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Elenco dei simboli più importanti Elenco dei simboli più importanti

SIMBOLO =

≃ < > ≤ ≥ ±

∣a∣

SIGNIFICATO uguale diverso (disuguale) circa uguale minore maggiore minore o uguale maggiore o uguale più o meno

{

valore assoluto (modulo) di a:  a 2=∣a∣= a , se a≥0 −a , se a0

Insiemi ∈ ∉ ∃ ∀

Insiemi numerici ℕ ℤ ℚ ℝ

appartiene non appartiene esiste (ovvero ∃ è il quantificatore esistenziale) per ogni (ovvero ∀ è il quantificatore universale) Numeri interi positivi o numeri naturali Numeri interi relativi Numeri razionali Numeri reali

Operazioni insiemistiche ∪

Unione

Intersezione

Relazioni insiemistiche ⊆

È contenuto o è uguale a... (concetto di sottoinsieme)

È contenuto in ...

Contiene o è uguale a... (concetto di soprainsieme)

Contiene...

∅ Logica ∨ ∧ ⇒ oppure  ⇔

Insieme vuoto (cioè ∅ è l'insieme che non contiene alcun elemento) o (inclusivo), vel, or (disgiunzione inclusiva) e, et, and (congiunzione) se…allora… oppure: implica (deduzione) se e solo se

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Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti Proprietà delle potenze Siano a∈R ed n∈Z. Ricordiamo, anzitutto, le seguenti definizioni: 1) se n > 1, si chiama potenza ennesima (o n-ma) del numero reale a, il prodotto di n fattori uguali ad a, cioè: a n=  a⋅a⋅a⋅. . . . . .⋅a n volte

1 se n = 1, si pone a =a ; 0 se n = 0 e a ≠ 0, si pone: a =1 ; 1 4) se n < 0 e a ≠ 0, si pone: a n = −n . a Dalle definizioni date segue che le proprietà delle potenze a esponente intero dei numeri razionali, valgono anche per le potenze a esponente intero dei numeri reali. Cioè, se a , b∈R ed m , n∈Z , risulta:

2) 3)

m

n

mn

;

d)

 a⋅b  =a n⋅b n ;

m

n

m−n

;

e)



a ⋅a =a

a) b)

a :a =a

c)

am

n

n

a b

n

=

an . bn

=a mn ;

Elenco di alcune formule algebriche più importanti Dati a , b e c ∈R si può provare facilmente che valgono le seguenti identità: 1. Differenza fra quadrati: a 2−b2=  a−b ⋅ ab  2 2 2. Quadrato di un binomio:  a±b  =a ±2 a bb ; 2

3 2 2 3 3. Cubo di un binomio:  a±b  =a ±3 a b3 a b ±b 3

3 3 2 2 4. Somma e differenza fra cubi: a ±b = a±b ⋅ a ∓a bb  2 2 2 5. Quadrato di un trinomio:  abc  =a b c 2 a b2 a c2 b c 2

N.B. Nell'insieme dei numeri reali R la somma di quadrati a 2b2 non si può scomporre. Tuttavia, esistono delle formule, utili in determinati casi, che consentono una fattorizzazione particolare di un gruppo di polinomi ed esattamente: •

a 2 +b 2 =( a ±b ) 2∓2 a b

a 4 +b4 =( a 2 ±b 2 ) ∓2 a 2 b 2 e, in generale:

∀ n∈N si ha: a 2 n +b 2n =( a n ±b n ) ∓2 a n b n

2

2

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I sistemi di equazioni di primo grado I sistemi di equazioni di primo grado Innanzitutto ricordiamo che la forma normale (o canonica) di un sistema in due equazioni di primo grado è la seguente: y=c {aa 'xb xb' y=c '

dove a, b, c, a', b' e c'∈R e x e y rappresentano le incognite. Tuttavia, se il sistema assegnato non fosse scritto in forma normale, con le operazioni di m.c.m., somme fra monomi simili, semplificazioni ecc..., è sempre possibile riuscire a riscriverlo nella forma algebrica migliore possibile per applicare uno dei metodi risolutivi illustrati nei paragrafi seguenti. I.

Metodo di sostituzione Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si isola un'incognita da una delle due equazioni, ossia si ricava un’incognita in funzione dell’altra seguendo possibilmente il consiglio di isolare quell'incognita il cui coefficiente numerico è più prossimo ad 1. Poi, se la variabile isolata si trova al membro di sinistra dell'uguaglianza, sostituiamo l'espressione che è al membro di destra, nella restante equazione che, riducendosi ad una sola variabile, si risolve facilmente. Infine il valore dell’incognita così ottenuto lo sostituiamo nell’equazione in cui l’altra incognita era stata isolata. Esempio svolto: 3  x−6  4  y−7  x4 y−3  = − 4 5 10 4   2 x y1 3 x−1 5 y1 − = − 3 2 5 12 calcoliamo il m.c.m: 15  x−6 16  y−7  2  x4  −5  y−3  = 20 20 40 x −30  y1  36  x−1  −5  5 y 1  = 60 60 eliminiamo i denominatori: 15 x−9016 y −112=2 x8−5 y15 20 x−30 y −30=36 x−36−25 y−5 isoliamo le incognite dalle costanti: 15 x−2 x16 y 5 y=90158112 40 x−36 x−30 y25 y =−36−530 semplifichiamo e scriviamo il sistema in forma normale: 13 x21 y=225 4 x−5 y=−11 isoliamo x nella seconda equazione: 13 x21 y=225 5 y−11 x= 4 sostituiamo nella prima equazione 5 y−11 13 21 y=225 4 5 y−11 x= 4

{ { { { {

{

{

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I sistemi di equazioni di primo grado nella prima equazione abbiamo una sola incognita: risolviamo allora rispetto ad essa: 1043 y= =7 65 y −14384 y=900 149 y=1043 149 ⇒ 5 y−11 5 y−11 ⇒ x= x= 5 y −11 x= 4 4 4 infine sostituiamo il valore di y così determinato nella seconda equazione per trovare x:

{

{

{

{

y=7 5⋅7−11 24 x= = =6 4 4 e la soluzione, riscritta in forma ordinata, è: x=6 . y=7

{

II.

Metodo di somma o sottrazione o metodo di riduzione Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica, II.a si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un’incognita II.b si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per l’incognita considerata II.c si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare un’incognita II.d si risolve l’equazione così ottenuta ad una sola incognita II.e a scelta si può ripetere il procedimento per l’eliminazione dell’altra incognita oppure effettuare il metodo di sostituzione. Esempio svolto (riprendendo l'esempio del numero I): 13 x21 y=225, chiamiamo ( 1 ) la prima equazione 4 x−5 y=−11 , chiamiamo ( 2 ) la seconda equazione Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 13 e 4 è 52, perciò moltiplichiamo la prima equazione per 4 e la seconda per 13 (queste moltiplicazioni sono ammesse in virtù del secondo principio di equivalenza per le equazioni) e poi eseguiremo la sottrazione membro a membro. Conveniamo di indicare questa operazione con la seguente notazione: 4  1  −13  2  dove  1  e  2  indicano, rispettivamente come scritto sopra, la prima e la seconda equazione del sistema e conseguentemente: 4  13 x21 y =4⋅225 13  4 x−5 y  =13⋅−11  Per eliminare la y è sufficiente eseguire la sottrazione membro a membro ovvero: 52 x84 y=900 ⇒ 52 x 84 y=900 ⇒ 149 y=1043 ⇒ y=7 52 x−65 y=−143 52 x −65 y =−143

{

{ {

{

__________________________________

52 x−52 x84 y65 y=900143

In maniera del tutto equivalente, eseguiamo l'operazione: 5  1  21  2  allo scopo, stavolta di eliminare la y: 5  13 x21 y =5⋅225 ⇒ 65 x105 y=1125 84 x−105 y=−231 21  4 x −5 y  =21⋅ −11 

{

{

__________________________________

65 x84 x105 y−105 y=1125−231

Quindi la soluzione è:

. {x=6 y=7

- 4-

⇒ 149 x=894 ⇒ x=6


I sistemi di equazioni di primo grado III.

Metodo del confronto È un'applicazione della proprietà transitiva dell'uguaglianza che afferma che se A=B e B=C allora A=C . Infatti, se il sistema è ridotto alla forma normale, isoliamo la stessa incognita in entrambe le equazioni e, poi (in virtù della proprietà transitiva dell'uguaglianza), uguagliamo le espressioni situate ai membri di destra. Si ottiene così un’equazione in una sola incognita (per es. x), facilmente risolvibile. Allo scopo di individuare il valore dell'altra incognita (la y), sostituiamo il valore ottenuto (di x) in una delle due equazioni di partenza e così riusciamo ad ottenere la soluzione completa. Esempio svolto (riprendendo ancora l'esempio del numero I): 13 x21 y=225 4 x−5 y=−11 isoliamo x da entrambe le equazioni: 225−21 y x= 13 5 y−11 x= 4 uguagliamo i due membri di destra: 225−21 y 5 y −11 900−84 y 65 y−143 = ⇒ = 13 4 52 52 eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad y: −1043 −65 y−84 y=−900−143⇒−149 y=−1043⇒ y= =7 −149 Adesso, isoliamo y da entrambe le equazioni ed uguagliamo ancora i due membri di destra: 225−13 x y= 225−13 x 114 x 21 ⇒ = 21 5 114 x y= 5 calcoliamo il m.c.m (=110), eliminiamo i due denominatori e risolviamo rispetto ad x : −894 1125−65 x=23184 x ⇒−65 x−84 x=231−1125 ⇒−149 x=−894⇒ x= ⇒ x=6 −149 x=6 . Quindi la soluzione è: y=7 Metodo di Cramer o delle matrici a xb y=c Consideriamo ancora un sistema ridotto alla forma normale: . a ' xb' y=c ' Siano delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni: b =a⋅b ' −a '⋅b,  = c b =c⋅b' −c '⋅b e  = a c =a⋅c ' −a '⋅c = a . x y a' b' c' b' a' c' Se ≠0 le soluzioni si trovano calcolando:   x= x e y= y   Esempio svolto (riprendendo un'ultima volta l'esempio del numero I): 13 x21 y=225 4 x −5 y=−11

{

{ {

IV.

{

{

{

- 5-


I sistemi di equazioni di primo grado

∣ ∣ ∣

21 =13⋅−5 −4⋅21=−65−84=−149, = 13 4 −5 21 = 225⋅ −5  11⋅21=−1125231=−894 e  x = 225 −11 −5 13 225 y= =13⋅−11  −4⋅225=−143−900=−1043 4 −11

∣ ∣

- 6-

{

x= y=

x

 y 

= =

−894 =6 −149

−1043 =7 −149


Definizione e proprietà dei radicali Definizione e proprietà dei radicali Definizione: dati tre elementi a ∈R + e m , n∈Nsi definisce radicale di indice m e radicando a n la pon

tenza a m ed esattamente: n

a m = =  an m

DEF.

Quindi per poter svolgere agevolmente qualunque operazione con i radicali sarà necessario applicare correttamente le proprietà delle potenze. Intanto ricordiamo che: Se n è numero intero pari Se n è numero intero dispari n a=b significa a=b n n  n a=b significa a=b  se a, b sono numeri reali positivi, negativi o se a, b sono numeri reali positivi o nulli nulli Esempi:  9=3 ; mentre −9 non esiste ; 3 27=3 e 3 −27= -3 . Operazioni: n 4 Semplificazione:  a n =a ; ad esempio  5 4 =5 . n⋅p m⋅p n m 15 =  a =  a ; esempio: 14 a30 =7 a15 ; poiché si semplifica la frazione 30 . 14 7 n n n Somma di radicali: si esegue solo se i radicali sono simili: a  xb  x=  ab   x ; Esempio: 2  25  2=7  2 ; mentre la somma 2  35  2 non si può eseguire utilizzando questa regola. n m n p n m p Prodotto di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali:  x ⋅ y = x y .

 

 p

  b  ; a x⋅

p n

y⋅

p n

dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m)  a ⋅ b =  3⋅4   4⋅ 3  4 3 4 12 Esempio 2:  2 5⋅ 35 =   2 5  ⋅   35  =  220⋅315 . n n n Quoziente di radicali: si esegue solo se gli indici delle radici sono uguali:  x m :  y p =  x m : y p . Esempio 1:

n

x m

y

3

Esempio 1:

n a x : m b y =

 p



a  : b = a  ;   b x⋅

p n

y⋅

p n

x⋅

p n

y⋅

p n

p

 2  :   3  =

dove con p si è indicato il m.c.m.(n, m)

2 20 . 315 n m n m n 3 4 3 4 3 Trasporto di fattori sotto il segno di radice: a  b =  b ⋅a ; Es.: 3⋅ 5 = 5 ⋅ 3 ; n m n n m 6 3 6 21 3 Trasporto di fattori fuori dal segno di radice:  b ⋅a =a  b ; Es.:  a ⋅b =  a ⋅b =a ⋅b⋅ b

Esempio 2:

3 2 5: 4 35=

Potenza di radicali:

3⋅4 

5 4  4⋅ 3 

 n a  = n a m m

5 3

12

;

Esempio:

 4 3  = 43 3 . 3

m n 4 6  m⋅n   4⋅ 6  24 Radice di radice:  a=  a ; Esempio:  7=  7=  7 . Razionalizzazione del denominatore. Esaminiamo tre casi: a a b a b a a b− c a   b− c  = ⋅ =  ; 1. 2. = ⋅  = ; b b b b b−c  b c  b c  b− c n n−m n n−m n n−m n n−m a a b a⋅ b a⋅ b a⋅ b . 3. n m = n m⋅n n−m = n m n−m = n n = b b b b b b

Radicali doppi: vale la seguente identità (utile se la quantità (a2 - b) è un quadrato):

Esempio:

 2 3=



 a± b=

a a 2 −b a− a 2 −b ± . 2 2

 

2 2 −3 2− 2 −3 21 2−1 3 1  =  =  . 2 2 2 2 2 2 2

2

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Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2° Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2° Un’equazione algebrica di secondo grado (=2°) è un oggetto algebrico che, scritto nella forma completa, si può rappresentare così: 2 ax bxc=0 dove a , b e c ∈R e a ≠ 0. Possiamo facilmente provare che le soluzioni possono essere scritte nella seguente forma: −b± b 2 −4 a c x= 2a Adesso conveniamo di chiamare il radicando del radicale che compare nella formula risolutiva discriminante dell’equazione di 2° ponendolo, per comodità, uguale a ∆ (si legge: delta) e cioè: 2 Δ=b −4 a c . Per classificare le due soluzioni dobbiamo considerare tre casi (in base alle variazioni del segno di ∆): 1) ∆ > 0. Allora la   è un numero reale e abbiamo due soluzioni x 1 , x 2 reali e distinte  x1 ≠x 2  2) 3)

∆ = 0. Allora la   è uguale a 0 e abbiamo due soluzioni x 1 , x 2 reali ma coincidenti  x1 = x 2 

2 ∆ < 0. Allora la   non è un numero reale e l’equazione completa ax bxc=0 non ha soluzioni reali.

Esempio: 2 risolviamo l’equazione: 2 x −9 x−5=0 . a=2 Innanzitutto si ha: b=−9 . Applichiamo la formula e otteniamo: c=−5 2 −b± b −4 a c 9±  81−4  2  −5  9± 121 9±11 x= = == = . 2a 4 4 4 911 20 9−11 2 1 Allora: x 1 = = =5 e x 2== =− =− . 4 4 4 4 2

{

Troviamo un'applicazione di questa formula nella fattorizzazione a coefficienti reali del trinomio di 2 secondo grado a x b xc . A questo proposito è facile dimostrare che vale la seguente identità: (1) a x 2b xc = a  x− x 1  x−x 2  ≥0

dove x 1 e x 2 sono le soluzioni reali dell'equazione algebrica associata al trinomio e cioè le soluzioni dell'equazione: ax 2bxc=0 . Esempio:

1 Consideriamo il trinomio: − x 2 −3 x2 . Troviamo le soluzioni dell'equazione algebrica associata: 2 1 3± 94 − x 2−3 x2=0 ⇒ x =  =−3±  13 . Applicando la formula (1) possiamo quindi 2 −1 fattorizzare il trinomio e esattamente: 1 2 1 − x −3 x2=−  x − 3− 13  ⋅ x− 3 13   . 2 2

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Goniometria

Goniometria Misura degli angoli Un angolo qualunque si può misurare utilizzando diverse unità di misura. Le unità di misura più utilizzate sono tre: 1. gradi sessagesimali. Un grado sessagesimale è la 360-ma parte di un angolo giro. 2. gradi centesimali. Un grado centesimale è la 400-ma parte di un angolo giro 3. radianti. Un radiante definisce la misura dell'angolo al centro di una circonferenza che insiste su un arco di misura uguale al raggio della circonferenza stessa. ̂ s disegnato in fig. 1. Supponiamo che in Consideriamo l'angolo r O gradi sessagesimali la sua misura sia α ° e che in radianti la misura sempre dello stesso angolo sia x radianti. Dalla evidente s proporzione: α ° :360 ° = x :2 π , si ottengono le formule di conversione da gradi sessagesimali a α°, x radianti e viceversa e cioè: O r α °⋅π ; 1. x= fig. 1 180 ° x⋅180 ° . 2. α °= π In maniera del tutto analoga si procede per ottenere le formule di conversione da gradi centesimali a radianti (e viceversa) e, infine, da gradi sessagesimali a gradi centesimali (e viceversa). Nel resto di questo capitolo quando faremo riferimento ai gradi sottintenderemo sempre i gradi sessagesimali. In fig. 2 è disegnato un particolare disco goniometrico che descrive un angolo giro. Si può notare l'ampiezza degli angoli espressa in gradi e in radianti con, in particolare evidenza, l'ampiezza degli angoli “più” importanti (meglio: più usati). Inoltre, per gli angoli che appartengono ai quadranti definiti dai numeri romani I, II, III e IV sono indicate le variazioni del segno delle funzioni trigonometriche che saranno introdotte nel seguito di questo capitolo. Tabella con i valori numerici “più importanti” di sen α , cos α , tan α e cotan α . Angolo α

sen α

cos α

tan α

cotan α

00 ,0

0

1

0

Non esiste

300 , π 6

1 2

√3

√3

2

3

45 0 , π 4

√2

√2

2

2

1

1

600 , π 3

√3

√3

√3

2

1 2

1

0

Non esiste

0

√3

−√ 3

3 −√ 3

0 90 , π 2

0

120 ,

2 π 3

2

1 2

- 9-

√3

3


Goniometria 1350 ,

3 π 4

√2 2

2 −√ 2

−1

−1

1500 ,

5 π 6

1 2

3 −√ 2

3 −√ 3

−√ 3

1800 , 2 π

0

−1

0

Non esiste

fig. 2

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Formule più importanti di trigonometria Formule più importanti di trigonometria Δ

È assegnato un triangolo rettangolo ABC disegnato in fig. 1: B

c

a C

x

A

b

fig. 1 Le funzioni trigonometriche dell'angolo x sono definite così: a cateto opposto 1. sen x= = c ipotenusa b cateto adiacente 2. cos x= = c ipotenusa sen x a cateto opposto = = 3. tanx= cos x b cateto adiacente cos x b cateto adiacente = = 4. cotan x= sen x a cateto opposto 1 c ipotenusa = = 5. sec x= cos x b cateto adiacente 1 c ipotenusa = = 6. cosec x= sen x a cateto opposto Relazione fondamentale: 7. ∀ x∈R si può dimostrare che vale la seguente identità: sen 2 x cos 2 x=1 da cui: sen x=± 1−cos 2 x e cos x=± 1−sen 2 x Formule di addizione e sottrazione: 8. Qualunque siano i due numeri α e β∈R valgono le seguenti identità: sen  α±β  =sen α⋅cos β±sen β⋅cos α cos  α±β =cos α⋅cos β∓sen α⋅sen β tan α±tanβ tan  α±β = 1∓tan α⋅tanβ Formule di bisezione: 9. Qualunque sia α∈R valgono le seguenti identità: α 1−cos α α 1cos α sen =± , cos =± 2 2 2 2 Relazioni tra gli elementi di un triangolo qualsiasi I due seguenti teoremi si utilizzano quando di un triangolo qualsiasi dobbiamo determinare lati e angoli. Per i due teoremi che seguono facciamo riferimento alla fig. 2

A

α

c

β B

b a

γ C

fig. 2 Teorema dei seni (o di Eulero) Enunciato: in un triangolo qualsiasi le misure dei lati sono proporzionali ai seni degli angoli opposti e cioè, facendo riferimento alla fig. 2, si ha: - 11 -


Formule più importanti di trigonometria a b c = = sen α sen β sen γ Esempi di applicazione del teorema dei seni: sen 30 ° sen 45 ° 2 1 α=30 ° , β=45 ° , a=16 u. ⇒ = ⇒ b=16u.⋅  ⋅ ≈22.62u. ; 1) 16 u . b 2 2 sen 40 ° sen β α=40 ° , b=15u. , a=25u. ⇒ = ⇒ sen β≈0.38 . 2) 25 u. 15u. Teorema del coseno (o di Carnot) Enunciato: in un triangolo qualsiasi, il quadrato della misura di ogni lato è uguale alla somma dei quadrati delle misure degli altri due lati, diminuita del doppio prodotto delle misure di questi due lati per il coseno dell’angolo fra essi compreso e cioè, facendo ancora riferimento alla fig. 2, si ha: 2 2 2 1. a =b c −2 b⋅c⋅cos α 2 2 2 2. b =a c −2 a⋅c⋅cos β 2 2 2 3. c =a b −2 a⋅b⋅cos γ Esempio di applicazione del teorema del coseno 1 2 2 2 2 2 2 γ=60° , a=5 u., b=8 u. ⇒c =a b −2 ab cos 60° =25 u 64 u −2⋅5 u⋅8 u⋅ =49u ; 2 per cui: c=7 u. , a=5u. , b=6 u.⇒ dal teorema precedente si ha: a c sen α sen γ a⋅sen γ = ⇒ = ⇒ sen α= ⇒ a c c sen α sen γ 3 5 u.⋅ 2 5 sen α= =  3≃0. 61 ⇒α≃37 ° ,59 . 7 u. 14

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Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano Nel seguito useremo queste notazioni: P 0≡ x 0 , y 0  , P1 ≡ x 1 , y 1  e P2≡ x 2 , y 2  per indicare i punti P 0 , P1 e P2 1. Formula della distanza fra due punti: P 1 P 2= 2. 3.

4. 5. 6. 7.

  x −x    y − y  2

2

1

2

1

2

x 1 x 2 y 1 y 2 , 2 2 x−x 1 y− y 1 Equazione della retta r passante per due punti distinti: r : = x 2 −x 1 y 2 − y 1 3a) se x1= x 2 ⇒ la retta è parallela all'asse y e ha equazione: x=cost. 3b) se y 1= y 2 ⇒ la retta è parallela all'asse x e ha equazione: y=cost. y 2− y1 3c) il coefficiente angolare si indica con m e si pone: m= =tan α e x 2−x 1 α=arctan  m   =tan−1  m   Oss: La dimostrazione è a questa pagina. Equazione della retta r in forma esplicita: r : y=mx p Equazione della retta r in forma implicita: r : axbyc=0 Equazione del fascio di rette passanti per il punto P 0 : y− y 0 =m  x− x0  Per disegnare il grafico di una retta è necessario determinare esattamente due punti appartenenti alla retta stessa: se la retta è scritta in forma esplicita y=mx p allora conviene determinare le coordinate di questi punti assegnando prima il valore 0 alla x, calcolare il corrispondente valore di y e poi il valore 1 e poi calcolare il corrispondente valore di y come descritto nella seguente tabella: x y Punto medio M del segmento di estremi i punti P 1 e P 2 : M≡

0

p

1

m+p

Se la retta è assegnata in forma implicita, e cioè, axbyc=0 allora, per determinare i due punti, è sufficiente assegnare prima alla x il valore 0, calcolare il corrispondente valore di y e poi il valore 0 ad y e poi calcolare il corrispondente valore di x come descritto nella seguente tabella: x

y

0

c b

c 0 a Qualora nell'equazione implicita il termine noto fosse 0  ad es. r : y=x ,  allora basterà eseguire una variazione nei valori scelti come illustrato dalla seguente tabella: x y −

0

0

a b Nel seguito faremo riferimento alle rette r e s di equazioni: r : y=mr x p r e s : y=m s x p s 1

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Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano 8. Condizione di parallelismo fra rette: due rette, r e s, sono parallele e si scriverà r//s se i loro coefficienti angolari sono uguali ovvero se: mr =m s 9. Condizione di perpendicolarità fra rette: due rette, r e s, sono perpendicolari e si scriverà r ┴ s se il prodotto dei loro coefficienti angolari è −1 ovvero se: mr⋅m s=−1 10. Il punto d'intersezione P fra due rette non parallele r e s : P=r ∩s= y=mr x pr y=m s x ps 11. Formula della distanza fra un punto P 0 e una retta di equazione implicita r : ax byc=0 ∣a x0 b y 0c∣ d=  a 2b 2 Oss. La dimostrazione è a questa pagina. 12. Angolo formato fra due rette: Consideriamo le rette r e s che si intersecano nel punto P e i due angoli β opposti al vertice rs . Il grafico disegnato nel P: β è l'angolo formato dalle due rette r e s e si scriverà β=̂ riquadro illustra la situazione geometrica. È facile dimostrare che vale la seguente uguaglianza: y α s=α r + β ovvero: β=α s−α r β e, quindi: tan ( β )=tan ( α s−α r ) P=r∩s e dalla formula di sottrazione della tangente si ha: tan α s−tan α r β tan ( β )=tan ( α s−α r )= . αr αs 1+ tan α s⋅tan α r Ricordando che tan ( α s ) =m s e tan ( α r )=mr , sostiO r x s tuendo si ottiene la formula che calcola la tangente dell'angolo formato fra le due rette ed esattamente: m −mr tan  β  = s e, applicando tan−1 ad entrambi i membri, si ottiene l'angolo: 1ms⋅mr ms−mr β=tan−1 . 1m s⋅mr Formule riguardanti le coniche – CIRCONFERENZA Definizione: una circonferenza è costituita da un insieme di punti di un piano equidistanti da un punto fisso, C, chiamato centro. La distanza di un punto qualunque della circonferenza dal centro si chiama raggio. 2 2 Equazione cartesiana di una circonferenza: Γ : x  y axbyc=0

{

Centro di una circonferenza:

a b C≡ − , − 2 2

Raggio di una circonferenza:

r=

a2 b2  −c 4 4

Equazione cartesiana di una circonferenza con il Γ : x 2  y 2−r 2=0 ovvero: Γ : x 2 y 2=r 2 - 14 -


Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano centro nell'origine e raggio r: Equazione cartesiana di una circonferenza con il 2 2 centro sull'asse x e cioè nel punto C≡ − a , 0 : Γ : x  y axc=0 2

Equazione cartesiana di una circonferenza con il 2 2 centro sull'asse y e cioè nel punto C≡ 0 , − b : Γ : x  y byc=0 2

PARABOLA Definizione: una parabola è costituita da un insieme di punti di un piano equidistanti da un punto fisso, F, chiamato fuoco e da una retta, d, chiamata direttrice. Equazione cartesiana di una parabola che ha l'asse 2 P: y =a x b xc di simmetria // all'asse y: Coordinate del Vertice:



 b b 2−4 a c b ,− ≡− ,− 2a 4a 2a 4a

b 1− , 2a 4a

V≡ −

2

ricordando che: =b −4 ac

Coordinate del Fuoco:

F≡ −

Equazione cartesiana della retta direttrice:

d : y=−

Equazione cartesiana dell'asse di simmetria:

x=−

1 4a

b 2a

Equazione cartesiana di una parabola che ha l'asse P: x=a y 2 b yc di simmetria // all'asse x: Mutue posizioni di una circonferenza (o parabola) ed una retta: Una retta ed una circonferenza (o parabola) possono essere: 1) secanti e, in questo caso, esistono due punti di intersezione, S1 e S2, fra la circonferenza (o parabola) e la retta s 2) tangenti e, in questo caso, esiste un punto di intersezione, T, fra la circonferenza (o parabola) e la retta t 3) esterne e, in questo caso, NON esistono punti di intersezione fra la circonferenza (o parabola) e la retta e. Tutto ciò è riassunto graficamente nelle figg. 1 e 2 –

y

y

t T

P

s

S1

e

t

S1

S2

Γ S2

O .

T e

s

x

fig. 1

O

x fig. 2

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Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano Per determinare analiticamente la posizione di una circonferenza rispetto ad una retta r qualunque, occorre risolvere un sistema di 2° costituito dall'equazione della circonferenza e l'equazione della retta e poi studiare il discriminante dell'equazione risolvente il sistema e cioè: 2 x 2 y 2a xb yc=0 ⇒ x 2  m x  p  a xb  m x  p c=0 ⇒ y=m x p y=m x p

{ { m x 2 m p x p a xb m xb pc=0 ⇒  1m  x   2 m pb ma  x p b pc=0 {xy=m { y=m x p x p 2

2

2

2

2

2

2

L'equazione:  1m2  x 2 2 m pb ma  x p2b pc=0 è chiamata equazione risolvente il sistema e, come scritto sopra, ne dobbiamo studiare il discriminante. Ponendo: α= 1m2  , β= 2 m pb ma  e γ= p 2b pc , l'equazione si trasforma ed assume la seguente semplice (e nota) forma: α x 2β x γ=0 il cui discriminante è: =β2−4 α⋅γ . Possono capitare tre casi (a seconda del segno di  ) ed esattamente: – ∆ > 0. Allora esistono due intersezioni x 1 , x 2 distinte  x1 ≠x 2  e la retta è secante e i punti di intersezione sono: S1≡ x1 , m x1  p  e S2≡ x 2 , m x 2 p  – ∆ = 0. Allora esistono due intersezioni x 1 , x 2 coincidenti  x1 =x 2  e la retta è tangente e il punto di tangenza è: T≡ x 1 , m x 1 p  – ∆ < 0. Allora NON esistono intersezioni reali e la retta è esterna. Nel caso della parabola si procede in maniera del tutto analoga.

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Dimostrazione della formula della distanza punto-retta Dimostrazione della formula della distanza punto-retta Siano assegnati una retta r:ax byc=0 ed un punto P 0 esterno ad r cioè P0≡ x 0 , y 0 ∉r. Facendo riferimento alla fig. 1, ricordiamo che la distanza fra un punto ed una retta è rappresentata dal segmento di minima lunghezza che possiamo tracciare per congiungere il punto e la retta in questione. In base a ciò, il segmento, che ha origine in P0 dovrà essere ortogonale alla retta r. Sia H il piede della perpendicolare tracciata da P0 .

y P0≡  x 0 , y 0 

d H

O

r

x

fig. 1 Detto ciò, vogliamo dimostrare che la distanza d=HP 0 è definita dalla seguente formula: ∣ax by c∣ d= 0 2 0 2  a b Dim. Sapendo che la retta r è assegnata in forma implicita (qualora fosse assegnata in forma esplicita sappiamo che è sempre possibile esprimerla in forma implicita con semplici passaggi algebrici), possiamo determinarne il coefficiente angolare: a m r=− b e, dovendo essere HP0 ⊥ r , possiamo calcolare il coefficiente angolare della retta HP0 e cioè: b mr = . a b Scriviamo l'equazione della retta HP0 che ha per coefficiente angolare : a b HP0 : y− y 0 =  x−x 0  a e, calcolando il m.c.m. ed eliminando il denominatore  se a≠0 , si ha: HP0 : a  y− y 0 =b  x− x 0  . Adesso, allo scopo di determinare le coordinate del punto d'intersezione H fra la retta HP0 e la retta r, impostiamo e risolviamo il sistema: byc x=− byc x=− axbyc=0 a ⇒ ⇒ ⇒ a a  y − y 0 =b  x−x 0  byc a  y − y 0 =b  x− x0  b − −x 0 −a  y − y 0 =0 a ⊥

{

{

{

{

{

{

byc byc by c x =− x=− ⇒ ⇒ ⇒ a a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −b y−bc−abx 0−a y a y 0=0 − y  a b  =bcabx 0 −a y 0 y  a b =a y 0−abx 0 −bc x=−

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Dimostrazione della formula della distanza punto-retta

{

{

{

a 2 y 0−abx 0−bc by c a2 y 0−abx 0 −bc x=− b c 2 2 a axb c=0 a b 2 2 x=− 2 a b ⇒ ⇒ a y0 −abx 0−bc ⇒ a y H= a2 y 0−abx 0−bc 2 2 2 a y 0−abx 0 −bc a b yH=  y H= a 2b 2 2 2 y è l'ordinata di H a b

{ {

H

{

a 3 xa b2 xa 2 b y 0−a b2 x 0−b2 ca 2 cb2 c=0 a 3 xa b2 xa2 b y 0−a b2 x 0a2 c=0 ⇒ ⇒ a2 y 0 −abx 0−bc a2 y 0−abx 0 −bc y H= y = H a2 b2 a 2b 2

{

b2 x 0−a b y 0−a c

x H= a 2 x b2 xa b y 0−b2 x 0a c=0  a 2b 2 2 ⇒ x è l'ascissa di H ⇒ a y 0 −abx 0−bc y H= 2 a y 0−abx 0 −bc a2 b2 y H= a 2b 2

H

b2 x 0−a b y 0−a c a2 y 0−abx 0−bc H≡ , . 2 2 2 2 a b a b Adesso, utilizzando la formula della distanza fra due punti, troviamo d =HP0 . d =HP0 = = = = = =

√(

√( √( √( √(

√(

x0−

a 2 +b2

( a 2 +b2 ) x 0 −b 2 x 0 + a b y 0 +a c a 2 +b2 1 2 a +b 2 1 2 a +b 2

2

) (( (a +b ) x −b 2

2

0

2

2

b 2 x 0−a b y 0 −a c

2

)( ( )(

+ y 0−

2

+

2

a 2 y 0−abx 0 −bc

)

a 2 +b 2

=

a 2 +b2 ) y 0−a 2 y 0 +abx 0 +bc a 2 +b 2

2

)

=

2

2

)

x 0 +a b y 0 +a c ) + ( ( a 2 +b 2 ) y 0−a 2 y 0 +abx 0 +bc ) =

) (( a x +b x −b x +a b y +a c ) +( a y +b y −a y +abx +bc ) ) = 1 ( ( a x +a b y +a c ) + (b y +abx +bc ) ) = a +b ) 1 ( a x + a b y +a c +2 a b x y +2 a c x +2 a b c y +b y +a b x +b c + a +b ) 2

2

2

2

2

0

0

0

4

2

2

2

2

2

2

2

0

0

0

2

0

2 0

2

0

2

0

2 0

2

0

2

2

2

2

2

2

0

0

3

3

0

2

0

0

4

0

2 0

2

2

2 0

2

2

+2 a b3 x 0 y 0 +2 b 3 c y 0 +2 a b 2 c x 0 ) =

√(

1 2 a +b 2

2

) ( a x ( a +b )+b y (a +b )+2 a b x y (a +b )+2 a c x ( a +b )+2 b c y ( a +b )+ +c ( a +b ) ) = (√ a +b1 ) (a +b ) ( a x +b y +2 a b x y +2 a c x +2 b c y +c ) = =

2

2

2

2 0

2

√(

2

2

2

2

=

2

1 a 2 + b2 2

( a 2 +b2 ) 1

2 0

2

2

2

0

2

2

2

2

2 0

2

2

2 0

(a

2 0

2

2 0

2

2

0

2

0

0

2

x +b y +c +2 a b x 0 y 0 +2 a c x 0 +2 b c y 0 ) = Questa espressione è il quadrato di: a x 0 +b y 0 +c

=

2

0

)⏟ √ 2

2

0

∣a x0 +b y 0 +c∣

√ a 2 +b 2 - 18 -

c.v.d.

0

0

( a x 0 +b y 0 +c ) a 2 +b 2

2

√ ( a x +b y +c ) = 0

0

√ a 2 +b2

2

=


Dimostrazione dell'equazione cartesiana di una retta Dimostrazione dell'equazione cartesiana di una retta Siano assegnati due punti distinti P 1≡ x 1 , y 1  e P2≡ x 2 , y 2  con il segmento P 1 P2 non parallelo né all'asse x né all'asse y. Per un postulato di geometria elementare sappiamo che, per due punti distinti, passa una e una sola retta P1 P2. Basandoci su questo postulato, vogliamo determinare l'equazione cartesiana della retta r che, in piano cartesiano ortogonale e monometrico Oxy, passa per i due punti distinti P1 e P 2 .

y K K2 K1

P P2

C

P1 A

B

r O H1 H2

H

x

fig. 1 Dim. Consideriamo la fig. 1. Supponiamo, senza perdere nulla in generalità, che anche P∈r. P è un qualunque altro punto appartenente alla retta r e quindi le sue coordinate saranno generiche e incognite: P≡ x , y  . Partendo dai punti P1≡ x 1 , y 1  , P2≡ x 2 , y 2  e P≡ x , y  tracciamo le proiezioni ortogonali P1 H1 , P2 H 2 , P H (rispetto all'asse x ) e P1 K1 , P2 K2 , P K (rispetto all'asse y ). Per la perpendicolarità, conosciamo le misure dei seguenti segmenti: HH1 = x−x 1 , H2 H1 = x 2− x1 , KK 1 = y− y 1 , K2 K 1 = y 2− y 1 . (*) Inoltre, i due trapezi rettangoli H1 H2 P2 P1 e H1 H P P1 sono simili tra loro poiché hanno lo stesso numero di lati e gli angoli corrispondenti congruenti e quindi vale questa relazione: HH 1 PP1 = , (1) H 2 H 1 P 2 P1 e, per lo stesso motivo, i due trapezi rettangoli K1 P1 P K e K 1 P1 P2 K 2 sono simili tra loro cosicché vale questa relazione: KK 1 PP1 = . (2) K 2 K 1 P2 P 1 Confrontando la (1) con la (2) si ha: HH 1 KK 1 = H 2 H1 K 2 K 1

(3)

e, sostituendo le misure definite dalle uguaglianze (*), si ottiene: (4)

r:

x−x 1 y− y 1 = . x 2− x1 y 2− y 1

Quest'ultima uguaglianza si chiama: equazione cartesiana di una retta r passante per due punti distinti P 1 P 2 . Oss. Se x 1 = x 2 , allora la retta P1 P2 è verticale. In questo caso, l'equazione (4) perde di significato A) poiché un suo denominatore vale 0. È tuttavia naturale, in questo caso, utilizzare l'equazione: - 19 -


Dimostrazione dell'equazione cartesiana di una retta B) C) (5)

(6)

x = costante o, più sinteticamente: x=cost o, meglio ancora: r: x=k. Se y 1 = y 2 , allora la retta P 1 P2 è orizzontale. Come prima, l'equazione (4) perde di significato poiché un suo denominatore vale 0. È tuttavia naturale, in questo caso, utilizzare l'equazione: y = costante o, più sinteticamente: y=cost o, meglio ancora: r: y=k. Se x 1≠x 2 e y 1≠ y 2 allora, con semplici passaggi algebrici, possiamo riscrivere l'equazione (4) nella forma implicita e cioè: r:ax byc=0 e, ancora, isolando la variabile y, possiamo riscrivere l'equazione (4) nella forma esplicita e cioè: r: y=mx p

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Indice Indice

Indice generale Elenco dei simboli più importanti...........................................................................................................1 Proprietà delle potenze e alcune formule algebriche più importanti.......................................................2 I sistemi di equazioni di primo grado......................................................................................................3 Definizione e proprietà dei radicali.........................................................................................................7 Formula risolutiva dell'equazione algebrica di secondo grado e fattorizzazione del trinomio di 2°.......8 Goniometria.............................................................................................................................................9 Misura degli angoli.............................................................................................................................9 Formule più importanti di trigonometria...............................................................................................11 Formule riguardanti la retta e alcune coniche in un piano cartesiano...................................................13 Dimostrazione della formula della distanza punto-retta........................................................................17 Dimostrazione dell'equazione cartesiana di una retta............................................................................19 Indice.....................................................................................................................................................21

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Appunti per le terze classi-2012-13