UMA HISTORIOGRAFIA SOBRE LOGARÍTMO........................................... Martinho Mota Dias Júnior; Fábio José da Costa Alves

Uma Historiografia sobre o Logarítmo

Martinho Mota Dias Júnior 1

Fábio José da Costa Alves

RESUMO

O estudo de logaritmo no ensino médio é um conteúdo que requer conhecimentos prévios dos estudantes, necessita de uma base para a sua plena compreensão. Com o objetivo de apresentar uma metodologia diferenciada, foi desenvolvido esta historiografia num sentido de mostrar aos estudantes o surgimento do logaritmo, quem foi o seu precursor e seus colaboradores, a época de seu descobrimento, os acontecimentos históricos referente ao período escolhido, o que estava acontecendo de mais importante nesse tempo e por fim as principais contribuições que cada um dos chamados “personagens contemporâneos” realizaram sobre o tema e/ou invenções, descobertas científicas importantes com relativo destaque histórico na matemática. Como metodologia usamos o diagrama orientador proposto por Chaquiam (2015; 2017). Para compreender este processo de evolução, foi eleito um personagem matemático principal e a partir dele alguns personagens contemporâneos do campo da matemática ou não. O eixo temático relaciona-se ao Ensino, Aprendizagem, Metodologias para Educação Básica e a categoria corresponde é de um artigo.

Palavras-chave: História da Matemática. Historiografia. Logaritmo.

1 INTRODUÇÃO

O estudo de logaritmo no ensino médio é um conteúdo que requer conhecimentos prévios dos estudantes, necessita de uma base para a sua plena compreensão. E muitas das vezes, os professores indagam não conseguir administrar esse conteúdo de uma forma adequada devido aos vários fatores, tais como: o tempo, que é curto; o conteúdo programático do curso de 1º ano que é extenso; os fatores externos (festas, comemorações, atividades extra classes) e entre outros.

1 Licenciado em Ciências, com hab. plena em Matemática (Unama); em informática (IFPA-TUCURUÍ); Especialista em Matemática (UFPA). Mestrando em Matemática (UEPA-2019) e Graduando (Eng. Civil- UFPA-2014). Instituição: SEDUC-PA. 16ª URE. E.E.E.M. Dep. Raimundo Ribeiro de Sousa. E-mail: martinhomotadiasjunior@gmail.com ou martinho.junior@escola.seduc.pa.gov.br 2 Graduado em Matemática (UNESPA), Engenharia Civil (UFPA), Mestrado em Geofísica (UFPA) e Doutorado em Geofísica (UFPA). E-mail: fjca@uepa.br

Com o objetivo de apresentar uma metodologia diferenciada, foi desenvolvido esta historiografia no sentido de mostrar aos estudantes o surgimento do logaritmo, quem foi o seu precursor e seus colaboradores, a época de seu descobrimento, os acontecimentos históricos referente ao período escolhido, o que estava acontecendo de mais importante nesse tempo e por fim as principais contribuições que cada um dos chamados “personagens contemporâneos” realizaram sobre o tema e/ou invenções, descobertas científicas importantes com relativo destaque histórico na matemática.

O artigo começa com uma explanação sobre historiografia defendida por dois autores, em seguida apresentamos uma metodologia conhecida como diagrama metodológico com o tema Logaritmo, nesse diagrama é apresentado os personagens com suas respectivas bibliografias e entre eles é escolhido um personagem principal, junto a isso teremos os colaboradores chamados contemporâneos, nos quais podem ser matemáticos ou não e também os fatos históricos principais ocorridos nesse período. Apresentaremos o cenário mundial do século XVI, destacamos o renascimento, a invenção da imprensa, a reforma protestante. As contribuições dos personagens contemporâneos, as bibliografias dos personagens, a etimologia de logaritmo e finalmente a ideia de logaritmo segun-

do Napier.

2 DESENVOLVIMENTO

A historiografia, segundo Saito (2015) possui duas tendências, a primeira chamada de tradicional e a segunda de atualizada. Ambas poderão embasar a construção de uma interface entre a história da matemática e o ensino. D`Ambrósio (2004, p.166) define a história sendo o conjunto dos acontecimentos humanos ocorridos no passado, e a historiografia o conjunto dos registros, interpretações e análises desses acontecimentos. Assim, dessa forma abordaremos neste artigo a historiografia atualizada na qual o passado é olhado e é contextualizado visando um processo da (re)construção do conhecimento, procurando explicações para as ações dos matemáticos e outros personagens que possam ter dialogado com eles para o desenvolvimento dessa ciência. (SAITO,2015). E ainda, segundo (SAITO;DIAS,2013) a historiografia mais atualizada, busca contextualizar o conhecimento matemático a partir de três esferas da análise histórica: contextual, historiográfica e epistemológica. Com essas três esferas são levados em consideração não apenas os aspectos internos ao desenvolvimento desse conhecimento, mas também os externos. Na esfera contextual acontece quando a investigação sobre um determinado autor de uma obra relata o local e os acontecimentos ocorridos em determinada região. Já a historiografia vai buscar as razões pelas quais um documento foi escrito nesta época, através de análises e estudos críticos das diversas histórias possíveis escritas sobre o mesmo assunto. A epistemológica trata dos conceitos e conteúdos que estão inseridos na obra. Todas se correlacionam para se contextualizar historicamente.

Com isso, construímos o Diagrama-Metodológico (CHAQUIAM,2017, p. 31) no qual foi realizada uma pesquisa referente a história da matemática com o tema logaritmo. Nele destacamos as contribuições de diversos autores (personagens) para a evolução deste conteúdo. Como

por exemplo: John Napier, Joost Burgi, Henry Briggs e Leonhard Euler. E para cada um desses

personagens teremos uma pesquisa bibliográfica, também destacamos alguns colaboradores

Figura 1: Diagrama Metodológico - Logaritmo

Fonte: Adaptado de Chaquiam, 2017, p.31

CENÁRIO MUNDIAL DO SÉCULO XVI RENASCIMENTO

O Renascimento ou Renascentismo ou Renascença é o período de transição entre a Idade Média e a Idade Moderna, ocorrido principalmente na Itália, e se alastrou por toda a Europa. Foi um importante movimento de ordem artística, cultural e científica. Era uma manifestação do espírito humano que colocava o indivíduo mais próximo de Deus. Os burgueses, que surgiram da baixa idade média, patrocinaram muitos artistas e cientistas da época (mecenato) e consequentemente provocou uma divisão do renascimento em três períodos: o Trecento, Quatrocento e Cinquecento. Cada período abrangia respectivamente uma parte do período que vai do século XV ao XVI.

No período Trecento, podemos destacar as obras literárias de Petrarca (“de Africa” e “Odes a Laura”) e Dante Alighieri (“Divina Comédia”); as pinturas de Giotto di Bondoni (“O beijo de Judas”, “Juízo Final”,”A lamentação”, ” Lamento ante Cristo Morto”), no Quatrocento, temos a obra de Mona Lisa do italiano Leornado da Vinci e já no final do Renascimento, o Cinquecento com destaque as obras “Auto da Barca do Inferno”(Gil Vicente), “Os Lusíadas” (Luís de Camões). Segundo Woortmann (1996), o Renascimento Também, no período do Renascimento ocorreram várias invenções, tais como o telescópio, o relógio de precisão e a imprensa. Esta última provocou uma verdadeira revolução no terreno da escrita e da leitura.

INVENÇÃO DA IMPRENSA

A máquina de impressão tipográfica foi inventada pelo alemão Johann Gutenberg no século XV, na década de 1430. Revolucionou a reprodução da escrita, pois antes era reproduzidas pelos povos: sumérios com as tabuinhas com escritas cuneiforme; os Egípcios (Papiros); os chineses (Ideogramas) e entre outras. A Bíblia, foi o primeiro livro inteiro publicado por essa nova técnica.

Antes da imprensa o acesso a escrita e leitura era restrito a pequenos grupos de pessoas, geralmente escribas. Agora, com o surgimento dela, a Bíblia que era lida em Latim passou a circular melhor entre as pessoas que possuíam um idioma vernáculo (em Alemão) e foi um fato de fundamental importância à Reforma Protestante que surgiu neste período.

REFORMA PROTESTANTE

Com o surgimento da imprensa, os panfletos e teses do reformista Martinho Lutero, criticando a igreja católica da época, foram se popularizando. Ele era um monge agostiniano e professor de teologia que estava insatisfeito com algumas práticas e questões teológicas defendidas pela igreja católica (Indulgências). Assim, surgiu o movimento reformista, iniciado por Lutero, durante o cristianismo no século XVI e denominou-se de reforma protestante. A atuação de Lutero teve como ponto de partida a divulgação das 95 teses, devido a discordâncias de conteúdo teológico a respeito da salvação e de outras práticas e ações da Igreja. Essas teses rapidamente espalharam-se pela Europa e deram origem ao reformismo. A partir daí surgiu o protestantismo. As causas da reforma protestante estavam relacionadas a aspectos políticos, econômicos e teológicos e, também da corrupção existente na igreja católica. Em relação ao aspecto político vemos o interesse políticos oriundos de nobres que viram na reforma uma possibilidade de romper o vínculo de autoridade com o papa. Além disso, a autoridade do papa impunha-se além do campo religioso, alcançando o campo secular (político). Os reis da Europa tinham seu poder sustentado pela autoridade da Igreja, uma vez que era praticamente impossível manter-se no comando sem a aprovação do papa. Sendo assim, a Igreja Católica possuía o monopólio da vida política e religiosa europeia. No aspecto econômico, uma vez rompido esse vínculo a igreja já não estipulava a cobrança de impostos de todos os fiéis. No aspecto teológico, o ponto imediato a ser destacado é a insatisfação de Martinho Lutero com as práticas da Igreja Católica. A Igreja de Roma era, naquele período, a maior autoridade da Europa Ocidental e detinha um imenso poder, uma vez que era dona de terras e riquezas gigantescas. Antes mesmo de Lutero, muitos começaram a questionar as posições da Igreja. Já havia existido na Europa movimentos religiosos e figuras do clero católico que questionavam determinados princípios do catolicismo. A longo prazo, pode-se ressaltar, por exemplo, os valdenses, que surgiram na França no final do século XII. Em um período imediato, isto é, poucos anos antes do início da reforma, existiram os pré-reformadores na Europa, que teceram críticas à Igreja de Roma. Dois nomes que se destacaram nesse contexto foram John Wycliffe e Jan Hus. O primeiro criticava o acúmulo de poder político e os desvios da Igreja dos verdadeiros ensinamentos de Jesus. O segundo tecia críticas parecidas contra o enriquecimento da Igreja e a venda de indulgências. Martinho Lutero não tinha intenção de romper com a igreja católica, ele queria apenas que se realizasse uma re-

forma em determinadas questões. O rompimento de Lutero com a Igreja Católica só aconteceu quando foi excomungado pelo papa, em 1521. Depois de explanar alguns dos principais acontecimentos ocorrido no século XVI, apresentaremos a seguir alguns personagens e suas descobertas ou invenções que fizeram e estão compreendido no intervalo de tempo do personagem principal escolhido.

PERSONAGENS CONTEMPORÂNEOS E SUAS CONTRIBUIÇÕES

Aqui relatamos pessoas (personagens contemporâneos) que tiveram destaque no período em que o personagem principal (John Napier) viveu, assim como as contribuições que cada um realizaram sobre o tema e/ou invenções, descobertas científicas importantes com relativo destaque histórico. Dessa forma destacamos as seguintes personagens conforme o diagrama anterior:

William Oughtred (1575–1660) – inglês, ministro episcopal, matemático, publicou uma Clavis Mathematicae (A Chave Matemática). Foi o primeiro a usar a simbologia de multiplicação (x) e quem inventou a régua de cálculo (1638), baseando-se num trabalho chamado círculo das proporções, publicado em 1633. Edmund Wingate (1596 -1656) publicou na Inglaterra e na França uma compilação do trabalho de Napier em 1626, cujo título é Logarithmetique arithmetique (logaritmo aritmético). Um segundo trabalho (1633) com o título Fragmentum Logarithmotechnicae (fragmentação técnica dos logaritmos), contém os logaritmos dos senos e das tangentes, medidos todos em graus e minutos pelos quadrantes, cada grau era divididos em 100 minutos. Também, inventou um dispositivo de cálculo baseado nos logaritmos de Brigss, com o nome de Logarithmicae de Tabulae (Tabela dos Logaritmos). John Speidell (1600–1634), calculou os logaritmos naturais das funções trigonométricas, de 1 a 100.000, publicando-os em seu trabalho novos logaritmos. Nesse trabalho houve uma ampliação dos logaritmos e publicou uma tábua de logaritmos diferentes usados por Napier e Briggs. Os logaritmos de Speidell são conhecidos como logaritmos naturais, ou hiperbólicos. Adrien Vlacq (1600–1667), em 1628 refez e ampliou os cálculos logaritmos de 1 a 100.000 e associou-os aos valores trigonométricos e induziu os astrônomos a usarem logaritmos nos seus cálculos. Segundo SOARES (2006, p.35), tinha uma reputação, como certos autores de seu tempo em que o designava pelo nome: “Os tratados de Adrien”. Ludovic Probeni (s/d) é o primeiro autor alemão que adaptou o uso dos logaritmos decimais. Em 1634, publicou seu “Clavis universi Trigonométrica (A chave universal trigonométrica)”. Boventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Gallileu (1564–1642), e geômetra, principal autor da Geometria Indivisível ao fazer uma análise nos logaritmos referente às obras de Napier e Bri-

ggs.

É claro que neste artigo relatamos uma pequena parte do universo de colaboradores da época, selecionamos os principais para lhe mostrar, em seguida destacaremos a bibliografias dos personagens que realizaram algum tipo de trabalho referente ao tema logaritmo.

BIBLIOGRAFIAS DOS PERSONAGENS

A bibliografia de John Napier, escolhido como personagem principal de nosso diagrama é considerado o criador ou inventor dos logaritmos, temos na visão de Horsburgh (1914):

[...] John Naiper, o inventor dos logaritmos, nasceu em 1550, no castelo de Merchiston, perto de Edimburgo. Embora ele deva ter gasto uma parte considerável da sua vida na propriedade de sua família em Lennox e Menteith, ele tinha uma residência em Gartness, a tradição que reivindicava Gartness para a sua terra natal deveria ser abandonada. (HORSBURGH, 1914, p.2). (Tradução: SOARES)

De família rica, estudou em uma das melhores universidade do continente europeu, em Saint Andrew, porém não concluiu os estudos por motivos familiares e religiosos da época. Era considerado um gênio, mesmo sem ter um curso universitário, porém não deixou de estudar e pesquisar, prosseguindo os seus estudos no Ramo da matemática e da teologia. Aos treze anos perde sua mãe e mais tarde com a morte de seu pai, ele voltou a realizar os seus principais objetivos com suas pesquisas e principais invenções no campo da matemática. Napier morreu em sua residência, em Gartness, em 1617. As invenções de Napier não foi somente no campo da matemática, mas também no campo dos instrumentos de guerra, inventou um espelho para queimar os navios inimigos, peças de artilharia, roda de carruagem de metais, motor. Porém a maior de todas as invenções foi a criação do logaritmo, na Escócia apresentou as chamadas barras de Napier ou ossos de Napier que consistia em barras e quadrinhos para efetuar somas de parcelas parciais. Os quadrinhos de Napier eram tábuas de multiplicações montadas sobre as secções quadradas. Esse trabalho proposto por Napier estava apoiado no trabalho de Lucas Paccioli (1445–1517) sobre o método de Gelosia, que consistia em resolver multiplicação usando somas parciais. Outro fator importante que contribuiu para que Napier desvendasse os logaritmos foi o método chamado de prostaférese (prosthaphaeresis – palavra grega que significa adição e subtração) que consistia em transforma multiplicações em adições e subtrações por meio de fórmulas trigonométricas, conhecidas como fórmulas de Johannes Werner (1468–1528). Henry Briggs, um dos admiradores de Napier, professor de geometria em Oxford, nascido em 1561, yorkshire, Inglaterra. Estudou na universidade de Cambrige e formou-se em 1581. Foi professor de Geometria, na universidade de Saint-Andrews e mais tarde em Oxford. Foi o primeiro a reconhecer a importância dos logaritmos de Napier, tendo estabelecido contato com o mesmo para uma troca de ideias. Morreu em 26 de janeiro de 1631, na Inglaterra. Também, definiu conjuntamente com Napier o sistema de logaritmo de base dez, chamado de logaritmos co-

muns ou briggsianos.

Jobst Burgi nasceu em 1552 em Lichtensteig, uma aldeia do cantão de WS-Esfoladura, Suiça. Era de família pobre, modesta e numerosa, deixou a sua terra natal para viver uma vida pobre e difícil, nunca chegou à universidade e não publicou nenhum livro, exceto as tábuas logarítmicas, morreu no ano de 1632 em Kassel (atualmente Alemanha). Um matemático amador e auto - didático, fabricador de relógios astronômicos, realizou trabalhosos cálculos na astronomia e publicou tábuas de logaritmos, em 1620, no qual não houve repercussão devido a Napier ter publicado os seus logaritmos. Apesar de não ter uma cultura literária e tão pouco um domínio do Latim, empecilhos quanto às suas invenções e publicações, possuía habilidades matemáticas com relação a trigonometria, dessa forma ajudou a Kepler e seus companheiros a desvendar algumas relações trigonométricas que não tinham solução e dificultavam os astrônomos da época.

Burgi foi o primeiro a propor os logaritmos, comparando duas progressões: uma aritmética e outra geométrica, conhecidos posteriormente como logaritmos naturais. Somente após a publicação de Napeir, depois de 6 anos que foi divulgado os seus trabalhos. Leornard Euler (1707–1783) foi um importante matemático e cientista suíço, nasceu na Basileia, Suíça. Em 1720, com 13 anos de idade entrou no curso de Teologia na Universidade da cidade de Basileia e três anos depois recebeu o grau de Mestre em Artes. Com o incentivo do matemático Johann Bernoulli, ingressou no curso de matemática concluído em 1726. Foi convidado pela imperatriz Catarina I para membro da academia de Ciências de São Petersburgo, em 1727. Depois em 1730 assumiu o cargo de professor de Física da academia e após três anos substituiu Daniel Bernoulli (filho de Johann Bernoulli) como professor de matemática. Em 1741, o rei Frederico II da Prússia convidou-o para lecionar em Berlim, permanecendo durante 25 anos e em 1744 é nomeado diretor da seção de matemática da academia. Nessa época, surgiu as famosas “cartas a uma princesa da Alemanha” ensinando a princesa de Anhalt Dessau aulas de física.

Sua contribuição teve como um dos pilares a Introdução à Análise dos Infinitos, obra que constitui um dos fundamentos da matemática moderna, publicou diversos textos, entre eles, o livro “Mecânica”(1736-37), quando apresentou extensivamente a dinâmica Newtoniana na forma de análise matemática. Dedicou-se a quase todos os ramos da matemática. Entre suas contribuições mais conhecidas na matemática moderna estão: a introdução da função gama, a analogia entre o cálculo infinitesimal e o cálculo das diferenças finitas, quando discutiu minuciosamente todos os aspectos formais do Cálculo Diferencial e Integral, da época. Foi o primeiro matemático a trabalhar com as funções seno e cosseno. Em 1760, iniciou o estudo das linhas de curvatura e começou a desenvolver um novo ramo da matemática denominado Geometria Diferencial. Uma de suas maiores realizações foi o desenvolvimento do método dos algoritmos com o qual conseguiu, por exemplo, fazer a previsão das fases da lua, com a finalidade de obter informações para a elaboração de tabelas para ajudar o sistema de navegação. Também introduziu a notação moderna para as funções trigonométricas, a letra e para a base do logaritmo natural (agora também conhecido como número de Euler). Durante sua permanência em Berlim, Euler escreveu mais de 200 artigos sobre Física, Matemática e Astronomia e três livros de análise matemática. Euler foi considerado o mestre dos matemáticos do século XVIII.

Após conhecer as bibliografias de nossos personagens, é importante, também, saber a origem e os significados dados por diferentes autores sobre logaritmos.

A ETMOLOGIA DE LOGARITMO

De acordo com Knott (1915, p.11), “a palavra logaritmo antecede da criação de John Napeir, que tem origem nessas palavras λóγων ἀῥιθµóς as quais significam números de razões”. Dessa forma, as razões propostas sobre a etimologia da palavra levaram John Napier a propor os logaritmos, os quais eram usados em termos trigonométricos.. Segundo Miguel e Miorim (2002, p.58-59) esclarecem o significado da palavra logaritmo numa “combinação entre duas palavras em Latim–Lógos e arithmós – que significam, respectivamente, “razão e número”. A junção entre as duas remete ao significado epistemológico da palavra logaritmo como número de razões, sendo que o termo razão refere-se à razão da PG e o

número, ou seja, o logaritmo, a um termo qualquer da PG. Para Magalhães (2003), a palavra logaritmo segue um conjunto de regras, ou seja, construções que são explicadas num processo de investigação histórica. Ele procura esclarecer o que significa a palavra sob a ótica de sua origem, logaritmos logos – razão; arithmos – número da razão (quantas vezes tomam-se a base como fator para se obter um número). A ideia sugerida por Magalhães assemelha-se àquela proposta por Napier no século XVII. A diferença encontrada sobre essa etimologia reside na maneira como os logaritmos eram explorados. Ao invés de envolver aritmética e trigonometria, apropria-se de um modelo algébrico-funcional baseado no estudo de potenciação e funções exponenciais.

A IDEIA DE LOGARITMO PARA NAPIER

Napier utilizou para descrever logaritmos a comparação aritmética sobre as razões entre os números, sendo estruturados por meio das relações de Michael Stifel (1544), que consistia em comparar duas progressões matemáticas; a progressão Geométrica (PG) com a progressão Aritmética (PA) de tal modo que o produto de dois termos da PG está associado com a soma dos termos das respectivas PA. Está relação de Stifel era muito semelhante com as barras de Napier, ambas transformavam multiplicações em somas. O logaritmo definido por Napier é bem diferente daquele que é usado hoje, principalmente no estudo de função. A sua ideia envolvia uma aritmética trigonométrica em termos de ângulos sucessivos. Propôs sua primeira análise a respeito do logaritmo através de uma experiência prática. Muitos pesquisadores se interessaram pelo assunto e sua difusão alastrou-se rapidamente pela Europa. No século XVIII, com o surgimento da álgebra, Leonard Euler demonstrou a constante e=2,7182818...chamado por número de Euler, mas como base do logaritmo é conhecido pela classe cientista de logaritmo Neperiano. Já século XX, os logaritmos começaram a ser notificados em termos algébricos por meio de exponenciais, devido ao estudo de função. Para desenvolver os logaritmos, Napier apropriouse das PA’s e PG’s, estabelecendo uma relação entre elas, uma lógica da seguinte forma: Seja duas progressões: uma geométrica e outra aritméticas enfileiradas como mostrar a seguir: 2 4 8 16 32 64 128 256 512 (PG) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (PA)

Então, observou-se que escolhendo dos números na PG, por exemplo 4 e 16. O produto deste dois números está associado a soma dos respectivos número correspondente da PA, 2 e 4, assim 2+4 = 6 que corresponde ao resultado do produto que era almejado, 64. E, se consideramos a PG em forma de potência de base 2 teríamos o seguinte:

Observando essa ideia, deparamos com o conceito de logaritmos, ou seja os termos da PA são os respectivos logaritmos da PG.

O valor 2 é uma constante elevada aos valores 1,2,3, ...,9. Essa constante 2 denomina-se Base do logaritmo. Os valores dos resultados de cada potenciação (2,4,8, ...512) denomina-se de Logaritmando. E a cada expoente, por sua vez, chama-se de Logaritmo.

Dessa forma temos:

Generalizando, obtemos: , que corresponde a e assim por diante.

Diz-se:

Reescrevendo em forma de Logaritmo. Assim, diz-se que “m” é o logaritmo de “b” na base “a” , onde a > 0 e a ≠ 1, b > 0 Para quaisquer que sejam a, b e m reais. Essa forma utilizada para definir o logaritmo não se encontra nos livros didáticos de matemática atuais. Soares (2011).

CONSIDERAÇÕES FINAIS

No intuito de mostrar a história do logaritmo, surgidas a partir das ideias do matemático John Napier, com a introdução de logaritmos relacionados com as progressões Geométricas e Aritméticas, tudo isso, para desmistificar aquela espetacular fórmula da definição de logaritmo que é lançada para o estudante, de uma maneira “seca” sem uma correlação qualquer e tão pouca histórica. Daí a importância do diagrama metodológico, pois situa o estudante num contexto histórico, faz com que ele reflita e perceba o que acontecia naquela época e, além disso, o estudante percebe que é capaz de construir o logaritmo usando as mesmas ideias de Napier, através das tabelas.

Biografia de Leornard Euler. Disponível em <https://www.ebiografia.com/leonhardeuler > Acesso em: 07 Fev 2020. CHAQUIAM, M. Ensaios Temáticos: História e Matemática em Sala de Aula / Miguel Chaquiam. Belém:SBEM/SBEM-PA, 2017. D'AMBROSIO, Ubiratan; BELTRAN, Maria Helena Roxo. Tendências historiográficas na história da ciência. In: ALFONSO-GOLDFARB, Ana Maria; BELTRAN, Maria Helena Roxo (Org.).

Escrevendo a história da ciência: tendências, propostas e discussões historiográficas.

São Paulo: Educ/livraria Editora da Física/FAPESP, 2004. p. 165-200. HORSBURGH, E.M.Modern Instruments and methods of calculation; a handbook of the Napier tercentenary exhibition. Edinburg:Royal Society of Edinburgy, 1914. Invenção da Imprensa. Disponível em <https://brasilescola.uol.com.br/historiag/invencao>imprensa.htm>Acesso em: 12Fev2020. KNOTT, C. G. Napier tercentenary memorial volume. Edinburg: Royal Society of Edinburgy, 1915. MAGALHÃES, G.N. Trabalho monográfico sobre logaritmos. Rio de janeiro: Ed. Fundação Biblioteca Nacional, 2003. MIGUEL, A; MIORIM, M. A. Os logaritmos na cultura escolar brasileira. Natal: SBHMat.2002, p.58-59. SAITO, Fumikazu. História da matemática e suas (re)construções contextuais. São Paulo: Ed. Livraria da Física/SBHMat, 2015. [ISBN: 978-85-7861-372-3] SAITO, Fumikazu; DIAS, Marisa da Silva. Interface entre História da Matemática e ensino: uma atividade desenvolvida com base num documento do século XVI. Ciência e Educação, v.19, no1, 2013. p. 89-11. SOARES, E. C. A difusão dos logaritmos no século XVII. REMATEC: Revista de Matemática, Ensino e Cultura / Universidade Federal do Rio Grande do Norte. – Ano 1 n. 1 (jul./nov. 2008). –Natal, RN: EDURFN – editora da UFRN, 2006. ________. Uma investigação sobre os logaritmos com sugestões didáticas para a sala de aula. Dissertação (Mestrado Profissionalizante) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Natal, 2011. SOUSA, Rainer Gonçalves. "Renascimento"; Brasil Escola. Disponível em:< https:// brasilescola. uol.com.br/historiag/renascimento.htm.> Acesso em 10 de fevereiro de 2020. Woortmann, K. (1996). Religião e ciência no Renascimento. BrasÌlia, DF: Universidade de BrasÌlia. Recuperado de: http://vsites.unb.br/ics/dan/Serie200empdf.pdf