Introducción a la geometría by Analia Passero

Introducci贸n a la geometr铆a Nociones b谩sicas

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Contenidos Artículos Concepto general de geometría Geometría

Punto, recta, plano

1 1 4

Punto (geometría)

Recta

Plano (geometría)

Rectas

14 16

Rectas alabeadas

Paralelismo (matemática)

Perpendicularidad

Simetría Simetría

21 21

Referencias Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes

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Concepto general de geometría Geometría La Geometría (del latín geometrĭa, que proviene del idioma griego γεωμετρία, geo tierra y metria medida), es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras geométricas en el plano o el espacio, como son: puntos, rectas, planos, politopos (paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc). Es la justificación teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales). Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanías.

Historia

Alegoría de la Geometría.

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos». El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

Axiomas, definiciones y teoremas La geometría se propone ir más allá de lo alcanzado por la intuición. Por ello, es necesario un método riguroso, sin errores; para conseguirlo se han utilizado históricamente los sistemas axiomáticos. El primer sistema axiomático lo establece Euclides, aunque era incompleto. David Hilbert propuso a principios del siglo XX otro sistema axiomático, éste ya completo. Como en todo sistema formal, las definiciones, no sólo pretenden describir las propiedades de los objetos, o sus relaciones. Cuando se axiomatiza algo, los objetos se convierten en entes abstractos ideales y sus relaciones se denominan modelos.

Geometría

Esto significa que las palabras "punto", "recta" y "plano" deben perder todo significado material. Cualquier conjunto de objetos que verifique las definiciones y los axiomas cumplirá también todos los teoremas de la geometría en cuestión, y sus relaciones serán virtualmente idénticas al del modelo tradicional.

Axiomas En geometría euclidiana, los axiomas y postulados son proposiciones que relacionan conceptos, definidos en función del punto, la recta y el plano. Euclides planteó cinco postulados y fue el quinto (el postulado de paralelismo) el que siglos después –cuando muchos geómetras lo cuestionaron al analizarlo– originará nuevas geometrías: la elíptica (geometría de Riemann) o la hiperbólica de Nikolái Lobachevski. En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Tipos de geometría Entre los tipos de geometría más destacables se encuentran: • Geometría euclidiana

• • • • • • • • •

• Geometría plana • Geometría espacial Geometría no euclidiana Geometría riemanniana Geometría analítica Geometría diferencial Geometría proyectiva Geometría descriptiva Geometría de incidencia Geometría de dimensiones bajas Geometría sagrada

Enlaces externos •

Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Geometría. Commons

•

Wikcionario tiene definiciones para geometría.Wikcionario

•

Wikiversidad alberga proyectos de aprendizaje sobre Geometría.Wikiversidad

•

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

• Portal:Geometría. Contenido relacionado con Geometría. • Geometría elemental en cnice.mec.es [1] • Carlos Ivorra Castillo: Geometría [2] • Geometría [3]

GeometrĂa

Referencias [1] http:/ / concurso. cnice. mec. es/ cnice2006/ material098/ geometria/ index. htm [2] http:/ / www. uv. es/ ivorra/ Libros/ Geometria. pdf [3] http:/ / www. forogeometras. com:

Punto, recta, plano Punto (geometría) En geometría, el punto es uno de los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación con otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. El punto es una «figura geométrica» adimensional: no tiene longitud, área, volumen, ni otro ángulo dimensional. No es un objeto físico. Describe una posición en el espacio, determinada respecto de un sistema de coordenadas preestablecido.

Historia

La intersección de los ejes de coordenadas cartesianas es un punto llamado origen.

El concepto de punto, como ente geométrico, surge en la antigua concepción griega de la geometría, compilada en Alejandría por Euclides en su tratado Los Elementos, dando una definición de punto excluyente: «lo que no tiene ninguna parte». El punto, en la geometría clásica se basa en la idea de que era un concepto intuitivo, el ente geométrico «sin dimensiones», y sólo era necesario asumir la noción de punto. Esa cuestión fue analizada por A. N. Whitehead en: Una investigación sobre los principios naturales de conocimiento (An Inquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge), y El concepto de la Naturaleza (The concept of Nature). En estos libros se expone la «relación de inclusión». En Proceso y Realidad (Process and Reality) Whitehead propone un nuevo enfoque basado en la «relación de conexión» topológica. También H. J. Schmidt plantea una visión totalmente distinta del punto geométrico.[1]

Representación gráfica En algunos textos de geometría se suele utilizar una pequeña cruz (+), círculo (o), cuadrado o triángulo. En relación a otras figuras, suelen representarse con un pequeño segmento perpendicular cuando pertenece a una recta, semirrecta o segmento. A los puntos se les suele nombrar con una letra mayúscula: A, B, C, etc. (a las rectas con letras minúsculas, y a los ángulos con letras griegas). La forma de representar un punto mediante dos segmentos que se cortan (una pequeña “cruz” +) presupone que el punto es la intersección. Cuando se representa con un pequeño círculo, circunferencia, u otra figura geométrica, presupone que el punto es su centro.

Punto (geometría)

Determinación geométrica Un punto puede determinarse con diversos sistemas de referencia: En el sistema de coordenadas cartesianas, se determina mediante las distancias ortogonales a los ejes principales, que se indican con dos letras o números: (x, y) en el plano; y con tres en el espacio (x, y, z). En coordenadas polares, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto del eje de referencia: (r, θ). En coordenadas esféricas, mediante su distancia al centro y la medida angular respecto de los ejes de referencia: (r, θ, φ) En coordenadas cilíndricas, mediante coordenadas radial, acimutal y altura: (ρ, φ, z). También se pueden emplear sistemas de coordenadas elípticas, parabólicas, esferoidales, toridales, etc.

Puntos, rectas y planos: posiciones relativas En función de su posiciones relativas, existen dos tipos de puntos: colineales y coplanarios. Los denominados colineales son aquellos contenidos en una recta, no importando cuantos puntos sean mientras estén alineados y dentro de la recta. Se denominan puntos coplanarios a aquellos que están contenidos en un mismo plano.

Algunos postulados y teoremas relacionados con el punto Postulados en geometría euclidiana • • • • •

Por un punto pasan infinitas rectas y planos. Dos puntos determinan una recta y sólo una. Una recta contiene infinitos puntos. Un plano contiene infinitos puntos e infinitas rectas. El espacio contiene infinitos puntos, rectas y planos.

Estos postulados se pueden generalizar para espacios de n dimensiones. Teoremas en geometría euclidiana • Tres puntos no alineados determinan un plano y sólo uno.

Véase también • • • • •

Punto medio Recta Plano Figura geométrica Postulados característicos

Punto (geometría)

Referencias Notas [1] Point-free geometry en planetmath.org.

Enlaces externos • Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre punto. Commons • Weisstein, Eric W. Point from MathWorld (http://mathworld.wolfram.com/Point.html) • Point-free geometry, en planetmath.org (http://planetmath.org/encyclopedia/PointlessGeometry.html)

Recta En geometría euclidiana, la recta o línea recta, es el ente ideal que se extiende en una misma dirección, existe en una sola dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos (el fragmento de línea más corto que une dos puntos). También se describe como la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión, o sea, no posee principio ni fin.

Representación de un segmento de recta.

Es uno de los entes geométricos fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con una letra minúscula. Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) que en este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y en el mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

Recta

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la recta Euclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y la línea recta: • Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2). • Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3). • Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4). También estableció dos postulados relacionados con la línea recta: • Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1). • Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quinto postulado).

Características de la recta Algunas de las características de la recta son las siguientes: • La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos. • La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana. • La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Geometría analítica de la recta en el plano La Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En un plano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadas condiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta En una recta, la pendiente

es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la recta conocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente es la tangente de la recta con el eje de abscisas X. La ecuación de la recta que pasa por el punto

y tiene la pendiente dada

es:

Ejemplo La ecuación de la recta que pasa por el punto A Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

y que tiene una pendiente de

Recta

Forma simplificada de la ecuación de la recta Si se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendo de la ecuación general de la recta, :

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen, que llamaremos . También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen a partir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica) Así como a la ordenada al origen se le puede llamar

, a la abscisa al origen se le puede llamar

como problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos

. Si se plantea

(la abscisa y ordenada al origen), se conocen

dos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación

, usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a,

0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente

Recta

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación de una recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, se desean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse) Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la Universidad Técnica de Múnich.) Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formado entre la recta y el eje de las ordenadas. Donde k que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la forma general de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

Con el número k podemos obtener a ya entre k y para calcular d dividimos a C entre k.

de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y B

Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k (y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valor positivo de k.[2]

Recta

Ecuación Normal de la recta (Segunda forma)

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

La recta en coordenadas cartesianas

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

• m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x. • m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos cualesquiera de la recta. • n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

Recta

Rectas notables • La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general

(constante).

• La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general

(constante).

• Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su ecuación: . • Dos rectas cualesquiera:

serán paralelas si y solo si

. Además, serán coincidentes cuando:

serán perpendiculares si y sólo si

, es decir:

Rectas que pasan por un punto Determinar las rectas del plano que pasan por el punto . La ecuación de la recta ha de ser, como ya se sabe:

Y ha de pasar por el punto

, luego

tendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto

, el valor de m es la pendiente de

cada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta

Recta que pasa por dos puntos Si ha de pasar por dos puntos

luego tendrá que cumplirse

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

agrupando términos:

despejando m:

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos:

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

Rectas perpendiculares Dada una recta:

Recta

Se trata de determinar que rectas:

son perpendiculares a la primera. Sabiendo que:

Siendo

el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

y si la pendiente de la primera recta es:

la de la segunda debe de ser:

Esto es, dada una recta cualquiera:

cualquier recta de la forma:

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b. Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

Véase también • • • •

Punto Segmento Plano Semiplano

Referencias [1] www.euclides.org: Los Elementos (http:/ / www. euclides. org/ menu/ elements_esp/ 01/ definicioneslibro1. htm) [2] Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90

Recta

Enlaces externos •

Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.

• Wikcionario tiene definiciones para recta.Wikcionario • Weisstein, Eric W., « Line (http://mathworld.wolfram.com/Line.html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research. • La Recta (http://www.wikimatematica.org/index.php?title=La_recta) (Español)

Plano (geometría) En geometría, un plano es el ente ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta. Solamente puede ser definido o descrito en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales. .-Cuando se habla de un plano, se está haciendo referencia a la superficie geométrica que no posee volumen (es decir, que es sólo bidimensional) y que posee un número infinito de rectas y puntos que lo cruzan de un lado al otro. Sin embargo, cuando el término se utiliza en plural, se está hablando de aquel material que es elaborado como una representación gráfica de superficies de diferente tipo. Los planos son especialmente utilizados en ingeniería, arquitectura y diseño ya que sirven para diagramar en una superficie plana otras superficies que son regularmente tridimensionales.

Intersección de dos planos en un espacio tridimensional. Representación isométrica de dos planos perpendiculares.

Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: • Tres puntos no alineados. • Una recta y un punto exterior a ella. • Dos rectas paralelas. • Dos rectas que se cortan. Los planos suelen nombrarse con una letra del alfabeto griego.

Representación gráfica informal de un plano.

Suele representarse gráficamente, para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares (para indicar que el dibujo es una parte de una superficie infinita).

Ecuación del plano Un plano queda definido por los siguientes elementos geométricos: un punto y dos vectores Punto P = (x1, y1, z1) Vector u = (a1, b1, c1) Vector v = (a2, b2, c2)

Ésta es la forma vectorial del plano, sin embargo la forma más utilizada es la reducida, resultado de igualar a cero el determinante formado por los dos vectores y el punto genérico X = (x, y, z) con el punto dado. De esta manera la ecuación del plano es:

Plano (geometría)

Donde (A, B, C) es un vector perpendicular al plano, coincide con el producto vectorial de los vectores u y v. la fórmula para hallar la ecuación cuando no está en el origen es:

Posición relativa entre dos planos Si tenemos un plano 1 con un punto A y un vector normal 1, y también tenemos un plano 2 con un punto B y un vector normal 2. Sus posiciones relativas pueden ser: • Planos coincidentes: la misma dirección de los vectores normales y el punto A pertenece al plano 2. • Planos paralelos: si tienen la misma direción los vectores normales y el punto A no pertenece al plano 2. • Planos secantes: si los vectores normales no tienen la misma dirección.

Véase también • • • • •

Postulados característicos Geometría plana Espacio euclídeo Recta Punto

Enlaces externos • Weisstein, Eric W., «Plano [1]» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research.

Referencias [1] http:/ / mathworld. wolfram. com/ Plane. html

Rectas Rectas alabeadas Rectas alabeadas, en geometría, se denomina a las que no son paralelas ni se intersecan en el espacio. Esto equivale a decir que no pertenecen al mismo plano. Un ejemplo simple de rectas alabeadas es el par de rectas que recorren los bordes opuestos de un tetraedro regular. Las rectas coplanares o se intersecan o bien son paralelas, así que las rectas alabeadas sólo existen en tres o más dimensiones.

Explicación En un par de rectas alabeadas, si cada recta está definida por dos puntos, entonces estos cuatro puntos no son coplanares. Por tanto, serán los vértices de un tetraedro de volumen no nulo. Así, dos pares cualesquiera de puntos que definen un tetraedro de volumen no nulo también definen un par de rectas alabeadas. De manera tal que se puede realizar un test para saber si dos pares de puntos (a,b) y (c,d) definen rectas alabeadas, aplicando la fórmula para el volumen de un tetraedro, V = (1/6)·|det(a−b, b−c, c−d)|, y verificando que el volumen no sea nulo. Si se eligen cuatro puntos al azar dentro de un cubo, casi seguramente éstos definirán un par de rectas alabeadas, porque luego de elegir los tres primeros puntos, el cuarto punto definirá una línea no alabeada si, y sólo si, es coplanar con los primeros tres puntos, y el plano al que pertenecen los tres primeros puntos forma un subconjunto del cubo de medida cero. De la misma manera, en el espacio tridimensional, una perturbación muy pequeña de dos rectas paralelas o que se intersecan las convertirá con mucha probabilidad en rectas alabeadas. En este sentido, las rectas alabeadas son el caso usual, mientras que las rectas paralelas y las rectas que se intersecan son casos especiales.

Distancia entre rectas alabeadas Si los puntos (v1, v2) determinan una recta y los puntos (v3, v4) determinan otra alabeada entonces la distancia entre ellas está dada por:

Referencias • http://en.wikipedia.org/wiki/Skew_lines

Paralelismo (matemática)

Paralelismo (matemática) En geometría, el paralelismo es una relación que se establece entre cualquier variedad lineal de dimensión mayor o igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos y demás). En geometría clásica, las rectas o planos paralelos son los equidistantes entre sí y por más que los prolonguemos no pueden encontrarse. En geometría afín, expresando una variedad lineal como V = p + E, con p punto y E espacio vectorial, se dice que A = a + F es paralela a B = b + G sii F está contenido en G ó G está contenido en F, donde A y B son subvariedades lineales de la misma variedad lineal V y F y G son subespacios vectoriales del mismo espacio vectorial E. En el plano (afín) (V = ), esto

Líneas paralelas.

se traduce de la siguiente manera: dos rectas son paralelas si tienen un mismo vector director. Obsérvese que, en un espacio afín tridimensional, una recta y un plano pueden ser paralelos, y también que la coincidencia de variedades lineales es un caso particular de paralelismo. Así, dos rectas, contenidas en un plano, son paralelas si o bien son una y la misma recta (son rectas coincidentes) o, por el contrario, no comparten ningún punto. De manera semejante, en el espacio, dos planos son paralelos si bien son uno y el mismo plano o bien no comparten ningún punto.

Notación (recta a paralela a b)

Axioma de unicidad El axioma que distingue a la geometría euclídea de otras geometrías es el siguiente: En un plano, por un punto exterior a una recta pasa una y sólo una paralela a dicha recta.

Propiedades • Reflexiva: Toda recta es paralela a sí misma: a || a • Simétrica: Si una recta es paralela a otra, aquella es paralela a la primera: Si a || b

b || a

Estas dos propiedades se deducen de la intersección de conjuntos y no dependen del axioma de unicidad. • Transitiva: Si una recta es paralela a otra, y esta a su vez paralela a una tercera, la primera es paralela a la tercera: Si a || b

b || c

a || c

Paralelismo (matemática)

Teoremas • En un plano, dos rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí. • Si una recta corta a otra recta, entonces corta a todas las parelelas de esta (en un plano). Las demostraciones de estos dos teoremas y de la tercera propiedad usan el axioma de unicidad.

Perpendicularidad Para el término náutico semejante, véase perpendicular de proa y popa. En geometría, la perpendicular de una línea o plano, es la que forma ángulo recto con la dada. La relación de perpendicularidad se puede dar entre: • Rectas: dos rectas coplanarias son perpendiculares cuando, al cortarse, dividen al plano en cuatro regiones iguales, cada una de los cuales es un ángulo recto. Al punto de intersección de dos rectas perpendiculares se le llama pie de cada una de ellas en la otra. • Semirrectas: dos semirrectas son perpendiculares, cuando conforman ángulos rectos teniendo o no el mismo punto de origen. • Planos: dos planos son perpendiculares cuando conforman cuatro ángulos diedros de 90º. • Semiplanos: dos semiplanos son perpendiculares cuando conforman ángulos diedros de 90°; generalmente, compartiendo la misma recta de origen.

La semirrecta AB es perpendicular a la recta CD, porque los dos ángulos que conforma son de 90 grados (en naranja y azul, respectivamente).

Además, puede existir una relación de perpendicularidad entre los cuatro elementos anteriores, tomados de dos en dos. = Si dos rectas al cortarse forman ángulos adyacentes congruentes, son perpendiculares. Por analogía, si dos planos al cortarse forman ángulos diedros adyacentes congruentes, son perpendiculares.Los lados de un ángulo diedro y sus semiplanos opuestos determinan dos planos perpendiculares).

Perpendicularidad

Postulado de unicidad En un plano, por un punto perteneciente o exterior a una recta pasa una y solo una recta perpendicular.

Construcción de la perpendicular a una recta por un punto dado Para construir una perpendicular a la línea AB a través del punto P usando regla y compás, procede como sigue: • Paso 1 (rojo): dibuja un círculo con centro en P para crear los puntos A' y B' en la línea AB, los cuales son equidistantes a P. • Paso 2 (verde): dibuja dos círculos centrados en A' y B', pasando los dos por P. Sea Q el otro punto de intersección de estos dos círculos. • Paso 3 (azul): une P y Q para obtener la perpendicular PQ. Para probar que PQ es perpendicular a AB, usa el teorema de congruencia SSS para los triángulos QPA' y Construcción de la perpendicular (azul) a la línea AB a través del QPB' para demostrar que los ángulos OPA' y OPB' son punto P. iguales. Luego usa el teorema de congruencia SAS para los triángulos OPA' y OPB' para demostrar que los ángulos POA y POB son iguales.

Con relación a líneas paralelas Como se ve en la figura, si dos líneas (a y b) son perpendiculares a una tercera línea (c), todos los ángulos formados en la tercera línea son ángulos rectos. Por lo tanto, en Geometría euclidiana, cualquier par de líneas que son perpendiculares a una tercera línea son paralelas entre sí, debido al quinto postulado de Euclides. Por el contrario, si una línea es perpendicular a una segunda línea, también es perpendicular a cualquier línea paralela a la segunda línea. En la figura, todos los ángulos naranjas son congruentes entre sí y todos los ángulos verdes son congruentes entre sí, porque los ángulos opuestos por el vértice son congruentes y los ángulos alternos interiores formados por un corte transversal de líneas paralelas son congruentes. Por lo tanto, si las líneas a y b son paralelas, cualquiera de las conclusiones siguientes conduce a todas las demás: • Uno de los ángulos del diagrama es un ángulo recto. • Uno de los ángulos naranja es congruente con uno de los ángulos verdes. • La línea c es perpendicular a la línea a. • La línea c es perpendicular a la línea b.

Las líneas a y b son paralelas, como se ve por los cuadrados, y están cortadas por la línea perpendicular c.

Perpendicularidad

Véase también • Mediatriz • Ortogonalidad • Paralelismo

Enlaces externos • Definición: perpendicular [1] Con animación (en inglés) • Cómo dibujar un bisector perpendicular de una línea con regla y compás [2] Con animación (en inglés) • Cómo dibujar una perpendicular al final de una línea con regla y compás [3] Con animación (en inglés)

Referencias [1] http:/ / www. mathopenref. com/ perpendicular. html [2] http:/ / www. mathopenref. com/ constbisectline. html [3] http:/ / www. mathopenref. com/ constperpendray. html

Simetría Simetría La simetría es un rasgo característico de formas geométricas, sistemas, ecuaciones, y otros objetos materiales o entidades abstractas, relacionada con su invariancia bajo ciertas transformaciones, movimientos o intercambios. En condiciones formales, decimos que un objeto es simétrico en lo que concierne a una operación matemática dada, si, cuando aplicado al objeto, esta operación no cambia el objeto o su aspecto. Dos objetos son simétricos uno al otro en lo que concierne a un grupo dado de operaciones si uno es obtenido de otro por algunas operaciones (y viceversa). En la geometría 2D las clases principales de simetría de interés son las que conciernen a las isometrías de un espacio euclídeo: traslaciones, rotaciones, reflexiones y reflexiones que se deslizan. La simetría también se encuentra en organismos vivos.

El hombre Vitrubio, de Leonardo da Vinci (ca. 1487), es una representación frecuente de la simetría del cuerpo humano, y por extensión del mundo natural.

Simetría en geometría Cuando hablamos de objetos físicos o elementos geométricos el concepto de simetría está asociado a transformaciones geométricas tales como las rotaciones, las reflexiones o las traslaciones. Dos simetrías sencillas son la simetría axial y la simetría central. Así se dice que un objeto presenta: • Simetría esférica si existe simetría bajo algún grupo de rotaciones, matemáticamente equivale a que el grupo de simetría de un objeto físico o entidad matemática sea SO(3). • Simetría cilíndrica o simetría axial si existe un eje tal que los giros alrededor de él no conducen a cambios de posición en el espacio, matemáticamente está asociado a un grupo de isometría SO(2). Grupo de simetría de la esfera.

• Simetría reflectiva o simetría especular que se caracteriza por la existencia de un único plano, matemáticamente está asociado al grupo SO(1) o su representación equivalente . En dos dimensiones tiene un eje de simetría y en tres dimensiones tiene un plano. El eje de simetría de una figura bidimensional es una línea, si se construye una perpendicular, cualquier punto que reposee en esta

Simetría

perpendicular a la misma distancia del eje de simetría son identicos. Otra manera de verlo es que si la forma se doblara por la mitad sobre el eje, las dos mitades serían iguales. Por ejemplo, un cuadrado tiene cuatro ejes de simetría, ya que hay cuatro formas diferentes de doblarlo haciendo que sus bordes coincidan. Un circulo tendría infinitos ejes de simetría por la misma razón. • Simetría traslacional se da cuando la transformación

deja invariable a un objeto bajo un grupo

de traslaciones discretas o continuas. El grupo es discreto si la invariancia sólo se da para un número numerable de valores de a y continuo si la invariancia se presenta para un conjunto infinito no numerable de valores de a en caso contrario. Algunos tipos de simetría que combinan dos o más de los anteriores tipos son: • Simetría antitraslacional que implica una reflexión en una línea o plano combinado con una traslación a lo largo de ese mismo eje. El grupo de simetría es isomorfo a . • Simetría de rotorreflexión o simetría de rotación impropia, implica rotación al rededor de un eje combinado con reflexión en un eje perpendicular al de rotación. • Simetría helicoidal implica un movimiento de rotación en torno a un eje dado con un movimiento de traslación a lo largo de ese mismo eje. Puede ser de tres clases: 1. Simetría helicoidal infinita 2. Siemtría helicoidal de n-ejes 3. Siemtría helicoidal que no se repite

Simetría en física En física el concepto de simetría puede formularse en una forma no geométrica. Si K es un conjunto de objetos matemáticos del mismo tipo (funciones, formas geométricas, ecuaciones, ...) y G es un grupo de transformaciones que actúa sobre K de tal manera que: Se dice que un elemento de k0 presenta simetría si:[1] Así por ejemplo varias leyes de conservación de la física son consecuencia de la existencia de simetrías abstractas del lagrangiano, tal como muestra el teorema de Noether. En ese caso K representaría el conjunto de lagrangianos admisibles, k0 el lagrangiano del sistema bajo estudio y G puede representar traslaciones espaciales (conservación del momento lineal), traslaciones temporales (conservación de la energía), rotaciones (conservación del momento angular) u otro tipo de simetrías abstractas (conservación de la carga eléctrica, el número leptónico, la paridad, etc.) • Ejemplo 1. Como primer ejemplo consideremos un electrón moviéndose entre dos placas infinitas cargadas uniformemente (dicho sistema se aproxima cierto tipo de condensadores), dado que cualquier traslación paralela a los planos constituye una simetría del sistema físico, entonces tanto la fuerza paralela a dichos planos es nula y por tanto la velocidad paralela a los planos es constante. • Ejemplo 2. Consideremos un satélite orbitando alrededor de un astro (planeta o estrella) con simetría esférica perfecta, consideremos además que la velocidad del satélite sea perpendicular a la línea entre el centro del satélite y el astro. En ese caso, el lagrangiano es totalmente invariante respecto a rotaciones según un eje que pase por el centro de la fuente del campo gravitatorio. En este caso debido a la simetría de rotación tanto del lagrangiano como de las condiciones iniciales del movimiento, la velocidad perpendicular al planeta es constante y la trayectoria es un círculo invariante bajo una rotación perpendicular al plano de la órbita. Estos dos ejemplos anteriores son casos del teorema de Noether, un resultado general que establece que si existe un grupo uniparamétrico de simetría G para el lagrangiano tal que:

Simetría Entonces la cantidad escalar:

Siendo v el campo vectorial que general el grupo uniparamétrico de transformaciones de simetría, y pi los momentos conjugados de las coordenadas generalizadas de posición.

Simetría en química En química la simetría geométrica de las moléculas es importante, particularmente en química orgánica. Además propiedades como su momento dipolar y las transiciones espectroscópicas permitidas (basadas en reglas de selección como la regla de Laporte) pueden predecirse o ser explicadas a partir de la simetría de la molécula. Las simetrías que aparecen en química están asociadas a grupos finitos de isometrías, en concreto son grupos puntuales de transformaciones de isometría.

Simetría en biología Simetría en biología es la equilibrada distribución en el cuerpo de los organismos de aquellas partes que aparecen duplicadas. Los planes corporales de la mayoría de organismos pluricelulares exhiben alguna forma de simetría, bien sea simetría radial o simetría bilateral. Una pequeña minoría no presenta ningún tipo de simetría (son asimétricos).

Simetría radial La simetría radial es la simetría definida por un eje heteropolar (distinto en sus dos extremos). El Ilustración de los distintos tipos de simetría en las formas orgánicas (Field Museum, extremo que contiene la boca se llama Chicago). lado oral, y su opuesto lado aboral o abactinal. Sobre este eje, se establecen planos principales de simetría; dos perpendiculares que definen las posiciones per-radiales. Las estructuras en otros planos (bisectrices de los per-radiales) quedan en posiciones inter-radiales. La zona entre los per-radiales y los inter-radiales es la zona ad-radial.

Simetría bilateral

La mayoría de especies animales tiene simetría bilateral y pertenece por tanto al grupo Bilateria, aunque hay especies como los erizos y las estrellas de mar que presentan simetría radial secundaria (las fases de desarrollo tempranas y

Simetría

las larvas poseen simetría bilateral que posteriormente se pierde en el adulto). La simetría bilateral permite la definición de un eje corporal en la dirección del movimiento, lo que favorece la formación de un sistema nervioso centralizado y la cefalización.

Simetría en música En música clásica, existen composiciones en las que podemos encontrar distribuciones de las notas generadas mediante simetría bilateral, traslación o giros de media vuelta. Algunos ejemplos de composiciones, son: el Preludio de Johann Sebastian Bach, la Sonata en G mayor de Domenico Scarlatti, Lotosblume de Robert Schumann, o Die Meiestersinger de Richard Wagner.

Simetría en alimentación de AC En el contexto de la electrónica de radiofrecuencia, se habla de una alimentación simétrica de AC cuando ninguno de los conductores está a la masa. Cuando uno de los conductores está a la masa y el otro experimenta las variaciones de tensión, se dice que la alimentación es asimétrica. Existen importantes aplicaciones tecnológicas basadas en la alimentación simétrica, ya que la alimentación simétrica tiene la gran ventaja de que la pérdida de potencia en la línea de transmisión es un orden de magnitud menor que la alimentación asimétrica por cable coaxial. • En efecto, el campo alterno generado por el conductor ascendente es cancelado por el campo generado por su homólogo descendente. • Además, la alimentación simétrica en delta permite la simplificación de la construcción. La alimentación simétrica es por lo tanto la alimentación preferida en la operación QRP y en el modo EME, modos donde cada dB de ganancia cuenta.

Referencias [1] Wald, 1984, p. 441-444.

Bibliografía • Robert M. Wald: General relativity, Chicago University Press, 1984, ISBN 0-226-87032-4.

Enlaces externos •

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Fuentes y contribuyentes del artículo

Fuentes y contribuyentes del artículo Geometría Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47356140 Contribuyentes: 1horozco, 213-98-205-182.uc.nombres.ttd.es, 3coma14, AFLastra, Abece, Adrruiz, Aibdescalzo, Airunp, Alfredobi, Alhen, Allforrous, Andreoliva, Angel GN, AntBiel, Antur, Arcibel, Areftipu, Arkimedes, AstroF7, Açipni-Lovrij, Bachi 2805, Baiji, Balderai, Banfield, Bedwyr, Belascoaran mx, Belb, Beramendi, Bethan 182, Beto29, Brindys, Bucephala, Bucho, BuenaGente, Byron olea duran, CASF, Capo Di Corleone, Carmin, Cesarabad, Chabacano, Chespeluche, Chewie, Chriswarrior, ChuckNorrisTrollFace, Cinabrium, Cobalttempest, Cookie, Corrector1, Dark Bane, David0811, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Draxtreme, Ecemaml, Edslov, Edsonlaura, Eduardosalg, Edub, El Hoy, Eligna, Elisardojm, Elliniká, Elsenyor, Emiduronte, Equi, Er Komandante, Erfil, Eric, Ernesto Bueno, Ernesto Graf, Farisori, Fedego, Felipe-nico, Filipo, Fonsi80, Forgeby, Foundling, FrancoGG, Frandzi.rangel, 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