Kapitteloppgaver

1.1 Måleusikkerheit og systematiske feil

1.01

Kvifor er det viktig å tenkje på feilkjelder i fysikk? Gi nokre døme.

1.02

Vurder påstandane nedanfor. Kva for påstandar stemmer, og kva for påstandar stemmer ikkje? Grunngi svaret ditt eller diskuter med ein medelev. • Fysikk prøver å forklare alt. • Forsøk og observasjonar er det viktigaste i fysikk. • Teoriar er det viktigaste i fysikk. • Fysikkteoriar er berre modellar – dei er ikkje verkelegheita. • Fysikk har ingen praktisk verdi. • Systematiske feil er betre enn måleusikkerheit. • Vi kan ikkje gjere målingar eller teoretiske utrekningar utan feil og usikkerheit.

1.03

Forklar forskjellen på måleusikkerheit og systematiske feil. Gi nokre døme.

1.2 Usikkerheit i målingar

1.04

Vi måler farten til ei vogn som blir sleppt frå ei fast høgd og trillar ut på eit flatt underlag. Vi gjer forsøket seks gonger og får desse verdiane:

Måling nr.

1 2 3 4 5 6 Fart (m/s) 1,43 1,39 1,40 1,41 1,40 1,41 a) Kva er gjennomsnittsfarten til vogna? b) Kva er den absolutte måleusikkerheita i forsøket? c) Kva er den relative usikkerheita i forsøket?

1.05

a) Kva er standardavvik? Beskriv med ord. b) Skriv ned formelen for standardavvik og forklar korleis du vil gå fram for å rekne ut standardavviket for hand og med eit dataprogram. c) Av og til snakkar vi om og reknar med kvadratet av standardavviket, eller variansen, σ 2. Kvifor det, trur du?

1.06

Bruk tala frå oppgåve 1.04. a) Kva er standardavviket for måleserien? b) Kva for eit avviksmål bør vi bruke for dette datasettet? Kvifor det?

1.07

Fire fysikkelevar har gjort eit forsøk og funne ein verdi for tyngdeakselerasjonen. Sjå på resultata dei har rapportert, og vurder resultata opp mot kvarandre og den forventa verdien 98 , 1 m/s2 . a) g ( ) 98 09, , m/s2 b) g ( ) 97 02, , m/s2 c) g ( ) 972 0 03, , m/s2 d) g ( ) 10 2 m/s2

1.08

Fila trettisone.txt inneheld ein måleserie av gjennomsnittsfarten som er målt på ulike vegstrekningar med fartsgrensa 30 km/h i Kristiansand. a) Bruk Python til å lese inn måleserien og rekn ut gjennomsnittsverdi, avvik og standardavvik. b) Oppgi måleresultatet med usikkerheit ved hjelp av dei to ulike usikkerheitsestimata.

Kva for eit er størst, og kva for eit er minst? c) Kva for eit usikkerheitsestimat passar det å bruke her? Grunngi svaret. d) Visualiser målingane i eit histogram og legg inn standardavvik og avvik i diagrammet.

Kommenter det du ser. Korleis passar det med valet du gjorde i oppgåve c?

1.3 Usikkerheit i utrekna resultat

1.09

Bruk reglane for feilforplanting og rekn ut svara med usikkerheit. a) Lise køyrer først ei strekning på ( , km,54 3 0 4± ) og så ei ny strekning på ( , km,22 5 0 8± ) .

Kor langt har ho køyrt til saman? b) Lise køyrer ( , km,44 7 1 2± ) tilbake langs den same vegen.

Kor langt er ho frå utgangspunktet? c) Eit klasserom blir målt til ( , m,10 4 0 4± ) i lengda og ( , m,68 02± ) i breidda.

Kva er arealet av klasserommet? d) Ein syklist syklar ei strekning på ( , m,100 0 1 5± ) på ( , s,11 2 11± ) .

Kor fort sykla han?

1.10

Vi kan rekne ut usikkerheit i multiplikasjon og divisjon på to måtar. Beskriv dei to måtane med formlar eller ord. Kva for ein metode brukte du i oppgåve 1.09 c og d? Rekn på nytt med den andre metoden og sjekk at svara blir dei same.

1.11

Casper og Nora måler breidda på klasserommet med ein meterstav og anslår usikkerheita i kvar måling til å vere 0,01 m. Dei måler klasserommet til å vere 7,60 m breitt. a) Kva blir den absolutte usikkerheita i målinga av breidda på klasserommet? b) Dei måler lengda av klasserommet til l ( ) 92 01 , , m.

Rekn ut arealet av klasserommet med usikkerheit.

1.12

Massen til vogna i oppgåve 1.04 blir målt til

m ( ) 020 0 01, , kg a) Kva er den relative usikkerheita i massen? b) Kva er den kinetiske energien til vogna utan usikkerheit? c) Bruk feilforplantingsregelen for multiplikasjon og rekn ut den relative usikkerheita i den kinetiske energien til vogna.

1.13

Máhtte vil finne tyngdeakselerasjonen ved å bruke ein kjeglependel. Han bruker denne formelen:

g

T

4 r 22 2 tan( ) Her er r radiusen i sirkelrørsla til pendelen, T er rundetida, og θ er vinkelen som snora dannar med loddlinja. Máhtte har målt desse verdiane: r 302 cm cm

T 13 01, s , s 12 1 a) Finn g. Finn usikkerheita ved å rekne ut den største og den minste verdien og avviket. b) Máhtte kan halvere usikkerheita i éin av dei tre parametrane. Kva for ein bør han velje for å få minst usikkerheit i målinga av g?

θ

r

v

1.14

Tabellen viser målingar av farten til ein penn som blir sleppt frå ei høgd h over bakken. Høgda er målt til h 049 0 01, , m. Massen til pennen er målt til m 0 033 0 002, , kg.

t / s v / (m/s) 0,0 0,0 0,033 0,34 0,066 0,78 0,099 1,06 0,132 1,51 0,165 1,84 0,198 2,07 0,231 2,35 0,264 2,85 0,297 3,13

a) Legg dataa inn i GeoGebra og finn ein verdi for akselerasjonen med usikkerheit. b) Bruk verdien for g frå oppgåve a og berekn relativ og absolutt usikkerheit for verdien av den potensielle energien. c) Kva blir den potensielle energien med usikkerheit?

1.15

Du skal multiplisere ein storleik A med usikkerheit ±a og ein storleik B med usikkerheit ±b. a) Finn eit uttrykk for usikkerheita ved å finne største og minste moglege produkt. b) Samanlikn uttrykket du kjem fram til i oppgåve a, med feilforplantingsregelen som bruker relative usikkerheiter, og bevis at dei to uttrykka er ekvivalente. c) No skal du dele A på B. Gjenta utrekninga i oppgåve a for å finne største og minste moglege verdi. Blir resultatet ekvivalent med det du får dersom du bruker feilforplantingsregelen?

1.16

Tabellen viser målt posisjon x i meter ved ulike tidspunkt t målt i sekund s.

t / s 0 0,4 0,8 1,3 1,7 x / m 0,3 0,1 0,6 1,1 1,6

a) Teikn x som funksjon av t for hand i eit rutenett. Bruk grafisk utjamning til å finne farten i xretning ved å teikne opp den beste linja gjennom punkta og lese av stigingstalet.

Finn òg konstantleddet som beskriv linja på forma at + b. b) Bruk stigingstalet og konstantleddet frå oppgåve a til å rekne ut den forventa posisjonen ved kvart av måletidspunkta.

Rekn ut differansen mellom dei faktiske målingane og den forventa posisjonen.

Bruk desse til å rekne ut avviket og standardavviket. c) Legg tala inn i GeoGebra og bruk regresjonsverktøyet til å finne farten. d) Samanlikn resultata du fekk i GeoGebra for både linja og avvika, med det du fann då du gjorde utjamninga for hand.

Munnlege oppgåver

1.17

Nedanfor følgjer nokre påstandar om fysikk. Kva tenkjer du om dei? Kva er rett med dei, og kva er feil? • Målet med fysikk er å finne ei likning som beskriv korleis eit system endrar seg over tid. • Fysikk er anvend matematikk. • Det speler inga rolle kor vakker teorien din er. Det speler inga rolle kor smart du er. Dersom teorien ikkje stemmer med eksperimenta, er han feil (Richard Feynman, nobelprisvinnar i fysikk).[1] • Å studere fysikk er òg eit eventyr. Det er utfordrande, nokre gonger frustrerande, av og til smertefullt og ofte svært givande.[2] • Fysikk er ein intuitiv og konkret vitskap.

Matematikk er berre eit middel for å uttrykkje lovene som styrer fenomena (Albert Einstein).[3]

1.18

a) Forklar kva vi meiner med systematiske og tilfeldige feil. Korleis kan vi redusere vekta av slike feil? b) Gjer greie for korleis vi reknar ut avvik og standardavvik. I kva tilfelle kan det lønne seg å bruke det eine framfor det andre?

1.19

Sit saman i grupper og diskuter situasjonane nedanfor. Diskuter kva som er gale, og kvifor. Tenk på etikk og konsekvensar. Samanlikn gjerne dei ulike situasjonane. a) Ein fysikkelev gidd ikkje gjere forsøket denne veka og bestemmer seg for heller å skrive rapporten ved å finne på ein måleserie. b) Ein annan fysikkelev gjer forsøket, men får ein måleserie som ikkje stemmer med teorien. Ho går tilbake og endrar tala slik at dei passar med teorien. c) Ein tredje elev oppgir for låg usikkerheit i målingane sine og finn ein verdi som er meir nøyaktig, enn nokon andre i klassen. d) Elev nummer fire er redd for å underdrive usikkerheita og overdriv dermed veldig.

Gå gjennom situasjonane i a–d igjen, men denne gongen skal de ikkje gå ut frå at det er fysikkelevar som gjer forsøka, men 1) ein forskar som så publiserer resultata av forsøket i eit kjent vitskapleg tidsskrift 2) ein strikkhoppfabrikant som skal oppgi toleevne og strekk for strikka dei produserer 3) ein forskar som skal utvikle ein ny metode som kan absorbere karbondioksid frå atmosfæren

Blanda oppgåver

1.20

Sjå på resultata i døme 11 på side 14. a) Gjennomsnittstida på 60meteren for gutar i år 2000 var 10,66 sekund. Samanlikn med resultata frå dømet. Er dette gjennomsnittet kompatibelt med måleserien i fila? b) I tråden i treningsforumet diskuterer nokre medlemmer ulike feilkjelder. Her er nokre av påstandane:

Kva slags feilkjelder diskuterer dei?

Er det kjelder til systematiske feil eller måleusikkerheit? c) Kan du tenkje deg fleire feilkjelder i dette datasettet?

Det er ein vesentleg forskjell på manuell (stoppeklokke) og elektronisk tidtaking. Ved manuell tidtaking er det personar som tek tida med klokke, og då kjem det VELDIG an på kven som tek tida.

På ungdomsskulen spring ein på asfalt, og «60-meteren» er nærmare 40 meter enn 60.

På nettet seier eg 6,8, men eigentleg spring eg på 8,99.

1.21

Bruk fila sekstimeter.txt frå døme 11. a) Last inn målingane og rekn ut gjennomsnitt, avvik, standardavvik og relativ usikkerheit for dei 6, 10, 50 og 100 første tala i måleserien og til slutt for heile serien. b) Finn den maksimale verdien i heile måleserien og plasseringa for dette talet i måleserien. c) Gjenta oppgåve a for dei 5, 10, 15, 20, osv. første tala i måleserien. Lagre verdiane for kvar mengd med fem og fem fleire verdiar i lister og plott dei. Kva ser du? Kva skjer med dei ulike avviksmåla når den største verdien frå oppgåve b blir teken inn? d) Kva tenkjer du om dei ulike avviksmåla no?

1.22

Sjå på formelen for standardavvik på side 11. Bruk måleserien i oppgåve 1.04 og éin eller fleire andre måleseriar til å teste formelen. a) Rekn ut standardavvika for måleseriane. b) Forenkle formelen slik:

ny 1 N 1

N v v i

i

Kva får du for måleseriane? Skriv om formelen og forklar kvifor svaret alltid blir null. c) Prøv no med

1

N

ny N 1 v v i

i

der v v i − er absoluttverdien av forskjellen mellom kvar verdi og gjennomsnittet. Kva får du no? Kvifor blir ikkje denne formelen brukt, trur du?

1.23

Vi kan skrive gjennomsnittet som

v summen av m lå everdiane antallet målingr N i 1

vi

Vis at vi kan skrive om standardavviket slik:

v v2 2

der v2 er gjennomsnittet av verdien opphøgd i andre.

1.24

Rørsla i oppgåve 1.16 skjer òg i yretning: t / s 0 0,4 0,8 1,3 1,7 y / m 0,2 0,3 0,5 0,7 0,8

a) Gjenta den grafiske utjamninga for rørsla i yretning for hand eller i GeoGebra, eller utfør utjamninga med begge metodane. b) Når vi utfører lineær regresjon, prøver vi å finne linja som gir det minste standardavviket for dei forventa punkta. Det kan vi gjere med programmering òg.

1 def funksjon(a, b, t, y): 2 avvik = 0 3 n = len(t) 4 for i in range(n): 5 avvik = avvik + (a*t[i] + b - y[i])**2 6 return 1/np.sqrt(n)*np.sqrt(avvik)

Beskriv kva denne funksjonen gjer. c) Sjå på grafen du laga i oppgåve a, og finn rimelege intervall for kva stigingstalet a og konstantleddet b kan vere. d) Bruk to forløkkjer til å teste deg gjennom intervalla for a og b og finn verdiane for a og b med minst standardavvik. Bruk mange nok punkt, slik at du får ein presisjon på to siffer. e) Det finst eigne bibliotek for å gjere denne regresjonen automatisk og veldig fort. Prøv til dømes funksjonen LinearRegression() frå sklearn.linear_model, eller søk etter andre bibliotek. Bruk biblioteket du fann, til å finne a og b. f) Plott målepunkta og linjene med Python.

Referansar

[1]Frå ei forelesing om vitskapleg metode av Richard Feynman (1964). Henta 23. februar 2022 frå https://www. youtube.com/watch?v=EYPapE3FRw. Vår omsetjing.

[2] Frå Young og Freedman (2011). University Physics with Modern Physics. (13. utg), s. 1. Pearson Education Limited. Vår omsetjing.

[3]Stod opphavleg i Albert Einstein (1956) Lettre à Maurice Solvine. GauthierVillars: Paris. Henta 23. februar 2022 frå https://quotepark.com/quotes/1729983alberteinsteinphysicsisessentiallyanintuitiveandconcretes/. Vår omsetjing.

2KREFTER OG RØRSLE KOMPETANSEMÅL:

► utforske, beskrive og modellere rørsle i to dimensjonar ► bruke numeriske metodar og programmering til å utforske og modellere fysiske fenomen ► gjere greie for korleis krefter kan forårsake krumlinja rørsle, og bruke dette i utrekningar

AKTIVITET

Send ein ball bortover eit horisontalt underlag rett mot eit skråplan. Gjenta forsøket fleire gonger og dytt litt hardare for kvar gong, slik at ballen kjem lenger og lenger oppover skråplanet. Beskriv posisjonen, farten og akselerasjonen til ballen. Teikn skisser for posisjonsgrafane, fartsgrafane og akselerasjonsgrafane.

v0

z

y

x

FIGUR 2-1

Verda vår er tredimensjonal, og for å beskrive ei kompleks rørsle treng vi tre aksar, x, y og z.

FIGUR 2-2

Vi kan sjølve velje kvar vi skal leggje koordinatsystema. Vi plasserer dei på den måten som er mest fornuftig for utrekningane våre. Verda vi lever i, er tredimensjonal, og vi kan beskrive dei romlege dimensjonane med aksane x, y og z, slik som i figur 2-1 til venstre. Dersom vi skal beskrive matematisk korleis ei humle flyr gjennom eit klasserom, må vi sannsynlegvis bruke alle dei tre aksane. Ei slik rørsle seier vi er tredimensjonal. Rørslene vi studerte i fysikk 1, var rettlinja, eller eindimensjonale, og vi måtte berre bruke éin av aksane for å beskrive dei matematisk.

Rørsla til ballen i startaktiviteten var samansett. Først bevegde ballen seg langs underlaget og så langs skråplanet. No vil vi prøve å beskrive rørsla ved hjelp av eit todimensjonalt koordinatsystem, som vist i figur 2-2 nedanfor. Vi begynner med å ta utgangspunkt i koordinatsystemet til venstre. Når ballen beveger seg langs underlaget, ser vi at rørsla går langs x-aksen. Når ballen kjem til skråplanet, skifter rørsla retning. Då går rørsla både i x- og y-retninga, altså i to dimensjonar. Det er fullt mogleg å beskrive den todimensjonale rørsla matematisk. Då må vi lage éin posisjonsfunksjon for x-retninga og éin for y-retninga. I koordinatsystemet til høgre ligg x-aksen langs skråplanet. I dette koordinatsystemet vil y-posisjonen til ballen vere null så lenge ballen beveger seg på skråplanet, og vi treng berre å finne éin posisjonsfunksjon.

No har vi delt den samansette rørsla i to, og i kvar del kan rørsla til ballen beskrivast i sitt eige koordinatsystem. Vi har valt to koordinatsystem som gjer det så enkelt som mogleg å beskrive rørsla matematisk. Ved å dele opp rørsla og sjå på éin del om gongen gjer vi det òg enklare å modellere rørsla. Når vi beskriv samansette rørsler som dette matematisk, bør vi velje koordinatsystem som lèt oss beskrive rørsla med så få dimensjonar som mogleg.

y

x

v0 y

x