Mate 1

RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, ALAN S. TUSSY, R. DAVID GUSTAFSON, DIANE R. KOENIG

MATE

1

SECUNDARIA Segunda ediciรณn

ACCESO EN Lร NEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE

P RO BA D O P O R LO S E ST U D I A N T E S , A P RO BA D O P O R LO S D O C E N T E S

MATE

1

Como todas las soluciones de 4LTR Press, MATE 1. Secundaria, segunda edición empieza y termina con retroalimentación de estudiantes y docentes. Esta obra incluye:

c

Ejemplos y ejercicios adicionales Inténtalo Este complemento incluye un ejemplo y un ejercicio adicionales, similares a los de este libro, para reforzar cada objetivo de aprendizaje en todas las secciones aquí incluidas.

COMPLEMENTOS DIGITALES

c

Ejercicios de repaso y Segundo repaso Los Ejercicios de repaso consideran un ejercicio más por cada objetivo de las lecciones del libro, pero ahora sin la guía de un ejemplo, para que practiques por tu propia cuenta lo aprendido. Por su parte, el Segundo repaso es una especie de primer examen para que pongas a prueba tus habilidades en los temas vistos en cada sección.

c

Cuestionario Este complemento resulta muy útil al finalizar todas las lecciones, pues te permite verificar cuánto aprendiste en cada sección; consta de una serie de preguntas de opción múltiple, basadas en los temas abordados.

c

Manuales de soluciones El Manual de soluciones 1 está integrado por las soluciones de todo el contenido incluido en este libro: exámenes de preparación, ejercicios Inténtalo y las prácticas individuales y en equipo. Por su parte, el Manual de soluciones 2 contiene las soluciones de todos los complementos digitales enumerados antes.

c

Glosarios

Los primeros adoptantes aceptan esta estrategia, adquieren las múltiples soluciones de 4LTR Press para impulsar mejores resultados.

En una misma escuela adoptan por primera vez más de 20 títulos.

JUNIO 2009

Marca de un millón de dólares en ahorros para los estudiantes.

ENERO 2009

HACIA EL 2008

Adopción inicial de MKTG.

2008

El profesorado avala ampliamente nuestra estrategia probada por los estudiantes, aprobada por los docentes, pero sugiere un cambio de título, de Marketing To Go a MKTG, con el cual se lanza oficialmente la marca 4LTR Press.

El número de nuestros títulos crece a ocho soluciones de diversas disciplinas relacionadas con los negocios.

ABRIL 2007

MKTG publica y lanza un nuevo debate sobre la mejor manera de interesar a los estudiantes de hoy.

MARZO 2007

Empiezan las conversaciones con estudiantes.

OTOÑO 2006

PRIMAVERA 2006

CRONOLOGÍA DE 4LTR PRESS

Con los conceptos más importantes de cada sección del libro.

PROBADO POR LOS ESTUDIANTES Y APROBADO POR LOS DOCENTES

SOLUCIÓN Todas las soluciones de 4LTR Press: sección 1

BLOQUE 1 / sección 3

tarjeta de evaluación

Fracciones

Razón y proporción

1. Encuentra el mcm de los números.

RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, ALAN S. TUSSY, R. DAVID GUSTAFSON, DIANE R. KOENIG

a) 32 y 36

MATE1

b) 12, 18 y 40

b) 18, 72 y 144

Lecciones:

b) 8, 12 y 20

b) 6, 15 y 36

1.1 Razones y tasas

2. Encuentra el MCD de los números. a) 32, 40 y 56

A Explicar el significado de una razón.

B Escribir una razón como una fracción.

C Escribir una razón en su forma más simple.

D Simplificar razones que involucran decimales.

E Simplificar razones que involucran números mixtos o

3. ¿Qué concepto acerca de las fracciones se ilustra abajo?

F

4. Escriba cada fracción como una fracción equivalente con el denominador indicado.

SECUNDARIA

2

3

b) 8 , denominador de 16

a) 3 , denominador de 18

Segunda edición

7

1.2 Proporciones A Explicar el significado de proporción.

B Determinar si una proporción es verdadera o falsa

6. Simplifique cada fracción, si es posible.

15

20

66

b) 48

a) 45

mediante los productos cruzados.

117

c) 108

unidades distintas.

Explicar el significado de tasa y aprender a escribirla como una fracción.

G Escribir una tasa como tasa unitaria.

H Explicar el significado de precio unitario.

13

d) 12, denominador de 60 c) 15, denominador de 45 5. Escriba el 5 como una fracción equivalente con un denominador de 9.

d) 208

C Resolver una proporción para encontrar un término

desconocido.

7. ¿Qué tipo de problema se muestra abajo? Explique la solución.

2 2 2 3 1

de preparación

Resuelve este examen rápido para ver si recuerdas el material de las secciones anteriores, que necesitas conocer para seguir adelante.

8

1. Simplifica: 10 372

2. Escribe como decimal: 15

En los ejercicios 3 a 14 suma, resta, multiplica o divide.

1

D Utilizar proporciones para resolver problemas de 1

4 6

Examen

3. 36 9

5

4. 3 6

aplicación.

2 3

3

5. 5 4 8

6. 3q714

7. 3.732 10,000

8. 41.07 1,000

8. Multiplica y simplifica el producto, si es posible. a)

1 1 2 3

b)

c)

9 20 16 27

d)

2 5

7 9 5 6

1 15

9. 6 0.875

18 25

9. Encuentra el área de la señalización triangular.

11. 3.25 0.04

DESPACIO

10. 5 0.96 12.

1.61 1

8 pulg.

1

13. 3.34

15 pulg.

14. 315 84

10. Encuentra el área del triángulo mostrado a la derecha. © Sergey Nechaev / Shutterstock.com

43 pies 15 pies

22 pies

11. Encuentre el recíproco de cada número.

1

a) 8

11

b) 12

c) 5

7

d) 8

ACCESO EN LÍNEA A UNA AMPLIA VARIEDAD DE COMPLEMENTOS DIGITALES PARA TU APRENDIZAJE

Texto con gran atractivo visual

108

Tarjetas de evaluación desprendibles

COMPLEMENTOS DIGITALES PARA ESTUDIANTES Y DOCENTES: 1. Ingresa a latinoamerica.cengage.com y busca tu libro de texto por título.

2. Dirígete a los materiales de apoyo de estudiante o del profesor según corresponda.

3. Sigue las indicaciones del sitio para descargar los complementos digitales.

Libro electrónico

Nota para el

docente:

Para fines prácticos, los ejercicios desarrollados en cad a tema de este libro son sólo muestras qu e el profesor puede dosificar según sus necesidades en el au la.

Para ampliar la prá ctica de conceptos y temas, se recomien da acceder también a los complementos digita les.

“Utilicé todos los elementos de las soluciones de 4LTR Press y considero que fueron herramientas de estudio muy útiles”.

-Consuelo Sada, estudiante, Valencia, Escuela Superior de la Comunidad de Valencia

MATE

1

SECUNDARIA Segunda ediciรณn

RICHARD N. AUFMANN, JOANNE S. LOCKWOOD, ALAN S. TUSSY, R. DAVID GUSTAFSON, DIANE R. KOENIG

MATE

1

SECUNDARIA Segunda edición

Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional Javier León Cárdenas Formación básica ESIQIE IPN

Traducción María del Pilar Carril Villareal Traductora profesional Jorge Hernández Lanto Traductor profesional

Revisión técnica Pablo de Robina Duhart Consultor académico de la red de Colegios Semper Altius

Australia • Brasil • Estados Unidos • México • Reino Unido • Singapur

MATE 1. Secundaria, segunda edición Richard N. Aufmann, Joanne S. Lockwood, Alan S. Tussy, R. David *XVWDIVRQ 'LDQH 5 .RHQLJ Director Higher Education Latinoamérica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora de desarrollo: Cinthia Chávez Ceballos Coordinador de Manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Imagen de la portada k 7LEHULXV *UDFFKXV VWRFN DGREH FRP &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD MB Soluciones Editoriales México Juan Pablo Rodríguez Velázquez $OPD *XDGDOXSH 6RWR =£UUDJD Alberto Cerqueira da Fonseca

© D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compañía de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0«[LFR 7ROXFD Q¼P RȴFLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD &3 Ciudad de México.

Cengage Learning® es una marca registrada usada bajo permiso.

DERECHOS RESERVADOS. Ninguna parte de este trabajo amparado por la Ley Federal del Derecho de Autor, podrá ser reproducida, transmitida, almacenada o utilizada en cualquier forma o por cualquier medio, ya sea JU£ȴFR HOHFWUµQLFR R PHF£QLFR LQFOX\HQGR pero sin limitarse a lo siguiente: fotocopiado, UHSURGXFFLµQ HVFDQHR GLJLWDOL]DFLµQ JUDEDFLµQ HQ DXGLR GLVWULEXFLµQ HQ Î&#x2013;QWHUQHW GLVWULEXFLµQ HQ UHGHV GH LQIRUPDFLµQ R DOPDFHQDPLHQWR \ UHFRSLODFLµQ HQ VLVWHPDV GH LQIRUPDFLµQ D H[FHSFLµQ GH OR SHUPLWLGR en el Capítulo III, Artículo 27 de la Ley Federal del Derecho de Autor, sin el consentimiento por escrito de la Editorial.

(VWD HV XQD DGDSWDFLµQ GH ORV OLEURV 35($/* GH Richard N. Aufmann y Joanne S. Lockwood. Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607-481-892 WUDGXFLGR GH OD REUD 35($/* (GLWLRQ Publicado en inglés por Cengage Learning © 2011; Î&#x2013;6%1 < 0DWHP£WLFDV E£VLFDV GH $ODQ 6 7XVV\ 5 'DYLG *XVWDIVRQ 'LDQH 5 .RHQLJ Publicado por Cengage Learning con ISBN 978-607481-914-4, traducido de la obra Basic Mathematics for College Students, 4th Edition. Publicado en inglés SRU &HQJDJH /HDUQLQJ k Î&#x2013;6%1 442-1 'DWRV SDUD FDWDORJDFLµQ ELEOLRJU£ȴFD Aufmann, Richard, Joanne S. Lockwood, Alan S. 7XVV\ 5 'DYLG *XVWDIVRQ 'LDQH 5 .RHQLJ MATE 1. Secundaria, VHJXQGD HGLFLµQ ISBN 978-607-526-749-4 Visite nuestro sitio en: http://latinoamerica.cengage.com

Impreso en México 1 2 3 4 5 7 22 21 20 19

Contenido BLOQUE 1 Sección 1

Los números naturales 4

1.6

Resolución de problemas 17 A Considerar estrategias para la resolución de problemas 17

1.7

Factores primos y exponentes A Factorizar números naturales B Identificar si un número natural es par o impar C Identificar números primos D Identificar números compuestos E Factorizar números primos F Conocer las funciones del exponente

1.8

Mínimo común múltiplo y máximo factor común 21 A Encontrar los múltiplos de un número 21 B Encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales 21 C Encontrar el mcm mediante una lista o serie 21 D Encontrar el mcm mediante la factorización de primos 22 E Encontrar el máximo factor común de dos o más números naturales 22 F Encontrar el mfc mediante la factorización de primos 23 Orden de las operaciones 23 A Evaluar expresiones que involucran más de una operación 23 B Encontrar la media aritmética de un conjunto de números 24

Introducción a los números naturales A Aprender el valor posicional de un dígito en un número natural B Escribir números naturales en palabras C Escribir un número natural en su forma expandida D Localizar números naturales en la recta numérica E Utilizar símbolos de igualdad y desigualdad F Redondear números naturales

5

1.2

Suma de números naturales A Aplicar estrategias para la suma de números naturales B Estimar sumas mediante el redondeo C Resolver problemas que implican el uso de la suma

8 8 9 9

1.3

Resta de números naturales A Aplicar estrategias para la resta de números naturales B Estimar diferencias mediante el redondeo C Palabras y frases clave para resolver problemas D Evaluar operaciones de forma horizontal

10 10 10 10 11

1.9

Multiplicación de números naturales A Aplicar estrategias para la multiplicación de números naturales B Encontrar el producto de un número multiplicado por 10, 100, 1000...

C Conocer las propiedades de la multiplicación D Estimar un producto mediante el redondeo E Solucionar problemas que involucran sumas repetitivas (multiplicaciones) F Utilizar la multiplicación para contar objetos en patrones rectangulares

11

Sección 2

1.1

1.4

1.5

5 6 6 6 7 7

11 12 12 13

Los números enteros 26 2.1

Introducción a los números enteros A Identificar los números enteros en la recta numérica B Identificar números opuestos C Hallar el valor absoluto D Entender los números enteros negativos

27 27 28 29 30

2.2

Suma y resta de números enteros A Sumar números enteros B Restar números enteros

31 31 33

2.3

Multiplicación y división de números enteros A Multiplicar números enteros B Dividir números enteros

36 36 38

13 13

División de números naturales 14 A Aplicar estrategias para la división de números naturales 14 B Comprobar el resultado de una división 15 C Conocer las propiedades de la división 15 D Eliminar ceros como un atajo 16 E Estimar cocientes 16 F Resolver problemas que implican división de números 16

18 18 19 19 19 19 20

Contenido

vii

2.4

2.5

Solución de ecuaciones con números enteros A Resolver ecuaciones B Convertir un enunciado en una ecuación

39 39 40

El ordeno jerarquía de las operaciones

42

Sección 3

Fracciones 3.1

44

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor A Identificar el Mínimo común múltiplo (mcm) B Identificar el Máximo común divisor (MCD)

45 45 47

Introducción a las fracciones A Identificar fracciones propias, fracciones impropias y números mixtos B Fracciones equivalentes C Reconocer relaciones de orden entre dos fracciones

48

3.3

Multiplicación y división de fracciones A Multiplicar fracciones B Dividir fracciones C Calcular el área de un triángulo

54 54 58 60

3.4

Suma y resta de fracciones A Sumar fracciones B Restar fracciones

61 61 64

3.2

48 51 53

Sección 4

68

4.1

Introducción a los decimales 69 A Identificar el valor posicional de un dígito en un número decimal 69 B Escribir decimales en forma expandida 70 C Leer decimales y escribirlos en forma estándar 70 D Comparar decimales utilizando símbolos de desigualdad 71 E Graficar decimales en una recta numérica 71 F Redondear decimales 72

4.2

Suma y resta de decimales A Sumar y restar decimales

viii

Contenido

73 73

© Stephen Simpson / Getty Images.com

Decimales

B Sumar y restar decimales con signo C Establecer estimación y diferencias de decimales

74 74

Multiplicación de decimales A Multiplicar decimales B Multiplicar decimales por potencias de 10 C Multiplicar decimales con signo D Evaluar expresiones exponenciales que tienen bases decimales E Evaluar fórmulas F Estimar productos de decimales

75 75 76 76

4.4

División de decimales A Dividir un decimal entre un número entero B Dividir un decimal entre un decimal C Redondear un cociente decimal D Estimar cocientes de decimales E Dividir decimales entre potencias de 10 F Dividir decimales con signo

78 78 79 80 80 81 81

4.5

Fracciones y decimales A Escribir una fracción como un decimal B Representar un decimal repetitivo C Convertir un número mixto en forma decimal D Dividir decimales con signo E Evaluar expresiones con fracciones y decimales

82 82 83 84 84 85

4.3

77 78 78

Sección 5

5.1

Porcentajes, decimales y fracciones A Explicar el significado del porcentaje B Escribir porcentajes como fracciones C Escribir fracciones como porcentajes D Escribir porcentajes como decimales E Escribir decimales como porcentajes

5.2

Resolución de problemas de porcentaje utilizando ecuaciones y proporciones de porcentajes A Traducir enunciados de porcentaje a ecuaciones del porcentaje B Resolver ecuaciones de porcentaje para encontrar la cantidad

86 87 87 88 90 89 90 © Cimmerian / Getty Images.com

Porcentajes

91 91 92 Contenido

ix

C Resolver ecuaciones de porcentaje para encontrar el porcentaje D Resolver ecuaciones de porcentaje para encontrar la base E Resolver proporciones de porcentaje para encontrar la cantidad F Resolver proporciones de porcentaje para encontrar el porcentaje G Resolver proporciones de porcentaje para encontrar la base H Leer gráficas circulares o de pastel 5.3

5.4

92 93 94 94 95 96

Aplicaciones del porcentaje A Calcular impuestos sobre las ventas, el costo total y tasas de impuestos B Calcular comisiones y tasas de comisiones C Encontrar el porcentaje de incremento o decremento D Calcular la cantidad del descuento, el precio en rebaja y la tasa de descuento Estimación con porcentajes A Estimar respuestas para problemas de porcentaje que involucran el 1%, el 10% y el 20% B Estimaciones de porcentaje para problemas que involucran el 50%,25%, 5% y 15% C Estimaciones para problemas de porcentaje que involucran el 200% D Usar la estimación para resolver problemas de aplicación de porcentaje

97 97 99 100 101 102 102 104 105 105

BLOQUE 2 Sección 1 1.1

x

Razones y tasas A Explicar el significado de una razón B Escribir una razón como una fracción C Escribir una razón en su forma más simple D Simplificar razones que involucran decimales E Simplificar razones que involucran números mixtos o unidades distintas F Explicar el significado de tasa y aprender a escribirla como una fracción

Contenido

108 109 109 109 110 110 111 111

© Arvitalyaa / Shutterstock.com

Razón y proporción

G Escribir una tasa como tasa unitaria H Explicar el significado de precio unitario 1.2

Proporciones A Explicar el significado de proporción B Determinar si una proporción es verdadera o falsa mediante los productos cruzados C Resolver una proporción para encontrar un término desconocido D Utilizar proporciones para resolver problemas de aplicación

112 112 113 113 113 114 115

Sección 2

Introducción al álgebra 2.1

2.2

El lenguaje del álgebra A Identificar variables y constantes y aplicar las propiedades de la multiplicación B Crear expresiones algebraicas C Identificar el término, el coeficiente y el factor D Identificar palabras y frases clave para crear expresiones algebraicas E Evaluar expresiones algebraicas Simplificación de expresiones algebraicas A Aplicar propiedades de la multiplicación para simplificar expresiones B Utilizar la propiedad distributiva para eliminar paréntesis C Identificar términos semejantes D Combinar términos semejantes

116 117 117 118 118 118 119

119 119 120 120 121

Sección 3

3.1

© L Stock Studio / Shutterstock.com

Sucesiones aritméticas y geométricas 122 La sucesión aritmética 123 A Identificar y definir una sucesión 123 B Identificar sucesiones aritméticas 123 C Construir la regla general de una sucesión aritmética 124 D Calcular la suma de los primeros n términos de una sucesión aritmética 124

Contenido

xi

E Calcular la diferencia de una sucesión aritmética conociendo dos términos 3.2

La sucesión geométrica A Identificar una sucesión geométrica

125 125 125

Sección 4

Transformaciones entre fracciones, decimales y porcentajes 128 4.1

Principios generales 129 A Utilizar adecuadamente los algoritmos para hacer transformaciones entre fracciones, decimales y porcentajes 129

BLOQUE 3 Sección 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

xii

Resolución de ecuaciones usando las propiedades de igualdad A Identificar una ecuación y comprobar si su solución es correcta B Resolver ecuaciones aplicando la propiedad de igualdad de la suma (y de la resta) Más acerca de la resolución de ecuaciones A Analizar otra estrategia para resolver ecuaciones Uso de ecuaciones para resolver problemas de aplicación A Aplicar la estrategia de cinco pasos para resolver ecuaciones Otros métodos para resolver ecuaciones lineales sencillas A Utilizar diferentes métodos para resolver ecuaciones lineales sencillas Ecuaciones en el plano cartesiano A Ubicar puntos en el plano cartesiano

Contenido

134 135 135 136

137 137

138 138

140 140 143 143

© Lukiyanova Natalia Frenta / Shutterstock.com

Resolución de ecuaciones

B Ubicar ecuaciones lineales simples en el plano cartesiano

145

BLOQUE 4 Sección 1

1.1

1.2

1.3

1.4

1.5

150

Unidades de medición anglosajonas A Explicar las unidades de longitud B Analizar factores de conversión de unidades C Explicar las unidades de peso D Explicar las unidades de capacidad E Utilizar las unidades de tiempo Unidades de medición métricas A Analizar las unidades métricas de longitud B Aplicar factores de conversión de unidades métricas C Analizar las unidades métricas de masa y su tabla de conversión D Analizar las unidades métricas de capacidad y su tabla de conversión Conversión entre unidades anglosajonas y métricas A Realizar conversiones entre unidades de longitud B Realizar conversiones entre unidades de masa C Realizar conversiones entre unidades de capacidad D Realizar conversiones de temperatura en grados Celsius y Fahrenheit Leyes de los exponentes y sistema internacional de medidas A Aplicar las leyes de los exponentes para entender las ventajas del sistema internacional de medidas B Conversión de unidades cuadradas C Conversión de unidades cúbicas Mediciones y figuras en el plano cartesiano A Intercambiar unidades en la medición de figuras B Medir e intercambiar unidades de figuras representadas en el plano cartesiano

151 151 152 152 153 153

154 154 155 155 156

157 157 158 158 159

160 160 161 162

© Cimmerian / Getty Images.com

Unidades de medición

162 162 164 Contenido

xiii

BLOQUE 5 Sección 1

168

1.1

Figuras geométricas básicas y ángulos 169 A Analizar elementos de la geometría 169 B Analizar los tipos de ángulo y sus características 170 C Identificar ángulos adyacentes 170 D Identificar ángulos verticales 171 E Identificar ángulos complementarios y suplementarios 172

1.2

Rectas paralelas y perpendiculares 172 A Analizar características y ángulos de las rectas paralelas, perpendiculares y transversales 172 B Medir ángulos correspondientes mediante el álgebra 173 C Medir ángulos interiores mediante el álgebra 174

1.3

Triángulos A Analizar la clasificación y las características de los polígonos B Identificar los tipos de triángulos y su clasificación C Utilizar el álgebra para medir los ángulos de un triángulo

175

Teorema de Pitágoras A Analizar el teorema de Pitágoras B Aplicar el teorema para encontrar la longitud de algún lado en un triángulo rectángulo

177 177

1.4

175 175 176

178

1.5

Cuadriláteros y otros polígonos 179 A Analizar los tipos y características de un cuadrilátero 179 B Analizar las propiedades de un rectángulo 180 C Conocer las características de un trapezoide 180 D sumar las medidas de los ángulos de un polígono 181

1.6

Perímetros y áreas de polígonos A Conocer cómo calcular el área y el perímetro de un polígono B Unificar unidades para el cálculo de perímetros y áreas C Utilizar el álgebra para encontrar áreas D Encontrar áreas de formas irregulares

182

Círculos

185

1.7

xiv

Contenido

182 183 183 183

© L Stock Studio / Shutterstock.com

Introducción a la geometría

A B C D 1.8

1.9

Conocer las características y elementos de un círculo Encontrar la circunferencia (perímetro) de un círculo Encontrar el área de un círculo Encontrar el área de formas irregulares

185 185 186 186

Volumen A Conocer y aplicar las fórmulas de volumen B La letra B en las fórmulas del cono y la pirámide C El factor de π en las fórmulas del cono, el cilindro y la esfera

187 187 188

El sistema cartesiano en la geometría A Localizar correctamente puntos en un sistema cartesiano (repaso) B Perímetros y áreas de figuras en el plano

189

188

189 191

BLOQUE 6 Sección 1

Gráfica y estadística 194

1.2

1.3

1.4

Conjuntos A Establecer relaciones a partir de las propiedades de los conjuntos B Conocer la teoría de los conjuntos y sus reglas

195 195 197

Los datos estadísticos y las tablas de frecuencia A Conocer y practicar la distribución de frecuencias B Conocer y practicar la distribución de frecuencias agrupadas

199 199 201

Predicciones en el análisis estadístico A Plantear situaciones de la vida cotidiana para hacer predicciones a partir de la estadística Tipos de gráficas para representar datos A Leer tablas y localizar datos en ellas B Representar información en gráficas de barras C Identificar el uso de una pictografía D Identificar el uso de una gráfica circular o de pastel E Utilizar gráficas de líneas F Identificar el uso de un histograma G Usar polígonos de frecuencias

Tarjetas de evaluación

202 202 204 204 205 206 207 208 208 209

© Arvitalyaa / Shutterstock.com

1.1

211 Contenido

xv

BLOQUE 1

Aprendizaje esperado: Estimar soluciones a problemas matemáticos en los que se emplean enteros, fracciones, decimales y porcentajes, para lo cual utilizarás las operaciones básicas respetando su jerarquía.

Á M B I TO :

Lenguaje o matemátic

E

n el presente bloque se espera que obtengas este aprendizaje relacionado con el lenguaje matemático, a través de diversas lecciones clasificadas en su sección temática correspondiente; esto, con base en cuatro que te ayudarán a lograrlo. Revisemos cada uno de ellos:

INDICADORES

2

1.

Entender la función de los diferentes símbolos matemáticos y su relevancia en la aritmética y el álgebra.

2.

Resolver problemas utilizando de manera adecuada las operaciones matemáticas de acuerdo con su jerarquía.

3.

Utilizar los algoritmos de las operaciones básicas al trabajar con números positivos y negativos, enteros y fraccionarios, decimales y porcentajes, respetando las reglas y jerarquía de las mismas.

4.

Justificar el uso de diferentes operaciones matemáticas para resolver problemas matemáticos cotidianos.

Contenido

S ec c i o n e s 1. Los números naturales 4. Decimales 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Introducción a los números naturales Suma de números naturales Resta de números naturales Multiplicación de números naturales División de números naturales Resolución de problemas Factores primos y exponentes Mínimo común múltiplo y máximo factor común Orden de las operaciones

2. Los números enteros 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5

Introducción a los números enteros Suma y resta de números enteros Multiplicación y división de números enteros Solución de ecuaciones con números enteros El orden o jerarquía de las operaciones

4.1 4.2 4.3 4.4 4.5

Introducción a los decimales Suma y resta de decimales Multiplicación de decimales División de decimales Fracciones y decimales

5. Porcentajes 5.1 5.2

5.3 5.4

Porcentajes decimales y fracciones Resolución de problemas de porcentaje utilizando ecuaciones y proporciones de porcentaje Aplicaciones de porcentaje Estimaciones de porcentajes

3. Fracciones 3.1 3.2 3.3 3.4

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor Introducción a las fracciones Multiplicación y división de fracciones Suma y resta de fracciones

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3

sección 1

Los números naturales Lecciones: A B C D E F

Aprender el valor posicional de un dígito en un número natural.

Escribir números naturales en palabras.

Escribir un número natural en su forma expandida.

Localizar números naturales en la recta numérica.

Utilizar símbolos de igualdad y desigualdad.

Redondear números naturales.

1.2 Suma de números naturales

A Aplicar estrategias para la suma de números naturales.

B Estimar sumas mediante el redondeo.

C Resolver problemas que implican el uso de la suma.

1.3 Resta de números naturales A B C D

Aplicar estrategias para la resta de números naturales.

Estimar diferencias mediante el redondeo.

Palabras y frases clave para resolver problemas.

Evaluar operaciones de forma horizontal.

1.4 Multiplicación de números naturales A Aplicar estrategias para la multiplicación de números B C D E F

naturales.

Encontrar el producto de un número multiplicado por 10, 100, 1000...

Conocer las propiedades de la multiplicación.

Estimar un producto mediante el redondeo.

Solucionar problemas que involucran sumas repetitivas (multiplicaciones).

Utilizar la multiplicación para contar objetos en patrones rectangulares.

1.5 División de números naturales A B C D E F

Aplicar estrategias para la división de números naturales.

Comprobar el resultado de una división.

Conocer las propiedades de la división.

Eliminar ceros como un atajo.

Estimar cocientes.

Resolver problemas que implican división de números.

1.6 Resolución de problemas A Considerar estrategias para la resolución de problemas.

1.7 Factores primos y exponentes A B C D E F

Factorizar números naturales.

Identificar si un número natural es par o impar.

Identificar números primos.

Identificar números compuestos.

Factorizar números primos.

Conocer las funciones del exponente.

1.8 Mínimo común múltiplo y máximo factor común A Encontrar los múltiplos de un número.

B Encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números

naturales.

C Encontrar el mcm mediante una lista o serie.

D Encontrar el mcm mediante la factorización de primos.

E Encontrar el máximo factor común de dos o más números F

naturales.

Encontrar el mfc mediante la factorización de primos.

1.9 Orden de las operaciones A Evaluar expresiones que involucran más de una operación.

B Encontrar la media aritmética de un conjunto de números.

Examen

Resuelve el siguiente examen rápido para poner al día tus conocimientos previos. Suma, resta, multiplica o divide.

1. 321+574+888 2. 200.02+500.50 3. 80,050-500.20 4. 30,010.23 x 1000 5. 60 0.015 1

6. 8 4

4

de preparación

© Isabelle Zacher-Finet/iStockphoto.com

1.1 Introducción a los números naturales

Indicadores desarrollados: 1 / 2

1.1 OBJETIVO

Introducción a los números naturales

A Aprender el valor posicional de un dígito en un número natural El conjunto de números naturales es {0, 1, 2, 3, 4, 5…}.

Cuando se escribe un número natural utilizando los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, se dice que está en forma estándar.

Algunos ejemplos de números naturales escritos en la forma estándar son:

Los números naturales se utilizan con frecuencia en tablas, gráficas de barras y gráficas de líneas.

2, 16, 530, 7,894 y 3,201,954 La posición de un dígito en un número natural determina su valor posicional. Una tabla de valores posicionales muestra el valor posicional de cada dígito en un número.

Para hacer que los números naturales grandes sean más sencillos de leer, se utilizan comas para separar sus dígitos en grupos de tres, llamados periodos.

5

DEJEMPLO 1

el número 41,948,365,720.

DINTÉNTALO 1 Considera a) ¿Cuál dígito está en la columna de

PERÍODOS

Millares Millones Millares Unidades de millón n lón n n ó l l n i n il milló milló llón lón llón llar llar llar b ó ó l m l i i i i i il e il de e il de e b de b illar illar d illar d illar de m de m de m de m de m de m enas enas ades t d m sd s s m na enas s de s de m s de m s de enas enas ades tena enas ade Cen Dec Uni e t e t a e d c a c c n i d n n id d De nida ente Decen nida Cen De Un De Un Ce Ce C U U Billones

5 ,2 0 6 ,3

las decenas de millares? b) ¿Cuál dígito está en la columna de las centenas? c) ¿Cuál es el valor posicional del dígito 1? d) ¿Cuál dígito indica el número de millones?

7 9 ,8 1 4 ,2 5 6

El valor posicional del dígito 7 es 7 decenas de millones.

El dígito 4 indica el número de millares.

OBJETIVO

B Escribir números naturales en palabras Para escribir un número natural en palabras, comienza desde la izquierda. Escribe el número en cada periodo seguido por el nombre del periodo (excepto para el periodo de las unidades, el cual no se utiliza). Usa comas para separar los periodos.

Para leer un número natural en voz alta, sigue el mismo procedimiento. Las comas se leen como pausas cortas. Para cambiar de la forma de palabra escrita de un número a la forma estándar, busca las comas. Las comas se utilizan para separar los periodos.

DEJEMPLO 2

Escribe en palabras el siguiente número: 2,568,019.

Millones Millares

DINTÉNTALO 2

Escribe en palabras el número: 312,491,266

Tu solución

Unidades

2 , 5 6 8 , 0 1 9 Dos millones, quinientos sesenta y ocho mil, diecinueve OBJETIVO

C Escribir un número natural en su forma expandida Escribir un número en forma expandida (notación expandida) significa escribirlo como una suma de los valores posicionales de cada uno de sus dígitos.

DEJEMPLO 3

Escribe el número en su forma expandida: 32,159.

30,000 2,000 100 50 9

OBJETIVO

DINTÉNTALO 3

Escribe el número en su forma expandida: 94,208

Tu solución

D Localizar números naturales en la recta numérica Los números naturales pueden mostrarse dibujando puntos en una recta numérica.

DEJEMPLO 4

Abajo se muestran en la recta numérica las localizaciones del 3 y el 7.

DINTÉNTALO 4

Localiza los siguientes números en la recta numérica: 0, 2, 8, 10

Tu solución 0

6

1

2

3

4

5

6

7

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

8

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

E Utilizar símbolos de igualdad y desigualdad

OBJETIVO

Los símbolos de desigualdad se emplean para comparar números naturales: significa es mayor que significa es menor que = significa es igual a

DEJEMPLO 5

9

8

y

2,343

762

1

2

y

9,000

12,453

el signo correcto ( = ) entre DINTÉNTALO 5elEscribe siguiente par de números: Tu solución 1,345 ______ 1,347 9,766 ______ 9,766 6,999 ______ 6,998

OBJETIVO

F Redondear números naturales Cuando no se necesitan resultados exactos, con frecuencia se redondean los números.

Redondear un número natural

paso 1 Para redondear un número a un cierto valor posicional, localiza el dígito a redondear en esa posición.

paso 2

Busca el dígito a examinar, el cual está directamente a la derecha del dígito a redondear.

paso 3

Si el dígito a examinar es 5 o mayor, redondea a la alta sumando 1 al dígito a redondear y reemplazando todos los dígitos a su derecha con 0.

Si el dígito a examinar es menor que 5, reemplaza este y todos los dígitos a su derecha con 0.

DEJEMPLO 6

Redondea el 9, 842 a la decena más cercana.

DINTÉNTALO 6 Redondea el 2,507,348… a) b) c) d)

Dígito a redondear: columna de las decenas

9,842 Dígito a examinar: Dado que el 2 es menor que 5, deja el dígito a redondear sin cambiar y reemplaza el dígito a examinar con 0.

a la centena más cercana a la decena de millar más cercana a la decena más cercana al millón más cercano

Tu solución

Por tanto, el 9,842 redondeado a la decena más cercana es el 9,840.

Redondea el 63,179 a la centena más cercana.

Dígito a redondear: columna de las centenas

63,179 Dígito a examinar: Dado que el 7 es 5 o mayor, suma 1 al dígito a redondear y reemplaza todos los dígitos a su derecha con 0.

Por tanto, el 63,179 redondeado a la centena más cercana es el 63,200.

LECCIÓN 1.1: Introducción a los números naturales

7

1 APLÍCALO 1. La casa que compró el padre de Ana Laura costó un millón ochocientos cincuenta y ocho mil doscientos cincuenta y tres pesos. Expresa esta cantidad con números redondeada a: a) la decena más cercana _______________ b) la centena más cercana_______________

1.2 OBJETIVO

c) la decena de millar más cercana_________________ d) la centena de millar más cercana________________

Suma de números naturales

Indicadores desarrollados: 1 / 2 / 4

A Aplicar estrategias para la suma de números naturales Para sumar números naturales, piensa en la combinación de conjuntos de objetos similares.

Forma vertical: Apila los sumandos. Suma los dígitos en la columna de las unidades, la columna de las decenas, la columna de las centenas, etc. Acarrea cuando sea necesario.

DEJEMPLO 7

Suma: 10,892 5,467 499

DINTÉNTALO 7

Realiza las siguientes sumas: 32,812 65,034 54,323

Acarreo 1 21

10,892 5,467 499 16,858

Sumando Sumando Sumando Suma

Para comprobar, suma de abajo hacia arriba

5,345 655

Tu solución

Propiedad conmutativa de la suma: El orden en el que se suman los números no cambia

su suma.

DEJEMPLO 8

Por la propiedad conmutativa, la suma es la misma.

6 5 5 6

Usa la propiedad conmutativa de la DINTÉNTALO 8suma para completar lo siguiente: Tu solución 24

61

Propiedad asociativa de la suma: La manera en la que se agrupan los números naturales

no cambia su suma.

DEJEMPLO 9 8

Por la propiedad asociativa, la suma es la misma.

(17 5) 25 17 (5 25)

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

la propiedad asociativa de la suma DINTÉNTALO 9paraUsacompletar lo siguiente: Tu solución

9

(91

29)

OBJETIVO

B Estimar sumas mediante el redondeo Para estimar una suma, usa el redondeo por la izquierda para aproximar los sumandos.

Después suma.

DEJEMPLO 10 Estima la suma: 7,219 592 3,425

7,000 600 3,000 10,600

el redondeo por la izquierda para DINTÉNTALO 10 Usa estimar la suma.

615 789 14,802 39,902 8,098

Redondea al millar más cercano.

Redondea a la centena más cercana.

Tu solución

Redondea al millar más cercano

El estimado es el 10,600.

OBJETIVO

C Resolver problemas que implican el uso de la suma Para resolver problemas de aplicación, con frecuencia se deben traducir las palabras y frases clave del problema a números y símbolos. Algunas palabras y frases clave que se utilizan con frecuencia para indicar una suma son: ganancia, elevar, en total, incremento, más que, en el futuro, arriba, total, extra, hacia adelante, combinado, junto, etcétera.

las palabras a números y DEJEMPLO 11 Traduce símbolos:

elección presidencial de E.U. DINTÉNTALO 11 Endel la2004, los candidatos gastaron $717,900,000. En la elección presidencial del 2008, los gastos se incrementaron en $606,800,000 más que en el 2004. ¿Cuánto fue gastado por los candidatos en la elección presidencial del 2008?

Hubo 4,279,439 visitantes en el Parque nacional del Gran Cañón en el 2006. Al siguiente año, la concurrencia incrementó en 134,229. ¿Cuántas personas visitaron el parque en el 2007?

La frase incrementó en indica una suma: El número de visitantes en el parque en el 2007

Tu solución 4,279,439

134,229

1 APLÍCALO 2. La población femenina actual en México es de 67,050,414, mientras que la masculina es de 65,242,737. ¿Cuál es la población total actual en el país?

3. En equipos de tres personas investiguen la superficie en kilómetros cuadrados de los diez estados más grandes del país. Registren los resultados en una tabla de dos columnas que se llame “Superficies de los estados de México”. La primera columna se denominará “Nombre”, y la segunda corresponderá a la de “Superficie”. Realicen la suma de estas diez superficies.

LECCIÓN 1.2: Suma de números naturales

9

1.3 OBJETIVO

Resta de números naturales

Indicadores desarrollados: 3 / 4

A Aplicar estrategias para la resta de números naturales Para restar números naturales, piensa en remover objetos de un conjunto.

Forma vertical: Apila los números. Resta los dígitos en la columna de las unidades, la columna de las decenas, la columna de las centenas, etcétera. Realiza el acarreo negativo

cuando sea necesario.

Para comprobar: Diferencia sustraendo minuendo

DEJEMPLO 12 Resta: 4,957 869

la resta utilizando una DINTÉNTALO 12 Comprueba suma.

Acarreo negativo Comprueba utilizando 14 8 4 17

4,9 5 7 869 4,0 8 8

una suma: Sustraendo Diferencia

OBJETIVO

11

4,088 869 4,957

Minuendo

Tu solución

8,017 6,949 1,168

B Estimar diferencias mediante el redondeo Ten cuidado al traducir la instrucción para restar un número de otro número. El orden de los números en la oración debe invertirse cuando se traduce a símbolos.

97.

Resta 41 de 97

Dado que el 41 es el número a restar, es el sustraendo.

41

Toda resta tiene un enunciado de suma relacionado.

10

3

7

debido a que

7

3

10

Para estimar una diferencia, usa el redondeo por la izquierda para aproximar el minuendo y el sustraendo. Después resta.

DEJEMPLO 13 Estima la diferencia: 59,033 4,124

60,000 Redondea a la decena de millar más cercana 4,000 Redondea al millar más cercano 56,000

la diferencia usando el DINTÉNTALO 13 Estima redondeo 7,800 5,725

Tu solución

El estimado es 56,000.

OBJETIVO

C Palabras y frases clave para resolver problemas Algunas de las palabras y frases clave que se utilizan con frecuencia para indicar una resta son: pérdida, cae, remueve, declinó, decremento, menor que, débito, abajo, menos, en el pasado, hacia atrás, reduce, permanece, toma, etcétera.

Para responder las preguntas acerca de cuánto más o cuántos más, se utiliza una resta.

10

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

EJEMPLO 14 Una Suburban Chevy pesa 5,607 libras y DINTÉNTALO 14 En Estados Unidos, la ciudad de D un Smart Car pesa 1,852 libras. ¿Por cuánto es más pesada Yuma, Arizona, por lo regular tiene la Suburban?

la mayor cantidad de días soleados al año: alrededor de 242. En cambio, la ciudad de Búfalo, Nueva York, tiene regularmente 188 días menos que esa cifra. ¿Cuántos días soleados al año tiene Búfalo?

La frase por cuánto es más pesada indica una resta: 5,607 1,852 3,755

Peso de la Suburban Peso del Smart Car

Tu solución

La Suburban pesa 3,755 libras más que el Smart Car.

D Evaluar operaciones de forma horizontal

OBJETIVO

Para evaluar (encontrar el valor de) expresiones que involucran suma y resta escritas en la forma horizontal, las operaciones se desarrollan a medida que aparecen de izquierda a derecha.

DEJEMPLO 15 Evalúa: 75 23 9 75

23

9

52

9

la información en la tabla para DINTÉNTALO 15 Usa determinar cuánto más grande es el territorio de Rusia en comparación con el de Canadá.

Empezando de izquierda a derecha, realiza la resta primero.

61

Ahora realiza la suma.

País

Territorio (millas cuadradas)

Rusia

6,592,115

Canadá

3,551,023

Tu solución

1 APLÍCALO 4. El estado de Chihuahua tiene una superficie de 247,455 kilómetros cuadrados, y el de Tlaxcala, 4,016 kilómetros cuadrados. ¿Cuántos kilómetros cuadrados es más grande Chihuahua que Tlaxcala?

5. Investiga con tu equipo la población de los diez estados más grandes. Elaboren una tabla similar a la del Aplícalo 3 e indiquen la diferencia entre el estado con mayor población y el que tiene menor población.

Indicadores desarrollados: 1 / 3 / 4

1.4 OBJETIVO

Multiplicación de números naturales

A Aplicar estrategias para la multiplicación de números naturales La multiplicación de números naturales es una suma repetitiva pero con una notación diferente.

Suma repetitiva: La suma de cuatro 6

6

6

6

6

Multiplicación

4

6

24

LECCIÓN 1.4: Multiplicación de números naturales

11

Para escribir una multiplicación, se utiliza un símbolo de por un punto , o un paréntesis ( ).

4

6

4 6

4(6) ó (4)(6) ó (4)6

Forma vertical: Apila los factores. Si el factor inferior tiene más de un dígito, multiplica en

escalones para encontrar los productos parciales. Después súmalos para encontrar el producto.

DEJEMPLO 16 Multiplica: 163 24 652 3260 3,912 OBJETIVO

24 163

las siguientes DINTÉNTALO 16 Realiza multiplicaciones en su forma vertical:

Factor

Tu solución

Factor Producto parcial 4 163 Producto parcial 20 163

a) 23(895) b) 32 666 c) 326 987

Producto

B Encontrar el producto de un número multiplicado por 10, 100, 1000...

Para encontrar el producto de un número natural y 10, 100, 1,000, etc., añade el número de ceros en ese número a la derecha del número natural. Esta regla puede extenderse para multiplicar dos números naturales cualesquiera que terminen en ceros.

DEJEMPLO 17 Multiplica: 8 1,000

8,000

43(10,000) 160 20,000

430,000

las siguientes DINTÉNTALO 17 Realiza multiplicaciones:

Dado que el 1,000 tiene tres ceros, añade tres 0 después del 8.

Tu solución

Dado que el 10,000 tiene cuatro ceros, añade cuatro 0 después del 43.

a) 2 (500,000) b) 21 7,000 c) 64 20,000

3,200,000 El 160 y el 20,000 tienen un total de cinco ceros finales. Añade cinco 0 después del 32.

Multiplica el 16 y el 2 para obtener 32.

OBJETIVO

C Conocer las propiedades de la multiplicación Propiedades de la multiplicación del 0 y el 1

El producto de cualquier número natural y el 0 es 0.

El producto de cualquier número natural y el 1 es ese número natural.

0 9 15 1

0 15

y

3(0)

0

y

1(6)

6

Propiedad conmutativa de la multiplicación: El orden en el que se multiplican los números naturales no cambia su producto.

Propiedad asociativa de la multiplicación: La manera en la que se agrupan los números naturales no cambia su producto.

18 Por la propiedad conmutativa, el DEJEMPLO producto es el mismo.

5 9 9 5

12

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

la propiedad conmutativa a la DINTÉNTALO 18 Aplica siguiente multiplicación: Tu solución

3 31

Por la propiedad asociativa, el producto es el mismo.

Aplica la propiedad asociativa a la siguiente multiplicación:

(3 7) 10 3 (7 10) Tu solución OBJETIVO

13 (31 459)

D Estimar un producto mediante el redondeo Para estimar un producto, usa el redondeo por la izquierda para aproximar los factores.

Después multiplica.

19 Para estimar el producto para 74 873, DEJEMPLO DINTÉNTALO 19 Estima el producto: encuentra 70 900.

Tu solución

6,891 438

Redondea a la decena más cercana

74 873

70 900

Redondea a la centena más cercana

OBJETIVO

E Solucionar problemas que involucran sumas repetitivas (multiplicaciones) Los problemas de aplicación que involucran una suma repetitiva son con frecuencia más sencillos de resolver utilizando una multiplicación.

20 El consultorio de un médico está abierto DINTÉNTALO 20 Sarah trabajó 12 horas a $9 por hora DEJEMPLO 210 días al año. Cada día el médico ve 25 pacientes. y Santiago trabajó 14 horas a $8 por hora. ¿Quién ganó ¿Cuántos pacientes ve el médico en 1 año?

más dinero?

La suma repetitiva puede calcularse por medio de una multiplicación:

Tu solución

El número de pacientes vistos cada año

OBJETIVO

25 210

F Utilizar la multiplicación para contar objetos en patrones rectangulares Se puede utilizar la multiplicación para contar objetos arreglados en patrones rectangulares de renglones y columnas ordenados con esmero llamados arreglos rectangulares.

Algunas palabras y frases clave que se utilizan con frecuencia para indicar una multiplicación son: duplicar, triple, doble de veces, etcétera.

21 Un salón de clases grande tiene 16 filas 21 Para una ceremonia de graduación, los DEJEMPLO DINTÉNTALO de pupitres y hay 12 pupitres en cada fila. ¿Cuántos graduados se acomodan en una formación rectangular pupitres hay en el salón de clases?

de 22 filas y 15 columnas. ¿Cuántos miembros hay en la clase que se gradúa?

Tu solución LECCIÓN 1.4: Multiplicación de números naturales

13

El arreglo rectangular de pupitres indica una multiplicación: El número de pupitres en el salón de clases

16 12

El área de un rectángulo es la medida de la cantidad de región que delimita. El área se mide en unidades cuadradas, como pulgadas cuadradas (escritas como pulg.2) o centímetros cuadrados (cm2).

A las letras (o símbolos) empleadas para representar números se les llama variables.

Área de un rectángulo

largo ancho o

A

la

Por ejemplo, para encontrar el área del siguiente rectángulo hay que desarrollar el procedimiento que sigue.

A

25 pulg.

4 pulg.

la 25 4

Reemplaza l con 25 y a con 4.

100

Multiplica.

El área del rectángulo es de 100 pulgadas cuadradas, lo cual puede escribirse en forma más compacta como 100 pulg.2

1 APLÍCALO 6. El jardín de la casa de mi abuelo es rectangular y tiene 7 metros de ancho por 15 metros de largo. ¿Cuál es la superficie del jardín de la casa mi abuelo?

7. En equipos de tres personas midan con un flexómetro las dimensiones (el ancho y el largo) de la cancha de fútbol de su escuela y, a partir de estas medidas, calculen su superficie.

1.5 OBJETIVO

División de números naturales

A Aplicar estrategias para la división de números naturales

Dividendo Divisor

8

2

4 Cociente

14

Indicadores desarrollados: 1 / 3 / 4

4 28

8 2

4

Para dividir números naturales, piensa en separar una cantidad en dos grupos de igual tamaño.

Para escribir una división se utiliza un símbolo de división un símbolo de o una barra de fracción . división larga

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

Otra manera de responder un problema de división es pensar en términos de una multiplicación y escribir un enunciado de multiplicación relacionado.

8

2

4

debido a que 4 2

8

Puede utilizarse un proceso llamado división larga para dividir números naturales. Para ello, sigue el siguiente proceso de cuatro pasos: 1) estimar, 2) multiplicar, 3) restar y 4) dividir.

DEJEMPLO 22 Dividir: 8,317 23

aplicando el proceso de DINTÉNTALO 22 Divide 4 pasos:

Cociente

Divisor

361 R 14 23 8,317 69 1 41 1 38 37 23 14

OBJETIVO

Tu solución Dividendo

1,443 39

Residuo

B Comprobar el resultado de una división Para comprobar el resultado de una división, se multiplica el divisor por el cociente y se suma el residuo. El resultado debe ser el dividendo. Para la división mostrada en el ejemplo anterior, el resultado es correcto.

DEJEMPLO 23 Comprueba la división del Ejemplo 22. DINTÉNTALO 23 Comprueba la división 1,443 39.

Cociente

divisor

residuo

( 361

23 )

14

OBJETIVO

Tu solución

8,303

14

8,317

Dividendo

C Conocer las propiedades de la división Propiedades de la división

Un número es divisible entre otro si, cuando se están dividiendo, se obtiene un residuo de 0. Un número es divisible entre • 2 si su último dígito es divisible entre 2.

• 3 si la suma de sus dígitos es divisible entre 3.

• 4 si el número formado por sus últimos dos dígitos es divisible entre 4.

• 5 si su último dígito es 0 ó 5.

• 6 si es divisible entre 2 y 3.

• 9 si la suma de sus dígitos es divisible entre 9.

• 10 si su último dígito es 0.

Cualquier número natural dividido entre el 1 es igual a ese número.

4 1

4

y

58 1

58

Cualquier número natural diferente de cero dividido entre sí mismo es igual a 1.

9 9

1

y

103 103

1

División con cero

El cero dividido entre cualquier número diferente de cero es igual a 0.

La división entre 0 no está definida.

0 7

0

y

7 no está definida y 0

0 23

0

2,190 no está definida 0

Existen pruebas para la divisibilidad que ayudan a decidir si un número es divisible entre otro. Para conocer este criterio en un número natural analicemos la siguiente situación: LECCIÓN 1.5: División de números naturales

15

DEJEMPLO 24 ¿Es el 21,507 divisible entre el 3?

el 364,545 divisible entre 2, 3, 4, DINTÉNTALO 24 ¿Es 5, 6, 9 o 10?

El 21,507 es divisible entre el 3, debido a que la suma de sus dígitos es divisible entre 3.

2

1

5

0

7

OBJETIVO

15

y

15

3

Tu solución

5

D Eliminar ceros como un atajo Existe un atajo para dividir un dividendo entre un divisor cuando ambos terminan con ceros. Simplemente se eliminan los ceros finales en el divisor y se elimina el mismo número de ceros finales en el dividendo.

DEJEMPLO 25 Divide: 64,000

1,600

640

DINTÉNTALO 25 Divide:

Tu solución 1,482,000 3,900

16

Elimina dos ceros del dividendo y del divisor y divide.

OBJETIVO

E Estimar cocientes Para estimar cocientes se emplea un método que aproxima el dividendo y el divisor para que puedan dividirse con facilidad.

DEJEMPLO 26 Divide:

DINTÉNTALO 26 Estima el cociente: 210,999 53 Tu solución

El dividendo es aproximadamente

154,908

46

150,000

50

El divisor es aproximadamente OBJETIVO

F Resolver problemas que implican división de números Los problemas de aplicación que involucran la formación de grupos de igual tamaño pueden resolverse por medio de una división.

Algunas palabras y frases clave que se utilizan con frecuencia para indicar una división son: repartir equitativamente, compartir equitativamente, cuánto más, cuántos más, distribuir equitativamente, cuánto hace cada uno, por, entre, etcétera.

27 Un ortodontista le ofrece a su paciente un DINTÉNTALO 27 Si se distribuyeran de manera equiDEJEMPLO plan de pago del costo de $5,400 de los frenillos en 36 tativa 745 dulces entre 45 niños, ¿cuántos recibirá cada pagos iguales. ¿Cuál es la cantidad de cada pago?

La frase 36 pagos iguales indica una división:

La cantidad de cada pago

16

5,400

36

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

niño? ¿Cuántos dulces sobrarán?

Tu solución

1 APLÍCALO 8. La biblioteca de la escuela recibió 8 cajas de libros; cada caja tenia la misma cantidad de libros. El total de libros es de 360. ¿Cuantos libros había en cada caja?

9. Investiga junto con tu equipo la cantidad de libros que hay en su biblioteca escolar. Tras ello, investiguen la cantidad de alumnos que tiene la escuela y determinen cuántos libros le corresponden a cada alumno.

Indicadores desarrollados: 2 / 4

1.6 OBJETIVO

Resolución de problemas

A Considerar estrategias para la resolución de problemas Para volverte un buen solucionador de problemas, necesitas un plan a seguir, como la siguiente estrategia de cinco pasos:

paso 1

Analizar el problema leyendo con cuidado. ¿Qué información se proporciona? ¿Qué se te pide que encuentres? ¿Qué vocabulario se proporciona? Con frecuencia, un diagrama o una tabla te ayudará a visualizar los hechos del problema.

paso 2 Formar un plan traduciendo las palabras del problema a números y símbolos. paso 3 Resolver el problema desarrollando los cálculos. paso 4 Enunciar la conclusión de manera clara. Asegúrate de incluir las unidades (como pies, segundos o libras) en tu respuesta. paso 5 Comprobar el resultado. Con frecuencia es de utilidad un estimado para

ver si una respuesta es razonable.

28 Un reporte reciente asevera que en el 2007 DINTÉNTALO 28 Para preparar una salchicha ahumada, DEJEMPLO los gerentes generales de las compañías grandes en E.U. primero debe secarse la salchicha a una temperatura promediaron 364 veces más en salario que el trabajador promedio en E.U. Si al trabajador promedio en E.U. se le pagó $30,000 al año, ¿cuál fue el salario del director?

Analizar •

• •

A los directores se les pagó 364 veces más que al trabajador promedio.

Proporcionado A un trabajador promedio se le pagó $30,000 al año.

Proporcionado ¿Cuál fue el salario de un director en el 2007?

A encontrar

de 130 °F. Después se eleva otros 20° para humear la carne. La temperatura se eleva otros 20° para cocer la carne. En la última etapa, la temperatura se eleva otros 15°. ¿Cuál es la temperatura final en el proceso?

Tu solución

LECCIÓN 1.6: Resolución de problemas

17

Formar Traducir las palabras del problema a números y símbolos.

El salario de un director en el 2007

fue igual a 364

El salario de un

veces

el salario del trabajador promedio en E.U.

364

director en el 2007

30,000

Resolver Usa un atajo para desarrollar la multiplicación.

364 30,000

10,920,000 11

364 3 1092

Multiplicar el Añade cuatro 364 y el 3 para 0 después obtener 1092. del 1092.

Enunciar En el 2007, el salario anual de un director fue de $10,920,000.

Comprobar Usa el redondeo por la izquierda para estimar el producto: 364 es aproximadamente 400.

400 30,000

12,000,000

Dado que el estimado, $12,000,000, y el resultado, $10,920,000, son cercanos, el resultado parece razonable.

1 APLÍCALO 10. Tu tía fue al supermercado y compró 3 kilos de manzanas a $40.00 cada uno; 2 kilos de huevo a $31.00 el kilo, y 1.5 kilos de azúcar a $22.00 el kilo? ¿Cuánto gastó tu tía en el supermercado?

11. Investiga cuánto tiempo tardaron ayer tres de tus compañeros en hacer sus tareas por cada materia. Registra tales datos en una tabla y realiza la suma de ese tiempo invertido por tus compañeros. Comparte tus resultados con todo el grupo.

1.7 OBJETIVO

Factores primos y exponentes

Indicadores desarrollados: 2 / 3

A Factorizar números naturales A los números que se están multiplicando se les llama factores.

Factorizar un número natural significa expresarlo como el producto de otros números

naturales. Si un número natural es un factor de un número dado, también divide el número dado de manera exacta.

18

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

29 Los pares de números naturales cuyo DEJEMPLO producto es 6 son: 1 6

y

6

2 3

6

De menor a mayor, los factores del 6 son el 1, el 2, el 3 y el 6.

Cada uno de los factores del 6 divide al 6 de manera exacta (sin residuo):

6 1

6

6 2

OBJETIVO

3

6 3

2

6 6

29 Encuentra todos los factores del DINTÉNTALO número 75. Lístalos de menor a mayor.

Tu solución

1

B Identificar si un número natural es par o impar Si un número natural es divisible entre el 2 se le llama número par.

Si un número natural no es divisible entre el 2 se le llama número impar.

DEJEMPLO 30 Números naturales pares:

0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, . . .

Números naturales impares:

si cada número es par o impar.

DINTÉNTALO 30 Indica Justifica tu respuesta.

Tu solución

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, . . .

OBJETIVO

a) 92 b) 171

C Identificar números primos Un número primo es un número natural mayor que 1 que sólo tiene al 1 y a sí mismo como divisores. Existen infinitamente muchos números primos; sin embargo, debes saber que el 1 no es primo porque sólo tiene un divisor.

DEJEMPLO 31 Números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, . . .

OBJETIVO

en un círculo los números DINTÉNTALO 31 Encierra que son primos: Tu solución

a) 31 b) 100

c) 0 d) 125

D Identificar números compuestos Los números compuestos son números naturales mayores que 1 que no son primos.

Existen infinitamente muchos números compuestos.

DEJEMPLO 32 Números compuestos: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, . . .

OBJETIVO

en un círculo los números DINTÉNTALO 32 Encierra que son compuestos: Tu solución

a) 31 b) 100

c) 0 d) 125

E Factorizar números primos Encontrar la factorización de primos de un número natural significa escribirlo como el producto de sólo números primos.

Puede utilizarse un árbol de factores y una escalera de una división para encontrar las factorizaciones de primos.

LECCIÓN 1.7: Factores primos y exponentes

19

33 Usa un árbol de factores para encontrar DINTÉNTALO 33 Encuentra la factorización de primos DEJEMPLO la factorización de primos del 30, y una escalera de del número 42 utilizando los dos división para hallar la factorización de primos del 70.

30 2

Tu solución

Factoriza cada número que se encuentre como un producto de dos números naturales (distintos del 1 y sí mismo) hasta que todos los factores involucrados sean primos.

15 3

métodos explicados (árbol de factores y escalera de división).

5

La factorización de primos del 30 es 2 3 5 Para encontrar la factorización de primos del 70: 2 70 5 35 7

Desarrolla divisiones repetitivas entre números primos hasta que el cociente final sea un número primo.

La factorización de primos del 70 es 2 5 7 OBJETIVO

F Conocer las funciones del exponente Se utiliza un exponente para indicar una multiplicación repetitiva. Indica cuántas veces se utiliza la base como un factor.

Exponente

2 2 2 2

24

A 24 se le llama expresión exponencial.

Factores repetitivos Base

También se puede utilizar la definición del exponente para evaluar (encontrar el valor de) expresiones exponenciales.

DEJEMPLO 34 Evalúa: 7

3

73

7 7 7

Escribe la base 7 como un factor 3 veces.

49 7

Multiplica, empezando de izquierda a derecha.

343

Multiplica.

DINTÉNTALO 34 Evalúa la expresión.

Tu solución 24 72

Evalúa: 22 33

4 27

Evalúa primero la expresión exponencial.

108

Multiplica.

1 APLÍCALO 12. Sabemos que el área de un cuadrado es lado × lado = lado2, y que el volumen de un cubo es lado × lado × lado = lado3. Calcula el área de un cuadrado de lado 37 centímetros y el volumen de un cubo de lado 13 centímetros.

13. En equipos, recorten un cuadrado de cartulina con las medidas que decidan. Después, investiguen en Internet cómo se elabora un cubo tridimensional y háganlo con cartulina u otros materiales, pero aplicando a cada cuadrado la misma medida del que ya habían hecho. Finalmente, calculen el área superficial de ese cubo y su volumen.

20

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

Indicadores desarrollados: 1 / 2

Mínimo común múltiplo y máximo factor común

1.8

A Encontrar los múltiplos de un número

OBJETIVO

Los múltiplos de un número son los productos de ese número y el 1, 2, 3, 4, 5, etcétera.

DEJEMPLO 35

los primeros 20 múltiplos DINTÉNTALO 35 Encuentra del 9.

Múltiplos del 2: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, p

Tu solución

Múltiplos del 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, p

Los múltiplos comunes del 2 y el 3 son: 6, 12, 18, 24, 30, . . .

OBJETIVO

B Encontrar el mínimo común múltiplo de dos o más números naturales El mínimo común múltiplo (mcm) de dos números naturales es el múltiplo común más pequeño de los números.

El mcm de dos números naturales es el número natural más pequeño que es divisible entre estos números.

36 El mínimo común múltiplo del 2 y DelEJEMPLO 3 es el 6, lo cual se escribe como: mcm (2, 3) 6.

6 2

3

y

6 3

2

los múltiplos comunes del DINTÉNTALO 36 Encuentra 6 y el 8 en la lista de abajo.

Múltiplos del 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54 …

Múltiplos del 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 …

Tu solución

OBJETIVO

C Encontrar el mcm mediante una lista o serie Para encontrar el mcm de dos (o más) números naturales mediante una lista o serie:

paso 1

Escribe los múltiplos del número más grande multiplicándolo por 1, 2, 3, 4, 5, etcétera.

paso 2 Continúa este proceso hasta que encuentra el primer múltiplo del número

más grande que es divisible entre cada uno de los números más pequeños. Ese múltiplo es el mcm.

LECCIÓN 1.8: Mínimo común múltiplo y máximo factor común

21

DEJEMPLO 37 Encuentra el mcm del 3 y el 5.

Múltiplos del 5: 5,

10,

No divisible entre el 3.

No divisible entre el 3.

15,

20,

Encuentra el mcm de los números DINTÉNTALO 37 dados: ...

25,

Tu solución a) 18, 21 b) 4, 14, 20

Divisible entre el 3.

Dado que el 15 es el primer múltiplo del 5 que es divisible entre el 3, el mcm (3, 5) 15.

D Encontrar el mcm mediante la factorización de primos

OBJETIVO

Para encontrar el mcm de dos (o más) números naturales utilizando la factorización de primos:

paso 1 Realiza la factorización de primos de cada número. paso 2 El mcm es el producto de los factores primos donde cada factor se utiliza el mayor número de veces que aparece en cualquier factorización.

DEJEMPLO 38 Encuentra el mcm del 6 y el 20.

6 20

2

Encuentra el mcm de los números DINTÉNTALO 38 dados utilizando la factorización de

3

El mayor número de veces que aparece el 3 es una vez.

2 2

5 El mayor número de veces que aparece el 2 es dos veces.

mcm (6, 20)

El mayor número de veces que aparece el 5 es una vez.

Usa el factor 2 dos veces.

Usa el factor 3 una vez.

Usa el factor 5 una vez.

2 2 3 5

primos: Tu solución a) 18, 21 b) 4, 14, 20

60

E Encontrar el máximo factor común de dos o más números naturales

OBJETIVO

El máximo factor común (mfc) de dos (o más) números naturales es el factor común más grande de los números.

El máximo factor común de dos (o más) números es el número natural más grande que los divide de manera exacta.

DEJEMPLO 39

los factores comunes del 6 DINTÉNTALO 39 Encuentra y el 8 en la lista abajo.

Los factores del 18: 1 , Los factores del 30: 1 ,

2, 2,

3, 3,

6, 5,

9 , 6 ,

18 10,

15,

30

Los factores comunes del 18 y el 30 son el 1, el 2, el 3 y el 6.

El máximo factor común del 18 y el 30 es el 6, lo cual se escribe como: mfc (18, 30) 6 18 6

22

3

y

30 6

5

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

Tu solución a) Factores del 6: 1, 2, 3, 6 b) Factores del 8: 1, 2, 4, 8

OBJETIVO

F Encontrar el mfc mediante la factorización de primos Para encontrar el mfc de dos (o más) números naturales utilizando la factorización de primos:

paso 1 Realiza la factorización de primos de cada número. paso 2 Identifica los factores primos comunes. paso 3 El mfc es un producto de todos los factores primos comunes encontrados

en el Paso 2.

Si no hay factores primos comunes, el mfc es el 1.

DEJEMPLO 40 Encuentra el mfc del 36 y el 60.

36

2 2 3 3

60

2 2 3 5

Encuentra el mfc de los números DINTÉNTALO 40 dados mediante la factorización de

El 36 y el 60 tienen dos factores comunes de 2 y un factor común de 3.

primos: Tu solución

a) 9, 12 b) 48, 72, 120

El mfc es el producto de los factores primos encerrados en un círculo. mfc (36, 60) 2 2 3 12

1 APLÍCALO 14. Imaginemos que en tu grupo se repartirán 18 libros, 27 plumas y 36 cuadernos entre los estudiantes mejor evaluados. ¿A cuántos alumnos se les repartirá, y cuántos libros, plumas y cuadernos se les darán?

15. Fernando compró 35 cuadernos y 42 plumas. ¿Cuál es el mayor número de conjuntos idénticos de cuadernos y plumas que puede formar? ¿cuántos cuadernos y cuántas plumas tienen?

Indicadores desarrollados: 2 / 3

1.9 OBJETIVO

Orden de las operaciones

A Evaluar expresiones que involucran más de una operación Para evaluar (encontrar el valor de) expresiones que involucran más de una operación, se emplea la regla del orden de las operaciones.

Orden de las operaciones

paso 1 Desarrolla todos los cálculos dentro de los paréntesis y otros símbolos de

agrupación siguiendo el orden listado abajo en los Pasos 2-4, empezando desde el par más interno de símbolos de agrupación al par más externo.

paso 2 Evalúa todas las expresiones exponenciales.

LECCIÓN 1.9: Orden de las operaciones

23

paso 3 Desarrolla las multiplicaciones y divisiones a medida que aparezcan de

izquierda a derecha.

paso 4 Desarrolla las sumas y restas a medida que aparezcan de izquierda a derecha.

Cuando se hayan eliminado los símbolos de agrupación, repite los Pasos 2-4 para completar el cálculo.

Si está presente una barra de fracción, evalúa la expresión sobre la barra (llamada numerador) y la expresión debajo de la barra (llamada denominador) por separado. Después desarrolla la división indicada por la barra de fracción, si es posible.

DEJEMPLO 41 Evalúa:

10 3[24 3(5 2)]

la expresión aplicando los 4 DINTÉNTALO 41 Evalúa pasos explicados:

Resuelve primero dentro de los paréntesis más internos y después dentro de los corchetes más externos.

10

3[24

3(5

2)]

3[24

10

Tu solución 23 5 4 2 4

3(3)] Realiza la operación dentro de los paréntesis.

10

3[16

3(3)] Evalúa la expresión exponencial dentro de los corchetes: 24 16.

10

3[16

9]

10

3[7]

Realiza la resta dentro de los corchetes.

10

21

Realiza la multiplicación: 3[7] 21.

31

Evalúa:

33 7(15

Realiza la multiplicación dentro de los corchetes.

Realiza la suma.

8 14)

Evalúa por separado las expresiones sobre y debajo de la barra de fracción.

33 7(15

8 14)

27 8 7(1)

En el numerador, evalúa la expresión exponencial. En el denominador, reste.

35 7

En el numerador, suma. En el denominador, multiplica.

5

Divide.

OBJETIVO

B Encontrar la media aritmética de un conjunto de números La media aritmética, o promedio, de un conjunto de números es un valor alrededor del cual se agrupan los valores de los números.

Para encontrar la media (promedio) de un conjunto de valores, divide la suma de los valores entre el número de valores.

24

BLOQUE 1 / SECCIÓN 1: Los números naturales

EJEMPLO 42 Encuentra la media (promedio) de las D siguientes calificaciones de examen: 74, 83, 79, 91 y 73

la media aritmética DINTÉNTALO 42 Encuentra (promedio) de cada conjunto de calificaciones de examen.

Media

74 400 5 80

83

79 5

91

73 Dado que hay

5 calificaciones, divide entre 5.

a)

1

2

3

4

Calificación 80 74 66 88

Realiza la suma en el numerador.

Divide.

La media (promedio) de las calificaciones de los exámenes es de 80.

Examen

Examen

b)

1

2

3

4

5

Calificación 73 77

81

0

69

Tu solución

1 APLÍCALO 16. Pregunta a 20 de tus compañeros cuál fue la calificación obtenida en su último examen de matemáticas u otra materia. Registra todas las calificaciones en una tabla y determina el promedio que obtuvo este grupo de estudiantes.

17. Organízate con todos tus compañeros del salón y formen cinco equipos de trabajo. Repartan a cada uno de estos equipos alguna de las siguientes actividades: a) Midan la estatura de 30 alumnos del mismo grado; registren tales datos en una tabla, distinguiendo entre hombres y mujeres. Determinen la estatura promedio de los compañeros a quienes entrevistaron, así como la estatura promedio de las mujeres y los hombres. b) Pregunten a 30 alumnos del mismo grado cuál es su número de hermanos; registren tales datos en una tabla, distinguiendo entre hermanas y hermanos. Determinen el número promedio de hermanos y el número promedio de hermanas que tienen estos alumnos. c) Seleccionen 10 ciudades de México e investiguen su número de habitantes y la superficie que tiene cada una. Registren todos estos datos en una tabla. Finalmente, determinen su número promedio de habitantes y su superficie promedio. d) Realicen una encuesta a 30 alumnos de la escuela, para saber si realizan una, dos o más actividades deportivas. Registren todos estos datos en una tabla. Finalmente, determinen el promedio de alumnos que realizan una, dos y más actividades deportivas. e) Realicen una encuesta a todos sus compañeros del salón acerca del número de libros que leen por año.

Registren tales datos en una tabla y determinen el número promedio de libros leídos por todos los integrantes del grupo.

18. A través de cartulinas, proyectores o alguna presentación creativa, expongan ante todo el grupo los resultados de su trabajo.

LECCIÓN 1.9: Orden de las operaciones

25

secci se sec s sección ecció e cci c cc ción ió ió ón n 2

Los números enteros Lecciones: 2.1 Introducción a los números enteros A B C D

Identificar los números enteros en la recta numérica.

Identificar números opuestos.

Hallar el valor absoluto.

Entender los números enteros negativos.

2.2 Suma y resta de números enteros A Sumar números enteros.

B Restar números enteros.

Examen

de preparación

Resuelve el siguiente examen rápido para poner al día tus conocimientos previos. En los ejercicios 3 a 6 suma, resta, multiplica o divide.

1. Coloca entre los dos números el símbolo correcto: , = ó .

54 45

2.3 Multiplicación y división de números enteros A Multiplicar números enteros.

B Dividir números enteros.

2.4 Solución de ecuaciones con números

2. ¿Qué distancia hay de 4 a 8 en la recta numérica?

3. 7,654 8,193

enteros A Resolver ecuaciones.

B Convertir un enunciado en una ecuación.

2.5 El orden o jerarquía de las

4. 6,097 2,318 5. 472 56

operaciones 6. 144 24 7. Resuelve: 22 y 9

9. ¿Qué precio debe tener un monopatín que le cuesta a la tienda $129 y se quiere tener un margen de utilidad de $42? Utiliza la fórmula P C M donde P es el precio del producto que paga el consumidor, C el costo que paga la tienda por el producto y M el margen de utilidad.

10. Simplifica: (8 6)2 12 4 32

26

© Simon Smith/iStockphoto.com

8. Resuelve: 12b 60

Indicadores desarrollados: 1 / 3 / 4

2.1 OBJETIVO

Introducción a los números enteros

A Identificar los números enteros en la recta numérica En esta sección se introducen los números menores que cero. Las frases como “7 grados bajo cero” o “20 metros bajo el nivel del mar” se refieren a números menores que cero.

Los números mayores que cero se llaman números positivos. Los números menores que cero se llaman números negativos.

números Positivos y negativos Un número n es positivo si n 0.

Un número n es negativo si n 0.

Para indicar un número positivo, se puede colocar antes del número un signo más ( ). Por ejemplo, podemos escribir 4 en lugar de 4. Sin embargo, por lo general, el signo más se omite y se sobrentiende que el número es positivo.

Para indicar un número negativo, se coloca antes del número un signo menos o negativo ( ) .

El número 1 se lee “menos uno”, 2 se lee “menos dos”, etcétera.

La recta numérica se extiende a la izquierda del cero para indicar números negativos.

27

7

6

5

4

3

2

1

0

1

2

3

4

5

6

7

Los números enteros son . . . 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4, . . . . Los número enteros a la derecha del cero son los enteros positivos. Los número enteros a la izquierda de cero son enteros negativos. El cero es un número entero, pero no es positivo ni negativo. El punto correspondiente a 0 en la recta numérica se llama origen.

En la recta numérica, los números se hacen mayores a medida que avanzamos de izquierda a derecha. Por el contrario, los números se hacen menores a medida que avanzamos de derecha a izquierda. Por tanto, se puede utilizar la recta numérica para visualizar la relación de orden entre dos número enteros.

relaciones de orden a b si a está a la derecha de b en la recta numérica.

Un número que aparece a la derecha de un número dado es mayor que ( ) dicho número. Un número que aparece a la izquierda de un número dado es menor que ( ) dicho número.

a b si a está a la izquierda de b en la recta numérica.

2 está a la derecha de 3 en la recta numérica.

2 es mayor que 3.

2 3 4 está a la izquierda de 1 en la recta numérica.

4 es menor que 1.

4 1

DEJEMPLO 1

Si G es 2 e I es 4, ¿qué números son B y D?

4 3 2 1

0

1

2

3

4

DINTÉNTALO 1 ASiyGC?es 1 y H es 2, ¿qué números son Tu solución

A

B

C

D

E

F

G

H

I

4 3 2 1

0

1

2

3

4

A

B

C

D

E

F

G

H

I

B es 3 y D es 1.

DEJEMPLO 2

Escribe los números dados ordenándolos de menor a mayor.

5, 2, 3, 0, 6 6, 2, 0, 3, 5

los números dados DINTÉNTALO 2 Escribe ordenándolos de menor a mayor.

7, 4, 1, 0, 8 Tu solución

1 APLÍCALO 1. En equipos de tres o cuatro personas, investiguen cuáles son los estados de México que han registrado las temperaturas más bajas; registren estos datos en una tabla de 3 columnas (la primera se llamará “Nombre del estado”; la segunda, “Fecha en que se presentó esta temperatura”; y, la tercera, “Temperatura más baja”).

Ordenen las temperaturas de mayor a menor y represéntenlas sobre una recta númerica.

OBJETIVO

B Identificar números opuestos La distancia de 0 a 3 en la recta numérica es de 3 unidades. La distancia de 0 a 3 en la recta numérica es de 3 unidades. 3 y 3 están a la misma distancia de 0 en la recta numérica, sólo que 3 está a la derecha de 0 y 3 está a la izquierda de 0.

Dos números que están a la misma distancia de cero en la recta numérica, pero en lados contrarios de cero se llaman opuestos.

28

BLOQUE 1 / SECCIÓN 2: Los números enteros

Nota sobre el uso de calculadoras

3 es el opuesto de 3 y 3 es el opuesto de 3.

Para cualquier número n, el opuesto de n es n y el opuesto de n es n.

Ahora podemos definir los números enteros como los números naturales y sus opuestos.

La tecla de la calculadora se utiliza para encontrar el opuesto de un número. La tecla se utiliza para realizar la operación de resta.

Un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.

(3) 3 El opuesto de 3 positivo es 3 negativo. ( 3) 3 El opuesto de 3 negativo es 3 positivo.

Por tanto, (a) a y ( a) a.

6 2 2 6 2

“seis más dos” “dos positivo” “seis menos dos”

2 ( 6)

“dos negativo” se lee ”menos” “el opuesto de seis se lee primero como negativo” “el opuesto de” y luego “negativo”

DEJEMPLO 3

Encuentra el número opuesto. a. 8 b. 15 a. 8

DEJEMPLO 4

se lee “más” se lee ”positivo” se lee ”menos”

b. 15

c. a

Observa que con la introducción de los enteros negativos y los opuestos, los símbolos y se pueden leer de diferentes maneras.

Cuando los símbolos y indican las operaciones de suma y resta, se insertan espacios antes y después del símbolo. Cuando los símbolos y indican el signo de un número (positivo o negativo), no hay ningún espacio entre el símbolo y el número.

DINTÉNTALO 3 Tu solución

Encuentra el número opuesto. a. 24

b. 13

c. b

c. a

Escribe con palabras la expresión. a. 7 ( 9) b. 4 10

DINTÉNTALO 4 Escribe con palabras la expresión.

Tu solución a. 3 12 b. 8 ( 5)

a. Siete menos, menos nueve b. Menos cuatro más diez

1 APLÍCALO 2. Con base en la tabla que hiciste con tu equipo en el Aplícalo 1, determina cuál es la cantidad a sumar para que cada una de las temperaturas más bajas sean iguales a 0°C.

OBJETIVO

C Hallar el valor absoluto El valor absoluto de un número es la distancia de cero al número en la recta numérica. La distancia nunca es un número negativo. Por tanto, el valor absoluto de un número es un número positivo o cero. El símbolo de valor absoluto es “ ‘ ”

LECCIÓN 2.1: Introducción a los números enteros

29

La distancia de 0 a 3 es de 3 unidades. Por consiguiente, 0 3 0 3 (el valor absoluto de 3 es 3).

3 4 3 2 1

0

1

2

3

4

Debido a que la distancia de 0 a 3 y la distancia de 0 a 3 son iguales 0 3 0 0 3 0 3.

valor absoluto

El signo negativo está antes del símbolo de valor absoluto.

El valor absoluto de un número positivo es positivo.

050 5

Nota En el ejemplo anterior es importante notar que el signo negativo aparece antes del símbolo de valor absoluto.

Esto significa que –°7° = –7, pero °–7° = 7.

Recuerda que un signo negativo se puede leer como “el opuesto de”.

El valor absoluto de un número negativo es positivo. 0 5 0 5

Por tanto, 0 7 0 se puede leer como “el opuesto del valor absoluto de 7”.

El valor absoluto de cero es cero. 0 0 0 0

0 7 0 7

DEJEMPLO 5

Evalúa a. 0 27 0 y b. 0 14 0.

DEJEMPLO 6

Evalúa 0 x 0 para x 4.

a. 0 27 0 27 b. 0 14 0 14

0 x 0 0 ( 4) 0 0 4 0 4

DINTÉNTALO 5

Evalúa a. 0 0 0 y b. 0 35 0.

DINTÉNTALO 6

Evalúa: a. 0 y 0 para y 2.

Tus soluciones

Tus soluciones

b. Evalúa 0 30 + 080 + 0 70

1 APLÍCALO 3. En Oymyakon, una localidad rusa, la temperatura promedio es de 50° grados bajo cero. Indica cuál es el valor absoluto de esta temperatura.

4. Con base en la tabla que hicieron en el Aplícalo 1, determina junto con tu equipo cuál es el valor absoluto de cada una de las temperaturas más bajas de los estados de México.

OBJETIVO

D Entender los números enteros negativos

© David Wasserman/Brand X Pictures/Jupiterimages / © iStockphoto.com

a Fl

or

id

on

ai

H

aw

2

0 10 20 30

45

52

60

40

40 50

30

riz A

10

Grados Fahrenheit

20

a Ca lif or ni a N ue va Y or 12 k

Figura 2.1Temperaturas más bajas registradas

Los datos que se representan por números negativos en una gráfica de barras se muestran debajo del eje horizontal. Por ejemplo, la figura 2.1 muestra las temperaturas más bajas registradas, en grados Fahrenheit, en algunos estados de Estados Unidos. La temperatura más baja registrada en Hawai es de 12 ºF, que es un número positivo, por lo que la barra que representa esa temperatura está por encima del eje horizontal. Las barras que corresponden a los demás estados aparecen por debajo del eje horizontal y, por tanto, representan números negativos.

BLOQUE 1 / SECCIÓN 2: Los números enteros

En la gráfica podemos ver que el estado que tiene la temperatura más baja registrada es Nueva York, con una temperatura de 52 F.

© Nicholas Belton/iStockphoto.com

Evalúa 0 7 0.

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