Sinus S2 (LK20) Utdrag by Cappelen Damm

Sinus S2 MATEMATIKK STUDIEFORBEREDENDE VG3 BOKMÅL Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Oppgavedel: Adobe Stock / araho Side 142: bookofproofs (CC BY-SA 4.0) Side 181: GettyImages / Juanmonino Side 225: GettyImages / RomoloTavani Side 373: GettyImages / sirup Side 381: GettyImages / blueringmedia Side 394: GettyImages / malerapaso

Foto og grafikk:Bildene er Omslagsfoto:fargemanipulert.AdobeStock/ nuchao Kapittel 1: Unsplash / Faris Mohammed Kapittel 2: GettyImages / GibsonPictures Kapittel 3: Unsplash.com / CJ Dayrit Kapittel 4: AdobeStock / tawatchai1990 Kapittel 5: AdobeStock / juliasudnitskaya Kapittel 6: AdobeStock / MarekPhotoDesign.com

er omfattet av åndsverklovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarfremstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov eller tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Utnyttelse i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndragning, og kan straffes med bøter eller fengsel. Grafisk formgiver: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihåndstegninger: Per Ragnar Møkleby Tekniske tegninger: Terje Sundby, Keops Redaktør: Bjørn-Terje Smestad Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Utgave nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-74057-3

Helt til slutt i boka kommer fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevene lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når de støter på ukjente ord og uttrykk.

Når elevene skal i gang med et nytt tema, inneholder boka ofte utforskende opplegg der elevene skal finne ut egenskaper og regler før det blir behandlet i boka. Men teorien er skrevet slik at det likevel er mulig å lese den uten å gjøre de utforskende oppleggene. Utforskoppleggene er best egnet som gruppearbeid, men de kan også gjøres enkeltvis. I teoridelen er det en del diskusjonsoppgaver der elever får trening i å kommunisere matematikk.

ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen s

Forord Sinus er et matematikkverk for den videregående skolen, utviklet etter læreplanene fra 2020. Læreboka Sinus S2 er skrevet for programfaget S2 i de studieforberedende utdanningsprogrammene. I boka blir elevene godt kjent med matematisk tankegang, og de lærer å anvende matematikk innen økonomi og samfunnsfag. Elevene får god trening i å løse oppgaver uten og med bruk av digitale hjelpemiddel. De lærer å bruke programmet GeoGebra og programmeringsspråket Python. I kapittel 1 lærer elevene om følger og rekker. Kapittel 2 handler om derivasjon. I kapittel 3 og 4 arbeider elevene med integrasjon og matematiske modeller. Der bruker de stoffet i kapittel 1 som grunnlag for integralregningen. I kapittel 5 lærer elevene om sannsynlighetsfordelinger for diskrete stokastiske variabler. I kapittel 6 lærer de om kontinuerlige stokastiske variabler og om hypotesetesting.

Til slutt i hvert kapittel finner elevene et sammendrag av viktige regler og metoder i kapitlet. Der finner vi også en større prosjektoppgave. I noen av disse prosjektoppgavene får elevene bruke stoffet i kapitlet innenfor andre fagfelt. I andre oppgaver får elevene lære ny og spennende matematikk. Alle kapitlene blir avsluttet med et oppgavesett som er egnet til repetisjon av kapitlet. I boka er det i tillegg en oppgavedel. Oppgavestoffet er delt i tre deler. Den første delen heter «Øv mer». Her er oppgavene ordnet etter delkapitlene i teoridelen.

Den andre delen heter «Blandede oppgaver». Her er det oppgaver som skal løses både uten og med digitale hjelpemiddel. Noen ganger står det i oppgaven om elevene skal bruke hjelpemiddel eller ikke. I andre oppgaver står eleven fritt til å velge metode. I denne delen er det lagt inn merker som viser hvilke oppgaver eleven kan løse når eleven er ferdig med et delkapittel. Den tredje delen heter «Åpne oppgaver». Her er det åpne og utforskende oppgaver som kan være mer krevende enn dem i «Blandede oppgaver».

Til verket hører også et nettsted: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mye tilleggsstoff. Blant annet inneholder nettstedet mange interaktive oppgaver som er ordnet etter delkapitlene i boka. Nettstedet er fritt tilgjengelig for alle.

I arbeidet med å få fram best mulige bøker er det viktig å ha god kontakt med brukerne av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldinger om feil eller ønsker om forandringer. Forfatterne vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

4s 1InnholdFølger og rekker 6 1.1 Tallfølger 8 1.2 Rekker 14 1.3 Aritmetiske følger 19 1.4 Aritmetiske rekker 22 1.5 Serielån 25 1.6 Geometriske følger 32 1.7 Geometriske rekker 36 1.8 Nåverdi og annuitetslån 42 1.9 Uendelige rekker ............................................................ 51 Sammendrag 56 Prosjektoppgave: Følger uten formler 58 Repetisjonsoppgaver 60 2 Derivasjon 62 2.1 Den deriverte 63 2.2 Kjerneregelen 67 2.3 Funksjonen f (x) = ln x 71 2.4 Derivasjon av et produkt ................................................... 73 2.5 Derivasjon av rasjonale funksjoner ...................................... 76 2.6 Drøfting av logaritme- og eksponentialfunksjoner .................... 80 2.7 Grensekostnad og grenseinntekt ......................................... 86 2.8 Enhetskostnad ............................................................... 91 Sammendrag ................................................................. 98 Prosjektoppgave: Lineær regresjon ....................................... 100 Repetisjonsoppgaver 104 3 Integrasjon .................................................................. 106 3.1 Ubestemt integral ........................................................... 108 3.2 Et spesielt integral ........................................................... 112 3.3 Integrasjon av eksponentialfunksjoner .................................. 114 3.4 Bestemt integral som grense for en sum ................................. 119 3.5 Fundamentalsetningen 128 3.6 Å finne areal ved regning 131 3.7 Å finne areal mellom to grafer 137 Sammendrag 140 Prosjektoppgave: Gini-koeffisienter ...................................... 142 Repetisjonsoppgaver ....................................................... 144 4 Modeller og metoder ..................................................... 146 4.1 Samlet resultat 148 4.2 Eksponentielle modeller 152 4.3 Logistisk vekst 157 4.4 Vekstfarten ved logistisk vekst 163

5 s 4.5 Variabelskifte 167 4.6 Delvis integrasjon 170 4.7 Delbrøkoppspalting 174 Sammendrag 179 Prosjektoppgave: Toll på import 180 Repetisjonsoppgaver 182 5 Sannsynlighetsfordelinger 184 5.1 Stokastiske variabler 185 5.2 Binomisk fordeling 191 5.3 Hypergeometriske fordelinger 196 5.4 Forventningsverdi 201 5.5 Varians og standardavvik 207 5.6 Regneregler for stokastiske variabler 213 5.7 Forventning og varians i en binomisk fordeling 219 Sammendrag 222 Prosjektoppgave: Kostnadseffektive tester 224 Repetisjonsoppgaver 226 6 Normalfordeling og statistikk 228 6.1 Kontinuerlige stokastiske variabler 229 6.2 Normalfordelingen 235 6.3 Standard normalfordeling 240 6.4 Binomisk fordeling og normalfordeling 246 6.5 Sentralgrensesetningen .................................................... 253 6.6 Gjennomsnitt og normalfordeling ....................................... 257 6.7 Hypotesetesting i en binomisk modell ................................... 260 6.8 Hypotesetesting med normalfordeling .................................. 267 6.9 Hypotesetesting av forventningsverdier ................................. 270 Sammendrag ................................................................. 278 Prosjektoppgave: En modell for aksjekurser ............................ 280 Repetisjonsoppgaver 282 Oppgaver 284 1 Følger og rekker ........................................................... 285 2 Derivasjon 313 3 Integrasjon .................................................................. 335 4 Modeller og metoder 350 5 Sannsynlighetsfordelinger .............................................. 370 6 Normalfordeling og statistikk 389 Normalfordelingstabellen ........................................................... 414 Fasit teoridel 416 Fasit oppgavedel ...................................................................... 427 Stikkord 447

Mål for opplæringen er at eleven skal kunne egenskaper ved ulike rekker og gjøre rede for praktiske anvendelser av egenskaper ved rekker rekursive sammenhenger ved å bruke programmering og presentere egne

OGFØLGERREKKER

framgangsmåter

•utforske

71.1 TALLFØLGER s UTFORSK FIGURTALL STEG 1 Når vi kvadrerer et naturlig tall, får vi et kvadrattall De seks minste kvadrattallene er 1,4,9,16,25 og 36. Kvadrattall nr. n kaller vi K n. Det er gitt ved formelen Knn 2 En slik formel som gir tall nr. n direkte, kaller vi en eksplisitt formel. Kvadrattallene kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten: K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9 K4 = 16 Vi ser for eksempel at kvadrattall nr. 4 danner et kvadrat med 4 kuler i hver retning. Tall vi får ved å sette sammen figurer etter et system, kaller vi figurtall. Kvadrattallene ovenfor er dermed et eksempel på figurtall.

a) Finn rektangeltallene R4 og R8.

b) Forklar at K3 K2 2 2 1, og at K4 K3 2 3 1.

d) Finn en rekursiv formel for R n uttrykt med R n 1 for n 1. e) Bruk den rekursive formelen til å finne R4 og R8.

d) Bruk den rekursive formelen i oppgave c til å finne K5, K6 og K10. STEG 2 Nå skal vi se på noen figurtall som vi kan kalle rektangeltall. Her er de minste rektangeltallene: R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12

b) Finn en eksplisitt formel for rektangeltallet R n.

c) Tallet 870 er et rektangeltall. Hvilket nummer har det?

a) Bruk den eksplisitte formelen for K n til å finne K5, K6 og K10.

c) Forklar at K n 1 K n 2 n 1, når n 1. Formelen i oppgave c kaller vi en rekursiv formel for kvadrattallene. Når vi kjenner et kvadrattall, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke en slik rekursiv formel, må vi kjenne ett av tallene. Her vet vi at K1 1.

8 1 | FØLGER OG REKKERs STEG 3 Nå skal vi se på tall som vi kaller trekanttall. Her er de minste trekanttallene: T2 = 3T1 = 1 T3 = 6 T4 = 10 a) Finn trekanttallene T5 og T6. b) Finn en rekursiv formel for trekanttallet T n uttrykt med T n 1 for n 1. c) Sammenlikn trekanttallene og rektangeltallene, og bruk formelen du fant i steg 2b, til å vise at trekanttall nr. n er gitt ved formelen Tnn n ()12 d) Finn nummeret til trekanttallet 820. e) Se på summen av to trekanttall som følger etter hverandre. Hvilken regel ser ut til å gjelde? Vis at regelen din er riktig både ut fra kulene og ved regning. 1.1 Tallfølger Vi tar utgangspunkt i tallet 2 og dobler det. Deretter dobler vi svaret. Slik holder vi på og får disse tallene: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, … Dette er et eksempel på en tallfølge eller en følge. Forskjellen på en tallfølge og en tallmengde er at i en tallfølge har rekkefølgen av tallene betydning. Tallene er nummererte i rekkefølgen de står i. I en tallmengde er rekkefølgen uten Tallenebetydning.ien tallfølge kaller vi ledd. Ofte kaller vi det første leddet a1, det andre leddet a2 osv. I tallfølgen ovenfor er a1 2, a2 4, a3 8, a4 16, …

91.1 TALLFØLGER s EKSEMPELLØSNING Denne tallfølgen er bestemt ved at a1 2, og at a n 2 a n 1, når n 1. Dette er en rekursivformel for leddene i følgen. I en rekursiv formel er leddene bestemt av ett eller flere av leddene foran. Noen ganger kan i tillegg rekkenummeret Viinngå.legger merke til at i følgen på forrige side er a1 2, a2 22, a3 23, a4 24 osv. Ledd nr. n er gitt ved a n 2n Dette er en eksplisittformel for ledd nr. n. Med den kan vi finne ledd nr. 10 direkte: a10 210 1024. Når vi i denne boka skriver ‘en formel for ledd nr. n’, mener vi alltid en eksplisitt formel. DISKUTER Vil dere bruke den rekursive eller den eksplisitte formelen for å finne a100 i følgen ovenfor? I en tallfølge er det første leddet a1 2. For alle naturlige tall n 1 er leddene gitt den rekursive formelen a n 3 a n 1 a) Finn de fem første leddene i tallfølgen. b) Finn en eksplisitt formel for ledd nr. n. c) Finn ledd nr. 15. a) Vi vet at det første leddet er a1 2. I formelen aa nn 3 1 velger vi n 2 for å finne det andre leddet. Det gir aaa 221133326 For å finne det tredje leddet setter vi n 3 a. aa 3312333618 Det fjerde og det femte leddet finner vi slik: aaa aaa 55144413333185433354162 De fem første leddene i tallfølgen er 2, 6, 18, 54 og 162.

68 2 | DERIVASJONs EKSEMPELLØSNING Deriver funksjonene ved hjelp av kjerneregelen. a) fxx () 2 4 1 b) fxx () 21 3 c) fxe x() 2 1 d) fxx () 211 a) Vi setter kjernen u(x) x 2 1. Da er fxxux ()()24 4 1 . Den ytre funksjonen er g(x) = x4. Da er fxgux ()() . Videre er gxxx () 434 , og uxx ()2 . Kjerneregelen gir fxguxuxuxuxxxxx ()()()()()4412813232 3 Med litt trening gjør vi dette uten å bruke u(x). Da gjør vi det slik: fxxxxxxxx () 2 4 2 3 22 3 2 3 141141281 b) Her velger vi kjerne u(x) 2x 1 og ytre funksjon gxx () 3. Da er gxx ()3 2 og ux()2. Det gir fxguxuxuxuxxx ()(())()()()33212621222 Som oftest gjør vi dette slik: fxxxxxx 213212132126213222 c) Nå setter vi uxx () 2 1 og gxe x() . Da er uxx ()2 og gxe x() . fxguxuxeuxexxe uxxx()()()()() 221122 Med litt trening gjør vi det slik: fxeexexxe xxxx() 22 2 211 2 12211 d) Med u(x) 2x 1 og gxx () 1 blir fxgux ()() . Ettersom ux()2 og gxx () 12 , blir fxguxuxuxuxxx ()(())() ()11()21 2 222212 I praksis gjør vi det slik: fxxxxxx () 211 211 21 211 2 222212

692.2 KJERNEREGELEN s EKSEMPELLØSNING OPPGAVE 2.21 Deriver funksjonene. a) fxx () 23 3 b) fxx () 2 2 1 c) fxex () 23 d) fxx () 23 e) fxx () 1 12 Når vi skal derivere en sum av flere ledd der leddene er sammensatte funksjoner, må vi kunne derivere uten å bruke u(x). Deriver funksjonen gitt ved fxxx () 2 2 3 123 fxxx xxxx () 2 2 3 22 2 21234129221132323123341641292222 xxxx xxxx 44247254442476543232 xxxx xxx OPPGAVE 2.22 Deriver funksjonene. a) fxxx () 521 4 b) gxx () 322 2 c) hxxx () 31332 4 OPPGAVE 2.23 Deriver funksjonene. a) fxxx () 2 2 112 b) fxxx () 1 3 212 ??

70 2 | DERIVASJONs BEVIS Bevis for kjerneregelen. Vi skal finne fx() når fxgux ()() Vi forutsetter at g og u er deriverbare og dermed kontinuerlige funksjoner. Videre forutsetter vi at ux()0 . Da er uxxux ()() 0 når Δx er nær 0. fxfxxfx x guxxguxxx x ()lim ()() lim ()() limm00 ()() ()() () () xguxxguxxuxuxxux xuxlim0 ()()()() ()()xguxxguxuxxuxuxxux xlim0 ()()()() lim () xx guxxguxuxxuxuxxu00 ()(xx Ovenfor multipliserte vi med uxxux ()() i telleren og i nevneren. Deretter brukte vi en grenseverdisetning. Nå setter vi tu(x) og tuxxux ()() Da er uxxuxtttEttersom()() u er kontinuerlig, nærmer uxx() seg u(x) når Δx 0. Dermed nærmer Δt seg 0 når Δx 0. Vi setter inn i uttrykket ovenfor og får fxgttgttuxxuxtxx ()lim ()() lim ()() 00 Etter definisjonen av derivert er den første grenseverdien lik gt(), og den andre er lik ux(). Dermed er fxgtux guxux ()()()()()

71 s2.3 FUNKSJONEN f ( x )=ln x 2.3 Funksjonen f (x)=ln x Nå skal vi studere logaritmefunksjonen fxx ()ln . Om denne funksjonen vet vi blant annet at f fee Ettersom()ln()ln1101ln x bare er definert for x 0, er definisjonsmengden Df Funksjonen0, har denne grafen: 3421 y x f (x) = lnx (e, 1) 2 –3–2–1–4–5 4567891013 (1, 0) Vi kan vise at grafen til f er kontinuerlig og at grafen dermed er sammenhengende for alle xDf . Vi kan også vise at ln x når x og at ln x når x 0 . Dermed er verdimengden V f , og linja x 0 (y-aksen) er en vertikal asymptote for logaritmefunksjonen. Nå skal vi bestemme ln x og ser på den sammensatte funksjonen gxex () ln . Vi vet at ex xln . Dermed er gxx () , og da er gx()1. Men ifølge kjerneregelen er gxeexxx xx ()lnlnlnln Da må xx xx ln ln 1 1 Ettersom ln x bare er definert når x 0, er da fxx () 1 0 for alle xDf . Funksjonen er dermed voksende i hele definisjonsmengden.

gir stigningstallet til tangenten i punktet x, K(x) . Med x 300 blir stigningstallet til tangenten K (),3000230050110 Det kan vi kontrollere i GeoGebra ved å skrive Tangent(300, K). Etter at vi har tatt bort den linja vi hadde fra før, får vi resultatet nedenfor. Tangenten har likningen y 110x 21000. Stigningstallet er altså lik grensekostnaden 110.

Vi trekker ei linje gjennom origo og punktet. Også for linja velger vi Verdi i stedet for Navn. Nå drar vi i punktet på grafen til vi ser at stigningstallet for linja er minst mulig. Vi fikk resultatet nederst på forrige side. Enhetskostnaden er minst når vi produserer ca. 548 enheter per dag. Enhetskostnaden er da 159,54 kr.

Ut fra figuren ser det ut som om enhetskostnaden er lavest når linja gjennom origo er en tangent for grafen. Det forklarer vi nå. Grensekostnaden Kxx(),0250

Fra side 91 vet vi at enhetskostnaden er lavest når grensekostnaden er lik enhetskostnaden. Men ettersom enhetskostnaden er stigningstallet til linja gjennom origo, må tangenten gå gjennom origo når enhetskostnaden er lavest. Dermed kan vi finne den laveste enhetskostnaden i GeoGebra på denne måten: Vi skriver Tangent(A, K) der A er navnet på det fritt valgte punktet på grafen. Deretter drar vi i punktet slik at vi får tangenten til å skjære y-aksen nærmest mulig origo. Av figuren øverst på neste side ser vi at enhetskostnaden er lavest når vi produserer ca. 548 enheter per dag. Enhetskostnaden er da 159,55 kr. Det stemmer godt med det vi fant foran.

96 2 | DERIVASJONs

OPPGAVE

a) Finn digitalt den laveste enhetskostnaden ved å trekke linjer gjennom origo. Finn digitalt den produksjonsmengden som gir den laveste enhetskostnaden, ved å trekke tangenter til grafen. Hvor stor er enhetskostnaden da? Sammenlikn med oppgave 2.80h.

Kxxxx (),,,0058018000010002

972.8 ENHETSKOSTNAD s La K være kostnadsfunksjonen ved en produksjon. Enhetskostnaden er lavest for den produksjonsmengden x som er slik at tangenten til grafen i punktet x, K(x) går gjennom origo. OPPGAVE 2.82 Ved en produksjon er kostnaden i kroner per dag når det blir produsert x enheter per dag, gitt ved Kxxxx (),,,055080001002

Når

98s 2 | DERIVASJON SAMMENDRAG Derivasjon Den deriverte til en funksjon f er gitt ved fafaxfa xx ()lim ()() 0 Derivasjonsregler xrx rr 1 uxvxuxvx kuxkuxk ()()()()()(),deren konstantt Logaritmefunksjonen ln x Logaritmefunksjonen fxx ()ln er voksende og kontinuerlig med definisjonsmengde Df 0, og verdimengde V f . Videre er fxx () 1 Eksponentialfunksjonen ex Eksponentialfunksjonen fxe x() er voksende og kontinuerlig med definisjonsmengde Df og verdimengde V f 0, . Videre er fxe x() Derivasjon av ax aaa xx ln Kjerneregelen Hvis fxgux ()() , så er fxguxux ()()()

Overskudd La K(x) være kostnaden ved produksjon av x enheter og I(x) inntekten ved salg av x enheter. Hvis vi selger alle enhetene vi produserer, er overskuddet gitt ved O(x) I(x) K(x) Overskuddet er størst når grenseinntekten er lik grensekostnaden.

Enhetskostnad La K(x) være kostnaden ved produksjon av x enheter av et produkt. Da er enhetskostnaden ExKx x () () Vi finner den minste verdien for enhetskostnaden i det punktet der enhetskostnaden er lik grensekostnaden. Da vil tangenten til K i punktet x, K(x) gå gjennom origo.

La I (x) være inntekten ved salg av x enheter av et produkt. Grenseinntekten ved salg av x enheter er da lik Ix(). Grenseinntekten forteller hvor mye inntekten øker når vi øker salget med én enhet fra x til x 1.

Grenseinntekt

99 sSAMMENDRAG

Produktregelen uvuvuv Kvotientregelen u vuvuv v 2 Grensekostnad La K(x) være kostnaden ved produksjon av x enheter av et produkt. Grensekostnaden ved produksjon av x enheter er da lik Kx(). Grensekostnaden forteller omtrent hvor mye kostnaden K(x) øker når vi øker produksjonen med én enhet fra x til x 1.

TESTER Du har vært hos legen og tatt en blodprøve for å undersøke om du har en sykdom. Prøven blir sendt til et laboratorium. Der blandes den kanskje med blodprøvene fra andre personer! Det høres kanskje skummelt, men en testmetode bygd på sannsynlighetsregning gjør dette til en kostnadseffektiv måte å avsløre sykdom.

s 224 5 | SANNSYNLIGHETS FORDELINGER

Vi antar at det koster 40 kr å dele en test i to. Når vi tester i to faser, blir den totale kostnaden enten 550 kr eller 2050 kr avhengig av om testen av blandingsprøven gir negativt eller positivt resultat. Antar vi at 5 % av personene vi tester har sykdommen, er sjansen 60 % for at vi slipper unna med en kostnad 550 kr. Den forventede kostnaden blir 1152 kr – det er en besparelse på 23 % fra den enkle metoden med å teste alle prøver.

Biologiske begrensninger Ikke alle typer tester kan gjøres på denne måten. Testen må være binær – måling av konsentrasjonen av et stoff er for eksempel ikke egnet for denne type testing. Vi må også være sikre på at det å blande prøver fra flere personer ikke gjør at testen kan gi galt resultat. Testing samleprøveav Test prøverAlleferdig10testesindividueltNegativPositiv

KOSTNADSEFFEKTIVE

Vi antar at det koster 150 kr å gjøre en test. Da vil den enkle metoden med å teste 10 prøver hver for seg koste 1500 kr.

Testing av alle prøver Vi tenker oss at vi skal teste mange prøver for en bestemt sykdom. Testen er binær – utfallet er enten positivt eller negativt. Vi tester alle prøvene hver for seg. Ved å gjøre én test for hver prøve, får vi korrekte resultater for alle prøvene. Testing i to faser Vi kan imidlertid gjøre det på en smartere måte. Først deler vi alle prøvene i grupper på 10 og 10. I hver gruppe deler vi hver av de 10 prøvene i to. Så blander vi én del fra hver av de 10 prøvene til en stor prøve og tester Hvisdenne.testen er negativ, vet vi at alle de 10 prøvene er negative, og det har vi funnet ut ved å bare gjøre én test. Hvis testen er positiv, går vi tilbake til den enkle metoden og tester den andre delen av hver av de 10 prøvene. Da får vi riktige resultater for prisen av 1+10=11 tester, men i tillegg kommer kostnadene ved først å separere de 10 prøvene. Antakelser og utregninger

s225KOSTNADSEFFEKTIVE TESTER PROSJEKTOPPGAVE 1 I artikkelen presenteres flere tall uten utregning. Forklar hvordan man med antakelsene har regnet ut disse tallene: 1) 550 kr og 2050 kr 2) 60 % 3) Hvilke1152 krantakelser må vi gjøre? PROSJEKTOPPGAVE 2 I artikkelen ble prøvene delt i grupper med 10 prøver. Hva blir den forventede kostnaden hvis vi i stedet grupperer prøvene med 5 per gruppe? 20 per gruppe? Hvilken gruppestørrelse er mest kostnadseffektiv? PROSJEKTOPPGAVE 3 Lag et program med Python, regneark eller GeoGebra hvor vi kan endre prisen per test, prisen for å dele en prøve, sannsynligheten for at en person som testes har sykdommen og gruppestørrelsen. Programmet skal gi informasjon om det er lønnsomt å bruke metoden med to faser, og også hvor mange prosent vi eventuelt Bruksparer.programmet til å finne optimal gruppestørrelse når det koster 200 kr å gjøre en test, 25 kr å dele en test og 2 % av personene som testes har sykdommen vi tester for. Kan du si noe om når det lønner seg å dele prøvene i store grupper og i små grupper og når det lønner seg å bruke den enkle metoden?

c) Utvid tabellen med en kolonne som viser P(Xa) for a 0, 1, 2 og 3

b) Sett opp en tabell som viser sannsynlighetsfordelingen til X.

a) Finn P(X 5). b) Finn P(X 5) c) Lag et program som skriver ut P(Xa) og P(Xa) for a 1, 2, …, 20. d) Hvor mange personer må vi spørre for at sannsynligheten for at ingen har blitt friske skal være minst 90 %?

d) Finn P(X 2) og P(X 1) Skriv med ord hva du har funnet. e) Regn ut forventningsverdien og variansen til X.

Oppgave 4 Firmaet «Full rulle» skifter dekk på biler. En spørreundersøkelse viser at 85 % av kundene er fornøyde med jobben de gjør. Firmaet trekker tilfeldig ut 20 kunder som de har skiftet dekk for. Bestem x slik at sannsynligheten for at minst x kunder blir fornøyde, er større enn 0,95. Løs oppgaven digitalt. Oppgave 5 En farmasøytisk bedrift har utviklet et nytt medikament. De hevder at 85 % av pasientene som bruker medikamentet blir friske. Det gjennomføres en spørreundersøkelse av pasienter som har brukt medikamentet, og den avsluttes med en gang noen svarer at de ikke har blitt friske. La X være antallet som blir spurt.

a) Hva kalles denne typen forsøk?

Oppgave 6 I ei eske ligger det fire røde og seks blå kuler. Vi trekker tre kuler uten tilbakelegging. La X være antall røde kuler av de tre.

226 5 | SANNSYNLIGHETS FORDELINGERs REPETISJONSOPPGAVER Oppgave 1 Guri er glassblåser og lager noen spesielle vinglass. Det forekommer ofte skjønnhetsfeil på glassene som Guri lager. La X være tallet på skjønnhetsfeil på et tilfeldig valgt glass. Da er sannsynlighetsfordelingen for X gitt ved denne tabellen: X 0123 P(Xx)0,500,250,200,05 a) Finn PX()2. b) Finn forventningsverdien og standardavviket for X. Oppgave 2 Sannsynlighetsfordelingen for en stokastisk variabel X er gitt ved denne tabellen: x 0123 P(Xx)0,120,220,40 p a) Bestem p i tabellen. b) Regn ut E(X) og Var(X). c) Finn P(X 1). d) La Y ha samme fordeling som X og gå ut fra at X og Y er uavhengige. La ZXY Finn E(Z) og Var(Z). Oppgave 3 I en stor kurv ligger det 200 valnøtter. 20 % av nøttene er råtne. Vi trekker tilfeldig 20 nøtter og lar X være tallet på råtne nøtter i uttrekket. a) Finn forventningsverdien og standardavviket for X. b) Finn PX().4 c) Finn PX().

b) Finn variansen Var(X). Arrangøren får tilbakemelding på at premien for å trekke kule nr. 36 er for lav. De bestemmer seg derfor for å øke prisen til 10 kr for å spille.

Oppgave 7 I et spill ligger det 36 kuler i en bolle. Kulene er nummerert fra 1 til 36. Spillet har disse gevinstene:

Oppgave 9 Et bilfirma gir noe de kaller en totalgaranti på bilen. Det vil si at firmaet tar på seg ansvaret for at bilen blir reparert dersom den stopper langs veien. Delene må eieren selv betale. Totalgarantien blir gitt for ett år fra det tidspunktet bilen gjennomgår en grundig service på verkstedet. Sannsynligheten for stopp i løpet av et år setter vi til 0,15. Firmaet har 20 biler med denne garantien. La X være tallet på biler med totalgaranti som får stopp i løpet av et år. a) Finn forventningsverdien og standardavviket for X. b) Finn PX(). c) Finn PX()5. d) Finn PX()5. e) Finn PX() Oppgave 10 Mette jobber av og til i kiosken til Pelle Pirat. Timelønna blir fastsatt på denne måten: Hun kaster tre mynter og teller opp hvor mange av myntene som viser kron. La X være tallet på mynter som viser kron i kastet. Timelønna Y i kroner blir da Y 70 20 · X a) Skriv av og fyll ut tabellen, der er forventningsverdien for X. X 0123Sum P(Xx) xP(Xx) (x )2 P(Xx) b) Finn forventningsverdien for Y. c) Finn variansen til Y. d) Finn standardavviket for X og Y.

a) Finn forventningsverdien E(X). Hvor mye må arrangøren av lotteriet minst ta i betaling for hvert trekk av kule for å gå i overskudd hvis spillet gjennomføres svært mange ganger?

a) Hva kalles denne typen forsøk? Sett opp et uttrykk for P(Xa)

b) Lag en tabell over sannsynlighetsfordelingen. c) Lag et histogram over fordelingen.

• Hvis du trekker kula med tallet 36, vinner du 60 kr. La X være gevinsten på et tilfeldig trekk.

227

• Hvis du trekker ei kule med et av tallene 5, 10, 15 eller 20, vinner du 10 kr.

• Hvis du trekker ei kule med et av tallene 1, 11, 22 eller 33, vinner du 20 kr.

c) Hva blir nå den maksimale gevinsten på kule 36 hvis arrangøren ikke skal tape penger i det lange løp?

REPETISJONSOPPGAVER s

Oppgave 8 I ei eske ligger det ti kuler: fire røde og seks blå. Vi trekker tre kuler med tilbakelegging og lar X være antall røde kuler av de tre.

d) Regn ut forventningsverdien og variansen til X ved å bruke definisjonen. Kontroll deretter om svarene stemmer ved å bruke formlene EXnp () og Var()(). Xnpp 1

•OppgaveneOPPGAVERi

•De åpne oppgavene er ofte større og mer komplekse. Her får du blant annet trening i å jobbe med sammensatte tekster og uoppstilte problemer. Du må noen ganger lage problemstillinger som du undersøker ved hjelp av ulike strategier, som modellering, utforsking og programmering. Disse oppgavene legger til rette for å trene på å skrive matematiske tekster, og det er meningen at du skal bruke litt mer tid på dem. De åpne oppgavene har ikke alltid en fasit, og det kan være nyttig å diskutere både oppgavene og løsningene med andre.

ØV MER gir mer trening i grunnleggende regneteknikker fra hvert

i BLANDEDE OPPGAVER og ÅPNEOPPGAVER inneholder ofte stoff fra flere temaer. Det er lagt inn merker som viser hvilke oppgaver du skal kunne løse når du er ferdig med et delkapittel.

•Oppgavenedelkapittel.

•I blandede oppgaver er det oftest konkrete spørsmålsformuleringer, men du finner også oppgaver der du må vurdere egne og andres løsninger, samt flervalgsoppgaver.

b) Lag et program som skriver ut de åtte første leddene i følgen. c) Utvid programmet slik at det også regner ut summen av de åtte første leddene. Oppgave 1.112 Finn en eksplisitt formel for ledd nr. n i tallfølgen. a) 2, 4, 8, 16, 32, … b) 1, 4, 9, 16, 25, … Oppgave 1.113 Finn en eksplisitt formel for det generelle leddet i tallfølgen. a) 1, 14 , 91 , 161 , … b) 21 , 14 , 61 , 81 , … c) 1, 3, 5, 7, … d) 2, 23 , 34 , 45 , …

285 s1 | FØLGEROGREKKER 1 Oppgave 1.114 I en tallfølge er de to første leddene a1 2 og a2 4. Resten av leddene er gitt ved den rekursive formelen a n 2 a n 1 3 a n 2 Bruk formelen og skriv opp de fem første leddene i følgen. Oppgave 1.115 Tallene i tallfølgen 1, 3, 6, 10, 15, … kaller vi trekanttallene. Trekanttallene T4 og T3 a) Finn det sjette tallet i følgen. Kall trekanttallet i ledd nr. n for T n. b) Finn uttrykk for TT nn 1 og TT nn 1 når n >1. c) Bruk svarene i oppgave b til å finne en formel for T n uttrykt ved n. Oppgave 1.116 Studer de fire figurene nedenfor. Figur 1Figur 2Figur 3Figur 4 Finn en formel som viser hvor mange kuler a n vitrenger for å kunne lage figur nummer n. Følger og rekker ØV MER 1.1 TALLFØLGER Oppgave 1.110 I en følge er ledd nr. n gitt. Finn de fem første leddene i følgen. a) ann 2 2 b) ann 2 n c) a n = n n 1 Oppgave 1.111 I en tallfølge er det første leddet a1 4. Resten av leddene er gitt ved den rekursive formelen aa nn 3 21

a) Bruk formelen og finn ved regning de åtte første leddene i følgen.

1 | FØLGER OG REKKER286s Oppgave 1.117 Studer de tre figurene nedenfor. De er lagd etter et fast mønster. F3F2F1 a) Hvor mange kuler kommer det til å være på de to neste figurene? Forklar sammenhengen mellom figurene. b) Finn en formel som forteller hvor mange kuler F n det er på figur nr. n c) Finn nummeret til figuren som har 631 kuler. 1.2 REKKER Oppgave 1.120 En tallfølge er gitt ved formelen a n 2 3n der n = 1, 2, 3, … a) Finn summen av de tre første leddene ved regning. b) Bruk CAS til å finne summen av de seks første leddene. Oppgave 1.121 Leddene i ei rekke er gitt ved ann 2 4 der n 1, 2, 3, … a) Finn summen av de fem første leddene ved regning. b) Bruk CAS til å finne summen av de ti første leddene. Oppgave 1.122 Vi har gitt rekka 1 4 9 16 25 36 49 64 a) Finn summene s3, s5 og s8 i CAS. b) Bruk CAS til å finne summen av de n første leddene i denne rekka. c) Kontroller formelen for n 3, n 5 og n 8. d) Finn s25. Oppgave 1.123 Leddene i ei rekke er gitt ved ann n 11122() der n 1, 2, 3, … a) Regn ut s6. b) Vis at summen av de n første leddene er gitt ved sn n 1 11 ()2 c) Finn s99. Oppgave 1.124 Finn summen. 1 15 21 61 13 71 9961 10001 Oppgave 1.125 Finn digitalt summen av rekka. 200200108200108200108224,,..., Oppgave 1.126 Finn digitalt summen av rekka. 1 0,85 0,852 … 0,8599

1 | FØLGER OG REKKER 287 s

Oppgave 1.132 Vi har gitt tallfølgen 9, 14, 19, 24, …

b) Finn a10 og a20 c) Lag en formel for det n-te leddet. Oppgave 1.133

Løs

b) Hva kan du da si om følgen? Oppgave 1.134 Finn a1 og d i en aritmetisk følge når a) a2 25 og a3 20 b) a3 43 og a5 74 c) anan 1 2 og a3 8

Oppgave 1.135 Karianne vil trene armmusklene. Den første uka tar hun seks armhevinger hver dag. Den neste uka tar hun hver dag to armhevinger mer enn uka før.

a) Forklar at følgen er aritmetisk.

Hun vil så på tilsvarende måte øke antallet med to for hver uke.

a) Hvor mange armhevinger tar hun den sjette uka? b) Hun ønsker til slutt å klare tretti armhevinger hver dag på denne måten. Hvor lenge må hun holde på?

Oppgave 1.136 I en aritmetisk følge er det første leddet a1 12, og differansen d 3. Finn en formel for ledd nr. n. Oppgave 1.137 I en aritmetisk følge er det andre leddet a2 3, og det fjerde leddet er a4 4. Finn en formel for ledd nr. n Oppgave 1.138 I en aritmetisk følge er det første leddet a1 1, og det tredje leddet er a3 9. I en annen aritmetisk følge er det andre leddet b2 19 og det tiende leddet b10 23. ulikheten anbn. 1.4 ARITMETISKE REKKER Oppgave 1.140 Finn summen av de 20 første leddene i ei aritmetisk rekke når a) a1 2 og d 3 b) a1 36 og d 2 c) a1 3 og a2 7

1.3 ARITMETISKE FØLGER Oppgave 1.130 I en aritmetisk tallfølge er a1 5, a2 9 a) Finn a7 og a11. b) Finn en formel for ledd nr. n. Oppgave 1.131 Undersøk om følgen er aritmetisk, og finn i så fall differansen d. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16 b) 15, 11, 7, 3, 1, 5 c) 2, 4, 10, 18, 22 d) 1, 23 , 2, 25 , 3, 72

Leddene i en følge er gitt ved a n 5n 7 a) Vis at anan 1 5.

2 | DERIVASJON322s Oppgave 2.183 En fabrikk skal begynne å lage et nytt produkt og regner med at kostnaden K(x) i kroner ved å produsere x enheter per uke er gitt ved Kxxxx (),,,00460290008002 a) Finn funksjonsuttrykket E(x) for enhetskostnaden. b) Finn likningen for den skrå asymptoten til E. c) Finn et uttrykk for grensekostnaden. d) Framstill enhetskostnaden og grensekostnaden digitalt i det samme koordinatsystemet. e) Finn grafisk, i CAS og ved regning den produksjonsmengden som gir lavest enhetskostnad. Hvor stor er kostnaden da? f) Fabrikken selger produktet for 120 kr per stykk. Finn den produksjonsmengden som gir størst overskudd. Oppgave 2.184 En bedrift produserer komfyrer. Kostnaden i kroner ved produksjon av x komfyrer per uke er gitt ved Kxxx () 301200750002 a) Finn funksjonsuttrykket E(x) for enhetskostnaden. b) Hva er enhetskostnaden ved produksjon av 40 komfyrer? c) Hvilken produksjonsmengde gir lavest enhetskostnad? d) Noe seinere endrer produksjonskostnaden seg. Den laveste enhetskostnaden er da ved 60 enheter per uke, og kostnaden er Kxxxa () 3012002 Bestem konstanten a BLANDEDE OPPGAVER Oppgave 2.200 Deriver funksjonene. a) fxx () 41 3 b) gxx () 2 1 Oppgave 2.201 Deriver funksjonene. a) fx()ln 23 b) fxx ()ln 2 2 Oppgave 2.202 Antallet biller i en stamme er 4000. Veksten er 8 % per døgn. a) Sett opp et uttrykk for tallet på biller etter x døgn. b) Regn ut vekstfarten til billestammen om 5 døgn. Oppgave 2.203 Deriver uttrykkene. a) 1 xe x b) xex c) xex 22 Oppgave 2.204 Vi har gitt funksjonen fxxx () 3 a) Finn fx() ved hjelp av produktregelen. b) Finn fx() ved å skrive funksjonen som en potensfunksjon. Oppgave 2.205 En elev har derivert funksjonen fxxx ()ln23 i CAS og fått dette svaret: Er løsningen riktig? Kommenter.

2 | DERIVASJON 323 s Oppgave 2.206 Vi skal derivere funksjonen fxxx ()ln 2 Hvilken eller hvilke av disse løsningene er riktige? Kommenter hvilke feil som er gjort i de løsningene som ikke er riktige. 1) fxxx fxxxx xxx ()lnln()lnlnln222122 2) fxxx fxxxxx xx () ()lnlnlnlnln22212 1 2 3) fxxx fxxxxx x ()ln()lnln 2 2 2 2 1 1 2 2 4) fxxx fxxxxx x ()ln()lnln 2 2 12 1 2 22 Oppgave 2.207 En elev har derivert en funksjon og gjort denne utregningen: fxexxx x Hvilken()ln222funksjonkaneleven ha derivert? Oppgave 2.208 En elev skulle derivere funksjonen gxxxx Vurder()(ln)ln44disseløsningeneog kommenter eventuelle feil. 1) gxxxx gxxxxx ()(ln)ln()ln ln 441433414 4 2) gxxxx gxxxxx xx ()lnln()(ln)lnlnln43344414 1 4444 3) 4) ▲ 2.4 Oppgave 2.209 Deriver funksjonene. a) fxxe x() 2 b) fxxex() 22 c) gxxx () 2 2 Oppgave 2.210 Funksjonen f er gitt ved fxxeD xf(),628 Vis at fxxex () 23 4 2 82 Oppgave 2.211 Funksjonen f er gitt ved fxxx () lnln 1 a) Hva er definisjonsmengden til f ? b) Vis at fxxx () ln1 2 gxxxx gxxxxxx xx ()(ln)ln()(ln)ln(ln)43441414 1 4 33 44lngxxxxx gxxxxxx xx ()lnln()(ln)lnln433441414 1 4 4lln x 4

d) Hva er den lengste gjennomsnittlige levetida vi kunne ha målt for disse 16 vaskemaskinene for å kunne hevde at levetida er kortere enn 12 år? Oppgave 6.231 Det viser seg at idrettstrenere oftere blir «sparket» fra sine jobber enn andre yrkesgrupper. En undersøkelse fra noen år tilbake viste at 20 % av fotballtrenerne ble «sparket», mens altså 80 % sluttet på «normal måte». Enkelte påstår at prosentandelen som blir «sparket», har steget de siste årene. Vi plukker ut tilfeldig 50 fotballtrenere som har sluttet. Av disse ble 14 «sparket», mens 36 sluttet på «vanlig måte». Gir disse tallene grunnlag for å påstå at flere trenere blir sparket nå enn før?

I en kontroll inneholdt 25 tilfeldige kartonger gjennomsnittlig 0,292 L fløte.

syns det er uheldig at så mange kunder får for lite fløte i kartongene. De kan ikke gjøre noe med standardavviket, siden det er bestemt av produksjonsutstyret. Likevel ønsker de at ca. 90 % av alle kartongene skal inneholde mer enn 0,32 L fløte. Dette kan de få til ved å i gjennomsnitt fylle mer fløte på hver kartong.

Vi har en mistanke om at et bestemt merke har en levetid som er noe kortere enn 12 år. Vi vil undersøke saken nærmere og tester levetida til 16 tilfeldig valgte vaskemaskiner av dette merket. Tabellen viser 12,510,913,21210,48,412,510,810,211,512,413resultatene.7,68,510,511,6

c) Sett opp hypoteser og vurder om det i gjennomsnitt fylles for lite fløte på kartongene. Bruk et signifikansnivå på Leverandøren5 %.

d) Hva må forventningsverdien være for å få dette til?

b) Hvor mange prosent av kartongene vil inneholde mellom 0,31 L og 0,35 L?

c) Er det grunnlag for å hevde at en vaskemaskin av dette merket har en levetid som er mindre enn 12 år? Bruk signifikansnivå 0,05.

a) Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt kartong inneholder mer enn 0,35 L?

Bruk et signifikansnivå på 5 %. Oppgave 6.232 En butikk selger kremfløte i kartonger. Hver kartong skal inneholde ca. 0,33 L fløte. I denne oppgaven tenker vi oss at innholdet i kartongene er normalfordelt med forventningsverdi 0,33 L og standardavvik på 0,03 L.

6 | NORMALFORDELING OG STATISTIKK410s

Oppgave 6.230 I denne oppgaven skal vi se på levetida til vaskemaskiner. Vi antar at levetida er tilnærmet normalfordelt med en forventningsverdi 12 år og et standardavvik 2 år.

a) La X være levetida til en tilfeldig valgt vaskemaskin av dette merket. Bruk tabellen og finn gjennomsnittet X og standardavviket X . b) Lag en hypotesetest og finn P-verdien.

6 | NORMALFORDELING OG STATISTIKK 411 s

b) Finn sannsynligheten for at nøyaktig 8 av kassene inneholder epler.

5) Avgjør hvilket signifikansnivå som skal brukes.

6) Avgjør om nullhypotesen skal forkastes eller godtas.

Oppgave 6.301 Klassen skal undersøke innholdet i ei halvliterflaske med brus, og hver elev i gruppa kjøper ei flaske. Vi antar at innholdet i ei flaske er normalfordelt med forventningsverdien og standardavviket

1) Bestem hva som skal undersøkes, dvs. hva som skal være hypotese, og hva som skal være mothypotese.

d) Bruk det du vet om statistikk til å fortelle mest mulig om fruktmengden i alle kassene. Bruk standardavviket i datamengden som standardavvik i fordelingen. e) Gurken trodde at det i gjennomsnitt skulle være 20 kg frukt i kassene, men han lurer nå på om det er for lite. Bruk datamengden ovenfor og det du vet om statistikk til å finne ut om han har grunn til å tvile.

a) Finn et uttrykk for sannsynligheten P(Xx)

2) Vurder så om tallet på brusflasker som skal undersøkes, er stort nok, om dere skal holde dere til ett bryggeri og til én type brus, eller om der skal kjøpe varer fra flere bryggerier og bruke flere typer brus. Antallet flasker bør være minst 30.

3) Bestem så hvilken testobservator dere skal bruke. (Vink: X er sikkert et godt alternativ.)

4) Bestem hvilken fordeling testobservator som skal brukes.

ÅPNE OPPGAVER Oppgave 6.300 A. Gurken har plukket frukt i kasser som alle skal inneholde like mange kilogram frukt. Det er svært mange kasser. 40 % av kassene inneholder epler, 35 % av kassene inneholder pærer, og 25 % av kassene inneholder plommer. Gurken får besøk av sin gode venn Tom Aten. Tom plukker tilfeldig 20 kasser med frukt uten å vite hvilken frukt som er i kassene. La X være tallet på kasser med eple blant de 20 kassene.

c) Finn forventningsverdien og standardavviket til X. Tom Aten vil gjerne kjøpe frukten til A. Gurken, men ha må da vite hvor mange kilogram frukt det er i hver kasse. Gurken vil ikke si noe om det, men Tom plukker tilfeldig 20 kasser med frukt og veier dem. Her er resultatet målt i Tom19,719,119,519,719,320,419,120,520,019,419,619,418,919,219,419,419,518,618,919,2kilogram:regnermedatvektaperkasseernormalfordelt.