# QED 5-10 Bind 1: Utdrag

QED 5–10 Matematikk for grunnskolelærerutdanningen Bind 1
Innhold Velkommen til studiet ............................................................................................13 Oppbygning ................................................................................................................ 15 Sammenheng og helhet ...........................................................................................16 Pedagogisk struktur .................................................................................................17 Lykke til med et spennende kurs ...........................................................................19 DEL I MATEMATIKK – SKOLEFAG OG KULTURARV ...21 Kapittel 1Tall .25 1.1Hva
tall? .......................................................................................................25 1.2Et
.......................................................................32
....................................................................................34
...................................................................35
............................................................................37
........................................................39
............................................43
...................................................................................51
................................................................52
..................................................................................56
.....................................................................57
...............................................................................58 1.4Regneartene .....................................................................................................61
...............................................................................................62
.........................................................................................75
.....................................................................................81
................................................................................................101
.......................................................................................112 1.5Brøk ....................................................................................................................117
........................................119
........................................................................................120
......................................................126
.........................................133
er
historisk blikk på tallsystemets
tallsystemer
1.2.2Siffersystemer
1.2.3Multiplikative systemer
1.2.4Posisjonssystemet
1.2.5Titallsystemet og andre baser
1.2.6Posisjonssystemer med andre baser
1.3Ulike aspekter ved tall
1.3.1Kardinaltall og ordinaltall
1.3.2Tall som måltall
1.3.3Tall som identifikasjon
1.3.4Tall som mønstre
1.4.2Subtraksjon
1.4.3Multiplikasjon
1.4.4Divisjon
1.4.5Hoderegning
1.5.1Historisk tilbakeblikk på brøkbegrepet
1.5.2Hva er brøk?
1.5.4Likeverdige brøker og sammenligning

1.5.5Multiplikasjon av brøk ......................................................................138 1.5.6 Divisjon med brøk ..............................................................................142 1.6Desimaltall og prosent ..................................................................................148 1.6.1Prosent .................................................................................................154 1.6.2Overgang mellom desimaltall og brøk .........................................155 1.7Utvidelser av tallområdet .............................................................................160

6 • INNHOLD
...............................................................................217
............................................................................230
...................................................................................233
..........................................................................239
............................................................................240 2.7Lineære
............................................................................................244 2.8Andregradsligninger ......................................................................................248 2.9Figurtall og tallfølger ......................................................................................262 2.10Potensregning .................................................................................................272 2.10.1Negative eksponenter ......................................................................283 2.10.2Standardform for tall ........................................................................286 2.11Regning med algebraiske uttrykk ...............................................................290 2.12Primtall og delelighet .....................................................................................299 2.12.1Grunnleggende delelighet ...............................................................301 2.12.2Delelighetsregler ...............................................................................306 2.12.3Faktorisering .......................................................................................311 Kapittel 3Funksjoner .................................................................................................................323 3.1 Koordinatsystemer ........................................................................................323 3.2Samvariasjon og grafiske fremstillinger ....................................................329 3.3GeoGebra .........................................................................................................332 3.4Proporsjonalitet ..............................................................................................335
Kapittel 2Algebra .......................................................................................................................167 2.1 Hva er algebra? ...............................................................................................167 2.2Begynneropplæring i algebra .......................................................................174 2.2.1Visuelle tallmønstre ..........................................................................178 2.2.2Geometri ..............................................................................................185 2.2.3Ikke-visuelle tilnærminger ...............................................................188 2.2.4Konvensjoner i matematikken ........................................................191 2.2.5Prealgebra og tidlig algebra ............................................................193 2.2.6Misforståelser og misoppfatninger i algebralæring ..................195 2.2.7Regneark i algebralæring .................................................................197 2.3Ligninger, uttrykk og likhetstegnet .............................................................199 2.3.1Problemløsning og ligninger ...........................................................212 2.4Regning med parenteser
2.5Negative tall .....................................................................................................223 2.6Lineære ligningssystemer
2.6.1Grafisk metode
2.6.2Innsettingsmetoden
ulikheter

3.5Omvendt proporsjonalitet ............................................................................342 3.6 Rette linjer ........................................................................................................347 3.7Funksjonsbegrepet .........................................................................................364 3.7.1Tolkning av grafer ..............................................................................378 3.8Andregradsfunksjoner ..................................................................................382 3.9Polynomfunksjoner av grad tre og høyere ...............................................396 3.10Eksponentialfunksjoner .................................................................................402 3.10.1Utvidelse av potensbegrepet ..........................................................404 3.10.2Eksponentialfunksjonen for ulike grunntall .................................407 3.10.3Eulers tall .............................................................................................409

Kapittel 4Geometri og måling .................................................................................................413 4.1 Kort om geometriens historie ......................................................................414 4.2Plane geometriske figurer ............................................................................416 4.2.1Punkter og linjer .................................................................................416 4.2.2Vinkler ..................................................................................................419 4.2.3Kurver, sirkler og områder ...............................................................422 4.2.4Mangekanter ......................................................................................427 4.3Tredimensjonale geometriske figurer .......................................................436 4.3.1Polyedre ...............................................................................................438 4.4Van Hiele-modellen .......................................................................................446 4.4.1Nivå 1 – Visualisering ........................................................................446 4.4.2Nivå 2 – Analyse ................................................................................448 4.4.3Nivå 3 – Abstraksjon og uformell deduksjon ..............................450 4.4.4Nivå 4 – Deduksjon ...........................................................................451 4.4.5Mer om van Hiele-modellen ...........................................................451 4.4.6Van Hiele-modellen, elever og lærere i norsk skole .................452 4.5Måling ...............................................................................................................453 4.5.1Måleenheter .......................................................................................454 4.5.2Hva er måling? ...................................................................................455 4.5.3Måling i skolen ...................................................................................456 4.5.4Måling av lengde ................................................................................457 4.5.5Måling av areal ...................................................................................464 4.5.6Måling av volum ................................................................................468 4.5.7Måling av tid .......................................................................................472 4.5.8Måleusikkerhet ..................................................................................472 4.5.9Avrundning og usikkerhet ...............................................................474 4.6Areal og omkrets ............................................................................................479 4.6.1Areal av viktige plane figurer ..........................................................479 4.6.2Omkrets av mangekanter og andre figurer .................................481 4.6.3Areal og omkrets av en sirkel .........................................................482

INNHOLD • 7

4.7Volum og overflate .........................................................................................486 4.7.1 Overflateareal til polyeder, sylinder og kjegle ............................487 4.7.2Volum til polyeder, sylinder og kjegle ..........................................491 4.7.3Overflate og volum av kule ..............................................................495 4.8Konstruksjon ....................................................................................................496 4.9Kongruensavbildninger .................................................................................517 4.9.1Vektorer ...............................................................................................519 4.9.2De fire typer av kongruensavbildninger .......................................521 4.10Symmetri ..........................................................................................................539 4.11Kongruenssetningene ...................................................................................545 4.12Formlikhet ........................................................................................................551 4.13Pytagoras’ setning ..........................................................................................564 4.14Sentralvinkel og periferivinkel .....................................................................570 4.14.1Thales’ setning ...................................................................................570 4.14.2Konstruksjon av tangenter til sirkelen gjennom et punkt ........575 4.15Utforskning av geometriske sammenhenger i GeoGebra ....................577 4.16Papirbretting ....................................................................................................582 4.16.1Litt om origamiens historie .............................................................583 4.16.2Origami i skolen .................................................................................586 4.16.3Regulære mangekanter ved hjelp av origami .............................589 4.16.4Geometriske figurer og symmetrier ved hjelp av origami .......592 4.16.5Origami og halvering ........................................................................594 4.16.6Origami og volum ..............................................................................597 4.17Perspektivtegning ...........................................................................................600 4.18Trigonometri ....................................................................................................604 4.19Koordinatsystemer ........................................................................................623 4.19.1Linjer i planet ......................................................................................624 4.19.2Avstand til et punkt ...........................................................................626 4.19.3Ligningen for en sirkel med sentrum i origo ................................627 4.19.4Definisjon av cosinus og sinus for butte vinkler .........................629 4.19.5Vektorer i koordinatsystem ............................................................632 4.19.6Transformasjoner i koordinatsystem ...........................................636 Kapittel 5Bevis og argumentasjon

8 • INNHOLD
........................................................................................643 5.1 Hensikten med og sikkerheten til bevis ....................................................644 5.2Hva er matematisk argumentasjon? .........................................................645 5.3Bevis av generelle påstander .......................................................................648 5.4Intuitive bevis ..................................................................................................652 5.5Visuelle bevis ...................................................................................................655 5.6Algebraiske og formelle bevis .....................................................................658 5.7Generiske bevis ...............................................................................................660 5.8Implikasjoner ...................................................................................................662

5.9Bevis av at noe er umulig ..............................................................................667 5.10 Bevisdidaktikk ..................................................................................................669 5.11Bevis i geometri ...............................................................................................671 5.11.1Grunnleggende geometriske bevis ...............................................672 5.11.2Aksiomer .............................................................................................675 5.11.3Deduktive geometriske bevis .........................................................678

Kapittel 6Beskrivende statistikk ...........................................................................................687 6.1 Tabeller og diagrammer ...............................................................................689 6.1.1Diagrammer i regneark ....................................................................696 6.2Sentralmål ........................................................................................................703 6.2.1Middelverdi .........................................................................................703 6.2.2Typetall ................................................................................................705 6.2.3Median .................................................................................................706 6.3Spredningsmål ................................................................................................712 6.3.1Variasjonsbredde ..............................................................................712 6.3.2Kvartilbredde ......................................................................................713 6.3.3Normalfordeling og standardavvik ................................................719 6.3.4Misbruk av statistikk .........................................................................724

Kapittel

med forskjellig

INNHOLD • 9
7Sannsynlighet ...........................................................................................................727 7.1 Sannsynlighetsbegrepet ...............................................................................728 7.1.1Teoretisk og empirisk sannsynlighet ............................................729 7.1.2Subjektiv sannsynlighet ...................................................................733 7.1.3Tilfeldige forsøk .................................................................................734 7.1.4Empirisk sannsynlighet og store talls lov .....................................738 7.1.5Utfall
sannsynlighet ..............................................742 7.2Sannsynlighetsmodeller ...............................................................................747 7.2.1Realistiske og urealistiske sannsynlighetsmodeller ..................758 7.2.2Simulering av tilfeldige forsøk ........................................................761 7.3Erfaring, språk og læring ...............................................................................762 7.4Sammensatte forsøk ......................................................................................766 7.4.1Multiplikasjonssetningen for sammensatte forsøk ..................773 7.4.2Komplement og komplementære hendelser ..............................783 7.5Sannsynlighetsregningens historie ............................................................788 7.6Mengder og sannsynlighet ...........................................................................790 7.7Betinget sannsynlighet ..................................................................................798 7.8Kombinatorikk .................................................................................................814 7.8.1Rekkefølger .........................................................................................816 7.8.2Ordnede utvalg med tilbakelegging ..............................................822 7.8.3Ordnede utvalg uten tilbakelegging ..............................................825 7.8.4Uordnede utvalg uten tilbakelegging ............................................828

7.9Binomisk sannsynlighetsfordeling .............................................................834 7.10 Hypergeometrisk sannsynlighetsfordeling ..............................................839 Litteratur ....................................................................................................................843

### DEL II ELEVEN – SKAPENDE SOSIALT INDIVID

I MØTE MED SAMFUNN OG KULTUR .........................849

Kapittel 1Læring og læringsteorier .......................................................................................851

1.1 Innledning – Et brev til leseren ....................................................................851 1.2Noen viktige spørsmål til deg som lærer ..................................................855 1.3Læreren – og lærerens pedagogiske plattform .......................................858 1.3.1Generell pedagogisk plattform .......................................................860 1.3.2Matematikkdidaktikk som del av den pedagogiske plattformen 865 1.3.3Fagsynet i Kunnskapsløftet (LK06) ..............................................866 1.4Læring og teorier om læring ........................................................................871 1.4.1Definisjoner av begrepet læring .....................................................872 1.4.2Om læringsteorier .............................................................................875 1.4.3Behaviorisme – læring som overføring (flaskepåfylling) .........876 1.4.4Kognitivisme – læring som tilegnelse ...........................................884

perspektiv – læring som deltakelse

om læringsteorier

lærende

for læring – Fornuft

10 • INNHOLD
1.4.5Sosiokulturelt
....................898 1.4.6Oppsummering
...............................................920 1.5Den
....................................................................................................921 1.5.1Forutsetninger
og følelser ...........................923 1.5.2Barn lærer på forskjellige måter .....................................................925 1.5.3Oppsummering og avslutning ........................................................929 Kapittel 2Dagens grunnskole .................................................................................................931 2.1 Læreplanhistorie .............................................................................................932 2.2Gjeldende læreplan og rammeverk ............................................................933 2.2.1Generell del .........................................................................................934 2.2.2Prinsipper for opplæringen .............................................................938 2.2.3Grunnleggende ferdigheter .............................................................940 2.2.4Matematisk kompetanse .................................................................944 2.2.5Læreplanen i matematikk ................................................................959 2.2.6Å kunne regne i andre fag ................................................................976 2.3Matematikklærerens kompetanse .............................................................992 2.3.1Matematikkfaglig kompetanse ......................................................992 2.3.2Øvrig matematikklærerkompetanse ............................................993

Kapittel 3Didaktiske verktøy ..................................................................................................1001 3.1 Kognitive kart ..................................................................................................1002 3.2Diagnostisk undervisning .............................................................................1010 3.2.1Misoppfatninger ................................................................................1011 3.2.2Diagnostiske oppgaver ....................................................................1014 3.2.3Oppfølging av diagnostiske oppgaver ..........................................1016 3.3Tilpasset opplæring .......................................................................................1021 3.3.1Elever som sliter med matematikken ...........................................1023 3.3.2Elever som lykkes med matematikk ..............................................1025 3.4Undersøkelseslandskap ................................................................................1029 3.4.1Skovsmoses oppgavetyper .............................................................1031 3.4.2Didaktiske refleksjoner ....................................................................1035 3.5Matematisk problemløsning .......................................................................1037 3.6Digitale verktøy ...............................................................................................1042 3.6.1GeoGebra ............................................................................................1042 3.6.2Regneark ..............................................................................................1047 3.6.3Å skrive formler i tekstbehandling ................................................1050 3.6.4Nettressurser for matematikkundervisning

INNHOLD • 11
......................................................1059 4.1
..........................................................................................................1059
og begreper .........................................................................1067 4.3Representasjoner ...........................................................................................1074 4.4Visualisering og konkretisering ...................................................................1077 4.5Didaktiske refleksjoner om bruk av IKT ....................................................1085 4.6Det flerkulturelle aspektet ............................................................................1088 4.6.1Flerkulturelle elever ..........................................................................1088 4.6.2Telling og tallord ................................................................................1091 4.6.3Ord og symboler for brøk ................................................................1094 4.6.4Tid .........................................................................................................1096 4.6.5Hvor mye eller hvor mange? ...........................................................1098 4.6.6Leseretning ..........................................................................................1099 Litteratur ....................................................................................................................1103 Presentasjon av forfattere og bidragsytere ....................................................1109 Bildeliste .....................................................................................................................1110 Stikkord ......................................................................................................................1111
................................1051 3.7Læringsarenaer ...............................................................................................1053 3.7.1Valg av læringsarena ........................................................................1055 3.7.2Stasjonsundervisning .......................................................................1055 3.7.3Selvstendig arbeid .............................................................................1056 Kapittel 4Språk, representasjon og kommunikasjon
Semiotikk
4.2Læring av tegn

## Velkommen til studiet

I grunnskolelærerutdanningen rettet mot undervisning på 5.–10. trinn kan du velge hvilke skolefag du ønsker å utdanne deg i. Når du nå holder denne boka i hånda, har du valgt å ha matematikk som ett av fagene, noe vi er glade for. Matematikk brukes overalt i samfunnet, også på mange områder hvor du ikke tenker over det. All moderne teknologi hadde vært utenkelig uten matematikk. Dessuten er matematikken nødvendig for å forstå verden rundt oss og for å delta i demokratiet. Derfor er matematikk et av de mest sentrale skolefagene.

Gode og dyktige matematikklærere er til inspirasjon for elevene. På nettstedet «skole i praksis»1 kan du ﬁnne videoer med eksemplarisk matematikkundervisning som vi anbefaler. Det er viktig at du som matematikklærer er glad i faget og har en god faglig ballast. Mange, både voksne og barn, gir uttrykk for at matematikk er et fag som vekker mange følelser. Ber du dem fortelle hva de tenker på når de hører ordet matematikk, er det påfallende mange negativt ladede ord som blir nevnt. Ord som vanskelig, komplisert, kjedelig, frustrerende, avanserte tegn, abstrakt og pugging er noen ord som går igjen. Det er ikke slike ord vi ønsker at elevene våre skal assosiere matematikk med. Vi ønsker at du og elevene dine skal tenke på ord som spennende, givende, interessant, lek og fantasi, mønster, forståelse, vakre geometriske former, kjekt å prestere, lærerikt og viktig. Med en god faglig forankring er det lettere å improvisere, følge opp elevenes resonnementer og kunne tilrettelegge for alle elevene i klassen. Som lærer må du ha faglig innsikt for å kunne gi elever passende utfordringer slik at de opplever mestring, samtidig som de strekker seg mot ny kunnskap. Dette er en bok om matematikk og matematikklæring skrevet for å hjelpe deg til å bli en god lærer i faget. Du vil naturlig nok ﬁnne mye matematikk i boka, men vinklingen er hele tiden preget av det yrket du utdanner deg til. Mye fagstoff vil du gjenkjenne, men kanskje er det uvant at så mye oppmerksomhet rettes mot forståelse av faget.

1http://www.skoleipraksis.no/matematikk-8-10/ (29.07.11)

Kanskje har du tidligere sett på faget som en samling av formler som skal pugges og fremgangsmåter som skal drilles. Den russiske matematikeren Soﬁa Kovalevskja omtales i novellen «For mye lykke» i novellesamlingen med samme navn. Der sier hun følgende:

Mange som ikke har studert matematikk, blander sammen faget med regning2 og tror at det er en tørr og gold vitenskap. I virkeligheten krever denne vitenskapen stor fantasi (Munro, 2009 s. 276).

Regning med de ﬁre regneartene behøver ikke å være tørt, men mange forbinder dette med å følge puggede fremgangsmåter. Pugg og drill har sin plass, men dette må først komme etter at matematikken har blitt meningsfull og forståelig for elevene. Forståelse, begrunnelser, problemløsning og kreativitet er viktige sider ved matematikken som også styrker elevens ferdigheter, men som ikke minst gjør faget mer spennende og meningsfullt. Et emne som du trolig har lite erfaring med, er bevis og argumentasjon. Dette har vesentlig større plass i dagens læreplan LK06, Læreplanverket for Kunnskapsløftet (KD, 2006), enn i tidligere læreplaner. Også perspektivtegning er et nytt emne i denne planen. Emnet ﬁnnes også i kunst og håndverk og gjør det derfor naturlig å samarbeide med dette faget i skolen. Dagens læreplan legger opp til mer ﬂerfaglighet i ﬂere tilfeller, blant annet gjennom emnet «teknologi og design», som er et felles emne for fagene naturfag, matematikk og kunst og håndverk. Matematikk er ikke et fag du kan lære deg ved bare å følge forelesninger og gjøre de obligatoriske innleveringsoppgavene. Det kreves en solid arbeidsinnsats for å lære det. Menaikhmos var matematikklærer til Alexander den store og skal ha sagt til han: «Det ﬁnnes ingen kongevei til matematikken». 3 Selv om du forstår hva matematikklæreren din på høgskolen eller universitetet sier i timene, er det ikke sikkert at du får til oppgavene på egen hånd etterpå. Matematikklæring krever aktivitet og hardt arbeid. Dette gjelder også grunnskolematematikken, selv om du hadde en ganske bra karakter da du selv var elev. Du kan ha glemt en del, men viktigere er det at du må kunne fagstoffet på en helt annen og dypere måte som lærer enn da du var elev. Erfaringsmessig har mange studenter heller ikke gode nok ferdigheter i grunnskolematematikken når de begynner på studiet. Derfor må også teknikker øves på, og faktakunnskap pugges.

2I den norske utgaven er det engelske ordet «arithmetic» oversatt med «aritmetikk». Vi har i stedet oversatt det med «regning». Det engelske ordet brukes i dagligtale om regning i de ﬁre regneartene. 3http://www.snl.no/Menaikhmos (20.03.11)

14 • VELKOMMEN TIL STUDIET

## Oppbygning

Boka er delt i to hoveddeler:

Del I: Matematikk – skolefag og kulturarv.

Del II: Eleven – skapende sosialt individ i møte med samfunn og kultur.

Del I har sju kapitler: Tall, Algebra, Funksjoner, Geometri og måling, Bevis og argumentasjon, Statistikk og Sannsynlighetsregning. Dette er den matematikkfaglige delen av boka, men matematikken knyttes hele tiden til elevene du skal møte, og jobben du skal gjøre som matematikklærer. Dessuten viser vi at matematikk er en menneskelig aktivitet som er en del av kulturen. Dette fremheves blant annet ved at vi trekker inn historiske eksempler og matematikk fra andre kulturer. Matematikk har utviklet seg over tid og til dels forskjellig i ulike kulturer. En viktig side ved faget er at det brukes eller anvendes på en rekke områder. Det gir vi eksempler på. I tillegg er matematiske beskrivelser av verden omkring oss en stor hjelp for elevene når de lærer matematikk. Faget kan ikke forstås hvis elevene utelukkende forholder seg til matematiske symboler og fremgangsmåter.

Del II har ﬁre kapitler: Læring og læringsteorier, Dagens grunnskole, Didaktiske verktøy og Språk, representasjon og kommunikasjon. I denne didaktiske delen av boka er utgangspunktet eleven og det samfunnet eleven er en del av. Vi ser på hvordan du som lærer kan tilrettelegge for elevers læring ved både å ta hensyn til eleven som individ og eleven som en del av kulturen. Eleven som skapende individ skal gjøre kunnskapen til sin egen og bruke den på skapende måter. Samtidig må eleven beherske kulturens koder og fellesarv av kunnskaper. For å sette deg i stand til dette ser vi både på ulike teoretiske verktøy og på dagens læreplanverk for grunnskolen. Selv om boka handler om undervisning og læring av matematikk, starter vi med et blikk på generell pedagogikk i lys av matematikkfaget. Dette fremhever at mye er felles i læringen av ulike fag, og at matematikk bare er ett av fagene elevene har i skolen. Dessuten skal du som lærer i matematikk ivareta elevenes personlige utvikling og møte elevene som hele mennesker. Del II avsluttes med Språk, representasjon og kommunikasjon. Her studerer vi hvordan tegn og andre kommunikasjonsformer er sentrale for læring av matematikk, og at disse tegnene er kulturavhengige. Du er vant til at matematikk har sine spesielle tegn og symboler, men vi utvider perspektivet og peker på at også kroppsspråk, visualisering og konkreter inngår i matematisk språk og tenkning.

VELKOMMEN TIL STUDIET • 15

Kapitlene er nummerert fortløpende i hver del. Hvert kapittel har underkapitler, som igjen kan ha underkapitler. For eksempel har kapittel 2 i del II underkapitlet 2.2 (nivå 2), som igjen har underkapitlet 2.2.1 (nivå 3). I noen få tilfeller, som her, er det enda et nivå. Kapittel 2.2.1 er delt inn i 2.2.1.1 til 2.2.1.7. Kryssreferanser til samme del skrives ved å oppgi kapittelnummeret. Når vi henviser til et kapittel i den andre delen, skriver vi også del I eller del II.

### Sammenheng og helhet

Denne boka skal ikke leses som en roman i rekkefølge fra første til siste side. I teksten ﬁnner du mange referanser til andre deler av boka, nesten som om det skulle vært lenker på internett. På den måten ønsker vi å vise hvordan både ulike deler av matematikken og teorier om læring og undervisning (didaktikk) henger sammen. Vi knytter også både faget og didaktikken til LK06. Ved første gangs lesning er det naturlig å hoppe over de ﬂeste kryssreferansene, men etter hvert som du kommer lenger ut i studiet, kan du styrke forståelsen din ved å slå opp stadig ﬂere av dem. Det anbefales ikke å lese hele del I før du begynner på del II. For å få et godt lærerperspektiv på studiet bør du arbeide parallelt med faglige og didaktiske emner. Et eksempel er det didaktiske verktøyet kognitive kart som du ﬁnner i del II, kapittel 3.1. For at du skal erfare nytten av dette verktøyet, bør du bruke det i din egen læring av fagstoff. Vi ber deg om dette allerede i starten av del I, kapittel 1.

Enkelte tema går igjen mange steder, blant annet bruk av IKT og digitale verktøy. I den faglige delen tas digitale verktøy opp der det naturlig inngår i det matematiske fagstoffet og læringen av det. I didaktikkdelen (del II) er digitale verktøy et delkapittel (kapittel 3.6), men temaet tas også opp i forbindelse med LK06 i kapittel 2 og visualisering i kapittel 4. Visualisering er også et gjennomgående perspektiv som du legger merke til gjennom bokas mange ﬁgurer. Det preger alle de faglige kapitlene og i noen grad også de didaktiske. Visualisering tas opp som eget tema i del II, kapittel 4.4. Et tredje gjennomgående tema er bevis og argumentasjon. Dette tas grundig opp i kapittel 5 i del I, men matematiske begrunnelser eller bevis ﬁnnes i alle de faglige kapitlene og noen steder i den didaktiske delen. Formelle algebraiske eller teoribaserte bevis er vanskelig tilgjengelig for grunnskoleelever, men visuelle bevis og annen intuitiv matematisk argumentasjon gjør det mulig å arbeide med temaet i skolen. Alle elever kan ut fra sitt nivå individuelt og i grupper argumentere muntlig og skriftlig for matematiske

16 • VELKOMMEN TIL STUDIET

påstander og sammenhenger. Dette leder oss til et annet gjennomgående tema, nemlig tilpasset opplæring. Det tas opp spesielt i del II, kapittel 3.3. En form for tilpasning tar hensyn til at elever tenker og lærer på ulike måter. Visualisering og konkretisering er gunstig for en stor del av elevene, men bokas mange eksempler på dette er spesielt en ressurs for å ivareta elever som ikke lykkes så godt når de får tradisjonell formell undervisning. Vi gir deg også ﬂere eksempler på hvordan elever som yter godt over gjennomsnittet, kan gis ekstra utfordringer, blant annet i kapitlet om bevis og argumentasjon. Vurdering av elever har ikke noe eget kapittel, men det er stoff om dette ﬂere steder i del II, blant annet kapittel 3. Temaet vil bli tatt grundigere opp i bind 2.

### Forklaringer

Det brukes mye plass til forklaringer i form av tekst, bilder og ﬁgurer. Selvsagt v ises det hvordan utregninger skal foretas og hvilken betydning ulike symboler har, men langt mer enn dette må forklares. Matematikk består av en rekke ideer og tenkemåter som ikke kan formidles bare ved å skrive ned matematiske symboler. I tillegg preges matematikken av en rekke begreper, som for eksempel primtall og kvadrat. Alle matematiske begreper har en deﬁnisjon, men de trenger også forklaring i tillegg til deﬁnisjonen. Historiske eksempler er et av bokas virkemidler til å formidle ideer som du ikke selv uten videre kan se fra en formell fremstilling av matematikken. I tillegg til matematikkens ideer, forklares også hvordan du kan legge til rette for elevers læring av de faglige emnene.

### Eksempel

Når et eksempel viser en fremgangsmåte, markeres det med «Løsning». Ofte er eksempler utgangspunktet for bokas forklaring av ideer. Ofte blir dette markert med «Diskusjon».

### Definisjon

Deﬁnisjoner klargjør den formelle betydningen av matematiske eller pedagogiske begreper og matematiske symboler. Teksten før og etter en deﬁni-

VELKOMMEN TIL STUDIET • 17

sjon trekker i tillegg frem intuisjon og ideer som er nødvendige for å bruke og forstå deﬁnisjonen.

Setning, aksiom og grunnleggende begreper

Setninger er generelle sanne matematiske påstander eller rådende pedagogiske prinsipper. Aksiomer er en spesiell type matematiske setninger. De er grunnprinsipper som andre setninger kan utledes fra. Tilsvarende er grunnleggende begreper grunnlaget for alle andre deﬁnisjoner. Naturlig tall og rett linje er eksempler på grunnleggende begreper. Deﬁnisjoner, setninger, aksiomer og grunnleggende begreper er skilt ut med rammer.

### Oppgaver

Oppgaver kommer på slutten av delkapitler, enten på nivå 2 eller 3. Det betyr ikke nødvendigvis at du skal lese all teksten i et delkapittel før du arbeider med oppgaver. Noen få steder ber vi deg i selve teksten å tenke over noe før du fortsetter, men du bør ha en reﬂekterende tilnærming hele tiden. Læring av matematikk skjer gjennom en veksling mellom ulike arbeidsformer, der lesning av bokas tekst og arbeid med oppgaver er to av dem. En del oppgaver øver på teknikker og løsningsmetoder, men det er også mange oppgaver der du alene eller sammen med andre studenter blir bedt om å reﬂektere over, å forklare eller å lage egne eksempler, oppgaver eller undervisningsopplegg. Også du som student er et skapende individ i møtet med samfunn og kultur. Du skal både lære deg teknikker og metoder som inngår i den matematiske og pedagogiske kulturen, og selv aktivt gjøre kunnskapen til din egen og anvende den på nye situasjoner.

### Undervisningen på høgskolen eller universitetet

Sannsynligvis er du student på en høgskole eller et universitet når du bruker denne boka. Du møter matematikklærere og pedagogikklærere der og i tillegg praksislærere i grunnskolen. Studiestedet ditt har lagt opp et pedagogisk opplegg for deg der læreboka inngår. Kanskje er det ganske mange timer i matematikk der du studerer, men det er også mulig at deler av studiet er nettbasert. I det siste tilfellet er læreboka vanligvis svært sentral i studiet, men uansett vil lærerne dine sterkt påvirke bokas rolle. Trolig er denne boka ikke den eneste pensumlitteraturen, og kanskje er deler av boka utelatt fra pensum. Se det som en styrke at du møter alternative fremstillinger og syns-

18 • VELKOMMEN TIL STUDIET

punkter. Umiddelbart kan det være forvirrende, men i lengden tjener du på at stoffet belyses fra ﬂere sider. Gjennom arbeid og modning bygger du selv etter hvert opp ditt eget faglige og pedagogiske syn som du er trygg på, men som stadig brytes mot andre syn og utvikles gjennom yrket ditt som lærer.

### Lykke til med et spennende kurs

Foran deg har du et studium i matematikk på 60 studiepoeng, som kan være fordelt på opp til to år. Denne boka dekker de første 30 av disse 60 studiepoengene. Gjennomfører du grunnskolelærerutdanningen rettet mot 5.–10. trinn og de 60 studiepoengene i matematikk, får du undervisningskompetanse i faget på ungdomsskolen. Kravet om 60 studiepoeng i matematikk gjelder ikke for å bli ansatt til å undervise i faget på mellomtrinnet, men det gir deg et fortrinn i forhold til lærere med bare 30 studiepoeng i matematikk. Du vil kanskje oppleve frustrasjon og motgang underveis, men husk at det er ved å arbeide deg gjennom motgang at du kan oppleve virkelig fremgang. Vi håper at du får større glede og en videre oppfatning av faget, og at du bringer dette videre til elevene dine.

VELKOMMEN TIL STUDIET • 19

## Matematikk – skolefag og kulturarv

Matematikk er et av de sentrale fagene i skolen og har vært det lenge. Dessuten spiller matematikk en viktig rolle i samfunnet vårt, for eksempel i ingeniørfag, økonomi, forskning, offentlig forvaltning og media. Faget er nødvendig for å opprettholde et moderne teknologisk samfunn og for å forstå informasjon i media som trengs for å delta aktivt i demokratiet. Første setning under overskriften «Formålet med faget» i læreplanen LK06 er: «Matematikk er en del av vår globale kulturarv. Mennesket har til alle tider brukt og utviklet matematikk for å utforske universet, for å systematisere erfaringer og for å beskrive og forstå naturgitte og samfunnsmessige sammenhenger» (s. 23). Faget er en av pilarene i kulturen vår. Derfor er det rett og rimelig at faget har et høyt timetall og relativt høy status i skolen. Alt dette er imidlertid ikke like selvsagt for eleven. Som lærer skal du være en brobygger mellom elevens verden, matematikkfaget og samfunnets behov for matematisk kompetanse. Eleven trenger å se at skolefaget henger sammen med den virkeligheten eleven opplever, og at matematikk er nyttig både i arbeidslivet og for å fungere godt i samfunnet.

For å forstå dagens matematikkfag i skolen er det nyttig å vite litt om den historiske utviklingen. Navnet på faget har ikke alltid vært som nå. I Normalplanen av 1939 (N39), heter det rekning . Faget har to mål: Ett innenfor tall og ett innenfor geometri (former og størrelser) (s. 136). De andre skolefagene var kristendomskunnskap, norsk, heimstadlære, geograﬁ, naturfag, skriving, tegning, sang, handarbeid, kroppsøving og engelsk. I læreplanen for forsøk med 9-årig skole fra 1960 ble rekning erstattet med matematikk, men først for 7.–9. klasse. Etter denne planen skal elevene i 1.–4. klasse ha rekning, mens fra 5. klasse er faget delt inn i to hovedemner: «Rekning og algebra» og «Geometri og romlære». Mønsterplanen for grunnskolen (M74) har «Tall og tallregning» som et hovedemne. Her er matematikken delt inn i ﬂere fagemner som algebra, ligninger og andre åpne utsagn, funksjoner, geometri samt anvendelse av matematikk (s. 132–133). Anvendelse av matematikk skal integreres i de andre emnene. Alt etter hvilket trinn de er på, har elevene fra 4 til 6 emner. Mønsterplanen for grunnskolen (M87) har også «Tall og tallregning» som et hovedemne. I tillegg har

problemløsning og datalære kommet inn som egne hovedemner. Planen har i alt 10 hovedemner. Læreplanverket for den 10-årige grunnskolen (L97) reduserte omfanget av emner fra 10 til 3–5, alt etter hvilket trinn man er på. Begrepet regning er tatt helt bort. I stedet ﬁnner vi emnet «Tall» fra 1.–7. trinn, og «Tall og algebra» på 8.–10. trinn. I Læreplanverket for Kunnskapsløftet, LK06 fra 2006, kommer «Tall og algebra» allerede fra 5. trinn. Totalt er det 5 hovedemner, men emnet funksjoner ﬁnnes bare på 8.–10. trinnet. Du ﬁnner mer om dagens læreplan i del II, kapittel 2.

I de senere år har det blitt utviklet en teori om kompetanseområder i matematikk som har fått vesentlig innﬂytelse på læreplaner og matematikkfaget i skolen. Disse kompetanseområdene gjenspeiler en vid oppfatning av hva matematikk er, se del II, kapittel 2. Lenge ble rekning eller matematikk sett på som et fakta- og ferdighetsfag, men nå er også aspekter som problemløsning, anvendelser og modellering viktige. Begrunnelse, argumentasjon og bevis henger sammen med problemløsning og forståelse og er derfor også i ferd med å få en større plass. For å delta i denne typen matematikkfag må eleven ha forståelse og kunne bruke det matematiske språket selvstendig og aktivt. Elevene trenger ikke bare å beherske de vanlige matematikktegnene som 5, 718, + osv., men må også kunne lage og tolke tegninger, grafer og tabeller.

Læreren: Hva er det aritmetiske middel til 4 og 10?

Maria: Kan du si det på en måte slik at det går an å forstå hva du spør om?

Læreren: Kan du ﬁnne gjennomsnittet av tallene?

Maria: Sju!

Goethe har en gang sagt i en samtale: «Matematikere er som franskmenn. Snakker man til dem, oversetter de til sitt eget språk, og så er det straks noe helt annet.» Matematikkens språk inngår i kulturen vår. Skal eleven lære, må undervisningen forholde seg både til kulturens og elevens eget språk. Læreren må ta utgangspunkt i elevens verden og derfra legge til rette for å føre eleven inn i skolefaget og kulturens matematikkspråk.

DEL I MATEMATIKK – SKOLEFAG OG KULTURARV • 23

Fra boka Den lille prinsen har vi hentet dette avsnittet om tall:

De voksne elsker tall. Hvis du forteller dem om en ny venn, spør de aldri om vesentlige ting. De spør aldri: «Hvordan var stemmen hans? Hva er det han helst leker med? Samler han på sommerfugler?» Nei, de spør: «Hvor gammel er han? Hvor mange søsken har han? Hvor meget veier han? Hvor meget tjener hans far?»

Og først da tror de at de kjenner han. Dersom du sier til en voksen: «Jeg har sett et nydelig rødt steinhus med geranier i vinduet og duer på taket», så kan de slett ikke tenke seg hvordan det ser ut. Du skal si: «Jeg har sett et hus til hundre tusen franc.»

Og da vil de rope: «Å, så nydelig det er!»

Saint-Exupéry (1998)

Før du fortsetter: Bruk noen minutter til å skrive ned litt av det du vet om tall. I del II, kapittel 3.1 tar vi opp kognitive kart som et didaktisk redskap for å bevisstgjøre lærere eller elever om kunnskaper de har om et begrep eller fagområde. Dersom du ikke kjenner til kognitive kart, så les litt om det og bruk noen minutter på å lage et kognitivt kart over begreper knyttet til tall.

### 1.1Hva er tall?

Selv om tall er noe du møter i hverdagen og har kjent til i store deler av livet, er det likevel ikke helt liketil å forklare hva tall er. Du møter tall i skolens matematikktimer, og også i andre fag og utenom skolen. Mange elever har

[start kap]
Tall 1

dessverre vansker med å se sammenhengen mellom matematikktimenes tall og hverdagstallene. Dette er synd, for da mister de både gleden ved å anvende matematikk og rike kilder til forståelse av faget. Vi skal se hvordan elevene kan møte tallene i skjæringspunktet mellom sin egen virkelighet, skolens matematikkfag og kulturen rundt oss.

Tall har ulike funksjoner alt etter hvilken sammenheng eller kontekst de opptrer i. Telling er kanskje det første du forbinder med tall. Svært mange ting kan telles, for eksempel bøkene i et bibliotek. Det som telles, er knyttet til spørsmålet «hvor mange?». Temperatur oppgis også ved hjelp av tall, men temperaturer måles. De telles ikke. Spørsmålet som svarer til dette er «hvor mye?». Postnummer uttrykkes også ved tall. Det er et system innført av Posten for at brev effektivt skal komme dit de skal. For eksempel har steder nær hverandre ganske like postnummer. Vi ﬁnner imidlertid ikke frem til et steds postnummer verken ved å telle eller å måle. Alle norske statsborgere har også sitt eget tall med elleve siffer, nemlig personnummeret. Dette nummeret begynner med personens fødselsdato. I sitatet fra Den lille prinsen bruker forfatteren tall som antall, for eksempel «hvor mange søsken?». Spørsmålet «hvor meget veier han?» dreier seg derimot om målte tall. Det som måles, kalles ofte mengde. Bruker vi samme slags tallforståelse når vi teller, måler og regner?

Et interessant ﬁlosoﬁsk spørsmål er om tall er oppdaget eller oppfunnet. Det er ikke sikkert du har tenkt gjennom dette, men spørsmålet kan være et ﬂott utgangspunkt for å samtale med elever om hva tall er. Det er en vanskelig problemstilling som neppe har et entydig svar. Hva betyr det så at et tall er oppdaget eller oppfunnet? Kan vi si at forholdstallet mellom omkrets og diameter, π, er oppdaget eller oppfunnet? Er tallet 3 oppdaget eller oppfunnet? Samlinger av tre objekter ﬁnnes uten tvil i verden rundt oss, for eksempel:

Kanskje har vi oppfunnet tallsymbolet 3 og det abstrakte begrepet tre, men oppdaget konkrete samlinger av tre objekter? I matematikken kaller vi samlinger av objekter med samme type for mengder, se Deﬁnisjon 1. Når ordet brukes i entall, mengde, kan det sammenblandes med størrelser som måles. Som nevnt ovenfor, kalles det også for mengde. Mengden av vann i Mjøsa betyr hvor mye vann det er i denne innsjøen. Sand kan kanskje i prinsippet telles, men «hvor mye?» er det naturlige spørsmålet å stille også i det tilfellet.

26 • KAPITTEL 1TALL

Tallene har også ideologisk eller ﬁlosoﬁsk betydning innenfor noen kulturer. Mest kjent er kanskje ﬁlosoﬁen til de greske tallmystikerne, kjent som pytagoreerne. For dem var alt knyttet til det som kan telles. « Alt er ordnet i samsvar med tallene». Tall for dem var det som kan telles, eller som er et forhold mellom tall. De godkjente altså positive hele tall og brøker hvor teller og nevner er slike tall. En av deres egne oppdaget imidlertid at det ﬁnnes såkalte irrasjonale tall.

Figur 1 1 1

2 2 2

Kvadratrota av 2, skrevet , er lengden av siden i en rettvinklet trekant hvor sidene som møtes i en rett vinkel begge er en lengdeenhet lange. Vi skal se i kapittel 5 at er et irrasjonalt tall, dvs. et tall som ikke kan skrives som en brøk eller et forhold mellom hele tall. En legende sier at oppdagelsen av irrasjonale tall ﬁkk katastrofale følger. Det fortelles at oppdageren ﬁkk en møllestein rundt halsen og ble kastet i Middelhavet.

I gresk ﬁlosoﬁ er det ikke bare pytagoreerne som er kjent for å ha vært opptatt av tall. Platon mente at tallene er universets harmoni, og Aristoteles hevdet at alle tings opprinnelse og substans er i tallene. Det samme ﬁnner vi igjen i hinduismen. Kirkefader Augustin er også kjent for å være en av historiens store ﬁlosofer. Han knyttet universets oppbygging til sitt platoniske syn, der tall er til før skapelsen.

Deﬁnisjon 1 Mengde (samling av objekter)

En mengde er en samling av objekter av samme type. Objektene kalles elementer.

1.1HVA ER TALL? • 27

Poenget med mengder i grunnskolematematikken er at de inneholder ting som kan telles. Flere forutsetninger må være oppfylt for at noe kan telles. En av disse er at det som telles, må kunne ses som eksempler på samme type ting.

Kronestykker er uten tvil samme type ting. Figuren viser ﬁre slike. Nedenfor ser du ﬁre mynter:

Vi kan si at alle objektene har samme type, for de er alle mynter. Likevel er det langt mindre naturlig å telle disse myntene enn de ﬁre kronestykkene. Kanskje bare myntsamlere ville telle ﬁre forskjellige mynttyper.

Deﬁnisjon 2 Naturlige tall

Naturlige tall, N, er det samme som de positive hele tall, altså de tallene vi kan bruke til å telle elementene i mengder. N0 er hele positive tall og 0. Null regnes noen ganger som et naturlig tall.

Vi vil, med ett unntak, videre i dette kapitlet holde oss til de naturlige tallene. Tallet null er spesielt og ble ikke akseptert før lenge etter de positive hele tallene. Vi kan nemlig ikke telle ingenting. Null er likevel nyttig som størrelsen på en tom mengde. Istedenfor å si «ingen mynter», kan vi si 0 mynter. Lengde før tallet 0 ble godtatt, ble 0 tatt i bruk som en plassholder, se kapittel 1.2.4. I tallet 20 er 0 en plassholder som betyr at det er ingen enere. Først når vi godtar 0 som et svar på regnestykker av typen 17 – 17 = 0, kan vi kalle 0 et tall

28 • KAPITTEL 1TALL
Figur 2 Figur 3

Deﬁnisjon 3

Brøker og desimaltall er nødvendige for å utføre målinger. De brukes for å svare på spørsmålet «hvor mye?». Da dukker «mengde» i den andre betydningen opp.

Målbare størrelser (mengde)

Størrelser som kan måles, kalles målbare. De måles med brøker eller desimaltall. Hvor mye vi har av tid eller en tredimensjonal størrelse, kalles mengden av det vi snakker om.

Eksempler på målbare størrelser er lengde, areal, vekt, tid og volum. Vi sier «hvor mye bær?», «hvor mye tid?» og «hvor mye vann?». Svar på disse spørsmålene kan være «en mengde bær», «mengder av tid» eller «en mengde vann». Derimot er det vanlig å si «hvor lang?» eller «hvor stor ﬂate?» knyttet til det en- og todimensjonale. Da bruker vi heller ikke ordet «mengde». Men, vi kan si «hvor mye tau?» og «en mengde tau» når vi ser på tauet som noe fysisk og romlig. Hvordan vi bruker språk i forbindelse med matematikk, varierer mellom språk og kulturer, se del II, kapittel 4.6.

### 1.2Et historisk blikk på tallsystemets utvikling

Hva er motivasjonen og behovet bak utviklingen av tallene? Forståelse av hvordan vårt tallsystem har utviklet seg, kan gi deg forståelse av den utviklingen som foregår hos eleven. Arbeid med utviklingen av tall og tallsystemer kan gi deg erfaring med hvor vanskelig og genialt dagens tallsystem er. I dagens multikulturelle klasserom er det stor sjanse for at du møter elever med ganske andre erfaringer enn dine egne, se del II, kapittel 4.6. Kunnskap om hvordan tallene har utviklet seg i ulike kulturer, er nyttig også for å møte elever med bakgrunn fra andre land. Erfaring med andre tenkemåter og uttrykksformer styrker muligheten til å kunne møte slike elever på en god måte.

Eksempel 1Arabiske tallsymboler

Våre vestlige tall er helt forskjellige fra dagens arabiske tall, til tross for at våre tallsymboler stammer fra araberne, som igjen fikk dem av inderne. Vi snakker om hinduarabiske tall.

1.2ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING • 29
••

Folk har tidlig hatt behov for å få oversikt over eiendelene sine. I 1937 fant man i Tsjekkia et ulvebein med 55 hakk, gruppert i femmergrupper. Funnet er anslått til å være 30 000 år gammelt. Sannsynligvis har eieren av beinet laget et hakk for hver eiendel, hvert byttedyr eller lignende.

Koblingen mellom eiendeler og hakk i et bein er et eksempel på et fenomen vi i matematikken kaller en-til-en-korrespondanse .

Her er det laget en strek eller et hakk for hver geit. Hver strek korresponderer med en geit, og hver geit korresponderer med en strek. Derfor kalles det en-til-en-korrespondanse.

På beinet som ble funnet i Tsjekkia, var det et dobbelthakk ved markering nummer 25. Kombinert med grupperingen i femmere har dette noe til felles med det vi i dag kaller et femtallsystem. Et slikt tallsystem er som vårt titallsystem, bortsett fra at basen eller grunntallet er fem i stedet for ti. I et femtallsystem er utgangspunktet grupperinger på fem.

30 • KAPITTEL 1TALL
Figur 4 Visittkort fra Iran Figur
5

Her markerer sirkelen en gruppe på fem trekanter. I neste omgang kan vi danne en g ruppe av fem slike sirkler:

Figur 7

I vårt tallsystem skriver vi dette som 25. Grunnen er at vi tenker trekantene gruppert i 2 tiere og 5 enere. Det er imidlertid mulig å holde seg utelukkende til gruppering i femmere, se kapittel 1.2.6. En hånd består av fem ﬁngre. Historisk har trolig kroppen vår hatt avgjørende betydning for hvordan vi grupperer.

Eksempel 2Kroppslig opphav til gruppering Hender og føtter gir opphav til grupperinger i femmere (en hånd), tiere (begge hendene) og 20-ere (hendene og føttene).

Figur 8

Hender som utgangspunkt for gruppering i 10

Alle disse grupperingene har vært brukt historisk. Gruppering i 20 ble brukt av mayaene. Også andre baser har imidlertid vært brukt. I dag har vi rester etter et sekstitallsystem, altså et system basert på grupper på 60. Et slikt system er fortsatt vanlig i dagliglivet vårt, særlig når vi måler tid. En time er delt

1.2ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING • 31
••
Figur 6

inn i 60 minutter, og et minutt er delt inn i 60 sekunder. Noe lignende brukes i v inkelmåling.

Vi skal dele utviklingen frem til dagens tallsystem inn i additive tallsystemer, siffersystemer og multiplikative systemer og posisjonssystemer. Langt på vei er dette en utvikling fra enklere til mer avanserte systemer, men det er ikke helt entydig. Eksempler og konkretiseringer som ligner på historiske tallsystemer kan brukes for å gi elever en enklere læringsvei. Det samme kan rester av gamle tallsystemer som fortsatt ﬁnnes i bruk.

I det gamle Egypt ble hieroglyfene utviklet ca. 3500 f.Kr. Tallene i dette skr iftspråket hadde ti som base og egne symboler for enere, tiere, hundrere osv. som vist under:

= 1,= 10,= 100,= 1 000,= 10 000, = 100 000,= 1 000 000,= 10 000 000

Tallet 1 234 567 skrives ••

Kjennskapet til disse tallene kommer fra to papyrusruller, Moskva-papyrusen som inneholder geometri, og Rhind-papyrusen som inneholder tallregning. Forskerne er ikke sikre på hva disse papyrusrullene ble brukt til, men kanskje har de vært lærebøker for skriverne til farao.

I et additivt tallsystem legger man sammen verdiene til de enkelte tallsymbolene. Mynter er et eksempel på dette som fortsatt eksisterer. For å ﬁnne ut hvor mye penger dette er, har rekkefølgen av myntene ikke noe å si.

Det egyptiske systemet er i prinsippet additivt, men egypterne valgte likevel ofte å oppgi de største symbolene til venstre og så de andre i synkende rekkefølge mot høyre.

32 • KAPITTEL 1TALL
Figur
9

Eksempel 4Ulike rekkefølger

Tallet 2 344 kunne skrives på ulike måter:

eller

Greske attiske eller akrofone tallsymboler fra ca. 500 f.Kr. hadde også ti som base. Her er noen av symbolene:

= 1,= 5,= 10,= 50,= 100, = 500,= 1 000,= 5 000 I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = 1000 IV –==514 IX –==1019

Vi kan gjenkjenne den moderne greske bokstaven Δ: delta. Tegnet Γ ser ut som en stor gamma, men er et gammelt tegn for π, pi. Også romertallene var opprinnelig et additiv tallsystem med , , , , , og . Romerne videreutviklet senere systemet med at de trakk fra talltegn til venstre for et tegn med høyere verdi. For eksempel erstattet det opprinnelige IIII, og VIIII ble erstattet med .

Eksempel 5Estetiske hensyn

Ser du på en klokke med romertall på tallskiven, kan 9 være skrevet IX, men 4 som IIII. Dette er gjort av hensyn til det estetiske. ••

Figur 10

Klokke med romertall

Romertallene egnet seg ikke til å regne med, bare til å skrive ned tall. Utregninger ble gjort med regnebrett eller kuleramme. Så skrev de svaret ned med

1.2ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING • 33
••
••

romertall etterpå. Vårt tallsystem er overlegent romertallene ved at vi har enkle metoder til å regne med selve tallsymbolene.

### 1.2.2Siffersystemer

Som nevnt i kapittel 1.2.1, hadde egypterne først et additivt tallsystem skrevet med hieroglyfer. De ble brukt på tempelvegger og gravert inn i kolonner. For å skrive på papyrus utviklet de ca. 2500 f.Kr. et enklere system, hieratisk skrift, hvor hvert av tallene fra 1 til 9 ﬁkk sitt eget siffer i stedet for like mange streker som antallet. Tilsvarende hadde hvert av tallene 10, 20 … 90 og 100, 200 … 900 hvert sitt siffer. Denne type system kalles et siffersystem.

Under har vi oppgitt sifrene fra 1 til 10, 20, 30, 40 og 200.

12345678910203040200

Eksempel 6Hieratiske hieroglyfer

Tallet 37 ble skrevet med symbolet for 7 ved siden av symbolet for 30. Siden 7 = og 30 = , får vi 37 = . Da 3 = og 40 = og 200 = , blir 243 = .

Leseretningen til tallene er motsatt av vår. Enerne kommer til venstre, ikke til høyre som hos oss. Prikkene i symbolene for 30, 40 og 200 betyr ikke å multiplisere, men er en del av selve sifrene. ••

Noen ikke-vestlige kulturer leser samme vei som egypterne, se del II, kapittel 4.6.6. Hva som er leseretningen for tall, er imidlertid ikke entydig. Når vi regner sammen 12 + 34 med standardalgoritmen for addisjon, se kapittel 1.4.1, er det enerne vi leser først. Dette stammer fra at araberne leste fra høyre mot venstre, noe de gjør den dag i dag. I hoderegning begynner vi derimot ofte fra venstre og tar enerne til slutt, se kapittel 1.4.5.

I Hellas ble det greske alfabetet brukt som et siffersystem:

αβγδικλμ ====…==== 1234102030 ,,,,,,44050 ,, ν =…

Eksempel 7Greske alfabetbaserte tall

34 • KAPITTEL 1TALL
Tallene 34 og 22 ble skrevet og . λδ κβ

Hebraisk har et tilsvarende system. I lengden var ikke denne måten å gjøre det på holdbar, da stadig nye symboler måtte finnes opp for å uttrykke større tall. Et annet problem var at tall kunne leses som ord og ord som tall. Hva var tallet, og hva var selve teksten? Det måtte tolkes ut fra sammenhengen. ••

### 1.2.3Multiplikative systemer

Det tradisjonelle kinesisk-japanske tallsystemet er et multiplikativt system med base 10. Systemet oppstod ca. 1600 f.Kr. Vi har rester av et multiplikativt system i norsk språk når vi for eksempel sier tre hundre og femti sju. Tre hundre betyr at vi har tre hundrere, dvs. at tre multipliseres med hundre. Tilsvarende vil femti si fem tiere, altså fem multiplisert med 10. Både vårt system og det kinesisk-japanske har symboler for tallene fra 1 til 9 og for potenser av 10. De første potensene av ti skrevet i vårt system, er , og

10101 = 10010 2 = Eksponent Grunntall

105

Det lille tallet oppe til høyre kalles eksponenten til en potens. Du ﬁnner mer om potenser i kapittel 2.10. Her ser du de kinesisk-japanske symbolene for 1 til 9 og til :

101 10 3

1000103 . = Figur 11 123456789101 102 103

Det kinesisk-japanske systemet krever langt færre symboler enn siffersystemer som det hieratiske og det greske.

1.2ET HISTORISK BLIKK PÅ TALLSYSTEMETS UTVIKLING • 35

Eksempel 8Tradisjonelle kinesisk-japanske tall Tallet 5 923 skrives slik: ••

Figur 12

En handelsmann regner ut prisen ved hjelp av abakus

Det kinesisk-japanske systemet har trolig utviklet seg fra tidligere bruk av tellebrett. De kinesiske tellebrettene var bord med tellepinner som ble brukt til å utføre regneoperasjoner. Tellepinnene var små bambuspinner på ca. 10 cm. Pinnene kan legges enten vertikalt eller horisontalt:

5 103 9 102 2 101 3 123456789 123456789

For å uttrykke tall større enn ti brukte kineserne et tierbasert plassverdisystem på tellebrettet. Denne ideen kan ligge bak vårt posisjonssystem.

36 • KAPITTEL 1TALL
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.