Undervisningskunnskap i matematikk: Utdrag

Ellen Konstanse Hovik og Bodil Kleve (red.)

Undervisningskunnskap i matematikk 2. utgave

Forord Dette er en vitenskapelig antologi der forskere i matematikkdidaktikk har bidratt slik at undervisningskunnskap i matematikk blir belyst fra ulike innfalls­vinkler. Hensikten med boka har vært å formidle mangfoldet i lærer­ utdanningens matematikk­fag når det gjelder forskning og utviklingsarbeid, og i tillegg synlig­gjøre bredden i skolefaget matematikk. Forfatterne av kapitlene er tilsatt ved OsloMet – storbyuniversitetet, og underviser i matematikk på grunnskolelærerutdanningen. Sammen representerer de undervisningen på alle studiene som tilbys i matematikk og digital kompetanse ved grunnskolelærerutdanningen, samt OsloMet sine etterutdannings- og videreutdanningstilbud i matematikk for lærere. Kapitlene er selvstendige artikler og kan leses og studeres hver for seg. Alle kapitlene har vært gjenstand for fagfellevurderinger, og boka er et felles prosjekt for matematikkseksjonen ved OsloMet. Vi som redaktører ønsker å takke alle forfatterne for et konstruktivt og lærerikt samarbeid, både i forbindelse med den første utgaven i 2016, og nå i forbindelse med den reviderte utgaven, 2021. Vi vil også takke instituttleder Vibeke Bjarnø som inspirerte oss til å skrive boka.

5

Innhold Forord................................................................................................................................ 5 Kapittel 1 Mangfold i lærer­utdanningens matematikk ........................................................... 13 Ellen Konstanse Hovik og Bodil Kleve Et teoretisk perspektiv på undervisningskunnskap i matematikk ..............................13 Undervisningskunnskap i matematikk som anvendt matematikk .............................18 Sosiomatematiske normer .................................................................................................19 Bevis og generalisering .......................................................................................................20 Ulike brøkaspekter ...............................................................................................................21 Dobbel tallinje ......................................................................................................................22 Flervalgsoppgaver i matematikk .......................................................................................24 Matematikkhistorie .............................................................................................................25 Uendelighet ..........................................................................................................................27 Problemløsning og detektivhistorien ...............................................................................28 Et eksistensielt spørsmål ....................................................................................................29 Avsluttende kommentarer .................................................................................................30 Referanser..............................................................................................................................32 Kapittel 2 Læringspartner og sosio­matematiske normer som potensial for elevers læring ................................................................................................................. 33 Bodil Kleve og Gerd Ånestad Bakgrunn og problemstilling ..............................................................................................33 Sosiomatematiske normer .................................................................................................35 Metode ..................................................................................................................................37 Analyse og drøfting .............................................................................................................38 Diskusjon ...............................................................................................................................44 Avsluttende kommentar .....................................................................................................46 Referanser..............................................................................................................................47

7

innhold

Kapittel 3 Bevis og generalisering i skolen – utfordringer og muligheter ........................... 48 Ellen Konstanse Hovik og Ida Heiberg Solem Innledning .............................................................................................................................48 Teoretiske perspektiver og rammeverk ...........................................................................49 Presentasjon og analyse .....................................................................................................51 Aritmetisk representasjon ..........................................................................................52 Billedlig/visuell representasjon .................................................................................55 Tekst/regnefortelling ...................................................................................................56 Bruk av symboler ..........................................................................................................57 Multimodal argumentasjon ........................................................................................58 Avsluttende drøfting ...........................................................................................................60 Referanser..............................................................................................................................62 Kapittel 4 Aspekter ved brøk i en nasjonal prøve ...................................................................... 63 James Gray og Gerd Ånestad Innledning .............................................................................................................................63 Aspekter ved brøk ...............................................................................................................64 Del av en helhet ............................................................................................................65 Brøk som mål ................................................................................................................65 Brøk som kvotient ........................................................................................................66 Brøk som operator ........................................................................................................66 Brøk som forhold ..........................................................................................................67 Metode ..................................................................................................................................68 Analyse ..................................................................................................................................69 Oppgave 19 ....................................................................................................................70 Oppgave 27 ...................................................................................................................71 Oppgave 29 ...................................................................................................................72 Oppgave 42 ...................................................................................................................73 Oppgave 46 ...................................................................................................................75 Avslutning .............................................................................................................................76 Referanser..............................................................................................................................77 Kapittel 5 Den doble tallinjen som d ­ idaktisk modell for ­proporsjonalitet, introdusert i en realistisk matematikk­undervisningstradisjon .......................... 80 Elisabeta Eriksen, Grethe Kjensli og Camilla Rodal Innledning .............................................................................................................................80

8

innhold

Visualisering i matematikk ................................................................................................82 Den doble tallinjen i realistisk matematikkundervisning .............................................84 Proporsjonalitet i kontekst .................................................................................................86 Metode ..................................................................................................................................88 Analyse og diskusjon ..........................................................................................................90 Bensinforbruk – kategori rater ....................................................................................90 Blandingsforhold – kategori to deler av en hel .........................................................94 Forstørring av bokstaven F – kategori skalering ......................................................99 Konklusjon og avsluttende kommentarer .................................................................... 102 Referanser........................................................................................................................... 104 Kapittel 6 Konstruksjon av flervalgsoppgaver for utvikling av undervisnings­ kunnskap i matematikk ................................................................................................ 106 Tonje Hilde Giæver og Helga Kufaas Tellefsen Rammeverk ........................................................................................................................ 107 Bakgrunn og kontekst ...................................................................................................... 108 Metode ............................................................................................................................... 109 Resultater ........................................................................................................................... 110 «Å lage spørsmål fra eget pensum var utfordrende» ......................................... 110 Å lage flervalgsoppgaver bidro til egen læring .................................................... 114 Oppsummering ................................................................................................................. 116 Referanser........................................................................................................................... 117 Kapittel 7 Matematikkhistorie i matematikkundervisningen? Hvorfor? Og hvordan? . 119 Bjørn Smestad Innledning .......................................................................................................................... 119 Hvorfor matematikkhistorie i undervisningen? .......................................................... 120 Hvordan gjøre dette i praksis? ....................................................................................... 123 1. Arbeide med originalkilder .................................................................................. 123 2. Bruke gamle teknikker .......................................................................................... 127 3. Arbeide med konkreter ........................................................................................ 128 4. Spille teater ............................................................................................................ 128 5. Gjøre oppgaver basert på matematikkhistorien ............................................. 129 6. Arbeide med ords opphav ................................................................................... 131 7. Flerfaglig arbeid ..................................................................................................... 131 8. Se på matematikeres biografi ............................................................................. 133 9. Arbeide med prosjekt ........................................................................................... 134

9

innhold

Avslutning .......................................................................................................................... 135 Referanser........................................................................................................................... 136 Kapittel 8 Lærerstudenters oppfatninger om 0.999… ............................................................. 139 Lars Reinholdtsen Introduksjon ....................................................................................................................... 139 Teori ..................................................................................................................................... 140 Handlinger, prosesser og objekter ......................................................................... 141 Begrepsbilde og begrepsdefinisjon ........................................................................ 143 Approksimasjonsmatematikk og holdninger til matematisk konsistens ........ 145 Hvordan endres de intuitive oppfatningene? ....................................................... 146 Prakseologier .............................................................................................................. 146 Metode ............................................................................................................................... 148 Undervisningsepisodene ................................................................................................. 148 En utfordring fra en ungdomsskoleelev ................................................................. 148 Innledende diskusjon i klasse 1 ............................................................................... 149 Innledende diskusjon i klasse 2 .............................................................................. 150 Lærerens argumenter for at 0.999… = 1 ................................................................ 150 Diskusjon ............................................................................................................................ 152 Grad av opplevd kognitiv ubalanse ........................................................................ 152 Dynamisk språkbruk ................................................................................................. 153 Infinitesimale ideer ................................................................................................... 153 Teknikken < .............................................................................................................. 154 Approksimasjonsmatematikk ................................................................................. 155 Aksept av uendelige desimaltall og innsikt om behovet for definisjoner ....... 155 Algoritmer .................................................................................................................. 156 Avslutning og oppsummering om forskningsspørsmålene ...................................... 157 Appendiks .......................................................................................................................... 158 Definisjonen av 0.999… som et reelt tall .............................................................. 158 Hyperreelle tall .......................................................................................................... 159 Referanser........................................................................................................................... 161

τ

Kapittel 9 Detektivhistorien og matematisk problemløsning ............................................... 163 Olav Gravir Imenes Sammendrag ..................................................................................................................... 163 Innledning .......................................................................................................................... 164 Detektivhistoriens oppbygning ...................................................................................... 166

10

innhold

Matematisk problemløsning .......................................................................................... 167 Matematisk kriminalhistorie .......................................................................................... 168 Mordet ........................................................................................................................ 168 Sporene ....................................................................................................................... 168 Konstruksjon av historien ........................................................................................ 169 Løsningen .................................................................................................................... 172 Forenklede løsningsmetoder .......................................................................................... 173 Eksponentialfunksjoner ............................................................................................ 173 Finne funksjon ved hjelp av dataprogram ............................................................. 175 Bruk av logaritmisk skala ......................................................................................... 176 Oppdeling i lineære deler ........................................................................................ 177 Sammenheng mellom detektivhistorien, problemløsning og modellering ............ 178 Avslutning .......................................................................................................................... 182 Referanser........................................................................................................................... 183 Kapittel 10 Kan vi besvare alle matematiske spørsmål? ........................................................... 185 Eyvind Martol Briseid Sammendrag ..................................................................................................................... 185 Innledning .......................................................................................................................... 185 Hilberts problemer og «ignorabimus» .......................................................................... 189 Diofantiske likninger ........................................................................................................ 190 Russells paradoks og Hilberts program ........................................................................ 193 Formelle systemer ............................................................................................................ 194 Ufullstendighet .................................................................................................................. 197 Avslutning og videre lesning ........................................................................................... 199 Referanser........................................................................................................................... 200 Forfatteromtaler ............................................................................................................ 202

11

Kapittel 1

Mangfold i lærer­ utdanningens matematikk Ellen Konstanse Hovik og Bodil Kleve

Et teoretisk perspektiv på undervisningskunnskap i matematikk Hva er undervisningskunnskap i matematikk? Hvilke matematikkfaglige og matematikkdidaktiske kunnskaper trenger en lærer for å undervise i matematikk? Dette er sentrale spørsmål som stadig diskuteres. Kapitlene i denne antologien belyser mangfoldet i lærernes undervisningskunnskap i matematikk, og dette knyttes til fagfornyelsen LK20.

I sin artikkel «Those who understand: Knowledge growth in teaching» etterlyser Shulman (1986) forskning omkring hvordan en lærers kunnskaper i et fag omformes til det som han/hun skal undervise. Shulman omtaler det som «The Missing Paradigm», eller en «blind spot» innen undervisningsforskning.

The missing paradigm refers to a blind spot with respect to content that now characte­ rizes most research teaching and, as a consequence, most of state level program of teacher evaluation and teacher certification […]. What we miss are questions about the content of the lessons taught, the questions asked, and the explanation offered. (1986, s. 7–8)

På den tiden artikkelen ble skrevet (1980-tallet), var forskningen rettet mot mer generell pedagogikk, som for eksempel klasseledelse, noe som blant annet innebærer hvordan lærerne administrerer klasserommet, organiserer aktiviteter og tidsbruk. Med utsagnet: «In their necessary simplification of the complexities of classroom teaching, investigators ignored one central aspect of classroom life: the subject matter» (Shulman, 1986, s. 6) etterspør Shulman forskning med vekt på selve faginnholdet som læreren skal undervise elevene i. Dermed kan 13

kapittel 1

man si at Shulman brakte sammenhengen mellom spesifikk fagkunnskap og pedagogikk inn i undervisningsforskningen.

Shanahan og Shanahan (2008) studerer sammenhengen mellom det å fokusere på generelle ferdigheter som kan gå på tvers av fag, og fagspesifikk kunnskap. Fagspesifikk kunnskap omtaler de som «Disciplinary Literacy», samtidig som de advarer mot ensidig fokus på generelle ferdigheter. De framhever viktigheten av «Disciplinary Literacy», altså kunnskap som er spesifikk for det aktuelle skolefaget. De hevder at fokus på blant annet generelle ferdigheter i lesing (avkoding av tekst) kan være nyttig på barnetrinnet, mens senere i skole­ løpet må det særegne for det enkelte fag komme tydeligere fram. Å kunne lese en matematisk tekst krever annen kunnskap enn å lese et dikt eller en historisk fortelling. Dermed retter de fokus mot nødvendigheten av eksplisitt å få fram det som er særegent for faget i undervisningen: Strong early reading skills do not automatically develop into more complex skills that enable students to deal with the specialized and sophisticated reading of literature, science, history, and mathematics (Perle et al., 2005). Most students need explicit teaching of sophisticated genres, specialized language conventions, disciplinary norms of precision and accuracy, and higher-level interpretive processes. (Shanahan & Shanahan, 2008, s. 43)

Shulman hevder at i den grad det har blitt fokusert på faginnhold innen undervisningsforskningen, har elevperspektivet med vektlegging av elevers læring vært nærmest enerådende. Faginnholdet knyttet til lærerens rolle i forbindelse med undervisningen er i stor grad blitt ignorert.

Biesta (2012a; 2012b) vektlegger lærerens rolle gjennom å argumentere for at undervisning (teaching) betyr noe mer enn å tilrettelegge for læring, ved å understreke skillet mellom det å lære av (learning from) og det å bli undervist av (being taught by). I forbindelse med «å lære av» kan læreren betraktes som en hvilken som helst læringsressurs, for eksempel en bok eller internett, som elever kan stille sine spørsmål til og få svar fra. På den måten har elevene kontroll over sin læringssituasjon. Biesta skiller mellom det som er ønsket (av for eksempel elevene), og det som er ønskelig, og skriver at det er viktig at læreren utvikler dømmekraft for å kunne arbeide aktivt og konsistent med denne distinksjonen. Biestas «bli undervist av» understreker at elevene da kan motta noe fra læreren som er fundamentalt utenfor elevenes kontroll. Når vi har blitt undervist, har noen avdekket noe for oss. I denne sammenheng tolker vi dette til at lærerens rolle også skal være å bringe noe nytt – noe radikalt nytt – til undervisningssituasjonen.

14

mangfold i lærer­u tdanningens matematikk

Med dette utgangspunktet kan man stille spørsmålet om hvor den som underviser, henter sin kunnskap, som er ny for elevene, fra. Hvor kommer lærerens forklaringer, spørsmål, metaforer, analogier, eksempler, demonstrasjoner og omformuleringer fra (Shulman, 1986)? Hvordan drar læreren veksler på sine egne fagkunnskaper i undervisningssituasjonen? Shulman skiller mellom tre kategorier av fagkunnskap: Subject Matter Content Knowledge (SMCK), Pedagogical Content Knowledge (PCK) og Curricular Knowledge (CK). SMCK er den rene fagkunnskapen, i denne sammenheng er dette matematikkunnskap. PCK er fagkunnskap for undervisning, det vil si kunnskaper i matematikk som er nødvendig for undervisning, og CK er læreplankunnskap som deles inn i lateral og vertikal læreplankunnskap. Det å kunne se sammenhengen mellom det som skal undervises i matematikk, og det som undervises til de samme elevene i andre fag, kaller Shulman for lateral læreplankunnskap. Vertikal læreplankunnskap handler om å kunne se sammenhenger mellom matematikken elevene har hatt tidligere i skoleløpet, det de lærer nå, og den matematikken de skal tilegne seg senere i skoleløpet.

Med vekt på matematikk tok et forskerteam ved Universitetet i Michigan ledet av Deborah Ball (Ball, Thames & Phelps, 2008) utgangspunkt i Shulmans kategorier for fagkunnskap og gjennomførte en studie der de undersøkte matematikkunnskap for undervisning basert på analyser av matematiske utfordringer som lærere møter i undervisningssituasjoner. De utviklet dermed et rammeverk for Undervisningskunnskap i matematikk som vi bruker i vår analyse av bidragene til denne antologien. Dette rammeverket er presentert i figur 1.1.

Matematikkkunnskap

Allmenn matematikkkunnskap Horisontkunnskap i matematikk

Matematikkdidaktisk kunnskap

Kunnskap om matematikk og elever Spesialisert matematikkkunnskap

Læreplankunnskap Kunnskap om matematikk og undervisning

Figur 1.1 Undervisningskunnskap i matematikk (Ball et al., 2008).

15

kapittel 1

Høyre side av ellipsen representerer Shulmans PCK. Dette handler om fagdidaktisk kunnskap, og i vårt tilfelle matematikkdidaktisk kunnskap. Venstre side kan betraktes som en nyansering av Shulmans Subject Matter Content Knowledge (SMCK), på norsk oversatt til kunnskaper i faget, og i vårt tilfelle matematikkunnskaper. Basert på empiriske studier identifiserte og definerte Ball mfl. to underkategorier av PCK (høyre side): «Knowledge of Content and Students» og «Knowledge of Content and Teaching». Kunnskap om matematikk og elever handler for eksempel om hvordan elever har tendens til å tenke, og hvilke feil av mange mulige det er mest sannsynlig at elever gjør. Videre innebærer slik kunnskap å kunne lytte til og tolke elevers ufullstendige tenkning og uttrykksmåte.

Dette krever en interaksjon mellom matematisk forståelse, elever og elevers tenkning. Kunnskap om matematikk og undervisning innebærer det Shulman betegner som re-presentasjon (med bindestrek) av egen fagkunnskap. Hvordan gjør læreren sin matematikkunnskap tilgjengelig for elevene? Det handler om å kunne kombinere kunnskaper i matematikk med kunnskaper om undervisning.

Kunnskaper om det å gjøre matematikken tilgjengelig for elevene, som valg av metoder, eksempler, representasjonsformer og rekkefølge av emner, hører til i denne kategorien.

Hvis vi går til ellipsens venstre side, finner vi Ball mfl. sin nyansering av Shulmans Content Knowledge, her kunnskaper i matematikk. De skiller mellom «common content knowledge» (CCK) og «specialised content knowledge» (SCK). Allmenn matematikkunnskap (CCK) blir brukt i mange ulike sammenhenger og er ikke unik for undervisning. Kunnskaper i matematikk som beskrives i elevenes læreplan, hører inn under denne kategorien, og denne kunnskapen er selvfølgelig også essensiell for læreren å ha (Ball et al., 2008). Kunnskaper i matematikk som går utover skolematematikken og også utover det «folk flest» kan av matematikk, dvs. avansert matematikk, inngår også i denne kategorien, til tross for at det ikke er det vi omtaler som allmennkunnskap (Ball et al., 2008).

Spesialisert matematikkunnskap (SCK) er matematikkunnskap som er unik i forbindelse med matematikkundervisning og relevant bare i forhold til det.

Denne kunnskapen forutsetter allmenn matematikkunnskap, men skiller seg fra denne. Ball mfl. (2008) understreker at dette er en «pure subject matter knowledge» (s. 396), som dermed er forskjellig fra det Shulman betegner som fagkunnskap for undervisning (PCK). Læreren må ha kunnskaper i matematikk utover det som skal undervises. Det innebærer blant annet forståelse av ulike tolkninger av regneoperasjoner og ulike løsningsstrategier. I en undervisnings16

mangfold i lærer­u tdanningens matematikk

situasjon må matematikklæreren kunne arbeide med matematikk på en måte som andre ikke gjør. Ball mfl. (2008) skriver: «[It] involves an unpacking of mathematics that is not needed – or even desirable – in settings other than teaching» (s. 400). Å kunne identifisere et galt svar i matematikk er allmenn matematikkunnskap (CCK), mens identifisering av og kjennskap til en kanskje uvanlig feils egenskap krever en umiddelbar bevisst og fleksibel tenkning på for eksempel tall og tallmønstre. Dette er det vi betrakter som spesialisert matematikkunnskap. Men det å vite om og kjenne til vanlige feil som elever gjør, og bestemme hvilken av disse det er mest sannsynlig at elever gjør, kategoriseres som kunnskap om matematikk og elever (Ball et al., 2008).

«Horizon knowledge», eller horisontkunnskap i matematikk, er også viktig å inneha for lærere som underviser i matematikk. Denne kan betraktes som en spesifisering av Shulmans «Curricular knowledge».

Horizon knowledge is an awareness of how mathematical topics are related over the span of mathematics included in the curriculum. First grade teachers, for example, may need to know how the mathematics they teach is related to the mathematics students will learn in third grade to be able to set the mathematical foundation for what will come later. (Ball et al., 2008, s. 403)

På bakgrunn av «Horizon knowledge» viser Liping Ma (1999) til Shulmans «Curricular Knowledge» og argumenterer for en longitudinell sammenheng.

Ma (1999) legger stor vekt på at lærere må ha en solid forståelse for grunnleggende matematikk, «Profound Understanding of Fundamental Mathematics» (PUFM). Hun argumenterer for at lærere som har en slik forståelse, når som helst kan ta tak i innspill fra elever og benytte muligheten til å repetere viktige begreper. Lærere må også ha kunnskaper i det elevene skal bli undervist i senere i skoleløpet, for å kunne legge et grunnlag for det elevene da skal tilegne seg.

I en norsk kontekst vektla Hole og Kleve (2012) lærerens horisontkunnskap i matematikk og argumenterte for nødvendigheten av et longitudinelt perspektiv i skolematematikken. Det eksemplifiserte de med brøkregning på barneskolen med det for øye å kunne lære algebra senere. Jakobsen, Thames, Ribeiro og Delaney (2012) videreutviklet horisontkunnskap i matematikk til å inkludere en forståelse for hvordan det faglige innholdet i skolefaget matematikk henger sammen med vitenskapsfaget matematikk. Kjennskap til blant annet hvordan vi i matematikken kan utvikle og vurdere gyldigheten av ny kunnskap, ble vektlagt.

Ifølge Jakobsen mfl. gjør slik horisontkunnskap lærere i stand til å vurdere hvor 17

kapittel 1

sentrale enkelte ideer og spørsmål fra elever er, og lærerne kan i større grad behandle faget med høy grad av integritet. Dette er nødvendig i arbeidet med å gi elevene kontakt med det fagområdet som matematikken er.

Undervisningskunnskap i matematikk som anvendt matematikk Stylianides og Stylianides (2010) tar utgangspunkt i blant annet Ball mfl. (2008) og deres bearbeiding av Shulmans arbeid. De viser til Bass’ (2005) argumenter om å formulere undervisningskunnskap i matematikk som en form for anvendt matematikk. Bass skriver blant annet: «Mathematics education is not mathematics. It is a domain of professional work that makes fundamental use of highly specialized kinds of mathematical knowledge» (s. 418). Bass foreslår derfor at undervisningskunnskap i matematikk med fordel kan betraktes som en form for anvendt matematikk. Dermed understrekes det at matematikkundervisning er en særegen profesjonsutøvelse som krever en spesiell form for matematikkunnskap på samme måte som vi snakker om anvendt matematikk blant ingeniører, økonomer og statistikere. Å betrakte undervisningskunnskap i matematikk som en form for anvendt matematikk vil nødvendigvis ha konsekvenser for undervisningen av framtidige matematikklærere (Stylianides & Stylianides 2010). For det første impliserer det at det finnes en spesifisert type matematikkunnskap som er enestående for undervisning, på samme måte som noen andre profesjoner har sin spesifiserte matematikkunnskap. Undervisningskunnskap i matematikk er dermed situert i undervisningssituasjonen: Hvilke matematikkunnskaper må en lærer ha for å kunne fungere i undervisningssituasjonen? Den andre implikasjonen er at målet må være å tilrettelegge for læring av faget i matematikklærerutdanningen på en måte som gjør lærere i stand til ikke bare å kunne matematikken, men til å kunne bruke den i ulike praksiser og kontekster. Bruken av begrepet anvendt matematikk refererer til matematikk som er nyttig og anvendelig i matematikkundervisningssituasjonen. Dette impliserer at oppgaver og problemstillinger i lærerutdanningen bør inneholde både matematikk og pedagogiske aspekter slik at de kan fungere som redskap til å fremme undervisningskunnskap i matematikk. Eksempler på slike oppgaver og problemstillinger finner vi i denne antologien. Problemstillingen i dette kapitlet er hvordan bokas øvrige kapitler bidrar til en utdyping av forskning omkring undervisningskunnskap i matematikk. Vi vil først analysere kapitlene med utgangspunkt i Shulmans kategorier for kunnskap 18