Appunti per le classi seconde

Elenco dei simboli più importanti Elenco dei simboli più importanti SIMBOLO = ≠ ≅ < > ≤ ≥ ±

∣a∣

SIGNIFICATO uguale diverso (disuguale) circa uguale minore maggiore minore o uguale maggiore o uguale più o meno

{

2 valore assoluto (modulo) di a:  a =∣a∣= a , se a≥0 −a , se a0

Insiemi ∈ ∉ ∃ ∀

Insiemi numerici ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

appartiene non appartiene esiste (ovvero ∃ è il quantificatore esistenziale) per ogni (ovvero ∀ è il quantificatore universale) Numeri interi positivi o numeri naturali Numeri interi relativi Numeri razionali Numeri reali Numeri complessi o immaginari

Operazioni insiemistiche ∪

Unione

∩

Intersezione

Relazioni insiemistiche ⊆

È contenuto o è uguale a... (concetto di sottoinsieme)

⊂

È contenuto in ...

⊇

Contiene o è uguale a... (concetto di soprainsieme)

⊃

Contiene...

∅ Logica

Insieme vuoto (cioè ∅ è l'insieme che non contiene alcun elemento)

∨ ∧ ⇒ oppure  ⇔

o (inclusivo), vel, or (disgiunzione inclusiva) e, et, and (congiunzione) se…allora… oppure: implica (deduzione) se e solo se

- 1-

Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti Proprietà delle potenze Siano a ∈ℝ ed n ∈ℤ. Ricordiamo, anzitutto, le seguenti definizioni: 1) se n > 1, si chiama potenza ennesima (o n-ma) del numero reale a, il prodotto di n fattori uguali ad a, cioè: a n=  a⋅a⋅a⋅. . . . . .⋅a n volte

1 se n = 1, si pone a =a ; 0 se n = 0 e a ≠ 0, si pone: a =1 ; 1 4) se n < 0 e a ≠ 0, si pone: a n = −n . a Dalle definizioni date segue che le proprietà delle potenze a esponente intero dei numeri razionali, valgono anche per le potenze a esponente intero dei numeri reali.

Cioè, se a , b∈ℝ ed m , n∈ℤ , risulta:

2) 3)

a m⋅a n =a m n ;

a)

d)

 a⋅b  n=a n⋅bn ;

e)



n

m

n

b)

a :a =a

c)

a m

n

m−n

;

a an = n. b b

=a mn ;

Elenco di alcune formule algebriche più importanti Dati a ,b e c ∈ℝ si può provare facilmente che valgono le seguenti identità: 1. Differenza fra quadrati: a 2−b2=  a−b ⋅ ab  2 2 2. Quadrato di un binomio:  a±b  =a ±2 a bb ; 2

3 2 2 3 3. Cubo di un binomio:  a±b  =a ±3 a b3 a b ±b 3

3 3 2 2 4. Somma e differenza fra cubi: a ±b = a±b ⋅ a ∓a bb  2 2 2 5. Quadrato di un trinomio:  abc  =a b c 2 a b2 a c2 b c 2

N.B. Nell'insieme dei numeri reali R la somma di quadrati a 2b2 non si può scomporre. Tuttavia, esistono delle formule, utili in determinati casi, che consentono una fattorizzazione particolare di un gruppo di polinomi ed esattamente: •

a 2b2=  a±b  ∓2 a b

•

a b = a ±b  ∓2 a b e, in generale:

•

∀ n∈ N si ha: a 2 nb2 n = a n±b n  ∓2 a n bn

2

4

4

2

2 2

2

2

2

- 2-

I sistemi di equazioni di primo grado I sistemi di equazioni di primo grado Innanzitutto ricordiamo che la forma normale (o canonica) di un sistema in due equazioni di primo grado è la seguente: y=c {aa 'xb xb' y=c '

(1)

dove a, b, c, a', b' e c'∈ℝ e x e y rappresentano le incognite. Tuttavia, se il sistema assegnato non fosse scritto in forma normale, con le operazioni di m.c.m., somme fra monomi simili, semplificazioni ecc..., è sempre possibile riuscire a riscriverlo nella forma algebrica migliore possibile per applicare uno dei metodi risolutivi illustrati nei paragrafi seguenti.

Domanda: che cosa ci facciamo con un sistema?

Risposta: l'obiettivo che ci poniamo è trovare una soluzione, sempre ammesso che esista.

A questo proposito, se il sistema (1) ha una soluzione, si dirà che è determinato, se, invece, il sistema (1) non ha soluzione si dirà che è impossibile e, infine, se il sistema (1) ha infinite soluzioni si dirà che è indeterminato.

Ammesso che il sistema (1) sia determinato. una soluzione sarà rappresentata da una coppia ordinata di numeri reali che si potrà indicare in uno dei due seguenti modi:  x 0 , y 0  oppure x= x0 , dove x 0 e y 0 ∈ℝ . y= y 0 Esempi: 1. Il sistema: 13 x21 y=225 è determinato e l'unica soluzione è:  6 , 7  oppure x=6 ; y=7 4 x−5 y=−11 2. Il sistema: x y=1 è impossibile poiché non ha soluzione; x y=0 3. Il sistema: x y=1 è indeterminato poiché ha infinite soluzioni.

2 x2 y=2

{

{

{ { {

I.

Metodo di sostituzione Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si isola un'incognita da una delle due equazioni, ossia si ricava un’incognita in funzione dell’altra seguendo possibilmente il consiglio di isolare quell'incognita il cui coefficiente numerico è o uguale esattamente ad 1 oppure più prossimo ad 1. Poi, se la variabile isolata si trova al membro di sinistra dell'uguaglianza, sostituiamo l'espressione che è al membro di destra, nella restante equazione che, riducendosi ad una sola variabile, si risolve facilmente.

Infine il valore dell’incognita così ottenuto lo sostituiamo nell’equazione in cui l’altra incognita era stata isolata.

Esempio: risolviamo il seguente sistema con il metodo di sostituzione: 3  x−6  4  y−7  x4 y−3  = − 4 5 10 4 2 x y1 3  x−1  5 y1 − = − 3 2 5 12 calcoliamo il m.c.m: 15  x−6 16  y−7  2  x4  −5  y−3  = 20 20 40 x −30  y1  36  x−1  −5  5 y 1  = 60 60 eliminiamo i denominatori:

{ {

- 3-

I sistemi di equazioni di primo grado y −112=2 x8−5 y15 {1520 x−9016 x−30 y −30=36 x−36−25 y−5

isoliamo le incognite dalle costanti: 15 x−2 x16 y 5 y=90158112 40 x−36 x−30 y25 y =−36−530 semplifichiamo e scriviamo il sistema in forma normale: 13 x21 y=225 4 x −5 y=−11 isoliamo x nella seconda equazione: 13 x21 y=225 5 y−11 x= 4 sostituiamo nella prima equazione 5 y−11 13 21 y=225 4 5 y−11 x= 4 nella prima equazione abbiamo una sola incognita: risolviamo allora rispetto ad essa: 1043 y= =7 65 y −14384 y=900 149 y=1043 149 ⇒ 5 y−11 5 y−11 ⇒ x= x= 5 y −11 x= 4 4 4 infine sostituiamo il valore di y così determinato nella seconda equazione per trovare x:

{ {

{

{ {





{

{

{

y=7 5⋅7−11 24 x= = =6 4 4 e la soluzione, riscritta in forma ordinata, è: x=6 . y=7

{

II.

Metodo di somma o sottrazione o metodo di riduzione Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica, II.a si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un’incognita II.b si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per l’incognita considerata II.c si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare un’incognita II.d si risolve l’equazione così ottenuta ad una sola incognita II.e a scelta si può ripetere il procedimento per l’eliminazione dell’altra incognita oppure effettuare il metodo di sostituzione.

Esempio svolto (riprendendo l'esempio del numero I): 13 x21 y=225, chiamiamo ( 1 ) la prima equazione 4 x−5 y=−11 , chiamiamo ( 2 ) la seconda equazione Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 13 e 4 è 52, perciò moltiplichiamo la prima equazione per 4 e la seconda per 13 (queste moltiplicazioni sono ammesse in virtù del secondo principio di equivalenza per le equazioni). Fatto ciò, eseguiamo la sottrazione membro a membro. Conveniamo di indicare questa operazione con la seguente notazione: 4  1  −13  2 

{

- 4-

I sistemi di equazioni di primo grado dove  1  e  2  indicano, rispettivamente come scritto sopra, la prima e la seconda equazione del sistema e conseguentemente: 4  13 x21 y =4⋅225 13  4 x−5 y  =13⋅−11  Per eliminare la y è sufficiente eseguire la sottrazione membro a membro ovvero: 52 x84 y=900 ⇒ 52 x 84 y=900 ⇒ 149 y=1043 ⇒ y=7 52 x−65 y=−143 52 x −65 y =−143

{ {

{

__________________________________

52 x−52 x84 y65 y=900143

In maniera del tutto equivalente, eseguiamo l'operazione: 5 1  21  2  allo scopo, stavolta di eliminare la y: 5  13 x21 y =5⋅225 ⇒ 65 x105 y=1125 84 x−105 y=−231 21  4 x −5 y  =21⋅ −11 

{

{

⇒ 149 x=894 ⇒ x=6

__________________________________

65 x84 x105 y−105 y=1125−231

Quindi la soluzione è: III.

. {x=6 y=7

Metodo del confronto È un'applicazione della proprietà transitiva dell'uguaglianza che afferma che se A=B e B=C allora A=C . Infatti, se il sistema è ridotto alla forma normale, isoliamo la stessa espressione in entrambe le equazioni e, poi (in virtù della proprietà transitiva dell'uguaglianza), uguagliamo le espressioni situate ai membri di destra.

Si ottiene così un’equazione in una sola incognita (per es. x), facilmente risolvibile.

Allo scopo di individuare il valore dell'altra incognita (la y), sostituiamo il valore ottenuto (di x) in una delle due equazioni di partenza e così riusciamo ad ottenere la soluzione completa.

Esempio svolto (riprendendo ancora l'esempio del numero I): 13 x21 y=225 4 x−5 y=−11 isoliamo x da entrambe le equazioni: 225−21 y x= 13 5 y−11 x= 4 uguagliamo i due membri di destra: 225−21 y 5 y −11 900−84 y 65 y−143 = ⇒ = 13 4 52 52 eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad y: −1043 −65 y−84 y=−900−143⇒−149 y=−1043⇒ y= =7 −149 Adesso, isoliamo y da entrambe le equazioni ed uguagliamo ancora i due membri di destra: 225−13 x y= 225−13 x 114 x 21 ⇒ = 21 5 114 x y= 5 calcoliamo il m.c.m (=110), eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad x : −894 1125−65 x=23184 x ⇒−65 x−84 x=231−1125 ⇒−149 x=−894⇒ x= ⇒ x=6 −149 x=6 .

Quindi la soluzione è: y=7

{

{ {

{

- 5-

I sistemi di equazioni di primo grado IV.

Metodo di Cramer o delle matrici Consideriamo ancora un sistema ridotto alla forma normale:

y=c . {aa 'xb xb' y=c '

Siano delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni: b =a⋅b ' −a '⋅b,  = c b =c⋅b' −c '⋅b e  = a c =a⋅c ' −a '⋅c = a . x y a' b' c' b' a' c' Se ≠0 le soluzioni si trovano calcolando:   x= x e y= y   Esempio svolto (riprendendo un'ultima volta l'esempio del numero I): 13 x21 y=225 4 x −5 y=−11 21 =13⋅−5 −4⋅21=−65−84=−149, = 13  x −894 4 −5 x= = =6 −149  225 21 x= = 225⋅ −5  11⋅21=−1125231=−894 e ⇒ −11 −5  y −1043 y= = =7 13 225 −149    y= =13⋅ −11 −4⋅225=−143−900=−1043 4 −11

∣

{

∣ ∣ ∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

{

∣ ∣

- 6-

Definizione e proprietà dei radicali Definizione e proprietà dei radicali +

Definizione: dati tre elementi a ∈R e m , n∈N si definisce radicale di indice m e radicando a

la potenza a

n m

n

ed esattamente: a

n m

m

= =√ an

DEF.

Quindi per poter svolgere agevolmente qualunque operazione con i radicali sarà necessario applicare correttamente le proprietà delle potenze. Intanto ricordiamo che: Se n è numero intero pari Se n è numero intero dispari n n  a=b significa a=b n  a=b significa a=b n se a, b sono numeri reali positivi, negativi o se a, b sono numeri reali positivi o nulli nulli 3 3 Esempi:  9=3 ; mentre −9 non esiste ;  27=3 e  −27= -3 .

Operazioni: n 4 Semplificazione:  a n =a ; ad esempio  5 4 =5 . n⋅p m⋅p n m 15 =  a =  a ; esempio: 14 a30 =7 a15 ; poiché si semplifica la frazione 30 .

14 7 n n n Somma di radicali: si esegue solo se i radicali sono simili: a  xb  x=  ab   x ; Esempio: 2  25  2=7  2 ; mentre non si può calcolare: 2  35  2 .

 

m p m p Prodotto di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali:  x ⋅ y = x y . n

 p

n

n

  b  ; a x⋅

p n

y⋅

p n

dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m)  a ⋅ b =  3⋅4   4⋅ 3  4 3 4 12 Esempio 2:  2 5⋅ 35 =   2 5  ⋅   35  =  220⋅315 . n n n Quoziente di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali:  x m :  y p =  x m : y p .

Esempio 1:

n

x m

y

3

Esempio 1:

 a :  by= n

x m

 p



  : b = a  ; a   b x⋅

p n

y⋅

p n

x⋅

p n

y⋅

p n

p

 2  :    3  =

dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m)

2 20 .

315 n m n m n 3 4 3 4 3 Trasporto di fattori sotto il segno di radice: a  b =  b ⋅a ; Es.: 3⋅ 5 = 5 ⋅ 3 ; n m n n m 6 3 6 21 3 Trasporto di fattori fuori dal segno di radice:  b ⋅a =a  b ; Es.:  a ⋅b =  a ⋅b =a ⋅b⋅ b Esempio 2:

3 2 5: 4 35=

Potenza di radicali:



 3⋅4 

5 4

 n a  = n a m m

4⋅ 3

5 3

12

;

Esempio:

 4 3  = 43 3 .

3



m n 4 6  m⋅n   4⋅ 6  24 Radice di radice:  a=  a ; Esempio:  7=  7=  7 .

Razionalizzazione del denominatore. Esaminiamo tre casi: a a b a b a a b− c a   b− c  = ⋅ =  ; 1.

2. = ⋅  = ; b b b b b−c  b c  b  c  b− c

3.

bn−m a⋅ b n−m a⋅ b n−m a⋅ b n− m  = ⋅ = = = . n m b  b n b m n bn−m n b mn−m n bn a

a

n

n

n

n

Radicali doppi: vale la seguente identità (utile se la quantità (a2 - b) è un quadrato):

Esempio:

 2 3=





 a± b=





a a 2 −b a− a 2 −b . ± 2 2





 

2 2 2 −3 2− 22 −3 21 2−1 3 1 .  =  =  2 2 2 2 2 2 - 7-

Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2° Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2° Un’equazione algebrica di secondo grado (=2°) è un oggetto algebrico che, scritto nella forma completa, si può rappresentare così: 2 ax bxc=0 dove a , b e c ∈R e a ≠ 0.

Possiamo facilmente provare che le soluzioni possono essere scritte nella seguente forma: −b± b 2 −4 a c x= 2a Adesso conveniamo di chiamare il radicando del radicale che compare nella formula risolutiva discriminante dell’equazione di 2° ponendolo, per comodità, uguale a Δ (si legge: delta) e cioè: 2 =b −4 a c .

Per classificare le due soluzioni dobbiamo considerare tre casi (in base alle variazioni del segno di ∆): 1) Δ > 0 . Allora la   è un numero reale e abbiamo due soluzioni x 1 , x 2 reali e distinte  x1 ≠x 2  2) 3)

Δ = 0 . Allora la   è uguale a 0 e abbiamo due soluzioni x 1 , x 2 reali ma coincidenti  x1 =x 2 

Δ < 0 . Allora la   non è un numero reale e l’equazione completa ax bxc=0 non ha soluzioni reali.

2

Esempio: 2 risolviamo l’equazione: 2 x −9 x−5=0 . a=2 Innanzitutto si ha: b=−9 . Applichiamo la formula e otteniamo: c=−5 2 −b± b −4 a c 9±  81−4  2  −5  9± 121 9±11 x= = == = .

2a 4 4 4 911 20 9−11 2 1 Allora: x 1 = = =5 e x 2== =− =− .

4 4 4 4 2

{

Troviamo un'applicazione di questa formula nella fattorizzazione a coefficienti reali del trinomio di 2 secondo grado a x b xc . A questo proposito è facile dimostrare che vale la seguente identità: (1) a x 2b xc = a  x− x 1  x−x 2  ≥0

dove x 1 e x 2 sono le soluzioni reali dell'equazione algebrica associata al trinomio e cioè le soluzioni 2 dell'equazione: ax bxc=0 .

Esempio:

1 2 Consideriamo il trinomio: − x −3 x2 . Troviamo le soluzioni dell'equazione algebrica asso-ciata: 2 1 2 3± 94 − x −3 x2=0 ⇒ x = =−3±  13 . Applicando la formula (1) possiamo quindi 2 −1 fattorizzare il trinomio e esattamente: 1 1 − x 2−3 x2=−  x − 3− 13  ⋅ x− 3 13   .

2 2

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Indice Indice

Indice generale Elenco dei simboli più importanti..........................................................................................................1 Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti......................................................2 I sistemi di equazioni di primo grado.....................................................................................................3 Definizione e proprietà dei radicali........................................................................................................7 Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2°.....8 Indice......................................................................................................................................................9

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