1.7 Mer om integrasjon og areal Nå har vi lært å regne ut arealet av et område mellom en graf og x-aksen når fl atestykket ligger enten over eller under x-aksen. Når området ligger delvis over og delvis under x-aksen, må vi dele det opp i fl ere deler og regne ut arealet av hver del for seg.
EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f ( x) = x3 − 6 x 2 + 8 x 4
a) Finn
∫ f ( x) dx . α
0
b) Finn arealet av det området som er avgrenset av x-aksen og grafen til f. c) Forklar svaret i oppgave a ved hjelp av utregningene i oppgave b. Løsning: 4
a)
∫ 0
4
1 f ( x) dx = x 4 − 2 x3 + 4 x 2 4 0
1 = ⋅ 44 − 2 ⋅ 43 + 4 ⋅ 42 − 0 = 64 −128 128 + 64 = 0 4 b) Vi tegner grafen for å se om området ligger under eller over x-aksen: y f
4 3 2 1 –1 –2
A1 1
x 2 3
4
A2
–3 –4
Vi ser at området ligger delvis over og delvis under x-aksen, og vi må da regne ut arealet av hver del for seg. Vi trenger nullpunktene til funksjonen.
37
Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 37
2015-03-24 09:28:04