Carrera: Analista de Sistemas Informáticos (Modalidad: IRSO VIRTUAL) Materia: Álgebra Profesoras: Graciela Bellome, Zulema Gandulfo, Ana Rivas Fecha:20/10/2008
Clase Nº 26
Leer primero la UNIDAD IV desde la página 159 a la 162. Completar la lectura con la CLASE Nº 26. Realizar los ejercicios de la clase y luego los indicados en el MODULO.
Respuesta de los ejercicios de la Clase 25 1)Para el ejemplo visto en clase demostrar que la segunda ley • es conmutativa para el conjunto |R2-{(0,0)}. Se debe demostrar que ∀(a,b), (c,d) Є|R2-{(0,0}:(a,b)
• (c,d) = (cd) • (a,b)
(a,b) • (c,d) = (ac - bd ; ad + bc) (1) (c,d) • (a,b) = (ca - db ; cb + da) (2) (1)=(2) son iguales por conmutatividad de la suma y la multiplicación en los reales. 2) (a;b) = (2;3) (a’ ;b’)= (2/13,-3/13) y (c;d)= (1;5) (c’;d’) = (1/26,-5/26)
ESPACIOS VECTORIALES De acuerdo con la definición dada en el módulo de “espacios vectoriales”, daremos un ejemplo considerando el conjunto de pares ordenados de números reales con la definición “+” de suma y la definición de • de producto de un par ordenado por un número real. Sea V el conjunto de todos los pares ordenados de números reales: Clase 26
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V= {v/ v = (a,b) ∧ a∈|R ∧ b∈|R } Definimos como primera operación: “ + “ : V → V / (a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) y como segunda operación al producto de un par ordenado por un número real (ley de composición externa ) “• “ : V x R→ V/ α• (a,b)=( α.a, α.b) Por ejemplo 3. (2,-1) = (6,-3) Por lo demostrado en la clase de Grupo el conjunto V tiene estructura de grupo conmutativo para la primera operación: (V,+) Respecto de la ley de composición externa debemos verificar las siguientes propiedades: Axioma 6- Ley asociativa para los operadores: (α.β). v = α.(β.v) Que es lo mismo que demostrar que: α.(β.v) = (α.β). v Partimos del primer miembro: α.(β.v)= α.(β.(a,b)) = α.(β.a, β.b)= (α. β.a, α. β.b) =( α. β).(a,b) = ( α. β).v y hemos llegado al segundo miembro por lo que queda demostrado. Axiona7- El neutro Se verificar que: 1ЄR : v.1=1.v =v Pues (a,b).1= (a.1,b.1) = (1.a,1.b)= (a,b) por propiedad del producto en R Axioma 8- Distributividad con respecto a los operadores (α + β).v = α.v + β.v Partimos del primer miembro: (α + β).v = (α + β).(a,b) = ((α + β).a,( α + β)b) = (α.a+ β.a, α.b+ β.b) =( α.a, α.b) +( β.a, β.b) = = α(a,b)+ β.(a,b) = α.v + β.v Axioma 9- Distributividad con respecto a los elementos de V α.(v + u) = α.v + α.u Esta propiedad se cumple y queda a cargo del alumno demostrarla como actividad.
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Ejercicio Para el ejemplo visto en clase de (V,+,R, •): Verificar el Axioma 9, que la segunda ley (•) distribuye a la primera (+).
Tratá de resolver los ejercicios que te proponemos. La clase próxima te mandamos la solución para que los controles. ¡HASTA LA PROXIMA CLASE!
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