Matematikk 4B Lærerveiledning (utdrag)

MATEMATIKK 4B fra CAPPELEN DAMM

Lærerveiledning

Hanne Hafnor Dahl

May–Else Nohr

Bokmål/Nynorsk

© CAPPELEN DAMM AS, Oslo, 2023

Materialet i denne publikasjonen er omfattet av åndsverkslovens bestemmelser. Uten særskilt avtale med Cappelen Damm AS er enhver eksemplarframstilling og tilgjengeliggjøring bare tillatt i den utstrekning det er hjemlet i lov og tillatt gjennom avtale med Kopinor, interesseorgan for rettighetshavere til åndsverk. Bruk som er i strid med lov eller avtale, kan medføre erstatningsansvar og inndraging og kan straffes med bøter eller fengsel.

Matematikk 4 fra Cappelen Damm er lagd til fagfornyelsen i faget matematikk og er til bruk på grunnskolens barnetrinn.

Forfatterne ha fått støtte fra Det faglitterære fond.

Hovedillustratør: Fredrik Rättzén

Øvrige illustrasjoner: Line Mathisen

Grafisk design: AIT Grafisk AS

Omslagsdesign: Tank Design AS

Omslagsillustrasjon: Fredrik Rättzén

Forlagsredaktør: Charlotte Hestenes Undrum

Historiene på side 7, 29, 63, 97 og 125 er skrevet av Axel Hellstenius

Trykk og innbinding: Livonia Print Sia, Latvia

Utgave 1

Opplag 1

ISBN 978-82-02-69336-7

www.cdu.no

Forord

Til læreren

Vi har skrevet et helt nytt læreverk i matematikk som forhåpentligvis vil inspirere dere lærere til å gjøre matematikkundervisningen så spennende at ALLE elevene vil elske matematikk!

De matematikkdidaktiske prinsippene bygger på læreverket Radius og selvfølgelig på intensjonene fra ny læreplan (LK20).

Matematikk 4 fra Cappelen Damm

•fokuserer på metoder og tenkemåter, slik at elevene får dyp og varig forståelse for faget

•gir elevene mange muligheter til å kommunisere hvordan de har tenkt og muligheter til å argumentere for egne tenkemåter

•ønsker at elevene skal jobbe utforskende og problemløsende

Vi har mange års erfaring som lærere i barneskolen. Vi jobber nå som fagkonsulenter i Utdanningsadministrasjonen i Oslo, er ressurspersoner for Matematikksenteret i Trondheim og er forfattere av læreverket Radius i tillegg til dette verket. Vi har masterstudium i grunnskoledidaktikk med fordypning i matematikk.

Vi er begge svært opptatt av begynneropplæringen i matematikk og veldig inspirert av undervisningsmetoder fra blant annet Nederland og Singapore. Vi holder mange kurs om blant annet perlesnormetodikken, tom tallinje, regnestrategier og blokkmetoden (thinking blocks), og i alle temaene har vi fokus på modeller og visualisering av matematikken.

Dette matematikkverket er inspirert av Singaporemodellen og Dr. Yeap Ban Har, hvor et av målene er å skape en dypere forståelse for sentrale begreper i matematikken.Elevene får mulighet til å reflektere selv og å lære av hverandre. Lærerens rolle er å stille spørsmål og oppmuntre elevene til å finne flere strategier og metoder for å løse problemer.

Vi har et sterkt ønske om at elevene utvikler en helhetlig matematisk kompetanse i tråd med målene for faget. Målet med dette matematikkverket er i samsvar med Singaporemodellen å framheve den enkelte elevs tenkning og å utvikle elevenes matematikkforståelse – og selvsagt at de skal bli interessert i og like matematikkfaget. Vårt utgangspunkt er

•at alle kan lære matematikk

•at feil er verdifulle og et godt utgangspunkt for diskusjoner

•at spørsmål er viktige

•at matematikk handler om kreativitet og logisk tenking

•at matematikk handler om samarbeid og kommunikasjon

•at matematikk ikke handler om å prestere

•at dybdeforståelse er viktigere enn å finne et svar raskt

Lykke til videre med det nye matematikkverket!

Hanne Hafnor Dahl May-Else Nohr

Digital lærerressurs til bøkene

Til læreboka følger digitale ressurser.

Alle grunnbøkene finnes som interaktive tavlebøker for visning med projektor på skjerm eller på interaktiv tavle. Tavlebøkene inneholder innleste rammefortellinger. Her finner du også blant annet arbeidsark, oppgaver og kartlegging.

Skolen fra Cappelen Damm

I Skolen fra Cappelen Damm tilbyr vi engasjerende innhold til matematikktimen. Her ligger læringsstier, forklaringsfilmer, elevark og øverom som legger til rette for at elevene snakker matematikk og utvikler dybdeforståelse.

Innholdet i Skolen følger bøkenes progresjon og er et naturlig supplement til dere som bruker Matematikk 1–4 fra Cappelen Damm

Kombinasjonen bøker og digitale tjenester gir fleksibilitet, variasjon og mulighet for å velge det som passer deg og dine elever best for å nå målene i LK20.

Matematikkdidaktiske prinsipper

Matematikk 4 fra Cappelen Damm legger til rette for at elevene skal utforske matematikken, og bli gode problemløsere, utvikle dybdeforståelse og opparbeide seg gode grunnleggende ferdigheter i matematikkfaget. Læringen skjer ved at elevene undersøker og eksperimenterer. Når elevene bruker slike gjenstander som klosser og terninger, ser en at de spontant setter i gang med bygging og telling, og gjennom slike aktiviteter finner de sammenheng og mening.

Målet er at elevene

• utvikler hensiktsmessige og fleksible regnestrategier

• oppdager og nyttiggjør seg viktige matematiske sammenhenger

• løser utforskende og sammensatte oppgaver

• samarbeider og kommuniserer om oppgaver og reflekterer over metoder og løsninger

Utforske og lære

Ifølge LK20 handler utforsking i matematikk om at elevene leter etter mønstre, oppdager sammenhenger og diskuterer seg fram til en felles forståelse. Elevene skal legge mer vekt på strategiene og framgangsmåtene enn på løsningene.

I Matematikk 4 fra Cappelen Damm er hovedfokuset å stimulere elevene til tenking og refleksjon. Vårt ønske er at elevenes tenking blir verdsatt, og at lærerens rolle blir å legge til rette for diskusjon og refleksjon og at tankeprosessene som ligger bak de matematiske aktivitetene, kommer tydelig fram. Kjernen i undervisningen blir da å finne ut hva elevene kan eller forstår og hvordan de tenker eller resonnerer. Læreren blir viktigere enn noensinne. Læreren skal stille de gode spørsmålene, tydeliggjøre matematikken i det elevene sier, holde fokus i de matematiske samtalene og ha oversikt over og innsikt i elevenes matematikkforståelse.

Dette forutsetter et godt læringsmiljø, hvor elevene kan diskutere og prøve ulike måter å løse oppgaver på, og hvor elevene blir vant til å sette ord på hvordan de tenker, lærer å argumentere for egne løsninger og lytte for å forstå andre elevers argumenter.

I et utforskende klasserom får elevene mulighet til

• å reflektere, diskutere og lytte til andres måter

å tenke på

• å utvikle kognitive evner som kritisk tenkning, kreativ tenkning og problemløsing

• å trene på sosiale evner når de kommuniserer, samarbeider og lytter til hverandre

• å utvikle metakognitive evner og reflektere over sin egen tenking og læring

• å utforske sammen, presentere ulike løsninger for hverandre og lytte til hverandres løsninger

Et verktøy for å få til en dialog kan være IGP-metoden (individ – gruppe – plenum), der elevene først får tenke individuelt før de deler tankene sine i par eller i grupper, og der læreren til slutt løfter fram og tydeliggjør elevenes tanker og metoder i plenum.

En måte å få til IGP-metoden på kan være å bruke læringspartnere. En læringspartner er en du sitter sammen med en viss periode (2–3 uker) og samtaler med eller jobber sammen med.

Hvorfor?

• Alle elevene aktiviseres.

• Elevene får tenketid.

• Elevene er ikke alene om svaret.

• Alle elevene kan delta.

• Elevene lærer av andre.

• Elevene lærer bedre selv ved å forklare og diskutere.

Utforsking og undring er en viktig del av matematikkfaget. Dette matematikkverket legger til rette for at elevene skal få mange erfaringer med å løse utforskende og sammensatte oppgaver. Elevene oppfordres til å fortelle hvordan de tenker og å utvikle gode løsningsmetoder sammen.

Tallforståelse

Dybdelæring innebærer at elevene gradvis og over tid utvikler en forståelse av begreper og sammenhenger innenfor et fag. Elevenes læringsutbytte øker når de utvikler en helhetlig forståelse av fag og ser sammenhenger mellom fag, og greier å bruke det de lærer (fra Realfagsløyper utviklet av Matematikksenteret og Naturfagsenteret).

Vi har fokus på at elevene utvikler en god tallforståelse tidlig. Dette danner grunnlaget for all matematikklæring senere. I bøkene legger vi derfor vekt på systematisk arbeide med tallene og hvordan tallene er bygd opp. Vi ønsker at Matematikk 4 fra Cappelen Damm skal bidra til at elevene utvikler en god tallforståelse –ved at den bygges opp steg for steg. Først fokuserer vi på telling som basis og grunnlag for regning. Vi knytter for eksempel elevenes tellekompetanse til elevenes utvikling av hensiktsmessige regnestrategier.

Regnestrategier

Vi fokuserer på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i de fire regneartene. Læreverket definerer hva regnestrategier er og hvilke strategier som kan være hensiktsmessige. Elevene skal kunne velge hensiktsmessige strategier ut ifra tallene i oppgavene og ha et repertoar av strategier å velge fra.

Konkret – visuelt – abstrakt

Modellen «Konkret – visuelt – abstrakt» bygger på amerikaneren Jerome Bruners undervisningsteori om prosessen fra det konkrete via det visuelle til det abstrakte. Modellen kan oppfattes som mentale kart eller bilder som gir visuell støtte for å kunne tenke abstrakt. Det visuelle blir en naturlig bro fra det konkrete til det abstrakte ved at elevene først visualiserer og forstår problemet før de går videre til det abstrakte der tall, notasjoner og symboler brukes.

Fagstoffet i dette matematikkverket bygger på Bruners modell. Illustrasjonene har alltid en hensikt:

De skal gi elevene et visuelt bilde av fagstoffet og hjelpe dem til å forstå matematikken. Elever som i mindre grad trenger visuell støtte, kan løse oppgavene på abstrakt grunnlag. Slik kan alle elevene gjøre de samme oppgavene, delta i klassefellesskapet og få utbytte av en felles oppsummering mot slutten av timen. 32

3 + 2 = 5

KonkretVisueltAbstrakt

Bruners modell – fra det konkrete, via det visuelle til det abstrakte

Representasjoner og modeller

Elevene konstruerer sin kunnskap og forståelse gjennom mange ulike erfaringer og representasjoner:

•konkrete erfaringer – virkelige fysiske objekter, slik som klosser, fingre, terninger og målebånd

•språk – både formelt og uformelt matematisk språk, som beriker og forklarer. Elevene kan lytte og samtale, sette ord på hvordan de tenker og forstå hvordan andre tenker

•bilder – for eksempel tier-rammer, tegninger som er strukturert, tallinjer, rutenett m.m.

•symboler – tallsymboler, regnetegnene og likhetstegnet

•læring skjer når elevene oppdager sammenhengene mellom de ulike representasjonene

I dette matematikkverket er målet at elevene skal få en helhetlig matematisk forståelse gjennom ulike representasjoner, noe som kan illustreres med modellen til Haylock og Cockburn.

Virkelighet

Basert på Haylock og Cockburn (2013)

Språk Konkreter

Bilder Symboler

I Matematikk 4 fra Cappelen Damm vil elevene jobbe med å utforske matematikk. Sammen med lærer og klassekamerater skal de diskutere ulike måter å løse oppgavene på. Alle må være aktive i matematikktimene, fordi man lærer av å snakke sammen og diskutere.

Kapittelstart

Hvert kapittel har et bilde med en fin historie til. Når elevene hører historien og samtaler om bildet, kan elevene sammen med Mattis, Mira, Jon og Olga undre seg over ulike matematiske problemstillinger. Her finner de også målene for kapittelet og begrepene elevene skal lære.

Vi tenker er en utvalgt startoppgave som hjelper klassen med å utforske og samtale om innholdet i delkapittelet.

Vi lærer viser en eller flere løsninger som dere kan studere og reflektere over sammen. På denne måten kan elevene utvikle en god forståelse av temaet dere skal jobbe med.

?–oppgavene kan elevene løse sammen med klassekamerater. Her er det ofte flere måter å tenke på for å løse oppgavene. Snakk sammen: Hva er likt, og hva er forskjellig? Lytt til andres tenkemåter, og prøv å forstå hvordan de tenker.

Min stjernelogg er en oppgave som gir elevene mulighet til å vise hva de har lært.

Øve 1 og Øve 2 er oppgaver hvor elevene kan bruke det nye de har lært. Det kan være lurt å gjøre Øve 1 før dere gjør Øve 2.

Problem er problemløsingsoppgaver. Disse må elevene kanskje jobbe mer med og prøve flere ganger før de klarer å løse dem. Noen av oppgavene har flere løsninger. Klarer elevene å finne alle? Det er lurt å samarbeide om å løse disse problemene.

Sant eller usant? er en morsom quiz med påstander som enten er riktige eller gale, og noen er kanskje begge deler. Kanskje er elevene litt uenige om svaret? Da må de diskutere og argumentere for det de mener.

trekker en lapp med brøkene skrevet på. Hvis spilleren f.eks. trekker lapp med brøken 1 3 ska spilleren ta 1 3 de 36 brikk l gger på b det (12 brikker).

2 Så er det spiller 2 sin tur til å trekke lapp og ta sin brøkdel av brikkene som er igjen. For eksempel om spiller 2 trekker 1 2 ar spilleren 12 av de 24 brikkene som er igjen.

3 Spillet fortsetter til spillerne ikke kan finne brøkdeler av brikkene som er gjen.

Dere trenger apper med brøker skrevet på 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 36 brikker 1 2 1 4 1 5

Spill. På slutten av hvert kapittel er det et morsomt spill som elevene også lærer matematikk av.

Vi ønsker dere et skikkelig morsomt og lærerikt år! t m

Oppbygningen av matematikkverket

Grunnbok

•Kapittelstart – oppslagsbilde med en fin historie til

•Vi tenker – oppstartsoppgaver for utforsking, refleksjon og samarbeid

•Vi lærer – oppsummering av oppstartsoppgaven og klassesamtale om dem

•Differensierte øvingssider til hvert tema

•Samarbeidsoppgaver merket med spørsmålstegn

•Problemløsingsoppgaver – anvende det elevene har lært

•Sant eller usant – quiz hvor elevene må argumentere for synspunktene sine

•Min stjernelogg – elevens logg og underveisvurdering

•Spill – anvende det eleven har lært

Grunnbøkene har mål for hvert kapittel og en underveisvurdering av hva elevene skal kunne etter at de har jobbet med kapitlene. Kolumnetittelen nederst på sidene i grunnbøkene forteller hvilket fagstoff elevene skal jobbe med på de ulike oppslagene.

Problemløsingsoppgaver

Hvert kapittel avslutter med noen problemløsingsoppgaver. Oppgavene er ment som samarbeidsoppgaver som kan gi utgangspunkt for samtale og refleksjon rundt det elevene skal lære samt samarbeid eller oppsummering. Når disse oppgavene skal løses, kan det hjelpe å tegne eller skrive. Snakk med elevene om hvordan problemløsingsoppgavene kan løses. Det vil gi deg en pekepinn om hvordan de forskjellige elevene tenker, og elevene får høre hvordan de andre elevene resonnerer. Oppmuntre elevene til å løse problemløsingsoppgavene på sin egen måte og til å presentere, forklare og diskutere de ulike framgangsmåtene og regnestrategiene for og med hverandre.

Differensierte oppgaver

Hvert kapittel har oppgaver med forskjellig nivå, henholdsvis Øve 1 og Øve 2. Øve 1 inneholder ofte oppgaver med mer visuell støtte. Oppgavene i Øve 2 er mer utfordrende og har ofte en mer abstrakt visualisering eller er helt uten visuell støtte.

Spill

Hvert kapittel avsluttes med et spill som er knyttet til det matematiske innholdet i kapitlet. Elevene skal jobbe to eller flere sammen. Erfaring med denne type aktiviteter og spill kan ha stor betydning for elevenes matematiske utvikling.

Gjennomgangsfigurer

Matematikk 4 fra Cappelen Damm har noen figurer som går igjen på mange av sidene der elevene skal jobbe med oppgaver. Hensikten med figurene er at de skal være til hjelp og forklare hva som skal gjøres, og at de skal stille undrende spørsmål til elevene. Grip tråden og reflekter sammen med elevene når figurene dukker opp med kommentarer og spørsmål.

Øvebok

Øveboka følger de samme temaene som i grunnboka. Akkurat som grunnboka inneholder øveboka differensierte oppgaver, henholdsvis Øve 1 og Øve 2. I begynnelsen av hvert delkapittel er det en rute vi har gitt navnet Husker du? Disse rutene er en repetisjon av grunnbokas «Vi tenker» og «Vi lærer». Øveboka inneholder også oppgaver som ikke er differensierte, og som ofte er mer åpne. Disse oppgavene har vi gitt navnet «Finn ut». Bakerst har vi lagt inn «Tips til de voksne hjemme». Vi ønsker å gi de foresatte anledning til å følge med og bidra i barnets matematiske utvikling. Oppgavene i øveboka egner seg godt som lekser.

Lærerveiledning

Lærerveiledningen følger grunnboka side for side og er lærerens verktøy. Her finner læreren relevant fagstoff, metodiske tips, forslag til flere aktiviteter, forslag til flere problemløsingsoppgaver, tips til hvordan elevene kan jobbe i kladdeboka og det de trenger til den daglige planleggingen og gjennomføringen av timene. I tillegg foreslår lærerveiledningen hvordan elevene og læreren kan jobbe med fagstoffet i de forskjellige kapitlene for at elevene skal kunne utvikle de grunnleggende ferdighetene.

Mosse og Milli Mattis Mira Jon Olga Radius MosseogMillli sseogMil Mi

Problemløsing

Problemløsing og algoritmisk tenking

Vi avslutter hvert kapittel med problemløsingsoppgaver. I matematikken handler problemløsing om at elevene helt fra første trinn blir kjent med forskjellige oppgavetyper og etter hvert utvikler metoder for å løse problemer som de ikke kjenner fra før. Problemløsing handler også om at elevene blir vant til å løse ukjente problem og samtidig kunne samtale om og vurdere om løsningene deres er riktige.

Det er det viktig å tenke algoritmisk i prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse problemer. Det betyr at elevene på dette nivået lærer å bryte ned hverdagslige problem i delproblem som kan løses systematisk. Senere i skoleløpet skal elevene vurdere om delproblemene best kan løses med eller uten digitale verktøy.

Bruk av åpne spørsmål som oppmuntrer til tenkning og refleksjon

Andre igangsettere for matematiske samtaler kan være:

• Tror du at …?

• Kan du forklare …?

• Kan det stemme …?

• Kan du se for deg / forestille deg …?

• Hvordan fikk du …?

• Det ser ut som om …

• Kan det være mulig at …?

• Hva hvis …?

Matematikk 1-4 fra Cappelen Damm er utviklet for å gi elevene et solid fundament i matematikk. Dette fundamentet skal bidra til at elevene utvikler kreativ og kritisk tenkning slik at de blir gode problemløsere. Vi ønsker å gjøre matematikken mer tilgjengelig og forståelig gjennom bruken av støttende illustrasjoner og ved å vise tydelige sammenhenger. Øvesider, øveboka og innlagte aktiviteter bidrar til å forsterke og konsolidere læringen.

Kjennetegn på god matematikkundervisning

Utforsking

Velg oppgaver som fremmer matematisk resonnement og tenkning.

Dybdeforståelse

Fokuser på sammenhengene mellom matematiske representasjoner for at elevene skal få en dypere forståelse av både begreper og prosedyrer. Bruk konkreter, bilder og tegninger, og koble disse til matematiske symboler. Presenter oppgaven i en relevant kontekst som støtter forståelse og det matematiske språket. La elevene setter ord på egen tenkning. De får da en dypere forståelse enn ved en instrumentell tilnærming.

Klassesamtaler

Legg til rette for et klasseromsmiljø der elevene kan diskutere og prøve forskjellige måter å løse oppgaver på, og der de blir vant til å sette ord på hvordan de tenker og lærer å argumentere for sine løsninger.

Tenk mer

Verdsett elevenes tenking og prøv å forstå hvordan de har tenkt, slik at du kan veilede og tilpasse undervisningen på måter som støtter elevenes læring.

Introduksjon til temaet

Hvordan setter du elevene «i gang»?

Elevene må få mulighet til å utforske og samarbeide:

• Problemløsing

• Hoderegningsoppgaver

• Misoppfatninger: Ta utgangspunkt i kjente misoppfatninger knyttet til temaet, for eksempel

«Finn feilen» (oppgaver som er regnet feil) eller «My favorite no». Søk på My favorite no, se filmen og bli inspirert.

Underveisvurdering

Ta utgangspunkt i elevenes forkunnskaper. Kartlegg og finn ut hva elevene kan, og bygg videre på elevenes kompetanse. Du som lærer bør ha tenkt gjennom hvilke forkunnskaper som må være på plass, og planlegge for aktiviteter som sikrer at alle elevene har mulighet til å koble seg på temaet.

Variasjon

Varier undervisningen og gi elevene varierte erfaringer med å bruke av konkreter, samtale, spille, løse problemer over tid, utforske sammen, og finne flere måter å løse oppgaver på. dette gir aktive nysgjerrige elever.

• Gi elevene nok tid til læringsarbeidet og ta høyde or at de trenger ulik tid til oppgavene.

• Bruk rike oppgaver.

Formuler spørsmålene slik at elevene må begrunne svarene sine. Spør om hvordan elevene tenker når de løser oppgavene.

Løsningsforslagene presenteres, og elevene argumenterer for løsningene sine.

• Bruk konkretiseringsmateriell.

• Bruk digitale verktøy.

• Identifiser misoppfatninger, og hjelp elevene til selv å korrigere feiltenkningen.

Klassesamtale

Hvordan legger du til rette for lærende klassesamtaler? For å kunne gjennomføre gode matematiske samtaler må det etableres et klasseromsmiljø der elevene

• er vant til å diskutere forskjellige løsningsstrategier

• kan sette ord på og forklare hvordan de tenker

• reflekterer over hvordan de tenker

Eksempel på kjennetegn ved en god matematisk klassesamtale:

Gjenta

Repeter deler eller alt en elev sier, og be deretter eleven respondere og bekrefte om det er korrekt eller ikke.

Repetere

Be en elev om å gjenta en annen elevs resonnement. Det vil gi elevene mer tid til å fordøye en idé, og de får dessuten høre den på en annen måte. Læreren får bekreftet at andre elever virkelig hørte ideen til eleven, og elevene opplever at deres matematiske ideer er viktige og blir tatt på alvor.

Resonnere

Spør elevene om de kan bruke sin egen resonnering på noen andres resonnering. Det er en inngangsdør for å fram elevenes tenkning. Posisjonerer elevens ideer som viktige matematiske ideer. Dette hjelper elevene med å engasjere seg i hverandres resonnering.

Tilføye

Prøv å få elevene til å delta i en videre diskusjon. Oppmuntre dem til å dele sine ideer. Dette bidrar til å etablere en norm om å se sammenhenger mellom matematiske ideer og bygge på dem.

Vente

Vent uten å si noe. Det bringer viktige bidrag fra flere elever inn i diskusjonen. Kommuniserer en forventning om at alle elevene har viktige ideer de kan bidra med. Vi anbefaler at du leser mer om slike kjennetegn på matematikksenteret.no.

Multiplikasjon og divisjon

Tradisjonelt sett har undervisningen i multiplikasjon lagt vekt på at elevene skal huske multiplikasjonstabellen og etter hvert, når oppgavene blir vanskeligere, kunne bruke en skriftlig algoritme for multiplikasjon. Ofte fører det til at elevene ikke får tilstrekkelig og variert erfaring med hva multiplikasjon er. Elevene trenger erfaring med alle typer multiplikative strukturer:

• Like grupper: Det er 6 bord med 4 stoler ved hvert bord. Hvor mange stoler er det?

• Rutenett (areal): Det er 4 rader med biler. Det er 5 biler i hver rad. Hvor mange biler er det til sammen?

• Multiplikativ sammenlikning: Bonden har 7 hester. Han har 5 ganger så mange sauer som hester. Hvor mange sauer har bonden?

• Forhold mellom tall: Det er 5 blå perler for hver 7 røde. Hvor mange blå perler er det for 14 røde?

• Mengdeprodukter (kombinatorikk): Det er 4 sorter med brød og 5 sorter med pålegg. Hvor mange ulike typer smørbrød kan du lage?

Kommutative, assosiative og distributive egenskaper for multiplikasjon

For å utvikle fleksible strategier trenger elevene å gjøre erfaringer med de kommutative, assosiative og distributive egenskapene for multiplikasjon:

Kommutative egenskaper a · b = b · a: Elevene skal oppdage og utvikle forståelse for den kommutative lov for multiplikasjon, for eksempel 3 · 5 = 5 · 3. Dette kan for eksempel visualiseres med en rutenett-modell.

skapen de har fra før, når de skal løse nye oppgaver. For eksempel når de skal løse oppgaven 8 · 5 · 2 = 8 · (5 · 2) = 8 · 10 = 80.

Noen strategier i multiplikasjon

•bruke dobling i multiplikasjon: 3 · 4 = 12, 6 · 4 = 24

•tenke 1 mer: 3 · 6 = 2 · 6 + 6

•tenke 1 mindre: 9 · 6 = 10 · 6 – 6

•bruke kommutativitet: 6 · 3 = 3 · 6

•bruke distributivitet (dele opp): 12 · 6 = 10 · 6 + 2 · 6

•bruke distributive egenskaper: Hva er 7 · 9? «Jeg vet at 7 · 10 er 70. Jeg kan trekke fra 7, 70 – 7 = 63. Å ja! 7 · 9 = 63.»

Sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

Elevene må også utforske sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon. Multiplikasjon og divisjon kan ses i sammenheng med helhet og deler. I multiplikasjon blir et bestemt antall like deler sammensatt til en helhet. I divisjon blir en helhet delt i et gitt antall deler. Elevene må få mulighet til å utforske og oppdage denne sammenhengen. De kan for eksempel utforske blokkmodeller når de jobber med sammenhengen.

Eksempel 1:

Tre elever deler 120 kr:

40 kr 40 kr 40 kr

120 kr

Elevene kan snakke sammen om hvordan de kan se at multiplikasjon og divisjon hører sammen, ved å studere blokkmodellen: 40 kr · 3 = 120 kr.

Eksempel 2:

3 • 5 = 15 3 • 5 = 15

Distributive egenskaper a (b · c) = a · b + a · c: Elevene skal forstå den distributive loven og bruke den når de for eksempel skal løse regnstykket 13 · 4, ved å dele opp til 10 · 4 + 3 · 4, gjerne i et rutenett.

3 · 5 = 15

3 rader med 5 i hver rad er 15 til sammen.

15 : 3 = 5

15 fordelt i 3 rader gir 5 kolonner / 5 i hver rad.

Assosiative egenskaper (a · b) · c = a · (b · c): Elevene skal forstå den assosiative loven for multiplikasjon og bruke den, for eksempel ved å bygge på den kunn-

Språket spiller en viktig rolle for å kunne uttrykke de matematiske sammenhengene. Brikkene eller bildet av brikkene understøtter dette aspektet ved å gi elevene noe konkret å snakke om.

Å sette matematikken inn i en virkelig kontekst kan hjelpe elevene med å forstå sammenhengen mellom

regneartene, for eksempel: «Gartneren planter 3 rader med 5 frø i hver rad. Hvor mange frø planter hun?» er en helt annen oppgave enn «Gartneren planter 15 frø i 3 like rader. Hvor mange frø er det i hver rad?» Men begge oppgavene kan modelleres ved å bruke det samme rutenettet.

Delingsdivisjon og målingsdivisjon

Divisjon kan oppleves som mer komplisert enn multiplikasjon. Det er fordi det dreier seg om to ulike typer divisjon: delingsdivisjon (fordeling) og målingsdivisjon (oppdeling), og fordi man i divisjon kan få noe til overs (en rest).

I delingsdivisjon vet vi hvor mange grupper det er, og vi skal finne ut hvor mange det er i hver gruppe. I målingsdivisjon vet vi antallet i hver gruppe, og vi skal finne ut hvor mange grupper det er. Vi kan da tenke gjentatt subtraksjon, for eksempel 20 : 4. Hvor mange ganger kan man trekke 4 fra 20?

Eksempel:

I delingsdivisjon deler vi helheten og finner ut hvor mange det er i hver del/gruppe. Hvor mange deler/ grupper helheten skal deles i, er kjent.

150 plommer skal deles likt i 3 poser. Hvor mange plommer blir det i hver pose?

150 plommer : 3 = 50 plommer. Benevningen er altså antall plommer i hver pose.

Noen eksempler på regnestrategier i divisjon:

• Dele-ut-strategi (delingsdivisjon): Elevene kan for eksempel løse 15: 3 ved å dele ut mengden i tre like delmengder. De kan bruke konkreter, tegne blokker eller bruke kunnskapen sin om multiplikasjon: «Hva må jeg multiplisere 3 med for å få 15?»

• Grupperingsstrategi (målingsdivisjon): Elevene kan for eksempel løse 15 : 3 ved å dele mengden opp i treergrupper. Elevene kan bruke konkreter, hoppe med tre av gangen på en tom tallinje, tenke gjentatt subtraksjon eller bruke kunnskapen sin om multiplikasjon: «Hvor mange treere er det i 15?»

• Rutenett: Elevene kan bruke rutenett for å løse 75 : 5 = ?. Det er den samme metoden som elevene brukte med multiplikasjon i rutenett, men nå går de motsatt vei. 75 : 5 i rutenett kan se slik ut:

I målingsdivisjon finner vi antall deler/grupper. Det er kjent hvor mange det skal være i hver del/gruppe, men ukjent hvor mange grupper det blir.

150 plommer skal fordeles likt i poser. Det skal være 50 plommer i hver pose. Hvor mange poser blir det?

150 : 50 per pose = 3 poser. Benevningen er altså antall poser som trengs.

• Dele opp tall: Elevene kan bruke kompetansen sin om oppdeling av tall (tallvenner) og dele opp tallene de skal dividere, i mindre deler som gjør det enklere å regne i hodet.

Eksempel:

Elevene kan først utforske hvordan de kan dele opp tall uten tierovergang:

Senere kan de jobbe med å dele opp tall med tierovergang:

Eksempler på modeller vi bruker på 4. trinn

Tom tallinje

En tom tallinje har ingen markeringer/tallskala og kan fungere som en støtte for elevenes hoderegning.

Tallinja er fleksibel ved at elevene kan gjøre «hopp» av ulik lengde, både forover og bakover, og slik utvikle sine egne fleksible mentale strategier. Modellen er utviklet ved Freudenthal Institute i Nederland.

Eksempel addisjon:

36 + 32 = ?

Eksempel subtraksjon:

56 – 28 = ?

Subtraksjon med tierovergang blir på denne måten enkelt; først subtraheres tierne, så alle enerne og til slutt subtraheres to fra 30.

Elevene kan øve på å hoppe for langt og tilbake på tom tallinje både i addisjon og subtraksjon. Denne strategien egner seg spesielt når tallet som adderes er nært hel tier.

36 + 29 = ?

God kompetanse om følgende områder er viktig og bør repeteres før elevene introduseres for tom tallinje:

• kunne tallfølgen til 100

• kunne telle med fem og ti av gangen

• kunne telle videre fra f.eks. 3, 13, 23, osv.

• kunne alle kombinasjoner som blir 10 til sammen; «tiervenner»

• kunne addere og subtrahere med hele tiere, 36 + 10, 36 – 10

• regne via tier; 18 + 5 = 18 + 2 + 3

Telleøvelser:

• tell med 10 av gangen, forlengs og baklengs, 10, 20, 30 og 30, 20, 10, 0

• tell med 10 av gangen fra 3, 13, 23 og 87, 77, 67

Tom tallinje:

• tegn bare tierhopp, f.eks. 36 + 20 og 45 – 20

• tegn tierhopp og enerhopp, f.eks.: 34 + 23 og 47 – 23

• addisjon og subtraksjon med tierovergang; 38 + 25 og 62 – 36

Metoden gir fine muligheter til matematiske samtaler om hvordan elevene tenker.

Blokkmodeller

Blokkmodeller stammer fra Singapore og blir brukt i land som for eksempel USA, Sverige og England. Blokkmetoden («bar model method») er utviklet i Singapore og vi bruker også de engelske ordene «model drawing», «bar models» og «thinking blocks» om dette. Blokkmodeller lærer elevene hvordan de kan bruke blokker for å visualisere innholdet i en tekstoppgave og kunne avgjøre hvilken regneoperasjon de skal bruke. Blokkene hjelper ikke elevene med hvordan de skal utføre regneoperasjonen, men de gir dem et visuelt bilde av innholdet i teksten. Elevene lærer å bruke rektangulære blokker som representerer forholdet mellom det kjente og det ukjente i teksten. Blokkmodellen er nært knyttet til tallvennoppsettet og bygger på kompetansen som elevene har om å finne del eller helhet. Eksemplet under viser hvordan elevene ved hjelp av modellmetoden kan løse en forholdsvis komplisert tekstoppgave:

Mattis og Mira har 150 kroner til sammen. Mira har 20 kroner mer enn Mattis. Hvor mange kroner har hvert av barna?

Elevene bruker også blokkmodeller når de skal visualisere og løse mer komplekse problemer.

Elevene lærer først å bruke blokkene for å modellere problemer som involverer de fire regneoperasjonene med hele tall. Etter hvert bruker de metoden for å løse oppgaver med brøk og algebra. Du bør først tegne blokkene på tavla og veilede elevene, trinn for trinn, mens dere gjennomgår tankeprosessen. Det gir dem mer verdifull trening enn bare å se den ferdige modellen i en bok. Elevene lærer først å tegne blokker som representerer helhet og del, for eksempel:

Olga har 17 klistremerker. Mira har 14 klistremerker. Hvor mange klistremerker har Olga og Mira til sammen?

Elevene tegner en blokk som er delt inn i to deler. Den ene delen må være litt større enn den andre delen. I denne oppgaven er delene kjent og helheten ukjent. Elevene må legge sammen delene for å finne svaret (helheten):

17 klistremerker 14 klistremerker

? klistremerker

Det er 21 boller på et fat. 14 av bollene er med melis. Resten av bollene er uten melis. Hvor mange boller er uten melis?

I denne oppgaven er helheten og én del kjent. Oppgaven kan løses ved å finne delen som mangler, enten ved å legge til eller å trekke fra. Legg merke til om elevene forstår sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon.

14 med melis ? uten melis

21 boller

Gjør gjerne et Google-søk på «thinking blocks» og les mer om modellmetoden. Vi mener at det er en svært god modell for å lære elevene å tolke tekst og å gi dem et verktøy for å danne seg et visuelt bilde av det matematiske problemet som de skal løse. Som lærer får du også et verktøy for å forklare elevene oppgaven på en ny måte, slik at ikke forklaringen bare blir nye ord.

Regnestrategier

Det er viktig at elevene utvikler fleksible og hensiktsmessige regnestrategier som bygger på god forståelse av relasjonene mellom tall. Gjennom klassesamtaler og samtaler mellom læringspartnere bør det legges til rette for at elevene får utvikle, bruke og samtale om hvilke strategier de bruker på forskjellige regnestykker i addisjon og subtraksjon.

I Matematikk 4 fra Cappelen Damm fokuserer vi på at elevene skal utvikle hensiktsmessige og fleksible regnestrategier i addisjon og subtraksjon. Målet er at elevene skal kunne velge hensiktsmessige strategier ut fra tallene i oppgavene og ha et repertoar av strategier å velge fra.

Telle videre fra det største tallet

Elevene kan utforske strategien «å telle videre fra det største tallet». Å addere med en, to og tre kan sees i sammenheng med å telle videre i tallfølgen. Det er viktig at elevene oppdager sammenhengen mellom telling og regning. Det at femten kommer rett etter fjorten når du teller, betyr at femten er en mer enn fjorten, og at 14 + 1 = 15. Målet er å få elevene til å forstå at de kan telle videre ved addisjon, og at de ikke trenger å telle alle objektene.

14 + 1 = ?

15 – 1 = ?

Dobling / nær dobling

Elevene kan utforske doblingene og regnestykker som ligger nært disse. Elevene kan bruke dobling når de regner med nær dobling. Nær dobling er en eller to unna doblingen. For eksempel er 15 + 15 dobling. Nær dobling er da 15 + 16 og 15 + 14 , og 15 + 17 og 15 + 13. Ofte kan elevene noen doblinger når de begynner på skolen. De kan for eksempel først prøve å løse 15 + 15 og så løse 15 + 16 for å se om de oppdager sammenhengen.

15 + 15 = ?

15 + 16 = ?

Bruke tiervenner

Elevene kan diskutere hvordan de kan ta utgangspunkt i tiervennene når de regner, for eksempel 7 + 3 og så 7 + 4 og oppdage sammenhengen. På denne måten blir det lettere å forstå tierovergangen. Hvis elevene kan tiervennene i tillegg til å addere og subtrahere med ti,

kan de bruke dette for store tall ved å mellomregne via ti, for eksempel: 18 + 5 = 18 + 2 + 3. Tiervennene danner et grunnlag for å kunne regne effektivt med tall over 10.

8 + 2 = ?

18 + 2 = ?

18 + 5 = ?

Tiere og enere

Elevene må få god tid og mulighet til å utforske strukturen og oppbygningen av tallsystemet. De kan bruke egnede konkreter og sortere disse i tiere og enere. Elevene må også få mulighet til å utforske tallsystemet ved å bruke ulike representasjoner og etter hvert koble dette til symbolene, for eksempel:

13 – 3 = 10, 13 – 4 = ?

13 – 10 = 3, 13 – 9 = ?

10 + 3 = ?

13 – 3 = ?

13 – 10 = ?

Trekke fra nesten alt – differanse Slike subtraksjonsoppgaver som 14 – 13 og 88 – 87 bør knyttes til telling og til tallenes plassering på tallinja. Denne sammenhengen vil hjelpe elevene med å knytte telling til regning. Slik kan for eksempel 1 mindre forbindes med det tidligere tallet i tellesekvensen og så identifiseres med å subtrahere 1. En 20-perlesnor kan være en konkret støtte for dette. Elevene kan oppdage hvorfor 14 – 13 = 1. En annen visualisering for 14 – 13 kan være å be elevene om først å regne ut 14 – 14 = 0 og så regne ut 14 – 13. De fleste elevene vet at 14 – 14 = 0 og vil på denne måten selv oppdage at da må 14 – 13 = 1.

15 – 15 = ?

15 – 14 = ?

Addere og subtrahere via ti

Elevene kan utforske hvordan det å addere via ti eller mellomregne via ti henger sammen med tiervennene.

Tier-rammen kan være et godt hjelpemiddel for å gi visuell støtte til dette. Elevene kan da bruke dette for store tall ved å mellomregne via ti, for eksempel

87 + 5 = 87 + 3 + 2.

Det er også viktig å diskutere hvordan man kan bruke tiervennene i subtraksjon og for eksempel oppdage sammenhengen: 10 – 2, 20 – 2, 30 – 2 og så videre. Å bruke en tier-ramme egner seg som støtte for å  visualisere, både i addisjons- og subtraksjonsvariant.

Klassesamtale om hoderegningsstrategier

Elevene må få mulighet til å diskutere ulike strategier med hverandre når de jobber med hoderegning i matematikk. De lærer av hverandre, de lærer å forklare hvordan de tenker og de lærer å lytte til andres løsninger. Elevene kan også diskutere og argumentere for hvilke løsninger de liker best, eller hvilke løsninger de mener er mest effektive. Å delta aktivt i klassesamtaler, argumentere og forhandle, og ha muligheter til å tenke høyt og reflektere over ulike løsninger vil gi elevene en dypere forståelse for matematikk enn man kan gjennom individuelt arbeid. Det er en nær sammenheng mellom språk og matematikk. Matematikk kan ses på som et eget språk. Elevene trenger språket for å reflektere og kommunisere med hverandre om matematiske utfordringer og ulike løsninger.

I kjerneelementene (LK20) beskrives kommunikasjon i matematikk slik; Kommunikasjon i matematikk handler om at elevene bruker matematisk språk i samtaler, argumentasjon og resonnementer. Elevene må få mulighet til å bruke matematiske representasjoner i ulike sammenhenger gjennom egne erfaringer og matematiske samtaler.

Kompetansemål

• repetisjon • modellere situasjonar frå sin eigen kvardag og forklare tenkjemåtane sine

• lage rekneuttrykk til praktiske situasjonar og finne praktiske situasjonar som passar til oppgitte rekneuttrykk

Matematiske kunnskapsområder

• hoderegning • firesifrede tall

• addisjon og subtraksjon

• oppstilling med tall over 1000

• negative tall Utforsking, representasjon og abstraksjon

Elevene må først få mulighet til å utforske tall og utregninger, og deretter formalisere det ved å bruke standardalgoritmene. Det er fint at elevene bruker hensiktsmessige strategier og representasjoner i addisjon og subtraksjon, og at de får mulighet til å forklare tenkemåtene sine, undre seg og samtale om hvilke strategier som er hensiktsmessige. Ferdigheter i regning og god tallforståelse danner et godt grunnlag for det videre arbeidet i matematikk.

• repetisjon • modellere situasjonar frå sin eigen kvardag og forklare tenkjemåtane sine

• lage rekneuttrykk til praktiske situasjonar og finne praktiske situasjonar som passar til oppgitte rekneuttrykk

Matematiske kunnskapsområder

• 2til 10-gangen

• multiplisere med tiere og hundrere

• dele opp og multiplisere

• bruke blokkmodeller

• antall ulike kombinasjoner

Utforsking, representasjoner og kommunikasjon

Elevene må få mulighet til å utforske ulike strukturer og kombinasjoner i multiplikasjon. Det må legges til rette for at de gjør erfaringer med ulike representasjoner, som konkreter, bilder, språk og kontekst, og så knytter disse til det matematiske symbolet for multiplikasjon.

TALL Olga er på ferie og undrer seg over høyder over vann og dybder under vann, og over varmegrader og kuldegrader. Kapittelets oppslagsbilde og historie kan være en inspirasjon til å utforske og samtale om bruk av negative tall i dagliglivet.

1

AUGUST/ SEPTEMBER

Elevene skal også utforske regning med store tall.

Målet med kapittelet er at elevene utforsker firesifrede tall og positive og negative tall.

Elevene prøver seg fram og finner ut når det er hensiktsmessig å bruke algoritmer, og når det er hensiktsmessig med hoderegning. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om kuldegrader, varmegrader, høyder på fjell (moh.) og dybder på fjorder.

MULTIPLIKASJON

2

Olga og Mattis spiller dataspillet «På gården». De dyrker og selger grønnsaker for å samle

gullpoeng. Kapittelets oppslagsbilde og historie kan være en inspirasjon til temaet multiplikasjon og et utgangspunkt for samtale og refleksjon om multiplikasjon som areal (rader og kolonner).

Målet med kapittelet er at elevene utforsker multiplikasjon som areal og ser sammenhengene i gangetabellene og hvordan de kan dele opp og multiplisere.

Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om tverrfaglige temaer som å vinne og tape i spill, dataspill, gårdsdrift og bruk av naturressurser.

SEPTEMBER

Kompetansemål

• utforske og bruke målingsog delingsdivisjon i praktiske situasjonar

• representere divisjon på ulike måtar og omsetje mellom dei ulike representasjonane

• utforske, beskrive og samanlikne eigenskapar ved toog tredimensjonale figurar ved å bruke vinklar, kantar og hjørne

Matematiske kunnskapsområder

• multiplikasjon og divisjon

• delingsdivisjon og målingsdivisjon

• divisjon med noe til overs

• bruke modeller

Utforsking, representasjon og kommunikasjon

Elevene får mulighet til å utforske divisjon i kjente kontekster. De utforsker sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon, og får erfaring med ulike representasjoner, som konkreter, bilder, språk og kontekst, og så med å knytte disse til det matematiske symbolet for divisjon.

3 DIVISJON Det er halloween, og Olga, Mattis, Mira og Jon prøver å fordele godteri mest mulig rettferdig mellom seg. Kapittelets oppslag og historie er en introduksjon til temaet divisjon og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale om divisjon i kjente kontekster, som f.eks. å dele godteri. Målet med kapittelet er at elevene utforsker sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon og divisjon i praktiske situasjoner, også når det blir noe til overs. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om halloween, fordeling og rettferdighet.

Matematiske kunnskapsområder

• todimensjonale figurer

• tredimensjonale figurer

• fra tredimensjonal til todimensjonal

• vinkler Utforsking og kommunikasjon

Elevene får mulighet til å utforske toog tredimensjonale figurer i omgivelsene sine. De utforsker, beskriver og sammenlikner egenskaper ved toog tredimensjonale figurer ved å bruke vinkler, kanter og hjørner.

OKTOBER

4

GEOMETRI Olga er med pappa opp i heisekranen. Hun ser byen sånn som fuglene ser den, og oppdager

mange forskjellige former og figurer rundt seg.

Kapittelets oppslagsbilde og historie er en introduksjon til geometri og kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale om formene, figurene og vinklene elevene omgir seg med.

Målet med kapittelet er at elevene utforsker, sammenlikner og beskriv er toog tredimensjonale figurer og vinkler.

Kapittelhistorien gir også mulighet til å jobbe tverrfaglig og samtale om bruk og funksjon av former og vinkler i arkitektur.

NOVEMBER

Kompetansemål

• lage rekneuttrykk til praktiske situasjonar og finne praktiske situasjonar som passar til oppgitte rekneuttrykk

• modellere situasjonar fra sin eigen kvardag og forklare tenkjemåtane sine

• utforske og forklare samanhengar mellom dei fire rekneartane og bruke samanhengane formålstenleg i utrekningar

Matematiske kunnskapsområder

• regnefortellinger og regneuttrykk

• bruke modeller

• flerstegsoppgaver

• flervalgsoppgaver

Utforsking og problemløsing Elevene bruker det de har lært om addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, i praktiske situasjoner. De må få mulighet til å diskutere og velge hensiktsmessige strategier. De kan også bruke blokkmetoden når det er hensiktsmessig.

Matematiske kunnskapsområder

• addisjon og subtraksjon

• multiplikasjon og divisjon

• desimaltall • desimaltall i praktiske situasjoner

Utforsking, problemløsing og kommunikasjon

Elevene bruker det de har lært om addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, i praktiske situasjoner. De utforsker hvordan de kan bruke sammenhengen mellom regneartene når de løser oppgaver. De får også erfaring med å bruke desimaltall i praktiske situasjoner.

5 PROBLEMLØSING

Olga og Mattis kjøper julegaver på julemarkedet. De bruker hoderegning for å finne ut hva de har råd til å kjøpe. Kapittelets oppslagsbilde og historie kan brukes til samtale om regning i praktiske situasjoner og som utgangspunkt for samtale og refleksjon om sammenhengen mellom regnefortellinger og regneuttrykk.

DESEMBER/ JANUAR

Målet med kapittelet er at elevene utforsker regning med de fire regneartene og hvordan de brukes i forskjellige praktiske situasjoner. Elevene skal gjøre dette ved å løse flerstegsoppgaver og flervalgsoppgaver. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om juletradisjoner i forskjellige land.

6 TALL OG REGNING

JANUAR/FEBRUAR

Olga og Mira har «jentedag» hjemme hos Ella.

Ella kjøper og syr om brukte klær. Kapittelets oppslagsbilde og historie kan brukes til å samtale om regning i praktiske situasjoner og kan være utgangspunkt for samtale og refleksjon om lengdemåling og desimaltall. Målet med kapittelet er at elevene utforsker sammenhengen mellom de ulike regneartene og hvordan de kan bruke de ulike regneartene i praktiske situasjoner. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om gjenbruk, bærekraft og miljøvern.

Kompetansemål

• utforske og bruke målingsog delingsdivisjon i praktiske situasjonar

• representere divisjon på ulike måtar og omsetje mellom dei ulike representasjonane

• utforske, bruke og beskrive ulike divisjonsstrategiar

• bruke ikkje-standardiserte måleiningar for areal og volum i praktiske situasjonar og grunngi valet av måleining

Matematiske kunnskapsområder

• multiplikasjon og divisjon

• divisjon med tiere og hundrere

• strategier i divisjon

• brøk Representasjon og kommunikasjon

Elevene lærer om, og prøver ut, ulike strategier i divisjon. De kan øve på å fortelle om strategiene sine til hverandre, og lære av hverandres strategier. Elevene utforsker også sammenhengen mellom divisjon og brøk.

Matematiske kunnskapsområder

• volum i praktiske situasjoner

• omkrets

• areal Utforsking, kommunikasjon og argumentasjon Elevene utforsker hvordan de kan bruke de ulike målenhetene i praktiske sammenhenger. De utforsker hvordan de kan utføre praktiske målinger. De samtaler og argumenterer for valg av målenheter.

7 STRATEGIER I DIVISJON

FEBRUAR/MARS

Klassen til Olga er på tur til Munchmuseet. Jon har 2 bagetter han skal dele med vennene sine. Kapittelets oppslagsbilde og historie er en introduksjon til temaet divisjon og brøk, og det kan være utgangspunkt for refleksjon og samtale om divisjonsstrategier og sammenhengen mellom divisjon og brøk. Målet med kapittelet er at elevene utforsker og bruker ulike divisjonsstrategier og utforsker sammenhengen mellom divisjon og brøk i en praktisk situasjon. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om kunst, Munch og Munchmuseet.

MÅLING

8

Olga, Mira, Mattis og Jon lager mat på skolen. De lager grønnsakssuppe og smoothie. Kapittelets oppslagsbilde og historie er en introduksjon til temaet måling. Målet med kapittelet er at elevene utforsker volum i praktiske situasjoner med ikke-standardiserte måleenheter. Elevene skal også utforske og bruke måleenheter for omkrets og areal. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om matematikk i matlaging og hvordan man leser oppskrifter.

MARS/APRIL

Kompetansemål

• lage algoritmar og uttrykkje dei ved bruk av variablar, vilkår og lykkjer

• utforske og beskrive strukturar og mønster i leik og spel

Matematiske kunnskapsområder

• mønstre

• figurtall og tallfølger

• algoritmer og koder

Utforsking og problemløsing Algoritmisk tenking er viktig i prosessen med å utvikle strategier og framgangsmåter for å løse problemer og innebærer å bryte ned et problem i delproblemer som kan løses systematisk.

9 MØNSTER OG ALGO RITMER

Olga drømmer om ulike mønstre, speiling og figurtall. Kapittelets oppslagsbilde og historie er en introduksjon til ulike mønstre og algoritmer. Målet med kapittelet er at elevene utforsker og beskriver ulike mønstre og figurtall, og lager algoritmer og koder. Kapittelhistorien gir også mulighet til å samtale om mønstre og speiling i kunst og i naturen.

• modellere situasjonar frå sin eigen kvardag og forklare tenkjemåtane sine

• lage rekneuttrykk til praktiske situasjonar og finne praktiske situasjonar som passar til oppgitte rekneuttrykk

• utforske og forklare samanhengar mellom dei fire rekneartane og bruke samanhengane formålstenleg i utrekninga

Matematiske kunnskapsområder

• tabeller og diagrammer

• de fire regneartene i praktiske situasjoner

• algebra i praktiske situasjoner

10 REGNING Det er snart sommerferie, og klassen er på sommerfest og skal si ha det til Sofie. Olga, Mattis, Mira og Jon snakker om ferien og all matematikken de omgir seg med.

Modellering og anvendelse

Elevene skal ha innsikt i hvordan modeller i matematikk brukes for å beskrive dagliglivet, arbeidslivet og samfunnet ellers. Modellering i matematikk handler om å lage slike modeller. Anvendelse i matematikk handler om at elevene skal få innsikt i hvordan de skal bruke matematikk i ulike situasjoner, både i og utenfor faget.

Kapittelets oppslagsbilde og historie kan brukes til å samtale om matematikk i praktiske situasjoner, og elevene får mulighet til å bruke alt de har lært. Målet med kapittelet er at elevene kan bruke tabeller og figurer til å organisere data, lage forklaringer basert på data og presentere funn. De kan bruke regning og algebra i praktiske situasjoner.

APRIL/MAI

MAI/JUNI

KAPITTEL 6

Målene for kapittelet er at elevene skal

•utforske og bruke sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon

multiplikasjon og divisjon

•utforske og bruke desimaltall i lengdemåling

•bruke desimaltall med tideler

Elevene viser kompetanse i faget når de selv tar i bruk fagbegrepene

•prisforskjell

•differanse

•motsatte regnearter

•desimaltall og tideler

•heltall

Mens dere jobber med dette kapittelet, kan det være naturlig å ta opp emner innenfor folkehelse og livsmestring: I matematikk handler det tverrfaglige temaet folkehelse og livsmestring om å gi elevene kompetanse i problemløsing, statistikk og personlig økonomi (LK20).

Bærekraftig utvikling: Menneskehetens levesett og ressursbruk har konsekvenser lokalt, regionalt og globalt. Gjennom arbeid med temaet skal elevene utvikle kompetanse som gjør dem i stand til å ta ansvarlige valg og handle etisk og miljøbevisst. Elevene skal få forståelse for at handlingene og valgene til den enkelte har betydning (LK20).

I dette kapittelet skal elevene jobbe videre med de fire regneartene og sammenhengen mellom disse. Elevene lærer om desimaltall (tideler) selv om dette ikke er spesifikt nevnt i LK20. I svært mange praktiske situasjoner vil elevene møte både desimaltall og brøk. Derfor har vi med oppgaver med desimaltall i praktiske situasjoner i flere av kapitlene i denne boken. Måleenhetene er bygd opp rundt titallssystemet, og elevene trenger derfor god forståelse for desimaltallenes oppbygning.

utforske og bruke sammenhengen mellom

- addisjon og subtraksjon

- multiplikasjon og divisjon

utforske og bruke desimaltall i praktiske sammenhenger (lengdemåling) utforske desimaltall med tideler

prisforskjell differanse motsatte regnear ter desimaltall tideler heltall

M ÅL

BEG REPER

HISTORIE

– Nå ser du ut som en voksen, sier Olga og ler.

Mira har fått låne en leppestift av Ella, kjæresten til Olgas storebror Jacub.

– Ta på du også, sier Mira.

– Gi meg den, da, sier Olga.

Hun bøyer seg fram for å ta imot den knallrøde leppestiften.

– Nei, du må sitte stille, eller så får jeg ikke gitt deg julegaven din, sier Ella.

Olgas gave er litt spesiell.

Denne julen hadde nemlig Ella og Jacub bestemt seg for å gi bort opplevelser i stedet for å kjøpe gaver.

Gaven fra Ella til Olga er at de to skal ha en «jentedag» sammen.

Da Mira hørte det syntes hun at Olga hadde fått verdens beste gave.

Selv om hun aldri har sagt det, vet Olga at Mira er litt misunnelig.

Både på at Olga har en storebror, og at Ella er så grei med henne.

Da Olga spurte om hun kunne ta med seg en venninne, sa Ella ja med det samme.

Derfor er Mira med nå.

Mira synes Ellas hybel er kjempestilig.

Også er Ella så innmari flink til så mye.

Veggene er fulle av hennes egne tegninger.

På klesstativer henger det kjoler Ella har sydd selv.

Flette hår kan hun også.

Forslag til spørsmål:

• Hva synes dere om julegaven Olga fikk av Ella?

• Har dere fått liknende gaver før?

• Har dere andre forslag til gaver som ikke er ting?

• Hva tror dere Olga mener med at hun kan bli rik av å selge gamle klær hun har sydd om?

• Hvordan kan dere spare penger?

• Hvordan kan Ella spare penger på å kjøpe brukte klær?

• Hvordan kan Ella tjene penger på å selge brukte klær?

• Hva tror dere en ny bukse koster?

• Hva tror dere en brukt bukse koster?

• Hvordan kan Ella spare penger på å sy nye klær?

• Hvordan kan Ella spare penger på å reparere klær?

• Er det andre ting vi kan lage selv?

• Er det andre ting vi kan reparere selv?

• En brukt kjole koster 199 kr. En ny kjole koster 500 kr. Hva er prisforskjellen?

Og klatre i fjell.

Og mye, mye mer.

– Har dere bestemt dere for hva dere vil ha? spør Ella. –Dere kan velge én ting hver fra rommet.

– Hvis ikke Olga vil ha den, så vil jeg gjerne ha denne, sier Mira og vifter med leppestiften.

– Ja, den kan du bare ta, sier Olga.

– Men du da, Olga. Hva vil du ha? spør Ella.

– Jeg vil at du skal lære meg å sy, svarer Olga.

Ella nikker.

Det synes hun var et lurt gaveønske.

Mira synes det er kjemperart.

– Hvorfor vil du det? spør Mira. – Det ser jo kjempevanskelig ut.

– For jeg vil også sy om gamle klær. Sånn som Ella, sier Olga. – Og så vil jeg selge dem og bli kjemperik.

Ella ler.

– Å, du blir nok ikke så rik, sier Ella og henter fram symaskinen. – Men det er gøy. Og så er det bra for miljøet.

– Pluss at man kan ha på seg klær som ingen andre har på seg, legger Olga til.

Ella nikker.

– Da vil jeg også lære å sy, sier Mira.

Ella smiler og finner frem alt man trenger for å sy.

Og snart er de i gang alle sammen.

Skrevet av Axel Hellstenius

• Ella selger begge kjolene på bildet. Hvor mye tjener hun?

• Ella kjøper stoff til en kjole. Stoffet koster 98 kr per meter. Hun kjøper 1,5 m stoff, en glidelås til 50 kr og tråd til 30 kr. Hva koster det å sy kjolen?

Sammenhengen mellom addisjon ogsubtraksjon

Det er et mål at elevene får utforske og forklare sammenhenger mellom addisjon og subtraksjon, og bruke det i hoderegning og problemløsning (LK20). Et viktig aspekt ved tallforståelse er at elevene lærer å se sammenhengen mellom regneartene og kan velge hensiktsmessige og effektive strategier. Elevene må gis mulighet til å resonnere rundt ulike strategier og metoder. På den måten oppdager de regneartenes egenskaper, lærer seg relevante begreper og undersøker hvordan sammenhengene mellom regneartene kan brukes. Det er viktig at elevene selv oppdager sammenhenger og strukturer og ikke blir presentert for ferdige løsninger. Ulike modeller/bilder kan hjelpe elevene med å kople strategiene til det abstrakte. «Tom tallinje», «tier-rammer» og blokkmodeller er gode modeller som kan hjelpe elevene med å forstå de ulike strategiene. Derfor må elevene virkelig forstå addisjon og subtraksjon for å forstå hvordan regneartene henger sammen.

Tom tallinje som modell

Vi bruker tom tallinje som modell for å visualisere sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon. Tallinja er fleksibel ved at elevene kan gjøre «hopp» av ulik lengde, både forover og bakover, og slik utvikle sine egne fleksible strategier. Elevene kan hoppe forover når de adderer, og bakover når de subtraherer. Det er viktig at elevene utvikler fleksible og hensiktsmessige regnestrategier.

Elevene diskuterer ulike løsninger med hverandre når de jobber med hoderegning i matematikk. De lærer av hverandre, de lærer å forklare hvordan de tenker, og de lærer å lytte til andres løsninger. Elevene kan også diskutere og argumentere for hvilke løsninger de mener er mest effektive. Å delta aktivt i klassesamtaler, argumentere og forhandle samt ha muligheten til å tenke høyt og reflektere over ulike løsninger vil gi elevene en dypere forståelse for matematikk enn hva de får gjennom individuelt arbeid.

Vi tenker

Elevene skal finne prisforskjellen mellom buksene. Timen kan starte med at elevene tenker individuelt noen minutter først, og så diskuterer med læringspartner hvordan oppgaven kan løses både med addisjon og subtraksjon, og hvordan de kan regne/tegne på tom tallinje for å vise hvordan oppgaven kan løses. Gjennomgå i plenum.

Se etter

Hvilken regneart og hvilke begreper bruker elevene? Velger noen å bruke hoderegning eller standardalgoritme for å løse oppgaven? Legg merke til hvordan elevene tegner tallinjene. Hopper de med ti av gangen, hopper de oppover/nedover tallinjene? Hvilken regneart foretrekker elevene, addisjon eller subtraksjon?

Vi lærer

Elevene kan studere løsningene i boka og prøve å forklare hvordan oppgaven er løst. De kan også sammenlikne med hvordan de selv løste oppgaven. Hva er likt, og hva er forskjellig? Elevene kan diskutere og forklare begrepene «prisforskjell» og «differanse» for hverandre.

Vi tenker

Ella ønsker seg en bukse som koster 650 Hun kjøper den samme buksa i bruktbutikken til 199 kr.

Hva er prisforskjellen mellom en ny og en brukt bukse? Hvordan kan dere løse oppgaven på tom tallinje?

Vi lærer + 1

+ 400 200 600 650

+ 50 start Addisjon 199

- 1

- 400 200 600 650

- 50 start Subtraksjon

Br 199 19 1 650Ny 65 kr 9rukt kr r

Differansen mellom tallene 650 og 199 er 451. Prisforskjellen på buksene er 451 kr.

Noen hoderegningsstrategier:

•telle videre fra det største tallet: 1457 + 2 eller 1457 – 2

•dobling og nær dobling: 500 + 500, 499 + 499

•addisjon og subtraksjon via 100: 250 + 199, 250 + 200 – 1

•differanse (trekke fra nesten alt): 870 – 868, 200 – 198

Det er viktig å jobbe med hoderegning selv om elevene har lært standardalgoritmene. Elever som har få hoderegningsstrategier og bare bruker algoritmene for addisjon og subtraksjon, kan oppleve at matematikken på mellomtrinnet og ungdomstrinnet blir vanskelig. Årsaken er at framgangsmåter og regnemetoder som elevene bruker på små tall, kan være vanskelige å bygge videre på når tallene blir større, eller når tallbegrepet utvides til å omfatte brøker og desimaltall. Det er viktig å avdekke dette tidlig og følge opp elevene som bruker én eller få strategier. Du som lærer må da ta utgangspunkt i den strategien elevene bruker, og hjelpe dem videre. Du må derfor vite noe om hvilke strategier som

finnes, og ha kunnskap om hvordan elevenes strategier utvikles.

Aktiviteter

Matematiske begreper

Eksempler på matematiske begreper dere kan jobbe med:

•Hva er summen av 375 og 199?

•Hva er differansen mellom 1000 og 899?

•Hvordan kan dere tenke addisjon hvis dere skal regne 1500 – 1480? («Hva kan jeg legge til 1480 for å få 1500?»)

•Hva er et annet ord for å legge sammen?

•Hva er et annet ord for å trekke fra?

•Hva er et annet ord for å plusse?

Tilpass tallområdet til elevenes nivå. Det kan være lurt å ikke velge for komplisert regning. Målet med oppgaven er å gjøre erfaringer med hvordan vi kan utnytte sammenhengen mellom regneartene når vi løser oppgavene.

Ella syr en grønn, en rosa og en blå kjol

Hun betaler 199 kr for stoff til den grønne kjolen, 250 kr for stoff til den rosa kjolen og 289 kr for stoff til den blå kjolen.

Hun selger kjolene for 500 kr per stykk

Hvor mange kroner tjener hun per kjole?

Vis hvordan du regner på tom tallinje.

grønn kjole

Ella tjener kr på den grønne kjolen.

rosa kjole

Ella tjener kr på den rosa kjolen.

blå kjole

Ella tjener kr på den blå kjolen

Elevene skal finne differansen mellom tallene. Hvilke av oppgavene kan de løse med hoderegning, hvilke oppgaver egner seg best til å løse på tom tallinje og hvilke oppgaver velger de å stille opp under hverandre? Elevene kan selv velge om de vil bruke hoderegning, tom tallinje eller oppstilling.

Still spørsmål og lytt til hvordan elevene resonnerer og argumenterer, og prøv å få en oversikt over hva elevene kan og forstår. Bruker de addisjon eller subtraksjon?

1 Ella syr ...

Elevene kan selv velge hvordan de ønsker å hoppe på tallinjene, om de ønsker å bruke addisjon eller subtraksjon. Sammenlikn tallinjene for addisjon og subtraksjon. Hva er likt, og hva er forskjellig? Hvilken regneart foretrekker elevene å bruke og hvorfor? Samtal om sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon. Elevene kan gjerne skrive regneuttrykk til oppgavene.

Lage oppgaver til hverandre

Elevene kan lage oppgaver til hverandre. I oppgavene må de ha med et ord eller et tall som er bestemt på forhånd, for eksempel:

•Teksten skal inneholde ordet differanse

•Dere skal bruke regneoperasjonen subtraksjon for å finne svaret.

•Svaret skal være 250.

Hvordan endrer tallet seg?

Ta utgangspunkt i et firesifret tall, for eksempel 2500, og still elevene ulike spørsmål knyttet til tallet. Forslag til spørsmål:

•Hvilket tall er 1 mer/mindre enn tallet?

•Adder 2 med tallet. Hvilket tall får du?

•Subtraher 2 fra tallet. Hvilket tall får du?

•Hvilket tall er 4 mer/mindre enn tallet?

•Hva er nærmeste tier, hundrer eller tusener til tallet?

•Hvor mye må du legge til / trekke fra for å få tallet til å slutte på en tier?

Hoderegningsstrategier

Start mange matematikktimer med å gi elevene muntlige addisjons- og subtraksjonsoppgaver som får fram ulike regnestrategier. La elevene fortelle hvordan de tenker. Det er fint om du er bevisst på hvilke tall du velger, slik at elevene utfordres til å bruke ulike strategier:

•dobling og nær dobling: 250 + 250 → 250 + 249

•tenke via hundrer: 250 + 199 → 250 + 200 – 1

•differanse: 97 – 95

•fylle opp til hundre: 100 – 89

Addisjon eller subtraksjon?

Skriv to tall på tavla, for eksempel 1500 og 2300. Elevene kan lage en regnefortelling til tallene. Eksempel: Mira har 1500 kr, og Mattis har 2300 kr. Hvor mange kroner har de til sammen? Elevene kan foreslå hvilken regneart som skal brukes, og hvordan regneuttrykket skal skrives. Utfordre elevene til å løse oppgavene både som addisjon og subtraksjon. Oppmuntre gjerne elevene til å tegne blokker for å visualisere tekstoppgaven.

I oppgaven skal elevene finne differansen mellom de ulike båndene. De bruker kompetansen sin om differanse i en kontekst med måling. Dere kan også snakke om og vise på en meterstokk hvor mange centimeter det er i 1 m. Elevene kan velge om de vil bruke hoderegning, tom tallinje eller oppstilling når de løser oppgavene. De kan diskutere med læringspartner og sammenlikne hverandres metoder og tenkemåter. Elevene kan gjerne skrive regneuttrykk som passer til oppgavene, f.eks. 76 cm – 58 cm = 18 cm, differansen mellom båndene er 18 m. Snakk om begrepene lengder, kortere, kortest, lengst og lengre

3 Ella kjøper …

I denne oppgaven er konteksten måling, og oppgavene har høyere tall. Elevene som ikke kommer i gang med oppgaven, kan kanskje først regne 200 cm – 100 cm = 100 cm, og så prøve å lese 100 cm – 43 cm = ?

Elevene kan vise hvordan de tenker på tom tallinje: 200 – 100 = 100, 100 – 43 = 57, og

gjerne skrive regneuttrykk til oppgavene.

143 + = 200

200 – 143 =

og det gule båndet?

og det kor teste båndet?

kan selv tegne tomme tallinjer på et kladdeark.

Ella kjøper en rull med 200 cm linstoff. Hun syr en kjole og bruker 143 cm av stoffet. Hvor mange centimeter stoff har hun igjen? Vis hvordan du adderer og subtraherer på tom tallinje.

Trekant

Elevene skal finne differansen mellom tallene i trekanten. Elevene kan forklare hvordan de finner svarene. Lag flere trekanter med andre tall og finn differansen. Elevene kan selv lage liknende oppgaver til hverandre.

500

199 301

Målet med oppgaven er å få erfaringer med hvordan de kan bruke sammenhengen mellom regneartene når de løser oppgavene.

Tre terninger

To elever jobber sammen. Elevene trenger to røde og en grønn terning. Terningene har verdi som tiere, for eksempel er en firer 40 og en sekser 60. Adder tallene på de to røde terningene, og subtraher deretter tallet på den grønne terningen.

Hvis de røde terningene viser en firer og en femmer og den grønne en treer, legger vi sammen 40 og 50 og får 90 til sammen. Deretter trekker vi fra 30, og svaret blir 60. Når elevene har spilt flere ganger, kan dere finne ut:

•Hvilke svar er det mulig å få?

•Er det noen tall det ikke er mulig å få som svar?

•Hvordan vet du at du har funnet alle de mulige løsningene?

•Hvordan vil dere registrere det dere har funnet ut? Verdien på terningene kan også være hundrere.

Etter samtalen kan elevene prøve en ny runde. Elevene kan registrere resultatene de får, og lage spørsmål til det de vil finne ut. Har for eksempel noen fått de samme svarene? I så fall, hvorfor?

Øve 2

En genser i bruktbutikken koster 235 kr. En ny genser koster 599 kr. Hvilket av regneuttrykkene kan du bruke for å finne prisforskjellen?

4 En genser i butikken …

Hva er prisforskjellen på genserne?

I oppgaven skal elevene finne hvilket regneuttrykk som passer til en praktisk situasjon. De skal finne ut hvor mye de sparer på å kjøpe en brukt genser sammenliknet med å kjøpe en ny. Elevene skal også vise hvordan de regner for å finne prisforskjellen, de kan bruke hoderegning, tom tallinje eller oppstilling.

Prisforskjellen er kr.

Ella trenger 2 m med bomullsstoff for å sy en skjorte. Hun har en lengde som er 178 cm. Hvor mange centimeter for kort er stoffet?

Vis hvordan du regner på tom tallinje.

5 Ella trenger …

I oppgaven bruker elevene kompetansen sin om differanse i en kontekst med måling. Dere kan også snakke om og vise på en meterstokk hvor mange centimeter det er i 1 m. Oppdager elevene at de må tenke at 2 m er 200 cm?

Elevene kan gjerne skrive regneuttrykk som passer til.

Stoffet er cm for kor t.

6

Ella har med seg 500 kr. Hun bruker 350 kr på bomullsstoff. I tillegg kjøper hun trådsneller Hun har igjen 100 kr etter at hun har betalt. Hvor mange kroner kjøper hun trådsneller for?

200 cm – 178 cm = cm

178 cm + cm= 200 cm

6 Ella har …

Ella kjøper trådsneller for kr

forbudt

Dette er en flerstegsoppgave hvor elevene først må finne ut hvor mange kroner Ella har igjen etter at hun har kjøpt bomullsstoffet, før de regner ut hvor mye hun kan kjøpe trådsneller for. Legg vekt på at elevene kan lære av hverandres måter å tenke på, og å diskutere ulike framgangsmåter. Hvordan fant elevene ut hva dere måtte regne først, og hva dere måtte gjøre etterpå.

Sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

Det er et mål at elevene får utforske og kunne forklare sammenhenger mellom multiplikasjon og divisjon og bruke begge regneartene i praktiske sammenhenger (LK20, fagfornyelsen). En helhetlig forståelse etableres når elevene får jobbe med oppgaver i ulike kontekster, og når symbolene knyttes til noe konkret og visuelt. Språket vil også hjelpe elevene med forståelsen. Multiplikasjon kan oppleves vanskeligere for elevene enn addisjon og divisjon siden de kanskje ikke har så mange hverdagserfaringer med multiplikasjon. Divisjon kan være lettere å forstå for de fleste. De fleste barn har prøvd å dele en pose godteri mellom seg, og begrepet dele er kjent. Men hva skjer når mengden ikke kan deles likt?

Konteksten er derfor viktig og støtter forståelsen: Hvis for eksempel 48 boller skal pakkes i poser med 8 boller i hver pose, trengs det 6 poser. Hvis 47 boller skal pakkes i poser med 8 boller i hver pose, trengs det fortsatt 6 poser, men i den ene posen vil det være 7 boller. Hvis målet er at det skal være 8 boller i hver pose, trengs det 5 poser, og så vil det være 7 boller til overs.

Når divisjon blir presentert i en kontekst, vil elevene også kunne bruke kompetansene de har om addisjon, subtraksjon og spesielt multiplikasjon, til å løse problemet. På denne måten blir sammenhengen mellom regneartene tydelig: 48 : 8 = 6, fordi 6 ∙ 8 = 48. 8 + 8 + 8 + 8 + 8 + 8 = 48, eller gjentatt subtraksjon: Hvor mange åttere er det i 48? 48 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8 – 8.

Elevene bør gjøre mange erfaringer med at multiplikasjon og divisjon handler om like deler. De får da også erfaringer med sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon: helhet og deler. Ved å jobbe med og finne ut av spørsmål som «Hvor mange grupper er det? Hvor mange er det i hver gruppe?» vil elevene få mange og varierte erfaringer som igjen vil styrke deres forståelse av multiplikasjon og divisjon.

Elevene kan bruke blokkmodeller som støtte når de løser oppgaver som involverer multiplikasjon eller divisjon. I forbindelse med del/helhet er delene like grupper. Helheten (totalen) er representert ved en lang blokk som kan deles opp i like deler. Hver del kan kalles en enhet. Hvis de i en oppgave får oppgitt antall like deler og verdien av hver del, kan de dele opp en lang

Vi tenker

Elevene kan diskutere hvordan de kan finne ut hvor mange knapper Olga og Ella kan kjøpe for 45 kr. De må ha mulighet til å tegne og skrive og prøve seg fram. Oppgaven kan gjerne presenteres i en kontekst hvor lærer selv har 45 kr og skal kjøpe knapper. Bruk gjerne knapper eller brikker som konkreter.

Tilpasning

Elever som ikke kommer i gang, trenger konkreter som knapper eller brikker. Elevene kan starte med å lage grupper med 9 i hver, og telle antall grupper.

•Hvordan kan dere finne ut hvor mange 9-ere det er i 45?

•Hvordan kan dere telle med 9 av gangen til 45?

Vi lærer

Felles i klassen: Elevene kan sammenlikne sine egne forslag med forslagene i boka. Elevene har tidligere gjort erfaringer med sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon illustrert ved rutenett. Nå vises denne sammenhengen på en tallinje, men elevene kan også legge 45 brikker med 9 i hver rad for å finne antall kolonner, eller telle antall kolonner og rader på et ruteark.

Vi tenker

Olga og Ella kjøper knapper i sybutikken. De har 45 kr å kjøpe for Knappene koster 9 kr per stykk.

Hvordan kan dere finne ut hvor mange knapper de kan kjøpe?

Ella

Jeg finner ut hvor mange niere det er i 45.

Hvordan kan dere løse oppgaven med multiplikasjon og divisjon?

blokk i et antall like deler (enheter) og markere verdien i en av delene. Vi ser da av blokkene som er tegnet, at vi må multiplisere enhetene for å finne totalen.

Eksempel:

100 : 25 = 4

Aktiviteter

Regnefortellinger/tekstoppgaver

Elevene kan først komme med forslag til en kontekst/ regnefortelling til et regneuttrykk, for eksempel 3 ∙ 4. Etterpå kan elevene komme med forslag til en kontekst/regnefortelling som passer til regneuttrykket 12 : 4. Hva er likt/ulikt med regnefortellingene? Det er fint at elevene gjør mange erfaringer med å lage regnefortellinger/tekstoppgaver som passer til regneuttrykk. På denne måten jobber dere med tre ulike representasjoner: symboler, språk og kontekst. Elevene kan jobbe

med ulike regnefortellinger der de skal avgjøre om de kan løse oppgavene med multiplikasjon, divisjon eller begge deler. Noen fortellinger kan løses ved å bruke begge regneartene. Oppmuntre gjerne elevene til å tegne blokker for å visualisere tekstoppgaven.

Dele i like grupper

To og to elever jobber sammen. De trenger 12 brikker/ klosser til hvert elevpar. Elevene deler inn brikkene/ klossene i like grupper og finne ut hvor mange ulike måter det kan gjøres på. De må bruke opp alle klossene/brikkene hver gang. Elevene kan selv velge en kontekst som passer til for eksempel 12 kjeks. 12 kjeks skal deles ut til et visst antall elever. Elevene skal få like mange hver uten å brekke kjeksene i biter. Hvor mange elever kan få kjeks? Hvor mange kjeks kan hver elev få? Hvor mange måter kan dere dele inn kjeksene på? Hvor mange løsninger finner dere? Elevene kan tegne eller skrive regnefortellinger og skrive regneuttrykk i multiplikasjon og divisjon.

Ella har til sammen 54 knapper.

Hun syr puter og bruker 4 knapper per pute. Hvor mange puter har Ella nok knapper til?

7

Ella syr 4 like skjørt

Hun bruker 2 m stoff til alle skjørtene.

Hvor mange centimeter stoff bruker hun til hvert skjørt?

2 m ?

Ella bruker cm stoff til hvert skjørt

Ella sparer til en ny symaskin. Hun syr 10 gymbager som hun selger for 60 kr per stykk.

Hvor mange kroner tjener hun på alle gymbagene?

Hvor mange kroner mangler hun nå for å kunne kjøpe symaskinen?

Elevene kan jobbe sammen med læringspartner og prøve å finne ut hvor mange puter Ella har nok knapper til å lage. Oppgaven kan løses med konkreter, rutenett, telling oppover (4, 8, 12, ...) eller nedover (54, 50, 46, ...). Oppdager elevene at hun har 2 knapper til overs? Hvordan er sammenhengen mellom regneartene multiplikasjon og divisjon?

7 Ella syr …

I denne oppgaven har vi brukt blokker for å hjelpe elevene til å danne et visuelt bilde av en praktisk situasjon. Dette kan gjøre det lettere for dem å forstå hvilken regneart de kan bruke. Oppdager elevene at de må tenke at 2 m er 200 cm? I oppgaveteksten er lengden oppgitt i meter, men i svarsetningen er benevningen centimeter.

8 Ella sparer …

Ella tjener kr på gymbagene

Hun mangler kr for å kunne kjøpe symaskinen.

Dette er en flerstegsoppgave hvor elevene først må finne ut hvor mange kroner Ella tjener på gymbagen, før de regner ut hvor mye hun mangler for å kjøpe symaskinen. I oppgaven ser elevene to representasjoner: tekst og blokkmodell, de skal selv velge regneart og skrive regneuttrykket som passer til.

Mulige løsninger:

•12 grupper med 1 brikke/kloss i hver gruppe

•6 grupper med 2 brikker/klosser i hver gruppe

•4 grupper med 3 brikker/klosser i hver gruppe

•3 grupper med 4 brikker/klosser i hver gruppe

•2 grupper med 6 brikker/klosser i hver gruppe

•1 gruppe med 12 brikker/klosser i hver gruppe

Utvid gjerne oppgaven med 24 eller 36 klosser.

Fire regnearter

Skriv alle sifrene fra 0 til 9 og alle regnetegnene på tavla. Elevene kan lage ulike regnuttrykk med sifrene og regnetegnene. Elevene kan sammen med læringspartner konkurrere om å lage flest mulig regneuttrykk der de bruker sifrene og tegnene. Elevene kan gjerne lage regnefortellinger til regneuttrykkene. Oppmuntre dem til å lage minst én fortelling til hver regneart.

Hvilke regneuttrykk?

Skriv fire regneuttrykk med de samme tallene, for eksempel 15 + 3, 15 – 3, 15 · 3 og 15 : 3, og be elevene om å lage regnefortellinger til de ulike regneuttrykkene. Snakk sammen om likheter/ulikheter mellom regnefortellingen og de ulike regneuttrykkene. Hvordan kan vi finne ut hvilken regneart vi kan bruke for å løse tekstoppgaver? Hva er likheter/forskjeller mellom oppgaver med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon? Hvilke ord brukes typisk i oppgaver med addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon?

9 Hvilke regneuttrykk passer til knappene?

Legg merke til hvordan elevene forstår sammenhengen mellom illustrasjon, multiplikasjon og divisjon. Elevene kan forklare kommutativitet med utgangspunkt i rutenettene, hvorfor 5 · 3 = 3 · 5. Lag gjerne flere oppgaver i kontekst, for eksempel antall seter i en kinosal, antall brus i en kasse og antall sjokoladekakestykker.

10 Skriv tall så regneuttrykkene stemmer. Det er flere multiplikasjonsuttrykk som kan gi samme produkt, for eksempel 12 = 12 · 1, men også 6 · 2 og 4 · 3. Utfordre gjerne elevene til å lage flere regneuttrykk til hver oppgave.

11 Skriv multiplikasjonene som addisjon. Legg vekt på at gjentatt addisjon også kan skrives som multiplikasjon. Samtal om eksempler fra hverdagslivet hvor det kan være hensiktsmessig å gjøre dette.

12 Ella har 18 knapper.

Elevene kan gjerne tegne eller bruke konkreter når de løser oppgavene.

18 : 6 = 3

6 + 6 + 6 = 16

6 · 3 = 18

18 – 6 – 6 – 6 = 0

Hvilket regnetegn?

Skriv for eksempel 3   5 = 8 på tavla. Spør elevene hvilket regnetegn som mangler for at det skal bli riktig. Snakk med elevene om hvordan de kan se på tallene og resonnere seg fram til hvilket regnetegn det kan være. Repeter betydningen av likhetstegnet: lik verdi på begge sider. Lag flere eksempler der et regntegn mangler. Bruk alle regnetegnene, og la elevene resonnere seg fram til hvilket tegn som skal stå på den tomme plassen. La gjerne elevene lage flere slike oppgaver til hverandre.

Øve 2

Mira har 40 m med silkebånd. Hun klipper opp båndet i lengder på 5 m. Hvor mange lengder med silkebånd får Mira av hele rullen? Vis hvordan du tenker

Mira får lengder med silkebånd

Hva hvis hun klipper lengder på 8 m? Hvor mange lengder med silkebånd får hun av hele rullen da?

13 Mira har ... Oppgaven er i en kontekst med meter og oppmåling av lengder på 5 meter. På denne måten gjør elevene erfaringer med målingsdivisjon, de kan f.eks. tenke gjentatt subtraksjon. De kan gjerne tegne hopp på en tom tallinje, når de løser oppgavene.

Prøv å få fram forskjellige måter å tenke på, basert på sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon;

•Hva må jeg multiplisere 5 med for å få 40 / Hvor mange femmere det i 40?

Da får hun lengder med silkebånd

Skriv regneuttrykk. Hvilke tall kan stå på de tomme lappene?

(5 · = 40)

•Hva kan jeg dividere 40 med for å få 5? (40 : 5 = )

14 Skriv regneuttrykk.

I oppgaven skal elevene sette sammen tall og regnetegn, de skal vise at de forstår symbolene og sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon. Fokuser gjerne på at det er like grupper i både multiplikasjon og divisjon.

•Hvor mange grupper med niere er det i 27?

•Hvor mange grupper med treere er det i 27?

Elevene kan selv velge ulike tall på lappene i den siste oppgaven, for eksempel 6 og 8 eller 2 og 24.

Desimaltall med tideler

Det står ingenting spesifikt om desimaltall på 1.–4. trinn i LK20 i matematikkfaget, men i forbindelse med regning i praktiske situasjoner, og i fagene Mat og Helse og Kunst og Håndtverk, tenker vi det er naturlig at desimaltall og brøk presenteres, særlig i sammenheng med måling. Hovedfokus i delkapittelet er elevenes forståelse av desimaltall med tideler. Det er viktig at elevene har god forståelse av plassverdisystemet når de skal jobbe med desimaltall. Å forstå det grunnleggende når det gjelder desimaler og desimaltall, vil derfor hjelpe oss til å håndtere tallene riktig når vi trenger å forholde oss til dem. Elevene er vant til å se desimaltall, for eksempel

•butikker der prisene er oppgitt i desimaltall

•i matoppskrifter

•i forbindelse med ulike idretter oppgis resultatene i tideler og hundredeler

Plassverdisystemet og desimaltall

Prefikset desi kommer av det latinske ordet decimus, som betyr en 10-del (latin for 10 er deci). I titallsystemet kan vi lage alle tallverdier ved å bruke sifrene fra 0 til 9. Sifrenes plassering har betydning for tallets verdi. Posisjonssystemer har et grunntall. I titallsystemet er tallet 10 grunntallet. I tallet 543,21 står sifferet 5 på hundrerplassen, sifferet 4 på tierplassen, sifferet 3 på enerplassen, sifferet 2 på tidelsplassen og sifferet 1 på hundredelsplassen. For å forstå desimalenes plasseringer kan dere bygge videre på elevenes forståelse av sifrenes verdier i posisjonssystemet.

Det er et mål at elevene får en dyp forståelse av plassverdisystemet, inkludert desimaltall, og at de kan sammenlikne tall som inneholder desimaler, og avgjøre hvilket som har høyest verdi.

I dette delkapittelet utforsker elevene desimaltall med tideler, og i neste delkapittel skal elevene kople denne kunnskapen til desimaltall og lengdemåling, meter og centimeter. Det er et mål at elevene får forståelse for dette, slik at de kan overføre denne kunnskapen når de møter desimaltall i andre kontekster enn lengde-

Timen kan starte med at elevene, sammen med læringspartner, studerer bildet (bruk tavleboka), leser teksten og prøver finne ut hvilke tall pilene peker på. Elevene bør ha mulighet til å tegne og skrive og prøve seg fram, og tegne egne tallinjer.

Tilpasning

Noen elever trenger kanskje en tallinje med markeringer som de kan sammenlikne med. Hva kan elevene om begrepene heltall og desimaltall?

Elevene kan diskutere 0,5 i praksis: Sammenlikne 1 kg med 1/2 kg, en halv kopp og en hel kopp, et halvt eple og 1 helt eple, og så knytte det til desimaltall og heltall.

Vi lærer

Oppsummer felles slik at alle elevene kan sammenlikne, resonnere og diskutere seg fram til hvilke tall de tror det kan være, og begrunne hvorfor. Hvordan kan vi skrive de tallene som mangler?

Tegn gjerne en tallinje mellom 0 og 1 med tidelene markert. Samtal om at tallinja er delt i 10 like store deler, og at hver del derfor blir en tidel av en hel. Tegn også gjerne opp en tallinje fra 3 til 4 og samtal om hvor tidelen skal markeres på den.

Ella sier at det finnes flere tall mellom de hele tallene. Hva mener hun? Hvilke tall peker pilene på?

Vi tenker

Vi lærer

Tallene mellom heltall heter desimaltall. Desimaltall skrives med komma.

?

5

peker på

Det er en hel og 5 tideler. Pila peker på 0,5. Det er 5 tideler av en hel.

Hva er forskjellen på heltall og et desimaltall?

hele

tideler

om at desimaltall er tallene mellom de hele tallene.

esimaltall?

Vi tenker

måling. Det er viktig å jobbe grundig med dette, slik at elevene får en dyp forståelse, og at de kan sammenlikne tall som inneholder desimaler, og avgjøre hvilket som har høyest verdi. Elevene trenger også å se desimaltall koplet til brøk for å befeste sin forståelse. Det er nærliggende å tro at elevene forstår desimaltall fordi de kan regne med dem, men det viser seg at elever på ungdomstrinnet ofte mangler denne forståelsen.

Et annet aspekt ved titallsystemet er at når vi beveger oss fra enerplassen til tierplassen/hundrerplassen/tusenerplassen, vil verdien fra plass til plass bli 10 ganger større. I for eksempel tallet 66 er verdien av sifferet 6 på tierplassen 10 ganger større enn sifferet 6 på enerplassen, og sifferet 6 på enerplassen er verdt en tidel av sifferet 6 på tierplassen. Kunnskapen om at sifrenes verdi er verdt en tidel når det forflytter seg fra tierplassen til enerplassen, er utgangspunktet for å forstå at sifferet på tidelsplassen er verdt en tidel av sifferet på enerplassen. Elevene må ha god forståelse av titallsystemet for å forstå desimaltall.

Aktiviteter

Tallinje 1

Tegn en lang strek på tavla. Sett på markeringer for 0, 1 og 2, slik at det blir en tallinje. Samtal med elevene om at mellom 0, 1 og 2 ligger det flere tall. Vet noen av elevene om tall som ligger mellom 0, 1 og 2? Skriv på en markering for 0,5 og 1,5, men ikke skriv hvilke tall det skal stå ved markeringene. Spør elevene om de vet det. Marker alle tidelene. Spør elevene om hvilke tall de tror du har skrevet markeringer for. Pek på forskjellige markeringer og be elevene si hvilket tall du peker på.

Elevene kan ta utgangspunkt i at 1 hel er delt inn i 10 like store deler. Du kan gjerne også tegne en blokk, for å visualisere desimaltall.

Vi anbefaler at dere uttaler desimaltallene med alle posisjonene, for eksempel 5,3 som 5 hele, 3 tideler.

15 Skriv som desimaltall. Skriv gjerne ulike desimaltall på tavla som elevene kan illustrere med base 10-materiell. Vi anbefaler at dere uttaler tallene med alle posisjonene, for eksempel «0 hele og 6 tideler».

16 Skriv tallene i stigende rekkefølge. Legg merke til om elevene husker å ta hensyn til heltallet, og at de ikke bare sorterer etter hvilket tall som har det høyeste sifferet på tidelsplassen. Spør dem om hvor mange hele og hvor mange tideler de forskjellige tallene består av.

Elevene kan diskutere hvorfor 356,7 er ett tall og ikke sammensatt av to forskjellige tall (et tall foran desimaltegnet og et annet tall etter desimaltegnet).

Tallinje 2

Å bruke en tallinje er en god metode for å visualisere desimaltallene. Skriv forskjellige heltall og desimaltall på lapper. Bruk et tau som tallinje, og be elevene feste lappene med klesklyper på riktig sted på tallinja. Tilpass tallene du deler ut til elevene, etter nivå. Du kan også skrive brøker på noen av lappene.

Tallinje: post-it-lapper Samme aktivitet kan også gjennomføres ved å tegne en lang tallinje på tavla og sette på en markering i starten og i slutten av den, for eksempel 2 og 4. Del ut post-itlapper til noen elever. På lappene har du skrevet heltall, desimaltall og/eller brøker som passer til tallinja. Elevene skal feste sin lapp på riktig sted på tallinja. Be elevene om å begrunne hvorfor de valgte å sette lappen sin der de gjorde. Tilpass tallene på lappene til elevenes nivå.

lapper med klesklyper på riktig plass på tallinja.

17 Skriv som desimaltall.

Elevene kan gjerne bruke base 10-materiell når de jobber med oppgaven. Du kan også skrive ulike desimaltall på tavla som elevene skal illustrere med base 10-materiell. Elevene kan lese desimaltallene høyt. Vi anbefaler at dere uttaler tallene med alle posisjonene, for eksempel «0 hele og 9 tideler».

18 Hvilket av de to desimaltallene har høyest verdi?

Elevene kan gjerne lese tallene høyt. Oppmuntre dem til å uttale tallet med alle posisjonene, for eksempel:

•0,8: «0 hele og 8 tideler»

•1,2: «1 hel og 2 tideler»

19 Fortsett tallfølgen.

Det er fint hvis elevene også øver på å telle med desimaltall både forover og bakover, med ulike intervaller. Vær oppmerksom på hvordan elevene teller ved overganger til nytt heltall, for eksempel 0,1 – 0,2, …, 0,8 – 0,9 – 1,0 ... (og ikke 0,10)

20 Hvilket desimaltall peker pila på?

Be gjerne elevene om å lese desimaltallene høyt, og spør dem om hvor mange hele og hvor mange tideler de forskjellige tallene består av.

Elevene fester

Lese desimaltall

Skriv forskjellige desimaltall på tavla, og be elevene om å lese hvilke tall du har skrevet. Elevene kan øve på å si for eksempel tallet 3,4 som «tre hele og fire tideler» eller 5,02 som «fem hele, null tideler og to hundredeler». Det er viktig at elevene lærer hva de forskjellige plassene i plassverdisystemet kalles, og forstår at desimaltall er ett tall, ikke satt sammen av to forskjellige tall. Dette er viktig for at elevene skal lære seg verdien til et desimaltall. Det er også kunnskap som elevene trenger for å kunne sammenlikne verdiene til forskjellige desimaltall, for eksempel for å kunne avgjøre hvilket av de to tallene 3,4 og 3,14 som har høyest verdi.

Sortere tall

Hver elev får en lapp som de skriver hvert sitt heltall eller desimaltall på. Alle lappene samles i en eske. Elevene deles inn i grupper, trekker hver sin lapp og stiller seg i rekkefølge innbyrdes i gruppa. Etterpå kan hele klassen stille seg i rekkefølge etter tallene på lappene. Hvis du vil ha kontroll på spredningen av tallene, kan du forberede oppgaven med at du selv har skrevet de tallene du vil bruke til oppgaven, på lapper.

Øve 2

Skriv desimaltall som har lavere verdi enn 2

21 Skriv desimaltall som har ...

Elevene kan selv velge hvilke desimaltall de vil skrive så lenge det stemmer med oppgaveteksten.

som har høyere

Hvilket desimaltall mangler for at det skal bli en hel til sammen?

22 Hvilket tall?

Kartlegg om elevene forstår at for eksempel 2,3 er ett tall, og at det ikke sammensatt av to forskjellige tall (ett tall foran desimaltegnet og et annet tall etter desimaltegnet). La gjerne elevene lage flere slike oppgaver til hverandre, både skriftlig og muntlig.

23 Hvilket desimaltall mangler?

Oppdager elevene hvordan de kan bruke sin kunnskap om tiervenner når de løser disse oppgavene? For eksempel: 3 + 7 = 10 og 0,3 + 0,7 = 1,0.

24 Hvor mye til sammen?

Kartlegg hvordan elevene løser regneuttrykkene der det blir overgang til et nytt heltall, for eksempel 0,7 + 0,5. Hvis det er elever som har skrevet 0,12 som svar på dette regnestykket, er det svært viktig at denne misoppfatningen ikke blir etablert. Bruk for eksempel base 10-materiell for å konkretisere.

Desimaltall i lengdemåling

levei), og 2) det blir vanskelig å «dokumentere» målingen/forskjellen (presist) i etterkant (fisk, lengdehopp).

Hvis vi vil sammenlikne måltallene, må vi bruke den samme størrelsen på måleenheten. Vi trenger derfor et felles målesystem og et egnet måleredskap.

Den enkleste formen for måling er direkte sammenlikning. Når vi eksempelvis skal finne ut hvem som er høyest av to elever, kan vi stille dem rygg mot rygg og avgjøre ved å sammenlikne. Problemet med metoden direkte sammenlikning kan være at: 1) ikke alt kan legges ved siden av hverandre for å sammenlikne (sko-

I dette delkapittelet utforsker elevene desimaltall i praktiske situasjoner i forbindelse med lengdemåling med meter og centimeter. Elevene har sikkert mange erfaringer fra hverdagslivet sitt med desimaltall i forbindelse med måling, spesielt lengdemål, og mange vil ha en intuitiv forståelse av tideler. Men det kan være vanskelig for elevene å forstå at for eksempel 1,55 m er kortere enn 1,6 m. Hvis dere har holdt mye på med meter og centimeter, vil elevene ha gjort viktige erfaringer. Da kan elevene «oversette» 1,55 m til 1 m og 55 cm, og 1,6 m til 1 m og 60 cm. Slike erfaringer er gode å ha med seg. Når elevene etter hvert har blitt fortrolige med lengdemåling og vet at det er 10 dm i 1 m og at det er 100 cm i 1 m, er ikke veien så lang til å forstå at 1,55 er 1 hel, 5 tideler og 5 hundredeler.

Vi tenker

Mira hjelper Ella med å måle opp stoff med et målebånd. Hun skal måle opp 0,8 m av sto Hvor mange centimeter er det?

Elevene kan tenke at 1 m er like langt som 100 cm, og bruke denne kompetansen til å løse oppgaven. De kan tegne en blokk som er delt i 10 like deler som tilsvarer 1 m. De kan starte med å finne 0,5 m og så 0,8 m.

Vi

lærer

Elevene kan sammenlikne egne forslag med Ellas forklaring, og reflektere over at når hele blokken representerer 1 m hvor mange centimeter er da 8 tideler av blokken? Hvor mange tideler er halvparten av blokken, hvor mange centimeter er det? Hvor mange meter er det?

Vi lærer

er viktig at elevene ikke utvikler misoppfatninger og tror at 0,2 m er 2 cm, men at det er Hvor mange centimeter er det i 1 m? 1 m = 100 cm m

offet.

Samtal om situasjoner i hverdagen der elevene møter desimaltall. 0,8 m = 80 cm

Vi tenker

Timen kan starte med at elevene studere bildet og leser teksten. Elevene bør ha mulighet til å tegne og skrive og prøve seg fram. De kan gjerne se på et målebånd eller en tavlelinjal. Hvordan kan de bruke sin kunnskap om desimaltall når de skal løse denne oppgaven?

Tilpasning

Elevene har tidligere gjort målinger med centimeter og meter. De har erfaringer med måling i praktiske situasjoner med både standardiserte og ikke-standardiserte måleenheter. Bruk gjerne oppgavene i Grunnboka som utgangspunkt for en klassesamtale der du kartlegger elevenes kunnskaper om emnet lengdemåling og hvordan de bruker de forskjellige begrepene. Hvilke erfaringer har elevene med lengdemåling og sammenhengen mellom måltall og måleenhet? Etter hvert skal elevene gjøre om måleenheter, for eksempel fra meter til centimeter. Målet er at elevene skal ha en intuitiv forståelse av at når et mål i meter gjøres om til centimeter, vil måltallet øke.

Lengdemåling

Gjør gjerne aktiviteter der elevene sammenlikner tallinja med meterstokken.

Da kommer tidelene (og hundredelene) fram, og det er lett å se at mellom 0,5 og 0,6 finner vi 0,55, og 0,51, 0,52, 0,53 og videre opp til 0,59.

Still gjerne spørsmål som:

•Finnes det noen tall mellom 0,59 og 0,6?

•Kan det være enda flere siffer etter komma, og hvor finner vi i så fall disse tallene på tallinja?

Gi elevene forskjellige oppgaver knyttet til tavlelinjalen. Elevene må ha mulighet til å se på linjalen, så de bør kanskje sitte rundt deg. Vis at tavlelinjalen er delt inn i 10 like lange deler (10 dm). Forklar at én slik del blir 1 tidel av 1 m. Skriv for eksempel 1,4 m på tavla. Forklar at dette er 1 hel meter og 4 tideler av en meter, og at det også er 1 m og 4 dm. Skriv flere tall på tavla, for eksempel 0,5 m, og be elevene vise på linjalen hvor 0,6 m er, og lese det: 0 hele meter og 6 tideler av en meter.

La gjerne en elev tegne de forskjellige lengdene på tavla. Lag også enkle regneuttrykk knyttet til tavlelinjalen, for eksempel 0,7 + 0,3. Ha som mål at elevene oppdager sammenhengen mellom plassverdisystemet og lengdemål: 1 m, 10 dm, 100 cm og 1000 mm sammenliknet med 1, 10, 100 og 1000.

Ella vil sy nye gardiner til soverommet sitt Hun kjøper 4,5 m med stoff. Stoffet koster 150 kr per meter Hvordan kan dere finne ut hvor mye Ella betaler for stoffet?

Olga måler lengden på de fine silkebåndene til Ella. Hvor langt er hvert silkebånd? Skriv som desimaltall.

Elevene kan gjerne starte med å finne ut hva 4 m med stoff koster, og så finne ut hva 0,5 m koster, og til slutt legge sammen beløpene. Elevene kan prøve å løse oppgaven på flere måter og bruke ulike modeller, f.eks. blokkmodeller eller tom tallinje.

Legg spesielt merke til hvordan elevene løser «den halve meteren», og hvordan kan de finne ut hvor mange kroner den koster.

25 Olga måler ...

I oppgaven skal elevene måle lengden på silkebånd ved å lese av målingene på en tallinje. De skal f.eks. vite at 0,4 m er rett foran 0,5 m. De skal også vite at 0,4 m er det samme som 40 cm.

Det røde båndet er m langt. Det er cm.

Det gule båndet er m langt. Det er cm.

Det blå båndet er m langt Det er cm.

Skriv lengdene i stigende rekkefølge

26 Skriv lengdene i stigende rekkefølge. Legg merke til om elevene husker å ta hensyn til heltallet, og at de ikke bare sorterer etter hvilket tall som har det høyeste sifferet på tidelsplassen. Hva gjør elevene når de skal plassere 50 cm og 80 cm? Be gjerne elevene om å lese desimaltallene høyt, og spør dem om hvor mange hele og hvor mange tideler de forskjellige tallene består av.

Aktiviteter

Hvor langt?

•Hvordan kan dere vise hvor lang 1 m er, uten å bruke linjal eller målebånd?

•Lag en regnefortelling der dere bruker kilometer i teksten.

•Fortell om noe som er veldig lite. Hva tror dere kan være lengden på det dere forteller om?

•Fortell om noe som er veldig stort. Hva tror dere kan være lengden på det dere forteller om?

Hvilke måleenheter passer best?

•Tykkelsen på boka er 29,5 __.

•Høyden på skolen er 8,3 __.

•Høyden på fjellet er 2900 __.

•Skoleveien er 700 __.

•Avstanden fra jorda til månen er 385 000 __.

•Lengden på en sjokoladeplate er 21,4 __.

•Høyden på treet er 12,6__.

•Avstanden fra vinduet til døra er 4,7__.

•Avstanden fra nesa til tærne er 123,3 __.

Hva er fornuftig?

Hvilke av disse opplysningene synes du virker fornuftige?

•En sykkel er 12,5 m høy.

•En bil er 4,5 m lang.

•En syklist sykler med en fart på 30,2 meter i sekundet.

•En lysløype er 5600 m lang.

•Et maratonløp er mindre enn 4000 km langt.

Hvor mange meter?

Spør elevene hvor mange hele meter det er i 140 cm. Oppdager elevene sammenhengen mellom antall hundrere og antall meter, og at det antallet som da er igjen, er antall centimeter? Du kan tydeliggjøre denne sammenhengen ved å tegne følgende oppsett på tavla. Snakk sammen om hvordan vi kan skrive det som desimaltall. 145 cm = 1,45 m.

27 Skriv lengdene i stigende rekkefølge

Legg merke til hva elevene gjør når de skal plassere 100 cm og 90 cm. Elevene kan også lese desimaltallene høyt, og snakke sammen om hvor mange hele og hvor mange tideler de forskjellige tallene består av. Elevene kan diskutere om alle lengdene kan skrives med centimeter som benevning, og med meter som benevning.

28 Hvilke desimaltall skal det stå på lappene?

Elevene skal finne ut hvilke desimaltall som skal stå på lappene, via markeringene 0 – 0,5 – 1,0 – 1,5 – 2,0. Snakk sammen om hvordan elevene finner tallene: Teller de fra 0 eller vet de at 0,9 er rett foran 1,0? Bruker elevene knaggene og orienterer seg ut fra dem?

29 Mira skal klippe ...

Elevene kan diskutere hvilke desimaltall alle markeringene på tallinja står for. Elevene kan tenke at 1 m er like langt som 100 cm, og bruke denne kompetansen for å løse oppgaven.

•Hvorfor er det viktig å legge bånd, tau, garn osv., på en helt rett linje når man skal måle hvor lange de er?

•Hvordan kan vi måle lengden av noe som er buet?

Elevene kan selv fylle inn i skjemaet og vise hvordan

7 m 45 cm kan skrives som desimaltall. Elevene kan vise og forklare hverandre hvordan de tenker, for eksempel:

Antall meter?

Elevene kan sammen med læringspartner finne antall meter i 200 cm, 400 cm og 500 cm.

Målet er at elevene vet at hver 100 cm tilsvarer 1 m. Skriv deretter 350 cm på tavla og be elevene fortelle deg hvor mange meter og centimeter dette er. Målet er at elevene skal se at det er 3 hundrere i 350, og at 350 cm er 3 m og 50 cm eller 3,5 m.

Gjenta aktiviteten og skriv 1550 cm på tavla. Målet med aktiviteten er at elevene skal se sammenhengen mellom 15 hundrere og 15 m. La elevene gjøre om noen andre lengder til meter og centimeter.

Øve 2

30 Ella bruker …

1,3 m 40 cm

Ella bruker 1,3 m rødt stoff og 40 cm gult stoff til en bag hun syr. Hvor mange meter med stoff bruker hun til sammen? ?

Hun bruker m stoff.

Olga har en rull med 3,0 m silkebånd Hun bruker 1,4 m av båndet. Hvor mange meter av båndet er igjen på rullen?

1,4 m ?

3,0 m

Det er m silkebånd igjen.

Fortsett tallfølgen. 1,7 1,9

I denne oppgaven skal elevene legge sammen tall med ulik benevning: 1,3 m og 40 cm. De kan visualisere med en blokk/tallinje som er delt inn i tideler, og se for seg at 0,4 m er 40 cm. De kan tenke at 1 m er like langt som 100 cm, og at 0,3 m er 30 cm, og bruke denne kompetansen for å løse oppgaven.

31 Olga har …

I oppgaven skal elevene subtrahere med desimaltall: 3 – 1,4 = ? Elevene kan starte med å diskutere om silkebåndet som er igjen på rullen, er lengre eller kortere enn 1,4 m.

32 Fortsett tallfølgen. Det er fint hvis elevene også øver på å telle med desimaltall både forover og bakover, med ulike intervaller. Vær oppmerksom på hvordan elevene teller ved overganger til nytt heltall, for eksempel 0,1 – 0,2, …, 0,8 – 0,9 – 1,0.

Hvilket tall er

2 tiere mer enn 4,2? 2 enere mindre enn

33 Hvilket tall er …

Elevene kan snakke sammen om at for eksempel 2,3 er sammensatt av to forskjellige tall (ett tall foran desimaltegnet og et annet tall etter desimaltegnet).

Problemløsing 100cm = 1 m

Eksempel på oppstart av timen

Start timen med å vise «problemoppgaven». Gi elevene tid til å tenke alene noen minutter og så diskutere og sammenlikne løsninger med en læringspartner. Elevene kan tegne eller kladde og bruke konkreter når de jobber med oppgaven. Elevene trenger tid til å tenke, samarbeide og prøve mange ganger for å finne løsningene.

De fleste elevene har nok ikke noen faste strategier/ framgangsmåter for å løse disse oppgavene. Elevene må derfor gis tid til å prøve flere ganger. De må tegne opp, kladde, diskutere og samarbeide. Elevene kan diskutere med læringspartner: Hva skal de finne ut? Hvilken regneart kan de bruke?

I problemløsingsoppgaver, rike oppgaver eller åpne oppgaver får elevene erfaringer med å bruke matematiske begreper i ulike situasjoner. Problemlø-

singsoppgaver spiller også en viktig rolle for å utvikle ferdigheter i blant annet å tenke, reflektere, analysere og resonnere. Vi mener derfor at dagens og framtidens elever har behov for å jobbe mer med kognitivt stimulerende oppgaver (problemløsingsoppgaver), samtidig som de har behov for å reflektere over problemet og over egen læring. Elevene kan diskutere og løse problemet sammen og lære av hverandres måter å tenke på. For eksempel:

•Hvilke strategier passer det å bruke i denne oppgaven?

•Hvordan er det hensiktsmessig å tegne en modell til denne teksten?

Elevene vil kunne bruke sine matematikkunnskaper på nye problemstillinger, se sammenhenger med tidligere lært kunnskap og finne egne løsninger som de kan presentere og diskutere med andre. Gjennom rike oppgaver (problemløsingsoppgaver) er lærerens oppgave å hjelpe elevene til å bli bevisst sitt eget tankesett ved at de får reflektere over sine løsninger og tankestrategier.

Problem 1

Elevene kan gjerne ha 4 terninger tilgjengelig når de løser oppgaven. Elevene kan studere de ulike regneuttrykkene og resonnere seg fram til hvilke av regneuttrykk som er de riktige. Elevene kan også diskutere og argumentere for hvilke av regneuttrykkene det ikke kan være.

Felles i klassen:

•Er det flere måter å løse denne oppgaven på?

•Hvilke regnearter er brukt i de ulike regneuttrykkene?

•Hvordan kan dere tegne eller skrive noe som kan hjelpe dere med å løse problemet?

•Klarer dere å forklare noen andre hvordan dere løste oppgavene?

Problem 2

Elevene trenger tid til å prøve ulike tallkombinasjoner og diskutere med hverandre. Oppsummer gjerne og se hvor mange ulike regneuttrykk elevgruppene har laget.

Samtal gjerne om de fire regneartene, hva heter de og hvilke regnsymboler tilhører de ulike regneartene? Elevene kan gjerne lage regnefortellinger og illustrasjoner til regneuttrykkene.

Elevene kan for eksempel bruke læringspartner når de løser problemløsningsoppgavene:

•Elevene får snakket mer.

•Elevene får mulighet til å dele ideer.

•Elevene får støtte til å forklare løsningsforslag sammen med partneren.

•Elevene får mulighet til å reflektere over egne løsninger.

•Elevene lærer å sette ord på hvordan de tenker.

•Elevene får trening i å være aktive lyttere.

•Misforståelser kan avklares raskere.

•Elevene må være deltakende.

Matematiske modeller, visualisere

En måte å løse oppgavene på er å visualisere innholdet i teksten gjennom å tegne blokker eller arbeidstegninger. Å bruke eksempelvis blokker er kjent for elevene, men det er allikevel viktig at elevene trener på dette knyttet til problemløsingsoppgaver og tekstoppgaver. La elevene tegne forskjellige arbeidstegninger/modeller, vise modellene til hverandre og diskutere løsninger. Det kan hjelpe dem til å forstå teksten. Målet er

å modellere slik at det er lettere å løse oppgaven. For elever som «ser løsningen» uten visuell støtte, kan du eventuelt finne mer krevende oppgaver. Tallene kan gjøres større, det kan legges til en opplysning, eller dere kan finne mer krevende problemløsingsoppgaver, for eksempel LIST-oppgaver eller kenguruoppgaver fra høyere klassetrinn. (se Matematikksenteret.no)

Du kan også tegne en modell/arbeidstegning og la elevene lage en matematikkoppgave til modellen. Slik kan du i enda større grad øke elevenes bevissthet om at en modell kan være en hjelp i å løse oppgavene. Det er viktig at elevene oppfordres til å tegne og skrive aktivt i arbeidet med problemløsingsoppgaver. Dette er oppgaver uten en entydig løsningsmåte, og det å kunne lage skisser og tegninger er viktige hjelpemidler i den matematiske tenkingen. Under arbeidet med oppgavene anbefaler vi at dere reflekterer over hva løsningen kan bli. «Omtrent hvor mye skal svaret bli?» og «Stemte løsningen med det vi trodde?» er spørsmål lærere ofte bør stille elevene sine.

Problem 3

Ella klipper like lengder av en rull med silkeb Alle lengdene er 3,5 m lange.

Hvor mange lengder får hun av en rull so

Problem 3

Elevene kan sammen med læringspartner prøve å løse oppgaven på flere måter og bruke ulike modeller, for eksempel blokkmodeller eller tom tallinje.

12 m? lengder

15 m? lengder

3 4 8

30 m? lengder

Sant eller usant?

Gjentatt addisjon kan skrives som multiplikasjon.

0,5 m er det samme som 50 cm.

Divisjon er vanskeligere enn multiplikasjon

17,1 er et desimaltall.

Det er 3 tideler i 3,2.

1,5 m er like langt som 1 m og 5 cm

0,3 m + 0,7 m blir 1 m til sammen.

?

Elevene kan diskutere: Hvilken modell foretrekker dere? Hvorfor? Hvilken modell synes dere illustrerer oppgaven best? Legg spesielt merke til hvordan elevene løser «den halve meteren».

Sant eller usant?

Elevene kan oppfordres til å argumentere for meningene sine og gjerne bruke tegninger og konkreter for å «bevise» at deres argument er riktig. Elevene øver da på argumentasjon og resonnering, som er en viktige kjerneelemeter.

Oppsummering

Ifølge LK20 skal elevene utforske og forklare sammenhenger mellom de fire regneartene og bruke sammenhengene hensiktsmessig i utregninger. I dette kapittelet jobber elevene derfor med de fire regneartene og sammenhengen mellom disse. Et viktig aspekt ved tallforståelse er at elevene lærer å se sammenhengen mellom regnemåtene og kan velge hensiktsmessige og effektive metoder for regningen ut fra ulike situasjoner. Elevene må derfor gis mange muligheter til å resonnere rundt regneartene, strategier og metoder. På den måten oppdager de regneartenes egenskaper og undersøker hvordan sammenhengene mellom regneartene kan brukes. Det er derfor viktig at elevene oppdager sammenhenger og strukturer selv og ikke blir presentert for ferdige løsninger.

I mange praktiske situasjoner vil elevene møte både desimaltall og brøk. Derfor har vi med noen oppgaver med desimaltall. Elevene bygger sin første forståelse på erfaringene de har med hele tall. En vanlig misoppfatning de har når det gjelder desimaltall, er at de ser desimalene som selvstendige tall. Mange elever tror at for eksempel 5,45 er mer enn 5,5, fordi 45 er et større tall enn 5. Elevene har kanskje erfaringer med desimaltall i forbindelse med penger eller målinger før desimaltall innføres i læreverket. Elevenes erfaringer gjør at de gjerne ser at det er et helt antall kroner på den ene siden av kommaet og et helt antall øre på den andre siden av kommaet, og tilsvarende for målinger med meter og centimeter. Elevene trenger derfor å erfare at et desimaltall er ett tall, som kan inneholde tideler, hundredeler, tusendeler og så videre.

Still spørsmål og lytt til hvordan elevene resonnerer og argumenterer. Prøv å få en oversikt over hva elevene kan og forstår, og hvordan de tenker når de løser oppgavene.

•Hva slags forståelse viser elevene for sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon?

•Hvilke begreper bruker elevene når de forklarer?

•Kan elevene oversette mellom ulike representasjoner, for eksempel mellom tekst og regneuttrykk?

Bygg videre på dette når dere fortsetter til neste kapittel. Min stjernelogg kan gjerne gjennomføres individuelt, som en liten kartlegging, eller elevene kan samarbeide om den. Oppsummer og la elevene vise notater/tegninger, og be dem forklare hvordan de tenker når de løser oppgavene. Det å kommunisere i matematikk, både skriftlig og muntlig, er et av kjerneelementene i LK20. Elevene kan gjerne stille spørsmål til hverandre, og samtale om hvordan tegningene og de skriftlige/muntlige forklaringene er tydelige eller uklare for de andre elevene. Hva kan det være viktig å tenke på når man skal kommunisere til andre hvordan man tenker?

Hvordan kan du bruke tegningen av knappene til å forklare sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon?

Min stjernelogg

Lag regnefortellinger med multiplikasjon eller divisjon.

Lag en tegning som viser 0,5, og finn et eksempel på når du bruker 0,5.

Min stjernelogg

Underveisvurdering

Du må være i dialog med elevene om utviklingen deres. Planlegg gode aktiviteter hvor elevene får vist sin kompetanse. Det er viktig å finne ut hva elevene kan, for å kunne planlegge neste steg i utviklingen og tilpasse undervisningen. Se etter om elevene kan

•representere multiplikasjon på ulike måter

•forklare og bruke sammenhengen mellom addisjon og subtraksjon

•forklare og bruke sammenhengen mellom multiplikasjon og divisjon

•forklare hvorfor han/hun velger å løse oppgaven med akkurat den regnearten

•vise omtrent hvor langt 1 cm, 1 mm, 10 cm og 1 m er

•vise omtrent hvor langt 0,5 m og 1,5 m er

•forklare hvor mange centimeter 1,5 m er

•forklare hvordan sifrene på begge sider av komma i et desimaltall til sammen utgjør ett tall

•telle med én desimal av gangen forover:

0,1 – 0,2 – 0,3 – … 0,8 – 0,9 – 1,0 – … eller

3,7 – 3,8 – 3,9 – 4,0 – 4,1 – …

•telle med én desimal av gangen bakover:

2,2 – 2,1 – 2,0 – 1,9 – …

•telle med andre intervaller:

0 – 0,2 – 0,4 – 0,6 – … eller 0 – 2,5 – 5,0 – 7,5 – …

Desimaltall i spiral

Spill to og to sammen.

1. Bruk en spiral sammen, og velg hver deres farge å skrive med.

2. Velg et desimaltall fra skjemaet etter tur og skriv det i spiralen der det bør stå.

3. Spilleren som først skriver tre desimaltall etter hverandre, vinner spillet.

Desimaltall i spiral

Det kan være lurt å spille en felles prøveomgang først (trenger ikke spille helt ferdig), slik at elevene kan stille spørsmål til spillereglene. Ta gjerne opp siden på Tavleboka om du har tilgang til denne. Elevene kan også først studere spillereglene og prøve å forklare dem for læringspartneren. Samtal så om spillereglene i fellesskap.

Legg merke til hvordan elevene tenker og resonnerer når de spiller. Velger de tall strategisk fra tabellen? Lytt til elevenes samtaler, og prøv å få en oversikt over om de bruker noe av det de har lært i kapittelet. Stopp gjerne opp underveis og spør dem om hvordan de tenker.

Differensiering

Elevene kan også spille spillet med heltall og ikke desimaltall, og de kan bruke en vanlig rett tallinje i stedet for spiralen.

Differensiering: Er det vanskelig å plassere desimaltallene i spiralen, kan dere bruke en tom tallinje.