Sinus R2 (LK20) utdrag by Cappelen Damm

Sinus R2 MATEMATIKK STUDIEFØREBUANDE VG3 NYNORSK Oldervoll | Svorstøl | Jacobsen

Filipe Kapittel 1: Unsplash / Faris Mohammed Kapittel 2: Unsplash / Ricardo Gomez Angel Kapittel 3: Unsplash / CJ Dayrit Kapittel 4: AdobeStock / Sved Oliver Kapittel 5: AdobeStock / tiero Kapittel 6: AdobeStock / tawatchai1990 Oppgåvedel: araho / AdobeStock Side 154: bookofproofs (CC BY-SA 4.0) Side 341: GettyImages / piola666 © Cappelen Damm AS, Oslo 2022 SinusR2 følger læreplanen (LK20) i matematikk for realfag R2 frå 2020, for vg3 studieførebuande Materialetutdanningsprogram.idennepublikasjonen er omfatta av føresegnene i åndsverkloven. Utan særskild avtale med Cappelen Damm AS er all framstilling av eksemplar og tilgjengeleggjering berre tillate i den utstrekninga det er heimla i lov eller tillate gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettshavarar til åndsverk. Utnytting i strid med lov eller avtale kan medføre erstatningsansvar og inndraging, og kan straffast med bøter eller fengsel. Grafisk formgivar: BØK/Cappelen Damm AS Omslagsdesign: Kristin Gjestrum Frihandsteikningar: Per Ragnar Møkleby Tekniske teikningar: Terje Sundby, Keops Redaktørar: Bjørn-Terje Smestad og Henning Vinjusveen Myhrehagen Sats: HAVE A BOOK, Polen 2022 Trykk og innbinding: Livonia Print, Latvia 2022 Nynorsk omsetting: Dag Kristian Ellingsen Utgåve nr. 3 Opplag nr. 1 ISBN sinus.cdu.nowww.cdu.no978-82-02-74004-7

Foto og grafikk:Bilda er Omslagsfoto:fargemanipulerte.Unsplash/Joel

I arbeidet med å få fram best moglege bøker er det viktig å ha god kontakt med brukarane av bøkene. Derfor vil vi gjerne ha tilbakemeldingar om feil eller ønske om forandringar. Forfattarane vil takke kollegaer og andre for gode råd i arbeidet med boka. Vi ønsker alle lykke til i arbeidet med faget.

Boka legg vekt på den abstrakte matematikken, og elevane blir godt kjente med matematisk tankegang. Dei får god trening i å løyse oppgåver utan og med bruk av digitale hjelpemiddel. Elevane lærer å bruke programmet GeoGebra og programmeringsspråket Python. I kapittel 1 lærer elevane om følger og rekker. Det bruker vi som grunnlag for integralrekninga, som kjem i kapittel 2 og 3. I kapittel 4 arbeider elevane med vektorar i rommet. I kapittel 5 lærer elevane å løyse trigonometriske likningar. I kapittel 6 skal elevane kombinere mykje av det dei har lært i faget: integralrekning, vektorar og trigonometri.

Når elevane skal i gang med eit nytt tema, inneheld boka ofte utforskande opplegg der elevane skal finne ut eigenskapar og reglar før det blir behandla i boka. Men teorien er skriven slik at det likevel er mogleg å lese han utan å gjere dei utforskande opplegga. Utforskopplegga er best eigna som gruppearbeid, men dei kan også gjerast enkeltvis. I teoridelen er det ein del diskusjonsoppgåver der elevar får trening i å kommunisere matematikk. Til slutt i kvart kapittel finn elevane eit samandrag av viktige reglar og metodar i kapittelet. Der finn vi også ei større prosjektoppgåve. I nokre av desse prosjektoppgåvene får elevane bruke stoffet i kapittelet innanfor andre fagfelt. I andre oppgåver får elevane lære ny og spennande matematikk. Alle kapitla blir avslutta med eit oppgåvesett som er eigna til repetisjon av kapittelet. I boka er det i tillegg ein oppgåvedel. Oppgåvestoffet er delt i tre delar. Den første delen heiter «Øv meir». Her er oppgåvene ordna etter delkapitla i teoridelen. Den andre delen heiter «Blanda oppgåver». Her er det oppgåver som skal løysast både utan og med digitale hjelpemiddel. Nokre gonger står det i oppgåva om elevane skal bruke hjelpemiddel eller ikkje. I andre oppgåver står eleven fritt til å velje metode. I denne delen er det lagt inn merke som viser kva for oppgåver eleven kan løyse når eleven er ferdig med eit delkapittel. Den tredje delen heiter «Opne oppgåver». Her er det opne og utforskande oppgåver som kan vere meir krevjande enn dei i «Blanda oppgåver». Heilt til slutt i boka kjem fasit og stikkordregister. Det er viktig at elevane lærer seg å bruke dette stikkordregisteret når dei støyter på ukjente ord og uttrykk.

Forord Sinus er eit matematikkverk for den vidaregåande skulen, utvikla etter læreplanane frå 2020. Læreboka Sinus R2 er skriven for programfaget R2 i dei studieførebuande utdanningsprogramma.

ToreOldervoll–OttoSvorstøl–RobinBjørnetunJacobsen s

Til verket høyrer også ein nettstad: www.sinus.cappelendamm.no. Her er det mykje tilleggsstoff. Blant anna inneheld nettstaden mange interaktive oppgåver som er ordna etter delkapitla i boka. Nettstaden er fritt tilgjengeleg for alle.

4s 1InnhaldFølger og rekker ........................................................... 6 1.1 Talfølger ...................................................................... 8 1.2 Rekker ........................................................................ 15 1.3 Aritmetiske følger ........................................................... 20 1.4 Aritmetiske rekker 23 1.5 Geometriske følger 27 1.6 Geometriske rekker 31 1.7 Uendelege rekker 38 1.8 Geometriske rekker med variable kvotientar 43 1.9 Induksjonsbevis 46 Samandrag 50 Prosjektoppgåve: Taylorrekker 52 Repetisjonsoppgåver 54 2 Integralrekning 56 2.1 Derivasjon 57 2.2 Ubestemt integral 61 2.3 Integralet 1 xdx 67 2.4 Integrasjon av eksponentialfunksjonar 69 2.5 Bestemt integral som grense for ein sum 75 2.6 Fundamentalsetninga 84 2.7 Å finne areal ved rekning 87 2.8 Å finne areal mellom to grafar ............................................ 94 Samandrag 96 Prosjektoppgåve: Integrasjon og derivasjon av rekker 98 Repetisjonsoppgåver 100 3 Integrasjonsmetodar 102 3.1 Samla resultat 104 3.2 Tilnærmingsmetodar for integral 109 3.3 Trapesmetoden .............................................................. 113 3.4 Variabelskifte ................................................................ 120 3.5 Delvis integrasjon ........................................................... 123 3.6 Delbrøkoppspalting ......................................................... 127 3.7 Integrasjon og volum ....................................................... 133 3.8 Overflateareal 141 3.9 Funksjonsdrøfting 143 Samandrag ................................................................... 152 Prosjektoppgåve: Gini-koeffisientar ..................................... 154 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 156 4 Vektorar ...................................................................... 158 4.1 Vektorar i rommet .......................................................... 159 4.2 Punktkoordinat og vektorkoordinat ..................................... 163 4.3 Rekning med vektorkoordinatar 171 4.4 Skalarproduktet 176

5 s 4.5 Vektorproduktet 184 4.6 Volum 194 4.7 Likningar for plan ........................................................... 201 4.8 Rette linjer i rommet ....................................................... 205 4.9 Avstand frå punkt til linje og til plan .................................... 215 Samandrag ................................................................... 219 Prosjektoppgåve: Vektoranimasjonar 222 Repetisjonsoppgåver 224 5 Trigonometri 226 5.1 Vinkelmål 227 5.2 Generelle trigonometriske definisjonar ................................. 235 5.3 Sinuslikningar ............................................................... 242 5.4 Cosinuslikningar ............................................................ 247 5.5 Likningar med tangens ..................................................... 253 5.6 Einingsformelen og andregradslikningar ............................... 259 5.7 Trigonometriske formlar 265 5.8 Likninga a sin(kx) + b cos(kx) = c 268 Samandrag ................................................................... 272 Prosjektoppgåve: Sfærisk trigonometri .................................. 274 Repetisjonsoppgåver ....................................................... 276 6 Funksjonar og kurver ..................................................... 278 6.1 Sinusfunksjonen ............................................................ 280 6.2 Trigonometriske modellar ................................................. 291 6.3 Cosinusfunksjonen 296 6.4 Funksjonen f (x) = a sin(kx) + b cos(kx) + d 303 6.5 Tangensfunksjonen 306 6.6 Derivasjon av dei trigonometriske funksjonane 310 6.7 Kurver og vektorfunksjonar 317 6.8 Derivasjon av vektorfunksjonar 325 6.9 Fartsvektor og akselerasjonsvektor 332 Samandrag 338 Prosjektoppgåve: Energi frå vindturbinar 340 Repetisjonsoppgåver 342 Oppgåver 344 1 Følger og rekker 345 2 Integralrekning ............................................................. 372 3 Integrasjonsmetodar 388 4 Vektorar ...................................................................... 411 5 Trigonometri 436 6 Funksjonar og kurver 455 Fasit – teoridel 487 Fasit – oppgåvedel .................................................................... 499 Stikkord 525

OGFØLGERREKKER Mål for opplæringa er at eleven skal kunne •utforske eigenskapar ved ulike rekker og gjere greie for praktisk bruk av eigenskapar ved •utforskerekkerrekursive samanhengar ved å bruke programmering og presentere eigne •analysereframgangsmåtarogforstå matematiske bevis, forklare dei berande ideane i eit matematisk bevis og utvikle eigne bevis

b) Finn ein eksplisitt formel for rektangeltalet R n. c) Talet 870 er eit rektangeltal. Kva for eit nummer har det?

b) Forklar at K3 K2 2 2 1, og at K4 K3 2 3 1.

7 s UTFORSK FIGURTAL STEG 1 Når vi kvadrerer eit naturleg tal, får vi eit kvadrattal. Dei seks minste kvadrattala er 1, 4, 9, 16, 25 og 36. Kvadrattal nr. n kallar vi K n.

d) Bruk den rekursive formelen i oppgåve c til å finne K5, K6 og K10. STEG 2 No skal vi sjå på nokre figurtal som vi kan kalle rektangeltal. Her er dei minste rektangeltala: R1 = 2 R2 = 6 R3 = 12

e) Bruk den rekursive formelen til å finne R4 og R8. 1.1 TALFØLGER

d) Finn ein rekursiv formel for R n uttrykt med R n 1 for n 1.

Vi ser for eksempel at kvadrattal nr. 4 dannar eit kvadrat med 4 kuler i kvar retning. Tal vi får ved å sette saman figurar etter eit system, kallar vi figurtal. Kvadrattala ovanfor er dermed eit eksempel på figurtal.

Det er gitt ved formelen Knn 2 Ein slik formel som gir tal nr. n direkte, kallar vi ein eksplisitt formel. Kvadrattala kan vi også framstille ved hjelp av kuler på denne måten: K1 = 1 K2 = 4 K3 = 9 K4 = 16

c) Forklar at K n 1 K n 2 n 1, når n 1. Formelen i oppgåve c kallar vi ein rekursiv formel for kvadrattala. Når vi kjenner eit kvadrattal, kan vi bruke det til å finne det neste. Når vi skal bruke ein slik rekursiv formel, må vi kjenne eitt av tala. Her veit vi at K1 1.

a) Finn rektangeltala R4 og R8.

a) Bruk den eksplisitte formelen for K n til å finne K5, K6 og K10.

132 3 | INTEGRASJONS METODARs OPPGÅVE 3.62 Finn integrala. a) 25122 xxxxdx b) 223132223 xxxxdx UTFORSK VOLUM Vi skal no finne volumet V av ein tredimensjonal figur som strekker seg frå xa til xb som vist her: ax b Først lagar vi ei snittflate gjennom punktet x på x-aksen slik at x-aksen står vinkelrett på snittflata. Sjå figuren til venstre nedanfor. Alle punkta på denne snittflata har da same x-koordinat. La A(x) vere arealet av denne snittflata. La V(x) vere volumet av den delen av gjenstanden som er til venstre for denne snittflata. (x(x) axx b ) axx b No gjer vi eit nytt snitt som er parallelt med det første slik at vi får ei skive med tjukkleik x. a) Forklar at viss x er svært liten, er volumet av denne skiva VAxx () b) Bruk definisjonen av den deriverte til å vise at VxAx ()() c) Vis at volumet av gjenstanden er gitt ved VAxdx a b () . ?

LØYSINGDØME

3.7 Integrasjon og volum No skal vi vise korleis vi kan bruke det bestemte integralet til å finne volumet av ein gjenstand. Vi teiknar da gjenstanden saman med ein x-akse. ( axx b Gjenstanden strekker seg frå a til b på x-aksen som vist på figuren. Vi lagar eit snitt gjennom gjenstanden slik at x-aksen står vinkelrett på snittflata. Alle punkta i snittflata får da same koordinat x. Vi lèt A(x) vere arealet av snittflata. I Utforsk volum kom de fram til denne formelen: Vi plasserer ein x-akse ved ein gjenstand. Gjenstanden strekker seg frå xa til xb på aksen. Volumet av gjenstanden er da VAxdx a b () der arealet A(x) er som beskrive ovanfor.

1333.7 INTEGRASJON OG VOLUM s

Denne formelen bruker vi ofte når vi skal bevise volumformlar. Bevis at volumet V av ei kule med radius r er gitt ved formelen Vr 34 3 Vi legg koordinataksen med origo i sentrum av kula som vist nedanfor. Kula strekker seg da frå xr til xr. Oxx–rrr R(x)

134 3 | INTEGRASJONS METODARs Snittflata normalt på x-aksen gjennom punktet x er ein sirkel med radius R(x). Denne radiusen kan vi finne ved hjelp av pytagorassetninga. Rxxr Rxrxrx ()() 2 2 2 2 2 2 22 Arealet av snittflata er AxRxrx Volumet()()()222avkulaer VAxdxrxdxrxdxrxx r rrrr r () 22 22 2313 rrrrrrrr 33333131323 23() 33343 r No skal vi finne volumet av omdreiingsgjenstandar, altså gjenstandar av det slaget som vi kan framstille i ein dreiebenk. Ein slik gjenstand har ein sentral akse. Alle snittflater som aksen står normalt på, er sirkelflater. Vi kan tenke oss at gjenstanden er blitt til på denne måten: Vi har ein funksjon f og ser på flatestykket som er avgrensa av x-aksen, linja xa, linja xb og grafen til f. Dette flatestykket dreier vi 360 om x-aksen og får fram gjenstanden på figuren til høgre nedanfor. yaxxffb (x) A(x) yax b f Snittflata vinkelrett på x-aksen gjennom punktet x er ein sirkel med radius rfx(). Arealet av snittflata er Axrfx ()()2 2 Volumet av gjenstanden blir VAxdxfxdxfxdx a baba b ()()()22

1353.7 INTEGRASJON OG VOLUM s LØYSINGDØME Eit flatestykke er avgrensa av x-aksen, linja xa, linja xb og grafen til ein kontinuerleg funksjon f. Dersom vi dreier dette flatestykket 360 om x-aksen, får vi ein omdreiingsgjenstand med volumet Vfxdx a b () 2 Eit flatestykke er avgrensa av x-aksen, y-aksen, linja x 3 og grafen til funksjonen gitt ved fxx () 2 1 Vi dreier flatestykket 360 om x-aksen. Finn volumet av den omdreiingsgjenstanden vi da får. Først teiknar vi grafen og omdreiingsgjenstanden. –2–13241 yx 2 –3 413 f –4 Volumet er Vfxdxxdx xdx xx () 2 2 20303 203 3 1 1 13 30 313 9312330

SFÆRISK TRIGONOMETRI

s 274 5 | TRIGONOMETRI

Vi slår den sirkelen med sentrum i S som går gjennom A og B. Ein slik sirkel kallar vi ein storsirkel. La c ASB. Da seier vi at AB c. Vi kan da måle c enten i gradar eller i absolutt vinkelmål. Viss c er målt i absolutt vinkelmål, blir avstanden mellom A og B lik c R, for det er lengda av bogen. Viss vi har tre punkt A, B og C på kula, kan vi trekke dei tre bogane AB c, ACb og BCa . Dei tre bogane dannar no ein sfærisk trekant. Legg merke til at kvar boge har namn etter motståande hjørne. RB ba CAc

Til vanleg bruker vi trigonometri når vi arbeider med trekantar i eit plan. No skal vi bruke trigonometri i trekantar på ei kuleflate. Slike trekantar kan vi bruke til å finne avstandar mellom stader på jordkloden målt langs kuleoverflata. Det kallar vi sfærisk avstand. Korleis reknar vi ut sfærisk avstand? La A og B vere to punkt på ei kule med radius R og sentrum i S. c

Vi kan vise denne regelen: cos c cos a cos b sin a sin b cos C Vi kallar denne cosinussetninga for sfæriske trekantar. Ekvator deler jordkloden i den nordlege og sørlege halvkula. Dei storsirklane som går gjennom Nordpolen og Sørpolen, kallar vi meridianar. Meridianen som går gjennom Greenwich utanfor London, kallar vi nullmeridianen. Han deler jordkloden i ei austleg og ei vestleg halvkule. No kan vi plassere alle stader på kloden ved å fortelje kor mange gradar aust eller vest for nullmeridianen og kor mange gradar nord eller sør for ekvator staden ligg. Greenwich ligg 0 øst og 51,47 nord. Kabul i Afghanistan ligg 69,11 aust og 34,47 nord. zyN Greenwich Kabul S x 51,47° 69,11°34,47° Ved hjelp av gradtala kan vi blant anna finne avstandar mellom byar. Oslo ligg 10,75 aust og 59,92 nord. New York ligg 74,00 vest og 40,75 nord. Vi skal bruke dette til å finne den sfæriske avstanden mellom Oslo og New York målt i kilometer. Vi lagar da ein sfærisk trekant med hjørne i Oslo (A), New York (B) og Nordpolen (C). Her er C 74,00 10,75 84,75 . Bogen frå Nordpolen til New York er a 90 40,75 49,25 Bogen frå Nordpolen til Oslo er b 90 59,92 30,08

c) Kor stor betydning har det for avstandane at flyet går 10 km over bakken?

s275SFÆRISK TRIGONOMETRI C (Nordpolen) 40,75° abA Bc 74,00°Ekvator Oslo59,92° Nullmeridianen New York 10,75° Cosinussetninga gir cos c cos a cos b sin a sin b cos C cos49,25 cos30,08 sin49,25 sin30,08 cos84,75 0,600 Bogen mellom Oslo og New York blir da 53,16 . I absolutt vinkelmål blir den c 0,9278 Jordradiusen er R 6370km. Avstanden i kilometer blir da c R 0,9260 6370 km 5910 km Eit fly lettar frå Oslo og skal fly den kortaste vegen til New York. I kva retning må flyet ta Viav?må da finne A på figuren. Cosinussetninga med utgangspunkt i A gir cos a cos b cos c sin b sin c cos A coscoscos cos 0,333cos49,25cos30,08cos53,16sinsinsin30,08sin53,16 Aabc bc A 70,6 Flyet må gå mot vest i ei linje som dannar vinkelen 70,6 med linja mot nord. Flyet skal sørover, men må likevel ta av nordover! Dette skjønner vi betre viss vi ser på ein globus. PROSJEKTOPPGÅVE

PROSJEKTOPPGÅVE

1 Jordradiusen er R 6370 km. Oslo ligg 10,75 aust og 59,92 nord. Tokyo ligg 139,75 aust og 35,75 nord. Eit fly går 10 km over bakken frå Oslo til Tokyo.

a) Kor langt er det viss flyet først går opp til Nordpolen og deretter til Tokyo?

2 Eit fly skal frå Oslo til Tasmania, ei øy sør for Australia. Oslo ligg 10,75 aust og 59,92 nord. Tasmania ligg 146,5 aust og 42,0 sør. Kor mange kilometer er den kortaste flyruta mellom Oslo og Tasmania? I kva retning må flyet ta av?

3 Eit fly skal frå Oslo til Honolulu på Hawaii. Honolulu ligg 157,87 vest og 21,32 nord. Kor mange kilometer er den kortaste flyruta?

b) Kor langt er det viss flyet går den kortaste vegen? I kva retning må flyet ta av?

I kva retning må flyet ta av?

PROSJEKTOPPGÅVE

a) Forklar ut frå grafen at httt ()cos,,,0451203,4

b) Finn ved rekning toppunkta og botnpunktet til til h

d) Teikn digitalt grafen til g e) Form om funksjonsuttrykket til g slik at det er skrive på forma gtaktbd ()sin f) Finn ved rekning høgdeforskjellen mellom bølgetopp og bølgebotn.

OPPGÅVE 5 Sofia og Olav studerer bølgene på fjorden.

De har ein målepinne der dei kan lese av vasshøgda mange gonger per sekund. Dei måler vasshøgda h(t) i meter etter t sekund og får denne grafen: 1 21 23

342 6 | FUNKSJONAR OG KURVERs REPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 1 Funksjonen f er gitt ved fxx ()sin23 42 , x 08, a) Finn amplituden, perioden og likevektslinja til f b) Finn nullpunkta til f. c) Finn den største verdien til f. For kva x-verdi har f denne verdien? d) Finn den minste verdien til f. For kva x-verdi har f denne verdien? e) Teikn grafen til f. f) Løys grafisk og ved rekning likninga fx() 2. OPPGÅVE 2 a) Vis at den geometriske cossincossincossin...rekka xxxxxx 35 er konvergent for alle x. b) Bestem summen av rekka. OPPGÅVE 3 Rekn ut integrala. a) 42cos xdx b) 6 2 xxdx sin OPPGÅVE 4 Vi har gitt ein sirkel med sentrum i S 7, 1 og radius 5. a) Finn ei parameterframstilling for sirkelen. b) Vis at punktet P 10, 3 ligg på sirkelen. c) Finn ei parameterframstilling for tangenten til sirkelen i punktet P. d) Teikn sirkelen og tangenten digitalt.

ht h

c) Finn ved rekning når vassdjupna er 1,5 Bølgenem.er stabile over ei tid. Men så kjem det ei bølge frå ein båt i tillegg. Vasshøgda g(t) i meter blir no gttt t ()sincos,,,0,30,445451203

d) Når har Sølvi lågast fart? Kor stor er farten da? Kor lang samla strekning køyrer ho på ferda frå S til M? Kor stor er gjennomsnittsfarten?

d) Finn maksimumsverdien og minimumsverdien. e) Finn ved rekning og digitalt arealet av det området ligg over x-aksen, og som er avgrensa av den positive x-aksen og grafen til f

. b)

343 sREPETISJONSOPPGÅVER OPPGÅVE 6 Sølvi Brattbakken køyrer ned ei fjellside på ski. Idet klokka blir sett i gang, er ho i eit punkt S som ligg 100 m høgare enn innkomsten M. Vi legg inn eit koordinatsystem med origo O som er slik at punkta S og M har koordinatane S 0, 0, 100 og M 1500, 0, 0 . Eininga langs aksane er meter. Etter t sekund er Sølvi i eit punkt P som er bestemt av OPrtttttt (),,15205100 2100 22

Ein funksjon f er gitt ved fxxx ()sin , x 02, a) Finn nullpunkta til f ved rekning.

ned

OPPGÅVE 7

a) Vis ved rekning at Sølvi bruker 100 s til innkomsten M Finn fartsvektoren og farten etter t sekund. Finn akselerasjonsvektoren og akselerasjonen etter t sekund.

c) Finn toppunkta og botnpunkta til f digitalt.

b) Teikn grafen til f digitalt.

•Oppgåvenedelkapittel.

ØV MEIR gir meir trening i grunnleggande rekneteknikkar frå kvart

•OppgåveneOPPGÅVERi

•I blandaoppgåver er det oftast konkrete spørsmålsformuleringar, men du finn også oppgåver der du må vurdere eigne og andre sine løysingar, og fleirvalsoppgåver.

i BLANDA OPPGÅVER og OPNEOPPGÅVER inneheld ofte stoff frå fleire tema. Det er lagt inn merke som viser kva for oppgåver du skal kunne løyse når du er ferdig med eit delkapittel.

•Dei opneoppgåvene er ofte større og meir komplekse. Her får du blant anna trening i å jobbe med samansette tekstar og uoppstilte problem. Du må nokre gonger lage problemstillingar som du undersøker ved hjelp av ulike strategiar, som modellering, utforsking og programmering. Desse oppgåvene legg til rette for å trene på å skrive matematiske tekstar, og det er meininga at du skal bruke litt meir tid på dei. Dei opne oppgåvene har ikkje alltid ein fasit, og det kan vere nyttig å diskutere både oppgåvene og løysingane med andre.

b) Lag eit program som skriv ut dei åtte første ledda i følga.

345 s1 | FØLGER OG REKKER 1 Oppgåve 1.114 I ei talfølge er dei to første ledda a1 2 og a2 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen a n 2 a n 1 3 a n 2 Bruk formelen og skriv opp dei fem første ledda i følga. Oppgåve 1.115 Undersøk om følgene konvergerer, og finn eventuelt grenseverdien lim. nn a a) ann n 3 1 b) ann nn32 1 c) an nn ln 2 2 1 Oppgåve 1.116 Tala i talfølga 1, 3, 6, 10, 15, … kallar vi trekanttala. Trekanttallene T4 og T3 a) Finn det sjette talet i følga. Kall trekanttalet i ledd nr. n for T n. b) Finn uttrykk for TT nn 1 og TT nn 1 når n >1. c) Bruk svara i oppgåve b til å finne ein formel for T n uttrykt ved n. Følger og rekker ØV MEIR 1.1 TALFØLGER Oppgåve 1.110 I ei følge er ledd nr. n gitt. Finn dei fem første ledda i følga. a) ann 2 2 b) ann 2 n c) a n = nn 1 Oppgåve 1.111 I ei talfølge er det første leddet a1 4. Resten av ledda er gitt ved den rekursive formelen aa nn 3 21 a) Bruk formelen og finn ved rekning dei åtte første ledda i følga.

c) Utvid programmet slik at det også reknar ut summen av dei åtte første ledda. Oppgåve 1.112 Finn ein eksplisitt formel for ledd nr. n i talfølga. a) 2, 4, 8, 16, 32, … b) 1, 4, 9, 16, 25, … Oppgåve 1.113 inn ein eksplisitt formel for det generelle leddet i talfølga. a) 1, 14 , 91 , 161 , … b) 21 , 14 , 61 , 81 , … c) 1, 3, 5, 7, … d) 2, 23 , 34 , 45 , …

f) Finn ved rekning arealet av flatestykket som er avgrensa av grafen til f, x-aksen, y-aksen og linja x 1. Oppgåve 3.195 Funksjonen f er gitt ved fxeex x() 1, Df a) Finn eventuelle topp- og botnpunkt utan bruk av digitale hjelpemiddel.

g) Finn utan digitale hjelpemiddel arealet av flatestykket F som er avgrensa av x-aksen, grafen til f og linja x 3.

e) Finn skjeringspunkta mellom grafen og tangenten ved rekning.

c) Finn digitalt og ved rekning likninga for tangenten i punktet 0, f (0) .

Oppgåve 3.193 Ein funksjon f er gitt ved fxx x () 6 32 a) Finn nullpunktet til f. b) Finn asymptoten til f med og utan digitale hjelpemiddel.

b) Finn eventuelle topp- og botnpunkt ved rekning og digitalt.

d) Teikn grafen til f, asymptotane og tangenten.

3 | INTEGRASJONSMETODAR398s

d) Finn ved rekning og digitalt arealet av området som er avgrensa av koordinataksane, grafen til f og linja x ln 2. Oppgåve 3.196 Ein funksjon f er gitt ved fxxx ()ln , x 0 a) Finn nullpunktet til f ved rekning.

Oppgåve 3.197 Funksjonen f er gitt ved fxxex () 2 2 , x 26, Bestem maksimums- og minimumsverdien som funksjonen f har i det gitte intervallet.

c) Finn toppunktet og botnpunktet til f med og utan digitale hjelpemiddel.

Vi dreier flatestykket 360 om x-aksen. e) Finn volumet av omdreiingsgjenstanden utan bruk av digitale hjelpemiddel.

Oppgåve 3.194 Ein funksjon f er gitt ved fxx xx () 8 22 a) Finn nullpunktet til f. b) Finn asymptotane til f med og utan digitale hjelpemiddel.

b) Finn asymptotane ved rekning og digitalt. c) Teikn grafen til f og asymptotane.

d) Vis at fxxx x () 12108()3323 e) Finn vendepunkta (infleksjonspunkta) til f med og utan digitale hjelpemiddel.

f) Teikn grafen til f digitalt.

d) Eit flatestykke er avgrensa av x-aksen, grafen til f og linja xe.

Finn arealet av flatestykket utan digitale hjelpemiddel.

c) Teikn grafen til f digitalt.

3 | INTEGRASJONSMETODAR 399 s BLANDA OPPGÅVER Oppgåve 3.200 Elisabeth får 250 kr i vekepengar. Dei neste to åra har ho ein avtale med faren sin om at vekelønna skal aukast med 1 % kvar veke. Finn ved integrasjon omtrent kor mykje Elisabeth får i alt i vekepengar på desse to åra. Oppgåve 3.201 Ein funksjon er gitt ved funksjonsuttrykket fxxxx () 3269 , x 03, a) Finn det eksakte arealet som er avgrensa av grafen til f og x-aksen. b) Bruk kommandoen SumOver og ti rektangel i GeoGebra. Kva blir det samla arealet av ti rektangel mellom x 0 og x 3? yfx 21 3214 3 c) Kor mange rektangel må vi ha dersom vi bruker SumOver og forskjellen mellom det samla arealet av rektangla og fxdx ()03 skal vere mindre enn 2 % av fxdx ()03 ? ▲3.2 Oppgåve 3.202 Vi har gitt det bestemte integralet 32362 xxdx a) Bruk trapesmetoden og 5 trapes til å finne ein tilnærmingsverdi for integralet. b) Løys oppgåve a ved hjelp av Python og 50 trapes. Oppgåve 3.203 Ein undervassbåt går under polarisen på veg mot Nordpolen. Tabellen nedanfor viser farten v(t) i km/h for kvar time t i ein periode på åtte timar. t (h)012345678 v(t) Bruk(km/h)273435332417182227trapesmetodentilåanslåavstanden svtdt ()80 undervassbåten har køyrt i denne perioden. ▲3.3 Oppgåve 3.204 Finn integrala ved rekning. a) 35xdx b) 2 xxdx c) xxdx 2 Oppgåve 3.205 Finn integralet ved rekning xxdx 2 5 Oppgåve 3.206 Finn integralet ved rekning. lnln x xxdx 1

a) Vis at modellen er symmetrisk i den forstand at avstanden mellom to ulike hydrogenatom alltid er den same uansett kva for to hydrogenatom vi vel. kjemien snakkar vi om vinkelentetraeder, som er vinkelen med topppunkt i karbonatomet og to vinkelbein ut til to forskjellige hydrogenatom.

b) Vis at cos er eit rasjonalt tal, og finn

. b)

Oppgåve 4.228 Vi kan lage ein modell av eit metanmolekyl, CH4, ved å plassere karbonatomet i O 0, 0, 0 og dei fire hydrogenatoma i H1 1, 1, 1 , H2 1, 1, 1 , H3 1, 1, 1 og H4 1, 1, 1 .

. c)

c) Vis at modellen er symmetrisk i den forstand at det ikkje har noko å seie kva for to hydrogenatom vi vel for å finne tetraedervinkelen. 4.4 Oppgåve 4.229 Vektorane u 011,, og v 110,, er gitt. Finn vinkelen mellom u og v Rekn ut uv Finn arealet av trekanten som dei to vektorane definerer.

▲

4 | VEKTORAR426s Oppgåve 4.227 Eit tetraeder er bestemt av punkta O 0, 0, 0 , A 1, 0, 0 , B 0, 1, 0 og C 0, 0, 1 . a) Teikn tetraederet digitalt. Heron-formelen seier at arealet T av ein trekant med sider a,b og c er gitt ved Tssasbsc ()()() , der sabc 2 Vi kallar lengda av BC for a, lengda av AC for b, lengda av AB for c og arealet av ABC for T1. b) Finn a,b og c. c) Finn ein eksakt verdi for T1 og T12 . Vi kallar arealet av OBC for T2, arealet av OAC for T3 og arealet av OAB for T4. d) Finn ein eksakt verdi for TTT 2 2 3 2 4 2 . e) Kva for samanheng er det mellom TTT 2 2 3 2 4 2 og T12 ? Eit anna tetraeder er bestemt av punkta O , Dd, 0, 0 , E 0, e, 0 og F 0, 0, f . Vi kallar arealet av DEF for S1. f) Finn lengda av DE,DF og EF uttrykt ved d,e og f. g) Bruk CAS og finn S1 og S12 uttrykt ved d,e og f. Vi kallar arealet av OEF for S2, arealet av ODF for S3 og arealet av ODE for S4. h) Finn SSS 2 2 3 2 4 2 uttrykt ved d,e og f. i) Kva for samanheng er det mellom SSS 2 2 3 2 4 2 og S12?

b) Bruk formelen i oppgåve a til å finne arealet til ein trekant spent ut av p og q der p 3, q 7 og pq 20 . Oppgåve 4.237 Bruk definisjonen av vektorproduktet til å vise at for alle tal k gjeld rekneregelen kabkab ▲ 4.5 Oppgåve 4.238 Vis ved å teikne at dersom vi har gitt to vektorar a og b som står normalt på kvarandre, så gjeld

b) For kva t-verdiar har OAB areal 11?

c) Normalen frå hjørnet C ned på linja gjennom A og B har lengda h. Bruk svaret i oppgåve b til å finne h. Oppgåve 4.234

b) Finn abc . Samanlikn med svaret i oppgåve a og kommenter. Oppgåve 4.233 Punkta A 1, 1, 0 , B 0, 2, 3 og C 1, 2, 2 er hjørna i trekanten ABC.

4 | VEKTORAR 427 s Oppgåve 4.230 Finn vektoren ab når a) a 210,, og b 121,, b) a 121,, og b 012,, Oppgåve 4.231 Punkta A 6, 2, 0 , B 3, 6, 0 og C 0, 0, t er hjørna i ein trekant. Bestem t slik at arealet av ABC blir 25.

Oppgåve 4.232 Vi har gitt vektorane a 312,, , b 211,, og c 122,,

c) For kva t-verdiar ligg O, A og B på ei rett linje? Oppgåve 4.236 a) Vis at for alle vektorar u og v i rommet er uvuvuv 2 222

b) Bestem koordinatane til alle slike vektorar når A 1, 2, 3 , B 3, 4, 3 og C 2, 1, 1 Oppgåve 4.235 Vi har gitt punkta O 0, 0, 0 , A 4, 2, 3 og B 2, 2, t

a) For kva t-verdiar er AOB rett?

a) Vis at abc 2475,,

a) (), abatb der t > 0 b) (), abbta der t < 0 Oppgåve 4.239 Vi har gitt vektorane ak12,,, b 111,, og c 23 4, , a) Bestem talet k slik at a 3.

a) Gitt tre punkt A, B og C, kor mange vektorar står normalt på både AB og AC og har lengde 1?

b) Bestem talet k slik at ab c) Bestem talet k slik at parallellogrammet bestemt av ab og har arealet 32 d) Bestem talet k slik at parallellepipedet bestemt av abc ,og har volumet 9. Oppgåve 4.240 I ABC har hjørna koordinatane A 1, 1, 0 , B 2, 3, 2 og C 1, 2, 2 a) Finn ABAC , cos A og ABAC b) Finn arealet av ABC c) Eit punkt D har koordinatane D 2, 2, k Bestem k slik at pyramiden ABCD får volumet 6.

a) Finn ABAC. b) Finn arealet av trekanten.

c) Kor langt blir kastet i horisontal retning frå utgangspunktet?

Oppgåve 6.250 Vi kastar ein stein. Etter t sekund er posisjonen til steinen gitt ved rttt t(),101715,52 Eininga på aksane er meter. Finn posisjonen, fartsvektoren og akselerasjonsvektoren til steinen etter 1 s og etter 3 s. Oppgåve 6.251 yx P Eit punkt P ligg nedst på ein sirkel med sentrum i 0, r og radius r. Vi rullar sirkelen med konstant fart i positiv x-retning slik at sentrum ved tidspunktet t er rt, r . Da vil også P flytte seg, og posisjonsvektoren ved tida t 0 er strt trt() sincos,1 a) Illustrer bevegelsen til sirkelen og P i GeoGebra. Vel sjølv verdi for r b) Finn fartsvektoren vt() og akselerasjonsvektoren at() til P ved tida t. c) Teikn inn fartsvektoren og akselerasjonsvektoren i figuren i oppgåve a. d) Når er fartsvektoren parallell med ein av koordinataksane? Kvar på sirkelen er P da? e) Når er farten til P størst, og når er farten minst? Kvar på sirkelen err P da?

g) Kor langt kjem ballen med denne kastvinkelen?

b) Kor lang tid tar det før ballen landar?

a) Kor lang tid tar det før ballen er i det høgaste punktet sitt, og kor høgt over bakken er han da?

(0, 0) 5 m 30° yx

f) Vis at akselerasjonen er konstant. g) Bogelengda til kurva P følger for td c , , er gitt ved cvtdt d () Finn lengda av kurva P følger frå tidspunktet t 0 til P igjen er på x-aksen. Oppgåve 6.252 Elisabeth kastar ein ball ut frå eit platå.

d) Kva for fart har ballen når han landar? e) Kva for vinkel treffer ballen bakken Elisabethmed? vil gjerne kaste ballen lenger. Ho innser at ho ikkje får gjort noko med farten ballen forlèt handa med, men ho kan justere kastvinkelen. Viss vinkelen er u i staden for 30 , vil posisjonsvektoren til ballen vere rtututt (),cossin,1551549 2 .

Ballen forlèt handa 5 meter over bakken med ein vinkel på 30 med x-aksen, og med ein fart på 15 m/s. Posisjonen til ballen t sekund etter at han har forlate handa, er da gitt ved vektorfunksjonen rtttt (),cossin,15051503349 .

6 | FUNKSJONAR OG KURVER478s

f) Kva for kastvinkel u bør Elisabeth velje for at ballen skal komme lengst?

c) Finn ut kor mange dagar du er i dag. Teikn dei tre biorytmane dine for dei neste 90 dagane ved hjelp av digitale hjelpemiddel.

byrjinga av dette hundreåret blei det sett fram nokre teoriar om at menneske er styrte av biologiske svingingar. Éi slik svinging eller rytme styrer det intellektuelle, ei anna det kjenslemessige og ei tredje det fysiske velværet. Når desse svingingane når toppunktet omtrent samtidig, får vi ein heilt utmerkt dag. Det motsette skjer viss dei når botnpunktet omtrent samtidig. Desse svingingane begynner ved fødselen og fortset så lenge du lever. Den intellektuelle rytmen har ein periode på 33 døgn, den kjenslemessige perioden er på 28, og den fysiske er på 23 døgn. Alle biorytmane er på forma sin(kx), der x er antal dagar etter fødselen.

Oppgåve 6.300 I ein by er 21. juni den dagen i året da sola er lengst oppe, med 19 timar og 48 minutt. Sola er oppe kortast tid 21. desember med 5 timar og 55 minutt.

a) Finn funksjonsuttrykket for desse tre biorytmane, og teikn grafane i same koordinatsystem for dei 40 første levedagane.

b) Studer det grafiske bildet og sei noko om tilstanden til barnet dei 40 første levedagane ut frå biorytmane.

d) Vi kan vise at det tar 33 28 23 dagar frå fødselen til alle dei tre biorytmane samtidig er nøyaktig som ved fødselen. (Kan du forklare dette?) Kor gammal er du første gong det skjer?

Kor mange minutt dagslys er det i byen 17. mai?

Oppgåve 6.301

OPNE OPPGÅVER

Med fysikk kan vi vise at antal minutt sola er oppe, som funksjon av antal dagar i året, er ein sinusfunksjon.

6 | FUNKSJONAR OG KURVER 479 s

a) Teikn kurva og flata i GeoGebra. Du kan få fram flata ved å bruke sporingsfunksjonen på linjestykka i grafikkfeltet.

c) Teikn turen til mauren på eit Möbiusband av papir. Ser du det same her?

b) Ein maur sit på den eine sida av Möbiusbandet og begynner å gå rett fram midt på bandet. Følg ferda til mauren. Kva ser du?

1Teikn kurva gitt ved parameterframstillinga x y ztttttt22 202 2coscoscossin,, sin .

2Trekk linjestykke frå punktet P (t) (punktet på kurva som svarer til parameterverdien t) til Pt for kvar t 0, .

d) Kva trur du vil skje viss du klipper opp bandet langs vegen mauren har gått? Tenk deg om før du klipper!

e) Undersøk kva som skjer viss du vrir bandet meir enn ein halv runde før du limer.

Du kan også lage ditt eige Möbiusband av ein lang og smal papirstrimmel. Lim saman dei to kortendane av strimmelen, men før du limer, vrir du den eine enden ein halv runde.

6 | FUNKSJONAR OG KURVER486s Oppgåve 6.312 Eit Möbiusbånd er ei flate i rommet med nokre spesielle eigenskapar. Vi kan lage eit Möbiusband på denne måten:

487 1.24 2000 1,05n 1 1.25 s20 590 1.26 s15 2480 1.30 a) 12, 7, 2, 3 og 8 b) 24, 22, 20, 18, 16 1.31 a) d 6 og a n 6n 1 b) d 17 og a n 98 17n 1.32 a) a n 98 2n b) 306 kr 1.33 a) 3 b) a n 4n 7 c) Ledd nr. 28 1.34 a) a1 14 og d 23 b) an n 312 23 1.40 a) 235 b) 1695 c) 510 d) 50 1.41 a) 500 500 b) 145 c) 1950 1.42 a) 49 995 000 b) 25 000 000 c) 24 995 000 1.44 Det er 20 ledd i rekka. 1.45 2675 millionar kr 1.50 a) 5, 10, 20, 40, 80 b) 16, 8, 4, 2, 1 c) 81, 54, 36, 24, 16 1.51 a) k 3 b) k 15 c) k 23 1.52 a) a n 3n 1 og a10 19 683 b) ann 625 15 1 og a10 31251 c) ann 23 23 1 og a10 6561256 1.53 a) 406 millionar b) ca. 1017 sølvmyntar 1.60 a) 1023 b) 1,998 c) 720,4 1.61 a) 29 524 b) 255 c) 10 235 d) 1653,30 1.62 a) 393,4 millionar kr b) 2763 millionar kr 1.63 a) 2,5 tonn b) 670 tonn 1.64 a) 194 052 kr b) 343 916 kr c) Etter 14 år 1.65 a) 6579 kr b) 31 904 kr c) 14 år 1 1.10 a) 3, 8, 13, 18, 23 a120 598 b) a1 3 og anan 1 5 når n 1 1.11 a) 3, 7, 11, 15, 19 b) a n 4n 1 1.12 a) 16, 8, 4, 2, 1 b) a n 25 n 1.13 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 1.16 c) a an n 1 nærmar seg det gylne snittet 152 når n . 1.17 a) Følga konvergerer og har grenseverdien 3. b) Følga konvergerer og har grenseverdien 23 . c) Følga divergerer. 1.18 lim nnne1 1 lim nnne1 1 3 3 1.20 s5 28, s6 41, s7 58, s8 77 1.21 a) s6 51 b) s20 590 1.22 a) s5 110 b) s15 2480 c) s101 s100 20 402 1.23 a) nn 2 2 b) n 2 n FASIT TEORIDEL