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Álgebra Intermedia RICHARD N. AUFMANN / JOANNE S. LOCK WOOD

8a. Ed.


Digital Vision

8a. Ed.

Álgebra Intermedia Richard N. Aufmann Palomar College

Joanne S. Lockwood Nashua Community College Traducción Lorena Peralta Rosales Sergio Antonio Durán Reyes Traductores profesionales Revisión técnica Ignacio García Juárez Vinicio Pérez Fonseca Academia de Matemáticas ECEE Universidad Panamericana

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Álgebra Intermedia 8a. Ed.

Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood Presidente de Cengage Learning Latinoamérica: Fernando Valenzuela Migoya Director Editorial, de Producción y de Plataformas Digitales para Latinoamérica: Ricardo H. Rodríguez Gerente de Procesos para Latinoamérica: Claudia Islas Licona Gerente de Manufactura para Latinoamérica: Raúl D. Zendejas Espejel Gerente Editorial de Contenidos en Español: Pilar Hernández Santamarina Gerente de Proyectos Especiales: Luciana Rabuffetti Coordinador de Manufactura: Rafael Pérez González Editores: Javier Reyes Martínez Timoteo Eliosa García Imagen de portada: Kevin Twomey Composición tipográfica: Ediciones OVA

© D.R. 2013 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Corporativo Santa Fe Av. Santa Fe núm. 505, piso 12 Col. Cruz Manca, Santa Fe C.P. 05349, México, D.F. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en Internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro Intermediate Algebra, Eight Edition. Richard N. Aufmann; Joanne S. Lockwood Publicado en inglés por Brooks/Cole, una compañía de Cengage Learning © 2013 ISBN: 978-111-57949-4 Datos para catalogación bibliográfica: Aufmann, Richard N.; Joanne S. Lockwood Álgebra Intermedia, 8a. Ed. ISBN: 978-607-481-894-9 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 15 14 13 12


Digital Vision

Contenido

Prefacio

xiii

Capítulo A Aspire al éxito

A-1

Este importante capítulo describe las habilidades de estudio que aplican los estudiantes que han tenido éxito en este curso. El capítulo A cubre una amplia variedad de temas que se centran en lo que usted necesita hacer para tener éxito en esta clase. Incluye una guía completa para usar el libro y aprovechar sus características, cuyo propósito es lograr que usted sea un estudiante exitoso.

Capítulo 1 Los números reales

1

EXAMEN DE PREPARACIÓN

1.1

1

Introducción a los números reales

Desigualdad y valor absoluto

2

2

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos

1.2

Operaciones con números enteros

13

Operaciones con números enteros

13

5

El orden o jerarquía de las operaciones 18

1.3

Operaciones con números racionales

22

Operaciones con números racionales

22

Orden de las operaciones y fracciones complejas Notación decimal

1.4

28

Expresiones algebraicas

33

Propiedades de los números reales Evaluar expresiones algebraicas

33 35

Simplificar expresiones algebraicas

1.5

26

37

Expresiones verbales y expresiones algebraicas

43

Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 43 Problemas de aplicación CAPÍTULO 1 Resumen

45

49

CAPÍTULO 1 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 1 Examen

51

53 CONTENIDO

iii


IV

CONTENIDO

Capítulo 2 Ecuaciones y desigualdades de primer grado 2.1

EXAMEN DE PREPARACIÓN

55

Ecuaciones con una variable

56

55

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 56 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 58 Problemas de aplicación

2.2

2.3

60

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Problemas de mezclas porcentuales

64

Problemas de movimiento uniforme

66

Aplicaciones: problemas que involucran porcentaje

Problemas de inversión

75

75

Problemas de mezclas porcentuales

2.4

64

Desigualdades con una variable

77

84

Resolver desigualdades con una variable 84 Resolver desigualdades compuestas Problemas de aplicación

2.5

87

89

Ecuaciones y desigualdades con valor absoluto

Ecuaciones con valor absoluto

95

Desigualdades con valor absoluto Problemas de aplicación CAPÍTULO 2 Resumen

96

98

103

CAPÍTULO 2 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 2 Examen

95

105

106

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

107

Capítulo 3 Funciones lineales y desigualdades con dos variables EXAMEN DE PREPARACIÓN

3.1

109

El sistema de coordenadas rectangulares

Fórmulas de distancia y punto medio

110

Graficar una ecuación con dos variables

3.2

Introducción a las funciones

Evaluar una función

120

Graficar una función

126

Prueba de la recta vertical

120

127

112

110

109


v

CONTENIDO

3.3

Expresiones algebraicas

136

Graficar una función lineal

136

Graficar una ecuación de la forma Ax 1 By 5 C Problemas de aplicación

3.4

Pendiente de una recta

138

143 148

Determinar la pendiente de una recta dados dos puntos

148

Graficar una recta dados un punto y la pendiente 151 Tasa de cambio promedio

3.5

154

Determinación de ecuaciones de rectas

161

Determinar la ecuación de una recta dados un punto y la pendiente

161

Determinar la ecuación de una recta dados dos puntos 163 Problemas de aplicación

3.6

164

Rectas paralelas y perpendiculares

168

Determinar ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares

3.7

Desigualdades con dos variables

168

176

Graficar el conjunto solución de una desigualdad con dos variables 176 CAPÍTULO 3 Resumen

179

CAPÍTULO 3 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 3 Examen

182

184

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

186

Capítulo 4 Sistemas de ecuaciones y desigualdades EXAMEN DE PREPARACIÓN

4.1

187

187

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método gráfico y por el método de sustitución 188

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método gráfico

188

Resolver un sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución 191

4.2

Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de suma y resta 196

Resolver un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables por el método de suma y resta 196 Resolver un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables por el método de suma y resta 198

4.3

Solución de sistemas de ecuaciones utilizando determinantes y matrices 204

Evaluar los determinantes

204

Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando la regla de Cramer Resolver sistemas de ecuaciones lineales utilizando matrices

4.4

Problemas de aplicación

221

Problemas de velocidad del viento y velocidad de la corriente Problemas de aplicación

210

223

221

207


VI

CONTENIDO

4.5

Solución de sistemas de desigualdades lineales

229

Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades lineales 229 CAPÍTULO 4 Resumen

233

CAPÍTULO 4 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 4 Examen

237

238

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

239

Capítulo 5 Polinomios y exponentes 5.1

241

EXAMEN DE PREPARACIÓN

241

Expresiones con exponentes

242

Multiplicar monomios

242

Dividir monomios y simplificar expresiones con exponentes negativos 244 Notación científica

248

Problemas de aplicación

5.2

249

Introducción a los polinomios

255

Evaluar funciones polinomiales Sumar y restar polinomios

5.3

255

259

Multiplicación de polinomios

265

Multiplicar un polinomio por un monomio Multiplicar dos polinomios

265

266

Multiplicar polinomios que tienen productos especiales 268 Problemas de aplicación

5.4

División de polinomios

269

275

Dividir un polinomio entre un monomio Dividir polinomios División sintética

275

276 278

Evaluar un polinomio utilizando la división sintética 280

5.5

Introducción a la factorización

285

Factorizar un polinomio para obtener un monomio 285 Factorizar por agrupamiento de términos 286

5.6

Factorización de trinomios

290

Factorizar trinomios de la forma x2 1 bx 1 c 290 Factorizar trinomios de la forma ax2 1 bx 1 c 292


vii

CONTENIDO

5.7

Factorización especial

299

Factorizar la diferencia de dos cuadrados perfectos y de trinomios cuadrados perfectos 299 Factorizar la suma o la diferencia de dos cubos 301 Factorizar trinomios que están en forma cuadrática Factorizar completamente

5.8

302

Solución de ecuaciones por factorización

Resolver ecuaciones por factorización Problemas de aplicación CAPÍTULO 5 Resumen

307

307

310

315

CAPÍTULO 5 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 5 Examen

317

319

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

320

Capítulo 6 Expresiones racionales

323

EXAMEN DE PREPARACIÓN

6.1

323

Introducción a las funciones racionales

324

Encontrar el dominio de una función racional 324 Simplificar expresiones racionales

6.2

325

Operaciones con expresiones racionales

331

Multiplicar y dividir expresiones racionales 331 Sumar y restar expresiones racionales

6.3

Fracciones complejas

342

Ecuaciones racionales o fraccionarias

Resolver ecuaciones fraccionarias Problemas de trabajo Razones y proporciones

Proporciones

346 350

358

358

Problemas de proporciones

6.6

346

348

Problemas de movimiento uniforme

6.5

333

342

Simplificar fracciones complejas

6.4

Ecuaciones literales

359

368

Resolver ecuaciones literales CAPÍTULO 6 Resumen

368

372

CAPÍTULO 6 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 6 Examen

302

374

375

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

376


VIII

CONTENIDO

Capítulo 7 Exponentes racionales y radicales EXAMEN DE PREPARACIÓN

7.1

379

379

Exponentes racionales y expresiones radicales

380

Simplificar expresiones con exponentes racionales 380 Escribir expresiones con exponentes como expresiones radicales y viceversa 381 Simplificar expresiones radicales que son raíces de potencias perfectas 383

7.2

Operaciones con expresiones radicales

Simplificar expresiones radicales

388

Sumar y restar expresiones radicales Multiplicar expresiones radicales Dividir expresiones radicales

7.3

Funciones radicales

388

389

391

392

401

Encontrar el dominio de una función radical 401 Graficar una función radical

7.4

402

Solución de ecuaciones que contienen expresiones radicales

407

Resolver ecuaciones con una o más expresiones radicales 407 Problemas de aplicación

7.5

Números complejos

410

414

Simplificar números complejos

414

Sumar y restar números complejos Multiplicar números complejos Dividir números complejos CAPÍTULO 7 Resumen

416

418

424

CAPÍTULO 7 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 7 Examen

416

427

428

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

429

Capítulo 8 Ecuaciones cuadráticas y desigualdades EXAMEN DE PREPARACIÓN

8.1

431

431

Resolver ecuaciones cuadráticas por medio de factorización o utilizando raíces 432

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de factorización 432 Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando raíces 434

8.2

Solución de ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado y mediante la fórmula general o cuadrática 439

Resolver ecuaciones cuadráticas por el método de completar el cuadrado 439 Resolver ecuaciones cuadráticas mediante la fórmula general o cuadrática 442


ix

CONTENIDO

8.3

Ecuaciones que se pueden reducir a ecuaciones cuadráticas

Ecuaciones de forma cuadrática Ecuaciones radicales

453

Aplicaciones de las ecuaciones cuadráticas

Problemas de aplicación

8.5

450

452

Ecuaciones fraccionarias

8.4

458

458

Propiedades de las funciones cuadráticas

Gráfica de una función cuadrática

464

464

Encontrar las intersecciones con el eje x de una parábola

8.6

Aplicaciones de las funciones cuadráticas

Problemas de máximos y mínimos Desigualdades no lineales

478

484

489

CAPÍTULO 8 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 8 Examen

478

484

Resolver desigualdades no lineales CAPÍTULO 8 Resumen

491

493

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

494

Capítulo 9 Funciones y relaciones 9.1

497

Traslaciones de gráficas

498

Graficar mediante traslaciones

9.2

Álgebra de funciones

498

504

Efectuar operaciones aritméticas con funciones 504 Encontrar la composición de dos funciones

9.3

Funciones uno-a-uno e inversas

Encontrar la inversa de una función

512

514

522

CAPÍTULO 9 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 9 Examen

506

512

Determinar si una función es uno-a-uno

CAPÍTULO 9 Resumen

468

478

Aplicaciones de los máximos y mínimos

8.7

450

523

524

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

526


X

CONTENIDO

Capítulo 10 Funciones exponencial y logarítmica EXAMEN DE PREPARACIÓN

10.1

10.2

Funciones exponenciales

529

529

530

Evaluar funciones exponenciales

530

Graficar funciones exponenciales

532

Introducción a los logaritmos

539

Escribir ecuaciones exponenciales y logarítmicas equivalentes 539 Propiedades de los logaritmos

10.3

542

Gráficas de funciones logarítmicas

Graficar funciones logarítmicas

10.4

552

552

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

Resolver ecuaciones exponenciales

558

Resolver ecuaciones logarítmicas

10.5

558

561

Aplicaciones de las funciones exponenciales y logarítmicas

Problemas de aplicación CAPÍTULO 10 Resumen

566 575

CAPÍTULO 10 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 10 Examen

576

578

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

579

Capítulo 11 Sucesiones y series

581

EXAMEN DE PREPARACIÓN

11.1

581

Introducción a las sucesiones y las series

Escribir los términos de una sucesión Evaluar una serie

11.2

582

582

583

Sucesiones y series aritméticas

588

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión aritmética Evaluar una serie aritmética Problemas de aplicación

11.3

566

588

590

591

Sucesiones y series geométricas

596

Encontrar el n-ésimo término de una sucesión geométrica 596 Series geométricas finitas

598

Series geométricas infinitas Problemas de aplicación

602

600


xi

CONTENIDO

11.4

Desarrollo binomial

607

Desarrollar (a 1 b)n

607

CAPÍTULO 11 Resumen

613

CAPÍTULO 11 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 11 Examen

615

617

EJERCICIOS DE REPASO ACUMULATIVOS

617

Capítulo 12 Secciones cónicas

619

EXAMEN DE PREPARACIÓN

12.1

La parábola

619

620

Graficar parábolas 620

12.2

El círculo

626

Encontrar la ecuación de un círculo y luego graficarla 626 Escribir la ecuación de un círculo en forma ordinaria y luego graficarla 628

12.3

La elipse y la hipérbola

633

Graficar una elipse con centro en el origen 633 Graficar una hipérbola con centro en el origen 634

12.4

Solución de sistemas de ecuaciones no lineales

639

Resolver sistemas de ecuaciones no lineales 639

12.5

Desigualdades cuadráticas y sistemas de desigualdades

645

Graficar el conjunto solución de una desigualdad cuadrática con dos variables 645 Graficar el conjunto solución de un sistema de desigualdades no lineal 646 CAPÍTULO 12 Resumen

651

CAPÍTULO 12 Ejercicios de repaso CAPÍTULO 12 Examen

EXAMEN FINAL

653

655

657

APÉNDICE

Tabla de propiedades

661

Guía para el uso del teclado del modelo TI-83 Plus y TI-84 Plus 663 SOLUCIONES DE LOS PROBLEMAS DE CAPÍTULO

S1

RESPUESTAS DE LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS GLOSARIO ÍNDICE

G1

I1

ÍNDICE DE APLICACIONES

I9

R1


1

CAPÍTULO

Digital Vision

Los números reales

Concéntrese en el éxito ¿Ha leído Aspire al éxito? Describe las habilidades de estudio empleadas por los estudiantes que han tenido éxito en sus cursos de matemáticas. Este prefacio le proporciona consejos sobre cómo permanecer motivado, administrar su tiempo y prepararse para los exámenes. También incluye una guía completa para el libro y cómo usar sus características para tener éxito en este curso. Aspire al éxito comienza en la página A-1.

OBJETIVOS 1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

1 Desigualdad y valor absoluto 2 Notación de intervalos y

operaciones con conjuntos 1 Operaciones con números enteros 2 El orden o jerarquía de las operaciones 1 Operaciones con números racionales 2 Orden de las operaciones y fracciones complejas 3 Notación decimal 1 Propiedades de los números reales 2 Evaluar expresiones algebraicas 3 Simplificar expresiones algebraicas 1 Convertir una expresión verbal en una expresión algebraica 2 Problemas de aplicación

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. Para los ejercicios 1 a 8, sume, reste, multiplique o divida. 1.

5 7 1 12 30

2.

8 7 2 15 20

3.

5# 4 6 15

4.

4 2 4 15 5

5. 8 1 29.34 1 7.065

6. 92 2 18.37

7. 2.19 13.42

8. 32.436 4 0.6

9. ¿Cuáles de los números siguientes son mayores que 28? (i) 26 (ii) 210 (iii) 0 (iv) 8 10. Una cada fracción con su equivalente decimal. 1 a. A. 0.75 2 7 B. 0.89 b. 10 3 C. 0.5 c. 4 89 d. D. 0.7 100


2

CAPÍTULO 1

1.1 OBJETIVO

Los números reales

Introducción a los números reales Desigualdad y valor absoluto Parece ser una característica humana colocar elementos parecidos en el mismo grupo. Por ejemplo, un astrónomo coloca las estrellas en constelaciones y un geólogo divide la historia de la Tierra en eras.

Punto de interés La Osa Mayor, conocida por los griegos como Ursa Major, la osa más grande, es una constelación que puede verse en latitudes del norte. Las estrellas de la Osa Mayor son Alkaid, Mizar, Alioth, Megrez, Phecda, Merak y Dubhe. La estrella en la curva de la manija, Mizar, es en realidad dos estrellas, Mizar y Alcor. Una línea imaginaria desde Merak atraviesa Dubhe y llega hasta Polaris, la estrella del norte.

Asimismo, los matemáticos colocan objetos con propiedades similares en conjuntos. Un conjunto es una colección de objetos llamados elementos del conjunto. Los conjuntos se denotan al colocar entre llaves los elementos del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de las primeras cinco letras del alfabeto es 5a, b, c, d, e6. El símbolo para indicar que “es un elemento de” es [; el símbolo para “no es un elemento de” es o. Por ejemplo, a [ 5 a, b, c, d, e 6

d [ 5 a, b, c, d, e 6

k o 5 a, b, c, d, e 6

Los números que usamos para contar cosas, como el número de personas en una ciudad o el número de especies diferentes de flores, se llaman números naturales. Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, c6 Cada número natural diferente de 1 es ya sea un número primo o un número compuesto. Un número primo es un número natural diferente de 1, es divisible en partes iguales entre sí mismo y 1. Los primeros seis números primos son 2, 3, 5, 7, 11 y 13. Un número compuesto es un número natural, diferente de 1, que no es un número primo. Los números 4, 6, 8, 9, 10 y 12 son los primeros seis números compuestos. Aunque existe cierto debate en torno a la inclusión del cero dentro del conjunto de los números naturales, los matemáticos de mayor renombre lo consideran dentro.

Punto de interés El concepto del cero se desarrolló paulatinamente a lo largo de varios siglos. Ha sido denotado de diversas maneras por un espacio en blanco, un punto y finalmente como 0. Los números negativos, aun cuando es evidente en los manuscritos chinos que datan del 200 a.C., se integraron completamente a las matemáticas hasta finales del siglo XIV.

Números naturales 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, c6 Los números naturales por sí mismos no proporcionan todos los números que se utilizan en las aplicaciones. Por ejemplo, un meteorólogo necesita números menores y mayores que cero. Números enteros 5 5c, 25, 24, 23, 22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, c6 Los números enteros c, 25, 24, 23, 22, 21 son enteros negativos. Los números enteros 1, 2, 3, 4, 5, c son enteros positivos. Observe que los números naturales y los enteros positivos son el mismo conjunto de números. El entero cero no es ni un número positivo ni un número negativo. Aun hay otros números que son necesarios para resolver la diversidad de problemas de aplicación que existen. Por ejemplo, quizás un arquitecto paisajista debe comprar tubería de riego con un diámetro de 58 pulg. Los números que pueden escribirse en la forma de una fracción pq, donde p y q son enteros y q ? 0, se llaman números racionales. p Números racionales 5 e , donde p y q son enteros y q 2 0 f q Ejemplos de números racionales son 23, 2 92 y 51 . Observe que 51 5 5, por tanto, todos los enteros son números racionales. El número p4 no es un número racional debido a que p no es un entero. Los números que pueden escribirse como decimales finitos o últimos o como decimales periódicos son números racionales. Para los decimales periódicos, colocamos una barra sobre los dígitos que se repiten. Decimales finitos o últimos 0.5 Decimales periódicos

2.34

26.20137

0.3 5 0.33 c 1.267 5 1.26767 c 24.10782 5 24.10782782 c

7


SECCIÓN 1.1

Introducción a los números reales

3

Algunos números no pueden escribirse como decimales finitos o periódicos. Estos números incluyen 0.01001000100001c, !7 < 2.6457513 y p < 3.1415927. Estos números tienen representaciones decimales que no son finitas ni periódicas. Se les llama números irracionales. Los números racionales y los números irracionales tomados en conjunto son los números reales. Números reales 5 5números racionales y números irracionales6 La relación entre los distintos conjuntos de números se muestra en la figura siguiente. Números naturales (Enteros positivos) Cero

Números racionales

Enteros

Números irracionales

Enteros negativos

Concéntrese

Números reales

en la identificación de los conjuntos a los cuales pertenece un número Determine cuáles de los números siguientes son a. números enteros

b. números racionales

c. números irracionales

d. números reales

e. números primos

f. números compuestos

21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63,

19 20 , 2 !7

a. Enteros: 21, 0, 5, 63 19 2 20 c. Números irracionales: !48, 2.2020020002 c, !7 19 20 d. Números reales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, !48, 2.2020020002 c, 63, , 2 !7 e. Números primos: 5

b. Números racionales: 21, 23.347, 0, 5, 6.101, 63,

f. Números compuestos: 63 La gráfica de un número real se traza al colocar un punto grueso en una recta numérica directamente encima del número. Las gráficas de algunos números reales se muestran abajo. –5 –4 –3 –2 –1 –2.34 –

0 1 2

1

2 5 3

3

4

π

17

5

Considere estos enunciados: El chef de un restaurante preparó un platillo y lo sirvió al cliente. Un árbol de maple estaba plantado y éste creció 2 pies en un año. En el primer enunciado, “lo” significa el platillo; en el segundo enunciado, “éste” significa el árbol. En el lenguaje, las palabras lo y éste pueden representar muchos objetos diferentes. Del mismo modo, en las matemáticas una letra del alfabeto se puede usar para representar algunos números. Una letra utilizada de esta manera se llama variable. Es conveniente utilizar una variable para que represente, o simbolice, cualquiera de los elementos de un conjunto. Por ejemplo, el enunciado “x es un elemento del conjunto 50, 2, 4, 66” significa que x puede representarse por 0, 2, 4 o 6. Al conjunto 50, 2, 4, 66 se le llama dominio de la variable. En la siguiente definición se utilizan variables.


4

CAPÍTULO 1

Los números reales

DEFINICIÓN DE DESIGUALDAD

Si a y b son dos números reales y a está a la izquierda de b en la recta numérica, entonces a es menor que b. Esto se escribe a , b. Si a y b son dos números reales y a está a la derecha de b en la recta numérica, entonces a es mayor que b. Esto se escribe a . b. EJEMPLOS

1. 22 , 8

2.

21 . 25

3.

0.2

2 3

4.

p , !17

Los símbolos de desigualdad # (es menor o igual que) y $ (es mayor o igual que) también son importantes. Observe los ejemplos siguientes. 4 # 5 es una expresión verdadera porque 4 , 5. 5 # 5 es una expresión verdadera porque 5 5 5.

EJEMPLO 1

Sea y [ 525, 23, 21, 16. ¿Para cuáles valores de y la desigualdad y $ 21 es una expresión verdadera?

Solución

Sustituya y con cada elemento del conjunto y determine si la expresión es verdadera. y $ 21 25 $ 21 23 $ 21 21 $ 21 1 $ 21

Una expresión falsa Una expresión falsa Una expresión verdadera Una expresión verdadera

La desigualdad es verdadera para 21 y 1. Problema 1 Solución

Sea z [ 522, 21, 0, 1, 26. ¿Para cuáles valores de z la desigualdad z # 0 es una expresión verdadera? Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 25 de la página 10. Los números 5 y 25 están a la misma distancia del cero en la recta numérica, pero en lados opuestos del cero. Los números 5 y 25 se llaman inversos aditivos u opuestos.

5 –5 –4 –3 –2 –1 0

5 1

2

3

4

5

El inverso aditivo (u opuesto) de 5 es 25. El inverso aditivo de 25 es 5. El símbolo para el inverso aditivo es 2. 2142 significa el inverso aditivo del positivo 4. 21242 significa el inverso aditivo del negativo 4.

EJEMPLO 2 Solución

2142 5 24 21242 5 4

Sea a [ 5212, 0, 46. Determine 2a, el inverso aditivo de a, para cada elemento del conjunto. 2a 2 12122 5 12 2 102 5 0 2 142 5 24

• Escriba la expresión para el inverso aditivo de a. • Sustituya a con cada elemento del conjunto y determine el valor de la expresión.


SECCIÓN 1.1

Problema 2 Solución

Introducción a los números reales

5

Sea v [ 528, 0, 96. Determine 2v, el inverso aditivo de v, para cada elemento del conjunto. Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 23 de la página 10. 5

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

El valor absoluto de un número es una medida de su distancia desde el cero en una recta numérica. El símbolo para el valor absoluto es 0 0. Observe en la figura de la izquierda que la distancia desde 0 a 5 es 5. Por tanto, 0 5 0 5 5. La figura muestra que la distancia desde 0 a 25 es también 5. Así 0 25 0 5 5.

VALOR ABSOLUTO

El valor absoluto de un número positivo o 0 es el número. El valor absoluto de un número negativo es el inverso aditivo de ese número. Esto puede escribirse como sigue. Si a es un número real, entonces 0a0 5 e

a, a $ 0 2a, a , 0

EJEMPLOS

1. 0 7 0 5 7. Dado que 7 $ 0, el valor absoluto de 7 es el número 7 mismo. 2. 0 28 0 5 8. Como 28 , 0, el valor absoluto de 28 es el inverso aditivo de 28. El inverso aditivo de 28 es 8. 3. 0 0 0 5 0. El valor absoluto de 0 es 0. Una manera de pensar en esto es que la distancia de 0 a 0 en la recta numérica es 0.

EJEMPLO 3 Solución Problema 3 Solución

Evalúe: 2 0 212 0 A partir de la definición del valor absoluto, 0 212 0 5 12. Por consiguiente, 2 0 212 0 5 212. Evalúe: 0 223 0 Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 33 de la página 10.

OBJETIVO

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos El método de lista para escribir un conjunto encierra entre llaves una lista de los elementos del conjunto. Este método se utilizó al principio de esta sección para definir conjuntos de números. Si se emplea el método de lista, el conjunto de los números naturales pares menores que 10 se escribe 52, 4, 6, 86. Este es un ejemplo de un conjunto finito; todos los elementos pueden enumerarse. El conjunto de los números naturales, 50, 1, 2, 3, 4, c6, es un conjunto infinito, es imposible enumerar todos los elementos del conjunto. El conjunto vacío, o conjunto nulo, es el conjunto que no contiene elementos. El símbolo [ o 5 6 se utiliza para representar el conjunto vacío.

EJEMPLO 4 Solución

Utilice el método de lista para escribir el conjunto de los números naturales menores que 10. 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96


6

CAPÍTULO 1

Los números reales

Problema 4 Solución

Utilice el método de lista para escribir el conjunto de enteros negativos impares mayores que 28. Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 11. Un segundo método de representación de un conjunto es la notación de conjuntos. Esta notación se puede utilizar para describir casi cualquier conjunto, pero es particularmente útil cuando se escriben conjuntos infinitos. En la notación de conjuntos, el conjunto de enteros mayores que 23 se escribe 5x 0 x , 23, x [ enteros6 y se lee “el conjunto de todos los números x tales que x es mayor que 23 y x es un elemento de los enteros”. Este es un conjunto infinito. Es imposible enumerar todos los elementos del conjunto, pero podemos describirlo si utilizamos la notación de conjuntos. El conjunto de los números reales menores que 5 se escribe 5x 0 x , 5, x [ números reales6 y se lee “el conjunto de todas las x tales que x es menor que 5 y x es un elemento de los números reales”. Debido a que la mayor parte de nuestro trabajo es con números reales, por lo general omitimos “x [ números reales” de la notación de conjuntos. Por tanto, escribiríamos 5x 0 x , 5, x [ números reales6 como 5x 0 x , 56, donde asumimos que x es un número real.

EJEMPLO 5 Solución Problema 5 Solución

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números reales mayores que 22. 5 x 0 x . 22 6 Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto de los números enteros menores o iguales que 7. Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 51 de la página 11. La gráfica de un conjunto de números reales escritos en notación de conjuntos puede mostrarse en una recta numérica. La gráfica de 5x 0 x . 226 se muestra abajo. El paréntesis en la gráfica indica que 22 no es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

La gráfica de 5x 0 x $ 226 se muestra abajo. El corchete en la gráfica indica que 22 es parte del conjunto. –5 –4 –3 –2 –1 0

EJEMPLO 6 Solución

1

2

3

4

5

Grafique: 5x 0 x # 36: El conjunto son los números reales menores o iguales que 3.

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

• Dibuje un corchete a la derecha en el 3, y trace una línea sobre la recta numérica a la izquierda del 3.


SECCIÓN 1.1

Problema 6 Solución

7

Introducción a los números reales

Grafique: 5x 0 x . 236 Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 63 de la página 11. También es posible localizar los números reales entre dos números dados.

Concéntrese

en graficar un conjunto de números reales Grafique: 5 x 0 0 # x , 4 6 La notación 0 # x , 4 indica el conjunto de los números reales entre 0 y 4, incluido el 0 pero sin incluir el 4. Un corchete se coloca en el 0 para denotar que el 0 está incluido en la gráfica; un paréntesis se coloca en el 4 para indicar que el 4 no es parte de la gráfica. –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Dados dos números reales, un intervalo es el conjunto de todos los números reales entre los números dados. Los dos números son los puntos extremos del intervalo. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 representa el intervalo de todos los números reales entre 21 y 3. Los puntos extremos de este intervalo son 21 y 3. Un intervalo cerrado incluye ambos puntos extremos, un intervalo abierto no contiene puntos extremos y un intervalo medio abierto contiene un punto extremo pero no el otro. Por ejemplo, el conjunto 5x 0 21 , x , 36 es un intervalo abierto. Los intervalos pueden representarse en notación de conjuntos o en notación de intervalos. En esta última, los corchetes o paréntesis que se utilizan para graficar el conjunto se escriben con los puntos extremos del intervalo. El conjunto 5x 0 0 # x , 46 mostrado arriba se escribe [0, 4) en la notación de intervalos; 0 y 4 son los puntos extremos. Estos son otros ejemplos. Notación de conjuntos 5 x 0 23 # x # 2 6

Notación de intervalos 3 23, 2 4 , un intervalo cerrado

5 x 0 23 , x , 2 6

123, 22 , un intervalo abierto

5 x 0 23 # x , 2 6

3 23, 22 , un intervalo medio abierto

5 x 0 23 , x # 2 6

123, 2 4 , un intervalo medio abierto

Gráfica –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Para indicar un intervalo que se extiende hacia el infinito en una o ambas direcciones utilizando la notación de intervalos, se utiliza el símbolo de infinito ` o el símbolo de infinito negativo 2`. El símbolo de infinito no es un número; es sencillamente una notación utilizada para indicar que el intervalo es ilimitado. En la notación de intervalos, un paréntesis siempre se utiliza a la derecha de un símbolo de infinito o a la izquierda de un símbolo de infinito negativo, como se aprecia en los ejemplos siguientes. Notación de conjuntos

Notación de intervalos

5x 0 x . 16

11, ` 2

5x 0 x $ 16

3 1, ` 2

5x 0 x , 16

12`, 12

5x 0 x # 16

12`, 1 4

5 x 0 2` , x , ` 6

12`, ` 2

Gráfica –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5


8

CAPÍTULO 1

Los números reales

EJEMPLO 7

Utilice la notación dada o grafique para proporcionar la notación o gráfica que está marcada con un signo de interrogación.

Notación de conjuntos A. 5 x 0 0 # x # 1 6 B. ? C. ?

Notación de intervalos ? 3 23, 42 ?

Gráfica ? ? –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

–5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Solución Notación de conjuntos

Notación de intervalos

A. 5 x 0 0 # x # 1 6

3 0, 1 4

B. 5 x 0 23 # x , 4 6

3 23, 42

C. 5 x 0 x , 0 6

12`, 02

Problema 7

Gráfica

Utilice la notación o la gráfica dadas para proporcionar la notación o gráfica marcada con un signo de interrogación.

Notación de conjuntos A. 5 x 0 22 , x , 0 6 B. ? C. ?

Notación de intervalos ? 121, 2 4 ?

Gráfica ? ? –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Solución Revise la página S1. † Intente resolver los ejercicios 73, 77 y 93 de las páginas 11 y 12. Del mismo modo que las operaciones como la suma y la multiplicación se realizan con números reales, las operaciones se realizan con conjuntos. Dos operaciones realizadas con conjuntos son la unión y la intersección. UNIÓN DE DOS CONJUNTOS

La unión de dos conjuntos, que se escribe A h B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen ya sea a A o a B. En la notación de conjuntos, esto se escribe A h B 5 5x 0 x [ A o x [ B6 EJEMPLOS

Punto de interés Los símbolos [, h y x se utilizaron por primera vez en Arithmetices Principia, Nova Expósita (El principio de las matemáticas, un método de exposición nuevo), de Giuseppe Peano, publicado en 1889. El propósito de este libro era deducir los principios de las matemáticas a partir de la lógica pura.

1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A h B 5 52, 3, 4, 5, 6, 7, 86. Observe que los elementos 4, 5 y 6, a los cuales pertenecen ambos conjuntos, se listan sólo una vez. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C h D 5 523, 22, 21, 0, 1, 2, 36. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X h Y 5 50, 2, 4, 6, 86.

INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS

La intersección de dos conjuntos, que se escribe A x B, es el conjunto de todos los elementos que son comunes tanto a A como a B. En notación de conjuntos, esto se escribe A x B 5 5x 0 x [ A y x [ B6


SECCIÓN 1.1

9

Introducción a los números reales

EJEMPLOS

1. Dados A 5 52, 3, 4, 5, 66 y B 5 54, 5, 6, 7, 86, A x B 5 54, 5, 66. 2. Dados C 5 523, 21, 1, 36 y D 5 522, 0, 26, C x D 5 [. No hay elementos comunes para C y D. 3. Dados X 5 50, 2, 4, 6, 86 y Y 5 54, 86, X x Y 5 54, 86. Las operaciones de conjuntos también se pueden realizar con intervalos.

EJEMPLO 8 Solución

Grafique. A. 5 x 0 x # 21 6

h

5 x 0 x . 3 6 B. 12`, 32

x

3 21, ` 2

A. El conjunto 5x 0 x # 216 h 5x 0 x . 36 es el conjunto de los números reales menores o iguales que 21 o mayores o iguales que 3. Este conjunto puede escribirse x 0 x # 21 o x . 3 6 . –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

• La gráfica de 5x 0 x " 21 o x + 36 contiene todos los puntos sobre las gráficas de x " 21 y x + 3.

B. El conjunto (2`, 3) x [21, `) es el conjunto de los números reales menores que 3 y mayores o iguales que 21. La gráfica de (2`, 3) se muestra en turquesa y la gráfica de [21, `) se muestra en azul. –5 –4 –3 –2 –1 0

1

2

3

4

5

Los números reales que son elementos de (2`, 3) y [21, `) corresponden a los puntos de la sección de superposición; por tanto, (2`, 3) x [21, `) 5 [21, 3). Observe que 3 no es un elemento de (2`, 3). Por consiguiente, 3 no es un elemento de la intersección de los conjuntos. –5 –4 –3 –2 –1 0

Problema 8

Solución

1

2

3

4

5

Grafique A. 12`, 21 4

h

3 2, 42

B. 5 x 0 x # 3 6

x

5 x 0 23 , x , 56

Revise la página S1.

† Intente resolver el ejercicio 103 de la página 12.

1.1

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS Determine cuáles de los números son a. números naturales, b. enteros positivos, c. enteros negativos. Elabore una lista de todos los números que correspondan. 1. 214, 9, 0, 53, 7.8, 2626 2. 31, 245, 22, 9.7, 8600,

1 2

Determine cuáles de los números son a. números enteros, b. números racionales, c. números irracionales, d. números reales. Elabore una lista de todos los números que correspondan. 15 !5 3. 2 , 0, 23, p, 2.33, 4.232232223 c, , !7 2 4


CAPÍTULO 1

10

Los números reales

5.

3 27 , 21.010010001 c, , 6.12 p 91 ¿Qué es un decimal finito o último? Proporcione un ejemplo.

6.

¿Qué es un decimal periódico? Proporcione un ejemplo.

7.

¿Qué es el inverso aditivo de un número?

8.

¿Cuál es el valor absoluto de un número?

9.

Explique la diferencia entre la unión de dos conjuntos y la intersección de dos conjuntos.

4. 217, 0.3412,

Explique la diferencia entre 5x 0 x , 56 y 5x 0 x # 56.

10.

Desigualdad y valor absoluto (Revise las páginas 2-5.) PREPÁRESE 11. Un número como 0.63633633363333c, cuya notación decimal no termina ni se ? . repite, es un ejemplo de un número 12. El inverso aditivo de un número negativo es un número 13. y [ 51, 3, 5, 7, 96 se lee “y

?

?

.

el conjunto 51, 3, 5, 7, 96”.

14. Escriba la frase “el opuesto del valor absoluto de n” en símbolos. Encuentre el inverso aditivo de cada uno de los números siguientes. 3 4

15. 27

16. 23

17.

20. 2p

21. 2!33

22. 21.23

18. !17 † 23. 291

19. 0 24. 2

2 3

† 25. Sea x [ 523, 0, 76. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 5 es verdadera?

26. Sea z [ 524, 21, 46. ¿Para cuáles valores de z la expresión z . 22 es verdadera?

27. Sea y [ 526, 24, 76. ¿Para cuáles valores de y es verdadera la expresión y . 24?

28. Sea x [ 526, 23, 36. ¿Para cuáles valores de x la expresión x , 23 es verdadera?

29. Sea w [ 522, 21, 0, 16. ¿Para cuáles valores de w la expresión w # 21 es verdadera?

30. Sea p [ 5210, 25, 0, 56. ¿Para cuáles valores de p la expresión p $ 0 es verdadera?

31. Sea b [ 529, 0, 96. Evalúe 2b para cada elemento del conjunto.

32. Sea a [ 523, 22, 06. Evalúe 2a para cada elemento del conjunto.

† 33. Sea c [ 524, 0, 46. Evalúe 0 c 0 para cada elemento del conjunto.

34. Sea q [ 523, 0, 76. Evalúe 0 q 0 para cada elemento del conjunto.

35. Sea m [ 526, 22, 0, 1, 46. Evalúe 2 0 m 0 para cada elemento del conjunto.

36. Sea x [ 525, 23, 0, 2, 56. Evalúe 2 0 x 0 para cada elemento del conjunto.

37.

¿Existen números reales x para los cuales 2x . 0? Si es así, descríbalos.

38.

¿Existen números reales y para los cuales 2 0 y 0 . 0? Si es así, descríbalos.

Notación de intervalos y operaciones con conjuntos (Revise las páginas 5-9.) PREPÁRESE 39. Dos maneras de escribir el conjunto de los números naturales menores que 5 son 50, 1, 2, 3, 46 y 5n 0 n , 5, n [ números naturales6. La primera utiliza el método ? y la segunda la notación ? .


SECCIÓN 1.1

Introducción a los números reales

? . El símbolo para la intersección es ? . 40. El símbolo para la “unión” es ? . 41. El símbolo ` se llama símbolo 42. Reemplace cada signo de interrogación con “incluye” o “no incluye” para hacer ? verdadera la expresión siguiente. El conjunto [24, 7) el número 24 y ? el número 7.

Utilice el método de lista para escribir el conjunto. † 43. los enteros entre 23 y 5

44. los enteros entre 24 y 0

45. los números naturales pares menores que 14

46. los números naturales impares menores que 14

47. los enteros positivos múltiplos de 3 que son menores o iguales que 30

48. los enteros negativos múltiplos de 4 que son mayores o iguales que 220

49. los enteros negativos múltiplos de 5 que son mayores o iguales que 235

50. los enteros positivos múltiplos de 6 que son menores o iguales que 36

Utilice la notación de conjuntos para escribir el conjunto. † 51. los enteros mayores que 4

52. los enteros menores que 22

53. los números enteros mayores o iguales que 22

54. los números reales menores o iguales que 2

55. los números reales entre 0 y 1

56. los números reales entre 22 y 5

57. los números reales entre 1 y 4, inclusive

58. los números reales entre 0 y 2, inclusive

Grafique. 59. 5 x 0 21 , x , 5 6

60. 5 x 0 1 , x , 3 6

61. x 0 0 # x # 3 6

62. 5 x 0 21 # x # 1 6

† 63. 5 x 0 x , 2 6

64. 5 x 0 x , 21 6

65. 5 x 0 x $ 1 6

66. 5 x 0 x # 22 6

Escriba cada intervalo en notación de conjuntos. 67. 10, 82 72. 14, 5 4

68. 122, 42 † 73. 12`, 4 4

69. 3 25, 7 4

70. 3 3, 4 4

71. 3 23, 62

74. 12`, 222

75. 15, ` 2

76. 3 22, ` 2

Escriba cada conjunto de números reales en notación de intervalos. † 77. 5 x 0 22 , x , 4 6

78. 5 x 0 0 , x , 3 6

79. 5 x 0 21 # x # 5 6

80. 5 x 0 0 # x # 3 6

81. 5 x 0 x , 1 6

82. 5 x 0 x # 6 6

83. 5 x 0 22 # x , 6 6

84. 5 x 0 x $ 3 6

85. 5 x 0 x [ números reales 6

86. 5 x 0 x . 21 6

11


CAPÍTULO 1

12

Los números reales

Grafique. 87. 122, 52

88. 10, 32

89. 3 21, 2 4

90. 3 23, 2 4

91. 12`, 3 4

92. 12`, 212

† 93. 3 3, ` 2

94. 3 22, ` 2

Encuentre A < B y A > B. 95. A 5 5 1, 4, 9 6 , B 5 5 2, 4, 6 6

96. A 5 5 21, 0, 1 6 , B 5 5 0, 1, 2 6

97. A 5 5 2, 3, 5, 8 6 , B 5 5 9, 10 6

98. A 5 5 1, 3, 5, 7 6 , B 5 5 2, 4, 6, 8 6 100. A 5 5 23, 22, 21 6 , B 5 5 22, 21, 0, 1 6

99. A 5 5 24, 22, 0, 2, 4 6 , B 5 5 0, 4, 8 6

102. A 5 5 2, 4 6 , B 5 5 0, 1, 2, 3, 4, 5 6

101. A 5 5 1, 2, 3, 4, 5 6 , B 5 5 3, 4, 5 6

Grafique † 103. 5 x 0 x . 1 6

h

5 x 0 x , 21 6

104. 5 x 0 x # 2 6

h

5x 0 x . 46

105. 5 x 0 x # 2 6

x

5x 0 x $ 06

5x 0 x # 46

107. 5 x 0 x . 1 6

x

5 x 0 x $ 22 6

108. 5 x 0 x , 4 6

x

5x 0 x # 06

111. 12`, 2 4

3 4, ` 2

106. 5 x 0 x . 21 6

x

109. 5 x 0 x . 2 6

h

5x 0 x . 16

112. 123, 4 4

3 21, 52

115. 12, ` 2

117.

h

h

110. 5 x 0 x , 22 6 113. 3 21, 2 4

122, 4 4

116. 12`, 2 4

x

h

h

5 x 0 x , 24 6

3 0, 4 4

114. 3 25, 42

h

x

122, ` 2

14, ` 2

¿Cuál conjunto es un conjunto vacío? (i) 5 x 0 x [ enteros 6 x 5 x 0 x [ números racionales 6 (ii) 5 24, 22, 0, 2, 4 6 h 5 23, 21, 1, 3 6 (iii) 3 5, ` 2 x 10, 52

118.

¿Cuál conjunto no es equivalente al intervalo [21, 6)? (i) 5 x 0 21 # x , 6 6 (ii) 5 x 0 x $ 21 6 h 5 x 0 x , 6 6 (iii) 5 x 0 x , 6 6 x 5 x 0 x $ 21 6

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Sean R 5 5x 0 x [ números reales6, A 5 5x 021 # x # 16, B 5 5x 0 0 # x # 16, C 5 5x 021 # x # 06, y [ 5 conjunto vacío. Indique si cada una de las expresiones siguientes es equivalente a R, A, B, C o [. 120. A h A 121. B x B 122. A h C 119. A h B

123. A x R

124. C x R

128. R x [

125. B h R

126. A h R

127. R h R

129. El conjunto B > C no puede expresarse utilizando R, A, B, C o [. ¿Qué número real se representa por B > C? 130.

Un estudiante escribió 23 . x . 5 como la desigualdad que representa los números reales menores que 23 o mayores que 5. Explique por qué esta notación es incorrecta.


SECCIÓN 1.2

Operaciones con números enteros

13

Grafique el conjunto solución. 131. 0 x 0 , 2

132. 0 x 0 , 5

133. 0 x 0 . 3

134. 0 x 0 . 4

135. Dado que a, b, c y d son números reales positivos, ¿cuál de las respuestas siguientes asegu2b rará que ac 2 d # 0? (i) a $ b y c . d

(ii) a # b y c . d

(iii) a $ b y c , d

(iv) a # b y c , d

PROYECTOS O ACTIVIDADES EN EQUIPO Un conjunto universal U es el conjunto de todos los elementos bajo consideración. Por ejemplo, si nuestra atención estuviera centrada en el conjunto de los números enteros, entonces el conjunto universal sería el conjunto de los números enteros. Si nos interesáramos por todos los números naturales menores que 10, entonces el conjunto universal sería U 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96. El complemento de un conjunto E, designado por Ec, es el conjunto de elementos que pertenecen al conjunto universal, pero no pertenecen a E. 136. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 52, 4, 6, 86. Encuentre Ec. 137. Sea U 5 51, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 96 y sea E 5 5números primos menores que 106. Encuentre Ec. 138. Sea U 5 5x 0 x [ números naturales6 y E 5 5x 0 x [ números naturales impares6. Encuentre Ec. 139. Sea U 5 5x 0 X [ números reales6 y E 5 5x 0 x [ números racionales6. Encuentre Ec. 140. Si E es un conjunto dentro del conjunto universal U, encuentre a. E < Ec y b. E > Ec.

1.2 OBJETIVO Punto de interés Las reglas para efectuar operaciones con números positivos y negativos han existido desde hace mucho tiempo. Aunque hay registros anteriores de estas reglas (del siglo tercero), uno de los más meticulosos aparece en The Correct Astronomical System of Brahma, escrito por el matemático indio Brahmagupta alrededor del año 600 d.C.

Operaciones con números enteros Operaciones con números enteros Para tener éxito en álgebra es necesario entender las operaciones con números reales. A continuación daremos un repaso a las operaciones básicas con números reales.

SUMA DE NÚMEROS REALES

Números que tienen el mismo signo Para sumar dos números que tienen el mismo signo, sume los valores absolutos de los números. Luego coloque el signo de los sumandos.

Números que tienen diferentes signos Para sumar dos números con diferente signo, encuentre el valor absoluto de cada número. Reste el menor de estos valores absolutos del mayor. Luego coloque el signo del número con el valor absoluto mayor.


14

CAPÍTULO 1

Concéntrese

Los números reales

en la suma de números reales Sume. A. 265 1 12482

B. 17 1 12532

C. 245 1 81

A. Los signos son iguales. Sume los valores absolutos de los números. 0 265 0 1 0 248 0 5 65 1 48 5 113 Luego coloque el signo de los sumandos. 265 1 12482 5 2113 B. Los números tienen signos distintos. Encuentre el valor absoluto de cada número. 0 17 0 5 17

0 253 0 5 53

Reste el menor de estos números del mayor. 53 2 17 5 36 Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 253] . 0 17 0 , coloque el signo de 253. 17 1 12532 5 236 C. Los números tienen diferente signo. Encuentre el valor absoluto de cada número. 0 245 0 5 45

0 81 0 5 81

Reste el menor de estos dos números del mayor. 81 2 45 5 36 Coloque el signo del número con el valor absoluto mayor. Como 0 81 0 . 0 245 0 , coloque el signo de 81. 245 1 81 5 36

RESTA DE NÚMEROS REALES

Para restar dos números reales, sume al primer número el opuesto del segundo.

Concéntrese

en la resta de números reales Reste. A. 48 2 12222 Sume el opuesto de 222.

A. 48 2 12222

c

5 48 1 22 5 70 Sume el opuesto de 37.

B. 217 2 37

B. 217 2 37 C. 225 2 12142

c

5 217 1 12372 5 254 Sume el opuesto de 214.

c

C. 225 2 12142 5 225 1 14 5 211


2

CAPÍTULO

Ecuaciones y desigualdades de primer grado Digital Vision

Concéntrese en el éxito ¿Tiene dificultades con los problemas expresados en palabras? Este tipo de problemas muestra la diversidad de maneras en que pueden utilizarse las matemáticas. La solución de cada problema en palabras puede dividirse en dos pasos: estrategia y solución. La estrategia consiste en leer el problema, anotar los datos que se proporcionan y los que se piden, e idear un plan para encontrar los datos que se solicitan. La solución a menudo consiste en resolver una ecuación y luego comprobar la solución. (Vea en la página A-10 la sección Utilizar una estrategia para resolver problemas escritos.)

OBJETIVOS 2.1

2.2

2.3

2.4

2.5

1 Resolver ecuaciones utilizando

las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones 2 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis 3 Problemas de aplicación 1 Problemas de mezclas porcentuales 2 Problemas de movimiento uniforme 1 Problemas de inversión 2 Problemas de mezclas porcentuales 1 Resolver desigualdades con una variable 2 Resolver desigualdades compuestas 3 Problemas de aplicación 1 Ecuaciones con valor absoluto 2 Desigualdades con valor absoluto 3 Problemas de aplicación

EXAMEN DE PREPARACIÓN ¿Está listo para tener éxito en este capítulo?

Resuelva el examen de preparación siguiente para averiguar si está listo para aprender material nuevo. Para los ejercicios 1 a 5, sume, reste, multiplique o divida. 1. 8 2 12 3.

218 26

2. 29 1 3 3 4 4. 2 a2 b 4 3

5 4 5. 2 a b 8 5 Para los ejercicios 6 a 9, simplifique. 6. 3x 2 5 1 7 7. 6 1x 2 22 1 3 8. n 1 1n 1 22 1 1n 1 42 9. 0.08x 1 0.05 1400 2 x2 10. Veinte onzas de la mezcla de una botana contienen frutos secos y pretzels. n representa el número de onzas de frutos secos en la mezcla. Exprese en función de n el número de onzas de pretzels en la mezcla.


CAPÍTULO 2

56

2.1 OBJETIVO

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Ecuaciones con una variable Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones Una ecuación expresa la igualdad de dos expresiones matemáticas. Las expresiones pueden ser expresiones numéricas o algebraicas. La ecuación de la derecha es una ecuación condicional. La ecuación es verdadera si la variable se sustituye por 3. La ecuación es falsa si la variable se sustituye por 4.

2 1 8 5 10 x 1 8 5 11 s x2 1 2y 5 7

Ecuaciones

x1255 31255 41255

Ecuación condicional Una ecuación verdadera Una ecuación falsa

Los valores de sustitución de la variable que hacen verdadera una ecuación se llaman raíces, o soluciones, de la ecuación. La solución de la ecuación x + 2 = 5 es 3. La ecuación de la derecha es una identidad. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación verdadera.

x 1 2 5 x 1 2 Identidad

La ecuación de la derecha es una ecuación sin solución porque no existe un número que se iguale a sí mismo más 1. Cualquier valor de sustitución para x dará como resultado una ecuación falsa.

x5x11

Cada una de las ecuaciones de la derecha es una ecuación de primer grado con una variable. Todas las variables tienen exponente de grado uno.

Sin solución

x 1 2 5 12 Ecuaciones de 3y 2 2 5 5y primer grado 3 1a 1 22 5 14a

Tome nota

Resolver una ecuación significa encontrar una solución de la ecuación. La ecuación más simple de resolver es una ecuación de la forma variable = constante, porque la constante es la solución.

El modelo de una ecuación como una balanza es aplicable.

Si x = 3, entonces 3 es la solución de la ecuación, ya que 3 = 3 es una ecuación verdadera.

3 x–3

3 7

Al resolver una ecuación, la meta es reescribir la ecuación dada en la forma variable = constante. La propiedad de la adición de las ecuaciones puede utilizarse para reescribir en esta forma una ecuación.

PROPIEDAD DE LA SUMA DE ECUACIONES

Si a, b y c son expresiones algebraicas, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones que la ecuación a + c = b + c. Si se añade una pesa en un lado de la ecuación, se requiere añadir una pesa igual en el otro lado de la ecuación, de modo que ésta se mantenga en equilibrio.

La propiedad de la suma de las ecuaciones establece que la misma cantidad puede sumarse a cada lado de una ecuación sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un término de un lado de una ecuación al sumar el opuesto de ese término en ambos lados de la ecuación.

Concéntrese en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la suma de las ecuaciones A. Resuelva: x − 3 = 7


SECCIÓN 2.1

57

Ecuaciones con una variable

Sume a cada lado de la ecuación el opuesto del término constante −3. Simplifique. Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante. Para comprobar la solución, sustituya la variable con 10. Simplifique el lado izquierdo de la ecuación. Debido a que 7 = 7 es una ecuación verdadera, 10 es una solución.

x2357 x23135713 x 1 0 5 10 x 5 10 Comprobación:

x2357 10 2 3 7 75 7

La solución es 10.

B. Resuelva: x 1

7 1 5 12 2 7

Tome nota Recuerde comprobar la solución. 7 1 5 12 2 1 7 1 2 1 12 12 2 1 6 12 2 1 1 5 2 2 x1

7 1 5 12 2 1 7 7 7 2 5 2 x1 12 12 2 12 x1

Sume el opuesto del término constante 12 a cada lado de la ecuación. Esto es equivalente 7 a restar 12 de cada lado. Simplifique.

7 6 2 12 12 1 x52 12

x105

1 La solución es 212 .

La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones también puede utilizarse para reescribir una ecuación en la forma variable = constante.

PROPIEDAD DE LA MULTIPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES

Si a, b y c son expresiones algebraicas, y c Z 0, entonces la ecuación a = b tiene las mismas soluciones como la ecuación ac = be.

La propiedad de la multiplicación de las ecuaciones establece que podemos multiplicar cada lado de una ecuación por el mismo número diferente de cero, sin cambiar la solución de la misma. Esta propiedad se utiliza para eliminar un coeficiente de un término variable en una ecuación al multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente.

Concéntrese en resolver una ecuación utilizando la propiedad de la multiplicación de

las ecuaciones

Tome nota Cuando se utiliza la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones, por lo general es más fácil multiplicar cada lado de la ecuación por el recíproco del coeficiente cuando el coeficiente es una fracción, como en el inciso A. Divida cada lado de la ecuación entre el coeficiente cuando el coeficiente sea un entero o un decimal, como en el inciso B.

3 A. Resuelva: 2 x 5 12 4 Multiplique cada lado de la ecuación por 243, que es el recíproco de 234. Simplifique. Después de simplificar, la ecuación está en la forma variable = constante.

3 2 x 5 12 4 4 4 3 a2 b a2 bx 5 a2 b12 3 4 3 1x 5 216 x 5 216 3 Comprobación: 2 x 5 12 4 3 2 12162 12 4 12 5 12 La solución es 216.


58

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

B. Resuelva: −5x = 9 La multiplicación de cada lado de la ecuación por el recíproco de −5 es equivalente a dividir cada lado de la ecuación entre −5.

25x 5 9 25x 9 5 25 25 9 5 9 x52 5

1x 5 2

Simplifique.

La solución es 295.

Usted debe comprobar la solución.

Al resolver una ecuación, a menudo es necesario aplicar las propiedades tanto de la suma como de la multiplicación de las ecuaciones.

EJEMPLO 1 Solución

Resuelva: 5 2 6x 5 9 5 2 6x 5 9 5 2 5 2 6x 5 9 2 5 26x 5 4 4 26x 5 26 26 2 x52 3

• Reste 5 de cada lado de la ecuación. • Simplifique. • Divida entre 26 cada lado de la ecuación. • Simplifique.

La solución es 223.

Problema 1 Solución

6x 2 3 5 27 5 Revise la página S3. Resuelva:

† Intente resolver el ejercicio 41 de la página 61.

EJEMPLO 2

Resuelva: 3x 2 5 5 26x 1 2

Solución

3x 2 5 5 26x 1 2 3x 1 6x 2 5 5 26x 1 6x 1 2 9x 2 5 5 2 9x 2 5 1 5 5 2 1 5 9x 5 7 9x 7 5 9 9 7 x5 9

• Sume 6x a cada lado de la ecuación. • Sume 5 a cada lado de la ecuación. • Divida entre 9 cada lado de la ecuación.

La solución es 79. Problema 2 Solución

Resuelva: 3x 2 5 5 14 2 5x Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 43 de la página 61.

OBJETIVO

Resolver ecuaciones que contienen paréntesis Cuando una ecuación contiene paréntesis, uno de los pasos al resolverla requiere utilizar la propiedad distributiva.


SECCIÓN 2.1

59

Ecuaciones con una variable

Concéntrese en resolver una ecuación que contiene paréntesis Resuelva: 3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2 Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

3 1x 2 22 1 3 5 2 16 2 x2 3x 2 6 1 3 5 12 2 2x

Simplifique.

3x 2 3 5 12 2 2x

Sume 2x a cada lado de la ecuación.

5x 2 3 5 12 5x 5 15

Sume 3 a cada lado de la ecuación. Divida entre el coeficiente 5 cada lado de la ecuación. Compruebe la solución.

EJEMPLO 3 Solución

x53 La solución es 3.

Resuelva: 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 12 5 12x 2 72 1 2 5 3 14 2 x2 2 12 10x 2 35 1 2 5 12 2 3x 2 12 10x 2 33 5 23x 233 5 213x 33 5x 13

• Utilice la propiedad distributiva. • Simplifique. • Reste 10x de cada lado de la ecuación. • Divida entre −13 cada lado de la ecuación.

La solución es 33 13 . Problema 3 Solución

Resuelva:

6 15 2 x2 2 12 5 2x 2 3 14 1 x2

Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 57 de la página 62. Para resolver una ecuación que contiene fracciones, primero elimine los denominadores al multiplicar cada lado de la ecuación por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores.

Concéntrese en resolver una ecuación mediante la eliminación de los denominadores Resuelva:

x 7 x 2 2 5 1 2 9 6 3

Multiplique por 18 cada lado de la ecuación, que es el mcm de 2, 9, 6 y 3. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis.

x 7 x 2 2 5 1 2 9 6 3 x 7 x 2 18a 2 b 5 18a 1 b 2 9 6 3 18x 18 # 7 18x 18 # 2 2 5 1 2 9 6 3

Simplifique.

9 x 2 14 5 3x 1 12

Reste 3x de cada lado de la ecuación.

6 x 2 14 5 12

Sume 14 a cada lado de la ecuación. Divida entre el coeficiente 6 cada lado de la ecuación. Compruebe la solución.

6 x 5 26 13 x5 3 La solución es

13 3.


60

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

EJEMPLO 4 Solución

Resuelva:

3x 2 2 x x 2 5 12 9 2

3x 2 2 x x 2 5 12 9 2 3x 2 2 x x 36a 2 b 5 36a b 12 9 2 36 13x 2 22 36x 36x 2 5 12 9 2 3 13x 2 22 2 4x 5 18x 9x 2 6 2 4x 5 18x 5x 2 6 5 18x 26 5 13x 6 2 5x 13

• El mcm de 12, 9 y 2 es 36. • Multiplique cada lado de la ecuación por el mcm de los denominadores • Utilice la propiedad distributiva. • Simplifique.

6 La solución es 213 .

Problema 4 Solución

Resuelva:

2x 2 7 5x 1 4 2x 2 4 2 5 3 5 30

Revise la página S3.

† Intente resolver el ejercicio 79 de la página 62.

OBJETIVO

Problemas de aplicación La solución de problemas de aplicación es principalmente una habilidad para convertir enunciados en ecuaciones y luego resolver las ecuaciones. Una ecuación indica que dos expresiones matemáticas son iguales. Por tanto, la conversión de un enunciado en una ecuación requiere el reconocimiento de las palabras o frases que significan igual. Estas frases incluyen “es”, “es igual que”, “equivale a” y “representa”. Una vez que la expresión se convierte en una ecuación, ésta se resuelve al reescribirla en la forma variable = constante.

EJEMPLO 5

Un plomero cobra $80 por una visita de servicio más $1.25 por cada minuto adicional de servicio después de los 60 min. Si la factura por un trabajo de reparación de plomería fue de $115, ¿cuántos minutos duró la visita?

Estrategia

Para calcular la duración en minutos de la visita de servicio, escriba y resuelva una ecuación utilizando n para representar el número total de minutos de la visita. Por tanto n − 60 es el número de minutos adicionales después de los primeros 60 minutos de la visita de servicio. El precio fijo por los 60 minutos más el cargo por los minutos adicionales es el costo total de la llamada de servicio.

Solución

Problema 5 Solución

80 1 1.25 1n 2 602 5 115 80 1 1.25n 2 75 5 115 1.25n 1 5 5 115 1.25n 5 110 n 5 88 La visita de servicio duró 88 min. Usted gana un sueldo de $34,500 y recibe 4% de incremento para el próximo año. Calcule su sueldo para el próximo año. Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 95 de la página 63.


SECCIÓN 2.1

2.1

Ecuaciones con una variable

Ejercicios

REVISIÓN DE CONCEPTOS 1.

¿Cómo difiere una ecuación de una expresión?

2.

¿Cuál es la propiedad de la adición de las ecuaciones y cómo se utiliza?

3.

¿Cuál es la propiedad de la multiplicación de las ecuaciones y cómo se utiliza?

Determine si cada una de las ecuaciones siguientes es una ecuación de primer grado con una variable. 5. 2x 1 7 4. 4a 2 5 5 0 8. 6 2 2 14a 2 12

7. 2 1 3y 5 6

6. x2 1 3 5 4 9. 5 5 7 2 2

10. ¿Todas las ecuaciones tienen por lo menos una solución?

Resolver ecuaciones utilizando las propiedades de la suma y la multiplicación de ecuaciones (Vea las páginas 56-58.) 11. ¿es 1 una solución de 7 − 3m = 4?

12. ¿es 5 una solución de 4y − 5 = 3y?

13. ¿es −2 una solución de 6x − 1 = 7x + 1?

14. ¿es 3 una solución de x2 = 4x − 5?

PREPÁRESE 15. Para resolver la ecuación a − 42 = 13, utilice la propiedad de la suma de las ecuacio? a cada lado de la ecuación. La solución es ? . nes para sumar 16. Para resolver la ecuación 12 + x = 5, ? . solución es

?

12 de cada lado de la ecuación. La

17. Para resolver la ecuación 225 n = 8, utilice la propiedad de la multiplicación de las ? . La solución es ecuaciones para multiplicar cada lado de la ecuación por ? . 18. Para resolver la ecuación 9 = 18b, la solución es ? . por 18. La solución es

?

cada lado de la ecuación

Resuelva y compruebe. 19. x 2 2 5 7

20. x 2 8 5 4

21. a 1 3 5 27

22. 212 5 x 2 3

23. 3x 5 12

24. 8x 5 4

25. 2y 5 7

26. 2x 5 0

27.

2 17 1x5 7 21

30.

3t 5 215 8

28. x 1

2 5 5 3 6

29.

3a 5 221 7

3 4 32. 2 x 5 2 4 7

33. b 2 14.72 5 218.45

34. b 1 3.87 5 22.19

35. 3x 1 5x 5 12

36. 2x 2 7x 5 15

37. 2x 2 4 5 12

38. 5 2 7a 5 19

39. 16 5 1 2 6x

31. 2

5 7 y5 12 16

40. 7 5 7 2 5x † 43. 2 2 3t 5 3t 2 4

† 41. 29 5 4x 1 3

42. 2x 1 2 5 3x 1 5

61


CAPÍTULO 2

62

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

44. 3x 2 2x 1 7 5 12 2 4x

45. 2x 2 9x 1 3 5 6 2 5x

46. 2x 2 5 1 7x 5 11 2 3x 1 4x

47. 9 1 4x 2 12 5 23x 1 5x 1 8

48.

r es un número positivo menor que 1. ¿La solución de la ecuación 10 9 1 x 5 r es positiva o negativa?

49.

a es un número negativo menor que −5. ¿La solución de la ecuación a = −5b es menor o mayor que 1?

2 Resolver ecuaciones que contienen paréntesis (Revise las páginas 58-60.) PREPÁRESE 50. Utilice la propiedad distributiva para eliminar los paréntesis de la ecuación 9x – 3(5 − x) ? + ? = ? + ? = 3(8x + 7): 9 − x 1 1 51. Para eliminar los denominadores de la ecuación 7 1 14 5 6, multiplique cada lado de ? , el mínimo común múltiplo de los denominadores 7, 14 y 6. la ecuación por

Resuelva y compruebe. 52. 2x 1 2 1x 1 12 5 10

53. 2x 1 3 1x 2 52 5 15

55. 5 12 2 b2 5 23 1b 2 32

56. 3 2 2 1y 2 32 5 4y 2 7

54. 2 1a 2 32 5 2 14 2 2a2 † 57. 3 1y 2 52 2 5y 5 2y 1 9

58. 4 1x 2 22 1 2 5 4x 2 2 12 2 x2

59. 2x 2 3 1x 2 42 5 2 13 2 2x2 1 2

60. 2 12d 1 12 2 3d 5 5 13d 2 22 1 4d

61. 24 17y 2 12 1 5y 5 22 13y 1 42 2 3y

62. 4 3 3 1 5 13 2 x2 1 2x 4 5 6 2 2x

63. 2 3 4 1 2 15 2 x2 2 2x 4 5 4x 2 7

64. 2 3 b 2 14b 2 52 4 5 3b 1 4

65. 23 3 x 1 4 1x 1 12 4 5 x 1 4

66. 4 3 a 2 13a 2 52 4 5 a 2 7

67. 5 2 6 3 2t 2 2 1t 1 32 4 5 8 2 t

68. 23 1x 2 22 5 2 3 x 2 4 1x 2 22 1 x 4

69. 3 3 x 2 12 2 x2 2 2x 4 5 3 14 2 x2

5 1 2 70. t 2 5 t 9 6 12

7 1 3 5 71. t 2 4 12 6

72.

2 5 1 x2 x235 x25 3 6 2

73.

1 3 5 3 5 x2 x1 5 x2 2 4 8 2 2

74.

3x 2 2 2 3x 5 12 4

75.

2a 2 9 1 3 5 2a 5

76.

x22 x15 5x 2 2 2 5 4 6 9

77.

2x 2 1 3x 1 4 1 2 4x 1 5 4 8 12

78.

2 5 115 2 6a2 5 112a 1 182 3 6

80.

1 1x 2 72 1 5 5 6x 1 4 3

1 81. 2 1y 2 42 1 8 5 16y 1 202 2

82.

7 1 3 1 x2 5 x2 8 4 4 2

83.

† 79.

1 1 120x 1 302 5 16x 1 362 5 3

1 3 2 1 x2 5 x1 2 5 5 2

84. 24.2 1 p 1 3.42 5 11.13

85. 21.6 1b 2 2.352 5 211.28

86. 0.11x 1 0.04 1700 2 x 2 5 0.06 17002

87. x 1 0.06 1602 5 0.20 1x 1 20 2


SECCIÓN 2.1

Ecuaciones con una variable

88.

Considere la ecuación 23 3 5 2 4 1x 2 22 4 5 5 1x 2 52 . ¿Cuántas veces utilizaría la propiedad distributiva para eliminar los símbolos de agrupación si resuelve la ecuación?

89.

¿Cuál de las ecuaciones siguientes es equivalente a la ecuación del ejercicio 88? (i) 215 1 12 1x 2 22 5 5x 2 25 (ii) 23 3 x 2 2 4 5 5 1x 2 52 (iii) 23 3 5 2 4x 2 8 4 5 5x 2 25

63

Problemas de aplicación (Revise la página 60.) PREPÁRESE 90. Cuando una expresión se convierte en una ecuación, la palabra “es” se convierte en el ? . signo 91. Suponga que 10 amigos van a cenar a un restaurante. Algunas personas del grupo ordenan el buffet, mientras que el resto ordena el combo de sopa y sándwich. Si 2 personas ordenan el buffet, entonces el número de personas que ordenan el combo ? . Si 7 personas ordenan el buffet, entonces el número de de sopa y sándwich es ? . Si 7 personas ordenan personas que ordenan el combo de sopa y sándwich es el buffet, entonces una expresión que representa el número de personas que ordenan el ? . combo de sopa y sándwich es 92. Temperatura La temperatura Fahrenheit es 59°. Esto es 32° más que 95 de la temperatura Celsius. Calcule la temperatura Celsius. 93. Temperatura La temperatura Celsius en una mañana de otoño fue de 5º. Esto es 59 de la diferencia entre la temperatura Fahrenheit y 32°. Calcule la temperatura Fahrenheit. 94. Mano de obra La factura por la reparación de su automóvil es por $428.55. El cargo por las refacciones fue de $148.55. Un mecánico trabajó en su automóvil durante 4 horas. ¿Cuál fue el cargo por hora de mano de obra? † 95. Consumerismo Una tienda local de alimentos vende por $10.90 una bolsa de 100 libras de alimento. Si un cliente compra más de una bolsa, cada bolsa adicional cuesta $10.50. Un cliente compró $84.40 de alimento. ¿Cuántas bolsas de 100 libras de alimento compró? 96. Consumerismo El Showcase Cinema of Lawrence cobra $7.75 por un boleto de adultos y $4.75 por un boleto de niños para todos los espectáculos antes de las 6:00 P.M. Si una familia de seis integrantes paga $34.50 para entrar a un espectáculo por la tarde, ¿cuántos boletos de adultos y cuántos de niños compró la familia? 97.

Sueldos Vea el recorte de prensa de la derecha. Calcule la tarifa por hora que se pagará a los profesores por las horas extra que trabajarán.

98. Consumerismo La tarifa de admisión por familia en un zoológico de la ciudad es $7.50 por la primera persona y $4.25 por cada miembro de la familia adicional. ¿Cuántas personas hay en una familia que paga $28.75 por su admisión? 99.

100.

Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta en Charlotte fue $4681.25, más 25% de sus ingresos que rebasan los $34,000. Si pagó $8181.25 por el impuesto federal sobre la renta, ¿cuál fue su ingreso anual? Impuesto federal sobre la renta El impuesto federal anual sobre la renta para una pareja de esposos que presentan juntos su declaración de impuestos fue $9362.50, más 25% de sus ingresos que rebasan los $68,000. Si pagaron $10,612.50 por el impuesto federal sobre la renta, ¿cuáles fueron sus ingresos anuales?

En las noticias Horas extra para los profesores En un esfuerzo por mejorar el desempeño de los estudiantes, se solicitó a los profesores de 12 escuelas de la ciudad que, por un incremento de sueldo relativamente pequeño, trabajen más horas al día el próximo año. Por trabajar 190 horas adicionales, un profesor que actualmente gana 79,400 dólares al año vería que su sueldo aumenta a 83,500 dólares al año. Fuente: The Boston Globe


CAPÍTULO 2

64

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

APLICACIÓN DE CONCEPTOS Resuelva. 1 101. 5 29 1 y 103.

102. 8 4

10 2 5 5 4x 3 x

104.

1 5 23 x

6 5 218 7 a

Resuelva. Si la ecuación no tiene solución, escriba “sin solución”. 106. 3 3 4 1 y 1 22 2 1 y 1 52 4 5 3 13y 1 12 105. 2 3 3 1x 1 42 2 2 1x 1 12 4 5 5x 1 3 11 2 x2 107.

4 3 1x 2 32 1 2 11 2 x2 4 5x11 5

109. 3 12x 1 22 2 4 1x 2 32 5 2 1x 1 92

4 1x 2 52 2 1x 1 12 5x27 3 46 110. 2584 4 x 5 54 x 108.

PROYECTOS 0 ACTIVIDADES EN EQUIPO Recuerde que un número entero par es un entero que es divisible entre 2. Un número entero impar es un entero que no es divisible entre 2. 8, 9, 10 Los enteros consecutivos son enteros que siguen 23, 22, 21 en orden uno después de otro. Los ejemplos de n, n 1 1, n 1 2, donde n es un número entero enteros consecutivos se muestran a la derecha. A la derecha se muestran ejemplos de enteros pares consecutivos.

16, 18, 20 26, 24, 22 n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero par

A la derecha se muestran enteros impares consecutivos.

11, 13, 15 223, 221, 219 n, n 1 2, n 1 4, donde n es un entero impar

111. La suma de tres números enteros consecutivos es 33. Encuentre los enteros. 112. La suma de tres números enteros impares consecutivos es 105. Encuentre los enteros. 113. La suma de cuatro números enteros pares consecutivos es 92. Encuentre los enteros.

2.2 OBJETIVO

Mezcla de valores y problemas de movimiento Problemas de mezcla de valores Un problema de mezcla de valores implica la combinación de dos ingredientes que tienen precios diferentes en una sola mezcla. Por ejemplo, un fabricante de café puede mezclar dos tipos de café en una mezcla única. Una solución a un problema de mezcla de valores se basa en la ecuación V = AC, donde V es el valor del ingrediente, A la cantidad del ingrediente y C el costo por unidad del ingrediente.


SECCIÓN 2.2

65

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Por ejemplo, podemos utilizar la ecuación de mezcla de valores para obtener el valor de 12 libras de café que cuestan $5.25 por libra. $2.25 por libra

$6.00 por libra

V 5 AC V 5 12 15.252 V 5 63 El valor del café es $63.

0 $3.5 por libra

Resuelva: ¿Cuántas libras de cacahuates que cuestan $2.25 por libra deben mezclarse con 40 libras de nueces de la India que cuestan $6.00 por libra para hacer una mezcla que cuesta $3.50 por libra?

ESTRATEGIA PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE MEZCLA DE VALORES

 Por cada ingrediente de la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad del ingrediente empleado, el costo unitario del ingrediente y el valor de la cantidad utilizada. Para la mezcla, escriba una expresión numérica o algebraica para la cantidad, el costo unitario de la mezcla y el valor de la cantidad. Los resultados pueden registrarse en una tabla.

Cantidad de cacahuates: x Cantidad, A

#

Costo unitario, C

=

Valor, V

Cacahuates

x

#

2.25

=

2.25x

Nueces de la India

40

#

6.00

=

6.00(40)

Mezcla

x + 40

#

3.50

=

3.50(x + 40)

 Determine cómo se relacionan los valores de los ingredientes individuales. Utilice el hecho de que la suma de los valores de los ingredientes es igual al valor de la mezcla.

La suma de los valores de los cacahuates y las nueces de la India es igual al valor de la mezcla. 2.25x 1 6.00 1402 5 3.50 1x 1 402 2.25x 1 240 5 3.50x 1 140 21.25x 1 240 5 140 21.25x 5 2100 x 5 80 x onzas

La mezcla debe contener 80 lb de cacahuates.

100 onzas

EJEMPLO 1

¿Cuántas onzas de una aleación de oro que cuesta $320 la onza deben mezclarse con 100 onzas de una aleación que cuesta $100 la onza para elaborar una mezcla que cuesta $160 la onza?


66

CAPÍTULO 2

Ecuaciones y desigualdades de primer grado

Estrategia

 Onzas de la aleación de oro de $320: x Cantidad

Costo

Valor

Aleación de $320

x

320

320x

Aleación de $100

100

100

100(100)

Mezcla

x + 100

160

160(x + 100)

 La suma de los valores antes de la mezcla es igual al valor después de la mezcla. Solución

320x 1 100 11002 5 160 1x 1 1002 320x 1 10,000 5 160x 1 16,000 160x 1 10,000 5 16,000 160x 5 6000 x 5 37.5 La mezcla debe contener 37.5 onzas de la aleación de oro de $320.

Problema 1

Solución

Un carnicero mezcló carne molida para hamburguesa que cuesta $4.00 por libra con otra que cuesta $2.80 por libra. ¿Cuántas libras de cada una se utilizaron para elaborar una mezcla de 75 libras que cuesta $3.20 por libra? Revise la página S4.

† Intente resolver el ejercicio 15 de la página 72.

OBJETIVO

Cómo se usa El receptor de un sistema de posicionamiento global (GPS) de un automóvil utiliza en repetidas ocasiones la ecuación d = rt cada vez que determina la ubicación del automóvil, siendo r la velocidad de la luz y t el tiempo que tarda una señal en viajar desde un satélite GPS al receptor en el automóvil.

Problemas de movimiento uniforme Cualquier objeto que se desplaza a una velocidad constante en línea recta se dice que está en movimiento uniforme. El movimiento uniforme significa que la velocidad y la dirección de un objeto no cambian. Por ejemplo, un tren que viaja a una velocidad constante de 50 millas por hora en una vía recta está en movimiento uniforme. La solución de un problema de movimiento uniforme se basa en la ecuación d = r t, donde d es la distancia recorrida, r la velocidad a que se viaja y t el tiempo que dura el viaje. Por ejemplo, suponga que un tren viaja durante 2 horas a una velocidad promedio de 45 mph. Debido a que el tiempo (2 horas) y la velocidad (45 mph) son conocidas, podemos calcular la distancia recorrida al resolver d para la ecuación d = rt. d 5 rt d 5 45 122 d 5 90

• r 5 45, t 5 2

El tren viaja una distancia de 90 millas.

Concéntrese en utilizar la ecuación d = rt Un chef sale de un restaurante y conduce a su casa, que está a 16 millas de distancia. Si el chef tarda 20 minutos en llegar, ¿cuál es la velocidad promedio a la que conduce? Dado que la respuesta debe estar en millas por hora y el tiempo en minutos, convierta 1 20 minutos a horas: 20 min 5 20 60 h 5 3 h.


SECCIÓN 2.2

d 5 rt

Para calcular la tasa de velocidad, resuelva r para la ecuación d = rt, sustituyendo los valores d = 16 y t 5 13.

Tome nota La abreviatura pies/s significa “pies por segundo”.

67

Mezcla de valores y problemas de movimiento

Si dos objetos se mueven en direcciones opuestas, entonces la velocidad a la cual la distancia entre ellos está aumentando es la suma de las velocidades de los dos objetos. Por ejemplo, en el diagrama de la derecha, dos corredores parten del mismo punto y corren en direcciones opuestas. La distancia entre ellos cambia a una velocidad de 21 pies/s. Asimismo, si dos objetos se mueven aproximándose entre sí, la distancia entre ellos está disminuyendo a una velocidad que es igual a la suma de las velocidades. La velocidad a la cual los dos ciclistas de la derecha se aproximan entre sí es 35 mph.

1 16 5 ra b 3 1 16 5 r 3 1 132 16 5 132 r 3 48 5 r La velocidad media es 48 mph.

9 pies/s

12 pies/s

9 pies/s + 12 pies/s = 21 pies/s 15 mph

20 mph

35 mph

Concéntrese en utilizar la ecuación d = rt Dos automóviles parten del mismo punto y se mueven en direcciones opuestas. El automóvil que se desplaza hacia el oeste viaja a 50 mph, y el que se desplaza al este viaja a 65 mph. ¿En cuántas horas los automóviles estarán a 230 millas de distancia? 50 mph

65 mph

115 mph

Los automóviles se desplazan en direcciones opuestas, así que la velocidad a la cual la distancia entre ellos está cambiando es la suma de las velocidades de los automóviles. Por tanto, r = 115.

50 mph + 65 mph = 115 mph

La distancia es 230 millas. Para calcular el tiempo, resuelva para t d = rt.

d 5 rt 230 5 115t 230 115t 5 115 115 25 t El tiempo es 2 h.

Tome nota La corriente en chorro que fluye generalmente de oeste a este a través de Estados Unidos afecta el tiempo que tarda un avión en volar desde Los Ángeles a Nueva York. Por ejemplo, en un día cualquiera, el tiempo de vuelo desde Nueva York a Los Ángeles es aproximadamente unos 40 minutos más largo que el viaje de Los Ángeles a Nueva York.

La velocidad de crucero típica de un avión Boeing 777 es 525 mph. Sin embargo, el viento afecta la velocidad del avión. Por ejemplo, cuando un avión está volando de California a Nueva York, el viento está por lo general en la dirección de vuelo, aumentando así la velocidad efectiva del avión. Si la velocidad del viento es de 50 mph, entonces la velocidad efectiva del avión es la suma de la velocidad del avión y la velocidad del viento: 525 mph + 50 mph = 575 mph.

50 mph

525 mph

viento 575 mph Velocidad efectiva


Entre las muchas preguntas que se plantean al iniciar el proceso de revisión de un libro de texto, la más importante es: ¿Cómo podemos mejorar la experiencia de aprendizaje del estudiante? Encontramos respuestas a esta pregunta de diversas maneras, pero con mayor frecuencia al hablar con estudiantes y profesores, así como al evaluar la información escrita que recibimos de nuestros clientes. Nuestra meta final es incrementar el enfoque en el estudiante.

Lo nuevo en esta edición • Nueva sección Inténtelo, cuyas indicaciones se incluyen al final de cada Ejemplo/Problema par. • La sección Concéntrese enfatiza en torno al tipo específico de problema que debe dominar para tener éxito en los ejercicios de tarea o en un examen. • Los ejercicios de Aplicación de conceptos profundizarán su comprensión de los temas de la sección. • Nueva sección En las noticias, la cual le ayudará a observar la utilidad de las matemáticas en nuestro mundo cotidiano. Se basa en la información obtenida de fuentes de medios de comunicación conocidos, como periódicos, revistas e Internet. • Ejercicios de Proyectos o actividades en equipo se incluyen al final de cada serie de ejercicios.

estas cuestiones, pueden ser de naturaleza histórica o de interés general. • Nueva sección Cómo se usa. Estos recuadros se relacionan con el tema en estudio. Presentan escenarios del mundo real que demuestran la utilidad de los conceptos seleccionados en el libro. • Los recuadros de Tecnología contienen  instrucciones para utilizar una calculadora graficadora. • El enfoque del libro en la solución de problemas hace hincapié en la importancia de una estrategia bien definida. Las estrategias del modelo se presentan como guías para que a medida que intente resolver el problema, al mismo tiempo le acompañen en cada ejemplo numerado.

• Los recuadros Punto de interés, que mantienen relación con el tema objeto de discusión de Confiamos en que las características nuevas y mejoradas de la octava edición le ayudarán a comprometerse más exitosamente con el contenido. Al reducir la brecha entre lo concreto y lo abstracto, entre el mundo real y el teórico, podrá ver con mayor claridad que el dominio de las habilidades y temas presentados está a su alcance y que bien vale la pena el esfuerzo.

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Álgebra Intermedia. 8a. Ed. Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood