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Carta pedagógica de colores Mecánica y termodinámica vectores cantidad de movimiento S lineal ( p ) y cantidad S de movimiento angular ( L)

Desplazamiento y vectores de posición Vectores desplazamiento y componentes de los vectores de posición

Vectores componentes de cantidad de movimiento lineal y angular

Vectores de velocidad S S lineal ( v ) y angular (v) Vectores componentes de la velocidad S Vectores de fuerza(F) Vectores componentes de fuerza

S

Vectores de momento de fuerza( t) Vectores componentes de momento de fuerza Direcciones de diagramas de movimiento lineal o rotacional

S

Vectores aceleración( a ) Vectores componentes de aceleración Flechas de transferencia de energía

Wmotor

Flecha de dimensión rotacional Flecha ampliada

Qc

Qh

Resortes Poleas

Flecha de proceso

Electricidad y magnetismo Líneas de campo eléctrico Vectores de campo eléctrico Vectores componentes de campo eléctrico

Capacitores

Líneas de campo magnético Vectores de campo magnético Vectores componentes de campo magnético

Voltímetros

V

Amperímetros

A

Cargas positivas Cargas negativas

Inductores (bobinas)

Fuentes de CA Lamparas

Resistencias

Símbolo de tierra

Baterías y otros Fuentes de alimentación de CC

Corriente

Interruptores

Luz y óptica Rayos de luz

Espejo plano Espejo curvo

Extensión del rayo de luz Objetos Lente convergente Lente divergente

Imágenes


Física

1

para ciencias e ingeniería DÉCIMA EDICIÓN Revisión técnica

Raymond A. Serway Emeritus, James Madison University

México

Luis González Urbán

Adrián Arreola Pérez

Instituto Politécnico Nacional

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Marcela Martha Villegas Garrido

Aurelio Domínguez González

John W. Jewett, Jr. Emeritus, California State Polytechnic University, Pomona Con las contribuciones de Vahé Peroomian, University of Southern California

Universidad Autónoma de Querétaro

Mario Alberto Montante Garza

Carlos Alberto Pereyda Pierre

Instituto Tecnológico de Querétaro

Instituto Tecnológico de Hermosillo

Miguel Ángel Alonzo Flores

Claudia Camacho Zuñiga

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Occidente

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Fredy Jiménez Rojas Instituto Tecnológico de Celaya

Jaime Castillo Torres Universidad Iberoamericana

Jaime Jiménez Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Traducción Ana Elizabeth García Hernández

Javier León Cárdenas Instituto Politécnico Nacional

José García Romero

Revisión técnica Misael Flores Rosas Escuela Superior de Ingeniería Química e Industrias Extractivas Instituto Politécnico Nacional

Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México

Universidad Autónoma del Estado de México

José Luis Luna Segovia Instituto Tecnológico de Celaya

Omar Olmos López Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Oswaldo Monroy Nava Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Toluca

Raymundo Escamilla Sánchez Universidad Autónoma del Estado de México

Rodolfo Felix Acosta Universidad LaSalle del Noroeste

Rodolfo Rodríguez y Masegosa Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Monterrey

Samuel Rosalio Cuevas Universidad de Guadalajara

Juan Méndez Ramírez Tecnológico de Estudios Superiores de Jocotitlán

Costa Rica

Judith Pérez Morales

Universidad de Costa Rica

Universidad Autónoma del Estado de México

Lucio López Cavazos Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Querétaro

Fernando Ureña Elizondo Germán Vidaurre Universidad de Costa Rica

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Física para ciencias e ingeniería 1 Décima edición 5D\PRQG$6HUZD\ -RKQ:-HZHWW-U Director Higher Education Latinoamérica: 5HQ]R&DVDS¯D9DOHQFLD Gerente editorial Latinoamérica: -HV¼V0DUHV&KDFµQ Editor Senior Hardside: 3DEOR0LJXHO*XHUUHUR5RVDV Coordinador de manufactura: 5DIDHO3«UH]*RQ]£OH] Diseño de portada: (GJDU0DOGRQDGR+HUQ£QGH] Imágenes de portada: =KDQJ-LDQ&KHQJGX(FRQRPLF'DLO\ 9&**HWW\ΖPDJHV &RPSRVLFLµQWLSRJU£ȴFD (GLFLRQHV29$

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Impreso en México 18 19 20 21 7 6 5 4 3 2 1


Contenido Breve P A R T E

1

Mecánica 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Física y medición 2 Movimiento en una dimensión 20 Vectores 52 Movimiento en dos dimensiones 68 Las leyes del movimiento 95 Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton 127 Energía de un sistema 150 Conservación de la energía 181 Equilibrio estático y elasticidad 210 Rotación de un objeto rígido en torno a un eje fijo 249 Cantidad de movimiento angular 285 Equilibrio estático y elasticidad 310 Gravitación universal 332 Mecánica de fluidos 358

P A R T E

2

Oscilaciones y ondas mecánicas

385

15 Movimiento oscilatorio 386 16 Movimiento ondulatorio 415 17 Sobreposición y ondas estacionarias 451

P A R T E

3

Termodinámica 481 18 19 20 21

Temperatura 482 Primera ley de la termodinámica 501 Teoría cinética de los gases 533 Máquinas térmicas, entropía y segunda ley de la termodinámica 556


5

Las leyes del movimiento

Su prima se prepara para atrapar un huevo crudo lanzado en una fiesta de cumpleaños. (Sue McDonald/Shutterstock.com)

IMAGINE Ha regresado a casa desde su viaje a la Isla Catalina en los dos capítulos anteriores. Su familia está teniendo un picnic para celebrar un cumpleaños, así que hay mucha gente en su patio trasero en un día hermoso. Alguien sugiere un concurso de lanzamiento de huevos. Usted decide ofrecer algún consejo a su prima y le dice que mueva sus manos hacia atrás justo cuando atrape el huevo. Su prima le mira a los ojos y dice, “¿por qué?” Usted está tentado a decir, “porque sólo eso es cómo lo haces”, pero luego considera implicaciones más profundas de la pregunta de su prima. ¿Por qué mueve las manos hacia atrás? ¿Qué sucede si mantiene sus manos en una posición fija y atrapa el huevo? ¿Por qué tiene su prima que intentar esto? Lleva a su prima a la computadora y buscan videos de YouTube que tratan de la captura de un huevo, y luego encuentran algunos videos que muestran los resultados de arrojar un huevo en una sábana vertical. Mientras usted y su prima miran estos videos, ambos empiezan a entender la física de lanzar y atrapar huevos. CONEXIONES En los capítulos anteriores, aprendimos cómo describir el movimiento de partículas y objetos que pueden modelarse como partículas. Vimos que el movimiento cambia de diferentes maneras. La aceleración de un auto es un cambio en su velocidad. La dirección de la velocidad de una pelota béisbol cambia a medida que vuela por el aire. Podemos describir estos cambios con el material en los capítulos anteriores, pero ¿qué causa estos cambios? Esta pregunta representa una transición de la cinemática, la descripción del movimiento, a la dinámica, el estudio de las causas de los cambios en el movimiento. Vamos a ver que fuerza es la causa de los cambios en el movimiento, y vamos a estudiar los efectos de la fuerza a través de las leyes del movimiento que nos entregó Isaac Newton. El concepto de fuerza se usará una y otra vez en capítulos futuros: fuerza gravitacional en el capítulo 13, fuerzas eléctricas en el capítulo 22, fuerzas magnéticas en el capítulo 28, fuerzas nucleares en el capítulo 43, y más.

5.1

Concepto de fuerza

5.2

Primera ley de Newton y marcos inerciales

5.3

Masa

5.4

Segunda ley de Newton

5.5

Fuerza gravitacional y peso

5.6

Tercera ley de Newton

5.7

Modelo de análisis utilizando la segunda ley de Newton

5.8

Fuerzas de fricción

95


96

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

Christie’s Images Ltd./Superstock

5.1 Concepto de fuerza

Isaac Newton Físico y matemático inglés (1642-1727) Isaac Newton fue uno de los más brillantes científicos de la historia. Antes de cumplir 30 años, formuló los conceptos básicos y las leyes de la mecánica, descubrió la ley de gravitación universal e inventó los métodos matemáticos del cálculo. Como consecuencia de sus teorías, Newton fue capaz de explicar los movimientos de los planetas, la marea baja y la marea alta y muchas características especiales de los movimientos de la Luna y la Tierra. También interpretó muchas observaciones fundamentales concernientes a la naturaleza de la luz. Sus aportaciones a las teorías físicas dominaron el pensamiento científico durante dos siglos y siguen siendo importantes en la actualidad.

Cada uno tiene una comprensión básica del concepto de fuerza a partir de la experiencia cotidiana. Cuando aleja un plato de comida vacío, ejerce una fuerza sobre él. De igual modo, cuando se lanza o patea una pelota se ejerce una fuerza sobre ella. En estos ejemplos, la palabra fuerza se refiere a una interacción con un objeto mediante actividad muscular y algún cambio en la velocidad del objeto. Sin embargo, las fuerzas no siempre causan movimiento. Por ejemplo, cuando está sentado, sobre su cuerpo actúa una fuerza gravitacional y aun así usted permanece fijo. Como segundo ejemplo, puede empujar (en otras palabras, ejercer una fuerza) sobre una gran roca y no ser capaz de moverla. ¿Qué fuerza (si la hay) hace que la Luna orbite la Tierra? Newton respondió ésta y otras preguntas relacionadas al afirmar que las fuerzas son lo que causa cualquier cambio en la velocidad de un objeto. La velocidad de la Luna cambia en dirección porque se mueve en una órbita casi circular en torno a la Tierra. Este cambio en velocidad lo causa la fuerza gravitacional ejercida por la Tierra sobre la Luna. Cuando un resorte se jala, como en la figura 5.1a, el resorte se estira. Cuando se jala un carrito estacionario, como en la figura 5.1b, el carrito se mueve. Cuando se patea un balón, como en la figura 5.1c, se deforma y se pone en movimiento. Estas situaciones son ejemplos de una clase de fuerzas llamadas fuerzas de contacto. Esto es, implican contacto físico entre dos objetos. Otras fuerzas de contacto son la fuerza que ejercen las moléculas de un gas sobre las paredes de un contenedor y la fuerza que ejerce su pie sobre el suelo. Otra clase de fuerzas, conocidas como fuerzas de campo, no involucran contacto físico entre dos objetos. Estas fuerzas actúan a través del espacio vacío. La fuerza gravitacional de atracción entre dos objetos con masa, que se ilustra en la figura 5.1d, es un ejemplo de esta clase de fuerza. La fuerza gravitacional mantiene a los objetos ligados a la Tierra y a los planetas en órbita alrededor del Sol. Otra fuerza de campo común es la fuerza eléctrica que una carga eléctrica ejerce sobre otra (figura 5.1e), como la fuerza eléctrica atractiva entre un electrón y un protón formando un átomo de hidrógeno. Un tercer ejemplo de fuerza de campo es la fuerza que un imán de barra ejerce sobre un trozo de hierro (figura 5.1f). La distinción entre fuerzas de contacto y fuerzas de campo no es tan clara como se podría pensar a partir de la discusión anterior. Cuando se examinan a nivel atómico, todas las fuerzas que se clasifican como fuerzas de contacto resultan ser causadas por fuerzas (de campo) eléctricas del tipo que se ilustra en la figura 5.1e. No obstante, al desarrollar modelos para fenómenos macroscópicos, es conveniente usar ambas clasificaciones de fuerzas. Las únicas fuerzas fundamentales conocidas en la naturaleza son todas fuerzas de campo: 1) fuerzas gravitacionales entre objetos, 2) fuerzas electromagnéticas entre cargas eléctricas, 3) fuerzas fuertes entre partículas subatómicas y 4) fuerzas débiles que surgen en ciertos procesos de decaimiento radiactivo. En la física clásica sólo interesan las fuerzas gravitacional y electromagnética. Las fuerzas fuerte y débil se discutirán en el capítulo 44.

Fuerzas de contacto

a

Figura 5.1 Algunos ejemplos de fuerzas aplicadas. En cada caso, sobre el objeto dentro del área limitada por líneas discontinuas se ejerce una fuerza. Algún agente en el ambiente exterior al área del recuadro ejerce una fuerza sobre el objeto.

c

b Fuerzas de campo

m

d

q

M

e

Q

Hierro

f

N

S


5.2 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton S

Una fuerza S descendente F2 estira el resorte 2.00 cm.

S

Cuando F1 y F2 se aplican juntas en la misma dirección, el resorte se estira 3.00 cm.

S

S

Cuando F1 es descendente y F2 es horizontal, la combinación de las dos fuerzas estira el resorte 2.24 cm.

0 1 2 3 4

0 1 2 3 4

4

3

0 1 2 3 4

2

1

0

Una fuerza S descendente F1 estira el resorte 1.00 cm.

97

S

F2

u S

F1

S

F

S

F1 S

F1

S

F2

Figura 5.2

S

F2 a

b

c

d

La naturaleza vectorial de una fuerza se prueba con una balanza de resorte.

La naturaleza vectorial de la fuerza Es posible usar la deformación de un resorte para medir fuerzas. Suponga que una fuerza vertical se aplica a una balanza de resorte que tiene un extremo superior fijo, como se muestra en la figura 5.2a. El resorte se estira cuando la fuerza se aplica, y un puntero en la escala lee la elongación del resorte. El resorte se puede calibrar al definir una fuerza S de referencia F 1 como la fuerza que produce una lectura de 1.00 cm. Si ahora se aplica S una fuerza hacia abajo diferente F 2 cuya magnitud es el doble de la fuerza de referencia S F 1 como se ve en la figura 5.2b, el puntero se mueve 2.00 cm. La figura 5.2c muestra que el efecto combinado de las dos fuerzas colineales es la suma de los efectos de las fuerzas individuales. S Ahora suponga que la aplicación de las dos fuerzas es simultánea con F 1 descendente S y F 2 horizontal, como se ilustra en la figura 5.2d. En este caso, el puntero indica 2.24 cm. S S S La fuerza única F que produciría esta misma lectura es la suma de los dos vectores F 1 y F 2, S unidades, y su direccomo se describe en la figura 5.2d. Esto es, u F 1u 5 ÏF12 1 F2 2 5 ción es u 5 tan21(20.500) 5 226.6o. Puesto que se ha comprobado experimentalmente que las fuerzas se comportan como vectores, se deben aplicar las reglas de adición vectorial para obtener la fuerza neta en un objeto.

5.2 Primera ley de Newton y marcos inerciales El estudio de las fuerzas comienza al imaginar algunas situaciones físicas que involucran un disco sobre una mesa de hockey de aire perfectamente a nivel (figura 5.3). Se espera que el disco permanezca donde se coloca. Ahora piense que su mesa de hockey de aire se ubica en un tren que se mueve con velocidad constante a lo largo de una pista perfectamente uniforme. Si el disco se deposita en la mesa, de nuevo permanece donde se le coloca. Sin embargo, si el tren acelera, el disco comenzaría a moverse a lo largo de la mesa en dirección opuesta a la de la aceleración del tren, igual como un conjunto de papeles en el tablero de su automóvil cae en el asiento delantero cuando pisa el acelerador. Como se vio en la sección 4.6, es posible observar un objeto en movimiento desde muchos marcos de referencia. La primera ley del movimiento de Newton, a veces llamada

Flujo de aire Soplador eléctrico

Figura 5.3

En una mesa de hockey de aire, el aire que sopla a través de los hoyos en la superficie permite que el disco se mueva casi sin fricción. Si la mesa no acelera, un disco colocado sobre la mesa permanecerá en reposo.


98

Capítulo 5

Las leyes del movimiento ley de la inercia, define un conjunto especial de marcos de referencia llamados marcos inerciales. Esta ley se puede establecer de modo teórico como sigue siguiente:

Un enunciado teórico de la primera ley de Newton.

Marco de referencia inercial

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.1 Primera ley de Newton La primera ley de Newton no explica lo que sucede con un objeto con fuerza neta cero, esto es, múltiples fuerzas que se cancelan; expresa lo que ocurre en ausencia de fuerzas externas. Esta diferencia sutil pero importante permite definir la fuerza como la causa de un cambio en el movimiento. La descripción de un objeto bajo el efecto de fuerzas que se equilibran la cubre la segunda ley de Newton.

Otro enunciado de la primera ley de Newton

Definición de fuerza

Si un objeto no interactúa con otros objetos, es posible identificar un marco de referencia inercial en el que el objeto tiene aceleración cero. Tal marco de referencia se llama marco de referencia inercial. Cuando el disco está en la mesa de hockey de aire ubicada en el suelo, usted lo observa desde un marco de referencia inercial; no hay interacciones horizontales del disco con cualquier otro objeto y observa que tiene aceleración cero en dicha dirección. Cuando usted está en el tren en movimiento con velocidad constante, también observa el disco desde un marco de referencia inercial. Cualquier marco de referencia que se mueve con velocidad constante en relación con un marco inercial es, en sí mismo, un marco inercial. Sin embargo, cuando usted y el tren aceleran, usted observa el disco desde un marco de referencia no inercial porque el tren acelera en relación con el marco de referencia inercial de la superficie de la Tierra. Mientras el disco parece acelerar de acuerdo con sus observaciones, se puede identificar un marco de referencia en el cual el disco tiene aceleración cero. Por ejemplo, un observador que está fuera del tren en el suelo ve el disco deslizándose respecto a la mesa pero siempre moviéndose con la misma velocidad que tiene el tren relativa al piso antes de comenzar a acelerar (porque casi no hay fricción para “amarrar” el disco y el tren). Debido a eso, todavía se satisface la primera ley de Newton, aun cuando sus observaciones como pasajero del tren muestren una aceleración aparente respecto a usted. Un marco de referencia que se mueve con velocidad constante en relación con las estrellas distantes es la mejor aproximación de un marco inercial y, para propósitos de estudio, se considera a la Tierra como marco. En realidad la Tierra no es un marco inercial debido a su movimiento orbital en torno al Sol y su movimiento rotacional alrededor de su propio eje, y ambos involucran aceleraciones centrípetas. Sin embargo, estas aceleraciones son pequeñas comparadas con g, y con frecuencia se pueden despreciar. Por esta razón, la Tierra es modelada como un marco inercial, junto con cualquier otro marco unido a ésta. Suponga que observa un objeto desde un marco de referencia inercial. (En la sección 6.3 se regresará a observaciones hechas en marcos de referencia no inerciales.) Antes de 1600, los científicos creían que el estado natural de la materia era el estado de reposo. Las observaciones mostraron que los objetos en movimiento finalmente dejaban de moverse. Galileo fue el primero en considerar un planteamiento diferente del movimiento y del estado natural de la materia. Diseñó experimentos mentales y concluyó que no es la naturaleza de un objeto detenerse una vez que se pone en movimiento: más bien, su naturaleza es resistir el cambio en su movimiento. En sus palabras: “cualquier velocidad una vez impartida a un cuerpo móvil se mantendrá firme siempre y cuando se retiren las causas externas del retardo”. Por ejemplo, una nave espacial que navega a través del espacio vacío con su motor apagado seguirá moviéndose para siempre. No buscaría un “estado natural” de reposo. Dada la discusión de las observaciones realizadas acerca de los marcos de referencia inerciales, se puede plantear un enunciado más práctico de la primera ley del movimiento de Newton: En ausencia de fuerzas externas, y cuando se ve desde un marco de referencia inercial, un objeto en reposo se mantiene en reposo y un objeto en movimiento continúa en movimiento con una velocidad constante (esto es, con una rapidez constante en una línea recta). En otras palabras, cuando ninguna fuerza actúa sobre un objeto, la aceleración del objeto es cero. Una conclusión a partir de la primera ley, es que cualquier objeto aislado (uno que no interactúa con su entorno) está en reposo o en movimiento con velocidad constante. La tendencia de un objeto a resistir cualquier intento por cambiar su velocidad se llama inercia. Dado el enunciado anterior de la primera ley, se puede concluir que un objeto que acelera debe experimentar una fuerza. A su vez, de la primera ley, se puede definir fuerza como aquello que causa un cambio en el movimiento de un objeto.


5.4 Segunda ley de Newton

99

E XAMEN RÁPIDO 5.1 Cuál de los siguientes enunciados es correcto? a) Es posible que un objeto tenga movimiento en ausencia de fuerzas sobre el objeto. b) Es posible tener fuerzas sobre un objeto en ausencia de movimiento del objeto. c) Ni a) ni b) son correctos. d) Tanto a) como b) son correctos.

5.3 Masa Piense que quiere atrapar ya sea un balón de basquetbol o una bola de boliche. ¿Cuál es más probable que siga moviéndose cuando intenta capturarla? ¿Cuál requiere más esfuerzo para lanzarla? La bola de boliche requiere más esfuerzo. En el lenguaje de la física, se dice que la bola de boliche es más resistente al cambio en su velocidad que la de basquetbol. ¿Cómo se puede cuantificar este concepto? La masa es la propiedad de un objeto que especifica cuánta resistencia muestra un objeto para cambiar su velocidad y, como se aprendió en la sección 1.1, la unidad del SI de masa es el kilogramo. Los experimentos muestran que mientras más grande sea la masa de un objeto, menos acelera el objeto bajo la acción de una fuerza aplicada conocida. Para describir la masa en unidades cuantitativas, se realizan experimentos en los que se comparan las aceleraciones que produce una fuerza conocida sobre diferentes objetos. Suponga que una fuerza actúa sobre un objeto de masa m1 produce un cambio en el S movimiento de éste que puede cuantificarse mediante la aceleración a 1 del objeto, y la S misma fuerza sobre un cuerpo de masa m2 produce una aceleración a 2. La relación de las dos masas se define como la proporción inversa de las magnitudes de las aceleraciones producidas por la fuerza: m1 a2 (5.1) ; m2 a1 Por ejemplo, si una fuerza conocida que actúa sobre un objeto de 3 kg produce una aceleración de 4 m/s2, la misma fuerza aplicada a un objeto de 6 kg produce una aceleración de 2 m/s2. De acuerdo con un cúmulo de observaciones similares, se concluye que la magnitud de la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa cuando sobre él actúa una fuerza conocida. Si un objeto tiene una masa conocida, la masa del otro objeto se obtiene a partir de mediciones de aceleración. La masa es una propiedad inherente de un objeto y es independiente del entorno del objeto y del método que se aplica para medirla. Además, la masa es una cantidad escalar que obedece las reglas de la aritmética ordinaria. Por ejemplo, si combina una masa de 3 kg con una masa de 5 kg, la masa total es 8 kg. Este resultado se puede verificar experimentalmente al comparar la aceleración que una fuerza conocida proporciona a diferentes objetos por separado con la aceleración que la misma fuerza proporciona a los mismos objetos combinados como una unidad. La masa no se debe confundir con el peso. La masa y el peso son dos cantidades diferentes. El peso de un objeto es igual a la magnitud de la fuerza gravitacional ejercida sobre el objeto y varía con la posición (véase la sección 5.5). Por ejemplo, una persona que pesa 180 lb sobre la Tierra pesa sólo aproximadamente 30 lb sobre la Luna. Por otra parte, la masa de un objeto por dondequiera es la misma: un objeto que tiene una masa de 2 kg sobre la Tierra también tiene una masa de 2 kg sobre la Luna.

Definición de masa

Masa y peso son cantidades diferentes

5.4 Segunda ley de Newton La primera ley de Newton explica lo que sucede a un objeto cuando sobre él no actúan fuerzas: mantiene su movimiento original; permanece en reposo o se mueve en línea recta con rapidez constante. La segunda ley de Newton responde la pregunta de qué le ocurre a un objeto que tiene una o más fuerzas que actúan en él. Imagine realizar un experimento en el que empuja un bloque de masa m a través de S una superficie horizontal sin fricción. Cuando ejerce alguna fuerza horizontal F sobre S el bloque, éste se mueve con cierta aceleración a . Si aplica al doble una fuerza sobre el mismo bloque, los resultados experimentales muestran que la aceleración del bloque se S duplica; si aumenta la fuerza aplicada a 3F , la aceleración se triplica, etcétera. A partir de tales observaciones, se concluye que la aceleración de un objeto es directamente propor-

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.2 La fuerza es la causa de cambios en el movimiento Un objeto puede tener movimiento en ausencia de fuerzas, como describe la primera ley de Newton. Por tanto, no interprete la fuerza como la causa del movimiento. La fuerza es la causa de los cambios en el movimiento.


100

Capítulo 5

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.3 S

m a no es una fuerza La ecuación 5.2 no indica que el producto mS a sea una fuerza. Todas las fuerzas sobre un objeto se añaden como vectores para generar la fuerza neta en el lado izquierdo de la ecuación. En tal caso esta fuerza neta se iguala con el producto de la masa del objeto y la aceleración que resulta de la fuerza neta. No incluya una “fuerza mS a en su análisis de las fuerzas sobre un objeto.

Las leyes del movimiento S

S

cional a la fuerza que actúa sobre él: F ~ a . Esta idea se introdujo por primera ocasión en la sección 2.4, cuando se discutió la dirección de la aceleración de un objeto. La magnitud de la aceleración de un objeto es inversamente proporcional a su masa, como se afirmó en S la sección anterior: u a u ~ 1ym. Estas observaciones experimentales se resumen en la segunda ley de Newton: Cuando se ve desde un marco de referencia inercial, la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa: S

S

a ~

oF m

Si se elige una constante de proporcionalidad 1, se relaciona masa, aceleración y fuerza a través del siguiente enunciado matemático de la segunda ley de Newton:1 S

S

o F 5 ma

Segunda ley de Newton

(5.2)

Tanto en el enunciado textual como en el matemático de la segunda ley de Newton se S indicó que la aceleración se debe a la fuerza neta o F que actúa sobre un objeto. La fuerza neta sobre un objeto es la suma vectorial de todas las fuerzas que actúan sobre el objeto. (A veces a la fuerza neta se le referirá como fuerza total, fuerza resultante o fuerza desequilibrada.) Al resolver un problema con la segunda ley de Newton, es imperativo determinar la fuerza neta correcta sobre un objeto. Muchas fuerzas pueden actuar sobre un objeto, pero sólo hay una aceleración. La ecuación 5.2 es una expresión vectorial y por tanto es equivalente a tres ecuaciones componentes:

oF

Segunda ley de Newton: forma de componentes

x

5 max

o F 5 ma y

y

o F 5 ma z

z

(5.3)

E XAMEN RÁPIDO 5.2 Un objeto no experimenta aceleración. ¿Cuál de los siguientes enunciados no puede ser cierto para el objeto? (a) Una sola fuerza actúa sobre el objeto. (b) No actúan fuerzas sobre el objeto. (c) Sobre el objeto actúan fuerzas, pero éstas se cancelan. E XAMEN RÁPIDO 5.3 Usted empuja un objeto, al inicio en reposo, a través de un piso sin fricción con una fuerza constante durante un intervalo de tiempo Δt, lo que resulta en una rapidez final de v para el objeto. Luego repite el experimento, pero con una fuerza que es el doble de grande. ¿Qué intervalo de tiempo se requiere ahora para alcanzar la misma rapidez final v? a) 4Δt, b) 2Δt, c) Δt, d) Δt/2, e) Δt/4. La unidad del SI de fuerza es el newton (N). Una fuerza de 1 N es la fuerza que, cuando actúa sobre un objeto de 1 kg de masa, produce una aceleración de 1 m/s2. A partir de esta definición y de la segunda ley de Newton, es claro que el newton se puede expresar en términos de las siguientes unidades fundamentales de masa, longitud y tiempo:

1 N ; 1 kg ? m/s2

Definición de newton

(5.4)

En el sistema inglés, la unidad de fuerza es la libra (lb). Una fuerza de 1 lb es la fuerza que, cuando actúa sobre una masa de 1 slug,2 produce una aceleración de 1 ft/s2:

1 lb ; 1 slug ? ft/s2 Una aproximación conveniente es 1 N < 14 lb. 1

La ecuación 5.2 es válida sólo cuando la rapidez del objeto es mucho menor que la rapidez de la luz. La situación relativista se trata en el capítulo 38.

2 El slug es la unidad de masa en el sistema usual estadounidense y es la contraparte de la unidad del SI de kilogramo en dicho sistema. Puesto que la mayoría de los cálculos en el estudio de la mecánica clásica están en unidades del SI, el slug se usa rara vez en este texto.


101

5.4 Segunda ley de Newton ¿Por qué mover las manos hacia atrás cuando se atrapa el huevo del argumento introductorio? Imagínese sosteniendo sus manos rígidamente y no moverlos cuando atrapa el huevo. Luego, el huevo pegará en la mano y alcanza el reposo en un breve intervalo de tiempo. Como resultado, la magnitud de la aceleración del huevo será grande. De acuerdo con la ecuación 5.2, esto requerirá una gran fuerza de sus manos. Esta gran fuerza es suficiente para romper la cáscara del huevo. Sin embargo, si mueve las manos hacia atrás, y lentamente alcance el reposo el huevo, la aceleración es de una magnitud mucho menor. Esto, a su vez, requiere una fuerza mucho más pequeña, que pueda mantener la cáscara del huevo intacta. El lanzar el huevo en la hoja es similar: cuando el huevo pega la hoja, la hoja se mueve en la misma dirección en respuesta, trayendo el huevo a una velocidad más baja sobre una distancia relativamente larga.

Ejemplo 5.1 Un disco de hockey que acelera y

Un disco de hockey que tiene una masa de 0.30 kg se desliza sobre la superficie horizontal sin fricción de una pista de patinaje. Dos bastones de hockey golpean el disco simultáneamente, y ejercen las fuerzas sobre el S disco que se muestran en la figura 5.4. La fuerza F 1 tiene una magnitud de S o 5.0 N, y está dirigida a ␪ 5 20 bajo el eje x. La fuerza F 2 tiene una magnitud de 8.0 N y su dirección es f 5 60o sobre el eje x. Determine tanto la magnitud como la dirección de la aceleración del disco.

S

F2

F1 = 5.0 N F2 = 8.0 N 60

Figura 5.4

(Ejemplo 5.1) Un disco de hockey que se mueve sobre una superficie sin fricción está sujeto S S a dos fuerzas, F 1 y F 2.

SOLUCIÓN

Conceptualizar Estudie la figura 5.4. Use su experiencia en adición vectorial del capítulo 3 y prediga la dirección aproximada del vector de fuerza neta sobre el disco. La aceleración del disco estará en la misma dirección.

x 20 S

F1

Categorizar Puesto que es posible determinar una fuerza neta y se quiere una aceleración, este problema se clasifica como uno que se puede resolver aplicando la segunda ley de Newton. En la sección 5.7, se introducirá formalmente el modelo para el análisis de una partícula sujeta a una fuerza neta para así estudiar una situación como esta. Analizar Encuentre la componente de la fuerza neta que actúa sobre el disco en la dirección x:

oF

Encuentre la componente de la fuerza neta que actúa sobre el disco en la dirección y:

o

Aplique la segunda ley de Newton en forma de componentes (ecuación 5.3) para encontrar las componentes x y y de la aceleración del disco:

ax 5

Sustituya valores numéricos:

Encuentre la magnitud de la aceleración: Calcule la dirección de la aceleración en relación con el eje positivo x:

x

5 F1x 1 F2x 5 F1 cos

1 F2 cos

Fy 5 F1y 1 F2y 5 F1 sen 1 F2 sen

ay 5

oF

x

m

o

Fy

m

5 5

1 F2 cos

F1 cos

m F1 sen 1 F2 sen m

s5.0 Nd cos s2208d 1 s8.0 Nd cos s608d 5 29 mys2 0.30 kg s5.0 Nd sin s2208d 1 s8.0 Nd sen s608d 5 17 mys2 ay 5 0.30 kg ax 5

a 5 Ïs29 mys2d2 1 s17 mys2d2 5 34 mys2 5 tan21

ay

17

1a 2 5 tan 1292 5 318 21

x

Finalizar Los vectores de la figura 5.4 se pueden sumar gráficamente para verificar lo razonable de la respuesta. Puesto que el vector aceleración está a lo largo de la dirección de la fuerza resultante, un dibujo que muestre el vector fuerza resultante ayuda a comprobar la validez de la respuesta. (¡Inténtelo!)

continúa


102

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

5.1 c o n t i n u a c i ó n ¿ Q U É P A S A R Í A S I ? Suponga que tres bastones de hockey golpean el disco simultáneamente, y dos de ellos ejercen las fuerzas que se muestran en la figura 5.4. El resultado de las tres fuerzas es que el disco de hockey no muestra aceleración. ¿Cuáles deben ser las componentes de la tercera fuerza?

Respuesta Si hay aceleración cero, la fuerza neta que actúa sobre el disco debe ser cero. En consecuencia, las tres fuerzas se deben cancelar. Las componentes de la tercera fuerza deben ser de igual magnitud y signo contrario comparadas con las componentes de la fuerza neta aplicada por las primeras dos fuerzas de modo que todas las componentes sumen cero. Por tanto, 28.7 N y F 3y 5 2 Fy 5 2s0.30 kgds17 mys 2d 5 25.2 N.

o

5.5 Fuerza gravitacional y peso Todos los objetos son atraídos hacia la Tierra. La fuerza de atracción que ejerce la Tierra S sobre un objeto se llama fuerza gravitacional F g . Esta fuerza se dirige hacia el centro de la Tierra3 y su magnitud se llama peso del objeto. En la sección 2.6 se vio que un objeto en caída libre experimenta una aceleración S g S que actúa hacia el centro de la Tierra. Al aplicar la segunda ley de Newton o F 5 mS a a un S S objeto en caída libre de masa m, con S a 5S g y o F 5 F g se obtiene

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.4 “Peso de un objeto” Es familiar la frase cotidiana “el peso de un objeto”. Sin embargo, el peso no es una propiedad inherente de un objeto; más bien, es una medida de la fuerza gravitacional entre el objeto y la Tierra (u otro planeta). Por tanto, el peso es una propiedad de un sistema: el objeto y la Tierra.

S

F g 5 mS g

(5.5) S

Por tanto, el peso de un objeto, al definirse como la magnitud de F g , está dado por PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.5

Fg = mg

El kilogramo no es una unidad de peso Es posible que haya visto la

NASA/Eugene Cernan

“conversión” 1 kg 5 2.2 lb. A pesar de las afirmaciones populares de peso expresadas en kilogramos, el kilogramo no es una unidad de peso, es una unidad de masa. El enunciado de conversión no es una igualdad; es una equivalencia que es válida sólo en la superficie de la Tierra. Este problema se planteó primero en el imagina del capítulo 1.

Figura 5.5

Astronauta Harrison Schmitt lleva una mochila en la espalda en la luna.

(5.6)

Puesto que depende de g, el peso varía con la ubicación geográfica. Ya que g disminuye a medida que crece la distancia al centro de la Tierra, los objetos pesan menos a mayores altitudes que a nivel del mar. Por ejemplo, un bloque de ladrillos de 1 000 kg utilizado en la construcción del Empire State en Nueva York pesaba 9 800 N a nivel de la calle, pero pesaba alrededor de 1 N menos cuando se levantó del nivel de la acera hasta lo alto del edificio. Como otro ejemplo, suponga que un estudiante tiene una masa de 70.0 kg. El peso del estudiante en una ubicación donde g 5 9.80 m/s2 es 686 N (aproximadamente 150 lb). Sin embargo, en lo alto de una montaña, donde g 5 9.77 m/s2, el peso del estudiante sólo es 684 N. En tal caso, si quiere perder peso sin someterse a dieta, ¡ascienda una montaña o pésese a 30 000 ft durante el vuelo de un avión! La ecuación 5.6 indica que hay una clara diferencia entre masa y peso. La unidad de sustentación de vida que lleva en la espalda el astronauta Harrison Schmitt pesaba 300 lb en la Tierra y tenía una masa de 136 kg. Durante su entrenamiento usó una mochila de 50 lb con una masa de 23 kg. Aunque esta estrategia simuló efectivamente el peso reducido que la unidad tendría en la Luna, no imitó correctamente la masa invariable. Fue más difícil acelerar la unidad de 136 kg (tal vez al saltar o dar vuelta súbitamente) en la Luna que acelerar la unidad de 23 kg sobre la Tierra. La ecuación 5.6 cuantifica la fuerza gravitacional sobre el objeto, pero note que esta ecuación no requiere que el objeto se mueva. Incluso para un objeto fijo o para un objeto sobre el que actúan varias fuerzas, la ecuación 5.6 se puede aplicar para calcular la magnitud de la fuerza gravitacional. El resultado es un cambio sutil en la interpretación de m en la ecuación. La masa m en la ecuación 5.6 establece la intensidad de la atracción gravitacional entre el objeto y la Tierra. Este papel es por completo diferente del descrito antes para la masa: medir la resistencia al cambio en movimiento como respuesta a una fuerza externa. En ese papel, la masa también es llamada masa inercial. Por ende, la m en la ecuación 5.6 se llama masa gravitacional. Aun cuando esta cantidad sea diferente en com3

Este enunciado ignora que la distribución de masa de la Tierra no es perfectamente esférica.


103

5.6 Tercera ley de Newton portamiento de la masa inercial, una de las conclusiones experimentales de la dinámica newtoniana es que la masa gravitacional y la masa inercial tienen el mismo valor. Aunque esta discusión se enfocó en la fuerza gravitacional sobre un objeto debida a la Tierra, el concepto generalmente es válido en cualquier planeta. El valor de g variará de un planeta a otro, pero la magnitud de la fuerza gravitacional siempre será conocida por el valor de mg. E XAMEN RÁPIDO 5.4 Suponga que habla por un teléfono interplanetario a un amigo que vive en la Luna. Él le dice que acaba de ganar un newton de oro en un concurso. Con excitación, ¡usted le dice que entró a la versión terrícola del mismo concurso y que también ganó un newton de oro! ¿Quién es más rico? a) Usted. b) Su amigo. c) Ambos son igualmente ricos.

Ejemplo conceptual 5.2 ¿Cuánto pesa en un elevador? Es muy probable que usted haya estado en un elevador que acelera hacia arriba mientras se mueve a pisos superiores. En este caso, se siente más pesado. De hecho, si se para en una báscula en ese momento, la báscula mide una fuerza que tiene una magnitud mayor que su peso. Por tanto, tiene evidencia sensorial y medida que lo lleva a creer que es más pesado en esta situación. ¿Es usted más pesado? SOLUCIÓN

No; su peso no cambia. Sus experiencias se deben al hecho de que está en un marco de referencia no inercial. Para proporcionar la aceleración ascendente, el suelo o la báscula deben ejercer sobre sus pies una fuerza hacia arriba que sea mayor en magnitud que su peso. Esta fuerza más grande que siente es la que interpreta como sentirse más pesado. La báscula lee esta fuerza ascendente, no su peso, y por eso su lectura aumenta. Vamos a examinar el efecto de la aceleración de un elevador en peso aparente en el ejemplo 5.8.

5.6 Tercera ley de Newton Si usted presiona contra una esquina de este libro con la yema de los dedos, el libro lo empuja de vuelta y forma una pequeña marca en su piel. Si empuja más fuerte, el libro hace lo mismo y la marca en su piel es un poco más profunda. Esta simple actividad ilustra que las fuerzas son interacciones entre dos objetos: cuando su dedo empuja sobre el libro, el libro empuja de vuelta sobre su dedo. Este importante principio se conoce como tercera ley de Newton: S

Si dos objetos interactúan, la fuerza F 12 que ejerce el objeto 1 sobre el objeto 2 es S igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza F 21 que ejerce el objeto 2 sobre el objeto 1: S

Tercera ley de Newton

S

F 12 5 2 F 21

(5.7)

Cuando sea importante designar fuerzas como interacciones entre dos objetos, se usará S esta notación de subíndices, donde F ab significa “la fuerza ejercida por a sobre b”. La tercera ley se ilustra en la figura 5.6. La fuerza que el objeto 1 ejerce sobre el objeto 2 se llama popularmente fuerza de acción, y la fuerza del objeto 2 sobre el objeto 1 se llama fuerza de reacción. Estos términos en cursivas no son términos científicos; además, cualquier fuerza se puede etiquetar como fuerza de acción o reacción. Estos términos se usarán por conveniencia. En todos los casos, las fuerzas de acción y reacción actúan sobre objetos diferentes y deben ser del mismo tipo (gravitacional, eléctrico, etcétera). Por ejemplo, la fuerza que actúa sobre S un proyectil en caída libre es la fuerza gravitacional que ejerce la Tierra sobre S el proyectil F g 5 F Ep (T 5 Tierra, p 5 proyectil), y la magnitud de esta fuerza es mg. La reacción a esta fuerza es la fuerza gravitacional que ejerce el proyectil sobre la Tierra S S S F pE 5 2 F Ep. La fuerza de reacción F pE debe acelerar a la Tierra hacia el proyectil como la S fuerza de acción F Ep acelera al proyectil hacia la Tierra. No obstante, puesto que la Tierra

S

F12

2 S

F12

S

F21

S

F21

1

Figura 5.6 Tercera ley de NewS ton. La fuerza F 12 que ejerce el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en direcS ción a la fuerza F 21 que ejerce el objeto 2 sobre el objeto 1.


104

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

Figura 5.7 a) Cuando un monitor de computadora está en reposo sobre una mesa, las fuerzas que actúan sobre el monitor son la fuerza normal S S n y la fuerza gravitacional F g . La reacción a S n es la S fuerza F mt que ejerce el monitor sobre la mesa. La S S reacción a F g es la fuerza F mt que ejerce el monitor sobre la Tierra. b) Un diagrama de fuerzas muestra las fuerzas sobre el monitor. c) Un diagrama de cuerpo libre mostrando al monitor como un punto negro con las fuerzas actuando sobre él.

S

n

S

Fg

Tercera ley de Newton Recuerde que las fuerzas de acción y reacción de la tercera ley de Newton actúan sobre objetos diferentes. Por ejemplo, en la figura 5.7, S S S S n 5 F tm 5 2mg 5 2 F Em . Las S S fuerzas n y mg son iguales en magnitud y opuestas en dirección, pero no representan un par acción-reacción porque ambas fuerzas actúan sobre el mismo objeto, el monitor.

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.8 Diagramas de cuerpo libre La etapa más importante en la solución de un problema que utiliza las leyes de Newton es dibujar un bosquejo adecuado, el diagrama de cuerpo libre. Asegúrese de dibujar sólo aquellas fuerzas que actúan sobre el objeto que aísla. Dibuje todas las fuerzas que actúan sobre el objeto, incluida cualesquier fuerza de campo, como la fuerza gravitacional.

n

S

Ftm

S

S

Ftm

S

FEm

S

Fg

S

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.6

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.7

S

Ftm

n

Fmt

n no siempre es igual a mg En la situación que se muestra en la figura 5.7 y en muchas otras, se encuentra que n 5 mg (la fuerza normal tiene la misma magnitud que la fuerza gravitacional). Sin embargo, este resultado generalmente no es cierto. Si un objeto está en un plano inclinado, si hay fuerzas aplicadas con componentes verticales o si hay una aceleración vertical del sistema, entonces n ⫽ mg. Siempre aplique la segunda ley de Newton para encontrar la relación entre n y mg.

S

S

FEm S

Fg

S

S

FEm

FmE

a

b

c

tiene una masa tan grande, su aceleración debida a esta fuerza de reacción es despreciablemente pequeña. Considere un monitor de computadora en reposo sobre una mesa, como en la figura S S 5.7a. LaSfuerza gravitacional sobre el monitor es F g 5 F Em. La reacción a esta fuerza es la S fuerza F mE 5 2 F Em ejercida por el monitor sobre la Tierra. El monitor no acelera porque S lo sostiene la mesa. La mesa ejerce sobre el monitor una fuerza hacia arriba S n 5 F tm, llamada fuerza normal. (Normal en este contexto significa perpendicular.) En general, siempre que un objeto esté en contacto con una superficie, ésta ejerce una fuerza normal sobre el objeto. La fuerza normal sobre el monitor puede tener cualquier valor que haga falta, hasta el punto de romper la mesa. Puesto que el monitor tiene aceleración cero, la S segunda ley de Newton aplicada al monitor produce o F 5 S n 1 mS g 5 0, , de modo que ⁄ ⁄ el so n j 2 mg j 5 0, o n 5 mg. La fuerza normal equilibra la fuerza gravitacional sobre S monitor, de modo que la fuerza neta sobre el monitor es cero. La fuerza de reacción a n es S S S . la fuerza que ejerce el monitor hacia abajo sobre la mesa, F mt 5 2 F tm 5 2n S S Observe que las fuerzas que actúan sobre el monitor son F g y n , como se muestra en la S S figura 5.6b. Las dos fuerzas F mE y F mE se ejercen sobre objetos distintos del monitor. La figura 5.7 ilustra un paso de suma importancia en la resolución de problemas que involucran fuerzas. La figura 5.7a muestra muchas de las fuerzas actuantes en la situación: las que actúan sobre el monitor, una que actúa sobre la mesa y otra que actúa sobre la Tierra. El esquema de la figura 5.7b, en contraste, muestra sólo las fuerzas que actúan sobre un objeto, el monitor, y es llamado diagrama de fuerzas o un diagrama que exhibe las fuerzas sobre el objeto. Esta importante representación pictórica de la figura 5.6c se llama diagrama de cuerpo libre. En un diagrama de cuerpo libre, se utiliza el modelo de partícula para representar el objeto como un punto y mostrar las fuerzas que actúan sobre el objeto como aplicadas en el punto. Cuando se analiza un objeto sujeto a fuerzas, se tiene interés en la fuerza neta que actúa sobre un objeto, el cual se modelará como una partícula. En consecuencia, un diagrama de cuerpo libre ayuda a aislar sólo aquellas fuerzas sobre el objeto y elimina las otras fuerzas del análisis. E XAMEN RÁPIDO 5.5 i) Si una mosca choca contra el parabrisas de un autobús moviéndose rápidamente, ¿cuál de los dos experimenta una fuerza de impacto con mayor magnitud? (a) La mosca. (b) El autobús. (c) Ambos experimentan la misma fuerza. (ii) ¿Cuál de los dos experimenta mayor aceleración? (a) La mosca. (b) El autobús. (c) Ambos experimentan la misma aceleración.

Ejemplo conceptual 5.3 Tú me empujas y yo te empujo Un hombre grande y un niño pequeño están de pie, uno frente al otro sobre hielo sin fricción. Juntan sus manos y se empujan mutuamente de modo que se separan. A) ¿Quién se aleja con mayor rapidez


105

5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton 5.3 c o n t i n u a c i ó n SOLUCIÓN

Esta situación es similar a la que se vio en el examen rápido 5.5. De acuerdo con la tercera ley de Newton, la fuerza que ejerce el hombre sobre el niño y la fuerza que ejerce el niño sobre el hombre son un par de fuerzas de la tercera ley, de modo que deben ser iguales en magnitud. (Una báscula colocada entre sus manos leería lo mismo, sin importar de cuál lado esté.) En consecuencia, el niño, que tiene la masa más pequeña, experimenta mayor aceleración. Ambos individuos aceleran durante la misma cantidad de tiempo, pero la mayor aceleración del niño en este intervalo de tiempo resulta en que su movimiento de alejamiento de la interacción es con mayor rapidez. B) ¿Quién se aleja más mientras sus manos están en contacto? SOLUCIÓN

Puesto que el niño tiene mayor aceleración y en consecuencia mayor velocidad promedio, se aleja más que el hombre durante el intervalo de tiempo mientras que sus manos están en contacto.

5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton En esta sección se discuten dos modelos de análisis para resolver problemas en que los objetos están en equilibrio sS a 5 0d o aceleran a lo largo de una línea recta bajo la acción de fuerzas externas constantes. Recuerde que cuando las leyes de Newton se aplican a un objeto, se tiene interés sólo en las fuerzas externas que actúan sobre el objeto. Si se representan los objetos como partículas, no necesita preocuparse por el movimiento rotacional. Por ahora, también se desprecian los efectos de la fricción en aquellos problemas que involucran movimiento, que es equivalente a afirmar que la superficie no tiene fricción. (La fuerza de fricción se estudia en la sección 5.8.) Por lo general se ignora la masa de cualquier soga, cuerda o cable involucrado. En esta aproximación, la magnitud de la fuerza que ejerce cualquier elemento de la soga sobre el elemento adyacente es la misma para todos los elementos a lo largo de la soga. En los enunciados del problema, los términos sinónimos ligero y de masa despreciable se usan para indicar que una masa se ignorará cuando trabaje los problemas. Cuando una cuerda unida a un objeto está jalando al objeto, la cuerda ejerce una fuerza sobre el objeto en una dirección que se aleja del objeto, paralela a la cuerda. La magnitud T de dicha fuerza se llama tensión en la cuerda. Puesto que es la magnitud de una cantidad vectorial, la tensión es una cantidad escalar.

Modelo de análisis: Partícula en equilibrio Si la aceleración de un objeto representado como partícula es cero, el objeto se considera con el modelo de partícula en equilibrio. En este modelo, la fuerza neta sobre el objeto es cero:

o

S

F 50

S

(5.8)

T

Considere una lámpara suspendida de una cadena ligera unida al techo, como en la figura 5.8a. El diagrama de fuerzas para la lámpara (figura 5.8b) muestra que las fuerzas S que actúan sobre la lámpara son la fuerza gravitacional hacia abajo F g y la fuerza hacia S arriba T ejercida por la cadena. Puesto que no hay fuerzas en la dirección x, SFx 5 0 no proporciona información útil. La condición SF y 5 0 produce S

S

S

F y 5 T 2 Fg 5 0 o T 5 Fg

De nuevo, advierta que T y F g no son un par de acción-reacción porque actúan sobre el S mismo objeto, la lámpara. La fuerza de reacción a T es una fuerza hacia abajo que ejerce la lámpara sobre la cadena. El ejemplo 5.4 (página 107) muestra una aplicación del modelo de partícula en equilibrio.

S

Fg

a

Figura 5.8

b

a) Una lámpara suspendida del techo mediante una cadena de masa despreciable. b) Las fuerzas que actúan sobre la lámpara son la fuerza gravitacioS S nal F g y la fuerza T que ejerce la cadena.


106

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

Modelo de análisis: Partícula bajo una fuerza neta Si un objeto experimenta una aceleración, su movimiento se puede analizar con el modelo de partícula bajo una fuerza neta. La ecuación apropiada para este modelo es la segunda ley de Newton, ecuación 5.2: S

S

o F 5 ma

a S

n

y S

T

x

S

Fg b

Figura 5.9 a) Una caja que se jala hacia la derecha sobre una superficie sin fricción. b) Diagrama de cuerpo libre que representa las fuerzas externas que actúan sobre la caja.

Considere una caja que se jala hacia la derecha sobre una superficie horizontal sin fricción, como en la figura 5.9a. De hecho, el piso bajo los pies del niño debe tener fricción; de lo contrario, ¡sus pies resbalarían al intentar jalar la caja! Suponga que quiere encontrar la aceleración de la caja y la fuerza que el suelo ejerce sobre ella. Las fuerzas que actúan sobre la cajaSse ilustran en el diagrama de cuerpo libre de la figura 5.9b. Note queSla fuerza de la cuerda. La magnitud de T es igual horizontal T que se aplica a la caja actúa a través S , el diagrama de cuerpo libre para la caja a la tensión en la cuerda. Además de la fuerza T S S incluye la fuerza gravitacional F g y la fuerza normal n que ejerce el suelo sobre la caja. Ahora se puede aplicar la segunda ley de Newton en forma de componentes para la S caja. La única fuerza que actúa en la dirección x es T. Al aplica SFx 5 max al movimiento horizontal se obtiene

oF

S

Física S

Fg

Figura 5.10

S

n

S

Cuando una fuerza F empuja verticalmente hacia abajo sobre otro objeto, la fuerza normal S n sobre el objeto es mayor que la fuerza gravitacional: n 5 Fg 1 F.

x

5 T 5 max o ax 5

T m

En la dirección y no se presenta aceleración porque la caja sólo se mueve horizontalmente. En consecuencia, se usa el modelo de partícula en equilibrio en la dirección y. Al aplicar la componente y de la ecuación 5.8 se obtiene

SF

F

(5.2)

y

5 n 2 Fg 5 0

o n 5 Fg

Esto es, la fuerza normal tiene la misma magnitud que la fuerza gravitacional pero actúa en la S dirección opuesta. Si T es una fuerza constante, la aceleración ax 5 T/m también es constante. Por tanto, la caja también se representa como una partícula bajo aceleración constante en la dirección x, y se pueden aplicar las ecuaciones de la cinemática del capítulo 2 para obtener la posición x y velocidad vx de la caja como funciones del tiempo. De esta explicación tenga en mente dos conceptos que serán importantes al resolver problemas: 1) En un problema dado, es posible tener diferentes modelos de análisis aplicados en distintas direcciones. La caja en la figura 5.9 es una partícula en equilibrio en la dirección vertical y una partícula bajo una fuerza neta en la dirección horizontal. 2) Es posible describir un objeto mediante modelos de análisis múltiples. La caja es una partícula bajo una fuerza neta en la dirección horizontal y también es una partícula bajo una aceleración constante en la misma dirección. S En la situación recién descrita, la magnitud de la fuerza normal n es igual a la magS nitud de F g , pero esto no siempre es el caso, como se indica en la prevención de riesgos ocultos 5.6. Por ejemplo, suponga que se encuentra un libro sobre una mesa y usted S empuja hacia abajo sobre el libro con una fuerza F , como en la figura 5.10. Ya que el libro está en reposo y debido a eso no acelera, SF y 5 0, lo que da n 2 Fg – F 5 0 o n 5 Fg 1 F. En esta situación la fuerza normal es mayor que la fuerza gravitacional. Más adelante se presentan otros ejemplos en los que n ? Fg A continuación, se presentan varios ejemplos que demuestran el uso del modelo de la partícula en equilibrio y la partícula bajo un modelo de fuerza neta.

MODELO DE ANÁLISIS Partícula en equilibrio Imagine un objeto que se puede modelar como una partícula. Si hay varias fuerzas actuando sobre él tales que entre sí se cancelan, dando una fuerza neta nula, entonces el objeto tendrá aceleración cero. Esta condición matemáticamente se describe como S

o F 50 S

a

m S

F

0 0

(5.8)


107

5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton

MODELO DE ANÁLISIS Partícula en equilibrio continúa Ejemplos ● ● ● ●

un candil colgando sobre la mesa del comedor un objeto moviéndose con rapidez terminal a través de un medio viscoso (capítulo 6) una viga de acero en la estructura de un edificio (capítulo 12) un bote flotando en un lago (capítulo 14)

MODELO DE ANÁLISIS Partícula bajo una fuerza neta Imagine un objeto que se puede modelar como una partícula. Si sobre él actúan una o varias fuerzas dando origen a una fuerza neta sobre el objeto, entonces éste se acelerará en la dirección de la fuerza neta. La conexión entre la fuerza neta y la aceleración es

o m

S

F 5 mS a

(5.2)

Ejemplos ● ●

S

una caja empujada sobre el piso de una fábrica un objeto descendiendo bajo la acción de la fuerza gravitacional un pistón del motor de un automóvil impulsado por gases calientes (capítulo 21) una partícula con carga en un campo eléctrico (capítulo 22)

a

S

F

Ejemplo 5.4 Un semáforo en reposo S

T3

Un semáforo que pesa 122 N cuelga de un cable unido a otros dos cables sostenidos a un soporte como en la figura 5.10a. Los cables superiores forman ángulos de ␪1 5 37.0o y ␪2 5 53.0o con la horizontal. Estos cables superiores no son tan fuertes como el cable vertical y se romperán si la tensión en ellos supera los 100 N. ¿El semáforo permanecerá colgado en esta situación, o alguno de los cables se romperá?

u1

u2

S

y

T2

S

T1

T2

T1

u1

u2

T3

x

SOLUCIÓN S

Conceptualizar Examine el dibujo de la figura 5.11a. Suponga que los cables no se rompen y que nada se mueve.

S

Fg

b

a

Categorizar Si nada se mueve, ninguna parte del sistema acelera. Ahora puede representar el semáforo como una partícula en equilibrio sobre la que se ejerce una fuerza neta de cero. De igual modo, la fuerza neta sobre el nudo (figura 5.11c) es cero, así que el semáforo también puede ser modelado como una partícula en equilibrio.

T3 c

Figura 5.11 (Ejemplo 5.4) a) Un semáforo suspendido por cables. b) Las fuerzas actuando sobre el semáforo. c) Diagrama de cuerpo libre del nudo donde se juntan los tres cables.

Analizar Construya un diagrama de las fuerzas que actúan sobre el semáforo, como se indica en la figura 5.11b, y un diagrama de cuerpo libre para el nudo que mantiene juntos los tres cables unidos, como se muestra en la figura 5.11c. Este nudo es un objeto conveniente a elegir porque todas las fuerzas de interés actúan a lo largo de líneas que pasan a través del nudo. Del modelo de partícula en equilibrio, aplique la ecuación 5.8 para el semáforo en la dirección y: Elija los ejes coordenados como se muestra en la figura 5.11c y descomponga en sus componentes las fuerzas que actúan en el nudo:

SF

y

5 0 S T3 2 Fg 5 0

T3 5 Fg Componente x

Fuerza S

T1

2T1 cos

T2

T2 cos

S S

T3

Aplique el modelo de partícula en equilibrio al nudo:

(1) (2)

Componente y

1

T1 sen

1

2

T2 sen

2

2Fg

0

SF SF

x

5 2T1 cos

y

5 T1 sen

1 1

1 T2 cos

1 T2 sen

2 2

50

1 (2Fg) 5 0

continúa


108

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

5.4 c o n t i n u a c i ó n S

S

La ecuación (1) muestra que las componentes horizontales de T 1 y T 2 deben ser iguales en magnitud, y la ecuación (2) indica que S S S la suma de las componentes verticales de T 1 y T 2 deben equilibrar la fuerza hacia abajo T 3, que es igual en magnitud al peso del semáforo. (3) T2 5 T1

Resuelva la ecuación (1) para T2 en términos de T1: Sustituya este valor para T2 en la ecuación (2):

T1 sin T1 5

Obtenga T1:

1

S D S D cos

1

cos

2

1 T1

cos

1

cos

2

(sen 2 ) 2Fg 5 0

Fg sen

1

1 cos

1

tan

2

Sustituya valores numéricos:

122 N T1 5 5 73.4 N sen 37.08 1 cos 37.08 tan 53.08

Utilice la ecuación (3) para obtener T2:

T2 5 s73.4 Nd

S

D

cos 37.08 5 97.4 N cos 53.08

Ambos valores son menores que 100 N (apenas para T2), de modo que los cables no se romperán. Finalizar Finalice este problema al imaginar un cambio en el sistema, como el siguiente ¿Qué pasaría si? ¿QUÉ PASARÍA SI?

Suponga que los dos ángulos de la figura 5.11a son iguales. ¿Cuál sería la correspondencia entre T1 y T2?

Respuesta Se puede argumentar a partir de la simetría del problema que las dos tensiones T1 y T2 serían iguales entre sí. Matemáticamente, si los ángulos iguales se llaman ␪, la ecuación (3) se convierte en: T 2 5 T1

S D cos cos

5 T1

que también dice que las tensiones son iguales. Sin saber el valor específico de ␪, no se pueden encontrar los valores de T1 y T2. Sin embargo, las tensiones serán iguales entre sí, sin importar el valor de ␪.

Ejemplo conceptual 5.5 Fuerzas entre vagones en un tren Los vagones de tren se conectan mediante enganches, que están bajo tensión conforme la locomotora jala el tren. Imagine que usted está en un tren que aumenta su rapidez con aceleración constante. A medida que se mueve a lo largo del tren desde la locomotora hacia el último vagón, midiendo la tensión en cada conjunto de enganches, ¿la tensión aumenta, disminuye o permanece igual? Cuando el ingeniero aplica los frenos, los enganches están bajo compresión. ¿Cómo varía esta fuerza de compresión desde la locomotora hasta el último vagón? (Suponga que sólo se aplican los frenos en las ruedas de la máquina.) SOLUCIÓN

Conforme el tren aumenta su rapidez, la tensión disminuye desde el frente del tren hasta la parte trasera. El enganche entre la locomotora y el primer vagón debe aplicar suficiente fuerza para acelerar el resto de los vagones. A medida que se mueve a lo largo del tren, cada enganche acelera menos masa detrás de él.El último enganche tiene que acelerar sólo al último vagón y por lo tanto está bajo menos tensión. Cuando se aplican los frenos, la fuerza nuevamente disminuye desde el frente a la parte trasera. El enganche que conecta la locomotora con el primer vagón debe aplicar una gran fuerza para frenar el resto de los vagones, pero el enganche final debe aplicar una fuerza suficientemente grande para frenar sólo al último vagón.

Ejemplo 5.6 El auto que escapa Un automóvil de masa m está sobre un camino cubierto con hielo inclinado en un ángulo ␪, como en la figura 5.12a. (A) Encuentre la aceleración del automóvil, si supone que la pista no tiene fricción. SOLUCIÓN

Conceptualizar Use la figura 5.12a para conceptualizar la situación. A partir de la experiencia cotidiana, se sabe que un automóvil sobre un plano inclinado cubierto con hielo acelerará hacia abajo por el plano. (Lo mismo le sucede a un automóvil sin frenos en una colina.)


109

5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton 5.6 c o n t i n u a c i ó n

y

Categorizar El automóvil, puesto que acelera, se clasifica como una partícula bajo una fuerza neta. Además, este problema pertenece a una categoría de problemas muy común en la que un objeto se mueve bajo la influencia de la gravedad sobre un plano inclinado.

S

n

mg sen u

Analizar La figura 5.12b muestra el diagrama de cuerpo libre del automóvil. Las únicas fuerzas que u actúan sobre el automóvil son la fuerza normal S n x x mg cos u u que ejerce el plano inclinado, que actúa perpendicS S S Fg = m g S ular al plano, y la fuerza gravitacional F g 5 mg , que actúa verticalmente hacia abajo. Para problemas que involucran planos inclinados, es conveniente elegir los a b ejes coordenados con x a lo largo del plano y y perFigura 5.12 (Ejemplo 5.6) a) Un automóvil sobre un plano inclinado sin pendicular a él, como en la figura 5.11b. Con estos fricción. b) Diagrama de cuerpo libre para el automóvil. El punto negro ejes, represente la fuerza gravitacional mediante una representa la posición del centro de masa del automóvil. En el capítulo 9 se componente de magnitud mg sen␪ a lo largo del eje x aprenderá sobre el centro de masa. positivo y otra de magnitud mg cos␪ a lo largo del eje y negativo. La elección de ejes que resulta en el automóvil se representa como una partícula bajo una fuerza neta en la dirección x y una partícula en equilibrio en la dirección y. Aplique esos modelos al automóvil:

(1) (2)

Resuelva la ecuación (1) para ax: (3)

SF SF

x

5 mg sen 5 max

y

5 n 2 mg cos

50

(3) ax 5 g sen

Finalizar Observe que, ¡la componente aceleración ax es independiente de la masa del automóvil! Sólo depende del ángulo de inclinación y de g. S De la ecuación (2) se concluye que la componente de F g perpendicular al plano se equilibra mediante la fuerza normal; esto es, n 5 mg cos ␪. Esta situación es otro caso en el que la fuerza normal no es igual en magnitud al peso del objeto (como se analizó en la prevención de riesgos ocultos 5.6 de la página 104). Es posible, aunque inconveniente, resolver el problema con ejes horizontal y vertical “normal”. Tal vez quiera intentarlo, sólo para practicar. (B) Suponga que el automóvil se libera desde el reposo en lo alto del plano y que la distancia desde la defensa frontal del automóvil hasta el fondo del plano inclinado es d. ¿Cuánto tarda la defensa frontal en llegar al fondo de la colina, y cuál es la rapidez del automóvil cuando llega ahí? SOLUCIÓN

Conceptualizar Imagine que el automóvil se desliza por la colina y que usa un cronómetro para medir todo el intervalo de tiempo hasta que llega al fondo. Categorizar Esta parte del problema pertenece a cinemática más que a dinámica, y la ecuación (3) muestra que la aceleración ax es constante. Por tanto, debe clasificar al automóvil en este inciso del problema como una partícula bajo aceleración constante. Analizar Al definir la posición inicial de la defensa frontal como xi 5 0 y su posición final como xf 5 d, y reconocer que vxi 5 0, aplique la ecuación 2.16 del modelo de partícula bajo aceleración constante: Resuelva para t:

(4)

Aplique la ecuación 2.17, con vxi 5 0 para encontrar la velocidad final del automóvil:

xf 5 xi 1 vxi t 1 12ax t 2 S

(4) t 5

Î Î 2d 5 ax

d 5 12ax t 2

2d g sen

vxf 2 5 2axd (5) vxf 5 Ï2ax d 5 Ï2gd sen

continúa


110

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

5.6 c o n t i n u a c i ó n Finalizar De las ecuaciones (4) y (5) se ve que el tiempo t al que el automóvil alcanza el fondo y su rapidez final vxf son independientes de la masa del automóvil, como lo fue su aceleración. Note que, en este ejemplo, se combinaron técnicas del capítulo 2 con nuevas técnicas de este capítulo. A medida que aprenda más técnicas en capítulos posteriores, este proceso de combinar información proveniente de varias partes del libro ocurrirá con más frecuencia. En estos casos, use la estrategia general para resolver problemas para así auxiliarse a identificar qué modelos de análisis necesitará. ¿QUÉ PASARÍA SI?

¿En qué problema resuelto anteriormente se convierte esta situación si ␪ = 90°?

Respuesta Imagine que ␪ va a 90o en la figura 5.11. El plano inclinado se vuelve vertical, ¡y el automóvil es un objeto en caída libre! La ecuación (3) se convierte en ax 5 g sen 5 g sen 90°5 g que de hecho es la aceleración de caída libre. (Se encuentra ax 5 g en lugar de ax 5 2g porque la x positiva se eligió hacia abajo en la figura 5.11.) Note también que la condición n 5 mg cos ␪ produce n 5 mg cos 90o 5 0. Esto es consistente con el automóvil que cae junto al plano vertical, en cuyo caso no hay fuerza de contacto entre el automóvil y el plano.

Ejemplo 5.7 Un bloque empuja a otro

S

F

Dos bloques de masas m1 y m 2, con m1 ⬎ m 2, se colocan en contacto mutuo sobre una superficie horizontal sin fricción, como en la figura 5.12a. Una S fuerza horizontal constante F se aplica a m1 como se muestra.

m1

m2

a S

n1

(A) Encuentre la magnitud de la aceleración del sistema.

y

S

n2

S

P21

SOLUCIÓN

S

S

P12

F

x

Conceptualizar Elabore ideas de la situación mediante la figura 5.13a y observe que ambos bloques deben experimentar la misma aceleración porque están en contacto mutuo y permanecen en contacto para todo el movimiento.

S

m 1g

SF

x

c

b

Figura 5.13

Categorizar Este problema se clasifica como una partícula bajo una fuerza neta porque se aplica una fuerza a un sistema de bloques y se busca la aceleración del sistema. Analizar Primero represente la combinación de los dos bloques como una sola partícula bajo una fuerza neta. Aplique la segunda ley de Newton a la combinación en la dirección x para encontrar la aceleración:

S

m 2g

(Ejemplo 5.7) a) Se aplica una fuerza a un bloque de masa m1, que empuja a un segundo bloque de masa m 2. b) Fuerzas actuando sobre m1. c) Fuerzas actuando sobre m 2.

5 F 5 (m1 1 m 2)ax

(1) ax 5

F m1 1 m2

Finalizar La aceleración dada por la ecuación (1) es la misma que la de un solo objeto de masa m1 1 m 2 y sometida a la misma fuerza. (B) Determine la magnitud de la fuerza de contacto entre los dos bloques. SOLUCIÓN

Conceptualizar La fuerza de contacto es interna al sistema de los dos bloques. Por tanto, no es posible encontrar la fuerza al representar el sistema como un todo (los dos bloques) como una sola partícula. Categorizar Considere ahora cada uno de los dos bloques de manera individual al clasificar cada uno como una partícula bajo una fuerza neta. Analizar Construya primero un diagrama de fuerzas actuando sobre el objeto para cada bloque, como se muestra en las figuras S 5.12b y 5.12c, donde la fuerza de contacto se denota por P . A partir de la figura 5.13c se ve que la única fuerza horizontal que S actúa sobre m 2 es la fuerza de contacto P 12 (la fuerza que ejerce m1 sobre m 2), que se dirige hacia la derecha.

SF

5 P 12 5 m 2ax

Aplique la segunda ley de Newton a m 2:

(2)

Sustituya el valor de la aceleración ax que proporciona la ecuación (1) en la ecuación (2):

(3) P 12 5 m 2ax 5

x

S

m2 m1 1 m2

D

F


111

5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton 5.7 c o n t i n u a c i ó n

Finalizar Este resultado muestra que la fuerza de contacto P 12 es menor que la fuerza aplicada F. La fuerza que se requiere para acelerar el bloque 2 debe ser menor que la fuerza requerida para producir la misma aceleración para el sistema de dos bloques. Para finalizar, compruebe esta expresión para P 12 al considerar las fuerzas que actúan sobre m1, que se muestran en la figura S S 5.12b. Las fuerzas que actúan horizontales sobre m1 son la fuerza aplicada F hacia la derecha y la fuerza de contacto P 21 hacia la S S izquierda (la fuerza que ejerce m 2 sobre m1). A partir de la tercera ley de Newton, P 21 es la fuerza de reacción a P 12, de modo que P 21 5 P 12.

SF

5 F 2 P 21 5 F 2 P 12 5 m1ax

Aplique la segunda ley de Newton a m1:

(4)

Resuelva para P 12 y sustituya el valor de ax de la ecuación (1):

P12 5 F 2 m1ax 5 F 2 m1

x

S

D S

D

m2 F 5 F m1 1 m2 m1 1 m2

Este resultado concuerda con la ecuación (3), como debe ser. ¿QUÉ PASARÍA SI?

S

Imagine que la fuerza F en la figura 5.12 se aplica hacia la izquierda sobre el bloque derecho de S masa m 2. ¿La magnitud de la fuerza P 12 es la misma que cuando la fuerza se aplicó hacia la derecha sobre m1? Respuesta Cuando la fuerza se aplica hacia la izquierda sobre m 2, la fuerza de contacto debe acelerar m1. En la situación original, S la fuerza de contacto acelera m 2. Puesto que m1 ⬎ m 2, se requiere más fuerza, de modo que la magnitud de P 12 es mayor que en la S situación original. Para ver esto matemáticamente, modifique la ecuación (4) apropiadamente y resuelva para P 12.

Ejemplo 5.8 Peso de un pez en un elevador Una persona pesa un pescado de masa m en una balanza de resorte unida al techo de un elevador, como se ilustra en la figura 5.13. (A) Demuestre que, si el elevador acelera ya sea hacia arriba o hacia abajo, la balanza de resorte da una lectura que es diferente del peso del pez.

Cuando el elevador acelera hacia arriba, la lectura en la balanza de resorte proporciona un valor mayor que el peso del pez.

Cuando el elevador acelera hacia abajo, la lectura en la balanza de resorte proporciona un valor menor que el peso del pez.

S

a

S

a

SOLUCIÓN

S

Conceptualizar La lectura en la balanza se relaciona con la extensión del resorte en la balanza, que depende de la fuerza en el extremo del resorte, como en la figura 5.2. Imagine que el pez cuelga de una cuerda unida al extremo del resorte. En este caso, la magnitud de la fuerza que se ejerce sobre el resorte es igual a la tensión T en la cuerda. Por tanto, se busca S T. La fuerza T jala hacia abajo en la cuerda y hacia arriba sobre el pez. Categorizar Este problema se clasifica al considerar al pez como una partícula en equilibrio si el elevador no acelera o como una partícula bajo una fuerza neta si el elevador acelera.

8 7

9 0 1 6 54

T 2 3

8 7

S

6 54

2 3

S

T

S

mg a

9 0 1

mg b

Analizar Inspeccione los diagramas de las fuerzas actuando Figura 5.14 (Ejemplo 5.8) Un pez es pesado mediante una balanza sobre el pez en la figura 5.14 y note que las fuerzas externas de resorte en un elevador que acelera. que actúan sobre el pez son la fuerza gravitacional hacia abajo S S S y la fuerza T que ejerce la cuerda. Si el elevador está en reposo o moviéndose con velocidad constante, el pez es una F g 5 mg partícula en equilibrio, de modo que SF y 5 T – Fg 5 0 o T 5 Fg 5 mg. (Recuerde que el escalar mg es el peso del pez.) S Ahora suponga que el elevador se mueve con una aceleración a en relación con un observador que está de pie afuera del elevador en un marco inercial. Ahora el pez es una partícula bajo una fuerza neta. Aplique la segunda ley de Newton al pez:

SF

Resuelva para T :

(1) T 5 may 1 mg 5 mg

y

5 T 2 mg 5 may

S D S D ay g

1 1 5 Fg

ay g

11

donde se eligió hacia arriba como la dirección y positiva. Se concluye de la ecuación (1) que la lectura en la balanza de T es mayor que el peso del pez mg si S a es hacia arriba, de modo que ay es positiva (figura 5.13a), y que la lectura es menor que mg si S a es hacia abajo, de modo que ay es negativa (figura 5.14b).

continúa


112

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

5.8 c o n t i n u a c i ó n (B) Evalúe las lecturas en la balanza para un pez de 40.0 N si el elevador se traslada con una aceleración ay 5 62.00 m/s2.. SOLUCIÓN

S S

D

Evalúe la lectura en la balanza a partir de la ecuación (1) si a es hacia arriba:

T 5 s40.0 Nd

2.00 mys2 1 1 5 48.2 N 9.80 mys2

S Evalúe la lectura en la balanza a partir de la ecuación (1) si a es hacia abajo:

T 5 s40.0 Nd

22.00 mys2 1 1 5 31.8 N 9.80 mys2

S

D

Finalizar Considere este consejo: si compra un pez en un elevador, ¡asegúrese de que el pez se pesa mientras el elevador está en reposo o en aceleración hacia abajo! Además, note que, a partir de la información que se proporciona en este caso, uno no puede determinar la dirección de la velocidad del elevador. ¿ Q U É P A S A R Í A S I ? Supongamos que la mujer de la figura 5.14 se cansa de mirar la báscula y sale del elevador. Suponga que el cable del elevador se rompe y el elevador y su contenido están en caída libre. ¿Qué sucede con la lectura de la balanza?

Respuesta Si el elevador está en caída libre, la aceleración del pez es ay 5 2g. De la ecuación (1) se ve que la lectura de la balanza de T en este caso es cero; esto es, el pez parece no tener peso.

Ejemplo 5.9 La máquina de Atwood Cuando dos objetos de masas distintas cuelgan verticalmente sobre una polea sin fricción de masa despreciable, como en la figura 5.14, el dispositivo se llama máquina de Atwood. Se usa a veces en el laboratorio para calcular el valor de g. Determine la magnitud de la aceleración de los dos objetos y la tensión en la cuerda sin peso.

S

T

+

SOLUCIÓN

Conceptualizar Imagine en acción la situación que se muestra en la figura 5.14a: conforme un objeto se mueve hacia arriba, el otro objeto se mueve hacia abajo. Puesto que los objetos están conectados mediante una cuerda inextensible, sus aceleraciones son de igual magnitud. Categorizar Los objetos en la máquina de Atwood están sometidos a la fuerza gravitacional, así como a las fuerzas que se ejercen mediante las cuerdas conectadas a ellos. Por tanto, este problema se clasifica como uno que involucra dos partículas bajo una fuerza neta.

S

T m1

m1

m2

S

m 1g

m2

+ S

m 2g a

Figura 5.15

b (Ejemplo 5.9) La

Analizar En la figura 5.15b se muestran los diagramas de cuerpo libre para los dos objetos. máquina de Atwood. a) Dos objetos S En cada objeto actúan dos fuerzas: la fuerza hacia arriba T que ejerce la cuerda y la fuerza conectados mediante una cuerda inextensible sin masa sobre una gravitacional hacia abajo. En problemas como éste, con una polea que se representa sin polea sin fricción. b) Diagramas de masa y sin fricción, la tensión en la cuerda sobre ambos lados de la polea es la misma. Si la cuerpo libre para los dos objetos. polea tiene masa o es dependiente de la fricción, las tensiones en cualquier lado no son las mismas y la situación requiere técnicas que se aprenderán en el capítulo 10. Debe tener mucho cuidado con los signos en problemas como éste. En la figura 5.15a, note que, si el objeto 1 acelera hacia arriba, el objeto 2 acelera hacia abajo. Por tanto, por consistencia con los signos, si se define la dirección hacia arriba como positiva para el objeto 1, se debe definir la dirección hacia abajo como positiva para el objeto 2. Con esta convención de signos, ambos objetos aceleran en la misma dirección, que se define por la elección de signo. Además, de acuerdo con esta convención de signos, la componente y de la fuerza neta que se ejerce sobre el objeto 1 es T – m1g, y la componente y de la fuerza neta que se ejerce sobre el objeto 2 es m 2g – T. Del modelo de partícula bajo una fuerza neta, aplique la segunda ley de Newton al objeto 1:

(1)

SF

Aplique la segunda ley de Newton al objeto 2:

(2)

SF

Sume la ecuación (2) con la ecuación (1) y advierta que T se cancela:

2 m1g 1 m 2g 5 m1ay 1 m 2ay

y

5 T 2 m1g 5 m1ay

y

5 m 2g 2 T 5 m 2ay


113

5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton 5.9 c o n t i n u a c i ó n

S

m2 2 m1

D

Resuelva para la aceleración:

(3) ay 5

Sustituya la ecuación (3) en la ecuación (1) para encontrar T:

(4) T 5 m1(g 1 ay) 5

m1 1 m2

g

S

2m1m2 m1 1 m2

D

g

Finalizar La aceleración dada por la ecuación (3) se interpreta como la proporción de la magnitud de la fuerza desequilibrada en el sistema (m 2 – m1)g a la masa total del sistema (m1 1 m 2), como se espera de la segunda ley de Newton. Note que el signo de la aceleración depende de las masas relativas de los dos objetos. ¿QUÉ PASARÍA SI?

Describa el movimiento del sistema si los objetos tienen masas iguales, es decir, m1 5 m 2.

Respuesta Si se tiene la misma masa en ambos lados, el sistema está en equilibrio y no debe acelerar. Matemáticamente, se ve que, si m1 5 m 2, la ecuación (3) produce ay 5 0. ¿QUÉ PASARÍA SI?

¿Si una de las masas es mucho más grande que la otra: m1 ⬎⬎ m 2?

Respuesta En el caso en el que una masa es infinitamente mayor que la otra, se puede ignorar el efecto de la masa más pequeña. En tal caso, la masa mayor simplemente debe caer como si la masa más pequeña no estuviese ahí. Es claro que, si m1 ⬎⬎ m 2, la ecuación (3) produce ay 5 2g.

Ejemplo 5.10 Aceleración de dos objetos conectados mediante una cuerda Una bola de masa m1 y un bloque de masa m 2 se unen mediante una cuerda ligera que pasa sobre una polea sin fricción de masa despreciable, como en la figura 5.16a. El bloque se encuentra sobre un plano inclinado sin fricción de ángulo ␪. Encuentre la magnitud de la aceleración de los dos objetos y la tensión en la cuerda.

y S

a

S

T

m2 S

m1

a

x S m 1g

u

SOLUCIÓN

Conceptualizar Imagine que los objetos de la figura 5.16 están en movimiento. Si m 2 se mueve hacia abajo del plano, m1 se mueve hacia arriba. Puesto que los objetos están conectados mediante una cuerda (la cual se supone que no se estira), sus aceleraciones tienen la misma magnitud. En la figura 5.16b observe los ejes coordenados normales para la bola, y en la figura 5.16c están los ejes “primados” para el bloque. Categorizar Es posible identificar las fuerzas en cada uno de los dos objetos y se busca una aceleración, de modo que los objetos se clasifican como partículas bajo una fuerza neta. Para el bloque, este modelo sólo es válido para la dirección x’. En la dirección y’, se aplica el modelo de partícula en equilibrio porque el bloque no acelera en esa dirección. Analizar Considere los diagramas de cuerpo libre que se muestran en las figuras 5.16b y 5.16c. En la dirección y, aplique la segunda ley de Newton a la bola, y elija la dirección hacia arriba como positiva:

(1)

SF

y

5 T 2 m1g 5 m1ay 5 m1a

a

b y S

n

S

T m2g sen u m 2g cos u

u

x S

m2g c

Figura 5.16

(Ejemplo 5.10) a) Dos objetos conectados mediante una cuerda ligera sobre una polea sin fricción. b) Diagrama de cuerpo libre para la bola. c) Diagrama de cuerpo libre para el bloque. (El plano inclinado no tiene fricción.)

Para que la bola acelere hacia arriba, es necesario que T ⬎ m1g. En la ecuación (1), sustituya ay con a porque la aceleración sólo tiene un componente y. Para el bloque es conveniente elegir el eje x’ a lo largo del plano inclinado, como en la figura 5.15c. Por consistencia con la elección para la bola, se elige la dirección x’ positiva hacia abajo en el plano.

continúa


114

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

5.10 c o n t i n u a c i ó n En la dirección x’ aplique el modelo de partícula bajo una fuerza neta al bloque, y en la dirección y’ el modelo de partícula en equilibrio:

(2) (3)

SF SF

x9

5 m 2g sen 2 T 5 m 2ax9 5 m 2a

y9

5 n 2 m 2g cos

50

En la ecuación (2), sustituya ax’ con a porque los dos objetos tienen aceleraciones de igual magnitud a. Resuelva la ecuación (1) para T:

(4) T 5 m1(g 1 a)

Sustituya esta expresión para T en la ecuación (2):

m 2g sen 2 m1(g 1 a) 5 m 2a

Resuelva para a:

(5) a 5

S

Sustituya esta expresión para a en la ecuación (4) para encontrar T:

(6) T 5

3

m2 sen 2 m1 m1 1 m2

D

m1m2ssen 1 1d m1 1 m2

g

4g

Finalizar El bloque acelera hacia abajo en el plano sólo si m 2 sen ␪ ⬎ m1. Si m1 ⬎ m 2 sen ␪, la aceleración es hacia arriba del plano para el bloque y hacia abajo para la bola. Note también que el resultado para la aceleración, ecuación (5), se puede interpretar como la magnitud de la fuerza externa neta que actúa sobre el sistema bola-bloque dividido por la masa total del sistema; este resultado es consistente con la segunda ley de Newton. ¿QUÉ PASARÍA SI?

¿Qué ocurre en esta situación si ␪ 5 90o?

Respuesta Si ␪ 5 90o, el plano inclinado se vuelve vertical y no hay interacción entre su superficie y m 2. En consecuencia, este problema se convierte en la máquina de Atwood del ejemplo 5.9. Si en las ecuaciones (5) y (6) se deja que ␪ S 90o, ¡ello hace que se reduzcan a las ecuaciones (3) y (4) del ejemplo 5.9! ¿QUÉ PASARÍA SI?

¿Y si m1 5 0?

Respuesta Si m1 5 0, entonces m 2 simplemente se desliza hacia abajo por el plano sin interactuar con m1 a través de la cuerda. En consecuencia, este problema se convierte en el problema del automóvil que se desliza en el ejemplo 5.6. Si en la ecuación (5) se hace que m1 S 0, ¡ello causa que se reduzca a la ecuación (3) del ejemplo 5.6!

10.8 Fuerzas de fricción

Fuerza de fricción estática

Cuando un objeto está en movimiento ya sea sobre una superficie o en un medio viscoso como aire o agua, existe resistencia al movimiento porque el objeto interactúa con su entorno. A tal resistencia se le llama fuerza de fricción. Las fuerzas de fricción son muy importantes en la vida cotidiana. Permiten que uno camine o corra y son necesarias para el movimiento de los vehículos con ruedas. Imagine que trabaja en su jardín y llena un bote de basura con desechos de hojas. Luego intenta arrastrar el bote a través de la superficie de concreto de su patio, como en la figura 5.17a. Esta superficie es real, no una superficie idealizada sin fricción. Si se aplica S una fuerza horizontal externa F al bote de basura, que actúa hacia la derecha, el bote de S basura permanece fijo cuando F es pequeña. La fuerza sobre el bote de basura que conS trarresta a F y evita que se mueva actúa hacia la izquierda y se llama fuerza de fricción S S S estática f s. En tanto el bote de basura no se mueva, fs 5 F. Por tanto, si F aumenta, f s tamS S bién aumenta. Del mismo modo, si F disminuye, f s también disminuye. Los experimentos muestran que la fuerza de fricción surge de la naturaleza de las dos superficies: debido a su rugosidad, el contacto se realiza sólo en unas cuantas posiciones donde se tocan los picos del material. En dichas posiciones, la fuerza de fricción surge en parte porque un pico físicamente bloquea el movimiento de un pico de la superficie opuesta y en parte por el enlace químico (“punto de soldadura”) de picos opuestos conforme entran en contacto. Aunque los detalles de la fricción son muy complejos a nivel atómico, esta fuerza involucra, a final de cuentas, una interacción eléctrica entre átomos o moléculas.


10.8 Fuerzas de fricción

Para pequeñas fuerzas aplicadas, la magnitud de la fuerza de fricción estática es igual a la magnitud de la fuerza aplicada.

Figura 5.17

a) y b) Cuando jala un bote de basura, la dirección S de la fuerza de fricción f entre el bote y una superficie rugosa es opuesta a la dirección de la fuerza S aplicada F . c) Gráfica de fuerza de fricción en función de la fuerza aplicada. Note que fs, máx ⬎ f k .

Cuando la magnitud de la fuerza aplicada supera la magnitud de la fuerza máxima de fricción estática, el bote de basura queda libre y acelera hacia la derecha.

S

115

S

n

n

S

S

fs

Movimiento

S

S

fk

F

F

S

S

mg

mg

a

b S

|f | fs,máx F fs

fk

O

mkn F

Región estática

Región cinética

c

S

Si se aumenta la magnitud de F como en la figura 5.17b, el bote de basura al final se desliza. Cuando el bote de basura está a punto de deslizarse, fs tiene su valor máximo fs, máx , como se muestra en la figura 5.17c. Cuando F supera fs,máx, el bote de basura se mueve y acelera hacia la derecha. A la fuerza de fricción para un objeto en movimiento se le S llama fuerza de fricción cinética f k. Cuando el bote de basura está en movimiento, la fuerza de fricción cinética en el bote es menor que fs,máx (figura 5.17c). La fuerza neta F 2 f k en la dirección x produce una aceleración hacia la derecha, de acuerdo con la segunda bote de basura se mueve hacia la dereley de Newton. Si F 5 f k , la aceleración es cero y el S cha con rapidez constante. Si la fuerza aplicada F se elimina del bote en movimiento, la S fuerza de fricción f k que actúa hacia la izquierda proporciona una aceleración del bote de basura en la dirección –x y al final lo lleva al reposo, lo que, de nuevo, es consistente con la segunda ley de Newton. En términos experimentales, se encuentra que, a una buena aproximación, tanto fs,máx como f k son proporcionales a la magnitud de la fuerza normal que se ejerce sobre un objeto por la superficie. Las siguientes descripciones de la fuerza de fricción están en función de las observaciones experimentales y sirven como el modelo que se usará para fuerzas de fricción en resolución de problemas: ●

La magnitud de la fuerza de fricción estática entre cualesquiera dos superficies en contacto puede tener los valores

fs #

s

n

(5.9)

donde la constante adimensional μs se llama coeficiente de fricción estática y n es la magnitud de la fuerza normal que ejerce una superficie sobre la otra. La igualdad en la ecuación 5.9 se cumple cuando las superficies están a punto de deslizarse, esto es, cuando fs 5 fs,máx 5 μsn. Esta situación se llama movimiento inminente. La desigualdad se cumple cuando las superficies no están a punto de deslizarse.

Fuerza de fricción cinética

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.9 El signo igual se usa en situaciones limitadas En la ecuación 5.9 el signo igual se usa sólo en caso de que las superficies estén a punto de liberarse y comiencen a deslizarse. No caiga en la trampa común de usar fs 5 μs n en cualquier situación estática.


116

Capítulo 5

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.10 Ecuaciones de fricción Las ecuaciones 5.9 y 5.10 no son ecuaciones vectoriales. Son relaciones entre las magnitudes de los vectores que representan las fuerzas de fricción y normal. Puesto que las fuerzas de fricción y normal son mutuamente perpendiculares, los vectores no se pueden relacionar mediante una constante multiplicativa.

PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 5.11 La dirección de la fuerza de fricción En ocasiones se hace un enunciado incorrecto acerca de la fuerza de fricción entre un objeto y una superficie, “la fuerza de fricción en un objeto es opuesta a su movimiento o al movimiento inminente”, en lugar de la frase correcta, “la fuerza de fricción en un objeto es opuesta a su movimiento o al movimiento inminente en relación con la superficie”.

Las leyes del movimiento TABLA 5.1 Coeficientes de fricción s

S

F

a

S

F

30 b

Figura 5.18

(Examen rápido 5.7) Un padre desliza a su hija sobre un trineo mediante a) empujar sobre sus hombros o b) jalarla con una cuerda.

0.8 0.57 0.47 0.4 0.36 0.2 0.1 0.04 0.06 0.04 0.03 0.003

Note: Todos los valores son aproximados. En algunos casos el coeficiente de fricción puede ser mayor que 1.0.

La magnitud de la fuerza de fricción cinética que actúa entre dos superficies es

fk 5

30

k

Hule sobre concreto 1.0 Acero sobre acero 0.74 Aluminio sobre acero 0.61 Vidrio sobre vidrio 0.94 Cobre sobre acero 0.53 Madera sobre madera 0.25–0.5 Madera encerada sobre nieve húmeda 0.14 Madera encerada sobre nieve seca — Metal sobre metal (lubricado) 0.15 Teflón sobre teflón 0.04 Hielo sobre hielo 0.1 Articulación sinovial en humanos 0.01

k

n

(5.10)

donde μk se llama coeficiente de fricción cinética. Aunque el coeficiente de fricción cinética varía con la rapidez, por lo general en este texto se despreciará cualquiera de tales variaciones. Los valores de μk y μs dependen de la naturaleza de las superficies, pero μk por lo general es menor que μs. El intervalo de los valores típicos fluctúan de 0.03 a 1.0. La tabla 5.1 presenta algunos valores reportados. La dirección de la fuerza de fricción sobre un objeto es paralela a la superficie con la que el objeto está en contacto y opuesta al movimiento real (fricción cinética) o al movimiento inminente (fricción estática) del objeto en relación con la superficie. Los coeficientes de fricción son casi independientes del área de contacto entre las superficies. Es de esperar que al colocar un objeto en el lado que tiene más área aumente la fuerza de fricción. Aunque este método proporciona más puntos de contacto, el peso del objeto se dispersa sobre un área más grande y los puntos individuales no se oprimen tan estrechamente entre sí. Ya que estos efectos se compensan, aproximadamente, uno con otro, la fuerza de fricción es independiente del área.

E XAMEN RÁPIDO 5.6 Usted presiona con su mano su libro de física plano contra una pared vertical. ¿Cuál es la dirección de la fuerza de fricción que ejerce la pared sobre el libro? (a) hacia abajo, (b) hacia arriba, (c) afuera desde la pared, (d) hacia dentro de la pared. E XAMEN RÁPIDO 5.7 Usted juega con su hija en la nieve. Ella se sienta sobre un trineo y le pide que la deslice sobre un campo horizontal plano. Usted tiene la opción de (a) empujarla desde atrás al aplicar una fuerza hacia abajo sobre sus hombros a 30o bajo la horizontal (figura 5.18a) o (b) unir una cuerda al frente del trineo y jalar con una fuerza a 30o sobre la horizontal (figura 5.18b). ¿Cuál sería más fácil para usted y por qué?

Ejemplo 5.11 Determinación experimental de ␮s y ␮k El siguiente es un método simple de medir coeficientes de fricción. Suponga que se coloca un bloque sobre una superficie rugosa inclinada en relación con la horizontal, como se muestra en la figura 5.19. El ángulo de inclinación aumenta hasta que el bloque comienza a moverse. Demuestre que puede obtener μs al medir el ángulo crítico ␪c al que comienza a ocurrir este deslizamiento. SOLUCIÓN

Conceptualizar Considere la figura 5.19 e imagine que el bloque tiende a deslizarse hacia abajo por el plano debido a la fuerza gravitacional. Para simular la situación, coloque una moneda sobre la cubierta de este libro e incline el libro hasta que la moneda


117

10.8 Fuerzas de fricción 5.11 c o n t i n u a c i ó n

y

comience a deslizarse. Note cómo este ejemplo difiere del ejemplo 5.6. Cuando no hay fricción sobre el plano, cualquier ángulo del plano hará que un objeto en reposo comience a moverse. Sin embargo, cuando existe fricción no hay movimiento del objeto para ángulos menores al ángulo crítico.

Del modelo de partícula en equilibrio, aplique la ecuación 5.8 al bloque en ambas direcciones x y y: Sustituya mg 5 n/cos ␪ de la ecuación (2) en la ecuación (1): Cuando el ángulo de inclinación aumenta hasta que el bloque está a punto de deslizarse, la fuerza de fricción estática alcanza su valor máximo μsn. El ángulo ␪ en esta situación es el ángulo crítico ␪c . Haga estas sustituciones en la ecuación (3):

(1) (2)

SF SF

x

5 mg sen 2 fs 5 0

y

5 n 2 mg cos

(3) fs 5 mg sen 5

s

n 5 n tan 5 tan c s

50

S D n cos

sen 5 n tan

n

fs mg sen u

Categorizar El bloque está sometido a diferentes fuerzas. Puesto que el plano se eleva al ángulo en que el bloque está listo para comenzar a moverse pero no se mueve, el bloque se clasifica como una partícula en equilibrio. Analizar El diagrama en la figura 5.19 muestra las fuerzas que actúan sobre el bloque: la S S g , la fuerza normal n y la fuerza de fricción estática f k. Se elige x fuerza gravitacional mS paralelo al plano y y perpendicular a éste.

S

S

mg cos u

u

u S

x

mg

Figura 5.19 (Ejemplo 5.11) Las fuerzas externas que se ejercen sobre un bloque que se encuentra sobre un plano inclinado rugoso S son la fuerza gravitacional mg , la S fuerza normal n y la fuerza de fricS ción fs. Por conveniencia, la fuerza gravitacional se descompone en una componente mg sen ␪ a lo largo del plano y una componente mg cos ␪ perpendicular al plano.

c

Así queda demostrado como se pidió que el coeficiente de fricción estática sólo se relaciona con el ángulo crítico. Por ejemplo, si el bloque apenas se desliza en ␪c 5 20.0o, se encuentra que μs 5 tan 20.0o 5 0.364. Finalizar Una vez que el bloque comienza a moverse en ␪ ≥ ␪c , acelera hacia abajo por el plano y la fuerza de fricción es f k 5 μkn. ¿QUÉ PASARÍA SI?

¿Cómo podrías determinar ␮k para el bloque e inclinación?

Respuesta Sin embargo, si ␪ se reduce a un valor menor que ␪c, puede encontrarse un ángulo ␪c⬘ tal que el bloque se mueve hacia abajo por el plano con rapidez constante de nuevo como una partícula en equilibrio (ax 5 0). En este caso, use las ecuaciones (1) y (2) con fs en lugar de f k para encontrar μk :μk 5 tan ␪c⬘, donde ␪c⬘ ⬍ ␪c .

Ejemplo 5.12 Disco de hockey deslizante S

Movimiento

n

A un disco de hockey sobre un estanque congelado se le da una rapidez inicial de 20.0 m/s. Si el disco siempre permanece sobre el hielo y se desliza 115 m antes de llegar al reposo, determine el coeficiente de fricción cinética entre el disco y el hielo. S

SOLUCIÓN

fk

Conceptualizar Imagine que el disco de la figura 5.19 se desliza hacia la derecha. La fuerza de fricción cinética actúa hacia la izquierda y alenta el disco que al final llega al reposo debido a esa fuerza. Categorizar Las fuerzas que actúan sobre el disco se identifican en la figura 5.20, pero el texto del problema proporciona variables cinemáticas. Por tanto, el problema se clasifica en varias formas. Primero, es necesario modelar al disco como una partícula bajo una fuerza neta en la dirección horizontal: la fricción cinética ocasiona que el disco acelere. No existe aceleración del disco en la dirección vertical, así que se utiliza el modelo de partícula en equilibrio para esa dirección. Aún más, ya que la fuerza de fricción cinética se representa como independiente de la rapidez, la aceleración del disco es constante. Así que este problema también se clasifica como una partícula bajo aceleración constante.

S

mg

Figura 5.20

(Ejemplo 5.12) Después de que al disco se le da una velocidad inicial hacia la derecha, las únicas fuerzas externas que actúan sobre él son la fuerza gravitacional S mS g , la fuerza normal n y la fuerza de S fricción cinética f k.

continúa


118

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

5.12 c o n t i n u a c i ó n Analizar Primero, encuentre la aceleración algebraicamente en términos del coeficiente de fricción cinética, con la segunda ley de Newton. Una vez que conozca la aceleración del disco y la distancia que recorre, encuentre las ecuaciones de cinemática para encontrar el valor numérico del coeficiente de fricción cinética. Aplique el modelo de partícula bajo una fuerza neta en la dirección x del disco:

(1)

SF

Aplique el modelo de partícula en equilibrio en la dirección y del disco:

(2)

SF

Sustituya n 5 mg de la ecuación (2) y de f k 5 ␮kn en la ecuación (1):

2

x

y

5 2 f k 5 max 5 n 2 mg 5 0

n52 ax 5 2

k

mg 5 max g k k

El signo negativo significa que la aceleración es hacia la izquierda en la figura 5.20. Ya que la velocidad del disco está dirigida a la derecha, el disco se frena. La aceleración es independiente de la masa del disco y es constante porque se supone que μk permanece constante. 0 5 vxi2 1 2axxf 5 vxi2 2 2 k gxf

Aplique al disco el modelo de partícula bajo aceleración constante, con la ecuación 2.17 del modelo, vxf 2 5 vxi2 1 2ax(xf 2 xi ), con xi ⫽ 0 y vxf ⫽ 0: Resuelva para el coeficiente de fricción cinética:

5 k

Sustituya valores numéricos:

k

5

vxi 2 2gxf s20.0 mysd2 5 0.177 2s9.80 mys2ds115 md

Finalizar Observe que μk es adimensional, como debe ser, y que tiene un valor menor, consistente con un objeto que se desliza en hielo.

Ejemplo 5.11 Aceleración de dos objetos conectados cuando la fricción está presente Un bloque de masa m 2 sobre una superficie horizontal rugosa se conecta a una bola de masa m1 mediante una cuerda ligera sobre una polea ligera sin fricción, como se muestra en la figura 5.20a. Al bloque se aplica una fuerza de magnitud F en un ángulo ␪ con la horizontal como se muestra, y el bloque se desliza hacia la derecha. El coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es μk . Determine la magnitud de la aceleración de los dos objetos.

y S

a

m2

S

Conceptualizar Imagine lo que ocurre conforme se aplica F al S bloque. Suponga que F es suficientemente grande para romper la fricción estática del bloque pero no lo suficiente para levantar el bloque, entonces éste se desliza hacia la derecha y la bola sube.

u

F

S

F sin u

n

S

T

S

T

u

S

F

m 2 F cos u

S

fk

m1 S

S

S

m 2g

m1g

m1

a

a

SOLUCIÓN

x

S

b

c S

Figura 5.21

(Ejemplo 5.13) a) La fuerza externa F aplicada como se muestra puede hacer que el bloque acelere hacia la derecha. b) y c) Diagramas mostrando las fuerzas sobre los dos objetos, se supone que el bloque acelera hacia la derecha y la bola acelera hacia arriba.

Categorizar Se pueden identificar las fuerzas y se quiere una aceleración, así que este problema se clasifica como dos partículas bajo una fuerza neta, la bola y el bloque. Se supone que el bloque no se eleva en el aire debido a la fuerza aplicada, el bloque se modela como una partícula en equilibrio en la dirección vertical. Analizar Primero dibuje diagramas de fuerzas para los dos objetos, como se muestra en las figuras 5.21b y 5.21c. Note que la cuerda S ejerce una fuerza de magnitud T sobre ambos objetos. La fuerza aplicada F tiene componentes x y y, F cos ␪ y F sen ␪, respectivamente. Ya que los dos objetos están conectados, se pueden igualar las magnitudes de la componente x de la aceleración del bloque y la componente y de la aceleración de la bola y llamar a ambas a. Suponga que el movimiento del bloque es hacia la derecha. Aplique el modelo de partícula bajo una fuerza neta al bloque en la dirección horizontal:

(1)

SF

x

5 F cos

2 f k 2 T 5 m 2ax 5 m 2a


119

Resumen

5.13 c o n t i n u a c i ó n Como el bloque sólo se mueve horizontalmente, aplique al bloque el modelo de partícula en equilibrio en la dirección vertical:

(2)

SF

Aplique el modelo de partícula bajo una fuerza neta a la bola en la dirección vertical:

(3)

SF

Resuelva la ecuación (2) para n:

n 5 m 2g 2 F sen

Sustituya n en f k 5 μkn de la ecuación 5.10:

(4) f k 5

k

Sustituya la ecuación (4) y el valor de T de la ecuación (3) en la ecuación (1):

F cos

2

k

Resuelva para a:

(5) a 5

y

5 n 1 F sen 2 m 2g 5 0

y

5 T 2 m1g 5 m1ay 5 m1a

(m 2g 2 F sen ) (m 2g 2 F sen ) 2 m1(a 1 g) 5 m 2a

F scos

1

k

sen d 2 sm1 1

k

m2dg

m1 1 m2

Finalizar La aceleración del bloque puede ser hacia la derecha o hacia la izquierda, depende del signo del numerador en la ecuación (5). Si el movimiento es hacia la izquierda, se debe invertir el signo de f k en la ecuación (1) porque la fuerza de fricción cinética se debe oponer al movimiento del bloque en relación con la superficie. En este caso, el valor de a es el mismo que en la ecuación (5), con los dos signos más en el numerador cambiados a signos menos. S ¿A qué se reduce la ecuación (5) si F es eliminada y la superficie queda sin fricción? Llame a esta expresión la ecuación (6). ¿Esta expresión algebraica encaja con su intuición de la situación física? Ahora regrese al ejemplo 5.10 y haga que ␪ tienda a cero en la ecuación (5) de ese ejemplo. Compare esa ecuación resultante con su ecuación (6) de este ejemplo 5.13. ¿Deberían las expresiones algebraicas compararse con base en las situaciones físicas?

Resumen › Definiciones Un marco de referencia inercial es en el que un objeto que no interactúa con otros objetos experimenta aceleración cero. Cualquier marco que se mueva con velocidad constante en relación con un marco inercial también es un marco inercial.

La fuerza se define como aquello que causa un cambio en el movimiento de un objeto.

Conceptos y principios

La primera ley de Newton establece que es posible encontrar un marco inercial en el que un objeto que no interactúa con otros objetos experimenta aceleración cero o, de manera equivalente, en ausencia de una fuerza externa, cuando se observa desde un marco inercial, un objeto en reposo permanece en reposo y un objeto en movimiento rectilíneo uniforme conserva dicho movimiento. La segunda ley de Newton afirma que la aceleración de un objeto es directamente proporcional a la fuerza neta que actúa sobre él e inversamente proporcional a su masa. La tercera ley de Newton postula que, si dos objetos interactúan, la fuerza que ejerce el objeto 1 sobre el objeto 2 es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza que ejerce el objeto 2 sobre el objeto 1.

S

La fuerza de fricción estática máxima f s,máx entre un objeto y una superficie es proporcional a la fuerza normal que actúa sobre el objeto. En general, fs ≤ μsn, donde μs es el coeficiente de fricción estática y n es la magnitud de la fuerza normal.

La fuerza gravitacional que se ejerce sobre un objeto es igual al producto de su masa (una cantidad escalar) y la aceleración de caída libre: S

F g 5 mS g

(5.5)

El peso de un objeto es la magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre el objeto: Fg 5 mg

(5.6)

Cuando un objeto se desliza sobre una superficie, la magnitud de la fuerza de S fricción cinética f k está dada por f k 5 μkn, donde μk es el coeficiente de fricción cinética.

continúa


120

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

Modelo de análisis para resolver problemas

Partícula bajo una fuerza neta Si una partícula de masa m experimenta una fuerza neta distinta de cero, su aceleración se relaciona con la fuerza neta mediante la segunda ley de Newton: S

o F 5 m Sa m

Partícula en equilibrio Si una partícula mantiene una veloS cidad constante (de modo que a 5 0), que podría incluir una velocidad de cero, las fuerzas sobre la partícula se equilibran y la segunda ley de Newton se reduce a: S

(5.2)

o F 50 S

S

a

a

m

S

F

S

F

(5.8)

0 0

Piense, Dialogue y comparta separación entre el lanzador y el receptor del huevo, y determine una rapidez típica con la que se debe tirar el huevo para que cubra la distancia sin pegar en el suelo o pasar arriba de la cabeza del receptor. Estime la masa y el diámetro del huevo (el diámetro más corto, perpendicular a la dimensión más larga). A partir de estos datos, calcule la fuerza sobre el huevo ejercida por su mano si mantiene la mano rígida y no se mueve cuando el huevo la golpea. Ahora, simule mover las manos hacia atrás mientras atrapa el huevo. Que un miembro del grupo estime la distancia que se mueven sus manos en este proceso. A partir de estos datos, estime la fuerza que ejerció la mano sobre el huevo en este proceso de captura. Compare las fuerzas de su mano sobre el huevo entre estos dos métodos de atrapar el huevo.

Consulte el prefacio para una explicación de los iconos utilizados en este conjunto de problemas. Para obtener más artículos de evaluación para esta sección, visite . 1. Usted es miembro de un grupo de expertos que presta sus servicios a la comunidad legal. A su grupo se le ha pedido un abogado defensor para argumentar en el juicio de un conductor que no excedió el límite de velocidad. Se le proporcionan los siguientes datos: la masa del auto es de 1.50 3 103 kg. La masa del conductor de 95.0 kg. El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos del auto y la carretera es 0.580. El coeficiente de fricción estática entre los neumáticos del auto y la carretera es 0.820. El límite de velocidad registrado en la carretera es de 25 mi/h. En el momento del incidente, la carretera estaba seca y el clima era soleado. También se le proporciona la siguiente descripción del incidente: el conductor estaba conduciendo por una colina que hace un ángulo de 17.5° con la horizontal. El conductor vio a un perro que corrió hacia la calle, freno y dejó una marca de 17.0 m de la longitud que patinó. El auto se detuvo al final de la marca de la patinada. El conductor no le pegó al perro, pero el sonido de las llantas chirriantes atrajo la atención de un policía cercano, que multó al conductor por exceso de velocidad. (a) ¿Debería su grupo estar de acuerdo en ofrecer testimonio en la defensa en este caso? (b) ¿por qué? 2. Considere la actividad de atrapar huevos discutida en el argumento introductorio del capítulo. Discuta en su grupo y haga cálculos de lo siguiente. Identifique una distancia de

3. ACTIVIDAD Un procedimiento simple que se puede seguir para medir el coeficiente de fricción usando la técnica discutida en el ejemplo 5.11. Ponga su libro sobre una mesa y coloque una moneda en la cubierta lejos del lomo. Abra lentamente la cubierta del libro para que forme un plano inclinado hacia abajo por el que la moneda se deslizará. Observe con cuidado y pare de abrir la cubierta en el instante que la moneda comienza a deslizarse. Con un transportador mida este ángulo crítico que la cubierta del libro hace con la horizontal. A partir de este ángulo, determine el coeficiente de fricción estática entre la moneda y la cubierta. (b) Coloque cinta adhesiva entre dos monedas y repita el procedimiento anterior para las dos monedas. ¿Cómo se compara el coeficiente de fricción estática para las dos monedas con el de la única moneda?

Problemas Consulte el prefacio para una explicación de los iconos utilizados en este conjunto de problemas. Para obtener más artículos de evaluación para esta sección, visite y

SECCIÓN 5.1 Concepto de fuerza 1. Cierto ortodoncista utiliza una abrazadera de alambre para alinear la dentadura de un paciente, como se muestra en la figura P5.1. La tensión en el alambre se ajusta para tener 18.0 N. Encuentre la magnitud de la fuerza neta ejercida por el alambre sobre la dentadura.

x 14°

2. Una o más fuerzas externas, suficientemente grandes para ser fácilmente medibles, se ejercen sobre cada objeto encerrado en un recuadro con líneas discontinuas, como se muestra en la figura 5.1. Identifique la reacción a cada una de dichas fuerzas.

S

T 14°

S

SECCIÓN 5.4 Segunda ley de Newton 3. Un objeto de 3.00 kg experimenta una aceleración dada por ⁄ ⁄ S a 5 s2.00 i 1 5.00 j d. Encuentre (a) la fuerza resultante que actúa sobre el objeto y (b) la magnitud de la fuerza resultante. 4. La rapidez promedio de una molécula de nitrógeno en el aire es aproximadamente 6.70 3 102 m/s y su masa es 4.68 3 10226 kg. (a) Si una molécula de nitrógeno tarda 3.00 3 10213 s en golpear una pared y rebotar con la misma rapidez pero

V

T

Figura P5.1


121

Problemas

T

7.

V

8.

SECCIÓN 5.5 Fuerza gravitacional y peso 9. Problema de repaso La fuerza gravitacional ejercida sobre una pelota de béisbol es de 2.21 N hacia abajo. Un pitcher lanza la bola horizontalmente con una velocidad de 18.0 m/s al acelerarla uniformemente en línea recta horizontal durante un intervalo de tiempo de 170 ms. La pelota parte del reposo. (a) ¿Qué distancia recorre la bola antes de ser liberada? (b) ¿Qué magnitud y dirección tiene la fuerza que el pitcher ejerce sobre la pelota? 10. Problema de repaso La fuerza gravitacional ejercida sobre ⁄ una bola de beisbol es –Fg j . Un pitcher lanza la pelota con ⁄ velocidad v i al acelerarla uniformemente en línea horizontal durante un intervalo de tiempo de Dt 5 t – 0 5 t. (a) Partiendo del reposo, ¿qué distancia recorre la bola antes de ser liberada? (b) ¿Qué fuerza ejerce el pitcher sobre la pelota? 11. Problema de repaso Un electrón de 9.11 3 10231 kg de masa T tiene una rapidez inicial de 3.00 3 105 m/s. Viaja en línea recta y su rapidez aumenta a 7.00 3 105 m/s en una distancia de 5.00 cm. Si supone que su aceleración es constante, (a) determine la fuerza que se ejerce sobre el electrón y (b) compare esta fuerza con el peso del electrón, que se ignoró. 12. Si un hombre pesa 900 N en la Tierra, ¿cuál sería su peso en Júpiter, en donde la aceleración en caída libre es de 25.9 m/s2? 13. Usted está de pie en el asiento de una silla y luego salta. a) Durante el intervalo de tiempo en el que está en vuelo hacia el suelo, la Tierra se tambalea hacia usted con una aceleración, ¿de qué orden de magnitud? En su solución, explique su lógica. Represente a la Tierra como un objeto perfectamente sólido. b) La Tierra se mueve hacia arriba a través de una distancia, ¿de qué orden de magnitud?

14. Un ladrillo de masa M está sobre una almohadilla de hule de masa m. Juntos se deslizan hacia la derecha con velocidad constante sobre un estacionamiento cubierto de hielo. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del ladrillo e identifique cada fuerza que actúa sobre él. (b) Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la almohadilla e identifique cada fuerza que actúa sobre ella. (c) Identifique todos los pares de fuerzas acción-reacción en el sistema ladrillo-almohadilla-planeta

SECCIÓN 5.7 Modelos de análisis utilizando la segunda ley de Newton 15. Problema de repaso La figura P5.15 muestra un trabajador que empuja un bote, un modo de transporte muy eficiente, a través de un lago tranquilo. Él empuja paralelo a la longitud de la vara ligera y ejerce sobre el fondo del lago una fuerza de 240 N. Suponga que la vara se encuentra en el plano vertical que contiene la quilla del bote. En algún momento, la vara forma un ángulo de 35.0o con la vertical y el agua ejerce una fuerza de arrastre horizontal de 47.5 N sobre el bote, opuesta a su velocidad hacia Figura P5.15 delante de 0.857 m/s de magnitud. La masa del bote, que incluye su carga y al trabajador es de 370 kg. (a) El agua ejerce una fuerza de flotación vertical hacia arriba sobre el bote. Encuentre la magnitud de esta fuerza. (b) Modele las fuerzas como constantes en un intervalo corto de tiempo para encontrar la velocidad del bote 0.450 s después del momento descrito. 16. Un tornillo de hierro de 65.0 g de masa cuelga de una cuerda de 35.7 cm de largo. El extremo superior de la cuerda está fijo. Sin tocarlo, un imán atrae el tornillo de modo que permanece fijo, desplazado horizontalmente 28.0 cm a la derecha desde la línea vertical previa de la cuerda. El imán está ubicado a la derecha del tornillo y al mismo nivel vertical que el tornillo en la configuración final. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del tornillo. (b) Encuentre la tensión en la cuerda. c) Encuentre la fuerza magnética sobre el tornillo. 17. Un bloque se desliza hacia abajo por un plano sin fricción con V una inclinación de ␪ 5 15.0o. El bloque parte del reposo en lo alto, y la longitud del plano es 2.00 m. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del bloque. Encuentre (b) la aceleración del bloque y (c) su rapidez cuando llega al fondo del plano inclinado. 18. Un saco de cemento de peso F g cuelga en equilibrio de tres alambres, como se muestra en la figura P5.18. Dos de los alambres foru2 u1 man ángulos ␪1 y ␪2 con la horizontal. Si supone que el sistema está en equiT1 T2 librio, demuestre que la tensión en el alambre izquierdo es T 3

T1 5

Fg cos sen s

1

1

2

d

2

CEMENT

6.

SECCIÓN 5.6 Tercera ley de Newton

REBECCA BLACKWELL/AP Images

5.

moviéndose en la dirección opuesta, ¿cuál es la aceleración promedio de la molécula durante este intervalo de tiempo? (b) ¿Qué fuerza promedio ejerce la molécula sobre la pared? S ⁄ S ⁄ ⁄ ⁄ Dos fuerzas, F1 5 s26.00 i 2 4.00 j dN y F2 5 s23.00 i 1 7.00 j dN, actúan sobre una partícula de masa 2.00 kg que inicialmente está en reposo en las coordenadas (22.00 m, 4.00 m). (a) ¿Cuáles son las componentes de la velocidad de la partícula en t 5 10.0 s? (b) ¿En qué dirección se mueve la partícula en el instante t 5 10.0 s? (c) ¿Qué desplazamiento experimenta la partícula durante los primeros 10.0 s? (d) ¿Cuáles son las coordenadas de la partícula en t 5 10.0 s? La fuerza ejercida por el viento sobre las velas de un bote es de 390 N hacia el norte. El agua ejerce una fuerza de 180 N hacia el este. Si el bote (incluyendo su tripulación) tiene una masa de 270 kg, ¿cuáles son la magnitud y dirección de su aceleración? Problema de repaso Tres fuerzas que actúan sobre S ⁄ ⁄ un objeto están dadas por F 1 5 (22.00 i 1 2.00 j )N, S S ⁄ ⁄ ⁄ F 2 5(5.00 i 2 3.00 j )N y F 3 5 s245.0 i dN. El objeto experimenta una aceleración de 3.75 m/s2 de magnitud. (a) ¿Cuál es la dirección de la aceleración? b) ¿Cuál es la masa del objeto? (c) Si el objeto inicialmente está en reposo, ¿cuál es su rapidez después de 10.0 s? (d) ¿Cuáles son las componentes de velocidad del objeto después de 10.0 s? Si una sola fuerza constante actúa sobre un objeto que se mueve en una línea recta, la velocidad del objeto es una función lineal del tiempo. La ecuación v 5 vi 1 at da su velocidad v en función del tiempo, donde a es su aceleración constante. ¿Qué pasa si ahora la velocidad es una función lineal de la posición? Suponga que un objeto particular se mueve a través de un medio resistivo, su rapidez disminuye como se describe en la ecuación v 5 vi 2 kx, donde k es un coeficiente constante y x es la posición del objeto. Encuentre la ley que describe la fuerza total que actúa sobre este objeto.

Fg

19. La distancia entre dos postes de teléfono es de 50.0 m. Cuando un ave de Figura P5.18 1.00 kg se posa sobre el alambre telefónico a la mitad entre los postes, el alambre se comba 0.200 m. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del ave. (b) ¿Cuánta tensión produce el ave en el alambre? Ignore el peso del alambre. 20. Se observa que un objeto de masa m 5 1.00 kg tiene una aceleración S a de 10.0 m/s2 en una dirección a 60.0 o al noreste,


122

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

véase la figura P5.20. La fuerza S F 2 que se ejerce sobre el objeto tiene una magnitud de 5.00 N y se dirige al norte. Determine la magnitud y dirección de la S fuerza horizontal F 1 que actúa sobre el objeto.

entonces es tensión. Si empuja, entonces el puntal está bajo compresión. Identifique si cada puntual está en tensión o en compresión.

S

S

a

F2

60.0

B m

S

60.0°

F1

A

Figura P5.20 21. Un acelerómetro simple se construye dentro de un auto al colgar un objeto de masa m de una cuerda de longitud L fija al techo del automóvil. Conforme el auto acelera el sistema cuerda-objeto hace un ángulo constante ␪ con la vertical. (a) Si supone que la masa de la cuerda es despreciable comparada con m, obtenga una expresión para la aceleración del auto en términos de ␪ y demuestre que es independiente de la masa m y la longitud L. (b) Determine la aceleración del automóvil cuando ␪ 5 23.0o. 22. Un objeto de masa m1 5 5.00 kg colocado sobre una mesa horizontal sin V fricción se conecta a una cuerda que pasa sobre una polea y después se une a un objeto colgante de masa m 2 5 9.00 kg, como se muestra en la figura P5.22. (a) Dibuje diagramas de cuerpo libre de ambos objetos. Encuentre (b) la magnitud de la aceleración de los objetos y (c) la tensión en la cuerda.

m1

m2

23. En el sistema que se muestra en la figura P5.23, una fuerza S T horizontal F x actúa sobre un objeto de masa m 2 5 8.00 kg. La superficie horizontal no tiene fricción. Considere la aceleración del objeto deslizante como una función de Fx . (a) ¿Para qué valores de Fx el objeto de masa m1 5 2.00 kg acelera hacia arriba? (b) ¿Para qué valores de Fx la tensión en la cuerda es cero? (c) Grafique la aceleración del objeto m 2 vs Fx . Incluya valores de Fx desde 2100 N hasta 1100 N. m2

Figura P5.24 25. Un objeto de masa m1 cuelga de una cuerda que pasa por una polea ligera, fija P 1, como se muestra en la figura P5.46. La cuerda se conecta a una segunda polea muy ligera P 2. Una segunda cuerda pasa por esta polea con un extremo fijo a una pared y el otro a un objeto de masa m2 sobre una mesa horizontal sin fricción. (a) Si a1 y a2 son las aceleraciones de m1 y m2, respectivamente, ¿cuál es la relación entre dichas aceleraciones? Encuentre expresiones para (b) las tensiones en las cuerdas y (c) las aceleraciones a1 y a2 en términos de las masas m1 y m2, y de g. P2

Figura 5.22 Problemas 22 y 29

S

Fx

m1

Figura P5.23 24. Un auto queda atorado en el lodo. Una grúa jala al automóvil, como se muestra en la figura P5.24. El cable de la grúa tiene una tensión de 2 500 N y jala hacia abajo y hacia la izquierda sobre el perno en su parte superior. El perno ligero se mantiene en equilibrio debido a las fuerzas ejercidas por las barras A y B. Cada barra es un puntal; es decir, las barras tienen un peso pequeño comparado con las fuerzas que ellas ejercen en los pasadores de bisagras de sus extremos. Cada puntal ejerce una fuerza paralela a su longitud. Determine la fuerza de tensión o de compresión en cada puntal. Proceda como sigue. Haga una conjetura de cómo actúan (empujando o jalando) las fuerzas en el perno superior. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del perno. Utilice la condición de equilibrio del perno para trasladar el diagrama de cuerpo libre a ecuaciones. A partir de las ecuaciones calcule las fuerzas ejercidas por los puntales A y B. Si usted obtiene una respuesta positiva, entonces son correctas las direcciones inicialmente propuestas para las fuerzas. Una respuesta negativa significa que la dirección debe invertirse, pero es correcto el valor absoluto de la magnitud de la fuerza. Si un puntal jala sobre el perno,

50.0°

P1

m2

m1

Figura P5.25 SECCIÓN 5.8 Fuerzas de fricción 26. ¿Por qué es imposible la siguiente situación? Su libro de física de 3.80 kg está junto a usted sobre el asiento horizontal de su automóvil. El coeficiente de fricción estática entre el libro y el asiento es 0.650, y el coeficiente de fricción cinética es 0.550. Suponga que viaja a 72.0 km/h y frena para detenerse con aceleración constante en una distancia de 30.0 m. Su libro de física permanece sobre el asiento y no resbala hacia adelante para caer al piso. 27. Considere un camión grande transportando una pesada carga, como vigas de acero. Un riesgo fuerte para el conductor es que la carga pueda deslizarse hacia adelante, y golpear la cabina, si el camión para repentinamente durante un accidente o al frenar. Suponga, por ejemplo, que una carga de 10 000 kg va colocada sobre un camión de 20 000 kg moviéndose a 12.0 m/s. Supongamos que la carga no está atada al camión, pero tiene un coeficiente de fricción de 0.500 con la plataforma del camión. (a) Calcule la distancia mínima de parada para lo cual la carga no se deslizará hacia adelante en relación con el camión. (b) ¿Hay algún dato innecesario para la solución? 28. Antes de 1960, se creía que el máximo coeficiente de fricción estática alcanzable para la llanta de un automóvil, sobre un camino, era ms 5 1. Alrededor de 1962, tres compañías independientemente desarrollaron llantas de carreras con coeficientes de 1.6. Este problema muestra que las llantas han mejorado desde aquella ocasión. El más corto intervalo de tiempo para un automóvil con motor de pistones, inicialmente en reposo, para cubrir una distancia de un cuarto de milla es 4.43 s. (a) Suponga que las llantas traseras levantaron las delanteras del pavimento, como lo muestra la figura


Problemas

Christopher Halloran/Shutterstock.com

P5.28. ¿Qué valor mínimo de μs es necesario para lograr el tiempo récord? (b) Suponga que al conductor le fuera posible incrementar la potencia de su motor, y mantener iguales otras cosas. ¿Cómo afectaría este cambio al intervalo de tiempo?

Figura P5.28 29. Un objeto suspendido de 9.00 kg se conecta, mediante una V cuerda ligera inextensible sobre una polea ligera sin fricción, a un bloque de 5.00 kg que se desliza sobre una mesa plana (figura P5.22). Si toma el coeficiente de fricción cinética como 0.200, encuentre la tensión en la cuerda. 30. En la figura P5.30, la persona pesa 170 lb. Visto de frente, cada muleta forma un ángulo de 22.0o con la vertical. Las muletas soportan la mitad del peso del individuo. La otra mitad es soportada por las fuerzas verticales del suelo sobre los pies de 22.0 22.0 la persona. Suponga que el hombre se mueve con velocidad constante y que la fuerza ejercida por el piso sobre las muletas actúa a Figura P5.30 lo largo de ellas, determine (a) el más pequeño coeficiente de fricción posible entre las muletas y el suelo, y (b) la magnitud de la fuerza de compresión en cada muleta. 31. Tres objetos se conectan sobre una mesa, como se muestra en la figura P5.31. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de masa m 2 y la mesa es 0.350. Los objetos tienen masas de m1 5 4.00 kg, m 2 5 1.00 kg y m 3 5 2.00 kg, y las poleas no tienen fricción. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada objeto. (b) Determine la aceleración de cada objeto, incluyendo su dirección. (c) Determine las tensiones en las dos cuerdas. ¿Qué pasaría si? (d) Si la mesa fuera lisa, ¿las tensiones aumentarían, disminuirían, o quedarían intactas? Explique. m2

m1

m3

Figura P5.31 32. Usted está trabajando como clasificador de cartas en el SerCE vicio Postal de Estados Unidos. Las normas postales requieren que el calzado de sus empleados tenga un coeficiente de fricción estática de 0.5 o más, sobre una superficie específica. Usted utiliza un calzado de atletismo que no conoce su coeficiente de fricción estática. Para determinar el coeficiente, usted imagina que hay una emergencia y empieza

123

a correr a través de la habitación. Usted tiene un compañero de trabajo, y encuentra que usted puede comenzar desde el reposo y moverse 4.23 m en 1.20 s. Si intenta moverse más rápido que esto, sus pies resbalan. Suponiendo que su aceleración es constante, ¿su calzado califica para la regulación postal? 33. Usted ha sido llamado como un testigo experto para un juicio CE en el que un conductor ha sido acusado de exceso de velocidad, pero está reclamando inocencia. Afirma haber pisado sus frenos para evitar chocar con la parte trasera de otro auto, pero golpeó la parte posterior del otro auto justo cuando se detuvo. Usted ha sido contratado por el acusador para demostrar que el conductor de hecho iba a exceso de velocidad. Usted ha obtenido de la policía los datos siguientes: que las marcas de la patinada, dejadas por el conductor son de 56.0 m de largo y la carretera está a nivel. Los neumáticos que coinciden con los del auto del conductor se ha arrastrado por la misma carretera para determinar que el coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y la carretera es de 0.82 en todos los puntos a lo largo de la marca de la patinada. El límite de velocidad en la carretera es 35 mi/h. redacte un argumento para utilizarlo en la corte para demostrar que el conductor de hecho iba a exceso de velocidad. 34. Un bloque de 3.00 kg de masa es empujado contra una pared mediante una S fuerza P que forma un ángulo ␪ 5 50.0o con la horizontal, como se muestra en la figura P5.34. El coeficiente de fricu ción estática entre el bloque y la pared S P es 0.250. (a) Determine losSvalores posibles para la magnitud de P que permiFigura P5.34 ten al bloque permanecer fijo. (b) DesS criba qué sucede si uP u tiene un valor mayor y qué ocurre si es más pequeño. (c) Repita los incisos (a) y (b) suponiendo que la fuerza forma un ángulo ␪ 5 13.0o con la horizontal. 35. Problema de repaso Un salmón real puede nadar a 3.58 m/s, y también puede saltar verticalmente, abandonando el agua con una rapidez de 6.26 m/s. Un salmón récord tiene 1.50 m de longitud y una masa de 61.0 kg. Considere un pez nadando en línea recta hacia arriba bajo la superficie de un lago. La fuerza gravitacional ejercida sobre el pez es casi cancelada por la fuerza de flotación ejercida por el agua, como se estudiará en el capítulo 14. El pez experimenta una fuerza P hacia arriba ejercida por el agua sobre las aletas de su cola y una fuerza hacia abajo debida a la fricción del fluido que se modela actuando sobre su extremo frontal. Suponga que la fuerza de fricción del fluido desaparece tan pronto como la cabeza del pez corta la superficie del agua, y asuma que la fuerza sobre su cola es constante. Modele la fuerza gravitacional que se elimina rápidamente cuando la mitad del pez está fuera del agua. Encuentre el valor de P. 36. Un bloque de 5.00 kg se coloca encima de un bloque de 10.0 kg (figura P5.36). Una fuerza horizontal de 45.0 N es aplicada al bloque de 10.0 kg, y el bloque de 5.0 kg está amarrado a la pared. El coeficiente de fricción cinética entre todas las superficies en movimiento es 0.200. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque e identifique las fuerzas de acción-reacción entre los bloques. (b) Determine la tensión en la cuerda y la magnitud de la aceleración del bloque de 10.0 kg. 5.00 kg 10.0 kg

Figura P5.36

F = 45.0 N


124

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

PROBLEMAS ADICIONALES 37. Un deslizador de aluminio negro flota sobre una película de aire en una pista de aire de aluminio a nivel. En esencia, el aluminio no siente fuerza en un campo magnético y la resistencia del aire es despreciable. Un imán intenso se une a lo alto del deslizador y forma una masa total de 240 g. Un trozo de chatarra de hierro unido a un tope en la pista atrae al imán con una fuerza de 0.823 N cuando el hierro y el imán están separados 2.50 cm. (a) Encuentre la aceleración del deslizador en este instante. (b) La chatarra de hierro ahora se une a otro deslizador verde y forma una masa total de 120 g. Encuentre la aceleración de cada deslizador cuando se liberan simultáneamente a 2.50 cm de separación. 38. ¿Por qué es imposible la siguiente situación? Un libro se coloca sobre un plano inclinado en la superficie de la Tierra. El ángulo del plano con la horizontal es 60.0o. El coeficiente de fricción cinética entre el libro y el plano es 0.300. Al tiempo t 5 0, el libro se libera a partir del reposo. Entonces el libro desliza una distancia de 1.00 m, medida a lo largo del plano, en un intervalo de tiempo de 0.483 s. 39. Dos bloques de masas m1 y m 2 se colocan sobre una tabla en contacto entre sí como se discute en el ejemplo 5.7 y se muestra en la figura 5.13a. El coeficiente de fricción cinética entre el bloque de la masa m1 y la tabla es μ1, y entre el bloque de masa m 2 y la tabla es μ 2. Se aplica una fuerza horizontal de magnitud F al bloque de masa m1. Deseamos encontrar P, la magnitud de la fuerza de contacto entre los bloques. (a) Dibuje los diagramas que demuestran las fuerzas para cada bloque. (b) ¿Cuál es la fuerza neta en el sistema de dos bloques? (c) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre m1? (d) ¿Cuál es la fuerza neta que actúa sobre m 2? (e) Escriba la segunda ley de Newton en la dirección x para cada bloque. (f) Resuelva las dos ecuaciones con dos incógnitas para la aceleración a de los bloques en términos de las masas, la fuerza aplicada F, los coeficientes de fricción, y g. (g) Encuentre la magnitud P de la fuerza de contacto entre los bloques en términos de las mismas cantidades. 40. Un deslizador de 1.00 kg sobre un riel de aire horizontal es jalado por una cuerda a un ángulo ␪. La cuerda tensa pasa por una polea y está ligada a un cuerpo colgando de masa 0.500 kg, como se muestra en la figura P5.40. (a) Muestre que la rapidez vx del deslizador y la rapidez v y del objeto que cuelga están relacionadas vx 5 uvy , donde u ⫽ z(z 2 ⫺ h 02)⫺1/2. (b) El deslizador se libera a partir del reposo. Demuestre que en ese instante la aceleración ax del deslizador y la aceleración ay del objeto colgando están relacionadas por ax 5 uay . (c) Encuentre la tensión en la cuerda en el instante que se libera el deslizador, para h o 5 80.0 cm y ␪ 5 30.0o. y z h0 x vx

θ m vy

Figura P5.40

41. Un niño inventivo llamado Nick quiere alcanzar una manzana pendiente en un árbol sin escalar. Sentado en una silla unida a una cuerda que pasa sobre una polea sin fricción (figura P5.41). Nick jala sobre el extremo suelto de la cuerda con tal fuerza que la balanza de resorte lee 250 N. El verdadero peso de Nick es 320 N y la silla pesa 160 N. Los pies de Nick no tocan el suelo. (a) Dibuje un par de diagramas que muestren las fuerzas para Nick y la silla considerados como sistemas separados y otro diagrama para Nick y la silla considerados como un sistema. (b) Muestre que la aceleración del sistema es hacia arriba y encuentre su magnitud. (c) Encuentre la fuerza que Nick ejerce sobre la silla.

Figura P5.41

Problemas 41 y 44

S 42. Una cuerda con masa mr está mr F mb unida a un bloque de masa m b, como en la figura P5.42. El bloque descansa sobre una superficie horizontal sin fricción. La Figura P5.42 cuerda no se estira. El extremo libre deSla cuerda se jala hacia la derecha con una fuerza horizontal F . (a) Dibuje diagramas de fuerzas para la cuerda y el bloque, observando que la tensión en la cuerda no es uniforme. (b) Encuentre la aceleración del sistema en términos de mc , mb y F. (c) Encuentre la magnitud de la fuerza que la cuerda ejerce sobre el bloque. (d) ¿Qué pasa con la fuerza sobre el bloque conforme la masa de la cuerda se aproxima a cero? ¿Qué puede decirse acerca de la tensión en una cuerda ligera uniendo a un par de objetos en movimiento? 43. En el ejemplo 5.7 se empujaron dos bloques sobre una mesa. Suponga que tres bloques están en contacto mutuo sobre una superficie horizontal sin fricción, como se muestra en la S figura P5.43. A m1 se le aplica una fuerza horizontal F . Tome m1 5 2.00 kg, m 2 5 3.00 kg, m 3 5 4.00 kg y F 5 18.0 N. (a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre para cada bloque. (b) Determine la aceleración de los bloques. (c) Encuentre la fuerza resultante sobre cada bloque. (d) Encuentre las magnitudes de las fuerzas de contacto entre los bloques. (e) Usted trabaja en un proyecto de construcción. Un colaborador clava cartón-yeso en un lado de un separador ligero y usted está en el lado opuesto, proporcionando “respaldo” al apoyarse contra la pared con su espalda, empujando sobre ella. Cada golpe de martillo hace que su espalda sufra un pinchazo. El supervisor lo ayuda al poner un pesado bloque de madera entre la pared y su espalda. Use la situación analizada en los incisos (a), (b) y (c) como modelo, y explique cómo este cambio funciona para hacer su trabajo más confortable.


Problemas

S

m1

F

m2

la fuerza total ejercida por la fuerza de arrastre de fricción del agua y la fuerza del agua en las hélices era de 1.25 3 105 N en una dirección alejándose del arrecife. Con esta información, construya un argumento convincente de que el capitán no podía hacer nada en esta situación para evitar que el buque pegara contra el arrecife.

m3

Figura P5.43 44. En la situación descrita en el problema 41 y la figura P5.41, las masas de la cuerda, balanza y polea son despreciables. Los pies de Nick no tocan el suelo. (a) Suponga que Nick está momentáneamente en reposo cuando deja de jalar la cuerda hacia abajo y pasa el extremo de la cuerda a otro niño, de 440 N de peso, que está de pie en el suelo junto a él. La cuerda no se rompe. Describa el movimiento resultante. (b) En vez de ello, suponga que Nick está momentáneamente en reposo cuando amarra el extremo de la cuerda a una saliente en forma de gancho resistente que se deriva del tronco del árbol. Explique por qué esta acción puede hacer que la cuerda se rompa. 45. Una caja de peso Fg es empujada mediante S P S una fuerza P sobre un piso horizontal, como se muestra en la figura P5.89. El S coeficiente de fricción estática es μs , y P se dirige a un ángulo ␪ bajo la horizontal. (a) Demuestre que el valor mínimo de P que moverá la caja está dado por

Figura P5.45

P5

F sec s g 12

s

125

tan

(b) Encuentre la condición sobre ␪, en términos de μs, tal que sea imposible el movimiento de la caja para cualquier valor de P. 46. En la figura P5.92, la polea y la cuerda son ligeras, todas las superficies carecen de fricción, y la cuerda no se estira. (a) ¿Qué comparación puede hacerse entre las aceleraciones de los bloques m1 1 y 2? Explique su razonamiento. (b) La masa del bloque 2 es 1.30 kg. Encuentre su aceleración que depende de la masa m1 del bloque m2 1. (c) ¿Qué pasaría si? ¿Qué predice el resultado del inciso (b) si m1 es mucho menor que 1.30 kg? Figura P5.46 d) ¿Qué predice el resultado del inciso (b) si m1 se aproxima a infinito? (e) En este último caso, ¿cuál es la tensión en la cuerda? (f) ¿Podría usted anticipar las respuestas de los incisos (c), (d) y (e) sin hacer primero el inciso (b)? Explique. 47. Usted está trabajando como un testigo experto para la CE defensa de un capitán de un buque contenedor cuya nave se topó con un arrecife que rodea una isla caribeña. El capitán está siendo acusado de dirigir la nave intencionalmente hacia el arrecife. Se ha descubierto la siguiente información que se ha presentado y los abogados de ambos bandos han estipulado que la información es correcta: el barco viajaba a 2.50 m/s hacia el arrecife cuando una falla mecánica causó que el timón se atascara en la posición recta. En ese momento, la nave estaba a 900 m del arrecife. El viento soplaba directamente hacia el arrecife, y ejercia una fuerza constante de 9.00 3 103 N en el barco en una dirección hacia el arrecife. La masa de la nave y su carga era de 5.50 3 107 kg. Durante la preparación del juicio, el capitán afirma que sin el control de la dirección de viaje, la única opción que tenía era poner el motores en reversa a la potencia máxima, de tal manera que

48. Un cojín plano de masa m se libera desde el reposo en lo alto de un edificio que tiene una altura h. Un viento que sopla a lo largo del lado del edificio Cojín ejerce una fuerza horizontal Fuerza del constante de magnitud F sobre viento el cojín conforme cae, como se muestra en la figura P5.48. El h aire no ejerce fuerza vertical. (a) Demuestre que la trayectoria del cojín es una línea recta. (b) ¿El cojín cae con velocidad constante? Explique. (c) Si m 5 1.20 kg, h 5 8.00 m y F 5 2.40 N, ¿a qué distancia del edificio el Figura P5.48 cojín golpeará el nivel del suelo? ¿Qué pasaría si? (d) Si el cojín se lanza hacia abajo con una rapidez distinta de cero, desde lo alto del edificio, ¿cuál será la forma de su trayectoria? Explique. 49. ¿Qué fuerza horizontal debe aplicarse a un gran bloque de masa M, que se muestra en la figura P5.49, para que los otros bloques permanezcan fijos resm2 pecto a M? Suponga que todas las superficies y la polea carem1 cen de fricción. Note que la S M F fuerza ejercida por la cuerda acelera a m 2. 50. Un objeto de 8.40 kg se desliza hacia abajo por un plano incliFigura P5.49 Problemas nado fijo sin fricción. Use una 49 y 53 computadora para determinar y tabular (a) la fuerza normal que se ejerce sobre el objeto y (b) su aceleración para una serie de ángulos de inclinación (medidos desde la horizontal) que varían de 0o a 90o en incrementos de 5o. (c) Trace una gráfica de la fuerza normal y la aceleración como funciones del ángulo de inclinación. (d) En los casos límite de 0o y 90o, ¿sus resultados son consistentes con el comportamiento conocido?

PROBLEMAS DE DESAFÍO 51. Un bloque de masa 2.20 kg se acelera, sobre una superficie rugosa, mediante una cuerda ligera que pasa por una pequeña polea, como se indica en la figura P5.51. La tensión T en la cuerda se mantiene a 10 N, y la polea está a 0.100 m por arriba del bloque. El coeficiente de fricción cinética es 0.400. (a) Determine T la aceleración del bloque cuando x x 5 0.400 m. (b) Describa el comM portamiento general de la aceleración conforme el bloque se desliza desde una ubicación con x grande hasta x 5 0. (c) Encuentre el valor Figura P5.51 máximo de la aceleración y la posición x en donde esto ocurre. (d) Encuentre el valor de x para el cual la aceleración es cero. 52. ¿Por qué es imposible la siguiente situación? Una tostadora de 1.30 kg no está conectada. El coeficiente de fricción estática entre la tostadora y un mostrador horizontal es 0.350. Para hacer que la tostadora comience a moverse, usted jala descuidada-


126

Capítulo 5

Las leyes del movimiento

mente su cordón eléctrico. Desafortunadamente, el cordón se ha debilitado debido a acciones similares y se romperá si la tensión en él excede 4.00 N. Jalando el cordón en un ángulo particular, usted logra que se mueva la tostadora sin romper el cordón. 53. Inicialmente, el sistema de objetos mostrado en la figura P5.49 se mantiene sin movimiento. La polea, todas las superfiS cies y las ruedas carecen de fricción. Acepte que la fuerza F es cero y suponga que m1 sólo se puede mover verticalmente. En el instante después de liberar al sistema de objetos, encuentre (a) la tensión T en la cuerda, (b) la aceleración de m 2, (c) la aceleración de M, y (d) la aceleración de m1. (Nota: La polea acelera junto con el sistema.) 54. Un móvil se forma al soportar cuatro mariposas metálicas de igual masa m de una cuerda de longitud L. Los puntos de soporte están igualmente espaciados una distancia ,, como se ilustra en la figura P5.54. La cuerda forma un ángulo ␪1 con el techo en cada punto final. La sección central de la cuerda es horizontal. (a) Encuentre la tensión en cada sección de cuerda en términos de ␪1, m y g. (b) Encuentre el ángulo ␪2, en términos de ␪1, que las secciones de cuerda entre las mariposas exteriores y las mariposas interiores forman con la horizontal. (c) Demuestre que la distancia D entre los puntos extremos de la cuerda es D5

5

L 2 cos 5

1

1 2 cosftan21_12 tan

6

+g 1 1

1

D u1

u1 u2

u2

m m m

L m

Figura P5.54

5

55. En la figura P5.55, el plano inclinado tiene masa M y está clavado a la mesa horizontal. El bloque de masa m se coloca cerca del fondo del plano y es liberado con un empujón para deslizarlo hacia arriba. El bloque se coloca cerca de lo alto del plano, como se muestra en la figura, y después se desliza hacia abajo, siempre sin fricción. Encuentre la fuerza que la mesa ejerce sobre el plano durante este movimiento en términos de m, M, g y ␪. m h u H

R

Figura P5.55


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Física para ciencias e ingeniería, vol. 1  
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