Sinus R2 (2015) utdrag

Innhold 1

Integralregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2

Trigonometriske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3

Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

1.1 Derivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Ubestemt integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.3 Integralet ∫ 1x dx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Integrasjon av eksponentialfunksjoner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Bestemt integral som grense for en sum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Bestemt integral og antiderivasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.7 Mer om integrasjon og areal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.1 Vinkelmål. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.2 Sinus og cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Sinuslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.4 Cosinuslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.5 Tangens og tangenslikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6 Eksakte trigonometriske verdier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.7 Eksakte løsninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.8 Flere typer trigonometriske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.9 Enhetsformelen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.1 Sinusfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 3.2 Amplitude, periode og likevektslinje. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Trigonometriske modeller. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 3.4 Cosinusfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.5 Tangensfunksjonen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 3.6 Derivasjon av de trigonometriske funksjonene. . . . . . . . . . . . . . . 120 3.7 Sum og differanse av vinkler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.8 Funksjonen f (x) = a sin(kx) + b cos(kx). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.9 Likningen a sin(kx) + b cos(kx) = c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.10 Beviset for derivasjonsformlene. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

5

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 5

2015-03-24 09:26:54

4

Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.1 Romkoordinater . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 4.2 Vektorer i rommet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 4.3 Vektorkoordinater. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 4.4 Lengden av en vektor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 4.5 Skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.6 Regneregler for skalarproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 5

Vektorprodukt og romgeometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

5.1 Determinanter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 5.2 Vektorproduktet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 5.3 Volum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 5.4 Likningen for et plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 5.5 Rette linjer i rommet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 5.6 Avstand fra punkt til linje og til plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 5.7 Likningen for ei kule. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 5.8 Vinkelen mellom linjer og plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.9 Parameterframstilling for et plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6

Integrasjonsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

7

Differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

6.1 Integral og samlet resultat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.2 Integrasjon og volum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.3 Ubestemt integral og variabelskifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.4 Bestemt integral og variabelskifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 6.5 Delvis integrasjon. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256 6.6 Integrasjon ved delbrøkoppspalting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 6.7 Funksjonsdrøfting. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

7.1 Differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 7.2 Mer om førsteordens lineære differensiallikninger. . . . . . . . . . . . 283 7.3 Praktisk bruk av differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289 7.4 Separable differensiallikninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 7.5 Retningsdiagram. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300 7.6 Andreordens differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303 7.7 Karakteristiske likninger uten reelle løsninger. . . . . . . . . . . . . . . 308 7.8 Udempet svingning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 7.9 Dempet svingning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

6

Sinus R2

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 6

2015-03-24 09:26:55

8

Følger og rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

8.1 Tallfølger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 8.2 Rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329 8.3 Aritmetiske følger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 8.4 Aritmetiske rekker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.5 Geometriske følger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 8.6 Geometriske rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 8.7 Uendelige rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352 8.8 Geometriske rekker med variable kvotienter. . . . . . . . . . . . . . . . 358 8.9 Induksjonsbevis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 Sammendrag. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366 Oppgaver. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 1

Integralregning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

2

Trigonometriske likninger. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

3

Trigonometriske funksjoner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

4

Vektorer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418

5

Vektorprodukt og romgeometri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428

6

Integrasjonsmetoder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449

7

Differensiallikninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469

8

Følger og rekker. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489

Fasit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 Stikkord. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551

7

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 7

2015-03-24 09:26:55

1 8

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 8

2015-03-24 09:26:56

Integralregning MÅL

for opplæringen er at eleven skal kunne • gjøre rede for definisjonen av bestemt integral som grense for en sum og ubestemt integral som antiderivert • beregne integraler av de sentrale funksjonene ved antiderivasjon og ved hjelp av variabelskifte, ved delbrøkoppspalting med lineære nevnere og ved delvis integrasjon • tolke det bestemte integralet i modeller av praktiske situasjoner og bruke det til å beregne arealer av plane områder og volumer av omdreiningslegemer • formulere en matematisk modell ved hjelp av sentrale funksjoner på grunnlag av observerte data, bearbeide modellen og drøfte resultat og framgangsmåte

9

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 9

2015-03-24 09:26:56

1.1 Derivasjon Nå skal vi repetere noe av det vi lærte om derivasjon i 1T og R1. Den deriverte til en funksjon f er gitt ved f ′( x) = lim

∆x →0

f ( x + ∆x) − f ( x) ∆x

f ′( x) gir vekstfarten til f i punktet (x, f (x)) og samtidig stigningstallet for tangenten til grafen i punktet.

Når vi deriverer polynomfunksjoner, bruker vi disse reglene: ( x r )′ = r ⋅ x r − 1 (u ( x) + v( x))′ = u′( x) + v′( x) (k ⋅ u ((xx))′ = k ⋅ u′( x) Dermed kan vi derivere polynomfunksjoner ledd for ledd slik som i dette eksempelet:

EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f ( x) = x3 − 3x 2 − 4 x + 12 a) Finn f ′( x). b) Finn vekstfarten for x = 1.

Løsning:

a)

f ′( x) = 3x 2 − 3 ⋅ 2 x − 4 ⋅1 + 0 = 3x 2 − 6 x − 4

b) Vekstfarten for x = 1 er f ′(1) = 3 ⋅12 − 6 ⋅1 ⋅1 − 4 = 3 − 6 − 4 = −7

OPPGAVE 1 10

?

10

Deriver uttrykkene. a) x 2 + 4 x − 2 b) 2 x3 − 4 x 2 + 3x − 1 c) x 4 − 2 x3 + 5 x 2 − 2 x + 1

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 10

2015-03-24 09:27:01

?

OPPGAVE 1 11

En funksjon f er gitt ved f ( x) = x3 − 4 x 2 − x + 2 Finn vekstfarten for x = 2.

I 1T lærte vi disse formlene: 1

1 = x−a xa

n

x = xn

n

m

xm = x n

Ved hjelp disse formlene og formelen ( x r )′ = r ⋅ x r −1 kan vi derivere rotfunksjoner og funksjoner med en potens av x i nevneren i funksjonsuttrykket.

I R1 lærte vi i tillegg disse derivasjonsreglene:

( ln x )′ =

1 x

( e )′ = e x

x

( a )′ = a x

x

⋅ ln a

EKSEMPEL Deriver funksjonene. a) f ( x) = 3e x + 5 ln x Løsning:

b) g ( x) =

2 4 − x x2

c) h( x) = x

b)

1 5 f ′( x) = 3 ⋅ e x ′ + 5 ⋅ ( ln x )′ = 3 ⋅ e x + 5 ⋅ = 3e x + x x 2 4 g ( x) = − 2 = 2 x −1 − 4 x −2 x x 1 1 2 8 g ′( x) = 2 ⋅ ( −1) x −2 − 4 ⋅ (−2) x −3 = (−2) ⋅ 2 + 8 ⋅ 3 = − 2 + 3 x x x x

c)

h( x ) = x = x 2

a)

( )

1

h′( x) =

1 12 − 1 1 − 12 1 1 1 x = x = ⋅ 1 = 2 2 2 2 2 x x

Når vi skal derivere sammensatte funksjoner, bruker vi kjerneregelen: f ( x) = g ( u ( x) ) ⇒ f ′( x) = g ′ ( u ( x) ) ⋅ u′( x)

11

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 11

2015-03-24 09:27:01

EKSEMPEL Deriver funksjonene. a) f ( x) = 3e x Løsning:

2

b) g ( x) = ( 2 x + 3)

+2

(

2

)′ = 3 ⋅ e

x2 +2

(

(

4

c) h( x) = ln 2 x 2 + 4

)

)

2 2 ⋅ x 2 + 2 ′ = 3 ⋅ e x +2 ⋅ 2 x = 6 x ⋅ e x +2

a)

f ′( x) = 3 ⋅ e x

b)

3 3 3 g ′( x) = 4 ⋅ ( 2 x + 3) ⋅ ( 2 x + 3)′ = 4 ⋅ ( 2 x + 3) ⋅ 2 = 8 ⋅ ( 2 x + 3)

c)

h′( x) =

+2

1 1 4x 2x ⋅ 2 x2 + 4 ′ = 2 ⋅ 4x = = 2 2 2x + 4 2x + 4 x +2 2⋅ x + 2 2

(

)

(

)

OPPGAVE 1 12

?

Deriver funksjonene. a) f ( x) = 5e x + 3x 2 − 2 x

b) g ( x) = 5 ln x −

3 x

c) h( x) = 2000 ⋅1, 05 x

OPPGAVE 1 13

Deriver funksjonene.

4 a) f ( x) = 5e2 x+ 4 b) g ( x) = ln ( 2 x + 1)

c) h( x) = x 2 + 1

Når vi skal derivere et produkt av funksjoner eller en rasjonal funksjon, bruker vi disse reglene for funksjonene u og v: (u ⋅ v)′ = u′ ⋅ v + u ⋅ v′  u ′ u′ ⋅ v − u ⋅ v′ v = v2  

EKSEMPEL Deriver funksjonene. ln x b) g ( x) = 2 a) f ( x) = 3xxe x x Løsning:

a)

( )

f ′( x) = ( 3x )′ ⋅ e x + 3x ⋅ e x ′ = 3 ⋅ e x + 3x ⋅ e x = (3 + 3x)e x = 3( x + 1)e

12

x

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 12

2015-03-24 09:27:04

b)

1 2 ′ ⋅ x 2 − ln x ⋅ x 2 ′ ⋅ x − ln x ⋅ (2 x) ′ ln x ( ) ln x   x g ′( x) =  2  = = 2 x4  x  x2

( )

=

?

( )

x − 2 x ln x x ⋅ (1 − 2 ln x) 1 − 2 ln x = = x4 x4 x3

OPPGAVE 1 14

Deriver funksjonene.

2

a) f ( x) = x ln x

ex b) g ( x) = 3 x

2

ex c) h( x) = 2 x

1.2 Ubestemt integral En funksjon f er gitt ved at f ( x) = 3x 2 + 4 x + 5 Funksjonen F gitt ved F ( x) = x3 + 2 x 2 + 5 x har derivert F ′( x) = 3x 2 + 4 x + 5 = f ( x) Vi ser at F ′( x) = f ( x) og sier at funksjonen F er en antiderivert til f. Å fi nne funksjonsuttrykket for en funksjon når vi kjenner funksjonsuttrykket for den deriverte, kaller vi antiderivasjon.

Men funksjonen G gitt ved G ( x) = F ( x) + 7 = x3 + 2 x 2 + 5 x + 7 har derivert G′( x) = 3x 2 + 4 x + 5 = f ( x) Dermed er også G en antiderivert til f. For enhver konstant C vil funksjonen G ( x) = F ( x) + C = x3 + 2 x 2 + 5 x + C ha f som derivert. G er dermed en antiderivert til f for alle verdier av konstanten C.

13

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 13

2015-03-24 09:27:06

Dette gjelder for alle funksjoner f. Hvis F er en antiderivert til f slik at F ′( x) = f ( x), er G ( x) = F ( x) + C også en antiderivert til f for alle konstanter C. Grunnen er at G′( x) = F ′( x) + C ′ = f ( x) + 0 = f ( x) Fins det enda fl ere antideriverte til funksjonen f ?

La F og G begge være antideriverte til f. Da er F ′( x) = f ( x) og G′( x) = f ( x).

La nå funksjonen H være gitt ved H ( x) = G ( x) − F ( x) Da er H ′( x) = G′( x) − F ′( x) = f ( x) − f ( x) = 0 Grafen til H har dermed horisontal tangent i alle punkter, og grafen blir da ei horisontal linje. Det må da fi nnes en konstant C slik at H ( x) = C G ( x) − F ( x) = C G ( x) = F ( x) + C Alle de antideriverte til f kan dermed skrives som F ( x) + C. La F være en antiderivert til funksjonen f. Enhver antiderivert til f har da et funksjonsuttrykk av typen F ( x) + C der C er en konstant.

Hvis vi klarer å fi nne én funksjon F som har f som derivert, kan vi altså fi nne alle.

EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f ( x) = 6 x 2 + 4 x − 3 a) Finn funksjonsuttrykket for alle de antideriverte til f. b) Finn en antiderivert G til f som er slik at G((1) = 0.

0 Løsning:

a) Funksjonen F gitt ved F ( x) = 2 x3 + 2 x 2 − 3x

14

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 14

2015-03-24 09:27:08

er en antiderivert til f fordi F ′( x) = 2 ⋅ 3x 2 + 2 ⋅ 2 x − 3 = 6 x 2 + 4 x − 3 = f ( x)

Alle de antideriverte til f har da funksjonsuttrykk av typen G ( x) = 2 x3 + 2 x 2 − 3x + C der C er en konstant.

b) Kravet G((1) = 0 gir en likning som vi kan bruke til å fi 0 nne C. G (1) = 0 2 ⋅13 + 2 ⋅12 − 3 ⋅1 + C = 0 2+ 2−3+C = 0 1+ C = 0 C = −1

Den antideriverte som oppfyller kravet, er G ( x) = 2 x3 + 2 x 2 − 3x − 1

?

OPPGAVE 1 20

Finn funksjonsuttrykket for alle de antideriverte til funksjonen f når a) f ( x) = 4 x − 2 b) f ( x) = x 2 + 4 x c) f ( x) = 2 x3 − x

d) f ( x) = 4 x3 − 6 x + 1

OPPGAVE 1 21

Funksjonen f er gitt ved f ( x) = 8 x3 + 12 x 2 + 10 x + 3 Finn den antideriverte F til f som er slik at F (−1) = 2.

∫

Vi bruker symbolet f ( x)dx for funksjonsuttrykket til alle de antideriverte α

til en funksjon f. Vi skriver for eksempel at

∫ (2 x + 1)dx = x

2

+ x+C

fordi vi kan skrive alle de antideriverte til 2 x + 1 som x 2 + x + C .

∫

∫

Symbolet er et integraltegn. Uttrykket f ( x)dx kaller vi et ubestemt α

α

integral, og funksjonsuttrykket f (x) kaller vi integranden. Vi sier at integralet er ubestemt fordi det inneholder en ubestemt konstant C. Å integrere f vil si å fi nne de antideriverte til f.

15

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 15

2015-03-24 09:27:11

Symbolet dx i

∫ f ( x)dx kan virke unødvendig, men skrivemåten er praktisk α

blant annet når vi skifter variabel i et integral. Det lærer vi om i kapittel 7.

Legg merke til at vi skriver dx når variabelen i integranden er x. Hvis variabelen er t, skriver vi dt.

EKSEMPEL Finn de ubestemte integralene. a)

∫ (4 x + 6)ddxx

b)

∫ (6t

2

− 4t + 1))dt

Løsning:

a) Her skal vi fi nne alle funksjonene som har 44 x + 6 som derivert.

∫ (4 x + 6)ddxx = 2 x

2

+ 6x 6x + C

b) Nå skal vi fi nne de antideriverte til 66t 2 − 4t + 1.

∫ (6t

2

− 4t + 1))dt dt = 2t 2t 3 − 2t 2 + t + C

OPPGAVE 1 22

?

Regn ut de ubestemte integralene. a) c)

∫ (2 x + 1)dx ∫ (3x + 4 x + 1)dx 2

∫ 4dx d) ∫ ( x − 5 x + 6)dx b)

α

2

Nå bruker vi formelen ( x r )′ = r ⋅ x r − 1 til å fi nne en antiderivert til x r. Dersom r ≠ −1, er 1 1  1 r + 1 ′ r +1 ′ = ⋅ (r + 1) ⋅ x r + 1 − 1 = x r  r +1 x  = r +1 ⋅ x r + 1  

(

)

Dermed har vi vist denne integrasjonsregelen: Dersom r ≠ −1, er 1

∫ x ddx = r + 1 x r

16

r +1

+C

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 16

2015-03-24 09:27:16

Dersom r = –1, blir integralet 1 dx x r dx = x −1dx = x Dette integralet bestemmer vi i kapittel 1.3.

∫

∫

∫

Formelen nederst på forrige side gir blant annet disse integrasjonsreglene: 1 1 1 x dx = x 2 + C x 2 dx = x3 + C x3dx = x 4 + C 2 3 4

∫

∫

∫

EKSEMPEL Finn de ubestemte integralene.

1 b) dx a) x5 ddxx x3

∫

∫

α

Løsning:

1

α

a)

∫ x ddxx = 5 + 1 ⋅ x

b)

∫x

3

c)

∫

x ddxx = x 3 dx =

5

1

3

∫

5+1

dx = x −3ddxx =

∫

+C =

c)

∫

3

x ddx

α

1 6 x +C 6

1 1 1 ⋅ x −3 + 1 + C = − ⋅ x −2 + C = − 2 + C −3 + 1 2 2x

1

1

1 +1 3

1

⋅ x3

+1

+C =

1

1 3 1 3 ⋅x ⋅x +C = x⋅ 3 x +C 4 4 3

En sum av funksjoner deriverer vi ledd for ledd, og derfor kan vi også integrere en sum av funksjoner ledd for ledd slik denne regelen viser: Dersom F ′( x) = f ( x) og G′( x) = g ( x), er

∫ ( a ⋅ f ( x) + b ⋅ g ( x) ) dx = a ⋅ F ( x) + b ⋅ G( x) + C der a, b og C er konstanter.

Når vi nå skal bevise denne regelen, er det nok å derivere a ⋅ F ( x) + b ⋅ G ( x) og se om vi får integranden:

( a ⋅ F ( x) + b ⋅ G ( x) )′ = a ⋅ F ′( x) + b ⋅ G′( x) = a ⋅ f ( x) + b ⋅ g ( x) Regelen er altså riktig. Den gjelder også for en sum med mer enn to ledd.

17

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 17

2015-03-24 09:27:16

EKSEMPEL Finn de ubestemte integralene. b) ( x3 + 3x 2 + 5 x)ddxx a) 6 x 2 ddxx

∫

∫

α

Løsning:

1

a)

∫ 6 x dx = 6 ⋅ 3 x

b)

∫ (x

c)

∫ (2 x + 1 + x

2

3

3

∫

c) (2 x + 1 +

3 ) dx x2

+ C = 2 x3 + C 1 4 1 1 ⋅ x + 3 ⋅ ⋅ x3 + 5 ⋅ ⋅ x 2 + C 4 3 2 1 4 5 = x + x3 + x 2 + C 4 2

+ 3x 2 + 5 x)ddxx =

3 2

∫

)dx = (2 x + 1 + 3x −2 ))dx 1 1 3 = 2 ⋅ x 2 + x + 3 ⋅ ⋅ x −1 + C = x 2 + x − + C 2 −1 x

EKSEMPEL En bil kjører på en rett veistrekning. Etter t sekunder har den akselerasjonen a(t ) = −0, 2t + 1, t ∈ [0, 5] målt i meter per sekund i andre (m/s2).

Finn fartsøkningen i meter per sekund i denne perioden.

Løsning:

Fra R1 vet vi at akselerasjonen er den deriverte av farten. Dermed er farten en antiderivert til akselerasjonen. Farten i meter per sekund er da gitt ved

∫

∫

v(t ) = a( a(t )ddtt = (−0, 2t + 1)dt = −0,1 , t2 + t + C Vi har ikke opplysninger nok til å fi nne konstanten C, men vi kan likevel fi nne fartsøkningen. Den er v(5) − v(0) = (−0,1 ⋅ 52 + 5 + C C)) − (−0 + 0 + C ) = −2, 5 + 5 + C − C = 2, 5 Farten øker med 2,5 m/s.

18

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 18

2015-03-24 09:27:19

?

OPPGAVE 1 23

Regn ut de ubestemte integralene.

1 2   1 b)  2 − 3  dx a)  t − 2  dt t x x     5 3 2 dx c) 2t − 5 ⋅ t dt d) 2 x

∫ ∫(

∫ ∫

)

α

OPPGAVE 1 24

Etter t sekunder har en bil farten v(t ) = 20 + 0, 8t , t ∈ [ 0, 10] målt i meter per sekund.

Hvor langt kjører bilen på de ti sekundene?

OPPGAVE 1 25

a) Finn f ( x) når f ′( x) = 4 x − 2 og f (1) = 2. b) Finn f ( x) når f ′( x) = 6 x 2 + 5 og grafen til f skjærer andreaksen i punktet 2. c) Finn f ( x) når f ′′( x) = 12 x − 6 og grafen har et bunnpunkt i (1, 0).

1.3 Integralet

1

∫ x dx

α

y 5

I dette kapittelet skal vi integrere funksjonen 1 f ( x) = x Funksjonen har grafen til høyre.

Fra R1 vet vi at ln x er defi nert når x > 0, og at 1 ( ln x )′ = x For positive verdier av x er derfor

4 3 2 1 –5 –4 –3 –2 –1 –1

f 1

2

x

3 4 5

–2 –3 –4 –5

1

∫ x dx = ln x + C For negative verdier av x er tallet -x positivt, og da er ln ( − x ) defi nert. Vi deriverer ln ( − x ) ved hjelp av kjerneregelen.

( ln ( − x ))′ = −1x ⋅ ( − x )′ = −1x ⋅ (−1) = 1x 19

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 19

2015-03-24 09:27:22

For negative verdier av x er dermed 1

∫ x dx = ln ( − x ) + C 1

∫ x dx kan vi kombinere til ett uttrykk ved hjelp av

De to uttrykkene for

α

absoluttverditegnet, fordi x = x når x ≥ 0 x = − x når x < 0

1

∫ x dx = ln x + C EKSEMPEL Finn de ubestemte integralene. a)

4



∫  6 x + x  dx

b)

3



2  dx 2  

∫  2 x + 1 + x + x

Løsning:



4

1



a)

∫  6 x + x  dx = ∫  6 x + 4 ⋅ x  dx = 3x

b)

∫  2 x + 1 + x + x

3



2

+ 4 ⋅ ln x + C

2  1   dx =  2 x + 1 + 3 ⋅ + 2 x −2  ddxx 2  x    1 = x 2 + x + 3 ⋅ ln x + 2 ⋅ ⋅ x −1 + C −1 2 = x 2 + x + 3 ⋅ ln x − + C x

∫

OPPGAVE 1 30

?

Finn de ubestemte integralene. a)

3

∫ x dx

α

b)



2

∫  2 x + 1 − x  dx

c)

∫ (6 x

2

− 2x −1 +

1 1 + )dx x x2

OPPGAVE 1 31

Finn de ubestemte integralene. a)

20

∫

x +1 dx x

b)

∫

2 x2 + x − 2 dx x

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 20

2015-03-24 09:27:26

?

OPPGAVE 1 32

Finn de ubestemte integralene.

1 1 dx b) dx a) x +1 2x + 1

∫

∫

OPPGAVE 1 33

La x være et positivt tall. a) Deriver uttrykket x ⋅ ln x − x b) Finn det ubestemte integralet

∫ ln x dx

α

1.4 Integrasjon av eksponentialfunksjoner Fra før kjenner vi derivasjonsformelen

( e )′ = e x

x

Det gir denne integrasjonsformelen:

∫ e ddxx = e x

x

+C

EKSEMPEL Regn ut det ubestemte integralet

∫ (4 x +2e ))dx x

Løsning:

)dx = 2 x ∫ (4 x +2e )dx x

∫

2

+ 2e x + C

Nå skal vi fi nne ekx dx , der k er en konstant. Vi bruker kjerneregelen og deriverer ekx.

( e )′ = e kx

kx

α

⋅ (kx)′ = ekx ⋅ k = k ⋅ ekx

21

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 21

2015-03-24 09:27:27

Hvis k ≠ 0, blir dermed  1 kx ′ 1 kx ′ 1 = ⋅ k ⋅ ekx = ekx ke  = k ⋅ e k  

( )

Vi har funnet en antiderivert til ekx, og dermed kan vi integrere ekx.

∫e

kx

ddx =

1 kx ⋅ e + C, k

k ≠0

EKSEMPEL Regn ut integralene. a)

∫e

3x

ddxx

b)

α

∫ 20e

0 ,0 05 5x

ddxx

α

c)

∫ (2e

2x

+ 2e−2 x ) dx

Løsning:

∫e

a)

3x

1 ddxx = ⋅ e3 x + C 3 1 ⋅ e0,05 x + C = 400 ⋅ e0,005 x + C 0, 005 1 1 2x + 2e−2 x ) dx = 2 ⋅ ⋅ e2 x + 2 ⋅ e−2 x + C = e2 x − e−2 x + C 2 −2

∫ 20e ∫ (2e

b) c)

0 ,05 05 x

ddxx = 20 ⋅

OPPGAVE 1 40

?

Regn ut de ubestemte integralene. a) c)

∫ 2e dx ∫ ( 4e + 9e x

2x

∫ (6 x − 3e )dx d) ∫ (e + e )dx x

b)

α

3x

)dx

x

−x

La a være et positivt tall. Da er

( a )′ = a x

x

⋅ ln a = ln a ⋅ a x

Hvis a ≠ 1 , er konstanten ln a ≠ 0 . Da er α

α

′ 1 1  1 x x ′ x x  ln a ⋅ a  = ln a ⋅ a = ln a ⋅ ln a ⋅ a = a  

( )

Uttrykket

22 22

1 ln a

⋅ ax er dermed en antiderivert til a x . Det gir regelen på neste side.

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 22

2015-03-24 09:27:33

1

∫ a ddx = ln a ⋅ a x

x

+ C, a > 0 ∧ a ≠ 1

Legg merke til at når a = e, er ln= a ln= e 1. Da blir formelen 1

∫ e dx = ln e ⋅ e x

x

1 + C = ⋅ ex + C = ex + C 1

Det er i samsvar med formelen på side 21.

EKSEMPEL Regn ut integralene. a)

∫ 3 dx x

b)

α

∫ 5000 ⋅1, 005 dx x

∫ (2 x + 2 ) ddxx x

c)

Løsning:

?

1

a)

∫ 3 dx = ln 3 ⋅ 3

b)

05 ∫ 5000 ⋅1, 0055 dx = 5000 ⋅ ln1, 005 ⋅1, 05

c)

∫ (2 x + 2 ) ddxx = x

x

x

+C 1

x

x

2

+

x

+C =

5000 ⋅1, 0055 x + C ln 1, 005

1 ⋅ 2x + C ln 2

OPPGAVE 1 41

Regn ut de ubestemte integralene. a)

∫ (3 ⋅ 2 )dx x

b)

∫ (2 − 3 )dx

b)

∫ (12 800 ⋅1, 05 )dx

x

c)

∫ (ln 2 ⋅ 2

x

+ ln 3 ⋅ 3x )dx

OPPGAVE 1 42

Finn integralene. a)

∫ (5400 ⋅ e

0 ,08 x

)dx

OPPGAVE 1 43

x

a) Deriver uttrykket e x .

2

∫

b) Finn integralet xe x dx .

2

α

23

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 23

2015-03-24 09:27:33

1.5 Bestemt integral som grense for en sum y

Funksjonen gitt ved

3

f ( x) = x

f

2 1

har grafen til høyre.

A 1

2

x

3 4 5 6 7

På fi guren har vi skravert et fl atestykke som er avgrenset av x-aksen, linja x = 1, linja x = 6 og grafen til funksjonen f. Vi ønsker å fi nne arealet A av dette fl atestykket.

Vi deler først intervallet [1, 6] i fem like deler og tegner fem rektangler som går fra x-aksen og opp til grafen. Arealet av de fem rektanglene er en grov tilnærming til arealet A. y 3

f

2 1

x 1

2

3 4 5 6 7

Hvert rektangel har bredden ∆x, der 6 −1 5 = =1 ∆x = 5 5 Høyden av rektanglene blir f (1), f (2), f (3), f (4) og f (5). Summen S5 av arealene av de fem rektanglene blir S5 = f (1) ⋅ ∆x + f (2) ⋅ ∆x + f (3) ⋅ ∆x + f (4) ⋅ ∆x + f (5) ⋅ ∆x = 1 ⋅1 + 2 ⋅1 + 3 ⋅1 + 4 ⋅1 + 5 ⋅1 = 8, 38 På fi guren nedenfor har vi delt intervallet [1, 6] i ti like store deler og tegnet rektangler som når opp til grafen. y 3

f

2 1

x 1

2

3 4 5 6 7

Arealet av disse ti rektanglene gir en bedre tilnærming til arealet A under grafen til f. Hvert rektangel får bredden ∆x, der 6 −1 5 ∆x = = = 0, 5 10 10 Høyden av rektanglene blir f (1), f (1,5), f (2) osv. Rektangelet lengst til høyre har høyden f (5,5). Arealet S10 av de ti rektanglene er

24

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 24

2015-03-24 09:27:35

S10 = f (1) ⋅ ∆x + f (1, 5) ⋅ ∆x + f (2) ⋅ ∆x +  + f (5, 5) ⋅ ∆x = 1 ⋅ 0, 5 + 1, 5 ⋅ 0, 5 + 2 ⋅ 0, 5 +  + 5, 5 ⋅ 0, 5 = 8, 76 Denne summen kan vi også fi nne i GeoGebra. Da skriver vi først inn funksjonsuttrykket f ( x) = x og skriver deretter SumUnder[f, 1, 6, 10]. Vi bruker SumUnder fordi vi vil ha rektanglene under grafen til f. Det gir dette resultatet:

Vi ser at arealet av de 10 rektanglene er 8,76.

Hvis vi deler området i n rektangler, blir bredden av hvert rektangel 6 −1 5 ∆x = = n n La x1 være den x-verdien i det første rektangelet som har minst funksjonsverdi, x2 den x-verdien i det andre rektangelet som har minst funksjonsverdi, osv. Arealet Sn av de n rektanglene blir da Sn = f ( x1 ) ⋅ ∆x + f ( x2 ) ⋅ ∆x + f ( x3 ) ⋅ ∆x +  + f ( xn ) ⋅ ∆x Ved hjelp av GeoGebra CAS kan vi se på denne summen for store verdier av n.

Det ser ut som arealet nærmer seg 9,13.

Når n → ∞, nærmer Sn seg en grenseverdi som vi kaller det bestemte integralet til f. Vi skriver 6

∫ f ( x)dx = lim S 1

n→∞

n

Tallene 1 og 6 kaller vi integrasjonsgrensene. Tallet 1 er nedre integrasjonsgrense, og 6 er øvre integrasjonsgrense. Denne grenseverdien er samtidig lik arealet A mellom x-aksen og grafen til f fra linja x = 1 til linja x = 6.

25

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 25

2015-03-24 09:27:36

Etter utregningen på forrige side er 6

∫ f ( x)dx = 9,13 1

OPPGAVE 1 50

?

En funksjon f er gitt ved f ( x) = x 2 , x ∈ [ 0, 6] Et fl atestykke er avgrenset av x-aksen, linja x = 1, linja x = 5 og grafen til f. a) Finn uten å bruke GeoGebra en tilnærmingsverdi for arealet A ved hjelp av 8 rektangler. b) Finn ved hjelp av GeoGebra en tilnærmingsverdi for arealet A ved hjelp av 100 rektangler.

Nå skal vi defi nere det bestemte integralet til en funksjon f som er kontinuerlig i intervallet [ a, b ].

Først ser vi på en funksjon f som er positiv i intervallet [ a, b ]. Vi skal fi nne arealet A av det fl atestykket som er avgrenset av x-aksen, linja x = a , linja x = b og grafen til f. Se fi guren til venstre nedenfor. y

y

f

f

A x

x a

b

a

b

Først deler vi intervallet [ a, b ] i n like store deler som vist til høyre ovenfor.

Bredden av hver del er b−a ∆x = n Over hver del tegner vi et rektangel som når opp til grafen. La x1 være den x-verdien i det første rektangelet som har minst funksjonsverdi, x2 den x-verdien i det andre rektangelet som har minst funksjonsverdi, osv. Da er f ( x1 ) høyden i det første rektangelet, f ( x2 ) høyden i det andre rektangelet, osv. Summen Sn av arealene til de n rektanglene blir da Sn = f ( x1 ) ⋅ ∆x + f ( x2 ) ⋅ ∆x + f ( x3 ) ⋅ ∆x +  + f ( xn ) ⋅ ∆x Når vi som her bruker den minste funksjonsverdien i hvert intervall, vil Sn alltid bli et tall som er mindre arealet.

26

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 26

2015-03-24 09:27:41

Vi kunne også ha brukt den største funksjonsverdien i hvert intervall. Da hadde vi fått en sum Tn som ville blitt større enn arealet A. Da hadde vi fått at Sn < A < Tn Vi kan vise at hvis f er kontinuerlig i [ a, b ], så eksisterer grenseverdien lim Sn . n→∞ Da defi nerer vi det bestemte integralet av f på denne måten: b

∫ f ( x)dx = lim S n→∞

a

n

Tallene a og b er integrasjonsgrensene. Hvis f er positiv i intervallet [ a, b ], er det bestemte integralet arealet av det fl atestykket som er avgrenset av xaksen, linja x = a, linja x = b og grafen til f.

Hvis f ikke er positiv i intervallet [ a, b ], defi nerer vi det bestemte integralet nøyaktig på den samme måten. Men nå blir integralet ikke lik arealet, for funksjonsverdien er ikke lik høyden i rektanglene. Vi tegner grafen til en funksjon som er negativ i intervallet [ a, b ] og skal fi nne arealet A på fi guren til venstre nedenfor. y

b x

a

y

b x

a

A

f

f

Høyden i et rektangel er alltid et positivt tall. Funksjonsverdien er her et negativt tall som i tallverdi blir lik høyden. Når vi regner ut summen Sn foran, får vi arealet av rektanglene med negativt fortegn. Dermed blir også grenseverdien lim Sn arealet mellom x-aksen og grafen med negativt fortegn. n→∞

b

Men denne grenseverdien er det bestemte integralet

∫ f ( x)dx . α

a

La A være arealet av det fl atestykket som er avgrenset av x-aksen, linja x = a, linja x = b og grafen til en kontinuerlig funksjonen f. b

A= Dersom fl atestykket ligger over x-aksen, er A

∫ f ( x)ddx. a

b

∫

Dersom fl atestykket ligger under x-aksen, er A A = − f ( x)ddx. a

27

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 27

2015-03-24 09:27:41

OPPGAVE 1.51

?

Funksjonen f er gitt ved f ( x) = ln x, x ∈ 0, 3] Et flatestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f, linja x = 1 og linja x = 2. a) Finn en tilnærmingsverdi for arealet av flatestykket ved hjelp av 1) 10 rektangler 2) 100 rektangler 3) 1000 rektangler 2

∫

b) Hva blir etter dette ln x dx tilnærmet lik? α

1

OPPGAVE 1.52

Funksjonen f er gitt ved 1 f ( x) = x 2 − 1, x ∈ [−3, 3] 4 a) Tegn grafen til f. b) Skraver det flatestykket F som er avgrenset av x-aksen og grafen til f. c) Finn en tilnærmingsverdi for integralet 2

1 ( x 2 − 1)dx 4 −2

∫

ved hjelp av 100 rektangler. d) Finn en tilnærmingsverdi for arealet av flatestykket F.

6

På side 25 fant vi ved hjelp av mange rektangler at

∫

x dx ≈ 9,13. Men slike

1

bestemte integraler kan vi regne ut uten å bruke rektangler. I GeoGebra kan vi gjøre det på to måter. Først viser vi hvordan vi gjør det uten å bruke CAS. Da skriver vi inn funksjonsuttrykket f ( x) og skriver deretter Integral[f, 1, 6] i inntastingsfeltet. Det gir dette resultatet:

Programmet skraverer flatestykket og gir arealet med så mange desimaler som vi vil ha.

28

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 28

2015-03-24 09:27:42

I GeoGebra CAS skriver vi Integral[√x, 1, 6]. Husk at vi får fram rottegnet ved å trykke Alt r. (På en Mac trykker vi ctrl r.) Når vi så trykker på , får vi dette:

Programmet gir her den eksakte verdien. Den kan vi omforme slik: 12 6 − 2 12 6 2 2 = − =4 6− 3 3 3 3 Hvis vi vil ha en tilnærmingsverdi, trykker vi i stedet på

. Det gir

EKSEMPEL La funksjonen f være gitt ved f ( x) = x 2 − 4 x + 3 a) Tegn grafen til f i GeoGebra. b) Finn arealet av det fl atestykket F som er avgrenset av x-aksen og grafen uten bruk av CAS. c) Finn det eksakte arealet av F ved hjelp av CAS. Løsning:

a) I GeoGebra skriver vi inn funksjonsuttrykket og får denne grafen:

29

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 29

2015-03-24 09:27:43

b) Flatestykket ligger under x-aksen mellom x = 1 og x = 3. Nå skriver vi Integral[f, 1, 3]. Det gir svaret −1,33 som vist på grafen på forrige side.

Ettersom fl atestykket er under x-aksen, er arealet 3

∫

A = − ( x 2 − 4 x + 3)ddx = 1, 33 1

c) Ettersom vi har skrevet inn funksjonsuttrykket, er det nå nok å skrive Integral[f, 1, 3] i CAS.

Dermed er 3

∫ (x

2

− 4 x + 3))dx = −

1

4 3

Men fl atestykket ligger under x-aksen, og arealet er dermed 4 A= 3

OPPGAVE 1 53

?

Et fl atestykke F er avgrenset av x-aksen, linja x -aksen, linja x = 1, linja x = 3 og grafen til funksjonen f ( x) = 3x 2 − 3 a) Tegn grafen til f i GeoGebra. b) Finn arealet av F uten bruk av CAS. c) Finn arealet av F ved hjelp av CAS. OPPGAVE 1 54

Finn digitalt arealet av det området som er avgrenset av x-aksen og grafen til funksjonen f ( x) = x 2 − 2 x − 3 OPPGAVE 1 55

Finn digitalt arealet av det fl atestykket som er avgrenset av x-aksen og grafen til f ( x) = − x 2 + 5 x − 6

30

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 30

2015-03-24 09:27:46

1.6 Bestemt integral og antiderivasjon Når vi skal fi nne bestemte integraler uten digitalt hjelpemiddel, får vi bruk for å regne ut differansen F (b) - F (a). Det fi ns en skrivemåte for den. Vi skriver

[ F ( x)]a = F (b) − F (a) b

Legg merke til at vi først setter inn det øvre tallet, og så trekker fra det vi får når vi setter inn det nedre tallet.

EKSEMPEL Regn ut uttrykket

[x

2

− 2 x ]1

3

Løsning:

[ x 2 − 2 x ]1 = ( 32 − 2 ⋅ 3) − (12 − 2 ⋅1) = 3 − ( −1) = 3 + 1 = 4 3

OPPGAVE 1 60

Regn ut uttrykkene.

2 4 b) [ x3 − x ] a) [ 2 x 2 + x ] 0

1

c) [ 2 x3 − 2 x 2 + x ] −1 1

På slutten av dette delkapittelet skal vi vise at vi kan fi nne det bestemte integralet av en funksjon ved hjelp av en antiderivert til funksjonen. Denne sammenhengen fant Isaac Newton (1642-1727) og Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) omtrent samtidig. Resultatet ble en rivende utvikling i matematikk, fysikk og astronomi som ga mye av grunnlaget for den tekniske utviklingen i de neste hundreårene. Sammenhengen mellom det bestemte integralet og en antiderivert, som er formulert i regelen nedenfor, kaller vi fundamentalsetningen i integralregningen.

La F være en antiderivert til funksjonen f. Da er b

∫ f ( x)dx = [ F ( x)]

b a

= F (b) − F (a )

a

31

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 31

2015-03-24 09:27:47

Når vi regner ut bestemte integraler, trenger vi ikke tenke på om grafen ligger over eller under x-aksen. Det er bare når vi skal fi nne et areal, at vi trenger å tenke på det.

!

EKSEMPEL Finn de bestemte integralene.

1

a)

∫

3

( x 2 + 1)ddxx

b)

0

∫ (x

2

− 4 x + 3))dx

1

Løsning:

1

a) Som antiderivert til x 2 + 1 velger vi x3 + x. Vi trenger ikke ha med x 3 noen konstant C, for vi skal bare ha én antiderivert til f. Dermed er 1

1

4 1  1  1  4 ( x 2 + 1)ddxx =  x3 + x  =  ⋅⋅113 + 1 −  ⋅ 03 + 0  = − 0 = 3 3 0  3  3  3 0

∫

1 3

b) En antiderivert til x 2 − 4 x + 3 er x3 − 2 x 2 + 33x. Da er 3

3

1  ( x 2 − 4 x + 3))dx =  x3 − 2 x 2 + 3x  3  1 1

∫

1  1  =  ⋅ 33 − 2 ⋅ 32 + 3 ⋅ 3  −  ⋅13 − 2 ⋅1 ⋅12 + 3 ⋅1 ⋅  3 3     4 4 1  = ( 9 − 18 + 9 ) −  − 2 + 3  = 0 − = − 3 3 3  

Dette stemmer med det vi fant i eksempelet på side 30.

∫

Legg merke til symbolbruken. Mellom integraltegnet og dx står det funksjonsuttrykket f (x) som vi skal integrere. Mellom hakeparentesene [ og ] står en antiderivert til f (x). Når vi deretter setter inn integrasjonsgrensene, bruker vi vanlige parenteser og ikke hakeparenteser. Vi setter alltid inn øvre integrasjonsgrense først. Deretter trekker vi fra det uttrykket vi får når vi setter inn nedre integrasjonsgrense.

!

OPPGAVE 1 61

?

Finn de bestemte integralene ved regning.

2

a)

∫ ( 2 x + 3) dx

−2

32

α

2

b)

∫ (3x

−1

1

2

+ 2 x)dx

c)

∫(x

3

)

+ 6 x 2 − 3x + 1 dx

0

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 32

2015-03-24 09:27:49

?

OPPGAVE 1 62

Finn de bestemte integralene ved regning.

1

a)

e

5

∫ e dx x

∫ 2 dx x

b)

α

α

0

c)

0

1

∫ x dx

α

1

I kapittel 1.5 så vi på arealet A av et fl atestykke som er avgrenset av x-aksen, linja x = a , linja x = b og grafen til en funksjon f. Dersom fl atestykket ligger b

over x-aksen, er A = b

∫ f ( x)dx. Dersom fl atestykket ligger under x-aksen, er a

∫

A = − f ( x)dx. a

EKSEMPEL Finn arealet av fl atestykket som er avgrenset av x-aksen, y-aksen, linja x = 1 og grafen til funksjonen f ( x) = 2 x − e x Løsning:

Først tegner vi grafen for å se om fl atestykket ligger over eller under x-aksen. y 1 x 0

1

–1

Flatestykket ligger under x-aksen. Nå fi nner vi det bestemte integralet.

1

dx = [ x ∫ (2 x − e ))dx x

0

2

1

− e x ] = (12 − e1 ) − (02 − e0 ) 0

= (1 − e) − (0 − 1) = 1 − e + 1 = −e + 2 Ettersom fl atestykket ligger under x-aksen, er arealet 1

A = − (2 x − e x )ddxx = − ( −e + 2 ) = e − 2

∫ 0

33

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 33

2015-03-24 09:27:51

EKSEMPEL Finn arealet av fl atestykket som er avgrenset av x-aksen, linja x = 1, linja x = 6 og grafen til funksjonen f ( x) = x Løsning:

På side 25 tegnet vi dette fl atestykket. Det ligger over x-aksen. Nå trenger vi en antiderivert til x og fi nner derfor det ubestemte integralet

∫

∫

1

x ddxx = x 2 dx =

=

1

1

1 +1 2

x2

+1

+C =

1 1⋅ 2 x 2 ⋅ x1 + C 1   2 + 1 ⋅ 2  

2 2 x ⋅x+C = x x +C 1+ 2 3

Ettersom fl atestykket ligger over x-aksen, er arealet 6

A=

∫ 1

6

2 2 2  2  x dx =  x x  =  ⋅ 6 6 − ⋅1 1  = 4 6 − ≈ 9,113 3 3 3 1  3 

Det stemmer med det vi fant på side 25.

OPPGAVE 1 63

?

Regn ut arealet av det området som er avgrenset av x-aksen, linja x = −2, linja x = 2 og grafen til funksjonen gitt ved f ( x) = e x OPPGAVE 1 64

Regn ut arealet av det området som er avgrenset av x-aksen, y-aksen, linja x = 4 og grafen til funksjonen gitt ved f ( x) = −3x 2 + 12 x OPPGAVE 1 65

Regn ut arealet av det området som er avgrenset av x-aksen, linja x = 1, linja x = 4 og grafen til funksjonen gitt ved f ( x) = 1 −

1 x

OPPGAVE 1 66

Regn ut arealet av det området som er avgrenset av x-aksen, linja x = −2, linja x = −1 og grafen til funksjonen gitt ved f ( x) =

34

2 x

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 34

2015-03-24 09:27:54

BEVIS FOR AT

b

∫a f (x)dx = F (b) − F (a)

La f være en kontinuerlig funksjon. Her forutsetter vi at funksjonen er positiv i intervallet [ a, b ], men vi kan gå fram på tilsvarende måte hvis funksjonen er negativ. Vi skal fi nne arealet av det fl atestykket som er avgrenset av x-aksen, linja x = a, linja x = b og grafen til f. Se fi guren til venstre nedenfor. y

y f

f

A

A(t) x

x a

a

b

t

b

Først ser vi på arealet A(t ) av det fl atestykket som ligger mellom grafen, x-aksen, linja x = a og linja x = t . Se fi guren til høyre ovenfor.

Arealet A A(t ) er bestemt av hvor vi trekker linja x = t . Arealet er en funksjon av t.

Nå fi nner vi A′(t ) ved hjelp av defi nisjonen av den deriverte.

A(t + ∆t ) − A(t ) ∆t →0 ∆t

A′(t ) = lim

I utledningen forutsetter vi at ∆t > 0, og at f er voksende nær x = t . Vi kan gjøre et tilsvarende resonnement hvis ∆t < 0, og hvis f er avtakende nær x = t . Figuren nedenfor viser de to arealene A(t + ∆t ) og A(t ). Her er A(t ) arealet av det fl atestykket som går fra x = a til x = t , og A(t + ∆t ) er arealet av det fl ) atestykket som går fra x = a til x = t + ∆t. t y f(t + ∆t) f(t) f A(t) a

∆t t

x

b

t + ∆t

Differansen A(t + ∆t ) − A A((t ) i telleren ovenfor er arealet av det fl atestykket som er skravert horisontalt.

35

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 35

2015-03-24 09:27:58

Figuren viser at fl atestykket er større enn et rektangel med bredde ∆t og høyde f (t ) og mindre enn et rektangel med bredde ∆t og høyde f (t + ∆t ). Det gir

α

α

f (t ) ⋅ ∆t < A(t + ∆t ) − A A((t ) < f (t + ∆t ) ⋅ ∆t Vi dividerer med det positive tallet ∆t i denne dobbeltulikheten og får α

f (t ) <

A(t + ∆t ) − A A((t ) < f (t + ∆t ) ∆t

Nå lar vi ∆t → 0. Funksjonen f er kontinuerlig slik at f (t + ∆t ) → f (t )

når ∆t → 0. Uttrykket A(t + ∆t ) − AA((t ) ligger mellom f (t + ∆t ) og f (t ) og ∆t

må derfor også nærme seg f (t ) når ∆t → 0. Dermed er lim

∆t →0

A(t + ∆t ) − A(t ) = f (t ) ∆t

Denne grenseverdien er per defi nisjon lik A′(t ) . Dermed har vi vist at A′(t ) = f (t ) Funksjonen A(t ) er en antiderivert til f (t ). Hvis F (t ) er en annen antiderivert til f (t ), vet vi fra kapittel 1.2 at det fi ns en konstant C slik at A(t ) = F (t ) + C Arealet A A(a ) er null, for det er arealet av et fl atestykke der bredden er null. Det bruker vi for å fi nne C. A(a ) = 0 F (a) + C = 0 C = − F (a) Dermed er A(t ) = F (t ) − F (a ) Spesielt er da arealet fra x = a til x = b gitt ved A(b) = F (b) − F (a ) Men fra kapittel 1.5 vet vi at dette arealet A(b) er lik det bestemte b

integralet

∫ a

36

b

f ( x)dx . Dermed har vi bevist at α

∫ f ( x)dx = F (b) − F (a). a

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 36

2015-03-24 09:28:03

1.7 Mer om integrasjon og areal Nå har vi lært å regne ut arealet av et område mellom en graf og x-aksen når fl atestykket ligger enten over eller under x-aksen. Når området ligger delvis over og delvis under x-aksen, må vi dele det opp i fl ere deler og regne ut arealet av hver del for seg.

EKSEMPEL En funksjon f er gitt ved f ( x) = x3 − 6 x 2 + 8 x 4

a) Finn

∫ f ( x) dx . α

0

b) Finn arealet av det området som er avgrenset av x-aksen og grafen til f. c) Forklar svaret i oppgave a ved hjelp av utregningene i oppgave b.

Løsning: 4

a)

∫ 0

4

1  f ( x) dx =  x 4 − 2 x3 + 4 x 2  4 0

1  =  ⋅ 44 − 2 ⋅ 43 + 4 ⋅ 42  − 0 = 64 −128 128 + 64 = 0 4  b) Vi tegner grafen for å se om området ligger under eller over x-aksen: y f

4 3 2 1 –1 –2

A1 1

x 2 3

4

A2

–3 –4

Vi ser at området ligger delvis over og delvis under x-aksen, og vi må da regne ut arealet av hver del for seg. Vi trenger nullpunktene til funksjonen.

37

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 37

2015-03-24 09:28:04

f ( x) = 0 x3 − 6 x 2 + 8 x = 0 x ⋅ ( x 2 − 6 x + 8) = 0 x = 0 ∨ x2 − 6 x + 8 = 0 x=0∨ x=2∨ x=4

venfor måtte vi løse en andregradslikning.

O Arealet av det fl atestykket som ligger over x-aksen, er 2

A1 =

∫ 0

2

2

1  f ( x)ddxx = ( x3 − 6 x 2 + 8 x)dx =  x 4 − 2 x3 + 4 x 2  4 0 0

∫

1  1  =  ⋅ 2 4 − 2 ⋅ 23 + 4 ⋅ 2 2  −  ⋅ 0 4 − 2 ⋅ 03 + 4 ⋅ 0 2  = 4 − 0 = 4 4 4     Arealet av det fl atestykket som ligger under x-aksen, er 4

∫

A2 = − f ( x)ddx. Vi regner først ut integralet.

2

4

∫ 2

4

4

1  f ( x)dx = ( x − 6 x + 8 x)ddxx =  x 4 − 2 x3 + 4 x 2  4 2 2

∫

3

2

1  1  =  ⋅ 4 4 − 2 ⋅ 43 + 4 ⋅ 4 2  −  ⋅ 2 4 − 2 ⋅ 23 + 4 ⋅ 2 2  4  4  = 0 − 4 = −4 Dermed er

4

A2 = − f ( x) d dx = − ( −4 −4 ) = 4

∫ 2

Samlet areal blir A = A1 + A2 = 4 + 4 = 8 4

∫

c) Integralet f ( x)dx = 0 fordi arealet av fl atestykkene over og under 0

x-aksen er nøyaktig like store. Integralet blir da 0 fordi 4

2

4

0

0

2

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx = 4 + ( −4) = 0 OPPGAVE 1 70

?

Funksjonen f er gitt ved f ( x) = x 2 − 5 x + 6 a) Finn nullpunktene til f. b) Tegn grafen til f. c) Finn arealet av området som er avgrenset av x-aksen, y-aksen og grafen til f.

38

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 38

2015-03-24 09:28:07

?

OPPGAVE 1 71

Tegn grafen og regn ut arealet av området mellom x-aksen, linja x = −1, linja x = 1 og grafen til funksjonen gitt ved f ( x) = e x −1 OPPGAVE 1 72

En funksjon f er gitt ved f ( x) = x3 − 4 x 2

a) Finn

∫ f ( x)dx.

−2

b) Regn ut arealet av området som er avgrenset av x-aksen og grafen til f. c) Forklar sammenhengen mellom svarene i oppgave a og b.

OPPGAVE 1 73

Regn ut arealet av området som er avgrenset av x-aksen og grafen til funksjonen gitt ved f ( x) = x 4 − 5 x 2 + 4

Noen ganger får vi bruk for å fi nne arealet A av et fl atestykke som ligger mellom linja x = a , linja x = b og grafene til to funksjoner f og g. y g f

A

x a

b

Grafen til f ligger her over grafen til g i intervallet [ a, b ]. Begge grafene ligger over x-aksen i intervallet. Arealet mellom grafen til f og x-aksen er b

∫

b

∫

f ( x)dx , og arealet mellom grafen til g og x-aksen er g ( x)dx . Arealet A α

a

α

a

mellom de to grafene er da b

A=

∫ a

b

∫

f ( x)dx − g ( x)dx = a

b

∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx a

39

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 39

2015-03-24 09:28:09

På forrige side forutsatte vi at fl atestykket lå over x-aksen i intervallet [ a, b ].

Men fl atestykket kan godt ligge under x-aksen, eller delvis over og delvis under x-aksen som vist til venstre nedenfor. y

y

g a

g1

x

b

A

A f

f1 a

x

b

Da kan vi fl ytte området over x-aksen på denne måten: Vi fi nner et tall k slik at funksjonene f1 ( x) = f ( x) + k g1 ( x) = g ( x) + k blir positive i intervallet [ a, b ]. Se fi guren til høyre ovenfor. Dette endrer ikke fl atestykket mellom grafene. Etter det vi viste på forrige side, er b

A=

∫

( f1 ( x) − g1 ( x) ) dx =

a

b

=

∫

b

∫ (( f ( x) + k ) − ( g ( x) + k )) dx a

( f ( x) + k − g ( x) − k ) dx =

a

b

∫ ( f ( x) − g ( x) ) dx a

Formelen er derfor den samme uansett hvor fl atestykket ligger.

Et fl atestykke er avgrenset av linja x = a, linja x = b og grafene til de to funksjonene f og g. Dersom f ( x) ≥ gg(( x) når x ∈ [ a, b ], er arealet av fl atestykket b

A=

∫ ( f ( x) − g ( x) ) ddx a

Legg merke til at det vi skal integrere, er funksjonsuttrykket til den øverste grafen minus funksjonsuttrykket til den nederste.

!

40

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 40

2015-03-24 09:28:10

EKSEMPEL Funksjonene f og g er gitt ved f ( x) = − x 2 + 4 x − 1 g ( x) = x 2 − 6 x + 7 Finn arealet av det fl atestykket som er avgrenset av grafene til f og g.

Løsning:

Først tegner vi grafene til f og g. Grafen til f ligger over grafen til g i det aktuelle området. Vi må fi nne skjæringspunktene mellom grafene ved regning: f ( x) = gg(( x)

y 5 4 3 2 1

− x2 + 4 x − 1 = x2 − 6 x + 7 1 −2 x 2 + 10 x − 8 = 0 | ⋅ −2 x2 − 5x + 4 = 0

–1 –1

g

A

x

4 1

2 3

–2

5 f

x =1∨ x = 4 Her løste vi en andregradslikning. Arealet er 4

∫

4

∫

A = ( f ( x) − g ( x))ddxx = ((− x 2 + 4 x − 1) − ( x 2 − 6 x + 7))ddx 1

1

4

4

 2  = (−2 x 2 + 10 x − 8)dx =  − x3 + 5 x 2 − 8 x  3  1 1

∫

 2   2  =  − ⋅ 43 + 5 ⋅ 42 − 8 ⋅ 4  −  − ⋅13 + 5 ⋅12 − 8 ⋅1 3 3     16  11  16 11 27 = −−  = + = =9 3  3 3 3 3

?

OPPGAVE 1 74

Regn ut arealet av det fl atestykket som er avgrenset av grafen til f og grafen til g når f ( x) = − x 2 + 8 x − 7 og g ( x) = x 2 − 1 OPPGAVE 1 75

Regn ut arealet av det fl atestykket som er avgrenset av grafen til f og grafen til g når f ( x) = x3 + x 2 − 2 x − 4 og g ( x) = x3 − 1

41

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 41

2015-03-24 09:28:12

SAMMENDRAG Antiderivert Funksjonen F er en antiderivert til funksjonen f hvis F ′( x) = f ( x). Enhver antiderivert til f har da funksjonsuttrykket F ( x) + C, der C C er en konstant.

Ubestemt integral Dersom F ′( x) = f ( x), er

∫ f ( x) = F ( x) + C der C er en konstant.

En integrasjonsregel Dersom F ′( x) = f ( x) og G′( x) = g ( x), er

∫ (a ⋅ f (x( x) + b ⋅ g ( x))dx = a ⋅ F ( x) + b ⋅ G( x) + C der a, b og C er konstanter.

Integrasjonsformler 1

∫ x ddx = r + 1 x r

r +1

+ C når r ≠ –1

1

∫ x dx = ln x + C ∫ e ddxx = e + C 1 ∫ e ddx = k ⋅ e + C når k ≠ 0 x

x

kx

kx

1

∫ a ddx = ln a ⋅ a x

42

x

+ C når a > 0 og a ≠ 1

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 42

2015-03-24 09:28:14

Bestemt integral La f være en kontinuerlig funksjon i intervallet [ a, b ].

Vi deler intervallet [ a, b ] i n like store deler som hver har bredden b−a ∆ = ∆x . La xx1 være den x-verdien i den første delen som har minst n

funksjonsverdi, x2 den x-verdien i den andre delen som har minst funksjonsverdi, osv. La Sn = f ( x1 ) ⋅ ∆x + f ( x2 ) ⋅ ∆xx + f ( x3 ) ⋅ ∆x +  + f ( xn ) ⋅ ∆xx Det bestemte integralet til f er da b

∫ f ( x)dx = lim S n→∞

a

n

Fundamentalsetningen La F være en antiderivert til f. Da er b

∫ f ( x)dx = [ F ( x)]

b a

= F (b) − F (a )

a

Arealet mellom en graf og x-aksen La A være arealet av det fl atestykket som er avgrenset av x-aksen, linja x = a, linja x = b og grafen til funksjonen f. Dersom fl atestykket ligger b

A= over x-aksen, er A

∫ f ( x)ddx. Dersom fl atestykket ligger under x-aksen, a

b

∫

er A = − f ( x)ddx. a

Arealet mellom to grafer La A være arealet av det fl atestykket som er avgrenset av linja x = a, linja x = b og grafene til funksjonene f og g. Dersom f ( x) ≥ gg(( x) når x ∈ [ a, b ], er b

A=

∫ ( f ( x) − g ( x) ) ddx a

43

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 43

2015-03-24 09:28:17

Oppgaver

368

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 368

2015-03-24 09:44:49

1 Integralregning +

ØV MER

1.1 DERIVASJON

Oppgave 1.110 Deriver funksjonene. a) f ( x) = 2 x 4 − x3 + 3x 2 − 4 x − 2 b) f ( x) = (3x 2 − 1) 2 c) f ( x) = (1 − x)3 d) f ( x) = (1 + x − x 2 )5 Oppgave 1.111 Deriver funksjonene.

3x 2 − 1 a) f ( x) = x−2 b) f ( x) = 2 x 2 ⋅ ln x c) f ( x) = x 4 ⋅ ln x ln x − x d) f ( x) = ln x + x Oppgave 1.112 Deriver funksjonene.

2 a) f ( x) = 3e x − 4 x b) f ( x) = 2 x3 ⋅ e2 x 3 x2 − 1 2 d) f ( x) = (4 + x )3 c) f ( x) =

Oppgave 1.113 Deriver funksjonene. a) f ( x) = 4e2 x ⋅ ln 2 x b) f ( x) = 3(ln x − 1) 4 c) f ( x) = 2(e2 x − 1)2 d) f ( x) = 2000 ⋅1, 02 x

Oppgave 1.114 La funksjonen f være gitt ved f ( x) = 2 3 x a) Finn f ′ ( x). b) Finn vekstfarten når x = 1.

1.2 UBESTEMT INTEGRAL

Oppgave 1.120 Finn funksjonsuttrykkene til alle de antideriverte til funksjonen f når a) f ( x) = 2 x + 3 b) f ( x) = 3x 2 + 4 x c) f ( x) = x 2 − x + 1 d) f ( x) = 4 x3 − 6 x 2 + 2 Oppgave 1.121 Finn funksjonsuttrykkene til alle de antideriverte til funksjonen f når a) f ( x) = x3 − x 2 + x − 1 b) f ( x) = 0, 02 x 4 + 0, 9 x 2 + 0, 4 x + 1 c) f ( x) = ( x −1)2 Oppgave 1.122 Regn ut de ubestemte integralene. a) 3dx

∫ b) ∫ ( x + x + x + 1)dx c) ∫ (3x − 1)dx 2 1 d) ∫ ( x − x + )dx 3 3 α

3

2

2

2

369

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 369

2015-03-24 09:44:57

Oppgave 1.123 Finn de ubestemte integralene. a) ( x 2 + 1)dx

Oppgave 1.127 En bil bremser opp foran et lyskryss.

Grafen viser hvordan farten avtar fra bilen begynner å bremse til den stopper.

∫ b) ∫ ( x + 1) dx c) ∫ ( x + 1) dx d) ∫ ( x − 3)( x + 3)dx 2

m/s

2

Oppgave 1.124 Finn integralene.  2  a)  2  dx x   1  c)  4  dx  2x 

∫

α

∫

α

y

20 18 16 14 12

1  dx 3    1   x5  dx   

b)

∫  − x

d)

∫

α

Oppgave 1.125 En motorsykkel passerer et målepunkt på en rett veistrekning ved tidspunktet t = 0.

Sykkelen har da farten 14 m/s. Etter t sekunder har den akselerasjonen

10 8 6 4 2

t 2 4

6

8 10 12 14 16

s

a) Finn akselerasjonen til bilen. b) Finn bremselengden.

a(t ) = 0, 06t + 1, 0, t ∈ [0, 8] målt i m/s2. a) Finn farten etter 8 s. b) Finn avstanden fra målepunktet etter 8 s.

Oppgave 1.126 Figuren viser grafen til den deriverte til funksjonen f.

Finn f ( x) når grafen til f går gjennom punktet (1, –4).

5

y f’

4

1 3 INTEGRALET

3 2 1 –2 –1 –1

x 1

2 3

4

–2 –4

370

Oppgave 1.130 Regn ut de ubestemte integralene.

4 10 dx b) dx a) x x 6  1 c) dt d) 1 −  dx t  x

∫

∫

–3

1

∫ x dx

α

α

∫

α

∫

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 370

2015-03-24 09:45:01

Oppgave 1.131 Regn ut de ubestemte integralene.

1  a)  x +  dx x  2  b)  2 x − 3x 2 −  dx x  1 1   c)  − 2  ds s s 

∫ ∫ ∫

Oppgave 1.132 Finn de ubestemte integralene.

1  a)  x 2 − 2 x +  dx x  x2 + x b) dx x2

∫ ∫

Oppgave 1.133 Finn de ubestemte integralene.

2 a) dx x−2 1   1 b)  +  dx  x +1 x −1 

∫ ∫

Oppgave 1.134 a) Deriver uttrykket. ln( x 2 + 1) b) Finn det ubestemte integralet.

∫

2x dx 2 x +1

Oppgave 1.142 Finn integralene. 1  a)  + e x  dx x  

∫

∫

b) (e5 x + x5 )dx

Oppgave 1.143 Finn de ubestemte integralene. a) e2 x dx b) (e x − 1)2 dx

∫ ∫ 1 e −4 c) ∫ dx d) ∫ dx e e α

x

x

x

α

Oppgave 1.144 Finn de ubestemte integralene. a) 22 x dx b) 3ex dx

∫

∫

α

α

Oppgave 1.145 a) Deriver uttrykket. ex x e +1 b) Finn det ubestemte integralet.

∫

ex dx (e x + 1) 2

Oppgave 1.146 Finn integralene. a) 8000 ⋅ 1, 07 x dx

∫ b) ∫ 20 000 ⋅ 0, 88 dx x

1.4 INTEGRASJON AV EKSPONENTIALFUNKSJONER

Oppgave 1.140 Finn alle de antideriverte til a) f ( x) = e x b) f ( x) = e4 x c) f ( x) = e−2 x d) f ( x) = e0,5 x Oppgave 1.141 Finn integralene. a) e2 x dx b) (e x + e− x )dx

∫

α

∫

371

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 371

2015-03-24 09:45:08

1 5 BESTEMT INTEGRAL SOM GRENSE FOR EN SUM

Oppgave 1.150 Grafen til funksjonen f er gitt ved f ( x) = x 2 + 1, x ∈ [ 0, 6] Grafen er tegnet sammen med rektangler som gir en tilnærmingsverdi for arealet av området mellom grafen til f, x-aksen, y-aksen og linja x = 4. y 18 16 14 12 10 8 6 4 2

f

b) Finn en tilnærmingsverdi for arealet av fl atestykket ved hjelp av 1) 100 rektangler 2) 1000 rektangler 3) 10 000 rektangler c) Hva blir etter dette en tilnærmet verdi for 3

∫ (− x

2

− x + 12)dx

−4

d) Finn en eksakt verdi for integralet i oppgave c ved å bruke CAS. Oppgave 1.152 Figuren viser grafen til funksjonen f ( x) = 4 x − x 2 y 4 3

x 1

2

3

a) Finn summen av arealene av rektanglene. b) Finn ved hjelp av GeoGebra en tilnærmingsverdi for arealet A av området ved hjelp av 100 rektangler. c) Øk antallet rektangler og fi nn en best mulig verdi for 4

∫

2

4

( x 2 + 1) dx

0

Ta med to desimaler i svaret.

1 –2 –1 –1

x 1

2 3

f

–2

Finn digitalt en eksakt verdi for arealet av det fargelagte området.

Oppgave 1.153 Vi har tegnet grafen til funksjonen f gitt ved f ( x) = e

Oppgave 1.151 Funksjonen f er gitt ved

− x2

y 1,0

f ( x) = − x 2 − x + 12, x ∈ [ −6, 6]

0,5

a) Tegn grafen til f digitalt.

Et fl atestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f, linja x = –4 og linja x = 3.

4 5

f –3

–2

–1

0

1

2

x 3

Finn digitalt en tilnærmingsverdi for arealet av det fargelagte området.

372 372

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 372

2015-03-24 09:45:10

Oppgave 1.154 Funksjonen f er gitt ved

Oppgave 1.163 Finn de bestemte integralene.

3

f ( x) = x3 − 4 x 2 − 15 x + 18

a)

for x ∈ [ −5, 7 ]. a) Tegn grafen til f.

− 4 x 2 − 15 x + 18)dx

d) Hvorfor gir ikke svaret i oppgave c summen av arealene av de to fl atestykkene?

Oppgave 1.160 Finn de bestemte integralene ved regning.

∫2 x dx

2

b)

α

0 2

c)

∫ ( x + 4) dx

∫ 2 x dx ∫ 1

Oppgave 1.161 Finn de bestemte integralene ved regning. a)

∫ (4 x − 9 x )dx 2

1

0

b)

∫ x dx 2

−2

Oppgave 1.162 Finn de bestemte integralene ved regning.

4 2 1 a) dx b) e x dx x 2 0

∫

α

1

2

a)

3 dx x

α

∫

ln 3

2 x dx

b)

−2

∫e

3x

dx

α

0

Oppgave 1.165 Finn de bestemte integralene.

3 2 3 x +1 dx b) 2 x + 1 dx a) x 1 0 4

c)

∫ 1

∫ 1

x −1 dx 2 x

d)

∫2

3x

dx

α

0

Oppgave 1.170 Figuren viser grafen til funksjonen g ( x) = 4 x − x3 y

α

d) (2 − x) dx

2

∫

Oppgave 1.164 Finn de bestemte integralene.

3

0 3

1

∫

d)

1 7 MER OM INTEGRASJON OG AREAL

1 6 BESTEMT INTEGRAL OG ANTIDERIVASJON

a)

5

1 1  2 x − 3  dx  0

∫

−3

1

c)

α

1

4

6

3

∫

b) 4 dx

0

Et fl atestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f og linja x = –3. Et annet fl atestykke er avgrenset av x-aksen, grafen til f og linja x = 6. b) Finn en tilnærmingsverdi for arealet av hvert av fl atestykkene ved hjelp av 10 000 rektangler. c) Bruk CAS og regn ut integralet

∫ (x

∫

3

( x 2 − 2 x)dx

∫

α

4 3 2 1 –2 –1 –1

x 1

2 3

–2 –3 –4

g

Finn arealet av det området som er avgrenset av grafen til g og x-aksen, ved regning.

373

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 373

2015-03-24 09:45:16

Oppgave 1.171 a) Tegn grafen til

Oppgave 1.176 En funksjon f er gitt ved

f ( x) = x +1 , D f = 

f ( x) = e2 x − 4e x

b) Finn arealet av det området som er avgrenset av grafen, førsteaksen, andreaksen og linja x = 3, ved å bruke formelen for arealet av et trapes. c) Finn arealet av området i oppgave b ved integralregning.

Finn arealet av området som er avgrenset av den positive x-aksen, y-aksen og grafen til f.

Oppgave 1.172 Finn arealet av området avgrenset av førsteaksen og grafen til f når a) f ( x) = − x 2 + 5 x b) f ( x) = − x 2 + 5 x − 4 c) f ( x) = x 2 − 9 d) f ( x) = x − 2 x

b) Løs likningen

Oppgave 1.173 En funksjon f er gitt ved

Oppgave 1.178 Tegn grafene til funksjonene f og g i det samme koordinatsystemet der

f ( x) = x3 − 4 x 2 Finn arealet av området mellom x-aksen og grafen til f.

Oppgave 1.174 En funksjon f er gitt ved 3

2

f ( x) = − x + 5 x − 6 x Finn arealet av området mellom x-aksen og grafen til f.

Oppgave 1.175 a) Tegn grafen til f ( x) = e x, D f = 

Oppgave 1.177 a) Tegn grafen til f ( x) = x 2 − 4 x, x ≥ 0 x

∫

(t 2 − 4t )dt = 0 0

c) Bruk resultatet i oppgave b og skraver to områder som har samme areal.

1 f ( x) = (− x 2 + 6 x + 16) 3 2 4 g ( x) = − x − 3 3 Finn arealet av det området som er avgrenset av grafene til f og g.

Oppgave 1.179 Finn arealet av det området som er avgrenset av grafene til f og g når f ( x) = − x 2 + 4 g ( x) = x 2 − 2 x

b) Finn en eksakt verdi for arealet av området avgrenset av grafen til f, førsteaksen og linjene x = −1 og x = 1.

374

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 374

2015-03-24 09:45:20

UTEN HJELPEMIDLER

∫

Oppgave 1.200 Deriver funksjonene. a) f ( x) = 4 x3 − 3x 2 + 2 x − ln 2 b) f ( x) = 2e x + 4 x 2 − 2 ln x 2 c) f ( x) = + x 2 (ln x)2 x d) f ( x) = x 2 + 4 x

∫ 2 b) ∫  + x

4 x

  dx 

Oppgave 1.207 Finn de ubestemte integralene. a) (6 x 2 + 8 x + 3)dx

∫ 3 1 b) ∫  x +  dx x 2  c) ∫ (4e + 3 ⋅ 2 )dx

b) f ( x) = x3 ln x x3 − 1 c) f ( x) = x + 1 e x 2 ln x d) f ( x) = x2 e

2x

↑ 1.1

x

Oppgave 1.208 Finn de ubestemte integralene. a) (3x 2 − 2 x + 1)dx

Oppgave 1.202 Funksjonen f er gitt ved

∫ 2 1  b) ∫  −  dx x x  c) ∫ (3e + 4e )dx 2

f ( x) = 6 x 2 − 2 x + 1 Finn den antideriverte F til f som er slik at F(2) = 6.

Oppgave 1.203 En funksjon g er slik at g ′( x) = −4 x + 3 a) Bestem vekstfarten for x = 1. b) Bestem g når grafen går gjennom punktet (–1, 1).

Oppgave 1.204 Finn de ubestemte integralene.

2  2  a)  − 2  dx b) 3 dx x  x  ↑ 1.2

∫

Oppgave 1.206 Finn de ubestemte integralene. a) (12 x3 + 9 x 2 − 4 x)dx

Oppgave 1.201 Deriver funksjonene. a) f ( x) = 8 ⋅1, 03x

∫

Oppgave 1.205 Finn de ubestemte integralene. 3 4  a) (6 x 2 + 4 x − 2)dx b)  − 3  dx x x 

∫

x

2x

↑ 1.4

Oppgave 1.209 Finn de bestemte integralene.

2 1 2  a)  4 x +  dx b) (e x + e− x )dx x 1 −1

∫

∫

Oppgave 1.210 Regn ut de bestemte integralene.

3

∫

1

∫

a) (2 x + 3)dx b) 4e2 x dx α

1 e

α

0

 2 c) 1 +  dx x 1

∫

375

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 375

2015-03-24 09:45:28

Oppgave 1.211 Regn ut de bestemte integralene.

2

a)

∫ (3x

2

∫ (e

− e− x )dx

f ( x) = x 2 − 4 x + 5 g ( x) = 10

− 1)dx

1 1

b)

x

y 12

0 e

1  c)  2 x +  dx x 1

10

Oppgave 1.212 a) Finn de ubestemte integralene.

1) 12 x 2 − 8 x + 5 dx

∫(

)

 2x 3   2e − x 2  dx   b) Finn de bestemte integralene.

∫ 3

1)

f

11

∫

2)

Oppgave 1.215 Figuren viser grafene til funksjonene

∫ ( 2 x − 1) dx

g

9 8 7 6 5 4 3 2 1

x

1

4

2)

3   2 x + x  dx  1

∫

Oppgave 1.213 Finn de ubestemte integralene. a) (8 x3 + 6 x 2 + 5)dx

∫ 3 6  b) ∫  +  dx x x 

Oppgave 1.214 Finn de bestemte integralene. a)

∫ (6x

2

1

2 3

4 5

6

Finn arealet av det fargelagte området.

Oppgave 1.216 Figuren viser grafene til funksjonene f ( x) = − x 2 + 4 x g ( x) = x

3

2

–2 –1 –1

)

− 4 x + 1 dx

1 1

1   b)  2 x − dx x + 1  0

∫

↑ 16

y

g

4 3 2 1 –2 –1 –1 –2

x 1

2 3

4 5 f

Finn arealet av det fargelagte området.

Oppgave 1.217 Finn arealet av det området som er avgrenset av grafene til f og g når f ( x) = x 2 − 2 x og g ( x) = − x + 2.

376

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 376

2015-03-24 09:45:33

Oppgave 1.218 a) Et fl atestykke er avgrenset av den positive x-aksen, linja x = a og grafen til funksjonen f ( x) = x 2.

Bestem a slik at arealet av fl atestykket blir 9. b) Et fl atestykke er avgrenset av x-aksen, linja x = 2 og grafen til funksjonen f ( x) = x a.

Bestem a slik at arealet av fl atestykket blir 32 .

5

h( x ) =

1 ⋅ x2 − 4 x 2

Oppgave 1.222 (Eksamen H-2013) Antallet individer i en populasjon etter t timer kan beskrives med funksjonen N(t). Vi antar at N ′(t ) = 4t + 3 og N (0) = 800 Bestem antallet individer i populasjonen etter 10 h.

Oppgave 1.219 Funksjonene f og g er gitt ved f ( x) = x 2 − x og g ( x) = 3x a) Bestem skjæringspunktene mellom grafene til f og g. b) Et område er avgrenset av grafene til f og g.

Bestem arealet av dette området. ↑ 17

Oppgave 1.220 (Eksamen V-2011) Figuren nedenfor viser en sirkel med sentrum i origo og radius lik 1.

1

Oppgave 1.221 (Eksamen V-2011) Deriver funksjonen

y

Oppgave 1.223 (Eksempel 2014) Deriver funksjonen h( x ) =

x2 + 1 2x − 2

Oppgave 1.224 (Eksempel 2014) Funksjonene f og g er gitt ved f ( x) = 2 x3 − x 2 − 5 x , D f =  g ( x) = − x 2 + 3x , Dg =  Grafene til f og g skjærer hverandre i tre punkter.

Grafene avgrenser to områder med arealer A1 og A2. y

x –1

O

x

1

–1

Bruk et geometrisk resonnement til å bestemme 1

∫

Vis ved regning at A1 = A2.

1 − x 2 dx

−1

Forklar hvordan du har tenkt.

377

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 377

2015-03-24 09:45:37

Oppgave 1.225 (Eksamen H-2014) Bestem integralene. a)

∫ (x

e

3

b)

− 2 x)dx

∫ x ⋅ln x dx

Oppgave 1.301 Figuren viser grafen til den deriverte av funksjonen f ( x) = ax3 + bx 2 + cx + d

1

Oppgave 1.226 (Eksamen H-2014) Figuren viser grafen til en funksjon f ( x) der x ∈ [ 0, 9].

y 5 3

y

2

4

f

3

1

2 1 0 –1

f’

4

x 1

2

3

4

5

6

7

8

–4 –3 –2 –1 –1

x 1

2 3

–2

9

–3 –4

–2 –3 –4

La

t

g (t ) =

∫ f ( x)dx der t ∈ [0, 9]

a) Finn f ′( x) ved regresjon. b) Finn f ( x) ved integrasjon når grafen til f går gjennom origo. c) Bruk grafen ovenfor og fi nn vendepunktet til f.

0

a) Bestem g(2). Forklar at den største verdien til g (t ) = 10. b) Bestem nullpunktet til g. Avgjør hvilke verdier av t som gjør g (t ) negativ.

MED HJELPEMIDLER Oppgave 1.300 Vis digitalt at f er en antiderivert til g når a) f ( x) = x ⋅ e x − e x og g ( x) = x ⋅ e x 1 b) f ( x) = x − 2 ln x − og x 2  x −1  g ( x) =    x 

378

Oppgave 1.302 Temperaturstigningen T ′(t) i en ovn er T ′(t ) = 30 − 2t , t ∈ [0, 15] der temperaturen T(t) er gitt i celsiusgrader og tida t i minutter.

Ved t = 0 er temperaturen i ovnen 20 °C. a) Hvor lang tid tar det før ovnen når 220 °C? b) Tegn grafen til T. ↑ 12

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 378

2015-03-24 09:45:42

Oppgave 1.303 To gutter kjører en gammel bil der speedo­­ meteret virker, men ikke kilometer­ telleren. De ønsker å finne lengden av en bestemt strekning med dårlig grusvei. De bruker 2 minutter på veistrekningen, og underveis leser de av farten på speedometeret med 10 sekunders mellomrom.

Tabellen nedenfor viser de avleste verdiene.

Anslå lengden av veistrekningen.

Tid (s)

Fart (km/h)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120

0 38 15 32 28 35 46 37 18 23 27 39 31

Oppgave 1.304 I en kommune har de funnet ut at tallet A(x) på skatteytere med en skattepliktig inntekt på x tusen kroner er gitt ved 5 ⋅109 A(x) = , x ∈ [300, 600] x3 Her er for eksempel A(300) tallet på skatteytere med inntekt mellom 300 000 kr og 301 000 kr. a) Finn ut hvor mange skatteytere det er i kommunen som har inntekt mellom 400 000 kr og 401 000 kr. b) Tegn grafen til A. c) Finn hvor mange skatteytere det er som har mellom 300 000 kr og 400 000 kr i skattepliktig inntekt.

d) Finn ut hvor mange skatteytere det er som har inntekt mellom 400 000 kr og 500 000 kr.

↑ 1.5

Oppgave 1.305 En funksjon f er gitt ved f ( x) =

2 1 − , x≠0 x x2

a) Tegn grafen til f. b) Finn en eksakt verdi for arealet av området avgrenset av grafen til f, x-aksen og linja x = e.

Oppgave 1.306 Et seil har en form som er avgrenset av grafene til tre funksjoner i 1. kvadrant: f ( x) = ln( x +1) g ( x) = xe x h( x) = − x +10 Bruk digitalt hjelpemiddel og regn ut arealet av et slikt seil når enhetene langs aksene er 1 meter.

Oppgave 1.307 Finn de bestemte integralene digitalt.

2

∫

a) (3x 2 − 2 x + 2 )dx 0

4

∫

b) x x dx

α

0

379

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 379

2015-03-24 09:45:44

Oppgave 1.308 Figuren viser grafen til funksjonen

Oppgave 1.311 Funksjonen f defi nert ved

f ( x) = 2 x

f ( x) = e− x

har ingen enkel antiderivert.

For x-verdier nær null kan vi bruke tilnærmingen

y 8

f

7 6

f ( x) ≈ f (0) + x ⋅ f ′(0) +

5 4

g ( x) = 1 − x 2

2 1

x k 2 3

–2

På fi guren har vi fargelagt to områder.

Skriv en likning med k, og fi nn k slik at områdene får samme areal.

Oppgave 1.309 Finn de bestemte integralene digitalt. e 2 1   a) x e dx b)  x3 + 3  dx x  1 1

∫

x2 ⋅ f ′′(0) 2

a) Vis at

3

–4 –3 –2 –1 –1

2

α

∫

Oppgave 1.310 Funksjonen f er gitt ved f ( x) = e x − x3 a) Tegn grafen til f digitalt. b) Finn en tilnærmet verdi for nullpunktene til f. c) Finn en tilnærmet verdi for arealet av det området som ligger under x-aksen, og som bare er avgrenset av x-aksen og grafen til f.

er en tilnærming til f nær x = 0. b) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem. c) Benytt tilnærmingen i oppgave a og fi nn en tilnærmet verdi for 0 ,1

∫e

− x2

dx

−0 ,1

d) Finn også integralet digitalt. ↑ 16

Oppgave 1.312 En funksjon f er gitt ved f ( x) = 3x 2 − 4 x − 8 a) Finn arealet av fl atestykket som er avgrenset av grafen til f, x-aksen, y-aksen og linja x = 2. b) Finn a

∫ f ( x)dx

α

0

c) Finn de verdiene av a som er slik at a

∫ f ( x)dx = 0 0

og forklar løsningene ut fra grafen. ↑ 17

380

Sinus R2 > Integralregning

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 380

2015-03-24 09:45:47

Oppgave 1.313 (Eksamen H-2011) Funksjonene f og g er gitt ved f ( x) = x 2 + 3 g ( x) = − x3 + x 2 + 4 x + 3 a) Tegn grafene til f og g i samme koordinatsystem. b) Bestem koordinatene til skjæringspunktene mellom f og g ved regning.

To områder blir avgrenset av grafene til f og g. c) Bestem arealene til hvert av disse områdene. Kommenter svaret ditt. d) Vi har gitt funksjonen

Oppgave 1.314 (Eksempel 2014) En funksjon f er gitt ved f ( x) = ax 2 + bx + c, D f =  Et område er avgrenset av grafen til f og ei rett linje. Skjæringspunktene mellom grafen til f og den rette linja har x-koordinater p og q. Se skissen nedenfor. y f

h( x ) = − x 3 + x 2 + c ⋅ x + 3

Når c > 0, vil grafene til f og h avgrense to områder.

Vis ved regning at arealene av disse områdene er like store.

x p

q

Bruk CAS til å vise at arealet som er begrenset av grafen til f og den rette linja, bare er avhengig av differansen p – q og a (eller differansen q – p og a).

381

Sinus R2 978-82-02-45710-5.indb 381

2015-03-24 09:45:49