Matemáticas IV

Matemáticas IV Patricia Ibáñez Carrasco

Matemáticas IV Patricia Ibáñez Carrasco Universidad Tecnológica de Puebla Centro Universitario CIFE Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE)

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Matemåticas IV, primera edición Patricia Ibåùez Carrasco Director Higher Education LatinoamÊrica: Renzo Casapía Valencia Gerente editorial LatinoamÊrica: Jesús Mares Chacón Editores: Pablo Miguel Guerrero Rosas y Karen Estrada Arriaga Coordinador de manufactura: Rafael PÊrez Gonzålez Diseùo de portada: Anneli Daniela Torres Arroyo Imågenes de portada: Štitelio/Shutterstock.com ŠMellimage/Shutterstock.com ŠKenDrysdale/Shutterstock.com ŠSenoldo/Shutterstock.com ŠProtasov AN/Shutterstock.com &RPSRVLFL¾Q WLSRJU£ȴFD Ediciones OVA

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Š D.R. 2019 por Cengage Learning Editores, S.A. de C.V., una Compaùía de Cengage Learning, Inc. &DUUHWHUD 0[LFR 7ROXFD QŸP RȴFLQD &RO (O <DTXL 'HO &XDMLPDOSD & 3 Ciudad de MÊxico.

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'DWRV SDUD FDWDORJDFLÂľQ ELEOLRJUÂŁČ´FD Carrasco IbĂĄĂąez, Patricia MatemĂĄticas IV Primera ediciĂłn ISBN: 978-607-526-722-7 Visite nuestro sitio web en: http://latinoamerica.cengage.com

CONTENIDO

Bloque I Relaciones y funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

Inecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Relación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Dominio, rango e imagen de una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Regla de correspondencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Formas de representar una función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Prueba de la línea vertical . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

Dominio, codominio y rango: casos especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Gráficas de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Funciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

Función escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función identidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función inyectiva (uno a uno) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función sobreyectiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función biyectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Función inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 26 27 28 31 31 32 33

Función creciente y decreciente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Transformación de gráficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Traslaciones y reflexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Composición de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

vi

Matemáticas IV

Bloque 2 Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Modelo algebraico general de funciones polinomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Función de grado cero y función constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Modelo gráfico de funciones de grado cero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Función de grado uno o lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Modelo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58

Modelo gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Raíz de una función lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Modelos lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Funciones cuadráticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Modelo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

Modelo gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

Raíces y discriminantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

Formas estándar y factorizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71

Método de solución de cuadráticas puras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Método por factorización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Método de fórmula general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Discriminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

71 72 72 74

Funciones de grado superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Modelo algebraico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Modelo gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

82

Raíces: teorema del residuo, del factor y división sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Teorema del residuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

Teorema del factor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

División sintética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

Tratamiento visual de máximos y mínimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

Contenido

vii

Bloque 3 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 Funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Modelo algebraico de la función racional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

Dominio de definición de una función racional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

108

Asíntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

111

Asíntotas horizontales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Asíntotas verticales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Asíntota oblicua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Criterios de existencias de las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas . . . . . . . . . . . . . . . . .

112 112 113 113

Modelo gráfico de las funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

113

Aproximación informal a los límites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Bloque 4 Funciones trascendentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Función exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Forma general de la función exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 Modelo gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

Propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

136

Función logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Forma general. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

139

Modelo gráfico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

Propiedades de logaritmos y ecuaciones logarítmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

147

Cambio de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

PRESENTACIÓN

El presente libro, Matemáticas IV, de la autora Patricia Ibáñez, se ha convertido en referencia de texto para estudiantes de nivel medio superior en las materias de precálculo o teoría de funciones, ya que permite que el lector trabaje en las aplicaciones reales, combinando ejercicios, problemas y ejemplos que relacionan la teoría con la práctica matemática. Tiene un enfoque basado en competencias que puede utilizarse en distintos planes de estudio, o bien, tomarlo como un marco de referencia.

AL ESTUDIANTE

Los autores de los libros viven con la esperanza de que alguien en realidad los lea. Al contrario de lo que podrías creer, casi todos los textos de matemáticas de nivel medio superior están escritos para ti y no para el profesor. Cierto es que los temas cubiertos en el texto se escogieron consultando a los profesores, ya que ellos toman la decisión acerca de si hay que usarlos en sus clases, pero todo lo escrito en él está dirigido directamente a ti, al estudiante. Entonces queremos invitarte —no, en realidad queremos pedirte— que ¡leas este libro de texto! Pero no lo hagas como leerías una novela; no debes leerlo rápido y no debes saltarte nada.

Piensa en este libro como en un cuaderno de ejercicios. Creemos que las matemáticas siempre deberían ser estudiadas con lápiz y papel a la mano porque, muy probablemente, tendrás que trabajar los ejemplos y hacer los análisis. Lee —más bien, trabaja— todos los ejemplos de una sección antes de intentar cualquiera de los ejercicios. Los ejemplos se han diseñado para mostrar lo que consideramos son los aspectos más importantes de cada sección y, por tanto, muestran los procedimientos necesarios para trabajar la mayoría de los problemas de los conjuntos de ejercicios. Siempre decimos a nuestros estudiantes que, cuando lean un ejemplo, tapen su solución e intenten trabajar primero en ella, comparar su respuesta con la solución dada y luego resolver cualquier diferencia.

Hemos tratado de incluir los pasos más importantes para cada ejemplo, pero si algo no es claro siempre puedes intentar completar los detalles o pasos que faltan, y aquí es donde el papel y el lápiz entran otra vez.

Puede que no sea fácil, pero es parte del proceso de aprendizaje. La acumulación de hechos seguida por una lenta asimilación de la comprensión simplemente no se puede aceptar como única meta sin un trabajo arduo. Recuerda que también puedes revisar las matemáticas apropiadas de tus viejos libros de trigonometría y geometría analítica.

En conclusión, te deseamos buena suerte y éxito. Esperamos que disfrutes el libro y el curso que estás por iniciar. Cuando éramos estudiantes en matemáticas, este curso fue uno de nuestros favoritos pues nos gustan las matemáticas ya que están conectadas con el mundo físico. Si tienes algún comentario o si encuentras algún error cuando leas o trabajes con este, o si nos quieres hacer llegar una buena idea para mejorar el libro, por favor ponte en contacto con nosotros a través de nuestro editor en Cengage Learning.

AL DOCENTE

En caso de que examine este texto por primera vez, Matemáticas IV puede utilizarse para un curso de un semestre de precálculo o teoría de funciones o bien un curso remedial para el ingreso al nivel medio superior.

Para un curso semestral, suponemos que los estudiantes han completado con éxito al menos un semestre de aritmética, álgebra, geometría plana y trigonometría, así como de geometría analítica básica. Dado que usted está leyendo esto, sin duda ya ha examinado la tabla de contenidos para ver los temas que cubrirá.

Estamos seguros que hay suficiente material aquí para escoger y formar un curso a su gusto. El texto tiene un equilibrio razonable entre los métodos analíticos, cualitativos y cuantitativos en el estudio de los temas presentados. Nuestra filosofía es que un libro para estudiantes de nivel medio superior debería estar escrito considerando siempre la comprensión del estudiante, lo que significa que el material debe presentarse en una forma directa, legible y útil, considerando el nivel teórico compatible con la idea de un primer curso.

A las personas familiarizadas con los textos anteriores de la autora nos gustaría mencionarles algunas de las mejoras hechas en esta edición:

• Se han actualizado muchos conjuntos de ejercicios agregando nuevos problemas. Algunos de los cuales implican nuevos e interesantes retos.

• Se han agregado comentarios, figuras y ejemplos adicionales a muchas secciones.

• En todo el libro se ha dado mayor énfasis a los conceptos de matemáticas básicas y a las soluciones que implican razonamientos lógicos.

ACERCA DE LA AUTORA Patricia Ibáñez Carrasco Egresada de la Universidad Tecnológica de Puebla, Ingeniería en Tecnologías para la Automatización, Maestría en Docencia y Desarrollo de Competencias por parte del Centro Universitario CIFE y Maestría en Comunicación y Tecnologías Educativas por parte del Instituto Latinoamericano para la Comunicación Educativa (ILCE). En su amplia experiencia profesional ha sido docente, por 25 años, de Matemáticas, Informática y Física en el Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla, facilitadora de cursos de Evaluación del aprendizaje por parte del Centro Universitario CIFE y, actualmente directora, por examen de promoción del Servicio Profesional Docente (SPD), del plantel 13 del Colegio de Bachilleres del Estado de Puebla.

Así mismo, se ha desempeñado como consultora externa de la Dirección General de Bachillerato (DGB) para el desarrollo de programas basados en competencias laborales, elaboradora de programas de estudio de matemáticas e informática de nivel medio superior en la DGB para el Nuevo Modelo Educativo.

Actualmente, está certificada como Evaluadora Nacional de Desempeño Docente por parte del Instituto Nacional para la Evaluación Educativa (INEE), participando en la calificación de docentes evaluados.

Ha impartido cursos sobre tópicos de matemáticas e informática, manejo de programas de estudio y manejo del libro de Matemáticas I para bachillerato. Es autora de los libros Matemáticas I, II, III, IV, V y VI, Informática I e Informática II publicados por Cengage Learning.

BLOQUE 2

Propósito del bloque: Utiliza las funciones y relaciones de forma crítica y reflexiva para explicar el comportamiento de fenómenos presentes en su entorno.

© Mattz90/Shutterstock.com

I

Relaciones y funciones

Competencias genéricas:

Competencias disciplinares:

CG 1.1

Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

CD 1 Construye e interpreta modelos matemáticos

CG 4.1

Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

CG 5.2 CG 8.2

Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones.

Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva.

mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CD 2 Formula y resuelve problemas matemáticos,

aplicando diferentes enfoques.

CD 5 Analiza las relaciones entre dos o más

variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

CD 8 Interpreta tablas, gráficas, mapas,

diagramas y textos con símbolos matemáticos y científicos.

Horas asignadas: 15 horas

Conocimientos

Habilidades

Actitudes

t t

t

t

t

t t

Inecuaciones.

Relaciones y funciones.

- Dominio y rango.

- Imagen de una función.

- Regla de correspondencia.

Graficación de funciones.

- Funciones especiales.

- Función inversa.

- Funciones crecientes y decrecientes.

Transformación de gráficas.

Composición de funciones.

t

t t t

Contrasta entre funciones y relaciones.

Distingue el dominio, rango, imagen y regla de correspondencia de funciones y relaciones.

Reconoce la gráfica de la función de acuerdo con sus características.

Representa gráficamente las funciones especiales de acuerdo a su modelo.

Identifica el proceso para la composición de funciones y el cálculo de la función inversa.

t

t t

Afronta retos asumiendo la frustración como parte de un proceso.

Se relaciona con sus semejantes de forma colaborativa mostrando disposición al trabajo metódico y organizado.

Aporta ideas en la solución de problemas promoviendo su creatividad.

Favorece su pensamiento crítico y reflexivo.

Aprendizajes esperados t t t

Emplea las relaciones y las funciones que le permitan resolver de forma reflexiva problemas presentes en su entorno.

Utiliza el pensamiento crítico y reflexivo para resolver la composición de funciones, así como la función inversa llevándolas de situaciones aplicables a su entorno.

Aplica la función compuesta e inversa de manera algebraica o gráfica promoviendo su creatividad para calcular problemas de su vida cotidiana.

4

Matemáticas IV

Relaciones y funciones Los hombres construimos demasiados muros y no suf icientes puentes.

Sir Isaac Newton Reflexionemos Las relaciones son el primer paso para introducirte a las funciones. Si entiendes lo que implica una relación entonces no tendrás problemas para diferenciar aquellas relaciones que son funciones, pues esa es una premisa fundamental: todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones. Así es, te encontrarás con infinidad de relaciones, pero sólo algunas de ellas son funciones.

En este bloque aprenderás qué es una relación, cómo se denota y cuáles son los elementos que se encuentran estrechamente ligados a cada una de ellas, además podrás diferenciar aquellas relaciones que al final de cuentas son funciones y cuáles son las características que las hacen tan especiales.

Discute con tu maestro y con tus compañeros de grupo qué tipos de relaciones conoces y idea puedes saber si son funciones o no. También reflexiona por qué deben ser importantes tanto las relaciones como las funciones.

Recordemos (conocimientos previos) A continuación exponemos una serie de preguntas que servirán como base para el inicio del tema: 1. ¿Cuáles son las características principales de una ecuación?

2. ¿Cuáles crees que sean las características de una inecuación?

3. ¿Qué imaginas cuando escuchas la palabra función?

4. ¿A qué crees que se refiere una relación matemática?

5. ¿A qué crees que se refiere el término dominio de una función?

6. ¿Cuál es tu idea de lo que es el contradominio de una función?

7. ¿Cuál es tu idea de la imagen de una función?

8. ¿Cómo imaginas el uso de la regla de correspondencia?

Bloque I Relaciones y funciones

5

9. ¿Cómo se obtiene la inversa de una función?

10. ¿Cuáles son los pasos de la multiplicación y la división de polinomios? Escríbelos.

Actividad introductoria Investiguen en binas, bibliográfica o electrónicamente, cómo se definen los siguientes elementos: relación, función, inecuación, intervalo, dominio, rango e imagen de una función dada. Citen ejemplos de cada concepto y elaboren un mapa mental con el material obtenido. Se calificará con la siguiente lista de cotejo.

Instrucciones: Su maestro les calificará, pero primero deben autoevaluar su trabajo, anotando su calificación, los logros que han tenido y cuáles son sus áreas de oportunidad (errores u omisiones). También permitirán que otro equipo (el maestro indicará cuál) los evalúe escribiendo lo mismo.

CG 5.2 Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reflexiva

Tabla 1.1

Núm.

Criterio de evaluación

1

El mapa mental contempla los aspectos principales del tema.

Inicia desde el centro de la hoja colocando la idea central que está desarrollada hacia fuera de manera radial.

2 3

La idea central está representada con una imagen clara, poderosa y sintetiza el tema general del mapa mental.

4

Temas y subtemas están articulados y jerarquizados según el sentido de las manecillas del reloj.

5

Utiliza el espaciamiento para acomodar de manera equilibrada las ideas o subtemas.

6

Subraya las palabras clave o las encierra en un círculo.

7

Utiliza el color para diferenciar los temas, sus asociaciones o para resaltar algún contenido.

8

Utiliza flechas, iconos o cualquier elemento visual que permite diferenciar y hacer más clara la relación entre ideas.

9

El mapa mental se puede leer fácilmente.

10

El mapa mental es creativo.

Cumple (1 punto)

No cumple (0 puntos)

Calificación Autoevaluación

Logros

Áreas de oportunidad

Coevaluación

Logros

Áreas de oportunidad

6

MatemĂĄticas IV

Inecuaciones Iniciemos recordando los sĂ­mbolos â&#x20AC;&#x153;!â&#x20AC;? (mayor que), â&#x20AC;&#x153; â&#x20AC;? (menor que), â&#x20AC;&#x153;tâ&#x20AC;? (mayor o igual que) y â&#x20AC;&#x153;dâ&#x20AC;? (menor o igual que) usados para establecer una relaciĂłn de comparaciĂłn entre un nĂşmero con otro. Estos se denominan sĂ­mbolos de desigualdad. Por ejemplo, Escribimos 3 ! 2 para seĂąalar que 3 es mayor que 2 o, que en la recta numĂŠrica, 3 estĂĄ a la derecha de 2 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1

0

1

2

3

Relaciones mayor quĂŠ y menor quĂŠ

TambiĂŠn podemos escribir 1 2 para seĂąalar que 1 es menor que 2, o que 1 estĂĄ a la izquierda de 2.

Por otro lado, recuerda que una ecuaciĂłn es una relaciĂłn de igualdad entre dos expresiones matemĂĄticas, por ejemplo: 5 x 1, esto es una igualdad, entonces una desigualdad o inecuaciĂłn es una expresiĂłn matemĂĄtica en la que intervienen una o mĂĄs incĂłgnitas, relacionadas con un signo de desigualdad. Pueden ser de primer grado, segundo grado, etc., dependiendo del mĂĄximo grado de la variable principal. Por ejemplo, las siguientes expresiones son desigualdades: 5 x â&#x2C6;&#x2019; 6 3x + 5 > 3x 2 d 10 2x 1 t x 4 4 6 Una cuestiĂłn importante que debes tener en cuenta es que en las ecuaciones, o igualdades, la soluciĂłn siempre es un nĂşmero y en las inecuaciones o desigualdades que veremos en este curso, la soluciĂłn es un intervalo, representado por una porciĂłn de recta.

Para resolver una inecuaciĂłn se aplican las mismas reglas que en las ecuaciones, es decir, se debe considerar lo siguiente: t El sĂ­mbolo de la desigualdad se mantiene al sumar o restar las mismas

cantidades a ambos lados. t El sĂ­mbolo de la desigualdad se mantiene al multiplicar por o dividir entre las mismas cantidades positivas. t El sĂ­mbolo de la desigualdad se invierte al multiplicar por o dividir entre las mismas cantidades negativas.

Ejemplos:

1. 3x 2 d 10 SoluciĂłn:

Primero pasamos el 2 del otro lado: 3x 2 2 d 10 2 3x d 12

Bloque I Relaciones y funciones

Ahora dividamos entre 3:

3x 3 x

12 3 4

Interpretando la soluciĂłn, tenemos que cumplen con la desigualdad todos los nĂşmeros que sean menores o iguales que 4, si esto se coloca en una semirrecta tenemos que ĂŠstos son: â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 2 3 SoluciĂłn de la desigualdad del ejemplo 1

4

En otra notaciĂłn para este tipo de soluciones se usan los intervalos, que pueden ser cerrados, abiertos o semiabiertos: (a, b)

Intervalo abierto que representa a todas las x que cumplen a x b, sin incluir los valores de a y b.

Por ejemplo, ( 3, 5) representa a todos los nĂşmeros que estĂĄn entre 3 y 5 sin incluir a estos.

[a, b)

Intervalo semiabierto que representa a todas las x que cumplen a d x b, incluye el valor de a pero no el de b.

Por ejemplo, [ 2, 8) representa a todos los nĂşmeros que estĂĄn entre 2 y 8 incluyendo 2.

(a, b]

Intervalo semiabierto que representa a todas las x que cumplen a x d b, incluye el valor de b pero no el de a.

Intervalo abierto que representa a todas las x tales que a d x d b, incluye los valores de a y b.

Por ejemplo, ( 4, 6] representa a todos los nĂşmeros que estĂĄn entre 4 y 6 sin incluir al 4, pero incluyendo al 6.

Por ejemplo, [ 6, 8] representa a todos los nĂşmeros que estĂĄn entre 6 y 8 incluyendo a estos.

( ÂŁ, b)

Intervalo abierto que representa a todos los valores a la izquierda del nĂşmero b, sin incluir a este Ăşltimo.

Por ejemplo, ( ÂŁ, 4) que representa a todos los nĂşmeros a la izquierda del 4, sin incluir este valor.

( ÂŁ, b]

Intervalo semiabierto que representa a todos los valores a la izquierda del nĂşmero b, incluyendo a este Ăşltimo.

Por ejemplo, ( ÂŁ, 4] que representa a todos los nĂşmeros a la izquierda del 4, incluyendo este valor.

(a, ÂŁ)

Intervalo abierto que representa a todos los valores a la derecha del nĂşmero a, sin incluir a este Ăşltimo.

Por ejemplo, (4, ÂŁ) que representa a todos los nĂşmeros a la derecha del 4, sin incluir este valor.

[a, ÂŁ)

Intervalo semiabierto que representa a todos los valores a la derecha del nĂşmero a, incluyendo a este Ăşltimo.

Por ejemplo, [4, ÂŁ) que representa a todos los nĂşmeros a la derecha del 4, incluyendo este valor.

( ÂŁ, ÂŁ)

Intervalo abierto que representa a todos los valores de la recta numĂŠrica.

[a, b]

La respuesta al problema anterior se representa cĂłmo: ( ÂŁ, 4]

7

8

MatemĂĄticas IV

2. x2 4 t 0 SoluciĂłn:

Primero debemos observar que es una inecuaciĂłn de segundo grado y ademĂĄs es una diferencia de cuadrados, por lo tanto debe factorizarse: x2 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2030;Ľ 0 (x + 2)(x â&#x2C6;&#x2019; 2) â&#x2030;Ľ 0

Recordemos que para que dos factores resulten en un producto positivo, ambos deben ser positivos o negativos al mismo tiempo: x 2 t 0

y

x t 2

x 2t0 y

xt2

o x 2 d 0 o xd 2

y x 2d0 y xd2

Si colocamos en una semirrecta la primera parte x t 2 y x t 2: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1 2 SoluciĂłn de la desigualdad del ejemplo 2

3

Como ambas condiciones se deben cumplir al mismo tiempo, observa en quĂŠ intervalo se traslapan las dos soluciones y tenemos: [2, ÂŁ) De la misma forma se puede observar que en la segunda soluciĂłn el intervalo es: ( ÂŁ, 2] Por lo tanto, ubicando en una semirrecta tenemos: â&#x2C6;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

+â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 Intervalos soluciĂłn del ejemplo 2

1

2

3

En notaciĂłn de intervalos: ( ÂŁ, 2] U [2, ÂŁ), donde la U quiere decir UNIĂ&#x201C;N (operaciĂłn de conjuntos) 3.

5x 6 3x 5 !

6 4

SoluciĂłn:

Primero se realizan las operaciones para quitar las fracciones: 5x 6 3x 5 !

4 6 5x 6 3x 5 4!4 4 6 3x 5 5x 6! 4 6

Bloque I Relaciones y funciones

9

Se cambia el sentido de la desigualdad pues se multiplica por un nĂşmero negativo: 3x 5 (5x 6)( 6) (4)( 6) 6 (5x 6)( 6) (4)(3x 5) 36 30x 12x 20 30x 12x 36 20 42x 16 DivisiĂłn entre un negativo, cambio del signo de la desigualdad: 16 42 16 x!

42 8 x!

21

x!

Si colocamos la soluciĂłn en una semirrecta tenemos: +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1

0 8 1 21

2

3

Intervalo soluciĂłn del ejemplo 3

El cĂ­rculo hueco quiere decir que el nĂşmero ubicado ahĂ­ no estĂĄ incluido. En forma de intervalo tenemos: 8 , 21

Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipos de tres integrantes resuelvan los siguientes ejercicios, recuerda mantener una actitud respetuosa y tolerante.

Expresa la soluciĂłn como una semirrecta o un intervalo para cada una de las siguientes desigualdades: 1. x 3 d 5 2. x 6 t 10 2x 3. 5(4 x)t 4 4.

1 â&#x2030;¤0 x +2

5.

x2 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2030;¤0 x +2

CD 1.1 Construye e interpreta modelos matemĂĄticos mediante la aplicaciĂłn de procedimientos aritmĂŠticos, algebraicos, geomĂŠtricos y variacionales, para la comprensiĂłn y anĂĄlisis de situaciones reales, hipotĂŠticas o formales.

CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reďŹ&#x201A;exiva.

10

MatemĂĄticas IV

6.

x â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2030;Ľ 0 x +5

7. x2 4x 4 0 8. x2 5x 6 ! 0 9. x4 3x2 4 d 0 10.

11x 2 + 7 x2 +3 +x > 6 3

RelaciĂłn Una relaciĂłn es una regla, matemĂĄtica o no, que nos permite asociar los elementos de dos conjuntos.

Recordemos que un conjunto es una colecciĂłn de elementos (nĂşmeros, letras, objetos, etc.) que comparten una caracterĂ­stica.

Una manera de identificar las relaciones que se establecen entre los elementos de un conjunto X con un conjunto Y es usando el producto cartesiano X u Y, con lo que se obtiene un conjunto de parejas ordenadas que no pueden cambiar el orden de sus elementos.

Ejemplo: Supongamos que Pilar tiene faldas (F ) de tres colores y blusas (B) de dos colores y quiere saber cuĂĄles son las diferentes combinaciones que puede tener, los conjuntos son: F {roja, azul, verde} y B { blanca, negra} Empecemos por combinar la falda roja con las blusas: (roja, blanca), (roja, negra) y tenemos dos, ahora la falda azul con las blusas: (azul, blanca), (azul, negra) y finalmente la falda verde con las blusas: (verde, blanca), (verde, negra).

Si juntamos todas tenemos: F u B {(roja, blanca), (roja, negra), (azul, blanca), (azul, negra), (verde, blanca), (verde, negra)} Pilar observa que tiene seis combinaciones distintas, esta es una relaciĂłn binaria, pues se da entre dos objetos o elementos. Otro ejemplo de tal relaciĂłn ocurre entre Abel y sus hijos, MarĂ­a, Luis y Rafa. Si hacemos la relaciĂłn â&#x20AC;&#x153;es papĂĄ deâ&#x20AC;? obtendremos las siguientes parejas: Abel es papĂĄ de MarĂ­a Abel es papĂĄ de Luis Abel es papĂĄ de Rafa Si las colocamos como parejas ordenadas: (Abel, MarĂ­a), (Abel, Luis) y (Abel, Rafa). NotarĂĄs que la relaciĂłn no se cumple si cambiamos de lugar los elementos de alguna de las parejas ordenadas, es decir, (MarĂ­a, Abel) quiere decir que ÂĄMarĂ­a es papĂĄ de Abel! Eso no es correcto, ni siquiera lĂłgico.

Lo anterior sugiere que una relaciĂłn tambiĂŠn es un conjunto. En nuestro caso, conocer la relaciĂłn P consiste en conocer dos cosas:

Bloque I Relaciones y funciones

1. Los dos conjuntos entre los cuales se da la relación: en este caso, el con-

junto que tiene como elemento al papá y el conjunto de los tres hijos.

2. La lista de todas las parejas relacionadas por la relación “es papá de”.

La relación P también se puede representar por medio de un diagrama sagital, donde A es el conjunto del papá y B es el conjunto de los hijos: A

B María

Abel

Luis Rafa

Diagrama sagital

La representación con parejas ordenadas P

{(Abel, María), (Abel, Luis), (Abel, Rafa)}

Si trabajamos con una relación matemática, el procedimiento es muy parecido. Supongamos la relación C: “es el cuadrado de”.

Observa que ahora la relación se da entre números. En el primer semestre conociste varios conjuntos de números: los reales (Թ), los racionales (Է), los enteros (Ժ), los naturales (Գ) y los irracionales (II).

La relación matemática C se aplica a los números reales (Թ) y da como resultado números reales, por ejemplo: 1 es el cuadrado de 1 1 es el cuadrado de 1 4 es el cuadrado de 2 4 es el cuadrado de 2 9 es el cuadrado de 3 9 es el cuadrado de 3 Si consideramos como “x” a los elementos del primer conjunto y “y” a los elementos cuadrados asociados con cada “x” tendremos que (x, x) no aparecerá (se dice que no pertenece) a C, pues ningún número es su propio cuadrado. Además, si (x, y) pertenecen a C entonces (y, x) no pertenecen a la relación. Esto ilustra que el concepto de relación no es, en general, simétrico, de modo que al mencionar los objetos que se relacionan, importa el orden en que se mencionan. Aunque sí existen relaciones simétricas, por ejemplo, el valor absoluto para números positivos. Regresando a nuestra relación, esta se representa así por medio de un diagrama sagital: R

R

−3 −2 −1 0 1 2 3

9 4 1 0

Diagrama sagital

11

12

Matemáticas IV

Representando con parejas ordenadas (x, y): C

{…( 3, 9), con ( 2, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)…}

Finalmente, si la representamos como una expresión matemática tenemos que: y

x2

Entonces una relación es una regla de asociación o correspondencia entre dos conjuntos.

Y hemos visto que se puede representar de tres maneras distintas: 1. Mediante un producto cartesiano, parejas (x, y).

2. Mediante un diagrama sagital, de forma gráfica.

3. Mediante un criterio de selección o regla de asociación, que es una ex-

presión matemática.

Función La función es una relación que cumple con una característica muy particular; pues ninguna de sus parejas ordenadas repite la primera componente. Si observas los ejemplos de la sección anterior te darás cuenta de que el primero no es una función: P

{(Abel, María), (Abel, Luis), (Abel, Rafa)}

Y el segundo sí pertenece a una función: C

{…( 3, 9), ( 2, 4), ( 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), (3, 9)…}

Veamos otro ejemplo. Supongamos que A es el conjunto de alumnos en tu salón y H es un conjunto que tiene números reales. Una forma de relacionarlos es asignar a cada alumno su estatura en metros. El conjunto resultante son las parejas cuyas primera y segunda componentes son el alumno y su estatura, respectivamente. Tenemos entonces que una relación del conjunto A en el conjunto H es una función.

Analicemos las características de esta relación. Cada estudiante aparece como primera componente de una pareja solo una vez; pues no puede relacionarse con dos estaturas diferentes. Entonces cada elemento de A está relacionado con uno y solamente un elemento de H. Con un diagrama sagital podemos colocarlo así: A

H

Juan Marco Moni Ceci Beto Luis

1.56 m 1.62 m 1.50 m 1.58 m 1.70 m 1.62 m

Diagrama sagital

Bloque I Relaciones y funciones

13

Como parejas ordenadas: H

{(Juan, 1.52), (Marco, 1.62), (Moni, 1.50), (Ceci, 1.58), (Beto, 1.70), (Luis, 1.62)}

Relaciones

Observa que no se repite ningĂşn primer elemento en las parejas ordenadas; aunque en el segundo elemento esto es vĂĄlido. Debes recordar que todas las funciones son relaciones, pero no todas las relaciones son funciones.

Definimos a una funciĂłn como: Una relaciĂłn entre dos conjuntos de elementos X, Y que cumple la condiciĂłn de que cada uno de los elemento de X estĂĄ relacionado con uno y solamente uno de Y, generalmente se denota como f (x).

A las x se les denomina variables independientes y a las y, variables dependientes, ya que su valor depende del valor de x.

Z Dominio, rango e imagen de una funciĂłn Observa el siguiente ejemplo: X

Y

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

FunciĂłn en diagrama sagital

f (x)

{(1, 7), (2, 8), (3, 9), (4, 10), (5, 11), (6, 12)}

El primer conjunto, es decir, aquel de donde toma valor la variable independiente x se denomina dominio de la f unciĂłn. En el ejemplo anterior el dominio es el conjunto X. El valor f (x) que asocia una regla con una variable independiente x se denomina imagen de x (variable dependiente). En el ejemplo anterior tenemos que la imagen de 1 es 7, de 2 es 8, de 3 es 9, etcĂŠtera.

El conjunto de todas las imĂĄgenes se denomina rango, contradominio o recorrido de la f unciĂłn y este siempre es parte de un conjunto mĂĄs grande que se denomina codominio. En el ejemplo anterior el codominio son los nĂşmeros naturales y el rango, el conjunto Y.

Z Regla de correspondencia Una regla de correspondencia, o asociaciĂłn, puede escribirse como una funciĂłn o viceversa.

Ejemplos:

1. Si la regla de asociaciĂłn es â&#x20AC;&#x153;el cuadrado de un nĂşmero mĂĄs dosâ&#x20AC;?, en-

tonces la expresiĂłn matemĂĄtica que la representa es: f (x)

x2 2, si

Funciones

RepresentaciĂłn de los conjuntos de relaciones y funciones

14

MatemĂĄticas IV

lo representamos como parejas ordenadas tomando como dominio a los nĂşmeros naturales (Ôł), tenemos: f (1) f (2) f (3)

12 2

1 2

3

2

4 2

6

2

9 2

11

2 2 3 2

y asĂ­ sucesivamente, 3, 6 y 11 son las imĂĄgenes de 1, 2 y 3 respectivamente. Las parejas ordenadas (x, f (x)) son: f (x)

{(1, 3), (2, 6), (3, 11), â&#x20AC;Ś}

2. Si la regla de asociaciĂłn es â&#x20AC;&#x153;el doble de un nĂşmero menos tresâ&#x20AC;?, entonces

la funciĂłn que la representa es: f (x) 2x 3; si la representamos como parejas ordenadas tomando en consideraciĂłn solamente a los nĂşmeros naturales (Ôł), tenemos: f (1)

2(1) 3

2 3

1

f (2)

2(2) 3

4 3

1

f (3)

2(3) 3

6 3

3

y asĂ­ sucesivamente, 1, 1 y 3 son las imĂĄgenes de 1, 2, y 3 respectivamente. Las parejas ordenadas (x, f (x)) son: f (x)

{(1, 1), (2, 1), (3, 3), â&#x20AC;Ś}

3. Si el conjunto de parejas ordenadas es f (x)

{(1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12), (5, 15), â&#x20AC;Ś} y nos piden calcular la regla de asociaciĂłn y la funciĂłn, debemos observar quĂŠ se le hace al primer elemento de cada pareja para convertirlo en el segundo.

Debes establecer la relaciĂłn entre uno y otro: Si multiplico (1)(3)

3

Si multiplico (2)(3)

6

Si multiplico (3)(3)

9

Entonces la funciĂłn es f (x) un nĂşmero...â&#x20AC;?.

3x , y la regla de asociaciĂłn es â&#x20AC;&#x153;el triple de

Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipos de cinco personas y en tu cuaderno, de manera individual, resuelve los siguientes problemas; redacta lo mĂĄs claramente posible tu razonamiento. Recuerda trabajar en orden, con respeto y tolerancia, asumiendo el reto.

Bloque I Relaciones y funciones

1. Escribe el producto cartesiano A u B, si A

{a, b, c, d}, B

{1, 2, 3}

2. Escribe el producto cartesiano C u D, si C

{2, 4, 6} y, D

{1, 3, 5}

Establece la regla de asociación entre los siguientes conjuntos de números: 3. C { 10, 8, 6, 4, 2, 0, 2, 4, 6, 8, 10}, D 1, 2, 3, 4, 5} 4. E

{ 4, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4}, F

5. I

{ 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}, J

{ 5, 4, 3, 2, 1, 0,

{14, 7, 2, 1, 2, 1, 2, 7, 14}

{ 30, 11, 4, 3, 2, 5, 24}

De acuerdo con la definición de función, en parejas, identifiquen cuáles de las siguientes relaciones son funciones. Argumenten su respuesta: 6.

2 3 4

3 9 6

Representación del ejercicio 6

7.

Corea España México Chile Ghana

Europa América Asia África

Representación del ejercicio 7

8.

Haba Trigo Piña Col Acelga

Cereal Fruta Leguminosa Verdura Cítrico

Representación del ejercicio 8

Escribe la función representada por cada una de las siguientes reglas de correspondencia 9. El doble de un número menos cinco:

10. El doble del cuadrado de un número más ocho:

11. La raíz cuadrada de un número elevado al cuadrado más tres:

15

CD 5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

CG 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

CG 5.2 Ordena información de acuerdo con categorías, jerarquías y relaciones.

16

Matemáticas IV

Expresa la función como una regla de correspondencia y determina el valor de la imagen de la variable independiente con la regla de correspondencia de la función: 12. f ( x ) =

x −8 : 4

a) f(8) b) f(0) 13. s( x ) = 6 x + 9 : a) s(4) b) s(5) 14. En un pequeño teatro hay siete filas numeradas del 1 al 7; cada fila tiene ocho asientos numerados del 1 al 8. Escribe las parejas ordenadas (fila, asiento) para las filas impares y asientos pares.

15. María vende helados a $5 pesos cada uno. Escribe las parejas ordenadas que indican el número de helados vendidos y lo que María recibe cuando sus ventas han sido de 5, 10, 15, 20 y 35 helados por día.

Identifica las dos magnitudes (variables) que se están relacionando en las siguientes expresiones: 16. El área de un cuadrado depende de la longitud de su lado:

y 17. Si durante cinco horas se mantiene una velocidad uniforme de 85 km/h, ¿cuáles son las parejas ordenadas formadas por horas y distancia recorrida?

18. La compañía telefónica “García e hijos” tiene el costo de una llamada en $1.50 por las primeras 30 que se hagan en una semana y $2.00 por llamada adicional. ¿Cuáles son las parejas ordenadas que asocian el costo por llamada a 25, 34, 42, 50 y 60 llamadas en una semana?

En parejas, asignen las reglas de correspondencia a las siguientes situaciones, en caso de ser posible, argumentando su respuesta.

19. El costo c de la renta de una habitación en el hotel Central durante d días es de $100 más $30 por día.

20 El cine Avenida tiene 300 asientos y cada boleto cuesta $35. Los ingresos i están determinados por el número n de boletos vendidos para cada función.

Bloque I Relaciones y funciones

Z Formas de representar una función Las funciones se pueden representar de varias formas, alguna de ellas son: 1. Con la regla de correspondencia o de selección.

2. Con diagramas sagitales.

3. Con una tabla de valores, pares ordenados y una gráfica.

1. Con la regla de correspondencia o de selección: para simbolizar que f es

una función que relaciona a los elementos de un conjunto X con los de un conjunto Y asociando cada elemento x con f (x) escribimos: f : X oY x o f (x ) Esta notación es útil cuando los conjuntos son infinitos y es imposible enumerar a todas las parejas ordenadas. Por ejemplo, si la función nos dice que “a todo número le restamos tres”, en este caso escribimos: f: Թ o Թ f (x) x 3 2. Con diagramas sagitales: los diagramas son útiles ya que a veces es importante tener una idea de qué tipo de parejas encontraremos en los conjuntos y esta representación es ideal para ello. Constan de dos conjuntos entre los cuales se marca la correspondencia por medio de flechas. Ejemplos: a b c d

1 2 3 4

a b c d

1 2 3 4

a b c d

1 2 3 4

Representación de funciones

Todas las representaciones anteriores son ejemplos de funciones, pero la siguiente no lo es: a b c d

1 2 3 4

Representación de una relación que no es función

¿Identificas por qué? Si no es así, regresa a la definición de función.

En el caso de nuestro ejemplo, la función f (x) x 3 con dominio Ժ (enteros) queda así: x

f(x)

−2 −1 0 1 ...

−5 −4 −3 −2 ...

Representación de la función f (x)

x 2 3

3. Mediante una tabla de valores, parejas ordenadas y gráfica: la tabla de valo-

res es una representación muy útil como previo a la representación gráfica.

Se trata de una tabla de doble entrada, en una de las columnas se encuentran

17

18

Matemáticas IV

los valores de x y en la otra se encuentran los valores calculados para f (x) (recuerda que es igual a y). Observa cómo queda nuestro ejemplo: Tabla 1.2

x

f(x)

3

3 3

6

2

2 3

5

1 0

1 3

4

0 3

3

1

1 3

2

2

2 3

1

3

3 3

0

4

4 3

1

5

5 3

2

6

6 3

3

Obviamente, los valores de la tabla dependen de la función y de qué valores son útiles. La representación como parejas ordenadas se hace en una tabla de valores. Observa nuestro ejemplo: Tabla 1.3

x 3

f(x)

Pares ordenados

3 3

6

( 3, 6)

2

2 3

5

( 2, 5)

1 0

1 3

4

( 1, 4)

0 3

3

(0, 3)

1

1 3

2

(1, 2)

2

2 3

1

3

3 3

0

(2, 1) (3, 0)

4

4 3

1

(4, 1)

5

5 3

2

(5, 2)

6

6 3

3

(6, 3)

Una gráfica es una representación muy útil cuando se desea conocer el comportamiento de la función de un solo vistazo. Graficar es colocar los pares ordenados en un sistema de coordenadas cartesianas, tomando en cuenta que el primer elemento es la coordenada x y el segundo es la coordenada y. y

x

Representación de f (x)

x 2 3

Bloque I Relaciones y funciones

19

Prueba de la lĂ­nea vertical Una forma sencilla de saber si una grĂĄfica pertenece a una funciĂłn es con la siguiente prueba: traza lĂ­neas verticales (paralelas al eje y) que corten a la grĂĄfica y si la toca en mĂĄs de un punto entonces no es una funciĂłn. Ejemplos: Son funciones: y = x2 + 3 y 7 6 5 4 3 2 1

y= 5 6 y 4 2 â&#x2C6;&#x2019;3

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;1

0

1

x 3

2

â&#x2C6;&#x2019;2

â&#x2C6;&#x2019;1

x 1

â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3

2

GrĂĄďŹ cas de relaciones que no son funciones

No son funciones: x = y2 3 1 â&#x2C6;&#x2019;2

x = â&#x2C6;&#x2019;3

Corta en dos puntos

y x 2

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;4

4

6

8

â&#x2C6;&#x2019;4

10 Corta en mĂşltiples puntos

4 3 2 1

y

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4

x 1

2

3

GrĂĄďŹ cas de relaciones que no son funciones

Comprueba el desarrollo de tus competencias Tabulen, en equipo, los valores de la variable independiente y la correspondiente imagen a partir del domino y regla de correspondencia de una funciĂłn: 1. f (x) 2. f (x) 5. f (x)

x2, Domf 2x, Domf

3. f (x)

Ôš

4. f (x)

Ôł

x con x t 0, Domf

3x 5, Domf 2

x x, Domf

Ôş Ôˇ

Ôł U {0} (la U quiere decir uniĂłn)

Aplica el criterio de la vertical para distinguir si las grĂĄďŹ cas de las siguientes relaciones son funciones. Si es una funciĂłn, escribe la regla de correspondencia que cumple.

6.

CG 5.2 Ordena informaciĂłn de acuerdo con categorĂ­as, jerarquĂ­as y relaciones.

CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reďŹ&#x201A;exiva.

7.

Figura del ejercicio 6

CD 5 Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

Figura del ejercicio 7

20

Matemáticas IV

8.

9.

Figura del ejercicio 9

Figura del ejercicio 8

10.

11.

Figura del ejercicio 11

Figura del ejercicio 10

12.

y

y

13.

x x

Figura del ejercicio 12

Figura del ejercicio 13

Z Dominio, codominio y rango: casos especiales Diremos que dos funciones f y g son iguales si tienen el mismo dominio, el mismo codominio y f (x) g (x) para todos los valores de x en el dominio de las funciones.

Para calcular o encontrar el dominio y el rango de una función debemos tomar en consideración su forma, y los casos básicos son dos: 1. Cuando la función es racional, es decir cuando la función tiene forma de co-

ciente de dos funciones, debemos identificar cuáles son los números que hacen cero al denominador y evitarlos en el dominio. Por ejemplo: f (x ) =

1 x+2

Observa la función y te darás cuenta de que si hacemos una tabla de valores para graficarla, entonces cuando x 2 no hay ningún valor para f ( 2), es decir, que la gráfica de esta función tendría un “hueco” en ese lugar y no debemos tomarlo en cuenta como valor para x. Concluimos que el dominio de la función debe estar formado por todos los números reales, excepto el cero: Domf

{x Թ | x z 2}

Bloque I Relaciones y funciones

Esto se lee como “el dominio de la función son todas las x siempre que sean distintas de menos dos”. Si no recuerdas bien la nomenclatura de los conjuntos puedes hacer un repaso en el anexo I. x +3 Otro ejemplo es: f ( x ) = x −8 Debemos identificar en qué momento el denominador se hace cero y para ello podemos establecer una ecuación y resolverla: x −8 = 0 x =8 Esto quiere decir que el dominio de la función está compuesto por los números reales exceptuando al número 8: Domf {x Թ | x z 8 } x +1 x2 −9 Hagamos lo mismo que en el ejemplo anterior, establecer una ecuación y resolverla: x2 9 0 Para encontrar la solución necesitamos factorizar la función. Tenemos entonces que la factorización sería: Un ejemplo más: f ( x ) =

x2 −9 = 0 ( x + 3)( x − 3) = 0 Recuerda que para que un producto sea cero, alguno de los factores debe ser cero: x +3=0 o x −3 = 0 x = −3 o x =3 Por lo tanto, el dominio de la función es: Domf

{x Թ | x z 3, x z 3 }

2. El otro caso especial es cuando la función involucra raíces cuadradas (fun-

ción irracional), ya que la raíz cuadrada de un número negativo no existe o no está definida matemáticamente, por eso, debemos buscar esos números y quitarlos del dominio. Por ejemplo: f (x )

x

Para identificar el dominio, debemos establecer una ecuación muy especial llamada desigualdad. La ecuación sería así: x t0 Ya que la raíz de un número negativo no existe, entonces x puede ser por lo menos cero, dicho de otra forma, x debe ser igual o mayor que cero. Por lo tanto, tenemos que el dominio es: Domf

{x Թ|x!

0}

21

22

MatemĂĄticas IV

Esto se lee como â&#x20AC;&#x153;el dominio de la funciĂłn son todas las x que cumplen la condiciĂłn de ser iguales o mayores que 0â&#x20AC;?.

El dominio tambiĂŠn se puede representar mediante intervalos. Los intervalos son â&#x20AC;&#x153;pedazosâ&#x20AC;? o â&#x20AC;&#x153;tramosâ&#x20AC;? del eje x; pueden ser cerrados o abiertos y siempre tendrĂĄn dos lĂ­mites: uno derecho y otro izquierdo; si no logramos identificar alguno de los extremos porque son nĂşmeros muy grandes o muy pequeĂąos los marcaremos como ÂŁ o ÂŁ.

Recuerda que los intervalos cerrados generalmente se colocan entre corchetes [a, b], â&#x20AC;&#x153;aâ&#x20AC;? es el lĂ­mite izquierdo y â&#x20AC;&#x153;bâ&#x20AC;? es el derecho y ambos lĂ­mites estĂĄn incluidos en el intervalo. Los intervalos abiertos generalmente estĂĄn entre parĂŠntesis (a, b) y los lĂ­mites no estĂĄn incluidos en el intervalo. Aclaremos la notaciĂłn de conjuntos con un ejemplo: El intervalo [ 4, 2] es cerrado, va desde el 4 hasta el 2 incluyendo estos valores; grĂĄficamente se verĂ­a asĂ­ (nota los cĂ­rculos rellenos en los extremos, estos indican los lĂ­mites incluidos): â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 0 1

2

3

4

5

6

7

Intervalo soluciĂłn

En notaciĂłn de conjuntos el intervalo anterior se representa asĂ­: {x Â? Ôš | 4 d x d 2} y se lee como â&#x20AC;&#x153;El conjunto de los nĂşmeros reales tal que estĂĄn entre 4 y 2 incluyendo a estosâ&#x20AC;?.

Ejemplos:

1. Encuentra el dominio y el rango de la siguiente funciĂłn:

f (x)

x 6 x 7x 6 2

SoluciĂłn:

Tenemos una funciĂłn racional y por lo tanto debemos identificar para quĂŠ nĂşmeros el denominador se vuelve cero: x 2 7x 6

0

(x 1)(x 6) 0 x 1 0 x 1

o o

x 6 x

0 6

Esto quiere decir que el dominio estĂĄ formado por todos los nĂşmeros reales exceptuando el 1 y el 6, es decir: Domf

{x Â? Ôš | xz 1, x z 6}

El rango de la funciĂłn son todos los nĂşmeros reales: Ranf Ôš

Bloque I Relaciones y funciones

2. Dada la gráfica de la función identifica el dominio y el rango: 5 y 4 3 Rango

2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2

x 1 2 3 4

5 6 7

Dominio

−3 −4 −5 Figura del ejercicio 2 Solución:

El dominio de la función es {x El rango de la función es {y

| 3 x |0

y

3}

3}

En algunas ocasiones te darán el problema enunciado verbalmente y te pedirán la interpretación o bien la expresión algebraica. Observa estos ejemplos.

2. En el siguiente ejemplo, graficamos una función definida verbalmente:

La gráfica que a continuación se muestra nos permite ver el peso de Iván a lo largo de su vida. Describe con palabras la manera en que varía el peso de Iván durante el transcurso del tiempo. Además describe: ¿qué pasó cuando Iván tenía 35 años?

Peso (kg) 100 80 60 40 20 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 Edad (años) Figura del ejercicio 2 Solución:

Observando la gráfica vemos que desde pequeño aumentó de peso gradualmente; a los 35 años bajó casi 20 kilos y se mantuvo así por unos tres años, después los volvió a subir y ha seguido aumentando.

3. Según Notimex, en México se consumen 34 kilos de diversos productos

por persona al año, de los cuales entre 70 % y 75 % es pan blanco y el resto

23

24

Matemáticas IV

dulce, galletas y pasteles. De acuerdo con el último censo del INEGI hay 112 336 538 personas en México. ¿Cuántos kilos de pan consume diariamente un mexicano? Exprésalo como una función. Usa la expresión anterior y calcula, ¿cuántos kilos de pan se consumen diariamente en México?

Solución:

Lo anterior ha sido proporcionado en forma verbal y para su expresión algebraica debemos tomar en cuenta lo siguiente: Si consideramos a la variable “y” como el pan que se consume diariamente, y a “x” como la población, tenemos que la expresión matemática 34 34 x , en forma funcional f (x)= del problema anterior es: y = x 365 365 Así pues, podemos calcular el consumo diario de los mexicanos con esta función: f (112 336 538)

34 (112 336 538) 10 464 225.46 kg 365

Por lo tanto, la cantidad de pan que se consume en México diariamente es: 10 464 225.46 kg.

Comprueba el desarrollo de tus competencias CD 5 Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

CD 6 Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.

CG 1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

CG 4.4 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingüísticas, matemáticas o gráficas.

En equipos de cinco integrantes, clasifiquen como función o relación e identifiquen el dominio y el rango de los siguientes conjuntos, argumenten: 1. {( 3,1),(5, 5),( 2,1),(4, 5)} 2. {(4, 2),( 2,4),( 5,3),(3, 5),(5,2),(2,5)} 3.

{(

}

2,2),(1,2),( 3,2),(2,2) x3}

4. {(x,y)| y

5. {(x,y)| 3x y

2}

6. {( x , y ) | x 2 + y 2 = 1, − 1≤ x ≤ 1} En parejas, determinen el dominio de cada una de las siguientes funciones: 7. f ( x ) = 8. f ( x ) =

x 2

x −9

x3 −x x 2 + x −2

9. f ( x ) = x 2 + 4x + 4

Bloque I Relaciones y funciones

10. f ( x ) =

11. f ( x ) =

x3 â&#x2C6;&#x2019;x x + x â&#x2C6;&#x2019;2 2

( x â&#x2C6;&#x2019; 1) x 2 + 4x â&#x2C6;&#x2019; 5

En equipos de tres personas analicen las siguientes situaciones y realicen lo que se pide: 12. Un cuadrado tiene un perĂ­metro de 20 cm. Expresen el perĂ­metro como funciĂłn de la longitud del lado. Tracen la grĂĄďŹ ca.

13. Una circunferencia tiene un ĂĄrea de 15 cm2. Expresen el ĂĄrea en funciĂłn del radio. Tracen la grĂĄďŹ ca.

14. Si colocamos unos cubos de hielos en un vaso lleno de refresco y lo dejamos en una mesa, Describan cĂłmo cambia la temperatura del refresco a medida que pasa el tiempo y tracen una grĂĄďŹ ca aproximada de la temperatura del refresco como funciĂłn del tiempo transcurrido.

GrĂĄďŹ cas de funciones Z Funciones especiales FunciĂłn escalonada La funciĂłn escalonada es aquella cuya grĂĄfica estĂĄ formada por segmentos de rectas horizontales parecidos a escalones. Por ejemplo: El costo de una llamada por celular es de $1.50 el primer minuto y $2.00 por cada minuto o fracciĂłn adicional. Expresa la funciĂłn que representa esta relaciĂłn y grafĂ­cala.

SoluciĂłn:

Sea P(x) el costo de x minutos, puesto que x ! 0 entonces el dominio de la funciĂłn es (0, +â&#x2C6;&#x17E;) . De la informaciĂłn del problema tenemos: P(x) P(x) P(x) P(x)

1.5, si x d 1 1.5 2, si 1 x d 2 3.5 2, si 2 x d 3 5.5 2, si 3 x d 4

Y podemos continuar con los cĂĄlculos. La grĂĄfica que se obtiene es:

FunciĂłn escalonada

25

26

Matemáticas IV

Otro ejemplo es la función f ( x ) con el entero que le sigue:

Int ( x ) que relaciona a cada número real y

x

Función escalonada

Función valor absoluto La función valor absoluto es aquella que asocia cada número real con su valor absoluto, es decir, asocia cada número con su valor sin signo. La regla de asociación es la siguiente: x, si x !0 f (x) x, si x 0 Generalmente el valor absoluto se representa por: |x|. Si desarrollamos una tabla de valores: Tabla 1.4

x

f (x)

|x|

1

1

2

2

3

3

0

0

1

1

2

2

3

3

Gráficamente obtenemos lo siguiente: 5 y 4 3 2 1 −7−6−5−4−3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5 Función valor absoluto

x 1 2 3 4 5 6 7

Bloque I Relaciones y funciones

Algunas caracterĂ­sticas importantes de esta funciĂłn son: a) La grĂĄfica estĂĄ formada por dos ramas lineales simĂŠtricas. b) Las ramas lineales de la grĂĄfica forman un ĂĄngulo de 45° con los ejes. c) Observa que esta grĂĄfica tiene forma de una â&#x20AC;&#x153;Vâ&#x20AC;?.

En cuanto al dominio y el rango: t El dominio estĂĄ formado por todos los nĂşmeros reales pues no hay restricciones en esta funciĂłn. t El rango estĂĄ conformado por todos los nĂşmeros reales positivos:

[0, â&#x2C6;&#x17E;)

FunciĂłn identidad La funciĂłn identidad es aquella que relaciona cada elemento del dominio con su igual en el codominio: f (x)

x

Si desarrollamos una tabla de valores: Tabla 1.5

x

f (x)

1

1

2

2

3

3

0

0

1

1

2

2

3

3

x

GrĂĄficamente obtenemos: 5 y 4 3 2 1 â&#x2C6;&#x2019;7â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5 FunciĂłn identidad

x

1 2 3 4 5 6 7

27

28

Matemáticas IV

Algunas características importantes de esta función son: a) Su gráfica siempre es una línea que forma un ángulo de 45° con los ejes. b) Es una gráfica que siempre cruza el origen.

Respecto al dominio y al rango tenemos las siguientes conclusiones: t El dominio son todos los números reales, ya que la función no marca

ninguna restricción. t El rango está formado por los mismos elementos que el dominio.

Función constante La función constante es aquella que relaciona todos los elementos del dominio con un solo elemento del codominio. Este elemento generalmente es una constante: f (x) c , c Թ Por ejemplo: y 3 si hacemos una tabla de valores con algunos valores del dominio: Tabla 1.6

x

f (x)

1

3

2

3

3

3

0

3

1

3

2

3

3

3

Graficando obtenemos:

3

5 y 4 3 2 1

−7−6−5−4−3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5

x 1 2 3 4 5 6 7

Función constante

Algunas características que identifican a esta función son: a) Su gráfica generalmente es una recta paralela al eje x. b) Siempre corta al eje y en la constante que marca la función. c) Es una gráfica simétrica respecto al eje de y, es decir, que este último se comporta como un espejo de la función.

Bloque I Relaciones y funciones

29

Respecto al dominio y rango tenemos las siguientes conclusiones: t El dominio son todos los nĂşmeros reales ya que la funciĂłn no tiene restricciĂłn alguna. t El rango estĂĄ formado por un solo elemento: la constante expresada

en la funciĂłn.

Comprueba el desarrollo de tus competencias En equipos de cuatro, graďŹ quen las siguientes funciones: 1 1. f ( x ) 2 2. f (x ) 4 3. f (x )

2x

4. f (x )

3x

5. f (x )

3|x |

6. f (x )

5|x |

7. f (x )

x 2x

CD 5 Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

IdentiďŹ quen a quĂŠ tipo de funciĂłn especial pertenece cada grĂĄďŹ ca: 8.

5 y 4 3 2 1 â&#x2C6;&#x2019;7â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3

x

1 2 3 4 5 6 7

â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5 Figura del ejercicio 8

9.

5 y 4 3 2 1 â&#x2C6;&#x2019;7â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5 Figura del ejercicio 9

CD 2 Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques.

x 1 2 3 4 5 6 7

CG 4.1 Expresa ideas y conceptos mediante representaciones lingßísticas, matemĂĄticas o grĂĄďŹ cas.

30

Matemáticas IV

10.

5 y 4 3 2 1 −7−6−5−4 −3−2−1 −1 −2 −3 −4 −5

x 1 2 3 4 5 6 7

Figura del ejercicio 10

11.

5 y 4 3 2 1 −7−6−5−4−3−2 −1 −1

x 1 2 3 4 5 6 7

−2

−3 −4 −5 Figura del ejercicio 11

Resuelvan los siguientes problemas: 12. La tabla de impuestos sobre el salario mensual está propuesta como intervalos de la siguiente manera: Tabla 1.7

Salario (pesos)

Impuesto(porcentaje)

0 − 1 000

4%

1 001 − 3 000

6%

3 001 − 5 000

8%

5 001 − 7 000

9%

7 001 − 9 000

10 %

9 001 − 20 000

12 %

20 001 − 50 000

14 %

50 000 − en adelante

15 %

a) Traza la gráfica del impuesto en función del salario. b) ¿Qué impuesto corresponde a un salario de 25 000 pesos?

Bloque I Relaciones y funciones

Función inyectiva (uno a uno) Sea f función de A en B, entonces f es inyectiva si y sólo si a elementos distintos de A, les hace corresponder imágenes distintas en B, es decir, que ningún elemento de A tiene la misma imagen. f es inyectiva si se cumple que f (x)

f (y) sólo cuando x

y

Un ejemplo de este tipo de funciones es suponer que tenemos un estacionamiento con seis lugares pero sólo hay cinco ocupados por un auto.

Función inyectiva

Otra forma de saber si una función es inyectiva es trazando líneas horizontales en la gráfica correspondiente, que deberán tocar a la gráfica en un solo punto.

Ejemplo: Comprobar que f (x)

x es inyectiva: 2 5

y

4 3 2 1 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 −2

x 1 2 3 4

5 6 7

−3 −4 −5 Prueba de la línea horizontal

Por lo tanto, la función es uno a uno.

Función sobreyectiva Sea f una función de A en B , entonces f es sobreyectiva si y sólo si cada elemento de B es imagen de al menos un elemento de A, o sea que todos los elementos de B están asociados con por lo menos uno de A, es decir: f es sobreyectiva si se cumple que rango de f

B.

31

32

Matemáticas IV

Volviendo al ejemplo del estacionamiento, 6 lugares, 7 autos:

Figura 1.41 Función sobreyectiva

Función biyectiva Sea f función de A en B, entonces f es biyectiva si y sólo si f es inyectiva y sobreyectiva a la vez, es decir, cada elemento de B es imagen de uno y sólo un elemento de A. f es biyectiva si se cumple que f es sobreyectiva y f es inyectiva El ejemplo de los autos quedaría así:

Función biyectiva

Comprueba el desarrollo de tus competencias En parejas, comprueben si las siguientes funciones son inyectivas: CD 1 Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.

CG 1.1 Enfrenta las dificultades que se le presentan y es consciente de sus valores, fortalezas y debilidades.

1. f (x)

4x 2

2. f (x)

1 x3

3. f ( x )

x

4. f (x)

2

x 9

En parejas, comprueben si las siguientes funciones son sobreyectivas: 5. f (x)

x3 x

6. f (x)

1 x2 x

Interpreten, en parejas, las siguientes situaciones de la vida cotidiana, concluyan si representan funciones inyectivas, sobreyectivas o biyectivas y justifiquen su respuesta (incluyan todas las posibilidades): 7. Las 350 jeringas usadas en las vacunas aplicadas a una población de 300 personas.

8. Los códigos de barras usados en una serie de productos en una tienda.

9. El número de sillas en un salón de clases en relación con el número de alumnos que toman clases ahí.

Bloque I Relaciones y funciones

FunciĂłn inversa Existen problemas matemĂĄticos que necesitan de la inversa de una funciĂłn, esto se logra prĂĄcticamente mediante la inversiĂłn de los papeles del dominio, el rango y la funciĂłn.

La función inversa se define como: Sea f una función de A en B, entonces su inversa ( f 1 ) es una relación de B en A tal que: 1 { (y, x ) tal que (x, y) � f } f Por ejemplo, si f Ž(1, a), (2, b), (3, c), (4, d), (5, e)ž Entonces f 1 Ž(a, 1), (b, 2), (c, 3), (d, 4), (e, 5)ž Ahora te diremos algunas condiciones que debe cubrir una función para que pueda tener una inversa: t Sea f función de A en B y ademås inyectiva entonces f 1 es una función

de B en A. t AdemĂĄs, bajo esta condiciĂłn, f 1 es tambiĂŠn una funciĂłn inyectiva.

Consideremos las funciones: f ( x ) = x + 2 y g ( x ) = x â&#x2C6;&#x2019; 2 podemos comprobar que son inversas si en su composiciĂłn dan como resultado la funciĂłn identidad: f (g (x)) g (f (x))

f (x 2) g (x 2)

(x 2 2) x x 2 2 x

Por lo tanto, f y g son inversas.

El caso que generalmente se presenta es que se da una funciĂłn en forma de regla de correspondencia y se debe encontrar la inversa, para ello es necesario seguir estos pasos: 1. Comprueba que la funciĂłn es inyectiva (uno a uno).

2. Escribe la funciĂłn colocando en lugar de f (x) una y.

3. Despeja la x de la funciĂłn.

4. Reescribe la funciĂłn cambiando las x por y y viceversa.

Supongamos la funciĂłn f ( x ) = 2 x + 6 encontremos la funciĂłn inversa: SoluciĂłn:

1. Comprueba que la funciĂłn es uno a uno. Esto puedes hacerlo me-

diante su grĂĄfica

5 y 4 3 2

1

x

â&#x2C6;&#x2019;7â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1

1 2 3 4 5 6 7

â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5

Prueba de lĂ­nea horizontal

33

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Matemáticas IV

Como vemos, es uno a uno, entonces podemos encontrar su inversa.

Observa que el dominio y el rango de la función son los números reales.

2. Escribe y en lugar de f (x):

f (x ) = 2x + 6 y = 2x + 6 3. Despeja x de la función:

y = 2x + 6 y − 6 = 2x y −6 =x 2 y −6 x= 2 4. Reescribe la función cambiando las x por las y y viceversa. y −6 x −6 Si obtuvimos: x = entonces y = 2 2 Esta es la función inversa y para graficarla podemos elaborar una tabla de valores: Tabla 1.8

y=

x

x −6 2

2

4

1

3.5

0

3

1

2.5

2

2

Y así obtenemos la siguiente gráfica: 5 4 3 2 1 −7−6−5−4−3 −2−1 −1 −2 −3 −4 −5 Función y = x −

6 2

y

x 1 2 3 4 5 6 7

Bloque I Relaciones y funciones

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Las grĂĄficas de una funciĂłn y su inversa se pueden ver asĂ­: 9

y y = 2x + 6

7 5 3

y= x+ 6 2 45Âş

1 â&#x2C6;&#x2019;10 â&#x2C6;&#x2019;8 â&#x2C6;&#x2019;6 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;1

2

x 4

6

8 10

â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;5 â&#x2C6;&#x2019;7 â&#x2C6;&#x2019;9 Funciones inversas

Observa que, si colocamos una línea a 45° del eje x (f unción identidad), se comporta como espejo entre dos funciones inversas. Otro ejemplo es el siguiente: f (x )

x 3 y g (x ) 5 4 3 2 1

â&#x2C6;&#x2019;7â&#x2C6;&#x2019;6â&#x2C6;&#x2019;5â&#x2C6;&#x2019;4â&#x2C6;&#x2019;3â&#x2C6;&#x2019;2â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;1 â&#x2C6;&#x2019;2 â&#x2C6;&#x2019;3 â&#x2C6;&#x2019;4 â&#x2C6;&#x2019;5

3

x

y f(x)=x3 g(x)= 3 x x 1 2 3 4 5 6 7

Funciones inversas

Comprueba el desarrollo de tus competencias En tercias, tomando en cuenta la siguiente funciĂłn f (3) calculen lo siguiente: 1. f 1(0)

5, f (6)

3. f 1(5)

2. f 1(4) 4. f 1(3) En parejas, calculen la inversa de las siguientes funciones: 5. {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6)} 6. {(2, 4), (3, 6), (4, 8), (5, 10)} 7. {(1, 3), (2, 6), (3, 9)} 8. f (x )

x 3

4, f (7)

3 y f (9)

0,

CD 2 Formula y resuelve problemas matemĂĄticos, aplicando diferentes enfoques.

CD 5 Analiza las relaciones entre dos o mĂĄs variables de un proceso social o natural para determinar o estimar su comportamiento.

CG 8.2 Aporta puntos de vista con apertura y considera los de otras personas de manera reďŹ&#x201A;exiva.

Esta edición de Matemáticas IV 3, >4/: /0>,==:77,/, .:9 7, ő9,74/,/ /0 .:9?=4-@4= , 49.=0809?,= 07 94A07 /0 0ő.,.4, D 0ő.409.4, /07 ;=:.0>: 0/@.,?4A: D 1,.474?,= 07 ?=,-,5: /:.09?0 80/4,9?0 7, 49.:=;: =,.4µ9 /0 ,.?4A4/,/0> /0 ,;=09/4E,50 <@0 .:9?=4-@D,9 ,7 /0>,==:77: /0 .:8;0?09.4,> D 3,-474/,/0> >:.4:08:.4:9,70> ?:/: 077: /0>/0 @9 091:<@0 49?0=/4>.4;749,=4: D /0 ?=,9>A0=>,74/,/ Entre las características del libro, destacan las siguientes: • !=0>09?, 7:> ?08,> /0 =07,.4:90> D 1@9.4:90> 1@9.4:90> ;:749:84,70> 1@9.4:90> =,.4:9,70> D 1@9.4:90> ?=,>.09/09?0> • 9.:=;:=, >0.@09.4,> /4/¡.?4.,> ;=¡.?4.,> <@0 >@240=09 07 @>: /0 30==,8409?,> ?0.9:7µ24.,> /0 491:=8,.4µ9 D .:8@94.,.4µ9 H% I ,>¯ .:8: 49>?=@809?:> /0 0A,7@,.4µ9 ;,=, 07 >02@48409?: >09.477: D :=/09,/: /07 /0>08;0³: 0>.:7,= • :9?4090 491:=8,.4µ9 =070A,9?0 ;,=, ,/09?=,=>0 09 7, ;=¡.?4., 8,?08¡?4., 7: <@0 ;0=84?0 1:= ?,70.0= 3,-474/,/0> /0>?=0E,> D ,.?4?@/0> ;,=, /0>,==:77,= D =0>:7A0= ;=:-708,> =0,70> • :9>4/0=, ,-:=/,= 07 .:9:.48409?: D ,=?4.@7,=7: /0 8,90=, ;7@=,7 .:9 7,> 3,-474/,/0> D ,.?4?@ /0> <@0 ;0=84?,9 2090=,= , 7, ;,= 0A4/09.4,> /0 ,;=09/4E,50 • 9 07 /0>,==:77: /0 7, :-=, >0 .:9>4/0=µ 7, A,74:>, :;494µ9 /0 /:.09?0> D 02=0>,/:> /07 -,.34770 =,?: ,>¯ .:8: 49?0=0>,9?0> 0C;0.?,?4A,> /0 0>?@/4,9?0> ,.0=., /0 .µ8: /0-¯, >0= 07 1:=8,?: 4/0,7 /0 @9 74-=: /0 ?0C?: ;,=, 07 .@=>: • ,A:=0.0 <@0 07 0>?@/4,9?0 ,/<@40=, 9: >µ7: .:9:.48409?:> 9@0A:> HsaberI >49: <@0 ,;=09/, , ,;=09/0= Hsaber hacerI D ,;=09/, <@0 ;@0/0 ,;=09/0= H>,-0= >0=I ;,=, -090ő.4: ;=:;4: D /0 7:> /08¡> Hsaber convivirI

ISBN-13: 978-607-526-722-7 ISBN-10: 607-526-722-0

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