BEVISET FOR FORMELEN FOR SUMMEN AV EN ARITMETISK REKKE
Nå skal vi utlede en formel for summen sn av de n første leddene i en aritmetisk rekke. Vi viser utledningen for n = 5. For en rekke med n ledd kan vi gå fram på den samme måten. Vi utnytter at ai = a1 + ( i − 1) ⋅ d og får s5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5
= a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + 2d ) + ( a1 + 3d ) + ( a1 + 4d )
Vi kan også uttrykke alle leddene med det siste leddet. a4 = a5 − d a3 = a5 − 2d a2 = a5 − 3d a1 = a5 − 4d Hvis vi begynner med det siste leddet, får vi dette uttrykket for summen: s5 = a5 + a4 + a3 + a2 + a1
= a5 + ( a5 − d ) + ( a5 − 2d ) + ( a5 − 3d ) + ( a5 − 4d )
Vi summerer de to uttrykkene for s5: s5 + s5 = a1 + ( a1 + d ) + ( a1 + 2d ) + ( a1 + 3d ) + ( a1 + 4d ) + a5 + ( a5 − d ) + ( a5 − 2d ) + ( a5 − 3d ) + ( a5 − 4d ) Nå løser vi opp parentesene og trekker sammen leddene. s5 + s5 = 5a1 + 5a5
2s5 = 5 ⋅ ( a1 + a5 ) s5 =
5 ⋅ (a1 + a5 ) 2
Hvis rekka har n ledd, får vi på tilsvarende måte at sn =
28
BOOK Sinus S2.indb 28
n ⋅ (a1 + an ) 2
Sinus S2 > Følger og rekker
2015-06-02 13:42:25