Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas by Cengage

Tr a s c e n d e n t e s t e m p r a n a s

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ÁLGEBRA

GEOMETRÍA

Operaciones aritméticas

Fórmulas geométricas c ad 1 bc a 1 − b d bd a a d ad b − 3 − c b c bc d

asb 1 cd − ab 1 ac a c a1c − 1 b b b

Fórmulas para el área A, circunferencia C y volumen V: Triángulo

Círculo

Sector de círculo

A − 12 bh

A−

A − 12 r 2

− 12 ab sen

Exponentes y radicales x x −x m

sx mdn − x m n

x y

sxydn − x n y n

−

n m n x myn − s x − (s x)

n n n s xy − s x s y

Î n

r r

Esfera

Cilindro

Cono

V − 43 r 3

V−

V − 13 r 2h

n x s x − n y sy

r 2h

A − 4 r2

A−

x 3 2 y 3 − sx 2 ydsx 2 1 xy 1 y 2d

Teorema del binomio

Fórmulas de distancia y punto medio sx 2 yd2 − x 2 2 2xy 1 y 2

Distancia entre P1(x1, y1) y P2(x2, y2):

sx 1 yd3 − x 3 1 3x 2 y 1 3xy 2 1 y 3

d − ssx 2 2 x1d2 1 s y2 2 y1d2

sx 2 yd3 − x 3 2 3x 2 y 1 3xy 2 2 y 3

donde

SD n k

nsn 2 1d n22 2 x y 2

n n2k k … x y 1 1 nxy n21 1 y n k nsn 2 1d … sn 2 k 1 1d − 1?2?3?…?k

Punto medio de P1 P2:

x1 1 x 2 y1 1 y2 , 2 2

Pendiente de la recta que pasa por P1(x1, y1) y P2(x2, y2): m−

2b 6 sb 2 2 4ac . 2a

Si a , b, entonces a 1 c , b 1 c.

y 2 y1 − msx 2 x1d Ecuación pendiente-intersección de la recta con pendiente m e intersección en y − b:

Si a , b y c . 0, entonces ca , cb.

y − mx 1 b

Si a , b y c , 0, entonces ca . cb. Si a . 0, entonces u x u − a significa que x − a o x − 2a u x u , a significa que 2a , x , a u x u . a significa que x . a o x , 2a

y2 2 y1 x 2 2 x1

Ecuación punto-pendiente de la recta que pasa por P1(x1, y1) con pendiente m:

Desigualdades y valor absoluto Si a , b y b , c, entonces a , c.

Rectas

Fórmula cuadrática Si ax2 1 bx 1 c − 0, entonces x −

x 3 1 y 3 − sx 1 ydsx 2 2 xy 1 y 2d

1…1

rsr 2 1 h 2

x 2 y − sx 1 ydsx 2 yd

sx 1 ydn − x n 1 nx n21y 1

sx 1 yd2 − x 2 1 2xy 1 y 2

s en radianes)

Factorización de polinomios especiales 2

s−r

xn yn

n x 1yn − s x

C−2 r

xm − x m2n xn 1 x2n − n x

m1n

Círculos Ecuación del círculo con centro (h, k) y radio r: (x 2 h)2 1 (y 2 k)2 − r2

REFERENCIA, página 2 TRIGONOMETRÍA Identidades fundamentales

Medición de ángulos radianes − 1808 18 −

180

1 rad −

rad

180°

s en radianes)

Trigonometría de ángulo recto −

op hip

csc

−

hip op

cos

−

ady hip

sec

−

hip ady

tan

−

op ady

cot

−

ady op

hip

sen cos tan

csc

x r y − x −

sec cot

1 sen

sec

−

1 cos

tan

−

sen cos

cot

−

cos sen

cot

−

1 tan

sen2 1 cos2 − 1

1 1 tan2 − sec 2

1 1 cot 2 − csc 2

sens2 d − 2sen

coss2 d − cos

tans2 d − 2tan

sen

S D

tan

ady

cos

Funciones trigonométricas y − r

−

s−r

sen

csc

r x x − y

−

(x, y)

Fórmulas de adición y sustracción sensx 1 yd − sen x cos y 1 cos x sen y

2π

2π π

2π x

y=csc x

cossx 2 yd − cos x cos y 1 sen x sen y y=cot x

sensx 2 yd − sen x cos y 2 cos x sen y cossx 1 yd − cos x cos y 2 sen x sen y

y=sec x

2π x

tansx 1 yd −

tan x 1 tan y 1 2 tan x tan y

tansx 2 yd −

tan x 2 tan y 1 1 tan x tan y

Fórmulas del ángulo doble Funciones trigonométricas de ángulos importantes 08

radianes

sen

cos

tan

0 s3y3

308

1y2

s3y2

458

s2y2

608

s3y2

1y2

908

—

sen 2x − 2 sen x cos x cos 2x − cos 2x 2 sen 2x − 2 cos 2x 2 1 − 1 2 2 sen2 x tan 2x −

2 tan x 1 2 tan2x

Fórmulas del ángulo medio sen 2x −

1 2 cos 2x 2

c 2 − a 2 1 b 2 2 2ab cos C

y=tan x

y=cos x

− cot

b − a 1 c 2 2ac cos B y

a 2 − b 2 1 c 2 2 2bc cos A

1 π

− cos

Ley de los cosenos

y y=sen x

− sen

sen A sen B sen C − − a b c

Gráficas de funciones trigonométricas

Ley de los senos

r − y

S D S D

cos 2x −

1 1 cos 2x 2

CÁLCULO

DE VARIAS VARIABLES TR ASCENDE NT E S T E MP R A NA S JAMES STEWART McMASTER UNIVERSITY Y UNIVERSITY OF TORONTO

DANIEL CLEGG

SALEEM WATSON

PALOMAR COLLEGE

CALIFORNIA STATE UNIVERSITY, LONG BEACH

Traducción

7KRPDV : %DUWHQEDFKɅ•Ʌ0DU¯D GHO 3LODU &DUULO 9LOODUUHDO Revisión técnica

&DUORV $VWHQJR 1RJXH] Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Benemérita Universidad Autónoma de Puebla Mirna Cuautle Aguilar

Instituto Politécnico Nacional, ESIME Culhuacán

Bernardino Jesús Ramírez Sánchez

Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad de México

5REHUWR $UPDQGR +HUQ£QGH] *µPH] Universidad Politécnica Metropolitana de Hidalgo

Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey

Cynthia Concepción Castro Ling Omar Olmos López Óscar Villarreal Reyes

Tecnológico de Monterrey, Campus Santa Fe María Elena García Cosío

Marlene Aguilar Abalo Jaime Castro Pérez Linda Margarita Medina Herrera

Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de Querétaro

Tecnológico de Monterrey, Campus Guadalajara

Universidad Autónoma de Guadalajara, Campus Ciudad Universitaria

María Guadalupe Lomelí Plascencia

Francisco Javier Avilés Urbiola

(QULTXH =DPRUD *DOODUGR

Universidad Anáhuac México, Campus Norte

Universidad de las Américas, Puebla Luz María García Ávila

Universidad Iberoamericana León Christhian Adonaí González Valdez

Universidad Panamericana, Campus Ciudad de México Antonieta Martínez Velasco

Universidad Rafael Landívar, Facultad de Ingeniería, Campus Central, Guatemala

Gabriel Antonio Chavarria Matus

José Iván Reyes Cabrera

Australia • Brasil • Canadá • México • Singapur • Reino Unido • Estados Unidos

Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas, primera edición James Stewart, Daniel Clegg y Saleem Watson Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: Jesús Mares Chacón Editora: Karen Estrada Arriaga Coordinador de manufactura: Rafael Pérez González Diseño de portada original: Nadine Ballard Adaptación de portada: Eduardo Valdés Sandoval Imagen de portada: ©WichitS/Shutterstock Composición tipográfica: Arturo Rocha Hernández

© D.R. 2021 por Cengage Learning Editores, S. A. de C. V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. Carretera México-Toluca núm. 5420, oficina 2301. Col. El Yaqui. Del. Cuajimalpa. C.P. 05320. Ciudad de México. Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso. DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea gráfico, electrónico o mecánico, incluyendo, pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, reproducción, escaneo, digitalización, grabación en audio, distribución en internet, distribución en redes de información o almacenamiento y recopilación en sistemas de información a excepción de lo permitido en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial. Traducido del libro: Multivariable Calculus Ninth Edition, Metric Version James Stewart, Daniel Clegg and Saleem Watson © 2021 ISBN: 978-0-357-11350-9 Datos para catalogación bibliográfica: Stewart, James; Clegg, Daniel y Watson, Saleem Cálculo de varias variables. Trascendentes tempranas Primera edición ISBN: 978-607-570-032-8 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 22 20 19 21

Contenido Prefacio

Tecnología en esta edición Al estudiante

xvi

10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

de circunferencias

10.2

• Circunferencias que corren alrededor

Cálculo con curvas paramétricas 673 Coordenadas polares

• Curvas de Bézier

684

PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

10.4 10.5 10.6

662

672

PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

10.3

661

Cálculo en coordenadas polares

• Familias de curvas polares 694

694

Secciones cónicas 702 Secciones cónicas en coordenadas polares Repaso 719

711

Problemas adicionales 722

11 Sucesiones, series y series de potencias

723

11.1

Sucesiones

11.2 11.3 11.4 11.5 11.6 11.7 11.8 11.9 11.10

Series 738 La prueba de la integral y estimaciones de sumas 751 Pruebas por comparación 760 Series alternantes y convergencia absoluta 765 Pruebas de la razón y de la raíz 774 Estrategia para pruebas de series 779 Series de potencias 781 Representaciones de funciones como series de potencias Series de Taylor y de Maclaurin 795

724

PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO PROYEC TO DE REDACCIÓN

• Sucesiones logísticas 738

787

• Un límite elusivo 810

• Cómo descubrió Newton las series binomiales

811

11.11 Aplicaciones de los polinomios de Taylor 811 PROYEC TO DE APLIC ACIÓN

Repaso

• Radiación de las estrellas

820

821

Problemas adicionales 825 iii

CONTENIDO

12 Vectores y geometría del espacio 12.1 12.2

Sistemas de coordenadas tridimensionales Vectores 836

12.3 12.4

Producto punto 847 Producto cruz 855

PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

12.5

Ecuaciones de rectas y planos PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

829

830

• La forma de una cadena suspendida

846

• La geometría de un tetraedro 864

864 • Cómo poner la tercera dimensión

en perspectiva 874

12.6

Cilindros y superficies cuádricas Repaso 883

875

Problemas adicionales 887

13 Funciones vectoriales 13.1 13.2 13.3 13.4

889

Funciones vectoriales y curvas en el espacio 890 Derivadas e integrales de funciones vectoriales 898 Longitud de arco y curvatura 904 Movimiento en el espacio: velocidad y aceleración 916 PROYEC TO DE APLIC ACIÓN

Repaso

• Las leyes de Kepler 925

927

Problemas adicionales 930

14 Derivadas parciales 14.1 14.2 14.3

933

Funciones de varias variables 934 Límites y continuidad 951 Derivadas parciales 961 PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

de Cobb-Douglas

14.4

Planos tangentes y aproximaciones lineales 974 PROYEC TO DE APLIC ACIÓN

14.5 14.6 14.7

• Derivación de la función de producción

973 • El Speedo LZR Racer 984

La regla de la cadena 985 Derivadas direccionales y el vector gradiente Valores máximo y mínimo 1008 PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

994

• Aproximaciones cuadráticas

y puntos críticos 1019

14.8

Multiplicadores de Lagrange 1020 PROYEC TO DE APLIC ACIÓN

• La ciencia de los cohetes espaciales

PROYEC TO DE APLIC ACIÓN

• Optimización de hidroturbinas

Repaso

1031

Problemas adicionales 1035

1028

1030

CONTENIDO

15 Integrales múltiples 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6

1037

Integrales dobles en rectángulos 1038 Integrales dobles en regiones generales 1051 Integrales dobles en coordenadas polares 1062 Aplicaciones de las integrales dobles 1069 Área de una superficie 1079 Integrales triples 1082 PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

• Volúmenes de hiperesferas 1095

15.7

Integrales triples en coordenadas cilíndricas 1095

15.8

Integrales triples en coordenadas esféricas 1102

PROYEC TO DE DESCUBRIMIENTO

PROYEC TO DE APLIC ACIÓN

15.9

• La intersección de tres cilindros 1101

• Carrera sobre ruedas 1108

Cambio de variables en integrales múltiples 1109 Repaso 1117

Problemas adicionales 1121

16 Cálculo vectorial 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6 16.7 16.8 16.9 16.10

1123

Campos vectoriales 1124 Integrales de línea 1131 Teorema fundamental para integrales de línea 1144 Teorema de Green 1154 Rotacional y divergencia 1161 Superficies paramétricas y sus áreas 1170 Integrales de superficie 1182 Teorema de Stokes 1195 Teorema de la divergencia 1201 Resumen 1208 Repaso 1209

Problemas adicionales 1213

Apéndices F G

Demostración de teoremas A1 Respuestas a ejercicios con números impares

Índice

A39

A1 A5

Prefacio Un gran descubrimiento resuelve un gran problema, sin embargo, hay una pizca de descubrimiento implícito en la resolución de cualquier problema. El problema puede ser modesto; pero si desafía su curiosidad y pone en juego sus facultades inventivas, y si usted lo resuelve por sus propios medios, podrá experimentar la tensión y disfrutar del triunfo del descubrimiento. george polya

El arte de enseñar, dijo Mark Van Doren, es el arte de ayudar al descubrimiento. Como en todas las ediciones anteriores, en esta primera edición en español que corresponde a la novena en inglés, continuamos con la tradición de escribir un libro con el cual se busca ayudar a los estudiantes a descubrir el cálculo, tanto por su eficacia práctica como por su sorprendente belleza. Como autores, intentamos transmitir al estudiante una noción de utilidad del cálculo e impulsar el desarrollo de la competencia técnica. Al mismo tiempo, nos esforzamos por dar cierta apreciación de la belleza intrínseca del tema. Newton experimentó indudablemente una sensación de triunfo cuando hizo sus grandes descubrimientos. Nosotros deseamos que los estudiantes compartan esa emoción. En la obra se enfatiza la comprensión de conceptos. Casi todos los profesores de cálculo coinciden en que esta debería ser la meta principal de la enseñanza del cálculo; para implementar dicha meta, presentamos los temas fundamentales de manera gráfica, numérica, algebraica y verbal, enfatizando las relaciones entre estas diferentes representaciones. La visualización, la experimentación numérica y gráfica, así como las descripciones verbales facilitan, en gran medida, la comprensión de los conceptos. Además, la comprensión conceptual y la habilidad técnica van de la mano, pues cada una refuerza la otra. Estamos muy conscientes de que la buena enseñanza adopta diferentes formas y que existen distintos métodos para enseñar y aprender cálculo; por este motivo, la exposición y los ejercicios están diseñados para adaptarse a diferentes estilos de enseñanza y aprendizaje. Las características (como proyectos, ejercicios ampliados, principios para la resolución de problemas y antecedentes históricos) aportan diversas mejoras a un núcleo central de conceptos y habilidades fundamentales. Nuestro objetivo es proporcionar a los profesores y a sus estudiantes las herramientas que necesitan para trazar su propio camino para descubrir el cálculo.

Versiones alternativas La serie Cálculo de Stewart incluye otros libros de cálculo que podrían ser preferibles para algunos profesores. La mayoría de ellos también se presenta en versiones de una variable y varias variables. • Essential Calculus, segunda edición, es un libro mucho más breve (840 páginas), que, sin embargo, contiene casi todos los temas de Cálculo, primera edición en español que corresponde a la novena en inglés. Su relativa brevedad se logra mediante una exposición más breve de algunos temas, pues algunas características se trasladaron al sitio web.

• Essential Calculus: Early Transcendentals, segunda edición, se asemeja a Essential Calculus, pero las funciones exponenciales, logarítmicas y trigonométricas inversas se cubren en el capítulo 3.

PREFACIO

vii

• Calculus: Concepts and Contexts, cuarta edición, enfatiza la comprensión conceptual con más fuerza todavía que este libro. La cobertura de temas no es enciclopédica y el material sobre funciones trascendentes y ecuaciones paramétricas se entreteje a lo largo del libro en lugar de tratarse en capítulos separados.

• Brief Applied Calculus está dirigido a estudiantes de administración, ciencias sociales y ciencias de la vida.

• Biocalculus: Calculus for the Life Sciences tiene el propósito de mostrar a los

estudiantes de ciencias de la vida cómo se relaciona el cálculo con la biología.

• Biocalculus: Calculus, Probability, and Statistics for the Life Sciences abarca todo

el contenido de Biocalculus: Calculus for the Life Sciences, así como tres capítulos adicionales que abordan probabilidad y estadística.

¿Qué hay de nuevo en esta edición? En gran medida, la estructura general de la obra se mantiene igual pero se realizaron muchas mejoras con el objetivo de lograr que esta edición (primera edición en español que corresponde a la novena en inglés) sea aún más utilizable como herramienta de enseñanza para los profesores y como herramienta de aprendizaje para los estudiantes. Los cambios son el resultado de conversaciones con colegas y estudiantes, sugerencias de usuarios y revisores, conocimientos adquiridos de nuestras propias experiencias al impartir clases con el libro y de las copiosas notas que James Stewart nos confió acerca de los cambios que quería que consideráramos para la nueva edición. En todos los cambios, tanto pequeños como grandes, conservamos las características y el tono que han contribuido al éxito de este libro.

• Más de 20% de los ejercicios son nuevos: Se añadieron ejercicios básicos, donde correspondía, en la parte inicial de los conjuntos de ejercicios. Estos ejercicios tienen la finalidad de aumentar la confianza de los estudiantes y reforzar la comprensión de los conceptos fundamentales de una sección (vea, por ejemplo, los ejercicios 11.4.3–6). En algunos ejercicios nuevos se incluyen gráficas destinadas a ayudar a los estudiantes a comprender cómo una gráfica facilita la solución de un problema; estos ejercicios complementan los ejercicios subsiguientes en los cuales los estudiantes deben trazar su propia gráfica (vea los ejercicios 10.4.43–46, así como 53–54, 15.5.1–2, 15.6.9–12, 16.7.15 y 24, 16.8.9 y 13). Algunos ejercicios se estructuraron en dos etapas: en el inciso (a) se pide el planteamiento y en el inciso (b), la evaluación. Esto permite a los estudiantes verificar su respuesta al inciso (a) antes de completar el problema (vea los ejercicios 15.2.7–10). Se añadieron algunos ejercicios difíciles y ampliados al final de conjuntos de ejercicios específicos (como los ejercicios 11.2.79–81 y 11.9.47). Se añadieron títulos a ejercicios seleccionados cuando estos amplían un concepto analizado en la sección (vea, por ejemplo, los ejercicios 10.1.55–57 y 15.2.80–81). Algunos de nuestros ejercicios favoritos nuevos son 10.5.69, 15.1.38 y 15.4.3–4. Además, el ejercicio 4 de los “Problemas adicionales” que se incluyen después del capítulo 15 es interesante y desafiante.

viii

PREFACIO

• Se añadieron ejemplos nuevos y pasos adicionales a las resoluciones de algunos ejemplos existentes (vea los ejemplos 10.1.5, 14.8.1, 14.8.4 y 16.3.4).

• Se reestructuraron varias secciones y se agregaron nuevos subtítulos para centrar la organización en torno a conceptos clave (las secciones 11.1, 11.2 y 14.2 son buenas muestras de esto).

• Se añadieron muchas gráficas e ilustraciones nuevas, y se actualizaron las existentes para ofrecer una visión gráfica adicional de los conceptos clave.

• Se agregaron algunos temas nuevos y se ampliaron otros (dentro de una sección o en ejercicios ampliados) a solicitud de los revisores (vea, como ejemplo, una subsección sobre torsión en la sección 13.3).

• Se añadieron proyectos nuevos y se actualizaron algunos ya existentes (por

ejemplo, vea el “Proyecto de descubrimiento” que sigue a la sección 12.2 y que se titula La forma de una cadena suspendida).

• Las series alternantes y la convergencia absoluta se tratan ahora en la sección 11.5. • El capítulo sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden, así como el apéndice asociado sobre números complejos, se trasladaron al sitio web.

Características Cada característica está diseñada para complementar diversas prácticas de enseñanza y aprendizaje. A lo largo del libro se presentan antecedentes históricos, ejercicios ampliados, proyectos, principios para la resolución de problemas y muchas oportunidades de experimentar con los conceptos mediante el uso de la tecnología. Como autores somos conscientes de que rara vez hay suficiente tiempo en un semestre para utilizar todas estas características, pero su disponibilidad en el libro le proporciona al profesor la opción de asignar algunas y tal vez simplemente llamar la atención sobre otras para resaltar las ricas ideas del cálculo y su importancia crucial en la vida real.

Q Ejercicios conceptuales La manera más importante de fomentar la comprensión conceptual es mediante los problemas que el profesor asigna. Para ello se incluyen varios tipos de problemas. Algunos conjuntos de ejercicios comienzan con peticiones de explicar el significado de los conceptos básicos de la sección (vea, por ejemplo, los primeros ejercicios de las secciones 11.2, 14.2 y 14.3), y la mayoría contiene ejercicios diseñados para reforzar la comprensión básica (como los ejercicios 11.4.3–6). Otros ejercicios ponen a prueba la comprensión conceptual por medio de gráficas o tablas (vea los ejercicios 10.1.30–33, 13.2.1–2, 13.3.37–43, 14.1.41–44, 14.3.2, 14.3.4–6, 14.6.1–2, 14.7.3–4, 15.1.6–8, 16.1.13–22, 16.2.19–20 y 16.3.1–2). Varios ejercicios proporcionan una gráfica como apoyo visual (por ejemplo, los ejercicios 10.4.43–46, 15.5.1–2, 15.6.9–12 y 16.7.24). Además, todas las secciones de repaso empiezan con las subsecciones “Verificación de conceptos” y “Preguntas de verdadero o falso”. En especial, se valoran los problemas que combinan y comparan distintos enfoques (vea los ejercicios 14.2.3–4, 14.7.3–4, 14.8.2, 15.4.3–4 y 16.3.13).

PREFACIO

Q Conjuntos de ejercicios graduados Cada conjunto de ejercicios está cuidadosamente graduado y avanza desde ejercicios conceptuales básicos hasta otros que contribuyen a desarrollar habilidades y ejercicios gráficos, para pasar después a ejercicios más desafiantes que a menudo amplían los conceptos de la sección, se basan en conceptos de secciones anteriores, o involucran aplicaciones o demostraciones.

Q Datos del mundo real Los datos del mundo real ofrecen una forma tangible de introducir, motivar o ilustrar los conceptos de cálculo. Como resultado, muchos ejemplos y ejercicios abordan funciones definidas por datos numéricos o gráficas. Esos datos reales provienen de empresas y organismos gubernamentales, así como de investigaciones en Internet y bibliotecas. Vea, por ejemplo, el ejemplo 3 de la sección 14.4 (índice de sensación térmica), la figura 1 de la sección 14.6 (mapa de contorno de temperatura), el ejemplo 9 de la sección 15.1 (precipitación de nieve en Colorado) y la figura 1 de la sección 16.1 (campos vectoriales de velocidad del viento en la bahía de San Francisco).

Q Proyectos Una forma de motivar a los estudiantes y convertirlos en aprendices activos es ponerlos a trabajar (tal vez en grupos) en proyectos amplios que les den una sensación de logro sustancial al concluirlos. Hay tres tipos de proyectos en el texto. Los Proyectos de aplicación contienen aplicaciones diseñadas para estimular la imaginación de los alumnos. En el proyecto que se incluye después de la sección 14.8 se aplican los multiplicadores de Lagrange para determinar las masas de las tres etapas de un cohete con el objetivo de reducir al mínimo la masa total y, al mismo tiempo, permitir que el cohete alcance la velocidad deseada. Los Proyectos de descubrimiento anticipan los resultados que se analizarán más adelante o fomentan el descubrimiento por medio del reconocimiento de patrones. Otros “Proyectos de descubrimiento” abordan aspectos de geometría: tetraedros (después de la sección 12.4), hiperesferas (luego de la sección 15.6), e intersecciones de tres cilindros (a continuación de la sección 15.7). Además, en el proyecto que se presenta después de la sección 12.2 se aplica la definición geométrica de derivada para encontrar una fórmula para la forma de una cadena suspendida. Algunos proyectos usan la tecnología de manera sustancial; en el que aparece luego de la sección 10.2 se muestra cómo utilizar las curvas de Bézier para diseñar formas que representan letras en una impresora láser. En la sección Proyecto de redacción, que aparece después de la sección 11.10, se pide a los estudiantes que comparen los métodos actuales con los de los fundadores del cálculo. Además, se sugieren algunas referencias.

Q Tecnología Al emplear tecnología, es particularmente importante entender con claridad los conceptos que subyacen en las imágenes en la pantalla o en los resultados de un cálculo. Cuando se usan de manera correcta, las calculadoras graficadoras y las computadoras son herramientas poderosas para descubrir y comprender esos conceptos. Este libro de texto puede usarse con o sin tecnología; se incluyen dos símbolos especiales para indicar con claridad cuándo se requiere el uso de alguna tecnología en específico. El icono ; indica un ejercicio que exige el uso de un programa o una calculadora graficadora para trazar una gráfica. (Esto no quiere decir que la tecnología no sea útil en otros ejercicios). El símbolo significa que se necesita un software o una calculadora graficadora para completar el ejercicio. Algunos sitios web de acceso libre como WolframAlpha.com o Symbolab.com suelen ser adecuados. Cuando se requieren todos los recursos de un sistema algebraico computacional, como Maple o Mathematica, se

PREFACIO

puntualiza en el ejercicio. Por supuesto, la tecnología no vuelve obsoletos al lápiz y al papel. Los cálculos y los bocetos a mano son a menudo preferibles a la tecnología para ilustrar y reforzar algunos conceptos. Tanto profesores como estudiantes deben desarrollar la habilidad de decidir cuándo es apropiado utilizar la tecnología y cuándo se obtiene más conocimiento al resolver un ejercicio a mano.

Q WebAssign: webassign.net Esta edición está disponible en español en WebAssign, una solución en línea totalmente personalizable para las carreras STEM (Science, Technology, Engineering and Mathematics; ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas) de Cengage. WebAssign incluye tareas, videos, tutoriales. En esta herramienta, los profesores deciden a qué tipo de recursos pueden acceder los estudiantes, y cuándo, mientras trabajan en los proyectos. El motor de calificación patentado evalúa las respuestas de manera incomparable y brinda realimentación instantánea a los estudiantes así como análisis ingeniosos que enfatizan con exactitud los temas en los que presentan dificultades los estudiantes. Para más información, visite latinoamerica.cengage.com/webassign

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PREFACIO

Contenido 10 Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

En este capítulo se presentan las curvas paramétricas y polares y se les aplican los métodos del cálculo. Las curvas paramétricas son adecuadas para proyectos que requieren graficar con tecnología; las que se presentan aquí se relacionan con familias de curvas y curvas de Bézier. Un breve tratamiento de las secciones cónicas en coordenadas polares prepara el camino para las leyes de Kepler en el capítulo 13.

11 Sucesiones, series y series de potencias

Las pruebas de convergencia tienen justificaciones intuitivas (vea la sección 11.3), así como demostraciones formales. Las estimaciones numéricas de sumas de series se basan en la prueba que se haya usado para demostrar la convergencia. Se enfatizan la serie de Taylor y los polinomios, así como sus aplicaciones a la física.

12 Vectores y geometría del espacio El material sobre geometría analítica tridimensional y vectores se cubre en este capítulo

y en el siguiente. Aquí se abordan vectores, producto punto y producto cruz, rectas, planos y superficies. 13 Funciones vectoriales

En este capítulo se cubren las funciones con valor vectorial, sus derivadas e integrales, la longitud y curvatura de curvas en el espacio, y la velocidad y aceleración a lo largo de las curvas en el espacio, y finaliza con las leyes de Kepler.

14 Derivadas parciales

Las funciones de dos o más variables se estudian desde los puntos de vista verbal, numérico, visual y algebraico. En particular, las derivadas parciales se presentan examinando una columna específica de una tabla de valores del índice de sensación térmica (temperatura percibida del aire) como una función de la temperatura real y la humedad relativa.

15 Integrales múltiples

Se utilizan mapas de contorno y la regla del punto medio para estimar la precipitación promedio de nieve y la temperatura promedio de determinadas regiones. Las integrales dobles y triples se emplean para calcular volúmenes, áreas de superficies y (en proyectos) volúmenes de hiperesferas y volúmenes de intersecciones de tres cilindros. Se presentan coordenadas cilíndricas y esféricas en el contexto de evaluación de integrales triples. Se consideran varias aplicaciones, entre ellas, el cálculo de masa, carga y probabilidades.

16 Cálculo vectorial

Los campos vectoriales se presentan mediante imágenes de campos de velocidad que muestran patrones de viento de la bahía de San Francisco. Se destacan las semejanzas entre el teorema fundamental para integrales de línea, así como los teoremas de Green, de Stokes y de la divergencia.

Capítulo en línea 17 Ecuaciones diferenciales de segundo orden

Dado que las ecuaciones diferenciales de primer orden se cubren en el capítulo 9, este capítulo en línea aborda las ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden, su aplicación a resortes vibratorios y circuitos eléctricos y soluciones de series.

Recursos adicionales Esta obra cuenta con varios recursos adicionales. Para mayor información, consulte a su representante local de Cengage.

xii

PREFACIO

Agradecimientos Uno de los factores principales que influyó en la preparación de esta edición fue el consejo sólido y acertado de un gran número de revisores, todos ellos con amplia experiencia en la enseñanza del cálculo. Agradecemos enormemente sus sugerencias y el tiempo que dedicaron a comprender el método que se siguió en este libro. Hemos aprendido algo de cada uno de ellos.

Q Revisores de la novena edición en inglés Malcolm Adams, University of Georgia Ulrich Albrecht, Auburn University Bonnie Amende, Saint Martin’s University Champike Attanayake, Miami University Middletown Amy Austin, Texas A&M University Elizabeth Bowman, University of Alabama Joe Brandell, West Bloomfield High School / Oakland University Lorraine Braselton, Georgia Southern University Mark Brittenham, University of Nebraska – Lincoln Michael Ching, Amherst College Kwai-Lee Chui, University of Florida Arman Darbinyan, Vanderbilt University Roger Day, Illinois State University Toka Diagana, Howard University Karamatu Djima, Amherst College Mark Dunster, San Diego State University Eric Erdmann, University of Minnesota – Duluth Debra Etheridge, The University of North Carolina at Chapel Hill Jerome Giles, San Diego State University Mark Grinshpon, Georgia State University Katie Gurski, Howard University John Hall, Yale University David Hemmer, University at Buffalo – SUNY, N. Campus Frederick Hoffman, Florida Atlantic University Keith Howard, Mercer University Iztok Hozo, Indiana University Northwest Shu-Jen Huang, University of Florida Matthew Isom, Arizona State University – Polytechnic James Kimball, University of Louisiana at Lafayette Thomas Kinzel, Boise State University Anastasios Liakos, United States Naval Academy Chris Lim, Rutgers University – Camden

Jia Liu, University of West Florida Joseph Londino, University of Memphis Colton Magnant, Georgia Southern University Mark Marino, University at Buffalo – SUNY, N. Campus Kodie Paul McNamara, Georgetown University Mariana Montiel, Georgia State University Russell Murray, Saint Louis Community College Ashley Nicoloff, Glendale Community College Daniella Nokolova-Popova, Florida Atlantic University Giray Okten, Florida State University – Tallahassee Aaron Peterson, Northwestern University Alice Petillo, Marymount University Mihaela Poplicher, University of Cincinnati Cindy Pulley, Illinois State University Russell Richins, Thiel College Lorenzo Sadun, University of Texas at Austin Michael Santilli, Mesa Community College Christopher Shaw, Columbia College Brian Shay, Canyon Crest Academy Mike Shirazi, Germanna Community College–Fredericksburg Pavel Sikorskii, Michigan State University Mary Smeal, University of Alabama Edwin Smith, Jacksonville State University Sandra Spiroff, University of Mississippi Stan Stascinsky, Tarrant County College Jinyuan Tao, Loyola University of Maryland Ilham Tayahi, University of Memphis Michael Tom, Louisiana State University – Baton Rouge Michael Westmoreland, Denison University Scott Wilde, Baylor University Larissa Wiliamson, University of Florida Michael Yatauro, Penn State Brandywine Gang Yu, Kent State University Loris Zucca, Lone Star College – Kingwood

PREFACIO

xiii

Q Revisores de esta edición en español Guillermo Alcántara Jiménez, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Economía Elizabeth Almazán Torres, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Economía María Soledad Arriaga, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa Sofía Magdalena Ávila Becerril, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería Alejandra Maribel Barragán Martínez, Universidad Anáhuac México, Facultad de Ingeniería; Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería Genoveva Barrera Godínez, Instituto Politécnico Nacional, ESIME Zacatenco; Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Economía Adriana Caballero Rosas, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa Marisol Cano Cruz, Universidad Anáhuac, Campus Querétaro Paulo Sergio Cornejo Guerra, Tecnológico Nacional de México, Campus Querétaro Isabel Cristina Elizondo Ordóñez, Universidad de Monterrey José Luis García Arellano, Instituto Tecnológico de Querétaro Mauricio García Martínez, Universidad Autónoma del Estado de México Jerónimo Gómez Rodríguez, Tecnológico Nacional de México, Instituto Tecnológico de San Juan del Río Juan Manuel Guadarrama Fonseca, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Ingeniería Andrés Guerrero Elizondo, Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey José Alberto Gutiérrez Palacios, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Ingeniería Héctor Hugo Hernández Hernández, Universidad Autónoma de Chihuahua, Facultad de Ingeniería María del Carmen Hernández Maldonado, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Ingeniería Armando Herrera Barrera, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Ingeniería María de los Ángeles Izquierdo Lara, Universidad Politécnica del Valle de Toluca Víctor Larios Osorio, Universidad Autónoma de Querétaro Miguel Ángel Loredo Robledo, Universidad Politécnica del Valle de Toluca

Gisela Virginia Martínez López, Universidad Politécnica de Querétaro Francisco Javier Mejía Salazar, Universidad EIA, Sede Envigado, Colombia Javier Mozqueda Lafarga, Tecnológico Nacional de México, Campus Culiacán Eder Yair Nolasco Terrón, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Química Alejandro Ordaz Flores, Universidad Iberoamericana María Guadalupe Ortega Barbosa, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería José Marcos Pérez Chanelo, Universidad Tecnológica de Querétaro, División Industrial Sergio Piña Soto, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Economía Minerva Robles-Agudo, Universidad Tecnológica de Querétaro Leomar Salazar Flores, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Ciencias y Facultad de Economía Francisco Javier Sánchez Bernabe, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa Cristina Segura Cabrera, Universidad Tecnológica de Querétaro Saulo Servín Guzmán, Tecnológico Nacional de México, Campus San Juan del Río Jorge Homero Sierra Cavazos, Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey Luis Humberto Soriano Sánchez, Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería Ramón Torres Alonso, Tecnológico Nacional de México, Campus Querétaro; Universidad Autónoma de Querétaro, Facultad de Ingeniería Merced Torres Sánchez, Universidad Autónoma del Estado de México, Facultad de Ingeniería Eduardo Uresti Charre, Tecnológico de Monterrey, Campus Monterrey José Alfredo Uribe Alcántara, Universidad Autónoma Metropolitana, Unidad Iztapalapa Ernestina Imelda Vargas Gutiérrez, Universidad Politécnica del Valle de Toluca Martín Carlos Vera Estrada, Universidad Autónoma del Estado de México, Unidad Académica Profesional Tianguistenco

xiv

PREFACIO

Agradecemos a todos los que contribuyeron a esta edición (son muchos), así como a quienes realizaron aportaciones en ediciones anteriores que se mantienen en esta nueva edición. Agradecemos a Marigold Ardren, David Behrman, George Bergman, R. B. Burckel, Bruce Colletti, John Dersch, Gove Effinger, Bill Emerson, Alfonso Gracia-Saz, Jeffery Hayen, Dan Kalman, Quyan Khan, John Khoury, Allan MacIsaac, Tami Martin, Monica Nitsche, Aaron Peterson, Lamia Raffo, Norton Starr, Jim Trefzger, Aaron Watson y Weihua Zeng por sus sugerencias; a Joseph Bennish, Craig Chamberlin, Kent Merryfield y Gina Sanders por las perspicaces conversaciones sobre cálculo; a Al Shenk y Dennis Zill por permitirnos utilizar ejercicios de sus libros de cálculo; a COMAP por la autorización para usar material para los proyectos; a David Bleecker, Victor Kaftal, Anthony Lam, Jamie Lawson, Ira Rosenholtz, Paul Sally, Lowell Smylie, Larry Wallen y Jonathan Watson por sus ideas de ejercicios; a Dan Drucker por el proyecto del roller derby; a Thomas Banchoff, Tom Farmer, Fred Gass, John Ramsay, Larry Riddle, Philip Straffin y Klaus Volpert por ideas de proyectos; a Josh Babbin, Scott Barnett y Gina Sanders por resolver los ejercicios nuevos y sugerir formas de mejorarlos; a Jeff Cole por supervisar todas las soluciones de los ejercicios y asegurarse de que fueran correctas; a Mary Johnson y Marv Riedesel por la precisión en la corrección de pruebas, y a Doug Shaw por comprobar la precisión. Además, agradecemos a Dan Anderson, Ed Barbeau, Fred Brauer, Andy Bulman-Fleming, Bob Burton, David Cusick, Tom DiCiccio, Garret Etgen, Chris Fisher, Barbara Frank, Leon Gerber, Stuart Goldenberg, Arnold Good, Gene Hecht, Harvey Keynes, E. L. Koh, Zdislav Kovarik, Kevin Kreider, Emile LeBlanc, David Leep, Gerald Leibowitz, Larry Peterson, Mary Pugh, Carl Riehm, John Ringland, Peter Rosenthal, Dusty Sabo, Dan Silver, Simon Smith, Alan Weinstein y Gail Wolkowicz. Expresamos nuestro agradecimiento a Phyllis Panman por ayudarnos a preparar el manuscrito, resolver los ejercicios y sugerir otros nuevos, así como por la revisión crítica de todo el manuscrito. Estamos profundamente agradecidos con nuestro amigo y colega Lothar Redlin, que comenzó a trabajar con nosotros en esta revisión poco antes de su prematura muerte en 2018. Sus profundos conocimientos en matemáticas, su pedagogía y sus habilidades para resolver problemas a la velocidad del rayo, fueron cualidades invaluables. Agradecemos, en especial, a Kathi Townes de TECHarts, nuestro servicio de producción y edición de texto (tanto en esta como en las ediciones anteriores). Su extraordinaria habilidad para recordar todos los detalles del manuscrito según fuera necesario, su facilidad para manejar simultáneamente diferentes tareas de edición y su amplio conocimiento del libro fueron factores esenciales en su precisión y producción oportunas. También agradecemos a Lori Heckelman por la representación elegante y precisa de las nuevas ilustraciones. En Cengage Learning agradecemos a Timothy Bailey, Teni Baroian, Diane Beasley, Carly Belcher, Vernon Boes, Laura Gallus, Stacy Green, Justin Karr, Mark Linton, Samantha Lugtu, Ashley Maynard, Irene Morris, Lynh Pham, Jennifer Risden, Tim Rogers, Mark Santee, Angela Sheehan y Tom Ziolkowski. Todos ellos realizaron un trabajo excepcional. En las últimas tres décadas, este libro se benefició en gran medida de la asesoría y la orientación de algunos de los mejores editores de matemáticas: Ron Munro, Harry Campbell, Craig Barth, Jeremy Hayhurst, Gary Ostedt, Bob Pirtle, Richard Stratton, Liz Covello, Neha Taleja y ahora Gary Whalen. Todos ellos han contribuido significativamente al éxito de este libro. De manera prominente, el amplio conocimiento de Gary Whalen de los temas de actualidad en la enseñanza de las matemáticas y su continua investigación para crear mejores formas de usar la tecnología como instrumento de enseñanza y aprendizaje fueron recursos invaluables en la creación de esta edición. JA M E S S T E WA RT DA N I E L C L E G G S A L E E M WAT S O N

Tecnología en esta edición Los dispositivos para graficar y calcular son herramientas valiosas para aprender y explorar el cálculo, y algunos ya tienen un lugar bien establecido en la enseñanza de la materia. Las calculadoras graficadoras son útiles para trazar gráficas y realizar algunos cálculos numéricos, como la aproximación de soluciones de las ecuaciones o la evaluación numérica de las derivadas o integrales definidas. Los paquetes de software matemático llamados sistemas algebraicos computacionales (SAC) son herramientas más potentes. A pesar del nombre, el álgebra representa solo un pequeño subconjunto de las capacidades de un SAC. En particular, un SAC puede hacer cálculos matemáticos de manera simbólica en lugar de solo numéricamente; es capaz de obtener soluciones de las ecuaciones y fórmulas exactas para las derivadas e integrales. En la actualidad, hay una variedad amplia de herramientas de diversas capacidades. Entre ellas se encuentran recursos en línea (algunos de los cuales son gratuitos) y aplicaciones para teléfonos inteligentes y tabletas. Muchos de estos recursos incluyen al menos cierta funcionalidad de un SAC, por lo que algunos ejercicios que normalmente requerían un SAC ahora pueden realizarse con estas herramientas alternativas. En esta edición, en lugar de hacer referencia a un tipo específico de dispositivo (una calculadora graficadora, por ejemplo) o a un software (como un SAC), se indica la capacidad que se necesita para hacer un ejercicio.

;

Icono de gráfica La aparición de este icono al lado de un ejercicio indica que se espera que utilice un dispositivo o software para ayudarle a trazar la gráfica. En muchos casos, una calculadora graficadora es suficiente. Algunos sitios web, como Desmos.com, ofrecen una capacidad similar. Si la gráfica es tridimensional (vea los capítulos 12-16), WolframAlpha.com es un buen recurso. También hay muchas aplicaciones de software de gráficas para computadoras, teléfonos inteligentes y tabletas. Si se pide una gráfica en un ejercicio pero no aparece el icono de gráfica, entonces se espera que trace la gráfica a mano. En el capítulo 1 se revisan las gráficas de las funciones básicas y se explica cómo usar las transformaciones para graficar versiones modificadas de estas funciones básicas. Icono de tecnología Este icono indica que se necesita software o un dispositivo con más capacidades que la mera elaboración de gráficas para realizar el ejercicio. Muchas calculadoras graficadoras y recursos de software proporcionan aproximaciones numéricas cuando es necesario. Para trabajar con matemáticas en términos simbólicos, son útiles los sitios web como WolframAlpha.com o Symbolab.com, así como calculadoras graficadoras más avanzadas, como la Texas Instrument TI-89 o la TI-Nspire CAS. Cuando es necesaria toda la potencia de un SAC, se indica en el ejercicio y es posible que se requiera acceso a paquetes de software como Mathematica, Maple, MATLAB o SageMath. Si un ejercicio no incluye el icono de tecnología, se espera que evalúe los límites, derivadas e integrales, o que resuelva las ecuaciones a mano, para llegar a respuestas exactas. Para estos ejercicios, no se necesita ninguna tecnología más allá de, quizá, una calculadora científica básica.

Al estudiante Leer un libro de cálculo es diferente a leer una historia o un artículo periodístico. No se desanime si tiene que leer un pasaje más de una vez para comprenderlo. Debe tener papel, lápiz y calculadora a la mano para dibujar un diagrama o hacer un cálculo. Algunos estudiantes primero tratan de resolver sus problemas de tarea y solo leen el texto si tienen dificultades con un ejercicio. Se sugiere un plan mucho mejor: leer y comprender una sección del texto antes de intentar resolver los ejercicios. En particular, debe leer las definiciones para conocer el significado exacto de los términos. Además, antes de leer cada ejemplo, se sugiere que no vea la solución y que trate de resolver el problema usted mismo. Parte del objetivo de este curso es desarrollar el pensamiento lógico. Aprenda a escribir las soluciones de los ejercicios de forma conectada, paso a paso, con enunciados explicativos y no solo como una serie de ecuaciones o fórmulas desconectadas. Las respuestas a los ejercicios de números impares se presentan al final del libro, en el apéndice G. En algunos ejercicios se pide una explicación, interpretación verbal o una descripción. En estos casos no existe una forma correcta única de expresar la respuesta, así que no se preocupe si no encuentra la respuesta definitiva. Además, a menudo hay varias formas de expresar una respuesta numérica o algebraica; por lo tanto, si su respuesta difiere de la que se proporciona, no suponga de inmediato que se equivocó. Por — — ejemplo, si la respuesta dada en la parte final del libro es √2 2 1 y obtiene 1y(1 1 √2 ), usted está en lo correcto, y si racionaliza el denominador comprobará que las respuestas son equivalentes. El icono ; indica un ejercicio que definitivamente requiere una calculadora graficadora o una computadora con software de gráficas para trazar la gráfica. Sin embargo, eso no significa que no pueda utilizar estos dispositivos de gráficas para comprobar también su trabajo en los demás ejercicios. El símbolo indica que se requiere asistencia tecnológica más allá de solo el trazado de gráficas para realizar el ejercicio (vea más detalles en la sección “Tecnología en esta edición”). También encontrará el símbolo , que advierte que tenga cuidado de no cometer un error. Este símbolo se coloca al margen en situaciones en las que muchos estudiantes tienden a caer en el mismo error. Al terminar el curso, se recomienda que guarde este libro para consulta pues es probable que olvide algunos detalles específicos del cálculo, en cuyo caso el libro servirá como recordatorio útil cuando necesite usar cálculo en cursos posteriores. Además, como este libro contiene más material del que se puede abarcar en un solo curso, también puede servir como recurso valioso para un científico o ingeniero en activo. El cálculo es un tema apasionante y es considerado uno de los mayores logros del intelecto humano. Esperamos que descubra que no solo es útil, sino que también es intrínsecamente hermoso.

xvi

SECCIÓN

661

En la foto se aprecia el cometa Hale-Bopp cerca de la Tierra en 1997; se estima que regresará en el año 4380. Fue uno de los cometas más brillantes del siglo pasado; se pudo observar a simple vista en el cielo nocturno durante unos 18 meses. Debe su nombre a sus descubridores, Alan Hale y Thomas Bopp, quienes lo observaron por telescopio por primera vez en 1995 (Hale en Nuevo México y Bopp en Arizona). En la sección 10.6 se verá que las coordenadas polares proporcionan una ecuación adecuada para calcular la trayectoria elíptica de la órbita del cometa. ©Jeff SchneidermanyMoment Open/Getty Images

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares HASTA AHORA SE HAN DESCRITO las curvas en un plano con y como función de x fy − f (x)g, con x como función de y fx − t(y)g o con una relación entre x y y que define y de manera implícita como función de x ff (x, y) − 0g. En este capítulo se analizan dos métodos nuevos para describir curvas. Algunas curvas, como la cicloide, se analizan mejor si tanto x como y se expresan en términos de una tercera variable t llamada parámetro fx − f (t), y − t(t)g. Otras curvas, como la cardioide, tienen una representación más conveniente cuando se utiliza un nuevo sistema de coordenadas: el sistema de coordenadas polares.

661

662

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

10.1 Curvas definidas por ecuaciones paramétricas Imagine que una partícula se mueve a lo largo de la curva C que se muestra en la figura 1. Es imposible describir C mediante una ecuación de la forma y − f (x) porque C no pasa la prueba de la recta vertical. Sin embargo, las coordenadas x y y de la partícula son funciones del tiempo t y, por lo tanto, se puede escribir x − f (t) y y − t(t). Este par de ecuaciones suele ser una forma conveniente de describir una curva. y

(x, y)={ f(t), g(t)}

FIGURA 1

■ Ecuaciones paramétricas Suponga que x y y se dan como funciones de una tercera variable t, llamada parámetro, por las ecuaciones x − f std

y − tstd

que se conocen como ecuaciones paramétricas. Cada valor de t determina un punto (x, y), que se traza en un plano coordenado. Conforme t varía, el punto (x, y) − (f (t), t(t)) también varía y traza una curva que se denomina curva paramétrica. El parámetro t no representa necesariamente el tiempo; de hecho, podría usarse otra letra distinta de t para el parámetro. Sin embargo, en muchas aplicaciones de curvas paramétricas, t sí denota el tiempo y en este caso se puede interpretar (x, y) − (f (t), t(t)) como la posición de un objeto en movimiento en el tiempo t.

EJEMPLO 1 Trace e identifique la curva definida por las ecuaciones paramétricas x − t 2 2 2t

y−t11

SOLUCIÓN Cada valor de t indica un punto en la curva, como se muestra en la tabla. Por ejemplo, si t − 1, entonces x − 21, y − 2, de modo que el punto correspondiente es (21, 2). En la figura 2, se trazan los puntos (x, y) determinados por varios valores del parámetro y se unen para trazar una curva.

22 21 0 1 2 3 4

x 8 3 0 21 0 3 8

21 0 1 2 3 4 5

t=4 t=3

t=2 t=1 8

t=0 0

t=_1 t=_2

FIGURA 2

SECCIÓN 10.1

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

663

Una partícula, cuya posición en el tiempo t se define por ecuaciones paramétricas, se mueve a lo largo de la curva en la dirección de las flechas a medida que t aumenta. Observe que los puntos consecutivos marcados en la curva aparecen a intervalos de tiempo iguales pero no a distancias iguales. Esto se debe a que la partícula desacelera y luego acelera a medida que t aumenta. A partir de la figura 2, se deduce que la curva trazada por la partícula puede ser una parábola. De hecho, de la segunda ecuación se obtiene t − y 2 1 y la sustitución en la primera ecuación da x − t 2 2 2t − sy 2 1d2 2 2sy 2 1d − y 2 2 4y 1 3 Como la ecuación x − y2 2 4y 1 3 se satisface para todos los pares de valores x y y definidos por las ecuaciones paramétricas, cada punto (x, y) de la curva paramétrica debe situarse en la parábola x − y2 2 4y 1 3, por lo que la curva paramétrica coincide con, al menos, una parte de esta parábola. Dado que se puede elegir t para hacer de y cualquier número real, se sabe que la curva paramétrica es la parábola completa. ■ No siempre es posible eliminar el parámetro de las ecuaciones paramétricas. Hay muchas curvas paramétricas que no tienen una representación equivalente como una ecuación en x y y.

y (8, 5)

En el ejemplo 1 se encontró una ecuación cartesiana en x y y cuya gráfica coincidía con la curva representada por las ecuaciones paramétricas. Este proceso se llama eliminación del parámetro; es útil para identificar la forma de la curva paramétrica pero se pierde un poco de información al hacerlo. La ecuación en x y y describe la curva por la que viaja la partícula, mientras que las ecuaciones paramétricas tienen ventajas adicionales: indican dónde está la partícula en un tiempo dado y la dirección del movimiento. Si se piensa en la gráfica de una ecuación en x y y como una carretera, entonces las ecuaciones paramétricas podrían seguir el movimiento de un auto que viaja por la carretera. No hay ninguna restricción para el parámetro t en el ejemplo 1, por lo que se supuso que t podría ser cualquier número real (incluso un número negativo). Sin embargo, a veces se restringe t para que se encuentre en un intervalo determinado. Por ejemplo, la curva paramétrica x − t 2 2 2t

(0, 1)

0<t<4

que se muestra en la figura 3 es la parte de la parábola del ejemplo 1 que comienza en el punto (0, 1) y termina en el punto (8, 5). La punta de la flecha indica la dirección en la que se traza la curva a medida que t aumenta desde 0 hasta 4. En general, la curva con las ecuaciones paramétricas

y−t11

FIGURA 3

x − f std

y − tstd

a<t<b

tiene un punto inicial (f (a), t(a)) y un punto terminal (f (b), t(b)).

EJEMPLO 2 ¿Qué curva está representada por las siguientes ecuaciones paramétricas? x − cos t π

t= 2

t 0

t=2π t=

FIGURA 4

3π 2

x 2 1 y 2 − cos 2t 1 sen2t − 1

t=0 (1, 0)

0<t<2

SOLUCIÓN Si se trazan algunos puntos, parece que la curva es una circunferencia. Esto se confirma eliminando el parámetro t. Observe que

(cos t, sen t)

t=π

y − sen t

Como x2 1 y2 − 1 se satisface para todos los pares de valores de x y y generados por las ecuaciones paramétricas, el punto (x, y) se mueve a lo largo de la circunferencia unitaria x2 1 y2 − 1. Note que en este ejemplo el parámetro t puede interpretarse como el ángulo (en radianes) que aparece en la figura 4. A medida que t aumenta desde 0 hasta 2 , el punto (x, y) − (cos t, sen t) se mueve una vez alrededor de la circunferencia en sentido contrario a las manecillas del reloj a partir del punto (1, 0). ■

664

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

EJEMPLO 3 ¿Qué curva representan las ecuaciones paramétricas indicadas?

t=0, π, 2π

x − sen 2t (0, 1)

y − cos 2t

0<t<2

SOLUCIÓN Nuevamente se tiene

x 2 1 y 2 − sen2 s2td 1 cos 2 s2td − 1 por lo que las ecuaciones paramétricas representan, una vez más, la circunferencia unitaria x2 1 y2 − 1. Pero a medida que t aumenta desde 0 hasta 2 , el punto (x, y) − (sen 2t, cos 2t) comienza en (0, 1) y se mueve dos veces alrededor de la circunferencia en el sentido de las manecillas del reloj, como se indica en la figura 5. ■

EJEMPLO 4 Halle ecuaciones paramétricas para la circunferencia con centro (h, k) y

FIGURA 5

radio r. SOLUCIÓN Una forma es tomar las ecuaciones paramétricas de la circunferencia unitaria del ejemplo 2 y multiplicar las expresiones para x y y por r, lo que da x − r cos t, y − r sen t. Se puede verificar que estas ecuaciones representan una circunferencia con radio r y centro en el origen, trazado en el sentido contrario a las manecillas del reloj. Ahora se desplazan h unidades en la dirección x y k unidades en la dirección y, obteniendo las ecuaciones paramétricas de la circunferencia (figura 6) con centro (h, k) y radio r:

y r (h, k)

x − h 1 r cos t 0

FIGURA 6 x − h 1 r cos t, y − k 1 r sen t.

y − k 1 r sen t

0<t<2

■

NOTA En los ejemplos 2 y 3 se muestra que diferentes ecuaciones paramétricas pueden representar la misma curva. De este modo, se distingue entre una curva, que es un conjunto de puntos, y una curva paramétrica, en la que los puntos se trazan de una manera particular.

En el siguiente ejemplo, se aplican ecuaciones paramétricas para describir los movimientos de cuatro partículas que se desplazan a lo largo de la misma curva pero de diferentes maneras.

EJEMPLO 5 Cada uno de los siguientes conjuntos de ecuaciones paramétricas da la posición de una partícula en movimiento en el tiempo t. (a) x − t 3, y − t (c) x − t 3y2, y − st

(b) x − 2t 3, y − 2t (d) x − e23t, y − e2t

En cada caso, al eliminar el parámetro se obtiene x − y3, por lo que cada partícula se mueve a lo largo de la curva cúbica x − y3; sin embargo, las partículas se mueven de diferentes maneras, como se ilustra en la figura 7. (a) La partícula se mueve de izquierda a derecha a medida que t aumenta. (b) La partícula se mueve de derecha a izquierda a medida que t aumenta. (c) Las ecuaciones se definen solo para t ù 0. La partícula comienza en el origen (donde t − 0) y se mueve hacia la derecha conforme t aumenta. (d) Aquí x . 0 y y . 0 para toda t. La partícula se mueve de derecha a izquierda y se aproxima al punto (1,1) a medida que t aumenta (a través de valores negativos) hacia 0. Cuanto más aumenta t, la partícula se aproxima al origen, pero no lo alcanza. y

(a) x=t#, y=t

FIGURA 7

(b) x=_t#, y=_t

(d) x=e_3t, y=e_t

■

SECCIÓN 10.1 y

(_1, 1)

EJEMPLO 6 Trace la curva con las ecuaciones paramétricas x − sen t, y − sen2 t.

(1, 1)

665

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

SOLUCIÓN Observe que y − (sen t)2 − x2 y, por lo tanto, el punto (x, y) se mueve en la parábola y − x2. Pero observe también que, como 21 ø sen t ø 1, se tiene 21 ø x ø 1, por lo que las ecuaciones paramétricas representan solo la parte de la parábola para la que 21 ø x ø 1. Dado que sen t es periódica, el punto (x, y) − (sen t, sen2 t) se mueve hacia adelante y hacia atrás infinitamente, a lo largo de la parábola, desde (21, 1) hasta (1, 1) (vea la figura 8). ■

FIGURA 8

EJEMPLO 7 En la figura 9 se muestra la curva representada por las ecuaciones paramétricas x − cos t, y − sen 2t. Es un ejemplo de una figura de Lissajous (vea el ejercicio 63). Es posible eliminar el parámetro, pero la ecuación resultante (y2 − 4x2 2 4x4) no es muy útil. Otra forma de visualizar la curva es trazar primero las gráficas de x y y individualmente como funciones de t, como se muestra en la figura 10. y

π 2

2π

x=cos t, y=sen 2t

π 2

2π t

x=cos t

FIGURA 9

y=sen 2t

FIGURA 10

Se ve que a medida que t aumenta desde 0 hasta y2, x decrece desde 1 hasta 0 mientras que y comienza en 0, crece a 1 y luego vuelve a 0. Estas descripciones juntas producen la parte de la curva paramétrica que se ve en el primer cuadrante. Si se procede de manera similar, se obtiene la curva completa (vea los ejercicios 31–33 para practicar con esta técnica). ■

■ Gráficas de curvas paramétricas con tecnología La mayoría de las aplicaciones computacionales y calculadoras graficadoras puede trazar curvas definidas por ecuaciones paramétricas. De hecho, es interesante ver cómo una calculadora graficadora traza una curva paramétrica porque los puntos aparecen en orden a medida que aumentan los valores de los parámetros correspondientes. El siguiente ejemplo muestra que las ecuaciones paramétricas sirven para producir la gráfica de una ecuación cartesiana en la que x se expresa como función de y. (Algunas calculadoras, por ejemplo, requieren que y se exprese como función de x).

EJEMPLO 8 Con una calculadora o computadora, grafique la curva x − y4 2 3y2.

SOLUCIÓN Si el parámetro es t − y se tienen las ecuaciones _3

FIGURA 11

x − t 4 2 3t 2

y−t

Al utilizar estas ecuaciones paramétricas para graficar la curva se obtiene la figura 11. Sería posible despejar y en la ecuación indicada (x − y4 2 3y2) como cuatro funciones de x y graficarlas individualmente, pero las ecuaciones paramétricas proporcionan un método mucho más fácil. ■

666

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

En general, para graficar una ecuación de la forma x − t(y) se pueden usar las ecuaciones paramétricas x − tstd

y−t

En el mismo sentido, note que las curvas con las ecuaciones y − f (x) (las más comunes: gráficas de funciones) también pueden considerarse como curvas con ecuaciones paramétricas x−t

y − f std

El software para graficación es particularmente útil para trazar curvas paramétricas complicadas. Por ejemplo, sería virtualmente imposible producir en forma manual las curvas de las figuras 12, 13 y 14.

3.5

_3.5

3.5

_3.5

FIGURA 12

FIGURA 13

FIGURA 14

x − t 1 sen 5t y − t 1 sen 6t

x − cos t 1 cos 6t 1 2 sen 3t y − sen t 1 sen 6t 1 2 cos 3t

x − 2.3 cos 10t 1 cos 23t y − 2.3 sen 10t 2 sen 23t

Uno de los usos más importantes de las curvas paramétricas es el diseño asistido por computadora (CAD, computer-aided design). En el “Proyecto de descubrimiento” al final de la sección 10.2 se analizan las curvas paramétricas especiales, llamadas curvas de Bézier, muy comunes en procesos de fabricación, especialmente en la industria automotriz. Estas curvas también se emplean para especificar las formas de las letras y otros símbolos en documentos PDF e impresoras láser.

■ Cicloide EJEMPLO 9 La curva trazada por un punto P en la circunferencia de un círculo a medida que el círculo rueda a lo largo de una línea recta se llama cicloide (piense en el camino trazado por un guijarro atascado en el neumático de un auto; vea la figura 15). Si el círculo tiene radio r y rueda a lo largo del eje x y si una posición de P es el origen, encuentre las ecuaciones paramétricas para la cicloide.

P P

FIGURA 15

SECCIÓN 10.1

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

667

SOLUCIÓN Se elige como parámetro el ángulo de rotación del círculo ( − 0 cuando P está en el origen). Suponga que el círculo giró a través de radianes. Como el círculo ha estado en contacto con la recta, se ve en la figura 16 que la distancia que ha rodado desde el origen es

r P

| OT | − arc PT − r

C (r¨, r )

Por lo tanto, el centro del círculo es C(r , r). Sean (x, y) las coordenadas de P. Entonces, de la figura 16 se observa que

y x T

x − OT 2 PQ − r 2 r sen

| | | | y − | TC | 2 | QC | − r 2 r cos

r¨

FIGURA 16

− rs 2 sen d − r s1 2 cos d

Por lo tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicloide son 1

x − r s 2 sen d

y − r s1 2 cos d

Un arco de la cicloide proviene de una rotación del círculo, por lo cual se describe por 0 ø ø 2 . Aunque las ecuaciones 1 se obtuvieron de la figura 16, que ilustra el caso donde 0 , , y2, se ve que estas ecuaciones todavía son válidas para otros valores de (vea el ejercicio 48). Aunque es posible eliminar el parámetro de las ecuaciones 1, la ecuación cartesiana resultante en x y y es muy complicada fx − r cos21s1 2 yyrd 2 s2ry 2 y 2 da solo la mitad de un arcog y no es tan conveniente para trabajar con ella como con las ecuaciones paramétricas. ■

cicloide B

FIGURA 17

P P

FIGURA 18

Una de las primeras personas en estudiar la cicloide fue Galileo; él propuso construir puentes en forma de cicloides y trató de encontrar el área debajo de un arco de una cicloide. Más tarde esta curva surgió en conexión con el problema de la braquistócrona: encontrar la curva a lo largo de la cual una partícula se desliza en el menor tiempo (por influencia de la gravedad) desde un punto A hasta un punto más bajo B no directamente debajo de A. El matemático suizo John Bernoulli, quien planteó este problema en 1696, mostró que entre todas las curvas posibles que unen A con B, como en la figura 17, la partícula tardará menos tiempo en deslizarse desde A hasta B si la curva es parte de un arco invertido de una cicloide. En 1673, el físico holandés Huygens demostró que la cicloide es también la solución al problema de la tautócrona; es decir, sin importar dónde se coloque una partícula P en una cicloide invertida, tarda el mismo tiempo en deslizarse hasta el fondo (vea la figura 18). Huygens propuso que los relojes de péndulo (que él inventó) oscilaran en arcos cicloidales porque entonces el péndulo tardaría el mismo tiempo en completar una oscilación, ya sea que oscilara a través de un arco amplio o de un arco pequeño.

■ Familias de curvas paramétricas EJEMPLO 10 Analice la familia de curvas con las ecuaciones paramétricas x − a 1 cos t

y − a tan t 1 sen t

¿Qué tienen en común estas curvas? ¿Cómo cambia la forma a medida que a aumenta? SOLUCIÓN Con una calculadora graficadora (o computadora) se producen las gráficas de los casos a − 22, 21, 20.5, 20.2, 0, 0.5, 1 y 2 que se muestran en la figura 19. Observe que todas estas curvas (excepto el caso a − 0) tienen dos ramas, y ambas ramas se aproximan a la asíntota vertical x − a cuando x se aproxima a a por la izquierda o por la derecha.

668

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

a=_2

a=_1

a=0

a=0.5

FIGURA 19 Miembros de la familia x − a 1 cos t, y − a tan t 1 sen t, todos graficados en la vista rectangular f24, 4g por f24, 4g.

10.1

a=1

a=2

Ejercicios

y − 3 t11

2. x − lnst 2 1 1d,

y − tyst 1 4d

(b) Elimine el parámetro para encontrar la ecuación cartesiana de la curva. 7. x − 2t 2 1,

y − 12 t 1 1

8. x − 3t 1 2,

y − 2t 1 3

9. x − t 2 2 3,

y − t 1 2,

10. x − sen t, 3-6 Trace la curva usando las ecuaciones paramétricas para obtener los puntos. Indique con una flecha la dirección en la que se traza la curva a medida que t incrementa. 3. x − 1 2 t 2,

y − 2t 2 t 2,

4. x − t 3 1 t,

y − t 2 1 2, 22 < t < 2

5. x − 2 t 2 t,

y − 22t 1 t,

6. x − cos2 t,

a=_0.2

Cuando a , 21, ambas ramas son suaves; pero cuando a llega a 21, la rama derecha adquiere un punto agudo, llamado cúspide. Para a entre 21 y 0, la cúspide se convierte en un bucle que crece a medida que a se aproxima a 0. Cuando a − 0, ambas ramas se juntan y forman una circunferencia (vea el ejemplo 2). Para a entre 0 y 1, la rama izquierda tiene un bucle que se encoge hasta convertirse en una cúspide cuando a − 1. Para a . 1, las ramas nuevamente se vuelven suaves, y a medida que a aumenta más, tienen menos curvatura. Observe que las curvas con a positiva son reflejos sobre el eje y de las curvas correspondientes con a negativa. Estas curvas se llaman concoides de Nicomedes, por el antiguo erudito griego Nicomedes. Las llamó concoides porque la forma de sus ramas externas se asemeja a la de una concha de caracol o de mejillón. ■

1-2 Para las ecuaciones paramétricas indicadas, encuentre los puntos (x, y) correspondientes a los valores de los parámetros t − 22, 21, 0, 1 y 2. 1. x − t 2 1 t,

a=_0.5

11. x − st , 12. x − t 2,

23 < t < 3

y − 1 2 cos t,

0<t<2

y−12t y − t3

21 < t < 2

23 < t < 3

y − 1 1 cos t, 0 < t <

7-12 (a) Trace la curva usando las ecuaciones paramétricas para obtener los puntos. Indique con una flecha la dirección en la que se traza la curva a medida que t aumenta.

13-22 (a) Elimine el parámetro para encontrar una ecuación cartesiana de la curva. (b) Trace la curva e indique con una flecha la dirección en la que se traza la curva a medida que el parámetro incrementa. 13. x − 3 cos t,

y − 3 sen t,

0<t<

14. x − sen 4 ,

y − cos 4 ,

15. x − cos ,

y − sec , 2

< y2 , y2

SECCIÓN 10.1

16. x − csc t,

(c)

y − cot t, 0 , t ,

17. x − e2t,

18. x − t 1 2,

y − 1yt,

19. x − ln t,

y − st ,

20. x − t ,

y− 12 t

21. x − sen t, 2

III x 2

y − et

t>1

2 t

2 x

2 t

| ||

y − cosh t

(d)

23. x − 5 cos t,

23-24 La posición de un objeto en movimiento circular se modela por las ecuaciones paramétricas indicadas, donde t se mide en segundos. ¿Cuánto tiempo tarda en completar una revolución? ¿El movimiento es en el sentido de las manecillas del reloj o en sentido inverso?

2 t

2 x

y − 25 sen t

S D 4

y − 3 cos

t ,

S D 4

31-33 Con las gráficas de x − f (t) y y − t(t), trace la curva paramétrica x − f (t), y − t(t). Indique con flechas la dirección en la que se traza la curva a medida que t aumenta.

25-28 Describa el movimiento de una partícula con posición (x, y) a medida que t varía en el intervalo señalado. 25. x − 5 1 2 cos t, 26. x − 2 1 sen t, 28. x − sen t,

t.0

x 2

27. x − 5 sen t,

y 2

y − cos2 t

22. x − senh t,

24. x − 3 sen

669

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

y − 3 1 2 sen

y − 2 cos t, y − cos t,

y 1

1<t<2

y − 1 1 3 cos t,

31.

1 t

y2 < t < 2

1 t

2 <t<5

22 < t < 2

32. 29. Suponga que una curva está dada por las ecuaciones paramétricas x − f (t), y − t(t), donde el rango de f es f1, 4g y el rango de t es f2, 3g. ¿Qué puede decir de la curva?

y 1

1 1 t

1 t

30. Relacione cada par de gráficas de las funciones x − f (t), y − t(t) en (a)–(d) con una de las curvas paramétricas x − f (t), y − t(t) denotadas I–IV. Argumente sus respuestas. 33. (a)

I y

x 2

0 1

34. Relacione las ecuaciones paramétricas con las gráficas I–VI. Argumente sus respuestas. II y 2

(a) x − t 4 2 t 1 1,

2 x

y − t2

(b) x − t 2 2 2t,

y − st

y − t2 2 t

1 t

2 x

(b) x 2

y 1

x 1

(d) x − cos 5t,

y − sen 2t

(e) x − t 1 sen 4t,

y − t 2 1 cos 3t

670

CAPÍTULO 10

; 43-44 Utilice una calculadora graficadora o una computadora para reproducir la figura.

y − t 1 sen 3t

(f ) x − t 1 sen 2t, I

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

II y

III y

43.

x x

V y

4 2 0

VI y

45. (a) Demuestre que los puntos de las cuatro curvas paramétricas indicadas satisfacen la misma ecuación cartesiana. x

; 35. Grafique la curva x − y 2 2 sen y. 3 3 ; 36. Grafique las curvas y − x 2 4x y x − y 2 4y; encuentre sus puntos de intersección con un decimal de precisión. 37. (a) Demuestre que las ecuaciones paramétricas x − x 1 1 sx 2 2 x 1 dt

44.

y − y1 1 s y 2 2 y1 dt

donde 0 ø t ø 1, describen el segmento de recta que une los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2). (b) Encuentre ecuaciones paramétricas para representar el segmento de recta de (22, 7) a (3, 21). ; 38. Utilice una calculadora graficadora o una computadora y el resultado del ejercicio 37(a) para dibujar el triángulo con los vértices A(1, 1), B(4, 2) y C(1, 5). 39-40 Encuentre ecuaciones paramétricas para la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una circunferencia como la descrita. 39. La partícula se mueve en el sentido de las manecillas del reloj alrededor de una circunferencia centrada en el origen con radio 5 y completa una revolución en 4 segundos. 40. La partícula se mueve en sentido contrario a las manecillas del reloj alrededor de una circunferencia con centro (1, 3) y radio 1, y completa una revolución en 3 segundos. 41. Encuentre ecuaciones paramétricas para la trayectoria de una partícula que se mueve a lo largo de la circunferencia x2 1 (y 2 1)2 − 4 de la manera descrita. (a) Una vuelta en el sentido de las manecillas del reloj, a partir de (2, 1). (b) Tres vueltas en sentido contrario a las manecillas del reloj, a partir de (2, 1). (c) Media vuelta en sentido contrario a las manecillas del reloj, a partir de (0, 3). ; 42. (a) Encuentre ecuaciones paramétricas para la elipse x2ya2 1 y2yb2 − 1. fSugerencia: Modifique las ecuaciones de la circunferencia del ejemplo 2g. (b) Use estas ecuaciones paramétricas para graficar la elipse cuando a − 3 y b − 1, 2, 4 y 8. (c) ¿Cómo cambia la forma de la elipse a medida que varía b?

(i) x − t 2, y − t (iii) x − cos2 t, y − cos t

(ii) x − t, y − st (iv) x − 32t, y − 3t

(b) Trace la gráfica de cada curva del inciso (a) y explique cómo difieren las curvas entre sí. 46-47 Compare las curvas representadas por las ecuaciones paramétricas. ¿En qué difieren? 46. (a) x − t, y − t 22 (c) x − e t, y − e22t

(b) x − cos t,

47. (a) x − t 3, y − t 2 (c) x − e23t, y − e22t

(b) x − t 6,

y − sec2 t

y − t4

48. Derive las ecuaciones 1 para el caso y2 , , . 49. Sea P un punto a una distancia d del centro de una circunferencia de radio r. La curva trazada por P a medida que la circunferencia rueda a lo largo de una línea recta llamada trocoide (piense en el movimiento de un punto en un radio de una rueda de bicicleta). La cicloide es el caso especial de una trocoide con d − r. Con el mismo parámetro que se utilizó para la cicloide y suponiendo que la recta es el eje x y − 0 cuando P está en uno de sus puntos más bajos, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la trocoide son x − r 2 d sen

y − r 2 d cos

Trace un boceto de la trocoide para los casos d , r y d . r. 50. En la figura, la circunferencia de radio a es estacionaria, y para cada , el punto P es el punto medio del segmento QR. La curva trazada por P para 0 , , se llama curva del arco largo. Encuentre ecuaciones paramétricas para esta curva. y

P a

y=2a

¨ 0

SECCIÓN 10.1

51. Si a y b son números fijos, encuentre ecuaciones paramétricas para la curva que consiste en todas las posiciones posibles del punto P de la figura, con el ángulo como parámetro. Luego elimine el parámetro e identifique la curva.

Curvas definidas por ecuaciones paramétricas

671

(b) Utilice la descripción geométrica de la curva para trazar la curva de forma manual. Verifique su trabajo mediante las ecuaciones paramétricas para graficar la curva. y

x=2a P a

¨ O

52. Si a y b son números fijos, encuentre ecuaciones paramétricas para la curva que consiste en todas las posiciones posibles del punto P de la figura, con el ángulo como parámetro. El segmento de recta AB es tangente a la circunferencia mayor. y

55-57 Intersección y colisión Suponga que la posición de cada una de las dos partículas se da por ecuaciones paramétricas. Un punto de colisión es aquel en el que las partículas están en el mismo lugar al mismo tiempo. Si las partículas pasan por el mismo punto, pero en tiempos diferentes, entonces las trayectorias se intersecan pero las partículas no colisionan. 55. Suponga que la posición de una partícula en un tiempo t está dada por y − t 2 1 4t 1 6

x−t15 A a

y la posición de una segunda partícula, por P

x − 2t 1 1

¨ O

y − 2t 1 6

Sus trayectorias se muestran en la gráfica. y 11

53. Una curva, llamada bruja de María Agnesi, consiste en todas las posiciones posibles del punto P de la figura. Demuestre que las ecuaciones paramétricas para esta curva se pueden escribir como

Trace la curva. y=2a

x − 2t 1 4 P

y − 2t 1 9

Demuestre que esta se mueve a lo largo de la misma trayectoria que la segunda partícula. ¿Colisionan la primera y tercera partículas? Si es así, ¿en qué punto y en qué tiempo?

¨ O

(a) Verifique que las trayectorias de las partículas se intersecan en los puntos (1, 6) y (6, 11). ¿Alguno de estos puntos es un punto de colisión? Si es así, ¿en qué tiempo colisionan ambas partículas? (b) Suponga que la posición de una tercera partícula está dada por

y − 2a sen2

x − 2a cot

; 56. La posición de una partícula en el tiempo t se da por x − 3 sen t

54. (a) Encuentre ecuaciones paramétricas para el conjunto de todos los puntos P como se muestra en la figura tales que u OP u − u AB u. (Esta curva se llama cisoide de Diocles en honor al erudito griego Diocles, que introdujo la cisoide como método gráfico para construir la arista de un cubo cuyo volumen es el doble del de un cubo determinado).

y − 2 cos t

0⩽t⩽2

y la posición de una segunda partícula se indica por x − 23 1 cos t

y − 1 1 sen t

0<t<2

(a) Grafique las trayectorias de ambas partículas. ¿En cuántos puntos se intersecan las gráficas?

672

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

donde t es la aceleración debida a la gravedad (9.8 mys2). (a) Si un arma se dispara con − 30° y v0 − 500 mys, ¿cuándo llegará la bala al suelo? ¿A qué distancia del arma golpeará el suelo? ¿Cuál es la altura máxima alcanzada por la bala? (b) Verifique con una gráfica sus respuestas del inciso (a). Luego grafique la trayectoria del proyectil con otros valores del ángulo a para ver dónde impacta en el suelo. Resuma sus conclusiones. (c) Demuestre que la trayectoria es parabólica eliminando el parámetro.

(b) ¿Colisionan las partículas? Si es así, encuentre los puntos de colisión. (c) Describa qué sucede si el trayecto de la segunda partícula se da por x − 3 1 cos t

y − 1 1 sen t

0⩽t⩽2

57. Encuentre el punto en el que la curva paramétrica se interseca a sí misma y los valores correspondientes de t.

;

(a) x − 1 2 t 2, y − t 2 t 3 y

; 59. Analice la familia de curvas definidas por las ecuaciones paramétricas x − t2, y − t3 2 ct. ¿Cómo cambia la forma a medida que aumenta c? Ilústrelo graficando varios miembros de la familia.

1 x

; 60. Las curvas catastróficas cola de golondrina se definen por las ecuaciones paramétricas x − 2ct 2 4t3, y − 2ct2 1 3t 4. Grafique varias de estas curvas. ¿Qué características tienen en común las curvas? ¿Cómo cambian cuando aumenta c?

(b) x − 2t 2 t 3, y − t 2 t 2

; 61. Grafique varios miembros de la familia de curvas con ecuaciones paramétricas x − t 1 a cos t, y − t 1 a sen t, donde a . 0. ¿Cómo cambia la forma a medida que a aumenta? ¿Para qué valores de a la curva tiene un bucle?

y 0

; 62. Grafique varios miembros de la familia de curvas x − sen t 1 sen nt, y − cos t 1 cos nt, donde n es un entero positivo. ¿Qué características tienen en común las curvas? ¿Qué sucede a medida que n aumenta?

58. Si se dispara un proyectil desde el origen con una velocidad inicial de v0 metros por segundo en un ángulo a por encima de la horizontal y se supone que la fricción del aire es insignificante, entonces su posición después de t segundos está dada por las ecuaciones paramétricas y − sv 0 sen dt 2 12 tt 2

x − sv 0 cos dt

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO

; 63. Las curvas con las ecuaciones x − a sen nt, y − b cos t se llaman figuras de Lissajous. Analice cómo varían estas curvas cuando a, b y n cambian. (Considere n como un entero positivo). ; 64. Analice la familia de curvas definidas por las ecuaciones paramétricas x − cos t, y − sen t 2 sen ct, donde c . 0. Empiece con c como entero positivo y vea qué sucede con la forma a medida que c aumenta. Luego explore algunas posibilidades cuando c es una fracción.

; CIRCUNFERENCIAS QUE CORREN ALREDEDOR

DE CIRCUNFERENCIAS En este proyecto se analizan las familias de curvas llamadas hipocicloides y epicicloides, que se generan por el movimiento de un punto sobre una circunferencia que rueda dentro o fuera de otra.

C b ¨

a O

(a, 0)

1. Una hipocicloide es una curva trazada por un punto fijo P en una circunferencia C de radio b mientras C rueda por el interior de una circunferencia con centro O y radio a. Demuestre que si la posición inicial de P es (a, 0) y se elige el parámetro como en la figura, entonces las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide son x − sa 2 bd cos

1 b cos

a2b b

y − sa 2 bd sen

2 b sen

a2b b

SECCIÓN 10.2

Cálculo con curvas paramétricas

673

2. Utilice una calculadora graficadora o una computadora para trazar las gráficas de las hipocicloides con a, un entero positivo y b − 1. ¿Cómo afecta a la gráfica el valor de a? Demuestre que si se toma a − 4, entonces las ecuaciones paramétricas de la hipocicloide se reducen a x − 4 cos 3

y − 4 sen3

Esta curva se llama hipocicloide de cuatro cúspides, o astroide. 3. Ahora intente b − 1 y a − nyd, una fracción donde n y d no tienen un factor común. Sea n − 1, intente determinar gráficamente el efecto del denominador d en la forma de la gráfica. Luego varíe n mientras se mantiene d constante. ¿Qué pasa cuando n − d 1 1? 4. ¿Qué pasa si b − 1 y a es irracional? Experimente con un número irracional como s2 o e 2 2. Tome valores cada vez más grandes para y conjeture sobre lo que pasaría si se grafica la hipocicloide para todos los valores reales de . 5. Si la circunferencia C rueda por fuera de la circunferencia fija, la curva trazada por P se llama epicicloide. Determine ecuaciones paramétricas para la epicicloide. 6. Analice las posibles formas de las epicicloides. Utilice métodos similares a los problemas 2–4.

10.2 Cálculo con curvas paramétricas Después de ver cómo representar las curvas mediante ecuaciones paramétricas, ahora se aplicarán los métodos de cálculo a dichas curvas. En particular, se resuelven problemas relacionados con tangentes, áreas, longitud de arco, rapidez y área de una superficie.

■ Tangentes Suponga que f y t son funciones derivables y se desea encontrar la recta tangente en un punto de la curva paramétrica x − f (t), y − t(t), donde y también es una función derivable de x. Entonces, por la regla de la cadena, se obtiene dy dy − dt dx

dx dt

Si dxydt ± 0, se puede despejar dyydx: Si se considera que una curva se traza por una partícula en movimiento, entonces dyydt y dxydt son las velocidades vertical y horizontal de esa partícula, y la fórmula 1 sostiene que la pendiente de la recta tangente es la razón de estas velocidades.

dy dy dt − dx dx dt

dx ±0 dt

La ecuación 1 (que puede recordar al pensar en cancelar las dt) permite encontrar la pendiente dyydx de la recta tangente a una curva paramétrica sin eliminar el parámetro t. En la ecuación (1) se observa que la curva tiene una tangente horizontal cuando dyydt − 0 siempre que dxydt ± 0, y tiene una tangente vertical cuando dxydt − 0 siempre que dyydt ± 0 (si tanto dxydt − 0 como dyydt − 0, entonces serían necesarios otros métodos para determinar la pendiente de la recta tangente). Esta información es útil para trazar curvas paramétricas.

674

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Como se vio, también es útil considerar d2yydx2. Esto se encuentra al sustituir y por dyydx en la ecuación 1:

d 2y d y dt 2 ± 2 2 dx d x dt 2

Observe que

d d y − dx 2 dx

S D S D dy dx

−

d dt

dy dx dx dt

EJEMPLO 1 Una curva C se define por las ecuaciones paramétricas x − t2,

y − t3 2 3t. (a) Demuestre que C tiene dos rectas tangentes en el punto (3, 0) y encuentre sus ecuaciones. (b) Encuentre los puntos en C donde la recta tangente es horizontal o vertical. (c) Determine dónde la curva es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo. (d) Trace la curva. SOLUCIÓN (a) Observe que x − 3 para t − 6s3 y, en ambos casos, y − t(t 2 2 3) − 0. Por lo tanto, el punto (3, 0) en C proviene de dos valores del parámetro, t − s3 y t − 2s3. Esto indica que C se cruza a sí misma en (3, 0). Puesto que dy dyydt 3t 2 2 3 − − dx dxydt 2t la pendiente de la recta tangente cuando t − s3 es dyydx − 6y(2s3 ) − s3, y cuando t − 2s3 la pendiente es dyydx − 26y(2s3 ) − 2s3. Así, se tienen dos rectas tangentes en (3, 0) con las ecuaciones y − s3 sx 2 3d

y=œ„ 3 (x-3) t=_1 (1, 2)

d y − dx 2

t=1 (1, _2)

y=_ œ„ 3 (x-3)

FIGURA 1

y − 2s3 sx 2 3d

(b) C tiene una recta tangente horizontal cuando dyydx − 0; es decir, cuando dyydt − 0 y dxydt ± 0. Puesto que dyydt − 3t 2 2 3, esto ocurre cuando t 2 − 1; es decir, t − 61. Los puntos correspondientes en C son (1, 22) y (1, 2). C tiene una recta tangente vertical cuando dxydt − 2t − 0; es decir, t − 0. (Observe que ahí dyydt ± 0). El punto correspondiente en C es (0, 0). (c) Para determinar la concavidad se calcula la segunda derivada:

(3, 0) 0

d dt

S D S dy dx dx dt

−

d dt

3t 2 2 3 2t dx dt

6t 2 1 6 3t 2 1 3 4t 2 − − 2t 4t 3

Por lo tanto, la curva es cóncava hacia arriba cuando t . 0 y cóncava hacia abajo cuando t , 0. (d) Con base en los incisos (b) y (c), se traza C en la figura 1.

EJEMPLO 2

■

(a) Encuentre la recta tangente a la cicloide x − r( 2 sen ), y − r(1 2 cos ) en el punto donde − y3 (vea el ejemplo 10.1.9). (b) ¿En qué puntos la recta tangente es horizontal? ¿Cuándo es vertical?

SECCIÓN 10.2

675

Cálculo con curvas paramétricas

SOLUCIÓN (a) La pendiente de la recta tangente es dy dyyd r sen sen − − − dx dxyd r s1 2 cos d 1 2 cos Cuando − y3 se tiene x−r

2 sen

D S −r

s3 2

y − r 1 2 cos

r 2

−

dy sens y3d s3y2 − − − s3 dx 1 2 coss y3d 1 2 12

Por lo tanto, la pendiente de la tangente es s3 y su ecuación es y2

r r r s3 − s3 x 2 1 2 3 2

s3 x 2 y − r

La recta tangente se muestra en la figura 2. (_πr, 2r)

(πr, 2r)

(3πr, 2r)

(5πr, 2r)

¨= 3

FIGURA 2

_2πr

2πr

4πr

6πr

(b) La recta tangente es horizontal cuando dyydx − 0, que se produce cuando sen − 0 y 1 2 cos ± 0; es decir, − (2n 2 1) , con n como entero. El punto correspondiente en la cicloide es ((2n 2 1) r, 2r). Cuando − 2n , tanto dxyd como dyyd son 0. En la gráfica parece que hay tangentes verticales en esos puntos. Esto se verifica con la regla de L9Hôpital de la siguiente manera: dy − dx

lím

l 2n 1

lím

l 2n 1

sen 1 2 cos

−

lím

l 2n 1

cos sen

−`

Un cálculo similar muestra que dyydx l 2` a medida que l 2n 2, por lo que de hecho hay tangentes verticales cuando − 2n ; es decir, cuando x − 2n r (vea la ■ figura 2).

■ Áreas Se sabe que el área bajo una curva y − F (x) desde a hasta b es A − ya Fsxd dx, donde F (x) ù 0. Si la curva se traza una vez por las ecuaciones paramétricas x − f (t) y y − t(t), a ø t ø , entonces se puede calcular una fórmula para el área con la regla de la sustitución para integrales definidas como sigue: b

Los límites de integración para t se encuentran, como es habitual, con la regla de la sustitución. Cuando x − a, t es a o . Cuando x − b, t es el valor restante.

A − y y dx − y tstd f 9std dt b

EJEMPLO 3 Encuentre el área bajo un arco de la cicloide x − rs 2 sen d

tstd f 9std dt

y − rs1 2 cos d

676

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

SOLUCIÓN Un arco de la cicloide (que se muestra en la figura 3) está dado por 0 ø ø 2 . Al usar la regla de la sustitución con y − r (1 2 cos ) y dx − r(1 2 cos ) d , se tiene

2πr

A−y

y dx − y

2 r

FIGURA 3 El resultado del ejemplo 3 dice que el área debajo de un arco de la cicloide es tres veces el área del círculo de rodamiento que genera la cicloide (vea el ejemplo 10.1.9). Galileo supuso este resultado, pero lo demostraron por primera vez el matemático francés Roberval y el matemático italiano Torricelli.

rs1 2 cos d rs1 2 cos d d

− r2 y

− r2

f 32

s1 2 cos d2 d − r 2 y

s1 2 2 cos

f1 2 2 cos 2 2 sen

− r 2 ( 32 2

1 12 s1 1 cos 2 d d

1 14 sen 2

)−3

1 cos 2 d d

2 0

■

■ Longitud de arco Se sabe cómo encontrar la longitud L de una curva C dada en la forma y − F (x), a ø x ø b. La fórmula 8.1.3 indica que, si F 9 es continua, entonces L−

Î S D 11

dy dx

Suponga que C también puede describirse por las ecuaciones paramétricas x − f (t) y y − t(t), a ø t ø , donde dxydt − f 9(t) . 0. Esto significa que C se atraviesa una vez, de izquierda a derecha, conforme t aumenta desde a hasta y f (a) − a, f ( ) − b. Al colocar la fórmula 1 en la fórmula 2 y al utilizar la regla de la sustitución se obtiene L−

Î S D 11

dy dx

dx −

Î S D dyydt dxydt

dx dt dt

Como dxydt . 0, se tiene 3 y

C Pi _ 1

P™

Pi P¡ Pn P¸ 0

FIGURA 4

L−

y ÎS D S D 2

dx dt

dy dt

Aunque C no pueda expresarse en la forma y − F (x), la fórmula 3 aún es válida pero se obtiene por aproximaciones poligonales. Se divide el intervalo del parámetro fa, g en n subintervalos con el mismo ancho Dt. Si t0, t1, t2, . . . , tn son los puntos frontera, puntos finales o puntos extremos de estos subintervalos, entonces xi − f (ti) y yi − t(ti) son las coordenadas de los puntos Pi(xi, yi) que se encuentran en C, y la trayectoria poligonal con los vértices P0, P1, . . . , Pn se aproxima a C (vea la figura 4). Al igual que en la sección 8.1, se define que la longitud L de C es el límite de las longitudes de estas trayectorias poligonales de aproximación a medida que n l `:

L − lím

nl `

o | Pi21 Pi | i−1

El teorema del valor medio, cuando se aplica a f en el intervalo fti21, tig, da un número ti* en (ti21, ti) tal que f sti d 2 f sti21 d − f 9sti*dsti 2 ti21 d Sean Dxi − xi 2 xi21 y Dyi − yi 2 yi21. Entonces, la ecuación anterior se convierte en Dx i − f 9sti*d Dt

SECCIÓN 10.2

Cálculo con curvas paramétricas

677

De igual manera, cuando se aplica a t, el teorema del valor medio da un número en ti** en sti21, ti d tal que Dyi − t9sti**d Dt Por lo tanto,

i21

Pi − ssDx i d2 1 sDyi d2 − sf f 9sti*dDtg 2 1 ft9sti**d Dtg 2

− sf f 9sti*dg 2 1 ft9sti**dg 2 Dt y, de este modo, n

L − lím

nl `

o sf f 9sti*dg 2 1 ft9st i**dg 2 Dt i−1

La suma de la ecuación (4) se asemeja a una suma de Riemann para la función sf f 9stdg 2 1 ft9stdg 2 , pero no es exactamente una suma de Riemann porque ti* ± ti**, en general. Sin embargo, si f 9 y t9 son continuas, se puede decir que el límite en la ecuación (4) es el mismo tal que si ti* y ti** fueran iguales, es decir, L − y sf f 9stdg 2 1 ft9stdg 2 dt De este modo, con la notación de Leibniz, se tiene el siguiente resultado, que tiene la misma forma que la fórmula 3. 5 Teorema Si una curva C se describe mediante las ecuaciones paramétricas x − f (t), y − t(t), a ø t ø , donde f 9 y t9 son continuas en fa, g y C se atraviesa exactamente una vez conforme t aumenta desde a hasta , entonces la longitud de C es 2 2 dx dy L− 1 dt dt dt

ÎS D S D

Observe que la fórmula del teorema 5 es congruente con la fórmula general L − y ds de la sección 8.1, donde ds −

ÎS D S D dx dt

dy dt

EJEMPLO 4 Si se usa la representación de la circunferencia unitaria del ejemplo 10.1.2, x − cos t

y − sen t

0<t<2

entonces dxydt − 2sen t y dyydt − cos t, así que el teorema 5 da L−

y ÎS D S D dx dt

dy dt

dt − y ssen2t 1 cos2t dt − y dt − 2 2

como se esperaba. Si, por otro lado, se aplica la representación del ejemplo 10.1.3, x − sen 2t

y − cos 2t

0<t<2

entonces dxydt − 2 cos 2t, dyydt − 22 sen 2t, y la integral del teorema 5 da

ÎS D S D dx dt

dy dt

dt − y

s4 cos 2 s2td 1 4 sen2 s2td dt − y

2 dt − 4

678

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Observe que la integral da el doble de la longitud de arco de la circunferencia porque a medida que t aumenta desde 0 hasta 2 , el punto (sen 2t, cos 2t) atraviesa la circunferencia dos veces. En general, cuando se encuentra la longitud de una curva C a partir de una representación paramétrica, se debe tener cuidado de asegurar que C se atraviese solo una vez a medida que t aumenta desde a hasta . ■

EJEMPLO 5 Encuentre la longitud de un arco de la cicloide x − r( 2 sen ), y − r(1 2 cos ). SOLUCIÓN En el ejemplo 3 se ve que un arco se describe por el intervalo del parámetro 0 ø ø 2 . Como dx − rs1 2 cos d d

dy − r sen d

se tiene L− El resultado del ejemplo 5 indica que la longitud de un arco de una cicloide es ocho veces el radio de la circunferencia generadora (vea la ﬁgura 5). Esto lo demostró por primera vez en 1658 sir Christopher Wren, quien después fue el arquitecto de la Catedral de San Pablo en Londres. y

ÎS D S D

dx d

−y

dy d

d −

sr 2s1 2 cos d2 1 r 2 sen2 d

sr 2s1 2 2 cos 1 cos 2 1 sen2 d d

−ry

s2s1 2 cos d d

Para evaluar esta integral, se usa la identidad sen2x − 12 s1 2 cos 2xd con − 2x, lo que da 1 2 cos − 2 sen2( y2). Como 0 ø ø 2 , se tiene 0 ø y2 ø , y así sen( y2) ù 0. Por lo tanto,

L=8r

s2s1 2 cos d − s4 sen2 s y2d − 2 sens y2d − 2 sens y2d

r 0

2πr

y así

sens y2d d − 2r 22 coss y2d

− 2r f2 1 2g − 8r

FIGURA 5 La función longitud de arco y la rapidez.

L − 2r y

2 0

■

Recuerde que la función longitud de arco (fórmula 8.1.5) da la longitud de una curva desde un punto inicial hasta cualquier otro punto de la curva. Para una curva paramétrica C dada por x − f (t), y − t(t), donde f 9 y t9 son continuas, sea s(t) la longitud de arco a lo largo de C desde un punto inicial (f (a), t(a)) a un punto (f (t), t(t)) en C. Según el teorema 5, la función longitud de arco s para las curvas paramétricas es

sstd −

ÎS D S D dx du

dy du

(Se sustituyó la variable de integración por u para que t no tuviera dos significados). Si las ecuaciones paramétricas describen la posición de una partícula en movimiento (t representa el tiempo), entonces la rapidez de la partícula en el tiempo t, v(t), es la razón de cambio de la distancia recorrida (longitud de arco) respecto al tiempo: s9(t). Según la ecuación 7 y la parte 1 del teorema fundamental del cálculo, se tiene

v std − s9std −

ÎS D S D dx dt

dy dt

SECCIÓN 10.2

Cálculo con curvas paramétricas

679

EJEMPLO 6 La posición de una partícula en el tiempo t está dada por las ecuaciones paramétricas x − 2t 1 3, y − 4t2, t ù 0. Encuentre la rapidez de la partícula cuando está en el punto (5, 4). SOLUCIÓN Según la ecuación 8, la rapidez de la partícula en cualquier tiempo t es v std − s22 1 s8td2 − 2s1 1 16t 2

La partícula está en el punto (5, 4) cuando t − 1, por lo que su rapidez en ese punto es vs1d − 2s17 < 8.25. (Si la distancia se mide en metros y el tiempo en segundos, entonces la rapidez es de aproximadamente 8.25 mys). ■

■ Área de la superficie Al igual que para la longitud de arco, se puede adaptar la fórmula 8.2.5 para obtener una fórmula para el área de la superficie. Suponga que una curva C se da por las ecuaciones paramétricas x − f (t), y − t(t), a ø t ø , donde f 9, t9 son continuas, t(t) ù 0 y C se atraviesa exactamente una vez a medida que t aumenta desde a hasta . Si C se gira alrededor del eje x, entonces el área de la superficie resultante está dada por

S−

ÎS D S D

2 y

dx dt

dy dt

Las fórmulas simbólicas generales S − y 2 y ds y S − y 2 x ds (fórmulas 8.2.7 y 8.2.8) aún son válidas, donde ds se da por la fórmula 6.

EJEMPLO 7 Demuestre que el área de la superficie de una esfera de radio r es 4 r2. SOLUCIÓN La esfera se obtiene mediante la rotación de la semicircunferencia x − r cos t

y − r sen t

0<t<

alrededor del eje x. Por lo tanto, de la fórmula 9, se obtiene S − y 2 r sen t ss2r sen td2 1 sr cos td2 dt 0

−2

r sen t sr 2ssen2 t 1 cos 2 td dt − 2

r sen t r dt

− 2 r 2 y sen t dt − 2 r 2s2cos td 0 − 4 r 2

10.2

Ejercicios

1-4 Determine dxydt, dyydt y dyydx. 1. x − 2t 3 1 3t, 2. x − t 2 ln t,

y − 4t 2 5t 2 y − t 2 2 t 22

3. x − t e t,

y − t 1 sen t

4. x − t 1 senst 2 1 22,

y − tanst 2 1 2d

■

680

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

5-6 Determine la pendiente de la tangente a la curva paramétrica en el punto indicado. 5. x − t 2 1 2t,

17. x − e t,

y − te 2t

18. x − t 2 1 1,

y − 2 t 2 2t

y − et 2 1

19. x − t 2 ln t, 20. x − cos t,

y − t 1 ln t

y − sen 2t,

0,t,

21-24 Determine los puntos de la curva donde la tangente sea horizontal o vertical. Puede usar una gráfica de una calculadora o una computadora para comprobar su trabajo. (15, 2) 0

6. x − t 1 cos t,

y − 2t 1 sen t y

0 x (3, _2)

21. x − t 3 2 3t,

y − t2 2 3

22. x − t 3 2 3t,

y − t 3 2 3t 2

23. x − cos ,

y − cos 3

24. x − e sen ,

y − e cos

; 25. Con una gráfica, estime las coordenadas del punto más a la derecha de la curva x − t 2 t 6, y − et. Luego, mediante cálculo, encuentre las coordenadas exactas. ; 26. Con una gráfica, estime las coordenadas del punto más bajo y el punto más a la izquierda de la curva x − t 4 2 2t, y − t 1 t 4. Luego encuentre las coordenadas exactas.

7-10 Obtenga una ecuación de la tangente a la curva en el punto correspondiente al valor dado del parámetro. 7. x − t 3 1 1, 8. x − st ,

y − t 4 1 t;

y − t 2 2 2t;

9. x − sen 2t 1 cos t, 10. x − e sen t

t − 21 t−4

y − e 2t;

y − cos2t;

12. x − st 1 4 ,

t−0

( 12, 34 )

y − 1yst 1 4d;

(2, 14 )

; 13-14 Obtenga una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado. Después grafique la curva y la tangente. 13. x − t 2 2 t,

y − t 2 1 t 1 1; s0, 3d

14. x − sen

y − t 2 1 t ; s0, 2d

27. x − t 4 2 2t 3 2 2t 2,

y − t3 2 t

28. x − t 4 1 4t 3 2 8t 2,

y − 2t 2 2 t

y − cos 2t 2 sen t ; t −

11-12 Obtenga una ecuación de la tangente a la curva en el punto dado por medio de dos métodos: (a) sin eliminar el parámetro y (b) eliminando primero el parámetro. 11. x − sen t,

; 27-28 Grafique la curva en un rectángulo de visión que muestre todos los aspectos importantes de la curva.

15-20 Determine dyydx y d 2yydx 2. ¿Para cuáles valores de t la curva es cóncava hacia arriba? 15. x − t 2 1 1,

y − t2 1 t

16. x − t 3 1 1,

y − t2 2 t

; 29. Demuestre que la curva x − cos t, y − sen t cos t tiene dos tangentes en (0, 0) y encuentre sus ecuaciones. Grafique la curva. ; 30. Grafique la curva x − 22 cos t, y − sen t 1 sen 2t para ver dónde se cruza a sí misma. Luego encuentre las ecuaciones de ambas rectas tangentes en ese punto. 31. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la trocoide x − r 2 d sen , y − r 2 d cos en términos de . (Vea el ejercicio 10.1.49). (b) Demuestre que si d , r, entonces la trocoide no tiene una tangente vertical. 32. (a) Encuentre la pendiente de la recta tangente a la astroide x − a cos3 , y − a sen3 en términos de . (Las astroides se exploran en el “Proyecto de descubrimiento” después de la sección 10.1). (b) ¿En qué puntos es la tangente horizontal o vertical? (c) ¿En qué puntos tiene la tangente una pendiente 1 o 21? 33. ¿En qué punto(s) de la curva x − 3t 2 1 1, y − t 3 2 1 la recta tangente tiene una pendiente 12? 34. Encuentre las ecuaciones de las rectas tangentes a la curva x − 3t 2 1 1, y − 2t 3 1 1 que pasan por el punto (4, 3).

SECCIÓN 10.2

Cálculo con curvas paramétricas

681

35-36 Encuentre el área delimitada por la curva paramétrica indicada y el eje x.

41. Encuentre el área bajo un arco de la trocoide del ejercicio 10.1.49 para el caso d , r.

35. x − t 3 1 1,

42. Sea 5 la región delimitada por el bucle de la curva en el ejemplo 1. (a) Calcule el área de 5. (b) Si 5 se gira alrededor del eje x, encuentre el volumen del sólido resultante. (c) Determine el centroide de 5.

y − 2t 2 t 2 y

36. x − sen t,

y − sen t cos t,

43-46 Calcule una integral que represente la longitud de la parte de la curva paramétrica que aparece en la gráfica. Luego use una calculadora (o computadora) para determinar la longitud con cuatro decimales de precisión.

0 < t < y2

43. x − 3t 2 2 t 3,

y − t 2 2 2t

3 2

37-38 Calcule el área delimitada por la curva paramétrica indicada y el eje y.

38. x − t 2 2 2t, y − st

37. x − sen2t, y − cos t y

44. x − t 1 e2t,

y − t2 1 t

y 6

x 0

x 2

39. Use las ecuaciones paramétricas de una elipse, x − a cos , y − b sen , 0 ø ø 2 , para encontrar el área que encierra. 40. Determine el área de la región delimitada por el bucle de la curva

45. x − t 2 2 sen t,

y − 1 2 2 cos t,

0<t<4

x − 1 2 t 2, y − t 2 t 3 y

3 1

4π

x _1

0 2π

682

CAPÍTULO 10

46. x − t cos t,

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

después de t segundos está dada por las ecuaciones paramétricas

y − t 2 5 sen t y

x − sv0 cos dt

y − sv0 sen dt 2 12 tt 2

_π

donde t − 9.8 mys2 es la aceleración debida a la gravedad. (a) Determine la rapidez del proyectil cuando impacta en el suelo. (b) Calcule la rapidez del proyectil en su punto más alto.

62. Demuestre que la longitud total de la elipse x − a sen , y − b cos , a . b . 0, es L − 4a y

y − t 2 2 2, 0 ⩽ t < 3

48. x − e t 2 t,

y − 4e ty2,

49. x − t sen t,

y − t cos t,

50. x − 3 cos t 2 cos 3t,

63. (a) Grafique la epitrocoide con las ecuaciones

0<t<2

x − 11 cos t 2 4 coss11ty2d

0<t<1

y − 3 sen t 2 sen 3t,

0<t<

; 51-52 Grafique la curva y determine su longitud exacta. y − e t sen t, 0 < t <

51. x − e t cos t,

52. x − cos t 1 ln(tan

y − sen t,

1 2t

s1 2 e 2 sen2 d

donde e es la excentricidad de la elipse (e − cya, donde c − sa 2 2 b 2 ).

47-50 Determine la longitud exacta de la curva. 47. x − 23 t 3,

y4 < t < 3 y4

y − 11 sen t 2 4 sens11ty2d ¿Qué intervalo del parámetro da la curva completa? (b) Use una calculadora o computadora para determinar la longitud aproximada de esta curva. 64. Una curva llamada espiral de Cornu se define por las ecuaciones paramétricas x − Cstd − y coss u 2y2d du t

; 53. Grafique la curva x − sen t 1 sen 1.5t, y − cos t, y determine su longitud con cuatro decimales de precisión. 54. Determine la longitud del bucle de la curva x − 3t 2 t3, y − 3t2. 55-56 Encuentre la distancia recorrida por una partícula con la posición (x, y) a medida que t varía en el intervalo indicado. Compárelo con la longitud de la curva. 55. x − sen2 t,

y − cos 2 t,

0<t<3

56. x − cos t,

y − cos t,

0<t<4

y − Sstd − y sens u 2y2d du t

donde C y S son las funciones de Fresnel que se presentaron en el capítulo 5. (a) Grafique esta curva. ¿Qué pasa cuando t l ` y cuando t l 2`? (b) Encuentre la longitud de la espiral de Cornu desde el origen hasta el punto con el valor del parámetro t. 65-66 La curva que se presenta en la figura es el astroide x − a cos3 , y − a sen3 . (Las astroides se exploran en el “Proyecto de descubrimiento” después de la sección 10.1).

57-60 Las ecuaciones paramétricas dan la posición (en metros) de una partícula en movimiento en el tiempo t (en segundos). Determine la rapidez de la partícula en el tiempo o punto indicado. 57. x − 2t 2 3,

59. x − e ,

S D 3

t ,

y − 22 1 7 sen

S D 3

t ;

t−3

y − te ; se, ed

60. x − t 1 1, 2

y − 2t 2 2 3t 1 6; t − 5

58. x − 2 1 5 cos t

y − t 4 1 2t 2 1 1; s2, 4d

61. Un proyectil se dispara desde el punto (0, 0) con una velocidad inicial de v0 mys en un ángulo a sobre la horizontal (vea el ejercicio 10.1.58). Si se supone que la fricción del aire es insignificante, entonces la posición (en metros) del proyectil

65. Establezca el área de la región encerrada por el astroide. 66. Calcule la longitud del astroide.

SECCIÓN 10.2

67-70 Establezca una integral que represente el área de la superficie obtenida al rotar la curva indicada alrededor del eje x. Luego use una calculadora o una computadora para calcular el área de la superficie con cuatro decimales de precisión. 67. x − t sen t, 68. x − sen t,

y − t cos t, y − sen 2t,

69. x − t 1 e , t

70. x − t 2 2 t 3,

0 < t < y2

y − t 1 t 4,

0<t<1

˙ 0

−

y − 8 st , 1 < t < 3

y − a sen3 ,

< y2

x − 2 cos 2 cos 2 y − 2 sen 2 sen 2 Si esta curva se gira alrededor del eje x, encuentre el área exacta de la superficie resultante. (Utilice su gráfica para encontrar el intervalo correcto del parámetro). 75-76 Determine el área de la superficie generada al girar la curva especificada alrededor del eje y. y − 2t 3,

0<t<5

y − 4e ty2,

0<t<1

77. Si f 9 es continua y f 9(t) ± 0 para a ø t ø b, demuestre que la curva paramétrica x − f (t), y − t(t), a ø t ø b, se puede expresar en la forma y − F (x). fSugerencia: Demuestre que f 1 existeg. 78. A partir de la fórmula 1, derive la fórmula 9 de la fórmula 8.2.5 para el caso en que la curva se pueda representar en la forma y − F (x), a ø x ø b. 79-83 Curvatura La curvatura en un punto P de una curva se define como −

Z Z d ds

donde es el ángulo de inclinación de la recta tangente en P, como se muestra en la figura. Por lo tanto, la curvatura es el valor absoluto de la razón de cambio de respecto a la longitud de arco. Se puede considerar una medida de la razón de cambio de

79. Para una curva paramétrica x − x(t), y − y(t), construya la fórmula

0<t<1

; 74. Grafique la curva

76. x − e t 2 t,

y−e , 0<t<1

72. x − 2t 2 1 1yt,

75. x − 3t 2,

y − t 2,

73. x − a cos 3 ,

683

dirección de la curva en P y se estudiará con mayor detalle en el capítulo 13.

0 < t < y2

71-73 Determine el área exacta de la superficie obtenida al rotar la curva dada alrededor del eje x. 71. x − t 3,

Cálculo con curvas paramétricas

| x? ??y 2 x??y? |

fx? 2 1 y? 2 g 3y2

donde los puntos indican derivadas respecto a t, por lo que x? − dxydt. fSuterencia: Utilice − tan21(dyydx) y la fórmula 2 para encontrar d ydt. Después encuentre d yds con la regla de la cadenag. 80. Al considerar una curva y − f (x) como la curva paramétrica x − x, y − f (x) con el parámetro x, demuestre que la fórmula del ejercicio 79 se convierte en −

yydx 2 f1 1 sdyydxd2 g 3y2

81. Utilice la fórmula del ejercicio 79 para encontrar la curvatura de la cicloide x − 2 sen , y − 1 2 cos en la parte superior de uno de sus arcos. 82. (a) Con la fórmula del ejercicio 80, determine la curvatura de la parábola y − x2 en el punto (1, 1). (b) ¿En qué punto esta parábola tiene su máxima curvatura? 83. (a) Demuestre que la curvatura en cada punto de una línea recta es − 0. (b) Demuestre que la curvatura en cada punto de una circunferencia con radio r es − 1yr. 84. Una vaca está atada a un silo de radio r por una cuerda lo bastante larga para llegar al lado opuesto del silo. Determine el área de pastoreo disponible para la vaca.

684

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

85. Una cuerda se enrolla alrededor de un círculo y luego se desenrolla mientras se mantiene tensa. La curva trazada por el punto P al final de la cuerda se llama la evolvente del círculo. Si el círculo tiene radio r y centro O, y la posición inicial de P es (r, 0) y el parámetro se elige como en la figura, demuestre que las ecuaciones paramétricas de la evolvente son x − r scos 1

sen d

y − r ssen 2

cos d

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO

;

y T r ¨

CURVAS DE BÉZIER

Las curvas de Bézier se utilizan en el diseño asistido por computadora (CAD, computer-aided design) y llevan el nombre del matemático francés Pierre Bézier (1910-1999), quien trabajó en la industria automotriz. Una curva cúbica de Bézier está determinada por cuatro puntos de control, P0(x0, y0), P1(x1, y1), P2(x2, y2) y P3(x3, y3), y se define por las ecuaciones paramétricas x − x0 s1 2 td3 1 3x1 ts1 2 td2 1 3x 2 t 2s1 2 td 1 x 3 t 3 y − y0 s1 2 td3 1 3y1 ts1 2 td2 1 3y 2 t 2s1 2 td 1 y 3 t 3 donde 0 ø t ø 1. Observe que cuando t − 0 se tiene (x, y) − (x0, y0) y cuando t − 1 se tiene (x, y) − (x3, y3), por lo que la curva comienza en P0 y termina en P3. 1. Grafique la curva de Bézier con los puntos de control P0(4, 1), P1(28, 48), P2(50, 42) y P3(40, 5). Luego, en la misma pantalla, grafique los segmentos de recta P0P1, P1P2 y P2P3. (En el ejercicio 10.1.37 se muestra cómo hacerlo). Observe que los puntos de control centrales P1 y P2 no se encuentran en la curva; la curva comienza en P0, se dirige hacia P1 y P2 sin llegar a ellos y termina en P3. 2. A partir de la gráfica del problema 1, parece que la tangente en P0 pasa por P1 y la recta tangente en P3 pasa por P2. Demuéstrelo. 3. Intente producir una curva de Bézier con un bucle cambiando el segundo punto de control en el problema 1. 4. Algunas impresoras láser utilizan curvas de Bézier para representar letras y otros símbolos. Experimente con los puntos de control hasta encontrar una curva de Bézier que dé una representación razonable de la letra C. 5. Se pueden representar formas más complicadas uniendo dos o más curvas de Bézier. Suponga que la primera curva de Bézier tiene los puntos de control P0, P1, P2, P3 y la segunda tiene los puntos de control P3, P4, P5, P6. Si se desea que estas dos piezas se unan de forma suave, entonces las tangentes en P3 deben coincidir y, por lo tanto, los puntos P2, P3 y P4 tienen que estar en esta recta tangente común. Con este principio, determine puntos de control para un par de curvas de Bézier que representen la letra S.

10.3 Coordenadas polares Un sistema de coordenadas representa un punto en el plano por medio de un par ordenado de números llamados coordenadas. Normalmente se usan coordenadas cartesianas, que son distancias dirigidas desde dos ejes perpendiculares. Aquí se describe un sistema de coordenadas descrito por Newton, llamado sistema de coordenadas polares, que es más conveniente para muchos propósitos.

SECCIÓN 10.3

Se elige un punto en el plano que se llama polo (u origen) y se denota como O. Luego se traza un rayo (semirrecta) que comienza en O y se llama eje polar. Este eje se suele dibujar horizontalmente a la derecha y corresponde al eje x positivo en las coordenadas cartesianas. Si P es cualquier otro punto del plano, sea r la distancia desde O hasta P y sea el ángulo (en general, medido en radianes) entre el eje polar y la recta OP, como en la figura 1. Entonces el punto P se representa mediante el par ordenado (r, ) y r, , y se llaman coordenadas polares de P. Se usa la convención de que un ángulo es positivo si se mide en el sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje polar y es negativo si se mide en el sentido de las manecillas del reloj. Si P − O, entonces r − 0 y se establece que (0, ) representa el polo para cualquier valor de . El significado de las coordenadas polares (r, ) se extiende al caso en que r es negativo al acordar que, como en la figura 2, los puntos (2r, ) y (r, ) se encuentran en la misma recta a través de O y a la misma distancia u r u de O, pero en lados opuestos de O. Si r . 0, el punto (r, ) está en el mismo cuadrante que ; si r , 0, está en el cuadrante del lado opuesto del polo. Note que (2r, ) representa el mismo punto que (r, 1 ).

¨ x

eje polar

FIGURA 1

(r, ¨ )

¨+π

685

■ Sistema de coordenadas polares

P (r, ¨ )

Coordenadas polares

¨ O

EJEMPLO 1 Trace los puntos cuyas coordenadas polares se indican. (_r, ¨)

(a) s1, 5 y4d

FIGURA 2

(b) s2, 3 d

(d) s23, 3 y4d

SOLUCIÓN Los puntos se presentan en la figura 3. En el inciso (d), el punto (23, 3 y4) se ubica a tres unidades del polo en el cuarto cuadrante porque el ángulo 3 y4 está en el segundo cuadrante y r − 23 es negativo.

3π

5π 4

”1,

(2, 3π)

3π 4

O O

5π ’ 4

2π 3

”2, _ 2π ’ 3

(a)

”_3,

(b)

(c)

3π ’ 4

(d)

■

FIGURA 3

En el sistema de coordenadas cartesianas, cada punto tiene una sola representación, pero en el sistema de coordenadas polares cada punto tiene muchas representaciones. Por ejemplo, el punto (1, 5 y4) del ejemplo 1(a) podría escribirse como (1, 23 y4), (1, 13 y4) o (21, y4) (vea la figura 4).

5π 4

”1,

13π 4

O O

5π ’ 4

_ 3π 4 ”1, _ 3π ’ 4

π 4

”1, 13π ’ 4

”_1, 4 ’

FIGURA 4

De hecho, como una rotación completa en sentido contrario a las manecillas del reloj está indicada por un ángulo 2 , el punto representado por las coordenadas polares (r, ) también está representado por sr,

1 2n d

donde n es cualquier entero.

s2r,

1 s2n 1 1d d

686

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

■ Relación entre coordenadas polares y cartesianas y P (r, ¨ )=P (x, y)

La relación entre las coordenadas polares y cartesianas se ve en la figura 5, en la que el polo corresponde al origen y el eje polar coincide con el eje x positivo. Si el punto P tiene coordenadas cartesianas (x, y) y coordenadas polares (r, ), entonces, según la figura, se tiene cos − xyr y sen − yyr. Así, para encontrar las coordenadas cartesianas (x, y) cuando se conocen las coordenadas polares (r, ), se usan las ecuaciones

¨ O

y − r sen

x − r cos

FIGURA 5

Para encontrar las coordenadas polares (r, ) cuando se conocen las coordenadas cartesianas (x, y) se usan las ecuaciones

r2 − x2 1 y2

tan −

y x

que se deducen de las ecuaciones 1 o simplemente se obtienen de la figura 5. Aunque las ecuaciones 1 y 2 se dedujeron de la figura 5, que ilustra el caso en que r . 0 y 0 , , y2, estas ecuaciones son válidas para todos los valores de r y . (Vea la definición general de sen y cos en el apéndice D).

EJEMPLO 2 Convierta el punto (2, y3) de coordenadas polares a cartesianas. SOLUCIÓN Como r − 2 y − y3, las ecuaciones 1 dan x − r cos − 2 cos y − r sen − 2 sen

−2

1 −1 2

−2

s3 − s3 2

Por lo tanto, el punto es (1, s3 ) en coordenadas cartesianas.

■

EJEMPLO 3 Represente el punto con coordenadas cartesianas (1, 21) en términos de coordenadas polares. SOLUCIÓN Si se elige que r sea positivo, entonces las ecuaciones 2 dan r − sx 2 1 y 2 − s12 1 s21d 2 − s2 tan

−

y − 21 x

Como el punto (1, 21) está en el cuarto cuadrante, se puede elegir − 2 y4 o − 7 y4. Por lo tanto, una posible respuesta es (s2 , 2 y4); otra es ss2 , 7 y4d. ■ NOTA Las ecuaciones 2 no determinan de manera única cuando se dan x y y porque, conforme aumenta a través del intervalo 0 ø , 2 , cada valor de tan ocurre dos veces. Por lo tanto, al convertir de coordenadas cartesianas a polares, no basta con encontrar r y que satisfagan las ecuaciones 2. Como en el ejemplo 3, se debe elegir tal que el punto (r, ) se encuentre en el cuadrante correcto.

SECCIÓN 10.3

Coordenadas polares

687

■ Curvas polares

r= 2

La gráfica de una ecuación polar r − f ( ), o más generalmente F (r, ) − 0, consiste en todos los puntos P que tienen al menos una representación polar (r, ) cuyas coordenadas satisfacen la ecuación.

r=4 r=2 r=1 x

SOLUCIÓN La curva consiste en todos los puntos (r, ) con r − 2. Como r representa la distancia del punto al polo, la curva r − 2 representa la circunferencia con centro O y radio 2. En general, la ecuación r − a representa una circunferencia con centro O y radio u a u (vea la figura 6). ■

FIGURA 6

EJEMPLO 5 Trace la curva polar − 1.

(3, 1)

SOLUCIÓN Esta curva consiste en todos los puntos (r, ) tales que el ángulo polar es de 1 radián. Es la línea recta que pasa a través de O y forma un ángulo de 1 radián con el eje polar (vea la figura 7). Observe que los puntos (r, 1) en la recta con r . 0 están en el primer cuadrante, mientras que los que tienen r , 0 están en el tercer cuadrante. ■

(2, 1)

¨=1 (1, 1)

EJEMPLO 4 ¿Qué curva está representada por la ecuación polar r − 2?

(_1, 1)

EJEMPLO 6

(a) Trace la curva con la ecuación polar r − 2 cos . (b) Establezca una ecuación cartesiana para esta curva.

(_2, 1)

FIGURA 7

SOLUCIÓN (a) En la figura 8 se encontraron los valores de r para algunos valores convenientes de y se trazaron los puntos correspondientes (r, ). Luego se unen estos puntos para trazar la curva, que parece ser una circunferencia. Se usaron solo valores de entre 0 y porque si aumenta más allá de se obtienen los mismos puntos de nuevo.

FIGURA 8 Tabla de valores y gráfica de r − 2 cos .

r 苷 2 cos 2

2 y3

3 y4

2s2

5 y6

2s3

”1, 3 ’

” œ„, 2 4’

” œ„, 3 6’

(2, 0) ”0,

π 2’

”_1,

2π 3 ’

”_ œ„, 2

3π 4 ’

5π ”_ œ„, 3 6’

(b) Para convertir la ecuación dada en una ecuación cartesiana, se aplican las ecuaciones 1 y 2. De x − r cos se tiene cos − xyr, por lo que la ecuación r − 2 cos se convierte en r − 2xyr, lo que da 2x − r 2 − x 2 1 y 2

x 2 1 y 2 2 2x − 0

688

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Al completar el cuadrado se obtiene sx 2 1d2 1 y 2 − 1 ■

que es una ecuación de un círculo con centro (1, 0) y radio 1.

En la ﬁgura 9 se presenta una ilustración geométrica de la circunferencia del ejemplo 6 de ecuación r − 2 cos . El ángulo OPQ es un ángulo recto (¿por qué?) y, por lo tanto, ry2 − cos .

P r ¨

FIGURA 9

EJEMPLO 7 Trace la curva r − 1 1 sen .

r 2

SOLUCIÓN En lugar de trazar puntos como en el ejemplo 6, primero se dibuja la gráfica de r − 1 1 sen en coordenadas cartesianas de la figura 10, desplazando la curva sinusoidal hacia arriba una unidad. Esto permite leer de un vistazo los valores de r que corresponden a valores crecientes de . Por ejemplo, se ve que a medida que aumenta desde 0 hasta y2, r (la distancia desde O) aumenta desde 1 hasta 2 (vea las flechas en azul claro correspondientes en las figuras 10 y 11), por lo que se traza la parte correspondiente de la curva polar en la figura 11(a). A medida que aumenta desde y2 hasta , en la figura 10 se aprecia que r disminuye desde 2 hasta 1, por lo que se traza la siguiente parte de la curva como en la figura 11(b). A medida que aumenta desde hasta 3 y2, r disminuye desde 1 hasta 0 como se muestra en el inciso (c). Por último, conforme aumenta desde 3 y2 hasta 2 , r aumenta desde 0 hasta 1 como se muestra en el inciso (d). Si aumenta más allá de 2 o disminuye más allá de 0, simplemente se volvería a este camino. Al juntar los incisos de la curva de la figura 11 (a)–(d) se traza la curva completa en el inciso (e). Se llama cardioide porque tiene forma de corazón.

1 0

π 2

3π 2

2π ¨

FIGURA 10 r − 1 1 sen en coordenadas cartesianas, 0 ø ø 2 .

¨= 2

2 O O

(a)

¨=0

¨=π

(b)

3π

O 3π

¨= 2

(c)

(d)

FIGURA 11 Fases del trazado de la cardioide r − 1 1 sen .

¨=2π

(e)

■

EJEMPLO 8 Trace la curva r − cos 2 . SOLUCIÓN Como en el ejemplo 7, primero se traza r − cos 2 , 0 ø ø 2 , en coordenadas cartesianas de la figura 12. A medida que aumenta desde 0 hasta y4, en la figura 12 se ve que r disminuye desde 1 hasta 0 y así se traza la parte correspondiente de la curva polar en la figura 13 (indicada por ). A medida que aumenta desde y4 hasta y2, r disminuye desde 0 hasta 21. Esto significa que la distancia de O aumenta

SECCIÓN 10.3

689

Coordenadas polares

desde 0 hasta 1, pero en lugar de estar en el primer cuadrante, esta parte de la curva polar (indicada por ) se encuentra en el lado opuesto del polo en el tercer cuadrante. El resto de la curva se dibuja en una forma similar, con las flechas y los números que indican el orden en que se trazan las porciones. La curva resultante tiene cuatro bucles y se llama rosa de cuatro pétalos.

¨= 2

¨=

π 4

π 2

3π 4

5π 4

3π 2

2π

7π 4

3π 4

& $

¨=π

¨=0

FIGURA 12

¨= 4

FIGURA 13

r − cos 2 en coordenadas cartesianas.

Rosa de cuatro pétalos r − cos 2 .

■

■ Simetría Cuando se trazan curvas polares, a veces es útil aprovechar la simetría. Las siguientes tres reglas se explican con la figura 14. (a) Si una ecuación polar no cambia cuando se reemplaza por 2 , la curva es simétrica respecto al eje polar. (b) Si la ecuación no cambia cuando r se reemplaza por 2r, o cuando se reemplaza por 1 , la curva es simétrica sobre el polo (esto significa que la curva permanece inalterada si se rota 180° alrededor del origen). (c) Si la ecuación no cambia cuando se reemplaza por 2 , la curva es simétrica respecto a la recta vertical − y2.

(r, π-¨)

(r, ¨ ) (r, ¨ )

(r, ¨)

π-¨

¨ O

_¨

(_ r, ¨ ) (r, _¨ )

(a)

(b)

(c)

FIGURA 14

Las curvas dibujadas en los ejemplos 6 y 8 son simétricas respecto al eje polar, pues cos(2 ) − cos . Las curvas de los ejemplos 7 y 8 son simétricas respecto a − y2 porque sen( 2 ) − sen y cos f2( 2 )g − cos 2 . La rosa de cuatro pétalos también es simétrica respecto al polo. Pudieron aplicarse estas propiedades de simetría al dibujar las curvas. Por ejemplo, en el ejemplo 6 solo es necesario tener puntos trazados para 0 ø ø y2 y luego reflejarlos sobre el eje polar para obtener la circunferencia completa.

690

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

■ Gráficas de curvas polares con tecnología Aunque es útil poder trazar a mano curvas polares sencillas, se necesita una calculadora graficadora o una computadora cuando se trata de una curva tan complicada como las que se muestran en las figuras 15 y 16. 2

FIGURA 15

FIGURA 16

r − sen3 s2.5 d 1 cos 3 s2.5 d

r − sen2 s3 y2d 1 cos2s2 y3d

EJEMPLO 9 Grafique la curva r − sen(8 y5).

SOLUCIÓN Primero se debe determinar el dominio para . Así, se plantea la pregunta: ¿cuántas rotaciones completas se requieren para que la curva comience a repetirse? Si la respuesta es n, entonces _1

sen

8 16n 8s 1 2n d − sen 1 5 5 5

− sen

8 5

y, por lo tanto, se necesita que 16n y5 sea un múltiplo par de . Esto ocurrirá primero cuando n − 5. Así que se grafica toda la curva si se especifica que 0 ø ø 10 . En la figura 17 se muestra la curva resultante. Observe que esta curva tiene 16 bucles. ■

EJEMPLO 10 Analice la familia de curvas polares dadas por r − 1 1 c sen . ¿Cómo cambia la forma a medida que cambia c? (Estas curvas se llaman limaçons, que significa caracol en francés, debido a la forma de las curvas para ciertos valores de c).

FIGURA 17

r − sen(8 y5)

SOLUCIÓN En la figura 18 se presentan gráficas hechas por computadora con varios valores de c (observe que se obtiene la gráfica completa para 0 ø ø 2 ). Para c . 1 hay un bucle que decrece su tamaño a medida que c disminuye. Cuando c − 1, el bucle desaparece y la curva se convierte en la cardioide que se trazó en el ejemplo 7.

c=1.7

c=1

c=0. 7

c=0. 5

c=0. 2

c=2.5

c=_2 c=0

c=_ 0.2

c=_ 0.5

FIGURA 18 Miembros de la familia de limaçons r − 1 1 c sen .

c=_ 0.8

c=_1

SECCIÓN 10.3

En el ejercicio 55 se pide que demuestre analíticamente lo que se observó en las gráﬁcas de la ﬁgura 18.

Coordenadas polares

691

Para c entre 1 y 12 la cúspide de la cardioide se alisa y se convierte en un “hoyuelo”. Cuando c disminuye desde 12 hasta 0, la limaçon tiene forma de óvalo. Este óvalo se vuelve más circular a medida que c l 0, y cuando c − 0, la curva es solo el círculo r − 1. Las partes restantes de la figura 18 muestran que a medida que c se convierte en negativa, las formas cambian en orden inverso. De hecho, estas curvas son reflejos sobre el eje horizontal de las curvas correspondientes con c positiva. ■ Las limaçons surgen en el estudio del movimiento planetario. En particular, la trayectoria de Marte, vista desde el planeta Tierra, se modeló por una limaçon con un bucle, como en las partes de la figura 18 con u c u . 1. En la tabla 1 se resumen algunas curvas polares comunes.

Tabla 1 Curvas polares comunes

Circunferencias y espiral

r=a circunferencia

r=a sen ¨ circunferencia

r=a cos ¨ circunferencia

r=a¨ espiral

a<b limaçon con bucle interior

a=b cardioide

a>b limaçon con hoyuelo

a˘2b limaçon convexa

r=a cos 2¨ rosa de cuatro pétalos

r=a cos 3¨ rosa de tres pétalos

r=a cos 4¨ rosa de ocho pétalos

r=a cos 5¨ rosa de cinco pétalos

r@=a@ sen 2¨ lemniscata

r@=a@ cos 2¨ lemniscata

Limaçons r − a 6 b sen r − a 6 b cos (a . 0, b . 0) La orientación depende de la función trigonométrica (seno o coseno) y del signo de b

Rosas r − a sen n r − a cos n de n pétalos si n es impar de 2n pétalos si n es par

Lemniscatas Curvas con forma de 8

692

CAPÍTULO 10

10.3

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

Ejercicios

1-2 Trace el punto cuyas coordenadas polares se indican. Luego encuentre otros dos pares de coordenadas polares de este punto, con r . 0 y con r , 0. 1. (a) s1, y4d

(b) s22, 3 y2d

2. (a) s2, 5 y6d

(b) s1, 22 y3d

3-4 Trace el punto cuyas coordenadas polares se indican. Luego encuentre las coordenadas cartesianas del punto.

21-26 Encuentre una ecuación polar para la curva representada por la ecuación cartesiana dada. 21. x 2 1 y 2 − 7

22. x − 21

23. y − s3 x

24. y − 22x 2

25. x 2 1 y 2 − 4y

26. x 2 2 y 2 − 4

27-28 Para cada una de las curvas descritas, determine si la curva se indicaría más fácil con una ecuación polar o una ecuación cartesiana. Luego escriba una ecuación para la curva.

3. (a) s2, 3 y2d

(b) (s2, y4)

4. (a) (4, 4 y3)

(b) s22, 3 y4d

27. (a) Una recta a través del origen que forma un ángulo de y6 con el eje x positivo. (b) Una recta vertical a través del punto (3, 3).

5-6 Se indican las coordenadas cartesianas de un punto. (i) Determine las coordenadas polares (r, ) del punto, donde r . 0 y 0 ø , 2 . (ii) Determine las coordenadas polares (r, ) del punto, donde r , 0 y 0 ø , 2 .

28. (a) Una circunferencia con radio 5 y centro (2, 3). (b) Una circunferencia centrada en el origen con radio 4.

(3, 3s3 )

5. (a) s24, 4d

(b)

6. (a) (s3, 21)

(b) s26, 0d

29-32 En la figura se muestra una gráfica de r como función de en coordenadas cartesianas. Úsela para trazar la curva polar correspondiente. 29.

7-12 Trace la región en el plano consistente en puntos cuyas coordenadas polares satisfacen las condiciones especificadas.

7. 1 , r < 3 8. r > 2,

9. 0 < r < 1,

2 y2 <

< y2

30.

10. 3 , r , 5, 2 y3 <

< 4 y3

11. 2 < r , 4,

< 7 y4

12. r > 0,

3 y4 < <

2π ¨

< 5 y2

13. Encuentre la distancia entre los puntos con coordenadas polares (4, 4 y3) y (6, 5 y3). 14. Encuentre una fórmula para la distancia entre los puntos con coordenadas polares (r1, 1) y (r2, 2). 15-20 Identifique la curva al obtener una ecuación cartesiana para la curva. 15. r 2 − 5

16. r − 4 sec

17. r − 5 cos

18.

19. r 2 cos 2 − 1

20. r 2 sen 2 − 1

− y3

2π ¨

31.

r 1 0 _1 _2

SECCIÓN 10.3

32.

(e) r − secs y3d (g) r − 2, 0 < < 8 (i) r − 2 1 coss3 y2d

r 2 1 0

2π ¨

Coordenadas polares

693

(f ) r − sec (h) r − 2 1 cos 3

III

VII

VIII

33-50 Trace la curva con la ecuación polar indicada trazando primero la gráfica de r como función de en coordenadas cartesianas. 33. r − 22 sen

34. r − 1 2 cos

35. r − 2s1 1 cos d

36. r − 1 1 2 cos

37. r − ,

38. r −

, 22

39. r − 3 cos 3

40. r − 2sen 5

41. r − 2 cos 4

42. r − 2 sen 6

43. r − 1 1 3 cos

44. r − 1 1 5 sen

45. r 2 − 9 sen 2

46. r 2 − cos 4

47. r − 2 1 sen 3

48. r 2 − 1

49. r − sen s y2d

50. r − cos s y3d

57. Demuestre que la ecuación polar r − a sen 1 b cos , donde ab ± 0, representa una circunferencia. Encuentre su centro y radio.

51. Demuestre que la curva polar r − 4 1 2 sec (llamada concoide) tiene la recta x − 2 como asíntota vertical mostrando que lím rl6` x − 2. Use este hecho para facilitar el trazado de la concoide. 52. Demuestre que la curva r − 2 2 csc (una concoide) tiene la recta y − 21 como asíntota horizontal mostrando que lím rl6` y − 21. Use este hecho para facilitar el trazado de la concoide.

58. Demuestre que las curvas r − a sen y r − a cos se intersecan en ángulos rectos. 59-64 Grafique la curva polar. Elija un intervalo del parámetro que produzca la curva completa.

59. r − 1 1 2 sens y2d 60. r − s1 2 0.8 sen 2

53. Demuestre que la curva r − sen tan (llamada cisoide de Diocles) tiene la recta x − 1 como asíntota vertical. Demuestre también que la curva se encuentra completamente dentro de la franja vertical 0 ø x , 1. Use esto para trazar la cisoide.

62. r − | tan

54. Trace la curva (x2 1 y2)3 − 4x2y2.

63. r − 1 1 cos 999

55. (a) En el ejemplo 10 las gráficas sugieren que la limaçon r − 1 1 c sen tiene un bucle interior cuando u c u . 1. Demuestre que esto es cierto, y encuentre los valores de que correspondan al bucle interior. (b) Según la figura 18 parece que la limaçon pierde su hoyuelo cuando c − 12. Demuestre esto.

64. r − 2 1 coss9 y4d

56. Relacione las ecuaciones polares con las gráficas I-IX. Argumente sus respuestas. (a) r − cos 3 (c) r − coss y2d

(b) r − ln , 1 < (d) r − coss y3d

61. r − e sen 2 2 coss4 d

cot

(nefroide de Freeth) (hipopoda) (curva mariposa)

(curva valentina) (curva Pac-Man)

; 65. ¿Cómo se relacionan las gráficas de r − 1 1 sen( 2 y6) y r − 1 1 sen( 2 y3) con la gráfica de r − 1 1 sen ? En general, ¿cómo se relaciona la gráfica de r − f ( 2 a) con la gráfica de r − f ( )? ; 66. Con una gráfica estime la coordenada y de los puntos más altos de la curva r − sen 2 . Luego calcule el valor exacto.

694

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

; 67. Analice la familia de curvas con ecuaciones polares r − 1 1 c cos , donde c es un número real. ¿Cómo cambia la forma a medida que cambia c?

n aumenta? ¿Qué pasa cuando n crece? Explique la forma para n grande considerando la gráfica de r como función de en coordenadas cartesianas.

n ; 68. Analice la familia de curvas polares r − 1 1 cos , donde n es un entero positivo. ¿Cómo cambia la forma a medida que

PROYECTO DE DESCUBRIMIENTO

;

FAMILIAS DE CURVAS POLARES

En este proyecto se descubren las formas interesantes y bellas que pueden tomar los miembros de las familias de las curvas polares. También se verá que la forma de la curva cambia cuando las constantes varían. 1. (a) Analice la familia de curvas definidas por las ecuaciones polares r − sen n , donde n es un entero positivo. ¿Cómo se relaciona el número de bucles con n? (b) ¿Qué sucede si la ecuación del inciso (a) se reemplaza por r − u sen n u? 2. Una familia de curvas se da por las ecuaciones r − 1 1 c sen n , donde c es un número real y n es un entero positivo. ¿Cómo cambia la gráfica a medida que n aumenta? ¿Cómo cambia a medida que c varía? Grafique suficientes miembros de la familia para apoyar sus conclusiones. 3. Una familia de curvas tiene las ecuaciones polares r−

1 2 a cos 1 1 a cos

Analice cómo cambia la gráfica conforme el número a varía. En particular, debe identificar los valores de transición de a con los cuales cambia la forma básica de la curva. 4. El astrónomo Giovanni Cassini (1625-1712) estudió la familia de las curvas con ecuaciones polares r 4 2 2c 2 r 2 cos 2 1 c 4 2 a 4 − 0 donde a y c son números reales positivos. Estas curvas se llaman óvalos de Cassini aunque solo tienen forma ovalada con ciertos valores de a y c (Cassini pensó que estas curvas podrían representar las órbitas planetarias mejor que las elipses de Kepler). Analice las diversas formas que pueden tener estas curvas. En particular, ¿cómo se relacionan a y c entre sí cuando la curva se divide en dos partes?

10.4 Cálculo en coordenadas polares En esta sección se aplican los métodos de cálculo para encontrar áreas, longitudes de arco y tangentes que involucran curvas polares.

■ Área Para calcular la fórmula para el área de una región cuyo límite se indica por una ecuación polar es necesario aplicar la fórmula para el área de un sector de una circunferencia: r ¨

FIGURA 1

A − 12 r 2

donde, como en la figura 1, r es el radio y es la medida del radián del ángulo central. La fórmula 1 se deriva del hecho de que el área de un sector es proporcional a su ángulo central: A − s y2 d r 2 − 12 r 2 . (Vea también el ejercicio 7.3.41).

SECCIÓN 10.4

¨=b

695

Sea 5 la región, ilustrada en la figura 2, delimitada por la curva polar r − f ( ) y por los rayos − a y − b, donde f es una función continua positiva en la cual 0 , b 2 a ø 2 . Se divide el intervalo fa, bg en subintervalos con puntos frontera 0, 1, 2, . . . , n con el mismo ángulo D . Entonces, los rayos − i dividen 5 en n regiones más pequeñas con el ángulo central D − i 2 i21. Si se elige i* en el i-ésimo subintervalo f i21, ig, entonces el área DAi de la i-ésima región se aproxima como el área del sector de un círculo con ángulo central D y radio f s i*d (vea la figura 3). Según la fórmula 1, se tiene

r=f(¨)

Cálculo en coordenadas polares

¨=a a

FIGURA 2

DAi < 12 f f s i*dg 2 D f(¨ i*)

¨=¨ i

y, por tanto, una aproximación al área total A de 5 es

¨=¨ i-1 n

¨=b

*dg 2 D

o 12 f f s i−1

Î¨

¨=a O

De la figura 3 se desprende que la aproximación en (2) mejora a medida que n l `. Pero las sumas en (2) son sumas de Riemann para la función ts d − 12 f f s dg 2, así que

FIGURA 3

*dg 2 D − y

o 12 f f s n l ` i−1 lím

b 1

2f fs

dg 2 d

Por lo tanto, parece verosímil (de hecho, puede demostrarse) que la fórmula para calcular el área A de la región polar 5 es A−y

b 1

dg 2 d

2f fs

La fórmula 3 se escribe a menudo como A−y

b 1

en el entendido de que r − f ( ). Observe la similitud entre las fórmulas 1 y 4. Cuando se utilizan las fórmulas 3 o 4, es útil imaginar que la zona se barre con un rayo giratorio a través de O que comienza con el ángulo a y termina con el ángulo b.

EJEMPLO 1 Encuentre el área delimitada por un bucle de la rosa de cuatro pétalos

r − cos 2 . r=cos 2¨

SOLUCIÓN La curva r − cos 2 se trazó en el ejemplo 10.3.8. Observe en la figura 4 que la región delimitada por el bucle derecho se barre por un rayo que gira desde − 2 y4 hasta − y4. Por lo tanto, la fórmula 4 da

π ¨= 4

A−y

y4 1

2 y4

d − 12 y

2 y4

cos 2 2 d

Como la región es simétrica alrededor del eje polar − 0, se puede escribir π

¨=_ 4

FIGURA 4

A−2?

y4 1 2 0

−y

2 s1

− 12

y4 1

cos 2 2 d

fporque cos u − 12 s1 1 cos 2udg

1 cos 4 d d

1 14 sen 4

y4 0

−

■

696

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

EJEMPLO 2 Encuentre el área de la región que se encuentra dentro del círculo r − 3 sen y fuera de la cardioide r − 1 1 sen . r=3 sen ¨

5π

¨= 6

SOLUCIÓN La cardioide (vea el ejemplo 10.3.7) y el círculo se muestran en la figura 5 y la región deseada está sombreada. En la fórmula 4, los valores de a y b se determinan al encontrar los puntos de intersección de las dos curvas. Se intersecan cuando 3 sen − 1 1 sen . Esto da sen − 12 , así que − y6, 5 y6. El área deseada se determina al restar el área dentro de la cardioide entre − y6 y − 5 y6 del área dentro del círculo desde y6 hasta 5 y6. De este modo, A − 12 y

r=1+sen ¨

5 y6 y6

s3 sen d2 d 2 12 y

A−2

1 2

−y

y2 y6

9 sen2 d 2 12 y

r=f(¨)

r=g(¨) ¨=a

FIGURA 6

s1 1 sen d2 d

y2 y6

s1 1 2 sen 1 sen2 d d

s8 sen2 2 1 2 2 sen d d s3 2 4 cos 2 2 2 sen d d

− 3 2 2 sen 2 1 2 cos

Como la región es simétrica alrededor del eje vertical − y2, se puede escribir

FIGURA 5

¨=b

5 y6

y2 y6

fporque sen

−

− 12 s1 2 cos 2 d

g ■

En el ejemplo 2 se ilustra el procedimiento para encontrar el área de la región delimitada por dos curvas polares. En general, sea 5 una región, como se ilustra en la figura 6, delimitada por curvas con las ecuaciones polares r − f ( ), r − t( ), − a y − b, donde f ( ) ù t( ) ù 0 y 0 , b 2 a ø 2 . El área A de 5 se encuentra restando el área dentro de r − t( ) del área dentro de r − f ( ), por lo que con la fórmula 3 se tiene A−y

b 1

2f fs

dg 2 d 2 y

b 1

2 fts

dg 2 d

− 12 y ( f f s dg 2 2 fts dg 2) d b

PRECAUCIÓN El hecho de que un solo punto tenga muchas representaciones en coordenadas polares a veces dificulta encontrar todos los puntos de intersección de dos curvas polares. Por ejemplo, es evidente, a partir de la figura 5 que la circunferencia y la cardioide tienen tres puntos de intersección; sin embargo, en el ejemplo 2 se resolvieron las ecuaciones r − 3 sen y r − 1 1 sen y solo se encontraron dos de esos puntos, ( 32, y6) y ( 32, 5 y6). El origen también es un punto de intersección, pero no es posible determinarlo al resolver las ecuaciones de las curvas porque el origen no tiene una sola representación en coordenadas polares que satisfagan ambas ecuaciones. Observe que, cuando se representa como (0, 0) o (0, ), el origen satisface r − 3 sen y, por lo tanto, se encuentra en la circunferencia; cuando se representa como (0, 3 y2), satisface r − 1 1 sen y, por lo tanto, se encuentra en la cardioide. Piense en dos puntos que se mueven a lo largo de las curvas a medida que el valor parámetro aumenta desde 0 hasta 2 . En una curva, el origen se alcanza en − 0 y − ; en la otra curva se alcanza en − 3 y2. Los puntos no colisionan en el origen porque llegan al origen en diferentes tiempos, pero las curvas se intersecan allí de todos modos (vea también los ejercicios 10.1.55–57). Así, para encontrar todos los puntos de intersección de dos curvas polares, se recomienda elaborar las gráficas de ambas curvas. En especial, conviene utilizar una calculadora graficadora o una computadora para esta tarea.

SECCIÓN 10.4

1 π

r=21

” 2, 3 ’ 1 π

”2, 6 ’

r=cos 2¨

FIGURA 7

Cálculo en coordenadas polares

697

EJEMPLO 3 Encuentre todos los puntos de intersección de las curvas r − cos 2 y r − 12.

SOLUCIÓN Si se resuelven al mismo tiempo las ecuaciones r − cos 2 y r − 12 se obtiene cos 2 − 12 y, por lo tanto, 2 − y3, 5 y3, 7 y3, 11 y3. Así, los valores entre 0 y 2 que satisfacen ambas ecuaciones son − y6, 5 y6, 7 y6, 11 y6. Se encontraron cuatro puntos de intersección: (21, y6), (21, 5 y6), (21, 7 y6) y (21, 11 y6). Sin embargo, en la figura 7 se aprecia que las curvas tienen otros cuatro puntos de intersección, a saber: (21, y3), (21, 2 y3), (21, 4 y3) y (21, 5 y3). Estos se determinan al aplicar la simetría o al notar que otra ecuación de la circunferencia es r − 212 y luego resolver las ecuaciones r − cos 2 y r − 212 simultáneamente. ■

■ Longitud de arco A partir de la sección 10.3, recuerde que las coordenadas rectangulares (x, y) y las coordenadas polares (r, ) se relacionan por las ecuaciones x − r cos , y − r sen . Al considerar como un parámetro, esto permite escribir ecuaciones paramétricas para una curva polar r − f ( ) de la siguiente manera. x − r cos

5 Ecuaciones paramétricas para una curva polar.

− f s d cos

y − r sen

− f s d sen

Para encontrar la longitud de una curva polar r − f ( ), a ø ø b, se comienza con las ecuaciones 5 y se deriva con respecto a (mediante la regla del producto): dx dr − cos 2 r sen d d

dy dr − sen 1 r cos d d

Luego, con cos2 1 sen2 − 1, se tiene

S D S D S D dx d

dy d

−

dr d

cos 2 2 2r

−

S D dr d

dr cos sen 1 r 2 sen2 d

sen2 1 2r

dr sen cos 1 r 2 cos 2 d

1 r2

Suponiendo que f 9 es continua se puede aplicar el teorema 10.2.5 para escribir la longitud de arco como

L−

y ÎS D S D dx d

dy d

Por lo tanto, la longitud de una curva con la ecuación polar r − f ( ), a ø ø b, es

L−

yÎ S D b

r2 1

dr d

698

CAPÍTULO 10

Ecuaciones paramétricas y coordenadas polares

EJEMPLO 4 Encuentre la longitud de la cardioide r − 1 1 sen . SOLUCIÓN La cardioide se muestra en la figura 8 (se traza en el ejemplo 10.3.7). Su longitud total se da por el intervalo del parámetro 0 ø ø 2 , por lo que la fórmula 6 da O

FIGURA 8 r − 1 1 sen

L−

Î SD r2 1

dr d

d − y ss1 1 sen d 2 1 cos 2 d − y 2

s2 1 2 sen

Podría evaluarse esta integral multiplicando y dividiendo el integrando por s2 2 2 sen o con un software matemático. En cualquier caso, se ve que la longitud de la cardioide es L − 8. ■

■ Tangentes Para encontrar una recta tangente a una curva polar r − f ( ), se considera de nuevo como un parámetro y se escriben las ecuaciones paramétricas para la curva con las ecuaciones 5: x − r cos − f s d cos

y − r sen − f s d sen

Luego, con el método para encontrar la pendiente de una curva paramétrica (ecuación 10.2.1) y la regla del producto, se tiene dy dr sen 1 r cos d d dy − − dx dx dr cos 2 r sen d d

Las tangentes horizontales se localizan al determinar los puntos donde dyyd − 0 (siempre que dxyd ± 0). De la misma manera, las tangentes verticales se ubican en los puntos donde dxyd − 0 (siempre que dyyd ± 0). Observe que si se buscan rectas tangentes en el polo, entonces r − 0 y la ecuación 7 se simplifica a dy − tan dx

dr ±0 d

De esta manera, en el ejemplo 10.3.8 se vio que r − cos 2 − 0 cuando − y4 o 3 y4. Esto significa que las rectas − y4 y − 3 y4 (o y − x, y − 2x) son rectas tangentes a r − cos 2 en el origen.

EJEMPLO 5

(a) Para la cardioide r − 1 1 sen del ejemplo 4, determine la pendiente de la recta tangente cuando − y3. (b) Determine los puntos de la cardioide donde la recta tangente sea horizontal o vertical. SOLUCIÓN Con la ecuación 7 y r − 1 1 sen se tiene dr sen 1 r cos dy cos sen 1 s1 1 sen d cos d − − dx dr cos cos 2 s1 1 sen d sen cos 2 r sen d −

cos s1 1 2 sen d cos s1 1 2 sen d − 1 2 2 sen2 2 sen s1 1 sen ds1 2 2 sen d

SECCIÓN 10.4

Cálculo en coordenadas polares

699

(a) La pendiente de la tangente en el punto donde − y3 es dy dx

− y3

−

1 coss y3df1 1 2 sens y3dg 2 (1 1 s3 ) − f1 1 sens y3dgf1 2 2 sens y3dg (1 1 s3y2)(1 2 s3 )

−

1 1 s3 1 1 s3 − − 21 (2 1 s3 )(1 2 s3 ) 21 2 s3

(b) Observe que

”2, 2 ’ ”1+

m=_1

œ„ 3 π , 2 3’

3 π

3 5π ’ 6

”2, 6’

” 2,

” 0,

dy − cos s1 1 2 sen d − 0 d

cuando

−

3 7 11 , , 2 2 6 6

dx − s1 1 sen ds1 2 2 sen d − 0 d

cuando

−

3 5 , , 2 6 6

Por lo tanto, hay tangentes horizontales en los puntos s2, y2d, ( 12 , 7 y6), ( 12 , 11 y6) , y tangentes verticales en ( 32 , y6) y ( 32 , 5 y6). Cuando − 3 y2, tanto dyyd como dxyd son 0, así que se debe tener cuidado. Con la regla de L9Hôpital se tiene

lím

ls3 y2d2

dy − dx

3π ’ 2

−2 1 7π ”2, 6 ’

1 11π ” 2, 6 ’

FIGURA 9 Rectas tangentes para r − 1 1 sen .

lím

l s3 y2d2

1 3

1 1 2 sen 1 2 2 sen

lím

l s3 y2d2

cos 1 1 sen

lím

Por simetría,

l s3 y2d1

lím

l s3 y2d2

−2

1 3

cos 1 1 sen

lím

l s3 y2d2

2sen cos

−`

dy − 2` dx

Por lo tanto, hay una recta tangente vertical en el polo (vea la figura 9).

■

NOTA En lugar de recordar la ecuación 7, puede emplearse el método con el que se obtuvo. Por ejemplo, en el ejemplo 5 se pudieron escribir ecuaciones paramétricas para la curva como

x − r cos − s1 1 sen d cos − cos 1 12 sen 2 y − r sen − s1 1 sen d sen − sen 1 sen2 Entonces se tiene cos 1 2 sen cos cos 1 sen 2 dyyd dy − − − dx dxyd 2sen 1 cos 2 2sen 1 cos 2 que equivale a la expresión anterior.

10.4 Ejercicios 1-4 Determine el área de la región que está delimitada por la curva indicada y se encuentra en el sector especificado. 1. r − s2 , 2. r − e ,

0 < < y2

3 y4 < < 3 y2

3. r − sen 4. r − 1y ,

1 cos , y2 <

0 < <2

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