Sinus S2 (LK20) utdrag cdu.no by Cappelen Damm

Sinus S2 MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE VG3 NYNORSK Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

© Cappelen Damm AS, Oslo 2022 SinusS2 følger læreplanen (LK20) i matematikk for samfunnsfag S2 frå 2020, for vg3 studieførebuande Materialetutdanningsprogram.idennepublikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverkloven. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all framstilling av eksemplar og tilgjengeleggjering berre tillate så langt det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel.

Foto og grafikk:Bilda er Omslagsfoto:fargemanipulerte.AdobeStock / nuchao Kapittel 1: Unsplash / Faris Mohammed Kapittel 2: GettyImages / GibsonPictures Kapittel 3: Unsplash.com / CJ Dayrit Kapittel 4: AdobeStock / tawatchai1990 Kapittel 5: AdobeStock / juliasudnitskaya Kapittel 6: AdobeStock / MarekPhotoDesign.com

Oppgavedel: Adobe Stock / araho Side 142: bookofproofs (CC BY-SA 4.0) Side 181: GettyImages / Juanmonino Side 225: GettyImages / RomoloTavani Side 373: GettyImages / sirup Side 381: GettyImages / blueringmedia Side 394: GettyImages / malerapaso

Grafisk formgivar: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Utgåve nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-74053-5

Til verket høyrer også ein nettstad: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mykje tilleggsstoff. Blant anna inneheld nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter delkapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle.

Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane skal finne ut eigenskapar og reglar før det blir behandla i boka. Men teorien er skriven slik at det likevel er mogleg å lese han utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men dei kan også gjerast enkeltvis. I teoridelen er det ein del diskusjonsoppgåver der elevane får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. Der finn vi også ei større prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver får elevane lære ny og spennande matematikk. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon av kapittelet. I boka er det i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre delar. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. Nokre gonger står det i oppgåva om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver står eleven fritt til å velje metode. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva for oppgåver eleven kan løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevane lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når dei støyter på ukjente ord og uttrykk.

ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen s

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen, utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus S2 er skriven for programfaget S2 i dei studieførebuande utdanningsprogramma. I boka blir elevane godt kjente med matematisk tankegang, og dei lærer å anvende matematikk innanfor økonomi og samfunnsfag. Elevane får god trening i å løyse oppgåver utan og med bruk av digitale hjelpemiddel. Dei lærer å bruke programmet GeoGebra og programmeringsspråket Python. I kapittel 1 lærer elevane om følger og rekker. Kapittel 2 handlar om derivasjon. I kapittel 3 og 4 arbeider elevane med integrasjon og matematiske modellar. Der bruker dei stoffet i kapittel 1 som grunnlag for integralrekninga. I kapittel 5 lærer elevane om sannsynsfordelingar for diskrete stokastiske variablar. I kapittel 6 lærer dei om kontinuerlege stokastiske variablar og om hypotesetesting.

I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

4s 1InnhaldFølger og rekker 6 1.1 Talfølger 8 1.2 Rekker 14 1.3 Aritmetiske følger 19 1.4 Aritmetiske rekker 22 1.5 Serielån 25 1.6 Geometriske følger 32 1.7 Geometriske rekker 36 1.8 Noverdi og annuitetslån 42 1.9 Uendelege rekker ............................................................ 51 Samandrag 56 Prosjektoppgåve: Følger utan formlar 58 Repetisjonsoppgåver 60 2 Derivasjon 62 2.1 Den deriverte 63 2.2 Kjerneregelen 67 2.3 Funksjonen f (x) = ln x 71 2.4 Derivasjon av eit produkt .................................................. 73 2.5 Derivasjon av rasjonale funksjonar ...................................... 76 2.6 Drøfting av logaritme- og eksponentialfunksjonar .................... 80 2.7 Grensekostnad og grenseinntekt ......................................... 86 2.8 Einingskostnad .............................................................. 91 Samandrag ................................................................... 98 Prosjektoppgåve: Lineær regresjon ....................................... 100 Repetisjonsoppgåver 104 3 Integrasjon .................................................................. 106 3.1 Ubestemt integral ........................................................... 108 3.2 Eit spesielt integral .......................................................... 112 3.3 Integrasjon av eksponentialfunksjonar .................................. 114 3.4 Bestemt integral som grense for ein sum ................................ 119 3.5 Fundamentalsetninga 128 3.6 Å finne areal ved rekning 131 3.7 Å finne areal mellom to grafar 137 Samandrag 140 Prosjektoppgåve: Gini-koeffisienter ...................................... 142 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 144 4 Modellar og metodar ..................................................... 146 4.1 Samla resultat 148 4.2 Eksponentielle modellar 152 4.3 Logistisk vekst 157 4.4 Vekstfarten ved logistisk vekst 163

5 s 4.5 Variabelskifte 167 4.6 Delvis integrasjon 170 4.7 Delbrøkoppspalting 174 Samandrag 179 Prosjektoppgåve: Toll på import 180 Repetisjonsoppgåver 182 5 Sannsynsfordelingar 184 5.1 Stokastiske variablar 185 5.2 Binomisk fordeling 191 5.3 Hypergeometriske fordelingar 196 5.4 Forventningsverdi 201 5.5 Varians og standardavvik 207 5.6 Reknereglar for stokastiske variablar 213 5.7 Forventning og varians i ei binomisk fordeling 219 Samandrag 222 Prosjektoppgåve: Kostnadseffektive testar 224 Repetisjonsoppgåver 226 6 Normalfordeling og statistikk 228 6.1 Kontinuerlege stokastiske variablar 229 6.2 Normalfordelinga 235 6.3 Standard normalfordeling 240 6.4 Binomisk fordeling og normalfordeling 246 6.5 Sentralgrensesetninga ...................................................... 253 6.6 Gjennomsnitt og normalfordeling ....................................... 257 6.7 Hypotesetesting i ein binomisk modell .................................. 260 6.8 Hypotesetesting med normalfordeling .................................. 267 6.9 Hypotesetesting av forventningsverdiar ................................. 270 Samandrag ................................................................... 278 Prosjektoppgåve: Ein modell for aksjekursar ........................... 280 Repetisjonsoppgåver 282 Oppgåver 284 1 Følger og rekker ........................................................... 285 2 Derivasjon 313 3 Integrasjon .................................................................. 335 4 Modellar og metodar 350 5 Sannsynsfordelingar ..................................................... 370 6 Normalfordeling og statistikk 389 Normalfordelingstabellen ........................................................... 414 Fasit teoridel 416 Fasit oppgåvedel ...................................................................... 427 Stikkord 447

OGFØLGERREKKER Mål for opplæringa er at eleven skal kunne •utforske eigenskapar ved ulike rekker og gjere greie for praktiske anvendingar av eigenskapar ved rekker •utforske rekursive samanhengar ved å bruke programmering og presentere eigne framgangsmåtar

Kvadrattala kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten:

b) Forklar at K3 K2 2 2 1, og at K4 K3 2 3 1.

a) Bruk den eksplisitte formelen for K n til å finne K5, K6 og K10.

c) Forklar at K n 1 K n 2 n 1, når n 1. Formelen i oppgåve c kallar vi ein rekursiv formel for kvadrattala. Når vi kjenner eit kvadrattal, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke ein slik rekursiv formel, må vi kjenne eitt av tala. Her veit vi at K1 1.

e) Bruk den rekursive formelen til å finne R4 og R8.

d) Bruk den rekursive formelen i oppgåve c til å finne K5, K6 og K10. STEG 2 No skal vi sjå på nokre figurtal som vi kan kalle rektangeltal. Her er dei minste rektangeltala: R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12

71.1 TALFØLGER s UTFORSK FIGURTAL STEG 1 Når vi kvadrerer eit naturleg tal, får vi eit kvadrattal. Dei seks minste kvadrattala er 1,4,9,16,25 og 36. Kvadrattal nr. n kallar vi K n. Det er gitt ved formelen Knn 2 Ein slik formel som gir tal nr. n direkte, kallar vi ein eksplisitt formel.

Kvadrattala ovanfor er dermed eit eksempel på figurtal.

K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9 K4 = 16 Vi ser for eksempel at kvadrattal nr. 4 dannar eit kvadrat med 4 kuler i kvar retning. Tal vi får ved å sette saman figurar etter eit system, kallar vi figurtal.

c) Talet 870 er eit rektangeltal. Kva for eit nummer har det?

b) Finn ein eksplisitt formel for rektangeltalet R n.

a) Finn rektangeltala R4 og R8.

d) Finn ein rekursiv formel for R n uttrykt med R n 1 for n 1.

c) Samanlikn trekanttala og rektangeltala, og bruk formelen du fann i steg 2b, til å vise at trekanttal nr. n er gitt ved formelen Tnn n ()12

b) Finn ein rekursiv formel for trekanttalet T n uttrykt med T n 1 for n 1.

8 1 | FØLGER OG REKKERs STEG 3 No skal vi sjå på tal som vi kallar trekanttal. Her er dei minste trekanttala: T2 = 3T1 = 1 T3 = 6 T4 = 10 a) Finn trekanttala T5 og T6.

d) Finn nummeret til trekanttalet 820. e) Sjå på summen av to trekanttal som følger etter kvarandre. Kva for regel ser ut til å gjelde? Vis at regelen din er rett både ut frå kulene og ved rekning. 1.1 Talfølger

Vi tar utgangspunkt i talet 2 og doblar det. Deretter doblar vi svaret. Slik held vi på og får desse tala: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, … Dette er eit eksempel på ei talfølge eller ei følge. Forskjellen på ei talfølge og ei talmengde er at i ei talfølge har rekkefølga av tala betydning. Tala er nummererte i rekkefølga dei står i. I ei talmengde er rekkefølga utan Talabetydning.ieitalfølge kallar vi ledd. Ofte kallar vi det første leddet a1, det andre leddet a2 osv. I talfølga ovanfor er a1 2, a2 4, a3 8, a4 16, …

alle naturlege tal n 1 er ledda gitt den rekursive formelen a n 3 a n 1 a) Finn dei fem første ledda i talfølga. b) Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n. c) Finn ledd nr. 15. a) Vi veit at det første leddet er a1 2. I formelen aa nn 3 1 vel vi n 2 for å finne det andre leddet. Det gir aaa 221133326 For å finne det tredje leddet set vi n 3 a. aa 3312333618 Det fjerde og det femte leddet finn vi slik: aaa aaa 55144413333185433354162 Dei fem første ledda i talfølga er 2, 6, 18, 54 og 162.

Iovanfor?eitalfølge er det første leddet a1 2. For

Denne talfølga er bestemt ved at a1 2, og at a n 2 a n 1, når n 1. Dette er ein rekursivformel for ledda i følga. I ein rekursiv formel er ledda bestemte av eitt eller fleire av ledda framfor. Nokre gonger kan i tillegg rekkenummeret inngå. Vi legg merke til at i følga på førre side er a1 2, a2 22, a3 23, a4 24 osv.

91.1 TALFØLGER s

DISKUTER Vil de bruke den rekursive eller den eksplisitte formelen for å finne a100 i følga

LØYSINGDØME

Ledd nr. n er gitt ved a n 2n Dette er ein eksplisittformel for ledd nr. n. Med han kan vi finne ledd nr. 10 direkte: a10 210 1024. Når vi i denne boka skriv ‘ein formel for ledd nr. n’, meiner vi alltid ein eksplisitt formel.

68 2 | DERIVASJONs LØYSINGDØME Deriver funksjonane ved hjelp av kjerneregelen. a) fxx () 2 4 1 b) fxx () 21 3 c) fxe x() 2 1 d) fxx () 211 a) Vi set kjernen u(x) x 2 1. Da er fxxux ()()24 4 1 . Den ytre funksjonen er g(x) = x4. Da er fxgux ()() . Vidare er gxxx () 434 , og uxx ()2 . Kjerneregelen gir fxguxuxuxuxxxxx ()()()()()4412813232 3 Med litt trening gjer vi dette utan å bruke u(x). Da gjer vi det slik: fxxxxxxxx () 2 4 2 3 22 3 2 3 141141281 b) Her vel vi kjerne u(x) 2x 1 og ytre funksjon gxx () 3. Da er gxx ()3 2 og ux()2. Det gir fxguxuxuxuxxx ()(())()()()33212621222 Som oftast gjer vi dette slik: fxxxxxx 213212132126213222 c) No set vi uxx () 2 1 og gxe x() . Da er uxx ()2 og gxe x() . fxguxuxeuxexxe uxxx()()()()() 221122 Med litt trening gjer vi det slik: fxeexexxe xxxx() 22 2 211 2 12211 d) Med u(x) 2x 1 og gxx () 1 blir fxgux ()() . Ettersom ux()2 og gxx () 12 , blir fxguxuxuxuxxx ()(())() ()11()21 2 222212 I praksis gjer vi det slik: fxxxxxx () 211 211 21 211 2 222212

692.2 KJERNEREGELEN s LØYSINGDØME OPPGÅVE 2.21 Deriver funksjonane. a) fxx () 23 3 b) fxx () 2 2 1 c) fxex () 23 d) fxx () 23 e) fxx () 1 12 Når vi skal derivere ein sum av fleire ledd der ledda er samansette funksjonar, må vi kunne derivere utan å bruke u(x). Deriver funksjonen gitt ved fxxx () 2 2 3 123 fxxx xxxx () 2 2 3 22 2 21234129221132323123341641292222 xxxx xxxx 44247254442476543232 xxxx xxx OPPGÅVE 2.22 Deriver funksjonane. a) fxxx () 521 4 b) gxx () 322 2 c) hxxx () 31332 4 OPPGÅVE 2.23 Deriver funksjonane. a) fxxx () 2 2 112 b) fxxx () 1 3 212 ??

70 2 | DERIVASJONs BEVIS Bevis for kjerneregelen. Vi skal finne fx() når fxgux ()() Vi føreset at g og u er deriverbare og dermed kontinuerlege funksjonar. Vidare føreset vi at ux()0 . Da er uxxux ()() 0 når Δx er nær 0. fxfxxfx x guxxguxxx x ()lim ()() lim ()() limm00 ()() ()() () () xguxxguxxuxuxxux xuxlim0 ()()()() ()()xguxxguxuxxuxuxxux xlim0 ()()()() lim () xx guxxguxuxxuxuxxu00 ()(xx Ovanfor multipliserte vi med uxxux ()() i teljaren og i nemnaren. Deretter brukte vi ei grenseverdisetning. No set vi tu(x) og tuxxux ()() Da er uxxuxtttEttersom()() u er kontinuerleg, nærmar uxx() seg u(x) når Δx 0. Dermed nærmar Δt seg 0 når Δx 0. Vi set inn i uttrykket ovanfor og får fxgttgttuxxuxtxx ()lim ()() lim ()() 00 Etter definisjonen av derivert er den første grenseverdien lik gt(), og den andre er lik ux(). Dermed er fxgtux guxux ()()()()()

71 s2.3 FUNKSJONEN f ( x )=ln x 2.3 Funksjonen f (x)=ln x No skal vi studere logaritmefunksjonen fxx ()ln . Om denne funksjonen veit vi blant anna at f fee Ettersom()ln()ln1101ln x berre er definert for x 0, er definisjonsmengda Df Funksjonen0, har denne grafen: 3421 y x f (x) = lnx (e, 1) 2 –3–2–1–4–5 4567891013 (1, 0) Vi kan vise at grafen til f er kontinuerleg, og at grafen dermed er samanhengande for alle xDf . Vi kan også vise at ln x når x og at ln x når x 0 . Dermed er verdimengda V f , og linja x 0 (y-aksen) er ein vertikal asymptote for logaritmefunksjonen. No skal vi bestemme ln x og ser på den samansette funksjonen gxex () ln . Vi veit at ex xln . Dermed er gxx () , og da er gx()1. Men ifølge kjerneregelen er gxeexxx xx ()lnlnlnln Da må xx xx ln ln 1 1 Ettersom ln x berre er definert når x 0, er da fxx () 1 0 for alle xDf . Funksjonen er dermed veksande i heile definisjonsmengda.

Frå side 91 veit vi at einingskostnaden er lågast når grensekostnaden er lik einingskostnaden. Men ettersom einingskostnaden er stigningstalet til linja gjennom origo, må tangenten gå gjennom origo når einingskostnaden er lågast. Dermed kan vi finne den lågaste einingskostnaden i GeoGebra på denne måten: Vi skriv Tangent(A, K) der A er namnet på det fritt valde punktet på grafen. Deretter drar vi i punktet slik at vi får tangenten til å skjere y-aksen nærmast mogleg origo. Av figuren øvst på neste side ser vi at einingskostnaden er lågast når vi produserer ca. 548 einingar per dag. Einingskostnaden er da 159,55 kr. Det stemmer godt med det vi fann over.

Vi trekker ei linje gjennom origo og punktet. Også for linja vel vi Verdi i staden for Namn. No drar vi i punktet på grafen til vi ser at stigningstalet for linja er minst mogleg. Vi fekk resultatet nedst på førre side. Einingskostnaden er minst når vi produserer ca. 548 einingar per dag. Einingskostnaden er da 159,54 kr.

Ut frå figuren ser det ut som om einingskostnaden er lågast når linja gjennom origo er ein tangent for grafen. Det forklarer vi no. Grensekostnaden Kxx(),0250 gir stigningstalet til tangenten i punktet x, K(x) . Med x 300 blir stigningstalet til tangenten K (),3000230050110

Det kan vi kontrollere i GeoGebra ved å skrive Tangent(300, K). Etter at vi har tatt bort den linja vi hadde frå før, får vi resultatet nedanfor. Tangenten har likninga y 110x 21000. Stigningstalet er altså lik grensekostnaden 110.

96 2 | DERIVASJONs

a) Finn digitalt den lågaste einingskostnaden ved å trekke linjer gjennom origo. b) Finn digitalt den produksjonsmengda som gir den lågaste einingskostnaden, ved å trekke tangentar til grafen. Kor stor er einingskostnaden da? Samanlikn med oppgåve 2.80h. ?

972.8 E ININGSKO STNAD s

La K vere kostnadsfunksjonen ved ein produksjon. Einingskostnaden er lågast for den produksjonsmengda x som er slik at tangenten til grafen i punktet x, K(x) går gjennom origo. OPPGÅVE 2.82 Ved ein produksjon er kostnaden i kroner per dag når det blir produsert x einingar per dag, gitt ved Kxxxx (),,,055080001002

98s 2 | DERIVASJON SAMANDRAG Derivasjon Den deriverte til ein funksjon f er gitt ved fafaxfa xx ()lim ()() 0 Derivasjonsreglar xrx rr 1 uxvxuxvx kuxkuxk ()()()()()(),derein konstannt Logaritmefunksjonen ln x Logaritmefunksjonen fxx ()ln er veksande og kontinuerleg med definisjonsmengde Df 0, og verdimengde V f . Vidare er fxx () 1 Eksponentialfunksjonen ex Eksponentialfunksjonen fxe x() er veksande og kontinuerleg med definisjonsmengde Df og verdimengde V f 0, . Vidare er fxe x() Derivasjon av ax aaa xx ln Kjerneregelen Viss fxgux ()() , så er fxguxux ()()()

Grenseinntekt La I (x) vere inntekta ved sal av x einingar av eit produkt. Grenseinntekta ved sal av x einingar er da lik Ix(). Grenseinntekta fortel kor mykje inntekta aukar når vi aukar salet med éi eining frå x til x 1.

La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar og I(x) inntekta ved sal av x einingar. Viss vi sel alle einingane vi produserer, er overskotet gitt ved O(x) I(x) K(x) Overskotet er størst når grenseinntekta er lik grensekostnaden.

Einingskostnad La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar av eit produkt. Da er einingskostnaden ExKx x () () Vi finn den minste verdien for einingskostnaden i det punktet der einingskostnaden er lik grensekostnaden. Da vil tangenten til K i punktet x, K(x) gå gjennom origo.

Overskot

Grensekostnad La K(x) vere kostnaden ved produksjon av x einingar av eit produkt. Grensekostnaden ved produksjon av x einingar er da lik Kx(). Grensekostnaden fortel omtrent kor mykje kostnaden K(x) aukar når vi aukar produksjonen med éi eining frå x til x 1.

99 sSAMANDRAG

Produktregelen uvuvuv Kvotientregelen u vuvuv v 2

Du har vore hos legen og tatt ein blodprøve for å undersøke om du har ein sjukdom. Prøven blir send til eit laboratorium. Der blir han kanskje blanda med blodprøvane frå andre personar! Det høyrest kanskje skummelt ut, men ein testmetode bygd på sannsynsrekning gjer dette til ein kostnadseffektiv måte å avsløre sjukdom.

Vi antar at det kostar 150 kr å gjere ein test. Da vil den enkle metoden med å teste 10 prøvar kvar for seg koste 1500 kr.

NegativPositiv

Testing av alle prøvar Vi tenker oss at vi skal teste mange prøvar for ein bestemt sjukdom. Testen er binær – utfallet er enten positivt eller negativt. Vi testar alle prøvane kvar for seg. Ved å gjere éin test for kvar prøve, får vi korrekte resultat for alle prøvane. Testing i to fasar Vi kan likevel gjere det på ein smartare måte. Først deler vi alle prøvane i grupper på 10 og 10. I kvar gruppe deler vi kvar av dei 10 prøvane i to. Så blandar vi éin del frå kvar av dei 10 prøvane til ein stor prøve og testar den. Viss testen er negativ, veit vi at alle dei 10 prøvane er negative, og det har vi funne ut ved å berre gjere éin test. Viss testen er positiv, går vi tilbake til den enkle metoden og testar den andre delen av kvar av dei 10 prøvane. Da får vi rette resultat for prisen av 1+10=11 testar, men i tillegg kjem kostnadene ved først å separere dei 10 prøvane.

s 224 5 | SANNSYNS FORDELINGAR KOSTNADSEFFEKTIVE

TESTAR

Antar vi at 5 % av personane vi testar, har sjukdommen, er sjansen 60 % for at vi slepp unna med ein kostnad 550 kr. Den forventa kostnaden blir 1152 kr – det er ei innsparing på 23 % frå den enkle metoden med å teste alle prøvar. Biologiske avgrensingar Ikkje alle typar testar kan bli gjorde på denne måten. Testen må vere binær – måling av konsentrasjonen av eit stoff er for eksempel ikkje eigna for denne type testing. Vi må også vere sikre på at det å blande prøvar frå fleire personar ikkje gjer at testen kan gi gale resultat. Testing samleprøveav Test

10Alleferdigdeiprøvaneblirtesta

Utrekningar

Vi antar at det kostar 40 kr å dele ein test i to. Når vi testar i to fasar, blir den totale kostnaden enten 550 kr eller 2050 kr avhengig av om testen av blandingsprøven gir negativt eller positivt resultat.

s225KOSTNADSEFFEKTIVE TESTAR PROSJEKTOPPGÅVE 1 I artikkelen blir det presentert fleire tal utan utrekning. Forklar korleis ein har rekna ut desse tala: 1) 550 kr og 2050 kr 2) 60 % 3) Kva1152 krforgjettingar må vi gjere? PROSJEKTOPPGÅVE 2 I artikkelen blei prøvane delte i grupper med 10 prøvar. Kva blir den forventa kostnaden viss vi i staden grupperer prøvane med 5 per gruppe? 20 per gruppe? Kva for gruppestorleik er mest kostnadseffektiv? PROSJEKTOPPGÅVE

Lag eit program med Python, rekneark eller GeoGebra der vi kan endre prisen per test, prisen for å dele ein prøve, sannsynet for at ein person som blir testa, har sjukdommen, og gruppestorleiken. Programmet skal gi informasjon om det er lønnsamt å bruke metoden med to fasar, og også kor mange prosent vi eventuelt sparer. Bruk programmet til å finne optimal gruppestorleik når det kostar 200 kr å gjere ein test, 25 kr å dele ein test, og når 2 % av personane som blir testa, har sjukdommen vi testar for. Kan du seie noko om når det lønner seg å dele prøvane i store grupper og i små grupper, og når det lønner seg å bruke den enkle metoden?

Bestem x slik at sannsynet for at minst x kundar blir fornøgde, er større enn 0,95. Løys oppgåva digitalt. Oppgåve 5 Ei farmasøytisk bedrift har utvikla eit nytt medikament. Dei hevdar at 85 % av pasientane som bruker medikamentet, blir friske. Det blir gjennomført ei spørjeundersøking av pasientar som har brukt medikamentet, og ho blir avslutta med ein gong nokon svarer at dei ikkje har blitt friske. La X vere antalet som blir spurt.

d) Kor mange personar må vi spørje for at sannsynet for at ingen har blitt friske, skal vere minst 90 %?

a) Finn P(X 5). b) Finn P(X 5) c) Lag eit program som skriv ut P(Xa) og P(Xa) for a 1, 2, …, 20.

226 5 | SANNSYNS FORDELINGARs REPETISJONSOPPGÅVER Oppgåve 1 Guri er glasblåsar og lagar nokre spesielle vinglas. Det førekjem ofte skjønnheitsfeil på glasa som Guri lagar. La X vere talet på skjønnheitsfeil på eit tilfeldig valt glas. Da er sannsynsfordelinga for X gitt ved denne tabellen: X 0123 P(Xx)0,500,250,200,05 a) Finn PX()2. b) Finn forventningsverdien og standardavviket for X. Oppgåve 2 Sannsynsfordelinga for ein stokastisk variabel X er gitt ved denne tabellen: x 0123 P(Xx)0,120,220,40 p a) Bestem p i tabellen. b) Rekn ut E(X) og Var(X). c) Finn P(X 1). d) La Y ha same fordeling som X og gå ut frå at X og Y er uavhengige. La ZXY Finn E(Z) og Var(Z). Oppgåve 3 I ei stor korg ligg det 200 valnøtter. 20 % av nøttene er ròtne. Vi trekker tilfeldig 20 nøtter og lèt X vere talet på ròtne nøtter i uttrekket. a) Finn forventningsverdien og standardavviket for X. b) Finn PX().4 c) Finn PX().

c) Utvid tabellen med ein kolonne som viser P(Xa) for a 0, 1, 2 og 3 d) Finn P(X 2) og P(X 1) Skriv med ord kva du har funne. e) Rekn ut forventningsverdien og variansen til X

a) Kva blir denne typen forsøk kalla? b) Sett opp ein tabell som viser sannsynsfordelinga til X.

Oppgåve 4 Firmaet «Full rulle» skiftar dekk på bilar. Ei spørjeundersøking viser at 85 % av kundane er fornøgde med jobben dei gjer. Firmaet trekker tilfeldig ut 20 kundar som dei har skifta dekk for.

Oppgåve 6 I ei eske ligg det fire raude og seks blå kuler. Vi trekker tre kuler utan tilbakelegging. La X vere antal raude kuler av dei tre.

• Viss du trekker ei kule med eit av tala 1, 11, 22 eller 33, vinn du 20 kr.

227REPETISJONSOPPGÅVER s

blir da Y 70 20 · X a) Skriv av

der er forventningsverdien for X. X 0123Sum P(Xx) xP(Xx) (x )2 P(Xx) b) Finn forventningsverdien for Y. c)

a) Kva blir denne typen forsøk kalla? Sett opp eit uttrykk for P(Xa)

til Y. d)

a) Finn forventningsverdien E(X). Kor mykje må arrangøren av lotteriet minst ta i betaling for kvart trekk av kule for å gå i overskot viss spelet blir gjennomført svært mange gonger?

Pirat.

Oppgåve 9 Eit bilfirma gir noko dei kallar ein totalgaranti på bilen. Det vil seie at firmaet tar på seg ansvaret for at bilen blir reparert dersom han stoppar langs vegen. Delane må eigaren sjølv betale.

()5. e)

La X

måten:

for X og Y.

• Viss du trekker kula med talet 36, vinn du 60 kr. La X vere gevinsten på eit tilfeldig trekk.

c) Kva blir no den maksimale gevinsten på kule 36 viss arrangøren ikkje skal tape pengar i det lange løp?

• Viss du trekker ei kule med eit av tala 5, 10, 15 eller 20, vinn du 10 kr.

b) Finn variansen Var(X). Arrangøren får tilbakemelding på at premien for å trekke kule nr. 36 er for låg. Dei bestemmer seg derfor for å auke prisen til 10 kr for å spele.

opp

b) Lag ein tabell over sannsynsfordelinga. c) Lag eit histogram over fordelinga. d) Rekn ut forventningsverdien og variansen til X ved å bruke definisjonen. Kontroll deretter om svara stemmer ved å bruke formlane EXnp () og Var()(). Xnpp 1

Totalgarantien blir gitt for eitt år frå det tidspunktet bilen gjennomgår ein grundig service på verkstaden. Sannsynet for stopp i løpet av eitt år set vi til 0,15. Firmaet har 20 bilar med denne garantien. La X vere talet på bilar med totalgaranti som får stopp løpet av eitt år. Finn forventningsverdien og standardavviket c) Finn PX Finn PX Finn PX() Oppgåve Mette jobbar og til kiosken til Pelle Timelønna blir fastsett på denne Ho kastar tre myntar og tel kor mange av myntane som viser krone. vere talet på myntar som viser krone kastet. Timelønna Y kroner og fyll tabellen, Finn variansen Finn standardavviket

Oppgåve 7 I eit spel ligg det 36 kuler i ein bolle. Kulene er nummererte frå 1 til 36. Spelet har desse gevinstane:

Oppgåve 8 I ei eske ligg det ti kuler: fire raude og seks blå. Vi trekker tre kuler med og lèt X vere antal raude kuler av dei tre.

for X. b) Finn PX().

()5. d)

tilbakelegging

i BLANDA OPPGÅVER og OPNE OPPGÅVER inneheld ofte stoff frå fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

•Dei opne oppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du blant anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger sjølv lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. I desse oppgåvene er det meininga at du skal bruke litt meir tid, og dei legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan derfor vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

ØV MEIR gir meir trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart

•Oppgåvenedelkapittel.

•OppgåveneOPPGÅVERi

•I blanda oppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver.

Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n i talfølga. a) 2, 4, 8, 16, 32, … b) 1, 4, 9, 16, 25, … Oppgåve 1.113 Finn ein eksplisitt formel for det generelle leddet i talfølga. a) 1, 14 , 91 , 161 , … b) 21 , 14 , 61 , 81 , … c) 1, 3, 5, 7, … d) 2, 23 , 34 , 45 , …

285 s1 | FØLGEROGREKKER 1 Oppgåve 1.114 I ei talfølge er dei to første ledda a1 2 og a2 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen a n 2 a n 1 3 a n 2 Bruk formelen og skriv opp dei fem første ledda i følga. Oppgåve 1.115 Tala i talfølga 1, 3, 6, 10, 15, … kallar vi trekanttala. Trekanttala T4 og T3 a) Finn det sjette talet i følga. Kall trekanttalet i ledd nr. n for T n. b) Finn uttrykk for TT nn 1 og TT nn 1 når n >1. c) Bruk svara i oppgåve b til å finne ein formel for T n uttrykt ved n. Oppgåve 1.116 Studer dei fire figurane nedanfor. Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4 Finn ein formel som viser kor mange kuler a n vi treng for å kunne lage figur nummer n. Følger og rekker ØV MEIR 1.1 TALFØLGER Oppgåve 1.110 I ei følge er ledd nr. n gitt. Finn dei fem første ledda i følga. a) ann 2 2 b) ann 2 n c) a n = n n 1 Oppgåve 1.111 I ei talfølge er det første leddet a1 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen aa nn 3 21

a) Bruk formelen og finn ved rekning dei åtte første ledda i følga.

b) Lag eit program som skriv ut dei åtte første ledda i følga. c) Utvid programmet slik at det også reknar ut summen av dei åtte første ledda. Oppgåve 1.112

1 | FØLGER OG REKKER286s Oppgåve 1.117 Studer dei tre figurane nedanfor. Dei er laga etter eit fast mønster. F3F2F1 a) Kor mange kuler kjem det til å vere på dei to neste figurane? Forklar samanhengen mellom figurane. b) Finn ein formel som fortel kor mange kuler F n det er på figur nr. n c) Finn nummeret til figuren som har 631 kuler. 1.2 REKKER Oppgåve 1.120 Ein talfølge er gitt ved formelen a n 2 3n der n = 1, 2, 3, … a) Finn summen av dei tre første ledda ved rekning. b) Bruk CAS til å finne summen av dei seks første ledda. Oppgåve 1.121 Ledda i ei rekke er gitt ved ann 2 4 der n 1, 2, 3, … a) Finn summen av dei fem første ledda ved rekning. b) Bruk CAS til å finne summen av dei ti første ledda. Oppgåve 1.122 Vi har gitt rekka 1 4 9 16 25 36 49 64 a) Finn summane s3, s5 og s8 i CAS. b) Bruk CAS til å finne summen av dei n første ledda i denne rekka. c) Kontroller formelen for n 3, n 5 og n 8. d) Finn s25. Oppgåve 1.123 Ledda i ei rekke er gitt ved ann n 11122() der n 1, 2, 3, … a) Rekn ut s6. b) Vis at summen av dei n første ledda er gitt ve sn n 1 11 ()2 c) Finn s99. Oppgåve 1.124 Finn summen. 1 15 21 61 13 71 9961 10001 Oppgåve 1.125 Finn digitalt summen av rekka. 200200108200108200108224,,..., Oppgåve 1.126 Finn digitalt summen av rekka. 1 0,85 0,852 … 0,8599

1.3 ARITMETISKE FØLGER Oppgåve 1.130 I ei aritmetisk talfølge er a1 5, a2 9 a) Finn a7 og a11. b) Finn ein formel for ledd nr. n. Oppgåve 1.131 Undersøk om følga er aritmetisk, og finn i så fall differansen d. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16 b) 15, 11, 7, 3, 1, 5 c) 2, 4, 10, 18, 22 d) 1, 23 , 2, 25 , 3, 72

d 3. Finn

nr. n Oppgåve 1.138 I ei

b) Ho ønsker til slutt å klare tretti armhevingar kvar dag på denne lenge må ho halde 1.136 aritmetisk følge er det første leddet og differansen ein formel for ledd 1.137 I ei aritmetisk følge er det andre leddet og det fjerde leddet ein formel for ledd aritmetisk følge første leddet og tredje leddet anna aritmetisk følge summen ledda

det

1 | FØLGER OG REKKER 287 s

a2 3,

på? Oppgåve

er det

b) Kva kan du da seie om følga? Oppgåve 1.134 Finn a1 og d i ei aritmetisk følge når a) a2 25 og a3 20 b) a3 43 og a5 74 c) anan 1 2 og a3 8 Oppgåve 1.135 Karianne vil trene armmusklane. Den første veka tar ho seks armhevingar kvar dag. Den neste veka tar ho kvar dag to armhevingar meir enn veka før. Ho vil så på tilsvarande måte auke antalet med to for kvar veke. a) Kor mange armhevingar tar ho den sjette veka?

i ei aritmetisk rekke når a) a1 2 og d 3 b) a1 36 og d 2 c) a1 3 og a2 7

av dei 20 første

b) Finn a10 og a20 c) Lag ein formel for det n-te leddet. Oppgåve 1.133 Ledda i ei følge er gitt ved a n 5n 7 a) Vis at anan 1 5.

er a3 9. I ei

I ei

a1 1,

er a4 4. Finn

a1 12,

nr. n. Oppgåve

a) Forklar at følga er aritmetisk.

måten. Kor

Oppgåve 1.132 Vi har gitt talfølga 9, 14, 19, 24, …

er det andre leddet b2 19 og det tiande leddet b10 Løys23.ulikskapen anbn. 1.4 ARITMETISKE REKKER Oppgåve 1.140 Finn

d) Framstill einingskostnaden og grensekostnaden digitalt i det same koordinatsystemet.

e) Finn grafisk, i CAS og ved rekning den produksjonsmengda som gir lågast einingskostnad. Kor stor er kostnaden da?

Kostnaden

Kxxx

Finn funksjonsuttrykket E(x) for einingskostnaden. b) Kva er einingskostnaden ved produksjon av 40 komfyrar? c) Kva for produksjonsmengde gir lågast einingskostnad? d) Noko seinare endrar produksjonskostnaden seg. Den lågaste einingskostnaden er da ved 60 einingar per veke, og kostnaden er Kxxxa () 3012002 Bestem konstanten a BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 2.200 Deriver funksjonane. a) fxx () 41 3 b) gxx () 2 1 Oppgåve 2.201 Deriver funksjonane. a) fx()ln 23 b) fxx ()ln 2 2 Oppgåve 2.202 Antalet biller i ein stamme er 4000. Veksten er 8 % per døgn. a) Sett opp eit uttrykk for talet på biller etter x døgn. b) Rekn ut vekstfarten til billestammen om 5 døgn. Oppgåve 2.203 Deriver uttrykka. a) 1 xe x b) xex c) xex 22 Oppgåve 2.204 Vi har gitt funksjonen fxxx () 3 a) Finn fx() ved hjelp av produktregelen. b) Finn fx() ved å skrive funksjonen som ein potensfunksjon. Oppgåve 2.205 Ein elev har derivert funksjonen fxxx ()ln23 i CAS og fått dette svaret: Er løysinga rett? Kommenter.

a) Finn funksjonsuttrykket E(x) einingskostnaden.

b) Finn likninga for den skrå asymptoten til E

c) Finn eit uttrykk for grensekostnaden.

2 | DERIVASJON322s Oppgåve 2.183 Ein fabrikk skal begynne å lage eit nytt produkt og reknar med at kostnaden K(x) i kroner ved å produsere x einingar per veke er gitt ved Kxxxx (),,,00460290008002

for

f) Fabrikken sel produktet for 120 kr per stykk. Finn den produksjonsmengda som gir størst overskot. 2.184 Ei bedrift produserer komfyrar. i kroner ved produksjon av x komfyrar per veke er gitt ved () 301200750002

Oppgåve

2 | DERIVASJON 323 s Oppgåve 2.206 Vi skal derivere funksjonen fxxx ()ln 2 Kva for ein eller kva for nokre av desse løysingane er rette? Kommenter kva for nokre feil som er gjorde i dei løysingane som ikkje er rette. 1) fxxx fxxxx xxx ()lnln()lnlnln222122 2) fxxx fxxxxx xx () ()lnlnlnlnln22212 1 2 3) fxxx fxxxxx x ()ln()lnln 2 2 2 2 1 1 2 2 4) fxxx fxxxxx x ()ln()lnln 2 2 12 1 2 22 Oppgåve 2.207 Ein elev har derivert ein funksjon og gjort denne utrekninga: fxexxx x ()ln222 Kva for funksjon kan eleven ha derivert? Oppgåve 2.208 Ein elev skulle derivere funksjonen gxxxx Vurder()(ln)ln44desseløysinganeog kommenter eventuelle feil. 1) gxxxx gxxxxx ()(ln)ln()ln ln 441433414 4 2) gxxxx gxxxxx xx ()lnln()(ln)lnlnln43344414 1 4444 3) 4) ▲ 2.4 Oppgåve 2.209 Deriver funksjonane. a) fxxe x() 2 b) fxxex() 22 c) gxxx () 2 2 Oppgåve 2.210 Funksjonen f er gitt ved fxxeD xf(),628 Vis at fxxex () 23 4 2 82 Oppgåve 2.211 Funksjonen f er gitt ved fxxx () lnln 1 a) Kva er definisjonsmengda til f ? b) Vis at fxxx () ln1 2 gxxxx gxxxxxx xx ()(ln)ln()(ln)ln(ln)43441414 1 4 33 44lngxxxxx gxxxxxx xx ()lnln()(ln)lnln433441414 1 4 4lln x 4

a) La X vere levetida til ein tilfeldig vald vaskemaskin av dette merket. Bruk tabellen og finn gjennomsnittet X og standardavviket X . b) Lag ein hypotesetest og finn P-verdien. c) Er det grunnlag for å hevde at ein vaskemaskin av dette merket har ei levetid som er mindre enn 12 år? Bruk signifikansnivå 0,05.

d) Kva er den lengste gjennomsnittlege levetida vi kunne ha målt for desse 16 vaskemaskinane for å kunne hevde at levetida er kortare enn 12 år?

Oppgåve 6.231 Det viser seg at idrettstrenarar oftare blir «sparka» frå jobbane sine enn andre yrkesgrupper. Ei undersøking frå nokre år tilbake viste at 20 % av fotballtrenarane blei «sparka», mens altså 80 % slutta på «normal måte». Enkelte påstår at prosentandelen som blir «sparka», har stige dei siste åra. Vi plukkar ut tilfeldig 50 fotballtrenarar som har slutta. Av desse blei 14 «sparka», mens 36 slutta på «vanleg måte». Gir desse tala grunnlag for å påstå at fleire trenarar blir sparka no enn før? Bruk eit signifikansnivå på 5 %.

Ein butikk sel kremfløyte i kartongar. Kvar kartong skal innehalde ca. 0,33 L fløyte. I denne oppgåva tenker vi oss at innhaldet i kartongane er normalfordelt med forventningsverdi 0,33 L og standardavvik på 0,03 L.

d) Kva må forventningsverdien vere for å få dette til?

a) Kva er sannsynet for at ein tilfeldig vald kartong inneheld meir enn 0,35 L? b) Kor mange prosent av kartongane vil innehalde mellom 0,31 L og 0,35 L? I ein kontroll inneheldt 25 tilfeldige kartongar gjennomsnittleg 0,292 L fløyte. c) Sett opp hypotesar og vurder om det i gjennomsnitt blir fylt for lite fløyte på kartongane. Bruk eit signifikansnivå på 5 %. Leverandøren synest det er uheldig at så mange kundar får for lite fløyte i kartongane. Dei kan ikkje gjere noko med standardavviket, sidan det er bestemt av produksjonsutstyret. Likevel ønsker dei at ca. 90 % av alle kartongane skal innehalde meir enn 0,32 L fløyte. Dette kan dei få til ved å i gjennomsnitt fylle meir fløyte på kvar kartong.

Oppgåve 6.232

Oppgåve 6.230 I denne oppgåva skal vi sjå på levetida til vaskemaskinar. Vi antar at levetida er tilnærma normalfordelt med ein forventningsverdi 12 år og eit standardavvik 2 år. Vi har ein mistanke om at eit bestemt merke har ei levetid som er noko kortare enn 12 år. Vi vil undersøke saka nærmare og testar levetida til 16 tilfeldig valde vaskemaskinar av dette merket. Tabellen viser 12,510,913,21210,48,412,510,810,211,512,413resultata.7,68,510,511,6

6 | NORMALFORDELING OG STATISTIKK410s

5) Avgjer kva for eitt signifikansnivå som skal brukast.

b) Finn sannsynet for at nøyaktig 8 av kassane inneheld eple.

a) Finn eit uttrykk for sannsynet P(Xx)

c) Finn forventningsverdien og standardavviket til X. Tom Aten vil gjerne kjøpe frukta til A. Gurken, men han må da vite kor mange kilogram frukt det er i kvar kasse. Gurken vil ikkje seie noko om det, men Tom plukkar tilfeldig 20 kassar med frukt og veg dei. Her er resultatet målt i Tom19,719,119,519,719,320,419,120,520,019,419,619,418,919,219,419,419,518,618,919,2kilogram:reknarmedatvektaperkasseernormalfordelt.

4) Bestem kva for fordeling testobservator som skal brukast.

Oppgåve 6.301 Klassen skal undersøke innhaldet i ei halvliterflaske med brus, og kvar elev i gruppa kjøper ei flaske. Vi antar at innhaldet i ei flaske er normalfordelt med forventningsverdien og standardavviket

3) Bestem så kva for testobservator de skal bruke. (Vink: X er sikkert eit godt alternativ.)

Gurken får besøk av sin gode venn Tom Aten. Tom plukkar tilfeldig 20 kassar med frukt utan å vite kva for frukt som er i kassane. La X vere talet på kassar med eple blant dei 20 kassane.

6 | NORMALFORDELING OG STATISTIKK 411 s

2) Vurder så om talet på brusflasker som skal undersøkast, er stort nok, om de skal halde dykk til eitt bryggeri og til éin type brus, eller om de skal kjøpe varer frå fleire bryggeri og bruke fleire typar brus. Antalet flasker bør vere minst 30.

OPNE OPPGÅVER Oppgåve 6.300 A. Gurken har plukka frukt i kassar som alle skal innehalde like mange kilogram frukt. Det er svært mange kassar. 40 % av kassane inneheld eple, 35 % av kassane inneheld pærer, og 25 % av kassane inneheld plommer.

d) Bruk det du veit om statistikk til å fortelje mest mogleg om fruktmengda i alle kassane. Bruk standardavviket i datamengda som standardavvik i fordelinga. e) Gurken trudde at det i gjennomsnitt skulle vere 20 kg frukt i kassane, men han lurer no på om det er for lite. Bruk datamengda ovanfor og det du veit om statistikk til å finne ut om han har grunn til å tvile.

1) Bestem kva som skal undersøkast, dvs. kva som skal vere hypotese, og kva som skal vere mothypotese.

6) Avgjer om nullhypotesen skal forkastast eller godtakast.