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Esercizi sulle Disequazioni Esercizio 1 Trova le soluzioni alle seguenti disequazioni: 1.1) x2 −1 > 0 1.2)

2− x ≤0 x+4

1.3)

x2 −1 3 < x+3 x+3

1.4)

x2 − 6x + 9 <0 x 2 ( x 2 + 4 x + 4)

1.5)

x 2 ( x 2 + 10 x + 25)( x 2 + 6 x + 9) ≥ 0

1.6)

2x − 3 1 1 > + 2 x − 25 x − 5 x + 5

1.7)

8 x 2 + 4 x − 14 <2 4x2 −1

1.8)

x +1 >0 x − 3x + 1

1.9)

− x 2 + 3x − 10 >0 x3 + x

2

Esercizio 2 Trova le soluzioni alle seguenti disequazioni: x2 − 4 2.1) ≥ x +1 x −1 2.2)

x2 + 2x − 3 ≥ x +1 x+3

2.3)

x 2 − 3 x − 18 ≤0 x 2 − 12 x + 32

:

1


2.4)

x 2 − 12 x + 32 >0 x 2 − 3x − 18

2.5)

x 2 − 12 x + 32 >0 x2 + 9

2.6)

x −1 > x −3 x−6

2.7)

x3 + 2x − 3 ≥ x 2 + 5x − 1 x+3

2.8)

x3 − 4 ≥ x 2 + 3x −1 x −1

2.9)

x3 + 2x − 3 ≥ x2 + 6x − 4 x+3

Esercizio 3 Risolvere i seguenti sistemi di disequazioni 3.1)

3.2)

3.3)

3.4)

3.5)

3.6)

 x+ 2 > 3  2 x − 1 > x + 5  ( x + 2)( x − 1) >0  3  1 3  x + 1 < x −1 2  2  1+ x  ≥0  1− x 2 x(3 − x ) ≤ 0 x 2 − x − 2 ≥ 0  2  16 − x > 0  x +1 x −1  2 − 3 >0  3x + 1 −1 > 0   3  x + 2 > −5 x − 1  x 2 − 6 x + 5 > 0  2 x − 2x − 3 < 0  x2 − 4 > 0 

2


Soluzioni Al fine di risolvere le disequazione sarà spesso utile trasformarle in altre ad esse equivalenti. Queste trasformazioni possono essere effettuate utilizzando i due principi di equivalenza per le disequazioni che ricordiamo: I Principio: sommando o sottraendo ai due membri di una disequazione una stessa quantità si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data. II Principio: moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa quantità positiva si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data; moltiplicando o dividendo i due membri di una disequazione per una stessa quantità negativa si ottiene un’altra disequazione equivalente alla data se si cambia il verso della disuguaglianza. Esercizio 1 1.1)

Consideriamo la disequazione x2 −1 > 0

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo in binomio e avremo x 2 − 1 > 0 ⇒ ( x − 1)( x + 1) > 0 quindi studieremo la disequazione nella forma ( x − 1)( x + 1) > 0 . Avremo x − 1 > 0 per x + 1 > 0 per

–1

x >1 x > −1

+

1 –

+

La soluzione sarà quindi x < −1 1.2)

e

x >1

Consideriamo la disequazione 2− x ≤ 0. x+4

Avremo 2 − x ≤ 0 per x + 4 < 0 per

− 2 + x ≥ 0 per x < −4

–4

x≥2 – 3

2

+


La soluzione sarà quindi x < −4 1.3)

e x≥2

Consideriamo la disequazione x2 −1 3 < x+3 x+3

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x 2 −1 3 x 2 −1 3 x 2 −1 − 3 x2 − 4 ( x − 2)( x + 2) < ⇒ − <0⇒ <0⇒ <0⇒ <0 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 x+3 quindi studieremo la disequazione nella forma ( x − 2)( x + 2) < 0. x+3 Avremo x − 2 < 0 per

x<2

x + 2 < 0 per x + 3 < 0 per

x < −2 x < −3

–2

–3

+

2

+

La soluzione sarà quindi x < −3 1.4)

e −2< x< 2

Consideriamo la disequazione x2 − 6x + 9 <0 x 2 ( x 2 + 4 x + 4)

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. •

Numeratore: x 2 − 6 x + 9 x1, 2 =

6 ± 36 − 4 ⋅ 9 6± 0 6±0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x 2 = 3 2 2 2

4


quindi x 2 − 6 x + 9 = ( x − 3) 2 . Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. •

Denominatore: x 2 ( x 2 + 4 x + 4) . Scomponiamo il secondo fattore x1, 2 =

− 4 ± 16 − 4 ⋅ 4 −4± 0 −4±0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x2 = −2 2 2 2

quindi

x 2 + 4 x + 4 = (x + 2)2 . Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma ( x − 3) 2 < 0. x 2 ( x + 2) 2 Avremo ( x − 3) 2 < 0 per nessun val ore di x x2 < 0

per nessun val ore di x

( x + 2) 2 < 0 per nessun val ore di x Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto non sarà mai negativo quindi questa disequazione NON AMMETTE SOLUZIONI. 1.5)

Consideriamo la disequazione x 2 ( x 2 + 10 x + 25)( x 2 + 6 x + 9) ≥ 0

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore. •

x 2 + 10 x + 25 x1, 2 =

− 10 ± 100 − 4 ⋅ 25 − 10 ± 0 − 10 ± 0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x2 = −5 2 2 2

quindi

5


x 2 + 10 x + 25 = ( x + 5) 2 . Che si trattava di un quadrato di un binomio si poteva vedere anche direttamente. •

x2 + 6x + 9 x1, 2 =

− 6 ± 36 − 4 ⋅ 9 −6± 0 −6±0 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1 = x2 = −3 2 2 2

quindi x 2 + 6 x + 9 = ( x + 3) 2 . Anche qui, che si trattava di un quadrato di un binomio, si poteva vedere direttamente. Studieremo allora la disequazione nella forma x 2 ( x + 5) 2 ( x + 3) 2 ≥ 0 . Avremo x2 ≥ 0

per ogni valore di x

( x + 5) ≥ 0 per ogni valore di x 2

( x + 3) 2 ≥ 0 per ogni valore di x Siccome tutti e tre i fattori sono sempre positivi il loro prodotto sarà sempre positivo quindi questa disequazione E’ SEMPRE VERIFICATA. 1.6)

Consideriamo la disequazione 2x − 3 1 1 < + 2 x − 25 x − 5 x + 5

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli 2x − 3 1 1 2x − 3 1 1 2 x − 3 − ( x + 5) − ( x − 5) > + ⇒ − − >0⇒ >0⇒ 2 x − 25 x − 5 x + 5 ( x − 5)( x + 5) x − 5 x + 5 ( x − 5)( x + 5) ⇒

2x − 3 − x − 5 − x + 5 −3 > 0⇒ >0 ( x − 5)( x + 5) ( x − 5)( x + 5)

quindi studieremo la disequazione nella forma −3 > 0. ( x − 5)( x + 5) 6


Avremo −3 > 0

per nessun val ore di x

x −5 > 0 x+5 > 0

per per

5

–5

x>5 x > −5

+

La soluzione sarà quindi −5 < x < 5 1.7)

Consideriamo la disequazione

8 x 2 + 4 x − 14 <2 4x 2 −1 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli 8 x 2 + 4 x − 14 8 x 2 + 4 x − 14 8 x 2 + 4 x − 14 − 2(4 x 2 − 1) < 2 ⇒ − 2 < 0 ⇒ <0⇒ 4x2 −1 4x 2 −1 4x 2 −1 ⇒

8 x 2 + 4 x − 14 − 8 x 2 + 2 4 x − 12 4( x − 3) x −3 <0⇒ 2 <0⇒ <0⇒ <0 2 4x −1 4x −1 (2 x − 1)(2 x + 1) (2 x − 1)(2 x + 1)

quindi studieremo la disequazione nella forma x −3 < 0. (2 x − 1)(2 x + 1) Avremo x −3 < 0

per x < 3

2x −1 < 0

per

x<

2x +1 < 0

per

x<−

1 2 –

1 2

+

La soluzione sarà quindi x<− 1.8)

3

1/2

– 1/2

1 2

e

Consideriamo la disequazione 7

1 < x<3 2

+


x +1 >0 x − 3x + 1 2

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio al denominatore. •

Denominatore: x 2 − 3 x + 1 .

x1, 2

 3− 5 ≈ 0,38  x1 = 3± 9 −4 3± 5 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2  x = 3 + 5 ≈ 2,62  2 2

quindi

  3 − 5   3 5     x −  +  x 2 − 3 x + 1 =  x −     2  .  2       Studieremo allora la disequazione nella forma x +1 ≥0.   3 − 5    3 + 5   x −   x −     2    2        

Avremo x +1 > 0 3− 5  >0 x −    2   35 5  >0 x −   2  

per x > −1 per

x>

3− 5 2

per

x>

3+ 5 2

3− 5 2

–1

+

La soluzione sarà quindi

−1 ≤ x < 1.9)

3− 5 2

e

x>

Consideriamo la disequazione

− x 2 + 3x − 10 >0 x3 + x

8

3+ 5 2

3+ 5 2

+


e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi al numeratore e al denominatore •

Numeratore: − x 2 + 3x − 10 = − ( x 2 − 3x + 10) x1, 2 =

3 ± 9 − 4 ⋅10 3 ± − 31 ⇒ x1, 2 = 2 2

Abbiamo quindi che ∆ < 0 . Quando ∆ < 0 il trinomio di secondo grado è sempre positivo se il coefficiente di x 2 è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di x 2 è negativo. Nel nostro caso il trinomio è x 2 − 3 x + 10 e quindi il coefficiente di x 2 è 1 che è positivo, quindi il trinomio x 2 − 3 x + 10 è positivo per ogni valore di x e di conseguenza − ( x 2 − 3x + 10) sarà negativo per ogni valore di x . •

Denominatore: x 3 + x x 3 + x = x( x 2 + 1) .

Studieremo allora la disequazione nella forma − ( x 2 − 3 x + 10) >0. x( x 2 + 1) Avremo − ( x 2 − 3 x + 10) > 0 per nessun val ore di x x>0 per x > 0 x2 +1 > 0

per ogni valore di x

0

+

La soluzione sarà quindi x<0

Esercizio 2 2.1)

Consideriamo la disequazione x2 − 4 ≥ x +1 x −1

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli

9


x2 − 4 x2 − 4 x 2 − 4 − ( x + 1)( x − 1) ≥ x +1 ⇒ − ( x + 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x −1 x −1 x −1 ⇒

x 2 − 4 − ( x 2 − 1) x2 − 4 − x2 +1 −3 ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0 x −1 x −1 x −1

quindi studieremo la disequazione nella forma −3 ≥0. x −1 Avremo −3≥ 0 x −1 > 0

1

per nessun val ore di x per x > 1

+

La soluzione sarà quindi

x <1 2.2)

Consideriamo la disequazione x2 + 2x − 3 ≥ x +1 x+3

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x2 + 2x − 3 x2 + 2x − 3 x 2 + 2 x − 3 − ( x + 1)( x + 3) ≥ x +1 ⇒ − ( x + 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3 ⇒

x 2 + 2 x − 3 − ( x 2 + 3 x + x + 3) x2 + 2x − 3 − x2 − 4x − 3 − 2x − 6 ≥0⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3

− 2( x + 3) ≥ 0 ⇒ −2 ≥ 0 x+3

quindi studieremo la disequazione nella forma −2 ≥ 0 ma siccome – 2 non può essere positivo questa disequazione non ammette soluzione. 2.3)

Consideriamo la disequazione

10


x 2 − 3 x − 18 ≤0 x 2 − 12 x + 32 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. •

Numeratore: x 2 − 3 x − 18 x1, 2 =

3 ± 9 − 4 ⋅ (−18) 3 ± 81 3 ± 9  x1 = −3 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 6

quindi x 2 − 3x − 18 = ( x + 3)( x − 6) . •

Denominatore: x 2 − 12 x + 32 x1, 2 =

12 ± 144 − 4 ⋅ 32 12 ± 16 12 ± 4  x1 = 4 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 8

quindi x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) . Studieremo allora la disequazione nella forma ( x + 3)( x − 6) ≤ 0. ( x − 4)( x − 8) Avremo x+3≤0 x−6 ≤ 0 x−4<0 x −8 < 0

per per per per

x ≤ −3 x≤6 x<4

–3

4

8

x <8 +

e

6≤ x<8

La soluzione sarà quindi

2.4)

6

−3≤ x < 4 .. Consideriamo la disequazione

11

+

+


x 2 − 12 x + 32 >0 x 2 − 3x − 18 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo i polinomi del numeratore e del denominatore. •

Numeratore: x 2 − 12 x + 32 x1, 2 =

12 ± 144 − 4 ⋅ 32 12 ± 16 12 ± 4  x1 = 4 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 8

quindi x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) . •

Denominatore: x 2 − 3 x − 18 x1, 2 =

3 ± 9 − 4 ⋅ (−18) 3 ± 81 3 ± 9  x1 = −3 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 6

quindi x 2 − 3x − 18 = ( x + 3)( x − 6) . Studieremo allora la disequazione nella forma ( x − 4)( x − 8) > 0. ( x + 3)( x − 6) Avremo x−4>0 x −8 > 0 x+3> 0

per per per

x−6 >0

per

x>4 x >8

–3

x > −3 x>6

+

4

La soluzione sarà quindi x < −3 2.5)

4< x<6

.. Consideriamo la disequazione

12

x >8

6

+

8

+


x 2 − 12 x + 32 >0 x2 + 9 e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine scomponiamo il polinomio del numeratore e analizziamo quello al denominatore. •

Numeratore: x 2 − 12 x + 32 x1, 2 =

12 ± 144 − 4 ⋅ 32 12 ± 16 12 ± 4  x1 = 4 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 8

quindi x 2 − 12 x + 32 = ( x − 4)( x − 8) . •

Denominatore: x 2 + 9 . In questo caso il denominatore è sempre positivo perché non si annulla mai e qualunque valore si sostituisca troviamo sempre un numero positivo. In generale, un polinomio del tipo x 2 + a , con a positivo è sempre positivo.

Studieremo allora la disequazione nella forma ( x − 4)( x − 8) > 0. x2 + 9 Avremo x−4>0 x −8 > 0

per per

x>4 x >8

4

8

x 2 + 9 > 0 per ogni valore di x +

+

La soluzione sarà quindi x<4

e x>8

.. 2.6)

Consideriamo la disequazione x −1 > x −3 x−6

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli

13


x −1 x −1 x − 1 − ( x − 3)( x − 6) x − 1 − ( x 2 − 6 x − 3x + 18) > x −3⇒ − ( x − 3) > 0 ⇒ >0⇒ >0⇒ x−6 x−6 x−6 x−6 ⇒

x − 1 − x 2 + 9 x − 18 − x 2 + 10 x − 19 − ( x 2 − 10 x + 19) x 2 − 10 x + 19 >0⇒ >0⇒ >0⇒ < 0. x−6 x−6 x−6 x−6

A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: x 2 − 10 x + 19 x1, 2 =

 x = 5 − 6 ≈ 2,55 10 ± 100 − 4 ⋅19 10 ± 24 10 ± 2 6 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = 5 ± 6 ⇒  1 2 2 2  x2 = 5 + 6 ≈ 7,45

quindi x 2 − 10 x + 19 = ( x − (5 − 6 ))( x − (5 + 6 )) quindi studieremo la disequazione nella forma ( x − (5 − 6 ))( x − (5 + 6 )) < 0. x−6 Avremo x − (5 − 6 ) < 0

per

5− 6 4

x < (5 − 6 )

x − (5 + 6 ) < 0 per x < (5 + 6 ) x−6 < 0 per x < 6

5+ 6 4

6

+

+

La soluzione sarà quindi x < 5− 6 2.7)

6< x < 5+ 6

e

Consideriamo la disequazione x3 + 2x − 3 ≥ x 2 + 5x − 1 x+3

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x3 + 2x − 3 x3 + 2x − 3 x 3 + 2 x − 3 − ( x 2 + 5 x − 1)( x + 3) 2 2 ≥ x + 5x − 1 ⇒ − ( x + 5 x − 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3

14


x 3 + 2 x − 3 − ( x 3 + 3 x 2 + 5 x 2 + 15 x − x − 3) x 3 + 2 x − 3 − x 3 − 8 x 2 − 14 x + 3 ≥0⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 − 8 x 2 − 12 x − 4 x(2 x + 3) ⇒ ≥0⇒ ≥0 x+3 x+3 ⇒

quindi studieremo la disequazione nella forma − 4 x(2 x + 3) ≥0. x+3 Avremo −4 ≥ 0 x≥0

per nessun val ore di x per x ≥ 0 3 2 x + 3 ≥ 0 per x ≥ − 2 x + 3 > 0 per x > −3

–3

+

– 3/2

0

+

La soluzione sarà quindi

x < −3

2.8)

e −

3 ≤x≤0 2

Consideriamo la disequazione x3 − 4 ≥ x 2 + 3x −1 x −1

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x3 − 4 x3 − 4 x 3 − 4 − ( x 2 + 3 x − 1)( x − 1) 2 2 ≥ x + 3x −1 ⇒ − ( x + 3x − 1) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x −1 x −1 x −1 x 3 − 4 − ( x 3 − x 2 + 3x 2 − 3 x − x + 1) x3 − 4 − x3 − 2x 2 + 4x −1 ⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ x −1 x −1 − 2x2 + 4 x − 5 − (2 x 2 − 4 x + 5) 2x2 − 4x + 5 ⇒ ≥0⇒ ≥0⇒ ≤0 x −1 x −1 x −1 A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 2 x 2 − 4 x + 5

15


x1, 2 =

4 ± 16 − 4 ⋅ 2 ⋅ 5 4 ± − 24 ⇒ x1, 2 = . 4 4

Abbiamo quindi che ∆ < 0 . Quando ∆ < 0 il trinomio di secondo grado è sempre positivi se il coefficiente di x 2 è positivo, oppure sempre negativo se il coefficiente di x 2 è negativo. Nel nostro caso il coefficiente di x 2 è 2 che è positivo, quindi il trinomio 2 x 2 − 4 x + 5 è positivo per ogni valore di x . Quindi studieremo la disequazione nella forma 2x2 − 4 x + 5 ≤0 x −1 e avremo 1

2x − 4 x + 5 < 0 2

per nessun val ore di x

x −1 < 0

per

x <1

+

La soluzione sarà quindi x <1 2.9)

Consideriamo la disequazione x3 + 2x − 3 ≥ x2 + 6x − 4 x+3

e modifichiamola in modo da poterne calcolare il segno. A tal fine portiamo tutti i termini a sinistra, facciamo il minimo comune multiplo ed eseguiamo i calcoli x3 + 2x − 3 x3 + 2x − 3 x 3 + 2 x − 3 − ( x 2 + 6 x − 4)( x + 3) ≥ x2 + 6x − 4 ⇒ − ( x 2 + 6 x − 4) ≥ 0 ⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 x+3 x 3 + 2 x − 3 − ( x 3 + 3x 2 + 6 x 2 + 18 x − 4 x − 12) x 3 + 2 x − 3 − x 3 − 9 x 2 − 14 x + 12 ≥0⇒ ≥0⇒ x+3 x+3 − 9 x 2 − 12 x + 9 − 3(3x 2 + 4 x − 3) ⇒ ≥0⇒ ≥0 x+3 x+3 ⇒

A questo punto scomponiamo il polinomio al numeratore: 3 x 2 + 4 x − 3 x1, 2 =

− 4 ± 16 − 4 ⋅ 3 ⋅ (−3) − 4 ± 52 − 4 ± 2 13 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 6 6 6

16


x ⇒ x1, 2

 − 2 − 13 ≈ −1,87  x1 = − 2 ± 13 3 = ⇒ 3  x = − 2 + 13 ≈ 0,54  2 3

quindi   − 2 − 13    − 2 + 13     x −   3 x 2 + 4 x − 3 = 3 x −       3 3       e avremo   − 2 − 13    − 2 + 13     x −   − 3 ⋅ 3 x −       2 3 3 − 3(3 x + 4 x − 3)       ≥0⇒ ≥0 x +3 x +3

e quindi studieremo la disequazione nella forma   − 2 − 13    − 2 + 13     x −   − 9 x −       3 3       ≥ 0. x+3

Avremo −9 ≥ 0

per nessun val ore di x

 − 2 − 13  ≥0 x −  per  3    − 2 + 13  ≥0 x −  per  3   x + 3 > 0 per x > −3

− 2 − 13 x≥ 3 x≥

− 2 + 13 3

+

La soluzione sarà quindi

x ≤ −3

e

− 2 − 13 − 2 + 13 ≤x≤ 3 3

Esercizio 3 3.1)

Consideriamo il seguente sistema

17

− 2 + 13 3

− 2 − 13 3

–3

+


 x+ 2 > 3  2 x − 1 > x + 5 e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1. x + 2 > 3 x + 2 > 3 ⇒ x > 3 −1 ⇒ x > 2 quindi la soluzione della prima disequazione è

x>2 2. 2 x − 1 > x + 5 2x −1 > x + 5 ⇒ 2x − x > 5 + 1 ⇒ x > 6 quindi la soluzione della seconda disequazione è

x>6 Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente 1

x >1  x > 6

6

quindi la soluzione del sistema è

x>6 3.2)

Consideriamo il seguente sistema  ( x + 2)( x − 1) >0  3  1 3  x + 1 < x −1 2  2

e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1.

( x + 2)( x − 1) >0 3

18


( x + 2)( x − 1) > 0 ⇒ ( x + 2)( x − 1) > 0 . 3 Studiamo la disequazione nella forma ( x + 2)( x − 1) > 0 e avremo x+2>0 x −1 > 0

per per

–2

x > −2 x >1

+

1 –

+

quindi la soluzione della prima disequazione è

x < −2

2.

e

x >1

1 3 x + 1 < x −1 2 2 1 3 1 3 x − 3x − 2x x + 1 < x − 1 ⇒ x − x < −1 − 1 ⇒ < −2 ⇒ < −2 ⇒ − x < −2 ⇒ x > 2 2 2 2 2 2 2

quindi la soluzione della seconda disequazione è

x>2 Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente  x < −2 e x > 1  x>2 

–2

quindi la soluzione del sistema è

x>2 3.3)

Consideriamo il seguente sistema  1+ x  ≥0  1− x 2 x(3 − x ) ≤ 0

e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo

19

1

2


1+ x ≥0 1− x

1.

Avremo 1+ x ≥ 0

per

x ≥ −1

1− x > 0

per

−1 + x < 0

–1 per

x <1

1

+

quindi la soluzione della prima disequazione è

−1 ≤ x < 1 2. 2 x(3 − x ) ≤ 0 2 x(3 − x ) ≤ 0 ⇒ x(3 − x) ≤ 0 . Studiamo la disequazione nella forma x (3 − x ) ≤ 0 . Avremo x ≤ 0 per x ≤ 0 3 − x ≤ 0 per − 3 + x ≥ 0

0 per

x≥3

3

+

quindi la soluzione della seconda disequazione è

x≤0

e

x≥3

Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente  −1 ≤ x < 1  x ≤ 0 e x ≥ 3

–1

quindi la soluzione del sistema è

−1 ≤ x ≤ 0 3.4)

Consideriamo il seguente sistema x 2 − x − 2 ≥ 0  2  16 − x > 0

20

0

1

3


e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1. x 2 − x − 2 ≥ 0 . Scomponiamo il trinomio x 2 − x − 2 x1, 2 =

1 ± 1 − 4 ⋅ (−2) 1± 9 1 ± 3  x1 = −1 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 2

quindi x 2 − x − 2 = ( x + 1)( x − 2) . Studieremo quindi la disequazione nella forma ( x + 1)( x − 2) ≥ 0 . Avremo x +1 ≥ 0 x−2≥0

per per

–1

x ≥ −1 x≥2

2

+

+

quindi la soluzione della prima disequazione è

x ≤ −1

e

x≥2

2. 16 − x 2 > 0 . 16 − x 2 > 0 ⇒ (4 − x )(4 + x) > 0 quindi studiamo la disequazione nella forma (4 − x)(4 + x ) > 0 e avremo –4 4− x > 0 4+ x > 0

per per

−4+ x < 0 x > −4

per

4

x<4 –

la soluzione della seconda disequazione è

−4 < x < 4 Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente

21

+


 x ≤ −1 e x ≥ 2   −4< x< 4

–4

–1

2

4

quindi la soluzione del sistema è

− 4 < x ≤ −1 3.5)

e

2≤x<4

Consideriamo il seguente sistema  x +1 x −1  2 − 3 >0  3x + 1 −1 > 0   3  x + 2 > −5 x − 1 

e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1.

x +1 x −1 − >0 2 3 x +1 x −1 3( x + 1) − 2( x − 1) − >0⇒ > 0 ⇒ 3x + 3 − 2 x + 2 > 0 ⇒ x + 5 > 0 ⇒ x > −5 2 3 6

quindi la soluzione della prima disequazione è

x > −5

2.

3x + 1 −1 > 0 3 3x + 1 3x + 1 − 3 2 −1 > 0 ⇒ > 0 ⇒ 3x − 2 > 0 ⇒ x > 3 3 3

quindi la soluzione della seconda disequazione è 2 3

x> 3. x + 2 > −5 x − 1

22


x + 2 > −5 x − 1 ⇒ x + 5 x > −1 − 2 ⇒ 6 x > −3 ⇒ x > −

1 2

quindi la soluzione della terza disequazione è x>−

1 2

Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente   x > −5  2  x> 3  x > − 1  2

–5

– 1/2

2/3

quindi la soluzione del sistema è 2 3

x>

3.6)

Consideriamo il seguente sistema x 2 − 6 x + 5 > 0  2 x − 2x − 3 < 0  x2 − 4 > 0 

e cerchiamo le soluzione di ogni equazione. Avremo 1. x 2 − 6 x + 5 > 0 . Scomponiamo il trinomio x 2 − 6 x + 5 x1, 2 =

6 ± 36 − 4 ⋅ 5 6 ± 16 6 ± 4  x1 = 1 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 5

quindi x 2 − 6 x + 5 = ( x − 1)( x − 5) . Studieremo quindi la disequazione nella forma ( x − 1)( x − 5) > 0 .

23


Avremo x −1 > 0

per

x >1

x −5 > 0

per

x>5

1

5

+

+

quindi la soluzione della prima disequazione è

x <1

x>5

e

2. x 2 − 2 x − 3 < 0 Scomponiamo il trinomio x 2 − 2 x − 3 x1, 2 =

2 ± 4 − 4 ⋅ (−3) 2 ± 16 2 ± 4  x1 = −1 ⇒ x1, 2 = ⇒ x1, 2 = ⇒ 2 2 2  x2 = 3

quindi x 2 − 2 x − 3 = ( x + 1)( x − 3) . Studieremo quindi la disequazione nella forma ( x + 1)( x − 3) < 0 . Avremo x +1 < 0 x −3 < 0

per per

–1

x < −1 x<3

+

3 –

+

quindi la soluzione della seconda disequazione è

−1 < x < 3 3.. x 2 − 4 > 0 . x 2 − 4 > 0 ⇒ ( x − 2)( x + 2) > 0 quindi studiamo la disequazione nella forma ( x − 2)( x + 2) > 0 e avremo x−2>0 x+2>0

per per

x>2 x > −2

–2 + 24

2 –

+


la soluzione della terza disequazione è

x < −2

e

x>2

Il sistema si può quindi scrivere nella forma equivalente  x <1 e x > 5   −1 < x < 3  x < −2 e x > 2 

–2 –1

1

2 3

5

Poiché nessun intervallo soddisfa tutte e tre le disequazioni contemporaneamente il sistema NON AMMETTE SOLUZIONE.

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