Utdrag Matematikk for økonomi og finans oppgavebok

DEL I Løsning til oppgaver i lÌreboken

KAPITTEL 1

Finansmatematikk 1.1 Relativ vekst og vekstfaktorer Løsning 1.1.1. a) 15 % b) 7,5 %

c) 90 %

d) 0,5 %

e) 80 %

f) 25,5 %

Løsning 1.1.2. a) 0,13 b) 0,015

c) 0,625

d) 0,40

e) 0,14

f) 0,35

Løsning 1.1.3. a) 3,25 b) 2,1

c) 4,8

d) 5,95

Løsning 1.1.4. a) 1,13 b) 1,015

c) 1,625

d) 2,4

e) 1,14

f) 0,65

Løsning 1.1.5. a) 35 % b) 200 %

c) 75 %

d) 40 %

e) 500 %

Løsning 1.1.6.

1,123 1 40,5 %: Hvis prisen på varen originalt er x, så er prisen etter tre år 1,123 x.

Det vil si at den totale økningen (differansen) er 1,123 x x ¼ ð1,123 1Þx, og at den prosentvise økningen er ð1,123 1Þx=x ¼ 1,123 1 40,5 %.

Løsning 1.1.7.

Prisen går ned 1,9 %: Hvis den originale prisen på varen er x, så er den nye prisen 0,75 1,2 1,09 x ¼ 0,981x. Det vil ikke endre seg om prisnedgangen kommer først. Siden prosentvis prisforandring er gitt ved multiplikasjon, så har rekkefølgen ingen betydning.

Løsning 1.1.8.

Kursøkningen må være minst r ¼ 1=0,3 1 233 %: Vi setter opp stykket som følger: Hvis prisen på aksjen var x da du kjøpte den, så gikk den ned til y ¼ 0,3x rett etter. Vi trenger en kursøkning r slik at ð1 þ rÞy ¼ x. Vi setter inn 0,3x ¼ y i ligningen og får ð1 þ rÞ 0,3x ¼ x ) 1 þ r ¼ 1 ) r ¼ 1 1 233 % 0,3 0,3

FINANSMATEMATIKK

Løsning 1.1.9.

140=0,85 kr 164,71 kr: Hvis varen originalt kostet x, så er 0,85x ¼ 140.

Løsning 1.1.10.

Den samlede prosentvise økningen er på R % þ R0 % þ R % R0 %. Dette er fordi den første prisøkningen er en faktor av ð1 þ R=100Þ og den andre prisøkningen en faktor av ð1 þ R0 =100Þ. Det betyr at den totale prisøkningen er en faktor av

0 0 0 1þ R ¼ 1þ R þ R þ R R 1þ R 100 100 100 100 100 100 ¼ ð1 þ R % þ R0 % þ R % R0 %Þ Det er da åpenbart at 1 þ R % þ R0 % þ R % R0 % 6¼ 1 þ R % þ R0 %

1.2 Potenser og potensregning Løsning 1.2.1. a) 243 b) 9 Løsning 1.2.2. p ffiffiffiffiffi pffiffiffi 5 a) 3 3 b) 22

c) 1

c)

d) 18 pffiffiffiffiffi 23

e) 16 pffiffiffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi pffiffiffi d) 12 ¼ 4 3 ¼ 2 3

1ffiffiffi d) p 3 3

Løsning 1.2.3. a) 51=2

b) 41=3

c) 4001=4

Løsning 1.2.4. a) 1,587 b) 4,472

d) 1,061=12

c) 4,661

d) 1,003

e) 0,463

Løsning 1.2.5.

Fra definisjonen av potenser: ðabÞn ¼ ðabÞ ðabÞ ðabÞ . . . ðabÞ ¼ ða a . . . aÞ ðb b . . . bÞ ¼ an bn |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} faktoren ðabÞ n ganger

n ganger

n ganger

11

1

FINANSMATEMATIKK

Løsning 1.3.3. a) 4,7 %

13

1

b) ð1 þ 0,047=4Þ4 1 4,78 %. Vi får 4,7=4 % rente hvert kvartal, så etter fire kvartaler har beløpet vårt økt med faktoren ð1 þ 0,047=4Þ4 . For å få tilsvarende effektiv rente trekker vi fra 1. c) ð1 þ 0,047=12Þ12 1 4,80 %. Samme forklaring som for ii) ovenfor.

Løsning 1.3.4.

R ¼ 3:

1,0372=3 ¼ 1,0324 2,033

R ¼ 6:

1,0672=6 ¼ 1,0612 2,012

R ¼ 8:

1,0872=8 ¼ 1,089 1,999

R ¼ 12: 1,1272=12 ¼ 1,126 1,974 De samlede vekstfaktorene er nær 2, så tilnærmingen er ganske god (og best for R ¼ 6 og R ¼ 8).

1.4 Nåverdi av kontantstrømmer Løsning 1.4.1.

K0 14:053,25 kr: Vi setter opp stykket som følger: Vi vil sette inn et beløp K0 slik at når vi tar ut 5.000 kr etter det første året og 10.000 kr etter det andre året, så er det akkurat 0 kr igjen på kontoen. Etter førsteårs renteinnskudd og uttak på 5.000 kr så er kontobeløpet på K1 ¼ 1,04 K0 5:000 Etter andreårs renteinnskudd (på K1 ) og uttak på 10.000 kr så er kontobeløpet på K2 ¼ 1,04 K1 10:000 og siden vi vil ha 0 kroner igjen på kontoen til slutt, setter vi K2 ¼ 0. Vi kan så sette inn 1,04 K0 5:000 for K1 i den andre likningen: 0 ¼ 1,04 ð1,04 K0 5:000Þ 10:000 Dette gir K0 1,042 5:000 1,04 10:000 ¼ 0, hvor venstresiden også kan tolkes som sluttverdien av kontantstrømmen ðK0 , 5:000, 10:000Þ. Løsningen er dermed gitt ved K0 ¼ ð5:000 1,04 þ 10:000Þ=1,042 14:053,25.

14

1

DEL I LØSNING TIL OPPGAVER I LÆREBOKEN

Løsning 1.4.2.

K0 2:461,04 kr: Hvis vi setter inn et beløp på K0 , så har det økt til 1,0210 K0 etter 10 år. Vi setter dette lik 3:000 kr, og får K0 ¼ 3:000=1; 0210 2:461,04.

Løsning 1.4.3. a) 5:000=1,033 4:575,71 kr b) 5:000=1,053 4:319,19 kr c) 5:000=1,083 3:969,16 kr Hvis K0 er nåverdien med rente r, så er verdien om tre år ð1 þ rÞ3 K0 ¼ 5:000.

Vi finner K0 ved å løse likningen.

Løsning 1.4.4. a) 500:000 þ 750:000=1,055 87:645 kr b) 500:000 þ 750:000=1,085 10:437 kr c) 500:000 þ 750:000=1,105 34:309 kr Vi veier tilbakebetaling av 750:000 opp mot det 500:000 ville forrentet seg til.

Med tre års renter med rente r ville 500:000 kr gitt ð1 þ rÞ3 500:000. Dermed er forskjellen i fortjeneste om tre år 750:000 ð1 þ rÞ3 500:000. Vi vil ha fortjenesten som en nåverdi, som betyr at vi må justere for tre års renteøkning ved å dele forskjellen på ð1 þ rÞ3 . Dette gir oss 750:000=ð1 þ rÞ3 500:000 Vi ser at for de to første rentenivåene vil investeringen lønne seg, mens for det tredje rentenivået gir rentealternativet større fortjeneste (investeringen lønner seg ikke).

Løsning 1.4.5.

Nåverdien er 565:000 kr: Dette er samme problem som i oppgave 1.4.4, bare at nå skjer utbetalingen over tre år. Vi sammenligner fortjeneste på investering med fortjeneste på rente. Hvis du investerer, så har du 750:000 þ 1,10 750:000 þ 1,102 750:000 etter tre år. Til sammenligning, hvis du beholder de 1.300.000 kronene i banken, så får du tilbakebetaling på renten 1,103 1:300:000. Vi er interessert i nåverdi, så vi justerer for tre års renteøkning ved å dele forskjellen på 1,103 . Dette gir oss 750:000=1,103 þ 750:000=1,102 þ 750:000=1,10 1:300:000 565:000 kr

FINANSMATEMATIKK

Løsning 1.4.6.

Internrente for kontantstrøm er den renten som gjør nåverdien til kontantstrømmen lik 0. Dersom långiver finansierer lånet ved å selv betale en rente lik internrenten, vil dette akkurat dekkes av lånets kontantstrøm. Når vi definerer effektiv rente på denne måten, kan vi også ta hensyn til gebyrer m.m. (de er en del av lånets kontantstrøm).

1.5 Endelige rekker Løsning 1.5.1.

S30 ¼ 1:425: Vi har a1 ¼ 4 og a30 ¼ 4 þ ð30 1Þ d ¼ 4 þ 29 3 ¼ 91 Summen blir da S30 ¼ 30

a1 þ a30 ¼ 30 4 þ 91 ¼ 1:425 2 2

Løsning 1.5.2.

Summen er 10:000: Siden oddetallene 1, 3, 5, . . . danner en aritmetisk rekke, bruker vi formelen for summen av aritmetiske rekker: a1 þ an 2 Vi har at a1 ¼ 1 og an ¼ 199. Vi vet også at d ¼ 2. Det gjenstår å finne n slik at an ¼ 199. Formelen for an er sn ¼ n

an ¼ a1 þ ðn 1Þ d som gir oss 199 ¼ 1 þ ðn 1Þ 2 og løser vi dette, får vi n ¼ 100. Dermed har vi løsningen S100 ¼ 100

1 þ 199 ¼ 10:000 2

15

1

16

1

DEL I LØSNING TIL OPPGAVER I LÆREBOKEN

Løsning 1.5.3.

Summen er 255=128 1,992: Dette er en geometrisk rekke an ¼ kn 1 a1 , så vi kan bruke formelen 1 kn sn ¼ a1 1 k Vi ser at a1 ¼ 1, og at k ¼ 1=2. For å finne n løser vi 1 ¼ 1 () 2n ¼ 2 128 ¼ 256 128 2n 1 som gir oss n ¼ 8. Derfor er løsningen s8 ¼ 1

1 1=2n 255=256 255 ¼ 1,992 ¼ 1=2 128 1 1=2

Løsning 1.5.4.

For å bruke formelen for summen av den geometriske rekken an ¼ a1 kn 1 må vi finne k og a1 . Vi har k¼

a3 132 27 ¼ ¼ a2 125 25

og a1 ¼

a2 ¼ 125 25 ¼ 3:125 27 27 k

Dette gir oss løsningen 8

S8 ¼ a1

1 kn 3:125 1 ð27=25Þ

¼ 1:231 27 1 k 1 27=25

Løsning 1.5.5.

Samlede kostnader er 2:499 mill. kr: Vi får en geometrisk rekke, siden kostnadene nå er a0 ¼ 160 mill. kr. Kostnadene etter ett år er a1 ¼ a0 1,03, og kostnadene etter n år er a0 1,03n . Vi summerer fra a0 til a12 , som gir oss S12 ¼ 160

1 1:0313 2:499 1 1:03

FINANSMATEMATIKK

1.6 Annuiteter og annuitetslån

1

Løsning 1.6.1.

Nåverdien er 399:271 kr: Nåverdien gir oss en geometrisk sum 5 100:000 þ . . . þ 100:000 ¼ 100:000 1 ð1=1,08Þ 399:271 1,08 1,085 1,08 1 1=1,08

Løsning 1.6.2.

Nåverdien er 342:311 kr: Nåverdien gir oss en geometrisk sum 5

100:000 þ . . . þ 100:000 ¼ 100:000 1 ð1=1,08Þ 342:311 1,083 1,087 1,083 1 1=1,08 Løsning 1.6.3.

Vi lar r være nominell rente og A være annuitetsbeløpet. Vi har formelen

A ð1 þ r=12Þ360 1 15:000:000 ¼ r=12 ð1 þ r=12Þ360 ¼)

A¼

15:000:000 r=12 ð1 þ r=12Þ360 ð1 þ r=12Þ360 1

Så når r ¼ 4 %, er svaret A 71:612,30 kr og når r ¼ 5 %, er svaret A 80:523,24 kr Løsning 1.6.4.

Vi finner først annuitetsbeløpet A: A¼

3:000:000 0,0425=12 ð1 þ 0,0425=12Þ240 18:577,03 kr ð1 þ 0,0425=12Þ240 1

Rentekostnadene er på A 240 |fflfflffl {zfflffl ffl} 3:000:000 |fflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflffl} 1:458:487,91 kr totalt

avdrag

Om lånet var gitt som serielån, ville avdragene per termin vært 3:000:000 ¼ 12:500 240 Etter k terminer er derfor lånesaldo 3:000:000 12:500k og renter i påfølgende termin blir ð3:000:000 12:500kÞ

17

0,0425 531,25 ¼ 10:625 k 12 12

18

1

DEL I LØSNING TIL OPPGAVER I LÆREBOKEN

De samlede rentekostnadene blir derfor en aritmetisk rekke med d ¼ Vi bruker formelen n 1 X a þ ðn 1Þ d þ a0 a þ an 1 ¼n 0 ak ¼ n 0 2 2 k¼0

531,25 .

12

som gir oss 239 X

10:625

k¼0

531,25 531,25 k ¼ 240 10:625 þ 239 1:280:312,50 kr 2 12 12

Løsning 1.6.5.

Annuitetsbeløp A 18:577,03 kr de første tre årene (fra forrige oppgave).

0

1

3.000.000

2

3

–18.577,03 –18.577,03

...

36

...

–18.577,03

Nåverdi for kontantstrømmen fra de første tre årene, vist ovenfor, er dermed

18:577,03 ð1 þ 0,0425=12Þ36 1 3:000:000 3:000:000 626:854,31 0,0425=12 ð1 þ 0,0425=12Þ36 2:373:145,69 kr Siden sluttverdien, som er lik balansen L0 på lånet etter de første tre årene, framkommer ved å multiplisere nåverdien ovenfor med ð1 þ 0,0425=12Þ36 , blir annuitetsbeløpet A0 for de resterende 17 årene gitt ved likningen

A0 ð1 þ 0,0475=12Þ204 1 36 0 L ¼ 2:373:145,69 ð1 þ 0,0425=12Þ ¼ 0,0425=12 ð1 þ 0,0475=12Þ204 Løser vi ligningen for A0 , får vi A0 2:373:145,69 0,081248 19:281,35 kr Løsning 1.6.6.

Kontantstrømmen er beskrevet ved tidslinjen 0

1

2

3

4

...

12

–1.000.000

0

0

120.000

120.000

...

120.000

Den har nåverdi 1:000:000 þ

120:000 120:000 120:000 þ þ ... þ 1,103 1,104 1,1012 10

1 ð1=1,10Þ ¼ 1:000:000 þ 120:000

1,103 1 1=1,10 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sum av geometrisk rekke

390:621 kr

FINANSMATEMATIKK

Løsning 1.6.7.

Kontantstrømmen er beskrevet ved tidslinjen

1

0

1

2

3

...

10

–1.000.000

80.000

80.000 . 1,03

80.000 . 1,032

...

80.000 . 1,039

Den har nåverdi 1:000:000 þ

80:000 80:000 1,03 80:000 1,039 þ þ ... þ 2 1,10 1,10 1,1010 10

1 ð1,03=1,10Þ ¼ 1:000:000 þ 80:000 1,10 1 1,03=1,10 |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} sum av geometrisk rekke

¼ 1:000:000 þ

80:000 ð1,1010 1,0310 Þ 0,07 1,1010

449:300,50 kr

1.7 Uendelige rekker og grenseverdier Løsning 1.7.1.

Rekken er ikke konvergent, den divergerer. Intuitivt er dette klart. Matematisk kan det vises ved at summen av de n første tallene er Sn ¼ 1 þ 3 þ 5 þ . . . þ ð1 þ 2ðn 1ÞÞ ¼

n X

ð1 þ 2ðk 1ÞÞ

k¼1

1 þ ð2n 1Þ ¼ n2 ! 1 2 Siden n2 ! 1 når n ! 1, konkluderer vi at summen divergerer mot uendelig. ¼n

Løsning 1.7.2.

Denne rekken er konvergent. Det er fordi det er en geometrisk rekke an ¼ a1 kn 1 med jkj < 1 (k ¼ 1=1,08). Summen finner vi med formelen s ¼ a1

19

1,08 1 1 ¼ 100 ¼ 100 ¼ 1350 1 1 k 1,08 1 1 1,08

20

1

DEL I LØSNING TIL OPPGAVER I LÆREBOKEN

Løsning 1.7.3.

Dette gir oss en geometrisk rekke med a1 ¼ 25:000=1,08 og k ¼ 1=1,08.

Vi bruker standard formel: N˚averdi:

25:000 þ 25:000 þ 25:000 þ . . . ¼ 25:000 1 1,08 1,082 1,083 1,08 1 1 1,08 25:000 ¼ ¼ 312:500 kr 0,08

Løsning 1.7.4.

Dette gir oss en geometrisk rekke med a1 ¼ 75:000=1,08 og k ¼ 1,03=1,08.

Vi bruker standard formel: N˚averdi:

75:000 þ 75:000 1,03 þ 75:000 1,032 þ . . . ¼ 75:000 1 1,08 1,08 1 1,03 1,082 1,083 1,08 75:000 ¼ ¼ 1:500:000 kr 1,08 1,03

Løsning 1.7.5.

Først viser vi at rekken 1 þ 1=2 þ 1=3 þ . . . ikke er aritmetisk: Hvis den hadde vært aritmetisk, så ville det eksistert et tall d slik at an ¼ a1 þ dðn 1Þ. Siden a1 ¼ 1 og a2 ¼ 1=2, må d ¼ 1=2. Men da får vi at a3 ¼ a1 þ 2d ¼ 1 1 ¼ 0 6¼ 1=3, så dette er feil. Derfor kan ikke rekken være aritmetisk.

Så viser vi at rekken ikke er geometrisk: Hvis den hadde vært geometrisk, så ville det eksistert en kvotient k slik at an ¼ a1 kn 1 . Siden a2 ¼ 1=2 og a1 ¼ 1, må k ¼ 1=2. Men det ville tilsi at a3 ¼ 1 1=22 ¼ 1=4 6¼ 1=3, så dette er også feil. Derfor er rekken heller ikke geometrisk.

Til sist viser vi at rekken er divergent: Vi tar hintet videre og ser at S16 ¼ 1 þ 1 þ 1 þ . . . þ 1 > 1 þ 1 þ 1 þ 1 þ 1 þ . . . þ 1 þ 1 þ . . . þ 1 ¼ 3 2 3 16 2 |ffl 4ffl{zfflffl4} |fflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflffl} 8 8 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl 16 ffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl16 ffl} 1=2

1=2

1=2

Det generelle uttrykket vi får, er 1 1 1 1 1 1 1 1 1 S 2n ¼ 1 þ þ þ þ . . . þ n > 1 þ þ þ þ . . . þ n þ . . . þ n 2 3 4 2 2 |ffl 4ffl{zfflffl4} 2 2 |fflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflffl} 1=2

1=2

¼ 1 þ 1 þ 2 1 þ 4 1 þ . . . þ 2n 1 1n 2 4 8 2 ¼ 1 þ 1 þ 1 þ ... þ 1 2 2 ffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl2} |fflfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl ¼1þn 2

n

FINANSMATEMATIKK

21

Derfor har vi at S2n > 1 þ n 2 som betyr at S2n ! 1 når n ! 1, siden 1 þ n=2 ! 1 når n ! 1. At S2n ! 1 når n ! 1, er det samme som å si at Sn ! 1 når n ! 1, så vi konkluderer at rekken er divergent.

1.8 Eulers tall og kontinuerlig forrentning Løsning 1.8.1. a) e0;03 1,03045

b) e0;05 1,05127

d) e0;10 1,10517

e) e 2,71828

c) e0;08 1,08329

Løsning 1.8.2.

14:000 e0;04 10 ¼ 14:000 e0;4 20:885,55 kr Løsning 1.8.3.

La K0 være innskuddet. Da får vi ligningen K0 e0;05 3 ¼ 5:000

K0 ¼ 5:000 e 0;15 4:303,54 kr

)

Løsning 1.8.4.

Innskudden er vist på tidslinjen nedenfor: 0

1

2

3

9

+3.000

+3.000

+3.000

...

+3.000

Saldo er sluttverdien, som er gitt ved en geometrisk sum med a1 ¼ 3:000 e0;27 og k ¼ e 0;03 . Den blir dermed 3:000 e0;27 þ 3:000 e0;24 þ . . . þ 3:000 ¼ 3:000 e0;27 34:463,72 kr Løsning 1.8.5. a) 5:000 e 0;03 3 4:569,66 b) 5:000 e 0;05 3 4:303,59 c) 5:000 e 0;08 3 3:933,14

1 e 0;03 10 1 e 0;03

1

22

1

DEL I LØSNING TIL OPPGAVER I LÆREBOKEN

Løsning 1.8.6.

Nåverdien er 500:000 þ 750:000 e 0;08 5 2:740,03 kr Løsning 1.8.7.

Vi mottar 25:000 kr årlig med diskontineringsrente på 10 %, så innskuddet ved n-te år er på 25:000 e 0;10 n . Derfor er nåverdien en uendelig geometrisk rekke med k ¼ e 0;10 < 1: 25:000 e 0;10 1 þ 25:000 e 0;10 2 þ 25:000 e 0;10 3 þ . . . ¼ 25:000 e 0;10

1 1 237:708,30 ¼ 25:000 1 e 0;10 e0 ;10