Matemáticas V Pensamiento geométrico, funciones y estadística
Earl W. Swokowski Jeffery A. Cole
Matemáticas V Pensamiento geométrico, funciones y estadística Earl W. Swokowski Jeffery A. Cole Community College Anoka-Ramsey
Matemáticas V Pensamiento geométrico, funciones y estadística Earl W. Swokowski Jeffery A. Cole Community College Anoka-Ramsey
Joel Ibarra Escutia Tecnológico Nacional de México, campus Toluca Traducción María del Pilar Carril Villarreal
Revisión técnica José Juan Rey Meneses Escuela Nacional Preparatoria, plantel 1, Gabino Barreda. UNAM.
Judith Eugenia Barreiro Díaz Escuela Nacional Preparatoria, plantel 2, Erasmo Castellanos Quinto. UNAM.
Nora Cecilia Chávez Pérez Escuela Nacional Preparatoria, plantel 4, Vidal Castañeda y Nájera. UNAM.
Laura Isabel Mora Reyes Escuela Nacional Preparatoria, plantel 6, Antonio Caso. UNAM.
Jesús García Barrera Universidad del Valle de México, campus Lomas Verdes
Alejandro Chávez Ochoa César Augusto Hernández Flores Jonathan Galván Colín Preparatoria Tecnológico de Monterrey, campus Ciudad de México
María de Guadalupe Arroyo Santisteban Vinicio Pérez Fonseca José Cruz Ramos Báez Ignacio García Juárez Universidad Panamericana ECEE
Ernesto Ramírez Sánchez Norma Ramírez Sánchez Escuela Nacional Preparatoria, plantel 9, Pedro de Alba. UNAM.
$XVWUDOLD ȏ %UDVLO ȏ &DQDG£ ȏ (VWDGRV 8QLGRV ȏ 0«[LFR ȏ 5HLQR 8QLGR ȏ 6LQJDSXU
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística. Primera edición (DUO : 6ZRNRZVNL \ -HHU\ $ &ROH Director Higher Education Latinoamérica: 5HQ]R &DVDS¯D 9DOHQFLD Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora: $EULO 9HJD 2UR]FR Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Diseño de portada: 'DQLHOD 7RUUHV $UUR\R Imagen de portada: k 3OD QD 6KXWWHUVWRFN &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD +XPEHUWR 1¼³H] 5DPRV
k ' 5 SRU &HQJDJH /HDUQLQJ (GLWRUHV 6 $ GH & 9 �� XQD &RPSD³¯D GH &HQJDJH /HDUQLQJ ΖQF �� &DUUHWHUD 0«[LFR 7ROXFD Q¼P RȴFLQD �� &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 �� &LXGDG GH 0«[LFR &HQJDJH /HDUQLQJ® HV XQD PDUFD UHJLVWUDGD�� XVDGD EDMR SHUPLVR '(5(&+26 5(6(59$'26 1LQJXQD SDUWH GH�� HVWH WUDEDMR DPSDUDGR SRU OD /H\ )HGHUDO GHO�� 'HUHFKR GH $XWRU SRGU£ VHU UHSURGXFLGD �� WUDQVPLWLGD DOPDFHQDGD R XWLOL]DGD HQ�� FXDOTXLHU IRUPD R SRU FXDOTXLHU PHGLR \D VHD�� JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR �� SHUR VLQ OLPLWDUVH D OR VLJXLHQWH IRWRFRSLDGR �� UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ �� JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ LQWHUQHW �� GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R�� DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV�� GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR�� HQ HO &DS¯WXOR ΖΖΖ $UW¯FXOR GH OD /H\ )HGHUDO�� GHO 'HUHFKR GH $XWRU VLQ HO FRQVHQWLPLHQWR�� SRU HVFULWR GH OD (GLWRULDO 7UDGXFLGR \ DGDSWDGR GHO OLEUR Precalculus: Functions and Graphs �� 7ZHOIWK (GLWLRQ (QKDQFHG (GLWLRQ �� 6ZRNRZVNL (DUO : DQG -HHU\ $ &ROH �� 3XEOLFDGR HQ LQJO«V SRU &HQJDJH /HDUQLQJ k Ζ6%1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD �� 6ZRNRZVNL (DUO : \ -HHU\ $ &ROH Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística. 3ULPHUD HGLFLµQ Ζ6%1 0 3 9LVLWH QXHVWUR VLWLR HQ KWWS ODWLQRDPHULFD FHQJDJH FRP
Publicado en México 1 2 3 4 5 6 23 22 21 20
Contenido
Contenido Presentación
xi
Conoce tu libro
xii
Acerca de los autores
xv
Unidad 1 1.1
1.2
1.3
1.4
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
2
Los elementos geométricos
4
El punto
4
La recta
4
El segmento
5
El ángulo
5
Rectas coincidentes, paralelas y perpendiculares
8
Congruencia
10
1.2.1 Segmentos proporcionales
11
1.2.2 El teorema de Tales y la semejanza
12
El círculo y el número pi
15
1.3.1 El problema histórico del cálculo del perímetro y el área del círculo
15
1.3.2 La medida de un ángulo en grados y radianes
17
1.3.3 Rectas y puntos notables de una circunferencia
20
1.3.4 Arcos y sectores circulares
23
El triángulo y su geometría
28
Clasificación de los triángulos
29
Clasificación de los triángulos por sus lados
29
Clasificación de los triángulos por sus ángulos
30
1.4.1 Rectas y puntos notables de un triángulo
32
1.4.2 El teorema de Pitágoras
35
1.4.3 Razones trigonométricas de un ángulo
39
1.4.4 Identidades fundamentales
44
1.4.5 Ley de senos
48
1.4.6 Ley de cosenos
56
1.5
Secciones cónicas
65
1.6
Construcciones con regla y compás de la media proporcional, razón áurea y algunos números irracionales
72
La media proporcional
72
Sección áurea de un segmento
76
Construcción de números irracionales con regla y compás
79
v
vi
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística
1.7
1.8 1.9
Resolución de problemas geométricos
80
El círculo
83
Congruencia de triángulos
83
Semejanza de triángulos
86
Uso de la tecnología como recurso para compartir e identificar propiedades invariantes en construcciones geométricas
91
Conversión de medidas de ángulos a diferentes unidades
94
1.10 Una prueba y una demostración del teorema de Pitágoras
96
Una prueba del teorema de Pitágoras
96
Una demostración del teorema de Pitágoras
97
1.11 Deducción de las identidades fundamentales
99
1.12 Resolución de problemas trigonométricos
102
1.13 Trazo de las curvas cónicas
114
La circunferencia
114
La parábola
114
La elipse
116
La hipérbola
119
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
Unidad 2 Álgebra para analizar objetos geométricos 2.1
123
132
Conceptos básicos de la geometría cartesiana
134
2.1.1 Coordenadas de un punto
134
2.1.2 Distancia entre dos puntos
134
2.1.3 Punto medio de un segmento
138
2.1.4 Ángulo de inclinación de una recta y pendiente
139
2.1.5 Ángulo entre dos rectas
140
2.1.6 Lugar geométrico
141
2.1.7 Ecuación punto-pendiente de la recta
141
2.1.8 Ecuación pendiente-ordenada de la recta
143
2.1.9 Ecuación general de la recta
144
2.2
La ecuación general de segundo grado y las cónicas
149
2.3
Ángulo de inclinación de una recta y pendiente
151
2.4
Ángulo entre dos rectas
157
2.5
Aplicación de las herramientas de la geometría analítica para resolver problemas de la geometría euclidiana
160
2.5.1 División de un segmento en una razón dada
160
2.5.2 Perímetros, áreas y ángulos de polígonos
163
Aplicaciones de la recta en contexto
168
2.6
Contenido
2.7 2.8
Identificación del tipo de cónica que representa la ecuación general de segundo grado
177
Visualización de los cambios en la gráfica de la ecuación general de segundo grado con dos variables al variar sus coeficientes
180
Variación del coeficiente independiente
181
Variación del coeficiente lineal
181
Variación del coeficiente cuadrático
182
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
Unidad 3
Funciones para modelar la relación entre variables
185
190
3.1
Definición de función
192
3.2
Variable independiente y variable dependiente
195
3.3
Dominio y rango de una función
197
3.4
Funciones polinomiales
201
3.4.1 Función lineal
201
3.4.2 Funciones cuadráticas
203
3.4.3 Funciones de grado mayor que 2
204
3.4.4 Teorema del residuo y teorema del factor
206
3.5
Funciones trigonométricas de los números reales
212
3.6
Funciones exponenciales
215
3.7
Propiedades de los logaritmos
222
3.8
Funciones logarítmicas
225
3.9
Ejemplos de relación funcional de situaciones que involucran dos variables
231
3.10 Obtención de valores de una función a partir de una tabulación y una gráfica
234
3.11 Identificación de funciones a partir de su gráfica
241
3.12 Análisis de la gráfica de una función
250
Funciones crecientes y decrecientes
253
3.13 Situaciones que se modelan con una función polinomial
256
3.14 Algunas gráficas polinomiales
261
Funciones cúbicas
262
3.15 Construcción de gráficas polinomiales
264
3.16 Modelos trigonométricos
272
3.17 Las funciones trigonométricas y el círculo unitario
277
vii
viii
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística
3.18 Variaciones de las funciones trigonométricas, desfasamientos y desplazamientos
294
3.19 Fenómenos que pueden modelarse con funciones exponenciales y logarítmicas
306
Crecimiento de bacterias
306
Desintegración radiactiva
307
3.20 Diferentes escalas para graficar funciones
312
Escala lineal
313
Cambio de escala logarítmica
314
Cambio de escala semilogarítmica
317
3.21 Gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas
324
3.22 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas
338
3.23 Modelación de situaciones que involucran ecuaciones exponenciales y logarítmicas
344
3.24 Funciones para describir fenómenos reales
353
3.25 Funciones que modelan problemas reales
363
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
373
Unidad 4 Estadística para interpretar grandes cantidades de datos 4.1
390
Población y muestra
392
4.1.1 Variables en el contexto de fenómenos de la naturaleza y la sociedad
394
4.1.2 Variables cualitativas: nominales y ordinales
394
4.1.3 Variables cuantitativas: discretas y continuas
395
Procesamiento de datos
397
4.2.1 Datos no agrupados
397
Medidas de tendencia central
397
Medidas de dispersión
403
Medidas de posición
407
4.2.2 Datos agrupados
411
Media, mediana, varianza y desviación estándar para datos agrupados
414
4.2.3 Gráficos de una distribución de frecuencia
417
4.3
Datos bivariados: diagrama de dispersión
422
4.4
Distinción entre población y muestra en contextos reales
426
Distinción entre diferentes tipos de variables
429
4.2
4.5
Contenido
4.6 4.7
Búsqueda, selección y procesamiento de información acerca de un fenómeno, en bases de datos confiables
431
Descripción e interpretación de gráficas de diversas fuentes de información, identificando los elementos
433
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
Unidad 5
434
Tema optativo
438
5.1
Coordenadas polares
440
5.2
Vectores
453
5.3
Lugares geométricos y ecuaciones de las cónicas
467
5.3.1 La circunferencia
468
5.3.2 La parábola
473
5.3.3 La elipse
483
5.3.4 La hipérbola
497
5.4
Álgebra de funciones
510
5.5
La recta de Euler
522
5.6
5.7
Nociones básicas de muestreo
529
Tipos de muestreo
530
Regresión lineal simple
534
Coeficiente de correlación lineal
539
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
550
ix
x
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística
Presentación
Presentación Una sociedad en constante cambio como la nuestra, llena de retos y demandas exige que los alumnos de bachillerato desarrollen competencias, habilidades, actitudes y conocimientos que les permitan vivir y convivir de manera positiva y responsable. Los estudiantes pueden adquirir este cúmulo de saberes por sí mismos, pero también bajo la guía de sus profesores, su familia y el círculo social que los rodea. Considerando lo anterior, Cengage ha diseñado esta serie de libros de texto con el objetivo de cubrir las necesidades de los planes y programas de la Escuela Nacional Preparatoria (ENP), la cual forma parte del sistema de bachillerato de la Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM). Los contenidos de la serie han sido concebidos y dirigidos cuidadosamente con la guía de expertos en la materia y con base en los programas oficiales de estudio para proporcionar elementos cognoscitivos, metodológicos y afectivos que permitan al estudiante profundizar en la comprensión de su medio natural y social, desarrollar su personalidad, definir su participación crítica y constructiva en la sociedad en que se desenvuelve, así como introducirse en el análisis de problemáticas relacionadas con las diferentes disciplinas científicas y tecnológicas, siempre con la perspectiva de incorporarse con éxito a los estudios superiores. Algunas de las cualidades distintivas del modelo educativo de la ENP que se han manifiestado en los libros de esta serie son:
t La enseñanza está centrada en el alumno. t El aprendizaje es sistemático, explícito y práctico, de manera que los alumnos construyen su propio conocimiento, desarrollan competencias para la identificación, el planteamiento, la resolución de problemas y la interpretación de resultados. t Los contenidos se presentan de manera progresiva y organizada para que el alumno pueda darles sentido y significación. t La complejidad de las actividades va en aumento unidad tras unidad. Además, permiten la reflexión y síntesis individual y colectiva. t La evaluación está basada en la construcción de productos de aprendizaje para integrar la teoría con la práctica y así conseguir un aprendizaje significativo. De manera particular, el libro de Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística, dirigido a los alumnos de quinto año de bachillerato, se concibió tomando como base el objetivo general del programa en su formato de modalidad presencial, que es: El alumno desarrollará habilidades de pensamiento a través de la visualización, el análisis, la síntesis y la abstracción de situaciones que presenten diferentes relaciones de dependencia y que puedan ser modeladas dentro o fuera de un sistema de referencia. Además, desarrollará una formación estadística básica para interpretar y evaluar información procedente de diversas fuentes de información, y para describir el comportamiento de un fenómeno a partir del procesamiento, modelación y análisis de grandes cantidades de datos, utilizando herramientas digitales para la visualización y el análisis de las situaciones que lo ameriten. Todo lo anterior con el fin de que plantee preguntas, discuta ideas, verifique conjeturas, argumente procedimientos e interprete resultados y tome decisiones fundamentadas en un razonamiento matemático. Los contenidos de la obra están divididos en cinco unidades, que son: Unidad 1. Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar Unidad 2. Álgebra para analizar objetos geométricos Unidad 3. Funciones para modelar la relación entre variables Unidad 4. Estadística para interpretar grandes cantidades de datos Unidad 5. Tema optativo La parte medular de este texto son los distintos tipos de ejercicios con los que el estudiante se introduce en el análisis y la exploración, además de que aprende a visualizar las matemáticas en su cotidianidad a través de ejercicios contextualizados. Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística, prepara al estudiante para interpretar y evaluar información a partir del procesamiento, la modelación y el análisis de datos, con el fin de que plantee preguntas, discuta ideas, verifique conjeturas, argumente procedimientos, interprete resultados y tome decisiones fundamentadas a partir de un razonamiento matemático. Esperamos que esta obra sea una guía para los estudiantes que, además de impulsar la perspectiva de seguir con una carrera profesional, los prepare para la vida, la cual es congruente con el perfil de egreso de la Escuela Nacional Preparatoria de la Universidad Nacional Autónoma de México. Cengage Learning
xi
xii
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística
CONOCE TU LIBRO UNIDAD
1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar Contenido
En esta sección se muestra el tema central, así como el listado de los contenidos que se estudiarán en cada unidad.
102
Unidad 1
1.7 1.8
1.9 1.10 1.11 1.12 1.13
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
1.12
1.12
Resolución de problemas trigonométricos
En esta sección se resuelven algunos problemas utilizando trigonometría y complementa las ideas expuestas en la sección 1.4.
EJEMPLO 1
Una alternativa para calcular el área de un triángulo
Determine el área de un triángulo a partir de conocer el ángulo u entre dos de sus lados de longitudes a y b.
EJEMPLO 3
Los elementos geométricos 4 Congruencia 10 El círculo y el número pi 15 El triángulo y su geometría 28 Secciones cónicas 65 Construcciones con regla y compás de la media proporcional, razón áurea y algunos números irracionales 72 Resolución de problemas geométricos 80 Uso de la tecnología como recurso para compartir e identificar propiedades invariantes en construcciones geométricas 91 Conversión de medidas de ángulos a diferentes unidades 94 Una prueba y una demostración del teorema de Pitágoras 96 Deducción de las identidades fundamentales 99 Resolución de problemas trigonométricos 102 Trazo de las curvas cónicas 114
103
Resolución de problemas trigonométricos
Área de un triángulo isósceles
Calcule el área de un triángulo isósceles si el ángulo entre sus lados iguales de longitud a es u.
Figura 4
SOLUCIÓN
a
En la figura 4 se muestra un triángulo isósceles de lados iguales a y ángulo entre esos lados u. 1 Del ejemplo 1, se tiene que A 5 a2 sen u. 2
Ejemplos
u a
SOLUCIÓN
Figura 1
La figura 1 muestra el triángulo con la información inicial. Considere la altura desde el lado de longitud a. El área del triángulo está dado por 1 A 5 ah (vea la figura 2). 2 Se verifica, además
b u
sen u 5
a
En la figura 5 se muestra el pentágono inscrito en el círculo. 2p Los ángulos centrales del pentágono regular miden . 5 De la sección 1.3, se sabe que el área del sector circular OAB de radio a y ángulo 1 central u en radianes es AS 5 a2u y el área total del círculo es 5AS. 2 1 Del ejemplo 3, el área del triángulo Δ OAB es AT 5 a2 sen u y el área del pentá2 gono es 5A .
1
A 5 ab sen u 2 a
EJEMPLO 2 Figura 3
Área de un triángulo
SOLUCIÓN 15
T
Si la diferencia entre el área del círculo y el área del pentágono es de 50 m2, entonces 5AS 2 5AT 5 50
diferencia de áreas
AS 2 AT 5 10
divida entre 5
1
Calcule el área de un triángulo si el ángulo entre dos de sus lados de longitudes 10 cm y 15 cm es de 30º.
10
Un pentágono está inscrito dentro de un círculo. Si la diferencia entre el área del círculo y el área del pentágono es de 50 m2, aproxime el radio del círculo. SOLUCIÓN
h 5 b sen u
u
Área y radio de un sector circular
b
Luego, el área del triángulo puede reescribirse como
h
EJEMPLO 4
h
De manera que
Figura 2
b
© Avigator Fortuner / Shutterstock
Entrada de unidad
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
2 1 2
En la figura 3 se puede observar el triángulo en cuestión. Del ejemplo 1 se tiene A5 5
1 2
(10)(15) sen 30°
75 2
5 37.5
El área del triángulo es 37.5 cm2.
1 el área es A 5 ab sen u 2
2
a5
20
2p 5
el radio del círculo es
20 5
B
raíz cuadrada
u 2 sen u
2p
a
despeje a2
u 2 sen u
Dado que el ángulo central es u 5
2p 5
factorice
20
simplifique
A a
O
Se muestran claramente los pasos que deben seguirse para la resolución de problemas y ejercicios con base en los contenidos teóricos que se revisaron en la unidad.
sustituya áreas
a2 (u 2 sen u) 5 10
a2 5
30°
1
a u 2 a sen u 5 10 2 2
Figura 5
2 sen
2p
¯ 8.09 m2
5
2.1
Conceptos básicos de la geometría cartesiana
Fórmula de la distancia
La distancia d(P1, P2) entre dos puntos cualesquiera P1(x ( 1, y1) y P2( x2, y2) en un plano coordenado es d(P1, P2) 5
( 2 2 x1)2 1 ( y2 2 y1)2 (x
DEMOSTRACIÓN
Si x1 x2 y y1 y2, entonces, como se ilustra en la figura 3, los puntos P1, P2 y P3(x2, y1) son vértices de un triángulo rectángulo. Por el teorema de Pitágoras,
En los recuadros de definiciones y fórmulas se proporcionan los conceptos clave y las fórmulas que se usarán en la resolución de los problemas específicos de los contenidos de la unidad.
[d(P1, P2)]2 5 [d(P1, P3)]2 1 [d(P3, P2)]2 Figura 3
y P 2(x 2, y 2 )
y2
y1 x
P 1(x 1, y 1 ) x2
x1
P 3(x 2, y 1 )
En la figura vemos que d(P1, P3) 5 |x2 2 x1|
y
d(P3, P2) 5 |y2 2 y1|
Como |a|2 5 a2 para todo número real a, podemos escribir [d(P1, P2)]2 5 (x2 2 x1)2 1 (y2 2 y1)2
Demostración
Tomando la raíz cuadrada de cada lado de la última ecuación y partiendo del hecho de que d(P1, P2) $ 0, obtenemos la fórmula de la distancia. Si y1 5 y2, los puntos P1 y P2 se encuentran en la misma recta horizontal y d(P1, P2) 5 |x2 2 x1| 5
(x2 2 x1)2
Del mismo modo, si x1 5 x2, los puntos están en la misma recta vertical y d(P1, P2) 5 |y2 2 y1| 5
Las demostraciones proporcionan a los alumnos la visualización de los pasos lógicos para resolver un problema y su comprobación final.
(y2 2 y1)2
Estos son casos especiales de la fórmula de la distancia. Aun cuando nos referimos a los puntos que se muestran en la figura 3, la prueba es independiente de las posiciones de P1 y P2.
Cuando aplique la fórmula de la distancia, observe que d(P1, P2) 5 d(P2, P1), y por lo tanto, el orden en el que se restan las coordenadas x y las coordenadas y de los puntos es intrascendente. La distancia entre dos puntos se puede considerar como la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo.
135
xiii
Conoce tu libro
3.21
APLICACIÓN
Gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas
329
Radioterapia
Las funciones exponenciales desempeñan un importante papel en el campo de la radioterapia, que es el tratamiento de tumores por radiación. La fracción de células de un tumor que sobreviven al tratamiento, llamada fracción sobreviviente, depende no solo de la energía y naturaleza de la radiación, sino también de la profundidad, tamaño y características del tumor mismo. La exposición a la radiación puede considerarse como varios sucesos potencialmente dañinos, donde por lo menos se requiere un hit (acierto) para matar una célula tumoral. Por ejemplo, suponga que cada célula tiene exactamente un blanco al que se debe acertar. Si k denota el tamaño promedio del blanco de una célula tumoral y si x es el número de sucesos dañinos (la dosis), entonces la fracción sobreviviente f(x) está dada por f(x) 5 e-kx Esto recibe el nombre de fracción sobreviviente de un blanco-un acierto (o hit). Suponga a continuación que cada célula tiene n objetivos o blancos y que a cada blanco se debe acertar una vez para que muera la célula. En este caso, la fracción sobreviviente de n blancos-un acierto está dada por f(x) 5 1 2 (1 2 e2kx)n La gráfica de f puede analizarse para determinar qué efecto tendrá incrementar la dosis x en disminuir la fracción sobreviviente de células tumorales. Tenga en cuenta que f(0) 5 1; esto es, si no hay dosis, entonces todas las células sobreviven. Como ejemplo, si k 5 1 y n 5 2, entonces f(x) 5 1 2 (1 2 e2x)2
Aplicación En esta sección se presentan al alumno situaciones reales en las que los contenidos estudiados le ayudarán a responder preguntas y resolver problemas
5 1 2 (1 2 2e2x 1 e22x) 5 2e2x 2 e22x Un análisis completo de la gráfica de f requiere cálculo. La gráfica se traza en la figura 4. El hombro de la curva cerca del punto (0, 1) representa la naturaleza de umbral del tratamiento, es decir, una pequeña dosis da por resultado muy poca eliminación de células tumorales. Note que, para x grande, un incremento en la dosis tiene poco efecto en la fracción sobreviviente. Para determinar la dosis ideal que se debe administrar a un paciente, especialistas en terapia de radiación también deben tomar en cuenta el número de células sanas que mueren durante el tratamiento. y (fracción sobreviviente)
Figura 4 Fracción sobreviviente de células tumorales después de un tratamiento de radiación.
1
1
2
3
x (dosis)
232
Unidad 3
Funciones para modelar la relación entre variables
EJEMPLO 2
Una larga hoja rectangular metálica, de 12 pulgadas de ancho, se convertirá en un canal al doblar hacia arriba dos de los lados, de modo que queden perpendiculares a la hoja. Determine una función cuadrática que modele la sección transversal de la viga.
Figura 2
SOLUCIÓN
El canal se ilustra en la figura 2. Si x denota el número de pulgadas hacia arriba en cada lado, el ancho de la base del canal es 12 – 2x pulgadas. Si el área de la sección transversal del rectángulo con lados de longitudes x y 12 – 2x se denota con f(x), tenemos x
Ejercicios
f x x
x 12
3. Pista de un aeropuerto Las posiciones relativas de
una pista para aviones y una torre de control de 20 pies de altura se ven en la figura. El principio de la pista está a una distancia perpendicular de 300 pies de la base de la torre. Si x denota la distancia que un avión se ha movido por la pista, exprese la distancia d entre el avión y la parte superior de la torre de control como función de x. Ejercicio 3
20
ladora graficadora determinada mide 95 pixeles de ancho y 63 pixeles de alto. a) Calcule el número total de pixeles en la pantalla. b) Si una función se grafica en el modo de puntos
sin conexión, determine el número máximo de pixeles que comúnmente se oscurecerían en la pantalla de la calculadora para mostrar la función. tancia de frenado práctica D (en pies) para automóviles a velocidades S (en millas por hora) en superficies a nivel, como la usa la Asociación Estadounidense de Funcionarios de Autopistas Estatales y Transporte.
d
x
sección transversal
5. Pantalla de calculadora La pantalla de una calcu-
6. Distancias de frenado La tabla siguiente lista la dis-
300
2x
12x 2x 2 2x 2 12x
2x
12
233
3.9 Ejemplos de relación funcional de situaciones que involucran dos variables
Cómo encontrar un modelo que sea una función cuadrática
4. Tiempo de llegada a un destino Un hombre en un
En esta sección el alumno desarrollará su habilidad para razonar y analizar situaciones que le serán útiles en la resolución de problemas y lo involucrará activamente en su proceso de aprendizaje. Se incluyen ejercicios para resolver con calculadora graficadora denotados con el
3.9
Ejercicios
1. Distancia a la Tierra De un punto exterior P que
2. Longitud de una cuerda floja La figura ilustra el
está a h unidades de una circunferencia de radio r, una recta tangente se traza a la circunferencia (vea la figura). Denote con y la distancia desde el punto P al punto de tangencia T.
aparato para un equilibrista. Dos postes se colocan a 50 pies uno del otro, pero el punto de unión P para la cuerda no se ha determinado.
a) Exprese y como función de h. (Sugerencia: si C
es el centro de la circunferencia, entonces PT es perpendicular a CT.) b) Si r es el radio de la Tierra y h la altitud de un
transbordador espacial, entonces y es la distancia máxima a la Tierra a la que un astronauta puede ver desde el transbordador. En particular, si h 5 200 mi y r ≈ 4 000 mi, aproxime y.
a) Exprese la longitud L de la cuerda como función
bote de remos que está a 2 millas del punto A más cercano a una orilla recta desea llegar a su casa situada en un punto B que está 6 millas más abajo sobre la orilla (vea la figura). Él planea remar a un punto P que está entre A y B y a x millas de la casa: y luego caminará el resto de la distancia. Suponga que puede remar a 3 mi/h y puede caminar a 5 mi/h. Si T es el tiempo total necesario para llegar a la casa, exprese T como función de x.
de la distancia x de P al suelo. Ejercicio 4
Ejercicio 2
P
6 mi A
2 mi
60
70
278
414
593
b) Determine si la distancia de frenado es una fun-
ción lineal de la velocidad. c) Comente las implicaciones prácticas de estos
datos para conducir con seguridad un automóvil.
promedio pagado por un automóvil nuevo. Trace la gráfica de f junto con los dos puntos de datos.
B
C
h
50
167
b) Interprete la pendiente de la gráfica de f.
L
y P
40
86
a) Encuentre una función f que modele el precio
x P
Cuerda
T
30
33
los precios medios pagados por un automóvil nuevo fueron $16 871 y $20 356, respectivamente. Suponga que el precio promedio aumentó linealmente.
mine la distancia de P al suelo.
x
20
7. Precios de automóviles nuevos En 1993 y 2000,
b) Si la caminata total debe ser de 75 pies, deter-
Ejercicio 1
S D
a) Trace los datos.
c) Aproxime gráficamente el año en que el precio
promedio pagado sería de $25 000. 50
r
2
icono 550
Unidad 5
Tema optativo
UNIDAD 5 5.1 Coordenadas polares
1. ¿Cuáles coordenadas polares representan el mismo
punto que (3, p/3)? a) (3, 7p/3)
d) (3, 22p/3)
b) (3, 2p/3)
e) (23, 22p/3)
c) (23, 4p/3)
f)
(23, 2p/3)
Ejer. 26-28. Use componentes para expresar la suma o diferencia como un múltiplo escalar de uno de los vectores a, b, c, d, e o f que se muestran en la figura.
Ejer. 11-14. Encuentre una ecuación con x y y que tenga la misma gráfica que la ecuación polar. Úsela para ayudar a trazar la gráfica en un plano ru. 11. r(sen u 2 2 cos u) 5 6
Ejer. 2-3. Cambie las coordenadas polares a coordenadas rectangulares.
Prepárate para tu examen Se proporcionan al alumno ejercicios que representan una simulación de exámenes con los que se evaluarán los saberes adquiridos en la unidad.
(8, 22p/3)
b) (23, 5p/3)
3
4. a) (21, 1)
b) (22
3 , 22)
3)
b) (5, 5)
Ejer. 6-10. Encuentre una ecuación polar que tenga la misma gráfica que la ecuación con x y y. 6. 2y 5 2x
2
x
26. a 1 b
28. b 1 d
18. r 5 2u, u $ 0
Ejer. 29-32. Si a 5 8a1, a29, b 5 8b1, b29, c 5 8c1, c29, y m y n son números reales, demuestre la propiedad planteada.
19. r 5 6 sen2(u/2)
29. a 1 (2a) 5 0
20. r 5 2 1 2 sen u (concoide)
30. (mn)a 5 m(na) 5 n(ma)
Ejercicio 40
108
31. 0a 5 0 5 m0
Ejer. 21-23. Encuentre a 1 b, a – b, 4a 1 5b, 4a – 5b y || a ||. 21. a 5 82, 239, b 5 825, 219 22. a 5 287, 229, b 5 380, 229 23. a 5 i 1 2j, b 5 3i 2 5j
32. 2(a 1 b) 5 2a 2 b
41. Fuerza de un remolque Dos remolques están
Ejer. 33-34. Obtenga la magnitud del vector a y el ángulo positivo más pequeño u del eje x positivo al vector OP que corresponde a a. 33. a 5 24i 1 5j
34. a 5 6i 2 5j
8. xy 5 23
Ejer. 24-25. Trace los vectores correspondientes a a, b, a 1 b, 2a y 23b.
9. (x 2 1)2 1 y2 5 1
24. a 5 3i 1 2j, b 5 2i 1 5j
35. || a || 5 40 lb, || b || 5 70 lb, u 5 45°
25. a 5 824, 69, b 5 822, 39
36. || a || 5 2.0 lb, || b || 5 8.0 lb, u 5 120°
10. x2 1 (y 1 3)2 5 9
quarterback lanza un balón de fútbol a una velocidad de 50 pies/s en un ángulo de 35° con la horizontal. antebrazo y un peso sostenido en la mano, ejerce una fuerza de 20 libras. Como se aprecia en la figura, el músculo forma un ángulo de 108° con el antebrazo.
27. b 1 e
Ejer. 35-36. Los vectores a y b representan dos fuerzas que actúan en el mismo punto, y u es el ángulo positivo más pequeño entre a y b. Aproxime la magnitud de la fuerza resultante.
7. y2 2 x2 5 4
b) 2.0 lb, 215°
40. Músculo bíceps El músculo bíceps, al soportar el
1
5.2 Vectores 5. a) (7, 27
a 1
d
Ejer. 15-20. Trace la gráfica de la ecuación polar.
17. r 5 2u, u $ 0 (espiral)
Ejer. 4-5. Cambie las coordenadas rectangulares a coordenadas polares con r . 0 y 0 # u # 2p.
e
b 1
38. a) 6.0 lb, 110°
39. Lanzamiento de un balón de fútbol americano Un
15. r 5 3 sen 2u 16. r2 5 4 cos 2u (lemniscata)
3. Q6, arctan 4R
f
1
13. r 5 8 sen u 2 2 cos u
37. a) 90 lb, N75°O
Ejer. 39-40. Aproxime los componentes horizontal y vertical del vector que se describe.
c
12. r(sen u 1 r cos2 u) 5 1
y b). Aproxime la magnitud y la dirección del vector resultante.
b) 60 lb, S5°E
y 2
14. r 5 tan u
2. a)
551
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
PREPÁRATE PARA TU EXAMEN
Ejer. 37-38. Las magnitudes y direcciones de dos fuerzas que actúan en un punto P están dadas en a)
tirando de un barco grande hacia puerto, como se muestra en la figura. El mayor de ellos ejerce una fuerza de 4000 libras en su cable y el remolque más pequeño ejerce una fuerza de 3200 libras en su cable. Si el barco ha de moverse en la línea recta l, calcule el ángulo u que el remolque más grande debe formar con l. Ejercicio 41
30
l
Acerca de los autores
Acerca de los autores
Earl W. Swokowski Community College Anoka-Ramsey Earl Swokowski es autor de múltiples ediciones de numerosos libros de texto exitosos, entre ellos Cálculo, Cálculo de una variable y Precálculo: Álgebra y trigonometría con geometría analítica, publicados por Cengage Learning.
Jeffery A. Cole Community College Anoka-Ramsey Jeffery A. Cole ha enseñado matemáticas y ciencias de la computación en Community College Anoka-Ramsey desde el otoño de 1981. Comenzó a trabajar en la serie de textos de Precálculo de Swokowski en 1985 como autor auxiliar y ha sido coautor desde 1991. Debido a su contribución en los textos de Swokowski, se unió al equipo de revisión del texto de Cálculo en 1989.
xv
Matemáticas V Pensamiento geométrico, funciones y estadística
UNIDAD
Š Avigator Fortuner / Shutterstock
1
Pensamiento geomĂŠtrico para visualizar y argumentar
Contenido 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6
1.7 1.8
1.9 1.10 1.11 1.12 1.13
Los elementos geométricos 4 Congruencia 10 El círculo y el número pi 15 El triángulo y su geometría 28 Secciones cónicas 65 Construcciones con regla y compás de la media proporcional, razón áurea y algunos números irracionales 72 Resolución de problemas geométricos 80 Uso de la tecnología como recurso para compartir e identificar propiedades invariantes en construcciones geométricas 91 Conversión de medidas de ángulos a diferentes unidades 94 Una prueba y una demostración del teorema de Pitágoras 96 Deducción de las identidades fundamentales 99 Resolución de problemas trigonométricos 102 Trazo de las curvas cónicas 114
4
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
La geometría desde siempre ha representado uno de los retos más importantes para la humanidad, su estudio se remonta a miles de años antes de nuestra era, y sin embargo sigue siendo mística, formal y sorprendente. En esta primera unidad, estudiaremos algunos de los elementos geométricos fundamentales. Se inicia el estudio de los ángulos y la congruencia, así como los criterios de semejanza y el teorema de Tales. Se aborda desde un enfoque geométrico al círculo y al maravilloso número irracional p. A grandes rasgos, se inicia el estudio del triángulo y sus propiedades. Iniciemos pues con los elementos geométricos.
1.1
Los elementos geométricos
La rama de las matemáticas que se encarga del estudio de las figuras geométricas es la geometría. El origen de la palabra proviene del griego geo (tierra) y metron (medida): la medida de la tierra. Se tienen evidencias contundentes de que la geometría fue utilizada en el antiguo Egipto con magistral exactitud. Muchas de las construcciones de esa cultura tienen algunas propiedades geométricas que hasta el día de hoy resultan sorprendentes. En Grecia, la geometría encuentra posiblemente su mayor auge; matemáticos de la talla de Euclides, Pitágoras, Tales de Mileto, Arquímedes, Eratóstenes, Diofanto y Herón, entre otros, construyeron los pilares de una geometría que ha perdurado hasta la actualidad. Todos los educandos del mundo en alguna etapa de su vida estudiaron, estudian y estudiarán geometría. Así de importante resulta. La geometría estudia inicialmente a los puntos, las rectas y los planos; posteriormente a algunos otros elementos conceptuales como los polígonos y los poliedros. A continuación, definimos sin demasiada abstracción al punto, al segmento, la recta y el ángulo, por ser elementos fundamentales en el desarrollo de esta obra.
El punto Definición de punto
Un punto es un elemento sin dimensiones que ocupa una posición en el espacio.
Figura 1
C D
A
B
Un punto se considera una figura geométrica que ocupa una posición en el espacio, pero que no tiene longitud, ancho ni profundidad. Un punto geométrico se representa con un punto pequeño y regularmente se denota por una letra mayúscula. En la figura 1 se muestran algunos puntos etiquetados con A, B, C y D.
La recta Definición de recta
Una recta es una sucesión continua de puntos extendidos hacia ambos lados en una sola dirección. Figura 2
B
A
La línea recta tiene una sola dimensión y constituye la distancia más corta entre dos puntos cualesquiera. Geométricamente la recta que pasa por los puntos A y B se denota por AB (vea la figura 2).
1.1
5
Los elementos geométricos
Una definición alterna considera a la recta como la intersección de dos planos.
El segmento Definición de segmento
Un segmento es la porción de una recta comprendida entre dos puntos cualesquiera.
Los segmentos se denotan por las dos letras de sus extremos y la longitud de los segmentos se denota por las dos letras de sus extremos con una barra encima. Por ejemplo, en la figura 3 se muestran los segmentos AB, CD y EF con longitudes AB, CD y EF, respectivamente. Figura 3
D C F
A B
E
En el segmento AB, los puntos A y B se llaman extremos y AB es la longitud.
Figura 4
l2
El ángulo En geometría, un ángulo se define como el conjunto de puntos determinados por dos rayos, o semirrectas, l1 y l2, que tienen el mismo punto de origen O. Si A y B son puntos en l1 y l2, como en la figura 4, nos referimos al ángulo AOB (que se denota ,AOB). También puede considerarse que un ángulo tiene dos segmentos de recta finitos con un punto de origen común. En trigonometría, los ángulos se interpretan a menudo como rotaciones de rayos. Comienzan con un rayo fijo l1, que tiene un punto de origen O, y gira alrededor de O, en un plano, hasta una posición especificada por el rayo l2. l1 se llama lado inicial, l2 es el lado terminal, y O es el vértice del AOB. La cantidad o dirección de la rotación no están restringidas de ninguna manera. l1 podría realizar varios giros en cualquier dirección alrededor de O antes de llegar a la posición l2, como lo ilustran las flechas curvas de la figura 5. Por consiguiente, muchos ángulos diferentes tienen los mismos lados iniciales y terminales. Dos ángulos así se llaman ángulos coterminales. Un ángulo llano es aquel cuyos lados yacen en la misma recta, pero se extienden en direcciones opuestas respecto a su vértice.
B O
A
l1
Figura 5
Ángulos coterminales
Lado terminal
l2
Lado inicial
Lado terminal
l1
l2
Lado inicial
l1
6
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
El término xº se lee simplemente x grados. No es necesario decir x grados sexagesimales.
Si se utiliza un plano cartesiano (sistema de coordenadas rectangulares), la posición estándar de un ángulo se obtiene tomando el vértice en el origen y dejando que el lado inicial l1 coincida con el eje x positivo. Si l1 gira en dirección contraria a las manecillas del reloj hasta la posición terminal l2, el ángulo se considera positivo. Si l1 gira en la dirección de las manecillas del reloj, el ángulo es negativo. Para denotar los ángulos, con frecuencia se usan letras griegas minúsculas, como a (alfa), b(beta), g (gamma), u (theta), (fi), etc. La figura 6 contiene trazos de dos ángulos positivos, a y b, y de un ángulo negativo, g. Si el lado terminal de un ángulo en posición estándar está en un cierto cuadrante, se dice que el ángulo está en ese cuadrante. En la figura 6, a está en el cuadrante III, b en el cuadrante I y g en el cuadrante II. Un ángulo se llama ángulo cuadrantal si su lado terminal yace en un eje de coordenadas.
Figura 6
Posición estándar de un ángulo Ángulo positivo
Ángulo positivo
y
Ángulo negativo
y
y l2
l1
l1 x
l2
l2
l1 x
x
Una unidad de medida de los ángulos es el grado. Este sistema de medición se conoce como sexagesimal. El ángulo en posición estándar obtenido por una revolución completa en dirección contraria a la de las manecillas del reloj mide 360 grados, que se escribe 360°. Por lo tanto, un ángulo que mide 1 grado (1°) se obtiene por 1/360 de giro completo en dirección contraria a la de las manecillas del reloj. En la figura 7 se muestran varios ángulos medidos en grados en posición estándar sobre sistemas de coordenadas regulares. Observe que los primeros tres son ángulos cuadrantales. Figura 7
y
y
y
360
90 x
El sistema sexagesimal utiliza el grado como unidad y se denota con el superíndice º.
y
y
540 x
150 x
135
x
x
A lo largo de nuestro trabajo, una notación como u 5 60° especifica un ángulo u, cuya medida es de 60°. También se le dice ángulo de 60°, en lugar de usar la frase más precisa (pero engorrosa) de un ángulo que tiene una medida de 60°.
1.1
EJEMPLO 1
Los elementos geométricos
Cómo obtener ángulos coterminales
Si u 5 60° está en posición estándar, obtenga dos ángulos positivos y dos negativos que sean coterminales de u. SOLUCIÓN
El ángulo u se muestra en posición estándar en el primer dibujo de la figura 8. Para encontrar ángulos coterminales positivos, podemos sumar 360° o 720° (o cualquier otro múltiplo entero positivo de 360°) a u para obtener 60° 1 360° 5 420° y 60° 1 720° 5 780° Estos ángulos coterminales también se muestran en la figura 8. Para encontrar ángulos coterminales negativos, podemos sumar 2360° o 2720° (o cualquier otro múltiplo entero negativo de 360°) para obtener 60° 1 (2360°) 5 2300° y 60° 1 (2720°) 5 2660° como se muestra en los últimos dos dibujos de la figura 8. Figura 8
y
y
60
y
420 x
780 x
x
y
y
660 x
x
300
Un ángulo recto es la mitad de un ángulo llano y tiene una medida de 90°. La siguiente tabla contiene definiciones de otros tipos especiales de ángulos.
Terminología
Definición
Ejemplos
ángulo agudo u
0° , u , 90°
12°; 37°
ángulo obtuso u
90° , u , 180°
95°; 157°
ángulos complementarios a, b
a 1 b 5 90°
20° y 70°; 7° y 83°
ángulos suplementarios, a, b
a 1 b 5 180°
115° y 65°; 18° y 162°
7
8
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Si se requieren medidas menores que el grado, podemos usar décimas, centésimas o milésimas de grado. Por otra parte, el grado se puede dividir en 60 partes iguales, llamadas minutos (denotados por ') y cada minuto en 60 partes iguales, llamadas segundos (denotados por 0). Así, 1° 5 609, y 19 5 600. La notación u 5 73° 569 180 se refiere a un ángulo u que tiene una medida de 73 grados, 56 minutos, 18 segundos.
EJEMPLO 2
Cómo obtener ángulos complementarios
Encuentre el ángulo que es complementario de u a)
u 5 25° 439 370
b)
u 5 73.26°
SOLUCIÓN
Deseamos encontrar 90° 2 u. Es conveniente escribir 90° como una medida equivalente: 89° 599 600. a)
90° 90°
89° 59 60 25° 43 37 64° 16 23
b)
90° 90
90.00° 73.26° 16.74°
Rectas coincidentes, paralelas y perpendiculares Cuando dos rectas están en un mismo plano, se dice que son coplanares. Dadas dos rectas coplanares existen tres casos posibles: son iguales (se cortan en todos los puntos), se cortan en un único punto o no se cortan (en ningún punto). Al respecto se tienen las siguientes definiciones. Rectas coincidentes
Dos rectas coplanares idénticas se dicen coincidentes.
Las rectas coincidentes se intersecan en todos los puntos. Si dos rectas no son coincidentes entonces se cortan en uno solo o en ningún punto. Rectas paralelas
Dos rectas coplanares que no se intersecan se dicen paralelas.
Las rectas coincidentes también se consideran paralelas. Si no son coincidentes ni paralelas, entonces se cortan en un único punto.
Si la recta L1 es paralela a la recta L2, se escribe L1 || L2.
1.1
Los elementos geométricos
Rectas perpendiculares
Dos rectas coplanares que se intersecan formando ángulos rectos se dicen perpendiculares.
Si dos rectas se cortan en un único punto, no necesariamente son perpendiculares.
Si la recta L1 es perpendicular a la recta L2, se escribe L1 L2.
La figura 9 muestra las diferentes rectas. Se tiene que AB || CD y también EF GH Figura 9
B
E G D
A
H C
a)
1.1
Paralelas
F b)
Perpendiculares
Ejercicios
Ejer. 1-4. Trace segmentos AB de la longitud indicada en centímetros. 1.
12 cm
3.
8 cm
2.
6 cm
4.
14 cm
Ejer. 5-10. Trace si es posible, el triángulo ∆ ABC con las medidas indicadas en centímetros. 5.
12 cm, 8 cm, 6 cm
8. 14 cm, 5 cm, 6 cm
6.
15 cm, 10 cm, 12 cm
9. 9 cm, 10 cm, 11 cm
7.
12 cm, 8 cm, 3 cm
10. 12 cm, 14 cm, 16 cm
9
10
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Ejer. 11-14. Trace una recta paralela a la recta dada. 11.
12.
A
13.
14.
F
G
D
C
B
E H
Ejer. 15-18. Trace una recta perpendicular a la recta dada. 16.
15. A
17.
18.
F
G
D
C
B
E H
Ejer. 19-22. Si el ángulo dado está en posición estándar, obtenga dos ángulos coterminales positivos y dos ángulos coterminales negativos. 19. a) 120°, b) 135°, c) 230°
21. a) 620°, b)
20. a) 240°, b) 315°, c) 2150°
22. a) 570°, b)
5p 6 2p 3
, c) 2 , c) 2
p 4 5p 4
Ejer. 23-24. Encuentre el ángulo que es complementario de u. 23. a) u 5 12° 379 240, b) u 5 43.87°
24. a) u 5 76° 49 530, b) u 5 5.08°
Ejer. 25-26. Obtenga el ángulo que es suplementario de u. 25. a) u 5 125° 169 270, b) u 5 58.07°
1.2
26. a) u 5 87° 139 520, b) u 5 97.9°
Congruencia
Dos conceptos muy importantes en la geometría elemental son la congruencia y la semejanza. Básicamente, a través de la congruencia podemos establecer si dos figuras geométricas son “iguales” y por medio de la semejanza determinamos si dos figuras geométricas están “a escala” una de la otra. Los criterios de congruencia y semejanza establecen condiciones a partir de las cuales es posible concluir si dos triángulos son idénticos, están a escala o ninguna de las dos cosas. Iniciamos con los siguientes conceptos de introducción al tema.
1.2
1.2.1 Segmentos proporcionales Definición de razón entre dos segmentos
La razón entre dos segmentos es el cociente de sus longitudes. La razón entre AB los segmentos AB y CD se define como y es un número real. CD
Si la razón
AB CD
. 1, entonces, el segmento AB es “más grande” que el segmento CD.
AB 5 1, entonces, el segmento AB es “del mismo tamaño” que el segSi la razón CD mento CD. AB Si la razón , 1, entonces, el segmento AB es “más pequeño” que el segmento CD. CD AB 12 Por ejemplo, si AB 5 12 y CD 5 4, entonces, 5 3, lo cual significa 5 4 CD que el segmento AB es 3 veces “más grande” que el segmento CD. Recíprocamente, CD 4 1 si AB 5 12 y CD 5 4, entonces, 5 , lo cual significa que el segmento CD 5 12 3 AB es “más pequeño” que el segmento AB (vea la figura 1). Figura 1
B
A 12 D
C 4
a
5
c
se lee b d “a es a b como c es a d”. Se verifica además que “el producto de los medios es igual al producto de los extremos”, esto es
Recuerde que una proporción es la igualdad de dos razones. La proporción
ad 5 bc A continuación, utilizamos el concepto de razón para definir los segmentos proporcionales.
Definición de segmentos proporcionales
Se dice que los segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos EF F y GH AB EF 5 . si se cumple CD GH
Congruencia
11
12
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
En la figura 2 se muestran los segmentos con longitudes AB 5 12, CD 5 4, EF 5 6 y AB 12 EF AB EF 6 y GH 5 2. Dado que 5 5 , entonces, 5 5 3, de manera que los 4 GH 2 CD CD GH segmentos AB y CD son proporcionales a los segmentos EF y GH. Figura 2
B
A 12 D
C 4
F
E 6 G
H 2
1.2.2 El teorema de Tales y la semejanza Muchos estudiosos de la Grecia antigua cosideraron a Tales de Mileto uno de los filósofos y matemáticos más importantes de su época. Uno de los resultados más conocidos en el estudio de la semejanza es el teorema de Tales, que se enuncia a continuación. Teorema de Tales
Si tres o más líneas paralelas son cortadas por líneas transversales, las medidas de dos segmentos cualesquiera cortados por una transversal son proporcionales a las medidas de los segmentos correspondientes de la otra recta.
En la figura 3 se ilustra el teorema de Tales. Se verifica, por ejemplo, la proporción AB BC CD 5 5 y cualquier otra proporción correspondiente entre cada recta A9B9 B9C9 C9D9 AC BD AD 5 5 también es verdadera. transversal, por decir la proporción A9C9 B9D9 A9D9 Figura 3
D C B A A B C D
1.2
EJEMPLO 1
El teorema de Tales
En la figura mostrada, las rectas L1, L2 y L3 son paralelas. Determine las longitudes de los segmentos faltantes en la figura 4. Figura 4
L2
L1
L3 12
D
y C
8
A
B a
A
20
b B
6
4
C D
x
SOLUCIÓN
Del teorema de Tales, se tiene AB A9B9 de manera que luego
6 8
5
4 y
5
5
BC B9C9
5
CD C9D9
x 12
6
4 8(4) 16 5 , de donde, y 5 5 < 5.33 8 y 6 3 6 8
5
x 12
, de donde, x 5
6(12) 8
59
Para determinar los lados restantes podemos establecer la proporción AB BB9 De donde
6
5
10
5
10 1 x
a b 20 Luego, como x 5 9 6 a 10 b
5 5
5
AC CC9
5
AD DD9
.
19 20 19 20
, de donde, a 5
, de donde, b 5
6(20) 19 10(20) 19
< 6.31 < 10.52
Congruencia
13
14
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Considere un triángulo ∆ ABC, si DF es un segmento paralelo a uno de los lados, diAD BD AB 5 5 , y los triángulos están a “escala” (vea la gamos al lado BC, entonces, AF CF AC figura 5). De manera equivalente puede establecerse cualquier otra proporción siempre AD AF DF y cuando los lados considerados sean correspondientes, digamos 5 5 . AB AC BC Figura 5
B
D
C F A
El teorema de Tales aplicado de la manera anterior, establece el teorema fundamental de la semejanza de triángulos. En la sección 1.7 se desarrollan los criterios de congruencia y semejanza.
1.2
Ejercicios
Ejer. 1-6. Calcule la razón entre los segmentos AB y CD con las longitudes dadas. Dar una interpretación del resultado. 1. AB 5 12, CD 5 144
4.
AB 5 12, CD 5 2
2. AB 5 16, CD 5 4
5.
AB 5 3, CD 5 15
3. AB 5 12, CD 5 12
6.
AB 5 22, CD 5 11
Ejer. 7-12. Dados los segmentos AB, CD, DE y FG con las longitudes que se indican, determine la longitud del segmento faltante para que sean proporcionales y grafique los segmentos. 7. AB 5 2, CD 5 4, GH 5 6
10. CD 5 3, EF 5 10, GH 5 6
8. AB 5 20, CD 5 10, EF 5 8
11. AB 5 10, EF 5 4, GH 5 8
9. AB 5 12, CD 5 2, GH 5 3
12. CD 5 14, EF 5 8 y GH 5 15
1.3
15
El círculo y el número pi
Ejer. 13-16. En la figura mostrada las rectas L1, L2 y L3 son paralelas. Determine las longitudes de los segmentos faltantes. 13.
L2
L1
L3 15
a
20
D
15
L2
L3 8
18
b
B a
A 6
C
14
21
B 4
6
D
C
8
10
L3
x
C
B
D
L2
L1
B
4
1.3
16.
D
y a
b
C
y
L1
x
a B
14 x
14.
B 10
A
b
C
4
D
C
15
B
y
5
x
B
A
L3
7
C
8
L2
L1
D
5
A
15.
D
El círculo y el número pi
En esta sección se estudia una de las figuras geométricas históricamente más abstractas y hermosas: el círculo. Se hace una rápida mención de los primeros estudios acerca de esta figura y la relación de su área y perímetro con el número pi. También se introduce la manera de medir uno de los objetos geométricos más conocidos: el ángulo. Se consideran tres diferentes maneras de hacerlo: grados, radianes y gradianes. Se muestran además los elementos más notables del círculo, considerando los conceptos de diámetro, radio, cuerda, tangente, secante, centro, entre otros. Para finalizar esta importante sección se hace un estudio del sector circular, su arco y su área.
1.3.1 El problema histórico del cálculo del perímetro y el área del círculo Hablar del problema histórico del perímetro y del área del círculo nos lleva sin lugar a dudas a mencionar a uno de los hombres de ciencia más grandes en la historia de la humanidad: Arquímedes de Siracusa. Hijo de un astrónomo, indudablemente
C z
D
16
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Arquímedes debe ser considerado uno de los científicos y matemáticos más importantes de la Antigüedad. En aquella época, Alejandría era el centro de investigación y estudio del mundo conocido. Arquímedes viajó hasta esta ciudad y convivió con los discípulos de Euclides, lo cual representó una influencia importante en su forma de entender las matemáticas. El resto de su vida lo pasó en Siracusa, dedicado a crear su grandiosa obra que a la postre sentó las bases de muchas ramas de las matemáticas. Arquímedes hizo aportaciones vitales a las ciencias exactas en sus principales obras: 1. Sobre el equilibrio de los planos 2. Sobre la cuadratura de la parábola 3. El Método 4. Sobre la esfera y el cilindro 5. Sobre espirales 6. Sobre los conoides y esferoides 7. Sobre los cuerpos flotantes 8. El Arenario 9. Sobre la medida del círculo
Es precisamente en esta última obra, Sobre la medida del círculo, en donde encuentra la fórmula para el área de un círculo y en un prodigio de cálculo e ingenio para aquellos tiempos, consigue hacer una buena aproximación del número pi inscribiendo y circunscribiendo polígonos de hasta 96 lados en una circunferencia. En ese tiempo, los geómetras ya conocían que la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro era siempre un valor constante (al que actualmente llamamos pi). En el libro XII de Los Elementos de Euclides aparece la demostración de que la razón entre el área de un círculo y su diámetro al cuadrado también es una constante. Arquímedes consiguió demostrar que la constante que aparece en este caso tiene que ver con ese maravilloso número hoy conocido como pi y denotado mucho después por la letra griega p. Su demostración inició con la proposición
Pa “El área de un polígono regular es , donde P es el perímetro y a la apotema 2 del polígono.”
La demostración que hizo es la que todos conocemos actualmente, mediante la descomposición del polígono en triángulos congruentes. A partir de este resultado preliminar consigue demostrar otro mucho más importante (vea la figura 1).
“El área de cualquier círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo.”
1.3
Figura 1
Circunferencia C
r
C
De este resultado y ya con notación moderna, se obtiene un importante corolario. Puesto Cr , tenemos entonces que A 5 pr2, la fórmula del área del que C 5 2pr y A 5 2 círculo, que contiene de nueva cuenta al número p. En la última de las proposiciones de esta obra, Arquímedes intenta dar un valor de pi lo más aproximado posible. Su procedimiento inicia inscribiendo y circunscribiendo un hexágono en una circunferencia cualquiera. Se puede determinar que el perímetro del hexágono inscrito es 6r y el del circunscrito 4 3 r (por el teorema de Pitágoras). Al dividir ambas expresiones entre el diámetro 2r obtuvo que p está comprendido entre 3 y 3.4641. Pero además al utilizar las fórmulas P2n 5
2pnPn pn 1 Pn
y p2n 5
pn P2n
Donde Pn y pn son respectivamente los perímetros de los polígonos circunscrito e inscrito de n lados, calculó los perímetros de los polígonos de 12, 24, 48 y 96 lados, para obtener 6 336 2 017
, pi ,
29 376 9 347
Aproximadamente 3.14129895... , pi , 3.14282657... Por simplicidad y conveniencia didáctica se escribe la construcción parcial 31
10 71
, pi , 3 1
1 7
1.3.2 La medida de un ángulo en grados y radianes Existen diferentes maneras de medir un ángulo. Hemos mencionado que un ángulo puede medirse en grados; una revolución completa se considera de una medida de 360º, donde cada grado denotado con el símbolo º puede a su vez seccionarse en 60 minutos y cada minuto a su vez en 60 segundos de manera que un ángulo de x grados, y minutos y z segundos se denota como xº y9 z0. A continuación se estudian otras maneras de medir un ángulo; iniciamos con el radián.
El círculo y el número pi
17
18
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Figura 2
Ángulo central
P u r A
La medida en grados de los ángulos se usa en áreas aplicadas como la topografía, la navegación y el diseño de equipo mecánico. En aplicaciones científicas que exigen cálculo se acostumbra emplear la medida en radianes. Para definir un ángulo que mide un radián 1, se considera un círculo con cualquier radio r. Un ángulo central de un círculo es un ángulo cuyo vértice está en el centro del círculo. Si u es el ángulo central que se ilustra en la figura 2, decimos que el arco AP (que se denota AP) del círculo subtiende u o que u es subtendido por AP. Si la longitud de AP es igual al radio r del círculo, entonces, u tiene una medida de un radián, como en la siguiente definición. Definición de medida en radianes
Un radián es la medida del ángulo central de un círculo subtendido por un arco igual en longitud al radio del círculo.
Si consideramos un círculo de radio r, el ángulo a cuya medida es 1 radián interseca un arco AP de longitud r, como se ilustra en la figura 3a). El ángulo b en la figura 3b) mide 2 radianes, puesto que es subtendido por un arco de longitud 2r. De modo similar, g en c) de la figura mide 3 radianes, puesto que está subtendido por un arco de longitud 3r. Figura 3 a)
1 radián
P
P
r a r
2 radianes
b)
d) 360°
r
r
r A
2
6.28 radianes
r
r
r b
A
3 radianes
c)
r
r
g
P r
r
A
A
r r
P
360 r r
Para obtener la medida en radianes correspondiente a 360°, debemos calcular el número de veces que un arco circular de longitud r se puede superponer a lo largo de la circunferencia (vea la figura 3d)). Este número no es un entero, ni siquiera un número racional. En vista de que la circunferencia del círculo es 2pr, el número de veces que pueden superponerse unidades de r es 2p. Por lo tanto, un ángulo cuya medida es de 2p corresponde a la medida en grados de 360°, lo cual se escribe 360° 5 2p radianes. Este resultado da las siguientes relaciones. Relaciones entre grados y radianes 1. 180° 2. 1°
radianes 180
3. 1 radián
radián 180°
0.0175 radián 57.2958°
1.3
19
El círculo y el número pi
Cuando se usa la medida en radianes de un ángulo, no se indican las unidades. Por lo tanto, si la medida en radianes de un ángulo es 5, escribimos u 5 5 en lugar de u 5 5 radianes. No debe existir confusión en cuanto a si se está utilizando una medida en radianes o en grados, ya que si u tiene una medida en grados de 5°, escribimos u 5 5° y no u 5 5. La siguiente tabla ilustra cómo cambiar de una medida angular a otra.
Cambio de medidas angulares Para convertir
Multiplique por
150° 5 150° a
p
de grados a radianes
Ejemplos
180°
225° 5 225° a
7p de radianes a grados
180°
4
p
p 3
5
5
7p 4
p 3
a
a
p 180° p 180°
180° p
180° p
b5
5p
b5
5p
6
4
b 5 315°
b 5 60°
Podemos usar las técnicas que se ilustran en la tabla anterior para obtener la siguiente tabla, que muestra las mediciones correspondientes en radianes y grados de ángulos especiales.
Radianes
0
Grados
0°
p
p
p
p
2p
3p
5p
6
4
3
2
3
4
6
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
p 180°
7p
5p
3p
3p
5p
7p
11p
6
4
3
2
3
4
6
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
Varios de estos ángulos especiales, en radianes, se muestran en posición estándar en la figura 4.
Figura 4
y
y
y
4
3
x
y
2
x
x
x
2p 360°
20
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
EJEMPLO 1
Cambio de radianes a grados, minutos y segundos
Si u 5 3, aproxime u en términos de grados, minutos y segundos. SOLUCIÓN
3 radianes
3
180°
multiplicar por
171.8873° 171° 0.8873 60 171° 53.238 171° 53 0.238 60 171° 53 14.28 171° 53 14
EJEMPLO 2
180°
aproximar 1°
60
multiplicar 1
60
multiplicar aproximar
Cómo expresar minutos y segundos como grados decimales
Exprese 19° 479 230 como un decimal, hasta la diezmilésima más cercana de un grado. SOLUCIÓN
Puesto que 1 19° 47 23
1 60
° y 1
47 ° 19° 60 19° 0.7833° 19.7897°
1 60 23 3 600
1 3 600
°
°
0.0064°
1.3.3 Rectas y puntos notables de una circunferencia Iniciamos esta sección con la definición geométrica de circunferencia. Circunferencia
Es una curva plana y cerrada cuyos puntos están a la misma distancia de un punto fijo. La distancia constante se llama radio y el punto fijo se llama centro.
La circunferencia únicamente es la curva y no su interior. La región limitada en el interior de una circunferencia es un círculo. En la figura 5 se muestra una circunferencia y el círculo. Círculo
Es el área comprendida dentro de la circunferencia incluida la frontera.
1.3
El círculo y el número pi
21
Figura 5
a) Circunferencia
b) Círculo
A continuación se definen diferentes puntos, segmentos y rectas notables, todos ellos en una circunferencia. Centro
Es el punto interior que equidista de todos los puntos de la circunferencia. El centro no se considera parte de la circunferencia.
Radio
Es un segmento que une el centro de la circunferencia con cualquier punto de ella. La medida del radio es constante.
Cuerda
Es un segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia. Una cuerda siempre está dentro de la circunferencia.
Diámetro Figura 6
Es una cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. El diámetro es la cuerda de mayor medida y su longitud es el doble de la longitud del radio.
A D
En la figura 6 se muestran el centro C, el radio AC, la cuerda AB y el diámetro DE. C
Tangente
Es una recta que interseca en un solo punto a la circunferencia sin cruzarla.
B E
22
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Secante
Es una recta que interseca en dos puntos a la circunferencia al cruzarla.
La figura 7 muestra la tangente T y la secante S. Figura 7
S
T
Arco
Es una parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
Sector circular
Es la parte del círculo limitada por dos radios y un arco.
La figura 8 muestra el arco AB y el sector circular CAB. Figura 8
A
A
B
C
B
1.3
El círculo y el número pi
23
Segmento circular
Es una sección del círculo comprendida entre la circunferencia y una cuerda.
Si en un segmento circular la cuerda es un diámetro, cada parte definida es un semicírculo (vea la figura 9). Figura 9
a) Segmento circular
b) Semicírculo
Corona circular
Es la porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
Figura 10
La figura 10 muestra una corona circular.
1.3.4 Arcos y sectores circulares El siguiente resultado especifica la relación entre la longitud de un arco circular y el ángulo central que subtiende. Fórmula para obtener la longitud de un arco circular
Si un arco de longitud s en un círculo de radio r subtiende un ángulo central que mide u en radianes, entonces s 5 ru
DEMOSTRACIÓN Un arco típico de longitud s y el correspondiente ángulo central u se muestran en la figura 11a). La figura 11b) muestra un arco de longitud s1 y un ángulo central u1. Si se usa la medida en radianes, entonces, según la geometría del plano, el cociente de las longitudes de los arcos es igual al cociente de las medidas angulares; es decir,
s s1
5
u u1
o
s5
u u1
s1
Una mnemotecnia en inglés para recordar que s 5 ru es SRu (Standing Room Only).
24
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Figura 11
a)
b)
s
u r
s1
u1 r
Si consideramos el caso especial en que u1 tiene una medida de 1 radián, entonces, según la definición de radián, s1 5 r y la última ecuación cambia a s5
u 1
? r 5 ru
Observe que si u 5 2p, la fórmula para obtener la longitud de un arco circular cambia a s 5 r(2p), que es simplemente la fórmula de la circunferencia de un círculo: C 5 2pr. La siguiente fórmula se demuestra de manera similar. Fórmula para obtener el área de un sector circular
Si u es la medida en radianes de un ángulo central de un círculo de radio r y si A es el área del sector circular determinado por u, entonces A5
1 2
r2u
DEMOSTRACIÓN Figura 12 a)
Si A y A1 son las áreas de los sectores de las figuras 12a) y 12b), respectivamente, entonces, según la geometría del plano,
b)
A1
A u r
A u1
r
A1
5
u u1
o
A5
u u1
A1
Si consideramos el caso especial de u1 5 2p, entonces, A1 5 pr2 y A5
u
1 ? pr2 5 r2u 2 2p
Cuando se utilizan las fórmulas anteriores, es importante recordar que se debe usar la medida en radianes de u en lugar de la medida en grados, como se ilustra en el siguiente ejemplo.
1.3
EJEMPLO 3
Uso de las fórmulas de los arcos y sectores circulares
En la figura 13, un ángulo central u es subtendido por un arco de 10 centímetros de largo en un círculo de radio de 4 centímetros.
Figura 13
y s
a)
Aproxime la medida de u en grados.
b)
Obtenga el área del sector circular determinado por u.
10 cm A
u
20 cm2
Procedemos como se indica a continuación
s
r s r
r
fórmula de la longitud de un arco circular despejamos
10 4
2.5 sea s
10, r
4
Esta es la medida en radianes de u. Cambiando a grados, obtenemos
2.5 b)
A
2.5 radianes 143.24 x
SOLUCIÓN
a)
25
El círculo y el número pi
1 2 2r 1 2 2 4
2.5 20 cm2
180°
450°
143.24°
fórmula del área de un sector circular sea r
4,
2.5 radianes
multiplicamos
La velocidad angular de una rueda que gira a velocidad constante es el ángulo generado en una unidad de tiempo por un segmento de recta del centro de la rueda a un punto P en la circunferencia (vea la figura 14). La velocidad lineal de un punto P en la circunferencia es la distancia que P recorre por unidad de tiempo. Al dividir ambos lados de la fórmula de un arco circular entre el tiempo t, obtenemos una relación entre velocidad lineal y velocidad angular; es decir, velocidad lineal
s t
EJEMPLO 4
↓ r s , o, de forma equivalente, t t
Figura 14
P
O
velocidad angular
↓ r
t
Obtención de las velocidades angular y lineal
Suponga que la rueda de la figura 14 gira a una velocidad de 800 rpm (revoluciones o giros por minuto). a)
Calcule la velocidad angular de la rueda.
b)
Calcule la velocidad lineal (en in/min y mi/h) de un punto P en la circunferencia de la rueda.
24 pulgadas
4 cm
26
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
SOLUCIÓN a)
Sea O el centro de la rueda y P un punto en la circunferencia. Dado que el número de giros por minuto es 800, y ya que cada revolución genera un ángulo de 2p radianes, el ángulo generado por el segmento de recta OP en un minuto tiene una medida en radianes de (800)(2p); esto es, velocidad 800 giros 2p radianes ? 5 1 600p radianes por minuto. 5 angular 1 minuto 1 giro Tenga en cuenta que el diámetro de la rueda no es relevante en el cálculo de la velocidad angular.
b)
velocidad lineal 5 radio ? velocidad angular 5 (12 in)(1 600p rad/min) 5 19 200p in/min Si convertimos in/min en mi/h, obtenemos 1 mi 19 200p in 60 min 1 ft ¯ 57.1 mi/h ? ? ? 1h 12 in 5 280 ft 1 min A diferencia de la velocidad angular, la velocidad lineal depende del diámetro de la rueda.
1.3
Ejercicios
1. Enuncie las principales obras de Arquímedes. Inves-
4. Identifique en su entorno algunas circunferencias
tigue de qué trata cada una de ellas de una manera muy concreta.
(el contorno de una lata, el contorno de un bote de basura, el ecuador de un balón, etc.).
2. Considere un círculo de radio 10.
a) Mida su diámetro y su circunferencia.
a) Construya un polígono regular de 6 lados inscrito.
b) Calcule la razón entre la circunferencia y el
diámetro.
b) Construya un polígono regular de 6 lados cir-
c) Concluya qué observa en los resultados obte-
cunscrito.
nidos.
c) Determine el área de cada polígono y compárelas. 3. Arquímedes demostró que “El área de cualquier
círculo es igual a la de un triángulo rectángulo en el cual uno de los catetos es igual al radio y el otro a la circunferencia del círculo”. Construya geométricamente una figura que ilustre este enunciado.
5. Dibuje en su cuaderno los diferentes puntos, seg-
mentos y rectas notables de una circunferencia. 6. Dibuje en su cuaderno los diferentes elementos
notables de un círculo.
Ejer. 7-10. Calcule la medida exacta en radianes del ángulo. 7. a) 150°, b) 260°, c) 225° 8. a) 120°, b) 2135°, c) 210°
9. a) 450°, b) 72°, c) 100° 10. a) 630°, b) 54°, c) 95°
1.3
El círculo y el número pi
Ejer. 11-14. Calcule la medida exacta en grados del ángulo. 11. a)
12. a)
2p 3 5p 6
, b) , b)
11p 6 4p 3
, c)
, c)
3p 4
11p 4
13. a) 2 14. a) 2
7p 2 5p 2
, b) 7p, c) , b) 9p, c)
p 9 p 16
Ejer. 15-18. Exprese u en términos de grados, minutos y segundos, redondeado al segundo más cercano. 15. u 5 1.57
17. u 5 3.1
16. u 5 6.3
18. u 5 4.7
Ejer. 19-22. Exprese el ángulo como decimal, redondeado a la diezmilésima de grado más cercana. 19. 120° 169
21. 262° 159 310
20. 53° 479
22. 320° 79 580
Ejer. 23-26. Exprese el ángulo en términos de grados, minutos y segundos, redondeado al segundo más cercano. 23. 63.169°
25. 310.6215°
24. 12.864°
26. 81.7238°
Ejer. 27-28. Si un arco circular de la longitud dada s subtiende el ángulo central u en un círculo, calcule el radio del círculo. 27. s 5 10 cm, u 5 4
28. s 5 3 km, u 5 20°
Ejer. 29-30. a) Calcule la longitud del arco del sector sombreado en la figura. b) Calcule el área del sector. 29.
30.
120
45 8 cm
9 cm
Ejer. 31-32. a) Calcule las medidas en radianes y grados del ángulo central u subtendido por el arco dado de longitud s en un círculo de radio r. b) Calcule el área del sector determinado por u. 31. s 5 7 cm, r 5 4 cm
32. s 5 3 ft, r 5 20 in
Ejer. 33-34. a) Calcule la longitud del arco que subtiende el ángulo central dado u en un círculo de diámetro d. b) Calcule el área del sector determinado por u. 33. u 5 50°, d 5 16 m
34. u 5 2.2, d 5 120 cm
Ejer. 35-36. Si un arco circular de la longitud dada s subtiende el ángulo central u en un círculo, exprese el área del sector determinado por u como función de u. 35. s 5 8
36. s 5 14
27
28
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
1.4
El triángulo y su geometría
En esta sección estudiaremos otra de las figuras geométricas fundamentales: el triángulo. Se inicia con las definiciones de los puntos y rectas notables para continuar con uno de los resultados más emblemáticos: el teorema de Pitágoras. Se continúa con la definición de las seis razones trigonométricas para dar paso a las principales identidades fundamentales: de recíproco, de cociente y de cuadrados. Se concluye la unidad con el estudio de las leyes de senos y cosenos para resolver muchos problemas de aplicación. Iniciamos pues con la definición geométrica de triángulo. Definición de triángulo
Un triángulo es una figura plana formada por una poligonal cerrada de tres lados.
Existen diferentes formas para definir un triángulo, otra muy aceptada es verlo como la figura plana que resulta de la intersección de tres rectas no paralelas que no coinciden simultáneamente en un mismo punto. O bien, como la región en el plano limitada por tres rectas que se intersecan a pares. En la figura 1 se muestra un triángulo de acuerdo con la definición dada y la observación. Figura 1
De la geometría elemental se sabe que los ángulos internos de un triángulo suman 180°.
De esta manera, los puntos de intersección se conocen como vértices del triángulo y los segmentos de recta determinados entre cada dos vértices definen los lados del triángulo. Es evidente que los triángulos tienen tres lados, tres vértices y tres ángulos. Generalmente, los vértices de un triángulo se denotan con letras mayúsculas de manera que si un triángulo tiene vértices A, B y C, lo denotaremos ∆ ABC, dando por entendido que el trazado inicia en A, sigue en B, después hacia C y termina nuevamente en A, para cerrar el triángulo (vea la figura 2). Figura 2
A
C
B
1.4
El triángulo y su geometría
Desde una notación geométrica, el triángulo ∆ ABC tiene lados AB, BC y AC. En general, también los lados opuestos a cada vértice se denotan con su correspondiente letra minúscula y los ángulos internos con letras griegas (vea la figura 3). Figura 3
C g b
b
a
a b
a c
A
c
B
a) Los vértices y los lados de un triángulo
b) Los lados y los ángulos de un triángulo
Daremos por hecho, de la geometría clásica, que la suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º, es decir a 1 b 1 g 5 180°.
Clasificación de los triángulos Para iniciar el estudio del triángulo se hace necesaria una clasificación. En general, existen dos formas de clasificarlos, de acuerdo con a)
Las medidas de sus lados.
b)
Las medidas de sus ángulos internos.
Clasificación de los triángulos por sus lados Por sus lados, los triángulos se clasifican en 1. Equilátero. Tiene tres lados iguales. 2. Isósceles. Tiene dos lados iguales. 3. Escaleno. Tiene tres lados diferentes.
La figura 4 muestra esta clasificación. Figura 4
a
a
a
a a
b
a
b
c
a) Equilátero
b) Isóceles
c) Escaleno a b c
Se puede observar que t El triángulo equilátero tiene además sus tres ángulos iguales a 60°. t El triángulo isósceles tiene dos ángulos iguales. t El triángulo escaleno tiene tres ángulos diferentes.
29
30
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Clasificación de los triángulos por sus ángulos Por sus ángulos, los triángulos se clasifican en 1. Acutángulo. Tiene tres ángulos agudos. 2. Rectángulo. Tiene un ángulo recto. 3. Obtusángulo. Tiene un ángulo obtuso.
La figura 5 muestra esta clasificación. Figura 5
a) Acutángulo
EJEMPLO 1
b) Rectángulo
c) Obtusángulo
Diferentes tipos de triángulos
a)
Una diagonal de un cuadrado define dos triángulos isósceles y rectángulos (vea la figura 6).
b)
Las dos diagonales de un cuadrado definen cuatro triángulos isósceles y rectángulos (vea la figura 7). Figura 6
c)
Figura 7
Una diagonal de un rectángulo define dos triángulos rectángulos (vea la figura 8). Figura 8
1.4
d)
El triángulo y su geometría
Un pentágono regular define cinco triángulos isósceles y acutángulos al unir sus vértices con el centro (vea la figura 9). Figura 9
a a a a
a a
a
e)
a
a
En general, un polígono regular de n lados define n triángulos isósceles y acutángulos al unir sus vértices con el centro.
EJEMPLO 2 a)
a
Diferentes tipos de triángulos
La mayor diagonal de un paralelogramo no recto define dos triángulos obtusángulos (vea la figura 10). Figura 10
b)
Las diagonales de un rectángulo no cuadrado definen dos triángulos obtusángulos y dos acutángulos, todos ellos isósceles (vea la figura 11). Figura 11
a
a
a
a
31
32
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
1.4.1 Rectas y puntos notables de un triángulo Por lo general, en un triángulo existen cuatro tipos de rectas notables que a su vez dan paso a cuatro puntos notables. A continuación se define cada una de ellas. Definición de mediatriz de un triángulo
Una mediatriz en un triángulo es una recta que corta perpendicularmente por el punto medio a uno de sus lados.
Las mediatrices de un triángulo pueden intersecarse en el interior, en la frontera o en el exterior. Esta intersección define el circuncentro. Definición de circuncentro
El circuncentro de un triángulo es la intersección de sus mediatrices.
El circuncentro de un triángulo equidista de cada uno de los vértices, de manera que es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo. Esto es, una circunferencia que pasa por cada uno de los vértices. La figura 12 muestra el circuncentro de un triángulo, dentro, sobre y fuera. La figura 13 muestra las circunferencias circunscritas. Figura 12
Figura 13
1.4
El triángulo y su geometría
Definición de mediana de un triángulo
Una mediana en un triángulo es una recta que pasa por un vértice y el punto medio del lado opuesto a ese vértice.
El punto de intersección de las medianas siempre está en el interior del triángulo y define al baricentro. Definición de baricentro
El baricentro de un triángulo es la intersección de sus medianas.
El baricentro divide a cada mediana en dos segmentos, el segmento que une al baricentro con el vértice mide el doble de lo que mide el segmento que une al baricentro con el punto medio del lado opuesto. En física, el baricentro es el centroide de la región que define el triángulo. En la figura 14 se muestra el baricentro de un triángulo. Figura 14
Definición de bisectriz de un triángulo
Una bisectriz es una recta que pasa por el vértice de un ángulo y lo divide por la mitad.
La intersección de las bisectrices siempre está en el interior del triángulo y define al incentro. Definición de incentro
El incentro de un triángulo es la intersección de sus bisectrices.
Incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo, es decir, de una circunferencia contenida en el triángulo que es tangente a cada uno sus lados. La figura 15 muestra el incentro de un triángulo y la figura 16, las circunferencias inscritas.
33
34
Unidad 1
Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar
Figura 15
Figura 16
Definición de altura de un triángulo
Una altura de un triángulo es un segmento de recta que pasa por un vértice y que corta perpendicularmente al lado opuesto a ese vértice.
La intersección de la prolongación de las alturas define al ortocentro de un triángulo y puede estar en el interior, en la frontera o en el exterior. Definición de ortocentro
El ortocentro de un triángulo es la intersección de las alturas o en su caso de la prolongación de las alturas.
La figura 17 muestra al ortocentro de un triángulo que está en el interior si es acutángulo, en un vértice si es rectángulo y en el exterior si es obtusángulo. Figura 17
1.4
1.4.1
El triángulo y su geometría
35
Ejercicios
Ejer. 1-10. Si es posible, trace el triángulo con los lados especificados y con base en ellos mencione su tipo. 1. a 5 3, b 5 5, c 5 3
6. a 5 5, b 5 7, c 5 4
2. a 5 2, b 5 2, c 5 5
7. a 5 5, b 5 7, c 5 7
3. a 5 8, b 5 8, c 5 8
8. a 5 7, b 5 7, c 5 7
4. a 5 3, b 5 5, c 5 4
9. a 5 5, b 5 7, c 5 13
5. a 5 13, b 5 12, c 5 5
10. a 5 12, b 5 7, c 5 10
Ejer. 11-20. Si es posible, trace el triángulo con los ángulos especificados y con base en ellos mencione su tipo. 11. A 5 30°, B 5 50°
16. A 5 90°, B 5 60°
12. A 5 90°, C 5 45°
17. A 5 30°, B 5 110°
13. A 5 10°, B 5 15°
18. A 5 50°, B 5 150°
14. A 5 130°, B 5 10°
19. A 5 80°, B 5 80°
15. A 5 60°, B 5 60°
20. A 5 100°, B 5 45°
Ejer. 21-40. En cada uno de los triángulos que se pudieron construir en los ejercicios 1-20 trace: a) el circuncentro, b) el baricentro, c) el incentro y d) el ortocentro. Trace además las circunferencias inscritas y circunscritas.
1.4.2 El teorema de Pitágoras En matemáticas, un teorema es un enunciado que puede ser demostrado mediante una argumentación sustentada en resultados establecidos. Una vez demostrado un teorema es un resultado definitivo. En esta sección se estudiará un teorema maravilloso que se utiliza en muchas ramas de las ciencias, el teorema de Pitágoras, que expresa una relación entre los lados de un triángulo rectángulo. En la siguiente definición se muestra el nombre específico que se le da a los lados de un triángulo rectángulo y el teorema mismo. Hipotenusa y catetos de un triángulo rectángulo
En un triángulo rectángulo, el lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa. Los lados opuestos a los ángulos agudos se conocen como catetos.
En la figura 18 se muestran los catetos y la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Los catetos se numeran solo para distinguirlos, pero la numeración no necesariamente debe respetar ese orden. Cualquiera de los dos puede considerarse el primero.
Recuerde que un triángulo rectángulo tiene un ángulo recto, es decir un ángulo de 90º.
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística, de la Serie ENP-UNAM, es un texto que atiende y cumple con los objetivos, contenidos y sugerencias del plan de estudios vigente, cuyo propósito es desarrollar habilidades de pensamiento a través de la visualización, el análisis y la síntesis. El estudiante desarrollará una formación estadística básica para interpretar y evaluar información a partir del procesamiento, la modelación y el análisis de datos, con el fin de que plantee preguntas, discuta ideas, verifique conjeturas, argumente procedimientos, interprete resultados y tome decisiones fundamentadas a partir de un razonamiento matemático. La estructura de cada unidad permite que el alumno se involucre en el proceso de aprendizaje y en la comprensión de los conceptos matemáticos, lo que le da la oportunidad de aplicar inmediatamente las técnicas aprendidas. Las explicaciones detalladas de la solución de problemas le permitirán concentrarse en un tipo específico de problema y mejorar sus habilidades de comunicación. La parte medular de este texto la conforman los distintos tipos de ejercicios con los que el estudiante se introduce en el análisis y la exploración, además de que aprende a visualizar las matemáticas en su cotidianidad. Los contenidos de la obra están divididos en cinco unidades, que son: • Unidad 1. Pensamiento geométrico para visualizar y argumentar. • Unidad 2. Álgebra para analizar objetos geométricos. • Unidad 3. Funciones para modelar la relación entre variables. • Unidad 4. Estadística para interpretar grandes cantidades de datos. • Unidad 5. Tema optativo.
Matemáticas V. Pensamiento geométrico, funciones y estadística, prepara al estudiante en la utilización de la información para responder preguntas y resolver problemas del mundo real.
ISBN-13: 978-607-526-960-3 ISBN-10: 607-526-960-6
Visite nuestro sitio en http://latinoamerica.cengage.com