Grunnleggende fysikk for universitet og høgskole Lærebok (utdrag)

studenter uten fysikkbakgrunn fra videregående skole. Læreverket består av - lærebok - oppgavesamling - nettsted

G R U N N LEG G EN D E

er et læreverk i fysikk for

Grunnleggende fysikk for universitet og høgskole

for universitet og høgskole

G RIMENES • JERSTAD • SLET BAK •

Grunnleggende fysikk

www.cappelendamm.no

FOR U NIVER S IT ET OG HØGSKO LE

GRI ME N E S • J E RSTA D • SL ET BAK

ISBN 978-82-02-34733-8

G

4

Innhold Hvordan bruke lærebok og nettsted? . . . . . . . . . .

8

Velkommen til fysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1 Bevegelse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 15 20 28

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5

Enheter og konstanter . . . . . . . . . . . . . . .

Posisjon og forflytning . . . . . . . . . . . . . . .

Fart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bevegelseslikningene ved konstant akselerasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Kraft og bevegelse I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.1 Krefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Vekselvirkning mellom to legemer: Newtons 3. lov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.3 Tyngdekrefter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4 Sammenhengen mellom krefter og bevegelse: Newtons 1. og 2. lov . . . . . . .

2.5 Fjærkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.6 Friksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32 39 41 47 48 52 54 56 64 67 73 74

4 Energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1 Arbeid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.2 Kinetisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.3 Potensiell energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.4 Mekanisk energi og arbeid . . . . . . . . . . .

4.5 Loven om bevaring av mekanisk energi .

4.6 Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

97 97 102 105 109 113 121 124 125

5 Bevegelsesmengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 5.1 Bevaringsloven for bevegelsesmengde . .

5.2 Mer om støt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.3 Impuls og bevegelsesmengde . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

131 137 142 145 146

6 Bevegelse II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 6.1 Bevegelse langs en rett linje . . . . . . . . . .

6.2 Vektorene fart og akselerasjon . . . . . . . .

6.3 Bevegelse med konstant akselerasjon . . .

6.4 Akselerasjonen i sirkelbevegelse . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149 154 158 165 168 169

7 Kraft og bevegelse II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 3 Arbeidsmetoder i fysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

3.1 Observasjoner, hypoteser, eksperimenter, teorier, prøving, feiling, naturlover . . . . .

3.2 Måleusikkerhet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Usikkerhet i sammensatte størrelser . . . .

3.4 Grafisk utjevning . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79 82 86 91 93 94

7.1 Newtons tre lover . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7.2 Krefter på legemer i sirkelbevegelse . . . .

7.3 Å løse sammensatte mekanikkoppgaver .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173 183 190 195 196

8 Statikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 8.1 Likevekt ved rotasjon om akse . . . . . . .

8.2 Likevektsvilkår . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Tyngdepunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

201 206 209 213 214

5

9 Rotasjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 9.1 Rotasjonsbevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2 Kraftmoment og vinkelakselerasjon . . . .

9.3 Rotasjonsenergi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 Spinn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

218 224 229 233 237 239

10 Fluidmekanikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243 10.1 Massetetthet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.2 Trykk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.3 Oppdrift . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.4 Fluidstrøm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10.5 Bernoulli-likningen . . . . . . . . . . . . . . . .

10.6 Viskøse væsker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

243 245 253 255 260 265 270 272

11 Termofysikk I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277 11.1 Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.2 Tilstandslikningen . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.3 Indre energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.4 Termofysikkens 1. lov. Energiloven . . .

11.5 Kalorimetri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11.6 Termofysikkens 2. lov . . . . . . . . . . . . . .

11.7 Kjøleskap og varmepumer . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

277 281 287 289 295 302 309 313 315

12 Termofysikk II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 12.1 Termisk utvidelse . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.2 Stoffmengde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.3 Mer om tilstandslikningen . . . . . . . . . . .

12.4 Arbeid ved ekspansjon og kompresjon av en gass . . . . . . . . . . . . . .

12.5 Indre kinetisk energi i gaser . . . . . . . . .

12.6 Molar varmekapasitet . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

322 325 328 336 341 346 350 352

13 Varmetransport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357 13.1 Varmeledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.2 Konveksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.3 Fordamping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.4 Termisk stråling . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.5 Strålingsbalansen til jorda.

Drivhuseffekten . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

357 362 364 365 373 379 381

14 Lys . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 14.1 Refleksjon. Absorpsjon. Transmisjon . .

14.2 Brytning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.3 Totalrefleksjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.4 Lysbrytning og farger . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

385 391 397 400 402 403

15 Geometrisk optikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407 15.1 Speil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.2 Linser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15.3 Optiske instrumenter . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

407 418 425 439 441

16 Bølger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 445 16.1 Bølgebevegelse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16.2 Refleksjon og brytning av bølger . . . . . .

16.3 Lyd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16.4 Interferens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16.5 Interferens med lys . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

445 452 456 466 471 481 483

6

17 Elektrisitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489 17.1 Elektriske krefter og ladninger . . . . . . .

17.2 Elektrisk spenning og arbeid . . . . . . . . .

17.3 Elektrisk strøm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17.4 Sammenheng mellom strøm og spenning 17.5 Kopling av motstander . . . . . . . . . . . . .

17.6 Elektromotorisk spenning.

Indre resistans i batterier . . . . . . . . . . .

17.7 Elektrisk energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

490 496 501 506 513 517 519 522 524

18 Atomfysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531 18.1 Atomet er sammensatt . . . . . . . . . . . . . .

18.2 Lyskvanter – fotoner . . . . . . . . . . . . . . .

18.3 Bohrs teori for hydrogenatomet . . . . . .

18.4 Emisjons- og absorpsjonsspektre . . . . .

18.5 Fotoelektrisk effekt . . . . . . . . . . . . . . . .

18.6 Røntgenstråling . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18.7 Halvlederteknologi . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

531 534 536 544 547 550 557 566 569

19 Kjernefysikk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 19.1 Atomkjernen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19.2 Radioaktivitet og kjernereaksjoner . . . .

19.3 Radioaktiv omdanning . . . . . . . . . . . . .

19.4 Fusjon og fisjon . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19.5 Utnytting av kjerneenergi . . . . . . . . . . .

19.6 Ioniserende stråling. Biologiske virkninger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

576 578 585 590 594 596 603 605

20 Relativitetsteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609 20.1 Referansesystemer . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.2 Relativitetsprinsippet . . . . . . . . . . . . . . .

20.3 Relativistisk tid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.4 Relativistisk bevegelsesmengde og energi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20.5 Energi–masse-loven . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

610 612 615 619 622 625 626

21 Gravitasjonsfelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629 21.1 Den universelle gravitasjonsloven . . . . .

21.2 Gravitasjonens feltstyrke . . . . . . . . . . . .

21.3 Satellittbevegelser . . . . . . . . . . . . . . . . .

21.4 Energi i gravitasjonsfeltet . . . . . . . . . . .

21.5 Den generelle relativitetsteorien . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

630 632 635 638 642 647 648

22 Elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 22.1 Ladning, krefter og Coulombs lov . . . .

22.2 Elektrisk feltstyrke . . . . . . . . . . . . . . . . .

22.3 Kraft, arbeid og energi i elektrisk felt . .

22.4 Spenning og feltstyrke i et homogent elektrisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22.5 Kapasitans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22.6 Arbeid og energi i et elektrisk sentralfelt Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

651 652 659 664 666 670 673 675

23 Magnetisk felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 679 23.1 Magneter og magnetiske felt . . . . . . . . .

23.2 Magnetisk kraft på ladninger i fart . . . .

23.3 Kraft på strømførende ledere i magnetiske felt . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Sammendrag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Oppgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

679 688 695 701 702

8

Hvordan bruke lærebok og nettsted?

Dette læreverket inneholder mange forskjellige elementer som du trenger i læringsprosessen. Her har vi laget en liten «bruksanvisning» som forklarer hvordan de forskjellige elementene kan brukes.

Lærebok Her i læreboka finner du det som ofte kalles «pensumteksten». I tillegg til teori med tekst, figurer og bilder finner du en rekke eksempler med løsning.

Legg merke til at teksten har god linjeavstand slik at det er lett å streke under eller markere viktige uttrykk og setninger. I tillegg har boka bred marg slik at du kan notere i margen.

Eksempler. Eksemplene er utformet som konkrete oppgaver som har direkte tilknytning til stoffet i teksten, med en detaljert løsning med mellomregninger og forklaringer. Du bør regne eksemplene på papir som en vanlig regneoppgave. Dersom du bare leser løsningen, vil det ofte være viktige detaljer i beregningene som du ikke får med deg!

Sokrates-spørsmål. Rundt omkring i kapitlene støter du på noen spørsmål som blir varslet med en Sokrates-logo i margen. Hensikten med disse spørsmålene er å få til nyttige samtaler og friske diskusjoner i auditoriet mens stoffet blir gjennomgått. www

Henvisning til FYSnett. Når du støter på denne logoen i margen, betyr det at du finner pensumstoff på FYSnett. Det kan for eksempel dreie seg om animasjoner og simuleringer knyttet til det kapittelet du holder på med.

Inngangsadressen er http://fysikknett.cdu.no/.

Sammendrag. I slutten av hvert kapittel står det sammendrag av de viktigste tingene vi har arbeidet med i kapittelet. Først når du kan det som står i kapittelet, får du nytte av sammendraget.

Oppgaver. Oppgaver for å forstå og trene på pensumstoffet er samlet bakerst i hvert kapittel. Gjør alle oppgavene til hvert delkapittel etter hvert som du er ferdig med å lese det. (I oppgavesamlingen finner du flere oppgaver du kan bruke til videre trening og til eksamensforberedelse.) Oppgavene merket På egen hånd passer det ofte å gjøre hjemme på kjøkkenet sammen med en medstudent. Bakerst i boka er det fasit til regneoppgavene. På FYSnett finner du tips til alle oppgavene i grunnboka. De kan være nyttige dersom du står fast.

9

Rammestoff. Med jevne mellomrom utover i boka kommer det stoff som går litt lenger enn vanlig pensum.

Ordforklaringer og stikkordregister. Mot slutten av læreboka finner du en omfattende liste med forklaringer og definisjoner av ord, begreper og fysiske størrelser. Denne oversikten kommer i tillegg til stikkordregisteret bakerst i grunnboka. Ved hjelp av dette registeret finner du hvor i boka et sentralt fagord er definert eller omtalt.

Oppgavesamling Oppgavesamlingen har samme kapittelinndeling som læreboka. Oppgavesamlingen bruker du for å øve inn lærestoffet til hvert kapittel. Her finner du også oppgaver som er velegnet for å trene til eksamen. Det er svært mange oppgaver til sammen, så be gjerne foreleseren om å sette opp en prioritert liste. Bakerst i oppgavesamlingen er det fasit. På FYSnett finner du fullstendig løsning til noen av oppgavene til hvert kapittel.

På egen hånd. Til de forskjellige kapitlene finner du også i oppgavesamlingen såkalte på egen hånd-oppgaver. Det er mindre fysikkforsøk og forslag til «kjøkkenfysikk» – ting som du kan gjennomføre uten avansert fysikkutstyr, og som er egnet til å skape diskusjon, ettertanke og glede over faget.

FYSnett FYSnett er nettsidene til læreverket Grunnleggende fysikk for universitet og høgskole. Gå inn fra http://fysikknett.cdu.no/. Til hvert kapittel finner du her: Lærebokhenvisninger. Flere sider i læreboka er merket med dette symbolet. Det betyr at vi anbefaler deg å bruke stoffet som det henvises til, aktivt i arbeidet med kapittelet. Symbolet viser mest til viktige animasjoner og simuleringer med opplegg for hvordan de skal brukes.

Oppgavetips. Til hver eneste oppgave i grunnboka har vi laget tips for hvordan oppgaven kan løses. Tipsene inneholder faglige råd og råd om føring, og de er utformet slik at du selv skal kunne løse oppgaven når kollokverer eller arbeider på egen hånd. På denne måten blir du ikke så lett sittende fast når du arbeider med oppgaveløsning.

Løste oppgaver. Til hvert kapittel er det laget 5–10 pdf-filer som inneholder fullstendig løsning til sentrale oppgaver fra oppgavesamlingen eller andre regnede eksempler. De løste oppgavene er nummerert med samme nummer som i oppgavesamlingen. De øvrige eksemplene, som ikke stammer fra oppgavesamlingen, har nummer fra 300 og oppover.

www

10

1 Velkommen til fysikk

Nettoppgaver. Animasjoner og simuleringer er svært nyttige verktøy når en skal lære seg fysikk. Vi har derfor laget en serie nettoppgaver, nummerert fra 200 og oppover, som tar utgangspunkt i en simulering, og som inneholder konkrete oppgaver som du skal gjennomføre ved å bruke simuleringen.

Kapitteltest. Dette er en selvrettende test som du kan ta for å teste deg selv etter at du er ferdig med førstegangsgjennomgåelsen av kapittelet.

Biografier og historie. Her finner du korte oversikter over gode lenker til biografisk og historisk stoff knyttet til kapittelet.

Mer om ... Dette er henvisninger til annet ressursstoff knyttet til kapittelet, i form av pdf-filer eller netthenvisninger.

Tabell. En gratis fysikktabell som kan lastes ned i pdf-format, finner du også på FYSnett.

1 Velkommen til fysikk

11

Velkommen til fysikk Fysikkfaget handler om å observere, beskrive og prøve å forstå naturen, fra de minste byggesteinene i atomene til stjernene og universet som helhet.

Det betyr at fysikken prøver å svare på slike spørsmål som disse: Hvorfor faller en stein til bakken når vi slipper den? Hva er det som foregår når lynet slår ned? Hva er det som holder månen i bane rundt jorda? Hvordan er alle ting bygd opp, eller sagt på en annen måte: Hva er de grunnleggende byggesteinene i den materielle verden? Hva slags krefter er det som virker i naturen? Kan vi vite noe om hvor gammel jorda er? Hvordan har de ulike grunnstoffene oppstått?

Men fysikken handler ikke bare om å finne svar på spørsmål om store og små fenomener i naturen. Fysikken og dens ektefødte barn teknologien representerer også en viktig del av grunnlaget for vår materielle levestandard og for de forandringene som foregår i samfunnet. Det er vanskelig å tenke seg noe fenomen i moderne tid som har forandret menneskesamfunnene så mye som teknologi knyttet til elektrisitet og magnetisme. Det store gjennombruddet på dette området kom i 1830-åra da prinsippene for produksjon av elektrisk strøm i generatorer ble klarlagt. Sammen med matematikken har fysikkfaget også spilt en grunnleggende rolle i utviklingen av datamaskiner og informasjonsteknologi. Andre områder der fysikkunnskaper spiller en sentral rolle, er biologi og medisinsk teknologi. Fra medisinsk teknologi kjenner vi for eksempel ultralyd, røntgenbildeapparater, CT- og MR-maskiner som kan ta bilder av det indre av kroppen vår.

Når fysikere skal forklare hva fysikken handler om, er det lett å bare ta med det positive. Men vi må også ta med de mørke sidene som har fulgt i kjølvannet av at vi stadig har fått mer innsikt i hvordan naturen fungerer.

Her tenker vi først og fremst på den nære koplingen vi alltid har hatt mellom kunnskaper i fysikk og teknologi og utviklingen av stadig nye våpentyper. Videre bør vi ta med at energiforbruket og måten vi lever på i den industrialiserte delen av verden, har gitt mye forurensning og har negativ innvirkning på klimaet og det biologiske mangfoldet, slik at hele den økologiske balansen på kloden kan være i fare.

På den annen side er kunnskaper i fysikk og utvikling av ny teknologi av avgjørende betydning for å løse energi- og miljøproblemene våre slik at kloden blir et godt sted å bo for kommende generasjoner.

I have most bitterly regretted that I didn’t study physics when I was at school, because it is the key to the most exciting research and discoveries of our time, and physicists are the adventurers and risktakers. Young people who study physics can expect to find themselves at the frontier of human thought.

Den britiske forfatteren Doris Lessing

Fysikken er menneskeverk. Det er mange menn og kvinner som opp gjennom århundrene har bidratt til fysikkens utvikling. Fotografiene til venstre viser tre av disse: Albert Einstein, som vel var den største fysikeren i forrige århundre, den danske fysikeren Niels Bohr og den amerikanske astronomen Vera Rubin.

«Det er ubetinget fornuftig å anta at Gud – fordi Han i skapelsen av alle ting gav forskjellig bevegelse til hver del, og siden oppholder all materie i samme tilstand som han skapte den – også sørger for at mengden av bevegelse er konstant.»

René Descartes i boka Principia philosophiae (1644), fransk matematiker og filosof

5 Bevegelsesmengde

131

5 Bevegelsesmengde I forrige kapittel leste vi om bevaringsloven for energi. Seinere i denne boka skal vi lese om andre bevaringslover – bl.a. om bevaringslover for elektrisk ladning og nukleontall. En viktig grunn til å søke etter bevaringslover er at slike lover er enkle å bruke når vi arbeider med kompliserte prosesser der det er vanskelig å holde styr på alle detaljene i prosessen.

Bevaringslover

En svært viktig side ved bevaringslovene er at de samme lovene – f.eks. energiloven – blir tatt i bruk i mekanikk, termofysikk, elektrisitetslære, atomfysikk og kjernefysikk. Dette gir oss enda en grunn til å lete etter bevaringslover: De hjelper oss til å binde sammen forskjellige fenomener i naturen.

5.1 Bevaringsloven for bevegelsesmengde På 1600-tallet var fysikerne opptatt med å finne lover for bevegelse. Mange forskere – blant dem Christiaan Huygens – studerte kollisjoner mellom kuler, blant annet med det som seinere ble kalt Newtons vugge, se figuren i margen. Et av problemene var da å finne en størrelse som kunne uttrykke «bevegelse». I sine kollisjonsforsøk fant Huygens at størrelsen mv – som var Descartes’ definisjon av bevegelse – er bevart i alle støt mellom stålkuler. Med «bevart» mener vi her at summen av kulenes mv før støtet er lik summen av mv etter støtet. Ved hjelp av blant annet denne bevaringsloven kunne Huygens beregne farten til kulene etter et støt. Dette viste at det var svært nyttig å bruke størrelsen mv.

Forsøk med stålkuler spilte en viktig rolle da bevaringsloven for bevegelsesmengde ble utviklet.

Bevegelsesmengde Størrelsen mv kaller vi i dag bevegelsesmengde, og den har fått symbolet p.

Bevegelsesmengde er en vektorstørrelse med samme retning som farten.

Bevegelsesmengden p til et legeme med massen m og farten v er p = mv

Definisjon av bevegelsesmengde

132

5 Bevegelsesmengde

Kula, skipet og breen har alle bevegelsesmengde. Hva er verdien av disse bevegelsesmengdene? Det avhenger av både farten og massen.

En mann spaserer, en håndball er på vei inn i målet, og en kule er skutt ut fra geværet.

Anslå bevegelsesmengden til hvert legeme og sett legemene opp i rekkefølge etter størrelsen av bevegelsesmengden.

EKSEMPEL

5.1

Far og datter står vendt mot hverandre på en skøytebane der vi regner med null friksjon. De har massene 80 kg og 40 kg. Datteren skyver til faren slik at hun selv får farten 0,40 m/s, mens faren får farten 0,20 m/s.

Finn bevegelsesmengden som hver av dem får.

Løsning:

vf = 0,20 m/s vd = –0,40 m/s

Bevegelsesmengde er en vektor. Her foregår begge bevegelsene langs den samme rette linja. Da betyr vektorregningen bare at vi regner størrelsene med fortegn. Vi velger positiv retning mot høyre. Bevegelsesmengdene til datter og far er da pd = mdvd = 40 kg · (–0,40 m/s) = –16 kgm/s pf = mfvf = 80 kg · 0,20 m/s = 16 kgm/s

md = 40 kg

mf = 80 kg

Hvordan vil «felleslegemet» bevege seg etterpå?

5 Bevegelsesmengde

133

Bevaring av bevegelsesmengde i eksplosjonsog kollisjonsprosesser I eksempelet på forrige side legger vi merke til at den samlede bevegelsesmengden etter «eksplosjonen» er null, slik den var i starten. Dette er i samsvar med bevaringsloven for bevegelsesmengde som vi skal formulere. Men først skal vi beskrive noen laboratorieforsøk.

Vi begynner med såkalte eksplosjoner. I mekanikken bruker vi ordet eksplosjon når ett legeme deler seg i to eller flere deler.

To vogner A og B med like stor masse m står i ro helt inntil hverandre på et bord (eller på en dynamikkbane eller på en luftputebane). Den ene vogna har ei spent stålfjær. Når vi utløser fjæra, farer vognene fra hverandre. Målinger viser at fartene er motsatt like store.

A

B

vA

vB

A

B

To vogner står stille med ei sammenpresset stålfjær mellom seg. Fjæra blir utløst.

Før vi utløser fjæra, er den samlede bevegelsesmengden lik null, fordi bevegelsesmengden til hver av vognene er lik null. Etter at vi har utløst fjæra, er altså summen mvA + mvB = mv + m(–v) = 0 hvis vi regner de like fartene med fortegn. Den samlede bevegelsesmengden til de to vognene er lik null – både før og etter at vi utløser fjæra. Bevegelsesmengden er altså bevart.

A

B

vA

vB

A

B

Vi gjentar forsøket, men nå ligger det en last på den ene vogna slik at den har dobbelt så stor masse som den andre. Vognene farer fra hverandre, men det viser seg at farten til den letteste vogna er dobbelt så stor som farten til den tyngste, se figuren ovenfor. Også denne gangen viser målinger av fartene at vognene har like stor bevegelsesmengde, men i hver sin retning.

Disse forsøkene tyder på at den samlede bevegelsesmengden til vognene i «eksplosjoner» er den samme før og etter eksplosjonen. Det ser altså ut for at vi har en bevaringslov for bevegelsesmengde i eksplosjonsprosesser. Utallige forsøk med eksplosjonsprosesser der masse og fart blir målt nøyaktig, har bekreftet denne hypotesen. Vilkåret er at summen av ytre krefter på systemet – her tyngdekreftene og kreftene fra underlaget – er lik null.

Vi skal nå gjøre noen forsøk med kollisjoner for å undersøke om bevegelsesmengden er konstant i slike prosesser også. Vi bruker to vogner A og B

I det første forsøket brukte vi to vogner med lik masse. I det neste legger vi på last på den ene vogna.

134

5 Bevegelsesmengde

med ulike masser som støter sammen på en dynamikkbane (eller en luftputebane). Vi skal altså prøve å skaffe oss en oppfatning av den samlede bevegelsesmengden før og etter sammenstøtet.

En vogn med elastisk fjærbuffer støter mot en vogn som står i ro. Hva er fartene etter støtet?

En vogn i fart treffer en stillestående vogn og hekter seg sammen med den. Hva er fartene etter støtet nå?

vAO

Fjær

vA

vB

A

B

vB0 = 0 A

B

vA0

Kopling

A

vB0 = 0

vA = vB

A

B

B

Når vi gjør disse forsøkene, finner vi at den samlede bevegelsesmengden etter støtet er den samme som før støtet hvis vi regner med fortegn. Forsøkene tyder på at bevegelsesmengden er bevart i alle forsøkene. mAvA + mBvB

=

mAvA0 + mBvB0

petter

=

pfør

samlet bevegelsesmengde etter støtet

=

samlet bevegelsesmengde før støtet

Vilkåret for at dette skal gjelde, er det samme som for eksplosjonsprosesser, nemlig at summen av de ytre kreftene på systemet er lik null.

Generelt formulerer vi bevaringsloven slik:

Bevaringsloven for bevegelsesmengde

Den samlede bevegelsesmengden er konstant for et system av legemer der summen av ytre krefter er null. p2 = p1 Bevaringsloven for bevegelsesmengde er en vektorlov. I dette kurset skal vi imidlertid bare bruke den på bevegelser langs en rett linje. Da tar vi godt nok vare på vektoregenskapen ved bevegelsesmengde ved å bruke fortegn.

Det viser seg at loven gjelder under alle forhold, og den gjelder like godt i atomenes verden som i vår makroverden.

EKSEMPEL

5.2

Far og datter står enda en gang vendt mot hverandre på en skøytebane der vi regner med null friksjon. De har massene 80 kg og 40 kg. Også denne gangen skyver datteren til faren slik at hun selv får farten 0,40 m/s.

Hva er farten til faren etter «eksplosjonen»?

5 Bevegelsesmengde

Løsning: Bevegelsesmengden pfør = 0 siden både far og datter er i ro. Bevegelsen foregår langs en rett linje. Vi har valgt positiv retning på figuren. vf vd = –0,40 m/s

md = 40 kg

mf = 80 kg

petter = pfør mdvd + mfvf = 0 vf = – =–

md v mf d 40 kg · (– 0,40 m/s) = 0,20 m/s 80 kg

EKSEMPEL

En vogn A med farten 7,0 m/s innhenter en vogn B, som har farten 3,0 m/s i samme retning. Etterpå henger vognene sammen.

Vogn A har massen 1,0 kg, og vogn B har massen 3,0 kg.

Finn den felles farten til vognene.

Løsning: Vi bruker loven om bevaring av bevegelsesmengde, og vi velger fartsretningen til A som positiv retning. Etter kollisjonen beveger vognene A og B seg som ett legeme med massen mA + mB og farten v. Bevaringsloven for bevegelsesmengde gir da petter = pfør vA0 = 7,0 m/s A

vB0 = 3,0 m/s B

mA = 1,0 kg

v=?

A

mB = 3,0 kg

(mA + mB)v = mAvA0 + mBvB0 v=

=

mAvA0 + mBvB0 mA + mB 1,0 kg · 7,0 m/s + 3,0 kg · 3,0 m/s = 4,0 m/s 1,0 kg + 3,0 kg

B

5.3

135

136

5 Bevegelsesmengde

Bevaring av bevegelsesmengde når de ytre kreftene ikke er null

www

Simuleringer som viser bevaring av bevegelsesmengde.

I noen tilfeller bruker vi loven om bevaring av bevegelsesmengde også når summen av ytre krefter ikke er null. Som et eksempel kan vi bruke en støtprosess der friksjonen er en ytre kraft. To vogner beveger seg på et bord, og vi betrakter vognene som systemet vårt. Friksjonen gjør at vognene stopper etter en tid, og bevegelsesmengden er selvsagt ikke bevart. Men ser vi på bevegelsene rett før og etter et støt, finner vi ut at friksjonskreftene under støtet er så små i forhold til støtkreftene at vi kan se bort fra dem.

Indre krefter er kreftene mellom legemene som kolliderer. Ytre krefter er andre krefter, som friksjon og tyngdekraft.

Når det gjelder eksplosjoner, tenker vi oss at alle delene i et system opprinnelig er samlet. Så sørger indre krefter for at de enkelte delene farer fra hverandre. Vi hadde to eksempler på slike eksplosjoner i forsøket på side 133. I alle slike prosesser er den samlede bevegelsesmengden bevart når summen av ytre krefter er null.

Diskuter hvilken rolle de indre kreftene spiller i et støt eller en eksplosjon.

Hvorfor klarer ikke de indre kreftene å endre den samlede bevegelsesmengden?

I kapittel 2 diskuterte vi rekyl i forbindelse med framdrift av raketter ut fra Newtons 3. lov. Rekyl i forbindelse med skytevåpen er et annet eksempel.

Kan du nå forklare disse fenomenene ved hjelp av bevaringsloven for bevegelsesmengde?

5 Bevegelsesmengde

137

5.2 Mer om støt I de støtene vi studerte på side 134, foregikk bevegelsen langs en rett linje.

Slike støt kaller vi sentrale støt. Støt mellom vogner på en luftputebane eller på en dynamikkbane er sentrale fordi vognene må bevege seg langs banen.

I et sentralt støt foregår all bevegelse før og etter støtet langs den samme rette linja. Seriefotografiet ovenfor viser et sentralt støt mellom biljardkuler. Den røde kula lå i ro før støtet.

Når kuler treffer hverandre rett på, blir støtet sentralt. Slik er det også med sylinderformede legemer, f.eks. mynter.

Elastisk støt I noen støt er den samlede kinetiske energien etter støtet lik – eller tilnærmet lik – den samlede kinetiske energien før støtet. Slike støt kaller vi elastiske støt.

I et støt mellom to vogner der den ene er utstyrt med ei elastisk bufferfjær, blir fjæra trykt sammen mens støtet varer. Da blir noe av den kinetiske energien til vognene overført til potensiell energi i fjæra. Når så fjæra retter seg ut igjen, blir denne energien til kinetisk energi i vognene. Slike støt med bufferfjærer (eller med magnetbuffere) er ofte elastiske støt.

I støt uten elastisk bufferfjær finner vi ofte at den samlede kinetiske energien er mindre etter støtet. Noe av energien er blitt overført til indre energi i vognene. Slike støt er uelastiske.

Et støt er elastisk hvis den samlede kinetiske energien er den samme før og etter støtet.

En ball spretter mot en hard vegg. Hvis absoluttverdien av farten før og etter støtet er den samme, må det også gjelde den kinetiske energien. Da er støtet elastisk. I første del av støtet mister ballen kinetisk energi samtidig som den blir klemt sammen og får potensiell energi. Så vider ballen seg ut igjen, og den potensielle energien går tilbake til kinetisk energi. Når to stålkuler eller to marmorkuler kolliderer, er støtene svært nær elastiske i den betydningen vi her legger i ordet.

Definisjon av elastisk støt

www

Flere simuleringer som viser bevaring av bevegelsesmengde.

138

5 Bevegelsesmengde

EKSEMPEL

5.4

På figuren er det en kule A med massen 0,10 kg og farten 4,8 m/s som treffer en kule B med massen 0,25 kg og farten 0,20 m/s. Etter støtet har kule B fått farten 2,4 m/s. vA0 = 4,8 m/s

vB0 = 0,20 m/s B

A

A

B

vA

vB = 2,4 m/s

A

B +

a) Finn farten til kule A etter støtet. b) Undersøk om støtet var elastisk.

Løsning: a) Vi velger positiv retning mot høyre. Bevaringsloven for bevegelsesmengde gir petter = pfør mAvA + mBvB = mAvA0 + mBvB0 vA =

mAvA0 + mBvB0 – mBvB mA

vA =

0,10 kg · 4,8 m/s + 0,25 kg · 0,20 m/s – 0,25 kg · 2,4 m/s 0,10 kg

= – 0,7000 m/s = – 0,70 m/s Svar: Kula spretter tilbake med farten 0,70 m/s. b) Når vi skal undersøke om støtet var elastisk, må vi regne ut den samlede kinetiske energien før og etter støtet.

Ek0 = 12 mAvA02 + 12 mBvB02 = 12 · 0,10 kg · (4,8 m/s)2 + 12 · 0,25 kg · (0,20 m/s)2 = 1,157 J Ek = 12 mAvA2 + 12 mBvB2 = 12 · 0,10 kg · (– 0,7000 m/s)2 + 12 · 0,25 kg · (2,4 m/s)2 = 0,7445 J Svar: Støtet var ikke elastisk fordi Ek ikke er lik Ek0. Se ellers kommentarene nedenfor og på neste side.

Hvordan kan opplysningene i eksempelet ovenfor endres hvis vi vil at begge kulene skal gå mot høyre etter støtet?

I atomenes verden kan vi ofte gå ut fra at støt er elastiske, men i dagligdagse støtprosesser er nok ingen støt helt elastiske. Når to trekuler støter mot hverandre, eller når en ball spretter mot bakken, går alltid noe av den

5 Bevegelsesmengde

kinetiske energien over til indre energi. Men i støt mellom stålkuler og klinkekuler er tapet i kinetisk energi ofte så lite at vi kan regne støtet som elastisk.

www

Interaktive simuleringer om støt og med Newtons vugge.

EKSEMPEL

En klinkekule A med farten vA0 støter mot en annen klinkekule B som ligger i ro. Støtet er sentralt, slik at farten til begge kulene er langs den samme rette linja som farten til kule A før støtet. Kulene har den samme massen m.

Finn farten til kulene etter støtet når du antar at støtet er elastisk.

Løsning: vA0

vB0 = 0

A

B

A

B

vA = ?

vB = ?

A

B +

Siden støtet er elastisk, er både bevegelsesmengden og den kinetiske energien bevart i støtet: mAvA + mBvB = mAvA0 + mBvB0 1 mAvA2 2

+ 12 mBvB2 = 12 mAvA02 + 12 mBvB02

Massene er like, mA = mB = m. Vi dividerer med m i begge likningene og ganger med 2 på begge sider i den nederste likningen. Siden vB0 = 0 får vi dermed: vA + vB = vA0 vA2 + vB2 = vA02 Vi omformer likningene: vB = vA0 – vA

(1)

vB2 = vA02 – vA2

(2)

Vi setter inn fra likning (1) for vB i likning (2) og bruker 3. kvadratsetning til å faktorisere høyre side i likning (2). Da får vi (vA0 – vA)2 = (vA0 + vA)(vA0 – vA) vA0 – vA = vA0 + vA 2vA = 0 vA = 0 Av likning (1) får vi da vB = vA0 – vA = vA0 – 0 = vA0 Kulene bytter altså fart. Dette gjelder altså alltid i sentrale elastiske støt mellom to kuler med samme masse der den ene kula ligger i ro før støtet.

139

5.5

140

5 Bevegelsesmengde

Vi skal nå bruke resultatet fra eksempelet til å forklare Newtons vugge.

Newtons vugge består av flere like stålkuler som henger ved siden av hverandre. Hvis vi trekker en av de ytterste kulene ut til siden og slipper den, vil kula på den andre ytterkanten svinge ut, mens resten av kulene blir hengende i ro. Vi antar at støt mellom stålkuler er elastiske støt. Kulene er hengt opp slik at støtene blir sentrale. Av eksempelet ovenfor vet vi da at når den første kula treffer den andre, så kommer den første til ro, mens den andre overtar farten. Slik fortsetter det til den siste kula får samme fart som den første hadde før støtet. Derfor svinger denne kula ut til samme vinkel som vi trakk ut den første kula (i hvert fall nesten).

Uelastiske støt Hvis den kinetiske energien ikke blir bevart, sier vi at støtet er uelastisk.

Dette er en noe uvant betydning av ordet uelastisk. Uelastisk betyr her at noe av den kinetiske energien i legemene som kolliderer, går over til indre energi i legemene ved støtet.

Et spesielt tilfelle av uelastisk støt er når legemene henger sammen etter støtet. Et slikt støt kalles et fullkomment uelastisk støt. Det skal vi nå se et eksempel på.

EKSEMPEL

5.6

En geværkule med massen 1,25 g blir skutt horisontalt inn i en trekloss som ligger i ro på et bord. Treklossen har massen 72,3 g. Kula blir deformert og setter seg fast i treklossen, som begynner å gli langs bordet uten å rotere. Rett etter støtet har treklossen med kula farten 2,14 m/s. a) Regn ut farten til kula rett før den treffer klossen. b) Hvor stort er tapet i kinetisk energi i støtet?

Løsning: +

Før vA0

mA = 1,25 · 10–3 kg

vB0 = 0

mB = 72,3 · 10–3 kg

Etter

v = 2,14 m/s

mA + mB

5 Bevegelsesmengde

141

a) Vi bruker symbolene mA og mB for massene til kula og klossen og vanlige symboler for fart. Felleslegemet kule–kloss har massen mA + mB og farten v. Vi regner med at summen av ytre krefter er ubetydelig i forhold til kreftene mellom kula og klossen. Da er bevegelsesmengden bevart. petter = pfør (mA + mB)v = mAvA0 + mBvB0 vA0 = =

der vB0 = 0

(mA + mB)v mA (1,25 + 72,3) · 10–3 kg · 2,14 m/s = 125,91 m/s = 126 m/s 1,25 · 10–3 kg

b) Den kinetiske energien før støtet er Ek0 = 12 mAvA02 + 12 mBvB02 = 12 · 1,25 · 10–3 kg · (125,91 m/s)2 + 0 = 9,9083 J Den kinetiske energien etter støtet er Ek = 12 (mA + mB)v2 = 12 · (1,25 + 72,3) · 10–3 kg · (2,14 m/s)2 = 0,16841 J ⌬E = Ek – Ek0 = 0,16841 J – 9,9083 J = – 9,74 J Svar: Tapet av kinetisk energi i støtet er altså 9,74 J. Det er 98,3 % av den kinetiske energien til kula før den traff klossen.

Hva skjer med de 9,74 J som går tapt som kinetisk energi i eksempelet ovenfor?

EKSEMPEL

Et legeme med massen 1,0 kg kolliderer med et annet legeme som har massen 2,0 kg og ligger i ro. Etter sammenstøtet henger de to legemene sammen og glir oppover et skråplan. I oppgaven ser vi bort fra all friksjon.

De opplysningene du trenger, finner du på figuren.

Hvor høyt opp på skråplanet glir felleslegemet før det stopper? (Du kan oppfatte dette spørsmålet slik: Hvor høyt kommer punktet C, der vi lar posisjonen til C representere posisjonen til felleslegemet?)

Løsning: Vi kaller legemene A og B og setter nullnivået for potensiell energi der hvor legemene er før sammenstøtet. Vi vil regne ut høyden h1. Se figur på neste side.

10 m/s

1,0 kg

5.7

C

2,0 kg

142

5 Bevegelsesmengde

v1 = 0 B A

C

v

vA0 = 10 m/s

h1

A

B

mA = 1,0 kg

mB = 2,0 kg

A

B h=0

Vi må først finne felleslegemets fart v rett etter sammenstøtet. Massen til felleslegemet setter vi til m = mA + mB Bevaringsloven for bevegelsesmengde gir oss petter = pfør mv = mAvA0 + mBvB0 v=

=

der vB0 = 0

mA v m A0 1,0 kg · 10 m/s = 3,333 m/s 1,0 kg + 2,0 kg

For å finne høyden h1 bruken vi bevaringsloven for mekanisk energi: E1 = E 1 mv12 2

h1 = =

+ mgh1 = 12 mv2 + mgh

der h = 0 og v1 = 0

v2 2g (3,333 m/s)2 = 0,5662 m = 0,57 m 2 · 9,81 N/kg

5.3 Impuls og bevegelsesmengde Produktet av kraft og tid, F t, kaller vi impuls. Impuls er en vektorstørrelse som har samme retning som kraften. Enheten for impuls er Ns, newtonsekund.

Definisjon av impuls

Når det virker en kraft F på et legeme i tida t, er impulsen I på legemet fra F I = Ft

5 Bevegelsesmengde

EKSEMPEL

5.8

Far og datter står vendt mot hverandre på en skøytebane Datteren skyver i 0,20 s på faren med en kraft på 80 N. a) Finn impulsen på faren. b) Hvor stor er impulsen på datteren fra faren?

Løsning:

Fd

a) Impulsen på faren fra datteren er If = Ff tf = 80 N · 0,20 s = 16 Ns Impulsen er en vektor og er rettet mot høyre på figuren. b) Kraften fra faren på datteren er motkraften til kraften på faren fra datteren. De to kreftene er altså like store, men motsatt rettet. Kreftene virker like lenge (så lenge datteren skyver). Da må impulsen på datteren være like stor som impulsen på faren, men i motsatt retning.

Id = 16 Ns Impulsen er rettet mot venstre på figuren.

Impulsloven Vi bruker definisjonen av gjennomsnittsakselerasjon a =

∆v v – v0 = ∆t ∆t

og omformer Newtons 2. lov slik: v – v0 ∆t mv – mv0 ΣF = ∆t ΣF = ma = m

ΣF ⌬t = p – p0

der p = mv

ΣF∆t = ∆p Dette er impulsloven. Den sier at når det virker krefter på et legeme i en tid ∆t, er kraftsummens impuls lik endringen i legemets bevegelsesmengde.

ΣF ∆t = ∆p IΣF = ∆p Kraftsummens impuls = endring i bevegelsesmengde

Både krefter og akselerasjoner er vektorstørrelser. Newtons 2. lov er derfor → → en vektorlov – ΣF = ma – slik vi nevnte i kapittel 2. Alt vi gjør i utledningene ovenfor, kunne vi ha gjennomført med vektoruttrykk. For vårt formål her er det imidlertid tilstrekkelig å vise dette for bevegelser langs en rett linje.

Impulsloven

Ff

143

144

5 Bevegelsesmengde

EKSEMPEL

5.9

En tennisball har massen 57 g og farten 20 m/s. En toppspiller slår til den med en racket, og den nye farten har absoluttverdien 50 m/s i motsatt retning. a) Beregn bevegelsesmengden før og etter støtet og tegn figur med vektorpiler. b) Hvor stor er den gjennomsnittlige kraften på ballen? Og på racketen?

Vi antar at kontakttida er 0,010 s.

Tegn vektorpil for kraften på ballen.

Løsning: a) Vi regner at tyngdekraften på ballen er liten i forhold til kraften K fra racketen. Bevegelsesmengden før og etter støtet (slaget) har samme retning som for de tilsvarende fartene. Vi velger positiv retning i sluttfartsretningen. p0 = mv0 p0 = –1,1 kgm/s +

= 0,057 kg · (–20 m/s) = –1,140 kgm/s = –1,1 kgm/s p = mv = 0,057 kg · 50 m/s = 2,850 kgm/s = 2,9 kgm/s

p = 2,9 kgm/s

b) Kraften K på ballen finner vi av impulsloven: ΣF∆t = ∆p

der ΣF = K

K ∆t = ∆p K=

=

K = 0,40 kN

∆p p – p0 = ∆t ∆t 2,850 kgm/s – (–1,140 kgm/s) 0,010 s

= 0,40 kN

Dette positive svaret betyr at kraften på ballen virker mot høyre.

Etter Newtons 3. lov virker det en like stor, men motsatt rettet kraft på racketen.

Hvorfor kommer vi så mye bedre fra en bråstopp (kollisjon) med bil hvis vi bruker bilbelte?

En bokser som mottar et slag, klarer å gjøre varigheten av et slag lengre ved å bevege seg med slaget.

Hva har det å si for kraften på denne bokseren?

5 Bevegelsesmengde

145

Sammendrag Bevegelsesmengde

Bevegelsesmengde er definert som p = mv

Loven om bevaring av bevegelsesmengde

Den samlede bevegelsesmengden er bevart for et system av legemer der summen av ytre krefter er null. p2 = p1 = konstant For to legemer A og B som støter sammen, har vi mAvA2 + mBvB2 = mAvA1 + mBvB1 1 og 2 betegner situasjonen før og etter sammenstøtet.

Elastisk støt

Bevegelsesmengde og Newtons 2. lov

Ved elastiske støt er den totale kinetiske energien før og etter støtet den samme. Ved alle andre støt går noe kinetisk energi over til indre energi.

Newtons 2. lov kan skrives slik: ΣF =

∆p ∆t

Kraftsummen på et legeme er altså lik endringen i legemets bevegelsesmengde dividert med den tida kreftene virker.

Impuls

Impuls er definert som I = Ft

Impulsloven

Kraftsummens impuls på et legeme er lik endringen i bevegelsesmengden til legemet: IΣF = ∆p eller ΣF∆t = mv – mv0

146

OPPGAVER – 5 Bevegelsesmengde

Oppgaver 5.1 Bevaringsloven for bevegelsesmengde 5.01 To personer står på så glatt is at vi kan se bort fra friksjon. Den ene har massen 50 kg, den andre 80 kg.

De skyver til hverandre slik at den letteste får farten 8,0 m/s. a) Hvor stor er bevegelsesmengden til den letteste personen? b) Hvor stor fart får den tyngste?

5.04 To vogner A og B blir holdt sammen. Mellom dem er det ei sammenpresset fjær. Vogn A har massen 3,0 kg, og vogn B har massen 5,0 kg. Når vi utløser fjæra, blir vognene satt i bevegelse. Vogn A får farten 0,80 m/s når den har mistet kontakten med fjæra.

A

B

5.02 Et legeme med massen 2,5 kg glir bortover et friksjonsfritt underlag med farten 5,0 m/s. Det støter så mot et legeme som ligger i ro, og som har massen 7,5 kg. Begge legemene fortsetter etter støtet som ett legeme.

Hva blir farten til felleslegemet?

5.03 Et legeme på 10,0 kg ligger på et horisontalt, friksjonsfritt underlag. Legemet består av to deler; den ene har massen 1,0 kg, den andre har massen 9,0 kg. Delene blir holdt sammen av en tynn tråd, mens ei spent fjær skyver dem fra hverandre.

0,50 m/s

1,0 kg

Hvor stor potensiell energi hadde fjæra?

5.2 Mer om støt 5.05 Et legeme A med massen m som har farten 3,0 m/s, treffer et legeme B med massen 4m som er i ro. Etter kollisjonen spretter legeme A rett bakover igjen med farten 1,8 m/s. (Hele kollisjonen foregår altså langs en rett linje.) a) Finn farten til legeme B etter kollisjonen. b) Undersøk om kollisjonen var elastisk.

5.06

9,0 kg

Det sammensatte legemet har til å begynne med farten 0,50 m/s. Så brenner vi av tråden. Da stanser den letteste delen.

Hvilken fart får den største delen? Se bort fra massen av fjæra.

En kule A med massen 2,0 kg har farten 3,0 m/s. Den støter sammen med en kule B med massen 2,0 kg som er i ro. Vi antar at støtet er sentralt, og at det ikke er friksjon. a) Hvilken fart får A og B hvis de henger sammen etter støtet? b) Hvilken fart får kule A hvis kule B får farten 3,0 m/s etter støtet? c) Hva er den totale kinetiske energien før og etter støtene i a og b? d) Hva kalles de to støtene?

OPPGAVER – 5 Bevegelsesmengde

147

5.3 Impuls og bevegelsesmengde

5.07

5.09 Vi drar i en vogn som står på et horisontalt og friksjonsfritt underlag, med en kraft på 200 N i 6,0 s. a) Hvor stor er impulsen på vogna fra denne kraften? b) Finn endringen i vognas bevegelsesmengde.

5.10 m M

Vi skal måle farten til et prosjektil ved å skyte det inn i en sandkasse som henger i 6,00 m lange tråder. Prosjektilet har massen 12,0 g, og sandkassa har massen 3,00 kg. Prosjektilet blir begravd i sanden i kassa. Derfor beveger sandkassa og prosjektilet seg etter støtet som ett legeme. Pendelen med sandkassa svinger etter skuddet ut og opp slik at den største vinkelen trådene danner med vertikallinja, er 22,5°. a) Finn farten til prosjektilet før det treffer sandkassa. b) Hvor mye kinetisk energi går tapt i støtet?

5.08 En kule med massen 20 g og med farten 3,0 m/s treffer en annen kule med massen 80 g som er i ro, i et sentralt elastisk støt. (Hele støtet foregår altså langs en rett linje.)

Finn farten til de to kulene etter støtet.

I et spark endrer en fotball farten fra 10 m/s til 25 m/s i stikk motsatt retning. Ballen har massen 0,44 kg, og vi regner at sparket varer i 0,020 s.

Finn den gjennomsnittlige kraften på ballen fra støvelen.

På egen hånd 5.11 Vi kan gjøre forsøk med støt ved hjelp av klinkekuler eller mynter. Hvis du har en linjal med et spor i midten, er det lett å sikre at støt mellom klinkekuler blir sentrale.

Prøv først med en kule (mynt) som støter sentralt mot en lik kule (mynt) som ligger i ro.

Hva observerer du? Tror du støtet var tilnærmet elastisk?

Prøv så med kuler (mynter) med forskjellige masser.

Hva observerer du? Kommenter observasjonene med utgangspunkt i bevaringslovene.

Natrium

Kvikksølv

Helium

Hydrogen

SEEREN Til Niels Bohr Vi er på langfærd. Vi er led i livet.

På vandring i et land, mens det blir til.

Hvert nu fornys, fordybes perspektivet, udvides verden, fordi tanken vil.

Som morgensol igennem skyer sivet, afdækker åndens lys det store spil.

En skaber er hver seer, som fik givet den sans: at se en ting, før den er til.

En verden faldt. Men over grundens grus lød vældigt videnskabens vingesus.

Et pust af fremtid strejfende vor pande.

Så hviler da i menneskenes hånd en frugt, på godt og ondt, af stof og ånd.

Og vi går frem mod livets nye lande.

Piet Hein

18 Atomfysikk

18 Atomfysikk Når vi skal få fram «fingeravtrykket» til et grunnstoff, kan vi begynne med noe av grunnstoffet i gassform. Denne gassen gir vi så høy temperatur at den lyser, enten ved at vi varmer den opp direkte, eller ved at vi sender elektrisk strøm gjennom den. Når vi da undersøker lyset ved å la det passere gjennom et gitter, ser vi lyset som atskilte striper med ulik farge. Vi kaller det et linjespekter. Hvis vi setter opp linjespektrene for forskjellige grunnstoffer, slik som på figuren på forrige side, ser vi at hvert grunnstoff har et unikt linjepekter. Det er ulikt spekteret til alle andre grunnstoffer. Det er derfor vi kan si: Linjespektrene er grunnstoffenes fingeravtrykk.

Vi vet i dag at alt stoff er bygd opp av atomer. Allerede mot slutten av 1800-tallet kom forskerne fram til at hvert grunnstoff hadde sin egen type atomer. Det lå nær å tro at linjespektrene til grunnstoffene også hadde med egenskaper ved atomene å gjøre. Men hvorfor hadde lysende gasser linjespektre? Det kunne ingen forklare. Og hvordan oppstår egentlig lys? Hva er det som fastlegger bølgelengdene til spektrallinjene?

18.1 Atomet er sammensatt Ideen om atomer Etter hvert som vi kommer nærmere bildet nedenfor, ser vi hvordan ansiktet er satt sammen av «byggesteiner». Slik har det også vært når kjemikerne

531

532

18 Atomfysikk

og fysikerne har utforsket naturen. Ved hjelp av mange forskjellige metoder har de klart å avsløre byggesteinene i alt stoff i og rundt oss. Innholdet i disse «avsløringene» – hvilke byggesteiner naturen består av, hvilke lover som gjelder i naturens innerste deler – er noe av det vi skal ta opp i dette og i neste kapittel. Vi begynner med atomene.

Forestillingen om at alt stoff består av udelelige minstedeler – gresk àtomos – er svært gammel. Naturfilosofer brukte begrepet atom i sine forsøk på å forklare verden for mer enn 2000 år siden. Gjennom tidene har innholdet i disse ideene skiftet. De gamle grekerne tilla atomene mange andre egenskaper enn det dagens atomforskere gjør. Men lenge var det noe som var felles: Atombegrepet var en idé, en hypotese, som ble brukt for å forklare hvordan alle ting var bygd opp.

Utover på 1600- og 1700-tallet tok mange naturforskere opp igjen ideen om at alle stoffer består av atomer. Kjemikerne fikk dermed et vitenskapelig grunnlag for begrepet grunnstoff. De tenkte seg at det til hvert grunnstoff fins en bestemt sort atomer, og at atomene omgrupperer seg i kjemiske reaksjoner uten at de enkelte atomene blir forandret. Atomer og molekyler ble nå noe mer håndgripelig for kjemikerne. Mange av de kjemiske lovene som da var kjent, fikk en enkel forklaring gjennom atomteorien.

Vi skal nå se litt nærmere på hvordan kunnskapen om atomene utviklet seg mot slutten av 1800-tallet og tidlig på 1900-tallet.

Strømkilde

Anode

Elektronet Katode

+

– –

+ –

+

Elektrolyse av natriumklorid: Når vi sender strøm gjennom en saltoppløsning (natriumklorid), går negative ioner til den ene elektroden, anoden, mens positive ioner går til den andre elektroden, katoden.

Fysikere og kjemikere tok i bruk elektrolyse midt i 1830-åra. For å forklare at en løsning av for eksempel natriumklorid leder elektrisk strøm, gikk de ut fra at løsningen inneholder ladde partikler, se nedenfor. De tenkte seg at dette var atomer, i tråd med den nye atomteorien, som har en liten elektrisk ladning. Disse ladde partiklene kalte de ioner. Ut fra sine observasjoner og målinger av de massene som ble avsatt på elektrodene i elektrolyseprosessene, satte de fram den tanken at ladningen til ionene kom fra ladde småpartikler, knyttet til atomene, som hver hadde en liten ladning. Verdien til partikkelens ladning var lik ladningen til et enverdig ion.

Mot slutten av 1800-tallet fikk den lille ladde partikkelen navnet elektron. Det ble også gjort beregninger som viste at elektronet har svært liten masse, om lag

1 av atommassen til det letteste atomet, hydrogenatomet.

2000

Det at atomer kunne opptre som ioner, altså med forskjellig ladning, tolket forskerne slik at atomet ikke var en minstepartikkel, men måtte være sammensatt av mindre enheter der elektroner måtte inngå. Atomet var ikke lenger et «atom» – det var ikke lenger udelelig. Dermed var jakten på atomets indre struktur, en atommodell, i gang.

533

18 Atomfysikk

Rutherfords atommodell I 1896 ble en helt ukjent type stråling oppdaget. Radioaktiv stråling ble den litt seinere kalt. (Se neste kapittel.) Blant de fremste forskerne på dette feltet var den New Zealand-fødte Ernest Rutherford.

Rutherford var interessert i hvordan atomene er bygd opp. Sammen med sine to unge medarbeidere Ernest Marsden og Hans Geiger (han med geigertelleren) tok han i dette arbeidet i bruk den ene typen radioaktiv stråling, alfastråling. Alfastråling, som består av positivt ladde partikler med dobbelt så stor ladning og 8000 ganger så stor masse som elektronene, lar seg blant annet påvise fordi det oppstår lysglimt når de treffer en sinksulfidskjerm.

Newzealenderen Ernest Rutherford var en av de aller fremste fysikerne i første del av 1900-tallet.

Gullfolie

Sinksulfidskjermer Kilde for alfapartikler

Blyskjermer

Marsden og Geiger sendte alfapartikler mot tynne folier av aluminium og gull, og det gav overraskende resultater.

De fleste alfapartiklene gikk tvers gjennom metallet uten noen endring av retningen. Enkelte av partiklene fikk en merkbar avbøyning, og noen svært få alfapartikler, kanskje en av ti tusen, ble kastet nesten rett bakover igjen.

Dette forsøket kan sammenliknes med å skyte kuler inn i en stor høyball. Hvis vi fyrer av ti tusen skudd på måfå, regner vi med at alle de ti tusen kulene skal gå gjennom høyballen uten noen merkbar forandring av retningen. Hvis vi observerer at en enkelt kule får stor avbøyning, trekker vi den slutningen at det må være en liten, fast ting inne i høyet, f.eks. en stein.

Hvor overrasket Rutherford og hans medarbeidere ble, går tydelig fram av det han selv skrev i 1938: «Deretter husker jeg at Geiger to–tre dager seinere i stor opphisselse kom

Prinsipptegning av det eksperimentelle oppsettet til Marsden, Geiger og Rutherford.

I tillegg til det som er vist på tegningen, kunne de også måle avbøyningsvinklene til alfapartiklene.

www

Simulering som viser Marsden-Geigereksperimentene

a

Strå le a v

a

a-p artik ler

løpende til meg. ”Vi har klart å få noen av alfapartiklene til å komme rett tilbake

a

igjen …” Dette var det mest utrolige øyeblikk i hele mitt liv. Det var like utrolig Kjerne

som om du skulle ha skutt en 40 cm granat mot en serviett, og at granaten så kom tilbake og traff deg.»

Rutherford mente at avbøyningen måtte skyldes støt mellom alfapartiklene og massive deler av atomene. Etter å ha studert resultatene fra mange forsøk og gjort en rekke beregninger satte han i 1911 fram sin teori om hvordan atomene er bygd opp:

a

a

a

534

18 Atomfysikk

Kjerne

• Et atom inneholder en bitte liten positivt ladd kjerne. I den er nesten hele massen til atomet samlet.

• Elektronene beveger seg rundt kjernen. Det er akkurat så mange elektroner at hele atomet blir elektrisk nøytralt.

• Alt stoffet i et atom tar bare en liten del av atomvolumet. Det meste er absolutt tomt. Atomet har mellom 10 000 og 100 000 ganger større diameter enn kjernen.

Rutherfords atommodell.

I forhold til størrelsen av atomet er størrelsen av kjernen og elektronene kolossalt overdrevet på figuren.

Disse konklusjonene regner vi fortsatt som riktige.

Mellom den positive atomkjernen og de negative elektronene virker det tiltrekkende krefter. Ettersom elektronene ikke raser inn til kjernen, tenkte Rutherford seg at elektronene går i baner rundt kjernen omtrent som planetene rundt sola.

Ta utgangspunkt i figuren med Rutherfords atommodell.

Hvor langt utover måtte elektronområdet strekke seg hvis tegningen skulle vise riktige størrelsesforhold mellom kjernen og resten av atomet?

Kan det forresten være riktig at du består av 99,99 % tomrom?

Problemer med Rutherfords modell

Når elektronene går rundt kjernen, skulle det – etter teorien for elektromagnetiske bølger – bli sendt ut stråling. Atomene skulle da miste energi, og dermed ville de ikke være stabile.

Selv om Rutherfords eksperimenter var svært overbevisende, var det sider ved hans atommodell som andre forskere absolutt ikke var fornøyd med.

Det viktigste var kanskje at modellen så ut til å være direkte i strid med teoriene for elektromagnetiske bølger: Når elektronene farer rundt kjernen i en sirkelbevegelse, endrer de stadig fartsretning og er dermed i akselerert bevegelse. Ladninger i akselerert bevegelse sender ut elektromagnetiske bølger, og det betyr at elektronene gir fra seg energi. Etter teorien skulle da elektronene miste fart, gå i spiral innover mot kjernen og til slutt forsvinne i den. Forskerne kunne til og med regne ut at dette sammenbruddet av atomene skulle skje i løpet av svært kort tid, bare brøkdelen av et sekund.

Dette så ikke bra ut. Og i tillegg kunne Rutherfords modell heller ikke forklare de karakteristiske linjespektrene fra lysende gasser.

18.2 Lyskvanter – fotoner Vi skal snart se hvordan den danske fysikeren Niels Bohr bidro til løsningen av disse problemene. Men først skal vi bli kjent med en viktig side ved lys som teoriene til Max Planck og Albert Einstein hjelper oss til å forstå: at energien i lys er kvantisert.

Albert Einstein

I 1905 kom Albert Einstein med en hypotese som sjokkerte fysikerne. Han hadde studert egenskaper ved strålingen fra svarte legemer og var kommet til at lys må være en strøm av udelelige lyskvanter. Han bygget på forskning som Max Planck hadde gjort noen år før i arbeidet med å finne en likning som korrekt kunne beskrive de såkalte planckkurvene, se kapittel 13 side

18 Atomfysikk

371. Planck viste at de atomene i et svart legeme som sender ut stråling, bare kan ha helt bestemte energitilstander. Einsteins hypotese gikk ut på at strålingen som disse atomene sender ut, er delt opp i små biter, kvanter.

Det var disse lyskvantene som seinere fikk navnet fotoner. Einsteins beregninger viste at energien til et foton er bestemt av frekvensen til strålingen.

Han fant også ut at sammenhengen mellom fotonenergien Ef og strålingens frekvens f er gitt ved

Fotoner

Ef = hf der h er en konstant.

Elektromagnetisk stråling blir sendt ut, overført og absorbert i småporsjoner. Disse småporsjonene kaller vi kvanter eller fotoner. Strålingsenergien er med andre ord kvantisert. Energien Ef i et foton avhenger bare av strålingsfrekvensen f:

Energien til et foton

Ef = hf der h blir kalt planckkonstanten.

Planckkonstanten har verdien h = 6,63 · 10–34 Js. Fotonet kan ikke deles opp. Det blir emittert (sendt ut) og absorbert (tatt opp) i sin helhet.

Teoriene til Planck og Einstein brøt klart med klassisk fysikk og ble starten på det vi i dag kaller kvantefysikk. Med betegnelsen klassisk fysikk mener vi den fysikken som bygger på Newtons lover i mekanikken og Maxwells teori for elektromagnetiske fenomener, altså fysikken så langt den var kommet rundt år 1900.

EKSEMPEL

Et foton gult lys har bølgelengden 590 nm.

Regn ut energien til dette fotonet.

Løsning:

Vi finner først frekvensen til fotonet av bølgeformelen c = f λ. f=

=

c λ 3,00 · 108 m/s = 5,0847 · 1014 Hz 590 · 10–9 m

Energien til et foton med denne frekvensen er Ef = hf = 6,63 · 10−34 Js · 5,0847 · 1014 Hz = 3,37 · 10−19 J = 33,7 aJ

18.1

535