trace un diagrama que dé una representación visual del problema. Represente con h la altura del globo y con d la distancia entre éste y la estación receptora.

B. Escriba la altura del globo como función de d. ¿Cuál es el dominio de la función?

En

A. Encuentre f 2007 f 2000 20072000 e interprete el resultado en el contexto del problema.

B. Elabore una gráfica de los datos.

C. Encuentre una función lineal que recoja la mayor cantidad de datos graficados en B. Represente con N el número de devoluciones de impuestos hecha a través de registro electrónico, haciendo que t 0 corresponda al año 2000.

D. Use el modelo hallado en el inciso C para completar la tabla.

f 2 h f 2 h , h 0 f x x 2 x 1, f 2 h f 2 h , h 0 f x x 2 x 1,

los ejercicios 103-110, encuentre el cociente de diferencias y simplifique su respuesta.

E. Compare sus resultados del inciso D con los datos reales.

f 5 h f 5 h , h 0 f 5x x 2 , f 5 h f 5 h , h 0 5x x 2 ,

f 2 h f 2 h , h 0 f x x 2 x 1, f 5 h f 5 h , h 0 f x 5x x 2 ,

f x h f x h , h 0 33x, f x h f x h , h 0 f x 33x,

g x g 3 x 3, x 3 g x 1 x2 , g x g 3 x 3, x 3 g x 1 x2 ,

f x h f x h , h 0 x 4x22x, f x h f x h , h 0 f x 4x22x,

f 5 h f 5 h , h 0 f 5x x 2 ,

f x h f x h , h 0 f x 33x,

g x g 3 x 3, x 3 g x 1 x2

108. f 2 h f 2 h , h 0 f x x 2 x 1,

f t f 1 t 1, t 1 t 1 t 2 , f t f 1 t 1, t 1 f t 1 t 2 ,

f x h f x h , h 0 x 4x22x,

, f x h f x h , h

g x g 3 x 3, x 3 g x 1 x2 ,

f t f 1 t 1, t 1 f t 1 t 2 ,

En los ejercicios 111-114, compare los datos con una de las siguientes funciones:

x 5 f x f 5 x 5, x 5x, x 5 f x f 5 x 5, f x 5x,

,( ),

() y( ) 2

== == f xcxg xcxh xx xr x c x ()

f t f 1 t 1, t 1 f t 1 t 2 ,

x 5 f x f 5 x 5, f x 5x,

x 8 f x f 8 x 8, x231, 103. 108. 109. 110. x 8 f x f 8 x 8, f x x231,

x 5 f x f 5 x 5, f x 5x,

x 8 f x f 8 x 8, f x x231,

x 8 f x f 8 x 8, x x231,

y determine el valor de la constante c que hará que la función se ajuste a los datos de la tabla.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

t 01234567 n x 4 1 014 y 32 2 0 2 32 x 4 1 014 y 1 x 41014 y 832Nodefinido328 x 41014 y 11401 4 1 x 41014 y 3220232 111. 112. 113. 0 x 41014 y 832Nodefinido328 x 41014 y 11401 4 1 x 41014 y 3220232 111. 112. 113. 1 111. 112. Año número de devoluciones de impuestos realizadas mediante registro electrónico 2000 35,4 2001 40,2 2002 46,9 2003 52,9 2004 61,5 2005 68,5 2006 73,3 2007 80,0 Fuente: Internal Revenue Service. 113. 114. x 4 1 014 y 8 32 No definido328 x 4 1 014 y 63036

sección 1.2

eXploraCIÓN

¿Verdadero o falso? En los ejercicios 115-118, determine si la proposición es verdadera o falsa. Justifique su respuesta.

115. Toda relación es una función.

116. Toda función es una relación.

117. El dominio de la función dada por f x x 41 es , y el intervalo de es0, f x es0, f x

118. El conjunto de pares ordenados 8,6,0,2,2,2 2,20,4,4,0, , representa una función.

119. Piénselo Considere ¿Por qué son diferentes los dominios de f y g?

120. Piénselo Considere

¿Por qué son diferentes los dominios de f y g?

121 Piénselo Dada f x x2 , f es la variable independiente? ¿Por qué?

122. Toque final

A. Describa cualesquiera diferencias entre una relación y una función.

B. Explique los significados de dominio y rango

En los ejercicios 123 y 124, determine si los enunciados usan la palabra función en formas que sean matemáticamente correctas. Explique su razonamiento.

123. A. El impuesto sobre ventas por un artículo comprado es función del precio de venta.

B. Su calificación en el siguiente examen de álgebra es una función del número de horas que estudie por la noche antes del examen.

124. A. La cantidad en su cuenta de ahorros estará en función de su salario.

B. La rapidez a la que una pelota de béisbol cae al suelo es una función de la altura desde la que fue lanzada.

Análisis de gráficas de funciones

objetivo 1

Gráfica de una función

En la sección 1.1 estudiamos funciones desde el punto de vista algebraico. En esta sección las estudiaremos desde una perspectiva gráfica.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

La gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados x, f x tal que x está en el dominio de f. Al estudiar esta sección recuerde que

x y f x distancia dirigida desde el eje y

y f x distancia dirigida desde el eje x como se ve en la figura 1.5.

ejemplo 1

Hallar el dominio y rango de una función

Use la gráfica de la función f, que se muestra en la figura 1.6, para hallar a) el dominio de f, b) los valores f ( 1) y f (2), y c) el rango de f.

solución

A. El punto cerrado en ( 1, 1) indica que x 5 1 está en el dominio de f, en tanto que el punto abierto en (5, 2) indica que x 5 5 no está en el dominio. Por tanto, el dominio de f es toda x en el intervalo [ 1, 5).

B. Como ( 1, 1) es un punto en la gráfica de f, se deduce que f ( 1) 5 1. Del mismo modo, como (2, 3) es un punto en la gráfica de f, se deduce que f (2) 5 3.

C. Como la gráfica no se prolonga debajo de f (2) 5 3 ni arriba de f (0) 5 3, el rango de f es el intervalo [ 3, 3].

El uso de puntos (abiertos o cerrados) en los puntos extremos izquierdo y derecho de una gráfica indica que ésta no se prolonga más allá de estos puntos. Si no se muestran esos puntos, suponga que la gráfica se prolonga más allá de ellos.

Por la definición de una función, a lo sumo un valor de y corresponde a un valor de x determinado. Esto significa que la gráfica de una función no puede tener dos o más puntos diferentes con la misma coordenada x, y ningunos dos puntos en la gráfica de una función pueden estar verticalmente arriba o abajo uno del otro. Por tanto, se deduce que una recta vertical puede intersecar la gráfica de una función a lo sumo una vez. Esta observación da una cómoda prueba visual llamada prueba de la recta vertical para funciones.

PRUEBA DE LA RECTA vERTiCAL PARA fUnCiOnES

Un conjunto de puntos en un plano de coordenadas es la gráfica de y como función de x si y sólo si no hay una recta vertical que corte la gráfica en más de un punto.

ejemplo 2

Prueba de la recta vertical para funciones

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

Use la prueba de la recta vertical para determinar si las gráficas de la figura 1.7 representan a y como función de x

solución

A. Esta no es una gráfica de y como función de x, porque podemos hallar una recta vertical que interseca dos veces la gráfica. Esto es, para una entrada x particular, hay más de una salida y

B. Esta es una gráfica de y como función de x, porque toda recta vertical la interseca a lo sumo una vez. Esto es, para una entrada x particular, hay a lo sumo una salida y

Figura 1.6

Capítulo 1 Números reales y funciones

C. Esta es una gráfica de y como función de x. (Nótese que si una recta vertical no interseca la gráfica, simplemente significa que la función no está definida para ese valor particular de x.) Esto es, para una entrada x particular, hay a lo sumo una salida y.

objetivo 2

ceros de una función

Si la gráfica de una función de x tiene una intersección con el eje x en (a, 0), entonces a es un cero de la función.

CEROS DE UnA fUnCión

Los ceros de una función f de x son los valores de x para los cuales f x 0.

Encuentre los ceros de cada una de las funciones siguientes.

solución

Para hallar los ceros de una función, iguale a cero ésta y despeje la variable independiente.

. En la figura 1.8, nótese que la gráfica de f tiene 52,0 3 ,0 y 52,0 3 ,0 como sus intersecciones con el eje x.

Los ceros de f son y x

Los ceros de f son y x x 10 10. En la figura 1.9, nótese que la gráfica de g tiene y10 10,0 ,0 como sus intersecciones con el eje x

C. Igualar a0

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

El cero de h es t 3 2. En la figura 1.10, nótese que la gráfica de h tiene 3 2 ,0 como su intersección

eje t

objetivo 3

Funciones crecientes y decrecientes

Cuanto más conozcamos de la gráfica de una función, más sabremos de la función misma. Considere la gráfica de la figura 1.11. Al moverse de izquierda a derecha, esta gráfica baja de x

DecrecienteCreciente

fUnCiOnES CRECiEnTES, DECRECiEnTES y COnSTAnTES

Figura 1.11

Unafunción f es creciente enunintervalosi,paratoda ydelintervalo, implicaque

Unafunción f es creciente enunintervalosi,paratoda ydelintervalo, implicaque Unafunción f es decreciente enunintervalosi,paratoda ydelintervalo, implicaque

Unafunción f es decreciente enunintervalosi,paratoda ydelintervalo, implicaque

Unafunción f es constante enunintervalosi,paratoda

Funciones crecientes y decrecientes

Use las gráficas de la figura 1.12 para describir el comportamiento creciente o decreciente de cada función.

solución

A. Esta función es creciente en toda la recta real.

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B. Esta función es creciente en el intervalo ,1 , decreciente en el intervalo ( 1, 1) y creciente en el intervalo 1,

C. Esta función es creciente en el intervalo ,0 , constante en el intervalo (0, 2) y decreciente en el intervalo 2,

Para ayudar a determinar si una función es creciente, decreciente o constante en un intervalo, se puede evaluar para varios valores de x. No obstante, es necesario usar cálculo para determinar con toda certeza todos los intervalos en los que una función es creciente, decreciente o constante.

Funciones pares e impares

En la terminología de funciones se dice que una función es par si su gráfica es simétrica respecto al eje y, y es impar si su gráfica es simétrica respecto al origen. A continuación se proporcionan las siguientes pruebas para funciones pares e impares.

Capítulo 1 Números reales y funciones

PRUEBAS PARA fUnCiOnES PARES E imPARES

Unafunciónes par si,paracada x eneldominiode f,

ejemplo 5

y f x Unafunciónes par si,paracada x eneldominiode f,

y f x

Una función Unafunciónes par si,paracada x eneldominiode f,

y f x es par si, para cada x en el dominio de f,

Unafunciónes impar si,paracada x eneldominiode f, f x f x y f x f x f x .

Una función Unafunciónes par si,paracada x eneldominiode f,

y f x es impar si, para cada x en el dominio de f,

Unafunciónes impar si,paracada x eneldominiode f, f x f x y f x f x f x .

Unafunciónes impar si,paracada x eneldominiode f, f x f x y f x f x f x .

y f x f x f x .

Funciones pares e impares

Unafunciónes impar si,paracada x eneldominiode f, f x f x .

A. Lafunción esimparporque comosigue:

Sustituirpor x.

Simplificar.

Propiedaddistributiva Pruebaparafunciónimpar.

B. Lafunción esparporque comosigue:

x

Las gráficas y simetría de estas dos funciones se muestran en la figura 1.13.

ejercicios 1.2 REVISIÓN DE COnCEPTOS

En los ejercicios 1-8, llene los espacios en blanco.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

1. La gráfica de una función f es el conjunto de x, f x tal que x está en el dominio de f.

2. La se usa para determinar si la gráfica de una ecuación es una función de y en términos de x

3. Los de una función f son los valores de x para los cuales f x 0

4. Una función f está en un intervalo si, para cualquier y x2 x1 en el intervalo x1 < x2, implica que f x1 > f x2

5. El valor de una función f a es un relativo de f si existe un intervalo x1, x2 que contenga a a tal que x1 < x < x2 implica f a f x

6. La entre cualesquier dos puntos y x2, f x2 x1, f x1 es la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos, y esta recta se denomina recta .

7. Una función f es si, por cada x en el dominio de f x f x f, .

8. Una función f es si su gráfica es simétrica respecto al eje y

HabIlIdades y aplICaCIoNes

En los ejercicios 9-12, use la gráfica de la función para hallar el dominio y el rango de

EnlosEjercicios13-16,uselagráficadelafunciónparahallareldominio yelrangode f ylos valoresdefunción indicados.

EnlosEjercicios13-16,uselagráficadelafunciónparahallareldominio yelrangode f ylos valoresdefunción indicados.

EnlosEjercicios13-16,uselagráficadelafunciónparahallareldominio yelrangode f ylos valoresdefunción indicados.

EnlosEjercicios13-16,uselagráficadelafunciónparahallareldominio yelrangode f ylos valoresdefunción indicados.

En los ejercicios 13-16, use la gráfica de la función para hallar el dominio y el rango de f y los valores de función indicados.

En los ejercicios 17-20, use la prueba de la recta vertical para determinar si y es una función de x. Para imprimir una copia amplificada de la gráfica, visite el sitio web www.mathgraphs.com

EnlosEjercicios13-16,uselagráficadelafunciónparahallareldominio yelrangode f ylos valoresdefunción indicados.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

En los ejercicios 39-46, determine si la función es par, impar o ninguna de éstas. A continuación describa la simetría.

Ejercicio 59

57. Análisis de datos: temperatura La tabla siguiente muestra las temperaturas y (en grados Fahrenheit) en cierta ciudad en un periodo de 24 horas. Represente con x la hora del día, donde x 5 0 corresponde a las 6:00 a.m.

Un modelo que representa estos datos está dado por 0 x 24. y f(x)0,026 x31,03x210,2x 34,

A. Use una calculadora graficadora para crear una gráfica de dispersión de los datos. A continuación grafique el modelo en la misma pantalla.

B. ¿Qué tan bien se ajusta el modelo a los datos?

C. Use la gráfica para calcular las horas cuando la temperatura era creciente y decreciente.

D. Use la gráfica para calcular las temperaturas máxima y mínima durante este periodo de 24 horas.

E. ¿Podría usarse este modelo para pronosticar las temperaturas en la ciudad durante el siguiente periodo de 24 horas? ¿Por qué?

58. Escala de ejes de coordenadas Cada una de las funciones descritas a continuación modela los datos especificados para los años 1998 a 2008, con t 5 8 correspondiente a 1998. Calcule una escala razonable para el eje vertical (por ejemplo, cientos, miles, millones, etc.) de la gráfica y justifique su respuesta. (Hay numerosas respuestas correctas.)

A. f (t) representa el salario promedio de profesores universitarios.

B. f (t) representa la población de Estados Unidos.

C. f (t) representa el porcentaje de la fuerza laboral civil que está desempleada.

59. Geometría Esquinas de igual tamaño se cortan de un cuadrado con lados de 8 metros de longitud (vea la figura).

A. Escriba el área A de la figura resultante como función de x. Determine el dominio de la función.

B. Use una calculadora graficadora para graficar la función de área en su dominio. Use la gráfica para hallar el rango de la función.

C. Identifique la figura que resultaría si x se escogiera como el valor máximo del dominio de la función. ¿Cuál sería la longitud de cada lado de la figura?

60. Cantidad de inscripciones Las cantidades r de inscripciones de niños en preescolar en Estados Unidos, de 1970 a 2005, se puede calcular con el modelo

r(t)0,021t21,44t 39,3,0 t 35 donde t representa el año, con t 5 0 correspondiente a 1970. (Fuente: U.S. Census Bureau.)

A. Use una calculadora graficadora para graficar el modelo.

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE

B. Encuentre la razón media de cambio del modelo de 1970 a 2005. Interprete su respuesta en el contexto del problema.

61. Venta de tecnología en vehículos Los ingresos estimados r (en millones de dólares) por venta de tecnología en vehículos en Estados Unidos, de 2003 a 2008, se puede calcular con el modelo

r(t)157,30t2397,4t 6.114;3 t 8 donde t representa el año, con t 5 3 correspondiente a 2003. (Fuente: Consumer Electronics Association.)

A. Use una calculadora graficadora para graficar el modelo.

B. Encuentre la razón de cambio promedio del modelo de 2003 a 2008. Interprete su respuesta en el contexto del problema.

TOQUEFINAL Uselagráficadelafunciónpara contestar(a)-(e).

Capítulo 1 Números reales y funciones

62. Toque final Use la gráfica adjunta de la función para resolver los incisos A-E.

A. Encuentre el dominio y rango de f

B. Encuentre el(los) cero(s) de f

C. Determine los intervalos en los que f es creciente, decreciente o constante.

D. Calcule cualesquiera valores mínimo o máximo relativos de f

E. ¿f es par, impar o ninguna de éstas?

(a)Encuentreeldominioyrangode f.

(b)Encuentreelcero(s)de f

(c)Determine losintervalosenlosque f es creciente, decreciente oconstante.

(d)Calculecualesquier valoresmínimo omáximo relativosde f

(e) ¿f espar, impar oningunadeéstas?

MATERIALMUESTRA Todoslosderechosdeuso pertenecenaCENGAGE