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MATEMÁTICAS

SEGUNDA EDICIÓN

III

CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS

PATRICIA IBÁÑEZ CARRASCO GERARDO GARCÍA TORRES


Segunda edición TERCER M ES T R E SE

Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres Revisión técnica: Ing. Edgar González Yebra Jefe del Departamento de Matemáticas Dirección de Medios y Métodos Educativos Secretaría de Educación de Guanajuato

Australia • Brasil • Corea • España • Estados Unidos • Japón • México • Reino Unido • Singapur


Matemáticas III Segunda edición Patricia Ibáñez Carrasco Gerardo García Torres Presidente de Cengage Learning Latinoamérica Fernando Valenzuela Migoya Director editorial, de producción y de plataformas digitales para Latinoamérica Ricardo H. Rodríguez Gerente de procesos para Latinoamérica Claudia Islas Licona Gerente de manufactura para Latinoamérica Raúl D. Zendejas Espejel Gerente editorial de contenidos en español Pilar Hernández Santamarina Coordinador de manufactura Rafael Pérez González

© D.R. 2014 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse, a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

Datos para catalogación bibliográfica: Ibáñez Carrasco, Patricia y Gerardo García Torres Matemáticas III, segunda edición

Editoras Ivonne Arciniega Torres Gloria Luz Olguín Sarmiento

ISBN 13: 978-607-519-048-8 ISBN 10: 607-519-048-1

Diseño de portada Ediciones OVA

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Composición tipográfica Heriberto Gachuz Chávez Fotografías de interiores Dreamstime Shutterstock

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 17 16 15 14


CONTENIDO Bloque I Reconoces lugares geométricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Geometría analítica introductoria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Sistema de coordenadas rectangulares . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Parejas ordenadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Igualdad de parejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Lugares geométricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

Lectura Matemáticas y GPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Guía de autoobservación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . .

26

Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Segmentos rectilíneos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Segmentos rectilíneos dirigidos y no dirigidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Perímetro y área de polígonos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Punto de división de un segmento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51 iii


Punto medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Lectura Mapas. Coordenadas geográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

Guía de autoobservación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . .

68

Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

74

Línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Definición . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta . . . . . . . .

78

Relación de la pendiente con el ángulo de inclinación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Ángulo formado por dos rectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89

Condiciones de paralelismo y perpendicularidad . . . . . . .

96

Lectura Línea recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 Guía de autoobservación de evaluación formativa por proyectos. . . . . . . . . . . . . . . . 102 Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta . . . . 106 Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Ecuaciones de la recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Ecuación de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen. . . . . . . . . . . . . . . . 109 iv


Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Ecuación de la recta dados dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 Forma simétrica de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 Ecuación de la recta dadas sus intersecciones con los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

Forma general y normal de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Forma normal de la ecuación de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 Conversión de la forma general a la forma normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Distancia dirigida de una recta a un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 Distancia no dirigida entre un punto y una recta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Distancia entre dos rectas paralelas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 Lectura Línea recta y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 Guía de autoobservación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . 162 Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

Bloque 5 Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

Circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Definición y elementos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Rectas y segmentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 Ecuaciones de la circunferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 Ecuación canónica de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

v


Ecuación ordinaria de la circunferencia. . . . . . . . . . . . . . . . 181 Obtención de la ecuación a partir del centro y el radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Radio y centro de una circunferencia con centro fuera del origen . . . . . . . . . . . . . . 182

Forma general de la ecuación de la circunferencia . . . . . . 189 De la forma general a la ordinaria. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 Lectura El círculo en la naturaleza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 Guía de autoevaluación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . 212 Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216

Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola . . . 218 Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Elementos asociados con la parábola. . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice en el origen. . . . . . . . . . . . . . 227 La parábola a partir de su ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 Ecuación de una parábola a partir de sus elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

Ecuación ordinaria de parábolas verticales y horizontales con vértice fuera del origen . . . . . . . . . . 241 Los elementos a partir de la ecuación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 La ecuación a partir de los elementos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

Forma general de la ecuación de la parábola . . . . . . . . . . . 248 Conversión de la forma ordinaria a la general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249 vi


Conversión de la forma general a la ordinaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Lectura Formas parabólicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 Guía de autoobservación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . 264 Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse. . . . . . 270 Evaluación diagnóstica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Elementos asociados con la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro en el origen y ejes paralelos a los ejes cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Elipse horizontal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Elipse vertical. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 Lado recto de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

Ecuación ordinaria de elipses horizontales y verticales con centro fuera del origen y ejes paralelos a los ejes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Forma general de la ecuación de la elipse . . . . . . . . . . . . . . 289 Lectura Propiedades de la elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 Evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297 Guía de autoobservación de la evaluación formativa por proyectos . . . . . . . . . . . . . 298 Mi competencia final. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299 Lista de cotejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302

vii


Bloque I Reconoces lugares geométricos

Propósito • Que el(la) alumno(a) alcance desempeños que le permitan reconocer las características matemáticas que definen un lugar geométrico. Desempeños del estudiante al concluir el bloque • Identifica las características de un sistema de coordenadas rectangulares. • Interpreta la información a partir de la noción de parejas ordenadas. • Reconoce las relaciones entre variables que conforman las parejas ordenadas para determinar un lugar geométrico.


Objetos de aprendizaje • Geometría analítica introductoria • Sistema de coordenadas rectangulares • Parejas ordenadas —Igualdad de parejas • Lugares geométricos

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Competencias a desarrollar • Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas y gráficas; asimismo, interpreta tablas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

• Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. • Construye hipótesis; diseña y aplica modelos para probar su validez. • Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. • Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. • Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. • Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. • Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. • Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo.

Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. • Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. • Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación. • Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean. • Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


Evaluación diagnóstica Completa los siguientes enunciados. 1. El sistema de coordenadas está compuesto por:

2. ¿Cuántos cuadrantes tiene el sistema de coordenadas cartesianas?

3. La combinación de todas las combinaciones de los elementos de dos conjuntos se denomina:

4. En una pareja de elementos en la que si se cambia el orden se cambia el sentido:

5. La coordenada x se denomina:

6. La coordenada y se denomina:

7. Conjunto de puntos que cumplen una relación matemática:

4


Bloque I. Reconoces lugares geométricos

5

La geometría analítica se ha desarrollado desde tiempos remotos. Podemos considerar la obra de Fibonacci, Practica Geometriae, como el punto de arranque de la geometría renacentista, aunque únicamente se ocupe de la medida de áreas de polígonos y volúmenes de cuerpos. Debemos a Jordanus Nemorarius la primera formulación correcta del problema del plano inclinado. En París, el profesor Nicole Oresme utilizó coordenadas rectangulares en una de sus obras, de forma primitiva y rudimentaria, para la representación gráfica de ciertos fenómenos físicos. Sin duda, uno de los grandes en esta materia fue René Descartes con su famosa obra el Discurso del Método, en cuyo apéndice llamado “Géometrie” detalla las instrucciones geométricas para resolver ecuaciones cuadráticas, después describe la aplicación del álgebra a ciertos problemas geométricos. Casi toda la “Géometrie” está dedicada a la interrelación del álgebra y la geometría con ayuda del sistema de coordenadas, justo lo que actualmente denominamos geometría analítica.

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Objeto de aprendizaje Geometría analítica introductoria

René Descartes

Actividad de investigación 1 Organízate con tus compañeros y formen parejas como actividad extraclase; investiguen en fuentes impresas y electrónicas (Internet) los antecedentes de la geometría analítica y diseñen una línea de tiempo en la que se destaque a los principales precursores, su aportación y el año correspondiente. Elaboren una presentación electrónica y expónganla ante el grupo para su realimentación. Después evalúen su desempeño con la guía de autoobservación.


6

Matemáticas III

Guía de autoobservación Primero, obtén tu calificación de manera individual: coloca una en la puntuación que refleja tu desempeño en cada indicador y súmalas para conocer el total. Después, reúnete con tus compañeros para realizar un promedio y obtener su calificación como equipo. Desempeño Número

Bueno Regular (2) (1)

Indicador

1

Empleamos las TIC para presentar nuestra información.

2

Empleamos fuentes de información confiable y relevante tanto en forma electrónica como impresa.

3

Elaboramos una línea de tiempo que destaca precursores, año y aportaciones.

4

Manejamos de manera fluida la información que expusimos al grupo.

5

Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia la realimentación.

Malo (0)

Calificación:

GLOSARIO

Objeto de aprendizaje Sistema de coordenadas rectangulares Sistema de coordenadas rectangulares. Es un arreglo de dos rectas numéricas, una horizontal y la otra vertical, que se unen en el cero (origen). Eje X. Es la recta horizontal del sistema de coordenadas rectangulares. Eje Y. Es la recta vertical del sistema de coordenadas rectangulares. Cuadrantes. Son las cuatro regiones en las que se divide al plano en el sistema de coordenadas.

Un arreglo de dos rectas numéricas (una en posición horizontal y otra en posición vertical) unidas en sus ceros (origen) se denomina sistema de coordenadas rectangulares, o plano cartesiano, en honor a René Descartes. La recta horizontal se llama eje X y la recta vertical, eje Y. Observa que el sistema de coordenadas divide al plano en cuatro regiones, llamadas cuadrantes. Y Cuadrante II (, )

Cuadrante I (, )

6 5

Positivos

4 Coordenada (2, 3)

3 2 1

7 6 5 4 3 2 1

1

3

4

5

6

7 X

1 2

Negativos

2

Origen

3 4 5

Cuadrante III (, )

6 7

Cuadrante IV (, )


Bloque I. Reconoces lugares geométricos

7

El primer cuadrante tiene la parte positiva del eje X y del eje Y, el segundo cuadrante tiene la parte negativa del eje X y la parte positiva del eje Y, el tercer cuadrante tiene la parte negativa del eje X y del eje Y y el cuarto cuadrante tiene la parte positiva del eje X y la parte negativa del eje Y.

Objeto de aprendizaje Parejas ordenadas Para iniciar el tema analicemos el siguiente ejemplo: María tiene blusas de color blanco y rosa, y faldas de color café, azul y negro. Quiere saber cuántos posibles atuendos puede tener. Aquí está la lista que obtuvo: Blusa blanca con falda café. Blusa blanca con falda azul. Blusa blanca con falda negra. Blusa rosa con falda café. Blusa rosa con falda azul. Blusa rosa con falda negra.

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• • • • • •

Además, tiene la idea de darle un número a cada blusa y a cada falda para que sea más fácil escoger el atuendo: • Blusas: 1. blanca. 2. rosa.

• Faldas: 1. café. 2. azul. 3. negra.

Haciendo la “traducción” obtuvo la siguiente lista:

En donde el primer número pertenece a la blusa y el segundo a la falda. Observa que no tendría ningún significado pedir (3, 2) ya que no hay ninguna blusa 3. Entonces el orden en estas parejas es importante; lo mismo sucederá con las parejas de números que veremos a continuación. Las parejas ordenadas tienen dos elementos, uno de ellos ocupa el primer lugar, y otro el segundo, y si se cambian de lugar el sentido varía. Se representan encerrando sus elementos entre paréntesis. Por ejemplo: (3, 4), (6, 8), (9, 1), (4, 3), etcétera.

Pareja ordenada. Es una pareja de números (x, y) escritos en un orden particular.

GLOSARIO

1, 1 1, 2 1, 3 2, 1 2, 2 2, 3


8

Matemáticas III

Igualdad de parejas Observa que si cambias los números de lugar, no quieren decir lo mismo, es decir, 3 y 4 es una pareja ordenada, pero 4 y 3 hace referencia a un arreglo distinto. En general, las parejas ordenadas cumplen que: (a, b)  (b, a) y (a, b)  (b, a) si y solo si a  b

Esto quiere decir que para considerar iguales a dos parejas estas deben tener los mismos elementos en el mismo orden. Por ejemplo: (5, 5).

Actividad 1 Organízate con tus compañeros, formen un equipo de cuatro integrantes, de preferencia alumnas y alumnos, y resuelvan los siguientes ejercicios con una actitud de respeto y tolerancia. Al final, reflexionen con los integrantes de otro equipo sus procedimientos y resultados. 1. La fonda de Chonita tiene tortas de jamón y tacos de pollo para comer, y agua de jamaica, refresco y jugo para

beber. Formen todos los posibles menús que Chonita puede tener.

2. La florería “Mil hojas” tiene rosas, tulipanes y orquídeas como flores y, helecho y dracaena como follaje. Cons-

truyan los posibles arreglos que puede hacer de un tipo de flor con un tipo de follaje.

3. En la fiesta de Luis, su mamá quiere servir algunas ensaladas que contengan un tipo de fruta y un tipo de

semilla. Cuenta con frutas como naranjas, uvas, papayas y mangos, en cuanto a las semillas, tiene nueces, almendras, avellanas y pistaches. Describan las ensaladas que puede haber en la fiesta de Luis.


Una forma de encontrar todas las posibles parejas ordenadas de números entre dos conjuntos es por medio del producto cartesiano, que se representa como A  B.

Producto cartesiano. Es la colección de todas las relaciones (combinaciones) de los elementos de A con los elementos de B.

Ejemplo Desarrolla el producto cartesiano A  B y B  A dados A  1, 2, 3 y B  1, 2, 3, 4.

Solución: (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), A  B  (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4) Ahora, (1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), BA (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4) Observa que las parejas (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2) y (3, 3) son iguales en ambos productos.

El producto cartesiano de dos conjuntos de números es un nuevo conjunto de parejas ordenadas en el que todas estas son distintas. El primer elemento corresponde al conjunto A y el segundo elemento corresponde al conjunto B. Observa que si el conjunto A tiene tres elementos y el conjunto B tiene cuatro, entonces el conjunto A  B tiene 3  4  12 elementos (parejas ordenadas), de ahí la razón de llamarlo producto (multiplicación) y se le llama cartesiano porque se puede representar gráficamente en un plano cartesiano, como el siguiente: B

4

3

2

1

1

(1, 4)

(2, 4)

(3, 4)

(1, 3)

(2, 3)

(3, 3)

(1, 2)

(2, 2)

(3, 2)

(1, 1)

(2, 1)

(3, 1)

2

3

A

Una aplicación de las parejas ordenadas es la localización de puntos en el sistema de coordenadas rectangulares.

9

GLOSARIO

Bloque I. Reconoces lugares geométricos


10

Matemáticas III

Ejemplo Traza un cuadrado y un triángulo en el siguiente sistema de coordenadas rectangulares, luego descríbelos indicando las coordenadas (x, y) que representan a sus vértices.

GLOSARIO

Solución: Abscisa. Es la coordenada x de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas. Ordenada. Es la coordenada y de un punto en un sistema de coordenadas cartesianas.

Cada uno de los puntos que se acaban de localizar tiene dos elementos o referencias, una está sobre el eje X, denominada abscisa, y la otra sobre el eje Y, denominada ordenada. Por tanto, las parejas ordenadas tienen la siguiente forma: (abscisa, ordenada) La abscisa siempre se localiza sobre el eje X (también se le llama eje de las abscisas), y la ordenada, sobre el eje Y (conocido como eje de las ordenadas). Y

Las coordenadas del cuadro son: 7

(3, 3), (3, 3), (3, 3) y (3, 3)

6 5 4

Las coordenadas del triángulo son:

3 2

(0, 4), (0, 6) y (4, 4)

1 7 6 5 4 3 2 1 1

1

2

3

4

5

6

7

X

2 3 4 5 6 7

Actividad 2 Organízate con tus compañeros y reúnanse en parejas conformadas por una alumna y un alumno, realicen de manera colaborativa los siguientes ejercicios. Recuerden mantener siempre una actitud de respeto y responsabilidad. Compartan en plenaria sus procedimientos y resultados. Al final, califiquen su desempeño con la guía de autoobservación. 1. Respondan las siguientes preguntas respecto a las características del sistema de coordenadas:

a) ¿Cuántas rectas numéricas conforman el sistema de coordenadas rectangulares? b) ¿Cuál es la posición de cada una de estas rectas?


Bloque I. Reconoces lugares geométricos

c) ¿Cuál es el nombre de la recta horizontal? d ) ¿Cuál es el nombre de la recta vertical? e) ¿Cómo se llama al punto donde se cruzan los ejes? f ) ¿Cómo se llaman las regiones en las que se divide al plano y cuántas son? g) ¿Cuáles son los signos de cada cuadrante? 2. Dados los siguientes conjuntos, calculen los productos cartesianos y represéntenlos en un plano. Además,

rodeen las parejas ordenadas iguales. A  a, b, c, d 

B  1, 3, 5

C  2, 4, 6, 8

a) A  B

f) B D

b) C  D

g) B  A

c) A  C

h) D  C

d) C  B

i) B  C

e) D  A

j) A  D

D  x, y, z 

3. Localicen en un mismo sistema de coordenadas rectangulares los siguientes puntos, e identifiquen a qué cua-

drante pertenecen: a) A(4, 2)

h) H(8, 3)

b) B(3, 5)

6 12 i) I  ,  4 5

c) C

1 1 , 2 4

j ) J (6, 2) 8 , 3 3

d ) D (2, 7)

k) K

e) E(7, 3)

l ) L (0, 0)

f) F

2 4 , 3 5

g) G (2, 4)

m ) M (1, 2) n ) N(5, 8)

11


12

Matemáticas III

4. Escriban las coordenadas de los puntos que se muestran en el siguiente plano cartesiano:

a) A (

,

)

f ) F(

,

)

b) B (

,

)

g) G(

,

)

Y 7

G

6

F 5

c) C (

,

)

h) H(

d ) D(

,

)

i ) I(

e) E(

,

)

, ,

j ) J(

,

4

)

I

3 2

)

1

E

H

7 6 5 4 3 2 1 1

)

C

res los polígonos con los siguientes vértices e inclúyanlos en su portafolio de evidencias.

2

3

4

5

6

7

X

2 3

D

4

5. Representen en un sistema de coordenadas rectangula-

J 1

5 6

A

7

B

a) A (3, 4), B (2, 1), C(5, 1) b) A (9, 3), B (5, 1), C (4, 0) c) A (4, 2), B (2, 3), C (1, 6), D(0, 4)

Guía de autoobservación Primero, obtén tu calificación de manera individual: coloca una en la puntuación que refleja tu desempeño en cada indicador y súmalas para conocer el total. Después, reúnete con tus compañeros para realizar un promedio y obtener su calificación como pareja. Desempeño Número

Indicador

1

Trazamos correctamente el sistema de coordenadas, identificando los ejes.

2

Ubicamos los puntos en el cuadrante correcto.

3

Unimos correctamente los puntos, formando la figura geométrica.

4

Identificamos la figura correctamente de acuerdo con el número y posición de los vértices.

5

Mantuvimos una actitud de respeto y tolerancia hacia el desarrollo de la solución.

Bueno Regular (2) (1)

Calificación:

Malo (0)


13

Bloque I. Reconoces lugares geométricos

Actividad 3 Organízate con tus compañeros y formen parejas, de preferencia alumno y alumna. Realicen los siguientes ejercicios de manera colaborativa. 1. Tracen las líneas rectas siguientes; una de ellas pasa por A (0, 6) y B(6, 0); la otra pasa por C(6, 6) y D (0, 0),

comprueben que estas líneas rectas se cruzan en el punto (3, 3). 2. Dibujen en un sistema coordenado un triángulo isósceles (de cualquier medida). Luego indiquen las coorde-

nadas de sus tres vértices, también marquen dos puntos que estén dentro y dos puntos que estén afuera del triángulo e indiquen sus coordenadas. 3. Grafiquen en un mismo sistema de referencia cada uno de los siguientes grupos de coordenadas, únanlos y

escriban el tipo de figura geométrica: a) A(2, 4), B(2, 1), C (2, 1), D(2, 4) b) E(2, 5), F(5, 2), G(0, 4) c) H(3, 5), I(3, 9), J(3, 5) d ) K(4, 2), L(4, 4), M(2, 4), N(2, 2) e) O(5, 2), P(1, 2), Q(1, 4), R(5, 4)

a) María tiene una casa con una puerta al sur, sale de ella y camina 4 cuadras, luego decide caminar 3 cuadras al este, después gira hacia el sur y avanza otras 5 cuadras, finalmente da vuelta al norte y avanza 8 cuadras. Si se coloca la casa de María en el origen de un sistema de coordenadas rectangulares y se sigue su trayectoria, ¿en qué punto se encontrará al final de su camino? Elaboren una hipótesis y compruébenla en un sistema de coordenadas.

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b) El terreno de Félix tiene coordenadas (5, 2), (10, 2), (5, 10) y (10, 10).

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4. Resuelvan los siguientes problemas:

i. Ubiquen el terreno en un sistema de coordenadas rectangulares. ii. ¿Qué forma tiene el terreno? iii. Calculen su área.


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c) En la clase de Biología, Pati realizó un experimento para observar el crecimiento de una colonia de bacilos. Se registraron los siguientes datos anotando el tiempo que transcurrió y el número de bacilos presentes en el experimento. • • • • •

200 bacilos en 6 minutos 300 bacilos en 12 minutos 500 bacilos en 18 minutos 1000 bacilos en 24 minutos 1800 bacilos en 30 minutos

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Matemáticas III

Representen los pares de valores que Pati recabó en un sistema de coordenadas rectangulares, en el que el eje horizontal sea el tiempo, y el eje vertical el número de bacilos.

GLOSARIO

Objeto de aprendizaje Lugares geométricos Lugar geométrico. Es un conjunto de puntos que cumplen una propiedad geométrica en particular.

En geometría analítica pueden presentarse dos problemas fundamentales relacionados con los lugares geométricos: 1. Dada una ecuación, encuentra el lugar geométrico que la representa. 2. Dado un lugar geométrico, encuentra la ecuación que lo representa.

Con esto en mente podemos hablar de un método general para resolver problemas de geometría analítica que consta de tres secciones bien definidas: 1. Geométrica: En esta expondrás todo lo que sabes respecto al lugar geométrico

que se propone antes de iniciar con el análisis. 2. Analítica: Aquí efectuarás el análisis de las ecuaciones dadas, para ello usarás álgebra y aritmética. 3. Conclusión: Esta parte es importantísima ya que aquí redactarás lo que hayas encontrado a lo largo de todo el proceso. Encontrarás problemas en los que es preciso efectuar primero la parte analítica y después la geométrica; sin embargo, habrá otros en los que tanto la parte analítica como la geométrica deberán desarrollarse al mismo tiempo, pero en cualquiera de los casos ambas están presentes. Cuando queremos saber cuál es el lugar geométrico asociado con una expresión algebraica sugerimos realizar los siguientes pasos: 1. Haz una tabulación en donde se asignen valores a x. 2. Calcula los valores de y sustituyendo en la ecuación original.


Bloque I. Reconoces lugares geométricos

3. Calcula las intersecciones con los ejes:

a) Para el corte en el eje Y, toma x  0 y calcula el valor de y. b) Para el corte en el eje X, toma y  0 y calcula el valor de x. 4. Por último, elabora la gráfica, colocando los puntos tabulados y la intersección

con los ejes.

Ejemplos 1. ¿Qué lugar geométrico representa la ecuación y  3x  2?

Solución: • Parte analítica Si observas la ecuación te darás cuenta de que es una ecuación lineal, por lo que se representa como una recta pero, ¿cuáles son las características de esta recta en particular? Sigamos los pasos propuestos; recuerda que para graficar una línea recta son suficientes dos puntos: x

2

1

y

4

5

(x, y )

(2, 4)

(1, 5)

Para las intersecciones con los ejes: Con el eje Y, x  0 y  3x  2 y  3(0)  2 y02 y2 La intersección con el eje Y es el punto (0, 2). Con el eje X, y  0: y  3x  2 0  3x  2 0  2  3x 2  x 3 2 x 3 2 La intersección con el eje X es el punto  , 0 . 3

15


16

Matemáticas III

• Parte geométrica Haciendo la gráfica tenemos que el lugar geométrico y  3x  2 es: Y 7 6 5 4 3

y  3x  2

2 1

1

2

3

4

5

6

7 X

7 6 5 4 3 2 1

1 2 3 4 5 6 7

• Conclusión 2 El lugar geométrico es una línea recta que interseca al eje Y en y  2 y al eje X en x   . 3 Por otro lado, si queremos saber cuál es el lugar geométrico asociado con un conjunto de pares ordenados, te sugerimos seguir los siguientes pasos: a) Hacer una tabulación con los valores de x y y. b) Calcular la relación que se presenta entre los datos. c) Calcular las intersecciones con los ejes: i. Para el corte en el eje Y, toma x  0 y calcula el valor de y. ii. Para el corte en el eje X, toma y  0 y calcula el valor de x. d ) Por último, hacer la gráfica, colocando los puntos tabulados y la intersección con los ejes. 2. ¿Qué ecuación representará el lugar geométrico que contiene a las siguientes parejas ordenadas (5, 25),

(4, 16), (3, 9), (2, 4), (1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25)?

Solución: • Parte analítica Primero colocamos las parejas ordenadas en una tabla para visualizar la relación entre las abscisas y las ordenadas: x

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

y  ¿?

25

16

9

4

1

0

1

4

9

16

25


17

Bloque I. Reconoces lugares geométricos

Para encontrar la relación debemos preguntarnos, ¿qué le hacemos a 5 para que sea 25?, ¿a 4 para que sea 16?, ¿a 3 para que sea 9?, etcétera. Si pensamos un poco, la respuesta es evidente… ¡Claro! Lo elevamos al cuadrado, o sea: 25  (5)2, 16  (4)2, 9  (3)2, etcétera. Por tanto, la relación es: y  x2 Recordemos que las ecuaciones de este tipo por lo general representan una parábola con vértice en el origen, que es la única intersección con el eje X o Y; para verificar lo anterior, desarrollemos la parte geométrica. Y

• Parte geométrica Si graficamos los puntos que tenemos y los unimos con una curva suave, entonces se forma la parábola cóncava hacia arriba con su vértice en el origen:

25

20

15

10

5

5

X 5

• Conclusión Entonces, tenemos que los puntos (5, 25), (4, 16), (3, 9), (2, 4), (1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16), (5, 25) representan el lugar geométrico denominado parábola, con vértice en el origen, cuya ecuación es y  x 2. 3. ¿Qué lugar geométrico representa la ecuación y  x 2  4?

Solución: • Parte analítica Primero tabulemos la ecuación. Como vimos, las líneas rectas sólo necesitan 2 puntos en la tabulación pero en este caso no hablamos de una ecuación lineal, así que en todas las ecuaciones diferentes de las lineales se tendrán que tabular


Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Propósito • Que el(la) alumno(a) alcance desempeños que le permitan realizar un estudio de las propiedades geométricas de la recta y de sus posibilidades analíticas. Desempeños del estudiante al concluir el bloque • Reconoce distintas formas de ecuaciones de la recta. • Transforma ecuaciones de una forma a otra. • Utiliza distintas formas de la ecuación de la recta, para solucionar problemas y/o ejercicios de la vida cotidiana.


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Objetos de aprendizaje: • Ecuaciones de la recta —Pendiente y ordenada al origen —Punto-pendiente —Dos puntos —Simétrica • Ecuación general y normal de la ecuación de la recta • Distancia de la recta a un punto • Distancia entre dos rectas paralelas

Competencias a desarrollar • Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas. • Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo cómo cada uno de sus pasos contribuye al alcance de un objetivo. • Construye hipótesis y diseña y aplica modelos para probar su validez. • Utiliza las tecnologías de la información y comunicación para procesar e interpretar información. • Elige las fuentes de información más relevantes para un propósito específico y discrimina entre ellas de acuerdo con su relevancia y confiabilidad. • Define metas y da seguimiento a sus procesos de construcción de conocimientos. • Propone la manera de solucionar un problema y desarrolla un proyecto en equipo, definiendo un curso de acción con pasos específicos. • Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva. • Asume una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con los que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo Competencias disciplinares básicas del campo de matemáticas • Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales. • Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques. • Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos y los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales. • Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos, analíticos o variacionales mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de la tecnología de la información y la comunicación. • Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y de las propiedades físicas de los objetos que los rodean. • Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.


108

Evaluación diagnóstica Responde correctamente las siguientes preguntas: 1. ¿Cuál es la distancia más corta entre dos puntos?

2. ¿Cuáles son las referencias mínimas para definir una recta en el plano?

3. ¿Cómo se llama al punto de intersección de una recta con el eje Y ?

4. ¿Cómo se denomina a la intersección de la recta con el eje X ?

5. ¿En qué forma de la ecuación de la recta se puede identificar de inmediato su “inclinación” y la intersección de

esta con el eje Y ?

6. ¿Cómo se conoce a la forma de la ecuación de una recta que contiene como elementos su abscisa y su orde-

nada al origen?

7. ¿Cómo se escribe la expresión para la forma general de la ecuación de la recta?

8. ¿Cuáles son las referencias que necesitamos para emplear la forma normal de la ecuación de la recta?


Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

9. ¿Cuáles son los datos necesitamos para calcular la distancia de un punto a una recta?

10. ¿Cuáles son los datos que necesitamos para calcular la distancia entre dos rectas paralelas?

Objeto de aprendizaje Ecuaciones de la recta Para determinar una recta, siempre se necesitan dos referencias como mínimo y esto nos permite usar una forma de la ecuación de acuerdo con los datos que se proporcionan: 1. 2. 3. 4. 5.

La forma pendiente y ordenada en el origen necesita esos datos. La forma punto-punto, que requiere dos puntos pertenecientes a la recta. La forma simétrica usa las intersecciones con los ejes. La forma general requiere primero cualquiera de las formas anteriores. La forma normal emplea la distancia al origen y el ángulo de inclinación de la recta que representa dicha distancia.

Estudiaremos todas a lo largo del bloque.

Ecuación de la recta dadas su pendiente y ordenada en el origen ¿Cómo se puede trazar la gráfica de una recta de manera rápida y sin la ayuda de una tabulación? Necesitamos dos referencias, una de ellas puede ser un punto “especial” que obtenemos de la intersección con el eje Y, al que se designa con la letra b; por tanto, sus coordenadas son (0, b) y se le llama ordenada en el origen; la otra referencia es m, la pendiente. ¿Cómo identificarla en la ecuación de una recta? ¡Es muy fácil! A partir de la definición del punto al cual corresponde la ordenada en el origen (0, b) y la pendiente de una recta (m), podemos emplear la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta; veamos: y = mx + b expresión que puede comprobarse dado que el valor de la ordenada de cualquier punto de la recta es igual al valor de su abscisa multiplicada por la pendiente y sumada a la intersección con el eje Y.

109


110

Matemáticas III

A esta forma de la recta se le denomina forma común o pendiente-ordenada en el origen y es muy útil ya que mediante ella es posible identificar de inmediato la pendiente y la ordenada en el origen.

Ejemplos 1. Grafica la ecuación y  3x  2.

Solución:

Y 7

Si se compara con la forma pendiente-ordenada en el origen

6

y  mx  b

5 4

y  3x  2

3

b

Ordenada en el origen

3

4

2

Entonces, la ecuación tiene como ordenada en el origen b  2; esto significa que en ese lugar la recta interseca al eje Y, además es fácil observar que la pendiente es m  3. Gráficamente:

1 1

2

5

6

7

X

Y

Si deseas trazar la recta puedes graficar la pendiente a partir de la ordenada en el origen, tal como vimos en el bloque anterior.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 1 2 3 4 5 6

2. Grafica la ecuación y 

7

3 x  2. 2

8 9 10

Solución:

• Parte analítica Toma la ecuación y compárala con la forma pendiente-ordenada en el origen: y

3 x2 2

y  mx  b

2

3

4

5

6

7

8

9 10

X


Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

De donde: m

111

3 2

b2 • Parte geométrica Localizando el punto (0, b), que en este caso es (0, 2), y graficando los avances vertical y horizontal que nos dé la pendiente, obtenemos la siguiente recta:

Pendiente 3 Ordenada en el origen, b

m

3 2

2

3 y x2 2

Pero, ¿qué pasaría si la pendiente es negativa? 3. Grafica la ecuación y  4x  5.

Solución: • Parte analítica De la ecuación se obtiene: m

4 1

Recuerda que si el numerador es negativo entonces debemos recorrernos hacia abajo

b5 • Parte geométrica Localizamos en el plano cartesiano los datos obtenidos anteriormente:

4x  y  5  0


112

Matemáticas III

4. Grafica la ecuación y  2x  3:

Solución: • Parte analítica m

2 1

2x  y  3  0

b  3 • Parte geométrica Localicemos en el sistema de coordenadas los datos obtenidos anteriormente:

También se nos puede proporcionar la ordenada al origen y la pendiente para que encontremos la ecuación de una recta.

Ejemplos 1. Determina la ecuación de la recta que tiene pendiente m  2 y ordenada en el origen b  6.

Solución:

Y

• Parte geométrica Ya sabemos graficar rápidamente una recta dada su ordenada en el origen y su pendiente:

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1 1 2

• Parte analítica Para determinar esta ecuación lo único que debemos hacer es sustituir los datos que nos proporcionan en la forma común de la recta:

3 4 5 6 7 8 9

y  mx  b y  2x  6

10

2

3

4

5

6

7

8

9 10

X


Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

Si deseas escribir esta ecuación de otra forma, lo más conveniente es que la iguales a cero, observa: 2x  y  6  0 Esta es la forma en la que generalmente se expresa una recta. Por tanto, la ecuación buscada es: 2x  y  6  0 • Conclusión La ecuación y la gráfica de la recta son:

2x  y  6  0

Y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10

X

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

2. Calcula la ecuación de la recta que tiene pendiente m  

Solución: • Parte geométrica 1 1 yb . Tomaremos m  2 2

• Parte analítica Sustituimos los datos que se proporcionan en la forma común: y  mx  b 1 1 y x 2 2

1 1 y su intersección con el eje Y es 0, . 2 2

113


114

Matemáticas III

Ahora podemos expresarla de manera general: y y

x 1  2 2

x  2y  1  0

x  1 2

2y  x  1 Así que la ecuación que buscamos es: x  2y  1  0 • Conclusión La ecuación y la gráfica que nos piden son:

Actividad 1 Organízate con tus compañeros y formen un equipo de cuatro integrantes de preferencia alumnas y alumnos. Resuelvan los siguientes ejercicios y mantengan una actitud de respeto y tolerancia. 1. Determinen la ecuación de la recta que corresponda a la pendiente e intersección con el eje Y que se indica:

a) m  3, b  7

6 e) m   , b  6 3

b) m  6, b  4

3 f) m  ,b 5 4

1 , b  2 2 5 1 d) m   , b   3 5

g) m  5, b  8

c) m 

h) m 

1 , b  5 6

2. Determinen la ecuación que representa la gráfica de cada figura en su forma común: Y

a)

Y

b)

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 7 6 5 4 3 2 1 1

1 1

2

3

4

5

6

7

X

7 6 5 4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

1

2

3

4

5

6

7

X


Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

d)

Y

Y

7

7

6

6

5

5

4

4

3

3

2

2

1 7 6 5 4 3 2 1 1

1 1

2

3

4

5

6

7

X

7 6 5 4 3 2 1 1

2

2

3

3

4

4

5

5

6

6

7

7

3. De acuerdo con una investigación del periódico La verdad

al día, las ecuaciones y  1.80x  1.70, y  1.80x  1.80 y y  1.40x  1.50 representan lo que cuesta un viaje en taxi en el D.F., Guadalajara y Puebla, respectivamente. La pendiente es el costo por kilómetro y la ordenada en el origen es la tarifa inicial. Grafiquen las ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas y comparen el costo de tomar un taxi en las tres ciudades.

1

2

3

4

5

6

7

X

© ChameleonsEye/Shutterstock

c)

115

4. Esteban es taxista de la ciudad de Veracruz y compró un auto en 1986; equiparlo completamente le costó

cerca de $250 000.00. Investigó en revistas especializadas y concluyó que los costos de equipamiento aumentan $25 000.00 por año. Escriban la ecuación lineal en la forma pendiente-ordenada al origen que representa el costo aproximado de equipar un auto a partir de 1986. Consideren que la tasa de incremento permanece constante.

Actividad de investigación 1 Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliográficas o electrónicas) acerca de la forma pendiente-ordenada en el origen; corroboren la forma de solución que se presentó en el salón y elaboren una presentación electrónica en la que se plasmen sus resultados y su conclusión, incluyan las fuentes y expónganla ante el grupo. Por último, evalúen su desempeño en esta actividad con la guía de autoobservación que se presenta a continuación.


116

Matemáticas III

Guía de autoobservación Primero, obtén tu calificación de manera individual: coloca una en la puntuación que refleja tu desempeño en cada indicador y súmalas para conocer el total. Después, reúnete con tus compañeros para realizar un promedio y obtener su calificación como equipo. Desempeño Número

Bueno Regular (2) (1)

Indicador

1

Utilizamos las TIC para obtener la información y presentarla de manera creativa.

2

Corroboramos las formas de solución presentadas.

3

Todo el equipo participó de manera responsable y colaborativa.

4

Elegimos por lo menos tres fuentes de información confiables y de acuerdo con el tema. Aportamos puntos de vista con apertura y consideramos los de nuestros compañeros de manera reflexiva.

5

Malo (0)

Calificación:

Ecuación de la recta en su forma punto-pendiente Otra forma de calcular la ecuación de una recta es una generalización del caso anterior, ya que se puede proporcionar un punto A(x1, y1) que pertenece a esta y su pendiente m, para calcular: y  y1  m (x  x1)

Ejemplo 2 Determina la ecuación de la recta que pasa por A(3, 1) y tiene pendiente m   . Grafica la recta. 3

Solución: • Parte analítica 2 Sustituyendo el punto A(3, 1) y m   en la forma punto-pendiente, tenemos: 3 y  y1  m(x  x1) 2 y  1   [x  (3)] 3 3 (y  1)  2(x  3) 3y  3  2x  6 2x  3y  3  6  0 2x  3y  3  0


Bloque IV. Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta

117

• Parte geométrica Debemos ubicar el punto A(3, 1) y después graficar la pendiente:

• Conclusión La ecuación de la recta que pasa por A(3,1) y tiene 2 pendiente m   es 2x  3y  3  0. 3

Actividad 2 Organízate con tus compañeros y formen un equipo de cuatro integrantes, de preferencia alumnas y alumnos. Resuelvan los siguientes ejercicios y mantengan siempre una actitud de respeto y tolerancia entre ustedes. 1. Calculen la ecuación de la recta que pasa por el punto dado y tiene la pendiente o el ángulo de inclinación que

se indica (sugerencia: recuerden que a partir del ángulo pueden obtener la pendiente). a) P(3, 5) y  45° b) P(3, 4) y m  

4 5

d ) P(5, 8) y m 

2 3

e) P(6, 3) y m  

4 7

c) P(2, 4) y  135° 2. Determinen la ecuación de la recta que pasa por el punto P(5, 8) y que es perpendicular a la recta 2x 

y  5  0.

3. Establezcan la ecuación de la recta que pasa por el punto P(8, 9) y que es paralela a la recta 2x  3y 

24  0.

4. Una recta pasa por el punto A(3, 2) y es paralela a la recta que pasa por los puntos B(–2, 2) y C(3, –4). Deter-

minen su ecuación. 5. Hallen la ecuación de la recta que tiene una pendiente de 4, y que pasa por el punto de intersección de las rectas 3x  y  7  0 y 4x  5y  2  0. 6. Calculen la ecuación de la recta que pasa por el punto de intersección de las rectas x  3y  7  0,

2x  y  7  0 y es paralela a la recta 4x  y  7  0.


118

Matemáticas III

7. Escriban la ecuación que representa la gráfica de cada figura en su forma punto-pendiente: Y

a)

Y

b)

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5

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4

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3

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1

7 6 5 4 3 2 1 1

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7 6 5 4 3 2 1 1

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5

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7

Y

c) 7

7

6

6

5

5

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7 6 5 4 3 2 1 1

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X

Y

d)

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1 1

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X

7 6 5 4 3 2 1 1

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5

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7

X

Actividad de investigación 2 Ponte de acuerdo con tu equipo y como actividad extraclase investiguen en fuentes confiables (bibliográficas o electrónicas) acerca de la forma punto-pendiente y corroboren la forma de solución que se presentó en el salón. Elaboren un documento, de al menos una cuartilla, en el que se plasmen sus resultados y su conclusión; incluyan al menos dos imágenes y las fuentes. Expónganlo frente al grupo. Por último, evalúen su desempeño en esta actividad con la guía de autoobservación que se presenta a continuación.


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TERCER SEMESTRE

Las matemáticas se han convertido en un parámetro internacional de medición del aprovechamiento escolar en el nivel medio superior. Matemáticas III con enfoque por competencias, segunda edición, surge de la necesidad de contar con un texto ágil, novedoso y actual, que ayude al alumno de este nivel a desarrollar las competencias que establece la Dirección General del Bachillerato y sea un apoyo efectivo para la labor docente. El texto se encuentra estructurado de acuerdo con los contenidos sugeridos por la DGB: Bloque I Reconoces lugares geométricos. Bloque II Aplicas las propiedades de segmentos rectilíneos y polígonos. Bloque III Aplicas los elementos de una recta como lugar geométrico. Bloque IV Utilizas distintas formas de la ecuación de una recta. Bloque V Aplicas los elementos y las ecuaciones de una circunferencia. Bloque VI Aplicas los elementos y las ecuaciones de la parábola. Bloque VII Aplicas los elementos y las ecuaciones de la elipse. Además, cuenta con los instrumentos necesarios para valorar las actividades propuestas: rúbricas, listas de cotejo y guías de autoobservación, que conforman las evaluaciones diagnóstica, formativa y sumativa; con lo cual se subsana la necesidad de que éstas sean transparentes para el alumno y útiles para el docente.

ISBN 13: 978-607519048-8 ISBN 10: 607519048-1

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Matemáticas III con enfoque en competencias. 2a. Ed. Patricia Ibáñez y Gerardo García.  

Matemáticas III con enfoque por competencias corresponde al programa oficial vigente, con el que se busca promover el desarrollo de la creat...

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