Elementos de Aritmética: Escuelas Primaria, Elemental, Superior, Texto Escuelas de la Isla (1868)

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PAliA USO })E lAS ~C UELAS

DE l~JSIRUt;(;lON :P1Uffi.AR1A E LEM EN TAL Y SUPEHJOH J?O B.

ProjiwrH

de tiWI<;múlicas 110r las [,-¡licasidmles ('('t/ lml :'! de Barcelona, v aprobado por S. Jlf. ltn la ' Es1·,cela Jl!'C)Jarator ia de I11.fJC11icro:>.

Obr :: :<<IO J> tatl a d (' text o ¡lat ·a l a s e scu elas de la bla .

Pl' ER TO -nl CO.

1868. © Biblioteca Nacional de España

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Esta ohra es ¡>ropicd:Hl tlc lo• Sres. Rutlri¡;ut·z y !!cal. lo~ cuac~ perseguirán ante la ley:\ los •¡uc 1~ reimpriman y J>Ullli•tnt·u eiu l'U couscntimicutu.

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La. falta de Wb tratado elemental de A ritmética que pueda servir de texto á, las E scuelas de instruccion 1Jrimaria, es nolor·ia. Los que existen, ·ó están escritos para la. segunda enseí'ítmza y no pueden adaptarse lÍ ll~ débil inteligencia de wt ni?Io, ó son tnn incompletos y escasos ele doctrina que en -re de desarrollar su razon le inculcan únicamente prácticas ntlinarias, inlw7liltlánclole JJCira que aprenda á mciocinar cuando sea adulto.

Satisfacer á esta necesidcul ha sido el objeto que me lw Jn-opuesto al csc1·ibir estos ErJE~mKTOS, los cualf'-S espero serán bien acofidos 11o1· los l>t·oj'esores yue tan embamzados se ven para amuldar sus ex.p licacioncs cí los textos hasta. hoy adoptados.

Ft·tu.tcisco Foutatti llcs .

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lNTRODUCCION.

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Proposicion es la expresion de tma idea, por rjemplo: el hombre criminal es castigado 1JOr la. ley.

Dcfinú;ion es una proposicion que explica l<t significacion de una palabra, v. g-. la gmnuí.tica es l't arte rle hablcM· con prop·iedad.

Para que unn, clefinicion sea perfecta os preciso que :;atisfaga á las condiciones siguientes: 1~ El objeto definiuo no debe repetirse en la tlefinicion.

2'.' La definiéion ha de ·e star ·fundada en las propiedades del objeto definido.

3'~ Ha de ser tan clara, y .precisa, que el objeto definido no pueda, confundirs e con ningnn otro. .Axio·ma es una proposicion evillentc por sí misma, y que no exige por tanto explicacion alguna, por ejemplO; u.na parle (le un objeto es menor que el mismo {lb-jeto.

Teorema es una, proposicion YCrdadern, pero que exige cxplicacion pltraaclmitil·lacomo tal, v.g.: toclas/.()s C?U~I]JOS son 1Jorosos, cuya proposicion exige que se demuestre qno la porositlacl es 11 11Íl ¡m>picdad 'COllluH ú todos los cuCI}JOs, para que p0da mos admitirla como Yercladera.

Todo teorema comprende por tanto dos parte:;: la hipótesis y la demostracion. En 1:>. primera ~e

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- 6 -. enuncia simplemente lo que se trata de probar: en, la secrunda se dan las razones necesarias para conYenc~rnos de que la. lúpótesis establecida es cierta, ó se ponen de manifiesto los hecho::; que la. demues t.ran.

Dos son la« clases de demostraciones: racional y experimental En ht racional se ltacen los argumentos lógicos que prueban la verdad: en ht experimentAl so hrwen los expcrirneuto::; que demues · tmn la hipótesis.

Etitas demostraciones no se emplenn indistintamente sino que se usa la que condene en cada caso. As( en el ejen1plo quo hemos pre¡.;entculo, pa... m proh:tr qtle los Ct\Orpo::; son porosos se empleará la demostmcion experimental y no poclrl~ usar::;c la racional, pues la porosidad es nna propiedad natu.ral de los cuerpos que solo se demuestra con he-. c:Los. .en I1L clemostracion rar.ional se emplean dos métodos: cl·iredo v JlOr ?·educC'ion «l absurdo. El mé·' totlo tlirc('f:O eonsiste en probar In, vonlatl de ht hipóte::;i>;, fnndántlonos en axiomas ó en teorema:; ya dctnostmdos: el método por reduccion al ahsmdo comüste en suponer fa.ba. la hipótesis y de111ostrar C[\te de tal snposicion ~sulta un juicio eYiclentcmento fiíll'O ó absurdo. E stos do:; métodos tampoco se a.pliüan indistintamente, sino quo en cada C.'Lso se u~a el que ll<íls conviene.

Par:t que una. demostracion racional sea P"'l'· fectn, C:' r rcciso que satisfaga á las condiciones :;iguiente!i: .

1'.' N,) dc·be apoy.u·se en heclJOS, porque esto~ pueclC:in sor ciertos en unos casos r f:1!!:o,¡ en otros.

2'.' :0:o do be fumlarse en p ropo~ic·i onl?s que no © Biblioteca Nacional de España

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estén demostradas, á menos que sean axiomas, en cuyo caso son evidentes.

3~ Ha de ser tan general que no tenga ninguna excepcion, pues si tiene alguna, la proposicion est~\ulecida. ya no es un teorema.

Ru t.od;t demostracion deben evitarse uos Yicios qne se conocen con el nombre de circulo vicioso y jJeticion ele pri.ncipio.

B l círculo vicioso. es el rnciocinio C¡ne se hace i11útilmcnte pn.n< venir {t pamr á la. m is ma proposicion r¡ue se trata ele demo.strar.

L•• peticion de principio consiste en apoym·se . en la hipótesis misma. 'rouo teor ema tiene su recíproca. Llámase así á otra proposicion en qnc el sujeto pasa. ft ser conclm;ion y recíprocamente, la conclnsion pasa á ser sujeto.

Así el recíproco del teorema que antes ennncia.mos serú este otro: todos los objc1o.s Ji07·osos .son cuerpos.

De qne una proposicion sea. venhtdem no se uednce por eso que su recíproca, lo f<CI\ tmnbien; y vor tanto h;<y que demostrar la ven lml ae las r ecfprocas cuando son ciertas y su fu.laedad cmmdo 110 lo son, r~ menos que los teoremas rccf procos sean ~·1·i dentes ó axiomas. ],(>'!Jta es u ntt proposicion general que comprende ntrios teoremas.

Cornlario e:< una consecuencia que se desprende inmediatamente de la demo:;o·acion tle uu teol'CllHJ. Escolio es mm ad-vertCllCÍa. que se l1ace para amplinr 6 rctlucir ht extension de una proposic:inn.

Probhm1c~ es nna. proposicion en h que se propone h111lar ciertos objetos cleseonocidos por mcdiC>

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de las relaciones ~~ue lo,; liga n ft otros conocíuo~.

J. os 0 bjetos conot,idos se llam an datos y los tlesc;C\nocidos 1·csulln.dos ó úzcór¡uitas. . ;... Tod o problema. comprende tres parte¡;, ú sa-,~J:er: el emmciralo, la soluáon y la clwc:usirm.

En el emmciado se cs¡H·c:>a sencillamente ]{) <¡ue se trata. de a.ve rigua r.

En la solucion se emplean los medios necE'Sil· rios par a hal lar el resultado, fuudánclose en axio mas, en teo1;cmas y:1. demostrados, ó en problema!< ,-a resueltos. · Y en la discnsion se.modifican los dat os de todas las maneras posibles para deducir las soluciones pm ticu lare s que aquellas modificaciones originan.

Oillncia es u n conj unto de propos iciones ciertas y met6dic~~mente ordenadas.

Se llama.n ciencias exactas ó matemáticas las <¡tte.están bas ada s en teo rem as y problem;\:; sob ro la cantidad.

Uwntidc1cl es ht prc)pied ad c1ne tienen toclos los objetos pou cr aum ent ar ó disminuir.

Pm·~ fon nar,;c nna. ide a exacta de la.w ag11itucl de un objeto es preciso compararlo oou otro de la mismn. especie qne nos sea conocido. La cstntia,,a que se toma por túrn lino de compal'llcio n ent re totlns las de su especie se llam a unidad.

Número os el resnltaclo de la compm·acion entre la eanticlad J sn tmidad. Se llam a abstrar /Q cua ndo no !:ie enu nci a la especie á que pertenece, y co~<~ rreto cuandu se enuncia. k'\ .Arilmétictt es la par te de las ma tem átir ns <¡ne tiene por o~j eto el e><tmlio de hts r elacion es y propiodade~ ele lo!! núm ero s y de las operacione -» <tnc con ellos pue den ejecutarse.

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LIBRO l.

D e los núm e r os c n tc•·os.

Cu:tndo de la comparacion ele la cantidad eon Ru un idarlresnlta. qne aquella f<C compone de UllH eoleccion exacta de estas, el n(nuero se llama entero.

En esta parte solo nos ocuparem,1s de los números enteros abstractos, por c011sig·uionte en lo sucesiYO cuando hablemos de números s;e entenderá que 1$011 entero:; y abstractos, aun cuando no lo ad virtnmos.

Lo 1wimcro que necesitam os es saber espresar los números, ya se<L por medio ele In. palalJra, ya p or modio de la escritura.: en scguicl<t aprender ú calcularlos; y luego conocer sus propiedndes. Por oso llcrnos <lividido esto libro en tres capit.nlos que comprenden cada. uno de <'tquellos objetos..

N u w c •·acio n.

La parte de la Aritmética que tiene por objeto la efiprollion de los números se llamn mnneracion.

Si la espresion de los números es por medio de hL palabra so llama nomenclatttm; y si os por medio de signos, cscritltra.

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AR TIC ULO l. ~oute uclatnl·a.

f-!11'~

De h defi.nicion que hemos dn.tlo de la uuidntl y de los 11Úrncros enteros re¡;ulta que ;upu;lln e:; el prinK'l' n{tmero. Si r~ Ulll\ unida d se le agreg -a otra igual á ell:o. se tcndr{~ n n nuevo núme ro: ;;i ÍL es te conju llto HO a.i1adc o tra unida d, se obten drá otro número, y a;;[ suce;;iqunente. J~csu ltn. puC!i, !Jlle hay infini tos núme ro~ entero f', porquo por gran<lc que uno ;;e<t se pucuc for mar otro m:cyo r itfiadi ~ ndul e nllll unida d.

A prime ra \'ista parece impol:lihle dar nom bres á todos los núme ros, po1·qu e siend o infini tos no ~e conci be que pueda tcrmi na.r¡;c nunc a su no¡ncnc latnra. Parn (iludi r esta dificn hncl se 1m conYe nido en dar ú los prime ros núme ros las nomb res ~¡ ....

•··n i<.•n tes: U110, dos, trrs, cuatro, cinco, seis, siete, ocho y mteve Y, . c:on ell os ¡;e 1Ita, formado un órden que :se llama de las 11.nidrules.

Añad iendo al núme ro nueve una unida d se obtiene n11 nuevo número, que es el prime ro de un .~l'.fJ l/1/(lo ónl<:n que se llama de las decrnas¡ y en lug-:tr <le (lar nomb res a rbit.m rios á l a;; divers as coloc t·i one~; de esto ónlen se han cleri,a do de los de las unida des añadi úmlol es 1:1 tenni nacio n cnta..- A.sí di-

remo..;:

Unnr>,nta. llOSI'n l ct, trr>sl'n la., cuatroenta, cincocnta,

.~eiseula,

sietecnta, ocl¡o.~nta, mwvecula.

Palab ras ú la~ flHC ('] uso ha sustit uido est.-'l

otras mas seueillas de pro nunci ar.

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-11Dic,¡r, vei11te, trcj,tta, cuarenta, cincuenta, se,seuta, setenta, ochenta, 1/0l'Cnla.

Entre cada dos colecciones do decena;; hay 1/lt&ve rrúnteros intermedios, cuyos n omh ro>~ se formnn m1adicndo nl de cmla col ect~ion el de los nueve. primeros números.- Así diremos: J).icz y unn, diez y dos .. .• •.... .. • .. ....• diez y nueve Jiá nte y 1wo, veinte y dos . . " . ...•••.... t·cinfc y t t u l't:ll

. - . . . . . . . . . . . - . . -- - - - - - - - - - . - - - . - . - - - . - - - .

noventa y uno, novcnlr6 y clos • .. .• •.. •• nfll;mlrt y 1/'lleL·e

Solo que el nso hn, sustituido. tmnhien it hu; palabras: Diez y ww, diez y dos, diez y tres, cliez y cu.atro, diez y cinco, las mas sencillas do

once, doce, trece, catorce, qu.ince.

Afiad iendo una unidad á la última colcccion de la;; tlcconas se. forma un nuevo número, (].Ue es el primero del grupo de las centena,~; y: Jos nombres ele las. colecciones do centena se obtioncm de un modo an.álogo á los de l a~; clecenas, aiiadlendo ú los nuevo primeros números la voz ciento.los De modo que se dirá:

uo

~-n

cimto, dos. cientos, trescientos .. ... . •... . llo~ccif:nt(Js.

Entre cacla clos centenas consecutivas hay noYenta y nueve número::; intet·medio s, cuyos nombres se forman afl:ulienclo al de cada coleecion lo,; do los noventa y nuevo primeros. n{uneros.- Asf el iremos: CúmJo ww, cienlo do.~ .. ..•. • . . ... . d rnto I> Orl'llla. y nutre

doscientos ww, doscientos dos. ... doscientos

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no~rnta

y 1wevc

- 12trcscicntos ww, lrcscienlos clos. __trescientos noventa y l WCve. . . - - - - - - - - --. . . . . - - . . . . -- - - - - - - - - - - - - -- - - . . . . . . . . . . - . - - - - - - - - - -- . . . . . . . - . . . . - Novecientos ww, novecientos <los. _____ _no¡;ecimdos novcnllt

-

~

--

~

y 1NICVC.

Si se amnenta una tmidad á esta última, colcccion se form<t otro número, que será el primero del grupo do los millares; y para no complic.a.r mns la nomencla.t.m·:~ se wbdivicle este grupo on tres órdenes de wúcladcs, decenas y centenas _de mülar, contánd ose por ellas como se hn cont-ado por unidader-;, decenas y centenas simples. , 'egun esto, los nombrP.s de las unidade s de m illar se formarftn, anadien uo ú los no m hre:; Je lo:; 11ueve primero:; números la. pala.bra mil; y se tendrá: Un mil, elo.~ mil, tres mil.____·______ ____ __ __nueve mil. formánd ose ig ualment e los nomb1·cs de los 1lOuecientos 110Venln y nueve núme1·os intem1cdios, nfíndiemlo al lJOHtbrc de cada coleceio n ele milhtr los do los novecien tos nommta y nueve primero s · números: de modo q uo se dirá: J,{iltmo, mil dos. ___ _. ___ .mil norccicntos 1Wuet1fa y nueve dos mil ww, dos mil tlos. _ . _.dos mil1wvecientos noventa y H.W 't'C

lrrs núlwno, tres mil clos. __ . . lr06 mil novecientos noventa!/ nueve.

. - - . . - - . . . . -- - - - - - - - - -- . . . -- ----- -- . --- - .

--- . - - - ----- . - . . - - --- . . ---- - - - - - - - - - --- - - Nueve 1nil tmo, nueve 111 il dos. ______ .nueve mil11ovecienlos tlovcnta y nueve. ~

De la misma manera los· nombres ele las clece-

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-1 311(!$ de m.illm· se formarán :\lit\llien<lo (t los de la>; elecenas simples la. vor. mil, co11 lo que ~e tent1rú: dic.z mil, veinte mil, treinú' mil.. .• •• • .•... . ·1 /0l'f llflt mil.

Paxn formar lo~; nombres de los núm ero:; iu-

termedios comprendidos entre cada una tlo <:~l'as colecciones se anteponen primero á la palabra mil los nombre~ ele lo::; mteve númer o;; comprend ido~ entre clos decena;; consecutivas, con lo que teutlremos los gTup as siguientes:

·z

z·

.,

y ?IIICVC 1/1 <·l veinte 11úl, veinte y un mü ..... •....• .• veinte y nueve mil. . ·; m O'IICC ?111".. • •• • •••• ••• • • •• ••• ( tCZ J) ICZ 1

. . --- . . -- - - - - - -- -- - - - -- - - - --- . - -- - - --- - - - - - - - - ---- - -- -- - - --- - ---- - - - - --- - - - - - -. . -~

Noventa mil, noventa f 1m mil.. .. .. •novc11ta y nueve mil. y los nombres de los novec·ientos no·venta yJ.nue·~;e números intermedio:;, se fonnarú n aiiadiend o :'L los de estas últimas colecciones lo;; de los novecientos no·vent(' y 1Uli3'Ve primeros m'nneros¡ q ueda ntlo formnclos los diferentes grnpos que sig·ucn: (Die z milm w, die:; mil dos •. • _ .diez mil tiOI:ecienlos 110vente~ y nueve on~e ma uno, once rnil dos . •. •. . once mil no-vec ientos no-

Jt•enta y n111:1;c.

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·----·---· · --···· ···· ·----·-----~-·- -- --- ---· ·· - --- - -- ····· · -- - --~---- - - - -------- ···-- ---

Diez '!J nueve milm w, diez y nueve mil dos ... . ... .diez y nuet·cmil no~:ecicnlos novcntn y nue~:c.

Veinte milw w, veinte mil dos . . _... •.•vci·nte milno;;ccicntos norcntct y nueve veinte y 1mm.il mw, veinte y un mil dos. . . .... ·~:c inte y un mil no~:ccicnlos 11oven ta. y nueve . ..... .. ....... ............. .. .......... ...... ..... . . ............. ........ .. .... ... .. ...

1 Yci1;t~;¡ ;¡,;¡~~;

;,;¡¡ ;l;t~; ~~¡;¡¡; jj ;~~;;~·;/¡¡¡ ~l~~.'.: :: ::: ~

l r<:inte y 1WCI:C 1nilnocccicntos not·cnf<t· y nuae.

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-1<1...... ....... . .. .............. .............. .............. .. .. . ...................... ............ .......... . ....... .......... ..... . .. .. .... - ........ - .. . -- ......... ---- - -- - ..... -................... ..

Novenln mil m10,

r

no~:cnta

m.il dos .. . ...... noventa rn-ii

novecientos no·vcnfct y mwvc 1 7/0tcnfct y 1m mil w w, norentct y 1m nt·il dos .. . . .... . .

~

1

?/O¡;t.1da y un mil novecientos not·cnla y

tme~:c.

Í\;o~~;l¡c¡y ;,;t~~~1;¡;i ;,;,~; ;,~¡.~,;i;lij t~~~~~~·1;tfÍ ;¡o~:::: ::

L110~11la y nuc~:e mil norccieutos no¡;cnta y nuc~:e.

Igualmente los nombres de las centenas de 111 illar se forman anteponien do ft la. palabra mil los de la::; centenas si'lltJ.Jles: y se tendrá': ()ir:n m'Íl, doscientos Mil, tres cientos mil.. .. _.•novccicltfos mil.

Para f01·mar los nombres de los números intcnncdios cutre estas coleccion<:s se sigue un método anúlog-o al empleado c:n h:; domas, es decir: prilnero se interpom.111 ontrc la palabra 111il y b qne le antecede los llOJllUrcs do los 1M'Citht y nueve printeros números: usí, ]JOr ejemplo se clirú: ()icnto m), mil, ciento elos mil . ... . _. ciento 110<Cit ln y nuen: 11!il.

Y en seguida los nombres de los m'uneros tompre11didos entre cado dos de estas n ucnts colecciones se fomntn aiia.diéncloles Jc,s 11ombre,; de lo;; mismos noventa y mwveprimeros números, v. g.: ()iento un -milmw, ciento un m-il dos . • .••• • citmlo w1 mil 11()'t•ccicntos not:enta y nueve.

El grupo que sigue al de los millares se llama de los millones, y se cuenta por tmi<lacles1 decenas y

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- 15- . centenas de miLlon corno :se ha con tallo por unidades1 drxenas y centenas de milla·r.

Al grupo de los millones signo el de lo,; billolles, contándose estos como aquollos; al de los l;illo1lC8 sigue el de los trillones; y a:;í snce:;i,·:uncnte; derivándose estas pldabra;; de lm; nombres de los prime1'os núme1·os m1adiénd.olús la termitntcion llon, y con1itllclosc todos d lo::; lo mbnto q ue los mi llar(~s.

Hc~;ultn, pues, de lo c.xpues1·o que por grande que sen un número so pnedu <;Ícmprc darle tm nombre con sugecion Ct los prilwipio;; convencionales establecidos eu la llOmcu datur<t.

Como la. nomenclatura e;; ¡nmlm ente convencion;t11 excusado es ath·ertir c¡ue podría sustitu ir:;e por Otl'lt, ('i bien la qtte hemos csplicaclo e;; la que se usa en todo c1 mundo ci ,·iiizado.

ART I C U LO 11.

Sencilla es la nomondnt.ur:t de Jos nímlC rOl;; pero si hubiésemo;; de escribi rlos con sns 110m bres propios, los cúlculos aritméticos serian C:i:;i imposibles y se perder ía Hll tiempo cou:;iderahle Holo en escribir. A fin de eYitar esta rlificnltad se ha tr~Ua­ do de expresar los númer os por JUedio de una esmi tura peculiar su ya; y p<t r it. conseguirlo se han elegido die.z signos fuHdmuentale:;. Todo induce ú creer que estos diez signos fueron sacados de na cuadrado cruzado por dos diagonales, suprimiendo parte de estas línea:; en la formn. :;ig uic11tc:

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-1 6pues redondeando algunos úngul~M resultan los sigIlOS u:;unles

o12

3 4 5 6 7 8 9

Estos signos han recibido el nombre de 1·((ras •'• uuarismos: el primero :;e llama cero y 110 tiene pot· sí solo ningn11 Y<tlor, de modo t1ue e::; el símbolo de la nada, ó de la carencia de cantidad; lo:; demas reprc::;entan ca(ht nno de lo:; 1t'uevc primeros n limeros, en esta forma: Cif'ras. -1,

2,

N úms.- - L-:--no 1 dos,

B, 4, lN;.~,

5,

6,

7, 8,

¿~

cuatro, cinca, sc·is, .siete, ocho, nutct: .

Tolla la tlificultnu consiste ahora en represenf;tr los infinitos números entero;; por meclio de la, die:~. eifra<;; pero est<t se ha salva.do de una manera an{¡log-a {t la de la. nomenclatura, conYinicnclo en que r.a da cift·a pueda representa r tollos los órdene,; de unidades y que ellngar que ocupe indit¡ue d (n·dcn, de Jnotlo que si ocupa el pr int<;r lugar de la. derecha, repre:-;entarA ~midades, ~i ocupa el segunrlo, deceJWS y nsí sncesiYumente; y como no Jmy mas que nuevo coleeciones ele calla, ónlcn y tenemos nuere ciji'a.s diferente:> pnm rCl)l'Csentar cr.cla coleccion. claro est{t que podrá escribirse con ellas cwilqníer número.

En el caso ele que un número c·n rc:~.ca tle alg-nn órden de unidmles l:iC llena cllngar <'O rre:;f¡ondiente con el rcro que no tiene por sí ning-un ,·alor. .l'or ejemplo :ú qnicro escribir el número quinienJ.os cuatro ob:;CJTO q ne t iene cuatro unitlades carece <le decenas, y ticHe <'inco centenas; de modo que podré representa rlo en cifras por 504.

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-17De lo expuesto resulta que cnda cifra tiene 1\os n\IOrCti: uno que es -el que representa por su forrna,J· otro que es el c1ue le corresponde con arl'~g-lo : lugar que ocupa, excepto la cifra O quo no tiene rn:\s valor que el de poxicion, puesto que por ;;H fo rma es símbolo ~e la nada. Al primer Ya lor se le lw, dado el nombre de absoluto, · y al se. g undo de ~·elativo.

Nadr~ hay mas sencillo tenicnclo p1·escntes es1·o:; p ri11cipio:; qnc escribir con cifrm; 1m núuJcro q nc cst<'• e:;crito con letra,<;, po1· gran do <1nc Hea; pem <.:vmo c11 hL p~·(tctica dHl cítlculo ocurre con frec.uencia tener qne leer y escribir nl dictado números de muclms cifras, ames de terminar esta teorí<t \'liTUOs ú dm reglas preci"íLi p:tm leer y e:;crilJir los números, dcri\'lt<las de los principios conn.:ncioualns que ha!l scr\'ido de base pam forlllar la nomendatum y c~cr i tura .

Para lee,· un número escrito en ~i/ms se dh·icliní <'n períodos de ú tres cifi·as, empezando J!Or {r1, derecha !J separcmdo cadn pe?'iodo por mcrlio de urm coma: Cllrln uuo rle elilos p eríodos CXJJresará los dijÍJr(•utes g r·upos d1l U'l<iclade.s, decenas :11 u:ntena.'! sim?Jles; Wtidades, dtl'f'JWS y cenl!:uas de ·mi:llar y así stt<~c:sit:wncnte: de modo que se S(rurá elórden /Í. que 7H'-rft•urte el )Jrimer paíodo de ü~ ÍZ'J.Uitrda y 1J.DJ' COilSÍ.fJIÚeltfC podrá leersr~ wmo si estuviese solo, dá,ulole eluomúre dr>/ grupo á que perlc;;ecc. En se,r;ztidct se podrtiuleu los períodos Q11e sir¡uen como si e.~tudesen solos, tlánclole~ clnombn; ~lt• los yrupos succsi¿·os al dell)rimcro ya l~irlo . .EJEMPr.os:-Lc cr el niÍmcro ::>4080071201~ GO!l Lo cli,·ídimos en la forma ,·ig-aict.te: 5'1,OSO, O71, :w;,;,GO!J 2 © Biblioteca Nacional de España

~1 8'-

y como hay cin co~ periodos sab0m os que· úl primero J e h1 b11~ i erdtL pertenece n.l g rnpo de lo:; úi.lloncs, pndicn do lom·lo como si c~tll\'icso solo, y k•

mismo lo:; demas ,tlimdo les lo~ ncnnbr es do los grupos suc(~:; ÍYoc; infcriorc:; á los hillone.~: de mvd0 qu!~ diremo;;~ r;ín¡;¡umfrt .11 r·wctro biltnws , odumta mil Rdcnta y w t millones, <ÚI8Cicn tos tres m-i/.,. saiscicu los nuev(', Ea la. prú ctiea <lehe omit ir:;c h d i vi~:;ion en; pet·íollos, hac!émlola mcntll.lmcntc, Para cs·criúir u;t ltúmrro al rlidaáo; br:sta, tener' -

presente r¡16t~ l<t z¡rimr:rc6 p(l,laóm r¡ue se dic[(t c.t.:presn d ·va!m· al>soltlto da tn ci;(i·t¡; de ónlen superior, tí sea Ü[ p'rim~m (Ü! let izquirnla. a8Í como '"' si[¡uienlc im.licrt su rrúor rc:/a.ÚL·o, ó el órden de uniclarle-~ á qlle 11r rlf'nece1 s·uceclicndo lo n~ismo en latf clcmas; por U•n.~ÍfJII il'nle Se< trún est:·l'ibúmdo como si cstuv'ieseJt ,\'OLas de izr¡ui~rd(t <Í ikreclu~, teniendo cttidculo de o¡,:upctr con re ro¡; los lu,r¡m·es en qw! já.lte algnrr, órden de u.Jtiáacles, JI JJaret ,-qmpulrll' elnúm uo de cerog r¡¡u• sr; lum de colocar basta obscn•ctr ctwnlo..:; órdenes i1tlr•nnerlios hrt.IJ entr e eada dos valores ·rclr,tivos que St! cliclan consernli¡¡am.enle.

B.1 J·:m'LO: -·E ,;crihir en <:i fra~

c1 númet: o:

:tres billones, qtúnieutoo cuatro millone.~, ochenta y mterr mil vei nlc y siete. . Ob~c rvo que lt• ¡,wimcr~ palabr a. mf~ incliea la

primern. cifi·~~ <le la izqn,icn h Ctltc he ele o:;cr ibír, que es tilt 3, y h~ !-;CguHd a pa.hdm:t eX)JI'O>;a el órden á que pcrtcn<'ec, que e:; el tic lo~; billones; por consignicnte hasta la:; 5 cMienas de millon que expresa h~ paln.bra siguien te hay trC's ón len('s intermed ios, qnc ocupar é con treil ce1·os. Del iuismo mo~ do, de~ile las 5 centenas de ,¡,iLion á, hts 4 uni:da<lcs ele millon, que indic.'l. la palabra síguien te, lmf

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, -19 -

'nn 6rdcn intermedio que ocup ad con un cero; 'j tenie ndo i·gual cuiu;;~..do con las palabHts siguie11tes~ -escribiré el número de este modo: 30005 04089 027

·ejei·ci cios práctico;;, tanto de lectura como de cscrit ma, pero siempre aplicando á ellos las regla!$ dadas.

'Convic1r~ c¡'u~ se lu1.g a.n mu'ch os

CAPITULO II. Cálcu lo de los núm er os,

L a.<; opemcioucs del cálcul~ aritm ético puede n i·edncirse á dos qne son: componer l o~> núm ero~ y descomponerlos. Las operaciones de comp osicio n tienen tothts por objeto dadas hs di\'ers·as pmte s de un todo hallar m;tc; y las de dcscomposicion 'dado el to\:lo y u; m tle sus partes hallar la otnt.

Tres son las operaciones de comp osicion, {L lOahor: swna, mttltiplicar_·ion y clevacion á potencitts; y ·o tras t.re:; b . de dcscomp·oncr, '<),he son: re-sta, clivi.,ioi¡ y eslmccio-n de <rcviccs.

0atla mm de ellns tiene sus signos peculiarc.<> para expresarla, de los que nos ocupareruo.; en :;u lug;u-; pero atlem as, 1.1san l o~; aritm éticos otros tres signos para exprcs¡u· la igu11.ldad ó desigualda d lo,; números que son: = > y "(, de los cuales el p1;imoro so lee igual y so coloca entre dos níuHcros cí expre siones iguales, el segun do se lee mayor y ::;e coloc;t entre dos expresiones cmUldo la pri mera es mayo r que la segun da, y el tercero se lec 11LC1UJI' y so coloca entTe dos expresiones cuando la primem os meno r que lu segun da.

ae

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-20'L.as operaciones de la. arilmética son por· tanto '"erdll.Clel·o:; p1·oblemas, que tendr{m :;ul> datos y re.t;ttltad'os; necesitando p01:· tanto otras operaciones. para comprobarlas, y discutir los valores de los re:~ultndos, cuando so mol1i"ficn,n los dato".

Así. pues, dividiremos el pres<mto ('.npítulo en ocho nrti(:ulos que comprenderán respectivamente las seis operaciones aritméticas, sus pruebas. y la tliscusion d'e los resultados.

AR T IC UL O l.

La. suma. es. nna. opcracion que t iene 1 01: obje-

solo qnc t~;n­ ga el mismo valor que todos ellos. Lo:; datos :;e llaman sumandos ..Y el resultado total.

Pant cxpre:<ar que ·nu·io;; núnH:ros se han de s llmar se coloca cutre ello::; este signo + qnc :;e Jt·e mas . .Asi para. esprcsa.r qne se han 110 ~um<tr los llÚilleros 12, li) y O se inclie:1n't <le l' s1a uwuet n:

te:» <lados varios números haUar

tlllO

1:Hli3+9

será ú. hL wx la, exprcsion <lcl tot<ll indicado.

• Bn la suma ¡mcdc:n ocurrir do,; <·:l:<n~: 1'.'- Que los sumando:< tC:ng:m n11a :<ola citi a.

~: <!l't:t

<!~-C).ue tcngm1 m::1s <le naa cifr:t.

J>r.nnm C.\ $0.-('uando lo8 sumtu;dus 111) tengau ·,¡,as de una c!fi·a se oiJtrudní In swua U/JI'i'fi0'11do al J.n'ÚIU'r s uma;u{o {a.s uuitlades del Sl'lJII!If{O, cí (·sie ¡;onjnnlo las unúlades (lc-1 :(•rrrro, !J asi sru·r·s;1'W!Il 1de hasfa llegar at 1íllimo liiiiiWIIdO. J:)/ i'esu{/ado vútu. ido, de· e.,·tc moclo ;;eni d lula!.

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......:nEn efecto: sean por ejemplo los sumandos 2. ·;¡ y 9: es evidente que si ft las dos unidnde.c; del 2 le agreg o todas las del 5 el conjunto 7 tendrá las mismas unidades que los dos smnandos, y sir. este conjunto le agrego ·todas 1as unidalles del 9, el resultado 16 tonclr?t las mismas uní(laaes que los tres ~nm andos y ~;or cons'iguiénte será el tot<tl.

Pnm fac1litar en la práctica estas :.;urnas y no tener que ngrega.~· una á una }as :un i (bcle~ ·de cada :~:;umando, so ha, forma.do ht sJgt\JeJite

'r z\BLA DE LA ·SU,UA. .

l~o

1

'3

2 1

1

•

1 11

1 1

1

2

3

'1

1

6

1

•6

!j

7 1

J

:3

2

4

4

5 . G

s¡

7

S

'9

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9

10

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6

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1 7

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1

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1

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1

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!)

S

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10

9

lO

ll

10

ll

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12

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12

13

1

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-9

.JO

11

J2

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14

G

7

S

9

10

11

J:!

J.3

14

15

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10

11

12

13

14

15

16

9

10

11

12

13

J ',l

J!j

lG

17

o

11

12

13

14

15

](j

17

IS

1 7

1 ' 9 l_

1 .]

1

Para formar ·esta tabla. se e¡;cri'ue en una fihL ~ a serio de los números naturales desdo O hasta 9: ten -s~.u id<t -so .agrf:lga una unidad A cada uno de los

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~22~

n úmeros esc1·itos, y se ohté ndrá }n segu r¡t~a ftla que cont-endrá la suma de los núm eros de la primern eon 1; luego se nti;ul e un!t unid~td á cada númcrp <le la ::;egund<t fila y se obtie ne la terce ra que eontend rf• la~; ~umas ele los de la prim eL<1. con 2, y así suces iYam entc hasta llegn r al núm ero 9. Hech o egto se encien·an en casilla!>.

D e nq1ü resul ta, que p<M'a lw.lla r la suma <le tlos. ní1m eros de una cifra basta rá huscm· 11110 de ellos en la primera tlla y el otro en la priru crn co-.

1umna,. y la suma se ha1lará en la casilla ele encu en1ro. P or ejemplo: si quier o halla r la. snm<l ele los núJHer,os 5 y 7 bns.co en la prim era fila el !i y en h p.rim cm colum na el 7; y ol 11Úrn c:wo 12 q nr se ha.Jla, on la casilla de CJ\t.a entl'o de h columun. del 5 con ln. 'fila del 7 sen\ la suma pedid a, SJ\G·UXUQ CASo .~Oun ndo los Slilllancl0s tiene '' was d e mm cifra , como no se pued e obten er de unn Y Cz la suma de <·;ula dos 1lc ello:<, ;;e fonmm separada ment e las de los di \'Cr:;os órde nes de unid<Hles y rlespuc~ :::e agrc g::m estas iit.tmas pnrcidc~, lo que dará cvicle ntem cmtc cl l)J i~nw r esultado. A íin do prac ticar l.a opcraeion c<>n hreYcdad eond cne coloca r los. snnvu1dos unos dc.l¡.;tjo de otro;; de mo<lr \ cp!C las nnilla.des de un mismo <Jrden s.e rorrc:>poll d.an en cólum na: de este lllodo se porlr.'ru "llllJar 1<1~ 1.mid ades de primer 6rde n por el m(to do cxpl ir.arlo f'n el prim er ca::;o; -y tenie rvlo caiclaüo de !;acar rl t> <'sta snnm parci al las. dece nas que eou tlenr , ]J\Jdrún ~ña.dirse {L l;1 s.nma. de las decCHas, dcj~nc!o esr!·i ws las unid ndes qno contiene la snma. Opt•rando de 1:\ }nismn. man era con las uni·clndes rlo lo;; demn s 6nk11c:> se obten drá el total (',()11 ~mm a h1ciliJnd. ¡.1.<.> <H¡_:¡í ~·esu\m lo. ~·r~l<\ p~·{¡ct\c\\ :i~\IÍ C~tte:.

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-23llF.GYoil O'f:XBRAL.-Colóqu.cnsc los sumandos ttn08 m-hqjo de Otr OS de 1ÍIOdo que SC COITC'SJ.l01Ul•m Cll colum~14 '!1 tírr.se por debajo mut raya: s1ímcnse las cifras de la primcm columna y cscriúa~e dcúc!jo de la 1"(t!Jft la l~lra dc• lcrs uuidadcs ile tl:iict suma Jmrcia1, n•sr~-rrm­ tlo las deN''I'taR: siÍmr.nsc las cifras de fa sf.IJllllrl<t co].¿nmw, a.r¡n:r¡ámiolc fas cYccenas que resultaron ele lo <tnlrrior, opé.r('SC con dl.as como con !tes twidades; JI asi suresivnmcnlc.

KJJ-:!.1PLO.- Smuar los número:; r}.OH,l, .348, -20!\ 1 ~,

·1879 y 24G. Se oolot·ar{m en la forma sigu icHte: 508-~ i , ...") ...

..

2')ü 1~ ·1H7!l

2-tG

01070 Su mo ks eifnt clc la primera c0hmmn <le ];t D.l':quicrda, lo que d<t 30: esC'rÍ]J(J O cl{ll2n.i0 de la ray a, y bs i3 decenas !as sumo coJ1 b scguncln. c:ohm1·· :na, obtonionilo 27: d<:Jjn -tlebnjo tl(:) l:t mY:t las 7 dl·cena ~, y las dus <'Cntcnm; ]¡¡,; :-:iiado (t la C'olmnna de las c.:cutenas, Jo que M 20: e!;crilJO tlc•uajo !le b nrra O r.::ntcna><, Y bs-:¿ lmi datl ~s de millar las s<:COn la rohun1ia siguícrltP. ohtcnicndo 11, fjlli' lk'Jeen 1 millar r 1 decena de iUÍllar, la que su m.' ~on la columna que si~ue y obtengo 3 cleccnns a,.

Jllillar, que c&:riuü debajo de la ra~·n, cptedarul·• tcrmiuad:t l:t opcracion_ Uom·icnc ha.ccr muel10s r¡·• Cl'(·ici o~ ele c~~ta mw · • ~-...(;ion :'t fin de arlc¡ uirir prftctica y i;lltHiH' con h n :-

mo

vccJnd.

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-24-

ARTIC ULO 11 .

Ln, multiplicaci' .on es una opem~ion qnn tiene

por objeto dndos dos números hallar Ot"O q nc se r:ompongn del primero como el segnnuo se eompo110 de l:t nnidad.

L os datos se llaman factores.. -y el resultndo

produl'fo.

Para expre'iar que dos númcr·os so ]¡;m de mu.ltiplica r se colocn. entro ellos este l;igno x ú estt" otro . que se leen mnltiJJlíetulo por. Asi p:w:t intlica1· que se lmn de multi plicm·los n{uncros 12 y ;J!í, se

ex¡1rcsaní de

e~t:l." nwnem:

12x:3:) ó bien 12.35 y c>;ta será ú la vez la cxpresion tlcl producto in<licado.

Para expresar el producto de um~ ~>nma indicada por IUI HÚmcr0 se 6nei'on:a la SHrLm dentro de 11n parén.tesü:, y fuera do él se colo~t el otro fae tor.

pm·a exprcs:1r q u o- ln sunh"l ~+ 13+25 se ha; ele- mnltiplica.r por 3(), se har-á d~ modo siguiente: Por ejemplo:

(S+ l3+25) 3G Si los dos factores son sumas. indicadn.o;, lo'O expres:n-:'t su productn, encerrando á cmln, mm. en u n pn.r¡;ntcsis. Así si se quiere indica.r el pt...,ducto de

la,r,; rlos sumas

inllicncla.~;

I7 +2f.i+54 y 28+ 13,. se

hn.rá d e este mo\ln: (l7+2G+,3•l} (2S+13) Debiendo componcr<ie el proclncto de un fac-

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tor <'Omo ol otro !\C compone de l a uni·(1nt'l, la mul tí pHcacion puedo hace rse t;umando cOlll'ÍW> n)ism<> (![ )ll'ill l Cl' fac.tor tanta,; YeCCS (;01110 llliÍt hHJe s tÍL'll< ' el 'I$Cg-nnd0. De dond e se doún co r¡tH1 la multitJli('n.óon no e~ mas que un caso part icula r de h1 :-:u1a:1 ~:m el que todos los suma lHIO » son iguale:<. T'ncdt: por tanto reso lvcr:;e e,;ta opcracion por medio de ht ,.:nma: por <>jemplo, sí ::;e quiere mnltiplit<'IJ' 1\45 por G, hn~tar;) ~nmar..3,15 seis Yecos (:(,nsigo mismo, ·q u<:. nos dn d , 3'.í:f) :145 345 1145 045 04i)

2010

De 1110c lo que 2010 scrfl el producto pe!li.!n.

Este mútodo tien e el inconY(mientc de ,.;er llllr-.' lar¡ro en la pnicti('n, pues si lo~ factores Kon 11Únu··· ro::!'_c::-eci<los ~'e cm plea muc ho ticm po en e,:cri ¡,¡ r 1os :;ummHl os Y mas aull en haec r la ~n nta : :;e Ira tmb rdo por ta;ttn de simp lific ar In. opcracio11.

Pam consPgni rlo hay que que con~id~mr tre.-• caso s:

1?-M nltipliear <loo núrnur0!-1 <le nna sola. rif'm.

2'!- )f u ltipl icar un núm ero do \'llri m; (•ífra s por

otro <le nna sola.

8'.'-Mnl~ipli cnr ~lo¡; n{rmr.m;;; <le vnria!'i <'ifras.

ue

P RDI ER CASO.- Pa m

mult iplic ar dos n(mt <:ro:< una ::;ola cifra. .·e pued o emp lear el método de

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\

-26-

ue

la suma; pero á fin facilita.r en ln, prádi c~t esta oparacion se ha formado la. signient0l:

l 1

TABLA DE LA Ptf(TL'l'IPUCACION. -- ') 3

~

4· 1 5

1

1 1

1 1

2

:1

1 '1

'

1

3

()

4

S ' 12 ' 16

'

i 1

1 1

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1

1!

.

8 ' 10

G

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-

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1!1 fl 1 l (i 1

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1

21 ' 28 24.

' ¡:___:_ 1 . ' ; e¡ • '.

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1 1

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'

5G

1

32

~

8

(

G4 72

1 1

i 1 1

G3 ¡•• 72 81 .

1 1 1

.

I>am. formar esta tabla se escrib e~' en una f-i la los n ueYe primeros 1lÍllllCro::;, que :;erím s11:; produeto,:; 110r 1: en::;eg·uid;t se ::;uma.n eonsig·o llli:;mo:; '":;e 1endrán una :;egnncla fila CjiiG (·ontell<lrá. ,;us protlt,(·.toH por 2; de::;pue:-; se snmau los 11Úmems de la pril!Hlr<'t fila eon sus corre:;pondicnte:-; tle la :;egnncla, } se temlr{m ::;u;; productos por il; y así snt·esi valllCilte, :;mnando los n úmeros de cada. íiln con:lJo:;de la primera. sr. obtendrft la ¡;iguicn1<' hasta comp1orar b üthla. D espues se encierran todos en c..;a;;illa:;.

P ara. liallnr por medio de csin t<tbla el prod ue1

• ...,

' /

to de dos números de una sola cifm se lm:;ca }

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•

IHO

~2 7-

dc ellos en la primer a fila, ~::1 otro en la primer a <wlnrn1111, y el núrnero qne se hallo en ] A, l'a><illa tl<> <mcncn tro de la colnlnJHt del prinrcro con la fi la <lel ~;egm~<lo será d proclll<'to que se busca. l\w c.i(•rnplo: si ::;e quie re ha liar c:l produc to de 5 por 7, ;;ü lmsean'L el [)en la priruem fila y el 7 en la primora colunma, y ol 11úmer o f:5 qno e:;t.i( en la. casilla de CJJCucn tro· de b <·olumlHt tlcl r1 con la Ji},,. del 7 :;ed el produc to pedido.

En b ¡mktie a no se proccd<' de esto modo l<ino que se aprend e de memor ia la tabh y so obt.icllc rle Hlll~ Ycz cadn producto.

SlW ii~llO CASO.~Para mnltip licar nn númeJ \l de Ynrias cifi·a,:; por otro d.e nna ¡:ob bastar; ) nml · tiplitnt· los difcren tcs 61·dencs <le unidad e!< <h•l pri>nero }101' d segnnd o y Hlmat· los prot1ut'tü;; partia Jcr;; y Jllll'ít haecr eo11 f<wilidad tst<t opoml·.inn ~e pt-rlr/¡, mnltipliear el scg11mlo f<H;tor por b t·.i frn <k }as uuid1ttles tld primc>ro, r on nrn·:;lo al <·aso aní<'r ic r; ! :1~ unidadr:< de este p:-otlucto parcial serf;,n la:; del total. y las decena:; ¡>odriÍll re:;en·a rsc J1Hr a ' :l.gTcg-arlas al' -producto parcial de las deNHHtil dd vrimrr fa(;I'Or por el Hogundo; )" proceu ienr1o <ld inis.lllO 111odo co11 las dt'mas <:ifras ~e tendrá. el prntlucro pvditlo.

E.J 1-:~IPLt>.-Su po!!gamos q \l(l so trata Je mult i.plienr d númer o 4508 por 7: ~;o coloea.n los f(tetu-. g·s uno

45()8 7 •

3155G <1ehnjo J e otro, tirando ww rn;.·••: en ¡:eg-uida ;;e multiplican las 8 uniuad es del primero por 7, lo rplú

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•

-28rl:í iíG: cscdho hts G unirlitf1e;;, y reservo. las 5 de~ eena.s. ".'l!:ultiplicn l a~ O decena:-; por 7, lo que dá ·O ·Jo producto, y ntlmenbíndolo las fí decenas se obtienen 5 decena;; ¡mnt el producto total, que las escribo; enseguida multipliro las :) centenas del primerfactor por '7, Y obtengo 35 centenn~, dejo las :) centena::: y Jle"Ó los 3 mil hu-es: mn'ltiplieo los 4 millarc::: pot· 7 y les agrego los ..3 millm·es que lle,-,.Jm, lo qnc d{~ a1 millan·~; y los escribo, quedando terminada. la opcracion Cu;mdo uno de Jos; fi1r.tAres es la u ni dad so~ guüht de <'eros, so obtiene el lJl'oduc·to con solo esc-ribir {t la dc!·echa d<>l otm f:\ctor tantos ceros como lleYe la anidacL Sean, por c0emplo, 528 y 1000 lns dos factores; di;.ro que el praducto serú 528000.

E n efeeto: al escri bir los trt><> ceros {t b dereeha del ltÍ!me ro 528 se han conitlo t.od;IS sus cifra::; tres lu¡!nrcs húr.ia. b i;r,qnienln, y por r.onsiguientc se ] Ja,ll hc>rho mil vece;; ma.yon·s: lncgo toe lo cl llÚme¡·o !'C halm't hecho 1000 vc·ce>; nuwor.

Si uno do Jo,; (los factores t.iénc v~trÍ(lS cifra.s y t>l otro llll rl s0k1. scgnirla ele ceros, ~e obtiene muy fúeilmentc el produc1·.o mnlt.ipliea.ndo el pri mer fiu~tor por la ·cifra !;ig:n ifi cat~va del segundo, por el métnrlo t•xplic.ado en el scg-nndo caso y escri bien. clo (t la, tlcrer.ha do e,;tc prodttCt.o tantos ecro,; como fact.01~ .Heve la c ifra del srrrmHlo '"' S<>:l.n por <'jcmplo los f;¡,ctn re;; 4321 y 600. Si mult.iplico 432 1 p0r G, siguiendo el m(~t.,do clal seg-undo ca,;n. obtendré 25!)26, nÚmf'rO que scrú l 00 Yeccs monM· que r l producto r¡ue busco, ¡me;; en Jui;;u· de nwltiplir~rpor 600 he mnltiplicado por 6, ·q llC e.~ J(}Q \ 'CC('s IH('l\01' qhc él; Jueg-o para Obtener -el ~·onlatlc:::o pro(htcLo b:u>i.adt multiplicar 25926

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-2úpor 100, lo que se obtiene escribiendo á SH derecha do:; cero:>, con lo que el producto qtte se busca

l;(JI'Ii 2:)!J~GOO.

TEHCJm caso.- Consideremos ya el ca~o ge-

11eral de la multiplicacion que es aquel en que lo:; dos fi1eto~c:; tienen un ní•me1·o cMlquiera de citi·a.;; y supongamo:-;, por ejemplo, que se trata de uHtltipli('ar el número 450H por 20G. E,; (l1·i<.lente que ~:;i se mn!Hplicn elníLJ11ero 45013 por eaLla, uno r\1; los di v:ersos órden es de unirJades del 206 y se snumn los prodHcto:; parciales, se ten drf~ d produeto podido. Ahora bieu, para hacer estos produ<:tos par.cia les bastará multiplicar primero 'Ui03 por las G 11llida1le:; del segundo factor, lo que, con nrregloal ,;cgundo caso, d{t el producto 27018: en !'egnida habrá que multiplicar el mi:;mo n\m1ero 4503 por la:; O deeenas ele! segtmclo factM; pero como este produc·to es cero, poclrcmos pasar á efectuar d tercer producto parcial del número 4503 por las do:; centenas del ~oguu llo factor, 6 sea, JlOr ~00 unidades: este producto se obtiene, seg-un 1• cruo~ dicho ya, multiplic·ando 4503 por 2 y c~;crihiendo {t :;u (lcrccha clos wros,. do nioclo que :ser{~ V00600. Sumandn ahora lo;; 1lns prmlncto;; pa.reiulcs 27018 y ~OOGOO, se tendrá &l prouu<:to toral \):¿7618.

En la pn'u.:ti<:a :;e dispone la. operacion del mod;;, siguiente:

.t503 206 27011) 900G

92 7618.

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1

-3 0 de Se escrib e el pr imer fn.cter 4503 y debajo se n: en seg uid::. ~¡ el l<Cg un do 20G , t.imnclo 1ma ray r, lo Jnultip lic a ia cifra () po r todo el primer tiu.:to ui::;eg <fue dá el primer producto pa reial 2701 8: en r pct <<\ se tnultipli<.:n. la eifi'n. 2 <lcl segundo fi1cto do pro• toJ o el primero, lo qti n uá 0006, cuyo seg un , cordueto ¡mrcial se es~:ri be dobnju del prina;ro o qu e rie nd o dos lug ares háeia la izquierda, puest se sua m ya, y ~;o n centenas: :-;o tir a por tlobajo otr el tot al ma n los productos parciales, obteniG ud ose U2 i61 8. oo Cuando los do~ productos terminan en ceros .tiva11 efectúa la umltipl:cacion de las rit hs sig niticn es:;e )Jacie lldo ;~b straccir.>n de los ceros, y c.lespne;; taneriben A b derecl1a de l produ cto obtenitlo efecto: tu:; ce·1-os como lle van nmbo s factores. l~n los nú sean los números :noo y 1!40: si multiplico ¡ni me r ul me ros 27 y 04 ha go 100 ve ces meno r e:l profactor y l O veces 1ncnor al ~egundo; luego no r qu e U. ne to !ll 8 s~Ll dbí po r un hie lo 10 0 veces me es do- ' el q uo se busca, y por otro 1O veces menor, el vercir, 1 000 veces meno r; luego pa m o bteHcr ~ por 91 ll;tclero produ cto h,dm'L q ue multiplicn.l' rcd m LOOO, lo qu e so consigne escribien do á su de pedid<! tres ceros; y por con::;iguion tc el prod ucto sen \ !J t8000. números con 'f¡.;o ¡m ~rA 1' !-E l 1Jroduclo rle dos lores, y tiene á lo mas tanta.-; cifras como los dos facii.O S 'U'n a. p(ir Lo 1/W IWS tantas como los dos factor e-s 1/W haya. de • otr o multiplica.r:;e un nú me ro do cuatro ci}i·as pu; e l)¡.;~fOSTHACIO N. -Su pongamos qu

á lo·· do tres : digo que el producto co nte nd;:ú eto: el mas si-ete cifras, y po r lo menos seis. En efe á zn a~ cuso en qu e el produ cto de tal es números ser © Biblioteca Nacional de España

~3 1-

ac vorificnrá cmmdo ;;11s cifras sean torla~ nueve, es rlecir cu:tnuo haya que multiplic-ar ~HHl9 por !)!J9; pero el producto de <-;;to:~ dos nú1ncro>~ no puede contener nur.s clcs·icte ciji·a..;, pon¡ue el Jo !)999 por 1000, que es mayor, dft 9999';00, que solo conticnu ·>-idc: luogo con mayor razon ol prvJucto do cual([ uier número tle cua.tm ciji·as por otro ele tre8 no podd. con tone:· mas de siete.

Por ul eontmrio: el ca;;o on qttC d producto :serí~ me uor, se verifica.r á cuando "ln;; <'los f:tctore,; !'lean la ·1midacl segttich de ceros, HS ~lucir enitmlo ha.m qne multiplicar 1000 por 100; p<' l'O o\ pl'ouurt.o de estos dos uúmeros es 100000, y contiene sei.:~ ciji·Cis: luego con mayor rmmn el proclucto de dos números mayore:; no podrá contener men{)S de sei.~ <'ij;'as 'l'.:ORJ-:}1.\ 2<?- El . ...vroducto ele do.~ mimero.~ no se

'\"01' •

altera wm cuando se invierta el órden de lo:; factores.

Dr·:)r0"TRAcro;o¡.- ;3mul los doi:l titetore:; 3 y 4¡ digo quo el mi~nno producto se obticno multiplicautlo o p{\r 4, c1ue 4 por 3, 6 lo qnc es lo mismo 1 3.4=~L 3

.

En ofcr.to: multiplicar 3 por 4 es lo nl l S lliO que repcti r o cuatro 'Veces, de modo q uo se tendrii: :3 .4==3+3+3+3 (1\

De h~ misma manera mnltip1icar 4 por 3 cqui~: va~e ~L repcti!· J tres IJCce81 lo que dtl: 'L;3=.H4'f--! (2}

Pero la suma (1) puedo expresarilo dcscompo" nicmlo el 3 en su:> unidades y repitiendo e~to cuatro ucce.s, U.el modo siguiente;

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- 32l+l +ll l+l +11(0)'

1+1+1 1+1+1

Igual:ncnlo b . snm a (2 ) p11oclc inclicarse dc:;-

(~Ompouicndo el 4 en su:; un illad cs t0

tres v<:cc;;, d e.cst a man era:

y repit iend Q cs-

1+1+1+1} l+l +H l (+) 1+1+ 1+1 )1a:; com o los dos cuad i'o:; (3) r (4) cont iene n ~:vicbntementc las mism :ls unidades, será n iguale·:-:, y por cons iguie nte lo ;;urím tam bien las summ; (l) y (2) 6 lo que es lo mism o, el prod ucto 3. 4 l;ení

1uual

4. 13, que es lo que nos ,pro poní amo s elemostrar. ,í,

Con OLA Rto. -Del teor ema ante rior se dedu ce que no altem w!o el prod ucto el ónle n en que :;e· tonm u lo::; dos f:wtores, podr ú clcg ir,;c com o p ri mem el qGe nw:s co1H·enga, r¡ue ser:J: el que teng a llHt)'Ol' núll lero de cifra s sign ifica tin1s. Asf, po1· ejem plo, si hay que multiplic:.tr (;1nú tncr o 5000801 por ·1H7~G. convendi';"t tom ar com o p1·im cr fitct or el -{X7!J6 ¡nws de este mod o, solo lu~brá que hace r tres 1Jl'Ocl u<;tu~ pa reial es, lniunt1'<1S gne si¡;<; tomaliC <.:01110 prin1er fa ctor el 5000801 ltabria que fom mt einco prod neto s p:trcia k>'.

Tx:onm.JA il\'- Pm·a multiplicar ww sumrt. i·'i¡-

dirada por un niÍ mero, ba:;ta mult iplic ar carla sum an-

doJ jJOr dicho 11Úmcro, '.!; sunwr los producto:; par.'

Ct !UCS.

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•

1~~:-::¡ ..-,:'TJt\c;u~.-S~tt

la suLnn i1lJ!cada ..~+ 5 -: 7 l!lll¡~¡] ,lic·a da por :.3: digo qu J ba :tnrú 111Ultipli •t':lr ~llc:,sÍYamuntu ;) por ca ht Lll tO de Jo¡; SU!l1Hl 1dos <!, 5, í ~- ::-U !Hnr los p:·ocluct m pan:iuL::::, 6 )(> fJ ut: <.. ~

L)

lt!i~!llO,

<¡ uc

( H<H7) '3=1.3+ tJ.:3+i .S }_.. ~1 e~!!f'tn: pcn·¿t ntu!tipl!c:ur la. sunHt 4+:i+ 7 1 HH' 3 }~ n ·: qno l't"'puti1· tUcha sun1n ta·,tnfi ~-~c<:s <:oJ;w u:úl. tdc.-; tic nú el tres-; y por eons:gu ientc tctJ .c h c m o ;: l~+J+?) ~= !+5+7+ 4+6+7+4+6+7

pero e·m~o ;;nnHn' el 4 tres ·lwt·.~. el 5 otras (,·es ~ el í' nt ·as t,·e8 ec.ptÍYale á mnltipli car cada 11110 de es, [:):; lll!'11Gro s p0r ..,,, ten 1,remo:;

(~P.e:

,,.J.!•'+"+"¡-

1 ' -J-rt •.¡,• ' -+ L·r 1' ~Jr.; +~'

·•+ !Jr . '1+7 • . v•>

1 -~r.o

~

\" por cnu:,:;.wicHt J: (t+5l

?)=3= ·!. ~l+[).!l•· 7 . 3

r1tw e,; lo 1¡1:c nos proponemo,; (1cmostraJ'.

C'olWLA'HJo.-lJe l tcorr•11at a11faiur sr~ deduce r¡ur; l''''·rt nnciii1,h·r;r dos suma::; ÍJIIficwla s, ~~t:::laní nwlfi-

f' li•·ar roela -' 'W!C'itd'J ,;d;; p ri me: m 1>01' cculcc SIWUCJ!du

de la

.~··.t¡¡r;::lc

11 .,u,;uu· h.~ pru•Útl'(l;.~ J.C!!r:ie/c.~.

A:si; ]'\,r \:it>mplo, ~ ¡ :,e d:m pam mnltip]i ('ar

1 '1 •·" ' · tl<' • :-~ • -'"· '>•'1 ''1'1• •· ' • J.lltiit"'ll • " ·"n.~ ·· ~·~ -'-'¡ " T v J!IO.-; L:\'i dci!tt-tlt: JJT0

,.

,

·)

'- (j 1 't• t• I1"C1 .. U

- '1

(1+;1+ií) (:H G)=( l·H+ 'i) 8 '

( ')llll)

_,¡ ~l' sustitu,· p (l H+''}

(.j+J-1- ·3)':-=·1 '-+:: . '-+:í . <;

('11 \'1:7.

(·.'·1-G)= ~

<!<:S

Ht

Yalor 2+G se tcndrú:

(.:!+G) +!l (:! H )+0(HG )

3 © Biblioteca Nacional de España

-3' 4'-

y- efectuando los productos de 4, 3 y

o

por fa

:suma indic¡1cla 2 + 6, se obtiene:

(4 +3-+ 5) (2 Hi) =4 .2+ 4 . ú+;3.. 2 +3 .6H i -2+ 5 .6

segw1 expresa elcoi:olm;o: Escor,L O.- Ras ta nqJ tÍ hemos Sl~puesto que solo· ha.y clos f<wtores;· pero pue de· sucede r que lm~ ya mas. En este caso las• reglas dad~1s son.suficientes pant ¡:e::;olve r el- p1:oblerna. (le la: HmltitJlicaeion }Jorq.n e podrá. multiplicarse el'. prim er fact<:>r por el segunclo, segn.ll'd i'ehas·rcglas: en seguiclael predilcto vesultmltc· por el tercer faetor y así succsi,vatncnte. l?or ejcml)lOr si tengo clue· multi})iicar lo:s f~wton:s 1.4,- 4, 21 y 2, mu ltipliettré 14 por 4, lo que me·d:trA ndr<.' ~6 : en seg uid a. multiplica ré 56 por 21, y obte 1176; y por último multiplicaré 1176 po r· ~.lo que me•dfu·á el ¡Jlio duc to totul 2352..

4'! -U n proclitcto de variósjactxn:es no se altera cwllr¡ wiera c¡uP. sut el órden en· que se to mm. .'l'BORE:I.!A

lo:; fitctorcs 6-.;U>.4.2.7:· Jrgo•que se pue de· inverti r el· órden de }os dos COII.. E n Secut~VOS 5 y 4 sin: que · so altere el pro(luc to efecto: si se haee· el producto 18 de los· dos primeros, y se. mu ltíp líca por oL sig-uiente,, se ten drá (Wiaentemente DE~IOS'l'R~\ClON. -Scan

18. 5=1S+ llH 18+ 18+ 18

si aho ra multiplicamos este JÍroduclo y esta sum a por 4 llle do.rá 18. 5 .-!= 18. 4+ 1 S .4+ 18. 4+1 8 . -!+ b .4

J)ero· co·mo 18.4 rO!J etid o cinco veces cqtú ntlc 18.·1.5 r esulta que: 18 .5A =l8 .L5

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-35si en estos productos s ustitui mos en vez de 18 sus dos Ütctores ().3 y los multipli<:amos por los otros dos '2. 7, tendremos:

6.3.ó .4. 2.7==6.3.4.5.2.7 lo qne prueb<t que puede invertirse elórdcn de dos ti1ctorcs consecutiYOS cualesquiera :;in que varie el producto.

Ahora. bien, pudiendo invertirse dos factores consecutiYOS cualesquiera siu que se altere el producto, podremos ig-ualmente <-atnbiar de lugar á tm factor cualquiera invirtiéndolo primero con su inllH:diato, des¡mes con el que le sigue y así sucesivamente hasta que ocupe el ll1gar que nos p1·opongnmos, lo que uemucslra el teorem;t enunciado.

1'!-.Para multiplicnr un nú11!C1'0 po1· ttn z;roducto Íl/llic(((lO La-~·ta multitJlicurlo por WIO de los facto res de dicho Jlroducto con:;ervaudo los dernas.

En efecto: Sea el número 4x G.5.3: como el6rdcn de los factore:; no nltent el producto tendreÜOIWLAJUO

HH)s ,que '1 X G. 5 . 3=G. 5 . 3 X 4=4. 6. [¡ . ;,¡

ConoLAH'lO 2'!-Bccíl>rocanu.>nte: para mult~;li­ caT w1. 1Jroducto indicac1o 1JOr un número uastn multiplica-r ww de sus factores lJOr dicho núme1'0 conser varulo los denws.

ART ICULO 111.

De l a clc l 'n ciou á. ¡>otc u c ias.

EleYar un n(¡mero á una potencia es compo~ ner otro quo lo contenga tnutns Yeres C(llllO factor como nnid;1des tiene ot1·o uún~ero dmlo.

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,-

"('

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·ar-~·.)11 :- ...~ 1hln1an be·tr ., ..

Los c1:ttos tlc <'St:t on::r ' 11r·ia. pA•• 0 lt:a1 {·;o;u J el y r·."tilO!If'nti~ 1,c.n·a indie~n·1n :~e c~ •<"::tbt· l·t L: . ..;P Y ú . . u <lt'r<:dm un po('o (<It·,·ado d e:--;Jonct~tc. J\:;í; pam l'Xpro<) "'' c·¡t· f'll'C .......

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'!>tn·n in<l!c.(_n· <p ~~ lUlf~ HU~Hfl ::eL 1 dl' l·1~ rnl· ;l lllUl ¡)otc11c in se t1.C"ierra dPt'1''u th.~ un ''l:~t..__:Hte:-:!s ., .. ;;e pon e fl b t1\"l'l'<·h :l c·l ~''-'iH• lHmtc. pnr a dcn tr ))e h deíiJ<i,·ion c1nrla 1rc.q¡'ta que ¡· • 1 . , , IC:l!l'Hl j JOl' Wl Jt tll)J e;·n a 1il)<1 po!- C'llt i <t );>,t ;t Jnn .!lp

mismo hm hs Y<'<'ü~ 1·omo 1\llid·"le,; tien e el vx"-~¡ n 1, ) -·() · · •.•. ~-" . ... - 1<: ' - ·<)•) t~ J \J 'lOl J -;1, . .~1 '):.

J lt'l 'c.

J.·¡, ;;eg-;m<h ~- tcJ·•·N·a. po tcll' ~ins tom:u1 dH • .mlJre pmi·icnlat· <1<' C'lft drl:: lo y ('Ido J ,a l>l'ÍI HC:'fl poten<'i;< el ~ un 11 '¡me ro e~ el mis rno Jlúmérü, })Ol'<lUC 110 lm de cntr11r en dh nw~ qnc nna ~ola \'CZ <:omo far·tor. 'l'u c1Ht~ ]n:; pol. úJHl Ím; <l l la tmitht l son ig w\le~ ;'~ e-lla mí:>nw, por qtic d prol11:!'tO <k la Hlli<bttl por rd mi;;n¡f~ cn al~uicr JtÚl l H:!'O do YC:te.; ;.,it:m pre c•s f·Í

l1,Hill Ít

J.

U na poten<'in cualc1uiern do 1fl rs i:~1td :í la ·u;li(1:Hl scgui<}:t Cle ta n to~ cero >; como nni dn<h~,; tic;, ~~" llf~ 1'1 C'X¡.>Ol)C l!tl- . porq 11<' por (';ula YC7. <¡11<' <1io mn11 ipli e;l ·po r sí llli,;m•> hny q11e n;.\'l'<'g':irk· un <·c~:o.

1..-:t p<:1ll~:~·ia c1a la nní(hH1 :-'eg·nid; t c.lt~ ccrn!' :-: e o l,1Ít'l" ' t"Wi'ibi•·n:lo ¡Í la tl<•r<;'cll:l de la nniclarl Ulltn~ <· rl'O)j t•nn 1o u 11 i tla tl ();o; Aic ne el ]ll'' H1 ur l' 1 <1<'! (· xpu ne upo1· clH {,u\ ('ft) de Ct.)ron de 1:t bas<..\ J 0f)'l di,2;0 lJlH: f;(·j';' ¡ ig:md á j 000 000 ,

10

~-~oa

tu

]HW<JliC

ril•l't-t~

(':td:l

v e;;; qn<' ~e·n:;¡)t;pli tJ H<· HlO }Hir t:í lllÍ:-:;no k:y que ngrcg-nr!t• r t'l !'1:' e ere,,; (',)l\I!H~I tie>B<:' y romo :-::;- !::111 el o JliH' Cl' tn nt"~ rroductf.'S C0H l0 Ullidade:-; tÍ UilC d CX · © Biblioteca Nacional de España

--,, ,•..., •1

pon<>ntc. cla!-.:

tanto"'

rt:~:;

exponen-

re

como

<h flllC h l·0tenc;,, f<'n<kí nnit!atles f(,ll~\t d prPtl:t(·i·t) dd

J!t1l' el núut(;'!".> dü <·t·nH <l0 !a Tr-:ot{EMA !)'}- /,:/. ¡·w¡..í,·!idO

Cil-

U;i:'('.

d!!

Uil 111Í ,¡,~ro

clr:scomlmcsto en dos }>arlf.s Cli/18/n dt· tr<·8 r¡1te 80ii : ruadmdo de ·za. p rim.cr(l, t!u¡l/o de la 11rimera por In St'!}Uttda, y¡ cawlmdo de ln Sf'lJinHia.

En efedt': sea el número 8 tlescompncsto en Jos parte.; 3+5, tt•Htlrcnws eYitlentemen/o que s~

=(:!+:;)'-! =(Hi>) (3+,>)

y efectuado el produclu de las dos sunHi~ inclica<~as :;o obtcndní: pero como 3. 5 rcpeticlo do:; n ;ces C<}UÍYale (t 2 x iJ .:) "ademas .

3 - 3~ = 3·-' •y!>~ . :.>- = b- ~.....

resultarú _por fin que (:3+.5)~

=3·2 +2X3.5.¡-5 gi

que es lo que nos proponíamos demoslt'<t l', CoH<'L\ RTo. - De aq11í ~e detlu<:c, quo si se cleNl/1 al ('Uadrwlo dos uúmr·ro.,; consefufiG·os, el cuatlrariel mayor S~'I'IÍ ÍfJI!al al cuadrado del Jltti!Or awm:ll· lan(lo ron el duplo de. gu base mas unf¿ unidad.

Sean lo;; clos m'tmcros consc-cntin)s !í •y 6: d <'IHHirrvlo de i'> es :i'!; y el ele G ~ení ig-ual >Í. (ü+ 1r; JlCl'O COlllO (ií+ 1)'! =!)~ +:.!. 5 .1 + l :.! =r)'! +2. :) + l l't'>~tdht en efecto el prinvipio enunciado .e n el corolario.

dll

E~cor.ro.- Podríamos demostrar troremns anftlogos rara }as demas potencia:;; FCI'O 110 Sóll UC h\1

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- 38que tlchm1 prese ntarse 0 11 un t.rat~tdo. ~] em ental, J'íl. porqu e su demo stracion exig-e 00110cimie ntos mas eleYados, ya ta,mbi en porque no tienen utilid ad en la práct ica.

:p ~tma.leza

AR TIC ULO I V. D e la •·e sta .

La operncion de 1·estcw t.ienr. por obj eto descomp oner un núme ro en dos parte s tle las cuale s una es conoc ida.

Los elatos de esta opC'r acion so llama n minuendo y sustraendo y el resnlt ado 1't~Sia. De estas tlefinicioneK re~;ulta, r¡ue la opE:rncion de restar es inver sa de la suma , pn(•:;to que el minuend o no es otra cosa qne h suma ele dos sumandos ele los cuales uno es el sustnHmdo y el otro la resta..

P ara indi<'ar la. opera cion de rest.nr se escrib e prime ro el minu endo y 1Í continuacio n el s ustraendo, interponien do entre a,mbos esto ~; i gno - que se lee menos, Así para expre sar que del núme ro 13 se ha de. r estar 8 se cscribirft 13-8 y esta será la e:xpresion de la resta indicada.

Cuando so qu iere expresa.r que. \mn, sum a 6 una restn. indicM h se han do suwa r 6 restar. se encernm ín en un parén tesis ponie ndo entre clln:; los sig-nos + 6 - . Así si so quier e expre~. n· que b resta indica da IH -5 so ha <lo smuar cou b suma inui-. cadn. 8+7 + 2 so escribirit de este modo:

(13- 5)+(R + 7+2) Si se quiere expre sar q ne ele la s uma ind¡cf!,U\1:

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·

-'3' 9l~iH' 9+G) se hade resta r lasuma.indic:üla~(3 +4) · se ~cri bi rá. .'lsí (8+9 +G)- (3+4 ) .v as [ ~n 1os de m afl ca,<; os. .En la operacion d~ l'CSUU" ,hay :que distin guir dos ca~os: 1'! ·Cuando el sns_traeud o teng a una sola ·cifi-:1. y el müw endo .sea. ·men 0r ·que el.ilecuplo del sus~

trae11do.

21) Cnnndo los dos teng an Yacias ·cifrns.

PRim:I·:R CASO.-E n este caso puede servi r Ja. tabla ile sLtmar para :hallar ia rest.a. En cfec:to : sup¡;mgamos, por ~emJ)lO, que del núm ero 12 qu:iera re,;tarse 5, .buscaremo:; el .s\1straendo 5 en la, pljmera. :fiJa y uccenderemos por su .cohun•.JIH. hasta hn.lla r el minuenilo 12 ·; y el núm ero 7 que se encu entra en la. prim era columna correspondiente á la fila del 1'2 .será b re¡.,ia pctli.cJa, porque siend o ·12 hHum :t de .Jes :nún1<.;ros'f> y 7, .da ro es que 7 .es la Yesta. eutre 1.2 y :!J. EH .la pníc-tica 110 se procede .de esta. .manera, sino que ·Como so i;ftbe de m enlO.l'Í<t la t.a1.JJa <(le .SHUlar, .se ·Obtiene ·de una ·yez la resm .busc ando mentalmente ·el 11ú1nero que hay que añad ir :al 'l;UStraendo pam -obtener el núnu emlo.

S1~G.t:NlJO ca-so,__..Cuanao .el .11íinucnclo y el ·sustr aend o tienen cualcplier ntm1cro de ·cifras, es -~vidente que podr á -obtenerse la resta, res1ando las <;,ithl!i de cada órdCJI del sustraendo de :ms correspond ie.JJtes <m ol minu endo. Asi, por ~j emplo, si se qui<>re resta r del11Úme ro 486 el 172, dir<.> mos dt: ~ ;utiidades {t 6 nm 4: de í dece nas á 8 yn, 1; T lle 1 cente na {t '1 van 3: ele modo c;¡uo J.a .r estu será cl'.uú;<UJ::J:o 31-J.

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-JO~

!l;ín cmhr.•·;;o, sncedc c0n frcruc;wia qnc :1l~;t­ na de las rifms del minuendo es mcaor ftlW !'iL COITCS¡>Ontliente rn el sustr:wntlo: en tal ra:<o ::.f. tonu una nni<lad de la cifra de únlcn ~n¡:erior inmediata clPl n1innendo, c¡nc- ,·:\te dirz tkl tínkn quese resta, y afiadicn•to c;stas clic7. ;'¡, la cifrn <.le que fiC trnt:t ya ~e pne•lc Yerifirnr la. ¡·:->~t<1, temiendo· cnitla<lo al ¡:c¡;tar la cifril. sig-ui011 to- tlu ~¡no la. ckl minuen•lo f.icnc unn. uni<lacl nHl n n::; Jo las e¡uo rc~­

p•·cscn tn..

E.m)WF.rl.-Resta-:: 3'821)· <le 7'4:i l ~romo b cifnt l de 1;1:> mütlntlcs del mi unc111lo e.; ntenOi' fl11 <~ ln. rif'rn G d'<•l sn:-:trnemlo 1:<'1110 llll:l tle~c,n a. c!n 'la.;; ?í del minnenüo, c¡nc Yr.lc 1O nnidntk·>', ~· 'HI'('~an­ do e;;n1s ;. la l', clan 'll'~ re.-;to G' r!e 11 ,. n ht!·J1g·o :)· 1mulafl,•s 1Ja1~1 la resta. E:1 sc,.nirla tl:l._: llllC n·:..ta ;o . las 2 decrn:Js df'l SH:;tJ·:ulJ>~lo ele h'i !'> tld minnt->ndo, pero como tomé 1ma pam a;.¡,T~gnrln íi bs nni--dade.-<1 rcst.o J de 4 y oheng-o r/o.~ riN·,·nas p:1ra l:t re:>ta. Al re;;tar las k ct'ntOlta:> <lel ~•n,.t•·~•fn.lo de bs.

4 del min nr 1!(10 se pn>.sc.mtn. ig·nal di fi<- nlt~al qne en las u11 i<lat!eR,' pem se !411 lva .ti c la ¡¡, i('llln mam'r<'-· tom:mclo nnn nní<hn! ci'o·lo-; 'i ín ill:m'>< del' mimwndo, y ¡·p;;!amlo rlc l-Y f1. 1-·1, lo qm~ da li t·<·ntt'II H~ para la rest;;, ~- p0r fin reAo lM h'Nl miilnn" del,;¡¡,._ traentlo de los 6 f[t<t' h:m q:wd:ulo en d lninm·m1ntlt':-;lHH\S tlC" to:;t:lrle;; un:runid::cl. o!l~0i~!!·o· :~ ;;1illarl~

1

111HH1C'r· . ., (' ' l.; )~;~pr.!L~tir~t se d~t'Feuc la c..~pcr.1t·Ít)a tlel nv'~ ,,

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So cobca.11 loo. tbto~ utto ucbnj 1 d.J otm, ,J.,. morh c¡no h; nni<lnt:c$ (b na mi:;m.) (•rd t·il se c·.ot·~ respo ndan en cnhun aa; y lnC.é\'·) se c;ecnt:m l. t.• o 1H•meion c,; en b forma. a:. tf~ intlic:HLl, emp..:z:t:H1.> por h clcrcr..ha.

E >:cou o.- lf(m10s tli<dtn que c nnm!o ~tl g- n n:•.

0i1',;t( (' 0 iT(':'1) l' (lHC th•J :(llSt i'ilClld o ('-; llí<l\":l 1 • • cliente Cil el m in11C111 h ;;;' tc1:n.t m:;t unid::td d.1 1:~ de únlc•n ~npm in¡· irnnmliat:> dn úich• > minnc·thlo; pem como pnc(lc >HH~C!l cr c¡ nr•·L-s(·a :;ca n, c11 tal t:fl~~~ ,.. ita li h uaid:t d ::;e tomar :'t de b 1· ,rinN'1'<1 eifra :;io·¡¡jl ~·;1. q tH' ;;e UilC' IIIItlti',~ iÍ. la i;.:' ¡l!i~·nh tld O. .\_,.¡ por cj'omplo, ,;i se r1niu•·e;¡ rest:n· los n.Ú m<Jt"•.I~J:

cifra

200 ~

-.l '"'" ,a ) .1.n·r·

rcst:w ~ de -+ tomn tmll. unid:H l tl~ lolt do;v milla.rcs dclm innetHlo que q¡ lu lO cen tc u;¡:,;, de_ío !J oa d htgm· do ],~.::; cc nt:_•Hn;; y d e h nna r c:-;t;ln t.', que Ya le 1n clccrn :t-', tb)o ~) c'il <'ll ng·:1r cln las d c'r.t'tl:t~ ,, 11 ~' ''') m~:\ ;t] lt!!!~li· dP b=- 1mid:.dc;;. f,) <ji!O me tÍá 14 r ya pncdn ro-.!ar.

D~! · ~:-·tn ¡·r~u l tn que en la p r{trti (';f si<}nq)rC se pnr dc \'(JP>· í<l P1'; li' r¡ nr t·rt cb d t't·:\ tld min nentln m ~· ­ nor (fll~' ,:n corr(•s¡;mulicnto c!d s;¡slr: lt'il'ln tÍ<'Ih" 10 nn idadr.; m:l>', 1'0'1 tal 1¡110 ~<' teng' c·l ,-¡¡iclarln ,]e rc>hnjn;· r.w ;J tal ·, n eu~e HTlll u11 idaü ú h ei f;·;~. !-Íg.· ni cnt(.~ clc--1 ¡;-:innt nrln. . .. 11rf . , . r ¡¡:¡{1 )'f'.<·f .1 1:11•11'/1 'l'Eon¡.;)r.\ ()':'- l '(lrf1 ;;n;t'1 IJI';c•a pn:· ll i/IIIÍIII er o bn.~l11 ¡,.,,;¡i !,;iro r rl m i111tr· Jlll,, _;/ .<,•s!ron <~.1

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¡1n;· difho ;;((,;u:,·o .'i r1'8hu· !fJs ¡, rr,tllt,"/r, .J pa;·,.¡,r(, . . .

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- 42Scan.por ejemplo (5- 13) •!, tendremos e'-i.dcn. teme11te: (.:3- !3) 4=(G- :1 )+('>-:J)+(5-3) +(!l- :3)

l1 lo que es lo mismo (5-:1) 4-(:3+5 H>+:J)-(3+3+=1 +=1) p ero <'Omo 5 sun1ado 4 veces eqni,·ale a 5 . -ly 3 ló UllHtllO 4 YCCCS á¡_ ; .4 r esulta q ue: (5 -3) 4= 5.4-1l.4 • rpte C'S lo 11nc n0s proponí<tmos demostrar. llecí¡J,:ocamente vara m ul ti p)i(;l~r un número pnr rum resta inrlica..da basta rnulti plicar el minncn. do y el sustraendo por dicho número r restar los 1u·oclnttos pareia!cs. Bn efecto: sea 8 (i -:1) . Como d úrd0n Je los fa ctores no altera el pro<lncto, EC tt•tHlrfa:

8 ('7 - 3)= (7-B) 8

. eomo

Y

( 7- R) 8=7 .8-3 .8 :>er a tgu;tJmente: 1

-

8 (7 - 3)=7 .8-0.8

ART JCU LO V. De l a <lil' isim• .

La opcrncion de diYidir tiene por objeto des·~olll~)oner un número en dos factores Je los cuales uno C!' tonoeitlo.

E l nímwt·o dado se llama dividendo, el f::'tCt.or ennocido diú,or, :;- c1 factor que se busca cociente. lA opC'ntrion se e.xpn 'S<t escribiendo el di•;¡)¡~ndo y al lado snyo el divisor, ú interponiendo entre ellos e:,to si ~no : qne se leo divididiJ po}·. Aili

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- 43p}tr(l. expresar qne el número 8 sr· h;t tle tlividir por 2 se indicarú de esta manera: 8 : ~. ,. csht ser{J :í. h~ Yez la expresion del cociente inclit·a(lo. Tnmhien :=;o puede expr<'sarla. diYision ('scribiencl.o el di,·icl<'ndo y debajo el ti ¡,;,;or, separándolos cou una, ra.ya, en estn. forma.~ que se lcení igmthnente or·ho dividido JlOI' dos, y !ierá ta m bien h expresion del co¡;il~nt.e indieaclo. 'l'cnicudo la disi:>ion por objeto hnlhr un nú11101'0 qne multiplicitdo por el divi;;or produ!lon. el dividendo, cll\,rO es que podr6 hnllarsc el cociente avorig tu\ndo las veoes que el divisor e:stá contenido como ~mrrumdo en el dividHnÜo, lo que se obtendrá restn.ndo el di visor del div i1lenclo todas las ' 'C'WS que sea posible. Así, por ejemplo, si quiero di,-idir 50 por J 2 veré las vece:; que 12 pnedc restarse de 50, y elu{uuerv de resta:; serán las unidades dd cociente.

Ejecutando ht opcracioll de este modo se tenclrú: 50 -12

3S - 12

20 - lA!

---H - 12

::r como 12 ha podido

2 rer;t<tr~•'

t ,-ecos de 50, el uúmero 4 ser:\. el cociente. La" <1• '" unidades 'lue !tan f)obr¡,do, se llmnan 1·esirlao d<· In, division, D e osto resulta que el diYi~m· 12 cstÍt. contenido 4 veces corno sumando c11 ()1 di vidcndo. 50 y

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,) !o q:t~ c:-t 1t) mi,.mo. qac el ,,¡ J!lruh!•·tn d.\:! tlh·i,;m· p(>r el encicn tc <lliilll"l11:H'n ,¡,.; n·,;:•ltw.• :o c¡t;c t·odr,\. ex-

~(,brai:l <lr~s unidad,\.:, tJj,·iclcnclo t:3 lgH·tl

PI'C:-srn·sc Llc esto ¡JJu:1, r:

f)()= 1:2 -1 + ~~ res ul t:t f; 11; dJ i, '1 q<H~

<:1 rc-~< fdnn es ln.

De artuí cliferenei>~ qttt> cxi>:k (,: l',.,. E. l d:, ; ¡,.nllO ,. el 11rocluct o d0l di ,-¡ ~ot· pnc· t 1 c·•wi~·lJí'• •, Clial!clc1 elrc~ ici ro ,.., t·r¡·o "r ck·c q'l<' b diYi!;Ío: t es e..ractn Y <:nto I<' "S "1 ('')¡·:c•uto :<C llam;t com" ..'· rc,,;,¡¡;r: ~'e ·Jicr• qnt· la clivi:sion es plrto; cnando ha incxa€ta, y ci co<·irntu :;o lhrna i.nNm ,¡¡it/o. li ,·isor, porJ~ l rcxfcluo rs ~• ic\1 n p r:.} nK~1101' que· ol < que si fn ese ig mll ,¡ umynn•¡.(';u·ia el dh·i.:nr c·r,ntenido una. vc1. mas como sttmnn•L> e;¡ c·l 1\i ,·j.[(;¡1do.

El m( rodo <ln la cliYi6iOn •P•'r mc·dio de r~~tns s ner;;Í \'llli, CJ HO arab;nno>< de explicar, pruehn fJUC cst:\ opt>racion no <'s mas que nn c·aso partitu!ar de la re~ta t~n rl cpt('\ ~~~ tr:1ta <.!e aYcri:.run r r1tantas ve-· ( '('S pttett<< re:; tnr,.;<' l ll l ii Íi lllt' l'(l ¡[o é>tro: [lCl\) tÍ l'll C el ineonYcn ieltte de Ji<) ,.;or n¡;licahle c·n ln pn~ctin~ por lo nmeho guo >:e t.u··.la!·ia oH cjccn:·ar ln operaJ

•

ti ou C"llHlH1o lo:--; n {utH~rr~~ h~eran 1nn y •1

uTn11dcs. ·""'

Para evitar c•sl·o Íl H'Oil \'Clli<mtv "C lt:1, t n•tado dP hallar un mlttulq lllas cxFct1it•\ lo qnc S<.' ha. <'O II:<Cg-uido fniHI:indo>'t' eil r¡nc, St'g-: 1:1 h1 dt>!inÍ('Í!W, la tli,•i:<ion 1\n e:> H:as que t•na op.' mrinn ÍHYCJ':m tb la nlulriplic·¡lt'¡on t·n la q ;tu f:C d,í el prnclueto y ttn n d e lo:; fnl'l'orc':i \' scJ lJt:sca d otrn fadn;·. eon:;idvr;\1' tres ca.l~ n e;; te ntc.'tod;l lt;t..,. c.'ne .l "'11i, que sun : 1~-Cu al!ClO <·l di,·i,or tiene una ,.;ola t i;·m. y ol dividendo (',; llll'l1()1' t¡ll0 diez \'(~('<":i ('] djyj.;:or.

2'.'- Cuanclo d di 1·i~or tiene Yaria.; <:i1i·as y

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" d di,· id..:·ldo e>< d rú lllla ~:,l :t 1 Í:5or , t;.; cYitlcnt ~~ qno el C'll CÍ t•.llt t! tt~n n1edio t·i~'rnw _,- por ('l)H"i!g"liicntp pod rú h c11inr;-;t~ pdr

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•

de b tab la de b nmltiplic~n· ion . En cl(>cto: liP<!fl por <jc Hlplo 2G : 4·, l m~cu;· ;mw;-; en la prin H:m fila de .h t:1b!a el di,·i,.:or -4 )" t~t·~cenrliend• ' por la <·u· lumn:1 c1e esto enco:l1rarcntr':< lh;; du,; núm é•ro:; :¿ 1 \' 2i:\ t·,ltre lo~; tu:llc:; <•:;tú conmn·ntl:do d di,·it!cH;lo 2ti. J\h orn biRn, e11 la }H'Í in~m eol uum¡J :'t la lh·rec lm dd 2-t y l~<'l 28 cst:ín los uúm ero s (j " 7, obti ~·­ l¡tte SOll CYit1•~:tklli CH !O Jos tnC Íl~ll LC:; que SC

4, lttt·g~.l el Cl)· cif'nte de dil· idir 2u p or 4 c:sta dt com pre ndi do cnl] tto 1re (j : · 7, y por ('Ol!sig-uic ntc (:) s~ rú el cocien te hu.sc<1mo:; ú meno.> de nna uni dad por C:"CC.so. l·:n la prf tdic a !'e hal ln siempre el Ctll; iento por dcfeet.o; y par a hal lar <·1 resídn o bas tan [ n]u ltip lica r el <·oc·ierl1'o ()p or c1 <1il' isor ·1 y rc~ta r u! producto 24 del di I'Íd<•!Hlo Ni, lo q ne ~lará 2 de rcsíd no.

Cu an<lo ~l' :<al¡ü l1ic n• clo me nw JÍa la tah la de la mul ti plie a~:.ioll liO l!it,l' m·<·c><idad ele bus l'Hl' du <·:;te JHodo ll'S coc ien tes ,- re:;íduo:-:, y ;:;e !tal lan du • una. vell con tod a pro11(itml.

S"c.t.:~ no C.\so.-Cn and o el di\' iso r tient• Yarías cifras ;: el d iYi<lelHlo e::; me nor qnc die z ,·eccs el di,·i:;or, el coc ien te tien e Ol'idcnh'mcnt& una tifra, ;:olnmcHte qne ent onces como JH? tenemos tah 'a lllas <JIIe H:lra. lus JltlC \'0 uriu1er os núm ero;; lt et:e ,;idt:l LHmo:;; pro cc 1cr por tan t eo:; pnm hallnr el ;·nl ur Cl)c ieu tc.

IICJJ

<1i ' id ieu do 21 por -1

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1

-46~

Sea por ejemplo el número 45ti27 dividido por 8931. Como el diYidendo es menor que diez '-"CCCs ol divisor, sabemos positiquHentc que el cociente no tiene mas que una cifra pero ig-noramo.· cuaJ de la~; nueYe correspontle; y 1mm a YC'J;gunrlo ba.<>tará irlas probando todas désde 1 hasta !.!, lo cünl se ha,J'Ú. multiplicállr1oln s llllt;Csivame nte por el divisor y restando los productos dol dividendo lmstn encont.ra r un resídtto mouor que el divi:;or, en cuyo caso la última cifi:<1 hallatb sor[~ el verda-

dero cociente.

•

Aplicando este procedimiento, se tiene succsh·amen te:

45627

8931 xl

-l)!J31

8931 8931 x2

366!)6

4!í627 -17862 27í65 45627

17862 8931 x3

-267~3

26703 8931 x4

18834 4!í627 -3572,1

35 72-1 8931

0903 45G27

X :J

-.44-():)[i

!4655

972

-

1

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- 47dontle ,·crno;; que 5 es el cocion te <¡tW se lJlls('a. ~e concibe sin d ificu1tad que 1;[ eH la prúctÍl'a ttwi ~;;muos quo aplk ar sim11prc cstu proccdimio11h> l l~ resol ueion del ::;ogulH1o C<I ~O 1le h division >;crin. muy penosa, puus hubria. vet:c:> que nos ,·rrÍ;\JHns JWecisadas [t lu1ccr wtcce tanteos. ,\Jortun:ulmnontc hay un medio do e,·itarios, si 110 por comploto, ú lo menos reduciéndolvs <le un 1Hodo notable, C(HIIll Yt~mo:; {¡ domostrnrlo en el :sig·nicnte teorema. 'l'EOHE:Il A 60-El cociente probable, cuando el div idthulo es me11.o,. que diez veces et divisor, se obtiene dhulumclo la prin11:ra ó las dos primeras cifras del cliridendo, aumentadas e¡¿ una l'llidadpor la pr·imcm riel dioisor aumentadct en ?ma unirl<Hl. Sean, por ~i<>mplo, lo;; 11Únwn)3 dados anteriorlOen te: 4:)62 7 y ti\Ji.l 1, Hllffi!~JJtaru1ocn una nní1htd las do;; prinll~ras cifnu; del di Yiucn<l,, y la primera dul d i vi ~or obtengo los 11Úmercos -1G y 8; y ::;i lo;.; <liYido uno poi otro, la cifra 5 que n.::sulta será el cociente ¡Jl·ohabl c.

En efecto: el prescindir do las dema:; <.; Ífms C<iuivalc á s11poner q ue son ceros, es d eeir, cquiva ](l á süponer qnc hc1y qne clívidir '1:~)000 por i>OOU, cuyo cociente sería CYidcntc mcntc h; pero a l supouer que so•1 ceros bs dcm as c·ifras se com ete un cnor, qne influ irá naturaim entc en el Ctlcientc. P:~' . este error ou;>0:Tm nns qnc e1 cm;o E·n ra corregn· <~ue el cociente ;;¡·.ltlr{L mayvr :;crá cmmclo h1s'dcma;; mfras uel di vide nÜ ( l sean las mayores po:;íblc::;, e:; decir nueves, y lus del di\isor lct!i menores posible,;, esto es; ceros, ó lo !]Ue 0s lo mismo, el caso en <¡tw haya que tii·:iuir 45S% por 8000: pero si :;e aumenta e:1 1m a u·:idatl este di viúcntln se obtiene 4GOOO: ~ 000, eu yn co,:iuw..: <)i:> 5, el mismo que ::;~ Cil

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•

-J'S ·o'bt~l tdria. fLU ,n Jnhu do l'lltl~ tmichtl {t la~ do,; primc· r,:s cii'rn:; del <li\'l<brulü dado: ltte;.t·o (Wmellicmdo .,,,ur ,mitl:!!l cí l11s dos l,rimt'/'U.~ ci!;·a:; cid cliricl n·l? !1 diritlic:ndola~; j.'(JI' la p,·i.tuf'ra del diú~or SI' ('s{d .W'!JIIro <te 110 oblem:r w1 c;ocicnte ·m~:nor que of que .··r: lm~ca.

J'or d l'Olltrnrio, el e·aso en que el eo,·iuu tc

saldr{t n1e1~ 0r :-o~ní. aquel <.:n que la:; d<;nHlo.; t:if"n::-, del diYitleJt tlo :;ean ceros ~- la:; dcma:s del <li\·i;;o r ~~wm·.~, e,; decir, t:wmd o lmy<t que tli\·idi r .Jií l)(jl) .l a ' l <l.u ( ') ; p et'\) :<1. se :~mcllh> una Ulll.L e:;tQ L'l 'l }itl l' >\~1.1: Yisor, ~.e ohti(; ne JhOOU : VOUü, cnvu cocien te e:; IJ, d l :lÍ~I:JO f1ne ><l' ol;ten dria <lidt!ü~·uuo la:; <lo:; priuwra s cil'ra:; duJ di \'itkll dL> lla.do }>Ul' Ja p rim era del ,_ ríhúíi endo <ii \·iM>r :wm(·lltn<ht en w1n. L!llidad: lttcg·o hs do.~ prúncrafi c¿ti'lt·> tld dicitkJIIlo por le~ prime ra ¡l~·t di ti <or autll<'Jdudu en una u:tidatl se e.~tú S'f/111'0 1h: 1111 obtener 1111 cocieu!(~ 1//U,I}Or que tlfJ.UC .~r! "úu.wa .

1

.l >~ aquí l't.:<:l ult:l. c¡nc d cocicJ d o Yerd:u lP r O (:sf:Í comp reutli tlo entre le;:; dos quL· ~o olJticnt'll a u-

mcn!m :dn :<uc·e:<ÍYnJIICllte una unida d :': la,.: dos pri, .. e r:t t1:t.: l cc~ . l t:Il< l o y a 1a pnn~ " \ 'H. men¡,.: til·•·: a;; <l.c.1 Hl Yi:.;nr, :· <'lh i tli0l • t~oh; (:<Jlll v :;i e~.t tt \ ic:"t'll :;oln>-; lne!!'ll h:tc·i<.' lHlc. andx; s anmcu to:; á b \ Pz :'.e (JlJ!(.'Hclr:t ~-l (·uc·Íl'l ttc probn ble, ~ue t·ra lo que no:; propo ufa1

1

lnos

r1ctno~trar.

J-::;coLw .-·· En 01 t-jPlll plo que llcmo:; ¡m:,.;cn ta\1o lta ,;;,]ido la Jn ; ,.;m:\ <·i l!::t j'<!!'<l ], ,:; dt>;:; }Í!J titPI', y

]:Or t· u,,.:ignit-::tt· d C•ltknt~: uimmid<.IIU ..;vlo t:S pro-

. ' ; }H'l\1 t<>tO JW ;.Ht:c.:u' e :<<t.:lll . ,·~·rt¡au~·ro ' uno ha ] ltt• 1Ji'c, p'or <·,.;n ptn: m• <J i!Ítu la g·e11en~ li ótd al t\;ort-;ma ~o Ju lwJ;; o~ G_, •lll• ·''~ :·¡l do t¡ n<! d t:üe ie 11 te e.s prt' bu blr·. ' i':Hllh it•H en t'!l ;,,, (jt•n' /'h ha ha1,:rlo (~i!(; ¡Jj,·id ir

J l ÍJ'l"'.ra c\d tl i r i~t>!': )'vq uc• b prim¡:;·\~ 1ld Lb·iL!endo e1·a

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-49·menor qne hL del divi::;o1~ pero esto tampoco sncerlerá siempre, y por c:;o 1tl cnnnciar el teorcm<t hemo~ comprendi do los dos casos para 110 quitarle su generalida d. · l'am convencern os J.c e>;to bast<L obsernH· lo que sncede en el ejemplo ~;igui ente: t:ittpongamos qltC haya. que dh·idir U012 por 1987: aquí se .di,·itlirá la ¡wi111era cifra 9 tlcl di\·idcndo por hL primera cl~l diYi,.;or, porque es mayor que ella. Para. halla!· el límite superior del cot·iente c\i\·iuiremo s 10 por 1, lo que drmí. 9, porque una t iti·a no pnede ser ma.yor que 9: pura halbr el límitn iuferior d ividiremos 9 por 2, lo que dá ,J.; l uc~go el eocicnto está compren di e] o entre !:J y 4, y se lud lar{l.. d probable dividendo 10 por 2, lo que eH 5; y sin embargo 5 no es aun el cociente Yerdadcro sino e.l prohable, pues s i lo comprobamos veremo:-; CJne e:; exce:,;i\'O y que 4 será el verdadero. Por con:sig-uien te el método de aunwutar una unidad á la primera <Í (L Jos do:; primeras cifrft~> el el di\·idendo y ú la. prilliCl':l, clel divisor dá una gran probabilid ad de Jwllar el verdmlcro cocionh' 1 pero no segnridatl, couYiniellt1o sin embargo emplearlo l'iempro porque e\·ita tanteo;;, y porque o:; el únieo raciomü <JUO :;e \:OHOCC para e\·itarlos. 'l'ER('F.R c_\so. -Consider emos ya el caso gen~r~ll . do b ,di\·isiO~I, y ~;upong~m-o:< ~pw haya 9n.c cll\·uln· el Hnmero 08U·l0l por bO f . Cnmo el dJ \'Jclendo os á lo mas ig ual n.l produrto del diYisor por r l cociente, e;;;te n o podr<'t constnr mas qno <le tantas cifras como nnicla<lct; t.<:ng;t el n ún;ero de c.: ifrns del rli \i~or restado del número de eifí:as del dividemlo, ó una ma:;. Asf en el ejemplo propuesto el cociente solo podní tener tres 6 cuatro cifms; pcr() /1 © Biblioteca Nacional de España

-M 'c.mmo el m::mor númm·o tl'e cuatro cifra.;; es [,)00, "t' lhultiplica~h pm· ·trl urYi sm· :)07 <Ui nH pl·orlttet() .:;07000 may or <ptc el d.ivi t.lcmlo, sabe rnos cnn toll: t a6gm idad ftue el cociento- qnc se· bns ca solo c.on ~ ndní tres ei fms .

'PHcst{) r¡nc· HttOfiti'()' coc1ente ;;Dlo cnnti e1~0 trc,; cif.ra : pued~ {:onsi•lcmrs c al <lh-idcn tln com0 la sn, jn :~ de los tr·es prnt !uet,o:; pm·e i<tles· de la:> t.mi<1adc~ tlf'CClHls· )' cu11tcna~ ,h,l eot:iente· mnl tiplrtada;; ¡Hw to¡b el di,•ism·, m:1s cl rc>~ tthlll; :>i le) lm} ; p M C'Ol!!ign icnt e >l'Í pml iesc avtwigu>~r:::c en qLtc pnrto (ld di,·itlcn áo se-l utlh con teni do· ('lula nao tl'o esto,;. prn<luctos· par<;ia lcs, rlh·itliet u\.) c;;t:l parto por ci d ivir;or, se:.n m el mtitO(~n tlel scgllltdo caso, se cne:m trar h rad a an:\ tle las tl-fr:'is c.ld C(lcicnte..\ hora bien: fl i ohs er vn.m·os <¡llO' el prod'ucto üe hs ccntena.stle l cociente pM el divi:<or tinw:rqna ctnr un número exa r· to <lo centena,; rcsnlta que Ita de h allar:;~ tien tXlll toui( lo·011 la;; HH!).t cc~n t.ct ms ele! di villc nJo : p:w srtl 0 :~~!)-!, por el tli vi,;o r ?.07, scg-nn el m ~todo tlcl p;nw b ca:;o, h cir'ra (i r¡no ~;o obti ene stm í l:t prob able de las ('.Olltena ~ dd eM:ien to. Par a cmnpl'clbar h hastarú. m·n hipl 1rar b por el divisor y rest ar el prncluctc) del- c\.i,·idcn•ln parcial: ~i el proclncro obtc ni<~o ('~· nuJ!ym· qnc didr o t]¡,, ¡'~Jendc) parc ial serÍL prnc ha do que la eilra. es cxc esi\ 'a y hab rá que reha jnrla: si el prodnrt< ) u~ men or y rus t<ulo el<;! divi deml.o parcial thí. IIH r('.<Í<itw may or cpro el di vi,;or,:es pru eba de r¡no h cifra será pcqn<'fía y lrnbr:l c¡no- auinen tnrk:; y fi na 1men te .;i el pro•ltrcto e~ mcn oN¡ LLcl el <1i \'Íde11do pnre ial y rest ado do e1 eh\ tm rcsü hw men or que ~1 (li"'i sor o;; pme b:x do- qno In cifr a lrfllla.cht es b von1adc r:t. En el caso prC'¡.;cmto la eifr<~ ¡>rohab le os ¡; y com prob ada resu lt:~ 7 la. vcra ac.lcJ:a!

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-51Si rc:stamos del dividcJJdo total 389401 el produdo BiJJ!JOO de las 7 centenas del cociente por el divi~or 507, la difcrenci:~ rl450 l solo contendrá la suma de los ¡n·ot!uct·o,; parciales de las cifi·as de 1ao unidades y cktcHas dél cociente por todo el J i,·i)lor, mas clrc,;íduo: por consig-uiente todo qned<mi reducido :i a' eri)!LHlr en que pm te de esta diferenc!a se halh1, contenido el producto parcial de la:; dccona:; dd cociente por todo el di \'Ísor, para. hallar la <;ifra de dicha:; dcccnal'.

Ru:iocin:uHI\) d<:l mismo modo que en el caso anterior YCJ·cmo:; que pam hallar Clita cifra ba!;ta dividir las 3•1 50 dcceuas del di,·idendo parcial por el diYisor [¡Q7, lo que dí~ 6 decenn:s en el cocicnt<', las cual c.,; pncclcn compro lmn;c del mi:uuo modo !'J.Uú 1<1:; centen:ls restando del tliviclendo pmcid el producto )l0-l20 de d ichas G duccna:; por el di\'Ísor.

De c::stc modo :;e obtendr•Í. otro éli ,·ideurlo parcia l 4081 que solo contcndrA el producto de las unidade:; Llel cocien1·c por el cli\'isor, y d rct;íduo; di,.¡_ diendo por tanto dicho. llividendo vureial por el divisor 507 se ten drí~ la eifra 8 ele las unidades del coci-ente, y resb:mdo el producto 'W!íG do o~tn. cifra por e [ di\'ÍSOI', :-;e uutCII(lr:Í Cl rcddnn de la dÍYÍSÍOH ~tJ .

Ea In pr úctica se di>'poncn In~ operaciones r1tte ~1cabamos de cnunwrar del moJo si~J.:uicntc: u H~!J .JO 1 ;)07;~:5 -HlO()

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il-liíUl :jU..J-:2 () - .

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40~1

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'15

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- 52Se escribe el dividendo 389401 y á ::m <.ler&cha el divi sor 507, tirando una ray a horizontal y otra verticlll . Se dividen las il894 cen tenas del dividendo por el diYisor, lo qno dá la eifra. 7 de las cen tena s del cociente: so mul tiplic<t esta cifra. por el divi sor y el pro duc to 354900 se rest a del dividendo, obteniendo el di,·idendo parcial 3-1501 : se divi den las 345 0 dec ena s de esto divi den do parc ial por el divi sor y so obtiene la cifr a 6 do las devt."nas del cociente, con las que so opcm del mismo modo que con. las centenm¡ y así s uces ivam ente.

Pue de abre viar se todavía c::;ta operacion y nsí se hace siempre en In, prftctica, verificando ú la ,·ez el pro ducto de e<í.da cifra del cociente por el divisor y la resb1. de e::;te producto y t'l diYiderHlo pareial, ej ecu tánd ola únic mne nte en la p~u-te <l<l la~ cif rns significati vas, pue!\ los cero s que está n á h derecha. rest:<dos ele las cifras sup erio ros C!anín estas mismas cifras, y, con tal que se b<~je f. la dcn.:eh:t de cad<"l. diferencia la. cifm sign il•nte del lliYidendo total para Jormar el p¡¡rcial, llO ha bdt ineo nYcniente eH ope rar de este mot lo. Pro cedie11do de esta man era el cuadro de operacione:; que da redu cido ;i este otro : 607 38!)4.01 7G S 345 .0· 4081

25

l>e aqu í so ded uce para la di \·i,;io n la ~ig-uit-n­ te 1"C[Jin gcncrat: Par a divid ir nn núm ero por otro >:~e "cpa mra n en el divideado, de izquierda ú. l1ert'eha tant as cifra=- com o tiene el diYi sor, 6 nua mas si la primera cifra clel tlividcndo es nH•J H)r c¡nc la pritner a del diYisor. Se divide el periodo do b i:.:quier-

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-53da })Or el divisor, empleando ol método del sogun·do caso; y la cifra hallad.'l. en el cociente se resta de dicho periodo, escriuie11do á su derechn la cifrn r-siguionto del dividendo, opor:l.lldo con este diYidendo pru·cial del mismo modo, y así sucesivamente.

Escor.Jo.- Puedo suceder Cij_ue un dividendo parcial sea. menor que el divisor. Esto probará que no hay producto parcial del divisor por la cifra del cociente que se busca, y por consiguiente que dicha cifra es cero. Se escribirá por tanto un O en el cociente; y ·c omo multiplicado por el divi¡;or dará un prodnct(l a u lo, claro es que el di viden:lo parcial que sig ue será el mismo de antes seguido do la ej.... fra. inmediata del di vitloudo tot:i>.l. :En ol caso particular de que haya de dividil'8e un uúmero de varias cifras por otro de una sola, puedo simplificarse aun mas la operRcion. Sou por Gjomplo el número 9865 dividido por 7: es evidente que para obtener el cociente bast.-·1rá dividir pw '1 cada una de las cifras del dividendo con tal que el resto se agregue á la siguiente: p or tanto operaremos de esta. manera: 9 partido por 7, dá 1 y sobran 2, que unidas {¡ 8 hacen 28: dividido 28 por '1, drt 4, y sobra 0: diviclido 6 por 7 dá. O y sobr:m 6, t>¡u e agregauas á 5 hacen 65: dividido 65 por 7, dá 9 y sobran 2. Por consiguien te el número 1409 es ~1 cociente y 2 el re:;fduo. Llt operacion se dispone en la práctica del modo sig uiente: lo que permite 9865 7 . lw.llar el cociente y -el residuo ::;in es1409 2 cribir niug-una ·ciJra auxiliar.

Cttando el divisor tc11g1t muy pocas cifras con n>Ac;pecto al dividenclo se simplifica h operacion forlllando los productos del uivisor por los nueve primero::; números, cuyos productos pueden obte-

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-54 :nme mny sencilJamcnt.o por medio t\e ]¡¡ SUIU.'l< '!ii.gliÍCndo el mi!;mo m~todo empleado para formar la.

tabla de la multiplicacion. De este m:Jdo pan\ hal1ar

las cifras del cociente bast:1. \er cntrCI)ne dos de es~:>R )1roauctos se brdla comp rcnr1id() ea.rl a tli\'Í(l cnrln pai·ci~;~l, f Ja cifra CO!Tesponruentc al meno r scr:'t Ja qne se bus ·n.. Sea por ejemp lo el nínnc:·o -19850G4:H ;l di. viuido por 12J: se tonna rá la sig-uiente tabla: Producto del divi.-;or por 1 . . . . . . . . 1 :& ·l

•

, ,.

,. ,

, ,

,

por2 ..... ... por 3 . . . . . . . . por 4 . • . . . . . . por 5. . . . . . . . por G. . . . . . . .

248 372 4-!HJ G20 7-14

por 7 .. - - - .. por 8 . • . . . . . .

SGS 9!J2

por !L . . . . . . . 11 16 El primer di\·itlcndn parcia l es 498, el cual e-; fl comprenditlo cutre 496 r 620; lnc;o 4 será la, nirner a cifm del cocien te. ni restam os 4!>6 de di:ho divitlnndt) pa¡·cial, tendr emos 2, y cscrib iendc . i su derec ha la cifra si ~uiente del clividendo, 2:) sc;á el scgnu rlo diY1denclo parcial, el cual C3 rnono1· 1uc 12...1:. y por tanto la segun da cifra del cocie nte ..., do di Yi..Jerft. O. Esc:·il,iondo á h~ derec lw dd ¡;c(rnn ,

dendo parcial la cJra ~iguiente chJl total, se obtioJ1C 2!í0 para tercer divith:udo pa:·cial, con t-1 cunl se opera del mismo modo qno con los anteri ores, )- a5f · do lliR demt\S .

EscOL lO -EB te m~todo tiene la Yen taja de que la opcracion de di\·iclir qnccla reduci:h {¡ sumas y r:)stas, hallítn dosc de una 'l"ez la cifra YCr!iadcra del cocicntP.; pero solo es apl icable en la prácficn. cuand o el diviclenclo es muy grand e con res-

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lj'lCüto nl divisor, pues 011 el caso eontn\ rio el!t-:li ttpera.cionr.s seran ma:; larg~ que efoctu ar la. div:i-

sion por la regla general.

ART ICU LO VI. D1! l u -est,.:¿ cdt> D <le ra:ieel l.

L a. estr-accion de raice11 es una. opcri\CÍon que ·tiene por obj ew an\Lt la p Oh' ncia de Ull n(une ro 1ml lar la h:~W · 11e qac p rocedo. Loo dato:> son la potw .fta " ('] imlice tb I.L ra·i;; y el rooriltado la /J(ISe. ItA. de estrac r la r;tiz de . l'am e:>presar qne 1m níun ~ ro s~ coloc a d. obajo do este :.~ig-no .¡ ·- que 1;,; llama ·mdím / v entre ·ias rautas se colo e;;~ el ímlicc.

J ?or (;jemplo: j~o.ra iudica r qnc hú de. exhae r:;t) h raiz ·e~ dd núm2ro l l)J '30 bar(t ca e,;ta forma : r. v'ISJ, ~- c;;ta scr;í :í b vez la e.xpres!oH do h raíz 'inili~.:<ttb, cscBpil> la scgumla y ten:ora <plC se ll:t.lllan cua~1radll v ·c6hie.a.

De la dcfiJ~ici ou ·dada result:~· qne l;J. c:;trac eion <l.c-mic:cs e:s una ope ~;acion, iu n~ :-s:t do la elo\·a eioa {t po.ten éiu:;; por ,cunsi gnicn tc b miz 1'.' de un nú;mero , ;;ení. dic!ton ÚnH'..ro_y la. de tlll gr:tllu cualq nic· r;,: d e la uni<Jad surú la m:iil«d.

Ln c~tmaeÍO II ae')a raíz cuatlnlel:t :w cxpr(•:.:a ,¡;onci11nll1cntc po11io ntlo'la pot~n c :ia de Ultj\) del radi·cal, .a:;Í para.ini'li ca¡· que :\C bá de C:; traer la miz ~:ua<1nuJ a de .5:n su ex:Jrc.ear;i ile.es tc nwt.lo: .J":J:.:1. ·• ,\un cua.uo ti :<t' pud lcn rlar rc~ln s para la c·:.:·tra.c('inn de raiee;; el e cual e¡ uicr grado , las opcmci:Jlt CS Slll l III U} compli<'.acl;.ts y :.:u dcnJo:;fr:t<:iou cxig¡; {:onoeimicntos ;;up('r Ítll'es ú los (k un tratau o elcmcll\al: por e.;;o solo <la!'L"IIIOS reg-las para la c,;tnw t..:Íull. do la niíz cu:úiraJu, guo e~ J,~ 1uas s::ucílla.

se

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- 56P<:lr oúra parte en la práctica :no os necesario estraer raíces de graJo superior.

Eu la estraccion de b ntiz cuadrada hay que conside¡·ar tres C<}lj¡Os: 1?-Que el número dado tenga menos de tres cifras. . 2?-Que tenga mas de dos cifras y menos de Clll CO .

3~-Que tenga un número cualquiera de cifras.

Pm'l.íER CA-'>0.-Cuando el cuadrado tiene me-

nos de tro,~ cifras, la m iz tcrulr{t una :sola, porque 100 que es el menor número de tres cifras tiene por l'<ÚZ 10, número da dos cifras. Para h alla r esta cifra bastará formar una t:tbla que contenga los cuadrado•>de los nueve números primero::;, lo que se obtiene evidentemente multiplicándolos por s i mismos: de este modo se formará la :siguiente:

Tabla para la cstraeciou de la raíz cuadrada. .

Gt6aclmdos l, 4, 9, 16, 25, 36-. 49, 64, 81, 100.

Raices

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, D, 10.

Por medio de esta t:tl.>la se p1.10lle hallar la ra.iz cnadnu.la de un número meno r de tres eifms eon un error de menos de una unidad. En efecto: supong-nrnos que se tntta de hallar la miz c uadrada del Húmero 42; como e:;tú comprendido entre 36 y 4!) y hs m ices de estos dos números son G y 7, claro e:s. crue la raíz cuadrada de 42 ;;erá 6, ú menos llc una, unidad ele error por d~fccto, 6 r, i menos de una. unidad de enor nor cxeCS(>.

S Ec: m;J)o C.\~0.--Propong(nnonos estr::1.er b raíz cnaclntd<t (le 9 84 7. Cornó os te número es m enor qne 10(}00, su ra!¡; sedt menor que 100 y pm· con;;ig uientc uo tcndrú mas q ue <b:; cifras. k

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~57-

Podernos por tanto considerar á dicha rai;¡ des-wmpuesta en dos pa.rtes, tlecenas y unid:-tdeo; r por tanto el cuadrado 9847 constará d e cuatro qu~ son: 1~ cuadrado do la.s d ocenas ele la raiz: 2 '~ duplo de ]as decenas por unidades: 3~ cuadrado de unidades; y 4~ el re::;to uo h~ raiz.

Si pudiésemos a verig uar en qne parte del número 9847 estA comprerlllido el cuadrado de hu1 dM.enn.s de la miz, e.<;tray endo su raiz cnadritdn. tendríamos dichas decenas, pero el ctmdrado d e decena~ os e vidente que estará. contenido en laB 98 oont.enas del número propuesto. Estrayendo p ues la .ra.iz cuadrada del número U8, por el método d el primer caso, tench·emos 9 que será la cifra Jo las decenas de la raíz. Si restarnos del número 9847 el cw~drado 8100 de dichas O decenas, la diferenoia 174 7 solo contendrá el duplo de d ecenas por u nidados ol cuadrado de unidades, y el resto: pero como conocemos las 9 decena~ d e lrt raiz pouremos hallar su duplo, que es 18 decew1:s; y bastará av-eriguar en q uo parte del número 17 4 7 es tú contenido el uuplo de decenas. por umdades, porque entotlces dividiúndolo por 18. dará las unidades rle la ra.ill. Ahora, bien, el duplo decenas po.r uuidades lo menos q ne dará son decenas, luego e:;ta p:-trte estará contenida en h'> 174 decenas clcl número 1747: dividiendo pue~ 174 por 18, el eoeicnte D ser~ la cifrl~ de las uni<.huTcs de ]a. raiz. Para comnro. bar esta c ifi·a será 11ecesario fomw,r las dos partes' de que COlista el námero 174 7, es decir el <:uadnHlo de mrí.,.des y e1 duplo d e de c:c;nas por unillallcs, y enseguida restar la suma do estas p:trtc;; d e Jicho l l Ílmc:ro. Si 1a suma es mayor que 1747 es C\'Íllüntn que la c.ifra hallada scrú csc('siva Y habríÍ ouc reb;1J;arl<) <

ac

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- ,)8lirta unld:H.'l, si h suma es menor se restará, y entnn hJn podrá saceder qne el resto ;¡ea mayor qut: ~1 dnjJo de in rair. hallada, lo qne probariL que la cifra e:s (·nquefla, porque diferenciAndosc lo:; tmu1rados dl:l ,lo;¡ n úm<'roS coH;:;ecuti \'OS en el du¡~lo del menor ma.~ 1111a uniclatl, claro es c¡ae el resto de b miz cuadrad" 10 ptwtk w r mayor que d duplo de la ¡·aii: nsíptw~, ~.n c:;tc <:lt"t• ·~.o ;lftndiní. una uniuac1 á, la. r·ifm balhuh b' :n.dnH·lltC', cnall(io el re;;fo sea !lJCliOJ' que d duplo tle la ru i~: luí lhda. scrú -pt'tH:lla de q lit> l:t ei!'m clo ln:s unidades e:s h Yürdaclem. La comprolmein11 de la, cifra tlc ln~ tLHitlmles puede lmWA~e m u v serH.: il hun eubu del nwdo siguientt' : Se <'!i<;ríbe -c:::•ta citi:a 9 á la uerecha dd duplo de lus decena~> h~, ¡.., qne dá l :)!J, q"'e St'r:, t-1 duplo de dt>CCllar; mas uHidaJ~, y mtlltiplidmlolo por las n•i:m.lltl 9 mlidades tcJ1(1rcmos C\'Í<lcnlcmcntl: el duplo de d.cccmt,; por 'llnitlade:; m u.'> el cnndnulo du unitlatl(Js, e:;to e.<:, 1a suma de lm; dns palie:; que hay qnr n·F-1:tl' t1d número 17J7 para .conlprolJ¡:u·la cifra (l<: la:; 'ttlll'id11tl es.

En la práctica so di~pone 'la openw.i1m dd ruo9~,47 _2~ do signieHte: Se e::~cri l>c el númer o 8 1tlO U!!J tlaclo !} 841 y á. sn dere.c h:~, ;;e tirn una ~ 9 raya. horizontal y oh'ft Ycrtical: :>e 174 7 - 1separan dos éú'ras de J ercchn á i':é' 1701 1 98 quienla, ;: se estme I.1 raiz e un· tirada 9 del periodo 9~ e¡ ne cstit {¡ 4G la izquierda, escriuil'utlo diclut cir;;-u c·;icirna ele la raya ·b()rizontal se halla. el duplo 18 ue esta misma cifra. y se escri1)e debajo de la raya. l<:n seguida se eleva a1 cuatlrutlo la cifra hallada 9, y eomo son decenas el cu:L(lrado scní, 81 eentt'IWs, 6 81001 qne se escribirá debajo ueJ DÚrnC}:O da•

J

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-!íD~~ : •e roota.rún est•)S do::; nÍim(·ro;;, ]., qu<' <lú 17-17, ~­ ;• s •para la cifra dlilla dcrc·cha: Re divide el periodo i-~ de la i;r,quicrda por el duplo de las dt·•·t·ua,: 1 \ , 1 qnc dí~~~. ~· se coloc:{ c"1a citi·a á !'U dt•rccha, obteit:nclos(' el número 18:1: dehajo rln <'>'ti' s,• n tl'h·<> á tcrihir la citi·a lmllacla 9 .'·;;e nmltiplkau, cserihiul:J> el prod ucto 1701 2cbi!jo dt• 1 7-l i . Lurgo se r Ps:tu cstü:; do~ númr.ros, y :::e Yé :-:i la rlii'tm;tH·.ia 4fi r~ ·1cnor qne el duplo de h rai7. ltalhula, el cual :;e ha:f\ sum:nHlo 18!J con 9 l 11 q tie d:'1 J 9~. En el ca:;n 'u qnc la dif<>n~ncia 4() hubiese salido mayor que d lnplo eh· la rai;, lmllacla se Miücliria una uni•lacl ú 1~ ·ifrn y S(' Yol n :ria IÍ open1r dd mismo m odo. Si el ·l·oducto 1 701 hubiese salido mayor que 1 7-! 7 ¡;e ulll1jaria tUla unid,~d á la cifra, ' olvic•udo {¡ opc·mr guah.wt1t<>. 1\w {tltimo, cuando como en el ca:;o pre:;cnt.o, la cifra es burna. se csc-rih<' {, la dPre<'ha, .le J;¡~ dcrena;;, ¡,,que dú 99 pan< la n1i% qm· ::e 1.)11~­ caha, ii rucHOS d(l mm unidad por defcctn; y 100, i mcuos du una unidad por exce'So. Bsc.:oLro.- En la prúdi<:a se om iten los ceros cld o¡'¡mc•ro 8100, y se r esta mentalu1o11 to el cuadrado 8 1 dd número OS <1"- Í como tamhit·Jl ~e vcrilir.a f1 la. w;, el pt'O(hJCto ele 9 por 180 y la ro,;t; ~ de C>lU< pro:luc·t•) dt•l número 17-!7.

Dt> e:;tt· modo se simplific:~ m as la op!'rac-ion sin nltcrar ]a¡.¡ condiciones de ht regla que ht•mo:> t.lemostrado.

'J'tRCER C.\SO. -Considf:'remos ya el ca~O genc-rnl, y supougamos qne haya de cstmcrse la mi;, tnadrn<la del númem 7ií1 G71. Dd mi~mo modo que en :!1st•g-nmlo caso pndrcmo::; con:sid¡;rar clc!'\t'.ompu(•:;ta lu rn Í% q t LC se busc~1 en dccewts y unid: uk.-, y por ~0m;igui cnte el número propno;;to Ctlll>'tará de cua-

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- 60drado de lits dect•nas, tluplo de decenas por unidades, ~ ·nadrmlo de unübde s y el rosLo. g¡ cuadrad o de 1M docenas estari~ contenido . en ln.s 7516 centenas del número dado por b mismo,razon que d imos on ol se~undo caso: pm consigui ente, estn1 yendo la raiz cua· dntda de este número tendrem os las cifras do las decenas de la, raiz; pero como el número 751G tiene monos de cinco cifnts puede extraers e su raiz f1or el 1'\H:ltodo del seg·u nclo caso, lo que d;m'~ 86 para as ci · fril..S de las decenas de la raiz. .Pata hallar la cifra. de la.-; unidade:; bm;tará ig ualment e divirlit las deuona~ del resto por el duplo de la raiz IJ:tllada, comprob anc1o h cifra. del miómO modo que en el segundo ctteo.

Do aqu! se deduce h siguiente: lü:orJAOENEn,\1,.-lJivídase el número propuellto de derecha á izquierda en periodos de{~ dos cifras, ext.ráiga se la rair. cuadrada. del primel' período do l.t izr1uienla, réstese el cuadrad o de dicha raíz de o.stc periodo, á su derecha bájese el si guicnte y &e· _ piírcse la primera cifra de la derecha: did1l~se lo c¡ue c¡ueda :Ua izquierd a por el dnplod da raiz hallada, escríbas e ol cor;iente allndo del d~t pl o ydch<t:jo rle ~;;í mismo: u.lultiplíquenBO estos dos númo1'0.~ y r~;;tcse el producto del resto anterior: ú la derocha bújese el periodo siguiente, vuélvase á operar con él del mismo modo, y así sucesivamente. 'i ií.l6.71 SHU Aplica.n do o:-1ta regla al ejem· 'lll.o Ui<i plo propues to dispond remos J:Wí.l 6 la operacion del modo que se 171.5 indica {\ continna cion: 1 i:?G EscOLIO 1~-0uando un 6 resto resulta menor que el duplo de la raíz hallarla, no so J 7~2 podrá Jiridir por él, lo que

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-61probará, que la cifra del órden qne se bu-sen es cero: se escribirá por tnntn un O al lado de la. raiz lwllnda, y como el producto de O por cm1lquicra: cantidad es nulo, se cs<msará el com probi!rla, bajando desde luego {t la derecha, del resto el periodo sigui ~~1te, y continnnn~o la operacion.

J<..SCOLIO 2\'-El OJC!nplo que :H;alnllllOS de \·er ha resnlt:1do comprendido en el seg-unrlo caso dCfl. pues del primer periodo de la dorcclm; pero podria suceder que el níunero tuviese mas cii"ras Y solo resultase comprendido en el segundo cnso dcspues dol segunJo 6 tercer periodo. De todos modos In. regla es la misma y tambien su demostraeion, pues esta la hemos dado independientemente del número de cifras. .!

ARTIC ULO VI. Pruebas d.e Jas operacione s ari&méticu! l.

Se llama prueba de una operacion {t otra que se qjocuta para uscg·ura.rse de la exactitud ele la primera.

De esta dclinicion resulta que no hay ninguno. prueba que vueda dar completa seguridad sobro la exactitud de un cálculo numérico pues siendo á sn vez una operacion está espuesta. á los mismos errores quo la que se tmta de comprobar; pero, como ''eremos, es tan dificil el concurso de las c.ircunstancias quo so exigen para que una prueba ::;ca t~tlsa, que el{~ nntt gran probabilidad ú la opera-

cion comprobada.

La prueba J o sumar se ejecuta sumando por la izquierda y restando In surnn pnrcinl do la pri•

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-\i~--

columna, de las cifra:; que tiene á su izqnicrtla en la suma: cnsr.g-uilln se :;umn la sen-u o nd;t ~'O' 1ulllna y ¡;e resL\ e~;t;t sum a parcial Jel número e¡ u• rr.:m lta nn icndo el re:::to a11tc rior (~la cifrn signit·nh do la sum a total, y así sHce:;i,·amcnt<>. Si la últim a r0~ ~a resul,ta !gua!. ú ce1·o es pruebn. de que la operit <.:wn cshL IJten e:Jec utada.

En efecto: supo ngam os por ejemplo que hay a de <'omprobar::;c h ::mma Big-uient.c: S uma ndo la prim era columnn de la Í'l.· .'J..J.S in quie nla obtenemos ~. y resta ndo S uo !J/S l 1O <J. ue son las cifras que estún <'t la i zG-19-10 qnic rJa en la ::;uma total, la difcreneia 389 7 :.! n•pr escn tar(L C\'identcmeute las uni42l th1des rjltC se han llcv;\do de la suma.

329S ¡ toB lG Je h~ eolu mna infer ior inme dia ta. Por la m1sma razon, resta ndo la sum a par- ·> -~-PO - -- - cial 2!1 de la segunda colu mna del número 27 C'[uc result;t debnjo. la difer encia <1 ser:'m las unid;ltles que se han lle\'a do de h colu mna uo tínle n inferior inmediato, y así s11eesimmente; poro en l:t últim n. stl~tracc icnt como no se ha.n llevado nnid;ltles de la columna. a.ntcrior, por(J ue es la prim em de 'la dorcclm, claro es que h difer encia será cero si e~;tít b ien hecha ht sn11Ht. La pruE-ba. do resta r l'<C verifica sum anuo el sustme ndo con 1::1. resta. y si la sum a :;ale igua l al min nc•H.lo es prne ba do <J. uo la operacion est{t bien hecha: por<¡11e siendo el minuendo un 111'unero descompuesto en dos parte:; ele las cuale::; una es e,l stts1.raendo y otm la re:;tn; clan J es qnu el COll junt o de estas partes ha. tic ~er igua l ú ~1, :::i la ope· racion ha sido bien ejecutada.

L a prue ba. do utult.ipUcar se hace im irti~ ntlo

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'J

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-G3(,J únle11 de lo:; fal'torcs y vol v:cndo :'t

multiplic~r).

)() rnal dnn'L Hl mismo re:>.nltado l'i la operaci()Jl eJ tít bien <~ecntada, pn<'>'to r¡ne el ónlcn de los fnc 1M<'S no altera. el produc-tfl. Tamhien pncJc haccr!<C 1lividien!lQ el pnxln(;to por nnl) do lo8 f1ctnra!', y el cociente tendrá qne ser igual al otro factor, si la operacion est;í, hit'n ejecutn1la.

Lll. prneha de dividir se hll.ce mul ti plicando el d i vi;;or por el eocient<', y ¡;i ol ref<íduo e~ rero,. d prodncto tcnrlrá que stw ;gua! al dividendo, pnra que la operncion esté bien eiC'cnh<da. 1'mnbicn p ncde hnccrse di,·idiendo el diYidcnJo por el cociente y tcnclr.t r:ne resul ta 1· el divisor, si la Op<>racion cst;'t bien hecha.

Cuando haya resídno, se resta el resíduo de-l clividendo, y entonces se pnede opcnu· con e!:'ta di· ferenc-ia, con el divisor y con el cociente coruo en el caso de ~er el re¡<íduo cern.

ARTICULO VIII .

A I I CI"rt CÍ(IliCS que S uft·cn l os l"c:lSull:tdO!'I d o la!< OJI<'..FaCÍ OU CS :u·litnllélica~, á <~onscc~ uc~ ncia d e lo:; <auc esp.e-

•·hucnt.an

1011

(}a t os .

Cwm11o despnes de ~jccutatb nn~\ opcraeion se nlteran de nlgun modo los elato~. ~¡ su ,·ueh·e !1 I1:\C'('r de nue,·o Yariar{m los resultados antes ob· 1-cnido:<. Y amos á examinar por ta11t0 l11s principa~ los nlternciones qne sufren las f; operacio"c;; arit· mútic<l:S cuando se varian los dato!-'. "\J,TE ll.\ CIOXES DE LA smu.- Ri {L \1110 de Jo,¡ l'limoudos do una suma se le nihtclo 6 quita, un mí-· mcr·i), lrt !\UnJa, aurn <'nt<mí. ó dismillnirÍL 0 11 el mi:smo númon\ por que componiénrloso la suma de Ia1

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· - 64mismns unidades que todos los sumandO!>, claro es. que si á uno de ellos se le aumen1a 6 quita 1111 nú-· mero cualquiem de unidades la suma aumentará ó . disminuid\ en el mismo m'unero • ~i á todos los sumandos de una sumn se les aiiadc 6 r1uita un mismo númer'), la ~unm anmentarii ó di;.;minnin\ en el prodn<'tO (le dicho número ele sunnmdos. En efecto: snpongamns que ha ya 6 sumandos y que Ít cada u no ~;e le haya aumentado e n 2 nuiumlcs, como la nueva suma ha de tener las mismas unidades que la suma primitint, mas tantas vece!; dos unidades como sumandos haya, ó ~:;e¡tn 2 x 6 unidades mas. De una manera análog-:1. se demostraría el caso en que se quitara un mismo número {t todos los sumandos. :\Iultiplicando todos los sumandos por un mismo número la suma quedar<\ multiplicada por dicho número.

En efecto; supongamos que todos los suman-· do~ so lnly¡m multiplicado por tres, la nueva suma contondr(t lns nnidnder; ele todos los :mr1mnuo:; primitivos ll'ndtípl icmlos por 3 y por consig·uiente se· rá tres veces mayor, Del mismo modo se demostraría que si se diviuon todos los sumandos por un mi::m10 número que ::;('a di,·isor exacto de todos ellos, la suma quedará diYitlida por dicho número.

ALTJ:H.\CIOXES DE L>\ UES1'A.-Si al minuendo se le miado un número, la resta aumentará en dicho número, po;· <¡ uo como entre el sustraendo y la re:=;ta han de componer el minuenllO; y o! sustraendo no altera, claro es qne b nueva resta habrá ele au~ucnt;n· en el mismo núrnero.

Do la misma manera se demostrnria que si se-

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•

- 65quita al minu endo un núm ero meno r que la rest:a, -esta queda di:;•ni nuida en el mism o núme ro.

Atiad iendo un núme ro meno r que la resta al ~ustraendo, la resta qued}t di:mlinuidn. en dicho número; por que e nt.re la resta y el sust.ra endo han. de comp oner el minue ndo, y como este no altera, b nueva re;:.ta, bade tener de meno s las unida des que tiene doma s el nuevo sustra endo.

De un modo análo go se tlemostrfl ria que si se q uita al su stra~ndo un número, la resta a umen ta en dicho núme ro.

Do estos princi pios se deduc e que si á minu en<lo y sustrando se añade un mism o núme ro, 6 se quita otro meno r que el S tl~traendo, la rest::t no altera; porqu e enton ces las opera cione s verifi cadas onam bos datos queda n comp ensad as. i\lnlti pli cando el minu endo y el snstra endo por un mismo nÚHt oro la resta queda mul tiplic acht por dicho núme ro. En efecto: supon gamo s que se hn yan multi plicad o por dos, como entre el sustm endo y la resta han do comp oner el minu endo, y este se ha hecho dos veces mayo r, cla ro es que los dos sumanll os y po1· consi guien te la resta, se han do haeer dos Yeccs m a y ores.

Análo game nte se demo strará qne si se divid en minue n<lo y su:>1Ta cndo por un mism o núme ro q ue seít div isor exact o de ambos, hi resta queda rá dividida por·d icho núme ro.

ALTI~RAClONES DE r.A MULT IPT.lCAClO.K.- Si se

multi pl ica uno de los factor es por un núme ro, el produ cto queda multipl icado por dicho núme ro; por que esto equiv ale á introd ucir un nuevo factor igual a 1 esprE-sado nítme ro. Por la mism a ra:>~on, si sa divid e un fi1ctor por un número, que sea diviso r

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-6·a~

é'Xact.o de- él, el producto que dar á dividido p·or

cho número.

u~

De aq.uí se deduce. que si uno de los factores> se mu ltiplí.ca. y el otro se divide pm• uH mbn10 número. el. producto no altera, por q.ue (}ntonces am l)as ope raciones se compensan.

Ar:m HA( ; LONES ))):) J..A Dl VJ SION.-S i· el uiv iden do ele una di,·ision exacta se nHtlti¡:¡lica, por un núm-e ro, el cociente r¡Lteda mHltiplicado p<>r dicho número. Bn efecto: supongamos que el divillendo se hay a mu ltip lica do por 2, <:omo el di,·isor mn ltip lí · cado j)Or el COcient e hn, de Lh.r e\ nuevO videndo y el cli,·isor 110 ha variado, claro es que el nue vo cocient e IM do :;er dos veces mayor. Análogamente; si el dividendo se divide por un número, que sea sn divisor exacto, el coc ient e quedar[l di,·idido por dicho Itúmero.. . l\Iultiplicando el divisor de una division exacta por un núm ero , el cociente qued¡), diYidido por dicho núm ero . En efecto; supongamos quo el divisor se hay a multiplicado por 4, eemo el dh·idendo no se 11.ltcm1, pa.r a r¡nc elJmevo divi sor multiplicado por el cociente dé el mismo producto es precisoe¡ ue este cociente setl 4 veces me nor .

Esc or.. ro.- Pam que el principio ant erio r sen · cierto es preciso q110 el núm ero por c1uien se nm ltipliquc el divisol' sea. trtl c1ne no h~lga al nuevo di"Visor ma yor que el dividendo, porqtH.l de lo contrario la nueva di vision no podrá efectuarse.

Do unn, ma ner a a.náloga so uemostrará que si· el divisor de una Ji,·ision exa cta se di,·ide por un ntunero que 1\ea el i vi:;o r suyo, el cocien te quedt~ multiplicado por dicho nÚUlero.

De estos princi píos se deduce que si el di vid~~~

a¡

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~67'--

-do 'y divisor de una diYision exacta se multipÍicali por un INismo número 6 se c1ividen por otro, que sett ·divisor exacto de ambos, el cociente no altera; poi' que entonces quedan com¡Jensadas las clos opera·cioncs.

Si el di\.Jd~nclo y divisor ele nna. division exacta se multipiicu,n por 1m mismo número, el co. ciente no altera, }JCro elrcsícluo <)necla multiplicado por dicho número. En efecto: dividamos 13 por 5, dur/t. 2 de cociente y 3 ele rcsídtro; y tend remos cviden tenxlllte: 13=5.2+3

l\Iultiplicando estas dos c:mtidadcs iguáles por nn mismo lJÚmero 4, los productos seríut iguales, y tendremos .

13 .4=(5. 2+3) 1

ó efectuando el producto indieaclo: 13 ,4=5.2.4.+3.4

y como el 6n1en de los factores no ~ltent el pro(lucto, se tendrá tam bien: 13.4= 5.4X2+3.4

Pero como el nueYo dividendo es 1.~ .4 y el nuevo divil:'Or 5 . .ti. elnueyo cociente ser{~ 2 y el nuevo re!Síduo 3 . .J:, lo que clcmuestm el }Jrincipio mencionado. .A1túlogamente se demostraría que di,·idicnc:lo el dividendo y diYisor de una diYision po1· un mismo número, que sea divisor exacto de ambos, el cociente no altera y el r esto queda dividido po.r dicho número;

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- 68.Ó..L'l'JmáCIONES DE LAS rOTENCIAS.-Si endo una, pqten cia el produ cto de vul'io~ factor es iguale s, ela-. ro es que sufrir ún las mism as altera cione s que )temos demo strado para los produ ctos cuand o varíe n los datos . .Ó..LTEUACJONEt\ ug LAS HAlCES.-La s altera ciones que esperi mcilt an las raices ú cousc cueuc ia de las que suheu las poten cias exige n demo straci ones que no pueden IC11Cr cabida en un tmtad o eleltle ntal; por consi guiente nos l imitare111os á expon er h~ mas sencil la q ne experi menta la n1iz cuadr ada, única que hemo s enseñ ado {\ estra.er, única tambi cu que se estrae en la prácti ca.

Si un cuadr ado perfcc1·o se multi plica por u11 núme ro que sea cmulr ado perfecto, ht raiz queda. multi plicad a por la raíz cuadm da de dicho núme ro.

En efecto: sea el cuadr o perfe cto 64, cuya l"aiz es 8: tenw:emos evide nteme nte: 8 2 64 Si multi plicam os estas cantidades iguale s por un m i:;mo uúme ro '-1:, los prot.luctos serán iguale s y ~e tendrá: 8~ 4=64 .4

. Pero como 4 es nn cuadr ado perfecto, é igual ú 2·! podremos poner 22 en Yez de 4, lo que clar:í: S2 . 22 = G-1 :.4 2 y siend o 8~ . 2 lo mism o que (8. 2)~ se tcndrA

iambi cn: (8 .2)2 = 6<!.4

D e donde so deduc e

8 . 2= v'64. 4.

Lo que demu estra el ptincipio mcncionnuo

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-69-'-

CAPITULO III. .

Divis ibi lidad d.c Jos números.

.

'

Se dice que un núrnero es divisible por otro cuando dividido el primero por el segundo ¡}{¡, cociente exacto. Así 8 es divisi ble por 2 porque llividienclo 8 por 2 di el cocie11te exacto 4.

Cm1ndo un núme1·o es divisible por otro al primero se le llftmft múltiplo del seg-undo, y á este sub-múltiplo, factor, 6 divisor del primero: por consig uiente 8 será un múltiplo de 2, y 2 un factor, sub-múltiplo ó divisor de 8.

Cuando un número es divisor de otro dice tamhlen que lo divide. Así diremos que 2 divide á 8.

N o todos los nú meros son divisibles por otro, y de a.quí nacen diferentes propiedades ele que gozan los números con respecto á sn di visibilidad, las cuales vamos á analizar en los artículos de este capítulo.

se

AR T ICULO l.

PJ·i nciiliOS sobl'c la divisibHídad.

Si un número divide á los sumaudos de una ~nma,

dividirá á la suma.

E n efecto: sean los sumandos 4, 8 y 12, ton.drem.os evidentemente 4+8+ 1.2=24 (l)

pero como cada uno de estos sumandos es clivisible por 2 podremos descomponerlo en dos factores, y tendremos: · 4 'i"'2 . 2, 8=4 . 2, 1.2=6 . 2

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~70-

y sustituyendo estos valores en la igualdad (1) se. tendrá: 2 .lH4.2+G .2=24 siendo la sunm indicadn igual á (2+4+6) 2, dremos tambicn: (:H ,HG) 2-·'1

ten~

dividiendo est:1s canticlacles ig\tales por 2 los re sultados serán iguales, y tendremos:

v--· .' ·>. . , -"+ .J+"~"l pero 2+4+6 es un número entero, lu.ego su igual 'l4 : 2 lo será tambicn, lo que exige que 2-l :;ca tamLicn di,·i:;ible por :l, qnc e::; lo que nos proponemos demostrar.

Cuando 1111 nítmero di,,idc á una. suma c1e dos sumando», y á uno de ellos, di vi dirá necesariame:ttc al oh·o.

Sea. por ejontplo, 18=12 + G; el núméro 3 divide á 18 y ft 1~, digo rptc tam]Jiclt di,·idirá á G. :J!.:n efecto: 6 es la difcrcn<;ia entre 18 y l2, y por consigniente .6= 18-U; pero como 18 y 12 son divisibles por 3 pueden dcsc,;ompo.ner~e en dos fac, tores, en estt~ fomu1: 12=4.8

y l)Or consiguiente: 6=G.3-L3

pero esta resta. i,n<licada puede tambicn ponerse ])aJo esta forma(G-4) 3, y por tanto 6=(6-1) 3

lo que demuestra que 6 es dh isihlc por 3.

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-71'Todo número , que divide á otro dh·ide a ~ snúltiplo CU<tlqlJiem de este otro. Sea . por ejemplo d número 5 que {livide á 1:), digo c1ue diYidirá .i-í. su m ú-l tiplo 60. E n efecto: vor ser 60 múltiplo do 15 será igual á, 15 repetido ·tm cier to número de -veces corno sumando, y tendremos: 60=15+ VS+ li:H J 5

:poro como 5 divicle ú eada. uno de los sumandos de t>,o;;ta sunm dividici't á 60,, lo que dem uestra el pl:in,¡_;ipio eTrnncin.do. , Si un 11úmero divide {t ot.ro, tli vi(lirá ú cualquiera po.teneia de este otro; porque una potencia no es mas que ·un múltiplo. y todo número que di·vide fl. otro di vide á sus m{¡lfip'los.

Todo n(uncro qne divide tí otros dos, divide á 'c!U diferencia. porque dicha d iferencia, no es otra -.cosa que UllO .fle lns; dos sumandos l1c una suma ·:io·u;Ü al minuendo 4v ·cuyo otro sum:•nilo es el suso tracndo.

Si un número ·divide al dividendo v al divisor -de un~t ·division ine"-<teta, ·dívidixá al res[duo. E n .efecto: sea 4-2 el di vid en do y 15 el di \'Ísor: efectuando h division :tend remos ·2 de cocie11t.C y 12 de resto; y como d rcsíduo es ignn:l á la difereneia que e.xhtc entre el dívidenclo r ·el producto clol dí·v isor por .el cociente se icndr{e

-

42=15 :2+ 12

El número 3 divide á 42 y 15: por d ividir .ú' l5 di·vid i1\\t á ~'>U ·múltiplo 15.2: lnego divide {b la ·suma y á H NO de los dos sumandos, y por consiguiente divi-d i~·{t al otrosumando 12, qnc era lo que ·;)J.OS proponíamos c1emostJ:ar.

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-n-

Resumiendo todos estos principios sobre l~ di:'"lnsibilidad de los números resulta que todo n\tmero qu e divide {1, los dtLtos de las operaciones atitméticas divide al resultado, entendiéndose por resultado en la division el resícfuo.

ARTIC U LO 11.

C:)ractét•es d e d lvi§libi l idad.

Se llaman cn.r actéres de divisibilidad ele los. números á cier tos sigl.los estel'iores por medio th~ los cuales se co~Ioce si un n(unero· es; divisible pm· etro.

Existe un método genernl para hallar el caracter de di v.isibilid.ad de un n,ú.mero. por otro ctmlquiera, pero su demostracion exige. conoci:nn:ientos. mas elevados de los. que pueden tener ·cahiclia en un tratado P-lemenf::lfl;. y por tanto nos. limital):emos. á determina¡· el caracter de divisibilidad de. los. mimeros mas senenlos. Ü 'ARA.CTER DE:DIVISII!IL!DAD POR

2.-Para

qu~

número sea di."iosihle p or 2 es preciso que termine en cero ó cifi·a par.

En efecto: sea. el' número· 13'0. Podrá clesco·m poneJSsa en estos dos. factoreS- IB x 10: el número 1 O es cliv.isLble. p or 2,, l uego. su múl'tiplo 13'X10 lo. será tambien. Sea al;).ora el númet'o 13'~ p.llede deiOcomp~n~rse en decenas. y uuiJaales, lo que da.Jrá 136=130+6. El número 13.0 es di visible por2,.p<:nlo,que acabamos de demost.mr, 6 lo es tambien, poi" ser ciíi·a par, luego su sumtL 136. Jo, será tamhien. ÜARAC'l'El~ m: DlYFSilllG1DAD POR 5.-P\l.Ta qnn 1m número. sea divisible por 5 es preciso. que. k<~­ :mine. en cer.a. ó en cinco..

1m

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- 7.3En efecto: sea en primer lugar el número 320.

Podremos descomponerlo en estos dos factore11 32Xl0: el número 10 es di,·isiblc por 5, luego su múltiplo 32 x 10, ósea 320 lo sen't tambien. · Sea en segundo lugar el n{nncro -185. Podremos descomponedo en decenas y unidades, lo que dará 485=480+5: el número 480 ser{~ divisible por 1), ~cgun acalxunos ele demosl'rm·, 5 lo es por sí mismo: luego la suma 48/í lo será tam. bien. · ÚAHACTEl~ DE DIV1SllHLID.\D POR 4.-Pn.ra que un número sea _divi15ible por 4 es prcci~o q uo termine en dos ceros 6 en dos cifras di vi si bies por 4.

Sea, en p1·imcr lugar el mímero 3700. Podri'L descpmponerse en estos dos íi1ctorcs 3 i x 1OO. El número 100 es di,is1ble por -1:, por que 100 es igual J. 2!í, luego su múltiplo 37 x 1UO, 6 sea 3700 lo será tmn bien.

Sea ahora 5836. Puede descomponerse en centenas y unitlades, lo que Já :S836=5800+3G. El número 5800 es divisible por 4 seg-un hemos demostrado, 3G lo es tambien, por q no dí~ el cociente exa.cf:o 9; luego h snrna 15836 lo sed1 tmn bien.

C.mAC'l'EJt m' mvrsrmLTDAD l'OR 2.? .-'Para que un nt'tmero sea divisible por 25 es preciso que termine en dos ceros 6 en dos cifras di ,·isi oles por 21}.

Sea el número 1700. Puededcscomponer~e en estos dos factores 17 x 100: el número 100 es divisible por 25, porque 100=25. 4, luego su múltiplo 1700 lo ser{t tambien.

Sea el número 43 íi:í. Podrá dcs--omponerse en estos dos sumandos 4300+75: o[ nt'1mero 4:WO m> •li visiblo por 25, segun hemos demostrn.do, 75 lo es

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-74tambien por que 75=3.25, luego la suma 4375 lo :>ení. igualmente.

!}.-Para que tm número se:t divisible por U es preciso qne lo sea b l:>Ul'na ele :-;ns cifms .significar.i 1·as. Hcn por ~jem plo el n úmero 38:¿!), eu el qu~ b suma 13+8+2 +5 = 18 de sus cifras signitic:a.tiva" E'S divisil¡[c por 9, tligo que el número propuesto lo ser:í. tambien.

En efecto: podemos descompon er el número 1J825 en las uniiladcs de sus difc¡·cntes 'órdenes Y CAlUCTF.R DE Dl\"!SIRILID AD POR

J

t(lndremos: · 382;j=:l00 0+800+20 +5 cada uno de estos :;111nnndos puedo á su vez Llescon•pouerse cr~ d o>; facto rc,;: uno ig·unl ú sn cifra ¡¡igniJicativ a y el otro ú la unid.ad de su ónlcn, lo que Llarú: 3825=3 X 1000+8 X lOO+ 2 X lO+ii X 1

Si !;0 diYiden 1, 10, 100, 1000 por 9 darún una Uitidad do resto: y as( sncosinnn cnte: luego cnd:1 uno do estos f;ILIImndos es un nn'dt.iplo tlo 9 :LtuneJit<ttlo del vnlor de 1;;u cifra signilicn.tiva; y por consiguien te se tendrú: :J 2:3=múltiplo de 9+:J+múlti plo Je 9+S+mítlti plo de

9+2+m(tlti plo de9+5

poro como la snma. do torios los múltiplos do 9 es tlll múltiplo tle !) :;o tcndrú tnmbien: 3825=mW iplo de 9+(3+S+!:H·;J) Para qne 9 dh· itl<~ :'t est~t sun¡;:¡, es preciso que ~livilla á los smn:tn(lo,.;, pero como ya di vide al pri· )llero, bastará que di,·idn. Hl segundo 3+8+2+5 = 1¡;, lo que demuestra el principio mencionad o.

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,

.

-7óC.mACTER DE nn·t~<IIIILIDAD POR

3.-Para que lJn número sea tliYisihle por 3 basta. qu~ lo sea. la suma de sns cifras significath·as. Bsta propl\sicion se demuestra de un;t m;wcr¡t análog-a que la del caractcr de divisiuiliLlatl del núlllcro !J.

10.-J>ara !)lW un número sea lli,·i::;iblc por 10 es preeiHo qtto termine eu <.:ero, porqnc entonces, es un n úmero exaeto do docenas y por cvusiguien to di\·isiblc po•· 10. ÜARACTEJ!. :UT' D1 VJS rrJJLTDAD POR

ARTIC U LO 111.

Nlluu:wos tu·imos.

Se llama nínncro priwo al que no es divisihlo mas qne por sí mismo y por la unidad. Por qjcnlplo: 7 o~ un número primo por que no os d iYisible mHs que por sí m i~:no y por la tinidad. Por el contt·¡u-io cuando uu níuucro a:lemas de ~cr diYisible por sí mismo y por la uuidad, es di,·isible por otros

'

do::; ó mas número:;, se llama comjmesto. Así 1-! es 1111 número compuesto, por que aJemas do ser divisible por sí mismo y por la unidad, es di,·isible por los nümeroll 2 y 7. 'l'rntcnws de hallnr entre todos los llÚmm·o¡.; enterOs c:,un]es SOll primos: )' emuo hay iufiuil os nÚmeros nos limitaremos Íl formar una tabla de m'nneros primo:; uesdo -Ja nnidMl hasta llll nÚmerO dcterlllÍJH.l.dO, por ejemplo hasta 50.

Paracstoos<;:ribircmos todos los nlÍmcrofi impares desde uno á 50, p ue:> ~os pares {t eseepeiou tlel 2 son todos compuestos por ser divisibles por 2: do ('.-;te modo tenclrem(•s. · ..

..

..

;r.t, 11, 13, ·1!!, 47, 49.

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:{·

~76~

trodo~ los números que á partir del 3. ócupert

tercer lugar serán d ivisibles por 3, por que se dife" renciarán del que le precede en tres lugares en 2.3 unidades, luego se compondrán de dos partes múltjplas ele 3. Por la. misma razon toclos los qne á partir del 5 ocupen quinto lugar, será.n di visibles por 5; todos los que á partir del 7 oenpen sétin'lO lugar, serán divisibles por 7; y así de los demas. Luego para formar l:t tabla ele números primos bastn.r{~ sefialar con un punto todos los números que ocupen ter?er lugar áymtir del 3, quinto á partir d~l 5; séttmo á part1r del 7 ect.; y segrega.nclo los numoros puntuados los que queden serán primos.

Propongámonos ahora hallar todos los factores primos de un número.

Sea pm· ejemplo el número 3GO. Desde luego 1 es factor primo de este número, por que ht unidad es factor de todo número: veremos pues si el número daclo es divisible por 2, y si lo es di vid iremos 360 por 2, lo que clá 180. En seguida veremos si el nún.l ero dado v uelve á ser divisible por 2, pa.m lo que basta ver si lo es 180, por que siendo B60=180- 2 si lo es 180 lo será su múltip lo 360: efectuando p ues la nueva division tendremos el eociente·· g·o, el cual vuelve á ser divisible por 2 y d{t de cociente 45. Este último número ya no es divisible por 2; pero ·45 es divisible por 3, y por tanto ta.mbicn lo será el n úmero dado: d'ividiendo pnes 45 por 3 se t.entlrá el cociente 15, y como este vuelve á ser divi8ible por 3 lo dividiremos, y se tendrá. el cociente 5 que ya no es divisible pox 3, lo que demuestn1, que el número 360 solo admite dos d ivisores igua.lcs á 3; pHro 5 es div;sihle por sí mismo, luego 5 :;;ení t.ambien divisor de 360. Resulta pues que los

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-

"'1/..,.

1

2

· 3

S

tlivisores de 360 son 2 , 3 y 5: lueg-o 360=2 x 3 x 5.

360 2 Bn la práctica se di~;pone la opemcion 180 2 del modo siguiente: Se cscrihe el nú 90 2 mero 3GO '" á ~;u dcre('ha >;e tira una ·' Se examina cual es el 45 i3 raYa. Yertical.

15 3 1nenorfi1etor pri mo qne admite tcnicn5 5 do presentes los caracl:úcs de clivisi1 h ilidad y ht. tabla de HÚmero;; pri1nos.

Hallado esto factor primo 2, se escri bo á 1:t derecha de la Nya, y se divi1le el número propncsto por él, escri biendo debajo el cocicutc 180, c011 el q Lte se opcrn del mi>;mo modo q ue con 3GO, se escribe á sH derecha el factor primo 2, se lt;\lla el cociente 90, y así sucesivamente hasta que se tenga uu cociente igual á la 1midad, en cuyo c·aso se tendrán ya todos los factores primos del número proJ.HLesto. ~

ARTICULO IV. Del máxitno cowuu diviSO!',

Se ll aml~ máximo comun divisor de varios nú-. meros el mn.yor nú mero capaz de d ividir {\ la vez

r1 todos ellos.

Propong{Lmonos, en primer h1gar, hnlhw el máximo comun divisor de do;; números. Sean por ejemplo: 66 y 42. El máximo comnn divi:;or, será. á. lo mas igual ít 42, por que teniendo que di,;dir á la Yez ú los dos números no poddt ser n.t ayor que 42: por consiguiente lmbrá que averig'uar si 42 e:; elmúximo comun didsor pant la cual basta di,idir GG por 42. S i so obtiene cociente exacto, 42 sor{t el máximo comun divisor, porque Cll tonces 42 dividí,

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-78A 66 y como es el mayor que puede di\'idir lt 42 no babr{l otro niayor que él qne divida á ambos. Si no se obtiene cociente exacto, el máximo comw1 divisor tendrá que ser menor que 42, y entonces sebí á lo mas igLtal al residuo 2·.1: do la division de 66 por 42.

E o efecto: todo m'm1ero fJUe di,'ide {t otros do!~ dl\'Tido al residuo de su divil;ion, y ~omo el máximo com un divisor ha. de dividir á GG y fL 42, tendrá que di vid ir <Ll rcsíduo 24 y por COJH;iguieute será á lo mas igual á 24. Para averiguar si 2-J. os múximo comun divisor bastará ver si uivido á 42, por que ~i di vide {1 42 tambien diviclirú {t 66, puesto que 66 -~2 .1 +:2-.1:, y todo número qne di,·ide (L los sumandos de una suma diYide í1 la suma. Si 24 divide á 42, el máximo comun divisor ser!L :2-1: sinó lo divide, el múximo comun divisor sed. menor que 24; y se probaría de la misma. manera que tendrá que sc1· á lo mas igual al residuo 18 uo ht clivision do 12 por 24.

Do n.q[tÍ se deduce que p<mt lmllnr el máximo comun divisor de dos núme1·os bn;;ta dividir el mayor por el menor, el menor por el residuo, el primer rcsíduo por el segundo, y así su~esivament~ hasta qno se halle C'{)cientc exacto, en cnyo caso el último divisor será el máximo comun Ji visor que so busca.

En la práctica se dispone la operacion del modo siguiente: .

1 .l 1 3 66 42 24 1 18 1 6 se divide el número ma24 18 (j 1 O 1 yor 66 por el número 42 y al cociente so escribe encima ele! divisor: se cscri"

l';Í

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----..:79bo á la derecha del divisor al resfdtto 2-1-, portién~ rlole encima el cociente, y así sucesivamente, hasta. halh~r el últiiuo diYísor 6 que sor{l el m(Lximo co· mun divisor que se busca.

Ei\COLTO.~Puodc suceder que el último divisor sea. ig ual á la unidad; en este caso sioudo l ci tuáximo comun divisor, los n(Lmoros propuest0" no admiten mas factor con1uu que la unidad, y :>e dice qHe son pri1íws entre sí. · T odo níunero que divide á otros doii divide .á :-;u múxin to comun Jivi~>or. Ser~ el núu tcro !3 que divido fL los números ()6 y 42; digo que di~· idir:í ú s u máximo comun divisor. Eu efecto: por cliviclir 3 á 66 y {t 42 dividirá al resícluo 24 de su di,;sion: pot• dividir á 42 y á 24 dividinÍ á Sll resíduo 18; J así sucesiYamentc 3 debcrít dividir á tocios los residuos; Y como el último resfduo e:; el múximo comun di~·isor, 3 lo dividirit tambien, que ora lo que nos proponíamos demostrar.

Fund1ttlos e n este princi]Jio podemos ya 1mllar el mflximo comun divisor do vario:; números.

Sean loH nümet:os 210, 84, ~O . .1<:1 máximo eormm divisor de estos Jtúmcros, divi<1iendo {t 210 y á 8•1 cli VilÜrft {L SU máximo COlllllU tlivi:>OJ' 'l'i¡ Y Ul vidielldo á ·~2 y á HOdividirá ú sumúximo conn1n d ivisor G. Ahorn bien, vor di ,·idir 6 á !JO y ú 41 dividirá ta.mbion ú 84 y 210, y por ·con~iguiente t;O rá nn factor comun á los tres números. Luego el m;iximo comuu (!¡,;sor di,·ide á 6 y <:ste número os á la vez factor comun de todos los dados¡ y por consiguiente ::>erá el máximo comun di vi ~or.

De aquí se deduce que para hallar el múximo comun di visor do varios números bn.st;~ hallar el máximo comun divisor entre los dos primeros; ense-

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-80¡;·uida el máximo comun divi<>or entre este máximo comun divisor y el número siguiente y así sucesivamente, y el {dtimo mcíximo comun divisor será el de todos los nítmcros.

Siendo u n número igual al prollucto de su.s f;;~.ctores primos, pam que un númet·o diviJa á otro J10.deberá contener mus íac.torcs primos que los que entran en este otro ni clcn1eos á mayores potencias qne las que tienen en él.

De esto resulta qnc el máximo com\m divisor de varios númcro!:i, debiendo divididos á todos no puede contener mas f~tcto res primos que los que ~o~ean comunes {1 dichos números, ni elevados á mayor potencia. que la que tienen en ellos.

Luego podrí~ t<lllllJien hallarse el máximo comun divisor de varios números formando el producto de todos lo~ f;lctores primos comunes á dititos números y elevados á la menor potencia con que entran en ellos.

Sean por ejemplo los mismos·tres números que >mtes propusimo:;: 210, 84 y 90.

Descolllpongámo;;lo:; en sus fn.c'torcs primos y tendremos: 1 1 1 • 90 2 84 2 210 2 45 3 42 2 105 3 15 3 n 3 35 5 7 5 5 7 7 1

.i

1

1

Los t:1ctorcs primos comunes A estos tros números son 2 y 3: mnltiplicúndolos y cl<.wúndolos á la menor potcnci;l con que entran en ellos, que es la primera, tendremos que 6 es el múximo comuu di \·isor que se buscaba.

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-81 J:-:scor.ro.-Este nuátodo es mas ·osped ito que ~1 do las di visiones sncesi YaS, pero tiene el incon veni ente de Cjne á vece s es impr acticnblo, porquo ll.O conocCJnos los cnra ctúes de di visibilida(J. de to{los los núm eros.

AR TlC UL O V.

- - --

'

Sienr lo un número el producto de sus facto res primos. para que sen diYisibl-e por otro es preci so que cont enga por lo menos todos los fac tores primos de este y elevados por lo meno s {~ las mism as pot<'..ncias con que entra n rn úl.

Se Jlam;l mínimo múltiplo comu n de vario;;¡. números el menor n(llnero capaz de ser d ivisible ú la vez por todos ellos. · De est;t tlefinicion resul ta c¡ne el míni mo múltiplo eomu n 1lc varios núm eros debe dt con.tener todos sus facto res primos y eleva dos <'t la may or potenci a con que entra n en eilos. Por cons iguie nte ¡ml':l. l1 alln.r elm inim o múltiplo eomu n de varios números bastar:'t descomponerlos en sus li1cto res pri1110S y form ar el prod ucto de cstc.s facto res primos olcYados {t la n•a yor poten cia con que cada . uno entro en d·iehos nínncro:-o.

Sean por ejemplo los números 42, G-1 y 8•1.

Descomponiéndolos en j¡enrlremos: 42 21

7 1 1 1

1 •

2 3 7

Gi

2

:32 16

:!

S 4,

SLL:;

~

1!=!2

=~ 1 2 1'

factores primos.

S·l 2 42 2 21 3

717

1

1 G;

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-8' :!Los fi1 ctores p r imos de· todos estos rrúmertJ.,.; stm S:. 2 y 7~ la mayo r poten cia del 2 es G, la 1lel ;} cs·l,. y la del T e:o 1: lu<Jgo· el mít timo múftipl<T co,

I~Hl ~eva:·

Z. 6 3 . 7=1 3H

Esto· métolfo- t~ene- el ínconven,i'entc- de que á vece , ~;e hace- impractÍ<;;thle pnr no· podet· dcsuonrpone r los- núnreros· dhdzy.; en sus factores-pr im<Js ;'~ cm1sa <.1~ cnno<:--er;;e· nmy poco~;- camr.t.:res de di vis ibilid'ad:. s~' lut trllt«do po1• tn.uto-<le lHd b r otm uws; segu ro.

•'emi' en• prírrre¡•Juga.r· los dos· númm·os GG ).

42. Bl p•od ucto de- c-::; to~;· do:-t número.~ SG x ..t~ ~ orú di vi:sih le pmr (tmlros· y contend.t•á t<x.lüs s tt~ [.¡tutor<!s. primos;· pei"'- los· faeto res comRtne::>' entmr{m r epeti dos dos V'ec~r lo- CtNl no e& nccesm-io ¡mt"<o que el n úmer o ::;efv divi:.íl>le por· los do>;' (l:;ll,lo ,, siendo ::;nfici cnte qnC" C'OnteHg¡t dichos l·itcto n;;t elevado:; á la may or poten cia cou que eutrnn eu cae! a un<? de ello~: luego s~ se divid e· e l ¡mxlucto (;(j x -t2' ¡.M~ d múx iIl\0' comu n divis ont0 G& y t12, el C0<>ic nte sen\ e[ míni mo múlt iplo- C'OilHtn, pem uomo- ¡J<ua di viclit· un producto de- doft Eu:tore; po1· un nÍUI'>C1'CT basta divid i1· uno de lo:;· f<tet.Ol'OS· y mnl t.iplie ar eL co<;iente p0}' el otro~ resul ta ()llC pam halla r ol nl'íni mo·m últiplo comtlll de- do:;.nÚn i'Ciro~bm;tar;Í. hallar~• nr{tximo- camun 1li vis~- por- el métorlo de !m; di vi;;iones ~ncc!'livíU:it d i v~~il' ~m o dO' lo>~ ~¡.{u n eTos- pot· e1 mrt.xi -

mo comu n th\'i:;or y tn ultiplic<tr el cociente por e! otro.

Apli qfUt<la este procet1rrl1 Íento (Í lns closnúrnems undo;¡GG y 4·2, hallaremos- SH m;\>:imo comu n divis or G, di,·id irem os .J:2 po:· G lo- qnc d<'~ de co-

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-83Gicnte 7 y multiplicaremos 66 por 7,obte niéndose d uúmer o 462, q11e serú el mín imo múltip lo comrm 11\.te se hu:;cn .-'-'I'odo númer o diviHible por otros do:; es divisible por su mínirno Ol(tltiplo comun.

Sea el número G-l 8 di,-isihle por 108 y 'n: digo que serú divisible por su mínimo múltip lo conum 2 1(i . }~ u efeeto: el mínimo mú lti plo COII lUll 216 contiene todos los factore s prin\o~ del 108 y 72 elevad os á la maym· potencia con que entran en ellos y el número 648. contiene por lo menos egtos mismo:; f~t<.>tores ole,ratlos por lo meflos ;\ la m.ayor potcucia con que entren en ellos, lüego el Ci.J.8 contien e por lo menos los misruos ¡;retores primos y elevados por lo menos {J la:; mismas potel\cias con que entran en el mínim o m(dtiplo comun 2 L6; y por consiguiente G..t.S será diYisible por 21 6.

Fun<lndos en este prineip io podemos ya hallar el mÍllinl o múltip lo comun de vario::; números sin nc·cesida<l de descomponerlos en su:; factores primos. Sean los númen>:; 360, GOO y 750. El mínimo nu'tltiplo comuu que se b uscít por ser diYisihlc por 360 y 600 será clii'Ísih le por su n rí uimo múltiplo COtn l\ 11 . Sc:t n o e:;tc mínimo múltip lo COtnUll : sicnrlo cl1Mnimo múltiplo comun que se hüsca divisible por 720 y por 150 scrit di ,·isi ble por Sil mínimo múltiplo comnn·. Sea VOOO este mínimo múltiplo comun: r<:>;;ultit pues que el míni1110 múltip lo comun qnc se husca 110 puedo sor menor c¡nc 9000; pero como ~)000 es ~~~últiplo de lo:; tres nírmeros dados tampoc1> el mínimo comllll qt\e l'e bn~ca podni ser mayor q nc !)000; luego tet\drá que :;cr igua 1 {~ él.

De aquí se deduce que el ú ltitno mínimo múltiplo Clllll ll ll hallauo por el método anterio r será el que se busea.

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-:-8~.

ART ICU LO. VI·.. l"•·o p lcdnd r.s

tlC

o9 y los ni• m c •·o s pt·itn .

.

con~p ncstos. .

..

~

'I'.:oR E)fA. -Todo f!Ítm ero quo di dele nl pro.,.

•

dueto do dos fa~to ros y os primo cou uno. do ellos._ divido nece!'iarinm ente' al ot.i·o.

Sen elnúm~ro 6 que divide al proclncto 3:J x 24 do los dos i4tctores 3:) y 24 y es primo con 35, digo que divid irá ú 2'4. En r.f~cto por ser í3fí y G; ~ntre sí primos, si· les ítplicnmos el método de~. múximo .comnn diviso r se hallará la uqjdad r tl'll· dremoe;: ;, l.

3i) 5

G 1

5

o

5

1

•

Si ¡r_~ult!pli camos dividendo y diviso r por

•

2-1·

y aplicamos á los produ ctos el procedimie nto del, ;'náximo comn n divisor, los re:;tps obt~nid os serán Jos mismos do nntcs. mnhi plicndos por 24, y por consio·uient e el m~~imo con¡n n diY i~or será 2-k A!tora bign, G divi<l e por hipótesis al prod.tieto B:jx ~-1-, y ú Gx 2•t;_ lueg·o divid iriL al múxill)O. connm di,-¡ _· sor do n'nJhos 2~, que orn. lo que queríamos dcl110Strfil'.

Todo .n{¡mero primr que di,·id o nl ¡wodueto do. vnrios factorei> divide n_ecesm:inmentq ú 11110 ele . ello~.

Sean. po1: l?jompto los números 13,_21, l.J., G. Si el m'uncro primo 3 divid e el proclu <·-t"o 10. 27. l4. G, divid ir{!. n ec~<;rtriamento tí 1mo de los f;1ctore~. En.; efecto: ¡;j tres clh·ide á trece el principio está demostrado, si no lo divido scrr~ primo con él. porquo.

1¿.n número primo que no d ivide á otro ti t:>n~ qnu,.

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•

-85-='i;ei· ¡'irimo con él, ·ruego di"id irá nccesari:1menie al ~producto

de los otro s facto res 2.7. 14. 6. , i 3 di vide :1 27 el prin cipio está dem ostra do, si no lo divid e scd1 primo con él y ento nces divi dirá á 14 . G y diYidicudo ni urot hwto de dos facto res cli"iclirá ncce·¡;ariamente i UllO de ello::;, qnc era )o que queríam os dem ostn ú·. · D os núri1eros cons ccuti\·os son evid ente men te prim os enfr e sí. Sean, por ejem p1o, los Jtúmeros 34 ·y 35: Clcscon1ponieildo 3'1 en sus 'fuctores prim os teud remo s:

34= 2 .17 ' y por 'con sigu iente

.

35= 2.17 +1 '

Jueg o 35 'M es di ''isible por ning uno él e los fitcto•res prim os·d e 34 y por consiguie nte los dos núm e·ro::; serú n primos enf.re si.

Dos núm eros imp are!' que se difer enci an eh dos unid ades son necé saria men tc prim os entJ·e sí.

Sean ios núm eros 33 y 3.'5 : desc omp oniendo ·el nú·m ero 33 en sus facto res primos, tend remo s;

'33= S . 11

y

por cons igui ente

35= 3 . 11 +2

y ·como

2 110 pued e ser facto r dE~ un núm ero imp ar, !•inguno de lo::; facto res pr!~nos d~ 33 pued e divi dir á 35, y por tant o será n pmn os entr e sí.

Si dos núm eros son en'tr e sí primos, sus po" tenc ias de cual quie r gmd o lo será n tamb ien.

Seau los uúm eros 14 y 27 prim os cutr e sí, dr~

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-86 go. qu.o. sus potencias 14:1 y 27'~ lo serán tmnbJ:en,.

Eu efecto; 14_1 4.14. 1-!

27_2 7 .2 7 Si un factor primo de 27'~ di vido á 14a di1•iilirá á 14, pero como cualquier factor primo de 27~ tiene 3 taruhi cn t}lW di1·id id 27,result<tque si 14 y 27:.! tuvicmn algnn fa ctor primo comun, 14 y 27 lo ten~ clrin,n tambien, lo qne e:> COJ1tr a el supue sto; lueg·o 14:1 y '2 72 son prÍIÍ10>' enh:o sí.

Si tul númci·o es divi:>ible por varios números primos entre ~í dos á do~ lo ser(t tamb ien por sn prod u e~o.

Sea. elm'un<>ro 6930 divi:<ible por los 11íuneros

10, 11 y 21 pri1110S entre sí dos ít dos: .,digf) que

mJi.lO :;odt tan.1bien d.ivi:;ible por su prodneto 10.

1 1 .21=2310. E n efecto: por ser 6030 divisil)lc por 10, dividiéndolo dará cociente· exacto y teuur e-

m o:;:

6930 =693 X 10 ( J) Ahor a bien 11 uivi<le por hipótesis. ft Gn!lO y es primo con 10 l u.ego di,:id irá {L (.;93: partie n(lo pues 693 por 11 dará cociente exacto y se tencll:á: 693=G HX11

Poniendo en (1) este valor de 693 tendremos: 6930= 63 X 11 X 10 (2) El número 21. di vide por hipótesis á 6930, y es primo con 11. y con 10, lnego diviclirá. á63: divi~ diendo 63 por 21 se obtiene cociente exacto, lo. qu~ dá: 63=2 l x3

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-'Siy susútuyen do ou (2) e.-;to valo1· do «itl

• (lJ'OlllOS:

ttm-

G930=2V< llx lO.x 3

ó Jo qtte .es lo .m.ismo: ,G~n&=3.><2 L1Ll0 ~>O rG

-como 2L LL 1 O 2310, .se J.entlrí~ igu:tlmCiúe;

GH30=3.><2310 Jo <pte <lemne~tra. que 6!Ja0 .es .di-cisilJle por 231.0.

Gn númcnJ Jl(Jl puede.dese omp0uer.;e mns que .en 1m sol0 ,:;'if\tema..lJe .f11.et~Jre.s prÜ21\l.<!'»:i. :SC'o<t. .el múmero .'lGO, T dcscomrongfhlllOslo .on sw; factores j ll'irnos por elruétodo <1uo J1emos cxplicatlo: toudrúllJI)S :

360=23 . 32 ' _;) (3) ~.H I'<l

Finpong:unos <\ho·ra qno el OlÚmcro 31)0 admite .deseoml)OISiekM .en fact('}l·es primos, y se<~.

.3G.O=L lL 13 Por ui,·íair í ít :.!iGO y ser nn n{mwro primo .tiont: <1ue divi(lir· á .u 110 de lo,; facto res del produet.0 (:J) f l'OIU0 ]o:; f:tdOrOs G!e ,este ¡pmHluetO !;()Jl <todos primos, resulta <i uo t:H• ¡mccY.e di ,-iuir á ¡)¡,j ngnn0 ·de (•!los {t menos que 111) -:>e;t i¡,rual r.. <.!l. H,e;;ulta vnes .que ;;uponientlo m1 SOJ!:Ilndo sistema. de factores primos, cada, faetor del segundo sistema. d e he ser 5gu:¡ l {¡ .cada j;¡('tor del pr imero; }' por .con.~i guicnte l lQ JJfl,)' llll\!> C.ttlü Ull .Sf,](l .E<Í s.tCl.Qfl..

~0

a.cl\rli!ítiendo .]o:, '' ú mer~s mas '(¡no 1m -solo ·•Í>'t<'llm de factores primos, c la ro e;.; e¡ n(: se podrán }J¿¡lliu· Jodos los factl.>rcs compue..;;tos dEJ u11 uúmcro

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-8'8multiplicnndo entre sí los factore-S primos, dos 4 Jo:., tres á tres, cuatro á cuatJ·o, etc.

Tnttemos pue::; de hallar todos los factores primos y compuestos del número 360.

La. operacion se rli:;pone del motT<> siguiente: Se ha,llan pt·imcro los Útctores. pr imo:; tlol número propuesto, lo que aará 360=2=1 • 32 • 5. Enseguida se escribe en una fila 1 y todas las potencias del primer factor, y debajo 1 y todas l.u; potencias d el :segundo, lo que dará: 1, 2, 4, 8.

1, 3, 9 luego se multiplican estns dos íilas. y so ohticne: 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, 24, 9·, 1S, 3G, 72

la cual se multiplica. por 1 y las potencias del tet·cer factor, que son 1, 5; y se tendra 1, 2, 4., S, 3. G, 12, 2•1. 9, ! S, .16. 72 6, 10, 20, 40, 16, 30, GO, 12a, 45, 90, 180, ;}()0

c1ue serán todos los facto res pri:mos y com¡mesto s del número dado,. incl uso elmisnao J b 1midad.

E l número total de factores primos y COII\r puestos de un número es igual al}Jroduc:;to de los. exponente s de sus factores primosr aumentado cada tmo en una unidad.

Sea el número 360=2:r . 3.~ .5:. digo que el número total de sw; factores pL"imos y eolupnesto s. incluso el mismo y la unidaJ.,. es. ignal á (3+ 1) ('2+1 ) (1+ 1)=24. E n efecto: escribiend o en una

fila 1 y toda:; las potencias tlel primer fitctor, r~v brá en dicha fila B+1 n Úllleros: eseribiend o eu otra. fila 1 y todas las poteucias del segundo fil<;tor ha-

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...._gg_ 'brá en tlichn fiila 2+1 números: iuégo en el ¡m't-ducto de estas Jos f~lns ha.brá (13+ 1) (2+1) núme·ros. Escribiendo en tm<t tercera {ila 1 v todas las potencias del tercer i\tctor, habrá 1 l número~: multiplicando Cst<t fih1. por d producto de las do~ anteriores habdt (il+l) (:2+1) (1 +1) números; y como este producto contiene todos los factores primos y compuestos del número 3GO, este tendrá tantos como unidadc:; contiene e1 11Úmcro (3 +l ) (2+1) (1 +1) que es lo que qucrim1ws demostrar:.

+

LIBRO U. D e ros

~:.-uuc&·os

t"t·n cc;i ona:-i os.

Al hacct· la clasi{rcacion de los números vimos que cuando el númtwo He compu•úa de parte ó par.tes do la unidad se Jlamnba fi·accion ó quebrado.

En el ¡)l'esente liiJro v mno~ á oenparnos exclusivamente de es'ta clnso ele número;;, y como pueden someterse ?1h1s mi;,¡ma;; opora<:iones que los enteros dividiremos estn teoría en tres capítulos: .el primero eo rn¡)l'on<l orí~ ln, numomeion y pl:Opio:su d ,lculo; v" el d i~dcs de las fracciono;;: ol se~:ruudo ,, tercero la conver:;ion ue fl':tt:cioucs Jo una especie <\n otra <lada.

CAPITULO I. N lD!ERACIO:S:

y l'ROJ>IJ-:J),\l)ES J)E LAS FltA.CC IOXE$.

ARTI CULO l.

Fracciune~

·ius. ordina&

P uesto que un quebmuo expresa parte ó par-

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·-9 0tdS de la unidMl, pllríl . indi carlo se nece sit :l.r/tn <lol'!

HÚmero:; enteros: uno que indi que eu <·nantas par~ tos se di\'!cle h1 tmid ncl y otro c~twu tas de cstilK paJ·· les forman el qucbrndo. E l pri111ero de estos HÚmero:; se llam<l dcuomhuulor Y el ~eg-uudo mtmcra,lor. ;~;; í, si ~quiere exp.reMi~· 1111 q tleb raJo qne .inuiqu e qnc ]a. unid ad está divitl ida <.lll 1 o p<Wt.l'>l : · c¡nc de dla: ; :<e tom an 7 para fimuarlo, ·13 scrú .el l b liOll lÍll/LUOl' )'

7

e l lllllll Cr<td O I'.

Se ha couYeniclo 011 cxpres:tr nn queb rado c;;crib iend o su num erad or encima del •l<•nomiu:~dor y separúndolos pr>r wH~ n1.ya. horizontal. Así, por ejemplo. para cxpn~sa>· el quebnHlo ant<; rior se h:trit en esta fonna: l,.

En cuanto al lll (Hlo de leer los <[Ueb raclos »e ha com·eni<lo en leer primero el n ume n1dm, v lueg o el c!<'nomiunuor, :tfladiontlo h1. tenn inac ion rwo; de modo q uc· el qnob rado nute rior ~e leer:'1siete ' 1O:" que 1wa.'l -. esct•ptwm < e e~t11 regm trece u1:os. ::Se dos que tienen por UCll <llllÍ ll:lllo r UUH ÚillC I'O dt> llll:t Í!nh1 cifrn. que :;o dcno miliH ll re~;pectiva m ente mitad, h•rcio, cuarto, r¡uinto, !info, slti/1/o, oda¡;o, y noreno.

TEo lml!A l.-S i €'1 nnm cnul or de un queb rado se mul tiplica. por u n núm ero enter o todo el quelmtd o qued<t nndtiplic·ado por <.li~.ho 11Úmero. :)tm el qnebr<ldo dig-o qu.: si se multipli<·:t por ~ ~u num ernd.or. el tpwbrarlo -J; que re:;nlta, :;er:'t 2 Yece ,; llJa~·or que }. Eu cfeclo: pues to que c1 num ernd or indi ca el núm ero de plll·tes que se toma n para formar la fnlt;~;ion, claro os que 011 el queb raLiO {' ;;e tom a dup]cl nÚl!H il'O d(l partes que en el quebraclo'}; pero como el •lcnomi nado r es el mismo en nm bo:::, l :t magHitud do cada uu:t ue e:;tns ¡)IH·tes será la

*·

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•

~9 1-,...

mi:sma en los dos quebn<dos: luego el quebrado :t so-.

J'{L. dos Yecos ma.yor que f..

CoROl.AI\lO I.~Si el numerador de un q u e~ b,r;tdo se Llivide por u n divisor suyo el quebrado quedar{!. di,·i(1ido por dioho número, por que OlltQnces 6l llllll\erador· del quebraJo re:mltante será llrl CiertO. l1 (nuerO LlC Y eüUS lllCHH) l' t¡ UC e!' dado, ·y llOl' eon.siguiente todo. el quebrado serít el mismo JlÚmero tle veecs menor, !1 qmsa. de no haber variado la nwgnitt\d de lail parte;;.

CoROURlO H.- .Do dos qncl)l·ado:; qne tienen igual denominador serú muyor el qne tenga. nm, ·yor nnmemllor.

• 'l'EO,R.J~ )IA II. -Si el denominRdor de un qncbn1.do :>('J m \!lt ipl\ca por un entero todo el quehra do qnedar<Í. dividido po1· clielto HÚmero. ::>ea, por t>jomplo, el qnel>rm1o ~~. digo q ne si ,;u denominador ;;e nmlt.iplica por '2 , el quebrado lo que resulta serú 2 Yeee::; menor que ~ . En e{'tetn : nw lt.iplieanclo por 2 el denomí tutdor del qnebmdo fse hace á este denomin:ulor 2 veees mayor, luego eada nnn. de- las partes del quebrado 1¡¡¡, serú 2 voce:s menor que ead:t un,, de la:; del <p:ebnHlo t, y nomo el mnnerad0r es el mismo se tomnrf!n la:; mismas parte:; pero d.os v eces ln onor es; luego d cruel!rado {10 será dos vece;; menor (Jue ~ .

CoJWJAR.lO J.-Si el denominador de un c¡ueumdo :;e r]j,·ide por t lll di\'Ít;Ol' snyo, e] quebrado queda multiplicado por dicho clivisür, por que ent{myes las parte:.; rlel nnevo quebrado son un cierto número de veees mayores que las del primero, y .por consiguiente todo el quebrado será el mismo número de vece:.; mayor, t)lle~to qne el Immerador e:; el rnislllo en a,mbos quebrado:;.

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• ·- \D2 _,._ Con.oLARro H.-be rlos qnehados que 'tieúet\ . ';.ll mismo !1nmern<lor sérá l11<tyor el que tenga menor det10minador.

0oRoumo III.-Si el numerador y denoniinadOt: de un quebrado te nJUltiplican por un mismo número ú se parten por un di,·i,;or comun, e1 ·quebrado no altera; por que entonces queda sowetido á dos operMiones iguales y contrarias que :;e neutralizan. ÜOROL.\JHO 1\~.-Un milimo quebrado pnecle representarse de infinitos modos, puesto que ú~ult.i­ plicando sus dos términos por ~a s~rÍ(;l indt·fini~ade los números se obtendrán iufiuito,; quchrmlos •ig-na·les al propuesto.

OoHOLAH!O V.-L<t müdncl pncde representarse de infinitos mtlrlos lmjv la fon u;c de quebrado, por -que la unidad partida por I'Í misma es igual {L la. unidad: l ncg-c> ol CJUObmclo 4 es igual ú la unidad; y como pnctlen Jtntltiplic?.rsc los dos t:;nuinos de este quobmd-ó por h~ s6rio ·indefillidn. de los n(imeroH sin que nhcre ~-;e obt.endrún otros t<"w t05 quebmdos cqnivalcHtC!:> (~la \m idnrl.

Co i~<?r,AR I O V f.--Un núntero. entero cualqnie·ra puede representarse do iniinitos moclos bajo la formn. fracciomtria; por q ue todo número entero dividido ]JOr la. un idad dA el mi:;rno JlÍtmero. Así, ·por ~jemplo, el número 4 pHcdc rr.presentarsc por el quebrado }; y como lllllltiplic:mdo los dos términos de este por la sé1·io indefinida de los núme·ros si outienen infinitos q·uel>rados ig-uales á fl, elato· está que 4 ¡modo representarse de infinitos mo'(los bajo hL fo,·:nn fra<Tionaria.

Par:t distinguir el c<\SO do que dos quebrados son iguales toui<.;nd{) distinta forma del caso en qae

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-93.

-·- ' :¡cnn eomplet'lrncnte iguales, se llama {t los prime-.. }'OS equivalentes y á los segundos icléulicos: nsí t y · {~son dos.qnebra doseqnintl entes: y~· y ;l son dos, qt1ehrndos id~nti coti.

ConqLARio VII...,.....P:l.t<a que do1; quebrados· !'4 enn eqn i vale~tt.cs es preciso q1:.1e los dos términos clcl m1o sean equ·in~úftiplos de los del ot.t·o.

P:mt que uos quebrados sean idénticos espreciso q_ne SLlS nnm~radm:es y denominad orc>l seim.

1

iguales.

CouoLARI.O VUI.-Si.el namern<lor de un qne1.)ra.do cs. igual u) denominador,. dicho quebrado . será igual á la ll).1ic\a.d. Si. el númcrauor do 1111 queb rado es m{tltiplo de sn denominador, dicho . quebrado será ig-n9-t ú ll)'l número entero, por que tantas veces como el numen1dor contenga al dc nomi-.

JH.t.dor otras tantas unidades conteud;1í. el quebrado.

Si el numerador de un quebrado es mayor que el denominad or, dicho q t!ebra<lo serA mn.yor que la unidad, y entonces. se llama impropio.

• 1;-inalmenté si el numei·ador d~ un quebrado qs menor qne el clenomjna.(lor, dicho r¡nebrn.do será. menor que la unithHl, y entonces ¡.:r lht.ma propio.

So dice que un e¡ ur, lmulo es ·¡;erluctible cnanclo . pnecle hn.llarsc otro cqnin1lcnt e (t él y cuyos tér- _ minos sean menore,; q u o los dol·propno sto, ~· se dice que es irretluclibte caando no pu<:1le hallarse otro equivalent e.á él y Cf11C tenga t~rminos menores. Li~ condicion necesaria y suficiente para que t)n qqebraclo sen. rctlnctible será que sus dos términos tengan algun fnctor comun; ). por con,;ig·niente cun.wlo lo!:i dos tt:rminos do un cptcbrado sc;m pri~nos entre sí dicho qne1Jraclo scrú ineduc-. ~ible ..

•

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. <'4 ;J ' Recíprocamente si un quebrado es irreductible, sus do;; ténninos serán prin10s Cllltre sí, p01' que si uo lo fucrnn tendrían 1111 fa('tor comun, y dividiéndolo.; por él re:;nltaria un quebrado C!lnivalcnte al propnesto y cuyos t<.Írminos :serian ma-· yorcs que lo:o de él, lo quu e:; co11tm el .-;u puesto, De ac1uí se dcdnctJ Cftte pam <IYCrignar r:;i tm qnchmdo es irreductible lmst:~ hallar ul múximo UIJJllllll divisor entre su:; clo;; t!\mlÍll<.)~; si el máxiJUO conum divisor m; la tmi<.htd, el quebrado tmdL irreduc tible, porque cntone;e¡¡ s ns dos t.l- nnino::~ Herán primos entre¡;(. Si el múximo uont11n divisor liiJ es la tmidatl el que brado Hcr:'t rcdnctihle: y en· tonc:es podn't com·ertir:;~~ en irreductible clividiendo sus dos términos por dicho m[tx!mo conHIII di,·i:;or, por que los cocientes resultan primos entro sí. .GJ~:MPLO.-Convertir en Ü'roductible el quebrado fu"s· Hallo el múximo comu11 di ,·i~or 35 entre los dos números 10:) y 70: diYido dichos dos m'mtcros por 3!5; y lo;; cocieitte:; i3 y 2 sorÍin respecti vn.moute el tlenomimulor y 1) ! JlUlllemtlor del 11 uolmu.lo irreductible ~· equivalente a,l propuesto.

-

ARTI CU LO 11.

D e l os qnebrndos dec ima les.

Cuando el denominador de un quehl';\do es la unida.J seguida UO Ce1·o:.:, eutoliCC::I pj <pwiJraclo se lhuna docinml. Así los queLratlc.hl 1b t'jd ¡},,~J &c. son quebrrtdo:; decinwlo:,;.

Los quobnHlo:; derimnlcs r:~nt\ susceptibles de una mune mcion mas sencilla qtle ];t. (lo lo;; ordinarios y auáloga Íl hL de lo:; número~ entero:;. EJl efec••

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-!JIS10: <>icna.) siempre el dcnominauor de un qnebrado clccinml la unida1l ;;cgllilb ele CHros, si uusotro:> cliviilimo:> la lllti<lad en d ic:t. parte:; i11·u:Üe;; :· ú cada.

U•m 1le ostm; pH l'tP>' la ll:tHmnws c{¡;cima, :;i tliviJimo:; uwt d..:1·ima t:n tlier. l>m·rc:; iu·milc:; ,. :'t cada r . p:ute la llamamo::: ct'litt=,~imt~, :· ;~ s í ;;ucc:;i,·antentt• podcmo:; o:;c;rihir un c¡uchmdo thwinml eomo si fuera. 1111 entero, con ttd qne esrribnmo:; la::; dtil'ima:: ;Í la dcrcdl<~ de la:; uuidatlcs, y In:> cmJtf.~ínws á ht derecha de ~a-., <l<;cim·r~, y a:;í sucesimlll<'llte, y pong-;unos un signo <·tmvcntional <1ue scpnrc [t lo:; entero:; de lostl<.>I'Ítnal<'s.

E ste signo con ,·euciom\1 t•s una. coma.

Así, f'i yo qnicro c:<pr~sar d número cual1'o r.wtl!ros y rlic.z y ol'lto.rcutr.J.~imfl.~, lo e:<cribiré en e::;ta. forllla 4-,11; por que el l eseritn :í la clcreeha del .J. e;;prc:>~~ l111Íllade>< clie:t. ,·eeos mr uon!s ó dr.Jcímas, Y el ¡; ú. ln. clen•(·laa del 1 unidadc,; d ic:r, YCCe:; mel lore;; q ue )m; dér; ima.~ 6 l'<!lllési.mas. . . De nqní se tled uec <1no para l eer un quebrado decllual lm,;bt leer la pn.rt.ú ent.cm y e nse~·ui da la tledrnal vomn ¡;¡ f11<:::;o ontent, a.ñ aLlientlo á la últim a eifm la tcnnin n<·inH do1 órclen qno le corrc><pomla. Para ha llar esto círdcn hast;~ o bscrvar q uo eada cifra dccilllal 1i<·no mm tl<•ru)minaciou análog'<L á la do la cifra en tl:m que dista do ]¡~ nnirlacl lo Jni:-;nw que ella. l\H' ejemplo; pam leer el número !),3452 ob:;cn ·orllos fJ llú la ú11 ima cifra 2 ele la par· t.e decimal dista de la unidntl lo mismo que las denmas de millar, lue¡rt) ,;e lhmrart llic.; milésimas y pnr vor.sig-uiente el uúmc ro se Jcerfb 5 enteros y ¡j.l;)l dín milé:Jimas.

Pnede sll(·ed<·r que la parte entera no cxíst;l: en ese C.'1SO se cspres<t siempre ponienuo un cero

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~VG -

•

¡¿,n su lugar y la pn.rte decimal se lée l'<r 1nismo •.

Así, por ejemplo: el n1rmero 0,04.051 se leerá cero e-nteros 4051 cien milésimas.

Reoiprocamente.- Parn c~cri b ir una fracciorL J.ecimal, se c~cri birá pri-mero la parte entera, poDiendo á continnacion una coma, ;; cnsegnida. seescribidt la p:u'te decimal romo si- fuese entera, teniendo cuidm1o de poner despue,; de la coma tantos ceros cemo sean ncce~arios para qne la. última. cifra decimal se lmlle en el lugar que expresa su. dcnominacion. Par:t calcular esto. basta obscrYar que la fmccion d<'cimal ha, de tener tantas cifras. como CCJ:o::; lleve la unidad en sn denominador; Y por consiguiente pam hallar los cerOJ; que han de escribir¡;o ú. l 11. <lcrcchn. de la .coma, has.ta restm:· mentalmente el número do cifras que em;t.iene h . parte decimal conl>idcradn. como entera, del 11úme_ 1:0 d:- ceros quo t iene la m1idacl en. sn denomina-. dor. Por ejemplo, Ri n0s dir,tnn para escri bir el número tres enteros y cuatro mil ocho :millonésimas, cscrihil~emos primero el e11tcro 3 poniendo ft continnacion· h1 c.¡ oma; )" P:1l'l'1 cMrihir la parte dec·imal obser vamos qne el número cuntro mit oclio consicleraclo como entero es 4008 v solo tiene-cu;-.tro oifrns, mientras qnecuatro mit oclw millonés·imas t.ienen por denominadox un mi.flon, número que constad~ seis ce:-ros: por tanto la fraccion decimal tcndrú.seis c~fras, y por consignicute habrá que escribir dos ceros á con -. tinnacion ele la comn; y el nÍtmcro dictado se escribidt de este mor1o: 13,00-i:OOS. Si el número no hl\'iese enteros se escribiría cero {t ia izquierda do ]¡~ coma. 'fnmbicn pued(l leerse una fraccion decimal ea union con In parte entera, con tal que le demo:s,

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-9-7b UN1<>llJ Í O~Il;Í on de l:t ú ltima. <:if1-a. decimal. Por ~j emplo, el n{Imcn) 118:\0-!81 puo<lo lcerí>e tres ·nri-

ochocientos cinrul'n/n milrua fr o áenios othenta y ·una diez miléi>illlas, por que en <'l'c·cto Hes millones de ilie,r mi/é~;imas equintÍei1 :í trr1-~l'ierd•>s enteros, del mismo motlo q ue ol'hor:ie11tos mil diez milésimas cquiYalcn ú odtcuta rnft'1"{).~ y 11ue r·inr·uc·n fu. ~nil di<·z m.i lésinws C<J.Hi.l':tleu ¡, chito r:uftn:os . .IL!ite modo de leer fraceioncs <:,; pol:o usado, por IJ II C ofi·ecc mns di1icult:ul que e:l otro. l>o la. uumcraciOJJ :H1npt:u1;t para las frac('.i0nes ttones

dceilllalcs rmmlta. qu t' tt.a.uúm m'o ~~~ ~J.lqni e1;a de cem;,; eserito {t b derpr·l.:t de nna fraccio 1t deeimal no l:l alten1. porqu e tvdas las cifi'as ele dieltn frac(:iQn dC'cimal conscn ·an el mismo lug:u· ('On respecto á h comn, y por consig:uicnte sus va lores nb,;olnt o;; y rclat i,·o;; no cambia11. Por c:i.c mplo: si ú h •lcn~ ~·.kt. del 1t {entero 4,5G1 c;;;c:J'ibo dos ceros, d n úmero -~,iíGlO<l SPrií igual :1l ;tutcrior, por c¡ue la:; rifn1s cleeimales f>(il ocupm 0 11 nmbos el mismo luga r con respectr• ;Í !a cnm;t, y por consig nien1c en los clos casos Ynl<lr[m fí GJ· mi lésima:;. 'l':nnlJien pod~m o~ com ·cncern o:; (fll est;1. nmlad observando que cintueuta y sl'is mil y cien ciimmilé.~Í'mas cqui,·a le ú quinientos se.,,>;,ht'Y uua milésimas.

P or el contra rio si entre la roma y nna fracÓOll deeimnl se escr ibe un 11Úntero cualquiúra de cer0s, la fnwciow quecla di,·ididn por I;L nnidad seg ui<la de dicho n úmcro de (;{'ros.

Sea, por €'j emplo, hL fraccio n 0,48: si entre la eoma y b parte decima l escribo dos ceroR tendré el número 0,0048, y t1ig-o que será cien veces menor qne 0,48.

E n efecto: las cifrns decima les 48 de la prime-

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_gg_ t·a fi·accíon lran pasado á ocupm· dos lngm·e~ m;ts (t la derecha de h~ coma, luego se han hecho cien veces meuores y · p(}r cons-i.gu ient e toda In fyaccion Hl'7 ha. dh~dido pM ciento.

S i en ltHn fraccion decima1 se eo11·e la t:om <~ ue izquierda á derech;t un núm ero cuah¡niera de cifras, clicha fraccion se multiplic;\ por 11\ mtidad Bcg-nida de t:wtos ceros c~n-no lu ga~·c;¡ se lmyn corrido la coma. Sea , por ejcmpl0; el númt>t'<!> 5,8()14, corramos ht coma do:; lnga rcs de iz(¡u.ierua ú derecha, digo e¡ He el. nún>cro·üflO, 14 ::;cr{t cien ·1:ece.nna yor que el propuesto. En e!ooto: todas las cifra s del prim er núm ero lum ¡·etrocecliclo dos lugares húci;b la izquierda d0 la coma, y por con::;ign ient e se ban hecho cien veces mayore::;; luego todo el quebrad() ~;o ha hoeho cien yeces- may or.

Por el con trario; si e)1 unr. :!:1-accion aecimal se corre la coma de dm·ec:ttn {• izquiercht un núm crv c.;ualq uier<t ele luga res, cliclm fracc ion so divido por la nni<lad scg·uida de tantos ceros {;0lJ lO lugares se hay a corr ido la coma. Sea, po1· cjempJ..o., el m'uucr() ] .425·. ¡¡j corromos J.a. € 0 111ft de acrcchn. ¡'~ izquierd a tresh:garcs, elnúme~·o0,01J25 que l·esu ha será mil veces menor que el propues to. En efecto:. toda:; su& cifra s han retrocedido t.·es luga res háó a ht derecha de la coma y por ta:tto se lHtn hec;bo mil vcces:mel i OI'C~ , luego todo el número :;e hab rá hecho..: mil voces menor.

CAP1TULO II. (l:'it cnl o d e Jos qnc b1'ad os ot'di mu·i os.

Lo.s operaciones que pue den ejecutarse con los

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~'99~

quebmdos ordinarios son las mismas que hemo!S c.':'plicado para los números enteros; por consiguiente nos ocuparemos de cada una de ellas separada" mente.

ARTICULO l.

S m ua y 1·csta de los q ucbt·ado·s .

En la suma de los quebrados hay que distinguir dos casos: pi'imero que teng<m el mismo denominador: segundo que tengan distinto ucnominaclor.

En el primer caso basta sumar sus numera·dorcs, pouicndo á csOO. suma por denominador el mismo que tienen los sumandos: así. ¡~ara sumarlos quebrados {/; ~- -} sumaremos los numet·adores 3, () y 7, lo que dá lG, y á este número le pondremos .

4 por denominador, con lo que el quebrado +~- se• rá la, suml~ de los propuestos. En efecto puesto que . Jos quebrados tienen el mismo denominador t:epresentan partes iguales de la unidad y por consig-uiente la suma contendrá -el mismo número de dichas p¡u·tes que todos los sumandos, y como los numeradores de estos expresan las partes que cada uno contiene, h~ suma será igual á la de d ichas • partes.

Si los quebrados tie-nen diferentes· denomi·nadores yil. no pueden s umarse de este modo por que c.ntorrces expresan partes desiguales de la unidad.

En este caso debe•uos tratar de ver si podemos convertidos en otros equivalentes á ellos y que ten· gan el mismo denominador, problema que se conoce con el nombre de reduccion de quebrauos ú un

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-100- ~

C,'Qmtm .lenominaclor, y el cual ;·:unos ;Í. <lumost.ntr. ~ que ~iempt·c os posible.

Pn.ol\T,BHA. -Cotwerti r un qnehr:tclo ;;- rn otro. ec¡uivalcnt e [t él y que t(}nga por denominador un m un ero cbdp. 2.8.

S i se multiplicM los dos términ(>S.<l cl quehra-

tlo por :tS x

:¡

Y

- -" 7 X 2H

28~ te:t~tl1·cmo!>

si

di,~idimos

el c¡uelm1do el)uivnlent e l0s dos términos de esto

tHt(''·o quebrado por 7 se tcndrít 28 x :l

: 7

- :tS PI C'lll!l !'<(:1-{t equivalente al propttesto y tiene por dPnonJinndor el númcn). dado ·2.8; pero pnrn e¡ ue e::< te prohiHnln sea posiule C!\ preciso.que 28 x F$ scn. divi:sil.•le por 7, lo que exige qn-? d i cho~ proclnu1·o contcn,.ga todos .los ftl.Ctores primos. ele 7, euya condicinn r¡nc<larfl satistec·ha con fJllC el denominad or 28 del • 11uevo quebrado~.sea múltiplo del denominad or del pri mi ti ,·o.

CoROI,ARio.-De aquí rcsult;t que ~e pueden rt,d ucir Yarios quebl:ntlos ft un connm J<mOJJl inndor eon tal qne este >;ea múltiplo d e todos l<•S clennmi1utdor/ls dado!'<. En electo: sean por <'.iemplo Jo~ q tHibrados {t, J7.:?:. y tratemos ele red ucirlns :í UJl •·•mtnll denominador, digo qne cunlqnier múltiplo ele ios denominnd ores podr:i sen-ir de denominador romun á t odos los quebrados , por qne :-;icn<lQ ,¡¡,~::¡iblc el múltiplo por cada denomima1 0l' si se nm)tiplican los do~ térmitws de cnda quebm<lo por · el cocie.nto ref> pcct.i,,o se ob~;cndrún tlCCC!:iariam ento quel>1:a.dos equiralcntes á los prop 1t c~tns y que 1tmdnín por denominad or el nümoro datlo.

J>nljsto q ue cualquier rnültiplo de los denomi~~dores puede sen·ir de denominad or comun, el_ .

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·- 101'producto de todos ellos puede escojer,;e como tal/y ·e11 esto cm;o la operacion queda n~d ucida. [t multiplicm cnda. numerador pnr el producto de los denominstdores de los demas, ponieudo á todos los <JUebnu.los el denominador comun, que ser<'Lel pro·ducto de toJos los denominadore::;. Así en el ejemplo anterior la operuciou 'se practic"rfL del modo !iÍ3 ui untc:

mul tipli caw1o numerador y denollli naclot· de c;ula fnt<:e iotl por e l pr0elncto de lo:; dcnominn.dores de las rlfdma:; tcmlrcmos: ..').10.15.

6.10. 15

4.6.15,

7.6.10

ILJU.l5

G.JO.lli

y cfcctumu.lo las 01leracione::; indicauas:

1

7á0 900

Este ntúotlo tiene el inconvcnienté de dar frac<;ion us:cuyns. tér minos son muy g ra ndes y que pueden admitir ::-;implifi cacion, ·conscrvándo aun ·ull conntn rlenomiF!:tdo. :P,na evitar este inconveniente se UUi pioza .por convertir ·]a:; 'frn:cciones propuest.:ls on in·ctlntitil)le;;, y en~egu i Lh~ su·oscogc por dcuoll·!il>.11.dnr cnrMm el mínimo múltiplo comuu ·do los ·dcnom inad·ores, ·de este modo se reducen la¡; fract!ionc:; al n1enor denominador cc.mun posiole, por <¡LLC cualquier número menor qno el mínimo múltiplo ya no podrá ser dcnomitultlM. Aplicpwmo:; e:>te procedimiento ú las fraccif:>·l le:;

-

propuestas: 6,

-

10,

•

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7

,¡r,

-102 "ConvirtiéndoJ:as en irreductibles resul'tar{in la3< (!'acciones: 7

2 fl,

5 6,

jlj.

El mínimo m(t!tiplo com1\n de los

denom.ina~

dores es 30, dividiendo este nCnn.ero por cadl,\ de, nominador se tendrán los cocientes.

V "·

U1 f>.

2

y multiplicando los dos tét,minos de rada fhJ.ccion

respectivamente por· cada uno de estos eocientes.sQ tendrft: 6.5,

2. 6 •.

1.2

6.5,

} <>-

-.,

y efectuando las ope¡¡aciones indicadas:: fracciones mucho mas sencillas que las <{He obtu... vimos por e-1 m&todo nnterio1•.

En ]'a resta de los quebrados hay <]M distÍJh gu·ir los mismos dos casos' 1(' que n1inue ndo y sus~ traendo tengan igual denominado1·: 2~ que tengan. distinto denominadm~ En ol primer caso bastar á restm· los numera:dores poniendo {¡ la diforenoin el denomina.dor com un. En ef~ct"O; sean pol' ejemplo. l'o-s. quebra d·os.

1~ y 1~1 : como el denominn,clor es el mismo, ]1\, magnitud de cada parte do la unidad os ig:nal en los dos quebrados y por consiguiente la difm·encin. serlt Í'gual á J.a que existe entro el número de pnrtos del minuendo v del sm;t.mendo, es decir {¡. ln. cliferencia. de los numeradores, siendo por t.nnto f,;.

Si los que~rados tienen distinto deno~u.iuadpl;' J

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-103se reclu·ccn ít 1111 comun deno1uinndor v se restan despucs sus numerad<li'CS. E sto cq11i'·afc tambien á multiplicar el numeradói· del minuendo por el dellOmin:.t<lor del sustraendo y restar de este productG el dclnumerMlor del sustraeudo llOI' el denomi-

M.dor tlcl minuendo, poniendo por c1enominador d produeto de los denominadores dados.

Se;\n los quebrados H- y i!., empleando este procOO.iuüeuto tendremos. i7. 5-'3 .::!4 24.·5

y efectu:1.ndo las operadones indicadas ln. diferenl •

1

'1

cm scm •~"

OcmT.c á ,-.eces tener que aíi~Hlir 6 quitar A 1m 11Úmero entem una fraccion, es d ec·ir, te ner que expresn r esta opcmcion por 1111 solo quebrado, lo (].U e se llama tambieu l'educlr el entero ál~ especie

de su q.uchl'll(lo.

S llpongulllos qtte J;C qniem representar por ttn<~ soht fracei.ou el tdntler<J 4+f.. Uomo el númen¡ 4 puede expl'csarse bajo ht. fornHt'fntccion nrin por r la <~pünteio n quedará reducida á ~\l ll1Hl' ins dos fnt(;einno>d· r t y aphca.udo {t elln-s e l procedimiento general tlm(lrcm-<7s: 4. 5+2. t

lo que

ó bien

4.1i+2

no~;

!liee, que tlar:t sumar un entero con nn (¡ue brn<lo hastn mult;plicar el entero por el denowiwtclor y aila<lirle el nmnerru.lor, ponient1o por deuominador el mismo del qncbn•do.

Trntemos de representar con 1111 solo fJHcbrn-

do el número 4-i. Escribicntlo •1 bajo la form-a

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•

-1 04fraccionaria tendremos l i., y, aplicando <i e~ins fracciones el método gcni nl, resultaní 4 .:)~~:!:. 6 lo que es lo mi:::mo: 4 .:>--~. lo que nos dice q\te p;~ra restn.t· un q11chndo de u11 e11tcro basta multiplicar el entero por d dcuominador, t·estn r ele este prot111cto el numerac1or y p011Crl c pot· den<llllin;ttto t· el mismo de l quehmdo.

ART ICULO 11.

En la mnltiplinacioH de los quebnulos tonen1o;;

qne di~tingnit· tn~s easos: l? :\Inlti¡Jlic;u· n11 qu~;hra­ do por 1111 entero: 2? )fultiplienr nn qucbmtlo ¡un·

otro: 3?

~Iultiplicn.r

nn entero pm· llll qn<:l hm<lo.

Prilllter c:aso.- Y a. hetno;; Yisto qno para nnll tiplicnr un quchrado pn t· un entom h;1:;.ta Jnllltip! ic:u· Stt IHUnemllnr: as[ pnra mnltipl ic:at· el q ueb r,tclo ~ por 5 bm;t<tr:í m ul tipiie;w :;u 1ttllliCra(hn·. In q ne da.r;~ ~3 x fi ó bien ~~ '~

S''.(ftti Uto

q.

caso.- Tratemos do halfnr C'l

to do lo;; dos qHebr:vlos t X;. Di pnr scgunclo fitcwt· el quchnuln

('ll

~

I)!'OI]uf'-

rln ton¡;¡:· tom:Í!<l•mo,; •·!

V(' ;f.

uúmcro cntem 4. hariamos :''t c•:<to- fiH·tm· !J Yc·cl·s mnyor r¡uc ;. Almm lJien si nmltipliramns ~ pot· .~ el proJucto 5. ·~ ser-;i 9 ,·e:ces ma:·or qnc el de i por 7

·~ : lu<'g•> p:u~l ftHO !<ea el verdm1om bnstar;'i cfi,·idit· b l'nH;CÍon ~~2. pm· !>. lo que se~ c:o¡H,.o.igue mlll7

.ti pllc:ando !<U

~1'<:uo minndor

por !.l, cvn lo

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l'Ulll

d

-106•c¡uebrado

_5.4

será el producto pedido. Esto de-

7 .!l

mue;;tm que para multiplicar dos qttebrados Jmsti~ multiplicar entre sí los HHmc nido.n¡:; y los tlenomíJladores de ambos fitct ore•;;.

Terr:er cn.so.- Sea ol entero 7 multiplicado por el quebrarlo Como 7 se puede poner baju la forma ti·acciounria. este c·<tsO f¡ttednríL redu~ido a! auterior multiplic·anrlo las dos fmrciones ¡ y ~'lo que de'~ el producto y_x r., ó lo quo es lo mi:;mo 7.5,

*·

l.!l

!l

lo que demuestra r¡no el producto de un entero pM 1m quehr<~do se obt ieuc lo mismo qne el de un c¡uebmdo por un cntl•ro, nndtiplicnndo <'1 entero por el mtmerador do! qu<:'l.mu!o y pon i ~l!t!olo el mismo denominndor que ti<'nc e~tc. l'uE>cte OI'Urrir t!nwr quo tn nlt iplicm 11 úmerno; mixto~;. En C:'lte ('11~0 In n¡wracio11 ~e ro<l u<·o al i;t:gundo c.aso roHvirti ~ml oln:< en , 1111a sola frnecion:; pero pnedo tmnbic11 hnCCI'sO {]i rectamen~..a. S upollgnmos en ofeeto que ltaym1 t.lo muh.ipllt:<11'8C lo:,; <k>:> nümem :; mixto~ .iJ t y <1 ~ : como C¡lU<l uúmero mixto no (~~ mn~ CJHO ·la suma imlicada c.lo un en tero y un q¡w!Jrndo, p(>!lronLO:i oxpre::;a r b operaeion tle e~to' lltlHlo: (

•• .,_:'» 1 .,... ,')

)

(

4+~

)

y :1pliran,ln ~L esto~ do:; ¡¡,c,torcs el pro<:edimit·uto explicado para mul tipl icar snmas indioadas tcndre111 os:

Y

<:fcd nnu do <>!llos clin:r:<os prorln('tos pan·iaJc.s y

ln suma de• totlvs :<e tcudm el número mixto 16

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~~ .

'

-10 6En la division de los quebrado¡; ocmTen los mismos tres casos que en la multiplicacion. 1 ~ Dividir un quebrndo por un entero: 2':' Di ,·idit· un qnehrado por otro: 3~ Dividir un entero por un que. brado.

Primer caso. -Ya hemos visto al ocuparnos do las propiedades de los quebrados que pnm di,·idit· un quebrado por un entero bnsta. mnltiplicar sn denominn.dor por d entero. Asf para dividir el quebrado t por 4 basta rá multiplicar su denom inado r 5 por 4 lo que darft el produáto _3_ ó sea _:J _ 20

5.4

S egundo caso. -Propongámon os dividir uno

por otro los dos quebraclos + y t. Si en vez del diviso•· i· tomo el número entero J, haré á dicho di'visor 9 veces mayo r, y por consiguiente si se divide ~- por 4 el cocien te saltlní 9 veces meno r que divi do -~ por ·~; pero el cocien te de di vid ir -} por 4 es ~ , luego multiplicando este quebr ado por 9, el 7.·1

producto .•

~ 7 •1

será el cociente pedido. Esto demucs-

tra qnc para dividir dos quebrados basta multiplicar sns términos en cruz.

Tercer casn.- Sea el número entero 5 dividi-. do por el quebr ado ~: como el núme ro 5 puede ponerse bajo la forma fraccionaria., este caso se reducirit al nnterior divitli endo l o~ dos quebrados i· y .;f lo que dá ~- ó lo que es lo mismo, 5.4, lo que nos.

3

3 .1

cl.ice que parn. divid ir nn entero p or un quebrado. basta ruultipl icnt· el entero por el quebrado itn-ertido.

Cun.ndo hayn qne dividir númoros mixtos se.

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-107rcducirán estos á frn cciones, y la operacion se r&SLtelve por el segundo cnso.

Puede efectuarse directamente la division do un número mixto por nn entero 6 por un quebrado. S npongnmos que so quiet·a dividir el número mixto 7 }. por el entero 2: con1,0 el número mixto no es mas que ln suma indicada de un entero y un quebrado podrá expresnr,;e .la opemcion de este IUOdO:

7+'} ~

Ahora bien si dividimos el entero 7 por ~ f.;C obtiene 3 de cociente y 1 de rcsídqo, y como J equivale r~ -~- el re~ íduo completo sel'ft ~-H· 6 sea ~ y bil-~trm't. dividir } por 2, lo que dá -~- 6 _!_ , 10

ó

y por tanlo el cociente snrá 3 t.

En Ja diYision de los números entet-os hemos "isto que cuando el di,·idendo no cm múltiplo del divisor el cociente no podi<t cx.presat·so en números enteros y quedaba incompleto á mcr\os de una unidad de error por defecto. Por medio de l<t toorifl do los C[l\ebn1.clos podemos ya complct.<Lt' e:>te co-ciente. J~n efecto; sea por ~j cm plo cln úrnCl'O _38 di-.

Yidiclo por 15: el cocicuto {l meno¡; tle un<t unidncl es 2 y elre,;íduo 8, digo que si al entero 2 se Jeallnde el quebrado ,~$, e:> tend t·í~ completo ol cociente, por que si se mul ti plica el número roixto 2 + ,•. por el di visor 1:1 se tendrá ol núm(n'O míxto 30+ ¡;,_s y conto 15 es Ütctor comun do los dos ]5

t.érmi nos del c¡nobrado so podrú suprin\lt', quctln.ndo el número 30 +8=B8. 6 sea el Ji,·idendo. Luego para completar \lll cociente inexacto eu nÍtmcrcrs enteros basta aiiadirlo un quebrado que tonga po1·

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- 108llt'l.Ulf!radm' el residuo }'por denomin ador el di \'ÍSOI'· 'Tambien por med io de .Jos quebrados poJrenH)S aproxim ar llll coeientc cnrdquienl. á lll euos de una unith~tl fracciomüia daJa. ·S tq?c-mgam os q tiC se trata de obtcuet· el coc.iente ele 38 pen· 15 ;'~ menos La division de 38 por 15 :podremos expresarde y cmwirtiendo este quebrala por el quciJ)·ado do {t ltt especie ele 7 leutlreu10s:

+.

•

a

;)S X 7 : 15

7

--

2(i<i : 1[>

-.7

El rocicute exprcAAdo en el numerat lor estA com¡JJ'CtHiido entre los dos uúmeros enteros conse· tattivo::; 17 y t 8; ·luego toc\t) el que hratlt) cst<mÍ contpreml.idt> entn; _!7_ y IS y por :cousigtt ieutc 17_será 7

7

el cociente pcdiJc• á menos tle ·} por·dc:fecto,

7 y~7

á

meno.'• de :!- por exceso.

Du ac,¡ní resulta que para up roximar 1111 co·t·iente e n tc l'tl Íl l!leuos (le nwt 1tniclad .fracr.ionRria

•da¡l<t ba~ta nnd tipi icar el cli vi de t~do JHW el d cn nm i ~ ·nador J e b lnl.t;t:Í~ln, tlividir este producto por eíl. ·di visor i't 11\tllHlS tle una Hll itlad, )' ponerle por UOI1ll• uatlor el mismo dd quebrado.

ART~CU LO 111.

.- -

Eh!l-'~.l<;iou ;.í.,a,o~cu•;ias ,.. 4!SC.I.'a c,~ion de ·.-·a'i <:''~

de ios

qu t~h~·ados.

e¡ 11(> para. <:levar 1111 número á una po" tenci<t basta mn l tipli~:a rlo pM si mismo tantas ,·e•t:Hs como uniclatlc:; tiene el íwli<:.e, para elevar un ·t¡uehrad o (t una pt•te·l~c ia eualquie ra bast;u·á. elev,t:r· Pu e~to

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- lOQ. ., {;: di'cha pntcncia sn nnrn crador y sn denominador:.

A.sí pnra elevar c~l fp..lebrn(1o t á. la. potenci<1 4t; htl:;tará elevm- á la 4': pot.ellüÍ<l. 0 y 5, lo qne d ad~

.'

;)'1

=

8.!_. De a.quí. se deduce que. :~i tm qne bnulo e~ ir(i2:~.

rednetible ¡;ns dh·ersa::; potCJlcins.lo !ierán tamhiell: eu cfeeto: sea ol queb rado irreductihle _1·~ sns do¡; 1;i

términos ser{tn. primos entre si y por cOll:;iguiente sns potencias tamhien lo serán:. luego cualquiera .. potencia de _::_será nna fraecion irreductible.

15

•

En la estraccion de la. raíces de los q ueurados nos limitaremos como en la. de los enteros á la raiz . euadrada.

En la est.raccion. de la raiz cuaorada de 1os quebrados hay que consirler.a.r tres <;nsos: 1? QHe los dos términos smm cnach:ados perfecto;;: 2\' Que el denominador solo, sea un. cuadrado perfecto: 3"· que el denomin~dor no sea cuadrado perfecto.

P rinw··caso.--Cllando. los términos de un quebrado :;on cuadrados perfeetos puede hallarse la raiz cuadradn, estrayéndola de mn bos términos. En efceto: sea por tdt:mi)tO el qnehrado 2<>, cuyos dos 4!)

túmin()s son cuadrados perfectos, podrá expresarse bajo la forma ~ y como este último proviene de

-··,_

elevar al cuadrado la fi-accion ~ resul ta que pnm 7

estraer la raiz cuad rada de

25 .

bastn estracrlc~ de

<19

(l,ada uno de sus términos Se;;undo caso.-Sea el quebrndo .: f en el qn.e -

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-110-. solo el dominador es cuadrado perfecto: en este ca· 110 como la rai:-~ cuadrada. del- numerador está comprendida entre los dos números entero:; uonsccutivos 3 y 4, y la miz cuadra¿b el numerado r es exactamente 7, claro e:; e¡ u<; la 1·aiz del tluebrado +~· se" r{~ ~- á menos do ·} por defecto y ú menos de+ por esceso.

• De aquí se deduce que la raiz cuadrada de un quebrado cuyo denominad or es un cuadrado perfecto se obtiene estrayemlo la raiz cuadradlt del numerador á menos de una unidad y <li,·idiéndo" hl, por h~ mir. cnadradt~ dol denominad or. La aproximacion q ue entonces s0 obtiene es menos de uwt wliditd fmccí.onari lt del 6rden expresado por la mi1. cuadrada del de uomiumlor.

Tercer caso.- Sea el quebrado-~~ cu~-os dos túminos no son cuadrados perfcutos. Si multiplicam os los dos términos ele este quebmdo por el denominador obtendrem os el quebrado 13 . 27, ú bien, S5t ...'>1 . "7 ._ ·r .... 1!! el Cllrt.l es eq uintloutc al propuesto y tiene por denominatlor un cuad rado perfecto: por cousig uie11te está eotnprendid-o eH el 2~ caso y puede aplic{u-selc on el mismo procedimie nto. extrayendo la raiz cuadradtt de 351 {~menos de una ünidad y partiéndola por la raiz cuadrada de 27 2 ó sea por 27, lo que dá; ~-} á menos de ,.¡ por defecto.

+

De nquí se deduce qne para cstraer la raíz cuadrada de ttn quebrado cualqn1er<t lmstft mult.iplicar s u numerador por su denom inador, cstrao r la m iz cuadrada de este producto á menos de una unidad y ponerlo por denominad or el mismo del quebrado. La aproximac ion que se obtiene es en-

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- 111tonces {\, menos de una unidad fraccionnri<\ del ór~ de n del denomi nador de las propuestas.

Este procedimiento es el general y se aplica ú tolla~; la:; frncc ioncs :;can ó no sus té1·minos cuadraJos perfecto:;, pues cuando estos son considerables t->5 difícil descubrir ú primera vistn si ti011 6 no·cuH~ drados perfectos.

Hemos ,·isto en la estraccion de ln. rniz cuadrada de lo!i números enteros que cuando estos 110 sC<ln cuadrados perfecto:~ no potlrí~ obtenerse su raiz exacta en números ent<:ros y sí solo aproximada á menos de una unid<hl. Potlria parecer á primera vista que si bien un número entero no tengn raíz cuatlmda exact<t en n(unuros enteros pueda te- . nerle en números fraccionarias; pero no sucede a:;í, y cuando un número entero no tieue ritiz c uad rad~l • exacht. en m'nneros enteros, htmpoco la tiene en quebrado, y por con ~igttien te e11 úwomensurable, es decir, no puede i!Ol' expresada exnctament.e por ningun número. Jo:u efecto: ¡;ea por ejemplo el número 13, qno no e:; cua.cl rado perfecto, su ritir. cua\lmda está colllprendidiL entre 3 y 4, es decir que es mayor que ;) y JueHOI' que 4, y vamos á demostrar qtte no ¡m<lllu ltnlln,r::;o ht. mi:!: cu;tdrucla exacü1 de 13 en números CJUCbmdos. Supongamos que pueda lm1lan.;e y que orsta, rair. sea4 +~s iendo _'!..., b

¡,

u n quebrado propio, es deci r, que aLb: todo el número mixto 3+" poddt convertirse en una sola [,

fraccion i rreductible. Sen e esta fraccioo: eleván•

.

T

dola al cuadr11do tendremos el quebrado _:'! , el cual tl~

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-112·l·ewl'r.'t que ~or igual al númci'O entero 13 ele qn:i'un· ~n·oct,de, pcm ~;ie11do ,._ nnn fmceion irrcductibic. ,¡,

,.;_ lo sed ta:nbirn, y por con;;iguim:tc no pne!\Q, d' ~e¡ · igu.al al número entero lH: la ego es n h:mrdn· snponCI· que haya 1111 quebrado que complete l.\. ntiz t•.n;¡,.!mJa t\0 1:} _,. por t:1ntll esta e:; incomen;;umble )' 110 j)llOtl C <:Xj>I'CS:II'SC Jllll' IIÍIIg'llll 11Úlll(ll'll tiiendo ineolliQHsurablo hL m iz !'Uadnula de mt número (•ntero que no st;;L C:Hadntclo pc¡fecto, dehemos tmtar rlH apruxim:trla torio lo. posible; ~-,·a­ mos á tlcmn,;trar que se puede aproxint<lr todo lo . que se qtucm.

T'ropong;ímono~. por ejemplo, itproxi mnr b raiz cna<lmda de ít tn ell{):;. dt1 ·!.-. ¡.;¡ multiplica w os y cliYillimos Jil por;·>~ , el qudmtdo J:l.:i2 ¡;f!-

1a

:J:!

r ú cqnivnl:cllto a.l número entero 13, luego extrn.y<mdo su miz cunrll·ncla Sü t.r'lldrú h de 13: pero eomo b rai:.:: unadrada de r:l ·r,~ se obtiene ú lH O-

no1< ¡le ·} :-wg.un el nu!to(lo del 2'? c:Mio, la de 1B se l 1 'rg-na luHmte a' me uo:; dtl -,,-1 y sera1 l 5R pm" o lu. ten era del:'t:cto y -';,!!.. por exceso De aq.uí resulta que para aproximar la. raiz c.nurlrada ele tllt Jl úmcH·o entero {, menos de unn uniclarl fraccionaria dada b a;;t.a multiplicar dicho

J1Úrucro por el c·uadriHlo dol rlunonli'n11d'or, . est.racr la rai7. cuandrada del prodn(:to á menos de una unidad y pnrtirla por d denominador.

En el ca~o gcnern 1 de b csh·accion de la raiz· cuadntda ele ]m; quchmdos hemos Yi:<to que la aproximucion que se obtiene es á menos de una .

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-113UIIitlacl fraccionaria del órden del denominad or de la propuesta; pero fambicu pueden obtenerse estas raíces con la aproximacion que se qnicr;~.

Tratemos por ej emplo de hallnr ln miz cua<lrada <le'} á menos ele .Si conver timos lafrac-<"ÍOll} ú In especie 11 2 t e udrc tHOS cl.quebrndo equi-

rl.

Yal cntc 3.1 1.2: 5_ 363 : 5. ¡¡:!

'

- - 1!~--

El cociente indiMdo en etnumera.doa· puede hallar,;e ít meno;; de nnn unidad, y es 72, la J'air.cuadra da de 7~ está compr<>u<li da entre 8 y !>, ha(>go 1:\. del quebrado propuesto c::;tnrA comprendi da cn1rc 1' y f, y sed porconsig·uie11 te~~ ít me nos dl:l /r por defe c1u, ó ~~ {~menos lle á por exceso. De aqllí rcHult11,que pnm aproximar la rair. ua ndnula de un quebnHlo {~ m euos de una unidad frM<:io narÍ<l da:ln ha:>ta multiplicat· ::HI numerador por d t·narb·ado de h fraccil•ll IÍ. c{ne se c¡uiei'<l. n.proximar, <.lh·idir <:si e pn.r1ucto por el ' en omi nndo1· de la propm ><t:t. extraer del rClcicnteen tcro la ra i,~; cnndrada :í menos den na. ullidad, y partirla por _el denominador d•: la ft'<1ecion á. que se fJtliera

CAPLT ULO 111.

- - -Los quebrados rlm•im:l!es est <Ín sugctos {¡ la-s mismas opera<·iolle~ de! e 'ti" ulo qne lo:; ordinarios, y Y;tnaos ¡', ocuparn<1;; do rllc.s en l.t mi ~lll:l forma r1tw lo hemos lt:;cho para :tqueilm;. '

ARTIC ULO f.

J•:::;t:mdo los

qnc~llwlos de.::imalc~

sujetos g

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~'t

la

•

-11 4.mis ma .n~merac ~Oil que los enteros, Sil Sllllla ]JOfl r:í o'bte~ o1se del m1smo modo colocfll ulolos los 1111,), debaJO de los otro s. de mod o que se con espo1Hian en colnr~n~1.. l~~s nnulad~s de un mis mo órdc n, pm·;t lo cual ~);~o;t,ua que e:-;t('n en (:ohmma hu; c:oma:; v

e~1 segurd~ se s uma rún com o si fne.-;en ente ros, 'te-

lll~ndo Clndado ele coloca!' la com a de lt~ sum a tic-

baJO du las ,lel stun nnclo, E u efecto: sean por ejemplo los quebrados 3,04::>+0,.13+ 18,0 021 +lO ¡l,oi 0-!8 los coloca.rcmo;; eu e;;ta. form a.

3,04 8

0,4!3 18,00:?1 '103,0l0-!8

1:24,4fJ 05 ~ enseg uida snm:u·ento;; por la derecha como si fuesen enteros y pondremos b coma deb<~jo do las ik los sum and os.

Est a operar-io11 puede clcmostr arso tlc otn t ma-

nera. Sean por ejemplo los (\os i;llll l <ll1t16.; 4,28 y 0,034,: e:;to~ quebrado::; pne,Jen ponerse bajo ht forma. h}~· v" 1 ~ ·/; 0 ..y 0nmo para redn cirlo;; á un <·omnn denominador bas ta nfiadir un cero á los dos

térm inos del primero, tcul lrcm os lo;; clos quehrallo~ equ ivalentes ·n ~ ~: v ~~~~~n en y a snma. se obti ene snm:~.ndo los nnmemdore,; )- poniendo á la sum a d cl,enomin:1.dor <·omnn, lo que dú: H ~~queb rado que equivale á 4,R l4 el mismo que se ohte ntld t snman<lo 4,28 y 0,03 4 com o si fuc¡;en enteros y ponicudo b com n. ueh ajo ele la tle los sumandos.

Par a restn.r dos que bmt los deci mal es bast :t colocarlos uno dcb<lju tle otro de modo que las com as © Biblioteca Nacional de España

-11 58C correspond:tu en coltuHtlit y restarlos como si fuesen enteros, tenientlo cuidado de poner en la diferencia la coma debajo de los datos.

Sean por ejemplo los dos quebratlos: 13,045 y 4,1028: los colocaremos del modo siguiente: 13,045 4,1028 8,9422

•

enseguida restflremos h~ úl~ma. cifra del sustraendo de la que tiene encima, y si no tiene ninguna consideraremos que es cero, por que en efecto si se ai1ade un cero á la derecha del minuendo no altera el quebrado, y así se prosegnin'~ restando como "¡;i fuesen entero:>, poniendo luego la coma debajo de las de los datos.

1'm11hien puede demostrarse directamente esta operacion como ht de sum;\r. .

Sean por ojemplo los mismos quebrados 13,0•15 T 4,1028: podrán ponen;e ba;jo esta fon M:·J..Nu'u-"- y 1'-/,-'J ~*' y redttciénclolos á un comun denominador ·'·N/tv''"v!l y H3·~Z. cuya difct·encia es 130450-41028 = 89422

.

10000

ioooo, quebrado equivalente í~ 8,D422 que es la r est<t

hallutla mttes.

ARTICU LO 11.

IU:oltiplicacion r divi sio u •le l o s quebrados d ecimales .

Para multipliqat· dos quebrados decimales basta efectuar su producto como si fuesen enteros, se:. parando de derecha á izquierda tantas cifras decimales como tengan entre los dos factores.

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-116Sean por ejemplo lo,; dos quebrados 4,018 y 0,93: estos quebrndo:; ertuintlcn ú ! ~-~-~-y tu1u, : su producto ~;er{( <tOl S x fl:J , ó. bien, H-~~~-.r quebrmln HJOOOO

cq ui,·n.lente á 3,78674, el c ual obten<lríamos tamhion mnltipliean do los dos q uebrados dccimale:-~ <.lados como si fnc~en enteros y seprlrando de derrrlm á izqnierda tantas cifras decimales como teu!!llll ambos factores.

En la p~·áctica OCUlTO {L Yeces que el prorlnrto · tiene menos cifras de las que lmy que separar; en osto ca:>o se suplen por ceros los qne faltcm, poaicn · r~o t.!Lml>ion cero {¡. l:t ir.quierd<t. -gjemplo: 0,004 0,0132

0,0000528 mul t ipliqnémosb:-~

corno !!Í fuernn c:ntcros :--· 011 . ~o~~ ui<ltt f'epan~mull ele derecha ú izquit·rdn r-it:to eifras; y como el prod ucto t.iene solamcuto tró:;, J¡¡¡ l);'·{l q ue pone;· enn.tr0 cero,; clespues (h~ l<t eom;t.

Este proced!Jnieut'.o pncdc tn.rnbien dcm o~tnl!·­ f;t' flirt•t:tamentc do otro modo. Se~m por (';jcmplo los (Jth'bradns 0,0-1 y 0,00;3. Si se supr:me la roma cu d primero, <'l número 4 q ne re:mir<l sct·it 100 vec·es m:~.,·•J•· qw: éi: si se suprime la COm<L en f•l segundo, <JllO YCC'f'" m:1y.w d número il nn . ' <' rcsnltn ser{L 1000lo:; do:~ HÚmct·l'" 1:1. Altora bien, si so multiplican (·nt.llrn~; '!y 3) ;m prot1urto 12 o;ed 100x 1\.lOO <', J 00000 Vt:<'C,; lll::_vor Cj llC c1 de Los elo::; qnclmu1o:< ilaclo::: lnegv ltalmí qnc d iYídi rlo por 1()0000. lo qno ,:;p consigue eorríendo ln eoma de ltcrccha {¡ i-.quier-. dll I'ÍIICO ln-:::are,:, .,. ~

c~>mo

1:? no iienc

n~a::;

<¡uc do:; •

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-111cifras habr{t qne escribir ú su izqtlÍercla, )'antes .c1e la comit tn'!i$ ceros.

El mét·odo explicado para la multiplicacion de las fracciollc,; ,;e aplic:t igualmente al caso en que hnya que multiplicar un entero por un quebrado decimal. En efecto, sea el entero 4 multiplicado por el c¡nebr.ulo, 0,018 el númet·o 18 es 1000 vece!-; mn~·or que t':;te luego el producto 72 de-! por 18 .;ed 1000 vece=- mayor que el qno se busca y para que sea ig-ual bastani separar á la derecha do 72 11·es c·ifras dcciumle::;, os decir, las mismas que hnlmí. entra lm; dos Ji1ctore::, lo que dará 0,072 para . ol prod neto.

Ocupémonos ya ele la diYision de los quebra¡Jos doeimale". Sean, por eje:.»plo los quebrados 17,0;) y 4,00J. S i ig-ualamo:s con ceros el uúrrtero do ci r·r,ts decimalc:; del di ,·idcnclo y tli ,·isor, estos. no nhonu·[m r tcllchento:O 17,0130 : 4,002: si snprimimo,; lm; comas en esto:; do~> HÚmero:> resultan'tlt los entero:; 170BO y 'WO:Z, cuyo cociente será ig ual nl de los do:; ClHCbnlllm; dados, porque el suprimir en nllm; lns Colllns equi va.lc á dividirlos por 1000.. y cuando dividendtl y d ivisor se d iYiden por tm mismo número el cociente HO altera. L ;t a.proximnciou clel eoeicnte e:; por consig-uiente {t menos <le una unidad elltCnt..

- De aqní r esulta. qttc j)ar:t diviwr dos quebrados decimales basht igualar el ním1ero de ciii·as decimales por meuio ele ceros escritos á la derecha del que te11ga menos, y enseguida dividirlos como si fneseu enteros.

La nproximacion que se obtiene puede no-ser sttficiente; pero vamos á demostrar que se puede aproximar el cociente de dos números enteros á

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'

'

-11 8~

menos de una unidatl decimal <lo ClHtlqnier 6rdcn, y por consig uiente el cocien te de dos fraeciones decim ales puede tamlJien aproximarse á menos de una unidad decimal dada.

Tratemos, por qjco1plo, ele hallar el cociente J e los dos números 3!) y 11 á menos ele una milésima. Si se multiplica, el dividen do 3!) por 1000 y so divide nl producto 39000 por 11, el cociente 3:"¡-J.;) que se obtiene es 1000 Yecos mayor que ei que se l>uscít1 luego pam que salg-a el YGrdnclcro ha!>tn dividirlo por 1000, lo que se consig ue separando [~ su cler echlt tres cifras de cima les, con lo qno se tendni 3,fí.J5. Ahora bien, el cociente do 3!)000 por 11 está comprendido entre el número 3o45 y 35-l.li, .luego el de 3!) por 11 estará comprendido entn~ :1,545 y 3,5'16: por consiguiente 3,546 ser{b el co·ciente {t menos de 0,001 por exceso, y 3,545 á mellOs de 0,001 por defecto.

De esto se deduce que para apmxi mar un cociente entero r~ menos de una unidad dccinml dada basta escribi r á la derecha del clividenrlo t:-tnto:> ceros como cifras dceimales tcng·rt ln. fraccion í1 que :se quiera, aproximar, diviuir este níunero por el tli · visor dado y sepm·ar en el cociente tantas tifras decim_alcs como tenga. la. fraccion ú que se q ni cm aproxunar. · Jc:n la práctic a no se escrihon los C&'!W; {t la derecha del divideudo, :;ino que se efectúa ht diYision hasta obtener ol rcsíduo y dcspues se afi<~­ de á cada re;;ídno un cero, poniéndose la, coma ú b .

•1lerecha del cocien te uutero y escribiendo á su derecha los cocien tes de r; ad<t residu o, ttumentado do un cero, por el divisor.

Sea, por ejemplo, el número 3-!8527 partido

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-119p<'•r 4~G á menos de 0,001. Se dispomu·;.'L la. opcra.f'Í on del modo siguiente: .3!8527 4332 4087

4.">6

799,373

] 630 .3220 1680

372 Se clividir<in los dos n{uner<YS por el método (ordiuario tle la. di vi.sion ha.sta lleg-ar al residuo 163: 1'(' pondní l<t com;t á. l.a det·echa. de la última cifi·a. ~J lmllada ~n el cociente: se escribid á la. dereclw.

•lcl resíduo 16i.l un cero: se cl.it"idir<Í. el número 1630 por el di vi:HW escri hiendo el cociente 3 íi b derel'lt;4 •le· la coma y a¡;f suce.;i\-<l!lHlHte. El !llismo procedimiento ¡mí.<·.ticl) puede a.pli(·ar:<e ;i la, d.i\·ision de clus fraccion{ls 1lecimales á.

1m·no)s tle un>l. nuid.ad decimal da<hL. Sea, por ejem- _ j ;lo !1-l-, 0-I-80J. di vid icl0 por 9, 002 <Í met\OS de 0, 00 l. l ~ t ml;tre.m<'s con ceros ol número de oifras deci,;,nlcs del diviclendn y cli\·isor, esC'.rihiendo {, ht rle· l·ceha. ele !1,002 tlos ec"roH, v dividit'emns los dos núllloro,: 2-l,U--!001 v 9,00:..!00 eomo sí fu~:;eu enteros, (: 11 la forma siguiente:

..

HJ,OJRO l 70--I:WlO 7-~OG1 00

9,00200

:!04:i000

2-J.-+600

Se di\·i<liráu lo:; dos números hast<J hallar el

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-120resíduo 704201, y Clli:1Cg·uida se ponu r,í, la coma <Í. la derecha del cociente entero 3 e~;cribiendo un c:c· ro á la derecha del rc::¡íduo y siguiendo b opnra.ciorr lo mismo que en el caso del cociente do cl11" números enteros, Si despue;; do igualar el número do cifras ,1eciwales de d.iddeudo y divisor y de :<nprimir las Ct)· mas, mental 6 matcrialmcute, resulta nn dividencb entero menor que ~;;l clivii"OI' se e,;ni biri~ cero t>n <:1 cociente, poniendo inmediatamente 1:\, coma, y :<(' considerará el mismo dh·idendo con,1o primer re:síduo, escribiendo un cero ;'~ sn derecha.

Sea., por rj emplo: 0,48 : 3,0 l.! it meno:; t1(: 0,01. Igun.lamlo el núnwro de cifras detim<llc:> ~­ suprimiendo ]n;, COlll<l S resulta n 1üs llos númcrn~ enteros 480 : 3014, de lo:; ewtles e l lli,·ideiHlo 4<.(0 es menor 'que el divi:;or iJOl-1-. Dispnndrcmo;; la operacion dol rnoc'ltl siguiente:

4fl 00

:-:o r.,

1 i ¡\()()

O' 1 •J

2700

~

Se escribiriÍ cero on (:1 cocicnt.c·, poniendo ú. :;u

•

det:echn. 1u comn: on::;og uic1:~ se esc·ri bidt ntt c;ero :í. la derecha del dividen•lo 4SU, y el Húmero c1no resulta 4800 se dividi rú. por ol tlh·i,;or, l'"'~ri b i endn e! cociente 1 á la derecha de la üOnm ,• . a~í ,;1:0csi•;amente.

E l caso g·eneral de la di,·ision ele dn;; fraeciones decima les comprende todos \o;; que ¡nt;.>dcn ocurrir, es dcüir, que ¡llledo n.plicar,;e el mismo procedimiento al cn,:o de di,·idir un entero por nn qut>brndo decimal ó vicc,·ers.l.

En efecto: supongamos en primer lugm· c¡nc

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~ 1 2l-

lmyn. de· di vitli1·se el entero 48 por el qucbraclo 14,27 1Í menos de 0,1 . Igualando con cero,; el nú· mero de cifras ileni n ~;tlt·::;, Y suprimiendo las eoma¡; habní que divldir 4800. pc;r l -~:n, ú cn.•:os núnwms puede a.pli<·ar~e el proc:cdin1iento tle tli,·idi r enteros por aproximacion :'t JIICilOs de O, l.

Rea en :;egundo lu¡:rar el número O,J83 partido por !J. I~uahlndn <.>lnún1HO l1c cifras decimaiE"' y quitando las comas ~e ti<'lll'll los"númern;; enten•s -~83 y !JOO, r.los t:uales tambicn puede aplitar:;c d mismo proccdimi<.'nto.

ARTICU LO 11 1.

'Eie \r,a eiou :\ t'ou.:u <·ht..; y C!SH';H'<' i<Ht <;e

de los quc.·ht·adbs

~·=·: seca

d t:a!huah.~~.

Pm·a dcYar 1111 quclJmdn dt•c·i u:al iÍ 11 11:1 potenc i;t rna!qn¡cm hn>'ht elC'Yar :'t cli\'ha poteH\'ia <·1 . ., 1' ' O•C 1a n mw, o e nt~ ro qiH.' rt:,tn. t;J, f-l lljll'lllllvt:c l l lllJH•r :-¡cpnralldo despuc•s en In. pntvn:.;ia tantn,; cifras dceima le~ como ltll idndc:; ticno cl prod uc·.to de!l índic·e jlOr el número (le cit'nts tl<~cimak:> que tiünc el número propncsto.

En cí"<·<·to: ~;oa por ejenqolo el nún1<.' rn n,04 elt\Yaclo el én bn: si !;O suprin10 b eoma, el número t>l:t.eru 30± q 110 rcrmltn. f;t•r(t 100 YOt'CJs Juayor que el • propuesto, lno~o ltll cuh<• :.!RO!J..J-lüJ seri1 1(}(}1 ,-c(,es lllayor, ó 1000000 do YC.:t'O>' Jlln~·o r, y por t·nn,;iguieute habrá que diYidirh• por l 00l)000 pam e¡ un sen el Yerdndcro, para, lo cnal bastnn't scpar<Jrlé ,;¡•iscifras tlccimalcs, CúU lo e¡ no se teu<lní :?8,0!14464 para el cubo del quebrado decimal dmlo.

Tratemos ya do la.e xtraer ion de la raiz cuadra· da <le los quebrados dccinmlos.

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•

'

--

-1'>'>1~

qtio el n(¡rnero de cifras decim11lcs ¡;¡c;t par: 2? que el número d e cifras decima1es sCrL Ílllpar. l)rimcr caso. -. 'upongamos qne 'se tratfL de extraer la raiz cuadrad;~ del quebra do 1S,2Hl 615: di g-o qne bastar á extrae r la r:1.iz eu:ttlnu la de este número como tii fnesc e utero y sc1mra.L· en el la de dercckt. :'L izcptiercla. In. mit<tcl del númer o de cifrns que tiene la potenc ia . .Eu t'f'erto: al suprim ir la. collla, el númt'ro entero 18:Hii615 que rc.· mlta es 100000 0 ele Yeco.-; ma.Yor que el 1leuima l propuesto: lncgos lt ra,iz (·.unclmchL será 1000 " eces mltyor qne l:t que :;e husC"11 , por c¡ue 1000 es ll~ miz cmHlnH h do 10000 )0, ;.·por oonsig11 icnte h a lmí. 9ue cliYidir dielm. rai7. pm· 1000, lo que :<e consig uesepa rantlo en d ht trC!-\ ci t'nu; tleeiuwlc:;. En la p r Actica no se lmc·c e~to si110 que so <.:xtrne desde ln<>go ht rai7. Ci tael nula Üo la. pnrto Ollf(•ra, ponienclo {t su d e reeha ht eoma, :· lncg·o se sigu<' Hxtra.~·endo la raiz c uatl mda de la parto decimn l eon::;id erada como parte C>Hl<:m dd númer o propuo::;to.

Hay que consi1lemr dos casos:

La opcmr.ion se d i»pone del modo signit:n to: 18,2 73615 22.7 6B3..G

4 0 7 l .:i

6:);1\1

i

~:N

4

2

847 7 85.J...l. ..¡.

- -·- -

. Re C?xtrao l:t nti:.~ ..¡. del <mtf'l'O 18, ponien do ,¡ su J erech:t la com:t: Sé b<ljan Ít la derech a del re-

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-1:23sfdno 2 l<1s dos primeras cifras dccimn1es 2 7, y se continúa la opemcion como ::;i el níuucro fuese entero.

S P.!!t61!do cnso.-Cttantlo l:t frneeion tiene un núme ro impm· de cifras docinutles se rednec esto ca:>o al anterior cscrihicmlo un cero ft sn derecha, lo cnal no In altera, como Ya sabemos.

La teoría de la. miz cuadrada de las fracciones rlecimalel:' nos proporcion;\ el metlio de aproximnr ht miz cuadrada. de un m'unero cnt('ro que no ~;ea enadratlo pedecto ít menos de un:\ unitlad decimal ele un ónlcn dado. I•:n efecto : propon~amos por ~jcmplo extraer la rniz cundracl:t ele 1H7 Íl meuos rle 0,01. Si nn1ltiplícamos 187 p0r 10000 el producto 1870000 :>cr<'t 10000 W'COs ma:'or qne 1 S7, Y la raíz c.uadmda do 1870000 serft 100 vc·c·es ma:rnr que la que se lJilscn; lnog-o par:\ lta('(·rla. ig·nal ;í, ht Yonl:tclera. ltal.Jr{t que dividirla por 10(), lo que se conscgnírít separando el os cift n:> 1lt'cimales. D e aqní resulta. que pan~ a.proximar la ra.i:~. cnadrada.

1lo un núrnero entero 1Í m<\nos clo 11na unidad t]ecim<tlthula, busta escribi r {¡ la dcreelm de die ho número, doble nÚlller o <lo ceros qnc tiene h tlceinml ú que ~;e qniora n¡wnximnr: cxtmer h raí;: c uar1rada. de Cf;te número Ít n iOIWS rlo una unidad ,. :>(·· p:tmrl<t tantm; ei l'rns tlou.i llla lo:; como tiene la 't·rn<'cion ú qne ><n quiel'(' nproxímnr. En la pr:íct.icn nn se escriben .los 1:ero;:, si110 que se cxtme de;;do lu<'go la rai:~. del nÚIIlOro tlado ú lllCno:; de una nnidad: cn1<eg-uida so escribe á s u derecha la nnma, y so ponen á la. dereclm de c·ada reshlno dos cero;: ha:<ta lleg·ar {L la cíü·a del únlcn d<lcima l que nos lu:mo;~ propucsto.

Propongámonos, por ej emplo, hallar la raiz

•

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•

- 124 eun1lradn Jo 3827 ;í, meno:> do 0,01. i!O

•

La óper acion

dispone del modo ·siguiente: 1 6J.SG 38.:?7 l:JJ. 1 1 2:P

1.0130.0 J 21Hi

77GO.O

U-!O.J.

(.i

Se extra e la .n1i11. ruar! rm!n G1 fl¡•l n{mJ (:ro da.c1o y se po110 ú su dcrc dia. la coma . f>c e.5cribcu do;~ la ex¡·eros á la derec ha del. rc•_.;;to JOG •'Y ;:o ~i1rne ..... tnW\:ÍOn de In mi:.~ cwtdrnda ele! m'1m et·o 1OGOO como :;i fue;;o cont. iil mwion del uu tcro I)I"<J[Htesh).

El méto do ele aproxima1·ion C]Ue acab amns de \'xplicm· p:ira la ;·:1iz cuad rnda de los número;;; t·1Ji.•n·m; pn<Jdo nplicar,;o ig-naluHmte Íl lo;; qnehratlm: <lL•t i ma]¡·~. 1>11\:i\to que ln l'<lÍ% <:Un.clrmh <le c><tos :>e ohtit•no lo 1oismo 'l'W la cl11 los núm eros ClltPn>><.

Proponp·;\Hic>nos por tjelllplo halla r Lt nüz cuad mda. dr1 HD,O U).¡.¡¡ ú IliOn os de 0.0000 l. La opcnt<'l<l11 :;o dispond r:í del uwdu ~ígni cnte: 5.475!»0

:;o,o 18430 1087

:JO.l

7

S:)S.-!

9763. 0

S

99460 .0 8-17~0.0

Hl95?SO

Se emp ieza. por poner 1.111 cero {t In. tlcreclut pel núm ero dado para que el núm ero de cifras de-

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- 125cimales sen. par. y se extrae la raíz ruadl'adn por el Jn~tn1lo g cneml esplic:Jdo para In,; frae<:iom·s dccitnales. De este modo lleg:unos :'t ob1cnm· la miz :,,.HS y el re~íd uo !J:.l-16; pem como esta n>iz solo IÍl'nc trt>:; c:ifras decimales y qucrmmo:; aproximarlo basta r·inr·o, se escribirún dos r;c;ros ít la derecha (\ Q ca.d;t resícluo 9946 y se ~;eg-u i ni .!.t opcr,tcio.n, {'01110 si rorma:;e parte de ln, frn ceion propuest;t, tellicndo cuicla.clo de escribir siempre dos ceros á b dcrc0lm de cada residuo hasta obtener en la raiz d ul'nnm·o do cifras decimales pedido.

Los métodos prácticos esplicado:; pnm Lt extmccion de la raiz cun.dr1tda de los q uHbrados decill'lales no pueden aplicarse cuando hi ¡xtrte entera. es cero. En este caso ha y qne procede1· de otra manera. Sea por ejemplo la fraccion 0,01-123, y propongámonos extraer su raiz cuadi'<Hh Si aJiadimos un cero ít h derecha ele esle HÚmero no alterará y tendremos que extra.er la raiz uua.drada del quebrado 0,014230 que ti~ne 1111 número par de eifrn:< dee;imales. Ahora si en C!>te uúmcro suprimimos Jn ('Oma., el entero 14200 que rcsulbt serA 1000000 de YOces mayor; por conf;ignionte su raiz cuadrada serú 1000 vece~> nw .'· "r '1 no la verdadera, do modo que pam obtener e:;t:\ úl tima será preciso separar en aquella tres <'ifra:-; deci111alc:-. que oquiYale á cli\'idir por 1000. Así pue:; operaremos del 1nodo ¡;iguientC': 1.42 . 30

o

1

o, lJ !l :ti 1

4.2 213. 0 (j ~)

------

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....;_126Sc escribil'á el número entero que resulta cle~­ pues de suprimir ht coma: se extmerá sn miz cuadntlb por el método ordi nario de los números euteros, que será 119, y enseguida :;e sep1mu·án do derecha ú izquierda la mita.d del número de cifra.: decimales que tiene la fraccion propuesta.

Nótese <¡\le este mismo método pudo aplicarse tnmbien á los números decimn.l es, que tienen parte eutera y ú ht extraccion d~ rnicos por aproxi-

macion.

CAPITULO IV. (;ouvct·siou de los qne bt·utlos o •·'<liu:u-ios :i dcc inralc s ) ' V Í C CVCI'Sa.

1!:11 las aplicnciones prácticas ocmTC con frecuen<jia tener que convertir una fmc<:.ion ordinaria . a' decr rnrtl y vrceven>a: vn~TtOS por tanto a' tratnr sepama~~mente de estas transfommcione:;.

•

ARTICU LO l.

C onvc t·siou <le u u q ucb•·ado o •·•li u ario :i ·decimal.

L:~-

rccluccion de este problema es un caso particular de otro nms general que ya hemos resuelto, y qne tiene por objeto COnvertit• un quebrado e11 otro de un<\ especie dada. Ya vimo:> en In teoría de los c¡uebrados ordinarios quo pam resolver diclw problema h abrá que multiplicar ol n umerador del • © Biblioteca Nacional de España

•

-12 iqucbru rlo ·propu esto por el denom irmdo r de la rrue · va espec ie á que se tril1'a.b a de convertir, clh·id ir e.;te produ cto por el llenom ilrndo r del qnchm do propu esto, y poner al cocien te por denom inado r el do la nueYa ef! pecie. 'l'ratitndo~e de conve rtir un qnebr ado onl ina· rio •Í decim.d, h\ nuev11. csp<:c ie .><erá la unidn d seguida de ceros: luego pam con vcrtir un quclmulo ordin ario á deci nml baGtn multipli<:ar su Hllmerador por la uuida d seg·ni da de ceros, divid ir est.e produ cto por el de nomin ador y pouer por dcnor nillador al cocie nte la unida d segui da del mi:;mo número de cero::; que ha sido neees ario mladi r al un· merad or p¡wa obtener coricn tc exael·o.

Bn la pdtcti ca basta tli,·idir ol :'lmnenHlor por el denom iHado r, aiiadi endo (ruicamc nto al ¡->rime ro los ceros que sean ncccHario~ para obten nr cocien te exact q. Se1~ por ej emplo la fracci on t\":; y trato· mos de conve rtirla en deeirn al. La opera cion se di:;pone asf: 1.2<5 180 0.144, 550 ' 500 • 000 Se di vide el nume raüor 18 por el donom ina· dor 125 y como el prime ro es meno r que el segun do se escrib irá cero en el cocien to y enseg uida se pt·occ derá del mism o modo que para aprox imar por decim ales un cocie utc entero hasta qu e se obtenga cocien te exact o.

La resoln cion de este probl ema no siemp re es posib le, es decir, qne no siemp re se hallar á cociente exact o y por cons ignicn te una fmcci on decim al

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- 128 ign<ll á h ordi.n aria pmp nesta. '1'1ateHH>s por t<mto de hallar la:> (·ondicioncs necar<\ria,s ~· ~:nfic i enfc:; p;mt que nna fmcc ion orclinarill. pnecla CO !I vertirile exactame nte t\1\ uecim al. Para e:;to rcmontémontl>; al wocedimie11to empleado, y !;Ca por ejem plo la mism a fmcl·ion t'z"s: para. conv ertirla en la especie Tu~·;:;¡¡ haln·it C]_(!C tmns form arln. en tiXltCÍ fLlllHl ltCl

t::i ta:

18X100QQ .. ... . : 125 1000 0 . ... . .

Y pnm qne e~ta fr,:teci<lll pueda. expl'CMtrs:J ex;~ctamentc en decimal e;; nccm:ario y sufic iente C[H\: el eoci:} llte iuclicrtdo Hll d n:tmera(lor seac xncto, lo qne exige que 1RX1 0000 .... . . sea divis ible por 125 y por consig-uiente que 125 no tf,mg•l. OH'l:> íitetoros primos que los que pued en entra r en la n nidad seglt irla de ecros ó q uo :si t iene ot;;os estos entre n en J 8; pero como h u nid,,,r! f'Cgn ida de ce-. ro:; 110 conti ene ma:; factm·e;; prim os que 2 y 5, se· l';Í. ncce!:mrio que 125 H0 etP'lt-Jng-n mas factore;; prilll OS que 2 y :), y r;i conti euu otros q uo entt·en en 18. L aego para que una. fntc·cion onli:1aria pued a tOll\'Crtir:;c cxacümc~ate en dceimal es necc,;;\rio y wfi('.iente qno tm denominador no conteng-a. ma;; fu.c;t·1l'Cs primo)i que 2 y fl, y si cont iene oti·os qtte es· tos <.mtrcn t:unbien en su Hllmcra~or. En el ejemp lo que hemos puesto la fnt<·;,ion t.J~\ lu1 podi do con,·ort.i n;c CX<H.:trmteHte en llc('.i mal por q no su den o· mina dor 125 es ig-ual :. ü3 y por· co:l:;ifruientc no <·ontiene ning nn 1i1C'tor difl'n 'nle de 2 y 5.

CuaH do tma fmcc iün ort! i naria pncd a coll\·er1irse cxact<tme nte en decimal el núm ero de cifras alnu t .,·ot· de ios expo nente s de decimales es i<rual o

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-12 9los factores 2 ó G qnc entra u en su denom inado r.

Sea por ejemplo la fraccion 2h en la cual el d(lno minndor 250 puede descomponerse en el produc~o de Jos factores prim os 2 .1? digo qno con vertida en decim al tenddt necesariamente tres cifras.

En efe<·to: por c·:1da cero que ~e escribe {¡ la deroch::t do su mm1 crado r ~e introduce nn faeto r 2 y nn factor 5 que so rumln. con otro f;tcto r 2 y otro ¡:j del denominador, luego pnrn. llega r fl ohteJ1cr cocieute exacto hay que escribir {t h derecha del nu. merador tantos coros como un idades t·e11.,!.ta el mayor expo nent e de los fi1ctorcs 2 6 [) de sn dcnomiHador, y como por cada cero que se ('scribe so ohtiene una cifra. decimal, la frnc-tion t:f'nd J•{¡ tantrt!; cifras como .unidades el mayor <le lo:; exponCJltcs do los factores 2 ó 5 del denom!nador de la pmpu~sta, que era. lo qne qucríamo,: demo strar. Si el drnominndor de un quebrado onl!nnrio cnnticne ütctore~ primos dif~ rcntes

'

del 2 y del 5 que 110 entre n en su nllm erador, no podr á COJWCrtir:>c cxr.ctameutc en dcclmaJ, y por con siguiente l:t di.-ision scrft indcfinidil, ó lo que es lo mismo, no ha.hrft Jli ngmm fmcc io11 clecimal que puctht expres;w exaclamelltC h propuesta.

Eu Pstc caso digo que !.1 frac·cion decimal srrá nc('.Csariameute peri,;dicrr, es dedr , que :>U;; cifrn s so reproducir án neccsarüu HCHtc por periodos.

Sea por ejemplo el yuebrado ;~,en yo deno minado r no conti ene ning nn factor 2 ni 5, y el lilcl or primo 7 que corftiCJlC no cntrn. en sn nnmorador: ,·oy á demostrar que r;i se convierte <·n <lecimnl al coabo de tanta s diYisiones parciales como nHitltult!s tiene el denomino,dor menos una, es decir, al (·<1 ho ele 6 oper aéion es (, lo mas, debe dm reproducirse la:; cifras dccim:tles en fvnnn periódica.

·il

'

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:::o ::l C} €;~)! .t.r)l ;

:

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10' 0Qi 20'............. - . ............ st:Í5< 1 -p0r con:;i;;r~ientc :;olO' podn).i f1a:bcr G rcátluo~ ui.fe:icntcs:· ] t'l(;.gá ú lo nY<l iJ' al. cruDO' & et>ii!' . di~t<;i oMif' 1icne- c¡ne sülil' nno e~ Tos residuo~ a.·h:t.el'iores com<t

ET ma,yor :res(~hw· q m: puede- saÜt• es:

- •lOn es· 11a ··H:T suc-ccr·uJ';o·,· F.~.;liC:; lt.t·• Gll:ul. O a~e- m,n• s t ¡·1vli)

~a.-·

lidO' clt'c'1Í!hto 3, y com o a.iwrié'n<Iole uil' cem re· d:ividirl<)< :~ni]·ij¡¡; et prJmcl>"' di-vicTenclo p.onú«l 30', ni• ; <!1'10 cm . fJOf 7 vol-rci'ÍL (t <!ar b mi-sJMtJ cífí·n 4- con ,. ., to el e· 'li por 1 l · ' 1· I .t. · ~tte pro~ e no em !>C?:v IX e .""~:;Ion y · 't O '>. , · • ¡m.ltlo l'CS lClll .•>'· r1<'Y ó.J"O YO'1\'l~n•~ ¡~' t1ar Ct1' geg ' · 1.ú"< 1'CSÜ ;<: e:;te' ~bguitlo G.e un c-erO' SCI'Í& iguhl al scg :nn d., )a¡ se-g:tm· ENv id~,i1'U<>' p<weí~•l , ,·ob/cr á {ij rep-Ji'octncír.-;.c ffa cití·a ckd mal il, y así snccsi ,·a.m~nte~ ~ mndn· ..,;(¡'uo l:i fráeei rm s'c compomh;'~ ele pcrirxlos de df'r a r~­ ~-l'Hatos ai pr~mei·o que es 4-:l~i)-7 ]; y p(•Úr~í: r:\lJ ¡;afse a:;f: ns-::Ji~ 14".... c'i" a:; ~i 1 _. •• ., (]',L~:..,

J~n eT €~<!'o' pro.i;;ente· el r~r iocia se T1~ rep rod n:dcl o c,ll>:;de ];~ pr~n"Cm 1-ifn< dec ima l, per o estO' no> sueeclc,·(L &i<Ympr e y ha:f>1'á cnsn:¡ en que s~ rep r•.>·· lluc irú d~dC' ott·n dfn t ~uaTquicra. Sea por ejc mp lv

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-131 h fraccio n ,1-, y apliqu emos á e1lá el proced imien• to gcncnu: 75

700

o Ollo3

250 250

'

.

2·U - ... - .. - - • ~

en donde vemos que la cifra. que se reprod uce es la tercera ó sea 3. . Para clist.inguir unas fraccio nes periód icas de otras so llaman pums cuando el period o se r eproduce desde la primera cifra, y mixtas cun.ndo se reproduce desde otra cifra cualq uiera. E rl las fracciones 11eri6dicas mixtas se llama pm·te inéj)ular al conjunto de las cifrlls que no se reprod ucen y pOJrte periódica a.l conj unto de lus que se reprod ucen periód icamen te: así en la ti·accion a nterior 09 es b parte irregul m· y 3 el i)eriodo.

Rc:;umiendo e~ta teoría r esulta: 1'? que una traccion ordina ria puede siempre expresarse bajo b forma decimal, emplennüo el mí.smo proced imiento para su cortvers:on: 2? que salen tre:; clases de fraccion de<.:iJila l, :í. saber: exacta, periód ica p um ó periód ica mixt~t: 3~ que para c¡ue una fraccion ord~uari<t pueda convertirse f'Xactamente en. deóm.al es necesa rio y suficiente c¡úe sü denominador no con tenga otros fMtoi'es. prim.os disti 11 tos del 2 y del 5, ó que si contien e otros, estos enl:ren tamh ien ctl s u umueóHlor: 4? que el n{miet'O de rifras cle'cimalcs de la frac·.cion exada es igual al tuáyor de lo~ exponentes tlc los factot'es 2 6 5 del denominador de la onliH;\.ria de q ue proc~d e: 5\1 q ue el pe:.iodo tle ln. f raccion periócÍ ica, ·ptira ó rrrixta, consta ó lo mas de tantas ci.tras corno unidad es menos

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•

-1 32 una tiene el denominador do la. ordinaria do .que

1m~ede.

AR TI CU LO 11. c;on vc•·shm de n nu fl•a cci on •

.:cci•n;~J

á oa·d inf \rja .

Sea la fraccion exactr. 0,437 y tratemos de

hallar la ordinaria de que procec.le. Par a esto observemos que si la multiplicamos y dividimos por 1 000 no alterar á y tendremos: 0,4 :!7 x 1ooo pero coJOOO mo parn. efectuar el proclucto indicado en el numerador bastn. suprimir h coma, tendremos <Jue: 0,437=

437

1000

luego par a conver tir una fr11.ccion decim~ l exacta en ordinaria basta tomar por numerador las cifras (loclmn.lcs como si fuesen enteras, y ponerle por denominador la uni dad segui<ln de tantos ceros c;omo cifrns decimales ten ga Ja propuesta.

Consideremos aho ra h~ ii·accíon periód ica ptwa. :

,

0,432432432 . - ..

Si corremos ht coma tres lugnres á la dercdm la fraccion 432,432432- .. - . , :· SOJ•(L 1000 YCCe:> ma yor que la propuesta últimn hL J)Ot· consiguie nte si rest'l.mos de esta J)l'imeraresulturftotra. qnc será 9!.l YCCe.'> mnyor que • h\ pt opuesta¡ pero como la difercncin -!32,432432- .. --0,432.J.32~32- -- -

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'

-1 33es exa cta me nte igu al{¡ 432 ent eros, resulta: que la propuesta ser á igu al ,\ .H..t

?9V

luego: pam con ver tir una fr:.tccion p erió~li ca pnr a eu orclinaria se esc rib e el periodo como Sl fuese entero, pon iéndol o por den om inador tau tos ceros como cifras ten ga dicho pC'riodo.

Sea por últi mo la frnccion periódica, mixta: 0,2 735135135 1. --- --

\

en la que 2 7 e:; la parte irre gul ar y 351 el periodo y trat em os de hal lnr la onl inaria do qne pro ced e.

Si cor remos sucesiva1Hent e la coma cinco y dos lugar es háe ia la der ech a, res ulta rán las dos fracciones:

27 351 ,35:t.35 l35 L .. . . 27,35 l 35135L . . . las cua les · ser úu r esp ect inl me ntc 100 000 y 100 vec es ma yor es c¡ue In. pro pue s!a; y por con siguie nte ::;i restamos Ull< t de otrn, la diferencia ser á 99900 veces ma yor que la pro pue sta, per o la diferen cia es exa ctame nte la que exi:;tc ent re lüs dos par tes ent era s, y por consig·ttie nte scrú: 273 51 --27 y la pro puesta equ iva ldrá á 27351- 27 99900 lue go par a con ver tir un:t fra ccion decima l per iód i· ca mix ta en o1·dinaria se escrib e la_pnrte irre gul ar seg uid a del 'perioclo como si fuese ent era , se res ta de esto la. par te ineg-ular, consiUcrada tambien co-

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~134-

entera, y so pone por rlenomin:"tdor un n{tmero c-ompuesto de tnntos 9 corno cifrns tiene el pe1·iodo, seguido de tantos ceros como cifras tiene la pmie .irregt Lhtr.

J<:xnminemos ahom h~·~ r.ondiciones á que l 11l. de sntisfacor la fraccion onliunria. gc~a'rntri 7. para producit· decimal exacta, periudica pura 6 periód ica. mixta.

Sea la fracciol} decimal exacta ]1)0

0,432

la ordinaria ele á la forma

flUC

procede debo poderse reducir J !1 z 1000

Aunq ue se simplifique esta frnccion 1<iemp re conservará sn deuom inado r f\.lgtm factor prim o 2 (. f>, vor qne estos son los \micos que cntl'im on la tmida d seguida de ceros y no puede n anula rse todos con los que entren en el nnmerador, por (j ue e:>te os mepor (}tte el c1e11ominador. Por el contrario, a.ull que so c.omp liqno la fracrion , pnm qno sen c·quh· ttlente deber án multiplicarse sus dos ténn iuos por nn mi:;m o número; y por tanto cualquiE-r Jitctm· primo distint.o del 2 y del fj qnc f;C\ intl'odm~cn en c-1 denominador cntraní cJc,·aclo á la misma potencia en el munc rador: lnog-o la fra<'cion ordinaria l'qniq tlente á 1tna. clecimnl cxsct a 110 podrú colltener on su denom inaJo r mas factores primo;; q ne 2 6 5, 6 si contiene otros dcuerán taml>ien entrar en su nnmenulor.

Sea ahora h1. fraccion periódica pura 0,135135135 . .•.. • \

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-1 1,5~--:-7"

la. -0réMnm:¡:'l. de ~e ;pro.eEJll.e 4eberit ;pollcl.!tl ; 1'e(l u.-e.ir á h forma:: ·· '" Atll ll.J)lllle .::;e ¡J!¡Í mp1ifiqM .c~ht f!:,;¡c(~ior¡, <~>u ·tle-

.tn o miinad.Gl· n0 p~nl- <:Olf'l:tcner mingrun 1iw tor 2 ~l i 5., :g >or qllie tm nú~~~ero C.<iJt,mpuc:-;:te de .9 i!'~ .pue4e ad" ll i ti r ~;erlll e¡· <1 n.1:.w..; factores: taf.líltJ O(·~) 3·> 1'lflri'ill 1lle:¡ann. , T' • t~·flcm· todos ios fact-Qre¡; prim0s c'tik-'l:0 l)túS .d.cl 2 ·y <{!el :5 ·gHe (:-0HÍCllg".<t ;d .dontm~ in ndor, por .que ;e;te 4,::-; ~nay0r <;¡t~H e l :J,nuncl~:l.dnr. f>¡¡¡¡· d (){;Hr'o l~r i-o, ;~tul.'!, ot¡ue ·IJC -eompii(p,!;.e !!a f¡:;M:(·,irm., pan~ -gue -sea !equi va.L 3~.:-:~lte\eG ptteeí~o ·t¡lRe ~e t&Ut~ulpU'{\~0·!') ~~s-:&c.~ t0rr.nh.. ] 10!) porg;na !l'ni;;liiíin 11.Ú.1nero y pni'«'OHr;ip_.><:t i eut erenal• ¡;~~ ÍBl' fiH:!m· 2 6 !>.q¡ n e &...! iHtrn!.i H:,.ea ,l('J 1el<leli-Qm iiWr t lcrr ,c¡,¡ fl:a dt tnm~J¡·(,ll ¡en ~..J n-u mrmdm·: hwg'<l J>at:~ &.

«¡tte .u,na. f¡~aei'Íú!1 ~mq!.ltt :c<.m¡H·t .ti r:-;<-~ .(~11 po.riódie:-?. ~ Hrnt titO f1 t•lwní. ,(·.o~.ltm te>.r t -denmn ÍtLado r :n in!:?.·U:J1l

"!

~

t'actm· :2 ;Híi ;; ¡; ;.<i <Co~rtk'llw ~~ lg:u: ~J

*"'-' l;:t1Jd~ 1de :Cntl<l¡.1'

-:;n ,mt~IJ0l??~~~c . .;)ea J:H2l' ü lf-inw 1!). fnteei o~~ p;J r'iv<l~a. z:tú ?=ta..

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DBiilG·O Ann qne

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-<~onteH'li. ro t :$ tU1Hp.r e (l!&t~!D. i~tet.nr :- ,o

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nam !)'ti. h•:g.c~;; r<~u lelo<~ dél nut' . (· " e ;;,rnqls:;<:n . ~ll l'l!fl~m; serht · prcei:síJ -q·u e .tJ:<te ·ten'\1-Íltase en <l<'S ' we n0 rm~!tE\ s(!r, pn;::> p?:.ra e~ •SC!'.\'11. ne~ ~::(·ros, ~O < <·(Nli'Ío q tté 1m; !lo..: úhiu~a~ ~i?'r;t:> <'iel pm:iodo ·5:1 f.r¡#;en ~.!fW.~=> .9- ~a _pa.J;p ) 1:rt~'l1\J.r; lo )tiliJ l.W p ~1.e-

'''ll' ) ~

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~

.

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'

-136cle sor, porque entonces la fxaccion no se,;a, peri6dic.'1. mixta sino periódic.-t pura: tampoco pueden desaparecer todos los factores cli.;tintos dol 2 y del 5 quo contongn el denominado¡· por que este es mayor que el numerador: luego para quo unn. fracclon pueda convertirse en periódica mixta. deberá c<:ntener su denominador úwtorcs primo¡:; 2 6 5 y aclemas ot1·or; diferentes que no se anulen con los del l:l umora do r.

Do cst:1 teorf<t resulta. que prrra saber la clase el e fn,cc ioH decimal que producirú una fraccion ordinari t~ dad:~ sor{~ pre<.;i;;o convertirla en irred ucti·· hle y enseguida examinar lo:; factores primos que contiono su denominítclor. Si son solo 2 6 5 ser;Í. decimal exacta: si no contiene ningun fitctor 2 ni 5 scdt pcri6clica pura;· y si contie11o factores 2 o 5 y otros cualesquiera será pcri6dic.1. mixta.

Sea por ejemplo la fraccion ·L~~ : convirtiéndoln. en irreductible tendr emos: 1'4h y como H0=7 .

5. 22 la. fmccion propuesta couvcrtidn en decimal tln.rá lll l fl, pcriótlica mixta. '.l'otht fraccion cuyo denominatlor term ine en una ele l a;~ cifras 1, o, 7, !) convertiLb en decimal dad pcriódiM pHm, por que un número de esta clase no es divisible por 2 ni por 5 y por con:>iguiente no puede contener ninguno de estos dos factores p1i mos.

Escor,ro.-En la com·et-sion de las f1-acciones o;·dinarias á decimales y YicCYCJ"sa, hemos supuesto !!>icmprc qut• eran propias, 6 menores que la uniuad, pudiendo sin embargo Iirosentnrsc el caso de teuer c¡He coHvcrt.ir fracciones impropias 6 mayoI'es que h unidad; pero por eso son aplicables los 1ni::~ mo:;; procedimientos, pue¡; ba:o,ta sepan:.u: h par•

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•

- 137te entera do ht fraccion y convertir' la u·accionaria menor r¡ue la unidad por los métodos expuestos, rtnadiéndole despues de convertida dicha parte entenl.. Asf, por ejemplo, si se quiero convertir en deGÍmal el quebrado '•'•r ba:;tnrá. sacar la parte cni!cn1, lo qne dá ll} =1 + H~: convirtiendo ahora g en decimal se tendrá ~ ~=0 ,53 0120·!.

o

o

y por consiguiente

o

o-

.

Vf =l,'>30120<.L _...

o

Sea por el contario In. fraccion perióclicll. pura: 3,292!129 convi.rticmlo en orclinaria la fruccion 0,292929 tendremos ~- ;:-y por consiguiente o

o

o

o

o

o

o

o

'>9"9::>9 ---- · · -- ' H O,-.::::l 'i

do donde se deduce que s,~92929

o

o

o

_

o

o

=3+H=~., ~o.

LIBRO III. ll)c i OS n úmCl'OS CfHlCJ'CI.OS.

•

Hasta ahora hemos prcscindi!lo de la especie ñ, que pertenecen los números, es clecir, qno los hemos considerado en abstracto; pero en reqlidad no es así pue::; no hay número alguno que no represente objeto de una especie determinad:1, y en la práctica todos los números que tonemos quemanejar son 'Concretos. Vamos pues á completar el estudio de la Aritmética ocnpándouos del cálculo de }l)s números concretos; pero antes ele todo es preciso dar á conocer )a¡; di vorsns unidades ue medida que los hombre:; han adoptado pflr(l.loa

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-138li~OS <le ln. mjsnw, " nor c:;o divi<li1·emos este libro <·ll tres capítuloti, uno que <;l)mpren derá la exposi<:ion de los sistemas <le pc:-;o:; y nJ o<li<la:-; usnnJe¡;: otro el cálculo cl1~ los nÚtHern!' COl ltrCto;:, y <)tro los diferentes problem as qnc ocnrnm c11 el comercio.

-

L

CAPITCLO l .

Todas las Ilaciones,.,,. h::11 , -i:-;t.o nrecis:1<1as á ' los dindoptar an sistem;t para. e.h:siíicar y mC!dir h·reutcs oiJjct()s de sn <·omcr<·io ·y de su in<lu~tria, :~sí es <¡HC cada nua ha ad<~ptm.lo ei ><uyo. :· :<i bic•ll .•c·ria de dc::;l'ar la complc1·a uuifo¡·mi-b•l ,¡,, to<!as las pe~a,; y lHc<liJa,._, por do,;g-mti :t e:-; tal t;tl ~·arie .· <lad que no lmstnria tlll YolumitJOS<l tnlh:tln pHt';l <·:-¡. pro1wr los difcn'nt es sistcuw:>. Por c:<o uos limil:u·cmos <t dm· [t con(lt;Cr <:1 si,.;t('ma 1<'J!<11 eh• ]N· >'o:< y medidas de E;:paiia y clmJt1 im cl·eilllal, qtw t•s el mas ratio1ml y el cpte m:1::; tic·ulll'n ;Í adoptar todos los paisus.

AHTI CULO l.

L<H; unidadt•;; ele nac·;:;tro t<i:-;tmnn. S J tlnsificm~ .1lel modo s i ~ni<•tltO: unid,ul/ iueal, de Sii}JI'J:ficil:, d e -cotúm.en 6 c:apaddad, uo Jlt>so y tle mmw(la. . I.a. unidad lineal<'" d ¡;il:: ~u;; wídtiplo s ~on la eara v la lrgua; la. Y;U";l tit:lll' tn::< Jltl;,_ Y la lcn·ua e .

20000: ;:;u,; di\·i:-;orc s son la 111!/.r¡acln Y la lí11M, d pi~ tiene 12 pul~.t·a.das y In pn!snda ·12 líneas. Ltl , ·:¡ra, el pié y todo:; ,;u:; divi,;vr.c:; J-;vu las m c tlid:i~ •

J

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-1 39u.;na.l es del comercio y la indust.ri<t: la legua es · la me.di(b itincrar:a. de Españ;l.. Las l'C'lacionc::; entre t.•)(hs e"tns medidas están expresadas en el :;igtticnte cuadro: •

L <gua.

~ ~-(l>'O.

1

¡:

i

1

!!0000

~

:3

1----·~..:·----

(>666

'

2~:0000 1

3()

1

l'il.

1Pulf!?dn . ]~ 1 1 f l

Una<.

«~!2.<!-.~..1. . ~.:~:.._l._l._~-.:Lm-.,~·:_____ 1 La rmidnc1 eh: supcrf,cic es b vara cuadroda.

Y ara. cuaclradr. es unn 11gma de la forn 1n A .

- ------~

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IJ:I1C tiene u m\ Ynrn de loHg-itud pM cnr1a h1do y que ~?n ¡xe.onwtrí:t !'H llama cuailrwlo. Loi; múltiplos de la Ynra cuadl'H da Ron el estadrd el alr:min Y la jemer;n de tierra: el est.ndal· es un cuadrado "<1ne ticno cuatro varas de lado ó 1G varns ewldrada>< de superlic.ie: el celemín tiene t48 e;;tmlalcs y la. fn.nega, ,12 celemines. Los divisoi·es <le la Yara cuadrada son

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•

-140clpié cua<lrado y In. puloada cuadrada: el pié cuadhdo es un cuadrn.do que tiene de lado un pié, y la pulgada. curu:lrada. otro qne tiene do lado una pulgada. Las diferentes rchtciones entre estas medidas están expresadas en el siguiente cuadro. ~ Fon1ga.

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La vam cuadracl<'l. y s us divisores se usan en el comercio y b i11dustrin, pnm la medicion de ~u ­ pe-dicies: lít fanep;a el cdcmin y el estada! solo se u::Htn como medidas aorcwias.

Lns unidade¡; de volúmen 6 de capacidad, se dividen; en t.rCi:i clases: de capacidad para los sólidos, pan\ los lír¡uidos y para los gases.

La unidad do capacidad para los·sólidos 6 áridos es ht j"a11e.r;a, h ClHtl sirvo para. medir los cereales, y otros frutos: la. de capacidad para líquidos es la cá1ttam; y la do ca pací dad p:u·a los gases el pié cúbico.

L a fnne!ro tiene un solo múltiplo, que es el calü7.j dos divisiones que son el celemi1~ y el cuar-

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1

-141-

ti/Lo. El calú<'- tiene 12 fanegas: la fane¡,~ 12 celémines y el celemín 4 cuartillos.

La cántara no tiene ningun múltiplo, pero tiene tres di ,·isores que son la azumbre, el cuartillo y ln copa. La chutara tiene 8 azumbres, la azumbre 4 cumti llos y el cuartillo 4 copas.

El pié cúbico solo admite un múltiplo y un divisor, que son: la vam C?íbica y h1Jtdgada cúbica Ln. vara cúbica tiene 27 piés cúLico::; y el p iécúl¡ioo .

1728 pulgadas cúbicas.

Bn Jos cuadl"os signicntes ost{m oxpres:1.da'r toda,;; las relaciones ele la:; tres medidas do capacidad.

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Todos los ;hielos se miden con la fanega, sus múltiplos .'í divisores, escepto los mntcria.les de constrnccion CJ.UO Se miden por Víll"iiS .Y pié::; CÚbicos. rro do~ l o~ Hquidos so miden con la c.:'mtam y !ius di-

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.....:..1.1,2-

•

•

'r1~ores excepto

•

el :lee•te q ue se m ido por a rrobas: c.,_u;L a rroba tiene 25 libras y t:Hl:L Iibm 4 panillas.

La unidad de peso es hL libra. Tiene tres mú 'tiplos que son la attoba, el quintal y h tom:llu.la da tJcso; y tres diYi:;orcs que son: la on=a, el adarme y <:1 .t}l'mto. Ln ari'Oha tiene 2:) liu m~, el quintal4 arroh:ts, y l;t tonelada 20 quintales. L a libra t iene J 6 vnllas, l;L onza 1Gadarmes y el ácbrmc 36 grano~.

Exh ten aclemas otras divisiones de la libra pero solo se usa.n en l:L farmaci<L. E n el sig nientc cuadro están expresadas las diversas relaciones de estas unidades. '

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L a toneiadn solo se usa para. los aforos de l:t m ari na, las doma::~ son todas usuales e n el comercio y la industria.

La unidad de moneda es el c.~cudo de pl<úa: tiene un múltiplo de plata que es ol duro ó pL~o ,lilcrte y sei:; de oto, que :>on: el durillo, el dobloncle cí rlos, el doUon ele cZ cuatro1 el ccntln, la media on.zr.t y la

. onza.

El duro ó pe:;o fuerte tiene dos CS\:mlos, lo mis-

mo que el dnrillo: el doblon de ú clo:> tien e dos pesos ó cuatro escudos, el de á

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Cttat:·o tiene ctiat.r u

- 148pesos {, ocho escudos, el Mlllin e!nco pe.sos ó diez e--scudos, la. m edia onza odw pe;;ns ó die:r. y sci:i e:scudo:~, y la onza. diez y seis pc:;o,¡ 6 treinta y dos eiicu<.los.

L115 cli,·i:;i0nes del escudo son la pe.~eta fuerte ó medió escudo, el ,·cal }iterfe (, CMrlo de escudo, el tuedio jiw,·te vcentavo de cstudo, el 1·eal de vr:tlon 6 1ltfchno dé esctuJo, y la media pe~;ata sencilla, que consta de dos ,·eales vellon ó r1os tlécimos de osmulo. 'l'ouas e:;tas rhonedas son de platil.. 'l'icne :tclemas el escudo di ,-¡~.ores ue cobre r existen tambien en circulacion n1ras moueuas de c·obrc que no guardan rela.cion r on él; pero est.lL mundado por el Gobier~10 ~· usada e11 las dependencias d<:l E:;tado la cli1·is•on del escudo en milé:<ima¡,;, que aun cuando eB ruonctb in1ag inaria Ül.Cilita mucho l:1:; operaciones. Eu los sig uientes cuadros est{m expresadas todas bs tlloncdas qne e xiiiten en circubcion en los dominios de l~!:ipafia:

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© Biblioteca Nacional de España

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© Biblioteca Nacional de España

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A R T IC U L O 11.

Sl stc na a u oéu ·ic o d e cim al.

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L n di versidad de siste mas }'·la poca un iformida d en tre las di fe re nt es medidas ele un mi sm o si,; te m,t hiz o pensar on F ra nc ia {¡ fi ne s de l sado en la adopcion do uno que partien sig lo p;~­ do de 1111a ha ~;c iija es tuviese adema;; snj et~) ft la tlí,·ision decim ~tl qn e ta nt as veHtnj:ts propor ciona pant el cM Al efecto se atloptó <·omo uu idad fundam cu lo. entn.l del si:;tema la diez lllílloné:;~ma pa rte del cuarto de l m or kli nn o te rre str e qu e pasa po r Pa relona, la. cual se te>m6 como unidad linrís )· B:u·eal y se ] Q di.) el no mb ro de mef,·o, J><1labnt qu e significa mc.'di d(¡, pa ra indicarc¡ue es el pa tron tle todas las dom as un ida clo s dd si: ;te ma.

1>el metro se formaron cnatro múltiplo :; de clícz en di<'z ve ce s m ay"ro s, cu yo s JJo rnbrcs s0 co mpu::i~ron anteponie1.do {t la pa lab ra me tro las YO C,~s gneg-as.

J)eca,

Jieclo,

1u-·,.o,

<¡ ue sig-11i fica n. r0s pe<.:ti \'Hmcll hl:

JJic.r, Cien, }lf il, DicJJ mil. do manera que t iH denín•t•L ro es tmn co leccion de tli~:z me tro s: nn heclómet,·o u na de diez dcc{nn ctro:;

e'. de de n metros: un kilóm etro Ul llt a~ diez hoctúlfl efTt~~ 6 ciu n d ec{nu et nl:;, ó mil me tro ricímrt¡·o, mm de d·i·,~:t. l<ilúmctros, 6 cies, y un mi11 Ítc ct6 me t ro;;, ó mil dccúmetros, ó Ji ~:z 111 il metros.

De la mi~um ma ne ra, de l wc tro se formaron tr<:~ t1iYi:;o :·cs de diez en diez YC<:c:; m en ores, <u y JS

10 © Biblioteca Nacional de España

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- 1.4G'j!dmure:r se c·oulpnsieron antcponiC'Tldo á h1 palaTml.' me tro las ,·oecs latina5. .Mili.

Cenli, lJeci, que signi[ican resp cctÍv;Late ntc: JliftJsima. ('rnti~illla, lJécima. de modo que un drl'i mdm e·,; b dú·in:~ parlt ' eh n, parte de un denn metro; 1111 cenit ll !'lro la ell-('[m . l Htl metro; ·~; Hn mt. , tro, u'1 a eeutt,:,;;ma p;trtc <e e;nuc limetm ] ;t d~cima parte de un <·Bn!Ímctn', <'> la to:>atúsi:.na c1e un t1ccim ctro1 l't h milú im:l de un metro.

Esta, cla5i fie:wio11 ll(l ht Huitlad linl'.;Ü pcl'ln it,.; cx¡m~sar todas Ja:-; lorigihule:; c.:n metr os y frn<"cion deci mal ele mctn"'. t> sr se c¡ni..:n.J en cualq nit•m tlc Jo, múlt.iplo:; del mctm y fra ceioa <lecim al (le t-l.

Parn esto lmsb t pone r {: la dere cha ele la un idnrl tn·int ipal y e11 form a de <:xponcnte la i:Jicial <le su nomb~·e, ún segn itb la c:mn:\ :·lueg o:-;¡¡ ,; di,·i-sorcs, o<'.np:'.ndo ol Jugar c¡ue les <:n1Tes;w11rb. SnpoHg-amo.~ por cjePllllO c¡nc se 1Tata 1le rxpr e:-;:u· n na loagit:!!l compne,;ta ele í lcilómotrn;:, li 1kc:ímetro~. !l m e tTos y 1 -~ c·tlltÍ mQtr vs: cs<Tibiremos 1lcsclt: luego •¡k f¡uc ropn:~e!ttar:'~ Jos 7 kilóm etros: !'omo () ¡Jeeá J~1etros es lo mism o que (i CP;dé.~;,¡,tt' de kil<',mctro, !) m(~t ro:o lo mismo que· 9 mil¡_;;;ima<; de J,ilc'mte>t t·o, :-· 14 cé ntlm Otl't) :< lo ntism n CJllCl 1 11 ci enn~ ilú<i­ mas de kilóm etro toda la loHgitud po.h·:~ exprc;;arsc por el HÚmero 71t, 01)~114.

L:~ unidnrl ele su perfi c:ie en este s::<tema e;:; d área.

Un área e:; Ull r:undraclo qno tie1~ c 10 tl'eí ros Jin.;a lc:: de lado <'• J 00 metros C'Haclrarlos dt• s¡f¡:cl'ficic.

Los múltiplos~- di,·i,;ot·o-; dd {n·t·a !'e f:ma an el e un modo a ná!og •) á ]og <le! mctr(¡, nntop o:1icn do ft b palab ra {u·ca. lH:s voces griC';;.:.~ dccn . hecto, k ilo y miria, p~ra lo:; primeros y las YOCC3 iatiw<S

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- 1:1-7rieel. centi y miii pnr:L los s<>gundos, J1NO entre los múlt iplos !'olo so usa l:l hcrtárra y entl'e los dh·is on·~ In rentiárc(l. 6 metro c;wdrailo. · L a nnidrtfl de volú m ~m 6 capacidrtd sB di 1·ide c•JJ clos clases: de cap:t cidad parn los sólidos y gases y de capacid,td para los líquidos.

La unida d de r·npa cidad pnra los g-ase s es el f;térco ó mdro cúbit:o. E l f'!.érco rR un cajon (tu

form a idént ica {~ la de un dAdo, que <'11 geom etría se llam a cubo, Y cuYos hord:>s tie:no1 1 todo s un me1:ro de long itud. 2\n se usa. ning ¡:no do los m últip!os de] Sf('I'CO y ~f SOl O SUS diYiS Ol'CS <'¡UC son el riccímciro, r('nfímefro y el milím etro cúiiro s; poro dehemos adve rtir qu e el decím etro cúl>ico no es la dtcima p:utc de un llletro cübiC'o si no un cul>o que ti<'nO por lado un decím etro: que el centí metr o c úhico tampoco es la cent~sima pm'tc c1e un metr o · c úbieo ~lino un cubo c¡;w tiene por lado 1m centí Jll('lT O cú hico; y que un m ilíme tro cúbico tamp oco O!-l ln. milé sima pmte de un metr o cúbic o sino un cuho que tiene por lado un milím etro cül>i co. Parr. dh;tin guir b ien ,la clifer<>ncia qnc cxistc entre amb:1s co¡;ns conc ibam os el metr o cúbic o sigui ente: "

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--:-148..,.,.

G. ~notro de longitncl; si se <;lividen dos de ellos A y G F, por ejemplo, en diez par tes igua,les, cad ;~ una de estas partes ten drá un decímetro y el me t ro cuadrn.do G E D F quedar{¡ divicl!do en 100 decímetros cuailmdos: si por los puntos de division t iramos planos, el metro Cl'tbico se di,·idirá en porciones ig·uales y se tendrá.11 diez trozos q nc end <1 uno con ten drá 100 de(}ímetros cúbicos: lu0go el mct1·o cúbico contiene mil d<'r:ilnetros cúhicos . En una pal abr a par a sa.her el núm ero d e YCCC'> que nn di visor del metro cúbico está contenido en él, hasta elev ar al cubo el núm ero de veces que el metro lineal contiene al divisor. De aquí re~;ulta qne un me tro cúb ico tiene 1000 decímetros cúu icos, 1.000,000 centímetros cúuicos y 1000.000,000 de m ilímetros cúbicos.

La unidad de capacid ad para los líquidos y · cereales es el litro. El litro es la capacidad contc-. nid a en tm rü,cimet-r·.J cúbi,;o. ~u;; mú l~ip l os y divisdJ·es se form n.n lo mismo que lo'> del metro, pero 30lo se usa el /¡ .•ctóliLro como mú ltip lo par a la medida de los fr ut":: . y el decilitro como di\-isor.

La unidad de peso es el gramo. Un gramo es el peso en el YAcio del agu a destilada que contiene un cen tím etro cúbico de capacid ad, á la tem pem turn de 4 gr::tdos del termómetro centfgrado. La:; razones física s que han ·motiv<tdo la nclopcion de tod as estas precancioues está n fue ra do los límites de este tr:~.tado clemcntn.l, y por oso las omitimos. L0s. mídtiplos y di,· isor esd elgr -11110 se forman del mism_o modo que los de la nnida.d fundam '.lntal, per o solo se usa com o rnú ltip lo (>] ki.lógramo, y esta es la \'Crrlndera unidad de peso en la pdtetica, pues solo se pesa. por kilóg-ramos y frnccion decimal de kilógrnntO.

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- 149-

t:1 unidad de moneda. es el jn1tco. El tranco es una moneda ele platc1 que tieuo de peso cin. o grrmw~, de los cuales los tweve décimos sou de plata. pma y el décimo restante de cobre. Los múltiplo::; y di visores del fránco no están sujetos {1. las u1ismat~ reglas de las demas unidades del sistema, pern si {t una division rigurosaruente decimal. Así (•Xisten como múltiplos la pieza do plata de 5 francm:, qne llamamos nopoteou: y el lu.is' ele oro que tiene vciuto francos 6 cuat1;o napoleones.• Los divisores son la décima y dntúno de (i·anco, <)_ne son moneda::; ue cobre. Circulan ademas u1oncdas de plata. <le lll.utio.fi·aiu;o ó 5 décimas, de un r¡uinto de franco ó de dos tlúcimas; y monedas de oro do diez francos . y de 5 francos.

Adomas de las >entajas que tiene en el cálcu lo este sistema por la divi:;ion uniformo y decimal de sus medidas tiene otras que dependen del enlace íntimo que exil;tc entre todas ellas, las cuales ll.preciaremos debidamente en la rosolucion ele los pro uletnns.

CA Pt:rtJLO Ií.

Cálc ul () de l os náun c t·os con c t·cc.os.

Los nínuei·os concretos estún sujetos á las illisma.s operaciones del c.úlculo que los abstractos: vamos por tanto á ocupamos de cada una de ellás, pero antes necesitamos saber someterlos [L cierta.s transformaciones necesarias para calcula!' con ellos.

A RTICULO l.

Co uve t'!jiOn d e un n í u nm·o complejo á incom p lej o y VÍCCVCt'S<t,

L.os números concretos se divitlen en contple•

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- 150ios é ·tncomplr:jos. Número com pl~jo es el que expre-

sa varias subdi ,·isiones de una misma unidad, como por ejemplo, 4 arrobas, 5 lilJms y 13 onzas; é incomplejo el c:¡ue exprcsit U l l:t sola clase de unidaJos 6 una sola :;ubdi vision do una unid~\ u, como por ejemplo, 12 pesos, 25 nm1s, G azumbre s cte. En el sistema métrico decimal toJos los números son incomplejos por que pudiend o expresarse en fraf;r.ion J c nna misma unidad y frnc<·io n tlecimu.l de d i::, claro es que oxpresan uua :;ola clase do nllid,ul: a:-;i 48 kilómetros es un númer o incompiejo, lo mismv que 18 hectúreas y 184 miJ(:siums.

En lo sucel>i \'O, para a b1 e\·iur exprc::.:trcmo::; las unidade s de los difercntcl; órdenes do ewtlquiera de los dos si>;tomas por la letm inicial do su Hombre.

PROllLE) J.\ 1?- Convcn;ion Jo un número complejo á incompl ejo de la c~>pecic inferior.

Sea por ejemplo el número: G ntra~. :d pies, 9 pu ig-adas y tratemos do conYertirlo CHI ineom1il<:io do la c;;pecie inferior, e:. de~;i r e11 pulgnllas. Obs~:rro fJIIt: teniendo la va.m tres pí~s, se con vcrtirún b,; G raras en piés mul6pli cando () por~~~ lo qne dí~ 18 pi<-~. {L los cuales ngrcgad os los dos piés que ti<"ne el número, dan mm suma de :¿o pié:;; pero cnno cada pié tiene 12 pulgmhu; se COJI\·crtirán los 20 pi~:; en Hnlgadas multiplicando 20 por 12, lo que chí 2-10 pulgadas, <i l a~ cuales agrc~~<Uitlo las 9 ¡.mlgatb. ; que tiene el nÍ'tmcro dado, se obtienen 2.J.::l pulg<J(las, número incompl ejo eqni valen te al complej o propuesto. De aquí se deduce la siguient e regla g<'nc-ml: Para COln-erti r un liLI!ncro complejo á iucomplcio de la CSj)COÍe inferior ~e lllUltiplican la:.; U!lÍ -

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• -1 51- . (bcks cll:l <->~~p ct i e 5upcrior petr el n{tmcro de • eces clnc lllla de ellas contiene á la c·spC'c·io in ferior inm~·diata y ít e:;tc produeto :;o agn·g·an las de tlicha ~·,;pecic inleriorinmed ia ta: :;e mnltipl Í(•a c,;ta suma por ,.¡ nútu<.>ro <le YCCes que n naun idacl de siL espec-ie tonticne {¡ la. de la especie inferior inml'cliata, y al protln<·t<) :;e agregan la s do dieha es¡wc:ic>; y a><í su(·c:;i\·a tucutc hasta llegar á la úl tium l'l'JlCt.:ie.

En Lt pritctica se cl isp011C la opcnwion del mo<lu HÍ,¡ruic·ntl': ' CottWrtir en incümplcjo de la especie inferior 1 ·l n ú mO'(J fj c1l. '2.0) U1 lh:-;. 7 e).

G e¡!. 21@ 1:; 1bs. 7 v.

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1U61i)

Pnom.n1.1 2~'-Com· ertir un nt'nncro complcjQ en iucomphjo de la especie :;u pcrinr,

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-1 52•

Sea por ejemplo el n{mJero S f. 7 c. 3c. el eual fJuercmos COIWC11tir en fan egas. Si conve rtimo s d complejo en unida des de la especie inferior, se~un el proce dimie nto <lel probl ema anteri or, equi valdr ,í, á 415 cuart,illos; pero como un c11nr1·illo e;; lo mismo que /¡, de fa nega, los 4 15 cHartillo:; eqni\ ';ddní n á 'Yti"' de ticnega, y por consi guien to J.N!. seril d

incomplt'jo de la espec ie super ior equivalcuto al con1plcjo p1·opn e:;to. D e aqní se deduc e la sigt,ic nte regla gener al: Para com·errir un número complejo en incom pleJo do la e:;pccie superior se converrirá en incom plejo de la espec ie inferior, poniBntlcllO por clonomiHad or el númom do veces que b unida d do ü:;pecie s uperi or contie ne ú la inferior.

PPOBL E:\U. 3'.'-C onve rtir un n{¡ruero incomplejo Jo _la especie inferi or en complejo.

Sea el número 215 euarti llo$ de vino y tratemos de aYerigual' CUantaS Cántaras, azumbre,; "f cuartillos contic11e.

J>ue~to que ht azum bre tiene 4 cuarti llos, si dividimos 21üp or 4 el cociente i)il será el núnw ro 'de a7.nmbres que contiene y el re;;íduo 3 el núme ro de cuarti llos; y como lo. cánta r:t tiene 8 azumbre~, si se divide 50 J?Or 8, el cocien te 6 scrí~ el n úmer o de cánta ras y el rcsíduo !S el núme ro de azum bres: luego el complejo equivalente al incompléjo pn~­ p M:;to será G e ií n, 3 e: D e aquí se deduc e la s t-. gui-:tde retr!a, ge1wral: Para ~on'\·crtir un núme ro incomplejo do la especie inferi or en comp lejo se divid o por el núme ro ue veees que la unidad de su especie estú <:ont~uida en la de especie infc·ri or i ~mcd iata, . el coctente que result a será Jo esta últmU:\ espec1C Y SQ

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-153~

uividin't por el J.:Úmel'J de veces que una unidad dé ella contiene (t la de especie infet·ior inmedi<tta, y lt!óÍ sucesivamente ha~;ta llcgm· á una especie que no pueda con vertí r::;o en otr·a superior.

En la prúctica se di!ipono la operacion del modo siguiente: Com·crtir en complejo el número: 1348 mar;~· raYedisf's:

1:3-1.8 m

.'P S ~

2

~-

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:j.j,

3!)

19

1

s.

20 = 1$ l!J

1;)

PRonr.J-:)L\ -l~-Oom·crtir

r~ .

22 m.

el núme ro incom ple-

jo de l:t especie :mpcrior en compl~jo.

Sea por t:jt!mplo d número n do fanega d,) tierra y tratelliOll do :tvcrig-wu· cuanta:; fanegas cstmlalcs y V<trns ctwdrn.d;ti! uont:eno. lJi\·iLliendo el n umerador por el donc.nrina<lor, el coc-iento 3 ser ú evillcntcrnonte e l número ele fmu gw; c¡ tw contiene y quedará uJJ:t ft'ltccion ¡:ropia ls de fanega; pant . conve rtir esta fmcuion üll c:-;ta<la lcs eundrados ob:;ervo c¡ue si una f'i1.11eg1t tiene 57() estadales cuacb·adrados, 2} de f<tn cga eontcn,[r<ÍH 2-} X 57G esta.clal es, ú bien 7 x :j76 ig ual .L~~ _¡¡,: a:oí pues si dividimo:; 4032 25

'

por 25 el cocieut.o 161 scdt el número de esta.dales que contendrii el propucfito, el cunl f;erá erluivalente {t 3f' 16i e• , .¡._ De aquí se deduce la siguen te regla genera!:

Para convertir un m'1mero incomplejo de la especie superior {t compl~jo !;e diddc el numerador por el denominador y el cociente !;Crá el número de unidades de especie superior quo contiene: el

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- l5J~-

rcsíduo se mnltiplic:t por el11Úrncro ele Yece:; qnc la unida d de espc ~;io :;npcr ior eoJ:tir.11o {¡ h do e~­ pecie inferior inn\t'd iat<t, y e~tc pnulnC'to so tlh·iclc por d mismo llenominador; e\ .~;oe i entc qne result a :~erá el núme ro ele uniundo:; do didt;t e~ pecie ill fc rior y <.: l resítluo f;C mtd tiplicn por el ttÚn1e ro de vc<·es que nna nniclMl de esta espec ie co11tienc á la du espec ie infor!or inmcd iata siguiente, diYic!iuH\c) el prorlu c1o por elmi:-<mo dunon linnclor y a:-<i snccs i,·a Jmmt c l111st:t lleg-a r ú lu Oí>¡JC<; ie i n l'c~ rinr de todn,; .

En la pr:leti ta :;e dispone la o¡x·racioJ~ lld . 1 ,., 1 l ' <.! . . t 1o ;:Hg'IIICiltc: uca e nume ro · :i :,· <e (¡lllnt a • 3:)t)

10')

1110·

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1-l ql l1v 7 l.

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7

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17;3

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ART ICU LO 11. ~ utua

y •·escn d e Jo" n(uac! l'OS

eoucret~~-

T'n.ra potl er sn m:tr y ro:;tnr los núme ros roncretoo:; e:; necesario qnc ,;cnn de la JHÍ!'\11\;1. e;;pe<· ie.

Distin guirem os dos rn so:;: 1'? qnc J¡•s nún1e ro:s dados sean incon1plrj o>': 2~ que sean complejo~. f't·üner cnso. -CtW JHlo lo:; núme ros dad()s ::~can

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-

- 155 incomplejos de la misma <'tifH::cic podt·án sHmru·:;e y re::;tar:;c lo mismo que los números abstra('tM, pn¡>s-

t<Y q11e las reglas dauas para. e~<tos ,¡on ind(·pcmlicntes de h~ especie á que pertenecen, con t;d que todo:; tengan la mí sUla. Así, por cjem plo, para sum:U" ;ss..¡, \'aras con 58 v. y 3523 "·Jos colotarcmos .los unos debajo de los otro:; lo nli:;mo qnu los nÍlml·rns ·~~ b~;trn.c tos.

· 384 varu:; 158 V

'

3523

V

" 9G~ ;.)

'0 V

y la

;~urna 3HG5 v

-·---

::<crá tle l:L misma especie que los l>Um::nclos. Lo propio se practira <>n la rc;.;ta: a>'Í !'i se tienen que restar 26<) ql. do .J::t) ql. tenJremos: -13;) ql. ')t: ' • q 1. :.uo

167 q l. l·:scor,to.- Gnanrlo lo!; nÚJlJcro:; ciad o:~ perten ecen ;d sistema mGtrieo decimal su stunan v rostan lo mismo que lo:; uúmeros abstrac:tos deoí.male"' ('011 t.'11 que sean de la misma especí<'.

E.TEMPLO 1':'- Sumar UH k 32:"", 1 ! k 03-!, 1o:? k 0083: tcndrcmo:;: 1 ,_ i)•).;. _,_, 18,.,K 1-1-,k OH-t.

102,k 0083 300,k 067:i

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•

- 156----' E.a: m'J.O 2<:'-Rcsl:w 48, Ha 528 de 83 1 Ha o.~.

se tendl·á: •

8J, Ha. 0-1

,

-!t\ Ha 528 34, ILL

51~

- - -- - Si lo;, núm erul; incm 11plejos tl;tdm;, tanto del siKte ma o rdin ario como tld deci mal pertenecic~;eil ,;, una misma especie pero á disti nta subu ivisi on s\J cOn\'ertirifl.n todo:; á una mism a subd i"i ~ion por los m ttotlos cxpne:.:tos en el ;\rlÍcnl•> ante rior. l:!:.m~IP.LO 3~-t:lmuar los rtt',meros 8 c¡l, 1 í l@, G ql. y 36 lb. Los conv ertir emos touo s á la espe cie iuferior, <) ser.n Ji bras y tend remos: S q l. =80 0 17 t@= J2:) G oi.=GiJO ' 8G lb = 36

lb. l b. lb. lb.

l S(il lb.= lS ql. 2'éu 11 lb.

EJB) IPLO 4\'- Hesh u· 25 azum bi'es do 12 c{mTII.n>s. Conn;rtiremo~; todo en azumbre$ y tent.lre

-

12 c.==96 a.

20 n.=2 J a.

7t . a.=S c. 7 ''· BJEU PLO 5~-Sumar

18 Kg, 46 IIg, 15 y e84 g,

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-15 704G. Oonverti r·emos todo en gramo:> y t<m<l remo~>; =180 00 g .

18 Kg.

46 llg. 1 .-¡ = ;~S·~ g, 0±6 V

-HiQO !!. 15 3S4 g. 0-~6 ~

- - ---- - ---a,-19U= 22 K!(, !lS4 l ~6.

229S4

-

'

6?-R estm · 34, a 827 de 16 Ha, Uonvertircm.os todo en ftreas r se tendr á: EJE~JPLO

8~~­

16 Ha. S:3=16S3 n.

34 a 827= 3! u. 827

Segundo caso.- Cu:uulo los núme ros sean com· piej os de una. misma especie podr!ín conYertir;;e en incor11plejos rlo una mi:;ma. subclivision, y e~tc taso qnecla rcduc itlo al anter ior.

Cuan do los núme ros co:npl~ios ·tienan nnM mismas subdi,·i:;iones pncrlen suma rse y rel'tar se <1i•·oet amcn tc sin necesidad de convertirlos en incomplejos.

En efecto: supon gamo s en prime r lugar que :<" tral••t a eh· suma r 4 f:meg;:s 7 celem ines 3 cuartillos 5 f. 10 c. D c. y 9 f. 8 e. 1 c. la opei·a rinn se di~po ndrú del modo si¡,;-ni cntl~: 4 f. 7 5 )! 10 9

20

('.

" " ,, " c. f: 8

-

3 c.

-J ')

)J

''

2 c.

f:ie colocadu1los suma nd•)S uno:; ele ba•jo do otros

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•

-158-

.. \ modo c1uo se corrl.'~;po11c1a11 Qn co111m na •¡¡¡:;. anld<l 11c de:; <le lll~<t lll is111n snlJ, liv;s ion: f<C sumar.í.n la;; nniclader; de c·s¡.c•tic i111'c ·rior, \,) t¡nc claní G cnartillo,;: se c·oHn:rlirÚII c~los en ll llithdc:~ de la espeeic su perior i Hmccliata, lo que cl;m't 1 l'dcmill y ~ nm rtillos: se c•srri!Jir:'ln In;; dos c:ua¡·li!los <lebajo de hu; uuidadcs ele su c•spec·ic: ~e suman lo:; cclcmine;; agr<>.gam!o el 1 C'elc·min que resulte~ cn h1 suma ele los tuartiiJo¡;, lo c¡u<' ciar(~ 26 c·clPmint•s; se com·crtir{lll est•J:' '11 uHitlali•·s t! la. c·::pecic superior inmediata, Y así !ltite.-i, amcuto. :::iup(mgamos en !<l'g'HHdo lng-nr c¡ue haya de restar,;e (']HÚmero~ ql. :{~ 20 lb. 7 o. de G q1.

21@ 6 lb. ~~ (> . :Uispondn·mos la operntion t1elmodosig-aie¡;k: c. t¡l. !! rc,; e; 11.1. g o. ~

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20 J1

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He coloc:mín los clol:l lltll11Nos dnJos uno Jebfl;jO de otro de mod() qnc se t:on·· ·~;pondan en cclunma. laH unidac1ef1 de \tlla mi:;ma suhdivi;;ion: se 1·e<'t:n(ln lns unídndus de esp~C' i e. inferior del sust raendo do 8 11 S c·mTospontl icutc" en ol minnoitdo,i,Jo que d;J 2 onzag, Lis cualc>; ~<1 t:olocarán debajo ~e la:-; de su eR¡K·cio: ¡;o rcslarfm h1s unidades de especie sup<'ri or Ítlmclliab: rl(•l ~n~tmuJHlo de sn,; correspondientes dcl minuendo: pero como 20 libras es mnyor tpte G libras, para cfc::ctnnr b su:-t;·accion se tomnrá m~ a unidnd de la <'"perie inf('rior inmediata en el min~;tndo, e,; dcri r, J :1rroba, lu cual se conYerti¡{\ en lihrr.s y se nu-rc !!nrún á l:ls 6 libras ~llminuu de, h: Cjll<' u¡ rú i\1 lil I:lf', <~e las cua)es J

•

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rc:>t-:11·,\11 1¡ts :n lihr;u; dd

1'\n~l r;w:)dn .

y la dife-

l'pnci;t 11 lihr;1s ~e esrril¡!ní tkh:lin: ~e ;.<::;t<'tr:\u ]¡, ;; :: annbas tlel su"tnt~•mlo d1, la~ d~i n,inH<~!IÜ••, _pcm ¡·on10 d13 C•!--1:'1>! úhimao; h<·mo;: lomadt> llll<l nam uo· • • 1 dor eft.:clnar la n·~ta do.J L<s liln·;ls. :-;o]o o.w<hll'i~ • :m:oL-u en d 111inucmlo, de l;u·wtl lli) p<:cden n'~tm·se la:s ~~ arroh~'" tlp] Hllstrn!'ntl .., ¡wro esl;~ dificultad s~· dmlirú dd mi:snw modo tom;111du 1 quint<~ 1lt:l minuendo que ¡·ow.-crtidn <'ll arrobas dú 4 lltTolm-< ~- 1 cpw lw~· en el minut'mlo fJ, ele ias cuales pueden l't•star~t· a y la <1ilonmc·i:t ~ :;e c:ulocan'• J cbajt•; y a .;Í SUCC" Í \';IIllClltC •

ARTICULO iil. ' n tnn<1o H~ no" propone m1 pro 1' J1ema e1e nuIA lllL'ro;; C\()!1(;1'0,!~~~ 110 !';¡> ]lOS <h·c ~<Í (:S UC nntJtípJicar <Í diYidir, por (~O ll s i g ui entc de1Jomus ante toclo snbcr disHng uir la Jlf!l·untlt:Z:t do! pcoblema c¡uo se resnln:r, pnm l:1 uunl oh))cn amog las ret rata g-las sig uil·Ht<.::;: 1 ':'-::licmpre qu<· so 110s dé un JlÚmC'ro de uni<ln.llcs ~· ('.] Yal or <lu tllm y sé ¡¡ui(;!ra aYeri g uar el valor de 1·odn::, c· l prnlflcma r<erú de nn tltiplicar. :?~-Un:uu],, se 110~ th! <:1 ntlor de varias unidades y el \'¡¡]or 1le una, y so r¡uie1·e :r,erignal (:)]JIÚlllerO rlC ciJa:;, cJ Jll'OlJJt•m¡¡ O:> tJo UÍYitJj¡·, 3~ - Uuawlo ::e ll(l~ ut! 1!11 IJÚl!lOI'() tle unidad(·!; y el ntl9r tlo l od n~, y l'C quiere aYcriguar el Yalor rlc una, el problema ser:'! tamuiou de d i,·idir.

L os sign icntes ejemplos no:s ofrecen una csplicacion pníctica do estas regla:;.

uo

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• /

-liJOEJE~rPLO J ?-Se tratan de comp::tr;u· 4!Jjl@ 11 lb hn.calao á 3 rs. 17 m. la libra y so desea sah.·;·

cuanto costará ht partida. E ,;te problema sorú us multíplic:\1', por que se dá una col<;ction de tmidades, y el ,·alor cl13 una y se busca el mlor dll t oda>:>.

BJJmPLO 2?- 16 varas 2 piés 1ú pi!lgMlas di.! terciopelo han co;;tado 68$ H r:>. S :) desea saber ú CQffiO ~;ale el precio de ht Yara . Este problema. es de dividir, porqno se lH mm eolcccíon do unidadu:::, el valor de todas y se busc:t el vulor d1~ una. 1 B.lE)lJ>LO 3?- Se desea OIHph:ar en Yino t1 ·~· J ..:rez la c;wtidacl de 837$, sabcmo:; cpw la c:mt<tm cuesta 7$ 2 r;;. y que,·emo,; avt•riG·uar ctmnta:l rÍtr; taras, mmmbres y cuartillos podemos comprar. },1 ¡n·(lblema set·ft de di vid ir, porrpw l:iC conoce el YH~ lor de Y a t ias tmitl;ldes, el valor de una y se bu:::ca el número de ellas.

- Resulta pues que hay uu caso Jo nt:.llt.íplicacion y dos de divit<Í011.

Mur.TIPJ,lCAcros. -Sahienclo yn que el prol;leJna es de multiplicnr será necosark> 1wel'igunr cual de los datos es el multiplicnmlo; pero esto se consigno fúellntcnte, pues siendo d produrto nn todo rompuesto de partes iguales nl multiplicando, c;;t3 tondrfl que ser de la misma e:;pccie que el producto.

En la multiplicacion puede suceder: l ~ que el multiplirando y muitiplicador sean in<'omplejos: 2~ que el mnltiplicador solo sea incl)m¡>lcjo: 3.' qu.: multiplicando y multiplicadorse an complujos.

H-Ouando multiplicando y multiplieador son incompl~jos su producto se halla d(jl mismo modo que el de los números nbstract0s, siempre que el \11ultipl icnclor esté expresado en la.-; unida·]cs á qne

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1

•

-16 1118 refiere el mult iplica ndo. En efector sea por ejGttt-plo el prol>loma sig.uiente: Se desea avcri gtt:tr cuan to costa rán 28 vara!!· •lo pano saLiendo que la '>am cuesta ti peso:;. Aqu í -el prod ucto que se bu;;ca. son pesos y como 28 varas· expr esan hu; unid aclcs del m.ismo ónle n á que s~ r efiere el multi plica nclo ~ ¡nsos , ¡me~to que esto>: liiOn el preci o ele una va.rar cl aro e:; <}ltO se obten drá o1 p·reci o de las 28 nLra s repii i'ell(lo 28 vece s los 3. pe50:;, es decir multi plica ndo 28 por 3 como si fuellen :hbstr a.ctos.

C'tHtndo el multivlic<~dor no está expr esado é'TI unid ades de la espe cie á que se refie re el wult jplica ndo se redu cirá á. las l;IUÍd¡¡des de dicha espe úe, y el problema se· resue lve ento nces del mi!;in•& :modo que e l ante rior. l<:J1mno 1'!- Se quier e a verigua.r cuan to cost:~rfl.n 13 quin tales tle cnfé, sabiendo que In. arro1)1l, vn.le 2 pesos . Aquí el mnlt iplic ando es el prec io deeuna- arrob a y el mult i plica dor viene expre sado e n quinta.le&, por consigniente se conv ertirá n los 13 q_niJl t;des CJ'L arrob as, lo tlue d{t 52 a.rrobas; y ent oncc:; el proh lema q ncda redn ctdo {t e:;te otro: 11Se quie ren com pmr 5;¿ an obas de caJé [t 2 peso s h arrob a. áená nto cosmr/t n~" cu y;L cnest ion se resuelve: «vid ontem eHto multii>li<:<tndiJ ~2 por 2, nHno ab~­ tractos, r el prod ucto 104~ pesos será el valor de los. !3 qu intal e:; de cafe..

E.rK\ IPLO • 2?.- La fnneg:t 1lc trigo en esta 4 pes os, y se q uicre ;·rveJ: ig uar <"Unn to costa dt n U tclcnliue:;. El mnlt iplic:llldü es el preci o de una fane ga y e l mult iplica dor YieJHl expr<·~;Hlo én ccl cmil l üS,~ por (:<;Hsi guionte Lay que coH\'C rti;· l o::~!) celúlllill(.'fi< t'lll .fun.egas, lu q_tLe llú ?). de 1mcg a, ó ~~ y (![ proU © Biblioteca Nacional de España

- 162 blcma qlle dará resu elto mul tiplicando~ por 4 com o :-;i fues en abs trac tos: el pro duc to 3 peso:; ser{~ el Y<~­ lor de los 9 cele mines.

Puccle resolverse tam bien este pro blem a lmlhtn do el prec io que correspo nde ú nn celemín , por que si 4 peso s es el prec io lle una f.megn h de pe::;o será el de un cele mí n, y por eonsigu ient.c 1!1> x 9" =3 pesos se rá el pro~;io ele los !J colemines.

Cua ndo m ultip lica ndo y mul tipl icad or pcrt ellezc:m al sistemrL mét rico dec ima l se mul tipli car{m seg un la;; regl as chulas para la multiplica.ciou de tlec imale:;, _siem pre que el multiplicador . Ycn ga expresado en la. mism<t espe cie de tmid nuc s á que se refie re el mul ti plic and o, y en caso con trario se con vertir~ elm ulti piicatlo r en las uni thtdes de dich a espeCie. EJJm PLO 3'?- Se quie ren com prar 18 ltec lólitros , 13 ele vino á 38 f., 27 el hect ólitr o. Bs evid e nte que si u u hec tólit ro ve:~le 38 f:, '27, los 1 8 hl, 13 valdrán 18, 13 x 38, 27 fti. y por con ·ig uien te el pre uio de todo el vino acrú: 6D3 fs. 83.

EJr::MPL O -1:?- Bl área de un terr eno vale 5 fs. r;c dese a sab er cua nto vald rán 18 Ha, 1-!5.

Com o el mul tipl ican do es. el p reci o de un área, hab rá que con vert ir lns 18 Ha, 145 en área s, lv que dá 1814 área s, 5 y mul tiplica11dO este núm ero por 5 fs., el prod ucto no 72 {-;., 5 rcsoh·erá. el problem a. 1'am bien vucdc reso íverse la cuc stio n ha.Han do el valo r de la hec túre a: en efec to si eUt rea vale 5 fs., la hec táre a vnld rá 500 fs., r el pro uucto 500 xl8 ,14 5=9 072 f:;. 5 rcso lver ídn cuc stion.

2~-Cunmlo el multiplicnnclo es com plej o y el mul tipl icad or inco mpl ejo, se puede refe rir este

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'

1

- 163 al ante rior cmn -irtio ndo el mult iplic ando en inco mplejo.

Sea, por ejem plo, el sig uien te prob lema: Se quie re sabe r cuan to cost arán 25 varas de tola al prec io de 2t;; 6 rs. vnra . En este caso potlomo::; conv ertir los 2S Gr::;. todo en peso~ ó en r cn,les vello n, y tend remo s que el precio de la vara será. 46 rs., 6 2$, 3: por cons iguie nte mul tiplicand o 4 G rs, por 25 6 bien 2$, 3 por 25, el prod ucto 1150 real es ó 57S, 5 re::;oh·erá el prob lema .

Si el mult iplic ador no vini ese expresnd o en la mism a espe cie de mudacle s fL que se refie ro el mul t iplic ando se conv ertirá {L dich a espe cie y se operará lueg o del mism o mod o.

Sea, por ejem plo, lu, sig·uiente cues tion: la arroba de man teca cues ta 4S 13 J'S., se quie re saber c uant o cost nráu Hí libra s. Red ucir emo s los 4$ ] 3 rs. á l'eale s y las 15 lib1·ns á arro bas, lo qu e dará r~o rs. y MV y el prod ticto 55 l 'S. tser á el prec io de las 15 libra s. Tam bien pued e lmcerse halla ndo el j)l'ecio de muL lihra , para lo cual basta conv ertir 48 13rs. en ren.les y part ir por 25, lo que dá ;~ de renl para prec io de una libra., y por COlls iguie nt.e 1 b x ·H será el ])l'Ccio de las 15 libra s, ó sea., lo mismo que ante-.;: 55 r::;. t .

3?- Cna ndo mult iplic ando y mult iplic ador son com plejos se reclnce el m ultip lic:m do á inco mplejo a e cual quie ra. especie, y el mul tipli cado r{\ inco mplejo de la espe cie <Í que se refie re el mult iplic nndo. Sea., por ejemplo, el prob lema sign iente : se desea. sab er cuan to cost arán 6 f. 4 c. 3 c. de trigo nl ¡mJcio de 6 rs, 28 ros. el cele mín. Con vert irem os t.ooo el mult iplic ador á cele min es y el mnh iplic ando ('.('.{:lO

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..,...,.16:4~..

á:· reale s 6 mar avedises, y tend remo s: . 7 6·

¡

c. x,-6;

Hrs .=52 3 rs. 24 ms.

D1v rsro N.-E n l n divis ion d~ n(nn er.o s concre-. tos hay que disti ngui r dos caso:;: 1~ que los dato~· 11ean de la mism a especie: 2? que sean de difer ente • .

Ot¡pecte.

Prim er caf? .-Cu and o los dato s son.de la mis4lll· espe cie, fácil men te se dist. ingu irá cu¡tl de ello:3, es el cli"idendo, pues será el may or de los dos.

En es~ caso pued e suce der: 1~·que di,1idendo. y divi sor sean incomplejos: 29 que solo el dh~sor · ~.ea, i ncom plejo : 3? que amb os sean com plejo s, 1~-Cuando divi dend o y divi:;or sean in,. compl~jos se hall ará el coci ente com o si fuer a nú~ mer o abstr:ctcto. En ef~cto, sea vor ejem plo el si;. ~uiente problema , Se dese an emp lear 486 $ en duelas para barriles, costa.ndo el10 0 á 3$, cuan tos cien t?s podr án comprarse~ Er;;. Ewidente que el núm ero de duel as que se busc a mult iplic ado por 3$ dari1\ 4868: lueg o divi dien do 486 por 3, el coci ente 162 ~erá el n úme ro de cieu tos. ele tlu.elas que puede~. ' comprar;;e.

Si diYiclenrlo y divi sor ·vini esen ex¡n:.esad os en múc lade s ele dife rent e snbd ivisi on, se conv~rtiriau, ft . l\11:1 soJn, snbt li visiOU y SO oper arÍ¡J..desp ues COIDO S~ fuesen abstracto::;.

Sea, por ~j emplo, el pr~.)lema sigu iente : se de. ~<ea inve rt.ir en trigo 18520 reales, co:;taudo la fa-. uega. 4 pesos. ~Cnúntas fane gas podr án com prar sel Oon vert irém os torio en reale s 6 todo en pe-.

ROs y tenc hem os parn. solu cion del prob lema 1852 0¡ l\'>: 80 rs.= 231 ~ fi.tnegas 6 bien 9268: 48::;;-.231 ~ f~;:­ Xl.egas.

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-16"5~

Si los ni'tmeros dados son del sistema ml!u:ioo -decimal se dividirán como las fracciones dccimale:;, <convirtiénd olos préYiamcnte á una misma subdi"JSton.

EJEl!PLo.- 'Se quieren in'\•ertir en hierro viejo :gg luises de ero, costundo ·el ki:lógl'amo 2·1 J·i;., 1•7. ;¡,Cuántos kil6gtamo:; pueden comprarse~ Convcrti:remos todo en francos ó todo ·en lui:;cs lo que <dará: as luises: lJ. :Juis, -208'5=31 kg, 448, 6 bien 760 fs: 24 .r..,, •1 7 =3-l kg, 443.

2~-Cuando el dividendo sea con\plejo se con-

·vcrtirá en iucompl~jo flc .}¡1, -misma especie ·que él •tii vist:Jl', y el :p1·oblcma quedn.rá re{liucido al caso au~rior. · T~JBMF<Lo.-Se ·ae~eo. invertir e11 aceite 2<1.8$ ~ rs. 28m. costa'Duo la at•roba á. 36 rs. ~Cuúntas ar"robas podrán-coihpmt~e~'Convertiremo::; el di,·idendo á renles :}o ·que ·dadt: ""G(j ~u "-"

11

. . 6 , _ ~S66.17 +14 •• _4366.17+1 -i tlV ~ > t:;.J7 • 36 3G x 17

rs.

h """ lb . ...4,,0 = 17>12:36 Gl 2 ._,.t.21:i'o ~-121•w r¡' S. 8 o. n:r

3~-C ua:r.ulo diilidendo .y clh'isor ·son ·comple-

.~os 1!c< conveitfi·Jí.1l

ambos en ·incomplejo s de la ·mi::r

:ma ·e~peoie.

EiJE)lPL0 .-Se quíei'e emplear en telas 586$ a'8rs.l4•»L/COstan(lo la vara á 38 Grs. 2m. ~Cuán­ ll:ns 'VIttitS podrá.n comprarse~ Conve1tire mos todo 'eTl mara.vedis es y tendremos: 399106 m: 2246=177 v.aras fl"l,-177 vara:; fr82~, .

Segundc caso.-Cua ndo los datos de la diYiaion son de diferente especie, el divitlend0 .:¡el'lt de

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- lGGlR mismn especi e que el cocien te, por que siendo .el divisor ele distint a especie que él, claro est{~ que el produc to será de la misma especie que el otro factor, que es el cocien te.

En este caso pueclc succdet· tambie n: 1'! Que dividen do y divisor sean incomp lejos.

2~ Q ne el divide ndo sea comple jo.

3~ Que los dos sea.n comple jos.

1~ Si divide ndo y divisor son incomp lejos se dividir án como si fuesen a-bstractos, siempr e q.u e el divisor venga expres ado en In misma especie dlól · unidad es á que se refiere el cocien te.

EJE)!PL0.- 348 anoba s de tocino han costad o 13928: se desea saber {~ como sale la arroba . Es eYideu te que si 3481@ valen 13928, una arroba valdrá ~H-1 ele peso, 6 sen 4$.

Si el divisor no e~;tá expres ado en la misma e~­ pecie de unidad es á que se refiere el cocien te, se conver tirá {\ clich:1. especie.

EJEMPr.o.- 24 cúntctr ns de Yino h!}n costado 144$, ft cómo srtle el cuart:i llo~ Conve rtirem os la 2'.1, cántar as en cuartil los, lo que dl'l. 768 cuartil los, y partien do 144S por este ním1ero, el cocien te OS,18 será el precio de un cuar.tillo.

Cuand o Jos ní1mer os que haya quo diviclir perten ezcan al sistem a métric o decimal se dividin\n como las fraccio nes decima les, reduci endo previamen te el divisor {L la misma especi e de unidad es r~ que se re.fiere el cocien te.

EJEMPL0. -2 kg. 127 de ópío han costad() 15625 fs: á cómo sa)e el gramo~ Reduciremos .A gramo s los 2 kg. 127, lo que dá: 2127 gramo s y

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- 167pmti"endo 15625 por este número tendremos pnra. valor del gramo de 6pio 7 fs., B-L 2~-Cuando el diYidendo es complejo se reduce á incompl~jo de cualquiera. snbdivi~ion, redueicndo siempre el divisor :1. la. especie fL que se refiere el cociente.

R.TE ~fPT.O 1?-5 fan egas de echada han COStado 9S 14 rs. 17 m. &it eómo sale la. f;tnega~ Convertiremos el dividendo en 1Wtr:wetlises y tcn<lrcmos B~~ 14 rs. 17 m.= fi61 3 m.; p11-rtiendo este número por 5, el cociente 1 322~· manwecliscs se1·A el valor de la fanega, y r educiéndolo á complejo, 1!3 '18 rs. 30 m. t será el Yalor (le una fanega de cebada.

E.JF.Mf'Lo 2~-1 8 varas de terciopelo han cost-ado 728 16 rs. íá cómo sale el pi~?

Convertiremos las 18 vams en piés y los 728 16 r:t en reales, y partiremos, lo que dfl. 1456 rs : :J-1: pió;=26 r s. ·H 26 rs. 32 m. ~~·.

3~-Cuando dividendo y d ivi:;or son complej \)~, se rcclncirá el dividendo r~, incomplejo ele cualquiera ¡;uhdivision, y el divisor ú inco1!1plejo ele la ~ml>divi ;;i on á que se refiera el cociente.

E.JJ-:MPL0.- 71@ 14 lh~;. 2 onz:H; de nrroz hnn costado 158 15 rs. 8 m. iA cómo sale la. libra~ Convertiremos el divisor en li bra.<;, Jo que d.í.

18l>~ libra; y el dividendo en mam,·cdi~es, lo q ne <lá 10718 maravedíses. Partiendo uno por otr o, es decir, J0718, el cociente 56 H -:- mnrM·cdises, será. el

-I SD~

precio (le h1 libra de arroz.

Escou o.-La. multiplicacion y division de lo1; números complejos se simplificnn notablemente con

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• -1G8h a.d.ope"ion del escudo como unidad monetaria y &u division decim1<l, porque eutouces siendo vnCJ "(le los datos necesariamente tlecintal, bastará conYe.rt.ir el otro tamhien en fraccion decimal.

Snponga mos uno de lo:; casos ma:; complicn~os de la multiplic..·wion.

Se trat.'l. de comprar 13 ql. 31'@ 9 lbs. 8 onza..~ ·de azafranal precio de 3 ie, 143 la.libra. Convertiremos el multiplicador todo en libras y fraccion decimal de libra, pam lo cua.l basta cotwe!tirlo en incomplejo de la especie libras y despues en quebratlo decimal, lo que dará: lh~ .

8 onzas=1384 lbs, 5 multiplicando pues 1384,5 por 3i,14tl, el producto .51424 E, 483 serfl el valor del azafran.

13 qls. 31@ 9

1

CAPITULO IH. ~:tm bi o

de

1111

s l s t c nta <l e ru e did a • 11 otro.

E n las tra)' sacciones del comercio ocurre con frect~enci ft t ener que pas.ar de tul. sistema. de me-·didas á otro. Al ' efeeto existeu en las plazas tabh" ·conoci<h\s con el nQmbre de ca.m b1os y arbitrajc1t en las que se est.nblooen 1a:<¡ relaciones que existen entre ll'ls d i vcr:;:li; unidarles de meditla de cada pai,_, por medio de cnya,.c; relncion~s se ptiede verificar ]a conver"ion rle unas en otra..<;.

Nos limita remos en este tn\tado á explicar el modo do efectuar C1'hls com·et:siones, apiicímdolas ::~1 sistenh\ legal de pesas y medidas de &p:wa y · :U m(.trico dccim.U.

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-169-

ARTIC'ULO L l os nínn e r os del sis te m n l egal d e pe.-oa T w c diclfts d e .Españ a á ros d e l siM c m u w émco .tJec:ilual. rcoavcntfnn~e

-·--

Le primero que se necesita para poder cou·~,ert.ir un número del sistema legal al m étrico decimsd es l ~dlar las relaciames que exis ten -eBtHl laa .(]:iJforentes rnnidades del púmer sistema y Stls corTe1ipondie1~'tes en .el seg.rnll'ldo. Esto solo se consigue mifaiéndo'ht-s d ircctamen.1te cfm mucllO e~cl'll;pulo . y precauciones, op(,Jr;acion ¡que ha p1·ucticade en Eapaiia la Oomi,non !Jlermmrente de pesas y medidas, la {mal ha pu bllcad0 las relaciones oficiales que han dado por resultado slils iJ¡,·cstigaciones. De <Ollas tom~mos los siguientes -datos mas precisos pm·a nuestt~ objeto: MEDIDAS DE UONGTTUn.

1· legua =5,k 57270 iL vara = Ü,m 83590 = Ü,m 278613 !1 pió

1 1.

1

pnl gad~=O, m

o

021322

= ,lll 001' 0v~?. 'punto = Ü,m 00016'

,mea

MEDIDAS DE SUPErtFIClE. 1 fo n•¡:3 =0,113 H l!Jf>6 1 ~lcmiu=O. Ib o;,)&;:l 1 e"tut1u1 =0.11:\ OOJ 118

---

'';n·u t11ndr:\tlt\ ~ 11 pié f!nadr:ulo

1

=0,1'112

G!ko'"t.r.

=O,m2 1 ruls:r.~an cuadmda=O.m2

(1;";637" OGOS:J9

)fF.DIDAS CUBICAS.

=O,m=1 ñ8407 7 =O, m=~ 021632 1 pulgada oú.bica= 0,m3 000012

1 vara cúbica 1 pié cúbico

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-170ARIDOS. MEDfDAS DE CAPACIDAD PARA .

1 fanega =O,H l 55501 0 1' celemín =O,H l 04625 0 1 cuartil lo =O,H l 011562

}fEDIDAS DE CAPACIDAD PARA LIQUI D08.

1 1 1 1

cántarn. =O,H l aznmb re=O, Hl cuartil lo =O,H l = O,Hl copa

16133 0 02016 6 005041 00126 0

l\IEDIDAS PARA ACEITE. 1 arroha de aceite =o,Ill 12563 0 =O.H l 00502 5 1 lihr:o = O,Ill 00125 6 1 panilla

1\IEDIDAS DE' PESO. ~===========7~r===~·~~~ 1 Inmt =Okg, 46oon 1 onza = Okg,02 8765 l toneln da.= 92Qkg186 l quinta l. = 46kg0 092¡ 1 adarm e= Okg,001797 1 arrobn. = llkg5 023¡ 1 grano = Okg,000049 MONEDAS. 1 escudo = 2f, 6315 = 5f, 2630 1 peso 1 cent in =26f, 3150

1

1 peseta ft. = l ,f 3157 1 rl. vcllon = O,f 2631 1 cnmto = O,f 0309

Con presencia de estas relnciones podemos yn

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•

-171-

•

convertir cualquier número de nuestro sistema al mét1·ico decimal. ' E.nmPLo 1?- 6 vn,ras, 2 piés, 3 pulg:1.1las cuántos metros tienen~ 6 varas =O, m S3G90 X G=5,m O1640 2 11iés =O,m 27SG3 X 2=0,111 li!.í72G 3 pu lgadus= O,m 02322 x 3=0,m Oü9GG

6 varas 2 piés 3 pulgadas= 5,m 642132 EJimPLO 2?-16 fitnegas 7 celemines y 12 est~tdales cuántas Hcct;\reas tienen~ 1G fanegas =O,IIa (i4:396GX16 = 10,Hn. !30:1296 7 celemines = O,TI:~ 053Gii3 X 7= O,H:\ 375ü'J.l 12 cstadales =O, Ha 00 1118 x 12= o,Ha 0.1;3-Hii 16 fs. 7 c. 12 c.=!O,Hn G92:3.53

No ponemos mas ejemplos porqnc con estos bnsta para compre nder lA. sencilleíl del método c uando se tie ne n {t l:t vistn, las relaciones, método que aun se faci lita 111<1::1 con el auxilio de unas ta!Jlas eompletas.

Como no CK fácil retener en la memorin. todas estas relaciones, y ocurre con frecuencia en la. práctica tener qno convortit· aproximad amente un nrlmero del sistema legal al métrico decimal, carecienqo <le tablu~, bastnrú entonces reconlnr lfl. equivalencia de una soh unielad.

E.mMPLo.- Qncrcmo s convertir en litros 7 fanegas S celemines y 3 cw1rti llos de trig-o. BastaJ·~ roconlar que unn fanega es igual ú O.Hl 555, conYirtiendo pues todo el mímero dado en fanegM y • © Biblioteca Nacional de España

-172lfracoion aeCimal do fanega, y 'multiplicándolo pot •0,555 quedará resuelto el problema.

Allí tendremos: 7f. 'Se. 3c.=7f, 7291 Quego 7(. Se. 3c. X OH!, 555=7f, 7291 x OIII, 5f>5 l}o que dú: 4Hl, 289u5 = 42SI, 965

-

ART ICULO I L 'CoaYenlo n de •osn úouc ros-.tel sist e n•a Jné rrleo d eciPtnal a l sistema l c¡;al de Esp a ñ a.

Para efectuar ésta con'Version necesitnmes co~10cor ·}ns diversas relacione:; de las unidades dcllsi~­ itomamétrico con sus correspondientes en el nues'tro.

Las i·elaciones oficiales dadas por la ComisioJ:l '• on las siguientes: UNIDADE S DE L0).'1GITUD. Pi~3.

Y.nra 1 .

l 1

1 t

1 1

,

1 1

{) •nrilímét;l'o = o •centímet ro •= • !) ·a·c c!metro .....: ' -metro •1 = -decámetro = H ·hectómetro = ll9 kilómet ro - l1 9G mir-iámetro= 119G3

Pulgntltr4.

/,int(U.

'0

0,5116 6,1:6$ 3,6$0

o o o ' '

'(i)

4

o

7

o,soo

-2

llO

8,04-7

a.

.no

o

ll 2

•O

·8,47'1. ·0,710 1¡. '1<06

'

SUPEUFlC1AVES. F,~NEG ,t !:1.

, l

-

mc1'ro

=O

1 tirea =0 1 hoctárea =1

Ce/cm iuc.•.

o o (;

E.tf(1dalc$.

o 8

30

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.

J'11ra,t

1 15 7

- p;¿,, 3,88o 1,03ó

4,55 o

-173'-

__

<CfJBICA& ]¡ milimetr:O~

,

=O,OOOOOOO·t6 piés:1 1 ccntímett~ 3 =0,0000402~6 , 1 decímet.ro3 =0,0!!6226.396 , l: metro~ =46,2.2vii9v!)39 , _..

----

--

DE CAL.'A.-clD.A\D; P A:Ri\: AlUDOS:. ~ --

' "EG S J Cclcmi= A .• _ _ 1~ A 1 '

1· aon tOitro._. . . .

1 rlecílitro. . . . .

1 litro.... .. . .

1 hectólitro.... . ..

·-

_ -

o o

O O' O

-

0,0086 0,0865 0,8648 2;4864

o

9

1

CurlrtililM

DE. CAPACIDAD PARA LIQUIDOS. CANTARAS.

1 1 :L 1

o o

centílitro.. ... decilitro. .. .. - litro . . ... . .. hectólitro .. , .

o o o

o~

6;

-

A:utubr~•.

--

Cmtr lilttM .

O· 0: 1 2'

1

Ctpol.

0,08

o 79 3,' 93' .

1,44

MEDIDAS-P.A:HA ACBIT.E·.

ARROJJAti.

1 cen t.fl it.ro. . . . . . .

1 decíliiro. • .• _. . ~ litro..... . . . . . :t hectólitro. . . . . •

O O O 7

P=a•=U= ~=··== ===L=w~M- 2'·~=I===

o

o 1

23

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0,079 0,7% 3,95(.1 3,V80 .

- 174PESOS. ==============~=====~===-

'-=== Ott :¿"':;,·=

!.1lJR A S ·¡-

1 1 1 1

milígramo... . . . ccntígramo. . . . decígramo . . . . g-ramo ___ . . . . .

- -~'i lógramo . . . . .

O O O O 2

. . ·- - ------- MONE DAS.

O O O O 2

=

Ada..r m->:;;·::..· o --' '-"·"--.;;..,::;"

0,0000 0,0055 0,055' 0,5564 -

1~~~--

=--· .. 1

luis de oro_--_-__ ~-::-:--.-: ·_:-:-;;__7-,e 6b 1 napoleon ... ...... ..... . = l,e 90 1 franco. . . . ..... .. .... = O,e 38 Conocidas estas relaciones puede ya coHveJtlrse cualquier número dd sistema métrico al nuestro.

EJEMPL0.--6Hl, 28 de aceite cuántas arrobas, libras y panillas tienen'?

Com·ertircmos todo á litros y tendremos 628 lit.ros=OI@ 1 IL. 3 p, 959X 628.

Y para efcctua.r este producto convcrtiremo;; toclo en panillas y ti·accion decimal de panilla lo que dá: 1 lb. 3 p, 9.19= 7 p, 959 y por consiguiente: G1 fl, 28=7 p, 959 x 628=49 98, 252 panillas cuyo n1tmero convertido en complej o equivale á: 481@ 1 lb. 2 p, 252.

CAPI TULO IV. Pro bicums a•·itmétlcos¡m~s usuaies.

Hay una multitud de problem as que

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puech~n

- 175resolverse por medio de los elementO$ de arí tmétí<·n que hemos dado á conocer en este b'ittado, problemas que resuelven casi todas las cuestiones que ocurren en los usos vulgares de la Yida, las cuale:s Yamos :'t. cla:;ificar debidamente en los siguientes 3.rtículos

ART ICULO!. lH:cgi a <le u ·cs.

'l'odo problema en el cual se coHoccn tres ean1'idaue::;, de las ctmles do:,¡ sean de la mismu esp eci e.~ y la tercera de ig ual especie que la que se b U!;t:a, puede resol verse por medio de la multiplicacion V dívision de los números concretos. Esta. clase de j>roblemas se cQnocen con el nombre de 1·e:;la de tres, porque son tres las cantidades conocidas.

Existen varios m étodos para resol l'er ht regla de tre:;: el1nas sencillo y á la vez el único practicable con los conocimientos que hemos expuesto es ol conocido con el nombre c1o 1·ecluccion á la. múdcu.l.

Para tbr u na. idea de este m étodo, suponga-mos que se nos propone la siguiente cuestion: 36 varas de tela lnm costado 108 pesos, se desea saber cuanto costarán 25 varas de ht mismlt tela Este p roblema es una regla de tres, puesto que dos de las cantidades conocidas 36 Yaras y 25 Y<tras son de la misma especie; y la tercera 108 pesos es de la misma especie que la que se buscaqu~. ·~;on los pesos que cu estan las 25 varas.

Para resolverlo observemos que si 36 varas valen 108 pesos, u.na vara valdrá .!..~-~ de peso, y por consig uiente 25 varas valdrán J..g..~ x 25 p esos =75 pesos

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-176-· Vemos putls coru que seuci:lfuz puede resoh·e r~ aé· cualquier problema cfu esta e:;pecie: convieuc :;ii!, embargo familim·i:r.arsc con clloa, á fin de no enoontrar dificult.a~les en la aplica.cion del método, {¡; clllyo efecto vamos á poner alglUlos ejemplos.

11:JJ;Ml'.LO 1~-30 obreros han hecho un;L ohm: en 43-· d ias, se uesca saber 24 obreros, trab¡~jando· l@·m,ismo que los i3:0, cuantos día& ~"Lrdarán e u h<t-· cer. 1,~ misma. obra~ Jl>uosto q.u e·30 obreros ta.rdan 4í3 días en hacer la obra., un· obrero· tardar{~ oOveces mas, ó 30 x· 43 dlias, y 2,1 obreros tardaráu 2-1: vece:; menos que· un obrero, ó 30 X43:. 24 días=5o;t dii1s. .l!.:JEMPLO 2~-Un cano llena ele agua un estanque, que tiene 268 litros de:ca pacida<.!, en 2 horas 4.G; minutos: se desea sabe~:· ctHtnto tiempo si}· necesitarA pam llenar con el mismo ca.fio otro estanqua de 1000 litros de capacidad.

Reduciremos las horas y minutos toJo á míe n utos,lo que dará 16f); minutos•.

Si ell llenm· 2.68 litros se· empleM l G6, rn:nutos, en·. llenar nn litro se invcrtir{tu ~\H minuto:;, y· 11n llenar 1000 litros' se invertirán H.-lf x 1000 mi m~, tos=2b horas 19 minutoR- 24 ::;cguuJos. Para facilitm; los raciocinios con vicue con v-ert.ir los números comp~jos ú incomplejos, como, he-· mos hecho en el prohlemru ru1t1!l'iGt'. lo:J!;)iPLO 3~-con 6 fan egas 1 celemín 2 cnar-. tillos de cebada se ha dado mn~ rncion de pieuso· {t n11 escnadron de 49 caballos tcn{unn tehmla se: nccesit~u·in. parn. rl:w la !ltism:L mcion (L un c:;cnad\·on de 38 cabal!ost Couvert,ircmos Ias. fa,ne~"flS :y cclemiucs ft curu'" tillos, lo· que dú 2.94· c!w.rtillo:;.,

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- 117Si 49 caballos comen 294' cuar tillos, un caballo comc ní 49 vecesmenos, 6 .l.t} cuartiilos y 38 cabn llos come nín 38 veces mns qno u11 caba.llo, 6 ·*H- x'38 Clt:trtillos=22 8 cuartillos osea 4 faneg as !) cuar tillos.

T;>or esten sion l)e ha dado el nombre de regla (lo tres á todo prob lema que a1111 cuando contenga mas de tres térrniuos pueda resol verso por medio tl& ,·arias reglas de tres; y pam distinguir este caso del que acnba.mos de esplic~ r se llam a reg-la de tres stm;ple á la· que no ticno n1f1S que tres términos y compuesta {t lrt que tiene 111as de tres.

Para. resol ver un prob lemt t por regla. de tres compuesta sen't necesar io que eH núUJ ero de térm inos sea. impa r: que dos á dos sca.n de la misma .especie, y el que resulta impar sea. de la misma espe· cie que el que se ln~>;ea .

KlE~IPr... o.-1 2 ;~,apadorcs, trabajando G d ias, han bechq tm desmonte do 1 ~S metros cúbicos; so quiere sabe r 20 7.apn,dorcs, u·abnjando 3 din,~, cuan to poJr ;\n desmontar.

Este problema puede resol n:>rse por regla do tres rompnestn, por que los térmiuo;; conocidos son dnco, (núm ero in.1pnr), dos á dos son do la misma especie (12 znpadores y 20 7.:-tpadores, G dias y 3 dias) r el que qued a impar {128 metros cúbicos) es de la mismn. especie que el que se busca.

Para resol verlo ob~c rn1-re rnos qtH~ si 12 7.apa dorcs, traba jand o 6 dins, han h ec~ho 128 metro>; cú bicos, un zapador trahajando un dia har:i 12 x (j vr ccs menos, 6 sea .E~ .. metros:!; y 20 <mpncloreH tra. l2x 6

bnjando 3 dins hará n 20x J ,·cccs ma<; que unza 12 © Biblioteca Nacional de España

•

J.I:Idor, es decir,

t 2S l2X 6

-1 78 >< 20 ><tl meü·os

cúh íco~,

6 1o

que es lo llli smo lVt .im / GGG. ["V.E n. t~ JR oJ n.. a::,n,~ s p,~~u. ll~ IE!§O P1 m1 I!:IW .- 3

hectú rca>; de ten cn o han c:ostac1()

de l mi s· J 84 0 fra nco><, cu; \nt o cosfnriu1 14 f'tlne ;ra s .

11\0 tC t'J'C ih)!

So/ucion.-'2'2.01 csc·lttlos 150 lllils.

SV í:iBGUNuo.- Pa m lic ua r un ga :;6 md ro de Hmetros cúbicos do gm: se nc{;()!;itau 7 hom:o:, Cl'Ú l OUU to liernpo se necc:;itarú pa m lle na r otr o do

piés cúbicos!

So tud on .- P 5ll' 1>4" orr e 3r,o TEI~CEJ:o.-l;u tre n de frr roc an il rec plearú k iló me tro s en 12 horas, en án lo tie mp o em rootr o tre n qu e ten ga la milcul de ,·elocidad pa ra

co ner GO leg-na:;'~ So !uc ivu .-'2 2 11 6l ' 51".

AR T IC U LO 11.

Se lla ma 1cght dt interés la qu e tie ne pot· ob ca.p ijet o nx eri gu ar la:; ga na ncia:; qu e pro d ncc un o. La tal c;olocado it interés du ran te 1111 cie rto tie mp ;t ela ;;c un ida d de tie mp o qu e se ad op ta par~t est s se fija de opemcione::; e:; un ailo y el tip o tlel interé netaen un tan to dado po r ca< b cie n uJ riu ml cs mo tanto r ias , qn e po r est a raz on recibe el nombre de po r ciettlo.

Sc;t por ejemplo el cap ital 3852 pesos, y proce copo ng ám ou os tt\'Criguar qu e gaunncim; pro du loc ado n.l 6 por cie uto al a11o. un Pu est o qu e cad a 10 0 pesos producen en

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- 17D nfio Gpesos, nn peso produ cirá 100 n~ccs menos, 6 sea -, fro, y 3852 pesos producirán il8:)'¿ ,-cces mas que un peso, es decir, o852 X t ~'oS="~~J X G~, 6 lo que C!> io mismo 2318,12. Lo qne nos dice que para halla!' las .r¡wwn:;iag de nn capitat coloca.<lo {¡ un tauto JIOI' ciento de interé;; anual lmsht multiplic:tr el capital por el tnnlo y pat·tirlo por ciento.

El capital pnede C1llocn.rse por 1111 cierto m'trnero <le anos con la, eoudicion de que b s gans\llcias al fin de ü<lcla. :trío no dcnm gncn iu trn~s :tlgnno y si solo el capital primiti,·o. Entonct·s el interés se llama .~implr. y pnm calcnlnr las gnnnneias al <'abo <1e un cierto n{nnc,ro de mlos, bastarú lJJttlt iplicar las ele tm año por el rtúmcro de afín,;.

Sen. por njPmplo el C'lpital2o8G ~~sendos y propon¡2·;ímon os hallar las ganan cia:> qur producirá colocad ti ;tl inten~:> simpl e clo 7 pg Hl ano dnntnte 5 aiios. Hnlla1'cmns )a¡; gn.IHli !Cias eh• nn añn por el m6tod o &spiicado ante,;, lo q ne da ni ~386 x 7 escmdos, y

multípl i c::tJJclo(~slo

liJO

por 5 se tonclrA nsfi x 7 x 5 1011

=S35 escud os, 10; lo que nos dice c¡ue pam l·alcu lar las ga.natlcias de un en pita! c~olocaclo {:. interés simpl e dur>lll i.e un eicrto 11 úmero (le <tfios hnstará m11ltipliem: el c.apital por el tamo y por eluú moro de afio:;, y partir el pro rh wto por J OO. Pued e ocurr ir t:tmbien calcular las ganan cias de 1~11 eapitn~ colocado {t inter6R ~i tnpl? duran te un pcn odo éle t.1empo me11o.r que un aJiO. hn este caso hay que proceder dH otnt manera.

P¡·opong{nnonos por rjemp local rnlar lasg:m ancias del capital 827S coloearlo ú. interés ;;Ímple <imante 7 mese::1 y 23 dias al re:;pc cto de O por 100 al afio.

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-180"R.edncic ndo todo el ticmp~ :\ días, el capit~1 €'~tad. colocado dumntc 233 rlia,:;, y como el n.fío.

•i vil tiene 360 tl i~ts, diremos : si 100 pesos g·nnnn!) Cf\ MiO dia.s, un peso gm1ará 11l-oS en 360 dia.s, y en ·M di(/, ~ana.r!t 360 veces menos, 6 sean 1 ~a : 360= $ rc¡)l'esen tl} lo que gana 9 S: luego _ !l :;t;O X LOO

360 X lOO

peso en un <lia, y por consiguiente un l>P.SO en 2H3 días g¡tnará 233 veces mas ó sea 9 x 2:l:l 8 y wt

360 X IUU

ganarán on los mismos 233 d ias 827 veces wn,.:, es decir: !l x 233 x 827=g x 23::: x 8278=-!8$,17: ~;27!3

360 X lOO

36!JOO

lo que nos dice que para hallar las ganancia:; ele llll <:apital colocado á intet:és simple durante un -cic1to tiempo expresauo endias: se mul tiplica el ca.pital por (\IJ¡(m1ero de (lias y por el t.anto y se pmte el producto por 36000 Tambie n puede suceder que el capital esté colocado durante un cierto tiempo r.ompucsto de un número de ai10S y u na. fntccion de M i0.

Propongúmonos, por ejemplo, cnlcui;H· las ga-. nancias del capital HGSS coloearlo dttra.nte !l n.l1os 4 llleses 9 dias ni 11 por 100 :unml.

Puede resol vet·se el pro blemn. r~'l.lcnlamlo sepn.mdn.men te las gn.nanciasdumn tc :1 ai'ios y durante lo:; 4, me!les () dias restantes, ó 129 din;;, por los métouos expur.stos anteriormente, y snn~ar despues <licbas g-auHnci<1S. I>rocod ion do tle esto modo t.end remos: 121 8,4·! ganancias dtmmto 3 aiios_3GSx J 1 x 'l .

100

gananci as durante 129 dias=3G Sx ll x 129_

1-t$,50

:J600CJ

Total= l 3:íS,94

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-181Puede emplearse otro método, comirtiend o tot1o el tiempo en anos, lo que dará 3H~ afios, ?'enlonces diremos: si un J)(Jso gana en un año ,-}oS en ., , , . l. ''3'?'•~ . . t·e v ·aou mtos gan ¡u·,~ •<•o " ·;¡;¡¡;;-. y por constgmen ilGS$ g·anarán en el mismo tiempo 36 8 veces mas 6 sea 1 1

No X 3~~~· x368$

número que puede tnmbien ponerse bajo esta forma: 368~(3+ -~~e )=1 35S 94 100

lo que nos dice que bastn. multiplicar r l capital por c.d tanto y partirlo por 100, y en::~ogu i dn. nrul,tiplicll r este producto por el tiempo, red utiuo todo ft mi.os.

Puede suceder <Jue clar1o un capltnl y las gannHcias dnnmte Utt afio se hw;quc el tanto por 100.

Boa por ejemplo 487S el capital y 348.09 las g-a11ancias, y se trata de a.Yeriguar ctmnto vale el tnnto por ciento. · Puesto t¡ne 487$ han producido 34 S,09 tm. peso producil'ít 487 veces menos, 6 3 4. 0~, y 100 pe487

producirfln 100 veces mas que un :J.J O!l x 100=:l4,0 9xl00_7.

!;OS

·167

.

pe~o

ó sea

487

Lo que nos dice que para hallar el tanto por eiento basta multiplica r las ganancias por 100 y pa-r• tir el producto por el capital.

Finalmente: puede ocurrir que dadas las .gaw1ncias de un afio y el tanto por 100 se busque el (:a pi tal.

Supongam os que un capital colocado al 9 por

100 anual ha producido en un año 458, cuál será este capitaU

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-1 82El capital correspondiente {t 9 pesos de ganancia es 100, lnego el correspondiente á un peso de ganancia será'9 veces menos 6 ·~~y por consiguiente el que corresponde á 458 de ganancin, serit , 45 veces mayor, 6 ~5 . !00=500; lo que nos dice 9

que para h;1.llar el capital se multiplican l<.ts galmncias por lOO y se parto por el btnto.

En el caso de que so qnicra lmll ;u· el capitnl 6 el tanto por ciento, siendo el tiempo diferente de un n.lio, el problema so complicaría mas, pero so r esolvería de una manera anúlogn.

Con el fin de ejercitar la resolucion de esta clase de problemas ponemos al final de este artí· culo algunas de ellas para resoh·er.

EscoLro.-Ouan do un capital se coloca á interés con la conclidou ele qne las gananchls de c~t­ da aiío devenguen á su v.ez interés, se ll<1t11a A cstt>, Í11tC1és compuesto. Lit resolucion ele l:t reg·la do interés compuesta da lugar á problemas eomplira.dos c¡ue exigen (;Onocimicnto:; agcn o~ ;'~ o;;tc tnttaLlo elementa l.

Puedo í>Ín embargo resolvcr:;o uno do ellos por medio de Jos conocimientos qnc hemos adquirido y es el q110 tiene por oh.ieto hallar las ganancias de un capital colocado á interC.:s compuesto durante un número exacto de años.

Se:t por ejemplo el capital 500~ colocado al :) por 100 dnrante 3 aiios y tJ·atemo:; de hallar las ganancias, te1Hlremos: Cnpifbl d('] J~r. aiio.. ..... .

Ganancias del l cr. aiio . .. . . .

500S .500 x 5=

100

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25

$

-183C n]lital tlc·l2• niío ... . ......

C:anancias del 2~ aiio. . . . . . . .

líOO+ 2:i=525S r.2.:; x .5_., • .,.

100 - -6 ·-·}

Cnpital <lé13!'1'. aii'l..... .. . .

Ganancia!< del 3<.'1' afio·- .....

::i2.i+ 26,25= ;i;il$,2;) 5'> l.~;¡ X

r._., 7 ,6

- " l OO Snmnnclo las gananr.ias ele los tres aiios, el nú · mero 7S\81 resolverú el proi.Jicm;t.

I'IU >Bf,Eilli.I\.S

p¡~Cll. lHt~~ §®J[, YER.

Pnnnmo - ¿¡\. qu6 in terts si m pie hnurú qnc colocflr 1000 peso;; pnra. que se duplique d c<~ pital al eítl)() do 20 Míog~ Solrtcion.-AI 5 pt•r 100 anual.

• "c:uxno.- ¡0uúnto tiempo hahrlt que tener colocaclo nn capib1 l de 30úS al intcrts simple dcl15 p or J 00 annal para ohtem,r un capital ele 10008~ 8olt~~:iou.-l :) <Tii os, 6 meses, 1!1 dja>;. . . , un capJ'1' l·:n('EI:O. -~ Q H~ gnnanc-H\S p1·o•'1utara tnl clt•lOOOfraHcO:; colocado;1l int('I'~S compuesto de 13 por 100 rmual .dm:aute 3 nft.os~ 8 t. /ltt 'ioii.-M2f,89.

Cs·AuTo. -¿Q né <;apit<ll habrú que eolocar al ,, pM 100 <tll\1:1 1 ~ i11 tcrés simple, p;~r¡~ que en l OO <t fw,; M un <':tpit;,J de 10000 p<:>;Os! .~·olucúm .-1-l28S,f> 72.

1

•

AR T ICULO 11 1.

T.a r"gh ele descuento tiene por ol~jrto avcri~nn r lo <'¡li<J lw:· que ¡\~ontar p o 1· 1111 tlocnmento qliC f>O png-n antes del vcHrimiento, 6 por 11na can· tiJ¿~d 1) ttú Re pre;:;ta á intel.'és,

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- 18-1L a regla de descuen to puede ser, l o mi:;uu> qnc la ele i nterés, sim}lle 6 com¡mesta, seg·un q ue las enntidttcl.es de¡:;contn,das rcpre:>cn ten el i11teré:; .~ún~ 11lc 6 compuesto del ea.pital. Nos oeupare mos ú nicam ente rlo la regla descuen to simple.

El descuen to puede hacél'l';C por dmlro y pm· fuera: se llam:t descuento por den·tro el tfUC so hace

ue

uescontando Jel capit;ü prc;;tm1o los

Í llter cse;, )'

J escncnto por fnem el q ne se hace acumula ndo como deuda el capi tal prestado. Guneralme11te :;e hace el descuento por dentro, pero es ruemos equitativo q ue por fuerf1, segun n~mos ú ver .

Supongamos que se toma ít préstam o por :J

meses la cautidatl de 2508 al i nter~s anunl de r; por 100, de,>.sconfanclo por fuera. · En este cn:so el d·e udor reci he 250:5 y <Í los \} meses tiene que deYol \'Orlo:;, aumenta dos do bs g-anancias que proc1ncirian los 2508 colocaJo s a l li p or 100 durante !> meses. Entonce s el problem a se 1'esuel ve muy sencillam ente por h regla do infcr é:<, pues basta cal cular dich as ganancias, l o que se hace con virtionclo los meses e u clius, y l as g-anmwi as ~erán,

segun sabemos:

21.i0XG X 270=ll~ ')~ 36000 '· ' - :>

ue modo q ue el deudor

tendr{t que dnr nn pngar~ {t lJ meses de plazopo r val or uo 250+ 118,25=:261S,:.:!r,.

S i el descucn to se hace por de nt ro, el ~l o u tlo r firmaní. un pag;o.r6 ele 250$ y solo r ecibe ]a, difere ncia entre estos 2ii0 y los 11:3,25 del descnetito, es decir 2388,7 5, de manera q ue preshínd olc solo un <~pi tal efecti vo de 2388,75 lo descuen tan cop10 si le prest'lse n 250$, de modo que sale recnrgad o e n la diferen cia q ue hay entre los interese s de 2~88, 75

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--185quo de uin pagar y los tle 250S que rcnhneutc paga. · Para. calcular este recargo hasta hallar los in-: tereses de 238$,75 al G por 100 al aiio, durant-e!)

1noses, ó 270 día~. lo que dá: 23S.75XGX270=JOS ~ .j. ... ' 1 36000

de inodo que 11 8.25-JOS,74=0:3,5 l es lo que se pagn domas por hncer el descuento por dentro.

En el descuento de documentos ocun e otra cos,l.

Supongamos que <:1 tenedor de un pagaré de :~r,o::;; que Yen ce :í los !) mese~. quiere q no se lo des~~ucntcu al 6 por 100 al año. f:>i el descuento se ha<:e p_?r doutro, el que lo dc,.cueute solo enlreganí :sM~,25, cuya cantidad colocada al 6 por l OO no produciria en los U meses ma::; que 158,04, míenIras que úl cobm 15$,75, ueneficiánd osc por tanto en 08, 71.

Si el c1cseuento se hace por fuera hay que cal<mlar eunl es el capital qul:l colotado al G por 100 anual durante O me::;es produce 35v~~ entre capita1 . tercses. ' llt e· Si designamos por X este c·apital desconocido, lo:; intereses osturún representados por: :.!70x6xX ;JüOOO

y sumando este número con dicho cnpital se tendrá-; 270 xGxX +X 3GOOO

"

)' red uciendo el entero ú la especie del quebrado: 36000. X+ 270. G. X 36000

ó sacando X factor comun en el numerador.

(3GOOO +270. G)X 36000

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-18Gn úmero que será igual á 350, y tentlremos por tnnto: !>ro_(3GOO~ +270 . 6)X vO 36000

Si estas cnntitl::tcles iguales ~e mul tipl ican por 36000, los prodnct.os serán ig uales y ;;e tendr{l: 350 . iHi000=(3G000+ 270 . G)X rli vid iendo :thont la» canti<la.dcs iguales por el ruímem encetTnclo en el p<tníntcsis, los cocientes :;enín iguales, lo que dará : 860 . 3GOOO ;3G000+270 . r;

=X

. .Luego: para hallar el c:ipitnl primitivo hay que multiplica.r el valor del paga,ré por 3GOOO y par tir el producto por 36000 aumcn tauo del producto de los dins de plm10 por el tanto de interés mensual.

Efectuando estas operaciones, halhl remo" HH4$ ~3 para. valor de lo que tiene que entregar en ~§ee­ t ivo el que descncnht el pag:trt'..

Ptmmno. -¿,Qué cantitla.d ltabrft qnedcsconta.r pn.rn lutccr efectÍ\'O un p¡tganí do 4008 qnc vence ú los 3 meses y 1 D dias, hacienrlo el descuento por delltro al respecto de por lOO al mes~ Solucion . -10~, 90.

SEGll:-<Do.- ¡.Qué ca.n tidacl lH1bdt que entreg-ar por una, letra. de 5400 francos pagadera á 90 día;; vista., descontn.ndo por fu era. al rc:specto de 1O po.r 100 al ~tiio~ · 8olucion-526Sf:>,29. . 'rmwERO. -&A. qné interés a.nualsel1adescontn.-

a

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- 187do pot· dentro una obligaciou de 1000$, png·ndera á 9 me·es phtzo, ha biendo entl·egado por ella 870$

en etccti ,·o?

.::3ulucion.- AI 17,33 por 100 anual.

AR T ICULO IV. Se ll:tmn regla rle compañía l:t (] Ue tiene por

objeto ropartir las g-n.nnncias 6 púnlidns <le unct soeicdacl tnercnntil en partes prnporcio;lltl e:; á los capi t;tlc::; de los SÓCÍOS, 6 á los tiempOS de Sil CspecnJacion. .

Supongamos en primer lugar fJU e <los s6cios han puesto <le capital: el primet·o 5UOS .Y el segundo 700:-:í durante el mismo tie mpo, y que han ganado en h\ espcculacion 200$: Se trata. de aserig·nnr cuanto le toca ú cada uno.

Puesto CJ lW la ganancia se hn hecho con todo el capital social, es decir, con 5008+700:3 resul ta I[Ue si ~~ (300$+7008) COIT C:;pou clc ll 200$ dH g-aJI(Ul Ci.l , á un peso conespondenín rwo S Si Íl f>OO+ "/U (J ' '

peso ootTesponcle e::;ta ganancia, (~ 500$ CJ.UC puso e l primer sócio, corrcspon <le r{in :

1111

500X200 _ :J: 838 3 :}00+ 700 '

y á 700$ que puso el segundo ~6cio ~orrcsponden : 700x~oo

=l 500+ 700

l6~67

'

l uego p;trn, h•l\lm· la ganancia, tle c;u]a sócio bastn, mul tiplic!lr su capital por la gnnancia de la socie-

dad. y partir el producto por <.>1 capital soeial.

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- 188 Soan ahora dos sócios que han puesto el mismo capital, el primero dmnnte 3 ailos y el segundo durante 5 y han ganado 3008. So trata de hallar cuanto le toca. á cada uno.

Ln g<tnaneia total 3008 se lla lteciJO durante ol tiempo 3+5 anos, luego en un año correspondelt :Joos y por consiguiente en los 3 anos que tuYo ex3+5

puesto ol capital el primer sócio le tocan: 3

.~~~ =112$,50 ·>¡-V 3

anos que tuvo expuesto sn capital el segundo sócio le corresponden: aoo - . x" - = 18-1s b-o on los

!)

3+5

J

Lueao para lnlllar la ganantia de cada sócio hasta multiplicar la ganancia socinl por el tiempo <lo cadn imposicion y parti•· el producto por la sulila de los tiempos de todas las impo~iciones.

Cuando los capitales y lo:> tielllpos :>on d if<~­ , rentes la regl ~t de t~ompaüÍ<t ~e ll<tma compuesta, y Holo pnellC rcsoh·cn;o hncientlo n::;o de conocimiento:; agenos á este tratado elemental En YCz de ganancias puede haber pérdidas: entonces se hn.lla la parte que eorrcspontle á cada ~ócio de la misma manera qno la~S ganancias. E u las sociedades mercantilllS !<e llama al reparto de ganancia~S aividendo acti·vo y al do pérdidas dividetl-do pasivo.

Pnr~umo.-Una

sociedad que t.iene 1000 acciones de á 100:].; y 4000 de á 50$ ha !tocho una ga-

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- 189111\llCia de 20000S tCJU<Í dividendo acti,·o ha <le ropartir;;e por accion~ Soluc,on.- GS,G6G ¡Í ca1h accion do lOOS y HS.333 á C<"tda una. de 50S. SEGUNDo. -Tres sócios han perdido l 0008: el 1'~ t.onia 50008 de capital: el 2~ 6000 y el S? 7000 ¿,¡ué dividendo pasivo lo:;; toca~ Solucit.Jn.- 217$,78 all~', 3338,33 al2~ y 388$, ~V al 3~

ART IC ULO V. Se llama 1·egla de atigacion ht que tiene pm nhjeto h¡tllar el precio de la unidad de una mezcla cunndo se conocen los precios de bs unidades de lns primerns uwtcrias que entran en ella y las cant it lados que se mezclan.

EJJmPLo. -So ha mezclado Yiuo de tres clase!', poniendo G dnhwns tlcl de 1 ~ clase, 9 ciintarn~ del de 2:' y 1 l c{ll1taras del de 3~: el precio uel do la 1~ clase es do 4$ ] ¡~ c:'tntara, el de )¡¡, 2~ de 3S y el de la 3~ de 28. Se desea sabe1· á como srtlc el in·ecio de la cftu tnra do mc7.cla.

L1t mezcla contendn't tantas cántara!' de ,.¡no como tienen toda:; las tres clases, de mo«lo que so tond r/1 : F,1 vino do 1~

clnso· costará

Gx 4 pesos El de la 2~' . ... ..... . .... = 9 x í3 , y el do la 3:'....... ... ... = 11 x 2 ,

y por consiguiente toda la mezcla costará: G. •.H 9 . 3+ 1!.2 pesos.

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,

-1~0-

Si di \·idin10s el preeio ele toch b mezcla por el 11únwro de rúntaríls que contiene. el cociente 6.!+9 .3+ 1J . 2=?8 80 6 +~·+ 11

- •. '

será d ndnr de mm c:'m tara de lll(•íwln.

Lueg·o para hallar r,l precio de 1,1- unidad de me7.<:la ~e lllultiplir.a cada primera ntat<•ria por el pn~cio do su unidad, se f;llntall esto~; l1l'0<1netos, y la Slli1H1 ;;n parte por L1 smna do lo:o; prc!"ios de LÍs llllidncle:-; de las p ri mr.rn;; HH\tm·ias. l·:n el Pjc111plo que a<:nbamos .<le resoher HO 1m tcll icln <·osto alguno· la oporneion pOrlJU C mezelar vino no <·ne.;tn diuero, pt·1·o hay mczc:las en las que líl opt•t·acion euestlt dinero, c:omo :mccrlc en la. alcacion d~ lt•s mot<1les. En t•stc ea ~o hay· que afiat1i r ;í la smna de los precios ele las prit11cras materias el importe de ia opcracion.

E.Jl:•n•Lo.- Se han mczdado 3 liurns de plat<1, !) do eobre r l2 de zinr.: la librn de phttJt ha costado i35 et•c.: udns, la de cobre le, SO y]¡¡ rk zipc lr,':W; y la furtdi cio1¡ dn los metales ¡nu·a 1\lezda rlo::; ha <'·Oi:ll'ltd o :H) C'>;C ll<1O!S. E l precio de l:1~ pri m0.ras nwteria!.l ~c rá: :!.36+ 9.1.80+ 12.1::?0

y nnntli0mlole los 40 e,;endo,.; que impor ta la opcracion el prCl·io tot:1i de la mmwh f\e ní: 3.:J5+9.1,SO+ J 2.1,20+·1O

DiYidiendo este por la cantidad de mezcla, que es, 3+V+l2 se tendrá: 3.35 +!!.1 ,80+1:~. 1 .20+40 -~

3+ 9+t2

•

!"

- IC,v

16

para p recio de la unidad de mezcla.

J\Iuchas veees se obtiene hcnclicio, por que alguno de los ingredientes no cnestc1. nndn: en tonces

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-lDlHO varia por ('SO oJ método, pues uasta tener OJ:i <-ncntu l:l eantid;\d qne ;;e agreg;t sin co~;tar nada. l~.n:~ti'LO.-!::ic rrata de mezclar Yiuo de dos <:lasos, ron agua: se mezclan !) <:;ÍIIta ras d<! vino de 1'.' con 1;! de vino de 2'.' ~· con 3 de agua: la (·;ínt<lra do ,·in o de 1~ en esta. :,8 y l:t ele :2':' en esta 08, ¿t;u(ttlh l cosmrú la d .ntara ele mczchd E! inq.)(JrLe de lns primera~ uwturias os: 9. 5 +1::! . 3

la cantid:Hl ele mezcla. os: 9+ J2+3

luego el pr·ct;io de la unidad de mezcla scní: 9.i\+J2.3_..,s .,9+ 12+3-v · ,v 1

Por el cm:trario. otras Ycc.es bn· merma. en la oper:leiot!; cntul!l·Cs ba:<t<t r('stm· de ¡;t e·autidacl de mo;~.c]a ln HHmna y despucs hallar el precio medio.

E.J J~)IPr.o.-Se ha mezclado sebo de camero con tmxo.; tlo vela de estea.ríHa: la. libm de sebo de t;<Unero l Ht eostnd(J á 3 n;. Yll . y ln ele t.r'ozos de vela de cst(~ar!n:lúJ. rs. vn. ••vse luin¡mc,;to G libras ele :-;eho, ~4 de (':;rca:·iHa para fon11ar bujías: la operacion ha <:N;tado rJG r;S. Yn. y ha habido una mcrn:a. ele 3 lilm1s por los resíduos llel ~;cbo y los pábilos de los f'a bo,: de estearina. tA CÓillO costarú la liura

de bujías~ E! precio de tod;l. la. mezcla

!iCn\:

6 . 3+24 .!2+36

y la cmntidad de primeras materias serú: (j

+24

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'

--l!l21"CIItantlo

rlc c:;t:l la m erma:

la, C¡\ntidaol ~~~~ mozc.h. Particnlln ol precio tot<tl, d (;Ocien te

!IOI'Ú

¡;_:;+ :l-1.:2 +

:.lG=~ ·r i'.

p1 1 ~\:;

í7

.6+2~-:)

sor{t el precio de la lihra de bujía.,;. . FIX DB L:\ i\ RITi\IETlC'A.

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por olla

INDIC:El DE LO QUE CO~TIENE ESTA OBRA. PAG.

!:'ITROllUCCIO!'i.... ... .... . ................. .

5

LIBRO J. De los números enteros. ...... .... . . .... . ....

C,, l'ÍTULO 1.-Numeracion .. .... . . . . .. . . . . . . . . . . . .

At·tlculo 1.-Nomcnclatum. ... . .... ...... .. ...... . .

Artículo 11.-Escri t.uru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

O.ar í'J.'Ut.O II.-Cálculo de los números...... ... ...

A ·rt.ículo J.-De lu ~uma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Artículo JL-De la multiplicacion. . . . . . . . . . . . . . . .

A rtículo Jll.-De la elevacion á potencias.. . . . . . . . .

A rLíc1tlo IJ¡; - De la r~!a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A rticulo V.-De la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

A rtícnw VI.-De la ~traellion de raíces. . . . . . . . . . . .

Artículo Vil.- Pruebas de las operaciones aritméticas.

Artículo VIII.- Alteraciones que sufren los resultados dtJ las operaciones aritméticas, :í consecuen· cia de las que esperimentan los datos. .. ..

CAPÍTULO lii .-DivL~ibilidaJ do los números. ...... .

Artículo 1.-I'riucipios sobre lu divisihilidad.. . . . . . .

Ar tículo 11.-Caract.éres de divisibiliducl . . . . . . . . . . . .

At·ti.,to !!l.-Números primos........ . . . . . . . . . . .

At·ticulo ! V.-Del máximo comun divi sor.. . .. . . . . .

A t·ticulo V.-Del mínimo múltip lo comun....... . ..

Artículo VI-Propiedades de los números primos y compuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 9

10 15 19 20 24

35 3S 42 55

61 63 69 69 72 75 77 81 84

LmRo u.

Do los números fraccionariOs. . . . . . . . . . . . . . . . . .

CAPITULO I .-Kumeracion y propiedades do las frac-

89

Ctones ........... ....... ........ ........... . ...

89

Artículo J.- F racciones ordinarias . . . . . . . . . . . . . . . . .

A rtículo IL-Do los quebrados decimales. . . . . . . . . .

89 94 98 99

ÜAPÍ'r uLO II.-Oálculo de Jos quebrados ordinarios..

A rlíctdo L-Sumu y resta de los quebrados. ........

A rtículo 11.-lifultiplicacion y division do Jos quebrados,...... . . .. .... . ..... ............... 104

© Biblioteca Nacional de España

/

!N DICE. P-.~G.

A.r·licvlo 111 -Eic>aciouli pot<'ncia~ y rslrnccion llo raicc.s üe lo~ qnehm<los..... ............. l OS eAI'ÍT ULO TII.-C{¡I cu lo de lo~ c¡ut·ht•tt llos do<:i lllltl~~ . . . 11 :J Arlimdo 1-S nrna y rc~l.a 1le lo~ r¡nc lwaclu:; dccima lo·'· 1 U ¡lr/Ít·ulu JI.-)J u lt!plii·~dc•n y ui\'i~lon tl o lo~ <¡ncb rallo•:; <léiJÍlll!llcs . . . . • . • . . . . . . . . . . . • . . • • • • Artículo JlJ.-f,lovac:ion á pnt.<·n<Jim; y IJ~tntCciutHIC raic·c·s ,¡,. I<J~ (¡nchrM!o; deci males ..... . .... ÜM'Í'I'IH.o I V.-Gonvc,r;.ion d·" los i¡U(<I.wados orJinnl'Íos

115

á dc~ci ma!cs \' ,-jce ·versa . ... _........... .. ...

A1·1í<:ult> I.-Cu"' et·~iot; ~~.: un quebrado or<linat·io ú. dc-

126

121

,.J ,nal .. . .. . . . . . . . .. .. . .. .. . . .. . . .. . .. . . . . .. .. .. .

126

.A .-tio11lo ll.-C uuvc·r~ion de una fra()(:ion decimal ú. ort:!tl:!ria. .... ............ . .. . . . . . .. . . . ... .. .. . .. . .

132

r.onet·<'los ......... .. . . . . . . . . . .

C AriTUI.O 1.-.">i<tC>m :c~ de p~sos y medicln~. . . . . . . . . .

Articula 1-t->i:.t,•t>ta legal da pesos y medidas de Es-

137

}HJil'J. . . . . . . . . . . . • • .. • . • • • . .• . • • . • • • • • .

138 145

De• lu~

nÍlm""'~

1 {.- ~;¡,¡.. "'" métrico •lcc:im:d.. . . . . . . . . . . . ÜAPÍ'l'H t.(• ll.--C:íil:ulo ck los m'tmt'r<Js cr>JJCr0tns ..... ilrtíc~tlo l.--Onnv~rsion de un númt\ro CCimplojl> (~in· <'OUtpl<:io y vice-viJr~:L .. ... . . .... . . . . . . .Art·ímtft¡ 11.-Suma y rc;st·.a do los núincros IJOncretos...

Artículo ]) T.-71Iutt iplicadon y division <l<' los números

.Arfit·~tlu

<:<>u ere tos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . l:AI'ÍT UJ,o 111.-Cam hio de un ~isJcmn e! e meditl:ts á ot ro .Artí.t;ulo 1.-Con\"ersion de lo$ númerCJs tlc·l si~tcma le· gal de pe~<os y m~dillas de Es1n11l u á los del Si>h•m a mHrico decimal.. . . . . . . . . . . . . . .

Arltcult> 1/.-Con version ci~ lus n(nncros del ~i~tema m~trieo dl'cimal al $Ístemal~ga l do E~paiia.

C.lt'ÍTt: r.o IV.-l'ro))l~mas ad tmét.kos mas usuules . .. iltti.t.·¡t/11 J.-Regla de tres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . • . .ilrtíc«lo lL- H;gla de int.ert>s . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .Artír.ul(l Jl.f.-llegla tle <lescu~nto. . ......... . . . . . . .AriÍ<;u/o l1'~-Rcgladc compañía .. . . .. .. .........

A:rtículo V.-H~gla el~ aligacion . , . .. . . . ... , , . . . . . .

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138

149

l-19 15,1 159 J.GS 1G9 172 174 17!5 178 lS:l 187

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los . .... . ...... . . ... _.. . . . . . . . . . . . . . . las. a resta ..... . . . . .. ..... . .... . la resta.

H = l4.14.14 ... ... ..... .. .. .. . 143 =14.1 4.1 4..

27=2~ 27 .. .. ..... ..... ..... .. 272 =27.2 7.

30 si obtienen. . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 denominado .. ..... ..... . . ... . l l produ:íto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 el numerado•. . . . . . . . . . . • . . . . .

23 en el mismo. . . . . . . . . .. . . . . .. • 2 lus propuestas . . . . . . . . . . . . . . . .

15 l ~ncrlc . . . . . . . . . . . . . . . . . . • . . .

15 fraccionarias ... . - · ... . . . . ... .

se obtienen. denominador . producto. del denominador el mismo. la propuesta. t enerla .

fraccionarios.

3+:

4+ ~ ..... .. .. ..... .. ....

112 26 cuaud rada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cuadrada. l UclH':u las . . . . . . . . . . . . . . . q nebr ados . .1 l :¡ 29 C ll l

26

ll 9 21.

12 1 25 12<t 8 125 5 125 6 121) 7 126 5 126 20 138 1 140 26 1•12 2 142 14 149 !66 157 :.60 161

31

:a.o,tsot. . .. ..... ..... . . ... . 3-t,04SOL un cubo . . . . . . • • . . • • • • • • . • . • • su cubo.

J 236 .. . .. . .. . • • • • • • • • • • • • • • 12 3156. ([IWl'n \UlOS ••• •••• ••••• • •• • •••

n¡H·oximarlo ... .... .... ..... . uu cada resíduo ... . ...... .. . . . cifra ..... •.... . . ... .... .... . rcduccion .. ..•.•• ••••• •.••• .

misma . ..... . ... . . . ... .. ... . · ·o 1 nes •••• ....• ••• · - - • • • • {l .IVI$

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2:j libra.3 . . ...... ..... . ...... .. .. .. 26 libra• .

To'' ····· ·· ·· -···· ····· ···· · Ton.

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'VICe 1'CI'S :l ... - ... .... ....... .. .

25 46 llg, 15 .... ..... .. ..... . ..

21 5 f. l Oe. 9 c .... . ...... .... .. ..

1 {;0[llparar . . ..... •... . •.... •. .

4 e¡no • ..••• •...• ••.•. . ••• •••• 176 24 25 horas 19 111in utos 24 s~gundos

•

<Lueremos. aprox imal'la . d~l rcsíduo. cili·as. resolucion. vida. divisores.

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LEAS!':.

9 ·cuartillos . . ................. 9 c~lemines.

2201• escudos 1M mils ........ 2101 escudos 185 mils.

11 22h 51' 51 • • • • • •• • • • • • • • • • • • 22b 55 1 3!) 11 3409

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