Precálculo Introducción a las matemáticas universitarias

PRECร LCULO Introducciรณn a las matemรกticas universitarias

RON LARSON

PRECÁLCULO Introducción a las matemáticas universitarias

Primera edición

Ron Larson

The Pennsylvania State University The Behrend College

Con la colaboración de David C. Falvo The Pennsylvania State University The Behrend College

Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca

Traducción Enrique C. Mercado González

Revisión técnica Ana Elizabeth García Hernández Instituto Politécnico Nacional Tecnológico Nacional de México Edith de Santiago Montoya

Instituto Tecnológico de Querétaro Fernando García Ramírez Ramón Torres Alonso

Instituto Tecnológico de Toluca Nelson García García

Universidad Autónoma del Estado de México Araceli Consuelo Campero Carmona Margarito Carbajal Suárez José Luis Núñez Mejía

Universidad Panamericana, campus Guadalajara Raquel Ruiz de Eguino Mendoza Universidad Politécnica de Pachuca Armando Silva Castillo Universidad Politécnica de Querétaro Adela Becerra Chávez Gisela Virginia Martínez López Universidad Politécnica del Valle de Toluca Ariadna Velázquez Arriaga Universidad Tecnológica de Querétaro Dagoberto de León Gordillo Claudia Loana López Aguilera Gustavo Ortiz González

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Precálculo. Introducción a las matemáticas universitarias. 3ULPHUD HGLFLµQ 5RQ /DUVRQ Director Higher Education Latinoamérica: 5HQ]R &DVDS¯D 9DOHQFLD Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V 0DUHV &KDFµQ Editora de desarrollo: $EULO 9HJD 2UR]FR Coordinador de manufactura: 5DIDHO 3«UH] *RQ]£OH] Diseño de portada: $QQHOL 'DQLHOD 7RUUHV $UUR\R Imagen de portada: k HFKR 6KXWWHUVWRFN &RPSRVLFLµQ WLSRJU£ȴFD +HULEHUWR *DFKX] &K£YH]

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Impreso en México 1 2 3 4 5 6 7 20 21 19 18

Contenido Capítulo 1

Fundamentos de álgebra 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

Capítulo 2

Capítulo 3

Introducción a la aritmética 2 Números reales y sus propiedades 6 Exponentes y radicales 18 Polinomios y factorización 30 Expresiones racionales 40 Resolución de ecuaciones 50 División polinomial y sintética 63 Propiedades de los logaritmos 72 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas 79 Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales 89 Sistemas lineales de dos variables 99 Sistemas lineales de tres o más variables 111 Fracciones parciales 123

Fundamentos de trigonometría 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16

131

Triángulos y sus propiedades 132 Medidas en radianes y grados 134 Funciones trigonométricas: la circunferencia unitaria 144 Trigonometría del triángulo rectángulo 151 Funciones trigonométricas de un ángulo cualquiera 162 Gráficas de las funciones seno y coseno 171 Gráficas de otras funciones trigonométricas 182 Funciones trigonométricas inversas 192 Aplicaciones y modelos 202 Uso de identidades fundamentales 212 Comprobación de las identidades trigonométricas 219 Solución de ecuaciones trigonométricas 226 Fórmulas de suma y diferencia 238 Fórmulas de ángulos múltiples y de producto a suma 245 Ley de senos 254 Ley de cosenos 263

Fundamentos de geometría analítica 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

1

271

Coordenadas rectangulares 272 Ecuaciones lineales con dos variables 281 Rectas 294 Introducción a las cónicas: parábolas 301 Elipses 310 Hipérbolas 319

Apéndice* A.1 A.2 A.3 A.4 A.5 A.6

Resumen general Ejercicios de repaso Exámenes de prueba Mis primeras demostraciones Resolviendo problemas especiales Respuestas

* Este material se encuentra disponible en línea y en español. Acceda a www.cengage.com e ingrese con el ISBN de la obra.

iii

PRECร LCULO Introducciรณn a las matemรกticas universitarias

CAPÍTULO

1

Fundamentos de álgebra 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 1.10 1.11 1.12 1.13

Introducción a la aritmética Números reales y sus propiedades Exponentes y radicales Polinomios y factorización Expresiones racionales Resolución de ecuaciones División polinomial y sintética Propiedades de los logaritmos Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Sistemas de ecuaciones lineales y no lineales Sistemas lineales de dos variables Sistemas lineales de tres o más variables Fracciones parciales

Enfermedad de Lyme en Maryland (página 63)

Reacción química autocatalítica (página 30)

Embudo (página 18)

Superávit o déficit federal (página 6) Reacción química autocatalítica (© Suwit Ngaokaew/Shutterstock.com); Enfermedad de Lyme en Maryland (© Dariusz Majgier/Shutterstock.com); Embudo (© iStockphoto.com/micropic); Superávit o déficit federal (© Michael G Smith/Shutterstock.com)

18

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

1.3 Exponentes y radicales Usar las propiedades de los exponentes.

Usar la notación científica para representar números reales.

Usar las propiedades de los radicales.

Simplificar y combinar expresiones de radicales.

Racionalizar denominadores y numeradores.

Usar las propiedades de los exponentes racionales.

© iStockphoto.com/micropic

Exponentes enteros y sus propiedades La multiplicación repetida puede escribirse en forma exponencial.

Los números reales y las expresiones algebraicas suelen escribirse con exponentes y radicales. Por ejemplo, en el ejercicio 69 usará una expresión que implica exponentes racionales que determinen el número de veces requerido para que un embudo se vacíe en diferentes alturas de agua.

Multiplicación repetida a∙a∙a∙a∙a

Forma exponencial a5

(−4)(−4)(−4)

(−4)3

(2x)(2x)(2x)(2x)

(2x)4

Notación exponencial Si a es un número real y n es un entero positivo, entonces: an = a ∙ a ∙ a . . . a n factores

donde n es el exponente y a es la base. Se lee a n como “a a la enésima potencia”.

Un exponente también puede ser negativo o igual a cero. Las propiedades 3 y 4 de abajo muestran cómo usar exponentes negativos y de cero.

Propiedades de los exponentes Sean a y b números reales, variables o expresiones algebraicas y sean m y n enteros.

(Todos los denominadores y bases son diferentes de cero.)

Propiedad 1. a ma n = a m+n 2.

Ejemplo 32 ∙ 34 = 32+4 = 36 = 729

am = am−n an

3. a−n =

1 1 = n a a

x7 = x7− 4 = x 3 x4 n

y−4 =

1 1 = 4 y y

4

4. a0 = 1

(x 2 + 1)0 = 1

5. (ab)m = am bm

(5x)3 = 53x3 = 125x3

6. (am)n = amn

( y3)−4 = y3(−4) = y−12 =

7.

a b

m

=

am bm

∣ ∣ ∣∣

8. a2 = a 2 = a2

2 x

3

=

1 y12

23 8 = x3 x3

∣(−2)2∣ = ∣−2∣2 = 22 = 4 = (−2)2

1.3

Exponentes y radicales

19

Las propiedades de los exponentes enlistadas anteriormente se aplican a todos los enteros m y n, no sólo a los enteros positivos, como se muestra en los ejemplos 1-4.

Es importante reconocer la diferencia entre expresiones como ( 2)4 y 24. En ( 2)4, el paréntesis indica que el exponente se aplica al signo negativo tanto como al 2, mientras que en 24 (2)4 el exponente se aplica sólo al 2. Así, ( 2)4 16 y 24 16.

Evaluación de expresiones exponenciales

EJEMPLO 1

a. (−5)2 = (−5)(−5) = 25

El signo negativo forma parte de la base.

b. −52 = − (5)(5) = −25

El signo negativo no forma parte de la base.

c. 2 ∙ 2 4 = 21+4 = 25 = 32

Propiedad 1

d.

44 1 1 = 44−6 = 4−2 = 2 = 46 4 16 Punto de repaso

Propiedades 2 y 3

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Evalúe cada expresión: a. −34

b. (−3)4

c. 32 ∙ 3

d.

35 38

TECNOLOGÍA Cuando se usa una calculadora para evaluar expresiones exponenciales, es importante saber cuándo usar paréntesis, porque la calculadora sigue el orden de operaciones. Por ejemplo, he aquí cómo se evaluaría ( 2)2 en una graficadora. (

(− )

2

)

^ 4

ENTER

El resultado exhibido será 16. Si usted omite el paréntesis, el resultado exhibido será 16.

Evaluación de expresiones algebraicas

EJEMPLO 2

Evalúe cada expresión algebraica cuando x 3. a. 5x−2

b.

1 (−x)3 3

Solución a. Cuando x 3, la expresión 5x 2 tiene un valor de 5x−2 = 5(3)−2 =

5 5 = .

32 9

b. Cuando x 3, la expresión

1 3

( x)3 tiene un valor de

1 1 1 (−x)3 = (−3)3 = (−27) = −9.

3 3 3 Punto de repaso

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Evalúe cada expresión algebraica cuando x 4. a. −x−2

b.

1 (−x)4 4

20

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Uso de las propiedades de los exponentes

EJEMPLO 3

Use las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresión. a. (−3ab4)(4ab−3)

b. (2xy2)3

c. 3a(−4a2)0

d.

5x3 y

2

Solución a. (−3ab4)(4ab−3) = (−3)(4)(a)(a)(b4)(b−3) = −12a 2b b. (2xy 2)3 = 23(x)3( y 2)3 = 8x3y6 c. 3a(−4a 2)0 = 3a(1) = 3a d.

5x 3 y

2

=

52(x 3)2 25x 6 = 2 y2 y

Punto de repaso

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Use las propiedades de los exponentes para simplificar cada expresión.

COMENTARIO Raramente en álgebra hay sólo una manera de resolver un problema. No se preocupe cuando los pasos que siga para resolver un problema no sean exactamente iguales a los presentados en este texto. Es importante seguir pasos que usted comprenda y, desde luego, pasos que se justifiquen con las reglas del álgebra. Por ejemplo, la forma fraccionaria de la propiedad 3 es:

a b

−m

b = a

−2

y = 3x 2

a. x−1 = b.

y2 = 4 9x d.

d.

3x4 x2y2

2

Propiedad 3 (El exponente −2 no se aplica a 3.)

x2 3

Simplifique.

12a3b−4 12a3 ∙ a2 = 4a−2b 4b ∙ b4

3x 2 y

c. (−5z)3(z2)

Propiedad 3

1 1(x 2) = 3x−2 3

.

2

1 x

= c.

b. (4a2b3)0

Reescritura con exponentes positivos

EJEMPLO 4

m

Así, usted podría preferir los pasos siguientes para el ejemplo 4d).

3x 2 y

a. (2x−2y3)(−x 4y)

−2

Propiedad 3

=

3a5 b5

Propiedad 1

=

3−2(x 2)−2 y−2

Propiedades 5 y 7

=

3−2x−4 y−2

Propiedad 6

=

y2 32x 4

Propiedad 3

=

y2 9x 4

Simplifique.

Punto de repaso

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Reescriba cada expresión con exponentes positivos. Simplifique, si es posible.

a. 2a−2 c.

x 10

b. −1

3a−3 b4 15ab−1

d. (−2x2)3(4x3)−1

1.3

Exponentes y radicales

21

Notación científica Los exponentes brindan una forma eficiente de escribir y calcular con números muy grandes (o muy pequeños). Por ejemplo, hay alrededor de 1 385 miles de millones de litros de agua en la Tierra, es decir 1 385 seguido por 18 ceros.

1,385,000,000,000,000,000,000 Es conveniente escribir tales números en notación científica. Esta notación tiene la forma c 10n, donde 1 c 10 y n es un entero. Así, el número de litros de agua en la Tierra, escrito en notación científica, es: 1.385 1,000,000,000,000,000,000,000 1.385 1021.

El exponente positivo 21 indica que el número es grande (de 10 o más) y que el punto decimal se ha movido 21 lugares. Un exponente negativo indica que el número es pequeño (menor que 1). Por ejemplo, la masa (en gramos) de un electrón es aproximadamente: 9.1 × 10−28 = 0.00000000000000000000000000091.

28 lugares decimales

EJEMPLO 5

Notación científica

a. 0.0000782 = 7.82 × 10−5 b. 836,100,000 = 8.361 × 108 Punto de repaso

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Escriba 45,850 en notación científica.

EJEMPLO 6

Notación decimal

a. −9.36 × 10−6 = −0.00000936 b. 1.345 × 102 = 134.5 Punto de repaso TECNOLOGÍA La mayoría de las calculadoras pasan automáticamente a notación científica cuando muestran números grandes (o pequeños) que exceden el rango de la pantalla.

Para introducir números en notación científica, su calculadora debería tener una tecla de entrada exponencial que diga: EE

o

EXP .

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Escriba 2.718 10 3 en notación decimal.

EJEMPLO 7 Evalúe

Uso de la notación científica

(2,400,000,000)(0.0000045) (0.00003)(1500)

Solución Comience por reescribir cada número en notación científica. Simplifique después.

(2,400,000,000)(0.0000045) (2.4 × 109)(4.5 × 10−6) = (0.00003)(1500) (3.0 × 10−5)(1.5 × 103)

Consulte la guía del usuario para conocer instrucciones de tecleo y saber cómo presenta su calculadora números en notación científica.

=

(2.4)(4.5)(103) (4.5)(10−2)

= (2.4)(105) = 240,000 Punto de repaso

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Evalúe (24,000,000,000)(0.00000012)(300,000).

22

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Radicales y sus propiedades La raíz cuadrada de un número es uno de sus dos factores iguales. Por ejemplo, 5 es una raíz cuadrada de 25, porque 5 es uno de los dos factores iguales de 25. En forma similar, una raíz cúbica de un número es uno de sus tres factores iguales, como en 125 53.

Definición de la raíz enésima de un número Sean a y b números reales y sea n 2 un entero positivo. Si a bn entonces b es una raíz enésima de a. Si n 2, la raíz es una raíz cuadrada. Si n 3, la raíz es una raíz cúbica.

Algunos números tienen más de una raíz enésima. Por ejemplo, tanto 5 como 5 son raíces cuadradas de 25. La raíz cuadrada principal de 25, escrita como 25, es la raíz positiva 5.

Principal raíz enésima de un número Sea a un número real que tiene al menos una raíz enésima. La principal raíz enésima de a es la raíz enésima que tiene el mismo signo que a. Se denota con un símbolo radical n

a

Raíz enésima principal.

El entero positivo n 2 es el índice del radical y el número a es el radicando. Cuando n 2, omita el índice y escriba a en lugar de 2 a. (El plural de índice es índices.)

Un frecuente malentendido es que el signo de raíz cuadrada implica raíces tanto negativas como positivas. Esto no es correcto. El signo de la raíz cuadrada implica sólo una raíz positiva. Cuando se necesita una raíz negativa, se debe usar el signo negativo con el signo de raíz cuadrada.

Incorrecto:

4 = ±2

Correcto: −

4 = −2 y

4=2

Evaluación de expresiones radicales

EJEMPLO 8

36 = 6 porque 62 = 36.

a. b. −

36 = −6 porque − ( 36) = − ( 62) = − (6) = −6.

c.

125 5 = porque 64 4

3

d.

5

e.

4

5 4

3

=

53 125 = .

43 64

−32 = −2 porque (−2)5 = −32.

81 no es un número real porque ningún número real elevado a la cuarta potencia produce 81.

Punto de repaso

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Evalúe cada expresión, si es posible.

a. −

144

b.

c.

25 64

d. −

−144 3

8 27

1.3

Exponentes y radicales

23

He aquí algunas generalizaciones sobre las raíces enésimas de los números reales.

Generalizaciones sobre raíces enésimas de números reales Número real a

Entero n > 0

Raíz o raíces de a

Ejemplo

a > 0

n es par

n

a, − n a

4

81 = 3, − 4 81 = −3

a > 0 oa < 0

n es impar

n

a

3

−8 = −2

a < 0

n es par

a=0

n es par o impar

−4 no es un número real.

Ninguna raíz real 0=0

n

5

0=0

Enteros como 1, 4, 9, 16, 25 y 36 son cuadrados perfectos porque tienen raíces cuadradas enteras. De igual forma, enteros como 1, 8, 27, 64 y 125 son cubos perfectos, porque tienen raíces cúbicas enteras.

Propiedades de los radicales Sean a y b números reales, variables o expresiones algebraicas, tales que las siguientes raíces son números reales y sean m y n enteros positivos.

Propiedad

Ejemplo

1.

n

am = ( n a )

2.

n

a ∙

n

a = b

3.

n

m

n

m n

5.

( n a)

n

n

mn

4

b≠0

4 3

a

(

=a

6. Para n par,

∣∣

n

Para n impar,

2

5∙7=

7=

27 = 9

27 = 9

4

10 =

6

4

35

3

10

3) = 3 2

(−12)2 = ∣−12∣ = 12

an = a .

n

82 = ( 3 8 ) = (2)2 = 4 5∙

ab

a , b

n

a=

4.

b=

3

an = a.

3

Un uso común de la propiedad 6 es

(−12)3 = −12

∣∣

a2 = a .

Uso de las propiedades de los radicales

EJEMPLO 9

Use las propiedades de los radicales para simplificar cada expresión.

8∙

a. c.

3

b.

2

x3

d.

( 3 5 )3 6

y6

Solución 8∙

a. c.

3

8∙2=

2=

x3 = x

16 = 4

b. d.

Punto de repaso

( 3 5 )3 = 5 6

∣∣

y6 = y

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Use las propiedades de los radicales para simplificar cada expresión.

125 5

a. c.

3

x2 ∙

b.

3

x

3

1252

d.

x

24

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Simplificación de expresiones radicales Una expresión que implica radicales está en su forma más simple cuando se satisfacen las tres condiciones siguientes: 1. Todos los factores posibles han sido eliminados del radical.

2. Todas las fracciones tienen denominadores sin radicales (un proceso llamado racionalización del denominador logra esto).

3. El índice del radical es reducido.

Para simplificar un radical, factorice el radicando en factores cuyos exponentes sean múltiplos del índice. Escriba las raíces de estos factores afuera del radical. Los factores “sobrantes” componen el nuevo radicando.

COMENTARIO Cuando se simplifica un radical, es importante que las expresiones tanto original como simplificada sean definidas para los mismos valores de la variable. En el ejemplo 10c),

Cubo perfecto

a.

3

75x3 y 5x (3x), sólo se definen para valores no negativos de x. De igual forma, en el ejemplo 10e), (5x)4 y 5 ∣ x ∣ se definen para todos los valores reales de x.

Simplificación de expresiones radicales

EJEMPLO 10

24 =

3

Factor sobrante

8∙3=

4ª potencia perfecta

b.

4

48 =

4

factor sobrante

16 ∙ 3 =

24 ∙ 3 = 2 4 3

4

(5x)2 ∙ 3x = 5x 3x

25x 2 ∙ 3x =

75x3 =

c.

23 ∙ 3 = 2 3 3

3

8a3 ∙ 3a =

d.

3

24a4 =

e.

4

(5x)4 = ∣5x∣ = 5∣x∣

3

Punto de repaso

3

(2a)3 ∙ 3a = 2a 3 3a

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Simplifique cada expresión radical. a.

32

3

b.

c.

250

24a5

d.

3

−135x3

Expresiones radicales pueden combinarse (sumarse o restarse) cuando son radicales 1 iguales; es decir, cuando tienen el mismo índice y radicando. Por ejemplo, 2, 3 2, y 2 2 son radicales iguales pero 3 y 2 son radicales desiguales. Para determinar si dos radicales pueden combinarse, simplifique primero cada radical.

EJEMPLO 11

Combinación de expresiones radicales

a. 2 48 − 3 27 = 2 16 ∙ 3 − 3 9 ∙ 3

b.

3

16x −

3

=8 3−9 3

Determine las raíces cuadradas y multiplique por los coeficientes.

= (8 − 9) 3

Combine los radicales iguales.

=−

Simplifique.

54x 4 =

3 8 ∙ 2x −

3

=2

3

3

27x 3 ∙ 2x

2x − 3x 2x 3

= (2 − 3x) 3 2x Punto de repaso

18

Determine los factores cúbicos.

Determine las raíces cúbicas.

Combine los radicales iguales.

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Simplifique cada expresión radical. a. 3 8 +

Determine los factores cuadrados.

b.

3

81x5 −

3

24x2

1.3

Exponentes y radicales

25

Racionalización de denominadores y numeradores Para racionalizar un denominador o numerador de la forma a b m o a b m, multiplique tanto el numerador como el denominador por un conjugado: a b m y a b m son conjugados entre sí. Si a 0, el factor de racionalización para m es él mismo, m. Para las raíces cúbicas, elija un factor de racionalización que produzca un radicando de cubo perfecto.

Racionalización de denominadores con un solo término

EJEMPLO 12

a.

b.

5 2 3

2 5

5 2 5 2 5

3 3

3 3 3 3 6

Multiplique.

Simplifique.

3

2 5

3

3 es el factor de racionalización.

52 52

3

3

3

52 53 2 3 25 5 2

52 es el factor de racionalización.

3

Multiplique.

3

Simplifique.

Punto de repaso

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Racionalice el denominador de cada expresión. a.

5

1

b.

3 2

3

25

Racionalización de un denominador con dos términos

EJEMPLO 13 2 3+

7

= = = =

2 3+ 3(3 −

7

∙

3−

7

3−

7

2(3 − 7) +

2(3 −

7)

7(3 −

2(3 −

3(3) − 3( 7 ) +

Multiplique el numerador y el denominador por un conjugado del denominador.

7)

7) 7( 7 )

7(3) −

7)

Propiedad distributiva.

Simplifique.

(3) − ( 7 )2 2

2(3 − 7 ) 2 =3− 7 =

Punto de repaso

Propiedad distributiva.

Simplifique.

Divida entre un factor común.

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Racionalice el denominador

8 6−

2

.

A veces es necesario racionalizar el numerador de una expresión.

26

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Racionalización de un numerador

EJEMPLO 14 5− 2

COMENTARIO

7

No confunda la expresión 5 7 con la expresión

=

5 7. En general, x y no es igual a x y .

=

De igual forma, igual a x y.

5− 2

=

(

7

5 )2 − ( 7 )

=

5+ 5+

7 7

Multiplique el numerador y el denominador por un conjugado del numerador.

2

2( 5 + 5−7

Simplifique.

7)

2( 5 + −2

x2 y2 no es

∙

Propiedad 5 de los radicales.

7)

Simplifique.

2( 5 + 7 ) −1 = 5+ 7

Punto de repaso

Divida entre un factor común.

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Racionalice el numerador

2− 2 .

3

Exponentes racionales y sus propiedades Definición de exponentes racionales Si a es un número real y n es un entero positivo, tal que la raíz enésima principal de a existe, entonces a1 n se define como COMENTARIO Si m y n no tienen factores comunes, también es cierto que am n (am)1 n.

a1

n

=

n

a.

Además, si m es un entero positivo, entonces am

n

= (a1 n)m.

1 n y m n se llaman exponentes racionales de a.

El numerador de un exponente racional denota la potencia a la que se eleva la base y el denominador denota el índice de la raíz para obtener.

Potencia Índice

bm

n

= ( n b) = m

n

bm

Cuando se trabaja con exponentes racionales, las propiedades de los exponentes enteros se aplican de todas las formas. Por ejemplo, 21 221 3 = 2(1 2) + (1 3) = 25 6.

EJEMPLO 15 a.

3 = 31

b.

(3xy)5 =

Cambio de forma radical a exponencial

2

(3xy)5 = (3xy)5

2

c. 2x 4 x3 = (2x)(x3 4) = 2x1+(3

4)

2

Punto de repaso Escriba a)

3

27, b)

= 2x7

4

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

x3y5z, y c) 3x 3 x2 en forma exponencial.

1.3

TECNOLOGÍA Hay cuatro métodos para evaluar radicales en la mayoría de las graficadoras. Para raíces cuadradas puede usar la tecla de raíz cuadrada .

Para raíces cúbicas puede usar la 3 tecla de raíz cúbica . Para otras raíces convierta primero el radical a forma exponencial y use después la tecla exponencial ^ , o use la tecla de raíz de orden x x (o una selección del menú).

Consulte la guía del usuario de su graficadora para conocer tecleos específicos.

Exponentes y radicales

27

Cambio de forma exponencial a radical

EJEMPLO 16

Véase LarsonPrecalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo. a. (x 2 + y 2)3 b. 2y3 4z1 c. a−3

2

3

= 2( y3z)1

4

=

= ( x2 + y 2 ) =

2

1 a3 2

d. x 0.2 = x1

5

5

= 2 4 y3z

4

1 a3

=

=

(x 2 + y 2)3

x

Punto de repaso

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Escriba cada expresión en forma radical. a. (x2 − 7)−1 2 b. −3b1 3c2 c. a0.75 d. (x2)2 5

3

Los exponentes racionales son útiles para evaluar raíces de números en una calculadora, para reducir el índice de un radical y para simplificar expresiones en cálculo.

Simplificación con exponentes racionales

EJEMPLO 17 a. (−32)−4

5

= ( 5 −32 )

−4

= (−2)−4 =

b. (−5x5 3)(3x−3 4) = −15x(5 c.

9

d.

3

a3 = a3

9

125 =

= a1 6

3

=

125 =

e. (2x − 1)4 3(2x − 1)−1 COMENTARIO La expresión en el ejemplo 17b) no está definida cuando x 0 porque 0 3 4 no es un número real. De igual forma, la expresión en el ejemplo 17e) no está definida cuando x ½ porque

(2 ∙ 12 − 1)−1 3 = (0)−1 3

Punto de repaso

3 6

3)−(3 4)

a

= −15x11

12,

x≠0

Reduzca el índice.

(5) =

3

1 1 = (−2)4 16

3

53 6

= 51

= (2x − 1)(4

2

=

3)−(1 3)

5 = 2x − 1, x ≠ 12

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Simplifique cada expresión.

a. (−125)−2 c.

3 4

27

3

b. (4x2y3 2)(−3x−1 3y−3 5) d. (3x + 2)5 2(3x + 2)−1

2

no es un número real.

Resumen (sección 1.3) 1. Haga una lista de las propiedades de los exponentes. Para ejemplos que usan estas propiedades, véanse del 1–4.

2. Enuncie la definición de notación científica. Para ejemplos que implican notación científica, véanse del 5–7.

3. Haga una lista de las propiedades de los radicales. Para ejemplos que implican radicales, véanse el 8 y 9.

4. Explique cómo simplificar una expresión radical. Para ejemplos de simplificación de expresiones radicales, véanse el 10 y 11.

5. Explique cómo racionalizar un denominador o un numerador. Para ejemplos de racionalización de denominadores y numeradores, véanse del 12–14.

6. Enuncie la definición de exponente racional. Para ejemplos que implican exponentes racionales, véanse del 15–17.

28

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

1.3 Ejercicios Vocabulario: llene los espacios en blanco.

1. En la forma exponencial an, n es el

y a es el

.

2. Una forma conveniente de escribir números muy grandes o muy pequeños es la 3. Uno de los dos factores iguales de un número es una 4. En la forma radical

n

.

del número.

a , el entero positivo n es el _____________ del radical y el número a es el

.

5. Las expresiones radicales pueden combinarse (sumarse o restarse) cuando son 6. Las expresiones a b

mya b

m son

.

entre sí.

7. El proceso usado para crear un denominador sin radicales se conoce como 8. En la expresión

bm/n,

m denota la

del denominador.

a la que se eleva la base y n denota el

o raíz por obtener.

Habilidades y aplicaciones* Evaluación de expresiones exponenciales En los ejercicios 9-14, evalúe cada expresión.

9. a) 5 ∙ 53

b)

10. a) (33)0

∙ 32)2

11. a) (23 12. a)

3 3−4

52 54

b) −32 3 b) − 5

3

5 3

2

b) 48(−4)−3

4 ∙ 3−2 2−2 ∙ 3−1 14. a) 3−1 + 2−2 13. a)

Reescritura con exponentes positivos En los ejercicios 27-30, reescriba cada expresión con exponentes positivos. Simplifique, si es posible.

27. a) (x + 5)0 b) (2x 2)−2 28. a) (4y−2)(8y4)

b) (z + 2)−3(z + 2)−1

x−3y 4 −3 5 3n ∙ 32n 30. a) 3n 3 ∙ 32

a−2 b b−2 a x 2 ∙ xn b) 3 n x ∙x

29. a)

b) (−2)0

3

b)

Notación científica En los ejercicios 31 y 32, escriba el número en notación científica.

b) (3−2)2

Evaluación de una expresión algebraica En los ejercicios 15-20, evalúe la expresión para el valor dado de x.

31. 10,250.4

15. −3x 3,

Notación decimal En los ejercicios 33-36, escriba el número en notación decimal.

x=2 17. 6x 0, x = 10 19. −3x 4, x = −2

16. 7x−2, x = 4 18. 2x 3, x = −3 20. 12(−x)3, x = − 13

Uso de las propiedades de los exponentes En los ejercicios 21-26, simplifique cada expresión.

21. a) (5z)3

b) 5x4(x2)

22. a) (−2x)2

b) (4x 3)0

23. a) 6y 2(2y0)2

b) (−z)3(3z4)

24. a)

7x 2 x3

25. a)

4 y

b) 3

3 y

4

26. a) [(x2y−2)−1]−1

b)

33. 3.14 × 10−4 34. −2.058 × 106 35. Año luz: 9.46 1012 km 36. Diámetro de un cabello humano: 9.0 10 6 m Uso de la notación científica En los ejercicios 37 y 38, evalúe cada expresión sin usar una calculadora.

37. a) (2.0 × 109)(3.4 × 10−4)

12(x + y)3 9(x + y) b−2 a−2

32. −0.000125

b a

2

b) (5x2z6)3(5x2z6)−3

a) (1.2 × 107)(5.0 × 10−3) 38. a)

6.0 × 108 3.0 × 10−3

b)

2.5 × 10−3 5.0 × 102

Evaluación de expresiones radicales En los ejercicios 39 y 40, evalúe cada expresión sin usar una calculadora.

39. a)

9

b)

3 27

8

40. a)

3

27

b)

(

36)

3

* Los videos tutoriales disponibles mediante el código QR se encuentran en inglés. Esta obra es una adaptación, por lo que estos videos corresponden sólo a los ejercicios seleccionados.

1.3

Uso de las propiedades de los radicales En los ejercicios 41 y 42, use las propiedades de los radicales para simplificar cada expresión.

41. a) 42. a)

( 5 2 )5

12 ∙

3

5

b) b)

4

32x5 (3x2)4

Simplificación de expresiones radicales En los ejercicios 43-50, simplifique cada expresión radical.

43. a) 44. a) 45. a) 46. a) 47. a) 48. a) 49. a) b) 50. a) b)

51.

53.

20 3 16

27

72x3

3

b) b) b)

128 75 4

63. a) 64. a)

5

b) 67. a) b) 68. a) b)

5+ 3

3

2x

243(x + 1) 10a7b (x − 1)1 3(x − 1)2 3 (x − 1)1 3(x − 1)−4 3 (4x + 3)5 2(4x + 3)−5 3 (4x + 3)−5 2(4x + 3)2 3

2

− (12 − h)5 2], 0 ≤ h ≤ 12

70.

¿CÓMO LO VE? El paquete A es un cubo con un volumen de 500 cm3. El paquete B es un cubo con un volumen de 250 cm3. ¿Es la longitud x de x un lado del paquete A mayor que, menor que o igual a dos x veces la longitud de x un lado del paquete B? Explique su respuesta.

Forma de exponente racional

■ ■ 3x−2 a0.4

3

Simplificación de expresiones En los ejercicios 61-68, simplifique cada expresión.

61. a) 32−3 5 62. a) 100−3 2

4

representa la cantidad de tiempo t (en segundos) que tardará el embudo en vaciarse. Use la función table de una graficadora para cropic determinar los tiempos © iStockphoto.com/mi requeridos para que el embudo se vacíe para alturas de agua de h 0, h 1, h 2, . . . , h 12 cm.

Escritura en formas exponencial y radical En los ejercicios 57-60, llene la forma faltante de la expresión.

Forma radical 57. 3 64 58. x2 x 59.■ 60.■

4

(x + 1)4 (3x2)4

3

t = 0.03[125

7−3 4

56.

b)

6

29

69. Modelado matemático Un embudo se llena con agua a una altura de h cm.

La fórmula

Racionalización de un numerador En los ejercicios 55 y 56, racionalice el numerador de la expresión. Después simplifique su respuesta.

55.

b) b) 32

66. a)

32a4 b2 75x2y−4 160x 8z 4

Racionalización de un denominador En los ejercicios 51-54, racionalice el denominador de la expresión. Después simplifique su respuesta.

1 8 52. 3 3 2 3 5 54.

5+ 6 14 − 2

6

32 x3

65. a)

54xy4

182 b) z3 3 16x5 b) 4 3x 4 y 2 b) 2 20x2 + 5 125x2 8 147x − 3 48x 3 3 54x3 + 3 16x3 3 64x − 3 27x 4

4

Exponentes y radicales

b) b)

−3 4 (16 81 ) (94 )−1 2

Exploración ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71-74, determine si el enunciado es verdadero o falso. Justifique su respuesta.

71.

x k+1 = xk x

73. (a + b)2 = a2 + b2 a a2 a2 74. = = b b ( b)2

72. (a n) k = a n

k

30

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

1.4 Polinomios y factorización © Suwit Ngaokaew/Shutterstock.com

Escribir polinomios en forma estándar.

Sumar, restar y multiplicar polinomios.

Usar productos especiales para multiplicar polinomios.

Factorizar factores comunes de polinomios.

Factorizar formas especiales de polinomios Factorizar los trinomios como el producto de dos binomios.

Factorizar polinomios por agrupación.

Polinomios La factorización de polinomios tiene muchas aplicaciones a la vida real. Por ejemplo, en el ejercicio 84, usted usará la factorización de polinomios para escribir una forma alterna de una expresión que modele la razón de cambio de una reacción química autocatalítica.

Uno de los tipos más comunes de expresiones algebraicas es el polinomio. Algunos ejemplos son 2x 5, 3x 4 7x 2 2x 4 y 5x 2 y 2 xy 3. Los dos primeros son polinomios con x y el tercero es un polinomio con x y y. Los términos de un polinomio con x tienen la forma axk, donde a es el coeficiente y k es el grado del término. Por ejemplo, el polinomio 2x3 5x 2 1 2x3 ( 5)x 2 (0)x 1 tiene coeficientes 2, 5, 0 y 1.

Definición de un polinomio con x Sean a0, a1, a2, . . ., an números reales y n un entero no positivo. Un polinomio con x es una expresión de la forma an x n + an−1x n−1 + . . . + a1x + a0

COMENTARIO Las expresiones no son polinomios cuando una variable está bajo un radical o cuando una expresión polinomial (con grado mayor que 0) está en el denominador de un término.

Por ejemplo, las expresiones

x3 −

3x = x3 − (3x)1

2

donde an 0. El polinomio es de grado n, an es el coeficiente principal y a0 es el término constante.

Los polinomios con uno, dos y tres términos son monomios, binomios y trinomios, respectivamente. Un polinomio escrito con potencias descendentes de x está en forma estándar.

y x2 + (5 x) = x2 + 5x−1 no son polinomios.

EJEMPLO 1

Escritura de polinomios en forma estándar Forma estándar

Grado

Coeficiente principal

a. 4x 2 − 5x 7 − 2 + 3x

−5x 7 + 4x 2 + 3x − 2

7

−5

b. 4 − 9x

−9x + 4

2

−9

8 o 8x 0

0

8

Polinomio 2

c. 8 Punto de repaso

2

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Escriba el polinomio 6 7x3 2x en forma estándar. Identifique después el grado y coeficiente principal del polinomio.

Un polinomio que tiene sólo coeficientes de cero se llama polinomio cero, denotado por 0. Ningún grado se asigna al polinomio cero. Para polinomios con más de una variable, el grado de un término es la suma de los exponentes de las variables en el término. El grado del polinomio es el más alto de sus términos. Por ejemplo, el grado del polinomio −2x 3y6 + 4xy − x7y 4 es 11, porque la suma de los exponentes en el último término es la mayor. El coeficiente principal del polinomio es el coeficiente del término de más alto grado.

1.4

Polinomios y factorización

31

Operaciones con polinomios Usted puede sumar y restar polinomios casi de la misma forma en que suma y resta números reales. Sume o reste los términos semejantes (términos que tienen las mismas variables elevadas a las mismas potencias) sumando o restando sus coeficientes. Por ejemplo, 3xy2 y 5xy2 son términos semejantes y su suma es −3xy 2 + 5xy 2 = (−3 + 5) xy 2 = 2xy2.

Adición o sustracción de polinomios

EJEMPLO 2

a. (5x 3 − 7x 2 − 3) + (x 3 + 2x 2 − x + 8) = (5x 3 + x 3) + (−7x2 + 2x2) + (−x) + (−3 + 8)

Agrupe términos iguales.

=

Combine términos iguales.

6x 3

−

5x 2

−x+5

b. (7x4 − x 2 − 4x + 2) − (3x4 − 4x 2 + 3x) COMENTARIO Cuando un signo negativo precede a una expresión dentro de paréntesis, recuerde distribuir el signo negativo a cada término dentro del paréntesis. En otras palabras, multiplique cada término por –1.

− (3x4 − 4x 2 + 3x) = −3x4 + 4x 2 − 3x

= 7x 4 − x 2 − 4x + 2 − 3x 4 + 4x 2 − 3x

Propiedad distributiva.

= (7x 4 − 3x 4) + (−x2 + 4x2) + (−4x − 3x) + 2

Agrupe términos iguales.

=

Combine términos iguales.

4x 4

+

Punto de repaso

3x 2

− 7x + 2

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Determine la diferencia (2x3 − x + 3) − (x2 − 2x − 3) y escriba el polinomio resultante en forma estándar.

Para determinar el producto de dos polinomios, use las propiedades distributivas derecha e izquierda. Por ejemplo, puede hallar el producto de 3x 2 y 5x 7 tratando primero a 5x 7 como una sola cantidad.

(3x − 2)(5x + 7) = 3x(5x + 7) − 2(5x + 7) = (3x)(5x) + (3x)(7) − (2)(5x) − (2)(7) = 15x 2 + 21x − 10x − 14

Producto de Producto de Producto de Producto de los términos los términos los términos los términos primeros externos internos últimos = 15x 2 + 11x − 14 Obsérvese que cuando se usa el método PEIU de arriba (que sólo puede usarse para multiplicar dos binomios), algunos de los términos del producto podrían ser términos iguales que pueden combinarse en uno solo.

EJEMPLO 3

Determinación de un producto con el método PEIU

Use el método PEIU para determinar el producto de 2x – 4 y x 5.

Solución P

E

I

U

(2x − 4)(x + 5) = 2x2 + 10x − 4x − 20 = 2x2 + 6x − 20 Punto de repaso

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Use el método PEIU para determinar el producto de 3x – 1 y x 5.

32

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Productos especiales Algunos productos de binomios tienen formas especiales que ocurren con frecuencia en álgebra. No es necesario que memorice estas fórmulas, porque puede usar la propiedad distributiva para multiplicar. Sin embargo, familiarizarse con estas fórmulas le permitirá manipular el álgebra con más rapidez.

Productos especiales Sean u y v números reales, variables o expresiones algebraicas.

Producto especial Producto de binomios conjugados

Ejemplo

(u + v)(u − v) = u 2 − v 2

(x + 4)(x − 4) = x 2 − 42 = x 2 − 16

Cuadrado de un binomio

(u + v) 2 = u 2 + 2uv + v 2

(x + 3) 2 = x 2 + 2(x)(3) + 32 = x 2 + 6x + 9

(u − v) 2 = u 2 − 2uv + v 2

(3x − 2)2 = (3x)2 − 2(3x)(2) + 22 = 9x 2 − 12x + 4

Cubo de un binomio

(u + v)3 = u 3 + 3u 2v + 3uv 2 + v 3

(x + 2)3 = x 3 + 3x 2(2) + 3x(22) +23 = x 3 + 6x 2 + 12x + 8

(u − v)3 = u 3 − 3u 2v + 3uv 2 − v 3

(x −1)3 = x 3 −3x 2(1) +3x(12) −13 = x 3 − 3x 2 + 3x − 1

EJEMPLO 4

Producto de binomios conjugados

Halle cada producto. a. (5x + 9)(5x − 9)

b. (x + y − 2)(x + y + 2)

Solución a. El producto de binomios conjugados no tiene término medio y adopta la forma (u + v)(u − v) = u2 − v2.

(5x + 9)(5x − 9) = (5x)2 − 92 = 25x2 − 81 b. Un modo de hallar este producto es agrupar x y y formar un producto especial.

Diferencia

Suma

(x + y − 2)(x + y + 2) = [(x + y) − 2][(x + y) + 2]

Punto de repaso

= (x + y)2 − 22

Producto de binomios conjugados.

= x2 + 2xy + y2 − 4

Cuadrado de un binomio.

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Halle cada producto. a. (3x − 2)(3x + 2)

b. (x − 2 + 3y)(x − 2 − 3y)

1.4

Polinomios y factorización

33

Polinomios con factores comunes El proceso de escribir polinomios como un producto se llama factorización. Esta es una herramienta importante para resolver ecuaciones y para simplificar expresiones racionales.

A menos que se indique otra cosa, cuando se le pida factorizar un polinomio suponga que busca factores con coeficientes enteros. Si un polinomio no se factoriza con el uso de coeficientes enteros, es primo o irreducible en enteros. Por ejemplo, el polinomio x2 3 es irreducible en enteros. En números reales, este polinomio se factoriza como: x2 − 3 = (x +

3)(x −

3).

Un polinomio está completamente factorizado cuando cada uno de sus factores es primo. Por ejemplo, x3 − x2 + 4x − 4 = (x − 1)(x2 + 4)

Completamente factorizado.

está completamente factorizado, pero x3 − x2 − 4x + 4 = (x − 1)(x2 − 4)

No completamente factorizado.

no está completamente factorizado. Su factorización completa es x3 − x2 − 4x + 4 = (x − 1)(x + 2)(x − 2).

El tipo más simple de factorización implica un polinomio que puede escribirse como el producto de un monomio y otro polinomio. La técnica usada aquí es la propiedad distributiva, a(b + c) = ab + ac, en dirección inversa. ab + ac = a(b + c)

a es un factor común.

La factorización en cualesquiera factores comunes es el primer paso para factorizar completamente un polinomio.

EJEMPLO 5

Factorización en factores comunes

Factorice cada expresión. a. 6x3 − 4x b. −4x2 + 12x − 16 c. (x − 2)(2x) + (x − 2)(3) Solución a. 6x3 − 4x = 2x(3x2) − 2x(2)

2x es un factor común.

= 2x(3x2 − 2) b. −4x2 + 12x − 16 = −4(x2) + (−4)(−3x) + (−4)4

−4 es un factor común.

= −4(x2 − 3x + 4) c. (x − 2)(2x) + (x − 2)(3) = (x − 2)(2x + 3) Punto de repaso

(x − 2) es un factor común.

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Factorice cada expresión. a. 5x3 − 15x2 b. −3 + 6x − 12x3 c. (x + 1)(x2) − (x + 1)(2)

34

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Factorización de formas polinomiales especiales Algunos polinomios tienen formas especiales que surgen de las formas de productos especiales. Se recomienda aprender a reconocer estas formas.

Factorización de formas polinomiales especiales Forma factorizada Diferencia de dos cuadrados

Ejemplo

u2 − v2 = (u + v)(u − v)

9x2 − 4 = (3x)2 − 22 = (3x + 2)(3x − 2)

Trinomio cuadrado perfecto u2 + 2uv + v2 = (u + v)2

x2 + 6x + 9 = x2 + 2(x)(3) + 32 = (x + 3)2

u2 − 2uv + v2 = (u − v)2

x2 − 6x + 9 = x2 − 2(x)(3) + 32 = (x − 3)2

Suma o diferencia de dos cubos u3 + v3 = (u + v)(u2 − uv + v2)

x3 + 8 = x3 + 23 = (x + 2)(x2 − 2x + 4)

u3 − v3 = (u − v)(u2 + uv + v2)

27x3 − 1 = (3x)3 − 13 = (3x − 1)(9x2 + 3x + 1) La forma factorizada de una diferencia de dos cuadrados es siempre un conjunto de pares conjugados. u2 − v2 = (u + v)(u − v) Diferencia

pares conjugados

Signos opuestos

Para reconocer términos cuadrados perfectos, busque coeficientes que sean cuadrados de enteros y variables elevadas a potencias pares.

Factorización en un factor común primero

EJEMPLO 6

3 − 12x2 = 3(1 − 4x2) COMENTARIO En el ejemplo 6, nótese que el primer paso de la factorización de un polinomio es buscar factores comunes. Una vez que usted ha eliminado todos los factores comunes, a menudo es posible reconocer patrones que no fueron obvios de inmediato.

3 es un factor común.

= 3[12 − (2x)2]

Reescriba 1 – 4x2 como la diferencia de dos cuadrados.

= 3(1 + 2x)(1 − 2x)

Factorice.

Punto de repaso

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Factorice 100 4y 2

Factorización de la diferencia de dos cuadrados

EJEMPLO 7

a. (x + 2)2 − y2 = [(x + 2) + y][(x + 2) − y] = (x + 2 + y)(x + 2 − y) b. 16x4 − 81 = (4x2)2 − 92

Reescriba como la diferencia de dos cuadrados.

= (4x2 + 9)(4x2 − 9) =(

4x2

+ 9)[(2x) − 2

32

Factorice.

]

= (4x2 + 9)(2x + 3)(2x − 3) Punto de repaso

Reescriba 4x2 – 9 como la diferencia de dos cuadrados.

Factorice.

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Factorice (x 1)2 9y4

1.4

Polinomios y factorización

35

Un trinomio cuadrado perfecto es el cuadrado de un binomio y tiene la forma: u2 + 2uv + v2 = (u + v)2

o

u2 − 2uv + v2 = (u − v)2.

Signos iguales

Signos iguales

Adviértase que el primero y último términos son cuadrados y el término medio es dos veces el producto de u y v.

Factorización de trinomios cuadrados perfectos

EJEMPLO 8

Factorice cada trinomio. a. x2 − 10x + 25

b. 16x2 + 24x + 9

Solución a. x2 − 10x + 25 = x2 − 2(x)(5) + 52 = (x − 5)2 b. 16x2 + 24x + 9 = (4x)2 + 2(4x)(3) + 32 = (4x + 3)2 Punto de repaso

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Factorice 9x2 − 30x + 25.

Las dos fórmulas siguientes muestran la suma y diferencia de dos cubos. Preste especial atención a los signos de los términos.

Signos iguales

Signos iguales

u3 + v3 = (u + v)(u2 − uv + v2) Signos desiguales

u3 − v3 = (u − v)(u2 + uv + v2) Signos desiguales

Factorización de la diferencia de dos cubos

EJEMPLO 9

x3 − 27 = x3 − 33

Reescriba 27 como 33.

= (x − 3)(x2 + 3x + 9) Punto de repaso

Factorice.

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Factorice 64x 3 1.

EJEMPLO 10

Factorización de la suma de dos cubos

a. y3 + 8 = y3 + 23

Reescriba 8 como 23.

= ( y + 2)( y2 − 2y + 4) b. 3x3 + 192 = 3(x3 + 64)

3 es un factor común.

= 3(x3 + 43)

Reescriba 64 como 43.

= 3(x + 4)(x2 − 4x + 16)

Factorice.

Punto de repaso

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Factorice cada expresión. a. x3 + 216

Factorice.

b. 5y3 + 135

36

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Trinomios con factores binomiales Para factorizar un trinomio de la forma ax 2 bx c, use el siguiente patrón Factores de a

ax2 + bx + c = (■x + ■)(■x + ■) Factores de c

La meta es hallar una combinación de factores de a y c tal que la suma de los productos externos e internos sea el término medio bx. Por ejemplo, para el trinomio 6x 2 17x 5, usted puede escribir todas las posibles factorizaciones y determinar cuál tiene productos externos e internos cuya suma sea 17x.

(6x + 5)(x + 1), (6x + 1)(x + 5), (2x + 1)(3x + 5), (2x + 5)(3x + 1) La factorización correcta es (2x 5)(3x 1), porque la suma de los productos externo (E) e interno (I) es 17x.

P

E

I

U

E +I

(2x + 5)(3x + 1) = 6x2 + 2x + 15x + 5 = 6x2 + 17x + 5 EJEMPLO 11 COMENTARIO Factorizar un trinomio puede implicar prueba y error. Sin embargo, es relativamente fácil comprobar su respuesta multiplicando los factores. El producto debería ser el trinomio original. Por ejemplo, en el ejemplo 11, verifique que

(x − 3)(x − 4) =

x2

− 7x + 12.

Factorización de un trinomio: el coeficiente principal es 1

Factorice x2 − 7x + 12.

Solución Para este trinomio, a 1, b –7 y c 12. Como b es negativa y c es positiva, ambos factores de 12 deben ser negativos. Así, las posibles factorizaciones de x2 7x 12 son:

(x − 1)(x − 12), (x − 2)(x − 6),

y

(x − 3)(x − 4).

Al probar el término medio, usted descubrirá que la factorización correcta es: x2 − 7x + 12 = (x − 3)(x − 4).

Punto de repaso

E + I = −4x − 3x = −7x

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Factorice x2 + x − 6.

EJEMPLO 12

Factorización de un trinomio: el coeficiente principal no es 1

Véase LarsonPrecalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Factorice 2x 2 x 15.

Solución Para este trinomio, a 2, b 1 y c –15. Como c es negativa, sus factores deben tener signos desiguales. Las ocho factorizaciones posibles son estas:

(2x − 1)(x + 15)

(2x + 1)(x − 15)

(2x − 3)(x + 5)

(2x + 3)(x − 5)

(2x − 5)(x + 3)

(2x + 5)(x − 3)

(2x − 15)(x + 1)

(2x + 15)(x − 1)

Al probar el término medio, usted descubrirá que la factorización correcta es: 2x2 + x − 15 = (2x − 5)(x + 3).

Punto de repaso

E + I = 6x − 5x = x

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Factorice 2x 2 5x 3.

1.4

Polinomios y factorización

37

Factorización por agrupación A veces, polinomios con más de tres términos pueden factorizarse por agrupación.

EJEMPLO 13

Factorización por agrupación

x3 − 2x2 − 3x + 6 = (x3 − 2x2) − (3x − 6) COMENTARIO A veces, más de una agrupación dará resultado.

Por ejemplo, otra forma de factorizar el polinomio del ejemplo 13 es: x3 − 2x2 − 3x + 6 = (x3 − 3x) − (2x2 − 6) = x(x2 − 3) − 2(x2 − 3) = (x2 − 3)(x − 2).

Nótese que este resultado es igual al del ejemplo 13.

= x2(x − 2) − 3(x − 2)

Factorice cada grupo.

= (x − 2)(

(x – 2) es un factor común.

x2

Punto de repaso

Agrupe términos.

− 3)

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Factorice x3 x 2 5x 5.

La factorización por agrupación puede eliminar parte de la prueba y error implicada en la factorización de un trinomio. Para factorizar un trinomio de la forma ax 2 bx c por agrupación, elija factores del producto ac que sumen b y use esos factores para reescribir el término medio. El ejemplo 14 ilustra esta técnica.

EJEMPLO 14

Factorización de un trinomio por agrupación

En el trinomio 2x 2 5x 3, a 2 y c 3, así que el producto ac es 6. Ahora, 6 se factoriza como (6)( 1) y 6 ( 1) 5 b. Así, reescriba el término medio como 5x 6x x y factorice por agrupación.

2x2 + 5x − 3 = 2x2 + 6x − x − 3 =(

2x2

Punto de repaso

+ 6x) − (x + 3)

Reescriba el término medio.

Agrupe términos.

= 2x(x + 3) − (x + 3)

Factorice 2x2 + 6x.

= (x + 3)(2x − 1)

(x + 3) es un factor común.

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Use la factorización por agrupación para factorizar 2x 2 5x 12.

Resumen (sección 1.4) 1. Enuncie la definición de polinomio con x y explique qué se entiende por la forma estándar de un polinomio. Para un ejemplo de escritura de polinomios en forma estándar, véase el ejemplo 1.

2. Explique cómo sumar y restar polinomios. Para un ejemplo de adición y sustracción de polinomios, véase el ejemplo 2.

3. Explique el método PEIU. Para un ejemplo de la determinación de un producto con el uso del método PEIU, véase el ejemplo 3.

4. Explique cómo determinar productos binomiales que tienen formas especiales.

Para un ejemplo de productos binomiales que tienen formas especiales, véase el ejemplo 4.

5. Explique qué se entiende por factorizar completamente un polinomio. Para un ejemplo de factorización en factores comunes, véase el ejemplo 5.

6. Haga una lista de las formas polinomiales especiales de factorización. Para ejemplos de factorización de esas formas especiales, véanse los ejemplos 6–10.

7. Explique cómo factorizar un trinomio de la forma ax 2 bx c 0. Para ejemplos de factorización de trinomios de esta forma, véanse los ejemplos 11 y 12.

8. Explique cómo factorizar un polinomio por agrupación. Para ejemplos de factorización por agrupación, véanse los ejemplos 13 y 14.

38

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

1.4 Ejercicios Vocabulario: llene los espacios en blanco.

1. Para el polinomio an x n + an−1xn−1 + . . . + a1x + a0, an ≠ 0, el grado es ___________ y el término constante es .

2. Un polinomio con un término es un polinomio con tres términos es un

, el coeficiente principal es

, mientras que un polinomio con dos términos es un

3. Para sumar y restar polinomios, se suman o restan los 4. Las letras en PEIU significan P

,E

sumando o restando sus coeficientes. ,I

y

5. El proceso de escribir un polinomio como un producto se llama 6. Un polinomio está

y un

. . .

cuando cada uno de sus factores es primo. es el cuadrado de un binomio y tiene la forma u2 2uv v2 o

7. Un u2 2uv v2.

8. A veces, los polinomios con más de tres términos pueden factorizarse por

.

Habilidades y aplicaciones* Escritura de polinomios en forma estándar En los ejercicios 9-14, a) escriba el polinomio en forma estándar, b) identifique el grado y coeficiente principal del polinomio y c) indique si el polinomio es un monomio, binomio o trinomio.

9. 7x 11. 14x − 12 x 5 13. 1 + 6x 4 − 4x 5

10. 3 12. 3 + 2x 14. −y + 25y2 + 1

Adición o sustracción de polinomios En los ejercicios 15-18, sume o reste y escriba el resultado en forma estándar.

15.

16.

17.

18.

(6x + 5) − (8x + 15) (2x 2 + 1) − (x 2 − 2x + 1) (15x 2 − 6) + (−8.3x 3 − 14.7x 2 − 17) (15.6w4 − 14w − 17.4) + (16.9w 4 − 9.2w + 13) Multiplicación de polinomios En los ejercicios 19-36, multiplique los polinomios.

19.

21.

23.

25.

26.

27.

28.

29.

31.

3x(x2 − 2x + 1) 20. −5z(3z − 1) 22.

(3x − 5)(2x + 1) 24.

2 2 (x − x + 2)(x + x + 1) (2x2 − x + 4)(x2 + 3x + 2) (x + 10)(x − 10) (4a + 5b)(4a − 5b) (2x + 3)2 30.

3 (x + 3) 32.

y2(4y2 + 2y − 3) −3x(5x + 2) (7x − 2)(4x − 3)

33. [(x − 3) + y]2 34. [(x + 1) − y]2 35. [(m − 3) + n][(m − 3) − n] 36. [(x − 3y) + z][(x − 3y) − z] Factorización en un factor común En los ejercicios 37-40, factorice en el factor común.

37. 2x3 − 6x 39. 3x(x − 5) + 8(x − 5)

38. 3z3 − 6z2 + 9z 40. (x + 3)2 − 4(x + 3)

Factorización de la diferencia de dos cuadrados En los ejercicios 41-44, factorice completamente la diferencia de dos cuadrados.

41. 25y2 − 4 43. (x − 1)2 − 4

42. 81 − 36z2 44. 25 − (z + 5)2

Factorización de un trinomio cuadrado perfecto En los ejercicios 45-50, factorice el trinomio cuadrado perfecto.

45.

46.

47.

48.

49.

50.

x2 − 4x + 4 4t 2 + 4t + 1 25z2 − 30z + 9 36y2 + 84y + 49 4y2 − 12y + 9 9u2 + 24uv + 16v2 Factorización de la suma o diferencia de dos cubos En los ejercicios 51-54, factorice la suma o diferencia de dos cubos.

(8x + 3)2 (3x + 2y)3

51. x3 + 125 53. 8t3 − 1

52. x3 − 8 54. 27t 3 + 8

* Los videos tutoriales disponibles mediante el código QR se encuentran en inglés. Esta obra es una adaptación, por lo que estos videos corresponden sólo a los ejercicios seleccionados.

1.4

Factorización de un trinomio En los ejercicios 55-62, factorice el trinomio.

55.

57.

59.

61.

x2 + x − 2 3x2 + 10x − 8 5x2 + 31x + 6 −5y2 − 8y + 4

56.

58.

60.

62.

s2 − 5s + 6 2x2 − 3x − 27 8x2 + 51x + 18 −6z2 + 17z + 3

Polinomios y factorización

39

Exploración ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 85-87, determine si los enunciados son verdaderos o falsos. Justifique su respuesta.

85. El producto de dos binomios es siempre un polinomio de segundo grado.

86. La suma de dos binomios es siempre un binomio.

Factorización por agrupación En los ejercicios 63-68, factorice por agrupación.

87. La diferencia de dos cuadrados perfectos puede factorizarse como el producto de pares conjugados.

88. Análisis de errores Describa el error.

63. x − x + 2x − 2 65. 2x3 − x2 − 6x + 3 67. 3x5 + 6x3 − 2x2 − 4 3

2

64. x + 5x − 5x − 25 66. 3x3 + x2 − 15x − 5 68. 8x5 − 6x2 + 12x3 − 9 3

2

9x2 − 9x − 54 = (3x + 6)(3x − 9) = 3(x + 2)(x − 3)

Factorización de un trinomio por agrupación En los ejercicios 69-72, factorice el trinomio por agrupación.

69. 2x2 + 9x + 9 71. 6x2 − x − 15

70. 6x2 + x − 2 72. 12x2 − 13x + 1

−x3 + 3x2 + 2x − 1 se resta de un polinomio desconocido, la diferencia es 5x2 8. Determine el polinomio desconocido.

92. Razonamiento lógico Verifique que (x y)2 no es igual a x2 y2 concediendo que x 3 y y 4, y evaluando ambas expresiones. ¿Hay valores de x y y para los cuales (x y)2 x2 y2? Explique su respuesta.

6x2 − 54 74. 12x2 − 48 3 2 x −x 76. x3 − 16x 2x2 + 4x − 2x3 78. 9x2 + 12x − 3x3 5 − x + 5x2 − x3 80. 3u − 2u2 + 6 − u3 2 2(x − 2)(x + 1) − 3(x − 2)2(x + 1) 2(x + 1)(x − 3)2 − 3(x + 1)2(x − 3)

93. Piénselo bien Dé un ejemplo de un polinomio primo.

¿CÓMO LO VE? La figura muestra un cuadrado grande con un área de a2 que contiene un cuadrado a pequeño con un área de b2. a) Describa las regiones a que representan a2 b2. ¿Cómo b puede reacomodar b estas regiones para demostrar que a2 b2 (a b)(a b)? b) ¿Cómo puede usar la figura para demostrar que (a b)2 a2 2ab b2 ? c) Trace otra figura para demostrar que (a b)2 a2 2ab b2. Explique cómo la figura demuestra esto.

94.

83. Geometría El armazón cilíndrico que se muestra en la R figura tiene un volumen de: V = πR2h − πr 2h. a) Factorice la expresión para el volumen. b) Con base en el resultado del inciso a) demuestre que el volumen es 2π(radio promedio)(grosor del armazón)h.

90. Grado de una suma Determine el grado de la suma de dos polinomios de grados m y n, donde m n.

91. Piénselo bien Cuando el polinomio

Factorización completa En los ejercicios 73-82, factorice completamente la expresión.

73.

75.

77.

79.

81.

82.

89. Grado de un producto Determine el grado del producto de dos polinomios de grados m y n.

h

r

84. Química La razón de cambio de una reacción química autocatalítica es kQx kx 2, donde Q es la cantidad de la sustancia original, x es la cantidad de sustancia Shutterstock.com © Suwit Ngaokaew/ formada y k es la constante de proporcionalidad. Factorice la expresión.

Factorización con variables en los exponentes En los ejercicios 95 y 96, factorice la expresión lo más completamente posible.

95. x2n − y2n

96. x3n + y3n

40

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

1.5 Expresiones racionales Determinar dominios de expresiones algebraicas.

Simplificar expresiones racionales.

Sumar, restar, multiplicar y dividir expresiones racionales.

Simplificar fracciones complejas y reescribir cocientes de diferencias.

Dominio de una expresión algebraica El conjunto de números reales para el que se define una expresión algebraica es el dominio de la expresión. Dos expresiones algebraicas son equivalentes cuando tienen el mismo dominio y asignan los mismos valores para todos los números en su dominio.

Por ejemplo, © Filipe B. Varela /Shutterstock.com

(x + 1) + (x + 2)

2x + 3

y

son equivalentes porque

(x + 1) + (x + 2) = x + 1 + x + 2 =x+x+1+2 = 2x + 3.

Las expresiones racionales tienen muchas aplicaciones en la vida real.

Por ejemplo, en el ejercicio 71 trabajará con una expresión racional que modele la temperatura de los alimentos en un refrigerador.

Determinación de dominios de expresiones algebraicas

EJEMPLO 1

a. El dominio del polinomio 2x3 + 3x + 4 es el conjunto de todos los números reales. De hecho, el dominio de cualquier polinomio es el conjunto de todos los números reales, a menos que el dominio sea específicamente restringido. b. El dominio de la expresión radical x−2 es el conjunto de números reales mayor que o igual a 2, porque la raíz cuadrada de un número negativo no es un número real. c. El dominio de la expresión x+2 x−3 es el conjunto de todos los números reales excepto x 3, lo que resultaría en una división entre cero, la cual es indefinida.

Punto de repaso

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Determine el dominio de cada expresión. a. 4x3 + 3,

x ≥ 0

b.

x+7

c.

1−x x

El cociente de dos expresiones algebraicas es una expresión fraccionaria. Además, el cociente de dos polinomios tales que 1 , x

2x − 1 , x+1

o

x2 − 1 x2 + 1

es una expresión racional.

1.5

Expresiones racionales

41

Simplificación de expresiones racionales Recuerde que una fracción está en su forma más simple cuando su numerador y denominador no tienen otros factores en común que 1. Para escribir una fracción en su forma más simple, elimine los factores comunes. a∙c a = , b∙c b

c≠0

La clave del éxito al simplificar expresiones racionales radica en la capacidad de usted para factorizar polinomios. Cuando se simplifican expresiones racionales, factorice por completo cada polinomio para determinar si el numerador y denominador tienen factores en común.

Simplificación de una expresión racional

EJEMPLO 2

x2 + 4x − 12 (x + 6)(x − 2) = 3x − 6 3(x − 2) =

COMENTARIO En el ejemplo 2, no cometa el error de tratar de simplificar aún más dividiendo los términos.

x+6 x+6 = 3 3

x≠2

Elimine los factores comunes.

Nótese que la expresión original es indefinida cuando x 2 (porque la división entre cero es indefinida). Para que la expresión simplificada sea equivalente a la expresión original, usted debe restringir el dominio de la expresión simplificada excluyendo el valor de x 2.

Punto de repaso

=x+2 Para simplificar las fracciones, elimine factores comunes, no términos.

x+6 , 3

Factorice completamente.

Escriba

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

4x + 12 en su forma más simple. x2 − 3x − 18

En ocasiones podría ser necesario cambiar el signo de un factor por factorización de ( 1) para simplificar una expresión racional, como se muestra en el ejemplo 3.

Simplificación de una expresión racional

EJEMPLO 3

(4 − x)(3 + x) 12 + x − x2 = 2x2 − 9x + 4 (2x − 1)(x − 4) =

− (x − 4)(3 + x) (2x − 1)(x − 4)

=−

Punto de repaso Escriba

3+x , 2x − 1

x≠4

Factorice completamente.

(4 − x ) = − (x − 4 )

Elimine los factores comunes.

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3x2 − x − 2 en su forma más simple.

5 − 4x − x2

En este texto, el dominio no suele enlistarse con una expresión racional. En el entendido tácito que los números reales que convierten en cero al denominador, se excluyen del dominio. Asimismo, al realizar operaciones con expresiones racionales, este texto sigue la convención de enlistar mediante la expresión simplificada todos los valores de x que deben excluirse en forma específica del dominio, para hacer coincidir los dominios de las expresiones simplificada y original. El ejemplo 3, por ejemplo, enlista la restricción x 4 con la expresión simplificada para hacer coincidir los dos dominios. Nótese que el valor x 12 es excluido de ambos dominios, así que no es necesario enlistar este valor.

42

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Operaciones con expresiones racionales Para multiplicar o dividir expresiones racionales, use las propiedades de fracciones estudiadas en la sección 1.2. Recuerde que para dividir fracciones se invierte el divisor y se multiplica.

EJEMPLO 4

Multiplicación de expresiones racionales

2x2 + x − 6 x3 − 3x2 + 2x (2x − 3)(x + 2) x(x − 2)(x − 1) ∙ ∙ = x2 + 4x − 5 4x2 − 6x (x + 5)(x − 1) 2x(2x − 3) = COMENTARIO Adviértase que el ejemplo 4 enlista las 3 restricciones x 0, x 1 y x 2 con la expresión simplificada para hacer coincidir los dos dominios.

Asimismo, que el valor x –5 se excluye de ambos dominios, así que no es necesario enlistar ese valor.

Punto de repaso

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Multiplique y simplifique

EJEMPLO 5

(x + 2)(x − 2) , x ≠ 0, x ≠ 1, x ≠ 32 2(x + 5)

x2 − 2x − 15 15x2 + 5x ∙ . x3 − 3x2 − 18x 3x2 − 8x − 3

División de expresiones racionales

x3 − 8 x2 + 2x + 4 x3 − 8 x3 + 8 ∙ ÷ = x2 − 4 x3 + 8 x2 − 4 x2 + 2x + 4 =

(x − 2)(x2 + 2x + 4) (x + 2)(x2 − 2x + 4) ∙ (x + 2)(x − 2) (x2 + 2x + 4)

= x2 − 2x + 4, Punto de repaso Divida y simplifique

Invierta y multiplique.

x ≠ ±2

Elimine factores comunes.

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x2 + x + 1 x3 − 1 ÷ 2 .

2 x − 1 x + 2x + 1

Para sumar o restar expresiones racionales, use el método del MCD (mínimo común denominador) o la definición básica c ad ± bc a ± = , b ≠ 0, d ≠ 0. b d bd

Definición básica.

Esta definición brinda una manera eficiente de sumar o restar dos fracciones que no tienen factores comunes en sus denominadores.

EJEMPLO 6

Sustracción de expresiones racionales

x 2 x(3x + 4) − 2(x − 3) − = x − 3 3x + 4 (x − 3)(3x + 4) =

3x2 + 4x − 2x + 6 (x − 3)(3x + 4)

Propiedad distributiva.

=

3x2 + 2x + 6 (x − 3)(3x + 4)

Combine términos iguales

COMENTARIO Cuando se restan expresiones racionales, recuerde distribuir el signo negativo en todos los términos de la cantidad que se resta.

Punto de repaso

Definición básica.

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x 1 − .

Reste y simplifique: 2x − 1 x + 2

1.5

Expresiones racionales

43

Para tres o más fracciones, o para fracciones con un factor repetido en los denominadores, el método del MCD funciona bien. Recuérdese que el mínimo común denominador de varias fracciones consta del producto de todos los factores primos en los denominadores, y cada factor elevado a la potencia más alta de su ocurrencia en cualquier denominador. He aquí un ejemplo numérico.

1 3 2 1∙2 3∙3 2∙4 + − = + − 6 4 3 6∙2 4∙3 3∙4 2 9 8 = + − 12 12 12 3 = 12 1 = 4

El MCD es 12.

En ocasiones, el numerador de la respuesta tiene un factor en común con el denominador. En esos casos, simplifique la respuesta, como se muestra en el ejemplo siguiente.

EJEMPLO 7

Combinación de expresiones racionales: el método del MCD

Véase LarsonPrecalculus.com para una versión interactiva de este tipo de ejemplo.

Realice las operaciones y simplifique.

3 2 x+3 − + 2 x−1 x x −1 Solución

Use los denominadores factorizados:

(x − 1), x, y (x + 1)(x − 1) para determinar que el MCD es x(x + 1)(x − 1).

3 2 x+3 − + x−1 x (x + 1)(x − 1) =

3(x)(x + 1) 2(x + 1)(x − 1) (x + 3)(x) − + x(x + 1)(x − 1) x(x + 1)(x − 1) x(x + 1)(x − 1)

=

3(x)(x + 1) − 2(x + 1)(x − 1) + (x + 3)(x) x(x + 1)(x − 1)

=

3x2 + 3x − 2x2 + 2 + x2 + 3x x(x + 1)(x − 1)

Multiplique.

=

(3x2 − 2x2 + x2) + (3x + 3x) + 2 x(x + 1)(x − 1)

Agrupe términos iguales.

=

2x2 + 6x + 2 x(x + 1)(x − 1)

Combine términos iguales.

=

2(x2 + 3x + 1) x(x + 1)(x − 1)

Factorice.

Punto de repaso

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Realice las operaciones y simplifique.

4 x+5 4 − 2 + x x −4 x+2

44

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Fracciones complejas y el cociente de diferencias Las fracciones complejas son expresiones con fracciones separadas en el numerador, denominador o ambos. He aquí dos ejemplos 1 x 2 x +1

1 x 1 x2 + 1

y

Un modo de simplificar una fracción compleja es combinar las fracciones en el numerador en una sola fracción y después combinar las fracciones en el denominador en una sola fracción. Luego se invierte el denominador y se multiplica. El ejemplo 8 muestra este método.

Simplificación de una fracción compleja

EJEMPLO 8

2 2 − 3(x) −3 x x = 1 1(x − 1) − 1 1− x−1 x−1 2 − 3x x = x−2 x−1

Punto de repaso

Combine fracciones.

Simplifique.

=

2 − 3x x − 1 ∙ x x−2

=

(2 − 3x)(x − 1) , x≠1 x(x − 2)

Invierta y multiplique.

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

1 +1 x+2 .

Simplifique la fracción compleja x −1 3 Otra manera de simplificar una fracción compleja es multiplicar su numerador y denominador por el MCD de todas las fracciones en su numerador y denominador. Este método, aplicado a la fracción del ejemplo 8, se muestra en seguida. Nótese que ambos métodos dan el mismo resultado.

2 2 −3 (x)(x − 1) − (3)(x)(x − 1) x(x − 1) x x ∙ = 1 x(x − 1) 1 1− (1)(x)(x − 1) − (x)(x − 1) x−1 x−1

El MCD es x (x − 1 ).

=

2(x − 1) − 3x(x − 1) x(x − 1) − x

Simplifique.

=

(2 − 3x)(x − 1) , x≠1 x(x − 2)

Factorice.

1.5

45

Expresiones racionales

Los tres ejemplos siguientes ilustran algunos métodos para la simplificación de expresiones racionales que implican exponentes negativos y radicales. Estos tipos de expresiones ocurren con frecuencia en cálculo.

Para simplificar una expresión con exponentes negativos, un método es empezar por factorizar el factor común con el exponente menor. Recuerde que cuando factoriza, 5 resta exponentes. Por ejemplo, en 3x 5 2 2x 3 2, el exponente menor es 2 y el factor común es x 5 2.

3x−5

2

+ 2x−3

2

= x−5 2[3 + 2x−3

]

2− (−5 2)

= x−5 2(3 + 2x1) 3 + 2x = 52 x

Simplificación de una expresión

EJEMPLO 9

Simplifique x(1 − 2x)−3 Solución

2

+ (1 − 2x)−1 2.

Comience por factorizar el factor común con el exponente menor.

x(1 − 2x)−3

2

+ (1 − 2x)−1

2

= (1 − 2x)−3 2 [x + (1 − 2x)(−1 = (1 − 2x)

−3 2

= Punto de repaso

1−x (1 − 2x)3

]

2) − (−3 2)

[x + (1 − 2x) ] 1

2

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Simplifique (x − 1)−1

3

− x(x − 1)−4 3.

El ejemplo siguiente muestra una fracción compleja con un exponente negativo y un segundo método para simplificar una expresión con exponentes negativos.

Simplificación de una expresión

EJEMPLO 10

1 x2 + 2 −1 2 (4 − x ) (4 − x2)1 2 4−x

Punto de repaso

2

1 (x2 − 2)−1 x2 − 2

2

(4 − x2)1 2 + x2(4 − x2)−1 4 − x2

2

=

(4 − x2)1 2 + x2(4 − x2)−1 4 − x2

2

=

(4 − x2)1 + x2(4 − x2)0 (4 − x2)3 2

=

4 − x2 + x2 (4 − x2)3 2

=

4 (4 − x2)3

∙

(4 − x2)1 (4 − x2)1

2 2

2

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Simplifique: x2 (x2 − 2)1

=

+

2

46

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Cocientes de diferencias, como x+h− h

x

ocurren con frecuencia en cálculo. A menudo, deben reescribirse en una forma equivalente, como se muestra en el ejemplo 11.

Reescritura de un cociente de diferencias

EJEMPLO 11

Reescriba el cociente de diferencias x+h− h

x

racionalizando su numerador.

Solución x+h− h

x

= = = =

Punto de repaso

x+h− h

=

(

x

x+h+ x+h+

∙

x x

x + h) − ( x) 2

2

h( x + h +

x)

x+h−x

h( x + h +

x)

h h( x + h + 1 x+h+

x) x

,

h≠0

Solución en audio y video en inglés y español en LarsonPrecalculus.com

Reescriba el cociente de diferencias 9+h−3 h racionalizando su numerador.

Resumen (sección 1.5) 1. Enuncie la definición del dominio de una expresión algebraica. Para un ejemplo de la determinación de dominios de expresiones algebraicas, véase el ejemplo 1.

2. Enuncie la definición de una expresión racional y explique cómo simplificar una expresión racional. Para ejemplos de simplificación de expresiones racionales, véanse los ejemplos 2 y 3.

3. Explique cómo multiplicar, dividir, sumar y restar expresiones racionales. Para ejemplos de operaciones con expresiones racionales, véanse los ejemplos 4–7.

4. Enuncie la definición de una fracción compleja. Para un ejemplo de simplificación de una fracción compleja, véase el ejemplo 8.

5. Explique cómo reescribir un cociente de diferencias. Para un ejemplo de reescritura de un cociente de diferencias, véase el ejemplo 11.

1.5

47

Expresiones racionales

1.5 Ejercicios Vocabulario: llene los espacios en blanco.

1. El conjunto de números reales para el cual se define una expresión algebraica es el

de la expresión.

2. El cociente de dos expresiones algebraicas es una expresión fraccionaria y el cociente de dos polinomios es un .

3. Las expresiones fraccionarias con fracciones separadas en el numerador, denominador o ambos son fracciones

.

4. Dos expresiones algebraicas que tienen el mismo dominio y rinden los mismos valores para todos los números en su dominio son .

Habilidades y aplicaciones* Determinación del dominio de una expresión algebraica En los ejercicios 5-16, determine el dominio de la expresión.

5. 3x2 − 4x + 7 1 7.

3−x 9.

11.

13.

15.

6. 6x2 − 9, 1 8. x+5 x−4 1 − 2x

x2 − 5x + 6 x2 + 6x + 8

12.

x2 − 1 x2 + 3x − 10 2x − 5 1 x+2

16.

Simplificación de una expresión racional En los ejercicios 17-30, escriba la expresión racional en su forma más simple.

17.

15x2

18.

10x

x−5 19.

10 − 2x

18y2 60y5

12 − 4x 20. x−3

y2 − 16 y+4

22.

x2 − 25 5−x

23.

6y + 9y2 12y + 8

24.

4y − 8y2 10y − 5

25.

x2 + 4x − 5 x2 + 8x + 15

26.

x2 + 8x − 20 x2 + 11x + 10

27.

−x−2 10 − 3x − x2

28.

4 + 3x − 2x2 − 7x − 4

29.

− 16 x3 + x2 − 16x − 16

30.

−1 x3 + x2 + 9x + 9

x2

x2

x2

31. Análisis de errores Describa el error.

5x3 5 5 5x3 = 3 = = + 4 2x + 4 2 + 4 6

2x3

1

2

3

4

5

6

x−3 x2 − x − 6

Multiplicación o división de expresiones racionales En los ejercicios 33-38, realice la multiplicación o división y simplifique.

33.

5 x−1 ∙ x − 1 25(x − 2)

34.

r r2 ÷ 2 r−1 r −1

35.

x2 − 4 2−x ÷ 12 2x + 4

36.

t2 − t − 6 t+3 ∙ t 2 + 6t + 9 t 2 − 4

37.

x2 + xy − 2y2 x ∙ 2 x3 + x2y x + 3xy + 2y2

38.

x2 − 14x + 49 3x − 21 ÷ x2 − 49 x+7 Adición o sustracción de expresiones racionales En los ejercicios 39-46, realice la adición o sustracción y simplifique.

21.

x2

0

Complete

1 x+2

10.

14.

x

x > 0

x+6 3x + 2

x−7 1 x−3

32. Evaluación de una expresión racional la tabla. ¿Qué puede concluir?

39.

x−1 x−4 − x+2 x+2

40.

2x − 1 1 − x + x+3 x+3

41.

1 x + 3x + 2 x + 1

42.

x 6 − x+4 x−1

43.

x 3 − 2x + 4 x + 2

44.

x2

2 4 + −9 x+3

2 1 1 + 45. − + 2 x x + 1 x3 + x 46.

2 2 1 + + x + 1 x − 1 x2 − 1

* Los videos tutoriales disponibles mediante el código QR se encuentran en inglés. Esta obra es una adaptación, por lo que estos videos corresponden sólo a los ejercicios seleccionados.

48

Capítulo 1

Fundamentos de álgebra

Análisis de errores En los ejercicios 47 y 48, describa el error.

47.

x + 4 3x − 8 x + 4 − 3x − 8 − = x+2 x+2 x+2

61.

−2x − 4 = x+2 =

Simplificación de un cociente de diferencias En los ejercicios 61-64, simplifique el cociente de diferencias.

−2(x + 2) x+2

63.

1 1 − x+h x h 1 1 − x+h−4 x−4 h

=

6 − x + (x + 2)2 + 8 x2(x + 2)

65.

x+2− 2

x

66.

z−3− −3

z

=

6 − x + x2 + 4x + 4 + 8 x2(x + 2)

67.

t+3− t

3

68.

x+5− x

5

=

x2 + 3x + 18 x2(x + 2)

69.

x+h+1− h

x+1

70.

x+h−2− h

x−2

Simplificación de una fracción compleja En los ejercicios 49-54, simplifique la fracción compleja.

51.

x −1 2 x−2

50.

x2 (x + 1)2 x (x + 1)3 x−

53.

52.

x+5 x −5 5 x2 − 1 x (x − 1)2 x

1 2 x x

54.

t2 − t2 + 1 t2

t2 + 1

Factorización de una expresión En los ejercicios 55-58, factorice la expresión factorizando el factor común con el exponente menor.

55.

56.

57.

58.

x2(x2 + 3)−4 + (x2 + 3)3 2x(x − 5)−3 − 4x2(x − 5)−4 2x2(x − 1)1 2 − 5(x − 1)−1 2 4x3(x + 1)−3 2 − x(x + 1)−1 2

60.

3x1

− x−2 3x−2 3 3

T=

4t2 + 16t + 240 t2 + 4t + 10

donde T es la temperatura (en grados Celsius) y t el tiempo (en horas). a) Complete la tabla.

0

2

4

6

8

10

20

22

12

T t

14

16

18

T

3

−x3(1 − x2)−1

71. Refrigeración Después de meter alimentos (a temperatura ambiente) en un refrigerador, el tiempo requerido para que esos alimentos se enfríen depende de la cantidad de alimento, la circulación de aire en el refrigerador, la temperatura original de los alimentos y la temperatura del refrigerador. El modelo que da la temperatura de alimentos con una utterstock.com temperatura original de © Mateusz Wolski/Sh 24°C e introducidos en un refrigerado a 4°C es:

t

Simplificación de una expresión En los ejercicios 59 y 60, simplifique la expresión.

59.

64.

Reescritura de un cociente de diferencias En los ejercicios 65-70, reescriba el cociente de diferencias racionalizando el numerador.

= −2, x ≠ −2 6−x x+2 8 48. + + 2 x(x + 2) x2 x (x + 2)

49.

62.

1 1 − (x + h)2 x2 h x x+h − x+h+1 x+1 h

2

− 2x(1 − x2)1

x4

2

b) ¿Qué valor de T parece aproximar el modelo matemático?

1.5

72. Velocidad Una fotocopiadora copia a una velocidad de 50 páginas por minuto. a) Determine el tiempo requerido para copiar una página. b) Determine el tiempo requerido para copiar x páginas. c) Determine el tiempo requerido para copiar 120 páginas.

Probabilidad En los ejercicios 73 y 74, considere un experimento en el que una canica es lanzada a una caja cuya base se muestra en la figura. La probabilidad de que la canica se detenga en la porción sombrada de la base es igual a la razón del área sombreada y el área total de la figura. Determine esa probabilidad.

73. x 2

x

r=

NM 24(NM − P) ÷ P+ N 12

donde N es el número total de pagos, M el pago mensual y P el monto financiado. a) Aproxime la tasa de interés anual de un préstamo por 28,000 dólares a cinco años, para la compra de un automóvil con pagos mensuales de 525 dólares. b) Simplifique la expresión de la tasa de interés anual r y vuelva a trabajar el inciso a).

77. Ingeniería eléctrica La fórmula para la resistencia total RT (en ohms) de dos resistores conectados en paralelo es: RT =

74. x+4

1 1 1 + R1 R2

donde R1 y R2 son los valores de resistencia del primero y segundo resistores, respectivamente. Simplifique la expresión de la resistencia total RT .

x (x + 2)

75. Administración interactiva de dinero La tabla muestra la cantidad de hogares estadounidenses (en millones) que usaron la banca en línea y móvil de 2011 a 2014. (Fuente: Fiserv, Inc.) Año

Banca en línea

Banca móvil

2011

79

18

2012

81

24

2013

83

30

2014

86

35

78.

Porcentaje de nivel normal de oxígeno

4 x

49

76. Finanzas La fórmula que aproxima la tasa de interés anual r de un préstamo a pagar a plazos mensuales es:

x 2x + 1

x+2

Expresiones racionales

Los modelos matemáticos para los datos son Número que usó la banca en línea

−2.9709t + 70.517 −0.0474t + 1

0.661t 2 − 47 Número que usó la banca móvil 0.007t 2 + 1 donde t representa el año, con t 11 correspondiente a 2011. a) Con el uso de los modelos, cree una tabla que muestre el número de hogares que usó la banca en línea y el número de hogares que usó la banca móvil en los años dados. b) Compare los valores de los modelos con los datos reales. c) Determine un modelo para la razón del número de hogares que usó la banca móvil y el número de hogares que usó la banca en línea. d) Use el modelo del inciso c) para determinar las razones de los años dados. Interprete sus resultados.

¿CÓMO LO VE? El modelo matemático: t2 − t + 1 , t ≥ 0 P = 100 t2 + 1 da el porcentaje P del nivel normal de oxígeno en un lago, donde t es el tiempo (en semanas) después de que se arrojan al lago desechos orgánicos. La gráfica de barras muestra la situación. ¿Qué conclusiones puede sacar de la gráfica de barras?

100 80 60 40 20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12

Tiempo (en semanas)

Exploración ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 79 y 80, determine si los enunciados son verdaderos o falsos. Justifique su respuesta.

79.

x2n − 12n = x n + 1n xn − 1n

80.

x2 − 3x + 2 = x − 2, para todos los valores de x x−1

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